- 1 -

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA FACULTATEA DE MECANIC

TEMATICA

PENTRU EXAMENUL DE LICEN

- INGINERIE ECONOMIC N DOMENIUL MECANIC -

NutuCross-Out

- 2 -

CUPRINS

DESEN TEHNIC I INFOGRAFIC ...................................................................................................... - 3 -

MECANIC .................................................................................................................................... - 20 -

REZISTENA MATERIALELOR I TEORIA ELASTICITII .................................................................. - 32 -

MECANISME ................................................................................................................................. - 39 -

MECANICA FLUIDELOR I MAINI HIDRAULICE ............................................................................. - 46 -

ORGANE DE MAINI ..................................................................................................................... - 58 -

TERMODINAMIC ........................................................................................................................ - 72 -

STUDIUL MATERIALELOR .............................................................................................................. - 77 -

TEHNOLOGIA MATERIALELOR ....................................................................................................... - 89 -

TOLERANE I CONTROL DIMENSIONAL ..................................................................................... - 100 -

INGINERIA I DESIGNUL PRODUSELOR ....................................................................................... - 119 -

MANAGEMENTUL VALORII I CALITII...................................................................................... - 131 -

INGINERIA I MANAGEMENTUL PRODUCIEI ............................................................................. - 138 -

FINANE I CREDIT ..................................................................................................................... - 148 -

ANALIZA ECONOMICO-FINANCIAR ........................................................................................... - 153 -

MARKETING ................................................................................................................................ - 168 -

LOGISTIC INDUSTRIAL ................................................................................................................ 177

- 3 -

DESEN TEHNIC I INFOGRAFIC 1. ELEMENTE GENERALE N DESENUL TEHNIC. REPREZENTAREA N SECIUNE A PIESELOR

Seciunea este reprezentarea n proiecie ortogonal pe un plan a unei piese dup

intersectarea cu o suprafa de secionare fictiv i ndeprtarea imaginar a prii piesei aflate ntre ochiul observatorului i suprafaa de secionare (Fig.1).

Fig.1. Fig. 2. Fig. 3.

Clasificarea seciunilor a) Dup poziia suprafeei de secionare fa de planul orizontal de proiecie,n: - seciune orizontal, (seciunea B-B fig.2, b). - seciune vertical, (seciunea A-A fig.2,a). - seciune nclinat, (sectiunea E-E, F-F, fig.3). b) Seciunile orizontale, verticale sau nclinate, pot fi: - longitudinale, (seciunea A-A fig.2,a). - transversale, (seciunea B-B fig.2,b). c) Dup forma suprafeei de secionare, n: - seciune plan,(seciunea A-A fig.2,seciunea E-E fig.3). - seciune frnt, (seciunea G-G fig.4). - seciune n trepte (seciunea A-A fig.5). - seciune cilindric, (seciunea B-B fig.6).

Fig.4. Fig.5. Fig.6.

d) Dup proporia n care se face secionarea obiectului: - seciune complet, (fig.2; fig.3).

- 4 -

- seciune parial, numai o parte a obiectului este reprezentat n seciune, separat de restul obiectului printr-o linie de ruptur, ca n fig.7, sau printr-o ax de simetrie, aa cum se observ n fig.8. Piesele simetrice se pot reprezenta sub form combinat: jumtate vedere - jumtate seciune (fig.8).

Fig.7. Fig.8. Fig. 9. Fig.10.

e) Dup modul de reprezentare, n: - seciune propriu-zis, se reprezint numai conturul figurii rezultate din intersecia

piesei cu planul de secionare (fig.9,b). - seciune cu vedere, cnd se reprezint n desen att seciunea propriu-zis, ct i n

vedere, partea piesei aflat n spatele planului de secionare (fig.9,c). f) Dup poziia pe desen fa de proiecia principal a piesei, seciunile propriu-zise se

clasific n: - seciune obinuit, (fig.9,b). - seciune suprapus, trasat cu linie continu subire (fig.10, fig.11). - seciune deplasat, seciunile se traseaz cu linie continu groas (fig. 12). - seciune rotit, (fig. 13). - seciune intercalat, se traseaz cu linie continu groas, pe care nu se noteaz urma

planului de secionare (fig. 14).

Fig.11. Fig.12. Fig.13. Fig.14. Dac suprafaa de secionare trece longitudinal prin arbori, pene, nituri, uruburi,

tifturi, spiele roilor, bile, etc., acestea se reprezint n vedere, deci nu se haureaz. Haurile sunt utilizate n desenul industrial pentru scoaterea n eviden a seciunilor efectuate n piese. Haurile utilizate i regulile de reprezentare grafic sunt prevzute n (STAS ISO 128-92) i n ISO 128-82. Tipurile de hauri convenionale pentru diferite materiale sunt date n urmtorul tabel.

Metale i aliaje

Sticl i alte materiale transparente

Materiale nemetalice

Zidrie de crmid refractar Lemn seciune transversal

Lichid

Lemn seciune n lungul fibrei

Beton Bobine, nfaurri electrice

Pmnt

- 5 -

2. COTAREA Regulile generale de executare grafic sunt stabilite prin standardul SR ISO 129-94.

Cotarea cuprinde elementele urmtoare: linia ajuttoare; linia de cot; linia de indicaie; extremitatea liniei de cot; punctul de origine; valoarea cotei (fig.15).

Cotele reprezint valori numerice ale dimensiunilor elementelor cotate i se exprim n uniti de msur stabilite prin standarde, pentru desenul tehnic industrial acestea sunt date n milimetri.

Fig.15 Fig.16.

Pentru a nelege corect forma geometric a elementelor reprezentate, cotele nscrise

pe desen sunt nsoite, dup caz, de simboluri grafice. Modul de reprezentare grafic a simbolurilor i nscrierea pe desen a acestora sunt indicate n urmtorul tabel.

Elementul cotat

Simbolul Exemplu de cotare Elementul cotat

Simbolul Exemplu de cotare

Diametru

Element sferic Raz de sfer Diametru de sfer

SR S

Raz de curbur

R

Ptrat

Filet metric

M

Conicitate

Lungime de arc

nclinare

Cotele trebuie s se nscrie astfel nct s poat fi citite de jos n sus i din dreapta

proieciei, n raport cu baza formatului pe care este trasat indicatorul. La nscrierea cotelor pe desenul unei piese trebuie s se in seama n primul rnd de

rezultatele analizei formei i studiul funcional i tehnologic al piesei. Dup rolul funcional pe care l au n definirea piesei, conform SR ISO 129-1994, se

deosebesc (fig.16):

- 6 -

- cote funcionale (F), care se refer la dimensiuni eseniale pentru funcionarea pieselor;

- cote nefuncionale (NF), care se refer la dimensiuni ce nu sunt eseniale pentru funcionarea piesei, dar care sunt necesare pentru determinarea constructiv a acesteia;

- cote auxiliare (Aux); cote, date numai cu caracter informativ. Dispunerea cotelor pe desen trebuie s evidenieze scopul desenului i s poat da

toate dimensiunile necesare definirii formei piesei.

Modul de cotare Exemple Modul de cotare Exemple Cotarea n serie

Cotele dispuse n lan pe aceeai linie; Se utilizeaz numai dac cumularea toleranelor nu afecteaz calitatea funcional a piesei

Cotarea combinat

Se utilizeaz cotarea n serie i cotarea fa de un element comun, pe aceeai proiecie; Este modul de cotare cel mai utilizat

Cotarea fa de un element comun

n paralel; Cotele dispuse pe linii paralele, fa de aceeai baz de cotare; Se utilizeaz la cotarea pieselor prelucrate pe masini unelte cu comanda numeric

Cotarea n coordonate

Cotele indicate dup dou direciide coordonare sunt grupate ntr-un tabel Se utilizeaz la cotarea pieselor prelucrate pe maini de gurit n coordonate sau cu comand numeric

Cu cote suprapuse se utilizeaz o singur linie de cot extremiti: punct de origine i sgei se utilizeaz n scopul reducerii spaiului de cotare. Poate fi utilizat i dup dou direcii, cotare avantajoas deoarece permite cotarea unui numr mare de elemente ntr-un spaiu restrns

Cotarea literal Valorile literelor corespunztoare cotelor sunt nscrise ntr-un tabel alturat desenului Se utilizeaz pentru piesele care admit mai multe variante dimensionale ale aceleeai forme constructive

- 7 -

3. STAREA SUPRAFEELOR PRELUCRATE. Modul de notare este reglementat prin standardul ISO 1302-1992, care recomand

indicarea rugozitii numai n cazul n care aceasta este necesar n vederea asigurrii calitii funcionale a piesei. n cazul pieselor care formeaz ajustaje, indicarea rugozitii este obligatorie. Starea suprafeelor este indicat pe desen prin intermediul simbolului de baz sau prin simboluri derivate (fig.17).

Fig. 17

Simbol de baz. Luat individual Suprafaa luat n considerare

Simbolul derivat Suprafaa de prelucrat dac este cerut o ndeprtare de material prin prelucrare

Simbolul derivat - dac este interzis ndeprtarea de material.

Simbol derivat dac este necesar s fie indicate caracteristici speciale ale suprafeei.

Simbol derivat dac pentru toate suprafeele piesei este cerut o aceeai strare a suprafeei.

Indicaiile referitoare la starea suprafeei trebuie dispuse n raport cu simbolul grafic,

ca n fig.18.

Fig. 18. (a) - valoarea rugozitii n m; (b) - procedeul de fabricaie, tratament, acoperire sau alte condiii referitoare la fabricaie; (c) - valoarea lungimii de baz n mm (numai n

cazul n care aceasta difer de cea prescris n standard); (d) - simbolul orientrii neregularitilor; (e) - adaos de prelucrare; (f) - valoarea rugozitii diferit de Ra, n m,

precedat de simbolul parametrului Dac o aceeai stare a suprafeei este impus pe toate suprafeele unei piese, aceasta se

noteaz deasupra indicatorului. Dac toate suprafeele unei piese trebuie s aib aceiai rugozitate cu excepia unui

numr redus de suprafee cu rugozitate diferit, n indicator n rubrica rugozitii se nscrie simbolul general pentru rugozitatea predominant, urmat de simbolul rugozitii ntre paranteze. (fig. 19).

Cnd starea suprafeei n contact se indic pe desenul de ansamblu, aceasta se noteaz separat pentru fiecare din suprafeele respective (fig.20).

- 8 -

Fig.19 Fig.20

4. TOLERANE GEOMETRICE. TOLERANE PENTRU DIMENSIUNI LINIARE I UNGHIULARE

Simbolurile i regulile pentru nscrierea pe desenele tehnice a toleranelor geometrice

sunt specificate prin SR ISO 7083-96 i ISO 1101-1983, cota teoretic exact va fi trecut

ntr-un dreptunghi . Toleran de form

Rectilinitate

Axa cilindrului trebuie s fie cuprins ntr-o zon cilindric de 0,06

Planeitate

Suprafaa tolerat trebuie s fie cuprins ntre dou plane paralele, distana dintre ele fiind de 0,25 mm

Circularitate

Elementul tolerat trebuie s fie cuprins ntr-o coroan circular cu grosimea de 0,05 mm.

Cilindricitate

Suprafaa tolerat trebuie s fie cuprins ntre doi cilindri coaxiali ale cror raze difer cu 0,01 mm.

Forma dat a profilului

n orice seciune a ablonului, paralel cu planul de proiecie, abaterea limit la forma profilului nu trebuie s depeasc 0,03 mm

Forma dat a suprafeei

Tolerana la forma geometric a suprafeei este de 0,06 mm

- 9 -

Tolerane de orientare

Paralelism

Tolerana la paralelism a suprafeei superioare fa de baza de referin B este de 0,02 mm. Axa alezajului tolerat trebuie s fie cuprins ntr-o zon cilindric de diametru 0,05 mm paralel la axa A, de referin

Perpendicularitate

Tolerana la perpendicularitate a alezajului oblic fa de axa alezajului orizontal A (dreapta de referin) este de 0,01 mm

nclinare

Suprafaa tolerat trebuie s fie cuprins ntre dou plane paralele, distana dintre acestea fiind de 0,2 mm (respectiv 0,5 mm) i fcnd cu axa alezajului A un unghi de 45

Concentricitate i coaxialitate

Axa cilindrului tolerat trebuie s fie cuprins ntr-o zon cilindric de diametru 0,04 mm coaxial la axa comun de referin A

Tolerane de btaie

Btaia radial i frontal

Btaia radial nu trebuie s depeasc 0,03 mm n fiecare plan de msurare n timpul unei rotaii complete n jurul axei de referin A-B

Btaie frontal

Btaia total radial nu trebuie s depeasc 0,25 mm n fiecare punct de pe suprafaa indicat, n timpul mai multor rotaii n jurul axei A-B

- 10 -

Cadrul de toleran poate fi legat i direct, printr-o linie de indicaie, la baza de

referin (fig. 21), dac aceasta nu afecteaz claritatea desenului.

Fig.21

5. REPREZENTAREA, COTAREA I NOTAREA FILETELOR Filetele se reprezint n desenul tehnic, n mod convenional, conform unor reguli i

convenii stabilite prin SR ISO 6410-1995, acestea se noteaz i se coteaz conform SR ISO 6410/1-95, scondu-se n eviden elementele lor caracteristice.

Asamblrile prin filet se reprezint conform prescripiilor STAS 187-80 i SR ISO 6410/1-1995 (fig.22).

Fig.22.

Filete interioare Filete exterioare Filetele cu ieire

Filetele cu degajare

Filete cu scpare

- 11 -

6. REPREZENTAREA ASAMBLRILOR NEDEMONTABILE PRIN SUDUR I LIPIRE

Sudurile pot fi reprezentate detaliat, urmnd regulile generale ale desenului tehnic, sau

simplificat prin simboluri i specificaii. n general asamblrile sudate se reprezint n dou proiecii (de preferin o vedere longitudinal i o seciune transversal). Dup forma geometric a rostului n sectiune transversal a mbinrii, cele mai des ntlnite suduri pot fi centralizate ca n tabelul urmtor:

Sudur n I

Sudur n X

Sudur n U

Sudur n V

Sudur n K

Sudur n 1/2U

Pentru reprezentarea simbolic se folosete o linie de indicaie a mbinrii (1); cote i

semne convenionale; o linie de referin (2a) continu subire; o linie de referin (2b) ntrerupt subire; traseul ntrerupt poate fi trasat deasupra sau dedesubtul traseului continuu i nu se reprezint n cazul sudurilor simetrice i simbolul sudurii (3).

Simbolurile suplimentare caracterizeaz forma suprafeei exterioare a sudurii i pot completa simbolurile elementare (Fig.23).

Fig.23. Fig.24.

Nr. Forma suprafeei sudurii Simbol 1 Plan 2 Convex 3 Concav 4 Marginile sudurii, netezite prin retopire superficial

Indicaiile complementare se refer la modul de execuie al cordonului de sudur: suduri pe contur (fig. 25), suduri efectuate la montaj (fig. 26); indicarea procedeului de sudare; acesta se indic printr-un numr nscris la captul liniei de referin ntre ramurile unei bifurcaii (fig. 27). Corespondena ntre numere i procedeul de sudare se gsete n ISO 4063.

Poziia liniei de indicatie: trebuie s in seama de poziia suprafeei exterioare a cordonului de sudur, linia de indicaie trebuie s fie ndreptat spre piesa care este cu marginile pregtite (prelucrate) (fig. 28).

Fig.25. Fig.26 Fig.27 Fig.28.

- 12 -

7. REPREZENTAREA ASAMBLRILOR NEDEMONTABILE PRIN NITURI

Asamblrile prin nituire sunt construcii nedemontabile care se utilizeaz pentru

mbinarea pieselor de grosime relativ redus (table, profile, etc.). Reprezentarea i cotarea niturilor este indicat n STAS 797-80, STAS 801-80, STAS 802-80 i STAS 3165-80. Principalele tipuri de nituri standardizate sunt prezentate i notate ca n tabelul urmtor, att pentru reprezentarea obinuit ct i pentru reprezentarea simplificat prin simboluri.

Denumirea Forma nitului Exemple de notare

Reprezentare obinuit

Reprezentarea prin simboluri

Nit cu cap semirotund

Nit 20x75 STAS 797-80

Nit cu cap tronconic

Nit 12x60 STAS 801-80

Nit cu cap seminecat

Nit 12x75 STAS 802-80

Nit cu cap necat

Nit 12x60 STAS 3165-80

Notaii suplimentare: Dac nituirea se execut pe antier, capul de nit se va marca pe

desen cu un simbol sub form de stegule simplu (fig.29). Dac i gurirea pieselor de asamblat i nituirea se execut pe antier atunci capul de nit se va marca cu un stegule dublu (fig.30). n fig. 31 este dat un exemplu de ntocmire a desenului de ansamblu pentru o nituire cu dou eclise, cu niturile dispuse n patru iruri n zig-zag.

Fig. 29 Fig.30 Fig.31

- 13 -

8. REPREZENTAREA ASAMBLRILOR DEMONTABILE PRIN PENE. Penele sunt organe de maini standardizate, lor nu li se ntocmesc desene de execuie

ci numai n cazuri cu totul excepionale (penelor transversale li se ntocmesc desene de execuie nu sunt standardizate). Execuia acestor pene este fcut pe baza unor extrase din STAS-uri care le definesc forma, dimensiunile i abaterile aferente ale acestora. Desenele de execuie ale pieselor care care se mbin prin pene (butucii roilor, arborii) vor conine forma, dimensiunile i abaterile aferente canalelor n care se monteaz penele (fig.32).

Fig.32

Penele se reprezint ns n desenele de ansamblu unde sunt redate n vedere longitudinal (majoritatea fiind corpuri pline - cu excepia penelor pararele cu guri de prindere) ntr-o poriune de ruptur, unde sunt poziionate i sunt consemnate n tabelul de componen cu notaia conform standardelor care le reglementeaz forma i dimensiunile.

Reprezentarea penelor transversale i a asamblrilor acestora n fig.33 este reprezentat o asamblare cu pan transversal cu strngere i imobilizare

total. Montajul obinut poate transmite tensiuni axiale mari. Reprezentarea asamblrilor prin pene longitudinale Penele longitudinale se monteaz n dou moduri: fr strngere i cu strngere. Reprezentare penelor longitudinale i a asamblrilor cu pene fr strngere. Penele

asamblate fr strngere se monteaz totdeauna cu joc radial n butuc i nu se utilizeaz pentru asamblrile supuse la micri de rotaie alternative sau cu ocuri. n fig.34 este reprezentat o asamblarea fr strngere folosind pene paralele. Dimensiunile sunt stabilite n funcie de diametrul nominal al arborelui (d). n fig.35 este reprezentat o asamblare fr strngere folosind pene paralele cu guri de fixare.

Fig. 33 Fig.34

Fig.35 Fig.36

- 14 -

n fig.36 este reprezentat o asamblare fr strngere folosind pene disc, la care, aa cum se observ din figur, butucului i se limiteaz deplasrile axiale prin guler ntr-o parte i n partea opus prin tifturi filetate, inele de siguran sau cuple elicoidale urub piuli. Penele disc prezint avantajul c pot lua poziia dictat de nclinaia canalulului din butuc i se utilizeaz cu precdere n construcia de autovehicule i a mainilor unelte

Reprezentare penelor longitudinale i a asamblrilor acestora cu strngere. Penele folosite pentru asamblrile cu strngere sunt penele logitudinale nclinate

(fig.37, fig.38) i cele tangeniale (fig.39). Penele nclinate au faa dinspre butuc nclinat. Asamblrile cu astfel de pene prezint siguran n exploatare, pot transmite momente de torsiune mari, ns produc ovalizri, dezaxri i introduc tensiuni mari n piesele asamblate.

Fig.37 Fig.38

Penele nclinate concave se folosesc pentru dimensiuni ale arborilor i alezajelor d = 22 150 mm i se folosesc pentru momente de torsiune mici deoarece acestea sunt nglobate n canalul executat numai n butuc, iar contactul cu arborele este printr-o suprafa concav. Transmiterea momentului de torsiune se face prin frecare. Asamblrile folosind pene tangeniale pot transmite momente de torsiune foarte mari, recomandndu-se pentru montarea pe arbori a roilor de dimensiuni mari (Roile i volanii mari realizai din dou buci).

Fig.39

9. REPREZENTAREA ASAMBLRILOR DEMONTABILE PRIN CANELURI

Asamblrile prin caneluri pot fi considerate ca asamblri cu pene longitudinale

paralele multiple. Folosirea canelurilor permite obinerea att a asamblrilor fixe, ct i a celor mobile (montarea roilor baladoare pe arborii cutiilor de viteze). Reprezentarea n desen a arborilor i butucilor canelai, precum i a asamblri lor se face conform STAS 61-77 i SR EN ISO 66413-97, iar desenele de execuie ale arborilor i pieselor cu butuci canelai trebuie s corespund condiiilor generale stabilite de STAS 6857/1-85. Arborii i butucii canelai se pot reprezenta detaliat (fig.40) sau simplificat.

- 15 -

Fig. 40

Reprezentarea simplificat a canelurilor trebuie s permit transmiterea tuturor

informaiilor necesare, aa cum este prezentat n urmtorul tabel: Caneluri cu flancuri paralele Caneluri cu flancuri n evolvent i neparalele

Arb

ore

But

uc

Notarea asamblrilor prin caneluri trebuie s cuprind simbolul grafic al tipului i

notarea asamblrii specificate n standardul internatiional corespunztor. Tipul de asamblare prin caneluri se indic prin simboluri grafice.

Simbolul grafic al canelurilor cu flancuri paralele este reprezentat n fig.41.a (conform ISO 14); simbolul grafic al canelurilor cu profil n evolvent i cel al canelurilor cu flancuri neparalele este reprezentat n fig.41.b (ISO 4156).

Fig.41.

ntr-un desen de ansamblu, notarea celor dou piese trebuie s fie combinat cum se arat n fig 42 asamblare prin caneluri cu flancuri paralele i fig.43 asamblare prin caneluri cu flancuri n evolvent.

Fig.42. Fig.43.

- 16 -

10. REPREZENTAREA ROILOR DINATE I A ANGRENAJELOR Desenele de execuie ale roilor dinate trebuie s cuprind elementele necesare pentru

prelucrarea i controlul acestora. Elementele profilului de referin sunt stabilite n funcie de tipul roii dinate (STAS 821-82). Desenul de execuie se completeaz cu un tabel avnd dimensiunile i caracteristicile roii dinate reprezentate, distana intre axe, date minimale pentru roata conjugat (numrul de dini i numrul desenului de execuie), precum i indici de precizie. n fig.44 este dat un exemplu pentru o roat dinat cilindric, iar n fig.45 pentru o roat dinat conic.

Modulul m 4 Numrul de dini z 27 Diametrul de divizare d 108 Deplasarea specific x +0,600 Clasa de precizie i jocul - 7-JC Distana ntre axe A 1250,125

Roata conjugat Nr. de dini z 34 Nr. desen - ECF-4.15.24

Fig.44 Fig.45

Regulile de reprezentare a angrenajelor sunt stabilite prin STAS 734-82. n zona de

angrenare, nici una dintre roile dinate care formeaz angrenajul nu se consider acoperit de roata conjugat (fig. 46, fig.47).

n seciune longitudinal unul din dinii n angrenare va avea generatoarea sa de cap se reprezint cu linie ntrerupt. n cazul angrenajelor conice, pentru roata conic sau roile conice reprezentate n proiecie longitudinal, n vedere sau n seciune, generatoarele suprafeei de rostogolire se prelungesc pn la intersecia cu axa roii respective. Dac una din roi este reprezentat n vedere, se consider c acoper dintele de la roata conjugat reprezentat n seciune.

- 17 -

Fig.46. Fig.47.

11. REPREZENTAREA LAGRELOR Lagrele sunt organe de maini utilizate la susinerea i ghidarea arborilor i osiilor n

rotaie, care preiau fore radiale, axiale sau combinate, permind acestora micri de rotaie sau de oscilatie.

Lagre cu alunecare. Se realizeaz fie direct n corpul mainii, fie ca ansambluri separate. n fig.48 este reprezentat cea mai simpl form de lagr radial, executat ca subansamblu separat.

Lagre cu rostogolire. Reprezentarea n desen a rulmenilor este reglementat prin STAS 8953-85. Pe desenele de execuie rulmenii se reprezint simplificat sau convenional. n reprezentarea simplificat, n vedere frontal rulmentul se reprezint cu indicarea unui singur corp de rostogolire.

Fig.48

Reprezentarea simplificat n seciune longitudinal se face aa cum este exemplificat

n fig.49 fig.59, n care se indic dimensiunile elementelor componente ale principalelor tipuri de rulmeni.

- 18 -

Fig.49. - Rulment

radial cu bile pe un rnd

Fig.50. - Rulment radial-axial cu bile pe

un rand

Fig.51. - Rulment axial cu role

cilindrice pe un rnd

Fig.52. - Rulment oscilant cu bile pe

dou rnduri

Fig.53. - Rulment

radial-axial, cu role conice pe un rnd

Fig.54. - Rulment radial cu role

cilindrice pe dou rnuri

Fig.55. - Rulment radial cu ace pe un

rnd

Fig.56 - Rulment radial, oscilant, cu

role butoi pe un rnd

Fig.57 - Rulment axial cu bile

Fig.58. - Rulment axial cu role cilindrice pe un

rnd

Fig.59. - Rulment axial cu ace, cu

simplu efect

Fig.60

Reprezentarea convenional general a rulmenilor este reglementat prin STAS

8953-85 (fig.61).

Fig.61.

Notarea rulmenilor se face utiliznd un ansamblu format din simbolul de baz i

simboluluri suplimentare (prefixe i sufixe). Notarea complet a unui rulment conine simbolizarea i standardul rulmentului i se nscrie n tabelul de componen. Prin prefixe sunt simbolizate materialele altele dect oelurile pentru rulmeni din care se execut inelele i corpurile de rostogolire. Prin sufixe se indic variantele constructive ale rulmentului.

- 19 -

12. REPREZENTAREA ELEMENTELOR DE ETANARE Etanarea se face cu ajutorul garniturilor. Cele mai simple elemente folosite pentru

mobile radiale la arbori, sunt inelele din psl, montate n canale (fig.62). Alte elemente de etanare mai frecvent utilizate sunt manetele de rotaie cu buz de etanare, executate din cauciuc rezistent la uleiuri.

Fig.62

- 20 -

MECANIC 1. MOMENTUL UNUI VECTOR (FORE) N RAPORT CU UN PUNCT I N RAPORT CU O AX. CUPLUL DE VECTORI (FORE).

Momentul unui vector legat v

r

, avnd punctul de aplicaie n A n raport cu punctul O,

se definete ca fiind produsul vectorial dintre vectorul de poziie AOrr

r

= al punctului de aplicaie al vectorului i vector, adic:

vrMO

rr

r

= .

Elementele caracteristice ale momentului OMr

sunt:

- punctul de aplicaie este chiar punctul de referin O; - direcia este perpendicular pe planul determinat de vectorii r

r

i vr

; - sensul este determinat de regula burghiului drept; - mrimea este: ( ) dvsinrvv,rsinvrM

O===

rr

.

Dac vectorul v

r

este fora Fr

, atunci momentul forei Fr

are ca unitate de msur n SI (Sistemul Internaional) Nm.

Prin exprimarea analitic a vectorilor r

r

i vr

raportai la sistemul xOyz se obine:

kzjyixAOrrrrr

r

++== , kvjvivvzyx

rrr

r

++=

( ) ( ) ( )

O Ox Oy Oz

x y z

z y x z y x

i j k

M M i M j M k rxv x y z

v v v

yv zv i zv xv j xv yv k

= + + = = =

= + +

r r r

r r r rr r

r r r

cu xyOzzxOyyzOx yvxvM,xvzvM,zvyvM === . Momentul unui vector v

r

legat sau alunector n raport cu o ax () orientat prin versorul u

r

se definete ca fiind proiecia pe axa () a momentului vectorului vr

calculat n

raport cu un punct arbitrar O al axei, adic: uMMO

r

r

= .

r

r

O d

x

z

y

A(x,y,z)

()

OMv

u

r

vr

- 21 -

Dac dreapta () face unghiurile , , cu axele sistemului xOyz atunci: kcosjcosicosurrr

r

++= , situaie n care:

++== cosMcosMcosMuMM OzOyOxOr

r

.

Cuplul de vectori se definete ca fiind un sistem de doi vectori )v,v(21

rr

cu suporturile

paralele i rezultanta Rr

nul, adic: 0vvR21

r

rr

r

=+= . Momentul cuplului este:

2211OvOAvOAMrr

r

+= Cu vvv

21

rrr

== se obine:

=+= )v(OAvOAM 21Orr

r

( ) == vOAOA 21 r )v(xAAvAA

2112

rr

== Se constat c vectorul moment al cuplului

este un vector liber, adic nu depinde de punctul n raport cu care se calculeaz.

Mrimea momentului unui cuplu este: MO = M = v1d = v2d = vd ,

unde d reprezint distana dintre axele 1 i 2 (braul cuplului).

2. TORSORUL DE REDUCERE AL UNUI SISTEM DE VECTORI

Torsorul de reducere al unui sistem de vectori iv

r

cu punctele de aplicaie Ai, n,1i = n raport cu punctul O este format din:

- Rezultanta Rr

a sistemului de vectori, care se calculeaz cu relaia:

=

=n

1i

ivRr

r

;

- Momentul rezultant O

Mr

al sistemului de vectori, care se calculeaz cu relaia:

=

=n

1i

iiOvOAMr

r

.

Prin exprimarea analitic a mrimilor vectoriale fa de sistemul xOyz se obine:

kZjYiXviiii

rrr

v

++= , kzjyixOAiiii

rrr

++=

kZjYiXvkZjYiXRn

1i

i

n

1i

i

n

1i

n

1i

ii

rrr

r

rrrr

+

+

==++= === =

cu ===

===n

1i

i

n

1i

i

n

1i

iZZ,YY,XX , care reprezint proieciile rezultantei R

r

pe axele

sistemului xOyz;

A1

A2

O

d

(1)

(2)

1v

r

2v

r

OMr

- 22 -

1 1

1 1 1

( ) ( ) ( )

n n

iO Ox Oy Oz i i i ii i

i i i

n n n

i i i i i i i i i i i ii i i

i j k

M M i M j M k OA v x y z

X Y Z

y Z z Y i z X x Z j x Y y X k

= =

= = =

= + + = = =

= + +

r r r

uuurr r r r

r

r r r

cu: )YzZy(Miiii

n

1i

Ox=

=

; )ZxXz(M iiiin

1i

Oy = =

; )XyYx(M iiiin

1i

Oz = =

,

care reprezint proieciile momentului rezultant O

Mr

pe axele sistemului xOyz.

3. MOMENTE DE INERIE MECANICE PENTRU SISTEME DE PUNCTE MATERIALE. DEFINIII I RELAII NTRE ELE. VARIAIA MOMENTELOR DE INERIE N RAPORT CU AXE PARALELE (FORMULELE LUI STEINER HUYGHENS).

Momentele de inerie mecanice arat modul n care este distribuit masa unui sistem

de puncte materiale fa de diferite elemente geometrice de referin: plan, ax, punct.

Fa de sistemul xOyz se pot defini urmtoarele momente de inerie: - momente de inerie planare:

2

i

n

1i

iyOz

2

i

n

1i

ixOz

2

i

n

1i

ixOy xmJ;ymJ;zmJ ===

===

- momente de inerie axiale:

)zx(mJ);zx(mJ);zy(mJ 2i

n

1i

2

iizz

2

i

n

1i

2

iiyy

2

i

n

1i

2

iixx ===

+=+=+=

- moment de inerie polar:

)zyx(mJ 2i

n

1i

2

i

2

iiO =

++=

- momente de inerie centrifugale:

= ==

===n

1i

n

1i

iiiyziiixz

n

1i

iiixy zymJ;zxmJ;yxmJ

n SI (Sistemul Internaional) toate momentele de inerie au ca unitate de msur kgm2.

x

xi

z

y

yi

zi

Mi(xi, yi, zi) (mi)

O

ir

r

- 23 -

ntre momentele de inerie se pot stabili urmtoarele relaii:

xxzzyyyOzyyzzxxxOzzzyyxxxOy

yOzxOzzzyOzxOyyyxOzxOyxx

zzyOzyyxOzzzxOyO

yOzxOzxOyO

zzyyxx

O

JJJJ2;JJJJ2;JJJJ2

JJJ;JJJ;JJJ

JJJJJJJ

;JJJJ;2

JJJJ

+=+=+=

+=+=+=

+=+=+=

++=++

=

Se consider sistemul de puncte materiale raportat la sistemele de referin xOyz i x'Cy'z', C fiind centrul de mas al sistemului de puncte materiale, iar axele celor dou sisteme de referin sunt paralele.

ntre momentele de inerie, n raport cu cele dou sisteme de referin se pot stabili urmtoarele relaii (formulele Steiner):

- pentru momentele de inerie planare: 2 2 2

xOy x 'Cy ' C xOz x 'Cz ' C yOz y 'Cz ' CJ J M z ; J J M y ; J J M x= + = + = + .

- pentru momente de inerie axiale: 2 2 2

xx x 'x ' xx ' x 'x ' C C

2 2 2

yy y 'y ' yy ' y 'y ' C C

2 2 2

zz z 'z ' zz ' z 'z ' C C

J J M d J M (y z );

J J M d J M (x z )

J J M d J M (x y )

= + = + + = + = + +

= + = + +

- pentru momentul de inerie polar: )zyx(MJMrJJ 2C

2C

2CC

2CCO +++=+=

- pentru momentele de inerie centrifugale:

xy x 'y ' C C xz x 'z ' C C yz y 'z ' C CJ J M x y ; J J M x z ; J J M y z= + = + = +

C(xC,yC,zC)

O

x

y

z

x'

y'

z'

'

i

'

i

'

i

iii

iz,y,x

z,y,xM

(mi)

dxx'

dyy'

dzz'

xC yC

Cr

r

zC

ir

r ir

r

- 24 -

4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER Condiia necesar i suficient ca un punct material liber M s fie n echilibru este ca

rezultanta Rr

a forelor care acioneaz asupra sa s fie nul, adic:

R X i Yj Zk 0= + + =r rr r r

Prin proiectarea acestei ecuaii pe axele reperului cartezian xOyz se obine:

n n n

i i i

i 1 i 1 i 1

X X 0, Y Y 0, Z Z 0= = =

= = = = = = .

Aceste ecuaii de echilibru permit determinarea coordonatelor (x, y, z) ale poziiei de echilibru a punctului material.

5. STATICA SOLIDULUI RIGID LIBER I SUPUS LA LEGTURI Rigidul liber este rigidul care poate ocupa orice poziie n spaiu sub aciunea

sistemului de fore care acioneaz asupra sa. Condiia necesar i suficient ca un rigid liber s fie n echilibru ntr-o poziie

oarecare este ca torsorul de reducere al forelor iF, i 1,n=r

, care acioneaz asupra sa n

raport cu un punct oarecare O s fie nul, adic:

OR 0, M 0= =r r

.

innd seama de expresiile analitice ale elementelor torsorului de reducere i proiectnd ecuaiile anterioare pe axele reperului cartezian xOyz se obine:

= = =

= = =

= = = = = = = = = = = =

n n n

i i ii 1 i 1 i 1

n n n

Ox i i i i Oy i i i i Oz i i i ii 1 i 1 i 1

X X 0; Y Y 0; Z Z 0;

M (yZ z Y) 0;M (zX xZ ) 0;M (x Y yX ) 0

Aceste ase ecuaii permit determinarea celor ase parametri scalari independeni care determin poziia de echilibru a rigidului.

n cazul rigidului supus la legturi, unele micri ale acestuia sunt mpiedicate. Pentru studiul echilibrului acestuia se aplic axiomele legturilor, pe baza crora legtura este ndeprtat i nlocuit cu elemente mecanice corespunztoare (fore sau/i momente) care exprim efectul mecanic al legturii.

n aceste condiii, asupra rigidului acioneaz dou sisteme de fore: unul al forelor exterioare cunoscute, respectiv al forelor de legtur (reaciuni) necunoscute.

Prin reducerea acestor sisteme de fore n raport cu un punct O, se obine un torsor de

reducere al forelor exterioare format din rezultanta Rr

i momentul rezultant OMr

, respectiv

un torsor de reducere al forelor de legtur format din rezultanta R 'r

i momentul rezultant

OM 'r

.

Pentru echilibrul rigidului trebuie satisfcute condiiile:

0 0R R ' 0, M M ' 0+ = + =

r rr r r r

,

care proiectate pe axele reperului cartezian xOyz conduc la ase ecuaii scalare de echilibru. Din aceste ecuaii de echilibru se pot determina forele de legtur i, dac este cazul,

poziia de echilibru. Dac numrul necunoscut este mai mare dect 6, problema este static nedeterminat.

- 25 -

Dac toate forele exterioare sunt n plan, numrul ecuaiilor scalare ce se obin este 3. Deci problema este static determinat, dac are 3 necunoscute.

Legturile rigidului sunt: - reazemul simplu care introduce o necunoscut (reaciunea normal); - articulaia care introduce trei necunoscute; - ncastrarea care introduce ase necunoscute; - legtura cu fir care introduce o singur necunoscut, valoarea efortului din fir,

direcia fiind n lungul firului. n cazul forelor plane, articulaia introduce 2 necunoscute, iar ncastrarea 3

necunoscute.

6. TRAIECTORIA. VITEZ. ACCELERAIE. Traiectoria reprezint locul geometric al poziiilor succesive ocupate n timp de un punct

material mobil n spaiu. Fie r r(t) OM= =uuur

r r

vectorul de poziie al punctului material M. Ecuaia vectorial a traiectoriei are forma:

0 1r r(t), t t , t= r r

Se admite n general c funcia r r(t)=r r

este continu, uniform i derivabil pe intervalul [t0, t1], deoarece discontinuitile traiectoriei nu au sens fizic.

Viteza medie a punctului material M n intervalul [t, t=t+t] se definete prin relaia vectorial:

m

r(t ') r(t) rv

t ' t t

= =

r r r

r

.

Viteza instantanee a punctului material M la momentul t se definete prin relaia vectorial:

mt ' t t 0

r(t ') r(t) drv v(t) lim lim v r(t)

t ' t dt

= = = = =

r r rr r r r& .

Acceleraia medie a punctului material M n intervalul [t, t=t+t] se definete prin relaia vectorial:

m

v(t ') v(t) va

t ' t t

= =

r r r

r

.

Acceleraia instantanee a punctului material M la momentul t se definete prin relaia vectorial:

2

m 2t ' t t 0

v(t ') v(t) dv d ra a(t) lim lim a v(t) r(t)

t ' t dt dt

= = = = = = =

r r r rr r r r r& && .

n SI (Sistemul Internaional) viteza are ca unitate de msur ms-1, iar acceleraia ms-2.

rr

O

M

M

MO

()

r(t)r

r(t ')r

v(t)r

v(t ')r

- 26 -

7. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL N SISTEMUL DE COORDONATE CARTEZIENE FIX (XOYZ)

Poziia punctului material M pe traiectoria () la momentul t este determinat de

vectorul de poziie rr

dat de relaia:

r r(t) OM x(t)i y(t)j z(t)k= = = + +uuur rr rr r

, unde x=x(t), y=y(t), z=z(t), reprezint ecuaiile parametrice ale traiectoriei punctului material.

Prin eliminarea timpului t din aceste ecuaii se obine ecuaia traiectoriei n sistemul cartezian, care este curba de intersecie a dou suprafee de ecuaii:

1 2(x,y,z) 0; (x,y,z) 0 = =

Viteza vr

a punctului material este:

x y zv v i v j v k r(t) x i yj zk= + + = = + +

r rr r r rr r& & & &

cu x y z

v x,v y,v z= = =& & & , care reprezint proieciile vitezei punctului pe axele sistemului cartezian.

Mrimea vitezei este dat de relaia: 2 2 2 2 2 2

x y zv v v v x y z= + + = + +r

& & &

Acceleraia punctului material este:

x y za a i a j a k v(t) r(t) x i yj zk= + + = = = + +

r rr r r rr r r& && && && && ,

cu x y z

a x,a y,a z= = =&& && && , care reprezint proieciile acceleraiei punctului pe axele sistemului cartezian.

Mrimea acceleraiei este dat de relaia: 2 2 2 2 2 2

x y za a a a x y z= + + = + +r

&& && &&

8. GRADE DE LIBERTATE PENTRU SOLIDUL RIGID

jr

X

Z

Y O

M(x,y,z)

()

ir

kr

rr

1jr

ir

1ir

or

r

1jr

Xo

Zo

Yo O1

M

(T1)

1ir

1kr

O

z

Z1

y

Y1

x X1

jrk

r

1kr

rr

1r

r

(T0)

(S.R)

(T)

- 27 -

Un solid rigid liber are n spaiu ase grade de libertate, care se pot introduce ca: - fie trei translaii i trei rotaii n lungul i n jurul axelor reperului (T0); - fie trei rotaii i trei translaii n jurul i n lungul axelor reperului (T0);

9. DISTRIBUIA (CMPUL) VITEZELOR I ACCELERAIILOR PENTRU SOLIDUL RIGID

Distribuia vitezelor pentru un solid rigid este dat de relaia:

M 0v v r, M S.R, r OM= + =

uuur

r r r rr

,

cunoscut sub numele de formula Euler, unde:

Mv

r

- viteza punctului MS.R;

0vr

- viteza originii O a reperului mobil (T);

r - viteza unghiular absolut, instantanee a solidului rigid; r OM=

uuur

r

- vectorul de poziie al punctului M fa de reperul mobil (T). Distribuia de acceleraii pentru solidul rigid este dat de relaia:

M 0a a r ( r), M S.R= + + r r r r

r r r

,

cunoscut sub numele de formula Rivals, unde:

Mar

- acceleraia punctului MS.R;

0ar

- viteza originii O a reperului mobil (T);

r - acceleraia unghiular absolut, instantanee a solidului rigid;

10. CINEMATICA (MICAREA) SOLIDULUI RIGID CU AX FIX. LEGEA DE MICARE. DISTRIBUIA DE VITEZE I DE ACCELERAII.

Un solid rigid execut o micare de

rotaie cu ax fix atunci cnd n tot timpul micrii dou puncte ale sale rmn fixe n spaiu. Dreapta care unete cele dou puncte este axa de rotaie a solidului rigid.

Prin raportarea rigidului la cele dou repere astfel ca axa Ox=On (linia nodurilor), gradul de libertate al rigidului este unghiul de precesie Euler dat de relaia: (t) = , care reprezint i legea de micare a rigidului cu ax fix.

Viteza unghiular are direcia axei de rotaie i expresia dat de relaia:

1 1(t) k k (t)k (t)k = = = = =

r r r rr r& &

adic este derivat n raport cu timpul a legii de micare a rigidului.

Mrimea vitezei unghiulare este:

= = r & .

M(x,y,z)

O=O1

Z1=z

X1

O

S.R

y

Y1 1jr

1k k=r r

jr

r rr

ir1

ir

r

d

- 28 -

Viteza punctului MS.R. se determin cu relaia:

M x y z 0v v i v j v k v r= + + = +

rr r

r r rr

innd seama de faptul c (t) = r r , 0

v 0=r

(deoarece punctul O este fix),

r x i yj zk= + +rr r

r

, relaia anterioar devine:

M x y z

i j k

v v i v j v k r 0 0 y i x j

x y z

= + + = = = +

rr r

rr r r r

r rr

.

Rezult: vx=-y, vy=x, vz=0, care reprezint proieciile vitezei punctului M pe axele reperului

mobil (ataat rigidului). Mrimea vitezei punctului M este dat de relaia:

2 2 2 2 2

M x y zv v v v x y d= + + = + = r

,

unde d reprezint raza cercului descris de punctul M n micare de rotaie. Pe baza relaiilor anterioare se poate concluziona c viteza oricrui punct ce aparine

rigidului n micare de rotaie este situat ntr-un plan perpendicular pe axa de rotaie. Acceleraia unghiular a rigidului are direcia axei de rotaie i expresia dat de relaia:

1 1 1(t) k k (t)k (t)k (t)k k = = = = = = =

r r r r r rr& & && && ,

adic este derivata n raport cu timpul a vitezei unghiulare sau derivata a doua n raport cu timpul a legii de micare a rigidului.

Mrimea acceleraiei unghiulare este:

= = = r & && Acceleraia punctului MS.R. se determin cu relaia:

M x y z 0a a i a j a k a r ( r)= + + = + +

rr rr r r r

r r r

.

innd seama de faptul c: 0

a 0=r

r

(deoarece punctul O este fix), k, k = = r r

r r

,

r x i yj zk= + +rr r

r

, relaia anterioar devine:

= + + = + = + =

= +

r rr r r r

rr rr r r

r r r

r r

M x y z

2 2

i j k i j k

a a i a j a k r ( r) 0 0 0 0

x y z y x 0

( y x )i (x y )j

Rezult: 2 2

x y za y x ;a x y ;a 0= = = ,

care reprezint proieciile acceleraiei punctului M pe axele reperului mobil (ataat rigidului). Mrimea acceleraiei punctului M este dat de relaia:

2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4

M x y za a a a (x y ) (x y ) d= + + = + + + = + r

.

Pe baza relaiilor anterioare se poate concluziona c acceleraia oricrui punct ce aparine rigidului aflat n micare de rotaie este coninut ntr-un plan perpendicular pe axa de rotaie.

Observaie Punctele de vitez i acceleraie nul se gsesc pe axa de rotaie a rigidului.

- 29 -

11. LUCRUL MECANIC ELEMENTAR CORESPUNZTOR UNEI FORE F

r

CE ACIONEAZ ASUPRA UNUI PUNCT MATERIAL M I DEPLASRII ELEMENTARE Drr A ACESTUIA. DEFINIIE, RELAII DE CALCUL, UNITI DE MSUR.

Lucrul mecanic elementar corespunztor forei F

r

ce acioneaz asupra punctului M i deplasrii elementare dr

r

a acestuia se definete ca fiind produsul scalar dintre fora Fr

i deplasarea elementar dr

r

, adic:

dL F dr= r

r

innd seama de faptul c:

dr v dt= r r

, relaia anterioar devine:

dL F v dt= r

r

. Cu expresiile analitice ale forei F

r

i deplasrii elementare drr

fa de reperul cartezian x0yz date de relaiile:

x y zF F i F j F k= + +

rr r r

; dr dx i dy j dz k,= + + rr r

r

expresia lucrului mecanic elementar devine:

x y zdl F dr F dx F dy F dz= = + +

r

r

Lucrul mecanic este o mrime scalar care are ca unitate de msur n Sistemul Internaional, Joule.

SIL J= .

12. PUTERE. DEFINIIE, RELAII DE CALCUL. UNITATE DE MSUR.

Puterea se definete ca fiind lucrul mecanic efectuat n unitatea de timp. Atunci cnd

fora sau momentul sunt constante n timp, relaia de calcul este: L

Pt

= ,

iar atunci cnd fora sau momentul sunt variabile n timp, relaia de calcul este: dL

Pdt

=

innd seama de expresia lucrului mecanic elementar, se obine:

F drP F v

dt

= = r

r

r

r

,

respectiv:

M dP M

dt

= = r r

r

r

n Sistemul Internaional, puterea are ca unitate de msur wattul.

SIP W=

- 30 -

13. ENERGIA CINETIC. DEFINIIE, RELAIE DE CALCUL, UNITATE DE MSUR.

Energia cinetic este o mrime scalar strict pozitiv care caracterizeaz starea de

micare a punctului material la un moment dat. Pentru un punct material M de mas m i vitez v

r

, energia cinetic se definete prin relaia:

21T mv

2=

r

.

n Sistemul Internaional, energia cinetic are ca unitate de msur joule:

SIT J=

14. IMPULSUL. MOMENTUL CINETIC. RELAII DE CALCUL, UNITI DE MSUR.

Un punct material M de mas m se deplaseaz pe traiectoria (), avnd la momentul t

viteza vr

.

Vectorul Hr

coliniar cu viteza vr

definit prin relaia:

H mv=r

r

, se numete impulsul punctului material M.

Unitatea de msur este: 1

SIH kg m s =

Momentul cinetic al punctului material n

raport cu punctul O se definete ca fiind un vector

0kr

dat de relaia:

0k r H r mv= = r r

r r r

,

care reprezint momentul vectorului impuls Hr

n raport cu punctul O. Unitatea de msur este:

2 1

0 SIK kg m s = .

15. TEOREMA ENERGIEI CINETICE. ENUN. Variaia energiei cinetice n intervalul elementar de timp dt este egal cu lucrul

mecanic elementar efectuat n acelai interval de timp, de ctre rezultanta forelor care acioneaz asupra punctului material studiat, adic:

dT=L. Prin integrarea acestei relaii se obine teorema energiei cinetice sub form finit care

are expresia: T1-T0=L01,

z

M(x,y,z)

(

y

x

r

r

v

r

Hr

0kr

m

- 31 -

adic diferena dintre energia cinetic n poziia final i energia cinetic n poziia iniial este egal cu lucrul mecanic efectuat de forele care acioneaz asupra punctului material ntre cele dou poziii.

16. ECUAIILE DIFERENIALE ALE MICRII PUNCTULUI MATERIAL.

Ecuaia fundamental a dinamicii punctului material (ecuaia Newton) are forma:

ma F=r

r

. Ecuaia diferenial a micrii punctului material scris sub form vectorial este:

mr F(t,r,r)=rr r r&& & .

Prin proiectarea acestei ecuaii pe axele reperului cartezian se obin ecuaiile difereniale sub form scalar ale micrii punctului material, care au forma:

x x y y z zma F , ma F , ma F= = = ,

sau

x y zmx F , my F , mz F= = =&& && && ,

unde: x y zF , F , F - reprezint proieciile pe axele reperului cartezian ale rezultantei F

r

a

forelor care acioneaz asupra punctului material.

- 32 -

REZISTENA MATERIALELOR I TEORIA ELASTICITII 1. DIAGRAME DE EFORTURI SECIONALE

- Diagrame de eforturi secionale N, T, M, pentru grinzi drepte, cu sarcini concentrate

i sarcini uniform distribuite; - Diagrame de eforturi secionale N, T, M, pentru cadre plane, cu sarcini concentrate

i sarcini uniform distribuite;

2. SOLICITRI AXIALE - Uniti de msur:

- fore: N, kN, kgf, tf; 1N=1kg1m/s2; 1kgf=9,81N; - momente: Nm, Nmm, kgfcm, kgfm;

- putere: 3060

2 nn == , = tMP ;

,55,930

n

P

n

PPM t ===

([P]=kW, [Mt]=kNm, Nmm, 1kW=1,36CP);

- tensiuni: [,]=1MPa=1N/mm2, 1Pa=1N/m2, kgf/cm2; - modul de elasticitate longitudinal E, modul de elasticitate transversal G, n N/mm2;

- Solicitri axiale simple:

- formula fundamental: A

N= ;

- aspecte de aplicare: verificare, dimensionare, determinare sarcin capabil;

- deformaii: EA

lNl

= ;

- Efectul greutii proprii la solicitri axiale:

- bare cu seciune constant: l

PA

anec

=

, lA

lG

P

l

+= 2 ;

- bare de egal rezisten:

- varianta teoretic: ( )x

a

aeP

xA

=

;

- varianta n trepte: ( )( ) ( ) ( )iaaa

ia

ia

aii lll

P

l

AA

=

=

...21

11 ;

3. CARACTERISTICI GEOMETRICE DE SUPRAFA

- Aria unei seciuni transversale: ( )=S

dAA ; [A]=mm2, m2;

- dreptunghi: hbA = ;

- 33 -

- triunghi: 2

hbA

= ;

- cerc: 4

22 drA

== ;

- Momente statice: ( ) =S

y dAzS ; ;Cy zAS = ;Cz yAS = [S]=mm3, m3;

=

=

=

=

=

ni

ii

ni

iiCi

C

A

zAy

1

1,

,

=

=

=

=

=

ni

ii

ni

iiCi

C

A

yAz

1

1,

;

- Momente de inerie: ( )( )( )

+====S S S

zyOzy IIdArIdAyIdAzI222 ,, ;

( ) =S

yz dAzyI ; [I]=mm4, m4;

- seciuni elementare: - dreptunghi: 12

,12

33 bhI

hbI

CC zy

== ;

- triunghi: 36

,12

33 hbI

hbI

Cbaz yy

== ;

- cerc: 32

2,644

444 dII

drII yOzy

===== ;

- coroan circular cu diametrele d i D: ( ) ( )

32;

64

4444 dDI

dDII Ozy

== ;

- Module de rezisten: maxmaxmax

;;r

IWW

y

IW

z

IW OpO

zz

yy === ;

- seciuni elementare: - dreptunghi: 6

,6

22 bhW

hbW zy

== ;

- triunghi: 24

2hbWy

= ;

- cerc: 16

,324

333 dWW

drWW pOzy

==== ;

- coroan circular cu diametrele d i D: ( ) ( )

D

dDW

D

dDWW Ozy

==

16;

32

4444 ;

- Variaia momentelor de inerie n raport cu axe paralele; formulele lui Steiner: OyzCyz- sistem de axe central; O1y1z1- sistem cu axe paralele fa de sistemul Oyz: d(z,z1)=a, d(y,y1)=b;

AdIIC

+= 2 : ( ) 2122

22

111

1111;;;

OOAIbaAIIIII

baAIIaAIIbAII

OzyzyO

yzzyzzyy

+=+++=+=

+=+=+=.

- 34 -

4. SOLICITAREA DE RSUCIRE A BARELOR DREPTE CU SECIUNE CIRCULAR I INELAR

- relaia general de calcul a tensiunii tangeniale pentru rsucire, formula lui Navier:

p

t

I

rM = ; - variaie liniar pe seciunea transversal;

- formula fundamental la rsucire: ,p

t

W

M= pentru r=rmax;

- aspecte de aplicare: verificare, dimensionare, determinare moment capabil;

- rsucirea specific: ,p

t

IG

M

= n rad/m;

- unghiul total de rsucire:

==l l p

t

IG

dxMdx ,sau

p

t

IG

lM

= ,la Mt=ct.,

GIp=ct.; - calculul de rezisten al arcurilor elicoidale:

- predimensionare: 316

a

RPd

= ;

- verificare la solicitarea compus de rsucire i forfecare:

at

ftft R

d

d

RP

d

P

d

RP

+=

+

=

+

=+= 1

41

16

416

323max, unde:

t- tensiunea tangenial la rsucire (torsiune), f- tensiunea tangenial la forfecare (tiere); - calculul de deformaie al arcurilor elicoidale:

- sgeata: 4

3

4

3 64,

64

dG

nRPfsau

dG

nRPf

=

= ;

- caracteristica elastic a arcurilor elicoidale: fKP = ;

- constanta elastic a arcului: nR

dGK

=

3

4

64;

- nlimea n stare liber a arcului elicoidal: ( ) fsndnH ++= 1 , n care: d- diametrul srmei arcului, n- numrul de spire, R- raza medie de nfurare a arcului, s- spaiul ntre spire, i sd/4, G- modulul de elasticitate transversal, respectiv P- fora de solicitare a arcului.

5. SOLICITAREA DE NCOVOIERE A BARELOR DREPTE

- ncovoierea pur; tensiuni normale, formula lui Navier la ncovoiere: y

y

I

zM = ;

- formula fundamental la ncovoiere: y

y

W

M= , pentru z=zmax;

- aspecte de aplicare: verificare, dimensionare, determinare moment de ncovoiere capabil;

- 35 -

- tensiuni tangeniale care apar la ncovoiere, formula lui Juravschi: y

yxz Ib

ST

= ;

- bare de egal rezisten la ncovoiere:

- lime constant, grosime variabil: xb

Pz

a

=

62 ;

- lime variabil, grosime constant: xh

Py

a

=2

6.

6. TEORII CLASICE DE REZISTEN - tensiuni normale principale n starea plan i liniar de solicitare:

222,1 42

1

2 += ;

- tensiuni tangeniale principale n starea plan i liniar de solicitare: 22

2,1 42

1 += ;

- teorii clasice de rezisten (de rupere):

aech ++==22

11, 45,05,0 ;

aech ++==22

212, 465,035,0 ;

aech +==22

213, 4 ;

aech +=+=22

2122

214, 6,22 ;

aech +=+=22

2122

215, 3 .

7. SOLICITRI COMPUSE - solicitri compuse numai cu tensiuni normale:

- solicitare axial cu ncovoiere:

( ) ( )a

y

yyi

Nt I

zM

A

N

+=+= ;

- solicitare de ntindere sau compresiune excentric:

( ) ( ) ( )a

zyz

z

y

yzi

yi

Nt

i

yy

i

zz

A

P

I

yM

I

zM

A

N

+

+=

+

+=++=

20

201 ,

unde: P- fora de solicitare excentric; (y0,z0)- coordonatele punctului de aplicaie al forei P; A- aria seciunii transversale a grinzii; My=Pz0 momentul de ncovoiere dup axa Oy; Mz=Py0 momentul de ncovoiere dup axa Oz; iy, iz- razele de inerie ale seciunii transversale raportate la axele Oy, respectiv Oz; (y,z)- coordonatele curente ale unui punct oarecare care aparine seciunii transversale.

- 36 -

- solicitri compuse cu tensiuni normale i tensiuni tangeniale: - pentru tensiuni normale:

( )A

NNt = , la solicitri axiale;

( ) ( )

z

zzi

y

yyi W

Msau

W

M== , , la solicitri de ncovoiere;

itrez += , - tensiunea normal rezultant; - pentru tensiuni tangeniale:

A

Tf = , la solicitarea de forfecare;

y

yi Ib

ST

= , formula lui Juravschi, pentru solicitarea de ncovoiere;

p

tt W

M= , la solicitarea de torsiune (rsucire);

tifrez ++= , - tensiunea tangenial rezultant; Tensiunea echivalent, ech, la solicitarea compus se calculeaz cu una din teoriile de

rupere; - caz particular pentru arborii cu seciune circular sau inelar, supui la ncovoiere i

rsucire, n care se poate efectua i dimensionare:

y

t

p

tt

y

ii W

M

W

M

W

M

===

2, , ( yp WW = 2 ),

,,, ay

iechiech W

M = sau

a

iechnecy

MW

,

, = , pentru i=1, 2, 3, 4, 5, unde:

221, 5,05,0 tiiech MMMM ++= ,

222, 65,035,0 tiiech MMMM ++= ,

223, tiech MMM += ,

224, 65,0 tiech MMM += ,

225, 75,0 tiech MMM += .

8. CALCULUL DEFORMAIILOR PRIN METODE ENERGETICE - energia potenial de deformaie pentru solicitri simple:

=

l

AE

dxNU

0

2

2, pentru solicitri axiale;

=

l

AG

dxTKU

0

2

2, pentru solicitarea de forfecare,

K=6/5- seciuni dreptunghiulare, K=10/9- seciuni circulare;

=l

y

yi

IE

dxMU

0

2,

2, pentru solicitare de ncovoiere, (dup axa Oy);

- 37 -

=l

p

t

IG

dxMU

0

2

2, pentru solicitarea de torsiune.

- lucrul mecanic al sarcinilor exterioare:

= PL2

1, solicitri axiale, - deplasarea punctului de aplicaie al forei de

solicitare P;

iiML = 21

, solicitri de ncovoiere, i- unghiul de rotire al unei seciuni

transversale produs de momentul ncovoietor de solicitare Mi;

ttML = 21

, solicitri de rsucire,

t- unghiul relativ de rotire al unei seciuni transversale produs de momentul de rsucire Mt;

( ) ( ) +++++= zzyyxx MMMwZvYuXL 21

2

1, caz

general, unde: kZjYiXP ++= , kmjMiMM zyx ++= ,

kwjviu ++= , kji zyx ++= , sunt sarcinile i deformaiile n funcie de componentele corespunztoare;

- teorema reciprocitii lucrului mecanic i al deplasrilor:

1,22,1 LL = , sau 1,22,1 ww = : "lucrul mecanic produs de fore din prima stare de solicitare cu deplasri din a

doua stare de solicitare este egal cu lucrul mecanic produs de fore din a doua stare de solicitare cu deplasri din prima stare de solicitare", sau

"deplasarea produs n seciunea I de ctre o for unitar aplicat n seciune II este egal cu deplasarea produs n seciunea II de ctre fora unitar aplicat n seciunea I ";

- metoda Mohr-Maxwell pentru determinarea deplasrilor:

( )

=l

dxAE

nN - la solicitri axiale;

( )

=

l y

yiyi dxIE

mM ,, - la solicitarea de ncovoiere;

( )

=

l p

tt dxIG

mM - la solicitarea de torsiune (rsucire);

unde: N, Mi, Mt- sunt fora axial, momentul ncovoietor, respectiv momentul de torsiune, pentru ncrcarea real, iar n, mi, mt, reprezint fora axial, momentul ncovoietor, sau momentul de rsucire, atunci cnd se ndeprteaz toate sarcinile exterioare i se solicit cu o sarcin unitar n seciunea n care se cere deformaia;

- teorema lui Castigliano:

( )dx

P

N

AE

N

Kl

= deplasarea produs la solicitri axiale n dreptul forei

PK;

- 38 -

( )dx

P

M

IE

M

l K

i

y

iK

=

deplasarea la solicitri de ncovoiere n dreptul forei PK;

( )dx

M

M

IE

M

l K

i

y

iK

= - unghiul de rotire al unei seciuni transversale K la

solicitarea de ncovoiere unde se aplic momentul MK;

( )dx

M

M

IE

M

l Kt

t

p

tK

=

,

- unghiul relativ de rsucire n seciunea K unde

acioneaz momentul de torsiune Mt,K;

9. SOLICITRI DE OBOSEAL - curba de durabilitate Whler; - rezistena la oboseal, R; - diagrame simplificate ale rezistenelor la oboseal: Goodman- Soderberg, Serensen; - factorii care influeneaz rezistena la oboseal: concentratori de tensiune,

dimensiunea piesei, calitatea suprafeei piesei, RpR K

=, , n care: R,p- rezistena la

oboseal a unei piese reale solicitat cu coeficientul de asimetrie R, respectiv R- rezistena la oboseal a unei piese etalon solicitat cu coeficientul de asimetrie R;

- coeficientul de siguran la oboseal prin metoda Soderberg (Goodman):

2,01

1

p

mv

R

Kc

+

=

;

- coeficientul de siguran la oboseal prin metoda Serensen:

11

1

+

=

mvK

c , unde 0

012

= - coeficient de material.

- 39 -

MECANISME 1. CUPLE CINEMATICE: DEFINIIE I CLASIFICARE

Definiia. Cupla cinematic este denumirea dat legturii de contact impus la dou

elemente cinematice. Reprezentnd asocierea dintre dou elemente, cupla cinematic are drept scop: a) de a permite unele micri relative, precum i de a mpiedica unele micri relative

ntre elemente; b) de a transmite o aciune mecanic ntre cele dou elemente, egal n mrime i

avnd aceeai direcie cu reaciunea invers. Clasificarea cuplelor cinematice Cuplele cinematice se clasific din mai multe puncte de vedere: I. Din punct de vedere al mrimii zonei de contact: a) cuple inferioare la care contactul se realizeaz dup o suprafa; b) cuple superioare la care contactul se realizeaz dup o curb sau un punct. II. Din punct de vedere al contactivitii (al caracteristicilor geometrice ale zonelor de

contact i ale contactului direct), ntlnim cuple a cror descriere este simbolizat astfel: a) SS - S; SS - C; SS - P; b) SC - C; SC - P; c) CC- C; CC - P;

unde cu S s-a notat suprafaa, cu C - curba, iar cu P - punctul. III. Din punct de vedere al permanenei legturii de contact: a) Cuple permanente - cnd cupla subzist n orice moment al intervalului de

observare a micrii; b) Cuple instantanee - cnd cupla subzist numai la anumite momente ale intervalului

de observare; c) Cuple variabile - cnd natura legturii se schimb n intervalul de observare. IV. Din punct de vedere constructiv: a) Cuple nchise - care necesit demontri sau distrugerea unor elemente pentru

desfacerea cuplei; b) Cuple deschise - la care meninerea contactului se datoreaz aciunii unor fore: de

greutate, pneumatice, elastice, electromagnetice. Cnd aciunea forei nceteaz, contactul dintre elemente dispare, deci cupla nu mai exist.

V. Din punct de vedere al caracteristicilor rototranslaiei relative a elementelor: a) Cuple plane - elementele execut micri n acelai plan sau n plane paralele; b) Cuple spaiale - elementele execut micri n spaiu. VI. Din punct de vedere al conectivitii (al caracteristicilor cinematice ale cuplelor).

Exist dou criterii distincte de clasificare: a) Criteriul legturilor (Malev) - se face clasificarea n cinci clase, o cupl de clasa k

corespunznd la k legturi scalare independente impuse celor dou elemente care formeaz cupla. Deci k este egal cu numrul de posibiliti de micare sustrase;

b) Criteriul mobilitii (Reuleux) - se face clasificarea n cinci clase, o cupl de clasa corespunznd la grade de libertate existente n micarea relativ a elementelor.

- 40 -

Este evident relaia de legtur ntre k i : 6k =+

2. LANUL CINEMATIC: DEFINIIE I CLASIFICARE Lanul cinematic este o mulime de elemente cinematice conectate prin cuple

cinematice. Clasificrile lanurilor cinematice se fac n funcie de mai multe criterii: I. Lanuri: a) deschise - care prezint cel puin un element cu clasa 2j< ; b) nchise - dac toate elementele au clasa 2j . II. Lanuri: a) plane - micarea tuturor elementelor se desfoar ntr-un plan sau n plane paralele; b) spaiale - micarea cel puin a unui element se desfoar n spaiu. III. Lanuri: a) simple - dac orice element al lanului are clasa 2j ; b) complexe - dac exist cel puin un element al lanului cu clasa 2j > . IV. Lanuri: a) desmodrome - cu micri precizate ale tuturor elementelor; b) nedesmodrome - cu micri neprecizate ale cel puin unui element al lanului.

3. DEFINII MECANISMUL I GRADUL DE MOBILITATE AL ACESTUIA. SCRIEI FORMULA GRADULUI DE MOBILITATE PENTRU MECANISMELE PLANE DE FAMILIA F=3.

Definiie. Mecanismul este lanul cinematic nchis desmodrom n raport cu baza

(elementul fixat). Deci, ele prezint n componen: -un element fix (baza, asiul, batiul); -elemente conductoare (elemente cu micri independente, care primesc micarea din

afara mecanismului); -elemente conduse (elemente cu micri dependente de micrile elementelor

conductoare). Definiie. Gradul de mobilitate al unui mecanism este egal cu numrul gradelor de

libertate pe care le au elementele mecanismului n raport cu elementul fix. n cazul cel mai general, cnd mecanismul se leag la baz prin cuple de clasa a V-a,

care ofer o singur posibilitate de micare, gradul de mobilitate este egal cu numrul micrilor independente primite din exterior de mecanism, adic cu numrul elementelor conductoare.

45 CC2n3 =3M ; unde: n - numrul elementelor mobile;

C5 - numrul cuplelor cinematice de clasa a cincea; C4 - numrul cuplelor cinematice plane superioare de clasa a patra.

- 41 -

4. GRUPE CINEMATICE DE TIP DIADE: DEFINIIE I CLASIFICARE

Definiie. Grupa structural (sau grupa cinematic) este lanul cinematic cu gradul de

mobilitate egal cu zero. Din definiie rezult c introducerea sau sustragerea unei grupe structurale din lanul

cinematic al unui mecanism nu modific gradul de mobilitate al acestuia. Diadele sunt grupe structurale de clas egal cu 2, iar ordinul lor este egal cu 2 pentru

c prezint dou cuple cinematice terminale cu care se leag ntr-un lan cinematic. n funcie de tipul cuplelor cinematice (R sau T) i de dispunerea lor n grup, diadele

se clasific n 5 categorii sau aspecte: a) Diade de aspectul I (RRR); b) Diade de aspectul al II-lea (RRT); c) Diade de aspectul al III-lea (RTR); d) Diade de aspectul al IV-lea (TRT); e) Diade de aspectul al V-lea (RTT).

5. S SE SCRIE ECUAIILE DE POZIII I ECUAIILE VITEZELOR PENTRU ELEMENTUL CONDUCTOR CU MICARE DE ROTAIE. S SE PRECIZEZE CARE ESTE DIRECIA I SENSUL VITEZEI PUNCTULUI B AL ELEMENTULUI.

Se raporteaz elementul conductor la un sistem triortogonal xOyz . Se aplic metoda

contururilor:

Fig. 1

Ecuaiile de poziie:

+=+=

1ABAB

1ABAB

sinlyy

coslxx,

unde: Ax , Ay - constante; ABl - constant; 1 - variabil. Se deriveaz ecuaiile de poziii n raport cu timpul i rezult ecuaiile vitezelor:

+=

=

11ABAB

11ABAB

coslyy

sinlxx,

unde 1

= 1 este viteza unghiular a elementului conductor.

- 42 -

Vectorul

Bv se afl n planul yOx , are direcia perpendicular pe planul celor doi

vectori care l determin, practic este perpendicular pe vectorul

=ABr i are sensul identic

cu sensul lui1 .

6. S SE FIGUREZE DIADA RRR I S SE SCRIE ECUAIILE DE POZIII CORESPUNZTOARE

Fig. 2

Ecuaiile de poziie: Se cunosc: Ax ; Ay ; Cx ; Cy - variabile; ABl ; BCl - constante. Se calculeaz: Bx ; By ; j ; k .

+=+=+=+=

kBCCjABAB

kBCCjABAB

sinlysinlyy

coslxcoslxx

7. S SE SCRIE ECUAIILE DE POZIII I ECUAIILE VITEZELOR PENTRU DIADA RRT - CAZ PARTICULAR DIN FIGUR.

Ecuaiile de poziii: cos

sin

= = + = = + =

R T

R T

E E D DE

E E D DE a

x x x l

y y y l l

DB x

y

lBaB

EBRBEBT (4

(5)B

B

- 43 -

Necunoscute: ; =R TE E

x x .

Din a doua ecuaie se obine unghiul i apoi se determin abscisa cuplei E, din prima ecuaie.

Ecuaiile vitezelor:

4

sin

cos 0R T

R T

E E D DE

E E D DE

x x x l

y y y l

= = = = = + =

&& & &

&&& & &

Necunoscute: ; = && &R TE E

x x .

8. S SE SCRIE EXPRESIA FOREI DE INERIE I EXPRESIA MOMENTULUI DE INERIE ALE UNUI ELEMENT CINEMATIC, BD, NOTAT CU (2) DE TIP BAR, CU SECIUNE CONSTANT I S SE FIGUREZE ACESTE MRIMI N FUNCIE DE COMPONENTELE ACCELERAIEI AG I A ACCELERAIEI UNGHIULARE A ELEMENTULUI, CONSIDERATE CUNOSCUTE CA MRIME, DIRECIE I SENS.

22 2

2

inx 2 G2in 2 G

iny 2 G2

F m xF m a

F m y

= = =

&&uuuur uuuur

&&

2 2 22 2

in inx inyF F F= +r

2 2in G 2M I = uur uur

unde: KG

auuuur

- este vectorul acceleraiei centrului de greutate GK al elementului k;

kG

x

; kG

y

- sunt componentele pe axe ale vectorului KG

auuuur

;

jj =

- este acceleraia unghiular a centrului de greutate al elementului k;

2

D

C

B

GB2 2Gx&&

2Gy&& 2Ga

2inxF

2inyF 2

inFin 2Muuuur

(2)

- 44 -

2 2

2 22G echiv 2

mI L h

12 = +

- este momentul de inerie mecanic al elementului k;

calculate n raport cu axa perpendicular pe planul elementului, ax care trece prin GK.

9. S SE FIGUREZE NECUNOSCUTELE CINETOSTATICE ALE UNUI ELEMENT CONDUCTOR CU MICARE DE ROTAIE CU VITEZ UNGHIULAR CONSTANT, AB, I S SE SCRIE SISTEMUL DE ECUAII DE ECHILIBRU STATIC NECESAR DETERMINRII ACESTORA.

Exist 4 necunoscute: x y x y01 01 e e

P ,P ,P ,P .

Sistemul de ecuaii de echilibru static este:

X

Y

(1)

(1)

e

e

(1)(A)

X 0

Y 0

P tg

P

M 0

= = = =

X X1 X X

Y Y1 Y Y

X

Y

1

01 in e 21

01 in e 1 21

e

e

1 in e

1)P F P P 0

2)P F P G P 0

P3)tg

P

4)AGxG AGxF AGxP AB

+ + =

+ =

=

+ + +uuur uuur uuur uuurr r r

21xP 0

=

r

unde ecuaia vectorial 4) poate fi scris cu ajutorul determinanilor, astfel:

X1 Y1

G A G A G A G A

1 in in

i j k i j k

4) X X Y Y 0 X X Y Y 0

0 G 0 F F 0

+ +

r r r r r r

X Y X Y

G A G A B A B A

e e 21 21

i j k i j k

X X Y Y 0 X X Y Y 0 0

P P 0 P P 0

+ + =

r r r r r r

- 45 -

10. S SE FAC ANALIZA CINETOSTATIC A DIADEI DE ASPECTUL 1 (RRR)

12y 12y 32x 32y 43x 43yNec:P , P : P , P , P , P Pentru determinarea reaciunilor din cele trei cuple de rotaie, se scriu:

ecuaiile de proiecii ale forelor relativ la ntreaga diad: diad

12x 2x 3x 43xX 0 P P P P 0 (1) = + + + = diad

12y 2y 3y 43yY 0 P P P P 0 (2) = + + + = ecuaiile de momente pentru elementele 2 i 3 n raport cu C

(2)12 2 2C

(3)43 3 3C

M 0 CB P CE P M 0 (3)

M 0 CD P CF P M 0 (4)

= + + =

= + + =

uuur uur uuur uur uuur r

uuur uuur uur uur uuur r

unde ecuaia vectorial (3) se dezvolt dup cum urmeaz:

( ) ( ) ( ) ( )

B C B C E C E C 2

12x 12y 2x 2y

12x B C 2x E C 12 B C 2y E C 2

i j k i j k

x x y y 0 x x y y 0 M k 0

P P 0 P P 0

P y y P y y P x x P x x M 0

+ + =

+ + + =

r r r r r r

r r

Se rezolv direct sistemul i se determin cele 4 necunoscute: 12x 12y 43x 43yP , P , P , P . Pentru determinarea componentelor reaciunii C se scriu condiiile de echilibru pe cele

dou axe ale sistemului de coordonate pentru forele (exterioare i de reaciune) care acioneaz asupra elementului 2:

(2)12x 2x 32x 32x

(2)12y 2y 32y 32y

X 0 P P P 0 P (5)

Y 0 P P P 0 P (6)

= + + =

= + + =

y

x ( )BB yxB ;

xP12

yP12 2M

yP2

xP2 ( )EE yxE ,

( )ycxcC , xP32 yP32

3M

( )FF yxF ,

yP3

xP3

xP43

yP43

( )DD yxD ,

- 46 -

MECANICA FLUIDELOR I MAINI HIDRAULICE 1. CURGEREA FLUIDELOR PRIN CONDUCTE

ENUN: Ce se nelege din punct de vedere hidraulic printr-o conduct i care sunt

tipurile de conducte uzuale? Definiia conductei din punct de vedere hidraulic, tipuri de conducte uzuale. Prin conduct sub presiune se nelege o conduct a crei seciune transversal este

umplut complet cu lichid, sau, cu alte cuvinte, seciunea transversal a curentului este egal cu seciunea interioar a conductei. n acest caz, variaia debitului nu va modifica seciunea lichid, ci numai valoarea presiunii de-a lungul conductei. Se numete conduct simpl o conduct fr derivaii i care are un diametru constant.

O clasificare raional a conductelor din mai multe puncte de vedere este prezentat n cele ce urmeaz. Astfel:

a) dup natura fluidului transportat sunt: - conducte pentru lichide, - conducte pentru gaze sub presiune; b) din punct de vedere al configuraiei pot exista: - conducte monofilare, - conducte ramificate, - conducte n paralel; c) dup ponderea pierderilor sunt: - conducte lungi, la care pierderile locale sunt neglijabile n raport cu cele

longitudinale, - conducte scurte, cu numeroase rezistene locale de care se ine cont alturi de cele

longitudinale pe parcursul calculelor. Dimensionarea hidraulic pentru conductele simple Micarea n conducte este generat de diferena de presiune, fluidul deplasndu-se de

la presiune mare la presiune mic, viteza i debitul depinznd de rezistenele hidraulice de pe traseu. Se consider o conduct de diametru constant, alimentat n regim permanent de un

rezervor sub presiune at0 pp .

Conduct simpl

Calculul hidraulic al conductelor simple urmrete determinarea debitului Q sau a sarcinii constante H din rezervor, sau stabilirea diametrului d.

- 47 -

Prin aplicare ecuaii energiei ntre seciunile 0 i 2 :

0 0 2 22 20 2

0-2

2 2 Pv p v p

H hg g g g

+ + = + +

Rezult debitul:

02

1

2

4 1

Q

at

n

ii

p pg H

gdv S

l

d

=

+ = = + +

n aceast relaie se pot considera necunoscute H sau d . Dac 0 atpp = rezult:

2

2 51

81

n

ii

QH d l

g d

= = + +

i:

2

52

1

81

n

ii

Qd d l

Hg

= = + +

2. ECUAIA ENERGIEI PENTRU O VN DE FLUID REAL La micarea fluidelor reale (vscoase), datorit frecrilor ntre particule i dintre

acestea i pereii solizi, o parte din energie se transform n cldur, devenind o energie pierdut, de fapt o energie care nu mai particip la fenomenele de natur hidraulic. n cazul unui fir de fluid, energia specific se va diminua de la o seciune la alta n spre aval, cu o cantitate care, raportat la greutate, se numete pierdere hidraulic (pierdere de sarcin).

Introducerea disipaiei vscoase ca pierdere de sarcin permite scrierea unei ecuaii de conservare a energiei de-a lungul unui fir de fluid real sub forma:

2 21 1 2 2

1 22 2 1-2 Pv p v p

z z hg g g g

+ + = + + +

Pentru o vn de fluid real: 2 2

1 21 21 22 2 1-2

m mP

v vp pz z h

g g g g

+ + = + + +

n aceste ecuaii, pierderile de sarcin au dimensiuni de lungime ca i ceilali membri ai ecuaiei. Interpretarea energetic este sugestiv, observndu-se c linia energetic n cazul fluidelor reale are o alur descresctoare, ca n figura de mai jos.

Interpretarea ecuaiei energiei

- 48 -

3. ECUAIILE DE MICARE ALE FLUIDELOR Ecuaiile de micare pentru fluidele ideale i pentru fluidele vscoase Ecuaia de micare Euler Fluidele reale sunt mai mult sau mai puin vscoase, dar, pentru simplificarea

procedurilor de obinere a soluiilor cutate cu ajutorul modelelor matematice, se consider n prim faz cazul fluidelor ideale, adic nevscoase. Ecuaiile fundamentale astfel obinute vor suferi corecii datorate vscozitii, pentru a putea fi aplicate la studiul micrii fluidelor reale.

Pentru determinarea ecuaiilor de micare se consider legea lui Newton:

ema F= r

r

unde pentru fluidele ideale suma forelor exterioare conine forele masice i de presiune, sub influena crora o particul de fluid se deplaseaz cu viteza v

r

. Ecuaia de micare pentru fluidele ideale, numit i ecuaia de micare Euler are forma:

1 dvf p

dt =

r

r

Forma Lamb Gromeko a ecuaiei de micare Euler se utilizeaz la determinarea

ecuaiilor Bernoulli i are forma: 21

2

v vf p v

t

= + +

r

v

r r

Dac n legea lui Newton se consider la forele exterioare forele de frecare pe lng

cele masice i de presiune, se va obine ecuaia de micare a fluidelor vscoase, denumit i ecuaia Navier-Stokes. Aceasta se exprim sub formele:

dvf p vdt

+ =r

r

r

1 dvf p v

dt

+ =

r

r

r

4. DEFINIREA I EXPRIMAREA FORELOR HIDROSTATICE Forele de presiune hidrostatice sunt forele exercitate de un lichid aflat n echilibru

absolut asupra pereilor unui rezervor n care se afl, ct i asupra unor corpuri imersate eventual n el. Asupra suprafeei S a fundului rezervorului din figura urmtoare se va exercita presiunea:

Fora de presiune pe o suprafa orizontal

care va da fora de presiune hidrostatic: ( ) ( ) SghSppSppF Bext0extint +==

- 49 -

Forele datorate diferenei de presiune de la suprafaa liber a lichidului i exterior se numesc fore de tip PASCAL:

( )0 extPASCALF p p S= Forele datorate presiunii date de coloana de lichid de nlime Bh , sunt fore de tip

ARHIMEDE:

B ARHIMEDEF gh S= Fore de presiune pe suprafee plane orientate arbitrar Dac n cazul suprafeei orizontale determinarea forei hidrostatice este relativ simpl,

pentru suprafee nclinate i, n general, pentru suprafee oarecare se pun urmtoarele chestiuni:

- determinarea tipurilor i mrimilor forelor care acioneaz; - determinarea punctelor de aplicaie ale acestor fore. Se respect regula celor dou fore:

PASCAL ARHIMEDEF F F= + , unde:

0( )PASCAL extF p p S= , iar:

cos ARHIMEDE SF g zdS = , fiind unghiul de nclinare al suprafeei S fa de vertical, fora ARHIMEDE devenind:

cosARHIMEDE G SF gz = , unde ZG este adncimea centrului de greutate n plan nclinat.

Fora de tip PASCAL, PF acioneaz n centrul de greutate G al suprafeei S. Forele de tip ARHIMEDE acioneaz ntr-un punct aflat sub centrul de greutate, denumit centru de presiune P.

Fore de presiune pe suprafee oarecare Spre deosebire de cazul suprafeelor plane, forele elementare au orientri diferite i

rezultanta lor nu se poate obine direct prin nsumare. Pentru a le putea nsuma se descompune fiecare for elementar n trei componente, dup cele trei direcii ale axelor de coordonate.

Forele de tip PASCAL se exprim n forma:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

0 0

X

Y

Z

ext X ext XA

ext Y ext YA

ext Z ext ZA

Px

Py

Pz

F p p dS p p S

F p p dS p p S

F p p dS p p S

= =

= =

= =

n care xS , yS

i zS sunt proieciile suprafeei S pe plane perpendiculare pe direcia axelor de coordonate.

Forele de tip ARHIMEDE se exprim n forma:

- 50 -

X

X X

Y

Y Y

Z

X X G XA A

Y Y G YA A

ZA Vol

Vol

Ax

Ay

Az

F gzdS g zdS gz S

F gzdS g zdS gz S

F gzdS g d gV

= = =

= = =

= = =

V este volumul unui cilindru de generatoare vertical delimitat de suprafaa solicitat i suprafaa liber a lichidului.

Principiul lui Arhimede Aciunea mediului lichid, n repaus, n cmpul gravitaional terestru, asupra unui corp

imersat n el este o for egal i de sens opus cu greutatea volumului de lichid dislocuit.

Az A F gV F= =

5. PIERDERILE DE ENERGIE CE APAR LA CURGEREA FLUIDELOR n micarea fluidelor apar 2 tipuri de disipaii energetice (pierderi hidraulice):

Pierderi longitudinale, datorate frecrii vscoase ale particulelor fluide ntre ele i cu pereii frontierelor solide ale micrii, exprimate cu relaia Darcy:

2

2m

pvl

hd g

=,

unde coeficientul este coeficientul pierderilor longitudinale sau distribuite i depinde de natura regimului de micare (prin numrul Re) i de rugozitatea (exprimat relativ la

diametrul conductei) pereilor solizi k/d ( )Re,f k d = ; Pierderi locale, exprimate cu relaia Weissbach:

2

2m

plocv

hg

=,

unde este coeficientul de rezistena local, iar 2mv este viteza medie a curentului n aval de

rezisten. Coeficientul de rezisten local depinde de caracteristicile geometrice, de calitatea

suprafeei rezistenei i de regimul de curgere. Experimental s-a constatat c pentru 510>Re

coeficientul nu mai depinde de acesta.

6. TEOREMA I-A A IMPULSULUI N MEDIUL FLUID I DETERMINAREA FOREI LICHID - PERETE

Teoremele impulsului Teoremele impulsului sunt utilizate n hidrodinamic pentru determinarea efectelor

forelor exercitate de un fluid asupra corpurilor cu care vine n contact. Acestea se obin prin transpunerea n domeniul mediului fluid a celor dou teoreme cunoscute din mecanica sistemelor de puncte materiale.

Astfel, pentru un sistem de n puncte materiale, teorema cantitii de micare i teorema momentului cinetic se exprim prin relaiile urmtoare:

- 51 -

1 1

n n

i i ii= i=

dm v F

dt=

r

r

1 1

n n

i i i i ii= i=

dr m v r F

dt =

r

r rv

unde i im ,vr

i irr

sunt respectiv masa, viteza i vectorul de poziie al punctului material, iar iFr

fora exterioar aplicat punctului.

Pentru un tub de curent expresia primei teoreme a impulsului este:

2 12 1 e m mQ v Qv F =r

r r

,

unde 1,2

reprezint coeficienii lui Boussinesq. Fora lichid perete Fie o vn de fluid sub presiune care, sub aciunea pereilor nconjurtori, este obligat

s-i schimbe direcia, ca n figur:

Aciunea lichidului asupra cotului

1 21 21 2 Q( )L-P m m gF v v F P P = + + +r r r r

r r

7. ECUAIILE PRINCIPALE ALE DINAMICII FLUIDELOR Dinamica fluidelor este partea mecanicii fluidelor care studiaz micrile fluidelor,

precum i interaciunea mecanic a acestora cu corpurile solide cu care vin n contact, de fapt dinamica fluidelor stabilete legtura dintre forele exterioare i micarea fluidului provocat de acestea.

a. Ecuaia de micare a unui fluid ideal (ecuaia de micare Euler) Expresia vectorial a ecuaiei de micare a unui fluid ideal are forma:

1 dvf p

dt =

r

r

b. Ecuaia lui Bernoulli n cazul micrii permanente de-a lungul unui fir fluid

2

2

v pgz C

+ + =

- 52 -

Ecuaia lui Bernoulli exprim faptul c, n micarea permanent i potenial a fluidelor perfecte, n ipoteza forelor masice conservative, suma celor trei termeni de-a lungul unui fir fluid este constant n ntregul domeniu potenial.

c. Interpretarea ecuaiei Bernoulli Ecuaia lui Bernoulli poate fi interpretat din punct de vedere geometric i energetic.

Reprezentarea grafic a ecuaiei Bernoulli

n aceast situaie z este nlimea de poziie, gp / nlimea piezometric, iar gv 2/2 nlimea cinetic.

Relaia arat c suma acestor nlimi este constant n toate punctele aparinnd aceleiai linii de curent.

Mrimea gpz + / determin cota piezometric, iar gvgpz 2//2++ sarcina

hidrodinamic. Locul geometric al extremitilor superioare al acestor cote determin linia piezometric i linia de sarcin.

d. Ecuaia lui Bernoulli pentru un tub de curent

Tub de curent oarecare

1 21 21 2

2 21 2

2 2 m mv vp pz zg g g g

+ + = + +,

unde este coeficientul lui Coriolis. e. Ecuaia energiei pentru o vn de fluid real La micarea fluidelor reale (vscoase), datorit frecrilor ntre particule i dintre

acestea i pereii solizi, o parte din energie se transform n cldur, devenind o energie pierdut, de fapt o energie care nu mai particip la fenomenele de natur hidraulic. n cazul unui fir de fluid, energia specific se va diminua de la o seciune la alta n spre aval, cu o cantitate care, raportat la greutate se numete pierdere hidraulic (pierdere de sarcin),

Introducerea disipaiei vscoase ca pierdere de sarcin, permite scrierea unei ecuaii de conservare a energiei de-a lungul unui fir de fluid real sub forma:

- 53 -

2 21 1 2 2

1 22 2 1-2 Pv p v p

z z hg g g g

+ + = + + +

Pentru o vn de fluid real: 2 2

1 21 21 22 2 1-2

m mP

v vp pz z h

g g g g

+ + = + + +

n aceste ecuaii pierderile de sarcin au dimensiuni de lungime ca i ceilali membri ai ecuaiei. Interpretarea energetic este sugestiv, observndu-se c linia energetic n cazul fluidelor reale are o alur descresctoare, ca n figura de mai jos.

Interpretarea ecuaiei energiei

8. ECUAIILE DE BAZ ALE STATICII FLUIDELOR a. Ecuaia de echilibru Euler n repausul absolut Ecuaia de echilibru Euler se obine din condiia de echilibru a unui domeniu ocupat

de un fluid, adic suma forelor care acioneaz asupra lui trebuie s se anuleze: 0Corporale SuperficialeF F+ =

r r

, rezultnd n final:

01 =

pfr

Aceste dou relaii exprim ecuaia de echilibru a unui fluid n repaus cunoscut sub

denumirea de ecuaia de echilibru Euler. b. Ecuaia de echilibru a fluidelor n cmp gravitaional terestru n cmpul gravitaional terestru, singura for corporal care acioneaz n cazul

echilibrului absolut este greutatea, care are ca valoare specific acceleraia gravitaional. Se consider un lichid aflat ntr-un vas, n repaus absolut, avnd la suprafaa liber

presiunea p0. Aceast presiune se propag uniform n masa lichidului. Deoarece la suprafaa liber a lichidului mai acioneaz presiunea p0, presiunea total

la adncimea h va fi:

0 p p gh= + Relaia de mai sus arat c pentru determinarea presiunii poate fi utilizat msurarea

lungimii unei coloane de lichid de nlime h, care este proporional cu presiunea. Din ecuaia presiunii se desprind cteva consecine importante: Principiul vaselor comunicante ntr-un lichid aflat n echilibru absolut suprafeele izobare sunt plane orizontale i

reciproc. Principiul lui Pascal

- 54 -

ntr-un lichid aflat n repaus absolut orice variaie de presiune dintr-un punct oarecare al lichidului se transmite cu aceeai valoare n toate punctele sale.

9 ECUAIA LUI BERNOULLI Ecuaia lui Bernoulli n cazul micrii permanente de-a lungul unui fir fluid este prima

integral a ecuaiei de micare a unui fluid ideal. 2

2

v pgz C

+ + =

Ecuaia lui Bernoulli exprim faptul c, n micarea permanent i potenial a

fluidelor perfecte, n ipoteza forelor masice conservative, suma celor trei termeni de-a lungul unui fir fluid, este constant n ntregul domeniu potenial.

Interpretarea ecuaiei Bernoulli Ecuaia lui Bernoulli poate fi interpretat din punct de vedere geometric i energetic.

Reprezentarea grafic a ecuaiei Bernoulli

n aceast situaie z este nlimea de poziie, gp / nlimea piezometric, iar gv 2/2 nlimea cinetic.

Relaia arat c suma acestor nlimi este constant n toate punctele aparinnd aceleiai linii de curent.

Mrimea gpz + / determin