informatie si incertitudine in masurari

7/28/2019 Informatie Si Incertitudine in Masurari

1/104


2/104

2


3/104

3


4/104

4


5/104

CUPRINS

1. Omul i msurarea 7Puin istorie 9Msurarea n tiin 12Msurarea n tehnic 14Msurarea n schimburile de mrfuri, energie i

informaie 15

2. Incertitudinea de msurare 19

Moduri de exprimare a incertitudinii de msurare 21Sursele erorilor de msurare 22Clasificarea erorilor de msurare dup modul n care

se manifest n msurrile repetate 26

3. Informaia de msurare 35Despre probabilitate 35Informaie i cantitate de informaie 36Cantitatea de informaie n msurri 41Debitul de informaie n msurri 45

4. Obinerea informaiei de msurare 48Despre mrimi i msurarea lor 48Uniti de msuri etaloane 56Metode de msurare 61

5. Prelucrarea informaiei de msurare 72

Semnale purttoare de informaie 73Conversiunea semnalelor 80Structuri de aparate de msurat 83Perturbaii n transmiterea informaiei de msurare 91Aparate analogice sau digitale? 95Informaie i energie 97

6. n loc de ncheiere 101

5


6/104

CUVNT NAINTE

Prezenta ediie "online" este o reeditare integral a crii cu acelai titluaprute n 1982, la Editura Tehnic din Bucureti. Textul a fost revzut i aufost fcute doar modificri minore, n rest s-a pstrat cu fidelitate coninutuliniial.

Consider c n mare msur el i-a meninut actualitatea, i poateprezenta interes pentru toi cei cu preocupri care implic, sub o form saualta, msurarea. n acest sens, recomand lucrarea ca lectur suplimentarelevilor, studenilor, inginerilor, fizicienilor, tehnicienilor, profesorilor i

altor categorii de cititori doritori s-i lrgeasc aria de cunotine iorizontul de nelegere. De fapt, modul de abordare, nivelul i stilul lucrriicaut s se conformeze ct mai bine inteniei avute n vedere atunci cnd afost iniiat colecia "tiin i tehnic pentru toi", lansat de EdituraTehnic cu ani n urm.

Aurel Millea, iulie 2013

6


7/104

"Cu fiecare zi viaa este influenat din ce n ce maimult de deciziile bazate pe informaii cantitative".

V. Craiu

Precizia i compatibilitatea msurrilor constituie un

aspect fundamental al lumii organizate pentru schimbulde bunuri i de idei, adic al civilizaiei".

R. J. Corruccini

1. OMUL I MSURAREA

Fiecare din noi efectum sau asistm zilnic la numeroase msurri. Seapreciaz c ntr-o ar ca Romnia se execut n fiecare zi cteva sute demilioane de msurri. Unele din ele sunt dintre cele mai simple, sau parsimple fiindc ne-au devenit obinuite: msurarea timpului cu ceasul,cntrirea unui produs la pia, citirea termometrului din camer, controlulvitezei automobilului cu vitezometrul de la bord. Altele, mai complexe, suntcaracteristice unor procese industriale, analize de laborator, cercetritiinifice, transporturi, telecomunicaii, medicin sau alte domenii de

activitate. La extremitatea superioar a complexitii i importanei sesitueaz msurri de mare amploare i nsemntate, ca de exempluexperiene cruciale n fizic, determinri de constante universale, realizareade etaloane superprecise.

In aceast carte vom ncerca s discutm cteva legiti comune iproprieti care caracterizeaz toate categoriile de msurri, oricare ar fimrimea msurat, metoda, aparatul, exactitatea msurrii etc. S-ar putea

pune de la nceput ntrebarea: ce au n comun de exemplu msurarea unui

7


8/104

metru de stof, determinarea conductometric a puritii apei i msurareacu laserul a distanei dintre pmnt i lun? Rspunsul este simplu:msurarea fiind un proces de obinere a unei informaii, urmeaz anumitelegi generale aplicabile oricare ar fi natura msurrii i rezultatele ei.Informaia specific unui proces de msurare numit informaie demsurare constituie o noiune care permite aceste generalizri. Legat deaceasta, se definete incertitudinea de msurare, care caracterizeaz oricemsurare i ne oblig la un mod de gndire superior, mai complet i maieficient n orice aplicaie care implic msurarea. Putem vorbi despreinformaie i despre incertitudine ca specifice modului de gndire alviitorului, contientiznd o concepie care, n cursul timpului, s-a opus ideii

de certitudine absolut, caracteristic tiinei n vechime. Tratareainformaional a msurrilor i stabilirea incertitudinii care le nsoete neajut s ptrundem mai uor n lumea contemporan a msurrilor, snelegem tehnicile experimentelor fizice, s imaginm i s aplicm corectnoi tehnici de msurare. indiferent c este vorba de o determinare n fizicsau chimie, o msurare tehnic, un test biologic sau chiar... aprecierea unorcaliti esenialmente subiective (performana unor gimnati, gustul unoralimente sau buturi etc.).

De ce msurm? Principalele motive pentru care facem msurri sunt,n primul rnd, sporirea gradului de cunoatere i nelegere a lumii n caretrim, i n al doilea rnd, folosirea acestor cunotine n scopul unei vieimai bune.

O caracteristic esenial a revoluiei industriale actuale const ncreterea rolului msurrilor, n nevoia unor cantiti de informaie tot maimari i n ridicarea valorii informaiei de msurare.

Msurrile furnizeaz informaii care ajut oamenii n luarea deciziilornecesare atingerii unor obiective. Pentru individul mediu simurile sale iasigur majoritatea informaiilor necesare diferitelor decizii pe care le iazilnic (de exemplu, unde s mearg, cum s se mbrace, cnd s mnnce).Pentru omul de tiin, pentru inginer sau pentru un alt specialist simurileomeneti sunt de obicei insuficiente pentru a descrie cu precizie acceptabil

proprietile unor substane, dispozitive, sisteme sau fenomene. n acestecazuri deciziile sale sunt bazate pe aparate de msurat, care furnizeazrezultate cantitative, precise i sigure.

n majoritatea situaiilor care se ivesc n practic, msurarea are ovaloare care se poate exprima cantitativ (nu facem msurri inutile, cimsurri care au o valoare prin utilitatea lor). Valoarea economic a uneimsurri este egal cu costul resurselor economisite (sau al pierderilorevitate) prin efectuarea msurrii respective.

8


9/104


10/104

palm, cot, picior, pas etc.), altele bazate pe "etaloane" convenionale,stabilite de autoriti locale, deci diferite de la o regiune geografic la alta. Odat cu Revoluia Francez s-a impus ideea unificrii msurrilor delungime, concomitent cu introducerea sistemului de multipli i submultiplizecimali. Metrul a fost stabilit convenional ca a 40 000 000-a parte ameridianului pmntesc. Pentru determinarea lui, evident, nu se putea pune

problema parcurgerii unui meridian ntreg, ci s-a considerat suficient oporiune de un grad de arc, ceea ce echivala cu o distan de aproximativ111km. n acest scop, un vehicul cu dou roi, mpins cu mna, a parcursaceast distan pe o osea considerat practic rectilinie i orientat sprenord, observndu-se cu precizie variaia cu un grad a unghiului sub care se

vedea o anumit stea pe bolta cereasc. Cunoscnd diametrul roilor inumrnd rotaiile efectuate, s-a calculat valoarea metrului i s-auconfecionat primele prototipuri ale metrului. Ulterior, determinri mai

precise au evideniat c metrul astfel stabilit difer puin de valoarea de 1/4000 000 a meridianului, dar diferena este surprinztor de mic fa demijloacele rudimentare cu care fusese determinat.

Incertitudineademsurare

Anul Fig. 1. Evoluia exactitii msurrii timpului

10


11/104

Ulterior definiia metrului a fost bazat pe lungimea de und a uneiadin radiaiile kriptonului, ceea ce i-a conferit o precizie impresionant, deaproximativ 10-9 (o miliardime). Important este, de asemenea, faptul cmetrul astfel definit nu mai depindea de un prototip material care se poatedeforma, deteriora sau chiar pierde ci de o constant fizic, aceeai norice loc i n orice moment, deci reproductibil cu o exactitate foarte mare.Iar n prezent definiia metrului este legat de cea a secundei, ceea ce aducela incredibila cifr de 10-14 exactitatea definirii metrului (echivalent cu oeroare de civa micrometri la msurarea lungimii ecuatorului terestru!)

Temperatura a fost i ea o mrime fizic a crei msurare a trecut prinmulte etape, de la aprecieri pur calitative pn la realizarea unor mijloace

care s permit determinri obiective i precise. Una din cele mai vechi scride temperatur, scara Fahrenheit, a fost stabilit n felul urmtor: punctulzero era cel corespunztor temperaturii unei zile geroase de iarn, iar

punctul 100 era temperatura corpului omenesc. Bine neles, astzi msurmtemperatura pe baze cu mult mai obiective, folosind definiii riguroase dindomeniul termodinamicii, iar practic scara de temperatur este stabilit prinadoptarea unor puncte fixe de solidificare (sau topire) a unor substane denalt puritate.

Mrimile electrice i magnetice au nceput s fie msurate n secolul al19-lea, folosindu-se metode care deseori erau imprecise din cauza chiar adefiniiilor neclare ale mrimilor i ale unitilor de msur. Dac acum osut de ani o precizie de 0,1 % n msurrile electrice era considerat caexcepional, azi cele mai multe mrimi electrice se pot msura cu oexactitate mai bun dect 10-6 (o milionime). Ca a curiozitate, poate fimenionat faptul c n msurrile electrice s-a ajuns la precizii foarteridicate, n special la determinarea raportului dintre dou mrimi de valoridiferite; de exemplu, se poate compara un condensator avnd capacitatea de10 F cu un alt condensator de capacitate de numai 10 pF (adic de unmilion de ori mai mic), cu o incertitudine sub 110-7 (aceasta echivaleazcu a msura, de exemplu, distana dintre Bucureti i Piteti cu o eroare denumai 1 cm, folosind n acest scop o rigl lung de 10 cm!).

Numrul mrimilor fizice care se msoar curent n tiina i tehnicaactual este impresionant de mare i continu s creasc. Mecanica, optica,electricitatea, cldura, fizica molecular i atomic, chimia, biologia imulte alte discipline necesit msurarea unor mrimi diverse, n intervale devalori tot mai largi i cu precizii din ce n ce mai mari. n fiecare caz, ns,

prima condiie de msurabilitate este definirea precis a mrimii i a unitiide msuri abia apoi materializarea acestei uniti sub forma unui etalon irealizarea mijlocului de msurare adecvat. Istoria msurrilor urmeaz n

11


12/104

esen pas cu pas istoria definirii mrimilor fizice, continund cu stabilireaunitilor de msur i sfrind cu elaborarea metodelor i mijloacelor demsurare. Evoluia prezent a msurrilor justific ntru totul celebrul dictonal lui Galilei "s msurm ceea ce se poate msura i s facem msurabilceea ce nc nu este". Tendina n toate domeniile de activitate este decretere a cantitilor de informaie obinute prin msurri, att prinrafinamente i tehnici care mbuntesc calitile acestora, ct i prindefinirea i msurarea unor mrimi noi.

Msurarea n tiin

Pentru omul de tiin, msurarea intervine n dou din cele trei etapefundamentale ale procesului de cunoatere:a. observarea i experimentul;

b. ipoteza i raionamentul;c. verificarea rezultatului.

Fr posibilitatea de a msura nu ar exista tiin. Se cunoscnenumrate exemple de cotituri drastice n cunotinele noastre desprenatur, ca urmare a unor msurri perfecionate, care au infirmat teoriianterioare. nc din timpul Renaterii omul a nvat s renune la a impunenaturii credina sa i n loc de aceasta s pun sistematic ntrebri naturiii s interpreteze inteligent rspunsurile pe care aceasta i le d.

Domeniul greutilor atomice este unul din cele mai spectaculoasedemonstraii ale rolului msurrilor n schimbarea unor concepiifundamentale n tiin. Pe msur ce greutile atomice au fost msuratemai precis, au aprut nepotriviri care au dus la necesitatea revizuiriintregului edificiu teoretic al structurii materiei. Rezultatul a fostdescoperirea izotopilor. Mai trziu, precizia de msurare a crescut i maimult, au fost descoperite alte nepotriviri, care necesitau explicaiisuplimentare. Aa s-a ajuns la noiunile fizicii moderne, la teoria cuantic,teoria relativitii etc.

Descoperirea de ctre Kepler a legilor de micare a planetelor s-adatorat msurrii cu precizie de 2' a traiectoriei lui Marte, care a pus n

eviden o abatere de 8' fa de traiectoria circular corespunztoare teoriilormai vechi, formulate n special de Copernic. Mai trziu, o precesie de 43" pesecol a traiectoriei lui Mercur, observat experimental, a constituit una dincele mai convingtoare verificri ale teoriei generale a relativitii a luiEinstein.

Un alt experiment celebru, al crui rezultat a avut o nsemntatedeosebit n fizic, a fost cel al lui Michelson-Morley, pentru a constatadac viteza luminii este afectat de micarea pmntului n eter. Prima

12


13/104

ncercare a lui Michelson a euat, deoarece eroarea experimental a fostcomparabil cu diferena cutat (diferena dintre viteza de propagare aluminii pe direcia de micare a observatorului, n sensul micrii i n sensinvers). Abia cu 6 ani mai trziu (n 1887), o msurare mai precis a fostconcludent (dei rezultatul a fost negativ, adic nu s-a observat diferena

presupus, el a contribuit enorm la dezvoltarea ulterioar a fizicii).n jurul anului 1900 principala dovad a faptului c lumina este o und

electromagnetic era egalitatea vitezelor de propagare a luminii i a undelorelectromagnetice de frecvene mai joase. Viteza luminii fusese dejamsurat cu o precizie ridicat. Pentru determinarea vitezei de propagare aundelor electromagnetice, s-a recurs la gsirea raportului dintre unitile de

msur CGS electromagnetice i electrostatice. n acest scop, capacitateaunui condensator a fost msurat de Thomson i Searle n 1890, n unitiCGSem i apoi calculat n uniti CGSes. Coincidena gsit a fost deordinul 0,05%, uimitoare pentru acel timp!

Azi, msurrile de mare precizie au nenumrate aplicaii n fizici nalte domenii ale tiinei. De exemplu, s-au msurat deplasri relative alecontinentelor de ordinul a civa centimetri, sau deplasri pe vertical alescoarei pmnteti de ordinul milimetrilor ("maree terestre"). Una din cile

pe care se ncearc pronosticarea cutremurelor de pmnt este tocmaimsurarea cu precizie pn la miimea de milimetru a deplasrilor scoareiterestre. Zborul vehiculelor cosmice contemporane ar fi de neconceput frsistemele de reperare i urmrire bazate pe unde radioelectrice, care folosescn ultim instan msurri foarte precise ale unor intervale de timp,necesare parcurgerii de ctre und a distanei dintre vehicul i mai multe

puncte de observaie terestre. Compoziia unor substane, modificri fizico-chimice aparent infime, efecte microfizice subtile, diferite fenomene

biologice i multe altele sunt studiate pornind de la datele experimentale,fumizate de o varietate impresionant de aparate de msurat, care stau azi ladispoziia cercettorului.

Dar msurarea n tiin nu este un simplu act arbitrar, executat de cteori se simte nevoia, ci un complex de investigaii coroborate strns cu

raionamentul i cu teoria.Strduina omului de tiin pentru cunoaterea naturii, pentru a-i aflatainele pe calea msurrilor este frumos caracterizat de matematicianul ifilosoful H. Veyl, care spunea: ,,O dat pentru totdeauna doresc s exprimcel mai adnc respect fa de munca experimentatorului, fa de lupta sa de asmulge fapte interpretabile naturii inflexibile, care tie s ntmpine teoriilenoastre cu un "nu" att de rspicat i un "da" att de nedesluit". In aceastactivitate, cercettorul este obligat s-i planifice experienele, conducndu-

13


14/104

le metodic. "Nu ne lovim puri simplu de experiene spune filosoful K. R.Popper nici nu le lsm s treac peste noi ca un curent, ci noi suntem ceicare producem experienele noastre. Noi suntem cei care formulm ntrebriadresate naturii: noi ncercm s formulm aceste ntrebri n aa fel nct sobinem un da sau un nu ne-echivoc."

Cunoaterea mai complet a universului n care trim este o dorinfireasc a omului, care continu s investeasc eforturi considerabile nacest scop. Msurarea are si va avea un rol hotrtor n explorarea celordou infinituri, ntre care se situeaz fiina uman: "infinitul mic" al fizicii

particulelor elementare i "infinitul mare" al lumii astronomice (esteinteresant c scara uman adic cea a dimensiunilor cu care operm n

viaa curent se afl undeva n jurul mediei geometrice a celor dou scriextreme, cea atomici cea astronomic: de ex. masa medie a unui om estede ordinul 102 kg, masa electronului este de ordinul 10-30 kg, masa unei stelemari este de ordinul 1034 kg, iar 102 = (10-30 1034)1/2. Multitudinea denecunoscute pe care le ascund aceste extreme ateapt perfecionri radicaleale aparaturii de msurat, incapabile nc s cuprind imensitatea uneirealiti pe care ncercm n mare parte s-o intuim i s-o imaginm.

Msurarea n tehnic

Rolul esenial al msurrii n tehnic poate fi ilustrat printr-o

ntmplare relativ veche, dar deosebit de semnificativ i pentru industriamodern (povestit n capitolul I al crii "Electronic Measurements andInstrumentation" de B. M. Oliveri J. M. Cage, Mc. Graw-Hill, New York,1971). E. Whitney a obinut n 1798 un contract cu guvernul S.U.A. pentrufabricarea a 10 000 de tunuri, pe care le-a realizat se pare, pentru primadat n lume cu toate piesele perfect interschimbabile. Pregtireafabricaiei i a sculelor necesare a durat o perioad de peste doi ani,ntrziere care a nemulumit oficialitile. n cele din urm, Whitney s-a

prezentat n faa ministrului de rzboi cu un numr mare de lzi, fiecareconinnd cte o pies a tunului su, i a asamblat zece tunuri, lund piese lantmplare din fiecare lad spre uimirea celor de fa. Azi suntem obinuii

ca diferite piese de asamblat s se potriveasc ntre ele, un urub cu opiuli, un piston cu un cilindru etc., chiar dac aceste piese sunt fabricate nntreprinderi diferite sau chiar n ri diferite. Evident, acest lucru este

posibil numai dac este asigurat att precizia msurrilor (erori sub celetolerate la prelucrarea i controlul lor) ct i uniformitatea msurrilor(fiecare fabricant s foloseasc riguros aceeai unitate de msur).

Msurarea precis este necesari pentru dimensionarea corect a uneiconstrucii, a unei instalaii sau oricrui produs n general. De exemplu,

14


15/104

pentru construcia unui pod, a unui baraj sau a unui alt obiectiv de mareanvergur, se face mai nti o machet la scar redus i se studiazeforturile mecanice n sute sau mii de puncte ale ei, cu ajutorul a a numitei"tensometrii electrice rezistive", o tehnic de mare sensibilitate i finee,care pune n eviden deformri de ordinul miimilor de milimetru. Frasemenea operaii preliminare, ar putea rezulta supradimensionri inutile,mrind de cteva ori costul unei investiii sau, dimpotriv, subdimensionricare ar periclita sigurana construciei. Msurri tensometrice se executiulterior, pe construcia realizat, pentru controlul comportrii ei n diferitecondiii.

Un alt exemplu al nivelului de precizie pe care l poate atinge

msurarea n tehnologie este furnizat de aselenizarea modulului lunar, ncadrul misiunii Apollo 11. Cantitatea de combustibil necesar n zborulrespectiv fusese calculat cu atta strictee, nct n momentul aselenizriimodulul nu mai dispunea dect de o cantitate de combustibil pentru nczece secunde de parcurs. Numai msurri excepional de precise i de ocomplexitate greu de imaginat au putut permite inginerilor care au proiectatntregul sistem s reduc att de mult rezerva disponibil de combustibil.

Prin msurri, uneori de o deosebit complexitate, se determin putereaunui motor, viteza, acceleraia i ali parametri cinematici ai unui vehicul,elasticitatea, plasticitatea, duritatea i alte caracteristici ale materialelor. nmulte cazuri, la elaborarea unor materiale n chimie sau metalurgie,temperaturile trebuie cunoscute cu precizie foarte mare, cci altfelmaterialul rezultat nu va avea proprietile dorite. O clas larg de mijloacede msurare sunt utilizate n determinarea precis a compoziieisubstanelor, a proprietilor lor fizico-chimice (densitate, viscozitate, pH,conductivitate electric sau termic, indici de refracie etc.).

Orice produs al tehnicii contemporane, ncepnd de la cel mai simplureperi pn la o locomotiv electric sau un avion, poart amprenta uneoria mii sau zeci de mii de msurri. Este suficient ca una singur din acestemsurri s nu fie fcut cu precizia necesar, pentru ca ntregul produs sfie compromis. Orice standard de produs sau norm tehnic implic, pe

lng condiiile tehnice prescrise, i metoda de verificare a performanelor,incluznd procedeul de msurare i aparatele necesare n acest scop.

Msurarea n schimburile de mrfuri, energie i informaie

Schimbul de bunuri ntre comuniti, att pe plan naional ct i la scarinternaional, este unul din factorii cei mai importani ai civilizaieimondiale actuale. Msurarea este implicat multilateral n acest proces, celemai importante momente de intervenie a ei fiind:

15


16/104

- controlul calitii mrfurilor de ctre productor;- verificarea acestei caliti de ctre cumprtor;- determinarea cantitilor predate-preluate, pentru efectuarea plilor.Calitatea unui produs nseamn corespondena principalelor sale

caracteristici funcionale, constructive, estetice etc. cu cele stabilite decomun acord de ctre participanii la tranzacie. n cazul produselor de largcirculaie, aceste caracteristici sunt stabilite n standarde, norme saurecomandri, acceptate de ambele pri. Cea mai mare parte a lor sedetermin prin msurri adecvate. Se nelege c aceste msurri trebuie sconduc la rezultate practic identice la productori la beneficiar, chiar dacacetia se afl la antipozii globului pmntesc. Reiese clar de aici ct de

important este unicitatea etaloanelor utilizate, dar aceasta nu este suficient:rezultatul unei msurri depinde i de condiiile n care este efectuat iuneori i de metoda i aparatele folosite. Se cunosc exemple numeroase dedispute ntre contractanii de mrfuri, soldate n final cu pierderi economiceimportante, din cauza aplicrii unor moduri diferite de msurare a

parametrilor produselor livrate,O problem deseori controversat este cea a calitilor subiective,

neexprimabile cantitativ i deci nemsurabile. Unele din acestea, considerateca atare n trecut, au fost de mult "obiectivizate", gsindu-se mrimidefinibile precis i msurabile, caracteriznd calitatea respectiv, Deexemplu, la nceputurile industriei constructoare de maini, netezimea uneisuprafee se aprecia tactil, eventual prin comparaie cu mostre confecionaten acest scop, Azi se msoar cu precizie rugozitatea unei suprafee, cuaparate specializate numite rugozimetre. La fel se msoar duritatea uneisuprafee, cu ajutorul durimetrelor. Culoarea a devenit i ea o mrimemsurabil cu mare precizie, cu ajutorul "coordonatelor tricromatice" x, y, z(pornind de la principiul c orice culoare se poate obine prin combinarea atrei sau patru culori primare); acest lucru a fcut ca orice material, fie el ovopsea de automobil, o estur sau un ruj de buze, s poat fi livrat exact deculoarea dorit de beneficiar, care poate da o indicaie cantitativ a acesteia.Cercettori diveri caut n prezent mijloace cantitative de a exprima gradul

de comoditate a unei mbrcmini, gustul unui aliment sau mirosul uneisubstane, efectele poluante ale unor ageni fizici sau chimici i multe altele.Calitatea unui produs exprim conformitatea sa cu o referin, n

momentul determinrii ei. Dar cumprtorul pretinde ca aceast calitate sse pstreze i n timpul folosirii produsului, pe durata de via a acestuia.Aici intervine noiunea de fiabilitate, avnd sensul de durabilitate, sigurann funcionare etc., prescris i ea n standarde i norme de produs.Determinarea fiabilitii se face pe baza unui program complex, n care

16


17/104

msurrile joac rolul primordial.Determinarea cantitilor de mrfuri vndute nseamn de cele mai

multe ori msurri de lungime, arie, volum i mas. n toate rile lumii,aceste msurri sunt supuse unor reglementri de stat, n cadrul aa-numitei"metrologii legale", menit n special s apere interesele cumprtorului. nstadiul actual al acestor msurri, s-a acceptat n general ca msurrile decantiti mici s se fac cu erori de cel mult 1 ... 2% (ntre unu i doi la sut;de exemplu, o pung preambalat de zahr poate avea ntre 990 g i 1010 g,sau o sticl de ulei ntre 980 i 1020 mL), iar msurrile de cantiti mari cuerori de cel mult 0,1 ... 0,2 % (unu sau doi la mie). Limitarea preciziei demsurare este impus de creterea brusc a costului unor mijloace de

msurare mai precise dect 0,1 %, nejustificat chiar n cazul unor produsede mare importan economic. Din aceast cauz, n multe tranzaciicomerciale diferenele dintre aceeai cantitate msurat de furnizor i de

beneficiar sunt nc apreciabile ca importan economic (de exemplu, lacntrirea vagoanelor, sau la msurarea cantitilor transportate de un vas

petrolier). Msurarea cu precizie insuficient a acestor cantiti poate fioricnd pgubitoare pentru una din pri. Dac furnizorul este cel caredispune de mijloace de msurare mai puin precise, el va trebui s livrezemai mult, la limita superioar a erorii tolerate a aparatului su de msurat.Dac, dimpotriv, cumprtorul msoar mai imprecis, el va trebui saccepte eventual o cantitate mai mic, la limita inferioar a erorilor sale demsurare.

Msurarea cantitilor de produse ridic uneori probleme cu consecineeconomice deosebite. De exemplu, exist produse a cror mas depindefoarte mult de umiditatea lor (cantitatea de ap pe care o conin). Dintre celemai cunoscute asemenea produse, sunt cerealele (n special grul),

bumbacul, lemnul, tutunul. Msurarea masei acestor produse, n tranzaciilecomerciale, trebuie nsoit totdeauna i de msurarea umiditii relative(procente de ap coninut), pentru a se putea introduce coreciile necesare.

Msurarea energiei furnizate sau recepionate constituie un capitol deimportan crescnd al tehnicii msurrilor, n actuala criz a surselor

clasice de energie, nsoit de scumpirea substanial a tuturor formelor deenergie. De obicei se msoar ca atare numai energia electric, aceasta fiindsingura form de energie transmisibil la distane mari, cu pierderiacceptabile. Msurarea energiei electrice se face cu ajutorul contoruluielectric, aparat bine cunoscut, care n varianta sa obinuit, destinatdecontrii consumurilor casnice de energie electric, are o exactitate demsurare de pn la 2 ... 3%. Pentru msurarea cantitilor mari de energieelectric se folosesc contoare de precizie mai bun, de obicei contoare

17


18/104

electronice, a cror exactitate ajunge la 0,2%, 0,1% i chiar 0,05%.Se mai msoar i energia termic, furnizat sub forma de ap cald

transmis prin conducte a cror lungime nu depete de obicei civakilometri. Msurarea energiei termice este mai complicat i reclam oaparatur care s-a generalizat abia n ultimele decenii (aceste aparate trebuies efectueze produsul dintre volumul de ap scurs i diferena detemperatur la dus i la ntors), preciziile obinuite fiind ntre 1 i 5%.

In sfrit, titlul paragrafului anuna i intervenia msurrii nschimburile de informaii. Este vorba de un capitol special i nou almsurrilor, asupra cruia ar fi mai greu s insistm n cadrul prezenteilucrri. Capitolul al 3-lea l va ajuta pe cititor s neleag noiunea de

"cantitate de informaie" i s fac apoi o legtur intre definiia ei iposibilitatea de a o msura. Un exemplu care ar ilustra, deocamdat nembrion, despre ce este vorba, ar fi taxele telefonice, care n esen reflectcostul transmiterii unor informaii. Este posibil ca n viitor cantitatea deinformaie s devin o noiune de circulaie mai larg, pentru a creimsurare, evideni decontare s fie imaginate mijloace de uz curent.

18


19/104

"Certitudinea absolut este privilegiul minilor needucate".

J. Keyser

"Numai n convingerile i credinele noastre subiectiveputem fi absolut siguri".

K.R. Popper

"Numai erorile dau pre adevrului".

J. Renard

2. INCERTITUDINEA DE MSURARE

Toate cunotinele noastre despre natur (inclusiv cele despre sistemele

tehnice sau altele create de om) conin un anumit grad de aproximaie.Afirmaii absolut certe se pot face numai n cadrul unor modele, carereprezint n mod idealizat realitatea. Orice alt apreciere cantitativ estensoit de o incertitudine, pe care n general nu o cunoatem, dar o putemevalua. Incertitudinea poate fi reprezentat prin intervalul n care se afl, cuo probabilitate destul de mare, valoarea dat. ns, de cele mai multe ori, nactivitile obinuite renunm la a mai preciza aceast incertitudine,deoarece datorit intuiiei sau experienei anterioare o putem evaluaautomat. De exemplu, dac se spune c nlimea unei persoane este h = 182cm, vom nelege fr alte precizri c h = 182 1 cm sau h = 182 0,5cm, adic nlimea acelei persoane este cuprins ntre 181 i 183 cm, sauntre 181,5 i 182,5 cm. Nimeni nu va presupune, ntr-un asemenea caz, c h= 182 0,l cm sau c h = 182 10 cm, incertitudinea n cele dou cazurifiind, n mod evident, prea mici respectiv prea mare.

Incertitudinea cu care se obine rezultatul unei msurri se numeteincertitudine de msurare; ea este o noiune opusexactitii (preciziei) demsurare. O msurare grosolan, cu un mare grad de aproximaie, fcut cumetode i mijloace de precizie redus i n condiii necontrolate, va fi

19


20/104

afectat de o incertitudine mare. Dimpotriv, o msurare n care se aplicmetode i aparate de mare exactitate, se iau msuri speciale de evitare aerorilor previzibile i se fac msurri repetate pentru diminuarea erorilorimprevizibile, se asigur condiii controlate de mediu (temperatur,umiditate, presiune etc.), va avea o incertitudine mic.

Gradul de incertitudine al unei msurri trebuie s fie n concordan cuscopul urmrit, deci cu incertitudinea cu care va trebui s cunoatemrezultatul cutat, deoarece o msurare de exactitate ridicat va costa maimult dect una de exactitate mai redus. De exemplu, msurarea cu oincertitudine de 0,01 mm a grosimii unei table groase la laminare ar fiabsolut inutil, deosebit de costisitoare i chiar duntoare. n schimb,

msurarea impuritilor unei substane cu o incertitudine de 1% ar fi la felde inutil, cnd se urmrete producerea acelei substane cu o puritate de99,999%.

De altfel, ca o parantez la cele artate, nainte de a discuta despreincertitudinea unei msurri, este totdeauna necesar s se stabileascincertitudinea cu care trebuie cunoscut valoarea mrimii msurate. ngeneral, un bun specialist, fie el om de tiin, inginer, biolog, chimist saudintr-un alt domeniu, apreciaz corect aceast incertitudine, deoarece estecontient de scopul urmrit prin msurarea respectiv, adic de consecineleunei incertitudini de msurare care ar depi anumite limite. Chiari omulde rnd opereaz curent (dar poate incontient) cu noiunea de incertitudine,la alegerea mrimii unui costum de haine, la fixarea orei zilnice de plecarela serviciu, la citirea termometrului din fereastr n vederea uneimbrcmini adecvate etc. Un bun gospodar tie c diametrul unei srmetrebuie msurat cu o incertitudine, de exemplu, de 0,25 mm, montarea unei

broate la u se poate face cu incertitudini de ordinul 1 mm, la tmplria nlemn incertitudinea de msurare poate fi 1 cm, la zidrie se pot admite i 5cm iar la msurarea dimensiunilor unui teren agricol 0,25 m. n modcorespunztor, aparatul de msurat va fi un ubler, o rigl, o panglic, saurulet etc. n tehnologia mecanic exist un sistem ntreg de tolerane iajustaje, cu condiii a cror respectare este absolut necesar pentru

mbinarea corect a pieselor i interschimbabilitatea lor. Exemplenenumrate pot fi date din cele mai diferite domenii de msurare. Importanteste de reinut urmtorul fapt: aprecierea incertitudinii tolerate a msurriirevine specialistului beneficiar al msurrii. Specialistul n tehnica msurriii n aparatura de msurat este dator s asigure ne-depirea incertitudiniitolerate, indicnd n acest scop cele mai potrivite mijloace, optime din punctde vedere tehnico-economic.

20


21/104

Moduri de exprimare a incertitudinii de msurare

Diferena dintre rezultatul unei msurri i valoarea adevrat amrimii msurate se numete eroare de msurare. Deoarece valoareaadevrat nu poate fi determinat, nici eroarea de msurare nu poate ficunoscut, ci doar apreciat. De aceea, preferm s utilizm termenulincertitudine de msurare, ca o plaj probabil n care se poate afl eroareade msurare. n limbajul curent, se vorbete totui despre erori de msurare,nelegnd uneori prin aceasta eroarea individual a unei anumite msurri(efectuate), eroarea probabil a unei msurri (neefectuate), eroarea limit

sau eroarea tolerat a unei msurri (ipotetice) etc.Eroarea de msurare se poate exprima ca eroare absolut, eroare

relativ sau eroare raportat (n aceleai moduri se exprimi incertitudineade msurare).

Eroarea absolut este diferena dintre valoarea msuratxmi valoareaadevratx a mrimii msurate:

mx x x = Eroarea absolut are aceleai dimensiuni fizice ca i mrimea msurat

i se exprim n aceleai uniti de msur (sau n submultiplii acesteia). Deexemplu, dac o distanx=30,18 m este msurat cu o ruleti se obine

rezultatulxm=30,12 m, eroarea absolut este 30,12 30,18 = 0,06 m = 6cm.

Eroarea relativ este raportul dintre eroarea absolut i valoareamrimii msurate:

mx x x

x x

=

Eroarea relativ este o mrime adimensional (mrime cu dimensiuneaunu) i se exprim ca un raport (un numr), n procente (%) sau n pri pemilion (ppm). n exemplul precedent, eroarea relativ rezult:

x/x = 0,06/30,18 = 0,002 = 0,2% = 2000 ppm.Eroarea raportat este raportul dintre eroarea absolut i o valoare

convenionalxc a mrimii de msurat:

m

c c

x x x

x x

=

Dacxc este o valoare fix adoptat apriori, eroarea raportat are

21


22/104

caracterul unei erori absolute, cu deosebirea c se exprim printr-un numradim

) sau o distanmare, de exemplu de 1000 km (unde 1 ppm nseamn 1 m).

Surs

ensional, ca i eroarea relativ.n practica msurrilor eroarea (i incertitudinea) se exprim de regul

ca eroare relativ. Acest fapt i are rdcinile poate chiar n modul degndire profund "relativ" al omului, n viaa sa cotidian, care judecaproape totdeauna o abatere, o aproximaie, o neglijare sau o pierdereraportnd-o la ntregul la care acestea se refer. Astfel, la cumprarea unuiautomobil de ocazie, o pierdere de cteva sute de lei (de exemplu, uncauciuc defect descoperit ulterior) este socotit nesemnificativ; n schimb,dac un vnztor d un rest cu 2-3 lei mai mic la cumprarea unei pini,faptul este de obicei considerat inadmisibil. Aceeai relativitate poate fi

constatati la judecarea distanelor (o diferen de un metru este mare ncazul comparrii a dou camere de locuit i infim n raport cu distanadintre locuin i serviciu), a timpului (o jumtate de or reprezint ontrziere mare la o ntlnire i neglijabil la distribuirea potei) etc.! 1 ntiin, n tehnic, n economie sau n alte domenii, aprecierea relativ este imai predominant, exemplele fiind nenumrate. Ca urmare, necesitateaimpunnd cel mai adesea aprecieri relative, posibilitatea de a obine ntr-omsurare o precizie mai bun sau mai slab este avantajos s fie i eaexprimat prin eroare relativi nu prin eroare absolut. Calitatea msurriiva fi astfel caracterizat printr-un parametru mai semnificativ, care depindemai puin de valoarea msurat. Astfel, vom spune c msurarea lungimii cuo incertitudine de 1 ppm constituie o performan excepional, cu 0,1% estesatisfctoare iar cu 10% este grosolan, indiferent c msurm o lungimemic, de exemplu de 100 mm (unde 1 ppm nseamn 0,1 m

ele erorilor de msurare

Schema general a unei msurri este reprezentat n fig. 2. Obiectulsupus msurrii este "purttorul" mrimii msurate (de exemplu, o pies acrei dimensiune se msoar, un vas cruia i se msoar volumul, o bateriede lantern creia i se msoar tensiunea). Aparatul de msurat este pus n

legtur - ntr-un fel sau altul - cu obiectul, crendu-se ntre ele o

1Se pare ci "percepia logaritmic", adic legea conform creia senzaia variazproporional cu logaritmul excitaiei (dac o excitaie vizual, auditiv etc. variaz nprogresie geometric, senzaia pe care o percepe omul variaz n progresie aritmetic)conduce la aceleai concluzii. Aceasta face ca abateri relative constante ale excitaiei s fie

percepute la fel, oricare ar fi nivelul excitaiei.

22


23/104

interaciune care permite aparatului s fie "impresionat" de mrimea caretrebuie msurat. Pe lng aceasta, mai exist ns numeroi factori careinflueneaz msurarea, putnd avea efecte i asupra obiectului, i asupraapar

2 sugereaz principalele "surse" din care pot proveni

rii;

iect; influenele exterioare.

atului.Schema din fig.

erorile de msurare: obiectul supus msur aparatul de msurat; interaciunea aparat-ob

Fig. 2. Surse de erori la o msurare

perfeciuneapiese

obile,stabi

Erorile datorate obiectului supus msurrii se numesc i "erori de

model", deoarece ele sunt o consecin a idealizrii sau simplificriiacestuia, asociindu-i un "model" care nu corespunde realitii. De exemplu,dac msurm diametrul unei piese cilindrice a crei seciune nu este perfectcircular, vom obine rezultate diferite dup poziia aparatului cu care facemmsurarea. Incertitudinea msurrii provine n acest caz din im

i, n comparaie cu modelul unui cilindru perfect circular.Erorile datorate aparatului de msurat, numite i "erori instrumentale",

sunt cele mai obinuite i deseori considerate ca singurele importante ntr-omsurare. Ele depind de concepia i construcia aparatului, fiind rezultatul anumeroase "erori componente" provenite din fineea de gradare a scriiaparatului (erori de citire), precizia dimensiunilor pieselor sale componente

i jocurile lor de asamblare, forele de frecare ntre prile mlitatea proprietilor fizice ale elementelor componente etc.Incertitudinea aparatului de msurat este caracterizat cel mai adesea

printr-o eroare relativ sau o eroare raportat limit, numit eroare tolerat.Pentru multe tipuri de aparate de msurat se definete o clas de precizie,

prin standarde sau norme de produs. La aparatele indicatoare (cu scargradat i ac indicator), clasa de precizie este un numr egal cu eroarearaportat tolerat, exprimat n procente, valoarea convenional de

23


24/104

raportare (xc) fiind de obicei egal cu limita superioar de msurare aaparatului. Noiunea de clas de precizie are avantajul c reprezint ocaracteristic independent de intervalul de msurare al aparatului,depinznd doar de caracteristicile sale constructive i fiind deci aceeai

pentru o familie ntreag de aparate similare, dar cu limite de msurarediferite. De exemplu, pentru msurarea curentului continuu se fabricfamilii de aparate magnetoelectrice, de clas de precizie 1,5, care pot avealimite de msurare de 100 A (microampermetre), 10 mA sau 100 mA(miliampermetre), 1 A, 10 A sau mai mult (ampermetre). Eroarea absolut afiecruia din aceste aparate este diferit, dar eroarea raportati deci clasade p

ipent

se cunoate eroarea tolerat total, la o valoare dat amri

i o variaie sensibil, n funcie

recizie este aceeai.Trebuie observat c clasa de precizie nu d direct eroarea relativ cu

care poate msura aparatul respectiv. Eroarea relativ n procente este egalcu clasa de precizie numai la captul superior al scrii aparatului, fiind maimare n orice alt punct al scrii. De exemplu, la un ampermetru de 10 A, declas de precizie 0,5, eroarea relativ de msurare poate ajunge la 0,5% cndcurentul msurat este de 10 A, la 1% cnd este de 5 A, la 2% pentru 2,5 Aetc. La nceputul scrii gradate eroarea relativ poate atinge valori excesivde mari. De aceea, un aparat de msurat trebuie folosit astfel nct indicaiasa s fie situat pe ct posibil n ultimele dou treimi ale scrii, i numa

ru msurri orientative (mai grosolane) la primele diviziuni ale scrii.

La aparatele de msurat mai complexe, cum sunt multe aparateelectronice, eroarea tolerat este dat ca o combinaie de eroare raportatieroare relativ. Cnd se folosesc asemenea aparate, este necesar de efectuatun mic calcul pentru a

mii de msurat.Erorile datorate interaciunii aparat-obiect, numite i "erori de

interaciune", sunt provocate de aciunea perturbatoare pe care o exercitaparatul de msurat asupra obiectului supus msurrii, sau invers, de obiectasupra aparatului. De exemplu, dac vrem s msurm o dimensiune a unei

piese dintr-un material relativ moale i o strngem cu o for exagerat ntreflcile micrometrului sau ublerului, piesa se va deforma i msurarea va fi

eronat. Erori similare va produce un voltmetru care consum putere dincircuitul de msurare, sau un termometru care imersat n mediul de msurati modific acestuia temperatura. Exist o maxim veche care exprimsugestiv ideea interaciunii aparat-obiect: "Un termometru nu msoarniciodat altceva dect propria sa temperatur". Pentru a msura corecttemperatura unui alt corp, el va trebui s preia de la acesta o cantitate decldur (sau s-i cedeze) pn cnd temperaturile lor vor deveni egale. Prinaceasta, temperatura de msurat poate sufer

24


25/104

de m

ot fi cunoscute cuincertitudini xi p al cror produs este dat de relaia

asa i proprietile corpului respectiv.O perturbare a obiectului supus msurrii se produce la orice msurare.

Cu o oarecare exagerare, fizicianul Bohr ilustreaz acest principiu spunndc "aa cum biologul distruge viaa cutnd s-i ptrund tainele, savantuldistruge sau modific obiectul pe care l studiaz". Desigur, existnenumrate msurri n care efectul perturbator al aparatului este att de micnct practic rmne insesizabil (de exemplu, msurarea temperaturiisuprafeei soarelui cu ajutorul unui pirometru!). n principiu, la scarmacroscopic (adic fr a ine seama de structura discontinu a materiei) omsurare poate fi fcut practic neperturbatoare, prin creterea "fineei"aparatului de msurat. Dar pe msur ce ne apropiem de dimensiuni

comparabile cu cele ale microparticulelor care constituie materia, intervinfenomene noi, neexplicabile prin fizica clasic. Astfel, principiul luiHeisenberg (celebra "relaie de incertitudine") afirm c poziia x iimpulsul p ale unei particule la un moment dat p

x p h unde h = 6,62 .10-34 Js este constanta lui Planck. Deci, la scarmicroscopic (scara fenomenelor atomice) msurarea are o limit natural,impu

ui n care se facemsu

ii"; la fel, se definesc erorisupl

s de legi ale fizicii.

Erorile datorate influenelor exterioare pot fi explicate n primul rndprin aceea c aparatul de msurat real spre deosebire de unul ideal,sensibil numai la mrimea de msurat este influenat i de mrimi strinemsurrii, numite mrimi de influen. Se cunosc dou categorii principalede mrimi de influen: mrimi caracteristice mediul

rarea i mrimi proprii obiectului supus msurrii.Mrimile de mediu care influeneaz msurarea sunt temperatura

ambiant, umiditatea aerului, presiunea atmosferic, cmpurielectromagnetice perturbatoare, radiaii ionizante i altele. De exemplu, ovariaie a temperaturii ambiante produce modificri ale dimensiunilor

pieselor componente ale aparatului de msurat, ale constantelor elastice, ale

unor parametri electrici etc., provocnd o variaie a indicaiei aparatului,dei valoarea mrimii de msurat a rmas neschimbat. Se vorbete n acestcaz de o "eroare suplimentar datorit temperatur

imentare datorate altor mrimi de influen.Anumite mrimi caracteristice obiectului de msurat, dar altele dect

mrimea de msurat, pot cauza i ele o indicaie nedorit a aparatului demsurat. De exemplu, un aparat pentru msurarea debitului lichidelor(debitmetru) este influenat nu numai de debit, dar ntr-o oarecare msuri

25


26/104

de densitatea i de viscozitatea lichidului. Apar astfel erori suplimentaredatorate chiar unor proprieti ale obiectului supus msurrii, fa de care unaparat ideal ar trebui s fie insensibil. Alte exemple de asemenea mrimi deinfluen sunt: frecvena, n cazul msurrii unei tensiuni alternative,amplitudinea unei mrimi creia i se msoar frecvena, prezena unorcomponeni suplimentari (impuriti) la msurarea concentraiei unuiamestec binar.

de msurare dup modul n care se manifest nms

tate este afectat de erorialeat

ei msurri, n condiii practic identice, se numesc erorisisteeroare de msurare are

dou

fie denumite incertitudine aleatorie, respectivincer

Clasificarea erorilorurrile repetate

Experimental se constat c la repetarea unei msurri n condiiipractic identice, nu se obine totdeauna acelai rezultat. Aceasta se observn special dac se folosete un aparat de sensibilitate suficient de ridicat.Erorile de msurare care variaz imprevizibil, att ca valoare ct i ca semn,la repetarea unei msurri n condiii practic identice, se numesc erorialeatorii

1 (sau erori ntmpltoare). Tot experiena arat c, n aceste cazuri,valoarea medie a rezultatelor msurrilor repe

orii mai mici dect rezultatele individuale.Valoarea medie a unor msurri repetate este n general diferit de

valoarea adevrat a mrimii msurate, datorit unor erori constante, carermn aceleai la fiecare msurare. Erorile de msurare care nu variaz la

repetarea unmatice.Se poate deci afirma c, prin definiie, oricecomponente: una aleatorie i una sistematic.

In mod corespunztor, incertitudinea unei msurri poate fi consideratca fiind format dintr-o incertitudine provocat de erorile aleatorii i dintr-una provocat de erorile sistematice. n lipsa unei terminologii mai potrivite,s-a propus ca acestea s

titudine sistematic.Pn aici am analizat cele dou categorii de erori numai pe baza

modului lor de manifestare la repetarea unei msurri. S ncercm s

ptrundem puin n mecanismul producerii acestor erori. Putem presupune,fr a restrnge generalitatea fenomenelor, c orice eroare de msurare estegenerat de modificarea unei mrimi de influen. Acele mrimi de influencare fluctueaz relativ rapid, lund n timpul unor msurri repetate valorintmpltoare, dau natere erorilor aleatorii. Dimpotriv, mrimile de

1 Cuvntul "aleatoriu" este mprumutat din matematic, mai exact din teoriaprobabilitilor, unde are sensul de ntmpltor, oarecare, imprevizibil.

26


27/104

influen care variaz relativ lent (sau sunt constante), pstrnd n timpulunor msurri repetate aceleai valori, dau natere erorilor sistematice. Deaici rezult, n primul rnd, c nu exist o deosebire esenial ntre cele doucategorii de erori; ele pot fi atribuite deseori unor cauze similare, dar cuviteze de variaie n timp diferite. n al doilea rnd, departajarea lor depindede durata total a msurrilor repetate; dac o msurare se repet la intervalede timp mai mari, o eroare sistematic poate deveni eroare aleatorie. naceast lumin, erorile sistematice pot fi privite ca o component cu variaiefoarte lent a erorilor aleatorii. n al treilea rnd, pot exista mrimi deinfluen a cror perioad de fluctuaie este comparabil cu duratamsurrilor; acestea vor da natere la erori care nu se manifest nici ca erori

aleat

e necesit informaii suplimentare despre procesul de msurareconc

e. Relaia dintre acesteperechi de noiuni se poate reprezenta astfel:

ITATE /eroare JUSTEE / eroare sistematic

ura 3 cele trei noiuni sunt ilustrate prin imaginea tragerii la intcu arma.

orii, nici ca erori sistematice.Totui, pentru scopuri practice este util ca erorile aleatorii i erorile

sistematice s fie tratate distinct, deoarece incertitudinea aleatorie poate fievaluat prin repetarea msurrii, pe cnd aprecierea incertitudiniisistematic

ret.Calitatea unei msurri de a fi neafectat de erori (n general) se

numete exactitate. Neafectarea cu erori aleatorii se numete repetabilitate,iar neafectarea cu erori sistematice se numete juste

REPETABILITATE / eroare aleatorieEXACT {

In fig

Fig. 3. Erori aleatorii i erori sistematice

27


28/104

Erori aleatorii. Aa cum a rezultat de mai sus, rezultatele individualeale msurrilor repetate au valori ntmpltoare, distribuite dup o anumitlege n jurul valorii medii. Dac acest caracter ntmpltor este consecinaaciunii unui numr mare de factori de influen independeni, ceea cecorespunde majoritii cazurilor practice, distribuia rezultatelor individualeurmeaz legea normal sau legea lui Gauss, cunoscut din teoria

probabilitilor. S presupunem c se msoar o mrime a crei valoaremedie este de 100 uniti (de exemplu, 100 kg) i c msurarea se repet deun numr mare de ori. S prezentm prin dreptunghiuri numrul de rezultatecuprinse ntre 100 i 100,1 uniti, 100,1 i 100,2 uniti etc., ca i pe celentre 99,9 i 100 uniti, 99,8 i 99,9 uniti etc., astfel ca nlimea fiecrui

dreptunghi s fie proporional cu numrul corespunztor de rezultate (oasemenea reprezentare se numete "histogram"). Obinem o imagine ca nfig. 4. Curba nfurtoare a vrfurilor dreptunghiurilor prezint un maximn dreptul valorii medii i scade n ambele sensuri n mod simetric. Ea senumete "curba lui Gauss" (sau clopotul lui Gauss, datorit formei sale). Eaare o anumit expresie matematic, care poate fi dedus pornind de laipoteze relativ simple.

ezultateloFig. 4. Exemplu de repartiie a r r msurrii repetate a aceleiaimrimi

ispersia este mai mic) i incertitudinea msurriieste

Curba lui Gauss arat c cele mai multe rezultate individuale suntgrupate n jurul valorii medii, cu probabiliti egale de a lua valori mai micisau mai mari dect aceasta. Precizia msurrii este caracterizat de"ngustarea" curbei: cu ct aceast curb este mai ascuit, rezultatele suntmai apropiate ntre ele (d

mai mic (figura 5).Cantitativ, incertitudinea aleatorie poate fi caracterizat cel mai bine

prin abaterea standard (sau eroarea medie ptratic). Fie x1, x2, ... xn

28


29/104

rezultatele a n msurri repetate. Abaterea standard se estimeaz prinexpresia

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2

1 2 1...

1 1

n

in i

xx x x x x x

sn n

=

+ +

= =

i Gauss pentru douiruri de msurFig. 5. Curba lu ri: 1 de precizie

; 2 respectiv, mai slab

unde

mai bun

x este valoarea medie

1 2 1...

n

i

n i

xx x x

xn n

=+ += =

cSe demonstreaz aproximativ 68% din msurrile individuale dau

rezultate n limitele x s . Ca urmare, abaterea standard s caracterizeazntr-adevr incertitudinea aleatorie. De obicei, se ia un interval mai larg

dect s, n care probabilitatea incidenei rezultatelor n acest interval estemai ridicat. Cel mai frecvent, se consider ca incertitudine aleatorieintervalul 2s, care include peste 95% din rezultatele individuale. Cu altecuvinte, rezultatul msurrii poate fi reprezentat sub forma

2x x s= cu un nivel de ncredere de 95%, ceea ce nseamn o probabilitate de 0,95ca rezultatul s fie n acest interval.

29


30/104

S considerm un exemplu concret. Presupunem c masa unui corp deaproximativ 800 g a fost msurat succesiv de 15 ori i s-au obinut

atelexidin tabelul 1. In acrezult elai tabel sunt calculate media , abaterile,

i ( )i2

x i suma lor.x , ptratele acestor abateri

Aplicnd formulele de mai sus se obine eroarea medie ptratic

526,406,13

14

i rezultatul probab

s = = g

il al unei msurri individuale, ncadrat n limitele de

itudine 2s:

nfirm, valoarea cea mai mic a luixi fiind 789 g,iar c

unui ir de msurri, teoria indic o abaterestandard mai mic, egal cu

incert798,8 12,3

ix = g

cu nivelul de ncredere de 95% (s-a luat, rotunjit, 2s = 12,3). Aceastanseamn c probabilitatea ca un rezultat individual xi s se afle n afaralimitelor 798,8 12,3 = 786,5 g i 798,8 + 12,3 = 811,1 g este practic foartemic, sub 5% (adic sub 1 caz din 20). Examinnd datele din tabelul 1, sevede c acest lucru se co

ea mai mare 809 g.Pentru valoarea medie a

0ssn

Prin acea

=

sta trebuie s nelegem c valoarea mrimii de msurat se aflntre limitele

2 0x s=

u un nivel de ncredere de 95%. Pentru exemplul precedent, se obinec

0

6,131,58

15

s = = g,

aloarea de msurat poate fi considerat

cu un nivel de ncredere de 95%.

deci v

798,8 3, 2x = g,

30


31/104

Tabelul 1

i i x ( )2ix x 798 0,8 0,64

796 2,8 7,84

803 + 4,2 17,64

795 3,8 14,44

804 + 5,2 27,04789 9,8 96,04

801 + 2,2 4,84

791 7,8 60,84

794 4,8 23,84

809 +10,2 104,04

806 + 7,2 51,84

792 6,8 46,24

807 + 8,2 67,24800 + 1,2 1,44

797 1,8 3,24

= 798,8(media)

( ) 0ix x =

(verificare)526,40

ix x =

Trebuie fcut aici precizarea cs caracterizeaz msurarea n sine inu depinde de n dac acesta este suficient de mare. Deci parametrul s se

folosete dac vrem s tim la ce ne putem atepta de la oricare dinmsurrile individuale. n schimb, s0 caracterizeaz rezultatul prelucrat almsurrii i scade cu n; teoretic putem micora orict de mult pe s0, dacefectum un numr suficient de mare n de msurri. Practic ns aceastscdere este destul de lent; referindu-ne la exemplul de mai sus, pentru aobine o incertitudine aleatorie 2s0 = 1 g n locul celei de 3,2 g, ar trebui sefectum peste 150 de msurri!

In concluzie, prelucrarea rezultatelor unui ir de msurri, pentru

31


32/104

determinarea incertitudinii aleatorie reclam un numr relativ mare demsurri i calcule laborioase, dac se urmrete o reducere nsemnat aacestei incertitudini1. n aparatura electronic modern, se aplic tot mai destehnici de prelucrare automat a rezultatelor, repetarea msurrilor icalculele valorilor medii, abaterilor standard etc. fiind automatizate. Un

procedeu asemntor de "mediere" a msurrii se petrece n aparatele demsurat care indic valoarea medie a mrimii msurate, pe o anumit

perioad (ca la majoritatea tipurilor moderne de multimetre digitale, bazatepe in

s fii ntr-adevrsigu

operaie, dacince r toare.

e mai rapid, necesitnd intervenii mai frecvente pentru

tegrarea tensiunii aplicate).Ca un ultim comentariu la problema incertitudinii aleatorii, trebuie

subliniat c n multe msurri uzuale ea este neglijabil n comparaie cu

incertitudinea sistematic. De aceea, n cazurile n care se bnuiete oasemenea situaie, se recomand o singur msurare suplimentar, pentrueliminarea eventualelor greeli grosolane. Dac diferena dintre cele doumsurri este sensibil mai mic dect incertitudinea sistematic estimat,efectul erorilor aleatorii poate fi ignorat (mai muli autori ajung chiar sironizeze tendina de supraestimare a erorilor aleatorii; astfel, se citeaz ca"reguli de aur" ale metrologiei: ,,O msurare proast poate fi repetat de omie de ori i rezultatul rmne tot greit" sau "Dac vrei

r de rezultatul unei msurri, nu o repeta niciodat!").Erori sistematice. De la nceput, este necesar s facem distincie ntre

erorile sistematice cunoscute, pe care le putem elimina prin aplicareaimediat a unei corecii potrivite, i erori sistematice necunoscute, pe care le

putem doar evalua. Deseori, chiar n cazul unor erori sistematice pe careavem posibilitatea s le determinm cu ajutorul unui aparat de preciziesuperioar sau al unui etalon, renunm la aceast

rtitudinea sistematic astfel rmas nu este supS lum un exemplu din viaa de toate zilele.

Ne putem verifica ceasul propriu n orice clip, dnd telefon la unserviciu de or exact sau consultnd ceasul unui calculator; inem seamaapoi de corecia necesar. Dac ns tim dinainte c ceasul nostru nu areerori prea mari, l vom folosi fr aceast corecie. Desigur, aplicarea

coreciei devine necesar n momentul n care eroarea sistematic ajungeexcesiv. Se vede, din acest exemplu, n care avem de a face cu o eroaresistematic variabil n timp, c ea este cu att mai suprtoare cu ctvariaia ei est

1 Tratarea de fa a fost n mod intenionat mult simplificat, urmrindu-se

doar ilustrarea principiilor de baz. Pentru completare, pot fi consultate lucrri despecialitate, manuale i standarde.

32


33/104

core

t lucru este necesar, eroareasiste

re efectuate anterior sau asimilarea cu tipuri de msurriasem

componente independente ntre ele, se obine prin

nsumare ptratic:

ctarea ei.Exist i erori sistematice constante (invariabile n timp). Asemenea

erori prezint, de exemplu, o rigl gradat greit, o msur de volum cureperul trasat incorect, un cntar la care folosim greuti decalibrate. Ceifamiliarizai cu msurrile electrice tiu c un voltmetru cu rezisten interninsuficient de mare (n comparaie cu rezistena circuitului de msurare) vaindica o tensiune totdeauna mai mic dect cea real, din cauza curentuluiabsorbit din circuit. n toate aceste cazuri, se pot aplica coreciile cuvenite,determinabile printr-o etalonare prealabil sau prin calcul. Totui, vomaplica efectiv corecii numai dac aces

matic fiind considerat inadmisibil.

In concluzie, o eroare sistematic identificat, determinati adugatcu semn schimbat la rezultatul msurrii nu mai contribuie la incertitudineasistematic a acestuia. Problema care se ridic n continuare, de multe orirelativ dificil, este aceea a evalurii incertitudinii sistematice datorit unorerori neidentificate (motivele neidentificrii pot fi variate: complicaie icost nejustificate, indisponibilitatea unor mijloace adecvate, incomoditatesau durat prea lung a operaiilor necesare etc.). Dificultatea evaluriiincertitudinii sistematice n comparaie cu cea a incertitudinii aleatorii const n faptul c ea nu-i manifest prezena prin repetarea msurrii. ngeneral, incertitudinea sistematic poate fi evaluat numai de ctre un buncunosctor al procesului concret de msurare considerat (ceea ce nu eranecesar pentru evaluarea incertitudinii aleatorii). El va analiza fiecare surs

posibil de erori sistematice i va aprecia contribuia fiecreia, pe baza unorconsiderente fizice i tehnologice, raionamente, calcule, experiena unormsurri simila

ntoare.Att timp ct erorile sistematice sunt necunoscute, ele pot fi tratate tot

ca evenimente probabile, pe baza teoriei probabilitilor. Fiecreiincertitudini sistematice componente i se poate asocia o abatere standardcorespunztoare. Conform teoriei probabilitilor, abaterea standard total,datorit unor erori

2 2 21 2

2...m

m i

1i

s s s s= + + + =

oruluieste

=

unde 1 2,, ... ms s s sunt abaterile standard componente, corespunztoare

fiecreia din cele m surse de erori considerate. Sarcina experimentatdeci de a aprecia ct mai realist valorile acestor abateri standard.

33


34/104

Evaluarea incertitudinii totale a unei msurri. n practica msurrilor aa cum s-a artat este foarte important ca cel care efectueaz omsurare s fie contient de incertitudinea cu care se determin rezultatulmsurrii. n cazul msurrilor tradiionale bine cunoscute, exist datesuficiente n literatura tehnic de specialitate (cri, normative, documentaietehnic etc.) din care utilizatorul poate extrage informaiile necesareevalurii incertitudinii asociate acestor msurri. Problema evaluriiincertitudinii de msurare se pune n mod deosebit la elaborarea unormetode sau procedee noi de msurare, la construirea de aparate, instalaiisau sisteme noi de msurare. In aceste cazuri, este necesar o analiz uneorilaborioas a erorilor de msurare, care reclam o bun cunoatere att a

teoriei generale a erorilor de msurare, ct i a procesului de msurareparticular analizat. De regul, n acest scop incertitudinea aleatorie i ceasistematic sunt evaluate separat, urmnd o metodologie ale crei idei de

baz au fost schiate mai sus. In final, se ajunge la valori apreciate ale celordou abateri standard, corespunztoare erorilor aleatorii sa i respectiverorilor sistematicess. Dac una din acestea este predominant (de cel puintrei ori mai mare), cealalt poate fi neglijat. Dac ele au valoricomparabile, eroarea medie ptratic total se calculeaz cu formula

2 2s a ss s= +

loarea k= 2 este acceptabil n cele mai multecazuri ntlnite n practic.

Pentru obinerea incertitudinii totale a msurrii se multiplics cu uncoeficient k, astfel c rezultatul va fi afectat de incertitudinea ks. Valoarealui kdepinde de nivelul de ncredere considerat i de legea de distribuie aerorilor. n mod obinuit, va

34


35/104

"Informaia este echivalent cu ridicarea unei nedeterminri".

C. Shannon

3. INFORMAIA DE MSURARE

Dei titlul acestei cri este "informaie i incertitudine n msurri", am

preferat ordinea invers a introducerii celor dou noiuni, incertitudinea demsurare fiind mai uor de raportat la alte noiuni presupuse familiarepentru cititor, n primul rnd cea de eroare de msurare.

Pentru nelegerea celor ce urmeaz, este necesar s discutm pe scurtcteva idei de baz ale teoriei probabilitilor.

Despre probabilitate

Dac aruncm de foarte multe ori un zar obinuit cu ase fee, purtndnumerele de la 1 la 6, constatm c cele ase numere ies practic cu aceeaifrecven. Se definete probabilitatea a n evenimente echiprobabile (la fel de

probabile) ca

1pn

=

n acest caz simplu, probabilitatea unuia din cele n evenimente posibileeste cu att mai mic, cu ct numrul n este mai mare. La aruncarea cuzarul, probabilitatea obinerii unuia din numere, de exemplu a numrului 3,estep=l/6. Probabilitatea extragerii uneia din cele 52 de cri dintr-un pachetde cri de joc estep=1/52.

Probabilitatea de obinere la aruncarea zarului a oricreia din doucifre, de exemplu 3 sau 4, este evident dubl, adicp=1/3.

Probabilitatea ca aruncnd dou zaruri, s obinem pe amndou

aceeai cifr aleas dinainte este egal cu produsul celor dou probabiliti,adicp=(1/6) (1/6)=1/36.O probabilitate p=l nseamn un eveniment cert (de exemplu,

probabilitatea ca la aruncarea zarului s obinem oricare din numerele de la1 la 6), iar o probabilitate p=0 nseamn eveniment imposibil (de exemplu,ca rezultatul aruncrii zarului s fie 7). Evident, suma probabilitilor tuturorevenimentelor posibile, ntr-un proces dat, este totdeauna egal cu l.

n mod asemntor se definete noiunea de probabilitate i n cazul

35


36/104

unor evenimente neechiprobabile. De exemplu, se poate pune ntrebarea:care este probabilitatea ca peste o jumtate de or s plou? Dac cerul estecomplet senin, probabilitatea formulat este foarte mic, de exemplup=0,0l,iar probabilitatea s nu plou va fi p'=0,99. Se poate face generalizarea

pentru n cazuri posibile, cu probabiliti p1, p2,...pn, astfel ca pl+p2+ ...+pn=1. De exemplu, dac ntr-o urn sunt amestecate 100 de bile identice caform, dar de culori diferite: 40 roii, 25 albastre, 15 galbene, 12 verzi i 8albe, probabilitatea ca o persoan cu ochii legai s extrag o bil roie va fi

pl =0,4, o bil albastrp2=0,25, una galbenp3=0,15, una verde p4=0,12 iuna albp5=0,08.

Informaie i cantitate de informaieSe poate spune, n general, c cineva primete o informaie atunci cnd

dobndete despre un subiect cunotine mai complete dect cele pe care le-a avut anterior. Orice comunicare verbal sau scris, semnalizare, mesajsau alt legtur ntre oameni are de obicei ca scop transmiterea uneiinformaii. O exprimare cantitativ a informaiei, care s in seama deimportana acesteia pentru cel care o recepioneaz, este foarte dificil. Deexemplu, informaia "copilul lui Ion Ionescu, nscut azi, este biat" are ovaloare foarte mare pentru Ion Ionescu i una practic nul pentru aproape totrestul omenirii.

Teoria matematic a informaiei, elaborat n principal de C. Shannoni N. Wiener, evit orice element subiectiv din definirea noiunii de cantitatede informaie. Ea are n vedere o problem la care exist un numr posibilde rspunsuri. Dac dobndim cunotine noi despre problem, putemreduce numrul de rspunsuri corecte; putem ajunge chiar la a precizasingurul rspuns corect. Afirmm c n aceste cazuri am primit o informaie.Cantitatea de informaie primit depinde de raportul dintre numrulrspunsurilor considerate corecte nainte i dup primirea informaiei; eaeste maxim atunci cnd am redus rspunsurile corecte la unul singur. Deexemplu, dac ntr-o staie opresc tramvaiele nr. 11, 20 i 26, autobuzele nr.37 i 68 i troleibuzele nr. 84 i 96, se poate pune ntrebarea: care din

acestea va veni primul? Avem 7 rspunsuri posibile. n momentul n carevedem apariia unui autobuz, am redus numrul rspunsurilor la 2.Cantitatea de informaie primit este funcie de raportul 7/2. Dupidentificarea numrului su (de exemplu, autobuzul nr. 68), a rmas unsingur rspuns, corespunznd unei cantiti de informaie mai mari, dat deraportul 7/1.

Definiia cantitii de informaie, n cazuri mai simple. Practic, pentruexprimarea cantitativ a informaiei au fost introduse uniti logaritmice, din

36


37/104

motive care vor fi lmurite n continuare. Cea mai simpl problem esteproblema elementar, cea care admite numai dou rspunsuri, pe care lepresupunem pentru nceput echiprobabile (probleme la care se rspunde cuda sau nu, prezent sau absent, 1 sau 0, alb sau negru etc.). Precizarea uneiadin cele dou posibiliti o definim ca unitate de msur a informaieinumit bit (de la "binary unit", adic unitate binar).

S ne imaginm acum c avem o problem cu 4 rspunsuri posibile. Eaeste echivalent cu 2 probleme elementare de tip da - nu. Intr-adevr, putemsepara cele 4 rspunsuri n 2 grupuri de cte 2 rspunsuri i punem primantrebare astfel: care din cele dou grupuri conine rspunsul corect? Dupce primim rspunsul la aceast ntrebare, ajungem la problema precedent.

Deci rezolvarea problemei cu 4 rspunsuri posibile necesit o cantitate deinformaie de 2 bii. n mod similar, se poate arta uor c la rezolvarea unei

probleme cu 8 rspunsuri posibile cantitatea de informaie este de 3 bii, launa cu 16 rspunsuri este de 4 bii etc.

Rezult, n general, cI=log2N

unde I este cantitatea de informaie, n bii, N este numrul de cazuriposibile, iar simbolul log2 nseamn logaritmul n baza 2. Relaia poate fiinterpretat i astfel: cantitatea de informaie, n bii, reprezint puterea lacare trebuie ridicat numrul 2 pentru a obine cazurile posibileN. DacN=2(problema elementar, cea binar) rezult evidentI=1 bit. Aruncarea zaruluiaduce o cantitate de informaieI=log2=2,58 bii, iar extragerea unei cri de

joc din pachetI=log252=5,70 bii.

Definiia cantitii de informaie, n cazul general. Pentru a face unpas mai departe, este necesar s generalizm noiunea de informaie, astfelnct s fie cuprinse i cazurile evenimentelor cu probabiliti diferite. Inacest scop, a fost introdus noiunea de entropie informaional, ca msur a"strii de nedeterminare" a unui sistem (asemntoare entropieitermodinamice1). Cu ct starea de nedeterminare (de dezorganizare, denecunoatere) a unui sistem este mai accentuat, cu att entropia sa este maimare. Presupunem c sistemul poate avea n stri posibile (se pot da n

1 Se povestete c C. Shannon, care a introdus noiunea de entropieinformaional, a fost ntrebat de ce nu a preferat un termen mai comun, ca"nedeterminare", "incertitudine" sau "informaie". Shannon a rspuns c, pe lngsimilaritatea cu entropia termodinamic, s-a gndit la faptul c despre "entropie"nimeni nu tie precis ce este, ceea ce va fi un atu puternic n previzibiIele discuiicu viitorii adversari ai teoriei sale.

37


38/104

rspunsuri diferite despre starea lui), avnd probabilitile corespunztoarep1, p2,...pn. Revenim un moment la cazul simplificat de mai sus, alevenimentelor echiprobabile; n acest caz, am artat c

1 2

1... np p p

n= = =

Prin definiie, entropia informaional H reprezint cantitatea deinformaie total necesar pentru a anula starea de nedeterminare asistemului (a-l aduce n "ordine" perfect, sau cu alte cuvinte a-lcunoate complet):

H= log2n

Este firesc s considerm c fiecare stare particular a sistemuluicontribuie la acest grad de nedeterminare cu a n-a parte, adic cu

2 2

1 1 1log log logi in p

n n n= 2 p

p

undepi=l/n este probabilitatea fiecreia din cele n stri.Acum, dac probabilitile celorn stri nu sunt egale, putem privi aceastexpresie de asemenea valabil, avnd ns probabilitipi diferite (p1p2 ...pn). Entropia rezult ca sum a contribuiilor celorn stri posibile:

21

logn

i i

i

H p=

= (datorit semnului minus, entropiaHrezult pozitiv, deoarecepi< 1).

Examinnd aceast expresie, constatm imediat c se confirmproprietile enunate mai sus. Entropia informaional ne arat starea denedeterminare a unui sistem, sau gradul de incertitudine n cunoatereasistemului. Cu ct tim mai puin despre sistem, cu att entropia este maimare. Dac uneia dintre stri i se atribuie probabilitatea pi=l (rspuns cert,deci toate celelalte probabiliti sunt nule), entropia este nul1; cunoscndu-se deci rspunsul corect nu exist incertitudine. Dac, n schimb, toate

1 Aceast proprietate se poate demonstra, examinnd termenii expresiei luiH. Pentrup=1, termenulp log2p este nul, deoarece log2 1=0. Pentrup=0,produsulp log2p este naparen nedeterminat, deoarece log2p = . Cititorii cunosctori ai analizei matematicetiu ns c produsulp log2p tinde ctre zero, atunci cndp tinde ctre zero. Ceinecunosctori se pot mulumi cu observaia c, njumtind succesiv probabilitateap,

produsul p log2p scade, putnd deveni orict de mic; astfel, pentrup= 1/2 rezult p log2p= 1/2; pentrup= 1/4:p log2p =2/4; pentrup= 1/8: p log2p =3/8; pentrup= 1/16: p log2p =4/16; pentrup= 1/32: p log2p =5/32 etc.

38


39/104

probabilitilepi sunt egale, entropia este maxim (proprietate care se poatedemonstra matematic uor1); aceasta nseamn c nu exist preferin pentruvreunul din rspunsuri, deci incertitudinea este maxim. n acest caz, al

probabilitilor egale, nedeterminarea i deci entropia sunt cu att mai mari,cu ct numrul n de stri posibile este mai mare.

Atunci cnd se obine o informaie despre un sistem, gradul lui denedeterminare (incertitudine) va scdea. n urma acestei informaii, se potatribui noi probabiliti 'ip diferitelor rspunsuri. Deci entropia calculat pe

baza noilor cunotine despre sistem, corespunztoare probabilitilor finale'ip , este mai mic dect entropia calculat pe baza cunotinelor anterioare,

corespunztoare probabilitilor iniiale ip .Prin definiie, diferena dintre entropia informaional nainte i dup

primirea informaiei constituie CANTITATEA DE INFORMAIE primit:

( ) ( ) 2 21 1

' log ' log 'n n

i i i i i

i i

iI H p H p p p p p= =

= = +

S calculm, de exemplu, cantitile de informaie pentru exemplulanterior, considernd c apariia oricruia din cele 3 tramvaie are

probabilitatea 0,2, iar a oricruia din cele 2 autobuze sau 2 troleibuze areprobabilitatea 0,1. Aceasta nseamn pl=p2=p3=0,2; p4=p5;=p6=p7=0,1.Entropia informaional este 3(0,2 log2 0,2)4(0,1 log2 0,1)=2,72 bii. Dup

primirea primei informaii, i anume aceea c vehiculul care se apropie destaie este un autobuz, avem pl=p2=p3=0; p4=p5=0,5; p6=p7=0 (deoareceacum probabilitile de apariie a tramvaielor sau troleibuzelor sunt nule, iarcele ale autobuzelor sunt egale ntre ele). Entropia devine 2(0,5 log20,5)=l

bit. Dup primirea celei de a doua informaii, care precizeaz numrulautobuzului, vom aveap5=1 i toate celelalte probabiliti nule, iar entropiaeste egal cu zero. Prima cantitate de informaie este deci 2,721=1,7 bii,iar a doua este 10=1 bit.

Noiunile de entropie informaional i cantitate de informaie aunumeroase aplicaii n teoria comunicaiilor, transmisiuni de date,

1 Pentru cazul simplu a numai dou evenimente posibile, cu probabilitip1=p ip2=1p, analiza matematic arat c expresiaH=p log2p (1p) log2(1p),pentrupvariabil, este maxim dacp= 1/2. Elementar, aceast proprietate poate fi verificat prinncercri: pentrup1=p2 = 1/2 rezultH=1; pentrup1=1/4 ip2=3/4:H=0,81;pentrup1=1/8ip2=7/8: H=0,54etc.

39


40/104

calculatoare, fizic teoretic, fiziologie, lingvistic etc.1 Astfel, se poatecalcula cantitatea de informaie coninut ntr-un mesaj transmis sub oriceform (vorbit, scris, codificat etc.) ntr-o imagine, ntr-o memorie de mainsau uman etc. Un cuvnt conine n medie o informaie de 1,5 ... 6 bii, iar

pe 1 cm de band magnetic se pot nregistra 1000 bii. O imagine(fotografie) poate conine ntre 104 i 106 bii. Memoria unui calculatorelectronic poate nmagazina ntre 108i 1016 bii. Se apreciaz c memoriauman are o capacitate ntre 1012 i 1020 bii (dar ea este utilizat numai

parial, omul avnd nmagazinat n memoria sa o cantitate de informaieconsiderabil mai mic).

Debit de informaie. ntr-un sistem de transmisiune a informaiei (deexemplu, un sistem de telecomunicaii) intereseaz nu numai cantitatea deinformaie coninut ntr-un mesaj, ci i viteza cu care ea poate fi transmis,deci cantitatea de informaie n unitatea de timp. Ea se numete debit deinformaie i se msoar n bit/secund. Practic se pot deosebi: debit deinformaie generat (de un emitor, o fiin vie etc.), debit de informaietransmis (pe un canal de comunicaie) i debit de informaie recepionat(de un receptor, un nregistrator, o memorie etc.).

Debitul de informaie depinde de viteza cu care sistemul generator,transmitor sau receptor i poate modifica starea fizic (sau chimic,

biologic etc.) a unor elemente componente ale sale pentru a reprezenta

succesiv, pe baza unor anumite coduri, mesajele care urmeaz unul dupaltul i care conin fiecare anumite cantiti de informaie.Debitul de informaie caracterizeaz comportarea sistemului nu static

(pentru aceasta servete noiune a de cantitate de informaie) ci dinamic, nrelaie cu timpul, asemntor debitului de lichid printr-o conduct saudebitului de material pe o band rulant. Un capitol important al teorieitransmisiunii informaiei stabilete legtura dintre modul de codificare amesajului transmis i debitul maxim transmisibil prin sistem, numitcapacitate a canalului. Se demonstreaz c pentru orice canal detransmisiune a informaiei exist o codificare optim, care asigur un debitde informaie egal cu capacitatea canalului. Cu orice alt cod, debitul

transmisibil este mai mic dect capacitatea canalului. Unele din sistemeleactuale de telecomunicaii sunt proiectate pentru un regim apropiat de celoptim, folosind n acest scop concepte i metode proprii teoriei informaiei(de exemplu, n telefonia multipl cu modulaie n impulsuri, ncomunicaiile extraterestre). Deseori ns aceste sisteme tehnice sunt

1"Entropia universului este egal cu cea a haosului minus informaia necesarpentru reconstruirea universului din haos" spune fizicianul R. C. Raymond.

40


41/104

complicate i costisitoare, astfel c se folosesc n continuare sisteme clasice,n care capacitatea canalului este slab utilizat (pe un canal de televiziuneactual, destinat unui singur program, s-ar putea transmite zeci sau sute de

programe, cu o codificare corespunztoare a imaginilor transmise).O alt problem important a teoriei transmisiunii informaiei este

aceea a influenei perturbaiilor pe canalele de informaie. Ea pune neviden faptul c n prezena perturbaiilor are loc totdeauna o pierdere deinformaie, echivalent cu erori ale mesajului recepionat, n raport cu celemis.

Ca ilustrare, menionm c debitul de informaie maxim pe care l poaterecepiona creierul uman variaz, n funcie de tipul mesajului, de

caracteristicile psiho-fiziologice ale persoanei i de condiiileexperimentului, ntre 5 i 70 bit/s. Capacitatea canalelor de telecomunicaii

poate fi de ordinul 102 ... 109 bit/s i chiar mai mari la sisteme speciale(radiorelee, fibre optice etc.). Accesul n memoria unui calculator electronic(introducerea i citirea datelor) poate asigura un debit de informaie foartevariabil, n funcie de tipul memoriei, de la 104 bit/s la 1012 bit/s (n cazulunor memorii ultrarapide).

Cantitatea de informaie n msurri

Operaia de msurare constituie un caz tipic n care pot fi aplicate

conceptele de baz ale teoriei informaiei. S presupunem c avem demsurat o mrime fizic, despre a crei valoare tim doar c este cuprinsntre anumite limite (de exemplu, n intervalul de msurare al aparatului).Deci nainte de msurare, entropia informaional este relativ mare,corespunztoare incertitudinii mari asupra valorii de msurat. Dupmsurare, obinem un rezultat, nsoit de o incertitudine relativ mic, nfuncie de exactitatea aparatului. Entropia informaional a sistemului va fiacum mult mai mic, corespunztoare doar incertitudinii aparatului demsurat. Diferena dintre cele dou entropii este tocmai cantitatea deinformaie pe care o obinem prin efectuarea msurrii.

Analogia cu noiunea de informaie n comunicaii este evident. Aa

cum n comunicaii transmiterea unui mesaj nseamn precizarea uneia dinmai multe variante posibile (de exemplu, transmiterea unei litere n codulMorse nseamn fixarea uneia din cele 27 litere ale alfabetului), n msurriobinerea rezultatului nseamn stabilirea valorii mrimii de msurat, dintr-un numr de valori posibile (i necunoscute apriori); n ambele cazuri,operaia de comunicare, respectiv de msurare reclam vehicularea uneiinformaii. n cazul msurrilor, aceast informaie este numit informaiede msurare.

41


42/104

Se poate arta uor c exist o legtur strns ntre informaia demsurare i incertitudinea (sau exactitatea) de msurare. Intuitiv este evidentc la o msurare mai exact se obine o cantitate mai mare de informaie.Pentru exemplificare, s presupunem c msurm o lungime cuprins ntre 0i 1 m, cu ajutorul unei rigle cu 100 diviziuni (gradat n centimetri). Cuajutorul acestei rigle, se pot obine 100 rezultate diferite. nainte demsurare, dac nu tim nimic despre valoarea de msurat, putem considerac probabilitile celor 100 cazuri sunt egale. Entropia informaional estelog2100=6,64 bii. Dup msurare, aa cum s-a artat, entropia devine nul,rezultatul fiind precizat. Informaia de msurare este deci, n general,l=log2N, undeNeste numrul de diviziuni al riglei. Dac N=1000 (rigl de 1

m gradat n milimetri), informaia de msurare devine I=log21000=9,97bii.

Relaia dintre informaia de msurare i clasa de exactitate aaparatului de msurat. n general, relaia dintre informaia de msurarefurnizat de un aparat de msurat i clasa sa de exactitate poate fi pus neviden dup cum urmeaz. nainte de msurare, tim doar c valoarea demsurat se afl n interiorul domeniului de msurare D constituind, deexemplu, ntreaga scar gradat a aparatului. Dup aflarea rezultatuluimsurrii, vom ti c valoarea cutat se afl ntr-un domeniu mai restrnsd, care este egal cu dublul incertitudinii. de msurare (dublul erorii tolerate a

aparatului). ntr-adevr, s ne imaginm un aparat cu D=100 uniti (deexemplu, un ampermetru care msoar ntre 0 i 100 A) i avnd clasa deexactitate C=0,5, adic o eroare raportat maxim de 0,5% (corespunznd,n cazul ampermetrului amintit, la 0,5 A). Scara aparatului ne-o putemimagina ca n fig. 6. Se vede c n acest caz d=l unitate, deci

100

2

D

d C=

Informaia de msurare este dat, aa cum a reieit din cele artate, denumrul de rezultate posibile, egal cu numrul de domenii d cuprinse nlimitele de msurare ale aparatului, adic N=D/d. Deci informaia de

msurare este

2 2

1log log log

DI N

N d= = = 2

sau, n baza relaiei anterioare,

2

100log

2I

C=

42


43/104

Aceast formul simpl dovedete c informaia de msurare este cuatt mai mare, cu ct clasa de exactitate a aparatului este mai bun.

Fig. 6. Scar gradat a unui aparat de msurat

Un model matematic mai precis pentru deducerea informaiei de

msurare. n analiza de mai sus am fcut, n mod tacit, dou presupunerisimplificatoare: a. valoarea mrimii de msurat poate fi oricare, cu egal

probabilitate, ntre 0 iD; b. eroarea de msurare poate fi oricare, cu egalprobabilitate, ntre d/2 i +d/2. Aceste distribuii echiprobabile nucorespund n general realitii.

Cnd cntrim la pia o cantitate de fructe, putem aprecia "dup ochi"c ea se afl, de exemplu, ntre 0,75 i 1,5 kg; deci probabilitatea ca valoareade msurat s fie ntre 0 i 0,75 kg, sau ntre 1,5 i 10 kg este practic nul,dei cntarul poate msura ntre 0 i 10 kg. La fel, cnd privim termometrul

din camer, ntr-o zi de iarn, probabilitatea ca temperatura s aib oricevaloare ntre +17 i +23C este cu mult mai mare dect n afara acestuiinterval. Spunem c legea de distribuie a valorii de msurat nu este ceaechiprobabil, ci este o lege care prezint de obicei un maximum ntr-oanumit zon de valori i tinde ctre zero n ambele extremiti. O lege dedistribuie mai apropiat de realitate este dat de curba lui Gauss (desprecare s-a vorbit n paginile anterioare), care descrie corect evenimenteinfluenate de un numr mare de factori (de exemplu, temperatura dincamer, nainte de a fi msurat, o apreciem prin senzaia de cldur sau defrig, dup durata nclzirii sobei, n funcie i de temperatura de afari degradul de izolaie termic a cldirii etc.).

La fel, dup msurare, legea de distribuie a rezultatului este i ea maibine descris de curba lui Gauss (aa cum s-a artat), deoarece probabilitateaerorilor de msurare are de cele mai multe ori o asemenea distribuie. Carezultat final al operaiei de msurare, nu se obine deci nimic altceva decto ngustare a curbei probabilitii valorii de msurat (fig. 7). Msurarea

poate fi privit ca un proces n urma cruia legea de distribuie aprobabilitii valorii de msurat devine mai ngust (mai concentrat) ieventual cu maximul deplasat, fa de legea iniial.

43


44/104

Fig. 7. Curbele probabilitii valorii de msurat nainte de msurare i dupmsurare, caracterizate de eroarea medie ptraticii respectiv .

Se poate arta c informaia de msurare, n aceast situaie, este

2 2

2 2log logi iI

+=

unde i este abaterea medie ptratic a valorii necunoscute (nainte demsurare), iar este eroarea medie ptratic a msurrii. Ca urmare, ncursul msurrii se realizeaz o reducere substanial a incertitudinii cu carese cunoate mrimea de msurat (deoarece, de regul, i este cu mult maimare dect ).

n aceast viziune, informaia de msurare pare s nu fie foarte mare, ncele mai multe cazuri din viaa de toate zilele. Referindu-ne la exemplele

precedente, daci=0,2 kg nainte de msurarea unui kilogram de fructe i=0,0l kg dup msurare, informaia de msurare este I=log2(0,2/0,01)=4,32 bii, sau daci=5C nainte de msurarea temperaturii ncamer i =1C dup msurare, I=log

2(5/1)= 2,32 bii. n msurrile de

precizie, necesare pentru controlul unor procese industriale sau n laborator,n cercetarea de laborator etc., deseori este de sute sau de mii de ori maimic dect i, ceea ce nseamn o informaie de msurare corespunztor maimare.

nc o dat despre valoarea unei msurri. Exemplele anterioareconfirm afirmaia c valoarea informaiei de msurare, pentru utilizator,depinde foarte mult de situaia particular n care se face msurarea,

44


45/104

destinaia rezultatului msurrii etc. Cunoaterea cantitii de informaie, nbii, este util pentru a putea compara ntre ele diferite metode de msurare,pentru dimensionarea corect a sistemelor de msurare i a canalelor detransmitere a datelor etc. Ea nu ne d ns o indicaie clar asupraimportanei msurrii considerate i asupra valorii ei economice. De aceea,vorbind despre teoria informaional a msurrilor, nu trebuie ssupraestimm nsemntatea ei i s ncercm s judecm rigid uneleconsecine la care ajungem. Deseori, o informaie de msurare de civa biivaloreaz practic mai mult dect mii de bii obinui n alte msurri. Oincertitudine de msurare de patru ori mai mic, ceea ce nseamn un plusde informaie de numai doi bii, poate fi decisiv n asigurarea calitii unui

produs, care fr aceasta ar deveni inutilizabil (de exemplu, dac un ajustajpiston-cilindru msurat cu o abatere standard =1 mm este acceptabil pentruutilizare, la o msurare cu =4 mm acelai ansamblu poate deveni un rebut,

putndu-se produce pagube foarte mari ntr-o producie de serie). Alteori,mai ales n cazul sistemelor de msurare "supradimensionate" ca precizie, o

pierdere de informaie considerabil poate avea efecte economice nule. Deexemplu, un electrician care trebuie s constate existena tensiunii reelei(220 V) n diferite puncte ale unei instalaii, folosete n acest scop unindicator cu neon ("creion de tensiune"), cu care obine a informaie de 1 bitla fiecare ncercare (exist numai dou posibiliti: prezena sau absena

tensiunii). Dac ar face acelai lucru cu un voltmetru de clas de exactitate0,5, informaia la fiecare msurare ar fi de 6,64 bii. Suplimentul deinformaie de 6,641=5,54 bii nu are ns nici o valoare pentru electrician,care nu are nevoie de valoarea precis a tensiunii msurate.

Debitul de informaie n msurri

Pe lng cantitatea de informaie, noiunea de debit al informaiei demsurare prezint importan n anumite categorii de msurri. Dintreacestea, sunt de menionat n mod deosebit urmtoarele dou: a. msurareamrimilor variabile n timp; b. msurarea succesiv a mai multor mrimidiferite.

Msurarea (i nregistrarea) mrimilor variabile n timp. Diferitemrimi fizice caracteristice fenomenelor naturale (de exemplu, atmosferice),unor sisteme tehnice (deplasri, fore n regim dinamic, temperaturi) saualtor sisteme pot varia n timp. Deseori este necesar s se cunoasc toatevalorile pe care le ia aceast mrime ntr-un interval de timp dat. Cu altecuvinte, se cere reprezentarea graficx(t) a mrimiix n funcie de timpul t(figura 8).

45


46/104

Fig. 8. Reprezentare grafic a unei mrimi variabile funcie de timp.

n acest scop se utilizeaz n mod obinuit aparate nregistratoare, carenscriu pe o band de hrtie n micare, cu ajutorul unei penie, curba x(t).nregistrarea se poate face continuu sau prin puncte.

Existi o alt categorie de asemenea aparate, care nregistreaz directvalorile numerice, la intervale de timp suficient de dese (nregistratoaredigitale). Oricare ar fi ns principiul aparatului, observm c avem de a facecu o succesiune de valori diferite ale mrimii msurate, msurarea fiecreiadin ele conducnd la un rezultat care nseamn o anumit informaie demsurare. Dac n fiecare secund se nregistreaz n valori distincte, iarfiecare msurare aduce o informaie de I bii, debitul de informaie (egal,

prin definiie, cu informaia total vehiculat ntr-o secund) este

Q=nI

n bit/s (bii pe secund).Debitul informaiei de msurare depinde deci de frecvena msurrilor

(factorul n din formula precedent) i de exactitatea fiecrei msurri(factorulI din formul).

In cazul mrimilor lent variabile, frecvena cu care se face msurareapoate fi mic (o frecven mare ar fi inutil, deoarece s-ar obine serii derezultate succesive practic egale). Pentru asemenea msurri se utilizeaz de

preferin aparate nregistratoare electromecanice, cu hrtie i peni,capabile s msoare mrimi cu frecvena de variaie de cel mult 1 ... 10 Hz("servonregistratoare") sau chiar 100 Hz ("nregistratoare rapide")1. Debitulinformaiei de msurare furnizate de asemenea aparate poate fi de 20 ... 200

bit/s. Se poate observa c nregistrarea este absolut necesar, pentru

1Frecvena se msoar n unitatea numit "hertz" (simbol Hz), reprezentnd unciclu de variaie pe secund.

46

informatie si incertitudine in masurari

Documents