indicaŢii Şi rĂspunsuri - dzitac.rodzitac.ro/files/trepte/76. final_indicatii+bibliografie_pag...

12
221 INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.2. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE ALGEBRĂ 1. 4 x 16 16 x 4 y 16 x 4 x 16 x y 8 y 16 x 2 2 Condiţiile radicalilor: 16 x 16 x 16 x 0 x 16 0 16 x ecuaţia devine: 16 0 16 y x S 8 ; 0 y 4 4 y 4 4 y min 2 2. Se ridică ecuaţia la pătrat de două ori consecutiv şi se obţine: 1 x , soluţie convenabilă a ecuaţiei. 3. 2 n pentru , 1 1 , 0 n pentru , 1 3 6 5 3 3 6 5 3 3 6 5 3 3 6 5 3 n n n n n n 2 n 2 n . 4. Aplicând formulele radicalilor compuşi, obţinem: 3 5 12 5 28 , 3 11 12 11 124 2 4 E , N 16 E pătrat perfect. 5. Se ştie că 2 1 b a ab R b , a , 2 b a ab . Vom folosi această inegalitate pentru fiecare membru din partea stângă a inecuaţiei: 1004 2 1 1005 1004 1005 1004 ... 4 3 4 3 3 2 3 2 2 1 2 1 502 2009 1005 1004 ... 7 12 5 6 3 2 502 1005 1004 1005 1004 ... 4 3 4 3 3 2 3 2 2 1 2 1 . 6. 0 x , 2010 x 3 2009 x 2 2008 x 2 x 2 2010 x 3 2009 x 2 2008 x 2 x 2 _____ __________ __________ 2 1 2009 x 2 1 2009 x 2 2 1 2008 x 2 1 2008 x 2 2 1 x 2 1 x 2 7. 1 13 z 3 y 2 x 2 0 3 x 2 z 0 20 z 4 y 4 0 4 y 2 x 4 0 3 x 2 z 4 0 5 z y 2 0 2 y x 2 2 13 z 3 y 2 x 2 0 12 x 8 z 4 0 5 z y 0 6 y 3 x 6 4 0 3 x 2 z 1 0 5 z y 3 0 2 y x 2 Din relaţiile (1) şi (2) 13 z 3 y 2 x 2 . 8. Prin desfacerea parantezelor şi gruparea termenilor asemenea, obţinem: 0 2 a 2 c 2 c 2 b 2 b 2 a 12 c b a 4 bc ac ab 0 , adevărat 2 c , b , a .

Upload: others

Post on 30-Aug-2019

22 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

221

INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI

III.5.2. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE

ALGEBRĂ

1. 4x1616x4y16x4x16xy8y16x22

Condiţiile radicalilor:

16x

16x

16x

0x16

016xecuaţia devine:

16016yxS8;0y44y44y min2

2. Se ridică ecuaţia la pătrat de două ori consecutiv şi se obţine: 1x , soluţie convenabilă a

ecuaţiei.

3.

2npentru,1

1,0npentru,1

3653

365336533653

nn

nnnn2n2n .

4. Aplicând formulele radicalilor compuşi, obţinem:

3512528,3111211124 24E,N16E pătrat perfect.

5. Se ştie că 2

1

ba

abRb,a,

2

baab

. Vom folosi această inegalitate pentru

fiecare membru din partea stângă a inecuaţiei:

10042

1

10051004

10051004...

43

43

32

32

21

21502

2009

10051004...

7

12

5

6

3

2

50210051004

10051004...

43

43

32

32

21

21

.

6. 0x,2010x32009x22008x2x2

2010x32009x22008x2x2

_________________________

2

12009x212009x2

2

12008x212008x2

2

1x21x2

7. 113z3y2x2

03x2z

020z4y4

04y2x4

03x2z

405zy

202yx2

213z3y2x2

012x8z4

05zy

06y3x6

403x2z

105zy

302yx2

Din relaţiile (1) şi (2) 13z3y2x2 .

8. Prin desfacerea parantezelor şi gruparea termenilor asemenea, obţinem:

02a2c2c2b2b2a12cba4bcacab0 ,

adevărat 2c,b,a .

222

GEOMETRIE

9. Fie triunghiul dreptunghic ABC, cu 90Bm^

.

Trasăm medianele AN, BD, CI.

Notăm AC = b, BC = a, AB = c.

222 ANCIBDk (1)

Aplicăm teorema lui Pitagora în ABC,ABN,CBI :

222 BCBICI 22

2 a2

cCI

222 BNABAN 22

2 c2

aAN

222 cab

Înlocuim în relaţia (1) cele obţinute:

5k4

b5

4

bkb

4

b

4

bk

c4

aa

4

c

4

bkc

2

aa

2

c

2

bk

222

22

22

222

22

222

10. Folosind proprietatea medianei din aproape în aproape, ca de exemplu,

2BC'AABC cm16AA , obţinem 2

ABC'C'B'A cm112A7A .

11. Vom folosi în rezolvare desenul de la problema 9.

cm3615129ACBCABPcm9AB

cm12BC415BC2515BCBC4

315ACBCAB

BC4

3ABBC3AB4

4

3

BC

ABtgC

ABC

222222

2222

3

4

tgC

1ctgC;

4

3

12

9

BC

ABtgC;

5

4

15

12

AC

BCCcos;

5

3

15

9

AC

ABCsin .

223

12. Vom folosi în rezolvare desenul de la problema 9. Presupunem ACBD , BD = h.

Se ştie că: ca

cah

ca

1

b

1cab

b

cah

.

13. Utilizând inegalităţile existenţei unui triunghi, observăm că există un astfel de triunghi.

acb

bca

cba

acb

bca

cba

acbc2b

bcac2a

cbab2a

acb

bca

cba

2

2

2

14. 22 cbaiar,a

bc21

2

cba

a

bch;h21

2

cba

, prin înlocuiri

bc22cbcbcb 222 .

Pentru 22 b22b22cb adevărat.

15.

ABCD paralelogram OCAO

ACBEAO2BE

ABCD paralelogram BC||AD

ABCEBC||AE trapez.

isosceltrapezABCEBEAC

trapezABCE

60EAFmAEFm^^

16.

a) Aplicăm teorema catetei:

BD

CD

AB

AC:

BDBCAB

CDBCAC

2

2

2

2

22 ACBDABCD .

b) Din relaţiile anterioare, rezultă:

BC

ABBD

BC

ACCD

2

2

2222

2

2222

2

42

2

422222

ADBCBDBCCDBCABACBC

ACABABAC

BC

ACAB

BC

ABACCDABBDAC

.

c) 222222BC2ACACAB2ABBC2ACAB2BCACAB

0ACAB

0ACACAB2ABAC2AB2ACACAB2AB

2

222222

224

III.6. TESTE DE EVALUARE INIŢIALĂ, SEMESTRIALĂ, FINALĂ

MODEL DE TEST DE EVALUARE INIŢIALĂ PENTRU CLASA A VII-A

Barem de corectare

Partea I: 45 puncte

Nr. item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Rezultate A. B. D. C. A. C. B. A. D.

Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p

Partea a II-a: 45 puncte

5 puncte

5 puncte

1.

k3b

k2ak

3

b

2

a, rezultă expresia devine:

35

36

k35

k36

k9k3k23k42

k94k3k22k43

bab3a2

b4ab2a3

2

2

22

22

22

22

.

2 puncte

2 puncte

2 puncte

2 puncte

2 puncte

2. 1232311232312yx .

Cazul I.

25y

1x

232y

1x

Cazul II.

3y

23x

12y

23x

Cazul III.

21y

1x

232y

1x

Cazul IV.

1y

23x

12y

23x

5 puncte

5 puncte

3. Din BDAC

ABAE

ABDB2

BCAC

Din triunghiurile ACE şi ADB , rezultă:

CEAD

ADBACELUL

ECADBA

BDAC

AEAB

^^

5 puncte

5 puncte

5 puncte

4.

antasecAC

FM||AD

^^

AEFDAE alterne interne.

antasecBF

FM||AD ^^

AFEBAD corespondente.

AFEAFEAEF

DAEBAD

AFEBAD

AEFDAE

^^

^^

^^

^^

isoscel.

225

MODELE DE TESTE SEMESTRIALE PENTRU CLASA A VII-A

MODEL DE TEZĂ – SEMESTRUL I

Barem de corectare

Partea I: 45 puncte

Nr. item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Rezultate 7 4 32√3cm2

1235 1 1200

8+4√3 -3 10

Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p

Partea a II-a: 45 puncte 5 puncte

5 puncte

5 puncte

1. b5

4a

5

4

b

a

b5

7c

7

5

c

b

7

4b

5

7:b

5

4

c

a

4 puncte

3 puncte

4 puncte

4 puncte

2. 1222

abc

2

abc...

2

abc

2

abc

2

abcabc 1nn

1n321

1222

1...

2

1

2

11abc 1nn

n32

1222

122abc 1nn

n

1nn

512;256;128abc9;8;7n2abc n

2 puncte

2 puncte

1 punct

2 puncte

4 puncte

4 puncte

3. a) În cm6BDADB

2ABD cm318

2

636A

2BCDABD cm318AA

2ABDABCD cm336A2A

b) În AMO şi BCOLUL

^^

^^

BOCmAOMm

BCMA

150MAOmOBCm

BCOAMO COMO

226

MODEL DE TEZĂ – SEMESTRUL II

Barem de corectare

Partea I: 45 puncte

Nr. item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Rezultate 86 -7 64 30xy 1 √3 3 6 12

Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p

Partea a II-a: 45 puncte 5 puncte

5 puncte

5 puncte

1. 2yxxy44

yx

yx

xy

2222 yxy2x0yxy2xxy4

0y,x,0yx0yxy2x222

10 puncte

5 puncte

2.

x 0 4 6

4x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + +

x6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - -

x6

4x

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -0 + + + / - - - - - - - - - -

0x6

4x

pentru Z5x6;4x

1 punct

2 puncte

3 puncte

4 puncte

5 puncte

3. Construim Csim'C A

[AB este mediană pentru 'CC

'BCBC 'BCC este isoscel.

[BA este bisectoarea ^

'CBC

a2BCaCDnotez;30'CBCm

15ABCmCBAm

^

^^

Trasăm CDBB'CCD dreptunghic a3BDa2

BD30cos

3aa2D'C .

În 'CDC dreptunghic,

32a'ACAC32a2'CCCDD'C'CC 222 .

4

2615sin

4

132

22

13

2

2

1

2

3

2

32

a2

32a

BC

AC15sin

227

MODEL DE TEST DE EVALUARE FINALĂ PENTRU CLASA A VII-A

Barem de corectare

Partea I: 45 puncte

Nr. item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Rezultate C. A. B. D. B. B. A. C. B.

Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p

Partea a II-a: 45 puncte 3 puncte

3 puncte

3 puncte

3 puncte

3 puncte

1. a) 40bababa 22

10ba40ba4

b)

3b

7a14a2

10ba

4ba

52

37

2

bama

2137bamg .

6 puncte

2 puncte

2 puncte

2.

89

)223(3

1618

)423(4

13

132

34

32E

511732698263

2233)423(21332

1 punct

2 puncte

2 puncte

2 puncte

1 punct

2 puncte

2 puncte

2 puncte

2 puncte

2 puncte

2 puncte

3.

a) 30DAMm

^

,

90ADMm^

60AMDm^

.

AM mediană în ABC dreptunghic,

ABM echilateral2

BCAB ,

deci 60ABCm,30ACBm

^^

.

b) AM = 6cm BC =12 cm

AB = 6 cm

Aplicăm teorema lui Pitagora în ABC 108612ABBCAC 22222

cm36AC

cm336361836126CABCABP ABC

c) 2

ACABA ABC

2ABC cm318A

2ABC cm31A

228

IV.3. JOCURI ŞI REBUSURI

Jocul 1. „ Ceasul matematic” Ora Expresia matematică

Ora 1: 1

ba

b

ba

a

Ora 2: 2x

3

11

3

7

3

x3

Ora 3:

33:

3,0

12

Ora 4: 4422

3

12

Ora 5: 58186

Ora 6: 6125281211124

Ora 7: 7

5

555

Ora 8: 811252 22

Ora 9:

94

!4

6

4

Ora 10: 1021121212121 22

Ora 11: 1110!1010

Ora 12: 1225132513

Jocul 2. “Potriveşte corespunzător”

Dicţionar matematic englez-român

circle cerc

divided divizibil

sum sumă

product produs

even numbers numere pare

intersection intersecţie

percent procent

empty set mulţime vidă

union reuniune

set mulţime

equal egal

hypotenuse ipotenuză

remainder rest

equation ecuaţie

arithmetic average medie aritmetică

altitude of a triangle înălţime în triunghi

fraction fracţie

acute angle Unghi ascuţit

geometric average Medie geometrică

module modul

decimal fraction fracţie zecimală

Pythagorean

Theorem

Teorema lui Pitagora

rectangle dreptunghi

denominator numitor

radical, square root radical, rădăcină pătrată

odd numbers numere impare

isosceles triangle triunghi isoscel

inequality inegalitate

area arie

numerator numărător

square pătrat

Jocul 3. „Învăţaţi noţiuni matematice prin joc”

De exemplu,

48

dreptunghic

53;4148

Într-un dreptunghic are

loc:

a2 = b

2 + c

2 şi

h = (b ∙c) : a.

51

51

138

138138

2

229

Rebus 1.

A

1. R Ă D Ă C I N A

2. P Ă T R A T

3. I N T R O D U C E R E A

4. R A Ţ I O N A L I Z A R E

5. C O M P U Ş I

6. A L G O R I T M

7. I R A Ţ I O N A L

B

Rebus 2.

A

1. D R E P T U N G H I C

2. I P O T E N U Z A

3. C A T E T E

4. P I T A G O R E I C E

5. U N G H I

6. C O S I N U S

7. R E C I P R O C A

8. T A N G E N T Ă

B

Rebus 3.

A

1. E C H I V A L E N T E

2. N E C U N O S C U T Ă

3. M U L Ţ I M E A

4. P A R A M E T R U

5. S O L U Ţ I E

6. L I B E R

7 C O E F I C I E N Ţ I

B

Rebus 4.

A 1. C A Z U R I

2. T H A L E S

3. S E C A N T Ă

4. F U N D A M E N T A L Ă

5. D O U Ă

6. C O R E S P O N D E N T E

7. R A P O R T U L

8. P R O P O R Ţ I O N A L E

9. R E C I P R O C A

B

230

BIBLIOGRAFIE

1. Ana - Nicoleta Avramescu, Metodica rezolvării problemelor de coliniaritate şi concurenţă, ppt;

2. Ioan Balica, Marius Perianu, Dumitru Săvulescu, Matematică pentru clasa a VII-a, Clubul

matematicienilor, I, 2011;

3. Ioan Balica, Marius Perianu, Dumitru Săvulescu, Matematică pentru clasa a VII-a, Clubul

matematicienilor, II, 2012;

4. D. Brînzei, E. Onofraş, S. Anita, Gh. Isvoranu, Bazele raţionamentului geometric, Editura

Academiei, Bucureşti, 1983;

5. Ioana Dziţac, Trepte matematice clasa a VI-a, ISBN 978–973–7984–87-6, Editura Perfect,

Bucureşti, 2011;

6. Ioana Dziţac, Trepte matematice clasa a V-a, ISBN 978-606-922-25-9-1, Editura Focusprint,

Oradea, 2010;

7. Andrei Octavian Dobre (coordonator), Culegere online, Evaluare naţională la matematică

2010-2011, Ploieşti 2010, ISBN: 978-973-0-09723-8;

8. I. Drăghicescu, V. Masgras, Probleme de geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1987;

9. Grigore Gheba, Carmina Gheba Cîrnu, Editura Icar, Exerciţii şi probleme de matematică,

Bucureşti, 1991;

10. Mariana Grasu, Stela Şerban, Probleme de coliniaritate şi concurenţă în planul euclidian;

11. Ana Poştaru, Centrul de excelenţă Timişoara al elevilor capabili de performanţă, fişă pentru

clasa a VII-a, Coliniaritate şi concurenţă, 20. 02. 2010;

12. I. Petrica, C. Ştefan, St. Alexe, Probleme de matematică pentru gimnaziu, Editura Petrion,

Bucureşti, 1998;

13. Dana Radu, Eugen Radu, Matematică pentru clasa a VII-a, Editura Teora, 2009;

14. Eugen Rusu, Problematizare şi probleme în matematica şcolară, Editura Didactică şi

Pedagogică, 1978;

15. Evaluări Naţionale în matematică: www.evaluareineducatie.ro/disciplina-matematica/start/

16. Concursul Naţional de Matematică Lumina Math: http://www.luminamath.ro/;

17. Concursul de matematică Gordius: http://www.mategordius.ro/gordius_bh.php;

18. Concursul de matematică Sclipirea minţii, Grigore C. Moisil, Olimpiada Naţională de

matematică – etapele locală, judeţeană şi naţională, alte concursuri: http://www.isjbihor.ro/;

http://www.mateinfo.ro/olimpiade-concursuri;

19. Reviste de matematică: Gazeta Matematică, Revista de matematică Alpha;

20. http://www.fmatem.moldnet.md/TeMen.swf

21. http://www.scribd.com/doc/51823159/Simpozion-Colegiul-Traian-PROBLEME-DE-

COLINIARITATE-%C5%9EI-CONCUREN%C5%A2%C4%821

22. http://www.temedematematica.com/fise-cu-teorie-7.html

23. http://meditatiiconstanta.ro/probleme/clasa-a-vii-a/problema-130-paralelogramul/

24. http://www.temedematematica.com/teze-7.html

25. http://scoala7timisoara.ro/geom4/coliniar/start.html

26. http://office.microsoft.com;

27. https://www.google.ro/imghp?hl=ro&tab=wi;

28. http://vremea-online.ro/?location=oradea;

29. http://www.cursbnr.ro/grafic-valute;

30. http://www.dzitac.ro/ro/ioana/index.

Observaţii suplimentare:

Realizarea cărţii s-a făcut în Microsof Word 2003;

Desenele s-au realizat în Paint, Visio, GeoGebra Dynamic Mathematic for Everyone, Adobe

Photoshop;

Graficele s-au trasat în Microsoft Excel, iar programele s-au realizat în programul C++;

O parte dintre poze sunt realizate de către subsemnata, iar cealaltă parte au fost luate de pe

iGoogle Imagini şi Office.com, iar pentru colaje s-a folosit pizap.com .

231

232