indicaŢii Şi rĂspunsuri - dzitac.rodzitac.ro/files/trepte/76. final_indicatii+bibliografie_pag...
TRANSCRIPT
221
INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI
III.5.2. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE
ALGEBRĂ
1. 4x1616x4y16x4x16xy8y16x22
Condiţiile radicalilor:
16x
16x
16x
0x16
016xecuaţia devine:
16016yxS8;0y44y44y min2
2. Se ridică ecuaţia la pătrat de două ori consecutiv şi se obţine: 1x , soluţie convenabilă a
ecuaţiei.
3.
2npentru,1
1,0npentru,1
3653
365336533653
nn
nnnn2n2n .
4. Aplicând formulele radicalilor compuşi, obţinem:
3512528,3111211124 24E,N16E pătrat perfect.
5. Se ştie că 2
1
ba
abRb,a,
2
baab
. Vom folosi această inegalitate pentru
fiecare membru din partea stângă a inecuaţiei:
10042
1
10051004
10051004...
43
43
32
32
21
21502
2009
10051004...
7
12
5
6
3
2
50210051004
10051004...
43
43
32
32
21
21
.
6. 0x,2010x32009x22008x2x2
2010x32009x22008x2x2
_________________________
2
12009x212009x2
2
12008x212008x2
2
1x21x2
7. 113z3y2x2
03x2z
020z4y4
04y2x4
03x2z
405zy
202yx2
213z3y2x2
012x8z4
05zy
06y3x6
403x2z
105zy
302yx2
Din relaţiile (1) şi (2) 13z3y2x2 .
8. Prin desfacerea parantezelor şi gruparea termenilor asemenea, obţinem:
02a2c2c2b2b2a12cba4bcacab0 ,
adevărat 2c,b,a .
222
GEOMETRIE
9. Fie triunghiul dreptunghic ABC, cu 90Bm^
.
Trasăm medianele AN, BD, CI.
Notăm AC = b, BC = a, AB = c.
222 ANCIBDk (1)
Aplicăm teorema lui Pitagora în ABC,ABN,CBI :
222 BCBICI 22
2 a2
cCI
222 BNABAN 22
2 c2
aAN
222 cab
Înlocuim în relaţia (1) cele obţinute:
5k4
b5
4
bkb
4
b
4
bk
c4
aa
4
c
4
bkc
2
aa
2
c
2
bk
222
22
22
222
22
222
10. Folosind proprietatea medianei din aproape în aproape, ca de exemplu,
2BC'AABC cm16AA , obţinem 2
ABC'C'B'A cm112A7A .
11. Vom folosi în rezolvare desenul de la problema 9.
cm3615129ACBCABPcm9AB
cm12BC415BC2515BCBC4
315ACBCAB
BC4
3ABBC3AB4
4
3
BC
ABtgC
ABC
222222
2222
3
4
tgC
1ctgC;
4
3
12
9
BC
ABtgC;
5
4
15
12
AC
BCCcos;
5
3
15
9
AC
ABCsin .
223
12. Vom folosi în rezolvare desenul de la problema 9. Presupunem ACBD , BD = h.
Se ştie că: ca
cah
ca
1
b
1cab
b
cah
.
13. Utilizând inegalităţile existenţei unui triunghi, observăm că există un astfel de triunghi.
acb
bca
cba
acb
bca
cba
acbc2b
bcac2a
cbab2a
acb
bca
cba
2
2
2
14. 22 cbaiar,a
bc21
2
cba
a
bch;h21
2
cba
, prin înlocuiri
bc22cbcbcb 222 .
Pentru 22 b22b22cb adevărat.
15.
ABCD paralelogram OCAO
ACBEAO2BE
ABCD paralelogram BC||AD
ABCEBC||AE trapez.
isosceltrapezABCEBEAC
trapezABCE
60EAFmAEFm^^
16.
a) Aplicăm teorema catetei:
BD
CD
AB
AC:
BDBCAB
CDBCAC
2
2
2
2
22 ACBDABCD .
b) Din relaţiile anterioare, rezultă:
BC
ABBD
BC
ACCD
2
2
2222
2
2222
2
42
2
422222
ADBCBDBCCDBCABACBC
ACABABAC
BC
ACAB
BC
ABACCDABBDAC
.
c) 222222BC2ACACAB2ABBC2ACAB2BCACAB
0ACAB
0ACACAB2ABAC2AB2ACACAB2AB
2
222222
224
III.6. TESTE DE EVALUARE INIŢIALĂ, SEMESTRIALĂ, FINALĂ
MODEL DE TEST DE EVALUARE INIŢIALĂ PENTRU CLASA A VII-A
Barem de corectare
Partea I: 45 puncte
Nr. item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Rezultate A. B. D. C. A. C. B. A. D.
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p
Partea a II-a: 45 puncte
5 puncte
5 puncte
1.
k3b
k2ak
3
b
2
a, rezultă expresia devine:
35
36
k35
k36
k9k3k23k42
k94k3k22k43
bab3a2
b4ab2a3
2
2
22
22
22
22
.
2 puncte
2 puncte
2 puncte
2 puncte
2 puncte
2. 1232311232312yx .
Cazul I.
25y
1x
232y
1x
Cazul II.
3y
23x
12y
23x
Cazul III.
21y
1x
232y
1x
Cazul IV.
1y
23x
12y
23x
5 puncte
5 puncte
3. Din BDAC
ABAE
ABDB2
BCAC
Din triunghiurile ACE şi ADB , rezultă:
CEAD
ADBACELUL
ECADBA
BDAC
AEAB
^^
5 puncte
5 puncte
5 puncte
4.
antasecAC
FM||AD
^^
AEFDAE alterne interne.
antasecBF
FM||AD ^^
AFEBAD corespondente.
AFEAFEAEF
DAEBAD
AFEBAD
AEFDAE
^^
^^
^^
^^
isoscel.
225
MODELE DE TESTE SEMESTRIALE PENTRU CLASA A VII-A
MODEL DE TEZĂ – SEMESTRUL I
Barem de corectare
Partea I: 45 puncte
Nr. item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Rezultate 7 4 32√3cm2
1235 1 1200
8+4√3 -3 10
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p
Partea a II-a: 45 puncte 5 puncte
5 puncte
5 puncte
1. b5
4a
5
4
b
a
b5
7c
7
5
c
b
7
4b
5
7:b
5
4
c
a
4 puncte
3 puncte
4 puncte
4 puncte
2. 1222
abc
2
abc...
2
abc
2
abc
2
abcabc 1nn
1n321
1222
1...
2
1
2
11abc 1nn
n32
1222
122abc 1nn
n
1nn
512;256;128abc9;8;7n2abc n
2 puncte
2 puncte
1 punct
2 puncte
4 puncte
4 puncte
3. a) În cm6BDADB
2ABD cm318
2
636A
2BCDABD cm318AA
2ABDABCD cm336A2A
b) În AMO şi BCOLUL
^^
^^
BOCmAOMm
BCMA
150MAOmOBCm
BCOAMO COMO
226
MODEL DE TEZĂ – SEMESTRUL II
Barem de corectare
Partea I: 45 puncte
Nr. item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Rezultate 86 -7 64 30xy 1 √3 3 6 12
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p
Partea a II-a: 45 puncte 5 puncte
5 puncte
5 puncte
1. 2yxxy44
yx
yx
xy
2222 yxy2x0yxy2xxy4
0y,x,0yx0yxy2x222
10 puncte
5 puncte
2.
x 0 4 6
4x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + +
x6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - -
x6
4x
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -0 + + + / - - - - - - - - - -
0x6
4x
pentru Z5x6;4x
1 punct
2 puncte
3 puncte
4 puncte
5 puncte
3. Construim Csim'C A
[AB este mediană pentru 'CC
'BCBC 'BCC este isoscel.
[BA este bisectoarea ^
'CBC
a2BCaCDnotez;30'CBCm
15ABCmCBAm
^
^^
Trasăm CDBB'CCD dreptunghic a3BDa2
BD30cos
3aa2D'C .
În 'CDC dreptunghic,
32a'ACAC32a2'CCCDD'C'CC 222 .
4
2615sin
4
132
22
13
2
2
1
2
3
2
32
a2
32a
BC
AC15sin
227
MODEL DE TEST DE EVALUARE FINALĂ PENTRU CLASA A VII-A
Barem de corectare
Partea I: 45 puncte
Nr. item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Rezultate C. A. B. D. B. B. A. C. B.
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p
Partea a II-a: 45 puncte 3 puncte
3 puncte
3 puncte
3 puncte
3 puncte
1. a) 40bababa 22
10ba40ba4
b)
3b
7a14a2
10ba
4ba
52
37
2
bama
2137bamg .
6 puncte
2 puncte
2 puncte
2.
89
)223(3
1618
)423(4
13
132
34
32E
511732698263
2233)423(21332
1 punct
2 puncte
2 puncte
2 puncte
1 punct
2 puncte
2 puncte
2 puncte
2 puncte
2 puncte
2 puncte
3.
a) 30DAMm
^
,
90ADMm^
60AMDm^
.
AM mediană în ABC dreptunghic,
ABM echilateral2
BCAB ,
deci 60ABCm,30ACBm
^^
.
b) AM = 6cm BC =12 cm
AB = 6 cm
Aplicăm teorema lui Pitagora în ABC 108612ABBCAC 22222
cm36AC
cm336361836126CABCABP ABC
c) 2
ACABA ABC
2ABC cm318A
2ABC cm31A
228
IV.3. JOCURI ŞI REBUSURI
Jocul 1. „ Ceasul matematic” Ora Expresia matematică
Ora 1: 1
ba
b
ba
a
Ora 2: 2x
3
11
3
7
3
x3
Ora 3:
33:
3,0
12
Ora 4: 4422
3
12
Ora 5: 58186
Ora 6: 6125281211124
Ora 7: 7
5
555
Ora 8: 811252 22
Ora 9:
94
!4
6
4
Ora 10: 1021121212121 22
Ora 11: 1110!1010
Ora 12: 1225132513
Jocul 2. “Potriveşte corespunzător”
Dicţionar matematic englez-român
circle cerc
divided divizibil
sum sumă
product produs
even numbers numere pare
intersection intersecţie
percent procent
empty set mulţime vidă
union reuniune
set mulţime
equal egal
hypotenuse ipotenuză
remainder rest
equation ecuaţie
arithmetic average medie aritmetică
altitude of a triangle înălţime în triunghi
fraction fracţie
acute angle Unghi ascuţit
geometric average Medie geometrică
module modul
decimal fraction fracţie zecimală
Pythagorean
Theorem
Teorema lui Pitagora
rectangle dreptunghi
denominator numitor
radical, square root radical, rădăcină pătrată
odd numbers numere impare
isosceles triangle triunghi isoscel
inequality inegalitate
area arie
numerator numărător
square pătrat
Jocul 3. „Învăţaţi noţiuni matematice prin joc”
De exemplu,
48
dreptunghic
53;4148
Într-un dreptunghic are
loc:
a2 = b
2 + c
2 şi
h = (b ∙c) : a.
51
51
138
138138
2
229
Rebus 1.
A
1. R Ă D Ă C I N A
2. P Ă T R A T
3. I N T R O D U C E R E A
4. R A Ţ I O N A L I Z A R E
5. C O M P U Ş I
6. A L G O R I T M
7. I R A Ţ I O N A L
B
Rebus 2.
A
1. D R E P T U N G H I C
2. I P O T E N U Z A
3. C A T E T E
4. P I T A G O R E I C E
5. U N G H I
6. C O S I N U S
7. R E C I P R O C A
8. T A N G E N T Ă
B
Rebus 3.
A
1. E C H I V A L E N T E
2. N E C U N O S C U T Ă
3. M U L Ţ I M E A
4. P A R A M E T R U
5. S O L U Ţ I E
6. L I B E R
7 C O E F I C I E N Ţ I
B
Rebus 4.
A 1. C A Z U R I
2. T H A L E S
3. S E C A N T Ă
4. F U N D A M E N T A L Ă
5. D O U Ă
6. C O R E S P O N D E N T E
7. R A P O R T U L
8. P R O P O R Ţ I O N A L E
9. R E C I P R O C A
B
230
BIBLIOGRAFIE
1. Ana - Nicoleta Avramescu, Metodica rezolvării problemelor de coliniaritate şi concurenţă, ppt;
2. Ioan Balica, Marius Perianu, Dumitru Săvulescu, Matematică pentru clasa a VII-a, Clubul
matematicienilor, I, 2011;
3. Ioan Balica, Marius Perianu, Dumitru Săvulescu, Matematică pentru clasa a VII-a, Clubul
matematicienilor, II, 2012;
4. D. Brînzei, E. Onofraş, S. Anita, Gh. Isvoranu, Bazele raţionamentului geometric, Editura
Academiei, Bucureşti, 1983;
5. Ioana Dziţac, Trepte matematice clasa a VI-a, ISBN 978–973–7984–87-6, Editura Perfect,
Bucureşti, 2011;
6. Ioana Dziţac, Trepte matematice clasa a V-a, ISBN 978-606-922-25-9-1, Editura Focusprint,
Oradea, 2010;
7. Andrei Octavian Dobre (coordonator), Culegere online, Evaluare naţională la matematică
2010-2011, Ploieşti 2010, ISBN: 978-973-0-09723-8;
8. I. Drăghicescu, V. Masgras, Probleme de geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1987;
9. Grigore Gheba, Carmina Gheba Cîrnu, Editura Icar, Exerciţii şi probleme de matematică,
Bucureşti, 1991;
10. Mariana Grasu, Stela Şerban, Probleme de coliniaritate şi concurenţă în planul euclidian;
11. Ana Poştaru, Centrul de excelenţă Timişoara al elevilor capabili de performanţă, fişă pentru
clasa a VII-a, Coliniaritate şi concurenţă, 20. 02. 2010;
12. I. Petrica, C. Ştefan, St. Alexe, Probleme de matematică pentru gimnaziu, Editura Petrion,
Bucureşti, 1998;
13. Dana Radu, Eugen Radu, Matematică pentru clasa a VII-a, Editura Teora, 2009;
14. Eugen Rusu, Problematizare şi probleme în matematica şcolară, Editura Didactică şi
Pedagogică, 1978;
15. Evaluări Naţionale în matematică: www.evaluareineducatie.ro/disciplina-matematica/start/
16. Concursul Naţional de Matematică Lumina Math: http://www.luminamath.ro/;
17. Concursul de matematică Gordius: http://www.mategordius.ro/gordius_bh.php;
18. Concursul de matematică Sclipirea minţii, Grigore C. Moisil, Olimpiada Naţională de
matematică – etapele locală, judeţeană şi naţională, alte concursuri: http://www.isjbihor.ro/;
http://www.mateinfo.ro/olimpiade-concursuri;
19. Reviste de matematică: Gazeta Matematică, Revista de matematică Alpha;
20. http://www.fmatem.moldnet.md/TeMen.swf
21. http://www.scribd.com/doc/51823159/Simpozion-Colegiul-Traian-PROBLEME-DE-
COLINIARITATE-%C5%9EI-CONCUREN%C5%A2%C4%821
22. http://www.temedematematica.com/fise-cu-teorie-7.html
23. http://meditatiiconstanta.ro/probleme/clasa-a-vii-a/problema-130-paralelogramul/
24. http://www.temedematematica.com/teze-7.html
25. http://scoala7timisoara.ro/geom4/coliniar/start.html
26. http://office.microsoft.com;
27. https://www.google.ro/imghp?hl=ro&tab=wi;
28. http://vremea-online.ro/?location=oradea;
29. http://www.cursbnr.ro/grafic-valute;
30. http://www.dzitac.ro/ro/ioana/index.
Observaţii suplimentare:
Realizarea cărţii s-a făcut în Microsof Word 2003;
Desenele s-au realizat în Paint, Visio, GeoGebra Dynamic Mathematic for Everyone, Adobe
Photoshop;
Graficele s-au trasat în Microsoft Excel, iar programele s-au realizat în programul C++;
O parte dintre poze sunt realizate de către subsemnata, iar cealaltă parte au fost luate de pe
iGoogle Imagini şi Office.com, iar pentru colaje s-a folosit pizap.com .