I3: PROBABILITATI - notite de curs

Stefan Balint, Eva Kaslik, Simina Maris

Cuprins

1 Experienta si evenimente aleatoare 3

2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3

3 Evenimente contrare 4

4 Evenimente compatibile. Evenimente incompatibile 4

5 Eveniment implicat de alt eveniment 5

6 Operatii cu evenimente 5

7 Spatiul de selectie al unei experiente 7

8 Frecventa 7

9 Evenimente egal posibile 8

10 Probabilitatea unui eveniment 8

11 Spatiu de selectie finit. Eveniment elementar. Eveniment. 10

12 Definitia axiomatica a probabilitatii 10

13 Evenimente independente si evenimente dependente 14

14 Probabilitate conditionata 16

15 Variabile aleatoare discrete unidimensionale 20

1

16 Functia de repartitie a unei variabile aleatoare discrete unidimensioanle 24

17 Variabile aleatoare discrete bidimensionale(vectori aleatori) 27

18 Functia de repartitie a vectorului aleator (X,Y ) 30

19 Valoare medie. Dispersie. Momente. (pentru variabile aleatoarediscrete unidimensionale) 31

20 Covarianta. Coeficient de corelatie 35

21 Convergenta sirurilor de variabile aleatoare 38

22 Legi ale numerelor mari 39

23 Repartitia binomiala 41

24 Repartitia Poisson ca aproximatie a repartitiei binomiale 43

25 Repartitia multinominala 47

26 Repartitia geometrica. Repartitia binominala negativa 48

27 Variabile aleatoare continue 49

28 Functia de repartitie pentru variabile aleatoare continue. Densitatea deprobabilitate 50

29 Valorile medii si dispersia unei variabile aleatoare continue 52

30 Repartitia normala 53

2

1 Experienta si evenimente aleatoare

Definitia 1.1. In teoria probabilitatilor prin experienta se ıntelege un act care, ınconditii date, poate fi repetat nelimitat.

Definitia 1.2. Acele experimente care ın conditii date au un singur rezultat se numescdeterministe, iar cele care ın conditii date pot avea mai multe rezultate se numescexperiente aleatoare.

Exemplul 1.1. Aruncarea unei monede, aruncarea unui zar, extragerea unei bile dintr-ourna, tragerea cu arma ıntr-o tinta sunt exemple de experiente aleatoare.

In urma aruncarii unei monede se obtine unul din urmatoarele rezultate elementare:

(stema), (valoare).

Daca notam cu (1) aparitia fetei cu un singur punct, cu (2) aparitia fetei cu doua puncte,etc., atunci ın urma experientei care consta ın aruncarea unui zar se obtine unul dinurmatoarele rezultate elementare:

(1), (2), (3), (4), (5), (6).

Definitia 1.3. Orice rezultat legat de o experienta aleatoare, despre care, dupa efectuareaexperientei, putem spune ca s-a produs sau nu, poarta numele de eveniment aleatorasociat experientei.

Evenimentul (stema), ın cazul aruncarii unei monede, poate sa se realizeze sau sa nuse realizeze, motiv pentru care acest eveniment este numit eveniment aleator spredeosebire de evenimentul (moneda cade pe pamant) care se realizeaza sigur datoritagravitatiei.

Un eveniment aleator depinde de actiunea unor factori care nu au fost luati ın consideratiela fixarea conditiilor ın care se efectueaza experienta. In experienta aruncarii monedei,asemenea factori sunt: felul ın care miscam mana, particularitatile monedei, pozitia ıncare se gaseste moneda ın momentul aruncarii.

Referitor la realizarea unui eveniment aleator la efectuarea unei singure experientealeatoare nu putem spune nimic, ınainte de efectuarea experientei. Nu putem prevedeadaca la o singura aruncare a monedei va aparea fata cu stema. In teoria probabilitatilorne vom ocupa de asemenea experiente si evenimente, de evaluarea sansei de realizare aunui eveniment aleator asociat experientei.

2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil

Fiecarei experiente aleatoare i se pot atasa doua evenimente cu caracter special: eveni-mentul sigur si evenimentul imposibil.

Definitia 2.1. Evenimentul sigur (notat cu S) este un eveniment care se realizeazacu certitudine la fiecare efectuare a experientei aleatoare.

3

Exemplul 2.1. (Aparitia unei fete) ın cazul aruncarii monedei este un eveniment sigural experientei. (Aparitia uneia din fete) ın cazul aruncarii zarului este un eveniment sigural experientei.

Definitia 2.2. Evenimentul imposibil (notat cu ∅) este un eveniment care nu serealizeaza niciodata la efectuarea experientei aleatoare.

Exemplul 2.2. Aparitia unei bile rosii ın cazul experientei care consta ın extragerea uneibile dintr-o urna care contine doar bile albe este un eveniment imposibil.

3 Evenimente contrare

Notam cu A evenimentul aparitiei uneia din fetele 2, 5 si cu B aparitia uneia din fetele1, 3, 4, 6 la aruncarea unui zar. Se observa ca daca nu se realizeaza evenimentul A (nuapare una din fetele 2 sau 5) atunci se realizeaza evenimentul B (obtinem una din fetele1, 3, 4, 6) si viceversa: daca nu se realizeaza B atunci se realizeaza A.

Definitia 3.1. Contrarul unui eveniment A asociat experientei este un evenimentB asociat aceleasi experiente care are proprietatea ca, la orice repetare a experienteialeatoare, daca se realizeaza A atunci nu se realizeaza B si daca nu se realizeaza A atuncise realizeaza B.

Daca B este contrariul lui A atunci A este contrariul lui B.

Evenimentul contrar unui eveniment A (asociat experientei) ıl vom nota cu A sau {A.

4 Evenimente compatibile. Evenimente incompati-

bile

Fie A si B doua evenimente asociate unei experiente aleatoare.

Definitia 4.1. Evenimentele A si B sunt compatibile daca se pot realiza simultan ıncazul efectuarii experientei aleatoare.

Exemplul 4.1. In experienta aleatoare de aruncare a zarului, evenimentul A, care constaın aparitia uneia din fetele cu un numar par si evenimentul B, care consta ın aparitia uneiadin fetele 2 sau 6 sunt compatibile, deoarece daca rezultatul experientei este aparitia fetei2 atunci se realizeaza atat evenimentul A cat si evenimentul B.

Definitia 4.2. Evenimentele A si C asociate unei experiente aleatoare sunt incompati-bile daca aceste evenimente nu se pot realiza simultan ın cazul efectuarii experiente.

Exemplul 4.2. In experienta aleatoare de aruncare a zarului, evenimentul A, care constaın aparitia uneia din fetele cu un numar par si evenimentul C, care consta ın aparitia uneiadin fetele cu un numar impar sunt incompatibile. Aceste evenimente nu se pot realizasimultan. Se remarca ın plus ca evenimentele A si C sunt contrare.

4

Exemplul 4.3. In experienta aleatoare de aruncare a zarului, evenimentul A, care constaın aparitia uneia din fetele cu un numar par si evenimentul D, care consta ın aparitia fetei5 sunt incompatibile. Aceste evenimente nu sunt ınsa contrare, deoarece nerealizareaevenimentului A ıntr-o experienta nu ınseamna realizarea evenimentului D.

Definitia 4.3. Vom spune ca evenimentele A1, A2, ..., An asociate unei experientealeatoare sunt compatibile daca aceste evenimente se pot realiza simultan ın cazulefectuarii experientei.

Exemplul 4.4. In experienta aleatoare de aruncare a zarului, evenimentele:

A1 care consta ın aparitia uneia din fetele 2, 4

A2 care consta ın aparitia uneia din fetele 2, 6

A3 care consta ın aparitia uneia din fetele 2, 4, 6

sunt compatibile: realizarea fetei 2 ınseamna realizarea tuturor acestor evenimente.

5 Eveniment implicat de alt eveniment

Fie A si B doua evenimente asociate unei experiente aleatoare.

Definitia 5.1. Vom spune ca evenimentul A implica evenimentul B (sau eveni-mentul B este implicat de evenimentul A) daca o data cu realizarea evenimentuluiA se realizeaza si evenimentul B.

Exemplul 5.1. In experienta aleatoare de aruncare a zarului, evenimentul A, care constaın aparitia uneia din fetele 1 sau 3 implica evenimentul B, care consta ın aparitia uneiadin fetele 1, 2, 3 sau 5.

Orice eveniment asociat unei experiente aleatoare implica evenimentul sigur asociatexperientei.

6 Operatii cu evenimente

Atunci cand ın cadrul unei experiente urmarim realizarea unui eveniment, urmarim defapt realizarea unei parti a multimii rezultatelor elementare ale experientei.

Exemplul 6.1. La aruncarea zarului, daca urmarim realizarea evenimentului A, constandın aparitia uneia din fetele 1 sau 3, urmarim de fapt daca obtinem sau nu rezultatul (1)sau (3) din multimea de rezultate elementare (1), (2), (3), (4), (5), (6). Evenimentul Aeste perfect determinat de multimea formata din aceste doua rezultate elementare si ılputem identifica cu aceasta: A = {1, 3}.Exemplul 6.2. La aruncarea a doua zaruri, daca ne intereseaza obtinerea sumei 7,urmarim daca apare sau nu unul din rezultatele:

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

5

si evenimentul A ıl vom considera ca fiind multimea ale carei elemente sunt perechile denumere:

A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}.

Evenimentul imposibil, care nu se realieaza niciodata la efectuarea experientei, estemultimea vida, ∅. Evenimentul sigur este reprezentat de multimea tuturor evenimentelorelementare.

Intr-o asemenea viziune daca A este multimea rezultatelor elementare care reprezintaun eveniment atunci multimea {A (complementara lui A) este multimea rezultatelorelementare care reprezinta evenimentul contrar.

Am vazut ca evenimentul A′ implica evenimentul B′, ınseamna ca ori de cate ori serealizeaza A′ se realizeaza si B′; rezulta ca multimea A a rezultatelor elementare carereprezinta evenimentul A′ este inclusa ın multimea B a rezultatelor elementare carereprezinta evenimentul B′, adica

A ⊂ B.

Multimile care reprezinta doua evenimente incompatibile sunt disjuncte.

Definitia 6.1. Fiind date doua evenimente A′ si B′ asociate unei experiente aleatoare,numim reuniunea lor si o notam cu A′ ∪ B′, evenimentul care se realizeaza daca celputin unul din evenimentele A′ sau B′ se realizeaza.

Rezulta ca daca A este multimea rezultatelor elementare care reprezinta evenimentul A′ siB este multimea rezultatelor elementare care reprezinta evenimentul B′ atunci multimeaA ∪B reprezinta evenimentul A′ ∪B′.

Exemplul 6.3. In cazul experientei de aruncare a zarului, sa consideram evenimentelereprezentate prin urmatoarele multimi:

A = {1, 2, 5}, B = {3, 4, 5}.

Evenimentul A′ se realizeaza daca se obtine unul din rezultatele {1}, {2} sau {5}, iar B′

se realizeaza daca se obtine unul din rezultatele {3} sau {4} sau {5}. Pentru a realiza celputin unul din evenimentele A′ sau B′ trebuie sa obtinem unul din rezultatele {1}, {2},{3}, {4}, {5} si deci evenimentele A′ ∪B′ este reprezentat de multimea:

A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Definitia 6.2. Intersectia evenimentelor A′ si B′ asociate unei experiente aleatoare,notata cu A′∩B′, este evenimentul care se realizeaza daca se realizeaza ambele evenimente.

Rezulta ca daca A, respectiv B sunt multimile care reprezinta evenimentele A′, respectivB′, atunci multimea A ∩B reprezinta evenimentul A′ ∩B′.

Exemplul 6.4. In conditiile din exemplul precedent A ∩B = {5}.

6

7 Spatiul de selectie al unei experiente

Pentru a introduce notiunea de spatiu de selectie al unei experiente, sa consideramurmatorul exemplu:

Exemplul 7.1. Experienta consta din aruncarea a doua monede. Modurile ın care potaparea cele doua fete pe fiecare moneda, ın urma acestei experiente, constituie multimea:

{(B, B), (B,S), (S,B), (S, S)} = A1.

Prima litera corespunde fetei care apare la prima moneda, iar a doua litera la cea de-adoua moneda; (S, S) ınseamna ca pe ambele monede a aparut stema.

Daca un rezultat elementar este un mod de aparitie a celor doua fete pe fiecare monedaatunci orice rezultat elementar al experientei este un element al multimii A1.

Daca un rezultat elementar al experientei ınseamna de cate ori a aparut banul si de cateori a aparut stema atunci multimea rezultatelor elementare ale experientei este:

{(2, 0), (1, 1), (0, 2)} = A2.

In acest caz prima cifra arata de cate ori apare banul iar a doua de cate ori apare stema.Si ın acest caz fiecare rezultat elementar al experientei este un element al multimii A2.

Daca un rezultat elementar al experientei ınseamna ca cele doua simboluri (banul si stema)sunt aceleasi sau diferite pe cele doua monede, atunci multimea rezultatelor elementareale experientei este:

{aceleasi, diferite} = A3.

Si aici fiecare rezultat elementar al experientei este un element al multimii A3.

Fiecare din multimileA1, A2, A3 este un set de rezultate elementare ale acestei experiente.In fiecare caz ın parte conceptul de rezultat elementar al experientei este specific (ınseamnaaltceva) iar multimile A1, A2, A3 se numesc spatii de selectie.

Spatiul de selectie A1 ofera mai multe informatii decat spatiile A2 si A3. Daca cunoastemce rezultat al spatiului A1 s-a realizat putem indica ce rezultat al spatiului A2 sau A3 s-arealizat.

Definitia 7.1. Un spatiu de selectie al unei experiente este o multime de rezultateelementare cu proprietatea ca orice rezultat elementar al experientei apartine multimii.

8 Frecventa

Consideram o experienta aleatoare si un eveniment A asociat acestei experiente. Repetamexperienta de n ori (ın conditii date) si notam cu α numarul de realizari ale evenimentuluiA. Numarul de realizari ale evenimentului A va fi n− α.

Definitia 8.1. Numarul fn(A) =α

nse numeste frecventa relativa a evenimentului A.

7

Numarul α, numit frecventa absoluta a evenimentului A, poate varia de la 0 la n; α = 0daca ın n repetari ale experientei evenimentul A nu se realizeaza niciodata; α = n dacaevenimentul A se realizeaza ın toate cele n repetari ale experientei. Prin urmare

0 ≤ α ≤ n si 0 ≤ fn(A) ≤ 1, ∀n ∈ N?

Propozitia 8.1 (Poprietatile frecventei relative).

1. fn(S) = 1, unde S este evenimentul sigur;

2. Daca A ∩B = ∅ atunci fn(A ∪B) = fn(A) + fn(B).

9 Evenimente egal posibile

Exemplul 9.1. Consideram experienta care consta ın aruncarea unei monede. Dupaefectuarea acestei experiente poate sa apara fie fata cu banul, fie fata cu stema si nu sepoate sti dinainte care va fi rezultatul. Daca nu exista nici un motiv sa presupunem carealizarea unuia din evenimente este favorizata, spunem ca evenimentele sunt egal posibile.

Exemplul 9.2. Cand se arunca un zar, poate sa apara oricare din cele sase fete alezarului. Daca nu exista nici un motiv sa presupunem ca aparitia unei fete este favorizata,spunem ca cele sase evenimente (1), (2), (3), (4), (5), (6) sunt egal posibile. In cadrulacestei experiente, evenimentele A = {1, 2} si B = {3, 4} sunt si ele egal posibile, iarevenimentele C = {1, 2, 3} si D = {3} nu sunt egal posibile.

Definitia 9.1. Fie A si B doua evenimente asociate unei experiente aleatoare. Dacanu exista nici un motiv sa presupunem ca realizarea unuia este favorizata prin raport cucelalalt atunci spunem ca cele doua evenimente sunt egal posibile.

Daca o experienta aleatoare se repeta de multe ori evenimentele elementare egal posibileau aceeasi frecventa.

10 Probabilitatea unui eveniment

Exemplul 10.1. Consideram experienta care consta din aruncarea unei monede si spatiulde selectie asociat A format din cele doua rezultate elementare posibile ale acesteiexperiente:

B=”fata cu banul”

S=”fata cu stema”

A = {B, S}.Pentru ca cele doua evenimente B si S sunt egal posibile, este natural sa evaluam (samasuram) sansa producerii fiecaruia cu frecventa relativa. Intrucat 2α = n rezultaα

n=

1

2. Rezulta astfel ca sansa producerii fiecarui eveniment este

1

2= inversul numarului

de evenimente posibile din A.

8

Exemplul 10.2. Consideram experienta care consta din aruncarea zarului si spatiul deselectie asociat A = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}. Pentru ca cele sase evenimente sunt egalposibile, este natural sa evaluam (masuram) sansa fiecaruia de a se produce cu frecventa

relativa. Intrucat 6α = n rezultaα

n=

1

6. Rezulta astfel ca sansa producerii fiecarui

eveniment este1

6= inversul numarului de evenimente posibile din A.

Exemplul 10.3. Consideram experienta care consta din aruncarea a doua monede sispatiul de selectie asociat A = {(B, B), (B, S), (S, B), (S, S)}. Pentru ca cele patruevenimente sunt egal posibile, evaluam (masuram) sansa fiecaruia de a se produce

frecventa relativa. Intrucat 4α = n rezultaα

n=

1

4. Rezulta astfel ca sansa producerii

fiecarui eveniment este1

4= inversul numarului de evenimente posibile din A.

Exemplul 10.4. In cazul aruncarii a doua monede si a spatiului de selectie asociatA = {(acelasi simbol), (simboluri diferite)}, evenimentele fiind egal posibile, evaluam

sansa fiecaruia frecventa relativa. Intrucat 2α = n rezultaα

n=

1

2. Rezulta astfel ca

sansa producerii fiecarui eveniment este1

2= inversul numarului de evenimente posibile

din A.

Definitia 10.1. Daca evenimentele din spatiul de selectie A asociat unei experiente suntegal posibile, vom spune ca sunt egal probabile si probabilitatea fiecaruia este egalacu inversul numarului de evenimente din spatiul de selectie.

In continuare vom extinde definitia probabilitatii unui eveniment din spatiul de selectiela evenimente care nu mai sunt elemente ale spatiului de selectie A asociat experientei,ci sunt parti ale lui A, adica apartin la P(A) (multimea partilor lui A). Incepem cu unexemplu.

Exemplul 10.5. Consideram experienta de aruncare a zarului si spatiul de selectie asociatA = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}. Evenimentul A = {apare o fata avand un numar par scrispe ea} este de fapt A = {(2), (4), (6)}. Realizarea oricaruia dintre evenimentele (2),(4), (6), este favorabila pentru realizarea evenimentului A. De aceea evaluam sansa derealizare a evenimentului A (probabilitatea evenimentului A) cu de 3 ori sansa de realizare

a unui eveniment elementar favorabil pentru realizarea lui A. Raportul3

6=

1

2reprezinta

sansa (probabilitatea) de realizare a evenimentului A si se obtine ımpartind numarulevenimentelor din A favorabile realizarii lui A la numarul tuturor evenimentelor din A.

Definitia 10.2. Daca spatiul de selectie A asociat unei experiente are n evenimente egalprobabile si A este un eveniment din P(A), atunci probabilitatea evenimentului Aeste raportul dintre numarul de evenimente egal probabile ce definesc pe A si numarultotal de evenimente elementare egal probabile din A.

Din aceasta definitie rezulta ca daca A = ∅ atunci P (A) = 0 si daca A = A atunciP (A) = 1. In general P (A) ∈ [0, 1].

9

Tinand seama de definitia evenimentului contrar (complementar), rezulta ca daca A aren elemente si A are m ≤ n elemente atunci A are n−m elemente si avem:

P (A) =n−m

n= 1− m

n= 1− P (A).

11 Spatiu de selectie finit. Eveniment elementar.

Eveniment.

Definitia 11.1. Spatiul de selectie finit asociat unei experiente aleatoare este omultime finita S = {e1, e2, ..., en} de elemente abstracte.

Definitia 11.2. Partile multimii S se numesc evenimente aleatoare. Un evenimentse numeste elementar daca consta dintr-un singur punct al lui S. Partea vida a lui S,∅, se numeste eveniment imposibil, iar S se numeste eveniment sigur.

Exemplul 11.1. Printre cadrele didactice se face o ancheta privind desfasurarea proce-sului de ınvatamant. Fiecare persoana trebuie sa raspunda la doua ıntrebari:

1. Este necesara modernizarea scolii la care lucreaza?

2. Este necesar ca scoala la care lucreaza sa aiba o sala de sport?

Raspunsul dat de o persoana intervievata poate fi: e1 = (DA, DA), e2 = (DA, NU),e3 = (NU, DA), e4 = (NU, NU). Multimea

S = {e1, e2, e3, e4}

constituie un spatiu de selectie posibil asociat acestei experiente (ancheta) pentru osingura persoana. Submultimile acestui spatiu sunt:

P(S) = {∅, {e1}, {e2}, {e3}, {e4}, {e1, e2}, {e1, e3}, {e1, e4}, {e2, e3}, {e2, e4}, {e3, e4},{e1, e2, e3}, {e1, e2, e4}, {e2, e3, e4}, {e1, e2, e3, e4}}.

Fiecare dintre aceste submultimi este un eveniment. Submultimile E1 = {e1}, E2 = {e2},E3 = {e3}, E4 = {e4} contin un singur punct si sunt evenimente elementare. Oriceeveniment diferit de evenimentul imposibil este o reuniune de evenimente elementare.

12 Definitia axiomatica a probabilitatii

Definitia 12.1. Numim probabilitate pe spatiul de selectie S = {e1, e2, ..., en} ofunctie P care asociaza fiecarui eveniment A ∈ P(S) un numar P (A), numit probabilitatealui A, astfel ıncat sa fie satisfacute urmatoarele conditii (numite axiome):

i) P (A) ≥ 0, ∀A ∈ P(S);

ii) P (S) = 1;

10

iii) A ∩B = ∅ ⇒ P (A ∪B) = P (A) + P (B), ∀A,B ∈ P(S).

Definitia 12.2. Functia P : P(S) → R1+ este numita masura de probabilitate.

Definitia 12.3. Spatiul de selectie S ınzestrat cu masura probabilista P (perechea (S, P ))este numit spatiu de probabilitate.

Propozitia 12.1. Fie A∈P(S). Daca A=∅ atunci P (A)=0, iar daca A={e1, e2, ..., ek}

atunci P (A) =k∑

i=1

P ({ei}).

Demonstratie. Deoarece P (∅ ∪ S) = P (∅) + P (S) si P (∅ ∪ S) = P (S), rezulta caP (∅) + P (S) = P (S) si deci P (∅) = 0.

A = {e1, e2, ..., ek} deci A = {e1, e2, ..., ek−1} ∪ {ek}, iar P (A) = P ({e1, e2, ..., ek−1}) +P ({ek}). Prin urmare avem:

P ({e1, e2, ..., ek}) = P ({e1, e2, ..., ek−1}) + P ({ek})P ({e1, e2, ..., ek−1}) = P ({e1, e2, ..., ek−2}) + P ({ek−1})

· · · · · · · · ·P ({e1, e2}) = P ({e1}) + P ({e2})

De aici se obtine egalitatea

P ({e1, e2, ..., ek}) =k∑

i=1

P ({ei}).

Consecinta 12.1. Daca cele n evenimente elementare e1, e2, ..., en din spatiul de selectieS au aceeasi probabilitate (sunt egal probabile), P ({ei}) = P ({ej}), ∀i, j = 1, n, atunci

P ({ei}) =1

n, ∀i = 1, n.

Remarca 12.1. In multe aplicatii, evenimentele elementare din spatiul de selectie Sau probabilitati diferite. Astfel, ın Exemplul 11.1, este foarte posibil ca numarul acelorintervievati care dau raspunsul ei sa fie diferit de numarul celor care dau raspunsul ej.Sa presupunem ca 60% din cei intervievati dau raspunsul e1, 20% din cei intervievatidau raspunsul e2, 15% din cei intervievati dau raspunsul e3 si 5% din cei intervievati dauraspunsul e4. Este firesc ca ın asemenea conditii sa atribuim urmatoarele probabilitatievenimentelor elementare:

P ({e1}) = 0.6 P ({e2}) = 0.2 P ({e3}) = 0.15 P ({e4}) = 0.05.

Propozitia 12.2. Pentru orice A ∈ P(S) are loc

P ({A) = 1− P (A).

Demonstratie. Deoarece A ∩ {A = ∅ si A ∪ {A = S, avem P (A) + P ({A) = P (S) = 1,adica P ({A) = 1− P (A).

11

Propozitia 12.3. Daca A,B ∈ P(S) si A ⊂ B atunci P (A) ≤ P (B).

Demonstratie. A ⊂ B, deci B = A ∪ (B ∩ {A). Intrucat A ∩ (B ∩ {A) = ∅, rezultaca P (B) = P (A) + P (B ∩ {A) si deoarece P (B ∩ {A) ≥ 0, rezulta mai departeP (B) ≥ P (A).

Propozitia 12.4. Daca A1, A2, ..., An ∈ P(S) si Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j, atunci

P

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P (Ai).

Demonstratie. Pentru n = 2 egalitatea P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2) este adevaratadatorita axiomei iii).

Pentru n = 3 avem (A1 ∪ A2) ∩ A3 = ∅, deci

P ((A1 ∪ A2) ∪ A3) = P (A1 ∪ A2) + P (A3) = P (A1) + P (A2) + P (A3).

Se presupune acum ca pentru A1, A2, .., An cu Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j are loc

P

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P (Ai) si se considera A1, A2, .., An, An+1 cu Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j,

i, j = 1, n + 1. Atunci

P

(n+1⋃i=1

Ai

)= P

(n⋃

i=1

Ai ∪ An+1

)= P

(n⋃

i=1

Ai

)+ P (An+1) =

=n∑

i=1

P (Ai) + P (An+1) =n+1∑i=1

P (Ai)

Propozitia 12.5. Oricare ar fi A,B ∈ P(S) are loc egalitatea:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).

Demonstratie. Se considera C = A ∩ {B, D = B ∩ {A si se remarca faptul ca avem

A ∪B = C ∪ (A ∩B) ∪D

de undeP (A ∪B) = P (C) + P (A ∩B) + P (D).

Tinem seama acum de egalitatile

P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩ {B) = P (A ∩B) + P (C)

siP (B) = P (A ∩B) + P (B ∩ {A) = P (A ∩B) + P (D)

12

si obtinem:

P (A ∪B) = P (A)− P (A ∩B) + P (A ∩B) + P (B)− P (A ∩B) =

= P (A) + P (B)− P (A ∩B).

Propozitia 12.6. Oricare ar fi A1, A2, .., An ∈ P(S) avem:

P

(n⋃

i=1

Ai

)≤

n∑i=1

P (Ai) , ∀n ∈ N.

Demonstratie. Pentru n = 2 avem

P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2)− P (A1 ∩ A2) ≤ P (A1) + P (A2)

ıntrucat P (A1 ∩ A2) ≥ 0.

Presupunem ca pentru A1, A2, .., An avem

P

(n⋃

i=1

Ai

)≤

n∑i=1

P (Ai)

si vrem sa aratam ca:

P

(n+1⋃i=1

Ai

)≤

n+1∑i=1

P (Ai)

Avem:

P

(n+1⋃i=1

Ai

)≤ P

(n⋃

i=1

Ai

)+ P (An+1) ≤

n∑i=1

P (Ai) + P (An+1) =n+1∑i=1

P (Ai).

Propozitia 12.7. Oricare ar fi A1, A2, .., An ∈ P(S) avem:

P

(n⋂

i=1

Ai

)≥ 1−

n∑i=1

P ({Ai) , ∀n ∈ N.

Demonstratie.

P

(n⋂

i=1

Ai

)= 1− P

({

n⋂i=1

Ai

)= 1− P

(n⋃

i=1

{Ai

)≥ 1−

n∑i=1

P ({Ai).

Exemplul 12.1. Daca probabilitatile asociate evenimentelor elementare sunt cele dinRemarca 12.1, sa se calculeze probabilitatea ca alegand la ıntamplare un cadru didacticacesta sa fie pentru:

13

i) modernizarea scolii;

ii) necesitatea unei sali de sport;

iii) modernizarea scolii sau necesitatea unei sali de sport.

Solutie: i) Alegerea unui cadru didactic care este pentru modernizarea scolii ınseamnarealizarea evenimentului {e1, e2} si are probabilitatea P ({e1, e2}) = 0.6 + 0.2 = 0.8.ii) Alegerea unui cadru didactic care este pentru necesitatea unei sali de sport ınseamnarealizarea evenimentului {e1, e3} si are probabilitatea P ({e1, e3}) = 0.6 + 0.15 = 0.75.iii) Alegerea unui cadru didactic care este pentru modernizarea scolii sau pentru necesi-tatea unei sali de sport ınseamna realizarea evenimentului {e1, e2, e3} si are probabilitateaP ({e1, e2, e3}) = 0.6 + 0.2 + 0.15 = 0.95.

13 Evenimente independente si evenimente depen-

dente

Definitia 13.1. Evenimentele A si B din P(S) sunt independente daca

P (A ∩B) = P (A) · P (B).

Teorema 13.1. Daca A,B ∈ P(S) sunt evenimente independente avand probabilitatinenule, atunci A ∩ B este o multime care contine cel putin un punct ei din spatiul deselectie S. Adica evenimentele A si B sunt compatibile.

Demonstratie. Aratam ca A ∩B 6= ∅. Daca prin absurd A ∩B = ∅ atunci P (A ∩B) = 0si din P (A ∩ B) = P (A) · P (B) rezulta P (A) · P (B) = 0. Rezulta de aici P (A) = 0 sauP (B) = 0. Aceasta contravine ipotezei din teorema. Urmeaza ca A ∩B 6= ∅.Definitia 13.2. Vom spune ca evenimentele A1, A2, ..., An sunt independente ın to-talitatea lor, sau independente, daca pentru orice 1 ≤ i1 < i2 < ... < is ≤ n, avem:

P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Ais) = P (Ai1) · P (Ai2) · ... · P (Ais).

Definitia 13.3. Vom spune ca evenimentele A1, A2, ..., An ∈ P(S) sunt independentecate k, k ≤ n, daca evenimentele din orice familie de k evenimente sunt independenteın sensul Definitiei 13.2.

Remarca 13.1. Pentru ca evenimentele A1, A2, ..., An sa fie independente, trebuie sat-isfacute

C2n + C3

n + ... + Cnn = 2n − n− 1

relatii.Pentru ca evenimentele A1, A2, A3 sa fie independente, trebuie sa avem:

P (A1 ∩ A2) = P (A1) · P (A2)

P (A1 ∩ A3) = P (A1) · P (A3)

P (A2 ∩ A3) = P (A2) · P (A3)

P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1) · P (A2) · P (A3)

14

Teorema 13.2. Daca A si B sunt doua evenimente independente, atunci evenimenteleA si {B; {A si B; {A si {B sunt de asemenea independente.

Demonstratie. Prin ipoteza P (A ∩ B) = P (A) · P (B). Vrem sa deducem de aiciurmatoarele egalitati: P (A ∩ {B) = P (A) · P ({B); P ({A ∩ B) = P ({A) · P (B);P ({A ∩ {B) = P ({A) · P ({B).

Pentru a obtine egalitatea P (A ∩ {B) = P (A) · P ({B) scriem A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ {B).De aici rezulta:

P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩ {B) = P (A) · P (B) + P (A ∩ {B)

sau:P (A) · [1− P (B)] = P (A ∩ {B).

Intrucat 1− P (B) = P ({B), se obtine ca P (A) · P ({B) = P (A ∩ {B).

Celelalte egalitati rezulta analog.

Definitia 13.4. Spunem ca evenimentele B1, B2, ..., Bk ∈ P(S) realizeaza o partitie aspatiului de selectie S daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii:

i) Bi ∩Bj = ∅ pentru i 6= j;

ii)k⋃

i=1

Bi = S;

iii) P (Bi) > 0, ∀i = 1, 2, ..., k.

Definitia 13.5. Fie A1, A2, ..., An, B1, B2, ..., Bk doua partitii ale spatiului de selectie S.Spunem ca aceste partitii sunt independente daca

P (Ai ∩Bj) = P (Ai) · P (Bj)

pentru orice i, j, i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., k.

Exemplul 13.1. Daca A este un eveniment al spatiului de selectie S, atunci A si S suntindependente.

Solutie: A = A∩S, de unde rezulta P (A) = P (A∩S) = P (A)·P (S), deoarece P (S) = 1.

Exemplul 13.2. Se arunca doua monede. Evenimentele A =”stema pe prima moneda”si B =”valoarea pe a doua moneda” sunt independente.

Solutie: Un spatiu de selectie S al acestei experiente este

S={e1 =(s, s), e2 =(s, v), e3 =(v, s), e4 =(v, v)}.Evenimentele A si B sunt

A = {e1, e2}, B = {e2, e4}.

Evenimentele e1, e2, e3, e4 sunt egal probabile si P (ei) =1

4, i = 1, 2, 3, 4. Rezulta

P (A) =1

2, P (B) =

1

2. Evenimentul A ∩ B este A ∩ B = {e2} si are probabilitatea

P (A ∩B) =1

4. Rezulta P (A ∩B) = P (A) · P (B).

15

Exemplul 13.3. In cazul aruncarii a doua monede se considera evenimentele: A1 =”stemape prima moneda”, A2 =”valoarea pe a doua moneda”, A3 =”apare si stema si valoarea”.Evenimentele A1, A2, A3 nu sunt independente cate 3.

Solutie: Un spatiu de selectie asociat acestei experiente este

S={e1 =(s, s), e2 =(s, v), e3 =(v, s), e4 =(v, v)}.

Evenimentele A1, A2, A3 sunt

A1 = {e1, e2}, A2 = {e2, e4}, A3 = {e2, e3}.

Avem:

A1 ∩ A2 = {e2} ⇒ P (A1 ∩ A2) =1

4= P (A1) · P (A2)

A1 ∩ A3 = {e2} ⇒ P (A1 ∩ A3) =1

4= P (A1) · P (A3)

A2 ∩ A3 = {e2} ⇒ P (A2 ∩ A3) =1

4= P (A2) · P (A3)

A1 ∩ A2 ∩ A3 = {e2} ⇒ P (A1 ∩ A2 ∩ A3) =1

46= 1

8= P (A1) · P (A2) · P (A3).

Exemplul 13.4. In cazul aruncarii a doua monede se considera evenimentele:

A1 =”stema pe prima moneda”;

A2 =”valoare pe prima moneda”;

A3 =”stema pe a doua moneda”;

A4 =”valoare pe a doua moneda.”Evenimentele A1, A2, A3, A4 nu sunt independente ın totalitate.

Exemplul 13.5. Daca S = {e1, e2, e3, e4} este spatiul de selectie asociat experientei dinExemplul 13.2, atunci evenimentele {e1}, {e2}, {e3}, {e4} realizeaza o partitie a spatiuluide selectie S.

Exemplul 13.6. Doua partitii independente sunt urmatoarele partitii: {{e1}, {e2}} si{{e3}, {e4}}.

14 Probabilitate conditionata

Vom introduce notiunea de probabilitate conditionata pornind de la exemplul urmator.

Exemplul 14.1. Consideram experienta care consta ın aruncarea a doua zaruri. Notamcu a numarul care apare pe primul zar si cu b numarul care apare pe al doilea zar. Neıntrebam care este probabilitatea ca b = 3, stiind ca a + b > 8?

16

Solutie: Spatiul de selectie asociat acestei experiente este multimea S de perechi dinurmatorul tabel:

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Toate aceste evenimente sunt egal probabile si prin urmare P ((i, j)) =1

36, pentru orice

i = 1, 6, j = 1, 6. Dintre cele 36 evenimente elementare din spatiul de selectie S, doar ıncazul evenimentelor (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), (6, 4), (5, 5), (4, 6), (6, 5), (5, 6), (6, 6) serealizeaza conditia a+b > 8. Consideram multimea S ′ formata doar din aceste evenimente:

S ′ = {(6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), (6, 4), (5, 5), (4, 6), (6, 5), (5, 6), (6, 6)}.

Multimea S ′ este un spatiu de selectie mai restrans asociat aceleiasi experiente. Aici aufost luate ın considerare doar acele evenimente elementare pentru care a + b > 8. Cele 10elemente din S ′ sunt egal probabile si de aceea probabilitatea fiecarui eveniment din S ′este

1

10.

Exista un singur eveniment ın S ′ pentru care b = 3: (6, 3). De aceea ın spatiul de

selectie redus, probabilitatea evenimentului b = 3 este1

10. Acest rezultat va fi numit

probabilitatea evenimentului ”b = 3” conditionat de ”a + b > 8”.

Putem judeca ınsa si ın felul urmator: determinam la ınceput ın spatiul de selectie Sprobabilitatea ca evenimentul A =”a + b > 8” sa se produca. Aceasta este P (A) =

10

36.

Apoi determinam tot ın S probabilitatea ca evenimentul B =”b = 3” sa se produca.

Aceasta este P (B) =6

36. Probabilitatea ın S de producere a ambelor evenimente A si B

este P (A ∩B) = P ((6, 3)) =1

36.

Daca notam cu P (B|A) probabilitatea evenimentului B ın conditia ın care A s-a produs,atunci avem:

P (B|A) =1

10, P (A) =

10

36, P (A ∩B) =

1

36,

de unde

P (B|A) =P (B ∩ A)

P (A)=

P (A ∩B)

P (A).

Definitia 14.1. Probabilitatea evenimentului A conditionata de B se noteazaP (A|B) sau PB(A) si este definita prin

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)daca P (B) 6= 0.

Spatiul de selectie micsorat este B (evenimentul de conditionare).

17

Remarca 14.1. Probabilitatea introdusa axiomatic prin Definitia 12.1 este si ea unaconditionata de evenimentul sigur, care este un spatiu de selectie S, cu P (S) = 1.

Propozitia 14.1. Pentru B ∈ P(S) fixat, cu P (B) 6= 0, oricare ar fi A1, A2 din P(S),avem:

A1) 0 ≤ P (A1|B) ≤ 1;

A2) P (S|B) = 1;

A3) A1, A2 - incompatibile ⇒ P ((A1 ∪ A2)|B) = P (A1|B) + P (A2|B).

Demonstratie. Din P (A1|B) =P (A1 ∩B)

P (B)rezulta P (A1|B) ≥ 0 si din P (A1∩B) ≤ P (B)

rezulta P (A1 ∩B) ≤ 1.

P (S|B) =P (S ∩B)

P (B)=

P (B)

P (B)= 1.

P ((A1∪A2)|B)=P ((A1∪A2)∩B)

P (B)=

P (A1∩B)

P (B)+

P (A2∩B)

P (B)=P (A1|B)+P (A2|B).

Teorema 14.1. Daca A si B sunt evenimente independente avand probabilitatile nenule,atunci:

P (A|B) = P (A) si P (B|A) = P (B).

Demonstratie. Deoarece A si B sunt independente si A ∩B = B ∩ A, avem

P (A ∩B) = P (B ∩ A) = P (A) · P (B).

Rezulta:

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)=

P (A) · P (B)

P (B)= P (A)

P (B|A) =P (B ∩ A)

P (A)=

P (B) · P (A)

P (A)= P (B).

Teorema 14.2. Daca A1, A2, ..., An sunt evenimente astfel ıncat P (A1∩A2∩ ...∩An) 6= 0(ele se pot realiza simultan), atunci

P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) = P (A1) · P (A2|A1) · P (A3|(A1 ∩A2)) · ... · P (An|(A1 ∩ ... ∩An−1)).

Demonstratie.

P (A1) · P (A2|A1) · P (A3|(A1 ∩ A2)) · ... · P (An|(A1 ∩ ... ∩ An−1)) =

= P (A1) · P (A1 ∩ A2)

P (A1)· P (A3|(A1 ∩ A2)) · ... · P (An|(A1 ∩ ... ∩ An−1)) =

= P (A1 ∩ A2) · P (A1 ∩ A2 ∩ A3)

P (A1 ∩ A2)· ... · P (An|(A1 ∩ ... ∩ An−1)) =

. . . . . . . . .

= P (A1 ∩ ... ∩ An−1) · P (A1 ∩ ... ∩ An−1 ∩ An)

P (A1 ∩ ... ∩ An−1)= P (A1 ∩ ... ∩ An).

18

Consecinta 14.1. Daca A1, A2, ..., An sunt evenimente independente, atunci

P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P (A1) · P (A2) · ... · P (An).

Exemplul 14.2. O urna contine 3 bile albe si 5 bile negre. Din urna se extrag doua bile,una dupa alta (fara ıntoarcere). Sa se scrie un spatiu de selectie pentru aceasta experientasi probabilitatile asociate evenimentelor din acest spatiu.

Solutie: Daca a este evenimentul extragerii unei bile albe si n este evenimentul extrageriiunei bile negre, atunci un spatiu de selectie asociat experientei este:

S = {(a, a), (a, n), (n, a), (n, n)}.(n, a) arata ca prima bila extrasa este neagra iar a doua bila extrasa este alba. Deoarecebilele sunt extrase la ıntamplare, toate bilele din urna, la orice extractie, au aceeasiprobabilitate de extractie:

P (a, a) =3

8· 27

=6

56, P (a, n) =

3

8· 57

=15

56, P (n, a) =

5

8· 37

=15

56, P (n, n) =

5

8· 47

=20

56.

Teorema 14.3 (formula probabilitatii totale). Daca evenimentele A1, A2, ..., An consti-tuie o partitie a spatiului de selectie S si X ∈ P(S), atunci:

P (X) =n∑

i=1

P (Ai) · P (X|Ai).

Demonstratie. Scriem X sub forma:

X =n⋃

i=1

(X ∩ Ai).

Deoarece (X ∩ Ai) ∩ (X ∩ Aj) = ∅ pentru i 6= j, obtinem:

P (X) =n∑

i=1

P (X ∩ Ai).

Dar P (X ∩ Ai) = P (Ai) · P (X|Ai), si ınlocuind se obtine egalitata din enunt.

Exemplul 14.3. Trei urne au urmatoarea structura: urna i contine ai bile albe si bi

bile negre, i = 1, 2, 3. Evenimentul Ai consta ın alegerea urnei i. Se stie ca P (Ai) = pi

si p1 + p2 + p3 = 1. Se alege la ıntamplare o urna si se extrage o bila. Sa se gaseascaprobabilitatea ca bila extrasa sa fie neagra.

Solutie: Fie X evenimentul ”bila extrasa este neagra”. Probabilitatea de a extrage obila neagra conditionata de faptul ca s-a ales urna i este:

P (X|Ai) =bi

ai + bi

.

Probabilitatea de a extrage o bila neagra este:

P (X) = P (A1) · P (X|A1) + P (A2) · P (X|A2) + P (A3) · P (X|A3) =

= p1b1

a1 + b1

+ p2b2

a2 + b2

+ p3b3

a3 + b3

.

19

Teorema 14.4 (formula lui Bayes). Daca evenimentele A1, A2, ..., An constituie o partitiea spatiului de selectie S si sunt cauza producerii unui eveniment X, atunci:

P (Ak|X) =P (Ak) · P (X|Ak)n∑

i=1

P (Ai) · P (X|Ai)

.

Demonstratie. Se tine seama de egalitatile

P (Ai) · P (X|Ai) = P (X) · P (Ai|X)

si de formula probabilitatii totale.

Definitia 14.2. Probabilitatile P (Ai), P (X|Ai), i = 1, n se numesc probabilitatiapriori si P (Ai|X) se numesc probabilitati aposteriori.

Formula lui Bayes modifica probabilitatile apriorice prin incorporarea informatiei furnizatede realizarea evenimentului X.

Exemplul 14.4. Se considera doua urne. Prima contine 2 bile albe si 3 bile negre, iar ceade-a doua contine 7 bile albe si 5 bile negre. Evenimentul A1 consta ın faptul ca se alege laıntamplare prima urna, iar evenimentul A2 consta ın faptul ca se alege la ıntamplare a douaurna. Probabilitatea evenimentului A1 este P (A1) = 0.4, iar probabilitatea evenimentuluiA2 este P (A2) = 0.6. Se alege la ıntamplare o urna si se extrage o bila neagra. Care esteprobabilitatea ca aceasta sa fie din cea de-a doua urna?

Solutie: Fie X evenimentul ”a fost extrasa o bila neagra”. Din formula lui Bayes avem:

P (A1|X) =P (A1) · P (X|A1)

P (A1) · P (X|A1) + P (A2) · P (X|A2)=

0.4 · 35

0.4 · 35

+ 0.6 · 512

≈ 0.49;

P (A2|X) =P (A2) · P (X|A2)

P (A1) · P (X|A1) + P (A2) · P (X|A2)=

0.6 · 512

0.4 · 35

+ 0.6 · 512

≈ 0.51.

15 Variabile aleatoare discrete unidimensionale

Pentru a introduce notiunile de variabila aleatoare discreta si repartitia ei consideramurmatorul exemplu:

Exemplul 15.1. Dintr-o urna care contine acelasi numar de bile albe si negre, se extrag3 bile, dupa fiecare extragere bila punandu-se ınapoi ın urna. Cate bile albe pot sa apara?

Solutie: Raspunsul la aceasta ıntrebare ıl vom da indicand posibilitatile si probabilitatileasociate.

20

Spatiul de selectie Nr. bile albe ProbabilitateaAAA 3 1

2· 1

2· 1

2= 1

8

AAN 2 12· 1

2· 1

2= 1

8

ANA 2 12· 1

2· 1

2= 1

8

NAA 2 12· 1

2· 1

2= 1

8

ANN 1 12· 1

2· 1

2= 1

8

NAN 1 12· 1

2· 1

2= 1

8

NNA 1 12· 1

2· 1

2= 1

8

NNN 0 12· 1

2· 1

2= 1

8

Informatia relativa la numarul de bile albe si la probabilitatile lor este data ın tabelulurmator:

Nr. bile albe 0 1 2 3Probabilitatea 1

838

38

18

Daca variabila X reprezinta numarul de bile albe care pot sa apara, aunci tabelul aratavalorile pe care poate sa le ia X si probabilitatile cu care ia aceste valori.

Multimea de perechi ordonate, fiecare de forma (numarul de bile albe, probabilitateaacestui numar de bile albe) defineste repartitia variabilei X. Deoarece valorile lui X suntdeterminate de evenimentele rezultate ın urma unui experiment aleator, X este numitavariabila aleatoare.

Functia f definita de f(x) = P (X = x) se numeste functie de frecvente sau functie deprobabilitate.

In cazul de fata

f(0)=f(X =0)=1

8; f(1)=f(X =1)=

3

8; f(2)=f(X =2)=

3

8; f(3)=f(X =3)=

1

8.

Observam ca

f(x) = P (X = x) = Cx3 ·

(1

2

)3

, x = 0, 1, 2, 3;

f(x) ≥ 0 si3∑

i=0

f(x) =3∑

i=0

Cx3 ·

(1

2

)3

= 23 ·(

1

2

)3

= 1.

Definitia 15.1. O variabila a carei valoare este un numar determinat de evenimentulrezultat ın urma unei experiente este numita variabila aleatoare.

Definitia 15.2. Daca X este o variabila aleatoare care poate lua valorile x1, x2, ..., xn

cu probabilitatile f(x1), f(x2), ..., f(xn) atunci multimea de perechi ordonate (xi, f(xi)),i = 1, n se numeste repartitia variabilei aleatoare X.

In cazul exemplului considerat anterior, repartitia este:

(0,

1

8

),

(1,

3

8

),

(2,

3

8

),

(3,

1

8

)

sau:

X :

0 1 2 3

1

8

3

8

3

8

1

8

.

21

Exemplul 15.2. Trei bile, a, b, c, se repartizeaza ın trei urne la ıntamplare. Sa sedetermine repartitia variabilei aleatoare X =”numarul urnelor ocupate”.

Solutie:

X :

1 2 3

3

27

18

27

6

27

.

Remarca 15.1. In abordarea Kolmogorov, variabila aleatoare X este o functie definitape un spatiu de selectie asociat experientei, adica functie ”de punct”. Astfel, daca ınexemplul precedent se considera evenimentele:

e1 = {abc|0|0} e10 = {c|ab|0} e19 = {0|b|ac}e2 = {0|abc|0} e11 = {0|ab|c} e20 = {a|0|bc}e3 = {0|0|abc} e12 = {b|ac|0} e21 = {0|a|bc}e4 = {ab|c|0} e13 = {0|ac|b} e22 = {a|b|c}e5 = {ab|0|c} e14 = {a|bc|0} e23 = {a|c|b}e6 = {ac|b|0} e15 = {0|bc|a} e24 = {b|c|a}e7 = {ac|0|b} e16 = {c|0|ab} e25 = {b|a|c}e8 = {bc|a|0} e17 = {0|c|ab} e26 = {c|a|b}e9 = {bc|0|a} e18 = {b|0|ac} e27 = {c|b|a}

si spatiul de selectie S = {e1, ..., e27}, putem considera functia X : S → {1, 2, 3}, definitaastfel: X(ek) = numarul de urne ocupate ın cazul realizarii evenimentului ek. Este clarca X(ek) = 1 daca k = 1, 2, 3; X(ek) = 2 daca k = 4, 5, ...21; si X(ek) = 3 dacak = 22, 23, 24, 25, 26, 27.

Daca variabila aleatoare este data ın acest fel, atunci se cunosc valorile variabilei ın cazulfiecarui eveniment ek ∈ S si P (ek). De aici se determina valorile posibile ale variabilei siprobabilitatile asociate acestor valori. In acest fel se obtine repartitia variabilei aleatoareX.

Exemplul 15.3. In cazul experientei din Exemplul 15.2, sa notam cu Y variabilaaleatoare ale carei valori sunt numarul de bile din prima urna.

Deoarece ın prima urna putem avea 0,1,2 sau 3 bile urmeaza ca variabila aleatoare Ypoate lua valorile 0,1,2 sau 3.

Y ia valoarea 0 atunci cand se realizeaza unul din urmatoarele evenimente din spatiul deselectie S: e2, e3, e11, e13, e15, e17, e19, e21, adica

(Y = 0) = (e2 sau e3 sau e11 sau e13 sau e15 sau e17 sau e19 sau e21).

Rezulta

P (Y = 0) =P ({e2}) + P ({e3}) + P ({e11}) + P ({e13}) + P ({e15}) + P ({e17})++ P ({e19}) + P ({e21}) =

8

27.

22

Y ia valoarea 1 daca se realizeaza unul din evenimentele: e10, e12, e14, e16, e18, e20, e22−e27;valoarea 2 , daca se realizeaza unul din evenimentele e4−e9 si valoarea 3 daca se realizeazaevenimentul e1.

Urmeaza ca repartitia variabilei aleatoare Y este:

Y :

0 1 2 3

8

27

12

27

6

27

1

27

.

Remarca 15.2. Onicescu considera variabila aleatoare ca functie ”de eveniment”. Ovaloare posibila a variabilei aleatoare poate sa corespunda unui eveniment elementar dinspatiul de selectie (valoarea 3 a variabilei aleatoare Y din Exemplul 15.3 corespundeevenimentului elementar e1) sau la o submultime de evenimente elementare care determinaun eveniment (evenimentul Y = 2 este determinat de o multime de evenimente elementare,si anume e4 − e9).

Remarca 15.3. O variabila aleatoare care ia valorile distincte x1, x2, ..., xn determinao partitie A1, A2, ..., An a spatiului de selectie S. Evenimentul Ai este definit prinek ∈ Ai ⇔ X(ek) = xi.

In Exemplul 15.3 variabila aleatoare Y realizeaza urmatoarea partitie a spatiului deselectie S:

A1: ”In prima urna nu este nici o bila.”

A2: ”In prima urna este o bila.”

A3: ”In prima urna sunt doua bile.”

A4: ”In prima urna sunt trei bile.”

Avem:

A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 = SAi ∩ Aj = ∅ pentru i 6= j

P (A1) = P (Y = 0) =8

27, P (A2) = P (Y = 1) =

12

27,

P (A3) = P (Y = 2) =6

27, P (A4) = P (Y = 3) =

1

27,

ceea ce dovedeste afirmatia facuta.

Definitia 15.3. O variabila aleatoare avand o multime cel mult numarabila de valoriposibile se numeste variabila aleatoare discreta.

Definitia 15.4. Vom spune ca variabila aleatoare X este simetrica fata de punctul cdaca sunt ındeplinite urmatoarele conditii:

i) daca c + a este o valoare a variabilei aleatoare X, atunci si c − a este o valoare avariabilei X;

ii) P (X = c + a) = P (X = c− a).

23

Conditia ii) se mai scrie uneori sub forma

P (X − c = a) = P (c−X = a)

care arata ca ”X este simetrica fata de punctul c”.

X − c si c−X au aceeasi repartitie.

In particular, simetria fata de zero arata ca X si −X au aceeasi repartitie.

Exemplul 15.4. Daca P (X = i) =1

n, i = 1, 2, ..., n atunci X este repartizata simetric

fata den + 1

2, care este punctul de mijloc al celor doua valori extreme posibile: 1 si n.

Remarca 15.4. Daca variabilele aleatoare X, Y sunt privite ca functii definite pe spatiulde selectie S, atunci putem defini suma X+Y , produsul X ·Y , si ınmultirea cu o constantak ·X a varibilelor aleatoare. Sensul acestor operatii este cel al operatiilor corespunzatoarecu functii.

De asemenea daca k este o functie reala definita pe multimea valorilor variabilei X,k : X(S) → R1, atunci putem face compunerea k ◦X si obtinem tot o variabila aleatoare,ale carei valori constituie multimea k(S(X)).

16 Functia de repartitie a unei variabile aleatoare

discrete unidimensioanle

Cateva ıntrebari:

• Daca se arunca doua zaruri, care este probabilitatea ca suma obtinuta sa fie unnumar mai mic decat 7?

• Daca trei bile se repartizeaza la ıntamplare ın trei urne, care este probabilitatea casa fie ocupate cel mult doua urne?

• Daca trei bile se repartizeaza la ıntamplare ın trei urne, care este probabilitatea caın prima urna sa fie cel mult doua bile?

In general: Care este probabilitatea ca o variabila aleatoare X sa ia valori mai micidecat o valoare data?

Nevoia de a raspunde la asemenea ıntrebari a condus la urmatoarea definitie:

Definitia 16.1. Fie X o variabila aleatoare si x un numar real. Functia F definita astfel:”F (x) este probabilitatea ca X sa ia valori mai mici ca x”, sau

F (x) = P (X < x)

se numeste functia de repartitie a variabilei aleatoare X.

24

Propozitia 16.1. Daca X este o variabila aleatoare discreta avand repartitia

X :

(x1 x2 ... xn

f(x1) f(x2) ... f(xn)

)

atunciF (x) =

∑xi<x

f(xi)

adica valoarea functiei de repartitie ın x este data de suma probabilitatilor valorilor dinstanga lui x.

Demonstratie. Imediata.

Propozitia 16.2. Au loc urmatoarele egalitati:

i) limx→xix>xi

F (x) = F (xi + 0) =i∑

j=1

f(xj);

ii) limx→xix<xi

F (x) = F (xi − 0) =i−1∑j=1

f(xj) = F (xi).

Demonstratie. i) Pentru x ∈ (xi, xi+1) avem:

F (x) =i∑

j=1

f(xj).

Rezulta ca

F (xi + 0) =i∑

j=1

f(xj).

ii) Pentru x ∈ (xi−1, xi) avem:

F (x) =i−1∑j=1

f(xj).

Rezulta ca

F (xi − 0) =i−1∑j=1

f(xj) = F (xi).

Propozitia 16.3. Au loc urmatoarele inegalitati:

i) 0 ≤ F (x) ≤ 1, ∀x ∈ R1;

ii) x < y ⇒ F (x) ≤ F (y).

25

Demonstratie. i) Deoarece F (x)=P (X <x) si P (X <x) ∈ [0, 1], rezulta ca F (x) ∈ [0, 1].

ii) x < y. Daca xi < x, atunci xi < y, si deci

∑xi<y

f(xi) =∑xi<x

f(xi) +∑

x≤xi<y

f(xi),

adica F (x) ≤ F (y).

Propozitia 16.4. Daca x < y, atunci F (y)− F (x) = P (x ≤ X < y).

Demonstratie. Daca x < y, avem:

F (y) =∑xi<y

f(xi) =∑xi<x

f(xi) +∑

x≤xi<y

f(xi) = F (x) + P (x ≤ X < y)

de unde rezulta ca F (y)− F (x) = P (x ≤ X < y).

Remarca 16.1. Daca X este o variabila aleatoare discreta, atunci functia de repartitie avariabilei aleatoare X este o functie ın trepte continua la stanga. Avem o discontinuitate(un salt) ın fieare punct x care este valoare pentru variabila aleatoare X(x = xi), iarınaltimea saltului este f(xi).

Definitia 16.2. Se numeste cuantila de ordinul α numarul xα cu proprietatea

F (xα) = P (X < xα) = α.

Daca X este o variabila aleatoare discreta, nu este sigur ca pentru orice α ∈ [0, 1] existacuantila de ordinul α. Daca ınsa exista o cuantila de ordin α, atunci exista o infinitate(intervalul ce separa doua valori posibile).

Cuantila de ordin 1/2 se numeste mediana si se noteaza cu Me; astfel F (Me) = 1/2.

Cuantilele de ordin 1/4 respectiv 3/4 se numesc cuantila inferioara Q1, respectiv cuantilasuperioara Q2; astfel F (Q1) = 1/4 si F (Q2) = 3/4.

Definitia 16.3. Se numeste modul valoarea xi cu proprietatea ca f(xi) este maxima.

O repartitie poate avea mai multe module. La aruncarea unui zar, cele 6 fete ale sale auaceeasi probabilitate de aparitie; ın acest caz, toate valorile sunt module.

Exemplul 16.1. Reluam exemplul de repartizare la ıntamplare a trei bile a, b, c ın treiurne, tinand seama de repartitia variabilelor aleatoare X (Exemplul 15.2) si Y (Exemplul15.3)

X :

1 2 3

3

27

18

27

6

27

si Y :

0 1 2 3

8

27

12

27

6

27

1

27

.

26

Avem:

F (x) =

0 , x ≤ 1

3

27, 1 < x ≤ 2

21

27, 2 < x ≤ 3

27

27= 1 , 3 < x

si F (y) =

0 , y ≤ 0

8

27, 0 < y ≤ 1

20

27, 1 < y ≤ 2

26

27, 2 < y ≤ 3

27

27= 1 , 3 < y .

Remarca 16.2. Variabilele aleatoare X si Y nu au mediane si cuantile.

F (x) =3

27are ca solutie 1 < x ≤ 2. F (y) =

26

27are ca solutie 1 < x ≤ 3.

Modulul lui X este 2, iar modulul lui Y este 1.

17 Variabile aleatoare discrete bidimensionale

(vectori aleatori)

Adesea este necesar sa consideram simultan doua sau mai multe variabile aleatoare definitepe acelasi spatiu de selectie. Vom prezenta cazul a doua variabile aleatoare, trecerea latrei sau mai multe variabile facandu-se fara dificultate.

Exemplul 17.1. Consideram experienta care consta ın repartizarea la ıntamplare a treibile a, b, c ın trei urne.

Acestei experiente ıi corespunde urmatorul spatiu de selectie: S = {e1, e2, ..., e27}, undeei sunt date de:

e1 = {abc|0|0} e10 = {c|ab|0} e19 = {0|b|ac}e2 = {0|abc|0} e11 = {0|ab|c} e20 = {a|0|bc}e3 = {0|0|abc} e12 = {b|ac|0} e21 = {0|a|bc}e4 = {ab|c|0} e13 = {0|ac|b} e22 = {a|b|c}e5 = {ab|0|c} e14 = {a|bc|0} e23 = {a|c|b}e6 = {ac|b|0} e15 = {0|bc|a} e24 = {b|c|a}e7 = {ac|0|b} e16 = {c|0|ab} e25 = {b|a|c}e8 = {bc|a|0} e17 = {0|c|ab} e26 = {c|a|b}e9 = {bc|0|a} e18 = {b|0|ac} e27 = {c|b|a}.

Cele 27 evenimente sunt egal probabile si de aceea evenimentele ei au aceeasi probabilitate

de realizare:1

27.

Fie X variabila aleatoare care asociaza evenimentului elementar ei ∈ S numarul urnelorocupate. Avem X(ei) = 1 pentru i = 1, 2, 3, X(ei) = 2 pentru i = 4, 21, X(ei) = 3

27

pentru i = 22, 27. Prin urmare: P (X = 1) =3

27, P (X = 2) =

18

27, P (X = 3) =

6

27si

repartitia variabilei aleatoare este:

X :

1 2 3

3

27

18

27

6

27

.

Fie acum Y variabila aleatoare care asociaza evcenimentului elementar ei ∈ S numarulde bile din prima urna. Avem: Y (e1) = 3, Y (ei) = 2, pentru i = 4 − 9, Y (ei) = 1pentru i = 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 − 27, Y (ei) = 0 pentru i = 2, 3, 11, 13, 15, 17, 19, 21.

Rezulta ca P (Y = 0) =8

27, P (Y = 1) =

12

27, P (Y = 2) =

6

27, P (Y = 3) =

1

27si deci

repartitia variabilei aleatoare Y este:

Y :

0 1 2 3

8

27

12

27

6

27

1

27

.

Consideram acum variabila aleatoare Z care asociaza evenimentului elementar ei ∈ Sperechea de numere (numarul de urne ocupate, numarul de bile din prima urna). Penrtuca valorile lui Z sunt vectori bidimensionali (perechi de numere) variabila aleatoarte Zse numeste variabila aleatoare bidimensionala. Avem: Z(e1) = (1, 3); Z(e2) = (1, 0);Z(e3)= (1, 0); Z(ei)= (2, 2), i=4, 9; Z(ei)= (2, 1), i=10, 12, 14, 16, 18, 20; Z(ei)= (2, 0),i=11, 13, 15, 17, 19, 21; Z(ei)=(3, 1), i=22, 27.

Prin urmare valorile acestei variabile aleatoare sunt vectorii (1, 3); (1, 0); (2, 2); (2, 1);(2, 0); (3, 1). Probabilitatile corespunzatoare sunt:

P (X = 1, Y = 3) =1

27; P (X = 1, Y = 0) =

2

27; P (X = 2, Y = 2) =

6

27;

P (X = 2, Y = 1) =6

27; P (X = 2, Y = 0) =

6

27; P (X = 3, Y = 1) =

6

27.

Repartitia variabilei aleatoare bidimensionale Z este

Z :

(1, 3) (1, 0) (2, 2) (2, 1) (2, 0) (3, 1)

2

27

1

27

6

27

6

27

6

27

6

27

.

Fie acum ın general doua variabile aleatoare X, Y definite pe acelasi spatiu de selectieS = {e1, e2, ..., en}. Fie x1, x2,..., xk valorile variabilei X si y1, y2, ..., yl valorile variabileiY .

Definitia 17.1. Cu variabilele X, Y putem construi variabila aleatoare vectorialabidimensionala Z = (X,Y ), a carei valori sunt perechile ordonate de numere (xi, yj)(vectori bidimensionali), pe care le ia cu probabilitatea

rij = P (X = xi si Y = yj) , 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ l.

28

Repartitia variabilei Z este deci:

X�Y y1 y2 y3 ... yj ... yl P (X = xi)x1 r11 r12 r13 ... r1j ... r1l p1

x2 r21 r22 r23 ... r2j ... r2l p2

x3 r31 r32 r33 ... r3j ... r3l p3...

......

......

......

xi ri1 ri2 ri3 ... rij ... ril pi...

......

......

......

xk rk1 rk2 rk3 ... rkj ... rkl pk

P (Y = yj) q1 q2 q3 ... qj ... qk 1

Intrucat evenimentele (X = xi; Y = yj) realizeaza o partitie a spatiului de selectie, sumaprobabilitatilor din tabel este unu:

k∑i=1

l∑j=1

rij = 1.

Daca se cunoaste repartitia vectorului aleator discret Z = (X, Y ), se poate determinarepartitia fiecarei componente. Intr-adevar, deoarece evenimentele (X = xi, Y = y1),(X = xi, Y = y2), ..., (X = xi, Y = yl), 1 ≤ i ≤ k sunt incompatibile doua cate doua sideoarece

(X = xi) = (X = xi, Y = y1) ∪ (X = xi, Y = y2) ∪ ... ∪ (X = xi, Y = yl),

avem:

pi = P (X = xi) = ri1 + ri2 + ... + rik =l∑

j=1

rij , 1 ≤ i ≤ k.

Analog obtinem:

qj = P (Y = yj) = r1j + r2j + ... + rkj =k∑

i=1

rij , 1 ≤ j ≤ l.

Urmeaza ca pentru a obtine probabilitatea ca X (Y ) sa ia valoarea xi (yj), vom face sumaprobabilitatilor din linia (coloana) lui xi (yj).

Deci variabila aleatoare X (Y ) are ca tablou al probabilitatilor coloana (linia) marginalaa tabloului. Din acest motiv, prima coloana (linie) ımpreuna cu ultima coloana (linie) atabloului constituie repartitia marginala a variabilei X (Y ).

Definitia 17.2. Variabila X conditionata de Y = yj are repartitia:(

x1 x2 ... xi ... xk

P (x1|yj) P (x2|yj) ... P (xi|yj) ... P (xk|yj)

)

unde

P (xi|yj) = P (X = xi|Y = yj) =P (X = xi, Y = yj)

P (Y = yj)=

rij

qj

, 1 ≤ j ≤ l.

29

Analog, variabila Y conditionata de X = xi are repartitia:

(y1 y2 ... yj ... yl

P (y1|xi) P (y2|xi) ... P (yj|xi) ... P (yl|xi)

)

unde

P (yj|xi) = P (Y = yj|X = xi) =P (Y = yj, X = xi)

P (X = xi)=

rij

pi

, 1 ≤ i ≤ k.

Avem:k∑

i=1

P (xi|yj) =1

qj

k∑i=1

rij = 1

sil∑

j=1

P (yj|xi) =1

pi

l∑j=1

rij = 1.

18 Functia de repartitie a vectorului aleator (X,Y )

Definitia 18.1. Se numeste functie de repartitie a vectorului aleator (X, Y ) functiadefinita de

F (x, y) = P (X < x si Y < y) =∑xi<x

∑yj<y

P (X = xi si Y = yj) =∑xi<x

∑yj<y

rij

unde rij = P (X = xi si Y = yj).

Propozitia 18.1. Functia de repartitie a vectorului aleator (X, Y ) are urmatoareleproprietati:

i) F (xi + 0, yj + 0) =i∑

m=1

j∑s=1

rms , F (xi + 0, yj − 0) =i∑

m=1

j−1∑s=1

rms

F (xi − 0, yj + 0) =i−1∑m=1

j∑s=1

rms , F (xi − 0, yj − 0) =i−1∑m=1

j−1∑s=1

rms.

ii) F (x2, y) ≥ F (x1, y) daca x2 > x1,F (x, y2) ≥ F (x, y1) daca y2 > y1.

iii) F (x,−∞) = F (−∞, y) = 0 si F (∞,∞) = 1.

iv) F (x,∞) este functia de repartitie a variabilei X,F (∞, y) este functia de repartitie a variabilei Y .

v) Deoarece

P (Y < y|X = xi) =P (Y < y, X = xi)

P (X = xi)=

F (xi + 0, y)− F (xi − 0, y)

F (xi + 0,∞)− F (xi − 0,∞),

30

functia de repartitie a variabilei Y |X = xi este:

F (xi + 0, y)− F (xi − 0, y)

F (xi + 0,∞)− F (xi − 0,∞).

Demonstratie. Aceste proprietati se arata folosind Definitia 18.1.

Definitia 18.2. Vom spune ca variabilele X si Y sunt independente daca pentru toateperechile (i, j) avem

rij = pi · qj.

Propozitia 18.2. Daca variabilele X, Y sunt independente, atunci:

1. repartitiile conditionate sunt identice cu repartitiile marginale:

P (xi|yj) =rij

qj

=pi · qj

qj

= pi,

P (yj|xi) =rij

pi

=pi · qj

pi

= qj.

2. F (x, y) =∑xi<x

∑yj<y

rij =∑xi<x

∑yj<y

pi ·qj =

(∑xi<x

pi

)·(∑

yi<y

qj

)= F (x,∞) ·F (y,∞).

19 Valoare medie. Dispersie. Momente. (pentru

variabile aleatoare discrete unidimensionale)

Definitia 19.1. Valoarea medie a variabilei aleatoare X avand repartitia:

X :

(x1 x2 ... xn

p1 p2 ... pn

)

este prin definitie numarul

M(X) =n∑

i=1

xi pi.

Propozitia 19.1. Media unei variabile aleatoare are urmatoarele proprietati:

1. Media unei variabile aleatoare conststante este egala cu constanta ınsasi:

M(a) = a.

2. Media produsului dintre o constanta a si o variabila aleatoare X este egala cuprodusul dintre a si media lui X:

M(a ·X) = a ·M(X).

31

3. Media sumei a doua variabile aleatoare X si Y este egala cu suma mediilor acestorvariabile:

M(X + Y ) = M(X) + M(Y ).

4. Media produsului a doua variabile aleatoare independente X si Y este egala cuprodusul mediilor celor doua variabile aleatoare:

M(X · Y ) = M(X) ·M(Y ).

5. Media variabilei aleatoare X verifica:

inf X ≤ M(X) ≤ sup X.

6. Valoarea medie a abaterii fata de media variabilei aleatoare este egala cu zero:

M(X −M(X)) = 0.

Demonstratie. Aceste proprietati se arata pe baza definitiei si raman pe seama cititorului.

Exemplul 19.1. Se arunca un zar. Variabila aleatoare X este ”numarul de puncte careapar”. Valoarea medie a acestei variabile este

M(X) = 1 · 1

6+ 2 · 1

6+ 3 · 1

6+ 4 · 1

6+ 5 · 1

6+ 6 · 1

6=

7

2= 3.5.

Se arunca k zaruri. Fie Y numarul total de de puncte care apar. Valoarea medie a acestei

variabile este M(Y ) =7k

2.

Exemplul 19.2. Se arunca o moneda de trei ori. Fie X (Y ) variabila aleatoare care danumarul de steme pe primele (ultimele) doua aruncari. Sa se arate ca:

1. M(X) = M(Y ) = 1;

2. M(X · Y ) =5

4;

3. M

(1

1 + Y

)=

7

12;

4.X

1 + Yare repartitia

X

1 + Y:

01

3

1

2

2

31

2

8

1

8

2

8

1

8

2

8

.

Exemplul 19.3. Se arunca un zar de doua ori. Fie X (Y ) variabila aleatoare care danumarul la prima (a doua) aruncare. Sa se arate:

1. M(X · Y ) = M(X) ·M(Y );

32

2. M

(X

Y

)= M(X) ·M

(1

Y

).

Definitia 19.2. Prin definitie, dispersia variabilei aleatoare X este valoarea medie apatratului abaterii, X −M(X). Dispersia va fi notata cu D2(X) sau cu µ2(X) sau cu σ2:

D2(X) = M[(X −M(X))2

].

Propozitia 19.2. Dispersia unei variabile aleatoare are urmatoarele proprietati:

1. Dispersia unei variabile aleatoare constante este zero:

D2(a) = 0.

2. Dispersia produsului dintre o constanta si o variabila aleatoare X este egala cuprodusul dintre patratul constantei si dispersia variabilei X:

D2(a ·X) = a2 ·D2(X).

3. Dispersia sumei a doua variabile aleatoare independente este egala cu suma disper-siilor celor doua variabile aleatoare:

D2(X + Y ) = D2(X) + D2(Y ).

4. Oricare ar fi L > 0 are loc inegalitatea:

P [|X −M(X)| < L] ≥ 1− D2(X)

L2(inegalitatea lui Cebısev).

Demonstratie. Demonstratia proprietatilor 1-3 o lasam pe seama cititorului.

Demonstram aici doar proprietatea 4.

Consideram

X :

(x1 x2 ... xn

p1 p2 ... pn

)

si

σ2 =n∑

i=1

pi · (xi −M(X))2 =n∑

i=1

pi α2i unde αi = xi −M(X).

Putem admite ca α2i sunt ordonati:

α21 ≤ α2

2 ≤ ... ≤ α2n.

Intercalam L ıntre doua valori α2i , α2

i+1, adica:

α21 ≤ α2

2 ≤ ... ≤ α2i ≤ L ≤ α2

i+1 ≤ ... ≤ α2n.

Daca ın expresia lui σ2 egalam cu zero toti α2j ≤ L si ınlocuim cu L toti α2

j ≥ L obtinem:

σ2 ≥ L [pi+1 + ... + pn]

33

sau

pi+1 + ... + pn ≤ σ2

L.

Suma pi+1 + ... + pn reprezinta probabilitatea ca abaterea sa fie mai mare sau egala cu Lsi prin urmare

P [|X −M(X)| ≥ L] ≤ σ2

L.

Din relatiaP [|X −M(X)| ≥ L] + P [|X −M(X)| < L] = 1

rezulta inegalitatea din enunt.

Remarca 19.1. Daca L = k · σ atunci:

P [|X −M(X)| < k · σ] ≥ 1− 1

k2.

Daca k = 3 rezulta

P [|X −M(X)| < 3σ] ≥ 8

9.

Aceasta ınseamna ca 89%

(8

9

)dintre abaterile absolute ale variabilei X nu depasesc 3σ

(regula ”trei sigma”).

Se observa deci ca dispersia functioneaza ca indicator de concentrare a abaterilor ın jurulvalorii medii.

Problema 19.1. Sa se determine dispersia ın cazul variabilelor aleatoare de la Exemplele19.1, 19.2, 19.3.

Definitia 19.3. Prin definitie, abaterea medie patratica a unei variabile aleatoare Xeste radacina patrata a dispersiei acestei variabile; o vom nota cu D(X) sau cu µ sau cuσ:

σ(X) =√

D2(X).

Abaterea medie patratica se exprima ın aceleasi unitati de masura ca si variabila aleatoareconsiderata.

Definitia 19.4. Se numeste moment obisnuit de ordin k al unei variabile aleatoareX, media variabilei Xk. Daca notam cu νk un asemenea moment, putem scrie:

νk = M(Xk) =n∑

i=1

pi · xki .

Definitia 19.5. Se numeste moment centrat de ordin k al variabilei aleatoare Xmedia variabilei aleatoare [X−M(X)]k. Daca notam cu µk aceste momente, putem scrie:

µk = M [X −M(X)]k.

In particular avem:

µ1 = M [X −M(X)] = 0 , µ2 = M [X −M(X)]2 = D2(X).

34

Propozitia 19.3. Momentele obisnuite si momentele centrate verifica relatia:

µk = νk − C1k ν1 νk−1 + C2

k ν21 νk−2 + ... + (−1)kνk

1 .

Demonstratie. Prin definitie µk = M(X − ν1)k. Insa

(X − ν1)k = Xk − C1

kν1Xk−1 + C2

kν21X

k−2 − ... + (−1)kνk1 .

Prin urmare:

µk = M(X − ν1)k = M(Xk)− C1

k ν1 M(Xk−1) + C2k ν2

1 M(Xk−2)− ... + (−1)kνk1 .

In baza acestei formule, facand k = 2, putem scrie

µ2 = ν2 − ν21 ,

adica dispersia este egala cu diferenta dintre momentul obisnuit de ordinul doi si patratulmomentului obisnuit de primul ordin.

Facand succesiv k = 3, 4, rezulta

µ3 = ν3 − 3ν1ν2 + 2ν31 ,

µ4 = ν4 − 4ν1ν3 + 6ν21ν2 − 3ν4

1 .

20 Covarianta. Coeficient de corelatie

Definitia 20.1. Daca X si Y sunt variabile aleatoare definite pe acelasi spatiu de selectieS, vom numi covarianta a variabilelor X si Y , si o vom nota cu cov(X, Y ), numarul

cov(X, Y ) = M ([X−M(X)][Y −M(Y )]) =∑x∈VX

∑y∈VY

(x−M(X))·(y−M(Y ))·P (X =x, Y =y)

unde VX si VY sunt multimile valorilor variabilelor aleatoare X si Y .

Propozitia 20.1. Are loc urmatoarea egalitate:

cov(X, Y ) = M(X · Y )−M(X) ·M(Y ).

35

Demonstratie. Putem scrie :

cov(X, Y )=∑x∈VX

∑y∈VY

(x−M(X)) · (y−M(Y )) · P (X =x, Y =y) =

=∑x∈VX

∑y∈VY

x · y · P (X =x, Y =y)−M(Y )∑x∈VX

x∑y∈VY

P (X =x, Y =y)−

−M(X)∑y∈VY

y∑x∈VX

P (X =x, Y =y) +∑x∈VX

∑y∈VY

M(X) M(Y ) P (X =x, Y =y) =

=M(X · Y )−M(Y ) ·∑x∈VX

x · P (X =x)−M(X) ·∑y∈VY

y · P (Y =y)+

+ M(X) M(Y )∑x∈VX

∑y∈VY

P (X =x, Y =y) =

=M(X · Y )−M(Y ) ·M(X)−M(X) ·M(Y ) + M(X) ·M(Y ) =

=M(X · Y )−M(X) ·M(Y ).

Propozitia 20.2. Daca X si Y sunt variabile aleatoare independente, atunci:

cov(X,Y ) = 0.

Demonstratie. Imediata, ın baza Propozitiei 20.1.

Propozitia 20.3. Daca X1, X2, ..., Xn sunt n variabile aleatoare definite pe acelasispatiu de selectie, atunci are loc:

D2

(n∑

i=1

Xi

)=

n∑i=1

D2(Xi) + 2∑i<j

cov(Xi, Xj).

Demonstratie. Vom demonstra propozitia pentru n = 3. Avem:

D2(X1 + X2 + X3) =M((X1 −M(X1) + X2 −M(X2) + X3 −M(X3))2) =

=M [(X1 −M(X1))2 + (X2 −M(X2))

2 + (X3 −M(X3))2+

+ 2(X1 −M(X1))(X2 −M(X2)) + 2(X1 −M(X1))(X3 −M(X3))+

+ 2(X2 −M(X2))(X3 −M(X3))] =

=M(X1 −M(X1))2 + M(X2 −M(X2))

2 + M(X3 −M(X3))2+

+ 2M [(X1 −M(X1))(X2 −M(X2))]+

+ 2M [(X1 −M(X1))(X3 −M(X3))]+

+ 2M [(X2 −M(X2))(X3 −M(X3))] =

=3∑

i=1

D2(Xi) + 2∑

1≤i<j≤3

cov(Xi, Xj).

36

Definitia 20.2. Daca X si Y sunt doua variabile definite pe acelasi spatiu de selectieS, vom numi coeficient de corelatie a variabilelor X, Y , si ıl vom nota cu ρ(X,Y ),numarul

ρ(X,Y ) =M [(X −M(X)) · (Y −M(Y ))]√

D2(X) ·D2(Y )=

cov(X, Y )

σ(X) · σ(Y ).

Remarca 20.1. Daca X1, X2, ..., Xn sunt n variabile aleatoare definite pe spatiul deselectie S, atunci:

D2

(n∑

i=1

Xi

)=

n∑i=1

D2(Xi) + 2∑i<j

σ(Xi) · σ(Xj) · ρ(Xi, Xj).

unde σ(Xi) =√

D2(Xi).

Exemplul 20.1. Intr-o biblioteca sunt carti numerotate de la 1 la n. Se scot la ıntamplarecartile din biblioteca. Spunem ca avem o ıntalnire, daca numarul de pe carte coincide cunumarul extractiei. Sa se calculeze media si dispersia numarului total de ıntalniri.

Solutie: La fiecare carte asociem o variabila aleatoare Xi, i = 1, 2, ..., n, definita astfel:daca la extractia i cartea poarta pe ea numarul i, atunci Xi = 1, ın celelalte situatii

Xi = 0. Probabilitatea ca la extractia i sa obtinem cartea cu numarul i este P (Xi) =1

n,

deoarece exista o singura carte cu acest numar printre cele n din biblioteca. Deoarecefiecare variabila Xi poate sa ia numai valorile 1 sau 0, rezulta ca:

P (Xi = 0) = 1− P (Xi = 1) = 1− 1

n,

de unde repartitia variabilei aleatoare Xi este:

Xi :

1 0

1

n1− 1

n

.

Avem M(Xi) =1

n, de unde D2(Xi) = M(X2

i )−M2(Xi) =1

n− 1

n2=

n− 1

n2.

Numarul total de ıntalniri este dat de variabila aleatoare

Y = X1 + X2 + ... + Xn.

Avem:

M(Y ) =1

n+

1

n+ ... +

1

n= 1

si

D2(Y ) =n∑

i=1

D2(Xi) + 2∑i<j

cov(Xi, Xj).

Pentru calculul covariantei, avem succesiv:

cov(Xi, Xj) = M(Xi ·Xj)−M(Xi) ·M(Xj)

37

si

M(Xi ·Xj) = 1 · P (XiXj = 1) + 0 · P (XiXj = 0) =(n− 2)!

n!=

1

n(n− 1),

deoarece Xi ·Xj = 1 daca si numai daca cartile cu numerele i si j au fost extrase la randullor, si sunt (n− 2)! aranjamente ın care se realizeaza acest eveniment.

Daca i 6= j, avem deci:

cov(Xi, Xj) =1

n(n− 1)− 1

n· 1

n=

1

n2(n− 1).

Tinand seama de rezultatele obtinute, avem:

D2(Y ) = n ·D2(Xi) + n(n− 1) cov(Xi, Xj) = n · n− 1

n2+ n(n− 1) · 1

n2(n− 1)= 1.

21 Convergenta sirurilor de variabile aleatoare

Consideram un sir de variabile aleatoare X1, X2, ..., Xn, ... definite pe acelasi spatiu deselectie S.

In teoria probabilitatilor se ıntalnesc diferite concepte de convergenta a sirului de variabilealeatoare (Xn)n.

Definitia 21.1. Spunem ca sirul de variabile aleatoare (Xn) converge sigur la variabilaaleatoare X daca

limn→∞

Xn(e) = X(e) ∀e ∈ S.

Definitia 21.2. Spunem ca sirul de variabile aleatoare (Xn) converge ın probabilitatecatre variabila aleatoare X, daca

limn→∞

P (|Xn −X| < ε) = 1

oricare ar fi ε > 0.

Definitia 21.3. Spunem ca sirul de variabile aleatoare (Xn) converge aproape sigurcatre variabila aleatoare X, daca

P(

limn→∞

Xn = X)

= 1.

Definitia 21.4. Fie Fn(x) functia de repartitie a variabilei Xn, (n = 1, 2, ...) si F (x)functia de repartitie a variabilei X. Sirul Xn converge ın repartitie catre X daca

limn→∞

Fn(x) = F (x).

Definitia 21.5. Dacalim

n→∞D2(Xn −X) = 0,

zicem ca sirul Xn converge ın medie patratica la X.

38

Propozitia 21.1. Daca sirul Xn converge la X ın medie patratica, atunci Xn convergela X ın probabilitate.

Demonstratie. Din inegalitatea lui Cebısev avem

1− D2(Xn −X)

ε≤ P (|Xn −X| < ε) ≤ 1,

de unde, trecand la limita pentru n → ∞, se obtine ca daca D2(Xn − X)−−−−→n→∞ 0, atunciP (|Xn −X| < ε)−−−−→n→∞ 1

Propozitia 21.2. Daca sirul Xn converge la X aproape sigur, atunci Xn −−−−→n→∞X ınprobabilitate.

Demonstratie. Daca Xn −−−−→n→∞X aproape sigur, atunci pentru orice ε > 0 avem

limN→∞

P

(supn≥N

|Xn −X| > ε

)= 0.

Rezulta de aici calim

n→∞P (|Xn −X| > ε) = 0.

Propozitia 21.3. Daca D2(Xn−X)−−−−→n→∞ 0 si∞∑i=1

M(Xn−X)2 < +∞, atunci Xn −−−−→n→∞X

aproape sigur.

22 Legi ale numerelor mari

Teorema 22.1 (Cebısev). Fie (Xn) un sir de variabile aleatoare definite pe un spatiu deselectie S. Daca variabilele aleatoare sunt independente si D2(Xn) ≤ c, ∀n, atunci pentruorice ε > 0 are loc

limn→∞

P (|Xn −M(Xn)| < ε) = 1,

unde Xn = 1n(X1 + X2 + ... + Xn).

Demonstratie. Din inegalitatea lui Cebısev avem:

1− D2(Xn)

ε≤ P (|Xn −M(Xn)| < ε) ≤ 1.

Deoarece

D2(Xn) =1

n2

n∑i=1

D2(Xj) ≤ nc

n2=

c

n,

obtinem

1− c

n≤ P (|Xn −M(Xn)| < ε) ≤ 1

si de aicilim

n→∞P (|Xn −M(Xn)| < ε) = 1.

39

Remarca 22.1. Teorema lui Cebısev arata ca desi variabilele aleatoare independente potlua valori departate de mediile lor, media aritmetica a unui numar suficient de mare deastfel de variabile aleatoare ia, cu o probabilitate mare, valori ın vecinatatea constantei1

n

n∑j=1

M(Xj). Prin urmare, ıntre comportarea variabilelor aleatoare si media lor exista o

mare deosebire. In cazul variabilelor aleatoare nu putem prezice cu o probabilitate marevaloarea, pe cand, ın cazul mediei aritmetice ale acestor variabile, putem preciza, cu oprobabilitate apropiata de 1, ce valoare ia.

Media aritmetica a unui numar suficient de mare de variabile aleatoare ısi pierde calitateade variabila aleatoare.

Teorema 22.2 (Bernoulli). Sa presupunem ca se fac n experiente independente, ınfiecare experienta probabilitatea evenimentului A fiind p, si fie ν numarul de realizariale evenimentului A ın cele n experiente. Pentru orice ε avem

limn→∞

P(∣∣∣ν

n− p

∣∣∣ < ε)

= 1.

Demonstratie. Asociem la fiecare experienta o variabila aleatoare Xj care are valorea 1daca ın experienta de ordin j evenimentul s-a realizat si 0 daca nu s-a realizat. Astfel,numarul de realizari ale evenimentului A , ın cele n experiente, este dat de

ν = X1 + X2 + ... + Xn

unde fiecare din variabilele X1, X2, ..., Xn are repartitia

Xi :

(1 0p 1−p

).

De aici rezulta: M(Xi) = p, D2(Xi) = p (1−p), si M(ν) = np, D2(ν) = n p (1−p).

Aplicand inegalitatea lui Cebısev variabilei1

nν rezulta:

P(∣∣∣ν

n−M

(ν

n

)∣∣∣ < ε)≥ 1−

D2(ν

n

)

ε2

sau

P(∣∣∣ν

n− p

∣∣∣ < ε)≥ 1− p (1− p)

nε2.

Tinand seama ca p (1−p) ≤ 14, obtinem

P(∣∣∣ν

n− p

∣∣∣ < ε)≥ 1− 1

4nε2.

Trecand la limita, obtinem

limn→∞

P(∣∣∣ν

n− p

∣∣∣ < ε)

= 1,

ceea ce demonstreaza teorema.

40

Remarca 22.2. In cazul unei populatii de volum mare, daca se efectueaza o selectie devolum n si se obtin ν rezultate favorabile, atunci, cu o probabilitate apropiata de 1, putemafirma ca probabilitatea evenimentului cercetat este data de frecventa relativa.

Prin urmare, ın studiul populatiilor mari pentru care nu putem determina aprioriprobabilitatea de realizare a unui eveniment, probabilitatea se poate exprima prinfrecventa relativa ν

na evenimentului considerat, fapt ce constituie justificarea teoretica a

folosirii frecventei ın loc de probabilitate.

Exemplul 22.1. Se arunca o moneda de n ori. Cat de mare trbuie sa fie n pentru caprobabilitatea inegalitatii ∣∣∣∣

α

n− 1

2

∣∣∣∣ <1

100

sa fie mai mare decat 0.99, stiind ca α reprezinta numarul de aparitii ale unei fete alesedinainte.

Solutie: Neavand nici un motiv sa presupunem ca o fata are sansa mai mare de aparitie

decat alta fata, urmeaza ca α ∼ n

2.

Rezulta M(α) =n

2, D2(α) =

n

4, M

(α

n

)=

1

2, D2

(α

n

)=

1

4n.

Din inegalitatea lui Cebısev, rezulta ca:

P

(∣∣∣∣α

n− 1

2

∣∣∣∣ <1

100

)≥ 1−

D2(α

n

)

1

102

.

Deducem ca, pentru ca P

(∣∣∣∣α

n− 1

2

∣∣∣∣ <1

100

)> 0.99 este suficient sa impunem ca

1− D2(αn)

1102

> 0.99 ⇒ 1− (100)2

4n>

99

100⇒ 4n > 106 ⇒ n > 250.000

23 Repartitia binomiala

Consideram un spatiu de selectie cu doua evenimente elementare S1 = {e0, e1}, pentrucare

P ({e0}) = 1− p si P ({e1}) = p,

unde p este un numar oarecare din [0, 1]. Consideram produsul cartezian

S = S1 × S1 × ...× S1︸ ︷︷ ︸n ori

adica multimea elementelor de forma (ei1 , ei2 , ..., ein) unde ij este 0 sau 1.

Spatiul de selectie S contine 2n elemente. Definim probabilitatea P pe S astfel:

P ({(ei1 , ei2 , ..., ein)}) = P1({ei1}) · P1({ei2}) · ... · P1({ein}).

41

Fie Ak, k = 0, 1, ..., n, evenimentul care consta din acei (ei1 , ei2 , ..., ein) care contin kelemente de 1. (Ak este evenimentul care consta din k succese).

Propozitia 23.1.P (Ak) = Ck

n · pk · (1− p)1−k.

Demonstratie. Numarul sistemelor de forma (ei1 , ei2 , ..., ein) care contin k numere 1 esteCk

n.

Remarca 23.1. Evenimentele A0, A1, ..., An sunt incompatibile si reuniunea lor esteevenimentul sigur, deci:

A0 ∪ A1 ∪ ... ∪ An = Ssi

P (A0) + P (A1) + ... + P (An) = 1.

Probablitatile P (A0), P (A1), ..., P (An) pot servi pentru definirea unei repartitii ıntr-unspatiu de selectie de n+1 puncte 0, 1, 2, ...n, ın care evenimentul k ınseamna evenimentulAk.

Definitia 23.1. Variabila aleatoare X avand repartitia

X :

(0 1 ... k ... n

C0np

0(1−p)n C1np1(1−p)n−1 ... Ck

npk(1−p)n−k ... Cnnpn(1−p)0

)

se numeste variabila binominala si se noteaza de obicei cu B(n, p) (sau X ∼ B(n, p)).

Termenul de variabila aleatoare binominala provine din faptul ca probabilitatile

b(k; n, p) = Cknpk(1− p)n−k

sunt termenii succesivi din dezvoltarea [p + (1− p)]n.

Remarca 23.2. Alegerile lui p si n determina ın mod unic repartitia binominala; diferitealegeri conduc la diferite repartitii.

Definitia 23.2. Multimea tuturor repartitiilor binomiale poarta numele de familiarepartitiilor binomiale.

Remarca 23.3. Repartitiile binominale au fost analizate de James Bernoulli. Schemape care a dat-o, si care este modelul unui numar mare de fenomene reale, este: extragerisuccesive independente dintr-o urna care contine a bile albe si b bile negre, a si b ramanandaceleasi ın decursul extragerii (se pun ınapoi). Probabilitatea de a extrage o bila alba este

p =a

a + bsi de a extrage una neagra este 1− p = q =

b

a + b.

Propozitia 23.2. Variabila aleatoare X ∼ B(n, p) are urmatoarele proprietati:

1. M(X) = n · p;2. D2(X) = n · p · (1− p);

42

3. Daca notam cu Mo modulul variabilei X (valoarea cea mai probabila), atunci:

np− (1− p) ≤ Mo ≤ np + p.

Demonstratie. Prin calcul.

Propozitia 23.3. Daca X1 ∼ B(n1, p), X2 ∼ B(n2, p) si X1, X2 sunt independente,atunci

1. X1 + X2 ∼ B(n1 + n2, p);

2. P (X1 = k|X1 + X2 = n) =Ck

n1· Cn−k

n2

Cnn1+n2

, pentru max(0, n1 − n2) ≤ k ≤ min(n1, n).

Propozitia 23.4. Functia de repartitie a varibilei X ∼ B(n, p) este:

F (x) =

0 , x ≤ 0(1−p)n , 0 < x ≤ 1(1−p)n + C1

n p (1−p)n−1 , 1 < x ≤ 2. . . . . . . . .(1−p)n + C1

n p (1−p)n−1 + ... + Ckn pk (1−p)n−k , k < x ≤ k + 1

. . . . . . . . .1 , x > n.

24 Repartitia Poisson ca aproximatie a repartitiei

binomiale

Adesea probabilitatile binominale b(k; n, p) = Cknpk(1 − p)n−k se calculeaza cu greutate.

Tabelele construite pentru asemenea probabilitati depind de doi parametri, n si p.In anumite conditii putem gasi expresii simple, care pentru n → ∞ aproximeazaprobabilitatile b(k; n, p), aproximatia fiind acceptabila chiar pentru valori mici ale luin.

In cele ce urmeaza vom prezenta asemenea aproximatii.

Vom demonstra la ınceput o teorema care se refera la comportarea repartitiei binominaleın cazul ın care n este mare si n · p este moderat de mare.

Teorema 24.1 (Poisson). Daca n·pn → λ, atunci

b(k; n, pn) → λk

k!e−λ.

Demonstratie. Avem:

b(k; n, pn) =1

k!n (n− 1) ... (n− k + 1) · pk

n (1− pn)n−k =

=1

k!· n

n· n− 1

n· ... · n− k + 1

n· (n pn)k (1− pn)n−k.

43

Intrucatn

n· n− 1

n· ... · n− k + 1

n−−−−−−−−→n→∞ 1 si (n pn)k −−−−−−−−→n→∞ λk

demonstratia teoremei revine la a demmonstra ca

(1− pn)n−k −−−−−−−−→n→∞ e−λ.

Deoarece(1− pn)n−k = (1− pn)n (1− pn)−k

si (1− pn)−k −−−−−−−−→n→∞ 1 si pn −−−−−−−−→n→∞ 0, este suficient sa aratam ca

(1− pn)n −−−−−−−−→n→∞ e−λ.

Se stie ca(1− a

n

)n−−−−−−−−→n→∞ e−a si convergenta este uniforma pe fiecare interval finit

a0 < a < a1.

Toate numerele n pn pot fi restranse la un asemenea interval ın jurul lui λ si astfel ∀ε > 0,∃n1(ε) astfel ıncat ∀n > n1(ε) sa avem

∣∣∣(1− n pn

n

)n

− e−n pn

∣∣∣ < ε.

Din continuitatea functiei e−x pentru n > n2(ε) avem:

|e−n pn − e−λ| < ε.

Astfel, pentru n > n(ε) = max(n1(ε), n2(ε)), avem:

|(1−pn)n−e−λ| =∣∣∣(1−n pn

n

)n

−e−λ∣∣∣ =

∣∣∣(1−n pn

n

)n

−e−n pn +e−n pn−e−n pn

∣∣∣ ≤

≤∣∣∣(1−n pn

n

)n

−e−n pn

∣∣∣ + |e−n pn−e−λ| < 2ε,

ceea ce demonstreaza teorema.

Definitia 24.1. Variabila aleatoare X care are functia de frecventa (functia de probabil-itate)

p(k, λ) = P (X = k) =λk

k!e−λ , k = 0, 1, 2, ...

se numeste variabila Poisson cu parametrul λ si se noteaza X ∼ Po(λ).

Exemplul 24.1. 3% din suruburile fabricate de o masina sunt defecte, defectele aparandla ıntamplare ın timpul procesului de productie. Daca suruburile sunt ımpachetate ıncutii a 100 de bucati, care este probobilitatea ca o cutie sa contina x suruburi defecte?

Solutie: Probabilitatea este data de functia de frecventa binominala

b

(x; 100,

3

100

)= Cx

100 ·(

3

100

)x

·(

1− 3

100

)100−x

, x = 0, 1, 2, ..., 100.

In acest caz n = 100, p = 0.03 si n p = 3, iar aproximatia Poisson pentru b(x; 100, 3100

)este

b

(x; 100,

3

100

)=

3x · e−3

x!.

44

Remarca 24.1. Repartitia Poisson apare ın multiple situatii, ca de exemplu:

• da probabilitatile unui numar specificat de chemari telefonice ıntr-un anumit timp;

• da probabilitatile unui numar specificat de defecte pe o unitate de lungime a unuifir;

• da probabilitatile unui numar specificat de defecte pe o unitate de arie a uneitesaturi;

• da probabilitatile unui numar specificat de bacterii pe unitatea de volum ıntr-osolutie;

• da probabilitatile unui numar specificat de accidente pe unitatea de timp.

Sa vedem cum apare distributia Poisson ın una dintre situatiile de mai sus.

Exemplul 24.2. Consideram un fir de lungime L si presupunem ca probabilitatea unuisingur defect pe o lungime ∆L a firului este λ · ∆L. Admitem ca aceasta probabilitateeste independenta de pozitia bucatii ∆L.

Impartim firul de lungime L ın bucati de lungime ∆L =L

nsi avem:

1. probabilitatea unei defectiuni pe lungimea ∆L este λ ·∆L.

2. probabilitatea nici unei defectiuni pe lungimea ∆L este 1− λ ·∆L.

3. probabilitatea a doua sau mai multe defectiuni pe ∆L este Θ(∆L), astfel ıncatΘ(∆L)

∆L→ 0 cand ∆L → 0.

Evenimentul ca pe lungimea L + ∆L sa fie x defecte este reuniunea urmatoarelorevenimente:

a) pe lungimea L sunt x defecte si pe ∆L nici un defect;

b) pe lungimea L sunt x− 1 defecte si pe ∆L un defect;

c) pe lungimea L sunt x− i defecte si pe ∆L sunt i defecte (i = 2, 3, ..., x).

Probabilitatile acestor evenimente sunt: Px(L) · [1− λ ·∆L], Px−1(L) · λ ·∆L si Θ(∆L).Deci

Px(L + ∆L) = Px(L) · [1− λ ·∆L] + Px−1(L) · λ ·∆L + Θ(∆L) , x = 1, 2, ...

siP0(L + ∆L) = P0(L) · [1− λ ·∆L].

Aceste egalitati pot fi scrise astfel:

Px(L + ∆L)− Px(L)

∆L= λ [Px−1(L)− Px(L)] +

Θ(∆L)

∆L, x = 1, 2, ...

45

P0(L + ∆L)− P0(L)

∆L= −λP0(L).

Pentru ∆L → 0 obtinem:dPx

dL= λ [Px−1(L)− Px(L)]

dP0

dL= −λP0(L).

Daca impunem P0(0) = 1 si Px(0) = 0, x > 1, rezulta:

Px(L) =(λL)x e−λL

x!, x = 0, 1, 2, ...

care este functia de frecventa cu λ′ = λL.

Teorema 24.2. Daca X si Y sunt variabile aleatoare independente repartizate Poissonde parametrii µ respectiv ν, atunci X + Y ∼ Po(µ + ν).

Demonstratie. Avem

P (X = x) =µx · e−µ

x!, x = 0, 1, 2, ...

P (Y = y) =νy · e−ν

y!, y = 0, 1, 2, ...

si cum X si Y sunt independente:

P (X = x, Y = y) = P (X = x) · P (Y = y) =µxνy · e−(µ+ν)

x! y!.

Fie Z = X + Y si g(z) = P (Z = z). Valoarea g(z) se obtine ınsumand P (X = x, Y = y)dupa toate perechile (x, y) astfel ıncat x + y = z, adica dupa toate perechile (x, z − x).Deci

g(z) =z∑

x=0

P (X = x, Y = z − x) = e−(µ+ν)

z∑x=0

µx νz−x

x! (z − x)!=

=

e−(µ+ν) νz

z∑x=0

Cxz

(µ

ν

)x

z!=

e−(µ+ν) νz(1 +

µ

ν

)z

z!=

=e−(µ+ν) (µ + ν)z

z!, z = 0, 1, 2, ...

Propozitia 24.1. Functia de repartitie a variabilei X ∼ Po(λ) este:

F (x) =

0 , x ≤ 0. . . . . . . . .

k∑j=1

λj

j!e−λ , k < x ≤ k + 1

. . . . . . . . .

Propozitia 24.2. Daca X ∼ Po(λ), atunci

1. λ− 1 < Mo < λ;

2. M(X) = D2(X) = λ.

46

25 Repartitia multinominala

O urna contine N = N1 +N2 + ....+Nk bile, dintre care: N1 au culoarea 1, N2 au culoarea

2, ..., Nk au culoarea k. Probabilitatea de a extrage o bila oarecare din urna este1

N.

Probabilitatea de a extrage o bila de culoare i din urna este pi =Ni

N. O urna de acest fel

se numeste urna lui Bernoulli cu mai multe stari.

Fie Ai evenimentul care consta ın extragerea unei bile de culoare i din urna, 1 ≤ i ≤ k.

Propozitia 25.1. Probabilitatea ca ın n extrageri independente (fiecare dintre ele putandda nastere la unul din cele k evenimente A1, A2, ..., Ak) evenimentul Ai sa se producade ni ori este

Pn(n1, n2, ..., nk) =n!

n1! n2! ... nk!· pn1

1 pn22 ... pnk

k .

Demonstratie. Presupunem ca cele n bile extrase s-au obtinut ın ordinea

A1...A1︸ ︷︷ ︸n1 ori

A2...A2︸ ︷︷ ︸n2 ori

... Ak...Ak︸ ︷︷ ︸nk ori

.

Deoarece Ai sunt independente, probabilitatea acestui eveniment este pn11 pn2

2 ... pnkk . De-

oarece succesiunea evenimentelor A1, ..., Ak poate fi oricare, ramane sa vedem ın catemoduri putem scrie n simboluri, dintre care n1 egale cu A1, n2 egale cu A2, ..., nk egalecu Ak. Acest numar este dat de numarul permutarilor cu repetitie si anume

n!

n1! n2! ... nk!.

Prin urmare, probabilitatea cautata este

Pn(n1, n2, ..., nk) =n!

n1! n2! ... nk!· pn1

1 pn22 ... pnk

k .

Deoarece

1 = (p1 + p2 + ...pk)n =

∑n1,...,nk

n!

n1! n2! ... nk!· pn1

1 pn22 ... pnk

k

rezulta ca ∑n1,...,nk

Pn(n1, n2, ..., nk) = 1

unde nj poate sa ia toate valorile posibile, astfel ıncat nj ≥ 0 sik∑

j=1

nj = n.

Definitia 25.1. Un vector (n1, n2, ..., nk) avand functia de frecventa

Pn(n1, n2, ..., nk) =n!

n1! n2! ... nk!· pn1

1 pn22 ... pnk

k .

se numeste multinomial. Repartitia corespunzatoare lui se numeste repartitie multino-miala si se noteaza cu M(n; p1, p2, ..., pn).

47

26 Repartitia geometrica. Repartitia binominala

negativa

Cand am definit repartitia binominala am considerat reprezentarea unei experiente cudoua rezulte posibile: succes (S) si insucces (I). Am fixat un numar n de experientesi am determinat repartitia numerelor de succese ın n repetari. Aceasta repartitie amnumit-o repartitie binominala.

In continuare, consideram situatia ın care numarul total de efectuari ale experientei nueste dat dinainte.

Repetam experienta pana obtinem r succese, acesta fiind fixat dinainte; numarul deinsuccese (x) si numarul total de repetari ale experientei (x + r) sunt variabile.

Fie X variabila ”numarul total de insuccese obtinute ınainte de a se realiza succesul r”.Ne propunem sa gasim functia de frecventa f(x) a variabilei X.

Mai ıntai, consideram cazul r = 1. Atunci f(x) este probabilitatea de a avea x insucceseınainte de primul succes. Acest eveniment se poate realiza ıntr-un singur mod: ”trebuiesa se obtina insuccese ın primele x repetari ale experientei si apoi un succes ın experientax + 1”. Cum repetarile experientei sunt independente, avem

P (I, I, ..., I︸ ︷︷ ︸x ori

, S) = (1− p) (1− p) ... (1− p)︸ ︷︷ ︸x ori

p ,

unde p este probabilitatea succesului. Prin urmare

f(x) = (1− p)x · p , x = 0, 1, 2, ...

Definitia 26.1. Variabila aleatoare X avand functia de frecventa

f(x) = (1− p)x · pse numeste variabila geometrica, iar (x, f(x)), x = 0, 1, 2, ... se numeste repartitiegeometrica.

Cum 0 < p < 1, avem

∞∑x=0

f(x) = p [1 + (1− p) + (1− p)2 + ...] =p

1− (1− p)= 1.

In cazul general, f(x) este probablitatea de a obtine exact x insuccese ınainte de succesulr. Pentru a se realiza acest eveniment, trebuie sa obtinem un succes ın experienta r +x siın cele r+x−1 experiente anterioare sa obtinem r−1 succese si x insuccese. Probabilitateade a obtine r − 1 succese ın primele r + x− 1 experiente este

Cr−1r+x−1 · pr−1 (1− p)x ,

unde probabilitatea de a obtine un succes ın experienta r + x este p.

Deoarece experientele sunt independente, probabilitatea cautata este

f(x) = Cr−1r+x−1 · pr (1− p)x , x = 0, 1, 2, ...

48

Definitia 26.2. Variabila X avand functia de frecvente

f(x) = Cr−1r+x−1 · pr (1− p)x

se numeste variabila binominala negativa, iar (x, f(x)) repartitie binominalanegativa.

Propozitia 26.1. Daca X, Y sunt variabile aleatoare independente, repartizate binominalnegativ de parametri (r1, p), respectiv (r2, p), atunci variabila X + Y este repartizatabinominal negativ de parametri (r1 + r2, p).

27 Variabile aleatoare continue

Lungimile si timpul teoretic pot lua orice valoare dintr-un interval. Daca evenimentelesunt asemenea entitati, atunci functia de probabilitate ar trebui sa fie definita pe uninterval si sa asocieze ”probabilitati” tuturor elementelor acestui interval, nu doar unuinumar finit de puncte (probabilitati punctuale).

Exemplul 27.1. Daca un ceas se opreste la ıntamplare, care este probabilitatea ca limbacare indica orele sa se opreasca ıntre 7 si 10?

Solutie: In acest caz, avem de a face cu o familie de evenimente posibile care sunt ıntr-un interval continuu. Orice pozitie ıntre 0 si 12 este posibila si exista o infinitate deposibilitati.

Nu putem numara cazurile egal posibile si nu putem asocia probabilitati punctuale.De aceea, fiecarui subinterval al lui [0, 12] ıi asociem o probabilitate proportionala culungimea subintervalului. Deoarece intervalului [0,12] de lungime 12 trebuie sa ıi asociem

probabilitatea 1, unui subinterval de lungime unitate ıi vom asocia probabilitatea1

12, si

deci unui interval de lungime 3 = 10− 7 ıi vom asocia probabilitateta3

12.

Astfel, probabilitatea ca T sa ia valori ıntre 7 si 10 este3

12.

P (7 < T < 12) =10− 7

12− 0=

3

12.

In acest caz, putem face si un rationament ın care masuram probabilitatile prin arii dedreptunghiuri, si anume: reprezentam intervalul de timp [0, 12] pe orizontala ca ın figura

si consideram dreptunghiul avand lungimea 12 si latimea1

12.

Latimea am luat-o de1

12, pentru ca aria dreptunghiului sa fie egala cu probabilitatea

evenimentului sigur (”acul se opreste undeva intre 0 si 12 ”), adica 1. Intervalului [7, 10]

ıi corespunde dreptunghiul hasurat, avand aria 3 · 1

12= P (7 < T < 12).

49

Exemplul 27.2. Un autobuz trebuie sa ajunga in statia A la ora 7. Din motivenecunoscute, ora de sosire a autobuzului variaza ıntre orele 650 si 720. Frecventele relativeale diferitelor sosiri arata ca acestea sunt dispuse ca ın figura de mai jos:

Care este probabilitatea ca autobuzul sa ajunga la timp ın statie?

Solutie: Fie T variabila aleatoare care da timpul de sosire. Sa presupunem T = 0 pentru705, mijlocul intervalului timpilor de sosire. Deoarece aria triunghiului este 1, iar baza de

la T = −15 la T = 15, ınaltimea sa va fi h =1

15.

Aria triunghiului hasurat reprezinta probabilitatea ca autobuzul sa ajunga ın statie la ora

700. Inaltimea triunghiului este2

45, deci aria sa este

1

2· 10 · 2

45=

2

9.

Prin urmare, probabilitatea cautata este2

9.

Exemplul 27.3. Pe segmentul AB se alege, la ıntamplare, un punct U . Care esteprobabilitatea ca distanta de la punctul U la A sa fie cel putin de doua ori mai mareca distanta de la U la B?

Solutie: A alege la ıntamplare punctul U revine la a spune ca nici o regiune de pe ABnu este privilegieta. Aceasta ınsemna ca probabilitatea ca U sa apartina unui subintervalI al lui AB este proportionala cu lungimea lui I. Rezulta de aici ca

P (U ∈ I) =lungimea lui I

lungimea lui AB

si deci

P (|AU | > 2|BU |) =1

3.

28 Functia de repartitie pentru variabile aleatoare

continue. Densitatea de probabilitate

Daca X este o variabila aleatoare ale carei valori sunt punctele unui interval, ne asteptamca la schimbari mici ale lui x sa se produca o schimbare mica ın P (X < x), cu alte cuvintefunctia de repartitie F (x) sa fie continua.

Definitia 28.1. O variabila X cu valori reale este numita variabila continua dacafunctia sa de repartitie F (x) este continua.

50

De altfel vom presupune mai mult. Vom admite ca F (x) este derivabila si cadF

dxeste

continua.

Definitia 28.2. Functia f(x) =dF

dxse numeste densitatea de repartitie (sau de

probabilitate) a variabilei X.

Deoarece F este crescatoare, rezulta

f(x) ≥ 0 , ∀x.

De asemenea, avem:

F (x) =

∫ x

−∞f(t)dt si F (∞) =

∫ ∞

−∞f(t)dt.

Functia de repartitie F (x) se mai numeste si integrala probabilista a lui X.

Remarca 28.1. Densitatea de repartitie f este definita pana la o constanta de multipli-care, care se determina din conditia

∫ ∞

−∞f(t)dt = 1.

Propozitia 28.1. Daca a si b sunt doua numere reale, atunci au loc urmatoarele egalitati:

1. P (a ≤ X < b) = P (X < b)− P (X < a) = F (b)− F (a);

2. P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a) =

∫ b

a

f(t)dt.

Demonstratie. Imediata.

Remarca 28.2. Daca a → b, atunci F (a) → F (b), adica

P (a ≤ X < b) −−−−−−−→a→b

0,

deci probabilitatea ca X sa ia valoarea b este zero. Expresia f(b) nu da probabilitatea caX = b, o densitate de probablitate folosindu-se numai ca integrand.

Remarca 28.3. Daca b− a este mic si f(x) este continua, atunci

P (a ≤ X < b) =

∫ b

a

f(t)dt ≈ (b− a) · f(t)

unde t =a + b

2.

Remarca 28.4.

f(x) = lim∆x→0

F (x + ∆x)− F (x)

∆x= lim

∆x→0

P (x ≤ X < x + ∆x)

∆x.

Aceasta relatie explica si originea termenului de ”densitate de repartitie”: P (x ≤ X <x + ∆x) reprezinta probabilitatea ca variabila aleatoare X sa ia valori ın intervalul[x, x + ∆x) (adica ”masa”), iar ∆x este lungimea acestui interval (adica ”volumul”).

51

Definitia 28.3. Se numeste modul si se noteaza cu Mo valoarea variabilei X pentrucare densitatea este maxima.

Modulul se gaseste printre radacinile ecuatiei

df

dx= 0.

Daca ecuatia are o singura solutie, repartitia se numeste unimodala.

Intrucat f(x) =dF

dx, rezulta ca modulul se gaseste si printre radacinile ecuatiei

d2F

dx2= 0.

Aceasta arata ca ın x = Mo graficul functiei de repartitie are un punct de inflexiune.

Definitia 28.4. Cuantila de ordin α a variabilei aleatoare continue X este acea valoarexα a variabilei X pentru care F (xα) = P (x < xα) = α.

Daca functia F (x) este strict crescatoare, atunci variabila X admite cuantile de oriceordin, si acestea sunt unice.

Cuantila de ordin 12

este numita mediana si se noteaza cu Me. Pentru mediana, avem:

P (X < Me) = P (X > Me) =1

2.

Exemplul 28.1. Sa se determine functia de repartitie, mediana, modulul pentru variabilaaleatoare T din Exemplul 27.2.

29 Valorile medii si dispersia unei variabile aleatoare

continue

Definitia 29.1. Daca X este o variabila aleatoare continua cu densitatea de repartitie f ,atunci valorea sa medie este definita ca

M(x) =

∫ +∞

−∞x f(x)dx ,

cu conditia ca integrala sa convearga absolut, adica

∫ +∞

−∞|x f(x)|dx < +∞.

In caz contrar spunem ca X nu are medie finita.

Propozitia 29.1. Media unei variabile aleatoare continue are urmatoarele proprietati:

1. M(aX) = a ·M(X);

52

2. M(X + Y ) = M(X) + M(Y );

3. M(X −M(X)) = 0.

Demonstratie. Se folosesc proprietatile integralei.

Exemplul 29.1. In conditiile Exemplului 27.2, sa se determine valoarea medie a timpuluide sosire.

Definitia 29.2. Dispersia variabilei aleatoare X este

D2(X) =

∫ +∞

−∞(x−M(X))2 f(x)dx.

Exemplul 29.2. Sa se determine dispersia variabilei aleatoare din Exemplul 27.2.

30 Repartitia normala

Definitia 30.1. Spunem ca o variabila X urmeaza o repartitie normala de para-metri µ si σ2 daca are densitatea de repartitie

n(x; µ, σ2) =1√2π

exp

[− 1

2σ2(x− µ)2

], −∞ < x < ∞ ,

si vom scrie X ∼ N(µ, σ2).

Propozitia 30.1. Daca X ∼ N(µ, σ2), atunci

M(X) = µ si D2(X) = σ2.

Demonstratie. Prin calcul direct.

Remarca 30.1. Functia n(x; µ, σ2) este simetrica fata de x = µ, este maxima ın x = µsi are puncte de inflexiune ın x = µ± σ. Graficul functiei este dat ın figura:

Definitia 30.2. Spunem ca variabila X are densitatea de repartitie normalastandard daca are densitatea de repartitie

n(x; 0, 1) =1√2π

e−12x2

, −∞ < x < +∞, , µ = 0, σ = 1.

53

Definitia 30.3. Functia de repartitie a variabilei normale standard,

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

12t2dt

se numeste functia lui Laplace.

Din proprietatea lui Φ(x): Φ(x) + Φ(−x) = 1, rezulta:

Φ(−x) = P (X < −x) = P (X > x) = 1− P (X < x) = 1− Φ(x)

Functia lui Laplace este tabelata pentru diferite valori ale lui x. Cu aceste tabele putemgasi probabilitatile asociate cu evenimentele privind orice variabilia normala.

Propozitia 30.2. Daca X ∼ N(µ, σ2), atunci:

i) P (X < b) = Φ

(b− µ

σ

);

ii) P (a < X < b) = Φ

(b− µ

σ

)− Φ

(a− µ

σ

).

Demonstratie. Se foloseste schimbarea de variabila u =x− µ

σ.

Propozitia 30.3. Daca Xi ∼ Ni(µi, σ2i ), i = 1, n, atunci

Y =n∑

i=1

ci Xi

are proprietatea

Y ∼ Ni

(n∑

i=1

ci µi,

n∑i=1

c2i σ2

i

).

BIBLIOGRAFIE

[1] V. Craiu, Teoria probabilitatilor cu exemple si probleme, Ed. Fundatiei Romania demaine, 1997.

[2] R. Johnson, Elementary Statistics, PWS-KENT Publishing Company, Boston, 1984.

[3] R. Mittelhammer, Mathematical Statistics for Economics and Business, Springer,1996.

54