hidraulic Ă subteran Ă (note de curs) 2012 daniel scr …€¦ · hidraulic Ă subteran Ă (note...

HIDRAULICĂ SUBTERANĂ (note de curs) 2012 Daniel Scrădeanu

1

HIDRAULICĂ SUBTERANĂ (note de curs)

2012

Daniel Scrădeanu 4. HIDROCINEMATICA ....................................................................................................................... 2

4.1. SISTEME DE REPREZENTARE A MISCARII FLUIDELOR ...................................................... 2

4.2. DESCRIPTORI AI STĂRII DE MIŞCARE A FLUIDELOR .......................................................... 5

4.3. CLASIFICAREA MIŞCĂRILOR ................................................................................................. 8

4.4. MIŞCAREA PARTICULEI DE FLUID ........................................................................................ 9

4.5. LEGI DE CONSERVARE ........................................................................................................ 12

4.5.1. CONSERVAREA MASEI .................................................................................................. 12

4.5.1.1. Ecuaţia de continuitate în coordonate carteziene ....................................................... 12

4.5.1.2. Ecuaţia de continuitate pentru mediile poroase .......................................................... 14

4.5.1.3. Ecuaţia de continuitate într-un tub de curent ............................................................... 15

4.5.2. CONSERVAREA ENERGIEI MECANICE ......................................................................... 16

4.5.2.1. Ecuaţia fundamentală a lui Bernoulli ........................................................................... 16

4.5.2.2. Calculul debitului într-o conductă ................................................................................ 19

4.5.2.3. Calculul presiunii într-un lichid în mişcare ................................................................... 20

4.5.2.3.1. Presiunea statică ................................................................................................. 21

4.5.2.3.2. Presiunea totală ................................................................................................... 22

4.5.2.4. Calculul vitezei ........................................................................................................... 22


2

4. HIDROCINEMATICA Hidrocinematica studiază mişcarea fluidelor fără a lua în considerare cauzele care o produc, rezultatele ei fiind valabile atât pentru lichidele perfecte cât şi pentru cele vâscoase. Mişcarea fluidelor se reprezintă ca mişcare a întregului sistem de particule fluide care constituie un continuu în tot domeniul. Definită în raport cu un sistem de referinţă (oxyz), mişcarea sistemului de particule are două moduri e reprezentare:

• sistemul de reprezentare Lagrange • sistemu de reprezentare Euler

În funcţie de sistemul de reprezentare ales se definesc caracteristicile mişcării: • viteze şi acceleraţii; • flux, debit, debit specific; • linii şi tub de curent

Pe baza caracteristicilor mişcării se face o clasificare a lor şi se stabilesc ecuaţiile de conservare a masei şi energiei.

4.1. SISTEME DE REPREZENTARE A MISCARII FLUIDELOR

Sistemul de reprezentare LAGRANGE Sistemul de reprezentare EULER

Mărimile fizice cu care se descrie mişcarea (viteză, acceleraţie etc.) sunt ataşate particulelor de fluid (M).

Mărimile fizice cu care se descrie mişcarea (viteză, acceleraţie, presiune, densitate etc.) sunt ataşate punctelor ( P ) din domeniul de curgere.

x

x∆y

z

z∆

y∆

M

M’’

M’ vr

( )xyxP ,,

x

y

z


3

Variabilele independente : •

000,, zyx -coordonatele particulei la

momentul iniţial • t - timpul

Variabilele independente : • zyx ,, -coordonatele punctelor din

domeniul de curgere ; • t -timpul

Variabilele dependente • zyx ,, -coordinatele particulei la diverse

momente • wvu ,, -vitezele particulei la un anumit

moment • zyx aaa ,, -acceleraţiile particulei la un

moment dat • p -presiunea

Variabilele dependente : • v - viteza locală, egală cu viteza

particulei care se află în punctul ( )zyxP ,, ;

• p -presiunea din punctul ( )zyxP ,,

Exprimarea dependenţei funcţionale • ( )tzyxFx ,,,

0001=

• ( )tzyxFy ,,,0002

=

• ( )tzyxFz ,,,0003

=

sau sub formă vectorială :

( )trrr ,0

rrr= unde kzjyixr

rrrr⋅+⋅+⋅=

0000

• t

zv

t

yv

t

xv zyx

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂= ;;

• 2

2

2

2

2

2

';t

za

t

ya

t

xa zyx

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

• t

va

t

va

t

va z

z

y

y

x

x∂

∂=

∂

∂=

∂

∂= ';

• ( )zyxpp ,,=

Exprimarea dependenţei funcţionale (a vitezei particulelor care trec prin acelaşi punct fix din spaţiul ocupat de fluid)

• ( )tzyxfv x ,,,1

=

• ( )tzyxfv y ,,,2

=

• ( )tzyxfv z ,,,3

=

• ( )tzyxpp ,,,= Dacă se consideră traiectoria unei particule, în sistemul Euler, vitezele se determină ca derivate totale ale funcţilor

zyx ,, , deoarece cresţerile lui zyx ,, , reprezentând deplasarea particulei sunt în funcţie de timp şi componentele vitezei sunt :

• dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx === ;;

Relaţii de trecere de la sistemul de coordonate LANGRANGEAN la cel EULERIAN

• dtvDx x ⋅=

• dtvDy y ⋅=

• dtvDz z ⋅= în care DzDyDx ,, reprezintă componentele drumului elementar al particulei, zyx ,, fiind coordonatele particulei din sistemul Lagrange, semnalat prin notaţia diferenţială D.

Acceleraţia LAGRANGEANA

2

2

t

xax

∂

∂=

2

2

t

ya y

∂

∂=

Acceleraţia EULERIANA Acceleraţia particulei care se află în punctul ( )zyxP ,, nu poate fi calculată ca derivată totală a vitezei în raport cu timpul pentru că înainte şi după momentul t în punctul ( )zyxP ,, este altă particulă cu

altă viteză ( )trv ,rr

. Soluţia este introducerea derivatei substanţiale a vitezei locale (derivata totală) care se stabileşte astfel:

• Se scrie diferenţiala totală a vitezei locale în punctul P :


4

2

2

t

za z

∂

∂=

dzz

vdy

y

vdx

x

vdt

t

vvd

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

rrrrr

în care - primul termen, diferenţiala temporală, reprezintă variaţia

vitezei în timp, aceeaşi pentru toate punctele din vecinătatea punctului P ;

- următorii trei termeni, diferenţiala direcţională, reprezintă variaţia locală a vitezei, în jurul lui P , la .constt = , după un drum oarecare, altul decât al particulei (MM”)

• în diferenţiala totală se înlocuieşte variaţia locală a vitezei cu diferenţiala direcţională în timpul dt după parcursul particulei M pe traseul MM’, relaţie în care zyx ,, reprezintă coordonatele particulei de fluid din sistemul lagrangean de reprezentare:

⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂= Dz

x

vDy

y

vDx

x

vdt

t

vvD

rrrrr

• se face trecerea la variabilele Euler ţinând seama de relaţiile de mai sus, dtvDx x ⋅= , dtvDz z ⋅= dtvDy y ⋅= şi se obţine

derivata substanţială a vitezei locale cu două componente:

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

dt

vDa zyx

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂==

rrrrrr

- acceleraţia locală: t

val

∂

∂=

rr

- acceleraţia spaţială: z

vv

y

vv

x

vva zyxs

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅=

rrrr

cu cele trei componente:

• z

vv

y

vv

x

vv

t

v

dt

dva x

zx

yx

xxx

x∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂==

• z

vv

y

vv

x

vv

t

v

dt

dva

y

z

y

y

y

x

yy

y∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂==

• z

vv

y

vv

x

vv

t

v

dt

dva z

zz

yz

xzz

z∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂==

Acceleraţia poate fi scrisă mai compact utilizând operatorul nabla:

( )vvt

va

rrr

r∇⋅+

∂

∂=


5

4.2. DESCRIPTORI AI STĂRII DE MIŞCARE A FLUIDELOR Descriptorii mşcării fluidelor sunt definiţi atât în sitemul de reprezentare lagrangean cât şi în cel eulerian. Traiectorie a particulei, descriptor definit în sistemul de reprezentare lagrangean, este mulţimea punctelor prin care trece centrul de greutate al unei particule de fluid. Traiectoria este descrisă de ecuaţia vectorială: ( )trrr ,

0

rrr=

în care

kzjyixrrrrr

⋅+⋅+⋅=0000

vectorul

poziţiei iniţiale t - timpul Linie fluidă este o înşiruire continuă de particule care la o mişcare cu structură continuă îşi menţine în timp individualitatea. Linie de curent este curba tangentă în fiecare punct al ei la vectorul viteză din acel punct şi reprezintă distribuţia vitezelor instantanee ale fluidului.

Conform definiţiei, dacă ),,( dzdydxldr

şi ( )zyx vvvv ,,

r sunt elementul de arc al liniei de curent,

respectiv viteza fluidului într-un punct, ecuaţiile liniei de curent rezultă din condiţia de tangenţă:

( ) ( ) ( ) 0=⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅==× kdyvdxvjdxvdzvidzvdyv

vvv

dzdydx

kji

ldv xyzxyz

zyx

rrr

rrr

rr

şi sunt:

zyx

xyzxyzv

dz

v

dy

v

dxdyvdxvdxvdzvdzvdyv ==⇔⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅ ;;

Relaţia dintre traiectorie şi linie de curent este determinată de caracterul mişcării fluidului:

• traiectoria coincide cu linia de curent în cazul mişcării permanente şi semipermanente, adică atunci când în timp viteza nu îşi schimba direcţia;

• traiectoria particulei este diferită de linia de curent în cazul mişcării nepermanente, atunci când viteza îşi schimba direcţia în timp.

Familia liniilor de curent are următoarele proprietăţi:

• prin fiecare punct al domeniului de curgere trece o linie de curent, consecinţă a ipotezei continuităţii fluidului.

( )00

trr

( )trt

r

M(to)

M(t)

Fig.4.1.Traiectoria unei particule de fluid

z

x

y


6

• Printr-un punct al domeniului, cu excepţia punctelor singulare de viteză locală nulă sau infinită, nu trece decât o singură linie de curent.

Tub de curent este suprafaţă formată de totalitatea liniilor de curent care trec prin punctele unei curbe închise C care nu este linie de curent Fir de curent este linia fluidă din interiorul unui tub de curent la care secţiunea normală la axa tubului de curent are o arie infinitezimală. Cu alte cuvinte firul de curent materializează linia de curent.

Debitul este cantitatea de fluid care trece în unitatea de timp printr-o suprafaţă fixă S. Volumul de lichid care trece prin suprafaţa elementară dA în intervalul de timp dt este:

∫∫∫ ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=SSS

n dAnvdtdAdtnvvdAdtvdVrrrr

),cos(

Fig.4.2.Linii de curent în puncte singulare

dA

Fir de curent

Fig.4.3.Tub de curent şi fir de curent

S

nr

vr

nvr

dA

dtvn ⋅

Fig.4.4.Debitul printr-o suprafaţă fixă S


7

Debitul poate fi exprimat în trei forme:

-debit volumic: ∫ ⋅⋅==S

dAnvdt

dVQ

rr

-debit masic: ∫ ⋅⋅⋅==S

m dAnvdt

dmQ

rrρ

-debit de greutate: ∫ ⋅⋅⋅==S

g dAnvdt

dGQ

rrγ

Dacă lichidul este omogen rezultă egalităţile :

QQQQ gm ⋅=⋅= γρ ;

Viteza medie întro secţiune S a unui tub de curent este tangentă la axa tubului de curent, are sensul mişcării şi şi are modulul egal cu raportul dintre debitul volumic Q care trece prin S şi

suprafaţa acesteia A :

∫ ⋅⋅==S

A

dAnv

A

Qv

rr

Acceleraţia mişcării fluidelor poate fi exprimată în două variante conform celor două sisteme de reprezentare: -acceleraţia unei particule de lichid (sistem lagrangean):

2

2

t

xax

∂

∂=

2

2

t

ya y

∂

∂=

2

2

t

za z

∂

∂=

-acceleraţia într-un punct al câmpului/domeniului de curgere (sistem eulerian) :

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

dt

vDa zyx

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂==

rrrrrr

cu cele două componete

-acceleraţia locală:

t

val

∂

∂=

rr

-acceleraţia spaţială:

z

vv

y

vv

x

vva zyxs

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅=

rrrr


8

4.3. CLASIFICAREA MIŞCĂRILOR Clasificarea mişcării fluidelor se face după diverse criterii care privesc descriptorii acesteia (viteza, presiunea etc.):

• variaţia în timp: o mişcare permanentă(staţionară) este acea mişcarea în care vitezele locale (adică în

orice punct al domeniului de curgere!!!) nu variază în timp ca direcţie şi mărime şi are următoarele proprietăţi:

derivata parţială a vitezei locale în raport cu timpul este nulă în orice punct câmpul vitezelor locale este un câmp vectorial fix, iar liniile de curent

formează o familie de curbe fixe în spaţiu liniile de curent conincid cu traiectoriile debitul de greutate sau de masă este este constant de-a lungul unui tub de

curent. o mişcare semipermnanentă este mişcarea în care vectorul viteză din orice punct al

domeniului de curgere variază în timp numai ca intensitate şi sens, dar nu ca direcţie. o mişcare nepermanentă(nestaţionară) este caracterizată prin variaţia în timp a

mărimilor care descriu mişcarea lichidului (viteză, presiune). • variaţia în spaţiu:

o mişcare paralelă este caracterizată de linii de curent paralele şi rectilinii, linii de curent de-a lungul cărora viteza poate fi constantă sau variabilă.

o mişcare uniformă este o mişcare paralelă în care, la un moment dat, vitezele au aceeaşi valoare de-a lungul liniilor de curent, linii de curent care se confundă cu traiectoriile particulelor de lichid.

o mişcare neparalelă este mişcarea în care liniile de curent nu sunt paralele şi rectilinii, mişcarea neparalelă fiind totdeauna neuniformă pentru că vitezele sunt variabile;

o mişcare neuniformă este o mişcare paralelă sau neparalelă în care viteza locală variază de-a lungul liniilor de curent (la acelaşi moment)

o mişcare gradual variată este o mişcare în care liniile de curent sunt aproximativ rectilinii şi paralele

o mişcare unidimensională este mişcarea în care parametrii mişcării pot fi exprimaţi printr-o singură variabilă spaţială ( ( ) ( )txpptxvv ,;, ==

rr)

o mişcare bidimensională este mişcarea în care parametrii mişcării pot fi exprimaţi prin două variabile spaţiale ( ( ) ( )tyxpptyxvv ,,;,, ==

rr)şi care are douăclase speciale :

mişcare axial-simetrică care are proprietatea de simetrie în raport cu un ax (ex.: curgerea pe o conductă, curgerea spre un puţ de pompare etc.)

mişcare plană este mişcarea la care, în planuri paralele şi normale la axa Oz (planuri orizontale) caracteristicile mişcării sunt identice, în consecinţă mişcarea plană poate fi studiată complet în unul din aceste planuri.

o mişcare tridimensională este mişcarea fluidului în care parametrii mişcării pot fi exprimaţi în funcţie de cele trei coordonate ale spaţiului ( ( ) ( )tzyxpptzyxvv ,,,;,,, ==

rr)

• condiţiile de contact cu limitele spaţiului în care se află fluidul: o mişcare cu nivel liber este mişcarea în care lichidul nu umple complet spaţiul

disponibil, formând o suprafaţă liberă în contact cu atmosfera sau cu un gaz (ex.: mişcarea apei într-un râu, mişcarea apei subterane din pietrişurile luncii unui râu etc.)

o mişcare sub presiune este mişcarea din spaţii mărginite de suprafeţe rigide, spaţii pe care lichidul le umple complet (ex.: mişcarea cu secţiune plină a unui lichid într-o conductă, mişcarea apelor geotermale în acvifere sub presiune, mişcarea gazelor etc.)


9

• criteriul fizic: o mişcare laminară este mişcarea în care particulele de fluid îşi păstrează

individualitatea, traiectoriile particulelor de fluid sunt curbe continui care nu se intersectează şi structura mişcării este regulată (filiformă sau lamelară)

o mişcare turbulentă este mişcarea în care vitezele particulelor au pulsaţii, deplasarea este aleatoare, chiar transversal pe direcţia generală de deplasare, şi în consecinţă traiectoriile au o formă dezordonală.

4.4. MIŞCAREA PARTICULEI DE FLUID Mişcarea unei particule poate fi descompusă în două componente (prima teorema lui Helmholtz; Fig.4.5.):

• mişcarea cvasirigidă care are două componente şi ea: o mişcarea de translaţie a polului particulei o mişcarea de rotaţie a particulei în jurul polului particulei

• mişcarea de deformaţie a particulei

Considerând două puncte apropiate M şi A, la un moment dat se poate scrie diferenţiala spaţială la momentul constt = :

dzz

vdy

y

vdx

x

vvvv AM ⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂==−

rrrrrr

δ

care trecută la coordonate carteziene devine pentru cele trei axe de coordonate:

dzz

vdy

y

vdx

x

vvOx xxx

x ⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=δ: :

0A

A

x

y

z

x y

z

'x

'y

'z

Fig.4.5.Mişcarea particulei de fluid


10

dzz

vdy

y

vdx

x

vvOy

yyy

y ⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=δ:

dzz

vdy

y

vdx

x

vvOz zzz

z ⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=δ:

Pentru axa Ox se adună şi se scade: dzx

vdy

x

vzy

∂

∂⋅+

∂

∂⋅

2

1

2

1, se grupează termenii după cele

două tipuri de mişcări şi se obţine:

dzx

v

z

vdy

y

v

x

vdz

x

v

z

vdy

y

v

x

vdx

x

vv zxxyzxxyx

x ⋅

∂

∂−

∂

∂⋅+⋅

∂

∂−

∂

∂⋅−⋅

∂

∂+

∂

∂⋅+⋅

∂

∂+

∂

∂⋅+⋅

∂

∂=

2

1

2

1

2

1

2

1δ

În care • primii trei termeni reprezintă deformaţiile particulei:

o xxS - viteza de deformaţie unitară pe axa Ox

o xzxy SS , -viteza unghiulară de deformaţie a unghiului format de planele xOy şi xOz.

• ultimii doi termeni reprezintă componentele vitezei unghiulare de rotaţie o yω in jurul axei y

o zω in jurul axei z Rotaţia unui corp solid se exprimă prin produsul vectorial dintre viteză şi vectorul rotaţiei corpului:

dzdydx

kji

rdvd kyx ωωωω

rrr

rrr=×=

sau dezvoltat:

( ) ( ) ( )dxdykdzdxjdydzivd xxxzzy ωωωωωω −+−+−=rrrr

cu

zyx vvv

zyx

kji

vrot∂

∂

∂

∂

∂

∂==

rrr

rr

2

1

2

1ω

sau dezvoltat pentru vectorul rotaţiei corpului:

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂=

y

v

x

vk

x

v

z

vj

z

v

y

vi xyzxyz

rrrr

2

1

2

1

2

1ω


11

Expresia mişcării particulei pe axa Ox, cu cel două componete: deformaţia (primii trei termini din membrul drept al ecuaţiei) şi rotaţia (ultimii doi termeni) utilizând notaţiile introduse devine:

dzdydzSdySdxSv yzxzxyxxx ⋅Ω⋅+⋅Ω⋅−⋅+⋅+⋅=2

1

2

1δ

Mişcările la care lipseşte rotaţia particulelor se numesc mişcări irotaţionale, condiţiile analitice ce caracterizează această mişcare sunt:

0=∂

∂−

∂

∂=Ω

z

v

y

v yzx

0=∂

∂−

∂

∂=Ω

x

v

z

v zxy

0=∂

∂−

∂

∂=Ω

y

v

x

vxy

z

relaţii care constituie în acelaşi timp şi condiţiile necesare şi suficiente ca vectorul v

rsă fie un vector

potenţial, adică să fie gradientul unei funcţii scalare:

zk

yj

xigradv

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅==

ϕϕϕϕ

rrrr

Funcţia ϕ este o funcţie scalară de tzyx ,,, , ( ( )tzyx ,,,ϕϕ = ) şi poartă numele de potenţialul

vitezelor locale, motiv pentru care mişcările irotaţionale se numesc şi mişcări potenţiale.

Mişcările rotaţionale sunt cel la care 0≠=Ω vrotrr

Fig.4.6..Reprezentarea schematică a mişcării particulelor

Mişcare irotaţională fără deformaţie 0;0 == Svrot

r

Mişcare rotaţională fără deformaţie0;0 =≠ Svrot

r


12

4.5. LEGI DE CONSERVARE Mişcarea fluidelor se face în condiţiile respectării legilor generale de conservare ale masei şi energiei.

4.5.1. CONSERVAREA MASEI

Exprimarea principiului conservării masei într-o formă specifică hidraulicii necesită definirea sistemului lichid ca o cantitate de lichid formată pe toată durata curgerii din aceleaşi particule de lichid. Masa sistemului lichid nu variază în timp chiar dacă în evoluţia sa sistemul lichid ocupă divese poziţii şi are diferite forme.

4.5.1.1. Ecuaţia de continuitate în coordonate carteziene

Ecuaţia de continuitate exprimă conservarea şi compactitatea masei de fluid în timpul mişcării şi poate fi exprimată pentru un interval de timp dt prin egalitatea dintre :

• variaţia masei într-un domeniu spaţial dat şi • debitul care traversează suprafaţa de contur a acestui domeniu spaţial.

Considerăm o prismă rectangulară elementară amplasată într-un sistem de axe carteziat (Fig.4.7.).

dy

dx

dz

z

y

x

2

dy

y

vv

y

y ⋅∂

∂−

2

dy

y

vv

y

y ⋅∂

∂+

Fig.4.7. Ecuaţia de coontinuitate în coordonate carteziene

M


13

Variaţia masei în prisma rectangulară, în intervalul de timp dt se poate exprima prin relaţia:

( ) dtdzdydxt

dtdzdydxt

⋅⋅⋅⋅∂

∂=⋅⋅⋅⋅

∂

∂ ρρ

Variaţia debitului masic care traversează suprafeţele normale la axa Oy în acelaşi interval

de timp dt se exprimă cu ajutorul vitezei din centrul (M) al prismei elementare rectangulare: ( )tzyxvvM ,,,rr

= şi este:

( ) ( ) ( )dtdzdydx

y

vdtdzdx

dy

y

vvdtdzdx

dy

y

vv

yy

y

y

y ⋅⋅⋅⋅∂

⋅∂−=⋅⋅⋅

⋅

∂

⋅∂+⋅−⋅⋅⋅

⋅

∂

⋅∂−⋅

ρρρ

ρρ

22

Egalând variaţia masei datorată variaţiei densităţii şi a debitului masic în intervalul de timp dt se obţine ecuaţia sub formă diferenţială:

( ) ( ) ( )dtdzdydx

z

v

y

v

x

vdtdzdydx

t

zyx ⋅⋅⋅⋅

∂

⋅∂−

∂

⋅∂−

∂

⋅∂−=⋅⋅⋅⋅

∂

∂ ρρρρ

care după simplificare devine:

( ) ( ) ( )0=

∂

⋅∂+

∂

⋅∂+

∂

⋅∂+

∂

∂

z

v

y

v

x

v

t

zyx ρρρρ

sau sub formă vectorială:

0)( =⋅+∂

∂vdiv

t

rρ

ρ

care este ecuaţia de continuitate pentru mişcarea nepermanentă a unui lichid compresibil. Mişcarea permanentă a unui lichid incompresibil ( .const=ρ ) are ecuaţia de continuitate sub formă diferenţială:

( ) ( ) ( )0=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

v

y

v

x

vzyx

sau sub formă vectorială

( ) 0=vdivr


14

4.5.1.2. Ecuaţia de continuitate pentru mediile poroase

Ecuaţia de continuitate în cazul curgerii fluidelor prin medii permeabile naturale, trebuie să ţină seamă că fluidul nu ocupă decât o parte din volumul prismei elementare. Partea din volumul prismei elementare, disponibilă pentru fluid, este dată de porozitatea ( n ) mediului definită ca raport între volumul porilor şi volumul total al prismei elementare. În aceste condiţii ecuaţiile definite anterior pentru masă şi debit vor deveni:

( ) ( )dtdzdydx

t

ndtdzdydxn

t⋅⋅⋅⋅

∂

⋅∂=⋅⋅⋅⋅⋅

∂

∂ ρρ

( ) ( )

( )dtdzdydx

y

vn

dtdzdxdy

y

vnvndtdzdx

dy

y

vnvn

y

y

y

y

y

⋅⋅⋅⋅∂

⋅⋅∂−=

=⋅⋅⋅

⋅

∂

⋅⋅∂+⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅

∂

⋅⋅∂−⋅⋅

ρ

ρρ

ρρ

22

iar ecuaţia generală de continuitate, după simplificare, sub formă diferenţială:

( ) ( ) ( )0

)(=

∂

⋅⋅∂+

∂

⋅⋅∂+

∂

⋅⋅∂+

∂

⋅∂

z

vn

y

vn

x

vn

t

n zyx ρρρρ

sau forma vectorială a ecuaţiei de continuitate pentru mişcare nepermanentă a unui fluid compresibil într-un mediu de porozitate n :

( )0)( =⋅⋅+

∂

⋅∂vndiv

t

n rρ

ρ


15

4.5.1.3. Ecuaţia de continuitate într-un tub de curent

Fie sistemul lichid dintr-un tub de curent mărginit de suprafaţa S care în momentul t ocupă spaţiul delimitat de această suprafaţă şi secţiunile 1 şi 2 (Fig.4.8). Deoarece vectorul viteză este tangent la S , prin suprafaţa S nu trece lichid şi sistemul lichid nu se poate deplasa decât de-a lungul tubului de curent într-o mişcare pe care o consideră permanentă/semipermanentă (cele două tipuri de mişcări asigură stabilitatea formei suprafeţei S în timp). La momentul tt ∆+ sistemul lichid este mărginit de secţiunile 1’ şi 2’ şi principiul conservării masei se poate exprima prin relaţia:

'22'11'222'12'1'11mmmmmm =⇔+=+

în care

abm este masa de lichid cuprinsă între secţiunile a şi b ( '2,2,'1;2,'1,1 == ba )

Lichidul fiind omogen şi incompresibil relaţia poate fi exprimată prin volume (Vol ), viteze

medii(21

,VV ), secţiuni (21

, AA ) sau debite (21

,QQ ) sub formele:

⇒⋅∆⋅=⋅∆⋅⇔=⇔⋅=⋅2211'22'11'22'11

AtVAtVVolVolVolVol ρρ

212211QQAVAV =⇔⋅=⋅

În cazul unui tub de curent ramificat (Fig.4.9) ecuaţia de continuitate ia forma:

1

1’

2

2’

1Vr

2Vr

tV ∆⋅1

r

tV ∆⋅2

r

S

Fig. 4.8.Conservarea masei într-un tub de curent


16

332211321AVAVAVQQQ ⋅+⋅=⋅⇔+=

Ecuaţia conservării masei este numită şi ecuaţia continuităţii deoarece asigură întegritatea sistemului lichid pe tot parcursul curgerii, adică absenţa “golurilor” dihn lichid.

4.5.2. CONSERVAREA ENERGIEI MECANICE

Exprimarea conservării energiei mecanice de-a lungul liniilor de curent permite calculul descriptorilor mişcării fluidelor, descriptori utilizaţi pentru pentru evaluarea cantitativă a mişcări acestora.

4.5.2.1. Ecuaţia fundamentală a lui Bernoulli

Legea conservării energiei mecanice se poate obţine aplicând teorema echivalenţei dintre lucrul mecanic efectuat de forţele exterioare şi variaţia energiei cinetice în timpul considerat, aplicată unei mase de fluid cuprinsă între secţiunile 1-1 şi 2-2 la un moment dat (Fig.4.10). După un interval de timp dt , masa de fluid se va afla în poziţia 1’-1’ şi 2’-2’, iar lucrul mecanic efectuat de forţele exterioare are două componente:

• Lucrul mecanic al forţelor de greutate:

( )21

zzdGdLG −⋅= în care dtvdAdtvdAdG ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=2211

γγ

1V

2V

3V

Fig.4.9.Tub de curent cu ramificaţie


17

• Lucrul mecanic al forţelor de presiune:

dtvdApdtvdApdLp ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=222111

Variaţia energiei cinetice a volumelor 2-2’ şi 1-1’ este:

( )2

1

2

2

2

11

2

22

222vv

g

dGvdmvdmdEc −

⋅=

⋅−

⋅=

deoarece g

dGdmdm ==

21 conform legii conservarea masei.

Aplicând teorema echivalenţei rezultă:

cpG dEdLdL =+

care după înlocuirea termenilor devine:

( ) ( )2

1

2

2222111212

vvg

dGdtvdApdtvdApzzdG −=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+−

şi prin simplificare cu dG poate fi scrisă sub forma:

g

vpz

g

vpz

⋅++=

⋅++

22

2

22

2

2

11

1γγ

1z

2z

2z

dG

dG

dtv ⋅2

dtv ⋅1

2p

1p

1’

1’

1

1

Fig.4.10. Ecuaţia conservării energiei mecanice


18

Forma finală este ecuaţia fundamentală a lui Bernoulli pentru un fluid perfect (incompresibil şi fără vâscozitate) în care:

• z - energia specifică de poziţie (energia potenţială de poziţie raportată la greutatea particulei):

dG

zdGz

⋅=

• γ

p- energia specifică de presiune (energia care face ca o particulă de greutate dG , supusă

unei presiuni p să se poată ridica într-un tub piezometric la înălţimea γ

p ):

dG

pdG

p γ

γ

⋅

=

• g

v

⋅2

2

-energia specifică cinetică:

dGg

vdG

dG

vdm

g

v

⋅⋅

⋅=

⋅

⋅=

⋅ 222

222

Ecuaţia lui Bernoulli exprimă legea conservării energiei care spune că energia specifică totală a unei particule de fluid perfect aflat în mişcare permanentă este constantă pe o linie de curent. Ecuaţia lui Bernoulli poate fi reprezentată grafic (Fig.4.11) deoarece formele de energie au dimensiuni de lungime:

• z -cota punctului de pe linia de curent raportată la un plan de referinţă;

• γ

p-înălţimea piezometrică pusă în evidenţă într-un tub piezometric deschis;

• g

v

⋅2

2

-înălţimea cinetică

Suma acestor componente exprimă sarcina hidrodinamică ( H ) şi pentru un fluid perfect este

constantă pe o linie de curent:

g

vpzH

⋅++=

2

2

γ


19

4.5.2.2. Calculul debitului într-o conductă

Tubul Venturi este un dispozitiv utilizat pentru măsurarea debitului de fluid în conducte sub presiune (Fig.4.12.). Relaţia de calcul pentru debit rezultă din sistemul format de ecuaţia de continuitate şi ecuaţia lui Bernoulli scrise pentru secţiunile 1 şi 2, de suprafeţe

1A respectiv

2A şi cu vitezele medii

1V

respectiv 2

V :

h∆

1

2

Fig.4.12. Tub Venturi

Plan de sarcină

Linie piezometrică

Linie de curent

Plan de referinţă

g

v

2

2

1 g

v

2

2

g

v

2

2

2

γ1

pγ

p

γ2

p

1z

z2

z

H

Fig.4.11.Reprezentarea grafică a componentelor ecuaţiei lui Bernoulli pentru un fluid perfect.


20

−

=

−⇒

⋅=⋅

+=+1

222

2

2

1

2

121

2211

2

22

2

11

A

A

g

Vpp

AVAV

g

Vp

g

Vp

γγγ

Deoarece

−

∆⋅=⋅=⇒

−

∆=⇒∆=

−

1

2

1

22

2

1

1112

2

1

1

21

A

A

hgAAVQ

A

A

hgVh

pp

γ

Între secţiunile 1 şi 2 sunt pierderi de sarcină care reduc debitul real în raport cu cel calculat. Pentru corectarea acestei subestimări se introduc coeficienţi de corecţie ( µ ) care se determină experimental prin operaţiunea de calibrare a dispozitivului.

Notând C

A

A

g=

−

1

22

2

1

µ , formula debitului devenind hCQ ∆⋅=

iar constanta C este proprie fiecărui dispozitiv, ea fiind cea care se determină în operaţiunea de calibrare.

4.5.2.3. Calculul presiunii într-un lichid în mişcare

Măsurarea presiunii presupune identificarea componentelor presiunii totale(

0p ):

• Presiunea statică : p

• Presiunea dinamică (de impact); 2

2v

pi

⋅=

ρ

• Presiunea totală: 2

2

0

vpp

⋅+=

ρ

Considerăm o mişcare permanentă, omogen uniformă a unui lichid perfect, adică o mişcare în care liniile de curent sunt rectilinii şi paralele iar viteza este este aceeaşi în orice punct al domeniului de curgere şi nu variază în timp.

Dacă liniile de curent sunt orizontale, într-o secţiune plan orizontală (Fig.4.13) în orice punct al domeniului este aceeaşi presiune statică p . Introducerea unui perete solid, plan vertical şi paralel cu liniile de curent nu perturbă curgerea. În punctul P se practică o cavitate în care lichidul rămâne în repaus. Determinarea presiunii statice ( p ) în punctul P, aflat în cavitate, revine la determinarea presiunii lichidului aflat în repaus în cavitate.

Dacă punctul P aparţine unei linii de curent care întâlneşte un obstacol şi-l conturează, viteza lichidului este nulă în P şi acest punct se numeşte punct de stagnare/impact (Fig.4.14.)


21

4.5.2.3.1. Presiunea statică

Presiunea statică se măsoară în vecinătatea unui perete paralel cu liniile de curent, într-o cavitate realizată în perete respectiv (priză de presiune statică), cavitate care este racordată la un manometru (Fig.4.15.a). Măsurarea presiunii statice într-un punct oarecare al curentului de lichid, se realizează prin amplasarea în vecinătatea punctului respectiv a unui perete solid printr-un disc de dimensiuni reduse amplasat paralel cu liniile de curent şi prevăzut cu un orificiu aflat în legătură cu un manometru. (discul cu Ser; Fig.4.15.b). O altă variantă este cea a sondei de presiune statică realizată dintr-un tub subţire, de diametru D, îndoit în unghi drept, având o

extremitate închisă şi de formă hidrodinamică şi celalaltă extremitate racordată la un manometru (Fig.4.15.c). Forma hidrodinamică reduce perturbaţiile produse în curentul de lichid de prezenţa tubului iar la trei diametre distanţa (3D) de capătul închis al tubului aceste perturbări sunt neglijabile.

Fig.4.15. Dispozitive pentru măsurat presiunea statică

D 3D

P R

a) b) c)

P P Lichid în repaus

Fig.4.13.Presiunea statică într-o mişcare permanentă şi uniformă

Punct de stagnare

Fig.4.14. Punct de stagnare


22

Extremitatea închisă a tubului este plasată în punctul P unde se doreşte măsurarea presiunii statice iar în punctul R, plasat la 3D, se execută un orificiu în peretele lateral al tubului. Datorită pătrunderii lichidului în tub prin orificiul R, manometrul măsoară presiunea statică din R, presiune care este identică cu presiunea din R în curentul neperturbat. Deoarece în regim neperturbat presiuea statică din R este identică cu presiunea statică din P rezultă că presiunea măsurată de manometru este presiunea statică din P.

4.5.2.3.2. Presiunea totală

Măsurarea presiunii totale într-un punct de stagnare S al unui obstacol se face prin realizarea unei cavităţi în obstacol şi racordarea acelei cavităţi la un manometru, realizându-se astfel o priză de presiune totală (Fig.4.16.). După pătrunderea lichidului în cavitate şi realizarea stării de echilibru, manometrul indică presiunea totală din S. Măsurarea presiunii totale într-un punct al unui curent de lichid se face cu tubul Pitot care transformă orice punct din domeniul de curgere într-un punct de stagnare(S). Tubul Pitot este un tub subţire îndoit în unghi drept cu o extremitate deschisă, îndreptată în sens contrar curentului şi cealaltă exteremitate racordată la un manometru care măsoară presiunea totală (Fig.4.17)

4.5.2.4. Calculul vitezei

Calulul vitezei într-un punct oarecare al unui curent de lichid se bazează pe ecuaţia fundamentală a lui Bernoulli iar dispozitivul utilizat este tubul Pitot-Prandtl, rezultat din reunirea într-un singur aparat a sondei de presiune statică şi a tubului Pitot (Fig.4.18..). Considerând că P şi R au aceeaşi cotă (tuburile sunt foarte subţiri), se poate scrie:

hppP ⋅+= γ1

( )hhppR ∆+⋅+= γ2

din care rezultă că ( ) hpp mRP ∆⋅−+= γγ

mhpp γ⋅∆+=21

S

Fig.4.16. Măsurarea presiunii totale

S

Fig.4.17.Tubul Pitot


23

în care ţinând seamă că:

2

2v

ppP ⋅+= ρ este presiunea totală din P (măsurată cu tubul Pitot)

şi ppR = este presiunea statică din P (măsurată cu sonda de presiune statică)

După înlocuiri rezultă:

( ) ( ) hghgghv mmm ∆⋅

−⋅⋅=∆⋅⋅−⋅⋅=∆⋅−⋅= 12

222

ρ

ρρρ

ργγ

ρ

ajungându-se în final la relaţia pentru determinarea vitezei de curgere a fluidului:

hgv m ∆⋅

−⋅⋅= 12

ρ

ρ

2

1 h∆

h mρ P

R ρ

ρ

Fig.4.18.Tubul Pitot-Prandtl

hidraulic Ă subteran Ă (note de curs) 2012 daniel scr …€¦ · hidraulic Ă subteran Ă (note...

Documents