HERON DIN ALEXANDRIA

DE SPECULIS1

[0] Claudius Ptolemeu Despre oglinzi

Cartea I

[1]. Deoarece există două simţuri cărora, conform lui Platon, le datorăm cunoaşterea şi anume auzul şi văzul, trebuie să le acordăm ambelor importanţa cuvenită. Pentru cele ce sunt auzite, muzica este ştiinţa cunoaşterii producerii tonurilor melodice şi, pentru a fi concişi, reprezintă teoria sunetelor şi a armoniilor acestor sunete. În ceea ce priveşte posibilitatea ca lumea să fie în concordanţă cu armonia muzicală, au fost multe şi variate moduri de gândire. Spre exemplu, când omul a împărţit tot cerul în opt sfere, şapte din ele numite după cele şapte planete şi a opta care le înconjoară pe toate celelalte şapte şi pe care se află stelele fixe, era logic ca planetele să se mişte faţă de stele în armonie, deoarece unele se mişcau faţă de altele într-o ordine determinată, la fel ca şi coardele instrumentului muzical numit liră. Rezultă că, aşa cum vă imaginaţi, ca urmare a deplasării stelelor prin aer se aude un anumit sunet mai profund sau mai acut, depinzând de care din ele se mişcă mai încet sau mai repede. Aşa cum am spus, după ce o coardă a fost lovită şi apar vibraţiile aerului, la fel trebuie să ne imaginăm aceste vibraţii datorate mişcării constante a stelelor prin zodiac care transformă (vibraţiile) într-un sunet plăcut (amestec de armonii).

[2] Teoria vederii se împarte în trei părţi: optica, adică ştiinţa despre vederea propriu-zisă, dioptrica, adică despre perspectivă2 şi catoptrica – ştiinţa despre reflexia luminii. Optica a fost tratată în mod adecvat de predecesorii noştri, în particular de Aristotel, iar dioptrica am tratat-o de fapt noi înşine, atât de complet pe cât am considerat necesar3. Catoptrica, de asemenea, este o ştiinţă care merită să fie studiată şi în acelaşi timp ea permite organizarea unor reprezentaţii care produc impresii deosebite asupra spectatorilor. Pe baza legilor catoptricii au fost construite oglinzi care arată partea dreaptă în dreapta şi partea stânga în stânga, în timp ce oglinzile obişnuite arată exact invers. Este de asemenea posibil să ne vedem cu ajutorul oglinzilor spatele nostru4, să ne vedem răsturnaţi, stând în cap, cu trei ochi şi două nasuri, fizionomia distorsionată ca de o durere intensă. Oricum, studiul catoptricii nu este util numai pentru crearea diverselor reprezentaţii, ci şi în scop practic. De exemplu, cine nu consideră că este foarte util să poată observa, uneori, în timp ce rămâne în propria casă, câţi oameni sunt pe stradă şi ce fac ei?5 Şi va considera cineva că nu este remarcabil faptul că putem spune ora, ziua sau noaptea, cu ajutorul imaginilor (idola – lat.) care apar în oglindă? Căci multe imagini apar în funcţie dacă e o oră de zi sau de noapte şi dacă o [anume] parte a zilei a trecut, o imagine [anume] va apare. Din nou, cine nu va fi mirat dacă va vedea în oglindă nici pe sine, nici pe altcineva, ci ceea ce dorim noi ca el să vadă? Acesta

fiind scopul ştiinţei, cred că este necesar şi adecvat să descriu concepţiile predecesorilor mei, deoarece expunerea mea nu poate fi incompletă.

[3]. Practic toţi cei care au scris despre dioptrică şi optică au fost preocupaţi să înţeleagă de ce razele care pleacă din ochii noştri sunt reflectate de oglinzi şi de ce reflexia se face sub unghiuri egale. Afirmaţia că vederea noastră se face în linie dreaptă, pornind de la ochi, poate fi motivată după cum urmează. Orice care se mişcă cu viteză constantă, se mişcă în linie dreaptă6. Săgeata pe care o vedem trasă dintr-un arc, poate fi un exemplu. Aceasta, deoarece forţa care menţine obiectul în mişcare tinde să-l mişte pe distanţa cea mai scurtă posibilă, din moment ce nu are timp pentru o mişcare mai înceată, adică pentru o mişcare pe o traiectorie mai lungă. Forţa care menţine corpul în mişcare nu permite o asemenea întârziere. Şi astfel, din cauza vitezei sale, obiectul tinde să se mişte pe drumul cel mai scurt 7. Însă cea mai scurtă dintre liniile care au aceleaşi două puncte la capete este linia dreaptă.

[4] Faptul că razele care pleacă din ochi se mişcă cu viteză infinită, poate fi argumentat şi prin următoarele consideraţii. După ce ochii noştri au fost închişi şi îi deschidem şi privim spre cer, nu este nevoie de vreun interval de timp pentru ca razele vizuale să ajungă la cer. Într-adevăr, vedem stelele imediat ce ne uităm la ele, cu toate că distanţa până acolo, putem spune, este infinită. Şi dacă distanţa ar fi şi mai mare, rezultatul ar fi acelaşi, deci este clar că razele sunt emise cu viteză infinită. Deci ele nu vor suferi nicio întrerupere, nicio curbare, nicio frângere8, ci se vor mişca de-a lungul drumului cel mai scurt, linia dreaptă.

[5]. Faptul că vederea noastră se face de-a lungul unei linii drepte, a fost explicat suficient. Acum vom arăta că razele incidente pe oglinzi şi de asemenea pe apă şi pe toate suprafeţele plane sunt reflectate. Caracteristica esenţială a corpurilor lucioase este aceea că suprafaţa lor este compactă. Astfel, înainte de a fi lustruite, oglinzile au anumite porozităţi prin care pătrund razele incidente şi astfel ele nu se reflectă. Dar aceste oglinzi sunt şlefuite prin frecare până ce porozităţile lor sunt umplute de o substanţă fină şi atunci razele incidente pe suprafaţa lor compactă sunt reflectate. La fel cum o piatră aruncată violent spre un corp compact, cum ar fi spre o placă de lemn sau un zid, se va întoarce înapoi, în timp ce dacă este aruncată asupra unui corp moale cum ar fi lâna sau ceva asemănător, nu se întoarce (forţa proiectivă9 care însoţeşte piatra, atunci când piatra întâlneşte un obstacol dur, nefiind capabilă să-şi facă drum prin ceva dur, va continua să însoţească piatra mai departe şi s-o mişte înainte, în timp ce în cazul obstacolului moale, forţa pur şi simplu slăbeşte şi este separată de piatră), astfel că razele care sunt emise de noi cu viteză mare, aşa cum am arătat, de asemenea se întorc înapoi când ating suprafaţa compactă a unui corp. În cazul apei sau sticlei, nu toate asemenea raze sunt reflectate, deoarece ambele substanţe au iregularităţi şi sunt compuse din anumite diviziuni foarte fine şi din particule solide10. De aceea dacă privim prin sticlă şi apă, vedem reflexia noastră şi de asemenea ce se află sub suprafaţa sticlei sau apei. Astfel că în cazul apei liniştite, vedem ce este la fundul ei şi în cazul sticlei ce

se află dincolo de suprafaţa sa. Deci acele raze care cad pe corpurile solide sunt ele însăşi întoarse înapoi şi reflectate, în timp ce cele care trec prin corpurile poroase ne ajută să vedem ce se află dincolo de ele. Prin urmare, imaginile reflectate de asemenea corpuri se văd imperfecte, deoarece nu toate razele vizuale sunt reflectate spre obiect, ci unele din ele, aşa cum am arătat, se pierd prin pori.

[6]. Faptul că razele incidente pe suprafeţe lucioase se reflectă, a fost, după opinia noastră, demonstrat în mod adecvat. Acum, pe baza aceluiaşi raţionament, adică având în vedere viteza incidenţei şi reflexiei, vom arăta că razele se reflectă sub unghiuri egale11 în cazul oglinzilor plane şi sferice. Pentru a demonstra acest lucru va trebui să folosim din nou liniile minime12. Spun, deci, că dintre toate razele incidente [de la un punct dat] reflectate până la un punct dat de o oglindă plană sau sferică, cea mai scurtă este cea care este reflectată sub unghiuri egale; şi dacă este aşa, reflexia sub unghiuri egale este cea raţională.

[7] Considerăm13 o oglindă plană ab , ochiul g şi d ceea ce se vede (fig.1). Fie raza ga raza incidentă pe oglindă. Desenăm ad şi fie ∡eag = ∡bad. Fie o altă rază gb incidentă pe oglindă. Desenăm bd. Spun că ga + ad < gb + bd.Ducem ge din g perpendicular pe ab şi prelungim ge şi ad, până se întâlnesc în z. Ducem zb. Mai departe, ∡bad = ∡eagşi ∡zae = ∡bad (ca unghiuri opuse la vârf) Deci ∡zae = ∡eagŞi deoarece unghiurile în e sunt unghiuri drepte,

za = agşi zb = bgDar zd < zb + bdşi za = ah , zb = bgDeci ga + ad < gb + bd.Acum ∡eag = ∡badşi ∡ebg < ∡eagşi ∡hbd > ∡badDeci ∡hbd este mult mai mare decât ∡ebg14.

[8]. Fie ab suprafaţa unei oglinzi sferice, ochiul g şi d obiectul văzut (fig.2). Fie ca ga şi ad să facă unghiuri egale cu oglinda, în timp ce gb şi bd nu fac unghiuri egale. Eu spun că ga + ad < gb + bd.Desenăm eaz tangent în a. Atunci ∡hae = ∡baz şi diferenţele15

∡eag = ∡zad.Dacă se duce zd, atunci ga + ad < gz + zd, aşa cum am arătat mai sus. Dar,

gz + zd < gb + bd

şi atunciga + ad < gb + bd.

[9] În general, deci, în cazul oglinzilor [ambele, şi plane şi sferice], trebuie să se ia în considerare dacă există sau nu un punct din care razele incidente pot fi reflectate sub unghiuri egale în aşa fel încât raza incidentă de la organul vederii şi raza reflectată spre obiectul care se vede, dacă sunt adunate dau o sumă mai mică decât a oricărei alte perechi de raze incidente şi reflectate în mod similar16.

[10]. În cazul oglinzilor plane există un loc, care dacă este acoperit, atunci imaginea nu se mai vede (fig.3). Fie ag o oglindă plană sau coliniară cu ea, ochiul b şi d obiectul vizibil. Ducem ad şi bg perpendicular pe oglindă şi dividem ag în h astfel încât ad:bg = ah:hg. Eu spun că dacă h este acoperit, imaginea lui d nu se mai vede.Dacă se duc bh şi hd, triunghiurile, din cauza proporţionalităţii laturilor lor, vor fi asemenea. Deci ∡e =

∡z şi d va fi vizibil prin intermediul punctului h. Deci, dacă acest punct va fi acoperit cu ceară sau vreun alt material, d nu va mai fi vizibil.Dacă însă, acoperirea lui h este înlăturată de pe oglindă, imaginea va apare din nou în oglindă. Deci toate razele incidente pe oglindă vor fi reflectate sub unghiuri egale.

[11]. În cazul oglinzilor plane, razele reflectate nici nu converg, nici nu sunt paralele (fig.4). Fie ag o oglindă plană, b ochiul, [d şi e obiectele, iar bg

şi ba razele incidente]17 şi gd şi ae razele reflectate. ∡z = ∡t

Dar ∡z > ∡kadică ∡z > ∡m

∡t > ∡matunci gd şi ae nu sunt nici paralele, nici nu se vor întâlni pe direcţia lui d şi e.

[12]. În oglinzile concave, razele reflectate nici nu converg, nici nu sunt paralele (fig.5).Fie o oglindă convexă oarecare abgd, ochiul e şi razele incidente eg, eb şi razele reflectate gz şi bh. Deci ∡t = ∡ l şi ∡m = ∡ x . Astfel, rezultă şi că ∡ (o + t) > ∡(s + x)Deci gz şi bh nu sunt paralele niciodată şi nici nu se intersectează de aceeaşi parte cu z şi h.18

[13] Sfârşitul cărţii I.

[14] Cartea a II-a

[15]. În oglinzile concave, când ochiul este aşezat în centrul de curbură, razele sunt reflectate spre ochi (fig.6).Fie oglinda concavă agd cu centrul de curbură în b. În b se află şi ochiul, de unde cad razele incidente ba, bg, (bd). Razele reflectate coincid cu cele de mai sus. Astfel, ele sunt la periferia aceluiaşi unghi care reprezintă unghiul unui

semicerc19 . Razele reflectate vor fi chiar ba, bg, bd însăşi. Astfel, în punctul b, adică în ochi ele se vor întâlni. Oricum, este evident că dacă oglinda concavă este sferică, în centrul de curbură, unde se află ochiul, nimic în afară de ochi nu se va vedea.

10. În cazul oglinzilor concave, dacă ochiul este situat pe circumferinţă, razele reflectate converg (fig.7).

Fie bga oglinda concavă şi fie ochiul plasat în b. Fie razele incidente bg şi ba, iar gx şi an razele reflectate. Eu spun că gx şi an se vor întâlni pe partea lui x şi n.Deoarece arcul ab > arcul gb şi ∡z > ∡t , ∡e > ∡h, rezultă ∡l > ∡k (ca diferenţe). Dar, ∡m > ∡l şi ∡m >

∡k şi deci, prin urmare gx şi an se vor întâlni pe partea spre n şi x.

11. A construi o oglindă care arată partea dreaptă în dreapta.Reprezentăm un cerc abg (fig.8a) având o mărime la fel de mare ca oglinda pe care vrem s-o construim20. În cerc desenăm ab ca o latură a unui pentagon şi bg ca o

latură a unui hexagon. Ele determină arcele aeb, bzg21 care sunt delimitate pe cerc de capetele dreptelor ab, bg22…Din aceasta se pregăteşte conform cu înălţimea arcului aeb (aşteptat să fie) (suprafaţă curbă?) (cilindric) concavă, cum e zhtfklm (fig.8b), de lăţime conformă cu arcul pregătit bzg şi (cilindric) convex cum e de exemplu xop (fig.8c)23. Şi facem o oglindă rectangulară din bronz acheean (corintian) având o înălţime egală cu dreapta ab

şi o lăţime egală cu bg24. Dar, prin construcţie, lungimea părţii convexe a suprafeţei oglinzii care este mărginită de latura convexă bzg (fig.8 d-e) este identică cu suprafaţa concavă aeb [de unde a fost dizlocată].

Apare, pe de altă parte (însă), ceea ce e în

fig.8a

fig.7

fig.6

dreapta în dreapta şi ceea ce e în stânga, în stânga, la fel25. Se vede că dacă obiectul vizibil este la doi coţi (un cot, aprox. 46 cm) distanţă (faţă de oglinda cilindrică-concavă), imaginea (în oglinda concavă) este proporţională (sau de aceleaşi dimensiuni?) şi apare reală (deci congruentă?). Mai mult, imaginea se va vedea în continuare dacă obiectul se va extinde înainte26. Punând ochiul şi apropiindu-l spre suprafaţa oglinzii convexe, imaginea obiectului reflectat (a feţei) va fi din ce în ce mai voluminoasă (mare) odată cu apropierea de oglindă şi observatorul se va vedea inversat (adică partea dreaptă la stânga). Dacă vă apropiaţi mai mult (spre oglinda convexă) astfel încât imaginea să fie destul de alungită, faţa exprimă aparenţa unui cal27 (adică, mai bine zis – cap de cal). Şi cu cât vă apropiaţi mai mult de oglinda (convexă), cu atât şi imaginea va fi mai înclinată. Prin urmare, pare că este adecvat să se monteze oglinda pe un suport rotativ, astfel încât rotind oglinda (convexă) să aducem imaginea din nou să fie dreaptă28, care mai degrabă are capul în jos şi picioarele în sus29.Oricum, dacă oglinda este formată din două suprafeţe-oglindă cu partea din faţă şi din spate, atunci în faţa concavă, dreapta va apare în dreapta, iar în cealaltă (convexă) invers, dar oglinda arată oamenii în picioare, aşa cum (s-au gândit pentru noi) la antipozi30.

1 (despre text)2 (lat. „id est perspectiuam” , iar în [1] „die Lehre vom Nivellieren”). În orice caz, nu se are în vedere înţelesul modern al cuvântului şi anume cel ce desemnează partea din optică ce se ocupă cu studiul refracţiei luminii. Dacă textul îi aparţine într-adevăr lui Heron, atunci el se referă la problematica abordată în . 3 A se vedea mai departe traducerea la 4 Înţelesul trebuie să fie „să se vadă ceea ce este în spatele nostru”, dar vezi şi paragraful 15.5 Mai multe precizări sunt în paragraful 16.6 Suntem în domeniul fizicii aristotelice! Probabil, Heron vrea să spună că atâta timp cât obiectul se mişcă foarte repede el îşi păstrează mişcarea rectilinie, concepţie care, cel puţin referitoare la mişcarea proiectilelor, s-apăstrat până la Galilei.7 Ideea era că dacă razele vizuale nu s-ar propaga în linie dreaptă, ele n-ar putea traversa o distanţă dată în timpul cel mai scurt posibil.8 Aici nu se referă la reflexie sau refracţie, ci la schimbarea bruscă a direcţiei la un moment dat în acelaşi mediu omogen.9 În [1] pag. 322, 21 vis emittentis. Unii văd aici o fază incipientă a doctrinei antiaristotelice a lui vis impressa. 10 Un fel de atomism, nu prea clar explicat, dar folosit şi în Pneumatica.11 Adică unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie.12 Adică suma dintre raza incidentă din ochi pe oglindă şi raza reflectată de la oglindă la obiect trebuie să fie minimă.13 De aici mai departe, toate figurile cu notaţiile lor, sunt preluate din [2] care se consideră a fi cele din textul iniţial, O. Figurile din [1] deşi unele din ele sunt mai intuitive, se pare că nu sunt cele din O. Pentru amănunte, vezi nota 1 de mai sus.14 Adică nu numai drumul total parcurs de raza incidentă şi cea reflectată este minim, ci există doar o singură rază incidentă care poate fi reflectată sub unghiuri egale.15 Este vorba de diferenţa care rămîne, adică unghiul dintre raza vizuală şi tangenta la oglindă, deoarece planul tangent la oglinda sferică poate fi considerat ca o oglindă plană, aşa cum se spune în paragraful [6].16 Dar nu reflectată sub un unghi egal cu unghiul de incidenţă. Probabil avem aici o lacună în textul pe care-l avem, dar trimiterea este, se pare, spre o testare a situaţiei în care imaginea unui obiect dat va fi văzută, dintr-un punct fix dat, într-o oglindă (plană sau sferică). 17 Textele cuprinse între paranteze drepte reprezintă restaurarea unor lacune din original, făcută de Schmidt, editorul operelor complete ale lui Heron.18 Textul original este foarte sărac în explicaţii, iar notaţiile din text nu concordă cu cele de pe desen. S-au încercat mai multe reconstituiri (vezi [1]) dar şi acestea sunt alterate. Credem că desenul şi demonstraţia explicită ar trebui să fie cea pe care o vom da aici.

Conform legii reflexiei, ∡t = ∡(l + k) şi ∡m = ∡(p + x). Adunând ∡o în stânga şi în dreapta primei egalităţi şi ∡s în stânga şi în dreapta celei de-a doua, rezultă ∡(o + t) = ∡ (o + l + k), de unde ∡(o + t) > ∡l. La fel, din ∡(s + m) = ∡(s + x + p), rezultă ∡(s + m) > ∡x. Însă unghiul l este unghi exterior şi deci ∡l = ∡(s + m + e), adică ∡l > ∡(s + m). Folosind şirul de inegalităţi anterioare, putem scrie ∡(o + t) > ∡l > ∡(s + m) > ∡x. Deci ∡(o + t) > ∡x , adică gz şi bh nu sunt paralele şi nici nu se intersectează de aceeaşi parte cu h şi z.19 În realitate, raza care trece prin centrul de curbură nu determină nici un unghi pentru că ea nu este frântă când traversează acest centru (notă de subsol în [1]).20 21 22 23 24 25 26 27 28

29 30