grafuri de semnal

7/27/2019 Grafuri de Semnal

http://slidepdf.com/reader/full/grafuri-de-semnal 1/7

Grafuri de semnal. Formula lui Mason

Graful de semnal (GS) este o reprezentare grafică a unui set de ecuaţii liniare,o diagramă alcătuită din noduri interconectate prin ramuri direcţionate.Graful are câte un nod pentru fiecare variabilă şi ramuri care leagă nodurile

între ele. Ramura arată dependenţa dintre o variabilă (=nod) şi o altă variabilă(=nod).De exemplu, fie setul de ecuaţii liniare:

36

45

534

213

5212

Ix x

Hx x

Gx Fx x

Ex Dx x

Cx Bx Ax x

=

=

+=

+=

++=

unde x1...x6 sunt variabile iar A...I sunt constante, numite transmitanţe.

Graful asociat setului de ecuaţii are forma din fig. 1.

x3

D

B

E

x2

A

x1

x5 x4

G

H

CF

x6

I

Fig. 1.

Nodul x1 este numit nod de sursă sau nod de intrare deoarece conţine numairamuri care ies din nod.Nodul x6 este numit nod de scurgere sau nod de ieşire deoarece conţine numairamuri care intră în nod (în acest caz doar ramura I).Calea de la x1 la x2 la x3 la x6 este numită cale directă deoarece porneşte dintr-un nod de sursă şi se opreşte într-un nod nonsursă iar de-a lungul căii niciun

nod nu este stăbătut de 2 ori (sau fiecare nod este străbătut o singură dată).Câştigul căii pentru această cale directă este egal cu produsul constantelor AEI.Calea de la x2 la x3 la x4 la x5 şi înapoi la x2 este o cale de reacţie deoareceporneşte şi se opreşte în acelaşi nod şi fiecare nod este străbătut o singurădată. Câştigul buclei pentru această cale de reacţie este produsul constantelorEFHC.

Formula lui Mason

Câştigul de transmisie de la un nod de sursă către orice nod al grafului sedetermină cu formula lui Mason:

of 7



∑ ∆∆

=k

k k PT 1

undePk = câştigul căii directe de ordinul k ;∆ = determinantul grafului;

k ∆ = cofactorul sau determinantul fără calea directă de ordinul k , adicăbuclele care ating calea directă k sunt înlăturate.Determinantul grafului se scrie:

...1,

1,1

,,

1,1,11

+−+−=∆ ∑ ∑∑== ====

QM

qm

T SR

t sr t sr qm

N

nn LLLLLL

unde

∑=

N

nnL

1

= suma tuturor câştigurilor de buclă diferite

∑==

QM

qmqmLL

,

1,1 = suma produselor de câştig ale tuturor combinaţiilor de 2bucle disjuncte

∑===

T SR

t sr t sr LLL

,,

1,1,1

= suma produselor de câştig ale tuturor combinaţiilor de

3 bucle disjuncteÎn cazul grafului din fig. 1, obiectivul constă în determinarea câştigului de la x1

la x6, x6/x1.Graful are 2 căi directe şi 3 bucle, dintre care 2 sunt disjuncte.Căile directe au câştigurile:

P1=AEIP2=DI

Determinantul grafului este( ) HGBHGEFHCB ×−++−=∆ 1

Calea directă P1 atinge 2 bucle (B şi EFHC) în timp ce calea directă P2 atingedoar o buclă (EFHC).Cofactorii corespunzători celor 2 căi directe sunt

HG−=∆ 11

( ) HGBHGB ×++−=∆ 12

Câştigul global de la x1 la x6 devine( ) ( )[ ]

( ) HGBHGEFHCB

HGBHGBDIHG AEIPP

x

x

×+++−×++−×+−×=

∆∆+∆=

1

112211

1

6

Exemplul 1 de aplicare a formulei lui Mason pentru determinarea unui câştig întensiune. Fie circuitul din fig. 2. Aplicând teoria grafurilor şi formula lui Masonsă se determine V1/Vi.Se aplică teorema I Kirchhoff în nodul 1 şi rezultă:

( ) ( ) ( )

( )2,10,1,112,12,1

2,1120,11,11

00

Y Y Y V Y V Y V

Y V V Y V Y V V

iii

ii

++=+

=−+−+−

of 7



Se notează 12,10,1,1Σ=++ Y Y Y i suma tuturor admitanţelor din nodul 1 şi se obţine

2

1

2,1

1

,1

1 V Y

V Y

V ii

Σ+

Σ=

V i

Y1,0 Y2,0

Y1,2=Y2,1

Y2,i

Y1,i

V2

V1

Vi

Fig. 2.

Asemănător, în nodul 2 se obţine

1

2

1,2

2

,2

2 V Y

V Y

V ii

Σ+

Σ=

unde 1,20,2,22Y Y Y i ++=Σ reprezintă suma tuturor admitanţelor din nodul 2.

Graful de semnal asociat circuitului din fig. 2 se prezintă în fig. 3. Trebuie observat că lipsesc căile spre masă.

Parametrii1

,1

Σ

iY ,

1

2,1

Σ

Y ,

2

,2

Σ

iY şi

2

1,2

Σ

Y se numesc transmitanţe.

Pentru a determina V1/Vi se observă următoarele:

• Există 2 căi directe din Vi în V1: P1 =1

,1

Σ

iY şi P2=

1

2,1

2

,2

Σ⋅

Σ

Y Y i

• Există o buclă având câştigul2

1,2

1

2,1

Σ⋅

Σ

Y Y

• Nu există bucle disjuncte

Vi

V1

V2

Fig. 3.

of 7



Determinantul din formula lui Mason se scrie

2

1,2

1

2,11

Σ⋅

Σ−=∆

Y Y

iar V1/Vi are expresia

2

1,2

1

2,1

1

2,1

2

,2

1

,1

1

1Σ⋅

Σ−

Σ

⋅

Σ

+

Σ=

Y Y

Y Y Y

V V

ii

i

Exemplul 2: la oscilatoarele cu reţele de defazare, graful asociat circuitului dedefazare RC din fig. 4 are aspectul din fig. 5, unde s-a considerat R 1=R2=R3=R,repectiv C1=C2=C3=C.

V i V o

C 1 C 2 C 3

R 1 R 2 R 3

0 0 0

Fig. 4.

1i o

2

Fig. 5.

1Σ , 2Σ , oΣ reprezintă suma admitanţelor din nodul 1, respectiv 2, respectivo, inclusiv cele legate la masă:

GsC

GsCGsCsC

GsCGsCsC

o +=Σ

+=++=Σ

+=++=Σ

2

2

2

1

Funcţia de transfer a reţelei de reacţie se determină aplicând formula luiMason:

( )( )

( ) 12222

21

33

2

22

21

22

21

1Σ−Σ−ΣΣΣ

=

ΣΣ

+ΣΣ

−

ΣΣΣ==CsCs

Cs

CsCs

sCsCsC

sV

sV sH

oo

o

o

i

oretea

Celelalte blocuri ale oscilatorului, în afară de celulele RC, sunt independente de

frecvenţă. De aceea, la oscω ω = este necesar ca ( )oscretea jH ω să fie real.

Numărătorul expresiei lui Hretea(s) este imaginar, astfel că, pentru a aveaHretea(s) real trebuie ca partea reală a numitorului expresiei să fie egală cu zero.

233322

1

2222

21 56 sCGCsGGCsCsCs oo +++=Σ−Σ−ΣΣΣ

of 7



Egalând cu zero primii 2 termeni care reprezintă partea reală a numitoruluiexpresiei lui Hretea(s) şi trecând de la variabila complexă s la jω, se obţinefrecvenţa de oscilaţie, f osc.

62

12

6

1

606

322

RCf f

RCC

GGGC oscoscosc

π

π ω ω =⇒===⇒=+−

Funcţia de transfer a reţelei de reacţie pentru ω=ωosc se scrie( )

( )332

33

5 CCG j

C j jH

oscosc

oscoscretea

ω ω

ω ω

−

−=

Deoarece la ω=ωosc partea reală a numitorului este egală cu zero.Înlocuind expresia lui ωosc se obţine

( )29

1

65

6

3

2

22

3

2

2

−=

−

−

=

CC

GCG

CC

G

jH oscretea ω

Pentru a respecta condiţia T=1, trebuie

( )( )

( ) 291

−=⇒= oscamplif

oscamplif

oscretea jH jH

jH ω

ω

ω

Adică trebuie folosit un amplificator inversor care are modulul amplificării egalcu 29. Se poate utiliza un AO în configuraţie inversoare la care raportul dintrerezistenţa din bucla de reacţie şi cea în serie cu intrarea inversoare să fie egalcu 29 (fig. 6).

+

-

O U T

C C C

R 1 = R

R 2 = 2 9 R

R R

Fig. 6.

Pentru a izola amplificatorul de reţeaua RC se poate utiliza schema din fig. 7,unde apare şi un repetor de tensiune realizat cu AO2:

+

-

O U T

A O 1

CC C

R

R 2 = 2 9 R 1

R R

R 1

+

-

O U T

A O 2

Fig. 7.

of 7



Exemplul 3a) Aplicând teoria grafurilor şi formula lui Mason să se determine frecvenţa deoscilaţie a circuitului din fig. 8.b) Să se dimensioneze rezistenţele RG şi RF astfel încât circuitul să aibăcomportare de oscilator.

+

-

O U T

R F

C 1

1 0 n F

C 2

1 0 n F

C 3

1 0 n F

R 1

1 0 k

R 2

1 0 k

R 3

1 0 k

R G

+

-

O U T

Fig. 8.

Rezolvare

a) Se determină, mai întâi, funcţia de transfer a reţelei de reacţie.Graful asociat acestei reţele are aspectul din fig. 9.

21i o

Fig. 9.

Funcţia de transfer a reţelei de reacţie este:

332223

3

1

22

21

3

221

21

651

)(CssCGGCsG

G

GG

GGGGG

GGG

sHoo

o

oretea +++

=Σ−Σ−ΣΣΣ

=

ΣΣ−

ΣΣ−

ΣΣΣ=

Celelalte blocuri ale oscilatorului, în afară de celulele RC, sunt independente de

frecvenţă. De aceea, la oscω ω = este necesar ca ( )oscretea jH ω să fie real.

Numărătorul expresiei lui Hretea(s) este real, astfel că, pentru a avea Hretea(s) realtrebuie ca partea imaginară a numitorului expresiei să fie egală cu zero, adică:

06332=− CGC ω ω

De unde rezultă expresia frecvenţei de oscilaţie

RCf f

RCC

Goscoscosc

π

π ω

2

62

66=⇒===

Cu valorile numerice se obţine

Hz RC

f osc 5,389810102

6

2

684=

⋅⋅==

−π π

b) Funcţia de transfer a reţelei de reacţie pentru ω=ωosc se scrie

of 7



( )GCG

G jH

osc

oscretea 223

3

5ω

ω

−=

deoarece la ω=ωosc partea imaginară a numitorului este egală cu zero.Înlocuind expresia lui ωosc se obţine

( )29

1

65 2

2

23

3

−=−= GCCGG

G jH

oscreteaω

Pentru a respecta condiţia T=1, trebuie

( )( )

( ) 291

−=⇒= oscamplif

oscamplif

oscretea jH jH

jH ω

ω

ω

Pentru dimensionarea rezistenţelor se porneşte de la relaţia amplificării înmodul a circuitului inversor:

29==

G

F amplif

R

RH

Există o relaţie şi 2 necunoscute. Pentru a soluţiona problema se consideră ovaloare de rezistenţă pentru RG şi rezultă apoi valoarea pentru RF. La alegereavalorii lui RG se ţine seama de regula generală de alegere a valorilor derezistenţe din circuitele cu AO, conform căreia, valorile cele mai multe derezistenţe trebuie să fie cuprinse în intervalul 10kΩ...100kΩ.Astfel, se alege

==⇒Ω= k HRRk R amplif GF g 29010 .

of 7

grafuri de semnal

Documents