TEMA 1

TEMA 1Aplicarea metodei cu diferente finite (MEDIF_1D) la o problem static simpl unidimensional (grind simplu rezemat)1. ENUNT

Se d grinda simplu rezemat din figur:

Se d:L = 5 + 0,1n (m)q(x) = x2 +3x + 0,1n (kN/m)

n nr. de ordine din catalog

2.Se cere:

a. Formularea matematic a problemei pentru determinarea diagramei de momente ncovoietoare, adic:

- ecuaia diferenial a distribuiei momentului ncovoietor- condiii la limit pentru momentul ncovoietor

b. Determinarea distributiei de momente ncovoietoare de-a lungul grinzii, prin urmtoarele metode:- metoda analitic prin integrarea direct a ecuaiei difereniale

- metoda diferenelor finite, folosind trei discretizri (nr. noduri N = 5, N = 9, N = 17)

si compararea rezultatelor cu aprecieri asupra influenei pasului de discretizare.

Pentru rezolvarea sistemului de ecuaii se vor aplica diferite programe de rezolvare a sistemelor de ecuaii cu n necunoscute(gauss).

3.CONTINUT3.1 Date cunoscute:

n=

L = 5 + 0,1n = (m)

q(x) = x2 +3x + 0,1n= (kN/m)

3.2. Precizarea tipului de formulare matematic a problemei-formularea este diferentiala. Ecuaia diferenial a distribuiei momentului ncovoietor

este o ec. Dif. De ordinul II :

- condiii la limit pentru momentul ncovoietor:

3.3 Determinarea distributiei de momente incovoietoare prin metoda analitica

Prima integrare:

A doua integrare:

Determinarea constantelor de integrare C1 si C2 din conditiile la limita:

C1=

C2=

Expresia analitica finala a distributiei de momente incovoietoare in lungul grinzii are expresia:

M(x)=

Cu x cuprins in intervalul

3.4 Determinarea distributiei de momente incovoietoare prin metoda numerica (MEDIF)a) Discretizarea prin 5 noduri, 4 intervale

Ecuatia in diferente finite: se aplica in nodurile 2,3,4.

Prin eliminarea termenilor cecontin M1 si M5 care sunt nule, se obtine un sistem de trei ecuatii cu trei necunoscute in forma matriciala ; respectiv:

Calculul termenilor liberi de forma

(m)

i12345

Dupa rezolvarea sistemului de ecuatii (cu programul gausdata.bas din folderul qb) se obtin solutiile analitice pentru momente in varianta cu 5 nodurii12345

Mi (kNm)

b) Discretizarea prin 9 noduri, 8 intervale

Ecuatia in diferente finite: se aplica in nodurile 2,3,4...8.

Prin eliminarea termenilor cecontin M1 si M5 care sunt nule, se obtine un sistem de 7 ecuatii cu 7 necunoscute in forma matriciala ; respectiv:

Calculul termenilor liberi de forma

0L

i123456789

Dupa rezolvarea sistemului de ecuatii se obtin solutiile analitice pentru momente in varianta cu 9 nodurii123456789

Mi

b) Discretizarea prin 17 noduri, 16 intervale

Ecuatia in diferente finite: se aplica in nodurile 2,3,....16.

Prin eliminarea termenilor cecontin M1 si M5 care sunt nule, se obtine un sistem de 15 ecuatii cu 15 necunoscute in forma matriciala ; respectiv:

Calculul termenilor liberi de forma

0L

i1234.14151617

Dupa rezolvarea sistemului de ecuatii se obtin solutiile analitice pentru momente in varianta cu 17 noduri

i123414151617

Mi

3.5 Compararea rezultatelor obtinute prin metodele analitice si numerice (MEDIF) in cele trei variante de de discretizarea) 5 noduri

i12345

Mi analitic (kNm)

Mi analitic (kNm)

eroare %

Eroarea relativa procentuala se calculeaza cu relatia:

Reprezentarea grafica (grafic Excel, scari, titluri, forme alese de utilizator)

b) idem 9 noduri

c) idem 17 noduri

In nodurile comune 2,3 4 (respectiv L/4, L/2, 3L/4) se pot reprezenta erorile din cele trei cazuri a, b si c.

3.6. Aprecieri, comentarii, observatii, concluzii proprii

_1381155498.unknown

_1381156285.unknown

_1381156912.unknown

_1381212137.unknown

_1381212537.unknown

_1381212647.unknown

_1381213805.unknown

_1381212559.unknown

_1381156872.unknown

_1381156885.unknown

_1381156715.unknown

_1381155780.unknown

_1381155835.unknown

_1381156149.unknown

_1381155737.unknown

_1381154014.unknown

_1381154153.unknown

_1381155466.unknown

_1381154084.unknown

_1381153894.unknown