UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI

DEPARTAMENTUL CONSTRUCŢII DE BETON ARMAT

GHID PENTRU CALCULUL

ELEMENTELOR DE BETON ARMAT

- Pentru uzul studenţilor din anii II şi III ai Facultăţii de Hidrotehnică

specializarea ISPM şi ACH -

ing. Eugen Enache

BUCUREŞTI

2013

ISBN 978-973-0-17032-0

NOTA : Acest material este destinat studenţilor de la specializările ISPM şi ACH din cadrul Facultăţii de Hidrotehnică a UTCB şi va fi utilizat numai în scop didactic în cadrul procesului de invăţământ. Folosirea lui în alte scopuri decât cele necesare procesului de învăţământ implică numai răspunderea utilizatorului.

CUPRINS

NOTAŢII

Schema 1.1 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată – Încovoiere (Verificare)

Schema 1.2 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată – Încovoiere (Dimensionare)

Schema 1.3 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată – Încovoiere (Dimensionare

secţiune de beton)

Schema 2.1 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată – Încovoiere (Verificare)

Schema 2.2 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată – Încovoiere (Dimensionare)

Schema 3.1 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere (Verificare)

Schema 3.2 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere (Dimensionare)

Schema 4.3 - Secţiunea dreptunghiulară armată simetric – Compresiune excentrică

(Verificare)

Schema 4.4 - Secţiunea dreptunghiulară armată simetric – Compresiune excentrică

(Dimensionare)

Bibliografie

NOTAŢII

a = distanţa între centrul de greutate al armăturilor întinse (As) şi marginea cea mai apropiată a secţiunii

a’ = distanţa între centrul de greutate al armăturilor comprimate (As’) şi marginea cea mai apropiată a secţiunii

As = aria armăturii întinse As,I = cantitatea de armătură corespunzătoare momentului MI în cazul secţiunii T As,II = cantitatea de armătură corespunzătoare momentului MII în cazul secţiunii T As,lim = cantitatea de armătură corespunzătoare unei poziţii a axei neutre λx = hf în

cazul secţiunii T As,max = cantitatea maximă de oţel prevăzută pe secţiune As,min = cantitatea minimă de oţel prevăzută pe secţiune As’ = aria armăturilor comprimate AsI = cantitatea de armătură corespunzătoare momentului MI în cazul secţiunii

dreptunghiulare dublu armate b = lăţimea secţiunii beff = lăţimea activă a plăcii în cazul secţiunii T d = înălţimea utilă a secţiunii e = excentricitatea forţei NEd faţă de centrul de greutate al secţiunii eI = excentricitatea adiţională Es = modulul de elasticitate al oţelului Fc = rezultanta eforturilor unitare de compresiune din beton fcd = rezistenţa de calcul la compresiune a betonului fck = rezistenţa caracteristică la compresiune a betonului fctm = rezistenţa medie la întindere a betonului Fs = rezultanta eforturilor unitare de întindere din armătură fyd = rezistenţa de calcul a oţelului (armăturii) fyk = rezistenţa caracteristică a oţelului (armăturii) h = înălţimea secţiunii hf = grosimea plăcii în cazul secţiunii T Mc = momentul încovoietor de calcul MEd = momentul încovoietor produs de încărcări MI = diferenţa între momentul MEd şi momentul ΔMEd în cazul secţiunii

dreptunghiulare dublu armate MI = diferenţa între momentul MEd şi momentul MII în cazul secţiunii T MII = momentul capabil al porţiunilor de placă cu lăţimea (beff – b)/2 în cazul

secţiunii T Mlim = momentul încovoietor capabil al secţiunii T pentru situaţia λx = hf în cazul

secţiunii T MRd = momentul de rezistenţă (capabil) al secţiunii MRd,lim = valoarea limită a momentului capabil al secţiunii NEd = efortul axial produs de încărcări x = poziţia axei neutre pe secţiune xlim = poziţia limită a axei neutre pe secţiune

xmin = valoarea minimă a poziţiei axei neutre pentru care armătura întinsă (As) ajunge la curgere

z = distanţa între rezultanta eforturilor unitare din beton şi armătură zlim = valoarea limită pentru z ΔMEd = valoarea momentului încovoietor preluat de armătura comprimată As’ în cazul

secţiunii dreptunghiulare dublu armate cu = deformaţia specifică ultimă pentru beton yd = deformaţia specifică ultimă pentru oţel

η = coeficient pentru definirea rezistenţei efective a betonului λ = coeficient pentru definirea înălţimii zonei comprimate a secţiunii ρopt = coeficient de armare optim

Schema 1.1 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată –

Încovoiere Verificare

Se dau: b, h, As , clasa betonului ,tipul şi clasa oţelului

Se cere: MRd

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de durabilitate

3. d = h – a

4. cd

yds

fb

fAx

5. xlim = d

ydcu

cu

unde

s

yd

yd

E

f

6. Se verifică x xlim ? NU: 9 – 10 Stop sau DA : 7 –8 Stop

7. Se calculează : 2

xdz

8. MRd = As fyd z Stop

9. Se consideră x = xlim şi se calculează zlim şi MRd,lim (cu relaţiile de la punctul 7 şi 8)

10. MRd = MRd, lim Stop

NOTA Valorile fcd , fyd ,cu ,yd depind de proprietăţile betonului şi ale oţelului utilizate

la realizarea elementului.

Valorile şi depind de clasa betonului.

Respectarea inegalităţii de la punctul 6 reprezintă îndeplinirea condiţiilor de

ductilitate pentru element. Când această inegalitate nu este verificată se consideră

x = xlim iar MRd =MRd,lim .

Secţiune oarecare solicitată la încovoiere în stadiul ultim

Fc = b x fcd rezultanta eforturilor de compresiune din beton

Fs = Asfyd rezultanta eforturilor de întindere din armătură

z

Secţiunea dreptunghiulară simplu armată

Distribuţia simplificată a eforturilor în stadiul ultim

Schema 1.2 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată –

Încovoiere Dimensionare

Se dau: b, h, MEd , clasa betonului, tipul şi clasa oţelului Se cere: As

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de durabilitate

3. d = h – a

4. Se calculează MRd,lim =Fc zlim considerând x = xlim , Fc = bxlim fcd şi

zlim=d – ( xlim)/2 (vezi Schema 1.1)

5. Se verifică MEd MRd,lim ? NU: 13 Stop sau DA : 6

6. Se calculează momentul încovoietor al rezultantei Fc (a eforturilor de compresiune

din beton) faţă de armătura As :

b x fcd [d-(x/2)]=MEd

7. Se calculează x din ecuaţia de la punctul 6

8. Cu valoarea x de la punctul 7 se calculează cantitatea de armătură necesară

2

xdf

M

zf

MA

yd

Ed

yd

Ed

s

sau yd

cd

s

f

fxbA

9. Se calculează As,min = max {0.26( )bd ; 0.0013bd}

10. Se verifică As As,min ? NU: 11 Stop sau DA: 12 Stop

11. As calculată la (8) este bună Stop

12. Se alege As =As,min Stop

13. Este nevoie de armătură în zona comprimată (vezi Schema 2.2) Stop

OBS. În final se verifică şi condiţia As As,max =0.04bd

Schema 1.3 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată –

Încovoiere Dimensionare secţiune de beton

Se dau: MEd , clasa betonului, tipul şi clasa oţelului Se cere: b, h

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

2. Se alege în funcţie de tipul elementului un coeficient de armare optim opt

3. Se alege b în funcţie de tipul elementului

4. Se calculează

cd

yd

opt

f

f

d

x

5. Se calculează

d

x

d

xfb

Md

cd

Ed

2

11

6. Se alege o valoare pentru a în funcţie de condiţiile de durabilitate

7. Se calculează valoarea h prin rotunjire la 10 mm pentru plăci şi 50 mm pentru grinzi

h = d + a

8. Pentru grinzi se recomandă ca:

2

1

3

1

h

b

Schema 2.1 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată –

Încovoiere Verificare

Se dau: b, h, As , A’s , clasa betonului, tipul şi clasa oţelului

Se cere: MRd

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

2. Se calculează a şi a’ în funcţie de condiţiile de durabilitate

3. d = h – a

4. Se calculează cd

ydsyds

fb

fAfAx

'

5. Se calculează xlim = d

ydcu

cu

6. Se verifică x xlim ? NU: 10 Stop sau DA : 7 –8

7. Se calculează '

minax

ydcu

cu

unde

s

yd

yd

E

f

8. Se verifică x xmin ? NU: 11 Stop sau DA : 9

9. ''

2adfA

xdfxbM

ydscdRd

Stop

10. Se calculează momentul MRd considerând x=xlim

''lim

lim

2adfA

xdfxbM

ydscdRd

Stop

11. Se calculează momentul MRd faţă de armătura As’

'''

2adfAadfA

xafxbM

ydsydscdRd

Stop

NOTA – În relaţia (11) se poate neglija primul termen, corespunzător momentului

eforturilor unitare de compresiune din beton faţă de A’s , deoarece numeric este mult mai

mic decât termenul al doilea corespunzător momentului armăturilor întinse faţă de A’s .

În concluzie, momentul MRd se va calcula cu relaţia aproximativă Asfyd(d-a’).

Secţiunea dreptunghiulară dublu armată

Distribuţia simplificată a eforturilor în stadiul ultim

Schema 2.2 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată –

Încovoiere Dimensionare

Se dau: b, h, MEd , clasa betonului, tipul şi clasa oţelului

Se cere: As , A’s

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

2. Se calculează a şi a’ în funcţie de condiţiile de durabilitate

3. d = h – a

Cazul în care armătura A’s este dată din alte considerente

4. MEd = A’s fyd (d-a’)

5. Se calculează M1=MEd - MEd

6. Se verifică M1 0 ? DA: 7 sau NU : 8

7. Se alege As=A’s Stop

8. Se calculează As1 numai cu momentul M1 cu Schema 1.2

9. '

1 sssAAA Stop

Cazul în care armătura A’s nu este cunoscută

10. Se calculează xlim = d

ydcu

cu

11. Se calculează MRd,lim =Fc zlim considerând x = xlim , Fc = b xlim fcd şi

zlim=d – (xlim)/2 (vezi Schema 1.1)

12. Se verifică MEd MRd,lim ? DA: Nu este necesară armarea dublă; se utilizează

o secţiune dreptunghiulară simplu armată (vezi Schema 1.2) sau NU : 13

13. MEd = MEd –MRd,lim

14. '

'

adf

MA

yd

Ed

s

15. '

lim

lim,

s

yd

Rd

sA

fz

MA Stop

NOTĂ – În ambele cazuri trebuie verficată la final condiţia As As,min.

Schema 3.1 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere Verificare

Se dau: b, h, beff , hf , As , clasa betonului, tipul şi clasa oţelului

Se cere: MRd

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de durabilitate

3. d = h – a

4. Se calculează lăţimea activă de placă beff

5. yd

cdfeff

s

f

fhbA

lim corespunzătoare la x=hf

6. Se verifică As As lim ? NU:(x hf ) 7 sau DA: ( x hf ) 8

7. Se calculează MRd ca pentru o secţiune dreptunghiulară simplu armată cu b=beff cu

Schema 1.1 Stop

8.

yd

cdfeff

IIs

f

fhbbA

9. sIIsIs

AAA

10. Se calculează MI cu Schema 1.1 şi cu AsI ca pentru o secţiune dreptunghiulară cu

dimensiunile b şi h

11.

2

f

ydIIsII

hdfAM

12. MRd = M I + M II Stop

Secţiunea T cazul x hf . Distribuţia simplificată a eforturilor în stadiul ultim

Secţiunea T cazul x > hf . Distribuţia simplificată a eforturilor în stadiul ultim

Schema 3.2 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere Dimensionare

Se dau: b, h, beff , hf ,MEd , clasa betonului ,tipul şi clasa oţelului

Se cere: As

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de durabilitate

3. d = h – a

4. Se calculează lăţimea activă de placă beff

5. 2

lim

f

cdfeff

hdfhbM corespunzător la λx = hf

6. Se verifică MEd Mlim ? NU:( λx hf) 7 sau DA: ( λx hf) 8

7. Se calculează As ca pentru o secţiune dreptunghiulară cu lăţimea beff cu Schema 1.2

Stop

8. MII = (beff –b) hf ηfcd (d-(hf /2))

9. MI =MEd - MII

10. Se calculează AsI cu Schema 1.2 şi cu momentul MI ca pentru o secţiune

dreptunghiulară simplu armată cu dimensiunile b şi h

11.

2

f

yd

II

IIsh

df

MA

12. As = As I As II Stop

NOTĂ – În cazul λx hf situaţia As As,min este rar întâlnită în practică .

Schema 4.3 - Secţiunea dreptunghiulară armată simetric –

Compresiune excentrică Verificare

Se dau: b, h, As = A’s , NEd , clasa betonului, tipul şi clasa oţelului

Se cere: MRd

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

2. Se calculează a şi a’ în funcţie de condiţiile de durabilitate

3. d = h – a

4. cd

Ed

fb

Nx

5. xlim = d

ydcu

cu

6. Se verifică x xlim ? NU: 7 sau DA : 8

7. Secţiunea nu îndeplineşte condiţiile de ductilitate Stop

8. Dacă x ≤ 2a’ atunci '2

'adfA

adNM

ydsEdc

9

Dacă x > 2a’ atunci ''22

'adfA

xdfxb

adNM

ydscdEdc

9

9. Se calculează excentricitatea adiţională ei =max {h/30 , 20 mm}

10. MRd = Mc – NEd ei Stop

Compresiune excentrică – armare simetrică

Distribuţia simplificată a eforturilor în stadiul ultim

Schema 4.4 - Secţiunea dreptunghiulară armată simetric –

Compresiune excentrică Dimensionare

Se dau: b, h, MEd , NEd , clasa betonului, tipul şi clasa oţelului

Se cere: As = A’s

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

2. Se calculează a şi a’ în funcţie de condiţiile de durabilitate

3. d = h – a

4. cd

Ed

fb

Nx

5. xlim = d

ydcu

cu

6. Se verifică x xlim ? NU: 7 sau DA : 8

7. Secţiunea nu îndeplineşte condiţiile de ductilitate Stop

8. Se calculează excentricitatea adiţională ei =max {h/30 , 20 mm}

9. Mc = MEd Nei

10. Dacă x ≤ 2a’ atunci '

2

'

'adf

adNM

AA

yd

Edc

ss

11

Dacă x ≥ 2a’ atunci '

22

'

'adf

xdfxb

adNM

AA

yd

cdEdc

ss

11

11. Se calculează armarea minimă a secţiunii

As,min=max{ ;10,0

yd

Ed

f

N 0,002 Ac}, unde Ac=bh

12. Se verifică condiţia ca armătura aleasă a secţiunii să fie mai mare decât armătura

minimă ? NU Se alege armătura minimă ca valoare finală de armare a secţiunii

DA Stop

NOTĂ – Armarea minimă se referă la întreaga cantitate de armătură a secţiunii şi nu

numai la ariile As şi As’.

Bibliografie 1. *** - Notiţe de curs şi aplicaţii-anul II ACH şi anul II ISPM 2. SR EN 1992-1-1 Proiectarea structurilor de beton.Partea 1-1: Reguli generale şi

reguli pentru clădiri 3. R. Agent, D. Dumitrescu, T. Postelnicu - Îndrumător pentru calculul şi alcătuirea

elementelor structurale de beton armat, Editura Tehnică 1992