geotehnica ii

IACINT MANOLIU NICOLETA RĂDULESCU

GEOTEHNICĂ II

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI

2011

5

CUPRINS Pag.

Capitolul 4. TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII ÎN MASIVELE DE PĂMÂNT 4.1. Eforturi unitare (tensiuni) şi deformaţii specifice într-un punct din masiv 4.2. Semnificaţia noţiunii de efort unitar în pământuri 4.3. Presiuni efective şi presiuni în porii pământului 4.4. Principiul presiunii efective

4.5. Presiuni suplimentare în pori pentru diferite condiţii de solicitare 4.6. Calculul şi distribuţia tensiunilor în pământ 4.6.1. Tensiuni datorate încărcărilor exterioare 4.6.1.1. Soluţii ale teoriei elasticităţii utilizate pentru calculul repartizării eforturilor în masivele de pământ

4.6.2. Metode aproximative pentru calculul repartizării eforturilor în masivele de pământ

4.6.3. Calculul eforturilor unitare din greutatea proprie a pământului Capitolul 5. COMPRESIBILITATEA ŞI TASAREA PĂMÂNTURILOR 5.1. Fazele procesului de deformare sub solicitare la pământuri

5.2. Modele reologice pentru simularea comportării pământurilor sub solicitări 5.3. Comportarea fazelor componente ale pământurilor sub acţiunea solicitărilor de compresiune 5.4. Determinarea compresiunii în laborator 5.5. Determinarea compresiunii prin încercări pe teren 5.6. Compresibilitatea pământurilor argiloase

6

Pag. 5.7. Consolidarea argilelor 5.7.1. Modelul mecanic al consolidării 5.7.2. Teoria consolidării 5.7.3. Reprezentări grafice ale soluţiei ecuaţiei consolidării 5.7.4. Studiul consolidării în laborator 5.8. Calculul tasării 5.8.1. Componentele tasării 5.8.2. Estimarea tasării totale Capitolul 6. REZISTENŢA LA FORFECARE A PĂMÂNTURILOR 6.1. Condiţia de rupere la pământuri 6.2. Metodica determinării rezistenţei la forfecare

6.3. Determinarea rezistenţei la forfecare în laborator prin forfecare directă 6.4. Determinarea rezistenţei la forfecare în laborator prin comprimare triaxială 6.4.1. Efectuarea încercării şi prelucrarea rezultatelor

6.4.2. Diagrame caracteristice pentru încercări de compresiune triaxială

6.4.3. Exprimarea rezistenţei la forfecare în termenii tensiunilor totale sau tensiunilor efective

6.5. Determinarea rezistenţei la forfecare prin comprimare cu deformare laterală liberă (comprimare monoaxială)

6.6. Determinarea rezistenţei la forfecare prin încercări pe teren 6.7. Caracterizarea rezistenţei la forfecare pentru diferite tipuri de pământuri 6.7.1. Rezistenţa la forfecare a nisipurilor 6.7.2. Rezistenţa la forfecare a pământurilor coezive

7

Pag. Capitolul 7. ECHILIBRUL LIMITĂ ÎN MASIVELE DE PĂMÂNT 7.1. Echilibrul limită în masivele de pământ

7.1.1. Starea de echilibru limită în masivul de pământ limitat de o suprafaţă orizontală

7.1.2. Starea de echilibru limită în cazul masivului de pământ limitat de o suprafaţă înclinată (taluzul infinit lung

de pantă constantă) Capitolul 8. ÎMPINGEREA PĂMÂNTULUI

8.1. Împingerea pământului în ipoteza suprafeţei plane de alunecare 8.1.1. Calculul împingerii active după Coulomb 8.1.2. Calculul rezistenţei pasive după Coulomb 8.1.3. Împingerea pământului în cazul unei suprasarcini uniform repartizate la suprafaţa terenului 8.1.4. Împingerea pământului în cazul unei suprasarcini concentrate liniar repartizate 8.1.5. Influenţa coeziunii asupra împingerii pământului 8.1.6. Calculul împingerii pământului în cazul masivului stratificat 8.1.7. Cazuri particulare la calculul împingerii pământului; parament frânt; suprafaţa terenului cu două pante 8.2. Împingerea pământului în ipoteza suprafeţelor curbe de alunecare

8.2.1. Împingerea activă 8.2.2. Rezistenţa pasivă Capitolul 9. STABILITATEA TALUZURILOR

9.1. Stabilitatea taluzurilor în masive omogene de pământ necoeziv 9.1.1. Cazul pământului uscat sau saturat 9.1.2. Influenţa unei pânze de apă asupra stabilităţii taluzului 9.2. Stabilitatea taluzurilor în masive omogene de pământ coeziv

8

Pag.

9.2.1. Ipoteza suprafeţei plane de alunecare 9.2.2. Ipoteza suprafeţei circulare de alunecare. Graficul lui Taylor 9.2.3. Metoda cercului de fricţiune 9.2.4. Calculul pantei de taluz stabil cu metoda Maslov 9.3. Stabilitatea taluzurilor în masive de pământ stratificate 9.3.1. Metoda fâşiilor 9.3.2. Verificarea stabilităţii versanţilor în condiţiile suprafeţelor de alunecare predeterminate 9.4. Influenţa apei subterane asupra stabilităţii taluzurilor din pământuri coezive 9.5. Alegerea parametrilor rezistenţei la forfecare de utilizat în calculele de stabilitate în funcţie de condiţiile de solicitare

BIBLIOGRAFIE

Capitolul 4. Tensiuni şi deformaţii în masivele de pământ

Iacint Manoliu & Nicoleta Rădulescu - Geotehnică

9

Capitolul 4

TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII ÎN MASIVELE DE PĂMÂNT

4.1. EFORTURI UNITARE (TENSIUNI) ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

ÎNTR-UN PUNCT DIN MASIV

Fie un masiv de pământ la suprafaţa căruia se aplică o încărcare, de exemplu cea transmisă

la teren de fundaţia unui stâlp solicitat centric, reprezentată de presiune q uniform repartizată pe o suprafaţă dreptunghiulară. Se consideră un element de volum într-un punct din masiv (Fig. 4.1).

Fig. 4.1

Efortul unitar total în punctul considerat este definit prin tensorul tensiunilor (Fig. 4.2) care,

în sistemul de coordonate rectangulare x, y, z se exprimă:

( ), ,x y z

x yz zx

xy y zy

xz yz z

Tσ

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

= (4.1)

Convenţie de semne Întrucât pământurile sunt materiale care nu au rezistenţă la întindere sau au o rezistenţă la

întindere foarte mică, în Mecanica pământurilor eforturile unitare normale de compresiune se consideră cu semnul +.

Tensorului de tensiuni prin punctul considerat îi corespund 3 direcţii perpendiculare în lungul cărora acţionează numai tensiuni normale, numite direcţii principale. Eforturile respective sunt tensiuni principale iar planele perpendiculare pe direcţiile tensiunilor principale, plane caracterizate prin τ = 0, sunt plane principale (Fig. 4.3).



10

Fig. 4.2

Fig. 4.3

Tensorul tensiunilor principale (Fig. 4.3):

( )1,2,3

1

2

3

0 0

0 0

0 0

Tσ

σ

σ

σ

= (4.2)

Invarianţii tensiunilor

( )1 2 3 0 13x y z Iσ σ σ σ σ σ σ σ+ + = + + = = (4.3)

σ0 = σmediu = efort unitar normal octaedric = σoct.

( )2 2 21 2 1 3 2 3 2x y y z x z xy yz xz Iσ σ σ σ σ σ τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ+ + − − − = − − = (4.4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2

0 1 2 2 3 3 1 1 2 oct

2 23

9 9I Iτ σ σ σ σ σ σ σ σ τ = − + − + − = − =

(4.5)

octτ = efort unitar tangenţial octaedric.

σoct, τoct, acţionează pe planul octaedric, plan normal pe dreapta trisectoare (diagonala

spaţiului), dreaptă egal înclinată faţă de oricare din axele principale de tensiune (Fig. 4.4).

Fig. 4.4



11

Tensorul tensiunilor poate fi exprimat sub forma:

( ), ,

o

x y zT Dσ σ σσ= + (4.6)

în care: oσσ - tensor sferic, producând modificări de volum, fără modificarea formei;

Dσ - tensor deviatoric, producând modificarea formei, fără modificarea volumului.

0

o0

0

0 0

0 0

0 0

Tσ

σ

σ

σ

= (4.7)

0

0

0

x yz zx

yz y zy

xz yz z

Dσ

σ σ τ τ

τ σ σ τ

τ τ σ σ

−

= −

−

(4.8)

În termenii tensiunilor principale:

( )1,2,3

0 1 01

o2 0 2 0

3 0 2 0

0 0 0 00 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

T T Dσ σ σ

σ σ σσ

σ σ σ σ

σ σ σ σ

−

= + = = + −

−

(4.9)

Numeroase probleme de mecanica pământurilor pot fi tratate ca probleme plane şi anume ca stare plană de deformaţii.

Aşa este, de pildă, cazul fundaţiilor continui sub ziduri, al digurilor, al zidurilor de sprijin etc. la care lungimea suprafeţei prin care se transmite încărcarea la teren este cu mult mai mare decât lăţimea, iar încărcarea nu variază în lungul axei paralelă cu latura lungă. Starea de tensiune este identică în orice secţiune normală pe această axă (Fig. 4.5, Fig. 4.6).

0, 0y yxσ τ≠ =

Fig. 4.5



12

Fig. 4.6

Fie un punct în planul xOz şi un element de suprafaţă (Fig. 4.6). Unui punct dat de eforturi unitare, σz, σx, τzx, îi corespund două direcţii principale, două

plane principale şi două tensiuni principale (Fig. 4.7).

Fig. 4.7 Variaţia tensiunilor în jurul unui punct. Cercul lui Mohr Starea bi-dimensională de tensiuni a unui element de pământ este arătată în figura 4.8 a.

Pentru a analiza condiţiile de eforturi în element, se consideră echilibrul unei prisme abd în figura 4.8 b. Fie σ şi τ componentele normală şi tangenţială ale efortului total q care acţionează pe

planul ab, fie � lungimea laturii ab.

Fig. 4.8



13

Se scrie echilibrul forţelor normale pe ab:

sin sin cos cos sin cos sin cosx z xz zxσ l σ l α α+σ l α α - τ 2α α - τ l α α⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Dar τxz = τzx

2 2sin cos sin 2x z xzσ = σ α+σ α - τ α (4.10)

1 cos 2 1 cos 2sin 2

2 2x z xz

α ασ = σ +σ - τ α

− +

cos 2 sin 22 2

x z x zx

σ σ σ +σσ = + α - τ α

−

2

cos 2 sin 22 2

2

x z x zx z

σ +σ σ σσ - = α - τ α −

Se scrie echilibrul forţelor paralele cu ab:

sin cos cos sin sin cos cos cosx z xz zxτ l σ l α α - σ l α α+ τ l α α - τ l α α⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

sin 2 cos 2x zxz

σ -στ = α - τ α

2

(4.11)

2

sin 2 cos 22

2 x zxz

σ -στ α - τ α

=

(4.12)

Se însumează relaţiile 4.11 şi 4.12 2 2

2 2x z x zxz

σ +σ σ - σσ - τ τ

2 2

+ = +

Fig. 4.9

S-a obţinut ecuaţia unui cerc de rază 2

2x zxz

σ - σR τ

2

= +

care în sistemul de coordonate σ0τ

are centrul pe axa σ, la 2

x zσ - σσ =



14

Acest cerc, reprezentat în figura 4.1 se numeşte cercul lui Mohr al eforturilor se adoptă următoarea convenţie de semne: eforturile normale de compresiune şi eforturile tangenţiale acţionând în sensul anti-orar sunt pozitive.

Unghiul α poate fi astfel ales încât τ să devină 0.

( )sin2 cos 2x z xz

1τ = σ -σ α - τ α= 0

2

xz

z

2 sin 2tg 2

cos 2x

α

α

τα

σ σ= =

−

Aceiaşi expresie se obţine şi pentru. Există deci două direcţii perpendiculare pentru care τ = 0 şi σ este maxim. Acestea sunt numite direcţii principale, iar în lungul cărora acţionează tensiunile principale normale pe planele pentru care τ = 0.

Făcând în ecuaţia 4... α = 0, şi notând tensiunea principală maximă cu σ1 şi tensiunea principală minimă cu σ3 se obţine:

1 3 1 3 cos 22 2

ασ σ σ σ

σ+ −

= +

Din ecuaţia 4..., pentru α = 0, se obţine

1 3 sin 22

ασ σ

τ−

=

În concluzie, pentru a construi cercul lui Mohr, apar două căi: a. Se cunosc tensiunile σx, σy şi τxy acţionând asupra planelor vertical şi orizontale care trece

printr-un punct. Se reprezintă punctele H(σy, τxy) şi K(σx, τxy) în diagrama (σ-τ). Intersecţia dreptei KH cu axa σ determină centrul cercului (Fig. 4.10).

b. Se cunosc tensiunile σ1 şi σ3 pe două plane principale. Centrul cercului este situat la distanţa (σ1 + σ3)/2.

Construindu-se unghiul la centru 2α, se obţine punctul N ale cărui coordonate sunt componentele σ şi τ ale efortului total p acţionând asupra planului care face cu planul de efort principal minim unghiul α (Fig. 4.11).

Fig. 4.10

Există un punct particular pe cercul lui Mohr, numit pol, care are următoarea proprietate: O linie dusă din pol paralelă cu un plan din masivul de pământ trecând prin punctul din

masivul de pământ pentru care cercul descrie variaţia stării de efort, această paralelă intersectează



15

cercul într-un punct ale cărui coordonate reprezintă componentele normală şi tangenţială ale efortului total pe acel plan. Pentru aflarea polului, se porneşte de la reciproca acestei proprietăţi. Se identifică în cercul lui Mohr un punct care reprezintă efortul unitar total pe un plan de direcţii cunoscut. Ducând din acel punct o paralelă cu direcţia cunoscută a planului, se obţine la intersecţia pe cercul polul.

Fig. 4.11

Există, deci, o corelare între:

− eforturile pe orice plan din masiv; − direcţia planului; − poziţia punctului.

Dacă se cunosc două din cele trei elemente, prin construirea cercului lui Mohr, se va obţine cel de al treilea. De exemplu, în figura 4.10, punctul H are coordonatele (σz, τzx) care exprimă tensiunile pe planul cb din elementul de pământ, iar punctul K are coordonatele (σx, τxz) care exprimă tensiunile pe planul ac. Polul P se află ducând din H o dreaptă paralelă cu cb sau din K o linie paralelă cu ac, care intersectează cercul în P. Starea de tensiune pe planele principale, plane de efort tangenţial zero, este reprezentată de punctele în care cercul intersectează axa 0σ.

Cercul lui Mohr al tensiunilor este foarte util în studiul stării bi-dimensionale de tensiuni. Admiţând în elementul de pământ din figura 4.9 este extrem de mic şi se reduce la un punct, cercul lui Mohr exprimă variaţia stării de tensiuni pe diferitele plane care trec prin acel punct.

Deformaţii specifice Componentele deplasării unui punct din spaţiu în direcţiile x, y, z sunt u, v, w. Se definesc drept deformaţii specifice:

; ;x y z

u v w

x y zε ε ε

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

(4.16)

; ;xy xz yz

u v u w v w

y x z x z yγ γ γ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (4.17)

Invarianţii deformaţiilor specifice

( )0 1 2 3

1

3ε ε ε ε= + + (4.18)

( ) ( ) ( )1

2 2 2 20 1 2 2 3 3 1

2

3γ ε ε ε ε ε ε = − + − + −

(4.19)



16

ε 0, γ 0 se numesc deformaţii specifice octaedrice axială şi respectiv unghiulară. Tensorul de deformaţii

1 1

2 21 1

2 21 1

2 2

x yx zx

xy y zy

xz yz z

Tε

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

=

(4.20)

În condiţiile problemei plane, cunoscându-se deformaţiile specifice εz, εx şi γxz se pot obţine

deformaţiile specifice pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de axa 0x cu relaţiile:

1cos 2 sin 2

2 2 2z x z x

xzα

ε ε ε εε α γ α

+ −= + + (4.21)

1sin 2 cos 2

2 2z x

a xz

ε εγ α γ α

−= + (4.22)

Noţiunile şi relaţiile reamintite în acest capitol fac parte din aparatul de calcul al Rezistenţei

materialelor. Pentru deducerea lor nu a fost necesară nici o ipoteză privind comportarea materialului, exceptând ipoteza micilor deformaţii introdusă la definirea tensorului de deformaţii.

Întrucât în cele mai multe probleme practice ale mecanicii pământurilor această ipoteză poate fi acceptată, noţiunile şi relaţiile date se utilizează ca atare şi în această disciplină.

Totuşi, având în vedere natura particulară a materialului pământ, noţiunea de tensiune (efort unitar) în mecanica pământurilor are altă semnificaţie decât în mecanica solidului deformabil.

4.2. SEMNIFICAŢIA NOŢIUNII DE EFORT UNITAR ÎN PĂMÂNTURI

În Rezistenţa materialelor efortul unitar se defineşte printr-o operaţie de trecere la limită. De

exemplu, efortul unitar normal pe secţiunea unei bare:

( )lim 0N

AA

σ∆

= ∆ →∆

(4.23)

În pământuri, care sunt medii disperse alcătuite din două sau trei faze, nu se mai poate aplica

aceeaşi definiţie. Noţiunea de efort unitar (tensiune) în pământuri are înţeles statistic şi trebuie luată în sens

macroscopic. Fie un punct din masivul de pământ prin care se duce un plan orizontal în care se consideră o

secţiune a2 (Fig. 4.12). Planul secţionează atât particulele solide cât şi porii; totodată, este posibil ca el să treacă prin unul sau mai multe de contact între particule. În fiecare punct în care planul trece prin partea solidă, forţele care sunt transmise prin scheletul mineral pot fi descompuse într-o componentă normală la plan, N şi o componentă tangenţială, T faţă de plan. Componenta T se descompune după direcţiile x şi y în Tx şi Ty.



17

Fig. 4.12 Se defineşte drept efort unitar normal σ, acţionând asupra planului considerat, raportul

dintre suma componentelor normale ale tuturor forţelor şi aria totală, a2. În mod similar se definesc eforturile unitare tangenţiale τx şi τy:

2 2 2; ; yx

x y

TN T

a a aσ τ τ= = =

∑∑ ∑ (4.24)

Aria a2 trebuie să fie suficient de mare în raport cu dimensiunile particulelor dar suficient de

mică faţă de masivul de pământ pentru ca efortul unitar astfel definit să reprezinte ca valoare statistică, tensiunea din punctul şi de pe planul considerat din interiorul pământului.

Efortul unitar într-un punct din masiv poate fi definit şi prin considerarea unei suprafeţe

vălurite, S care trece numai prin punctele de contact, fără a intersecta nici o particulă solidă. Efortul unitar care se exercită în punctul considerat din masiv este egal cu suma forţelor de contact împărţită la mărimea întregii suprafeţe vălurite S (Fig. 4.13).

Fig. 4.13

Aşadar în ambele definiţii, aria la care se face raportarea eforturilor este aria totală şi nu suma suprafeţelor de contact dintre particulele minerale care nu depăşesc 1% din aria totală. Efortul unitar în pământ definit în acest mod trebuie luat deci în sens macroscopic şi nu trebuie confundat cu efortul unitar la contactul dintre particule; între ele există o diferenţă de ordin de mărime. În timp ce, în mod obişnuit, în majoritatea problemelor întâlnite în practică, eforturile unitare normale, de exemplu, în cuprinsul terenului de fundare, variază între 0,1 şi 100 daN/cm2 presiunile de contact dintre particulele minerale pot atinge 7.000 daN/cm2.



18

4.3. PRESIUNI EFECTIVE ŞI PRESIUNI ÎN PORII PĂMÂNTULUI

Pământ saturat Fie un element de secţiune A dintr-un masiv de pământ saturat, asupra căruia se exercită un

efort unitar normal σ. O suprafaţă vălurită trecând prin element întâlneşte un număr de puncte de contact între

particulele solide, de arie totală As, şi pori umpluţi cu apă, de arie Aw (Fig. 4.14). Punând condiţia de echilibru a elementului, se consideră că aria însumată a punctelor de contact As se concentrează în mijlocul secţiunii considerate.

Fig. 4.14 Fie ps presiunea de contact între particulele solide şi pw presiunea în apa din pori.

( )s

s w w s s w s

A p

A p A p A p A A

σ =

+ = + − (4.25)

3(1 ) 's ws w s w ef w

A Ap p p a p a p p σ u

A Aσ = + = ⋅ + − = + = + (4.26)

ps este foarte mare iar a este foarte mic, dar produsul lor este o mărime finită.

Întrucât raportul sAa

A= este foarte mic, în loc de (1 - a) se poate lua 1.

pef - efortul unitar preluat de scheletul mineral (faza solidă) numit efort unitar efectiv sau presiunea efectivă; se notează cu σ'. u - presiune în pori; în cazul pământurilor saturate reprezintă presiunea apei din pori sau presiunea neutrală. Pământ parţial saturat Presiunea în pori u reprezintă efectul combinat al presiunii apei, pw, şi al presiunii aerului

din pori, pa:

( )w au x p 1 x p= + − (4.27)

în care x este un coeficient care exprimă mărimea relativă a presiunilor în aerul şi apa din pori. Evident, la pământul saturat x = 1, u = pw iar la pământul uscat x = 0, u = pa.



19

Exprimând, ca mai înainte, condiţia de echilibru a elementului:

( )1s w w a wp a p a p a a Tσ = ⋅ + ⋅ + − − − (4.28)

unde ww

Aa

A= , iar T reprezintă rezultanta tensiunii superficiale în cuprinsul secţiunii considerate.

Neglijând a:

( )1 (1 )ef w w a w ef w ap p a p a T p x p x pσ = + ⋅ + − − = + ⋅ + − ⋅ (4.29)

Din cele două formulări ale lui σ, se constată că x exprimă influenţa lui aw şi T. 4.4. PRINCIPIUL PRESIUNII EFECTIVE

Presiunea u din pori este o presiune hidrostatică, are aceeaşi intensitate în toate direcţiile. Ca

urmare a faptului că modulul de deformaţie al particulelor solide este foarte mare, deformaţiile acestora sub presiune hidrostatică sunt extrem de mici şi pot fi neglijate.

Deformarea pământurilor sub solicitări este posibilă numai dacă se produce o modificare în mărimea presiunii efective, a efortului unitar normal preluat de scheletul mineral. Acest concept fundamental al mecanicii pământurilor, enunţat de Terzaghi în 1925, poartă numele de principiul presiunii efective.

O verificare experimentală simplă a principiului presiunii efective, propusă de Terzaghi este următoarea:

Într-un vas se realizează un strat de nisip saturat de înălţime H, asupra căruia se aplică, prin intermediul unui piston perforat, o presiune p (pistonul trebuie să fie perforat, altminteri s-ar crea un sistem închis în care apa n-ar putea fi evacuată, ceea ce ar împiedica deformarea probei de pământ) (Fig. 4.15). Presiunea p poate fi realizată şi prin aşternerea unui strat de alice de o anumită grosime.

Fig. 4.15. Sub efectul presiunii p se înregistrează o deformaţie ∆H a probei de nisip. Se repetă încercarea, dar în locul presiunii p transmisă prin intermediul pistonului sau

stratului de alice se aşează deasupra probei o coloană de apă de înălţime w

ph

γ= , care echivalează cu

presiunea p.



20

De data aceasta, proba nu se mai deformează. Explicaţia comportării diferite a pământului în cele două cazuri: – În primul caz, îndată după aplicarea încărcării, presiunea p este transmisă scheletului. Ca

urmare a modificării eforturilor unitare efective, proba se deformează. – În cel de-al doilea caz greutatea coloanei de apă de înălţime h determină creşterea presiunii

apei din porii probei. Presiunea efectivă rămâne neschimbată, ceea ce explică faptul că proba nu se deformează.

Se exprimă presiunea totală la baza vasului:

sat wH hσ γ γ= ⋅ + ⋅ (4.30)

Presiunea din pori la baza vasului

( )wu h Hγ= + (4.31)

Dar: ' uσ σ= +

( ) ( ) 'sat sat' wh w wu H h h H H Hσ σ γ γ γ γ γ γ= − = + ⋅ − + = − =

' ' Hσ γ= (4.32) Aşadar, presiunea efectivă este dată de greutatea coloanei de pământ, ţinând cont de

subpresiune, şi este independentă de înălţimea coloanei de apă. Relaţia (4.32) caracterizează un regim hidrostatic. Pentru a pune în evidenţă influenţa mişcării apei (regimului hidrodinamic) asupra mărimii

presiunii efective, un vas cu nisip este pus în legătură, prin intermediul unui tub flexibil, cu un vas cu apă.

Se exprimă presiunea neutrală şi presiunea efectivă la baza probei de nisip, în secţiunea 1-1 (Fig. 4.16):

a) regim hidrostatic (Fig. 4.16 a)

( )wu L Hγ= +

' ' Lσ γ= (4.33) b) curent descendent (Fig. 4.16 b)

( ) wu L H h γ= + −

satwH Lσ γ γ= ⋅ + ⋅

( )sat sat' 'w w w w w w wu H L L H h L h L hσ σ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ= − = + − − + = − + = + (4.34)



21

Fig. 4.16.

Deci, presiunea efectivă în secţiunea 1-1 a crescut cu aceeaşi cantitate cu care s-a micşorat presiunea neutrală.

c) curent ascendent (Fig. 4.16 c)

( ) wu L H h γ= + +

' ' wL hσ γ γ= − (4.35)

Momentul critic corespunde situaţiei în care presiunea apei în secţiunea 1-1 devine egală cu

presiunea corespunzătoare greutăţii pământului şi apei de deasupra:

( ) satw wL H h H Lγ γ γ+ + = + (4.36)

sau u = σ



22

adică: σ ' = 0 ' 0wL hγ γ− =

'w

h

Lγ γ=

cr' w iγ γ= ⋅ (4.37)

S-a regăsit condiţia formulată pentru antrenarea hidrodinamică. Antrenarea hidrodinamică poate fi deci definită şi ca fenomenul care conduce la anularea de

către curentul de apă a presiunii efective. 4.5. PRESIUNI SUPLIMENTARE ÎN PORI

PENTRU DIFERITE CONDIŢII DE SOLICITARE

Fie un masiv de pământ şi un punct M aflat la adâncimea hw sub nivelul apei subterane

(Fig. 4.17). Presiunea în apa din pori la adâncimea respectivă:

w wu hγ= ⋅

Fig. 4.17

Fig. 4.18

Se aplică la suprafaţa terenului o presiune q (Fig. 4.18). Dacă în punctul M se înfige un tub piezometric, se consideră că aplicarea presiunii q este

însoţită de o creştere a nivelului apei în tubul piezometric, pe o înălţime:

w

uh

γ

∆∆ =

În timp, nivelul scade pentru a reveni în cele din urmă la poziţia iniţială (∆ h = 0). Rezultă că încărcarea q generează în pământ o presiune suplimentară care este iniţial

preluată integral de apa din pori. În timp, această presiune excedentară a apei din pori se disipează, nivelul apei în tubul piezometric revenind la poziţia iniţială.

Pentru determinarea comportării pământurilor sub solicitare este importantă stabilirea mărimii presiunilor excedentare în porii pământului în funcţie de mărimea efortului total, în diferite condiţii de solicitare.

a) Solicitarea hidrostatică în condiţii nedrenate (solicitare egală pe cele trei direcţii) Fie un volum elementar de pământ în echilibru sub eforturile iniţiale σ1, σ2, σ3 care

acţionează pe direcţiile 1, 2 şi respectiv 3 (Fig. 4.19). Presiunea iniţială în pori este u0.



23

Fig. 4.19 Se aplică brusc asupra volumului un efort suplimentar hidrostatic (egal pe cele trei direcţii),

∆ σ3. Ca urmare, presiunea în pori creşte cu ∆ ub. Se caută stabilirea relaţiei între ∆ ub şi ∆ σ3. În condiţiile aplicării bruşte, în interval foarte scurt de timp, a efortului ∆ σ3, nu are loc

drenarea apei din element imediat după aplicarea efortului; umiditatea rămâne neschimbată, solicitarea se produce în condiţii nedrenate.

Creşterea presiunii în pori ∆ ub determină o comprimare a volumului porilor ∆ Vn:

n v bV C n V u∆ = ⋅ ⋅ ⋅∆

unde Cv este compresibilitatea fluidului din pori sub o creştere izotropică a presiunii Creşterea efortului efectiv pe fiecare din cele trei direcţii este ∆ σ3 - ∆ ub şi produce o

comprimare a volumului scheletului ∆ Vs:

( )33s s bV C V uσ∆ = ∆ − ∆

unde Cs este compresibilitatea scheletului pământului sub o creştere izotropică a presiunii

Admiţând că particulele solide sunt incompresibile şi că solicitarea se face în condiţii nedrenate, cele două variaţii de volum trebuie să fie egale:

n sV V∆ = ∆

( )33v b s bC nV u C V uσ∆ = ∆ − ∆

3 3

1

1b

v

s

u BC

C

σ σ∆ = ∆ = ∆ ⋅

+

(4.38)

1

1 ( )v

s

BC

nC

=

+

Pământ saturat Compresibilitatea fluidului din pori (apă) este neglijabilă în raport cu cea a scheletului

pământului, deci Cv/Cs → 0 iar B → 1.



24

v

s

C0

C≅ B 1=

Deci, în condiţii nedrenate întreaga presiune suplimentară este preluată de apa din pori. Pământ uscat

; ; 0vv s

s

CC C B

C>>> → ∞ →

Pământ parţial saturat Compresibilitatea fluidului din pori este mare datorită prezenţei aerului din pori, deci

Cv/Cs > 0 iar B < 1. Variaţia lui B cu gradul de saturaţie este arătată în figura 4.20. Valoarea lui B poate fi măsurată în aparatul triaxial. Proba este supusă unei presiuni

hidrostatice şi se măsoară presiunea µ0 a apei din pori. Presiunea hidrostatică este apoi sporită, în condiţii nedrenate, cu ∆σ3 şi se măsoară creşterea presiunii apei din pori ∆ µb prin raport cu valoarea iniţială. Valoarea lui B se calculează din relaţia:

∆ µb =B∆σ3

Fig. 4.20 b) Solicitare monoaxială (pe o singură direcţie) în condiţii nedrenate Se consideră din nou volumul elementar de pământ cu σ1, σ2, σ3 şi u0 în stare iniţială; se

aplică un efort suplimentar ∆ σ1 pe o singură direcţie, direcţia 1 (Fig. 4.21) căruia îi corespunde o modificare a presiunii în pori ∆ ua. Condiţiile de solicitare sunt nedrenate.

Fig. 4.21



25

Variaţiile presiunilor efective sunt: '1 1 auσ σ∆ = ∆ − ∆ ' '3 2 auσ σ∆ = ∆ = −∆

Dacă pământul s-ar comporta ca un material elastic, reducerea de volum a scheletului pământului ar fi:

1

1( 3 )

3 s aC V uσ∆ − ∆

Reducerea de volum a porilor este:

v aC nV u∆

În condiţii nedrenate, cele două variaţii de volum trebuie să fie egale.

1

1( 3 )

3 s a v aC V u C nV uσ∆ − ∆ = ∆

Rezultă:

1 1

1 1 1

3 1 ( ) 3a

v s

u Bn C C

σ σ

∆ = ∆ = ∆ + +

Întrucât pământurile nu sunt elastice, expresia generală a lui ∆ ua se scrie: ∆ ua = AB ∆ σ1

unde A este un coeficientul presiunii în pori care se determină pe cale experimentală. În cazul pământurilor saturate (B = 1), ∆ ua = A ∆ σ1

Pentru pământurile saturate, A se determină prin măsurarea presiunii apei din pori în cursul aplicării unei diferenţe între tensiunile principale, în condiţii nedrenate.

Pentru pământurile foarte compresibile cum sunt argilele normal consolidate, A are valori cuprinse între 0,5 şi 1,0. La argilele cu sensitivitate ridicată, creşterea tensiunii principale maxime poate produce prăbuşirea structurii pământului, conducând la presiuni foarte mari ale apei din pori şi la valori ale lui A mai mari de 1. La pământurile cu compresibilitate scăzută, cum sunt argilele uşor supraconsolidate, valoarea lui A se situează între 0 şi 0,5. În cazul argilelor puternic supraconsolidate, se manifestă o tendinţă a pământului de a se dilata odată cu creşterea tensiunii principale maxime, dar întrucât în condiţii scadente apa nu poate pătrunde în element, se dezvoltă presiuni negative în apa din pori.

Valorile lui A pentru argile puternic supraconsolidate se situează între - 0,5 şi 0. În fig. 6... este dată o relaţie între A la rupere (Af) şi gradul de supraconsolidare (UCR) pentru argila saturată.

Efortul efectiv creşte pe direcţia 1 cu ∆ σ1 - ∆ ua şi descreşte pe direcţiile 2 şi 3 cu ∆ ua. Creşterea de efort efectiv ∆ σ1 - ∆ ua produce o micşorare a volumului egală cu mc (∆ σ1 - ∆ ua ). Micşorarea efortului efectiv pe direcţiile 2 şi 3 tinde să producă p umflare a pământului egală cu 2 me ∆ ua unde me este umflarea unităţii de volum corespunzătoare unei micşorări unitare a efortului efectiv de-a lungul uneia din cele trei axe.

Pământ saturat În condiţii nedrenate modificarea de volum este nulă, comprimarea pe o direcţie trebuie să

fie egală cu umflarea pe celelalte două direcţii:

( )1 2c a em u mσ∆ − ∆ =



26

1 1

12

1

12

1

ae

c

e

c

u Am

m

Am

m

σ σ∆ = ∆ = ∆

+

=

+

Rezultă că o modificare a stării de eforturi este întotdeauna însoţită de o schimbare în

presiunea apei din pori, a cărei mărime depinde de caracteristicile de compresibilitate, mc şi de umflare me ale pământului.

Pentru pământuri foarte compresibile, ca de exemplu argilele moi, compresibilitatea este mare în comparaţie cu umflarea, A tinde către 1.

Pentru pământurile puţin compresibile, ca de exemplu argilele tari sau nisipurile îndesate, A este de obicei foarte mic. În cazul în care umflarea pământului pe direcţiile 2 şi 3 ar fi împiedicată, A devine 1,0.

Pământ nesaturat Se produce o modificare de volum datorată comprimării volumului porilor, egală cu:

n n aV m u∆ = ∆

Comprimarea scheletului pe direcţia 1 trebuie să fie egală cu umflarea pe direcţiile 2 şi 3

plus reducerea volumului de pori: ( )1 2c a e a n am u m u m uσ∆ − ∆ = ⋅ ∆ + ∆ .

1

12

1a

n e

c c

um m

m m

σ∆ = ∆

+ +

Se calculează produsul A B⋅ :

12 2

13

n c e e

c c c

A Bm m m m

m m m

⋅ =+

+ ⋅ +

Întrucât termenul 2

13

c e

c

m m

m

+� , se poate scrie:

1au A B σ∆ = ⋅ ⋅ ∆

c) Solicitate pe toate direcţiile Cazul general rezultă din suprapunerea celor două cazuri precedente: Fie elementul de volum supus unui efort suplimentar ∆ σ1 pe direcţia 1 şi un efort

suplimentar ∆ σ3 pe direcţiile 2 şi 3 (Fig. 4.22).



27

Fig. 4.22 Solicitarea suplimentară ∆ σ1, ∆ σ2 şi ∆ σ3 poate fi privită ca sumă a două solicitări

(Fig. 4.23).

Fig. 4.23

( ) ( )3 1 3 3 1 3a bu u u B A B B Aσ σ σ σ σ σ∆ = ∆ = ∆ = ∆ + ⋅ ∆ − ∆ = ∆ + ∆ − ∆

4.6. CALCULUL ŞI DISTRIBUŢIA TENSIUNILOR ÎN PĂMÂNT

O problemă practică de maximă importanţă pe care trebuie să o rezolve mecanica

pământurilor este cea a determinării deformaţiilor probabile ale terenului de fundare, ca urmare a încărcărilor transmise de construcţii. În acest scop, trebuie să se cunoască mărimea eforturilor unitare care se dezvoltă în cuprinsul masivului de pământ sub efectul presiunilor ce se dezvoltă pe talpa fundaţiei şi sub efectul greutăţii proprii a pământului.

4.6.1 TENSIUNI DATORATE ÎNCĂRCĂRILOR EXTERIOARE

În stadiul actual al cunoştinţelor şi tehnicilor de calcul disponibile, repartizarea eforturilor în

masivele de pământ se calculează folosindu-se modelul corpului continuu, elastic, omogen, izotrop, modelul Hooke, studiat în Teoria Elasticităţii.

Evident, pământul ca sistem dispers, trifazic, eterogen, este departe de a corespunde modelului Hooke din Teoria Elasticităţii. Totuşi faptul că încercările de teren sau de laborator arată că în prima fază a procesului de deformare sub solicitare pământurile se comportă ca medii liniar - deformabile, precum şi concordanţa destul de bună între eforturile măsurate şi cele calculate pe această bază, justifică utilizarea soluţiilor cunoscute din Teoria Elasticităţii pentru calculul tensiunilor în interiorul masivelor de pământ.



28

4.6.1.1 SOLUŢII ALE TEORIEI ELASTICITĂŢII UTILIZATE PENTRU CALCULUL

REPARTIZĂRII EFORTURILOR ÎN MASIVELE DE PĂMÂNT

a) Problema spaţială (Boussinesq) Sarcina concentrat Q aplicată la suprafaţa semispaţiului

5

22 2

2 1

21

z

Q

z r

z

σπ

= +

Relaţia (4…) poate fi pusă sub forma:

2z

QK

zσ = ⋅

unde K este un coeficient intabulat în funcţie de r/z. Mai multe forţe concentrate la suprafaţa semispaţiului (Fig. 4.24)

Fig. 4.24

21

1 n

z i ii

K Qz

σ=

= ∑

Încărcare distribuită după o lege oarecare pe o suprafaţă de formă oarecare. Se împarte suprafaţa de încărcare în suprafeţe elementare, iar sarcina repartizată pe fiecare

suprafaţă elementară se înlocuieşte cu o sarcină concentrată (Fig. 4.25). Încărcare uniform distribuită pe o suprafaţă dreptunghiulară (Fig. 4.26). Acesta este un caz particular al problemei precedente. Suma dublă din expresia (….) devine

o integrală dublă care a fost rezolvată, rezultatul fiind dat sub forma:

z K qσ = ⋅

unde K este coeficientul de repartizare care este dat în tabele în funcţie de raportul l/b şi z/b

Sunt întocmite tabele ale coeficienţilor K pentru eforturile din centrul suprafeţei de încărcare şi din colţul suprafeţei. Cu ajutorul acestora din urmă se pot calcula eforturile în orice punct al semispaţiului cu metoda punctelor de colţ.

2

1z i iQ K

zσ = ∑∑ (….)



29

Fig. 4.25

Fig. 4.26 Regula este următoarea: punctul pe a cărui verticală se cere aflarea efortului σz trebuie luat

ca punct de colţ comun la 4 (sau 2) dreptunghiuri. Efortul σz apare prin însumarea eforturilor în colţurile dreptunghiurilor ce se întâlnesc în

punctul considerat. Apar patru situaţii distincte (Fig. 4.27)



30

a) b) c) d)

Fig. 4.27 a) Verticala punctului M în care se cere aflarea efortului se găseşte pe conturul suprafeţei de

încărcare:

[ ]z Meba Mecdq K Kσ = +

b) Verticala punctului M se găseşte în interiorul suprafeţei de încărcare:

z Mgah Mhbc Mecf Mfdgq K K K Kσ = + + +

c) Verticala punctului M se găseşte în afara suprafeţei de încărcare prin raport cu una din

laturile acesteia:

z Mhbe Mecf Mhag Mgafq K K K Kσ = + − −

Verticala punctului M se găseşte în afara suprafeţei de încărcare prin raport cu ambele laturi

ale acesteia.

z Mhce Mhbf Mgae Mgafq K K K Kσ = − − +

b) Problema plană (Flamant)

Sarcină concentrată q liniar repartizată (Fig. 4.28) (încărcarea este dispusă după o linie de lungime infinită



31

Fig. 4.28

( )

( )

4

2 2

3

2cos

2cos sin

2cos sin

z

x

xz

q

z

q

z

q

z

σ θπ

σ θ θπ

τ θ θπ

=

=

=

(a)

Încărcare uniform distribuită pe o fâşie de lăţime constantă B (Fig. 4.29): Pentru ( )q x q= , relaţiile (b) devin:

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1 2 2

1 1 2 2

2 1

1 1sin 2 sin 2

2 2

1 1sin 2 sin 2

2 2

cos 2 cos 22

z

x

q

q

q

σ θ θ θ θπ

σ θ θ θ θπ

τ θ θπ

= − + − ± − ±

= − − − ± + ±

= −

(…)

Fig. 4.29

θ2 se ia cu (+) când punctul M se află în afara planurilor verticale duse prin extremităţile încărcării.



32

În cazul problemei plane, σz se poate calcula cu relaţia (....) pusă sub forma:

1z K qσ = ⋅

unde K1 este un coeficient intabulat în funcţie de z/B şi x/B. Diagrame de variaţie a eforturilor unitare în interiorul masivului Fie o fâşie continuă cu o sarcină uniform repartizată q. Se consideră un plan la adâncimea z = 0,25 B şi se fixează pe acest plan câteva puncte, atât

în limitele fâşiei încărcate, cât şi în afara fâşiei, puncte în care se calculează efortul σz. Se reprezintă la scară eforturile astfel calculate. Unind extremităţile eforturilor σz se obţine o curbă sub formă de clopot, având ordonata maximă pe verticala axului fâşiei de încărcare (Fig. 4.30).

La o anumită depărtare de ax, eforturile σz devin practic nule. Se consideră un alt plan, la o adâncime z = 1,0 B şi se procedează în mod similar. Alura

curbei de variaţie a lui σz în lungul planului este asemănătoare. Ordonata pe axa fâşiei este mai mică decât în cazul anterior, în schimb punctul în care efortul σz devine neglijabil se găseşte la distanţa mai mare de ax.

Aceasta se datorează faptului că suprafaţa de eforturi delimitată de fiecare din cele două curbe trebuie să fie egală cu suma presiunilor aplicate asupra fâşiei de lăţime B.

Fig. 4.30 Variaţia pe verticală a efortului σz Dacă se calculează efortul σz pe verticala ce trece prin axul fâşiei încărcate, la diferite

adâncimi z şi se reprezintă eforturile la scară luând o axă de referinţă verticală se obţine prin unirea extremităţilor vectorilor σz pe o curbă care arată atenuarea cu adâncimea a tensiunii normale σz.



33

Izobare Se împarte suprafaţa masivului într-un caroiaj cu ochiuri dese (Fig. 4.31). Se calculează

pentru fiecare nod al caroiajului efortul unitar σz.

Fig. 4.31

Dacă se unesc punctele de egal efort, se obţin curbe denumite izobare. Suprafaţa delimitată de fâşia de încărcare şi izobară poartă numele de bulb de presiune.

Punctele situate în bulbul de presiune au efortul mai mare decât cel corespunzător izobarei, iar cele situate în afara bulbului au un efort mai mic.

Studiul izobarelor efortului σz este important, deoarece permite să se aprecieze adâncimea

până la care se resimte efectul încărcărilor exterioare. Este evident că această adâncime depinde de lăţimea fâşiei de încărcare.

Izobara efortului σz = 0,2 p, de exemplu, se extinde până la adâncimea egală cu aproximativ

3 B. Fie un teren neomogen caracterizat prin prezenţa la o anumită adâncime a unui strat de

pământ foarte compresibil (de exemplu praf argilos în stare plastic curgătoare) (Fig. 4.32). La suprafaţa terenului se aplică două fâşii de încărcare, având aceeaşi sarcină p, dar lăţimi

diferire. Se consideră limita inferioară a izobarei σz = 0,2 p drept limită a zonei în care eforturile

provenite din încărcarea exterioară sunt susceptibile de a produce deformaţii semnificative ale terenului. După cum rezultă, izobara σz = 0,2 p a fâşiei înguste se opreşte deasupra stratului moale, aceeaşi izobară, dar a fâşiei late, interceptează din plin stratul moale.

Fundaţia lată va avea tasări sensibil mai mari decât fundaţia îngustă.



34

Fig. 4.32. Aşadar, mărimea tasărilor nu depinde numai de mărimea încărcărilor, ci şi de dimensiunile

suprafeţelor de transmitere a acestor încărcări. În mod similar se procedează pentru construirea izobarelor σx şi τxz. Din examinarea izobarelor efortului unitar normal σx rezultă că acestea scad mult mai repede

cu adâncimea (de aceea majoritatea metodelor pentru calculul tasărilor neglijează influenţa tensiunilor σx şi σy) dar se dezvoltă mult pe orizontală (Fig. 4.33).

Izobarele tensiunii σx

Izobarele tensiunii τ−z Fig. 4.33 Fig. 4.34

De acest lucru trebuie să se ţină seama la stabilirea dimensiunilor pernelor de material

granular utilizate pentru înlocuirea parţială a pământului foarte compresibil de sub talpa fundaţiilor de suprafaţă (de regulă, perna trebuie să se extindă lateral cel puţin cât izobara σx = 0,2 q) (Fig. 4.34).

Este greşită realizarea unei perne având lăţimea egală cu cea a fundaţiei deoarece presiunile

orizontale σx mari la contactul cu pământul moale din jur produc refularea materialului din pernă. Izobarele tensiunii τxz sunt arătate în Fig. 4.36. Ele arată cum se dezvoltă sub muchiile

suprafeţei de încărcare zonele pe conturul şi în interiorul cărora se îndeplineşte condiţia de rupere (τ = τf), numite zone plastice.



35

Fig. 4.35

Fig. 4.36. Izobarele tensiunii τmax 4.6.2. METODE APROXIMATIVE PENTRU CALCULUL REPARTIZĂRII

EFORTURILOR ÎN MASIVELE DE PĂMÂNT

În lipsa tabelelor cu coeficienţi de influenţă, se pot folosi diferite metode aproximative

pentru determinarea mărimii eforturilor unitare normale σz la o anumită adâncime z. Încărcare uniform repartizată pe suprafaţă dreptunghiulară (problema spaţială) Se consideră că tensiunile normale σz generate de presiunea uniform repartizată q se

difuzează în interiorul unui trunchi de piramidă cu muchiile de înclinare 2:1 (Fig. 4.37).

( ) ( )z

q L B

L z B zσ =

+ +



36

Fig. 4.37

Încărcare uniform repartizată pe o fâşie de lăţime constantă (problema plană) Se consideră că tensiunile σz se difuzează în interiorul a două plane duse cu înclinarea de 55o

faţă de verticala ce trece prin muchiile fâşiei de lăţime B (Fig. 4.38).

Fig. 4.38

Scriind condiţia de echilibru:

( )11 1 2 tg55 tg 55

2

1 tg 55

z z z

z

q B B z B z

qz

B

σ σ σ

σ

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = +

=

+

� �

�

4.6.3. CALCULUL EFORTURILOR UNITARE DIN

GREUTATEA PROPRIE A PĂMÂNTULUI

Fie un masiv omogen (greutatea volumică are aceeaşi valoare în toate punctele masivului).

Efortul unitar pe direcţie verticală la adâncimea z dat de greutatea proprie a pământului se notează σgz (Fig. 4.39) şi se calculează cu relaţia:

gz zσ γ= ⋅ (1)

Relaţia (1) indică o variaţie liniară cu adâncimea a efortului σgz. Efortul σgz se mai numeşte şi sarcină geologică sau presiune litologică.



37

În cazul masivului alcătuit din mai multe strate, având greutăţi volumice diferite , sarcina geologică la baza stratului n se calculează cu relaţia:

1

n

gz i ii

hσ γ=

= ⋅∑

unde γi hi reprezintă greutatea volumică şi, respectiv grosimea stratelor de deasupra planului de referinţă.

Variaţia lui σgz este liniară în cuprinsul fiecărui strat, diagrama respectivă prezentând schimbări de pantă la orice modificare a lui γ (Fig. 4.40).

Fig. 4.39

Fig. 4.40 În cazul în care în cuprinsul unui strat se află cantonată pânza de apă subterană, la calculul

lui σgz sub nivelul acestei pânze, se va lua greutatea volumică submersată γ '. La calculul sarcinii geologice în cuprinsul stratului impermeabil deasupra căruia este aşezat stratul purtător de apă freatică, se ia în considerare şi presiunea dată de coloana de apă de deasupra stratului impermeabil.

La baza stratului 1, în care se află pânza freatică:

' '1 1 1 1gz h hσ γ γ= +



38

La partea superioară a stratului 2, impermeabil, la sarcina geologică calculată pentru baza stratului 1, se adaugă presiunea apei.

Diagrama de sarcină geologică (Fig. 4.41) marchează astfel un salt:

1

' ' '1 1 1 1 1gz wh h hσ γ γ γ= + +

Fig. 4.41 La baza stratului 2:

2

' ' '1 1 1 1 1 2 2gz wh h h hσ γ γ γ γ= + + +

Capitolul 5. Compresibilitatea pământurilor


39

Capitolul 5

COMPRESIBILITATEA ŞI TASAREA PĂMÂNTURILOR

5.1. FAZELE PROCESULUI DE DEFORMARE SUB SOLICITARE LA PĂMÂNTURI

În capitolul precedent s-au definit tensorii de tensiuni şi de deformaŃii dintr-un punct al

masivului de pământ; s-a explicat semnificaŃia noŃiunii de efort unitar în pământuri; s-a arătat că tensiunile normale ce transmit atât scheletului mineral cât şi porilor; s-a evidenŃiat că diferitele condiŃii de solicitare induc în porii pământului presiuni suplimentare; s-au prezentat soluŃii preluate din Teoria ElasticităŃii pentru calculul tensiunilor în masivele de pământ.

CunoştinŃele acestea sunt necesare pentru înŃelegerea comportării pământurilor sub solicitări, dar nu şi suficiente. Este nevoie să se definească şi relaŃiile între tensiuni şi deformaŃii în pământuri.

În mai mare măsură decât la alte materiale, aceste relaŃii sunt foarte complexe, depind de un număr mare de factori.

Înainte de abordarea propriu-zisă a problemei relaŃiilor tensiuni - deformaŃii la pământuri este instructiv să se examineze, pornind de la exemplul unei încărcări cu o placă (sau fundaŃie) de probă, aşezată la suprafaŃa terenului, principalele faze ale procesului de deformare sub solicitare la pământuri.

În cazul cel mai general pe diagrama de încărcare - tasare (Fig. 5.1), obŃinută printr-o asemenea încărcare pe teren se pot distinge trei zone, care corespund unor faze distincte ale procesului de deformare sub încărcare.

Fig. 5.1. Diagrama încărcare - tasare



40

�� relaŃia între presiunea p şi tasarea s este cvasi-liniară; dacă s-ar examina două volume de pământ situate, de pildă, pe verticalele duse prin muchiile suprafeŃei de încărcare, înainte şi după deformare, s-ar constata că se produce o modificare de volum, nu şi de formă, pe seama îndesării, micşorării porozităŃii.

Sectorul � corespunde aşadar unei faze în care predomină deformaŃiile de îndesare, numită din acest motiv faza de îndesare. Deformarea pământului este produsă în principal de acŃiunea tensorului sferic. Proprietatea care guvernează comportarea pământului în această fază este compresibilitatea.

�� dacă presiunea depăşeşte o anumită valoare p1, relaŃia p - s devine în mod vădit neliniară,

creşterea tasărilor este mai accentuată decât creşterea presiunilor. Modificările de volum sunt însoŃite şi de modificări de formă, ceea ce denotă apariŃia unor deformaŃii de lunecare, determinate de creşterea tensiunii tangenŃiale.

Ca urmare, la început, în punctele situate sub muchiile plăcii, iar apoi în zone numite zone plastice, este întrecută rezistenŃa la forfecare a pământului (capacitatea pământului de a prelua solicitări tangenŃiale) (Fig. 5.2 şi 5.3).

Sectorul � corespunde fazei de dezvoltare a zonelor plastice sau fazei lunecărilor progresive.

Fig. 5.2. DeformaŃiile pământului în diferite stadii de încărcare: a - faza de îndesare; b - faza dezvoltării zonelor plastice

Fig. 5.3. Dezvoltarea zonelor plastice sub fundaŃie

�� dincolo de o anumită valoare p2 a presiunii deformaŃiile devin neamortizate şi se poate produce chiar ruperea sau cedarea prin desprinderea unei părŃi din masivul de pământ de restul masivului, ca urmare a depăşirii rezistenŃei la forfecare de-a lungul unei suprafeŃe numită suprafaŃă de alunecare. Această fază este de rupere sau fază de cedare (Fig. 5.4).



41

Fig. 5.4. Cedarea terenului de fundare

În fazele � şi � predomină deformaŃiile specifice de lunecare ca urmare a acŃiunii tensorului

deviatoric. Proprietatea care guvernează comprimarea pământului în aceste faze este rezistenŃa la

forfecare. Caracteristică este şi evoluŃia în timp a deformaŃiilor (Fig. 5.5).

Fig. 5.5

Cu cât pământul este mai puŃin permeabil, cu atât timpul necesar pentru amortizarea

deformaŃiilor sub o încărcare constantă este mai îndelungat. La descărcarea plăcii (fundaŃiei) se produce o revenire care evoluează de asemenea în timp, dar deformaŃiile nu se anulează ci se înregistrează o tasare remanentă, sr.

5.2. MODELE REOLOGICE PENTRU SIMULAREA COMPORTĂRII PĂMÂNTURILOR SUB SOLICITĂRI Caracterul complex al pământurilor, ilustrat de diagramele din paragraful precedent, face

dificilă o formulare exactă a relaŃiilor tensiuni - deformaŃii - timp pentru diferite tipuri de pământuri



42

şi diferite condiŃii de solicitare. În stadiul actual al cunoştinŃelor este inevitabil să se recurgă pentru simularea comportării pământurilor sub solicitări la simplificări, substituind pământului real, într-o anumită fază a procesului de deformare, un material ideal.

Se reamintesc câteva modele reologice care descriu comportarea unor materiale ideale, modele care îşi găsesc aplicare în mecanica pământurilor.

� Modelul Hooke, al corpului ideal elastic, reprezentat printr-un resort elastic

(Fig. 5.6)

Eσ ε= ⋅ (5.1)

Fig. 5.6 Asimilând prima porŃiune a diagramei încărcare – tasare, p – s, cu o dreaptă, rezultă că

pentru simularea comportării pământului în această fază a procesului de deformare se poate utiliza modelul Hooke.

Pentru un volum de pământ supus tensiunilor σ1, σ2, σ3, deformaŃiile specifice corespunzătoare sunt date de Legea lui Hooke generalizată:

( )

( )

( )

( ) ( )

1 1 2 3

2 2 1 3

3 3 2 1

1 2 3 00 1 2 3 1 2 3

1

1

1

12 1 2

3g

v

E

E

E

E E E

ε σ ν σ σ

ε σ ν σ σ

ε σ ν σ σ

σε ε ε σε σ σ σ ν σ σ σ ν

= − +

= − +

= − +

+ += = + + − + + = − =

unde 1 2v

EE

ν=

− modulul de elasticitate volumic

( )0 00

21

E G

τ τγ ν= + = , (5.2)

în care G este modulul de elasticitate transversal.



43

Modelul Hooke este caracterizat prin doi parametri: E şi ν (la pământuri coeficientul lui Poisson se notează ν).

� Modelul Newton, al corpului ideal vâscos, reprezentat printr-un amortizor format dintr-

un piston şi un lichid incompresibil (Fig. 5.7):

Fig. 5.7

,σ η ε= ⋅ & (5.3) unde:

d

dt

εε =&

η - vâscozitatea lichidului.

� Modelul corpului în stare de curgere plastică, reprezentat printr-un bloc aşezat pe o suprafaŃă cu frecare (Fig. 5.8).

Fig. 5.8

Poate fi utilizat pentru a simula comportarea pământului în ultima fază a procesului de deformare sub încărcare, faza de rupere.

� Modelul Voigt - Kelvin, al corpului vâsco - elastic, rezultat prin legarea în paralel a

resortului H cu amortizorul N (Fig. 5.9). Presiunea exterioară σ este iniŃial preluată de fluidul din amortizor. Fluidul fiind

incompresibil, deformaŃiile se produc pe măsură ce acesta trece pe lângă piston; coborârea pistonului se face odată cu comprimarea resortului.

Modelul Voigt - Kelvin poate simula deformarea în timp, sub încărcare constantă, a

pământurilor, denumită consolidare.



44

Fig. 5.9

� Modelul Maxwell rezultă prin legarea în serie a resortului H cu amortizorul N

(Fig. 5.10).

Fig. 5.10

Resortul este încărcat rapid până la un anumit ε căruia îi corespunde o presiune

Eσ ε= ⋅ .

În timp, fluidul trece pe lângă

piston, resortul începe să se destindă. Modelul simulează fenomenul de micşorare în timp a eforturilor sau de relaxare.

� Modelul Saint – Venant, al corpului elasto - plastic, reprezentat prin resortul H, cuplat în

serie cu corpul aşezat pe o suprafaŃă cu frecare (Fig. 5.11).

Fig. 5.11 5.3. COMPORTAREA FAZELOR COMPONENTE ALE PĂMÂNTURILOR

SUB ACłIUNEA SOLICITĂRILOR DE COMPRESIUNE Compresibilitatea reprezintă proprietatea pământurilor de a se deforma sub acŃiunea unor

solicitări de compresiune, devenind mai îndesate, mai compacte.



45

După cum s-a arătat, compresibilitatea guvernează comportarea pământurilor în prima fază a procesului de deformare sub încărcare, faŃă de care relaŃia încărcare - tasare poate fi considerată liniară. Se spune că pământul se comportă în această fază ca un mediu liniar - deformabil şi nu elastic, deoarece în cazul ridicării încărcării tasarea nu se anulează ci se înregistrează o tasare remanentă, sr (Fig. 5.12).

Pentru a înŃelege bazele fizice ale compresibilităŃii, se va examina succesiv comportarea

fazelor componente ale pământurilor sub acŃiunea solicitărilor de compresiune.

Fig. 5.12

Faza solidă. Ca urmare a aplicării încărcărilor exterioare, cresc presiunile la contactul dintre

particule, ceea ce produce comprimarea acestora. Deşi presiunile de contact sunt mari, rezistenŃele mecanice ale particulelor solide sunt de asemenea mari, astfel încât comprimarea acestora este foarte mică şi nu poate explica deformaŃiile mari ale stratului de pământ. Această comprimare are în general un caracter reversibil, particulele revenindu-şi elastic la ridicarea încărcării. În unele puncte de contact se pot produce şi striviri locale, al căror efect global asupra deformaŃiei este de asemenea neglijabil. În schimb, strivirile locale constituie o explicaŃie a deformaŃiilor remanente.

Legăturile dintre particule fiind mult mai slabe decât rezistenŃele particulelor, sub acŃiunea

solicitărilor de compresiune, se produce o rearanjare a particulelor, însoŃită de o micşorare a volumului de goluri.

Apa din pori. Presiunile suplimentare care se dezvoltă în pământ sunt în primul moment

preluate de apa din pori. Apa fiind practic incompresibilă, creşterea presiunii apei din pori nu poate explica deformaŃiile pământului.

Pe măsura drenării apei din pori, presiunea excedentară în apă se diminuează iar pe seama

porilor care rămân neocupaŃi de apă se poate produce rearanjarea particulelor. În cazul pământurilor coezive, sub efectul presiunilor suplimentare se produce trecerea unei părŃi din apa legată în apă liberă, subŃiindu-se astfel învelişul de apă legată. La descărcare, fenomenul se produce în sens invers, existând tendinŃa de refacere a grosimii iniŃiale a învelişului de apă legată. Este ceea ce se numeşte efectul de pană al apei legate (Fig. 5.13).



46

Fig. 5.13. Aerul şi gazele din pori - sunt comprimate la creşterea presiunii. Totodată, gazele pot fi

dizolvate în apa din pori. Ambele fenomene au un caracter reversibil. În concluzie, principala explicaŃie a deformaŃiilor sub solicitare de compresiune rezidă în

rearanjarea particulelor. În cadrul pământurilor saturate, rearanjarea particulelor este posibilă numai după evacuarea

apei din pori. Ritmul de deformare este, astfel, dictat de permeabilitatea pământului.

5.4. DETERMINAREA COMPRESIBILITĂłII ÎN LABORATOR Pentru studiul compresibilităŃii în laborator se utilizează aparatul denumit edometru

(Fig. 5.14). Principalele caracteristici ale încercării: – deformarea laterală a probei este împiedicată; în acest scop, proba cu diametrul

de 2-3 cm este introdusă într-un inel de oŃel; – trebuie asigurată posibilitatea evacuării apei din pori; proba este aşezată între

două pietre poroase.

Fig. 5.14 Încărcarea se aplică în trepte, prin intermediul unui sistem de pârghii. Sub fiecare încărcare

se fac citiri la microcomparator, la diverse intervale de timp, până când se constată amortizarea deformaŃiilor sub încărcarea dată (trei citiri succesive la interval de o oră să nu difere cu mai mult de 0,01 mm).



47

Pentru fiecare încărcare N, căreia îi corespunde o presiune N

pA

= , unde A este aria inelului,

se înregistrează tasări ∆ h la diverşi timpi t:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 final

1 2 final

1 2 final

1

2

,

,

,

t t t

t t t

n t t t

p H H H

p H H H

p H H H

→ ∆ ∆ ∆

→ ∆ ∆ ∆

→ ∆ ∆ ∆

K

K

M

K

Înregistrarea şi prelucrarea rezultatelor

1. Curba de compresiune - tasare (Fig. 5.15)

a) b)

Fig. 5.15 Curba de compresiune - tasare:

a - reprezentare simplă; b - reprezentare semilogaritmică, recomandată în STAS 6842/1-09

Caracteristici de compresibilitate - obŃinute din curba de compresiune - tasare:

� modulul de deformaŃie edometric, Eoed

oed

pE

h

h

∆=

∆ ∆

, daN/cm2

Pentru clasificarea pământurilor după criteriul compresibilităŃii se defineşte modulul

edometric corespunzător intervalului de presiuni 2-3 daN/cm2:



48

( )

3 2

3 2 100

% %oed

p p

Eh h

h h= =

− ⋅=

∆ ∆ −

Valori uzuale pentru Eoed, daN/cm2:

- argilă plastic moale: 15 ... 50 - argilă plastic consistentă: 50 ... 100 - argilă plastic vârtoasă: 100 ... 200 - nisipuri afânate: 100 ... 200 - nisipuri de îndesare medie: 200 ... 500 - nisipuri îndesate, argile tari: > 500

� tasarea specifică pentru o anumită presiune, p

% %pp

h

hε

∆ =

Un alt criteriu de clasificare:

22

% %pp

h

hε =

=

∆ =

2 %pε =

< 2% - pământ puŃin compresibil 2 - 6% - pământuri compresibile > 6% - pământ foarte compresibil

� modulul de deformaŃie liniară, E - Se obŃine în funcŃie de Eoed.

Fig. 5.16

În condiŃiile solicitării edometrice:

( )

0

1

x y

x y

x y x y zE

ε ε

σ σ

ε ε σ ν σ σ

= =

=

= = − +

x y zσ ν σ ν σ− =

( )

0

1

1

x z

x y z zK

σ ν ν σ

νσ σ σ σ

ν

− =

= = =−



49

K0 = 1

νν−

K0 - coeficient de împingere laterală în stare de repaus. RelaŃia între tensiunile normale în stadiul comportării pământului ca un mediu liniar -

deformabil este:

0x y zKσ σ σ= =

( )2 21 1

2 11 1

z zz z x y z zE E E E

σ σν νε σ ν σ σ σ σ β

ν ν = − + = − = − = − −

unde υ

υβ

−−=

11

2

dar: ,z z

hp

hε σ

∆= = ∆

oed

pE E

h

h

β β∆

= ⋅ = ⋅∆

oedE E β= ⋅

- Întrucât β < 1, rezultă că teoretic E < Eoed. - Totuşi în practică se utilizează relaŃia:

0 oedE M E= ⋅

unde M0 este un coeficient de corecŃie pentru trecerea de la modulul de deformaŃie edometric la modulul de deformaŃie liniară, care la nisipuri este 1,0 iar la pământuri argiloase variază între 1,0 şi 2,3.

Valorile supraunitare ale lui M0, stabilite pe cale empirică prin compararea valorilor

modulului E, obŃinute prin încercări pe teren, cu cele obŃinute în funcŃie de modulul edometric, se explică prin efectul de deranjare a structurii pământurilor coezive produs prin operaŃiile de recoltare a probelor pe teren, de transport la laborator etc.

2. Curba de compresiune - porozitate, pune în evidenŃă micşorarea porozităŃii odată cu

creşterea presiunii. Cum se obŃine ∆ e ? În condiŃiile încercării edometrice (cu deformare laterală împiedicată) (Fig. 5.17):



50

Fig. 5.17

( )

0

00 0

00 0 0 0 0

0

1 11

1

g gf

s g s gff fs s

gs g

s

V A h h

V A h h

V VV V V VV V e eV VV e

VV V V V e e

V

h e

h e

∆ ⋅∆ ∆= =

⋅

−+ − +− −∆ ∆= = = = =

+ + ++

∆ ∆=

+

0

V A h h

V A h h

∆ ⋅ ∆ ∆= =

⋅

( )00 0

00 0 0 0 0

0

1 11

1

g gf

s g s gff fs s

gs g

s

V VV V V VV V e eV VV e

VV V V V e e

V

h e

h e

−+ − +− −∆ ∆= = = = =

+ + ++

∆ ∆=

+

Pentru a construi prin puncte curba de compresiune – porozitate, trebuie cunoscute valorile

tasărilor ∆h, pentru diferite trepte de încărcare pi, precum şi valoarea indicelui porilor iniŃial e0. Caracteristici de compresibilitate obŃinute din curba de compresiune - porozitate:

� coeficientul de compresibilitate, av:

,v

ea

p

∆=

∆ [cm2/daN]



51

� coeficientul de compresibilitate volumică, mv:

0 01 1v

v

a ph em p

h e e

⋅ ∆∆ ∆= = = ⋅ ∆

+ +

0

,1

vv

am

e=

+ [cm2/daN]

� legătura între mv şi Eoed:

oedv

voed

p 1E

h mh

1m

E

∆∆

= =

=

5.5. DETERMINAREA COMPRESIBILITĂłII PRIN ÎNCERCĂRI PE TEREN Se pot utiliza mai multe căi:

a) pe cale directă – încercări cu placa:

la suprafaŃă în adâncime (în gaura de foraj),

– încercări cu presiometre:

cu presiometrul Ménard cu presiometrul cu autoforare,

b) pe cale indirectă, pe baza probelor de penetrare:

– penetrare dinamică – penetrare statică

Încercări cu placa pentru determinarea lui E (Fig. 5.18 şi 5.19) Se procedează la încărcarea unei plăci rigide pătrate sau circulare, cu aria minimă de 2.500

cm2, de regulă 5 ... 10.000 cm2, la încercarea în sondaj deschis şi de minimum 600 cm2 la încercarea în gaura de foraj.

Înainte de începerea încărcării propriu-zise, placa se preîncarcă cu o presiune pg corespunzătoare coloanei de pământ de deasupra nivelului plăcii. Încărcarea se face în trepte,



52

măsurându-se tasarea plăcii direct pe suprafaŃa plăcii, la încărcările în sondaje deschise sau pe prelungitorul metalic solidarizat cu placa, la încărcări în foraje.

a) b)

Fig. 5.19

5.6. COMPRESIBILITATEA PĂMÂNTURILOR ARGILOASE

Fie curba de compresiune - porozitate a unei probe confecŃionată în laborator, având iniŃial consistenŃa unei paste moi, asemănătoare celei pe care o are un strat de argilă în primul stadiu al formării (Fig. 5.19.a). În sistemul de coordonate e - log p (Fig. 5.19.b) curba de încărcare (curba primară) devine o dreaptă. Dacă la o anumită încărcare p proba se descarcă iar apoi se reîncarcă, curbele de descărcare şi reîncărcare formează o buclă de hysteresis după care curba de încărcare continuă curba primară.

În cazul unei probe cu structură naturală recoltată dintr-un foraj de la o anumită adâncime, se

constată o porŃiune iniŃială orizontală a curbei e - log p. ExplicaŃia este următoarea: PorŃiunea orizontală reprezintă de fapt o curbă de reîncărcare, deoarece prin recoltarea

probei de la o anumită adâncime ea a fost descărcată de presiunea corespunzătoare greutăŃii coloanei de pământ. Proba se va deforma în edometru abia după ce presiunea aplicată va întrece presiunea maximă la care a fost anterior supusă.

Se defineşte drept presiune de consolidare, pc, presiunea maximă la care a fost supus în

istoria sa un strat de pământ argilos (Fig. 5.20). Se defineşte drept presiune geologică, pg, presiunea corespunzătoare greutăŃii stratelor de

pământ aflate în prezent deasupra pământului considerat. În funcŃie de raportul între pc şi pg, se deosebesc:

– argile normal consolidate, la care pc = pg, pământuri care nu au fost supuse unei încărcări mai mari decât sarcina geologică actuală;

– argile supraconsolidate, la care pc > pg, pământuri care au fost supuse în trecut unor presiuni mai mari decât actuala sarcină geologică, ca de exemplu cele date de greutatea unor gheŃari sau a unor strate de pământ ulterior erodate sau supuse mişcărilor tectonice etc.



53

Fig. 5.20 Determinarea presiunii de consolidare pc

Se poate folosi următoarea metodă empirică propusă de Casagrande (Fig. 5.21):

Fig. 5.21

– Se stabileşte punctul C de curbură maximă de pe diagrama e - log p; – Din acest punct se duc două linii, una tangentă la curbă iar cealaltă paralelă cu

axa absciselor;

– Se construieşte bisectoarea unghiului α definit de cele două linii;

– IntersecŃia bisectoarei cu prelungirea porŃiunii liniare a diagramelor e - log p se notează cu A;

– Abscisa punctului A reprezintă presiunea de consolidare.

Se compară pc cu pg şi se stabileşte tipul de argilă. Având în vedere particularităŃile diagramelor e - log p obŃinute în laborator pe probe

netulburate se pun în legătură cu interpretarea lor două probleme: – care este curba e - log p după care s-a produs tasarea în teren a stratului de argilă

din care s-a recoltat proba ?



54

– ce relaŃie există între creşterea presiunii efective p∆ şi reducerea volumului de

goluri ∆ e ?

Argila normal consolidată Presiunea de consolidare, egală cu presiunea geologică, şi indicele iniŃial al porilor e0

determină un punct a, corespunzător situaŃiei argilei din teren. O linie dreaptă dusă din acelaşi punct, foarte apropiată de porŃiunea dreaptă a curbei din laborator (diferenŃa dintre ele exprimă deranjarea structurii pământului) defineşte curba de compresiune - porozitate în teren. Panta acestei curbe, Cc se numeşte indice de compresiune şi serveşte pentru calculul reducerii volumului de goluri ∆ e la creşterea presiunii de la pg la pg + ∆ p (Fig. 5.22).

Fig. 5.22

( )log log log gc cg g

g

p pe C p p p C

p

+ ∆ ∆ = + ∆ − =

Argila supraconsolidată

Presiunea geologică şi porozitatea iniŃială definesc un punct b. Consolidării în teren îi

corespunde un punct a, a cărui abscisă pc se determină cu metoda arătată mai înainte. După consolidarea în teren sub presiunea pc s-a produs o descărcare până în punctul b, corespunzător sarcinii geologice actuale, de exemplu ca urmare a eroziunii unei părŃi din stratele aflate deasupra stratului considerat.

Studiul curbelor e - log p arată că ramura de reîncărcare b a are aproximativ aceeaşi pantă cu ramura de descărcare c d. Pentru aflarea punctului a se duce din b o paralelă la c d până la întâlnirea verticalei dusă prin pc. Din a se duce o dreaptă apropiată de porŃiunea dreaptă finală a curbei

e - log p. Curba de compresiune - tasare în teren este b a c. În cazul în care gp p+ ∆ nu depăşeşte

pc, ∆ e depinde de panta lui cd care se notează Ce, numit indice de expansiune (Fig. 5.23).

log ge

g

p pe C

p

+ ∆∆ =



55

Fig. 5.23

Fig. 5.24

Dacă gp p+ ∆ > pc, ∆ e depinde atât de Cc cât şi de Ce

log log gce c

g c

p ppe C C

p p

+ ∆∆ = +

O curbă e - log p caracteristică se obŃine în cazul argilelor foarte sensitive. La o presiune

apropiată de cp , panta curbei devine aproape verticală (Fig. 5.24). ExplicaŃia acestei comportări se

obŃine dacă se încearcă o altă probă din acelaşi pământ, dar care este în prealabil remaniată. Curba

e - log p a probei remaniate este o linie dreaptă. Se constată că la presiuni > cp , cele două curbe

practic se confundă. Deci tasarea bruscă a probei cu structura naturală la p = pc denotă o prăbuşire a structurii

prin ruperea legăturilor structurale dintre particule. c) Pământuri loessoide Aceste pământuri ocupa cca. 17% din teritoriul României şi suprafeŃe întinse în Europa,

Asia, America. Trăsătura distinctă a pământurilor loessoide o constituie sensibilitatea la umezire. Trecerea

pământului de la umiditatea naturală la umiditatea de saturaŃie produce o prăbuşire a structurii pământului, manifestată prin tasări bruşte, suplimentare, fără să crească şi presiunea aplicată asupra probei.

EvidenŃierea sensibilităŃii la umezire în laborator se face prin încercări în edometru. Proba cu umiditate naturală se încarcă în mod obişnuit până la o presiune de 3 daN/cm2;

după consumarea tasării sub această presiune, se inundă proba. Tasarea bruscă prin umezire se exprimă printr-un salt în diagrama de compresiune - tasare, a

cărei mărime se defineşte drept tasare specifică prin umezire (Fig. 5.25).



56

Fig. 5.25

Un criteriu de recunoaştere a sensibilităŃii la umezire: im3 < 2 % pământul nu este sensibil la umezire im3 > 2 % pământul este sensibil la umezire 5.7. CONSOLIDAREA ARGILELOR Consolidarea reprezintă tasarea în timp, sub încărcare constantă, a pământurilor.

Consolidarea este caracteristică pământurilor argiloase la care drenarea apei din pori se face lent. În cazul nisipurilor nu se poate vorbi, practic, de consolidare, deoarece datorită permeabilităŃii lor mari, apa este expulzată din pori imediat după aplicarea încărcării, dând posibilitatea particulelor să ocupe poziŃia corespunzătoare noii stări de îndesare.

5.7.1. MODELUL MECANIC AL CONSOLIDĂRII

Pentru înŃelegerea procesului de consolidare se poate folosi un model mecanic de felul celui de mai jos.

Fie un vas cu apă închis la partea superioară cu un piston prevăzut cu un orificiu şi legat de fundul vasului cu un arc.

Un tub piezometric la partea inferioară a vasului permite măsurarea presiunii apei din vas (Fig. 5.26, a).

Asupra pistonului se aplică o presiune p. La timpul t = 0, când apa nu a început să fie evacuată din vas deoarece orificiul din piston este închis, întreaga presiune p este preluată de apă.

În tubul piezometric apa se ridică la înălŃimea H = p/γw (Fig. 5.26, b). În timp, după deschiderea orificiului, apa începe să fie evacuată prin orificiu. O parte din

presiune se transmite arcului, iar cealaltă parte este preluată de apă. Procesul este încheiat atunci când întreaga presiune p este transmisă arcului (Fig. 5.26, c). În

acest model, arcul simulează scheletul solid al pământului, iar apa din vas, apa din pori. Notând presiunea în scheletul solid (în arcul modelului) cu pef, iar presiunea în apa din pori cu u, se pot scrie pentru cele trei momente caracteristice ale procesului de transfer al presiunii p următoarei relaŃii:



57

– momentul iniŃial, t = 0; p = ui; pef = 0 – momentul intermediar, t = t1; p = pef + u1 – momentul final, t = tfinal; p = pef; u = 0.

Consolidarea poate fi privită ca un proces de transfer al presiunii de la apă către scheletul

solid.

Fig. 5.26

5.7.2. TEORIA CONSOLIDĂRII Se examinează problema consolidării unidimensionale, rezolvată de Terzaghi. Se urmăreşte

deducerea legii de variaŃie a presiunii neutrale u în timp şi pe grosimea unui strat de argilă de grosime 2H, supus unei presiuni suplimentare ∆ p (Fig. 5.27). Drenarea apei se face numai pe direcŃie verticală, către stratul sau straturile permeabile (nisipoase) între care se găseşte stratul de argilă.

Ipoteze de bază: – pământul se consideră saturat, omogen, izotrop; – apa din porii pământului se consideră incompresibilă; – se admite valabilitatea legii lui Darcy; – se admite o relaŃie liniară între deformaŃia pământului şi presiunea efectivă.

Fie un element de volum situat la cota z (Fig. 5.28). VariaŃia de viteză (de debit) pe înălŃimea elementului este

2

2w

k udz

zγ∂

− ⋅∂



58

Pământul fiind saturat, variaŃia de debit înseamnă variaŃie de volum în timp dt. EcuaŃia de continuitate în cazul curgerii unidimensionale se scrie:

2

2w

k u dVdz

z dtγ∂

− ⋅ =∂

(5.4)

Dar:

vdV m d dzσ=

( )v

dVm dz

dt dt

σ∂= .

Se ştie însă că:

p uσ∆ = ∆ +

0p u

t t t

σ∂ ∂ ∂= + =

∂ ∂ ∂

(presiunea totală ∆p este constantă în timpul consolidării)

Fig. 5.27

Fig. 5.28

v

dV um dz

dt t

∂= −

∂ (5.5)

Egalând (1) cu (2)

2

2

2 2

2 2

vw

vv w

u k um

t z

u k u uc

t m z z

γ

γ

∂ ∂− = − ⋅

∂ ∂

∂ ∂ ∂= ⋅ =

∂ ∂ ∂



59

EcuaŃia consolidării unidimensionale:

2

2v

u uc

t z

∂ ∂=

∂ ∂ (5.6)

vv v

kc

m γ se numeşte coeficient de consolidare şi este o proprietate a pământului care

depinde de coeficientul de permeabilitate k şi de coeficientul de compresibilitate volumică mv. EcuaŃia (5.6) se integrează pentru condiŃii iniŃiale şi pe contur date, de exemplu: CondiŃii iniŃiale lat = 0; u = ui = p CondiŃii de contur z = H; u = 0 z = - H u = 0 SoluŃia ecuaŃiei consolidării se obŃine cu ajutorul seriilor Fourier şi este de forma:

2

0

2sin

mM Ti z

m

u Mu e

M H

=∞−

=

=

∑ (5.7)

în care ( )2 12

M mπ

= + , m fiind un număr întreg,

2

vc tT

H= factor de timp, adimensional.

5.7.3. REPREZENTĂRI GRAFICE ALE SOLUłIEI ECUAłIEI CONSOLIDĂRII Se defineşte grad de consolidare:

zt

VU

V =∞

∆=

∆ (5.8)

La paragraful 5.2 s-a arătat că

v v

h Vm m u

h Vσ

∆ ∆= = ∆ = − ∆

AdmiŃând mv constant pentru creşterea de efort unitar efectiv σ∆ , expresia (5.8) devine:

iz

t t i

u uV uU

V u u=∞ =∞

−∆ ∆= = =

∆ ∆ (5.9)

în care ui este presiunea neutrală imediat după aplicarea presiunii ∆ p şi u - presiunea neutrală la timpul t.



60

Înlocuind (5.7) în (5.9):

2

0

21 sin

mM Tz

zm

MU e

M H

=∞−

=

= −

∑ (5.10)

Gradul de consolidare la un timp oarecare t variază cu adâncimea conform expresiei (5.10)

(Fig. 5.29).

Fig. 5.29

Gradul mediu de consolidare al stratului de argilă se defineşte:

2

2

02

0

1

2 21

H

i mM T

Hmi

u u dzH

U eu M

=∞−

=

−

= = − ⋅∫

∑ (5.11)

Se construieşte UH = f (T) (Fig. 5.30). Faptul că soluŃia ecuaŃiei consolidării, pentru o problemă dată, se exprimă în funcŃie de o

mărime adimensională T, permite utilizarea aceleiaşi soluŃii la orice altă problemă având aceleaşi condiŃii iniŃiale şi pe contur, indiferent de mărimile geometrice (H) şi fizice (k, mv) care intervin.

Utilizări ale curbei UH = f (T) - Se dă UH %, Se cere timpul t. Se intră în ordonată cu UH, se duce orizontala până la intersectarea curbei, se citeşte abscisa

T, se calculează t din relaŃia 2

vc tT

H= .

- Se dă t, se cere UH. Se procedează invers.



61

Fig. 5.30 Piezograf Reprezentarea grafică a soluŃiei ecuaŃiei consolidării U = f (z,t) pentru diferite valori atribuite

timpului t şi deci factorului de timp T conduce la un set de curbe denumite izochrone care alcătuiesc un piezograf (Fig. 5.31).

Fig. 5.31

Izochrona este curba care exprimă, la un timp t dat, variaŃia presiunii neutrale pe înălŃimea stratului de argilă. Astfel pentru un z dat şi un t dat, izochrona permite precizarea presiunii neutrale u şi a presiunii efective σ.

Teoria consolidării a fost extinsă şi la cazul drenării radiale sau a drenării bi- şi tridimensionale. Totodată, au fost elaborate şi soluŃii care asimilează pământul cu un material vâscoelastic.

5.7.4. STUDIUL CONSOLIDĂRII ÎN LABORATOR Pentru obŃinerea pe cale experimentală a caracteristicilor de consolidare se efectuează

încercări de compresiune - consolidare pe probe saturate şi imersate (STAS 8942/1). Sub fiecare treaptă de încărcare se fac citiri la intervale de timp precise până când se obŃine

consolidarea sub treapta respectivă (între două citiri succesive, diferenŃa este mai mică de 0,01 mm). Rezultatele se transpun într-un sistem de coordonate ∆ h (sau ∆ h/h %) - log t. Se obŃine,

pentru fiecare treaptă de încărcare, o curbă de compresiune - consolidare (Fig. 5.32).



62

Fig. 5.32

Comparând această curbă cu cea obŃinută teoretic UN - log T, se constată că ele au o alură

asemănătoare până la un grad de consolidare de cca. 90%. Dincolo de acest punct, curba teoretică admite o asimptotă orizontală în timp ce în curba experimentală deformaŃiile continuă un timp îndelungat. Aceste deformaŃii care nu mai sunt controlate de drenarea apei din pori reprezintă consolidarea secundară. VariaŃiile de volum explicate prin teoria consolidării reprezintă consolidarea primară.

Datorită consolidării secundare, este dificil să se facă o legătură directă între curbele teoretice şi cele experimentale, în vederea obŃinerii din acestea din urmă caracteristici de consolidare, de exemplu cv.

Se aplică diferite metode empirice, cum este de pildă cea a lui Casagrande, recomandată şi

în STAS 8942/1-79. Pornind de la constatarea că în curba teoretică asimptota la curbă intersectează tangenta la

partea înclinată din dreptul procentului de consolidare 100, Casagrande propune ca punctul corespunzător procentului de consolidare 100 pe curba experimentală să se găsească de asemenea la intersecŃia asimptotei la partea frântă cu tangenta la partea înclinată (Fig. 5.32).

Punctul de consolidare zero se obŃine presupunând că în reprezentarea normală curba

experimentală este o parabolă. Se aleg două puncte a şi b pe curbă, corespunzând la timpi care sunt în raportul 1:4, de

exemplu 100 şi 400 (Fig. 5.33). În acest caz, distanŃa verticală y dintre punctul de zero consolidare şi a este egală cu distanŃa y dintre punctele a şi b.

Cunoscându-se punctele care corespund pe curba experimentală procentelor 0 şi 100,

punctul corespunzător procentului 50 este situat la jumătatea distanŃei verticale dintre acestea. Se obŃine astfel t50%. Factorul de timp T50% se ia de pe curba teoretică şi este egal cu 0,197.



63

Fig. 5.33

Coeficientul de consolidare cv se calculează cu relaŃia:

2250% 50%

50%

cm / sv

T Hc

t

⋅ =

în care: t50% - timpul corespunzător unei consolidări primare de 50% [în sec.];

T50% - factor de timp corespunzător unei consolidări de 50%, egal cu 0,197;

H50% - drumul străbătut de apa drenată între planul median al probei şi piatra

poroasă, corespunzător consolidării primare de 50%

50%

50% 12 t

h hH

h

∆ = −

unde: h - înălŃimea iniŃială a probei;

50%t

h

h

∆

- tasarea specifică la o consolidare primară de 50%

determinată pe curba de compresiune - consoli-

dare: 50%

logt

ht

h

∆ −

.

InformaŃiile obŃinute asupra consolidării primare din curba de compresiune - consolidare pot fi extrapolate din laborator pe teren cu condiŃia ca încercarea edometrică să fi simulat corect condiŃiile de drenare ale stratului din natură şi, desigur, ca pământul să fie acelaşi.

De exemplu, timpul necesar atingerii unei consolidări primare de 70% în laborator, pentru o probă de grosime h1 este t1.

Se cere timpul t2, necesar atingerii aceluiaşi grad de consolidare a unui strat din acelaşi pământ având grosimea h2.

CondiŃiile de drenare fiind identice, factorul de timp T este acelaşi în ambele cazuri. De asemenea, cv este acelaşi:



64

1 22 2

1 2

2

22 1

1

v vc t c t

h h

ht t

h

⋅ ⋅=

=

5.8. CALCULUL TASĂRILOR 5.8.1. COMPONENTELE TASĂRII

Tasările se definesc drept deformaŃii pe verticală ale terenului care pot fi produse de încărcările transmise de fundaŃii sau chiar de eforturile din greutatea proprie a pământurilor.

Tasarea totală s are trei componente: s = s0 + sc + ss

unde s0 = tasarea imediată; sc = tasarea consolidare; ss = tasarea secundară. Tasarea imediată, numită uneori şi tasarea de distorsiune, este tasarea unui pământ saturat

produsă condiŃii nedrenate şi datorată deformaŃiilor de forfecare (distorsiuni) la volum constant. Apare sub acŃiunea unor încercări de scurtă durată, care se manifestă într-o perioadă în care drenarea apei din porii pământului poate fi neglijată. În fig. 5.34 este arătat un exemplu de tasare imediată a unei argile saturate. Primul pământ aflat nemijlocit sub încărcarea uniformă, flexibilă, se comprimă şi se burduşeşte lateral. Aria de încărcare şi suprafaŃa adiacentă formează prin deformare un profil de covată.

Tasarea de consolidare este specifică pământurilor fine au un coeficient de permeabilitate redus. Viteza de tasare depinde de viteza cu care se drenează apa din pori.

Tasarea secundară sau tasarea de curgere lentă se produce sub efort efectiv constant, şi nu implică modificări ale presiunii apei din pori. împingere laterală

Fig. 5.34



65

5.8.2. ESTIMAREA TASĂRII TOTALE Metoda însumării tasărilor elementare Este o metodă grafo-analitică recomandată în normele din Ńara noastră. Se consideră o fundaŃie de suprafaŃă (Fig. 5.35). Se admite că deformaŃia este

unidimensională (deformaŃia laterală împiedicată) şi se datorează exclusiv tensiunii lor verticale σz. FundaŃia având lăŃimea B şi adâncimea D este acŃionată de o încărcare verticală N = P + G, unde P este încărcarea transmisă fundaŃiei de structură, iar G este greutatea proprie a fundaŃiei şi pământului aflat deasupra fundaŃiei.

Fig. 5.35 Presiunea efectivă pe talpa fundaŃiei este:

efN ( P G )

pA A

+= =

unde A este suprafaŃa tălpii fundaŃiei. Presiunea netă pe talpa fundaŃiei este: pnet=pef – σgD unde σgD este presiunea geologică la adâncimea D. Compresibilitatea diferitelor strate de pământ este definită prin modulul de deformaŃie liniară E.

Etapele de calcul sunt următoarele:



66

a) Se reprezintă o secŃiune transversală prin fundaŃie şi prin teren, cu indicarea limitelor între stratele geologice. Terenul de sub fundaŃie se împarte în strate elementare. Limitele dintre stratele geologice, inclusiv nivelul apei subterane, reprezintă limite obligate între stratele elementare. Grosimea hi a unui strat elementar nu trebuie să depăşească 0,413 şi poate varia de la un strat la altul.

b) Se calculează tensiunile σz generate la diferite adâncimi de presiunea pnet şi tensiunile geologice σgz, iar variaŃia cu adâncimea a acestora se obŃine reprezentând tensiunile, de o parte şi de alta a axei z, normal fată de axă. Diagrama de variaŃie cu adâncimea a tensiunii σg începe de la nivelul tălpii fundaŃiei, în timp ce diagrama de variaŃie cu adâncimea a lui σgz începe la nivelul terenului.

c) Pe baza diagramei lui σgz se defineşte zona activă, acea zonă din teren în care tensiunile σz sunt destul de mari pentru a fi luate în considerare la evaluarea tasărilor. După cum se constată, cele două tensiuni σz şi σgz au tendinŃe contrarii: în timp ce σz descreşte cu adâncimea, σgz creşte cu adâncimea. Pe de altă parte, în mod obişnuit modulul de deformaŃie E creşte cu adâncimea, ca urmare a compactării pământului sub presiunea stratelor aflate deasupra. Rezultă, deci, că la o anumită adâncime tensiunile σz devin atât de mici în comparaŃie cu σgz încât tasările pe care le induc sunt neglijabile.

În conformitate cu normele româneşti, zona activă este limitată de adâncimea z0 sub talpa

fundaŃiei la care se îndeplineşte condiŃia (Fig. 5.36):

0 00,2z gzσ σ=

Fig. 5.36

Când limita inferioară a zonei active definită prin (5. ...) se află într-un strat având E < 5000 kPa (Fig. 5.37), z0 se extinde pentru a include acel strat sau până la îndeplinirea condiŃiei:

0 0z gz0,1σ σ=

Dimpotrivă, dacă în cuprinsul zonei active definită prin (….) se întâlneşte un strat practic

incompresibil (E > 100.000 kPa) iar prezenŃa în cuprinsul acestui strat a unor incluziuni compresibile este exclusă, zona activă se extinde doar până la limita superioară a stratului tare (Fig. 5.38).



67

d) Se consideră tasarea si a stratului elementar i. Se consideră că σz este constant în cuprinsul stratului elementar i şi are valoarea:

med 1( ) / 2

i iiz z zσ σ σ

−= + (5.12)

Această aproximaŃie duce la înlocuirea diagramei teoretice de variaŃie cu adâncimea a lui σz

cu o diagramă în trepte. Se înŃelege de ce grosimea stratului elementar a trebuit limitată (hi ≤0,4 B). Eroarea indusă prin considerarea unor strate elementare cu grosime mai mare, ca în figura

5.39, ar fi inacceptabilă.

Se aplică legea lui Hooke:

Eσ ε= Pentru stratul „i” se va lua:

medizσ σ= ; E = Ei; i is / hε =

unde si este tasarea stratului „i” indusă de tensiunea constantă

medizσ

medizσ = Ei (si/hi)

si = (med

) /i

z i ih Eσ ⋅ (5.13)

Tasarea s se obŃine însumând tasările si ale tuturor stratelor elementare aflate în cuprinsul

zonei active. S = 0,8

med0,8 ) /

ii z i is h Eσ= ⋅∑ ∑ (5.14)

Fig. 5.37 Fig. 5.38



68

Fig. 5.39

În relaŃia (5.14) 0,8 este un factor empiric de corecŃie urmărind să reducă diferenŃa dintre

tasările calculate cu această metodă şi tasările observate.

Metode bazate pe utilizarea directă a unor soluŃii din Teoria ElasticităŃii

Tasarea totală a unei fundaŃii de suprafaŃă poate fi evaluată folosind o relaŃie stabilită în Teoria ElasticităŃii, ca de exemplu:

s = (pnet Bf)/ E (5.15)

unde:

p este presiunea netă medie pe talpa fundaŃiei; E este modulul de deformaŃie liniară al terenului; f este un coeficient a cărui valoare depinde de forma şi dimensiunile tălpii fundaŃiei, de variaŃia cu adâncimea a rigidităŃii pământului, de grosimea stratului compresibil, de coeficientul lui Poisson;

B este lăŃimea fundaŃiei. Utilizarea relaŃiei (5.15) este indicată doar în cazul unui teren omogen. De asemenea, poate fi folosită la punerea în valoare a unei tasări măsurate s pentru calculul pe aceeaşi bază < un modul de deformaŃie echivalent al terenului.

Capitolul 6. Rezistenţa la forfecare a pământurilor


69

Capitolul 6

REZISTENŢA LA FORFECARE A PĂMÂNTURILOR

6.1. CONDIŢIA DE RUPERE LA PĂMÂNTURI

Condiţia de cedare sau rupere a unui material poate fi exprimată în diferite moduri, de

exemplu în funcţie de tensiuni sau de deformaţii specifice, în termeni energetici etc. Valabilitatea unei teorii de rupere pentru un material supus unui anumit tip de solicitări se stabileşte prin verificări experimentale.

La pământuri, criteriul de rupere cu cea mai largă aplicabilitate îl constituie criteriul Mohr - Coulomb, rezultat din asocierea a două teorii clasice de rezistenţă, datorate lui Mohr şi lui Coulomb.

Teoria de rezistenţă a lui Mohr arată că ruperea se produce atunci când pe un anumit plan, numit plan de rupere sau de alunecare, între tensiunea normală şi cea tangenţială există o relaţie funcţională:

( )f fτ σ= (6.1)

unde: τf - tensiunea tangenţială pe planul de rupere; σ - tensiunea normală pe planul de rupere.

Fie un masiv supus unei anumite încărcări , fie un punct în interiorul masivului (Fig. 6.1).

Fig. 6.1. Fig. 6.2 Admitem că prin acest punct trece un plan pentru care se îndeplineşte condiţia (6.1). În

sistemul de coordonate (τ, σ), tensiunilor τ şi σ astfel definite le corespunde un punct care unit cu originea determină efortul unitar total p pe planul de rupere (Fig. 6.2). Unei alte stări de solicitare îi corespunde alt plan de rupere care trece prin acelaşi punct, alt vector p etc.



70

Locul geometric al extremităţilor vectorilor p��

reprezintă o curbă simetrică faţă de axa 0σ numită înfăşurătoarea lui Mohr.

Fiecare stare de solicitare este caracterizată în momentul ruperii prin 3 tensiuni principale - σ1, σ2, σ3 - cu care se pot constitui 3 cercuri ale eforturilor (Fig. 6.3). Se reprezintă cercul corespunzător tensiunilor principale extreme σ1 şi σ3. Unei alte stări de solicitare îi corespunde un alt cerc etc. Înfăşurătoarea lui Mohr poate fi definită şi drept înfăşurătoarea cercurilor tensiunilor corespunzătoare stării de rupere. Ea apare ca o proprietate a materialului independentă de tensiunile aplicate asupra acestuia.

Fig. 6.3

O relaţie între σ şi τ corespunzătoare ruperii a fost definită de Coulomb sub forma

tg f cτ σ φ= + (6.2)

Ecuaţia (6.2) reprezintă o dreaptă a cărei înclinare faţă de orizontală ϕ se defineşte drept unghi de frecare interioară iar ordonata la origine drept coeziune. Această dreaptă este numită dreapta lui Coulomb sau dreapta intrinsecă sau dreapta caracteristică.

Criteriul Mohr - Coulomb înseamnă adoptarea ca înfăşurătoare a cercului lui Mohr a dreptei lui Coulomb.

Potrivit acestui criteriu, rezistenţa pământului este independentă de tensiunea principală intermediară σ2.

Cum se apreciază dacă, pentru o stare de solicitare dată, într-un punct din masiv este îndeplinită condiţia de rupere ?

Fig. 6.4

− se reprezintă dreapta lui Coulomb (Fig. 6.4); − se calculează tensiunile normale σ şi tangenţiale τ pe un

plan care trece prin punctul considerat; − se reprezintă punctul M de coordonate (σ, τ); − dacă punctul se găseşte sub dreapta intrinsecă, planul pe

care acţionează σ şi τ nu este plan de rupere; s-ar putea însă să existe un alt plan care să treacă prin acelaşi punct şi pentru care condiţia de rupere să fie îndeplinită; ar trebui deci să se considere succesiv alte planuri trecând prin acelaşi punct, aplicându-se procedeul arătat mai înainte.



71

Fig. 6.5 Utilizarea cercului lui Mohr apare în această situaţie mai avantajoasă deoarece permite să se

verifice dintr-o dată dacă prin punctul din masiv, a cărei variaţie de stare de tensiune este descrisă de cerc, trece vreun plan pentru care se îndeplineşte condiţia de rupere.

Pentru starea dată de solicitare se calculează direcţiile principale şi tensiunile principale corespunzătoare punctului considerat din masiv şi se construieşte cercul lui Mohr.

Dacă cercul lui Mohr se află sub dreapta intrinsecă (Fig. 6.5), se poate afirma că nu există nici un plan pentru care condiţia de rupere să fie îndeplinită.

Condiţia de rupere este îndeplinită dacă punctul M (σ, τ) aparţine dreptei intrinseci sau dacă cercul lui Mohr este tangent la dreapta intrinsecă (Fig. 6.6).

Fig. 6.6

Întrucât dreapta intrinsecă exprimă condiţia de rupere, situaţii în care efectul unitar total să

se găsească deasupra dreptei intrinseci sau în care cercul tensiunilor să fie secant cu dreapta intrinsecă, nu au suport fizic (Fig. 6.7).

Fig. 6.7



72

Fig. 6.8

Condiţia de rupere poate fi formulată în două moduri: − cu relaţia între tensiunile σ şi τ şi parametrii dreptei intrinseci ϕ, c (ecuaţia

dreptei lui Coulomb) care poate avea trei forme (Fig. 6.8); − cu relaţii între tensiunile principale σ1, σ3 şi parametrii ϕ, c (din condiţia de

tangenţă a cercului tensiunilor la dreapta intrinsecă).

�� Pământuri necoezive

tgfτ σ φ= ⋅

Se cere relaţia între σ1 şi σ3 şi direcţia planelor de rupere: În triunghiul OCT (Fig. 6.9):

1 3

1 3

1 3 1 3

2sin

2

CT

OC

σ σσ σ

φσ σ σ σ

−−

= = =+ +

3 1 1

1

1

2 21 1

1 sin sin 90 sin

1 sin sin 90 sin

90 902cos sin

2 290 90

2sin cos2 2

90 90ctg tg

2 2

90tg tg 45

2 2

φ φ

φ φ

φ φ

φ φ

φ φ

φ φ

σ σ σ

σ

σ

σ σ

− −= = =

+ +

+ −

= =+ −

+ −= =

− = = −

�

�

� �

� �

� �

�

�

23 1tg 45

2

φσ σ

= −

�



73

Fig. 6.9

Fie P polul cercului. Punctele T şi T' fiind punctele de pe cerc pentru care este îndeplinită

condiţia de rupere, unind polul cu aceste puncte se obţin direcţiile a două plane care sunt planele de alunecare.

Unind polul cu punctele de intersecţie a cercului cu axa Oσ se obţin direcţiile planelor principale

90

452 2 2

TCB φ φTPB

+= = = +

�

�Ë

Ë

Planul de alunecare face cu planul pe care acţionează tensiunea principală maximă unghiul:

0 452

φα = +�

Fie un punct oarecare N pe cerc. Unind polul cu N se obţine direcţia planului pe care

acţionează efortul unitar total ON��

de componente σ, τ. Unghiul θ pe care îl face cu orizontala direcţia efortului unitar

total în cercul lui Mohr, poartă numele de unghi de deviere. În cazul pământurilor necoezive, valoarea maximă a unghiului de

deviere este chiar unghiul de frecare internă. Condiţia de rupere se poate formula deci şi:

max φθ =

�� Pământuri coezive

( ) ( )

ctg tg +

tg

tg cotg tg

f

e

φ c φφ

φ c φ φ H

τ σ σ

σ σ

= ⋅ + = =

= + ⋅ = +



74

Exprimarea sub această formă a ecuaţiei dreptei intrinseci a sugerat lui Caquot următoarea

formulare a principiului stărilor corespondente, prin care se face trecerea de la mediul necoeziv la un mediu coeziv:

Un mediu coeziv este în echilibru dacă se poate face să-i corespundă un mediu necoeziv de

aceiaşi formă şi frecare interioară în echilibru sub acţiunea încărcărilor exterioare ce acţionează asupra mediului coeziv completate de o presiune hidrostatică Hε = c � ctg ϕ.

Fig. 6.10 Expresiei lui Caquot îi corespunde, de fapt, o translaţie de axe prin mutarea originii în O1,

punctul de intersecţie al dreptei intrinseci cu axa Oσ (Fig. 6.10).

În triunghiul O1CT:

1 3

1 3

1 31 1 1 3

2sin2 cotg cotg

2

CT CTφ

O C OC O O c φc φ

σ σσ σ

σ σ σ σ

−−

= = = =++ + + ⋅

+ ⋅

1 3 1 3

cossin sin 2 sin

sin

φφ φ c φ

φσ σ σ σ⋅ + ⋅ + = −

( ) ( )1 31 sin 1 sin 2 cosφ φ c φσ σ− = + + ⋅

( )

22

3 1 1 2

21

1 sin1 sin cos2 tg 45 2

1 sin 1 sin 2 1 sin

tg 45 2 tg 452 2

φφ φ φc c

φ φ φ

φ φc

σ σ σ

σ

−− = − = ⋅ − − =

+ + +

= ⋅ − − ⋅ −

�

� �

21 tg 45 2 tg 45

2 2e

φ φcσ σ

= ⋅ − − ⋅ −

� �



75

Direcţiile planelor de alunecare nu se schimbă:

0 452

φα = +�

În cazul pământului coeziv θmax > θ. Pentru punctul T care îndeplineşte condiţia de rupere:

tg cφτ σ= ⋅ +

tg c

φτ

σ σ= +

dar: maxtg φτ

σ=

deci: maxtg tg c

φ φσ

= +

Condiţia de rupere în sistemul de coordonate p, q Un alt mod de exprimare a criteriului de rupere Mohr-Coloumb se obţine prin utilizarea

sistemului de coordonate p şi q, unde:

1 3

1 3

σ σp

2σ - σ

q2

+=

=

În acest sistem, orice stare de tensiuni poate fi reprezentată printr-un punct (Fig. 6.11).

Fig. 6.11



76

Se va defini criteriul de rupere în acest sistem de coordonate. Pământuri necoezive Din fig. 6.12a, rezultă:

( )

( )

1 3

1 3

2sin

2

OC qφ

CT p

σ σ

σ σ

− = = =

+

a) b) Fig. 6.12

În sistemul de coordonate (p,q), figura 6.12 b:

tg

tg sin

q

pα

α ϕ

=

=

Pământuri coezive Din figura 6.13 a:

( ) ( ) ( )

( )

( )

1 1 1 2 1 3sin / / / 2 / / 2

cot / cot

sin cos / sin

CT O C CT OC O O

c g q p c g

p c q

ϕ σ σ σ σ

ϕ ϕ

ϕ φ ϕ

= = + = − + +

+ = +

+ =

sin cosp c qϕ ϕ+ = (6.3)



77

a) b)

Fig. 6.13 Ecuaţia înfăşurătoarei la rupere în noul sistem de coordonate (fig. 6.13b) poate fi scrisă:

sinf f fq a p tg a pϕ ϕ= + = + (6.4)

Combinând (6.3) cu (6.4):

sin cos sinf fp c a pϕ ϕ ϕ+ = +

cosc aϕ =

cos

ac

ϕ=

Astfel se obţin parametrii ϕ şi c ai rezistenţei la forfecare pe baza unei diagrame p-q.

6.2. METODICA DETERMINĂRII REZISTENŢEI LA FORFECARE

Rezistenţa la forfecare a pământurilor este exprimată prin dreapta lui Coulomb.

Determinarea rezistenţei la forfecare a pământurilor înseamnă, aşadar, determinarea parametrilor ϕ şi c ai dreptei intrinseci. Condiţiile de solicitare a probei de pământ în cursul încercării pentru obţinerea dreptei intrinseci influenţează în măsură însemnată valorile lui ϕ şi c. De aici rezultă două concluzii:

− ϕ şi c nu trebuie privite ca nişte constante fizice ale pământului şi trebuie întotdeauna

corelate cu modul în care au fost obţinute; − trebuie aleasă acea metodică de determinare a dreptei lui Coulomb care să apropie cât

mai mult condiţiile de solicitare din laborator cu cele din teren. Prin metodică se înţelege ansamblul de reguli şi procedee folosite într-o anumită

determinare.



78

După cum s-a arătat în Capitolul 4, rezistenţa la forfecare guvernează comportarea pământurilor în stadiile de deformare sub solicitare în care domină tensorul deviatoric al tensiunilor. Dar creşterea tensorului deviatoric apare după ce, în prealabil, pământul s-a îndesat sub acţiunea tensorului sferic al tensiunii.

Principalele metode de laborator pentru determinarea rezistenţei la forfecare sunt: forfecarea directă şi comprimarea triaxială. Fiecare din ele cuprind câte două faze care corespund tocmai acţiunii tensorului sferic şi, apoi, al celui deviatoric.

Metodicile determinării rezistenţei la forfecare se diferenţiază după mai multe criterii, dintre care cele mai importante sunt:

a) Criteriul posibilităţilor de drenare a apei din porii pământului în diferitele faze ale

încercării. � Încercări neconsolidate - nedrenate (unconsolidated - undrained) - UU sau încercări

rapide pe probe neconsolidate. Atât în prima cât şi în cea de-a doua fază a încercării, drenarea apei este împiedicată.

� Încercări consolidate - drenate - CU, sau încercări rapide pe probe consolidate. În prima fază a încercării, la aplicarea tensiunilor normale, drenarea apei este permisă, producându-se consolidarea probei sub tensiunile aplicate. În faza solicitării deviatorice, drenarea apei este împiedicată (ritmul de solicitare este atât de rapid încât apa nu are timpul necesar pentru a se drena).

� Încercări consolidate - drenate - CD sau D sau încercări lente pe probe consolidate. În faza solicitării deviatorice ritmul de solicitare este atât de lent încât este posibilă drenarea apei din pori.

b) Criteriul tipului de solicitare

� Încercări cu solicitări statice � Încercări cu solicitări ciclice � Încercări cu solicitări dinamice

c) Criteriul raportului între eforturi şi deformaţii � Încercări cu efort impus (şi deformaţii măsurate), adică aplicarea solicitării deviatorice se

face în trepte, cu măsurarea deformaţiilor sub fiecare treaptă. � Încercări cu deformaţii impuse (şi eforturi măsurate) adică impunerea unui anumit ritm de

deformare sub solicitare deviatorică şi măsurarea în mod continuu a efortului care se aplică.

6.3. DETERMINAREA REZISTENŢEI LA FORFECARE

ÎN LABORATOR PRIN FORFECARE DIRECTĂ

Încercarea de forfecare directă se efectuează în aparatul de forfecare directă alcătuit din



79

două casete care se pot deplasa una faţă de cealaltă determinând forfecarea probei aflată în interior după planul de separaţie dintre casete (Fig. 6.14). Încercarea se mai cheamă, de aceea, şi forfecare cu plan obligat.

Fig. 6.14 Încercarea comportă două faze:

a)

b) Fig. 6.15

I. proba este supusă unui efort normal N, căruia îi corespunde o tensiune normală

N

Aσ = (Fig. 6.15 a.).

II. prin deplasarea unei casete în raport cu cealaltă, se aplică asupra probei un efort tangenţial

T care creşte până la o valoare Tmax care corespunde forfecării probei:

maxf

T

Aτ = (Fig. 6.15 b.)

Încercarea este de tipul deformaţie impusă, efort măsurat.



80

În cazul încercărilor de tip UU sau CU, viteza impusă de forfecare este de 1 ... 1,5 mm/minut (forfecare rapidă) în timp ce la încercări de tip CD, la pământuri argiloase, viteza de forfecare este de 0,05 mm/minut sau mai mică (forfecare lentă).

Definirea lui τmax pentru fiecare încărcare se face pe baza diagramei care leagă tensiunea

tangenţială τ de deformate δ (egală cu deplasarea relativă dintre casete). Se disting trei situaţii:

� diagrama τ – δ pune în evidenţă cu claritate o valoare de vârf a lui τ, care se defineşte drept τmax (fig. 6.16a)

� diagrama τ – δ pune în evidenţă un τ pentru care deformaţia δ este neamortizată; τmax corespunde deformaţiei neamortizate (fig. 6.13b)

� diagrama pune în evidenţă o creştere continuă a lui la creşterea lui τ; în acest caz τmax trebuie definit pentru o anumită deformaţie care, de regulă, se ia δ = 125 mm (fig. 6.16c)

a) b) c)

Fig. 6.16 Perechile de valori (σ, τmax) se reprezintă în sistemul de coordonate σ 0τ. Pentru un pământ

se fac cel puţin 3 încercări, diferite între ele prin mărimea efortului normal N aplicat în faza I (Fig. 6.17).

Prin prelucrarea statistică (cu metoda celor mai mici pătrate) sau pe cale geometrică se construieşte dreapta medie care trece prin cele 3 sau mai multe puncte. Se măsoară înclinarea dreptei faţă de orizontală pentru aflarea unghiului de frecare interioară ϕ şi ordonata la origine pentru aflarea coeziunii c.

Cercul lui Mohr nu poate fi obţinut pe baza valorilor experimentale (se cunosc σ şi τ pe planul de forfecare dar nu se cunosc tensiunile principale σ1, σ3). După construirea dreptei intrinseci se poate afla şi cercul lui Mohr corespunzător uneia din încărcări. Din extremitatea vectorului care reprezintă efortul unitar total pe planul de rupere, de coordonate σ, τmax, se duce o normală la dreapta intrinsecă definindu-se centrul cercului. Se construieşte cercul ducând din acelaşi punct o orizontală (paralelă cu planul obligat de forfecare) se obţine polul cercului.



81

Fig. 6.17

Fig. 6.18.

Se defineşte drept drum de efort (stress path) traiectoria pe care o descrie modificarea stării

de tensiuni în cursul încercării. În cazul încercării de forfecare directă drumul de efort este reprezentat de linia ODT. După aplicarea tensiunii normale σ = 0D, proba este dusă la rupere prin creşterea continuă a tensiunii tangenţiale între punctele D şi T (Fig. 6.18).

6.4. DETERMINAREA REZISTENŢEI LA FORFECARE ÎN

LABORATOR PRIN COMPRIMARE TRIAXIALĂ

6.4.1. EFECTUAREA ÎNCERCĂRII ŞI PRELUCRAREA REZULTATELOR

Încercarea de comprimare triaxială se efectuează în aparatul triaxial (Fig. 6.19), a cărui

piesă de bază o constituie o celulă cu pereţi rezistenţi în interiorul căreia se introduce o probă cilindrică de pământ, având în mod obişnuit înălţimea de 8 cm şi diametrul de 3 cm. Proba este învelită cu o membrană subţire spre a fi protejată de fluidul din celulă.



82

Fig. 6.19

Proba poate fi legată prin intermediul pietrei poroase de o biuretă în care se măsoară

volumul de apă evacuat din probă în cursul încercării (egal cu variaţia de volum a probei saturate) precum şi de un dispozitiv pentru măsurarea presiunii apei din pori. Acesta funcţionează pe principiul aducerii la coincidenţă. Se închid robinetele A şi C, robinetul B este deschis, iar conducta de legătură cu proba este plină. În acest mod, orice creştere a presiunii apei din pori este însoţită de o denivelare în manometrul cu mercur.

Pentru readucerea la nivel a mercurului se învârte pistonul cu şurub din dreapta, realizând o

presiune a cărei intensitate se măsoară la manometrul racordat la dispozitiv. Presiunea necesară pentru aducerea la nivel a manometrului cu mercur coincide cu presiunea

neutrală. Cele două faze ale încercării sunt: I. În celulă se introduce un fluid (apă, ulei, aer comprimat). Aplicând o presiune σ0 asupra

fluidului, proba este supusă unei solicitări hidrostatice. Dacă drenarea apei din probă este permisă, modificarea de volum a probei saturate se face măsurându-se variaţia nivelului apei în biureta legată cu celula.

Cercul tensiunilor corespunzător fazei I se reduce la un punct (σ1 = σ3 = σ0). Pentru a duce proba la rupere trebuie aplicată o solicitare deviatorică.

II. Prin intermediul unui piston, proba este supusă unei presiuni verticale suplimentare ∆σ care se măreşte treptat până la valoarea ∆σf care duce la ruperea probei.



83

Fig. 6.20. Tensiunile principale corespunzătoare ruperii (Fig. 6.20):

1 0

3 2 0

1 3

f

f deviatorul de tensiuni

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

= + ∆

= =

∆ = − −

Ca şi în cazul încercării de forfecare directă, mărimea lui ∆σf se precizează pe baza

diagramei care leagă ( )1 3σ σ σ− = ∆ de deformaţia specifică axială ε1.

Dacă, analog cu diagrama din fig. 6.16 a, este pus clar în evidenţă o valoare de vârf a

deviatorului în corelare cu ε, aceasta se va lua ∆σf . Totodată, ruperea va fi însoţită de formarea unui plan de rupere în probă.

În cazul unor probe de consistenţă redusă, ruperea nu este distinct măreaţă iar deformaţiile

cresc continuu odată cu creşterea deviatorului. Ca şi în cazul ilustrat prin diagrama din fig. 6.13 c, ruperea trebuie definită în funcţie de o anumită deformaţie.

În acest caz , ∆σf , corespunde lui ε1 = 20% (fig. 6.21). Curba ∆σ - ε prezintă interes şi pentru partea ei iniţială, la fel ca orice curbă efort -

deformaţie. Unind originea cu un punct a al curbei se defineşte modulul secant E. În cazul în care deviatorul este exprimat în eforturi efective, modulul secant este

1

Eσ

ε

∆=

Odată definit ∆σf se construieşte cercul tensiunilor având ca diametru ∆σf. Pentru determinarea dreptei intrinseci, se repetă încercarea cu o altă probă din acelaşi

pământ, care se supune de asemenea comprimării triaxiale, cu diferenţa că în faza I se aplică o altă



84

presiune hidrostatică. Proba este dusă până la rupere construindu-se un nou cerc al lui Mohr cu noile tensiuni principale. În mod obişnuit, se fac trei încercări.

Fig. 6.21

Dreapta intrinsecă reprezintă tangenta comună la cercurile lui Mohr (Fig. 6.22)

Fig. 6.22

Drumul de efort în cazul comprimării triaxiale Se reprezintă succesiv cercurile tensiunilor corespunzătoare diferitelor valori ale lui ∆σ, de

la ( )1 2 3 00σ σ σ σ σ∆ = = = = şi până la ∆σf . Punctele de tensiune tangenţială maximă, având

coordonatele 1 3 1 3,2 2

σ σ σ σσ τ

+ − = =

se găsesc pe o dreaptă care reprezintă drumul de efort

(Fig. 6.23).



85

Fig. 6.23

O reprezentare mai convenabilă a drumului de efort, care evită construirea cercurilor Mohr

corespunzătoare diferitelor stări de solicitare, este cea care utilizează sistemul de axe de coordonate

1 3 1 3,2 2

p qσ σ σ σ+ −

= =

(Fig. 6.24).

Fig. 6.24

6.4.2. DIAGRAME CARACTERISTICE

PENTRU ÎNCERCĂRI DE COMPRESIUNE TRIAXIALĂ

Încercări de tip UU Probe de pământ saturat. Se supun succesiv mai multe probe din acelaşi pământ, la

încercări în condiţii neconsolidate - nedrenate.



86

Se constată că deviatorul necesar pentru a duce probele la rupere este constant, adică toate cercurile Mohr corespunzătoare stări limită au acelaşi diametru. Tangenta comună la aceste cercuri, dreapta lui Coulomb, este orizontală, caracterizată printr-un singur parametru care se notează cu (coeziune în condiţii nedrenate) (Fig. 6.25). Explicaţia acestei comportări este următoarea:

Probele fiind saturate iar încercarea efectuându-se în condiţii nedrenate, presiunea hidrostatică este integral preluată de apa din pori (coeficientul B = 1). De la o probă la alta se modifică doar presiunea neutrală prin creşterea lui σ3, dar presiunea efectivă σ' rămâne neschimbată. Aşadar, din punctul de vedere al presiunilor efective (cele care conform principiului lui Terzaghi definesc răspunsul pământului sub solicitare) probele sunt identice. De aceea, rezistenţa lor la forfecare, exprimată prin mărimea deviatorului la rupere, este aceiaşi. Validitatea acestei explicaţii este confirmată prin măsurarea presiunii apei din pori în cursul încercărilor. Scăzând presiunea neutrală din presiunea totală se obţin presiunile efective:

'1 1

'3 3

u

u

σ σ

σ σ

= −

= −

Fig. 6.25 Se constată că, în termenii tensiunilor efective, toate încercările sunt reprezentate de un

singur cerc. Necunoscându-se punctul de tangenţă al dreptei intrinseci la acest cerc, nu se pot obţine

parametrii 'uϕ şi '

uc .

Pământ parţial saturat. În acest caz (Fig. 6.26), pe seama volumului de pori neocupat de

apă, probele se consolidează treptat, odată cu creşterea presiunii hidrostatice. Ca urmare, deviatorul tensiunilor la rupere este diferit de la o probă la alta. Totuşi, de la o anumită probă deviatorul începe să fie constant, independent de mărimea presiunii hidrostatice. Înseamnă că la acea probă s-a atins starea de saturaţie, prin eliminarea porilor neocupaţi de apă.



87

Fig. 6.26 Încercări de tip CU Argilă normal consolidată. Se încearcă succesiv mai multe grupe de probe saturate din

acelaşi pământ. Prima probă a primei grupe este supusă unei presiuni hidrostatice p1 sub care este lăsată să

se consolideze iar apoi este dusă la rupere în condiţii nedrenate. Cea de a doua probă este consolidată de asemenea sub o presiune p1, dar apoi, înainte de aplicarea deviatorului, presiunea hidrostatică este majorată, fără a permite însă drenarea apei.

La proba următoare, presiunea hidrostatică este şi mai mult majorată şi aşa mai departe. Toate cercurile lui Mohr corespunzătoare încercărilor din această grupă admit o tangentă

comună orizontală, care defineşte o valoare 1CUc .

Probele grupei a doua sunt supuse unei presiuni de consolidare p2 > p1. Se obţin valori mai

mari ale deviatorului tensiunilor la rupere prin comparaţie cu prima grupă, deoarece probele s-au consolidat sub o presiune mai mare, deci au un volum de pori mai redus:

2 1CU CUc c> .

Probele grupei a treia sunt supuse unei presiuni de consolidare p3, iar

3 2CU CUc c> şi aşa mai

departe. Reprezentând relaţia dintre coeziunea în condiţii consolidate - nedrenate cCU şi presiunea de

consolidare p se obţine o dreaptă care trece prin origine (Fig. 6.27). Rezultatul este plauzibil. Într-adevăr, la un pământ argilos în primul stadiu de formare, când

presiunea de consolidare dată de sarcina geologică este nulă, iar pământul are consistenţa unui lichid vâscos, este firesc ca rezistenţa la forfecare să fie nulă; pe măsură ce creşte presiunea de consolidare, particulele de pământ se apropie una de cealaltă, rezistenţa la forfecare creşte.



88

Fig. 6.27

Argilă supraconsolidată. Pentru a pune în evidenţă diferenţa dintre rezistenţa la forfecare a argilei normal consolidată şi cea a aceleiaşi argile, dar adusă la condiţia de supraconsolidare, se efectuează o serie de încercări în aparatul de forfecare directă. Se pregăteşte o pastă moale de argilă, corespunzătoare unui pământ recent depus, din care se confecţionează o probă a, lăsată să se consolideze sub o presiune p1 şi apoi supusă la forfecare.

Din aceeaşi pastă se formează apoi proba b, lăsată să se consolideze sub o presiune p2>p1, iar

apoi proba c, cu p3>p2. Probele a, b, c, sunt probe de argilă normal consolidate, care corespund unor puncte de pe

curba primară de consolidare. Încercarea de forfecare de tip CU pe cele 3 probe argiloase normal consolidate conduce la

valori ale rezistenţei la forfecare situate pe o dreaptă care trece prin origine? Se confecţionează apoi, din aceiaşi pastă o probă d care este lăsată succesiv să se

consolideze sub presiunile p1, p2, p3, dar apoi este descărcată până la p2. Supusă la forfecare sub presiunea p2 se obţine o valoare a rezistenţei la forfecare mai mare decât a probei b. Altă probă e, este consolidată succesiv la p1, p2, p3 iar apoi descărcată la p1. Rezultă o rezistenţă la forfecare mai mare decât în cazul probei a (Fig. 6.28). Dreapta care trece prin rezistenţele la forfecare ale probelor c, d şi e are o ordonată la origine cco.

Explicaţia rezistenţelor superioare pe care le manifestă probele d şi e, faţă de probele b şi

respectiv a, supuse la forfecare sub aceleaşi tensiuni normale, este următoarea: probele d şi e sunt probe de argilă supraconsolidată. Fiecare din ele fusese supusă unei presiuni mai mari decât cea care acţiona în momentul forfecării.



89

Fig. 6.28 Încercarea de tip CD

Fig. 6.29

G text??? 6.4.3. EXPRIMAREA REZISTENŢEI LA FORFECARE

ÎN TERMENII TENSIUNILOR TOTALE SAU TENSIUNILOR EFECTIVE

În cazul în care se măsoară presiunea apei din pori, cercurile tensiunilor corespunzătoare

ruperii probei pot fi reprezentate în termenii tensiunilor efective, obţinându-se astfel alţi parametri ai dreptei intrinseci.

Problema se pune, practic, numai în cazul încercărilor de tip CU. Dacă se măsoară presiunea neutrală, tensiunile efective sunt:



90

'1 1

'3 3

u

u

σ σ

σ σ

= −

= −

Cercul tensiunilor efective are acelaşi diametru ca şi cercul tensiunilor totale dar este deplasat spre stânga cu u. Rezultă CU CU'ϕ ϕ> (Fig. 6.30).

La încercările de tip CD tensiunile principale corespunzătoare ruperii probei sunt tensiuni efective (drenarea apei din pori fiind permisă în ambele faze ale încercării). La acest tip de încercări nu există, deci, două seturi de parametri ci:

' ';d d d dc cϕ ϕ= =

La încercările de tip UU, parametrii dreptei intrinseci se obţin numai pentru reprezentarea în tensiuni totale.

Fig. 6.30

În concluzie, parametrii care pot fi obţinuţi prin încercări pe diferite probe de pământ, în

funcţie de tipul de încercare şi de modul de construcţie a cercurilor tensiunilor sunt:

' 'd d d d;c cϕ ϕ= = - încercări CD

CU CU,cϕ - încercări CU, tensiuni totale ' 'CU CU;cϕ - încercări CU, tensiuni efective

U U,cϕ - încercări UU, tensiuni totale.

În ce condiţii se utilizează aceşti parametri ?



91

Dacă în problema practică de rezolvat - împingerea pământului, stabilitatea terenului de fundare, stabilitatea taluzului etc. - se lucrează cu tensiuni totale, atunci se vor utiliza parametrii obţinuţi în termenii tensiunilor totale; dacă se lucrează cu tensiuni efective, se utilizează parametrii

' 'd d,cϕ sau ' '

CU CU,cϕ .

6.5. DETERMINAREA REZISTENŢEI LA FORFECARE PRIN

COMPRIMARE CU DEFORMARE LATERALĂ LIBERĂ

(COMPRIMARE MONOAXIALĂ)

Se aplică în cazul pământurilor coezive, din care se confecţionează probe cilindrice, supuse

comprimării pe direcţia verticală, fie într-un aparat de laborator destinat încercării, fie într-un aparat triaxial (fără a se mai introduce presiune în celulă), fie chiar în condiţii improvizate pe şantier, urmărindu-se cu stricteţe paralelismul celor două feţe de capăt (Fig. 6.31).

Fig. 6.31

Cercul tensiunilor este tangent la origine:

1 max

2 0

qσ

σ

=

=

Fiind o încercare rapidă pe probă saturată, cercul tensiunilor la rupere admite o tangentă orizontală.

Se obţine astfel:

maxu 2

qc =

6.6. DETERMINAREA REZISTENŢEI LA FORFECARE

PRIN ÎNCERCĂRI PE TEREN

Se utilizează aparatul cu palete sau scizometrul. Determinarea este denumită şi vane - test. Aparatul constă dintr-o tijă prevăzută la partea

inferioară cu două lame metalice (palete) dispuse în cruce (Fig. 6.32).



92

Se măsoară momentul de torsiune Mt aplicat tijei pentru a se produce o rotire completă (360o) a paletelor în pământ. Trebuie învinsă în acest scop rezistenţa la forfecare a pământului pe suprafaţa laterală a unui cilindru de diametru D şi înălţime H şi pe cele două suprafeţe circulare de capăt.

În legătură cu τf se fac următoarele ipoteze: − τf - este constant pe H; − în cele două suprafeţe de capăt, τf variază liniar de la valoarea zero în centru, la τf pe

circumferinţă:

2 31 22

2 2 2 3 2 2 6t f f f f

D D D HD DM H D H HD Hτ τ τ τ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + →

Fig. 6.32 Încercarea se aplică în pământuri argiloase de consistenţă medie sau redusă. 6.7. CARACTERIZAREA REZISTENŢEI LA FORFECARE

PENTRU DIFERITE TIPURI DE PĂMÂNTURI

6.7.1. REZISTENŢA LA FORFECARE A NISIPURILOR

Se exprimă:

tgfτ σ ϕ= ⋅ - în termenii tensiunilor totale

( )' tg ' tg 'f uτ σ ϕ σ ϕ= ⋅ = − - în termenii tensiunilor efective.



93

Rezistenţa la forfecare a nisipurilor este caracterizată prin mărimea unghiului de frecare interioară ϕ, care depinde atât de natura şi starea fizică a pământului cât şi de condiţiile de încercare.

Influenţa naturii şi stării fizice a pământului

Starea de îndesare Fie o probă de nisip îndesat supusă la forfecare directă şi o secţiune în dreptul planului

obligat de forfecare. Planul obligat intersectează atât porii cât şi particulele solide (Fig. 6.33).

Fig. 6.33 Este evident că rezistenţa legăturilor dintre particule, reprezentată prin forţe de frecare ce se

dezvoltă sub efort normal dat, este mult mai mică decât rezistenţa particulelor înseşi. Ca urmare, forfecarea în lungul planului obligat este precedată de o umflare a pământului, adică o despănare care face ca toate particulele să se găsească numai de o parte sau de alta a planului de forfecare. O componentă, a rezistenţei la forfecare a nisipurilor se datorează deci încleştării sau împănării între particule, cu atât mai pronunţată cu cât îndesarea este mai puternică. Cealaltă componentă este dată de frecarea de alunecare (frecare propriu-zisă), particulă pe particulă.

La nisipul afânat, forfecare este însoţită de o comprimare a pământului, iar curba τ - δ (Fig. 6.34) pune în evidenţă o valoare de regim a lui τf. Diferenţa dintre τf max şi τregim exprimă efectul de încleştare prezent la nisipul îndesat.

Fig. 6.34



94

Există o valoare a porozităţii, numită porozitate critică, la care o probă saturată de nisip supusă la forfecare în condiţii drenate nu manifestă nici umflare, nici comprimare.

Dacă porozitatea pământului depăşeşte porozitatea critică, tendinţa de micşorare a volumului produce o creştere a presiunii neutrale ceea ce, dacă viteza de drenare a apei este mai mică decât viteza de micşorare a volumului, conduce la reducerea presiunii efective σ ' şi poate chiar la anularea acesteia, adică la instabilitate.

Fig. 6.35

Influenţa stării de îndesare şi a efectului de încleştare explică de ce unghiul de taluz natural

al nisipului în umplutură este mai mic decât cel al nisipului în săpătură (Fig. 6.35).

sin

cos

cos tg

T G

N G

F G

β

β

β ϕ

= ⋅

= ⋅

= ⋅ ⋅

Condiţia de echilibru a granulei aflată la suprafaţa taluzului

sin cos tg

T F

G Gβ β ϕ

β ϕ

≤

≤ ⋅

≤

Deci o cale de aflare a lui ϕ o poate constitui şi realizarea pe teren sau în laborator, a unei

umpluturi din nisip şi măsurarea unghiului de taluz natural (Fig. 6.36). Această valoare a lui ϕ corespunde însă nisipului afânat, întrucât rezultă din condiţia de stabilitate la suprafaţa masivului, unde eforturile normale sunt practic nule.

Ca valoare medie pentru toate particulele mari de pământ ϕ > β, deoarece particulele din

interior beneficiază şi de efectul de încleştare. Din acelaşi motiv, β ' > β.

Fig. 6.36

Rezultă practic: ϕ β= - nisip afânat

4ϕ β= + � - nisip îndesare medie

6ϕ β= + � - nisip îndesat



95

Alţi factori, mai puţin importanţi decât starea de îndesare sunt: − mărime particulelor: ϕ este cu atât mai mare cu cât particulele sunt mai mari; − forma şi rugozitatea particulelor: ϕ este mai mare la particulele colţuroase decât

la cele cu muchii rotunjite; − gradul de uniformitate: cu cât pământul este mai neuniform, ϕ este mai mare

deoarece volumul porilor este mai mic, iar efectul de încleştare creşte; − compoziţia mineralogică: prezenţa micei alături de cuarţul predominant

micşorează unghiul de frecare interioară;

− starea de umiditate: nu influenţează practic rezistenţa la forfecare a nisipului; ϕ este acelaşi pentru nisipul saturat sau nisipul uscat; se evită încercările pe nisip parţial saturat, la care se poate manifesta coeziunea aparentă dată de meniscurile capilare.

Influenţa condiţiilor de încercare

− viteza de încărcare - nu influenţează rezultatele încercărilor; − natura solicitărilor (statice, ciclice, dinamice) - influenţează în mod sensibil

valoarea unghiului de frecare interioară

Valorile uzuale ale lui ϕ , obţinute prin încercări drenate, în condiţii statice: − nisipuri afânate 28o .... 34o; − nisipuri de îndesare medie: 32o .... 40o; − nisipuri îndesate: 35o .... 45o.

Pentru calcule uzuale şi în lipsa unor date privind starea de îndesare a nisipului se poate lua:

ϕ = 30o. 6.7.2. REZISTENŢA LA FORFECARE A PĂMÂNTURILOR COEZIVE

Se exprimă prin relaţii de tipul:

tgf cτ σ ϕ= ⋅ +

care pot avea diferite forma în funcţie de metodica de determinare şi de modul de exprimare în termenii tensiunilor totale sau ai tensiunilor efective.

Principalii factori de care depinde rezistenţa la forfecare a pământurilor coezive: Structura pământurilor. O solicitare de forfecare a unui pământ argilos provoacă o

reorientare a particulelor solide care tind să se aşeze după direcţia forfecării. Fie două probe de argilă, de egală porozitate şi umiditate, dar cu structuri diferite, supuse la

forfecare directă. Proba cu structura de tip flocular va manifesta o rezistenţă la forfecare mai mare decât proba cu structura de tip dispers (Fig. 6.37), deoarece este necesar să se depună un lucru mecanic mai mare până când particulele se reorientează spre a ajunge paralele cu planul de forfecare.



96

Fig. 6.37 Panta dreptei care exprimă relaţia dintre coeziunea în încercarea CU, cCU şi presiunea de

consolidare este mai mare la argila cu structura de tip flocular. Rezistenţa la forfecare depinde de natura şi numărul contactelor care se stabilesc între

particulele de pământ, număr care creşte odată cu micşorarea particulelor. Un indice uşor de determinat (pentru că necesită probe tulburate), care depinde de asemenea

de numărul de contacte şi creşte cu conţinutul de părţi fine, îl constituie indicele de plasticitate:

P L PI w w= −

Fig. 6.38

Skempton a stabilit următoarea relaţie empirică pentru argile normal consolidate (Fig. 6.38):

CU 0,11 0,037 %P

g

cI

p= + - în care pg este presiunea geologică

Într-un masiv omogen gp zγ= ⋅ , γ fiind greutatea volumică iar z adimensional.

Rezultă că la argile normal consolidate, rezistenţa la forfecare creşte liniar cu adâncimea. Relaţia de mai sus este importantă în practică, atunci când se cunosc caracteristicile de

identificare ale stratului de argilă (γ, wL, wP), dar nu s-au efectuat încercări pe probe netulburate pentru determinarea rezistenţei la forfecare.

Se intră în diagrama din figura 6.33, pe axa absciselor, cu valoarea cunoscută IP, se duce o verticală şi se citeşte ordonata punctului de intersecţie cu dreapta lui Skempton.



97

Fie a raportul CU

g

c

p. Se obţine CU gc a p= ⋅ .

Starea de umiditate influenţează puternic rezistenţa la forfecare a pământurilor coezive. Cu cât pământul are umiditate mai mare (ceea ce în cazul pământului saturat înseamnă şi

porozitate mai mare) cu atât rezistenţa la forfecare este mai redusă. Încercări făcute pe mai multe seturi de probe, din acelaşi pământ, având umidităţi iniţiale

diferite, pun în evidenţă dependenţa parametrilor φ şi c de umiditate (Fig. 6.39).

Fig. 6.39

Astfel, pentru o anumită valoare a umidităţii unghiul de frecare interioară devine zero,

pământul comportându-se ca un lichid vâscos. Urmărind variaţia coeziunii cu umiditatea, se constată că la unele pământuri coeziunea nu se

anulează atunci când pământul are o umiditate egală cu limita de curgere. Este cazul pământurilor care posedă rezistenţă structurală. După Maslov coeziunea pământurilor argiloase poate fi privită ca sumă a doi termeni (Fig. 6.40):

Fig. 6.40

a sc c c= +

unde: ca - coeziune primară sau moleculară, datorată forţelor de atracţie dintre particulele de pământ, care se exercită prin intermediul învelişurilor de apă adsorbită; cs - coeziune structurală datorată legăturilor de cimentare care se stabilesc între particule în procesul de diageneză; această coeziune dispare dacă proba este tulburată.



98

Starea anterioară de eforturi: este un factor esenţial pentru rezistenţa la forfecare a argilelor. Argilele normal consolidate au rezistenţă la forfecare mai mică decât argilele

supraconsolidate (Fig. 6.41). Rezistenţa la forfecarea de regim care se manifestă la deplasări tangenţiale δ mari, poartă în

cazul pământurilor argiloase numele de rezistenţă reziduală şi depinde în primul rând de compoziţia mineralogică (este independentă de starea de eforturi).

Fig. 6.41 Căutând o formulare mai exactă a rezistenţei la forfecare a pământurilor coezive în care să se

poată atribui componentelor τf un sens fizic direct, Hvorslev a propus relaţia:

( )' tg ef e c eτ σ ϕ= +

unde: eϕ - unghi de frecare interioară

ec - coeziune

Termenul ' tg eσ ϕ este independent de umiditatea pământului. Frecarea interioară la

pământurile argiloase exprimă rezistenţa mecanică la alunecarea şi rostogolirea unei particule peste cealaltă.

Termenul ( )ec e este funcţie de volumul porilor, deci de umiditate.

În această constă, de altfel, diferenţa între relaţia lui Hvorslev şi relaţia cunoscută:

' ' tg ' 'cτ σ ϕ= ⋅ +

unde c ' apare constant. Coeziunea este, după Hvorslev, rezultatul forţelor de legătură de natură fizico - chimică dintre particule, forţe care depind de mărimea spaţiului dintre particule, adică de indicele porilor, e.

Capitolul 7. Echilibrul masivelor de pământ


99

Capitolul 7

ECHILIBRUL LIMITĂ ÎN MASIVELE DE PĂMÂNT

7.1 ECHILIBRUL LIMITĂ ÎN MASIVELE DE PĂMÂNT

Aşa cum s-a arătat în Capitolul 5, pentru o anumită mărime a presiunii ce se dezvoltă pe

talpa unei plăci (fundaţii) de probă se poate produce pierderea de stabilitate a fundaţiei împreună cu o parte din masivul de pământ (Fig. 7.1,a). Şi un mal taluzat de pământ îşi poate pierde stabilitatea, dacă suprasarcina p aplicată la suprafaţa terenului depăşeşte o anumită valoare sau dacă înclinarea (panta) taluzului este prea mare sau sub acţiunea unui curent de apă etc. (Fig. 7.1,b).

Fig. 7.1

În urma unei uşoare rotiri sau deplasări a unui zid de sprijin în sensul îndepărtării de masivul de pământ din spate, o parte din masiv se desprinde de rest şi urmăreşte mişcarea zidului. (Fig. 7.1.c)



100

Cele trei probleme de bază ale mecanicii pământurilor ilustrate de aceste exemple: capacitatea portantă, stabilitatea taluzurilor şi împingerea pământului reprezintă o manifestare a echilibrului limită în masivul de pământ.

Într-adevăr, suprafaţa după care se produce desprinderea unei părţi din masiv în fiecare din

exemplele date, este o suprafaţă în lungul căreia este îndeplinită condiţia de rupere, deci este atinsă starea de echilibru limită.

Determinarea stării de tensiuni într-un masiv de pământ aflat în echilibru limită impune

rezolvarea sistemului de ecuaţii format, pe de o parte, din condiţia de echilibru, iar pe de altă parte din condiţia de rupere.

De exemplu, în cazul unei probleme plane sistemul devine:

( )

zxz

x xz

f

Zz x

Xx z

f

τσ

σ τ

τ σ

∂∂ + = ∂ ∂

∂ ∂

+ = ∂ ∂

=

(7.1)

Soluţii riguroase ale sistemului de ecuaţii (7.1) sunt obţinute în Teoria plasticităţii pentru un

număr relativ mic de probleme. Pot fi amintite soluţiile care aparţin lui Sokolovski. În continuare se va examina o problemă particulară de echilibru limită, ale cărei soluţii,

riguroase din punct de vedere teoretic, au fost date de Rankine (1820-1872), şi anume echilibrul limită într-un masiv semi - infinit limitat de o suprafaţă orizontală sau înclinată. Aceste soluţii pot fi utilizate direct, în anumite condiţii, în probleme de echilibru limită, cum sunt împingerea pământului, capacitatea portantă, stabilitatea taluzurilor.

7.1.1. STAREA DE ECHILIBRU LIMITĂ ÎN MASIVUL DE PĂMÂNT

LIMITAT DE O SUPRAFAŢĂ ORIZONTALĂ

Fie un masiv de pământ necoeziv (Fig. 7.2). Într-un punct M situat la adâncimea z, tensiunile

σz şi σx sunt, după cum s-a arătat:



101

Fig. 7.2

z zσ γ= ⋅

0 0x zK K zσ σ γ= = ⋅ ⋅

unde K0 reprezintă coeficientul de împingere laterală în stare de repaus. Verticala prin punctul M fiind ax de simetrie, este evident că σz şi σx sunt tensiuni principale,

2 1 2 3, xσ σ σ σ σ= = = .

Relaţia 3 0 1Kσ σ= corespunde stadiului de

comportare liniară a pământului, echilibrului elastic. Ca urmare, cercul tensiunilor corespunzător acestei stări se află sub dreapta intrinsecă.

Există două căi prin care în punctul considerat din masiv se poate ajunge la starea de echilibru limită (Fig.7.3):

a) prin micşorarea progresivă a tensiunii principale pe direcţia orizontală σ 3; starea de

rupere la care se ajunge poartă denumirea de stare activă de echilibru limită;

b) prin mărirea progresivă a tensiunii principale pe direcţia orizontală σ 3; starea de rupere la care se ajunge poartă denumirea de stare pasivă de echilibru limită.

Fig. 7.3

Pentru a face trecerea de la starea de repaus la una din cele două stări de echilibru limită, Rankine imaginează introducerea în masivul de pământ a unui perete subţire, infinit de lung, fără frecare (perfect lucios).

Jumătatea din masiv aflată la stânga peretelui poate fi îndepărtată, dar starea de tensiuni din

masiv nu se modifică dacă asupra peretelui se exercită o presiune care creşte liniar cu adâncimea conform relaţiei 3 0 1Kσ σ= . (Fig. 7.4.a)



102

Fig. 7.4 a) Starea activă de tensiuni Deplasarea peretelui fictiv, în sensul îndepărtării de masivul de pământ aflat în spate,

posibilă prin reducerea presiunilor orizontale asupra peretelui, produce o destindere (relaxare) în acest masiv.

Pentru o anumită mărime a deplasării δa a peretelui tensiunea principală σ 3 atinge o valoare

pentru care se îndeplineşte condiţia de rupere (Fig. 7.4.b). Relaţia între σ 3 şi σ 1 corespunzătoare stării active de tensiuni este, după cum s-a arătat în

Capitolul 5, pentru pământ necoeziv:

23 1tg 45

2

φσ σ

= −

�

Direcţiile planelor de alunecare se obţin unind polul cu punctele de tangenţă ale cercului

tensiunilor la rupere la dreapta intrinsecă. (Fig. 7.5) Pentru a afla polul trebuie cunoscut atât un efort total în cercul lui Mohr cât şi direcţia

planului pe care acesta acţionează. Fie σ 1 efort unitar total pe planul orizontal. Paralela dusă prin extremitatea vectorului σ 1 cu orizontala (care se confundă cu axa 0σ ) întâlneşte cercul în P, polul cercului.

Adâncimea z a fost aleasă arbitrar. Unei alte adâncimi z îi corespund alt cerc şi alte două

plane de alunecare, care fac de asemenea cu orizontala 452

ϕ +

� .



103

Fig. 7.5 Stării active în spatele peretelui îi corespund deci două familii de plane de alunecare care

fac cu orizontala (planul de tensiune principală maximă) unghiul 452

ϕ +

� , iar între ele 90o - ϕ

(Fig. 7.4.b) În cazul pământurilor coezive, se modifică mărimea lui σ 3 dar direcţiile planurilor de

alunecare sunt neschimbate.

23 1 tg 45 2 tg 45

2 2c

ϕ ϕσ σ

= − − ⋅ −

� �

Fig. 7.6



104

Teoria expusă, care poartă numele de teoria lui Rankine, poate fi direct aplicată la calculul împingerii active asupra unui perete vertical, limitat de o suprafaţă orizontală.

Fie un perete de înălţime H. (Fig. 7.7).

Fig. 7.7 Exprimând tensiunile principale la baza peretelui:

1 Hσ γ= ⋅

23 tg 45

2Hap Hϕ

σ γ

= = ⋅ −

�

în care pa - presiunea activă a pământului care variază liniar cu adâncimea.

Rezultanta diagramei de presiune activă (Fig. 7.7)

2 21 1tg 45

2 2 2Ha aP p H Hϕ

γ

= = −

�

În cazul pământului coeziv

1 Hσ γ= ⋅

23 tg 45 2 tg 45

2 2Hap H cϕ ϕ

σ γ

= = ⋅ − − ⋅ −

� �

Diagrama de presiuni active apare din suprapunerea a două diagrame (Fig. 7.8). Punctul de

anulare a diagramei de presiuni se află la adâncimea z0:

20tg 45 2 tg 45 0

2 2oazP z cφ φ

γ

= − − ⋅ − =

� �



105

02

tg 452 22

tg 452tg 45

2

c cz

φ

φ

φγ γ

−

= ⋅ = ⋅ − −

�

�

�

Fig. 7.8 Pe o adâncime egală cu 2 z0 = Hcr, împingerea totală este nulă (triunghiul cu ordonate

negative abc din diagrama rezultantă anulează un triunghi egal de ordonate pozitive cde). Înălţimea critică Hcr reprezintă înălţimea teoretică pe care un mal de pământ s-ar putea menţine nesprijinit la verticală.

Împingerea totală se obţine prin însumarea presiunilor pe înălţimea peretelui. Apar două variante:

− în cazul în care s-ar lua în considerare capacitatea pământului coeziv de a prelua eforturi

de întindere, împingerea totală este egală cu aria trapezului de presiuni defg:

2 21tg 45 2 tg 45

2 2 2aP H c Hφ φ

γ

= − − −

� �

− în mod normal, pământul nu poate prelua în timp eforturi de întindere; în acest caz se ignoră diagrama de eforturi de întindere abc iar împingerea totală se consideră ca arie a întregii diagrame de compresiuni cfg având valoarea:

22 21 2tg 45 2 tg 45

2 2 2a

cP H c H

φ φγ

γ

= − − − +

� �

În acest caz se admite că înălţimea pe care nu se exercită împingerea este z0.



106

b) Starea pasivă de tensiuni Deplasarea peretelui fictiv spre masivul de pământ din spate, posibilă prin creşterea

presiunilor orizontale asupra peretelui, produce o compresiune a masivului. Pământul, după cum este ştiut, rezistă mult mai bine la solicitări de compresiune decât la

cele de tracţiune. De aceea deplasarea δp a peretelui necesară pentru atingerea stării limită pasive este cu mult

mai mare decât δa. Pentru valoarea δp a deplasării, tensiunea principală σ 3 atinge valoarea pentru care se îndeplineşte condiţia de rupere.

Relaţia dintre σ 3 şi σ 1 corespunzătoare stării pasive de echilibru limită este (Fig. 7.33): − pământ necoeziv

23 1tg 45

2

ϕσ σ

= +

�

− pământ coeziv

23 1tg 45 2 tg 45

2 2c

φ ϕσ σ

= − + ⋅ +

� �

Fig. 7.9

Stării pasive îi corespund de asemenea două familii de alunecare care fac cu orizontala

unghiul 452

ϕ−� (Fig. 7.10).

Fig. 7.10



107

Aplicarea teoriei lui Rankine la calculul rezistenţei pasive a pământului din spatele unui perete vertical, fără fricţiune, de înălţime H, limitat de o suprafaţă orizontală.

Expresiile tensiunilor principale la baza peretelui

1 Hσ γ= ⋅

23 tg 45

2HpP Hϕ

σ γ

= = ⋅ +

�

Pp - rezistenţa pasivă a pământului care variază liniar cu adâncimea (Fig. 7.11).

Fig. 7.11

Rezultanta diagramei de rezistenţă pasivă:

2 21tg 45

2 2pP Hφ

γ

= +

�

În cazul pământului coeziv (Fig. 7.12):

1 Hσ γ= ⋅

23 tg 45 2 tg 45

2 2Hpp H cφ φ

σ γ

= = ⋅ + + ⋅ +

� �

2 21tg 45 2 tg 45

2 2 2pP H c Hφ φ

γ

= ⋅ + + ⋅ ⋅ +

� �



108

Fig. 7.12 7.1.2. STAREA DE ECHILIBRU LIMITĂ ÎN CAZUL MASIVULUI DE PĂMÂNT

LIMITAT DE O SUPRAFAŢĂ ÎNCLINATĂ (TALUZUL INFINIT LUNG

DE PANTĂ CONSTANTĂ)

În practică, taluzurile nu sunt niciodată infinit de lungi. Totuşi, studiul stării de echilibru

limită în acest caz este util pentru soluţionarea altor probleme. Fie un masiv de pământ omogen, necoeziv, limitat de o suprafaţă înclinată. Dat fiind că

taluzul este infinit, tensiunile acţionând pe un plan vertical care trece prin masiv vor fi aceleaşi ca pe oricare alt plan vertical, iar efortul unitar total într-un punct al unui plan paralel cu suprafaţa terenului este acelaşi ca pentru orice alt punct al planului respectiv.

Fie un prism de pământ de lăţime 1, lungime 1 (problema plană) şi înălţime z (Fig. 7.13). Asupra prismului de pământ acţionează greutatea G, reacţiunea R pe faţa cd, paralelă cu suprafaţa terenului, şi forţele laterale F pe cele două plane verticale.

Fig. 7.13

Exprimând condiţiile de echilibru, rezultă: − din proiecţia pe direcţia paralelă cu suprafaţa terenului: S = 0 − din proiecţia pe direcţia verticală: V = G − din condiţia de moment: T = 0.



109

Rezultă, aşadar, că efortul E pe planul vertical este paralel cu suprafaţa terenului, iar efortul total V pe planul paralel cu suprafaţa terenului este vertical.

În orice punct al masivului, planul vertical şi planul paralel cu suprafaţa terenului, sunt plane conjugate iar eforturile acţionând pe aceste plane sunt eforturi conjugate.

Tensiunea totală într-un punct la adâncimea z este (Fig. 7.14):

cos1

cos

V Vp z i

Ai

γ= = = ⋅ ⋅

Componentele tensiunii p:

cosz iσ γ= ⋅ ⋅ sin cosz i iτ γ= ⋅ ⋅ ⋅ sin cos

tgcos

z i ii

z i

τ γ

σ γ

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅

Fig. 7.14

Pe planul paralel cu suprafaţa terenului, unghiul de deviere al efortului unitar total într-un

punct (înclinarea faţă de normala la plan) este egal cu unghiul i de înclinare a suprafeţei terenului. Presiunile laterale pe feţele verticale ale prismului considerat sunt direct proporţionale cu

presiunile verticale p, variind între două valori extreme, corespunzătoare stării active sau stării pasive de echilibru limită.

Acest lucru este pus în evidenţă de construirea cercurilor lui Mohr (Fig. 7.15). În sistemul de coordonate (σ O τ) efortul unitar total vertical într-un punct de cotă z, este

reprezentat prin vectorul p , înclinat faţă de orizontală cu i (deoarece θ = i). Se cunoaşte dreapta intrinsecă. Se pune problema determinării cercurilor tensiunilor

corespunzătoare echilibrului limită, care trebuie să îndeplinească trei condiţii: − să aibă centrul pe axa O σ ; − să treacă prin punctul N, extremitatea vectorului p; − să fie tangente la dreapta intrinsecă.

Sunt două cercuri care îndeplinesc aceste condiţii, ele corespund celor două stări limită: activă şi pasivă.



110

Fig. 7.15

Fig. 7.16

a) Starea activă Ducând din punctul N, care exprimă în cercul tensiunilor efortul unitar total într-un punct al

planului de înclinare i, o paralelă cu direcţia acestui plan se obţine, la intersecţia paralelei cu cercul,

polul P (paralela se confundă cu direcţia lui p ) (Fig. 7.16). Pentru aflarea efortului unitar total în punctul de adâncimea z pe planul vertical, se duce din

pol o verticală care întâlneşte cercul în N '. Vectorul ON ' este efortul unitar pa căutat.

' , deci aON OP OP p= =

Se cere aflarea raportului între pa şi p. Din C1 se duce o normală pe coarda PN, care împarte

coarda în două părţi egale PB = PN (Fig. 7.17.)

ap ON OB BP

p OP OB BN

−= =

+ 1 cosOB OC i=

2 2 2 2 2

1 1 sinBP BN r BC r BC i= = − = −

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1

cos sin sin cos sin sin cos cos cos

cos sin sin cos sin sin cos cos cosa

OC i OC OC i i i i ip

p OC i OC OC i i i i i

φ φ φ

φ φ φ

− − − − − −= = =

+ − + − + −



111

Fig. 7.17

Fig. 7.18

1 sinr OC φ=

2 2

2 2

cos cos coscos

cos cos cosa

i ip z i

i i

φγ

φ

− −= ⋅ ⋅

+ −

Verificare Pentru i = 0

21 sintg 45

1 sin 2ap z zφ φ

γ γφ

− = ⋅ = ⋅ −

+

�

Pentru aflarea direcţiilor planelor de alunecare se uneşte polul cu punctele de tangenţă ale

cercului la dreapta intrinsecă. Pentru aflarea direcţiilor principale se uneşte polul cu punctele A şi B de intersecţie a cercului cu axa O σ (extremităţile vectorilor care exprimă tensiunile principale) (Fig. 7.18).

Fie MK şi ML cele două plane de alunecare prin punctul considerat M şi R1 şi R2 reacţiunile

pe cele două plane. (Fig. 7.19.)



112

Fig. 7.19

MK şi ML fiind plane de alunecare în lungul cărora este îndeplinită, în fiecare punct, condiţia

de rupere tgfτ σ ϕ= ⋅ , reacţiunea este înclinată faţă de normală cu unghiul ϕ. Dar din cercul lui

Mohr rezultă că ∠ este 90KML φ−� . Rezultă că direcţia lui R1 este paralelă cu ML iar direcţia lui R2 este paralelă cu MK. Planele de alunecare sunt deci plane conjugate.

Cele arătate sunt valabile pentru orice punct din masiv. Stării active de tensiuni în întregul

masiv îi corespund, deci, două familii de plane de alunecare.( Fig. 7.20.)

Fig. 7.20 Rezultatele obţinute pot fi aplicate direct la calculul împingerii active pe un perete vertical

având în spate un taluz cu pantă i (Fig. 7.21). Pentru a respecta condiţia că planul vertical şi planul de înclinare i sunt plane conjugate, rezultă că presiunea activă a pământului trebuie considerată ca având o înclinare i faţă de orizontală, adică faţă de normala la perete (deci unghiul de frecare dintre pământ şi perete este impus şi egal cu i, δ = i).

2 2

2 2

cos cos coscos

cos cos cosa

i ip H i

i i

φγ

φ

− −= ⋅ ⋅

+ −



113

Fig. 7.21 b) Starea pasivă (Fig. 7.22) Polul în P. ON p=

' pON p OP= =

2 2

2 2

cos cos cos

cos cos cos

pp i i

p i i

φ

φ

+ −=

− −

Pentru i = 0

21 sintg 45

1 sin 2pp z zφ φ

γ γφ

+ = ⋅ = ⋅ +

−

�

',PT PT - direcţiile planelor de alunecare PB, PD - direcţiile planelor principale MC, ML - plane de alunecare Direcţia '

1R ML

Direcţia '

2R MK

Planele de alunecare sunt plane conjugate.



114

Fig. 7.22 Aplicare la calculul rezistenţei pasive la forfecare a masivului de pământ necoeziv, de pantă

i, în spatele unui perete vertical (Fig. 7.23)

Fig. 7.23

2 2

2 2

cos cos coscos

cos cos cosp

i ip H i

i i

ϕγ

ϕ

+ −= ⋅

− −

Pentru a putea aplica teoria lui Rankine în acest caz trebuie admis că unghiul de frecare

pământ - perete este i (δ = i).

Capitolul 8. Împingerea pământului


115

Capitolul 8

ÎMPINGEREA PĂMÂNTULUI

Există trei moduri de manifestare a acţiunii pe care o exercită pământul asupra unei construcţii de susţinere în funcţie de posibilităţile de deplasare şi de deformare ale construcţiei supusă acestei acţiuni.

a) Împingerea în stare de repaus este se denumeşte împingerea pe care o exercită masivul de pământ aflat în stadiul de comportare liniară (echilibru elastic). S-a arătat că în acest stadiu între tensiunile normale din greutatea proprie a pământului, pe direcţie orizontală şi verticală există relaţia:

0 0x zK K zσ σ γ= ⋅ = ⋅ ⋅

unde K0 reprezintă coeficientul de împingere laterală în stare de repaus.

Această împingere se produce atunci când elementul supus acţiunii pământului este rigid, nu

se deplasează şi nu se roteşte sub această acţiune. De exemplu: pereţii diferitelor construcţii îngropate, ziduri de subsol etc. (Fig. 8.1).

Fig. 8.1

b) Împingerea activă corespunde dezvoltării unei stări active de tensiuni limită în masivul de pământ aflat în spatele elementului de susţinere. Pentru dezvoltarea împingerii active trebuie ca elementul de susţinere să admită deplasări sau rotiri în sensul îndepărtării de pământul pe care-l susţine, provocând destinderea acestuia. De exemplu, un zid de sprijin (Fig. 8.2).



116

Fig. 8.2 c) Rezistenţa pasivă corespunde dezvoltării unei stări pasive de tensiuni limită în masivul de

pământ aflat în spatele elementului de susţinere. Pentru dezvoltarea rezistenţei pasive trebuie ca elementul de susţinere să admită deplasări

sau rotiri către masa de pământ, provocând comprimarea acesteia. De exemplu, fundaţia unui arc (Fig. 8.3).

Fig. 8.3 Mărimea deplasării δa necesară pentru ca în spatele elementului de susţinere să se dezvolte o

suprafaţă de cedare corespunzătoare stării active de echilibru limită este foarte mică, de ordinul: (0,05 % .... 0,1 %) H, ceea ce este de înţeles deoarece în masa de pământ supusă destinderii apar eforturi de tracţiune, ori pământul nu poate prelua, practic, asemenea eforturi.

În schimb, deplasarea '

pδ necesară pentru mobilizarea rezistenţei pasive este mult mai mare,

de alt ordin de mărime (1 % H), ca urmare a faptului că pământul este capabil să o preia. Determinarea experimentală a relaţiei dintre mărimea împingerii şi deplasarea δ a

elementului de susţinere a condus la diagrame de felul celor din figura 8.4.



117

Fig. 8.4 În condiţii identice în ceea ce priveşte înălţimea elementului de susţinere şi caracteristicile ϕ

şi c ale rezistenţei la forfecare ale pământului, cele trei acţiuni pe care pământul le poate exercita asupra elementului de susţinere se află în următorul raport:

0a pP P P< <

8.1. ÎMPINGEREA PĂMÂNTULUI ÎN IPOTEZA

SUPRAFEŢEI PLANE DE ALUNECARE

8.1.1. CALCULUL ÎMPINGERII ACTIVE DUPĂ COULOMB

Savantul francez Coulomb a elaborat o teorie asupra împingerii active a pământului, care se

poate aplica în cazul cel mai general, pentru orice înclinare θ a peretelui şi orice formă a suprafeţei masivului de pământ.

Se consideră că în spatele peretelui se află o masă de pământ omogen, necoeziv. Ca urmare a

unei mici deplasări a peretelui, în masa de pământ se formează o suprafaţă de alunecare care se consideră plană. Rezistenţa la forfecare a pământului, exprimată prin relaţia: tg fτ σ ϕ= ⋅ , este

integral mobilizată în lungul suprafeţei plane. Dintre toate suprafeţele plane care trec prin piciorul peretelui trebuie găsită acea suprafaţă

căreia îi corespunde împingerea maximă, împingere pentru care sunt îndeplinite condiţiile de rezistenţă şi de stabilitate ale peretelui (Fig. 8.5).



118

Fig. 8.5 Fie α înclinarea faţă de orizontală a suprafeţei de alunecare BC. Se examinează echilibrul

prismei de pământ ABC delimitată de suprafaţa AB a peretelui, suprafaţa de alunecare BC şi suprafaţa terenului. Prisma ABC trebuie să fie în echilibru sub acţiunea următoarelor forţe:

− greutatea proprie, G ; − împingerea P la contactul dintre perete şi pământ, egală şi de semn contrar cu împingerea

pe care pământul o exercită asupra peretelui; împingerea este înclinată cu unghiul δ faţă de normala la perete, δ fiind unghiul de frecare dintre perete şi pământ;

− reacţiunea R pe suprafaţa de alunecare BC. Dacă N este forţa normală pe planul BC, în momentul desprinderii masei de pământ se

dezvoltă în lungul planului BC o forţă tangenţială N tg ϕ, unde δ este unghiul de frecare interioară al pământului. Reacţiunea R este aşadar înclinată cu ϕ faţă de normala la suprafaţa BC.

Forţa G este cunoscută ca mărime şi ca direcţie, forţele P şi R numai ca direcţie. Problema este static determinată şi revine la a descompune o forţă după două direcţii cunoscute. În triunghiul format de cele trei forţe se aplică teorema sinusurilor:

( ) ( ) ( )sin sinsin 180

P G G

α ϕ ψ α ϕψ α ϕ= =

− + − − + − �

( )

( )sin

sinP G

α ϕ

ψ α ϕ

−=

+ −

S-a notat ψ θ δ= − Calculul se consideră efectuat pe un metru liniar de perete (normal pe planul desenului). Greutatea G se exprimă:



119

( ), , ,ABCG S f Hγ γ θ α β= ⋅ = ⋅ (8.1)

( )1 , , , , ,P f Hγ θ α β ϕ δ= ⋅ (8.2)

După Coulomb, împingerea activă corespunde acelui plan de înclinare α 0 care dă valoarea

maximă a lui P. Din (8.2) rezultă că pentru γ, H, θ, β, ϕ şi δ date, împingerea P depinde de o singură variabilă, α.

Calculând derivata P

α

∂

∂ şi egalând-o cu zero se obţine valoarea α 0.

Lui α 0 îi corespunde Pmax = Pa. Se obişnuieşte să se exprime împingerea Pa sub forma:

21

2a aP H Kγ= ⋅ ⋅

unde Ka este coeficientul de împingere activă, intabulat în funcţie de φ, δ, θ şi β.

Metoda lui Coulomb a fost transpusă grafic de Culmann (Fig. 8.6).

Fig. 8.6 Se construieşte dreapta BD înclinată cu unghiul ϕ faţă de orizontală. Suprafaţa de alunecare

nu se poate găsi decât în interiorul prismei ABD, deoarece linia BD reprezintă taluzul stabil al materialului cu unghi de frecare interioară ϕ. Se construieşte de asemenea dreapta BE, numită dreaptă de orientare, înclinată cu unghiul ψ faţă de BD.

Se propun succesiv diferite suprafeţe de alunecare posibile BC1; BC2; BC3 ...., cărora le corespund prismele ABC1, ABC2, ABC3 ..... etc.



120

Fie greutatea G1 a prismului ABC1. Din extremităţile vectorului G1 se duce o paralelă cu dreapta de orientare care întâlneşte linia BC1 în punctul P1. Vectorul G1P1 reprezintă împingerea aferentă prismei ABC1 obţinându-se astfel triunghiul forţelor GPR din fig. 8.5, dar rotit în sus cu (90°+ϕ).

Într-adevăr, din examinarea construcţiei grafice, rezultă că unghiul 1 1 1PBG α φ∠ = − , iar

unghiul 1 1BG P ψ∠ = . Se repetă aceiaşi construcţie pentru prismele ABC2, ABC3 ....., obţinându-se

grafic împingerile P2, P3 ......, aferente. Se unesc printr-o curbă continuă extremităţile vectorilor ce reprezintă împingerile P1, P2, P3

..... Se duce o tangentă la curbă, paralelă cu dreapta BD. Punctul de tangenţă P corespunde

împingerii maxime Pmax = Pa. Planul de alunecare se obţine unind B cu P. Direcţia împingerii depinde de valoarea adoptată pentru unghiul δ care caracterizează

frecarea între pământ şi perete.

Fig. 8.7

În mod obişnuit:

1 2

2 3δ ϕ

= ��

Calculul analitic sau grafic al împingerii pământului prin metoda lui Coulomb conduce la determinarea mărimii împingerii totale. Dacă pentru verificările de stabilitate la alunecare pe talpă sau la răsturnare sau pentru determinarea presiunilor pe talpa zidului cunoaşterea doar a împingerii totale Pa este suficientă, pentru verificarea secţiunilor zidului este necesară şi cunoaşterea distribuţiei presiunilor active în lungul zidului.

Fie un zid având în spate un masiv de pământ limitat de o suprafaţă neregulată. Se împarte zidul în tronsoane de înălţime ∆ H şi se calculează succesiv, pe cale grafică, împingerile aferente porţiunilor AB1, AB2 .... ale peretelui.

Se obţine:

2 1a a aP P P∆ = −



121

Se admite că pe înălţimea ∆ H a unui tronson presiunea activă a pământului este constantă:

1

1 1,a a

a a

P pp p

H H

∆= ∆ =

∆ ∆

Se obţine o diagramă de presiuni în trepte (Fig. 8.8) care aproximează diagrama reală,

necunoscută. La limită luând ∆ H foarte mic, diagrama în trepte devine o curbă.

Fig. 8.8

Dacă suprafaţa terenului este plană, variaţia împingerii este liniară. Cunoscând Pa se poate

determina ordonata Hap egalând suprafaţa triunghiulară de presiune (ABD) cu Pa:

1

2 Ha ap AE P⋅ =

cos

cossin

AE AB Hδ

δθ

= =

1 cos

2 sinHa ap H Pδ

θ⋅ =

2 sin

cosH

aa

Pp

H

θ

δ= ⋅

Pentru: 0δ = şi 90θ = �

2H

aa

Pp

H=



122

În cazul particular al peretelui vertical (θ = 90o) limitat de o suprafaţă orizontală (β = 0) dacă se neglijează frecarea pământ - perete (δ = 0), aplicarea teoriei lui Coulomb conduce la:

20

2 2

45 ; tg 452 2

1tg 45

2 2

a

p

K

P H

φ φα

φγ

= − = −

= ⋅ ⋅ ⋅ +

� �

�

Se regăsesc astfel soluţiile obţinute pentru acelaşi caz prin aplicarea teoriei lui Rankine. 8.1.2. CALCULUL REZISTENŢEI PASIVE DUPĂ COULOMB

Se păstrează ipotezele formulate în legătură cu împingerea activă. Ca urmare a unei deplasări

a peretelui către masivul de pământ, în sensul arătat în figura 8.9, se produce desprinderea unei mase de pământ după o suprafaţă plană, în lungul căreia rezistenţa la forfecare este integral mobilizată.

Fig. 8.9

Dintre toate suprafeţele plane care trec prin piciorul peretelui trebuie găsită acea suprafaţă

căreia îi corespunde rezistenţa minimă (cu această rezistenţă denumită rezistenţă pasivă se compară orice solicitare care tinde să deplaseze peretele). Calculul urmăreşte aceleaşi etape ca şi în cazul împingerii active.

Fie ABC prisma de pământ corespunzătoare unei suprafeţe de alunecare înclinată cu un

unghi α ales arbitrar. Presiunea totală P pe faţa AB şi reacţiunea R pe suprafaţa BC au faţă de



123

normală înclinări dictate de forţele de frecare ce se dezvoltă pe suprafeţele respective, spre a se opune tendinţei de refulare a prismei ABC.

( ) ( ) ( )sin sinsin 180

P G G

α ϕ ψ α ϕψ α ϕ= =

+ + +⋅ + +

( ), , , , ,P f Hγ α θ β δ ϕ= ⋅

0P

α

∂=

∂

Se obţine α 0 care introdus în expresia lui P conduce la Pmin = Pp. În general:

21

2p pP H Kγ= ⋅ ⋅

unde Kp reprezintă coeficientul de rezistenţă pasivă, intabulat în manuale în funcţie de ϕ, δ, θ, β . Metoda grafică Culmann În figura 8.10 se duce dreapta BD înclinată cu unghiul ϕ măsurat în jos faţă de orizontală. Se

construieşte dreapta de orientare BE care face unghiul ψ cu dreapta BD.

Fig. 8.10 Se propun succesiv diferite suprafeţe de alunecare posibile, BC1, BC2, BC3 .... etc. cărora le

corespund prismele ABC1, ABC2, ABC3 ..... etc.



124

Pe dreapta BD se reprezintă la o anumită scară greutatea G1 a prismei ABC1. Din extremitatea vectorului G1 se duce o paralelă cu dreapta de orientare care întâlneşte linia BC1 în punctul P1. Vectorul G1P1 reprezintă rezistenţa P1 corespunzătoare prismei ABC1 (unghiul

1 1 ;PPG α φ∠ = + unghiul 1 1BG P ψ∠ = ), s-a reconstituit triunghiul forţelor GRP, rotit cu ( )90 φ−� .

Se repetă aceeaşi construcţie pentru prismele ABC2, ABC3 .... etc., obţinându-se grafic forţele P2, P3 .... etc., iar extremităţile vectorilor respectivi se unesc printr-o curbă.

Ducându-se tangenta la curbă paralelă cu dreapta de referinţă BD se obţine Pmin = Pp. Unind B cu punctul de tangenţă se obţine direcţia BP a suprafeţei de alunecare.

În cazul particular al peretelui vertical ( )90θ = � limitat de o suprafaţă orizontală ( )0β = ,

dacă se neglijează frecarea pământ - perete ( )0δ = aplicarea teoremei lui Coulomb conduce la:

2

0

2 2

tg 452

452

1tg 45

2 2

p

p

K

P H

φ

φα

φγ

= +

= −

= ⋅ ⋅ +

�

�

�

Se regăsesc astfel soluţiile obţinute pentru acelaşi caz prin aplicarea teoriei lui Rankine. 8.1.3. ÎMPINGEREA PĂMÂNTULUI ÎN CAZUL UNEI SUPRASARCINI

UNIFORM REPARTIZATE LA SUPRAFAŢA TERENULUI

Se va ilustra influenţa suprasarcinii q uniform repartizate asupra împingerii active

(Fig. 8.11). Pentru a nu încărca figura, se reprezintă suprasarcina q deasupra suprafeţei pe care se exercită. Se consideră o suprafaţă arbitrară de alunecare, de înclinare α

Fig. 8.11

total

1'

2G AB CC q ACγ= ⋅ ⋅ + ⋅

( )' sinCC AC θ β= +

sin

HAB

θ=

( )

( )( )

t

sin1

2 sin

sin1 2 sin1

2 sin sin

G H AC q AC

qH AC

H

θ βγ

θ

θ β θγ

θ γ θ β

+= ⋅ ⋅ + ⋅ =

+= ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ +

( )t

sin11 2

2 sineH

G H ACH

θ βγ

θ

+ = ⋅ ⋅ +



125

S-a notat ( )sin

sin e

qH

θ

γ θ β⋅ =

+, unde He se denumeşte înălţime echivalentă.

Sensul fizic al lui He rezultă astfel: suprasarcina q este înlocuită fictiv cu un strat de pământ,

de greutate volumică γ şi înălţime He; deci şi peretele are o înălţime mai mare, fictivă H+He (Fig. 8.12). Pentru a se construi He se începe prin a duce o paralelă cu suprafaţa terenului la o distanţă h = qγ, care întâlneşte prelungirea feţei AB a zidului în A’.

Fig. 8.12

( )sin

qA A h

A A A A

γ

θ β

′ ′′ = =

′ ′′ ′= +

( )1

sin

qA A

γ θ β′ =

+

( )

sin

sin

sin

e

e

H A A A A

qH

θ

θ

γ θ β

′ ′′′ ′= =

=+

Termenul 1 2 eH

H

+

nu depinde de α. Se alcătuieşte acelaşi triunghi de forţe ca şi în cazul

fără suprasarcină (Fig. 8.13).

La derivare, 0P

α

∂=

∂, termenul 1 2 eH

H

+

este o constantă (în raport cu α) şi le păstrează.

1 2 eaq a

HP P

H

= +



126

Fig. 8.13

Caz particular: 90 ; 0; 0θ β δ= = =� (Fig. 8.14)

e

qH h

γ= =

Fig. 8.14

Fig. 8.15

2 2 2

2 2

1tg 45 tg 45

2 2 2

21tg 45 1

2 2

aq a a e

e

P P P H H H

HH

H

ϕ ϕγ γ

φγ

= + ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

= ⋅ ⋅ ⋅ − +

� �

�



127

Problema se abordează în mod similar în cazul rezistenţei pasive. De exemplu pentru cazul particular θ = 90o, β = 0, δ = 0 (Fig. 8.15)

2 2 21tg 45 tg 45

2 2 2pq p p eP P P H H Hφ φ

γ γ

= + ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ −

� �

8.1.4. ÎMPINGEREA PĂMÂNTULUI ÎN CAZUL UNEI SUPRASARCINI

CONCENTRATE LINIAR REPARTIZATE

Încărcarea Q se consideră a fi o încărcare liniară repartizată pe unitatea de lungime a

peretelui şi situată la o anumită distanţă de acesta. Pentru determinarea mărimii împingerii active a pământului se aplică metoda Culmann,

considerându-se succesiv o serie de linii de alunecare AC1, AC2 .... etc., şi descompunându-se greutatea prismelor respective (inclusiv Q atunci când intervine) după direcţiile P şi R corespunzătoare (Fig. 8.16).

Curba lui Culmann prezintă un salt în dreptul suprafeţei de alunecare ce trece prin piciorul

forţei Q şi acesteia îi corespunde de cele mai multe ori valoarea maximă a împingerii.

aQ a aP P P= + ∆

Sunt însă şi situaţii în care planul de alunecare nu trece prin piciorul forţei sau când forţa calcă atât de departe de coronamentul A încât nu mai influenţează mărimea împingerii.

Fig. 8.16

Influenţa poziţiei forţei Q asupra mărimii împingerii Se construiesc două curbe ale lui Culmann, cu şi fără suprasarcină (Fig. 8.17). Se duc

tangentele în punctele de maxim ale acestor curbe obţinându-se Pa, PaQ.



128

Apar trei zone în care se poate afla forţa Q. Zona I. 1AC → PaQ este împingerea maximă. Oriunde ar călca Q în această zonă,

suplimentul de împingere din suprasarcină a aQ aP P P∆ = − , este constant.

Tangenta la curba împingerilor date numai de greutatea pământului taie curba împingerilor date de greutatea pământului şi suprasarcină în M. Se duce BMC2. Planul BC2 limitează a doua zonă.

Zona II. 1 2 aC C P→ ∆ variază de la valoarea maximă, corespunzătoare zonei I, la zero.

Zona III. 2C C → la dreapta lui C2 suprasarcina Q nu mai influenţează împingerea

∆P =0. Pentru un plan de alunecare dat BC ' se observă că împingerea Pa’ obţinută la intersecţia

planului cu curba � este mai mică decât împingerea Pa fără suprasarcină Variaţia lui ∆ Pa în cuprinsul celor trei zone este ilustrată în figura 8.18.

Fig. 8.17

Modificarea diagramei de presiuni asupra zidului ţinând cont de suprasarcina liniar repartizată a) Forţa calcă în zona I Se duc prin piciorul forţei Q o paralelă la linia de taluz natural şi o paralelă la linia BC1 (Fig.

8.19), obţinându-se punctele M şi N pe parametrul zidului de operat în diagrama de presiuni se situează în zona MN. Se admite că ∆ Pa este rezultanta unui triunghi de presiuni aflat între M şi N. Se determină astfel ordonatele suplimentare.



129

Fig. 8.18

Fig. 8.19 Fig. 8.20

b) Forţa calcă în zona II Planul de alunecare trece prin piciorul forţei. Se duce o paralelă la linia de taluz natural, prin piciorul forţei Q (Fig. 8.20). Triunghiul

suplimentar de presiuni va avea vârful la piciorul zidului şi aria ∆ Pa. 8.1.5. INFLUENŢA COEZIUNII ASUPRA ÎMPINGERII PĂMÂNTULUI

În paragraful 8.1.2 s-au dedus formulele pentru calculul împingerii active şi rezistenţei

pasive pentru peretele vertical limitat de o suprafaţă orizontală în cazul pământului coeziv. Când înclinarea peretelui este oarecare iar suprafaţa terenului este înclinată, calculul

împingerii active a pământului coeziv se poate face cu teoria lui Coulomb. După Coulomb, rezistenţa la forfecare pe suprafaţa de alunecare este:



130

tgf cτ σ φ= +

La pământurile necoezive ruperea se produce atunci când rezultanta eforturilor pe suprafaţa

de alunecare face unghiul ϕ cu normala la suprafaţă. În cazul pământurilor coezive, prezenţa unei forţe de coeziune pe suprafaţa de alunecare, face ca reacţiunea Q să aibă faţă de normală o înclinare mai mare decât ϕ.

Totuşi, se poate închipui o descompunere a forţei rezultante Q, astfel încât o componentă să

fie după direcţia suprafeţei de alunecare şi să aibă mărimea:

C c BC= ⋅ ( 1BC ⋅ − suprafaţa de alunecare) iar cealaltă, R, să facă unghiul ϕ cu normala la suprafaţa de alunecare (Fig. 8.21).

Fig. 8.21 N şi N tg φ sunt componentele lui R după suprafaţa de alunecare şi după normala la această

suprafaţă. Componenta tangenţială totală este:

tg BC c BC BCτ σ φ⋅ = ⋅ + ⋅

Fig. 8.22

Forţa C este cunoscută ca mărime şi direcţie pentru un anumit plan de alunecare, astfel încât împingerea Pa pe peretele AB poate fi determinată prin descompunerea forţelor G şi C după direcţiile cunoscute ale lui P şi R.

Prin încercări, luându-se în consideraţie diferite suprafeţe de alunecare posibile, se găseşte valoarea maximă Pa care reprezintă împingerea activă a pământului cu coeziune.

Într-un calcul mai exact se ia în consideraţie şi influenţa aderenţei ce se manifestă de-a lungul peretelui AB, sub forma unei forţe totale de coeziune (aderenţă) între perete şi pământ, Ca (Fig. 8.23).



131

Fig. 8.23

În schimb liniile de alunecare sunt duse până la o paralelă AC' la suprafaţa terenului, aflată la adâncimea:

0

2tg 45

2

cz

φ

γ

= +

� ,

corespunzătoare zonei pe care, ca urmare a eforturilor de întindere se produc fisuri care anulează rezistenţa pământului.

O situaţie mai defavorabilă o constituie luarea în considerare a unei presiuni w dată de apa ce s-ar asimila în fisură.

Poligonul de forţe în acest caz este cel din figura 8.23. Se fac mai multe încercări

corespunzătoare suprafeţelor de alunecare BC1, BC2, BC3 etc., aflându-se suprafaţa căreia îi corespunde:

max aP P=

8.1.6. CALCULUL ÎMPINGERII PĂMÂNTULUI

ÎN CAZUL MASIVULUI STRATIFICAT

Fie un perete vertical în spatele căruia se află un masiv alcătuit din două strate. La suprafaţa

terenului este aplicată o suprasarcină q (Fig. 8.24). Se utilizează următorul procedeu aproximativ de calcul al diagramei de împingeri: − se începe cu stratul 1, de la suprafaţă; se transformă suprasarcina într-o înălţime de

pământ echivalentă he având greutatea volumică a stratului 1, γ 1 şi se calculează ordonatele la feţele de sus şi de jos ale stratului 1:



132

( )

1

1

sus 2 11

jos 2 11 1

tg 452

tg 452

a e

a e

p h

p h h

ϕγ

ϕγ

= ⋅ −

= ⋅ + −

�

�

− se trece la stratul 2, considerându-se greutatea primului strat, inclusiv a stratului de

înălţime he (suprasarcina), drept suprasarcină pentru stratul 2; conform regulii cunoscute, această suprafaţă urmează a se transforma într-o înălţime de pământ cu greutatea volumică γ 2, care să i se substituie:

− ( )

2

1 1

2

ea

h hh

γ

γ

+=

( )

2

2

sus 2 22

jos 2 22 2

tg 452

tg 452

a e

a e

p h

p h h

φγ

φγ

= ⋅ −

= ⋅ + −

�

�

− se procedează în mod similar pentru celelalte straturi.

Fig. 8.24 Diagrama de presiune prezintă salturi în dreptul planelor de separaţie dintre straturi. Salturile se datorează faptului că s-a presupus că fiecare strat are alte caracteristici, γ şi ϕ.

Dacă s-ar modifica numai γ, ϕ rămânând constant, diagrama ar prezenta numai schimbări de pantă la trecerea de la un strat la celălalt.

În cazul general (perete înclinat, suprafaţa terenului înclinată) se utilizează metoda lui

Coulomb, pornind de la stratul cel mai de sus, considerat apoi ca suprasarcină pentru stratul următor şi aşa mai departe.



133

8.1.7. CAZURI PARTICULARE LA CALCULUL ÎMPINGERII PĂMÂNTULUI;

PARAMENT FRÂNT; SUPRAFAŢA TERENULUI CU DOUĂ PANTE

Parament frânt (Fig. 8.25)

Fig. 8.25

Împingerea totală rezultă din compunerea celor două împingeri

1aP şi2aP corespunzătoare

celor două suprafeţe AB1 şi B1B2. Se determină întâi1aP considerând ca perete numai AB1. Se

determină apoi2aP pe porţiunea B1B2 care se consideră că face parte din peretele A'B2 (din diagrama

totală de presiuni corespunzătoare paramentului de calcul A'B2 se reţine trapezul aferent feţei B1B2 a cărui arie este

2aP căutat).

Suprafaţa terenului cu două pante (Fig. 8.26) Mărimea împingerii se poarte calcula înlocuind peretele AB cu un perete ideal de calcul BA',

ales astfel încât greutatea prismei de alunecare să rămână aceeaşi. Acest lucru se poate obţine unind B cu C (punctul de frângere a pantei) şi apoi ducând din A o paralelă AA' la BC până când A'B intersectează prelungirea pantei CD a terenului.

A'B îndeplineşte condiţia cerută, întrucât triunghiurile ABC şi A’BC sunt egale deoarece au aceiaşi bază (BC) şi înălţimi egale (h = distanţa între paralelele la AA' şi BC).

Determinarea împingerii Pa se poate face cu ajutorul metodei Culmann faţă de peretele de calcul A'B cu observaţia că dreapta de orientare trebuie luată ţinând cont de înclinarea θ a zidului AB.

Pentru determinarea diagramei de repartizare a împingerii şi a punctului ei de aplicaţie, se consideră întâi că suprafaţa terenului este ACM şi se face construcţia lui Culmann, determi-nându-se linia de rupere BC1 şi triunghiul de împingere abc.



134

Fig. 8.26 Dacă mărimea împingerii astfel determinată este

1aP , baza triunghiului de repartizare este:

12 aP

bch

=

1aP astfel determinat este mai mare decât Pa, determinat anterior, deoarece prisma de cedare

include şi volumul de pământ CC1C’. Se duce CN║C1B. Mai jos de punctul N, frângerea suprafeţei terenului produce o reducere a

împingerii. Diagrama finală a împingerii se poate obţine scăzând din ∆ abc un ∆ npc astfel încât

suprafaţa lui să fie egală cu1a aP P−

( )1

2 a aP Ppc

d

−=

Diagrama de distribuţie a împingerii este deci abpn. Împingerea Pa se aplică în centrul de greutate al acestei suprafeţe. 8.2. ÎMPINGEREA PĂMÂNTULUI ÎN IPOTEZA

SUPRAFEŢELOR CURBE DE ALUNECARE

8.2.1. ÎMPINGEREA ACTIVĂ

Fie un zid de sprijin cu paramentul vertical limitat de o suprafaţă orizontală. Coronamentul

zidului admite o deplasare care determină atingerea stării active de tensiuni în masivul granular din spate.



135

Luarea în considerare a frecării între pământ şi zid introduce tensiuni tangenţiale τ în lungul peretelui. Ca urmare, direcţia zidului nu mai este direcţie principală ca în cazul problemei Rankine.

Fig. 8.27

Ultimul plan de alunecare înclinat cu unghiul 452

ϕ+� faţă de orizontală, corespunzător

zonei active Rankine este cel care trece prin coronamentul zidului. Între acest plan şi perete se înscriu suprafeţe de alunecare curbate ca urmare a influenţei tensiunilor τ care acţionează de-a lungul peretelui (Fig. 8.27). Determinarea acestor suprafeţe se poate face prin integrarea sistemului format din ecuaţiile de echilibru şi condiţia de rupere.

Deci suprafaţa de alunecare este alcătuită dintr-o porţiune curbă racordată apoi la planul din zona Rankine.

În cazul împingerii active, diferenţa dintre ipoteza suprafeţei plane a lui Coulomb şi cea a suprafeţei curbe este neînsemnată, după cum rezultă din următoarea comparaţie:

Fig. 8.28



136

Mărimea împingerii calculată în cele două ipoteze diferă cu mai puţin de 5%, ceea ce este acceptabil.

În consecinţă nu se justifică practic în cazul împingerii active efectuarea unor calcule bazate pe ipoteza suprafeţelor curbe de alunecare.

8.2.2. REZISTENŢA PASIVĂ

Ultimul plan corespunzător zonei Rankine trece prin coronamentul peretelui şi este înclinat

cu 452

φ−� faţă de orizontală. Pana de pământ perturbată de prezenţa eforturilor tangenţiale în

lungul peretelui este mult mai dezvoltată decât în cazul împingerii active (Fig. 8.29). Între ipoteza suprafeţei plane (Coulomb) şi cea a suprafeţei curbe stabilită pe baza Teoriei

plasticităţii apar diferenţe mari atât în ceea ce priveşte forma suprafeţei de alunecare cât şi în ceea ce priveşte mărimea rezistenţei pasive (40 % sau chiar mai mult).

În cele ce urmează se prezintă o metodă aproximativă pentru calculul rezistenţei pasive în care se admite că în cuprinsul penei dintre perete şi zona Rankine suprafaţa de alunecare este un arc de cerc (o altă ipoteză curent admisă este cea a arcului de spirală logaritmică).

În cazul în care pământul aflat în spatele peretelui posedă atât frecare internă cât şi coeziune, calculul se efectuează în două etape.

Fig. 8.29 a) Pământ cu frecare interioară şi greutate 0, 0, 0cφ γ≠ ≠ =

Se construieşte planul de alunecare prin A, de înclinare 452

φ −

� faţă de orizontală, care

delimitează zona Rankine şi se alege un punct oarecare D pe acest plan (Fig. 8.30). Se consideră o suprafaţă de alunecare BDC compusă din arcul de cerc BD şi planul DC.



137

Fig. 8.30 Centrul O se determină la intersecţia normalei în punctul D la DC cu perpendiculara ridicată

la jumătatea coardei BD. Se cere aflarea forţei P pentru care se va produce desprinderea prismului de pământ ABDC în lungul suprafeţei BDC, la deplasarea zidului către masivul de pământ.

Ducându-se un plan fictiv vertical prin punctul D, acesta împarte prismul de pământ a cărei rezistenţă pasivă se cere a fi calculată în două prisme DEC şi ABDEA.

În spatele planului fictiv DEC se găseşte un masiv de pământ limitat de o suprafaţă orizontală şi aflat în stare limită pasivă. Rezistenţa pasivă corespunzătoare peretelui vertical DE este:

2 21 tg 45

2 2pE DEφ

γ

= +

�

Condiţiile de echilibru ale prismului ABDE nu se schimbă dacă în locul prismului DE se

introduce forţa Ep, rezistenţa pasivă corespunzătoare acestui prism. Prismul ABDEA trebuie să fie în echilibru sub acţiunea următoarelor forţe: Ep - rezistenţa pasivă corespunzătoare prismului DEC, cunoscută ca

mărime, direcţie, punct de aplicaţie; G - greutatea prismului ABDEA, cunoscută ca mărime, direcţie, punct de aplicaţie; P - forţa cu care împinge peretele, asupra prismului ABCA egală şi de semn contrar cu rezistenţa prismului admiţând o variaţie liniară a presiunilor pasive de-a

lungul paramentului AB; P se aplică la 1/3 din înălţime, pornind de la bază şi face cu normala unghiul δ de frecare pământ - perete; P este cunoscută, deci, ca direcţie şi necunoscută ca mărime;

Q - reacţiunea pământului pe suprafaţa de alunecare BD, făcând unghiul φ ' cu raza în punctul de aplicaţie. Pentru determinarea direcţiei şi punctului de aplicaţie a reacţiunii Q se împarte arcul BD într-

o serie de elemente de arc de lungime ds şi se consideră reacţiunea elementară qds, aplicată în centrul unui element (Fig. 8.31).



138

Fig. 8.31

Fie reacţiunea elementară qds, înclinată cu ϕ faţă de rază în punctul de aplicare. Din centrul O al cercului se duce o normală OT pe dreapta suport a reacţiunii qds:

sinOT R φ= Se construieşte cercul de rază sinr R φ= , care este tangent la dreapta suport a reacţiunii qds. Dacă se consideră un alt element ds, este evident că şi dreapta suport a reacţiunii qds

aferentă este tangentă la acelaşi cerc. Cercul de rază r sin φ la care sunt tangente toate direcţiile reacţiunilor elementare se numeşte

cerc de fricţiune. Cercul de fricţiune este tangent la planul AD care delimitează zona Rankine. Se observă că şi AD este dreaptă suport a unei reacţiuni elementare AD şi DC sunt planuri de

alunecare în zona de tip Rankine şi deci ele se intersectează sub unghiul de 90o - φ. Din modul în care s-a determinat centrul O şi anume OD DC⊥ rezultă că unghiul

TDO φ∠ = şi deci distanţa OT de la centrul cercului O la dreapta AD este R sin φ. Unui alt qds îi corespunde un alt punct de tangentă T1 (Fig. 8.32).

Fie Q rezultanta reacţiunilor elementare qds. Pentru a afla direcţia forţei Q se exprimă momentul ei faţă de centrul cercului de fricţiune:

sinQ d qds R φ⋅ = ⋅∫

R şi ϕ fiind constante în raport cu ds:

sinQ d R q dsφ⋅ = ⋅∫



139

Fig. 8.32

Fig. 8.33.

Dar qds Q>∫ pentru că un contur poligonal (poligonul forţelor qds) este mai mare decât

dreapta care uneşte extremităţile conturului (rezultanta Q) (Fig. 8.32): Deci: sind R φ> şi anume

sinqds

d RQ

φ=∫

În mod aproximativ se consideră

1qds

Q=

∫ .

Aceasta înseamnă că dreapta suport a reacţiunii Q a pământului se ia de asemenea tangentă la cercul de fricţiune. Această aproximaţie făcută nu aduce erori mari în calcule pentru că raportul

qds

Q∫ , este foarte apropiat de 1.

Pentru aflarea lui Pp se procedează astfel: (Fig. 8.33) − Se compun forţele Ep şi G, cunoscute atât ca mărime cât şi ca direcţie, obţinându-se o

rezultantă S. Masivul ABDEA este în echilibru sub acţiunea a trei forţe: S, Q, P. − Din condiţia de concurenţă a celor trei forţe se află direcţia lui Q. În acest scop, pentru

aflarea mărimii rezistenţei pasive se determină intersecţia dintre dreptele suport ale forţelor P şi S. Ducând din punctul de intersecţie o tangentă la cercul de fricţiune se află direcţia forţei Q.

− Aflarea lui P revine la a descompune o forţă de mărime şi direcţie cunoscute (S) după două direcţii cunoscute (ale lui Q şi P)

S-a aflat în acest mod, rezistenţa P corespunzătoare unei suprafeţe de alunecare aleasă arbitrar (s-a considerat un punct oarecare D pe dreapta AD).

Pentru a determina suprafaţa reală de alunecare se face calculul expus pentru o serie de



140

suprafeţe de alunecare posibile, determinate prin punctele D1, D2, D3 etc. (Fig. 8.34). Suprafaţa de alunecare reală va fi cea care corespunde rezistenţei minime, care este

rezistenţa pasivă. Pentru a o afla se raportează mărimile P pe dreapta AC obţinându-se curba de variaţie a lui

P. Ducând o tangentă paralelă cu AC la această curbă se obţine punctul de rezistenţă pasivă, căruia îi corespunde suprafaţa de alunecare căutată.

Fig. 8.34 b) Pământ având numai coeziune Se procedează prin suprapunere de efecte (Fig. 8.35):

0

'p p pP P P= + (8.1)

unde: 0pP - rezistenţa pasivă a pământului fără coeziune;

'pP - aportul coeziunii la rezistenţa pasivă.

Fig. 8.35



141

S-a determinat cu metoda expusă anterior rezistenţa pasivă a pământului considerat necoeziv

(0pP ).

Pentru a afla pentru acelaşi pământ care este aportul coeziunii se va considera masivul

ABCD lipsit de greutate. Forţele care acţionează asupra masivului ABDE şi îşi fac echilibru la limită sunt:

Ca - rezultanta forţelor de adeziune dintre perete şi pământ C - rezultanta forţelor de coeziune pe porţiunea curbă BD a suprafeţei de alunecare

'pE - rezultanta efectului coeziunii corespunzătoare unui perete ipotetic ED şi a

prismului de cedare EDC; Q ' - rezultanta reacţiunilor elementare ale pământului pe suprafaţa BD de alunecare; este tangentă la cercul de fricţiune;

'pP - forţă necunoscută ca mărime, aportul coeziunii la rezistenţa pasivă a pământului;

se aplică la ½ H (diagrama presiunilor pasive date de coeziune este un paralelo- gram) şi este înclinată faţă de normala pe suprafaţa zidului cu unghiul δ (unghi de frecare perete - pământ). În cele ce urmează se vor face câteva observaţii asupra acestor forţe urmărindu-se stabilirea

direcţiei şi mărimii lor.

'pE - este cunoscută ca mărime şi direcţie fiind egal cu aria unei diagrame drept -

unghiulare de presiuni:

' 2 tg 452pE cφ

= +

� DE (8.2)

Ca - sunt forţele elementare de aderenţă pământ - perete; această aderenţă este ca mărime mai mică, cel mult egală, cu coeziunea pământului respectiv; forţele elementare sunt reacţiuni care se opun tendinţei de mişcare relativă dintre pământ şi perete în planul de separaţie între ele. Pe această bază se stabilesc sensul şi direcţia acestor forţe elementare. Rezultanta Ca a forţelor elementare de aderenţă este: a aC P AB= =

Uzual se consideră că: 0,5aC c AB= ⋅ ⋅ (8.3)

unde c este coeziune pământului considerat.



142

Se împarte arcul BD în elemente ds pe care acţionează forţe elementare c ds⋅ tangente la aceste arce elementare şi dirijate în sens contrar alunecării (Fig. 8.36).

Fie două elemente ds simetrice faţă de mediana corzii BD

Fig. 8.36 Curba BD fiind un arc de cerc, iar cele două elemente fiind situate simetric, rezultă că cele

două forţe elementare de coeziune c ds⋅ fac cu direcţia corzii BD��

acelaşi unghi ω. Proiectând

aceste forţe pe direcţia corzii BD��

şi cea a normalei la coardă şi utilizând convenţia de semne indicată se obţine:

− pentru elementul (1)

� proiecţie pe coardă: cosc ds ω⋅ ⋅

� proiecţie pe normală sinc ds ω⋅ ⋅

Capitolul 9. Stabilitatea taluzurilor


143

Capitolul 9

STABILITATEA TALUZURILOR

Taluzul se defineşte ca legătura dintre două cote ale unei săpături sau umpluturi nesprijinite (Fig. 9.1).

Terasamentele executate pentru lucrări de drumuri şi căi ferate, diguri, baraje din materiale

locale (pământ, anrocamente) sunt mărginite prin taluzuri. ExcavaŃiile pentru realizarea fundaŃiilor sau a construcŃiilor subterane pot fi de asemenea racordate cu suprafaŃa terenului prin taluzuri.

Fig. 9.1 Atunci când suprafaŃa înclinată a terenului este rezultatul proceselor geologice naturale se

numeşte versant. Principala problemă care se pune la proiectare şi execuŃie este asigurarea stabilităŃii

taluzurilor sau versanŃilor. Dintre factorii care pot provoca pierderea de stabilitate a unui taluz sau versant sunt de amintit:

− diminuarea rezistenŃei la forfecare a pământurilor coezive ca urmare a sporirii umidităŃii

acestora; − efectul hidrodinamic al unui curent de apă; − supraîncărcarea la partea superioară a taluzului; − decaparea neraŃională la piciorul taluzului; − acŃiuni seismice sau alte acŃiuni dinamice.



144

Cunoaşterea forŃelor care asigură stabilitatea şi a celor care se opun stabilităŃii, a factorilor care modifică raportul dintre aceste forŃe reprezintă o premisă obligatorie pentru înŃelegerea fenomenelor naturale denumite în Geologia inginerească alunecări de teren, pentru adoptarea măsurilor de prevenire sau combatere a acestora.

9.1. STABILITATEA TALUZURILOR ÎN MASIVE OMOGENE DE PĂMÂNT NECOEZIV 9.1.1. CAZUL PĂMÂNTULUI USCAT SAU SATURAT După cum s-a arătat la § 6.7.1, din exprimarea condiŃiei de echilibru limită a unei particule

aflată la suprafaŃa unui taluz în material în stare uscată sau saturată, rezultă că unghiul de taluz natural β este egal cu unghiul de frecare interioară, ϕ:

β ϕ= (9.1) CondiŃia (9.1) arată că taluzul este stabil cât timp unghiul pe care-l face cu orizontala este

mai mic sau, la limită, egal cu unghiul de frecare interioară. O concluzie importantă care se desprinde din condiŃia (9.1): la pământuri necoezive panta

de taluz stabil nu depinde de înălŃimea taluzului ci doar de rezistenŃa la forfecare a pământului. 9.1.2. INFLUENłA UNEI PÂNZE DE APĂ ASUPRA STABILITĂłII TALUZULUI Se exemplifică prin cazul particular al pânzei care debuşează tangent la suprafaŃa taluzului

(Fig. 9.2). Se examinează echilibrul unui volum unitar de pământ aflat pe taluz, sub punctul de tangenŃă al liniei de curent la taluz.

După cum se ştie, în fiecare punct al liniei de curent acŃionează o forŃă a curentului tangentă

la linia de curent, dirijată în sensul curgerii care, raportată la un volum unitar de pământ, are valoarea:

wj iγ= ⋅

Fig. 9.2



145

Considerând două puncte în cuprinsul liniei de curent, în lungul taluzului, se observă că

sinh

i β∆

= =∆ l

Deci sinwj γ β=

CondiŃia de stabilitate se exprimă: T j F+ ≤

sin sinT G β γ β= = cos tg = cos tgF G β φ γ β φ=

' 'sin sin cos tgwγ β γ β γ β φ+ ≤ '

'tg tg

w

γβ φ

γ γ≤ ⋅

+ (9.2)

Pentru valori uzuale ale lui γs şi n %, γ ' la nisipuri este cca. 10 kN/m3. Luând γw = 10 kN/m3, expresia (9.2) devine la limită:

1tg = tg

2β φ (9.3)

Comparând (9.1) cu (9.3) rezultă că, în cazul curentului care debuşează după tangenta la taluz, acŃiunea hidrodinamică micşorează la jumătate panta taluzului stabil.

Pierderea de stabilitate prin lichefiere

O problemă specială o pune stabilitatea depozitelor formate din nisipuri afânate saturate. Porozitatea acestor pământuri depăşeşte porozitatea critică, adică solicitările de tip deviatoric sunt însoŃite de tendinŃa de micşorare a volumului pământului, deci de o creştere a presiunii apei din pori (parametrul A al lui Skempton - vezi § 4.5 - poate atinge valoarea 2). Presiunea mare a apei din pori micşorează practic până la anulare rezistenŃa la forfecare a nisipului şi se produce lichefierea acestuia. Alunecarea produsă ca rezultat al lichefierii are caracterul unei curgeri care antrenează mase mari de pământ şi apă. Asemenea alunecări au fost semnalate în depozite saturate, uniforme, afânate de nisipuri fine, nisipuri fine prăfoase şi prafuri nisipoase.

9.2. STABILITATEA TALUZURILOR ÎN MASIVE OMOGENE DE PĂMÂNT COEZIV 9.2.1. IPOTEZA SUPRAFEłEI PLANE DE ALUNECARE Fie un masiv omogen de pământ coeziv, limitat de un taluz de înălŃime H şi înclinare β,

căruia se cere să i se verifice stabilitatea. Pentru înŃelegerea jocului de forŃe se adoptă ca ipoteză de lucru ipoteza pierderii de

stabilitate în lungul unei suprafeŃe plane de înclinare α .



146

Fie G greutatea prismei de pământ ABC care tinde să alunece (Fig. 9.3), ale cărei componente normală pe suprafaŃa de alunecare, N, şi în lungul acesteia, T, sunt:

cos

sin

N G

T G

αα

=

=

În fiecare punct al suprafeŃei BC se îndeplineşte condiŃia de rupere:

tg +cfτ σ ϕ=

Integrând tensiunile τ şi σ în lungul ariei 1 1BC L⋅ = ⋅ (problema plană) se obŃine rezistenŃa

pe care o opune pământul pe suprafaŃa BC la tendinŃa de alunecare a prismei ABC:

Fig. 9.3

cos tg +c L=F+CS G α ϕ=

CondiŃia de stabilitate se exprimă: T S≤

sin cos tg +c LG Gα α ϕ≤ (9.4)

Dar ( )sin1

2 sinG H L

β αγ

β−

= (9.5)

deoarece prin aplicarea teoremei sinusurilor în ∆ ABC, ( )sin

sinAC L

β αβ−

= .

Se înlocuieşte (9.5) în (9.4) şi se obŃine:

( ) ( )sin sin cos sin1 1

2 sin 2 sin cosHL HL cL

β α β α α ϕγ γ

β β ϕ− −

≤ +



147

( ) ( )sin sin sin cos sin1

2 sin sin cosH c

β α α β α α φγ

β β φ− −

− ≤

( ) ( )sin sin cos sin cos1

2 sin cosH c

β α α ϕ ϕ αγ

β ϕ− −

≤

( ) ( )sin sin1

2 sin cosH c

β α α φγ

β ϕ− −

≤

(9.6)

Pentru o înălŃime H dată, taluzul de înclinare β este stabil dacă inegalitatea (9.6) este

satisfăcută pentru orice valori ale unghiului α cuprinse între φ şi β. SituaŃia cea mai periculoasă corespunde acelei valori a lui α pentru care primul membru al

inegalităŃii (9.6) devine maxim. Se notează: ( ) ( )sin sin Aβ α α φ− − =

Trebuie deci ca 0dA

dα= .

( ) ( ) ( ) ( )cos sin sin cos 0β α α ϕ β α α ϕ− − − + − − =

( )sin 0β α α ϕ− − − =

0 2

β ϕα

+= (9.7)

łinând seama de (9.7), expresia (9.6) devine:

2sin1 22 sin cos

H c

β ϕ

γβ ϕ

−

≤ (9.8)

CondiŃia de stabilitate (9.8) arată că, spre deosebire de pământurile necoezive, în cazul

pământurilor coezive panta taluzului stabil depinde de înălŃimea taluzului. La limită, egalând cei doi termeni ai expresiei (9.8) se deduce înălŃimea maximă pe care

taluzul cu înclinarea β faŃă de orizontală se poate menŃine stabil, denumită înălŃime critică, Hcr:

cr2

2 sin cos

sin2

cH

β φβ φ

γ=

− (9.9)

Cu cât înclinarea β este mai redusă, cu atât înălŃimea Hcr este mai mare (Fig. 9.4).



148

Fig. 9.4 Din examinarea expresiei (9.8), rezultă că în condiŃia de stabilitate a unui taluz din material

coeziv intervin cinci parametri: − caracteristicile rezistenŃei la forfecare ϕ şi c; − greutatea volumică γ; − caracteristicile geometrice ale taluzului H, β

La limită, expresia (9.8) se mai poate pune sub forma:

2

2sin cos

sin2

s

HN

c

γ β ϕβ φ

= =−

(9.10)

Ns reprezintă un număr (fără dimensiuni) denumit număr de stabilitate. Pentru β şi φ date şi pentru o anumită formă a suprafeŃei de alunecare, Ns are o valoare bine precizată.

Pentru cazul particular al taluzului vertical, 90β = o

4 tg 452sNφ = +

o

cr

4 tg 45

2

cH

φγ

= +

o (9.11)

iar dacă

0

4sN

φ =

=

o

cr

4cH

γ= (9.12)

RelaŃiile (9.11) şi (9.12) au fost deduse şi la aplicarea teoriei lui Rankine privind echilibrul

limită în masivul limitat de o suprafaŃă orizontală. S-a arătat la § 7.1 că în cazul pământului coeziv adâncimea la care se anulează presiunea activă a pământului, z0 este:

0

2 tg 45

2

cz

φγ

= +

o

iar adâncimea critică Hcr, adică înălŃimea pe care peretele vertical poate sta nesprijinit este:

cr 0

42 tg 45

2

cH z

φγ

= = +

o



149

9.2.2. IPOTEZA SUPRAFEłEI CIRCULARE DE ALUNECARE. GRAFICUL LUI TAYLOR Studiul alunecărilor de teren produse în masive omogene a arătat că ipoteza suprafeŃei

circulare de alunecare aproximează destul de bine forma suprafeŃelor reale. Pentru suprafaŃa circulară de alunecare, Taylor a calculat valorile numărului de stabilitate Ns

în funcŃie de β şi φ , prezentându-le într-un grafic. Se constată că pentru cazul particular β = 90o, Ns = 3,85 (faŃă de Ns = 4 în cazul ipotezei suprafeŃei plane) (Fig. 9.5).

Fig. 9.5 La utilizarea practică a graficului lui Taylor apar mai multe situaŃii: � Se dau ϕ, c, γ, β. Se cere înălŃimea de taluz stabil corespunzătoare unui anumit coeficient

de siguranŃă Fs. Se fixează pe abscisă unghiul β, se ridică o verticală până la întâlnirea curbei care

corespunde lui ϕ dat. Se determină ordonata punctului de intersecŃie Ns.

Din expresia cr

cs

HN

γ= , cunoscându-se γ şi c se determină Hcr, înălŃimea critică (maximă)

a taluzului de pământ β. ÎnălŃimea admisibilă corespunzătoare coeficientului de siguranŃă Fs prescris se obŃine cu relaŃia

cradm

s

HH

F=

� Se dau ϕ, c, γ, Hadm. Se cere stabilirea înclinării β care să corespundă unui coeficient de

siguranŃă Fs.



150

Se calculează crcr adm ,s s

HH F H N

c

γ= ⋅ = care se fixează pe axa ordonatelor de unde se duce

orizontala până la intersecŃia curbei corespunzătoare unghiului ϕ dat. Se citeşte abscisa β a punctului de intersecŃie. � Se dau ϕ, c, H, β. Se cere mărimea coeficientului de siguranŃă (problemă de verificare).

Pentru β şi φ date se obŃine crs

HN

c

γ= .

Coeficientul de siguranŃă crs

HF

H= .

Coeficientul de siguranŃă poate avea însă şi alte semnificaŃii. De exemplu, raport între rezistenŃa la forfecare s (sau τf) şi efortul unitar tangenŃial τ pe suprafaŃa potenŃială de alunecare:

s

sF

τ=

Pentru un taluz de pantă dată, se determină în funcŃie de β şi ϕ numărul Ns. Cunoscându-se

c şi H se calculează γ necesar pentru a se atinge condiŃia de rupere γnec. Coeficientul de siguranŃă se exprimă:

necsFγ

γγ

=

unde γ este greutatea volumică dată a pământului.

În mod similar, dacă se dau γ şi H se calculează c necesar la rupere, se defineşte nec

s

cF

c=

9.2.3. METODA CERCULUI DE FRICłIUNE Pentru a obŃine mărimea coeficientului de siguranŃă Fs în lipsa graficelor Taylor, se poate

folosi metoda cercului de fricŃiune. Se face ipoteza pierderii stabilităŃii în lungul unei suprafeŃe circulare BC (Fig. 9.6). ForŃele

care trebuie să-şi facă echilibru sunt:

− greutatea G a prismei de pământ ABC, − rezultanta c a coeziunii mobilizată în lungul suprafeŃei de alunecare egală cu

C c BC= ⋅ dirijată paralel cu coarda BC , la o distanŃă BC

d RBD

= ⋅ de centrul

cercului, − reacŃiunea totală Q pe suprafaŃa de alunecare, tangentă la cercul de rază

sinr R φ= , numit cerc de fricŃiune.



151

Fig. 9.6 Pentru o suprafaŃă de alunecare dată, coeficientul de siguranŃă se poate defini în mai multe

moduri: � prin raport cu coeziunea

Pentru φ dat se construieşte cercul de fricŃiune de rază R sin φ, iar din punctul de intersecŃie al dreptelor suport ale forŃelor G şi C se duce tangenta la cerc care defineşte direcŃia lui Q. Triunghiul de forŃe se construieşte descompunând G după direcŃiile cunoscute ale lui C şi Q. Se obŃine astfel forŃa totală de coeziune necesară echilibrului limită, Cnec, care prin împărŃire la aria BC � 1 dă cnec.

Coeficientul de siguranŃă nec

cs

cF

c= .

� prin raport cu unghiul de frecare interioară Pentru c dat se construieşte poligonul de forŃe, cu valori cunoscute ale lui G şi C, rezultând

valoarea şi direcŃia forŃei Q. Din punctul de intersecŃie al forŃelor G şi C se duce o paralelă la direcŃia lui Q.

Se determină ϕnec pentru echilibrul limită

nec

tg

tgsFφ

ϕϕ

=

Se caută aflarea unui coeficient de siguranŃă unic:

nec nec

tg

tgcs s s

cF F F

cϕ

ϕϕ

= = = =

Unui φ dat îi corespunde un cnec pentru echilibru limită, unui c dat îi corespunde un tg ϕnec pentru echilibru limită.

Există o infinitate de perechi de valori tg ϕnec, cnec care, în sistemul de coordonate tg ϕ, c, descriu o curbă.

Fie M punctul care corespunde parametrilor ϕ şi c ai rezistenŃei la forfecare a pământului. Se uneşte M cu originea; fie P intersecŃia dreptei OM cu curba (tg ϕnec, cnec) (Fig. 9.7).



152

Fig. 9.7

Coeficientul unic de stabilitate se defineşte:

s

OMF

OP=

Coeficientul de siguranŃă în raport cu coeziunea:

( )''nec

1sc s

ML cF F

P L cϕ= = =

Coeficientul de siguranŃă în raport cu frecarea interioară

( )'nec

tg 1

tg s sc

MKF F

P Kϕ

ϕϕ

= = =

9.2.4. CALCULUL PANTEI DE TALUZ STABIL CU METODA MASLOV Se porneşte de la ecuaŃia lui Coulomb:

tg f cτ σ ϕ= + (9.13)

Se împart ambii termeni cu σ

tg tg f cτϕ ψ

σ σ= = (9.14)

Unghiul ψ se numeşte unghi de tăiere. Expresia tg fτ σ ψ= este analogă cu expresia tg fτ σ ϕ= , cu deosebirea că unghiul de

tăiere depinde atât de ϕ cât şi de c. CondiŃia de stabilitate se va exprima:



153

tg tg β ψ≤

tg tg

sF

ψβ = (9.15)

unde 1,1 1,3sF = ÷ .

Maslov consideră că, în condiŃiile echilibrului limită, tensiunile normale σ sunt hidrostatice

(egale pe toate direcŃiile) şi sunt date de greutatea coloanei de pământ zσ γ= . Expresia (9.13) devine:

tg tg z

cψ ϕ

γ= + (9.16)

Pentru aplicarea expresiei (9.16), masivul în care urmează să se înscrie taluzul se împarte

prin plane orizontale într-un număr de straturi elementare (Fig. 9.8). Aplicarea expresiei (9.16) se face pornind de la stratul cel mai de jos. Într-un strat i:

tg tg i

i i

c

Hψ ϕ

γ= +

∑ (9.17)

Întrucât termenul i i

c

Hγ∑ creşte pe măsura apropierii de suprafaŃa masivului, panta ψ creşte

de asemenea. La limită micşorându-se foarte mult grosimea stratului elementar Hi, suprafaŃa stabilă devine

o curbă. La un rezultat asemănător se ajunge şi prin aplicarea unor metode de calcul riguroase bazate pe Teoria plasticităŃii.

Fig. 9.8 Ca metodă aproximativă, metoda Maslov se poate utiliza şi pentru stabilirea pantei taluzului

stabil în masive stratificate, în care caz la aplicarea relaŃiei (9.17) se iau în considerare valorile ϕ şi c ale stratului pentru care se determină panta.



154

9.3. STABILITATEA TALUZURILOR ÎN MASIVE DE PĂMÂNT STRATIFICATE 9.3.1. METODA FÂŞIILOR Se cere verificarea stabilităŃii unui taluz într-un masiv stratificat. Se face ipoteza că suprafaŃa

de alunecare este un arc de cerc, cu centrul într-un punct O, şi care trece prin piciorul taluzului. Prismul de pământ aflat deasupra suprafeŃei de alunecare se împarte prin plane verticale în

fâşii, urmărindu-se ca baza fiecărei fâşii să se afle într-un singur strat geologic (Fig. 9.9).

Fig. 9.9

În cazul cel mai general, asupra unei fâşii i, delimitată de planele verticale CE şi DF pot

acŃiona următoarele forŃe (Fig. 9.10):

Fig. 9.10

− greutatea fâşiei Gi (în care se include şi eventuala − încărcare exterioară Qi); − componentele normală Ni şi tangenŃială Si ale − reacŃiunii pe suprafaŃa de alunecare; − forŃele normale Ei şi Ei+1 şi tangenŃiale Ti, Ti+1 pe − feŃele verticale CE şi DF.

Sistemul este static nedeterminat. Pe lângă ecuaŃiile de echilibru ar trebui introduse condiŃii suplimentare privind mărimea şi punctul de aplicare al forŃelor E şi T de interacŃiune dintre fâşii.

O metodă curent utilizată în practică, cunoscută şi sub numele de metoda suedeză este cea în

care se admite că rezultantele Ei, Ti şi Ei+1 şi Ti+1 sunt egale şi acŃionează pe aceiaşi dreaptă suport, ceea ce revine la exprima echilibrul fâşiei fără a mai introduce forŃe de interacŃiune.

În aceste condiŃii, fâşiile pot fi privite ca nişte discuri rigide separate prin plane verticale perfect lucioase, care se deplasează independent de-a lungul arcului.

Scriind ecuaŃiile de proiecŃie pe direcŃiile normalei la arcul de cerc li şi tangentei, rezultă:



155

cos

sini i i

i i i

N G

S G

α

α

=

= (9.18)

Fig. 9.11 Tensiunile normală şi tangenŃială în lungul arcului de cerc li aferent fâşiei i:

1cos

1sin

i i i

i

i i i

i

G

G

σ α

τ α

=

=

l

l

(9.19)

ForŃa Gi sin αi în sensul alunecării tinde să producă desprinderea prismului de pământ de-a lungul arcului AB.

Întrucât s-a admis că AB este suprafaŃa posibilă de alunecare rezultă că în fiecare punct al acestei suprafeŃe se îndeplineşte condiŃia tgf s cτ σ φ= = + .

ForŃa Si care se opune alunecării este dată de integrala rezistenŃei la forfecare ( )fs τ a

pământului pe arcul de cerc considerat:

( ) tg cos tg i i i i i i i iS s c G cσ ϕ α ϕ= = + = +l l l

Deci, în cazul pământului coeziv, forŃa Si are două componente: � cos tg i iG α φ datorată frecării interioare

� icl datorată coeziunii

Echilibrul fâşiei se exprimă luând momentul forŃelor faŃă de centrul O al suprafeŃei de

alunecare. Coeficientul de siguranŃă se defineşte ca raport între momentul Ms al forŃelor care asigură

stabilitatea (numit moment de stabilitate) către momentul Mr al forŃelor care produc alunecarea (numit moment de răsturnare):



156

st

dr

cos tg sin

sin

i i i i i iss

r i i

R G G cMF

M R G

α ϕ α

α

+ + = =∑

∑l

(9.20)

Se consideră că pentru fâşiile aflate la stânga verticalei ce trece prin centrul suprafeŃei de

alunecare, componenta după tangentă a greutăŃii fâşiei st

sini iG α este dirijată în sens contrar

alunecării şi deci se include între forŃele care dau moment de stabilitate. La utilizarea relaŃiei (9.20) ϕ şi c reprezintă caracteristicile stratului în care se află baza

fâşiei considerate. La calculul greutăŃilor Gi se Ńine seama de greutăŃile volumice γI, γII ... etc., ale straturilor

străbătute de fâşie. Coeficientul de siguranŃă se poate exprima în termenii eforturilor totale sau în termenii

eforturilor efective introducându-se în relaŃia (9.20) parametrii ϕ şi c adevăraŃi. De exemplu, în cazul utilizării eforturilor efective rezistenŃa la forfecare totală mobilizată pe

arcul li este:

( ) ( )tg ' ' cos tg ' ' 'i i i i i i iS s u c G u cσ ϕ α ϕ= = − + = − + l l l l

Coeficientul de siguranŃă se exprimă (Fig. 9.12):

( ){ }st

dr

cos tg ' ' sin

sin

i i i i i i

s

i i

G u c GF

G

α ϕ α

α

− + + =∑

∑l l

(9.21)

Fig. 9.12

Fs trebuie să fie mai mare decât o anumită valoare Fs adm care se prescrie în diferite norme în

funcŃie de clasa de importanŃă a lucrării (de obicei 1,3): Fs ≥ Fs adm (9.22) Trebuie să se verifice însă că pentru orice suprafaŃă trecând prin piciorul taluzului

inegalitatea (5) este satisfăcută, deoarece poziŃia centrului σ a fost arbitrară. Ar trebui deci efectuate încercări luând şi alte centre pentru a verifica relaŃia (9.22).



157

Fig. 9.13 Pentru a se reduce numărul de încercări se poate folosi următoarea metodă aproximativă: se

consideră că centrele suprafeŃelor circulare de alunecare cele mai periculoase, deci susceptibile de a conduce la coeficienŃii de siguranŃă cei mai mici, se găsesc situate pe o treaptă definită prin punctele O1 şi M. Punctul O1 se află la intersecŃia unor drepte (Fig. 9.13) care fac unghiurile ε1 şi ε2 cu linia taluzului şi, respectiv, cu orizontala prin creasta taluzului (Tab. 9.1).

Tabelul 9.1

tg α 1,73:1 1:1 1:1,5 1:2 1:3 1:5 α 60o 45o 33o45' 26o34' 18o25' 11o19' ε1 29o 28o 26o 25o 25o 25o ε2 40o 37o 35o 35o 35o 37o

Punctul M are coordonatele 4,5 H şi H, raportate la piciorul taluzului. Pe dreapta O1M se

aleg mai multe puncte drept centre ale unor suprafeŃe posibile de alunecare. Se calculează cu metoda fâşiilor coeficientul de siguranŃă aferent fiecărui centru şi se

reprezintă la o scară convenabilă, luând dreapta O1M ca axă de referinŃă. Se construieşte curba de variaŃie a coeficienŃilor de siguranŃă. Tangenta la curbă paralelă cu O1M defineşte Fs min. Dacă Fs min > Fs adm, taluzul este stabil, iar

verificarea se consideră încheiată. Dacă Fs min < Fs adm, urmează a se adopta măsuri pentru îmbunătăŃirea condiŃiilor de stabilitate ale taluzului.

Examinarea formulelor (3) sau (4) explică împrejurările care pot conduce la modificarea condiŃiilor de stabilitate ale taluzului. Astfel, o suprasarcină aplicată la partea superioară sau o decapare la bază înrăutăŃesc condiŃiile de stabilitate (Fig. 9.14), conducând la majorarea forŃelor ce tind să provoace alunecarea şi la diminuarea celor ce se opun alunecării. Dimpotrivă, o decapare la partea superioară sau o suprasarcină la picior, sub forma unei contrabanchete, contribuie la sporirea lui Fs.

O mare influenŃă asupra condiŃiilor de stabilitate o are variaŃia rezistenŃei la forfecare, datorată în special modificării umidităŃii pământurilor fără coeziune prezenŃa unui curent de apă modifică condiŃiile de stabilitate.



158

Fig. 9.14 9.3.2. VERIFICAREA STABILITĂłII VERSANłILOR ÎN CONDIłIILE SUPRAFEłELOR DE ALUNECARE PREDETERMINATE Uneori, particularităŃi ale condiŃiilor geologice pe amplasament determină o anumită

suprafaŃă de alunecare, de formă oarecare. Problema se pune în a cunoaşte, pentru suprafaŃa de alunecare predeterminată, rezerva de stabilitate şi împrejurările în care această rezervă se poate epuiza prin activitatea de construcŃii (supraîncărcări, decapări etc.), prin reducerea rezistenŃei la forfecare a pământului în urma unei umeziri intense etc.

O situaŃie de acest fel, frecvent întâlnită, este aceea a versanŃilor la care roca de bază mai rezistentă este acoperită cu un pachet de material acumulat, denumit deluviu.

SuprafaŃa de contact între roca de bază şi deluviu se poate transforma, în anumite condiŃii, în suprafaŃă de alunecare. Forma suprafeŃei de alunecare se determină prin sondaje. De obicei această suprafaŃă de contact rocă - deluviu este însă neregulată, în care caz se utilizează următoarea metodă grafoanalitică (Fig. 9.15).

Se împarte masa deluvială într-un număr de sectoare delimitate prin plane verticale, ce trec prin punctele de schimbare de pantă ale suprafeŃei de alunecare predeterminate.

Fig. 9.15

Spre deosebire de metoda fâşiilor expusă anterior, la această metodă sunt luate în

considerare forŃele de împingere reciprocă E dintre fâşii, presupunând direcŃia acestora orizontală.



159

Calculul începe cu sectorul cel mai de sus. Greutatea G1, cunoscută ca mărime şi direcŃie, trebuie să-şi facă echilibru cu reacŃiunea R1 şi forŃa de coeziune C1 de pe suprafaŃa de alunecare şi împingerea E2-1 dintre sectoarele 1 şi 2.

Coeficientul de frecare între deluviu şi roca de bază este egal cu tg ϕ, unde ϕ este unghiul de frecare interioară al deluviului. Aceasta înseamnă că, pe lângă forŃa N, normală la suprafaŃa de separaŃie, se dezvoltă în momentul alunecării şi o forŃă tangenŃială tg F N ϕ= . ReacŃiunea R este

rezultanta forŃelor N şi F, prin urmare face unghiul ϕ cu normala la suprafaŃa de alunecare, iar mărimea rezultă din poligonul de forŃe.

ForŃa de coeziune 1 1 1C c= l este dirijată paralel cu suprafaŃa de alunecare aferentă secto-

rului 1. Împingerea E2-1 este necunoscută ca mărime, dar are direcŃia cunoscută (orizontală). Problema revine, deci, la a compune două forŃe cunoscute ca mărime şi direcŃie G1 şi C1 şi

apoi a descompune rezultanta lor după două direcŃii cunoscute, pentru a se afla mărimile lui E2-1 şi R1. E2-1 determinat din poligonul de forŃe se ia cu semn schimbat ca împingere cunoscută la studiul echilibrului sectorului 2. Se compun E1-2, G2, C2 iar rezultanta lor se descompune după direcŃiile lui R2 şi E3-2.

În acelaşi mod, transmiŃând de la o fâşie la alta împingerea E, se ajunge din aproape în aproape la sectorul final n, asupra căruia acŃionează: împingerea E(n-1)-n de la sectorul (n-1), greutatea Gn, forŃa de coeziune Cn, toate cunoscute atât ca mărime cât şi ca direcŃie, Rn cunoscut numai ca direcŃie. Se construieşte poligonul celor patru forŃe.

Pot să apară trei situaŃii (Fig. 9.16):

Fig. 9.16

a) Poligonul se închide. În acest caz versantul este în echilibru limită, nu are nici

deficit, nici rezervă de stabilitate

b) Poligonul nu se închide, iar pentru închiderea lui este necesară o forŃă E dirijată în sensul alunecării. Versantul prezintă stabilitate, faptul că pentru închiderea poligonului este necesară o forŃă E dirijată în sensul alunecării arată o rezervă de stabilitate.

c) Poligonul nu se închide, iar pentru închiderea lui este necesară o forŃă E dirijată în sens opus alunecării. Versantul nu este stabil, iar deficitul de stabilitate corespunde unei împingeri E neechilibrate. În acest caz se pot lua unele măsuri de îmbunătăŃire (decapare la partea superioară, executarea unei banchete la picior) sau se prevăd



160

lucrări de drenare care să ducă prin reducerea umidităŃi la creşterea rezistenŃei la forfecare a masei deluviale. De asemenea stabilitatea poate fi asigurată prin amplasarea la baza versantului a unui zid de sprijin capabil să preia împingerea neechilibrată. (Fig. 9.17)

Fig. 9.17

9.4. INFLUENłA APEI SUBTERANE ASUPRA STABILITĂłII TALUZURILOR DIN PĂMÂNTURI COEZIVE PrezenŃa apei subterane poate modifica substanŃial condiŃiile de stabilitate ale unui taluz. Să

consideră, pentru exemplificare, un masiv omogen din pământ coeziv. În funcŃie de nivelul apei în corpul şi în faŃa masivului apar trei situaŃii distincte:

a) Taluz complet inundat, pământul submersat (Fig. 9.18) Se poate Ńine seama de prezenŃa apei în două moduri: − La calculul greutăŃii G a prismului de alunecare se consideră greutatea volumică saturată

a pământului, γsat. Se compune apoi G cu rezultanta W1 a presiunii apei pe faŃa AB şi cu rezultanta W2 a presiunii apei pe suprafaŃa de alunecare. Se obŃine greutatea G' care se descompune, după cum s-a arătat la § 9.2.3, după direcŃiile lui C şi R.

− Se calculează greutatea G' a prismului de alunecare Ńinând seama de subpresiune (considerând greutatea submersată γ ' ). Apoi se procedează ca în cazul 1.



161

Fig. 9.18

b) Coborârea bruscă a nivelului apei în faŃa taluzului (Fig. 9.19) Se admite că se produce o coborâre bruscă a nivelului apei de pe taluz, cum se întâmplă de

exemplu la golirea accidentală a rezervorului din spatele unui baraj sau dig de pământ. Golirea fiind bruscă, nu este însoŃită imediat şi de coborârea nivelului apei din masiv, ca urmare a permeabilităŃii scăzute a pământului. Greutatea totală G a pământului în stare saturată este aceiaşi ca în primul caz, dispărând însă rezultanta apei pe taluz, W1, iar rezultanta presiunii apei în lungul suprafeŃei de alunecare '

1W este mai mică decât W1 datorită coborârii apei din faŃa taluzului.

Se compun G şi '1W , iar rezultanta B se descompune după direcŃiile lui R şi C.

În acest caz, condiŃiile de solicitare sunt mult mai severe decât în cazul examinat anterior.

Fig. 9.19



162

c) Taluz supus acŃiunii apei în mişcare (Fig. 9.20)

Fig. 9.20 După trecerea unui timp suficient de îndelungat pentru a se produce consolidarea (anularea

presiunilor suplimentare ∆ u în apa din pori produse de coborârea bruscă a nivelului apei din faŃa taluzului), se creează un regim permanent de mişcare a apei în corpul masivului spre piciorul taluzului, însoŃită de o coborâre a nivelului apei. Ca urmare, rezultanta presiunilor apei în lungul suprafeŃei de alunecare W "1 este şi mai mică decât în cazul precedent, iar condiŃiile de solicitare sunt mai severe decât în primul caz dar mai puŃin severe decât în al doilea.

Dacă verificarea stabilităŃii se face cu metoda fâşiilor, pentru luarea în considerare a acŃiunii apei în mişcare se procedează astfel:

− se construieşte spectrul hidrodinamic corespunzător condiŃiilor de curgere a apei

date (Fig. 9.21); − cunoscându-se spectrul se determină presiunea apei din pori la baza fiecărei fâşii; − se exprimă coeficientul de siguranŃă în funcŃie de eforturile efective şi de

parametrii ϕ şi c stabiliŃi în termenii eforturilor efective, cu relaŃia arătată la paragraful 9.3.1:

( ) st

dr

cos tg ' sin

sini i i i i i

s

i i

G u GF

G

α φ α

α

− + = ∑∑

l (9.23)



163

Fig. 9.21

În lipsa spectrului hidrodinamic, se poate utiliza următoarea metodă pentru luarea în considerare a acŃiunii hidrodinamice:

Fie masivul de pământ coeziv mărginit de taluzul AB, străbătut de un curent de apă, a cărei suprafaŃă liberă este AD (Fig. 9.22). SuprafaŃa de alunecare este arcul unui cerc de rază R, AEDC.

Fig. 9.22 Volumul prismei de alunecare este împărŃit de curentul de apă în două părŃi: V1, deasupra

apei, şi V2, sub nivelul apei. Se consideră prisma de apă AEDA, aflată în echilibru sub acŃiunea următoarelor forŃe:

− greutatea proprie, 2w Vγ ⋅ ;

− reacŃiunea q a apei pe suprafaŃa de alunecare (normală la suprafaŃă); − rezistenŃa J opusă de scheletul solid la curgerea apei prin pori, aplicată în centrul

de greutate al volumului V2, egală şi de sens contrar cu forŃa curentului. Momentul acestor forŃe faŃă de punctul O este:

2wJ d V uγ⋅ = ⋅ ⋅ (9.23)

Coeficientul de siguranŃă are expresia:



164

( )( )

( )( )1 2 2 1 2

tg tg

'w ws

s

r w

N c R N c RMF

M V V a V a J d V V a

ϕ ϕ

γ γ γ

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = =

+ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅∑ ∑l l

(9.25)

în care: Nw - componenta normală a greutăŃii fâşiei Ńinând seama de efectul subpresiunii pentru partea aflată sub nivelul apei, γ - greutatea volumică a pământului aflat deasupra nivelului apei. Comparând expresiile (1) şi (3) se disting următoarele particularităŃi ale calculului stabilităŃii

taluzului din pământ coeziv, omogen sau neomogen, supus acŃiunii hidrodinamice: − momentul de răsturnare Mr se calculează luând greutatea integrală a penei ce

alunecă, fără a Ńine seama de efectul de subpresiune a apei; − momentul de stabilitate Ms se calculează luând în considerare la greutatea

masivului care alunecă (la calculul forŃelor Nw) efectul de subpresiune a apei. 9.5. ALEGEREA PARAMETRILOR REZISTENłEI LA FORFECARE DE UTILIZAT ÎN CALCULELE DE STABILITATE ÎN FUNCłIE DE CONDIłIILE DE SOLICITARE În paragrafele precedente s-au examinat diferite metode de verificare a stabilităŃii taluzurilor

şi versanŃilor, evidenŃiindu-se forŃele care trebuie să-şi facă echilibrul. Acesta reprezintă doar aspectul mecanic al problemei.

Se cer apoi a fi utilizate cunoştinŃe de geotehnică pentru precizarea condiŃiilor de solicitare sub care trebuie făcută verificarea, şi a parametrilor ϕ şi c de introdus în calcul, corespunzători acestor condiŃii.

În continuare se vor da câteva exemple. a) Stabilitatea unui dig de pământ aşezat pe un strat argilos saturat

Chiar dacă taluzul digului este stabil, se poate produce pierderea de stabilitate prin amorsarea unei suprafeŃe de alunecare în cuprinsul stratului argilos saturat.

Fie un punct M în cuprinsul suprafeŃei posibile de alunecare. Se construiesc diagrame de variaŃii cu timpul a încărcării aplicate asupra stratului argilos, a tensiunii tangenŃiale τ pe un plan ce trece prin punctul M, a rezistenŃei la forfecare s a pământului şi a coeficientului de siguranŃă Fs definit ca raport între s şi τ.

Presiunea iniŃială a apei din pori

0 0 wu h γ= ⋅

în care h0 este adâncimea punctului considerat sub nivelul pânzei freatice. Ca urmare a permeabilităŃii foarte reduse a argilei şi a ritmului rapid de aplicare a încărcării,

se poate admite că în timpul execuŃiei digului nu se produce drenarea apei şi deci nu are loc o disipare a presiunii suplimentare indusă în pori. Argila este solicitată în condiŃii nedrenate, răspunzând acestei solicitări cu rezistenŃa la forfecare în condiŃii nedrenate care, în lipsa drenării, rămâne neschimbată în cursul perioadei t1 de construcŃie.

După terminarea construcŃiei, tensiunile totale în punctul considerat rămân constante dar presiunea suplimentară în apa din pori se disipează treptat, până la anulare la un timp t2. Micşorarea



165

presiunii neutrale în cursul consolidării este însoŃită de o reducere a porozităŃii pământului, o creştere a tensiunilor efective şi a rezistenŃei la forfecare.

Verificările de stabilitate trebuie făcute, deci, pentru două momente caracteristice din viaŃa lucrării:

1. Stabilitatea la terminarea construcŃiei după timpul t1

− Verificarea se face utilizând eforturile totale şi parametrul cu obŃinut prin încercare nedrenată - neconsolidată pe probe saturate.

2. Stabilitatea după un timp îndelungat, t2 − Verificarea se face utilizând eforturile efective şi parametrii rezistenŃei la

forfecare obŃinuŃi în condiŃii drenate, ϕ ' şi c'. Examinând diagrama de variaŃie în timp a coeficientului de siguranŃă (Fig. 9.23):

s

sF

τ=

se constată că pentru exemplul ales momentul cel mai periculos îl reprezintă t1, la terminarea construcŃiei (Fig. 9.24). În continuare condiŃiile de stabilitate se îmbunătăŃesc.

Fig. 9.23 b) Stabilitatea unui taluz realizat prin excavare

Se realizează un taluz prin excavarea într-un masiv de pământ coeziv. Excavarea este însoŃită şi de o coborâre a nivelului pânzei freatice.

Fie o suprafaŃă potenŃială de alunecare şi un punct M pe această suprafaŃă.(Fig. 9.25) Ca şi în cazul anterior, se admite că excavarea se produce relativ rapid astfel încât în

perioada de construcŃie argila este solicitată în condiŃii nedrenate. Pe măsura excavării, tensiunea τ în punctul considerat creşte.

Micşorarea presiunii geologice în punctul M determină o micşorare a presiunii în pori (presiunea suplimentară în pori negativă).

Anterior, în capitolul 4 s-a arătat că solicitarea hidrostatică asociată cu solicitarea deviatorică conduce la o presiune suplimentară în pori, ∆ u:

( )3 1 3u B ABσ σ σ∆ = ⋅∆ + ∆ − ∆

În pământ saturat şi în condiŃii nedrenate:

1B = ( )3 1 3u Aσ σ σ∆ = ∆ + ∆ − ∆



166

Fig. 9.24 În cazul unei săpături taluzate tensiunea principală minimă σ 3 descreşte mai mult decât

tensiunea principală maximă σ1, astfel ∆ σ 3 este negativ ( )1 3σ σ∆ − ∆ pozitiv iar ∆ u este negativ

cu o valoare care depinde de A.



167

În timp, presiunea suplimentară din pori se disipează, producând o umflare a argilei şi o reducere a rezistenŃei la forfecare.

Apoi, după un timp t2, presiunea suplimentară se anulează. CondiŃii de stabilitate pentru două momente caracteristice din viaŃa lucrării:

1. Stabilitatea la terminarea excavării, la timpul t1 − Verificarea se face ca şi cazul precedent, utilizând eforturi totale şi parametrul cu

2. Stabilitatea după un timp îndelungat − Verificarea se face utilizând eforturile efective (prin cunoaşterea presiunii în pori

corespunzătoare poziŃiei finale a pânzei freatice) şi parametrii rezistenŃei la forfecare ϕ ' şi c'.

Spre deosebire de cazul examinat anterior, se constată că situaŃia cea mai defavorabilă apare

după un timp îndelungat t2, deoarece rezistenŃa la forfecare continuă să scadă până când presiunea excedentară negativă a apei din pori devine nulă (Fig. 9.26).

Fig. 9.25 În concluzie, la alegerea parametrilor de rezistenŃă la forfecare se vor avea în vedere

următoarele recomandări:

� Verificarea stabilităŃii la terminarea procesului de construcŃie, fie că acesta implică încărcarea sau descărcarea pământului argilos saturat susceptibil de a-şi pierde stabilitatea, în cazul când perioada de construcŃie este scurtă în comparaŃie cu timpul necesar disipării presiunii suplimentare în apa din pori (timpul de consolidare), se utilizează eforturile totale şi parametrul cu.

� La fel, dar pe pământuri parŃial saturate: se poate face calculul fie în eforturi

totale cu parametrii cu, ϕu, obŃinuŃi din încercările UU, fie în eforturi efective (ceea ce implică stabilirea presiunii în pori) cu parametrii ϕ ' şi c'.



168

Fig. 9.26

� Verificarea stabilităŃii după un timp îndelungat: se utilizează eforturile efective, după stabilirea presiunii în pori corespunzătoare nivelului final al apei subterane, cu parametrii ϕ ' şi c'.

� Verificarea stabilităŃii la un timp intermediar: eforturi efective pe baza

estimării presiunii în pori şi parametrii ϕ ' şi c'.

geotehnica ii

Documents