GEO

STAT

ISTI

CA

Not

e de

cur

s

Cur

s nr

.1

Expe

rimen

t, ev

enim

ent

Ex

perim

ent:

Proc

edeu

de

cerc

etar

e in

st

iinta

, car

e co

nsta

in p

rovo

care

a in

tent

iona

ta a

uno

r fen

omen

e in

con

ditii

le

cele

mai

pro

pice

pen

tru s

tudi

erea

lor s

i a

legi

lor c

are

le g

uver

neaz

a; o

bser

vatie

pr

ovoc

ata,

exp

erie

nta.

Din

lat.

expe

rimen

tum

. S

ursa

: (D

ex)

Expe

rimen

t, ev

enim

ent

U

n ex

perim

ent,

expe

rien

sau

prob

este

o

oper

atie

, o p

roce

dur

sau

o m

etod

olog

ie

care

se

exec

ut

pent

ru v

erifi

care

a un

ei

ipot

eze

cu s

copu

l val

idr

ii sa

u in

validr

ii ac

este

ia

i car

e po

ate

da u

n nu

mr

fini

t sa

u in

finit

de re

zulta

te.

Ex

empl

e de

exp

erim

ente

:

ext

rage

re d

e ca

rote

mec

anic

e di

ntr-o

son

da

(form

aiu

ne g

eolo

gic

)

ms

urar

ea u

nei p

ropr

ieti

a un

ui e

sant

ion

de

roca

(rad

ioac

tivita

te, d

ensi

tate

, por

ozita

te e

tc.)

Expe

rimen

t, ev

enim

ent

R

ezul

tatu

l une

i exp

erim

ent s

e nu

me

te

even

imen

t

Exem

plu:

pe

un zcm

nt,

au fo

st e

xtra

se 3

car

ote

mec

anic

e (3

exp

erim

ente

), si

au

fost

ms

urat

e 19

val

ori d

e po

rozi

tate

. Se

poat

e af

irma

c a

u fo

st re

aliz

ate

pent

ru a

cest

zcm

nt:

3 ex

perim

ente

i a

u re

zulta

t 19

even

imen

te

Expe

rimen

t, ev

enim

ent

Nr.

crt.

Caro

ta n

r.1

Caro

ta n

r.2

Caro

ta n

r.3

1 0,

20

0,14

0,

16

2 0,

22

0,21

0,

23

3 0,

19

0,26

0,

26

4 0,

15

0,24

0,

19

5 0,

21

0,15

0,

20

6 0,

17

0,18

7 0,

25

8 0,

23

Tipu

ri de

eve

nim

ente

Ev

enim

ent a

leat

oriu

est

e ac

ela

care

se

poat

e pr

oduc

e sa

u nu

la e

fect

uare

a un

ui

expe

rimen

t; Ev

enim

ent s

igur

est

e ac

ela

care

se

prod

uce

cu c

ertit

udin

e la

oric

e ef

ectu

are

a a

unui

ex

perie

men

t; se

not

eaz

cu

; E

veni

men

t im

posi

bil n

u se

pro

duce

la n

ici o

ef

ectu

are

a ex

perim

entu

lui;

se n

otea

z c

u ;

Com

bina

tia e

veni

men

telo

r

R

euni

unea

eve

nim

ente

lor

Ev

enim

entu

l E re

prez

int

reun

iune

a ev

enim

ente

lor E

1 i

E2

daca

eve

nim

entu

l E

cont

ine

toat

e el

emen

tele

com

mun

e si

ne

com

une

ale

celo

r dou

even

imen

te,

i se

not

eaz

:

21

EE

E

=

Com

bina

tia e

veni

men

telo

r

In

ters

ectia

eve

nim

ente

lor

Ev

enim

entu

l E re

prez

int

inte

rsec

tia

even

imen

telo

r E1 i

E2

daca

eve

nim

entu

l E

cont

ine

toat

e el

emen

tele

com

mun

e al

e ce

lor d

ou

even

imen

te, s

e no

teaz

a:

21

EE

E

=

Com

bina

tia e

veni

men

telo

r

Reu

niun

ea

even

imen

telo

r

Inte

rsec

tia

even

imen

telo

r

Com

bina

tia e

veni

men

telo

r

[]

19.0;15.0

1=

E[

]24.0;

18.02

=E

[]

24.0,15.0

21

=E

E[

]19.0,

18.02

1=

E

E

[] ]

12.0;5.00

=E

=

1

0E

E

E 1 =

( 3

, 4 )

E 0 =

( 1

, 2 )

E 2 =

( 5

, 6 )

Det

erm

inar

ea fa

cies

urilo

r prin

co

mbi

nare

a ev

enim

ente

lor

Com

bina

tia e

veni

men

telo

r E

veni

men

te in

com

patib

ile; D

oua

sau

mai

mul

te e

veni

men

te s

unt i

ncom

patib

ile

daca

nu

se p

ot re

aliz

a im

preu

na

Even

imen

te c

ompa

tibile

, Dou

a sa

u m

ai m

ulte

eve

nim

ente

sun

t co

mpa

tibile

dac

a se

pot

real

iza

impr

euna

Even

imen

tul c

ompl

emen

tar

u

nui e

veni

men

t E, r

epre

zint

mul

timea

tutu

ror

elem

ente

lor c

u ex

cept

ia e

lem

ente

lor c

ontin

ute

de e

veni

men

tul E

[] b

aE

,=

()

()

+

=,

,b

aEcc E

=

1

0E

E

Com

bina

tia e

veni

men

telo

r

U

n ev

enim

ent E

1 im

plic

un a

lt ev

enim

ent E

2 (E 1

E 2) d

ac

real

izar

ea lu

i E 1

atra

ge d

up

sine

i r

ealiz

area

lui E

2.

Even

imen

tul E

2 est

e ev

enim

entu

l con

trar

even

imen

tulu

i E1

i se

note

az

cu C

E1,

dac

real

izar

ea lu

i E2 e

ste

echi

vale

nt

cu

nere

aliz

area

lui E

1 .

Sist

em c

ompl

et d

e ev

enim

ente

C

mp

de e

veni

men

te

Ev

enim

ente

le E

1, E

2, E

3##

En, f

orm

eaz

un

sist

em

com

plet

de

even

imen

te d

ac

se re

aliz

eaz

cu

certi

tudi

ne u

nul

i num

ai u

nul d

intre

ace

ste

even

imen

te.

C

mp

de e

veni

men

te. P

rin d

efin

iie,

o m

ulim

e K

de

even

imen

te fo

rmea

z u

n c

mp

de e

veni

men

te n

ur

mt

oare

le c

ondiii

:

1) D

ac

E

K, a

tunc

i i C

E

K

2) D

ac

E1

K

i E2

K, a

tunc

i E1

E2

K

3) C

nd

mulim

ea K

are

o in

finita

te d

e ev

enim

ente

, din

Ei

K re

zult

:

4)

Eve

nim

entu

l sig

ur

K

KEi

UK i=

=1

Prop

rietail

e ev

enim

ente

lor

- c

omut

ativ

itate

A

B =

B

A; A

B

= B

A

- aso

ciat

ivita

te A

(B

C

) = (A

B

) C

A

(B

C) =

(A

B)

C

- a

bsorie

(A

B)

A =

A

(A

B) =

A

- d

istri

butiv

itate

A

(B

C) =

(A

B)

(A

C)

A

(B

C) =

(A

B)

(A

C)

- c

ompl

emen

tarit

ate

(A

CA)

B

= B

(A

CA)

B

= B

Prob

abilit

ate

Pr

obab

ilitat

ea u

nui e

veni

men

t al u

nei

expe

rien

e ca

re a

re u

n nu

mr

fini

t de

cazu

ri eg

al-p

roba

bile

est

e eg

ala

cu

rapo

rtul d

intre

num

rul

caz

urilo

r fav

orab

ile

real

izr

ii ev

enim

entu

lui

i num

rul

ca

zuril

or e

gal-p

roba

bile

ale

exp

erie

nei

Prob

abilit

ate

D

ac

expe

rimen

tul E

se

efec

tuea

z d

e "n

" or

i i e

veni

men

tul A

s-a

real

izat

de

"m" o

ri,

rapo

rtul m

/n s

e nu

me

te fr

ecve

n

rela

tiv.

Pe

ntru

val

ori m

ari a

le lu

i "n"

, rap

ortu

l m/n

tin

de ct

re o

val

oare

lim

it, a

dic

Prob

abilit

ate

nmP

n

=lim

Mr

imea

P e

ste

num

it

pro

babi

litat

ea e

veni

men

tulu

i A

i s

e no

teaz

cu P

(A) =

p

Frec

ven i

pro

babi

litat

e

Legi

le p

roba

bilit

ilor

Axio

ma

nr.1

-p

entru

oric

e ev

enim

ent A

, 0

P(A

) 1

Axio

ma

nr.2

-

prob

abilit

atea

eve

nim

entu

lui s

igur

e

ste

nto

tdea

una

egal

cu 1

, adi

c:

P(

) = 1

Axio

ma

nr.3

-

prob

abilit

atea

eve

nim

entu

lui i

mpo

sibi

"" e

ste

egal

cu 0

, P(

) = 0

Legi

le p

roba

bilit

ilor

Axio

ma

nr.4

-

pro

babi

litat

ea e

veni

men

tulu

i con

trar

even

imen

tulu

i A, P

(CA)

est

e eg

al

cu:

P(C

A) =

1 -

P(A)

Ax

iom

a nr

.5

- con

side

rnd

dou

even

imen

te A

1 i

A2,

at

unci

,

P(A1

A

2) =

P(A

1) +

P(A

2) -

P(A1

A

2)

Legi

le p

roba

bilit

ilor

Axio

ma

nr.6

D

aca

A1 s

i A2

sunt

dou

a ev

enim

ente

in

com

patib

ile (e

xclu

sive

mut

uale

)

(

)

at

unci

:

Prob

(

)= P

rob(

A1) +

Prob

(A2)

=

2

1A

A

21

AA

Legi

le p

roba

bilit

ilor

Gen

eral

izan

d ax

iom

a nr

.6 p

entru

n e

veni

men

te

inco

mpa

tibile

(exc

lusi

v m

utua

le)

)(

Pr)

(Pr

)(

Pr)

(Pr

)(

Pr

12

1

32

1

==

++

=

n i

in

ni

Aob

Aob

Aob

Aob

AA

AA

Aob

Legi

le p

roba

bilit

ilor

In

egal

itate

a lu

i Boo

le

D

in in

egal

itate

a lu

i Boo

le re

zulta

ineg

alita

tea

lui

Bonf

erro

ni,d

ata

de e

xpre

sia:

)(

Pr)

(Pr

)(

Pr2

12

1A

obA

obA

Aob

+

)(

Pr)

(Pr

1)

(Pr

12

12

1A

obA

obA

Aob

Prob

abili

tate

a co

ndii

onat.

prob

abilit

atea

eve

nim

entu

lui B

, co

ndii

onat

de re

aliz

area

eve

nim

entu

lui A

,

prob

abilit

atea

eve

nim

entu

lui A

, c

ondiio

nat

de

real

izar

ea e

veni

men

tulu

i B

()

()

() APB

AP

AB

P/

/

=

()

()

() BPA

BP

BA

P/

/

=

Depe

nden

a

i ind

epen

den

a ev

enim

ente

lor

P(A1

A

2

A3%

A

n) =

P(

); P(

) = 1

ntr-

un s

iste

m c

ompl

et d

e ev

enim

ente

:

Dou

a ev

enim

ente

A

i B s

unt i

ndep

en-

dent

e da

c: P(

A

B) =

P(A

).P(B

)

EXEM

PLU

Se

con

side

r e

xper

imen

tul S

,

S=(1

,2,3

,4,5

,6)

Ev

enim

entu

l A

=(2,

4,6)

Even

imen

tul

B=(

1,2,

3,4)

Even

imen

tul

C=(

1,3,

5)

Sa

se

calc

ulez

e p(

A), p

(B),

p(C

), p(

AUB)

,

p(AU

C),

p(BU

C),

(

) BA

p

()

CA

p

()

CB

p

Cur

s nr

.2

Varia

bile

ale

atoa

re

Var

iabi

la a

leat

oare

est

e o

mr

ime

care

ia

valo

ri di

n m

ulim

ea v

alor

ilor p

osib

ile n

funcie

de

rezu

ltatu

l unu

i exp

erim

ent.

Se d

efin

ete

var

iabi

l a

leat

oare

, n

cazu

l c

mpu

lui f

init,

o fu

ncie

real

X de

finit

pe

un

sist

em c

ompl

et d

e ev

enim

ente

.

Tipu

ri de

var

iabi

le a

leat

oare

Va

riabi

lele

ale

atoa

re p

ot fi

: var

iabi

le

alea

toar

e di

scre

te

i var

iabi

le a

leat

oare

de

tip c

ontin

uu;

-

var

iabi

lele

ale

atoa

re d

iscr

ete

sunt

va

riabi

lele

car

e au

o m

ulim

e fin

it s

au

numr

abil

de

valo

ri;

-

var

iabi

lele

ale

atoa

re d

e tip

con

tinuu

su

nt v

aria

bile

le a

le cr

or m

ulim

e de

val

ori

este

un

inte

rval

al d

rept

ei re

ale.

Rep

arti

ia u

nei v

aria

bile

R

epar

tiia

une

i var

iabi

le a

leat

oare

dis

cret

e es

te ta

belu

l for

mat

din

val

orile

pos

ibile

(p

rima

linie

) i p

roba

bilit

ile re

spec

tive

(a

doua

lini

e). R

epar

tiia

var

iabi

lei a

leat

oare

di

scre

te e

ste

repr

ezen

tata

de

tabl

oul:

nn PP

PP

xx

xx

X3

21

32

1:

11

= =n i

iP

Lege

a de

pro

babi

litat

e

Se

num

ete

lege

de

prob

abilit

ate

core

spon

den

a di

ntre

val

orile

pos

ibile

ale

va

riabi

lei a

leat

oare

i p

roba

bilit

ile

cors

punzt

oare

.

Cor

espo

ndena

ntre

val

orile

var

iabi

lei

alea

toar

e i

pro

babi

lit

ile

core

spun

zto

are

este

o fu

ncie

car

e po

art

num

ele

de fu

ncie

de

repa

rtiie

i

se n

otea

z c

u F(

x).

Funcia

de

repa

rtiie

Se

num

ete

funcie

a d

e re

partiie

(sau

de

dist

ribu

ie) a

var

iabi

lei a

leat

oare

X

aplic

aia

:

Dat

a de

[] 1,0

:

=R

FF

x

()(

) xX

Px

F

h

5.

Fun

cia

de

repa

rtiie

est

e F(

x), e

ste

o fu

ncie

con

tinu

la s

tng

a, a

dic

:

O

rice

aplic

aie

ca

re s

atis

face

con

diii

le 1

,%..5

est

e o

funcie

de

repa

rtiie

a u

nei v

aria

bile

ale

atoa

re

()

()+

=

++

0,

0h

xF

hx

LimF

x

[] 1,0

:

=R

FF

x

Rep

reze

ntar

ea g

rafic

a un

ei fu

ncii

de re

partiie

con

tinue

Pe

rmea

bilit

atea

rezu

ltat

din

car

ote

mec

anic

e,

loga

ritm

ul p

erm

eabi

lit

ii i

pro

babi

litat

ea c

alcu

lat

Funcia

de

repa

rtiie

Func

tia d

e rep

artit

ie

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

200

400

600

800

1000

1200

1400

xi

pi

Serie

s1

Funcia

de

repa

rtiie

Func

tia de

repa

rtitie

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00 5

.005.8

06.6

07.4

0ln

xi

pi

Serie

s1

Func

tia d

e di

scon

tinui

tate

cu

xo

punc

t de

disc

ontin

uita

te

Func

tia d

e re

parti

tie a

une

i var

iabi

le al

eato

are

disc

rete

Den

sita

tea

de

repa

rtiie

Se

def

ine

te d

ensi

tate

de

prob

abilit

ate

(den

sita

te d

e re

partiie

) sau

den

sita

tea

funcie

i de

repa

rtiie

: f(

x) =

F' (x

)

Var

iabi

la a

leat

oare

X a

re o

den

sita

te d

e re

partiie

(s

au d

e pr

obab

ilitat

e) d

ac

exis

t o

apl

ica

ie a

stfe

l ca

()

()

=

x

dxx

fx

F

())

,0[:

+

=

Rx

ff

Den

sita

tea

de

repa

rtiie

f(x) r

epre

zint

de fa

pt, f

recv

enta

eve

nim

entu

lui

n ve

cin

tate

a lu

i x.

Cea

mai

bun

inte

rpre

tare

fizi

c a

lui f

(x) e

ste

deriv

ata

lui F

(x)

Prop

rieta

tile

dens

itatii

de

repa

rtitie

()R

xx

f

,0

()1

=+

dxx

f ()

()

() dx

xf

bx

aob

ba

ba

b a=