Dorin AndricaEugen fecan

Camelia Maria Magdag

- Pitesti :

inregistrate,,e proprietate intelectuald.

%ffiMN/ffiKrcXFTeme 9i probleme

pentru grupele de excelenfi

Clasele Vll-X

Editura Paralela 45

Cuprins

lntroducere

Capitolul I" Elemente de geometria cercului 11-

1.1 Elemente de geometria cercului. Probleme generale . . . . . 11

1.1.1 Probleme rezolvate 11

7.1.2 Probleme propuse 23

1.1.3 Soluliileproblemelorpropuse ..... 25

L.2 Puterea punctului fald de cerc 35

I.2.L Probleme rezolvate 36

1.2.2 Probleme propuse 43

7.2.3 Soluliileproblemelorpropuse ..... 45

1.3 Problemedetangen!5 ..... 56

1.3.1 Probleme rezolvate 59

1.3.2 Probleme propuse 66

1.3.3 Solutiileproblemelorpropuse ..... 67

Capitolul 2 Elemente de trigonometrie2.I Aplicalii directe

2.L.1 Probleme rezolvate2.L.2 Probleme propuse2.1.3 Soluliileproblemelorpropuse ..... 86

Sume gi produse trigonometrice 982.2.1 Probleme rezolvate 982.2.2 Problemepropuse ...1042.2.3 Soluliileproblemelorpropuse .....105Aplicalii ale trigonometriei in geometrie . . . 111

2.3.1 Problemerezolvate ...1112.3.2 Problemepropuse ...1182.3.3 Soluliileproblemelorpropuse . .. ..123Inegalit5titrigonometrice . . .138

7777

77

81

2.2

OD4..)

2.4

2.4.I Probleme rezolvate2.4.2 Probleme propuse2.4.3 Solutiile problemelor propuse .

2.5 Ecualii trigonometrice2.5.1 Probleme rezolvate2.5.2 Probleme propuse2.5.3 Soluliile problemelor propuse

Capitolul 3 Metoda vectorialX in geometria plan53.1 Vectori liberi. Operatii cu vectori

3.1.1 Probleme rezolvate3.7.2 Probleme propuse

3.1.3 Solutiile problemelor propuse3.2 Vectori de pozilie

138

142

r44152

r52156

158

163163

L64170

172

782

183

189

3.2.1 Probleme rezolvate3.2.2 Probleme propuse3.2.3 Solutiileproblemelorpropuse .....191

3.3 Produs scalar qi aplicalii . . . . 1gg3.3.1 Problemerezolvate ...2003.3.2 Problemepropuse ...2043.3.3 Soluliileproblemelorpropuse .....20b

Capitolul 4 Tlansform5ri ale planului euclidian 2Og4.L Translalia ....209

4.1.7 Problemerezolvate ...2094.1.2 Problemepropuse ...2I24.I.3 Soluliileproblemelorpropuse .....21J

4.2 Simetria ,....2164.2.L Problemerezolvate ...2174.2.2 Problemepropuse ...22J4.2.3 Soluliileproblemelorpropuse .....225Rota{ia .....2904.3.I Problemerezolvate ...2304.3.2 Probleme propuse . . .2264.3.3 Soluliileproblemelorpropuse .....2JTOmotetiiqiinversiuni ... ..2J94.4.1 Problemerezolvate ...2J94.4.2 Problemepropuse ...2444.4.3 Soluliileproblemelorpropuse .....244

4.3

4.4

138

L42t44r52t52156

158

1-63

163

764170

172r82183

189

191

199

200

204205

209209

2092r32132L62L7

223

s

Capitolul 5 Numere complexe 2EL5.1 Aplicalii ale numerelor complexe in algebr5 . . . . . 2SL

5.1.1 Problemerezolvate ...25I5.L.2 Problemepropuse ...2005.1.3 Soluliile problemelor propuse

5.2 Aplicalii ale numerelor complexe in geometrie . . 2785.2.1 Probleme rezolvate . . .2785.2.2 Problemepropuse ...2875.2.3 Solutiileproblemelorpropuse .....289

Capitolul 6 Maxime qi minime geometrice 2gg6.1 Maxime gi minime geometrice . . . . .2gg

6.1.1 Problemerezolvate ...2996.1.2 Problemepropuse ...3156.1.3 Solutiileproblemelorpropuse .....322

6.2 Inegalitatea Erdos-Mordell6.2.1 Problemerezolvate ...3596.2.2 Problemepropuse . ..3626.2.3 Soluliileproblemelorpropuse .....362

Bibliografie 365

264

[a

225

230

230236z,) I

239

239

244

244

ru grupele de excelentd

md,ri ale planuluz eucli,-

ersiunea. In capitolul 5,

r complexe in algebrd qi

rc geometrice, cuprinderte cu metode gi tehnici

poate deschide perspec-:u grupele de excelent5.r constituie un material. activitate care implic5capacitSlilor rezolutiv-

Autorii

-*.r-

Capitolul 1

Elemente de geornetria cercului

1.1 Elemente de geometria cercului.Probleme generale

1.1.1 Probleme rezolvate

L. Sd se arate cd, tntr-un tri.unghi, mi,jloaceLe laturilor, pi,ci,oarele tnd,fti,mi,lor Eimi,jloacele segmentelor ce unesc fiecare ad,rf cu ortocentrul triunghi,ului, sunts'ituate pe un acelaEi. cerc (cercul lui, Euler cercul celor g puncte).

Solulie. Considerdm triunghiul ABC ascutitunghic gi notXm as At , B' ,Ctmijloacele laturilor lBCl,IAC) qi l,aB] qi cu Al, B't,C't mijloacele segmen-

telor [,4,F1], lB I{1, lC Hl.

Figura 1.1

12

.-,.-,

Geometrie - Teme qi probleme pentru grupele de excelenld

Din lB'C:l^linie mijlocie in triunghiul ABC rez,tltd cd, BtCtllBC qi

BtCt : Uf . ^"rultd

cH BCBtCt este trapez. Deoarece [A,B,]este linie

mijlocie in triunghiul ABC rezultd cd" AtBtllAB qi AtBt : + in triun-ghiul dreptungFic AA1B, Alct este mediana corespunzd,toari ipotenuzei,

deci AlCt : +,de unde lA'B,l: lA1C,l, adicd" AlCtBtAt estetrapezisoscel, iar punctele 41,At,B',c'sunt conciclice. in mod analog se aratd,cE" 81,A',C',Bt qi C1,A',8',C/ sunt conciclice, deci 41 , Bt,Ct se gdsescpe cercul ce trece prin punctere At,Bt,c/. pentru ca A\ sE, se gxseascx peacelaqi cerc, vom ardta c5, patrulaterur A\ct At B/ este inscriptibil. Deoa-rcce fA'ctl este linie mijlocie in triunghiul ABC rezultd c6 AtctllAC. intriunghiul ABH, [C'A!L] este iinie mijlocie, deci CtA\llBH, dar BH L AC,de unde A\ct L Atct . Anarog AlrBt L At Bt , deci A\ctAlB/ este patrulaterinscriptibil, adic5 A/, se gdseqte pe cercul determinat de A, , B, ,C, . Analogse aratd cd' qi Btr,cl se afl5 pe acelaqi cerc. cele nou5, puncte se gdsescpe acelagi cerc, numit cercul lui Euler, in care lA\A,1, [B,LB,],lClCtl sur*diametre.

2. Se consi,derd, tri,unghi,ul ABC gi o, respecti,u I centrele cercuTi,lor c,i,rcum-scris, respecti,u tnscris tn triunghi,ul ABC . Sd, se arate cd, OI2 : R2 - 2Rr,unde R, respecti,u r sunt razele cercurilor c,ircumscris, respectiu tnscTis tntri,unghiul ABC.

solutie. Fie .D punctul in care bisectoarea (AD inters ecteaz6, cercul, iarE qi F intersecliile dreptei OI cu cercul circumscris triunghiului ABC. Intriunghiul ABD, aplic6,nd teorema sinusurilor, avem

E+ :2R + BD : zlsin!.smt

ln triunghi,tl AIM:.Asln-:

2

IMAI

rAI- AI: .A'

sln -2Avem

_^m(IBD): v21Gdl+m1dED1 :ry +m(dTD)

rn(AC) + rn(BC) .

4tm(BAC)

2

Capitohrl 1. Elemente de geometria cercului 13,ru grupele de excelentS,

:zultd cE" BtCtllBC qi

roarece lA'B'l este linie

,ilBt :4!. intriun-2

spunzdtoare ipotenuzei,

i AtCt Bt '4 este trapez

in mod analog se arat5eci ,41, BuCt se gdsesc

a lt sd se gHseasc5 pe

este inscriptibil. Deoa-

€zultd d A'C'llAC. in(llBH, dar BH L AC,qC.4 B' este patrulaterat de ,{, Bt,c'- Analog: noui puncte se gdsesc

41, lB'rB'1, [ClC'] sunt

,fiizle cercuri,lor ci,rcum-rute cd OI2 : R2 -2Rr,uis, respecti,a tnscri,s tn

intersecteazX cercul, iaris triunghiuhi ABC. inlm

At -.2

)^t- + m(C AD)

fq + ^(€c) .

4'

*(61D1:

Din cele douil relaliiIBD) : lIDl" Folosindavem:

*(€c)4

-'!P (unghi cu v6,rful in interiorul cercului).

r:-a'ur-

2

2Rr:ID.IA:

de unde

Figura 1.2

deducem c5 triunghiul IBD este isoscel, deciputerea punctului 1 fatX de cercul de centru O,

rE . rF : (R - OI)(R+ OI) : R2 - OI2,

012 : R2 -2Rr (relalia lui Euler).

3. Sd se arate cd, tn orice triunghi, ABC, ortocentrul, centrul de greutate gi,

centrul cerculu'i circumscris tri,unghi,ului, sunt si'tuate pe o aceea€i' dreaptd'

( d,reapta lui, Eut,er).

Solutie. Fie Att punctul diametral opus lui A in cercul circumscris tri-unghiuiui ABC. lAAttl frind diametru rezultd cd, m(ffifr') : 90o, deciAC LCA". Deoarcce BH L AC rezultd cF" BHIICAI/. Analog CHllBAtt,de unde BHC At' este paralelogram gi A/ este gi mijlocul l:ui H Att .

in triunghi uI AHA", OAt estelinie mijlocie, deci OA' :*OU.2

L4 Geometrie - Teme $i probleme pentru grupele de excelenld,

Figrira 1.3

Notdm Ho ) AAt : {G}. Avem aAHG - aA,oG, de unde

AH AG HG__oOAI G A' OG

deci AG - 2GAt, ceea ce arat5 cx G este chiar centrul de greutate altriunghiului ABC.In concluzie, punctele O,H,G sunt coliniare qi fiG :2GO.

4. Fi,e ABCD un patrulater conl)ex) gi fie AB nCD : {E}, BC n AD : {F}.cercuri,le c'ircum'scrise triunghi,uri,lor ABF, ADE, cFD, ECB trec piinacelagi, punct M (punctul lui, Mi,quel).

solu{ie. Notdm at M al doilea punct de interseclie a cercurilor circum-scrise triunghiurilor BCE qi DCF. patrulaterur cBEM fiind inscriptibilrezult5 cX

m1dfuES : *(TEd).

ADCIn patrulaterul inscriptibil CDFM avem m(dfrF) : m( )

*.etru grupele de exceientd Capitolul 1. Elemente de geometria cercului 15

G" de unde

r csrnrl de greutate al

] :2GO.

= {r}. BCnAD: {F}.- CFD- ECB trec pri,n

egie a cercurilor circum-:BE II flind inscriptibil

Figura 1.4

Atunci

^ ^ ^m(BAF)-t m(BMF) : m(BAP) + *(: n1ETD1 + rn(

-14fr87 : m(

- 190",

deci patrulatenl ABMtr'este inscriptibil, adicd punctul M se aflE" pe cerculcircumscris triunghiului ABF. Analog se arat5, cd patrulaterul ADM E este

inscriptibil. Prin urmare M apartine cercurilor circumscrise triunghiurilorABF, ADE, CBE qi CDF,

5. Dacd, M este un punct si,tuat pe arcul €C d cerculu'i c'ircumscris tri,unghi,u-

lui, echi,lateral ABC, atunc'i AM : BM + CM (Schooten).

Solutie. Fie 1/ e lAMl astfel inc6,t lMNl: [lfB]. Patrulaterul ABMCfiind inscriptibil rezultX cX

^ ^BX,IC) +m(CMF)TEDy + *(TDE)

) :60o,ACB

deci triunghhtl B M N este echilateral cu [Bl'r1 : lN M) : lB M].Din A,4,Bi/: ACBM (L.U.L.) rezult5 cE"lMC): [Al/]. Atunci

-'): m(ADC). AM:A,A/+NM:MC+MB.

16upele de excelenld

Figura 1.b

se cons'iderd tri,unghi,ul echi,raterar ABC qi M un punct oarecare tn pran,ce nu aparl'ine cerculu,i c,ircumscris tri,unghi,ulul. Aiatatrl cd, d,istanlele MA,M B, MC reprezi,ntd, lungimile laturi,ror unui tri,unghi (teorema tui D. pom-pei,u).

Figura 1.6

solu{ie. considerxm rotalia de centru A qi unghi o : 60o, care d.ucepunctul B *r. C, M in Mt astfel inc6,t [Aru1: IAM,I qi m(MTfu,) : 60o.Atunci lAUl : [MM,]. Segmentut iUnj ='[M,Ci, deci se observd cdlaturile triunghiului MMtc sunt lMM,l ='[M4,luic]: lMBl qi a/IC.

7. sd se arate cd, proi,ecli,i,re ortogonare are unui punct M d,e pe cercur c,ircum_scri's triunghi,ului' ABC pe raturile acestuia sunt cor,iniare.

tru grupele de excelentX

ynct oarecare tn plan,rdtali cd, d,i.stantele MA,7hi (teorema lui, D. Pom-

gbi a : 60o, care duce

|J! g *{lf AI[t):60o.fC. deci se observd cd

:lf'q = !-1rBl si MC.

t If de p. reruil c'ircum-*iniorc.-

Capitolul 1. Elemente de geometria cercului

Solu{ie. Fie A/, B',C' proiecliile punctului M pe laturile triunghiuluiABC.

Figura 1.7

observSm cx patruiat erele ABC M , MCt AB' qi M Bt AtC sunt inscriptibile.Atunci

*1fiFd\ : *(frTid) : e0" - m(frdB) : eOo - rn1frh'\: n'L(trfrd') : ^([Fd'),

ceea ce arat5, cX punctele A' , B' ,C/ sunt coliniare gi cE se afl5 pe o aceeaqi

dreaptS, numit5, dreapta lui Simson.

Observalie. Are loc gi reciproca: Fie M un punct exterior triunghiuluiABC q\ A' , B' ,C/ proiecliile lui M pe laturile triunghiului. Dac5, punctele

A' , B' ,C/ sunt coliniare, atunci M se aflX pe cercul circumscris triunghiului.

Fi,e tri,unghi,ul i,soscel ABC, lABl = IAC), I centrul cerculu'i tnscris tntri,unghiul ABC gi,l cercul c'ircumscris tri'unghiului ABC. Dreptele BI qi'

CI intersecteazd, cercull tn punctele M, respecti'u N. Fi,e D un punct pe

or"d €C care nu conl'ine punctul A, iar E qi' F i'ntersecfii,i,Ie d,reptei' AD cu

BI qi,CI. Notd,m {P}: DM)CI qi' {8}:DArn BI. Ard'talicd':

a) punctele D,I,P,Q se gd,sesc pe un cerc {7;

17

18e excelenld

b) dreptete CE gi, BF se intersecteazd, pe cercul e.XXXIV Olimpiadi Italiane della Matematica" 201g

Figura 1.9

sorulie. { m(FIQ): 1B0o _ (m(fcE) + m1fEd71

Jin6,nd cont de patrulaterele inscriptibile ABDN qi ACDN, avem

m1tr6irs

:m:THl : *9.) +

^1nEA1

, n -7:*(ABC)'Observdm c5,

m1FiQ1 + m(fr6l,r) : 180. _ m(TEd) + m(

: 18oo _ (*fTsdl , mffrEl\\ 2 -+ tT

): 18oo - *1TEd7.

) :180o,ACB

deci patrulaterul DpIe este inscriptibil, punct ele D,p,I,e se gd,sescun acelaqi cerc, notat e.

Capitolul 1. Elemente de geometria cercului 19rntru grupele de excelent5

).re della Matematica, 2018

lc))

fll'- -( ).

; Si lCD,\f, avem

^ ^rcJ) +m(MBA)

@t.

*mlACB) - 180",

{e D. P 1. Q se gdsesc

b) ObservS,m cd m(67F) : 1Bo' - m(TEd) qi rn(BDF) : *( ),de unde deducem cd" BIFD este patrulater inscriptibil. De asemenea:

ACB

ql

m(6cD):m(6u-D):*(P),2

^1ETr1: 18oo * *1f?d1 : ^(iild) : *(ry)

,2'

m1fcB1 : *(A-PC) : *(fuEA) : m(frDA) : rn(frDE).2

Unghiirl IED este exterior triunghiului MED, deci

^ ^ ^ ^ ^ ^mll E D) : m(E D M) + m(n U D) : m(I C B) + m(BC D) : m(I C D),

de unde rezult5 cE I EC D este patrulater inscriptibil.

Notdm cu X intersectia dreptelor BF qi EC. Avem

m16d71 : m16il1 qi m(FDl : ^(fdi),de unde m(XCI') : m(XBI), deci IXCB esbe patrulater inscriptibil.Pentru ca punctul X sd fie pe cercul f), vom ar5,ta cd patrulaterul IXPDeste inscriptibil. Avern

ABC

*(67d1 : *16id1: laoo - m(TEd).

Din DCFX patrulater inscriptibil, avem *16Fd7 : rn(67d). in triun-ghiul Df'P:

*(FFD1: t80o - *(FiF1 - m(trFD1: 1B0o - *eP

- ^157d7,,2: 18oo - ^(6Tt1

* rn(6Td) : m(ffby,

deci patrulaterul IXPD este inscriptibil, iar punctele D,I,P,X sunt pe

acelagi cerc Q.

9. Fi,e tri.unqhi,ul ABC qi, D,E,F punctele tn care cercul tnscri,s tn triunghi'intersecteazd, Iaturile tri,unghi,ului^ Cercul ce trece pri,n A gi, B i,nclude tri,-unghi,ul ABC qi,'intersecteazd, dreapta DE tn punctele P Ei Q. Sd, se aratecd" mi,jlocul segmentului, AB se gd,seqte pe cercul circumscris tri,unghi,ului,

PQF,pe

Singapore SMO, 2017

Geometrie * Teme qi probieme pentru

Figura 1.9

solutie. Fie M mijlocul segme'tului AB. DacH DEllAB,atunci triunghiulABC este isoscel, ."t[CA]: ICB), gi F coincide c' M. Dacd, DE +f ABnotdm {N} : DE n AB. Aplicdnd teorema lui lVlenelaus in triunghiulABC, oblinem

AN BD CENB DC.EA:I'

de unde tin6nd cont cX [Cn1: pD],[BD]: IBFIqt[AE): [AF],oblinemAN BFBN AF:1<+ AN.BF:BN.AF

<+ ,4t/.(BN _ NF') : Bl[.(tfr._ N1)

e 2- AN . BN : ty'F. (BN + A,^/)

e Z.AN .BN:.Ay't' ,(NM + BM + NM _ AM)

<+ Al/.81y': NF .MN.Dar All .BN : NP.NQ, deci .A/p .Ne : MN .,n/F, de unde rezult5 cbpunctele P,Q,F,M sunt coliniare.