Capitolul 1

FUNDAMENTE

Introducere

În acest capitol sunt trecute în revistă cunoştinţele fundamentale necesare

oricărui explorator în domeniul electronicii. Începem capitolul cu începutul, vorbind despre semnale electrice şi continuând

apoi cu relaţiile şi teoremele utilizate în circuitele electronice. Sursele de tensiune şi curent precum şi componentele pasive (rezistoare, condensatoare şi bobine) îşi găsesc şi ele locul printre cunoştinţele fundamentale. Pe lângă domeniul timp este abordat şi domeniul frecvenţă cu reprezentarea răspunsului în frecvenţă al circuitelor ce conţin elemente reactive.

Astfel o bună parte a acestui capitol constituie mai degrabă o revedere a unor noţiuni şi cunoştinţe. Pe lângă aceasta, este prezentată o parte a terminologiei, convenţiilor şi notaţiilor folosite în întreaga lucrare.

La finalul parcurgerii acestui capitol ar trebui să fim înarmaţi cu mijloace şi instrumente de lucru tocmai potrivite pentru înţelegerea principiilor de funcţionare ale dispozitivelor electronice şi a principalelor lor aplicaţii.

1.1. Semnale electrice

Prin semnal înţelegem orice variabilă care poate oferi informaţie: sunet, imagine, temperatură, forţă, viteză, etc. În electronică ne interesează în primul rând semnalele de natură electrică pe care le numim semnale electrice:

• Tensiune electrică: simbol v sau V; unitatea de măsură - volt V cu -3 -6submultiplii mV (1mV=10 V), μV (1μV=10 V);

• a de măsură - amper A cu submultiplii Curent electric: simbol i sau I; unitate

mA (1mA=10-3A), μA (1μA=10-6A). În funcţie de variaţia lor în timp semnalele electrice sunt de două tipuri :

- semnale continue a căror valoare nu se modifică în timp şi pentru care se

are se modifică în timp şi pentru care se fol

o tensiune variabilă, în particular o tensiune lternativă sinusoidală v=3sinωt V.

usoidal sunt:

vârf care este diferenţa dintre valoarea maximă şi minimă a

• Valoarea efectivă (eficace) a semnalului

foloseşte notaţia c.c. (curent continuu). - semnale variabile în timp a căror valo

oseşte notaţia c.a. (curent alternativ). Pentru exemplificare În Fig.1.1.1.a) este prezentată o tensiune continuă V=5V

iar în Fig.1.1.1.b) este prezentată a

t[ms]

a)

v[V]

0

b)

t[ms]

v[V]

(+)

(-) 1 2

3

-3

A 5

0

Fig. 1.1.1. Variaţia în timp a unei tensiuni: a) continue; b) sinusoidale

Parametrii unui semnal sin• Amplitudinea: A=3V • Valoarea vârf la

semnalului: 6V

12,22==

AVef V

siunii este zero. Mai spunem că tensiunea din

it moment de timp. De exemplu la t=T/4 valoarea instantanee este +3V.

• Perioada semnalului T=2ms • Valoarea medie sau componenta continuă pe un interval de timp. În cazul

semnalului periodic valoarea medie se calculează pe o perioadă. Tensiunea alternativă sinusoidală are alternanţa pozitivă (+) egală cu cea negativă (-) astfel că valoarea medie a tenfigură este axată pe zero volţi.

• Valoarea instantanee sau valoarea momentană este valoarea pe care o are semnalul la un anum

12

Semnalele sinusoidale sunt cel mai des folosite semnale. Alimentarea de la reţea a majorităţii aparatelor electrice (calculator, televizor, frigider, etc) este realizată cu o tensiune sinusoidală cu valoarea efectivă de 230V, amplitudinea de 325V şi frecvenţa de 50Hz.

În SUA tensiunea de reţea are valoarea efectivă de 117V la fre

ăsurării unei tensiuni sinusoidale cu voltmetrul acesta va ind

hiular, dreptunghiular, dinte de fier strău, impuls pozitiv sau negativ, treaptă, etc.

entru surse de semnal electric vom folosi simbolurile din Fig. 1.1.2.

notaţie, tipurile de semnale vom

S ;

ponentă continuă şi componentă variabilă) - literă mică şi indice mare vS , iS

cvenţa de 60Hz. Observaţie: În cazul mica valoarea efectivă. Pe lângă semnalul sinusoidal în practică mai există o sumedenie de semnale

variabile cele mai întâlnite fiind : semnalul triungă

• Surse de semnal. Notaţii. P

a) b) c)

i V

+

Fig. 1.1.2. Simbolurile pentru surse de semnal : a) tensiune; b) tensiune continuă; c) curent.

v

Uneori se mai foloseşte semnul ”+” lângă unul din terminalele sursei pentru a indica terminalul pozitiv. Pentru a deosebi, prin utiliza următoarea convenţie (vezi şi Fig. 1.1.3.): • numai semnal continuu - literă mare si indice mare VS , I• numai semnal variabil - literă mică si indice mic vs , is ; • semnal total (com

R

Fig. 1.1.3. Notarea semnalelor

V +

vs ~

iS=IS+is

S - vS=VS+vs

13

Considerând VS=5V şi vs(t)=3sinωt[V], tensiunea totală este vS(t)=5+3sinωt[V]. Acestei tensiuni îi mai spunem şi tensiune sinusoidală cu amplitudinea de 3V axată cu componenta continuă) pe 5V şi este prezentată în Fig. 1.1.4.

Legea lui Ohm precizează relaţia ionalitate dintre căderea de tensiune

pe un rezistor şi curentul prin acel rezistor, factorul de proporţionalitate fiind re

Da ă sensurile arbitrar alese pentru tensiune şi curent sunt opuse atunci apare semnul minus în scrierea legii lui Ohm (vezi Fig. 1.2.1.).

V’= -RI

1.2.2. Teoremele lui Kirchhoff

telor e.

( vS [V]

8

3

0

5

ωt [V] Fig.1.1.4. vS=5+3sint

1.2. Relaţii si teoreme de circuite electrice 1.2.1. Legea lui Ohm

de proporţ

zistenţa R.

Fig. 1.2.1. Exemplificarea I R

l

V=RI

egii lui Ohm V

c

Kirchhoff a formulat două teoreme fundamentale pentru analiza circui

electric

V’

14

• Prima teorema a lui Kirchhoff sau teorema lui Kirchhoff pentru curenţi (TKI):

No T retată astfel : într-un nod de circuit nu există nici onsum nici generare t, tot curentul care intră in nod trebuie să iasă. A doua teoremă a lu hhoff sau teorema lui Ki V): “Suma algebrică a c e tensiune de-a lung circuit este nulă.”

Pentru aplicarea me se alege arbitrar un sens de parcurgere al ochiului de circuit. Tensiunile c n s cu sensul de parcurgere intră în sumă cu semnul plus iar cele semnul minus. Pentru sursele

rne şi nu tensiunea electromotoare.

-V1+VR1+V2-VR2=0

ă se consideră curentul I prin circuit :

-V1+R1I+V2+IR2=0

or

t (Fig. 1.2.4.)

“Suma algebrică a curenţilor din laturile ce concură într-un nod de circuit este nulă.” În această sumă curenţii care intră, respectiv cei care ies vor avea semne opuse.

Pentru nodul de circuit din Fig. 1.2.2. TKI se scrie : I1+I2-I3=0 •

I1 I2

tă : KI poate p fi inter

de curenc

• i Kirc rchhoff pentru tensiuni (TKul unui ochi de ăderilor d

acestei teoreare coi cid ca şi senlalte tensiuni intră cu

de tensiune este considerată tensiunea la boPentru circuitul din Fig.1.2.3. TKV se scrie (sensul de parcurgere este în sens orar):

Sau dac

1.2.3. Conectarea rezistoarel • Conectarea serie

Două sau mai multe rezistoare sunt conectate în serie dacă sunt parcurse de acelaşi curen

Fig.1.2.2. Exemplificare pentru TKI.

I3

Fig. 1.2.3. Exemplificarepentru TKV

V

R2

R2

VR1 I

R1 V1

V2

15

Prin conectarea serie obținem o rezistenţă echivalentă mai mare decât oricare dintre rezistenţele componente. • area paralel

Rech=R1+R2

ConectDouă sau mai multe rezistoare conectate în paralel au aceeaşi tensiune la borne

(Fig. 1.2.5.)

21

21

RRRR

ech=

R+

a în paralel se obţine o rezistenţa echivalentă mai mică decât oricare din

ină cu formula:

a în paralel se obţine o rezistenţa echivalentă mai mică decât oricare din

ină cu formula:

Lăsăm spre amuzamentul cititorului demonstrarea acestei relaţii. Prin conectare

relaţii. Prin conectarerezistenţele componente.

Pentru n rezistoare în paralel rezistenţa echivalentă se determrezistenţele componente.

Pentru n rezistoare în paralel rezistenţa echivalentă se determ

∑=

=n

i iech RR 1

11

Trucuri: i rezistor de valoare mare în serie (paralel) cu un

re ică poate fi considerată egală cu rezistenţa mai

ţa echivalentă necesită calcule foarte simple: 10kΩ/3=3,33kΩ.

zistoare

I R1 R2 Fig. 1.2.4. Re

conectate în serie. Rech

R1

V

R2

Rech

Fig.1.2.5. Rezistoare conectate în paralel.

Rezistenţa echivalentă a unuistor de valoare mult mai m

•z

mare (mică). Pentru R1=100kΩ şi R2=1kΩ, avem: conectare serie: Rech≈100kΩ; conectare paralel: Rech≈1KΩ • Pentru a calcula rezistenţa echivalentă pentru 5kΩ în paralel cu 10kΩ putem

vedea cei 5kΩ ca fiind două rezistenţe de 10kΩ în paralel. Avem astfel trei rezistenţe de 10kΩ în paralel. Rezisten

16

Aceste trucuri sunt foarte folositoare deoarece uşurează calculele putându-ne concentra asupra analizei şi proiectării circuitelor. Este de dorit să rezistăm tentaţiei de a calcula valorile rezistenţelor si a altor elem nte de circuit cu multe zecimale. Sunt cel puţin două motive pentru aceasta: a) componentele au o precizie finită (în mod tipic rezistoarele au o toleranţă de

5% sau 1%, parametrii dispozitivelor active suferă de dispersie de fabricaţie, etc.)

b) un circuit electronic bine proiectat este într-o mare măsură insensibil la valorile

e

precise ale componentelor (bineînţeles, există şi excepţii). Putem înţelege mult mai bine şi mai repede circuitele dacă ne formăm obiceiul

de a face calculele aproximative în minte în loc să privim numere precise, cu multe zecimale, apărând pe afişajul unui calculator de buzunar.

1.2.4. Divizoare rezistive

• Divizorul de tensiune Divizorul de tensiune este unul dintre cele mai răspândite fragmente de circuite

electronice. Orice circuit electronic real conţine câteva divizoare de tensiune. Acesta furnizează la ieşire o fracţiune predictibilă din tensiunea de intrare după cum se poate observa în Fig.1.2.6.

21 RRvi I

+=

2RivO ⋅=

IO vRR

Rv

21

2

+=

Tensiune de ieşire este direct proporţională cu rezistenţa pe care se măsoară şi invers proporţională cu suma rezistenţelor. Păstrând tensiunea de la intrare

R1

F

i

ig. 1.2.6. Divizorul densiune

e t

vOR2

vI

17

neschimbată, dacă R2 creşte şi tensiunea de ieşire creşte. Truc: Dacă avem nevoie de un divizor care din VI=15V să furnizeze la ieşire

V 5V avem o singură relaţie de calcul şi două necunoscute R1 şi R2.. Este o idee bună de a impune (dacă nu apar alte restricţii) curentul prin divizor I=1mA, caz în care suma rezistenţelor în KΩ este numeric egală cu tensiunea de intrare iar valoarea lui R2 este numeric egală cu tensiunea de ieşire VO. Astfel rezultă R 5kΩ şi R1=15KΩ-5KΩ=10KΩ.

Cel mai simplu divizor reglabil de tensiune poate fi realizat cu un singur rezistor reglabil numit potenţiometru care permite reglajul factorului de divizare (fracţiunea

tensiunea de intrare ce se obţine la ieşire) între 0 şi 1 (Fig. 1.2.7.). plicaţie a acestui divizor este controlul volumului la un

icşorarea domeniului de reglaj al factorului de divizare se poate realiza prin

îns loare fixă .

.5;1]? Ce valori au elementele din circuit? Soluţie:

O=

2

=

dinCea mai cunoscută a

amplificator audio.

Merierea cu potenţiometru a unui rezistor de va

Exemplul 1.2.1: Cum arată schema unui divizor de tensiune cu factorul de divizare reglabil în

domeniul [0

P R2

R1 vI

vO

•

Fig. 1.2.7. Divizorreglabil de tensiune

•

Fig. 1.2.8. Divizor reglabilîn domeniul [0.5;1]

intrare

R ieşire 10K

P 10K

18

• Divizorul de curent Schema electrică a unui divizor de curent este prezentată în Fig.1.2.9.

TKV: i1R1 - i2R2=0 ezolvând sistemul de mai sus de două ecuaţii liniare cu două necunoscute

ob em:

i

i1 i2

R1 R2

TKI: i=i1+i2

Rţin

iRR

Ri ⋅+

=21

21 şi i

RRRi ⋅+

=21

12

Dacă se consideră i curentul de intrare, oricare din curenţii i1 şi i2 poate fi considerat curent de ieşire. Curentul de ieşire nu este direct proporţional cu rezistenţa prin care se măsoară ci cu cealaltă rezistenţă din divizor. Astfel me ţinând i constant dacă R2 creşte, curentul i1 creşte şi i2 scade.

Pe lângă teoremele lui Kirchhoff, care sunt valabile pentru un circuit oarecare,

liniar sau neliniar, pentru circuitele liniare există metode specifice care simplifică mult calculele. Una dintre acestea este etoda suprapunerii efectelor sau metoda superpoziţiei.

Un circuit este liniar dacă răspunsul circuitului la aplicarea unei sume de semnale de intrare este egal cu suma răspunsurilor care se obţin dacă fiecare semnal de intrare acţionează separat.

Dacă f(x1) este răspunsul circuitului la aplicarea semnalului x1, iar f(x2) este răspunsul la aplicarea semnalului x2, atunci răspunsul circuitului la aplicarea sumei de ste f(x1)+ f(x2).

f(x1+ x2) = f(x1)+ f(x2)

l, chiar dacă în general amplitudinea şi faza sunt schimbate.

n

1.2.5. Metoda suprapunerii efectelor

si m

semnale x1+x2 e

Un circuit liniar atacat cu un semnal sinusoidal întotdeauna răspunde tot cu un semnal sinusoida

Fig.1.2.9. Divizorul de curent

i

19

20

Pentru exemplificare să considerăm mai întâi circuitul din Fig. 1.2.10 a), pentru care semnalele aplicate sunt sursele de curent i1 ş i2 , iar semnalul de ieşire este vo .

Conform legii lui Ohm : sau spunem că funcţia circuitului este :

i

Rivo =

xRxfL ⋅=)(

;11 ix = 22 ix = ;

11)( RixfL = ; 22 )( Rixf L =

2121 )()( RiRixfxf LL +=+

2122121 )()(( RiRiiRiifxxf LL 1) i +=+=+=+

Se observă că: (f )()() xfxfxx 2121 LLL +=+

deci circuitul este liniar. Pentru circuitul din Fig. 1.2.10. b) dependenţa curent-tensiune pe dioda D este de

tip exponenţial:

T

DvV

S eIi ⋅=

unde IS – curent de saturaţie ; VT – tensiune termică

STDO I

iVvv ln⋅==

deci funcţia circuitului este :

STN I

xVxf ln)( ⋅=

i2 i1

Fig. 1.2.10. Circuit: a) liniar ; b) neliniar. a) b)

i1 i2 i vD R vo

Di vo

Fig.1.2.11. Aplicarea metodei suprapunerii efectelor. c)

VO2 IS 4.5mA

R1 5K R2

2,5K

IS 4.5mA

VOVS 18V

R1 5K

R2 2,5K

a)

VO1 VS 18 V

R1 5K

R2 2,5K

b)

STN I

Vif 11 ln)( ⋅= ; i

TN IVif 2 ln)( ⋅=

i2 S

STN I

iiViif 21 +21 ln)( ⋅=+

Este evident că :

ST

SST

iI

VII

212T

1 lnlnV iiiV ln +⋅≠⋅+

adică :

≠

⋅

)()( ifif + )( 21 iif N + 21 NN

Deci circuitul este neliniar.

Metoda suprapunerii efectelor const următoarel [Mir83]: Pentru analiza unui circuit liniar cu mai multe surse se determină răspunsul circuitului separat la

at celelalte surse pasivizate. Suma tuturor tă răspunsul complet al circuitului.

ă în e

acţiunea fiecărei surse, considerând torăspunsurilor parţiale obţinute reprezin

e

Exemplul 1.2.2: Să determinăm tensiunea vO pentru circuitul din Fig.1.2.11.a), folosind metoda

suprapunerii efectelor.

21

Deoarece avem doua surse vom avea două situaţii distincte : 1) Prin pasivizarea sursei de curent rezultă circuitul echivalent din

Fig.1.2.11.b) şi

21

21 RR

RVO +

= · 6185,25

5,2=⋅

+=SV V

2) Prin pasivizarea sursei de tensiune obţinem circuitul echivalent din

Fig.1.2.11. c) şi

535,255,25

21

212 −=⋅

+⋅

−=⋅+

−= SO IRR

RRV V

Tensiunea totală de ieşire a circuitului este :

1)5(621 =−+=+= OOO VVV V

i Thevenin afirmă că orice uniport care conţine rezistoare şi surse este echivalent cu un uniport care conţine o sursă ideală de tensiune vTh

Prin uniport înţelegem un circuit cu o singură poartă adică două terminale de acces prin care circulă acelaşi curent.

Teorema se mai numeşte şi teorema generatorului echivalent de tensiune deoarece echivalează o reţea cu rezistenţe şi surse cu o singură sursă (generator) reală de tensiune. Cum putem determina valorile sursei echivalente de tensiune? Destul de simplu: vTh se determină ca fiind tensiunea la mers în gol a uniportului (fără sarcină conectată la terminale); RTh este rezistenţa echivalentă a diportului cu sursele pasivizate. Prin surse pasivizate înţelegem surse aduse la zero, adică pentru o sursă de tensiune, tensiunea la borne este zero (echivalent cu scurtcircuit) iar pentru o sur ntul prin sursă este zero (ec

1.2.6. Teorema lui Thevenin

Teorema lu

înseriată cu o rezistență RTh.

să de curent, curehivalent cu întrerupere) după cum se observă în Fig. 1.2.12 .

pasivizare I=0

pasivizare V=0 V I

a) Fig. 1.2.12. Pasivizarea unei surse de: a) tensiune; b) curent

b)

22

Exemplul 1.2.3. Aplicând teorema lui Thevenin pentru circuitul din Fig. 1.2.13.a) obţinem sursa

de tensiune echivalentă din Fig 1.2.13.b) [Mir 83].

Aplicând teorema suprapunerii efectelor avem pentru vTh măsurată între punctele A si B pe schema din Fig.1.2.11.a)

=+⋅

+⋅+

= SSTh IRRRR

vRR

Rv

21

21

21

2 5+10=15V

Circuitul de calcul pentru RTh cu sursele pasivizate este cel din Fig. 1.2.14.

RTh=R1 // R2=10KΩ

Rezistenţa Th are şi o altă semnificaţie şi anume ea reprezintă rezistenţa văzută la poarta uniportului denumită şi rezistenţa de ieşire. Aceasta rezistenţă mai poate fi calculată şi determinând curentul de ieşire de scurtcircuit la poarta AB (Fig. 1.2.13.a).

SC

ThTh i

R = v

B

IS 1mA

R2 20KΩ

R R1 Th

20K Ω

B

A

a)

vS 10V

vTh 15V

10 KΩA

b) Fig. 1.2.13. Aplicare a teoremei lui Thevenin

a) circuitul iniţial; b) circuitul echivalent

20K R2

A

RTh

20K

R1

B

Fig. 1.2.14. Circuitul pentru calculul RTh

23

24

De menţionat că există şi teorema generatorului echivalent de curent (Teorema lui Norton) însă fiind mai rar utilizată nu o prezen m în lucrarea de faţă, recomandând în schimb lucrările [Mir83] şi [Şor82].

1.2.7. Teorema lui Millman Teorema lui Millman [Mir83] exprimă potenţialul unui nod al circuitului în

un nţele laturilor incidente în acel nod şi potenţialele nodurilor vecine, toate ţialele fiind măsurate faţa de potenţialul unui nod comun de refave

tă

f cţie de conducta poten

erinţă. Pentru schema generală din Fig. 1.2.15., conform teoremei lui Millman m expresia:

Vn

Vk V1

Gk

∑

∑

=k 1

== n

k

n

k

kK

G

GVV 1

Reamintim că G =R1 este conductanţa şi se măsoară în S (simens).

xemplul 1.2.4. derea de tensiune V pe R pentru circuitul din Fig. 1.2.16.

nctul M se scrie:

ESă determinăm că

Considerăm M ca fiind nodul comun de referinţă. Potenţialul Vn în punctul N faţă de pu

V

G1

•Fig. 1.2.15. Schemăpentru ilustrarea teoremeilui Millman

Fig. 1

•R1 R2

.2.16. Exemplificareaaplicării Teoremei lui Millman

10K 10K R3 20K

•

V15

V2 20V

N

1V

V

M

GGGGGVGVVN ++⋅+⋅+⋅

=21

2211 0

321 RRR++

21N 111

RRV =

21 +VV

5,1211

2010 =+

= V

202010++

1

2015

1.2.8. Puterea Puterea (lucrul pe unitatea de timp) corespunzător unui circuit este (Fig. 1.2.17):

IVP ⋅=

unde V este tensiunea pe circuit iar I curentul prin circuit. Unitatea de măsură a puterii este W (watt) cu submultiplul 1mW=10-3W şi multiplii 1KW=103W, 1MW=106W, 1GW=109W.

u acelaşi sens) dacă rezultă:

P<0 - puterea este generat Exemplul 1.2.5.

Circuit electronic

I

V

I

Fig. 1.2.17. Exemplificare pentru puterea pe un circuit

Cu sensurile din Fig. 1.2.17. (curentul şi tensiunea a P>0 - puterea este consumată (absorbită)

ă

5−=−=VsIR

mA; 5' =−= II mA

sursă. Puterea pe rezistor PR=VR·I’=10V·5mA=50mW, puterea este consumată de rezistor.

În calculul puterii de mai sus atât pe sursă cât şi pe rezistor am considerat

Puterea pe sursă este PS=VS·I=10V·(-5mA)=-50mW, putere generata de

VS

I I’ R 2K VR

Fig. 1.2.18.

25

acelaşi sens pentru eceptoare). Dacă pentru tensiune in 0 este put

remarcat este faptul că puterea se conservă, adică într-un circuit puterea generată este egală, în modul, cu puterea consumată.

lul puterii disipate în rezistoare se obţin relaţiile de calcul echivalente (folosind legea lui Ohm):

tensiune şi pentru curent (convenţia de la rşi curent se consideră sensuri opuse (convenţia de la generatoare)

terpretarea puterii se schimbă, adică P > 0 este putere generată iar P <re consumată. eeD

Pentru calcu

şi R

VP2

= RIP ⋅= 2

de sarcină RL trebuie să folosim penc

este maximă

aţia de mai sus. Ca nu cumva afirmaţia anterioară centuăm că în mod obişnuit în practică circuitele

enţa internă a sursei.

• Transferul de putere Există o problemă interesantă: ce rezistenţătru a obţine transfer maxim de putere de la o sursă cu rezistenţa internă RS

unoscută ( Fig. 1.2.19.)

Pentru valori extreme ale rezistenţei de sarcină:

RS

RL

Sursa reală Sarcină

Fig.1.2.19. Transfer maxim de putere pentru RL S=R

VS

∞==

L

L

RR 0

)0(,0

02

2

==⋅=

=⋅=

IRIP

RIP

LRL

LRL

Există o valoare intermediară pentru R pentru care puterea disipatăşi această valoare este:

RL = RS

Încercaţi să demonstraţi afirmsă mpresie greşită, acne inducă o i

cele tronice sunt proiectate astfel încât rezistenţa de sarcină este mult mai mare decât rezist

Menţionăm că sursa reală din exemplul anterior poate fi modelarea prin echivalent Thevenin a ieşiri unui circuit, spre exemplu a unui amplificator.

26

1.3. Condensatorul şi bobina

ru condensator şi bobină.

ultiplii: 1µF = 10-6 F, 1nF = 10-9 F, 1pF = 10 -12F.

• r

n condensator cu capacitatea de C farazi şi cu tensiunea la terminale de v volţi, are o sarcină electrică de q coulombi stocată pe o armătură şi –q pe cealaltă arm tură.

q=cv Ca şi relaţie de definiţie între tensiunea şi curentul pe condensator se

fol seşte ecuaţia diferenţială:

rezentate simbolurile pent În Fig. 1.3.1. sunt p

Unitatea de măsură pentru capacitate este F (Farad), cu subm

Unitate de măsură pentru inductanţa bobinei este H (Henry) cu submultiplii: 1mH= 10-3 H, 1μH = 10-6H.

1.3.1. Relaţia curent-tensiune

CondensatoU

ă

o

dtdvci =

Viteza de variaţie a tensiunii determină curentul prin condensator. e exemplu dacă pe un condensator cu capacitatea C=1F variaţia tensiunii este

de 1V/s, curentul prin condensator este de 1A. Sau altfel privite lucrurile, dacă se furnizează un curent de 1A printr-un condensator de 1F tensiunea pe condensator cre cu 1V în fiecare secundă.

bservaţii: • urentul prin condensator este cu atât mai mare cu cât capacitatea este mai

• e condensator nu pot apărea salturi bruşte de tensiune deoarece acestea ar

ecesita un curent infinit prin condensator. Variaţia bruscă a potenţialului pe ătură este transmisă integral pe cealaltă armătură.

D

şte Ocmare.pno arm

+ C C

Fig. 1.3.1 Simbolul pe

L

a) b)

ntru: a) condensator; b) bobină

27

• gem comportarea condensatorului nu vom avea nici o dificultate cu

bobina, cele două elemente de circuit fiind duale

nţă R - conductanţă G uctanţă L

le unul altuia, exprimate în mărimi duale, au aceeaşi formă [Mir 83].

rentului determină tensiunea la bornele ei. Re tr

Bobină Dacă înţele

Sunt duale între ele: reziste capacitate C - ind tensiune v - curent i Putem folosi principiul dualităţii: ecuaţiile a două circuite dua

La bobină viteza de variaţie a cu în e tensiune şi curent este: laţia

dtdiLv =

O tensiune de 1V aplicată unei bobine cu inductanţa de 1H conduce la o creştere a c

fi dedusă prin dualitate prin co lui.

toarelor şi bobinelor

urentului prin bobină cu 1A în fiecare secundă. În continuare comportarea bobinei în circuit poate

mportarea condensatoru

1.3.2. Conectarea condensa

C1 C2

L1

L 2

21 LL +21 LLLech

⋅=

C1

C2

C =C +Cech 1 2

Fig. 1.3.2. Conectarea serie a: a) condensatoarelor. b) bobinelor

21

CC ⋅

a)

L1 L2

21

CCCech +

= 21 LLLech +=

b)

a) b) Fig. 1.3.3. Conectarea paralel a: a) condensatoarelor b) bobinelor

28

Prin conectarea în serie (paralel) a condensatoarelor se obţine o capacitate mai mică (mare).

1.3.3. Comportarea în c.c.

1.3.3.1. Circuit RC cu sursă de tensiune Să considerăm un circuit simplu cu un condensator, o rezistenţă şi o sursă de

tensiune continuă legate în serie, după cum se vede în Fig. 1.3.4.

Ne interesează evoluţia în timp a mărimilor în circuit, în particular tensiunea pe condensator vC(t) şi curentul prin condensator iC(t).

Folosind TKV avem: VI=RiC+vC.

Avem relaţia pe condensator:

R

CVI vC

iC

Fig. 1.3.4. Circuitul R C cu sursă de tensiune continu

serie ă

dtCdv

Ci C=

CC

I vdv

RCV += dt

ta vC: Obţinem o ecuaţie diferenţială neomogenă de ordin unu cu necunoscu

0=−+ ICC Vv

dtdv

RC

;

Rezolvând ecuaţia şi punând condiţiile la limită: t=0; vC=vC(0 ) - tensiunea pe condensator la momentul iniţial

∞=t ; vC=vC(∞ ) - tensiunea pe condensator la momentul finalse obţine soluţia:

)()1()0()( ∞−+⋅=−−

tt

CC veevtv ττ C

măsură

uitul din Fig. 1.3.4. considerăm că la momentul iniţial condensatorul este complet descărcat, v (0)=0 V, iar tensiunea la care se încarcă condensatorul înt i de intrare v

unde τ=RC se numeşte constanta de timp a circuitului, cu unitatea de secundă (s).

Pentru circC

r-un timp infinit de lung este tensiunea surse C(∞ )=V . IEcuaţia ce descrie evoluţia în timp a tensiunii pe condensator este:

29

I

t

C Vetv )1()( τ−

−=

Forma de undă este prezentată în Fig. 1.3.5. a)

Evoluţia curentului prin condensator este prezentată în Fig. 1.3.5. b).

τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ

regim tranzitoriu regim permanent

iC

RVI

După t=τ condensatorul s-a încărcat la 63% din valoarea finală. Condensatorul se poate considera încărcat în întregime după un timp t=5τ când ajunge la 99% din aloarea finală. v

Rt

C)vV

ti CI ()(

−=

Curentul prin condensator are valoarea maximă în momentul iniţial R

Vi IC =)0( ,

deoarece toată tensiunea sursei cade pe R. Pe măsură ce creşte tensiunea pe condensator, curentul prin circuit scade, tinzând la zero după t=5τ.

În circuitul RC alimentat cu o sursă de tensiune continuă, după trecerea reg mului tranzitoriu t∈(0; 5τ) se intră în regimul permi anent în care nu se mai întâmplă nimic, curentul f

Observaţie: Interpret m afirma upă tre erat o întrerup

.2. Încărcarea C la curent constant

(Fig. 1.3.6.)

iind zero.ă ția de mai sus astfel: în c.c., d

cerea regimului tranzitoriu, condensatorul poate fi considere.

1.3.3Considerăm un circuit format dintr-un condensator şi o sursă de curent continuu

R

VI37.0

Fig.1.3.5. Cronogramele tensiunii şi curentului prin condensator b)

pentru circuitul din Fig. 1.3.4.

τ 2τ 3τ 4τ 5τ

regim tranzitoriu regim permanent

v

I

0.63VI

a)

C

6τ

V

t t

30

vC

La momentul iniţial condensatorul se consideră des rcat vC(0)=0V. Curentul prin condenator este constant în timp i (t)=I, astfel încât avem :

că

C

vC(t)= ∫ C dttiC

0

)(1 t

tItv ⋅=1)( CC

Tensiunea pe condensator creşte liniar în timp (Fig. 1.3.7.). Dacă circuitul funcţionează u existând pericolul dist ent dat se inversează sensul curentului, a.

te decat circuitele pur rezistive, deoarece comportarea lor depinde de frecvenţa. De exemplu un divizor d ensator va avea un factor de divizare dependent de frecvenţă.

Condensatorul şi bobina sunt cunoscute ca şi elemente de circuit reactive. Pentru aceste elemente de circuit se defineşte reactanţa X:

o perioadă oarecare de timp, tensiunea creşte continurugerii condensatorului sau sursei. Dacă la un mom

condensatorul se va descărc

1.3.4. Comportarea în curent alternativ

Circuitele cu condensatoare şi bobine sunt mai complica

e tensiune, care conţine şi un cond

C1X C ω

= ; pentru condensator

XL=ωL ; pentru bobina

ea pen rezistență ]. Un alt termen utilizat în circuitele ce conţin elemente reactive este cel de

a

iC

Unitatea de măsură pentru reactanţă este aceeași cu c tru[Ω

C I

Cpanta ⋅=

1 vC I

t 0)

Fig.1.3.6. Condensatorul la curent constant: a) schema electrică ; b) tensiunea pe condensator

b)

31

impedanţă, care se notează cu Z. Impedanţa este un termen general, este o “rezistenţa generalizată“ [Hor97].

( )XXjRZ CL −+=

Reactanța este partea i mp Impedanţele capacitivă, Z şi inductivă Z sunt:

maginara a i edanței. C L

jXR;jX LLCC ZRZ +=− =

unde 1−=j Pentru condensator şi bobină ideale (R=0) impedanţele sunt numere

complexe:

LjZ;Cj

Zc L ωω

==

Reactanţa condensatorului (bobinei) scade (creşte) cu creşterea frecvenţei f. Astfel, în curent continuu (f=0 Hz

1

) un condensator este echivalent cu o întrerupere

eralizarea relaţiilor si teoremelor de circu e rice

C reactive (condensatoare şi bobine)

toate relaţiile şi teoremele de circuit (vezi paragraful 1.2.) trebuie reformulate. Toate aceste relaţii şi teoreme rămân valabile (cu respectarea condiţiilor de aplicare) doar că în loc de rezistenţă se foloseşte impedanţa.

• egea lui Ohm generalizată:

Da

(XC→∞) pe când o bobina este echivalentă cu un scurtcircuit (XL→ 0 ) .

1.4. Genite lect

ând circuitele analizate conţin si elemente

L

că, de exemplu Z=Zc=Cjω

tensiunea rezultată este V=1

IfC

⋅π2

1

Z I

Fig.1.4.1.Generalizarea legii lui Ohm

V=ZI

32

• Conectarea impedanţelor va lua locul conectării rezistoarelor. De exemplu două impedanţe în serie Z1 şi Z2 au impedanţa echivalentă Z=Z1+Z2.

Dacă:

Z =Z =1 C Cjω 2 L1 şi Z =Z =jωL

Z=Cjω

+ jωL=j(-1

Cω+ωL)

1

• Divizoarele e pot realiza cu impedanţe în loc de rezistoare. Relaţiile de calcul locuind R cu Z.

te cu C şi L , olosind impedanţele corespunzătoare, cu condiţia ca circuitul să fie liniar.

Teorema lui Thevenin pentru circuite care conţin elemente reactive se reformulează astfel: Orice uniport care conţine rezistoare, condensatoare, bobine şi sur e este echivalent cu un uniport care conţine o sursă ideală de tensiune înseriată cu o impedanţă complexă.

Teorema lui Millman exprimă potenţialul unui nod al circuitului in funcţie de ele complexe ale laturilor incidente în acel nod şi potenţialele nodurilor oate potenţialele fiind măsurate faţă de potenţialul unui nod comun de

referinţă. Prin admitanţă se înțelege inversul impedanţei, se notează cu Y şi se măsoară în S (Siemens).

srămân valabile, în

• Metoda suprapunerii efectelor se poate aplica şi pentru circuif

•

s

•admitanţvecine, t

Y=Z1

Admitanţa unui condensator este YC=jωC

1.5. Răspunsul în frecvenţă Dacă un semnal sinusoidal este aplicat la intrarea unui circuit liniar, la ieşirea

cir oidal de aceeaşi fr ţă, dar care poate ave le semnalului de intrare. Astfel un circuit poate fi caracterizat în termenii schimbării pe care el o produce în amplitudinea şi faza semnalelor sinusoidale de diferite frecvenţe aplicate la intrare.

1.5.1. Funcţia de transfer complexă

transfer complexă. Funcţ ansfer complexă F(jω) este o caracteristică a circuitului şi ea descrie com spunsul lui în frecvenţă.

cuitului vom obţine tot un semnal sinus ecvena amplitudinea şi faza diferite de cele a

Pentru a studia comportarea în frecvenţă a unui circuit se foloseşte funcţia de

ia de trplet ră

33

( ) ( )( )ωω

ωjX

j O=

soidale în complex pentru intrare, ţi.

tudiul răspunsului în frecvenţă al unui circuit se reduce la studiul funcţiei de tra Ex

Soluţie:

jX I

Cu XI(jω),XO(jω) am notat semnalele sinu

spectiv pentru ieşire. Acestea pot fi tensiuni sau curen

F

reSnsfer F(jω).

emplul 1.5.1. Care este funcţia de transfer complexă a circuitului din Fig 1.5.1.

Fig.1.5.1. Circuit RC

R

C vI(jω) vO(jω)

( ))()(

ωω

ωjvjv

jFI

O=

vO(jω) se poate deduce considerând un divizor de tensiune pentru care tensiunea de intrare vI(jω) se divide pe impedanţa condensatorului ZC şi pe cea a rezistorului ZR.

( ) ( )ZC ωω jvZZ

jv ICR

O +=

( )CR

C

ZZZ

jF+

=ω

Prin înlocuirea impedanţelor obţinem: ( )

CjR

CjjF ωω1

1

=

ω+

( )RCjω+1

Funcţia de transfer fiind un număr complex, este caracteriz

jF ω =1

at de modul şi fază :

Modul ( )( )21

1jF ω =RCω+

34

Faza ( ) ( )RCarctg ωω −=Φ

Atât modulul cât şi faza sunt funcţii de frecvenţă (mai precis de pulsaţie ω=2πf). Reprezentarea grafică a acestor funcţii ne furnizează o imagine clară asupra răspunsului în frecvenţă a circuitului.

.5.2. Reprezentarea răspunsului în frecvenţă

Scara logaritmică entru reprezentarea modulului funcţiei de transfer folosim un sistem de axe de

coordonate în care pe abscisa avem frecvenţa (sau pulsaţia). Având în vedere domeniul foarte mare de valori al frecvenţei, de la herţi la megaherţi folosirea unei scă liniare este aproape imposibilă. De aceea se folosește o scara logaritmică, ne mici şi “c

ste exemplifi

10, dar ceea ce măsuram pe axa este logaritm zecima ori. Intervalul cuprins între două valori aflate în raport de 10 (sau 1/10) se numeşte

de 3

• Decibel Pe axa modulului funcţiei de transfer se pot folosi atât valori exprimate ca

raport,

1 • P

riliniară care are proprietatea că “dilatează“ valorile omprimă“ valorile

mari, permiţînd astfel reprezentarea unui interval de variaţie foarte mare. Scara logaritmică e cată în Fig.1.5.2.

110 lg

Originea axei este considerată valoarea 1. Pe axă scriem valorile ca puteri ale lui

l din aceste val

cadă. De exemplu sunt decade intervalele cuprinse între 1 şi 10 sau între 10 şi 104.

( )ωjF cât şi ate în decibeli, ca logaritm al raportului,

valori exprim( )

dBjF

( )ω

( )ωω = jFjF lg20

Corespondenţa între valorile modulului unei funcţii de transfer exprimate ca raport şi exprimate în dB este prezentată în Fig. 1.5.3.

dB

Decibelul este submultiplu al unităţii de măsură bel care este logaritmul zecimal al raportului a două puteri, când acest raport este egal cu 10.

103 0.1 0.01 1 10 100 4 Fig.1.5.2. Scară logaritmică 10

35

0.01 0.1

1

10

100

1000

( )ωjF

40 20 0

20

40

60

( )dBjF ω

Origine

Fig.1.5.3. Corespondenţa între valorile modulului unei funcţii de transfer exprimate ca raport şi exprimate în decibeli.

Dacă semnalul de ieşire este egal cu cel de intrare ( ) 1=ωjF , modulul funcţiei

de transfer în dB este ( ) 0=dBjF ω , care poate fi considerat ca origine a axei. Pentru un amplificator, când semnalul de ieşire este mai mare decât cel de

intrare avem ( ) 0>dBjF ω

c decât cel de in

, iar pentru un circuit care atenuează, semnalul de ieşire

este mai mi trare şi avem ( ) 0<dBjF ω . • Reprezentarea grafică Modulul funcţiei de transfer pentru circuitul din Fig 1.5.1. este:

( )( )21

1

RCjF

ωω

+=

Vom trata mai întâi reprezentarea asimptotică a acestei funcţii, considerând valori extreme pentru ω:

ω→0 ; ( ) 1=ωjF

ωRC>>1 ; ( )RC

jFω

ω 1≈

Caracteristica asimptotică a modulului funcţiei de transfer este arătată în Fig.1.5.4.b) cu linie întreruptă.

Punctul de intersecţie al celor două asimptote este la pulsaţia ω0 a cărei valoare se obţine prin egalarea celor două funcţii.

RC0

1 1

ω=

36

RC1

=ω0

ω0 se numeşte pulsaţie de frângere sau de tăiere, iar frecvenţa corespunzătoare

πω2

00 =f

se numeşte frecvenţă de frângere sau de tăiere.

Înlocuind 0

( )

1ω

=RC , funcţia de transfer se poate scrie în forma:

oj

jF ωω+

=1

1

ω

cu modulul: ( )2

=ωjF şi faza:

01 ⎟

⎠⎜⎝

+ω

1

⎟⎞

⎜⎛ ω

( )0ωωω arctg−=Φ

a)

00 -450

-900

-0.707

0.1

0.01

-3

-20

-40

( )ωjF ( )dBjF ω

RC01.0 RC

1 RC

1.0 RC10

R100

ω C

Ф(ω) ω

b)

RC1.0 1

RC 10

RC

Fig.1.5.4. Răspunsul în frecvenţă al circuitului FTJ din Fig.1.5.1: a) caracteristica amplitudine-pulsaţie; b) caracteristica fază-pulsaţie

37

Valoarea reală a modulului frecvenţei de transfer la pulsaţia (frecvenţa) de frângere este:

( ) 707.0211

2

⎟⎞

⎜⎛+ RC

11≅==jF ω 0

⎠⎝ RC

Caracteristica reală a funcţiei de transfer este prezentată cu linie plină în Fig.1.5.4.a). Dacă se măsoară în decibeli, modulul funcţiei de transfer la frecvenţa de frângere este:

lg 32

1−=20)( 0 =dBjF ω dB

La frecvenţe mult mai mici decât frecvenţa de frângere, amplitudinea semnalului de ieşire este egală cu cea a semnalului de intrare ( 1)( =ωjF ). Din caracteristica reală a funcţiei de transfer (Fig.1.5.4.a)) se observă că pe măsură ce ne apropiem de pulsaţia de frângere amplitudinea semnalului de ieşire scade. Ea devine, la pulsaţia de frângere, 0.707 din amplitudinea semnalului de intrare. Aşadar la trecerea prin circuit toate semnalele având frecvenţe cel mult egale cu frecvenţa de frângere sunt atenuate cu cel mult 30%, sau cu 3dB.

Se numeşte bandă de frecvenţe de trecere la 3 dB atenuare (la 30%), domeniul de frecvenţe în care semnalele sunt atenuate cu cel mult 3dB (30%) faţă de valoare maximă.

Pentru circuitul nostru banda de frecvenţă de trecere este:

RCB

π21

=

In afara benzii, modulul funcţiei de transfer este invers proporţional cu pulsaţia:

( )RC

jFω

ω 1=

Panta acestei drepte este –20dB/decadă. Spunem ca atenuarea în afara benzii este de –20dB/decadă.

ă semnalele cu frecvenţe joase şi atenuează semnalele cu eşte filtru trece jos FTJ. Mai există filtre trece sus FTS, filtre trece bandă FTB şi filtre opreşte bandă FOB.

Faza funcţiei de transfer este: Ф(ω )= -arctg(ωRC)

Pentru: ω → 0; ω → ∞; Ф(ω )= -arctg ∞ = -900

ω = ω0; Ф(ω )= -arctg 1 = -450

Circuitul care lasă să treac frecvenţe ridicate se num

Ф(ω )= -arctg 0 = 0

38

Faza funcţiei de transfer în raport cu pulsaţia este reprezentată în Fig.1.5.4.b). Defazajul merge de la 00 ( la frecvențe bine sub frecvența de frângere) până la

-900 (la frecven e bine peste frecvenţa de frângere), cu o valoare de -450 la frecvenţa de frângere.

ţ

Un FTS RC este prezentat în Fig.1.5.5, răspunsul său în frecvenţă fiind arătat în Fig.1.5.6.

Fig.1.5.5. Filtru trece sus RC vO(jω)

R

vI(jω) C

dB F(jω)

Funcţia de transfer este:

( )RCjω+1

( )

RCjjF ωω =

( )21 RC

RCjF ωω = ; Ф(ω)=90-arctgωRC ω+

0 -3

900

0.01

0

450

f0 0.1f0 0 0 f0

f

panta 20dB/dec.

f 10 f 100

Ф(ω)

-20

-40

0.01 f0 0.1 f0 f0 100 f0 f

Fig.1.5.6. Răspunsul în frecvenţă pentru FTS

39

Frecvenţa de tăiere este RC

f 1= , banda de frecv ere

π20 enţe de trec la 3dB

atenuare este: B [f0; ∞], atenuarea în afara benzii este de 20dB/dec.; defazajul la frecvenţa de tăiere este 450.

Observaţie: Atât pentru FTJ cât şi pentru FTS, la frecvenţe mai mari decât 10f0 panta modulului funcţiei de transfer este cu 20dB/dec. mai mică decât panta la frecvenţe mai mici decât 0.1f0.. De asemenea defazajul este mai mic cu 900. Pe caracteristica asimptotică a modulului funcţiei de transfer spunem că la frecvenţa de

Exemplul 1.5.2. În Fig.1.5.7. este prezentată caracteristica amplificare-frecvenţă (modulul

ncţiei de transfer) a unui amplificator de tip FTB. Care sunt banda de frecvenţă şi mplificarea în bandă? Care este funcţia de transfer a circuitului?

are avem o amplificare de 37 dB, cu 3 dB mai mică decât amplificarea maximă de 40 dB. Banda de frecvenţă de trecere este B [1;100]KHz. Amplificarea în bandă este 40 dB, iar măsurată ca raport între semnalul de intrare şi cel de ieşire este de 100.

Funcţia de transfer a circuitului trebuie să prezinte doua frecvenţe de tăiere, deci

numitorul să fie un produs de tipul

∈

tăiere apare o atenuare de 20dB/dec.

fua

( ) dBjF ω

60

40 37

20

0 10 102 103 104 105 106 107 f[Hz]

Fig.1.5.7. Caracteristica amplificare-frecvenţă de tip FTB

Soluţie Se observă că există două frecvenţe de tăiere fL=1KHz şi fH=100KHz la c

∈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

HLjjωω

ωω 11

forma

. De asemenea la

numărător trebuie să avem o expresie de1ωωj care arată că venim dinspre

origine ω=0, cu panta 20 dB/dec. ωL şi ωH se citesc direct de pe grafic:

; 3102 ⋅= πωL5102 ⋅= πωH

40

41

ω1 se determină punând condiţia ca la frecvenţa f=10 Hz, ( ) 0=dBjF ω dB

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+

⋅=

5353 101

101

10

1021

1021

102fjfj

fj

jj

jjF

πω

πω

πω

ω

Lăsăm spre distracţia cititorului să deducă faza Ф(ω) şi să traseze caracteristica

fază-frecvenţă.