“In matematica nu intelegi lucrurile. Doar te obisnuiesti cu ele”

John von Neumann

3Functii si integrale complexe

Geometria numerelor complexe

∙ numerele complexe pot fi reprezentate grafic printr-un vector orientat cuoriginea in originea reperului si varful in punctul 𝐴(𝑥, 𝑦), spunem ca 𝑧 este afixulpunctului 𝐴(𝑥, 𝑦)

∙ imaginea conjugatului 𝑧 se obtine prin simetrie fata de axa 𝑂𝑥

∙ imaginea sumei 𝑧1 + 𝑧2 se obtine prin regula paralelogramului

∙ imaginea diferentei 𝑧1−𝑧2 sa se obtine cu regula triunghiului apoi se aplicao translatie pana in originea reperului

1

∙ modulul |𝑧| =√𝑧 · 𝑧 coincide cu norma euclidiana a vectorului prin care 𝑧

este reprezentat

∙ daca 𝑧 = 0, putem forma inversul sau folosind regula

1

𝑧=

𝑧

|𝑧|2=

𝑥− 𝑖𝑦

𝑥2 + 𝑦2

∙ inversul unui numar complex se reprezinta prin simetrie fata de axa 𝑂𝑥apoi inversiune fata de cercul unitate

∙ vectorul care reprezinta numarul complex 1𝑧 are acelasi sens ca si 𝑧 dar are

lungimea 1𝑟 , cand 𝑧 are lungimea 𝑟

∙ unghiul 𝜃 format de semiaxa pozitiva 𝑂𝑥 si vectorul−→𝑂𝐴, prin care numarul

complex e reprezentat, se numeste argumentul numarului complex 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

2

∙ avem urmatoarea formula pentru a obtine acest unghi

𝜃 = arctg(𝑦𝑥

)+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z

∙ deoarece cos si sin sunt 2𝜋-periodice, argumentul nu este unic determinat,ci 𝜃 ± 2𝜋, 𝜃 ± 4𝜋, etc, reprezinta alte argumente posibile ale lui 𝑧

∙ din aceasta cauza vom nota cu

arg(𝑧) = 𝜃 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z

multimea tuturor argumentelor

Reprezentarea polara a unui numar complex

Fiecare numar comlex poate fi reprezentat sub forma

𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)

unde 𝑟 = |𝑧| si 𝜃 se vor numi coordonatele polare ale lui 𝑧.

Cautam sa aflam reprezentarea trigonometrica a lui 𝑧 = −√

3−𝑖. Deoarece𝑥 = −

√3 si 𝑦 = −1 obtinem

𝜃 = arctg(𝑦𝑥

)= arctg

(√3

3

)=

𝜋

6+ 𝑘𝜋

Punctul 𝐴(−√

3,−1) (imaginea lui 𝑧) se afla in cadranul III din aceastacauza ar trebui sa avem

𝜋 < 𝜃 <3𝜋

2.

O astfel de valoare se obtine pentru 𝑘 = 1, deci 𝜃 = 𝜋6 +1·𝜋 = 7𝜋

6 . Modulul

sau este 𝑟 = |𝑧| =√

(−√

3)2 + (−1)2 = 2. Prin urmare reprezentarea

trigonometrica (polara) este

𝑧 = 2

(cos

7𝜋

6+ sin

7𝜋

6

)

Exemplu instructiv

3

Argument principal

Vom nota unghiul 𝜃 pentru care are loc

−𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋

prin Arg(𝑧) si il vom numi argumentul principal a lui 𝑧. Are loc relatia

arg(𝑧) = Arg(𝑧) + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ZZ.

In exemplul anterior argumentul ales a fost 𝜃 = 7𝜋6 . Prin intermediul for-

mulei Arg(𝑧) = 𝜃 ± 2𝑘𝜋 ∈ (−𝜋, 𝜋], 𝑘 ∈ N, cautam sa obtinem argumentulprincipal. Prin urmare Arg(𝑧) = 7𝜋

6 − 2𝜋 = − 5𝜋6 .

Asadar avem inca o posibila reprezentare trigonometrica

𝑧 = 2

(cos

(−5𝜋

6

)+ sin

(−5𝜋

6

))

Identificarea argumentului principal

∙ in acest moment putem sa dam o semnificatie grafica produsului a douanumere complexe cu ajutorul reprezentarilor polare

𝑧1 · 𝑧2 = 𝑟1𝑟2(cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 sin(𝜃1 + 𝜃2))

∙ putem astfel intelege ce se intampla la inmultirea lui 𝑧2 cu 𝑧1: numarulcomplex 𝑧1 transforma vectorul de pozitie a lui 𝑧2 rotindu-l cu un unghi 𝜃1 =

4

𝐴𝑟𝑔(𝑧) in jurul originii apoi scalandu-l incat sa aiba lungimea egala cu produsullungimilor celor doi vectori

∙ o inmultire cu un numar complex este din punct de vedere geometric orotatie si apoi o scalare

∙ o situatie asemanatoare are loc pentru catul lor

𝑧1𝑧2

=𝑟1𝑟2

(cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 sin(𝜃1 − 𝜃2))

∙ una dintre motivatiile formei trigonometrice este posibilitea de a exprimaelegant puterea unui numar complex

Formula lui Moivre

(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos(𝑛𝜃) + 𝑖 · sin(𝑛𝜃) , 𝑛 ∈ Z.

∙ ca o consecinta se obtin formulele radacinilor de ordin 𝑛

Radacinile ecuatiei 𝑤𝑛 = 𝑧

Pentru orice numar natural 𝑛 ecuatia 𝑤𝑛 = 𝑧 are exact 𝑛 solutii, acesteafiind

𝑛√𝑧 = 𝑛

√|𝑧|(

cos𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛+ 𝑖 sin

𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛

),

unde 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛− 1.

Ecuatia 𝑤𝑛 = 𝑖, 𝑤 ∈ C va avea trei solutii. Se observa usor, reprezentandgrafic numarul 𝑖, ca |𝑖| = 1 si 𝜃 = 𝜋

2 ,. Afisam mai jos cele trei radacini deordinul 3 calculate conform formulei anterioare.Pentru 𝑘 = 0

𝑤1 =3√

1

(cos

𝜋2

3+ 𝑖 sin

𝜋2

3

)= cos

𝜋

6+ 𝑖 sin

𝜋

6

=

√3

2+

1

2𝑖

Pentru 𝑘 = 1

𝑤2 =3√

1

(cos

𝜋2 + 2𝜋

3+ 𝑖 sin

𝜋2 + 2𝜋

3

)= cos

5𝜋

6+ 𝑖 sin

5𝜋

6

= cos(𝜋 − 𝜋

6

)+ 𝑖 sin

(𝜋 − 𝜋

6

)= − cos

𝜋

6+ 𝑖 sin

𝜋

6= −

√3

2+

1

2𝑖

Exemplu instructiv

5

si pentru 𝑘 = 2

𝑤3 =3√

1

(cos

𝜋2 + 4𝜋

3+ 𝑖 sin

𝜋2 + 4𝜋

3

)= cos

9𝜋

6+ 𝑖 sin

9𝜋

6

= cos3𝜋

2+ 𝑖 sin

3𝜋

2= cos

(2𝜋 − 𝜋

2

)+ 𝑖 sin

(2𝜋 − 𝜋

2

)= cos

𝜋

2− 𝑖 sin

𝜋

2= −𝑖

Radacinile de ordinul n ale unitatii 𝜀𝑛 = 1

Pentru orice 𝑛 ∈ N exista exact 𝑛 radacini de ordinul 𝑛 ale numarului𝑧 = 1, mai precis

𝜀1 = cos2𝜋

𝑛+ 𝑖 · sin

2𝜋

𝑛

𝜀2 = cos4𝜋

𝑛+ 𝑖 · sin

4𝜋

𝑛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝜀𝑘 = cos2𝑘𝜋

𝑛+ 𝑖 · sin

2𝑘𝜋

𝑛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝜀𝑛 = 1

∙ din punct de vedere grafic imaginile acestora sunt 𝑛 puncte situate pecercul de raza 1 si origine 𝑂 (cercul unitate).

Functii complexe

∙ o functie cu valori complexe este o functie 𝑓 : 𝐷 → C pentru care domeniulde valori este o submultime a lui C

∙ atunci cand 𝐷 ⊂ C spunem ca avem o functie complexa.∙ pentru o functie complexa 𝑓 de obicei scriem

𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖 · 𝑣(𝑥, 𝑦),

unde 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, astfel 𝑢 si 𝑣 vor fi functii reale

Functii liniare

O functie complexa 𝑓 se numeste liniara daca exista constantele complexe𝑎, 𝑏 ∈ C, 𝑎 = 0, astfel incat

𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧 + 𝑏, 𝑧 ∈ C.

Pentru 𝑎 = 1 se obtine ceea ce in geometrie numim translatie in directiaindicata de 𝑏

𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑏, 𝑧 ∈ C.

Remarca

6

Cand 𝑎 ∈ R+ si 𝑏 = 0 obtinem o scalare cu factorul de scalare a>0

𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧, 𝑧 ∈ C.

adica modulul lui 𝑧 va fi marit (𝑎 > 1) sau micsorat (0 < 𝑎 < 1).Daca 𝑎 ∈ C astfel ca |𝑎| = 1 si 𝑏 = 0 atunci obtinem o rotatie in juruloriginii, in sens pozitiv trigonometric, de unghi 𝜃 = Arg(𝑎):

𝑓(𝑧) = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑧, 𝑧 ∈ C.

Structura unei aplicatii liniare

Orice aplicatie liniara 𝑓 : C → C se descompune in

𝑓 = 𝑓3 ∘ 𝑓2 ∘ 𝑓1

unde cele trei functii reprezinta

1) 𝑓1(𝑧) = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑧 o rotatie in jurul originii

2) 𝑓2(𝑧) = |𝑎|𝑧 o scalare

3) 𝑓3(𝑧) = 𝑧 + 𝑏 o translatie de ”vector” 𝑏

∙ in continuare vom incepe sa prezentam varianta complexa a unor functiielementare

∙ unele extinderi nu conduc la functii propriu-zise ci la ceea ce vom numifunctii multivalente: adica functii care asociaza unui numar 𝑧 mai multe posibilevalori

Functia exponentiala complexa

Functia exponentiala exp : C → C este definita prin

exp(𝑧) = 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑖𝑦 := 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑖𝑒𝑥 sin 𝑦

∙ se observa usor ca de fapt |𝑒𝑧| = 𝑒𝑥 si arg(𝑧) = 𝑦 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z

Proprietatile functiei exponentiale

i) functia exponentiala este o functie 2𝜋𝑖-periodica

𝑒𝑧+2𝜋𝑖 = 𝑒𝑧, 𝑧 ∈ C.

ii) 𝑒𝑧𝑒𝑤 = 𝑒𝑧+𝑤, 𝑧, 𝑤 ∈ C,

iii)𝑒𝑧

𝑒𝑤= 𝑒𝑧−𝑤

iv) (𝑒𝑧)𝑛 = 𝑒𝑛𝑧, 𝑛 ∈ Z.

7

Logaritmul complex

Functia multivalenta

Ln(𝑧) = ln |𝑧| + 𝑖 · arg(𝑧) = ln |𝑧| + 𝑖 · (𝐴𝑟𝑔(𝑧) + 2𝑘𝜋)

se numeste logaritm complex Ln : C* → C si reprezinta solutia ecuatiei

𝑒𝑤 = 𝑧.

Proprietatile logaritmului complex

Pentru orice 𝑧, 𝑤 = 0 au loc

i) Ln(𝑧) + Ln(𝑤) = Ln(𝑧𝑤)

ii) Ln𝑧 − Ln(𝑤) = Ln(𝑧𝑤

)iii) Ln(𝑧𝑛) = 𝑛 · Ln(𝑧), 𝑛 ∈ Z.

∙ egalitatile de mai sus trebuie interpretate ca identitati intre multimi sinu intre numere complexe, caci functia multivalenta complexa returneaza cavaloare o multime de numere si nu un numar

”Functia” putere

Putem defini ridicarea la putere complexa cu ajutorul logaritmului com-plex

𝑧𝛼 = 𝑒𝛼(ln |𝑧|+𝑖 arg(𝑧))

unde 𝛼 ∈ C este o constanta complexa.

∙ functia putere definita mai sus este tot multivalenta deci nu e propriu-ziso functie

∙ insa expresia 𝑒𝛼(ln |𝑧|+𝑖Arg(𝑧)) numita valoare principala a functiei putere𝑓(𝑧) = 𝑧𝛼 este o functie complexa de 𝑧, atribuind o unica valoare fiecarui numar𝑧

Proprietatile alegbrice obisnuite ale functiei putere nu se aplica varianteicomplexe. De exemplu, regula 𝑧𝛼 ·𝑤𝛼 = (𝑧𝑤)𝛼 nu e valabila pentru orice𝑧, 𝑤 ∈ C* si 𝛼, 𝛽 ∈ C. Tinand cont de definitia functiei multivalente putereobtinem

(−1)𝑖 · (−1)𝑖 =𝑒𝑖(0+𝑖arg(−1))𝑒𝑖(0+𝑖arg(−1)))

=𝑒−(𝜋+2𝑘𝜋)𝑒−(𝜋+2𝑘𝜋) =1

𝑒2𝜋+4𝑘𝜋

dar si

[(−1) · (−1)]𝑖 = 1𝑖 = 𝑒𝑖(0+𝑖arg(1)) = 𝑒−(0+2𝑘𝜋) =1

𝑒2𝑘𝜋

Remarca

8

Functiile trigonometrice si hiperbolice complexe

Urmatoarele functii sunt extinderi ale functiilor reale corespunzatoare

sin 𝑧 =𝑒𝑖𝑧 − 𝑒−𝑖𝑧

2𝑖, sinh 𝑧 =

𝑒𝑧 − 𝑒−𝑧

2

cos 𝑧 =𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧

2, cosh 𝑧 =

𝑒𝑧 + 𝑒−𝑧

2

∙ aceste functii sunt continue si derivabile pe C

Proprietati elementare

Pentru orice 𝑧 ∈ C

i) cos2 𝑧 + sin2 𝑧 = 1 si cosh2 𝑧− sinh2 𝑧 = 1

ii) cosh(𝑖𝑧) = cos 𝑧 si sinh(𝑖𝑧) = 𝑖 sin 𝑧

iii) in C au loc, la fel ca in R, regulile

sin(𝑧1 ± 𝑧2) = sin 𝑧1 cos 𝑧2 ± sin 𝑧2 cos 𝑧1,

cos(𝑧1 ± 𝑧2) = cos 𝑧1 cos 𝑧2 ∓ sin 𝑧1 sin 𝑧2.

Complex versus real

∙ in planul complex distanta se calculeaza prin

𝑑(𝑧, 𝑤) = |𝑧 − 𝑤| =√

(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2, 𝑧, 𝑤 ∈ C∙ tinand cont de aceasta putem sa vizualizam o vecinatate deschisa in jurul

lui 𝑧0 ca fiind un disc centrat in 𝑧0 si de raza 𝛿, adica multimea

𝐷(𝑧0, 𝛿) = {𝑧 ∈ C : |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿}

Siruri convergente

Fie (𝑧𝑛)𝑛 un sir de numere complexe si 𝑧 ∈ C. Urmatoarele afirmatii suntechivalente

𝑧𝑛 → 𝑧, ⇔ Re(zn) → Re(z) si Im(zn) → Im(z)

9

∙ in C o functie 𝑓 : 𝐷 → C are limita 𝐿 in punctul 𝑧0 daca si numai dacapentru toate sirurile (𝑧𝑛)𝑛, care converg la 𝑧0, sirul 𝑓(𝑧𝑛) converge la 𝐿.

∙ diferenta dintre cazul complex si cel real este ca in C sirurile nu se apropiede limita doar dintr-o directie ci se pot apropia dintr-o infinitate de directii saupe o infinitate de traiectorii

∙ in cazul sirurilor reale aproprierea de limita se face doar pe o traiectorieorizontala (axa 𝑂𝑥)

∙ in complex convergenta este mai greu de realizat dupa cum arata urmatorulexemplu

Limita lim𝑧→0

𝑧

2𝑧nu exista !

Consideram un sir (𝑧𝑛)𝑛, care converge pe directia axei 𝑂𝑥 la 0, deexemplu 𝑧𝑛 = 1

𝑛 . Atunci vom avea

𝑓(𝑧𝑛) =𝑧𝑛2𝑧𝑛

=1𝑛2𝑛

=1

2→ 1

2.

Dar pentru un alt sir (𝑤𝑛)𝑛, care converge pe directia axei 𝑂𝑦 la 0, deexemplu 𝑤𝑛 = 1

𝑛 𝑖, va rezulta

𝑓(𝑤𝑛) =𝑤𝑛

2𝑤𝑛=

− 𝑖𝑛

2𝑖𝑛

= −1

2→ −1

2.

Deci o contradictie cu criteriul lui Heine.

Ilustrare

10

Limita unei functii complexe

Fie 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦), 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 si 𝐿 = 𝑎 + 𝑖𝑏, atunci

lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) = 𝐿

daca si numai daca

lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎 si lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑏.

Calculam limita lim𝑧→1+𝑖

(𝑧2 + 1). Fie 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, ca de obicei. Atunci

𝑓(𝑧) = 𝑧2 + 𝑖 = (𝑥 + 𝑖𝑦)2 + 𝑖 = 𝑥2 − 𝑦2 + (2𝑥𝑦 + 1)𝑖

Pentru a aplica ultima teorema, consideram 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 si 𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 + 1.Aici 𝑧0 = 1 + 𝑖, deci 𝑥0 = 1 si 𝑦0 = 1.

Avemlim

(𝑥,𝑦)→(1,1)(𝑥2 − 𝑦2) = 0

silim

(𝑥,𝑦)→(1,1)(2𝑥𝑦 + 1) = 3

prin urmare limita exista si este 𝐿 = lim𝑧→1+𝑖

(𝑧2 + 1) = 0 + 3𝑖.

Exemplu instructiv

Continuitatea functiilor complexe

Fie 𝐷 ⊂ C o vecinatate deschisa a lui 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0. O functie 𝑓 : 𝐷 → C

𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)

este continua in 𝑧0, daca functiile reale 𝑢, 𝑣 sunt continue in (𝑥0, 𝑦0).

∙ functia exponentiala 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧 este continua pe C, caci 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 cos 𝑦si 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 sin 𝑦 sunt ambele produse de functii reale continue

Derivabilitatea functiilor complexe

Fie 𝐷 ⊂ C un domeniu. O functie 𝑓 : 𝐷 → C se numeste derivabilacomplex in 𝑧0 ∈ 𝐷, daca exista limita

𝑓 ′(𝑧0) = lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)

𝑧 − 𝑧0

Numarul complex 𝑓 ′(𝑧0) se numeste derivata lui 𝑓 in 𝑧0.

∙ o functie se numeste olomorfa in 𝑧0 ∈ C cand este definita intr-o vecinatatedeschisa a acestuia 𝐷(𝑧0, 𝛿) ⊂ C si este derivabila complex in toate punctele

11

vecinatatii.∙ regulile de derivare ale functiilor derivabile complex sunt identice cu cele

din cazul real, singura problema care apare este cea a derivabilitatii intr-unpunct dat

Functia 𝑓(𝑧) = 𝑥 + 4𝑖𝑦 nu este derivabila complex in niciun punct 𝑧0 !Sa consideram 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 si sa formam limita

𝑓 ′(𝑧0) = lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)

𝑧 − 𝑧0= lim

(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(4𝑦 − 4𝑦0)

(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(𝑦 − 𝑦0)

Daca ne apropiem de (𝑥0, 𝑦0) vertical, adica prin sirul (𝑥0, 𝑦𝑛) cu 𝑦𝑛 → 𝑦0obtinem

lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(4𝑦 − 4𝑦0)

(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(𝑦 − 𝑦0)= lim

𝑛→∞

(𝑥0 − 𝑥0) + 𝑖(4𝑦𝑛 − 4𝑦0)

(𝑥0 − 𝑥0) + 𝑖(𝑦𝑛 − 𝑦0)= 4

Daca ne apropiem de (𝑥0, 𝑦0) orizontal, adica prin intermediul unui sir(𝑥𝑛, 𝑦0) cu 𝑥𝑛 → 𝑥0 obtinem

lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(4𝑦 − 4𝑦0)

(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(𝑦 − 𝑦0)= lim

𝑛→∞

(𝑥𝑛 − 𝑥0) + 𝑖(4𝑦0 − 4𝑦0)

(𝑥𝑛 − 𝑥0) + 𝑖(𝑦0 − 𝑦0)= 1

Exemplu instructiv

∙ derivabilitatea complexa este ceva mai pretentioasa decat simpla derivabilitatea componentelor 𝑢 si 𝑣 dupa cum arata teorema Looman-Menchoff

Derivabilitate complexa vs. derivabilitate reala

Fie functia 𝑓 : 𝐷 → C definita prin 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖 · 𝑣(𝑥, 𝑦), atuncicand 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 si sunt indeplinite urmatoarele conditii

i) 𝑓 este continua intr-o vecinatate a lui 𝑧0 ∈ 𝐷.

ii) derivatele partiale 𝜕𝑢𝜕𝑥 ,

𝜕𝑢𝜕𝑦 si 𝜕𝑣

𝜕𝑥 ,𝜕𝑣𝜕𝑥 exista intr-o vecinatate a lui 𝑧0.

iii) functiile 𝑢, 𝑣 satisfac intr-o vecinatate a lui 𝑧0 conditiile Cauchy-Riemann:

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝜕𝑣

𝜕𝑦,

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −𝜕𝑣

𝜕𝑥.

Atunci functia 𝑓 este derivabila complex in 𝑧0 (chiar olomorfa).

Se argumenteaza usor olomorfia functiei 𝑓(𝑧) = cos 𝑧 intr-un punct oare-care notat 𝑧0 = 𝑥0+𝑖𝑦0, prin utilizarea definitiei functiei complexe cosinus

cos 𝑧 =𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧

2

si aflarea partii sale reale 𝑢 = 𝑒𝑦+𝑒−𝑦

2 cos𝑥 si imaginare 𝑣 = − 𝑒𝑦−𝑒−𝑦

2 sin𝑥.

Exemplu

12

Integrarea functiilor complexe

∙ integrala Riemann a unei functii cu valori complexe se defineste in modnatural prin

Integrala Riemann

Fie 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → C o functie continua. Definim integrala lui 𝑓 pe [𝑎, 𝑏] prin∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 :=

∫ 𝑏

𝑎

Re(𝑓(𝑡)) 𝑑𝑡 + 𝑖

∫ 𝑏

𝑎

Im(𝑓(𝑡)) 𝑑𝑡

∫ 𝜋

0

cos 𝑡 + 𝑖 · sin 𝑡 𝑑𝑡 =

∫ 𝜋

0

cos 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑖 ·∫ 𝜋

0

sin 𝑡 𝑑𝑡 = sin 𝑡

𝜋

0

+ 𝑖

(− cos 𝑡

𝜋

0

)= 0 + 𝑖 · 2 = 2𝑖.

Exemplu

∙ pentru a defini insa integrala unor functii complexe este nevoie de un studiuamanuntit al curbelor si al unor clase de multimi in planul complex.

Curbe in planul complex

Prin curba in planul complex vom intelege o aplicatie continua

𝑐 : [𝑎, 𝑏] → C, 𝑎 < 𝑏,

intre un interval compact si multimea numerelor complexe. Orice curbava avea o reprezentare

𝑐(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖 · 𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]

O curba se numeste neteda daca este derivabila cu derivata continua.

Segmente: fie numerele 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 si 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, segmentul dintrepunctele 𝐴(𝑥1, 𝑦1) si 𝐵(𝑥2, 𝑦2) reprezinta de fapt o curba 𝑐 : [0, 1] → C

𝑐(𝑡) = 𝑧1 + 𝑡(𝑧2 − 𝑧1) = 𝑥(𝑡) + 𝑖 · 𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 1],

unde 𝑥(𝑡) = 𝑥1 + 𝑡(𝑥2 − 𝑥1) si 𝑦(𝑡) = 𝑦1 + 𝑡(𝑦2 − 𝑦1).

Cercul: un cerc de raza 𝑅 si centru 𝑂(𝑥0, 𝑦0) poate fi interpretat ca fiindo curba 𝑐 : [0, 2𝜋] → C

𝑐(𝑡) = (𝑥0 + 𝑅 cos 𝑡) + 𝑖 · (𝑦0 + 𝑅 sin 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].

Curbe elementare

13

∙ un semicerc se obtine restrictionand valorile posbile ale lui 𝑡 la un sub-interval al lui [0, 2𝜋], corespunzator semicercului

∙ in practica majoritatea curbelor prezinta unele mici ”imperfectiuni”, intr-un numar finit de puncte

Curbe netede pe portiuni

O curba se numeste neteda pe portiuni daca exista o partitie

𝑎 = 𝑎0 < 𝑎1 < . . . < 𝑎𝑛 = 𝑏

astfel ca 𝑐 sa fie neteda pe fiecare interval (𝑎𝑘, 𝑎𝑘+1), 0 ≤ 𝑘 < 𝑛− 1.

∙ sunt trei tipuri de multimi care intervin frecvent in teoria integrarii functi-ilor complexe, 𝐷 fiind de obicei domeniul de definitie al unei functii care trebuieintegrata

Domeniu

Multimea 𝐷 ⊂ C se numeste dome-niu daca este deschisa si pentruorice 𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝐷 exista o curba 𝑐 ⊂𝐷 care uneste 𝑧1 cu 𝑧2.

Domeniu simplu conex

𝐷 este un domeniu si curba inchisa𝛾 aflata in 𝐷 poate fi contractatapana devine un punct al multimiirespective. (nu are gauri)

Domeniu multiplu conex

Un domeniu care nu este sim-plu conex se numeste multipluconex.(are gauri)

14

Integrala in planul complex

Fie 𝐷 ∈ C un domeniu, 𝑓 : 𝐷 → C o functie continua si 𝑐 : [𝑎, 𝑏] → 𝐷o curba neteda. Atunci definim integrala curbilinie complexa a lui 𝑓 pecurba 𝑐 prin ∫

𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 =

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑐(𝑡)) · 𝑐′(𝑡)𝑑𝑡

Cand 𝑐 este doar neteda pe portiuni definim∫𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 =

𝑛−1∑𝑘=0

∫ 𝑎𝑘+1

𝑎𝑘

𝑓(𝑧)𝑑𝑧.

pentru partitia corespunzatoare.

Calculam ∫𝑐

1

𝑧𝑑𝑧,

unde 𝑐 este cercul unitate.Pentru inceput curba 𝑐 are reprezentarea parametrica

𝑐(𝑡) = cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡, 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].

Conform definitiei∫𝑐

1

𝑧𝑑𝑧 =

∫ 2𝜋

0

1

cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)′𝑑𝑡

=

∫ 2𝜋

0

cos 𝑡− 𝑖 sin 𝑡

cos2 𝑡 + sin2 𝑡(− sin 𝑡 + 𝑖 cos 𝑡)𝑑𝑡

=

∫ 2𝜋

0

(cos 𝑡− 𝑖 sin 𝑡)(− sin 𝑡 + 𝑖 cos 𝑡)𝑑𝑡 =

∫ 2𝜋

0

𝑖 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑖.

Exemplu

Proprietati elementare ale integralelor complexe

i)

∫𝑐

𝛼𝑓(𝑧) + 𝛽𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 𝛼

∫𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 + 𝛽

∫𝑐

𝑔(𝑧)𝑑𝑧, 𝛼, 𝛽 ∈ C.

ii)

∫𝑐1∪𝑐2

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 =

∫𝑐1

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 +

∫𝑐2

𝑓(𝑧)𝑑𝑧,

Integrala complexa nu depinde de parametrizarea curbei.Integrala complexa curbilinie depinde de orientarea curbei. Daca notam

Remarca

15

prin 𝑐− curba 𝑐 data cu orientarea inversa, atunci∫𝑐−

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = −∫𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧.

Recuperarea unui rezultat clasic

Fie 𝐷 ⊂ C deschisa si simplu conexa si 𝑓 : 𝐷 → C continua. O primitivaa lui 𝑓 este o functie olomorfa 𝐹 : 𝐷 → C pentru care 𝐹 ′ = 𝑓. Atuncipentru orice curba neteda pe portiuni 𝑐 aflata in 𝐷 are loc∫

𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 𝐹 (𝑐(𝑏)) − 𝐹 (𝑐(𝑎)).

Functia 𝑓(𝑧) = 𝑧 are primitiva

𝐹 (𝑧) =𝑧2

2.

Fie acum 𝑐 semicercul cercului unitate (considerat cu orientarea pozitiva)situat intre punctele 𝐴(−1, 0) si 𝐵(1, 0). Acest semicerc, considerat cafiind o curba, admite parametrizarea 𝑐(𝑡) = cos 𝑡+𝑖 sin 𝑡 pentru 𝑡 ∈ [𝜋, 2𝜋],deoarece 𝑧𝐴 = −1 + 0𝑖 = cos𝜋 + 𝑖 sin𝜋 si 𝑧𝐵 = 1 + 0 · 𝑖 = cos 2𝜋 + 𝑖 sin 2𝜋.

∫𝑐

𝑧𝑑𝑧 = 𝐹 (𝑐 (2𝜋)) − 𝐹 (𝑐(𝜋)) = (1 + 𝑖 · 0)2 − (−1 + 𝑖 · 0)2 = 1 − 1 = 0

Pe de alta parte∫𝑐

𝑧 𝑑𝑧 =

∫ 2𝜋

𝜋

(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)′𝑑𝑡

=

∫ 2𝜋

𝜋

(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)(− sin 𝑡 + 𝑖 cos 𝑡)𝑑𝑡

Exemplu instructiv

16

=

∫ 2𝜋

𝜋

− sin(2𝑡) + 𝑖 sin(2𝑡)𝑑𝑡 =cos(2𝑡)

2

2𝜋

𝜋

− 𝑖cos(2𝑡)

2

2𝜋

𝜋

= 0

∙ in foarte multe probleme este util sa cunoastem dezvoltarea in serie Taylorin jurul lui 0, care in unele cazuri poate fi folosita pentru a obtine dezvoltareain jurul unui punct oarecare 𝑧0

Dezvoltari in serii de puteri in jurul lui 0

1

1 − 𝑧=1 + 𝑧 + 𝑧2 + . . . 𝑧𝑛 + . . . =

∞∑𝑛=0

𝑧𝑛, |𝑧| < 1

𝑒𝑧 =1 + 𝑧 +𝑧2

2!+ . . .

𝑧𝑛

𝑛!+ . . . =

∞∑𝑛=0

𝑧𝑛

𝑛!

sin 𝑧 =𝑧 − 𝑧3

3!+

𝑧5

5!− . . . =

∞∑𝑛=0

(−1)𝑛𝑧2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

cos 𝑧 =1 − 𝑧2

2!+

𝑧4

4!− . . . =

∞∑𝑛=0

(−1)𝑛𝑧2𝑛

(2𝑛)!

sinh 𝑧 =𝑧 +𝑧3

3!+

𝑧5

5!+ . . . =

∞∑𝑛=0

𝑧2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

cosh 𝑧 =1 +𝑧2

2!+

𝑧4

4!+ . . . =

∞∑𝑛=0

𝑧2𝑛

(2𝑛)!

Uneori putem folosi formulele dezvoltarilor in serii de puteri in jurul lui0 pentru a recupera o dezvoltare in jurul unui punct oarecare 𝑧0. Spreexemplu pentru a afla dezvoltarea lui sin 𝑧 in jurul lui 𝑧0 inlocuim 𝑧 − 𝑧0in formula dezvoltarii in jurul lui 0

sin 𝑧·cos 𝑧0−sin 𝑧0·cos 𝑧 = sin(𝑧−𝑧0) = (𝑧−𝑧0)− (𝑧 − 𝑧0)3

3!+

(𝑧 − 𝑧0)5

5!−. . .

Prin urmare avem nevoie de acelasi trick pentru cos 𝑧

cos 𝑧 · cos 𝑧0 + sin 𝑧 · sin 𝑧0 = cos(𝑧 − 𝑧0) = 1 − (𝑧 − 𝑧0)2

2!+

(𝑧 − 𝑧0)4

4!− . . .

Din cele doua relatii obtinem atat dezvoltarea lui sin 𝑧 cat si a lui cos 𝑧,interpretandu-le ca pe un sistem liniar cu necunoscutele sin 𝑧, cos 𝑧.

Dezvoltari in jurul unui punct oarecare 𝑧0

17

∙ formula clasica din cazul real este valida si in cazul complex

Serii de puteri in jurul unui 𝑧0 oarecare

In general pentru functii olomorfe are loc formula de dezvoltare in serieTaylor

𝑓(𝑧) =

∞∑𝑛=0

𝑓 (𝑛)(𝑧0)

𝑛!· (𝑧 − 𝑧0)𝑛

in jurul lui 𝑧0 ∈ C.

∙ in contextul functiilor complexe este mult mai utila notiunea urmatoare

Dezvoltarea in serie Laurent

Fie 𝑓 o functie olomorfa in coroanacirculara 𝑟 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝑅. Atunciea poate fi dezvoltata in serie Lau-rent in punctele acestei multimi

𝑓(𝑧) =

𝑛=∞∑𝑛=−∞

𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)𝑛.

Coeficientii dezvoltarii sunt dati prin

𝑎𝑘 =1

2𝜋𝑖

∫𝑐

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧0)𝑘+1𝑑𝑤, 𝑘 = 0,±1,±2, . . . ,

unde 𝑐 este o curba inchisa simpla, positiv orientata, care este situata intotalitate in 𝑟 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝑅 si contine punctul 𝑧0 in interiorul sau.

Consideram functia 𝑓(𝑧) =sin 𝑧

𝑧2pe care dorim sa o dezvoltam in serie

Laurent in jurul lui 𝑧0 = 0 si putem considera 𝑧 ca facand parte dincoroana circulara 0 < |𝑧| < ∞.

Cu ajutorul dezvoltarii in serie Taylor

sin 𝑧 = 𝑧 − 𝑧3

3!+

𝑧5

5!− 𝑧7

7!+ . . .

obtinem dezvoltarea in serie Laurent in jurul lui 𝑧0 = 0

𝑓(𝑧) =sin 𝑧

𝑧2=

1

𝑧− 𝑧

3!+

𝑧3

5!− 𝑧5

7!+ . . .

Exemplu

18

deci 𝑎𝑛 = 0 pentru 𝑛 < −1, 𝑎−1 = 1, 𝑎0 = 0, 𝑎1 = − 13! , 𝑎2 = 0, 𝑎3 = 1

5! siasa mai departe.

Singularitati izolate

Fie 𝐷 ⊂ C, 𝑧0 ∈ 𝐷 si 𝐹 : 𝐷 ∖ {𝑧0} → C olomorfa. Atunci numim 𝑧0singularitate izolata a lui 𝑓.

∙ in cele ce urmeaza vom dori sa clasificam singularitatile izolate ale uneifunctii

Caracterizarea singularitatilor prin serii Laurent

Functia 𝑓 poseda in 𝑧0 ∈ C o singularitate izolata. Atunci numim 𝑧0

i) o singularitate aparenta a lui 𝑓 , daca in dezvoltarea in serie Laurentin jurul lui 𝑧0 toti 𝑎𝑛 cu 𝑛 < 0 sunt nuli

𝑓(𝑧) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑧 − 𝑧0) + 𝑎2(𝑧 − 𝑧0)2 + . . .

ii) un pol de ordinul m al lui 𝑓, daca in dezvoltarea in serie Laurent𝑎𝑛 = 0 pentru 𝑛 < −𝑚

𝑓(𝑧) =𝑎−𝑚

(𝑧 − 𝑧0)𝑚+

𝑎−(𝑚−1)

(𝑧 − 𝑧0)𝑚−1+. . .+𝑎0+𝑎1(𝑧−𝑧0)+𝑎2(𝑧−𝑧0)2+. . .

iii) o singularitate esentiala, cand dezvoltarea Laurent admite o infini-tate de termeni cu exponent negativ

𝑓(𝑧) = . . .+𝑎−2

(𝑧 − 𝑧0)2+

𝑎−1

𝑧 − 𝑧0+ 𝑎0 + 𝑎1(𝑧− 𝑧0) + 𝑎2(𝑧− 𝑧0)2 + . . .

∙ foarte utila in aplicatii va fi urmatoarea teorema, intrucat elimina posibileerori de rationament

∙ dupa cum se va vedea in exemplul care urmeaza, ordinul polilor nu estedat intotdeauna de exponentul numitorului

Teorema de caracterizare a polilor

Functia 𝑓 are in 𝑧0 un pol de ordin 𝑚 daca si numai daca exista o functie𝑔 olomorfa in 𝑧0 astfel ca 𝑔(𝑧0) = 0 iar intr-o vecinatate a lui 𝑧0 avem

𝑓(𝑧) =𝑔(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑚

∙ daca functia 𝑓 are in 𝑧0 un pol, atunci lim𝑧→𝑧0

|𝑓(𝑧)| = ∞

19

Functia 𝑓(𝑧) =cos 𝑧

(𝑧 − 𝑖)2are in 𝑧0 = 𝑖 un pol de ordin 2, verificam usor ca

cos(𝑖) = 0 iar cos 𝑧 este olomorfa in orice punct din C.In schimb functia 𝑓(𝑧) = sin 𝑧

𝑧2 = sin 𝑧(𝑧−0)2 nu are un pol de ordin 2 in

𝑧0 = 0 caci sin 0 = 0. Folosind dezvoltari in serie se poate argumenta caordinul polului este 𝑚 = 1

Aplicare

Teorema de caracterizare a singularitatilor aparente

Singularitatea 𝑧0 este o singularitate aparenta daca si numai daca limitalim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) exista in C.

Functia 𝑓(𝑧) =sin 𝑧

𝑧are o singularitate aparenta in 𝑧0 = 0. Daca incercam

sa aplicam teorema de caracterizare a polilor observam ca sin 0 = 0 decinu se poate aplica. In schimb putem sa dezvoltam in serie Laurent in jurullui 𝑧0 si sau sa folosim deja mentionata dezvoltare

sin 𝑧 = 𝑧 − 𝑧3

3!+

𝑧5

5!− . . .

pentru a vedea casin 𝑧

𝑧= 1 − 𝑧2

3!+

𝑧4

5!− . . .

Prin urmare nu avem termeni cu exponent negativ deci 𝑧0 este singulari-tate aparenta conform definitiei.

In acelasi timp putem observa ca

lim𝑧→0

sin 𝑧

𝑧= 1

si aplicand teorema de caracterizare ajungem la acelasi rezultat.

Exemplu fundamental

Teorema de caracterizare a singularitatilor esentiale

Singularitatea 𝑧0 este o singularitate esentiala daca si numai daca limitalim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) nu exista iar lim𝑧→𝑧0

|𝑓(𝑧)| = ∞.

Functia 𝑓(𝑧) = 𝑒1𝑧 are in 𝑧0 = 0 o singularitate esentiala.

Metoda 1: Limita lim𝑧→0 𝑒1𝑧 nu exista si lim𝑧→0 |𝑒

1𝑧 | = ∞.

Pentru prima limita alegem 𝑧𝑛 = 1𝑛 → 0 si 𝑤𝑛 = − 1

𝑛 → 0. Atunci

Exemplu

20

𝑓(𝑧𝑛) = 𝑒𝑛 si 𝑓(𝑤𝑛) = 𝑒−𝑛 dar

lim𝑛→∞

𝑓(𝑧𝑛) = ∞=0 = lim𝑛→∞

𝑓(𝑤𝑛)

Pentru a argumenta relatia lim𝑧→0 |𝑓(𝑧)| = ∞ putem considera aceleasisiruri. Atunci |𝑒𝑧| = 𝑒𝑥, pentru 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ C si prin urmare

lim𝑛→∞

|𝑓(𝑧𝑛)| = ∞=0 = lim𝑛→∞

|𝑓(𝑤𝑛)|.

Metoda 2: Pe de alta parte putem sa dezvoltam in serie Laurent functia𝑓(𝑧) = 𝑒

1𝑧 in jurul punctului 𝑧0 = 0. Pornim din nou de la dezvoltarea in

serie Taylor, de data aceasta a lui 𝑒𝑧 in 𝑧0 = 0

𝑒𝑧 = 1 + 𝑧 +𝑧2

2!+

𝑧3

3!+ . . .

De unde rezulta

𝑒1𝑧 = 1 +

1

𝑧+

1

2!𝑧2+

1

3!𝑧3+ . . .

Aceasta ultima identitate arata ca dezvoltarea Laurent a lui 𝑓 in jurul lui𝑧0 = 0 are o infinitate de termeni cu exponent negativ.

Reziduul unei functii

Fie 𝐷 ⊂ C deschisa, 𝑧0 ∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 ∖ {𝑧0} → C olomorfa si 𝜀 > 0, astfelca 𝐷(𝑧0, 𝜀) ⊂ 𝐷. Atunci numim

Res(𝑓, 𝑧0) =1

2𝜋𝑖

∫|𝑧−𝑧0|=𝜀

𝑓(𝑧)𝑑𝑧

reziduul lui 𝑓 in 𝑧0.

Reziduul nu depinde de alegerea razei 𝜀.Punctul 𝑧0 nu trebuie sa fie in mod obligatoriu o singularitate dar candnu este singularitate reziduul va fi 0.

Remarca

21

Curba inchisa simpla

O curba inchisa 𝑐 : [𝑎, 𝑏] → C se numeste simpla, atunci cand pe intervalul[𝑎, 𝑏) este injectiva. Din punct de vedere geometric asta inseamna ca nuare puncte de auto-intersectii.

∙ in unele exemple prezentate mai incolo vom vedea cum trebuie sa integrampe o curba care are auto-intersectii (nu este simpla)

∙ principala dificultate tehnica a integrarii pe curbe nesimple consta in schim-barea orientarii pe diferite portiuni ale curbei

∙ urmatorul rezultat reprezinta cea mai utila unealta disponibila pe piata inefortul de integrare a functiilor complexe

Teorema reziduurilor

Fie 𝐷 ⊂ C un domeniu, 𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛 puncte distincte in 𝐷 si functia𝑓 : 𝐷 ∖ {𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛} → C olomorfa.

Atunci pentru orice curba netedape portiuni, inchisa simpla si poz-itiv orientata 𝑐, care se afla in to-talitate in 𝐷 si contine in interiorpunctele 𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛 avem relatia

∫𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑛∑𝑘=1

Res(𝑓, 𝑧𝑘).

Pentru o curba 𝑐 orientata negativ se obtine∫𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = −2𝜋𝑖

𝑛∑𝑘=1

Res(𝑓, 𝑧𝑘).

Remarca

22

Vom evalua urmatoarea integrala

∫𝑐

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧

unde 𝑐 este curba din desenul ala-turat. Se observa ca nu este simpla.

Ideea este sa o descompunem in curbe simple, mai precis ca 𝑐 = 𝑐1∪𝑐2,unde curba 𝑐2 va fi orientata pozitiv iar 𝑐1 va fi orientata negativ. Seobserva cum se schimba orientarea pe diverse portiuni ale curbei date 𝑐.

Functia 𝑓(𝑧) =𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2are o singularitate izolata in interiorul lui 𝑐1

in punctul 𝑧1 = 0 si alta in interiorul lui 𝑐2 in punctul 𝑧2 = 𝑖.Pentru inceput avem∫

𝑐1∪𝑐2

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 =

∫𝑐1

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 +

∫𝑐2

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧

Apoi conform teoremei reziduurilor∫𝑐1

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = −2𝜋𝑖 · Res

(𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2, 0

)si ∫

𝑐2

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 · Res

(𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2, 𝑖

)livreaza valoarea integralei date.

Manevrarea curbelor nesimple

Ca o concluzie, prezenta restrictiei de a avea doar curbe simple in teoremareziduurilor este doar cu scopul de a simplifica formula teoremei, intrucato curba nesimpla se manevreaza la fel de usor.

Remarca

23

∙ din moment ce reziduurile devin instrumente importante in calculul inte-gralelor avem nevoie de metode mai rapide de evaluare a acestora

Calculul reziduurilor

i) Daca functia olomorfa 𝑓 are in punctul 𝑧0 un pol de ordin 𝑚, 𝑚 ≥ 1,atunci

Res(𝑓, 𝑧0) =1

(𝑚− 1)!lim𝑧→𝑧0

𝑑𝑚−1

𝑑𝑧𝑚−1((𝑧 − 𝑧0)𝑚𝑓(𝑧))

Pentru un pol simplu (𝑚 = 1) avem

Res(𝑓, 𝑧0) = lim𝑧→𝑧0

(𝑧 − 𝑧0)𝑓(𝑧).

ii) In general

Res(𝑓, 𝑧0) = 𝑎−1,

unde 𝑎−1 este coeficientul lui1

𝑧 − 𝑧0in dezvoltarea Laurent a lui 𝑓

in jurul punctului 𝑧0.

=⇒ Fie 𝐺 un domeniu simplu conex si 𝑓 : 𝐷 → C olomorfa. Atuncipentru orice curba inchisa neteda pe portiuni 𝑐 din 𝐷 are loc∫

𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0,

deoarece Res(𝑓, 𝑧0) = 𝑎−1 = 0 pentru o functie olomorfa in 𝑧0.=⇒ Fie 𝐺 un domeniu si 𝑓 : 𝐷 → C olomorfa. Atunci pentru o multime𝐷(𝑧0, 𝜀) ⊂⊂ 𝐷 ∫

|𝑧−𝑧0|=𝜀

𝑓(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑓 (𝑛)(𝑧0)

𝑛!,

deoarece 𝑧0 este un pol pentru functia din interiorul integralei si

Res

(𝑓(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1, 𝑧0

)=

1

𝑛!lim𝑧→𝑧0

𝑑𝑛

𝑑𝑧𝑛

((𝑧 − 𝑧0)𝑛+1 𝑓(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1

)=

𝑓 (𝑛)(𝑧0)

𝑛!

pentru orice functie olomorfa 𝑓 .

Formulele integrale ale lui Cauchy

24

In ultimul exemplu ambele singularitati sunt poli, deoarece

𝑓(𝑧) =𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2=

𝑧3+3(𝑧−𝑖)2

𝑧

si notand 𝑔(𝑧) = 𝑧3+3(𝑧−𝑖)2 avem scrierea 𝑓(𝑧) = 𝑔(𝑧)

𝑧 , iar 𝑔 este olomorfa in

𝑧1 = 0 si 𝑔(0) = 0.Din teorema de carcterizare a polilor rezulta ca 𝑓 are in 𝑧1 = 0 un pol

simplu. Din aceasta cauza

Res

(𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2, 0

)= lim

𝑧→0(𝑧 − 0)

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2= lim

𝑧→0

𝑧3 + 3

(𝑧 − 𝑖)2=

3

−1= −3

Prin urmare

(⋆)

∫𝑐1

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = −2𝜋𝑖 · (−3) = 6𝜋𝑖.

Pe de alta parte

𝑓(𝑧) =𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2=

𝑧3+3𝑧

(𝑧 − 𝑖)2

si ℎ(𝑧) = 𝑧3+3𝑧 este olomorfa si are proprietatea ℎ(𝑖) = 0. Asadar 𝑓 are in

𝑧2 = 𝑖 un pol de ordinul doi. Deci

Res

(𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2, 𝑖

)= lim

𝑧0→𝑖

𝑑

𝑑𝑧

((𝑧 − 𝑖)2

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2

)= lim

𝑧0→𝑖

𝑑

𝑑𝑧

(𝑧3 + 3

𝑧

)= lim

𝑧0→𝑖

3𝑧2 · 𝑧 − (𝑧3 + 3)

𝑧2

=−2𝑖− 3

−1= 2𝑖 + 3.

=⇒ (⋆⋆)

∫𝑐2

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 · (2𝑖 + 3) = −4𝜋 + 6𝜋𝑖

si in concluzie∫𝑐

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = 6𝜋𝑖 + −4𝜋 + 6𝜋𝑖 = −4𝜋 + 12𝜋𝑖.

Exemplu instructiv

∙ in teorema reziduurilor apar doar singularitatile localizate in interiorulcurbei pe care integram

∙ singularitatilor izolate de tip poli simpli le este permis sa fie localizatesi pe curba, si pentru astfel de puncte geometria curbei devine importanta, inspecial prezenta ”colturilor” in punctele respective

∙ prezenta altor tipuri de singularitati pe curba este in general problematica

25

Teorema semireziduurilor

Fie 𝐷 ⊂ 𝐷 un domeniu simplu conex si 𝑐 o curba simpla inchisa, neteda peportiuni in domeniul 𝐷. Consideram o functie 𝑓 care admite in interiorulcurbei 𝑐 un numar finit de singularitati izolate 𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛 si un numarfinit de poli simpli 𝑤1, 𝑤2, . . . , 𝑤𝑝 situati pe curba 𝑐 astfel ca

𝑓 : 𝐷 ∖ {𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛, 𝑤1, 𝑤2, . . . , 𝑤𝑝} → C

este olomorfa. Atunci

i) daca 𝑐 admite o tangenta unica in 𝑤1, 𝑤2, . . . 𝑤𝑝 atunci∫𝑐

𝑓𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑛∑𝑘=1

Rez(𝑓, 𝑧𝑘) + 𝜋𝑖

𝑝∑𝑗=1

Rez(𝑓, 𝑤𝑗)

ii) daca 𝛼𝑗 este unghiul dintre semitangentele in 𝑤𝑗 la 𝑐∫𝑐

𝑓𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑛∑𝑘=1

Rez(𝑓, 𝑧𝑘) + 𝑖

𝑝∑𝑗=1

(𝜋 − 𝛼𝑗)Rez(𝑓, 𝑤𝑗)

Vom calcula integrala∫𝑐

𝑒𝑧

𝑧(𝑧 − 2)𝑑𝑧,

unde 𝑐 este curba alaturata. Se ob-serva usor ca cele doua singulari-tati ale integrandului sunt 𝑧1 = 0si 𝑧2 = 2, ambele fiind poli simpli,iar ultima este situata pe curba.

In punctul 𝑧2 curba nu admite o tangenta unica iar unghiul format desemitangente va fi 𝛼 = 𝜋

2 . Conform teoremei semireziduurilor avem∫𝑐

𝑒𝑧

𝑧(𝑧 − 2)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖Rez(𝑓, 0) + 𝑖(𝜋 − 𝜋

2)Rez(𝑓, 2)

Pentru poli simpli avem formulele

Rez(𝑓, 0) = lim𝑧→0

(𝑧 − 0)𝑒𝑧

𝑧(𝑧 − 2)= −1

2,

Rez(𝑓, 2) = lim𝑧→0

(𝑧 − 2)𝑒𝑧

𝑧(𝑧 − 2)=

𝑒2

2.

Exemplu

26

In concluzie ∫𝑐

𝑒𝑧

𝑧(𝑧 − 2)𝑑𝑧 = −𝜋𝑖 + 𝑖

𝜋

2

𝑒2

2

Aplicatii ale teoremei reziduurilor

Problema 1

Calculati integrala ∫ ∞

0

1

𝑥4 + 1𝑑𝑥

Solutie: Integralele de forma ∫ ∞

−∞𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

chiar si atunci cand integrala in sens generalizat este divergenta, dar existavaloarea principala Cauchy, pot fi evaluate uneori folosind integralele complexe.

Ideea principala este sa se construiasca o curba 𝑐 asemeni celei din imagine,formata din segmentul [−𝑅,𝑅] si semicercul 𝐶𝑅 provenit dintr-un cerc de raza𝑅 si centru in originea reperului.

Informatia cheie este urmatoarea∫𝑐

𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 =

∫𝐶𝑅

𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 +

∫[−𝑅,𝑅]

𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 (⋆)

insa ultima integrala este

∫ 𝑅

−𝑅

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 iar penultima va converge la 0 atunci

cand 𝑅 → ∞, in anumite conditii.Mai precis daca pentru 𝑧 aflat pe cercul de raza 𝑅 si anume 𝑧 = 𝑅𝑒𝑖𝜃 exista

doua constante 𝑀 si 𝑘 > 1 astfel incat

|𝑓(𝑧)| ≤ 𝑀

𝑅𝑘∀ 𝑧 = 𝑅𝑒𝑖𝜃,

27

atunci

lim𝑅→∞

∫𝐶𝑅

𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = 0

caci ∫𝐶𝑅

𝑓(𝑧) 𝑑𝑧

≤∫ 𝜋

0

|𝑓(𝛾(𝑡))| · |��(𝑡)| 𝑑𝑡 ≤∫ 𝜋

0

𝑀

𝑅𝑘· |��(𝑡)| 𝑑𝑡 =

𝑀

𝑅𝑘· 𝜋𝑅,

unde 𝛾(𝑡) = 𝑅(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝜋] este ecuatia parametrica a semicercului.Am folosit faptul ca lungimea unei curbe (semicerc aici) se calculeaza cu formula

𝐿(𝛾) =

∫ 𝑏

𝑎

|��(𝑡)| 𝑑𝑡.

Trecand la limita in relatia (⋆) se obtine

lim𝑅→∞

∫𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = lim𝑅→∞

∫𝐶𝑅

𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 + lim𝑅→∞

∫[−𝑅,𝑅]

𝑓(𝑧) 𝑑𝑧

adica

2𝜋𝑖

𝑘∑𝑖=1

𝑅𝑒𝑧(𝑓, 𝑧𝑖) =

∫ ∞

−∞𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

caci prima integrala nu este influentata decat de reziduurile functiei in singula-ritatile sale. Am presupus ca 𝑓 are exact 𝑘 singularitati izolate.

Pentru integrala data ∫ ∞

−∞

1

𝑥4 + 1𝑑𝑥

intai trebuie argumentat ca este convergenta (descompunand-o intai in douaintegrale, pe (−∞, 0) si (0,∞), si folosind un criteriu de convergenta).

Apoi, folosind rezulatele de mai sus putem calcula valoarea efectiva a inte-

gralei introducand functia complexa asociata 𝑓(𝑧) =1

𝑧4 + 1care va satisface

inegalitatea necesara pe 𝑧 = 𝑅𝑒𝑖𝜃

|𝑓(𝑧)| =

1

(𝑅𝑒𝑖𝜃)4 + 1

=

1

|𝑅4𝑒4𝑖𝜃 + 1|≤ 1

|𝑅4𝑒4𝑖𝜃| − 1≤ 1

𝑅4 − 1≤ 2

𝑅4

asadar putem alege 𝑀 = 2 si 𝑘 = 4. Am folosit mai sus inegalitatea triunghiului

|𝑧| − |𝑤| ≤ |𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤|, ∀𝑧, 𝑤 ∈ C.

Aceasta functie admite ca singularitati izolate toate cele patru solutii aleecuatiei 𝑧4 + 1 = 0. Pentru un 𝑅 suficient de mare in interiorul curbei 𝑐 nu seafla decat

𝑧0 = cos𝜋

4+ 𝑖 sin

𝜋

4=

√2

2+ 𝑖

√2

2

si

𝑧1 = cos3𝜋

4+ 𝑖 sin

3𝜋

4= −

√2

2+ 𝑖

√2

2

deoarece celelalte doua se afla localizate sub axa 𝑂𝑥.

28

Prin urmare conform teoriei prezentate mai sus∫ ∞

−∞

1

𝑥4 + 1𝑑𝑥 = 2𝜋𝑖 ·𝑅𝑒𝑧(𝑓, 𝑧0) + 2𝜋𝑖 ·𝑅𝑒𝑧(𝑓, 𝑧1)

Intrucat 𝑧4 + 1 = (𝑧− 𝑧0)(𝑧− 𝑧1)(𝑧− 𝑧2)(𝑧− 𝑧3) unde 𝑧2 = cos 5𝜋4 + 𝑖 sin 5𝜋

4si 𝑧3 = cos 7𝜋

4 + 𝑖 sin 7𝜋4 se argumenteaza usor ca 𝑧0 si 𝑧1 sunt poli de ordin 1,

folosind teorema de caracterizare a polilor. De exemplu

𝑓(𝑧) =

1(𝑧−𝑧1)(𝑧−𝑧2)(𝑧−𝑧3)

(𝑧 − 𝑧0)1

si 𝑔(𝑧) = 1(𝑧−𝑧1)(𝑧−𝑧2)(𝑧−𝑧3)

nu se anuleaza in 𝑧0.

Aplicand formula de calcul a reziduurilor pentru poli simpli se obtine

𝑅𝑒𝑧(𝑓, 𝑧0) = lim𝑧→𝑧0

(𝑧 − 𝑧0)1

𝑧4 + 1= − 1

4√

2− 𝑖

1

4√

2

𝑅𝑒𝑧(𝑓, 𝑧1) = lim𝑧→𝑧1

(𝑧 − 𝑧1)1

𝑧4 + 1=

1

4√

2− 𝑖

1

4√

2

si apoi concluzia ∫ ∞

−∞

1

𝑥4 + 1𝑑𝑥 =

𝜋√2.

Problema 2

Calculati integrala ∫ 2𝜋

0

1

(2 + cos 𝜃)2𝑑𝜃

Solutie: Integralele de tipul∫ 2𝜋

0

𝐹 (sin 𝜃, cos 𝜃) 𝑑𝜃

pot fi reduse la integrale curbilinii complexe prin schimbarea de variabila

𝑧 = 𝑒𝑖𝜃

care va transforma integrala data intr-o integrala pe cercul unitate |𝑧| = 1.Pentru a efectua schimbarea de variabila amintita sa remarcam urmatoarele

informatii utile𝑑𝑧 = 𝑖𝑒𝑖𝜃 𝑑𝜃

si functiile cos 𝜃 si sin 𝜃, pentru 𝜃 real, pot fi exprimate prin

cos 𝜃 =𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃

2si sin 𝜃 =

𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃

2𝑖.

Aceste relatii vor conduce la urmatoarele relatii, extrem de utile in realizareaschimbarii de variabila necesara

𝑑𝜃 =𝑑𝑧

𝑖𝑧, cos 𝜃 =

1

2

(𝑧 +

1

𝑧

)si sin 𝜃 =

1

2𝑖

(𝑧 − 1

𝑧

).

29

In acest fel, integrala data devine∫ 2𝜋

0

1

(2 + cos 𝜃)2𝑑𝜃 =

∫|𝑧|=1

1(2 + 1

2 (𝑧 + 𝑧−1)) 𝑑𝑧

𝑖𝑧=

4

𝑖

∫|𝑧|=1

𝑧

(𝑧2 + 4𝑧 + 1)2𝑑𝑧

Radacinile numitorului sunt 𝑧1 = −2 −√

3 si 𝑧2 = −2 +√

3 si putem scrieintegrandul ca

𝑧

(𝑧2 + 4𝑧 + 1)2=

𝑧

(𝑧 − 𝑧1)2(𝑧 − 𝑧2)2

Se remarca usor ca doar 𝑧2 este in interiorul cercului unitate, 𝑧1 fiind localizatin exterior. Mai mult, teorema de caracterizare a polilor arata ca 𝑧2 este un polde ordin 2.

Prin urmare ∫|𝑧|=1

𝑧

(𝑧2 + 4𝑧 + 1)2𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 ·𝑅𝑒𝑧(𝑓, 𝑧2)

iar

𝑅𝑒𝑧(𝑓, 𝑧2) = lim𝑧→−2+

√3

((𝑧 − (−2 +

√3))2

𝑧

(𝑧2 + 4𝑧 + 1)2

)′

= lim𝑧→−2+

√3

(𝑧

(𝑧 − (−2 −√

3))2

)′

= lim𝑧→−2+

√3

−𝑧 + 2 +√

3

(𝑧 − (−2 −√

3))3=

1

6√

3

Integrala ceruta va fi∫ 2𝜋

0

1

(2 + cos 𝜃)2𝑑𝜃 =

4

𝑖· 2𝜋𝑖 · 1

6√

3=

4𝜋

3√

3

Probleme propuse

A. Consolidare cunostinte

Problema A.1. Scrieti urmatoarele numere complexe in forma polara

𝑧1 = −√

2 −√

2𝑖, 𝑧2 = 1 − 𝑖.

i) Aflati argumentul principal 𝐴𝑟𝑔(𝑧1) si apoi calculati (−√

3 − 𝑖)50.

ii) Pentru numerele complexe 𝑧1 = −1, 𝑧2 = 5𝑖, verificati ca au loc

𝐴𝑟𝑔(𝑧1𝑧2) = 𝐴𝑟𝑔(𝑧1) + 𝐴𝑟𝑔(𝑧2)

𝐴𝑟𝑔

(𝑧1𝑧2

)= 𝐴𝑟𝑔(𝑧1) −𝐴𝑟𝑔(𝑧2)

in schimb𝑎𝑟𝑔(𝑧1𝑧2) = 𝑎𝑟𝑔(𝑧1) + 𝑎𝑟𝑔(𝑧2)

𝑎𝑟𝑔

(𝑧1𝑧2

)= 𝑎𝑟𝑔(𝑧1) + 𝑎𝑟𝑔(𝑧2).

30

Problema A.2. Schitati multimea punctelor 𝑧, din planul complex, care satisfacurmatoarele conditii:

i) 1 < |𝑧 − 1 − 𝑖| ≤ 2

ii) |𝑧 − 𝑖| = |𝑧 − 1|

iii) |𝐴𝑟𝑔(𝑧)| < 𝜋4

iv) Re ((1 + 𝑖)𝑧 − 1) = 0

v) 0 < Re 𝑧 < 1.

Problema A.3. Demonstrati identitatile

cos(𝑧 + 𝑤) = cos 𝑧 cos𝑤 − sin 𝑧 sin𝑤

sin(2𝑧) = 2 sin 𝑧 cos 𝑧

cos2 𝑧 + sin2 𝑧 = 1

cosh2 𝑧 − sinh2 𝑧 = 1

(cosh 𝑧)′ = sinh 𝑧 si (sinh 𝑧)′ = cosh 𝑧

pentru orice 𝑧, 𝑤 ∈ C.

B. Tehnica de calcul

Problema B.1. Demonstrati ca sinh 𝑧 = 0 daca si numai daca 𝑧 = 𝑛𝜋𝑖 sicosh 𝑧 = 0 daca si numai daca 𝑧 =

(12 + 𝑛

)𝜋𝑖.

Problema B.2. Aratati ca |Re 𝑧| ≤ |𝑧| si |Im 𝑧| ≤ |𝑧|. Demonstrati identitatea

|𝑧 + 𝑤|2 = |𝑧|2 + |𝑤|2 + 2𝑅𝑒(𝑧𝑤), 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐶

si inegalitatea triunghiului |𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤|.

Problema B.3. Rezolvati in C ecuatiile

sin 𝑧 = 2

cos 𝑧 = −3 + 𝑖

Problema B.4. Rezolvati in C ecuatiile

𝑧6 = 1 + 𝑖

𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0

𝑧4 + 1 = 0

Calculati apoi√

3 +√

3𝑖.

31

Problema B.5. Aratati ca urmatoarele functii sunt olomorfe in 𝑧0 = 0

𝑓(𝑧) = cos 𝑧, 𝑔(𝑧) = sinh 𝑧, ℎ(𝑧) = 𝑒𝑧.

Problema B.6. Calculati reziduurile functiilor de mai jos in punctele specifi-cate

i) 𝑓(𝑧) = 1𝑧3(𝑧−1)3 , 𝑅𝑒𝑧(𝑓, 0) =?

ii) 𝑓(𝑧) = sin 𝑧𝑧4 , 𝑅𝑒𝑧(𝑓, 0) =?

iii) 𝑓(𝑧) = 𝑧 cos 1𝑧 , 𝑅𝑒𝑧(𝑓, 0) =?

iv) 𝑓(𝑧) = 𝑒1𝑧2 𝑅𝑒𝑧(𝑓, 0) =?

Problema B.7. Calculati integralele

i) 𝐼 =

∫𝑐

𝑑𝑧

𝑧5 + 1, unde 𝑐 : 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥

ii) 𝐽 =

∫𝑐

𝑧 − 𝑒

𝑧4 + 6unde 𝑐 : |𝑧| = 3

iii) 𝐾 =

∫|𝑧+2|=5

3𝑖 + 𝑧4

(𝑧 + 3)𝑧2𝑑𝑧

iv)

∫|𝑧|=3

𝑒𝑧−1

𝑧3𝑑𝑧

Problema B.8. Calculati integrala∫𝑐

2𝑧 − 1

𝑧2(𝑧3 + 1)𝑑𝑧

unde c este dreptunghiul definit de 𝑥 = −2, 𝑥 = 1, 𝑦 = − 12 si 𝑦 = 1.

Problema B.9. Calculati integrala∫𝑐

1

𝑧6 + 1𝑑𝑧

unde c semicercul definit de 𝑦 = 0 si 𝑦 =√

4 − 𝑥2.

Problema B.10. Calculati integrala∫𝑐

𝑧2𝑒1𝑧 +

𝑧𝑒𝑧

𝑧4 − 𝜋4𝑑𝑧

unde c este curba 4𝑥2 + 𝑦2 = 16

32

Problema B.11. Folositi teoria reziduurilor pentru a arata ca∫ 2𝜋

0

sin2 𝜃

5 + 4 cos 𝜃𝑑𝜃 =

𝜋

4si

∫ 2𝜋

0

1

5 + 3 cos 𝜃𝑑𝜃 =

𝜋

2

Problema B.12. Folositi teoria reziduurilor pentru a arata ca∫ ∞

0

ln(𝑥2 + 1)

𝑥2 + 1𝑑𝑥

Problema B.13. Aratati ca∫ ∞

0

(𝑙𝑛𝑥)2

𝑥2 + 1𝑑𝑥 =

𝜋3

8

folosind teoria reziduurilor.

Indicatie: vezi curs

33

34

Bibliografie

[1] D. G. Zill si P. D. Shanahan. A First Course in Complex Analysis withApplications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., 2003.

[2] C. I. Hedrea. Seminar Matematici speciale, 2021.

[3] R. Negrea. Curs Matematici speciale, 2021

[4] K. Fritzsche. Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einfuhrung in die kom-plexe Analysis und ihre Anwendungen, Spektrum Akademischer VerlagHeidelberg, 2009.

[5] R. Wrede si M. Spiegel. Schaum′s Outline Series: Advanced Calculus,McGraw-Hill, 2010.

35