functia de gradul ii 3

Upload: chiches-ciprian

Post on 03-Apr-2018

216 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 7/28/2019 Functia de Gradul II 3

    1/6

    www.didactic.ro

    Funcia de gradul II

    : , , 0

    Graficul funciei de gradul II se numeteparabol.

    ,

    se numete vrfulparabolei.

    Dac 0, este punct de minim i ,, funcia fiind strictdescrectoare pe

    , i strict cresctoare pe , . Dac

    0, este punct de maxim i

    , ,funcia fiind strict crectoare

    pe , i strict descresctoare pe

    ,

    bservaii: 1) | .. .

    2) Avem

    .

    O

    i sau

    .

    iei de gradul II are dreapta

    Graficul func ca ax de simetrie, adic

    , .

    raficul funciei intersecteaz n 0, . n 2 puncte distincte: , 0i , 0.

    Dac 0, graficul funciei nu intersecteaz axa . Semnul funciei de gradul II este dat de semnul lui

    i semnul lui

    .

    Avem cazurile:

    .unci funcia de gradul II are semn contrar lui ntre rdcini i semnul

    i n afara rdcinilor.

    G

    Dac 0, graficul funciei intersecteaz axa Dac 0, graficul funciei este tangent axei .

    1) 0, funcia pstreaz semn constant pentru orice , i anume semnul lui2) Dac 0, atlu

    www.didactic.ro

    1

  • 7/28/2019 Functia de Gradul II 3

    2/6

    www.didactic.ro

    plicaii

    ) S se determine valoarea minim a funciei: , 4 8 1.vem 4 0, deci are minim care se atinge pentru

    A

    1

    A

    , adic

    1.

    sau

    1 3.

    ) Aflai valoarea maxim a funciei: , 2 .Avem 2 0, deci admite maxim pentru

    2

    i

    2

    .

    nai cresct

    3) Ordo or 2,3 i dac: , 6 3.

    vem 3 , deci admite maxim i este strict cresctoare pe ,

    A 0 .

    2

    66 1.

    Cum 1 2 3 i funcia este strict descresctoare pe 1,, avem2 3 .) Determinai imaginea funciei: , 2.

    Avem 1 0, deci

    4

    , .

    um 7, rezultC ,.

    www.didactic.ro

    2

  • 7/28/2019 Functia de Gradul II 3

    3/6

    www.didactic.ro

    5) Fie: , 1 , . Determinai pentru care parabolasociat funciei este tangent la axa .

    Grficul este tangent la dac 0, adic1 adic

    1 0, eci1.

    e a intersecteaz graficul funciei: ,

    raf nciei n 2 puncte distincte dac ecuaia

    0 are 2 rdcini reale distincte, adic 0.vem

    5 18 13 cu rdcinile

    a

    4 0,

    d

    6) Determinai \1 pentru car xa

    1

    3 1 1n 2 puncte distincte.

    Axa intersecteaz g icul fu

    A

    1,

    i deci

    0 pentru 1,

    ,.

    ine valorile lui

    astfel n .uncia de gradul II pstreaz semnul constant i anume semnul lui dac 0. Se impun deci

    e 0 0.

    vem 1 i deci 1 0, de unde n final 1, .

    i dac

    7) Se consider: , 2 1 1. S se determ ct 0 pentru orice

    F

    condiiil

    A

    8) Determina 0, oricare ar fi .

    0 pentru orice , inecuaia dat eset ec

    2 0,

    oricare ar fi , i avem condiiile 0 0 , adic

    Deoarece 1 hivalent cu

    www.didactic.ro

    3

  • 7/28/2019 Functia de Gradul II 3

    4/6

    www.didactic.ro

    1 8 0

    0i deci , .

    determin ea funciei: , 9) S se e imagin .

    um . . ,unem .

    2 , adic 2

    i determinm valorile lui pentru care ecuaia n are rdcini reale.vem condiia 0, adic

    12 7 0i

    C |

    p

    Rezult

    1 0,

    A

    4

    , .

    Deci

    ,

    .

    10) Determinai valorile reale ale lui pentru care dreapta 2 este ax de simetrie pentru 4.imetrie a parabolei este

    parabola

    Axa de s

    .

    vem deci

    A

    , de unde

    2i 4.

    1) Determinai coordonatele punctelor de intersecie ale graficelor funciilor: , 2i : , 2.oordonatele punctelor de intersecie ale graficelor a 2 funcii sunt soluiile sistemului format

    uaiile graficelor.

    1

    C

    din ec

    www.didactic.ro

    4

  • 7/28/2019 Functia de Gradul II 3

    5/6

    www.didactic.ro

    Avem deci sistemul:

    2 ,

    2 2 sau 3 2 0

    u 1i 2, deci 1, 0i

    unctele ntersecie au coordonatele 1,1, respectiv 2,0. .

    2

    c

    p de i

    12) Punctul 2,3 este vrful parabolei asociate funciei: , Calculai3.

    Avem i

    .um

    2, rezult

    C

    2, deci

    4i 4

    in2 3 avem8 deci

    7i 4 7, de unde3 9 12 7 4.

    .D

    4 3,

    www.didactic.ro

    5

  • 7/28/2019 Functia de Gradul II 3

    6/6

    www.didactic.ro

    www.didactic.ro

    6

    Propunem spre rezolvare:

    Determ ie ale graficelor funciilor: , 2 1i, 2 3.2) Determinai pentru care graficul funciei: , este

    nt la axa .

    3) S se determine astfel nct 3 3 0 pentru orice .) Determ luiile ntregi ale inecuaiei

    7 0.

    dicaie: soluia inecuaiei se intersecteaz cu mulimea numerelor ntregi.)

    5) Se consider , 4 3. S se demonstreze c 1,oricare ar fi numrul real .

    6) S se determine valorile reale ale lui pentru care 1 1 0.

    (Indicaie: inecuaia se scrie 1 1 0, de unde 1 1, .

    1) inai punctele de intersec:

    tange

    4 inai so

    1(In

    funcia: