functia de gradul ii 3

7/28/2019 Functia de Gradul II 3

1/6

www.didactic.ro

Funcia de gradul II

: , , 0

Graficul funciei de gradul II se numeteparabol.

,

se numete vrfulparabolei.

Dac 0, este punct de minim i ,, funcia fiind strictdescrectoare pe

, i strict cresctoare pe , . Dac

0, este punct de maxim i

, ,funcia fiind strict crectoare

pe , i strict descresctoare pe

,

bservaii: 1) | .. .

2) Avem

.

O

i sau

.

iei de gradul II are dreapta

Graficul func ca ax de simetrie, adic

, .

raficul funciei intersecteaz n 0, . n 2 puncte distincte: , 0i , 0.

Dac 0, graficul funciei nu intersecteaz axa . Semnul funciei de gradul II este dat de semnul lui

i semnul lui

.

Avem cazurile:

.unci funcia de gradul II are semn contrar lui ntre rdcini i semnul

i n afara rdcinilor.

G

Dac 0, graficul funciei intersecteaz axa Dac 0, graficul funciei este tangent axei .

1) 0, funcia pstreaz semn constant pentru orice , i anume semnul lui2) Dac 0, atlu

www.didactic.ro

1


2/6

www.didactic.ro

plicaii

) S se determine valoarea minim a funciei: , 4 8 1.vem 4 0, deci are minim care se atinge pentru

A

1

A

, adic

1.

sau

1 3.

) Aflai valoarea maxim a funciei: , 2 .Avem 2 0, deci admite maxim pentru

2

i

2

.

nai cresct

3) Ordo or 2,3 i dac: , 6 3.

vem 3 , deci admite maxim i este strict cresctoare pe ,

A 0 .

2

66 1.

Cum 1 2 3 i funcia este strict descresctoare pe 1,, avem2 3 .) Determinai imaginea funciei: , 2.

Avem 1 0, deci

4

, .

um 7, rezultC ,.

www.didactic.ro

2


3/6

www.didactic.ro

5) Fie: , 1 , . Determinai pentru care parabolasociat funciei este tangent la axa .

Grficul este tangent la dac 0, adic1 adic

1 0, eci1.

e a intersecteaz graficul funciei: ,

raf nciei n 2 puncte distincte dac ecuaia

0 are 2 rdcini reale distincte, adic 0.vem

5 18 13 cu rdcinile

a

4 0,

d

6) Determinai \1 pentru car xa

1

3 1 1n 2 puncte distincte.

Axa intersecteaz g icul fu

A

1,

i deci

0 pentru 1,

,.

ine valorile lui

astfel n .uncia de gradul II pstreaz semnul constant i anume semnul lui dac 0. Se impun deci

e 0 0.

vem 1 i deci 1 0, de unde n final 1, .

i dac

7) Se consider: , 2 1 1. S se determ ct 0 pentru orice

F

condiiil

A

8) Determina 0, oricare ar fi .

0 pentru orice , inecuaia dat eset ec

2 0,

oricare ar fi , i avem condiiile 0 0 , adic

Deoarece 1 hivalent cu

www.didactic.ro

3


4/6

www.didactic.ro

1 8 0

0i deci , .

determin ea funciei: , 9) S se e imagin .

um . . ,unem .

2 , adic 2

i determinm valorile lui pentru care ecuaia n are rdcini reale.vem condiia 0, adic

12 7 0i

C |

p

Rezult

1 0,

A

4

, .

Deci

,

.

10) Determinai valorile reale ale lui pentru care dreapta 2 este ax de simetrie pentru 4.imetrie a parabolei este

parabola

Axa de s

.

vem deci

A

, de unde

2i 4.

1) Determinai coordonatele punctelor de intersecie ale graficelor funciilor: , 2i : , 2.oordonatele punctelor de intersecie ale graficelor a 2 funcii sunt soluiile sistemului format

uaiile graficelor.

1

C

din ec

www.didactic.ro

4


5/6

www.didactic.ro

Avem deci sistemul:

2 ,

2 2 sau 3 2 0

u 1i 2, deci 1, 0i

unctele ntersecie au coordonatele 1,1, respectiv 2,0. .

2

c

p de i

12) Punctul 2,3 este vrful parabolei asociate funciei: , Calculai3.

Avem i

.um

2, rezult

C

2, deci

4i 4

in2 3 avem8 deci

7i 4 7, de unde3 9 12 7 4.

.D

4 3,

www.didactic.ro

5


6/6

www.didactic.ro

www.didactic.ro

6

Propunem spre rezolvare:

Determ ie ale graficelor funciilor: , 2 1i, 2 3.2) Determinai pentru care graficul funciei: , este

nt la axa .

3) S se determine astfel nct 3 3 0 pentru orice .) Determ luiile ntregi ale inecuaiei

7 0.

dicaie: soluia inecuaiei se intersecteaz cu mulimea numerelor ntregi.)

5) Se consider , 4 3. S se demonstreze c 1,oricare ar fi numrul real .

6) S se determine valorile reale ale lui pentru care 1 1 0.

(Indicaie: inecuaia se scrie 1 1 0, de unde 1 1, .

1) inai punctele de intersec:

tange

4 inai so

1(In

funcia:

functia de gradul ii 3

Documents