Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi

Facultatea de Fizică

Rezumatul Tezei de Doctorat

FUNCȚII MATHIEU ȘI HEUN ÎN

ASTROFIZICĂ ȘI COSMOLOGIE

Doctorand: Denisa-Andreea MIHU

Conducător Științific:

Prof. Dr. Marina-Aura DARIESCU

Iaşi 2018

În atenţia ........................................................................................................

UNIVERSITATEA “ALEXANDRU IOAN CUZA”, IAȘI

FACULTATEA DE FIZICĂ

vă facem cunoscut că în ziua de 19.06.2018, ora 1000

, în sala

L1, d-na MIHU P. DENISA-ANDREEA va susține, în ședință

publică, teza de doctorat cu titlul FUNCȚII MATHIEU ȘI

HEUN ÎN ASTROFIZICĂ ȘI COSMOLOGIE, în vederea

obținerii titlului științific de doctor în domeniul fundamental

ȘTIINȚE EXACTE, domeniul FIZICĂ.

Comisia de doctorat are următoarea componență:

Președinte:

Prof.univ.dr. Diana MARDARE, Directorul Școlii Doctorale,

Facultatea de Fizică, Universitatea “Alexandru Ioan Cuza”, Iași

Conducător științific:

Prof.univ.dr. Marina-Aura DARIESCU, Facultatea de Fizică,

Universitatea “Alexandru Ioan Cuza”, Iași

Referenți:

Prof. univ. dr. Cristina Stan, Departamentul de Fizică, Facultatea

de Știinţe Aplicate, Universitatea Politehnică, Bucureşti

Prof. univ. dr. Irina Radinschi, Departamentul de Fizică,

Facultatea de Construcții de Mașini și Management Industrial,

Universitatea Tehnică Ghe. Asachi, Iași

Conf. univ. dr. Mircea-Claudiu Crâșmăreanu, Facultatea de

Matematică, Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi.

Teza poate fi consultată la Biblioteca Facultății de Fizică.

CUPRINSUL TEZEI

INTRODUCERE…………………….……………………...6

Bibliografie Introducere………….…….........................8

CAPITOLUL I. FUNCȚIILE MATHIEU PENTRU

STUDIUL PARTICULELOR DIN CRUSTA

MAGNETARILOR................................................................9

I.1 Introducere……………………...………...…...........9

I.2 Ecuația Mathieu. Soluții…...……….…...….…….10

I.3 Ecuaţia Mathieu pentru bozonii relativiști în

crusta unui magnetar..............................................22

I.3.1 Introducere…...……………………..................22

I.3.2 Structura câmpului electromagnetic..................26

I.3.3 Funcția de undă a bozonilor exprimată prin

funcții Mathieu..................................................27

I.4 Evoluția unei particle încărcate într-un câmp

electric spațial-periodic perpendicular pe un câmp

magnetic static intens…..............................….......30

I.5 Tunelarea bozonilor relativiști în câmpuri

magnetice ultra-intense......................................…42

Concluzii I………………...…………………………..48

Bibliografie I.……………………...……………...49

CAPITOLUL II. FUNCȚII HEUN ÎN PROCESE DE

IMPRĂȘTIERE COMPTON ÎN MAGNETOSFERA

STELELOR NEUTRONICE PUTERNIC

MAGNETIZATE.................................................................52

II.1 Introducere ..…….……… ……………………...52

II.2 Versiunea nerelativistă a teoriei împrăștierii

Compton rezonantă în magnetosfera

Pulsarilor..............................................................54

II.3 Cazul relativist.....................................................57

Concluzii II……………………………......…………60

Bibliografie II…………………….......................61

CAPITOLUL III. COSMOLOGII FRIEDMANN-

ROBERTSON-WALKER CU SURSE

COMBINATE………………...……………………………63

III.1 Introducere……………………….………….....63

III.2 Elemente de Teoria Relativității Generale…...73

III.3 Ecuațiile de câmp Einstein…………..…….…..78

III.4 Metrica Robertson-Walker……………...……85

III.5 Modele Cosmologice Standard…………...…...86

III.6 Elemente de Geometrie Diferențială.

Formalismul Cartan.....................................….88

III.7 Cosmologii FRW cu surse materiale

combinate………………………………...…….93

III.7.1 Modele de Univers Robertson – Walker cu

materie combinată formată din CDM și

materie compactă (materie stiff) pe

Universul spațial plat și termodinamica

aferentă......................................................94

7.1.1 Ecuațiile Einstein și funcția de

scală...................................................95

7.1.2 Ecuația generală de stare și

entropia……………………..…….102

III.7.2 Universul FRW spațial plat cu surse

materiale de tip praf cosmologic și

radiație…………………………………105

Concluzii III………………………………………..115

Bibliografie III…………………......…….........117

CAPITOLUL IV. MODELE CLASICE ȘI CUANTICE

PE UNIVERSUL FRW SPAȚIAL HIPERBOLIC.

SOLUȚII ALE ECUAȚIEI WDW EXPRIMATE PRIN

FUNCȚII HEUN……………………………………........121

IV.1 Cosmologia – Incursiuni dinspre istoric înspre

actualitatea cosmologiei moderne………......121

IV.2 Ecuaţia Wheeler-DeWitt………...….……….123

IV.3 Ecuația Friedmann pe Universul FRW spațial

hiperbolic cu diferite tipuri de surse

materiale.......................................................... 125

IV.4 Funcția de undă a Universului FRW spațial

hiperbolic cu surse de materie combinată.....138

Concluzii IV…………………………...……………142

Bibliografie IV………..………………….....….143

CONCLUZII FINALE…………………………………..147

ANEXĂ. FUNCȚII HEUN...............................................149

Bibliografie Anexă...............................................154

BIBLIOGRAFIE (în ordine alfabetică)…………….15

Mulţumiri

În primul rând, țin să adresez mulţumiri cordiale şi speciale împreună cu

adânca mea recunoştinţă și reverență conducătorului de doctorat D-nei Profesor Dr.

Marina-Aura Dariescu. De asemenea, în aceeaşi măsură, doresc să adresez

mulţumiri sincere D-lui Profesor Dr. Ciprian Dariescu, în calitate de membru în

comisia de îndrumare, pentru colaborarea ştiinţifică dezvoltată, pentru prețioasele

sugestii critice şi comentarii oferite pe parcursul desfăşurării activităţii de cercetare,

precum şi pentru deschiderea, disponibilitatea şi încurajările afişate în varii

momente.

În acelaşi timp, îndrept mulţumiri frumoase către D-nul Cercetător Dr.

Cristian Stelea, precum şi către D-şoara Lect. Dr. Iordana Aștefănoaiei, în calitate

de membri ai comisiei de îndrumare, pentru că au onorat acest rol, precum și pentru

intervențiile mai mult decât oportune, sprijinul sau sugestiile de valoare oferite pe

parcursul traseului de doctorand.

Nu în ultimul rând adresez mulțumiri speciale și recunoștință profundă

familiei mele pentru sistematica înțelegere și suport moral, în lipsa cărora nu aș fi

reușit să finalizez această teză.

Menționez că ultima parte a activității de cercetare a fost finanțată de Grantul

Ministerului Cercetării și Inovării, CNCS - UEFISCDI, Proiectul PN-III-P4-ID-

PCE-2016-0131, fapt pentru care îmi exprim aleasa recunostință.

INTRODUCERE

Funcțiile speciale se constituie într-o clasă aparte de soluții ale ecuațiilor

diferențiale care modelează procese și fenomene fizice ce preocupă ardent fizica

modernă. Printre domeniile unde aceste funcții descriu comportări în situații fizic

relevante sunt cosmologia și astrofizica, dar nu numai. Astfel, principalul obiectiv al

acestei teze rezidă într-o cât mai bună înțelegere, din perspectiva interpretării fizice,

a funcțiilor speciale de tip Mathieu și Heun ce apar în probleme concrete de

astrofizică și cosmologie clasică și cuantică.

Corpul lucrării urmărește o structură în 4 capitole după cum urmează.

În primul capitol al tezei s-a dorit ca, printr-o abordare analitică, să se pună

în evidență funcțiile Mathieu descriind comportarea bozonilor relativiști prezenți în

crusta stelelor neutronice ce posedă câmpuri magnetice ultra-intense, respectiv

magnetarii. Considerate a fi un mediu cu intensități extreme ale câmpului magnetic,

unde apariția materiei exotice ca rezultat al comprimării extreme a materiei miezului

intern își pune amprenta asupra parametrilor stelari, aceste obiecte astrofizice

speciale constituie o adevărată provocare teoretică.

Cel de-al doilea capitol, cu o parte originală consistentă, vine cu o analiză a

proceselor de împrăștiere Compton foton-electron regăsite în magnetosfera stelelor

neutronice puternic magnetizate cu ajutorul ecuației cinetice propuse de Kompaneets.

Considerînd ambele regimuri, nerelativist și relativist, s-a procedat la găsirea pe cale

analitică a soluțiilor staționare în formă închisă ale acestei ecuații.

Capitolul al treilea, încadrat în domeniul Cosmologiei, este dedicat unei

analize teoretice sistematice a unor modele de univers spațial plat, de tip Friedmann-

Robertson-Walker cu materie combinată, cu și fără constantă cosmologică.

Investigațiile noastre au urmărit găsirea parametrilor cosmologici esențiali precum și

a ecuațiilor de stare.

În capitolul următor se poate remarca prezența funcțiilor speciale Heun în

variantele bi- și dublu confluente. Capitolul a avut în vedere analiza clasică

dimpreună cu cea cuantică, efectuate asupra Universului FRW spațial hiperbolic.

Menționăm că prezenta teză de doctorat este susținută de cinci articole

publicate în reviste cotate ISI, două în reviste B+ și două prezentări orale în

Conferințe internaționale.

CAPITOLUL I

FUNCȚIILE MATHIEU PENTRU STUDIUL

PARTICULELOR DIN CRUSTA

MAGNETARILOR

I.1 Introducere

Funcțiile Mathieu, soluții ale ecuației cu același nume, sunt o categorie

modernă de funcții speciale ce descriu o gamă largă de fenomene fizice [1].

I.2 Ecuația Mathieu. Soluții

În forma sa canonică, ecuația Mathieu se scrie [2]

2

22 2 0

dcos z

dz

, (2.1)

unde și sunt doi parametri. Ecuaţia Mathieu admite o soluţie de tip Floquet [3]

i zz e f z , (2.3)

unde este așa-numitul exponent caracteristicMathieu (MCE).

Ecuaţia Mathieu (2.1) admite patru tipuri de soluţii periodice distincte

2

1 2 2

0

, cos 2n

n r

r

z ce z A rz

, (2.5)

2 1

2 2 1 2 1

0

, cos 2 1n

n r

r

z ce z A r z

, (2.6)

2 1

3 2 1 2 1

0

, sin 2 1n

n r

r

z se z B r z

, (2.7)

2 2

4 2 2 2 2

0

, sin 2 2n

n r

r

z se z B r z

. (2.8)

Coeficienţii A şi B depind de , iar valorile caracteristice ale funcţiilor 2nce ,

2 1nce ,

2nse 2 1nse

, sunt notate cu 2n ,

2 1n , '

2n , '

2 1n .

Introducând seriile (2.5- 8) în forma canonică (2.1) a ecuației Mathieu, găsim

următoarele relațiile de recurență pentru coeficienții A şi B :

2

1 12 0r r rr A A A

. (2.21)

I.4 Evoluția unei particle încărcate într-un câmp electric

spațial-periodic perpendicular pe un câmp magnetic

static intens

În acest paragraf, ne propunem să rezolvăm ecuația Schr dinger pentru o

particulă supusă acțiunii a două câmpuri perpendiculare, unul fiind variabil [4].

Să considerăm o particulă cuantică liberă, de masă 0

m , a cărei mișcare este

descrisă de ecuația Schr dinger cu dependență temporală,

ˆ ˆH E , adică

2

02t

h

m i . (4.1)

În analiza noastră, vom considera prezența câmpurilor externe prin înlocuirea

derivatelor obișnuite cu derivatele 1U gauge-covariante definite prin relațiile

cunoscute

iD qA , 4t t

iD qA . (4.5)

Configurația de câmpuri ortogonale în care vom lucra este formată dintr-un câmp

magnetic static 0B orientat pe direcția Oz cuplat cu un câmp electric după Ox , a

cărui intensitate este de forma 0 sinxE E x , conducând la următoarele componente

ale potențialului vector:

0xA B y ,

4 0 cosA V x , 0y zA A (4.7)

unde 0 0 /V E . Astfel, cu ajutorul derivatelor gauge covariante, ecuația (4.1)

devine

222 2

0

0

cos 02

x x y z t

h i iqA qV z

m i

(4.10)

În continuare, vom apela la tehnica standard de separare a variabilelor

( )

( ) ( )z

ip z Et

x y e

(4.11)

și, în urma unui calcul riguros, suntem conduși la următorul sistem

(a)

2220

2

10

qBdA y

dy

, (4.13)

(b)

22

0 0

02 2 2

2 21cos 0z

m E mpdA qV x

dx

.

În ce privește prima ecuație a sistemului, cu schimbarea de variabilă s y , unde s

reprezintă lungimea magnetică și 02 1qB

A n , aceasta este satisfăcută de

binecunoscutele funcții asociate Hermite.

Ne vom ocupa acum de ecuația (4.13.b) care, cu ajutorul schimbării de

variabilă 2x devine

22

0 0 0

2 2 2 2 2

0

8 81cos 2 0

2 2

z

c

m m qVpdE n

md

(4.24)

cu 0 0c qB m . Observăm că ecuația (4.24) este o ecuație de tip Mathieu, având

parametrii:

2

0

2 2

0

8 1

2 2

z

c

m pE n

m

și

0

02 2

4mqV

. (4.25)

Expresiile componentelor densităţii de curent sunt definite prin relaţia generală

**

02i i i

ij q D D

m

(4.33)

Explicitând derivatele covariante, vom obţine următoarea componentă esențială a

cuadri-curentului

1 4 0 0

0 0 0

0

2

0

0 0 0 0

( ) exp2

1exp exp

4 2 2

x

z

z

m qEqj qB m qE

m L

qBpn

m qE m qE

(4.44)

unde s-a efectuat integrarea după variabila y .

Identificând această componentă cu transparenţa unei bariere de potenţial 2

xj T , putem calcula probabilitatea de tunelare

0 0

0 0

00

0 0

exp2

2sinh

4

m qE

qB q EqP

m qB

m q E

, (4.45)

pe care o reprezentăm grafic în figura de mai jos.

Fig. 4.3 Dependenţa probabilităţii (4.45) de E0, pentru B0 (curba albastră) și pentru 2B0

(curba roșie)

Remarcăm prezenţa unui maxim descris de ecuaţia transcendentă

0 0coth 124 4

qB qB

, (4.46)

5 10 15 20 25 30E0

1

2

3

4

5

P

unde 0 0m qE

, soluţia acestei ecuaţii fiind

0

0( )m qE

f B

. (4.47)

Deasemenea, se observă că, prin creșterea intensității câmpului magnetic, se inhibă

procesul de tunelare în direcţia Ox.

Pentru câmpuri magnetice intense (valori mici ale numărului de undă ),

adică avem satisfăcută inegalitatea 5

0 010B E , rezultă, din (4.45), următoarea

relaţie a probabilităţii de tunelare:

0 0

0 0 0

1exp

4

q E qBqP

s m m q E

. (4.51)

Se observă o creștere a probabilităţii cu creșterea intensității câmpului electric 0E . În

același timp, se remarcă o deplasare a maximului probabilităţii de tunelare spre valori

mari ale lui 0B .

În vederea găsirii unei fenomenologii mai profunde ce se află în spatele

expresiei (4.51) și care ar putea fi revelată la o analiză mai de acurateţe, subliniem

faptul că, deoarece crusta este un domeniu finit, aceasta impune condiţii externe de

graniţă ce limitează gama de valori ale numărului de undă . Astfel, dată fiind

variația câmpului electric 0 sinxE E x , parametrul poate fi aproximat cu / xL ,

în acest caz, probabilitatea (4.51) devenind

00

0 0 0

1 1exp

4

x

x

L qBqEqP

s m L m qE

. (4.52)

Se remarcă așadar că aceasta prezintă o dependenţă nu doar de intensităţile

câmpurilor exterioare, ci și de geometria sistemului, mai exact de lăţimea crustei xL .

În încheiere, dorim să subliniem că, atât în cazul câmpurilor magnetice slabe,

cât și al celor intense, probabilitatea de tunelare este strâns legată de configuraţia

câmpului electromagnetic în crustă, descrisă prin numărul de undă . Mai mult decât

atât, conform unor studii relevante care investighează acest subiect [5, 6], însuși

prezintă fluctuaţii odată ce se presupune că structura câmpului magnetic în regiunea

crustei nu este staţionară, ci evoluează prin mecanisme de drift Hall. Acestea, la

rândul lor, sunt generatoare de cascade turbulente Hall, ce amplifică disiparea

Ohmică.

Bibliografie selectivă Capitolul I

[1] L. Ruby, “Applications to the Mathieu equation”, Am. J. Phys. 64, 39 (1996)

[2] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, “Table of Integrals, Series and Products”, 7th ed., Academic

Press (2007)

[3] G. Blanch, “The asymptotic expansions for the odd periodic Mathieu functions”, Trans.

Amer. Math. Soc. 97, 727 (1960)

[4] M. A. Dariescu, D. A. Mihu, “On the quantum tunneling phenomena in magnetar’s crust”,

Buletinul Institutului Politehnic Iași, Vol. LXI (LXV), fasc.2, Secția “Matematică. Mecanică

Teoretică. Fizică”, 97 (2015)

[5] J. A. Pons, U. Geppert, “Confirmation of the occurrence of the Hall instability in the non-

linear regime”, Astron. Astrophys. 513, L12 (2010)

[6] U. Geppert, J. Gil, G. Melikidze, “Radio pulsar activity and the crustal Hall drift”, Mon.

Not. R. Astron. Soc. 000, 1 (2013)

Publicații științifice proprii în contextul tematicii capitolului

M.–A. Dariescu, C. Dariescu, D. Mihu, “Tunneling of Relativistic Bosons induced by

Magnetic Fields in Magnetar’s Crust”, Chinese Physics Letters, 32, Nr. 10,

101101 (2015)

M.–A. Dariescu, C. Dariescu, D. Mihu, “Magnetic fields of quantum origin in

magnetars' crust”, Proceedings of the Romanian Academy, Seria A, 17, Nr. 2,

p. 126–132 (2016)

D.–A. Mihu, Marina–Aura Dariescu, “Mathieu functions describing particles in

electromagnetic waves”, AIP Conference Proceedings 1916, 020006-1 (2017)

M.–A. Dariescu, D.–A. Mihu, Ciprian Dariescu, “Parametric induced instabilities of

magnetars crust”, Conferința Științifică Internațională “Mathematical Modelling

Processes and Systems”, 13– 16 Decembrie 2017, Borovets, Bulgaria (prezentare orală), Conference Proceedings, ISSN 2535-0978, pgs. 16-20.

CAPITOLUL II.

FUNCȚII HEUN ÎN PROCESE DE IMPRĂȘTIERE COMPTON

ÎN MAGNETOSFERA STELELOR NEUTRONICE PUTERNIC

MAGNETIZATE

II.1 Introducere

Prezentul capitol este dedicat studiului ecuației Kompaneets [1] aplicată

proceselor de împrăștiere Compton din magnetosfera magnetarilor. Soluțiile analitice

ale acestei ecuații sunt determinate și investigate atât în regimul relativist, cât și în cel

nerelativist. Funcțiile de undă sunt exprimate cu ajutorul unei categorii moderne de

funcții speciale, de actualitate, mai exact este vorba despre funcțiile Heun.

Ecuația Kompaneets joacă un rol esențial atât în înțelegerea, cât și în analiza

cantitativă a proceselor de împrăștiere din magnetosfera pulsarilor. Aceasta descrie

evoluția în timp a distribuției în frecvență a fotonilor, fiind de forma

4 2

2

1

n nx n n

t x xx

, (1.1)

unde n este densitatea gazului de fotoni,

h

xkT

, h este energia fotonului și T este

temperatura electronilor. Cei trei termeni din interiorul parantezelor descriu diferite

procese fizice, după cum urmează: primul termen corespunde unei modificări în

frecvență datorate efectului Doppler, al doilea termen este responsabil de fenomenul

de împrăștiere spontană (efect Compton) – acesta este în același timp asociat cu

efectul de recul –, iar al treilea termen modelează împrăștierea Compton indusă.

Ne propunem ca, printr-un demers teoretic, să determinăm soluții exacte ale

ecuației Kompaneets, de interes în astrofizică, în ipoteza regimului static.

II.2 Versiunea nerelativistă a teoriei împrăștierii Compton

rezonantă în magnetosfera pulsarilor

Așa cum menționam și în capitolul anterior, printre obiectele astrofizice

intens studiate în ultimii ani, regăsim magnetarii ca primind o atenție deosebită.

Pentru a caracteriza difuzia fotonilor în spațiul frecvențelor, în [2], autorii au

propus următoarea formă a ecuației Kompaneets pentru RCS (resonant Compton

scattering) în magnetosfera pulsarilor:

nn

x

ncgNx

xxcm

kT

t

nRCSe

e

e

RCS

11 4

22 . (2.1)

În ecuația (2.1), eN este densitatea electronilor, RCS definește secțiunea

eficace ce caracterizează interacțiunea foton-electron, c este viteza luminii, este

unghiul făcut de direcția fotonului incident cu direcția câmpului magnetic local )(rB ,

iar g constituie un factor dependent de unghiul . Lucrând cu valorile medii ale

mărimilor RCS și g , ecuația Kompaneets (2.1), în condiții de staționaritate, poate fi

adusă la relația simplificată

2

4

n Qn n

x x

, (2.2)

unde Q este o constantă cu semnificația fizică a fluxului de fotoni din domeniul de

frecvență considerat.

Ecuația (2.2) poate fi identificată cu o ecuație diferențială de tip Riccati,

soluțiile acesteia fiind discutate în numeroase studii începând cu cel al lui Kompaneets

[1]. În scopul soluționării pe cale analitică a ecuației (2.2), vom scrie pe n sub forma

'

n

. (2.3)

Schimbarea de funcție Fxe

x

2 ne conduce la ecuația diferențială pentru

funcția necunoscută F

4 2

1 1 10

44

QF F F

x x x

(2.4)

care, cu noua variabilă 2

2

1

1

xy

x

, se transformă în ecuația diferențială de ordinul al

doilea de mai jos:

FQyQQyydy

dF

y

yy

dy

Fd

2

1

2

12

1

1

1

22 2

3222

3

2

2

. (2.6)

Observăm că ecuația (2.6) are forma standard a ecuației Heun dublu confluentă [3]:

2 32

2

2 2 32 2

2 2 12 0,

1 1

z z zd u duz z u

dzdz z z

(2.7)

expresiile parametrilor fiind deci

0 , Q , 2

12 Q ,

2

1 Q . (2.8)

Soluțiile ecuației (2.7) fiind funcțiile Heun dublu confluente, se obține pentru

densitatea de fotoni definită în (2.3) expresia

'

2 2

1 4

2 ( 1)

x x HeunDn

x HeunDx

, (2.11)

unde se observă prezența atât a funcției Heun dublu confluente cât și a derivatei

acesteia în raport cu variabila y .

II.3 Cazul relativist

La frecvențe mari și temperaturi joase, când se neglijează termenii

proporționali cu 2/e ekT m c , Sazonov și Sunyaev au propus următoarea formă a

distribuției în frecvență a fotonilor ca o consecință a interacțiunii de tip Compton a

radiației monocromatice cu electronii termici [4],

n

cm

han

cm

h

t

n

ee

2

24

22

1)( . (3.1)

Termenul răspunzător de difuzia în frecvență a fotonilor a fost introdus de

Ross et al. [5] și Illarionov et al. [6], el fiind multiplicat de constanta pozitivă a a

cărei valoare numerică 0.7a provine dintr-o dezvoltare Fokker-Planck asupra

ecuației cinetice integro-diferențiale caracterizând fenomenul de comptonizare al

fotonilor. Astfel, în ipoteza regimului static și cu notația

2

e

hx

m c

, (3.2)

ecuația (3.1) devine

2

4

n Qax n

x x

. (3.3)

În analiza noastră [7], generalizăm forma (3.3), prin adăugarea termenului 2n

, ce descrie contribuția împrăștierii Compton induse. În consecință, ajungem la o

ecuație diferențială de tip Riccati

2 2

4

n Qax n n

x x

, (3.4)

care, în termenii unei noi variabile 1y / ( ax ) , se scrie sub forma

2 4 4nn n Qa y

y

. (3.6)

O dată ce îl vom considera pe ( )n y ca în (2.3), unde derivata este în raport

cu variabila y , ecuația (3.6) se transformă într-o ecuație diferențială de ordinul al

doilea care, prin schimbarea de funcție

32exp ( )

2 3

y ya Q u y

, (3.8)

ne conduce la ecuația de mai jos:

22 2 2

2

12 2 0

4

d u dua Q y ya Q u

dydy

. (3.9)

Cu noua variabilă z y , unde

1

2 32

3

a Q

, acesta se înscrie exact în tiparul

formei canonice a așa-numitei ecuații Heun triplu confluente, cu parametrii:

2

3

2 2

1 1 3, 0

44 2a Q

(3.13)

Cu aceste rezultate, densitatea de fotoni, calculată cu (2.3), va avea expresia

'2 21

2

HeunTn a Q y

HeunT, (3.16)

unde dy

dHeunTHeunT '

.

În relația (3.16), se poate verifica (cu ajutorul rutinei Maple) că, de îndată ce

ultimul termen al membrului drept devine pozitiv, acesta îi poate compensa pe primii

doi conducând la o anulare a densității. Prin impunerea condiției natural (cu

semnificație fizică) 0n , se obține un interval de frecvență, pentru o valoare dată a

parametrului modelului 2b a Q .

Bibliografie selectivă Capitolul II

[1] A. S. Kompaneets , “The establishment of thermal equilibrium between quanta and

electrons”, Éksp.Teor. Fiz. 31, 876-885 (1956) [Sov. Phys. JETP 4, 730 (1957)]

[2] H. Tong et al., “Resonant cyclotron scattering in pulsar magnetospheres and its application

to isolated neutron stars”, Res. Astron. Astrophys. 10, 553 (2010)

[3] F. M. Arscott, “Heun's Differential Equations”, A. Ronveaux, Oxford University Press,

Oxford, (1995)

[4] S. Y. Sazonov, R. A. Sunyaev, “The Profile of a Narrow Line after Single Scattering by

Maxwellian Electrons: Relativistic Corrections to the Kernel of the Integral Kinetic Equation”,

ApJ 543, 28 (2000)

[5] R. R. Ross et al., “The Comptonization of iron X-ray features in compact X-ray sources”,

ApJ 219, 292 (1978)

[6] A. F. Illarionov et al., “Comptonization of X-rays by low-temperature electrons”, ApJ 228,

279 (1979)

[7] M. A. Dariescu, D. A. Mihu, C. Dariescu, “Stationary solutions to Kompaneets equation for

relativistic processes in astrophysical objects”, Rom. Journ. Phys. 59, 224 (2014).

[8] D. A. Mihu et al., “An Analytical Approach to the Kompaneets equation in Highly

Magnetized Neutron Stars Magnetosphere”, Buletinul Institutului Politehnic Iași, Secția

Matematică. Mecanică Teoretică. Fizică, tom LIX (LXIII), fasc. 3, 61 (2013)

CAPITOLUL III.

COSMOLOGII FRIEDMANN-ROBERTSON-WALKER CU

SURSE COMBINATE

III.7.1 Modele de Univers Robertson – Walker cu materie

combinată formată din CDM și materie compactă

pe Universul spațial plat și termodinamica aferentă

Această parte a studiului nostru își propune o analiză teoretică a unui model

cosmologic Friedmann-Robertson-Walker (FRW) cu geometrie spațială plată, 0k ,

în care Universul este umplut cu materie compactă (materie stiff) și praf cosmologic,

tratate ca fluide între care nu se manifestă nici un fel de interacțiune, în prezența unei

constante cosmologice nenule [1]. Investigațiile noastre au avut ca scop principal

analiza parametrilor cosmologici de bază împreună cu interpretarea din punct de

vedere fizic a stării evolutive a Universului.

În primă fază, s-a dovedit că ecuația Friedmann scrisă pentru acest model

este analitic integrabilă ceea ce a condus găsirea expresiei factorului de scală,

rezultatul nostru fiind pus în corespondență cu cercetările efectuate de Chavanis [2].

În cea de-a doua etapă, găsirea funcției de scală a permis evaluarea

parametrilor cosmologici fundamentali, atât pentru faza timpurie a universului, cât și

pentru era târzie a acestuia. Următoarea secțiune este dedicată determinării ecuației de

stare a modelului. De asemenea, s-au calculat expresiile densității de energie și

presiunii în funcției de temperatura.

7.1 .1 Ecuațiile Einstein și funcția de scală

Considerăm metrica FRW pentru universul spațial plat,

2 22 2 2 2 2 2 2d ( ) d d sin d ds a t r r r t

, (7.1)

unde ( )a t reprezintă factorul de scală, iar t este timpul cosmic. Pentru reperul

tetradic pseudo-ortonormal cărui bază duală este dată de

1 da r , 2 dar , 2 sin dar , 4 dt ,

ecuațiile Cartan

a a b c

bcd , cu 1 4b c ;

b

cab ab acR d (7.2)

conduc la 1-formele de conexiune esențiale cab abc și la 2-formele de curbură.

Toate acestea permit, în final, găsirea componentelor tensorului Einstein

2

2a a

Ga a

;

2

44 23

aG

a , (7.5)

unde punctul desemnează derivata în raport cu timpul cosmic t .

Ca și sursă de materie, vom considera un fluid perfect pentru care componentele

tensorului impuls - energie sunt T p , 44T , astfel că sistemul de ecuații

Einstein

ab ab abG T , (7.6)

capătă scrierea explicită

2

2

2

2

2 ;

3

a ap

a a

a

a

, (7.7)

unde 48 /G c , iar este o constantă cosmologică pozitivă.

În cele ce urmează, ne vom canaliza atenția asupra celei de-a doua relații din

(7.7), cunoscută ca ecuația Friedmann pentru universul spațial plat 0k - FRW, adică

2

3 3H

, (7.8)

unde H este funcția Hubble definită ca /H a a .

Pentru o sursă de materie combinată formată din materie compactă și praf

cosmologic, cu densitatea de energie totală dată de

6 3

0 0

01 02 6 3

3a a

a a a a

, (7.9)

ecuația Friedmann (7.8) capătă forma explicită

2 2

4a a

aa

. (7.10)

Precizăm că s-au efectuat notațiile

6

01 03

a

, 3

02 03

a

, 3

, (7.11)

unde indexarea cu zero corespunde valorilor actuale ale mărimilor implicate.

Evoluția factorului de scală se obține prin integrarea ecuației (7.10), forma

analitică a acestuia fiind

1 3

( ) cosh(3 ) sinh(3 )2 2

a t t t

, (7.12)

unde constanta de integrare a fost determinată din constrângerea fizică în origine

impusă asupra factorului de scală, (0) 0a . Pentru 0t , dezvoltarea în serie de

puteri a funcțiilor hiperbolice conduce la următoarea expresie asimptotică a funcției de

scală

1 3

2

0 3 1 ( )4

ta t t O t

, (7.13)

în timp ce, pentru valori mari ale argumentului ( t ), se obține soluția de tip de

Sitter t

ta e

, ce caracterizează un Univers aflat în continuă expansiune.

Invocând ecuația Friedmann (7.8), se poate determina densitatea de energie

2

sinh 3 2 cosh 33( ) 1

cosh 3 1 2 sinh 3

t tt

t t

, (7.15)

iar presiunea, dedusă prima ecuație Einstein din (7.7), este data de

6

3( )p a

a

. (7.17)

O analiză de bază în cosmologie implică studiul dinamicii parametrului

ecuației de stare (EoS), acest parametru punând în legătură două mărimi fizice

semnificative, presiunea și densitatea de energie, prin binecunoscuta relație p w .

În cazul nostru, pentru 0t , prin invocarea dezvoltărilor în serie, se poate deduce, în

prim ordin de aproximație, dependența temporală liniară de mai jos

23( ) 1 ( )w t t O t

, (7.20)

de unde se recuperează erele cosmologice cu o singură tipologie de materie

identificate în decursul evoluției Universului. În acest sens, se poate constata că w

este limitat inferior de valoarea 0w corespunzătoare fazei dominate de materia

nerelativistă (praful cosmologic), la momentul de timp 3t și mărginit

superior de 1w , la momentul 0t , caracterizând epoca materiei compacte

(materiei stiff). Între aceste două valori pivot, w ia toate valorile pozitive situate în

intervalul [0, 1]w . Spre exemplu, pentru 1 3w , la 2 9t , regăsim epoca

radiativă.

Rezultatul nostru este susținut de numeroase studii care raportează o ecuație

de stare dependentă de timp, așa cum pun în evidență modelele cosmologice cu fluid

vâscos [3] sau modelele de tip quintesență implicând câmpurile scalare [4]. De

asemenea, unele studii conduc la valori negative parametrului ecuației de stare. Pentru

corelații cu observațiile experimentale, recomandăm [5].

În literatură, vârsta Universului este dată de integrala [2]

1

0 000 0 1 2

6 3

1 dudt

Hu

u u

, (7.21)

unde 0/u a a , între parametri având loc relația definitorie pentru universal spațial

plat

0 0

1 2 1 . (7.22)

Această relație care vine să susțină proprietatea de planeitate a universului, proprietate

aflată în acord cu majoritatea modelelor inflaționiste [6], este confirmată de

măsurătorile recente efectuate în cadrul programului „MAXIMA-I flight‟ și

experimentului COBE-DMR [7]. Revenind la modelul considerat de noi, se poate

estima vârsta actuală a Universului cu ajutorul relației

1

00 0

6 6 3 3

0 0

1 dudt

Hu

u a u a

, (7.23)

putându-se identifica astfel o corespondență între parametrii definiți în (7.11) și

parametrii 0

1 , 0

2 și , prin relațiile

0

16

0a

, 0

23

0a

, , (7.24)

cu constrângerea (7.22). Valorile numerice ale densităților adimensionale 0

1 , 0

2 ,

se determină experimental din măsurători efectuate asupra supernovelor de tipul Ia

(SN Ia‟s) [8], acestea deținând un potențial formidabil ca și indicatori cosmologici.

Aceste observații, corelate cu lentilele gravitaționale și analizele asupra dinamicii

stelare, conduc la valorile numerice 0.237matter și 0.763 [9]. Conform

datelor raportate în [2], putem considera 26

0 1.32 10a m , iar densitatea

adimensională a materiei o găsim distribuită în 0

1 0.001 pentru componenta

compactă (stiff) și 0

2 0.237 pentru cea nerelativistă sub formă de praf.

Luând în considerare toate acestea, obținem în urma efectuării integralei

(7.21), vârsta actuală a Universului ca fiind data de relația

0 0 0 0

1 2 1 2

0 0 0 0 0 00 1 2 2 1 1 2

2 1 2 11 1ln

3 1 2 1H

. (7.25)

Dacă se utilizează, în relația (7.25), date experimentale recente pentru vârsta

Universului, 913,79 10 ani , și pentru constanta Hubble, 1 1

0 67,8 H km s Mpc

[10], se obține următoarea ecuație transcendentă pentru parametrii 0

1 și 0

2 care

constrâng valorile parametrilor modelului nostru, și ,

0 0 0 0

1 2 1 2 0 0

0 1 20 0 0 0

2 1 1 2

2 1 2 1exp 3 1

2 1H

.

(7.26)

7.1.2 Ecuația generală de stare și entropia

Expresia (7.17) a presiunii împreună cu densitatea de energie (7.9) conduc la

relația

3

( )p

p p

(7.28)

a cărei inversă se constituie în ecuația de stare a modelului cosmologic supus analizei

noastre. În expresia

2 23 3 3( )

4 2p

, (7.29)

a se nota partea negativă (a soluției algebrice). De asemenea, observăm, pe lângă

termenul liniar corespunzător componentei de tip materie stiff, termenul politropic

p , acesta fiind similar celui ce apare în modelul cu stări condensate Bose–

Einstein (BEC), dezvoltat în [11].

Efectuându-se dezvoltarea în serie de puteri a radicalului în ecuația (7.29), se

ajunge la o formulare mai intuitivă din punct de vedere fizic a ecuației de stare,

2 3

2( ) ( )

3p

. (7.30)

Acest rezultat se dovedește a fi în acord cu expresia 2( )p K dedusă de

Zel‟dovich care, prin inserarea unui termen adițional corespunzător corecțiilor

cuantice, a elaborat un model de Univers în care se identifică simultan patru faze ale

materiei. Mai mult decât atât, ecuația (7.29) admite o interpretare și în contextual

efectelor cosmologice de vîscozitate. Astfel, pentru o relație de forma 23 4 ,

ecuația de stare (7.29) devine

6 2

3p H

, (7.33)

această exprimare algebrică fiind similară celei descriind un fluid viscos

3p H cu vîscozitatea în bulk dată de 2

3

.

III.7.2 Universul FRW spațial plat cu surse materiale de tip

praf cosmologic și radiație

În această secțiune, vom analiza un model de Univers în care materia

combinată are, ca și constituienți, specia radiativă și praful cosmologic [12]. În primă

fază, se va considera Universul lipsit de constanta cosmologică, pentru ca ulterior să

analizăm și cazul în care o constantă cosmologică nenulă își manifestă efectul.

Densitatea de energie a noului model cosmologic este descrisă prin relația

3 4

3( )a

a a

, (7.57)

iar ecuația Friedmann se scrie sub forma

2 2

2a a

a a

, (7.58)

unde notațiile utilizate sunt:

3

02 03

a

, 4

03 03

a

, 3

(7.59)

În urma separării variabilelor, ecuația diferențială (7.58) este echivalentă cu

reprezentarea

4

adadt

a a

, (7.60)

care se scrie sub forma

4

adadt

a pa q

. (7.62)

Dacă se consider 1,4i i

a

ca fiind rădăcinile polinomului de gradul al patrulea,

4a pa q , atunci ecuația diferențială (7.62) se poate rescrie în forma de mai jos:

1 2 3 4

adadt

a a a a a a a a

. (7.63)

Integrarea acesteia conduce la următoarea relație algebrică conținând

rădăcinile polinomului discutat:

1 2 1

1 4 2 3

2, , , a EllipticF Z a a EllipticPi Z t

a a a a

,

(7.64)

cu notațiile

2 1 4

1 2 4

a a a aZ Arcsin

a a a a

,

1 3 2 4

2 3 1 4

a a a a

a a a a

, 2 4

1 4

a a

a a

. (7.65)

Menționăm că ', , EllipticPi Z și , EllipticF Z constituie integrale eliptice

incomplete de ordinul al treilea și respectiv de tipul întâi.

Bibliografie selectivă Capitolul III

[1] M.–A. Dariescu, D.–A. Mihu, C. Dariescu, “Spatially – Flat Robertson – Walker Models

with combined CDM and stiff matter sources and the corresponding thermodynamics”,

Romanian Journal o f Physics, 62, Nr. 1-2, 101 (2017)

[2] P. H. Chavanis, “Cosmology with a stiff matter era”, Phys. Rev. D 92, 103004 (2015)

[3] F. Rahaman et al., “Cosmological model with a viscous fluid in a Kaluza-Klein metric”,

Astrophys. Space. Sc. 301, 47 (2006)

[4] R. R. Caldwell et al., “Cosmological Imprint of an Component with General Equation of

State”, Phys. Rev. Lett. 80, 1582 (1998)

P. Steinhardt et al., “Cosmological tracking solutions”, Phys. Rev. D 59, 123504 (1999)

[5] V. Sahni et al., “Two new diagnostics of dark energy”, Phys. Rev. D 78, 103502 (2008)

[6] P. de Bernardis et al., “Multiple peaks in the angular power spectrum of the cosmic

microwave background: significance and consequences for cosmology”, ApJ. 564, 559 (2002)

[7] A. Balbi et al., “Constraints on Cosmological Parameters from Maxima-1”, ApJ. 545, L5

(2000)

[8] A. V. Filippenko, American Institute of Physics, Physics Today, 53 (2003)

[9] S. W. Hawking, G. F. R. Ellis, “The large scale structure of space – time”, Cambridge Univ.

Press (1973)

[10] Planck Collaboration: P. A. R. Ade et al., “Planck 2015 results. XIII. Cosmological

parameters”, arXiv:1502.01582 (2015)

[11] P. H. Chavanis, “Partially relativistic self-gravitating Bose-Einstein condensates with a

stiff equation of state”, Eur. Phys. J. Plus 130, 181 (2015)

[12] D.–A. Mihu, “Dynamical fluid-type Universe scenario with dust and radiation”, preprint

arXiv:1609.00589, 18 pag. (2016)

CAPITOLUL IV.

MODELE CLASICE ȘI CUANTICE PE

UNIVERSUL FRW SPAȚIAL HIPERBOLIC.

SOLUȚII ALE ECUAȚIEI WDW EXPRIMATE

PRIN FUNCȚII HEUN

IV.2 Ecuaţia Wheeler-DeWitt

Ecuația Wheeler-deWitt (WDW),

0H , (2.2)

constituie o ecuație de bază a cosmologiei cuantice, pentru descrierea universului în

ansamblul său, caracterizat de funcția de undă . Orice soluţie a ecuaţiei WDW

descrie, în principiu, o stare cuantică posibilă în care se află Universul. Condiţiile la

graniţă pentru funcţia de undă fac posibilă selecţia clasei de soluţii posibile.

IV.4 Funcția de undă a Universului FRW spațial hiperbolic

cu surse de materie combinată

Pentru metrica FRW de curbură negativă 1k ,

2 2 2 2 2 2 2 2

4 ( ) sinh sinds a t d d d dt

ecuaţia Friedmann are forma

2

2 0

2

1

3 3

aH

a a

.

Pentru combinaţia formată din radiaţie și materia condensată, caracterizate prin

4r

B

a ,

6

0

0 6m

a A

a a

, (4.1)

în absenţa cuplajului dintre cele două tipuri de materie, ecuaţia Friedmann devine

2 2 20

6 4 2 4 2

11

3 3

A Ba a a

a a a a a

, (4.3)

unde au fost introduse următoarele notaţii

0 0, , 3 3 3

A B

. (4.4)

Din ecuaţia Friedmann (4.3), pentru 0 , rezultă imediat constrângerea

hamiltoniană

2 0H a V a ,

care evidențiază potenţialul efectiv negativ

4 21V

a a

. (4.6)

Cu operatorul ˆp p ia

, Hamiltonianul ne conduce la forma ecuației WDW

2

2 4 24 0

d

d

, (4.8)

unde s-a introdus variabila 0a a şi parametrii adimensionali

4

0

4

a

,

2

0

4

a

. (4.9)

In baza teoriei dezvoltate în lucrările [1, 2], soluţa analitică a ecuaţiei (4.8) se exprimă

cu ajutorul funcției Heun dublu confluente.

Pentru un Univers 1k FRW dominat de praf, în prezența constantei

cosmologice, cu 3

C

a , 0

3

C ,

0

4

a

, soluţia ecuaţiei diferenţiale

corespunzătoare

22

24 0

d

d

(4.19)

este dată de

2

2

iexp HeunB

, (4.20)

unde cu HeunB s-a notat funcţia Heun biconfluentă

1 4

1 4

2 14 21, 0, , ; 1

2

iiu HeunB i

. (4.21)

Figura 1. Reprezentare calitativă a valorii absolute a funcţiei de undă (4.20)

Analizând figura 1, observăm că valoarea absolută a funcţiei de undă (4.20),

care are un caracter oscilant, cu maxime separate de minime nule, descrie probabilităţi

în descreştere, pentru Universuri caracterizate de valori mari ale factorului de scală.

O tratare detaliată a Universului FRW spațial hiperbolic, evoluând de la era

dominată de materie condensată spre cea dominată de praf, constituie subiectul

lucrărilor [1, 2]. Rezultate asemănătoare se obțin pentru Universul FRW spațial plat

dominat de materie combinată formată din speciile nemiscibile praf cosmologic și

radiație [4].

Bibliografie selectivă Capitolul IV

[1] M. -A. Dariescu, C. Dariescu, “Quantum Cosmology on 1k Friedmann-Robertson-

Walker Universe evolving from stiff matter era to the dust dominated one”, Mod. Phys. Lett. A

32, 1750003 (2017)

[2] C. Dariescu, M. A. Dariescu, Mathieu and Heun solutions to the Wheeler--De Witt Equation

for hyperbolic Universes, Int. J. of Theoretical Physics 57, No. 3, p. 652-663 (2018).

[3] F. M. Arscott, Part A. Heun‟s Equation. In: Ronveaux, A. (ed.) Heun’s Differential

Equations, Oxford University Press, Oxford, UK (1995)

[4] D. A. Mihu, “Elliptic and Heun functions in spatially-flat Friedmann-Robertson-Walker

cosmologies”, Rom. Journ. Phys. 63, 108 (2018)

CONCLUZII FINALE

Principalul obiectiv al acestei teze a fost punerea în evidență a potențialului

matematic și fizic interpretativ fabulos deținut de o categorie aparte de funcții

speciale, mai exact funcțiile Mathieu și Heun, prin analiza unor procese fizice de

extremă actualitate și majoră importanță care preocupă fizica modernă. În acest sens,

teza abordează topici de interes din Astrofizică și Cosmologie.

Astfel, în capitolul I, în primă fază, o atenție deosebită s-a acordat analizei

teoretice a influenței pe care o are structura câmpului electromagnetic din crusta

magnetarilor asupra funcției de undă a bozonilor relativiști. Aceasta este exprimată

prin funcții Mathieu, ale căror parameteri sunt profund dependenți de intensitatea și

configurația câmpului magnetic în crustă. Proprietățile speciale ale funcțiilor Mathieu

ne-au permis interpretări ale fenomenelor care descriu comportarea particulelor în

regiunea crustei magnetarilor. Astfel, a fost pus în evidență fenomenul de rezonanță

pentru un interval bine definit al numărului de undă ce caracterizează distribuția

cîmpului magnetic. Am identificat o comportare aparte a funcției de undă, aceasta

înregistrând creșteri exponențiale pentru valori complexe ale Exponentului

Caracteristic Mathieu. Astfel de instabilități ar putea fi responsabile de fenomene

speciale asociate magnetarilor, ca de exemplu exploziile de radiații gamma.

O altă analiză având ca tematică evoluția particulelor încărcate într-un câmp

electric variabil ortogonal pe un câmp magnetic staționar intens a urmărit calculul

probabilității de tunelare. O concluzie esențială este aceea că și probabilitatea de

tunelare este puternic legată de configurația câmpului în crustă. Acest ultim rezultat a

fost raportat la alte studii relevante din literatura de specialitate.

De menționat și faptul că, abordând subiectul tunelării cuantice prin

formalismul JWKB, coeficientul de transmisie a rezultat a fi exprimat cu ajutorul

integralei eliptice de tipul al doilea.

Capitolul al doilea a vizat determinarea și analiza soluțiilor staționare, în

formă închisă, pentru interacțiunile de tip Compton foton – electron de la nivelul

magnetosferei stelelor neutronice puternic magnetizate, descrise de ecuația

Kompaneets. În cazul regimului nerelativist, s-a dovedit că funcțiile Heun duble

confluente sunt cele care descriu fenomenele de împrăștiere ciclotronică rezonantă

modelate de ecuația Kompaneets. În regim relativist, s-a procedat la o generalizare a

ecuației care descrie spectrul fotonilor rezultat în urma interacțiunii de tip Compton a

radiației monocromatice cu electronii termici. Spectrul fotonilor a rezultat a fi

exprimat prin funcții Heun triconfluente.

Capitolul al treilea se încadrează în domeniul Cosmologiei și abordează o

problematică de interes și de actualitate – cea a contribuției formelor mixte de materie

la o descriere mai fidelă a evoluției Universului. Astfel, în contextul Universului

spațial plat descris de metrica FRW s-a investigat geometrodinamica a două modele

cosmologice și termodinamica aferentă.

În cadrul primului model, descris de o sursă de materie combinată formată

din materie compactă (materie stiff) și praf cosmologic, s-a arătat, cu ajutorul funcției

de scală, soluție a ecuației Friedmann, că avem de-a face cu un Univers în continuă

expansiune, dinspre starea inițială de singularitate către o comportare de tip de Sitter

caracteristică viitorului îndepărtat. Analizând dinamica temporală a parametrului

efectiv al ecuației de stare în fazele timpurii, un rezultat notabil a fost cel al regăsirii

epocii radiative la un anumit moment de timp, dat de parametrii modelului.

Un alt rezultat original este acela al trecerii ecuației de stare în cea

caracteristică fluidului vâscos atunci când parametrii ce caracterizează cele două surse

materiale sunt constrânși de anumite relații.

În cadrul termodinamicii modelului, a se nota dependențele pătratice ale

presiunii și densității de energie de temperatură, precum și prezența termenului liber

constant, având semnificația unei presiuni de sac (bag pressure constant).

Capitolul se încheie cu tratarea analitică a celui de-al doilea model în care

materia combinată care umple Universul are ca și constituienți radiația și praful

cosmologic. De subliniat aici că, procedând la un artificiu de integrare a ecuației

Friedmann, s-a ajuns la o relație algebrică conținând integrale eliptice. S-a urmărit în

mod deosebit efectul pe care-l aduce prezența constantei cosmologice în cadrul

modelului.

Ultimul capitol al tezei vine cu o tratare clasică și cuantică a Universului

FRW spațial hiperbolic. Contribuțiile esențiale își fac loc în a doua parte a capitolului

unde s-a avut în vedere rezolvarea pe cale analitică a ecuației WDW modelând

evoluția cuantică a unui univers umplut cu forme mixte de materie. Astfel, pentru

radiație și materie condensată, funcția de undă a rezultat a fi descrisă prin funcțiile

Heun dublu confluente. În situația mult mai adecvată pentru evoluția la scală largă a

Universului FRW cu curbură negativă și constantă cosmologică, dominat doar de praf,

soluția este descrisă de funcția Heun biconfluentă. Aceasta are un caracter oscilant, cu

maxime separate de minime nule, corespunzând unor Universuri interzise.

Într-o abordare originală, se face o comparație cu situația unui Univers

spațial-plat, dominat de radiație și praf cosmologic, pentru care se obțin, în cadrul

analizei ecuațiilor Friedmann și WDW, funcții eliptice și funcții Heun. Valoarea

absolută a funcției de undă pornește de la o valoare nulă, crescând către o valoare

maximă (determinată de constanta cosmologică), ce caracterizează o probabilitate

maximă de apariție a Universului. Apoi, pe măsura creșterii factorului de scală,

valoarea absolută a funcției de undă capătă un caracter oscilant, cu valori maxime,

separate (spre deosebire de cazul menționat anterior) de minime nenule.

Publicații științifice și Conferințe în domeniul tezei

I. Lucrări publicate în reviste cotate ISI

1. Stationary Solutions to Kompaneets Equation for Relativistic

Processes in Astrophysical Objects

Marina–Aura Dariescu, Denisa Mihu, Ciprian Dariescu

Romanian Journal o f Physics, 59, Nr. 3-4, p. 224–232 (2014)

2. Tunneling of Relativistic Bosons induced by Magnetic Fields in

Magnetar’s Crust

Marina–Aura Dariescu, Ciprian Dariescu, Denisa Mihu

Chinese Physics Letters, 32, Nr. 10, 101101 (2015)

3. Magnetic fields of quantum origin in magnetars' crust

Marina–Aura Dariescu, Ciprian Dariescu, Denisa Mihu

Proceedings of the Romanian Academy, Seria A, 17, Nr. 2,

p. 126–132 (2016)

4. Spatially – Flat Robertson – Walker Models with combined CDMand stiff matter sources and the corresponding thermodynamics

Marina–Aura Dariescu, Denisa–Andreea Mihu, Ciprian Dariescu

Romanian Journal o f Physics, 62, Nr. 1-2, 101 (2017)

5. Elliptic and Heun functions in spatially-flat Friedmann Robertson –

Walker Cosmologies

Denisa–Andreea Mihu

Romanian Journal o f Physics 63, 108 (2018).

Total Factor de Impact ( FI ) – 3.484

Total Scor de Influență (AIS) – 1.067

II. Lucrări publicate în reviste B+

1. On the Quantum Tunneling phenomena in Magnetar’s Crust

Marina–Aura Dariescu, Denisa Mihu

Buletinul Institutului Politehnic din Iași, Secția Matematică. Mecanică

Teoretică. Fizică, tom LXI (LXV), fasc. 2, p. 97–106 (2015)

2. An Analytical Approach to the Kompaneets equation in Highly

Magnetized Neutron Stars Magnetosphere

Denisa A. Mihu, Aura Dariescu, Ciprian Dariescu

Buletinul Institutului Politehnic Iași, Secția Matematică.

Mecanică Teoretică. Fizică, LIX (LXIII), fasc. 3, p. 61–66 (2013)

II. Lucrări prezentate la Conferințe Internaționale

1. Mathieu functions describing particles in electromagnetic waves

Denisa–Andreea Mihu, Marina–Aura Dariescu

Conferința de Fizică TIM, 25- 27 Mai 2017, Timișoara, România

(prezentare orală). AIP Conference Proceedings 1916, 020006-1 (2017)

2. Parametric induced instabilities of magnetars crust

Marina–Aura Dariescu, Denisa–Andreea Mihu, Ciprian Dariescu

Conferința Științifică Internațională “Mathematical Modelling

Processes and Systems”, 13- 16 Decembrie 2017, Borovets,

Bulgaria (prezentare orală).

Conference Proceedings, ISSN 2535-0978, pgs. 16-20.

III. Citări

1. Tunneling of Relativistic Bosons induced by Magnetic Fields in

Magnetar’s Crust, M. A. Dariescu, C. Dariescu, D. A. Mihu,

Chinese Physics Letters, 32, Nr. 10, p. 101101–101104 (2015)

este citată în: Dirac equation with some time-dependent electromagnetic

terms, K. Saeedi, S. Zarrinkamar, H. Hassanabadi, Modern Physics

Letters A, 31, Nr. 23, p. 1650132–1650138 (2016)

2. Stationary Solutions to Kompaneets Equation for Relativistic

Processes in Astrophysical Objects,

M. A. Dariescu, D. Mihu, C. Dariescu,

Rom. Journ. Physics, 59, Nr. 3-4, p. 224–232 (2014)

este citată în: Resonant frequencies of the hydrodynamic vortex,

H. S. Vieira, International J. of Mod. Phys. D, 26, Nr. 04, p. 1750035–

1750043 (2017)

3. Dynamical fluid-type Universe scenario with dust and radiation,

Denisa–Andreea Mihu, preprint arXiv:1609.00589, (2016)

este citată în:

Mimetic gravity: a review of recent developments and applications to

cosmology and astrophysics, Lorenzo Sebastiani et al., Advances in

High Energy Physics, Article ID 3156915, 43 pag. (2017)

Recovering a MOND-like acceleration law in mimetic gravity, Sunny

Vagnozzi, Classical and Quantum Gravity, 34, Nr. 18, p. 185006–

185020 (2017)

Stagii de perfecționare

PhD Training School in High Energy Physics – organizată de CERN - SEENET- MTP

– “Modern Aspects in Quantum Field Theory”, București, 08– 14 Noiembrie, 2015

PhD Training Program in High Energy Physics organizată de CERN - SEENET- MTP

– “Computational Methods in Cosmology and General Relativity”, Timișoara, 11– 17

Decembrie, 2016

Membru în Grant de cercetare

Membru în proiectul de cercetare PN-III-P4-ID-PCE-2016-0131, cu titlul Functii

Mathieu și Heun în teoria câmpurilor cuantice, acronim MHFQFD. Perioada

septembrie 2017 – iunie 2018.