fizica upb curs

Upload: patrick-waitforit-lupu

Post on 08-Jul-2015

4.483 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

IX. NOIUNI DE FIZICA MATERIEI CONDENSATE IX.1. Cristale. Clasificarea cristalelor dup structura cristalin Atomiiimoleculelepotformanfunciedefactoriiinterni(cumsunt natura i mrimea forelor de interacie etc.) i externi (temperatura, presiunea etc.) corpuri aflate n cinci stri de agregare: solid, lichid, gazoas, plasm i materie n stare hiperdens (guri negre). Corpurile n stare solid dup gradul de ordonare a particulelor constitutive pot fi n trei stri structurale: cristalin, mezomorf i amorf. Stareacristalinsecaracterizeazprindistribuiaordonataparticulelor constitutive, prin existena unei simetrii interne i a unei simetrii extene. Uncristalsecaracterizeazprinaezareaordonataatomilor,ionilorsau moleculelor n nodurile unei reele geometrice tridimensionale.Celulaunitarsaucelulaelementarestedefinitdetreivectori necoplanarib , a i, se numesc vectori de baz i fac ntre ei unghiurile o, |, determinnd un paralelipiped.cReeauacristalinseobineprinrepetareaceluleielementarenaceiai orientare,pedireciiledatedeb , aic.Reeauareprezinttotalitatea punctelor din spaiu ai cror vectori de poziie sunt: c n b n a n Rn3 2 1+ + = (IX.1.1) unde n1, n2 i n3 eZ. Bazareprezinttotalitateaatomilor(ionilorsaumoleculelor)ataaintr-o 267268aceiaiorientareunuinodalreelei.Numruldeatomidinbazeste minimumunucalacristalelemetalice,iarlastructurilebiochimicepot depi o mie. Reeauacristalinplusobazdeatomiataatfiecruinodformeaz structura cristalin. Simetriacristalelorsecaracterizeazprinexistenaelementelori operaiilor de simetrie. Elementele de simetrie sunt elemente geometrice - puncte, axe, plane - fa de care se efectueaz operaiile de simetrie. Operaiadesimetrieesteotransformarenurmacreiacristalulrmne invariant. Operaiiledesimetriepotfi:simpleicomplexe.Principaleleoperaiide simetrie sunt: identitatea, translaia, rotaia i reflexia (vezi: I. I. Sirotin, M. P. Saskololskaia, Fizica cristalelor, E. S. E. , Bucureti, 1981). Princombinareaoperaiilorsimpleseobinoperaiidesimetriecomplexe: translaie reflexie, rotaie reflexie, translaie rotaie, etc. Operaiile de simetriecorespundurmtoareleelementedesimetrie:axederotaie,axede simetrie complexe, axe elicoidale, plane de simetrie i de translaie. Unsolidesteunmonocristaldacsolidulpoatefireprodusnntregime prinrepetareaceluleielementare.Dacperiodicitateaesterespectatpe poriuni,atuncisolidulesteunamestecdemonocristale,adicesteun policristal. n starea amorf particulelor constitutive se gsesc n stare dezordonat, nu existrelaiideorientare,simetrieiperiodicitate(periodicitateanueste respectat sau este respectat doar la nivelul celulei elementare).Corpurile amorfe sunt izotrope. Starea mezomorf este intermediar ntre starea cristalin i cea amorf. n aceastcategorieintrcristalelelichide.Acesteasuntsubstaneorganicecu greutate molecular mare, avnd moleculele alungite. Substanele ce trec n faza de cristal lichid prin modificarea concentraie lor dinsoluiesenumesccristalelichideliotrope.Suntimportantedatorit rolului pe care l au n sistemele biologice. Substanele ce trec n faza de cristal lichid prin modificarea temperaturii se numesccristalelichidetermotrope.Suntimportantedatoritaplicaiilor tehnologiceidinpunctdevederealcercetrilorfundametale.Clasificarea cristalelorlichidetermotropeafostfcutdeG.Friedelpebazasimetria structurii lor. Astfel exist trei clase mari de cristale lichide: cristalele lichide nematice, cristalele lichide colesterice i cristalele lichide smectice.

a)b)c)Fig. IX.1 Cristalelelichidenematice,fig.IX.1.(a),secaracterizeazprintr-o orientareorientaionallamaredistan,caresetraduceprinfaptulcaxele lungi ale moleculelor tind s se alinieze de-a lungul unei direcii prefereniale. Cristalelelichidecolesterice,fig.IX.1.(b),auordonareaorientaionala axelorlungialemoleculeloriacentrilordemasasemntoarecuceaa cristalelorlichidenematice,dardiferprinstructuradeechilibru. 269Configuraiadeechilibruesteasemntoarecuceaobinutprinrotirea uniformnjurulaxeOzaunuinematicceiniialafostaliniatuniformn jurul unei axe prefereniale situat ntr-un plan normal pe axa Oz. Lacristalelelichidesmectice,fig.IX.1.(c),centreledeinerieale moleculelorsegsescnplaneechidistante,iaraxelelungialemoleculelor sunt paralele avnd direcia normal sau nclinat fa de planul straturilor. IX.2. Tipuri fundamentale de reele cristalografice Un tip de reea cristalografic corespunde unui anumit grup de operaii de simetrie. Principale tipurile de reele se numesc reele Bravais. Aceste sunt:*)reeleBravaissimplececoninunsingurnoddinreeauacristalin,se numesc reele primitive - fiind celule elementare cu volum minim. Pornind de la un singur nod al reelei se poate obine tot cristalul;*)reelecubaz-posedmaimuliatomipecelul.nacestcazreeaua cristalin nu se poate obine pornind de la un singur nod al ei. 270Oreeabidimensionalestecarcterizatprintreipararmetri:doivectorii fundamentaliia biunghiul dintreei.Mrimileaibsenumesc constantele reelei pe direciile respective. Exist5tipuridereeleBravaisbidimensionalegrupaten4sisteme cristalografice, tabelul 1. O reea tridimensional este caracterizat prin ase pararmetri: trei vectorii fundamentali,ab,necoplanariiunghiurileo,|,dintreei.Mrimileca,b,c se numesc constantele reelei pe direciile respective. Tabelul 1 SistemulCaracteristici Forma celulei elementare Reeaua oblica=b090 = paralelogramoblic a=b090 = dreptunghidreptunghiular primitiv dreptunghiular a=b090 = dreptunghidreptunghiular central ptratica=b090 = ptratptratic hexagonala=b 0120 = romb de 600hexagonal Exist14tipuridereeleBravaistridimensionalegrupaten7sisteme cristalografice, tabelul 2. Tabelul 2 Sistemul Caracteristici Numrulreelelorn sistem Simbolultriclinicc b a = = ; | o = = 1P monoclinic c b a = = ;| o = = =0902P, C ortorombic (rombic) c b a = = ; 090 = = = | o4P, C, I, F tetragonal c b a = = ; 090 = = = | o2P, I cubic c b a = = ; 090 = = = | o3P, I, F trigonal (romboedric)c b a = = ; 0 090 120 = < = = | o1R hexagonal c b a = = ;, 090 = = | o 0120 = 1P ntabelul2s-anotat:P=celulsimpl.C=celulcubazcentrat,I= celul cu volum centrat, F = celul cu fee centrate, iar cu R celula primitiv din sistemul trigonal ce este un romboedru. IX.3. Direcii i plane cristaline 271O direcie cristalin este determinat de dreapta ce conine cel puin dou noduri ale reelei cristaline. 272| Direciecristalinestedefinitprinindiciintregi| ,astfelca vectoruldepoziiealnoduluicelmaiapropiat,situatpedireciarespectiv, fadeunaltnodluatcaoriginesfiedatderelaia(IX.1.1).Tripletulde numere n1, n2, n3 sunt numere prime ntre ele. 3 2 1n n nExemplu: pentru sistemul cubic, nodul de coordonate) 4 , 2 , 2 ( ) 4 , 2 , 2 ( se gsete pe direcia| | 2 11f de axele cubice (s-a obinut n urma simplificrii cu 2). Direciile echivalente din reeaua cristalin se notaz> (VIII.3.20) unde. 71 2, e =Din relaiile (VIII.3.17) i (VIII.3.20) se obine: 1 220> ) E U ( mLp(VIII.3.21) Relaia(VIII.3.21),pentrumicroparticule,estesatisfacutpentruvaloriale lui i E de ordinul eV i pentru lrgimi de bariera de aproximativ.0U060 AEfectul tunel nu poate fi explicat n cadrul fizicii clasice. Din punct de vedere clasic ar trebui s admitem c particula s-a gsit n interiorul barierei, timp n care impulsul a fost imaginar, ceea ce evident nu este posibil. nsi prezena constanteinformulacoeficientuluidetransmisiepuneneviden caracterul cuantic al efectului. n condiiile n care este neglijabil 0 ~ Ti se obine rezultatul din mecanica clasic.Relaia (VIII.3.3) exprim energia total a particulei, este o expresie clasic iaratposibilitateamsurriisimultaneaenergieicineticeipoteniale.n mecanica cuantic aceste mrimi nu sunt simultan msurabile.Sadmitemcparticulasegseteninteriorulbariereidepotenialiare energia.Aceastafirmaieestelegatdemsurareacoordonateide 0U E 022A)(VIII.3.24) Relaia(VIII.3.24)aratcnedeterminareaceaparenprivinamsurrii energieicineticepentruparticulaaflatninteriorulbariereiestemaimare dectdiferena,adicmaimaredectnsienergiacinetic.Deci, energiacineticipotenialnmecanicacuanticnupotfimsurate simultan.E U 0 VIII.3.2. Particula legat VIII.3.2.1. Particula n groapa de potenial nnumeroasecazuripracticeaproximaiauneiparticuleceseaflntr-o groap de potenial i gsete aplicaii. Dintre acestea menionm: electronii n metal, particulele alfa din nucleu etc. Fie o particul, ce se gsete ntr-o groap de potenialdelrgimeLcupereiinfinii,fig.VIII.3, de forma: s s> < =L xL x ; x) x ( U0 00 (VIII.3.25) 228Fig.VIII.3 Deoarecepentru0 < x iL x > , = ) x ( U ,conform proprietii(10)aecuaieiSchrdinger,0 = =III I ,02 2= =III I i deciparticulanupoateprsigroapadepotenial.nregiuneaIIecuaia Schrdinger este de forma: 022 22= +IIpIIEmx dd(VIII.3.26) Notm: 222k Emp= (VIII.3.27) iar ecuaia (VIII.3.26), devine: 0222= +IIIIkx dd(VIII.3.28) Ecuaia (VIII.3.28) are soluia general de forma: kx cos B kx sin AII+ = (VIII.3.29) Condiiile de continuitate pentru funciile de und sunt: ==) L ( ) L () ( ) (III IIII I 0 0(VIII.3.30) Din aceste condiii innd cont c0 = =III I se obine: 0 = Bi( ) 0 = L k sin A (VIII.3.31) Relaia a II-a din (VIII.3.31) este satisfcut dac: Lnkt= (VIII.3.32) unde,iintroducndnrelaia(VIII.3.27)seobinepentru energie , , , n 3 2 1 = 22 222 22 2 L mnmkEp pnt = = (VIII.3.33) 229i deci energia este cuantificat. Seobservcpentruvalorimarialelrgimiigropiidepotenialnivelele energeticesuntfoarteapropiate.Pentruvalorimicialelrgimiigropiide potenial de ordinul 0A, nivelele energetice sunt separate apreciabil. Funciile de und date de relaia (VIII.3.29) sunt de forma: |.|

\|= xLnsin Ant (VIII.3.34) Din condiia de normare: 102=}Lndx (VIII.3.35) unde n este dat de relaia (VIII.3.34) se obine: LA2= (VIII.3.36) iar relaia (VIII.3.34) devine: s s|.|

\|=rest n ,L x , xLnsinLn002 t+ (VIII.3.37) relaia care descrie unde staionare. Lungimile de und corespunztoare diferitelor moduri de oscilaie, sunt nLn2= (VIII.3.38) Funciiledeundnpermitssedetermine probabilitateadelocalizareaparticulein groapa de potenial dat de: 22 2|.|

\|= xLnsinLnt(VIII.3.39) care este reprezentat grafic n fig. VIII.4.230Fig. VIII.4 Seobservcpemsurcencretemaximele lui 2n seapropie,astfelnctpentru n ,adicpentruenergiimariale particulei,aceastasepoateaflanoricepunctngroapadepotenial obinndu-se repartiia pentru particula macroscopic. VIII.3.3. Aplicaii Efectul tunel este important n explicarea unor fenomene cum ar fi: emisia autoelectronic, radioactivitatea alfa, efectul Josephson etc. VIII.3.3.1. Emisia autoelectronic Emisiaautoelectronicesteemisiadeelectronidinmetalesubaciunea cmpurilorelectriceexterioarelatemperaturiorictdejoase.Aparecndpe un metal se aplic un cmp electric foarte puternic de (1081010) V/m.Deoarece fenomenul poate fi observat la orice temperatur se mai numete i emisielarece;curentulelectricastfelobinutsenumetecurent autoelectronic. Fenomenulseexplicadmindcpentruelectronimetalulpoatefi considerat ca o groap de potenial cu perei finii, care sub aciunea cmpului electric se transform ntr-o barier de potenial cu att mai puin nalt cu ct cmpulelectricestemaiintens,iarelectroniiiesdinmetalprinefecttunel. Foraceacioneazasupraelectronului,fig.VIII.5,esteformatdinfora electric i fora imagine: 24 xeE e Fc t =20 unde:e=sarcinaelectronului;c0= permitivitateavidului;E=intensitatea 231cmpuluielectric;iarx=distanadintresarcinaelectronuluiisarcina imagine.Energia potenial, este xex e U ) x ( U0204Ec t =(VIII.3.41) undeU0esteenergiapotenialnabsenaFig. VIII.5 cmpului electric.Variaiaenergiepotenialeesteceadinfig.VIII.5.Seobservc( ) x Uprezint un maxim. Acesta se obine din condiia: 00=||.|

\|=x xxUcc(VIII.3.42) i este Eex0021c t= (VIII.3.43) Introducnd pe x0 n relaia (VIII.3.41) se obine: 030 0c tE eU ) x ( U Umax = = (VIII.3.44) Deci,nprezenacmpuluielectricnlimeapereteluigropiidepoteniala cobort cu 03c tE e. A. Tratarea clasicElectronii din metal care au energia maxU E 232 030Ec teW W = (VIII.3.45) unde W0 este lucrul de extracie n absena cmpului electric. Valoarea minim a cmpului electric aplicat se obine pentru0 = W . n acest caz intensitatea cmpului electric aplicat este 3020mineWEc t= (VIII.3.46) Pentru wolfram se obine. Experimental apar cureni inteni chiar pentru i deci efectul nu poate fi explicat clasic.m / V E1010 2 ~m / V E810 2 ~ B. Tratarea cuantic ntr-oprimaproximaieputemneglijaforaimagine;inndseamade aceastaseobineunrezultatmaiprecis,dar calculelesuntmaicomplicate.Variaiaenergiei poteniale( ) x Ux eEnacestcazestedeforma U ) x ( U0 = ,undenlimeabarieriide potenial (fig. VIII.6).0UVom considera c electronul are energia 0U E < ,Fig. VIII.6 iar probabilitatea ca electronul s ias din metalul estedatdetransparenabarieriidepotenial(relaiaVIII.3.19).Lund ,ideoarecepen 01 = x tru 2x x = ,E x = E e U ) x ( U =2,seobine folosind relaia (VII0 2I.3.19): |.|

\| =(((

=E E 32 42300oexp . conste) E U ( mexp T Te(VIII.3.47) unde e) E U ( me 32 4230 = o . 233Dependenadeformaceleidatederelaia(VIII.3.47)afostgsit experimental pentru curentul autoelectronic. VIII.3.2.1.2. Radioactivitatea alfa Particulele alfa existente n nucleele grele se comport ca ntr-o groap de potenialcupereinclinai.Probabilitateacaparticulelealfasprseasc nucleul se poate evalua folosind rezultatele obinute la efectul tunel. VIII.3.3.2. Efectul Josephson EfectulJosephsonconstnapariiaunuicurentelectricntr-unmaterial supraconductorseparatndouregiunideunstratizolatorfoartesubire. Efectulsedatoretetreceriiperechilordeelectronisupraconductori(perechi Cooper) dintr-o regiune n alta prin efect tunel. VIII.4. Micarea n cmp central Micareauneiparticulencmpdeforecentralesereferlamicarea electronului n jurul nucleului, i explic toate inconsistentele teoriei lui Bohr. Matematicmicareancmpcentralreprezintogeneralizareamicarii planetelornjurulSoareluicesefacenconformitateculegilemecanicii clasice(problemaluiKepler).Micareancmpcentralpoatefifolositla studiuloricruiprocesdeinteraciedintredouparticulencrcateavnd sarcini de acelai semn sau de semn contrar.EcuaiaatemporalSchrdingerpentrustristaionarereferitoarela micarea n cmp central de fore este de forma | | 0222= + V ) r ( U Emp(VIII.4.1) 234unde:=energiapotenialaaparticulei;rdistanadintrecentrulde fore i particul.( ) r Uinndcontdesimetrialui( ) r U rezolvareaecuaiei(VIII.4.1)sevafacen acest caz n coordonate sferice r, 0 i .Se arat c funcia de und a electronului ce descrie starea electronului n atom este caracterizat de patru numere cuantice: n numrul cuantic principal, determin energia electronului, i ia valorile 1,2,3, .; lnumrulcuanticorbital;determinvalorilepropriialeptratului momentului cinetic, 2M , i ia valorile 0,1,2, , n-1; mnumrulcuanticmagnetic;determinvalorilepropriialelui zM , proiecia momentului cinetic pe axa zO , i ia valorilel , , 2 , 1 , 0 ; msnumrulcuanticmagneticdespin,determinvalorilepropriialelui sz, a proiecie spinului pe axa zO , i ia valorile 21(adic dou valori). Spinulsedatoretefaptuluicelectronulareunmomentcineticpropiu numit moment cinetic de spin, de mrime 2si de componente xs , i yszs .Spinulesteoproprietatefundamentalnunumaiaelectronuluidaria multoraltorparticuleelementare.nafaraparticulelorcuspinsemintreg existiparticulecuspinntreg,deexemplufotonulalcruispineste1.n cazulsistemelorformatedinmaimulteparticulespinulrezultantpoatefi ntreg sau semintreg. 235VIII.5. Sisteme de particule identice Particuleleidentice,deexempluelectronii,suntparticuleleceauaceleai proprietifizice:mas,sarcinispinicareipierd"individualitatea"n mecanica cuantic. nmecanicacuanticdupcumsaartatconformprincipiuluide nedeterminarenoiuneadetraiectorieipierdesensul.Deci,nuexistn principiuposibilitateadeaurmriindividualfiecareparticulidentic. Identitateaparticulelornmecanicacuanticdupproprietilelorfiziceare unsensprofund,eaducelaidentitateacompletalor,laindiscernabilitate acestora. VIII.5.1. Funcii de und simetrice i antisimetrice 236)Vomconsiderapentrunceputunsistemdedouparticuleidentice. Datoritidentitiiacestoraprinpermutarealorstrilesistemuluiceseobin trebuisfieechivalentefizic.Dinpunctdevederealfuncieideund+ce descriestareasistemuluiaceastapoatevarianumaicuunfactordefaz ( o i exp , unde o este o constant real.Fie+(q1,q2)funciadeundcedescriesistemulundeq1iq2reprezint ansamblulcoordonatelordepoziie i a proieciei spinului pentru fiecare din particule. Dup o permutare funcia de und a sistemului este ( ) ( ) ) i ( exp q , q q , q o + +2 112 1= (VIII.5.1) iar dup o nou permutare funcia de und a sistemului este ( ) ( ) ) i ( exp q , q q , q o + + 22 122 1= (VIII.5.2) iar sistemul ajunge din nou n starea iniiala, deci: ( ) ( )2 122 1q , q q , q + + = (VIII.5.3) de unde: ( ) 1 2 = o i expsau( ) 1 2 = o i exp (VIII.5.4) i deci exist dou posibiliti: 1)pentrusemnului(+)funciadeundnuseschimbprinpermutarea particulelor, este o funcie de und simetric; 2)pentrusemnului()funciadeundseschimbprinpermutarea particulelor, este o funcie de und antisimetric . Dacdouparticuledintr-unsistemdeparticuleidenticesuntdescrisede exempluprinfunciisimetrice,atunciacestlucruestevalabilpentruoricare alt pereche de particule din sistem ntruct sistemul este format din particule identice. Deci:ntr-un sistem de particule identice cnd se permut dou particule funcia deundasistemuluiorinu-ischimbsemnulesteofunciedeund simetric, ori i schimb semnul este o funcie de und antisimetric.Particulele descrise de funcii de und simetrice se numesc bosoni (fotoni, fononietc.),auspinulzerosauntregisesupunstatisticiBose-Einstein. Celedescrisedefunciideundantisimetricesenumescfermioni(electroni etc.), au spinul semintreg i se supun statistici Fermi-Dirac. VIII.5.2. Funcia de und total a unui sistem cuantic FieunsistemcuanticalctuitdinNparticuleidenticeacrorinteracieo putemneglija,ifie+(q1),+(q2),...,+(qN)funciiledeund corespunztoarediferitelorstristaionarencaresepoateaflafiecare particul separat, iar f1, f2, ... , fN sunt strile cuantice posibile. Vom determina forma funcie de und total +(q1,q2,,qN) a sistemului ca ntreg format din toate funciile +(q1), +(q2), ... , +(qN). Pentruunsistemdebosonifunciadeundtotal+(q1,q2,...,qN)se exprim prin suma unor produse de tipul: ) ( ... ) ( ) (2 12 1N f f fq q qN+ + + (VIII.5.5) 237cu toate permutrile posibile ale indicilor f1, f2, ... , fN; deci ea este de forma: =NNf f fN f f f Nq q q q q q,..., ,2 1 2 12 12 1) ( ... ) ( ) ( ) , ... , , ( + + + + (VIII.5.6) este o funcie de und simetric.Pentru un sistem de fermioni funcia de und total) , ... , , (2 1 Nq q q +poate fi exprimat printr-un determinant de forma: ( )) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ... ) ( ) (!1,..., ,2 12 12 12 12 2 21 1 1N f f fN f f fN f f fNq q qq q qq q qNq q qN N N+ + ++ + ++ + ++= (VIII.5.7) numit determinant Slater; factorul !1N apare din condiia de normare. Permutareaadouparticulecorespundepermutriiadoucoloaneale determinantuluiiarecarezultatschimbareasemnuluiacestuia,deciia semnului funciei de und totale. n concluzie o funcie de und ce se exprim printr-o relaie de forma (VIII.5.7) este o funcie de und antisimetric. VIII.5.3. Principiul identitii microparticulelor Pentruunanumitsistemdeparticuleidenticefunciiledeundprezint aceeai simetrie. Dac acesta nu s-ar realiza atunci starea sistemului format dintr-o suprapunere de funcii de und simetrice i antisimetrice nu ar fi nici simetric nici antisimetric ceea ce dup cum am vzut nu este posibil (vezi VIII.5.1). Deci, se poate afirma: Pentruunsistemcuanticdeparticuleidenticesuntrealizabileacelestari ce sunt descrise fie de funcii de und simetrice, fie antisimetrice.238Acesta este principiul identitii microparticulelor care se formuleaz astfel: n sisteme de particule cuantice identice se realizeaz acele stari ale cror densiti de probabilitate nu se schimb prin permutarea a dou particule. VIII.5.4. Principiul de excluziune Pauli Dac n relaia (VIII.5.7) dou linii ale determinantului sunt identice, adic douparticulealesistemuluicuanticsegsescnaceaistarecuantic, valoareadeterminantuluiestenul,0 + ,iarodatcuaceastai02 + , adic probabilitatea de realizare a strii este zero. Deci: ntr-unsistemdefermioniidenticinaceaistarenusepotaflasimultan dou (sau mai multe) particule.Aceasta este formularea cuantic a principiului lui Pauli.Fermioniipotocupaniveleleenergeticerespectndprincipiulde excluziunePauli,iarbosoniiocupniveleleenergeticefr s respecte acest principiu. VIII.5.5. Tabelul periodic al elementelor PrincipiulluiPaulistlabazastabiliriiconfiguraieinveliuluielectronic alatomilor.Stareacuanticaunuielectronestedeterminatdenumerele cuanticen,l,m,msiarniveleleenergeticeseocupcuelectroniconform principiul lui Pauli. Dup valorile pe care le poate lua n strile electronilor n atom se noteaz cu1,2,3,...,iardupvalorilepecareleialstrilesenotezconform conveniei din tabelul 1. Astfel, starea cu1 = ni0 = lse noteaz 1s; starea cu i2 = n 0 = lse noteaz cu 2s etc. 239Tabelul 1 l012345... stareaspdfgh... Graduldedegenerareauneistridefinitdenumrulcuanticleste ) 1 2 ( 2 + ldeoarece numrul cuantic m poate lua1 2 + lvalori, iar 2 apare lund n considerare i spinul electronului. Numrul total de electroni ce au acelai numr cuantic n, au aceai energie i se gsesc pe acelai nivel energetic (ptur sau orbit), este dat de relaia: (VIII.5.8) 2102 ) 1 2 ( 2 n l Nnl= + ==iar nivele energetice se noteaz ca n tabelul 2. Tabelul 2 n123456... denumirea nivelului energetic KLMNOP... numrul de electroni2818325072... Astfel, numrul de electroni ce corespunde strii s este de 2 electroni, strii p este de 6 electroni, strii d este de 10 electroni etc.n tabelul 3 sunt prezentate valorile numerelor cuantice ale electronilor situai pe nivelele energetice K i L.Niveleleenergeticesepopuleazastfelnctenergiasistemuluisfie minim.Dinaceastcauzaacumrezultdinexaminareasistemului periodicalelementelor,populareaniveleleenergeticesefacelsndlibere unele nivele interne la elementele de tranziie. Tabelul 3 Numrul 240Nivelul energetic nlmmstotal de electroni 100+1/22K 100-1/2 200+1/2 200-1/2 21-1+1/2 21-1-1/2 210+1/2 210-1/2 21+1+1/2 L 21+1-1/2 8 Exemplu:ntructnivelul3dareenergiamaimaredectnivelul4sse completezntinivelul4siapoinivelul3d.Astfelelementelepotasiu(K) cuZ*)=19icalciu(Ca)cu20 = Z auconfiguraiaelectronic 1s22s2p63s2p64s1irespectiv1s22s2p63s2p64s2,iarlascandiu(Sc)cu21 = Zncepesfiecompletatinivelul3d,configuraiaelectronicfiind: 1s22s2p63s2p6d14s2.Elementeleceauultimaptur(ssaup)completocupatdeelectroni,2 electroni la He, sau 8 electroni la cellalte gaze inerte, sunt stabile din punct de vedere chimic.ntabelul4esteprezentatconfiguraianivelelorenereticepentruprimele 10elementechimice(untabelcompletesteprezentatnt.Muscalu,Fizica atomic, Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1980).

*)Zestenumrulatomic,numruldeordinealuneielementdinsistemulperiodicalelementelor,egalcu numrul de electroni din atom i cu cel de protoni din nucleu. 241242Tabelul 4 Notarea striilor1s 2s2p3s3p3d4s4p4d4f Numrul maxim de electroni 2 2 6 2610 2 610 14 ZElementul 1 2 H He 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Li Be B C N O F Ne 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 21 22 23 24 25 26 ntrevaleninumruldeelectronidepeultimulnivelenergeticesteo strnslegtur.Valenaesteegalcunumruldeelectronisaucu8minus acestnumr.Excepiefacmetaleledetranziie unde la comportarea chimic particip i electronii de pe ultima ptur d. VIII.5.6. Statistici cuantice Fizicastatisticstudiazproprietilefizicealesistemelormacroscopice porninddeladateleteoreticeiexperimentaleprivindparticulelecare compun aceste sisteme. Fizica statistic ine seama de faptul c sistemele sunt compusedintr-unnumrfoartemaredeparticule-atomi,ioni,moleculeetc. Alegereacomponenilorelementariaiunuisistemdepindedecondiiile macroscopice n care se afla sistemul respectiv i de scopul urmrit.Fizica statistic poate fi tratata clasic sau cuantic. ntre statistice clasice i cele cuantice exist deosebiri principiale deoarece mecanica cuantic este ea nsioteoriestatistic.ndescriereaunuisistemcuanticformatdinN particuleconsideratecaindiscernabile(lascaraatomic)teoriastatistic folositsesuprapunepestestatisticapropriemicroparticulelorcareexprim caracterul cuantic al micrii lor. Deci teoria statisticilor cuantice este o teorie "de doua ori" statistic. VII.5.6.1. Particularitile statisticilor cuantice 1) Elementul de volum din spaiul fazelor: N Ndp dp dp dq dq dq d 2 1 2 1 = O (VIII.5.9) n fizica statistic clasic poate fi fcut orict de mic.ncazulunuisistemcuanticvolumuluielementardinspaiulfazelorareo valoarecarenupoatefifcutorictdemic.Dacfestenumrulgradelor de libertate al sistemului volumul elementar din spaiul fazelor, innd cont de relaialuiHeisenberg(VIII.2.47)iderelaia(VIII.5.9),estedeordinulhfN, deci este finit.2)Sistemelorcuanticelesuntpropriispectrediscretepentruvalorile energiei,iarprobabilitateaderealizareauneistricuanticevaaveaun caracterdiscretivareprezentaprobabilitateafinitdelocalizarea microparticulelor ntr-o celul din spaiul fazelor.3)Dinprincipiulidentitiimicroparticuleloraurezultdoutipuride particule identice - fermioni i bosoni, ce le corespund dou tipuri de statistici cuantice:a)pentrufermioni-statisticaFermi-Dirac;b)pentrubosoni- statistica Bose-Einstein. VIII.5.6.1. Statistica Fermi-Dirac Pentrufermioni,conformprincipiuluideexcluziunePaulinfiecarestare cuantic se poate gsi cel mult un fermion. Numrul mediu de particule este 243 1 exp1+||.|

\| =T kENBFD(VIII.5.10) relaie ce reprezint statistica Fermi-Dirac, unde este potenialul chimic*).Numrul total de particule este dat de relaia: =FD iN k N (VII.5.11) unde ki reprezint gradul de degenerare al nivelului energetic Ei.LatemperaturaK T 0 = repartiiafermionilorpeniveleleenergeticeeste: a)nivelelepentrucare < E suntocupatedeoarece1 =FDN ;b)nivelele pentrucare > E suntliberedeoarece0 =FDN .Niveluldeenergiecare separ laK T 0 =nivelele ocupate de cele libere se numete nivel Fermi sau energia Fermi, i reprezint energia maxim laK T 0 = : FK TE = ==00 (VIII.5.12) La temperaturi nu prea mari, relaia (VIII.5.10) devine: 11+||.|

\| =T kE EexpNBFFD(VIII.5.13) Electroniiserepartizezpeniveleleenergeticeastfelnctenergiatotala sistemuluisfieminim.Eivorocupastrilencepndcuenergiaminim, 0 = E , pn la energia maxim, EF, deoarece conform cu principiul lui Pauli, peunnivelenergeticsepotaflacelmultdoielectroni.Deci,laK T 0 =electronii nu vor avea toi energia egal cu zero aa cum rezult din teorema echipartiiei energie din fizica clasic.

*) ja , SjjNE||.|

\|cc= ,( )244j jN , a , S E E = esteenergiasistemului;ajparametriidepoziie(parametrii externi:volum, intensitate cmp electric etc.); Nj numrul de particule de specia j. Dac atunci FE E =21= ) E ( NFD pentru orice temperatur. VIII.5.6.2. Statistica Bose-Einstein Pentrubosoninuexistrestriciicuprivirelanumruldeparticulecese pot gsi pe un nivel energetic. Numrul mediu de particule este 11||.|

\| =T kEexpNBiBE(VIII.5.14) relaie ce reprezint legea de distribuie Bose-Einstein. Numrul total de particule este dat de relaia: =BE iN k N VIII.5.6.3. Limita comun a ststisticilor cuantice Celedoutipuridestatisticicuanticeconincauncazlimitstatistica clasic. Dac condiiile fizice sunt de aa natur nct: 1 >>||.|

\|T kexpB(VII.5.15) ambele statisticii, relaiile (VII.5.10) i (VII.5.14), conduc la un numr mediu de particule: ||.|

\| =||.|

\| ~T kEexp . constT kEexp NB B(VII.5.16) regsindu-se statistica clasic Maxwell - Botzmann. 245Aceastaserealizeazlatemperaturinalteicndconcentraiadeparticule este mic. Se poate arta c pentru un sistem alctuit din particule identice se poatedefiniotemperaturcritic,numittemperaturdedegenerare,, astfel nct dac T este temperatura la care se gsete sistemul, cnd: a)u > T -sistemuldeparticulesatisfacestatisticaclasic-sistemulde particule se spune c este nedegenerat. Exemple de degenerescen cuantic: *) gazul electronilor liberi din metale ce satisface statistica Fermi-Dirac; *)gazulalctuitdinatomideheliu,nheliullichid,saudinfotonice satisface statistica Bose-Einstein. Pentruconcentraiitipicealeelectronilordinmetale,, 3 2810= m K ~ 16000 u .Aceastvaloarenupoatefiatinsdeoarecemetalulsetopete laotemperaturcumultmaijoas(wolframul,metalulcutemperaturade topire cea mai mare, are), i deci gazul electronic din metale este degenerat. K Tt3683 = VIII.5.6.4. Aplicaii ale statisticilor cuantice A. Formula lui Richardson pentru emisia termoelectronic Emisiatermoelectronicconstdinemisiadeelectronidectreuncorp metalic(catodsaufilamentnclzit)aflatlatemperaturridicat.Electronii dinmetalpotfiasimilaicaungaz.nteoriaclasicseprespunectoi electroniisegsescpenivelulenergeticcelmaisczut,iarformulalui Richardsonpentruemisiatermoelectronic,folosindfizicastatisticclasic, este ||.|

\| =T kLexp T C JB21(VIII.5.17) unde ||.|

\|=eBmkn e Ct 20cun0concentraiadeelectronidinmetal,iarL 246reprezent lucrul mecanic de extracie. Dinpunctdevederecuanticseconsidercelectroniidinmetalpotfi asimilaicafiindntr-ogropdepotenialavndadncimeaW,specific fiecruimetal.Electroniisuntfermioni,satisfacstatisticaFermi-Dirac,i ocup treptat strile energetice ncepnd cu energia minim,0 = E . Formula lui Richardson n acest caz este ||.|

\| =T kexp T A JB_2(VIII.5.18) unde 324hk e mAB e t= ,iar FE W = _ estelucruldeextraciesauenergiade extracie.Comparndrelaiaclasic(VIII.5.15)cuceacuantic(VIII.5.16)se observ: 1) n cazul cuantic dependena de temperatur este cu T2 n timp ce n cazul clasicdependena este cu T1/2, adic o cretere mai puternic a curentului cu temperaturancazulcuanticfadecazulclasic,faptconfirmatdedatele experimentale;2)ncazulcuanticlucruldeextracie,_,reprezintdiferenadintre adncimea gropii de potenial i nivelul Fermi, EF, n timp ce n cazul clasic reprezentaadncimeagropiidepotenialpentruelectroni.Acestadepinde slab de temperatur deoarece EF depinde slab de temperatur. B. Explicarea comportrii heliului la temperaturi joase Heliul are o structur simpl, stabil i simetric. Atomii de heliu nu aumomentelectricsaumagnetic.Datoritstructuriisale,cusimetriesferic pronunat, forele de interacie Van der Waals sunt foarte slabe.) He (42Heliul rmne lichid chiar la zero absolut dac presiunea este mai mic de 24725 atm. . Distanele de echilibru dintre atomii de heliu pentru heliu lichid sunt mai mari dect dimensiunile atomilor i ca urmare o serie de proprieti sunt mai apropiate de proprietile gazelor dect de cele ale lichidelor.Dateleexperimentaleprivindheliul,diagramadefazivariaiacldurii specifice cu temperatura, fig. VII.12 i fig. VII.13, pun n eviden:

Fig. VII.12 Fig. VII.13 1) absena punctului triplu;2)existenaadoufazeHeIiHeII.StudiileefectuatecurazeXi neutroni au artat c ambele faze corespund strii de lichid;3)la2,17Kcurbadevariaieaclduriispecificeprezintotransformare defazdespeaadouatransformarenumittranziiedatoritformei asemntoareculiteragreceasc;odatcucretereapresiuniiTse deplaseazintersectndliniasoliduslatemperaturade1,77K(vezifig. VII.12); 4)variaiavscozitiicutemperaturapentruHeIIaratcodatcu scdereatemperaturiiacestanuscadecalalichideleobinuitecirmne practic constant pn la temperatura de 2,6 K, avnd o valoare apropiat de ceaagazelorde310-5gcm-1s-1.npunctulTcurbadeirmnecontinu vscozitateaprezintoscdererapidcutemperaturaajungndla ( )1 1 11 9s cm g 10 10 ~ , fenomen care a fost numit suprafluiditate.ModeleleteoreticepentruinterpretareaproprietilorHeIIaulabazfaptul 248249catomiideheliusuntbosoni.Dupcums-aartatlatemperaturisub temperaturaT0,relaia(VII.7.37),gazuldebosonicondenseaz, realizeazndu-seoordonareaatomilordeheliu,faptcareconducela scderea entropiei i a cldurii specifice. DateleexperimentaleauevideniatscdereaentropieisubTfr modificareastructurii.CalculndtemperaturaT0seobine3,14Kvaloare apropiat de T. Abaterea a fost atribuit de London faptului c trecerea de la HeIlaHeIIesteotranziiedefazntredoufazelichideiarnacestcaz trebuieluatenconsiderareiforeledeinteraciunedintreatomiideheliu. Teoria lui London care ia n considerare i aceste fore explic destul de bine variaia parametrilor de stare dar nu i suprafluiditatea.Suprafluiditate a fost explicat (vezi: D. Balla, K. V. Deutsch, Introducere n fizica temperaturilor joase, Ed. Academiei, 1970) pe baza modelului celor dou fluide care conduce n cele mai multe cazuri la o soluie exact sau la ecuaii prea complicate care nu pot fi rezolvate exact. Condiiile care apar n problemeconsiderclatemperaturisubT0heliulesteformatdindou fluide:gazulBose-Einsteincondensatiheliunormal.Celedoufluide: componentanormaliceasuprafluidsuntamestecate,darcea suprafluid se presupune c nu particip la nici-un fenomen de disipaie. 49 VI. TEORIA ELECTROMAGNETICA A LUMINII VI.1. Unde electromagnetice VI.1.1. Domeniul undelor electromagnetice Frecvena(lungimeadeund)aundelorelectromagnetice(radiaiilor electromagnetice)variazntr-unintervalfoartelarg(vezitabelulI).Undele electromagneticepotficlasificaten:underadio(carecuprind:undelungi, medii, scurte i ultrascurte), radiaii infraroii, radiaii vizibile etc. . Tabelul 1 Denumirea radiaiei (undei) Frecvena radiaiei [Hz]Lungimea de und a radiaiei [m] unde lungi103104105103 unde medii104105103102 unde scurte10510610210 unde radio unde ultrascurte10610101010-1 raze infraroii1010101310-110-4 lumin vizibil1013101410-410-6 raze ultraviolete1014101610-610-8 raze X1016102010-810-12 raze gama1020102210-1210-14 Domeniile de frecvene ale undelor radio se studiaz n cadrul disciplinelor deculturtehnicgeneralidespecialitate.Domeniiledefrecven infrarou(I.R.),vizibil(V)iultraviolet(U.VI.)sestudiazncadrulopticii. RadiaiileXsestudiazncadrulfiziciiatomului,iarradiaiilegama()n cadrul fizicii nucleului. Surseledeundeelectromagneticecareemitndomeniulopticsebazeaz pe fenomenele de emisie spontan i de emisie stimulat de ctre atomi, ioni sau molecule. Acestea se clasific n: *) surse clasice: cu spectru continuu; cu spectrudelinii;*)lasericumediuactiv:*)solidsoliddielectric;*)cu gazatomici,ionici,moleculari,excimeri;*)culichidcuchelaiiai lantanidelor, cu colorani; *) cu semiconductori; etc. VI.2. Propagarea cmpului electromagnetic n medii izotropeVI.2.1. Ecuaiile de propagare a undelor electromagnetice Vom demonstra ca vectoriiE iH se propag sub forma de unde, i vom consideramediiliniare,omogene,izotropefarpolarizareimagnetizare permanent,lipsitededistribuiidesarcininedisipative.nacestcaz 0 = o ,0 = iar legile de material sunt: ===0 JH BE D c(VI.2.1) Ecuaiile lui Maxwell n acest caz se scriu sub forma: tHEcc = V (VI.2.2) tEHccc= V (VI.2.3) (VI.2.4)0 = VE(VI.2.5)0 = VHAplicnd relaiei (VI.2.2) operatorul rotor se obine: ( )||.|

\| V = V VtHEcc(VI.2.6) 50dar( ) ) E ( E E V V V = V V2iinndseamaderelaiile(VI.2.2)i (VI.2.4), relaia (VI.2.6) devine: 012222= VtEvEcc(VI.2.7) unde: c1= v (VI.2.8) este viteza de propagare a vectoruluiE. Analog se arta c: 012222= VtHvHcc(VI.2.9) Ecuaiileobinute,(VI.2.7)i(VI.2.9),suntformalidenticecuecuaiade propagare a undelor pentru medii nedisipative*). n vid viteza de propagare este: 0 001 c= v (VI.2.10) iinutcontc:iseobine ,valoarecarediferfoartepuindevitezaluminiinvid . m / F ,12010 854 8 = cs / m )810 00004 m / H7010 4 = t s / m v8010 3 ~, ( c 0 99778 2 = ,Concordanavalorilorobinutepentruvitezaundelorelectromagneticei vitezaluminiinvidafostunuldinargumentelenfavoareaipotezeinaturii electromagnetice a luminii.

*) Diferitele tipuri de unde care se propag ntr-un mediu omogen, izotrop, liniar, conservativ i nedisipativ verific ecuaia cu derivate pariale de tipul: 01222= t v c + cA+51ntr-un mediu oarecare caracterizat prin cr i r: nc c vvr r r r r r= ~ = = c c c c00 01 1(VI.2.11) unde r rvcn c = =se numete indice de refracie*). Relaiile(VI.2.7)(VI.2.10)aratcnmediileconsideratecmpul electromagneticsepropagcuvitezfinitaceastaconstituindunuldin rezultatelecelemaiimportantealeteorieielectromagnetismuluialui Maxwell-demonstraiainexisteneiuneivitezedepropagareinfinita interaciilor electrice respectiv magnetice. Pentrumediiliniare,omogene,izotrope,frpolarizaieimagnetizaie permanent,lipsitededistribuiidesarcini( 0 = )idisipative,urmndo cale analoag cu cea anterior se obin relaiile: 0222= VtEtEEcc ccc o (VI.2.12) 0222= VtHtHHcc ccc o (VI.2.13) pentruvectorulE-cmpelectric,irespectivpentruH-vectorulcmp magnetic. Ecuaiileobinute,(VI.2.12)i(VI.2.13),suntformalidenticecuecuaiade propagare a undelor pentru medii disipative. VI.2.2. Unda electromagnetic sferic i unda electromagnetic plan n conformitate cu teoria general a undelor ntr-un mediu omogen, izotrop i nedisipativ ecuaiile de propagare (VI.2.7) i (VI.2.9) pentru vectoriiE i

*) Deoarece c este viteza maxim n natur, atunci.1 n >52H admit ca soluie unda electromagnetic sferic**) de forma: ((

|.|

\| + +((

|.|

\| =((

|.|

\| + +((

|.|

\| =vrt gr vrt frHvrt gr vrt frE2 21 11 11 1 (VI.2.14) Uncazparticulardeundsfericesteundaarmonicsfericcarepentru unda direct este de forma: ((

|.|

\| =((

|.|

\| =vrt i exprBHvrt i exprAEee11(VI.2.15) unde i sunt dou constante. 1A1BCnddistanadelasursalapunctuldeobservaieestefoartemare,undele sferice sunt practic unde plane i sunt de forma: | || = =) r k t ( i exp B H) r k t ( i exp A E0 20 2 e e | (VI.2.16) undeisuntdouconstante, 2A 2Bvke=estevectoruldeundsaude propagare, iar 0 este faza iniial.Separnd partea temporal de cea spaial relaia (VI.2.16) se scrie:

**) Unda sferic este o und de forma: |.|

\| + + |.|

\| =vrt gr vrt fr 1 1+unde f i g sunt dou funcii arbitrare. Termenul corespunztor lui f se numete und direct ce se propag n sensul pozitiv al axei Ox, iar cel corespunztor lui g se numete und invers ce se propag n sensul negativ al axei Ox. 53 ==) t i ( exp ) r ( H H) t i ( exp ) r ( E Eee 00(VI.2.17) VI.2.3. Transversalitatea undelor electromagnetice Introducndsoluiiledeforma(VI.2.17)nrelaiile(VI.2.7)i(VI.2.9)se obine: (VI.2.18) = + V= + V002 22 2H k HE k E Relaiile(VI.2.18)reprezintecuaiileatemporalealeundelor electromagnetice. Aceste relaii sunt identic satisfcute dac: (VI.2.19) 2 2k = Vde unde: k i = V (VI.2.20) unde semnul () corespunde undei directe, iar semnul (+) undei inverse. Substituindvalorealuidatderelaia(VI.2.20)nrelaiile(VI.2.4)i (VI.2.5) se obine: V(VI.2.21) = = 00H k iE k i Relaiile (VI.2.21) arat: AttcmpulelectricE cticelmagnetic Hnfiecaremomentsunt perpendiculare pe direcia de propagare definit prin vectorul de propagare k. Din relaiile (VI.2.3), (VI.2.17) i (VI.2.20) pentru unda direct se obine: E H k e c = (VI.2.22) Notnd cu versorul direciei de propagare i innd cont c: n1(VI.2.23) nk k 1 =din relaia (VI.2.22) se obine: 54( ) ( ) (n n nH Z H HkE 1 1 1 = = =ce c)(VI.2.24) unde: rrrZ Z Z000= = =ccc(VI.2.25) esteimpedanaintrinsecamediului,Oc7 376000, Z = = esteimpedana intrinsec a vidului, iar Zr este impedana relativ a mediului. Relaiile(VI.2.21)i(VI.2.24)aratcvectoriiE,Hi,nmedii izotrope formeaz un triedru drept n aceast ordine. k1 VI.2.4. Intensitatea undei electrice i a undei magnetice Prin definiie intensitatea undei electrice respectiv a undei magnetice este: 2E E E I*E = =; 2H H H I*H = = (VI.2.26) Dar conform relaiei (VI.2.24): H Z E = (VI.2.27) iar relaia (VI.2.26) devine: (VI.2.28) H EI Z I 2=innd cont de expresile densitilor de energie electric i magnetic (vezi V.8, relaia V.8.15) relaia (VI.2.26) devine: ceEwI2= i mHwI2=(VI.2.29) VI.3. Optica electromagnetic a mediilor izotrope VI.3.1. Reflexia - refracia undelor electromagnetice Lasuprafaadeseparaiedintredoumediidiferite,undele(deciicele 55electromagnetice)suferfenomenuldereflexie-refracie,parial 56E plan care separ dou medii semiinfinite, liniare, omogene, rentorcndu-se n mediul n care au fost produse, iar parial trecnd dintr-un mediu n altul. Fie o suprafa izotrope,dielectrice,conservative,depermitivitic1ic2ideaceeai permeabilitate 0 2 1 = = .ntreconstanteledematerialalecelordou medii exist rel aiile: nnnvvZZ1= = = =1221122cc(VI.3.1) unde: v1, v2 = vitezele undei n cele dou medii; n1, n2 = indicii de refracie ai celor dou medii; n = indicele de refracie relativ.n fiecare punct i n fiecare moment ntre vectoriiH , E i, care formeaz .24), m, k1undaelectromagnetic,estevalabilrelaia(VI.2 for nduntriedru drept n aceast ordine, ordine ce rmne neschimbat n raport cu reflexia i refracia undei. Fie i iH E , vectorii pentru unda incidentr rH , E is, iar vectorii pentru unda reflectatH , vectorii pentru unda transmr,1 1 t, tEi i t1 sunt versorii dupcaresepropagundaincident,undareflecta iundatransmis. Deoarece versorul r1 al direciei de propagare al undei reflectate este opus lui i1pentrucavectorii r rH , E i r1tsformezeuntriedrudreptnaceasta ordineestenecesarcafie rEsfieopuslui iEsau rHsfieopuslui iH, fig. VI.1. Matematic aceasta se scrie astfel: ii rrEEfEE =iirrHH i HHf (VI.3.2) unde f poate fi 1*). n toate cazurile. =12= f *) n demonstraiile care urmeaz vom considera1 = f .

Fig. VI.1 Fig. VI.2 FienormalalasuprafaadeseparareE.PlanulHdeterminatdei n1n1 k1 este planul de inciden, fig. VI.1.Admind c iE i iH un sunt unde polarizate liniar, aceti vectori oscileaz n plane care formeaz ghiurile i 2t +cu planul de inciden. Descompunem vectorii iE i iH n cte o component paralel cu planul HiunaperpendicularpeH,fig.VI.2.Seobinurmtoareleperechide unde: inipH , Ei respectiv, ipinH , E .Stud lexiei,refrac iulref ieipentruacesteundesevafaceseparat. Remarcam: rprnrnrpipininipHEHEHEHEtptntntpHEHEZ = =2Z = = = =1 i(VI.3.3) VI.3.1.1. Formulele lui Fresnel A . Reflexia-refracia undei inipH , E Fie o, o' i | unghiur ie i refracie, fig. VI.3; undeleile de inciden, reflextprpipE E E , ,sunt de forma: 5758 ((

||.|

\| =((

||.|

\| =((

||.|

\| =211111vrt i exp T Evrt i exp R Evrt i exp A Ett ptprr prpii pip eee (VI.3.4) Fig. VI.3 rundeesteunvectorcuorigineapesuprafaaEicuextremitateantr-un ,RpiTpsedetermindincondiiiledecontinuitateale punct de observaie M situat n mediul (1), n mediul (2) sau pe suprafaa de separaie E.MarimileApcomponentelor tangeniale ale vectorilor pE i nH: 1)Condiiadecontinuitateacompo ntel ta ne orngenialealeintensitii cmpului electric pe suprafaa E este de forma: | | ( )E E| cos (VI.3.5) ia (VI.3.4): o o E cos E cos Etprpip= ' +sau innd cont de rela( ) ( )( )((

||.|

\| ==((

||.|

\| ' . \21 111vrt i exp T cosvrt i exp Rvtt prr pEEe |e o +((

|||

|1cosrt i exp A cosii pEe o (VI.3.6) Relaia (VI.3.6) este satisfcut identic pentru orice valori ale luii t dect este invariant n raport cu reflexia-refracia undelor, adic: Er dacfazelecelortreitermenisuntegale,faptdincaredecurgurmtoarele consecine: *) pulsaiae e e e = = =t r i(VI.3.7) *) versorii,i sunt coplanari; r i1 , 1 t1 n159o o = ' de i i e reflexie; nd cont i de rela le (VI.3.1) (VI.3.3) se obine: (VI.3.8)*) adic unghiulnc deneste egal cu cel d*) in ii i nn Z v sin= = = =2 1 1n Z v sin |o 1 2 2(VI.3.9) adica legea lui Snellius pentru refracie. ste condiii relaia (VI.3.6) devine:n ace p p pTcosR Acoso|= + (VI.3.10) nentelortangenialealeintensitii uluimagneticpesuprafaaE,dcontderelaia(V.5.2)estede 2)Condiiadecontinuitateacompocmp innforma: ( )E Et rninH H H = (VI.3.11) Folosindn relaiile (VI.3.3), (VI.3.9) i (VI.3.4) relaia (VI.3.11) devine: p p pTZZR A2sau 1= ducndmrimileadimensionale (VI.3.12) (VI.3.13) p p pnT R A = pppARr = i pppATt =pentruunda Intro ,coeficieniide reflexieirespectivdetransmisieailuiFresneli iH , En p ,i folosind relaiile (VI.3.10) i (VI.3.13) se obine: ncoscosncoscosArpp= =|Rp+oo|incoscosAtpp= =Tp+o|2(VI.3.14) B. Reflexia-refracia undei ipinH , E ComponentanormalpeplanuldeincidensatisfacepesuprafaaE nE60condiia de continuitate: ( )E EtnrninE E E = + (VI.3.15) sau (VI.3.16) n n nT R A = + An, Rn, Tn au semnificaii similare cu Ap, Rp, Tp. oneneta Hp satisface, pe s ia de continuitundeComp uprafaa E, condi ate: ( ) | | ( ) E E| o cos H cos H Htprpip= (VI.3.17) sau exprimnd pe tprpipH , H , Hn funcie de tprpipE , E , Ese obine: o|o|coscosn TZZcoscosT R An n n n= = 21Introducndmrimileadimensionale (VI.3.18) nnnARr = i nnAnTt= ,coeficieniide reflexieirespectivdetransmisieailuiFresnelpentruunda ipinH , E ,i ine:folosind relaiile (VI.3.16) i (VI.3.18) se ob ncoscosncosArnnn+= =ocos R||oincoscoscosAtnnn= =cos T+|o |o2(VI.3.19) iile(VI.3.14)i(VI.3.19)suntformuleleluiFrerelaia (VI.3.9) acestea pot fi puse i sub forma: Rela sneliinndcontde ( )( )( ) ( ) +=o |o |o |cos sintgtgrp2 i +=o | o | cos sintp( )( )( ) +=o |o |sinsinrn+=o |o |sincos sintn2(VI.3.20) VI.3.1.2. In ewsterian Dac cidena br2t| o = + ,atuncidinrelaia(VI.3.20)seobservc,adic0 =pr61undanu se mai refl . pe planul de inciden, i este perpendicular pe unda refractat. ipEect. Nu exist und reflectat n planul de incidenRadiaiaelectromagneticreflectatestetotalpolarizatntr-unplannormal nacestcazunghiuldeincidensenoteaz Bo o = ,isenumeteunghi Brewster. Aplicnd legea lui Snellius, relaia (VI.3.9), se obine. n tg =Bo (VI.3.21) legea Brewster. erianeste . VI.3.1.3. Reflexia total Acestfenomenaparedac.DinlegeaSnelliusseobinenacest caz: care reprezint056Pentrusticlacu52 , 1 = n ,unghiuldeincidenbrewst057 9 3 ~ ' = oB 1 2v v >

o sin12v= (VI.3.22) i de| sinvcio | > . nacestcazex ide incidenta istovaloareaunghiuluLo o = , fig. VI.4, numit unghi limitpentrucareunghiulderefracieeste,2 t | = Fig. VI.4iar1 sin = | .PentruvalorialeunghiuluiomaimaridectoL,12>Lsinvvo , 1 nu mai et l i prezintdoucaracteristiciprincipale:1)undatransmisptrundenaldoileamediu iar re(VI.6.11) ste satisfacut dect pentru valori imaginare ale unghiului de refracie |. Acest fenomen se numete reflexieota pe o distan foarte mic, de ordinul lungimii de und, amortizndu-se rapid; 2) intensitatea undei reflectate este egal cu intensitatea undei incidente. laia VI.3.2. Interferena i coerena undelor electromagnetice Studiile efectuate au aratat c diferitele tipuri de unde care se propag ntr-62nmediuomogen,izotrop,liniar,conservativinedisipativverificecuaia cu derivate puariale de tipul: 012222= Vt v c+ c+ (VI.3.23) Dacntr-unmediusepropagunsistemdeundedescrisedefunciilede und +1, +2, ... +n sau n... , , + + + 2 1, ecuaia (VI.3.23) fiind liniar admite ca funciile:soluie general =i+ +; =i+ + (VI.3.24) Relaiile (VI.3.24) exprim l suprapunerii strilor. Acest principiu arat c fie principiucare und se propag independent una de alta. Este il numai dac mediule se propapedirecii erendefazconstantn neraacestoraianaterefenomenuldeinterferen valab n car g undele este liniar.Suprapunera undelor se numete interferen. Se disting dou cazuri: 1)Undelesuntcoerente,dacnusuntpolarizateliniar perpendiculare,auaceiaifrecvenidiftimp.Lasuprapustaionar.Amplitudineaundeirezultanteesteofuncieperiodicde poziia punctului n care se consider interferena. 2)Undelesuntnecoerente,amplitudineaiintensitateaundelorvariazn timp.Prinsuprapuneraacestoraianaterefenomenuldeinterferen nestaionar. 63VI.3.2.1. Interferena undelor electromagnetice Fieundomeniu gnetice 1+i 2+ncaresepropagdouundeelectroma , dup, i fie u unghiul dintre axele Ox1 i Ox2 respectiv Oy1 i Oy2, fig. VI.5. DireciileOx1iOx2aparintriedrelorrectangulare 1 1 1z y x ,respectiv 2 2 2z y x (fig.VI.5), avnd aza z comun. Fig. VI.5 Vomadmitecambeleundesuntarmoniceiauaceaipulsaiee0.Vom analizainterferenaacestorundentr-unpunctdeobservaiesituatlao distanasuficientdemarefadesursepentruaputeaconsideraceledou unde, unde plane.Undele 1+ i 2+ pot fi descompuse dup axele Oy1, Oz1, i respectiv dup Oy2, Oz2: | | | | ) x k t ( i exp Z ) x ko o 1 1 1t ( i exp Yo o 1 1 + e e = + (VI.3.25) unde Y1 i sunt amplitudinile dup Oy1 i Oz1, i respectiv: 1Z| | { } | | { } ) t ( x k t i exp Z ) t ( x k t i e Yo o o o e e xp + + + + 2 2 2 2 2 = (VI.3.26) ndeisuntamplitudiniledupOy2iOz2,iar(t)es de idig. u tediferena 2Y 2Zfaz in ial ntre cele dou unde, care n general este dependent de timp. SuprapunndcomponentelecelordouundecareoscileaznplanulH,fiVI.7, se obine: ( | )| | | { } ) t ( x k t i exp Y x k to o o o e e i exp Y +H =1+ + 2 2 1 (VI.3.27) tensitatea undei InH+ este | | ) t ( x k cos ) (cos Y Y oso A u u + +2 12 212 c Y Y I*+ +H H H= =22(VI.3.28) imilarintensitateaIAaundeirezultateprincompunereaundelorcare Soscileaz dup Oz, deci ntr-un plan perpendicular pe planul H este: | | ) t ( x k cos Z Z Z Z Io AA + + =2 122I.3.29) 212 (V1 2x x x = A unde. itatea totalaundei va fi IntensaA HI I I + =i este de forma: | | | | ) t ( x ) (cos Y Y I Iok cos Z Z A u + + =2 1 022 1(VI.3.30) I0estesumatermenilorindependenideundex A ,avndaceiarmonicitateaundelor,considerndu-lepachete ivaloarenntregul cmp de interferen. Vomridicarestriciaprivindadeunderealecufrecvencuprinsntre 2 20 0v Avv Av + , .nacestcaz amplitudinile Y1, Y2, Z1 i Z2 nu mai sunt constante n timp ci variabile (vezi: VI.3.1). Intensitatea medie a undei rezultante este | | | | > + < + > =< > < ( x k cos Z Z ) (cos Y Y I Io) t A u2 1 2 1 02 (VI.3.31) iscuie: : (VI.3.32) esuntincoerente,interferenastaionarnuapare,adicD*) Dac> >=< A + u < (VI.3.33) e care reprezint condiia de coeren a undelor vecriuntimp care relai toriale.Dinaceastcondiierezultcdac(t)variazrapidialeatovaloareaacesteiaestenul,deciinterferenanuseproduce.Chiardac diferena de faz (t) este constant n timp interferena nu are loc dac : 1)celedouundesuntpolarizatenplaneperpendiculare,cazn 6465le meprodusele 2 1Y Y i 2 1Z Z sunt nule; 2) valori dii> i = < Z Z4)> < co > < =2 1 2 1Z Z s Y Y u adicminimeleproduseprininterferena nentelorYsuntexactcompensatedemaximeleproduseprin VI.3.2.3. Interferena undelor luminoase Experimental se columinoase emise de blude compointerferena componentelor Z. nstat c prin suprapunerea undelordou surse macroscopice distincte nu se obine niciodat interferen. Oricesursamacroscopicluminoasesteformatdintr-unansammicrosistemeluminoase(atomisaumolecule)nnumrfoartemare.FieE1 energiaunuimicrosistemnstareanormal.Subaciuneauneiperturbaii exterioare,deexemplutransferdecldursaudeenergieelectromagnetic, microsistemulsuferotranziientr-ostareexcitatavndenergia 1 2E E > . Stareaexcitatdureazfoartepuin10-8sdupcaremicrosistemul noutranziierevenindlastareainiialdeenergieE1emindunfotoncare preiasurplusuldeenergie 1 2E E Esufero = A iacaruifrecvenesteh / E A v = , undehesteconstantaPlanck.ncazulsurselorclasicetranzicaracter spontan i aleatoriu. Probabilitatea coerenei unei surse microscopice cu alta este foarte mic datorit distribuiei cu totul aleatorie a fazelor iniiale iaorientarilorimpulsurilorluminoaseemisedeceledouasurse microscopice n orice interval de timp iileauun t A . Cu att mai mult coerena surselor macroscopice este imposibil s se realizeze.n acelai timp este evident c orice impuls este coerent cu el nsui, i deci se pot obine surse coerente prin dedublarea unei singure surse. Aceasta se poate realizaprinreflexiesaurefraciecndfiecarepunctalsurseimacroscopice estecoerentcuimagineasa.Deasemeneaundelesecundareemisen proceselededifraciedesurselesecundaredepeaceiaisuprafadeund sunt coerente ntre ele. Exemplededispozitiveceproducundecoerente:*)prindifracie-dispozitivulYoung;*)prinreflexie-oglinziledubleFresnel,oglindaLloyd; *) prin refracie - biprisma Fresnel, bilentila Billet. VI.3.2.3. Interferometre Interferometrelesuntdispozitivecesebazeazpefenomenulde interferen. Cu acestea se pot determina lungimii, indici de refracie, grosimi etc. cu mare precizie. Dintre cele mai importante interferometre amintim: *)interferometrulJaminutilizatpentrumsurareaindiceluiderefracie necunoscutnal unui lichid;'*)interferometrulMichelsonculamsemitransparentutilizatn experiena Michelson-Morley, n studiul sistematic al stucturilor fine a liniilor spectrale etc. ; *) interferometrul Fabry-Prot folosit ca etalon; *)interferometrulMach-Zehnderutilizatpentrumsurareavariaiilor foarte mici ale indicilor de refracie.*)interferometrulRayleighfolositpentrumsurareadifereneidedrum optic. 66A. Interferometrul JaminAcestaesteformatdindoublocuridesticlcufeeleplanparalelei semiargintate pe una din fee, fig. VI.6.Lumina emis de sursa S sufer pe blocul (I) o reflexie-refracie n punctul A. Unda reflectat trece prin cuva L1 cu lichid, iar cea refractat sufer o reflexie n B i apoi trece prin cuva de lichid L2. Fig. VI.6 n punctele C, D, E, F, M i N undele sufer fenomene de reflexie-refracie. Seconstatcncondiiilerealedelucrupeecranseobservfranjede interferen chiar dac n cele dou cuve este acelai lichid, deoarece distana parcurs de cele dou unde (1) i (2) sunt diferite. Pentru msurare indicelui derefracienecunoscutn alunuilichidseprocedeazastfel:iniialncele doucuveseintroduceacelailichidalcruiindicederefracie,n,se cunoate,iseobservfiguradeinterferen.Senlocuieteapoilichidul dintr-ocuvculichiduldeindicederefracienecunoscut.Prinintroducere acestuia apare o diferen de drum suplimentar o dat de relaia: '( l n n ' = ) o (VI.3.34) unde l este lungimea cuvei, iar figura de interferen se va deplasa cu: o l) n n ( d ' = = (VI.3.35) 67undeeste lungimea de und a radiaie emise de sursa S. Din relaia (VI.3.10) se poate determinan'msurnd deplasarea d. B. Interferometrul MichelsonSchemainterferometruluiMichelsonesteprezentatnfig.VI.7.Un fascicol de lumin provenit de la o sursa S cade pe placa P1 avnd feele plan-paralele,unadinelefiindmetalizatisemitransparent.npunctulA, fascicolulsempartenfascicolul(1)i(2) perpendiculareunulpealtul.Orazadin fascicolul(1)dupcesereflectnpunctulC peoglindaO1iapoinApefaa semitransparentaplaciiP1sepropagspre ecranul(E).Orazprovenitdinfasiculul(2) dup ce iese din placa divizoare P1

Fig. VI.7 sereflect n punctul B pe oglinda O2 i dup ce strbate din nou pe P1 pe acelai drum se propag spre ecanul (E). ntre razele (1) i (2) apare o diferen de drum deoarece raza (1) strbate placa P1 o dat, n timp ce raza (2) o strbate de trei ori. Pentru a compensa aceast diferen seintroducepedrumulrazei(1)olamcompensatoareP2.Figurade interferen va fi cea corespunztoare interferenei ntr-o lam de aer, format de imaginea din oglinda O2 i imaginea virtual a oglinzii O1 n lama P1. Interferometrul are posibilitatea de a deplasa fin oglinda O2 i prin aceasta se modificdistanastrbtutderaza(2),aceastafcndposibilfolosirea interferometrului ca aparat optic de msur. 'O168InterferometrulMichelsonsefolosetepentru:*)controlulcalitii oglinzilor,luneteloringeneralalsuprafeelorpolisatecetrebuiesfie plane;*)ndilatometrie,ntructsepotmsuracuacestadiferenefoarte 69 mici de lungime care apar ca urmare a efectelor termice. C. Interferometrul Fabry-Prot Acesta este realizat din dou lame cu fee plan-paralele avnd ntre ele un strat de aer cu grosime reglabil; suprafeele interioare S1 i S2 ale celor dou lamesuntsemiargintate,ceformeazunstratsemireflectantcuoreflectan foarte ridicat i cu un coeficient de absorbie sczut. n stratul de aer dintre cele dou lame prin suprapunerea unui numr mare de unde lumioase produse prinreflexiemultiplpefeelesemireflectanteseproduceinterferena acestora.Seobinfranjedeinterferenextremdenete.Dacsefoloseteo radiaiececuprindenundecvasimonocromaticeseobinnsistemedeinele de interferent. Avndoputerederezoluie*)foartemare,interferometrulestefolositca aparat spectral de foarte mare precizie, ca etalon. VI.3.3. Difracia undelor Prinfenomenuldedifracieaundelorsenelegentreagavarietatea fenomenelorceaparlapropagareaacestorandreptulorificiilor, deschiderilordeformdreptunghiular,ecranelorsaualtorobstacole. Fenomenele de difracie pot fi aproximativ explicate pe baza principiului lui Huygens. *)Putereaderezoluie(desepararesauseparatore)estemrimeacarecaracterizeaz capacitatea unui instrument optic (lunet, microscop, aparat fotografic, interferometru etc.) sau a unuimaterialfotosensubil(film,placspectral,hrtiefotograficetc.)deapuneneviden distinct,separat,doupunctevecine.Cuctvaloareasaestemaimare,cuattpotfidistinse puncte sau linii mai apropiate.n studiul difraciei undelor se pot deosebi dou grupe de fenomene: 1)Fenomenele de difracie n cazul n care distana de la sursa de unde la deschidereidistanadeladeschiderelapunctuldeobservaiesunt infinitedifracieFraunhofer.nacestcazarelocnumaio suprapunere de unde plane. 2)Fenomenele de difracie n cazul n care distana de la sursa de unde la deschidereidistanadeladeschiderelapunctuldeobservaiesunt finite,darsuficientdemarinraportcudimensiuneadeschideri difracie Fresnel. VI.3.3.1. Principiul lui Huygens-Fresnel Fieosursa(Sp)caregenereazaoundntr-unmediuoarecare iunpunct de observaie M situat n mediu, fig.VI.8. Vom numiSpsursprimariarundaprovenitdelaaceastundprimar.S considermosuprafanchisoarecareEnumitsuprafaauxiliarce nconjoar pe Sp. Principiul lui Huygens afirma: Sursa primara poate fi nlocuit printr-o distribuie continupesuprafaaEdesursesecundare punctiforme convenabil alese astfel nct n punctul Mundaprodusprinsuprapunereaundelor secundare (produse de sursele secundare) s seFig. V.I.8 identifice cu cea produs de unda primar. Termenuldesurseconvenabiledinenunimplicspecificareaunui anumitprocedeudedeterminareacaracteristicilorsurselorsecundare,astfel nctfunciadeundrezultatdinsuprapunereaundelorsecundaresse identificecufunciadeundprovenitdelasursaprimar.Huygenspune condiia ca suprafaa nfurtoare a suprafeelor undelor secundare sferice s 70fie o suprafa de und a undei primare (fig. VI.9). Fig. VI.9 MetodaluiHuygens,deiesteometodpurgeometric,apermis rezolvareamaimultorproblemedinteoriaundelor,cumarfi:stabilirea legilorreflexieiirefraciei,explicareapropagriiundelorprindeschideri mici i mari, a propagrii rectilinii a undelor, precum i o prezentare intuitiv a fenomenelor de dubl refracie (anizotropie). PrincipiulluiHuygensnupermiteexplicareandetaliuaabaterilordela propagrearectilinie,ceconstituieobiectuldifraciei,inuexplicdece sursele secundare nu emit unde ce se propag n direcie invers. Pentru a depi dificultile ce rezult din principiul lui Huygens, Fresnel a adugat urmtorul postulatul: Amplitudinea i faza fiecrei surse secundare sunt egale n fiecare punct al suprafeeiauxilire,cuamplitudineaifazaprodusenacelpunctdectre unda primar.nacestpostulatesteesenialfaptulcprinstabilireafazelorsurselor secundare, se stabilete n acelai timp i coerena acestor surse. Prin aceasta devineposibilcalcululinterfereneiproduseprinsuprapunereaundelor secundare,iarsuprafaadeundnfurtoarerezultautomatdinaceast suprapunere. PrincipiulluiHuygensmpreuncupostulatulluiFresnelsenumete 7172principiul lui Huygens-Fresnel. VI.3.3.2. Difracia prin deschideri Fieunparavanopacncares-apracticatomicdeschidereasupracreia cade o und practic armonic. Dac se cerceteaz distribuia intensitii undei dincolo de paravan se constat c aceasta prezint o succesiune de maxime i minime.Dacoundluminoascvasimonocrmatictraverseazunorificiu circularfoartemicpeunecransituatnspateleacestuiaseobineopat circularluminoasnconjuratdeinelentunecoasecealterneazcucele luminoase. ncazuluneideschiderideformdreptunghiulareavndunadinlaturi foartenguste,seobineobandcentralluminoasnsoitlaambele marginidefranjentunecateiluminoasealternante.Dacdeschidereaare ambele laturi de acelai ordin de marime, figura de difracie este diferit fiind multmaicomplicatiesteformatdinbenzidreptunghiularentunecatei luminoase.Toateacestefenomenededifraciepotfiinterpretatecalitativpebaza principiului lui Huygens-Fresnel admind c n dreptul deschiderilor apare o distribuiesuperficialdesursesecundare,iarinterferenaundelorgenerate de aceste surse secundare determin figura de difracie. Fenomenesimilareseobinincazuldifracieprodusdeobstacolede mici dimensiuni. VI.3.3.3. Difracia prin reele Oreeaplandedifracieesteunsistemdefanteidentitice,paralele, echidistanteicoplanare,fig.VI.10,unde:a-largimeafantei;d-constanta reelei adic distana dintre dou fante succesive. Fie o unda avnd lungimea deundcecadepeoastfeldereeasubununghideinciden 0 ,ise difract sub un unghi . Fig. VI.10 Se obin maxime ori de cte ori este ndeplinit condiia: o m =(VI.3.36) unde m = 0,1,2... , iar) sin (sin d0 o =este diferena de drum dintre dou unde provenite de la doua fante alturate; se obine: m d = ) sin (sin0 (VI.3.37) Fig. VI.11 Fig. VI.12 Pentruincidennormal00 = ,ipentruunghiurimicidedifraciedin relaia (VI.3.37) se obine: md ~ (VI.3.38) 73n fig. VI.11 este prezentat imaginea de difracie obinut de la o fant, iar nfig.VI.12esteprezentatimaginadedifracieobinutdelaoreeade difracie. Se observ c odat ce numrul de fante crete maximele principale se detaeaz net de cele secundare. VI.3.3.4. Relaia lui Bragg Unmaterialcristalinestecaracterizatdeaejareaodonataatomilorsau moleculelornnodurileuneireelegeometricetridimensionale.Oastfelde reeaformeazoreeatridimensionaldedifracie.ntr-oastfeldereea fiecareatomatinsdeundincidentdevinelarndulsuosurs punctiform secundar. Vom considera pentru simplificare c distana dintre nodurilereeleiesteconstantiegalcud.Fieundele(1)i(2)cecadpe reea, i fie un plan din aceasta situat n planul de incidenfig.VI.13.Diferenadedrumdintre unda (1) i unda (2) este OB AO+ = o (VI.3.39) Deoareceo o ' = , adic unghiul de inciden esteFig. VI.13 egal cu cel de reflexie, din figur se obine: u sin d OB AO = = (VI.3.40) undeotu =2. Din relaiile (VI.3.39) i (VI.3.40) rezult: u o sin d 2 = (VI.3.41) Condiiapentrucaprinsuprapunereaundelor(1)i(2)sseobinmaxim este dat de relaia (VI.3.36), i folosind relaia (VI.3.41) se obine: u m sin d = 2 (VI.3.42) ce reprezint relaia lui Bragg. Deoarece reflexia are loc pe toate planele va avea loc o interferen multipl ce conduce la apariia unor maxime foarte pronunate. Reelele cristaline sunt adecvate studiului cu raze X a cror lungime de und ( ) este de acelai ordin de mrime cu echidistanele dintre planelem1010~ 74cristaline. VI.4. Optica electromagnetic a mediilor dielectrice anizotrope VI.4. 1. Propagarea luminii n medii anizotrope nmediianizotrope,chiaromogene,proprietiledematerialdepindde direciadepropagare.Vomconsideramediianizotropeliniare,dielectrice, frpolarizaieimagnetizaiepermanent.Astfeldemediisuntnprim aproximaie medii conservative,0 = o , iar permeabilitatea lor magnetic este independentdedirecie,putndficonsideratcafiind 0 = .nastfelde mediitrebuiesinemseamadeanizotropiaproprietilorelectricepusen evidendetensorulpermitivitiielectricec (vezicapitolulIV,5.2.1).n acestcazorientarealuiestediferitngeneraldealui.Relaiilece exprim legile de material sunt n acest caz de forma: DE H BE D 0c== .b) 1 . 7 (V..a) 1 . 7 (V. VI.4.2. Elipsoidul Fresnel Dac vectoriiE i se reprezint prin matrici de forma:D,{ })`=zyxEEEE {75} { }z y xE E E E = , { } (VI.4.2) )`=zyxDDDD~unde{ } E~estetranspusamatricii{ } E ,atuncidensitateadeenergieelectric dat de relaia (V.8.15) se scrie: { }{ } D E~we21= (VI.4.4) innd cont de relaia (VI.4.1.a) relaia (VI.4.4) devine: { }{ }{ } E E~wec21= (VI.4.5) unde ceste dat de relaia (VI.3.16). Din relaiile (VI.4.2) i (VI.4.5) se obine: ) E E E E E E ( E E E wz y yz z x xz y x xy z zz y yy x xx ec c c c c c + + + + + = 2 22 2 2 (VI.4.6) Notnd: ezeyexwEZwEYwEX2,2,2= = = (VI.4.7) iar relaia (VI.4.5) devine: (VI.4.8)1 22 2 2= + + + + + ) Z Y Z X Y X ( Z Y Xyz xz xy zz yy xxc c c c c crelaie care reprezint ecuaia unui elipsoid ale crui axe principale nu coincid cu axele de coordonate. EfectundotransformaredecoordonateconvenabildelaX,Y,Zlax,y,z astfelnctaxeleprincipalealeelipsoiduluiscoincidcuaxelede coordonate atunci relaia (VI.4.8) devine: 1222222= + +czbyax(VI.4.9) adicecuaiaunuielipsoidraportatlaaxeleprincipaleelipsoidullui Fresnel, unde: 76 3 2 11 1 1c c c= = = c , b , a (VI.4.10) iar,c1,c2ic3suntvaloriprincipalealepermitivitiidielectriceale cristalului. Axele elipsoidului lui Fresnel se numesc axe principale sau axe de simetrieelectricealemediului.nraportcuacestenoiaxetensorul permitivitii electrice ia forma: { })`ccc= c = c3210 00 00 0(VI.4.11) Din relaiile (IV.4.1.a) i (V.4.11) se obine: (VI.4.12) ===z zy yx xE DE DE D321ccc VI.4.2. Elipsoidul indicilor Densitatea de energie electric dat de relaia (V.8.14) se poate scrie i sub forma: { }{ } { }{ }{ } D D~E D~weq2121= = (VI.4.13) unde: { } { }z y xD D D D~ = (VI.4.14) este este transpusa matricii { , iar} D{ } { } c q = (VI.4.15) este matricea tensorului impermeabilitii electrice. Procednd ca la paragraful precedent se obine: 1701232222212= + +nznynx(VI.4.16) adic ecuaia unui elipsoid numit elipsoidul indicilor, unde: 011cc= n , 021cc= n , 031cc= n (VI.4.17) sunt indicii de refracie principali de-a lungul celor trei axe principale. Dacmediilesuntliniare,izotropefrpolarizaieimagnetizaie permanentc esteunscalarideciDiEauaceiaidirecie.nastfelde mediic c c c = = =3 2 1n, iar elipsoidul indicilor (relaia V.4.16) se reduce la un sfer de razr = , unde n este idicele de refracie absolut al mediului. VI.4.3. Propagarea undelor electromagnetice n medii dielectrice anizotrope nmediileconsiderate(anizotrope,liniare,dielectrice,frpolarizaiei magnetizaie permanent i nedisipative) ecuaiile Maxwell sunt de forma: = V= Vccc = Vcc = V0 H0 DtEHtHE0(V.4.18) Considernd c se propag unde electromagnetice armonice de forma: (V.4.19) e =e =e =) t i ( exp ) r ( H H) t i ( exp ) r ( D D) t i ( exp ) r ( E E000 i lund n considerare numai unda direct adic: (V.4.20) kk i 1 = Vrelaiile (V.4.19) devin: 171 = = = = 0 10 1110kkkkHDD H kH E k e e (V.4.21.d)(V.4.21.c)(V.4.21.b)(V.4.21.a)i se observ c: 172*) vectoriiD, H i formeaz un triedru drept n aceast ordine;k1*), i, adic vectoriiD H kH 1 E H D, k1 iE sunt coplanari.Din relaiile (V.4.21) se obine: ( ) |k kE EvD 1 1102| =(V.4.22) VI.4.4. Structura undei electromagnetice n medii anizotrope n cazul general vectoriD iE au orientri diferite i formeaz ntre ei un unghiu,fig.V.18,ambiifiindperpendiculariipedireciavectoruluiH.n acestcaz(almediiloranizotrope)vectorul k1aldirecieidepropagareal undelorestenormalpevectoriDiE,iestediferitdevectorullui Poynting, dat de relaia (IV.8.4). Fie S1 versorul vectorul lui Poynting; relaia (IV.8.4) se scrie: Fig. V.18 S P PS H E S 1 = =(V.4.23) idecivectorulluiPoyntingestenormalpeplanuldeterminatdeEiH. PlanulformatdeEiHnumaicoincidecuplanulfrontuluideundce conine pe iDH. Dup cum se observ din figur, fig. V.12, S1 este coplanar cuD,E i k1 i formeaz cu unghiul k1u . Direciatransferuluideenergie,datdevectorulluiPoynting,numai coincide cu direcia de propagare a undei. Dac n intervalul de timpt t t ' = Aenergia se transfer pe direcia dat de vectorul lui Poynting cu viteza w numit vitez radial sau vitez luminoas aundei,nacelaitimpAtsuprafaaechifazsedeplaseazcuvitezavpe direciadatdevectorulnormaleilasuprafaeleechifaze,,vitezcarese numete vitez normal, sau viteza fazei. k1Se observ c: u cosvw = (V.4.24) VI.4.5. Ecuaiile Fresnel Notndok,|kikcosinuidirectoriaiversorului k1,ifolosindrelaia (V.4.22) se obine: ( )( )( ) =((

=((

=((

k k zk k yk k xE v DE v DE v D111111302202102 c|coc(V.4.25) Introducndnrelaia(V.4.23.c)componentelevectoruluidatederelaiaD173(V.4.25), i ale lui se obine: k1174 ( ) 0 11 1 132022202122+ko0= ||||.|

\|++ == +kk kz k y k x kEv v vD D D cc|co | (V.4.26) de unde rezult urmtoarea ecuaie: 01 1 132022202122=++cc|cov v vk k k(V.4.27) 0nrelaia(V.4.26)simplificareacufactorul( )kE 1 estejustificat,deoarece E formeaz cu un unghi diferit de k12t (vezi fig. V.18), deci( ) 0 1 = kE . Notnd: 0111c= v, 0 221 c= v, 0 331 c= v (V.4.28) caresenumescvitezeprincipaleisuntproporionalecuaxeleelipsoidului lui Fresnel, relaia (V.4.27) devine: 023222222212v2=++ v v v v vk k k | o(V.4.29) Relaia (V.4.29) se numete ecuaia vitezelor normale a lui Fresnel. Aceasta esteoecuaiebiptratcarearedousoluiilerealeipozitivev' Di (semnul arat c unda produs ntr-un punct, pe direcia de propagare, sepoatepropaganambelesensuri)croralecorespundvectorii v' ' 'i respectiv:D' ' ( ) | |( ) | | ' ' ' '' '= ' ' ' ''= 'k kk kE EvDE EvD1 111 112020 (V.4.30) nmulind prima relaie cuD' ' i pe a doua cuD' i apoi scznd relaiile, se obine: ( ) ( ) 02 2= ' ' ' ' ' ' D D v v (V.4.31) Dacv v ' ' = ' ,atunci0 = ' ' ' D D ,iD'iD' 'oscileaznplane perpendiculare, adic sunt polarizate liniar n plane perpendiculare. ncazulncarev v ' ' = ' ,celedouundeseconfund.Direciilepentrucare v v ' ' = 'se numesc axe optice binormale. UrmndocaleanaloagcuceaprecedentdinecuaiileluiMaxwellse poate obine relaia: ( ) | |S SD D w E 1 120 = (V.4.32) FieoS,|SiScosinuidirectoriaiversorului S1nraportcusistemulde coordonate cartezian. Din relaia (V.4.32) se obine: ( )( )( ) =((

=((

=((

S S zozS S yoyS S xoxDwEDwEDwE111111222 c| co c(V.4.33) innd cont c0 n timp ce1 = SE 0 1 = SD deoarece direciile luiD iE nu coincid, se obine o relaie similar cu relaia (V.4.29), de forma: 17501 1 1 1 1 1232222222122=++v w v w v wS S S | o(V.4.34) Relaia(V.4.34)senumeteecuaiavitezelorradialealuiFresnel,esteo ecuaie biptrat care are soluiile i crora le corespund vectorii 'w ' 'w E' i respectivE' '. Existeuneledireciipriveligiatepentrucare ' ' 'w w = iaracesteasenumesc axe optice biradiale. VI.4.6. Suprafaa vitezelor normale i suprafaa vitezelor radiale Dacdinoriginesetraseaztoatedireciileposibilereprezentateprin vectorul care corespunde vitezelor normale, vrfurile acestor vectori se vor gsi pe o suprafa care se numete suprafaa vitezelor normale sau suprafaa vitezelor de faza, care este dat de ecuaia: v0232222222122=++ v vvv vvv vvzyx(V.4.35) undevx,vyivzsuntcomponentelecartezienealevectoruluivitez,iar . 2 2 2 2z y xv v v v + + =Relaia (V.4.35) se mai poate scrie sub forma: ( )( ) ( )( )( )( ) 0222 212 2232 212 2 232 222 2= ++ + v v v v vv v v v v v v v v vzy x(V.4.36) care reprezint ecuaia unei suprafee de gradul ase. Pentru a recunoate forma acestei suprafee o vom intersecta cu planul0 vz =i rezult: ( ) ( ) ( ) | | 0212 2 232 2 222= + v v v v v v v vy x(V.4.37) sau 176(V.4.38) ( ) ( ) = + =0212 2 232 2222v v v v v vv vy xRelaiile (V.4.38) reprezint ecuaia unui cerc i respectivecuaiaunuiovaloid,fig.V.19.Din figur se observ c cele dou suprafeeFig. V.19 aupatrupunctedecontact.Direciile 4 1A A i 3 2A Acorespund axelor optice binormale, pentru carev v ' ' = ' .nmodsimilarsepoategsiloculgeometricalvrfuluivectoruluiw.Se obine tot o suprafa cu dou pnze corespunznd lui i respectiv lui. Notnd cu wx, wy i wz componentele carteziene ale lui 'ww' 'w se obine: ( )( ) ( )( )( )( ) 0222 212 2 23232 212 2 22232 222 2 21= ++ + v w v w w vv w v w w v v w v w w vzy x(V.4.39) relaie care reprezint suprafaa vitezelor radiale. ntersectnd cu planul rezult:0 =yw( ) ( ) ( ) | | 0212 2 23232 2 21222= + v w w v v w w v v wz x(V.4.40) de unde se obin urmtorele dou ecuaii: = += +1212232222 2vwvwv w wz xz x(V.4.41) relaii care reprezint ecuaia unui cerc respectivFig. V.20 ecuaia unei elipse, fig. 20. Direciile 3 1B B i 4 2B B corespundaxeloropticebiradiale,pentrucare .w w ' ' = 'VI.4.7. Cristale biaxe i uniaxe Cristalelesecaracterizeazprinaezareaordonataatomilor,ionilorsau 177moleculelor n nodurile unei reele geometrice tridimensionale. Aceste reele determinanizotropiacristalului.Sunt7sistemecristalograficede cristalizare:triclinic,monoclinic,ortorombic,tetragonal,cubic,trigonali hexagonal. Cristalelecareau 3 2 1c c c = =3 2 1audouaxeoptice,senumesccristalebiaxe, iarcelecareauc c c = = auosinguraxopticisenumesccristalele uniaxe. Notnd: 0 2 0 12 1 01 1 c c= = = = v v v(VI.4.42) i 0 31 c=ev (VI.4.43) viteza ordinar, i respectiv viteza extraordinar, se pot defini: 00vcn =i eevcn =(VI.4.44) indicele de refracie ordinar, respectiv indicele de refracie extrordinar. n orice cristal exist o direcie de-a lungul creia: (VI.4.45) e on n =AceatdirecietreceprincentrulelipsoiduluiluiFresnelisenumeteax opticacristalului.Oriceplanceconineaxopticsenumeteplande seciune principal sau seciune principal. Valoarea diferenei se numete birefringena cristalului.o en n Cristalele ce fac parte din sistemele de cristalizare triclinic, monoclinic sau ortorombicauceletreipermitivitidiferite, 3 2 1c c c = = ,isuntcristale biaxe. Cristalelecefacpartedinsistemeledecristalizaretetragonal,hexagonal 178sautrigonalau 3 2 1c c c = = ,isuntcristaleuniaxe.Cristaleleuniaxeceau senumesccristaleuniaxepozitive,iarcelecu0 > o en n 0 < o en n se numesc cristale uniaxe negative. Cristalelecefacpartedinsistemuldecristalizarecubicau c c c c = = =3 2 1, c este independent de direcie,i sunt cristale izotrope. VI.4.8. Birefringena indus Fenomenuldebirefringensepoateobineinmediiizotropedacse creeaz o asimetrie prin aciunea unor fore exterioare birefringena indus. VI.4.8.1. Birefringena mecanic Birefringentamecanicsaubirefringentafotoelasticafostdescoperit deBrewstern1813.Unsolidizotroppoatedevenibirefringentcaefectal unei tensiuni mecanice. Dispozitivulexperimentalesteceldinfig.VI.19.Seciuneaprincipala polarizoruluiPesteorientatcu45onraportcudireciadecomprimare.n lipsacomprimrii0 = F ,analizorulAfiindncruciatcupolarizorulP lumina nu trece (vezi VI.5.3). Cnd0 = Fse observ lumin. Fig. VI.19 Diferena de drum optic o este: ( )d n no e = o (VI.4.46) unde d este grosimea lamei. 179Experiena arat c: p k n nm o e = (VI.4.47) undekmesteoconstant(experimentalpentrusticladecromilumin galbenseobinepentruconstantakmvaloarea05 , 0 ),iar SFp = este presiunea exercitat de fora F pe suprafaa S a lamei. Dac l este lungimea lamei de sticl, atuncid l S =i din relaiile (VI.4.15) i (VI.4.47) rezult: olFkm= (VI.4.48) Se observ c efectul nu depinde de grosimea lamei d, ci de fora pe unitatea de lungime lF. VI.4.8.2. Birefringena electric Birefringena electric efect Kerr - a fost descoperit de Kerr n 1876. Majoritatealichidelordevinbirefrigentecndseaflncmpelectric. DireciavectoruluiintensitatecmpelectricEesteevidentodirecie privilegiat n jurul creia fenomenul prezint o simetrie de revoluie. n acest cazpropietileopticealelichiduluisuntca ale unui cristal uniax ce are axa optic de-a lungul direciei cmpului electric. Fig. VI.20 AplicndotensiuneU,cmpuluielectriceste dUE = ,undedestedistana dintre electrozi, fig. VI.20, apare o diferen de drum optic egal cu: ( l n n e 0 ) = (VI.4.49) 180undelestelungimeaparcursdeundnmediulsupusaciuniicmpului electric (lungimea electrozilor). Experiena arat c: (VI.4.50) 20E k n ne e = unde) , ( T k ke e = esteconstantaKerrcaredepindedetemperaturide lungimea de und a luminii care traverseaz lichidul. Din relaiile (VI.4.49) i (VI.4.50) rezult: (VI.4.51) 2E k le o =Pentrumajoritatealichidelor(ex:nitrobenzen),adicacestease comport ca un cristal uniax pozitiv. Exist i lichide pentru care (ex: eterul), adic acestea se comport ca un cristal uniax negativ. 0 >ek0 , adic n afara domeniul de absorbie (VI.7.4) devine: ((

+ + + = ... C C n44022021 1(VI.7.5) Dacnesteapropiatdeunitate,atunci,iseobineformula luiCauchy.Aceastaprezintdiscontinuitipentruvalorialelungimiide und corespunztoare benzilor de absorbie n contradicie cu experien care aratcvariaiavariaiaindiciluiderefracieculungimeadeundnu prezint discontinuiti, ci o variaie lent n lungul benzii de absorbie. ) 1 ( 2 12 ~ n n 195