fg. mecanica cuantica i - deliu.ro fg_i... · laser . fg.07 . magnetonul procopiu - bohr. fg.05 ......

FIZICA*F* FG. MECANICA CUANTICA

‐ 1 ‐

FG.

MECANICA CUANTICA

I


‐ 2 ‐

CUPRINS

I

Introducere 5 Capitolul FG.01. Bazele experimentale ale mecanicii cuantice 6

FG.01.1. Radiatia termica. Ipoteza cuantelor 6 FG.01.2. Efectul fotoelectric. Ipoteza fotonilor 15 FG.01.3. Efectul Compton 21 FG.01.4. Presiunea luminii 26 FG.01.5. Experimentul lui Franck si Hertz 27 FG.01.6. Modelul atomic al lui Bohr. 29 FG.01.7. Dualismul unda corpuscul. Ipoteza lui de Broglie. Experimentul Davisson-Germer 39 FG.01.8. Ecuatia lui Schrodinger. Functia de unda (pachetul de unde) 42 FG.01.9. Relatiile de incertitudine ale lui Heisenberg 44

Capitolul FG.02. Descrierea matematica a mecanicii cuantice 48 FG.02.1. Spatii vectoriale 48 FG.02.2. Spaţii Hilbert 51 FG.02.3. Operatori liniari 54 FG.02.4. Operatori hermitici 55 FG.02.5. Reprezentarea vectorilor şi a operatorilor 61 Capitolul FG.03. Fundamentele mecanicii cuantice 64 FG.03.1. Descrierea starii in mecanica cuantica 64 FG.03.2. Variabilele dinamice in mecanica cuantica 80 FG.03.3. Observabile si reprezentari in mecanica cuantica 87 FG.03.4. Procesul de masura in mecanica cuantica 93 FG.03.5. Postulatele mecanicii cuantice 96 FG.03.6. Reprezentarile Schrodinger si Heisenberg 100 FG.03.7. Descrierea evolutiei cauzale. Ecuatia lui Schrodinger 107 FG.03.8. Alte descreri ale mecanicii cuantice 110Capitolul FG.04. Sisteme cuantice simple 115 FG.04.1. Introducere 115 FG.04.2. Particula in groapa de potenţial unidimensionala 115 FG.04.3. Particula in groapa de potential tridimensionala 116 FG.04.4. Particula în groapa de potenţial cu pereţi finiţi 117 FG.04.5. Bariera de potenţial 119 FG.04.6. Efectul tunel 121 FG.04.7. Oscilatorul armonic 123Capitolul FG.05. Atomul de hidrogen 128 FG.05.1. Ecuatia lui Schrodinger pentru miscarea in camp central 128 FG.05.2. Rezolvarea ecuatiilor momentului cinetic 129 FG.05.3. Solutia ecuatiei Schrödinger pentru partea radiala a functiei de unda 131 FG.05.4. Orbitali atomici 138 FG.05.5. Proprietăţi magnetice ale atomului. Magnetonul Procopiu - Bohr 141 FG.05.6. Definirea cuantica a momentului magnetic 143 FG.05.7. Efectul Zeeman 144 II

Capitolul FG.06. Spinul si momentul magnetic de spin 152


‐ 3 ‐

FG.06.1. Momentul cinetic de spin 152 FG.06.2. Experimentul Stern si Gerlach. Momentul magnetic de spin 153 FG.06.3. Teoria lui Pauli a spinului electronic 158 FG.06.4. Modelul vectorial al momentului cinetic 163 FG.06.5. Sisteme de particule identice 164Capitolul FG.07. Spectre atomice 169 FG.07.1. Nivelele de energie şi stările electronilor în atom 169 FG.07.2. Sistemele hidrogenoide 171 FG.07.3. Considerarea efectelor relativiste. Structura fină 174 FG.07.4. Procese radiative. Reguli de selecţie 177 FG.07.5. Clasificarea periodică a elementelor 186 FG.07.6. Atomii metalelor alcaline 189Capitolul FG.08. Informatica cuantica 193 FG.08.1. Informatia cuantica 193 FG.08.2. Unitatea de informatie cuantica. Qubitul 193 FG.08.3. Entanglementul cuantic 195 FG.08.4. Teleportarea informatiei cuantice. Modelare fizica 198 FG.08.5. Modelarea matematica a procesului de teleportare cuantica 199 FG.08.6. Experimente de teleportare 201 FG.08.7. Comunicatii cuantice. Criptografia cuantica 206 FG.08.8. Informatica cuantica. Calculatorul cuantic 207 FG.08.9. Bibliografie specifica informaticii cuantice 207Capitolul FG.09. Aplicaţii de laborator şi simulare numerică (ALBSN) 212 FG.09.01. Bazele experimentale ale mecanicii cuantice 212 FG.09.02. Descrierea matematica a mecanicii cuantice 214 FG.09.03. Fundamentele mecanicii cuantice 214 FG.09.04. Sisteme cuantice simple 215 FG.09.05. Atomul de hidrogen 216 FG.09.06. Spinul si momentul magnetic de spin 216 FG.09.07. Spectre atomice 216 FG.09.08. Informatica cuantica 216 FG.09.09. Dezvoltari si aplicatii ale mecanicii cuantice 217Capitolul FG.10. Autoevaluare (AEV) Capitolul FG.10.01. Bazele experimentale ale mecanicii cuantice ● Exerciții și probleme rezolvate …………………………………………………………………... ● Exerciții și probleme propuse …………………………………………………….. ● Întrebări/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.10.02. Descrierea matematica a mecanicii cuantice ● Exerciții și probleme rezolvate …………………………………………………………………... ● Exerciții și probleme propuse …………………………………………………….. ● Întrebări/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.03. Fundamentele mecanicii cuantice ● Exerciții și probleme rezolvate …………………………………………………………………... ● Exerciții și probleme propuse ● Întrebări/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.04. Sisteme cuantice simple

● Exerciții și probleme rezolvate …………………………………………………………………... ● Exerciții și probleme propuse............................................................................................ ● Întrebări/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.05. . Atomul de hidrogen ● Exerciții și probleme rezolvate …………………………………………………………………... ● Exerciții și probleme propuse ..................................................................... ● Întrebări/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.06. Spinul si momentul magnetic de spin ● Exerciții și probleme rezolvate …………………………………………………………………... ● Exerciții și probleme propuse ..................................................................................


‐ 4 ‐

● Întrebări/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.07. Spectre atomice ● Exerciții și probleme rezolvate …………………………………………………………………... ● Exerciții și probleme propuse …………………………………………………….. ● Întrebări/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.08. Informatica cuantica ● Exerciții și probleme rezolvate …………………………………………………………………... ● Exerciții și probleme propuse ................................................................................... ● Întrebări/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... F_Glosar cuvinte cheie

Cuvânt-cheie Cod capitol Aplicatie FG.07 Atomul de hidrogen FG.01 Bariera de potenţial FG.04 Boson FG.06 Calculator cuantic FG.08 Camp central FG.05 Clasificarea periodică a elementelor FG.07 Comunicatie cuantica FG.08 Criptografie cuantica FG.08 Distributia cuantica a cheilor FG.08 Dualismul unda corpuscul FG.01 Ecuatia radiala FG.05 Ecuatia Schrodinger FG.01 Ecuatia Schrodinger atempotala FG.04 Efect Compton FG.01 Efect fotoelectric FG.01 Efect relativist FG.07 Efectul tunel FG.04 Efect Zeeman FG.05 Element chimic FG.07 Emisie stimulata FG.07 Entanglementul cuantic FG.08 Evolutie cauzala FG.03 Experimentul Davisson si Germer FG.01 Experimentul Franck - Hertz FG.01 Experimentul Stern - Gerlach FG.06 Experiment teleportare FG.08 Fermion FG.06 Functia de unda FG.01 Groapa de potenţial FG.04 Holografie FG.07 Informatica cuantica FG.08 Informatie cuantica FG.08 Ipoteza-de Broglie FG.01 Ipoteza cuantelor FG.01 Ipoteza fotonilor FG.01 Laser FG.07 Magnetonul Procopiu - Bohr FG.05 Mecanica cuantica FG.03 Metal alcalin FG.07 Modelul atomic Bohr, FG.01 Modelare fizica FG.08


‐ 5 ‐

Modelare matematica FG.08 Model vectorial FG.06 Moment cinetic FG.06 Moment cinetic de spin FG.06 Moment magnetic FG.05 Moment magnetic de spin FG.06 Nivel energetc FG.07 Observabila FG.03 Operator hermitic FG.02 Operator liniar FG.02 Orbital atomic FG.05 Oscilatorul armonic FG.04 Pachetul de unde FG.01 Paradoxul EPR FG.08 Particule identice FG.06 Particula libera FG.04 Postulatele mecanicii cuantice FG.03 Perechea EPR FG.08 Presiunea luminii FG.01 Proces de masura cuantic FG.03 Proces radiativ FG.07 Proces de teleportare FG.08 Proprietate magnetica FG.05 Qubit FG.08 Qubit sursa FG.08 Qubit tinta FG.08 Qubit auxiliar FG.08 Radiatie termica FG.01 Regula de selecţie FG.07 Relatiile de incertitudine Heisenberg FG.01 Reprezentarea Heisenberg FG.03 Reprezentare operator FG.03 Reprezentarea Schrodinger FG.03 Reprezentare vector FG.02 Sistem hidrogenoid FG.07 Spatiu Hilbert FG.02 Spatiu vectorial FG.02 Spectru atomic FG.01 Spectru energetic discret FG.07 Spin electronic FG.06 Stari Bell FG.08 Stare cuantica FG.03 Stare excitata FG.07 Stare fundamentala FG.07 Stare legata FG.07 Statistica Bose-Einstein FG.06 Statistica Fermi-Dirac FG.06 Structura fină FG.07 Teleportare cuantica FG.08 Teleportare informatie cuantica FG.08 Teoria lui Pauli FG.06 Transmisia cuantica a informatiei FG.08 Unitatea de informatie FG.08 Unitatea cuantica de informatie FG.08


‐ 6 ‐

Variabila dinamica FG.03 Vector de stare FG.02

Bibliografie 267.


‐ 7 ‐

Introducere

Teoria cuantica in fizica urmareste sa modeleze nivelul cuantic de structura si miscare a materiei printr-o continua rezonanta cu natura, prin intermediul faptelor experimentale al caror rezultat si suport a fost si este in continuare. Acest nivel cuantic se refera la sistemele fizice având

"acţiunea" de ordinul de mărime al constantei lui Planck ( 346,6260755(40) 10 J sh −= ⋅ ⋅ ). Criteriul de stabilire a naturii cuantice a unui sistem fizic dat este reprezentat de relatiile de incertitudine ale lui Heisenberg, care descriu implicit, caracterul dual ondulatoriu-corpuscular al sistemelor cuantice. Legile de evoluţie ale sistemelor cuantice precum si acelea ale procesului de observare și măsură vor fi evidentiate ca urmare, in lucrare, luand in considerare comportarea duala a acestor sisteme ce se manifesta, in general la scara atomica sau nucleara, in electronica, fizica solidului, micro si nanatehnologii, optoelectronica si fotonica, stiinta materialelor si ingineria cuantica, biologie si medicina moderna etc., fiind specifice, generic vorbind, interactiilor din lumea "microparticulelor" unde si corpusculi si a campurilor. Aplicarea legilor fizicii clasice pentru studiul sistemelor cuantice nu mai este posibila intrucat rezultatele obtinute pe baza teoriei clasice sunt în contradicţie cu datele experimentale, studiul fizicii cuantice fiind in consecinta, absolut necesar.

In cursul de fata, prezentarea noilor idei, in contextul aparitiei acestora, prin evidentierea reala a salturilor in gandire este de prima importanta pentru un spirit creator, dinamic in fizica, dar si in formarea viitorului inginer confruntat cu cele mai diferite probleme de proiectare si realizare a unor materiale si instalatii moderne in care fizica cuantica este determinanta. Afirmatia lui Dirac cu privire la sistemele cuantice: " sarcina noastra este de o coordona intr-o teorie coerenta legile la care sunt supuse", reprezinta obiectivul principal al acestui curs de mecanica cuantica, care se doreste modern, riguros unitar, orientat inspre student. Pregatirea acestuia ca inginer este complexa si presupune pe langa o gandire creatoare si corecta si competente aplicative privind realizarea si utilizarea unor aparate si instalatii sofisticate in cele mai diferite domenii dar si competitivitate in contextul provocator la nivel global.

Cursul isi propune sa contribuie la acest proces de formare a viitorului inginer fiind dedicat studentilor tuturor facultatilor cu profil tehnic si de fizica din tara dar si altor specialisti din cercetarea stiintifica si industrie precum si doctaranzilor si cadrelor didactice.


‐ 8 ‐

Capitolul FG.01. Bazele experimentale ale mecanicii cuantice

Cuvinte-cheie:.

radiatia termica, ipoteza cuantelor, efectul fotoelectric, ipoteza fotonilor. efectul Compton, presiunea luminii, experimentul Franck - Hertz, modelul atomic Bohr, spectru energetic,

atomul de hidrogen, dualismul unda-corpuscul, ipoteza-de Broglie,. experimentul Davisson si Germer, ecuatia Schrodinger, functia de unda, pachetul de unde, relatiile de incertitudine

Heisenberg

FG.01.1. Radiatia termica. Ipoteza cuantelor

Prin radiatie termica se intelege radiatia de natura electromagnetica emisa de corpuri datorita agitatiei termice a atomilor si moleculelor. Spectrul acestei radiatii este continuu, de la zero la infinit, fiind dependent de temperatură, undele componente avand amplitudini, faze şi direcţii de polarizare distribuite haotic. Radiaţia termică aflată într-o regiune limitată din spaţiu, de exemplu, o incinta inchisa, aflata în echilibru termic cu corpurile învecinate constituie radiatia de echilibru. Este vorba de un echilibru dinamic caracterizat de egalitatea fluxurilor energetice emise si absorbite, intrucat la echilibru schimburile de energie nu inceteaza. La echilibru, radiaţia termică din incintă este omogenă, izotropă fiind independentă de geometria si natura incintei. Din punct de vedere termodinamic, radiaţia termică constituie un sistem caracterizat de parametrii de stare şi Vp, T , incat primele studii asupra radiatiei termice au avut la baza datele experimentale si metodele termodinamicii.

Mărimile fizice utilizata in studiul radiaţiei termice sun prezentate in tabelul FG.01.1.1

Tabelul FG.01.1.1

Nr.crt.

Marimea Definitia Relatia de definitie Observatii

1 Puterea de emisie spectrala, λE

( emisivitatea sau emitanta)

Fluxul energetic emis de unitatea de suprafaţă, într-un interval spectral în jurul lungimii de undă .

λd

λ

tSE

SE

dddd

ddd

λ=

λΦ

=λ ;

E este energia radiantă iar Φ fluxul energetic emis.

2. Radianţă integrală, R

Mărimea

reprezintă puterea de emisie spectrală dependentă de frecvenţa a radiaţiei.

νE

ν

∫∫∞

ν

∞

λ ν=λ=00

dd EER

ν=λ

c

ν=λ νλ dd EE


‐ 9 ‐

3. Densitatea volumică de energie radiantă, Eρ

Energia radianta pe unitatea de volum

VE

E dd

=ρ ;

V reprezintă volumul incintei.

4. Intensitatea energetică, I a unei surse punctiforme, într-o direcţie dată

Fluxul energetic emis în unitatea de unghi solid în jurul direcţiei considerate.

ΩΦ

=ddI ;

Ωd reprezinta elementul de unghi solid.

5. Strălucirea energetică, B într-un punct al unei surse, după o direcţie.

Intensitatea energetică în direcţia considerată, pe unitatea din suprafaţa normală pe direcţia dată.

θ=

cosdd

SIB ;

direcţia considerata face cu normala la suprafaţă unghiul θ .

Se arata ca:

BcEπ

=ρ4

6. Presiunea radiaţiei, p asupra suprafeţei pe care este incidentă.

-Experienta lui Lebedev,1901.

-Variaţia impulsului fotonilor incidenţi N în unitatea de timp, pe unitatea de arie (teoria cuantica).

cNhp /ν=

Se arata ca:

3Ep

ρ=

(Ecuaţia termică de stare a radiaţiei termice; teoria termodinamica).

7. Ecuaţia de bilanţ energetic a fluxurilor radiante incident pe o suprafaţă , absorbit

Φ

AΦ ,

reflectat şi

transmisRΦ

TΦ .

νΦ+νΦ+νΦ=νΦ νννν dddd TRA ;

ν desemnează fluxurile spectrale corespunzatoare.

8. Puterea relativa de absorbţie,

νA

ν

νν Φ

Φ= AA .

Daca , 1=νA

corpurile sunt

absolut negre (absorbante).


‐ 10 ‐

9. Puterea relativa de reflexie:

ν

νν Φ

Φ= RR .

Daca , 1=νR

corpurile sunt

absolut albe

(reflectatoare).

10. Puterea relativa

transmisie:

ν

νν Φ

Φ= TT .

Daca , 1=νT

corpurile sunt

absolut transparente.

Evident ca:

1=++ ννν TRA .

Corpurile absolut negre prezinta o importanta deosebita pentru studiul radiatiei termice, deoarece din proprietatile generale de emisie si absorbtie ale corpului negru pot fi deduse proprietatile corespunzatoare si ale altor categorii de corpuri. In natura nu exista corpuri absolut negre dar se pot realiza dispozitive care sa se comporte ca un corp negru pe un domeniu de frecventa. De exemplu, funinginea si negrul de platina se apropie prin proprietatile lor foarte mult de corpul negru. Modelul experimental de corp negru il constituie o cavitate sferica sau cilindrica incalzita uniform, prevazuta cu o mica deschidere. Intrucat o "raza de lumina " care patrunde prin deschidere in cavitate sufera un numar foarte mare de reflexii si absorbtii succesive, aceasta nu mai poate parasi cavitatea astfel incat se comporta ca un corp negru. Radiatia de echilibru din interior are o distributie spectrala asemanatoare cu ceea a corpului negru astfel incat prin deschidere se obtine in exterior radiatie de corp negru.

a. Legile radiaţiei termice

La sfârşitul secolului al XIX-lea, înţelegerea proprietăţilor radiaţiei termice era nesatisfacatoare, curbele experimentale ale emisivităţii spectrale ( )λλE neputand fi explicate în mod riguros, pe baza cunoştinţelor

existente la acea dată. Adoptarea unui nou mod de abordare de catre Planck, care a introdus in fizica "ipoteza cuantelor" a condus la clarificarea tuturor problemelor privind radiaţia termică, dar a complicat lucrurile pentru fizica clasică ale cărei limite erau evidente. Fizica cuantică explică in prezent în mod natural şi riguros radiaţia termică şi toate fenomenele legate de aceasta, insa in dezvoltarea fizicii cuantice au avut un rol determinant legile experimentale ale radiatiei termice.

1. Legea lui Kirchhoff

Studiind pe cale termodinamica radiatia termica de echilibru dintr-o cavitate vidata in care se gaseec mai multe corpuri, Gustav Kirchhoff a stabilit in primul rand ca densitatea spectrala a radiatiei este omogena in interiorul cavitatii fiind functie de temperatura dar independenta de natura si proprietatile corpurilor din cavitate, respectiv de peretii acesteia. Totodata, Kirchhoff a formulat urmatoarea lege care-i poarta numele:


‐ 11 ‐

"Raportul dintre puterea spectrală de emisie şi puterea relativă de absorbţie a oricarui corp aflat la

o temperatura data este independent de natura şi proprietăţile fizice ale corpului fiind o funcţie universală, univocă, de temperatură şi frecvenţa radiaţiei".

νE νA

Sub forma matematica legea lui Kirchhoff se exprima astfel:

( TfAE

,ν=ν

ν ). (FG.01.1.1)

In cazul corpului negru definit prin conditia 1=νnA se obtine:

( ) nn

ETfAE

νν

ν =ν= , , (FG.01.1.2)

rezultat care arata ca funcţia universală a lui Kirchhoff ),( Tf ν reprezintă chiar emisivitatea a corpului

negru. Studiul radiatiei termice de echilibru presupune cunoasterea functiei universale de distributie

spectrala a emisivitatii corpului negru, avand temperatura ca parametru.

nEν

),( Tf ν

Fig. FG.01.1.1 Fig. FG.01.1.2

Curba experimentala calitativa de distributie spectrala a radiatiei de corp negru este prezentata pentru diferite temperaturi in figura FG.01.1.1. Se observa cresterea cu temperatura a emisivitatii corpului negru si deplasarea spre lungimi de unda mai mici a maximului corepunzator emisivitatii maxime. In figura FG.01.1.2 se prezinta comparativ curbele care dau emisivitatea corpului negru si aunui corp oarecare, punandu-se in evidenta puterea de emisie mai scazuta a corpurilor cu putere relativa de absorbtie subunitara. Pe baza legii lui Kirchhoff se poate explica, de exemplu, emisia de lumina de catre flacara unei lumanari. Intrucat corpurile cu putere de absorbtie mare au si putere de emisie mare, lumina unei flacari este data de radiatia pronuntata a particulelor " negre" din zona de ardere a materialului. Nu acelasi lucru se poate spune despre un bec cu gaz unde are loc o ardere completa.

Legea Stefan-Boltzmann


‐ 12 ‐

Un pas important în cunoaşterea funcţiei ( , )f T ν îl constituie legea Stefan-Boltzmann care

are următorul enunţ:

"Radianta integrală a corpului negru este proporţională cu puterea a patra a temperaturii absolute", adica:

4R T= σ (FG.01.1.3)

unde:

0dR E

∞

ν= ∫ ν

4−

(FG.01.1.4)

iar σ este constanta Stefan-Boltzmann şi are valoarea: 8 25,6693 10 Wm K− −σ = ⋅ . (FG.01.1.5)

Relaţia anterioară a fost găsită în anul 1879 de către Jožef Stefan şi demonstrată pe cale termodinamică, în anul 1884 de către Ludwig Boltzmann, care a aplicat radiaţiei termice de echilibru dintr-o cavitate prevăzută cu mic un orificiu (corp negru) ecuaţia fundamentală a termodinamicii:

d d dT S E p V= + . (FG.01.1.6)

De asemenea, s-au utilizat relaţiile termodinamice:

d dd dV T

p ETT V

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

p+ (FG.01.1.7)

3Ep ρ

= (FG.01.1.8)

precum şi relaţiile:

4 4E B R

c cπ

ρ = = (FG.01.1.9)

dintre densitatea de energie Eρ , strălucirea B a pereţilor cavităţii şi radianţa integrală R, care se obţin imediat din relaţiile de definiţie. Rezultă imediat ecuaţia diferenţială a densităţii de energie:

d 4d

EET

Tρ

= ρ , (FG.01.1.10)

care, prin integrare, poate fi scrisă sub forma (FG.01.1.3) a legii Stefan-Boltzmann.

Legea deplasării a lui Wien

Datele experimentale au arătat că există o legătură directă între distribuţia spectrală a radiaţiei emise de un corp negru şi temperatura acestuia.

Astfel, Wilhelm Wien a stabilit (în 1893) că există o dependenţă liniară între frecvenţa pentru care curba care dă distribuţia spectrală a emisivităţii corpului negru prezintă un maxim şi temperatura absolută, conform relaţiei:

max bTν = (FG.01.1.11)

care exprimă legea deplasării a lui Wien, în care b, numeric egală cu 1,96 c (c este valoarea vitezei luminii în vid) şi exprimată în Hz⋅K−1, este o constantă a cărei valoare a fost găsită experimental.

O altă formă a legii de deplasare, în funcţie de lungimea de undă maxλ care corespunde maximului emisivităţii, este dată de expresia


‐ 13 ‐

⋅

mT Aλ = (FG.01.1.12)

unde este constanta lui Wien. 20,289782 10 m KA −= ⋅

Legea lui Wien este în deplină concordanţă cu datele experimentale.

Prin urmare, conform legii deplasării, maximul emisivităţii spectrale se deplasează, cu creşterea temperaturii, spre lungimi de undă mai mici. De exemplu, la temperaturi mici maximul radiaţiei emise se situează în infraroşu, trecând succesiv în roşu, galben, violet …, când temperatura creşte.

Legea semiempirică de distribuţie spectrală a lui Wien

Tot din considerente termodinamice, Wien a arătat (în 1893) că distribuţia spectrală a densităţii de energie are forma generală

3 fE Tνν⎛ ⎞ρ = ν ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (FG.01.1.13)

adică funcţia fTν⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

depinde numai de raportul Tν⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

, până la nişte constante.

În anul 1896, tot Wien propune pentru funcţia Tν⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

forma semiempirică

f T

T

βνν⎛ ⎞ = α⎜ ⎟⎝ ⎠

e (FG.01.1.14)

(unde α şi β sunt nişte constante) urmărind să obţină cea mai bună aproximare a curbei experimentale.

O formă echivalentă a expresiei (FG.01.6.14) a legii lui Wien este dată de relaţia 5 g( )E T−

λ = λ λ (FG.01.1.15)

unde 2

1g( ) eC

TT C−

λλ = (FG.01.1.16)

şi are următorul enunţ: puterea de emisie a corpului negru la o anumită temperatură este invers proporţională cu puterea a cincea a lungimii de undă, C1 şi C2 fiind constantele lui Wien (până la un factor care depinde doar de produsul λT).

Observaţie: Se poate arăta că formula lui Wien poate fi privită ca o modificare a legii lui Boltzmann pentru distribuţia particulelor independente aflate în echilibru statistic, observaţie care prezintă interes pentru teoria duală, ondulatoriu corpusculară a luminii.

Deşi nu a căpătat o fundamentare teoretică riguroasă şi prezintă limitări experimentale pregnante la frecvenţe mici, unde emisivitatea spectrală trebuie să fie proporţională cu pătratul frecvenţei, legea lui Wien constituie, totuşi, cea mai bună descriere a distribuţiei spectrale a radiaţiei termice.

Legea de distribuţie spectrală Rayleigh-Jeans

Căutând o explicaţie teoretică pe baza teoriei ondulatorii a lui Fresnel şi Young a radiaţiei corpului negru, lordul Rayleigh (John William Strutt) găseşte o formulă pentru distribuţia spectrală a radiaţiei termice care este apoi simplificată de J. H. Jeans, fiind astfel cunoscută sub numele de legea Rayleigh-Jeans şi având următoarea expresie matematică:

4

8E kTλ

πρ =

λ (FG.01.1.17)


‐ 14 ‐

Formula (FG.01.1.15) arată că puterea de emisie a corpului negru la o anumită temperatură este invers proporţională cu puterea a patra a lungimii de undă.

Această formulă, care prezice o creştere parabolică cu frecvenţa a emisivităţii în tot spectrul, este în concordanţă cu experienţa numai pentru lungimi de undă mari sau pentru temperaturi înalte. Pentru lungimi de undă mici, formula duce la o creştere continuă, spre infinit, a emisivităţii spectrale, care, astfel, nu mai prezintă maximul cunoscut din experienţă (neconcordanţa a fost denumită de P. Ehrenfest „catastrofa ultravioletă”). Se observă că această lege „completează”, într-un anumit sens, legea lui Wien care, dimpotrivă, modelează bine realitatea pentru lungimi de undă mici.

Modul de deducere a relaţiei (FG.01.1.17), prezentat în continuare, suscită însă un interes deosebit, deoarece este cel utilizat de Planck la stabilirea formulei corecte de distribuţie spectrală a radiaţiei termice (fiind, de fapt, o combinare a metodei Rayleigh-Jeans şi a celei folosite de Planck pentru a regăsi formula Rayleigh-Jeans pe altă cale).

În principiu, se consideră − în concordanţă cu teoria ondulatorie a luminii − că radiaţia dintr-o incintă la echilibru termic se prezintă sub formă de unde staţionare (moduri de vibraţie) ca urmare a suprapunerii undelor directe şi reflectate (se admite că lungimile de undă implicate sunt mici în comparaţie cu neregularităţile microscopice ale suprafeţelor reflectătoare).

Expresia densităţii spectrale de energie din cavitate se poate obţine multiplicând energia asociată fiecărei astfel de unde (mod de vibraţie) cu densitatea de moduri de vibraţie din cavitate.

Asociindu-se „oscilatori” pereţilor incintei, pentru fiecare dintre frecvenţele din cavitate, se constată că, odată cu echilibrul radiaţiei termice din incintă se atinge şi echilibrul statistic al acestor oscilatori. Întrucât energia medie a unui astfel de oscilator este kT, conform principiului echipartiţiei energiei pe grade de libertate, se admite că energia unui mod de vibraţie al cavităţii este, de asemenea, kT. Prin urmare, pentru a găsi densitatea de energie a radiaţiei termice din cavitate trebuie să calculăm densitatea corespunzătoare de moduri, adică numărul modurilor pe unitatea de volum şi pe unitatea de frecvenţă (Se ştie că, pentru o cavitate ale cărei dimensiuni sunt mari în comparaţie cu lungimea de undă, modurile normale ale cavităţii sunt independente de forma acesteia).

S-a obţinut, pentru densitatea de moduri pe interval de frecvenţă, expresia finală: 2

3

d 8d NNV cν

πνν = = νd (FG.01.1.18)

astfel încât densitatea spectrală de energie a corpului negru va fi dată de relaţia 2

3

8E kT

cνπν

ρ = (FG.01.1.19)

formulă în concordanţă cu forma (FG.01.1.15) pentru aceasta.

Observaţie: Legătura dintre expresiile (FG.01.1.17) şi (FG.01.1.19) ale densităţii spectrale de energie

se obţine ţinând seama de relaţiile d dE Eλ νρ λ = ρ ν şi cλ =

ν.

Legea de distribuţie spectrală a lui Planck. Ipoteza cuantelor

Forma originală a studiilor lui Planck asupra radiaţiei termice cuprinde două etape: o primă etapă se încheie cu stabilirea formulei care îi poartă numele, privind distribuţia spectrală a radiaţiei termice în deplină concordanţă cu faptele experimentale; a doua etapă, dedicată fundamentării teoretice a acestei formule, a dus la introducerea ipotezei cuantelor.

Principalele elemente teoretice şi experimentale utilizate de Planck în studiile sale au fost următoarele:

a) Planck a obţinut mai întâi, pentru energia medie a oscilatorului o expresie de tipul


‐ 15 ‐

( , )e 1kT

E T ε

εν =

− (FG.01.1.20)

Din legea lui Wien, combinată cu legea Rayleigh-Jeans, rezultă că energia medie a oscilatorului trebuie să aibă forma

3

( , ) f8cE T

Tν⎛ ⎞ν = ν ⎜ ⎟π ⎝ ⎠

(FG.01.1.21)

prin urmare, cele două ecuaţii (FG.01.1.20) şi (FG.01.1.21) sunt compatibile dacă

hε = ν (FG.01.1.22)

unde h este o constantă de proporţionalitate, astfel încât legea lui Planck se scrie, sub forma finală, 2

3

8( , )e 1

E hkT

Tc ν

πν ερ ν = ⋅

− (FG.01.1.23)

adică densitatea de energie este dată de produsul dintre densitatea de moduri şi energia medie a unui mod.

Deoarece prin aplicarea condiţiilor 0ε → , 0hν → sau pentru a se trece la cantităţile infinitezimale după metoda lui Boltzmann se distruge valabilitatea, demonstrată experimental, a formulei lui Planck, acesta face ipoteza revoluţionară că h are o valoare finită, iar oscilatorii pierd şi absorb energie în

0h →

mod discontinuu, prin cuanta de energie hε = ν .

Constanta universală h, cu dimensiunea de acţiune, numită constanta lui Planck, a fost determinată şi are valoarea . 34(6,62559 0,00016) 10 J sh −= ± ⋅ ⋅

Observaţie: În unele prezentări teoretice se mai utilizează notaţia 2h

=π

h , astfel încât energia cuantei are

expresia ε = . În cele ce urmează, se vor folosi ambele notaţii, în funcţie de situaţie. ωh

Ipoteza lui Planck, greu de acceptat în perioada în care a fost făcută (întrucât principiul schimbului de energie în mod continuu era fundamental pentru toate teoriile fizice) avea să constituie piatra de temelie a Mecanicii cuantice.

Teoria lui Planck a fost structurată, mai târziu, introducându-se ipoteza cuantelor sub forma unui postulat fundamental privind imposibilitatea fragmentării infinite a spaţiului fazelor.

Extinzând la studiul radiaţiei termice cuantificarea oscilatorilor microscopici prin care Planck modelează particulele radiante din cavitatea cu radiaţie termică (şi, în consecinţă, modurile de oscilaţie ale cavităţii) se poate calcula densitatea spectrală de energie ( , )E Tρ ν a radiaţiei termice multiplicând densitatea de moduri dată de relaţia (FG.01.1.18) cu energia medie a unui mod (oscilator) pe care o vom calcula în cele ce urmează.

Fie N numărul oscilatorilor microscopici din cavitate astfel încât:

0 1 20

... nn

N N N N N∞

=

= + + + + ∑ (FG.01.1.24)

unde Nn este numărul oscilatorilor aflaţi în starea cu n cuante de energie hν .

Conform distribuţiei Boltzmann, „populaţiile” stărilor Nn sunt date de relaţii de tipul

'enhkT

nN Nν

−= , (FG.01.1.25)

constantele N′ rezultând din condiţia de normare:


‐ 16 ‐

0

' enhkT

n

Nν∞ −

=

=∑ N , (FG.01.1.26)

deci

0

'e

nhkT

n

NN ν∞ −

=

=

∑ (FG.01.1.27)

Energia totală a celor N oscilatori va fi

( ) ( )100

0 0

0 0

ee( ) 'e ( )

e e

nhnhkTkT

nhnkTnkT

t n nh nhn n kT kT

n n

nhE N nh N nh N N

ν∞ν∞ −−

ν∞ ∞ − ==ν ν∞ ∞− −= =

= =

∂−⋅ ν ∂

= ν = ⋅ ν = =∑∑

∑ ∑∑ ∑

=

( ) ( )11

0

0

1e

1 e1

e 1e1 e

nhkT h

kT kTnkTnnh

kTkT hkTn

hNhN N

ν∞ −ν

−=

νν∞ −ν

−=

⎛ ⎞∂⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟−− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂∂ ν−⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞

=−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

∑

∑. (FG.01.1.28)

Prin urmare, energia medie a unui oscilator va fi:

e 1

thkT

E hEN ν

ν= =

−,

rezultat în concordanţă cu relaţia originară (FG.01.1.19) a lui Planck.

Rezultă, pentru densitatea spectrală de energie a corpului negru şi pentru emisivitatea spectrală a acestuia, respectiv, relaţiile:

( )3

3 5

8 1 8 1

e 1 eE h h

kT kT

h hcc ν

λ

π ν πρ ν = ⋅ = ⋅

λ− −1

c (FG.01.1.29)

şi 3

2

2 1

e 1hkT

hEcν ν

π ν= ⋅

− (FG.01.1.30)

sau 2

5

2 1

e 1hckT

hcEλλ

π= ⋅

λ−

. (FG.01.1.31)

care reprezintă forme echivalente ale legii lui Planck.

Concluzii privind termodinamica radiaţiei termice obţinute din analiza formulei lui Planck

Analizând diferitele forme echivalente ale legii lui Planck, rezultă generalitatea acestei legi, prin faptul că este în deplină concordanţă cu datele experimentale şi că din ea pot fi obţinute toate celelalte legi ale radiaţiei termice prezentate. Astfel:

- Legea deplasării a lui Wien se obţine anulând derivata în raport cu lungimea de undă a densităţii spectrale de energie:

( )( ) ( )

( )2

4 5

2

10

5 e 1 e 1 ( )d 8d

e 1

hc hchckT kTkT

E hckT

hcλ λ

λ

λ

λ − + − λ −ρ ν = − π =

λλ −

0 ; (FG.01.1.32)


‐ 17 ‐

care reprezintă ecuaţia transcendentă max

5 ehckThc

kTλ⎛ ⎞ 5− =⎜ ⎟λ⎝ ⎠

(FG.01.1.33)

a cărei soluţie (grafică) are valoarea max

4,96511423hckT

=λ

, de unde

2max 0,289782 10 m K

4,96511423hcT

k−λ = = ⋅ ⋅ , (FG.01.1.34)

adică legea deplasării şi constanta lui Wien, A.

- Legea Stefan-Boltzmann se obţine din calculul integralei

( ) ( )343 54

2 2 2 30 0 0

d2 d 2 215e 1 e 1

h hkT kT

h hkT kTh h kT k 4

4R E d T Tc c h c hν ν

ν ν∞ ∞ ∞

νπ ν ν π π⎛ ⎞= ν = = = = σ⎜ ⎟

⎝ ⎠− −∫ ∫ ∫ (FG.01.1.35)

(deoarece 3 4

0d

e 1 15x

x x∞ π

=−∫ ), rezultând astfel şi constanta Stefan-Boltzmann:

5 48 2

2 3

2 5,67 10 W m K15

kc h

− −πσ = = ⋅ ⋅ ⋅ 1− (FG.01.1.36)

- Legea lui Wien se obţine pentru lungimi de undă mici sau pentru temperaturi joase, astfel că este

îndeplinită condiţia 1⟩⟩λkThc

. Neglijând unitatea de la numitor în relaţia ( FG.01.1.30), obţinem:

2

5

2 ehckThcE

−λ

λπ

= ⋅λ

(FG.01.1.37)

adică legea lui Wien exprimată de relaţiile (FG.01.1.15, FG.01.1.16) şi constantele lui Wien, 16 2

1 2 3,7 10 WC hc −= π = ⋅ ⋅ m (FG.01.1.38)

22 1,43 10 m KhcC

k−= = ⋅ ⋅ (FG.01.1.39)

Observaţie: Întrucât constanta Stefan-Boltzmann, σ şi Wien, A din legile corespunzătoare ale radiaţiei termice pot fi determinate experimental relativ simplu, fiecare dintre relaţiile (FG.01.1.34) şi (FG.01.1.36) pot fi utilizate pentru determinarea constantei lui Planck. Constanta lui Planck poate fi, de asemenea, determinată din măsurări spectroscopice şi din măsurări asupra efectului fotoelectric.

FG.01.2. Efectul fotoelectric. Ipoteza fotonilor

Introducere

Prin efect fotoelectric se înţelege eliberarea de electroni de către o substanţă sub acţiunea radiaţiilor electromagnetice situate într-un anumit domeniu spectral.

Efectul poate fi extern (propriu-zis), atunci când electronii sunt eliberaţi din substanţă în afara volumului acesteia − fiind caracteristic metalelor, sau intern (fotoconductibilitate), atunci când sub acţiunea radiaţiei are loc o creştere a numărului de purtători de sarcină în substanţă − fiind caracteristic semiconductoarelor şi izolatoarelor. Ca un alt tip de efect fotoelectric poate fi considerată şi fotoionizarea, care constă în eliberarea de electroni de către atomii izolaţi sub acţiunea radiaţiei electromagnetice (de


‐ 18 ‐

exemplu, vaporii monoatomici). Numeroase lichide sau gaze precum şi numeroşi compuşi organici prezintă, de asemenea, efect fotoelectric.

În cele ce urmează ne vom referi la efectul fotoelectric propriu-zis, studiul acestuia determinând introducerea în fizică a ipotezei fotonilor (de către Einstein) ipoteză care, alături de cea a cuantelor (a lui Planck) definitivează concepţia duală, de undă-corpuscul, asupra radiaţiei.

Efectul fotoelectric a fost descoperit în anul 1888 de către Heinrich Rudolf Hertz în cursul experimentelor legate de descoperirea undelor radio (descărcările electrice între doi electrozi erau stimulate de lumina produsă de alte scântei electrice). Experimente de pionierat asupra efectului fotoelectric au mai efectuat W. L. F. Hallwachs şi A. G. Stoletov.

Se pot imagina diferite tipuri de dispozitive experimentale pentru punerea în evidenţă a efectului fotoelectric. Amintim în acest sens experimentul clasic al lui Hallwachs: sub influenţa unui fascicul luminos produs de un arc electric, un electroscop (încărcat negativ) se descarcă şi (descărcat fiind) se încarcă pozitiv, datorită emisiei de electroni prin efect fotoelectric.

Faptul că particulele încărcate emise prin efect fotoelectric sunt electroni, a fost arătat de Philipp

Lenard în 1889, prin determinarea raportului em

(sarcina specifică) pentru particulele emise de o suprafaţă

metalică sub acţiunea unui flux de radiaţii ultraviolete.

Legile experimentale ale efectului fotoelectric

Dispozitivul experimental tipic pentru studiul efectului fotoelectric este prezentat schematic în figura FG.01.2.1.

Fig. FG.01.2.1. Diodă fotoelectrică pentru studiul efectului fotoelectric şi o caracteristică I-U.

Doi electrozi metalici sunt aşezaţi într-un balon vidat prevăzut cu o fereastră pentru fluxul de radiaţie incident pe suprafaţa catodului. Între anod şi catod se aplică o tensiune reglabilă ca valoare şi ca polaritate. Tensiunea aplicată tubului şi curentul prin circuit pot fi măsurate cu un voltmetru şi , respectiv, cu un ampermetru, montate convenabil în circuit. Iluminând catodul K de exemplu cu radiaţie ultravioletă, se constată că în circuit se stabileşte un curent care nu poate fi pus decât pe seama fotoelectronilor emişi de catod, care închid circuitul prin interiorul tubului vidat.

Dacă polaritatea tensiunii exterioare este astfel aleasă încât se opune deplasării electronilor spre anod, există o valoare a acesteia pentru care curentul fotoelectric se anulează; aceasta este numită tensiune de stopare şi satisface ecuaţia:

2

2SmeU =

v (FG.01.6.54) (FG.01.2.1)

în care e, m şi v sunt, respectiv, sarcina, masa şi viteza fotoelectronilor.


‐ 19 ‐

Dacă polaritatea tensiunii exterioare este astfel aleasă încât favorizează trecerea electronilor de la catod spre anod, se constată o creştere a curentului fotoelectric cu tensiunea aplicată, până la o valoare de saturaţie a acestui curent, valoare pentru care toţi electronii emişi de catod sunt colectaţi de anod.

Studiul efectului fotoelectric a condus la stabilirea următoarelor legi experimentale ale acestuia:

1. Intensitatea curentului fotoelectric de saturaţie este proporţională cu fluxul radiaţiei incidente de structură spectrală dată (legea lui Stoletov).

Fig. FG.01.2.2.

2. Energia cinetică a fotoelectronilor emişi depinde liniar de frecvenţa radiaţiei incidente şi este independentă de intensitatea acesteia.

Fig. FG.01.2.3. Fig. FG.01.2.4.

3. Există o frecvenţă limită a radiaţiei incidente, numită „frecvenţă de prag fotoelectric”, dependentă de natura suprafeţei iradiate, sub care efectul fotoelectric nu se mai produce (pragul fotoelectric se mai numeşte şi „pragul roşu”, după culoarea radiaţiei de prag utilizate în experimentele care au dus la stabilirea acestei legi).

4. Efectul fotoelectric se produce practic instantaneu (sub 10−9 s).

O parte dintre aceste legi au fost stabilite, pentru prima dată, încă din anul 1902, de către P. Lenard care a constatat următoarele: ⋅viteza electronilor emişi nu creşte cu creşterea fluxului de radiaţie; ⋅timpul de producere al efectului fotoelectric este foarte mic; ⋅sub frecvenţa de prag, efectul fotoelectric nu se mai produce.

Aceste observaţii experimentale ale lui Lenard veneau în contradicţie cu teoria ondulatorie a luminii, conform căreia: ⋅viteza fotoelectronilor ar fi trebuit să crească odată cu creşterea fluxului de radiaţie şi cu timpul cât acesta acţionează; ⋅timpul de producere al efectului fotoelectric ar fi trebuit să fie mult mai mare; ⋅efectul ar trebui să aibă loc în prezenţa radiaţiei de orice frecvenţă.

Prin urmare, teoria ondulatorie a luminii era incapabilă să explice legile experimentale ale efectului fotoelectric.

Ipoteza fotonilor şi explicarea efectului fotoelectric

Explicaţia corectă a acestui efect în deplină concordanţă cu legile experimentale prezentate mai sus a fost dată de către A. Einstein, pe baza „ipotezei fotonilor”, în anul 1905.


‐ 20 ‐

Având ca punct de plecare „ipoteza cuantelor” a lui Planck, Einstein că radiaţia trebuie să aibă un caracter dual, ondulatoriu-corpuscular, astfel că fasciculul de lumină se comportă ca un ansamblu de corpusculi (numiţi „fotoni”), energia fiecărui foton fiind

hε = ν , (FG.01.2.2)

iar impulsul său fiind

fhpcν

= . (FG.01.2.3)

fotonii identificându-se – prin urmare – cu cuantele de energie ale lui Planck.

Observaţii:

Alte forme sub care poate fi scrise energia şi impulsul fotonului sunt:

2c hh ω

ε = = =λ π

hk (FG.01.2.4)

şi, respectiv,

2fh hkp = = =λ π

hk sau, vectorial, fp k=rr

h , (FG.01.2.5)

unde şi sunt, respectiv, pulsaţia şi vectorul de undă ataşate fotonului. Aceste expresii rezultă ţinând seama de caracterul ondulatoriu al fotonului.

ω kr

Termenul „foton” a fost introdus în 1926 de G. N. Lewis, fiind sugerat de termenii „electron”, introdus de Stoney în 1891 şi „proton”, introdus de Rutherford în 1920.

Mecanismul de producere a efectului fotoelectric este, conform ipotezei fotonilor a lui Einstein, următorul: în procesul de interacţiune foton-electron, care are loc sub suprafaţa metalului, fotonul îi cedează electronului întreaga sa energie ; ca urmare, energia cinetică a electronului devine hε = ν

0T T h= + ν , (FG.01.2.6)

unde este energia cinetică a electronului înaintea interacţiunii şi este, conform teoriei clasice, egală cu

0T hν32 kT (sutimi de electronvolt, la temperatura camerei).

În cazul în care un electron a părăsit suprafaţa metalului prin efect fotoelectric, el a pierdut o parte din energie Lc, în interiorul reţelei cristaline în ciocniri inelastice şi o altă parte Lex, sub formă de lucru mecanic de extracţie; ceea ce rămâne se regăseşte sub forma energiei cinetice a fotoelectronilor, astfel încât se poate scrie ecuaţia de „bilanţ energetic” a lui Einstein:

2

0 2c exmh T L Lν + = + +

v . (FG.01.2.7)

Neglijând Lc şi T0 în relaţia de mai sus, se poate scrie legea efectului fotoelectric, sub formă simplificată, astfel:

2

2 exm h L= ν −

v (FG.01.2.8)

sau, echivalent, 2

(2 p

m h= ν − νv ) . (FG.01.2.9)


‐ 21 ‐

Se poate observa că legile efectului fotoelectric capătă o interpretare simplă pe baza relaţiilor de mai sus.

Astfel, curentului fotoelectric de saturaţie IS cu mărimea fluxului Φ este evidentă, numărul fotoelectronilor eliberaţi fiind proporţional cu numărul fotonilor incidenţi.

Observaţii:

⋅Se constată experimental că numărul fotonilor care extrag efectiv un electron din metal este mult mai mic decât numărul fotonilor incidenţi; diferenţa dintre numărul fotonilor incidenţi în unitatea de timp, nf şi numărul fotoelectronilor emişi în unitatea de timp, Ne determină creşterea energiei de agitaţie termică a reţelei cristaline.

⋅Raportul

e

f

Nn

η = (FG.01.2.10)

se numeşte randament cuantic şi are valori cuprinse între 10−4 şi 10−12.

Relaţiile (FG.01.2.1) şi (FG.01.2.9) pot fi unite într-o singură relaţie:

( )ph ν − ν = SeU , (FG.01.2.11)

reprezentată grafic în figura FG.01.2.5.

Fig. FG.01.2.5.

Pe baza acestei relaţii, Robert Millikan a determinat constanta lui Planck, măsurând panta dreptei ridicate experimental (pentru sodiu, vezi figura FG.01.2.5) şi utilizând sarcina electrică a electronului măsurată de el însuşi în alt experiment (referitor la deplasarea în câmpul electric al unui condensator a particulelor de ulei încărcate − experimentul lui Millikan, 1911).

Interpretarea undelor electromagnetice ca un flux de fotoni este în deplină concordanţă cu existenţa energiei şi impulsului câmpului electromagnetic ca mărimi de stare ale acestuia.

Prin urmare, legile generale de conservare ale energiei şi impulsului se pot scrie pentru sistemele complexe formate din fotoni (caracterizaţi de energia ε = ωh şi impulsul p k=

rrh ) şi microsistemele cu care

interacţionează (electroni, atomi etc.), caracterizate de energia E şi impulsul Pr

sub forma:

i i fE E+ ω = + ωh h f

f

(FG.01.2.12)

i i fP k P k+ = +r rr r

h h (FG.01.2.13)

un de indicii i şi f specifică stările dinaintea interacţiunii şi, respectiv, după interacţiune.

Observaţie:


‐ 22 ‐

În procesul de interacţiune foton-electron, pentru un electron complet liber legile de conservare ale energiei şi impulsului nu pot fi satisfăcute simultan:

- considerând 2

cin 2mE =

v ar trebui să avem simultan 2

2m h= ν

v şi hmcν

=v , adică (!) 2c=v

- considerând 2cin 0( 1)E m c= γ − ar trebui să avem simultan şi 2

0( 1)m c hγ − = ν 0hm ccν

γβ = , adică

(ţinând seama de relaţia ) , deci 2 2 2 1γ = γ β + 0γβ = 0β = (!).

În consecinţă, interacţiunea foton-electron caracteristică efectului fotoelectric implică prezenţa unui sistem exterior (de ex. o reţea cristalină) care să preia o parte din impulsul electronului.

Alte aspecte privind studiul efectului fotoelectric

a) În cazul în care energia cinetică a fotoelectronului este mult mai mare în raport cu energia de repaus a electronului ( ) ca urmare a energiei ridicate a cuantei incidente (de ex. radiaţii X) fotoelectronul se comportă relativist, astfel încât în studiul efectului fotoelectric va trebui să utilizăm legile dinamicii relativiste.

20 0,511 MeVm c

b) În teoria cuantică a lui Fowler se arată dependenţa de temperatură a efectului fotoelectric, evidenţiindu-se variaţia emisiei fotoelectronice cu frecvenţa în vecinătatea pragului (care este definit riguros numai pentru 0 KT → ).

c) Măsurările efectuate asupra efectului fotoelectric au permis calculul tensiunilor de prag (deci al frecvenţelor de prag sau al lungimilor de undă de prag) pentru majoritatea materialelor utilizate în aplicaţii.

Pentru exemplificare dăm, mai jos, lungimile de undă de prag pentru câteva materiale tipice:

Metalul Cs K Na Li Ta Hg Au Fe

λprag [nm] 590,0 550,0 540,0 500,0 305,0 273,5 265,0 261,0

De remarcat dificultăţile de măsurare a tensiunilor de prag, ca urmare a două cauze:

- efectul fotoelectric parazit de pe anodul colector (poate fi înlăturat prin confecţionarea anodului dintr-un alt material în raport cu cel al catodului astfel încât radiaţia incidentă să aibă lungimea de undă situată între cele două praguri).

- diferenţa de potenţial de contact care apare între anod şi catod în cazul în care acestea sunt confecţionate din materiale diferite (poate fi înlăturat făcând măsurători succesive cu anozi şi catozi confecţionaţi din trei metale diferite, după metoda lui Millikan).

d) Un alt aspect interesant al efectului fotoelectric îl constituie efectul fotoelectric selectiv. Conform celor prezentate mai sus, curentul fotoelectric de saturaţie scade cu lungimea de undă la flux incident constant, efectul fotoelectric fiind numit normal. Însă, în anumite cazuri se constată dependenţa curentului de saturaţie de direcţia de polarizare a luminii incidente şi de unghiul de incidenţă al acesteia şi apariţia unui maxim pronunţat pentru o anumită lungime de undă (adică efectul fotoelectric este selectiv). O explicaţie parţială a fenomenului a fost posibilă folosind teoria ondulatorie a luminii, însă explicaţia riguroasă se face în teoria cuantică a interacţiunii cîmp-substanţă.

e) Numeroase alte aspecte specifice prezintă efectul fotoelectric intern (fotoconductibilitatea) şi fotoionizarea.

De exemplu, în cazul fotoconductibilităţii semiconductoarelor, fotonii absorbiţi determină trecerea electronilor din banda de valenţă (sau de pe nivelele impurităţilor donoare) în banda de conducţie, creându-se astfel purtători de sarcină care, în prezenţa unui câmp electric, modifică esenţial proprietăţile conductoare ale materialului. Fenomenul se produce numai dacă fotonii incidenţi au o energie mai mare decât lărgimea


‐ 23 ‐

benzii interzise a materialului, Eg (sau decât EC – Ed) pentru a face posibilă trecerea electronilor în banda de conducţie. Această frecvenţă minimă a fotonilor, sub care aceştia nu sunt absorbiţi, joacă rolul frecvenţei de prag a efectului fotoelectric extern.

Fotoionizarea constă în extragerea electronilor din atomii izolaţi sub acţiunea radiaţiei electromagnetice. Experimental, apariţia electronilor şi a ionilor pozitivi în interiorul unei mase de vapori supuse iradierii poate fi evidenţiată prin metodele spectrografiei de masă. Există o energie minimă de ionizare a atomilor, care determină o frecvenţă de prag de ionizare sub care fenomenul nu se produce, frecvenţa de prag de ionizare corespunzând frecvenţei de prag din cazul efectului fotoelectric extern.

Se constată că, pentru acelaşi tip de atomi, energia de ionizare este mai ridicată decât energia de extracţie a electronilor din reţeaua cristalină, unde electronii se află aproape liberi, diferenţă explicabilă în teoria cuantică.

FG.01.3. Efectul Compton

Evidenţierea experimentală a efectului Compton

Efectul Compton constă în difuzia radiaţiilor X sau γ în procesele de interacţiune cu diverse substanţe însoţită de modificarea lungimii de undă a radiaţiei incidente, funcţie de unghiul de difuzie. Fenomenul este caracteristic substanţelor care prezintă electroni slab legaţi (de ex. grafitul, parafina).

Primele experimente de difuziune a razelor X au fost efectuate în anul 1905 de către C. G. Barkla, care a interpretat rezultatele obţinute pe baza teoriei clasice a difuziei a lui J. J. Thomson.

Din măsurările de intensitate efectuate, Barkla a făcut primele estimări ale numărului de electroni din atomi, dar nu a putut explica diferenţele observate în raport cu teoria clasică pentru razele X dure, datorită imposibilităţii efectuării de măsurători spectroscopice (primele spectroscoape au apărut după ce Max von Laue, în 1912 şi W. L. Bragg în 1914 au efectuat experimentele lor de difracţie pe cristale).

Experimentele de difuzie a razelor X au fost reluate în anul 1923 de către Arthur H. Compton, care a studiat radiaţia X împrăştiată de un strat subţire de grafit cu ajutorul unui spectrometru Bragg cu cristal. Configuraţia experimentală utilizată în acest scop este prezentată în figura FG.01.3.1.

Fig. FG.01.3.1.

Din măsurările experimentale efectuate asupra fasciculului difuzat se constată că între lungimile de undă ale radiaţiei X incidente şi cele ale radiaţiei X difuzate sub un unghi θ există relaţia:

20 (1 cos ) 2 sin

2C Cθ

λ − λ = Δλ = Λ − θ = Λ (FG.01.3.1)

unde este o constantă numită lungime de undă ComptonCΛ 12( 2,42626 10 m)C−Λ = ⋅ .

Explicarea efectului Compton pe baza teoriei fotonice

Efectul Compton a fost explicat pentru prima dată de către A.H. Compton şi P. Debye în anul 1923, aplicând interacţiunii foton-electron legile clasice ale ciocnirii a două corpuri (legea conservării energiei şi legea conservării impulsului), pe baza ipotezei fotonice a lui Einstein.


‐ 24 ‐

Fig. FG.01.3.2.

Interacţiunea caracteristică efectului Compton este prezentată schematic în figura FG.01.3.2, electronul slab legat al substanţei difuzate fiind considerat în repaus.

Caracteristicile dinamice ale fotonului şi electronului care intervin în interacţiunea studiată sunt următoarele:

Energie Foton Electron

înaintea interacţiunii 0hν 20m c

după interacţiune hν 2 20

2E c p m c= + Impuls Foton Electron

înaintea interacţiunii 0hcν 0

după interacţiune hcν p

Conform legilor de conservare a energiei şi a impulsului, pot fi scrise relaţiile: 2 2

0 0 0h m c h c p m cν + = ν + + 2 2 (FG.01.3.2)

0

0 1 1k kh h pc cν ν

= +r r r (FG.01.3.3)

unde 0

1 , 1 şi k k pr r r sunt, respectiv, versorul direcţiei de propagare a fotonului incident, versorul direcţiei de

propagare a fotonului difuzat şi impulsul electronului după interacţiune.

Relaţia (FG.01.3.3) este echivalentă cu două ecuaţii scalare, obţinute prin proiectarea ecuaţiei vectoriale pe două direcţii perpendiculare (una paralelă cu direcţia fotonului incident şi cealaltă perpendiculară pe aceasta) în raport cu care se definesc unghiurile θ şi ϕ de difuziune ale fotonului şi, respectiv, electronului după interacţiune:

0 cos cosh h pc cν ν

= θ + ϕ (FG.01.3.4)

0 sin sih pcν

= − θ + ϕn (FG.01.3.5)

Din relaţiile de mai sus se obţine, prin eliminarea unghiului ϕ, expresia impulsului: 2 2

2 20( cos ) ( sin )h hp

c c⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ν − ν θ + ν⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2θ (FG.01.3.6)

care, introdusă în relaţia (FG.01.3.2) a legii conservării energiei, conduce la ecuaţia:


‐ 25 ‐

(20 0

1 1 1 coshm c

− = − θν ν

)ν ν

(FG.01.3.7) (FG.01.3.7)

care se scrie, în funcţie de lungimile de undă implicate, sub forma standard: care se scrie, în funcţie de lungimile de undă implicate, sub forma standard:

20

0 0

(1 cos ) 2 sin2

h hm c m c

θΔλ = λ − λ = − θ = , (FG.01.3.8)

de unde, prin comparare cu relaţia experimentală (FG.01.3.1), rezultă expresia lungimii de undă Compton:

0C

hm c

Λ = . (FG.01.3.9)

Din analiza relaţiei (FG.01.3.8) rezultă că ecartul lungimii de undă este o funcţie crescătoare de unghiul de difuziune θ, fiind independent de natura substanţei difuzante şi de lungimea de undă a radiaţiei incidente, λ0. Totodată, se observă că ecartul Δλ este întotdeauna pozitiv, întrucât energia fotonului scade în urma interacţiunii, diferenţa de energie fiind preluată de electronul implicat, sub formă de energie cinetică. Ecartul Δλ ca funcţie de unghiul de difuzie θ atinge valoarea maximă pentru θ = π, când şi este nul pentru θ = 0. Se constată că lungimea de undă Compton este lungimea de undă pentru care energia fotonului asociat acestei lungimi de undă este egală cu energia de repaus a electronului:

2 CΔλ = Λ

20 0 0,511 MeV

C

hcE m c= = =Λ

. (FG.01.3.10)

Studiile experimentale evidenţiază prezenţa în spectrul radiaţiei difuzate şi a lungimii de undă iniţiale. Astfel, odată cu creşterea unghiului de împrăştiere, raportul dintre intensităţile componentelor cu lungimile de undă λ şi λ0 se schimbă în favoarea componentei λ (vezi figura FG.01.3.3, în care pe ordonată este reprezentată intensitatea fasciculului difuzat; evident, pentru θ = 0 ordonata va indica intensitatea fasciculului incident). Calculul de mai sus s-a făcut pentru interacţiunea unui foton cu un electron slab legat, dar care a fost considerat liber, astfel că prin ciocnire fotonul îi cedează energie electronului. Apariţia componentei λ0 se explică prin natura elastică a interacţiunii dintre foton şi un electron mai strâns legat, situat pe un strat mai profund al atomului, astfel încât fotonul difuzat nu îşi schimbă, practic, lungimea de undă (ciocnirea se face în acest caz cu tot atomul, electronul rămâne legat de atom astfel încât ecartul de frecvenţă calculat va depinde de masa atomului, deci va fi foarte mic).

Fig. FG.01.3.3.

În mod asemănător se explică interacţiunea, fără modificarea lungimii de undă, a fotonului cu reţeaua cristalină a unui solid. Componenta cu frecvenţa nedeplasată din spectrul radiaţiei difuzate se mai numeşte componentă Thomson; ca urmare a difuziei de tip Thomson care o caracterizează (difuziune fără schimbarea lungimii de undă).


‐ 26 ‐

Studiul electronilor difuzaţi Compton

Referitor la electronii difuzaţi Compton (electronii de recul), din legea conservării energiei rezultă că energia cinetică imprimată acestora este dată de relaţiile:

02

2 0

02

0

(1 cos )

1 (1 cos

hm cT h c m h

m c

ν− θ

= Δν = Δ =ν

+ − )θ. (FG.01.3.11)

Valoare unghiului ϕ de recul al electronului se obţine ţinând seama de relaţia de conservare a impulsului (vezi figura 6.):

02

0

1tg(1 ) tg

2hm c

ϕ = −ν θ

+ (FG.01.3.12)

Deoarece 0 , rezultă că unghiul ϕ se va afla întotdeauna în cadranul al patrulea. ≤ θ ≤ π

Raportul dintre energia cinetică a electronului difuzat şi cea a fotonului incident este dat de relaţia:

0 0

Th

Δλ=

ν λ + Δλ; (FG.01.3.13)

rezultă că, pentru acelaşi unghi de difuzie θ, energia electronului de recul creşte cu creşterea frecvenţei fotonului incident.

Verificări experimentale

În anul 1925 Compton şi Simon au arătat, cu ajutorul unei camere Wilson că valoarea unghiului dintre direcţia fotonului difuzat şi cea a fotonului incident este în concordanţă cu valoarea calculată utilizând legile de conservare ale energiei şi impulsului, pe baza ipotezei fotonice.

Astfel, electronul de recul şi fotoelectronii produşi de radiaţia difuzată prin efect fotoelectric (fotonii nu lasă urme în camera Wilson) sunt vizualizaţi prin urmele pe care le produc după direcţii alese în concordanţă cu relaţia (FG.01.3.12).

Alte experimente, realizate de Bethe şi Geiger, au verificat simultaneitatea apariţiei electronului de recul şi a fotonului difuzat. Configuraţia experimentală utilizează două contoare Geiger. Un fascicul de raze X produce efect Compton într-o atmosferă de H2. Un contor, cu fereastră de Pt şi atmosferă de aer absoarbe electronii de recul şi evidenţiază fotonii difuzaţi prin intermediul fotoelectronilor produşi de aceştia prin efect fotoelectric; celălalt contor, cu atmosferă de H2, reacţionează la electronii difuzaţi Compton, nefiind practic influenţat de fotonii difuzaţi Compton, slab absorbiţi de hidrogen. Montând cele două contoare într-un lanţ de măsură cu coincidenţă, numărul mare de coincidenţe constatat experimental confirmă simultaneitatea apariţiei electronului de recul şi a fotonului difuzat.

Prin urmare, explicarea efectului Compton pe baza teoriei fotonice este în deplină concordanţă cu faptele experimentale.

Efectul Compton multiplu

Analiza radiaţiei Compton difuzate pune în evidenţă posibilitatea producerii unui efect Compton multiplu, deplasarea lungimii de undă a radiaţiei fiind dată, în acest caz, de relaţia:

( )1 0

(1 cos )n

n ii

hm c=

Δλ = − θ∑ (FG.01.3.14)

θi fiind unghiul de difuziune în etapa i din procesul multiplu, cu n etape, considerat.


‐ 27 ‐

Pentru exemplificare se consideră efectul Compton dublu. Considerând cazul particular în care fotonul incident şi cei doi fotoni împrăştiaţi se află în acelaşi plan, relaţia (FG.01.3.14) devine:

( )20

2 1 cos cos2

hm c

θ⎛Δλ = − α⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (FG.01.3.15)

unde 2 1

2θ − θ

α = reprezintă unghiul dintre prima direcţie de împrăştiere şi bisectoarea unghiului de

observaţie θ (vezi figura FG.03.3.4). Relaţia (FG.01.3.15) rămâne valabilă şi în cazul general, în care cei trei fotoni consideraţi nu mai au impulsurile coplanare.

2θ

1θ( )1

2 12α = θ − θ

1 2θ = θ + θ

Fig. FG.01.3.4.

Calculându-se valorile extreme pentru ( )1Δλ şi ( )2Δλ , prin atribuirea de valori convenabile unghiurilor α şi θ, se pot stabili elemente suficient de diferenţiere experimentală a efectelor Compton simplu şi Compton dublu.

Efectul Doppler

Se ştie că efectul Doppler constă în variaţia frecvenţei radiaţiei recepţionate în raport cu frecvenţa radiaţiei emise de către o sursă atunci când aceasta şi observatorul care o recepţionează se află în mişcare relativă între ele.

Teoria ondulatorie a luminii explică efectul Doppler prin variaţia aparentă a lungimii de undă a radiaţiei datorită mişcării relative.

În anul 1922, Schrödinger arată că efectul Doppler poate fi de asemenea explicat utilizându-se ipoteza fotonilor a lui Einstein, oferind în acest fel o confirmare în plus a acestei ipoteze (care statuează caracterul dual al radiaţiei).

Considerăm un atom de masă m şi viteză rv care emite un foton de impuls hcν după direcţia θ (vezi

figura FG.01.3.5).

y

⊥Δrv

hcν

θ

Δrv

Δrv rv

coshcν

θ

sinhcν

θ

+ Δr rv v

x

Fig. FG.01.3.5.

Pentru variaţii mici ale vitezei atomului în urma procesului de emisie, legea conservării impulsului după direcţiile Ox şi Oy se scrie astfel:

coshmcν

Δ = θv (FG.01.3.16)


‐ 28 ‐

sinhmc⊥ν

Δ = θv (FG.01.3.17)

Prin emisia cuantei de energie hν are loc atât variaţia energiei cinetice a atomului, cât şi o modificare a stării sale interne, pusă în evidenţă de energia EΔ , astfel încât legea conservării energiei se va scrie:

2 2 2( ) ( )2mh E⊥⎡ ⎤ν = − − Δ − Δ + Δ⎣ ⎦v v v v (FG.01.3.18)

Din relaţiile (FG.01.3.17) şi (FG.01.3.18), ţinând seama de inegalitatea 2 1hmc

ν , se obţine expresia

frecvenţei cuantei difuzate:

1 cos

Eh

c

Δ

ν =− θ

v (FG.01.3.19)

Pentru , relaţia (FG.01.3.19) reprezintă frecvenţa cuantei emise de atomul în repaus: 0=v

0Eh

Δν = (FG.01.3.20)

prin urmare

00 1 cos

1 cos cc

ν ⎛ν = ν + θ⎜⎝ ⎠− θ

vv

⎞⎟ (FG.01.3.21)

adică formula cunoscută a efectului Doppler.

În mod analog, pe baza ipotezei fotonice se poate obţine formula efectului Doppler relativist (din scrierea corespunzătoare a legilor de conservare ale energiei şi impulsului, înainte şi după emisia fotonului).

Formula (FG.01.3.20) este în deplină concordanţă şi cu postulatele lui Bohr referitoare la atomul de hidrogen.

FG.01.4. Presiunea luminii

Ipoteza ca radiatia exercita o presiune asupra corpurilor pe care cade apartine lui Kepler (in jurul anului 1600) care a incercat sa explice prin existenta presiunii exercitate de radiatia emisa de Soare cozile cometelor care sunt orientate intotdeauna in directie opusa Soarelui. In termodinamica, in anul 1876, Bertoli a facut o experienta in care deplasarea unui piston intr-o incinta vidata nu poate fi explicata decat prin ipoteza existentei presiunii radiatiei.

S-a constatat ca presiunea radiatiei poate fi calculata cu formula 3Ep

ρ= cunoscuta astazi ca fiind ecuatia

termica de stare a radiatiei termice. O metoda directa de masurare a presiunii radiatiei a fost propusa in anul 1901 de catre Lebedev, cara a efectuat urmatoarea experienta. Intr-o incinta vidata a a suspendat cu un fir de cuart, in pozitie orizontala o bara foarte usoara, suspendata cu un fir de cuart. Doua foite de mica, una argintata cealalta innegrita au fost lipite pe capetele barei, astfel incat cele doua foite se comporta diferit in raport cu lumina incidenta de la o sursa puternica. Ca urmare are loc torsionarea firului, care se poate masura cu ajutorul deviatiei spotului luminos incident pe foite, fiind posibila o masurare cantitativa a presiunii radiatiei.

Explicarea presiunii radiatiei pe baza teoriilor clasice ondulatorie si corpusculara ale luminii nu sunt satisfacatoare, fiind in contradictie si cu alte fapte experimentale privind natura acesteia. Teoria cuantica a facut posibila interpretarea riguroasa a presiunii radiatiei cu ajutorul ipotezei fotonilor. Conform acestei


‐ 29 ‐

ipoteze, presiunea luminii este determinată de variaţia impulsului fotonilor incidenţi în unitatea de timp, pe unitatea de arie. De exemplu, pentru N fotoni incidenti, pe o suprafaţă absorbantă ( ) : 1=νA cNhp /ν=

sau pentru o suprafaţă perfect reflectătoare pp 2'= ( )1=νR . In general, pentru o suprafata vand un factor de reflexie ρ rezulta pentru presiunea luminii expresia cunoscuta:

).1( ρ+=′′ pp

FG.01.5. Experimentul lui Franck si Hertz

Studiul emisiei şi absorbţiei radiaţiei de către atom pe baza modelului stărilor energetice staţionare l-a făcut pe Bohr să afirme (în anul 1913) că, în virtutea caracterului intrinsec al acestor stări staţionare, atomului i se poate furniza energie pentru excitare atât prin intermediul radiaţiei externe cât şi pe altă cale, cum ar fi bombardamentul electronic.

Un astfel de experiment de bombardament electronic al atomului a fost efectuat de James Franck şi Gustav Hertz, care au comunicat rezultatele obţinute în anul 1914.

Dispozitivul experimental utilizat de aceştia, de tip triodă (ca şi în experimentul lui Lenard) este prezentat în figura FG.01.5.1. Se observă că, între anod şi catod se aplică un potenţial accelerator, pe când între grilă şi anod – un potenţial de frânare pentru electroni. În incinta de sticlă se află vapori de mercur (sau alte specii de atomi) la o presiune scăzută, între atomii de mercur şi electronii acceleraţi de grilă având loc în mod continuu procese de ciocnire elastică sau neelastică.

Fig. FG.01.5.1.

Spre deosebire de experimentul lui Lenard (unde se studiau atomii care se ionizau în decursul ciocnirilor cu electronii) în acest experiment se urmăreşte comportamentul electronilor în interacţiunile lor cu atomii care pot trece (sau nu) în stări energetice excitate.

Cu ajutorul dispozitivului de mai sus sunt puşi în evidenţă acei electroni care îşi pierd energia într-o ciocnire neelastică cu atomii, măsurându-se curentul anodic în funcţie de tensiunea de accelerare a grilei (vezi figura FG.01.5.2).

Fig. FG.01.5.2.


‐ 30 ‐

Contribuţia electronilor la curentul anodic va fi dată de acei electroni care au energia cinetică suficient de mare pentru a învinge tensiunea de frânare a anodului.

Pe de altă parte, excitarea atomilor de mercur din incintă se poate realiza prin ciocniri neelastice cu electronii dacă energia acestora atinge valorile …, etc. (care caracterizează diferenţele

energetice dintre starea fundamentală şi diferite stări excitate ale atomului), numite energii de rezonanţă1,reV

2,reV

2,reV

.

Aceste energii de rezonanţă corespund unor potenţiale de rezonanţă …, etc., pe care le

măsurăm cu ajutorul potenţialului de accelerare (vezi figura FG.01.5.3). 1,rV

2,rV

2,rV

GKV

Fig. FG.01.5.3.

Observaţie: Excitarea atomilor de mercur se face prin procese de tipul A e A e T− ∗ −+ = + − Δ , numite ciocniri de speţa întâi.

Interpretarea caracteristicii experimentale din figura 11 se face în felul următor. Pentru energii cinetice ale electronilor electronii suferă ciocniri elastice cu atomii de mercur fără a-şi pierde

energia, astfel încât are loc o creştere corespunzătoare a curentului anodic. Dacă energia cinetică a electronilor satisface condiţia atunci, electronii, prin ciocnire neelastică, vor ceda energia

atomilor de Hg, care vor trece în prima stare excitată. Ca urmare, energiile electronilor care au suferit

ciocniri neelastice scad brusc, producând o scădere însemnată a curentului anodic.

,SrT eV<

1reV T eV< <2r

1reV

Dacă energia cinetică a electronilor creşte şi mai mult, fiind verificată condiţia 2 3r reV T eV< <

atunci, electronii, vor ceda atomilor prin ciocniri neelastice fie energia în ciocniri succesive cu mai

mulţi atomi, fie energia , aceştia putând trece în prima sau în a doua stare excitată, producându-se

scăderi importante ale curentului anodic.

1reV

2reV

Raţionamentul poate fi continuat până când energia cinetică a electronilor atinge valoarea energiei de ionizare.

În cazul studiat al atomilor de mercur, potenţialul de rezonanţă este egal cu 4,9 V, astfel încât

pentru această valoare a tensiunii de grilă (1rV

1 14,9 VG rV V= = ) se produce prima scădere însemnată a

curentului anodic (prima ciocnire neelastică a electronilor cu atomii de mercur având loc în apropierea grilei).

Se observă un al doilea minim al curentului pe caracteristica experimentală pentru tensiunea de accelerare ca urmare a faptului că unii electroni efectuează două ciocniri neelastice

succesive, cu doi atomi diferiţi, fiecăruia cedându-i o energie egală cu energia de rezonanţă (prima

ciocnire se produce la jumătatea distanţei dintre catod şi grilă,

2 12 9,8 G rV V= = V

1reV

2L ).


‐ 31 ‐

V

V

Fenomenul se repetă pentru valori ale tensiunii de accelerare egale cu ,

, … ş.a.m.d. 3 1

3 14,7G rV V= =

4 14 14,7 G rV V= =

După apariţia primului punct de minim de pe caracteristica studiată se observă emisia liniei 253,7 nm a mercurului, corespunzătoare energiei de 4,89 eV; intensitatea ei creşte brusc odată cu atingerea unui nou punct de minim, singura explicaţie fiind dezexcitarea atomilor de mercur excitaţi (prin ciocniri neelastice) de electronii acceleraţi. Prin urmare, energia furnizată atomilor prin ciocniri este cedată sub formă de radiaţie optică, în deplină concordanţă cu teoria lui Bohr.

Observaţii: Atunci când au efectuat experimentul, Franck şi Hertz au interpretat potenţialele de rezonanţă ca fiind potenţiale de ionizare şi au susţinut acest punct de vedere până în anul 1917, când au admis explicaţia corectă.

Prin experimente mai rafinate, Hertz a putut pune în evidenţă în spectru mercurului şi linia cu lungimea de undă de 546,1 nm, în deplină concordanţă cu teoria potenţialelor de rezonanţă.

FG.01.6. Modelul atomic al lui Bohr

a. Seriile spectrale ale atomului de hidrogen

Studiile spectroscopice au condus la noi rezultate care aveau să evidenţieze dificultăţile modelului atomic al lui Rutherford şi să contribuie la elaborarea unor modele atomice mai perfecţionate.

Din astfel de studii a rezultat existenţa liniilor spectrale înguste, faptul că frecvenţa radiaţiilor emise sau absorbite variază de la un atom la altul (permiţând identificarea unui anumit tip de atomi cu ajutorul spectrului) etc. Prin urmare, spre deosebire de spectrul continuu al radiaţiei termice, atomii prezintă spectre de linii, care par să conţină informaţii suplimentare asupra structurii acestora.

Un aport important la elucidarea mecanismului de interacţiune a atomului cu radiaţia l-a avut Johann Jakob Balmer care (în anul 1885) a descoperit că liniile spectrale ale hidrogenului situate în vizibil (notate cu Hα, Hβ, Hγ, Hδ) prezintă o anumită regularitate, lungimile de undă corespunzătoare acestor patru linii putând fi calculate cu relaţia:

2

0 2 4n

nλ = λ

− (FG.01.6.1)

unde n este un număr întreg care poate lua valorile 3, 4, 5 sau 6, iar λ0 este o constantă având valoarea λ0 = 3645,6 Å = 364,56 nm.

Concordanţa deplină între rezultatele obţinute experimental şi cele calculate cu formula lui Balmer (FG.01.6.1) sunt prezentate în tabelul FG.01.6.1.

Tabelul FG.01.6.1.

Lungimea de undă Experimentală Calculată Linia

spectrală n J. J. Balmer, 1885 [nm] W. E. Curtis, 1914 [nm] J. J. Balmer, 1885 [nm]

Hα 3 656,210 656,279 656,208

Hβ 4 486,070 486,133 486,080

Hγ 5 430,010 434,047 434,010

Hδ 6 410,130 410,174 410,120


‐ 32 ‐

Mai târziu, Johannes (Janne) Robert Rydberg a observat că formula (FG.01.6.2) se poate pune sub o formă simetrică, mult mai generală, care permite calculul frecvenţelor:

H 2 2

1 12

cRn

⎛ν = −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , (FG.01.6.2)

unde RH este o constantă, numită constanta lui Rydberg pentru hidrogen, având valoarea

RH = 1,0973731568539(55)⋅107 m–1

Observaţie:

Expresia matematică de calcul a constantei Rydberg se va obţine din teoria lui Bohr asupra atomului de hidrogen; valoarea ei a fost găsită şi de către Rydberg, în mod empiric.

Altă formă utilizată în spectroscopie pentru formula lui Rydberg (pentru a se lucra cu numere cât mai mici) este dată de expresia:

H 2 2

1 12

Rn

⎛ν = = −⎜λ ⎝ ⎠%

1 ⎞⎟ (FG.01.6.3)

în care 1ν =

λ% se numeşte număr de undă al liniei spectrale.

Un grup de linii spectrale ale unui spectru, corelate între ele, alcătuiesc o serie spectrală.

Ca urmare, liniile spectrale ale hidrogenului sunt situate în vizibil şi corelate prin formulele lui Rydberg (FG.01.6.2) sau (FG.01.6.3) alcătuiesc o serie numită seria Balmer (după numele descoperitorului ei); numărul întreg n este numărul generator al seriei spectrale.

Ulterior au fost descoperite şi alte serii spectrale ale hidrogenului situate în ultraviolet sau în infraroşu: Lyman (1906), Paschen (1908), Brackett (1922), Pfundt (1924), Humphreys (1953), formula lui Rydberg fiind generalizată pentru calculul liniilor spectrale ale acestor serii sub forma:

H 2 2

1 1cRm n

⎛ν = −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (FG.01.6.4)

cu n > m.

Particularizând formula (FG.01.6.4) pentru fiecare dintre aceste serii, se obţin valorile din tabelul 2.

Tabelul FG.01.6.2.

Nr. crt. Seria Formula de calcul Numărul generator al seriei Domeniul spectral

1. Lyman H 2 2

1 11 L

Rn

⎛ ⎞ν = −⎜ ⎟⎝ ⎠

% 2, 3, 4,Ln = K ultravioletul îndepărtat

2. Balmer H 2 2

1 11 L

Rn

⎛ ⎞ν = −⎜ ⎟⎝ ⎠

% 3, 4, 5,Bn = K vizibil

3. Paschen H 2 2

1 11 L

Rn

⎛ ⎞ν = −⎜ ⎟⎝ ⎠

% 4, 5, 6,Pn = K infraroşu

4. Brackett H 2 2

1 11 L

Rn

⎛ ⎞ν = −⎜ ⎟⎝ ⎠

% 5, 6, 7,Brn = K infraroşu

5. Pfund H 2 2

1 11 L

Rn

⎛ ⎞ν = −⎜ ⎟⎝ ⎠

% 6, 7, 8,Pfn = K infraroşu

6. Humphreys H 2 2

1 11 L

Rn

⎛ ⎞ν = −⎜ ⎟⎝ ⎠

% 7, 8, 9,Hn = K infraroşu


‐ 33 ‐

Termenii limită pentru fiecare serie spectrală se obţin pentru valori ale numărului generator al seriei tinzând către infinit.

Pentru exemplificare, în tabelul 3 se prezintă principalele linii spectrale ale seriilor Lyman, Balmer şi Paschen.

Tabelul FG.01.6.3.

Seria Linia m n λ [nm] ν% [106 m−1] α 2 121,5023 8,2303 β 3 102,5175 9,7544 γ 4 97,2018 10,2879 δ 5 94,9237 10,5348

Lyman

limita

1

∞ 91,1267 10,9737 α 3 656,1123 1,5241 β 4 486,0091 2,0576 γ 5 433,9367 2,3045 δ 6 410,0702 2,4386

Balmer

limita

2

∞ 364,5068 2,7434 α 4 1874,6065 0,53345 β 5 1281,4693 0,78035 γ 6 1093,5205 0,91448 δ 7 1004,6719 0,99535

Paschen

limita

3

∞ 820,1404 1,21930

Rezultatele obţinute pentru seriile spectrale ale hidrogenului pot fi extinse pentru studiul tuturor atomilor/ionilor hidrogenoizi (cu un singur electron), dar spectrul deuteriului, de exemplu, are liniile spectrale deplasate (cu puţin) faţă de cele ale hidrogenului: 656,1123 nm şi Dα = 656,2915 nm, Hβ = 486,0091 nm şi Dβ = 486,1419 nm astfel încât constanta Rydberg pentru deuteriu va avea valoarea RD = 1,0970735067514(92) 107 m–1.

Pentru ionul He+ se obţine (aproximativ) 2He H HHe

4R Z R R+ = = (spectrul având o structură

asemănătoare cu cel al hidrogenului), pentru ionul de Li2+ vom avea (aproximativ) 2HLi Li

9 HR Z R R+ += = etc.

b. Formula combinării Ritz-Rydberg

O nouă etapă în interpretarea datelor spectroscopice furnizate de seriile spectrale o constituie observaţia lui Walther Ritz (1908), care a constatat că formula lui Rydberg (FG.01.6.4) scrisă sub forma

H2 2

cR cRm n

ν = − H (FG.01.6.5)

exprimă frecvenţa liniei spectrale ca diferenţă a doi termeni, numiţi termeni spectrali, şi notaţi cu Tm, respectiv Tn:

m nT Tν = − (FG.01.6.6)


‐ 34 ‐

unde H2m

cRTm

= şi H2n

cRTn

= .

Prin urmare există o corelaţie bine stabilită între diferitele frecvenţe ale liniilor spectrale: dacă două linii fac parte din acelaşi spectru, atunci este posibil ca suma sau diferenţa lor să facă de asemenea parte din spectrul respectiv.

De exemplu, din liniile seriei Balmer BalmerH H 2 2

1 12 3

cRα

⎛ ⎞ν = −⎜ ⎟⎝ ⎠

şi BalmerH H 2 2

1 12 4

cRβ

⎛ν = −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ se poate

obţine, prin scădere, prima linie a seriei Paschen: Paschen Balmer BalmerH H H H 2 2

1 13 4

cRα β α

⎛ν = ν − ν = −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi, evident, invers

(prin adunare): . Balmer Paschen BalmerH H Hβ α α

ν = ν + ν

Deci, dacă termenii spectrali ai unui atom sunt organizaţi într-un tablou de numere, fiecare frecvenţă a spectrului va fi sigur dată de de diferenţa a două astfel de numere, fiind însă necesară formularea unor reguli de selecţie pentru a înlătura acele combinaţii care nu aparţin spectrului.

Formula (FG.01.6.6) exprimă o lege fundamentală a emisiei liniilor spectrale, putându-se aplica, sub o formă corespunzătoare oricărui sistem atomic. Contradicţia acestei legi cu teoria clasică a radiaţiei este evidentă. Atomul, privit ca oscilator, nu mai emite frecvenţa fundamentală şi armonicele acesteia, ci un spectru caracteristic de frecvenţe, fiecare dintre acestea putând fi considerată o frecvenţă proprie, corespunzătoare unui anumit grad de libertate (însă această interpretare vine, la rândul său, în contradicţie cu teoria căldurilor specifice –sub prima sa formă – elaborată de Einstein.

c. Teoria căldurilor specifice ale solidelor

Conform teoriei clasice a căldurilor specifice, valoarea capacităţii calorice a unui mol de substanţă la volum constant este independentă de temperatură, fiind dată de relaţia , unde R este constanta universală a gazelor perfecte. Acest rezultat se obţine admiţând o mişcare de vibraţie a atomilor în solid, fiecărui atom corespunzându-i trei astfel de grade de libertate. Căutând să explice căldurile specifice ale solidelor cu ajutorul teoriei radiaţiei a lui Planck (atomul era privit ca un oscilator care emite frecvenţa ν şi armonicele acesteia) Einstein (în anul 1907) pe baza unor consideraţii statistice, elaborează o nouă teorie a căldurilor specifice ale solidelor conform căreia acestea descresc cu temperatura, tinzând către zero

3VC = R

. Cauza acestei scăderi s-ar datora descreşterii populaţiilor atomice aflate în stări energetice cuantificate superioare, astfel că apare pentru prima dată ideea necesităţii cuantificării sistemelor materiale, pe care o va face în mod strălucit teoria lui Bohr, în deplină concordanţă şi cu teoria seriilor spectrale.

De menţionat că teoria lui Einstein a căldurilor specifice a fost confirmată în principiu experimental de Dewar, Nernst şi Eucken şi completată în anul 1912 de lucrările lui Debye.

d. Cuantificarea energiei atomului. Postulatele lui Bohr

Neajunsurile modelului atomic planetar al lui Rutherford au fost înlăturate de modelul atomic cu elemente cuantice al lui Bohr, elaborat în 1913, considerat şi prima teorie cantitativă a atomului.

Ţinând seama de faptul că electronii aflaţi în mişcare într-un atom nu radiază energie, aşa cum prevăd legile mecanicii şi electrodinamicii clasice, Bohr admite pentru prima dată că atomul nu se comportă ca un sistem clasic, care poate schimba energie în mod continuu. Pentru explicarea comportării electronului în atom, Bohr introduce două postulate fundamentale care constituie elementele esenţiale ale unui nou model atomic, cu elemente cuantice: postulatul existenţei stărilor staţionare şi postulatul frecvenţelor.

1. Postulatul stărilor staţionare

Un sistem atomic poate exista în anumite stări staţionare, caracterizate de şirul discret de energii E1, E2, E3, … En, … în care nu emite şi nu absoarbe energie.


‐ 35 ‐

Aceste stări corespund deplasării electronilor pe orbite staţionare.

2. Postulatul frecvenţelor

Tranziţiile sistemului atomic dintr-o stare staţionară în altă stare staţionară este însoţită de emisia sau absorbţia de energie radiantă, frecvenţa radiaţiei emise sau absorbite fiind dată de relaţia

2 1E Eh−

ν = (FG.01.6.7)

unde 1E şi 2E sunt energiile stărilor atomice staţionare implicate în tranziţie.

Studiind atomul de hidrogen, conceput ca fiind format dintr-un nucleu central în jurul căruia electronul se mişcă pe orbite circulare staţionare, Bohr a reuşit să dea o explicaţie satisfăcătoare liniilor spectrale emise de acesta conform relaţiei (FG.01.6.7) numai cu ajutorul unor condiţii suplimentare de cuantificare pentru momentul cinetic al orbitelor circulare, numite condiţiile de cuantificare ale lui Bohr, care aveau rolul de a stabili orbitele circulare permise pentru mişcarea electronului.

Conform acestor condiţii de cuantificare, electronul atomului de hidrogen nu se poate mişca decât pe decât pe anumite orbite staţionare şi anume pe acelea pentru care momentul cinetic al electronului faţă de nucleu este un multiplu întreg al constantei lui Planck raţionalizate:

OL m r n= = hv (FG.01.6.8)

unde n este un număr natural strict pozitiv numit număr cuantic principal.

Observaţie:

Relaţia (FG.01.6.8), considerată în unele lucrări ca al „treilea postulat al lui Bohr” rezultă din postulatul imposibilităţii fragmentării indefinite a spaţiului fazelor al lui Planck, deci nu reprezintă un postulat nou.

Pe de altă parte, în anul 1915 W. Wilson şi A. Sommerfeld au descoperit, în mod independent, o nouă metodă de cuantificare a orbitelor atomice, care constituie generalizări ale metodei condiţiilor de cuantificare ale lui Bohr.

Spre deosebire de condiţiile de cuantificare ale lui Bohr pentru orbitele circulare, condiţiile de cuantificare Wilson-Sommerfeld pot fi aplicate pentru traiectorii oarecare, în câmpuri de forţe de diferite tipuri.

Metoda constă în rezolvarea ecuaţiilor de mişcare clasice sub formă hamiltoniană, utilizându-se coordonatele generalizate q1, q2, q3, …, q3N şi impulsurile generalizate p1, p2, p3, …, p3N privite ca variabile independente şi formularea condiţiilor de cuantificare cu ajutorul integralelor de acţiune, sub forma:

hndqp kkk =∫ (FG.01.6.9)

unde şi nk sunt numere naturale strict pozitive. 1, 2, 3, ..., 3k = N

Calcului integralelor (FG.01.6.9) poate fi făcut pentru mişcări de tip „multiperiodic”, adică mişcări pentru care coordonata implicată trece printr-un ciclu, independent de celelalte coordonate.

e. Studiul atomului de hidrogen cu ajutorul modelului atomic al lui Bohr

(α) Modelul orbitelor circulare al lui Bohr

Primul model cantitativ al atomului elaborat pe baza postulatelor lui Bohr în 1913 cuprinde:

-calculul orbitelor staţionare în atomul de hidrogen,

-considerarea mişcării simultane a nucleului,


‐ 36 ‐

-interpretarea seriilor spectrale descoperite anterior.

Din condiţia de stabilitate a electronului aflat în mişcare cu frecvenţa unghiulară ω pe orbită, sub acţiunea forţei electrostatice a nucleului (mişcare în câmp central, nucleul fiind considerat imobil) şi a forţei centrifuge, exprimată de relaţia

22

0 204

Zem rr

ω =πε

(FG.01.6.10)

şi din condiţiile de cuantificare ale lui Bohr (FG.01.6.8) se obţine pentru razele orbitelor circulare ale electronului expresia

220

20

4nr Zm e

πε=

h n⋅ . (FG.01.6.11)

Pe de altă parte, ţinând seama de expresia energiei cinetice al electronului în mişcarea circulară, 2 2

0

02 8m ZeT

r= =

πεv (FG.01.6.12)

şi de expresia energiei potenţiale a sistemului alcătuit din nucleu şi electron, 2

04ZeU

r= −

πε (FG.01.6.13)

rezultă pentru energia totală a atomului expresia: 2

08ZeE U T

r= + = −

πε (FG.01.6.14)

Semnul minus al energiei arată că este necesară o energie exterioară pentru separarea electronului de nucleu, atomul fiind, în acest caz, un sistem legat.

Introducând în expresia (FG.01.6.14) a energiei expresia (FG.01.6.11) a razelor orbitelor Bohr, se obţin valori discrete pentru energia atomului, date de relaţia:

2 40

2 20

132nZ m eE

n= − ⋅

πε h (FG.01.6.15)

Din analiza relaţiilor (FG.01.6.11) şi (FG.01.6.15) ale razelor şi, respectiv, energiei totale a atomului se constată următoarele:

-pentru Z = 1 se obţine, pentru razele electronice în atomul de hidrogen expresia:

2 2012

0

4nr n n

m eπε

= ⋅ = r⋅ (FG.01.6.16)

unde r1 se numeşte prima rază Bohr:

1001 2

0

4 0,529 10 mrm e

−πε= = ⋅ , (FG.01.6.17)

mărime utilizată adesea ca unitate de măsură pentru distanţele atomice.

-expresia (FG.01.6.15) a energiei mai poate fi scrisă sub forma: 22 22

20

0

12 4 2n

Z e Z 20

1E m c En c n

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ = − α⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟πε⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠h (FG.01.6.18)


‐ 37 ‐

care evidenţiază mărimea adimensională 2

0

14 1

ec

α = =πε h 37

(FG.01.6.19)

numită constanta structurii fine (utilizată în studiul modelului atomic Bohr-Sommerfeld) şi energia de repaus a electronului,

20 0 0,511 MeVE m c= = . (FG.01.6.20)

Astfel, cu ajutorul expresiei (FG.01.6.18) se poate calcula energia necesară pentru a îndepărta din atom electronul de pe cea mai joasă orbită posibilă, n = 1 (proces de ionizare), ca fiind de aproximativ 13,6 eV, în deplină concordanţă cu experienţa.

-starea atomului de hidrogen care se obţine pentru n = 1 se numeşte stare fundamentală, iar atomul în această stare se numeşte neexcitat; stările cu sunt stări excitate1n > .

-pentru se obţine o serie negativă, discretă a valorilor energiei, al cărei termen general tinde către zero.

n → ∞

(β) Antrenarea nucleului

Dacă se ţine seama şi de mişcarea nucleului, formulele obţinute anterior pentru descrierea atomilor/ionilor hidrogenoizi trebuie să fie corectate, deoarece aproximaţia de „punct fix” a nucleului nu este riguros valabilă decât pentru o masă infinită a acestuia (în raport cu masa electronului).

Ecuaţiile de mişcare ale ansamblului electron-nucleu se scriu, în referenţialul laboratorului, sub forma (vezi figura FG.01.6.1):

0 ( )m r f r= ρr&&

0r (FG.01.6.21′)

0( )MR f= − ρr r&& r (FG.01.6.21″)

Z M

R

unde: m0 este masa de repaus a electronului; M este masa de repaus a nucleului; , rr R

r şi sunt vectorii de poziţie al electronului, al nucleului

şi, respectiv, al centrului de masă; Crr

( )f ρ este forţa de interacţiune dintre cele două particule; iar este versorul direcţiei ρ dintre cele două particule. Cr

r r

Adunând cele două relaţii se poate scrie: Fig. FG.01.6.1.

0( )d m r MRdt

+ =rr &&&& 0 (FG.01.6.22)

sau , (FG.01.6.23) 0 const.m MV+ =rrv

adică impulsul total al sistemului nucleu-electron se conservă.

Ţinând seama de raza vectoare a centrului de inerţie,

0

0C

m r MRrm M

+=

+

rrr

(FG.01.6.24)

se obţine:

0 ( ) (Cm r r M R r− = − )C

rr r r (FG.01.6.25)

adică paralelismul vectorilor Cr r−r r

CR r−r r şi, implicit, coliniaritatea punctelor M, m şi C.

m0

C r

Crr

rrρr

Y

X


‐ 38 ‐

De asemenea, din relaţiile (FG.01.6.22) şi (FG.01.6.23) rezultă (deoarece ) 0 const.M m+ =

const.Cr =r& (FG.01.6.26)

Relaţia (FG.01.6.24) exprimă faptul că punctul C (care este centrul de inerţiei al celor două particule) se mişcă uniform sau este în repaus şi, totodată, reprezintă o altă formă a legii conservării impulsului sistemului celor două particule.

Alegând originea sistemului de coordonate chiar în centrul de inerţie C ( ), cele două particule se mişcă în jurul punctului C pe orbite asemenea, astfel încât studiul mişcării sistemului poate fi înlocuit cu studiul mişcării unei singure particule, situată la distanţa ρ faţă de centrul de inerţie C şi având masa (numită masă redusă

0Cr =r

)

0

00 1

m M mmM m0

M

μ = =+ +

(FG.01.6.27)

Într-adevăr, din ecuaţiile (FG.01.6.21′) şi (FG.01.6.21″), prin scădere, se obţine:

00

1 1 ( )r R f rm M

⎛ ⎞− = + ρ⎜ ⎟⎝ ⎠

rr &&&& r (FG.01.6.28)

sau 01 ( )f rρ = ρμ

r r&& (FG.01.6.29)

unde , (FG.01.6.30) r Rρ = −rr r

adică ecuaţia de mişcare căutată.

Prin urmare, pentru a se ţine seama de mişcarea proprie a nucleului, în relaţiile cantitative care descriu atomii/ionii hidrogenoizi masa electronului în mişcare trebuie înlocuită cu masa redusă μ a celor două particule.

Întrucât 1836

10 ≅Mm se obţine, pentru masa redusă, o valoare cu 0,07% mai mică decât m0.

Acelaşi rezultat se obţine calculând direct valoarea energiei sistemului nucleu-electron, ca şi în cazul considerării nucleului ca fiind fix. Luându-se în considerare mişcarea reală cu frecvenţa unghiulară ω a celor două mase în jurul centrului de masă definit prin expresia:

00M mM r m r= (FG.01.6.31)

Mr şi fiind razele de giraţie ale celor două particule, se scriu relaţiile de cuantificare pentru momentul

cinetic total: 0mr

0

2 20M mM r m r nω + ω = h (FG.01.6.32)

şi condiţia de echilibru între forţele centripetă şi centrifugă:

0

0

0

2 22 2

0 220 0

0

4 ( )4 1

M mM m

m

e eM r m rr r mr

M

ω = ω = =πε + ⎛ ⎞πε +⎜ ⎟

⎝ ⎠

(FG.01.6.33)

astfel încât pentru valoarea energiei totale a atomului de hidrogen E T U= + se obţine expresia:


‐ 39 ‐

( )0

0

22 2 2 2

00

12 8m M

M m

eE T U m r M rr r

= + = ω + ω −πε +( )

(FG.01.6.34)

şi, în final: 4

02 2 2 2

0 0

132n

m eEm M n

= − ⋅ ⋅+ π ε h

(FG.01.6.35)

adică expresia (FG.01.6.15), pentru Z = 1 şi în care masa electronului a fost înlocuită cu masa redusă μ a sistemului atomic.

(γ) Explicarea seriilor spectrale

Exprimarea frecvenţei liniei spectrale emise de atom prin relaţia (FG.01.6.6) ca diferenţă a doi termeni spectrali conform principiului de combinare al lui Ritz-Rydberg permite o interpretare elegantă a seriilor spectrale cu ajutorul modelului atomic al lui Bohr.

Într-adevăr, tranziţiile spectrale între două stări energetice oarecare En şi Em ale atomului, prezise de teoria lui Bohr şi de formula lui Rydberg au loc conform relaţiilor simultane

2 2

1 1n mm n H m n

E E cR T Th m n→− ⎛ ⎞ν = = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (FG.01.6.36)

care evidenţiază o concordanţă perfectă a celor două teorii ale emisiei şi absorbţiei radiaţiei cuantificate, explicabilă prin faptul că termenii spectrali corespund din punct de vedere fizic unor anumite stări energetice staţionare bine definite ale atomului. Rezultatul se poate generaliza pornind de la liniile spectrale aranjate în serii pentru toate liniile spectrale emise sau absorbite prin tranziţii atomice.

Reprezentarea grafică a nivelelor de energie ale atomului de hidrogen şi a tranziţiilor corespunzătoare seriilor spectrale ale acestuia este cunoscută sub numele de diagrama nivelelor de energie sau diagrama termenilor spectrali (vezi figura FG.01.6.2).

Fig. FG.01.6.2.

Observaţie:

Diagrama din figura FG.01.6.2 este simplificată, necuprinzând structura fină a nivelelor energetice ale atomului de hidrogen şi ignorând faptul că nu toate tranziţiile între două nivele oarecare sunt permise (există reguli de selecţie, a căror interpretare este posibilă doar în teoria cuantică modernă).

Determinarea constantei lui Rydberg pentru hidrogen din teoria atomică a lui Bohr se face cu ajutorul relaţiilor (FG.01.6.34) şi (FG.01.6.35); se obţine relaţia:

40

3 008 1

Hm eR

mh cM

=⎛ ⎞πε +⎜ ⎟⎝ ⎠

(FG.01.6.37)


‐ 40 ‐

care poate fi extinsă uşor pentru toţi atomii/ionii hidrogenoizi. Expresia se simplifică în mod corespunzător dacă se neglijează efectul de antrenare a nucleului.

Teoria lui Bohr a permis nu numai justificarea formulei lui Balmer şi calculul constantei lui Rydberg, dar şi prevederea seriilor spectrale Lyman, Paschen, Brackett, Pfund şi Humphreys, nesituate în vizibil.

De asemenea, cu ajutorul teoriei lui Bohr se pot calcula şi spectrele obţinute experimental ale atomilor/ionilor hidrogenoizi (D, He+, Li++ …).

Din punct de vedere fizic, tranziţiile atomice însoţesc fenomenele de excitare, dezexcitare şi ionizare care au loc în atom sub influenţa diferiţilor factori, cum ar fi: agitaţie termică, încălzire, iluminare, ciocniri, prezenţa unor câmpuri electrice sau magnetice, prezenţa unor radiaţii nucleare etc.

Atunci când un atom absoarbe un foton cu energie mai mare decât cea necesară ionizării sale, electronul eliberat prin efect fotoelectric are o energie cinetică egală cu diferenţa , undeih Eν − iE este energia de ionizare.

Atunci când are loc fenomenul invers, fiind captat un electron având o anumită energie cinetică de către un ion, frecvenţa fotonului emis este mai mare decât cea corespunzătoare limitei seriei, spectrul de emisie fiind continuu.

De observat că din relaţiile (FG.01.6.36) rezultă că energia nivelelor atomului poate fi pusă direct în

legătură cu formula lui Balmer, astfel încât termenii spectrali de tipul 2H

nhcRE

n= − se mai numesc termeni

Balmer.

Dacă se consideră cunoscut acest termen şi se utilizează formula (FG.01.6.11) a razei celei de a n-a orbite a lui Bohr şi expresia vitezei unghiulare pe orbită a electronului

2

3

4 HcR Zn

πω = (FG.01.6.38)

rezultă, pentru momentul cinetic orbital al electronului aflat pe orbită expresia: 2

OL mr n= ω = h (FG.01.6.39)

adică regula de cuantificare a lui Bohr (FG.01.6.8).

Prin urmare, se pot postula condiţiile de cuantificare ale lui Bohr şi din acestea să se obţină temenii Balmer sau se pot considera cunoscuţi termenii Balmer şi atunci rezultă în mod direct condiţiile de cuantificare.

Acest raţionament conduce la concluzia că în modelul atomic cu elemente cuantice al lui Bohr cuantificarea momentului cinetic este esenţială.

Observaţie:

Se poate arăta că şi în alte cazuri, cum ar fi, de exemplu, cel al moleculei în rotaţie privită ca rotator rigid, din condiţiile de cuantificare a momentului cinetic se obţin valori cuantificate pentru energie în concordanţă cu experienţa, date de formula:

22

2 28nE nI

= ⋅πh (FG.01.6.40)

numită termen Deslandres (după numele fizicianului francez Henri-Alexandre Deslandres), I fiind momentul de inerţie al moleculei în jurul axei fixe de rotaţie.

FG.01.7. Dualismul unda corpuscul. Ipoteza lui de Broglie. Experimentul Davisson-Germer


‐ 41 ‐

a. Teoria undelor asociate de Broglie

Dificultăţile de interpretare ale caracterului dual al radiaţiei, exprimat de relaţiile teoriei fotonice al lui Einstein,

E h= ν (FG.01.7.1)

hp =λ

(FG.01.7.2)

pe de o parte şi caracterul discontinuu al stărilor staţionare ale electronului în atomul lui Bohr (care contrazicea legile mecanicii clasice, nefiind cunoscute astfel de comportări discrete decât în studiile privind radiaţia: de exemplu, modurile de oscilaţie a radiaţiei dintr-o cavitate sau condiţiile de interferenţă) pe de altă parte, l-au condus pe Louis de Broglie la observaţia că nici electronii nu pot fi priviţi ca simpli corpusculi.

Întrucât în relaţiile (FG.01.6.1) şi (FG.01.6.2) apar în primul membru proprietăţi corpusculare iar în al doilea membru proprietăţi ondulatorii ale radiaţiei, de Broglie formulează (în anul 1924) ipoteza că un astfel de paralelism ar putea exista şi pentru particulele materiale cu masă de repaus foarte mică, astfel încât acestea ar trebui să aibă unele dintre caracteristicile ondulatorii ale cuantelor de lumină (al căror caracter corpuscular nu este înlăturat de faptul că au masa de repaus nulă).

Ca urmare, de Broglie admite că fiecărei particule i se asociază un „sistem de unde” în aşa fel încât traiectoria particulei coincide cu cea a razei care reprezintă sistemul de unde asociat.

Principalele elemente ale teoriei lui de Broglie sunt următoarele:

Din teoria lui Einstein rezultă că unei unde plane de frecvenţă unghiulară ω, amplitudine A şi vector de undă , reprezentată prin expresia k

r

i( )e k r tA ⋅ −ωΨ =r r

(FG.01.7.3)

i se asociază o cuantă de lumină de energie E = ωh şi impuls p k=rr

h , astfel încât ecuaţia capătă forma

i (e

p r EtA

⋅ −Ψ =

r r

h) (FG.01.7.4)

care evidenţiază caracteristicile corpusculare ale cuantei: energia E şi impusul, pr .

Din condiţia de invarianţă relativistă a fazei undei se obţine pentru impulsul fotonului expresia

Epc

= (FG.01.7.5)

Dacă, în continuare, se admite ipoteza lui de Broglie a undelor asociate particulelor materiale şi se consideră, de exemplu, cazul unui electron de energie E şi impuls pr care, datorită caracteristicilor sale ondulatorii se comportă ca o undă în condiţii experimentale corespunzătoare (de exemplu: difracţia), atunci vectorul său de propagare va fi dat de relaţia

pk =rr

h (FG.01.7.6)

astfel încât se obţine pentru lungimea de undă asociată expresia

2pπ

λ =h (FG.01.7.7)


‐ 42 ‐

Pe de altă parte, ţinând seama de expresia relativistă a energiei electronului având masa de repaus m0

2 20

2E c p m c= + (FG.01.7.8)

rezultă, pentru cazul ultrarelativist ( 0p m c ) expresia (FG.01.6.5) care dă legătura dintre energie şi impuls pentru cuanta de lumină ( ). 0 0m →

În cazul nerelativist se obţine pentru energie expresia aproximativă: 2

20

02pE m cm

= + . (FG.01.7.9)

Ţinând seama de ecuaţiile (FG.01.6.7) şi (FG.01.6.9) rezultă, pentru electronul accelerat într-un câmp de potenţial U, lungimea de undă asociată:

0

2 1,5 V nm2 Um eU

πλ =

h (FG.01.7.10)

De exemplu, pentru rezultă 410 VU = 12,2 pmλ = , adică o lungime de undă situată în domeniul razelor X, astfel încât ne putem aştepta la difracţia pe cristale a electronilor acceleraţi corespunzător, asemănător razelor X.

O dezvoltare a teoriei lui de Broglie privind modul de reprezentare a particulelor printr-un sistem de unde asociate limitat spaţial va fi făcută ulterior, în cadrul prezentării caracterului universal al dualismului corpuscul-undă. Pentru exemplificare, în tabelul FG.01.7.1 se prezintă lungimile de undă λB asociate unor particule materiale de diferite mase şi viteze.

Tabelul FG.01.7.1.

Nr. crt. Tipul particulei Masa de repaus m0 [kg] Viteza [m⋅s−1] λB [m]

1. Electroni lenţi 9,31⋅10−31 0,01 7,27⋅10−2 2. Electroni lenţi 9,31⋅10−31 1 7,27⋅10−4 3. Electroni rapizi 9,31⋅10−31 5,94⋅106 1,22⋅10−10 4. Particule alfa 6,67⋅10−27 6,94⋅104 1,43⋅10−12 5. Particule alfa 6,67⋅10−27 6,94⋅107 6,56⋅10−15

b. Confirmări experimentale ale naturii ondulatorii a particulelor materiale

Experienţa de difracţie cu electroni a lui Davisson şi Germer

Teoria lui de Broglie privind caracterul dual al particulelor materiale implică schimbări fundamentale ale concepţiei asupra fenomenelor şi proceselor din lumea microparticulelor.

Era însă necesară confirmarea experimentală a naturii ondulatorii a particulelor materiale aşa cum rezultă din teoria lui de Broglie. Imediat după apariţia teoriei, W. Elsasser evidenţiază faptul că, dacă teoria lui de Broglie este corectă, diferite particule materiale (cum ar fi, de exemplu, electronii) ar trebui să producă fenomene de difracţie.

Ţinând seama că lungimea de undă asociată de Broglie a electronilor, convenabil acceleraţi, se situează în domeniul spectral al razelor X, fenomenele de difracţie a electronilor s-ar putea evidenţia asemănător difracţiei razelor X pe cristale.


‐ 43 ‐

Fig. FG.01.7.1.

Un astfel de experiment de difracţie a electronilor a fost efectuat pentru prima dată în anul 1927 de către Davisson şi Germer.

Configuraţia experimentală utilizată de aceştia este prezentată în figura 15. Electronii emişi de un filament incandescent sunt acceleraţi şi colimaţi în tunul electronic TE la tensiuni de ordinul sutelor de volţi şi dirijaţi către un cristal de Ni fixat într-un suport care se poate roti în jurul unei axe paralele cu direcţia de incidenţă a fasciculului electronic. Electronii reflectaţi (difractaţi) de cristal au o distribuţie unghiulară care poate fi determinată cu ajutorul unui colector (cilindru Faraday) conectat la un instrument de măsură (electrometru). În acest scop, colectorul se poate roti pe un cadran gradat semicircular cu centrul în punctul de impact al electronilor pe cristal, poziţia fiind dată de unghiul ϕ al razei sale vectoare cu direcţia fasciculului incident. Dispozitivul poate fi prevăzut şi cu un reglaj pentru poziţia azimutală a colectorului, dată de un alt unghi θ, astfel încât colectorul se poate mişca pe o emisferă (acest reglaj al azimutului poate fi obţinut, pentru o tăietură convenabilă a cristalului, prin rotirea suportului său).

Modificând unghiul azimutal θ, se constată o variaţie periodică a curentului prin detector. Pentru o valoare fixă a unghiului θ şi cu o tensiune de accelerare constantă se pot construi diagramele polare ale intensităţii fasciculelor electronilor colectaţi. Caracterul selectiv al proceselor de reflexie, evidenţiat prin apariţia unor maxime secundare (vezi figura 16) a fost interpretat admiţându-se teoria lui de Broglie privind natura ondulatorie a fasciculului de electroni. Ca şi în cazul difracţiei razelor X pe cristale, electronii prezintă fenomene de difracţie, lungimea de undă asociată de Broglie verificând legea lui Bragg ( 2 sind nθ = λ , cu n natural).

Dispozitivul experimental prezentat poate fi utilizat şi pentru determinarea dependenţei intensităţii fasciculului difractat de mărimea impulsului electronilor.

Fig. FG.01.7.2.


‐ 44 ‐

FG.01.8. Ecuaţia lui Schrödinger. Funcţia de undă (Pachetul de unde)

a. Istoric

Cu peste douazeci si cinci de ani inainte ca Planck sa formuleze ipoteza cuantelor William Rowan Hamilton (matematician si astronom) a fost preocupat de gasirea unei singure legi de miscare pentru particulele materiale si razele de lumina pornind de la analiza principiului lui Fermat[9]:

∫ =δB

A

dt 0 , (FG.01.8.1)

unde A si B sunt doua puncte prin care trece raza de lumina.

In acest scop Hamliton a evidentiat analogia dintre principiul lui Fermat si principiul care-i poarta numele, privind miscarea unei particule cu energia constanta:

∫ =δB

A

Tdt 02 , (FG.01.8.2)

unde T este energia cinetica a particulei.

Pornind de la ideea lui de Broglie conform careia unei particule i se asociaza un grup de unde care se propaga cu viteza particulei de energie E,

Erwin Schrodinger arata ca pentru ν= hE se obtine formula lui de Broglie

ph

=λ , (FG.01.8.3)

unde p este impulsul particulei.

Prin urmare, traiectoria particulei descrisa de mecanica clasica este asemanatoare razei optice al carei traiect este dat de optica fasciculelor (geometrica).

Stiindu-se ca optica geometrica este un caz limita al opticii ondulatorii, Schrodinger si-a propus sa gaseasca analogul opticii ondulatorii pentru miscarea particulelor, adica o "mecanica ondulatorie", in concordanta cu teoria lui de Broglie si cu alte rezultate privind dualismul corpuscul-unda.

Analizand ecuatia fundamentala de propagare a undelor:

012

2

22

2=

∂

Φ∂−

∂

Φ∂

tvx, (FG.01.8.4)

unde Φ este amplitudine undei iar v viteza de faza a acesteia Schrodinger arata necesitatea introducerii unei marimi pentru " amplitudinea" undei asociate particulei, numita "functie de unda" care sa verifice o ecuatie asemanatoare ecuatiei (7...4) si in care sa intervina o viteza de faza rezultata

Ψ

pe baza corespondentei dintre ecuatiile 1 si 2:

)(2

.UEm

Constv−

= , (FG.01.8.5)

unde s-a identificat constanta din ecuatia de mai sus cu energia particulei.

S-a obtinut astfel ecuatia unidimensionala:


‐ 45 ‐

0)(222

2=Ψ−+

∂

Ψ∂ UEmx h

, (FG.01.8.6)

cunoscuta sub numele ecuatia lui Schrodinger atemporala.

b. Ecuatia de unda generala

O astfel de ecuatie trebuie sa indeplineasca conditiile:

- sa fie liniara astfel incat solutiile sale sa poata fi suprapuse pentru a se putea explica fenomenele de de interferenta si difractie;

- in coeficientii ecuatiei sa nu intervina decat constante ale particulei cum ar fi masa, sarcina electrica sau constante generale cum ar fi constanta lui Planck etc.

Intrucat aceasta ecuatie diferentiala trebuie sa fie spatio-temporala si sa admita ca solutii functii de unda de forma:

)( Etpri

e−

h , )( Etpri

e−−

h , )(1cos Etpr −h

, )(1sin Etpr −h

, (FG.01.8.7)

se observa ca diferentierea unor astfel de componente in raport cu timpul are ca efect multiplicarea acestora cu E (sau ) iar diferentierea acestora in raport cu coordonata spatiala are ca efect multiplicarea lor cu p (sau k).

ω

Ca urmare, relatia:

m

pE2

2= , (FG.01.8.8)

sugereaza faptul ca ecuatia diferentiala de unda trebuie sa fie de ordinul intai in raport cu timpul si de ordinul doi in raport cu coordonatele spatiale.

Admitand o ecuatie de unda pentru particula libera avand forma generala:

2

2

xt ∂

Ψ∂γ=

∂Ψ∂

(FG.01.8.1)

si punand conditia ca functia de unda a particulei libere de forma:

)( Etpxi

e−

=Ψ h (FG.01.8.10)

sa fie soluit e a acestei ecuatii, rezulta:

mi2h

=γ . (FG.01.8.11)

Prin urmare se ajunge la o ecuatie de unda pentru particula libera avand forma generala:

2

22

2 xmti

∂

Ψ∂−=

∂Ψ∂ h

h (FG.01.8.12)


‐ 46 ‐

cunoscuta sub numele de ecuatia lui Schrodinger temporala.

Forma tridimensionala a acestei ecuatii este urmatoarea:

ΔΨ−=∂Ψ∂

mti

2

2hh . (FG.01.8.13)

Se arata usor ca intr-un camp de forte ecuatie de unda Schrodinger pentru particula cuantica are forma generala:

Ψ+Δ−=∂Ψ∂ )),(

2(

2trU

mti hh , (FG.01.8.14)

care reprezinta ecuatia fundamentala a mecanicii cuantice, rezultatele experimentale validand-o si ridicand-o la rangul de principiu, dupa cum se va arata in capitolul FG.03.

FG.01.9. Relaţiile de incertitudine ale lui Heisenberg

a. Superpozitia undelor. Pachetul de unde.

Incercarile de a compatibiliza teoriile ondulatorie si corpusculara ale radiatiei, in concordanta cu faptele experimentale trebuia se porneasca de la analiza ecuatiei de unda:

)](exp[0 rktiEE rrrr−ω= . (FG.01.9.1)

Fiind infinit extinsa in spatiu si timp, unda de lumina reprezentata prin ecuatia (FG.01.9.1) nu are niciuna dintre proprietatile corpusculilor de lumina care sunt bine localizati in spatiu si timp, deci descrierea radiatiei prin astfel de unde, obtinute prin simpla inlocuire in ecuatia (FG.01.9.1) a

caracteristicilor corpusculare, pe baza relatiilor lui Einstein ω=ε h si kpr

hr

= sub forma:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= )(exp0 rpEtiEE rr

h

rr (FG.01.9.2)

nu constituie un model satisfacator de analiza.

Tinand seama insa de liniaritatea ecuatiilor diferentiale de propagare a undelor electromagnetice se pot construi grupuri de unde sau pachete de unde, prin superpozitia unui numar foarte mare de unde de forma (FG.01.9.2) si ajustarea corespunzatoare a frecventelor, a vectorilor de unda, a amplitudinilor si fazelor acestora, incat, prin interferenta constructiva sa dea o rezultanta limitata la o regiune redusa a spatiului la un moment dat.

Propagare grupului de unde a fost studiata la teoria generala a undelor [S.05], punandu-se in evidenta relatiile de nedeterminare:

π≥ΔωΔ 2t (FG.01.9.3)

respectiv π≥ΔΔ 2xk , (FG.01.9.4)

unde este durata perturbatiei, largimea spectrala a acesteia, tΔ ωΔ kΔ imprastierea vectorilor undelor din pachetul de unde considerat iar nedeterminarea in localizarea grupului de unde. Se constata ca unui grup de unde i se poate asocia cu o aproximatie destul de buna caracteristicile corpusculare ale undei pentru a se reconcilia cele doua teorii, ondulatorie si corpusculara.

xΔ


‐ 47 ‐

Relatiile de forma (FG.01.9.3) si (FG.01.9.4) care cuprind caracteristicile ondulatorii si ale fotonului

pot fi scrise cu ajutorul relatiilor lui Einstein

ω kr

ω=ε h si kpr

hr

= astfel:

htE ≥ΔΔ (FG.01.9.5)

respectiv:

hxp ≥ΔΔ , (FG.01.9.6)

adica functie de caracteristicile corpusculare ale acestuia, energia E si impulsul pr .

Relatiile(FG.01.9.5) si (FG.01.9.6) poarta numele de relatiile de incertitudine ale lui Heisenberg si vor fi stabilite si pentru particulele substantiale in cele ce urmeaza.

b. Experienta de difractie a electronilor printr-o fanta

Este o experienta conceptuala privind masurarea "simultana" a pozitiei si impulsului unui electron la difractia printr-o fanta (Fig. FG.01.9.1). Daca un electron de impuls pr si energie E care se deplaseaza dupa directia y, intalneste in calea sa o fanta de deschidere a, prezenta fantei determina difractia electronului.

Fig. FG.01.9.1.

Admitand ca fenomenul de difractie se limiteaza la maximul central si tinand seama ca electronul trece prin fanta se obtine pentru imprecizia pozitiei sale expresia:

ϕ

λ==Δ

sinax . (FG.01.9.7)

De asemenea, din figura rezulta ca, in aceleasi conditii, imprecizia impulsului este:

ϕ=Δ sinppx (FG.01.9.8)

astfel incat efectuand produsul acestor imprecizii re obtinem relatiile de incertitudine ale lui Heisenberg:

hxpx ≥ΔΔ (FG.01.9.9)

cu privire la impulsul si coordonata dupa directia x.

De observat ca, pentru cresterea preciziei in masurarea pozitiei ar trebui micsorata fanta insa acest lucru determina o crestere a impreciziei in determinarea impulsului ca urmare a modificarii figurii de difractie prin largirea maximului central, astfel incat se respecta relatiile 23. si reciproc.


‐ 48 ‐

c. Generalizarea relatiile de incertitudine ale lui Heisenberg

Regasirea relatiile de incertitudine ale lui Heisenberg pe cale experimentala poate fi generalizata pentru orice tip de masurare, a oricarei perechi de variabile canonic conjugate, sub form unui principiu general, numit principiul de incertitudine al lui Heisenberg, formulat de acesta in anul 1927.

Un enunt, general admis al acestui principiu este urmatorul:

" Valoarea produsului impreciziilor care apar la determinarea simultana a doua variabile canonic conjugate este de ordinul de marime al constantei lui Planck".

Prin urmare, acest principiu atesta existenta unor variabile dinamice "incompatibile" in raport ci procesul de masura, in sensul ca satisfac relatiile de incertitudine ale lui Heisenberg. Astfel de variabile sunt impulsul si pozitia, momentul cinetic si pozitia unghiulara, energia si timpul, numarul de fotoni si faza acestora etc., astfel incat se pot scrie relatiile:

2h

≥ΔΔ xpx (FG.01.9.10)

2h

≥ΔϕΔ xJ (FG.01.9.11)

2h

≥ΔΔ Et (FG.01.9.12)

2h

≥ΔΦΔn (FG.01.9.13)

Trebuie accentuat faptul ca aceste imprecizii nu sunt datorita impreciziilor aparatelor de masura sau imperfectiunii metodei de masura ci sunt legate de perturbarea variabilei masurate la interactia cu aparatul de masura.

Nicio masurare bazata pe principii fizice reale nu va putea sa evite limitarile date de aceste relatii.

In acelasi timp trebuie aratat ca nicio descriere fizica nu poate fi acceptata fara a fi verificata cel putin in principiu experimental.

Prin urmre, acceptarea ideii existentei unei pozitii si a unui impuls bine definite la un moment dat, pentru o particula cuantica, in afara observatiilor experimentale reprezinta fapte nefizice, fara valoare, deoarece niciodata nu vor putea fi verificate experimental.


‐ 49 ‐

O implicatie majora a principiului de incertitudine al lui Heisenberg o constituie indiscernabilitatea particulelor cuantice, ca urmare a faptului ca niciun fel de masurare nu poate duce la determinare precisa a caracteristicilor dinamice ale acestora, astfel incat trebuie abandonata notiunea de traiectorie pentru acestea. Particulele cuantice pot fi identificate ca specii dar nu ca indivizi in cadrul unui ansamblu.

d. Nivelul cuantic de evolutie a sistemelor fizice

Relatiile de incertitudine ale lui Heisenberg ne permit sa stabilim pentru prima data un criteriu de clasificare a sistemelor fizice in sisteme clasice si sisteme cuantice. Sistemele cuantice se supun altor legi de miscare decat cele clasice, definind un nivel cuantic de miscare a materiei.

Capitolul FG.02. Descrierea matematica a mecanicii cuantice

Cuvinte-cheie: spatiu vectorial, spaţiu Hilbert, operator liniar. operator hermitic, reprezentare vector,

reprezentare operator

FG.02.1. Spatii vectoriale

Evidenţierea posibilităţilor descrierii stărilor sistemelor cuantice prin vectori în spaţiul Hilbert, la care se adaugă consideraţiile privind corespondenţa dintre variabilele dinamice din Mecanica clasică şi operatorii liniari hermitici ai Mecanicii cuantice, constituie elemente suficiente pentru a trage concluzia că


‐ 50 ‐

aparatul matematic al Mecanicii cuantice trebuie să fie, cel puţin în anumite limite (pe care, deocamdată, nu le stabilim) cel al operatorilor hermitici în spaţiul Hilbert.

Se impune, deci, o prezentare sistematică a principalelor rezultate ale teoriei matematice a spaţiilor Hilbert şi a operatorilor liniari şi hermitici în spaţiul Hilbert care să ofere o bază suficient de largă şi riguroasă pentru trecerea la prezentarea diferitelor sisteme axiomatice ale teoriei cuantice.

Definirea riguroasă a noţiunilor şi prezentarea principalelor teoreme nu va fi însoţită de demonstraţii matematice, urmând ca acestea să fie găsite de cititorul interesat într-un volum ulterior (dedicat aparatului matematic al teoriei cuantice în fizică) sau în bibliografia indicată.

Fie K unul dintre corpurile ϒ (al numerelor reale) sau ≤ (al numerelor complexe):

Definiţia 1 (Spaţiu vectorial)

Se numeşte spaţiu vectorial sau liniar o mulţime Epe care este definită o structură algebrică prin două legi de compoziţie, una internă, numită adunare şi una externă în raport cu un corp K, numită înmulţire cu elemente din K, având următoarele proprietăţi:

I. Adunarea determină pe E o structură de grup abelian, adică oricărei perechi u şi v de elemente din E îi corespunde elementul (u + v)∈E cu următoarele proprietăţi:

I1. u + v = v + u (comutativitate) (FG.02.1.1)

I2. (u + v) + w = u + (v + w) (asociativitate) (FG.02.1.2)

I3. ∃0∈Eşi ∀u∈E, 0 + u = u + 0 = u, (∃ un element neutru la adunare) (FG.02.1.3)

I4. ∀u∈E, atunci ∃(−u)∈E şi u + (−u) = (−u) + u = 0 (∀element din E admite un opus) (FG.02.1.4)

II. Înmulţirea cu un element λ din corpul K, prin care fiecărei perechi (λ, u)∈K×E îi corespunde elementul λu∈E, satisface axiomele:

II1. λ(u + v) =λu +λv (distributivitate în raport cu înmulţirea cu λ) (FG.02.1.5)

II2. (λ+μ) u =λu +μu (FG.02.1.6)

II3. λ(μu) =λμ (u) (FG.02.1.7)

II4. 1 u = u, 1∈K, u∈E (FG.02.1.8)

II5. 0 u = 0, 0∈K, u, 0∈E (FG.02.1.9)

Corpul K se numeşte corpul scalarilor, iar operaţia II −înmulţirea cu scalari. În relaţia II5, 0 din membrul stâng reprezintă scalarul 0, pe când 0 din membrul drept este elementul neutru faţă de adunare al spaţiului E.

Mărimile u, v, w∈E se numesc vectori, spaţiul vectorial E fiind real sau complex, după cum corpul K este reprezentat de ϒ sau, respectiv, de ≤.

Elementul neutru faţă de adunare, 0 (definit de I3) se numeşte originea spaţiului.

În cazul în care corpul Knu este comutativ, spaţiile vectoriale pot fi „la stânga” în raport cu K sau „la dreapta” în raport cu K.

Exemple de spaţii vectoriale:

− Corpul K este un spaţiu vectorial în raport cu el însuşi.


‐ 51 ‐

− Mulţimea ϒn(sau ≤

n) a tuturor seturilor de numere

ξ = (ξ1, ξ2, …, ξn) (FG.02.1.10)

din ϒn (sau ≤

n) pentru care s-au definit operaţiile de adunare

ξ + η = (ξ1, ξ2, …, ξn) + (η1, η2, …, ηn) = (ξ1 + η1, ξ2 + η2, …, ξn + ηn) (FG.02.1.11)

şi înmulţire

λξ = λ(ξ1, ξ2, …, ξn) = (λξ1, λξ2, …, λξn) (FG.02.1.12)

constituie un spaţiu vectorial în raport cu ϒn (sau ≤

n).

Definiţia 2 (Dependenţă liniară)

Vectorii nenuliv1, v2, …, vn sunt liniar dependenţi dacă există n scalari λ1, λ2, …, λn∈K, astfel încât, pentru cel puţin un scalar λi nenul, se poate scrie relaţia

0k kk

λ =∑ v (FG.02.1.13)

Observaţie: Orice mulţime de vectori care conţine vectorul nul, 0, este liniar dependentă.

Dacă egalitatea (13) are loc numai pentru toţiλi =0, atunci vectorii v1, v2, …, vn se numesc liniar independenţi.

Teorema 1

Vectorii nenuliv1, v2, …, vn∈E sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă cel puţin unul dintre ei poate fi exprimat ca o combinaţie liniară a celorlalţi.

Teorema 2

Orice mulţime infinită de vectori este liniar independentă dacă orice submulţime a sa este liniar independentă.

Definiţia 3 (Rangul unui sistem de vectori)

Se numeşte rangul unui sistem de vectori numărul maxim de vectori liniar independenţi pe care îl conţine.

Definiţia 4 (Sistem de vectori generatori ai spaţiului)

Se numeşte sistem de vectori generatori ai spaţiului E sistemul de vectori{v1, v2, …, vn}, cu proprietatea că orice vector v∈E poate fi exprimat ca o combinaţie liniară a acestor vectori:

cu k kk

= λ∑v v ,k kK Eλ ∈ ∈ v , 1, 2, ...,k n= (FG.02.1.14)

Definiţia 5 (Baza unui spaţiu vectorial)

Se numeşte bază a spaţiului vectorial E peste corpul K orice sistem de vectori generatori liniar independenţi.

Teorema3

Un sistem finit de vectori{e1, e2, …, en} = B⊆E constituie o bază a spaţiului vectorial E dacă şi numai dacă orice vector v∈E se exprimă în mod unic printr-o combinaţie liniară a vectorilor ei∈B.

Definiţia 6 (Spaţiul vectorialn-dimensional)


‐ 52 ‐

Spaţiul vectorial E este n-dimensional (n∈∞) dacă şi numai dacă există în acest spaţiu o bază formată din n vectori.

Spaţii vectoriale normate

a) Spaţii metrice

Definiţia 7 (Produs cartezian)

Fir E o mulţime oarecare. Se numeşte produs cartezian mulţimea

( ){ }2 , ,E E E u u E E= × = ∈ ∈v v (FG.02.1.15)

Definiţia 8 (Distanţa pe mulţimea E)

Se numeşte distanţă(sau metrică) pe mulţimea E o aplicaţie d a produsului cartezian E E× în mulţimea ϒ a numerelor reale, având următoarele proprietăţi:

1° (FG.02.1.16) ( , ) 0, , ,d u u E≥ ∀ ∈ ≠v v (u v)

2° dacă şi numai dacă ( , ) 0,d u =v =u v (FG.02.1.17)

3° (FG.02.1.18) ( , ) ( , ), ,d u d u u E= ∀v v v∈

4° (inegalitatea triunghiului)(FG.02.1.19) ( , ) ( , ) ( , ), , ,d u d u d u E≤ + ∀ ∈w v v w v w

Definiţia 9 (Spaţiu metric)

Se numeşte spaţiu metric şi se notează ( , )E d o mulţime E pe care s-a definit o distanţă (sau metrică).

Definiţia 10 (Şir Cauchy)

Dacă oricare ar fi , există un număr natural 0ε > ( )N ε şi oricare ar fi numerele naturale şi

,atunci pentru orice şir

( )p N> ε

( )q N> ε ( , )p qd < εv v ( )n E⊂v , şirul ( )nv se numeşte şir Cauchy. Şirurile Cauchy

se mai numesc şiruri fundamentale.

Definiţia 11 (Spaţiu metric complet)

Un spaţiu metric ( , )E d se numeşte complet dacă orice şir Cauchy ( )n E⊂v este convergent.

b) Spaţii normate

Definiţia 12 (Normă pe spaţiul vectorial E)

Se numeşte normă pe spaţiul vectorial E o aplicaţie →v v a spaţiului E în mulţimea ϒ

( : E →¡ ) care are proprietăţile:

1° 0≥v E∀ ∈v (este pozitiv definită)

(FG.02.1.20)

2° 0=v dacă şi numai dacă 0=v (FG.02.1.21)

3° , Eλ = λ ∀ ∈v v v şi (transformarea prin omotetii) (FG.02.1.22) K∀λ∈

4° , , E≤ + ∀ ∈u+ v u v u v (inegalitatea triunghiului) (FG.02.1.23)

Definiţia 13 (Spaţiu vectorial normat)

Un spaţiu vectorial care este înzestrat cu o metrică se numeşte spaţiu vectorial normat.

Teorema4


‐ 53 ‐

Un spaţiu normat este un spaţiu metric pentru distanţa ( , )d u u= −v v .

Definiţia 14 (Spaţiu Banach)

Un spaţiu normat complet se numeşte spaţiu Banach.

Definiţia 15 (Spaţiu dual al unui spaţiu vectorial normat)

Spaţiul dual al unui spaţiu vectorial normat E este spaţiul funcţionalelor liniare, continue definite pe E şi se notează cu E*.


‐ 54 ‐

FG.02.2. Spaţii Hilbert Definiţia 16 (Formă hermitică)

Fiind dat un spaţiu vectorial E, o aplicaţie ϕ a lui E E× în ϒ (sau în≤ ) cu proprietăţile:

1° (FG.02.2.1) ( , ) ( , ) ( , )u uϕ + = ϕ + ϕv w w v w

2° (FG.02.2.2) ( , ) ( , ) ( , )u uϕ + = ϕ + ϕv w v wu

v

u v

u

3° (FG.02.2.3) ( , ) ( , )u u∗ϕ λ = λ ϕv

4° (FG.02.2.4) ( , ) ( , )uϕ λ = λϕv

5° (FG.02.2.5) ( , ) ( , )u ∗ϕ = ϕv v

constituie o formă hermitică pe spaţiul E.

Definiţia 17 (Vectori ortogonali)

Perechea de vectori este ortogonală( , )u ∈v E în raport cu forma hermitică ϕ pe E dacă ( , ) 0uϕ =v .

Definiţia 18 (Formă hermitică pozitivă)

Forma hermitică ϕestepozitivă pe un spaţiu vectorial E dacă ( , ) 0uϕ ≥v pentru orice u E . ∈

Teorema5

O formă hermitică pozitivă ϕ pe E satisface inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwartz:

2( , ) ( , ) ( , )u u uϕ ≤ ϕ ϕv v v Epentru orice ,u ∈v . (FG.02.2.6)

Definiţia 19 (Formă hermitică degenerată)

Dacă există un vector ortogonal spaţiului E în raport cu forma hermitică ϕ (adică: ) forma hermitică ϕ se numeşte degenerată

0a ≠( , ) 0,a u u Eϕ = ∀ ∈ .

Definiţia 20 (Spaţiu prehilbertian)

Se numeşte spaţiu prehilbertian un spaţiu vectorial pe care este dată o formă hermitică pozitivă, nedegenerată.

Definiţia 21 (Produs scalar)

O aplicaţie poartă numele de produs scalar pe E; se mai notează ( , ) ( , )u uϕ =v v ,u v şi are următoarele proprietăţi:

1° , , , ,u u u∗= ∀v v v E∈ (FG.02.2.7)

2° , , , , , ,u u u+ = + ∀ ∈v w w v w v w E (FG.02.2.8)

3° , , , , ,u u u Eλ = λ ∀ ∈ ∀λ ∈v v v K (FG.02.2.9)

4° , 0, ,u u u E u> ∀ ∈ ≠ 0 (FG.02.2.10)

5° , 0, pentru u u u= 0= (FG.02.2.11)

Definiţia 22 (Normă)

Numărul nenegativ ,u u= u se numeşte norma vectorului u, astfel că inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwartz se scrie:

,u u≤ ⋅v v (FG.02.2.12)

Definiţia 23 (Spaţiu Hilbert)


‐ 55 ‐

a) Un spaţiu prehilbertian complet se numeşte spaţiu Hilbert.

b) Un spaţiu Hilbert este un spaţiu metric complet, cu metrica definită de norma , .u u u=

Definiţia 24 (Vectori ortogonali) Dacă ,u =v 0 , vectorii u şi v sunt ortogonali.

Definiţia 25 (Sistem de vectori ortonormal) Mulţimea de vectori formează un sistem ortonormal( )iv dacă se poate scrie

0, pentru ,

1, pentru i j ij

i ji j≠⎧

= δ = ⎨ =⎩v v (FG.02.2.13)

Teorema 6

Dacă suma seriei 1

j jj

u∞

=

λ∑ este u, atunci scalarii λj sunt daţi de relaţia:

,j ju uλ = (FG.02.2.14)

Definiţia 26 (Seria Fourier a unui vector) Numerele ,j ju uλ = se numesc coeficienţii Fourier ai dezvoltării în serie a vectorului u în raport

cu şirul (uj), iar seria 1

j jj

u∞

=

λ∑ se numeşte seria Fourier a lui u.

Teorema 7

Dacă seria 1

j jj

u∞

=

λ∑ este convergentă, atunci are loc egalitatea:

22

1j

j

u∞

=

= λ∑ (FG.02.2.15)

numită relaţie de închidere.

Definiţia 27 (Spaţiu Hilbert separabil) Spaţiul Hilbert este separabil dacă există o mulţime numărabilă de elemente din E densă în E.

Teorema 8 Orice spaţiu cu un număr finit de dimensiuni este un spaţiu Hilbert separabil.

Teorema 9 Spaţiul Hilbert infinit dimensional , alcătuit din secvenţa infinită astfel că 2l 1 2( , , ..., ,...)kλ λ λ

2

1k

k

∞

=

λ∑ este finită, este un spaţiu Hilbert separabil.

Teorema 10 Spaţiul al funcţiilor de pătrat integrabil este un spaţiu Hilbert separabil. 2L

Definiţia 28 (Spaţiul produs şi produsul tensorial al vectorilor)

Fie um vectorii care subîntind spaţiul ϒm cu M dimensiuni şi un vectorii care subîntind spaţiul ϒn cu N dimensiuni. Spaţiul ϒsubîntins de toate perechile posibile { };m nu u≡v de vectori din ϒm şi ϒn se numeşte

spaţiu produs al celor două spaţii ϒm şi ϒn, se notează şi are N⋅M dimensiuni. Orice vector se numeşte produs tensorial

m= ⊗¡ ¡ ¡ n

∈v ¡ al celor doi vectori care alcătuiesc perechea um, un.

Notaţiile Dirac pentru spaţiile vectoriale

Definiţia 29 (Vector „ket”) Un element u al unui spaţiu vectorial oarecare E se notează u şi se numeşte vector „ket”.


‐ 56 ‐

Observaţie: Proprietăţile spaţiilor vectoriale pot fi transcrise în limbajul vectorilor ket.

Definiţia 30-31 (Descompunerea unui vector în raport cu o bază discretă/continuă) a) Pentru o bază discretă de vectori 1 2, ,..., nu u u a spaţiului vectorial E, orice vector v se poate

scrie 1

n

i ii

u=

= λ∑v , unde sunt numere complexe. (FG.02.2.16) iλ

b) Dacă spaţiu E are o bază continuă de vectori η , atunci, pentru orice vector w se poate scrie

( ) d= λ η η η∫w , unde ( )λ η este o funcţie complexă. (FG.02.2.17)

Definiţia 32 (Vector „bra”) Un element u al spaţiului dual în raport cu spaţiul vectorial normat (în care norma provine dintr-un

produs scalar) al vectorilor ket se numeşte vector „bra” şi se notează u ; în cazul în care corespondenţa

dintre vectorii ket şi cei ai spaţiului dual este antiliniară, adică pentru

( ) du = λ η η η∫ (FG.02.2.18)

are loc dezvoltarea

( ) du ∗= λ η η η∫ (FG.02.2.19)

Definiţia 33 (Produs scalar) Produsul scalar dintre vectorii v şi u se exprimă prin relaţia

u ∗=v v u (FG.02.2.20)

Definiţia 34 (Ansamblu de vectori ortonormal) Un ansamblu discret { }iu sau continuu { }αη de vectori se numeşte ortonormal dacă sunt

satisfăcute relaţiile:

i i iju u = δ (FG.02.2.21)

sau (′α α ′η η = δ α − α ) (FG.02.2.22)

Teorema 11 Dacă ansamblul discret { }iu sau continuu { }αη constituie o bază a unui spaţiu vectorial E, pentru

orice E∈v existând dezvoltările unice

1

n

i ii

c u=

= ∑v (FG.02.2.23)

sau ( ) dc α= α η α∫v (FG.02.2.24)

Atunci sunt satisfăcute şi relaţiile:

11

n

i ii

u u=

=∑ (FG.02.2.25)

sau, respectiv, dα αη η α =∫ 1 (FG.02.2.26)

numite relaţii de închidere (vezi Teorema 6).

FG.02.3. Operatori liniari

Operatori liniari în spaţiile Hilbert


‐ 57 ‐

Definiţia 35 (Operator liniar)

Fiind date două spaţii Hilbert E1 şi E2 peste acelaşi corp K, se numeşte operator liniar o aplicaţie care are următoarele proprietăţi: 1:A E E→ 2

v

v

v

a) (FG.02.3.1) ( ) ( ) ( )A u A u A+ = +v

b) (FG.02.3.2) ( ) ( )A Aλ = λv

pentru orice şi orice . 1,u E∈v Kλ∈

Dacă operatorul se numeşte antiliniar( ) ( )A A∗λ = λv . (FG.02.3.3′)

Definiţia 36 (Operator liniar mărginit)

Un operator liniar 1: 2A E E→ este mărginit dacă există 0 astfel încât pentru orice M > 1u E∈ să avem

2Au M u≤

1 (FG.02.3.4)

indicii 1 şi 2 referindu-se la spaţiile E1 şi, respectiv, E2, iar notaţiile 2

şi 1

specificând normele pe cele

două spaţii considerate.

Definiţia 37 (Funcţionale liniare) Dacă E2 = K, atunci 1( , )E KL se notează cu 1E∗ şi se numeşte dualul lui E1, iar elementele sale se

numesc funcţionale liniare.

Teorema 11 (Teorema de reprezentareRiesz-Fréchet) Pentru orice element 1( , )B E K E∗∈ =L există un element unic Bu E∈ , astfel încât:

a) ( ) BB u u u= (FG.02.3.5)

b) BB u= (FG.02.3.6)

Definiţia 38 (Operator adjunct) FieE1 şi E2două spaţii Hilbert peste acelaşi corp K şi 1 2( , )A E E∈L un operator liniar şi mărginit.

Dacă 2E∈v , atunci pentru orice se poate defini funcţionala liniară şi mărginită 1u E∈

,u Au→ v ; (FG.02.3.7)

întrucât, conform teoremei de reprezentare 11, există un 1E∗ ∈v unic astfel încât

, ,Au u ∗=v v (FG.02.3.8)

aplicaţia exprimată prin 2:A E E+ → 1∗A+ =v v (FG.02.3.9)

defineşte operatorul liniar şi mărginit având aceeaşi normă cu A, 1 2( , )A E E+ ∈L (FG.02.3.10)

numit operatorul adjunct al lui A.

Observaţie: Definiţia poate fi reformulată şi pentru E1 = E2 = E.

FG.02.4. Operatori hermitici

Definiţia 39 (Operator hermitic sau autoadjunct)


‐ 58 ‐

Un operator se numeşte hermitic( )A E∈L (autoadjunct) dacă A A+= (FG.02.4.1)

E fiind un spaţiu Hilbert.

Dacă A A+= − (FG.02.4.2)

operatorul A se numeşte antihermitic.

Teorema 12 Operatorul A este hermitic dacă şi numai dacă

, , , ,Au u A u E= ∀v v v∈ . (FG.02.4.3)

Teorema 13 Un operator A este hermitic dacă şi numai dacă, pentru orice u E∈

,Au u este real. (FG.02.4.4)

Teorema 14 (Hellinger-Toeplitz) Operatorul ( )A E∈L este pozitiv dacă , 0,Au u u E≥ ∀ ∈ (FG.02.4.5)

E fiind un spaţiu Hilbert.

Teorema 15 Orice operator ( )A E∈L se poate descompune sub forma

1 2iA A A= + (FG.02.4.6)

A1 şi A2fiind operatori hermitici, iar E − un spaţiu Hilbert.

Operatori inverşi Definiţia 40 (Operator identitate) Operatorul definit prin relaţia ( )I E∈L

I u u= (FG.02.4.7)

se numeşte operator identitate.

Definiţia 41 (Operator invers) Un operator liniar are un invers( )A C∈L , notat 1A− , dacă

1 1A A A A I− −= = , (FG.02.4.8)

I fiind operatorul identitate.

Teorema 16 Orice operator liniar şi mărginit poate fi reprezentat printr-o matrice. Dacă A este operatorul

considerat, iar {u1, u2, …, un} vectorii bazei spaţiului E, astfel încât ( )A E∈L , combinaţiile liniare

k jkj

jAu a= ∑ u definesc elementele de matrice ( , )jk j ka u Au= .

Definiţia 42 (Operator simetric) Un operator A se numeşte simetricdacă este egal cu transpusul său: A A= % .

Observaţie: A= − % , operatorul se numeşte antisimetric. Dacă A

Operatori unitari


‐ 59 ‐

Definiţia 43 (Operator unitar)

Un operator este unitar( )U E∈L pe spaţiul Hilbert E dacă: a) pentru orice E∈v , există un vector u astfel încât

( )U u=v (FG.02.4.9)

b) pentru oricare ,u E∈ v

, ,u Uu U=v v (FG.02.4.10)

Definiţia 44 (Operator unitar) Un operator liniar este unitar dacă are un invers şi dacă

,U = ∀ ∈v v v E . (FG.02.4.11)

Teorema 17 Operatorul este unitar dacă şi numai dacă ( )U E∈L

U U U U I+ += = (FG.02.4.12)

Teorema 18 Dacă U este un operator unitar, iar vectorii {v1, v2, …, vn} alcătuiesc o bază ortonormală, atunci şi

vectorii {Uv1, Uv2, …, Uvn} alcătuiesc o bază ortonormală.

Definiţia 45 (Transformare unitară)

Transformarea unui operator A într-un alt operator A′ conform relaţiei A U AU +′ = (FG.02.4.13)

se numeşte unitară dacă U este un operator unitar.

Observaţie: Se poate arăta că transformările unitare lasă invariante toate ecuaţiile între operatori sau între operatori şi vectorii de stare.

Definiţia 45 (Operator unitar infinitezimal) Un operator unitar , depinzând de o cantitate reală care este un infinit mic, astfel încât ( )U ε

( )U ε → I când 0ε → (FG.02.4.14)

se numeşte operator unitar infinitezimal.

Teorema 19 Un operator unitar infinitezimal poate fi scris sub forma

( ) iU Iε = − εF (FG.02.4.15) unde F este un operator hermitic.

Teorema 20 Dacă operatorul A este hermitic, atunci operatorul ie AT = este unitar şi . ie AT + −=

Teorema 21 Produsul a doi operatori unitari este, deasemenea,un operator unitar.

Teorema 22 O condiţie necesară şi suficientă pentru ca un operator U să fie unitar este ca transformarea unei baze

ortonormale cu ajutorul lui U să conducă, de asemenea, la o bază ortonormală.

Teorema 23


‐ 60 ‐

Valorile proprii ale unui operator unitar nu pot fi decât numere complexe de modul unitar, de forma , cu real. ie uu ϕ= uϕ

Operatori de proiecţie

Definiţia 46 (Operator de proiecţie) Fiind date subspaţiile şi P P⊥ complementare în raport cu un spaţiu Hilbert separabil ( E P P⊥= ⊕ )

astfel încât , se numeşte operator de proiecţiepu u u⊥= + p operatorul Π astfel încât

pu u=Π (FG.02.4.16)

Proprietăţi

− Operatorul este mărginit. (FG.02.4.17) Π− Dacă , atunci . (FG.02.4.18) u P∈ u u=Π− Dacă , atunci . (FG.02.4.19) u P⊥∈ 0u =Π− Dacă atunci pu u=Π pΙ u u⊥( − ) =Π . (FG.02.4.20)

− Operatorul identitate este operator de proiecţie pe întreg spaţiul. − Operatorul identitate este singurul operator de proiecţie care are un invers. − Operatorul „zero” este operatorul de proiecţie pe spaţiul care conţine numai vectorul nul. − Norma oricărui operator de proiecţie, cu excepţia operatorului „zero” este unu.

Relaţii de comutare pentru operatori

Definiţia 47 (Comutatorul a doi operatori) Fiind daţi doi operatori liniari A şi B, expresia

[ ],A B AB BA= − (FG.02.4.21)

se numeşte comutatorul operatorilor A şi B.

Observaţie: Expresia { },A B AB BA= + (FG.02.4.22) se numeşte anticomutatorul operatorilor A şi B.

Definiţia 48 (Operatori comutativi) Doi operatori liniari A şi B sunt comutativi dacă şi numai dacă [ ],A B = 0 . (FG.02.4.23)

Observaţie: Dacă { }, 0A B = (FG.02.4.24)

atunci operatorii se numesc anticomutativi.

Teorema 24 Dacă A, B, C, … sunt operatori liniari, atunci:

[ ],A A = 0 (FG.02.4.25)

[ ] [ ],A B B A= − ,

]

]

],

(FG.02.4.26)

[ ] [ ] [, ( ) , ,A B C A B A C+ = + (FG.02.4.27)

[ ] [ ] [( ), , ,A B C A C B C+ = + (FG.02.4.28)

[ ] [ ] [, ,A BC A B C B A C= + (FG.02.4.29)


‐ 61 ‐

]

=

[ ] [ ] [, , ,AB C A C B A B C= + (FG.02.4.30)

[ ] [ ] [ ], , , , , , 0A B C C A B B C A⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (FG.02.4.31)

Valori proprii şi vectori proprii pentru operatori Definiţia 49 (Ecuaţia cu valori proprii a unui operator) Fie A un operator liniar. Dacă u este un vector diferit de zeroşi a un scalar, ecuaţia

Au au= (FG.02.4.32)

se numeşte ecuaţia cu valori proprii a operatorului A, u se numeşte vector propriu, iar a - valoare proprie a operatorului A.

Definiţia 50 (Spectrul unui operator) Ansamblul valorilor proprii ale unui operator constituie spectrul operatorului.

Definiţia 51 (Spectru discret) Dacă mulţimea valorilor proprii ale unui operator este discretă, spectrul se numeşte spectru discret.

Definiţia 52 (Spectru continuu) Dacă mulţimea valorilor proprii ale unui operator este continuă, spectrul se numeşte spectru

continuu.

Definiţia 53 (Valoare proprie nedegenerată) Valoarea proprie a operatorului A se numeşte nedegenerată (sau simplă) dacă îi corespunde un vector

propriu unic.

Definiţia 54 (Grad de degenerare al unei valori proprii) Dacă unei valori proprii a operatorului A îi corespund mai mulţi vectori proprii liniar

independenţi, atunci valoarea proprie se numeşte degeneratăna

, iar numărul vectorilor proprii corespunzători acestei valori proprii determină gradul de degenerare, care se notează cu gn.

Vectorii proprii degeneraţi se notează cu uni′ , unde 1, 2, ... ni g= , astfel încât:

ni n niAu a u′ ′= , (FG.02.4.33) 1, 2, ... ni∀ = g

Teorema 25 Valorile proprii ale unui operator sunt rădăcinile ecuaţiei sale caracteristice:

[ ]det 0A I− λ = (FG.02.4.34)

unde A este matricea asociată operatorului A, I este matricea unitate, iar λ este un scalar.

Teorema 26 Valorile proprii ale operatorilor hermitici sunt reale.

Teorema 27 Valorile proprii ale operatorilor unitari sunt numere complexe de modul unitate.

Teorema 28 Doi vectori proprii ai unui operator hermitic sau unitar sunt ortogonali dacă ei corespund la valori

proprii diferite.

Teorema 29 Pentru un spaţiu de dimensiune finită, vectorii proprii ai unui operator hermitic sau unitar întind tot

spaţiul, alcătuind o bază ortonormală a spaţiului.

Teorema 30 Matricea asociată unui operator hermitic sau unitar este, în raport cu vectorii proprii corespunzători,

diagonală.


‐ 62 ‐

Teorema 31 Fiecărui operator liniar A i se poate asocia un operator de proiecţie kΠ având acelaşi set de vectori

proprii cu A, valorile proprii ale celor doi operatori fiind diferite, conform relaţiilor:

k j kj ku = δΠ u , (FG.02.4.35)

ju fiind vectorii proprii ai operatorului A.

Operatorul se numeşte operator de proiecţie elementar. kΠ

Teorema 32 Dacă doi operatori A şi B comută, există un set de vectori proprii comuni celor doi operatori.

Proprietăţile operatorilor liniari în spaţiile vectorilor bra şi ket Definiţia 55 (Acţiunea unui operator liniar asupra unui vector ket)

Dacă A este un operator liniar şi u este un vector ket, relaţia A u=v defineşte un alt vector ket din acelaşi spaţiu.

Definiţia 56 (Acţiunea unui operator liniar asupra unui vector bra) Ţinând seama de proprietăţile produsului scalar, rezultă că, fiind dat un vector bra u şi un operator

A, vectorul bra u A=v face parte din acelaşi spaţiu cu a u ; ca urmare,

)( ( )A u A u A u= =v v v . (FG.02.4.36)

Teorema 33 (Operator liniar nul) Operatorul liniar A este nul dacă şi numai dacă

0,A u u E= ∀ ∈u . (FG.02.4.37)

Teorema 34 (Egalitatea a doi operatori liniari) Operatorii liniari A şi B sunt egali dacă şi numai dacă

,A u B u u E= ∀u u ∈ . (FG.02.4.38)

Definiţia 57 (Operator adjunct sau hermitic conjugat) Operatorul A+ se numeşte adjunctul lui A dacă, pentru orice vectori , ,u E∈v

A A ∗+ =u v v u . (FG.02.4.39)

Observaţie: Toate definiţiile şi teoremele cunoscute de la prezentarea teoriei operatorilor unitari pot fi exprimate cu ajutorul notaţiilor lui Dirac conform exemplelor de mai sus. Operaţiile de conjugare hermitică se efectuează cu ajutorul notaţiilor lui Dirac în orice expresie algebrică în felul următor: a) se înlocuiesc constantele prin conjugatele lor complexe, vectorii ket prin vectorii bra asociaţi şi operatorii prin adjuncţii lor; b) se inversează ordinea factorilor.

Teorema 35 (Operatori de proiecţie cu notaţiile lui Dirac) Produsul dintre vectorul ket nu şi vectorul bra nu definit de relaţia

n n nu u=Π (FG.02.4.40)

reprezintă un operator de proiecţie elementar.

Teorema 36


‐ 63 ‐

Dacă an sunt valorile proprii ale unui operator liniar A, descompunerea spectrală a acestui operator în funcţie de operatorii de proiecţie are expresia: nΠ

n n n n nn n

a u u a= =∑ ∑Α Π . (FG.02.4.41)

Teorema 37 Dacă ku sunt vectorii proprii ai operatorului A,

nm n mA u A u= (FG.02.4.42)

reprezintă elementele de matrice ale acestui operator, astfel încât

,mn m n

m n

A A u u UAU= ∑ = , (FG.02.4.43)

unde n n

nU u u= ∑ . (FG.02.4.44)

Teorema 38 Dacă ku sunt vectorii proprii ai operatorului A, ak sunt valorile proprii corespunzătoare spectrului

discret, atunci:

k k ka u A u= . (FG.02.4.45)

Teorema 39 Dacă αη sunt vectorii proprii ai operatorului A, aα sunt valorile proprii corespunzătoare spectrului

continuu, atunci: 2

1

da Aα

α α αα= η η∫ α . (FG.02.4.46)

Teorema 40 Dacă αη sunt vectorii proprii ai operatorului A, aα sunt valorile proprii corespunzătoare spectrului

continuu, atunci: 2

1

dA aα

α α αα= η η∫ α . (FG.02.4.47)

(reprezentarea spectrală a operatorului A), astfel încât 2 2

1 1

d dA A′α α

′ ′α α α α′α α′= η η η η α∫ ∫ α . (FG.02.4.48)

unde 2

1

dUα

α αα= η η∫ α . (FG.02.4.49)

Definiţia 58 (Urma unui operator) Urma (engl., franc. Trace, germ. Spur) unui operator A este dată de suma elementelor sale diagonale

şi se notează Tr(A) sau Sp(A):

a) în cazul unei baze ortonormale ku discrete, ( ) k k

kTr A u A u= ∑ (FG.02.4.50)

b) în cazul unei baze ortonormale ku continue,

( ) dTr A Aα α= η η α∫ (FG.02.4.51)

Teorema 41 Sunt adevărate relaţiile:

( ) (Tr AB Tr B A= ) (FG.02.4.52)


‐ 64 ‐

)( ) ( ) (Tr ABC Tr BC A Tr C AB= = (FG.02.4.53)

oricare ar fi operatorii A, B, C.

Definiţia 59 (Derivata unui operator)

Dacă A(t) este un operator care depinde de variabila t, derivata d ( )dA t

t este dată de relaţia

0

d ( ) ( ) ( )limd t

A t A t t At tΔ →

+ Δ −=

Δt , (FG.02.4.54)

dacă limita există.

Elementele de matrice ale derivatei sunt date de relaţiile:

dd dd d

iji j

ij

AA Au ut t

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ d t

(FG.02.4.55)


‐ 65 ‐

FG.02.5. Reprezentarea vectorilor şi a operatorilor

Definiţia 60 (Reprezentare) Se numeşte reprezentare un procedeu de înlocuire a unui vector sau a unui operator printr-un

ansamblu de numere; aceste numere vor reprezenta vectorul sau operatorul.

Definiţia 60 (Reprezentarea unui vector ket)

Vectorul ket v se reprezintă în baza discretă { }ju printr-o matrice coloană formată dintr-o

mulţime numărabilă (deci infinită) de elemente i ic u= v , iar în baza continuă { }αη − printr-o „matrice”

continuă de elemente cα α= η v sub forma:

11

12

1k

ucuc

c u

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

M M

M M

v

vv

v

⎥⎥ , (FG.02.5.1)

respectiv,

cα α

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥v⎢ ⎥⎡ ⎤ = = η⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

MM

MM

M M

M M

v . (FG.02.5.2)

α

Definiţia 60 (Reprezentarea unui vector bra)

Vectorul bra v se reprezintă în baza discretă { }ju printr-o matrice linie formată dintr-o mulţime

numărabilă (deci infinită) de elemente ic u= v i , iar în baza continuă { }αη − printr-o „matrice” continuă

de elemente cα = ηv α sub forma:

1 2 ku u u⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦L Lv v v v , (FG.02.5.3)

respectiv,

α⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦L L L L Lv v η . (FG.02.5.4)

Definiţia 61 (Reprezentarea unui operator)

Unui operator liniarA i se asociază într-o bază discretă { }ju setul de numere

ij i jA u A u= (FG.02.5.5)

iar într-o bază continuă { }αη setul de numere

( , )A ′α α′α α = η ηA . (FG.02.5.6)

Cele două seturi de numere pot fi aranjate sub forma unor matrice pătrate:


‐ 66 ‐

a) având un număr infinit (dar numărabil) de linii şi coloane − în cazul bazei discrete:

[ ]

11 12 1

21 22 2

1 2

k

k

j j jk

A A AA A A

A

A A A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L L

L L

M M M M M M M L

M M M M M M M L

L L

M M M M M M M L

(FG.02.5.7)

matrice numită reprezentantul operatorului A în baza { }iu

b) având mulţimi continue de linii şi coloane − în cazul bazei continue:

[ ]A A ′αα

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

M

LLLL LLLL

M

M

. (FG.02.5.8) α

α′

„matrice” numită reprezentantul operatorului A în baza { }αη

Teorema 42 Reprezentantul unui operator hermitic este o matrice hermitică.

Teorema 43 Schimbarea reprezentării la schimbarea bazei este definită de componentele fiecărui vector al bazei

noi în raport cu baza veche.

Observaţie: Pentru cele aproximativ o sută de definiţii şi teoreme prezentate în acest capitol se vor utiliza cu predilecţie indicaţiile bibliografice care urmează.


‐ 67 ‐

Capitolul FG.03. Fundamentele mecanicii cuantice

Cuvinte-cheie:

stare cuantică, variabilă dinamică, observabilă, reprezentarea vectorilor de stare, reprezentarea operatorilor, proces de măsură cuantic, postulatele mecanicii cuantice, reprezentarea Schrödinger,

reprezentarea Heisenberg.

FG.03.1. Descrierea stării în mecanica cuantică

a. Starea unui sistem cuantic. Funcţia de undă

In paragraful 7.1.7, dedicat dualismului undă-corpuscul, s-a arătat că expresia i (

epr Et

hA⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠Ψ =

rr ) (FG.03.1.1)

este generală pentru evidenţierea atât a caracteristicilor ondulatorii cât şi a celor corpusculare ale radiaţiei şi

particulelor materiale prin includerea relaţiile teoriei fotonice ale lui Einstein si ω=ε h kpr

hr

= , experimentul Davisson-Germer fiind concludent pentru difracţia microparticulelor. Se poate admite comportarea duală ca fiind o caracteristică generală a unei întregi clase de sisteme, astfel încât se poate vorbi de un caracter universal al dualismului corpuscul-undă. Ca urmare se poate postula ca starea unui sistem cuantic este complet determinata de funcţia sa de unda ).,( trrΨ Proprietăţile principale ale funcţiei de unda sunt următoarele: este asociata unei singure particule fiind semnificativa în punctele unde poate fi detectata particula dar în acelaşi timp funcţia de unda poate fi utilizata pentru a fi analizate fenomenele de interferenţă şi difracţie ale microparticulelor. În acest context a devenit esenţiala problema unei înţelegeri mai profunde a semnificaţiei fizice a funcţiei de undă.

Interpretarea conform teoriei corpusculare a experimentelor de interferenta şi difracţie a sugerat posibilitatea stabilirii unor corelaţii statistice intre intensitatea undei Ψ şi probabilitatea de detecţie a unei microparticule.

In anul 1926 Max Born a rezolvat aceasta problema în mod strălucit, atribuind funcţiei de unda semnificaţia amplitudinii probabilităţii de localizare a sistemului cuantic, astfel încât se obţine pentru densitatea de probabilitate de localizare a sistemului expresia:

*2 ΨΨ=Ψ=P , (FG.03.1.2)

funcţia de unda fiind o mărime complexa.

b. Spaţiul funcţiilor de unda. Vectori de stare

Pentru descrierea stărilor sistemelor cuantice şi a evoluţiei acestora trebuie utilizat un aparat matematic care să ia în considerare toate proprietăţile funcţiei de undă prezentate mai sus şi în primul rând să ţină seama de principiul suprapunerii stărilor.

Să ne referim pentru început la funcţiile de undă pentru care este îndeplinită condiţia de normare a funcţiei de undă.

Astfel de funcţii de undă aparţin unui spaţiu al funcţiilor de pătrat integrabil.

Se poate arăta că spaţiul funcţiilor de undă considerate mai sus, de pătrat integrabil, este un spaţiu Hilbert, adică un spaţiu metric, liniar, cu un număr infinit de dimensiuni, care posedă toate proprietăţile caracteristice ale unui astfel de spaţiu. Aceste proprietăţi sunt următoarele:


‐ 68 ‐

a) Este un spaţiu liniar, adică fiind date două funcţii de pătrat integrabil 1ψ şi 2ψ , orice combinaţie liniară de tipul

2211 ψ+ψ cc (FG.03.1.3)

unde şi sunt numere complexe arbitrare este o funcţie de pătrat integrabil, proprietatea da liniaritate 1c 2cfiind o consecinţă a principiului suprapunerii stărilor.

b) Pe acest spaţiu este definit produsul scalar a două funcţii de undă 1ψ şi 2ψ prin relaţia

( ) ( ) ( ) τψψ=ψψ ∫ d,...,,,...,,, 21221*121 nN rrrrrr (FG.03.1.4)

astfel că norma unei, funcţii de undă ψ se exprimă prin produsul scalar al acestei funcţii cu ea însăşi

( ) ψψψ=ψψ= ∫ψ d, *N . (FG.03.1.5)

Utilizând pentru produsul scalar a două funcţii de undă 1ψ şi 2ψ notaţia prescurtată , principalele ( 21, ψψ )proprietăţi ale acestuia se exprimă astfel:

α) ( ) (FG.03.1.6) ( *1221 ,, ψψ=ψψ )

β) ( ) ( ) ( )31221133221 ,,, ψψλ+ψψλ=ψλ+ψλψ (FG.03.1.7)

γ) (FG.03.1.8) ( ) 0, ≥ψψ

iar dacă ( ) , atunci . (FG.03.1.9) 0, =ψψ 0=ψ

Consecinţele directe ale acestor proprietăţi sunt următoarele. Fie două funcţii de undă 1ψ şi din acest spaţiu: 2ψ

α) Dacă , ( ) 0, 21 =ψψ 1ψ şi sunt ortogonale (FG.03.1.10) 2ψ

β) Se arată că există relaţia

( ) ( )( )221121 ,,, ψψψψ≤ψψ , (FG.03.1.11)

numită inegalitatea lui Schwarz.

c) Spaţiul funcţiilor de undă de pătrat integrabil este complet, în sensul strict al cuvântului, adică orice funcţie de pătrat integrabil poate fi considerată ca limită (în medie pătratică) a unui şir convergent în sens Cauchy de funcţii de pătrat integrabil (separabilitate).

În general, un spaţiu este complet dacă în interiorul său se poate defini o bază ortonormată, cu ajutorul căreia se poate exprima orice funcţie care aparţine spaţiului, fiind satisfăcută şi relaţia de închidere. Împreună cu relaţiile de ortonormare, relaţia de închidere (relaţia lui Parseval generalizată) formează un ansamblu de condiţii necesare şi suficiente pentru ca sistemul de funcţii ale bazei să fie ortonormat şi complet.

(Stabilirea unei baze în spaţiul funcţiilor de undă, se face după cum se va arăta la studiul formalismului operatorial al teoriei cuantice, prin considerarea spectrului de funcţii proprii ale unui operator hermitic cu valori proprii reale care operează în acest spaţiu. Acest spectru poate fi complet în sens strict (de pătrat integrabil), cum se întâmplă în cazul spectrului discret,complet în sens generalizat (normarea fiind posibilă cu ajutorul funcţiei a lui Dirac), cum se întâmplă în cazul spectrului continuu sau parţial continuu, dar δpoate şi să nu fie complet. Dacă spectrul de funcţii proprii este complet în sens strict, spaţiul subîntins de funcţiile de undă corespunzătoare este un spaţiu Hilbert în sens strict sau în sens matematic. Dacă acest spectru este complet în sens generalizat, se poate vorbi încă de un spaţiu Hilbert lărgit. Pentru construirea


‐ 69 ‐

teoriei cuantice, un interes deosebit îl prezintă operatorii hermitici care prezintă un spectru complet de funcţii proprii, operatori denumiţi observabile).

Definirea vectorilor de stare

Posibilitatea descrierii stărilor unui sistem cuantic prin vectori, rezultă din posibilitatea reprezentării acestor stări prin seturi de numere, cu semnificaţii fizice bine stabilite.

Vom arăta acest lucru pentru dezvoltarea unei funcţii de undă ( )xψ în serie Fourier însă tratarea poate fi generalizată pentru orice set de funcţii ortonormate (de exemplu, funcţii Bessel, polinoame Hermite etc.).

Fie seria

( )2i n xL

nn

x c eπ+∞

=−∞

ψ = ⋅∑ (FG.03.1.12)

funcţia fiind periodică, cu perioada . ( )xψ L

Setul infinit de numere este specific funcţiilor exponenţiale după care se face dezvoltarea fiind diferit ncpentru dezvoltări în serie după alte seturi de funcţii ortonormate.

Dacă reprezentăm funcţia de undă prin setul infinit de numere , se observă că prin analogie cu ncreprezentarea unui vector într-un anumit sistem de coordonate printr-un set de numere, funcţia de undă poate fi privită ca un vector într-un spaţiu abstract cu un număr infinit de dimensiuni, alegerea setului de funcţii, pentru dezvoltarea în serie, corespunzând stabilirii unui anumit sistem de coordonate.

Tratarea funcţiilor de undă ca vectori poate fi extinsă de la dezvoltările în serie la dezvoltările integrale ale acestora.

Astfel de vectori care descriu starea unui sistem cuantic, vor fi numiţi vectori de stare, şi vor fi desemnaţi prin notaţia lui P.A.M. Dirac, care i-a utilizat pentru prima dată în formularea sub o formă generală a mecanicii cuantice [S.04].

Dirac desemnează vectorii de stare "a" cu ajutorul notaţiei a , şi îi denumeşte generic vectori ket, aceştia

fiind, ca şi funcţiile de undă pe care le desemnează, cantităţi complexe.

Vectorii de stare ket alcătuiesc prin analogie cu funcţiile de undă, un spaţiu liniar pe care se poate defini un produs scalar şi care în condiţiile arătate pentru funcţiile de undă este complet.

(Se are în vedere şi modul în care se defineşte completitudinea pentru vectorii ξ de normă infinită ai bazei,

prin analogie cu aceeaşi problemă tratată în paragraful anterior pentru funcţiile de normă infinită, dar care dau produse scalare finite cu orice vector de normă finită al spaţiului.)

b) Liniaritatea spaţiului vectorilor de stare

Liniaritatea spaţiului vectorilor de stare decurge din liniaritatea spaţiului funcţiilor de undă corespunzătoare şi se exprimă astfel:

Fie doi vectori ket, a şi b ai unui spaţiu vectorial liniar, şi două numere complexe şi oarecare. 1c 2c

Vectorul v obţinut printr-o combinaţie liniară oarecare a vectorilor a şi b , de forma

bcacv 21 += aparţine spaţiului vectorial considerat.


‐ 70 ‐

În cazul în care spaţiul este format dintr-un şir continuu de stări, definite de parametrul , liniaritatea şirului αcontinuu de vectori α se exprimă astfel:

( ) ααα= ∫α

α

d2

1

cw (FG.03.1.13)

vectorul w , definit astfel, aparţinând spaţiului la care ne reportăm.

Ca urmare liniaritatea spaţiului vectorilor de stare se poate exprima, în mod general, prin relaţia

( ) ααα+= ∫∑ dcacvk

kk (FG.03.1.14)

care evidenţiază conţinutul principiului suprapunerii stărilor.

Observaţii

O bază a spaţiului vectorilor de stare poate fi constituită de orice ansamblu maxim de vectori liniari independenţi ai spaţiului.

Se spune că N vectori ai spaţiului Mbbb ,...,, 21

01

=∑=

N

kkk bc (FG.03.1.15)

sunt liniar independenţi dacă relaţia (FG.03.1.15) nu este satisfăcută decât pentru valori simultan nule ale constantelor . kc

În acest caz ei alcătuiesc o bază a spaţiului astfel că orice alt vector v , va putea fi exprimat printr-o

combinaţie liniară a acestor vectori. Numărul vectorilor bazei, pentru spaţiul vectorilor de stare considerat fiind infinit, spaţiul vectorial corespunzător are o infinitate de dimensiuni astfel că orice vector al spaţiului se poate exprima printr-o serie infinită sau o integrală a acestor vectori.

Definirea produsului scalar

Definirea produsului scalar în spaţiul vectorilor de stare se face după regulile obişnuite ale algebrei vectoriale, ţinându-se seama de caracterul complex al acestor vectori, adică considerând complex conjugatul unui vector dat şi multiplicându-1 cu un alt vector.

În notaţia lui Dirac complexul conjugatul unui vector de stare ket, a , se notează simbolic prin a şi se

numeşte vector de stare „bra”, semnificaţia fizică a vectorilor „bra” şi „ket” fiind aceeaşi.

Deşi este imprecisă definirea complex conjugatului unui vector (sau cel al unui operator), deoarece unitatea

imaginară 1−=i nu a fost definită în spaţiul vectorial abstract pe care-1 formează vectorii de stare, totuşi această tratare este posibilă şi utilă, în sensul că, dacă vectorii ket corespund unor funcţii de undă, vectorii bra corespund conjugatelor complexe ale acestor funcţii.

Vectorii "bra" aparţin unui alt spaţiu vectorial care formează spaţiul dual, asociat spaţiului vectorial "ket".


‐ 71 ‐

Din modul de definire a produsului scalar dintre vectorii a şi b printr-una din relaţiile

bas = , (FG.03.1.16)

sau

abs =' , (FG.03.1.17)

rezultă că acesta stabileşte legătura între cele două spaţii vectoriale duale, numerele complexe s şi fiind 'scomplex conjugate între ele

*' ss = . (FG.03.1.18)

Prin urmare produsului scalar al unui vector bra cu un vector ket, este un număr complex, având proprietatea

*abba = (FG.03.1.19)

numita "hermiticitatea" produsului scalar.

Proprietăţile produsului scalar

Un alt mod mai general de definire a spaţiului vectorial dual constă în stabilirea unei corespondenţe între fiecare dintre vectorii de stare v şi corpul numerelor complexe prin intermediul unei funcţii liniare de

vectori ket ( )u v .

Funcţia ( )u v desemnează o nouă categorie de vectori, numiţi vectori bra, pe care-i notăm simbolic prin

u . Numărul complex , reprezentând valoarea acestei funcţii este dat de relaţia funcţională s

u= vs . (FG.03.1.20)

Mulţimea vectorilor u alcătuieşte un nou spaţiu vectorial, numit spaţiul dual al vectorilor v având

acelaşi număr de dimensiuni cu acesta, între vectorii celor două spaţii vectoriale duale existând o corespondenţă biunivocă.

Proprietăţi:

- dacă

0u =v (FG.03.1.21)

pentru orice v atunci

0=u ; (FG.03.1.22)

- dacă pentru orice v

1 2u u=v v (FG.03.1.23)

atunci

21 uu = ; (FG.03.1.24)

- dacă existenţa relaţiei


‐ 72 ‐

1 1 2 2c u c u= +v (FG.03.1.25)

implică relaţia * *1 1 2 2c u c u= +v (FG.03.1.26)

atunci corespondenţa biunivocă dintre cele două spaţii este antiliniară.

Analog pentru un şir continuu de stări α se poate scrie relaţia (FG.03.1.13) pentru vectorii w , astfel:

( ) ααα= ∫α

α

d2

1

*cw . (FG.03.1.27)

Relaţiile (FG.03.1.25) şi (FG.03.1.26) evidenţiază corespondenţa dintre vectorii ket şi bra ca fiind aceea de „conjugare complexă reciprocă”, ceea ce ne permite să asociem vectorii bra funcţiilor, de undă complex conjugate (vectorii ket fiind asociaţi funcţiilor de undă).

În aceste condiţii funcţionale , are proprietatea (FG.03.1.19), adică s*u u=v v . (FG.03.1.28)

O astfel de funcţională se numeşte hermitică şi defineşte produsul scalar dintre un vector ket v şi un alt

vector bra u .

Norma unui vector de stare u se defineşte cu ajutorul produsului scalar astfel:

N = v v . (FG.03.1.29)

Întrucât *=v v v v , (FG.03.1.30)

rezultă că norma este întotdeauna un număr real.

Condiţia suplimentară , stabileşte o corespondenţă perfectă între proprietăţile spaţiului funcţiilor de 0≥Nundă şi cel al spaţiului vectorilor de stare, astfel că se poate trece la descrierea stărilor prin vectori. (Se ştie că norma în spaţiul funcţiilor de undă este corelată cu densitatea de probabilitate de localizare a sistemului cuantic deci este specificată printr-un număr real pozitiv).

Ca urmare inegalitatea lui Schwarz (FG.03.1.10) se scrie în spaţiul vectorilor de stare sub forma

u u u≤v v v (FG.03.1.31)

Pentru a fi un spaţiu Hilbert, spaţiul vectorilor de stare trebuie să fie complet.

S-a arătat anterior, pentru spaţiul funcţiilor de undă, condiţiile în care acest spaţiu este complet, ce se înţelege prin spaţiu complet în cazul general al funcţiilor de stare de normă infinită, şi când un spaţiu complet este un spaţiu Hilbert. Concluziile pot fi extinse în întregime la spaţiul vectorilor de stare.

În capitolul dedicat formalismului operatorial al mecanicii cuantice, se vor evidenţia noi proprietăţi ale spaţiilor vectorilor de stare privind, definirea stărilor ortogonale, construirea bazelor de vectori ortonormaţi, studiul subspaţiilor vectorilor de stare, a spaţiilor complementare, a produsului tensorial al vectorilor de stare etc.


‐ 73 ‐

c. Conservarea normei. Densitatea fluxului de probabilitate

Ecuaţia de definiţie a densităţii probabilităţii de localizare a sistemului cuantic (????) trebuie completată cu condiţia de normare

( ) 1d,,, 2 =τψ≡ ∫∞

tzyxN (FG.03.1.32)

unde integrala densităţii de probabilitate se consideră peste tot spaţiul configuraţiilor, N fiind o notaţie pentru normă. Această condiţie este impusă de faptul că particula cuantică se află cu certitudine undeva în spaţiul de configuraţie, deşi probabilitatea de localizare poate fi diferită de zero în oricare punct şi acestui spaţiu.

Normarea funcţiei de undă poate fi făcută întotdeauna dacă integrala (FG.03.1.32) este convergentă. În cazul în care aceasta integrala este divergentă, funcţia de undă nu poate fi în general normată astfel că nu va mai putea fi utilizată pentru calculul densităţilor de probabilitate de localizare ci numai pentru determinarea

probabilităţii relative de localizare în două puncte diferite A şi B ale spaţiului prin calculul raportului 2

2

B

A

ψ

ψ.

Exemple de funcţii de undă care nu pot fi normate în tot spaţiul sunt undele plane şi undele sferice, ele corespunzând unor surse situate la infinit sau în originea sistemului de coordonate, după cum se va arăta ulterior.

Noţiunea de "normă" va fi privită într-o accepţie mai largă în capitolul următor şi când se va aborda problema spectrului continuu de funcţii proprii ale unei mărimi fizice (care au normă infinită dar ale căror diferenţiale proprii au normă finită).

Conservarea în timp a normei

Semnificaţia fizică a funcţiei de undă impune ca norma acesteia

( ) 1d,,, 2 =τψ≡ ∫∞

tzyxN (FG.03.1.33)

să fie constantă în timp (se presupune că normarea este posibilă).

Să verificăm acest lucru ţinând seama de faptul că funcţia de undă este o soluţie a ecuaţiei lui Schrödinger.

Prin urmare se pot scrie ecuaţiile

τ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ψ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ

∂∂

ψ=τψ∂∂

= ∫∫∞∞

ddd

d **2tttt

N (FG.03.1.34)

unde

( )2

i2

V rt m

⎡ ⎤∂ψ = − Δ + ψ⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

hh (FG.03.1.35)

şi

( )2

* *i2

V rt m

⎡ ⎤∂ψ = − − Δ + ψ⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

hh . (FG.03.1.36)

Înlocuind termenii din partea stângă ai ecuaţiilor (FG.03.1.35) şi (FG.03.1.36) în ecuaţia (FG.03.1.34) se obţine pentru variaţia normei în timp expresia:


‐ 74 ‐

( ) ( )d i dd 2Nt m ∞

⎡ ⎤= ψ Δψ − Δψ ψ⎣ ⎦∫h

τ . (FG.03.1.37)

Pentru un domeniu finit V, integrala (FG.03.1.37) se transformă cu ajutorul teoremei lui Green într-o integrală de suprafaţă.

Prin urmare rezultă ecuaţia:

**d d

d 2N i d d At m dn dnΣ

⎡ ⎤ψ ψ= ψ − ψ⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

h (FG.03.1.38)

unde nd

d este derivata după normala la suprafaţă îndreptată spre exteriorul acesteia.

La limită când Σ tinde la infinit, integrala de suprafaţă tinde către zero [S.05] astfel incat relaţia:

0d

d=

tN

(FG.03.1.39)

evidenţiază conservarea în timp a normei.

(Observaţie: Conservarea în timp a normei se poate obţine imediat din ecuaţia (FG.03.1.37) şi din condiţia de

hermiticitate a operatorului hamiltonian ( )rVm

H +Δ−=2

2h

( ) ( ) τψψ=τψψ ∫∫ dd ** HH ,

care se va stabili după introducerea în capitolul următor a limbajului matematic operatorial al mecanicii cuantice).

Densitatea fluxului de probabilitate

Conservarea normei funcţiei de undă în timp, poate fi corelată cu ecuaţia de continuitate standard cunoscută din celelalte domenii ale fizicii (electrodinamică, hidrodinamică etc.), scrisă însă pentru densitatea de probabilitate de localizare ( tr ,P ) , sub forma

( ) ( ) 0,div,=+

∂∂ trS

ttrP

(FG.03.1.40)

unde ( trS , ) este o mărime vectorială, numită densitatea fluxului de probabilitate, având o expresie ce urmează a fi determinată.

Pentru aceasta ţinem seama de expresia (FG.03.1.38) care poate fi transformată astfel:

(( ) )[ ] τψψ−ψψ=τ∂∂ ∫∫ dgradgraddiv

2d, **

VVm

itrt

hP (FG.03.1.41)

de unde cu notaţia

( ) ( )[ ]ψψ−ψψ= ** gradgrad2

,m

itrS h (FG.03.1.42)

rezultă ecuaţia de continuitate (FG.03.1.40).

Prin urmare densitatea fluxului de probabilitate este dată de relaţia (FG.03.1.42), sau de relaţia echivalentă


‐ 75 ‐

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ψ∇ψ=

mtrS

2Re, * h

. (FG.03.1.43)

(Relaţia (FG.03.1.43) conduce la o interpretare mai sugestivă a densităţii fluxului de probabilitate dacă se

recunoaşte în cantitatea ∇imh

operatorul viteză, însă acest mod de abordare va fi posibil după introducerea

operatorilor în capitolul următor.)

De observat că mărimea ( trS , ) nu poate fi susceptibilă de măsurări, în sensul în care poate fi măsurată densitatea de probabilitate P, deoarece măsurarea sa prin fluxul mediu de particule într-un punct şi la un moment dat, implică măsurări "simultane" de poziţii şi viteze care sunt supuse relaţiilor de incertitudine [S.04].

Din analiza ecuaţiei de continuitate (FG.03.1.40) rezultă că prin adăugarea la vectorul ( trS , ) a unui alt

vector cu divergenţa nulă, forma ei nu se schimbă, prin urmare aceasta defineşte vectorul ( trS , ) , numai în aceste limite.

Se poate admite, de asemenea, caracterul mai general al ecuaţiei (FG.03.1.40) în comparaţie cu proprietatea (FG.03.1.39) de conservarea normei. De exemplu, pentru soluţii staţionare ale ecuaţiei lui Schrödinger

( ) ( ) h

Etiertr

−⋅ψ=ψ 1, (FG.03.1.44)

proprietatea de conservare a normei este evidentă pentru stări legate sau lipsită de semnificaţia pentru stări nelegate, pe când ecuaţia de continuitate capătă forma

( ) 0,div =trS (FG.03.1.45)

interesantă prin independenţa sa de energia potenţială.

Calculul valorilor medii ale variabilelor dinamice

Interpretarea statistică a funcţiei de undă permite extinderea elementelor de statistică matematică în studiul variabilelor dinamice ale sistemelor cuantice, pentru calculul diferitelor mărimi caracteristice ale acestora cum ar fi: valoarea medie, varianţa, etc.

În cele ce urmează ne vom limita numai la prezentarea unor indicaţii privind modul de calcul al valorilor medii, un studiu complet al proprietăţilor statistice ale variabilelor dinamice fiind posibil numai după introducerea operatorilor.

Conform teoriei probabilităţilor, valoarea medie este valoarea aşteptată a unei singure măsurări asupra variabilei dinamice considerate sau este media rezultatelor obţinute printr-un mare număr de măsurări asupra unor sisteme independente identice (aflate în această stare) şi poate fi calculată cu o formulă de tipul

∫ τ= dPFF (FG.03.1.46)

unde F este mărimea mediată iar P funcţia de distribuţie corespunzătoare mărimii F.

Prin urmare, cunoscând densitatea de probabilitate de localizare ( )tr ,P a unei particule cuantice, se poate calcula valoarea medie a coordonatei cu ajutorul relaţiei


‐ 76 ‐

( ) ( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

τψψ=τ= d,,d, * trrtrtrrr P . (FG.03.1.47)

Formula de mai sus poate fi extinsă pentru calculul valorii medii, a oricărei funcţii de coordonata ( )trFr ,, (de exemplu, energia potenţială) sub forma:

( ) ( ) ( ) ( )∫+∞

∞−

τψψ= d,,,, * trtrFtrtrF . (FG.03.1.48)

În vederea găsirii unor relaţii de calcul al valorilor medii ale variabilelor dinamice sub forma cea mai generală, exprimate prin funcţii de tipul ( )rpG , atât de coordonate cât şi de impulsuri), este necesară

definirea funcţiei de undă ( )pφ în spaţiul impulsurilor şi introducerea aparatului matematic operatorial al mecanicii cuantice, care se va face, după cum s-a mai arătat, ulterior.

În acest stadiu al dezvoltării teoriei cuantice se pot defini aceste valori medii cu ajutorul următorului postulat:

„Valoarea medie a funcţiei dinamice pentru un sistem cuantic aflat într-o stare descrisă de funcţia ( xpG x , )( )tx,ψ este dată de integrala:

( ) ( ) ( )∫+∞

∞−

ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

ψ= xtxxxi

GtxxpG x d,,,, * h, (FG.03.1.49)

în care operatorul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ xxi

G ,h se obţine cu ajutorul substituţiei

xipx ∂

∂→

h în expresia funcţiei

( )xpG x , .”

(Modul de obţinere a relaţiei (FG.03.1.49) constă în calculul valorii medii a variabilei cu xp

ajutorul funcţiei de undă ( )pφ în spaţiul impulsurilor şi utilizarea proprietăţilor transformatelor Fourier a funcţiilor de pătrat integrabil care fac trecerea de la spaţiul impulsurilor la spaţiul coordonatelor).

d. Principiul suprapunerii stărilor

Experienţele conceptuale de interferenţă cu două fante au fost cele care au sugerat pentru prima dată posibilitatea unei interpretări statistice a fenomenelor constatate şi au influenţat după cum s-a arătat evoluţia gândirii spre elaborarea formalismului funcţiei de undă cu semnificaţia sa fizică profundă. Interpretarea rezultatelor experienţelor de acest tip cu ajutorul funcţiilor de undă are rolul ca, pe lângă evidenţierea eleganţei şi corectitudinii utilizării acestui formalism să stabilească bazele experimentale ale unui nou principiu fundamental al teoriei cuantice, principiul suprapunerii stărilor.

În cele ce urmează ne vom referi la experienţa de interferenţă cu două fante cu electroni.

Dacă notăm cu 1ψ funcţia de undă care descrie câmpul de undă asociat trecerii electronului prin una din

fante şi cu 2ψ funcţia de undă care descrie câmpul de undă asociat trecerii electronului prin cealaltă fantă, apariţia franjelor de interferenţă pe ecran, după scrierea unui mare număr de electroni, implică cu necesitate


‐ 77 ‐

existenţa unei stări descrisă de funcţia de undă 12ψ obţinută prin suprapunerea stărilor descrise cu ajutorul

funcţiilor de undă 1ψ şi 2ψ , conform relaţiei

ψ = 1ψ + 2ψ . (FG.03.1.50) 12

Într-adevăr, fie

1*11 ψψ=P (FG.03.1.51)

şi

2*22 ψψ=P (FG.03.1.52)

densităţile de probabilitate de localizare ale electronului descris de funcţia de undă , respectiv 1ψ 2ψ .

Admiţând suprapunerea stărilor conform relaţiei (FG.03.1.50) se obţine pentru densitatea de probabilitate rezultantă de localizare a electronului pe ecran expresia:

( ) ( ) *212

"12121

*2112 ψψ+ψψ++=ψ+ψψ+ψ= PPP (FG.03.1.53)

deci

(FG.03.1.54) 2112 PPP +≠

în concordanţă cu observaţiile experimentale.

Relaţia (FG.03.1.50) reprezintă o primă formă a expresiei matematice a principiului suprapunerii stărilor.

De observat că dacă fanta primară nu este simetrică în raport cu fantele secundare, superpoziţia (FG.03.1.50) a funcţiilor de undă şi trebuie să fie ponderată, astfel că starea electronului, atunci când ambele fante 1ψ 2ψsunt deschise, va fi dată de funcţia de undă

( ) ( ) ( )rcxcx 221112 +ψ=ψ ψ (FG.03.1.55)

unde şi sunt numere complexe a căror semnificaţie se va arăta în paragrafele următoare. 1c 2c

Alte consideraţii care conduc la principiul suprapunerii stărilor

a) Un alt fapt experimental care determină admiterea "suprapunerii stărilor", a fost analizat în paragraful ???, când s-au făcut observaţii asupra evoluţiei unui foton şi a unui ansamblu de fotoni polarizaţi liniar la trecerea printr-un nicol.

Pentru interpretarea fenomenului s-a considerat că starea de polarizare a fotonului rezultă din suprapunerea stărilor de polarizare ordinară şi extraordinară, stări în care fotonul este "forţat" să treacă la intersecţia cu aparatul de măsură, astfel că la ieşirea sin nicol fotonul este polarizat într-una sau alta din cele două stări.

b) Din cerinţele de liniaritate impuse ecuaţiei lui Schrödinger odată cu stabilirea acesteia în paragraful ???, rezultă direct posibilitatea suprapunerii soluţiilor sale particulare astfel că, în cazul general, funcţia de undă se poate exprima printr-o relaţie de forma:

( ) ( ) ( ) zyxzyx ppptzyxpppctzyx ddd,,,,.,,, ψ=ψ ∫ (FG.03.1.56)


‐ 78 ‐

adică ca o suprapunere a unui număr foarte mare de funcţii de undă standard cu valori determinate ale impulsului. Se arată că în relaţia de mai sus coeficienţii ( )pc , reprezintă, ca şi coeficienţii în relaţia 21,cc(FG.03.1.55), ponderile stărilor pψ în compoziţia funcţiei de undă rezultante ( )tr ,ψ .

Formularea generală a principiului suprapunerii stărilor

Consideraţiile experimentale şi "de construcţie" a ecuaţiei lui Schrödinger prezentate mai sus pot fi structuralizate astfel: dacă pentru o măsurare efectuată asupra unui sistem cuantic aflat într-o stare descrisă de funcţia de undă , unde este o coordonată în spaţiul configuraţiilor, se obţine cu certitudine un ( )q1ψ qrezultat , iar o măsurare de acelaşi tip efectuată asupra sistemului cuantic aflat în starea conduce 1λ ( )q2ψ

cu certitudine la rezultatul etc., atunci se consideră că orice combinaţie liniară între 2λ k,...,3,2,1ψ

kψψψψ ,...,,, 321 exprimată de relaţia

= ......332211 +ψ++ψ+ψ+ψ kkcccc (FG.03.1.57) k,...,3,2,1ψ

reprezintă, de asemenea, o stare a sistemului pentru care aceeaşi măsurare conduce cu certitudine la unul din rezultatele Analog, dacă se ştie dependenţa de timp a funcţiilor de undă ,...,...,,, 321 kλλλλ ( )tqk ,ψ ,

atunci se pot construi cu aceste funcţii expresii de forma (FG.03.1.57) care, de asemenea, sunt descrieri posibile ale stării.

O altă formulare generală echivalentă a principiului suprapunerii stărilor este următoarea:

Dacă un sistem cuantic se poate găsi într-un şir de stări descrise de funcţiile de undă ( ) ( ) ( ) ( ),...,...,,, 321 qqqq kψψψ ψ el se poate găsi, de asemenea, într-o stare rezultantă obţinută printr-o

combinaţie liniară arbitrară a acestor funcţii de undă, descrisă de funcţia de undă

( ) ( )qcqk

kk∑ ψ=ψ (FG.03.1.58)

adică într-o stare obţinută prin suprapunerea stărilor ( )qkψ .

Relaţia (FG.03.1.56) exprimă, de asemenea, după cum s-a mai arătat, conţinutul principiului suprapunerii stărilor, pentru un domeniu continuu de existenţă al funcţiilor de undă, ca urmare a variaţiei continue a impulsului p .

Din punct de vedere matematic, relaţia (FG.03.1.56) reprezintă dezvoltarea funcţiei ( tzyx ,,, )ψ în integrala

Fourier, dacă funcţiile de undă pψ se aleg de forma

( )( )Etrpi

p e−⋅

⋅π

=ψ h

h 2/321

(FG.03.1.59)

astfel că în acest caz se poate găsi o semnificaţie directă a coeficienţilor ( )zyx pppc ,, .

Într-adevăr, ţinând seama de ortogonalitatea funcţiilor pψ în integrala Fourier (FG.03.1.56) se obţine

egalitatea

pc dd22

∫∫ =τψ (FG.03.1.60)


‐ 79 ‐

care permite interpretare coeficienţilor ( ) 2pc ca expresii ale densităţilor de probabilitate ca particula

descrisă de funcţia de undă să se găsească în una din stările particulare ( tzyx ,,,ψ ) ( tzyxp ,,,ψ ) adică cu

o valoare a impulsului egală cu p .

Evident că datorită normării funcţiei de undă ( )tzyx ,,,ψ , coeficienţii ( )pc sunt supuşi condiţiei

1d2

=∫ pc . (FG.03.1.61)

Consideraţiile de mai sus permit găsirea condiţiilor pentru care coeficienţii în expresia generală a kcprincipiului suprapunerii stărilor (FG.03.1.58) capătă o semnificaţie analogă. Într-adevăr, dacă funcţiile

( )qkψ care alcătuiesc combinaţia liniară (FG.03.1.58) sunt liniar independente şi se ortonormează, mărimile

2kc capătă semnificaţia de ponderi cu care funcţia de undă ( )qψ rezultă se află în una din stările

particulare . (După introducerea formalismului operatorial se va arăta că funcţiile îndeplinesc kψ ( )qkψaceste condiţii când sunt funcţiile proprii ale unor mărimi fizice reprezentate printr-un operator hermitic.)

Analog din modul de formulare al principiului suprapunerii stărilor în mecanica cuantică şi acelaşi principiu din mecanica clasică, evidenţiată de repetate ori şi inspirată de caracterul ondulatoriu al microparticulelor nu conduc la identitatea formelor clasică şi cuantică ale acestui principiu, datorită unor particularităţi esenţiale ale comportării sistemelor cuantice, pe care le evidenţiem în cele ce urmează:

• principiul super poziţiei în mecanica cuantică este o expresie a dualismului corpuscul - undă al sistemelor cuantice, inacceptabil pentru fizica clasică;

• măsurarea efectuată asupra unui sistem cuantic aflat într-o stare obţinută prin suprapunerea mai multor stări kψ a căror măsurare duce la rezultatele kλ , este de asemenea una din valorile kλ şi nu o

valoare oarecare intermediară cum se obţine prin măsurarea sistemelor clasice obţinute prin superpoziţie. Aceste tranziţii în salt ale sistemelor cuantice reprezintă comportări specifice acestui tip de sisteme care ascultă de principiul superpoziţiei în alt mod decât cele clasice, cauza acestor comportări constituind-o interacţiunea sistemului cuantic cu aparatul de măsură în timpul măsurării;

• datorită condiţiei de normare a funcţiei de undă, stările cuantice ( )qψ şi ( )qcψ unde c este o constantă, sunt identice. Nu acelaşi lucru se poate spune despre două stări clasice, exprimate prin funcţii de acelaşi tip care evident au amplitudini diferite, deci exprimă stări distincte;

• imaginea intuitivă a suprapunerii stărilor clasice nu se mai păstrează pentru stările cuantice. Este greu de imaginat, de exemplu, o particulă cuantică, parţial într-o stare, parţial în alta, şi aceasta într-un număr oricât de mare de posibilităţi, create de condiţiile de observare. (Cu privire la acest lucru Bohr afirma că aceste stări trebuie considerate ca existând ele însăşi, ci sunt legate de modurile de observare a lor cu instrumente macroscopice.)

Alte proprietăţi ale funcţiei de undă

Rezultatele obţinute până în prezent în definirea şi interpretarea funcţiei de undă a unei particule pot fi extinse pentru sistemele cuantice formate din mai multe particule.

Fie, de exemplu, un sistem cuantic format din două părţi astfel încât fiecare dintre părţi să fie descrisă complet.


‐ 80 ‐

Întrucât probabilităţile coordonatelor ale primei părţi sunt independente de probabilităţile coordonatelor 1q

2q pentru cea de-a doua parte, funcţia de distribuţie a probabilităţii pentru întreg sistemul trebuie să fie egală cu produsul funcţiilor de distribuţie ale probabilităţilor pentru fiecare în parte, astfel că în limbajul funcţiilor de undă acest lucru se scrie astfel:

( ) ( ) ( )22112112 , qqqqψ = ψ ψ . (FG.03.1.62)

Dacă cele două părţi ale sistemului nu interacţionează între ele, atunci relaţia (FG.03.1.62) rămâne valabilă la orice moment de timp, fapt care se exprimă sub forma:

( ) ( ) ( )tqtqqq t ,,, 2211,2112 ψψ=ψ . (FG.03.1.63)

În cazul cel mai general, fie funcţia de undă a unui sistem format din N particule ( trrrr NkN ;,...,,...,, 21ψ )unde indicele k specifică particula cu coordonata kr .

Postulând faptul că descrierea unui sistem de particule trebuie să se facă analog cu cea a unei singure particule, atribuim funcţiei de undă a sistemului de N particule Nψ aceeaşi semnificaţie fizică. Prin urmare,

mărimea

( ) 2321 ,,...,,...,,, trrrrr NkNN ψ=P (FG.03.1.64)

va reprezenta densitatea de probabilitate ca la un moment dat, prima particulă să fie localizată în punctul 1r ,

cea de-a doua particulă în punctul 2r , etc.

În mod analog, cantitatea

( ) NNN τττψτ= ∫ d...dddd 322

11P (FG.03.1.65)

reprezintă probabilitatea ca prima particulă să se afle în elementul de volum 1d τ , indiferent de localizarea celorlalte particule peste coordonatele cărora se efectuează integrarea.

Calculând cantităţile pentru fiecare dintre celelalte particule, putem obţine informaţia maximă ( )kNPddespre o configuraţie posibilă a sistemului de mai multe particule, în spaţiu.

Condiţia de normare a funcţiei de undă a sistemului de N particule se scrie prin analogie cu condiţia de normare a funcţiei de undă pentru o singură particulă, astfel:

1d...ddd 3212 =ττττψ∫ NN ,

integrala calculându-se pe spaţiul de configuraţie 3N - dimensional.

Dacă funcţia de undă poate fi pusă sub forma unui produs al funcţiilor de undă pentru fiecare particulă, Nψprin analogia cu relaţia (FG.03.1.62) se poate scrie

( ) ( ) ( ) ( )nNNkN rrrrrrr = ψψ ψψ ...,...,,...,, 221121 (FG.03.1.66)

relaţia păstrându-se şi pentru funcţiile de distribuţie ( )kk rP :

( ) ( ) ( ) ( )NNNkN rrrrrrr PPPP ...,...,,...,, 221121 = . (FG.03.1.67)

Prin urmare, statisticile măsurătorilor efectuate asupra fiecărei particule sunt necorelate, problema tratării fiecărei particule fiind aceeaşi cu cea a tratării sale în absenţa celorlalte particule.


‐ 81 ‐

De asemenea, în cazul în care particulele nu interacţionează între ele, proprietatea (FG.03.1.66) se păstrează în timp, adică:

( ) ( ) ( ) ( )trtrtrtrrrr NNNkN ,...,,,,...,,...,, 221121 ψψ=ψ ψ . (FG.03.1.68)

Într-adevăr punând hamiltoniana sistemului sub forma unei sume de N termeni, corespunzători celor N particule din sistem, se constată că funcţia de undă pusă sub formă de produs, satisface ecuaţia lui Schrödinger a sistemului, ceea ce înseamnă că mişcările fiecărei particule rămân complet independente. (Verificarea acestui lucru prin calcul se face mai elegant şi mai simplu după introducerea limbajului operatorial, deşi este posibilă şi în acest stadiu.)

Funcţia de undă în spaţiul impulsurilor

Se poate arăta necesitatea definirii funcţiei de undă ( )pφ în spaţiul impulsurilor, pentru găsirea formulelor generale de calcul a valorilor medii, specificându-se că aparatul matematic al analizei Fourier este cel prin care se stabileşte corespondenţa între spaţiul coordonatelor şi spaţiul impulsurilor.

Pe de alta parte, stabilirea relaţiilor de incertitudine pe baza dualismului general corpuscul - undă, a evidenţiat faptul că între "întinderile" funcţiilor ( )rψ , în spaţiul coordonatelor şi a transformatelor lor

Fourier, ( )pφ , în spaţiul impulsurilor există o corelaţie determinată.

După cum din cunoaşterea funcţiei de undă ( )rψ nu se poate atribui unei particule cuantice o poziţie precisă dar se poate defini probabilitatea de a se localiza particula într-o anumită regiune a spaţiului, atunci când se efectuează o măsurare a poziţiei, extinzând raţionamentul la spaţiul impulsurilor, se poate, prin urmare, defini o funcţie de undă ( )pφ , care să descrie comportarea particulei în acest spaţiu.

Analog, întrucât conform relaţiilor de incertitudine unei particule cuantice nu i se poate atribui un impuls precis, funcţia de undă ( )pφ trebuie să definească probabilitatea de localizare a particulei, într-o anumită regiune a spaţiului impulsurilor, atunci când se efectuează o măsurare a impulsului, conform relaţiei

( ) ( ) 2pp φ=P . (FG.03.1.69)

Admiţând pentru funcţia de undă ( )rψ o expresie generală obţinută prin superpoziţia unor unde elementare

de forma h

rpie , de impuls p bine determinat

( )( )

( ) reprrpi

d2

12/3 ∫ ⋅φ

π=ψ h

h (FG.03.1.70)

unde ( )pφ sunt nişte funcţii a căror semnificaţie urmează a fi stabilită, rezultă că ( )rψ şi ( )pφ sunt transformate Fourier reciproce, astfel că

( )( )

( ) rerprpi

d2

12/3 ∫ ⋅ψ

π=φ h

h (FG.03.1.71)

rezultat în concordanţă cu afirmaţiile anterioare.


‐ 82 ‐

Comparând relaţia (FG.03.1.70) cu (FG.03.1.71) şi ţinând seama de semnificaţia atribuită coeficienţilor

( )pc rezultă că ( ) 2pφ are semnificaţia densităţii de probabilitate ca particula cuantică să aibă impulsul p ,

astfel că ( )pφ construită în acest fel reprezintă funcţia de undă a particulei în spaţiul impulsurilor.

Reciproc pe baza relaţiei (FG.03.1.71) se poate arăta că ( )rψ are semnificaţia unei funcţii de undă a

particulei în spaţiul coordonator. Funcţia de undă ( )pφ este suficientă, ca şi funcţia de undă ( )rψ , pentru cunoaşterea stării dinamice a particulei cuantice, ambele putând fi considerate reprezentări echivalente ale aceleaşi stări.

La fel ca şi funcţia de pătrat integrabil ( )rψ , funcţia ( )pφ , de asemenea, de pătrat integrabil, poate fi normată la unitate, satisfăcând condiţia de conservare în timp a normei şi ecuaţia de continuitate a densităţii de probabilitate. (Se poate arăta că transformata Fourier a unei funcţii de pătrat integrabil există întotdeauna, fiind tot o funcţie de pătrat integrabil.)

Consistenţa teoriei de mai sus, a funcţiei de undă în spaţiul impulsurilor, rezultă în mod hotărâtor din confruntarea cu faptele experimentale, calculul abaterilor medii pătratice ale rezultatelor măsurărilor "simultane" ale impulsurilor şi poziţiilor, fiind în concordanţă cu relaţiile de incertitudine ale lui Heinsenberg.

Este evident că relaţiile de calcul ale valorilor medii ale impulsului p , sau ale oricărei funcţii de impuls

( )tpG , , se pot scrie în spaţiul impulsurilor, astfel:

( )d, τ= ∫+∞

∞−

tppp P ' (FG.03.1.72)

şi respectiv

( ) ( ) ( )d,,, τ= ∫+∞

∞−

tptpGtpG P ' (FG.03.1.73)

unde este elementul de volum în spaţiul impulsurilor. 'd τ

De asemenea, funcţia de undă a unui sistem de mai multe particule

( )tppp NN ,,...,, 21φ (FG.03.1.74)

este corelată cu funcţia de undă

( )trrr NN ,,...,, 21ψ (FG.03.1.75)

prin relaţiile de transformate Fourier reciproce N dimensionale [S.06].

Condiţiile impuse funcţiei de undă

Interpretarea funcţiei de undă presupune îndeplinirea a o serie de condiţii de către aceasta, care constau în primul rând în continuitatea şi univocitatea sa, în tot domeniul unde poate evolua particula.

Aceste condiţii sunt impuse de faptul că proprietatea de localizare a unei particule, într-un anumit punct, nu poate fi decât unică şi bine definită, continuitatea fiind cerută de absenţa "surselor" pe orice suprafaţă care mărgineşte volumul V unde se calculează probabilitatea de localizare a particulei. In teoria "surselor" se arată


‐ 83 ‐

că prezenţa acestora conduce la apariţia unor termeni suplimentari în ecuaţia lui Schrödinger, determinând discontinuităţi ale funcţiei de undă (surse izotrope) sau ale derivatei normale a acesteia (sursele dipolare).

Condiţia de normare a funcţiei de undă, şi conservarea normei în timp conduc la cerinţa ca funcţia de undă să se anuleze la infinit suficient de repede, astfel încât integrala de normare

∫ =τψψ 1d* , (FG.03.1.76)

să fie convergentă.

De exemplu, dacă funcţia de undă scade hiperbolic, (ca 1/r), integrala (FG.03.1.76) luată ca o sferă de rază r nu este convergentă, astfel că implică prezenţa surselor la infinit. Pentru o funcţie de undă care se anulează exponenţial la infinit însă, integrala (FG.03.1.76) este convergentă.

Undele plane şi undele sferice, de exemplu, implică prezenţa „surselor” la infinit şi respectiv în origine.

Mai menţionăm de asemene, că existenţa unor discontinuităţi ale energiei potenţiale , conduce la ( )xUdiscontinuităţi ale derivatelor de ordinul doi ale funcţiilor de undă. Totuşi condiţiile de continuitate nu sunt afectate pentru funcţia de undă şi derivatele sale de primul ordin.

Aşa cum se arată în teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale, pe de altă parte, ecuaţia lui Schrödinger atemporală este o ecuaţie tipică cu funcţii proprii şi valori proprii, aşa încât funcţiile de undă care sunt soluţiile acestui tip de ecuaţii, satisfac condiţiile standard de mărginire, continuitate (împreună cu derivatele lor chiar şi în punctele în care energia potenţială prezintă discontinuităţi) şi univocitate.

În plus, după formularea operatorială a mecanicii ondulatorii, se va arăta că funcţiile de undă proprii, obţinute în acest fel, satisfac şi condiţia de ortonormare

( ) ( ) nmnm qqq δ=ψψ∫ d* (FG.03.1.77)

unde este simbolul lui Kronecker. nmδ

FG.03.2. Variabilele dinamice în mecanica cuantică

Un al doilea concept fundamental al mecanicii clasice pe lângă cel de stare a unui sistem este acela de variabilă dinamică, prin variabile dinamice înţelegându-se acele mărimi fizice care caracterizează starea sistemului fizic, de exemplu, coordonatele, impulsurile, momentul cinetic, energia etc.

Se ştie, de asemenea, că între diferitele variabile dinamice ale unui sistem clasic există relaţii de legătură bine precizate, unele dintre acestea având rolul de a defini noi variabile dinamice, ca funcţii de variabilele dinamice fundamentale, coordonatele şi impulsurile.

Problema care se pune, în continuare, în construirea teoriei cuantice, după introducerea funcţiilor de undă pentru descrierea stărilor sistemelor cuantice este de a se stabili ce mărimi corespund variabilelor dinamice clasice, în teoria cuantică?

În rezolvarea acestei probleme trebuie să se ţină seama atât de caracterul diferit, evidenţiat până în prezent, al legilor de evoluţie ale sistemelor cuantice, în raport cu legile clasice, cât şi de necesitatea logică de a se conserva pe cât posibil unele elemente de structură ale mecanicii clasice, către care trebuie să tindă, în anumite condiţii, mecanica cuantică.

În cele ce urmează se va arăta că descrierea cea mai potrivită a variabilelor dinamice în teoria cuantică o reprezintă operatorii liniari hermitici.


‐ 84 ‐

Se ştie din matematică că un operator este o instrucţiune, prin care se asociază unui element al unui anumit set de obiecte un alt element din acelaşi set de obiecte sau dintr-un alt set. De exemplu, spaţiul funcţiilor de pătrat integrabil i se poate asocia spaţiul transformatelor Fourier ale acestor funcţii, prin intermediul operatorului integral al transformatei Fourier. În cazul teoriei cuantice, operatorii corespunzători variabilelor dinamice, trebuie să acţioneze în spaţiul funcţiilor de undă sau în cel al vectorilor de stare, în concordanţă cu legile teoriei cuantice stabilite până în prezent, astfel că trebuie formulată o teorie matematică coerentă a acestor operatori. Principalele caracteristici ale acestor operatori decurg din însăşi analiza spaţiului funcţiilor de stare, astfel că în paragraful următor se va evidenţia posibilitatea şi necesitatea introducerii operatorilor în acest spaţiu. Notaţia generală utilizată pentru desemnarea operatorului corespunzător unei variabile dinamice

va fi , conform ecuaţiei de definiţie . F 21 ˆψ=ψ F'F

Câteva moduri de introducere a operatorilor cuantici

a) Analiza funcţiei de undă a particulei libere [S.04]

Să considerăm funcţia de undă a unei particule libere dată prin expresia

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=ψ Etpxih

exp . (FG.03.2.1)

Din analiza derivatelor parţiale ale expresiei (FG.03.2.78) în raport cu x şi cu t

ψ=∂ψ∂

xpx

ih

, (FG.03.2.2)

respectiv

ψ=∂ψ∂

− Et

ih

, (FG.03.2.3

rezultă că dacă funcţia ψ este cunoscută, ecuaţiile (FG.03.2.2) şi (FG.03.2.3) ne permit aflarea impulsului după direcţia x sau a coordonatei particulei prin derivarea parţială a funcţiei de undă în raport cu coordonata x, respectiv cu timpul t. Ca urmare, ecuaţiile (FG.03.2.2) şi (FG.03.2.3) pot fi privite ca nişte ecuaţii operatoriale, pentru variabilele dinamice impuls şi energie, cărora le corespund astfel operatorii diferenţiali:

xipx ∂

∂=hˆ (FG.03.2.4)

respectiv

tiE

∂∂

−=hˆ . (FG.03.2.5)

generalizarea acestor rezultate pentru toate variabilele dinamice, conduce, după cum se va arăta, la aparatul matematic al operatorilor liniari hermitici ai teoriei cuantice.

b) Stabilirea ecuaţiei lui Schrödinger [S.05]

Analiza cerinţelor unei ecuaţii de undă generale a avut ca punct de plecare relaţia:

mpE2

2= , (FG.03.2.6)

astfel că s-a ajuns la ecuaţia de undă pentru particula liberă, având forma:

2

22

2 xmti

∂

ψ∂−=

∂ψ∂ h

h . (FG.03.2.7)


‐ 85 ‐

Din compararea celor două relaţii de mai sus, rezultă că energia şi impulsul pot fi reprezentate prin operatorii diferenţiali

tiE

∂∂

= hˆ , (FG.03.2.8)

respectiv

∇−= hip , (FG.03.2.9)

în concordanţă cu ecuaţiile (FG.03.2.81), (FG.03.2.82). Rezultă totodată pentru operatorul pătratului impulsului expresia:

Δ−= 22 hp . (FG.03.2.10)

c) Calculul valorilor medii [S.04]

Ţinând seama de funcţiile de undă ( )rψ şi ( )pφ sunt reprezentări echivalente ale aceleaşi stări cuantice, în spaţiul coordonatelor, respectiv cel al impulsurilor, se poate arăta că definiţia valorii medii a impulsului:

( ) ( ) xxxxx ppppp d* φφ= ∫+∞

∞−

, (FG.03.2.11)

se poate scrie înlocuind pe în ecuaţia de mai sus sub forma: ( xpφ )

( ) ( )* dix x x x

x

+∞

−∞

∂= ϕ ϕ

∂∫hp , (FG.03.2.12)

ceea ce arată posibilitatea reprezentării operatoriale a impulsului prin expresia xpi x

∂∂

h . Totodată formula

(FG.03.2.12) se poate generaliza pentru calculul valorii medii a oricărui operator. În plus expresia valorii medii a coordonatei scrise sub forma

( ) ( ) xxxxx d* ψψ= ∫+∞

∞−

(FG.03.2.13)

evidenţiază expresia operatorului coordonată , x

xx →ˆ , (FG.03.2.14)

adică aplicarea sa asupra unei funcţii de undă are ca efect obţinerea altei funcţii de undă, conform relaţiei

( ) ( ) ( )xxxxx jii ψ=ψ=ψˆ . (FG.03.2.15)

Analog, în spaţiul impulsurilor au loc relaţiile:

( ) ( )xixxix pppp φ=φˆ (FG.03.2.16)

şi

( ) ( )ˆii x i x

x

x p pp∂

ϕ = ϕ∂

h . (FG.03.2.17)

d) Studiul stărilor


‐ 86 ‐

Conform postulatelor lui Bohr, sistemele atomice aflate în stări staţionare posedă un şir discret de valori , pentru energia sistemului, în deplină concordanţă cu experienţa, după cum s-a arătat în

capitolul al doilea al lucrării.

,...,...,,, 321 iEEEE

Problema determinării acestor stări staţionare ale sistemului atomic este asemănătoare problemei din matematică a rezolvării ecuaţiei cu funcţii proprii şi valori proprii a operatorilor liniari. Acest mod de interpretare a cuantificării unui sistem atomic aparţine lui Schrödinger care a evidenţiat pentru prima dată (în 1926), că teoria operatorilor liniari corespunde cel mai bine descrierii sistemelor cuantice.

e) Reprezentarea matricială a lui Heisenberg

În capitolul al cincilea al lucrării s-a arătat că o particularitate esenţială a reprezentării variabilelor conjugate canonic şi prin matrici o constituie necomutativitatea produsului matricilor asociate, conform

relaţiei kp kq

ik k k kp q q p− =h . (FG.03.2.18)

Dacă considerăm operatorii diferenţiali ˆ ixpx

∂= −

∂h şi introduşi mai sus, constatăm că aceştia satisfac

relaţia de comutare (FG.03.2.18). Prin urmare, matricile lui Heisenberg sunt reprezentări echivalente ale operatorilor liniari şi . Ajungem astfel, la concluzia importantă că, aparatul matematic al mecanicii

cuantice matriciale este de asemenea cel operatorial.

x

xp x

f) Introducerea axiomatică a operatorilor

În unele lucrări de mecanică cuantică, operatorii cuantici se introduc axiomatic, postulându-se corespondenţa dintre operatorii liniari hermitici şi variabilele dinamice. Ca urmare, întregul aparat matematic al operatorilor hermitici se utilizează pentru evidenţierea proprietăţilor şi legilor de mişcare ale sistemelor cuantice, urmând ca autoconsistenţa teoriei să fie evidenţiată de concordanţa cu realitatea fizică a rezultatelor obţinute.

Unele proprietăţi ale operatorilor din mecanica cuantică.

Cerinţele de necomutativitate, liniaritate şi hermiticitate pentru aceşti operatori

În paragraful anterior s-au arătat mai multe căi echivalente de introducere a operatorilor în teoria cuantică,

găsindu-se formele diferenţiale ale operatorilor fundamentali, şi precum şi cea a operatorului xp x E şi

arătându-se posibilitatea reprezentării matriciale a acestora. Se poate trece prin urmare, la tratarea generală a problemei operatorilor corespunzători variabilelor dinamice din mecanica clasică şi la studiul proprietăţilor acestor operatori. Relaţia (FG.03.2.18) arată o proprietate importantă a operatorilor cuantici şi anume, necomutativitatea acestora, exprimabilă prin relaţia

xdd

ddx

xxˆ

ˆˆˆ ≠ . (FG.03.2.19)

Generalizarea relaţiei (FG.03.2.96) pentru doi operatori oarecare şi , sub forma F G

FGGF ˆˆˆˆ ≠ (FG.03.2.20)

arată că algebra operatorilor cuantici trebuie să fie necomutativă, proprietate care aparţine algebrei operatorilor liniari.

Relaţia (FG.03.2.97) reprezintă formularea matematică a modului de efectuare a observaţiilor asupra unui sistem cuantic. Fie o observaţie efectuată asupra unui sistem cuantic în vederea determinării F


‐ 87 ‐

variabilei dinamice F (prin observaţie se înţelege o măsurare asupra variabilei dinamice). Dacă sistemul cuantic se află iniţial în starea u , prin efectuarea observaţiei F asupra sistemului, acesta va trece, datorită

perturbaţiei incontrolabile a aparatului în timpul măsurării, în starea Fu aparţinând spaţiului vectorilor

de stare din care face parte şi u . Descrierea matematică a observaţiei , asupra variabilei dinamice F, se

va face prin intermediul operatorului , conform ecuaţiei

F

F

uFuF ˆ= . (FG.03.2.21)

O nouă observaţie asupra sistemului aflat în starea G Fu îl va aduce pe acesta în starea GFu conform

ecuaţiei

uFGuGF ˆˆ= (FG.03.2.22)

ordinea de aplicare a operatorilor identificându-se cu ordinea de efectuare a observaţiilor.

Efectuând în ordine inversă observaţiile, sistemul trece pe rând în stările Gu şi FGu astfel că în general

GFu ≠ FGu , (FG.03.2.23)

şi

GFFG ≠ , (FG.03.2.24)

datorită perturbaţiilor incontrolabile ale aparatului asupra stării sistemului.

Prin urmare, produsul operatorilor cuantici corespunzător variabilelor dinamice din mecanica clasică este în general, necomutativ.

Proprietatea de liniaritate a operatorilor cuantici impusă de principiul suprapunerii stărilor se poate formula matematic astfel

( ) ...ˆ...ˆˆ......ˆ 22112211 ++++=++++ iiii uFcuFcuFcucucucF (FG.03.2.25)

Se verifică uşor că operatorii coordonată x şi impuls xi d

dh, introduşi până în prezent, sunt operatori liniari,

proprietatea fiind valabilă pentru toţi operatorii care descriu variabile dinamice în mecanica cuantică.

Se poate arăta că operatorii liniari ai mecanicii cuantice au pe lângă proprietatea generală de necomutativitate şi pe cea de hermiticitate.

Caracterul hermitic al operatorilor liniari din mecanica cuantică rezultă din caracterul real al vectorilor pe care le pot lua variabilele dinamice care sunt mărimi fizice reale.

În mecanica cuantică valorile pe care le poate lua o variabilă dinamică se numesc valori proprii, şi se obţin ca rezultat al rezolvării ecuaţiei cu funcţii proprii şi valori proprii a operatorului cuantic corespunzător:

uuF λ=ˆ . (FG.03.2.26)

Şirul valorilor pe care le poate lua variabila dinamică F, poate fi discret sau continuu, astfel că spectrul valorilor proprii ale ecuaţiei operatoriale (FG.03.2.26) poate fi discret sau continuu.

Fie nu vectorul de stare al sistemului cuantic studiat, pentru care variabila dinamică F are valoarea Fλ .


‐ 88 ‐

Vectorii nu se numesc vectori proprii ai operatorului , funcţiile de stare corespunzătoare F nψ

numindu-se de asemenea funcţii proprii.

În general, ca şi în cazul valorilor proprii, spectrul funcţiilor proprii poate fi discret sau continuu.

Dacă spectrul vectorilor proprii al operatorului considerat este complet, atunci orice funcţie de stare a sistemului poate fi exprimată, conform principiului suprapunerii stărilor, ca o combinaţie liniară a funcţiilor proprii, sub forma

∑ ψ=ψn

nnc . (FG.03.2.27)

În măsura în care spaţiul funcţiilor de stare este un spaţiu Hilbert, funcţiile proprii ale operatorilor consideraţi, satisfac condiţiile standard de mărginire, continuitate şi univocitate impuse funcţiei de stare în tot domeniul de variaţie al variabilelor independente, alcătuind un sistem complet.

În cazul în care funcţiile proprii date de ecuaţia (FG.03.2.100) satisfac condiţiile standard dar nu sunt pătrat

integrabil, ele se vor numi funcţii proprii generalizate şi aparţin spectrului continuu ale operatorului . F

Trebuie menţionat că dacă soluţiile ecuaţiei (FG.03.2.103) nu satisfac nici condiţiile standard, ele nu vor mai

fi nici funcţii proprii generalizate şi nu mai aparţin spectrului operatorului . F

Prin urmare, problema găsirii spectrului unui operator constă în a căuta printre soluţiile ecuaţiei (FG.03.2.26) pe acelea care satisfac condiţiile standard.

F

Relaţia (FG.03.2.27) ne permite, ca utilizând definiţia produsului scalar să calculăm probabilitatea de a se obţine una din valorile proprii , pentru sistemul cuantic cu funcţia de undă nλ ψ . în continuare ne vom

referi numai la cazul spectrului discret de funcţii proprii, particularităţile spectrului continuu, fiind arătate în capitolul următor.

Dacă setul funcţiilor proprii este complet, condiţia de ortonormare a funcţiilor proprii se exprimă prin

relaţia nψ

mnnm q δ=ψψ∫ d* . (FG.03.2.28)

Ca urmare, calculând produsul scalar

( ) ∑∫ =ψψ=ψψn

nnccq ** d, ; (FG.03.2.29)

rezultă din condiţia de normare a funcţiei de undă relaţia de închidere

12 =∑n

nc . (FG.03.2.30)

Se observă că mărimea

∫ ψψ= qc nnn d*2 , (FG.03.2.31)

reprezintă probabilitatea ca prin măsurarea sistemului având funcţia de undă ψ să se obţină valoarea

proprie . nλ


‐ 89 ‐

Evident că valoarea medie a variabilei dinamice F, pentru sistemul cuantic aflat în starea ψ este dată de relaţia

2n

nn c∑λ=λ . (FG.03.2.32)

Exprimând relaţia (FG.03.2.109) cu ajutorul funcţiilor de stare şi ţinând seama de relaţia (???) se obţine:

∫∫ ∑∑ ψψ=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ψλψ=λ=λ qFqccc

nnnnnn

nn dˆd *** (FG.03.2.33)

unde s-a notat

nnnnnn

n cF ψλ=ψλ=ψ ∑ˆ . (FG.03.2.34)

Prin urmare formula de calcul a valorii medii a variabilei dinamice F, conduce în mecanica cuantică la

calculul valorii medii a operatorului cuantic . F

În general, din scrierea relaţiei (FG.03.2.34) sub forma

( ) ( ) 'd'',ˆ qqqqKF ψ=ψ ∫ , (FG.03.2.35)

unde

( ) ( ) (qqqqK nn

nn ψψλ= ∑ '', ) , (FG.03.2.36)

rezultă că este un operator integral care determină valoarea medie a variabilei dinamice F şi că în acest fel fiecărei variabile dinamice îi corespunde în mecanica cuantică un operator.

F

Este evident că valorile medii λ ale variabilei dinamice F sunt reale ca şi valorile proprii ale operatorului

cuantic corespunzător.

Făcând să corespundă fiecărui operator liniar , un alt operator liniar , numit hermitic conjugat cu , operaţia de conjugare hermitică fiind definită de relaţia

F +F F

( )∫∫ ψψ=ψψ + qFqF ddˆ 2*

12*1 , (FG.03.2.37)

se poate arata că valorile proprii ale operatorului sunt reale dacă este îndeplinită condiţia: F

FF =+ (FG.03.2.38)

adică

( )∫∫ ψψ=ψψ qFqF dˆdˆ 2*

12*1 . (FG.03.2.39)

Într-adevăr, scriind pe baza proprietăţii (FG.03.2.38) egalităţile:

∫∫ ψψλ=ψψ qqF ddˆ ** (FG.03.2.40)

şi


‐ 90 ‐

(FG.03.2.41) ( ) ∫∫ ψψλ=ψψ qqF ddˆ ***

rezultă

, (FG.03.2.42) *λ=λ

adică valori proprii reale pentru operatorul . F

Operatorii care îndeplinesc condiţia (FG.03.2.38) se numesc operatori hermitici sau autoadjuncţi, şi ei corespund în aparatul matematic al mecanicii cuantice, mărimilor fizice reale.

Formularea principiului de corespondenţă

Se poate introduce, în conformitate cu cele arătate mai sus, un postulat fundamental al mecanicii cuantice, care în diferite lucrări de mecanică cuantică este ridicat la rangul de principiu, având următorul enunţ:

„Fiecărei variabile dinamice din mecanica clasică îi corespunde în mecanica cuantică un operator liniar hermitic.”

Acestui postulat i se poate asocia o regulă generală de corespondenţă privind modul de construire a operatorilor cuantici asociaţi variabilelor dinamice clasice, care are următorul conţinut:

„Între operatorii liniari hermitici corespunzători variabilelor dinamice din mecanica clasică există aceleaşi relaţii ca şi între variabilele dinamice cărora le sunt asociaţi.”

De exemplu, componentei după axa x a momentului cinetic

yzx pzpyL −= (FG.03.2.43)

trebuie să-i corespundă conform regulii de mai sus, operatorul cuantic

yxx pzpyL ˆˆˆˆˆ −= . (FG.03.2.44)

Valabilitatea regulii de mai sus rezultă din teoria matematică a operatorilor hermitici, care va fi dezvoltată în capitolul următor.

FG.03.3. Observabile şi reprezentări în mecanica cuantică

a) Noţiunea de observabilă

Proprietăţile spaţiilor vectoriale şi ale operatorilor liniari evidenţiate în subcapitolele FG.03.1.1. şi FG.03.1.2. trebuie să fie în anumite limite proprietăţi ale vectorilor de stare şi ale operatorilor cuantici asociaţi variabilelor dinamice ale sistemelor cuantice. Se postulează faptul deosebit de important că operatorii hermitici asociaţi diferitelor mărimi fizice măsurabile experimental posedă un sistem ortonormat complet de funcţii proprii.

Prin definiţie, operatorul hermitic A este o observabilă dacă sistemul ortonormat de vectori proprii ai lui

A formează o bază în spaţiul stărilor, adică este complet. Descrierea mărimilor fizice prin operatori care sunt observabile constituie un postulat fundamental al teoriei cuantice, în deplină concordanţă cu experienţa.


‐ 91 ‐

De exemplu, dacă vectorii proprii )(rnψ ai unui operator hermitic (având un spectru discret), obţinuţi ca

soluţii ale ecuaţiei cu valori proprii

A

)()(ˆ rnn

rn aA ψ=ψ , (FG.03.3.1)

nn ggr ,,...,2,1= fiind gradul de degenerare al vectorilor proprii, alcătuiesc un sistem ortonormat adică

'')'(

')(

rrnnr

nr

n δδ=ψψ (FG.03.3.2)

care este şi complet

1)(

1 1

)( =ψψ∑∑∞

= =

rn

n

g

r

rn

n

, (FG.03.3.3)

Operatorul A este o observabilă. Analiza „exigenţei” de completitudine pentru spaţiul Hilbert în vederea stabilirii operatorilor care pot fi observabile, prezintă unele dificultăţi ca urmare a problemelor de convergenţă care apar în acest spaţiu cu dimensiuni infinite. În cazul unui operator hermitic în spaţiul Hilbert, ortonormalitatea vectorilor proprii nu implică şi completitudinea acestora. În lucrare se arată că un spaţiu care conţine un şir ortonormat complet este un spaţiu Hilbert separabil. Spaţiul funcţiilor de pătrat integrabil, este un spaţiu Hilbert separabil. De asemenea, orice spaţiu vectorial cu un număr finit de dimensiuni este un spaţiu Hilbert separabil.

Fie în cazul general, o observabilă A având un spectru parţial discret, parţial continuu, funcţiile proprii

putând fi degenerate. Dacă notăm cu funcţiile proprii discrete şi cu funcţiile proprii

continue ale ecuaţiei cu funcţii proprii şi valori proprii

( )xra

)(ψ ( xar ,)(ψ )

( ) ( )xaxA ψ=ψˆ , (FG.03.3.4)

unde indicele r indică gradul de degenerare, atunci pentru un element oarecare al spaţiului Hilbert corespunzător este valabilă dezvoltarea

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) axaaxx r

r

rra

n r

ra nn

d,ψα+ψα=ψ ∫∑∑∑ . (FG.03.3.5)

Condiţia de completitudine a funcţiilor proprii ale observabilei are forma A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 'd,,' ** xxaxaxax rr

r

ra

n r

ra nn

−δ=ψψ+ψα )∫∑∑∑ , (FG.03.3.6)

norma funcţiei ( )xψ fiind dată de expresia

( ) ( ) ( )( ) aar

r

n r

ran

d,22

∫∑∑∑ α+α=ψψ . (FG.03.3.7)

În cazul în care baza spaţiului Hilbert nu este numărabilă, aplicarea unor operatori ca x şi x∂

∂ care sunt

nemărginiţi poate conduce la funcţii care nu aparţin spaţiului ceea ce constituie o dificultate importantă a spaţiului Hilbert corespunzător.


‐ 92 ‐

Fig. FG.03.3.1.

Corespondenţa observabilă - operator hermitic şi vector de stare - vector în spaţiul Hilbert este prezentată schematic în figura FG.03.3.1.

Faptul că unei variabile dinamice clasice îi corespunde un operator cuantic hermitic în teoria cuantică, conform principiului de corespondenţă enunţat în subcapitolul FG.03.1.2. nu este reciproc.

Nu rezultă de nicăieri că orice operator hermitic este susceptibil de a reprezenta o mărime fizică.

La studiul regulilor de supra selecţie se va arăta, de exemplu, că operatorul este hermitic dar nu este

observabilă, a şi fiind operatorii de creare şi anihilare. Analog din faptul că o stare a unui sistem cuantic se poate reprezenta printr-un vector în spaţiul Hilbert nu rezultă că orice vector din spaţiul Hilbert poate reprezenta o stare fizică a unui sistem cuantic. De exemplu, nu pot exista suprapuneri de stări simetrice şi antisimetrice după cum rezultă din existenţa regulilor de supra selecţie.

++ aa ˆˆ

ˆ +a

b) Ansambluri complete de observabile comutative

Un ansamblu complet de observabile este determinat de grupul observabilelor care admit o bază ortonormată, unică, de vectori proprii comuni.

Cazul ansamblului complet de observabile comutative prezintă interes deosebit în teoria cuantică a măsurării care va fi prezentată în subcapitolul FG.03.1.4. Se pot demonstra teoremele:

• 1) Dacă vectorii proprii simultani pentru doi operatori A şi B formează un set complet,

operatorii A şi B comută şi reciproc;

• 2) Dacă doi operatori A şi B comută, există un set de vectori proprii comuni celor doi operatori. Demonstraţia celor două teoreme este imediată:

1) Fie λμu un vector propriu simultan al operatorilor şi A B , astfel că:

λμλλμ = uauA (FG.03.3.8)

λμμλμ = ubuB , (FG.03.3.9)

deci

O B S E R V A B I L Ă OPERATOR HERMITIC

ORICARE

NU O

VECTOR DE STARE

VECTOR ÎN SPAŢIUL HILBERT

RICARE

NU

ORICARE

ORICARE


‐ 93 ‐

λμμλλμλλμ == ubauBauAB ˆˆˆ (FG.03.3.10)

λμμλλμμλμ == ubauAbuBA ˆˆˆ , (FG.03.3.11)

prin urmare

λμλμ = uBAuAB ˆˆˆˆ (FG.03.3.12)

Dacă vectorii proprii simultani λμu alcătuiesc un set complet, atunci pentru orice alt vector de stare al

spaţiului se poate scrie

∑μλ

λμλμ=,

ucu . (FG.03.3.13)

Dacă seria (FG.03.3.134) este convergentă atunci conform ecuaţiei (FG.03.3.12) rezultă:

0ˆˆˆˆ =− BAAB (FG.03.3.14)

sau

[ ] 0ˆ,ˆ =BA . (FG.03.3.15)

2) Fie Auλ şi vectorii proprii respectiv valorile proprii ale operatorului , iar λa A Buμ şi vectorii

proprii respectiv valorile proprii ale operatorului

μb

B . Se pot scrie ecuaţiile:

AA uauA λλλ =ˆ (FG.03.3.16)

şi

BB ubuB μμμ =ˆ . (FG.03.3.17)

dacă considerăm dezvoltarea

BA ucu μμ

μλλ ∑= , (FG.03.3.18)

unde Buμ reprezintă un set ortonormat complet de vectori proprii ai operatorului B , se poate scrie

BBA ucaucAuA μμ

μλλμμ

μλλ ∑∑ == ˆˆ , (FG.03.3.19)

astfel încât

( ) 0ˆ =− μμ

λμλ∑ BuaAc . (FG.03.3.20)

Întrucât A şi B comută:


‐ 94 ‐

( ){ } ( ) ( ) ( ) BBBB uaAbubaAuBaAuaAB μλμμμλμλμλ −=−=−=− ˆˆˆˆˆˆ . (FG.03.3.21)

Prin urmare vectorii de stare ( ) BuaA μλ−ˆ sunt vectori proprii ai lui B având aceleaşi valori proprii ca şi

Buμ adică . Pentru valori proprii distincte ale vectorilor proprii μb ( ) BuaA μλ−ˆ aceştia sunt liniar

independenţi. Relaţia de dependenţă liniară (FG.03.3.142) nu poate fi satisfăcută decât dacă vectorii proprii

( ) BuaA μλ−ˆ sunt nuli. Prin urmare vectorii de stare Buμ sunt vectori proprii simultani ai operatorilor

şi

A

B .

Funcţiile de observabile. In paragraful anterior s-a definit operatorul ( )Af ˆ , unde A este un operator auto

adjunct; orice operator mărginit care comută cu A este funcţie de A . Rezultatele pot fi extinse pentru un număr oarecare de observabile comutative; orice funcţie reală de mai multe observabile comutative este o observabilă care comută cu fiecare dintre aceste observabile, având acelaşi sistem de vectori proprii.

c) Reprezentarea vectorilor de stare şi a observabilelor

Există o corespondenţă directă între proprietăţile vectorilor şi operatorilor şi proprietăţile matricelor care îi reprezintă pe aceştia. Astfel

• relaţiilor de conjugare dintre vectori (operatori) le corespunde relaţia de conjugare hermitică între matrici:

**ˆˆ jiijjiij AuAuuAuA ===+ ; (FG.03.3.22)

• operaţiilor algebrice dintre vectori (operatori) le corespund aceleaşi operaţii algebrice între matrici (de exemplu, produsul scalar dintre doi vectori, produsul a doi operatori etc.). Prin urmare teoria reprezentărilor permite trecerea de la studiul geometric al unei probleme la studiul algebric al acestuia, într-o reprezentare convenabil aleasă. Alegerea reprezentării se face în aşa fel încât reprezentanţii vectorilor de stare şi ai operatorilor să aibă o formă cât mai simplă (problema fiind analoagă alegerii judicioase a unui sistem de coordonate). În teoria reprezentărilor o importanţă deosebită o are reprezentarea { }Q a

observabilei Q adică reprezentarea având ca vectori ai bazei chiar vectorii proprii ai observabilei Q în

reprezentarea { }Q este o matrice diagonală. Fie Q o observabilă şi iu vectorii proprii ai acestei

observabile. Elementele de matrice ijQ au forma

jiij uQuQ ˆ= , (FG.03.3.23)

unde jjj uQuQ =ˆ , (FG.03.3.24)

jQ fiind valorile proprii ale observabilei Q . Rezultă că ˆ

ijjjijij QuuQQ δ== , (FG.03.3.25)


‐ 95 ‐

adică matricea este diagonală, elementele de matrice fiind reale. Conform celor

prezentate în paragraful anterior rezultă că o funcţie de mai multe observabile comutative cu observabila ,

va fi diagonală în reprezentarea { .

ijQ *jjjij QQQ ==

Q}Q

Schimbarea reprezentării. Trecerea de la o reprezentare la alta a vectorilor de stare şi a observabilelor se face utilizându-se operatorii unitari [S.05]. Pentru a exprima acest lucru se consideră, de exemplu, bazele

ortonormate discrete )1(iu şi )2(

iu corespunzătoare reprezentărilor { }1Q , respectiv { astfel că }2Q

)2(iu )1(ˆ

iuU= (FG.03.3.26)

şi += Uuu jjˆ)2()1( , (FG.03.3.27)

U şi fiind operatori unitari ale căror elemente de matrice sunt date de relaţiile +U

)2()1()1()1( ˆjijiij uuuUuU == (FG.03.3.28)

respectiv

)2()1()2()2(* ˆijijijij uuuUuUU === ++ . (FG.03.3.29)

Prin urmare schimbarea reprezentării este determinată de componentele vectorilor bazei noi în raport cu baza

veche. De observat că elementele matricii produs +UU((

ijjik

kjuk uuUU δ==∑ + )1()1( (FG.03.3.30)

sunt cele ale matricii identitate, deci matricea U(

este unitară. În cazul unei observabile , având în reprezentarea elementele de matrice

A{ }1Q

)1()1()1( ˆjiij uAuA = (FG.03.3.31)

din calculul produsului rezultă componentele UAU ˆˆˆ +

)2()2()2( ˆjiij uAuA = , (FG.03.3.32)

adică operatorul U defineşte transformarea cerută a reprezentării. Prin urmare între matricile ˆ )1(A(

şi )2(A(

există relaţiile

)2(A(

UAU((( )1(1−= (FG.03.3.33)

şi reciproc

)1(A( 1)2( −= UAU

(((. (FG.03.3.34)

Se constată uşor că transformările unitare lasă invariante relaţiile de conjugare hermitică şi ecuaţiile dintre

vectori şi operatori. Operatorii de forma i

ˆf

S e= h , unde este o funcţie reală, sunt numiţi factori de fază. f


‐ 96 ‐

Aceştia determină transformări unitare care nu sunt asociate cu schimbarea bazei, deci cu trecerea de la o reprezentare la alta.

Rezultă că forma unei observabile este determinată de proprietăţile variabilei dinamice până la o transformare unitară. În urma unei transformări unitare a unei observabile, se obţine o altă observabilă având acelaşi spectru de valori proprii în raport cu noua bază. Pentru determinarea valorilor proprii ale unei observabile se alege o reprezentare { iu } şi se proiectează ecuaţia cu valori proprii şi funcţii proprii.

ψ=ψ aA (FG.03.3.35)

pe vectorii bazei iu .

Rezultă

ψ=ψ ii uaAu ˆ , (FG.03.3.36)

sau

( ) 0=δ−∑ jj

ijij caA , (FG.03.3.37)

unde

ψ= jj uc (FG.03.3.38)

şi

jiuj uAuA ˆ= . (FG.03.3.39)

Condiţia ca sistemul de ecuaţii (FG.03.3.37) să admită soluţii nebanale,

0ˆˆ =− IaA , (FG.03.3.40)

reprezintă ecuaţia caracteristică sau ecuaţia seculară a sistemului. Spectrul valorilor proprii pentru

operatorul este determinat de rădăcinile ecuaţiei caracteristice (FG.03.3.161). Studiul poate fi continuat

cu determinarea vectorilor proprii ai operatorului .

AA

FG.03.4. Procesul de măsură în mecanica cuantică

Schema generală a teoriei cuantice

Problemele principale abordate de fizica cuantică după anul 1950 au fost în special cele privind axiomatizarea şi interpretarea teoriei cuantice.

În general, se poate admite că teoria cuantică conţine două părţi distincte: teoria observării sistemelor cuantice şi teoria mişcării sistemelor cuantice.

În acest subcapitol destinat "observării" sistemelor cuantice se abordează noţiunile de observabilitate şi măsură în teoria cuantică, urmărindu-se atât evidenţierea relaţiei observabilă - observabilitate cât şi analiza procesului de măsură, pe baza raportării teoriei cuantice numai la mărimi observabile şi a cunoaşterii "legilor fizice" ale aparatelor de măsură.

Teoria procesului de măsură, evidenţiază posibilităţile cunoaşterii experimentale, constituind un suport important al axiomatizării teoriei cuantice.


‐ 97 ‐

Teoria mişcării sistemelor cuantice dezvoltă ulterior se referă în special la prezentarea diferitelor posibilităţi de descriere a evoluţiei sistemelor cuantice: descrierea Schrödinger, descrierea Heisenberg sau descrierea de interacţiune.

ORDINEA DE

SET COMUN

DE VECTORI

STĂRI

PROPRII

MĂSURĂ NU ESTE

IMPORTANTĂ (PROPRIETĂ

PROPRII

COMUNE

COMUTATIVE

PROPRIETĂŢI DE

OBSERVARE (MĂSURARE

OBSERVABILE

ORDINEA DE

SETURI

DIFERITE

) A

SETURI

DIFERITE

MĂSURĂ NU ESTE

IMPORTANTĂ (PROPRIETĂ

NECOMUTAT Ă

IVE

Fig. FG.03.4.1.

Faptele experimentale care atestă rolul aparatelor de măsură au fost prezentate în paragraful ???, dedicat relaţiilor de incertitudine ale lui Heisenberg.

Aparatul de măsură poate fi "potrivit" pentru măsurarea proprietăţilor sau evidenţiază proprietatea care trebuie măsurată în spaţiul Fourier reciproc. Ca urmare observabilele sistemului care sunt funcţii de operatorii asociaţi variabilele conjugate canonic p şi q, reprezintă mărimi care pot fi sau nu măsurate în orice ordine, adică sunt sau nu comutative (Fig. FG.03.1.11). Observabilele comutative se mai numesc compatibile în raport cu procesul de măsură, pe când cele necomutative se mai numesc incompatibile în raport cu procesul de măsură.

Corespunzător, proprietăţile fizice descrise prin observabile compatibile se numesc comensurabile, pe când cele descrise de observabile incompatibile se numesc incomensurabile.

Ansamblul complet de observabile comutative determină o măsurare maximală a sistemului în sensul că într-o astfel de măsurare se obţine informaţia maximă posibilă asupra sistemului cuantic.

Specificarea completă a unui sistem cuantic este posibilă numai într-o măsurare maximală, adică prin cunoaşterea valorilor proprii ale sistemului de observabile compatibile.

Specificarea stării sistemului va fi astfel posibilă utilizându-se vectorii proprii ai observabilelor comutative ca bază ortonormată a spaţiului stărilor.

Analiza procesului cuantic de măsură

Să presupunem că la un moment dat de timp se efectuează o măsurare ideală a variabilei dinamice A, a unui sistem cuantic aflat în starea ψ , adică o măsurare în care "perturbaţia" sistemului în timpul măsurării este

specific cuantic.

Fie

∑=ψi

ii uc (FG.03.4.1)


‐ 98 ‐

vectorul de stare al sistemului, unde iu sunt vectorii proprii ai observabilei A , valorile sale proprii fiind

presupuse pentru început nedegenerate. Întrucât rezultatul măsurării trebuie să fie una dintre valorile proprii

, rezultă că probabilitatea de a se găsi valoarea iλ iλ ca rezultat al măsurării este 2ic .

Dacă rezultatul măsurării este atunci, imediat după măsurare, sistemul va fi în starea proprie iλ iu , astfel

că procesul de măsură poate fi reprezentat schematic astfel:

ii u

Masurăλ

ψ . (FG.03.4.2)

Prin urmare efectul procesului de măsură constă în "filtrarea" vectorului de stare ψ , sau echivalent în

"reducerea" pachetului de unde.

Rezultatul de mai sus poate fi generalizat şi pentru cazul valorilor proprii degenerate. ia

În general, se notează cu operatorul de proiecţie al stării iP ψ pe subspaţiul asociat valorii proprii

unde

ia

∑=j

ji

jii uuP . Starea sistemului după iu va fi dată de proiecţia normată a lui ψ pe sub

spaţiul adică de expresia iE

ψψ

ψ

i

i

P

Pˆ

ˆ. (FG.03.4.3)

O a doua măsurare efectuată asupra sistemului aflat în starea iu înainte ca aceasta să evolueze în timp,

conduce la acelaşi rezultat , deci aparatul de măsură nu modifică starea proprie a sistemului. ia

Întrucât un sistem complet de observabile comutative admite acelaşi set comun de vectorii proprii, ordinea de măsură a unor astfel de observabile nu este importantă, observabilele fiind astfel compatibile în raport cu procesul de măsură. Se spune că aparatul de măsură este potrivit pentru măsurarea proprietăţilor corespunzătoare.

Pe de altă parte, conform principiului de corespondenţă, prezentat în subcapitolului FG.03.1.2. orice observabilă se obţine înlocuind în expresia clasică (simetrizată) a mărimii fizice A, variabilele dinamice r şi p prin operatorii corespunzători, astfel că se poate constata modul implicit "de transmitere" a caracteristicilor de "măsură" ale variabilelor r şi p asupra observabilelor compatibile sau incompatibile. Prin urmare, "legile" aparatelor de măsură evidenţiate odată cu prezentarea relaţiilor de incertitudine ale lui Heinsenberg sunt generale pentru măsurarea oricărui ansamblu de observabile, compatibile sau incompatibile.

Dacă în cazul observabilelor compatibile, măsurarea unei observabile din sistem nu determină pierderea informaţiei obţinute anterior prin măsurarea altei observabile (ordinea de măsură nu contează), lucrurile sunt diferite în cazul observabilelor incompatibile.

O problemă deosebit de importantă corelată cu procesul de măsură este cea a valorii medii a unei observabile într-o stare dată.

Ţinând seama de semnificaţia coeficienţilor 2ic din dezvoltarea (FG.03.4.1), rezultă că pentru un număr

foarte mare de măsurări efectuate asupra observabilei , a unui sistem cuantic aflat în starea ∞→N A ψ ,

se obţine expresia


‐ 99 ‐

( )ψψ

ψψ== ∑ψ

AaPaA

iii

ˆˆ , (FG.03.4.4)

unde reprezintă probabilitatea de obţinere a valorii proprii : ( )iaP ia

( ) ( )NaN

aP iN

i∞→

= lim , (FG.03.4.5)

( )iaN fiind numărul de măsurări în care se obţine valoarea proprie . ia

Pentru calculul efectiv al valorii ψ

A se transcrie expresia de mai sus în reprezentarea particulară

considerată.

FG.03.5. Postulatele mecanicii cuantice

Pentru construirea în continuare a teoriei cuantice în fizică o importanţă deosebită o prezintă stabilirea unui sistem axiomatic al acesteia, care a devenit necesar şi posibil în acest stadiu al prezentării acestei teorii.

Avantajele axiomatizării unei teorii sunt cunoscute fiind determinate de posibilităţile privind utilizarea unui limbaj comun cu acelaşi conţinut naţional al categoriilor, evitarea unor contradicţii matematice în cazul unor sisteme axiomatice autoconsistente, utilizarea axiomelor putându-se face fără o justificare a conţinutului lor fizic de fiecare dată.

În dezvoltarea teoriei cuantice sunt cunoscute mai multe metode de abordarea axiomatică a acestei teorii:

• metoda algebrică, dezvoltată de Jordan în 1934;

• metoda logicii cuantice iniţiată de Birkhoff şi von Neumann în 1936;

• alte tratări axiomatice, cum ar fi cea propusă de Ludwig în 1964 etc.

Metoda de axiomatizare utilizată în continuare va fi cea algebrică, ţinându-se seama de particularităţile sistemelor cuantice cu un număr finit de grade de libertate aparţinând mecanicii cuantice punctuale, în raport cu sistemele cu un număr infinit de grade de libertate (câmpurile) care aparţin mecanicii cuantice nepunctuale.

De asemenea, vor apare diferenţe în descrierea sistemelor cuantice cu analog clasic, în raport cu descrierea sistemelor cuantice fără analog clasic, care posedă şi grade de libertate intrinseci (de exemplu, spinul).

Astfel, de probleme şi altele nespecificate mai sus determină dificultăţi în stabilirea unui sistem axiomatic „complet” astfel că în diferite lucrări de mecanică cuantică setul de postulate fundamentale diferă at6t ca număr cât şi ca formulare şi conţinut, funcţie în primul rând de punctul de vedere al autorului în abordarea mecanicii cuantice.

Totuşi se poate evidenţia o echivalenţă a ideilor fundamentale pe care le exprimă diferite sisteme axiomatice, în cadrul general admis al utilizării algebrei operatorilor hermitici în spaţii Hilbert, ca formalism matematic al metodei algebrice de dezvoltare a teoriei cuantice.

Întrucât nu se poate opera cu entităţi matematice fără corespondent în realitate, autoconsistenţa teoriei cuantice cere ca axiomele teoriei cuantice să rezulte din teoria procesului de măsură.

Ca urmare, stabilirea postulatelor teoriei cuantice, în lucrarea de faţă va fi bazată şi testată utilizându-se ideile fundamentale desprinse din studiul efectuat în capitolul anterior, privind bazele experimentale ale teoriei cuantice.


‐ 100 ‐

Postulatele fundamentale ale teoriei cuantice

Formularea postulatelor fundamentale ale teoriei cuantice trebuie făcută în aşa fel încât să exprime sistematic şi sintetic ideile fundamentale ale teoriei cuantice, denumite anterior în unele cazuri "principii" ca urmare a generalităţii lor. Dacă sistemul postulatelor fundamentale este "complet" se poate considera că acesta reprezintă o "bază" într-un "spaţiu axiomatic" al teoriei cuantice. Sistemul axiomatic prezentat în continuare cuprinde următoarele postulate fundamentale:

1. Postulatul descrierii cuantice a stărilor (primul postulat)

Stările unui sistem cuantic sunt descrise prin vectori de stare ψ aparţinând spaţiului stărilor , care este

un spaţiu Hilbert.

E

2. Postulatul reprezentării observabilelor fizice (al doilea postulat)

Observabilele fizice (sau mărimile fizice măsurabile) sunt reprezentate prin operatori hermitici , care acţionează în spaţiul stărilor asupra vectorilor de stare

AE ψ ai sistemului cuantic.

3. Postulatul cuantificării (al treilea postulat)

Operatorii conjugaţi canonic şi , satisfac relaţiile de comutare ale lui Heisenberg ip iq

[ ] [ ] [ ] ikkikiki iqpppqq δ===

hˆ,ˆ;0ˆ,ˆ;0ˆ,ˆ .

4. Postulatul metodico - euristic de corespondenţă (al patrulea postulat)

Mărimile fizice măsurabile pot fi exprimate analitic funcţie de variabilele conjugate canonic. Operatorii cuantici prin care se reprezintă mărimile fizice măsurabile se obţin prin corespondenţă, înlocuind variabilele conjugate canonic prin operatorii cuantici corespunzători.

5. Postulatul preparării stării (al cincilea postulat)

În procesul de măsură al unei observabile A , singurele rezultate posibile sunt diferitele valori proprii ale

observabilei. Starea sistemului cuantic în urma măsurării va fi descrisă prin vectorul propriu na

nu

corespunzător valorii proprii măsurate . na

6. Postulatul naturii statistice a predicţiilor în procesul de măsură (al şaselea postulat)

În procesul de măsură fiecare valoare proprie se obţine cu o anumită probabilitate na

( ) 2ψ= nn uaP , (FG.03.5.1)

astfel că valoarea medie a rezultatului măsurării efectuate asupra observabilei este dată de expresia A

ψψ

ψψ=

AA

ˆˆ . (FG.03.5.2)

7. Postulatul evoluţiei temporale (al şaptelea postulat)

Hamiltonianul sistemului generează o familie de operatori liniari unitari de evoluţie cauzală , astfel

că:

( 0,ˆ ttT )


‐ 101 ‐

( ) ( ) ( )00,ˆ tttTt ψ=ψ . (FG.03.5.3)

8. Postulatul supraselecţiei stărilor sistemelor de particule identice (al optulea postulat)

Stările sistemelor de particule identice sunt descrise prin vectori de stare care sunt complet simetrici sau antisimetrici în raport cu operaţia de permutare a particulelor.

În continuare, se va discuta pe scurt conţinutul acestor postulate.

1) Studiul detaliat al posibilităţii reprezentării stărilor unui sistem cuantic prin vectori în spaţiul Hilbert a fost efectuat în subcapitolul FG.03.1. în care s-a definit mai întâi conceptul de stare a unui sistem cuantic, şi s-au evidenţiat principalele proprietăţi ale funcţiei de undă insistându-se asupra interpretării statistice a acesteia, din care rezultă corelaţia vectorilor de stare cu diferite amplitudini de probabilitate. O consecinţă importantă a postulatului descrierii cuantice a stărilor prin vectori o reprezintă principiul suprapunerii stărilor analizat anterior unde s-a arătat că superpoziţia stărilor rezultă din interpretarea datelor experimentale, în deplină concordanţă cu dualismul corpuscul - undă.

Prin generalizare, rezultă că reprezentarea stărilor prin vectori în spaţiul stărilor implică superpozabilitatea liniară a stărilor. De remarcat că în diferite sisteme axiomatice ale teoriei cuantice, principiul suprapunerii stărilor face parte din sistemul de axiome fundamentale. Evident că dacă orice stare fizică poate fi considerată ca o superpoziţie de stări fizice convenabil alese, nu orice superpoziţie de stări fizice determină o stare fizică.

O importanţă deosebită o prezintă înţelegerea diferenţei dintre superpoziţia liniară a stărilor şi un amestec statistic de stări.

Fie de exemplu, starea ψ rezultată prin superpoziţie liniară a stărilor 1ψ şi 2ψ astfel că se poate

scrie:

2211 ψ+ψ=ψ cc , (FG.03.5.4)

unde 122

21 =+ cc . (FG.03.5.5)

Se poate verifica faptul că expresia (FG.03.5.4) nu este echivalentă cu un amestec statistic de stări. Astfel, în

cazul superpoziţiei stărilor, atunci când prin măsurarea observabilei se obţine rezultatul se poate scrie A na

( ) ( ) ( ) { }*21

*212

221

21 Re ψψψψ++= nnnnn ccacaca PPP (FG.03.5.6)

pe când în cazul unui număr de N sisteme identice, aflate în stările 1ψ şi 2ψ se obţine

( ) ( ) ( )nnn acaca 22

212

1 PPP += (FG.03.5.7)

unde 21cN şi 2

2cN sunt sistemele din ansamblu aflate în stările 1ψ respectiv 2ψ .

Prin urmare, în cazul superpoziţiei stărilor sunt importante efectele de interferenţă, fazele relative ale coeficienţilor şi jucând un rol important în predicţiile care se fac în procesul de măsură. 1c 2c

2) Analiza posibilităţii reprezentării observabilelor fizice prin operatori hermitici în spaţiul Hilbert a fost discutată pe larg în paragrafele anterioare unde s-a prezentat câteva moduri de introducere a operatorilor cuantici şi s-au evidenţiat principalele proprietăţi ale acestora dintre care necomutativitatea, liniaritatea şi hermiticitatea sunt esenţiale. De asemenea, s-a definit riguros conceptul de observabilă şi s-au arătat în plus dificultăţile care apar în cazul aplicării unor operatori nemărginiţi, astfel că în cele ce urmează se va presupune îndeplinită şi condiţia de mărginire a operatorilor hermitici utilizaţi.


‐ 102 ‐

Se ţine seama în acelaşi timp de faptul evidenţiat în acelaşi paragraf că nu orice operator hermitic este susceptibil de a reprezenta o mărime fizică. Conceptul de observabilă care intervine în acest postulat a fost discutat în subcapitolul FG.03.1.2. în strânsă corelaţie cu procesul de măsură, ale cărui postulate vor fi analizate în continuare.

3) Postulatul cuantificării denumit şi postulatul relaţiilor de comutare ale lui Heisenberg se poate analiza plecându-se de la forma originară a mecanicii matriciale a lui Heisenberg şi de la relaţiile de incertitudine ale lui Heisenberg, pe baza faptelor experimentale şi a inferenţelor teoretice ale acestora.

Un interes deosebit îl prezintă pentru studiul sistemelor cuantice nepunctuale, definirea variaţională a variabilelor conjugate canonic prin variaţia "completă" a acţiunii sistemului:

( ) ( )121

2

1

tFtFtHqpS

t

t

f

iii −=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡δ−δ=δ ∑

=

(FG.03.5.8)

unde F este funcţia generatoare a transformării infinitezimale care determină variaţia . Sδ

Prin definiţie, coeficienţii şi H în ecuaţia (FG.03.5.8) se numesc variabile conjugate canonic ale

variabilelor , respectiv t. ip

iq

Totodată, se remarcă faptul că pentru transformările de simetrie invarianţa sistemului implică condiţiile

sau 0=δS 0=∂∂

tF

, ceea ce înseamnă că funcţia generatoare a unei transformări simetrice este corelată

direct cu legile de conservare, fiind o constantă a mişcării, pentru acest tip de transformări.

Echivalenţa relaţiei de comutare a operatorilor conjugaţi canonic şi , cu relaţiile de incertitudine ale

lui Heisenberg corespunzatoare este uşor de arătat pe baza teoremei: fiind daţi doi operatori hermitici

ip iq

A şi

B şi comutatorul lor [ ]BAC ˆ,ˆˆ = se poate demonstra relaţia:

CBA ˆ21ˆˆ ≥ΔΔ (FG.03.5.9)

unde 2ˆˆˆ AAA −=Δ şi

2ˆˆˆ BBB −=Δ . (FG.03.5.10)

4) Acest postulat a fost introdus ca o regulă generată de corespondenţă pentru construirea operatorilor cuantici astfel că are o mare valoare metodică şi euristică. Deşi se deosebeşte prin conţinutul său de principiul de corespondenţă al lui Bohr, acesta păstrează totuşi ideea unei "corespondenţe" între mecanica clasică şi cuantică, indicând rolul mecanicii clasice în edificarea noii teorii.

5) Necesitatea şi posibilitatea formulării acestui postulat rezultă din analiza procesului cuantic de măsură efectuată în paragraful FG.03.1.4. constituie un element esenţial al teoriei, astfel încât relevarea sa axiomatică este necesară. Expresia probabilităţii de a se obţine o anumită valoare proprie în procesul de

măsură poate fi generalizată pentru cazul spectrului discret degenerat sub forma: na

( ) ∑=

ψ=ng

i

inn uaP

1

2 (FG.03.5.11)

unde este gradul de degenerare al valorii proprii , iar ng na { }inu ( )ngi ,...,2,1= reprezintă sistemul de

vectori proprii asociaţi valorii proprii . na


‐ 103 ‐

De asemenea, în cazul spectrului continuu, nedegenerat se poate scrie

( ) ηψ=η dd 2nvP (FG.03.5.12)

unde nv este vectorul propriu corespunzător valorii proprii continue η .

Calculul efectiv al valorii medii presupune utilizarea unei anumite reprezentări pentru funcţiile de stare şi operatori.

7) In paragrafele anterioare s-a arătat că în cursul evoluţiei în timp a unui sistem cuantic, între două procese de măsură, nu apare niciun "indeterminism" în descrierea sistemelor cuantice, fapt evidenţiat pe postulatul

evoluţiei temporare, familia operatorilor ( )0,ˆ ttT generaţi de hamiltonianul sistemului urmând a fi

determinată.

Sub forma prezentată postulatul evoluţiei temporare generalizează concluziile obţinute mai sus privind evoluţia dinamică a sistemelor cuantice, când s-a arătat că starea unui sistem cuantic este descrisă, cel mai bine, cu ajutorul funcţiei de undă ψ care satisface ecuaţia lui Schrödinger.

8) Conţinutul fizic al acestui postulat va fi elucidat în paragrafuldedicat sistemelor de particule identice. De remarcat faptul că acest postulat care nu are aplicabilitate decât pentru sistemele de particule (nu şi pentru particule individuale) exprimă condiţia de stabilire a unei concordanţe între situaţiile experimentale indiscernabile obţinute prin permutarea particulelor şi descrierea matematică a acestora prin superpoziţia stărilor individuale ale particulelor din sistem.

O consecinţă importantă a acestui postulat este considerat în prezent „principiul de excluziune al lui Pauli” aplicabil sistemelor de particule identice descrise prin vectori de stare antisimetrici. Acest principiu afirmă că pentru un astfel de sistem, stările individuale sunt ocupate cel mult de câte o particulă. De exemplu, într-un atom doi electroni nu pot avea niciodată toate numerele cuantice egale. Principiul de excluziune al lui Pauli a condus, după cum este ştiut, la înţelegerea mai profundă a sistemului periodic al elementelor constituind un punct de vedere fundamental pentru studiul statisticilor cuantice.

Generalizarea acestui principiu sub forma postulatului supraselecţiei stărilor sistemelor de particule identice, întregeşte „schema” de axiomatizare a teoriei cuantice utilizată mai sus, conform căreia postulatele cuantice se obţin pe baza unor idei fundamentale rezultate din experienţă sub denumirea generică de principii.

FG.03.6. Reprezentările Schrödinger si Heisenberg

Corelarea reprezentărilor cu procesul de măsură

În principiu, conform celor arătate anterior există o infinitate de modalităţi de alegere a bazei unui spaţiu vectorial deci sunt posibile tot atâtea reprezentări ale teoriei, corelate între ele prin transformări unitare.

Pe de altă parte însă, s-a arătat că o măsurare maximală asupra unui sistem cuantic este corelată cu o anumită bază a spaţiului determinată de setul vectorilor proprii ai observabilelor compatibile care definesc măsurarea maximală.

Fie de exemplu, aceste observabile astfel că ecuaţiile cu valori proprii nQQQ ˆ,...,ˆ,ˆ 21

qqqQ ii =ˆ (FG.03.6.1)

determină valorile proprii corespunzătoare şi vectorii proprii desemnaţi prin notaţia iq

nqqqq ,...,, 21= . (FG.03.6.2)


‐ 104 ‐

Orice stare a sistemului cuantic se va putea exprima sub forma

nqqq qqqcn

,...,, 21,...,, 21∑=ψ (FG.03.6.3)

coeficienţii dezvoltării fiind corelaţi cu amplitudinile de probabilitate ale stărilor particulare nqqqc ,...,, 21

q ca urmarea a postulatului al şaselea al teoriei cuantice.

Unei alegeri particulare a setului de observabile compatibile i se poate asocia o reprezentare particulară a vectorilor de stare. De exemplu, reprezentarea Schrodiger poate fi numită reprezentarea { }q . Scriind

expresia vectorilor de stare sub forma prescurtată:

( ) qq∑ψ=ψ . (FG.03.6.4)

coeficienţii

( ) ψ=ψ qq (FG.03.6.5)

care caracterizează complet starea ψ a sistemului se numesc funcţiile de undă ale sistemului în

reprezentarea { }q .

În cazul în care spectrul vectorilor proprii ai operatorilor este continuu, funcţiile de undă sunt continue.

Se poate arăta că schimbarea reprezentării corespunde unei corelaţii între funcţiile de undă în diferite reprezentări prin transformate Fourier generalizate, coeficienţii Fourier ai transformărilor fiind determinaţi de produsele scalare dintre vectorii bazei, pentru reprezentările considerate.

iQ

Exemplele tipice de reprezentări utilizate în teoria sistemelor cuantice cu un număr finit de grade de libertate sunt următoarele:

• reprezentarea { }r ; (corespunde unei reprezentări diagonale a operatorului coordonată r , setul

de observabile comutative fiind determinat de cele trei componente ale vectorului r );

• reprezentarea { }p ; (corespunde unei forme diagonale a operatorului p );

• reprezentarea "energetică" în acre operatorul H are o formă diagonală.

De asemenea, mai menţionăm reprezentarea "număr de particule", care este o reprezentare tipică pentru teoria cuantică a câmpului.

Definirea generală a funcţiei de undă ca reprezentant al vectorului de stare, trebuie completată în cele ce urmează cu reprezentarea explicită a tuturor operatorilor în diferite reprezentări, definite după cum s-a arătat mai sus, prin setul de vectori proprii ai unei anumite observabile.

Există două metode generale de reprezentare explicită a operatorilor, în concordanţă cu postulatele teoriei cuantice şi anume:

1) Metoda operatorilor diferenţiali a lui Schrödinger care utilizează spaţiul Hilbert continuu al funcţiilor de undă în diferite reprezentări, în care operatorii se exprimă prin forme diferenţiale.

Această metodă este specifică mecanicii cuantice ondulatorii a lui Schrödinger.

2) Metoda operatorilor matriciali a lui Heisenberg, care utilizează spaţiul Hilbert discret, infinit - dimensional caracteristic diferitelor reprezentări în acre operatorii se exprimă prin matrici, metodă specifică mecanicii cuantice matriciale a lui Heisenberg.


‐ 105 ‐

Proprietăţile esenţiale ale celor două tipuri de reprezentări explicite ale operatorilor vor fi prezentate în cele ce urmează.

Se poate arăta însă că cele două moduri diferite de tratare a sistemelor cuantice sunt echivalente, trecerea de la un mod de tratare la altul fiind în fond o schimbare de reprezentare.

Reprezentările diferenţiale ale lui Schrödinger

a) Reprezentarea Schrödinger în coordonate

În această reprezentare se utilizează spaţiul Hilbert continuu al funcţiilor de undă în reprezentarea { }r ,

adică în reprezentarea în care reprezentantul operatorului r este diagonal, astfel că vectorii bazei rezultă din ecuaţia cu valori proprii:

rrrr =ˆ (FG.03.6.6)

fiind satisfăcute relaţiile de ortonormare şi închidere: ( )'' rrrr −δ= (FG.03.6.7)

respectiv

1d =τ∫ rr , (FG.03.6.8)

unde este elementul de volum al spaţiului fizic. zyxr ddddd 3 ==τ

În relaţiile de mai sus prin r se desemnează setul de indici continui { }zyx ,, , care corespund ansamblului de operatori compatibili ai sistemului, adică coordonatelor unui punct în spaţiul fizic. Conform definiţiei (FG.03.6.5), se poate scrie

( )rr ψ=ψ , (FG.03.6.9)

adică funcţiile de undă corespunzătoare vectorilor de stare se obţin prin proiecţia lui ψ pe vectorii bazei

r .

Funcţia ( )rψ se numeşte funcţia de undă a lui Schrödinger, spaţiul Hilbert definit de funcţiile de undă Schrödinger constituie spaţiul funcţiilor de undă. În particular, pentru 'r=ψ funcţia de undă corespunzătoare este dată de funcţia δ a lui Dirac

( )'' rrrr −δ= . (FG.03.6.10)

Expresia produsului scalar a două funcţii de undă se regăseşte sub forma:

( ) ( ) ( )212*

212121 ,dd1 ψψ=τψψ=ψτψ=ψψ=ψψ ∫∫ rrrr i

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛τ= ∫

∞+

∞−

d1 rr . (FG.03.6.11)

În continuare, pe baza postulatelor teoriei cuantice se poate stabili semnificaţia fizică a funcţiei de undă pentru un sistem cuantic fără spin (cu analog clasic). Fie

ψψ

ψψ= DD

DP (FG.03.6.12)

probabilitatea de localizare a sistemului cuantic în domeniul D din spaţiul fizic, unde Dψ este proiecţia

vectorului ψ pe subspaţiul subîntins de vectorii proprii corespunzători valorilor proprii din D, domeniul D

fiind definit prin condiţiile:


‐ 106 ‐

)( 212121 ;; zzzyyyxxx ≤≤≤≤≤≤ . (FG.03.6.13)

Dacă este îndeplinită condiţia de normare 1=ψψ , întrucât

( ) ψ=ψ zyxzyx ,,,, (FG.03.6.14)

se obţine:

τ=τψψ=ψψ= ∫∫∫ dd,,ddd,, *

DDDD zyxzyxzyxP P . (FG.03.6.15)

Prin urmare 2ψ=P are semnificaţia unei densităţi de probabilitate de localizare a sistemului cuantic în

spaţiul fizic. De observat că şi alte proprietăţi ale spaţiului funcţiilor de undă, cum ar fi: normarea funcţiei de undă, conservarea în timp a normei, densitatea fluxului de probabilitate, pot fi exprimate în mod asemănător pe baza postulatelor teoriei cuantice.

Reprezentarea Schrödinger a observabilelor

Utilizându-se postulatele teoriei cuantice se pot construi formele diferenţiale ale diferiţilor operatori în reprezentarea Schrödinger, dacă se stabilesc mai întâi reprezentanţii diferenţiali ai operatorilor cuantici conjugaţi canonic ; . xpx ˆ,ˆ zy pzpy ˆ,ˆ;ˆ,ˆ

Ţinând seama de ecuaţia cu funcţii proprii şi valori proprii pentru operatorul x

ψ=ψ xx (FG.03.6.16)

se poate scrie

( )xxxxxx ψ=ψ=ψˆ . (FG.03.6.17)

Prin urmare operatorii coordonată sunt reprezentaţi prin operatorii de multiplicare cu zyx ˆ,ˆ,ˆ zyx ,, , rezultat în deplină concordanţă cu ecuaţia de mai sus.

În continuare, rezultă posibilitatea reprezentării impulsurilor conjugate ( )zyxipi ,,ˆ = prin operatori

diferenţiali de forma:

.,,,ˆ zyxqqi

p ii

i =∂∂

=h

(FG.03.6.18)

De exemplu, se poate scrie

( ) ( )xxi

xpx ψ∂∂

=ψhˆ . (FG.03.6.19)

Se poate verifica că operatorii şi satisfac postulatul cuantificării ceea ce confirmă corectitudinea

raţionamentului prin care au fost stabiliţi. (Evident că relaţiile de cuantificare puteau fi ele însele utilizate pentru stabilirea expresiilor (FG.03.6.18). O altă modalitate prin care se poate ajunge la forma (FG.03.6.18) constă în utilizarea expresiei operatorului unitar de translaţie cu

ip iq

xΔ :

( ) xpiexD xxpi

x ˆˆ1ˆˆˆ

Δ−≅=ΔΔ

hh . (FG.03.6.20)

Ţinându-se seama de expresiile (FG.03.6.197) se poate scrie

∇=i

p hˆ (FG.03.6.21)

şi în general pentru o variabilă dinamică ( )zyxpppF zyx ,,,,, rezultă


‐ 107 ‐

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

= zyxziyixi

FF ,,;,,ˆˆ hhh. (FG.03.6.22)

Extinzând rezultatele de mai sus pentru orice pereche de variabile conjugate canonic, se obţin şi expresiile operatorilor corespunzători variabilelor şi t H− (definiţi ca variabile conjugate canonic în mod implicit în reprezentarea Schrödinger:

tt →ˆ (FG.03.6.23)

tiH

∂∂

−→hˆ . (FG.03.6.24)

De exemplu, pentru operatorul hamiltonian al unei particule cuantice, în reprezentarea Schrödinger se obţine prin corespondenţa expresiei:

( )rUm

H +∇−= 22

2ˆ h

(FG.03.6.25)

unde m este masa particulei, iar ( )rU descrie câmpul de forţe în care evoluează particula. Utilizarea corespondenţei

ii qq →ˆ (FG.03.6.26)

ii qi

p∂∂

→hˆ (FG.03.6.27)

în coordonate curbilinii nu conduce întotdeauna la rezultate corecte fără precauţii speciale în scrierea hamiltonianului clasic.

Reprezentarea Schrödinger în impulsuri

S-a arătat mai sus că funcţiile de undă ( )rψ şi ( )pΦ definite în spaţiul coordonatelor respectiv cel al impulsurilor pot fi considerate reprezentări echivalente ale aceleiaşi stări cuantice fiind corelate prin operaţii de transformate Fourier reciproce. Această comportare ne sugerează faptul că trecerea de la spaţiul funcţiilor de undă ( )rψ la spaţiul funcţiilor ( )pΦ , constituie o schimbare de reprezentare care se face conform celor

stabilite anterior. Prin analogie cu reprezentarea în coordonate { }r , funcţiile de undă ( )pΦ corespund

reprezentării în impulsuri { p }, în care reprezentantul operatorului p este diagonal conform ecuaţiei:

pppp =ˆ . (FG.03.6.28)

vectorii proprii p satisfac relaţiile de ortonormare şi închidere

( '', pppp −δ= ) (FG.03.6.29)

respectiv

1d =τ∫ ppp unde . (FG.03.6.30) zyxp ppp ddd=δτ

Operatorii corespunzători variabilelor conjugate canonic în această reprezentare sunt definiţi prin corespondenţele:

zzyyxx pppppp →→→ ˆ;ˆ;ˆ (FG.03.6.31)

zyx piz

piy

pix

∂∂

−→∂

∂−→

∂∂

−→hhh ˆ;ˆ;ˆ . (FG.03.6.32)


‐ 108 ‐

Se poate verifica uşor că aceşti operatori satisfac postulatul cuantificării, toate concluziile privind reprezentarea { }r , putând fi extinse şi pentru reprezentarea { }p . Astfel funcţia de undă în spaţiul

impulsurilor ( )pΦ este definită prin relaţia:

( ) ψ=Φ pp , (FG.03.6.33)

proprietăţile acesteia fiind aceleaşi cu cele discutate ale funcţiei ( )rψ în spaţiul Hilbert corespunzător.

Reprezentările matriciale ale lui Heisenberg

Unele trăsături esenţiale ale reprezentării matriciale a lui Heisenberg au fost prezentate atunci când s-a arătat posibilitatea descrierii observabilelor sistemelor cuantice prin matrici, ca urmare a proprietăţilor acestora rezultate din procesul cuantic de măsură. Prin urmare în reprezentarea matricială a lui Heisenberg, operatorilor liniari ai mecanicii cuantice li se asociază matrici astfel că ecuaţiile cuantice de mişcare se exprimă sub formă matricială. Spaţiul Hilbert potrivit pentru reprezentarea matricială a lui Heisenberg este după cum s-a mai arătat un spaţiu discret infinit dimensional, astfel că vectorii proprii ai reprezentării

considerate trebuie să subîntindă un astfel de spaţiu. Fie ( )run vectorii proprii ai operatorului care

defineşte reprezentarea ( face parte dintr-un set complet de observabile comutative) şi un alt operator care acţionează în spaţiul considerat, astfel că

F

F G

( ) ( )ˆnG u r r= v . (FG.03.6.34)

Vectorii ( )rv se pot exprima funcţie de vectorii bazei ( )run prin dezvoltări de forma

( )rv ( )∑=m

nmn rug (FG.03.6.35)

coeficienţii fiind determinaţi de proiecţiile stărilor mng ( )rv pe vectorii bazei:

( ) ( ) ( ) ( )* ˆ, dmn m m ng u r r u r G u r r= = ∫v . (FG.03.6.36)

Cu aceşti coeficienţi se poate defini matricea

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

LLLLL

LL

LMLMM

LL

LL

(

mnmm

n

n

ggg

gggggg

G

21

22221

11211

(FG.03.6.37)

care constituie reprezentantul operatorului în reprezentarea G ( ){ }run .

În particular se constată că matricea asociată operatorului în reprezentarea F ( ){ }run este diagonală,

cantităţile de pe diagonală fiind valorile proprii ale lui . F

Prin diagonalizarea matricii G(

dată de relaţia (FG.03.6.37) se pot obţine valorile proprii ale observabilei . G

Pentru evidenţierea acţiunii operatorului G asupra unei funcţii de stare oarecare ˆ ( )rψ se consideră

dezvoltarea

( ) ( )rucr nn

n∑=ψ (FG.03.6.38)


‐ 109 ‐

astfel că prin aplicarea operatorului G se obţine expresia ˆ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑ ===ψ=ψn

nnnnm n

mnnn

n rudrucgrucGrGr ˆˆ' . (FG.03.6.39)

Rezultă că ( )r'ψ este determinată complet de coeficienţii sau . nmn cg , nd

Dacă se consideră, de exemplu, reprezentarea Heisenberg corespunzătoare unei forme diagonale a hamiltonianului oscilatorului armonic descrisă de matricea (reprezentarea "în energie")

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

−−ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−−

−−−−−−−−−−−−

ωω

=

h

h

h

(

2100

0000

0000002/3000000002/1

n

H (FG.03.6.40)

se obţin pentru reprezentanţii operatorilor şi , expresiile: x xp

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−−−−−−−−−−

α= −

........100

000030200000020100000010

2 2/1

mm

x( (FG.03.6.41)

şi, respectiv

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−−−−−−−−−−−−−

−−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

=−

........10

000030200000020100000010

2

2/1

mimi

iiii

i

px h( (FG.03.6.42)

unde α este o constantă a cărei semnificaţie se va evidenţia în capitolul ???, într-un paragraf dedicat studiului cuantic al oscilatorului armonic.

Reprezentanţii şi x( xp( ai operatorilor şi satisfac postulatul cuantificării. x xp

În dezvoltarea în continuare a teoriei cuantice se va evidenţia faptul că reprezentările matriciale ale teoriei cuantice sunt mai generale şi mai importante în comparaţie cu reprezentările diferenţiale ale lui Schrödinger.

FG.03.7. Descrierea evoluţiei cauzale. Ecuaţia lui Schrödinger

a) Operatorii de evoluţie cauzală


‐ 110 ‐

Conform postulatului evoluţiei cauzale, operatorul ( )0,ˆ ttT definit prin relaţia (FG.03.7.1):

( ) ( ) ( )00,ˆ tttTt ψ=ψ (FG.03.7.1)

este un operator unitar, care la momentul 0tt = se reduce la operatorul identitate

( ) 1,ˆ 0 =ttT . (FG.03.7.2)

Condiţia ca operatorul ( )0,ˆ ttT să fie unitar exprimă conservarea în timp a normei vectorilor de stare ai

sistemului.

Astfel, din ecuaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )000000 ,ˆ,ˆ tttttTttTttt ψψ=ψψ=ψψ + (FG.03.7.3)

rezultă

1ˆˆ =+TT . (FG.03.7.4)

Întrucât

( ) ( ) ( 0011 ,ˆ,ˆ,ˆ ttTttTttT = )

)

(FG.03.7.5)

se obţine pentru 0tt =

( ) ( )101

01 ,ˆ,ˆ ttTttT −= , (FG.03.7.6)

sau prin multiplicare la stânga cu şi ţinându-se seama de (FG.03.7.4) rezultă şi ( 10 ,ˆ ttT +

1ˆˆ =+TT , (FG.03.7.7)

adică operatorul T trebuie să fie unitar.

Forma explicită a operatorului T se obţine considerând dezvoltarea

( ) ( ) ( 00 ,ˆ,ˆ,ˆ tttTtttTttT δ−δ−= ) , (FG.03.7.8)

unde este o variaţie infinitezimală, astfel că tδ

( ) ( )tHtitttT ˆ1,ˆ δ−=δ−h

, (FG.03.7.9)

( )tH d un operator hermitic, care generează transformarea unitară infinitezimală

( ) ( ) ( )tttHtit δ−ψ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ δ−=ψ ˆ1

h. (FG.03.7.10)

Ţinându-se seama de dezvoltarea (FG.03.7.9), ecuaţia (FG.03.7.8) se poate scrie sub forma

( ) ( ) ( ) ( )0 00

ˆ ˆ, , i ˆ ˆ ,T t t T t t t

H t T t t tt

− − δ= − − δ

δ h (FG.03.7.11)

sau la limita când : 0→δt


‐ 111 ‐

( ) ( ) ( )00

ˆ , ˆ ˆ , 0i

T t tH t T t t

t∂

+ =∂

h (FG.03.7.12)

adică ecuaţia diferenţială verificată de operatorul de evoluţie ( )0,ˆ ttT .

Ecuaţia (FG.03.7.12) şi condiţia iniţială (FG.03.7.2) pot fi înlocuite cu ecuaţia integrală:

( ) ( ) ( )0

0iˆ ˆ ˆ, 1 ' ', d0

t

t

T t t H t T t t t= − ∫h ' (FG.03.7.13)

care exprimă legea fundamentală de evoluţie a sistemelor cuantice.

Operatorul definit de ecuaţia (FG.03.7.13) se identifică cu hamiltonianul sistemului, după cum se va arăta în paragraful următor.

( )tH

Prin urmare, conform postulatului evoluţiei cauzale, operatorii unitari ( )0,ˆ ttT sunt generaţi de hamiltonian.

b) Descrierea evoluţiei cauzale

Studiul evoluţiei cauzale a sistemelor cuantice utilizându-se operatorul ( )0,ˆ ttT a condus la mai multe

descrieri echivalente, după cum urmează:

- Descrierea Schrödinger, caracterizată de vectori de stare dependenţi de timp şi operatori care nu-şi modifică forma în timp (vectori de stare variabili şi operatori ficşi).

- Descrierea Heisenberg, caracterizată de operatori dependenţi de timp şi vectori de stare care nu se schimbă în timp (vectori de stare ficşi şi operatori variabili).

- Descrierea de interacţiune, caracterizată atât de vectori de stare cât şi de operatori variabili în timp.

Toate aceste tipuri de descrieri pot fi deduse una din alta prin transformări unitare, utilizându-se operatori având forma generală ((FG.03.7.1). De asemenea, oricare dintre descrierile de mai sus, conduce la aceleaşi valori medii ale observabilelor, adică la aceeaşi interpretare fizică a teoriei, dovedind corectitudinea modelării naturii de către aceasta.

c) Ecuaţia lui Schrödinger

O reprezentare în care forma matematică a operatorilor nu se schimbă în timp, implică cu necesitate ca stările sistemului să fie descrise de vectorii de stare dependenţi de timp.

Dependenţa temporală a vectorilor este descrisă de ecuaţia (FG.03.7.10). Aplicând vectorului de stare ( )0tψ ecuaţia operatorială (FG.03.7.12) se obţine ecuaţia de evoluţie:

( ) ( ) ( )ttHtt

i ψ=ψ ˆd

dh , (FG.03.7.14)

numită ecuaţia lui Schrödinger sub formă generală sau ecuaţia lui Schrödinger dependentă de timp.

Ca urmare a corespondenţei (FG.03.6.24) pentru operatorul hamiltonian, în reprezentarea Schrödinger în

coordonate, rezultă corectitudinea semnificaţiei atribuite mai sus operatorului . Trebuie menţionat că ecuaţia (FG.03.7.14) este aplicabilă atât sistemelor cuantice cu analog clasic cât şi sistemelor cuantice care posedă grade de libertate intrinseci (cum ar fi spinul) care nu au analog clasic.

( )tH

În reprezentarea Schrödinger în coordonate, ecuaţia Schrödinger (FG.03.7.14) devine

( ) ( )d , ˆi ; ;d i

q tH q t q

t qψ ⎛ ⎞∂

= ψ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

hh ,t (FG.03.7.15)


‐ 112 ‐

numită ecuaţia lui Schrödinger pentru funcţia de undă ( )tq,ψ , fiind stabilită pentru prima dată de către Schrödinger. Intr-adevăr se poate scrie:

d d 1 1ˆ ˆ' d ' 'd d i i

q q H q q q q Ht tψ

= ψ = ψ = ψ∫h h=

( ) ( ) (ˆ ˆ' d ' , ', ', , , ,i ' i

q q q H q t q t H q t q tq q

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= δ − ψ = ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫h h ) . (FG.03.7.16)

Forma particulară a operatorului H pentru cazul unei singure particule cuantice a fost stabilită anterior prin corespondenţă . Dacă hamiltonianul sistemului este independent de timp atunci este posibilă separarea variabilelor în expresia funcţiei de undă ( )tq,ψ sub forma

( ) ( ) (tfqtq ψ=ψ , ) (FG.03.7.17)

ecuaţia (FG.03.7.15) este echivalentă cu ecuaţiile:

( )( ) ( )

( )ˆdi

df t H q

Ef t t q

ψ= =

ψ. (FG.03.7.18)

E fiind o constantă a cărei semnificaţie urmează a fi determinată. A doua ecuaţie (FG.03.7.18):

( ) ( )qEqH ψ=ψˆ (FG.03.7.19)

reprezintă ecuaţia cu valori proprii a hamiltonianului sistemului sau ecuaţia lui Schrödinger pentru stările staţionare (atemporală), astfel că rezultă şi semnificaţia constantei E .

Ţinându-se seama de forma (FG.03.7.17) a hamiltonianului sistemului cuantic, ecuaţia (FG.03.7. 19) se scrie sub forma:

( ) ( )[ ] ( ) 022

2 =ψ−+ψ∇ qqUEmqh

(FG.03.7.20)

des întâlnită în aplicaţii.

Condiţiile standard de mărginire, continuitate (împreună cu derivatele lor) şi univocitate ale funcţiei de undă, stabilite din considerente fizice sunt regăsite pentru soluţiile ecuaţiei (FG.03.7.241) în teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale.

Fie, de exemplu, valorile proprii discrete şi nE ( )qnψ funcţiile proprii corespunzătoare ale ecuaţiei

(FG.03.7.19).

Ţinând seama că prima ecuaţie (FG.03.7.239) conduce prin integrare la soluţia

( )i

nE t

nf t e−

= h (FG.03.7.21)

soluţia generală a ecuaţiei (FG.03.7.236) se scrie sub forma

( ) ( )i

, nE t

n nn

q t c q e−

ψ = ψ ⋅∑ h (FG.03.7.22)

fiecare termen în suma de mai sus reprezentând o stare staţionară a sistemului. În general, prin variabila q în expresia funcţiei de undă ( )qψ s-au notat variabilele carteziene ale

sistemului cuantic caracterizat prin vectorul de stare iii zyx ,,

......21 irrr .


‐ 113 ‐

Întrucât rezolvarea ecuaţiei (FG.03.7.19) nu se poate face exact decât într-un număr restrâns de cazuri, pentru expresii complicate ale potenţialului se utilizează metode aproximative sau numerice. ( )qU

Faptul că hamiltonianul sistemului nu este invariant scalar face ca descrierea Schrödinger să nu fie relativist covariantă, ceea ce constituie un neajuns important al acestui mod de abordare a evoluţiei sistemelor cuantice. Cu toate acestea descrierea Schrödinger se utilizează în numeroase cazuri încât studiul se reduce la integrarea unor ecuaţii diferenţiale relativ simple.

FG.03.8. Alte descrieri ale mecanicii cuantice

a) Descrierea Heisenberg

Descrierea Heisenberg a evoluţiei temporale a sistemelor cuantice este formal asemănătoare mecanicii clasice întrucât ecuaţiile de mişcare sunt scrise pentru operatorii corespunzători variabilelor dinamice clasice, vectorii de stare fiind independenţi în timp.

Independenţa de timp a vectorilor de stare scrisi in reprezentarea Schrodinger sub forma ( )tψ poate fi

obţinută printr-o schimbare de reprezentare "în timp"care să imprime vectorilor de stare Schrödinger o mişcare de ansamblu "înapoi" astfel încât starea sistemului să fie descrisă permanent prin vectorii de stare "staţionari" ( )0tψ . Este evident că o astfel de comportare este asigurată de transformarea unitară:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00001

01 ,ˆ,ˆ,ˆ ttttTttTtttTtH ψ=ψ=ψ=ψ −− (FG.03.8.1)

unde ( )tHψ sunt vectorii de stare în reprezentarea Heisenberg. Pentru a nu fi afectat conţinutul fizic al

teoriei, operatorii descrierii Schrödinger trebuie supuşi aceleiaşi transformări A

( ) ( )001 ,ˆˆ,ˆˆ ttTAttTAH

−= (FG.03.8.2)

după regulile cunoscute ale schimbării reprezentărilor. (Prin generalizare rezultă că orice transformare

unitară efectuată asupra vectorilor de stare şi operatorilor unui sistem cuantic conduce la descrieri echivalente ale acestuia.)

( )tU

Într-adevăr din ecuaţia

''ˆ'ˆˆˆˆˆˆ ψψ=ψψ=ψψ ++ AUUAUUA , (FG.03.8.3)

rezultă că vectorii de stare şi operatorii definiţi prin relaţiile

ψ=ψ U' (FG.03.8.4)

şi

+= UAUA ˆˆˆ'ˆ (FG.03.8.5)

determină modalităţi echivalente de descriere a sistemului cuantic.

În cazul trecerii de la descrierea Schrödinger la descrierea Heisenberg, se utilizeaza operatorul ,

fiind operatorul de evoluţie cauzală.

1ˆˆ −= TU( 0,ˆ ttT )


‐ 114 ‐

Întrucât relaţia (FG.03.8.4) implică variaţia în timp a operatorilor HA , trebuie stabilită ecuaţia diferenţială de mişcare a operatorilor în descrierea Heisenberg. În acest scop se derivează în raport cu timpul relaţia

(FG.03.8.4), admiţându-se că operatorul A depinde explicit de timp:

Rezultă:

tTATT

tATTA

tT

tAH

∂∂

+∂∂

+∂

∂= −−

− ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

d

ˆd 111

. (FG.03.8.6)

Ţinând seama de ecuaţia (FG.03.8.6) şi de condiţia 1−+ = TT se obţine:

( ) TtATTTATTATTHTi

tAH ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆd

ˆd 11111∂∂

+−= −−−−−h

(FG.03.8.7)

sau în final

[ HHHH AHit

At

A ˆ,ˆˆ ]

d

ˆdh

+∂

∂= , (FG.03.8.8)

adică ecuaţia Heisenberg de mişcare a operatorilor cuantici, unde

THTH H ˆˆˆˆ 1−= . (FG.03.8.9)

Analogia dintre ecuaţia de mişcare (FG.03.8.8) şi ecuaţia de mişcare clasică a variabilelor dinamice

{ }HAtA

tA ,

dd

+∂∂

= , (FG.03.8.10)

permite definirea parantezelor lui Poisson cuantice prin corespondenţa:

{ } [ ]HH AHiHA ˆ,ˆ,h

→ . (FG.03.8.11)

Prin urmare relaţiile (FG.03.8.11) pot fi stabilite prin corespondenţă ţinându-se seama de relaţiile corespunzătoare existente între variabilele dinamice clasice, sub forma:

{ } [ ] ijiiijii qpiqp δ=→δ= ˆ,ˆ,h

. (FG.03.8.12)

În mod asemănător se pot scrie prin analogie cu ecuaţiile lui Hamilton, ecuaţiile de mişcare pentru operatorii şi : ip iq

[ ]i

ii

qHpHi

tp

∂∂

−==ˆ

ˆ,ˆd

ˆdh

(FG.03.8.13)

şi, respectiv

[ ]i

ii

pHqHi

tq

∂∂

−==ˆ

ˆ,ˆd

ˆdh

. (FG.03.8.14)

Se poate pune de asemenea în evidenţă şi expresia:

+= TTiH ˆˆˆ h (FG.03.8.15)

pentru operatorul hamiltonian, deosebit de utilă în calcule.


‐ 115 ‐

În concluzie, descrierea Heisenberg poate fi privită ca o succesiune de transformări unitare infinitezimale, generate de hamiltonian. Pe lângă analogia evidentă dintre legile de mişcare ale mecanicii clasice, care prezintă o importanţă metodico - euristică, descrierea Heisenberg prezintă o generalizare mai mare decât descrierea Schrödinger întrucât se păstrează covarianţa relativistă a ecuaţiilor de mişcare obţinute prin corespondenţă.

Observaţie.

În cazul stărilor staţionare, de exemplu, echivalenţa dintre descrierile Schrödinger şi Heisenberg este evidentă.

Fie

( ) ( )0,,ˆ

retrtHi

ψ=ψ−h (FG.03.8.16)

funcţiile de undă ale lui Schrödinger şi A operatorii corespunzători acestei descrieri.

Se poate scrie

( ) ( ) =τψ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ψ=τψψ=

−−

∫∫ d0,ˆ0,dˆˆˆ

*ˆ

* reAreAAtHitHi

hh

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ τψψ=τψψ= d0,ˆ0,d0,ˆ0, *ˆˆ

* rtArreAer HtHitHi

hh (FG.03.8.17)

unde ( )tHitHi

H eAetAˆˆ

ˆˆ hh−

= (FG.03.8.18)

este operatorul în descrierea Heisenberg. A

b) Descrierea de interacţiune

Descrierea de interacţiune constituie o descriere „intermediară” în care atât vectorii de stare cât şi operatorii sunt variabili în timp. Ca şi descrierea Heisenberg, descrierea de interacţiune se poate obţine printr-o schimbare de reprezentare, prin care se imprimă vectorilor de stare Schrödinger tot o mişcare de ansamblu „înapoi” în timp dar nu în suficientă măsură astfel încât să se „compenseze” integral variaţia în timp reală a vectorilor de stare, ci numai parţial într-o situaţie intermediară, după un criteriu care să permită utilizarea avantajelor descrierilor Schrödinger şi Heisenberg simultan.

Un astfel de criteriu îl constituie, de exemplu, pentru sistemele cuantice aflate în interacţiune, considerarea variaţiei în timp a vectorilor de stare, caracteristică descrierilor Schrödinger, numai datorită părţii de

interacţiune a hamiltonianului . 1H

Se constată că o astfel de transformare unitară conduce simultan la o variaţie în timp a operatorilor,

caracteristică descrierii Heisenberg, numai datorită părţii „necompensate” a hamiltonianului 0H H , având

expresia:

10 ˆˆˆ HHH += . (FG.03.8.19)


‐ 116 ‐

De observat că descompunerea (FG.03.8.19) poate fi oarecare, însă în aplicaţii prezintă interes

descompunerea în care reprezintă hamiltonianul neperturbat, iar perturbaţia, în acest caz fiind

îndeplinită condiţia şi .

0H 1H

01 ˆˆ HH <<

Fie IT operatorul unitar de evoluţie al transformării descrierii de interacţiune astfel că

( ) ( ) ( )tttTt II ψ=ψ ,ˆ 0 (FG.03.8.20)

şi

( ) ( ) ( )ttTAttTtA III ,ˆˆ,ˆˆ 01

0−= , (FG.03.8.21)

unde ( )tIψ şi ( )tAIˆ sunt vectorii de stare şi operatorii în descrierea de interacţiune. Operatorul IT , de

evoluţie, se consideră de forma:

( ) ( )∫+=t

tII tHttTittT

0

'dˆ',ˆ1,ˆ 000h

. (FG.03.8.22)

Pentru calculul expresiilor ( )

ttI

dd ψ

şi ( )

ttAI

d

ˆd se consideră ecuaţia Schrödinger:

( ) ( ) ( )tHHtti ψ+=

ψ10 ˆˆ

dd

h (FG.03.8.23)

şi se ţine seama de transformările (FG.03.8.20) şi (FG.03.8.21). Se obţin ecuaţiile:

( ) ( )tHit

Tt

Tt

tIII

II ψ−=∂

ψ∂+ψ

∂∂

=ψ

1ˆˆˆ

dd

h (FG.03.8.24)

sau

( ) ( )tHt

ti II

I ψ=ψ

1ˆd

dh (FG.03.8.25)

respectiv

( )t

TATT

tATTA

tT

ttA I

IIIIII

∂∂

+∂∂

+∂

∂=

−−−

111 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

d

ˆd (FG.03.8.26)

sau

( ) [ IIII AHit

At

tA ˆ,ˆˆ ]

d

ˆd0

h+

∂∂

= (FG.03.8.27)

unde (FG.03.8.28) 100 ˆˆˆˆ −= III THTH

şi 111 ˆˆˆˆ −= III THTH . (FG.03.8.29)

Ecuaţiile (FG.03.8.26) şi (FG.03.8.27) reprezintă ecuaţiile de mişcare în formalismul de interacţiune.

Ecuaţia (FG.03.8.25) ia în considerare prin IH1ˆ efectele dinamice ale interacţiunii astfel că reprezintă ecuaţia dinamică de mişcare a sistemului cuantic, numită şi ecuaţia Tomonaga-Schwinger.


‐ 117 ‐

Ecuaţia (FG.03.8.27) reprezintă ecuaţia cinematică de mişcare „liberă” a sistemului cuantic în absenţa interacţiunii. Evident că trecerea de la reprezentarea de interacţiune la reprezentarea Heisenberg este asigurată de operatorul unitar:

( ) ( ) ( )000 ,ˆ,ˆ,ˆ ttTttTttU I= . (FG.03.8.30)

Se poate constata că descrierea de interacţiune se pretează la descrierea relativistă covariantă a sistemelor

cuantice, întrucât covarianţa ecuaţiilor este asigurată de faptul că este pentru o largă clasă de sisteme un invariant scalar, iar ecuaţia este prin natura ei covariantă.

1H

În practică, pentru evaluarea valorilor medii ale observabilelor

( ) ( ) ( )ttAtA IIItI ψψ= ˆˆ (FG.03.8.31)

trebuie rezolvate mai întâi ecuaţiile (FG.03.8.25) şi (FG.03.8.27).

Evoluţia în timp a valorilor medii. Constantele mişcării Ecuaţia de mişcare Heisenberg poate fi utilizată pentru evidenţierea directă a evoluţiei în timp a valorilor medii ale operatorilor

[ ]AHitAA

dtd ˆ,ˆˆˆ

h+

∂∂

= . (FG.03.9.1)

Se poate arăta că ecuaţia (FG.03.1.1) poate fi obţinută şi în descrierile Schrödinger sau de interacţiune, utilizându-se definiţia

( ) ( )tAtAt

ψψ= ˆˆ (FG.03.9.2)

şi ecuaţia lui Schrödinger verificată de vectorii de stare ai sistemului.

Pentru ca observabila să fie o constantă a mişcării, trebuie ca aceasta să nu depindă explicit de timp, iar valoarea sa medie să nu se schimbe în timp, adică

A

0ˆ

=∂∂

tA

(FG.03.9.3)

şi

0ˆdd

=At

. (FG.03.9.4)

Ecuaţiile de mai sus implică relaţia de comutare

[ ] 0ˆ,ˆ =AH (FG.03.9.5)

care reprezintă condiţia necesară şi suficientă pentru ca observabila A , care nu depinde explicit de timp, să fie o constantă a mişcării.


‐ 118 ‐

Capitolul FG.04. Sisteme cuantice simple

Cuvinte-cheie: groapa de potenţial, bariera de potenţial, efectul tunel, oscilatorul armonic, spectru energetic discret,

ecuaţia Schrödinger atemporală, stare legata Capitolul FG.04.1. Introducere

Aplicarea teoriei cuantice pentru studiul sistemelor nerelativiste şi relativiste conduce la rezultate remarcabile privind nivelul cuantic de structură şi mişcare al materiei, în deplină concordanţă cu faptele experimentale.

În acest subcapitol se vor analiza unele exemple de sisteme cuantice simple, urmărindu-se atât evidenţierea modului de utilizare a teoriei dezvoltate anterior, cât şi studiul unor efecte pur cuantice.

Astfel, vor fi studiate: particula în groapa de potenţial unidimensională, particula în groapa de potenţial tridimensională, particula în groapa de potenţial cu pereţi finiţi, bariera de potenţial, efectul tunel si oscilatorul armonic. Se va urmări, în principal, determinarea spectrelor energetice discrete în cazul sistemelor studiate, numite "cu stări legate". Se numesc stări legate ale particulei cuantice stările descrise de funcţii de undă de pătrat integrabil, care satisfac ecuaţia lui Schrödinger atemporală. Astfel de stări ale particulei cuantice sunt staţionare şi apar atunci când particula este constrânsă prin forţe externe să se mişte într-o regiune limitată din spaţiu, fiind caracterizate de valori negative ale energiei ( 0 0U E− < < , unde defineşte „groapa” de potenţial în care se află particula). De exemplu, nivelurile de energie ale atomilor, ale nucleelor, ale oscilatorului armonic corespund unor stări legate ale particulelor respective.

0U−

Spre deosebire de stările legate, stările nelegate se obţin pentru valori pozitive ale energiei particulei cuantice, şi apar în probleme de „ciocniri” între o particulă şi un câmp de forţe care, în particular, poate fi o altă particulă cuantică. Deşi metodele de tratare a problemelor de ciocniri diferă de cele folosite pentru studiul stărilor legate, în ambele situaţii trebuie rezolvată ecuaţia lui Schrödinger pentru funcţia de undă.

0E >

Capitolul FG.04.2. Particula în groapa de potenţial unidimensională

Groapa de potenţial evidenţiază anumite aspecte cuantice ale mişcării particulei într-un potenţial discontinuu, prezentând un interes deosebit în studiul solidului şi al nucleului.

În figura FG.04.2.1 se prezintă modelul gropii de potenţial cu pereţi infiniţi, iar în figura FG.04.2.2 este arătat un model de groapă de potenţial cu pereţi finiţi. În cele ce urmează se urmăreşte determinarea funcţiilor proprii şi a valorilor proprii (stări legate) ale energiei unei particule cuantice care se mişcă în una sau alta din cele două gropi de potenţial arătate.


‐ 119 ‐

Fig. FG.04.2.1. Fig. FG.04.2.2.

Groapa de potenţial cu pereţii infiniţi este definită de relaţia:

( ) 0, 00,x a

U xx x a

≤ ≤⎧= ⎨∞ < >⎩

. (FG.04.2.1)

Scriind ecuaţia lui Schrödinger pentru cele trei domenii, se obţine

1 3 0Ψ = Ψ ≡ (FG.04.2.2)

22

22 2d 2 0d

mExΨ

+ Ψ =h

(FG.04.2.3)

astfel că soluţia pe care o admite este

( ) ( )2 sinx A kxΨ = + ϕ (FG.04.2.4)

unde 22

2mEk =h

. (FG.04.2.5)

Din condiţiile de continuitate scrise în punctele x = 0 şi x = a pentru funcţie şi prima derivată, se obţin relaţiile:

sin 0A ϕ = şi , (FG.04.2.6) ( )sin 0A ka + ϕ =

de unde rezultă

0ϕ = şi nkaπ

= cu (FG.04.2.7) 1,2,...n =

Prin urmare, valorile proprii ale energiei, date de relaţia 2 2 2

22nnE

maπ

=h (FG.04.2.8)

alcătuiesc un spectru energetic discret.

Din condiţia de normare 2d 1x

+∞

−∞Ψ =∫ (FG.04.2.9)

rezultă

2Aa

= , (FG.04.2.10)

astfel încât, în final, se obţine soluţia:

I

x a 0 − a

II III

U

− U0

U

a 0

I II III


‐ 120 ‐

( )

0 0

2 sin 0

0

n

x

nx x xa a

x a

<⎧⎪⎪ π

Ψ = ≤ ≤⎨⎪⎪ >⎩

a (FG.04.2.11)

Capitolul FG.04.3. Particula în groapa de potenţial tridimensională

În cazul gropii de potenţial tridimensionale,

0, 0 ; 0 ; 0, 0, ; 0, ; 0,

x a y b z cU

x x a y y b z z c≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤⎧

= ⎨∞ < > < > < >⎩. (FG.04.3.1)

Întrucât variabilele pot fi separate în ecuaţia lui Schrödinger, după aplicarea condiţiilor la limită şi normare, se obţin soluţiile:

( )1 2 3

1 2 3, ,

8, , sin sin sinn n nn x n y n zx y z

abc a b cπ π

Ψ =π (FG.04.3.2)

unde sunt numere întregi pozitive. 1 2 3, ,n n n

Rezultă, de asemenea, valorile proprii ale energiei:

1 2 3

2 2 2 2 21 2 3

, , 2 2 22n n nn n nE

m a b c⎛ ⎞π

= + +⎜⎝ ⎠

h⎟ (FG.04.3.3)

Dacă soluţiile sunt nedegeneratea b c a≠ ≠ ≠ .

Capitolul FG.04.4. Particula în groapa de potenţial cu pereţi finiţi

Groapa de potenţial cu pereţii finiţi este definită astfel:

( )0

0

, 0,

,

U xU x - a x a

U x

<⎧⎪= ≤⎨⎪ >⎩

-a

a ≤ . (FG.04.4.4)

Scriind ecuaţia lui Schrödinger în domeniile I şi III 2

1,3 21,32

d0

d xΨ

− κ Ψ = (FG.04.4.5)

unde 2

2mEκ = −

h (FG.04.4.6)

şi în domeniul II 2

2222

d 0d

kxΨ

+ Ψ = (FG.04.4.7)

unde 2 02

2 ( )m E Uk −=

h (FG.04.4.8)

se obţin soluţiile:

1 1 2e ex xA AκΨ = + −κ (FG.04.4.9)

2 1 2sin cosB kx B kxΨ = + (FG.04.4.10)


‐ 121 ‐

e3 1 2e x xC C−κ κΨ = + (FG.04.4.11)

Se observă că este finit (pentru1Ψ x → ±∞ ) dacă A2 = 0, iar 3Ψ în aceleaşi condiţii dacă C2 = 0.

Din condiţiile de continuitate în punctele x a= ± , pentru Ψ şi ′Ψ rezultă un sistem omogen de ecuaţii algebrice având necunoscutele A1, B1, B2 şi C1, care admite soluţii nebanale dacă determinantul format din coeficienţii necunoscuţi este nul.

Se obţine ecuaţia 2 2 2 ctg 2 0k k kaκ − + κ = (FG.04.4.12)

ale cărei soluţii sunt date de ecuaţiile transcendente

1 tgk kaκ = (FG.04.4.13)

şi . (FG.04.4.14) 2 ctgk kκ = − a

Pentru rezultă, din sistemul necunoscutelor A1, B1, B2 şi C1: 1κ

11 1 1 2, 0, e

cosaAA C B B

ka−κ= = = (FG.04.4.15)

iar pentru : 2κ

1 1 1 1 2e, ,

sin

a

A C B A Bka

−κ

= − = − = 0 (FG.04.4.16)

Primul grup de constante corespunde funcţiilor pare,

1 1 e xA κΨ = ; 2 1cosecos

a kxAka

−κΨ = ; 3 1 e xA −κΨ = , (FG.04.4.17)

pe când cel de al doilea grup – funcţiilor impare:

1 1 e xA κΨ = ; 2 1sinesin

a kxAka

−κΨ = ; 3 1 e xA −κΨ = . (FG.04.4.18)

Din condiţia de normare

22 2 2 2

1 2ee d cos d d 1

cos

aa ax

a dA x kx x e x

ka

− κ− + ∞κ

−∞ −

⎡ ⎤x− κ+ +⎢⎣ ⎦∫ ∫ ∫ =⎥ (FG.04.4.19)

se obţine pentru constanta A1 expresia: 12

1 2 2

e 1 11a

Aa a k a k

−− κ κ⎛= + + +⎜ κ⎝ ⎠⎞⎟ . (FG.04.4.20)

Valorile proprii ale energiei particulei cuantice se determină pe cale grafică. Se calculează mai întâi suma

2 202

2mk + κ =h

U (FG.04.4.21)

de unde rezultă

02 2

2 1mUk kκ

=h

− . (FG.04.4.22)

Ca urmare ecuaţiile transcendente pot fi scrise sub forma:


‐ 122 ‐

02 2

2tg 1mUkak

= −h

(FG.04.4.23)

şi, respectiv,

02 2

2ctg 1mUkak

= − −h

(FG.04.4.24)

şi se rezolvă pe cale grafică. Numărul nivelurilor energetice va fi determinat de numărul de puncte de intersecţie ale graficelor reprezentate de cei doi membri ai acestor ecuaţii, rezultând un spectru energetic discret.

Se constată că numărul stărilor legate creşte odată cu produsul , fapt evidenţiat de creşterea numărului de puncte de intersecţie a celor două curbe.

20a U

Rezultatele pot fi generalizate pentru o groapă de potenţial de o formă oarecare sau pentru un potenţial periodic, cum ar fi cel care caracterizează evoluţia electronilor slab legaţi ai reţelei cristaline. În acest ultim caz, din studiu rezultă structura de benzi energetice a cristalul.

Capitolul FG.04.5. Bariera de potenţial

Se studiază mişcarea unidimensională a unei particule cuantice de energie E în prezenţa unui potenţial de tip treaptă (vezi figura FG.04.5.1), definit astfel:

( )0

0, 0, 0

xU x

U x≤⎧

= ⎨ >⎩ (FG.04.5.1)

U(x)

Fig. FG.04.5.1.

Ecuaţia lui Schrödinger se scrie, pentru domeniile I şi II, sub forma: 2

112 2

d 2 0d

m ExΨ

+ Ψ =h

(FG.04.5.2)

şi, respectiv, 2

20 22 2

d 2 ( )d

m E UxΨ

+ − Ψh

0= (FG.04.5.3)

Dacă se introduc notaţiile

1 22mEk =h

şi ( )02 2

2m E Uk

−=

h (FG.04.5.4)

ecuaţiile (FG.04.5.2) şi (FG.04.5.3) admit soluţii de forma:

1i1 1 1e ek x k xA B −Ψ = + 1i (FG.04.5.5)

I x

0

U0

II


‐ 123 ‐

2i2i2 2 2e ek x k xA B −Ψ = + (FG.04.5.6)

adică fiecare reprezintă o superpoziţie de două unde, o undă directă de amplitudine Ai şi o undă reflectată de amplitudine Bi, Ai şi Bi fiind amplitudini complexe.

Bariera fiind de lărgime semiinfinită iar particula fiind incidentă de la x → −∞ , avem B2 = 0.

Soluţiile şi satisfac condiţiile de continuitate (pentru funcţia de undă şi pentru prima derivată, în punctul x = 0). Din aceste condiţii rezultă şi relaţiile între amplitudini:

1Ψ 2Ψ

1 21 1

1 2

k kB Ak k

−=

+, 1

21 2

2k1A A

k k=

+ (FG.04.5.7)

Fără a restrânge generalitatea problemei se poate considera de la început , astfel încât din relaţiile (FG.04.5.7) rezultă B1 şi A2. Pentru a stabili comportarea particulei cuantice atunci când întâlneşte potenţialul treaptă, se definesc factorii de reflexie şi de transmisie ai barierei de potenţial semiinfinite.

1 1 1A A∗ =

Astfel, factorul de reflexie R al barierei este definit prin raportul dintre densitatea fluxului (curentului) de probabilitate reflectat şi cea a fluxului de probabilitate incident în punctul x = 0:

2 2

1 1 2

1 1 2

B k kRA k k

−= =

+ (FG.04.5.8)

Analog, factorul de transmisie T al barierei este definit prin raportul dintre densitatea fluxului de probabilitate transmis şi cea a fluxului de probabilitate incident în punctul x = 0:

( )

2

2 12

1 1 2

4A k kTA k k

= =+

2 (FG.04.5.9)

Întrucât

1R T+ = , (FG.04.5.10)

particula cuantică este fie transmisă, fie reflectată.

Prezintă interes următoarele cazuri:

a) 0E U> (reflexie parţială)

- Dacă 0E U , atunci 1 2k k , 0R şi 1T : unda este transmisă total, ca şi în cazul clasic.

- Dacă 0E U>% , atunci 1 2k k> şi 0R ≠ : deci, spre deosebire de cazul clasic, particula cuantică are o probabilitate de reflexie diferită de zero, deşi

0E U> (rezultat pur cuantic).

b) 0E U< (reflexie totală)

În acest caz, 2 2ik = κ ( ): 22 0k <

22 2 2e e 2x xA Bκ −ψ = + κ , (FG.04.5.11)

dar A2 = 0, astfel încât soluţia să fie mărginită pentru x → ∞ .

Rezultă şi


‐ 124 ‐

21 2

1 2

i 1i

kRk

− κ= =

+ κ, (FG.04.5.12)

adică are loc reflexia totală a particulei.

Dar faptul că evidenţiază existenţa unei unde evanescente care pătrunde în mediul al doilea şi se atenuează exponenţial, având densitatea de probabilitate:

2 0Ψ ≠

22 22

2 2 2 e xB − κ℘ = Ψ = . (FG.04.5.13)

De exemplu, pentru şi 0 1 eVU E− = 0,1 nmx = , obţinem 2 30%℘ = .

Pătrunderea undei în al doilea mediu determină şi defazarea undei reflectate (raportul 1

1

BA

este

complex). Probabilitatea nenulă ca particula să pătrundă în regiunea a doua este, de asemenea, un rezultat pur cuantic.

Capitolul FG.04.6. Efectul tunel

Se studiază comportarea unei particule cuantice care întâlneşte, în mişcarea sa unidimensională (de la ) o barieră de potenţial dreptunghiulară de lărgime a şi înălţime U0 (vezi figura FG.04.6.1) definită astfel:

−∞

( ) 0

0, 0, 0

0, .

xU x U x a

x a

<⎧⎪= ≤⎨⎪ >⎩

≤ (FG.04.6.1)

I x

0

U(x)

II

a

III

U0

Fig. FG.04.6.1.

Ecuaţia lui Schrödinger se scrie, pentru cele trei domenii de existenţă ale particulei, sub forma: 2

112 2

d 2 0d

m ExΨ

+ Ψ =h

(FG.04.6.2)

( )2

20 22 2

d 2 0d

m E UxΨ

+ − Ψh

= (FG.04.6.3)

23

32 2

d 2 0d

m ExΨ

+ Ψ =h

(FG.04.6.4)

Dacă se introduc notaţiile

1 22mEk =h

şi ( )02 2

2m E Uk

−=

h (FG.04.6.5)

şi se ţine seama că şi verifică ecuaţii identice, se obţin soluţii de forma 1Ψ 3Ψ


‐ 125 ‐

1i

2i

2i

1i1 1 1e ek x k xA B −Ψ = + (FG.04.6.6)

2i2 2 2e ek x k xA B −Ψ = + (FG.04.6.7)

1i3 3 3e ek x k xA B −Ψ = + (FG.04.6.7)

unde B3 = 0, întrucât particula vine de la −∞ .

Scriind condiţiile de continuitate pentru Ψ şi ′Ψ în punctele x = 0 şi x = a sub forma

( )1 0 2 0( )x x= =Ψ = Ψ ( ) ( )2 3x a x a= =

Ψ = Ψ (FG.04.6.8)

1 2

0 0

d dd dx xx x= =

Ψ Ψ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2d dd d

3

x a xx x a= =

Ψ Ψ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(FG.04.6.9)

şi admiţând, ca şi în cazul potenţialului treaptă, că 1 1 1A A∗ = , se obţin următoarele relaţii între amplitudinile undelor implicate:

1 1 2A B A B+ = + 2

)

1i

1i

(FG.04.6.10)

1 1 1 2 2 2( ) (k A B k A B− = − (FG.04.6.11)

2 2i i2 2 3e e ek a k a k aA B A−+ = (FG.04.6.12)

2 2i i2 2 2 1 3( e e ) ek a k a k ak A B k A− = (FG.04.6.13)

astfel încât pot fi explicitate expresiile coeficienţilor R şi T de reflexie şi, respectiv, de transmisie ai barierei:

a) În cazul 0E U> se obţine:

( )( )

22 2 21 2 2

22 2 2 2 21 2 1 2 2

sin

4 s

k k k aR

k k k k k a

−=

+ − in (FG.04.6.14)

şi, respectiv,

( )2 2

1 22 2 2 2 2

1 2 1 2 2

44 s

k kTk k k k k a

=+ − in

(FG.04.6.15)

adică există o probabilitate diferită de zero de reflexie a particulei ca şi în cazul potenţialului treaptă.

În plus, se constată că T este o funcţie periodică de lărgimea a barierei, a, valorile T = 1 corespunzând condiţiilor de rezonanţă 2k a n= π (bariera se comportă ca un interferometru Fabry-Perot).

b) În cazul 0E U< , rezultă

( ) ( )1

2 2

i1 2

3 2 i1 2 1 2

4 ee e

k a

k a k a

k kAk k k k−

=+ − − 2 i

(FG.04.6.16)

astfel încât

( ) 02 2 ( )0

20

16e

a m U EE U ET

U−−

= h−

. (FG.04.6.17)

Rezultă că există o probabilitate semnificativă ca particula să străbată bariera de potenţial, deşi

0E U< , comportare cunoscută sub numele de efect tunel.


‐ 126 ‐

De exemplu, pentru un electron cu energia 1 eVE = şi o barieră de potenţial având 0 2 eVU = şi , rezultă T = 0,78 – deci predicţiile teoriei cuantice diferă esenţial de cele ale teoriei clasice. 0,1 nma =

Dioda tunel, efectul Josephson şi dezintegrarea alfa sunt exemple tipice de fenomene cuantice explicate cu ajutorul efectului tunel.

Pentru o barieră de potenţial de formă oarecare (vezi figura FG.04.6.2) transparenţa acesteia se obţine prin integrarea relaţiei (FG.04.5.17):

( )2

1

2 2e

x

xm U E x

T C− −∫= h

d (FG.04.6.18)

considerând că o astfel de barieră de potenţial este formată dintr-un număr foarte mare de bariere de potenţial dreptunghiulare, infinitezimale.

Fig. FG.04.6.2.

Capitolul FG.04.7. Oscilatorul armonic

Modelul oscilatorului armonic, adică al unei particule supuse acţiunii unei forţe proporţionale cu distanţa de la o poziţie de echilibru şi orientată spre poziţia de echilibru ( F kr= −

r r cu sau, în cazul unidimensional,

0k >

xF kx= − cu ), intervine frecvent în diferite probleme de fizică cuantică. Astfel de probleme sunt: oscilaţiile moleculelor, oscilaţiile atomilor şi ionilor în reţeaua cristalină, cuantificarea câmpurilor echivalente formal cu ansambluri de oscilatori armonici, descrierea sistemelor de bosoni etc.

0k >

Rezolvarea ecuaţiei lui Schrödinger pentru oscilatorul armonic cuantic unidimensional

Pentru stabilirea funcţiilor proprii şi a valorilor proprii ale energiei oscilatorului armonic se rezolvă ecuaţia Schrödinger atemporală ţinându-se seama de operatorul cuantic:

22 20

ˆ 1ˆ ˆ2 2

xpH mm

= + ω x (FG.04.7.1)

obţinut prin corespondenţă cu cazul clasic.

Rezultă ecuaţia 2

2 202 2

d 2 1 0d 2

m E m xxΨ ⎛ ⎞+ − ω Ψ⎜ ⎟

⎝ ⎠h= . (FG.04.7.2)

Pentru rezolvarea ecuaţiei (FG.04.7.2) este util să se introducă parametrii adimensionali

0mx ωξ =

h şi

0

2Eλ =

ωh; (FG.04.7.3)


‐ 127 ‐

astfel, obţinem:

( )2

22

d 0d

Ψ+ λ − ξ Ψ =

ξ (FG.04.7.4)

Există mai multe metode pentru rezolvarea ecuaţiei (FG.04.7.4). În cele ce urmează, se va folosi metoda polinomială. Se observă mai întâi că ecuaţia (FG.04.7.4) admite soluţia asimptotică:

2

2eξ

−

∞Ψ = (FG.04.7.5)

întrucât pentru sunt indeplinite conditiile: şi . 2ξ → ∞ λ⟩⟩ξ2 Ψ⟩⟩ξ2

Ţinându-se seama că expresiile de forma 2

2enξ

−ξ de pătrat integrabil se anulează pentru 2ξ → ∞ şi n

finit, se caută pentru ecuaţia (FG.04.7.4) o soluţie având forma generală:

( ) ( )2

2eHξ

−Ψ ξ = ξ (FG.04.7.6)

unde este un polinom de ordin finit care satisface ecuaţia diferenţială: ( )H ξ

( )2

2

d d2 1d d

H H H− ξ + λ − =ξ ξ

0 , (FG.04.7.7)

obţinută prin înlocuirea soluţiei (FG.04.7.6) în ecuaţia (FG.04.7.4).

Dacă se admite pentru ( )H ξ o expresie de forma:

( ) ( )20 1 2 .... ,lH a a aξ = ξ + ξ + ξ + cu 0 0a ≠ (FG.04.7.8)

se constată că ( )H ξ verifică ecuaţia (FG.04.7.7) dacă sunt satisfăcute relaţiile de recurenţă (obţinute prin

anularea coeficientului lui ): nξ

( ) 01l l a− = 0,

0,

deci sau ; 0l = 1l =

( ) 11l l a+ = deci sau/şi 0l = 1 1a = ;

( )( ) ( )22 1 2 1l l a l a+ + − + − λ =0 0

0

(FG.04.7.9)

M

( )( ) ( )22 1 2 2 1s sl s l s a l s a++ + + + − + + − λ =

(termenii pari sunt corelaţi, la fel şi termenii impari, neexistând corelaţii par-impar).

Întrucât

( )( )22 2 1

2 1s sl sa

l s l s++ + − λ

=+ + + +

a (FG.04.7.10)

( )H ξ este finit ( )02 =+sa , (FG.04.7.11)

atât dacă (cu 0l = 2 1sλ = + ), cât şi dacă 1l = (cu 2 3sλ = + ), pentru s par ( ). 1 0a =

În ambele cazuri rezultă condiţia:

2nλ = +1, cu 1, 2, 3, ...n = (FG.04.7.12)


‐ 128 ‐

astfel încât, în concordanţă cu a doua ecuatie (FG.04.7.3) se obţine, pentru valorile proprii ale energiei oscilatorului armonic cuantic, expresia generală:

012nE n⎛ ⎞= + ω⎜ ⎟

⎝ ⎠h , cu (FG.04.7.13) 1, 2, 3, ...n =

Prin urmare, spectrul valorilor proprii ale energiei este discret şi nedegenerat, funcţiile proprii corespunzătoare fiind de forma (FG.04.7.6):

( ) ( )2

2en n nA Hξ

−Ψ ξ = ξ (FG.04.7.14)

unde este o constantă de normare. nA

Ţinându-se seama de expresia (FG.04.7.13) a valorilor proprii ale energiei, se poate scrie:

1n nE E+ − = ωh 0 (FG.04.7.15)

0ω fiind pulsaţia proprie de oscilaţie a oscilatorului armonic clasic.

Pentru n = 0 se obţine energia de zero a oscilatorului cuantic:

00 2

hE ω= (FG.04.7.16)

existenţa sa fiind corelată cu relaţiile de incertitudine. Atât cuantificarea energiei, cât şi energia de zero a oscilatorului sunt rezultate cuantice, fără analog clasic şi corespund unor descrieri ale lumii fizice reale.

În figura FG.04.7.1 sunt prezentate schematic nivelurile de energie ale oscilatorului armonic cuantic.

Fig. FG.04.7.1.

Ca urmare a interacţiunii cu mediul exterior, oscilatorului cuantic poate suferi tranziţii dintr-o stare în alta, cu modificarea corespunzătoare a energiei sale.

Deoarece în relaţia (FG.04.7.12), n poate fi par sau impar, există două seturi distincte de soluţii, cu paritate diferită. Cu notaţia (FG.04.7.12) ecuaţia (FG.04.7.7) se scrie sub forma:

2

2d d2 2d d

n nn

H H nH− ξ + =ξ ξ

0 , (FG.04.7.17)

care reprezintă ecuaţia diferenţială a polinoamelor Hermite, având funcţia generatoare:

2 2( )

0

( )( , ) e!

s nn

n

HF s sn

∞−ξ − −ξ

=

ξξ = = ∑ (FG.04.7.18)

astfel încât, în general:


‐ 129 ‐

( ) ( ) (2 d1 e ed

nn

n nH ξ −ξ = −ξ )2ξ

. (FG.04.7.19)

De exemplu, primele polinoame Hermite au expresiile:

( )0 1H ξ = , , ( )1 2H ξ = ξ ( ) 22 2 4H ξ = − + ξ , ( ) 3

3 12 8H ξ = − ξ + ξ , ( ) 24 12 48 16H 4ξ = − ξ + ξ (FG.04.7.20)

Utilizând relaţiile de recurenţă pentru polinoamele Hermite:

( ) ( )12n nH n H −′ ξ = ξ (FG.04.7.21)

( ) ( )1 2 2n n nH H nH+ ξ = ξ ξ − ξ( )1− (FG.04.7.22)

şi relaţia integrală:

( ) ( )2

e 2nn mH H d n

+∞ −ξ

−∞ξ ξ ξ = π δ∫ ! nm

nm

(FG.04.7.23)

se poate calcula constanta de normare An din condiţia:

( ) ( )n m d+∞ ∗

−∞Ψ ξ Ψ ξ ξ = δ∫ (FG.04.7.24)

Rezultă;

012 ! 2 !n n n

mAn n

ω α= =

π πh, (FG.04.7.25)

unde 0mωα =

h este o constantă.

Ca urmare, funcţiile proprii (FG.04.7.14) pot fi scrise şi sub forma, cu xξ = α conform primei notaţii (FG.04.7.3):

( )2 2

2( )ex

n n nx A H xα

−Ψ = α (FG.04.7.26)

În particular se obţine:

( )2 2

20 e

x

xα

−αΨ =

π . (FG.04.7.27)

În figura FG.04.7.2 se prezintă calitativ primele trei funcţii proprii ale oscilatorului armonic cuantic. Intervalul (− 1, 1) este definit de punctele „de întoarcere” ale oscilatorului clasic (pentru care energia potenţială a sistemului este egală cu energia totală).


‐ 130 ‐

Fig. FG.04.7.2.

În punctele x a= ± avem 2

2 ( ) 0n xx

∂Ψ =

∂ (puncte de inflexiune), astfel încât particula cuantică se

poate găsi şi în regiunile interzise clasic ( x a> ) cu o probabilitate nenulă.

Fig. FG.04.7.3.

x 0 a - a

216Ψ

FG.04.7.3

În figura FG.04.7.3 se prezintă, comparativ cu cazul clasic (linia întreruptă), distribuţia probabilităţii cuantice de localizare pentru numere cuantice mari (in figura n = 16). Se poate spune că pentru n foarte mare, diferenţele dintre cele două distribuţii se atenuează, în concordanţă cu principiul de corespondenţă.


‐ 131 ‐

CAPITOLUL FG.05. Atomul de hidrogen Cuvinte-cheie:

câmp central, moment cinetic, funcţie de undă, ecuaţia radială, orbital atomic, magnetonul Procopiu-Bohr, moment magnetic, efect Zeeman

FG.05.1. Ecuaţia lui Schrödinger pentru mişcarea în câmp central

Studiul mişcării particulei cuantice într-un potenţial central )(rUU = prezintă un interes deosebit în

fizica atomică deoarece problema generală a unui sistem format din două corpuri a căror energie de

interacţiune nu depinde decât de poziţia relativă a acestora poate fi redusă la aceea a mişcării unei singure

particule într-un potenţial central. La rezolvarea ecuaţiei lui Schrödinger , în cazul unui potenţial central,

pentru aflarea funcţiilor proprii şi a valorilor proprii ale hamiltonianului H al sistemului trebuie sa se tina

seama de invarianta lui în raport cu rotaţiile spaţiale astfel încât hamiltonianul comuta cu momentele

cinetice si

)(ˆ rU

2L zL , admiţând acelaşi set de funcţii proprii, fapt ce poate fi demonstrat prin calcul direct:

, 0ˆ,ˆ 2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ LH

r [ ] 0ˆ,ˆ =zLH şi . 0,ˆ2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

zLLr

În cele ce urmează se vor studia funcţiile proprii şi valorile proprii ale hamiltonianului pentru un

potenţial central particular, de tip coulombian. Un astfel de sistem cuantic tipic îl reprezintă atomul de

hidrogen dar şi izotopii hidrogenului (He+, Li++etc.). Trebuie remarcat ca şi studiul atomilor mai complecşi

are ca punct de plecare rezultatele teoriei cuantice privind atomul de hidrogen, după cum se va arata ulterior.

Ca urmare a simetriei centrale a câmpului de forte în care se mişcă particula cuantică considerată,

funcţia de unda a acesteia ),,( ϕθΨ=Ψ r verifică ecuaţia lui Schrödinger atemporală, scrisă în coordonate

sferice sub forma:

( )[ ] 02

sin

1sinsin

11120

2

2

222

2=Ψ−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ϕ∂

Ψ∂

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂Ψ∂

θθ∂∂

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

∂∂ rUE

m

rrr

rr h (FG.05.1.1)

Pentru rezolvarea ecuaţiei (7.5.1) se caută o soluţie cu variabilele separabile conform expresiei:

( ) ( ) ( ϕθ=ϕθΨ ,,, YrRr ) . (FG.05.1.2)


‐ 132 ‐

Pe de alta parte, în coordonate sferice operatorul 2Lr

are forma:

Λ−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ϕ∂

∂

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂

θθ∂

∂θ

−= ˆsin

1sinsin

1ˆ 22

2

222 hh

rL (FG.05.1.3)

unde Λ este operatorul lui Legendre. Ca urmare, ecuaţia (7.5.1) se scrie astfel: ˆ

( ) 0)(2ˆ1

20

22

2 =Ψ−+Ψ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Λ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ rUE

m

rrr

rr h (FG.05.1.4)

Soluţia (7.5.2) introdusa în ecuaţia (7.5.4) determina separarea variabilelor sub forma:

[ ] λ=Λ

−=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

YYrUE

rmrRr

rR

ˆ)(

212

202

h, (FG.05.1.5)

λ fiind o constantă.

În cele ce urmează se vor rezolva separat cele două ecuaţii de mai sus, pentru partea unghiulara a funcţiei de unda , respectiv partea radială a acestei funcţii ( ϕθ,Y ) ( )rR .

FG.05.2. Rezolvarea ecuaţiilor momentului cinetic

În rezolvarea ecuaţiilor de tip Schrödinger, trebuie să ne limităm la operatorii moment cinetic care acţionează

în spaţiul coordonatelor carteziene zyx ,, . În cazul în care câmpurile în care are loc mişcarea au simetrie

sferică, operatorii moment cinetic se vor exprima în funcţie de coordonatele sferice . ϕθ,,r

Întrucât astfel de operatori ai momentului cinetic joacă un rol de primă importanţă în descrierea mişcărilor

orbitale atomice sau nucleare, momentele cinetice corespunzătoare se numesc orbitale. Se va arăta în cele ce

urmează că momentele cinetice orbitale sunt cuantificate de numere cuantice care pot lua numai valori

întregi. Ulterior, după introducerea ipotezei spinului, ca moment cinetic intrinsec al atomului, care poate lua

şi valori semiîntregi, studiul compunerii momentelor cinetice va conduce la rezultate în deplină concordanţă

cu teoria generală a momentului cinetic prezentată mai sus, conform căreia momentele cinetice sunt

cuantificate atât de valori întregi cât şi semiîntregi ale numerelor cuantice corespunzătoare.

a. Funcţiile proprii şi valorile proprii ale momentului cinetic

Ecuaţia cu valori proprii a operatorului L

( ) ( ϕθλ=ϕθ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ϕ∂

∂

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂

θθ∂∂

θ− ,,

sin1sin

sin1

2

2

2 YY )

)

(FG.05.2.6)

se poate rezolva prin separarea variabilelor scriind:

( ) ( ) (ϕΦθΘ=ϕθ,Y . (FG.05.2.7)

Rezultă ecuaţiile:


‐ 133 ‐

0dd

2

2=Φν+

ϕ

Φ, (FG.05.2.8)

( ) 0sin

sinsin

12 =θΘ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θ

ν−λ+

θ∂∂

θθ∂∂

θ (FG.05.2.9)

unde ν şi sunt nişte constante care urmează a fi determinate. λ

Se observă că ecuaţia (7.5.8) este identică cu ecuaţia cu valori proprii a operatorului zL scrisă sub forma

( ) ( )ϕΦ=ϕΦϕ∂∂

− hh mi (FG.05.2.10)

astfel că soluţiile sale, cu notaţia 2m=ν

( ) ϕ⋅π

=ϕΦ ime21

(FG.05.2.11)

sunt funcţiile proprii ale acestui operator.

Din condiţia de uniformitate a soluţiei:

( ) ( )π+ϕΦ=ϕΦ 2 (FG.05.2.12)

rezultă pentru m valorile (m este un întreg pozitiv, negativ sau zero). 1, 2, 3, ...m = ± ± ±

Spre deosebire de teoria generală a momentului cinetic, numărul cuantic magnetic m care cuantifică valorile proprii ale momentului cinetic orbital ( hmL )z = poate lua numai valori întregi.

Pentru rezolvarea ecuaţiei (7.5.9) se face substituţia θ= cosx , astfel că se poate pune sub forma

( ) 01d

d2dd1 2

2

2

22 =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−λ+−− P

xm

xPx

xPx (FG.05.2.13)

numită ecuaţia diferenţială a funcţiilor sferice ( ) ( )xP=θΘ .

Punctele singulare ale acestei ecuaţii sunt 1± . Se constată că ecuaţia (7.5.13) admite soluţii finite în aceste puncte (corespunzător lui şi ) numai dacă 0=θ π λ este de forma ( )1+=λ ll şi lm ≤ unde ,...2,1,0=l

( este deci un întreg pozitiv sau zero). l

În acest caz integralele ecuaţiei (7.5.13) sunt funcţiile sferice cunoscute sub numele de polinoamele lui Legendre asociate, definite prin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−=−=

+

+ llm

ml

l

m

lm

mmlm x

xlxxP

xxxP 1

dd

2!1

dd1 2

2/22/2 , (FG.05.2.14)

unde sunt polinoamele lui Legendre ( )xPl

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

ll

l

ll xxl

xP 1dd

2!1 2 . (7.5.15)


‐ 134 ‐

Factorul ll 2!1

este factor de normare astfel ales încât

( )[ ] 1d1

1

2 =∫+

−=

xxPx

l . (FG.05.2.16)

( )xPl fiind un polinom de gradul l, .d

dconst

x

Pll

l= , astfel că rezultă condiţia lm ≤ .

Din condiţia de normare:

( )[ ] 1dsincos0

22 =θθθΘ∫π

lmlmN (FG.05.2.17)

care se calculează ţinând seama de egalitatea:

( ) ( )( )( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=∫+

− '0

'!!

122

d1

1''

ll

llmlml

lxxPxP mllm (FG.05.2.18)

rezultă

( )( )

2/1

!!

212

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−+=

mlmllNlm (FG.05.2.19)

astfel că în final se obţin pentru funcţiile proprii ale operatorului 2L , expresiile:

( ) ( )( ) ( ) ϕθ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−

π+

=ϕθ imlmlm eP

mlmllY cos

!!

412,

2/1

. (FG.05.2.20)

Evident că sunt simultan şi funcţii proprii ale operatorului ( ϕθ,lmY ) zL .

valorile proprii ale momentului cinetic orbital 2L se obţin din ecuaţia cu valori proprii

( ) ( ) ( ϕθλ−=ϕθ−=ϕθΛ ,,,ˆ2

lmlmlm YYLYh

)

)

. (FG.05.2.21)

Rezultă

( 122 += llL h (FG.05.2.23)

în concordanţă cu teoria generală a momentului cinetic, cu deosebirea că numărul cuantic orbital l nu poate lua valori semiîntregi.

FG.05.3. Soluţia ecuaţiei lui Schrödinger pentru partea radială a funcţiei de undă

Pentru rezolvarea ecuaţiei radiale, se consideră cazul particular al câmpului coulombian al atomului hidrogenoid când


‐ 135 ‐

reZU

2−= (FG.05.3.1)

urmărindu-se determinarea efectivă a funcţiilor proprii şi a valorilor proprii ale energiei acestuia, în vederea studiului ulterior al atomului şi moleculei. (Această alegere a potenţialului nu afectează esenţial generalitatea problemei.) Ca urmare, în ecuaţia radială scrisă sub forma:

( ) 012

2dd2

dd

2

22

22

2=⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+++ R

rll

mreZEm

rR

rrR h

h (FG.05.3.2)

se poate pune în evidenţă potenţialul efectiv:

( )2

22 12

'rll

mreZU +

+−=h

(FG.05.3.3)

reprezentat grafic în figura FG.05.3.1, fiind raza primei orbite a lui Bohr. 0r

Fig. FG.05.3. 1

Al doilea termen al potenţialului numit potenţialul centrifugal, devine predominant pentru valori mici ale lui r. Ca urmare a compunerii celor două potenţiale coulombian şi centrifugal, particula cuantică se află pentru valori ale energiei într-o groapă de potenţial, astfel că valorile proprii ale energiei sale cuantificate formează un spectru discret.

'U

0<E

Spectrul valorilor proprii continuu corespunzător valorilor ale energiei este caracteristic problemelor de împrăştiere şi va fi studiat ulterior.

0>E

În cele ce urmează se rezolvă ecuaţia radială pentru cazul stărilor legate ( )0<E . Pentru aceasta se introduce variabila reală

rEm

⋅−=ρ 202

2h

(FG.05.3.4)

şi se scrie ecuaţia diferenţială asimptotică ( )∞→ρ corespunzătoare ecuaţiei radiale:

( ) ( ) 041

dd

2

2=ρ−ρ

ρasas RR (FG.05.3.5)

care admite soluţia particulară:


‐ 136 ‐

2ρ

−= eRas . (FG.05.3.6)

Dacă se consideră pentru ecuaţia (FG.05.3.2) o soluţie generală de forma:

( )ρ= fRR as (FG.05.3.7)

(unde ( )ρf este o funcţie a cărei formă trebuie determinată) şi se calculează derivatele

221

dd

dd

ρ−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρ=

ρeffR

; 22

2

2

2

41

dd

dd

dd

ρ−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ−

ρ=

ρefffR

(FG.05.3.8)

se obţine ecuaţia diferenţială verificată de funcţia ( )ρf :

( ) 01112d

d12dd

20

2

2

2=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ρ

+−

ρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+

ρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρ+

ρfll

EmeZff

h. (FG.05.3.9)

Se caută pentru ecuaţia (FG.05.3.9) o soluţie sub forma unei serii de puteri în ρ :

( ) ∑∞

=

ρρ=ρ0k

kk

i af (FG.05.3.10)

şi se introduce în ecuaţia (FG.05.3.9). Se obţine identitatea:

( )( ) ( )[ ] ∑∑ −+−+ ρ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−++=ρ⋅+−+++

k

kik

k

kik a

EmeZkiallkiki 10

22

2111

h. (FG.05.3.11)

Întrucât coeficienţii aceloraşi puteri ai lui ρ trebuie să fie egali, pentru 0=k rezultă pentru coeficientul lui

condiţia: 2−ρi

( ) ( ) 011 =+−+ llii

astfel că

li = sau . ( )1+−= li

Pentru seria (FG.05.3.) devine infinită pentru ( 1+−= li ) 0=ρ , astfel că dacă identitatea (FG.05.3.11) capătă forma:

li =

( )( ) ( )[ ] ∑∑ −+−+ ρ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−++=ρ⋅+−+++

k

klk

k

klk a

EmeZklallklkl 10

22

2111

h (FG.05.3.12)

care conduce la formula de recurenţă următoare între coeficienţii : ka

( )

( )( ) ( ) kk alllklkE

meZlka ⋅

+−++++

−−++=+ 121

21 0

2

1h . (FG.05.3.13)


‐ 137 ‐

Soluţia (FG.05.3.10) rămâne finită pentru ∞→ρ numai dacă funcţia ( )ρf admite o reprezentare

polinomială, adică dacă există un număr întreg rnk = , astfel că 01 =+rna (toţi coeficienţii având rnk >

fiind în consecinţă nuli).

Se obţine condiţia

02

1 02

=−−++E

meZlnrh

(FG.05.3.14)

care pune în evidenţă cuantificarea energiei particulei cuantice, cu ajutorul numărului cuantic rn , numit

număr cuantic radial. (Se poate arăta că rn determină numărul de noduri ale părţii radiale a funcţiei de undă pentru r finit.)

Pentru specificarea valorilor proprii ale energiei se introduce de obicei numărul cuantic principal n definit prin relaţia

,...3,2,1,1 =++= nlnn r (FG.05.3.15)

astfel că rezultă pentru valorile proprii ale energiei expresia:

22

420 12 n

eZmEn

h−= . (FG.05.3.16)

Din relaţia (FG.05.3.15) se obţine pentru 1,0 max −== nlnr , deci numărul cuantic orbital l poate lua

valorile: ( )0,1, 2, ... , 1l n= − .

Dacă se introduce raza primei orbite a lui Bohr ( 20

20

emr h

= = 529 pm) se poate scrie:

20

42 12 nr

eZEn −= (FG.05.3.17)

astfel incat energia stării fundamentale a atomului de hidrogen ( )1,1 == Zn are valoarea 5,131 −=E eV. Această valoare coincide cu energia de ionizare a atomului de hidrogen măsurată experimental. Schematic primele nivele de energie ale atomului de hidrogen sunt prezentate în figura FG.05.3.2.

Fig. FG.05.3.2


‐ 138 ‐

Prin urmare, stările proprii ale atomilor hidrogenoizi vor fi specificate (făcându-se abstracţie de spin) de trei

numere cuantice , care corespund celor trei observabile comutative cuantificate ale atomului mln ,, 2ˆ,ˆ LH şi

zL . Ţinându-se seama de relaţiile stabilite între numerele cuantice şi , adică existenţa a ln, m ( )12 +l

valori ale lui m pentru fiecare ( )1,...,2,1,0 −= nl , rezultă o degenerescenţă de ordinul

( ) 21

0

12 nlnl

l

=+∑−=

=

(FG.05.3.18)

a stărilor proprii în câmp coulombian.

Funcţiile de undă radiale şi totale ale atomilor hidrogenoizi

Ţinându-se seama de expresiile (FG.05.3.) şi (FG.05.3.), funcţiile de undă radiale ale particulei cuantice în câmp coulombian au forma:

( ) ∑ ρρ=ρρ

−

k

kk

lln aeR 2 . (FG.05.3.19)

Se poate arăta că polinoamele corespund până la un factor de normare polinoamelor Laguerre

asociate, definite de relaţia

∑ ρk

kka

( ) ( lnl

ll

lm LL ++

+++

ρ=ρ 12

1212

dd ) , (FG.05.3.20)

unde funcţia

( ) lnln

lnln eeL +ρ−

+

+ρ

+ ρρ

=ρdd

(FG.05.3.21)

defineşte polinoamele Laguerre.

Prin urmare se poate scrie

( ) 122 ++

ρ−

ρ=ρ lln

lnlnl LeAR (FG.05.3.22)

unde pentru factorul de normare se obţine cu ajutorul tabelelor de polinoame Laguerre expresia: nlA

( )( )[ ]

2/1

3

3

2

20

!2!12

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

−−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

lnnln

n

eZmAnl

h. (FG.05.3.23)

Pentru exemplificare se dau mai jos expresiile analitice ale celor mai simple funcţii de undă radiale:

( ) 022/3

010

rZr

erZrR

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=


‐ 139 ‐

( ) 02

0

2/3

020 2

122

rrZ

errZ

rZrR

−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (FG.05.3.24)

( ) 02

0

2/3

021 3

12

rrZ

er

rZrZrR

−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= etc.

Ţinându-se seama de expresia (FG.05.3.22) funcţia de undă totală pentru particula cuantică în câmp coulombian are forma:

( ) ( ) ϕ++

ρ−

⋅θρ⋅⋅ρ⋅=ψ imml

lln

lnlmnlm ePLeN cos122 (FG.05.3.25)

unde ρ este dat de expresia (FG.05.3.4), iar este un factor de normare. nlmN

Funcţia de undă (FG.05.3.25) poate fi utilizată pentru calculul probabilităţii ca electronul aflat într-o stare

caracterizată de numerele cuantice să fie localizat în elementul de volum ,,, mln ϕθθ=τ ddsindd 2 rr

τψ=ϕθ dd 2,,rP . (FG.05.3.26)

Dacă se integrează ecuaţia (FG.05.3.25) peste unghiurile θ şi ϕ , se obţine probabilitatea ca electronul să fie localizat în stratul sferic, cuprins între ρ şi ρ+ρ d :

( ) ( ) ϕθθθ= ∫ ∫π π

ddsincosdd0

2

0

222 mlnlmnlr PNrrrRP (FG.05.3.27)

astfel că densitatea de probabilitate radială are expresia:

( ) 2rRNP nlrr = , (FG.05.3.28)

unde rN este o constantă de normare.

Ţinându-se seama de expresiile primelor funcţii radiale, se pot calcula distribuţiile radiale pentru diferite stări. Aceste distribuţii sunt reprezentate calitativ în figura FG.05.3.3.

Fig. FG.05.3.3

Se constată că distanţa r pentru care probabilitatea este maximă, pentru starea fundamentală a atomului de hidrogen (1s) coincide cu prima rază a lui Bohr, . De asemenea, pentru stările 0r 2 , 3 , 4 ,p d f 2 , 3 , 4 ,p d f


‐ 140 ‐

0etc., maximele densităţilor de probabilitate radială se află la distanţele etc., în concordanţă cu teoria atomistă cu elemente cuantice a lui Bohr.

0 04 , 9 ,16r r r

Dacă se integrează ecuaţia (FG.05.3.27) în raport cu ρ de la 0 la ∞ , se obţine probabilitatea de localizare a electronului în unghiul solid , Ωd

Ω=ϕθ dd 2, lmYP . (FG.05.3.29)

Se constată că 2lmY nu depinde de unghiul ϕ , astfel că densitatea de probabilitate de localizare unghiulară

a particulei cuantice este simetrică în raport cu axa z. Diagramele polare corespunzătoare distribuţiei (FG.05.3.27) au fost prezentate grafic calitativ în figura FG.05.3.3, forma lor fiind independentă de numărul cuantic n.

Particularizând expresia (FG.05.3.25) pentru cele mai simple funcţii de undă totale ale atomilor hidrogenoizi rezultă:

012/3

0100

rZr

erZ −

π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ψ ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ψ

−

0

22/3

0200 2

224

1 0rre

rZ r

rZ

, (FG.05.3.30)

θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ψ

−cos

241

0

22/3

0210 0

rre

rZ r

rZ

,

θ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ψ ϕ

−sin

81

0

22/3

0211 0 ir

rZ

erre

rZ

etc.

Antrenarea nucleului

Dacă se ţine seama că at6t electronul, având masa şi vectorul de poziţie 0m 0r , cât şi nucleul, având masa

M şi vectorul de poziţie R se mişcă în jurul centrului de masă al sistemului, problema mişcării celor două particule aflate în interacţiune poate fi redusă la problema mişcării în câmp central a unei singure particule,

având masa egală cu masa redusă Mm

Mm+

=μ0

0 .

Într-adevăr, fie

0rRr −= şi Mm

RMrmrc +

+=

0

00 (FG.05.3.31)

vectorul poziţie relativă al celor două particule, respectiv vectorului centrului de masă al sistemului.

Hamiltonianul sistemului celor două particule


‐ 141 ‐

( )rUMm

H Rrc+∇−∇−= 2

22

0

2

22ˆ hh

(FG.05.3.32)

se scrie în raport cu r şi cr sub forma:

( ) ( )rUMm

H rrc+∇

μ−∇

+−= 2

2

0 22'ˆ hh

. (FG.05.3.33)

Separând variabilele în ecuaţia lui Schrödinger:

ψ=ψ EH 'ˆ (FG.05.3.34)

unde se admit dezvoltarile:

crrψψ=ψ şi (FG.05.3.35) crr EEE +=

se obţin ecuaţiile diferenţiale:

( ) cccc rrrr EMm

ψ=ψ∇+

− 2

0

2

2h

(FG.05.3.36)

( ) ( ) rrrr ErrUc

ψ=ψ+ψ∇μ

− 22

2h

. (FG.05.3.37)

Ecuaţia (FG.05.3.36) descrie mişcarea liberă a unei particule având masa Mm +0 şi energia cinetică ,

pe când ecuaţia (FG.05.3.37) descrie mişcarea în câmpul central crE

( )rU a unei particule de masă μ şi energie

rE . Ca urmare, antrenarea nucleului impune corectarea expresiei (FG.05.3.16) a energiei particulei cuantice,

prin înlocuirea lui şi μ . (Întrucât 0m 1836/ 0 ≅mM , μ diferă de cu aproximativ 0,07%.) 0m

FG.05.4. Orbitali atomici

Funcţiile proprii ( )ϕθ,lmY pot fi obţinute din teoria generală a momentului cinetic direct fără a se rezolva

ecuaţia diferenţială a funcţiilor sferice.

Astfel, din ecuaţia cu valori proprii a operatorului zL rezulta că valorile proprii zL au forma hmLz = , urmând a se determina valorile posibile pentru numărul cuantic m. Acestea rezultă din condiţia (???) ca fiind:

adică numere întregi pozitive, negative sau zero, deci spre deosebire de teoria generală sunt excluse valorile semiîntregi.

0, 1, 2,...m = ± ±

De asemenea, se admite tot din teoria generală că valorile proprii ale momentului cinetic 2L sunt

, unde valorile proprii ale lui l sunt limitate de cele ale lui m la (adică, la numere

întregi). În continuare, trebuie să se găsească funcţiile proprii

( 12 +llh ) 0,1, 2,...l =

( )ϕθ,lmY .

Se constată că ecuaţiile

0ˆ =+ llYL şi (FG.05.4.1) llllz lYYL =ˆ

admit soluţia:

θ= ϕ lillll eNY sin (FG.05.4.2)


‐ 142 ‐

lN fiind o constantă care se determină din condiţia de normare

1d* =Ω∫ llllYY . (FG.05.4.3)

Se obţine

( )π+

=4

!12!2

1 ll

N ll . (FG.05.4.4)

Analog prin aplicarea repetată a operatorului −L funcţiei de stare rezultă llY

( )( )

( ) ϕ−−

−⋅

θ

θ⋅

θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⋅π+

= mlml

lml

mllm emlmll

lY

cosdsind

sin1

!!

412

!21 22/1

. (FG.05.4.5)

De asemenea, dacă se porneşte de la funcţia , prin aplicarea repetată a operatorului , se obţine llY − +L

( ) ( )( )

( ) ϕ+

+ ⋅θ

θ⋅⋅θ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⋅π+−

= imml

lmlm

l

mlm e

mlmll

lY

cosdsindsin

!!

412

!21 22/1

(FG.05.4.6)

identică cu (FG.05.4.28).

Expresiile (FG.05.4.28) şi (FG.05.4.29) sunt, de asemenea, identice şi cu (FG.05.4.21) dacă se ţine seama de definiţia (FG.05.2.14) a polinoamelor lui Legendre asociate.

Dacă se introduc notaţiile spectroscopice pentru desemnarea armonici sferice corespunzând valorilor se constată existenţa unei funcţii s, a trei funcţii p, a cinci funcţii d etc.

,...,,,, gfdps,...2,1,0=l

Expresiile funcţiilor proprii se obţin cu ajutorul relaţiei mlY −

( ) ( ) ( ϕθ−=ϕθ− ,1,, lmm

ml YY ) . (FG.05.4.7)

O problemă importantă privind armonicile sferice ( )ϕθ,lmY este studiul parităţii acestora. În coordonate

sferice, transformarea rr −→ corespunde schimbării

π+ϕ→ϕθ−π→θ→ ,,rr . (FG.05.4.8)

Rezultă

( ) ( ) ( ϕθ−=π+ϕθ−π ,1, lml

lm YY ) (FG.05.4.9)

adică are paritatea lui l. lmY

Pentru exemplificare se prezintă expresiile primelor armonici sferice, corespunzătoare funcţiilor s, p şi d.

Funcţiile s:

( ) 2/1004

1π

=Y .

Funcţiile p:


‐ 143 ‐

ϕ⋅θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π= ieY sin

83 2/1

11 ; θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π−= cos

43 2/1

10Y ;

ϕ−− ⋅θ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π−= ieY sin

83 2/1

1,1 .

Funcţiile d:

(pentru ) 0>m ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −θ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π=

21cos

23

45 2

2/1

20Y ;

ϕ⋅θθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π−= ieY cossin

815 2/1

21 ; ϕ⋅θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π−= ieY 22

2/1

22 sin128

15. (FG.05.4.10)

În figura FG.05.4.1 sunt reprezentate diagramele polare ale funcţiilor sferice de mai sus, adică mărimea 2

lmY funcţie de unghiul . θ

Fig. FG.05.4.1

Regulile de selecţie pentru numerele cuantice l şi m

Întrucât vectorul de poziţie r intervine în studiul tranziţiilor cuantice, un interes deosebit îl prezintă calculul

elementelor matrice lmml YrY ˆ'' notate prescurtat prin lmrml ˆ'' .

Introducându-se mărimea

( wvurr ,,cos,sinsin,cossin =θϕθϕθ= ) ( ) (FG.05.4.11)

se pot calcula elementele de matrice


‐ 144 ‐

θθ⋅θϕ=± ∫∫π

ϕ±π

dsinsindˆˆ''0

*''

2

0lm

iml YeYlmviuml (FG.05.4.12)

şi

θθ⋅θϕ= ∫∫π

ϕ±π

dsincosdˆ''0

*''

2

0lm

iml YeYlmwml (FG.05.4.13)

ţinându-se seama de relaţiile de recurenţă cunoscute între polinoamele lui Legendre.

Se constată că sunt diferite de zero acele elemente de matrice pentru care sunt îndeplinite condiţiile

1' ±=−=Δ lll (FG.05.4.14)

1,0' ±=−=Δ mmm (FG.05.4.15)

care constituie reguli de selecţie pentru numerele cuantice l şi m.

O analiză separată trebuie făcută pentru regula de selecţie suplimentară 0=Δl , care interzice tranziţia , ca urmare a simetriei sferice totale a stărilor cu moment cinetic nul, evidenţiate de ecuaţia 0'0 =→= ll

0ˆ

0000 =YrrY .

Noţiunile generale prezentate în acest paragraf asupra regulilor de selecţie vor fi dezvoltate ulterior la studiul cuantic al atomului şi moleculei.

FG.05.5. Proprietăţi magnetice ale atomului. Magnetonul Procopiu - Bohr

Fiind sarcini electrice, în mişcare, electronii suferă în cadrul atomului şi interacţiunii magnetice, astfel că trebuie definite mărimile magnetice care să poată fi utilizate pentru descrierea cantitativă a acestor interacţiuni. O astfel de mărime o reprezintă momentul magnetic al acestor sarcini

∑ ×=n

nnn vqrM21

. (FG.05.5.1)

Ţinând seama de expresia momentului cinetic orbital al sistemului atomic corespunzător, pe care-l notăm cu L ,

∑ ×=n

nn vrmL (FG.05.5.2)

se poate scrie relaţia

LM γ= (FG.05.5.3)

unde

02mq

=γ (FG.05.5.4)

se numeşte raport magneto-mecanic al sistemului atomic.


‐ 145 ‐

Prin urmare sistemul atomic posedă un moment magnetic, paralel cu momentul cinetic şi de sens opus . ( )eq −=

Relaţia cunoscută de cuantificare a momentului cinetic

hkL = (FG.05.5.5)

va conduce, cu considerarea expresiilor clasice pentru momentele magnetic şi cinetic ale electronului aflat în mişcare pe orbite la relaţia

kme

02h

=μ (FG.05.5.6)

unde s-a notat cu μ modulul momentului magnetic al atomului.

Introducând notaţia:

00 2m

eh=μ (FG.05.5.7)

rezultă că momentul magnetic al atomului este cuantificat cu numărul cuantic azimutal k, fiind un multiplu întreg de cantităţi , care constituie în acest fel momente magnetice elementare, numite magnetoni

Procopiu-Bohr, după numele descoperitorilor Ştefan Procopiu (1912) şi Niels Bohr (1913). Valoarea

magnetonului calculată cu ajutorul expresiei (FG.05.5.7) este .

0μ

J/T10927,0 230

−⋅=μ

Un studiu riguros al cuantificării momentului magnetic orbital al atomului va fi posibil în teoria cuantică.

Concluziile pot fi extinse pentru studiul momentului magnetic al atomului situat într-un câmp magnetic exterior.

Ţinându-se seama de cuantificarea spaţială a momentului cinetic cu ajutorul numărului cuantic magnetic m rezultă pentru proiecţia momentului magnetic zμ după axa z, relaţia de cuantificare;

0μ=μ mz , (FG.05.5.8)

care pune deci în evidenţă cuantificarea spaţială a momentului magnetic (în câmp magnetic, direcţia momentului magnetic poate face numai anumite unghiuri cu direcţia câmpului magnetic). Un alt efect al aplicării câmpului magnetic asupra sistemului atomic, îl reprezintă după cum se ştie, o mişcare de rotaţie suplimentară a electronilor în atom, în jurul unei axe paralele cu câmpul magnetic de inducţie B care trece prin centrul de greutate al atomului, cu viteza unghiulară Larmor:

Bmg

2−=ω . (FG.05.5.9)

Această mişcare rezultă din teorema lui Larmor conform căreia mişcarea faţă de sistemul de referinţă al lui Larmor (sistemul centrului de greutate), în prezenţa câmpului magnetic, este identică cu mişcarea existentă în raport cu sistemul de referinţă al laboratorului, în absenţa câmpului magnetic.

Întrucât momentul rezultant al forţelor datorită câmpului magnetic B are expresia:

BMK ×= (FG.05.5.10)

din teorema momentului cinetic scrisă sub forma:

KtL

=dd

(FG.05.5.11)


‐ 146 ‐

rezultă:

MdtMd

×ω= (FG.05.5.12)

unde

Bγ−=ω , (FG.05.5.13)

adică o mişcare de precesie a vectorului M , în jurul lui B (Fig. FG.05.5.1)

(Precesia Larmor va fi utilizată pentru explicarea efectului Zeeman).

Fig. FG.05.5.1

FG.05.6. Definirea cuantica a momentului magnetic

În paragrafele anterioare s-a definit densitatea fluxului de probabilitate pentru o particulă cuantică de masă , caracterizată de funcţia de undă 0m ( )tr ,ψ prin expresia:

( ) [ ]. (FG.05.6.1) ψψ∇−ψ∇ψ= **

02,

mitrS h

Dacă particula cuantică este încărcată cu sarcina e (electron) mişcarea sa orbitală este echivalentă cu un curent de densitate

[ ]. (FG.05.6.2) ψψ∇−ψ∇ψ=⋅= **

02meiSeJ h

Pe de altă parte, din electrodinamică rezultă că acestui curent îi corespunde un moment magnetic având expresia:

( ) τ×= ∫ d21

V

JrM . (FG.05.6.3)

Din ecuaţiile (FG.05.6.2) şi (FG.05.6.3) se obţine:

[ ] LmeVL

meLL

meM ˆ

2dˆ

2dˆˆ

4 0

*

0

**

0=ψψ=τψψ−ψψ= ∫∫ (FG.05.6.4)

operatorul moment cinetic orbital L fiind hermitic.


‐ 147 ‐

Corelaţia dintre momentul magnetic al particulei cuantice şi valoarea medie a momentului cinetic orbital poate fi utilizată pentru definirea operatorului moment magnetic orbital:

LmeM ˆ

2ˆ

0= . (FG.05.6.5)

Ţinându-se seama de relaţiile de cuantificare ale momentului cinetic orbital se constată că proiecţia momentului magnetic după axa z este cuantificată de numărul cuantic magnetic m:

PBz mmmeM μ==

02h

, (FG.05.6.6)

unde 02m

ePB

h=μ reprezintă magnetonul Procopiu-Bohr, introdus in fizica pe baza analizei faptelor

experimentale, şi are valoarea: . J/T10927,0 23−⋅=μPB

Rezultatele de mai sus pot fi extinse şi momentului magnetic de spin, în care particula cuantică este un nucleon, de sarcină e şi masă ; se defineşte magnetonul nuclear" 0M

02Me

Nh

=μ . (FG.05.6.7)

Din studiul raportului magneto-mecanic, pentru mişcarea de spin s-a obţinut care evidenţiază

"anomalia" magnetică a spinului. Se poate arata, de asemenea, că factorii giromagnetici pentru proton şi neutron au valorile

2=sg

793,2=pg respectiv 913,1−=ng . Explicarea momentelor magnetice nucleare se va

face ulterior.

FG.05.7. Efectul Zeeman

În studiul cuantificării spaţiale a atomului în prezenţa unui câmp magnetic exterior s-a menţionat că existenţa efectului Zeeman constituie o verificare experimentală directă a necesităţii introducerii numărului cuantic magnetic m.

Efectul Zeeman constă în despicarea liniilor spectrale ale atomilor situaţi în câmpuri magnetice perturbatoare în mai multe componente, ca urmare a despicării nivelelor energetice ale atomilor în prezenţa acestor câmpuri.

Evidenţiat experimental în anul 1896 de către P. Zeeman, efectul a fost explicat pentru prima dată de către Lorentz cu ajutorul teoriei electromagnetice a luminii. Explicaţia dată efectului Zeeman de teoria cu elemente cuantice a lui Bohr, pe baza mişcării de precesie Larmor în câmp magnetic conduce la aceleaşi rezultate.

Scindarea în câmp magnetic a liniilor spectrale este în cazul general foarte complicată, după caracterul acestei scindări efectul Zeeman putând fi simplu (normal) şi complex (anomal).

Efectul Zeeman normal poate fi observat pentru liniile spectrale care provin prin tranziţii între două stări de singlet, despicarea liniei fiind în acest caz numai în trei componente spectrale. Efectul Zeeman anomal caracterizează tranziţiile spectrale între două stări de multiplet de unde rezultă şi complexitatea liniei spectrale emise.

Teoriile lui Lorentz şi cea cu elemente cuantice a lui Bohr explică satisfăcător numai efectul Zeeman normal, explicaţia efectului Zeeman anomal nefiind posibilă decât în cadrul riguros al mecanicii cuantice.


‐ 148 ‐

a) Efectul Zeeman normal

Efectul Zeeman normal constă în scindarea simetrică a liniei spectrale în trei componente, având frecvenţa şi mărimea scindării fiind dată de relaţia: 0,ωω+ −ω

h

B0000

μ=ω−ω=ω−ω=ωΔ −+ , (FG.05.7.1)

în care este magnetonul Procopiu-Bohr iar 0μ B inducţia câmpului magnetic perturbator.

Măsurările lui Zeeman au arătat că liniile spectrale emise de atom în câmp magnetic se prezintă în mod diferit după cum observarea lor se face după o direcţie perpendiculară pe direcţia câmpului (efect transversal) sau după o direcţie paralelă cu direcţia câmpului (efect longitudinal).

În cazul efectului transversal se observă trei componente spectrale ale liniei emise (Fig. FG.05.7.1).

Una dintre componente, numită are o frecvenţă π 0ω a liniei iniţiale şi este polarizată liniar paralel cu

direcţia câmpului magnetic. Celelalte două componente, numite σ sunt deplasate cu cantitatea ωΔ± faţă de frecvenţa iniţială, fiind polarizate liniar perpendicular pe direcţia câmpului.

Fig. FG.05.7.1

În cazul efectului longitudinal, componenta π nu mai apare, iar componentele sunt polarizate circular, dreapta respectiv stânga, funcţie de sensul lui

σB . (Sensul polarizării circulare pentru componenta

- având frecvenţa +σ +ω , este asociat lui B după regula burghiului drept, pe când cel al componentei −σ

- având frecvenţa , este asociat lui −ω B după regula burghiului stâng.)

Rezultă că pentru o direcţie oarecare de observaţie, care face unghiul ϕ lui B , componentele σ vor fi polarizate eliptic, intensitatea acestor componente variind funcţie de unghiul ϕ conform relaţiei [4]:

( ) ( ) ( ϕ+=ϕ 2cos120II ). (FG.05.7.2)

Efectul Zeeman normal se observă în special la sistemul de singleţi ai heliului, la elementele alcalino-pământoase şi în spectrele altor elemente cum ar fi Zn, Hg, Cd etc. (de exemplu, linia având =λ 643,847 nm a cadmiului, corespunzând tranziţiei

21 DP ll − ).

În teoria lui Lorentz, mişcarea armonică liniară a electronului este descompusă în două componente armonice cu aceeaşi frecvenţă una paralelă cu câmpul perturbator B şi alta perpendiculară pe acesta. A doua oscilaţie armonică este la rândul ei descompusă în două mişcări circulare uniforme de sensuri contrare. Prin urmare influenţa campului magnetic asupra oscilaţiilor armonice ale electronilor este studiată pentru fiecare


‐ 149 ‐

componentă a mişcării. Din condiţiile de stabilitate mecanică pentru fiecare componentă a mişcării rezultă neinfluenţarea componentei mişcării paralele cu câmpul magnetic de către acest câmp şi modificarea frecvenţelor componentelor circulare ale mişcării cu cantitatea:

mB

22

0 ±=ωΔ (FG.05.7.3)

care reprezintă frecvenţa Larmor a mişcării sistemului atomic în câmp magnetic. Scindarea liniilor spectrale emise de atom şi stările de polarizare observate experimental în direcţie longitudinală şi transversală sunt în deplină concordanţă cu această teorie.

Într-adevăr, dacă privim lumina emisă de sistemul atomic perpendicular pe direcţia câmpului, apar conform teoriei clasice a radiaţiei componentele π şi σ polarizate liniar, pe când dacă aceeaşi lumină este privită transversal, este normal să nu mai apară componenta π iar componentele σ să apară polarizate circular. (Remarcăm că determinarea sarcinii specifice a electronului prin măsurări de efect Zeeman conduce la rezultate foarte precise.)

Explicarea efectului Zeeman normal pe baza teoriei cu elemente cuantice a lui Bohr a fost făcută pentru prima dată de către Debye şi Sommerfeld în anul 1916.

Deşi spinul electronului nu era cunoscut la acea dată explicaţia efectului Zeeman normal, propusă de aceştia, a fost satisfăcătoare.

În câmpuri magnetice suficient de slabe, la care ne limităm deocamdată, (se va vedea la studiul efectului Zeeman anomal de ce este necesară această condiţie), planul elipsei electronului va căpăta, după cum se ştie, o mişcare de precesie cu viteza unghiulară Larmor.

Creşterea energiei atomului în câmp magnetic fiind dată de expresia:

θμ−=Δ cosHE (FG.05.7.4)

şi ţinând seama de cuantificarea momentului magnetic μ rezultă:

mHE 0μ−=Δ , (FG.05.7.5)

adică în câmp magnetic termenii spectrali se despică în 12 +l termeni echidistanţi corespunzător celor posibilităţi de orientare date de numărul cuantic m. 12 +l

De remarcat că, distanţa dintre doi astfel de termeni corespunde frecvenţei:

02ωΔ==ω

meB

L , (FG.05.7.6)

adică tocmai frecvenţei Larmor, ca şi în cazul clasic.

Ca urmare, o stare a sistemului atomic va fi definită de trei numere cuantice, şi m, astfel că ln,

frecvenţa tranziţiei între două stări definite de numerele cuantice ( )111 ,, mln şi va fi dată de expresia generală:

( 222 ,, mln )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )hh

120220110222111 ,,,,,, mmHlnElnEmlnEmlnE −μ+−=

−=ω , (FG.05.7.7)

unde mărimile semnifică stările sistemului atomic în absenţa câmpului magnetic perturbator, astfel incat: 0E

( ) ( ) 0220110 ,, ω=− hlnElnE . (FG.05.7.8)

Rezultă că se poate scrie:


‐ 150 ‐

mH Δμ+ω=ω 00hh (FG.05.7.9)

care evidenţiază efectul Zeeman normal observat experimental, corespunzator regulilor de selecţie, pentru numărul cuantic magnetic:

1;0 ±=Δm . (FG.05.7.10)

Ori aceste reguli de selecţie pot fi induse din regulile de selecţie pentru numărul cuantic orbital 1±=Δl şi din absenţa interacţiunii pentru componenta paralelă cu câmpul a mişcării, în cazul teoriei clasice a efectului Zeeman.

Ca urmare a acestor reguli de selecţie, deşi fiecare termen se despică în 12 +l componente, fiecare linie se despică numai în trei componente, cele 12 +l componente fiind după cum s-a mai arătat echidistante.

O schemă generală a acestor tranziţii este prezentată în figura FG.05.7.2,

iar o schemă detaliată a tranziţiilor Zeeman 32

11 FD − , este prezentată în figura FG.05.7.3.

Se observă ca tranziţiile au loc între stări de singlet ( )0=S .

Fig. FG.05.7.2

a)


‐ 151 ‐

b)

Fig. FG.05.7.3

b) Efectul Zeeman anomal

Efectul Zeeman anomal (complex) constă în scindarea liniilor spectrale în mai mult de trei componente în prezenţa unui câmp magnetic perturbator şi corespunde după cum s-a mai arătat unor tranziţii de pe nivelele de multipleţi, fiind cazul cel mai frecvent de efect Zeeman.

Pentru exemplificare, se prezintă cazul dubletului seriei principale a metalelor alcaline, care în prezenţa unor câmpuri magnetice nu prea intense, observat pe o direcţie perpendiculară în raport cu cea a câmpului, este

format din 10 linii. În cazul liniilor D ale sodiului, de exemplu, linia se scindează în patru

componente, pe când linia se scindează în şase componente. Complexitatea scindării liniilor

spectrale în cazul efectului Zeeman anomal este determinată de existenţa spinului electronic a cărui influenţă nu mai poate fi neglijată în acest caz, datorită anomaliei sale magnetice, evidenţiată de factorul giromagnetic de spin introdus anterior.

2/12

2/12 SP →

2/12

2/32 SP →

Această diferenţă între momentele orbitale şi de spin face ca vectorul moment magnetic total al atomului să nu aibă aceeaşi direcţie cu vectorul moment cinetic total al acestuia, într-un model vectorial al atomului care evidenţiază cuplajul spin - orbită.

În cazul unui sistem cu mai mulţi electroni, unde trebuie compuse simultan mai multe momente cinetice orbitale şi de spin, cele mai cunoscute posibilităţi de cuplare sunt cuplajul normal ( şi cuplajul jj. )LS

În cuplajul normal momentele cinetice orbitale se compun separat într-o singură rezultantă L , momentele cinetice de spin se compun de asemenea separat într-o singură rezultantă S , din compunerea vectorilor L şi S rezultând momentul cinetic total J .

Acelaşi mod de compunere se foloseşte şi pentru momentele magnetice orbitale LM şi de spin SM însă

datorită anomaliei magnetice de spin, vectorul M nu va corespunde ca direcţie cu vectorul J

(Fig. FG.05.7.4).


‐ 152 ‐

Fig. FG.05.7.4

În cazul cuplajului jj, pentru fiecare electron se cuplează separat momentul cinetic orbital cu cel de spin, obţinându-se nişte rezultante J , care se cuplează apoi împreună într-o rezultantă finală J . Acelaşi mod de compunere se foloseşte şi pentru momentele magnetice.

(Rezultatele obţinute prin cele două tipuri de cuplaje sunt diferite, cuplajul normal corespunzând, după cum se arată în teoria cuantică, aproximaţiei nerelativiste, când cele două tipuri de momente orbitale şi de spin pot fi considerate separat, spre deosebire de cuplajul jj, valabil în cazul relativist, unde considerarea separată a celor două tipuri de momente nu mai este posibilă.)

Pentru explicarea efectului Zeeman anomal se porneşte de la calculul raportului magneto-mecanic al unui sistem de electroni, în cazul cuplajului normal.

Fie JM proiecţia momentului magnetic M pe direcţia lui J . Se poate arăta că:

( ) ( )JSMJLMM SLJ ,cos,cos += (FG.05.7.11)

unde

( )JL

SLJJL2

,cos222 −+

= (FG.05.7.12)

şi

( )JS

LJSJS2

,cos222 −++

= (FG.05.7.13)

unde sunt numerele cuantice ale sistemului de electroni corespunzătoare numerelor cuantice şi JSL ,, sl,j ale unui sistem cu un singur electron optic.

Se obţine pentru relaţia de calcul: JM

h

JgM J 0μ= (FG.05.7.14)

unde mărimea

2

222

21

JLSJg −+

+= (FG.05.7.15)

se numeşte factorul de despicare a liniei spectrale a lui Landé.

Pentru un atom cu un singur electron optic factorul lui Landé are expresia:


‐ 153 ‐

2

222

21

jlsjg −+

+= . (FG.05.7.16)

Se va arata în continuare că explicarea efectului Zeeman anomal, prin considerarea factorului de despicare a lui Landé, nu este satisfăcătoare decât în teoria cuantică, unde numerele cuantice ,sl, j , sunt legate de analoagele lor clasice prin corespondenţa:

( ) ( ) ( 1;1;1 222 +→+→+→ jjjssslll )

)

,

astfel că se utilizează pentru g o expresie de forma

( ) ( ) (( )12

1111+

+−++++=

jjllssjjg . (FG.05.7.17)

Prin urmare simpla considerare a spinului nu este suficientă pentru explicarea efectului Zeeman anomal, fiind necesară tratarea riguroasă a interacţiei spin - orbită cu metodele mecanicii cuantice. În acest caz calculul liniilor Zeeman este verificat experimental cu precizie spectroscopică, confirmând modelul cuantic adoptat.

Cauza efectul Zeeman anomal o constituie, ca şi pentru cel normal, mişcările de precesie din atom, după cum arată toate faptele experimentale pe care calculul factorului lui Landé a reuşit să le explice.

Deşi nu se poate da o explicaţie cantitativă completă efectului Zeeman anomal, după cum s-a arătat, în cadrul teoriei cu elemente cuantice a lui Bohr, totuşi posibilitatea apariţiei sale poate fi arătată calitativ, indicându-se şi metoda generală de tratare în teoria cuantică.

În principiu, în absenţa câmpului magnetic exterior energia de interacţiune a momentului magnetic de spin cu câmpul magnetic corespunzător momentului cinetic orbital provoacă despicarea fiecărui nivel Sμ ( )lnE .

în două subnivele şi , mărimea despicării fiind dată de diferenţa de frecvenţă dintre liniile dubletului emis.

( )',,' jlnE ( ",," jlnE )

În prezenţa câmpului magnetic H , de intensitate relativ scăzută, vectorii şi execută mişcări de

precesie în jurul lui

'j "jH (Fig. FG.05.7.5), energia de precesie fiind dată de relaţia

( HjHE ,cos0μ−=Δ ). (FG.05.7.18)

Fig. FG.05.7.5

Apare necesară condiţia ca intensitatea câmpului magnetic H să fie suficient de mică pentru a „nu rupe” cuplajul spin-orbită.

Despicarea nivelelor magnetice în cazul atomilor cu un singur electron de valenţă în câmp magnetic slab se va face conform relaţiei


‐ 154 ‐

( ) ( ) gmHjlnEmjlnE jj 0,,,,, μ−= (FG.05.7.19)

unde

1,0, ±=Δ≤≤− jj mjmj ,

jm fiind numărul cuantic magnetic intern care cuantifică protecţia momentului cinetic total j pe direcţia

câmpului H , iar g este factorul lui Landé .

În câmpuri magnetice puternice, cuplajul spin - orbită se rupe, vectorii l şi s execută în mod independent mişcări de precesie în jurul lui H (Fig. FG.05.7.6) astfel incat despicarea nivelelor magnetice se va face conform relaţiei:

( ) ( ) ( 1,,,, 0 ± )μ−= mHlnEsmlnE . (FG.05.7.20)

Fig. FG.05.7.6

Tranziţiile care au loc între două nivele specificate de numerele cuantice ( )1111 ,,, smln şi conduc la frecvenţele:

( )2222 ,,, smln

0

0

0

ω=ωωΔ−ω=ωωΔ+ω=ω

−

+ (FG.05.7.21)

unde corespunde frecvenţei de precesie Larmor, deci efectul Zeeman anomal trece în efectul Zeeman normal la intensităţi suficient de mari ale câmpului magnetic exterior pentru a se rupe cuplajul spin - orbită se numeşte efect Paschen-Back.

ωΔ

Tranziţiile caracteristice efectului Zeeman anomal sunt prezentate schematic în Fig. FG.05.7.3 (pentru

tranziţia ). Despicarea fiind diferită pentru diferitele grupuri de termeni, sunt posibile atâtea linii spectrale câte tranziţii se pot construi în total respectând regulile de selecţie cunoscute.

PS 33 →

fg. mecanica cuantica i - deliu.ro fg_i... · laser . fg.07 . magnetonul procopiu - bohr. fg.05 ......

Documents