fenomene de transfer 2

Dr. ing. LUCIAN GAVRIL

Editura ALMA MATER BACU 2000

Vol. II TRANSFER DE CLDUR I DE MAS

UNIVERSITATEA BACU

UNIVERSITATEA din BACU

FACULTATEA DE INGINERIE

Dr. ing. LUCIAN GAVRIL

FENOMENE DE

TRANSFER

Vol. II

TRANSFER DE CLDUR I DE MAS

Editura ALMA MATER Bacu 2000

Copyright 2000 Lucian Gavril

Toate drepturile rezervate. Nici o parte a acestei lucrri nu poate fi reprodus sau transmis sub nici o form i prin nici un fel de mijloc electronic sau mecanic inclusiv prin fotocopiere, nregistrare magnetic sau prin alt sistem de stocare i redare a informaiei, fr permisiunea scris a deintorului de Copyright.

Refereni tiinifici:

Prof. dr. ing. STELIAN PETRESCU, Facultatea de Chimie Industrial, Universitatea Tehnic Gh. Asachi Iai

Prof. dr. ing. ABDELKRIM AZZOUZ, Facultatea de Inginerie, Universitatea Bacu

Lucrarea FENOMENE DE TRANSFER a fost discutat i avizat n cadrul Catedrei de Chimia i Tehnologia Produselor Alimentare Facultatea de Inginerie, Universitatea Bacu. Tehnoredactare computerizat, grafica i coperta: Lucian Gavril

Rotaprint executat la Universitatea Bacu, Str. Spiru Haret nr. 8

I

CUPRINS

4. TRANSFERUL DE CLDUR 1 4.1. NOIUNI INTRODUCTIVE 1 4.1.1. Transferul de cldur i principiile termodinamicii 1 4.1.2. Noiuni fundamentale 3 4.1.3. Mecanisme de transmitere a cldurii 4 4.1.4. Conceptul de rezisten termic 6 4.2. TRANSFER DE CLDUR PRIN CONDUCTIVITATE 6 4.2.1. Ecuaiile difereniale ale conductivitii termice 6 4.2.2. Distribuia temperaturilor ntr-un mediu imobil 9 4.2.3. Coeficientul de conductivitate termic 10 4.2.3.1. Conductivitatea termic a gazelor 11 4.2.3.2. Conductivitatea termic a lichidelor 12 4.2.3.3. Conductivitatea termic a materialelor solide 14 4.2.4. Transfer termic conductiv n regim staionar 15 4.2.4.1. Transfer termic prin perei plani simpli 16 4.2.4.2. Transfer termic prin perei plani compui 18 4.2.4.3. Transfer termic prin perei cilindrici simpli 19 4.2.4.4. Transfer termic prin perei cilindrici compui 21 4.2.5. Transfer termic conductiv n regim nestaionar 22 4.3. TRANSFER DE CLDUR PRIN RADIAIE 23 4.3.1. Noiuni fundamentale 23 4.3.2. Legile radiaiei termice 25 4.3.3. Transfer termic radiant ntre corpuri solide 26 4.3.4. Radiaia gazelor i vaporilor 27 4.4. TRANSFER DE CLDUR PRIN CONVECIE 28 4.4.1. Stratul limit termic 28 4.4.2. Coeficientul individual de transfer termic 29 4.4.3. Ecuaia diferenial a transferului termic convectiv 32 4.4.4. Ecuaii criteriale ale transferului termic convectiv 34 4.4.5. Determinarea coeficienilor individuali de transfer termic 36 4.4.5.1. Transfer termic la curgerea prin conducte i canale 37 4.4.5.2. Transfer termic la curgerea peste fascicule tubulare 40 4.4.5.3. Transfer termic la curgerea pe suprafee plane 42 4.4.5.4. Transfer termic la amestecarea lichidelor cu agitatoare 43 4.4.5.5. Transfer termic la fierberea lichidelor 44 4.4.5.6. Transfer termic la condensarea vaporilor 47 4.4.5.7. Valori orientative ale coeficienilor individuali de transfer termic 58 4.5. TRANSFERUL GLOBAL DE CLDUR 59 4.5.1. Transfer global de cldur indirect ntre dou fluide 61 4.5.1.1. Transfer global de cldur la potenial termic constant 61

II

4.5.1.2. Transfer global de cldur la potenial termic variabil 64 4.5.1.2.1. Transfer termic la potenial variabil n regim staionar 67 4.5.1.2.2. Transfer termic la potenial variabil n regim nestaionar 69 4.5.1.2.2.1. Variaia temperaturilor numai n timp 69 5.4.1.2.2.2. Variaia temperaturilor n timp i n spaiu 72 4.5.2. Transfer global de cldur direct ntre dou fluide 74 4.5.2.1. Transfer termic direct fr schimbarea strii de agregare 75 4.5.2.2. Transfer termic direct cu schimbarea strii de agregare 76 4.5.3. Valori orientative ale coeficientului global de transfer termic 79 4.5.4. Analiza coeficientului global de transfer termic 82 4.6. BIBLIOGRAFIE RECOMANDAT PENTRU APROFUNDARE 86 5. TRANSFERUL DE MAS 87 5.1. NOIUNI INTRODUCTIVE 87 5.1.1. Exprimarea compoziiei fazelor 87 5.1.2. Echilibrul ntre faze 90 5.1.2.1. Legea fazelor a lui Gibbs 91 5.1.2.2. Legea lui Raoult 93 5.1.2.3. Legea lui Henry 97 5.1.2.4. Legea de repartiie a lui Nernst 99 5.2. MRIMI I ECUAII FUNDAMENTALE ALE TRANSFERULUI

DE MAS

100 5.2.1. Flux masic, flux masic unitar 100 5.2.2. Mecanisme de transfer de mas 101 5.2.3. Difuziunea molecular ordinar. Legea I a lui Fick 102 5.2.4. Coeficientul de difuziune 103 5.2.4.1. Coeficieni de difuziune n gaze 104 5.2.4.2. Coeficieni de difuziune n lichide 108 5.2.4.3. Coeficieni de difuziune n solide 111 5.2.5. Difuziunea turbulent 114 5.2.6. Difuziunea convectiv. Ecuaia diferenial a difuziunii 115 5.2.7. Ecuaii criteriale ale difuziunii 119 5.3. DIFUZIUNEA NTR-O SINGUR FAZ 125 5.3.1. Difuziunea ntr-un amestec binar de gaze 125 5.3.2. Procedee de separare bazate pe difuziunea ntr-o singur faz 126 5.3.2.1. Difuziunea molecular sub gradient termic 126 5.3.2.2. Difuziunea molecular sub gradient de presiune 127 5.3.2.3. Difuziunea de mas 129 5.4. DIFUZIUNEA NTRE DOU FAZE 130 5.4.1. Mecanismul transferului de mas interfazic 132 5.4.1.1. Teoria celor dou filme 132 5.4.1.2. Teoria rennoirii suprafeei 133 5.4.1.3. Teoria rennoirii ntmpltoare a suprafeei 135 5.4.1.4. Teoria film penetraie 136 5.4.2. Coeficieni individuali de transfer de mas 138

III

5.4.2.1. Coeficieni individuali de transfer n coloane cu perei udai 141 5.4.2.2. Coeficieni individuali de transfer n coloane cu umplutur 142 5.4.2.3. Coeficieni individuali de transfer n coloane cu talere 144 5.4.2.4. Coeficieni individuali de transfer n coloane cu barbotare 147 5.4.2.5. Coeficieni individuali de transfer n sisteme gaz lichid prevzute cu

agitare mecanic

148 5.4.2.6. Coeficieni individuali de transfer n sisteme gaz solid 149 5.4.3. Transferul global de mas 152 5.4.3.1. Transfer global de mas la potenial constant 153 5.4.3.2. Transfer global de mas la potenial variabil 156 5.4.3.3. Calculul potenialului global mediu al transferului de mas 158 5.5. DIMENSIONAREA TEHNOLOGIC A UTILAJELOR DE TRANSFER

DE MAS

162 5.5.1. Calculul diametrului coloanelor de transfer de mas 163 5.5.2. Calculul nlimii coloanelor de transfer de mas 163 5.5.2.1. Calculul nlimii coloanelor cu contact n trepte 164 5.5.2.2. Calculul nlimii coloanelor cu contact diferenial 166 5.5.2.2.1. Calculul nlimii din suprafaa de transfer de mas 166 5.5.2.2.2. Calculul nlimii ca produs ntre nlimea unitii de transfer (IUT) i

numrul unitilor de transfer (NUT)

167 5.5.2.2.3. Calculul nlimii ca produs ntre numrul de trepte teoretice de

contact (NT) i nlimea echivalent a unei trepte teoretice de transfer (IETT)

168 5.6. BIBLIOGRAFIE RECOMANDAT PENTRU APROFUNDARE 169 6. ANALOGIA NTRE TRANSFERUL DE IMPULS, CLDUR I MAS 171 6.1. TRANSFERUL SIMULTAN DE IMPULS, CLDUR I MAS 171 6.2. ELEMENTE COMUNE FENOMENELOR DE TRANSFER 173 6.3. MECANISME DE TRANSFER 175 6.3.1. Transfer prin mecanism radiant 175 6.3.2. Transfer prin mecanism molecular 175 6.3.3. Transfer prin mecanism convectiv 178 6.3.4. Transfer interfazic 179 6.4. TRANSFER MOLECULAR, CONVECTIV I TURBULENT 179 6.5. ANALOGIA FENOMENELOR DE TRANSFER 182 6.5.1. Analogia Reynolds 182 6.5.2. Analogia Prandtl Taylor 184 6.5.3. Analogia von Krmn 187 6.5.4. Analogia Chilton Colburn 188 6.6. SISTEMATIZAREA CRITERIILOR DE SIMILITUDINE 189 6.7. BIBLIOGRAFIE RECOMANDAT PENTRU APROFUNDARE 191 7. BIBLIOGRAFIE GENERAL 193

TRANSFERUL DE CLDUR

1

4. TRANSFERUL DE CLDUR 4.1. NOIUNI INTRODUCTIVE Transferul de cldur este un fenomen complex, reprezentat de schimbul de energie termic ntre dou corpuri solide, dou regiuni ale aceluiai corp, dou fluide, ca rezultat al existenei unei diferene de temperatur (potenial termic) ntre acestea. Existena unui potenial termic determin transferul spontan de energie de la corpul cu temperatura mai ridicat la corpul cu temperatura mai sczut. Dac n cazul termocineticii i termodinamicii clasice se trateaz procese i stri de echilibru sau procese de transformare a energiei termice n energie mecanic, transferul de cldur se ocup cu procese dinamice, n care energia termic la anumii parametri se transform tot n energie termic, dar la ali parametri. Legile transferului termic stau la baza conceperii i exploatrii unui numr mare de procese, aparate i instalaii industriale, caracteristice nu numai industriei alimentare. Cantitativ, transferul de cldur decurge conform principiului conservrii energiei, principiu exprimabil pentru sistemele izolate prin urmtoarea ecuaie general de bilan termic: primitcedat QQ = (4.1)

Ecuaia (4.1) exprim faptul c ntr-un sistem izolat, n regim staionar, cantitatea de cldur cedat de corpul cu temperatura mai ridicat este egal cu cantitatea de cldur primit de corpul cu temperatura mai sczut. Formularea este valabil n cazul absenei din sistem a unor surse de cldur: reacii chimice, biochimice sau nucleare. n cazul sistemelor neizolate, ecuaia (4.1) capt forma:

pierderiprimitcedat QQQ += (4.2) n care ultimul termen din membrul drept reprezint cantitatea de cldur schimbat cu mediul nconjurtor. 4.1.1. Transferul de cldur i principiile termodinamicii Principiul nti al termodinamicii (principiul conservrii energiei) poate fi scris sub forma:

0= idE (4.3)

FENOMENE DE TRANSFER

2

adic suma variaiilor tuturor energiilor ntr-un sistem nchis este nul. n cazul n care energiile transferate sunt energia intern i energia mecanic, ecuaia (4.3) devine:

dLdUdQ += (4.4) respectiv cldura schimbat de sistem cu mediul exterior este dat de suma variaiei energiei interne i a lucrului mecanic efectuat n interaciunea dintre sistem i mediu. Cldura i lucrul mecanic nefiind parametri de stare (difereniale totale exacte), sunt funcii de succesiunea strilor intermediare ntre stare iniial i cea final a procesului. Ca urmare, variaia energiei termice ntr-un proces termodinamic va fi o funcie de proces, respectiv de transformare. Entalpia este un parametru de stare definit de expresia:

PVUi += (4.5) Difereniind (4.5) i nlocuind n (4.4), principiul I se poate scrie:

VdPdidQ = (4.6) Cu ajutorul relaiei (4.6) cldura poate fi definit ca parametru de stare n procesele izobare (P = ct.) i izobar izoterme (P = ct. ; T = ct.). Astfel de procese sunt procesele de transformare de faz: topirea, fierberea, sublimarea, cristalizarea, condensarea. Cantitatea de cldur schimbat n aceste procese poate fi exprimat funcie de entalpia iniial (i1) i cea final (i2) a sistemului:

( ) riiQ TP == 12, (4.7) r reprezentnd cldura specific (latent) a transformrii de faz. Principiul al doilea al termodinamicii (principiul creterii entropiei) stabilete sensul transformrilor spontane. Conform acestui principiu, orice proces spontan tinde s se petreac de la o stare mai puin probabil la una mai probabil. Parametrul de stare care determin sensul transformrii de energie este entropia (S):

dQT

dS 1 (4.8) semnul = fiind expresia proceselor reversibile, iar semnul > fiind expresia proceselor ireversibile. Deoarece T > 0, dQ i dS au ntotdeauna acelai semn: ca urmare, acumularea de cldur decurge cu creterea entropiei, iar cedarea cldurii decurge cu scderea entropiei sistemului. Principul al treilea al termodinamicii (principiul lui Nernst) arat c entropia tinde ctre o valoare finit cnd temperatura tinde ctre zero:

0lim0

= ST (4.9) O consecin important a acestui principiu este inaccesibilitatea temperaturii de zero absolut (0 K).

TRANSFERUL DE CLDUR

3

4.1.2. Noiuni fundamentale n transferul de cldur nu se urmrete atingerea unui echilibru termic, ci existena n permanen a unei fore motrice de transfer, determinat de diferena de temperatur dintre dou puncte. Temperatura este un parametru scalar de stare, definit de funcia:

),,,( tzyxfT = (4.10) funcie denumit ecuaia cmpului de temperatur n regim termic nestaionar. n regim staionar, ecuaia cmpului de temperatur are forma:

),,( zyxfT = (4.11) Izoterma reprezint totalitatea punctelor care la timpul t au aceeai temperatur. ntre dou izoterme vecine, T i T + T, la timpul t, variaia temperaturii pe diferite distane l1, l2, ... va fi o mrime variabil de forma:

. . . ; ; . . . ; ; 21 nl

TlT

lT

(4.12)

a crei valoare maxim se obine pe direcia normal, ln (fig. 4.1). Limita raportului dintre variaia temperaturii i distana normal la izotermele considerate poart denumirea de gradient de temperatur:

nn

l lT

lT

n =

0lim (4.13)

Gradientul de temperatur este o mrime vectorial, care se poate scrie:

( ) TkkTj

yTi

xTl

lTT nn

=+

+=

= rrrr 0, grad (4.14) Deoarece gradientul de temperatur este un vector al crui sens corespunde creterii de temperatur, gradientul cu semn negativ va reprezenta o cdere de temperatur. Dimensional: [ ] [ ]11 grad == mKLT (4.15) Cantitatea de cldur transferat n unitatea de timp poart denumirea de debit (flux) de cldur:

T

T + T

lnl2 l3

P0

P2

P3

P1

Fig. 4.1. Variaia temperaturii ntre

dou izoterme


4

dtdQ

tQQ

ts=

= 0lim (4.16) n regim termic staionar, fluxul termic este constant n timp,

putndu-se astfel defini debitul (fluxul) mediu:

tQQs

= (4.17) Fluxul termic unitar (solicitarea termic) este definit ca fiind cantitatea de cldur transferat n unitatea de timp prin unitatea de suprafa:

dtdA

QddtdQ

dAd

dAdQq s =

==

2

(4.18)

Pentru condiii de staionaritate a procesului de transfer termic se poate defini un flux unitar mediu (solicitare termic medie):

tA

Qq = (4.19)

Cantitatea de cldur avnd dimensiunile unei energii, fluxul termic este o energie raportat la unitatea de timp, msurndu-se n J/s = W. Fluxul termic unitar se va msura corespunztor n J/(m2.s) = W/m2. 4.1.3. Mecanisme de transmitere a cldurii Exist trei modaliti de transmitere a cldurii: prin conducie, prin radiaie i prin convecie. n majoritatea cazurilor ntlnite n practic, transmiterea cldurii se realizeaz simultan prin dou sau chiar prin toate trei mecanismele amintite mai sus. ntotdeauna transmiterea cldurii prin convecie este nsoit de un transfer conductiv de cldur. Pierderea de cldur a unui corp cald n mediul nconjurtor se realizeaz prin toate cele trei mecanisme de transfer. n unele cazuri, dei cldura se transfer prin toate cele trei mecanisme, unul dintre ele deine ponderea cea mai mare n transferul global, acest mecanism fiind mecanismul determinant de transfer termic. Transferul de cldur conductiv (conducie, conductivitate) apare n medii imobile (solide) sau fr micri aparente (fluide). Transferul de cldur se realizeaz din aproape n aproape n interiorul unui corp sau ntre dou corpuri aflate n contact nemijlocit, fr o deplasare aparent de substan. Transferul se realizeaz prin intermediul unor purttori de cldur microscopici: molecule (n fluide), atomi i ioni (n reele cristaline), electroni liberi (n reele metalice). Purttorii de cldur din zona aflat la temperatura mai ridicat sunt caracterizai printr-o energie cinetic mai

TRANSFERUL DE CLDUR

5

ridicat. Prin ciocniri elastice ntre molecule, moleculele cu energie cinetic mai ridicat cedeaz o parte din aceasta moleculelor srace n energie, ajungndu-se n final la egalizarea energiilor cinetice, deci i a temperaturii. n cazul solidelor cristaline transmiterea cldurii se realizeaz ca urmare a micrii relative de vibraie a atomilor sau ionilor n nodurile reelei. ntruct aceast micare este mai puin intens dect micarea moleculelor n fluide, conductivitatea termic a solidelor cristaline nemetalice este mai sczut n comparaie cu conductivitatea termic a lichidelor. n cazul metalelor, datorit marii mobiliti a electronilor liberi din banda de conducie, transferul conductiv este rapid, explicndu-se astfel conductivitatea termic net superioar a metalelor n comparaie cu alte materiale.

Transferul de cldur radiant (radiaia termic) este modul de transfer al cldurii sub form de energie radiant, datorit naturii electromagnetice a radiaiei termice. Orice corp aflat la T > 0 K emite energie radiant sub form de unde electromagnetice. Acestea se pot transforma parial sau total n cldur n momentul n care ntlnesc un corp n calea lor. Datorit caracterului ondulatoriu al radiaiei termice, transferul de cldur radiant poate avea loc i n absena unor purttori materiali de cldur, de exemplu n vid. Transferul de cldur convectiv (convecia) se realizeaz concomitent cu micarea unei mase de fluid. Cldura se transmite ca efect al deplasrii macroscopice a fluidelor calde n interiorul aceleiai faze, sau ntre faze diferite aflate n contact. n majoritatea cazurilor practice, micarea fluidului are loc ntr-un aparat sau ntr-o conduct. Se poate deci afirma c transferul convectiv de cldur are loc la deplasarea fluidului de-a lungul unui contur solid mai cald sau mai rece. Se numete convecie liber modul de transmitere a cldurii n care micarea fluidului este determinat numai de diferenele de densitate din masa fluidului, aprute ca urmare a diferenelor de temperatur existente ntre diferite puncte ale fluidului. De exemplu, aerul nclzit de la partea inferioar a unei incinte formeaz cureni ascendeni care transport cldura la parte superioar a incintei, nlocuind aerul rece, mai greu, care coboar. Dac micarea fluidului apare sub aciunea unor gradieni de presiune produi de aciunea mecanic a unui dispozitiv de transport (pomp, ventilator, compresor, etc.), sau a unui dispozitiv de amestecare (agitator, injector, etc.), transmiterea cldurii se realizeaz prin convecie forat. ntruct convecia este nsoit ntotdeauna de micarea fluidului, legilor transferului de cldur li se adaug i legile curgerii, respectiv legile


6

transferului de impuls. Deoarece la limita ntre fluidul n curgere i conturul solid vitezele sunt mici, tinznd spre zero, n aceast zon devine important transferul termic conductiv (din aproape n aproape, prin mecanism molecular). 4.1.4. Conceptul de rezisten termic Dac dou sisteme sunt analoge (respect ecuaii similare care au condiii la limit similare), ecuaiile care descriu comportarea unui sistem pot fi convertite n ecuaiile celuilalt sistem prin simpla substituire a simbolurilor variabilelor. Astfel, legea lui Ohm care exprim legtura dintre intensitatea curentului electric I, diferena de tensiune (potenial) U i rezistena electric Re, are o form analog n transferul termic, prin relaia dintre fluxul termic unitar q, diferena de temperatur (potenialul termic) T i o mrime denumit rezisten termic R:

RTq

RUIe

== ; (4.20) unde R se exprim n (m2.K)/W dac celelalte mrimi sunt exprimate n uniti SI: [q] = [W/m2] i [T] = [K].

n baza acestei analogii, pot fi aplicate transferului termic o serie de concepte din teoria curentului continuu (un circuit electric are un circuit termic echivalent i viceversa) i alternativ (modelarea electric a proceselor termice tranzitorii). Analogia electric a transferului termic poate fi utilizat ca instrument de calcul i vizualizare a ecuaiilor transferului de cldur. 4.2. TRANSFER DE CLDUR PRIN CONDUCTIVITATE 4.2.1. Ecuaiile difereniale ale conductivitii termice

Ecuaia de baz care determin transferul de cldur conductiv este legea lui Fourier, care se bazeaz pe principiul al doilea al termodinamicii i arat c drumul urmat de fluxul termic este cel de minim rezisten, respectiv cel mai scurt drum ntre dou izoterme nvecinate, drum determinat de gradientul de temperatur. Scris pentru un flux termic unidirecional, legea Fourier are expresia:

TRANSFERUL DE CLDUR

7

xTAQ xs = , (4.21)

Aceast ecuaiei indic faptul c fluxul termic transmis prin conductivitate n regim staionar este direct proporional cu aria seciunii normale pe direcia de propagare a fluxului i cu gradientul de temperatur. Semnul minus aplicat gradientului termic arat c transferul decurge n sensul scderii temperaturii, conform principiului II al termodinamicii. n termeni de flux unitar, ecuaia (4.21) se scrie:

xTq = (4.22)

Pentru un mediu omogen i izotrop n care temperatura variaz spaial, ecuaia Fourier se scrie:

zTq

yTq

xTq zyx

==

= ; ; (4.23) sau:

TzT

yT

xTq =

+

+= (4.24)

Coeficientul de proporionalitate poart denumirea de coeficient de conductivitate termic sau, pe scurt, conductivitate termic. Procesele de transfer termic conductiv se pot desfura ntr-o mare diversitate de condiii: materialul este omogen sau neomogen; materialul este izotrop sau anizotrop; materialul conine sau nu conine surse interne de cldur; regimul termic este staionar sau nestaionar; transferul termic are loc uni-, bi- sau tridirecional.

n majoritatea aplicaiilor tehnice, transferul conductiv decurge prin materiale omogene i izotrope, fr surse interne de cldur, n regim staionar, unidirecional.

Tabelul 4.1 prezint ecuaiile difereniale generale ale temperaturii n transferul conductiv.

n ecuaiile din tabel s-au mai introdus notaiile: qv - flux termic volumic al surselor termice interne, W/m3; a - difuzivitate termic, care caracterizeaz posibilitatea de egalizare a

temperaturii ntr-un corp nclzit neuniform, m2/s;


8

Tab. 4.1. Ecuaiile difereniale ale temperaturii n transferul termic conductiv

Denumire Tipul transferului Ecuaia Ecuaia general a conduciei

Regim nestaionar cu surs intern de cldur t

Ta

qT v =+ 12

Poisson Regim staionar cu surs intern de cldur 02 =+

vqT

Fourier Regim nestaionar fr surs intern de cldur tT

aT

= 12

Laplace Regim staionar fr surs intern de cldur 02 = T

Helmholtz Regim staionar cu o funcie liniar a termenului temperatur 022 =+ TBT

Pentru rezolvarea ecuaiilor difereniale ale transferului conductiv este necesar stabilirea condiiilor de univocitate pentru proces, i anume: condiii geometrice, care determin forma i dimensiunile corpului; condiii fizice, care stabilesc valorile mrimilor fizice a i , precum i legea distribuiei i variaiei spaio-temporale a surselor termice interne; condiii iniiale, care determin distribuia temperaturii n interiorul corpului la momentul iniial; condiii de contur, care exprim distribuia temperaturii sau fluxul termic pe suprafaa corpului sau temperatura mediului ambiant i legea schimbului de cldur ntre corp i mediu. Expresiile laplacianului temperaturii (2T) sunt redate n tab. 4.2.

Tab. 4.2. Expresiile laplacianului temperaturii

Coordonate Transfer liniar (unidirecional) Transfer spaial (tridirecional)

Carteziene 22

dxTd 2

2

2

2

2

2

zT

yT

xT

+

+

Cilindrice drdT

rdrTd + 12

2

22

2

2

22

2 11zTT

rrT

rrT

+

++

Sferice drdT

rdrTd + 22

2

2

2

222

2

2

22

2

sin11tg12

+

+

++

+

Tr

Tr

Trr

Trr

T

TRANSFERUL DE CLDUR

9

4.2.2. Distribuia temperaturilor ntr-un mediu imobil Legea Fourier permite determinarea cldurii transferate prin conducie dac se cunoate distribuia temperaturilor n corp (expresia cmpului de temperatur). Ecuaia diferenial a cmpului de temperatur se obine din bilanul termic al unui element de volum paralelipipedic (forma nu este restrictiv) V = dxdydz prin care are loc transferul termic (fig. 4.2):

( ) ( )( )iesits

sacumulats

QQQ

= intrat (4.25)

Bilanul se ntocmete pentru urmtoarele condiii: - corp imobil, omogen i izotrop; - regim nestaionar; - absena surselor interne de cldur.

Energia termic acumulat n volumul elementar n unitatea de timp va fi:

tTcdxdydz p

Fluxul termic care intr n volumul elementar pe direcia x este dydzq xx , iar fluxul termic ieit din volumul elementar, tot pe direcia x va

fi dydzq dxxx + . n mod similar se pot scrie i expresiile fluxurilor termice intrate i ieite pe direciile y i z. Cu aceste nlocuiri, ecuaia (4.25) devine dup simplificri i mprire prin dV:

qz

qy

qxq

tTc zyxp =

+

+=

(4.26) nlocuind expresia fluxului unitar din relaiile (4.23), ecuaia (4.26) se va scrie sub forma:

TzT

yT

xT

tTcp

22

2

2

2

2

2

=

+

+=

(4.27) sau sub forma:

z

x

yqz

qz+dz

qy+dy

qx+dxqx

qy

O

Fig. 4.2. Transfer termic prin

conductivitate


10

TaTct

Tp

22 ==

(4.28)

Coeficientul de difuzivitate termic a este o funcie numai de proprietile fizice ale materialului prin care se propag cldura (, , cp) i reprezint ineria termic a sistemului. Dimensional:

[ ] ( ) ( )

=

=

=

sm

KkgJmkgKmW

ca

p

2

113

11

(4.29)

Coeficientul de difuzivitate termic are aceeai unitate de msur ca i viscozitatea cinematic, , i, aa cum se va arta n capitolul 5, ca i coeficientul de difuziune D. Dac n elementul de volum considerat ar exista o surs intern de cldur, atunci ecuaia de bilan (4.25) s-ar scrie sub forma:

( ) ( ) ( ) ( )generatsiesitssacumulats QQQQ += intrat (4.30) Existena unei surse interne de cldur se poate datora uneia sau mai multor cauze cum ar fi: transformarea energiei electrice n energie termic, reacii de fisiune nuclear, degradarea energiei mecanice (disipare viscoas), reacii chimice sau transformri de faz. Lund n considerare sursa intern de cldur i innd cont de faptul c , , cp sunt funcii de temperatur, iar corpul nu este omogen, ecuaia (4.27) capt forma:

( ) vzyxp qzTzyTyxTxTct + +

+

=

,, (4.31) cunoscut drept ecuaia Fourier generalizat. n calcule practice, n absena surselor interne de cldur i pe un interval de temperatur nu prea mare, se poate neglija variaia mrimilor , , cp ca funcii de temperatur, sau se lucreaz cu valorii medii ale acestor mrimi, astfel nct se poate utiliza ecuaia (4.27). 4.2.3. Coeficientul de conductivitate termic Coeficientul de conductivitate termic sau, pe scurt, conductivitatea termic este o proprietate fizic specific fiecrui tip de material, care exprim comportarea acestuia la transferul termic conductiv. Dimensiunile conductivitii termice rezult din condiia de omogenitate dimensional a ecuaiei (4.21):

[ ] ( )

=

=

KmW

KmmsJ

2

/ (4.32)

TRANSFERUL DE CLDUR

11

Conductivitatea termic este dependent de proprietile fizice ale materialului: temperatur, densitate, porozitate, umiditate. n fig. 4.3 este prezentat intervalul de variaie al conductivitii termice pentru diverse materiale.

Alegerea materialelor pentru construcia aparaturii de transfer de

cldur se face i n funcie de : pentru accelerarea transferului termic se utilizeaz materiale cu valori ridicate (metale, aliaje), iar pentru reducerea sau inhibarea transferului se utilizeaz materiale cu valori sczute (materiale izolante). De asemenea, n procesele de transfer termic este necesar cunoaterea sau determinarea conductivitii fluidelor, mrime necesar pentru calculul coeficientului global de transfer termic. 4.2.3.1. Conductivitatea termic a gazelor Coeficientul de conductivitate termic pentru gaze poate fi dedus pe baza teoriei cinetico-moleculare i exprimat prin ecuaia Maxwell:

= vcB (4.33) n care reprezint viscozitatea cinematic (Pa.s), cv este cldura specific la volum constant (J.kg-1.K-1), iar B este un coeficient care ine seama de interaciunea molecular:

Gaze organice si vapori

Materiale izolante amorfe

Uleiuri

Gaze anorganice si vapori

Lichide organice

Lichide anorganice

Solutii anorganice apoase

Solutii organice apoase

Materiale pulverulente

Materiale refractare

Cristale

Metale lichide

Aliaje metalice industriale

Metale pure

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 [W/(m.K)]

Fig. 4.3. Conductivitatea termic a unor materiale


12

v

p

cc

kkB == ; 4

59 (4.34)

Deoarece pentru gazele cu un anumit numr de atomi indicele adiabatic k este aproximativ constant, coeficientul B ia urmtoarele valori: 2,52 pentru gaze monoatomice; 1,90 pentru gaze diatomice; 1,75 pentru gaze triatomice. Variaia conductivitii termice cu temperatura este dat de relaia lui Sutherland:

23

0 273273

++= TCTC

T (4.35) n care T este conductivitatea la temperatura T, 0 este conductivitatea la 273 K, T este temperatura absolut, iar C este o constant caracteristic fiecrui gaz (tab. 4.3).

Tab. 4.3. Valorile 0 i C din ecuaia (4.35) Gazul 0 [W/(m.K)]

C [K] Gazul

0 [W/(m.K)]

C [K]

Hidrogen 0,1594 94 Oxid de carbon 0,0215 156 Azot 0,0243 102 Amoniac 0,0200 626 Aer 0,0234 122 Dioxid de sulf 0,0077 396 Oxigen 0,0234 144 Clor 0,0072 351

Conductivitatea termic nefiind o mrime aditiv, pentru calculul conductivitii unui amestec de gaze se folosete relaia (4.33) n care cldura specific a amestecului se calculeaz aditiv, funcie de cldurile specifice ale componenilor, iar viscozitatea amestecului se calculeaz cu relaia:

criiicrcr

criiiicrcram TMxTMxTMx

TMxTMxTMx++++++=

......

222111

22221111 (4.36) n care xi sunt fraciile molare (volumice), i viscozitile dinamice, Mi masele molare i Tcri temperaturile critice ale componenilor amestecului. 4.2.3.2. Conductivitatea termic a lichidelor Ca i n cazul gazelor, conductivitatea termic a lichidelor este funcie de temperatur i de presiune. Cu excepia apei i glicerinei, conductivitatea termic a lichidelor scade cu creterea temperaturii aa cum reiese din fig. 4.4.

TRANSFERUL DE CLDUR

13

Conductivitatea termic a soluiilor apoase este mai redus dect a

apei i scade cu creterea concentraiei solutului. Conductivitatea termic a lichidelor poate fi calculat cu relaia

aproximativ a lui Weber:

3M

ck p = (4.37)

n care k este un coeficient care depinde de gradul de asociere al lichidelor [k = 3,58.10-8 pentru lichide asociate (ap); k = 4,22.10-8 pentru lichide neasociate (benzen)], cp cldura specific la presiune constant (J.kg-1.K-1), densitatea (kg.m-3) i M masa molar a lichidului (kg.kmol-1). Pentru lichide ru conductoare de electricitate, se poate calcula cu relaia lui Bridgeman:

32

3

=

Mvs

(4.38) unde reprezint constanta universal a gazelor, N numrul lui Avogadro, vs viteza sunetului n lichid, densitatea i M masa molar a lichidului. Ecuaiile (4.37) (4.38) au un caracter orientativ, valorile obinute prin calcul prezentnd abateri fa de cele determinate experimental.

26

24

22

20

18

16

14

12

10

61

59

57

55

53

51

49

47

45

0 20 40 60 80 100 120 140Temperatura, 0C

Con

duct

ivita

tea

term

ica,

/1,

16 W

/(m2 .K

)

Con

duct

ivita

tea

term

ica,

/1,

16 W

/(m2 .K

)

1 - glicerina anhidra; 2 - acid formic; 3 - metanol; 4 - etanol; 5 - anilina; 6 - acid acetic; 7 - acetona; 8 - butanol; 9 - nitrobenzen;10 - benzen;11 - toluen12 - xilen;13 - ulei de vaselina;14 - apa (pe ordonata din dreapta).

Fig. 4.4. Variaia conductivitii termice a lichidelor cu temperatura


14

4.2.3.3. Conductivitatea termic a materialelor solide Coeficientul de conductivitate termic pentru materiale solide are valori foarte diferite, funcie de natura i proprietile materialului. Funcie de valoarea , materialele solide se mpart n:

materiale izolante = 0,02 0,12 W.m-1.K-1 materiale refractare = 0,60 3,50 W.m-1.K-1 materiale metalice = 8,70 458 W.m-1.K-1 Umiditatea mrete mult conductivitatea termic a materialelor;

conductivitatea termic a materialului umed este mai mare dect suma conductivitilor apei i materialului uscat.

Pentru materialele poroase, conductivitatea termic scade cu creterea porozitii (a densitii aparente), tinznd ctre conductivitatea termic a aerului (0,023 W.m-1.K-1 la 20 0C). Conductivitatea materialelor poroase se poate calcula cu relaia:

++

+1

231

23

11

pm

m

pm

p

m (4.39)

unde m este conductivitatea materialului propriu zis, p conductivitatea fluidului din pori, iar este porozitatea (fracia de goluri) materialului. Dac n porii materialului ptrunde umiditatea (care are conductivitatea termic de cca. 25 de ori mai mare dect aerul), coeficientul de conductivitate al materialului se modific n mod considerabil, proprietile izolante ale acestuia nrutindu-se. Coeficientul de conductivitate termic crete aproximativ liniar cu creterea temperaturii dup o funcie de forma:

TbT += 0 (4.40) sau:

( )TT += 10 (4.41) n care coeficienii b i sunt caracteristici fiecrui material n parte. Materialele metalice au cea mai ridicat conductivitate termic. Conductivitatea termic a metalelor pure este aproximativ proporional cu conductivitatea electric, n conformitate cu legea Wiedemann, Franz i Lorenz:

Lel

nT=

(4.42)

TRANSFERUL DE CLDUR

15

n care nL este numrul lui Lorenz iar el este coeficientul de conductivitate electric. Impuritile prezente n metale conduc la scderea considerabil a conductivitii termice a acestora. Aliajele metalice au o conductivitate termic mai sczut dect metalele constituente aflate n stare pur. Cu excepia cuprului i aluminiului, conductivitatea termic a metalelor scade cu creterea temperaturii dup o relaie de forma:

( )2210 1 TkTk = (4.43) n care k1 i k2 sunt constante specifice fiecrui metal (aliaj) pe un anumit domeniu de temperatur. Pentru calcule aproximative, se poate considera o dependen liniar a conductivitii de temperatur, de forma:

( )Tk10 1= (4.44) n tab. 4.4. sunt prezentate valorile orientative ale unor coeficieni de conductivitate termic pentru o serie de materiale metalice i nemetalice.

Tab. 4.4. Conductivitatea termic a unor materiale solide Materiale nemetalice

[W/(m.K)]

Materiale metalice

T [K]

[W/(m.K)]

azbest 0,15 - 0,21 alam 303 113 azbociment 0,35 aluminiu 373 207 beton 1,28 argint 373 416 crmid 0,69 0,81 bronz 303 189 lemn de fag 0,23 0,41 cadmiu 291 94 lemn de brad 0,17 0,35 cupru 373 378 nisip uscat 0,35 0,81 font 373 49 plut 0,04 0,05 grafit 373 151 polistiren 0,04 nichel 373 59 poliuretan 0,04 oel (1%C) 291 45 rumegu 0,07 0,09 oel inoxidabil 293 16 sticl 0,70 - 0,81 plumb 373 33 vat mineral 0,07 staniu 373 59 vat de sticl 0,03 - 0,07 tantal 291 55 zgur 0,22 - 0,29 zinc 373 110

4.2.4. Transfer termic conductiv n regim staionar Regimul staionar este definit prin constana n timp a cmpului de temperatur. Ca urmare, temperatura oricrui punct din sistem rmne constant, fluxul termic care trece prin orice seciune a sistemului este


16

constant, fluxurile care trec prin suprafeele izoterme sunt egale i acumularea de cldur n sistem este nul. Condiia de staionaritate se scrie:

0=

tT (4.45)

n condiii de regim staionar ecuaia (4.27) devine: 02 = Ta (4.46)

ntruct difuzivitatea termic este diferit de zero, (4.46) se scrie:

022

2

2

2

22 =

++

=zT

yT

xTT (4.47)

Ecuaia (4.47) poate fi rezolvat analitic pentru cteva cazuri particulare care prezint importan practic. 4.2.4.1. Transfer termic prin perei plani simpli

Se consider (fig. 4.5) un perete plan, omogen, a crui suprafa este infinit mare comparativ cu grosimea a acestuia. Transferul termic are loc unidirecional, pe direcia x, normal la suprafa peretelui. n aceste condiii, ecuaia (4.47) se scrie:

022

=dx

Td (4.48)

Dup o prim integrare rezult:

1kdxdT = (4.49)

de unde printr-o nou integrare se obine: 21 kxkT += (4.50)

ecuaie care arat c variaia temperaturii n interiorul peretelui este liniar dac este constant n raport cu temperatura. Constantele de integrare k1 i k2 se obin din condiiile la limit:

2

1

,pentru ,0pentru

TTxTTx

====

(4.51) nlocuind prima condiie la limit n (4.50) se obine:

qx

x1 x2

T2

T1

Fig. 4.5. Transfer termic conductiv prin

perei plani omogeni simpli

TRANSFERUL DE CLDUR

17

12 Tk = (4.52) Din a doua condiie la limit i valoarea k2 nlocuite n (4.50) i innd cont de (4.49), se obine:

21

1TT

dxdTk == (4.53)

ecuaie care d expresia gradientului de temperatur pentru un perete plan, omogen, de grosime . nlocuind (4.53) n legea lui Fourier (4.22) se obine relaia care permite calculul fluxului unitar pentru aceste condiii de transfer:

( )21 TTq = (4.54)

Fluxul termic total va fi dat de expresia:

( ) TATTAQs ==

21 (4.55)

n care A este suprafaa peretelui prin care are loc transferul, iar T este fora motoare a procesului de transfer termic. Evident, dac temperaturile pe cele dou fee ale peretelui sunt egale (T1 = T2), fora motoare a procesului se anuleaz i transferul de cldur nceteaz (Qs = 0). Dac diferena de temperatur T pe feele peretelui este prea mare pentru ca s mai poat fi considerat constant, fie se mparte peretele n mai multe felii subiri de constant, calculul efectundu-se ca n cazul pereilor compui, fie se folosete o valoare medie a conductivitii termice pe intervalul de temperatur considerat:

=2

112

1~ T

T

dTTT

(4.56) fie se folosete ecuaia Fourier generalizat (4.31), scris pentru transfer unidirecional, n regim staionar, fr surs intern de cldur:

0=

dxdT

dxd (4.57)

n care este o funcie de temperatur, redat, de exemplu, de ecuaia (4.41). n practic este uneori necesar cunoaterea valorii temperaturii n interiorul

qx = q

x = 0 x =

T2

T1

xTx

Fig. 4.6. Temperatura n interiorul unui

perete plan, omogen


18

peretelui, la o distan oarecare x fa de suprafa (fig. 4.6). Fluxul unitar care trece prin peretele de grosime este dat de ecuaia (4.54). Analog, prin stratul de grosime x va trece fluxul:

( )xx TTxq = 1 (4.58)

n regim staionar cele dou fluxuri sunt egale (q = qx) i deci:

( ) ( )xTTxTT = 121

(4.59)

de unde rezult valoarea temperaturii Tx la distana x n interiorul peretelui:

( )211 TTxTTx = (4.60) 4.2.4.2. Transfer termic prin perei plani compui Se consider un perete format din n straturi paralele (fig. 4.7) cu grosimile 1, 2, ..., n, avnd conductivitile termice 1, 2, ..., n i cu cderile de temperatur corespunztoare T1, T2, ..., Tn astfel nct:

nn TTTTT =+++ 021 ... (4.61) T0 i Tn fiind temperaturile pe feele exterioare ale peretelui. Regimul fiind staionar, fluxurile termice transmise prin fiecare strat sunt egale ntre ele:

qTTT nn

n ====

...2

2

21

1

1 (4.62)

Din (4.62) se poate scrie:

n

nnnn qTTT

qTTT

qTTT

==

==

==

1

2

2212

1

1101

................................ (4.63)

Adunnd ecuaiile (4.63), membru cu membru, se obine expresia:

=

=n

i i

in qTT

10

(4.64) T0 T1 T2 Tn-1 Tn

1 2 n

1 2 n

Tto

tal

T1

T2

Tn

q

Fig. 4.7. Transfer termic conductiv prin

perei plani compui

TRANSFERUL DE CLDUR

19

care poate fi pus i sub forma:

ATTTTq n

i i

i

nn

i i

i

n ==== 1

0

1

0 Qsau

(4.65)

Notnd cderea total de temperatur cu T, (4.65) se poate scrie: TAkQ = (4.66)

unde:

=

=

KmW 1 2

1

n

i i

ik

(4.67)

reprezint coeficientul total de transfer de cldur conductiv. Inversul acestuia este rezistena total la transmisia cldurii prin conducie, exprimat ca sum a rezistenelor termice pariale (raportate la unitatea de suprafa):

== = W

Km 12

1

n

i i

iT k

R (4.68)

Din ecuaiile prezentate se pot deduce urmtoarele: pentru aceeai grosime a peretelui, cderea de temperatur va fi cu att mai mare cu ct este mai mic; pentru materiale cu acelai , cderea de temperatur va fi proporional cu grosimea stratului, . 4.2.4.3. Transfer termic prin perei cilindrici simpli Transferul de cldur prin perei cilindrici este un fenomen des ntlnit, multe din aparatele de transfer termic din industria alimentar sau din biotehnologii fiind de tip tubular. Considernd un perete cilindric omogen de lungime l, avnd raza interioar ri i raza exterioar re (fig. 4.8) n care cldura se transmite din interior spre exterior (deci T1 > T2), ecuaia Fourier pentru transfer termic conductiv unidirecional se scrie (n coordonate cilindrice):

T + dT

T

T i

Te

re

r i

r + drr

Fig. 4.8. Transfer termic conductiv

prin perei cilindrici simpli


20

drdTAQs = (4.69)

Suprafaa normal la fluxul termic este A = 2rl i ecuaia (4.69) se scrie:

drdTrlQs 2= (4.70)

Separnd variabilele i integrnd, considernd c este independent de temperatur, rezult:

= 21

2

1

2T

T

r

rs dTlr

drQ (4.71) Rezolvnd integralele i grupnd termenii se obine n final: ( ) ( )

1

2

21

1

2

21

lnln

2

dd

TTl

rr

TTlQs== (4.72)

unde d1 i d2 sunt diametrele corespunztoare razelor r1 i r2. Dac n (4.72) se nmulete i numitorul i numrtorul cu grosimea peretelui cilindric, (r2 r1), rezult: ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) r

TAAArrTTAA

rrrrTTrrlQ

m

s

=

=

==

1212

2112

1212

2112

ln

ln2

(4.73)

unde prin Am s-a notat aria medie logaritmic a suprafeei de transfer termic:

( )1212

ln AAAAAm

= (4.74) Dac n relaia (4.72) se adopt l = 1 m, fluxul termic specific pe unitate de lungime va fi:

( )( ) [W/m] ln2

12

21

rrTTq = (4.75)

Ecuaia (4.72) scris sub forma:

1

1 ln2 rr

lQTT xsx = (4.76)

permite calculul temperaturii n interiorul peretelui la o raz oarecare, rx:

( ) 11221

11

1 lnlnln

2 rr

rrTTT

rr

lQTT xxsx == (4.77)

Analiznd ecuaia (4.77) se poate constata c, n interiorul unui perete cilindric omogen, temperatura variaz dup o curb logaritmic.

TRANSFERUL DE CLDUR

21

Pentru perei nu prea groi calculul se poate simplifica, nlocuind raza medie logaritmic cu raza medie aritmetic: rma = (re + ri); pentru perei subiri, n locul razei medii se poate folosi re sau ri. Aceste simplificri introduc urmtoarele erori:

sub 10% cnd re/ri < 3,2 i se lucreaz cu media aritmetic; sub 10% cnd re/ri < 1,24 i se lucreaz cu re sau ri; sub 1% cnd re/ri < 1,5 i se lucreaz cu media aritmetic; sub 1% cnd re/ri < 1,02 i se lucreaz cu re sau ri.

4.2.4.4. Transfer termic prin perei cilindrici compui Se consider un perete format din n straturi cilindrice concentrice (fig. 4.9) cu grosimile 1, 2, ..., n-1, avnd conductivitile termice 1, 2, ..., n-1 i cu cderile de temperatur corespunztoare T1, T2, ..., Tn-1 astfel nct:

nn TTTTT =+++ 1121 ... (4.78) T1 i Tn fiind temperaturile pe faa interioar, respectiv exterioar a peretelui. Regimul fiind staionar, fluxurile termice transmise prin fiecare strat sunt egale ntre ele:

qqqq n ==== ...21 (4.79) i:

( )( )( )( )( )( )1

11

23

32222

12

21111

ln2

.......................................ln

2ln

2

==

==

==

nn

nnnsnn

s

s

rrTT

lQq

rrTT

lQq

rrTT

lQq

(4.80)

Ecuaiile (4.80) puse sub forma:

rn

T2Tn-1 T

n

T 1r2

r 1

r3

rn-1

Fig. 4.9. Transfer termic conductiv

prin perei cilindrici compui


22

( )( )

( )1

11

2

2332

1

1221

2ln

...............................2ln2ln

=

=

=

n

nnnn

rrqTT

rrqTT

rrqTT

(4.80.a)

i adunate membru cu membru conduc la expresia:

( ) ( ) ( )

+++=

1

1

2

23

1

121

ln...lnln2 n

nnn

rrrrrrqTT (4.81) de unde rezult expresia fluxului unitar q, respectiv a fluxului total Qs: ( ) ( )

=

+

=+

== 1

1

1

11

1

1

1

ln21

respectiv ln

21 n

i i

i

i

nsn

i i

i

i

n

rrTTlQ

rr

TTq

(4.82)

4.2.5. Transfer termic conductiv n regim nestaionar

n cazul proceselor nestaionare, temperatura i fluxul termic ntr-un punct oarecare sunt mrimi variabile n timp. n industriile de proces, conducia n regim nestaionar apare n cazul pornirii, opririi sau modificrii de sarcin a instalaiilor termice care funcioneaz predominant n regim staionar.

La nclzirea sau rcirea mediilor conductive, fluxul termic depinde de rezistenele termice interne i de suprafa, cazurile limit fiind reprezentate de corpurile cu rezistene interne neglijabile i de corpurile cu rezistene de suprafa neglijabile. n cazul corpurilor cu rezistene termice interne neglijabile, corpuri cu o conductivitate termic relativ ridicat i avnd o suprafa exterioar de contact cu mediul ambiant mare n comparaie cu volumul corpului, temperatura T a corpului la momentul t se determin din ecuaia:

( )GFoBiexp0

=

f

f

TTTT

(4.83)

n care:

V

lAl

tal === G ; Fo ; Bi 2 (4.84)

TRANSFERUL DE CLDUR

23

unde Bi reprezint criteriul lui Biot, Fo criteriul lui Fourier (timpul relativ), iar G este un factor geometric (G = 1 pentru plci infinite, G = 2 pentru cilindri infinii i bare ptrate infinite, G = 3 pentru cuburi i sfere). T0 este temperatura iniial uniform a corpului, Tf este temperatura fluidului cu care corpul este pus n contact, este coeficientul individual de transfer termic ntre corp i fluid (W.m-2.K-1), l reprezint raza suprafeei sau semigrosimea corpului (m), a este difuzivitatea termic a corpului (m2.s-1), este conductivitatea termic a corpului (W.m-1.K-1), A reprezint suprafaa corpului (m2), iar V este volumul acestuia (m3). n cazul corpurilor cu rezistene termice de suprafa neglijabile, temperatura suprafeei, Ts, este constant n timp i egal cu temperatura fluidului, Tf. n cazul unei plci plane infinite, de grosime L, cu temperatura iniial uniform T0, variaia n timp a temperaturii n planul central (z = 0) este de forma:

,...,3,2,1 ; Fo2

expsin141

2

0

=

=

=

nnzL

nnTT

TT n

is

s (4.85)

4.3. TRANSFER DE CLDUR PRIN RADIAIE Energia radiant, de natur termic, este emis de orice corp aflat la temperaturi superioare lui zero absolut. n procesele industriale n care intervine transferul termic, este important transferul de energie radiant la temperaturi cuprinse ntre 700 2200 K. Dei emisia de radiaii termice are loc la orice temperatur, iar transferul radiant decurge concomitent cu transferul conductiv i convectiv, la temperaturi normale (300 400 K), ponderea sa n transferul global de cldur este neglijabil. 4.3.1. Noiuni fundamentale Energia radiant Q incident pe suprafaa unui corp se distribuie astfel (fig. 4.10): o parte este absorbit (QA), o parte este reflectat (QR), iar restul este difuzat (QD), strbtnd corpul.

1)(

=++++=++=++=

DRAQDRADQRQAQQQQQ DRA (4.86)

unde A, D i R reprezint respectiv coeficientul de absorbie, coeficientul de reflecie i coeficientul de difuzie sau de permeabilitate. Aceti coeficieni


24

iau valori cuprinse ntre 0 i 1, n funcie de natura corpului, starea suprafeei sale, temperatur, spectrul radiaiei incidente.

Corpul negru absoarbe toate radiaiile incidente: A = 1; R = D = 0. Corpul alb reflect toate radiaiile incidente: R = 1; A = D = 0. Corpul diaterm este transparent pentru toate radiaiile incidente, avnd: D = 1; A = R = 0. Corpurile cenuii absorb pe toate lungimile de und o anumit proporie din radiaiile incidente. Aceste corpuri au A < 1 = constant. Corpurile colorate absorb selectiv radiaia incident pe anumite lungimi de und. Corpurile lucioase reflect parial radiaiile incidente ntr-o direcie determinat, unghiul de inciden fiind egal cu unghiul de reflecie. Corpurile mate reflect parial radiaiile incidente n toate direciile. Radiaia monocromatic corespunde unei anumite frecvene () sau lungimi de und (), ntre cele dou mrimi existnd relaia:

c= (4.87) n care c reprezint viteza luminii. Radiaia integral cuprinde ntreg spectrul de radiaii cu lungimi de und variind de la zero la infinit. Puterea total de emisie (E) reprezint cantitatea de energie radiat de un corp n unitatea de timp, pe unitatea de suprafa, n toate direciile i pe toate lungimile de und:

Q

Q D

Q A

Q R

Fig. 4.10. Distribuia energiei radiante

TRANSFERUL DE CLDUR

25

][W/m 2AQE = (4.88)

n care Q reprezint energia radiat de corp n unitatea de timp, iar A este suprafaa de radiaie. Factorul de emisie (e) este raportul dintre puterea total de emisie a corpului (E) i puterea total de emisie a corpului negru (E0):

0E

Ee = (4.89) Intensitatea de radiaie (I) este energia radiat de unitatea de suprafa a unui corp, n unitatea de timp, pe o anumit lungime de und, : ][W/m 3 d

dEI = (4.90) Dac se cunoate legea de distribuie a energiei radiante n funcie de lungimea de und, se poate determina puterea total de emisie a corpului:

==0 0

dIdEE (4.91) 4.3.2. Legile radiaiei termice Legea lui Planck este legea de distribuie a intensitii de radiaie I, funcie de , pentru corpul negru, la diferite temperaturi: ][W/m

11 3

/51

2 = TkekI (4.92)

n care k1 = 0,374.10-15 W.m2 i k2 = 1,4388.10-2 m.K reprezint prima i respectiv a doua constant a lui Planck. Din aceast lege rezult c intensitatea de radiaie crete cu creterea temperaturii i c prezint un maxim pentru fiecare temperatur T. Valoarea lui max se obine prin anularea primei derivate a intensitii de radiaie n raport cu lungimea de und:

Td

dI const0 max == (4.93)

Ecuaia (4.93) reprezint legea de deplasare a lui Wien, potrivit creia maximul intensitii de radiaie se deplaseaz cu creterea temperaturii ctre lungimi de und mai mici. Legea Stefan Boltzmann stabilete, pe baza legii lui Planck, dependena puterii totale de emisie a corpului negru (E0) de temperatura sa:


26

== 02

4

00 ][W/m 100TcdIE (4.94)

unde c0 = 5,67 W.m-2.K-4 este coeficientul de radiaie al corpului negru. Pentru corpurile cenuii, legea Stefan Boltzmann are expresia:

44

00 100100

=

== TcTceEeE (4.95) n care e = c/c0 < 1 este factorul de emisie al corpului cenuiu, iar c este coeficientul de radiaie al corpului cenuiu, exprimat n W.m-2.K-4. Legea lui Kirchhoff exprim legtura dintre cantitatea de energie emis i absorbit de ctre un corp negru sau cenuiu, n anumite condiii de temperatur. Aceast lege stabilete c raportul dintre puterea total de emisie (E) i coeficientul de absorbie (A) este acelai pentru toate corpurile, egal cu puterea total de emisie a corpului negru (E0), i este funcie numai de temperatur:

( )TfTcEAE

AE

AE =

=====

4

000

0

2

2

1

1

100... (4.96)

O consecin important a legii lui Kirchhoff este c pentru un corp n echilibru termodinamic, coeficientul de absorbie A este egal cu factorul de emisie e. 4.3.3. Transfer termic radiant ntre corpuri solide ntre dou corpuri solide avnd temperaturi diferite se stabilete un schimb reciproc de emisii i absorbii de energii radiante, fluxul radiant al corpului cu temperatur mai mare fiind mai mare. Dup un timp, ntre corpuri se stabilete un echilibru termic: temperatura celor dou corpuri se egaleaz i potenialul transferului se anuleaz. Transferul de cldur nceteaz, dar corpurile continu s emit i s absoarb energie radiant, fiecare corp cednd tot atta energie ct primete. Se consider dou suprafee negre plan paralele, avnd temperaturile T1 i respectiv T2. Emisia de energie n unitatea de timp (fluxul termic) pentru condiia T1 > T2 va fi:

ATcQATcQ ss4

202,

41

01, 100 respectiv

100

=

= (4.97) Fluxul termic net (primit de suprafaa cu temperatura mai mic) va fi:

TRANSFERUL DE CLDUR

27

ATTcQQQ sss

==

42

41

02,1, 100100 (4.98)

Dac cele dou corpuri au o poziie arbitrar n spaiu, fluxul termic net va fi:

2,114

24

102,1, 100100

kATTcQQQ sss

== (4.99)

n care k1,2 este un factor geometric, numit coeficient mutual de iradiere, reprezentnd fracia din radiaia emis de suprafaa A1 cu temperatura T1, pe care o primete suprafaa A2 cu temperatura T2.

n cazul unor suprafee reale, fluxurile radiante se corecteaz prin introducerea coeficienilor de emisie e:

1,21

42

41

1,20

2,11

42

41

2,10

100100

100100

kATTec

kATTecQs

=

=

=

(4.100)

Ecuaia (4.100) se poate scrie i sub forma:

2,114

24

102,1, 100100

KATTcQQQ sss

== (4.101)

n care K1,2 este un coeficient care include att influena factorului geometric ct i a coeficienilor de emisie. 4.3.4. Radiaia gazelor i vaporilor Spre deosebire de corpurile solide, gazele i vaporii prezint o serie de particulariti n ceea ce privete absorbia i emisia radiaiei termice. n timp ce solidele au spectre continue de radiaie, gazele au un caracter selectiv, absorbind i emind energia numai n anumite intervale de lungimi de und, n altele fiind transparente (diaterme). Absorbia i radiaia energiei de ctre gaze nu are loc n stratul superficial, ca n cazul solidelor, ci n volum, datorit drumului mediu liber al moleculelor de gaz mult mai mare dect distana ntre particulele corpului solid. Gazele mono- i diatomice (He, Ar, O2, N2, H2) sunt practic complet transparente pentru radiaia termic, n timp ce gazele poliatomice (CO2,


28

H2O, NH3, SO2, etc.) posed o mare capacitate de emisie sau absorbie a radiaiei termice.

Fluxul termic specific schimbat prin radiaie de un gaz avnd temperatura Tg i factorul de emisie eg cu un perete avnd suprafaa S, temperatura Tp i factorul de emisie ep se poate calcula cu relaia:

[W] 1001002

1 440

+= pgggp

TA

TeSc

eq (4.102)

n care Ag reprezint coeficientul de absorbie al gazului la temperatura Tp a peretelui. Coeficientul de emisie al gazului, eg se determin pe baza unor relaii reprezentate grafic sub forma: ( )bpTfe pg = , (4.103) n care mrimea p.b reprezint produsul dintre presiunea parial p a gazului (exprimat n bar) i grosimea b a stratului de gaz (exprimat n m). 4.4. TRANSFER DE CLDUR PRIN CONVECIE Transferul termic convectiv apare datorit micrii macroscopice a fluidelor, sub form de turbioane sau de cureni. Cele dou cazuri limit ale transferului convectiv sunt convecia liber (natural) i convecia forat. n ambele cazuri, micarea fluidului este guvernat de legile transferului de impuls. n regim de curgere laminar, transferul de cldur dup normala la direcia de curgere decurge preponderent prin conductivitate, n timp ce n regim turbulent determinant este transferul de cldur care se face simultan cu micarea elementelor macroscopice de fluid. Transferul de cldur va fi cu att mai intens, cu ct regimul de curgere va fi mai puternic turbulent. 4.4.1. Stratul limit termic Se consider deplasarea unui fluid de-a lungul unei plci plane, ntre fluid i plac realizndu-se un schimb de cldur. Regimul termic este staionar, iar curgerea fluidului este laminar. Fluidul are iniial (la x = 0) temperatura T0, iar placa are temperatura constant Tp (fig. 4.11).

Se consider T0 > Tp. Drept urmare, fluidul adiacent la plac se va rci, avnd pe diverse zone, temperaturi intermediare ntre T0 i Tp. Distana de la plac, pe direcia y, pentru care temperatura T a fluidului este cuprins

TRANSFERUL DE CLDUR

29

ntre T0 i Tp, este grosimea stratului limit termic, iar zona de existen a variaiei de temperatur de-a lungul suprafeei plcii se numete strat limit termic.

n regim de curgere turbulent, stratul limit termic sufer unele modificri care conduc la schimbarea profilului de temperatur. Dup cum reiese din fig. 4.12, la intrarea fluidului pe plac se formeaz stratul limit cu curgere laminar. La o anumit distan (x = xcr) de captul de atac al plcii, n stratul limit apare o micare turbulent, iar grosimea stratului limit termic crete mult mai repede dect n micarea laminar. n interiorul stratului limit rmne ntotdeauna n apropierea peretelui o zon de grosime redus, n care micarea se menine laminar. Aceast zon n care micarea fluidului se menine laminar poart denumirea de substrat laminar. n domeniul laminar al stratului limit, gradienii de temperatur sunt mult mai mari fa de domeniul turbulent al stratului limit. 4.4.2. Coeficientul individual de transfer termic Zona din stratul limit n care apare cderea cea mai mare de temperatur se consider ca fiind zona determinant de rezisten termic n transferul de cldur. Deoarece vitezele de curgere ale fluidului n apropierea peretelui

y

xx0 = 0 x1 x2 x3

T0 T0 > T > TP

T0T0

TP TP TPTP

T0

Fig. 4.11. Formarea stratului limit termic la curgerea laminar de-a lungul unei plci plane


30

sunt mici, tinznd la zero la perete, se poate admite c n aceast zon transferul de cldur decurge preponderent prin mecanism conductiv.

Dac se consider (fig. 4.13) toat rezistena la transferul termic

concentrat n stratul limit termic, i n special n apropierea suprafeei de transfer, unde vitezele de curgere sunt foarte mici, se poate considera c transferul termic se realizeaz prin conductivitate, astfel nct:

1==tR (4.104)

unde Rt este rezistena termic la transfer, este grosimea stratului limit, iar este coeficientul de conductivitate termic a fluidului. Mrimea , inversul rezistenei termice, arat intensitatea cu care se petrece transferul de cldur ntr-un fluid n micare i poart denumirea de coeficient de transfer convectiv. Deoarece n transferul termic global schimbul de cldur are loc ntre dou fluide, apar doi coeficieni de transfer convectiv. Din acest motiv,

y

x

Curgere laminara Curgere turbulenta

T T

stratlimita

laminar substrat laminar

substrat turbulent

x = xcrx = 0

Fig. 4.12. Formarea stratului limit termic la curgerea turbulent de-a lungul unei plci plane

T

y

Tperete

TfluidR = 1/

Fig. 4.13. Zona de variaie maxim a

temperaturii

TRANSFERUL DE CLDUR

31

mrimea se mai numete i coeficient individual (parial) de transfer termic. Fluxul termic convectiv care trece printr-o suprafa A este dat de legea de rcire a lui Newton, care se poate scrie:

( ) ( )pfsfps TTAQTTAQ == sau (4.105) Pentru i (Tf Tp) variabile, ecuaia (4.105) se poate scrie sub forma: ( )dATTdQ pfs = (4.106) Transferul n stratul limit termic realizndu-se conductiv, este aplicabil legea Fourier:

dAdydTdQs

= (4.107)

Egalnd (4.106) cu (4.107) se obine expresia coeficientului individual de transfer termic:

= dy

dTTT pf

(4.108) Ecuaia (4.108) arat c mrimea crete cu creterea gradientului de temperatur. Creterea turbulenei (respectiv creterea lui Re) va conduce la creterea gradientului termic, ducnd implicit i la creterea coeficientului individual de transfer termic.

Ecuaiile (4.105 4.108) arat c reprezint fluxul termic transferat pe unitatea de suprafa sub aciunea unei fore motrice de 1 K.

Dimensional,

( ) =

= KmW][ 2

pf

s

TTAQ (4.109)

Asupra coeficientului individual de transfer termic influeneaz o multitudine de factori, de natur hidrodinamic, termic, geometric, etc., astfel nct: ( ),...,,Re,,, ltTcf p = (4.110) Coeficientul individual de transfer termic ar putea fi determinat experimental, prin cunoaterea cantitii de cldur schimbate ntre fluid i perete i a temperaturilor fluidului i peretelui. Aceast determinare experimental se poate face doar n cazul aparatelor aflate n exploatare. Pentru proiectare este necesar estimarea lui pentru anumite condiii de transfer termic impuse de procesul tehnologic. Studiul transferului termic convectiv se poate realiza fie prin utilizarea unor modele matematice (bazate


32

pe ecuaii difereniale), fie pe baza unor teorii statistice. n cazul n care rezolvarea analitic a ecuaiilor difereniale care descriu transferul convectiv de cldur este imposibil datorit complexitii fenomenelor i a numrului mare de parametrii care influeneaz procesul se face apel la ecuaiile criteriale, ecuaii care se pot obine fie aplicnd analiza dimensional, fie direct din ecuaiile difereniale. 4.4.3. Ecuaia diferenial a transferului termic convectiv Cantitatea de cldur transmis prin convecie este cldura transportat de un fluid aflat n micare. Se consider ntr-un curent de fluid un paralelipiped elementar de laturi dx, dy, dz (fig. 4.14).

Regimul se consider a fi staionar: n orice punct al sistemului considerat, toi parametrii care definesc starea i dinamica sistemului nu variaz n timp (derivatele acestor parametri n raport cu timpul sunt nule), i, ca urmare, nu exist acumulare de substan sau de energie. Debitul de fluid care intr pe direcia x n paralelipiped este:

dzdyvx Acesta introduce n

paralelipiped cantitatea de cldur:

dzdyTvcQ xpx = (4.111) La ieirea din paralelipipedul elementar, pe direcia x, fluxul elementar de fluid (vx) devine:

( ) dxxvv xx

+ (4.112) iar temperatura T devine:

dxxTT + (4.113)

Fluxul termic ieit din paralelipiped pe direcia x va fi:

z

x

yQz

Qz+dz

Qy+dy

Qx+dxQx

Qy

O

Fig. 4.14. Transfer termic convectiv

TRANSFERUL DE CLDUR

33

( ) dzdydxxTTdx

xvvcQ xxpdxx

+

+=+ (4.114)

Efectund calculele n (4.114) i neglijnd diferenialele de ordin doi i superior, ecuaia (4.114) se scrie:

( ) ( ) ( ) dVxTv

xvTcdydzTvcQ xxpxpdxx

+

+=+ (4.115) n mod analog cu ecuaiile (4.111) i (4.115) se pot scrie ecuaiile fluxurilor termice intrate i ieite din paralelipiped pe direciile y i z. Excesul de cldur pe care fluidul l las n timpul trecerii prin paralelipipedul elementar este: ( ) ( )zyxdzzdyydxx QQQQQQdQ ++++= +++ (4.116) sau:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) dVzTv

yTv

xTvc

dVzv

yv

xvTcdQ

xxxp

xxxp

+

++

+

++

=

(4.117)

Caracterul de regim staionar al curgerii se introduce prin urmtoarele dou condiii: Lipsa acumulrii de substan, exprimat prin ecuaia continuitii (3.121.b):

( ) ( ) ( ) 0=++ zvyvxv zyx (4.118) Lipsa acumulrii de cldur, care cere ca excesul de cldur dQ luat de curentul de fluid din paralelipipedul elementar s fie adus, prin conductivitate, din exteriorul paralelipipedului. nclzirea conductiv a paralelipipedului este dat de ecuaia:

dVzT

yT

xTdQ

+

+= 2

2

2

2

2

2

(4.119) Introducnd aceste dou condiii n ecuaia (4.117) se obine:

( ) ( ) ( )

+

+=

+

+

2

2

2

2

2

2

zT

yT

xT

zTv

yTv

xTvc zyxp (4.120)

sau:

TazTv

yTv

xTv zyx

2=+

+ (4.121)


34

n care a = /(.cp) reprezint difuzivitatea termic a mediului prin care are loc transferul. Ecuaia (4.120) sau (4.121) este cunoscut drept ecuaia diferenial Fourier Kirchhoff, ecuaie care red distribuia cmpului de temperatur pentru un fluid aflat n micare staionar. n regim nestaionar, ecuaia (4.121) devine:

+

+=

+

++

22

2

2

2

2

zT

yT

xT

zTv

yTv

xTv

tTc zyxp (4.122)

sau:

Tadt

DT 2= (4.123) unde DT/dt este derivata substanial a temperaturii. ntruct n aceste forme complete ecuaia Fourier Kirchhoff este imposibil de rezolvat analitic, pentru calculul profilului temperaturii, respectiv al coeficienilor individuali de transfer termic, se face apel la ecuaii criteriale. n anumite condiii, ecuaia (4.123) poate cpta forme mai simple. Astfel, in regim staionar i fluide imobile (vx = vy = vz = 0), (4.123) se reduce la forma 2T = 0, form care corespunde transferului termic conductiv n regim staionar [vezi ecuaia (4.47)]. 4.4.4. Ecuaii criteriale ale transferului termic convectiv n cazul transferului termic convectiv, integrarea analitic a ecuaiei (4.122) nu este posibil. Pentru a putea stabili criteriile de similitudine care intervin n transferul termic convectiv, ecuaia (4.122) se pune sub forma:

022

2

2

2

2

=+

+

+

+

+

tTc

zT

yT

xT

zTv

yTv

xTvc pzyxp (4.124)

Se poate observa c toi termenii ecuaiei (4.124) au dimensiunea unei energii raportate la unitatea de volum [W/m3]. Trecnd la formula dimensional generalizat, (4.124) se poate scrie:

02 =

+

t

Tcl

Tl

Tvc pp (4.125) Cel de-al treilea termen al ecuaiei (4.125) reprezint cantitatea de cldur Q acumulat n unitatea de volum de fluid n unitatea de timp:

=

=

=

lT

tltTl

tlQ

tTcp

3

2

3 (4.126)

TRANSFERUL DE CLDUR

35

nlocuind cantitatea de cldur Q din legea de rcire a lui Newton (4.105) n (4.126), formula dimensional generalizat (4.125) devine:

02 =

+

lT

lT

lTvcp (4.127)

n care primul termen reprezint viteza transferului termic convectiv, cel de-al doilea viteza transferului termic conductiv, iar cel de-al treilea cantitatea de cldur transferat. Raportul dintre termenii I i II reprezint criteriul Pclet:

Pe 2

==

lvc

lT

lTvc

p

p

(4.128)

iar raportul dintre termenii III i II reprezint criteriul Nusselt:

Nu 2

==

l

lT

T

(4.129)

Funcia criterial care descrie transferul termic convectiv va fi: ( ) constant Nu Pe, =f (4.130) Pe lng condiia de similitudine termic (PeM = PeP) se adaug i condiiile de similitudine hidrodinamic (ReM = ReP ; FrM = FrP) i condiiile de similitudine geometric, astfel nct funcia criterial complet va fi:

constant ... ,, Fr, Re, Nu, Pe,0

2

0

1 =

ll

llf (4.131)

Se prefer nlocuirea criteriului Pclet cu un alt criteriu, criteriul Prandtl, care se obine raportnd criteriul Pclet la criteriul Reynolds:

a

clv

lvcp

p

==

==

RePe Pr (4.132)

Criteriul Pr conine doar constante fizice ale fluidului prin care are loc transferul de cldur i reprezint raportul dintre viscozitatea cinematic ( ) i difuzivitatea termic (a) a fluidului.

ntruct criteriul Nusselt conine parametrul care trebuie determinat (), el este criteriul determinant, iar ecuaia criterial (4.131) capt forma:


36

== ... ,, Fr, Pr, Re,Nu

0

2

0

1

ll

llfl

(4.133) Deoarece criteriul Fr provine din raportul dintre energia potenial i energia cinetic, el poate fi omis n cazul conveciei forate n regim turbulent. n cazul conveciei naturale, cnd deplasarea fluidului i deci i transferul cldurii se realizeaz sub influena diferenei de densitate a fluidului la temperaturi diferite, criteriul Fr nu poate fi neglijat. Este de preferat ns substituirea sa cu un alt criteriu, criteriul Grashof:

TglTvlvglT

=

==

23

2

22ReFr Gr (4.134)

n care produsul adimensional T, dintre coeficientul de dilatare cubic i diferena de temperatur, exprim cauza care produce deplasarea liber a fluidului. innd cont de criteriul Grashof, ecuaia criterial (4.133) capt forma general: ( ),...G ,G Gr, Pr, Re, Nu 21f= (4.135) n care G1, G2, ... sunt criteriile de similitudine geometric. Ecuaia (4.135) poate lua una din formele simplificate redate n tab. 4.5.

Tab. 4.5. Forme particulare ale ecuaiei criteriale (4.135) Transmiterea cldurii prin: Ecuaia criterial

lichide n convecie forat Nu = f(Re, Pr, G1, G2, ...) lichide n convecie liber Nu = f(Pr, Gr, G1, G2, ...) gaze n convecie forat Nu = f(Re, G1, G2, ...) gaze n convecie liber Nu = f(Gr, G1, G2, ...)

n cazul gazelor, s-a constatat c pentru substane avnd acelai numr de atomi n molecul, criteriul Prandtl este practic constant, avnd urmtoarele valori: Pr = 0,67 (gaze monoatomice); Pr = 0,74 (gaze diatomice); Pr = 0,80 (gaze triatomice); Pr = 1,00 (gaze tetraatomice).

Ecuaiile criteriale pentru descrierea transferului de cldur pot fi deduse i prin analiz dimensional, utiliznd teorema (vezi capitolul 2). 4.4.5. Determinarea coeficienilor individuali de transfer termic Cu foarte puine excepii, coeficienii individuali de transfer de cldur se determin cu ajutorul ecuaiilor criteriale. Ecuaiile criteriale

TRANSFERUL DE CLDUR

37

scrise sub forma general (4.135) nu pot fi utilizate pentru determinarea coeficienilor . Pentru a putea fi utilizate, aceste ecuaii se scriu sub forma unor produse de criterii, fiecare ridicat la o putere: ( ) ( ) ( ) ...GPrReNu 1 pnmc= (4.136) Utilizat sub aceast form, ecuaia criterial i restrnge aria de valabilitate. Valorile constantei c i ale exponenilor m, n, p, ... se determin pe cale experimental. Ecuaia criterial este valabil doar n cadrul domeniului n care s-au determinat experimental parametrii c, m, n, p. Extrapolarea fr discernmnt a ecuaiilor criteriale n afara domeniului lor de valabilitate, poate duce de multe ori la erori grave n conceperea echipamentelor de transfer termic. Cteva astfel de ecuaii criteriale, frecvent utilizate, sunt prezentate n cele ce urmeaz. 4.4.5.1. Transfer termic la curgerea prin conducte i canale La curgerea turbulent deplin dezvoltat (Re > 104) se recomand utilizarea relaiei:

25,0

43,08,0

PrPrPrRe021,0Nu

=

pl (4.137)

n care criteriul Prp se calculeaz cu constantele fizice ale fluidului la temperatura peretelui. Coeficientul de corecie l, arat influena raportului dintre lungimea conductei L i diametrul acesteia d asupra coeficientului de transfer . Valorile acestui coeficient sunt prezentate n tab. 4.6. Tempera-tura determinant este temperatura medie a fluidului; mrimea caracteristic l este diametrul echivalent al seciunii de curgere, de (vezi ec. 3.103). n cazul seciunilor de curgere circulare, de = d.

Tab. 4.6. Valorile coeficientului de corecie l Raportul L/d Valoare

Reynolds 10 20 30 40 > 50 1.104 1,23 1,13 1,07 1,03 1,00 2.104 1,18 1,10 1,05 1,02 1,00 5.104 1,13 1,08 1,04 1,02 1,00 1.105 1,10 1,06 1,03 1,02 1,00 1.106 1,05 1,03 1,02 1,01 1,00


38

Pentru serpentine, valoarea lui obinut cu ecuaia (4.137) se multiplic cu coeficientul x care ine seama de curbura serpentinei: = xs (4.138)

Ddx 54,31+= (4.139)

unde d este diametrul interior al conductei, iar D este diametrul spirei serpentinei.

n cazul gazelor, ecuaia (4.137) se simplific la: 8,0Re Nu = lC (4.140) unde C este un coeficient specific fiecrui gaz. Pentru aer, C = 0,018. Pentru curgerea n regim intermediar (2300 < Re < 10000), relaiile de calcul sunt mai puine i prezint un grad mai ridicat de empirism. Se poate utiliza graficul din fig. 4.15, sau la valori Re apropiate de 104 se poate utiliza ecuaia: 43,09,0 PrRe008,0Nu = (4.141) n care temperatura determinant este temperatura medie a fluidului, iar mrimea geometric caracteristic este diametrul echivalent. n cazul curgerii n regim laminar (Re < 2 300), n absena unei influene nsemnate a

conveciei libere, cnd este ndeplinit condiia: NuRe4 Gr (4.142)

se utilizeaz relaia de calcul valabil pentru Re > 10 i L/d > 10: 25,0

33,04,0

PrPrPrRe4,1 Nu

=

pLd (4.143)

n care temperatura determinant este temperatura medie a lichidului, iar mrimea geometric caracteristic este diametrul conductei sau limea canalului. Dac Re.Pr5/6.(d/L) < 15 se poate utiliza ecuaia aproximativ:

Re.10-3

25,0

0,43

PrPrPr

Nu

p

Fig. 4.15. Determinarea coeficientului

la convecia forat n regim intermediar

TRANSFERUL DE CLDUR

39

25,0

PrPr4Nu

=

p

(4.144)

Dac este ndeplinit condiia: NuRe4Gr > (4.145) influena conveciei libere este nsemnat [criteriul Nu se calculeaz din ecuaia (4.143), iar criteriul Gr din ecuaia (4.134), pentru l = d]. n aceste condiii, pentru calculul criteriului Nu, respectiv al coeficientului se pot determina din graficul redat n fig. 4.16. Valorile determinate corespund domeniului n care produsul Gr.Pr are valori de (8...25).105. Constantele fizice ale fluidului se calculeaz la temperatura stratului limit (media aritmetic ntre temperatura peretelui i temperatura fluidului).

Nu

Re.Pr.(d/L)

Fig. 4.16. Transfer termic convectiv n regim laminar 1 conducte verticale, acelai sens pentru micarea liber i forat a lichidului; 2 conducte orizontale; 3 conducte verticale, sensuri contrare pentru micarea

liber i forat a lichidului; dreapta A-A n absena conveciei libere


40

Tot n cazul conveciei libere a fluidelor n spaii largi, n care transferul termic se realizeaz prin deplasarea liber a unui fluid ca efect al variaiei densitii sale (datorat diferenelor de temperatur), se pot utiliza relaiile criteriale:

( ) ( ) 3,7PrGrlg 3pentru PrGr0,55 Nu 41

TRANSFERUL DE CLDUR

41

Tab. 4.7. Valorile coeficientului n funcie de unghiul de atac 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1,00 1,00 0,98 0,94 0,88 0,78 0,67 0,52 0,42

n cazul schimbtoarelor de cldur multitubulare prevzute cu icane transversale n manta, se ia = 0,6, considerndu-se c fluidul care circul printre evi se mic perpendicular pe evi doar pe o parte a drumului parcurs, n rest unghiul de atac fiind mai mic de 900. La curgerea fluidelor peste fascicule de evi prevzute cu aripioare transversale se utilizeaz relaia:

4,014,054,0

PrRe Nu

= nht

dtC (4.151)

n care (fig. 4.17): d este diametrul exterior al evii, t este pasul aripioarelor, iar h nlimea aripioarelor.

Pentru fascicule de evi decalate:

C = 0,25 i n = 0,65 Pentru fascicule de evi nedecalate:

C = 0,116 i n = 0,72 Temperatura determinant este temperatura medie a fluidului, iar

mrimea geometric caracteristic este pasul aripioarelor (t). Relaia (4.151) este valabil pentru 3000 < Re < 25000 i respectiv

pentru 3 < d/t < 4,8. Pe baza coeficientului calculat din ecuaia (4.151), se determin, din graficul prezentat n fig. 4.18., coeficientul redus de transfer, r, coeficient care se utilizeaz i n calculul coeficientului global de transfer termic (raportat la suprafaa exterioar total a evilor, Aext):

D

d

t

h

Fig. 4.17. eav cu aripioare transversale


42

++=

rAAK ext

r int2

111

(4.152)

n care Aext reprezint aria suprafeei exterioare totale a evii cu aripioare raportat la unitatea de lungime (inclusiv ambele fee ale aripioarei), Aint este aria

suprafeei interioare a evii pe unitatea de lungime, 2 este coeficientul individual de transfer termic al fluidului care circul prin evi, iar r reprezint suma rezistenelor termice ale peretelui i depunerilor. 4.4.5.3. Transfer termic la curgerea pe suprafee plane La curgerea unui fluid de-a lungul unei suprafee plane, transferul termic convectiv este guvernat de ecuaiile criteriale:

5

25,0

33,00,5 105 Repentru PrPrPrRe0,66 Nu

=

p

(4.154)

Temperatura determinant este temperatura medie a fluidului, iar mrimea geometric caracteristic este lungimea suprafeei pe direcia micrii curentului de fluid. Pentru aer, relaia (4.154) se simplific la: 8,0Re032,0Nu = (4.155) In cazul curgerii peliculare a lichidelor pe suprafee verticale, se utilizeaz relaiile: Pentru curgerea laminar a peliculei (Re < 2000): ( ) 9132 RePrGa0,67 Nu = (4.156) Pentru curgerea turbulent a peliculei (Re > 2000):

( ) 31RePrGa0,01 Nu = (4.157)

r

Fig. 4.18. Calculul coeficientului redus,

r, n funcie de

TRANSFERUL DE CLDUR

43

Temperatura determinant este temperatura medie a stratului limit, iar mrimea geometric caracteristic este nlimea suprafeei (H) n criteriile Nu i Ga, respectiv diametrul echivalent (de = 4A/Pu) n criteriul Re. Pentru curgerea pelicular a lichidului pe suprafa interioar a unei evi verticale dintr-un schimbtor de cldur pelicular:

( ) ( )d

bbdPAddPbbdAu

eu==== 44 ; (4.158)

n care d este diametrul interior al evii, iar b este grosimea peliculei. Dac schimbtorul de cldur pelicular are n evi prin care curg Mm kg/s lichid, din ecuaia debitului rezult:

( ) nbbdM

nAMv mm == (4.159)

i deci:

==

ndMdv me 4Re (4.160)

La valori Re < 1500, grosimea peliculei se poate determina din ecuaia teoretic:

3 23

gPMb

u

m

= (4.161)

4.4.5.4. Transfer termic la amestecarea lichidelor cu agitatoare Calculul nclzirii sau rcirii lichidului ntr-un recipient prevzut cu agitare se face folosind ecuaia general: = qmC PrRe Nu (4.162)

Valorile C, m, q i pentru diverse tipuri de agitatoare sunt redate n tab. 4.8. Criteriile de similitudine care intervin n ecuaia (4.162) se calculeaz cu relaiile:

=== pcdnD Pr ; Re ; Nu

2

(4.163)

n care D reprezint diametrul recipientului, d este diametrul cercului descris de paletele agitatorului, iar n este turaia agitatorului (rot/s).


44

Tab. 4.8. Valori C, m, q i n ecuaia (4.162) Valoarea mrimii Tipul amestectorului C m q

Amestector cu elice recipient cu D < 0,61 m; d/D = 1/3; n =200 ... 500 rot/min

0,21 0,63 0,50 1

recipient cu D = 1,5 m; d/D = 0,4; n = 120 rot/min

0,54 0,67 0,25 14,0

p

Amestector cu palete (palet cu 2 brae, D/d = 0,166, n = 50 ...300 rot/min) transfer termic la i de la manta 0,36 0,67 0,33

14,0

p

transfer termic la i de la serpentin 0,87 0,62 0,33

14,0

p

Amestector cu turbin cu icane (h nlimea icanei) 0,09 0,65 0,30

14,02,033,0 2

phDd

cu serpentin (ds diametrul serpentinei)

0,17 0,67 0,37 1,0

sdd

4.4.5.5. Transfer termic la fierberea lichidelor Din punct de vedere fizic, fierberea este procesul de transformare a unui lichid n vapori, procesul desfurndu-se n toat masa lichidului, cu formare de bule de vapori. Fierberea este un proces endoterm care decurge n condiii izobar izoterme. Cantitatea de cldur necesar pentru fierberea a 1 kg de lichid poart denumirea de cldur latent de vaporizare.

Mecanismul transferului termic ntre o suprafa care cedeaz cldur i un lichid n fierbere este deosebit de complex. n cazul lichidelor pure monocomponente, temperatura de fierbere este teoretic egal cu temperatura de saturaie (Ts), care este funcie de natura lichidului i de presiunea la care se desfoar procesul. n realitate, temperatura de fierbere (Tf) este puin mai mare dect Ts. Notnd cu Tp temperatura peretelui suprafeei nclzitoare cu care se afl n contact

TRANSFERUL DE CLDUR

45

lichidul n fierbere, coeficientul individual de transfer termic de la perete la lichidul n fierbere este definit de ecuaia: ( )fp TTAQ = (4.164) care se poate scrie i:

( ) TqTT qTTA Q fpfp === (4.165) La creterea tempera-turii suprafeei nclzitoare se pot observa urmtoarele feno-mene: atta timp ct Tp < Tf, lichidul se nclzete i se vaporizeaz fr s fiarb; cnd Tp depete valoa-rea Tf, lichidul ncepe s fiarb; intensitatea fierberii crete cu creterea diferenei T = Tp Tf; creterea intensitii fier-berii atinge un maxim atunci cnd ntre suprafaa de nclzire i lichid apare un film de vapori rezultat din unirea bulelor de vapori de pe suprafaa de nclzire; acest film are o conductivitate termic relativ sczut; dac Tp continu s creasc, grosimea filmului de vapori crete, conducnd la scderea intensitii fierberii; fluxul termic scade mult datorit faptului c nclzirea lichidului se realizeaz acum prin intermediul stratului de vapori de grosime mare i conductivitate termic sczut.

Variaia mrimilor i q cu diferena T este redat n fig. 4.19. Valorile c, qc i Tc corespunztoare punctului de maxim, poart denumirea de valori critice de fierbere, acestea fiind funcie de natura lichidului i de presiunea de lucru (tab. 4.9).

Tab. 4.9. Valori critice de fierbere la presiunea atmosferic Substana Tc [K] qc [kW/m2] c [W.m-2.K-1]

ap 23 27 1163 46520 benzen 47 407 8722,5

c

Fierberein bule

Fierberein film

Tc

0,1 1 10 100 1000T [K]

q

106

105

104

103

102

[W

/m2 .K

]q

[W/m

2 ]

Fig. 4.19. Variaia solicitrii termice (q) i a coeficientului n cazul fierberii la presiune constant, funcie de valoarea

potenialului termic, T


46

La valori T < Tc, fierberea este moderat, bulele de vapori formndu-se n aa-numitele centre de fierbere (vaporizare). Aceste centre corespund unor denivelri sau impuriti ale suprafeei de nclzire. Aceast perioad a fierberii poart denumirea de fierbere cu bule. Atunci cnd se ajunge la T = Tc, numrul centrelor de fierbere este att de mare, nct bulele se unesc ntr-un strat de vapori continuu, lipsit de stabilitate, care se formeaz i se rupe la intervale de timp dese i neregulate. Aceast perioad a fierberii poart denumirea de fierbere n film. Dintre factorii care influeneaz fierberea, se pot enumera natura lichidului, natura, rugozitatea i starea de curenie a suprafeei de transfer termic, adjuvanii folosii, presiunea de lucru.

Pentru calculul coeficientului individual de transfer la fierbere, se folosesc mai puin ecuaiile criteriale, i mai mult relaii empirice de calcul. n cazul lichidelor care fierb n evi cu debite mari de lichid se poate utiliza ecuaia: 4,00,8 PrRe0,023 Nu = (4.166) La fierberea cu bule, cnd q < qc, se poate utiliza relaia:

3231

2

qT

bf

= (4.167)

n care b este un coeficient adimensional funcie numai de densitile lichidului i vaporilor:

+=

32

101075,0l

vb (4.168)

este conductivitatea termic a lichidului (W.m-1.K-1), este viscozitatea cinematic (m2.s-1), este tensiunea superficial (N.m-1), iar q ncrcarea termic specific (W/m2). Toi parametrii lichidului se consider la temperatura de fierbere. Ecuaia (4.167) permite calculul coeficienilor la fierberea lichidelor n volum mare i n evi. Abaterile datelor experimentale fa de cele calculate variaz ntre + 35%. Pentru fierberea apei la presiune atmosferic se recomand relaia: q+= 90,01100 (4.169) iar pentru presiuni cuprinse ntre 0,2.105 Pa i 1.107 Pa: 7,0176,0335,0 qP = (4.170) sau: ( ) 33,258,00325,0 TP = (4.171) n care P se exprim n Pa, q n W.m-2, T n K i n W.m-2.K-1.

TRANSFERUL DE CLDUR

47

Pentru calcule aproximative la fierberea cu bule a lichidelor n volum mare pe suprafaa exterioar a unui fascicul de evi i n evaporatoare verticale n domeniul ncrcrilor termice moderate (pn la 0,4.qc) i presiuni de 0,2 10 ata, se poate utiliza relaia: 7,04,072,2 qPabs = (4.172) unde Pabs este presiunea absolut de lucru (ata), iar este un factor specific naturii lichidului care fierbe (tab. 4.10). Pentru fierberea n interiorul evilor cu nclinare mic: Tdc = 4,1 (4.173) n care c este o constant caracteristic lichidului (15 pentru ap, 19 pentru benzen la presiune atmosferic), iar d este diametrul interior al evilor.

Tab. 4.10. Valori ale coeficientului din ecuaia (4.172) Lichidul Lichidul

ap 1,00 petrol lampant 0,31- 0,56 soluie apoas 9% NaCl 0,86 gazolin 0,27 soluie apoas 24% NaCl 0,62 benzen 0,31 soluie apoa

fenomene de transfer 2

Documents