rf I i r, I / l8(' ()(.x) 999; e) 14014 444 + 395|. f) 40O W5 -2'146| \', I rlr, n (lir( il sunl adevirate (A) sau false (F) rela$ile :

.r ""

1 (.1 18 + 197) = 368 ; b) (495 + 309) + (900 - 736) = 968;

f l ',rr I (ll0-43)+56<210; d) (545 -296) - (7 5 + 61) > 152 ;

€' -rf l | (5tu1 432)>365

fl rl't (145-70+ 180-97)< 429 -194 -78.I All[ tcr rnc|lul recunoscut, precizand proprietatea aplicatA:

nt t t 11123=25432 b) a-25754-14123 c'l x +829 -995rll /l)l I .r = 1000 e) n-438-287 f) 597-m-278rl r r(tl7-19)=118 h) (45-16+1)-r-30ll ,'1() - (45 + 104- t) = 115

{ Sr r rcli numerele naturale de la I la l0casuma:

r ) de doi termeni; b) de trei termeni.

t. ( rrlculati rapid, apucand proprietilile adunirii:t.

P tt I t 23 + 399

rt l ).18+374+26+ 22

tt \l t 32+33+34

b) 65 +76+ 445

d) 12+ l3+ l4+ 15+16+ l7 + l8

f) 5 + l0 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 +401.3. Adunarea gi sciderea numerelor naturale.opcrirtiir prin care se obline suma a doui rumere se rj'],l,melte adunarea

nnntrthtr naturale ti are urmdtoarele proprieta$:

1. c$tc corrrutativa: 4 + b = b + a, odcarc ar fi d gi, numere naturale;

2. cstc {sociativa:(q+b)+c=a+(b+ c), oricare ar fi e, b fl c, numere

llirllll itlc:

.1. rrrrru?lruf 0 este element neu{ru:4+0=0+4 =a. oncarc ar fi d numar

llllllrrirl:()riciuf irr ll (louA numere llaturale aFib, d>lr, fi c astfel incat a=b+c,l ri('nrnrcllc /ifcrelrld ii se noteazA c=a-b. Operalia prin care se oblne

tlili'rcrrla ir rkrrril nunrere se numegte scAdere.

Standardl. (lalcuh{i, scriind mai intai pozitional:

a) 764 2t4 + 746109. b\ 3 OO7 246 -708 476: c) 92 5O0 -30 219:

|t .) l t 65 + 12 + 35 + 73 + 100+ 88 h)37 + 7 5 + 22 + 25 + 63 + 78

lrn'/+55+32+45+53+100 j)17+45+42+55+100+58

kl / r l5+62+85+93+100

ar.('

t.

I

II

,l

tabelul:

a 4468 2006 '7 4t

b 1698 4271

a-b 2375 452

a+1, 3247

16

a b (: d a-b a-c b-c c-d a-d h-d

-s 325 247 t76 6ti

6 tt7 8 700 4117 258

7 445 144 I li9 lr0

() l+2+3+ ... +88+89+90; d) 4+5+6+ ... +124+125+126,

Mediul.( alcrrl li unlrAtoarele sume:

r) l+2+l+ ... + 57+58+59; b) 3+4+5+... +68+69+70:

Avrflrsat

| ',, r r( lr runlr'fclc lraturale de la I la l0 ca sumi:

ril'l, lrirtnr lcrmeri, nunrere distincte, cate solulii existd ?

ht ,l, r rrrci lcrmeni, nunere distincte; cate solulii exista ?

.l lrr trr.i cutii sunt 60 kg de biscuifl. in prima cutie sunt cu 3 kg mai mult

ilr, ]ll llr l (loua cutie. ia-r in a treia cutie sunt cu 15 kg mai pulin decat in a

'l,rr,r r rrtic Clite kg de biscuiti sunt in fiecare cutie ?

I l,( r(.ll in li toate numerele de forma J, care sunt cu 54 nlai mari decat

rn ,lUllrirlclc lot.

,l lrtr o clasi sunt 25 de elevi. Se ltie cA 18 elevi participI la concursul de

rrlrt, rrrrrlici qi 20 elevi la co[cursul de limba romani

rl Ceti elevi panicipd la ambele concursuri ?

lr) Ceti elevi participd numai la concursul de DatematicA ?

r') Diu numai la concursul de limba romdni ?

\ l'( lltr pafiatul de mai jos, sumele pe linii, pe coloane $i pe diagonale

, rr rfirlc. Spunem cd este un pitrat magic. Calcula{i suma nagica a

,, ' \lu i Patrut,

a, ( rlretilti daca urmatoarele pAfate sunt magice sau nu.

/ ( (rnpleta! patratele urmitoare pentru a fi magice-

ffiffi

c) l2+13+14+...+257+258:, O 48+49+50+ ... +12}+12l+122',

gl 7 6+'1 7 +1 8+ ... +233+234; g) 23+24+25+ ... +100+ 1 01+ 1 02;

il 12+4+6+ . . .+2002)+( I +3+5+. . .+2003)-(.1+2+3+. . .+2002+2003 ).

2- ('llculafi diferenta dintre cel n]ai mare numdr natural format din 4 cifre

rlistincte gi cel mai mic numAr natural format din 4 cifre distincte.

-1. Suma a trei rumere este 31174. $tiind cd al treilea numdr este 837 fi cA

irl d{)ilea este cu 10831 mai mare decat primul, aflati primele doua numere.

4. Crrlculati cu cat est€ mai mare suma dint.e nunerele 325 fi 1483 decat

tlili'r'cntl numerelor 1000 9i 137.

5. Sunu a trei nurnere este 152; prinrul nurtdr este cu 15 nd mare decat

triplrrl cclr,ri de al doilea, iar al treilea este cu ll nrrri mic decat al doilea.

I )('lernri[a[i rumerele-

ar- ( ) su[ri cle 5 numere impare este un nunldr par sau impar? Cat' termelri-

rrrrrrrcrc irrrpare, trebuie sA contina o sunli. petrlru a fi siguri cd rezultatul

( sl( rlll rrUrlliil i ]par ?

7- I lr runriir lormat din 3 cifre are suma cifrelor 16, ilr sLrma primelor doud

cil|t. t.str. I i. ( rc esle numdrul? (Cate solutii are problerrra 'l)

ll. Sc $lr( cil t2l)tt -.51 ;i 2a+b+2c-42. Calcullti a+r+..fr. I\'ler'rrirr;rli rrUrrr.irul i/ (l t elJltlulea: Sot*""2 'V-Slt.lll. Iirkrsili $rsc cilrc (lc 2. ildunarea sau sciderca pentru a obline:

a) 1.1: b) l(.,1{.

'7 tz I 14

2 l3 8 lll6 3 10 5

9 6 15 4

l8 t9

8. Suna magici a pdlratului urnritor este 45- Descoperiti numerele care s_au

tters.

9, Cirlc:ulr[i clte cifre de I are, in scrierea lui in baza 10. numirul:A=9 +99 +999+.. + qJ

2m8 titre

l0- l) c?t f +2+3+...+n=ob, (in baza l0), determinali toare perechile de

urrclc llrtut ille n gi abc . gtiind ci abc este cel mult egal cu 2 I0.

I l. Calculafi suma: S = 7 + l7 + 27 +...+ l99j + ZOO7 .

12. (ialcula! suma tuturor numerelor naturale, cuprinse intre I $i 1000,

liiird cA in fiecare termen, cifra 3 apare exact de doud ori.

1.4. lnmullirea numerelor naturale.

Opcratia prin care se oblhe produsul a doui numere se nume$te tnmulgirea

Iunk,r(k)r nqturale ;i are urmitoarele proprietati:

l- csl(' c(rmutativA: a.b = b.a, oricare ar fi a gi b numere naturale2- cslc asociativd: (a.b).c - a.(b.c) , oricare ar fi a, b 9i c numere

lla(ulalc

,1. rrrrrrflrul I este element neutru: a.l =I.a = a.oricare ar fi a numirllillU[ll

4. cslc (listributive fali de adunare fi scAdere:dll) t r) uh+at, a(b-c):ab-ac,(h t r) hd t (a, (b-c)a=ba-cdr orici[e ar ti numerele \af]rale a, b

li r.Observalir. lrrrrrullilca cste o op€ratie de ordinul al ll-lea gi se efectueaza

inaintea lduldrii i;i scridcrii.

',lr (lard

I I ,rl, rlirli oral:

,'l 'rlr)/ l; b) 123 . l0; c) 45 . l00t d) 4765 .0:

'rr(r., 2(X): t)56.2.5; g)25.542 4: h')5O.6'798.2.

, I,rl, ulrti: a\24.3O;. b) 35.20; c)46.500; d) 135.34;

rrl'/x ll; l)2351 .52: g)453.124; h)54300-450; i)24358.240.

i { ,ll( (lilltr€ numerele naturale, dela i la20,potfi scrise ca produs:

rrt r| .) Iirctori. numere distincte; b) de 3 factori, numere distincte:

r I (ll ,1 lirclori. numere distincte.

I llrrruirfi inmultirea cu ll, a numerelot dela 14la32, dupi modelul:

ll ll ll (1(}+l)=ll-10+ll= ll0+11=121.

t t .ll( rllirti folosind proprietit'le inmul.tirii: a) 12 4 . 25;

l,t \r) 8t).2; c)345.2.5: d)4-37-25; e)25.(30-6).I' t rlrulirti:

^)603+14.10-1203;b) 531-2 (17 16-ZO 9)\

.t t., tt2+8)-(25.4-ll) 4 :d) 12.7-s16.0+5.(402-50 8);

r, (I\ 2 5).(2109-203.3)-50 100;fl t234-(4s.t2-102.3) 5+725

I I '.r|.lllati, scotand mai intai factor comun:

" I L).1 l7 + 124.83 : b)145.l2+145.18 + 145. 70 .

tt;\'t 46+234.54-234.90; d)3 7+3 15+3 13;

tt .'t)) 2OI -201 '70O -2O1.N ftrrrrtl cd a+b+c-23103, a=5690 li b=a.2,determitaic.

McdiuI ( rrI ulati:

r) ,,,) I 9.9 + 9.99 - 999 ; b) [(40. zo + so l6) .z+s].6-2541

, r l.' r 7. r0- (30-s. 6). 20071. 100 i d) lt t5 + (ts + 24. t2). :sl+ uss ;

.r rs r [+s. z+ + (:40.l l - 60.5)- 325.6];

tr \('{) rr, 25bs.9 + (OSo + Sol).:S :

xr r r.r + [(e000-87s6). l03+ (700-63s). s4]. 4

ti lt | | | | | - 222222 + 333333 + 4444444)- 555555. 2 :

I It.t\. j - (t24 3+69.s)l+5s (63.100+gg s)+s2i .

20 2t

I

I' lr' \ I y=24, x-y-8 pi z=l0.Calculagi:,rr'r r Jy; b)3r-3);c).r]+]2;d) xz- yz

I I t rrlt ulali folosind metoda factorului comun:

{r ll,l t)+ 288.9+100.9;

' r .'( x) I l 999- I 999- 2000. I 998 : d) 2007 2O4 + 200'7 . 796 - 1OOO. 200'7 ;

', I I lll)5 1 004+1005. l5- 1005. l9 ; 0 315. 301-315. 299-315 ;

st lr l0l-15 199- 15 ;

t,)()t. t990- 1991.1989 ;

llt tttt 42-25.9O-'1 .90 :

h) 214. 402 - 214. 399 - 2t4 ;

990.9s-79. 990-16.990 :

t) 87.52-39.87-t2.87 ..]. Surna trci numere este 2766. Primul €ste cu 36 mai mare decdt dublul

cclui de-al doilea, iar al heilea este egal cu suma primelor doui. Determinari

eclc tlci numere.

4.a) Dacd x+y=23 9i ; = 15 ; calcula.ti r.:+)' :;b) Daci r-y-14 qi 7=20;calculali )(.2-y ..,c) Dacd x3 * ys = 34O qi z =17 ; calcula{i .x+ r' .

5. l)etenninati doud nurnere naturale gtiitd cA al doilea este de rrei ori mai

rrare clecdt primul, iar suma dintre de 4 ori primul pi dublul celui de-al

doilca este egald cu 560.

6.$tiindcA: a+b-c=4O $i d=12.(95-ti3) , calcula[i ad+bd.-cd.

7- (iriul se aflA in saci mari de cate 20 kg 9i in saci mici de l0 kg. Ce

c|lti(atc de grau se afla in magazie daca surt 7 saci mari gi I2 saci mici'tll- I)r.tcrrnrrrali cilrele a, b 5i r.Stiirrd ca

b\ ab +.1b0+ abOO - aD.l I = 3500 :

9. l)acir d+b=Il, b+c=l4gi c+4-13,calculatiin) a t /r + r' . b) 2e + 2b + 2c ; c) 3c + 5b + 2c : d\ Ltb + ac + IOc .

l{1. ( ir citc zcr'ouri se termind produsul: I.2 3.1.......31?I l. Calculirli irr doutr noduri:a)30. (2.1 r t5): bl25.(11-22); c)35.63+35.37.,

d'l 12.51 +50.12 72.7 ., e\235 12O_ 235 I0_23500:f) 231.25-2]1 2,1 231 g)3.9+8.9+10.9;h) 2f 9l+79.91r 100 9t; i)22.99+99.jj+99.

Avansat

l. ( alculali folosind metoda factorului comun:

tt t] 93-17 70+23.3;(t t8 72- 18.50+22.2,

rt ,12 96+96.58-10 I

rlIl7 l01+2t5 146-101.86-215.45;

ht t l. 22- 33 + 22. 31.89-66. I 1.99 :

i, I I 22. 33 + 22. 33 - 89 - 22. IOO -32. IOO ;

2,. (lalcula$ sumele:

r I .l + 6+9+.....+ 48+51+54

,;t 213+216+219+.....+297 + 300

(l l0 + 32 + 34 + ...206 + 208 + 210

,l) 5 + l0 + l5 + ..--.. + 550

ir 50 + 55 + ......355 + 360

.1. Determinati cel mai mare numir natural abcd . scris in b'aza zece, care

\rlisface conditia i = S. "<U+

lletapa jude(eani, Olt, 1997

.1. Se considerd suma: S = l+2. 3 +4.5 6+7 8.9. 10+.., +61.68.-...78.

rr)Cd1i termeni are aceasta sumA ? b) Stabili{i termenul al nouAlea;

() Stabiliti ultima cifrd a sumei S.Alexandru Negr€scu

nl tb 46 ob.35- ab = 17O:.

- -:

( l ,//', +/)rrr +cd, = lJ5

b) 36.96 + 36.4 + 100.64 ;

d) 21.98 + 98 79-95 100;

n 1250. 47 0- 470.1249 - 469 ;

b) 33 + 36+ 39 +...-.+327 + 330

d) 2 + 4 + 6 +...102 + 104+ 106.

0106 + 108 +........+ 458+ 460

h) 25 + 30+ 35 +..... + 950

22 23

s.iFie suma s=I+2 4 + 3.5.7 F4.6.8.l0+...+II.11.15.....29.31a) Care este al TJea termen al sumei s ? b) Determinati ultima cifr a lui s.

Test 1.4.a

1. Calculali:

^) (n + 2. tz + 337 - tzo). zo + 1 i

b) dif'crenla dintre produsul gi suma numerelor 12 li l5;c) cifrclc .r ti b. $riindca: iE+ffi+iffi- .tr=ISOO.

2"lCalculali cdt mai rapid, precizfud proprietatea folositii:

s)94 1t5.9+94.85-94.750 ; b)3l 16.12+3l16.'t -3t16.9.'3) Calculali sumele Sr =l+2+3+...+50 ti S" = 2+4+6 +...24O .

4.lSuma cifrelor numerului abl este egala cu 20. Determinti numarul ttiindcd suma a doui cifre ese mai mare decat 17. Cite solufii are problema ?

5., Calculati diferenfa, respectiv suma dintre cel mai mic numtrr de 4 cifrel'onnat din cifre identice qi cel mai mare numdr de 3 cifre format din cifredistincte.

6,,a) $tiind ci 4a+7b=840 5i a+c=l2O,calc a! 5a+7b+c.b) Suma a tlei trumefe consecutive este 2010. Determinali numerele .

Barem Ofrciu - 20p. f) l5p;2) lOp;3) lOp;4) 15p; 5) l5p; 6) l5p

Test 1.4.b' 1. Calculali:s) (123 + 15.2+277 - 330).30 + 150 ;

b) produsul dintre suma ti diferenfa numerelor 25 gi 24;c) cilir:lc a pi b. ttiind ce qb.46-qb.35-ab =l7O .

, 2,lcalculafi cil mai rapid:

a) 42.96+9r'.58-10 i b) 315.300-315.299-315.3.rCalculali u).f , = I + 2 + 3+... +150 ; b) S, = 2 a 4 a 6 +... + ZZO.

4. Suma cilielor numirului ifr esc egald cu 18. Determhali numdrulgtiind cd suma a doutr cifre este mai mare decet lZ. Cite solutii are

problema ?

i ',flllur lrci numere este 707. Determinati numerele, daci al doilea este cu

| ' rrnr trlrc decat primul, ia.r primul este de 2 ori mai mare decat al treilea.

A rl gtrirdcA 3a+5b=620 9i a+c=l50,calclulai.4a+5b+c .

ht Sll u n trei numere consecutive este 672, Determinad numerele .

llarem Ohciu - 20p. f) 15p;2) l0p;3) 10p; a) 15p; 5) l5p; 6) 15p

r l.rl 1.4.c )I. f'rlcuLrli:

.l lr)f '

195+247; b) 808-639; c) 17+7.17+3.(5+3.5-15)ll-161.

l, ('Ihuhti: 2001 . 2o4 + 2007 . 796- 1000. 2007 .

l, Itr"tcrruiuati suma dintre diferenta fi produsul numerelor 30 pi 20.

l, llrr(l ctr q+b-c=5O 9id=56-8.5, calculafi ad+bd-ctl .

l, ( 1r[ rrlali: a) 25+...+99+100; b) 4+8+l2+...+436+,140.6.Sctlru: x+y=30, x-y=24 pi 2 =12. Calculati:

ll )r t2y; b) 3x-3y I c) xz+ yz: d) xz- yz.

Barem Oficiu - 20p.1) l5p;2) l0p;3) l0p; a) l5p;5) 10p; 6) 20n.

( Tcrt t.l.a )

l. ( irltrrlali:

rl,lJ{)r 197+356; b) 986-620; c)16+6'[6+4 .(25+ I M:12-l21ll-142.

l, ( irllul se afld ln saci rnari de cete 20 kg 9i in saci mici de l0 kg. Ce canti-

lrl{ 'h' friu se aflA in magazie dacA sunt 7 saci mari gi 12 saci mici?

I t ir[ rrlali dublul produsului dintre suma qi fiferen_ta numerelor 15 gi 11.

,1, grrr(l ctr;a+b+c =5O qi d =324 (78-60), calcula$ ad+bd+cd -

i,('rrkulufi: a)9l+...+199+200; b)5+lGrl5+...+75+80.0 rtfrru: x+y=4O, x-y=22 9iz= 15. Calculafi:

{l Ir l4y; b) 2x-2y ; c) .xz + yz :, d\ xz- yz.

Barem Ohciu - 20p. 1) 15p; 2) 10p; 3) lOp; a) 15p; 5) 10p; 6) 20p.

24 25

1.5. lmpe4irea numerelor naturale.

impdrlirea e$tc operalia inversd inmulf;rii- Semnul operaliei este ,,:,,. Maijos sunt ci(cva cxcmple pentru a observa legitura dintre inmullre gi

impr4irc.5.4-2O4 - 2O:5

5 - 2O:4

Observafii. l. imparfirea nu este comutativA $ nici asociativi.2. impi4irea este o operat'e de ordinul zrt llJea gi se efectueazA

inaintca adunArii fi sciderii.'feoroma impirlirii cu rest, Oricare ar fi numerele naturale D gi I (numitedcimpirfit, respectiv impirtitor), unde I + 0, existd numerele naturaleunice Cqi R (numite cat, respectiv rest), astfel incdt: D=i.C+R , R<iObservalii. 1. Dacd in teorema impd4irii cu rest R=0, spunem cd

impi4irea s-a efectuat exact sau este o impartire exacti (ca in exemplele de

mai sus).

2. 0: z = 0 , pentru orice numAr natural nenul n.

3. n:0 este imposibil, pentru orice numar natural n.

Standardl. Calculali oral:

a) 14 : 2; b) 60 : 3; c) 24 : 6; d) 42 : 7 ; e) lZ : 3; f) 44 : 4; g) 0 : 5; h) 5 : 5;i) .12 : l:j) t:t: k) 36: 12; t) 300:100; m) 2500:250;n) 1000 : 200 .

2- ('irlculati, apoi face! verificarea in cloud moduri:

a) 65 : 5: h) 65 : 13; c) i28 :4: dJZ24:2:e) 335: 67; f) 648 : lg;t:) t)24: 12, h) 4500 : 900; i) 2286:254;j) i'908:659:k|23400:225..1. Cirlculirli clirul rrumerelor: a) 30 9i 6; b) 48 ti g; c.) 72 pi 6; d) 72 5i 12;r)()l !i 7: l)()l li l3; g) 515 9i 5; h) 515 pi 105.

4. Calculali roslul iurpdrtirii uumArului: a) 19 la 3; b) 27 la 5; c) 45 la g;

d) 4l0 la 4; r:) .105 la l; f) 75 ta 12. Faceti verificarea

. l,' r' llllllr.rlr unrf,rul nalural, care prin impd4ire la 3 di cAtul egal cu 5 qi

,, .rIl . Irtl fu 2.

i Lrl, 'rl,rlr

tlrrpll nxxlclul de mai jos:

lrrl / {.1(r0 t 14):7 -490:'7 +14:7 =7O+2=72

!l l.'1 1 lr) ll37:9 c) 372:12 d) 294:14 e-1 471:9

I lrrtr rr r lirsil sunt 24 de elevi. De c6te banci este nevoie penku a sh cate

dr( rh'vr llr ciilc o bancd? Dar cate rrei elevi?

I Vrr.rrr s0 irr ni?im cete 240 de ou6 in cartoane de cate 8 oua. De cete astfel

de r rrr llrrrrt. avcrn nevoie?

I IIr,Ilrrrrrrrir1i rrurnlrul natual a din relaia: 45. a =36O .

lledluI I l.t'.r rur li numerele naturale care impar,tite la 5 dau catul 7.

I llr.lrrrrr li cel mai mic numir natural de trei cifie care imp64it la 15 dd

tFi'{rl ll).

I I'r'rlrrr rrrr grud in linie dreapta, lung de 72 m, s-au ingropat stAlpi la

rlt,rllrrl,r rh: 4 rn fiecare. C6! st6lpi s-au folosit?

'l lir[rrlrrli cetul dintre: a) suma qi diferenla numerelor 17 5i 15;

hlprlrrlrrsul qi dii'erenja numerelor 8 gi 6; c) suma 9i catul numerelor 16 gi

I rll prrxlusul pi c6tul numerelor 20 9i 10.

q Vrrllr r:l itranjFLm 245 de oua in cartoane de cdte 8 oud. De cate astfel de

I rI l0rrrc ilvcm nevoie? CAte ou6 vor fr in ultimul carton?

6 t rrlr rrlafi cete numere naturale, mai mici decir 2008, impiqtite la 42 dau

tr.rltrl tI I rr rr llrrpf,r(ire de doul numere naturale gtim cd deimpdltitul este egal curl

1r r|slul este egal cu 2. Calculali catul $ impi4itorul, itiind cA acestea

,llrrl rlrl('rilc de L

ll ll' tctlllinati toate numerele naturale nenule care:

rl lrl'iir litc la 3 dau catd egal cu restul:

ll llullrlite la 4 dau cetul egal cu dublul restului;

r I lllllllir'litc la 8 dau restul egal cu dublul cAtului.

7 3=21'! =21:.3? - 2t:7

8.2=162=16:?8=16:?

3.5=153- ?:5

5= ?:3

26 n

-

9. Aflati nunrarul nl(urll r, friind ca:

al 52 .t-)G b) .r: l 4 c) 135:5-r d\ 420:x-6el r:2'7 -lll 021:l=r g)r:l-1 h) 0:5=.rl(1. Surrra rr (k\lil nunlcrc laturale este 80. Un numir este de 3 ori mai mareLI (iil (L.lirlirlt l)cft.ntril:rli nutnerele.

I l. (irlll)lct ti tabelele urmitoare:

12. l)cntru a aansporta turi$ti pe o insula, in apropierea unui tdrlr, unvlpoliri poate lua la bord maximum 25 de persoane. intr_un grup sunt 153

dc pcrsoane. Care este numirul minim de transporturi, pe care le va face

vapor aqul de la {drm pani la insulA, pentru a transporta toli turiqtii din grup?l-1, intr-o $coali sunt 1465 de elevi. ExistA cel putin 5 elevi care igi serbeaziziua de nattere in aceeagi zi a anului? Justificati.

14. Calculati numdrul de bdnci dintr o sald, qtiind cd daca surt 55 depcnoanc gi stau cate 4 per$oane in fiecare bancd, atunci 3 persoane stau inpicioare.

I5- ('ulculati (r + D ftiind cAj

a) 2rr +b ' l0ii a+2b-11 b) 3a + 4b = 26:;i2d + 5b - 29c) 2a + .l - 9 ti 7 - 3/, - 1 d) 45.a-360si Lt+3h=24

Avansat1., n I lirti nurni-rrul natural r, daca: a) 5x : 2O - 25 ; b) (24 + r) | 6 : 30 |

c) lf.l r(\ 5r-.'t; d) 1('l -2x)=20 .

2- ('ilc rrrrrrrr:r'c lturirle dc trei cifte impd4ite Ia j2 dau restul 6? Calculatisuntit ilccst()t- lUntcr c.

-J. l)ctcnrilllli cel rai nric numir natural, care impir,tit Ia g di restul 7 5iirnpi'rrlil la () (lat rcslul 8.

I lr, l( uinati cel mai mare numAr natural de trei cifre, care impartit la cci

,,' 'r llr.ll c numar natural de doui cifie. da cel mai mare rest.

M.Fianu

I t, t, r minati cel nai, mic numir natural, care impartit la 75 da restul 8-

I r|r( r rninati numerele laturale a $i , ttiind cA satisfac simultan conditiile:r/, r5)-165ti a b=150.

/ ';,r se detennine cel mai mic numAr natural care, impd4it pe rdnd la

r,,'rrr,.r'cle 6, 7 $i 8 se obtine de fiecare datA restul egal cu 5.

I lh rcrmina! doui numere ftiind cd al doilea este de 7 ori mai mare decat

1'rrrrrrrl. iar suma dintre dublul primului Si triplul celui de-al doilea este egald

', lltr-o clasA sunt bdiefi 5i fete. Numdrul bAietilor este cu 3 mai mare decdt

rrrrrrrirr ul fetelor. Daci ar mai veni 4 biie! 5i ar pleca 4 fete, atunci lumArul

l',r'r'tilor ar fi de doud ori mai rnare decat numirul f'e(elor. Cati elevi sunt in

,r r.tr clasi?

lll. l)eterminati numdrul natural pe care dacd il impirtim la un numar

ll.rrllr' l mai mic decit 25, obtinem cdtul l0 Si restul 23.

I cst 1 .5.a

I ('llculati catul dintre numerele 35 9i 5.

,1. ldtr-o clasd sunt 30 de elevi. De cate bdnci este nevoic peDtru a sta cate

trlr clevi in fiecare bancd? Dar cate doi elevi?

t I)eterminali numerele naturale a qi b care satisfilc sitnullatr relatiile:

',t t 4=47 +b 9i 52:b=4.l. ('rlculati catul dintre suma Si diferenla nunrerclor l4 Si I0.

\. ('lite numere naturale de maxim trei cifrc irnpdrtitc Ia 4l dau restul 5?

l ,rrr este suma lor:)

{'. Sar se detemine cel mai mic numlr natural care impd4it la 4 sd de restul

t ;,i impirtit la 5 sA dea restul 4.

Barcm Ohciu - lOp. l. l5p:2. l5p; 3. l5p;4. l5p; 5. l5p; 6. 15p.

='=:: :a

a b a:h,| 4 0

101 101

72 36 ,|

a b a:h

35 ) 7,|

3 9

126 42

28 29

-

Test 1.5.b

I. Calculali citul dintre nurnerele 56 5i 8.

2. intr-o clustl surt 36 de elevi. De cdte bdnci este nevoie pentru a sta cete

trei elevi in licc e banci? Dar cdte doi elevi?

3. Dctcrrninali Utnerele naturale .t gi D care satisfac simultan relatiile:

fu + 2= 53+ l> $ 42: b =7 .

4. Calcula(i cetul dintre suma gi diferenta numerelor 20 9i 16.

5. Ciitc rurnere naturale de maxim trei cifre impirtite la 43 dau restul 6?

Clarc cstc suma lor?

6. SA se detcnnine cel mai mic numdr natural care impirtit la 5 sd de restul

4 ti irnpdrlit la 6 ri dea restul 5.

Barem Of,rciu - l0p. l. l5p;2. l5p;3. 15p;4. 15p;5. 15p;6. l5p.

1.6. Ridicarea la putere-

Ridicilrea Ia putere este o irunultire repetatA:

!:!:!:!:::::3 = an , cu a gi n lumere naturale nenule'

alr = I . cu a numir natural nenul, iar 0" - 0 . cu n numir natural nenul.

Ohsorvatie. fudicarea la putere este o operatie de ordinul al treilea, adici,

in lip$il parantezelor, se efectueazd inaintea celorlalt€ operatii.

Roguli de calcul cu puten (opgional)

Olicarc ar Ii trei numere naturale o.nt,n cr 4 + 0. avt:lrt:

il u"' .tt" = a''+" (inmultirea puterilor cu aceea$i bazi);

iir fr"'f' -.r""' rpulerea unei puLeri):

iii) r"':tt" -d"'",cu m2n (impi4irea puterilor su aceeaqi bazi);

iv) (,r /,)" =c'' /.," (puterea unui produs).

Compararea puterilor.

1. Puteri cu acecaqi baziFien, n gi a nurnerc laturale, a+0 9i a* l.Dacdm{n, atunci a,,' 3n .

I',,trt r ( ntclnfi cxprrnfnt

|,, ,t l, I I nunrcre naturale nenule. Daci a<b,atunci a" <bn .

I lhtrri ( u bazc difcrite li cxponcnli diferili (opyional)

ll rrr ,r ( onrparu doud puteri cu baze diferire gi exponen,ti diferili. se aduc

t,rlr r rll', rlrrei'r sc poate, fie Ia aceeaqi baza, fie la acelagi exponent.

Elnlldard

| ',, lr.lr:

H) lxrl( rt. cu baza 6 ;i exponent 3; b) puterea cu baza 3 gi exponent 4 ;

I t l,Ir.r( cu baza l0 ;i exponent 5; d) puterea cu baza 13 fi exponelrt 2.

I l,r r rr'|i sub fbrmd de putere urmAtoarele produse:

d, t I I1.1.3; b)55.555; e) 4.4.4 . . . .4 (zece factorl)

rlt.l (i l:rcbri, fiecare dintre ei fiind egal cu b;

r,l llll rrr lirctori, fiecare dintre ei fiind egal cu a.

I. St r rcli sirnbolic expresiile:

lltr|r lil puterga a zecea; b) zece la puterea a patra.

' I iirse la pdtrat; d) cinci la cub; e) doua mii tapte la puterea zero

.l t;rlculati:

l) lJlrlcrca a treia a numirului 3, b) puterea a Sasea a numdrului l:r ll)urcrca a opta a numirului 0; d) puterea a Saptea a nunrirului 2.

1. Sl.l ieti sub forma de produs:

Il l|utcrca cu baza y ;i exponentul 3; b) puterea cu bazu x ii expongntul5.

.f. scrieti patratul numerelor : 2; 5; 6; 17;10; 12: ll; l5: 20-,30;25;41,100.

/. Scrieti cubul numerelor : 0; I ; 2; 3; 4; 5; 6: 10.

N. ( irlculati: a) 20: 2t: 22: 21; 24; 25; 2"; 21; 3t: 3r; 3r; 3a; 351

b) l7; 50; 20O70: 52loi l0r1 -i655r: l?m; (543+25)0;

c) 5r; 152; 62; 71; 25tt; l2r; 505('; 9r; 105; lO0r;

Mediul.('alculali: a) 27 -23.3r;b) 15+50'

,tt lr+3a:32-07-11 ;e)2t +2OO4o: f)17 - 40 ; c) 22 +25 :22 -o5 -15 ;

(++zs ,z),s; g; (s+a5 ::3)::.

30 31

2. Cafculati : a)(20 +2t +z2l:72 +12; u;(:0+:r+:rf:13r+132;

"1(.s0+st+s2f ::ta+3t0;d1(70 +11 +ff :57a +572;

"1 (t t"+lt')':f2;t)0a +40 +4.0+ta +4t.

3. lrl(jctu ti:a) (52 .32 .z-ztz):32 - (152 -225) |

b) 6 + 2. l(3.5'? -22. ra, :2 +:.rr),221;() ll{t22 r 521:1312 -2' -201:234. Comparati urmitoarele numere: a) 3a li 43 ; b) 25 9i 52 ; c) lar gi 4r ;

d)9'z;i I0lr; e)2509i031 ; f)26qi43: g)132 $i27 h) 103g5a;i) 34r!ti 34a3 : i)"13a7 si734: kl253a Si 235a; t) 1139i372; m)4agil82.5- Aratati cA urmAtoarele numere sunt pitrate perfecte:

a = 2" :fZ 21 . (5-3.260))+22 i

h=3.t"tz -t'1 .32+289+(42 .36)0 .B, - 130 +21 +23)3 :LL+ (2o +2r a2213 17 1-2.33 +l6. Ardtafi cd numarul e = Z0Ol+ 2(1+ 2+ 3 + ... + 2000) esre parat perfecr.

7. Stabilili daca urmdtoarele numere sunt pAtrate perfecte:

o =zo08z - 2008 - 2007 b-(r+z+3+...+2002).2003.400,1

ll. Cornparati pdtratul lui 128 cu cubul lui 64.

Avansat1". Folosind reguli de calcul cu puteri, scrieti rezultatele sub formi de

putcrc: a; 52a.5a2; b) llrm: 1135; "y(r,)'t; ay sr. lo; "1(2.)o

,22' ,

tl 27 .2') 2r:28:2to; g) 3.3ta .32:3t6; frl (s, sr), (S. st),itb' t'),h'z'); ;l (rr' r16),(uo rr').2-. Calculali:

"t (+' f '

(z' )' (z' )", u Q.sa + +6 + zoozo), (2,, + zo0+o + st ),c) l15 :l la +l Ia :llr+llr :l12 +ll2 :11.3'. calculatri: a) (t + 3.32 .:'), (:u * r); uy (r+:.s5-sr),(sn +r);c1 (s+t.t2.2')'(zo+s); d)(3+ll.1la n.) (rr'+:),

,rltr,,ltlI I rl, lll,'ll

,rl,i 'i|a | ,tl, llllr

,r(r')' .'i Lrlr ulirlr lirlosind metoda factorului comun:

Ffr"'r' .f .25"+52", b12"*,.3n+2 -6n.lli" |\"lr l5'rl d)2ao - 23e -238.I' I r,.rrr li: nl l(28)6:245-221.26i52-11 b) [(32)5:37 -30-321.4:34+22

,, |,,'"' r,,',',', r''.15]1' -+,.z"l,fzsu.s,.(s")' +z" .3" - 2t . 4'l'trtr (.''.'r 2u ....2'*) (z' z3 zs.....zss)

I' I irlr rrlati XY +Yx , dacA:

r x,',1+r2 .fa + (2' ..rzof .(ru.rnl*(rr,z'_r),, .+l ,LIr [(r r-o") (:'-:')+r'*l.(:'z-zr)-:'.z

0 . ( i)rrl)itrati urmatoarele numere:

n1 t" ;i 2rt; b) 328 pi 24? ; c) 42e 9i 7r8.16; d) 5ra.9 9i 353; e1217 si l2r0

lll', ( iruparafi urmAtoarele numere, scriindule ca puteri cu aceeagi baza:

ll xr'pi l6e; b) 4''zqi 87; c) 23'9i 167 ; d) 32osi 6450; e) 3re5i 9r0;

tt.'/rl$i 916; g)813rqi3r2e; h)62tqi36rr; i)2512 qi 5za; j)2525qi 12515;

lr) lo{)7rgi 10005r; l) 10000e 9i l0re ; m) 492@7 9i 7au'7 ; n) l1r'9i 1216;

rrlrrrrf- 3" .

ll'. Comparali urmAtoarele numere, scriindu-le ca puteri cu acelagi

, rlxrrrcnt: a)5ragi2r5; b) 10a0qi 380; c)3159i220; d)33e9i4'z6; e)7r0pi

t'', t) 264ii 96; g) 30209i 2030; h) 6229i 333; i)2rrrqi9?a; j) l3a69i 56e;

L) l0!rgi 3123; l) 3ati 43; m) 25t89i 82?; n) 4a8qi 636 .

I l'. Scrieli in ordine crescAtoare urmitoarele numere laturale:

r) ,)12, 3re ti 276; b) 241,42t qi 16tr; c)5tt,256pi4t0; d) 1004r, 100037 fiIt)3'); e) 2517, 533 9i 12512; f) 830r, 3211e si 64811 g) z43u ,8137 siz7a1 .

l.l'- Scriegi iir ordine descresc6toare urmdtoarele numere naturale:

_.....-r

r ' r r/ ): (l .tr" + to).

u)(4 r'22'x' ;zr"s);2r ; b1 (9+31m:3es+3a5:3a3):3r;

rllr):5r ; d) (+o+t'" ,l'u),72 ; e1 fra+213 :zs):f .

"r (r')'.r' :3at -s2 : nl b'f z' :zsz *42

;

';'' sr; ay(z?f .f :ie -7; "iIr'].lIa:1126-112.

-.-

u =io+''.:' -rr.,o Q"lo*ru'l' *:o +50

a) 340, 4r0 9i 720 ; b) 522, 255 si 3I; c; 713r, 4er pi 762; d) 3au, z1v qi 5301 ;

fl l or8, 557 5i -5ore.

l4'. Compiuali :

'al x=2r" +2at liy=2uu+zao, b)r=3ar.lla2 ri y=2'jtt.lzlzt.15". Care nurndr este mai mare : 632 + ZO32 sat 36t6 + 20016 2

16*, Cornparali numerele:

:t ,' ',,r1r(lcrlt firul de numere naturale 1,3,'7,15,31,63, l2'1,255,511,

,rr I All,rlr Ultitttacili5anumdruluidepelocul2006.R.I.M. Brapv - decembrie 2(X)4

,1, I ,rl'rlrrfr rrltirrrclc tloud cifre ale numirului n =?+'72 +"13 +..,+72wE.

*' \' r h lr rulrilr'ul natural 652m-5 ca sumi de douA pAtrate perfecte, apoi ca

.[]ig rlr rIrrn (uhuri perfecte.Ion Parg€, Campulung

il ltr.tr.rrrrrrrrli rumerele naturals c pi & gtiind cd a2 =9899 +2b +a .

Gh€orghe F, Molea, Cutet de Arge$

ll Il t,.rrrrrrrl1i cifiele a, b Si c in sistemul zecimal astfel incet a+0 dI rll lrr llllnrcrcle ""t Ei crnb sAfie simultal patrate perfecte.

?rrt t.6.a

I I 'trrlrlrtnlr slra(iile punctate pentru a obline ahrmalii adevArate:

ll ll,rrt r / I' l)dza este egala cu -.. ii exponentul este egal cu ...

h|r1r|r',rIosinguriputere,produsul 5'5 5 '5 este egal cu . . .

tl l'ilr'rlul lui 4 cste egal cu ... ;cubul lui 3 este egal cu...

dlIt,r, it , - 64 $i x este numar natural, atunci2-r+ 3 =...tlIlrn'r(slcnum6rnaturalli 4 > 1, atunci dintre numerele a8 qi aj,

lllrll llllll I CS[e ..,

I r ,rtrrlrlr : r\ (52-25 2) :3 -12w , b)26:22 (32-l)-2oo70'22 .

I Lrlrprrrrrli numerele: a) 5ra si 5ar; b) 2a li 33; c) 133 $ 123.

I { ll[ rrlrrli suma numerelor naturale, pdtrate perfecte, mai mici decal 40;

a Arnrrlr cil rumarul a --aOOi +2(1+2+3+...+2006) este pAtrat perfect.

I l l' r' r llr li umarul natural z. daca :

n3 = K112 +]3o)i(2.29)+34 :3tl.lz5

Itarcm Oficiu - 20p.l) 25p:2) l0p; 3) l5p; 4) i0p;5) l0p; 6) l0p

Ilrl 1.6.b

I r "nrl)lctnli

spatiile punctate penhu a obline afirma{ii adevirate:

rtl', rrrrrr lir'r baza este egalA cu . - - ii exponentul este egal cu ...

ti a = (sar -: .5rz )= 21'z

l7'. Cornparati numerele a = (4445.4446- 4444.4445-2.4444;1 Ut

b = 4:(sre +rc})+a2(+2a +z4o)-255 .

lll. Dcterminuli toate patrarcle perfe cte de forma: aabb .

l9'. Stabiliti daca urmitoarele lumere sunt pdtrate perfecte:4 =2.x+3,undc .t = 3 + 32 + 33 + -.. + 32m3 si b=22,'+t.52',*7 -3, ne N.20'. Determinati numerele narurale a. b pi c astfel inc6t:

t. lz" . s' + ai) -- wee - t. z" .

D. Linl2t'. Fie numerele naturale a pi b cu propriedtile:

u-9=4.(s*92 +...+erm)si b-n- a.(5+52 +... l 5roo ).

ArtrtaF cA 4 este pAtrat perfect, iar b nu este pAtrat perfect.

22' . Arltun cd numirul a3n+2 + a3n+r + 3 este numar impa.r pentru once a

gi z numere naturale.

Diatra Niculescu

2-l' . I.ie n e ly' ' . Determinat' ultima cifri a numirul ui :

u = l. 2. 3..... n + 2004"1 .

24". Arilta[i cd a=ll2m8 +22m8 +33m8 +...+992008 nu e pafiat perfecr.

25. Ardtrli cA:a) 14- 12 +22 +32 9i 142 =42 +62 +122; b')14'?m7 $i

142'rs sc pol cxprima, fiecare, ca o sumd de trei patrate perfecte distincte.

26". Scrieti lunrbrul 561 sub forma 561 = a2 +b3 +c4 +d5 +e6, unde

a,b,c,tl,e e N' .

27'. Detenninali numdrul natural n din egalitatea:

22ux +4rur2 +g668 +16501 _2'34 35

b) Scris ca o putere, produsul 6.6.6-6 6.6-6 este egal cu ,-..

c) PAratul lui 5 este egal cu... gi cubul lui 2 este egal cu ...d\ DacA .? = 25, )( numir natural. atrrnciZx+7=...e) Dacd.r este numAr natural, a >1, atunci dintre numerele cloqi rz6

e$te mai mare -.......2. Culculali : a)3r + 02@+ 32 . 33 : 3a ; b) 5a: 52 . (2, - l) _ j 50 . 2o .

3. Conrparafi numerele: a) l5r5 gi l5re; b) 9r5 9i gr5; c) 35 9i 28.

4. Calculali suma numerelor patrate perfecte mai mici decat 50.5. AritaF ca numdrul a = ZOOS+ 2(1+ Z+3 + ...+ 2OO.l) este pitrat perfect.

6. Aratafi cA numirul natural r este cub perfect, unde:.\ -132 -(3.22)z +lo2 -zoo:-o +lre6el.82.

Barem Oficiu - 20p.1)25p.2) lOp; 3) l5p; 4) l0p; 5) l0p; 6) l0p

Test 1.6.c (.)l. Folosind reguli de calcul cu puleri scrie! rezultatele sub formd de putere

a)jts.735 ; b) 132m5: l3teei; O (sofo ; a)zo.l.; e) :t .(:sf.2. Comparali numerele, justific6nd rezultatele:

at 7r' pi 617: b) 95 Si 3a8l c) 3a5

'i 2?5.

3. Culculati: (+"'t.jt"'z *rn .n"'z)- 62"

4. Daca a . b + a . c = 525 $i b + c = 522, aflati valoarea numdrului a.

5. ArAtai cA num6rul a= 57 + 6265 + I IM nu este pdtrat perfect.

6. gtiind cd z, +, = 3 9i c = 2, calcula{i (t"l h"I7. C--onrparati nume tele.. a = 2L .22 .23 . ....26s si u = (zr )60 .

8. Ariitirti cA numArul n=22 q2t *2+ *...*r'*tBarern Ohciu - l0p. l)

s)

are ultima cifrd 0.

lsp;2) l5p;3) 10p; 4) lOp;

lOp; 6) 10p; 7) l0p; 8) 10p.

1.7. Divizibilitate.

ItFlkrlll(. I lll nunrdr nalural a este divizibil cu un numar natural ,, dacA

eriiti r rrllrtrr natural c astfel incat a = D c .

,r li ,,'' r r0ltc 'a este divizibil cu D" sau "a se divide cu b";

i,l'r ,,r. r rtr.ritc "b divide pe a" sau '? este divizor al lui c".

Fllrll lollli. Pentru orice numfu natural n, avem:

tl Il,.(lcoarece n=1 rl

Itl,l l ,l. (lcoarece tr =z.lr.l r lll . rlcoarece 0=z 0.

I llrrrclvt(ii.

I ) Numard 0 esre multiplul oricarui numdr natural qi, in particular, 0

"rtl rrrrrlliplul lui 0.

l) Numdrul 0 divide numai numdrul 0.

-ll Relalia a = D c inseamnd cd numarul natural a esle multiplu al

lrrrrrr.rclor naturale b gi c.

{ r ltr.rii de divizibilitate. Pentru orice numar a € N, av€m:

, rrtcriul de divizibilitate cu 2: u(a) e {0,2,4,6,8} >a i2 sau 2la, rrtcriul de divizibilitate cu 5: u(a) e {0,5} :+ a i 5 sau 5 | a

r rircriul de divizibililate cu 10: u(a) e {0} > a j 10 sau 10 | a

ullc u(a) rcprezintA cifra unitd$lor numarului a -

$landard, l. Stabilili valoarea de adevfu a urmAtoarelor propozitii (efectuali, unde este

, rrrul, impdrfrea):

"r 6:2: b) l0i5; c| 2l:J: dl2ll2: e)5140: f)5127: g) a0:10;

lrr 12:6; i) "b5:5;

j) 425:10; k) 94:2: l)21'15; m)5165; n) 10140;

rr) 143i11; p) 211M1 ; q)010; r)212: s) 515; t) 114; u) 8il;

tl ll39 -42 tx) 79211 ; y) 1:l ;

J. Scrieli toS divizorii numirului: a) 4; b) 9; c) 36; d) '12: e) 13; f) 144.

.1. Scri€fi patru multipli ai numirului: a) 4:b) 9: c\ 36; d)'72; e\ 131't) 144.

36 37

3. Scrie! patru mutiipli ai num5rului: a) 4; b) 9; c) 36; d) 22; e.) 13 fl 144.

4. Determinali numirul tatural x, astfel incat:

a\ 3x:2; b') 42x:5 : cl 5x:10.

5. Se dau numerele naturale: 0; 7; 12.

ldentificali numerele divizibile cu: a) 2;

Mediu

18i 20, 24: 25: 37; 45: 120.

b) 5; c) 10.

l. Determinati toate numerele naturale 4, 9 < a < 33 pi divizibile cu:

a)2. b) 5; c) 10.

2. Determinati toate numerele naturale, cel mult egale cu 34 9i care sunt

nrultipli ai numlrului: a) 3; b) 4; c) 9: d) i0; e) 7; f) 35.

3, Determinali 5 numere naturale, cel pulin egale cu 35 ti care sutrt muldpliai numdrului: a) 2; b) 5; c) 10;d) 3; e) 7.

4. Cate rumere naturale de forma iiD sunr divizibile cu: a) 2; bl 5; c) 10.

5. Dererminatri x e N, astfel incdt 7i j2 .

Avansat1. Areta{i ca (2' + 2"i ) i10 , oricare ar fi z numdr natural fi nenul.2. Aritat cA n(n +1)i2 , oicarc ar fi z num5l natural.

3. Arirati cd 2l(n2+n+2),undene N.

4. Arlta$ cA numarul S =7 + 7z + 71 +... + 72m? este divizibil cu:g) 28; b\ 25 c) 10.

5. Sunra a doul numere naturale este egala cu 10. DetermitaF cele douinumere ftiind cA oricare dintre ele este divizibil cu diferenta lor.

Test 1.7.a

L Stabili(i valoarea de adevdr a propozifiilor:

a) 3ll5 ; b) 2l:3 : c\ 5124; d) 10:40 : e) i5 | 5.

2, Determinali cilia a, 5tiird ci: a) 2o,2; b) S+a,S : c) U:tO .

3. Determinati numtrrul natural x, ftiind cd 36:r qi "r i 21.

4. ArAtali cA Duntrrul S = l+2+3+...+9 se divide cu 5.

! I tr,rr'r rtrrrlr roli mulliplii lui 6, cel mult egali cu 24.

I I'ip rnrrrllrrrl zl = l2tn1 + 22 + 3j i aritati cd A:16.

Iturcur Oliciu - 10p.1. l5p;2. 15p;3. l5p;4, 15p; 5. 15p;6. 15p.

lilt t.z.u

l llnhllllr v krarea de adevir a propozifiilor:

d lllr , h) 2l:7;c)6123;d) i0:50.

I lhtorrruli cilia a. t(iind ca: a\ iJ: D 45i,S : c) 4", tO .

I thtrrrrrirrali numdrul natwal -r, gtiitrd cd 24:x $i r I 15.

{ Arllllli cll numdrul S = 2 + 4+ 6 +... + 20 se divide cu i0.

l, llehr nrimti toti divizorii numarului 24, care sunt multiplii lui 6. .-{I Arrlnti cr 5 I too - o). .=--- .'t''

Barem Oficiu - 10p.1. 15p;2. 15p;3. l5p;4. 15p;5. 15p;6. 15p.

, , t, t. t t 1,8. Ordinea electuirii operaliilor.

tl 1 r 2. 3 ; b') 7. 4- 4 ; c) 72+ 25 : 5 -17 ; d) 16-5. 2 ; e) 42 : 6-2 t

fl ri ;l r 2.5;g) 53.47+53.3;h) 3l+31.2-31.3;i) 2+23 4;

ll \ \tt -36:22 ik) 625:52 +24:8;l) 30+18:32 -5.2.3.l, ( irlculafi:

{l h.7 +110:2-50+2008; b) 2007 +2007.2008 |

ft I lt.{) F 40 t 5.10 t 0:4 t d) 2OO:5 -12:2 + 24 :24 ;

rt ;'t +3s :32 - 4.3 +23 i D 10 + 30.140 - 20. 00 -8)] ;

1r (r'r +rZ'?):t:2; h) 400:[50-500:(6O-'10:'7)l; i) (2+l)'?+(3+l):;

1r [,-r)'f ; r.i(o'+atf :2500; l) (25 rs'rt'2):ss.t. t alculali:

rl 5.21+5.19 ; b) 31 42+9.42ic) 812.72-72.772;

rlt 473+2.473+'1 .473:' e) 391.630 +12.630- 401.70;

fJ 123.321-722.389 + 1?3.68.

4, CalculaS:

a) (2+4+6+b):(r+2+3+4)i b\2.23 + 5t4+3.(5-2)1-6t oe:

c) 30+30. (30+30.[30+30. (30-30)]] : 30: .

d) 5.{32 : 8+5.[40-8(40 :4-18 : 3)]] .

5. Daci a=50, b=30 fi c=40, calculaf:

a) o+b-c;b) b-(a-4tA c-Q-a);d) (q+b):c:e) (a+c):(c---D;

f) a c:(.t-b\,: B) (a-6;{a-*u.

Mediul. Dacd a=28A, b=620pi c=350, calcllati: s) a+b-c:b) 2a-b+c;c) b-2c +3a: dl a+U+3c .

2. Efectuaf:

z.lo3 -{47Q4:12:2+3 + 178 ,5 * [6950 :5:5 +2+(486:2 +tn.z][: a

3. Efectuati:

a1 ts+zfu.sz -23 .o:22 +z f):zz);b) z3.5r +(22.5:. z')t$ a'z .s").

4. Efectuali: N) l(ao.+t +" ++),+-a') s;

6 (: ' td + s.toz +r)+ (s.td +z'to'z++'lo*r).5. Efecruagi: rw-z.boolo .h2-(r'+z' s)+st).

*Avansat

l. Se dau numerele: o=4n9 :(4a -4*)-(42 +4'25):116qi

^=l$: '4'4z ,z):27 +21:1 . cal.,tlay: m^ , n^ , m+n, m-n .

2. Adaugali paranteze, pentru a avea loc egalitate a 64:32'4- 44 :87 =O '

3. Cu cdre zerouri se termine nurnexd A'=tl.(+.ZSI -l'(22'Sz:rc1 ,

unde n e N*.

4. comparafi numerele A =13993: (2-3+ 20070)-2'33 '(6'? +l) ti

s=zt .zx -+'5 +bsl :qrs .

5. Efectuali: (Zoz + aoe+ OOO + e08 +'.' + 20402) : (1+ 2 + 3 + 4 + " + 101.

- rrrcF}4I

Proba: l00llr:r =1.2'r +0.2t+O.22+1.21 +1.2o =16+2+l=t9Numcrclc pen{ru care nu este precizata baza de numeratie se considerdscrisc in blzl l0

Standardl. [)cscrrnrprrrrcli in baza I 0 numerele : 23., 537 ; 402g : 53 l.l 6 : 2413g9.2. C'xlcull[i nunlerele naturale care in baza l0 au urmdtoarea descompunere:

$) 3.10+5.100 b) 4.102 +7.101 +6.10{)() 4.103 +Z.io2 +3.100 d) 5.104 +4.10r +3.10r +8.100

.1. a) Scrieti in baza 2 numerele i; 17; 31; 73 pi faceti proba.b) Ssrieti in baza 3 numerele l l; 2g; 43; 71 9i faceli proba.

4. Scrieli in baza l0 numerele:a) llot01(2);

d) 20304(5);

5. Efectuati:a) t l0l,:, I 1210,2, + l0341sr _ t,r,,r = x,rb) i 1001(2) +102|, -123@, = )iroi = x16;

c) 11011i2y .72361= t 1s1

6. Determinari cifiele a $i ,,liind ca:

f') xxxx + 2x3x - 5666 .

ll LrI rllrli cilril x in sistemul zecimal dacA:

tl 5r Sx5; b\ xxx + Lx<488.

lf I rrrrrlrrrrrrli numerele naturale a=5ry Si b -- 561'

f l rt l rr'tt rrrrinali baza.x ftiind ci: 12(rr+34$r+56er=12461.

hl I )('tcl]r rinafi bazele x qi y gtiind ci: 12LJ +34f,\ =27 oj.ll lfr.rrr0rrstrrrti cit: a) (ab r ,a):il; b) (abc-cbal:11.g. untle a. b gi r

*ttttt r tlr t. rliu baza 10.

hdluI I)''t('rnrina[i toate numerele formate din trei cifre distinct€ care se pol

hs r'rr -5, 2 9i 3. Precizali care dintre acestea este divizibil cu 5 li care este

dlrt/rlril cu 2.

l, llftrlrninati toate numerele de trei cifre distincte care se pot forma cu

r llrr.l' 5,l) gi 4. Care dintre acestea sunt divizibile cu l0?I ltr.tcrrrrinagi cdte numere in baza l0 au forma: a) -fry, Ut x:y; c) ,3f .

I l,r'rrronstrati cd:

(l .t\\ I xxx=444,

b) 10120tc) ;

e) 103713y ;

b) b6a-43= 425

d) iib-:5=250:

b) 103,n, = 19,,u, ;

d) 531.y - I00001,r,;

c) 4513161 ;

f) 5236:

t) abab:1o1.

c) aaO-Uao:SS ;

b) abcabcil\\l;d\ aaab - b""oiggg .

z) a2l+25 =346:Q 1d: 4 =187 ;

l, ( irlcLrlati:

a) (ab+i+i):(a+b+c):n) @bc + bca + cab) :13. (a + b + c)) :

, ct rahcd t Oca" rraot+aaOct: tab ti.+cd +1lr1:

l) (aaZ+i+t): (aU + aZl .

n l \'tcrrrinali nunrerele de doui cifre J scrise in baza l0 pentru care:

a) ab-5a+3b. bS ab-5ta+hl t 2:, c\ ab-27 t ha.

/. ( rrlculali suma cifrelor rrunlArului x.f u.l ltiina ca xy+ vz+tl+l,r esrc

l',llrirl pedect. r'

ll. \lLrti numerele naturale de formr aD. cu ci tre distincte. asl[e] illcitt

a1 "t, + t"" + caU = OSe :

7- Calculati baza de nunerale a, a > 2 dacd:a) 43@ =23@11

c) 10011.1 =9110y;

ll- ( iitc rrurnere in baza 10 existd daca au ibrm,r:1l) .t3 ;

u) rr.l ;

b) xx1 ; c) -r)5 ;

9. ('aitc u tcrc formate din cifre distincte au forna:

d)5l:

d') 3"bt :b) ab1 : c) a02b ;

10. Dctcrrrrirrl{i .r. 1,5i : cifre in baza l0 dacd:tt) rStly 45;

"1 r.U tsvlt fS.-fi:Z ;

b) 5x+13=84:

a1 UZ+ny+ 7W=AtO 1

68 69

hl ah( t ht'd t tsb - 2775 .

9. De(errninn{i ciliclc a 5i /, astfel incat sa avem:

ua, + t uu + ou ria - go +ii + bbb

l(l- Dclcr-Irill li h zele r Sir, gtiind ci:s) l5 (.) + 23(,) + 45,,, = l05 qs, i

5) 21,,, + 12,.,,1 -161.rr.

ll. l)crrtrrrrstrali ca numdrul S=oWtaUl a sedividecuT'

12. Allali numcrele naturale de forma abc , Stiind caE +bc +; = "b' '

O.M. Gori'

Avansatl. Clalculati: (oUr* -\OOU, - a4 ,no .

O.M. Hunedoara'

2. Dererminali cifrele a, b, c irbaza lO dacZ.. qbc +bqc + acb +bca =lbba '

3. A{]a!i numerele abcd . scise it baza 10 care satisfac relalia:

iiii+abc+ab+a-2222-4. Suma a doud numere este egah cu 162, iar suma dintre rdsturnatele

este egali cu 504. AflaIi numerele.

O-M Boto$ani, 2001

.. 5. Aflali cifrele a, , 9i c in baza I 0 ft nnd crt abcc + cb = 1993 .

O.M, Gorj,

i - S"tt, +tlo.M. olt,

7- l)ctermina$ cifiele distircte x, ), z in baza l0 gtiind cd:

xx+ yx+ zj = xl3 .

Gl\..5/1982

8. Dclernrina(i rtumerele de forma ob inburu 10 care verifici relafla:

T abtba-abba:lltl.O..M. Ilunedoaia, 2003

9. Deternrirrali numArul natural obrd intt*u 10 qtiind c6:

70

abcd +lO(a+b + c) = dcba '

Artur Btrlltrci

fl Arntulr ,'n, Llacd abc se divide cu 3?' atunci U* qi *b se divitl cu 3?'

ll Ihllrrrrrrtrrli uum.rele cf scrise in baza 10 qtiind ca 144 divide nun?l-

ftfir," ' 'r,/, ttic r Ai+,"A*rli"'

ll, I lrt trrrrrtlll. de trei cifre, scris in baza 10' impadt la risturnatul sdu di

*l t ',r

r('sl l 46. Calcula! numirul gtiind cd diferen{a dintre cifia zecilor

d t-:lr rrilltilor este egali cu 2'

fat t.tr.all l rlr'll irr haza l0 numerele:

a) 11011112y; b) 100101i121 '

ll h r lr'lr in brua 2 numerele: 17 qi 79'

alAl[1r r (lin egalita$e: a) -=110111,21: b) 2rr=10102113r'

ll l lrrrprrlirti numerele: a) 11112y ii 61t01; b) 111021(3) ii 550{8)'

fl Allrlr cilrele x qi y ttiind ca: a) 2161+1461=23no1;

b) 1261+3419 =21 p1.

ll lrr'tr'r rrrinali cel mai mare numdr abli scris in baza l0 care verificd

u,,lltl,,,, J=5 o(E+I.

llarem oficiu - 10p. 1) 15p;2) 15p;3) 15p;4) 15p; 5) 20p;6) 10p'

l l 1.11.b

I I | )r'tt'r'rttinafi numerele impare de forma a35a '

,l ) Determinali numerele de lormu 2iit2 '

h) Delerminati numerele de fonna 2a5bil0:

c) Cate numere de fo' u Tosb sunt divizibile cu 5?

lt /\llrli bdza de numeralie a>2 itiind ca:

a) 57 6y=47 6q; b) 341.1 =1001L1'''

1t I )r'trmrinati t ti ) ttiind ca:

a) 35x +82 = 436 :

c; 2x7 -i=2O5;b) l2x 4 =sO0:a1 4fi119=23.

7l

5) Determinafi numerele aD in baza 10 cu a, b numere nelule qi

drca satisfuc rcltlia: J - hu = ub- a .

T.N.

6) Detcflnin ti bazclc r piy ptiind cd:

n) l5i,) +23(.) +45,,1 =l051rr ; b) 211,1 .tl2rur-14rn,

lltrcm Oficiu - l0p. f) 10p;2) 20p;3) 20p;4) 20p;5) 10p;6) 1

1 ,12. Probleme date la olimpiadele Scolare

l. SA se gaseascd numarul natural de trei cifre distincte in baza 10, care

egal cu suma tuturor numerelor de doua cifre distincte care se pot forma

ciliele sale. Se cer toate solutiile.

O.lVl. Suceava,1992, cls a V

2. Determinali numirul a, , Stiind ca ab - ba = 63 , rat s\ma dintre

obtinut fi risturnatul sAu este patrat perfect.

O.M.Ciurgiu,

3. intr-o cutie sunt bile roqii, galbene 9i negre. Numai 54 din ele nu sunt

negre pi numai 63 din ele [u surrt rotii- Numirul bilelor rogii este de doud

ori mai mic decdt al bilelor negre. Care este numdrul minim de extrageri

pentru a h siguri cA avem o bili galbenS?

O.M. Boto|ani, 2000, cb a V.a4. Rezolvali ecualiile:

a) (2t + l) + (2x +2) + (2x +3) +...+ (2x + 100) = 5650 '

b\ x.2e -2to =2tt ;

c\ 12,,1+346., =27 s.

O.M. Bihor, 2000

O.M, Harghita, 2000

5. Nurrrilrul t = 6abcd.e impdltit la numdrul | - abcde6 dd catul 4 fi restul

0. Dclcnninlli numerele -x gi 1,.

_ _ i,M. Gorj, 1996

6, Dctcrrrrinrrfi cilicle-r,). zinbaza 10 astfel incAt x6-y7=2222.

O.M, Neam(, 1999

72

| ':e t, r, r ottslilttic adwrarea: obcb+rbaq=dddc, unde a, D, r" r/ strttl

' ilr, I rrrrl'r ulrvc in aceasti ordine

O.M. Bihor' 1999

I lFt,rrrrrrrrrli cil)rele a, b, c itbaza 10 astfel incit "7

b9=*33 '

I lh t, rrrrrr;rli uumerele nalurale n pentru care: 8n +8n+1 - 18 21997 '

O,M' Arad' 1997

li I t,' 1rr rrl I , 5, 9. 13, .. ...r) ( \)nlpletati firul cu inca doi termeni.

b) (;isiti al 100lea termen al iirului

c, Allirli sunla primilor 20 lermeni

O.M. Botogani, 1994

lrrt llnal 1

I ltltlrrrrinati cel mai mic numAr natural in fiecare dintre situatiile:

tl . rl'' 'l!' li)rma ; ;

bt rhlr rlc lbnn4 a5bb si a + b :

I I '

,,tr' (lc lirrma abc , are cifrele dislincte ii cifra zecilor este egala cu 7

, t 'rl( rllli :

.l .t ():3 +2)+23 ; b'1 2E :25 +32 '2'.3t + 2oo2o -23 :2.

{ | \ r 10 1256+10.(35+35:5)1 .

I 5r ric!i numirul4l inbaza 2.

{ Ariit.rti cA numdrul natwal n = 2 35+4 3a+5 26 este divizibil cu l0

,t Alllti numArul natural x gtiind ci: 4(x+3)+2(2x-2)=5x+14.

i AIl;rti suma numerelor naturale care impa(ite la 5 dau catul 11

Barem oficiu - 20p. 1) 15p; 2) 15p: 3) l0p; 4) 10p: 5) 15p; 6) 15p

I est f inal 2l. Allafi cel mai mare numdr natural in hecare diltre situaFile:

nt rste de forma ab 9i cifra uniti{lor este 4;

lrl csle de forma ffii Ei q +b :

r ) este de forma abc 5i suma cifrelor este egala cu 3

r.( rlculati: a) 2 [2+ (24+25:23)]; b) (2005 2006 - 2oo4 2005 )'1

.t(r r-0") (.r'-rz)* 1zuNl.[: -r:\-l .2

3. Determinali nunrercle rle lbrma 50.r,r

a) divizibile cu 2; bt divizibile cu 5.

4. Ssrieti nunrirul ll0l0l121 in baza 10.

5. An.r! nurntrrul Dotural x ftiind ca: 3(x+2)+2(x+4't-4x+29.

6. Afl{ti suma numerelor naturale care irnplr,tite la 4 dau calul l2 .

llarem Oficiu - 20p. 1) 15p;2) 15p;3) 10p;4) 10p; 5) 15p;6)

Test linal 3l. Calculati: a\ 33+ 42- 2OO50: b\ 23.19+23.21-22.40:

c) lt62 - 144 - (zB - 255)l ].103

2. Conparafi [umerele:

a) 143 qi 183; b) 4a gi 35; c) 520 qi 74.

3. Allali numirul natural x, dacd 3+6+9+...+29'l=150x.

4. Suma a doud numere uaturale este 97. Afla{i cele douA numere gtiind ca

implr.tind pe unul la celahlt obuneo catul 5 fi restul 7.

5. Se dau numerele:24, 1O65,57, O,99, 735, 180, 1,3'1,51,2,91,732.

Enumerali numerele: a) divizibile cu 2; tr) divizibile cu 5; c) impare.

6. Aratali ca numdrul 52 . 6 + 52 -g + 52 . l0 este pAtrat perfect.

Barem Oficiu - 20p. 1) l5p;2) l5p;3) l0p;4) 15p;5) 15p;6) 10n.

Test final 4l. Calculagi:

n\ ZOOjo+ l2mt+ 82-33; b) 25.19+25.21-24.40:c) { [(t 2] +5'?) : l3l'? - 2' -Zo | :Z'

2. Cinlplrnti numerele: a) lrm gi l2or; b) (7?r)0 qi 7r; c) 4 3a 9i 28.

-1. DircA 4+8+ l2+. ..+396=200 x, determinati numdrul x.

4. Sunra a doui nunere naturale €ste 57. Aflali cele doui numere 5tiind cd

inplrlind pc unul lir cel5lalt obtirem catul 3 $i restul 9.

5. Se dau nu'nrerelc: 16, 1230,8'1 , 44,625,24O, 47 ,62,7 ,95 Si 7325.

Enumera.ti nunerele: a) divizibile cu 2; b) divizibile cu 5; c) impare.

74

F ^rnrrrlr

(l rrumdrul 42 '61+42 '2g+42 10este pahat pert'ecl'

lhrem oficiu - 2op. 1) 15p;2) l5p;3) 10p;4) l5p; 5) l5p; 6) l{)p'

irrl llnal 5"

ll t (l' rflrli: A\ 1992+1993 1992-1994'1991

b) [3 3'?'33 +2n t22s -(53)4 :stolisg

c) [(1+ 2+ 3...+99) 2+100]:103

ll ll) Aflafi cel mai mic numir de trei cifte care imPAr,tit la 25 si dea

llllrll l{.

b) Afla! cel mai mare numar de trei cifre care impirqit la 25 si dea

fitllll li

() Cete numere de trei cifre care impfu,tite la 25 sd dea restul 8 sunt?

,ll u) Determina$ numerele divizibile cu 3 cuprinse intre 20 9i 40'

b1 Determina$L numerele tle fo,-u StJiE '

{1{ irrr4rara$:

a) 42r 9i 816

c) 3leea gi 22eez -22eer

b) 250 9i 330

d) 52"+t -25, ti 33r*2 -z'1,

f,t Suru a 5 umere consecutive este de forma 1'r2"r ' Afla$ numerele'

it Allirti valoarea de adevir a propozi$ei, #[<tttttoot,r,

Barem ofrciu - 10p. 1) 15p;2) 15p;3) 20p; 4) 20p;5) 10p; 6) l0p

75

stanaaJ'l. Fie M mullimea animalelor care fac parte din fauna Romduiei 9i N mu\i_mea animalelor qare trEiesc il mu4ii Carpali.

a) Enurnerali cet mult cinci elem€nie ale mullimii M.b) Enurnerali cel pulin rrei elemente al€ nultimii N.c) Specifica{ dac6 exi$e elemenre ale mullmii M care sd aibi

habitatul fu ape, dend ex-emple in caz afirmativ.2. Scrie$ cu ajutorul diagamelor mullimea literelor din carc este abatuitcuvlntul: a) calculator; b) mobilier; c) instiurlie; d) gladiola.A Precizati care dinhe propozit'ite urmAtoare sunt adeydrate gi care suntfalse:

a)ae {a, e, i, o, u, 6, e, i} ; b):E {2,4,6}; c) 6e fi,S,g};a) 0e iD; e)zzre {xe{-r=d}; rl ste {".qze .ros+}

4. Scrieli analilic urmetaarele mullimi:n) Mullimea numerelor naturale cel mulr ega.le cu .5;

b) Mul$mea numerelor naturale cel pu$n egale cu g gi cel multegale cu 13:

c) MulUmen pAhatelor perfecte cel mult egale cu 25.5. Defini1i, intr-un mod analitiq, multimea vidi.

98

. lilumerali elementele unnatoarelor inultimi:a={re xla<.r<loJ; r={'e nlre < r< z:};c = {xe xlx+Z= a}; a={"eXlz.r+o=te};r = {re nl+x-3 < 5}; r={rexlr<zr+3<2r}.

7. Scrieli urmdtoarele mullimi specificind o proprietate caractedsdcA tuturor

clcmentelor sale pi apoi determinaf cardinalul celor finite:

A={aJ,2,3,4,5}i B=[5,16,17.r8,le]; c={0,2,4,6,s,..J;D=[,3,5,7,e,..]; c={0,5,10.15,20,...}.

Mediu

L Scrieli mullimile rcprezentate prin diagramele de mai jos enumerand

clcmentele lor, iar apoi specificand o proprietate caxacterbice ae€stora,

Stiind ca se pot sffie euvinte cu acesie litere:

$o /- \u

"\"/n'

2. Determinati cardinalul mu[imilor urm6loarc iar apoi scriejile specificind

o proprietate caracteristici tuturor el€mentslor lor:A = [,23,...,86]; B -{zt,zz,z3,...tazh c ={2,46,...ss};D --I9,2s,3t37,..-sslt s =8, t, tL rs" 19,...J9);

F = 12, to, tB, 26, 34,...,802) ; G = {0, t, 4 , s, t6, 25, 36, ...,t44l]

/r' ={0, L 8, 27, 64,12s, 216}.

3, Enumera;i elementele urmltoarelor multimi:

a={r.Nlr=sr+2,IeN,&<sf r = te nl.t = r'? -l, k e N, r c a];

, i, ^l ' ,,.,'|, o = f-. 1.1"""r. ultima ciiia a lui n

2J

I I rl lrrllrrrrrlL. A. lJ, C, D in aceastd ordine. Cardinalul fiecdrei mullimi,lrl'.r,i r u I lirtii dc cardinalul mul-timii alaturate. SA se arate ci in cele 4r rrrrllrr rr rru pot tl in total 125 de elemente.

Avansatl. Dercrminirti multimile:

LA Fqri,ceN.3+r,-q ' '70,-a,nj.r=te nlx,m, ="2m8 + zooTl lic = { I e Nlx - aDac, ri5. a + b + c + a. r,r + D + c este un numlr tbrmat din

cifie identice I

z. Deternilati multimea o M' etapa locali' Brnila' 2007

e = { -r e Nf l5(.r + y)= t+21 +22 + 23 +...+22N7 , .y = 28 +212 +

+116+ r ):utr4 |I

-]. Dererminari mulrimea A-te Nlzooz.(r",t _tx: /)_ 20070).

4. Dererrninari mutrimea / -F4^ I I l(a r-l, . , )-;,1

2.3. Relalii intre mullimi. Submullimi.

Mrrltimea A este inclusi in mullimea ts daci orice element al mullimii A

,r|irrtine gi rnullimii B. Se noteazd A c B sau B = A gi spunem cA A este o

srrbmultime a lui B.

l)irci in multimea A existd cel putin un element care sd nu apa4ili

rrrultinii B, atunci nullimea A nu este inclusi in nul.timea B gi se scrie

AcrB.

Multinea vida este suburultime a orichrei rnullirri, dica O c A, pentru

orice mul{ime A-

l)ouA multini sunt egale dacd au acelea;i elerrentc.

l)acd A = B, atunci AcB fi BcA fi reciproc, daci Acu fi BcAetunci A = B.

Standardl. t)recizali valoarea de adevir a propoziliilor urmdtoare:

a1 {2,+,s},- p.,s,+,s,6,7}; b) {0,2,4,6,8}r {4};

c) {r,:}c{r,2,+}: { a c{n,m,p}: e) 0e o: ft o c{0}r

9 {0,2,+,0,t}+ ft e Nlx este cifii parn}

2. Scrieti toate submullimile mullimilor: A - {a} , n = {a,b} , C = {a, b, c} .

-r. Stabilili valoarea de adevdr a propozigiilor: Ac-B,BcA,A=8, in

urnlAtoarele situatii:

at a-{-rlxe N,3<.r<7} ei a=frlre N,3<-r<7}r

I'r A - flr€ N.,, < s) pi 8-{.tlxe N. l<r<4}rc1 A = {xl-r e N,.r estecifri parn} qi I = {2,4,6,8}:

ot a-t1".N,,=*, ",s] ei r = {zz,+a,oo,ae}

4. Stabiliti ce relaue exista intre mul.timlle A gi B, C Si B, A gi C, dacd

A = { re Nl r este restul impi4tii unui numdr la 5}

6 - 1 x e Nl x este cifii in sistemul zecimal de numera{ie }

C = { x € Nl x este cifrt in sistemul de numera-tie in baza {l }.

, l, rl, .,/, r /,, N.i.,{

,' l, r l, {,r r)'.i, N'

.sJ,

,t<:]; r=f.n-lz.<o+):

5. Detcrminati valoarea de adevir a propoziliei ,, z1 - lj .,, unde

ll,-1,1"= ruri(s.)'',(s :' s^ s') _62s)

a = {"lxe N lri.r + 2"r + 3_r +... + 25 r .. l3{)0}

6, Detcrnrinati cel mai mic element al |nultinriie - f , rvl,, - 2a- 3,1 +...+15, =k,.;: ; -j

loo

O.M. etaps locali, S aj, 200?

l0t

,1,-

Mediul. Detern nafi valorile lui -r, asti'el incat propozilia urmatoare sd fieadeydratd:,,.4 c 8 ", unde,t = {t, t,g} qi B = I,2,3,4,5,6,7,8,g} .

2. Determinafi rumercle naturaie x $ y astfel incat {t, l:, r}= 1t, Z:, y;.

2.4. Operalii cu mulllml

Itrrrniunea rnul.timilor

/rr,/,rilie: Reuniunea mullimilor A 9i B, nota6AuE, este mulllllcrl lllllurx

,.lcrrcnlelor care apa4in cel pugin uneia din mul-timile A 9i B.

alr 6 = irlr. A sau xe Bj

I rl(rscctla multilnilor

tr,litilie: ktlerseclta mullimilor A gi ,8, notatd A n 8, este mullinea tutffor

rlcrudntelqr care aparti, n 9i mutimii A $i mul,timii B.

AnA=i-rlre A ;i -re B)

I )rrtri mul(imi snt disjuncte dacd intersecfia lor este mullimea vidd'

I rifcren{a mulfmilor

l\'linilie: Diferc$ mullimilor A gi ,8' nolata A\8 sau A-8, este mullimea

{rlluror elementelor care apa4in mul$mii A qi nu apar.tin mullimii B'r, I

416 ={xl xe A ti xe Bl

Olrservafie. A\ B + B\ A

Standardl. UtilizAnd diagramele urmetoare, afla.ti:

,@@g@a) AuB; CuD; EuF; CuH; HUI; GUI; GUHUI'

b) AnB; Cn D; EnF; G^H; HnI; GnI; GnHnI;C) A\B; B\A; C\D; D\C; E\F; F\E; G\H; H\G;

H\I; 1\ H; G\I; I\G.2. Se dau muliimile' A={a,b,c} , B ={b,c,d} 'c ={a,b,d}, p ={a,u,c,a} '

Enumerati elementele mul milor:'M =1rlr. e si re D]; ru = {*lxe B sau xe C};

3. Fie mul{inrilc: A = {,n,g,27} 9i a={xe Nlx=27:k,keN+}. Determi-

nali z, $tlbl ca ll = , .

4. a) Determinafi numdrul submult'milor multimii vide.

b) Dcterminati numdrul submulfmilor mullimilor cu 1,2,3 sat 4

e Iemente.

Determina$ cardinalul mulfmilor czre au 8, 16, 32 respectiv 64

submullimi.

O mul{ime poate avea l8 submullirni? Dar 128?5. Fiild date multim;1", 4={". XIA<"<f O},

a={"=xl zl'.rr e<'<15}, c={xe Nl e<r<rz}eilr I

D - {x e Nl x = I la0(2)..r € NJ, stabiliri ce relagi exisrd inrre orjcare doui

dintre acestea.

6. Fie mul{irnile: a = {rlr. N, 2 < 3.r+ 2 < 23} 9i

u = t l, = N, ) = "2,

r. aj. stuUiti6 valoarea de adevir a propozitiilor

,, A c 8",,, B c A",,, A = 8 ",,, A+ 8".

Avansat| *. Se dau mulqimite: ,4 -6-U"1*-n=tat 3b,cu a,h cifrein baza toj

B -Vbhalqb-7k.ke NJ. Stabiliti relaria dinrre cele doud nrulrimi.

2*. Se considerd muldmile: A={reNl:'(:*'f . osor}'

xl (t'm?+t2ms+z00zo+20080) <roz+| . eratali ca act.

c)

d)

B={,.

3+. se d6 -u,,tn,"u 4 = {nl,. N*,n < 100}. scrieli submullmea lui A care

sd cuprindd toate elementele cu un numdr inrpar de divizori.

lo2

N, Cristea, G.Mdl9El

103

rr-lrlrc{ yr rr /r}: r,={xlre,46ixeC};U - (rlr * t',rrrr r e D); n={xlxe A si xe A}

lndh:sll t{rllltllik 1rrin cnr.c se obf;ne fiecare dintre aceste mulfimi.l, Ilr rhrrr nnrtltrnitc. A =fr,,n,41, B =p.,4,6,s], c={r,:,s,Zj. nrectua6:

\l AwB, AvC,BuC:I,'I A.B, A.\C. B

^C:e),4\4, a\,4,A\C, C\.4, a\C, C\A;d\ AuBuC, A.\B.C:e) A\rA: B

^A; C\@: @\A.

4. Fie mullimile: A = {a,b,c,e}; B = {a,c, d, e, f};C ={b,", f, s}. Efectuali:

a) AvB: BwC: AwC:b) AnB; AaC:' BnC:cy ,tr-t(n ac); (e u r)n (a u c);d) e o(n w c); (a n r)u (a n c);e) A\(auc); (aur)rc;r) (arc)re; rr(cra); ,4\(B\c); (err)rc;

Mediul. Se dau multimile:A-{xeNl x=2t+t, k€N.k<7},8={_re Nl x=2fr.t e Nx. e <6}piC ={-re Nl x=3/r+2, &e N,1 < t < 5}. Calculali:

a) AuB, AuC, BuC;b) A^8, AnC, B^C;c) ,,4 \B a\.4,.4 \C, C\A, B\C, c\a:il) Aw BwC, AaBnC:

Z. pie A-fteN+l x<9], B={yeNl y esle cilul impdrtirii lui 36 tax gi

:reA|9i C={zeNl z=2k+1, Z<ksS, ke1r'}. Calculat':

a) AuB, Au C, BuC;b) AnB, A^C,B^C;c) A\4 B\A,,4\C, C\A,a\C C\a:d) AwBUC, A^B^C;

l. I )crerminali mult'mea M dacd U v{t,Z}= {t,Z,Z}. Gisiti toatc rohrllllr,

d. I )clenninali mulfmea A gtiind ci indeplinegte doui condifii:

lz.+.alw e = p.,+.a,* qi Iz,+,0\ o e = {2,+}

t. l)cterminat' mullmile M 9i N stiind cd indeplinesc, in acelaSi lintp

rrrrtliliile: M ^N

={1,23}t4e, ' y u 1'1 =fi,2,2,+}.

,r. l)clerminaF mullimile.4 9i a, gtiind ci indeplinesc simultan condiliile:

11 1 s = {a,b,c,d,e, f , s}: Ann={a,g}: A\B={c,e}

7. l)eterminali mullimile .A gi B astfel incat sd indeplineascE simultan

urratoarele condiSi ' Aw B =$,2,3,4,5]; enn--{t,z}1A\I={4,5}.tl. |iind date multimea A = {3,5,6,7}, determina{i mulfimea B Stiiud cn are 7

clcmente, toate numere naturale 5i surna elementelor mul{imii A este egala

cu suma elementelor mul$mii B. Efectuati AuB, AnB, A \ B, B \ A.il. Fie mu[imea A = {t,2,:,S,A,e}.

r) Determina$ mul{imea I c N gtiind cd suma elementelor mul$mii

A este egal5 cu suma elementelor mult'mii B gi cardB =1 + cardA.

b) Efectua$ AuB, AnB, A\B, B \A.

10. Fie A qi B doud mul$mi astfel incat card A = 8, card d = 6 $i

c rd( AnB ) = 3. Afla! card (A\B ) 9i card (,\A ).

ll. Mulfimea A are 13 elemente, mullimea B are 8 elemente ti BcA.Catculafi cardinalul mullimilorA\B 9i B \A.

12. Mu$mea A are 13 elemente, mullimea B are 8 elemente, unde A 5i B

sunt mult'mi disjuncte. Calcula$ cardinalul mullimilor A \ B 9i B \ A.

13. Mult'mea A are 8 elemente qi mul{mea B are 13 elemente.

a) Daca AwB are 16 elemenie, cete elemente a.re An,B?

b) Dacd ArlE are 6 elemente, cate elemente are AUB ?

14. intr-o clasi sunt 30 de elevi inscrigi la baschet sau atletism. Ambele

spofiuri sunt practicate de 12 elevi. Baschetul este jucai de 17 elevi. Cdli

elevi joacd doar baschet? Cd{i elevi practice atletismul?

15, Dir cei 24 de elevi ai unei clase 13 au medii maxime la romAni, iar 15 la

matematic6.

a) Cifi elevi au medii maxime la ambele materii?

105104

Ciili clcvi :nr nrcdii maxime doar la romdnd?

Cfili clcvi lu ntcdii maxime doar la matematce?

Avansall', I )clcn r riruli ulrllilnilc 4 9i B, daci satisfac simultan simultan relaliile:

r) (' rd AUB =cardAlr') a -lxe Nlzt<sx+z<zz|.

!'. I )rtclrrrirrali mul[imile A, .8, C care satisfac simultan condiliile:trl Aw BwC ={a.b,c};b) AcBcC:c) A^B

^C = O.

Artllf Bitiucl3'. Determinali mullimile disjuncte A 9i B, dacd sunt indeplinite simultan

condiliile: (,a) AUB=tje Nl x<2007f;

b) CardA = Card B;

c) Suma elementelor mulfimii A este egalA cu suma elementelor

multimii B;

d) Elementele mullimii,E sunt nunrere naturale consecutive.

etaF judet€an!, Arad 1999

4'. Se considerd mulgmile: a=[,2,2], B =It,4,i.a] $i C =I2.,3,b,8,4].

Determinati numerele a gi b, gtiind cd sunt indeplinite simultan condiliile:a) AuB ={1,2,3,4,7}; D B.\C =I.2,4}.

Aide Elena BtUucI

5". Detemrinati mult'mile X gi Y dac6 sunt intleplinite simultan condi.tiile:a) x u y = {5,6,7,8,9,10,n}:b) x .\y =16,7,10j:

c) X \Y+ (D;

d) Suma elemenielor din Y este un numdr impar.

Ion Dumitr€scu,cM.8/19E9

6*. Determinati mullimile X qi Y, dacl sunt indeplinite simulran condidile:

a) xnY={i,3,5};b) Y1Y ={2,+,a};c) Y\(x nr)- fi,e].

7'. lhterminati multimile A. B 5i C care indeplinesc simultan condiSiJe:

a) AuBuC-{xlxeN.rcl0}r

b) AaB= @;

c) CCB:d) A\c = i1,3,7);

e) rtc={s,l}.M. ii L Fota, G.M.6119E1

ll'. Determinali mul$mile A, B 5i C care satisfac simultan condigiile:

a) Aw BwC ={a,b,c,d,e};b) (aua)tc - {o,.};c) (.8 uc)\A = {c,d};d) (euc)tr = {a};

{ Anc =$.e}.e'. Fie mullimile a=tenl 238."<3'ul qi a=ivell r'z5 sv'zuti'

t)aci card A= a gi card B = b, comparati lumerele naturale a 9i b.

etapa locali, Brlila' 2007

10". Determina! numarul natural 4, astfel incdt reuniunea mullimilor

{7, a+5} $i {1,2a+11sd fre formate din trei elemente.

€trpa localtr,Teleornan' 20(,

ll*. se dau mullimile A = {5k + 2OO7 ,5k + 200tt,50ft + 2008'& € N} ti

s = ("'1r.1). o.t"r-inug ena.12'. pi, 4 = {t z,z, -..,2006}. Ardtali ca nu exis(d doui submullinri B 9i C ale

lui A astfel incet : B nC = @, B v C = A' iw suma elementelor mullimii B

sd fie egah cu suma elementelor mulfinrii C.

€tapa loctll, Olt 2lM

13.. Din cei 28 de elevi dintr-o clasA 14 sunt pasionali de muzica populard,

15 de muzica u$oara, iar 13 de cea clasici. $tiind cd 8 elevi sunt pasionali de

b)

c)

106 107

rlurlrn lxrlulnrll fi u$oafd,5 elevi de cea uqoari qi clasicd gi 3 elevi do

ltrplhln li llrrnir.0, iur 2 clevi de toate cele trei genuri, afla1i:nl ('llli clcvi surrt pasionali doar de muzica ugoard.

h) ('tl1i clcvi sunt pasiona! doar de muzica populard.

c) ('nli qlcvi sunt pasiona$ doar de muzica clasicd.tll ExistA elevi car€ nu sunt pasionati de nici unul dintre cele trei

genuri de muzic6?

I .1, $t i i nd ctr nrullimea A are a elemente, mullimea .B are D elemente qilllullirner .A LJB are o+c elemente, calcula.li c6te elemente are mul$meaA"]'R.

15. Fie multimileA=t. nlr<zr*tlqi a=t.xlzrffi <r<zr*r],Comparali cardiualele celor doud multimi.

Test 2.a

1. Formulati cdte un enunf care sd nu reprezinte o propozitie din punct devedere matematic, o propozi$e adeveratd $i apoi una falsd. pentru celedoud din urmd formulali negaliile lor qi apoi stabiligi valorile lor deadevir.

2. fueozali care dintre propozitiile urmitoare sunt adeydr.ate $i sare srmtfalse:

a) ,,5 este un divizor al lui 3O',

D ,,72 =u-c) ,,Catul lmper$rn numdrului 96 la t5 esre 6 ,i restul aceleiaSiimpardri este tot 6',

d) ,,90 = I - $i ,prin irnpi4irea numArului 52 la 3 se obfine catul 16 Sirestul 4"

e) ,,1 ori are 100 minute', 9i ,,1 km = 1000 m,,

f),,e.8=63"qi,,(rz)3 =zs -g) ,,ultima cifid a unui numdr par este 0,2,4,6,g,, sau ,,135 este numarimpar"

h) ,,numirul 18 este de lrei ori mai mare decal 6" sau ,,15 cntc pllltnl

pcrl'ect"

i) ,,9 = 33 " sau,, l)3 = {i,3}"j) ,,8 > 9" sau ,25; 3"

,t. StabiliF valoarea de adevar a propoziliilor urmitoare:

u) Dacd ,,2.3 = 6 " atunci ,,6 i2 "b) Daci,,52 = 25 " atunci ,,54 =50"c) Daci ,,23 < 15 " atunci ,,221 <2r5"

4. Determinali xe N astfel incdt propozifiile urmAto.tre selie adevdrate:

{ .,Ei<zzr"b\,,414ai5-c) ,,22'-t =28-d) ..(2+3.r)5 = (zr+6)5 "

e\ ,,1+2+3+...+ x=15"Barem Oficiu - 10p. 1) 25p;2) 30p;3) 15p; 4) 20p.

Test 2,b

l. a) Scriet' o mullime conlinend cel mult trei ora$e din Rominia;

b) Scrieli mullimea numerelor naturale cel mult egale cu 5;

c) Scrie! mullimea numerelor naturale cel pu{n egale cu 119 5i

cel mult egale cu 124;

d) Scrieli o mullime conlinAnd cel pu.tin doui pdtrate Perfecte

mai mici decit 25.

2. Fie mul$mil€ A = 11,2,3,4,5j 9i B = {0,2,4,6,s}. Preciza}i care dintre

propoziiile urmetoare sunt adeYerate ii care sunt false:

a) ,,3 € A "i ,,5€ B": ,,8e A"; ,,6e 8 ",b) ,,@c B"; ,,@e A": ,,8 c A";

c) ,,3e A"sau,,3e B"i ,,4e 8"sau,,5e A": ,,7e B" sart

,,5e n"1 ,,P.,6j c A" sau ,,{3,5}c r ";d'),,2e A" Ei,,2e 8 ",,,{:,+}c a " pi,, :e a ";,,{6,s}c B " ti

,,oe r";,,{0,1,2}c A" fi,,{4,6,8}d ^B ",

108 t(x)

Itltlllll vdkrsrfn (l! {.hvnr ulc propozitiilor:

ll llrll ,,lll antc cuh pfffect" atunci,,l25i3''bl lhcl ,, ll - (r" nlunci,,3a =12"cl |tdri,,.tr' =92 9i l, = (:r)'z" atun"i ,,3r= =br)t -

.lt lltc{,,.r = 4" atunci 2r-3=6 "llrrtcli ulrniltoarele mullimi enumer6nd elementele lor qi apoi stabilili

crnlinulul celor finite:,r = ftlre X,3x > 9);

Barern Oficiu - lOp. l) 20p;2) 25p; 3) 20p; 4) 25p.

Test 2.c

l. Stabiligi valoarea de adevir a propoziliilor urmetoare privind diagama

aleturatd:

a) ,,1e N'b) ,2e8"c) ,,3€ B"

d) ,,4e A" sau ,,4e B"e) ,,1e B" qi ,2e A'f) ,,4e B" si ,,4e A"

e) ,5e B" sau ,J4 4'.Formulali doud propozifii adsvirate Ei doui false, privind diagrama.de

mai sus-

Se dau mulfimil". ,4 = {xlxe N,r<7}, 6=fipeX,r<-r<OJ,C={.rl-reN*,x<6}. S"A4i

"r relatii se stat'ilesc lntre oricare doui

dintre cele trei mullimi.Fie mulfimile e =I,Z,Z,S,S| si I = f,2,4,6,8]. Efecruali _4 uB ,

AnA, A\8 9i a\A.Fie a=ixe xlacx<ft,/reN) 9i r={rexlr<x<tz,,te N}.Determinafi k€ N astfel incat A^B=[0i.Determinali mullimile X gi Y griind ci indeplinesc simultan condiliile:

t10

a) x uv = {0,r,2,3,a,s,6}; b) x nv =$,t,s}; O v\x =t0,2}.

Barem Oficiu - 10p.1) l2p;2) 8p; 3) 20p; 4) 15p;5) l5p;6) 20p.

Tsst 2.d

l. l)eterminali mulgry _ _o= tr . tl y <x,-rlZ + U + t r0= 576, .r este cifrd in buro r"u I

2. Se dau multimite a = t, vlx, y e N, 121,1 + 361,1 = 341,oy] $a = {xlx e n, Z.r-o < tO};

c ={{rE N,5<3.r-l< 20}; o ={xlxe x,x =z*,t <t}a = f,1.. n, + < (z + l)z"t : (z +t)2" < l, n. n). e.at"1i cd A c= B .

.r. Fiemugnrile,a={reNl.r=2ft,e<o}; a=t.nl t= zr,t .+}.

Efectuali A\JB, ,4oB, A\a 9i B\A.4. Fihd date mu$mile 4=p.s,',Oyj $i B=i16,25,y,4), aflafi

numerele naturale r gi y naturale astfel lncal AUB=A.,R.5. Aflaf mullimea X gtiind ci indeplinegte simultan condi$ile:

a) x n{a,b,c}={a,c};b) x u{a,b,c}={a,b,c,d,e, f}

6. Determina$ mulfimile X 9i Y gtiind ci indeplinesc simultan condifiile:

a) x vY ={a,o,c,a,e,7, g};

b) X.\Y =b.d,eI I

g la,u,1,a\x =lu,nj;d) f c{a,b,c,d,e, f}.

7, Reuniunea a doui mulfimi are 3 elemente, iar interseclia lol are doud

elemente. Calculad cale elemente are fiecare mullime.

Barem Ofrciu - 10p. 1) l0p;2) l5p; 3) l5p;4) 10p;5) l0p; 6) 20p;7) l0p.

111