1

ELECTROTEHNICĂ

Teoria circuitelor electrice

2

Capitolul 1.

1.1.Încadrarea teoriei circuitelor în electromagnetism

Numim circuit o mulțime de componente electrice și electronice interconectate în scopul realizării

unui anumit mod de prelucrare sau transmitere a unor semnale.

Numim sistem o mulțime de circuite, interconectate astfel încât se pot identifica perechi de borne

numite porți de intrare (intrări) și perechi de borne numite porți de ieșire (ieșiri).

În vorbirea comună a transmite sau a recepționa un semnal este sinonim cu un stimul sau o

informație la care se reacționează într-un anume fel (printr-o acțiune sau o nonacțiune). Același lucru

se întâmplă și în cazul circuitelor electrice, doar că aici semnalele sunt de natură electromagnetică.

Se poate vorbi despre prelucrări simple, ca redresarea sau filtrarea ajungându-se până la prelucrări

complexe de tipul codării sau compresiei semnalelor, după cum se poate vorbi și despre transmisii

simple începând cu transferul semnalului de la sursă către sarcină pe distanțe scurte și terminând cu

comunicațiile celulare sau transmisiile prin satelit.

De reținnut că aceste semnale pot fi constante în timp (de exemplu semnalele de curent continuu)

sau variabile în timp (periodice sau nu, deterministe sau aleatoare).

Din matematică se cunoaște că orice funcție de timp periodică care satisface condițiile lui Dirichlet

(este netedă pe porțiuni, adică mărginită cu un număr finit de discontinuități și un număr finit de

subintervale de monotonie), se poate descompune într-o serie Fourier care conține componente de

anumite frecvențe. Aceste frecvențe generează așa numitul spectru al funcției date, care în cazul unei

funcții periodice reprezintă un spectru discret. Prin analiză armonică se poate obține spectrul de

frecvență, care permite aprecierea ponderii energetice a fiecărei componente armonice a unui semnal

dat, precum și spectrul de fază ale semnalului.

Dacă semnalul nu este periodic seria Fourier se înlocuiește cu transformata Fourier, care furnizează

informații despre semnal sub forma unor spectre continue și anume funcția de densitate spectrală a

modulului, care de această dată permite aprecierea ponderii energetice a fiecărei frecvențe dintr-un

domeniu (bandă) continuu de frecvențe respectiv funcția de densitate spectrală a fazei unui semnal

la fiecare frecvență.

De aceea frecvența, respectiv spectrul discret sau continuu de frecvențe ale unui semnal reprezintă

o informație deosebit de utilă în alegerea metodelor de tratare ale circuitelor pe care sunt traficate

semnalele.

Teoria circuitelor dezvoltă două direcții de aplicații și anume:

- tehnica curenților tari (circuite și echipamente de forță), care fac obiectul preponderent al

prezentului demers

- tehnica curenților slabi (transmisia de informații, comunicații, sisteme automate)

Teoria circuitelor are la bază cunoștințe de electromagnetism și cunoștințe specifice de

matematică.

Este interesant de observat faptul că teoria electromagnetismului reușește să adune împreună

fenomene foarte diverse din electrotehnică, iluminat sau instalații electrice, electronică, unde radio

etc. Multiplele fațete ale electromagnetismului se datorează tocmai comportării diferite a undelor în

funcție de frecvență și a reacției materialelor la acestea.

Pentru ingineri în general noțiunea de electromagnetism gravitează în jurul liniilor de transmisie a

energiei electromagnetice, a antenelor și a undelor radio.

Totuși, această lume electromagnetică descrie și o altă clasă largă de fenomene, de la razele X, la

optică și radiațiile termice, toate la un loc baleind spectrul electromagnetic. În cadrul cursurilor de

fizică se precizează că toate aceste fenomene au ceva în comun și anume undele electromagnetice.

Chiar și profanii din punct de vedere tehnic sunt familiarizați cu acest concept și cu spectrul

electromagnetic care se întinde de la circuitele electrice și electronice spre circuitele de radiofrecvență

și infraroșii, lumina vizibilă terminând cu ultravioletele și razele X. În general se spune că toate aceste

unde diferă doar prin frecvența lor. Totuși chiar și pentru mulți dintre ingineri, devine complicat să

3

vadă prea multe elemente comune de-a lungul spectrului electromagnetic exceptând faptul că este

guvernat de aceleași ecuații matematice și anume ecuațiile lui Maxwell.

Totuși de ce ar fi lumina vizibilă atât de diferită de undele radio? Poate pentru că nimeni nu a auzit

de antene pentru lumina vizibilă, sau poate pentru că nimeni nu a ajuns să fabrice lentile în banda

radio FM sau TV.

Din nou răspunsul simplu ar fi acela că au frecvențe diferite, dar prin el însuși acest răspuns este

lipsit de utilitate, deoarece frecvența nu este singura caracteristică.

O undă electromagnetică se caracterizează printr-o frecvență f dată (adică numărul de oscilații

dintr-o secundă), o perioadă f

T1

= , o lungime de undă f

c= dată (c=3∙108 m/s, viteza luminii în

vid) dată și o cuantă de energie (foton) fhE = dată (E reprezintă valoarea minimă de energie care

poate fi transferată la frecvența f, iar h reprezintă constanta lui Planck). În funcție de aplicație, una

dintre aceste patru valori interdependente devine mult mai utilă decât celelalte în caracterizarea

undelor electromagnetice.

Pentru analiza liniilor de transmisie digitale, este utilă compararea timpului de creștere a

semnalului cu cel de scădere a acestuia. Pentru antene este de regulă mult mai intuitivă compararea

lungimii de undă a semnalului cu lungimea antenei. Dacă se examinează rezonanța și relaxarea

dielectricilor este mai utilă compararea frecvenței undelor cu frecvența de rezonanță a dipolilor

microscopici. Când însă interesează interacțiunea cu materia a razelor infraroșii vizibile, a

ultravioletelor sau razelor X, este cel mai adesea necesară referirea la energia fiecărui foton raportată

la energia electronilor orbitali din atomi.

Un concept important care ajută la înțelegerea electromagnetismului este acela de lungime

electrică, mărime adimensională care se referă la lungimea unui conductor sau dispozitiv la o anumită

frecvență dată. Ea mai este definită ca raportul dintre lungimea fizică a dispozitivului și lungimea de

undă corespunzătoare frecvenței semnalului: lungimea electrică = L/λ.

Se consideră spre exemplu o antenă de 1 m lungime. La 1 kHz această antenă are o lungime

electrică de aproximativ 3x10-6 m. Altfel spus, în unități de lungime de undă, 1 metru de antenă

măsoară 3x10-6 m la 1 kHz. Deci la 1 kHz antena este electric scurtă.

Totuși la 100 MHz, frecvență radio, antena are o lungime electrică de 0,3 m, deci este considerată

electric lungă. În general, orice dispozitiv al cărui lungime electrică este mai mică de l/20 poate fi

considerat electric scurt.

La frecvențe audio și sub acestea, < 20 kHz, undele electromagnetice au lungimi de undă foarte

mari. Lungimea de undă este în mod uzual mult mai mare decât lungimea oricăruia dintre

conductoarele utilizate în circuit. (O excepție ar putea-o constitui doar liniile telefonice lungi).

Atunci când lungimea de undă este mult mai mare decât lungimea conductoarelor, se pot aplica

legile de bază ale teoriei circuitelor nefiind necesară introducerea teoriei electromagnetismului.

Peste această lungime circuitele devin structuri radiante, radiind energie electromagnetică ce se

desprinde efectiv de structura generatoare și se propagă în spațiu sub forma unor unde

electromagnetice.

Un alt mod de a privi circuitele la joasă frecvență este acela că perioada (inversul frecvenței)

undelor este mult mai mare decât întârzierea prin conductoare. Ce ar putea însemna întârzierea în

conductoare? Când se lucrează în joasă frecvență se uită foarte ușor că de fapt semnalele electrice

sunt transportate prin unde și că acestea se deplasează cu viteza luminii, care chiar dacă este foarte

mare, nu este infinită. Astfel, chiar și atunci când se „aprinde lumina”, apare o întârziere înainte ca

becul să primească tensiune. Aceeași întârziere apare și atunci când se ascultă muzică în difuzoare.

Această întârziere este însă prea mică pentru percepția umană fiind ignorată de fiecare dată când

aproximăm un conductor cu un circuit electric scurt. Întârzierea în raport cu viteza luminii apare de

asemenea pe liniile telefonice, în care de această dată se pot percepe ecouri notabile (> 50 ms) în

cazul în care conexiunea este de lungime mare sau dacă se utilizează un satelit de transmisie.

4

Purtătoarele de mare distanță utilizează circuite electronice pentru suprimarea ecoului pentru

convorbirile internaționale.

Întârzierea vitezei luminii devine foarte importantă când se proiectează circuite RF sau de mare

viteză. De exemplu, la proiectarea unui sistem digital cu impulsuri cu timpi de creștere de 2 ns, un

cablu de 2 m introduce deja o întârziere semnificativă.

Electrotehnica și electronica reprezintă până la urmă științele proiectării sistemelor și

echipamentelor care utilizează circulația electronilor.

Electronii, de dimensiuni mici, încărcați cu sarcină negativă sunt liberi să se deplaseze în interiorul

conductoarelor. Datorită acestui fapt se poate deseori aproxima circulația electronilor cu curgerea

unui lichid. Este foarte comună utilizarea analogiei cu curgerea laminară a apei printr-o conductă.

Presiunea este analogă tensiunii electrice, iar curgerea apei analogă curentului electric. Pierderile prin

frecare în conductă sunt analoge rezistenței electrice. Căderea de presiune în conductă este

proporțională cu viteza de curgere multiplicată cu constanta de frecare a conductei. În termeni de

electricitate rezultă legea lui Ohm, deci căderea de tensiune de-a lungul unui element este egală cu

curentul care trece prin elementul de circuit respectiv, înmulțit cu rezistența elementului, Riu = .

Fie o pompă care preia apă, o transportă printr-o conductă și apoi eventual o recirculă înapoi în

rezervor. Apa din rezervor este considerată a fi la potențial zero, analog cu o referință sau o masă

electrică. Pompa este conectată la rezervorul de apă, producând presiunea necesară curgerii apei.

Pompa este analogă unei surse de tensiune electromotoare. Apa curge prin conducte unde apar frecări

care determină pierderi de presiune, după care revine în rezervor.

Din perspectivă energetică pompa reprezintă sursa de energie pentru apă, iar conductele pierderile

de energie prin frecare, pierderi care se transformă în căldură. Această analogie este evident una

aproximativă chiar și în curent continuu. Totuși teoria de bază a circuitelor poate fi gândită de aceeași

manieră.

Curentul circulă pe o buclă și este guvernat de teorema a II-a a lui Kirchhoff care spune că suma

tensiunilor în orice buclă este zero. Cu alte cuvinte pentru fiecare cădere de tensiune trebuie să existe

o sursă de tensiune corespunzătoare. Curentul circulă pe un traseu închis, iar totalul surselor de

tensiune pe traseul închis respectiv este întotdeauna egal cu tensiunea totală la bornele consumatorilor

(rezistoare, condensatoare, motoare, etc.). Teorema a II-a a lui Kirchhoff este de fapt o consecință a

conservării energiei.

Teorema I a lui Kirchhoff spune că atunci când două sau mai multe laturi de circuit converg,

curentul total este egal cu zero. Aceasta este chiar conservarea curentului, sau precis conservarea

sarcinii. În analogia hidraulică aceasta s-ar traduce prin aceea că apa nu poate părăsi sistemul, deci

cantitatea totală de apă din sistem rămâne constantă.

O altă regulă a bazei teoriei circuitelor este aceea că elementele de circuit sunt conectate prin

conductoare ideale. Conductoarele sunt considerate perfecte și de-a lungul lor nu apare cădere de

tensiune. De aceea conductoarele care leagă două elemente de circuit sunt considerate a fi la același

potențial electric.

Atunci când însă se operează cu circuite de radiofrecvență sau de frecvență ridicată este foarte

importantă însă o bună înțelegere a electromagnetismului. La aceste frecvențe, trebuie înțeles că

analogia electronilor care se comportă ca apa care curge printr-o conductă nu mai este de mult o

realitate. Circuitele sunt caracterizate de conductoare metalice care servesc doar ca ghid pentru

energia electromagnetică. Energia circuitelor (deci a semnalelor) este purtată între fire şi nu în

interiorul acestora.

Ca un exemplu se consideră liniile de alimentare de joasă tensiune care alimentează consumul

casnic la 50 Hz. Energia este transportată în câmpul electromagnetic dintre fire, lucru uneori confuz

și greu de acceptat pentru proiectanții de circuite. Mai mult, electronii din conductoare nu sunt mișcați

în adevăratul sens al cuvântului ci sunt doar deplasați înainte și înapoi cu viteze mici de ordinul a

câțiva mm/secundă și prin această deplasare ei propagă energia câmpului de-a lungul firelor

conductoare.

5

O analogie bună poate fi aceea a unor voluntari care utilizează găleți pentru stingerea unui

incendiu. Un șir indian, analog electronilor interpus între sursa de apă (sursa de semnal) și foc

(sarcină, consumator), dau gălețile din mână în mână de-a lungul liniei din om în om. Apa va stinge

focul. Oamenii sunt acolo doar pentru a da găleata de-a lungul șirului. Similar, electronii servesc doar

pentru a trece semnalul electromagnetic de la sursă către sarcină. Acest lucru este adevărat pentru

toate frecvențele, de la curent continuu, la joasa frecvență până la înalta frecvență.

Mai mult, la frecvențe de microunde, în domeniul GHz, teoria circuitelor nu mai este absolut deloc

folositoare. În loc a privi circuitele ca niște electroni curgând prin conductoare este mult mai util să

ne gândim la circuite ca la structuri care ghidează și cuplează undele electromagnetice. La aceste

frecvențe elementele de circuit concentrate, ca rezistoarele, condensatoarele și inductivitățile sunt cel

mai adesea neviabile.

Ca un exemplu, lungimea de undă în spațiu liber pentru un semnal de 30 GHz este de 1 cm. De

aceea componentele însele au dimensiuni mult mai mari sau comparabile cu lungimea de undă, deci

sunt electric lungi și nu se comportă cum ar fi dorit. Noțiunile de tensiune electrică și curent electric

nu se mai utilizează. Această situație începe să se apropie de optică, începând să se vorbească despre

putere transmisă și reflectată în loc de tensiune și curent.

Actualmente domeniul infraroșu al spectrului este acela în care are loc tranziția dintre electronică

și optică. Porțiunea inferioară a domeniului, numită „infraroșu îndepărtat” (far infrared) reprezintă o

extensie a domeniului microundelor. La origine, extremitatea superioară a domeniului microundelor,

300 MHz, a fost considerată cea mai ridicată frecvență viabilă pentru electronică. Odată cu progresul

tehnologic însă limitele electronicii s-au extins și în infraroșu. Lungimile de undă din infraroșu sunt

de sub 1 mm, implicând faptul că până și un fir de 1 mm este electric lung și radiază energie de la

curenții electrici care îl parcurg. Din acest motiv miniaturizarea nu mai reprezintă un „moft”, fiind

absolut obligatorie.

La momentul actual s-a ajuns la experimentarea unor circuite integrate de câțiva terasezi (1012 Hz)

iar circuitele digitale de ordinul zecilor de GHz au ajuns deja să se comercializeze pentru aplicații în

comunicații. Dispozitivele de terasezi au fost create cu câțiva zeci de ani în urmă prin utilizarea

tehnicii vidului în tuburi, dar evident că acestea nu erau viabile pentru componente de tehnică de

calcul. A face dispozitivele digitale să treacă pragul vitezei teraherzilor va reprezenta fără îndoială o

mare provocare.

Doar timpul va hotărî care va fi limita ultimă de viteză pentru electronică. Ceea ce este însă aproape

sigur este aceea că limitele electronicii vor fi atinse undeva în domeniul infraroşu.

Efectele cuantice, cum ar fi efectul tunel cauzează de asemenea probleme în infraroșu. Proprietățile

celor mai multe materiale încep să se modifice în infraroșu. Conductoarele își schimbă proprietățile,

dielectricii au pierderi mari. Chiar și dielectricii transparenți în domeniul vizibil al spectrului, cum

sunt sticla, devin opaci în infraroșu. Fotonii din infraroșu devin comparabili cu fotonii la frecvențe

radio și chiar mai jos de acestea, putând excita frecvențe de rezonanță în materiale. O altă

caracteristică a infraroșului este aceea că maximul radiației de căldură apare în infraroșu pentru

materiale între temperatura camerei 20˚ C și câteva mii de grade Celsius. Aceste caracteristici fac ca

materialele să absoarbă și să emită radiații în infraroșu. Acesta este și motivul pentru care omul poate

simți radiația în infraroșu. Căldura simțită de la lămpile cu incandescență este în cea mai mare parte

radiație în infraroșu, fiind absorbită foarte ușor de corpul uman.

La frecvențele luminii vizibile, cresc pierderile pentru mai mulți dielectrici. Sticla spre exemplu

este potențial fără pierderi în raport cu lumina vizibilă fapt pentru care este transparentă. Deoarece

ochiul uman este în cea mai mare parte apă, iar apa este transparentă în spectrul vizibil, permite

vederea. În caz contrar ochiul uman ar fi opac și nu ar mai fi folositor. Coeficientul de absorbție al

apei creste însă cu mai mult de șapte ordine de mărime spre fiecare extremitate a benzii vizibile a

spectrului. Deci ar fi imposibil să se creeze ochi pe bază de apă pentru oricare altă parte a spectrului.

Toate creaturile dotate cu vedere exploatează această regiune îngustă a spectrului!

La frecvențe vizibile, se poate utiliza aproximațiile opticii geometrice. Aceste aproximații devin

valide atunci când obiectele utilizate devin mai mari decât o lungime de undă. Această frecvență

6

extremă este opusul aproximației teoriei circuitelor. Aproximația este uzual numită rază deoarece

lumina poate fi aproximată cu raze sau flux de particule. Newton care a dezvoltat optica geometrică

a argumentat cu tărie că lumina constă din particule şi nu este o undă. Huygens a dezvoltat teoria

ondulatorie a luminii și experimentele au susținut-o.

Cele mai multe fenomene din vizibil, inclusiv vederea umană pot fi studiate cu ajutorul opticii

geometrice. Teoria ondulatorie a luminii este uzual necesară pentru a studia difracția și lumina

coerentă (baza laserilor). Teoria ondulatorie este necesară de asemenea pentru a explica limitele de

rezoluție a sistemelor optice. Un microscop care utilizează lumina vizibilă va putea avea rezoluție

pentru obiecte până la o anumită lungime de undă și sub aceasta.

În domeniul ultraviolet de frecvențe și peste (raze X, etc.) fiecare foton devine atât de energetic

încât poate scoate electronul de pe orbita sa. Electronul devine liber și atomul ionizat. Moleculele

care absorb aceste energii mari ale fotonilor pot pierde electronii ceea ce face ca ele să se lege între

ele. Se produc ionii și moleculele înalt reactive numite radicali liberi. Aceștia determină modificări

celulare putând conduce la cancer și la distrugerea țesuturilor biologice. Fotonii din vizibil și

infraroșu pe de altă parte sunt mult mai puțin energetici cauzând numai încălzirea moleculelor. Se

simte încălzirea de la radiația infraroșie a soarelui. Se vede lumina radiației vizibile a soarelui. Pielea

este arsă de radiațiile ultraviolete ale soarelui.

Fotonii razelor X, fiind puternic energetici sunt chiar mai dăunători. Cele mai multe materiale sunt

în asemenea măsură transparente la razele X, încât permit fotografierea cu raze X dând posibilitatea

omului de a vedea prin obiecte. Dar atunci când razele X sunt absorbite, ele determină distrugerea

celulelor, motiv pentru care nu se recomandă decât expunerea limitată la razele X. Lungimea mică de

undă a razelor X este utilă pentru studiul cristalelor, utilizându-se efectele de difracție (ocolire a

obstacolelor). Deasupra razelor X din punctul de vedere a energiei, se situează radiațiile gama și

radiațiile cosmice. Aceste radiații de energie extrem de mare apar numai în fenomene de înaltă energie

cum ar fi coliziuni de particule în centrale nucleare, bombe atomice sau stele.

Circuitele pot fi create pentru a transmite, amplifica și filtra semnalele, digitale sau analogice, cum

ar fi spre exemplu cele de voce sau date. Dorința de a împinge circuitele spre frecvențe tot mai înalte

este determinată de două aplicații: calculatoarele și liniile de comunicații.

Pentru calculatoare frecvențe mai ridicate înseamnă operare mai rapidă și putere de calcul mai

mare într-un timp rezonabil. Pentru comunicații, frecvențe mai ridicate înseamnă însă lățime de bandă

mai mare.

Mitingul acestora este dat de oscilatoare. Computerele sunt în general sincrone și necesită un

semnal de ceas. Liniile de comunicații necesită o purtătoare pentru modularea informației transmise.

De aceea, o nevoie esențială pentru progresul electronicii este aceea de a crea oscilatoare, care servesc

ambelor categorii de aplicații.

În ultimii zeci de ani, fotonica a început să devină o alternativă la electronică, mai ales în

sistemele de comunicații. Laserii și fibra optică sunt utilizate pentru a crea și transmite impulsuri de

o lungime de undă dată a luminii. În termeni de optică o sursă de frecvență unică este cunoscută sub

numele de sursă coerentă. Laserii produc fotoni sincronizați sau coerenți. Lumina întâlnită în viața

de zi cu zi, de la soare sau becuri nu este una coerentă. Dacă ar putea fi privită la un osciloscop aceasta

ar arăta mai mult ca un zgomot. De fapt lumina vizibilă utilizată pentru a vedea este un zgomot- și

anume zgomotul termic al obiectelor calde, cum ar fi soarele sau filamentul becurilor. Termenul de

„zgomot alb” provine de la faptul că zgomotul optic conține toate frecvențele (culorile) vizibile

rezultatul fiind culoarea albă. Același tip de zgomot alb apare și în rezistoare și toate elementele de

circuit.

Cele mai multe dispozitive de captarea imaginii, cum ar fi camerele de luat vederi sau ochiul uman

utilizează media pătratică a amplitudinii luminii recepționate. (Examinarea la nivel cuantic arată că

dispozitivele de captare a imaginii nu sunt altceva decât detectoare/numărătoare de fotoni.) Medierea

permite utilizarea de semnale zgomotoase pentru a vedea, dar din cauza medierii se pierd toate

informațiile legate de fază. Pentru crearea de dispozitive sofisticate de comunicații, o astfel de lumină

7

nu este potrivită. În locul acesteia se utilizează lumina coerentă de frecvență unică furnizată de laseri,

aceștia făcând posibilă comunicația prin fibra optică.

Până recent, limitarea majoră a fotonicii era aceea că semnalele de impuls ale laserilor trebuiau

convertite în semnale electronice pentru orice fel de procesare. De exemplu, în echipamentele de

comunicații de date, funcțiile majore sunt comutarea, multiplexarea și rutarea datelor între cabluri,

funcții care în trecut puteau fi realizate numai de semnalele electronice. Aceste cerințe limitau lățimea

de bandă a cablului de fibră optică la lățimea de bandă electronică maxim disponibilă. În ultima

vreme, odată cu progresele înregistrate în multiplexarea și comutarea optică o serie de sarcini pot fi

realizate prin intermediul fotonicii.

Creșterea exponențială a vitezelor de transmisie a fost determinată de tehnologia fibrelor optice.

Ultima realizare a fost determinată de crearea de echipamente care să poată ruta protocolul de Internet

utilizând numai fotonica. Aceasta va conduce probabil spre computerul optic, care va determina

progrese fantastice în viteză comparativ cu calculatoarele electronice de astăzi.

În concluzie se poate spune că pentru diferitele porțiuni ale spectrului electromagnetic se folosesc

diferite tehnici și diferite aproximații, iar teoria circuitelor reprezintă o aproximație pentru circuitele

de joasă frecvență care funcționează când circuitele sunt electric scurte.

Deci, pentru diferitele porțiuni ale spectrului electromagnetic se folosesc diferite tehnici şi diferite

aproximații. Criteriul care separă metodele de studiu îl reprezintă lungime electrică.

Teoria circuitelor reprezintă o aproximație pentru electrotehnica și electronica de joasă frecvență,

care funcționează când circuitele sunt electric scurte, adică dimensiunile lor fizice sunt mult mai mici

decât lungimea de undă a semnalelor care le parcurg. Atunci când lungimea de undă este mult mai

mare decât lungimea conductoarelor, se pot aplica legile de bază ale teoriei circuitelor nefiind

necesară introducerea electromagnetismului.

Peste aceste frecvențe, când conductoarele devin electric lungi, teoria radiofrecvenței (RF) preia

teoria circuitelor și îi adaugă câteva concepte de electromagnetism. Teoria RF se ocupă de calculul

efectelor în liniile de transmisie și de radiația antenelor. La frecvențe de microunde proiectarea

circuitelor cu elemente concentrate cum ar fi R, L, C, este imposibilă deoarece lungimile de undă sunt

mult prea mici. Se utilizează tehnicile distribuite pentru a ghida și procesa undele. În infraroșu deja

nu mai putem proiecta circuite. Lungimile de undă sunt excesiv de mici ceea ce face imposibilă

utilizarea elementelor active cum sunt tranzistoarele iar cele mai multe materiale încep să aibă

pierderi, absorbind sau radiind energie electromagnetică.

La frecvențele luminii vizibile, lungimile de undă sunt mult mai mici decât obiectele obișnuite pe

care le poate observa ochiul uman. În acest domeniu se utilizează aproximația opticii geometrice.

Optica geometrică reprezintă limita teoriei electromagnetismului pentru care lungimea de undă

devine infinit mai mică decât dispozitivele utilizate.

La frecvențe peste cele luminoase, fotonii devin înalt energetici, capabili să rupă legăturile

moleculare și să determine leziuni ale țesuturilor umane.

1.1.1.Regimurile de funcționare și aproximațiile circuitelor electrice

Din punct de vedere macroscopic, sunt puse în evidență următoarele regimuri de funcționare a

circuitelor electrice:

- Regimul static, în care nu se produc transformări energetice iar mărimile sunt constante în

timp; fenomenele electrice și cele magnetice nu sunt interdependente, analiza acestora putând

fi abordată separat.

- Regimul staționar, în care mărimile electrice nu variază în timp, dar au loc transformări

energetice în sistem, determinate de deplasarea ordonată a sarcinilor electrice.

Curentul continuu reprezintă exemplul cel mai relevant pentru regimul staționar, acesta

existând doar sub forma curentului de conducție sau de convecție.

- Regimul nestaționar (variabil), reprezintă cazul cel mai general de variație a mărimilor

electrice.

8

În regimul nestaționar pe lângă curentul de conducție și convecție poate exista și curentul de

deplasare, care circulă prin dielectrici.

- Regimul cvasistaționar, în care variația în timp a mărimilor electrice este suficient de lentă,

astfel încât radiația câmpului electromagnetic poate fi neglijată.

Studiul circuitelor electrice prin metode simple, se poate face dacă sunt îndeplinite următoarele

condiții:

- regimul cvasistaționar de funcționare al circuitului,

În regim cvasistaționar mărimile de stare electrică și magnetică asociate elementelor

(componentelor) de circuit variază lent în timp (cu frecvență scăzută) cu o viteză mult mai mică decât

viteza lor de propagare, determinată după cum s-a văzut în paragraful anterior de lungimea electrică

a circuitelor.

În regim cvasistaționar curenții electrici de deplasare se neglijează peste tot cu excepția

dielectricului condensatoarelor. Condiția pentru a putea considera acest regim depinde numai de

frecvența semnalelor din circuit.

- caracterul filiform al unui circuit,

Acesta presupune a considera intensitatea curentului repartizată uniform pe secțiunea

conductorului. Această condiție depinde de asemenea de frecvență fiind mai restrictivă chiar decât

prima, deoarece atunci când ea nu este îndeplinită se modifică parametrii care caracterizează circuitul,

valorile acestora fiind dependente de frecvență.

Circuitul se poate considera filiform dacă este îndeplinită condiția:

al

=

(1.1.)

în care a reprezintă raza conductorului, σ - conductivitatea conductorului, μ - permeabilitatea

magnetică a conductorului, ω=2πf - pulsația (f - frecvența), iar δ poartă numele de adâncime de

pătrundere a câmpului electromagnetic în conductor.

Denumirea de adâncime de pătrundere reflectă așa numitul efect pelicular, care se traduce prin

faptul că un câmp electromagnetic, respectiv curentul care îl generează nu se repartizează uniform pe

secțiunea conductorului, acesta din urmă circulând într-o primă aproximație doar pe o coroană

circulară de adâncime δ.

- caracterul perfect izolant al dielectricului (izolației) din jurul circuitului,

Acesta presupune că nu există scurgeri de curent de conducție între două componente, oricât de

apropiate ar fi acestea în spațiu.

1.2. Semnale electrice

Literatura de specialitate abundă în definiții ale semnalului, de regulă subsumate scopului principal

urmărit în studiu.

Semnalul, în cea mai largă accepțiune a noțiunii, este o manifestare fizică (undă

electromagnetică, undă sonoră, etc.) capabilă a se propaga printr-un mediu dat. În sens restrâns

semnalul exclude acele manifestări care dăunează mediului de transmisie, adică perturbațiile care

reprezintă semnale care modifică semnalul aleator util, micșorând cantitatea de informație transmisă.

Prin restrângerea și mai mult a domeniului numai la semnalele deterministe, caracterizate de

funcții matematice certe, de variabilă timp, definite printr-un număr finit de parametri și pentru care

interesează mai puțin conținutul în informație a semnalului, prin semnal se va înțelege o mărime

electrică sau electromagnetică măsurabilă care se modifică în timp.

Din punctul de vedere a teoriei circuitelor, semnalul electric reprezintă o mărime fizică (de tip

tensiune sau intensitate de curent) cu ajutorul căreia se transmit informații, comenzi, energie

electromagnetică etc., fiind o funcție de timp din punct de vedere matematic.

Studiul proprietăților semnalelor electrice vizează următoarele aspecte:

- determinarea spectrului unui semnal și a mărimilor sale caracteristice

- determinarea puterii și energiei transmise printr-un semnal

9

- determinarea răspunsului unui circuit la un semnal dat

Evident, cel mai simplu semnal este semnalul continuu, constant în timp, formă particulară de

semnal variabil.

Există trei structuri de bază pentru transmiterea unui semnal electric între două puncte:

- linii de transmisie conductoare

- ghiduri de undă

- antene

1.2.1.Semnale periodice

Semnalele periodice reprezintă semnale variabile în timp care se repetă identic cu ele însele la

intervale egale de timp și pot fi descrise de o funcție periodică:

( ) ( ) )( nTtiTtiti +=+= (1.2.)

în care T [sec.] reprezintă perioada semnalului fiind intervalul de timp după care semnalul se repetă.

(Fig. 1.1)

Fig. 1.1

Numărul de perioade cuprinse în unitatea de timp se numește frecvență T

f1

= și se măsoară în Hz

(secunde-1).

Pulsația sau frecvența unghiulară a semnalului periodic este: T

f

2

2 == și se măsoară în

rad/sec sau sec-1.

Legătura 2=T arată că pe timpul unei perioade T faza semnalului se modifică cu 2π.

1.2.2. Semnale alternative

Semnalele alternative reprezintă un caz particular de semnale periodice

Semnalele alternative sunt semnale periodice a căror valoare medie pe o perioadă este nulă.

Mărimile caracteristice ale unui semnal alternativ sunt:

- valoarea instantanee i=i(t) reprezintă valoarea pe care o ia semnalul i(t) la un moment

oarecare t în evoluția semnalului, fiind dată analitic prin expresia i(t) sau prin graficul ei

- valoarea de vârf i reprezintă cea mai mare valoare instantanee atinsă într-o perioadă (această

mărime este importantă pentru semnalele de tip tensiune deoarece o supratensiune instantanee

poate fi periculoasă pentru elementele de circuit, ea solicitând de regulă izolația

echipamentelor caracterizată de tensiunea de străpungere)

- valoarea medie Imed reprezintă media aritmetică a valorilor instantanee pe intervalul de

mediere. Pentru intervalul de timp (t1,t2) media este:

( )dttitt

I

t

t

med −=

2

112

1 (1.3.)

10

- valoarea medie redresată reprezintă valoarea medie a semnalului ( )ti , în care datorită

funcției modul alternanțele negative au fost rabătute simetric față axa timpului, operație care

în electrotehnică (electronică) poartă numele de redresare, iar semnalul ( )ti se numește

semnal redresat

( )dttitt

I

t

t

medr −=

2

112

1 (1.4.)

Obs.: Conform definiției valoarea medie a unui semnal alternativ pe o perioadă trebuie să fie zero,

ceea ce revine la egalitatea ariilor alternanței pozitive și negative, închise de graficul semnalului și

axa timpului. Semnalul redresat reprezintă un semnal pulsatoriu situat în permanență de-asupra axei

timpului, deci de valoare medie nenulă.

- valoarea efectivă (eficace) a unui semnal alternativ este din punct de vedere matematic

valoarea medie pătratică a valorilor instantanee pe timp de o perioadă:

( )==

T

ef dttiT

II0

21 (1.5.)

Din punct de vedere fizic valoarea efectivă a unui curent variabil (nu neapărat periodic sau

alternativ) este numeric egală cu intensitatea unui curent continuu care străbătând aceeași rezistență

cu cea a curentului variabil produce aceeași cantitate de căldură (prin efect Joule) în același interval

de timp.

Obs.: Datorită inerției mecanice a echipajului mobil a instrumentelor de măsură cu ac, respectiv

a inerției ochiului și a timpilor de răspuns a afișajelor instrumentelor de măsură digitale, acestea nu

pot urmări variațiile instantanee ale mărimilor variabile măsurate, motiv pentru care acestea indică în

marea lor majoritate valoarea efectivă.

1.3.Semnale sinusoidale

1.3.1. Mărimi caracteristice

Semnalul sinusoidal reprezintă un semnal de tip alternativ de forma:

( )im tIi += sin (1.6)

reprezentat grafic în Fig. 1.2., pentru care:

Fig. 1.2

Im - reprezintă amplitudinea semnalului (valoarea de vârf)

( )it + - reprezintă faza semnalului

i - reprezintă faza inițială (adică distanța de la originea arbitrar aleasă până la cea mai

apropiată trecere prin zero în sens crescător

Valoarea efectivă a semnalului sinusoidal este:

11

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

0 0 0

1 1sin 1 cos 2

2 2

T T T

m m mi i

I I II i t dt t dt t dt

T T T = = + = − + =

respectiv : 2

mef

III == sau II m 2= (1.7.)

ceea ce permite scrierea unui semnal sinusoidal sub așa numita formă normală electrotehnică (forma

uzuală în electrotehnică):

( )itIi += sin2 (1.8.)

Defazajul dintre două mărimi sinusoidale reprezintă diferența dintre fazele a două semnale

sinusoidale de aceeași pulsație:

( )111 sin2 += tIi și ( )222 sin2 += tIi , reprezentați grafic în Fig. 1.3.

Fig. 1.3

Defazajul dintre i1 și i2 (de o aceeași frecvență) este:

( ) ( ) 212112 −=+−+= tt (1.9)

cu alte cuvinte este egal cu diferența dintre fazele inițiale ale celor două semnale sinusoidale.

Într-o reprezentare grafică carteziană defazajul 12 semnifică „distanța minimă” între două treceri

prin zero în sens crescător ale celor două semnale ( ) 12

Valoarea lui 12 dă o indicație asupra poziționării semnalelor pe axa timpului (Fig. 1.4, a – e):

012 , semnalul i1 este defazat înaintea lui i2 (i1 trece prin zero în sens crescător înaintea lui i2,

deci într-un moment anterior)

Fig. 1.4.a

012 , semnalul i1 este defazat în urma lui i2 (i1 trece prin zero în sens crescător în urma lui i2,

deci într-un moment posterior)

Fig. 1.4.b

12

012 = , semnalele i1 și i2 sunt în fază

Fig. 1.4.c

212

= , semnalele i1 și i2 sunt în cuadratură

Fig. 1.4.d

=12 , semnalele i1 și i2 sunt în opoziție de fază

Fig. 1.4.e

1.3.2.Metode de reprezentare simbolică a semnalelor sinusoidale

Unui semnal sinusoidal de forma ( )itIi += sin2 i se pot atașa mai multe reprezentări, pe de

o parte cu scopul de a face mai intuitivă perceperea acestor mărimi, iar pe de altă parte pentru a crea

posibilitatea simplificării calculelor. Astfel, nu se va opera cu mărimile original ci cu așa numitele

mărimi imagine.

Se poate ușor observa că un semnal sinusoidal este complet determinat dacă i se cunoaște

amplitudinea II m 2= (sau valoarea efectivă I) și faza ( )it + (sau faza inițială i ).

Obs.: În cele mai multe situații este suficient să se cunoască numai faza inițială i deoarece

pulsația în circuitele pe care se vor studia este una singură și de regulă cunoscută, corespunzătoare

frecvenței de 50 Hz de producere a energiei electrice în Uniunea Europeană. Corespunzător acestei

frecvențe, pulsația este: =314 rad/sec.

Metodele de reprezentare simbolică se clasifică în:

- reprezentări geometrice

- reprezentări analitice

13

1.3.2.1. Reprezentări geometrice

Analog unui semnal sinusoidal și un vector liber în plan este caracterizat tot prin două mărimi

independente și anume prin modulul și prin argumentul său (prin argument înțelegând-se unghiul

făcut de acesta cu o axă de referință), de unde ideea de a pune în corespondență biunivocă cele două

mărimi: originalul i(t) și imaginea sa vectorul liber V(i).

Aceasta dă naștere la două reprezentări geometrice:

a. reprezentarea cinematică (prin vectori rotitori)

b. reprezentarea fazorială (prin vectori ficși, sau vectori polari)

În reprezentarea cinematică semnalului sinusoidal „i” îi asociem un vector rotitor OA de modul

egal cu amplitudinea semnalului ( )IOA 2= care face cu axa de referință Ox0 un unghi egal cu

faza ( )it + . Axa Ox numită axă origine de fază se rotește odată cu vectorul OA , cu viteza

unghiulară . Cu alte cuvinte axa origine de fază Ox, va păstra tot timpul unghiul i cu vectorul

rotitor OA .

Deci asocierea biunivocă este:

( )itIi += sin2 OA= V(i), în care

+=

=

itAOx

IOA

0 (1.10)

Fig. 1.5

Revenirea la originalul i(t) se face prin proiecția vectorului OA pe axa Oy0, ca în Fig. 1.5.

Obs.: Dacă se reprezintă pe aceeași diagramă mai multe mărimi de aceeași frecvență, vectorii

asociați vor face cu axa Ox care se rotește, unghiuri egale cu fazele lor inițiale și se vor roti împreună

cu același în sens trigonometric. Defazajul dintre două mărimi apare ca defazajul dintre vectorii

rotitori asociați. Dacă 012 defazajul apare în sens trigonometric. Deoarece ( ) 12, acesta este

univoc determinat într-o anumită reprezentare.

În reprezentarea fazorială, care este de fapt o simplificare a reprezentării cinematice, modulul este

egal cu valoarea efectivă I și argumentul față de axa Ox este egal cu faza inițială i . (Fig. 1.6.)

Fazorii, vectori ficși nu se mai rotesc în sens direct cu viteza unghiulară , ci sistemul de referință

este cel care se rotește în sens invers cu (acest sistem de axe nu se mai reprezintă, dar mintal trebuie

să îl avem în considerare), obținând-se o așa numită epură statică relativă. Corespondența biunivocă

prin fazori este:

=

=

iAOx

IOA

2 (1.11.)

Obs.: Dacă se reprezentă mai multe mărimi (de aceeași pulsație ) pe aceeași diagramă (numită

în mod curent diagramă fazorială), se poate renunța la axa Ox, putându-se alege una dintre mărimi

drept origine de fază, mărime la care să se raporteze toate fazele inițiale ale celorlalte mărimi.

14

Fig. 1.6

1.3.2.2. Reprezentări analitice (în complex)

Unui număr complex îi corespunde un punct din planul complex (planul lui Gauss 10j) numit

afixul său, caracterizat de vectorul de poziție al acelui punct (Fig. 1.7). Se știe că un număr complex,

întocmai ca un vector liber în plan sau ca un fazor este caracterizat tot de un modul și un argument,

de unde ideea asocierii biunivoce dintr-un număr complex și un semnal sinusoidal.

În locul planului abstract din reprezentările geometrice putem considera planul complex.

Obs.: Deoarece în electrotehnică simbolul „i” este rezervat semnalelor de curent, pentru evitarea

confuziilor s-a consacrat notația j= 1− , respectiv j2=1, iar mărimile electrice imagine complexe se

notează cu bară la partea inferioară.

Fig. 1.7

Un număr complex

în scriere algebrică va fi: jbaz +=

în scriere exponențială va fi: jezz =

în scriere trigonometrică va fi: ( ) sincos += jzz

în care za Re= reprezintă partea reală a numărului complex, zb Im= partea imaginară a

numărului complex, 22 baz += modulul numărului complex, iar a

barctg= , faza numărului

complex.

Obs. Deseori pentru scrierea exponențială se utilizează o formă simplificată:jz ze z = = .

La fel ca în cazul reprezentărilor geometrice și în această situație se disting două reprezentări

analitice:

a. reprezentarea complex nesimplificată

b. reprezentarea complex simplificată

15

În reprezentarea complex nesimplificată, semnalului sinusoidal ( )itIi += sin2 i se atașează

o funcție complexă de timp al cărei modul este amplitudinea mărimii sinusoidale I2 iar a cărei fază

este fază mărimii sinusoidale ( )it + , sub forma:

( )itIi += sin2 ( )itjIei

+= 2 =C(i) (1.12)

C(i) poartă numele de valoare instantanee complexă.

Dar în conformitate cu formula lui Euler: ( ) ( )ii

tjtIjtIIei i +++==

+sin2)cos(22 (1.13)

În expresia 1.13. partea imaginară a numărului complex reprezintă chiar revenirea la original,

adică la domeniul timp.

Dacă într-un circuit toate semnalele au aceeași frecvență, termenul t poate fi omis și de

asemenea se omite și factorul 2 , fără a afecta calculele. În această situație se vorbește despre

reprezentarea în complex simplificată.

Corespondența biunivocă în această situație devine:

( )itIi += sin2 ijIeI

= =C(i) (1.14)

Această imagine în complex poartă numele de valoare efectivă complexă a semnalului și are

modulul egal cu valoarea efectivă și faza egală cu faza inițială.

Revenirea din „complex” în „timp” se realizează similar cu situația precedentă, plus reconsiderarea

termenului și factorului omis, la partea imaginară a numărului complex.

Reprezentarea complex nesimplificată se asociază cu reprezentarea prin vectori rotitori, iar cea

complex simplificată cu reprezentarea fazorială, rezultând reprezentarea fazorială complexă, cel mai

mult utilizată în practică.

De aceea când se vorbește despre diagrama fazorială se va înțelege reprezentarea fazorială

complexă a acesteia.

1.3.2.3. Corespondența operațiilor

S-a văzut în secțiunea precedentă cum unui semnal sinusoidal i se pot asocia reprezentări

geometrice și în complex sub forma:

( )itIi += sin2 V(i) C(i) (1.15)

În cele ce urmează se va arăta corespondența dintre operațiile cu mărimile imagine în raport cu

mărimile original (sinusoidale):

a. adunarea și scăderea

21 ii 21 ii 21 II (1.16)

V ( )21 ii =V(i1) V(i2)

C ( )21 ii =C(i1) C(i2) (1.17)

Relațiile care dau valoarea efectivă și faza inițială pentru suma, respectiv diferența a două semnale

sinusoidale coincid cu relațiile corespunzătoare de la adunarea, respectiv scăderea a doi vectori cu

regula paralelogramului (Fig. 1.8) și cu regula de adunare respectiv scădere a două numere complexe.

Fig. 1.8

16

Pentru mai mulți termeni se apelează la regula poligonului pentru compunerea vectorială, sau a

compunerii după două axe ortogonale.

b. derivarea

( )

++=+=

2sin2cos2

ii tItI

dt

di

( )ijIe

dt

d

dt

iditj

==+

}2{ (1.18)

Deoarece imaginea I nu este o funcție de timp, operația de derivare a acesteia în raport cu timpul

nu are sens, însă I se poate obține din i omițând în scriere factorul tje 2 și deci:

Ijdt

Id= (1.19)

după aceeași regulă ca și derivarea lui i .

În concluzie: prin derivare modulul crește de ω ori, iar faza crește și ea cu 2

; în complex operația

de derivare din domeniul timp revine la înmulțire cu jω; se observă că a înmulți cu j înseamnă o

rotire cu 2

în sens direct trigonometric; cu alte cuvinte putem să spunem că j reprezintă un operator

de rotație cu 2

în sens trigonometric.

c. integrarea

( )

−+=+−= 2

sin2cos2

ii tI

tI

dti

( )

j

iIedti itj

==+

}2{ (1.20)

Similar cu derivarea:

Ij

j

IdtI −== (1.21)

Integrarea în domeniul timp revine la împărțire cu jω; a împărți cu j înseamnă o rotire cu 2

în

sens invers trigonometric; cu alte cuvinte putem să spunem că -j reprezintă un operator de rotație

cu 2

în sens invers trigonometric.

În Fig. 1.9 sunt reprezentate cartezian și fazorial operațiile de derivare și integrare.

Fig. 1.9

17

Aplicații

18

Capitolul 2

Elemente componente ale circuitelor electrice

2.1.Comportarea elementelor ideale de circuit în regim permanent

Un circuit funcționează în regim permanent când s-au stabilizata formele de variație în timp ale

tuturor curenților și tensiunilor la borne, ceea ce face posibilă existența a trei regimuri permanente:

- curentul continuu, în care toți curenții sunt constanți

- regimul sinusoidal, în care toți curenți sunt sinusoidali, adică au amplitudini și faze constante

- regim permanent nesinusoidal, în care curenții sunt periodici nesinusoidali

Regimul permanent apare în circuite după ce regimul tranzitoriu se consideră încheiat. Reamintim

că prin regim tranzitoriu se înțelege acel regim care apare la trecerea unui circuit de la un regim de

funcționare permanent la altul (la conectarea și deconectarea circuitului, la introducerea sau scoaterea

unor elemente din circuit, la scurtcircuite, puneri la pământ, etc.) și se consideră încheiat după un

timp egal cu trei până la cinci constante de timp ale circuitului.

2.1.1.Rezistorul ideal

Curentul electric care trece printr-un degajă căldură prin efect Joule fără a produce în jurul său

câmp electric ( )E sau magnetic ( )H , rezistorul ideal neavând parametri C, respectiv L (Fig. 2.1).

Tensiunea la bornele sale, în conformitate cu legea conducției electrice, este:

iRu = (2.1)

Fig. 2.1

Dacă este alimentat cu o tensiune sinusoidală de forma: ( )utUu += sin2 , atunci curentul

absorbit va fi:

( )utR

U

R

ui +== sin2 ;

În modul rezultă: ;R

UII ef == ui = (2.2)

Deci valoarea efectivă a curentului este identică cu cea din curentul continuu, iar în mărimi

complexe: R

UI = , respectiv IRU =

În Fig. 2.2. sunt reprezentate cartezian u și i respectiv fazorial U și I .

Deci rezistorul nu introduce nici un defazaj între tensiune și curent.

19

Fig. 2.2

Dacă tensiunea la bornele rezistorului ideal este periodic nesinusoidală, reprezentată printr-o serie

Fourier de tipul:

( )=

+=n

K

uK KtkUu

1

sin2

atunci curentul prin rezistor va fi de forma:

( )=

+==n

K

uK

Ktk

R

U

R

ui

1

sin2 (2.3)

Valoarea efectivă a armonicii de ordinul k a curentului este R

UI K

K = , iar faza armonicii KK ui =

fiecare armonică de curent fiind sinfazică cu armonica de tensiune care a produs-o.

Cu alte cuvinte forma curentului i(t) este aceeași cu forma tensiunii u(t), rezistorul opunând aceeași

rezistență R față de trecerea tuturor armonicilor de curent, deci nu este un element de circuit selectiv.

Puterea absorbită pe la borne este:

( ) 02 === iRiiRiup (2.4)

deci toată puterea primită pe la borne se disipă (se consumă) sub formă de căldură prin efect Joule.

2.1.2.Bobina ideală (inductorul ideal)

Curentul electric i care trece printr-o bobină ideală va produce un câmp magnetic al cărui flux

magnetic prin spirele bobinei este: iL = (Fig.2.3).

Fig. 2.3

Conform legii inducției electromagnetice, tensiunea la bornele bobinei este tensiunea contra-

electromotoare indusă:

( )L

d d diu e L i L

dt dt dt

= − = = = (2.5)

Se poate observa că pentru bobină legea lui Ohm diferă ca formă de cea de la rezistor, tensiunea

la bornele acesteia fiind proporțională cu derivata curentului în raport cu timpul dt

di, deci cu viteza

de variație în timp a curentului.

Dacă dt

diLu = , atunci soluția de regim permanent va fi: = dtu

Li

1

20

Dacă tensiunea aplicată la bornele bobinei este sinusoidală, intensitatea curentului va fi tot

sinusoidală:

( )2 sin uu U t = + →1

2 sin2

u

Ui u dt t

L L

= = + −

(2.6)

Prin identificare, modulul valorii efective și faza semnalului sunt:

;L

UII ef

== 2

−= ui

(2.7)

În mărimi complexe curentul I este de forma:

dt

diLu = → IjXILjU L == →

LX

Uj

L

Uj

Lj

UI −=−==

(2.8)

Fig. 2.4

Se poate observa atât din reprezentarea carteziană cât și din cea fazorială din Fig. 2.4, faptul că

intensitatea curentului este defazată în urma tensiunii cu 2

.

Mărimea notată cu LX L = se numește reactanța inductivă a bobinei.

În cazul particular al curentului continuu ( )0= → 0=LX , motiv pentru care o bobină ideală în

curent continuu nu se opune trecerii curentului electric, tensiunea la bornele sale fiind zero, din acest

punct de vedere ea reprezentând un scurtcircuit. În curent continuu se utilizează doar pentru a genera

și înmagazina energia de câmp magnetic.

Reactanța inductivă crește liniar cu frecvența, deci bobina este un element de circuit selectiv, care

blochează trecerea curenților de frecvență înaltă și permite trecerea curenților de frecvență joasă.

Dacă la bornele bobinei se aplică o tensiune periodică nesinusoidală descompusă în armonicele

componente sub forma:

( )=

+=n

K

uK KtkUu

1

sin2 (2.9)

atunci curentul absorbit va avea expresia:

( )=

+==n

K

uK KtkU

Ldtu

Li

1

sin211

=

−+=

n

K

uK

Ktk

Lk

Ui

1 2sin2

(2.10)

Valoarea efectivă a armonicii de ordinul k a curentului va fi Lk

UI k

K

= , iar valoarea fazei

2

−=

KK ui.

21

Reactanța bobinei în raport cu armonica de ordinul k este ( ) LL kXLkkX == , armonicele de

ordin scăzut trec ușor prin bobina ideală, iar cele de ordin ridicat trec greu, deci bobina ideală este un

element de netezire a formei curentului, în raport cu forma tensiunii.

Deoarece u și i nu au aceeași formă de variație în timp, în cazul unei bobine se spune că bobina

ideală este un element deformant de speța a doua, adică alimentată cu o tensiune sinusoidală absoarbe

tot un curent sinusoidal, dar alimentată cu o tensiune periodică nesinusoidală absoarbe un curent

nesinusoidal (deformat). Aceasta spre deosebire de elementele neliniare de circuit, care sunt elemente

deformante de speța întâi, deoarece acestea, alimentate cu o tensiune sinusoidală absorb un curent

nesiunusoidal, adică deformat.

Puterea absorbită pe la borne de bobina ideală este de forma:

dt

dWiL

dt

di

dt

diLiup m=

=

== 2

2

1 (2.11)

fiind egală cu viteza de variație în timp a energiei magnetice înmagazinată în câmpul magnetic

creat în jurul său. Valoarea acesteia, spre deosebire de rezistor, poate fi atât pozitivă cât și negativă

în timp.

În intervalele de timp cât absoarbe energie pe la borne 00 → absm p

dt

dW, iar în intervalele în

care bobina cedează o parte din energia magnetică acumulată 00 → cedm p

dt

dW.

2.1.3. Condensatorul ideal

Alimentat la borne cu tensiunea u, condensatorul ideal se va încărca cu sarcina q (Fig. 2.5):

Fig. 2.5

== dtiCC

qu

1 (2.12)

Se poate observa că nici la condensator nu este valabilă forma legii lui Ohm cu cea de la rezistor,

în această situație tensiunea la bornele condensatorului fiind proporțională cu integrala curentului i.

Dacă tensiunea aplicată la borne este sinusoidală, intensitatea curentului absorbit de condensator

este tot sinusoidală, de forma:

( )utUu += sin2 → 2 sin2

u

dui C CU t

dt

= = + +

(2.13)

Prin identificare rezultă valoarea efectivă și faza:

;1

C

efX

U

C

UUCII ====

2

+= ui

(2.14)

iar în complex curentul I este de forma:

22

= dtiC

u1

→ IjXIC

jICj

U C −=−==

11→

CX

Uj

C

UjUCjI ===

1

(2.15)

Fig. 2.6

Forma de undă a curentului este defazată înaintea celei de tensiune cu 2

, după cum se arată și în

Fig. 2.6., atât în domeniul timp cât și fazorial.

Mărimea 1

CXC

= se numește reactanță capacitivă a condensatorului.

În cazul particular al curentului continuu ( )0= → →CX , motiv pentru care un condensator

ideal în curent continuu se opune în totalitate trecerii curentului electric, curentul electric prin el fiind

zero, din acest punct de vedere reprezentând o întrerupere a circuitului. În curent continuu se

utilizează doar pentru a genera și înmagazina energia de câmp electric.

Reactanța capacitivă scade cu frecvența, după o hiperbolă echilateră, deci condensatorul este un

element de circuit selectiv, care permite trecerea curenților de frecvență înaltă și blochează trecerea

curenților de frecvență joasă.

Dacă la bornele condensatorului se aplică o tensiune periodică nesinusoidală descompusă în

armonicele componente sub forma:

( )=

+=n

K

uK KtkUu

1

sin2 (2.16)

atunci curentul absorbit va avea expresia:

( )=

+==n

K

uK KtkU

dt

dC

dt

duCi

1

sin2

( )1

2 sin2K

n

k u

K

i k C U k t

=

= + +

(2.17)

Valoarea efectivă a armonicii de ordinul k a curentului va fi kK UCkI = , iar valoarea fazei

2

+=

KK ui. (2.18)

Reactanța condensatorului în raport cu armonica de ordinul k este: ( )k

X

CkkX C

C ==

1

,

armonicele de ordin scăzut trec greu prin condensatorul ideal, iar cele de ordin ridicat trec ușor, deci

condensatorul ideal este un element de accentuare a deformației curentului, în raport cu forma

tensiunii la bornele sale.

Deoarece u și i nu au aceeași formă de variație în timp ca și în cazul unei bobine, se spune că un

condensator ideal este la rândul său tot un element deformant de speța a doua.

Puterea absorbită pe la borne de condensatorul ideal este de forma:

23

dt

dWuC

dt

d

dt

duCuiup e=

=

== 2

2

1 (2.19)

fiind egală cu viteza de variație în timp a energiei electrice înmagazinată în câmpul electric creat între

armăturile sale. Valoarea acesteia, spre deosebire de rezistor, poate fi atât pozitivă cât și negativă în

timp.

În intervalele de timp cât absoarbe energie pe la borne 00 → abse p

dt

dW, iar în intervalele în

care condensatorul cedează o parte din energia magnetică acumulată 00 → cede p

dt

dW.

2.2. Caracterizarea circuitelor liniare de tip „dipol” în regim permanent sinusoidal

Se consideră un dipol liniar pasiv, adică un circuit cu două borne de acces cu exteriorul la care

toate elementele din schema electrică sunt liniare și care nu conține surse de tensiune sau curent în

interior (Fig. 2.7).

Fig. 2.7

Acesta este alimentat cu tensiunea sinusoidală ( )utUu += sin2 și în regim permanent

curentul absorbit va fi tot sinusoidal, de forma ( )itIi += sin2 , având ca necunoscute valoarea

efectivă I și faza i , deci două necunoscute.

Concluzia care se poate trage de aici este aceea că în general în regim sinusoidal de o frecvență

dată ω și dipolul trebuie să fie caracterizat tot prin doi parametri (excepție face dipolul rezistiv pur

pentru care ui = sau dipolii în curent continuu, caracterizați de un singur parametru).

Problema care se pune constă în alegerea celor doi parametri caracteristici ai unui dipol, care să îl

determine complet și univoc. Soluția alegerii acestora nu este unică și se disting patru modalități de

caracterizare a dipolilor, care vor fi tratate în continuare:

2.2.1.Impedanţa și defazajul (Z și φ)

Impedanța unui dipol se definește ca:

( ) 0_,1 == icircuituluparametriifI

UZ (2.20)

Defazajul unui dipol se definește ca diferența între faza inițială a tensiunii și a curentului, indicând

gradul de defazaj pe care îl introduce dipolul între u și i:

( )icircuituluparametriifiu _,2 =−= (2.21)

Când 0 curentul este defazat în urma tensiunii cu φ, deci dipolul are caracter inductiv, iar când

0 curentul este defazat înaintea tensiunii cu φ, deci dipolul are caracter capacitiv.

24

Caracterul pur inductiv se obține pentru 2

= , iar cel pur capacitiv pentru

2

−= , de unde se

poate trage concluzia că pentru orice circuit:

−

2,

2

. Deci 0cos în tot acest interval în

timp ce sin poate fi atât pozitiv cât și negativ.

Dacă pentru un dipol se cunosc Z și φ se poate determina expresia curentului absorbit „i” atunci

când la borne se aplică tensiunea ( )2 sin uu U t = + :

( ) −+= utZ

Ui sin2 ;

Z

UI = ; −= ui ; (2.22)

2.2.2. Rezistența și reactanța (R și X)

Fie un dipol caracterizat de diagrama fazorială din Fig. 2.8, care reliefează un defazaj de o anumită

valoare arbitrară între tensiune și curent (în acest caz inductiv).

Fig. 2.8

Dacă se descompune fazorul U după două direcții ortogonale, dintre care una este cea a curentului

I , se va obține:

cos=UU a pe care o numim componenta activă a tensiunii

sin=UU r pe care o numim componenta reactivă a tensiunii

Rezistența dipolului în regim sinusoidal este dată de relația:

0coscos

=

==

ZI

U

I

UR a (2.23)

și este o mărime pozitivă deoarece Z>0, conform relației (2.20) iar

−

2,

2

asigură cos 0 .

Reactanța dipolului în regim sinusoidal este dată de relația:

sinsin

=

== ZI

U

I

UX r (2.24)

Pentru dipoli cu caracter inductiv 0 → 0sin 0→ indX (2.25)

iar pentru dipoli cu caracter capacitiv 0 → 0sin 0→ capX (2.26)

Din relațiile 2.23 și 2.24 rezultă că 2 2 2R X Z+ = , ceea ce înseamnă că cu ajutorul acestor

parametri se poate construi un triunghi, numit triunghi al impedanțelor (Fig. 2.9).

Atenție: Laturile triunghiului impedanțelor nu reprezintă fazori; acestea sunt segmente de dreaptă

de lungimi egale cu modulele mărimilor pe care le reprezintă.

25

Fig. 2.9

Din triunghiul impedanțelor rezultă evident legătura dintre cele două perechi de parametri definiți

până acum (Z, φ) și (R, X):

=

=

sin

cos

ZX

ZR

=

+=

R

Xarctg

XRZ

22

(2.27)

Dacă se cunoaște tensiunea de alimentare ( )utUu += sin2 și parametrii (R, X), expresia

curentului este univoc determinată prin:

−+

+=

R

Xarctgt

XR

Ui usin2

22 (2.28)

2.2.3. Admitanța și defazajul (Y și φ)

Admitanța unui dipol reprezintă valoarea inversă a impedanței Z:

01

==U

I

ZY 1− (2.29)

Defazajul φ are aceeași semnificație ca în secțiunea 2.2.1. și anume pozitiv pentru circuite

inductive și negativ pentru circuite capacitive.

011

22

+==

XRZY 1−

0cos

cos ==Y

ZR

(2.30)

YZX

sinsin ==

Dacă se cunoaște tensiunea de alimentare ( )utUu += sin2 și parametrii (Y, φ), expresia

curentului este univoc determinată prin:

( ) −+= utUYi sin2 ; UYI = ; −= ui ; (2.31)

2.2.4. Conductanța și susceptanța (G și B)

Dacă spre deosebire de secțiunea 2.2.2., în diagrama fazorială a dipolului, se descompune curentul

și nu tensiunea după două direcții ortogonale rezultă (Fig. 2.10):

Fig. 2.10

cos= IIa pe care o numim componenta activă a curentului

26

sin= II r pe care o numim componenta reactivă a curentului

Conductanța dipolului este:

0coscos

===

YU

I

U

IG a 1− (2.32)

Susceptanța dipolului se definește prin:

sinsin

−=−

=−

= YU

I

U

IB r 1− (2.33)

Dipolii inductivi au 0 0→ indB , iar dipolii capacitivi au 0 0→ capB .

Similar, relațiile dintre ultimele două categorii de parametri sunt:

−=

=

sin

cos

YB

YG

−=

+=

G

Barctg

BGY

22

(2.34)

parametri care definesc un triunghi al admitanțelor, ca în Fig. 2.21.

Fig. 2.11

Dacă se cunoaște tensiunea de alimentare ( )utUu += sin2 și parametrii (G,B), expresia

curentului este univoc determinată prin:

+++=

G

BarctgtUBGi usin2 22

; (2.35)

Obs.: În curent continuu X = 0 și B = 0, ceea ce face ca rezistența ohmică să fie inversul

conductanței, dar în regim sinusoidal G și R nu sunt una inversa celeilalte.

2.2.5. Clasificarea circuitelor electrice în regim variabil

Parametrii Z, Y, R, X, G, B, φ ai circuitelor depind în general, pe lângă structura și valorile

elementelor componente, de modul lor de conectare în schema internă a dipolului și de frecvența

tensiunii de alimentare.

La o frecvență dată a tensiunii de alimentare, un circuit poate fi:

- circuit pur rezistiv: φ=0, X=0,B=0, Z=R,Y=G

- circuit reactiv (inductiv sau capacitiv) : 0,0,0 BX

- circuit pur reactiv (inductiv sau capacitiv): BYXZGR ===== ,,0,0,2

27

- circuit inductiv: 0,0,0 BX

- circuit pur inductiv: BYXZGR ===== ,,0,0,2

- circuit capacitiv: 0,0,0 BX

- circuit pur capacitiv: 0,0,2

==−= GR

2.3. Caracterizarea circuitelor electrice liniare de tip dipol în regim sinusoidal prin

mărimi complexe

Dacă la bornele unui dipol liniar pasiv se aplică o tensiune ( )utUu += sin2 dipolul va absorbi

în regim permanent sinusoidal un curent sinusoidal de aceeași frecvență cu u și va avea expresia

( )itIi += sin2 .

Transpuse în complex cele două mărimi vor fi de forma: uj

U Ue

= și ijI Ie

= , defazajul introdus de dipol între U și I fiind:

u i = −

Fig. 2.12

Un astfel de dipol poate fi caracterizat de doi parametri complecși, care vor fi prezentați în

următoarele două paragrafe.

2.3.1.Impedanţa complexă ( )Z

Fig. 2.12

Conform Fig. 2.12 se definește impedanța complexă Z:

( )jXRjZZZee

I

U

Ie

Ue

I

UZ jj

j

j

iu

i

u

+=+=====−

sincos (2.36)

28

Impedanța complexă Z este un parametru complex al cărui modul este impedanța dipolului Z, iar

faza sa u i = − este defazajul introdus de dipol între U și I , partea sa reală este rezistența

dipolului R iar partea sa imaginară este reactanța dipolului X.

Cunoscând tensiunea de alimentare U și Z se poate determina curentul:

( ) iu jjIee

Z

U

Z

UI

===

− (2.37)

În valori instantanee: ( ) −+= utZ

Ui sin2 (2.38)

Relația IZU = , analogă formal cu legea lui Ohm din curent continuu mai este denumită legea

lui Ohm sub formă complexă.

Impedanțele complexe Z se pot reprezenta într-un semiplan complex (semiplanul Z , Fig. 2.13),

fiecărei impedanțe corespunzându-i un punct din acest plan a cărui semiaxă reală este axa

rezistențelor (R) iar axa imaginară este axa reactanțelor (jX). Semiplanul Z reprezintă semiplanul

drept deoarece întotdeauna 0R .

Fig. 2.13

Semnificațiile reprezentărilor din Fig. 2.13 sunt:

Z1 circuit pur inductiv Z1 = jX1

Z2 circuit inductiv Z2 =R2 + jX2

Z3 circuit pur rezistiv Z3 =R3

Z4 circuit capacitiv Z4 =R4 – jX4

Z5 circuit pur capacitiv Z5 = – jX5

2.3.2. Admitanța complexă

Conform aceleași Fig. 2.12 se definește și admitanța complexă Y:

( )jBGjYYYee

U

I

Ue

Ie

U

IY jj

j

j

ui

u

i

+=−===== −−

sincos (2.39)

Admitanța complexă Y reprezintă un parametru complex al cărui modul este egal cu admitanța

dipolului Y, iar faza sa ( )i u u i − = − = − − este defazajul introdus de dipol între U și I luat cu

semn schimbat, partea sa reală este conductanța dipolului G iar partea sa imaginară este susceptanța

dipolului B.

Cunoscând tensiunea de alimentare U și Y se poate determina curentul: ( ) iu jj

IeYeUYUI

===−

(2.40)

În valori instantanee: ( ) −+= utYUi sin2 (2.41)

29

Admitanțele complexe se pot reprezenta la rândul lor într-un semiplan drept complex ( )0G ,

planul Y , având pe G pe axa reală și pe jB pe axa imaginară. Oricărui dipol îi corespunde un punct

din cele două cadrane (Fig. 2.14).

Fig. 2.14

Aplicații

30

Capitolul 3

Puteri electrice în regim permanent

Reamintim că sensul de referință al tensiunii la bornele unui dipol se poate asocia cu sensul de

referință a curentului după două convenții:

Convenția de la receptoare, când u și i au aceeași orientare în raport cu bornele (polii) circuitului

( 11 − ) și în acest caz (Fig. 3.1.a) iup = este putere absorbită când 0p și putere cedată când

0p .

Convenția de la generatoare, când u și i au orientări diferite în raport cu bornele (polii) circuitului

( 11 − ) și în acest caz (Fig. 3.1.b) iup = este putere cedată când 0p , adică putere generată de

dipol, deci putere care iese pe la bornele dipolului generator și putere absorbită când 0p .

a. b.

Fig. 3.1

Obs.: Convenția de la receptoare se aplică de regulă pentru dipoli activi, care pot genera putere.

Totuși există și situații în care dipoli pasivi pot genera putere. Este cazul descărcării condensatoarelor

și bobinelor care generează putere cedând din energia înmagazinată de către acestea, după cum se va

vedea în cele ce urmează.

3.1. Puteri electrice în regim permanent sinusoidal

Spre deosebire de circuitele de curent continuu unde s-a definit o putere absorbită (sau cedată), în

regim sinusoidal se definesc mai multe puteri.

3.1.1. Puterea instantanee

Fie un dipol liniar pasiv alimentat cu o tensiune sinusoidală, funcționând în regim permanent;

evident acesta absoarbe tot un curent sinusoidal, datorită liniarității sale.

Fig. 3.2

( )utUu += sin2

( )itIi += sin2 (3.1.)

31

Dipolul din Fig. 3.2. are impedanța Z și defazajul iu −= .

Puterea instantanee definită ca p u i= reprezintă legea de variație în timp a puterii primite

(cedate) de un dipol la bornele sale, după cum u şi i se asociază după convenția de la receptoare,

respectiv generatoare.

Ținând seama de relația (3.1) rezultă: ( ) ( )2 sin sinu ip u i UI t t = = + +

Transformând produsul de sinusuri în diferență de cosinusuri, rezultă:

( )cos cos 2 u ip UI UI t = − + + (3.2)

Se poate observa că puterea instantanee este o mărime periodică având o componentă constantă

cosUIP = și o componentă de frecvență dublă ( )2 , ( )iuf tUIp ++= 2cos numită putere

fluctuantă. Cu alte cuvinte p variază cu frecvență dublă în jurul valorii medii cosUIP = , ca în Fig.

3.3.

Fig. 3.3

În intervalele de timp

=t , în care 0p , dipolul absoarbe o putere negativă, adică cedează

putere spre exterior pe la borne. În aceste intervale de timp, o parte din energia înmagazinată în

câmpul magnetic al bobinelor și respectiv în câmpul electric al condensatoarelor este restituită

surselor de alimentare. Cu cât defazajul φ dintre u și i este mai mare, aceste intervale cresc.

La 2

= , adică atunci când dipolul este pur reactiv, deci nu conține rezistențe, valoarea medie

a lui p, adică cosUIP = =0, deci apare numai puterea fluctuantă sinusoidală. În această situație

puterea primită în intervalul

2, este restituită în intervalul

2 imediat următor, ariile închise de

puterea instantanee deasupra și sub axa timpului fiind egale și de semne opuse (Fig. 3.4).

Fig. 3.4

32

Dacă defazajul este 0= , deci dipolul în ansamblul să are caracter pur rezistiv, valoarea medie a

lui p este maximă, UIP = deoarece 1cos = , iar aria închisă sub axa timpului de puterea instantanee

este nulă (Fig. 3.5).

Fig. 3.5

Deci, în regim sinusoidal transmiterea de energie la 0 nu are loc numai înspre dipol ci și

dinspre acesta, motiv pentru care din expresia puterii instantanee nu se poate afirma că un dipol este

generator sau receptor de putere, decât dacă în medie pe o perioadă primește mai mult decât cedează,

adică aria închisă de p deasupra axei timpului o depășește pe cea închisă sub axă.

3.1.2. Puterea activă

Prin definiție puterea activă reprezintă valoarea medie pe o perioadă a puterii instantanee:

===

TT

UIdtiuT

dtpT

P00

cos11

0 W (3.3)

întrucât valoarea medie pe o perioadă a puterii fluctuante este nulă.

În literatura anglo-saxonă termenul de putere activă nu este utilizat. În schimb puterea activă poate

fi întâlnită ca putere medie (average power), putere reală (real power) sau putere adevărată (true

power).

Puterea activă, ca și puterea instantanee se măsoară în watt și este măsurabilă cu ajutorul

wattmetrelor. Puterea instantanee se măsoară în W, dar nu este măsurabilă cu aparate de măsură fiind

o funcție de timp. Ea poate fi eventual vizualizată ca formă de undă.

Pentru un dipol pasiv puterea activă absorbită se poate scrie în funcție de parametrii dipolului:

cosUIP = =

=

=

22

22

cos

cos

UGUU

I

IRII

U

(3.4)

Un dipol absoarbe putere activă pe la borne numai dacă conține în interiorul său elemente capabile

să convertească energia electrică absorbită pe la borne în forme active de energie: căldură (plită,

radiator), lucru mecanic (motoare electrice), lumină (tuburi luminescente), energie chimică (băi de

electroliză, acumulatori în procesul de încărcare).

Pentru o rezistență R parcursă de curentul i, puterea instantanee este 2iRp j = iar puterea activă

absorbită este:

22

0

2

0

11RIRIdti

TRdtp

TP ef

TT

jj ==== (3.5)

deci puterea activă este proporțională cu pătratul valorii efective a curentului.

33

3.1.3.Puterea aparentă

Puterea aparentă absorbită de un dipol se definește ca produsul dintre valoarea efectivă a tensiunii

de alimentare U și cea a intensității curentului I.

0= IUS VA (3.6)

Unitatea de măsură VA (voltamper) nu diferă din punct de vedere dimensional de W , dar indică

faptul că este vorba despre puterea aparentă.

Este o putere calculată ca în curent continuu, dar cu valorile efective ale tensiunii și intensității.

Fără a avea o interpretare energetică, puterea aparentă arată care ar fi maximul de putere care ar putea

fi absorbită în raport cu puterea activă P, efectiv absorbită.

Raportul celor două puteri se numește factorul de putere al circuitului.

coscos

=

==

IU

IU

S

Pk (3.7)

Factorul de putere arată de câte ori este mai mică puterea activă absorbită de un echipament

(circuit) decât puterea maximă care s-ar obține pentru 0= , în aceleași condiții de solicitare a

izolației (reamintim că U reflectă solicitarea maximă a izolației) și de solicitare termină (reamintim

că I reflectă solicitarea termică și dinamică maximă).

În regim sinusoidal cos=k și crește odată cu micșorarea defazajului dintre u și i, valoarea

maximă a lui k fiind 1.

Una dintre problemele gospodăririi energiei electrice în industrie este legată de îmbunătățirea

(mărirea) factorului de putere al consumatorilor, cu alte cuvinte de micșorarea defazajului inductiv

0 .

Pierderile de putere (jp ) pe o linie bifilară având rezistența lR (Fig. 3.6) la transportul spre

consumator al unei puteri P, sub tensiune U şi curentul I sunt:

22

22

cosU

PRIRp llj == (3.8)

Se observă că aceste pierderi sunt invers proporționale cu pătratul tensiunii (motiv pentru care

transportul energiei la înaltă tensiune reduce semnificativ aceste pierderi), dar la tensiune constantă

pierderile pot fi diminuate prin creșterea factorului de putere cos=k .

În funcție de parametrii dipolului, puterea aparentă se scrie sub forma: 22 UYIZIUS === (3.9)

Fig. 3.6

3.1.4. Puterea reactivă

Puterea reactivă absorbită de un dipol alimentat sinusoidal se definește ca o putere complementară

puterii active, sub forma:

sin= IUQ VAR (3.10)

34

Unitatea de măsură VAR (voltamper reactiv) nu diferă din punct de vedere dimensional de W

sau VA , dar indică faptul că este vorba despre puterea reactivă.

- pentru circuite inductive avem: 0 0→ indQ , deci elementele inductive consumă putere

reactivă

- pentru circuite capacitive avem: 0 0→ indQ , deci elementele capacitive generează

(cedează) putere reactivă

Ținând seama de relațiile de definiție ale puterilor activă, reactivă și aparentă ( cos= IUP ,

sin= IUQ , IUS = ) se observă că cele trei puteri P, Q și S sunt pitagoreice și că ele definesc

un triunghi al puterilor, conform Fig. 3.7.

Fig. 3.7

Acestea sunt legate de relațiile:

+=

=

=

22

sin

cos

QPS

IUQ

IUP

(3.11)

Factorul de putere al circuitului scris sub forma:

2

222

1S

Q

S

QS

S

Pk −=

−== (3.12)

arată că îmbunătățirea factorului de putere la o instalație (circuit) este legată de reducerea consumului

de putere reactivă de către aceasta (pentru 10 =→= kQ ).

În funcție de elementele dipolului, puterea reactivă se poate scrie: 22sin UBIXIUQ −=== (3.13)

Puterea reactivă se poate măsura cu ajutorul varmetrelor.

Într-un circuit izolat, dacă există o latură consumatoare de putere reactivă (latură cu bobină),

aceasta va lua această putere fie de la o latură generatoare de putere reactivă, adică o latură cu

condensator, care generează putere reactivă, fie direct de la sursă, care datorită acestui fapt se va

încărca suplimentar pentru a produce și puterea reactivă necesară.

Dacă circuitul pasiv este legat la rețeaua de alimentare, o parte din puterea reactivă necesară

bobinelor o generează condensatoarele din interiorul dipolului, diferența de putere reactivă fiind

absorbită pe la borne de la rețeaua de alimentare, încărcând-o suplimentar.

Dacă însă predomină puterea reactivă generată (capacitivă), atunci excedentul de putere reactivă

este debitat spre rețeaua exterioară pe la bornele dipolului.

Cu alte cuvinte se poate spune că puterea reactivă absorbită pe la borne ( sin= IUQ ),

reprezintă o măsură a necompensării schimburilor interne de energie între câmpul magnetic al

bobinelor și câmpul electric al condensatoarelor.

Așa cum orice putere corespunde unei anumite forme de energie, puterea reactivă Q corespunde

energiilor care se înmagazinează în câmpurile magnetice, respectiv în câmpurile electrice, așa

numitele energii reci.

35

Triunghiul puterilor se obține din triunghiul impedanțelor amplificat cu I2, sau din triunghiul

admitanțelor amplificat cu U2.

3.1.5. Puterea complexă

Puterea complexă, care este de fapt puterea aparentă complexă, se definește prin:

== IUiuS

2

1 (3.14)

( ) sincos jSSeSeIUIUS jj iu +====

− (3.15)

Puterea complexă scrisă sub forma (3.15) este o mărime complexă a cărei modul este puterea

aparentă S, argumentul este defazajul circuitului , partea reală puterea activă P, iar partea imaginară

puterea reactivă Q.

Puterea complexă absorbită de un dipol se poate scrie în funcție de parametrii dipolului:

( ) 222 jXIRIIZIIZIUS +====

( ) ( )2 2 2S U I YU U Y U GU j B U

= = = = + − (3.15)

Puterea complexă S se poate reprezenta într-un plan complex (planul S ) a cărui axă reală este

axa P, iar axa imaginară este jQ, conform Fig. 3.8.

Fig. 3.8

Dacă U și I la bornele dipolului se asociază după regula de receptoare (ambele au același sens

de referință) atunci puterile P, Q, S și S pozitive reprezintă puteri absorbite de dipol, iar dacă sunt

negative sunt cedate de dipol.

În această ipoteză cadranele I și II în care 0Q se referă la dipolii cu caracter inductiv, iar

cadranele III și IV în care 0Q se referă la dipolii cu caracter capacitiv.

Totodată semiplanul drept (cadranele I și IV) se referă la dipolii pasivi, pentru care

−

2,

2

și care nu pot produce putere activă putând doar să absoarbă putere activă pe la borne.

Dipolii activi însă pot avea afixul puterii complexe S în oricare dintre cele patru cadrane ale

planului.

3.1.6 Îmbunătățirea (corecția, compensarea) factorului de putere

36

Cele mai multe sarcini din locuințe (cum ar fi mașinile de spălat, echipamentele de aer condiționat

și frigiderele) precum și sarcinile industriale (cum ar fi motoarele de inducție) reprezintă receptoare

inductive și funcționează la un factor de putere inductiv. Deși natura lor inductivă nu poate fi

modificată, factorul de putere al acestora poate fi îmbunătățit. O sarcină inductivă este modelată ca o

combinație serie a unui inductor cu un rezistor.

Procesul de îmbunătățire a factorului de putere fără însă a altera tensiunea sau curentul inițiale la

sarcină este cunoscut drept corecția factorului de putere. Deoarece cele mai multe sarcini au

caracter inductiv, după cum se arată în Fig. 3.9.a , corecția factorului de putere a unei sarcini constă

în adăugarea deliberată a unui element reactiv (uzual un condensator) în paralel cu sarcina, după cum

se arată în Fig. 3.9.b .

Fig. 3.9 Îmbunătățirea factorului de putere (a) sarcină originară inductivă

(b) sarcină inductivă cu factor de putere îmbunătățit

Efectul adăugării unui condensator poate fi ilustrată utilizând fie triunghiul puterilor sau diagrama

fazorială a curenților implicați. Fig. 3.10 prezintă diagrama fazorială a curenților, conform Fig. 3.9.a

care are un factor de putere cos φ1, în timp ce în Fig. 3.9.b factorul de putere este cos φ2.

Fig. 3.10 Diagrama fazorială care prezintă efectul adăugării unui

condensator în paralel cu o sarcină inductivă

Din Fig. 3.10 este evident că adăugarea unui condensator a determinat un defazaj al curentului în

raport cu tensiunea de la valoarea inițială φ1 la o valoare finală φ2, care determină creșterea factorului

de putere. De asemenea, se poate observa din modulul vectorilor din Fig. 3.10 că pentru aceeași

tensiune absorbită circuitul din Fig. 3.9.a absoarbe un curent IL mai mare decât curentul I absorbit de

circuitul din Fig. 3.9.b. Companiile de utilități facturează sume mai importante în situația unor curenți

reactivi mai mari. De aceea este benefic atât pentru companiile de utilități cât și pentru consumatori

să minimizeze componenta reactivă a curentului, respectiv menținerea factorului de putere cât mai

aproape de unitate. Prin alegerea unei valori potrivite pentru un condensator, curentul poate fi adus

în fază cu tensiunea, implicând un factor de putere unitar.

37

Aplicând suma fazorială, diagramei fazoriale din Fig. 3.10 rezultă: I = IL + IC, tensiunea fiind

considerată origine de fază. Evident curentul prin condensatorul din Fig. 3.9.b este defazat cu π/2

înaintea tensiunii.

Din Fig. 3.10 se poate stabili relația între valorile efective ale curenților:

IC = IL sinφ1 – I sinφ2 (3.16)

Deoarece condensatorul (fiind element reactiv) nu modifică puterea activă absorbită de la rețea,

se poate scrie relația:

P = UIL cosφ1 = UI cosφ2, de unde:

1cosL

PI

U = (3.17)

2cos

PI

U = (3.18)

Curentul prin condensator este dat de relația:

C

C

UI CU

X= = (3.19)

Înlocuind 3.17, 3.18, 3.19 în 3.16, rezultă:

1 2tan tanP P

CUU U

= − , de unde:

( )1 22tan tan

PC

U

= − (3.40)

Se poate observa că o creștere a factorului de putere de la valoarea cosφ1 la cosφ2 curentul absorbit

de la rețea scade de la valoarea I1 la I2, deci:

1

2

cos

cosLI I

= (3.41)

Din relația 3.40 se observă că cu cât tensiunea este mai mare, cu atât valoarea capacității de

compensare a factorului de putere este mai mică. De aceea, condensatoarele se conectează în general

la tensiunea de linie a unui receptor trifazat, adică la tensiunea de linie de 400 V și nu la tensiunea de

fază de 230 V, obținându-se astfel același efect dar cu o valoare a capacității de trei ori mai scăzută.

Pe de altă parte se poate privi corecția factorului de putere din altă perspectivă. Se consideră

factorul de putere conform Fig. 3.11.

Fig. 3.11 Triunghiul puterilor care ilustrează corecția factorului de putere

Se consideră triunghiul puterilor din Fig. 3.11. Dacă sarcina inductivă originară are puterea

aparentă S1, rezultă P = S1 cos φ1, Q1 = S1 sin φ1 = P tan φ1.

Dacă se dorește creșterea factorului de putere de la valoarea φ1 la valoarea φ2 fără a altera valoarea

puterii active (i.e., P = S2 cos φ2), noua puterea reactivă va fi Q2 = P tan φ2.

Reducerea puterii reactive este determinată de condensatorul șunt (paralel), deci:

QC = Q1 − Q2 = P(tan φ1 − tan φ2)

38

Dar,

22rms

C rms

C

VQ CV

X= = . Valoarea necesară a capacității șunt C este:

( )1 2

2 2

tan tanC

rms rms

PQC

V V

−= =

De reținut că puterea activă P disipată de sarcină nu este afectată de corecția factorului de putere

deoarece puterea activă determinată de condensator este nulă.

Deși cea mai comună situație practică este aceea a unor sarcini inductive, este de asemenea

posibilă existența unor sarcini capacitive, care să funcționeze la factori de putere capacitivi. Evident,

într-o astfel de situație trebuie conectat un inductor în paralel cu sarcina pentru corecția factorului de

putere. Inductanța cerută L poate fi calculată din 2 2

rms rmsL

L

V VQ

X L= =

2

rms

L

VL

Q=

în care QL = Q1 − Q2, reprezintă diferența dintre puterile reactive finală și inițială.

Exemplu: Un receptor (sarcină) alimentată la o tensiune de 120-V (rms) și frecvența de 60-Hz

absoarbe 4 kW la un factor de putere inductiv de 0,8. Să se calculeze valoarea capacității necesare

pentru a crește valoarea factorului de putere la 0,95.

Soluție: Deoarece fp = 0,8, rezultă cos φ1 = 0,8 ⇒ φ1 = 36.87° în care φ1 reprezintă defazajul dintre

tensiune și curent. Din puterea activă și factorul de putere se obține puterea aparentă ca

1

1

40005000VA

cos 0,8

PS

= = =

Puterea reactivă este Q1 = S1 sin φ = 5000 sin 36,87 = 3000 VAR

Dacă factorul de putere este crescut la 0,95, cos φ2 = 0,95 ⇒ φ2 = 18,19°.

Puterea activă P nu s-a modificat în schimb puterea aparentă s-a modificat. Noua sa valoare este:

2

2

40004210,5VA

cos 0,95

PS

= = =

Noua putere reactivă este: Q2 = S2 sin φ2 = 1314,4 VAR. Diferența între puterile reactive finală și

inițială este datorată conectării condensatorului în paralel cu sarcina. Puterea reactivă determinată de

condensator este QC = Q1 − Q2 = 3000 – 1314,4 = 1685,6 VAR, iar

2 2

1685,6310,5 F

2 60 120

C

rms

QC

V

= = =

Obs.: În acest caz valoarea de vârf a tensiunii este de aproximativ 170 V. De aceea se va utiliza un

condensator care rezistă la o tensiune de 200 V.

Aplicație: Să se calculeze condensatorul paralel necesar necesat pentru a corecta o sarcină de 140

kVAR la un factor de putere de 0,85 la un factor de putere unitar. Se presupune că sarcina este

alimentată la o tensiune de 220-V (rms), și frecvența de 60-Hz.

Răspuns: 7.673 mF

3.1.7. Puteri în regim nesinusoidal

39

Capitolul 4

Impedanțe și admitanțe echivalente

4.1. Teorema lui Joubert

Pentru un dipol pasiv în regim sinusoidal echivalentul ecuației de tensiuni din curent continuu

(legea lui Ohm pe o porțiune de circuit) U R I= , ar fi U Z I= , iar pentru un dipol activ

echivalentul ecuației de tensiuni din curent continuu IRUE = (Fig. 4.1), îl reprezintă teorema

lui Joubert.

Fig. 4.1

Fie o latură activă de circuit cu sursa eg și cu elementele de circuit R, L și C, a cărui bobină este

cuplată magnetic cu alte bobine de pe alte laturi ale circuitului, fluxul rezultant al acestora prin

suprafața bobinei considerate fiind ext (Fig. 4.2).

Fig. 4.2

Fluxul rezultant al bobinei este reprezentat de superpoziția dintre fluxul propriu (Li) și fluxul

exterior creat de alte bobine: extLi += .

Curba închisă trece prin latura de circuit şi prin linia tensiunii la bornele laturii ub. Tensiunea

electromotoare de-a lungul curbei , e reprezintă suma dintre tensiunea electromotoare a sursei

proprii eg și tensiunea electromotoare indusă de către fluxul rezultant: dt

deind

−= .

Deci:

dt

d

dt

diLe

dt

deeee ext

ggindg

−−=

−=+=

(4.1)

Totodată:

−+=−+= bbCR uidtC

iRuuue1

(4.2)

Egalând cele două expresii ale lui e rezultă:

++=+

− dtiCdt

diLiRu

dt

de b

extg

1 (4.3)

Se notează: b

extga u

dt

deu +

−= (4.4)

numită tensiunea aplicată laturii de circuit.

40

Tensiunea aplicată unei laturi de circuit reprezintă acea tensiune care determină circulația

curentului prin acea latură. Prin latura de circuit putem avea curent dacă o alimentăm cu o tensiune

la borne ub, datorită faptului că este o latură activă, adică are în componență o sursă de t.e.m eg, și

datorită faptului că este cuplată magnetic cu alte laturi, iar fluxul magnetic de cuplaj induce o t.e.m.

−

dt

d ext .

Cu alte cuvinte tensiunea aplicată ua conține în expresia ei toate cauzele fizice care pot genera

curent prin acea latură.

La limită dacă latura este pasivă şi nu este cuplată magnetic cu alte laturi, atunci curentul circulă

doar datorită tensiunii ub cu care este alimentată latura pe la borne.

Ecuația 4.3. are și corespondentul său în complex:

IZIC

LjRUUUUjE CLRbextg =

−+=++=+−

1

(4.5)

Tensiunea aplicată este

bextga UjEU +−= (4.6)

și are aceeași interpretare fizică cu tensiunea aplicată exprimată sub formă instantanee.

Cu aceste notații: IZU a = (4.7)

Se poate deci enunța teorema lui Joubert: tensiunea aplicată unei laturi de circuit este egală cu

produsul dintre impedanța laturii și curentul din acea latură.

Evident tensiunea aplicată conține mai mulți termeni.

4.2. Impedanțe și admitanțe echivalente

Impedanța echivalentă în raport cu două borne ale unui circuit se definește ca raportul dintre U și

I la bornele respective:

eee jXRI

UZ +== (4.8)

iar admitanța echivalentă este:

eee jBGU

IY +== (4.9)

4.2.1. Circuite în serie necuplate inductiv

Considerăm un circuit format din mai mulți dipoli activi legați în serie. Ansamblul acestora poate

fi înlocuit cu un dipol echivalent, Fig. 4.3.

Tensiunea la bornele dipolului k va fi:

kkk EIZU −= (4.10)

iar la bornele ansamblului

k

n

k

k

n

k

k

n

k

EIZUU ===

−==111

, respectiv

k

n

k

k

n

k

EZIU ==

−=11

(4.11)

Tensiunea la bornele dipolului echivalent ca fi:

ee EZIU −= (4.12)

41

Fig. 4.3

Prin identificarea relațiilor (4.11) și (4.12) se obține:

=

=n

k

ke ZZ1

(4.13)

=

=n

k

ke EE1

(4.14)

Din (4.13) se deduce evident că

=

=n

k

ke RR1

şi =

=n

k

ke XX1

Expresia 4.13 pune în evidență faptul că legarea în serie a impedanțelor și obținerea impedanței

echivalente se poate obține și din compunerea geometrică a impedanțelor componente în planul Z

(Fig. 4.4).

Proiecția lui eZ pe axa reală este rezistența echivalentă 0eR iar proiecția pe axa imaginară este

eX ( 0eX , dacă circuitul este inductiv și 0eX , dacă circuitul este capacitiv).

Fig. 4.4

4.2.2. Circuite paralel, necuplate inductiv

Considerăm un circuit format din mai mulți dipoli activi legați în serie. Ansamblul acestora poate

fi înlocuit cu un dipol echivalent, Fig. 4.5.

42

Fig. 4.5

Curentul absorbit pe la borne este: =

=n

k

kII1

(4.15)

Curentul prin dipolul k va fi:

( )kkk EUYI += (4.16)

iar curentul total

kk

n

k

k

n

k

k

n

k

YEIYII ===

−==111

, respectiv

kk

n

k

k

n

k

k

n

k

YEYIII ===

−==111

(4.17)

Curentul prin dipolul echivalent ca fi:

)( ee EUYI += (4.18)

Prin identificarea relațiilor (4.11) şi (4.12) se obține:

1

n

e k

k

Y Y=

= (4.19)

1

1

n

k k

ke n

k

k

Y E

E

Y

=

=

=

(4.20)

Din (4.20) se deduce evident că

1

n

e k

k

G G=

= 1

n

e k

k

B B=

=

Expresia 4.13 pune în evidență faptul că legarea în paralel a impedanțelor cu obținerea de această

dată a admitanței echivalente se poate obține și din compunerea geometrică a admitanțelor

componente în planul Y (Fig. 4.6)

Fig. 4.6

43

Aplicații: Divizorul de tensiune și divizorul de curent

Circuitul RLC serie

Circuitul RLC paralel

Transfigurarea triunghi-stea și stea triunghi

Alte configurații de circuite pasive

44

Capitolul 5

Rezonanța electrică

5.1. Fenomenul de rezonanță electrică

Fie un dipol liniar și pasiv (Fig. 5.1) care conține elemente rezistive, inductive și capacitive într-

o conexiune oarecare și care este alimentat în regim sinusoidal cu tensiunea U .

Fig. 5.1

Acest circuit funcționează la rezonanță electrică atunci când puterea reactivă (Q) absorbită pe la

bornele de alimentare este nulă și cu toate că el conține elemente L și C , întregul dipol se comportă

în raport cu bornele de intrare ca un circuit pur rezistiv. Frecvențele pentru care Q = 0 poartă numele

de frecvențe de rezonanță.

Cu alte cuvinte:

Pentru un circuit serie: 2 0Q X I= = 0→ I și 0X = (5.1.)

Pentru un circuit paralel: 02 =−= UBQ 0→U și 0=B (5.2)

Dacă pentru un circuit cu o structură complexă este îndeplinită condiția 5.1. (X = 0), în circuit ca

apărea o rezonanță de tensiuni (rezonanță tip serie), iar dacă este îndeplinită condiția 5.2. (B = 0), în

circuit va apărea o rezonanță de curenți (rezonanță tip paralel).

Aducerea unui circuit la rezonanță se poate realiza prin fie variația frecvenței sursei de alimentare

a circuitului, fie prin variația parametrilor circuitului. De aceea pe lângă frecvență de rezonanță pentru

un circuit putem vorbi și de parametri de rezonanță.

Fenomenul de rezonanță stă la baza funcționării multor echipamente din tehnica comunicațiilor.

În tehnica curenților tari și în instalațiile electrice, în situația în care fenomenul de rezonanță apare în

mod neprevăzut, el poate avea efecte catastrofale datorită apariției unor supratensiuni sau supracurenți

greu controlabili.

5.2. Rezonanță de tensiuni (tip serie)

Circuitul cel mai simplu în care poate apărea rezonanța de tensiuni este circuitul RLC serie, Fig.

5.2, de unde și numele de rezonanță de tip serie.

Fig. 5.2

Presupunem circuitul alimentat cu o tensiune sinusoidală de pulsație . Impedanța complexă a

circuitului este :

45

−+=

CLjRZ

1 (5.3)

Valoarea efectivă a curentului I și defazajul său față de tensiunea U sunt:

2

2 1

−+

==

CLR

U

Z

UI

(5.4)

R

CL

arctgR

Xarctg

1−

== (5.5)

Condiția de rezonanță a circuitului, Q = 0X = 0, devine pentru acest caz:

01

=−=C

LX

→C

L

1

= 12 =→ LC (5.6)

relație numită condiția de rezonanță pentru circuitul serie.

Circuitul poate fi adus la rezonanță prin modificarea:

- pulsației (frecvenței) sursei de alimentare

- inductivității bobinei

- capacității condensatorului

Pulsația și frecvența de rezonanță se scriu:

LC

10 = ;

LCf

2

1

2

0

0 == ; (5.7)

În Fig. 5.3 este reprezentată caracteristica de frecvență a reactanței ( )C

LX

1

−= .

La rezonanță reactanța X(ω) = 0, deci circuitul se comportă pur rezistiv.

Pentru ω < ω0→X < 0, deci circuitul se comportă capacitiv, în timp ce pentru ω > ω0→X > 0,

deci circuitul se comportă inductiv.

Cu alte cuvinte la trecerea prin punctul de rezonanță un circuit serie își schimbă caracterul din

capacitiv în inductiv sau invers, în funcție de sensul de variație a frecvenței.

La rezonanța de tip serie impedanța circuitului la frecvența de rezonanță este minimă și reală:

RZZZ === min00 (5.8)

iar curentul va fi maxim la rezonanță:

max

min

0 IR

U

Z

UII rez ==== (5.9)

Fig. 5.3

46

Acest maxim poate fi pronunțat în situația în care valoarea rezistenței R este mică, motiv pentru

care la trecerea sa prin bobină și condensator poate determina apariția la bornele acestora a unor

supratensiuni care pot depăși cu mult tensiunea de alimentare, devenind periculoase pentru izolațiile

bobinei și condensatorului, de unde și denumirea de rezonanță de tensiuni. Tensiunile la bornele

bobinei și condensatorului sunt egale și în opoziție de fază după cum se poate vedea și din diagrama

fazorială din Fig. 5.4.

Fig. 5.4

La rezonanță reactanța inductivă LX L 00= și cea capacitivă

CX C

0

10 = sunt egale, această

valoare comună fiind numită impedanța caracteristică a circuitului:

C

L

CLZC ===

0

0

1

(5.10)

iar tensiunile la bornele bobinei și condensatorului au valorile:

000IZUU CCL == (5.11)

Raportul: R

C

L

IR

IZ

U

U

U

Uq CCL

=

===

0

000 (5.12)

se numește factor de calitate a circuitului, o valoare ridicată a lui q semnificând supratensiuni

importante pe bobină și condensator, respectiv R<<ZC.

Se poate observa că rezistența joacă rolul unui element de amortizare și că împiedică apariția

supratensiunilor de rezonanță.

Inversul factorului de calitate

00

1

CLC U

U

U

U

Z

R

qd ==== poartă numele de factor de amortizare a

circuitului şi pune în evidență rolul rezistenței R în amortizarea oscilațiilor.

Evident puterea absorbită de circuit la rezonanță va fi eminamente putere activă (condiția de

rezonanță era Q = 0) și va avea expresia:

max

2

0cos PIRIUIUP o ==== (5.13)

Energia înmagazinată în câmpul electric al condensatorului și în câmpul magnetic al bobinei

oscilează între cele două elemente de circuit fără a afecta schimbul de energie pe la bornele întregului

circuit.

5.3. Rezonanță de curenți (de tip paralel)

Cel mai simplu circuit în care poate să apară o rezonanță de curenți este circuitul RLC paralel,

Fig. 5.5, de unde și denumirea de rezonanță de curenți.

47

Fig. 5.5

Se consideră circuitul alimentat cu o tensiune sinusoidală de pulsație . Admitanța complexă a

circuitului este :

+

−+= C

Lj

RY

11 (5.14)

Condiția de rezonanță în această situație va avea forma:

B=0→ 01

=−C

L

→C

L

1

= 12 =→ LC (5.15)

condiție formal identică cu cea de la circuitul serie, deși manifestarea fizică a celor două fenomene

este total diferită.

În Fig. 5.6 este reprezentată caracteristica de frecvență a susceptanței ( )L

CB

1

−= .

La rezonanță susceptanța B(ω) = 0, deci circuitul se comportă pur rezistiv.

Pentru ω < ω0→B < 0, deci circuitul se comportă inductiv, în timp ce pentru ω > ω0→B > 0,

deci circuitul se comportă capacitiv.

În cazul circuitului paralel, la fel ca în cazul circuitului serie, la trecerea prin punctul de rezonanță

circuitul își schimbă caracterul din inductiv în capacitiv sau invers, în funcție de sensul de variație a

frecvenței.

La rezonanța de tip paralel, admitanța circuitului la frecvența de rezonanță este minimă și reală:

GYYY === min00 (5.16)

iar curentul va fi minim la rezonanță:

min

max

min0 IR

UYUII rez ==== (5.17)

Dacă latura cu rezistență lipsește, cu alte cuvinte →R , apare un circuit paralel oscilant LC,

prin care curentul este zero. Deci, un circuit oscilant LC acordat pe o anumită frecvență de rezonanță

f0 va bloca trecerea prin el a curentului de respectiva frecvență.

Fig. 5.6

48

Curenții prin bobină și condensator sunt egali și în opoziție de fază după cum se poate vedea și

din diagrama fazorială din Fig. 5.7.

Fig. 5.7

Aceasta face ca la rezonanța paralel, curentul 0 0RI I= , iar dacă rezistența lipsește ( )R → ,

0 0I = (Fig. 5.8)

Fig. 5.8

Și la rezonanța paralel reactanța inductivă LX L 00= și cea capacitivă

CX C

0

10 = sunt egale,

această valoare comună fiind numită impedanța caracteristică a circuitului:

C

L

CLZC ===

0

0

1

(5.18)

iar curenții prin bobină și condensator au valorile:

c

CLZ

UII ==

00

(5.19)

La rezonanța paralel curentul absorbit pe la borne este minim, dar curenții prin bobină și

condensator pot lua valori periculos de mari, de unde și denumirea de rezonanță de curenți.

Raportul:

C

L

R

Z

R

I

I

I

Iq

C

CL====

00

00

(5.20)

se numește factor de calitate a circuitului, o valoare ridicată a lui q semnificând supracurenți

importanți prin bobină și condensator, respectiv R>>ZC. La limită, când →R și →q

Inversul factorului de calitate

00

001

CL

C

I

I

I

I

R

Z

qd ==== poartă numele de factor de amortizare a

circuitului și pune în evidență rolul inversului rezistenței R în amortizarea oscilațiilor.

Evident puterea absorbită de circuit la rezonanță va fi tot eminamente putere activă (condiția de

rezonanță era Q = 0) și va avea expresia:

min

2

0cos PIRIUIUP o ==== (5.21)

49

Și în acest caz energia înmagazinată în câmpul electric al condensatorului și în câmpul magnetic

al bobinei oscilează între cele două elemente de circuit fără a afecta schimbul de energie pe la bornele

întregului circuit.

5.4. Rezonanța în circuite derivație cu pierderi

Fie un circuit oscilant paralel realizat cu elemente reale de circuit, adică bobina are rezistența de

pierderi R1 iar condensatorul rezistența de pierderi R2, Fig. 5.9, circuitul fiind alimentat de o tensiune

sinusoidală de pulsație .

Fig. 5.9

Admitanța complexă a circuitului este:

CjR

LjRZZYYY

1

1111

2121

21

−

++

=+=+= (5.22)

Raționalizând cei doi termeni ai impedanței complexe rezultă:

2

2

2

2

1

1

1

Z

CjR

Z

LjRY

+

+−

= (5.23)

Separând partea reală și partea imaginară, rezultă:

jBGZ

C

Z

Ljj

Z

R

Z

RY +=

+−

+

+=

2

2

2

1

2

2

2

2

1

1

1

(5.24)

Pătratele modulelor celor două impedanțe sunt: 2 2 2 2

1 1Z R L= + și 2 2

2 2 2 2

1Z R

C= +

Impunând condiția de rezonanță B = 0, pentru frecvența de rezonanță ω0, rezultă:

0 0

2 2 221 02 2 2

0

1

1

L C

R LR

C

=+

+

→→+=

+ 22

0

2

122

0

2

2

2

0

1LR

CRLC

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 2 1 0 0 2 0 1 0 2 12 2

LC LC L LLCR R L LCR L R LC R R

C C C C

+ = + → − = − → − = −

C

LR

C

LR

LC −

−

=2

2

2

1

0

1 (5.25)

50

Se poate observa că pentru circuitele cu pierderi pulsația de rezonanță 0 depinde și de

rezistențele de pierderi R1 și R2 spre deosebire de circuitele oscilante serie sau paralel ideale unde 0

era funcție numai de L și C.

Din analiza expresiei (5.25) se observă că:

- dacă R1 = R2 sau R1 = R2= 0, pulsația de rezonanță este aceeași ca în cazul circuitelor ideale:

LC

10 =

- dacă C

LR 1 și

C

LR 1 (sau invers), adică numărătorul și numitorul radicalului mare din

expresia 5.25. au semne opuse, pulsația 0 este imaginară, ceea ce înseamnă că circuitul nu

va intra niciodată în rezonanță

- dacă C

LRR == 21 , vom avea o neterminare de tip

0

00 = , aceasta însemnând din punct de

vedere fizic că circuitul poate rezona pentru orice pulsație, deoarece orice valoare a pulsația

satisface în acest caz relația 5.25. în acest caz vorbim despre circuitul complet aperiodic sau

total rezonant, cu numeroase aplicații tehnice.

Acest circuit se comportă la orice frecvență ca o rezistență în raport cu bornele de alimentare,

defazajul dintre curenții 1I și 2I fiind 2

la orice frecvență:

11

1

21

21 −=−

=

−

=LC

C

L

L

R

C

R

Ltgtg

1 2

2

1tg ctg

tg

→ = − = −

de unde se poate trage concluzia că cele două unghiuri sunt complementare dar de semn opus, adică:

221

=+ (5.26)

(vezi diagrama fazorială din Fig. 5.10).

Fig. 5.10

În această situație între bobină și condensator nu vor apărea oscilații de energie ca la circuitele

ideale. Energiile electrică 2

2

1Ce uCW = și magnetică 2

2

1Lm iLW = sunt absorbite de la rețea când uC

și iL cresc, iar apoi sunt disipate sub formă de căldură pe rezistențele R1 și R2. În această situație uC și

iL sunt în fază, spre deosebire de celelalte rezonanțe la care erau în cuadratură, ceea ce făcea posibil

schimbul de energie între L și C.

Curentul total 21 III += fiind însă în fază cu tensiunea U face ca celelalte calități ale rezonanței

să se păstreze.

51

Capitolul 6

Teoremele circuitelor electrice

Obs.: În esență aceste teoreme au fost studiate în cazul particular al curentului continuu, motiv

pentru care vom face apel la acestea pentru a scurta expunerea și pentru a evita redundanțele. Acolo

însă unde apar diferențe notabile între cele două situații se vor face toate precizările necesare.

6.1. Teoremele lui Kirchhoff

6.1.1. Teorema întâi a lui Kirchhoff

Este după cum s-a mai arătat o consecință directă a legii conservării sarcinii, valabilă în regim

cvasistaționar sub forma cunoscută:

=bk

ki 0pentru circuite liniare, neliniare sau parametrice.

Transpusă în complex T1K se va scrie:

=bk

kI 0 (6.1)

Relația 6.1. transpusă într-o diagramă fazorială arată că poligonul format de către curenții ce

concură într-un nod de circuit este întotdeauna un poligon închis.

Atenție! Relația nu este valabilă pentru valorile efective ale curenților, deoarece prin definiție acestea

sunt pozitive și evident o sumă de numere pozitive nu poate fi niciodată nulă.

De reținut că pentru o rețea cu n noduri T1K se scrie pentru (n-1) noduri alese arbitrar și numite

noduri fundamentale.

6.1.2. Teorema a doua a lui Kirchhoff

Reprezintă o consecință a legii inducției electromagnetice Sd

edt

= − , aplicată pentru o curbă

închisă Γ, luată de-a lungul unui ochi de circuit p, astfel încât pentru fiecare latură ea să treacă prin

suprafețele tensiunilor la borne. Aceste suprafețe sunt alese de așa manieră încât ele să înconjoare

fiecare latură la distanță de aceasta și să nu fie străbătute de liniile vreunui flux magnetic. Aceste

suprafețe intersectate cu planul circuitului devin așa numitele linii ale tensiunilor la borne.

Dacă curba închisă Γ, trece doar prin liniile tensiunilor la borne în interiorul acestei curbe nu trece

nici o linie de câmp magnetic, deci 0=S

, de unde și 0=e (Fig. 6.1).

Rezultă evident:

=pk

ku 0 (6.2)

care reprezintă teorema a doua a lui Kirchhoff și se enunță: Suma algebrică a valorilor instantanee ale

tensiunilor la bornele laturilor care alcătuiesc ochiul p este nulă.

În suma algebrică se iau cu + acele tensiuni ale căror sens de referință coincide cu sensul de

parcurgere al ochiului p, respectiv cu sensul de integrare pe curba și cu minus în caz contrar.

52

Fig. 6.1

În suma din relația 6.2. intervin doar acele laturi k care compun ochiul p. Se aplică teorema lui

Joubert pentru ecuația de tensiuni a laturii k:

kCk

Rk eudt

duu

kk−+

+= (6.3)

Înlocuind în 6.2. și separând termenii se obține:

=

+

+

pk pk

kCk

k eudt

du

k (6.4)

Sub forma din relația 6.4. teorema a doua a lui Kirchhoff se enunță: Suma algebrică a valorilor

instantanee ale surselor din laturile ochiului unui ochi de circuit este egală cu suma algebrică a

valorilor instantanee ale tensiunilor pentru toate elementele de circuit din acel ochi.

Forma 6.4. este valabilă pentru circuite liniare, neliniare, sau parametrice.

În cazul particular al circuitelor liniare, tensiunile de pe elementele de circuit se pot exprima sub

forma:

=

=

+++

pk

k

pk

m

j

k

k

j

kjk

kkkk edtiCdt

diL

dt

diLiR

1

1 (6.5)

Numărul m este numărul de bobine cuplate cu bobina Lk.

În regim permanent sinusoidal expresia 6.2. a T2K se transpune în mărimi complexe sub forma:

=pk

kU 0 (6.6)

Suma fiind nulă în diagrama fazorială toate tensiunile de pe latură formează un poligon închis.

Din nou trebuie remarcat că nici relația 6.6. nu este adevărată dacă este scrisă în valori efective.

Forma 6.5. transpusă în complex ne dă:

=

=

+++

pk pk

kjkj

m

j

kkkkk EILjICj

ILjIR1

1

(6.7)

Notând:

53

=

−+=

kjkj

k

kkk

LjZ

CLjRZ

1

în care kZ este impedanța proprie a laturii k și kjZ , impedanța

mutuală dintre laturile k și j, rezultă:

=

=

+

pk

k

pk

m

j

jkjkk EIZIZ1

(6.8)

relație care reprezintă T2K sub formă explicită în valori complexe.

De remarcat că atunci când se aplică relația 6.8. pentru un circuit oarecare fiecare impedanță

mutuală kjZ dintre o latură a ochiului p şi o latură care nu aparține ochiului p, apare o singură dată, în

timp ce impedanța mutuală kjZ între două laturi aparținând ochiului p apare de două ori, odată pentru

latura j și încă odată pentru latura k ale ochiului.

6.2.Teorema superpoziției

Enunțul este identic cu cel din curent continuu: Curentul electric dintr-o latură a unui circuit liniar

în care există mai multe surse, este suma algebrică a curenților produși prin acea latură de către fiecare

sursă în parte, dacă ar acționa singură în circuit, celelalte fiind pasivizate.

Obs.: A pasiviza o sursă înseamnă a o scoate din circuit, în locul ei rămânând o impedanță egală

cu impedanța sa internă.

6.3. Teorema lui Thevenin, sau teorema generatorului echivalent de tensiune

0

0

AB

AB

ABZZ

UI

+= (6.9)

Curentul debitat de un circuit activ și liniar printr-o impedanță Z conectată la bornele sale A-B,

este egal cu raportul dintre tensiunea 0ABU la mersul în gol (cu latura Z întreruptă) și suma dintre

impedanța Z și impedanța internă a circuitului pasivizat la mersul în gol 0ABZ .

Demonstrația se bazează pe teorema superpoziției (Fig. 6.2). În latura cu impedanța complexă Z,

se introduc două surse de tensiune electromotoare egale și acționând în sens opus: 0ABE E U = =

Fig. 6.2

La rândul său circuitul se descompune conform teoremei superpoziției în două circuite prezentate

în figurile a și respectiv b.

În schema (a) curentul este nul I’= 0, sursa E’ compensând efectul tuturor surselor interioare din

rețeaua activă A, deci circuitul funcționează ca unul în gol în raport cu bornele AB. În schema (b) a

54

rămas activă numai sursa E’’ = UAB0 care produce curentul I’’ prin impedanța Z legată în serie cu

impedanța ZAB0 a rețelei pasivizate 0

0

AB

AB

UI

Z Z =

+.

Conform teoremei superpoziției 0

0

AB

AB

AB

UI I I I

Z Z = + = =

+ (6.10)

6.4. Teorema lui Norton, sau teorema generatorului echivalent de curent

ABo

ABscAB

YY

IU

+= (6.10)

Tensiunea ABU produsă la bornele unei impedanțe Z legată între bornele A și B ale unei rețele

active și liniare este egală cu raportul dintre curentul de scurtcircuit IABsc al rețelei, dacă ar fi

scurtcircuitate bornele A și B și suma dintre admitanța externă Z

Y1

= și admitanța internă a reţelei

pasivizate

0

0

1

AB

ABZ

Y = .

6.5. Teorema transferului maxim de putere activă pe la borne

Considerăm un generator având t.e.m. E și impedanța internă Zi=Ri+jXi=Ziejφi care alimentează pe

la bornele A,B (Fig. 6. 3) un receptor având impedanța de sarcină Zs=Rs+jXs=Zsejφs.

Dorim să determinăm valoarea impedanței de sarcină Zs astfel încât ea să absoarbă maximum de

putere activă, respectiv sarcina Zs să funcționeze adaptat la sursă.

Fig. 6.3

Curentul debitat de sursă are valoarea:

si ZZ

EI

+= (6.11)

iar puterea absorbită de receptor (și consumată pe rezistența Rs) este:

( ) ( )( )ss

isis

s

si

ss XRPXXRR

RE

ZZ

ERIRP ,

22

22

2 =+++

=+

== (6.12)

Variabilele independente în raport cu care se caută maximul sunt elementele receptorului ( )ss XR ,

valorile care asigură Pmax rezultând din anularea derivatelor parțiale ale funcției P ( )ss XR , din 6.12.

La Rs= const. și Xs=variabil, maximul local al lui P se obține pentru minimul numitorului, respectiv

cum ( ) 0+ is XX , pentru anularea sa trebuie ca:

is XX −= (6.13)

Puterea transferată sarcinii pe la bornele A-B în acest caz este:

55

( )2

2

is

sXX

RR

REP

is+

=−= (6.14)

Maximul acesteia, la variația lui Rs, se obține din anularea derivatei:

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

4 3

20

s i s i s i s

s s i s i

R R R R R R RPE E

R R R R R

+ − + −= = =

+ +s iR R→ = (6.15)

Deci, conform 6.13. și 6.15. puterea transferată sarcinii este maximă dacă este îndeplinită condiția:

−=

=

is

is

XX

RR

=

=

is

is ZZ

= is ZZ (6.16)

respectiv impedanța de sarcină să fie egală cu conjugata impedanței interne complexe a sursei.

Dacă este îndeplinită această condiție de adaptare a sarcinii la sursă (6.14), puterea activă

transferată receptorului pe la bornele A-B este:

iR

EP

4

2

max = (6.17)

iar puterea produsă de generator în aceste condiții de adaptare este:

( ) max

2

max 2PIRRP sig =+= (6.18)

Randamentul electric al schemei este:

5,0max

max

is

s

ggenerat

u

RR

R

P

P

P

P

+=== (6.19)

Obs.: Prin Pgmax nu trebuie să se înțeleagă faptul că sursa produce maxim de putere, ci este vorba

de puterea pe care o produce sursa când la receptor ajunge maximum de putere.

În tehnica curenților tari, unde se cer randamente cât mai mari, se lucrează cu si RR , deci

departe de condiția de adaptare. În tehnica curenților slabi însă (comunicații, transmisii de date), unde

aspectul energetic al problemei (randamentul schemei) este un aspect mai puțin important, se merge

pe ideea transferului de putere maximă către receptor, deci a adaptării receptorului la sursă.

În practică se folosesc circuite de adaptare.

6.6. Linia monofazată scurtă fără pierderi

Dacă linia electrică de transport a energiei (Fig. 6.4.a) care leagă sursa de alimentare cu receptorul

este una scurtă, ea poate fi înlocuită cu o schemă echivalentă R, X serie (Fig. 6.4.b). În această situație,

curentul B BI i= este curentul absorbit de consumator, considerat constant și independent de

tensiunea aplicată la bornele consumatorului 0BU . De asemenea se consideră că tensiunea 0AU de la

sursă este constantă. Indicele 0 arată că este vorba despre tensiunea între fază și neutru.

a b

Fig. 6.4

După cum se poate observa din diagrama fazorială, datorită circulației curentului de - a lungul

liniei, se va produce o cădere de tensiune activă pe fază RI şi una inductivă jX I , defazată cu 2

în

fața curentului.

56

Fig. 6.5

Suma acestor două căderi de tensiune pe fază va reprezenta căderea totală de tensiune, reprezentată

prin segmentul AC, care este diferența fazorială între tensiunea la începutul și la sfârșitul liniei:

0 0 0AB A BU U U Z I = − =

Proiecțiile ei pe cele două axe corespund segmentelor AD şi CD, având următoarele expresii:

0 cos sinAB a rU RI XI RI XI = + = +

0 cos sinAB a rU XI RI XI RI = − = −

cosaI I = este componenta activă a curentului de linie

sinrI I = este componenta reactivă a curentului de linie

R este rezistența liniei (pe fază)

X este reactanța inductivă a liniei (pe fază).

Vom trasa arcul de cerc CE de rază egală cu 0 0A AU U= . Diferența algebrică dintre valorile efective

ale celor două tensiuni:

0 00 A BABU U U = − poartă numele de cădere de tensiune (pe fază).

Pentru valori mici ale unghiului dintre cele două tensiuni, componenta transversală a căderii

fazoriale de tensiune poate fi neglijată, iar componenta longitudinală va fi aproximativ egală cu

căderea de tensiune: 0 0AB ABDU U .

Pentru valori mari ale unghiului , căderea de tensiune se determină cu relația:

( ) ( )2 2

0 0 00 0 0 0A B BAB B AB ABU U U U U U U = − = + + −

Deoarece 0 0 0AB B ABU U U + relația de sub radical se poate dezvolta în serie:

( ) ( )

( )

2 4

0 0

0 0 3

0 0 0 0

1 1...

2 8

AB AB

AB AB

B AB B AB

U UDU U

U U U U

+ − +

+ +

Pentru liniile de medie și joasă tensiune se pot reține cu suficientă aproximație numai primii doi

termeni:

( )2

0

0 0

0 0

1

2

AB

AB AB

B AB

UDU U

U U

+

+ , respectiv

( )2

0

0

cos sincos sin

2AB

B

XI RIDU RI XI

U

−+ +

57

în care tensiunea la consumator este necunoscută. De aceea, pentru simplificare, tensiunea 0BU se

aproximează cu tensiunea de fază 0nU . Pentru sistemul monofazat, format din două conductoare

02

nn

UU = , iar pentru sistemul trifazat

03

nn

UU = .

În acest caz expresia căderii de tensiune devine:

( )2

0

0

cos sincos sin

2AB

n

XI RIDU RI XI

U

−+ +

Pentru liniile de joasă tensiune, se poate utiliza cu suficientă aproximație, relația:

0 0 cos sinAB ABDU U RI XI +

În rețelele electrice consumatorii sunt în general reprezentați prin puterile lor activă și reactivă. Dacă

se ține seama de faptul că 0

0

a

B

PI

U= și 0

0

r

B

QI

U= , expresiile căderilor de tensiune vor avea forma:

0 0 0 00

0 0

AB

B n

RP XQ RP XQU

U U

+ + =

0 0 0 00

0 0

AB

B n

XP RQ XP RQU

U U

− −=

( )2

0 00 00 3

0 02AB

n n

XP RQRP XQDU

U U

−++

In funcţie de puterile totale transportate pe linie, se utilizează pentru sistemul monofazat 02

PP = ,

respectiv 02

QQ = iar pentru sistemul trifazat 0

3

PP = , respectiv 0

3

QQ = .

Între căderea de tensiune fazorială pe linie şi căderile de tensiune longitudinală și transversală există

relația:

0 0 0AB AB ABU U j U = +

Odată determinată 0ABDU , aceasta trebuie comparată cu căderea de tensiune maxim admisibilă pe

linie ,0admU : 0 ,0 0100

AB adm nDU U U

=

Pentru determinarea defazajului între tensiunile la cele două capete ale liniei, din diagrama fazorială

0

0 0 0

AB a r a r

B AB B a r n

U XI RI XI RICDtg

OD U U U RI XI U

− −= = =

+ + +

Obs.: Intre căderea de tensiune între fază şi nulul fictiv şi căderea de tensiune între faze în cadrul

sistemului monofazat este:

02AB ABDU DU=

iar în cazul sistemului trifazat

03AB ABDU DU=

58

Capitolul 9

Circuite electrice trifazate

Producerea energiei electromagnetice se face în centrale electrice cu ajutorul generatoarelor

sincrone trifazate, transportul său se realizează cu ajutorul liniilor electrice trifazate de înaltă tensiune,

iar distribuția se face prin rețele trifazate de medie și joasă tensiune. Utilizarea sistemului trifazat în

producerea, transportul și distribuția energiei este legată de următoarele avantaje ale sistemelor

trifazate:

- transmisia este economică, utilizându-se doar trei conductoare (plus neutrul) în loc de șase

conductoare la transmisia prin trei linii monofazate separate

- consumatorii au disponibile două sisteme de tensiuni, de linie și de fază

- cu ajutorul sistemelor trifazate de curenți se pot produce câmpuri magnetice învârtitoare,

câmpuri pe baza cărora funcționează toate mașinile electrice de curent alternativ (sincrone și

asincrone), mașini care constituie baza acționărilor electrice industriale.

9.1. Sisteme trifazate simetrice

Un ansamblu de trei circuite electrice în care acționează trei tensiuni electromotoare sinusoidale

de aceeași frecvență dar cu faze inițiale diferite se numește sistem trifazat de circuite. Fiecare dintre

circuitele sistemului se numește fază iar curentul care circulă prin ele este curentul de fază. Sistemul

trifazat de curenți de fază are forma:

( )

( )

( )

+=

+=

+=

333

222

111

sin2

sin2

sin2

tIi

tIi

tIi

1

2

3

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

j

j

j

I I e I

I I e I

I I e I

= =

= =

= =

(9.1)

Sistemul 9.1 este un sistem oarecare. Cei trei curenți formează un sistem simetric dacă au aceeași

valoare efectivă ( )IIII === 321 și sunt defazați simetric între ei ( )133221 −=−=−=

Dacă 3

2 = , cei trei curenți formează un sistem simetric de succesiune directă (de secvență 1)

(Fig. 9.1a, respectiv Fig. 9.1b).

a b

Fig. 9.1

59

Unitatea de defazaj este 3

2, iar fazorii se rotesc în sens trigonometric în ordinea ,,, 321 III faza

2 este în urma fazei unu cu o unitate, iar faza 3 în urma fazei doi tot cu o unitate, deci este de secvență

1.

Un sistem simetric de curenți se scrie sub forma:

( )1

2

3

2 sin

22 sin

3

22 sin

3

i I t

i I t

i I t

= +

= + −

= + +

1

2

32

2

33

2

3

2

3

j

j

j

I Ie I

I Ie I

I Ie I

−

+

= =

= = −

= = +

(9.2)

Dacă 3

2 −= , cei trei curenți formează un sistem simetric de succesiune inversă (de secvență 2)

(Fig. 9.2a, respectiv Fig. 9.2b)

a b

Fig. 9.2

Curenții se succed în ordinea 1-3-2 respectiv faza a doua este în urma fazei 1 cu două unități

=

3

22

3

4 , la fel faza a treia este în urma fazei a doua tot cu două unități, respectiv sistemul este

de secvență 2. Curenții au expresiile:

( )1

2

3

2 sin

22 sin

3

22 sin

3

i I t

i I t

i I t

= +

= + +

= + −

1

2

32

2

33

2

3

2

3

j

j

j

I Ie I

I Ie I

I Ie I

−

+

= =

= = +

= = −

(9.3)

Sistemul invers provine din sistemul direct în care s-au inversat două faze între ele. Un motor

trifazat alimentat cu un sistem direct de curenți are un anumit sens de rotație, iar alimentat cu un

sistem invers de curenți se va roti invers; cu alte cuvinte prin inversarea a două faze un motor își

schimbă sensul de rotație.

Dacă 0= cei trei curenți formează un sistem simetric de succesiune homopolară (de secvență 0

sau 3). (Fig. 9.3a și Fig. 9.3b).

60

a b

Fig. 9.3

În diagramele din Fig. 9.3 este reprezentat un sistem homopolar de curenți. În rotația lor, între

aceștia nu există nici un defazaj, respectiv defazajul este 2π. Deci sistemul homopolar este de secvență

0 sau 3.

Un sistem homopolar se poate scrie în valori instantanee sau complexe sub forma:

( )

( )

( )

1

2

3

2 sin

2 sin

2 sin

i I t

i I t

i I t

= +

= +

= +

1

2

3

j

j

j

I Ie I

I Ie I

I Ie I

= =

= =

= =

(9.4)

Definim operatorul de rotație „a”, care are modulul 1 iar faza „3

2”. Orice mărime complexă

înmulțită cu „a”, va fi rotită în sens direct trigonometric cu 3

2. Operatorul are următoarele

proprietăți:

====

=

−−==

+−==

...1;;

1

3

2

2

1

3

2

2

1

36254

3

3

4

2

3

2

aaaaaa

a

jea

jea

j

j

(9.5)

Se observă din Fig. 9.4 că mărimile 1, a, a2 formează o stea simetrică, deci suma lor este nulă:

Fig. 9.4

01 2 =++ aa (9.6)

61

Pe de altă parte și un sistem simetric direct sau un sistem simetric invers de curenți formează tot o

stea simetrică. Cu ajutorul operatorului de rotație „a”, un sistem direct sau invers se scrie:

Sistem direct Sistem invers

1

2

2

3

jI I Ie I

I a I

I aI

= = =

= =

1

2

2

3

jI I Ie I

I aI

I a I

= = =

=

=

(9.7)

iar suma celor trei curenți este nulă: 1 2 3 0I I I+ + = (Fig. 9.5)

Sistem direct Sistem invers

Fig. 9.5

Mărimile diferență într-un sistem trifazat direct se scriu sub forma:

( )

−−−+=−=

3

2sinsin22112

ttIiii

−+=

3cos

3sin2212

tIi

++=

6sin2312

tIi (9.8)

iar în valori complexe mărimea diferență se scrie sub forma:

2 612 1 2 1 1 1 13 3

6

j

I I I I a I I e I

= − = − = = (9.9)

conform Fig. 9. 6.

Fig. 9.6

62

Din relațiile 9.7 și 9.8 se observă că o mărime diferență 12I are modulul de 3 ori mai mare şi

este defazată înaintea lui 1I cu 6

. Similar, mărimea diferență într-un sistem invers are modulul de

3 ori mai mare și este defazată cu în urmă cu 6

.

Dacă ,,, 321 III formează un sistem simetric de succesiune directă atunci mărimile diferență

,,, 312312 III vor forma o stea simetrică de succesiune directă cu modulul mai mare de 3 ori, rotită

cu 6

(Fig. 9.7a), fie vor forma un triunghi orientat în sens direct (latura triunghiului fiind egală cu

de 3 ori latura stelei) (Fig. 9.7b).

a b

Fig. 9.7

Dacă ,,, 321 III formează un sistem simetric de succesiune inversă (Fig. 9.8a) atunci mărimile

diferență ,,, 312312 III vor forma o stea simetrică de succesiune inversă cu modulul mai mare de 3

ori şi rotită cu 6

(Fig. 9.8a), fie vor forma un triunghi orientat în sens invers (latura triunghiului fiind

egală cu de 3 ori latura stelei), ca în (Fig. 9.8b).

a b

Fig. 9.8

63

9.2. Conexiunile sistemelor trifazate

Un sistem trifazat de circuite se poate considera că provine din interconectarea a trei circuite

monofazate şi aceasta se poate face prin conexiuni: stea, triunghi sau zig-zag.

Orice receptor se conectează la o priză trifazată unde există un sistem simetric trifazat al tensiunilor

de alimentare furnizat de sistemul național de distribuție.

9.2.1. Conexiunea stea (Y)

Impedanțele 321 ,, ZZZ din Fig. 9.9 reprezintă fazele receptorului și sunt parcurse de curenții de

fază 321 ,, III , legătura 0-N prin NZ reprezentând impedanța neutrului (nulului) de lucru.

Fig. 9.9

Receptorul este alimentat cu un sistem trifazat de tensiuni, iar 321 ,, VVV , reprezintă cele trei

tensiuni pe fiecare dintre cele trei faze, numite tensiunile pe fază și definite între fiecare fază și neutrul

rețelei de alimentare 0. Punctul 0 se consideră referința de potențial într-un sistem trifazat.

Tensiunile definite între fazele sistemului, 312312 ,, UUU se numesc tensiuni între faze (sau tensiuni

de linie)

Curenții care vin prin liniile de alimentare către receptor se numesc curenți de linie.

Se poate cu ușurință observa de pe figură faptul că curenții de linie sunt aceeași cu curenții prin

fazele receptorului la conexiunea stea.

Curentul 0I prin conductorul neutru (de nul) se mai numește curent de întoarcere datorită orientării

sale 0→N .

Punctul N este neutrul (nulul) receptorului așa cum 0 este neutrul rețelei (generatorului).

Curentul prin conductorul de neutru este 3210 IIII ++= , iar dacă cei trei curenți formează un

sistem simetric, atunci 00 =I și conductorul de neutrul poate lipsi deoarece căderea de tensiune pe

NZ este zero.

Conexiunea stea este caracterizată de:

321 ,, VVV - tensiunile de fază la alimentare

312312 ,, UUU - tensiunile de linie (între faze)

321 ,, VVV - tensiunile de fază la receptor

,,, 321 III - curenții de fază, identici cu curenții de linie

Dacă se notează mărimile de fază cu indicele f, iar cele de linie cu indicele l, rezultă:

3U V= → 3l fU U= ; fl II = ;

64

Diagrama fazorială a tensiunilor în conexiunea stea este reprezentată în Fig. 9.10.

Fig. 9.10

9.2.2. Conexiunea triunghi (Δ sau D)

Impedanțele 312312 ,, ZZZ , reprezintă fazele receptorului și sunt legate în triunghi ca în Fig. 9.11.

Fig. 9.11

Se observă că în acest caz, la receptor nu este accesibil nulul rețelei de alimentare, ceea ce face ca

în această situație să nu se poată defini decât tensiunile între faze, deci tensiunile de linie

312312 ,, UUU , între bornele rețelei 1-2-3.

,,, 321 III - curenții de linie, care circulă prin liniile de alimentare

312312 ,, III - curenții de fază

Prin aplicarea T1K la bornele receptorului avem:

31121 III −= ; 12232 III −= ; 23313 III −= ;

Se observă că ,,, 321 III reprezintă mărimi diferență, deci au proprietățile acestora, ceea ce este

reliefat în diagrama fazorială din Fig. 9.12

În consecință, pentru conexiunea triunghi: fl UU = , iar fl II 3=

În practică un sistem trifazat de tensiuni se indică fie prin valoarea tensiunii de linie, fie prin

raportul dintre tensiunea de linie și cea de fază; în UE, rețeaua publică de joasă tensiune se indică prin

0,4kV (400V), respectiv 400/230V ( 2303400 = V).

65

Fig. 9.12

9.3. Rezolvarea circuitelor electrice trifazate

A rezolva un circuit electric înseamnă a determina curenții absorbiți și puterile totale absorbite

(total având semnificația puterii pe cele trei faze), atunci când se cunoaște sistemul tensiunilor de

alimentare și cele trei impedanțe ale receptorului și modul lor de conexiune.

Sistemul tensiunilor de alimentare poate fi simetric (direct sau invers) sau nesimetric, iar

receptorul poate fi echilibrat ZZZZ === 321 , sau dezechilibrat 321 ZZZ . În funcție de

aceasta sistemul curenților absorbiți poate fi și el unul simetric (direct sau invers), respectiv un sistem

nesimetric.

Astfel:

- sistem de alimentare simetric + receptor echilibrat→sistem de curenți simetric

- sistem de alimentare simetric + receptor dezechilibrat → sistem de curenți nesimetric

- sistem de alimentare nesimetric + receptor echilibrat → sistem de curenți nesimetric

- sistem de alimentare nesimetric + receptor dezechilibrat → sistem de curenți nesimetric

9.3.1. Rezolvarea circuitelor trifazate echilibrate, alimentate cu tensiuni simetrice

A. Receptor în stea (Fig. 9.13a)

Tensiunile de fază la alimentare 321 ,, VVV , adică acele tensiuni măsurate între fiecare fază și

conductorul de nul, formează un sistem simetric de succesiune directă:

VV =1 ; VaV 2

2 = ; VaV =3 ; (9.10)

receptorul este 1 2 3

jZ Z Z Z Z e Z = = = = = , iar tensiunile

NUVV −=

11 ; NUVV −=

22 ; NUVV −=

33 ; reprezintă tensiunile pe fază la receptor.

Fig. 9.13

66

Curenții absorbiți se pot scrie sub forma:

( )NN UVY

Z

UV

Z

VI −=

−=

= 1

1

1

11

( )NN UVY

Z

UV

Z

VI −=

−=

= 2

2

2

22 (9.11)

( )NN UVY

Z

UV

Z

VI −=

−=

= 3

3

3

33

Curentul prin firul de nul este:

( ) NUVVVYIIII 33213210 −++=++=

Deoarece sistemul tensiunilor de alimentare este simetric cele trei tensiuni de alimentare formează

o stea simetrică și 032 =++ VVV

Rezultă: NUYI 30 −=

Pe de altă parte: →= NN UYI 0 ( ) 03 =+ NN YYU → 0=NU → 00 =I

Punctul de neutru se află la potențial zero la fel ca punctul 0. Tensiunea dintre cele două puncte

fiind nulă și neexistând nici un curent prin conductorul de nul ( 00 =I ), curenții pe cele trei faze

formează un sistem simetric:

11 VYI = ; 1

2

1

2

22 IaVaYVYI === ; 1133 IaVaYVYI === (9.12)

Atunci când sistemul de curenți este simetric, este suficientă cunoașterea unuia dintre ei (spre

exemplu 1I ), ceilalți doi obținându-se din rotirea lui 1I , înainte și în urmă cu 3

2 (Fig. 9.13b)

Se spune că astfel de sisteme se rezolvă pe o singură fază.

B. Receptor în triunghi

Se consideră cunoscute tensiunile de alimentare UU =12 ; UaU 2

23 = ; 31U aU= , care formează

un sistem simetric de succesiune directă, Fig. 9.14a, iar receptorul 12 23 31

jZ Z Z Z Ze Z = = = = =

este echilibrat.

Fig. 9.14

Se vor determina atât curenții de fază 312312 ,, III , cât și curenții ,,, 321 III prin linia de alimentare

(curenții de linie). Neavând conductor de neutru accesibil, nu se pot defini tensiunile pe fază la

67

alimentare, adică 321 ,, VVV , cu toate că au fost și ele reprezentate în diagrama fazorială din Fig.

9.14b.

Curenții de fază se pot scrie sub forma:

( )12 12 1212

jU U UI e

Z Z Z

−= = = −

12

212

2

2323 Ia

Z

Ua

Z

UI === (9.13)

121231

31 IaZ

Ua

Z

UI ===

curenții de linie rezultând ca mărimi diferență sub forma:

( ) 661 12 31 12 121 3 3 3

6

jj U UI I I I a I e e

Z Z

− +−

= − = − = = = − +

( )2

23 662 23 12 23 23 11 3 3

jj UI I I I a I e e a I

Z

− + +− = − = − = = =

( ) ( ) 1123112313 11 IaaaIaIIII =−=−=−= (9.14)

Ambele sisteme de curenți (9.13) și (9.14) formează un sistem simetric după cum rezultă din

diagrama fazorială din Fig. 9.14b. Unghiul între ( )1212 , IU este același ca între ( )11, IV și egal cu faza

inițială a receptorului.

C. Puteri în circuite trifazate echilibrate, alimentate simetric

Se consideră un receptor echilibrat, alimentat simetric: VVV ==1 ; 1

2

2 VaV = ; 13 VaV = ; şi

care absoarbe curenții simetrici: jeII =1 ; 1

2

2 IaI = ; 13 IaI = ;

Puterea complexă totală (pe toate cele trei faze ale sistemului) absorbită de un receptor trifazat se

poate scrie sub forma:

++= 332211 IVIVIVS (9.15)

(evident puterea corespunzătoare firului neutru, dacă acesta există este nulă, curentul prin acesta fiind

nul)

Dacă se ține seama de simetria lui a și a2 în raport cu axa reală, Fig. 9.15 rezultă că 2aa =,

aa =)( 2 și a3=1.

Fig. 9.15

68

Curenții complex conjugați sunt: jeII −= 11 ; ( )

== 11

2

2 IaIaI ; ( ) == 1

2

13 IaIaI ;

Atunci puterea complexă absorbită se scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) =++= 111

2

111

2

11 3 IVIaVaIaVaIVS (9.16)

Se poate observa că pentru circuite trifazate echilibrate alimentate simetric puterea nu trebuie

calculată decât pentru o singură fază și rezultatul se înmulțește cu 3. Puterea complexă are

componentele:

jQPVIjVIeIVIVS j +=+===

sin3cos333 11 (9.17)

Puterile activă şi reactivă totale absorbite de receptorul trifazat echilibrat sunt:

cos3cos3 lf UIVIP == W

sin3sin3 lf UIVIQ == VAR (9.18)

Formele 9.18 sunt valabile atât pentru conexiunea stea, fl UU 3= ; fl II = , cât și pentru

conexiunea triunghi fl UU = , iar fl II 3= .

9.3.2. Rezolvarea circuitelor trifazate dezechilibrate, alimentate cu tensiuni simetrice

Dacă neutrul rețelei de alimentare este accesibil, atunci se pot defini tensiunile de fază la

alimentare 321 ,, VVV , măsurate între fiecare fază și conductorul de nul. Pentru sistemele la care

0321 ++ VVV se spune că sistemul de tensiuni este nesimetric, nemaiformând o stea simetrică. În

cazul sistemului de tensiuni între faze, relația 0312312 =++ UUU este întotdeauna îndeplinită,

acestea formând un triunghi închis în diagrama fazorială, aceste tensiuni de linie nefiind afectate de

nici un fel de dezechilibru al receptorului.

A. Receptor în stea

Se consideră un receptor trifazat dezechilibrat pentru care se cunosc 321 ZZZ cu conexiune

în stea, cu fir neutru (cu neutrul accesibil). Tensiunile pe fază la alimentare sunt: 321 ,, VVV , formând

un sistem direct, iar tensiunile pe fază la bornele receptorului sunt:

321 ,, VVV (Fig. 9.16).

Fig. 9.16

69

Cum în circuite trifazate originea de potențial se consideră punctul 0 (neutrul rețelei de

alimentare), teorema lui Millman ne permite să calculăm potențialul punctului (nodului) N în raport

cu 0 și cum tensiunea pe nul este: NNNN UVVVU ==−= 00 , putem scrie:

N

k

kN

k

kk

NYYYY

VYVYVY

YY

VY

U+++

++=

+

=

=

=

321

332211

3

1

3

1

(9.19)

Curenții absorbiți pe cele trei faze sunt:

( )NUVYVYI −=

= 11111

( )NUVYVYI −=

= 22222

( )NUVYVYI −=

= 33333 (9.20)

Fig. 9.17

În diagrama fazorială din Fig. 9.17 sunt reprezentate tensiunile de alimentare 321 ,, VVV , definite

între fazele 1,2,şi 3, și punctul de referință 0, precum și tensiunile la receptor

321 ,, VVV definite

între bornele receptorului 1,2,3 și neutrul receptorului, punctul N.

În cazul receptorului dezechilibrat 321 ZZZ , neutrul receptorului (punctul N) nu se mai

găsește la același potențial cu punctul 0, între ele fiind tensiunea NU care face ca în diagrama din

Fig. 9.17, punctul N să fie deplasat față de punctul 0 cu NU . Din acest motiv, tensiunea pe conductorul

de neutru NU , (adică potențialul punctului N în raport cu referința 0), se mai numește deplasarea

punctului neutru.

Practic se întâlnesc mai multe situații:

- dacă tensiunile de alimentare formează un sistem simetric, relația 9.19. devine:

N

NYYYY

YaYaYVU

+++

++=

321

32

2

1 (9.21)

- dacă nu există fir neutru ( →NZ , respectiv 0→NY ), atunci:

321

332211

YYY

VYVYVYU N

++

++= (9.22)

și deplasarea punctului neutru NU este mai mare. Punctul N se poate deplasa oriunde în interiorul

triunghiului din figura 9.17, în funcție de dezechilibrul receptorului. Deplasarea maximă este din 0

70

până în unul din vârfurile triunghiului, spre exemplu până în vârful 1, ceea ce înseamnă scurtcircuit

pe faza 1 a receptorului, când: 1VU N = , iar 122 UV −=

, 313 UV −=

, 01 =

V . Se observă pe fazele

sănătoase o creștere a tensiunii de 3 ori ceea poate cauza probleme pe aceste faze alături de faza 1.

- Dacă firul de neutru are impedanță zero, respectiv admitanță infinită (nul direct), 0=NU ,

deci punctul N nu se va deplasa indiferent cât este dezechilibrul receptorului, tensiunile la

receptor rămân un sistem simetric, dar curenții nu mai formează un sistem simetric. Această

situație se întâlnește în cazurile în care un sistem de alimentare trifazat simetric alimentează

consumatori monofazați (spre exemplu consumatori casnici grupați pe cele trei faze). În aceste

situații se urmărește o cât mai bună echilibrare a celor trei faze și trebuie menținut obligatoriu

nulul sistemului trifazat pentru a se menține toate tensiunile la 220 V.

- Dacă punctul neutru nu este accesibil, se poate admite referință oricare dintre faze (de exemplu

faza 2):

−==

=

=

23323

2

121

0

UUV

V

UV

→321

233121

YYY

UYUYU N

++

−= (9.23)

B. Receptor în triunghi

În această situație receptorul dezechilibrat 321 ZZZ este conectat în triunghi ca în Fig. și

alimentat cu tensiunile simetrice pentru care se pot defini: UU =12 ; UaU 2

23 = ; 31U aU= .

Curenții de fază sunt de forma:

12

1212

Z

UI =

; 23

2323

Z

UI =

; 31

3131

Z

UI =

(9.24)

și nu mai formează între ei un sistem simetric. Curenții de linie sunt:

23121 III −= ; 12232 III −= ; 23313 III −= ; (9.25)

Fig. 9.18

C. Puteri electrice în sisteme dezechilibrate alimentate simetric

Într-un circuit trifazat dezechilibrat cu fir neutru (multipol cu patru poli), puterea complexă totală

absorbită pe la borne se scrie:

=++=

332211 IVIVIVS

++ 330220110 IUIUIU (9.26)

71

Puterile activă și reactivă totale se scriu prin separarea pârților reale și imaginare în expresia 9.26:

333022201110 coscoscos IUIUIUP ++=

333022201110 sinsinsin IUIUIUQ ++= (9.27)

De remarcat că fiecare termen din aceste sume nu are semnificație (nu este localizabil) doar suma

are semnificația puterii totale absorbite prin toate cele trei faze.

Dacă lipsește conductorul neutru, atunci 0321 =++ III ( )322 III +−=→

Puterea totală absorbită se exprimă astfel:

=++=

332211 IVIVIVS ( ) ( ) =−+−

223121 IVVIVV

+= 232112 IUIU (9.28)

Separând partea reală și partea imaginară se obțin puterile activă și reactivă totale:

( ) ( )332332112112 ,cos,cos IUIUIUIUP +=

( ) ( )332332112112 ,sin,sin IUIUIUIUQ += (9.29)

În acest caz puterea activă apare ca suma a doi temeni și puterea P se va putea măsura cu metoda

celor două wattmetre.

9.3.3. Rezolvarea circuitelor trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice

Un sistem de tensiuni trifazate nesimetrice 321 ,, VVV se poate descompune după trei coordonate

(homopolară, directă şi inversă) în trei sisteme simetrice componente. Dacă hV este componenta

homopolară (componenta lui 1V după coordonata h), dV este componenta directă (componenta lui

1V după coordonata d), iar iV este componenta inversă (componenta lui 1V după coordonata i),

atunci cele trei tensiuni vor avea componentele scrise astfel:

( )

( )( )

++=

++=

++=

idh

idh

idh

VaVaVV

VaVaVV

VVVV

2

3

2

2

1

=

i

d

h

V

V

V

aa

aa

V

V

V

2

2

3

2

1

1

1

111

3

1 (9.30)

h d i T

Dacă se dă un sistem nesimetric 321 ,, VVV , componentele simetrice idh VVV ,, , sunt legate de

primele prin matricea de transformare T a sistemului de coordonate (1,2,3) în (h,d,i) și pentru care

det T = 33j .

Descompunerea 9.30 este cunoscută sub numele de teorema lui Fortesque. Exprimarea inversă,

adică deducerea componentelor simetrice ale unui sistem dat este:

( )

( )

( )

++=

++=

++=

32

2

1

3

2

21

321

3

1

3

1

3

1

VaVaVV

VaVaVV

VVVV

i

d

h

=

3

2

1

2

2

1

1

111

3

1

V

V

V

aa

aa

V

V

V

i

d

h

(9.31)

Grafic descompunerea arată ca în Fig. 9.19.

72

Fig. 9.19

Algoritmul rezolvării circuitului trifazat pe baza metodei de descompunere a unui sistem

nesimetric în componente simetrice se poate rezuma astfel:

- se descompune sistemul nesimetric de tensiuni 321 ,, VVV , în componentele sale simetrice

idh VVV ,, , şi presupunem că acestea se aplică pe rând la bornele receptorului

- se calculează componentele simetrice ale curenților absorbiți idh III ,,

- se compun idh III ,, , sub forma 9.30. și se obțin curenții 321 ,, III

Fiecare din circuitele „d”, „i” și „h” în care am descompus circuitul inițial (Fig. 9.20) reprezintă

un receptor echilibrat alimentat cu tensiuni simetrice, dar de succesiuni diferite.

Fig. 9.20

Astfel de circuite se rezolvă pe o singură fază:

Z

VI d

d = ; Z

VI i

i = ; N

hh

ZZ

VI

3+= (9.32)

Curenții reali pe cele trei faze se obțin pe baza relațiilor 9.30:

( )

( )( )

++=

++=

++=

idh

idh

idh

IaIaII

IaIaII

IIII

2

3

2

2

1

(9.33)

9.3.4. Rezolvarea circuitelor trifazate dezechilibrate, alimentate nesimetric

În această situație se va descompune atât sistemul nesimetric de tensiuni 321 ,, VVV , în

componentele sale simetrice idh VVV ,, , cât și impedanțele dezechilibrate 321 ZZZ , în

impedanțe simetrice, niște impedanțe fictive de calcul, care vor fi de forma:

73

( )( )( )

++=

++=

++=

idh

idh

idh

aaZ

aaZ

Z

2

3

2

2

1

(9.34)

respectiv

( )

( )

( )

++=

++=

++=

32

2

1

3

2

21

321

3

1

3

1

3

1

ZaZaZ

ZaZaZ

ZZZ

i

d

h

(9.35)

Receptorul dezechilibrat 321 ZZZ , s-a descompus în componentele sale simetrice

idh ,, , conform 9.34. iar relația

idhZ ++=1

este interpretată ca trei impedanțe în serie,

(Fig. 9.21b).

Fig. 9.21

La trecerea unei componente a curentului printr-o componentă a lui Z se va produce o cădere de

tensiune de o anumită secvență. Sistemul direct este de secvență (1), cel invers este de secvență (2),

iar cel homopolar de secvență (0), sau (3). Regula de înmulțire a secvențelor este de forma:

==+=

==+=

==+=

iih

ddh

hhh

220

110

000

;

==+=

==+=

==+=

idd

ddi

hid

211

110

321

(9.36)

În figura 9.21, considerăm ochiul , format din faza (1) şi firul de nul. La bornele sale se aplică

tensiunea 1V , dar noi vom considera că nu o aplicăm toată, ci că aplicăm pe rând componentele sale

idh VVV ,, şi calculăm efectul cu teorema superpoziției. Când aplicăm componenta hV , aceasta va

fi egală cu suma căderilor de tensiune homopolare de tensiune din ochiul , la fel pentru dV şi iV

sub forma:

( )

( )

( )

3l N h d ih h i d

h l d id d h i

h d l ii i d h

V Z Z I I I

V I Z I I

V I I Z I

= + + + +

= + + +

= + + +

(9.37)

Sistemul 9.37 se rezolvă şi se determină curenții idh III ,, și apoi curenții absorbiți:

( )

( )( )

++=

++=

++=

idh

idh

idh

IaIaII

IaIaII

IIII

2

3

2

2

1

(9.38)

74

9.3.4.1. Puterile absorbite de un receptor dezechilibrat alimentat nesimetric

Puterea complexă totală absorbită se scrie sub forma:

++= 332211 IVIVIVS (9.39)

Dacă înlocuim mărimile reale prin componentele lor simetrice se obține succesiv expresia puterii

scrisă în funcție de componentele simetrice:

( ) ( ) ( ) =++++++++=

3

2

2

2

1 IVaVaVIVaVaVIVVVS idhidhidh

( ) ( ) ( ) =++++++++=

32

2

13

2

21321 IaIaIVIaIaIVIIIV idh

++= iiddhh IVIVIV 333 (9.40)

Fiecare termen din 9.40 reprezintă puterea absorbită pe una dintre rețelele „h”, „d” și „i”, care

fiind simetrice se evaluează pe o singură fază.

Puterile activă şi reactivă totale absorbite sunt de forma:

iiidddhhh IVIVIVP cos3cos3cos3 ++=

iiidddhhh IVIVIVQ sin3sin3sin3 ++= (9.41)

9.4. Măsurarea puterilor în sisteme trifazate

Puterea activă absorbită de un receptor (sarcină) poate fi măsurată cu ajutorul unui instrument

numit wattmetru. În Fig. 9.22 se prezintă un wattmetru, care constă în esență din două bobine: bobina

de curent sau bobina amper și bobina de tensiune sau bobina volt.

Fig. 9.22

Bobina de curent are o impedanță de valoare foarte scăzută (ideal nulă) si este conectată în serie

cu sarcina, fiind sensibilă la curentul de sarcină. Bobina de tensiune are impedanță foarte ridicată

(ideal infinită) și este conectată în paralel cu sarcina, fiind sensibilă la tensiunea de sarcină. Bobina

de curent acționează ca un scurtcircuit, datorită impedanței sale scăzute; bobina de tensiune se

comportă ca o întrerupere de circuit, datorită impedanței sale ridicate. Astfel, prezența wattmetrului

nu perturbă circuitul sau să afecteze măsurarea puterii, care reprezintă valoarea medie a produsului

v(t)i(t). Dacă valorile instantanee ale curentului și tensiunii de sarcină sunt v(t) = Vm sin(ωt + γv) și

i(t) = Im cos(ωt + γi), fazorii corespunzători ai acestora sunt:

2

mv

VV = și

2

mi

II =

iar wattmetrul măsoară puterea medie, respectiv puterea activă dată de:

( ) ( )cos cosv i v iP V I V I = − = −

Un singur wattmetru poate de asemenea să măsoare puterea activă într-un sistem trifazat simetric

și echilibrat, pentru care P1 = P2 = P3; puterea totală este de trei ori puterea indicată singurul

wattmetru utilizat. Totuși, dacă sistemul este dezechilibrat sunt necesare două sau trei wattmetre.

75

Metoda celor trei wattmetre este prezentată în Fig. 9.23, care este efectivă atât în sisteme

echilibrate cât și în sisteme dezechilibrate, conectate în stea Y sau în triunghi Δ.

Fig. 9.23

Metoda celor trei wattmetre este potrivită pentru măsurători în sisteme trifazate în care factorul

de putere se modifică în permanență. Valoarea puterii active este reprezentată de suma algebrică a

celor trei citiri ale wattmetrelor.

PT = P1 + P2 + P3 (9.42)

în care P1, P2 și P3 corespund citirilor wattmetrelor W1, W2 și respectiv W3. De reținut că punctul de

referință O din figură este ales arbitrar. Dacă sarcina este conectată în stea, punctul O poate fi conectat

la punctul de neutru n. Pentru o conexiune triunghi a sarcinii, punctul O poate fi conectat în orice

punct. Spre exemplu, dacă punctul O este conectat la punctul b, bobina de tensiune a wattmetrului

W2 citește valoarea P2 = 0, indicând că wattmetrul W2 nu este de fapt necesar. Astfel, în această

situație sunt suficiente două wattmetre pentru măsurarea puterii active totale.

Metoda celor două wattmetre este cea mai utilizată în măsurarea puterii active din sistemele

trifazate. Cele două wattmetre trebuie conectate corect, cum se arată în Fig. 9.24.

Fig. 9.24

De reținut că bobina de curent a fiecărui wattmetru măsoară curentul de linie, în timp ce bobina

de tensiune măsoară tensiunea între două linii.

76

Deși, wattmetrele individuale nu mai citesc puterea preluată de vreuna dintre faze, suma algebrică

a citirilor celor două wattmetre este egală cu puterea totală absorbită de receptorul trifazat, indiferent

dacă acesta este conecta în stea sau în triunghi, echilibrat sau dezechilibrat. Puterea activă totală este

egală cu suma algebrică ale citirilor celor două wattmetre:

PT = P1 + P2 (9.43)

Se va prezenta metoda celor două wattmetre pentru un sistem trifazat echilibrat.

Fie sistemul trifazat echilibrat, cu receptorul conectat în stea Y, din Fig. 9.25.

Fig. 9.25

Se presupune că sistemul de alimentare este de succesiune directă abc impedanța de sarcină fiind

ZY = ZYθ. Datorită impedanței de sarcină inductive bobina de tensiune este defazată cu unghiul θ,

astfel încât factorul de putere este cos θ.

Se reamintește că fiecare tensiune de linie este defazată înaintea tensiunii de fază corespunzătoare

cu unghiul de 30°. Astfel, defazajul total între curentul de fază Ia și tensiunea de linie Vab este θ + 30°,

iar puterea activă citită de wattmetrul W1 este

P1 = Re[VabI*a] = VabIa cos(θ + 30°) = VLIL cos(θ + 30°) (9.44)

Similar, se poate arăta că puterea activă citită de wattmetrul 2 este:

P2 = Re[VcbI*c] = VcbIc cos(θ − 30°) = VLIL cos(θ − 30°) (9.45)

Utilizând identitățile trigonometrice privind suma și diferența de cosinusuri

cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B

cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B

rezultă suma citirilor celor două wattmetre:

( ) ( )

( )

1 2 cos 30 cos 30

cos cos30 sin sin 30 cos cos30 sin sin 30

2 cos30 cos 3 cos

L L

L L

L L L L

P P V I

V I

V I V I

+ = + + − =

= − + + =

= =

(9.46)

Formula este cunoscută din teoria prezentată la paragraful corespunzător. Deci puterea activă

totală este suma citirilor celor două wattmetre:

PT = P1 + P2 (9.47)

Similar,

P1-P2 = VLIL[cos(θ +30°)−cos(θ -30°)] = VLIL(cosθ cos30°- sinθ sin30°- cosθ cos30°- sinθ sin 30°) =

= -2VLIL sin 30°sinθ

Deci: P2 − P1 = VLIL sin θ

Se observă că diferența citirilor celor două wattmetre nu este egală, dar este proporțională cu

puterea reactivă totală:

( )2 13TQ P P= − (9.48)

77

Deci, puterea aparentă totală va fi: 2 2

T T TS P Q= + (9.49)

Rezultă: 2 1

2 1

tan 3T

T

Q P P

P P P

−= =

+ (9.50)

din care se obține factorul de putere cos θ, utilizând identitatea trigonometrică: 2

2 2 2

2 2 2

1 sin 1sin cos 1 1 tan 1

cos cos cos

+ = → = + → = +

Deci: 2

1cos

tan 1

=

+

Astfel, metoda celor două wattmetre nu furnizează numai puterile activă și reactivă totale, ci

permite și calculul factorului de putere. Din ecuațiile de mai sus, se poate concluziona că:

1. dacă P2 = P1, sarcina este rezistivă,

2. dacă P2 > P1, sarcina este inductivă,

3. dacă P2 < P1, sarcina este capacitivă.

Deși aceste rezultate au fost deduse pentru o sarcină echilibrată conectată stea, ele sunt valide și pentru

o sarcină echilibrată conectată triunghi. Totuși, metoda celor două wattmetre nu poate fi utilizată

pentru măsurarea puterii într-un sistem trifazat cu patru conductoare, decât dacă curentul prin linia de

neutru este nul. În această situație se utilizează metoda celor trei wattmetre.