1

ELECTROTEHNICĂ

Teoria circuitelor electrice

2

Capitolul 1. 1.1. Incadrarea teoriei circuitelor în electromagnetism

Numim circuit o mulţime de componente electrice şi electronice interconectate în scopul realizării unui anumit mod de prelucrare sau transmitere a unor semnale.

Numim sistem o mulţime de circuite, interconectate astfel încât se pot identifica perechi de borne numite porţi de intrare (intrări) şi perechi de borne numite porţi de ieşire (ieşiri).

In vorbirea comună a transmite sau a recepţiona un semnal este sinonim cu un stimul sau o informaţie la care reacţionăm într-un anume fel (printr-o acţiune sau o nonacţiune). Acelaşi lucru se întâmplă şi în cazul circuitelor electrice, doar că aici semnalele sunt de natură electromagnetică.

Putem vorbi despre prelucrări simple, ca redresarea sau filtrarea ajungând până la prelucrări complexe de tipul codării sau compresiei semnalelor, după cum putem vorbi şi despre transmisii simple începând cu transferul semnalului de la sursă către sarcină pe distanţe scurte şi teminând cu comunicaţiile celulare sau tranmisiile prin satelit.

Să reţinem că aceste semnale pot fi constante în timp (de exemplu semnalele de curent continuu) sau variabile în timp (periodice sau nu, deterministe sau aleatoare).

Se ştie din matematică faptul că orice funcţie de timp periodică care satisface condiţiile lui Dirichlet (este netedă pe porţiuni, adică mărginită cu un număr finit de discontinuităţi şi un număr finit de subintervale de monotonie), se poate descompune într-o serie Fourier care conţine componente de anumite frecvenţe. Aceste frecvenţe generează aşa numitul spectru al funcţiei date, care în cazul unei funcţii periodice reprezintă un spectru discret. Prin analiza armonică se pot obţine spectrul de frecvenţă, care ne permite să apreciem ponderea energetică a fiecărei armonici componente a unui semnal dat, precum şi spectrul de fază ale semnalului.

Dacă semnalul nu este periodic seria Fourier se înlocuieşte cu transformata Fourier, care ne furnizează informaţii despre semnal sub forma unor spectre continue şi anume funcţia de densitate spectrală a modulului, care de această dată ne permite să apreciem ponderea energetică a fiecărei frecvenţe dintr-un domeniu (bandă) continuu de frecvenţe respectiv funcţia de densitate spectrlaă a fazei unui semnal la fiecare frecvenţă.

De aceea frecvenţa, respectiv spectrul discret sau continuu de frecvenţe ale unui semnal reprezintă o informaţie deosebit de utilă în alegerea metodelor de tratare ale circuitelor pe care sunt traficate semnalele.

Teoria circuitelor dezvoltă două direcţii de aplicaţii şi anume: - tehnica curenţilor tari (circuite şi echipamente de forţă), care fac obiectul

preponderent al cursului - tehnica curenţilor slabi (transmisii de informaţii, comunicaţii, sisteme automate)

Teoria circuitelor are la bază cunoştinţe de electromagnetism şi cunoştinţe specifice de matematică.

Este interesant de observat faptul că teoria electromagnetismului reuşeşte să adune împreună fenomene foarte diverse din electrotehnică, iluminat sau instalaţii electrice, electronică, unde radio etc. Multiplele faţete ale electromagnetismului se datorează tocmai comportării diferite a undelor în funcţie de frecvenţă şi a reacţiei materialelor la acestea.

Pentru ingineri în general noţiunea de electromagnetism gravitează în jurul liniilor de transmisie a energiei electromagnetice, a antenelor şi a undelor radio.

Totuşi, această lume electromagnetică descrie şi o altă clasă largă de fenomene, de la razele X, la optică şi radiaţiile termice, toate la un loc baleind spectrul electromagnetic. In cadrul cursurilor de fizică se precizează că toate aceste fenomene au ceva în comun şi anume undele electromagnetice. Chiar şi profanii din punct de vedere tehnic sunt familiarizaţi cu acest concept şi cu spectrul electromagnetic care se întinde de la circuitele electrice şi electronice spre circuitele de radiofrecvenţă şi infraroşii, lumina vizibilă terminând cu ultravioletele şi razele X. In general se

3

spune că toate aceste unde diferă doar prin frecvenţa lor. Totuşi chiar şi pentru mulţi dintre ingineri, devine complicat să vadă prea multe elemente comune de-a lungul spectrului electromagnetic exceptând faptul că este guvernat de aceleaşi ecuaţii matematice şi anume ecuaţiile lui Maxwell.

Si totuşi de ce ar fi lumina vizibilă atât de diferită de undele radio? Poate pentru că nimeni nu a auzit de antene pentru lumina vizibilă, sau poate pentru că nimeni nu a ajuns să fabrice lentile în banda radio FM sau TV.

Din nou răspunsul simplu ar fi acela că au frecvenţe diferite, dar prin el însuşi acest răspuns este lipsit de utilitate, deoarece frecvenţa nu este singura caracteristică.

Pentru o undă dată distingem o frecvenţă f dată (adică numărul de oscilaţii dintr-o secundă), o

perioadă f

T1

, o lungime de undă f

c dată (c=3∙108m/s, viteza luminii în vid) dată şi o

cuantă de energie (foton) fhE dată (E reprezintă valoarea minimă de energie care poate fi transferată la frecvenţa f, iar h reprezintă constanta lui Planck).

In funcţie de aplicaţie, una dintre aceste patru valori interdependente devine mult mai utilă decât celelalte în caracterizarea undelor electromagnetice.

Când analizăm liniile de transmisie digitale, este util să comparăm timpul de creştere a semnalului cu cel de scădere. Pentru antene este de regulă mult mai intuitiv să comparăm lungimea de undă a semnalului cu lungimea antenei. Dacă examinăm rezonanţa şi relaxarea dielectricilor este mai util să comparăm frecvenţa undelor cu frecvenţa de rezonanţă a dipolilor microscopici. Când avem de a face cu interacţiunea cu materia a razelor infraroşii vizibile, a ultravioletelor sau razelor X, este cel mai adesea necesar să ne referim la energia fiecărui foton raportată la energia electronilor orbitali din atomi.

Un concept important care ajută la înţelegerea electromagnetismului este acela de lungime electrică, mărime adimensională care se referă la lungimea unui conductor sau dispozitiv la o anumită frecvenţă. Ea mai este definită ca raportul dintre lungimea fizică a dispozitivului şi lungimea de undă corespunzătoare frecvenţei semnalului: lungimea electrică=L/λ

Să considerăm spre exemplu o antenă de 1m lungime. La 1 kHz această antenă are o lungime electrică de aproximativ 3x10-6 m. Altfel spus, în unităţi de lungime de undă, 1metru de antenă măsoară 3x10-6m la 1kHz. Deci la 1 kHz antena este electric scurtă.

Totuşi la 100 MHz, frecvenţă radio, antena are o lungime electrică de 0,3m, deci este considerată electric lungă. In general, orice dispozitiv a cărui lungime electrică este mai mică de 1/20 poate fi considerat electric scurt.

La frecvenţe audio şi sub acestea, <20kHz, undele electromagnetice au lungimi de undă foarte mari. Lungimea de undă este în mod uzual mult mai mare decât lungimea oricăruia dintre conductoarele utilizate în circuit. (O excepţie ar putea-o constitui doar liniile telefonice lungi).

Atunci când lungimea de undă este mult mai mare decât lungimea conductoarelor, se pot aplica legile de bază ale teoriei circuitelor nefiind necesară introducerea teoriei electromagnetismului.

Peste această lungime însă circuitele devin structuri radiante, radiind energie electromagnetică ce se desprinde efectiv de structura generatoare şi se propagă în spaţiusub forma unor unde electromagnetice.

Un alt mod de a privi circuitele la joasă frecvenţă este acela că perioada (inversul frecvenţei) undelor este mult mai mare decât întârzierea prin conductoare. Ce ar putea însemna întârzierea în conductoare? Când lucrăm în joasă frecvenţă uităm foarte uşor că de fapt semnalele electrice sunt transportate prin unde şi că ele trec cu viteza luminii, care chiar dacă este foarte mare, nu este infinită. Astfel, chiar şi atunci când aprindem lumina, apare o întârziere înainte ca becul să primească tensiune. Aceeaşi întârziere apare şi atunci când ascultăm muzică în difuzoare. Această întârziere este însă prea mică pentru percepţia umană şi este ignorată de fiecare dată când aproximăm un conductor cu un circuit electric scurt. Intârzierea faţă de viteza luminii apare de asemenea în liniile telefonice, în care de această dată putem percepe ecouri notabile (>50ms) dacă conexiunea este de lungime mare sau dacă se utilizează un satelit de transmisie.

4

Purtătoarele de mare distanţă utilizează circuite electronice pentru suprimarea ecoului la convorbirile internaţionale. Întârzierea vitezei luminii devine foarte importantă când se proiectează circuite RF sau de mare viteză. De exemplu, când proiectăm un sistem digital cu impulsuri cu timpi de creştere de 2 ns, un cablu de 2 m introduce deja o întârziere semnificativă.

Electrotehnica şi electronica reprezintă până la urmă ştiinţele proiectării sistemelor şi echipamentelor care utilizează circulaţia electronilor.

Electronii, de dimensiuni mici, încărcaţi cu sarcină negativă sunt liberi să se deplaseze în interiorul conductoarelor. Datorită acestui fapt putem deseori aproxima circulaţia electronilor cu curgerea unui lichid. De fapt, cei mai mulţi dintre noi suntem introduşi în electronică prin utilizarea analogiei cu curgerea laminară a apei printr-o conductă. Presiunea este analogă tensiunii electrice, iar curgerea apei analogă curentului electric. Pierderile prin frecare în conductă sunt analoge rezistenţei electrice. Căderea de presiune în conductă este proporţională cu viteza de curgere multiplicată cu constanta de frecare a conductei. In termeni de electricitate rezultă legea lui Ohm, deci căderea de tensiune de-a lungul unui element este egală cu curentul care trece prin elementul de circuit respectiv, înmulţit cu rezistenţa elementului, Riu .

Să ne imaginăm acum o pompă care preia apă, o transportă printr-o conductă şi apoi eventual o recirculă înapoi în rezervor. Apa din rezervor este considerată a fi la potenţial zero, analog cu o referinţă sau o masă electrică. Pompa este conectată la rezervorul de apă, producând presiunea necesară curgerii apei. Pompa este analogă unei surse de tensiune electromotoare. Apa curge prin conducte unde apar frecări care determină pierderi de presiune, după care revine în rezervor.

Din perspectivă energetică pompa reprezintă sursa de energie pentru apă, iar conductele pierderile de energie prin frecare, pierderi care se transformă în căldură. Această analogie este bineînţeles una aproximativă chiar şi în curent continuu. Totuşi teoria de bază a circuitelor poate fi gândită de aceeaşi manieră.

Curentul circulă pe o buclă şi este guvernat de teorema a II-a a lui Kirchoff care spune că suma tensiunilor în orice buclă este zero. Cu alte cuvinte pentru fiecare cădere de tensiune trebuie să existe o sursă de tensiune corespunzătoare. Curentul circulă pe un traseu închis, iar totalul surselor de tensiune pe traseul închis respectiv este întotdeauna egal cu tensiunea totală la bornele consumatorilor (rezistoare, condensatoare, motoare, etc.). Teorema a II-a a lui Kirchoff este de fapt o consecinţă a conservării energiei.

Teorema I a lui Kirchoff spune că atunci când două sau mai multe laturi de circuit se întâlnesc, curentul total este egal cu zero. Aceasta este chiar conservarea curentului, sau precis conservarea sarcinii. In analogia noastră hidraulică aceasta s-ar traduce prin aceea că apa nu poate părăsi sistemul, deci cantitatea totală de apă din sistem rămâne constantă.

O altă regulă a bazei teoriei circuitelor este aceea că elementele de circuit sunt conectate prin conductoare ideale. Conductoarele sunt considerate perfecte şi de-a lungul lor nu apare cădere de tensiune. De aceea conductoarele care leagă două elemente de circuit sunt considerate a fi la acelaşi potenţial electric.

Atunci când însă se operează cu circuite de radiofrecvenţă sau de frecvenţă ridicată este foarte important să avem o bună înţelegere a electromagnetismului. La aceste frecvenţe, trebuie să înţelegem că analogia electronilor care se comportă ca apa care curge printr-o conductă nu mai este de mult o realitate. Circuitele sunt caracterizate de conductoare metalice care servesc doar ca şi ghid pentru energia electromagnetică. Energia circuitelor (şi deci a semnalelor) este purtată între fire şi nu în interiorul acestora.

Ca un exemplu să considerăm liniile de forţă care alimentează consumul casnic la 50Hz. Energia este transportată în câmpul electromagnetic dintre fire, lucru uneori confuz şi greu de acceptat pentru proiectanţii de circuite.

Electronii din conductoare nu sunt mişcaţi în adevăratul sens al cuvântului ci sunt doar deplasaţi înainte şi înapoi cu viteze mici de ordinul a câţiva mm/secundă şi prin această deplasare ei propagă energia câmpului de-a lungul firelor conductoare.

5

O analogie bună este reprezentată de nişte voluntari care utilizează găleţi pentru stingerea unui incendiu. Un şir indian, analog electronilor interpus între sursa de apă (sursa de semnal) şi foc (sarcină, consumator), dau găleţile din mână în mână de-a lungul liniei din om în om. Apa va stinge focul. Oamenii sunt acolo doar pentru a da găleata de-a lungul şirului. Similar, electronii servesc doar pentru a trece semnalul electromagnetic de la sursă către sarcină. Acest lucru este adevărat pentru toate frecvenţele, de la curent continuu, la joasa frecvenţă până la înalta frecvenţă.

Mai mult, la frecvenţe de microunde, în domeniul GHz, teoria circuitelor nu mai este absolut deloc folositoare. In loc să ne gândim la circuite ca la electroni curgând prin conductoare este mult mai util să ne gândim la circuite ca la structuri care ghidează şi cuplează undele electromagnetice. La aceste frecvenţe elementele de circuit concentrate, ca rezistoarele, condensatoarele şi inductivităţile sunt cel mai adesea neviabile.

Ca un exemplu, lungimea de undă în spaţiu liber pentru un semnal de 30GHz este de 1cm. De aceea componenetele însele au dimensiuni mult mai mari sau comparabile cu lungimea de undă, deci sunt electric lungi şi nu se comportă cum am dori. Noţiunile de tensiune electrică şi curent electric nu se mai utilizează. In această situaţie începem să ne apropiem de optică şi să vorbim despre putere transmisă şi reflectată în loc de tensiune şi curent.

Actualmente domeniul infraroşu al spectrului este acela în care are loc tranziţia dintre electronică şi optică. Porţiunea inferioară a domeniului, numită „infraroşu îndepărtat” (far infrared) reprezintă o extensie a domeniului microundelor. La origine, extremitatea superioară a domeniului microundelor, 300 MHz, a fost considerată cea mai ridicată frecvenţă viabilă pentru electronică. Odată cu progresul tehnologic însă limitele electronicii s-au extins şi în infraroşu. Lungimile de undă din infraroşu sunt de sub 1mm, implicând faptul că până şi un fir de 1mm este electric lung şi radiază energie de la curenţii electrici care îl parcurg. Din acest motiv miniaturizarea nu mai reprezintă un „moft”, ci este absolut obligatorie.

La momentul actual s-a ajuns la experimentarea unor circuite integrate de câţiva teraherzi (1012Hz) iar circuitele digitale de 40 GHz au ajuns deja să se comercializeze pentru aplicaţii în comunicaţii. Dispozitivele de teraherzi au fost create cu câţiva zeci de ani în urmă prin utilizarea tehnicii vidului în tuburi, dar evident că acestea nu erau viabile pentru componente de tehnică de calcul. A face dispozitivele digitale să treacă pragul vitezei teraherzilor va fi o mare provocare.

Doar timpul va hotărî care va fi limita ultimă de viteză pentru electronică. Ceea ce este însă aproape sigur este aceea că limitele elecronicii vor fi atinse undeva în domeniul infraroşu.

Efectele cuantice, cum ar fi efectul tunel cauzează de asemenea probleme în infraroşu. Proprietăţile celor mai multe materiale încep să se modifice în infraroşu. Conductoarele îşi schimbă proprităţile, dielectricii au pierderi mari. Chiar şi dielectricii transparenţi în domeniul vizibil al spectrului, cum sunt sticla, devin opaci în infraroşu. Fotonii din infraroşu devin comparabili cu fotonii la frecvenţe radio şi chiar mai jos de acestea, putând excita frecvenţe de rezonanţă în materiale. O altă caracteristică a infraroşului este aceea că maximul radiaţiei de căldură apare în infraroşu pentru materiale între temperatura camerei 20˚C şi câteva mii de grade Celsius. Aceste caracteristici fac ca materialele să absoarbă şi să emită radiaţii în infraroşu. Acesta este şi motivul pentru care omul poate simţi radiaţia în infraroşu. Căldura pe care o simţim de la lămpile cu incandescenţă este în cea mai mare parte radiaţie în infraroşu, fiind foarte uşor absorbită de corpul uman.

La frecvenţele luminii vizibile, cresc pierderile celor mai mulţi dielectrici. Sticla spre exemplu este potenţial fără pierderi în raport cu lumina vizibilă fapt pentru care este transparentă. Deoarece ochiul uman este în cea mai mare parte apă, suntem norocoşi că apa este transparentă în spectrul vizibil, în caz contrar ochii noştri ar fi opaci, nefiiindu-ne de nici un folos. Coeficientul de absorbţie al apei creşte însă cu mai mult de şapte ordine de mărime spre fiecare extremitate a benzii vizibile a spectrului. Deci ar fi imposibil să se creeze ochi pe bază de apă pentru oricare altă parte a spectrului. Toate creaturile dotate cu vedere exploatează această regiune îngustă a spectrului!

La frecvenţe vizibile, se poate utiliza aproximaţia opticii geometrice. Aceste aproximaţii devin valide atunci când obiectele utilizate devin mai mari decât o lungime de undă. Această frecvenţă

6

extremă este opusul aproximaţiei teoriei circuitelor. Aproximaţia este uzual numită rază deoarece lumina poate fi aproximată cu raze sau flux de particule. Newton care a dezvoltat optica geometrică a argumentat cu tărie că lumina constă din particule şi nu este o undă. Huygens a dezvoltat teoria ondulatorie a luminii şi experimentele au susţinut-o.

Cele mai multe fenomene din vizibil, inclusiv vederea umană pot fi studiate cu ajutorul opticii geometrice. Teoria ondulatorie a luminii este uzual necesară pentru a studia difracţia şi lumina coerentă (baza laserilor). Teoria ondulatorie este necesară de asemenea pentru a explica limitele de rezoluţie a sistemelor optice. Un microscop care utilizează lumina vizibilă va putea avea rezoluţie pentru obiecte până la o anumită lungime de undă şi mai jos de aceasta.

În domeniul ultraviolet de frecvenţe şi peste (raze X, etc.) fiecare foton devine atât de energetic încât poate scoate electronul de pe orbita sa. Electronul devine liber şi atomul ionizat. Moleculele care absorb aceste energii mari ale fotonilor pot pierde electronii ceea ce face ca ele să se lege între ele. Se produc ionii şi moleculele înalt reactive numite radicali liberi. Aceştia determină modificări celulare putând conduce la cancer şi la distrugerea ţesuturilor biologice. Fotonii din vizibil şi infraroşu pe de altă parte sunt mult mai puţin energetici cauzând numai încălzirea moleculelor. Simţim că ne încălzim de la radiaţia infraroşie a soarelui. Vedem lumina radiaţiei vizibile a soarelui. Pielea noastră este arsă de către radiaţiile ultraviolete ale soarelui.

Fotonii razelor X, fiind puternic energetici sunt chiar mai dăunători. Cele mai multe materiale sunt în asemenea măsură transparente la razele X, încât permit fotografierea cu raze X dându-ne posibilitatea să vedem prin obiecte. Dar atunci când razele X sunt absorbite, ele determină distrugerea celulelor, motiv pentru care nu se recomandă decât expunerea limitată la razele X. Lungimea mică de undă a razelor X este utilă pentru studiul cristalelor, utilizându-se efectele de difracţie (ocolire a obstacolelor). Deasupra razelor X din punctul de vedere a energiei, se situază radiaţiile gama şi radiaţiile cosmice. Aceste radiaţii de energie extrem de mare apar numai în fenomene de înaltă energie cum ar fi coliziuni de particule în centrale nucleare, bombe atomice sau stele.

Circuitele pot fi create pentru a transmite, amplifica şi filtra semnalele, digitale sau analogice, cum ar fi spre exemplu cele de voce sau date. Dorinţa de a împinge circuitele spre frecvenţe tot mai înalte este determinată de două aplicaţii: calculatoarele şi liniile de comunicaţii.

Pentru calculatoare frecvenţe mai ridicate înseamnă operare mai rapidă şi putere de calcul mai mare într-un timp rezonabil. Pentru comunicaţii, frecvenţe mai ridicate înseamnă însă lăţime de bandă mai mare.

Timingul acestora este dat de oscilatoare. Computerele sunt în general sincrone şi necesită un semnal de ceas. Liniile de comunicaţii necesită o purtătoare pentru modularea informaţiei transmise. De aceea, o nevoie esenţială pentru progresul electronicii este aceea de a crea oscilatoare, care servesc ambelor categorii de aplicaţii.

În ultimii zeci de ani, fotonica a început să devină o alternativă la electronică, mai ales în sistemele de comunicaţii. Laserii şi fibra optică sunt utilizate pentru a crea şi transmite impulsuri de o lungime de undă dată a luminii. In termeni de optică o sursă de frecvenţă unică este cunoscută sub numele de sursă coerentă. Laserii produc fotoni sincronizaţi sau coerenţi. Lumina pe care o întâlnim în viaţa de toate zilele, de la soare sau becuri nu este una coerentă. Dacă am putea să o privim la un osciloscop aceasta ar arăta mai mult ca un zgomot. De fapt lumina vizibilă pe care o utilizăm pentru a vedea este un zgomot- şi anume zgomotul termic al obiectelor calde, cum ar fi soarele sau filamentul becurilor. Termenul de „zgomot alb” provine de la faptul că zgomotul optic conţine toate frecvenţele (culorile) vizibile rezultatul fiind culoarea albă. Acelaşi tip de zgomot alb apare şi în rezistoare şi toate elementele de circuit.

Cele mai multe dispozitive de captarea imaginii, cum ar fi camerele sau ochiul uman utilizează media pătratică a amplitudinii luminii recepţionate. (Examinarea la nivel cuantic arată că dispozitivele de captare a imaginii nu sunt altceva decât detectoare/numărătoare de fotoni.) Medierea ne permite să utilizăm semnale zgomotoase pentru a vedea, dar din cauza medierii se pierd toate informaţiile legate de fază. Pentru crearea de dispozitive sofisticate de comunicaţii, o

7

astfel de lumină nu este potrivită. In locul acesteia se utilizează lumina coerentă de frecvenţă unică furnizată de laseri, aceştia făcând posibilă comunicaţia prin fibra optică.

Până recent, limitarea majoră a fotonicii era aceea că semnalele de impuls ale laserilor trebuiau convertiete în semnale electronice pentru orice fel de procesare. De exemplu, în echipamentele de comunicaţii de date, funcţiile majore sunt comutarea, multiplexarea şi rutarea datelor între cabluri, funcţii care în trecut puteau fi realizate numai de semnalele electronice. Aceste cerinţe limitau lăţimea de bandă a cablului de fibră optică la lăţimea de bandă electronică maxim disponibilă. In ultima vreme, odată cu progresele înregistrate în multiplexarea şi comutarea optică o serie de sarcini pot fi realizate prin intemediul fotonicii.

Creşterea exponenţială a vitezelor de transmisie a fost determinată de tehnologia fibrelor optice. Ultima realizare a fost determinată de crearea de echipamente care să poată ruta protocolul de Internet utilizând numai fotonica. Aceasta ne va conduce probabil spre computerul optic, care va determina progrese fantastice în viteză comparativ cu calculatoarele electronice de astăzi.

În concluzie putem spune că pentru diferitele porţiuni ale spectrului electromagnetic se folosesc diferite tehnici şi diferite aproximaţii, iar teoria circuitelor reprezintă o aproximaţie pentru circuitele de joasă frecvenţă care funcţionează când circuitele sunt electric scurte.

Deci, pentru diferitele porţiuni ale spectrului electromagnetic se folosesc diferite tehnici şi diferite aproximaţii. Criteriul care separă metodele de studiu îl reprezintă lungime electrică.

Teoria circuitelor reprezintă o aproximaţie pentru electrotehnica şi electronica de joasă frecvenţă, care funcţionează când circuitele sunt electric scurte, adică dimensiunile lor fizice sunt mult mai mici decât lungimea de undă a semnalelor care le parcurg. Atunci când lungimea de undă este mult mai mare decât lungimea conductoarelor, se pot aplica legile de bază ale teoriei circuitelor nefiind necesară introducerea electromagnetismului.

Peste aceste frecvenţe, când conductoarele devin electric lungi, teoria radiofrecvenţei (RF) preia teoria circuitelor şi îi adaugă câteva concepte de electromagnetism. Teoria RF se ocupă de calculul efectelor în liniile de transmisie şi de radiaţia antenelor. La frecvenţe de microunde proiectarea circuitelor cu elemente concentrate cum ar fi R, L, C, este imposibilă deoarece lungimile de undă sunt mult prea mici. Se utilizează tehnicile distribuite pentru a ghida şi procesa undele. In infraroşu deja nu mai putem proiecta circuite. Lungimile de undă sunt excesiv de mici ceea ce face imposibilă utilizarea elementelor active cum sunt tranzistoarele iar cele mai multe materiale încep să aibă pierderi, absorbind sau radiind energie electromagnetică.

La frecvenţele luminii vizibile, lungimile de undă sunt mult mai mici decât obiectele obişnuite pe care le poate observa ochiul uman. În acest domeniu se utilizează aproximaţia opticii geometrice. Optica geometrică reprezintă limita teoriei electromagnetismlui pentru care lungimea de undă devine infinit mai mică decât dispozitivele utilizate.

La frecvenţe peste cele luminoase, fotonii devin înalt energetici, capabili să rupă legăturile moleculare şi să determine leziuni ale ţesuturilor umane.

1.1.1.Regimurile de funcționare și aproximaţiile circuitelor electrice

Din punct de vedere macroscopic, sunt puse în evidență următoarele regimuri de funcționare a

circuitelor electrice: - Regimul static, în care nu se produc transformări energetice iar mărimile sunt constante în

timp; fenomenele electrice și cele magnetice nu sunt interdependente, analiza acestora putând fi abordată separat.

- Regimul staționar, în care mărimile electrice nu variază în timp, dar au loc transformări energetice în sistem, determinate de deplasarea ordonată a sarcinilor electrice. Curentul continuu reprezintă exemplul cel mai relevant pentru regimul staționar, acesta

existând doar sub forma curentului de conducție sau de convecție. - Regimul nestaționar (variabil), reprezintă cazul cel mai general de variație a mărimilor

electrice.

8

În regimul nestaționar pe lângă curentul de conducție și convecție poate exista și curentul de deplasare, care circulă prin dielectrici. - Regimul cvasistaționar, în care variația în timp a mărimilor electrice este suficient de lentă,

astfel încât radiația câmpului electromagnetic poate fi neglijată. Studiul circutelor electrice prin metode simple, se poate face dacă sunt îndeplinite următoarele

condiţii: - regimul cvasistaţionar de funcţionare al circuitului,

În regim cvasistațîonar mărimile de stare electrică şi magnetică asociate elementelor (componentelor) de circuit variază lent în timp (cu frecvenţă mică) cu o viteză mult mai mică decât viteza lor de propagare, determinată după cum am văzut în paragraful anterior de lungimea electrică a circuitelor.

În regim cvasistaţionar curenţii electrici de deplasare se neglijează peste tot cu excepţia dielectricului condensatoarelor. Condiţia pentru a putea considera acest regim depinde numai de frecvenţa semnalelor din circuit.

- caracterul filiform al unui circuit, Acesta presupune a considera intensitatea curentului repartizată uniform pe secţiunea

conductorului. Această condiţie depinde de asemenea de frecvenţă fiind mai restrictivă chiar decât prima, deoarece atunci când ea nu este îndeplinită se modifică parametrii care caracterizează circuitul, valorile acestora fiind dependente de frecvenţă.

Circuitul se poate considera filiform dacă este îndeplinită condiţia:

al

(1.1.)

în care a reprezintă raza conductorului, σ- conductivitatea conductorului, μ- permeabilitatea magnetică a conductorului, ω=2πf - pulsaţia (f - frecvenţa), iar δ poartă numele de adâncime de pătrundere a câmpului electromagnetic în conductor.

Denumirea de adâncime de pătrundere reflectă aşa numitul efect pelicular, care se traduce prin faptul că un câmp electromagnetic, respectiv curentul care îl generează nu se repartizează uniform pe secţiunea conductorului, acesta din urmă circulând într-o primă aproximaţie doar pe o coroană circulară de adâncime δ.

- caracterul perfect izolant al dielectricului (izolaţiei) din jurul circuitului, Acesta presupune că nu există scurgeri de curent de conducţie între două componente, oricât de

apropiate ar fi acestea în spaţiu.

1.2. Semnale electrice

Literatura de specialitate abundă în definiţii ale semnalului, de regulă subsumate scopului principal urmărit în studiu.

Semnalul, în cea mai largă accepţiune a noţiunii, este o manifestare fizică (undă electromagnetică, undă sonoră, etc.) capabilă a se propaga printr-un mediu dat. În sens restrâns semnalul exclude acele manifestări care dăunează mediului de transmisie, adică perturbaţiile care reprezintă semnale care modifică semnalul aleator util, micşorând cantitatea de informaţie transmisă.

Prin restrângerea şi mai mult a domeniului numai la semnalele deterministe, caracterizate de funcţii matematice certe, de variabilă timp, definite printr-un număr finit de parametri şi pentru care interesează mai puţin conţinutul în informaţie a semnalului, prin semnal vom se va înțelege o mărime electrică sau electromagnetică măsurabilă care se modifică în timp.

Din punctul de vedere a teoriei circuitelor, semnalul electric reprezintă o mărime fizică (de tip tensiune sau intensitate curent) cu ajutorul căreia se transmit informaţii, comenzi, energie electromagnetică etc., iar din punct de vedere matematic este o funcţie de timp.

Studiul proprietăţilor semnalelor electrice vizează următoarele aspecte: determinarea spectrului unui semnal şi a mărimilor sale caracteristice

9

- determinarea puterii şi energiei transmise printr-un semnal - determinarea răspunsului unui circuit la un semnal dat

Desigur cel mai simplu semnal este semnalul continuu, constant în timp, formă particulară de semnal variabil.

Există trei structuri de bază pentru transmiterea unui semnal electric dintr-o locaţie în alta: - linii de transmisie conductoare - ghiduri de undă - antene

1.2.1.Semnale periodice Semnalele periodice reprezintă semnale variabile în timp care se repetă identic cu ele însele la intervale egale de timp şi pot fi descrise de o funcţie periodică: )( nTtiTtiti (1.2.) în care T[secunde] reprezintă perioada semnalului şi este intervalul de timp după care semnalul se repetă. (Fig. 1.1)

Numărul de perioade cuprinse în unitatea de timp se numeşte frecvenţă T

f1

şi se măsoară în Hz

(secunde-1).

Pulsaţia sau frecvenţa unghiulară a semnalului periodic este: T

f 2

2 şi se măsoară în

rad/sec sau sec-1. Legătura 2T arată că pe timpul unei perioade T faza semnalului se modifică cu 2π.

1.2.2. Semnale alternative

Semnalele alternative reprezintă un caz particular de semnale periodice Semnalele alternative sunt semnale periodice a căror valoare medie pe o perioadă este nulă. Mărimile caracteristice ale unui semnal alternativ sunt:

- valoarea instantanee i=i(t) reprezintă valoarea pe care o ia semnalul i(t) la un moment oarecare t în evoluţia semnalului, fiind dată analitic prin expresia i(t) sau prin graficul ei

- valoarea de vârf i reprezintă cea mai mare valoare instantanee atinsă într-o perioadă (această mărime este importantă pentru semnalele de tip tensiune deoarece o supratensiune instantanee poate fi periculoasă pentru elementele de circuit, ea solicitând de regulă izolaţia echipamentelor caracterizată de tensiunea de străpungere)

- valoarea medie Imed reprezintă media aritmetică a valorilor instantanee pe intervalul de mediere. Pentru intervalul de timp (t1,t2) media este:

dttitt

It

t

med

2

112

1 (1.3.)

10

- valoarea medie redresată reprezintă valoarea medie a semnalului ti , în care datorită funcţiei modul alternanţele negative au fost rabătute simetric faţă

axa timpului, operaţie care în electrotehnică (electronică) poartă numele de redresare, iar semnalul ti se numeşte semnal redresat

dttitt

It

t

medr

2

112

1 (1.4.)

Observaţie: conform definiţiei valoarea medie a unui semnal alternativ pe o perioadă trebuie să fie zero, ceea ce revine la egalitatea ariilor alternanţei pozitive şi negative, închise de graficul semnalului şi axa timpului. Semnalul redresat reprezintă un semnal pulsatoriu situat în permanenţă de-asupra axei timpului, deci de valoare medie nenulă.

- valoarea efectivă (eficace) a unui semnal alternativ este din punct de vedere matematic valoarea medie pătratică a valorilor instantanee pe timp de o perioadă:

T

ef dttiT

II0

21 (1.5.)

Din punct de vedere fizic valoarea efectivă a unui curent variabil (nu neapărat periodic sau alternativ) este numeric egală cu intensitatea unui curent continuu care străbătând aceeaşi rezistenţă ca şi curentul variabil produce aceeaşi cantitate de căldură (prin efect Joule) în acelaşi interval de timp. Observaţie: Datorită inerţiei mecanice a echipajului mobil a instrumentelor de măsură cu ac, respectiv a inerţiei ochiului şi a timpilor de răspuns a afişajelor instrumentelor de măsură digitale, acestea nu pot urmări variaţiile instantanee ale mărimilor variabile măsurate, motiv pentru care acestea indică în marea lor majoritate valoarea efectivă.

1.3.Semnale sinusoidale

1.3.1. Mărimi caracteristice

Semnalul sinusoidal reprezintă un semnal de tip alternativ de forma: im tIi sin (1.6)

reprezentat grafic în figura 1.2.şi pentru care:

Im - reprezintă amplitudinea semnalului (valoarea de vârf) it - reprezintă faza semnalului

i - reprezintă faza iniţială (adică distanţa de la originea arbitrar aleasă până la

cea mai apropiată trecere prin zero în sens crescător Valoarea efectivă a semnalului sinusoidal este:

11

2

2cos12

1sin

1 2

0

2

0

2

0

222 m

T

im

T

i

Tm I

dttT

Idtt

T

Idtti

TI

respectiv : 2m

ef

III sau II m 2 (1.7.)

ceea ce ne permite scrierea unui semnal sinusoidal sub aşa numita formă normală (forma uzuală în electrotehnică):

itIi sin2 (1.8.)

Defazajul dintre două mărimi sinusoidale este diferenţa dintre fazele a două semnale

sinusoidale de aceeaşi pulsaţie:

111 sin2 tIi şi 222 sin2 tIi , reprezentaţi grafic în figura 1.3. Defazajul dintre i1 şi i2 (de o aceeaşi frecvenţă) este:

212112 tt (1.9) cu alte cuvinte este egal cu diferenţa dintre fazele iniţiale ale celor două semnale sinusoidale.

Intr-o reprezentare grafică carteziană defazajul 12 semnifică „distanţa minimă” între două

treceri prin zero în sens crescător ale celor două semnale 12

Valoarea lui 12 ne dă o indicaţie asupra poziţionării semnalelor pe axa timpului:

012 , semnalul i1 este defazat înaintea lui i2 (i1 trece prin zero în sens crescător înaintea lui i2, deci într-un moment anterior)

012 , semnalul i1 este defazat în urma lui i2 (i1 trece prin zero în sens crescător în urma lui i2, deci într-un moment posterior)

012 , semnalele i1 şi i2 sunt în fază

212

, semnalele i1 şi i2 sunt în cuadratură

12 , semnalele i1 şi i2 sunt în opoziţie de fază

12

1.3.2.Metode de reprezentare simbolică a semnalelor sinusoidale

Unui semnal sinusoidal de forma itIi sin2 i se pot ataşa mai multe reprezentări,

pe de o parte cu scopul de a face mai intuitivă perceperea acestor mărimi, iar pe de altă parte pentru a crea posibilitatea simplificării calculelor. Astfel, nu vom opera cu mărimile original ci cu aşa numitele mărimi imagine.

Se poate uşor observa că un semnal sinusoidal este complet determinat dacă i se cunoaşte

amplitudinea II m 2 (sau valoarea efectivă I) şi faza it (sau faza iniţială i ).

Observaţie: In cele mai multe situaţii este suficient să cunoaştem numai faza iniţială i deoarece

pulsaţia în circuitele pe care le vom studia este una singură şi de regulă cunoscută, corespunzătoare frecvenţei de 50Hz de producere a energiei electrice în Uniunea Europeană. Corespunzător acestei frecvenţe avem: =314rad/sec. Metodele de reprezentare simbolică se clasifică în:

- reprezentări geometrice - reprezentări analitice

1.3.2.1. Reprezentări geometrice Analog cu un semnal sinusoidal şi un vector liber în plan este caracterizat tot prin două

mărimi independente şi anume prin modulul şi prin argumentul său (prin argument înţelegându-se unghiul făcut de acesta cu o axă de referinţă), de unde ideea de a pune în corespondenţă biunivocă cele două mărimi: originalul i(t) şi imaginea sa vectorul liber V(i). Aceasta dă naştere la două reprezentări geometrice:

a. reprezentarea cinematică (prin vectori rotitori) b. reprezentarea fazorială (prin vectori fixi, sau vectori polari)

In reprezentarea cinematică semnalului sinusoidal „i” îi asociem un vector rotitor OA de modul

egal cu amplitudinea semnalului IOA 2 şi care face cu axa de referinţă Ox0 un unghi egal cu

faza it . Axa Ox numită axă origine de fază se roteşte odată cu vectorul OA , cu viteza

unghiulară . Cu alte cuvinte axa origine de fază Ox, va pătra tot timpul unghiul i cu vectorul

rotitor OA . Deci asocierea biunivocă este:

itIi sin2 OA= V(i), în care

itAOx

IOA

0 (1.10)

13

Revenirea la originalul i(t) se face prin proiecţia vectorului OA pe axa Oy0, ca în figura 1.4. Observaţie: Dacă se reprezintă pe aceeaşi diagramă mai multe mărimi de aceeaşi frecvenţă,

vectorii asociaţi vor face cu axa Ox care se roteşte, unghiuri egale cu fazele lor iniţiale şi se vor roti împreună cu acelaşi în sens trigonometric. Defazajul dintre două mărimi apare ca defazajul dintre vectorii rotitori asociaţi. Dacă 012 defazajul apare în sens trigonometric. Deoarece

12 , acesta este univoc determinat într-o anumită reprezentare.

In reprezentarea fazorială, care este de fapt o simplificare a reprezentării cinematice, modulul este egal cu valoarea efectivă I şi argumentul faţă de axa Ox este egal cu faza iniţială i .

(figura 1.6.) Fazorii , vectori fixi nu se mai rotesc în sens direct cu viteza unghiulară , ci sistemul de referinţă este cel care se roteşte în sens invers cu (acest sistem de axe nu se mai reprezintă, dar mintal trebuie să îl avem în considerare), obţinându-se o aşa numită epură statică relativă. Corespondenţa biunivocă prin fazori este:

iAOx

IOA

2

(1.11.)

Observaţie: Dacă reprezentăm mai multe mărimi (de acelaşi ) pe aceeaşi diagramă (numită în mod curent diagramă fazorială), putem renunţa la axa Ox şi putem alege una dintre mărimi drept origine de fază, mărime la care să raportăm toate fazele iniţiale ale celorlalte mărimi. 1.3.2.2. Reprezentări analitice (în complex) Unui număr complex îi corespunde un punct din planul complex (planul lui Gauss 1Oj) numit afixul său, caracterizat de vectorul de poziţie al acelui punct.(figura 1.7.). Se ştie că şi un număr complex, întocmai ca un vector liber în plan sau ca un fazor este caracterizat tot de un modul şi o fază, de unde ideea asocierii biunivoce dintr-un număr complex şi un semnal sinusoidal. In locul planului abstract din reprezentările geometrice putem considera planul complex. Observaţie: Deoarece în electrotehnică simbolul „i” este rezervat semnalelor de curent, pentru

evitarea confuziilor s-a consacrat notaţia j= 1 , respectiv j2=1, iar mărimile electrice imagine complexe se notează cu bară la partea inferioară. Un număr complex în scriere algebrică va fi: jbaz

în scriere exponenţială va fi: jezz

în scriere trigonometrică va fi: sincos jzz

în care za Re reprezintă partea reală a numărului complex, zb Im partea imaginară a

numărului complex, 22 baz modulul numărului complex, iar a

barctg , faza numărului

complex. La fel ca în cazul reprezentărilor geometrice şi în această situaţie vom distinge două reprezentări analitice:

a. reprezentarea complex nesimplificată

14

b. reprezentarea complex simplificată

In reprezentarea complex nesimplificată semnalului sinusoidal itIi sin2 îi ataşăm o

funcţie complexă de timp al cărui modul este amplitudinea mărimii sinusoidale I2 şi a cărei fază este fază mărimii sinusoidale it , sub forma:

itIi sin2 itjIei 2 =C(i) (1.12)

C(i) poartă numele de valoare instantanee complexă. Dar în conformitate cu formula lui Euler:

iitj tIjtIIei i sin2)cos(22 (1.13)

In expresia 1.13. partea imaginară a numărului complex reprezintă chiar revenirea la original, adică la domeniul timp.

Dacă într-un circuit toate semnalele au aceeaşi frecvenţă, termenul t poate fi omis şi de

asemenea se omite şi factorul 2 , fără a afecta calculele. In această situaţie vorbim despre reprezentarea în complex simplificată.

Corespondenţa biunivocă în această situaţie devine:

itIi sin2 ijIeI =C(i) (1.14)

Această imagine în complex poartă numele de valoare efectivă complexă a semnalului şi are modulul egal cu valoarea efectivă şi faza egală cu faza iniţială. Revenirea din „complex” în „timp” se realizează similar cu situaţia precedentă, plus reconsiderarea termenului şi factorului omis, la partea imaginară a numărului complex. Reprezentarea complex nesimplificată se asociază cu reprezentarea prin vectori rotitori, iar cea complex simplificată cu reprezentarea fazorială, rezultând reprezentarea fazorială complexă, cel mai mult utilizată în practică. De aceea când vorbim despre diagrama fazorială vom înţelege reprezentarea fazorială complexă a acesteia. 1.3.2.3. Corespondenţa operaţiilor Am văzut în secţiunea precedentă cum unui semnal sinusoidal i se pot asocia reprezentări geometrice şi în complex sub forma:

itIi sin2 V(i) C(i) (1.15)

In cele ce urmează vom arăta corespondenţa dintre operaţiile cu mărimile imagine în raport cu mărimile original (sinusoidale):

a. adunarea şi scăderea

21 ii 21 ii 21 II (1.16)

V 21 ii =V(i1) V(i2)

C 21 ii =C(i1) C(i2) (1.17) Relaţiile care dau valoarea efectivă şi faza iniţială pentru suma, respectiv diferenţa a două

semnale sinusoidale coincid cu relaţiile corespunzătoare de la adunarea, respectiv scăderea a doi

15

vectori cu regula paralelogramului (figura 1. ) şi cu regula de adunare respectiv scădere a două numere complexe.

Pentru mai mulţi termeni se apelează la regula poligonului pentru compunerea vectorială, sau a compunerii după două axe ortogonale.

b. derivarea

2sin2cos2

ii tItIdt

di

ijIedt

d

dt

iditj }2{ (1.18)

Deoarece imaginea I nu este o funcţie de timp, operaţia de derivare a acesteia în raport cu

timpul nu are sens, însă I se poate obţine din i omiţând în scriere factorul tje 2 şi deci:

Ijdt

Id (1.19)

după aceeaşi regulă ca şi derivarea lui i .

In concluzie: prin derivare modulul creşte de ω ori, iar faza creşte şi ea cu 2

; în complex operaţia

de derivare din domeniul timp revine la înmulţire cu jω; se observă că a înmulţi cu j înseamnă o

rotire cu 2

în sens direct trigonometric; cu alte cuvinte putem să spunem că j reprezintă un

operator de rotaţie cu 2

în sens trigonometric.

c. integrarea

2

sin2cos2

ii tI

tI

dti

j

iIedti itj }2{ (1.20)

Similar cu derivarea:

I

jj

IdtI (1.21)

In concluzie: prin integrare modulul scade de ω ori, iar faza scade şi ea cu 2

; în complex operaţia

de integrare din domeniul timp revine la împărţire cu jω; a împărţi cu j înseamnă o rotire cu 2

în

sens invers trigonometric; cu alte cuvinte putem să spunem că -j reprezintă un operator de rotaţie

cu 2

în sens invers trigonometric.

In figurile 1. şi 1. sunt reprezentate cartezian şi fazorial operaţiile de derivare şi integrare. Aplicaţii

16

Capitolul 2 Elemente componente ale circuitelor electrice 2.1.Comportarea elementelor ideale de circuit în regim permanent Un circuit funcţionează în regim permanent când s-au stabilizata formele de variaţie în timp

ale tuturor curenţilor şi tensiunilor la borne, ceea ce face posibilă existenţa a trei regimuri permanente:

- curentul continuu, în care toţi curenţii sunt constanţi - regimul sinusoidal, în care toţi curenţi sunt sinusoidali,

adică au amplitudini şi faze constante - regim permanent nesinusoidal, în care curentiii sunt

periodici nesinusoidali

17

Regimul permanent apare în circuite după ce regimul tranzitoriu se consideră încheiat. Reamintim că prin regim tranzitoriu se înţelege acel regim care apare la trecerea unui circuit de la un regim de funcţionare permanent la altul (la conectarea şi deconectarea circuitului, la introducerea sau scoaterea unor elemente din circuit, la scurtcircuite, puneri la pământ, etc.) şi se consideră încheiat după un timp egal cu trei până la cinci constante de timp ale circuitului.

2.1.1.Rezistorul ideal Curentul electric care trece printr-un degajă căldură prin efect Joule fără a produce în jurul

său câmp electric E sau magnetic H , rezistorul ideal neavând parametri C, respectiv L. Tensiunea la bornele sale, în conformitate cu legea conducţiei electrice, este:

iRu (2.1) Dacă este alimentat cu o tensiune sinusoidală de forma:

utUu sin2 , atunci curentul absorbit va fi:

utR

U

R

ui sin2 ;

In modul vom avea: ;R

UII ef ui (2.2)

Deci valoarea efectivă a curentului este identică cu cea din curentul continuu, iar în mărimi

complexe: R

UI , respectiv IRU

In figura 2.1. sunt reprezentate cartezian u şi i şi fazorial U şi I . Deci rezistorul nu introduce nici un defazaj între tensiune şi curent.

Dacă tensiunea la bornele rezistorului ideal este periodic nesinusoidală, reprezentată printr-o serie Fourier de tipul:

n

KuK K

tkUu1

sin2

atunci curentul prin rezistor va fi de forma:

n

Ku

K

Ktk

R

U

R

ui

1

sin2 (2.3)

Valoarea efectivă a armonicii de ordinul k a curentului este R

UI K

K , iar faza armonicii

KK ui , fiecare armonică de curent fiind sinfazică cu armonica de tensiune care a produs-o.

Cu alte cuvinte forma curentului i(t) este aceeaşi cu forma tensiunii u(t), rezistorul opunând aceeaşi rezistenţă R faţă de trecerea tuturor armonicilor de curent, deci nu este un element de circuit selectiv.

18

Puterea absorbită pe la borne este: 02 iRiiRiup (2.4) deci toată puterea primită pe la borne se disipă (se consumă) sub formă de căldură prin efect Joule. 2.1.2.Bobina ideală (inductorul ideal) Curentul electric i care trece printr-o bobină ideală va produce un câmp magnetic al cărui flux magnetic prin spirele bobinei este: iL

Tensiunea la bornele bobinei este de forma:

dt

diLiL

dt

d

dt

deu L

(2.5)

Se poate observa că pentru bobină legea lui Ohm diferă de cea de la rezistor şi că tensiunea la

bornele acesteia este proporţională cu viteza de variaţie în timp a curentului dt

di.

Dacă dt

diLu , atunci soluţia de regim permanent va fi:

dtuL

i1

Dacă tensiunea aplicată la bornele bobinei este sinusoidală, intensitatea curentului va fi tot sinusoidală:

utUu sin2

2

sin21

utL

Udtu

Li (2.6)

Prin identificare, modulul valorii efective şi faza sunt:

;L

UII ef

2

ui (2.7)

In complex curentul I este de forma:

dt

diLu IjXILjU L

LX

Uj

L

Uj

Lj

UI

(2.8)

Se poate observa atât din reprezentarea carteziană cât şi din cea fazorială din figura 2. ,că

intensitatea curentului este defazată în urma tensiunii cu 2

.

Mărimea notată cu LX L se numeşte reactanţa inductivă a bobinei.

In cazul particular al curentului continuu 0 0LX , motiv pentru care o bobină ideală în curent continuu nu se opune trecerii curentului electric, tensiunea la bornele sale fiind zero, din acest punct de vedere ea reprezentând un scurtcircuit. In curent continuu se utilizează doar pentru a crea şi înmagazina energia câmpului magnetic.

19

Reactanţa inductivă creşte liniar cu frecvenţa, deci bobina este un element de circuit selectiv, care blochează trecerea curenţilor de frecvenţă înaltă şi permite trecerea curenţilor de frecvenţă joasă.

Dacă la bornele bobinei se aplică o tensiune periodică nesinusoidală descompusă în armonicele componente sub forma:

n

KuK K

tkUu1

sin2 (2.9)

atunci curentul absorbit va avea expresia:

n

KuK K

tkUL

dtuL

i1

sin211

n

Ku

K

Ktk

Lk

Ui

1 2sin2

(2.10)

Valorea efectivă a armonicii de ordinul k a curentului va fi Lk

UI k

K , iar valoarea fazei

2

KK ui .

Reactanţa bobinei în raport cu armonica de ordinul k este: LL kXLkkX , armonicele de ordin scăzut trec uşor prin bobina ideală, iar cele de

ordin ridicat trec greu, deci bobina ideală este un element de netezire a formei curentului, în raport cu forma tensiunii.

Deoarece u şi i nu au aceeaşi formă de variaţie în timp, în cazul unei bobine se spune că bobina ideală este un element deformant de speţa a doua, adică alimentată cu o tensiune sinusoidală absoarbe tot un curent sinusoidal, dar alimentată cu o tensiune periodică nesinusoidală absoarbe un curent nesinusoidal (deformat). Aceasta spre deosebire de elementele neliniare de circuit, care sunt elemente deformante de speţa întâi, deoarece acestea, alimentate cu o tensiune sinusoidală absorb un curent nesiunusoidal, adică deformat.

Puterea absorbită pe la borne de bobina ideală este de forma:

dt

dWiL

dt

di

dt

diLiup m

2

2

1 (2.11)

fiind egală cu viteza de variaţie în timp a energiei magnetice înmagazinată în câmpul magnetic creat în jurul său. Valoarea acesteia, spre deosebire de rezistor, poate fi atât pozitivă cât şi negativă în

timp. In intervalele de timp cât absoarbe energie pe la borne 00 absm p

dt

dW, iar în intervalele

în care bobina cedează o parte din energia magnetică acumulată 00 cedm p

dt

dW.

2.1.3. Condensatorul ideal Alimentat la borne cu tensiunea u, condensatorul ideal se va încărca cu sarcina q:

20

dtiCC

qu

1 (2.12)

Se poate observa că nici la condensator nu este valabilă legea lui Ohm de la rezistor, în această situaţie tensiunea la bornele condensatorului fiind proporţională cu integrala curentului i. Dacă tensiunea aplicată la borne este sinusoidală, intensitatea curentului absorbit de condensator este tot sinusoidală, de forma:

utUu sin2

2sin2

utCUdt

duCi (2.13)

Prin identificare rezultă valoarea efectivă şi faza:

;1

Cef X

U

C

UUCII

2

ui (2.14)

iar în complex curentul I este de forma:

dtiC

u1

IjXIC

jICj

U C 11

CX

Uj

C

UjUCjI

1

(2.15)

Forma de undă a curentului este defazată înaintea celei de tensiune cu 2

, după cum se arată

şi în figura 2. .

Mărimea C

X C 1

se numeşte reactanţă capacitivă a condensatorului.

In cazul particular al curentului continuu 0 CX , motiv pentru care un

condensator ideal în curent continuu se opune în toatalitate trecerii curentului electric, curentul electric prin el fiind zero, din acest punct de vedere reprezentând o întrerupere a circuitului. In curent continuu se utilizează doar pentru a crea şi înmagazina energia câmpului electric.

Reactanţa capacitivă scade cu frecvenţa, după o hiperbolă echilateră, deci condensatorul este un element de circuit selectiv, care permite trecerea curenţilor de frecvenţă înaltă şi blochează trecerea curenţilor de frecvenţă joasă.

Dacă la bornele condensatorului se aplică o tensiune periodică nesinusoidală descompusă în armonicele componente sub forma:

n

KuK K

tkUu1

sin2 (2.16)

atunci curentul absorbit va avea expresia:

n

KuK K

tkUdt

dC

dt

duCi

1

sin2

21

n

Kuk K

tkUCki1 2

sin2 (2.17) Valorea efectivă a

armonicii de ordinul k a curentului va fi kK UCkI , iar valoarea fazei 2

KK ui .

(2.18) Reactanţa condensatorului în raport cu armonica de ordinul k este:

k

X

CkkX C

C

1, armonicele de ordin scăzut trec greu prin condensatorul ideal, iar

cele de ordin ridicat trec uşor, deci condensatorul ideal este un element de accentuare a deformaţiei curentului, în raport cu forma tensiunii la bornele sale. Deoarece u şi i nu au aceeaşi formă de variaţie în timp ca şi în cazul unei bobine, se spune că condensatorul ideal este şi el un element deformant de speţa a doua.

Puterea absorbită pe la borne de condensatorul ideal este de forma:

dt

dWuC

dt

d

dt

duCuiup e

2

2

1 (2.19)

fiind egală cu viteza de variaţie în timp a energiei electrice înmagazinată în câmpul electric creat între armăturile sale. Valoarea acesteia, spre deosebire de rezistor, poate fi atât pozitivă cât şi

negativă în timp. In intervalele de timp cât absoarbe energie pe la borne 00 abse p

dt

dW, iar în

intervalele în care condensatorul cedează o parte din energia magnetică acumulată

00 cede p

dt

dW.

2.2. Caracterizarea circuitelor liniare de tip „dipol” în regim permanent sinusoidal Considerăm un dipol liniar pasiv, adică un circuit cu două borne de acces cu exteriorul la care toate elementele din schema electrică sunt liniare şi care nu conţine surse de tensiune sau curent în interior. (figura 2. )

Acesta este alimentat cu tensiunea sinusoidală utUu sin2 şi în regim permanent

curentul absorbit va fi tot sinusoidal, de forma

itIi sin2 , având ca necunoscute valoarea efectivă I şi faza i , deci două necunoscute.

Concluzia care se poate trage de aici este aceea că în general în regim sinusoidal de o frecvenţă dată ω şi dipolul trebuie să fie caracterizat tot prin doi parametri (excepţie face dipolul rezistiv pur pentru care ui sau dipolii în curent continuu, caracterizaţi de un singur parametru).

Problema care se pune constă în alegerea celor doi parametri caracteristici ai unui dipol, care să îl determine complet şi univoc. Soluţia alegerii acestora nu este unică şi distingem patru modalităţi de caracterizare a dipolilor, pe care le vom trata în continuare: 2.2.1.Impedanţa şi defazajul (Z şi φ) Impedanţa unui dipol se defineşte ca:

0_,1 icircuituluparametriifI

UZ (2.20)

Defazajul unui dipol se defineşte ca diferenţa între faza iniţială a tensiunii şi a curentului, indicând gradul de defazaj pe care îl introduce dipolul între u şi i:

22

icircuituluparametriifiu _,2 (2.21)

Când 0 curentul este defazat în urma tensiunii cu φ, deci dipolul are caracter inductiv, iar când 0 curentul este defazat înaintea tensiunii cu φ, deci dipolul are caracter capacitiv.

Caracterul pur inductiv se obţine pentru 2

, iar cel pur capacitiv pentru 2

, de

unde putem trage concluzia că pentru orice circuit:

2,

2

. Deci 0cos în tot acest interval în timp ce sin poate fi atât pozitiv cât şi

negativ. Dacă pentru un dipol se cunosc Z şi φ se poate determina expresia curentului absorbit „i”

atunci când la borne se aplică tensiunea utUu sin2 :

utZ

Ui sin2 ;

Z

UI ; ui ; (2.22)

2.2.2. Rezistenţa şi reactanţa (R şi X) Fie un dipol caracterizat de diagrama fazorială din figura 2. , care reliefează un

defazaj (în acest caz inductiv) de o anumită valoare arbitrară. Dacă descompunem fazorul U după două direcţii ortogonale, dintre care una este cea a

curentului I , vom obţine:

cosUU a pe care o numim componenta activă a tensiunii

sinUU r pe care o numim componenta reactivă a tensiunii Rezistenţa dipolului în regim sinusoidal este dată de relaţia:

0coscos

Z

I

U

I

UR a (2.23)

şi este o mărime pozitivă deoarece Z>0, conform relaţiei (2.20) iar

2,

2

asigură 0cos .

Reactanţa dipolului în regim sinusoidal este dată de relaţia:

sin

sin

Z

I

U

I

UX r (2.24)

Pentru dipoli cu caracter inductiv 0 0sin 0 indX (2.25)

şi pentru dipoli cu caracter capacitiv 0 0sin 0 capX (2.26)

Din relaţiile 2.23 şi 2.24 rezultă că 222 ZXR , ceea ce înseamnă că cu ajutorul acestor parametri se poate construi un triunghi, numit triungi al impedanţelor (figura 2. )

23

Atenţie: Laturile triunghiului impedanţelor nu reprezintă fazori; acestea sunt segmente de dreaptă de lungimi egale cu modulele mărimilor pe care le reprezintă.

Din triunghiul impedanţelor rezultă evident legătura dintre cele două perechi de parametri definiţi până acum (Z,φ) şi (R,X):

sin

cos

ZX

ZR

R

Xarctg

XRZ

22

(2.27)

Dacă se cunoaşte tensiunea de alimentare utUu sin2 şi parametrii (R,X), expresia

curentului este uniovoc determinată prin:

R

Xarctgt

XR

Ui usin2

22 (2.28)

2.2.3. Admitanţa şi defazajul (Y şi φ) Admitanţa unui dipol reprezintă valoarea inversă a impedanţei Z:

01

U

I

ZY 1 (2.29)

Defazajul φ are aceeaşi semnificaţie ca şi în secţiunea 2.2.1. şi anume pozitiv pentru circuite inductive şi negativ pentru circuite capacitive.

011

22

XRZY ; 1

0cos

cos Y

ZR ; (2.30)

Y

ZX sin

sin .

Dacă se cunoaşte tensiunea de alimentare utUu sin2 şi parametrii (Y,φ),

expresia curentului este uniovoc determinată prin:

utUYi sin2 ; UYI ; ui ; (2.31)

2.2.4. Conductanţa şi susceptanţa (G şi B) Dacă spre deosebire de secţiunea 2.2.2., în diagrama fazorială a dipolului, descompunem

curentul şi nu tensiunea după două direcţii ortogonale, figura 2. , obţinem:

cos II a pe care o numim componenta activă a curentului

sin II r pe care o numim componenta reactivă a curentului Conductanţa dipolului este:

0coscos

Y

U

I

U

IG a 1 (2.32)

Susceptanţa dipolului se defineşte prin:

24

sin

sin

Y

U

I

U

IB r 1 (2.33)

Dipolii inductivi au 0 0 indB , iar dipolii capacitivi au 0 0 capB .

Similar relaţiile dintre ultimele două categorii de parametri sunt:

sin

cos

YB

YG

G

Barctg

BGY

22

(2.34)

parametri care definesc un triungi al admitanţelor, ca în figura 2.

Dacă se cunoaşte tensiunea de alimentare utUu sin2 şi parametrii (G,B),

expresia curentului este uniovoc determinată prin:

G

BarctgtUBGi usin2 22 ; (2.35)

Observaţie: In curent continuu X=0 şi B=0, ceea ce face ca rezistenţa ohmică să fie inversul conductanţei, dar în regim sinusoidal G şi R nu sunt una inversa celeilalte.

2.2.5. Clasificarea circuitelor electrice în regim variabil Parametrii Z,Y,R,X,G,B,φ ai circuitelor depind în general, pe lângă structura şi valorile

elementelor componente, de modul lor de conectare în schema internă a dipolului şi de frecvenţa tensiunii de alimentare. La o frecvenţă dată a tensiunii de alimentare, un circuit poate fi:

- circuit pur rezistiv: φ=0, X=0,B=0, Z=R,Y=G - circuit reactiv : 0,0,0 BX

- circuit pur reactiv: BYXZGR ,,0,0,2

- circuit inductiv: 0,0,0 BX

25

- circuit pur inductiv: BYXZGR ,,0,0,2

- circuit capacitiv: 0,0,0 BX

- circuit pur capacitiv: 0,0,2

GR

2.3. Caracterizarea circuitelor electrice liniare de tip dipol în regim sinusoidal prin mărimi complexe

Dacă la bornele unui dipol liniar pasiv se aplică o tensiune utUu sin2

dipolul va absorbi în regim permanent sinusoidal un curent sinusoidal de aceeaşi frecvenţă cu u şi va avea expresia

itIi sin2 .

Transpuse în complex cele două mărimi vor fi de forma: ujUeU şi ijIeI , defazajul introdus de dipol între U şi I fiind: iu

Un astfel de dipol, figura 2. , poate fi caracterizat de următorii parametri complexi: 2.3.1.Impedanţa complexă Z Aceasta se defineşte:

jXRjZZZeeI

U

Ie

Ue

I

UZ jj

j

jiu

i

u

sincos (2.36)

Impedanţa complexă Z este un parametru complex al cărui modul este impedanţa dipolului Z, iar

faza sa este defazajul introdus de dipol între U şi I , partea sa reală este rezistenţa dipolului R iar partea sa imaginară este reactanţa dipolului X. Cunoscând tensiunea de alimentare U şi Z se poate determina curentul:

iu jj IeeZ

U

Z

UI (2.37)

26

In valori instantanee: utZ

Ui sin2 (2.38)

Relaţia IZU , analogă formal cu legea lui Ohm pentru curenţii continui mai este denumită legea lui Ohm sub formă complexă.

Impedanţele complexe Z se pot reprezenta într-un semiplan complex (semiplanul Z , figura 2. ), fiecărei impedanţe corespunzându-i un punct din acest plan a cărui semiaxă reală este axa rezistenţelor (R) iar axa imaginară este este axa reactanţelor (jX). Semiplanul Z reprezintă semiplanul drept deoarece întotdeauna 0R .

Semnificaţiile reprezentărilor din figura 2 sunt: 2.3.2. Admitanţa complexă Se defineşte prin relaţia:

jBGjYYYeeU

I

Ue

Ie

U

IY jj

j

jui

u

i

sincos (2.39)

Admitanţa complexă Y reprezintă un parametru complex al cărui modul este egal cu admitanţa

dipolului Y, iar faza sa este defazajul introdus de dipol între U şi I luat cu semn schimbat, partea sa reală este conductanţa dipolului G iar partea sa imaginară este susceptanţa dipolului B. Cunoscând tensiunea de alimentare U şi Y se poate determina curentul:

iu jj IeYeUYUI (2.40)

In valori instantanee: utYUi sin2 (2.41)

Admitanţele complexe se pot reprezenta la rândul lor într-un semiplan drept complex 0G ,

planul Y , având pe G pe axa reală şi pe jB pe axa imaginară. Oricărui dipol îi corespunde un punct din cele două cadrane (figura 2. ). Aplicaţii Capitolul 3

27

Puteri electrice în regim permanent Reamintim că sensul de referinţă al tensiunii la bornele unui dipol se poate asocia cu sensul de referinţă al curentului după două convenţii: Convenţia de la receptoare, când u şi i au aceeaşi orientare în raport cu bornele (polii) circuitului ( 11 ) şi în acest caz (figura 3.1.a) iup este putere absorbită când 0p şi putere cedată când 0p . Convenţia de la generatoare, când u şi i au orientări diferite în raport cu bornele (polii) circuitului ( 11 ) şi în acest caz (figura 3.1.a) iup este putere cedată când 0p , adică putere generată de dipol, deci putere care iese pe la bornele dipolului generator şi putere absorbită când

0p . Observaţie: convenţia de la receptoare se aplică de regulă pentru dipoli activi, care pot genera putere.Totuşi există şi situaţii în care dipoli pasivi pot genera putere: este cazul descărcării condensatoarelor şi bobinelor care generează putere din energia înmagazinată de către acestea, după cum vom vedea în cele ce urmează. 3.1. Puteri electrice în regim permanent sinusoidal Spre deosebire de circuitele de curent continuu unde am definit un singur fel de putere absorbită (sau cedată), în regim sinusoidal se definesc mai multe puteri. 3.1.1. Puterea instantanee Fie un dipol liniar pasiv alimentat cu o tensiune sinusoidală şi funcţionând în regim permanent; evident acesta absoarbe tot un curent sinusoidal, datorită liniarităţii sale.

utUu sin2

itIi sin2 (3.1.)

28

Dipolul din figura 3.2. are impedanţa Z şi defazajul iu .

Puterea instantanee definită ca iup reprezintă legea de variaţie în timp a puterii primite (cedate) de un dipol la bornele sale, după cum u şi i se asociază după convenţia de la receptoare, respectiv generatoare.

Tinând seama de relaţia (3.1) avem: iu ttUIiup sinsin2 iutUIUI 2coscos (3.2)

Putem observa că puterea instantanee este o mărime periodică având o componentă constantă cosUIP şi o componentă de frecvenţă dublă 2 , iuf tUIp 2cos numită putere

fluctuantă. Cu alte cuvinte p variază cu frecvenţă dublă în jurul valorii medii cosUIP , ca în figura 3.3.

In intervalele de timp

t , în care 0p , dipolul absoarbe o putere negativă, deci

cedează putere spre exterior pe la borne. In aceste intervale, o parte din energia înmagazinată în câmpul magnetic al bobinelor şi respectiv în câmpul electric al condensatoarelor este restituită surselor de alimentare. Cu cât defazajul φ dintre u şi i este mai mare, aceste intervale cresc.

La 2

, adică atunci când dipolul este pur reactiv, deci nu conţine rezistenţe, valoarea

medie a lui p, adică cosUIP =0, deci apare numai puterea fluctuantă sinusoidală. In această

situaţie puterea primită în intervalul 2

, este restituită în intervalul 2

imediat următor, ariile

închise de puterea instantanee deasupra şi sub axa timpului fiind egale şi de semne opuse. Dacă defazajul este 0 , ceea ce înseamnă că dipolul nu conţine elemente reactive L şi/sau C care să poată înmagazina energie în câmpurile lor, valoarea medie a lui p este maximă,

UIP 1cos , iar aria închisă sub axa timpului de puterea instantanee este nulă. Deci în regim sinusoidal, transmiterea de energie la 0 nu are loc numai înspre dipol ci şi dinspre acesta, motiv pentru pentru care, din expresia puterii instantanee nu putem afirma că un dipol este generator sau consumator de putere, decât dacă în medie pe o periodă primeşte mai mult decât cedează, adică aria închisă de p deasupra axei timpului o excede pe cea închisă sub axă. 3.1.2. Puterea activă

Prin definiţie puterea activă reprezintă valoarea medie pe o perioadă a puterii instantanee:

TT

UIdtiuT

dtpT

P00

cos11 0 W (3.3)

întrucât valoarea medie pe o periodă a puterii fluctuante este nulă. Puterea activă, ca şi puterea instantanee se măsoară în watt şi este măsurabilă cu ajutorul wattmetrelor.Puterea instantanee se măsoară în W, dar nu este măsurabilă fiind o funcţie de timp. Pentru un dipol pasiv puterea activă absorbită se poate scrie în funcţie de parametrii dipolului:

cosUIP =

22

22

cos

cos

UGUU

I

IRII

U

(3.4)

Un dipol absoarbe putere activă pe la borne numai dacă conţine în interiorul său elemente capabile să convertească energia electrică absorbită pe la borne în forme active de energie: căldură (plită, radiator), lucru mecanic (motoare electrice), lumină (tuburi luminescente), energie chimică (băi de electroliză, acumulatori în procesul de încărcare).

29

Pentru o rezistenţă R parcursă de curentul i, puterea instantanee este 2iRp j iar puterea

activă consumată este:

22

0

2

0

11RIRIdti

TRdtp

TP ef

TT

jj (3.5)

deci puterea activă este proporţională cu pătratul valorii efective a curentului. 3.1.3.Puterea aparentă

Puterea aparentă absorbită de un dipol se defineşte ca produsul dintre valoarea efectivă a tensiunii de alimentare U şi cea a intensităţii curentului I. 0 IUS VA (3.6)

Unitatea de măsură VA (voltamper) nu diferă din punct de vedere dimensional de W , dar indică faptul că este vorba despre puterea aparentă. Este o putere calculată ca în curent continuu, dar cu valorile efective ale tensiunii şi intensităţii. Fără a avea o interpretare energetică, puterea aparentă arată care ar fi maximul de putere care ar putea fi absorbită în raport cu puterea activă P, efectiv absorbită. Raportul celor două puteri se numeşte factorul de putere al circuitului.

cos

cos

IU

IU

S

Pk (3.7)

Factorul de putere arată de câte ori este mai mică puterea activă absorbită de un echipament (circuit) decât puterea maximă care s-ar obţine pentru 0 , în aceleaşi condiţii de solicitare a izolaţiei (reamintim că U reflectă solicitarea maximă a izolaţiei) şi de solicitare termină (reamintim că I reflectă solicitarea termică şi dinamică maximă). In regim sinusoidal cosk şi creşte odată cu micşorarea defazajului dintre u şi i, valoarea maximă a lui k fiind 1. Una dintre problemele gospodăririi energiei electrice în industrie este legată de îmbunătăţirea (mărirea) factorului de putere al consumatorilor, cu alte cuvinte de micşorarea defazajului inductiv 0 .

Pierderile de putere ( jp ) pe o linie bifilară având rezistenţa lR (figura 3. ) la transportul

spre consumator al unei puteri P, sub tensiune U şi curentul I sunt:

22

22

cosU

PRIRp llj (3.8)

Se observă că aceste pierderi sunt invers proporţionale cu pătratul tensiunii (motiv pentru care transportul energiei la înaltă tensiune reduce semnificativ aceste pierderi), dar la tensiune constantă pierderile pot fi diminuate prin creşterea factorului de putere cosk . In funcţie de parametrii dipolului, puterea aparentă se scrie sub forma: 22 UYIZIUS (3.9) 3.1.4. Puterea reactivă Puterea reactivă absorbită de un dipol alimentat sinusoidal se defineşte ca o putere complementară puterii active, sub forma: sin IUQ VAR (3.10)

Unitatea de măsură VAR (voltamper reactiv) nu diferă din punct de vedere dimensional de W

sau VA , dar indică faptul că este vorba despre puterea reactivă.

- pentru circuite inductive avem: 0 0 indQ , deci

elementele inductive consumă putere reactivă

30

- pentru circuite capacitive avem: 0 0 indQ , deci

elementele capacitive generează (cedează) putere reactivă Tinând seama de relaţiile de definiţie ale puterilor activă, reactivă şi aparentă ( cos IUP , sin IUQ , IUS ) se observă că cele trei puteri P, Q şi S sunt pitagoreice şi că ele definesc un triunghi al puterilor, conform figurii 3.

Ele sunt legate de relaţiile:

22

sin

cos

QPS

IUQ

IUP

(3.11)

Factorul de putere al circuitului scris sub forma:

2

222

1S

Q

S

QS

S

Pk

(3.12)

arată că îmbunătăţirea factorului de putere la o instalaţie (circuit) este legată de reducerea consumului de putere reactivă de către aceasta (pentru 10 kQ ). In funcţie de elementele dipolului, puterea reactivă se poate scrie: 22sin UBIXIUQ (3.13)

Puterea reactivă se poate măsura cu ajutorul varmetrelor. Intr-un circuit izolat, dacă există o latură consumatoare de putere reactivă (latură cu bobină),

aceasta va lua această putere fie de la o latură generatoare de putere reactivă, adică o latură cu condensator, care generează putere reactivă, fie direct de la sursă, care datorită acestui fapt se va încărca suplimentar pentru a produce şi puterea reactivă necesară.

Dacă circuitul pasiv este legat la reţeaua de alimentare, o parte din puterea reactivă necesară bobinelor o generează condensatoarele din interiorul dipolului, diferenţa de putere reactivă fiind absorbită pe la borne de la reţeaua de alimentare, încărcând-o suplimentar.

Dacă însă predomină puterea reactivă generată (capacitivă), atunci excedentul de putere reactivă este debitat spre reţeaua exterioară pe la bornele dipolului.

Cu alte cuvinte putem spune că puterea reactivă absorbită pe la borne ( sin IUQ ), reprezintă o măsură a necompensării schimburilor interne de energie între câmpul magnetic al bobinelor şi câmpul electric al condensatoarelor.

Aşa cum orice putere corespunde unei anumite forme de energie, puterea reactivă Q corespunde energiilor care se înmagazinează In câmpurile magnetice, respectiv în câmpurile electrice, aşa numitele energii reci.

Triunghiul puterilor se obţine din triunghiul impedanţelor amplificat cu I2, sau din triunghiul admitanţelor amplificat cu U2.

3.1.5. Puterea complexă Puterea complexă, care este de fapt puterea aparentă complexă, se defineşte prin:

IUiuS2

1 (3.14)

sincos jSSeSeIUIUS jj iu (3.15)

31

Puterea complexă scrisă sub forma (3.15) este o mărime complexă a cărei modul este puterea aparentă S, argumentul este defazajul circuitului , partea reală puterea activă P, iar partea imaginară puterea reactivă Q.

Puterea complexă absorbită de un dipol se poate scrie în funcţie de parametrii dipolului:

222 jXIRIIZIIZIUS

222 UBjGUUYUUYIUS (3.15)

Puterea complexă S se poate reprezenta într-un plan complex (planul S ) a cărui axă reală este axa P, iar axa imaginară este jQ, conform figurii 3. .

Dacă U şi I la bornele dipolului se asociază după regula de receptoare (ambele au acelaşi

sens de referinţă) atunci puterile P,Q,S şi S pozitive reprezintă puteri absorbite de dipol, iar dacă sunt negative sut cedate de dipol.

In această ipoteză cadranele I şi II în care 0Q se referă la dipolii cu caracter inductiv, iar cadranele III şi IV în care 0Q se referă la dipolii cu caracter capacitiv.

Totodată semiplanul drept (cadranele I şi IV) se referă la dipolii pasivi, pentru care

2,

2

care nu pot produce putere activă şi care pot doar să absoarbă putere activă pe la

borne. Dipolii activi însă pot avea afixul puterii complexe S în oricare dintre cele patru cadrane

ale planului. 3.1.6. Puteri în regim nesinusoidal Capitolul 4 Impedanţe şi admitanţe echivalente 4.1. Teorema lui Joubert Pentru un dipol pasiv în regim sinusoidal echivalentul ecuaţiei de tensiuni din curent

continuu (legea lui Ohm pe o porţiune de circuit) IRU , ar fi IZU , iar pentru un dipol activ echivalentul ecuaţiei de tensiuni din curent continuu IRUE îl reprezintă teorema lui Joubert.

32

Fie o latură activă de circuit cu sursa eg şi cu elementele de circuit R,L şi C, a cărui bobină este cuplată magnetic cu alte bobine de pe alte laturi ale circuitului, fluxul rezultant al acestora prin suprafaţa bobinei considerate fiind ext , figura 4.1.

Fluxul rezultant al bobinei este reprezentat de superpoziţia dintre fluxul propriu (Li) şi fluxul

exterior creat de alte bobine: extLi .

Curba închisă trece prin latura de circuit şi prin linia tensiunii la bornele laturii ub. Tensiunea electromotoare de-a lungul curbei , e reprezintă suma dintre tensiunea electromotoare

a sursei proprii eg şi tensiunea electromotoare indusă de către fluxul rezultant: dt

deind

.

Deci:

dt

d

dt

diLe

dt

deeee ext

ggindg

(4.1)

Totodată:

bbCR uidtC

iRuuue1

(4.2)

Egalând cele două expresii ale lui e rezultă:

dtiCdt

diLiRu

dt

de b

extg

1 (4.3)

Notăm: bext

ga udt

deu

(4.4)

numită tensiunea aplicată laturii de circuit. Tensiunea aplicată unei laturi de circuit reprezintă acea tensiune care determină circulaţia

curentului prin acea latură. Prin latura de circuit putem avea curent dacă o alimentăm cu o tensiune la borne ub, datorită faptului că este o latură activă, adică are în componenţă o sursă de t.e.m eg, şi datorită faptului că este cuplată magnetic cu alte laturi, iar fluxul magnetic de cuplaj induce o t.e.m.

dt

d ext .

Cu alte cuvinte tensiunea aplicată ua conţine în expresia ei toate cauzele fizice care pot genera curent prin acea latură.

La limită dacă latura este pasivă şi nu este cuplată magnetic cu alte laturi, atunci curentul circulă doar datorită tensiunii ub cu care este alimentată latura pe la borne.

Ecuaţia 4.3. are şi corespondentul său în complex:

IZIC

LjRUUUUjE CLRbextg

1

(4.5)

Tensiunea aplicată este

bextga UjEU (4.6)

şi are aceeaşi interpretare fizică cu ternsiunea aplicată exprimată sub formă instantanee. Cu aceste notaţii: IZU a (4.7)

33

Putem deci enunţa teorema lui Joubert: tensiunea aplicată unei laturi de circuit este egală cu produsul dintre impedanţa laturii şi curentul din acea latură. Evident tensiunea aplicată conţine mai mulţi termeni.

4.2. Impedanţe şi admitanţe echivalente Impedanţa echivalentă în raport cu două borne ale unui circuit se defineşte ca raportul dintre

U şi I la bornele respective:

eee jXRI

UZ (4.8)

iar admitanţa echivalentă este:

eee jBGU

IY (4.9)

4.2.1. Circuite în serie necuplate inductiv

Considerăm un circuit format din mai mulţi dipoli activi legaţi în serie. Ansamblul acestora poate fi în locuit cu un dipol echivalent, figura 4. Tensiunea la bornele dipolului k va fi:

kkk EIZU (4.10)

iar la bornele ansamblului

k

n

kk

n

kk

n

k

EIZUU

111

, respectiv

k

n

kk

n

k

EZIU

11

(4.11)

Tensiunea la bornele dipolului echivalent ca fi:

ee EZIU (4.12) Prin identificarea relaţiilor (4.11) şi (4.12) obţinem:

n

kke ZZ

1

(4.13)

n

kke EE

1

(4.14)

Din (4.13) se deduce evident că

n

kke RR

1

şi

n

kke XX

1

34

Expresia 4.13 pune în evidenţă faptul că legarea în serie a impedanţelor şi obţinerea impedanţei echivalente se poate obţine şi din compunerea geometrică a impedanţelor componente în planul Z (figura 4. )

Proiecţia lui eZ pe axa reală este rezistenţa echivalentă 0eR iar proiecţia pe axa

imaginară este eX ( 0eX , dacă circuitul este inductiv şi 0eX , dacă circuitul este capacitiv).

4.2.2. Circuite paralel, necuplate inductiv Considerăm un circuit format din mai mulţi dipoli activi legaţi în serie. Ansamblul acestora

poate fi în locuit cu un dipol echivalent, figura 4.

Curentul absorbit pe la borne este:

n

kkII

1

(4.15)

Curentul prin dipolul k va fi: kkk EUYI (4.16)

iar curentul total

kk

n

kk

n

kk

n

k

YEIYII

111

, respectiv

kk

n

kk

n

kk

n

k

YEYIII

111

(4.17)

Curentul prin dipolul echivalent ca fi: )( ee EUYI (4.18)

Prin identificarea relaţiilor (4.11) şi (4.12) obţinem:

n

kke YY

1

(4.19)

n

kk

n

kkk

e

Y

EYE

1

1 (4.20)

35

Din (4.20) se deduce evident că

n

kke GG

1

şi

n

kke BB

1

Expresia 4.13 pune în evidenţă faptul că legarea în paralel a impedanţelor cu obţinerea de

această dată a admitanţei echivalente se poate obţine şi din compunerea geometrică a admitanţelor componente în planul Y (figura 4. )

Aplicaţii: Divizorul de tensiune şi divizorul de curent Circuitul RLC serie Circuitul RLC paralel Transfigurarea triunghi-stea şi stea triunghi Alte configuraţii de circuite pasive Capitolul 5 Rezonanţă electrică 5.1. Fenomenul de rezonanţă electrică Fie un dipol liniar şi pasiv (figura 5.1) care conţine elemente rezistive, inductive şi

capacitive într-o conexiune oarecare şi care este alimentat în regim sunisoidal cu tensiunea U . Aceast circuit funcţionează la rezonanţă electrică atunci când puterea reactivă (Q) absorbită

pe la bornele de alimentare este nulă şi cu toate că el conţine elemente L şi C , întregul dipol se comportă în raport cu bornele de intrare ca un circuit pur rezistiv. Frecvenţele pentru care Q=0 poartă numele de frecvenţe de rezonanţă.

Cu alte cuvinte: Pentru un circuit serie: 02 IXQ 0 I şi 0X (5.1.)

36

Pentru un circuit paralel: 02 UBQ 0U şi 0B (5.2) Dacă pentru un circuit cu o structură complexă este îndeplinită condiţia 5.1. (X=0), în circuit ca apărea o rezonanţă de tensiuni (rezonanţă tip serie), iar dacă este îndeplinită condiţia 5.2. (B=0), în circuit va apărea o rezonanţă de curenţi (rezonanţă tip paralel). Aducerea unui circuit la rezonanţă se poate realiza prin fie variaţia frecvenţei sursei de alimentare a circuitului, fie prin variaţia parametrilor circuitului. De aceea pe lângă frecvenţă de rezonanţă pentru un circuit putem vorbi şi de parametri de rezonanţă. Fenomenul de rezonanţă stă la baza funcţionării multor echipamente din tehnica comunicaţiilor. In tehnica curenţilor tari şi în instalaţiile electrice, în situaţia în care fenomenul de rezonanţă apare în mod neprevăzut, el poate avea efecte catastrofale datorită apariţiei unor supratensiuni sau supracurenţi greu controlabili. 5.2. Rezonanţă de tensiuni (tip serie) Circuitul cel mai simplu în care poate apărea rezonanţa de tensiuni este circuitul RLC serie, figura 5. , de unde şi numele de rezonanţă de tip serie.

Presupunem circuitul alimentat cu o tensiune sinusoidală de pulsaţie . Impedanţa complexă a circuitului este :

CLjRZ

1

(5.3)

Valoarea efectivă a curentului I şi defazajul său faţă de tensiunea U sunt:

2

2 1

CLR

U

Z

UI

(5.4)

R

CL

arctgR

Xarctg

1

(5.5)

Condiţia de rezonanţă a circuitului, Q=0X=0, devine pentru acest caz:

01

C

LX

C

L

1 12 LC (5.6)

relaţie numită condiţia de rezonanţă pentru circuitul serie. Circuitul poate fi adus la rezonanţă prin modificarea:

- pulsaţiei (frecvenţei) sursei de alimentare - inductivităţii bobinei - capacităţii condensatorului

Pulsaţia şi frecvenţa de rezonanţă se scriu:

LC

10 ;

LCf

2

1

20

0 ; (5.7)

In figura 5. este reprezentată caracteristica de frecvenţă a reactanţei C

LX

1 .

37

La rezonanţă reactanţa X(ω)=0, deci circuitul se comportă pur rezistiv. Pentru ω< ω0X<0, deci circuitul se comportă capacitiv, în timp ce pentru ω> ω0X>0,

deci circuitul se comportă inductiv. Cu alte cuvinte la trecerea prin punctul de rezonanţă un circuit serie îsi schimbă caracterul

din capacitiv în inductiv sau invers, în funcţie de sensul de variaţie a frecvenţei. La rezonanţa de tip serie impedanţa circuitului la frecvenţa de rezonanţă este minimă şi

reală: RZZZ min00 (5.8)

iar curentul va fi maxim la rezonanţă:

maxmin

0 IR

U

Z

UII rez (5.9)

Acest maxim poate fi pronunţat în situaţia în care valoarea rezistenţei R este mică, motiv pentru care la trecerea sa prin bobină şi condensator poate determina apariţia la bornele acetora a unor supratensiuni care pot depăşi cu mult tensiunea de alimentare, devenind periculoase pentru izolaţiile bobinei şi condensatorului, de unde şi denumirea de rezonanţă de tensiuni. Tensiunile la bornele bobinei şi condensatorului sunt egale şi în opoziţie de fază după cum se poate vedea şi din diagrama fazorială din figura 5 .

La rezonanţă reactanţa inductivă LX L 00 şi cea capacitivă

CX C

0

10 sunt egale,

această valoare comună fiind numită impedanţa caracteristică a circuitului:

C

L

CLZC

00

1

(5.10)

iar tensiunile la bornele bobinei şi condensatorului au valorile: 000

IZUU CCL (5.11)

Raportul: RC

L

IR

IZ

U

U

U

Uq CCL

0

000 (5.12)

se numeşte factor de calitate a circuitului, o valoare ridicată a lui q semnificând supratensiuni importante pe bobină şi condensator, respectiv R<<ZC. Se poate observa că rezistenţa joacă rolul unui element de amortizare şi că împiedică apariţia supratensiunilor de rezonanţă.

Inversul factorului de calitate 00

1

CLC U

U

U

U

Z

R

qd poartă numele de factor de

amortizare a circuitului şi pune în evidenţă rolul rezistenţei R în amortizarea oscilaţiilor. Evident puterea absorbită de circuit la rezonanţă va fi eminamente putere activă ( condiţia de rezonanţă era Q=0) şi va avea expresia: max

20cos PIRIUIUP o (5.13)

Energia înmagazinată în câmpul electric al condensatorului şi în câmpul magnetic al bobinei oscilează între cele două elemente de circuit fără a afecta schimbul de energie pe la bornele întregului circuit. 5.3. Rezonanţă de curenţi (de tip paralel) Cel mai simplu circuit în care poate să apară o rezonanţă de curenţi este circuitul RLC paralel, figura 5 , de unde şi denumirea de rezonanţă de curenţi.

38

Presupunem circuitul alimentat cu o tensiune sinusoidală de pulsaţie . Admitanţa complexă a circuitului este :

CL

jR

Y

11 (5.14)

Condiţia de rezonanţă în această situaţie va avea forma:

B=0 01

C

L

C

L

1 12 LC (5.15)

condiţie formal identică cu cea de la circuitul serie, deşi manifestarea fizică a celor două fenomene este total diferită.

In figura 5. este reprezentată caracteristica de frecvenţă a susceptanţei L

CB

1 .

La rezonanţă reactanţa B(ω)=0, deci circuitul se comportă pur rezistiv.

Pentru ω< ω0B<0, deci circuitul se comportă inductiv, în timp ce pentru ω> ω0B>0, deci circuitul se comportă capacitiv.

Si în cazul circuitului paralel, la trecerea prin punctul de rezonanţă circuitul îsi schimbă caracterul din inductiv în capacitiv sau invers, în funcţie de sensul de variaţie a frecvenţei.

La rezonanţa de tip paralel, admitanţa circuitului la frecvenţa de rezonanţă este minimă şi reală:

GYYY min00 (5.16)

iar curentul va fi minim la rezonanţă:

minmax

min0 IR

UYUII rez (5.17)

Dacă latura cu rezistenţă lipseşte, cu alte cuvinte R , avem un circuit paralel oscilant LC, prin care curentul este zero. Deci, un circuit oscilant LC acordat pe o anumită frecvenţă de rezonanţă f0 va bloca trecerea curentului de acea frecvenţă prin el.

Curenţii prin bobină şi condensator sunt egali şi în opoziţie de fază după cum se poate vedea şi din diagrama fazorială din figura 5 .

Si la rezonanţa paralel reactanţa inductivă LX L 00 şi cea capacitivă

CX C

0

10 sunt

egale, această valoare comună fiind numită impedanţa caracteristică a circuitului:

C

L

CLZC

00

1

(5.18)

39

iar curenţii prin bobină şi condensator au valorile:

c

CL Z

UII

00 (5.19)

La rezonanţa paralel curentul absorbit pe la borne este minim, dar curenţii prin bobină şi condensator pot lua valori periculos de mari, de unde şi denumirea de rezonanţă de curenti.

Raportul:

C

L

R

Z

R

I

I

I

Iq

C

CL 00

00 (5.20)

se numeşte factor de calitate a circuitului, o valoare ridicată a lui q semnificând supracurenţi importanţi prin bobină şi condensator, respectiv R>>ZC. La limită, când R şi q

Inversul factorului de calitate 00

001

CL

C

I

I

I

I

R

Z

qd poartă numele de factor de

amortizare a circuitului şi pune în evidenţă rolul inversului rezistenţei R în amortizarea oscilaţiilor. Evident puterea absorbită de circuit la rezonanţă va fi tot eminamente putere activă ( condiţia de rezonanţă era Q=0) şi va avea expresia: min

20cos PIRIUIUP o (5.21)

Si în acest caz energia înmagazinată în câmpul electric al condensatorului şi în câmpul magnetic al bobinei oscilează între cele două elemente de circuit fără a afecta schimbul de energie pe la bornele întregului circuit. 5.4. Rezonanţa în circuite derivaţie cu pierderi Fie un circuit oscilant paralel realizat cu elemente reale de circuit, adică bobina are rezistenţa de pierderi R1 iar condensatorul rezistenţa de pierderi R2, figura 5. , circuitul fiind alimentat de o tensiune sinusoidală de pulasaţie . Admitanţa complexă a circuitului este:

CjRLjRZZ

YYY

1

1111

2121

21

(5.22)

22

2

21

1

1

ZC

jR

Z

LjRY

(5.23)

jBGZ

CZ

Ljj

Z

R

Z

RY

22

21

22

22

1

1

1

(5.24)

40

Condiţia de rezonanţă B=0, devine:

2222

2221

1

1

CR

CLR

L

22

02

1220

22

20

1LR

CRLC

C

LR

C

LR

LC

22

21

0

1 (5.25)

Se poate observa că pentru circuitele cu pierderi pulsaţia de rezonanţă 0 depinde şi de

rezistenţele de pierderi R1 şi R2 spre deosebire de circuitele oscilante serie sau paralel ideale unde

0 era funcţie numai de L şi de C.

Din analiza expresiei (5.25) se observă că: - dacă R1= R2 sau R1= R2=0, pulsaţia de rezonanţă este

aceeaşi ca în cazul circuitelor ideale: LC

10

- dacă C

LR 1 şi

C

LR 1 (sau invers), adică numărătorul

şi numitorul radicalului mare din expresia 5.25. au semne opuse, pulsaţia 0 este imaginară, ceea ce

înseamnă că circuitul nu va intra niciodată cin rezonanţă

- dacă C

LRR 21 , vom avea o nederminare de tip

0

00 , aceasta însemnând din punct de vedere fizic că circuitul poate rezona pentru orice pulsaţie,

deoarece orice valoare a pulsaţia satisface în acest caz relaţia 5.25. în acest caz vorbim despre circuitul complet aperiodic sau total rezonant, cu numeroase aplicaţii tehnice. Acest circuit se comportă la orice frecvenţă ca o rezistenţă în raport cu bornele de

alimentare, defazajul dintre curenţii 1I şi 2I fiind 2

la orice frecvenţă:

11

1

2121

LC

C

L

L

RC

R

Ltgtg

2

21

1

ctgtg

tg

de unde se poate trage concluzia că cele două unghiuri sunt complementare dar de semn opus,

adică: 221

(5.26)

(vezi diagrama fazorială din figura 5. )

41

In această situaţie între bobină şi condensator nu vor apărea oscilaţii de energie ca şi la

circuitele ideale. Energiile electrică 2

2

1Ce uCW şi magnetică 2

2

1Lm iLW sunt absorbite de la

reţea când uC şi iL cresc, iar apoi sunt disipate sub formă de căldură pe rezistenţele R1 şi R2. In această situaţie uC şi iLsunt în fază, spre deosebire de celelalte rezonanţe la care erau în cuadratură, ceea ce făcea posibil schimbul de energie între L şi C. Curentul total 21 III fiind însă în fază cu tensiunea U face ca celelalte calităţi ale rezonanţei să se păstreze. Capitolul 6 Teoremele circuitelor electrice Observaţie: In esenţă aceste teoreme au fost studiate în cazul particular al curentului continuu, motiv pentru care vom face apel la acestea pentru a scurta expunerea şi pentru a evita redundanţele. Acolo însă unde apar diferenţe notabile între cele două situaţii vom face toate precizările necesare. 6.1. Teoremele lui Kirchoff 6.1.1. Teorema întâi a lui Kirchoff Este după cum am mai arătat o consecinţă directă a legii conservării sarcinii, valabilă în regim cvasistaţionar sub forma cunoscută:

bk

ki 0pentru circuite liniare, neliniare sau

parametrice. Transpusă în complex T1K se va scrie:

bk

kI 0 (6.1)

Relaţia 6.1. transpusă într-o diagramă fazorială arată că poligonul format de către curenţii ce concură într-un nod de circuit este întotdeauna un poligon închis. Atenţie! Relaţia nu este valabilă pentru valorile efective ale curenţilor, deoarece prin definiţie acestea sunt pozitive şi evident o sumă de numere pozitive nu poate fi niciodată nulă. Reamintim că pentru o reţea cu n noduri T1K se scrie pentru (n-1) noduri alese arbitrar şi numite noduri fundamentale. 6.1.2. Teorema a doua a lui Kirchoff

Reprezintă o consecinţă a legii inducţiei electromagnetice dt

de

S

, aplicată pentru o

curbă închisă , luată de-a lungul unui ochi de cicuit p, astfel încît pentru fiecare latură ea să treacă prin suprafeţele tensiunilor la borne. Aceste suprafeţe sunt alese de aşa manieră încât ele să înconjoare fiecare latură la distanţă de aceasta şi să nu fie străbătuete de liniile vreunui flux magnetic. Aceste suprafeţe intersectate cu planul circuitului devin aşa numitele linii ale tensiunilor la borne. Dacă curba închisă ,trece doar prin liniile tensiunilor la borne în interiorul acestei curbe nu trece nici o linie de câmp magnetic, deci 0

S , de unde şi 0e (figura 6.1).

42

Rezultă evident:

pk

ku 0 (6.2)

care reprezintă teorema a două a lui Kirchoff şi se enunţă: Suma algebrică a valorilor instantanee ale tensiunilor la bornele laturilor care alcătuiesc ochiul p este nulă. In suma algebrică se iau cu + acele tensiuni ale căror sens de referinţă coincide cu sensul de parcurgere al ochiului p, respectiv cu sensul de integrare pe curba şi cu minus în caz contrar. In suma din relaţia 6.2. intervin doar acele laturi k care compun ochiul p. Aplicăm teorema lui Joubert pentru ecuaţia de tensiuni a laturii k:

kCk

Rk eudt

duu

kk

(6.3)

Inlocuind în 6.2. şi separând termenii se obţine:

pk pkkC

kk eu

dt

du

k (6.4)

Sub forma din relaţia 6.4. teorema a doua a lui Kirchoff se enunţă: Suma algebrică a valorilor instantanee ale surselor din laturile ochiului unui ochi de circuit

este egală cu suma algebrică a valorilor instantanee ale tensiunilor pentru toate elementele de circuit din acel ochi. Forma 6.4. este valabilă pentru circuite liniare, neliniare, sau parametrice. In cazul particular al circuitelor liniare, tensiunile de pe elementele de circuit se pot exprima sub forma:

pkk

pk

m

jk

k

jkj

kkkkk edti

Cdt

diL

dt

diLiR

1

1 (6.5)

Numărul m este numărul de bobine cuplate cu bobina Lk. In regim permanent sinusoidal expresia 6.2. a T2K se transpune în mărimi complexe sub forma:

pk

kU 0 (6.6)

Suma fiind nulă în diagrama fazorială toate tensiunile de pe latură formează un poligon închis. Din nou trebuie să remarcăm că nici relaţia 6.6. nu este adevărată dacă este scrisă în valori efective. Forma 6.5. transpusă în complex ne dă:

pk pkkjkj

m

jkkkkk EILjI

CjILjIR

1

1

(6.7)

Dacă notăm:

43

kjkj

kkkk

LjZ

CLjRZ

1

în care kZ este impedanţa proprie a laturii k şi kjZ , impedanţa

mutuală dintre laturile k şi j, rezultă:

pkk

pk

m

jjkjkk EIZIZ

1

(6.8)

relaţie care reprezintă T2K sub formă explicită în valori complexe. De remarcat că atunci când se aplică relaţia 6.8. pentru un circuit oarecare fiecare impedanţă

mutuală kjZ dintre o latură a ochiului p şi o latură care nu aparţine ochiului p, apare o singură dată,

în timp ce impedanţa mutuală kjZ între două laturi aparţinând ochiului p apare de două ori, odată

pentru latura j şi încă odată pentru latura k ale ochiului. 6.2.Teorema superpoziţiei Enunţul este identic cu cel din curent continuu: Curentul electric dintr-o latură a unui circuit

liniar în care există mai multe surse, este suma algebrică a curenţilor produşi prin acea latură de către fiecare sursă în parte, dacă ar acţiona singură în circuit, celelalte fiind pasivizate.

Reamintim că a pasiviza o sursă înseamnă a o scoate din circuit, în locul ei rămânând o impedanţă egală cu impedanţa sa internă.

6.3. Teorema lui Thevenin, sau teorema generatorului echivalent de tensiune

0

0

AB

ABAB ZZ

UI

(6.9)

Curentul debitat de un circuit activ şi liniar printr-o impedanţă Z conectată la bornele sale

A-B, este egal cu raportul dintre tensiunea 0ABU la mersul în gol (cu latura Z întreruptă) şi suma

dintre impedanţa Z şi impedanţa internă a circuitului pasivizat la mersul în gol 0ABZ .

6.4. Teorema lui Norton, sau teorema generatorului echivalent de curent

ABo

ABscAB YY

IU

(6.10)

Tensiunea ABU produsă la bornele unei impedanţe Z legată între bornele A şi B ale unei reţele active şi liniare este egală cu raportul dintre curentul de scurtcircuit IABsc al reţelei, dacă

ar fi scurtcircuitate bornele A şi B şi suma dintre admitanţa externă Z

Y1

şi admitanţa internă a

reţelei pasivizate 0

0

1

ABAB Z

Y .

6.5. Teorema transferului maxim de putere activă pe la borne Considerăm un generator având t.e.m. E şi impedanţa internă Zi=Ri+jXi=Ziejφi care

alimentează pe la bornele A,B (figura 6. ) un receptor având impedanţa de sarcină Zs=Rs+jXs=Zsejφs.

Dorim să determinăm valoarea impedanţei de sarcină Zs astfel încât ea să absoarbă maximum de putere activă, respectiv sarcina Zs să funcţioneze adaptat la sursă.

44

Curentul debitat de sursă are valoarea:

si ZZ

EI

(6.11)

iar puterea absorbită de receptor (şi consumată pe rezintenţa Rs) este:

ss

isis

s

siss XRP

XXRR

RE

ZZ

ERIRP ,

222

22

(6.12) Variabilele independente în raport cu care se caută maximul sunt elementele receptorului

ss XR , , valorile care asigură Pmax rezutând din anularea derivatelor parţiale ale funcţiei P ss XR ,

din 6.12. La Rs=const. şi Xs=variabil, maximul local al lui P se obţine pentru minimul numitorului,

respectiv cum 0 is XX , pentru anularea sa trebuie ca:

is XX (6.13)

Puterea transferată sarcinii pe la bornele A-B în acest caz este:

22

is

sXX

RR

REP

is (6.14)

Maximul acesteia, la variaţia lui Rs, se obţine din anularea derivatei:

02

3

2

4

22

is

si

is

sisis

s RR

RRE

RR

RRRRRE

R

P

is RR (6.15)

Deci, conform 6.13. şi 6.15. puterea transferată sarcinii este maximă dacă este îndeplinită condiţia:

is

is

XX

RR

is

is ZZ

is ZZ (6.16)

reapectiv impedanţa de sarcină să fie egală cu conjugata impedanţei interne complexe a sursei. Dacă este îndeplinită această condiţie de adaptare a sarcinii la sursă ( 6.14), puterea activă transferată receptorului pe la bornele A-B este:

iR

EP

4

2

max (6.17)

iar puterea [rodusă de generator în aceste condiţii de adaptare este: max

2max 2PIRRP sig (6.18)

Randamentul electric al schemei este:

5,0max

max

is

s

ggenerat

u

RR

R

P

P

P

P

(6.19)

Observaţie: Prin Pgmax nu trebuie să se înţeleagă faptul că sursa sursa produce maxim de putere, ci este vorba de puterea pe care o produce sursa când la receptor ajunge maximum de putere.

In tehnica curenţilor tari, unde se cer randamente cât mai mari, se lucrează cu si RR ,

deci departe de condiţia de adaptare. In tehnica curenţilor slabi însă (comunicaţii, transmisii de

45

date), unde aspectul energetic al problemei (randamentul schemei) este un aspect mai puţin important, se merge pe ideea transferului de putere maximă către receptor, deci a adaptării receptorului la sursă.

In practică se folosesc circu ite de adaptare. 6.6. Teorema conservării puterilor Capitolul 7 Metode de analiză a circuitelor electrice în regim permanent Capitolul 8 Cuadripoli Capitolul 9 Circuite electrice trifazate Producerea energiei electromagnetice se face în centrale electrice cu ajutorul generatoarelor

sincrone trifazate, transportul său se realizează cu ajutorul liniilor electrice trifazate de înaltă tensiune, iar distribuţia se face prin reţele trifazate de medie şi joasă tensiune. Utilizarea sistemului trifazat în producerea, transportul şi distribuţia energiei este legată de următoarele avantaje ale sistemelor trifazate:

- transmisia este economică, utilizându-se doar trei fire (plus neutrul) în loc de şase fire la transmisia prin trei linii monofazate separate

- consumatorii au disponibile două sisteme de tensiuni, de linie şi de fază

46

- cu ajutorul sistemelor trifazate de curenţi se pot produce câmpuri magnetice învârtitoare, câmpuri pe baza cărora funcţionează toate maşinile electrice de curent alternativ (sincrone şi asincrone), maşini care constituie baza acţionărilor electrice industriale. 9.1. Sisteme trifazate simetrice Un ansamblu de trei circuite electrice în care acţionează trei tensiuni electromotoare sinusoidale de aceeaşi frecvenţă dar cu faze iniţiale diferite se numeşte sistem trifazat de circuite. Fiecare dintre circuitele sistemului se numeşte fază iar curentul care circulă prin ele este curentul de fază.Sistemul trifazat de curenţi de fază are forma:

333

222

111

sin2

sin2

sin2

tIi

tIi

tIi

3

2

1

33

22

11

j

j

j

eII

eII

eII

(9.1)

Sistemul 9.1 este un sistem oarecare. Cei trei curenţi formează un sistem simetric dacă au aceeaşi valoare efectivă IIII 321 şi sunt defazaţi simetric între ei 133221

Dacă 3

2 , cei trei curenţi formează un sistem simetric de succesiune directă (de

secvenţă 1).(figura 9.1a, respectiv 9.1b)

Unitatea de defazaj este 3

2, iar fazorii se rotesc în sens trigonometric în ordinea ,,, 321 III faza 2

este în urma fazei unu cu o unitate, iar faza 3 în urma fazei doi tot cu o unitate, deci este de secvenţă 1. Un sistem simetric de curenţi se scrie sub forma:

3

2sin2

3

2sin2

sin2

33

2

1

tIi

tIi

tIi

3

2

33

3

2

2

1

j

j

j

eII

IeI

IeI

(9.2)

Dacă 3

2 , cei trei curenţi formează un sistem simetric de succesiune inversă (de

secvenţă 2).(figura 9.2a, respectiv 9.2b)

47

Curenţii se succed în ordinea 1-3-2 respectiv faza a doua este în urma fazei 1 cu două unităţi

3

22

3

4 , la fel faza a treia este în urma fazei a doua tot cu două unităţi, respectiv sistemul este

de secvenţă 2. Curenţii au expresiile:

3

2sin2

3

2sin2

sin2

33

2

1

tIi

tIi

tIi

3

2

33

3

2

2

1

j

j

j

eII

IeI

IeI

(9.3)

Sistemul invers provine din sistemul direct în care s-au inversat două faze între ele. Un motor trifazat alimentat cu un sistem direct de curenţi are un anumit sens de rotaţie, iar alimentat cu un sistem invers de curenţi se va roti invers; cu alte cuvinte prin inversarea a două faze un motor îşi schimba sensul de rotaţie. Dacă 0 cei trei curenţi formează un sistem simetric de succesiune homopolară (de secvenţă 0 sau 3).

In diagramele din figura 9.3 este reprezentat un sistem homopolar de curenţi. In rotaţia lor între aceştia nu există nici un defazaj, respectiv defazajul este 2π. Deci sistemul homopolar este de secvenţă 0 sau 3. Un sistem homopolar se poate scrie în valori instantanee sau complexe sub forma:

tIi

tIi

tIi

sin2

sin2

sin2

33

2

1

j

j

j

eII

IeI

IeI

33

2

1

(9.4)

Definim operatorul de rotaţie „a”, care are modulul 1 iar faza „3

2”. Orice mărime

complexă înmulţită cu „a”, va fi rotită însens direct trigonometric cu 3

2. Operatorul are

următoarele proprietăţi:

...1;;

1

3

2

2

1

3

2

2

1

36254

3

3

42

3

2

aaaaaa

a

jea

jea

j

j

(9.5)

48

Se observă din figura 9.4 că mărimile 1,a,a2 formează o stea simetrică, deci suma lor este nulă:

01 2 aa (9.6) Pe de altă parte şi un sistem simetric direct sau un sistem simetric invers de curenţi formează

tot o stea simetrică, Cu ajutorul operatorului de rotaţie „a”, un sistem direct sau invers se scrie: Sistem direct Sistem invers

IaI

IaI

IeII j

3

22

1

IaI

IaI

IeII j

23

2

1

(9.7)

iar suma celor trei curenţi este nulă. Mărimile diferenţă într-un sistem trifazat direct se scriu sub forma:

3

2sinsin22112

ttIiii

3cos

3sin2212

tIi

6sin2312

tIi (9.8)

iar în valori complexe mărimea diferenţă se scrie sub forma:

611

212112 3

j

eIIaIIII (9.9) conform figurii 9.

Din relaţiile 9.7 şi 9.8 se observă că o mărime diferenţă 12I are modulul de 3 ori mai

mare şi este defazată înaintea lui 1I cu 6

. Similar, mărimea diferenţă într-un sistem invers are

modulul de 3 ori mai mare şi este defazată cu în urmă cu 6

.

Dacă ,,, 321 III formează un sistem simetric de succesiune directă (figura 9. ) atunci

mărimile diferenţă ,,, 312312 III vor forma o stea simetrică de succesiune directă cu modulul mai

mare de 3 ori şi rotită cu 6

(figura 9. a), fie vor forma un triunghi orientat în sens direct (latura

triunghiului fiind egală cu de 3 ori latura stelei)., ca în figura 9. b.

49

Dacă ,,, 321 III formează un sistem simetric de succesiune inversă (figura 9. ) atunci

mărimile diferenţă ,,, 312312 III vor forma o stea simetrică de succesiune inversă cu modulul mai

mare de 3 ori şi rotită cu 6

(figura 9. a), fie vor forma un triunghi orientat în sens invers (latura

triunghiului fiind egală cu de 3 ori latura stelei), ca în figura 9. b. 9.2. Conexiunile sistemelor trifazate Un sistem trifazat de circuite se poate considera că provine din interconectarea a trei circuite

monofazate şi aceasta se poate face prin conexiuni: stea, triunghi sau zig-zag. Orice receptor se conectează la o priză trifazată unde există un sistem simetric trifazat al

tensiunilor de alimentare furnizat de sistemul naţional de distribuţie. 9.2.1. Conexiunea în stea (Y) Impedanţele 321 ,, ZZZ din figura 9. reprezintă fazele receptorului şi sunt parcurse de

curenţii de fază 321 ,, III , legătura 0-N prin NZ reprezentând impedanţa neutrului (nulului) de lucru.

Receptorul este alimentat cu un sistem trifazat de tensiuni, iar 321 ,, VVV , reprezintă cele trei

tensiuni pe fiecare dintre cele trei faze, numite tensiunile pe fază şi definite între fiecare fază şi neutrul reţelei de alimentare 0. Punctul 0 se consideră referinţa de potenţial într-un sistem trifazat.

Tensiunile definite între fazele sistemului, 312312 ,, UUU se numesc tensiuni între faze (sau

tensiuni de linie) Curenţii care vin prin liniile de alimentare către receptor se numesc curenţi de linie. Se poate cu uşurinţă observa de pe figură faptul că curenţii de linie sunt aceeaşi cu curenţii

prin fazele receptorului la conexiunea stea.

50

Curentul 0I prin conductorul neutru (de nul) se mai numeşte curent de întoarcere datorită orientării sale 0N .

Punctul N este neutrul (nulul) receptorului aşa cun 0 este neutrul reţelei (generatorului). Curentul prin firul de nul este 3210 IIII , iar dacă cei trei curenţi formează un sistem

simetric, atunci 00 I şi conductorul de nul poate lipsi deoarece căderea de tensiune pe NZ este zero.

Conexiunea stea este caracterizată de:

321 ,, VVV - tensiunile de fază la alimentare

312312 ,, UUU - tensiunile de linie (între faze)

321 ,, VVV - tensiunile de fază la receptor

,,, 321 III - curenţii de fază, identici cu curenţii de linie Dacă notăm mărimile de fază cu indicele f, iar cele de linie cu indicele l, avem:

VU 3 fl UU 3 ; fl II ;

Diagrama fazorială a tensiunilor în conexiunea stea este reprezentată în figura 9. 9.2.2. Conexiunea triunghi (Δ sau D) Impedanţele 312312 ,, ZZZ , reprezintă fazele receptorului şi sunt legate în triunghi ca în

figura 9. . Se observă că în acest caz, la receptor nu este accesibil nulul reţelei de alimentare, ceea ce

face ca în această situaţie să nu se poată defini decât tensiunile între faze, deci tensiunile de linie

312312 ,, UUU , între bornele reţelei 1-2-3.

,,, 321 III - curenţii de linie, care circulă prin liniile de alimentare

312312 ,, III - curenţii de fază Prin aplicarea T1K la bornele receptorului avem:

31121 III ; 12232 III ; 23313 III ;

Observăm că ,,, 321 III reprezintă mărimi diferenţă, deci au proprietăţile acestora, ceea ce este reliefat în diagrama fazorială din figura 9.

51

In consecinţă, pentru conexiunea triunghi:

fl UU , iar fl II 3

In practică un sistem trifazat de tensiuni se indică fie prin valoarea tensiunii de linie, fie prin raportul dintre tensiunea de linie şi cea de fază; în UE, reţeaua publică de joasă tensiune se indică

prin 0,4kV (400V), respectiv 400/230V ( 2303400 V). 9.2.3. Conexiunea zig-zag 9.3. Rezolvarea circuitelor electrice trifazate A rezolva un ciruit electric înseamnă a determina curenţii absorbiţi şi puterile totale

absorbite ( total având semnificaţia puterii pe cele trei faze), atunci când se cunoaşte sistemul tensiunilor de alimentare şi cele trei impedanţe ale receptorului şi modul lor de conexiune.

Sistemul tensiunilor de alimentare poate fi simetric (direct sau invers) sau nesimetric, iar receptorul poate fi echilibrat ZZZZ 321 , sau dezechilibrat 321 ZZZ . In funcţie de aceasta sistemul curenţilor absorbiţi poate fi şi el unul simetric (direct sau invers), respectiv un sistem nesimetric.

Astfel: - sistem de alimentare simetric + receptor echilibratsistem

de curenţi simetric - sistem de alimentare simetric + receptor dezechilibrat

sistem de curenţi nesimetric - sistem de alimentare nesimetric + receptor echilibrat

sistem de curenţi nesimetric - sistem de alimentare nesimetric + receptor dezechilibrat

sistem de curenţi nesimetric 9.3.1. Rezolvarea circuitelor trifazate echilibrate, alimentate cu tensiuni simetrice

A. Receptor în stea

Tensiunile de fază la alimentare 321 ,, VVV , adică acele tensiuni măsurate între fiecare fază

şi conductorul de nul, formează un sistem simetric de succesiune directă:

52

VV 1 ; VaV 22 ; VaV 3 ; (9.10)

receptorul este jeZZZZZ 321 , iar tensiunile

NUVV 11 ; NUVV 22 ; NUVV 33 ; reprezintă tensiunile pe fază la receptor.

Curenţii absorbiţi se pot scrie sub forma:

NN UVY

Z

UV

Z

VI

1

1

1

11

NN UVY

Z

UV

Z

VI

2

2

2

22 (9.11)

NN UVY

Z

UV

Z

VI

3

3

3

33

Curentul prin firul de nul este: NUVVVYIIII 33213210

Cum sistemul tensiunilor de alimentare este simetric cele trei tensiuni de alimentare formează o stea simetrică şi 032 VVV

Rezultă: NUYI 30

Pe de altă parte: NN UYI 0 03 NN YYU

0NU 00 I

Punctul de nul se găseşte la potenţial zero caşi punctul 0. tensiunea dintre cele două puncte fiind nulă, şi nu există nici curent prin conductorul de nul ( 00 I ), iar curenţii de pe cele trei faze formează un sistem simteric:

11 VYI ; 12

12

22 IaVaYVYI ; 1133 IaVaYVYI (9.12)

Atunci când sistemul de curenţi este simetric, ese suficient să-l cunoaştem pe unul dintre ei

(spre exemplu 1I ), ceilalaţi doi obţinându-se din rotirea lui 1I , înainte şi în urmă cu 3

2 (figura 9.

b) Spunem că astfel de sisteme se rezolvă pe o singură fază. B. Receptor în triunghi Se consideră cunoscute tensiunile de alimentare UU 12 ; UaU 2

23 ; UaU 31 , care

formează un sistem simetric de succesiune directă, figura 9. , iar receptorul jZeZZZZ 312312 este echilibrat.

Vom determina atât curenţii de fază 312312 ,, III , cât şi curenţii ,,, 321 III prin linia de alimentare (curenţii de linie). Neavând conductor de nul accesibil, nu se pot defini tensiunile pe fază la alimentare, adică 321 ,, VVV , cu toate că au fost şi ele reprezentate în diagrama fazorială din fiura

9. b. Curenţii de fază se pot scrie sub forma:

jeZ

U

Z

UI 1212

12

12212

223

23 IaZ

Ua

Z

UI (9.13)

53

121231

31 IaZ

Ua

Z

UI

iar curenţii de linie rezultă ca mărimi diferenţă sub forma:

66121231121 331

eZ

UeIaIIII

j

1263

2

6232312232 331 Iae

Z

UeIaIIII

j

1123112313 11 IaaaIaIIII (9.14)

Ambele sisteme de curenţi (9.13) şi (9.14) formează un sistem simetric aşa cum rezultă din diagrama fazorială din figura 9. b. Unghiul între 1212 , IU este acelaşi ca între 11 , IV şi egal cu faza iniţială a receptorului.

C. Puteri în circuite trifazate echilibrate, alimentate simetric Considerăm un receptor echilibrat, alimentat simetric: VVV 1 ; 1

22 VaV ; 13 VaV ;

şi care absoarbe curenţii simetrici: jeII 1 ; 1

22 IaI ; 13 IaI ;

Puterea complexă totală (pe toate cele trei faze ale sistemului) absorbită de un receptor trifazat se poate scrie sub forma:

332211 IVIVIVS (9.15)

(evident puterea corespunzătoare firului neutru, dacă acesta există este nulă, curentul prin acesta fiind nul)

Dacă ţinem seama de simetria lui a şi a2 în raport cu axa reală, figura 9. rezultă că 2aa , aa )( 2 şi a3=1.

Curenţii complex conjugaţi sunt:

jeII 11 ; 112

2 IaIaI ; 12

13 IaIaI ; Atunci puterea complexă absorbită se scrie:

1112

1112

11 3 IVIaVaIaVaIVS (9.16) Se poate observa că pentru circuite trifazate echilibrate alimentate simetric puterea nu

trebuie calculată decât pentru o singură fază şi rezultatul se înmulţeşte cu 3. Puterea complexă are componentele:

jQPVIjVIeIVIVS j sin3cos333 11 (9.17) Puterile activă şi reactivă totale absorbite de receptorul trifazat echilibrat sunt:

cos3cos3 lf UIVIP W

sin3sin3 lf UIVIQ VAR (9.18)

Formele 9.18 sunt valabile atât pentru conexiunea stea, fl UU 3 ; fl II , cât şi pentru

conexiunea triunghi fl UU , iar fl II 3 .

54

9.3.2. Rezolvarea circuitelor trifazate dezechilibrate, alimentate cu tensiuni simetrice Dacă neutrul reţelei de alimentare este accesibil, atunci se pot defini tensiunile de fază la

alimentare 321 ,, VVV , măsurate între fiecare fază şi conductorul de nul. Pentru sistemele la care

0321 VVV se spune că sistemul de tensiuni este nesimetric, nemaiformând o stea simetrică.

In cazul sistemului de tensiuni între faze, relaţia 0312312 UUU este întotdeauna îndeplinită,

acestea formând un triunghi închis în diagrama fazorială, aceste tensiuni de linie nefiind afectate de nici un fel de dezechilibru al receptorului.

A. Receptor în stea Considerăm un receptor trifazat dezechilibrat pentru care se cunosc 321 ZZZ cu

conexiune în stea, cu fir neutru (cu neutrul accesibil). Tensiunile pe fază la alimentare sunt:

321 ,, VVV , formând un sistem direct, iar tensiunile pe fază la bornele receptorului sunt:

321 ,, VVV , figura 9. .

Cum în circuite trifazate originea de potenţial se consideră punctul 0 (nulul reţelei de

alimentare), teorema lui Millman ne permite să calculăm potenţialul punctului (nodului) N în raport cu 0 şi cum tensiunea pe nul este: NNNN UVVVU 00 , putem scrie:

N

kkN

kkk

N YYYY

VYVYVY

YY

VYU

321

3322113

1

3

1 (9.19)

Curenţii absorbiţi pe cele trei faze sunt:

NUVYVYI 11111

NUVYVYI 22222

NUVYVYI 33333 (9.20)

55

In diagrama fazorială din figura 9. sunt reprezentate tensiunile de alimentare 321 ,, VVV ,

fefinite între fazele 1,2,şi 3, şi punctul de referinţă 0, precum şi tensiunile la receptor 321 ,, VVV

definite între bornele receptorului 1,2,3 şi nulul receptorului, punctul N. In cazul receptorului dezechilibrat 321 ZZZ , nulul receptorului (punctul N) nu se mai

găseşte la acelaşi potenţial cu punctul 0, între ele fiind tensiunea NU care face ca în diagrama din

figura 9. , punctul N să fie deplasat faţă de punctul 0 cu NU . Din acest motiv, tensiunea pe firul

de nul NU , (adică potenţialul punctului N în raport cu referinţa 0), se mai numeşte deplasarea

punctului neutru. Practic se întâlnesc mai multe situaţii:

- dacă tensiunile de alimentare fprmează un sistem simetric, relaţia 9.19. devine:

N

N YYYY

YaYaYVU

321

322

1 (9.21)

- dacă nu există fir neutru ( NZ , respectiv 0NY ), atunci:

321

332211

YYY

VYVYVYU N

(9.22)

şi deplasarea punctului neutru NU este mai mare. Punctul N se poate deplasa oriunde în interiorul

triungiului din figura 9. , în funcţie de dezechilibrul receptorului. Deplasarea maximă este din 0 până în unul din vârfurile triunghiului, spre exemplu până în vârful 1, ceea ce înseamnă scurtcircuit

pe faza 1 a receptorului, când: 1VU N , iar 122 UV , 313 UV , 01 V . Se observă pe

fazele sănătoase o creştere a tensiunii de 3 ori ceea ced poate cauza probleme pe aceste faze alături de faza 1.

- dacă firul de nul are impedanţă zero, respectiv admitanţă infinită (nul direct), atunci 0NU , deci punctul N nu se va deplasa indiferent cât este dezechilibrul

receptorului, tensiunile la receptor rămân un sistem simetric, dar curenţii nu mai formează un sistem simetric. Această situaţie se întâlneşte în cazurile în care un sistem de alimentare trifazat simetric alimentează consumatori monofazaţi (spre exemplu consumatori casnici grupaţi pe cele trei faze). In aceste situaţii se urmăreşte o cât mai bună echilibrare a celor trei faze şi trebuie menţinut obligatoriu nulul sistemului trifazat pentru a se menţine toate tensiunile la 220V.

- Dacă punctul neutru nu este accesibil, se poate admite referinţă oricare dintre faze (de exemplu faza 2):

56

23323

2

121

0

UUV

V

UV

321

233121

YYY

UYUYU N

(9.23)

B. Receptor în triunghi In această situaţie receptorul dezechilibrat 321 ZZZ este conectat în triunghi ca în

figura şi alimentat cu tensiunile simetrice pentru care se pot defini: UU 12 ; UaU 223 ;

UaU 31 .

Curenţii de fază sunt de forma:

12

1212 Z

UI ;

23

2323 Z

UI ;

31

3131 Z

UI (9.24)

şi nu mai formează între ei un sistem simetric. Curenţii de linie sunt:

23121 III ; 12232 III ; 23313 III ; (9.25) C. Puteri electrice în sisteme dezechilibrate alimentate simetric

Intr-un circuit trifazat dezechilibrat cu fir neutru (multipol cu patru poli), puterea complexă

totală absorbită pe la borne se scrie:

332211 IVIVIVS 330220110 IUIUIU (9.26)

Puterile activă Şi reactivă totale se ecriu prin separarea părţilor reale şi imaginare în expresia 9.26:

333022201110 coscoscos IUIUIUP

333022201110 sinsinsin IUIUIUQ (9.27)

De remarcat că fiecare termen din aceste sume nu are semnificaţie (nu este localizabil) doar suma are semnificaţia puterii totale absorbite prin toate cele trei faze.

Dacă lipseşte firul neutru, atunci 0321 III 322 III Puterea totală absorbită se exprimă astfel:

332211 IVIVIVS

223121 IVVIVV 232112 IUIU

(9.28) Separând partea reală şi partea imaginară obţinem puterile activă şi reactivă totale:

332332112112 ,cos,cos IUIUIUIUP

332332112112 ,sin,sin IUIUIUIUQ (9.29)

57

In acest caz puterea activă apare ca suma a doi temeni şi puterea P se va putea măsura cu metoda celor două wattmetre.

9.3.3. Rezolvarea circuitelor trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice Un sistem de tensiuni trifazate nesimetrice 321 ,, VVV se poate descompune după trei

coordonate (homopolară, directă şi inversă) în trei sisteme simetrice componente. Dacă hV este

componenta homopolară (componenta lui 1V după coordonata h), dV este componenta directă

(componenta lui 1V după coordonata d), iar iV este componenta inversă (componenta lui 1V după

coordonata i), atunci cele trei tensiuni vor avea componentele scrise astfel:

idh

idh

idh

VaVaVV

VaVaVV

VVVV

23

22

1

i

d

h

V

V

V

aa

aa

V

V

V

2

2

3

2

1

1

1

111

3

1 (9.30)

h d i T

Dacă se dă un sistem nesimetric 321 ,, VVV , componentele simetrice idh VVV ,, , sunt legate

de primele prin matricea de transformare T a sistemului de coordonate (1,2,3) în (h,d,i)şi pentru

care det T = 33j . Descompunerea 9.30 este cunoscută sub numele de teorema lui Fortesque. Exprimarea

inversă, adică deducerea componentelor simetrice ale unui sistem dat este:

322

1

32

21

321

3

13

13

1

VaVaVV

VaVaVV

VVVV

i

d

h

3

2

1

2

2

1

1

111

3

1

V

V

V

aa

aa

V

V

V

i

d

h

(9.31)

Grafic descompunerea arată ca în figura 9. : Algoritmul rezolvării circuitului trifazat pe baza metodei de descompunere a unui sistem

nesimetric în componente simetrice se poate rezuma astfel: - se descompune sistemul nesimetric de tensiuni 321 ,, VVV ,

în componentele sale simetrice idh VVV ,, , şi presupunem că acestea se aplică pe rând la bornele

receptorului - se calculează componentele simetrice ale curenţilor

absorbiţi idh III ,,

58

- se compun idh III ,, , sub forma 9.30. şi se obţin curenţii

321 ,, III Fiecare din circuitele „d”, „i” şi „h” în care am descompus circuitul iniţial (figura 9. ) reprezintă un receptor echilibrat alimentat cu tensiuni simetrice, dar de succesiuni diferite. Astfel de circuite se rezolvă pe o singură fază:

Z

VI d

d ; Z

VI i

i ; N

hh ZZ

VI

3 (9.32)

Curenţii reali pe cele trei faze se obţin pe baza relaţiilor 9.30:

idh

idh

idh

IaIaII

IaIaII

IIII

23

22

1

(9.33)

9.3.4. Rezolvarea circuitelor trifazate dezechilibrate, alimentate

nesimetric In această situaţie vom descompune atât sistemul nesimetric de tensiuni 321 ,, VVV , în

componentele sale simetrice idh VVV ,, , cât şi impedanţele dezechilibrate 321 ZZZ , în

impedanţe simetrice, nişte impedanţe fictive de calcul, care vor fi de forma:

idh

idh

idh

aaZ

aaZ

Z

23

22

1

(9.34)

respectiv

322

1

32

21

321

3

13

13

1

ZaZaZ

ZaZaZ

ZZZ

i

d

h

(9.35)

Receptorul dezechilibrat 321 ZZZ , s-a descompus în componentele sale simetrice

idh ,, , conform 9.34. iar relaţia

idhZ 1 este interpretată ca trei impedanţe în serie,

(figura 9. )

59

La trecerea unei componente a curentului printr-o componentă a lui Z se va produce o cădere de tensiune de o anumită secvenţă. Sistemul direct este de secvenţă (1), cel invers este de secvenţă (2), iar cel homopolar de secvenţă (0), sau (3). Regula de înmulţire a secvenţelor este de forma:

iih

ddh

hhh

220

110

000

;

idd

ddi

hid

211

110

321

(9.36)

In figura 9. , considerăm ochiul , format din faza (1) şi firul de nul. La bornele sale se aplică tensiunea 1V , dar noi vom considera că nu o aplicăm toată, ci că aplicăm pe rând componentele sale

idh VVV ,, şi calculăm efectul cu teorema superpoziţiei. Când aplicăm componenta hV , aceasta va

fi egală cu suma căderilor de tensiune homopolare de tensiune din ochiul , la fel pentru dV şi iV ,

sub forma:

ihlddhii

iidhlhdd

iddihNhlh

IZIIV

IIZIV

IIIZZV

3

(9.37)

Sistemul 9.37 se rezolvă şi se determină curenţii idh III ,, şi apoi curenţii absorbiţi:

idh

idh

idh

IaIaII

IaIaII

IIII

23

22

1

(9.38)

9.3.4.1. Puterile absorbite de un receptor dezechilibrat alimentat simetric Puterea complexă totală absorbită se scrie sub forma:

332211 IVIVIVS (9.39)

Dacă înlocuim mărimile reale prin componentele lor simetrice se obţine succesiv expresia puterii scrisă în funcţie de componentele simetrice:

3

22

21 IVaVaVIVaVaVIVVVS idhidhidh

322

132

21321 IaIaIVIaIaIVIIIV idh iiddhh IVIVIV 333 (9.40)

Fiecare termen din 9.40 reprezintă puterea absorbită pe una dintre reţelele „h”, „d” şi „i”, care fiind simetrice se evaluează pe o singură fază. Puterile activă şi reactivă totale absorbite sunt de forma:

iiidddhhh IVIVIVP cos3cos3cos3

iiidddhhh IVIVIVQ sin3sin3sin3 (9.38)

60

61

62

63