Electrotehnică, electronică și sisteme

A.Electrotehnică și electronică: 1. Teorie: a) Componentele circuitului electric:

R – rezistență (este și partea reală a impedanței)L – inductanța bobineiC – capacitatea condensatoruluiZ – impedanța (rezistența complexă pentru R, L și C)X – reactanța (partea imaginară a impedanței sau teoric existent în ciruit, dar care nu

se poate măsura direct în practică, a nu se confunda cu x din MP sau TS)G – conductanța (opusul rezistenței)B – susceptanța (opusul reactanței)Y – admitanța (opusul impedanței)U – tensiunea electricăE – tensiunea electromotoare (tensiunea electrică de la generator)I – curentul electricP – puterea electrică sau puterea activăQ – puterea reactivă sau puterea imaginarăS – puterea aparentă sau puterea totală

b) Unități de măsură:R,Z,X – Ω(ohm)=V/AL – H(Henrry)=Wb/AC – F(Farad)=C/VG,B,Y – S(Siemens)=Ω^-1U,E – V(Volt)I – A (Amper)P– W(Watt)=V*AQ – VAR(Volt amper reactiv)S – VA (Volt amper)

c) Semnale electrice:- continuu sau alternativ

Ex. U=10 V – tensiune continuă, iar u(t)=sin(3t) – tensiune alternativă - valoarea aparentă, instanee, complexă, efectivă, maximă:

U,I - valoarea aparentă(curent continuu) sau valoarea efectivă (curent alternativ, se scrie fie așa, fie Uef,Ief) – asta se măsoară cu Voltmetrul,etc

U,I – valoarea complexă – asta e valoarea reală, care nu se măsoară complet cu Voltmetrul,etc

u(t),i(t) – valoarea instantanee – asta mereu se schimbă după t, de ex. pentru u(t)=sin(t), sin(3) la momentul t=3 nu e același cu sin(4) la t=4

Umax,Imax – Valoarea maximă care poate avea semnalul, este Amplitudinea semnalului.

U ef √2=Umax

d) Componentele semnalului alternativ:

u (t )=A sin(ωt+φ)A = Amplitudinea = valoarea maximă a semnaluluit = timpul(ωt+φ) - faza semnaluluiφ – faza inițială = ne arată de la cât pornește semnalul, dacă e diferit de 0 atunci semnalul începe la t=0 din u(0)=Asin(φ)ω – viteza unghiulară, pulsația semnaluluiω= 2πf=2 π/Tf – frecvențaT=1/fT – perioada semnalului, ne arată după cât timp se repetă semnalul

2. Relații, formule, legi: a) Relații:

Impedanța:

ZR=R ZL= jωLZC= 1jωC

Conductanța:

R= 1G

X= 1G

Z= 1Y

Puterea:P=UI P=u ( t ) i ( t )=ui P=UI P=U ef I ef

S=P+ jQ S=√P2+Q2

Legea lui Ohm:

R=UI

R=ui

R=U max

I max

R=U ef

I ef

R=UI

Z=UI

Z=ui

*proprietățile lui R le moștenește și Z, adică dacă avem legi și formule pentru rezistență, atunci putem folosi și Z în loc de R

b) Legile lui Kirchhoff:Legea 1:

- Denumiri: legea curenților, conservării sarcinii, a nodului sau Kirchhoff I- Toți curenții care intră într-un nod trebuie să iasă pe undeva- Definiția: Suma intensităților curenților care intră într-un nod de rețea este egală cu

suma intensităților curenților care ies din același nod.- Regulă:

Dacă curentul intră în nod, scriem în partea stângă a ecuației (înainte de egal)Dacă curentul iese din nod, scriem în partea dreaptă a ecuației (după egal)

- Exemplu Fig.1: I 1+ I 2+ I 3+ I 4=I 5+ I 6

Fig. 1. Exemplificarea legii întâi al lui Kirchhoff

Legea a 2-a: - Denumiri: legea tensiunii, diferenței de potențial, conservării potențialului, al

ochiului de rețea sau Kirchhoff II- Dacă mă duc în cerc (în circuit), e ca și cum aș zice că tot acolo ajungeam dacă

consumam energie (tensiunea electrică) sau rămâneam pe loc, doar timp pierdut degeaba

- Definiția: Suma algebrică a tuturor căderilor de tensiune dintr-un ochi de rețea este egală cu zero.

- Formula generală:Dacă tensiunea are același sens cu curentul, atunci adunăm tensiuneaDacă tensiunea nu are același sens cu curentul, atunci scădem tensiunea

- Exemplu Fig.2:U1 are același sens cu I1 => adunămU2 nu are același sens cu I2 => scădemU3 nu are același sens cu I3 => scădemU4 are același sens cu I4 => adunămU 1−U 2−U 3+U 4=0

Fig. 2 Exemplificarea legii a doua al lui Kirchhoff

c) Legarea în serie și paralel:Rezistența:

- Legarea în serie: i1=i2=i3=…=in=i (t ) u1+u2+u3+…+un=u (t )

R=R1+R2+R3+…+Rn

- Legarea în paralel:i1+ i2+i3+…+in=i (t )u1=u2=u3=…=un=u (t )

1R

= 1R1

+ 1R2

+ 1R3

+…+ 1Rn

Condensator:- Legarea în paralel:

q1=q2=q3=…=qn=q u1+u2+u3+…+un=u ( t )1C

= 1C1

+ 1C2

+ 1C3

+…+ 1Cn

- Legarea în serie:q1+q2+q3+…+qn=qu1=u2=u3=…=un=u ( t )

C=C1+C2+C3+…+Cn

R L C: (aceste relații rezultă din aplicarea Teoremelor lui Kirchhoff)- Legarea în serie:

i1=i2=i3=…=in=i(t)u1+u2+u3+…+un=u ( t )Z=Z1+Z2+Z3+…+Zn

- Legarea în paralel:i1+ i2+i3+…+in=i (t )u1=u2=u3=…=un=u (t )

1Z

= 1Z1

+ 1Z2

+ 1Z3

+…+ 1Zn

d) Relații între tensiune și curent:Curentul (i) Tensiunea (u) Energia înmagazinată (x)

Rezistență RiR=

uR

R= 1

RuR

uR=R ∙ iR

Nimic

Bobină LiL=

1L∫

0

t

uL dt uL=Ld iL

dt

Curentul: x=i

Condensator CiC=C

d uC

dtuC=

1C∫0

t

iC dtTensiunea: x=u

Tabel 1. Relații între curent și tensiuneRezultă următoarele înlocuiri care le folosim:Notații: x1=iL și x2=uC

Acest tabel trebuie învățat !R iR=

1R

uR uR=R ∙ iR

LiL=x1 uL=L

d x1

dtC

iC=Cd x2

dtuC= x2

Tabel 2. Înlocuirile de la MP și TSImpedanța Z, j=√−1

R ZR=R sau ZR=RL ZL=ωLsau Z L= jωLC ZC= 1

ωCsau ZC=

1jωC

Tabel 3. Impedanțele

B.Modelul matriceal: a) Pași:

- Notăm cu x1,x2,x3,...,xn – curentul din bobină sau tensiunea din condensator (atenție! x de la bobină nu e același lucru cu x de la condensator !)

- Aplicăm Kirchhoff - Scriem ecuațiile lui dx1/dt, dx2/dt, ..., dxn/dt și y- Scriem ecuația aia cu ẋ=... și y=...

b) Exemplu:

1.Aplicăm Kirchhoff:i=iR=iL=iC uR+uL+uC−u=0y−uC=0

2. Înlocuim cu x:x1=iL=¿ x1=iC=iR

iC=Cd x2

dt

uC= x2 uR=R iR=R x1

uL=Ld iL

dt=L

d x1

dt

u=R x1+Ld x1

dt+x2=¿ L

d x1

dt=u−R x1−x2=¿

d x1

dt=1

Lu−R

Lx1−

1L

x2=¿d x1

dt=−R

Lx1−

1L

x2+1L

u

i=iR=x1=Cd x2

dt=¿ x1=C

d x2

dt=¿

d x2

dt= 1

Cx1

y=x2 3. Modelul matematic (ecuațiile lui dx1/dt,dx2/dt,...,dn/dt și y):

Trebuie să avem ecuații doar cu x1..,xn,u,R,L,C

{d x1

dt=−R

Lx1−

1L

x2+1L

u

d x2

dt=

1C

x1

y=x2

4. Modelul matriceal:x=[x1; x2];

{ x=Ax+Bu(t)y=C x+D u(t ) - scrierea în forma matriceală

Generalizat, ecuația lui x: x=[x1; x2; ... ; xn];

{d x1

dt=a x1+bx2+cu

d x2

dt=d x1+e x2+ fu

y=gx1+hx2+iu ,a , b , c ,d , e , f , g , h șii sunt cunoscute

x1 x2 - căutăm în ecuație, dacă nu este, scriem 0 în matrice, altfel scriem cu cât e înmulțit x

A=(a bd e) pe linia

1 neuitămla ecuația lui d x1/dt2 neuităml a ecuația lui d x2/dt

u – căutăm în ecuație, dacă nu este, scriem 0 în matrice, altfel scriem cu cât e înmulțit

B=(cf ) pe linia1 neuitămla ecuația lui d x1/dt2 neuitămla ecuația lui d x2/dt

x1 x2

yu

C=( g h )−neuităm peste ecuația lui y D = i = u din ecuația lui y

{x=(−R / L −1/ L1 /C 0 )x+(1/ L

0 )u(t)

y= (0 1 ) x+0u(t)A,B,C,D – Reprezentarea în spațiul stărilorA – matricea coeficienților, B – matricea de intrare, C – matricea de ieșire și D – matricea de transfer

C.Funcția de transfer: a) Pași:

- Facem modelul matriceal- H(s)=C * (s*I-A)^-1 * B + D

b) Componente: H(s) – funcția de transfer

c) Exemplu: pt. FTJ de la B.b)

H (s )=C ( s I 2−A )−1B+D=(0 1 )(( s 0

0 s )−(−RL

−1L

1C

0 ))−1

( 1L0 )+0=¿

¿ (0 1 )(s+ RL

1L

−1C

s )−1

( 1L0 )=(0 1 ) 1

(s+ RL )s− 1

L−1C

( s−1L

1C

s+RL

)( 1L0 )=¿

¿ 1

s2+RL

s+1

LC

¿

¿1

s2+RL

s+1

LC( 1C

1L+(s+

RL ) ∙0)= 1

s2+RL

s+1

LC

( 1LC )=

1LC

s2+RL

s+1

LC

Teorie inversa matricilor:http://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix#Analytic_solution