ELECTROMAGNETISM

1. Cmp magnetic

Pe baza a numeroase experiene s-a constatat c: - ntre doua circuite strbtute de cureni staionari se exercit fore de atracie sau de respingere, dup cum cei doi cureni au acelai sens, sau sens contrar; - dac n apropierea unui circuit strbtut de un curent staionar este adus o spira, de asemenea parcurs de un curent staionar, sau un ac magnetic, acestea tind sa se orienteze sub aciunea unui cuplu de fore; - dac un circuit strbtut de un curent staionar strbate un carton pe a crui suprafa se afl pilitura de fier, aceasta se orienteaz; - dac n apropierea unui magnet permanent este adus pilitur de fier, cobalt, nichel, aceasta este atras. Toate aceste manifestari aparin unui cmp magnetic. Cmpul magnetic este localizat n jurul circuitelor parcurse de curent i a magneilor permaneni i exercit fore sau cupluri de fore asupra altor circuite parcurse de curent sau corpuri magnetizate.

Forele magnetice care apar n aceste situaii au fost mparite in 3 categorii: - fore electodinamice ce se exercit ntre circuitele strbtute de cureni staionari; - fore electromagnetice ce se exercit ntre circute parcurse de curent i corpuri magnetizate; - fore magnetostatice, ce se exercit ntre magneii permaneni.

Cmpul magnetic este caracterizat n fiecare punct de o mrime vectorial,

care se numete inducie magnetic si se noteaz cu B

. Unitatea de msura

pentru B

este tesla n S.I. .

2. Linii de inducie magnetic.Flux magnetic

Cmpul magnetic se caracterizeaz prin linii de cmp. Acestea sunt

curbe tangente n orice punct la vectorul B

. Spre deosebire de liniile

cmpului electrostatic, acestea sunt curbe nchise.

Totalitatea liniilor de cmp magnetic care strabat o suprafa reprezint fluxul magnetic:

(1) cosBdSSdBd

(2) S

SdB

Dac integrala este extins la o suprafa nchis, deoarece numarul de linii de cmp care intr n suprafa este acelai cu cel care iese din suprafa, rezult:

(3) S

SdB 0

i

(4) S V

BdivdVBdivSdB 00

(5)

Relaiile (3) i (5) reprezint teorema lui Gauss pentru magnetism scris sub form integral, respectiv diferenial.

3. Legea lui Laplace

La baza determinrii inductiei B

a unui cmp magnetic st relatia Laplace, stabilit pentru elemente de curent de lungime infinitezimala dl. n acest scop Laplace, considernd un conductor traversat de curentul I, din care

limiteaz poriunea de lungime elementar dl, creia i asociaz vectorul

ld

orientat n sensul curentului I i facnd o analogie cu relaia de definiie a cmpului electric care era de forma:

Edqfd

stabilete pentru fora cmpului magnetic, n cmpul de inducie

ld

)(rB

B

relaia:

BlIdfd

(6)

I

4. Fora Lorentz

S considerm un element de circuit de lungime dl i seciune S, strbtut de

un curent staionar + B

. Deoarece curentul electric reprezint deplasarea unor purttori de sarcin electric, fora Lorentz care se exercit asupra porunilor de conductor reprezint rezultanta forelor care se exercit asupra tuturor purttorilor de sarcin n micare prin conductor. Intensitatea curentului ce strbate elementul de conductor se poate scrie:

S

SjSdjI

j

este vectorul densitate de curent electric. Pentru un singur tip de purttori

de sarcin aflai n micare , j

se definete ca: vj

v viteza purttorilor.

Dac n unitatea de volum avem 0n purttori, fiecare cu sarcina q, atunci

expresia densitatii de curent se poate scrie :

vqnj

0

ntr-un conductor filiform j

, ld

, S

i v

sunt vectori coliniari, deci

putem exprima elementul de curent sub forma:

ndVqnldSjldI 0

unde dV am notat elementul de volum Sld

ocupat de elemntul de conductor filiform. Fora Laplace va fi deci:

BvdNqBvqdVnBlIdFd

0

unde dN reprezint numrul de purtatori din volumul dV . Pentru un singur purttor de sarcin, care se mic cu viteza v

obinem:

(7) BvqF

F

fiind orientat perpendicular pe direcia vitezei v

a particulei

ncarcate, nu poate efectua lucru mecanic, deci nu poate influena valoarea vitezei, ci i poate schimba numai directia.

5. Efectul Hall

S considerm o plac metalic de laime l i grosime d strbtut de un curent continuu I. Vectorul densitate de curent este constant i paralel cu laturile lungi ale plcuei. S presupunem c introducem plcua ntr-un

cmp de inducie B

uniform, perpendicular pe feele mari ale plcuei.

B

P P

+ + + + + EFd

+ + + + + +

I

d - - - - - - - MFd

- - - - - - - -

Q Q

Sarcinile electrice mobile de cmp coninute ntr-un element de

volum dV , sunt supuse unei fore magnetice:

dVBjBvdVFd m

aceast forta este paralel cu muchia l, ea modific traiectoria electronilor mobili, determinnd acumularea lor pe o margine a placuei(Q,Q) n timp ce cealalt margine rmne ncrcat pozitiv (P,P). Acest fenomen produce

un cmp electric HE

| | PQ i orientat de la + catre - . El exercit asupra

sarcinilor din volumul dV o for electric:

dVEFd HH

fiind vorba de electroni, aceasta este orientat n sens opus lui HE

. Ea tinde

s readuc traiectoriile electronilor la forma lor iniial.

Cnd se stabilete regimul permanent j

este din nou | | PP(QQ) i

cele doua fore sunt egal opuse.

dVBjdVEH

(8) )(

1BjEH

sau

(9) )()(1

0

BjRBjen

E HH

Expresia (9) exprim efectul Hall, care const n apariia unui cmp

electric E

perpendicular pe j

, B

. Efectul Hall se mai poate exprima n

funcie de diferena de potenial HV care corespunde cmpului HE

. Cum

lrgimea plcuei este l:

lEV HH Grosimea plcuei fiind d, curentul o strabate:

I = j s = j l d

Bdl

IR

l

VH

H

(10) d

BIRV HH

n aceast relaie toate mrimile introduse sunt usor de msurat. Se poate

determina experimental constanta HR , numit i constanta Hall, cu ajutorul creia se poate deduce densitatea volumic de sarcin, .

4. Efecte magnetice produse de cureni continui

a)Legea lui Biot Savart Laplace

Biot i Savart au stabilit c intr-un punct M, la o distan r

de un

element de conductor de lungime dl strbtut de un curent de intensitate I apare un cmp de inducie magnetic:

Bd

M

r

ld

P

I

34 r

rlIdBd

(11)

unde elementului delungime dl i s-a asociat sensul curentului. Relaia (11) reprezint legea lui Biot Savart. Ea demonstreaz c se poate atribui oricrui curent continu I , aezat n vecintatea unui punct P, un cmp de

inducie magnetic Bd

, care n punctul M este definit dup cum urmeaz:

- Bd

este perpendicular pe planul definit de dl n M;

- este orientat n sensul dat produsului vectorial rld

, unde MPr

- are mrimea (12) 24

sin

r

IdldB

; ),( MPldunghiul

Laplace a generalizat relaia (11) i a artat c un cmp de inducie magnetic creat de un curent ce strabate un conductor de form oarecare poate fi exprimat ca suma vectorial a cmpurilor create de poriuni elementare de conductor, deci:

(13)

c

r

rldIB

34

a) Cmpul magnetic creat de un curent rectiliniu

S considerm un conductor filiform, rectiliniu i foarte lung, parcurs de un curent electric I . Fie punctul M n care vrem s calculam cmpul de

inducie magnetic B

produs de o poriune AB din conductor, de lungime finit.

B

P dl Q

d P r

1

0 M R 2

I

A

Inducia magnetic se va calcula cu ajutorul relaiei:

AB

r

rldIB

34

B

este perpendicular pe planul care trece prin conductor i punctul M i are

sensul dat de produsul vectorial rld

. Rmane s calculam mrimea sa. S delimitm un element de conducie dl delimitat intre punctele infinit apropiate P i P. Dac notez cu R perpendiculara din M pe conductor, atunci distana PM = r, formeaz cu R un unghi , pe care il vom lua drept parametru.

Deci: cos

Rr

Elementului PP de conductor i corespunde unghiul d . S proiectm punctul P pe directia eMP, n punctul Q. Atunci:

2coscos

cos

Rdrddl

rddlPQ

(14)

Deci inducia magnetic Bd

n punctul M va fi:

24

cos

r

IdldB

sau folosindu-ne de relaia (14):

(15) R

dIdB

4

cos

Prin integrarea relaiei (15) obinem:

(16) )sin(sin4

cos4

22

2

1

R

Id

R

IB

Din aceast relaie rezult c dac un conductor filiform de form oarecare, se ndeprteaz de punctul M, cmpul magnetic care i corespunde n M, tinde ctre 0, deoarece R crete foarte mult. n plus, dac distana Reste

neglijabil n comparaie cu OA i OB 2

;2

21

, iar cmpul

produs este acela a unui conductor rectiliniu i infinit:

(17) R

IB

2

c) Cmpul de inducie magnetic produs de o spir circular ntr-un punct pe axul su

S considerm o spir circular cu centrul n O strbtut de un curent constant I.

zBd

Bd

M RBd

Z

r

O R

dl

I

Cmpul de inducie magnetic Bd

, asociat elementului ld

, este

perpendicular pe MP i are expresia:

34 r

rldIBd

S exprimm pe r

in funcie de raza R a spirei i de cota Z a punctului M:

RZr

)(4 33 r

Rld

r

ZldIBd

(18)

Relaia (18) pune n eviden cele 2 componente ale lui Bd

: una dup

direcia Rld

, adic dup Z

, iar cealalt dup Zld

, adic dup R

.

Integrnd expresia (18) obinem inducia n punctul M. Componenta dup

OZ, zBd

are acelai sens independent de poziia lui ld

pe arc, componenta

dup R

n punctul M este anulat de o component egal i de sens contrar, dat de elementul de curent dintr-un punct diametral opus de pe

spir. Deoarece ld

perpendicular R

:

Z

ZdlRldRRld

i prin urmare:

(19) Z

Z

r

IR

Z

Z

r

IRdl

Z

Z

r

IRB

e

32

3

2

3 24

2

4

n particular, n centrul spirei , B

are expresia:

(20) Z

Z

R

IB

2

0

a) Fora electrodinamic

ntre 2 conductori strbtui de cureni electrici apar fore de interaciune numite fore electrodinamice. Pentru a putea stabili expresia acestei fore, considerm 2 conductori, filiformi, rectilinii, paraleli, de lungime foarte mare,situai la distana R unul de altul, i care sunt strbatui

de curenii staionari 21iII . Fiecare curent se afl n cmpul magnetic al

celuilalt, deci este solicitat de o for Laplace. Coductorul 2I se afl n

cmpul magnetic creat de 1I , care creaz n aceast regiune o inducie

magnetic 1B .

1I 2I l

0n

1B

n

2,1F

R

Fora Laplace , cu care 1B

acioneaz asupra poriunii de conductor 2ld

strbatut de curentul 2I este:

(21) 1222,1 BldIFd

Cmpul de inducie 1B

, produs de 1I n regiunea curentului 2I este:

(22) 010

2,12

nR

IB

nlocuind (22) n (21) obinem:

ndlR

IInld

R

IIFd

2

210

02

210

122

Fora raportat la unitatea de lungime va fi:

(23) nR

IIf

2

2102,1

Dac curenii 21iII sunt de sensuri contrare 21iII < 0, rezult c 2,1f

are

acelai sens cu n

, este repulsiv. Dac 21iII > 0 rezult c fora este de atracie. Pe baza expresiei (23) se poate defini unitatea de msur pentru intensitatea curentului electric n S.I. Se numete amper. Dac se adopt pentru vid i aer ca:

atunci amperul este definit ca intensitatea unui curent electric constant, care

meninut n 2 conductori paraleli, rectilinii, de lungime infinit, situai in vid la distana de 1 m unul de altul, determin o for de interaciune ntre

acetia de mN7102 .

7.Legea circuitului magnetic. Legea lui Ampere

S considerm un conductor rectiliniu traversat de curentul I , ce produce la distana a de el un cmp de inducie magnetic:

I

B

a

IB

2

a

C

mN70 104

i s calculm circulaia vectorului B

, de-a lungul conturului nchis C, care

nlanuie conductorul strbtut de curent. Vom avea:

(24) C IaBldB 2

Relaia (24) poate fi generalizat, n sensul extinderii ei la totalitatea curenilor ce sunt nlanuii n conturul circuitului C, adic:

(25) ii

IldB

Relaiile (24) i (25) se mai pot simplifica dac introducem vectorul H

,

definit n orice punct al spaiului astfel: HB

0 , unde H

se numete

intensitatea cmpului magnetic sau cmp magnetic.

(26) IldH

ldH

tensiune magnetomotoare

Dar conform teoremei lui Stokes:

S S

S

CS

jHrotSdjSdHtro

SdjI

iar

SdHtroldH

(27)

ce reprezint legea lui Ampere scris sub form diferenial.

8. Substane n cmp magnetic

S-a constatat experimental c inducia magnetic creat de un curent care se afl n vid se deosebete de cea creat ntr-un mediu oarecare. Aceasta se explic prin faptul c orice substan se magnetizeaz n prezena unui cmp magnetic exterior, adic prezint proprieti magnetice. Se tie c un dielectric introdus ntr-un cmp electrostatic se polarizeaz; apare un cmp electric propriu, care se suprapune peste cmpul exterior. n

mod asemntor, orice mediu magnetic situat n cmp magnetic exterior capt o stare de magnetizare. Datorit absenei sarcinilor magnetice libere, aciunea magnetic a unui corp magnetizat se exprim cu ajutorul reprezentrii date de Ampere, care echivaleaz curenii elementari cu dipoli magnetici. Astfel magnetismul apare ca un fenomen produs de sarcini electrice n micare. Pentru a explica magnetizarea corpurilor se consider c n atomii i moleculele substanelor exist cureni circulari elementari numii amperieni Aceti cureni sunt caracterizai printr-un moment magnetic:

SIm

n absena unui cmp magnetic exterior, momentele magnetice sunt orientate la ntmplare i ca urmare momentul magnetic rezultant este nul. Substana nu creeaz cmp magnetic n jurul su.

ntr-un cmp de inducie 0B

exterior, momentele magnetice se

orienteaz, substana capat un moment magnetic rezultant i creeaz un

cmp magnetic propriu mB

care se suprapune peste cmpul 0B

.

Cmpul total va fi deci:

mBBB

0

Magnetizarea substanelor se caracterizeaz prin vectorul magnetizaie

M

, care reprezint momentul magnetic al unitii de volum.

dV

mdM

Se mai folosete deasemenea vectorul intensitate de polarizare sau

polarizaie magnetic j

, care se definete ca:

Mj

0

Asimilnd curenii amperieni cu nite dipoli magnetici i folosind teorema lui Ampere se poate stabili uor o relaie ntre cele 3 marimi fundamentale

n magnetism i anume B

, H

, M

:

)(0 MHB

ELECTRODINAMICA

(Teoria cmpurilor electrice i magnetice variabile n timp)

1. Inducia electromagnetic

A fost descoperit de Faraday n 1831. putem rezuma condiiile n care se produce n felul urmator.

Cnd facem s varieze, printr-un procedeu oarecare, fluxul induciei electromagnetice, care traverseaz un circuit conductor nchis, acest circuit este sediul unui curent numit curent indus.

Sensul acestui curent este dat de legea lui Lenz.

Sensul curentului indus este astfel nct fluxul pe care-l produce prin

circuitul pe care-l strabate tinde s se opuna variaiei de flux care i-a dat natere. Fenomenul de inducie electromagnetic poate fi pus n eviden printr-o serie de experiene.

1L N S

G

1L 2L

G

Apropiind un magnet de bobina 1L , acul galvanometrului G deviaz indicnd un curent electric. Cnd magnetul se oprete curentul dispare. La ndeprtarea magnetului curentul reapare, dar de sensul opus celui iniial. Analog dac n locul magnetului permanent se folosete o bobin alimentat la o tensiune electric.

Din expresia fluxului magnetic care strbate o suprafata S, a carei normal formeaza unghiul cu directia cmpului de inducie magnetic,

(1) coscos HSBS

rezult c fluxul magnetic depinde de patru marimi: SH ,, . Variaia orcrei dintre ele produce variaia fluxului , i ca urmare apare un curent de inducie intr-un circuit aezat n cmpul respectiv. Pentru creerea unui curent este necesar existena unei tensiuni electromotoare. Pentru a deduce expresia t.e.m induse vom folosi legea conservrii energiei. S considerm un circuit sub form de U i o bar transversala (ab) de lungime l, mobil, care poate aluneca de-a lungul celor 2 brae ale lui U.

v

a

B

F

B

b

Acest circuit este aezat ntr-un cmp magnetic de inducie B

, orientat

normal la planul cadrului. Sub aciunea forei F

, latura mobil se va deplasa cu viteza v const..

O sarcin de valoare q, care se va mica i ea n raport cu bara cu viteza 0v

va fi supus atunci unei fore magnetice :

(2) BvvqF

)( 0 ceea ce este echivalent cu a spune c n conductor exist un cmp indus de valoarea:

(3) EqFdeoareceBvvEi

,)( 0

Dac separm din conductorul ab, poriunea dl , atunci ea este sediul unei t.e.m :

0 0 ( )id E dl v v B dl v B dl v B dl

Dar 0v

paralel cu ld

rezult 00 ldBv

, deoarece

0 perpendicularv B pe dl

(4) d v B dl

Fie xd

, deplasarea elementului ld

ntr-un timp dt . Atunci formula (4) se mai poate scrie:

(5)

( ) ( ) ( )dx d d

d B dl x dl B dS Bdt dt dt

T.e.m indus ce apare la capetele conductorului:

( )

SS

d B dS d d dB dS

dt dt dt dt

(6)

Rezult c t.e.m indus este dat de viteza de variaie a fluxului de inducie magnetic ce traverseaz suprafaa maturat de conductor. Semnul (-) indic sensul t.e.m induse n funcie de sensul de variaie a fluxului conform legiilui Lenz. Pe baza legii induciei electromagnetice se poate defini unitatea de msur a fluxului de inducie magnetic:

)(111 WbwebersVSI

adic 1 weber este fluxul magnetic ce strbate suprafaa unui circuit in care induce o t.e.m de 1 volt, cnd scade uniform la 0 n timp de 1 secund. Cu ajutorul unitaii de flux magnetic se poate defini unitatea pentru inducia magnetic:

Tm

WbSI 1

1

12

1T este inducia unui camp magnetic uniform care produce un flux de 1Wb

printr-o suprafa de 21m asezat perpendicular pe liniile de cmp.

2. Relaia Maxwell-Faraday

T.e.m am definit-o la capitolul Electrocinetic, ca fiind circulaia cmpului electric pe conturul inchis considerat, adica:

C

E dl

S

d dB dS

dt dt

Utiliznd i de aceast dat teorema lui Stokes, adica:

S SdEtroldE

deoarece conturul C pe care se sprijin suprafaa S, este considerat fix:

S S

B B HdS rotE dS rotE

t t t

(7)

Aceast relaie este numit relaia lui Maxwell-Faraday i nlocuiete

expresia 0Etro

din electrostatic. Ea arat ca n general Etro

nu este

nul. Deci E

nu deriv dintr-un potenial, condiie indispensabil pentru explicarea curenilor indui. Cmpul vectorial al crui rotor este diferit de zero, are o circulaie sau

un vrtej. Dac presupunem ca avem un cmp vectorial de vitez v

i rot acestui cmp diferit de zero, atunci viteza n acest cmp arat cam aa:

De exemplu cmpul de viteze al apei care se scurge ntr-o cad are aspectul circulaiei. Dac un obiect plutete pe suprafaa apei, el se rotete.

n cazul apei observm: 0Etro

n cazul cmpului electromagnetic: t

BErot

3. Transformarea energiei electrice n energie mecanic i invers

Fie d fluxul care strbate un circuit in intervalul de timp dt, n timpul deplasrii circuitului. Dac curentul prin circuit este I, atunci lucrul mecanic efectuat de forele electromagnetice va fi:

IdIbdSIdlBdxdxFdL

Dac cmpul magnetic este independent de timp, n decursul acestei

deplasrii t.e.m indus: d

dt

Ea determin n circuit o disipare de energie:

dW idt Id dL dW (8)

Energia electric produs prin fenomenul de inducie este egal cu lucrul mecanic pe care forele exterioare circuitului au trebuit s-l efectueze, pentru a echilibra forele electromagnetice i s permit deplasarea. Dac energia electric este pozitiv, sistemul se comport ca un generator. Din contr, dac energia electric este negativ, nseamn c circuitul a absorbit energie electric, ns a produs lucru mecanic. El se comport deci ca un motor.

4. Autoinductia

Fenomenul de autoinducie const n apariia unei t.e.m induse n propriul circuit n care are loc o variaie a fluxului magnetic. Dac intensitatea curentului variaz se modific i cmpul magnetic din circuit, deci variaz n mod corespunztor i fluxul magnetic, care strbate suprafaa marginit de circuit. Datorit variaiei fluxului n propriu circuit, ia natere un curent indus, care se suparapune peste curentul iniial.

L

I

A P

La nchiderea circuitului curentul crete de la 0 la I , apare o t.e.m indus

i , care d natere , conform legii lui Lenz, n bobin la un curent indus de sens contrar lui I (extracurent de nchidere).

Ca urmare creterea curentului la stabilirea contactului electric se face mai ncet decat n lipsa extracurentului de nchidere.

n mod analog la deschiderea ntreruptorului, intensitatea variind de la I 0, apare un curent indus de acelai sens cu I. Dac intreruperea circuitului se face ntr-un timp foarte scurt, t.e.m indus este foarte mare i se stabilete ntre cele 2 capete ale ntreruptorului electric o diferen de potenial suficient pentru a face s apar o scnteie electric prin aerul care le separ. Un circuit parcurs de curentul I este traversat de un flux produs de propriul curent. Cum cmpul magnetic n fiecare punctul depinde I i fluxul va fi proporional cu I. Deci putem scrie:

I L (9)

coeficientul L fiind coeficientul de autoinducie sau inductana circuitului.

Dac fluxul variaz n timp, apare n circuit o t.e.m de autoinducie:

( )

d d L I

dt dt

Cazul cel mai important este cel a unui circuit nedeformabil parcurs de un

curent variabil,inductana este atunci constant i putem scrie:

dI

Ldt

T.e.m autoindus este proporional cu derivata curentului n raport cu timpul i tinde conform legii lui Lenz, s produc un curent care se opune variaiei curentului din circuit.

5. Energia cmpului magnetic

S considerm o bobin de form toroidal, format din N spire i alimentat la o t.e.m . Energia electric debitat de surs n intervalul de timp dt este :

dW idt

Pe seama acestei energii n bobin ia natere un cmp dH. Cnd curentul prin bobin variaz de la 0 I cmpul magnetic crete de la 0 H i corespunztor variaz i fluxul magnetic. Apare o t.e.m de autoinducie care tinde s echilibreze n fiecare moment t.e.m a sursei. T.e.m de autoinducie se poate scrie:

idi

Ldt

Energia electric debitat de surs i nmagazinat n bobin sub form de energie magnetic va fi:

(11) 2

0 2

1LILidiW

I

innd cont c I L i c fluxul care strbate cele N spire ale bobinei, se poate scrie i sub forma SBN (S - seciunea transversal a bobinei)

ISBNIW 2

1

2

1

Pe de alt parte intensitatea curentului se poate exprima cu ajutorul teoremei lui Ampere.

N

lHIINLHNIldH

C

;

Ca urmare expresia energiei magnetice devine:

VHBN

lHSBNW

2

1

2

1(12)

Densitatea de energie magnetic n volumul in care este concentrat cmpul magnetic se va exprima deci ca:

2

02

1

2

1

2

1HHBHBw

(13)

expresie similar cu cea a densitii de energie a cmpului electric.

6. Curentul de deplasare

n capitolul anterior am stabilit ecuaia de continuitate care exprim legea conservrii sarcinilor electrice sub form:

0

tjdiv

n regim staionar, cnd mrimile electrice nu variaz n timp =constant, ecuaia de continuitate a liniilor de curent staionar se exprim ca:

0jdiv

ceea ce arat c liniile curentului staionar sunt nchise.

Dac regimul este variabil adic 0

t

, atunci ecuaia de continuitate

trebuie considerat sub forma ei general, adic:

0

tjdiv

, dar Ddiv

, legea lui Gauss generalizat.

n acest caz datorit termenului t

, liniile curentului de conducie nu mai

sunt curbe nchise.

Dar dup cum am artat:

0)(0)(10

BsauBtrodivjdiv

jBtro

Bdiv

deci liniile de curent trebuie s fie nchise, condiie care nu poate fi respectat datorit ecuaiei:

0)(

Ddiv

tjdiv

Rezolvarea acestei probleme a fost realizat de Maxwell prin introducerea noiunii de curent de deplasare. ntr-adevr dac relum ecuaia de continuitate n regim variabil, putem scrie:

0)(

t

DdivjdivDdiv

tjdiv

0

t

Djdiv

Putem defini astfel un curent total a crui densitate t

Djjj TT

,, (14)

este alctuit din 2 termeni j

- densitatea curentului de conducie i t

D

care a fost denumit densitatea curentului de deplasare. Deoarece curentul de conducie este diferit de zero numai n conductori, rezult c, curentul de deplasare va prelungi liniile de curent electric prin dielectrici i n vid. Deci i n regim variabil, liniile curentului total sunt linii nchise:

0

t

Djdiv

(15)

t

DjHtro

7. Sensul fizic al curentului de deplasare

Se consider un condensator introdus n circuitul unui curent

alternativ. Evident ntr-un astfel de circuit 0

t

. Relaia de definiie a

vectorului de inducie electric este:

PED

0

sau innd cont c:

PEEE

0

rezult:

PEED P

)( 00

Dac considerm valorile absolute ale mrimilor fizice:

PEED P 000

i deci curentul de deplasare se scrie:

(16) t

P

t

E

t

E

t

D P

0

00

Termenul t

P

este numit curent de polarizare i se datoreaz deplasrii

sarcinilor electrice legate, n timpul variaiei polarizaiei dielectricului sub aciunea cmpului electric variabil dintre plcile condensatorului. Deoarece

t

P

reprezint viteza de deplasare a sarcinilor legate i reale din dielectric,

ei i corespunde un cmp magnetic care se poate calcula dup legea Biot-Savart-Laplace ca i cmpul creat de curentul de conducie j

.

n absena dielectricului, cnd liniile ntre placile condensatorului este vid:

0,0,0,0

t

EE

t

PP PP

Prin urmare n vid, densitatea curentului de deplasare este:

tEj

vidd

00

Maxwell a presupus c acest curent de deplasare nu este numai o noiune formala, ci el creeeaz n jurul sau un cmp magnetic, dup aceleai legi ca

i t

P

i j

. Numeroase experimente au confirmat aceast presupunere. S-a

constatat c orice cmp electric variabil, 00

t

E creeaz un cmp

magnetic variabil, acesta fiind fenomenul de inducie magnetoelectric.

Curentul de deplasare apare oriunde exist cmp electric variabil, prin urmare i n interiorul conductorilor parcuri de curent variabil, ns n interiorul conductorului el este neglijabil de mic fa de curentul de conducie. Apare ns,urmtoare ntrebare: cui se datoreaz curentul electric n vid. Poate fi el legat de deplasarea unor sarcini electrice, pentru ca n felul

acesta s se neleag c orice cmp magnetic este generat prin unicul macanism fizic cunoscut pna n prezent.

Din punct de vedere clasic, curentul de deplasare n vid nu are sens intuitiv,

nu poate fi legat de deplasarea unor sarcini electrice. Introducerea sa se

justific prin verificarea consecinilor sale. n teoria cuantic este posibil s se dea urmtoarea interpretare: n vid exist sarcini electrice pozitive i negative electroni, pozitroni, etc n astfel de stri energetice nct nu pot f i observate n mod obinuit. n prezena unui cmp electric variabil, vidul poate fi polarizat

i astfel apare curentul t

E

00 .

8. Cmp electromagnetic

Am artat c un cmp electric variabil creaz un curent de deplasare, care la rndul sau creeaz un cmp magnetic variabil. Un cmp magnetic variabil produce la rndul su un cmp electric variabil. De la fenomenul de inducie electromagnetic se cunoate c un cmp magnetic variabil produce ntr-un circuit o t.e.m de inducie.

Generalizmd aceste rezultate Maxwell ajunge la concluzia c: n toate punctele spaiului unde exist un cmp magnetic variabil n timp, apare un cmp electric indiferent dac n locul respectiv exist sau nu un conductor. Astfel spus, orice cmp magnetic variabil n timp este legat de

prezena unui cmp electric. Spaiul ocupat de un cmp electric variabil n timp este n acelai timp, ocupat de un cmp magnetic variabil n timp. Cele 2 cmpuri electric imagnetic sunt legate ntre ele i formeaz o unitate numit cmp electromagnetic.

9. Ecuaiile lui Maxwell

Descrierea cmpului electromagnetic va fi complet dac se cunosc

marimile E

, D

, B

, H

. Aceste mrimi definesc ntr-un punct al spaiului cmpul electromagnetic.

Maxwell a dat o formulare general a legilor electromagnetismului sub forma unui sistem de ecuaii, cunoscut sub numele de ecuaiile lui Maxwell. A generalizat teorema lui Ampere n sensul c introduce n ea, pe lng curentul de conducie i curentul de deplasare, stabilind c:

dC

i IIldH

Acesta este prima ecuaie a lui Maxwell scris sub form integral. Forma local corespunztoare:

t

DjHtrojjHtro

SdjjII

SdHtroldH

cdc

Sdcdc

C S

)(

Aceasta este ecuaia Maxwell scris sub form local care se poate interpreta

astfel: orice cmp electric variabil n timp t

D

produce n jurul su un

cmp magnetic variabil H

.

Ecuaia a doua a lui Maxwell reprezint o generalizare a legii lui

Faraday cu privire la fenomenul de inducie electromagnetic: dt

dEi

.

T.e.m indus i reprezint ciculaia cmpului electric Indus pe ntregul circuit adic:

i iC

E dl

dt

dldE

Ci

Aceasta reprezint a doua ecuaie a lui Maxwel scris sub form integral. Trecerea ctre forma local se face astfel:

t

BEsau

t

BEtro

SdEtroldE

Sdt

BSdB

dt

dldE

SCi

SCi

Orice cmp magnetic variabil t

B

creeaz n jurul su un cmp electric

variabil cu linii de cmp inchise.

La cele dou ecuaii stabilite mai sus se mai adaug teorema luiGauss dine electrostatic:

DsauDdiv

i teorema lui Gauss din magnetism:

00 BsauBdiv

Sistemul de ecuaii considerat de Maxwell este deci:

0Bdiv

Ddiv

t

BEtro

t

DjHtro

(17) Ecuaiile lui Maxwell

Acest sistem de ecuaii st la baza teoriei cmpului electromagnetic i a undelor electromagnetice care se propag prin interiorul acestui cmp. Pentru a determina cmpurile electrice i magnetice, ecuaiile lui Maxwell se mai completeaz cu aa numitele relaii de material impuse de polarizarea electric i magnetic a corpurilor, care se exprim prin:

PED

0

jHB

0 Pentru mediile conductoare se mai adaug i legea lui Ohm sub form local:

)( iEEj

Sistemul de ecuaii a lui Maxwell se poate scrie i cu ajutorul operatorului

nabla "" :

0B

D

t

BE

t

DjH

(18)

10. Undele electromagnetice

Din analiza sistemului de ecuaii Maxwell (18) se ajunge la urmtoarea concluzie:

- orice cmp magnetic variabil n timp, produce n regiunea din spaiu pe care o ocup, un cmp electric variabil n timp, a crui linii de cmp sunt curbe nchise;

- orice cmp electric variabil n timp, produce n regiunea din spaiu pe care o ocup un cmp magnetic variabil, a crui linii de cmp sunt curbe nchise.

Asamblul celor 2 cmpuri care se genereaz reciproc i sunt localizate simultan n aceeai regiune din spaiu se numete cmp electromagnetic. Ambele componente ala cmpului electromagnetic au liniile nchise, deci

sunt rotaionale. Dac, un cmp electromagnetic este creat ntr-o poriune limitat a spaiului, atunci, dup cum arat experiena, el se propag n restul spaiului

cu o vitez finit, care n vid coincide cu viteza luminii smc8103 .

Propagarea cmpului electromagnetic se face sub forma unei unde. Pentru a

arta acest lucru s considerm un mediu omogen i izotrop i fr distribuie volumic de sarcin, adica:

const.; const.; 0 0j

atunci sistemul de ecuaii Maxwell (18) devine:

0

0

EH

t

HE

t

E

H

(19)

Aplicm operatorul rotor primei ecuaii (19):

)20(

)()(

)(

2

2

2

0

t

HH

t

H

tH

Et

HH

t

EH

Dac se compar ecuaia (20) cu ecuaia de propagare a undelor:

01

2

2

2

tv

se constat c ele au acelai form. Din aceast comparaie se poate deduce viteza de propagare a cmpului electromagnetic.

rr

v 00

11

(21)

n concluzie, cmpul magnetic nu este localizat n spaiu ci se propag sub

forma unei unde cu viteza

1v . n mod anlog, aplicnd rotorul ecuaiei

a doua a sistemului (19), obinem:

)22(0

)(

)()(

2

2

2

0

t

EE

t

E

tEE

Btt

BE

Cmpul electric, de asemenea, nu este localizat n spaiu, ci se

propag sub forma unei unde cu viteza

1v ca i cmpul magnetic.

Cele 2 unde se propag aadar simultan n spaiu, i constituie ceea ce se numete o und electromagnetic. Dup cum tim, una din soluiile ecuaiei difereniale a undelor o

reprezint unda plan. Dac alegem 0x direcia de propagare, atunci E

i H

,

trebuie s depind numai de variabilele(x,t). Soluia sub form de und plan are expresia:

pulsatiakvkxtHH

deundnrkkxtEE

);sin(

.2

);sin(

0

0

(23)

Aceste unde plane se pot scrie i sub form complex:

( )

0

( )

0

i t kx

i t kx

E E e

H H e

(24)

n acest caz operatorul nabla:k

zj

yi

x

se reduce la:

iikix

)(

(25)

innd cont de (25) ultimele 2 ecuaii din (19) devin:

Ei

Hi

EiikD

HiikB

0)(

0)(

(26)

Rezult ca vectorii E

i H

sunt perpendiculari pe direcia de propagare a undei. Deci, undele electromagnetice plane sunt unde transversale.

O alt proprietate important a undelor electromagnetice este aceea c

E

i H

sunt perpendiculari ntre ei i deci impreun cu i

alctuiesc un triedru.

E

i

H

S demonstrm aceast afirmaie. Tinnd cont de faptul c undele sunt plane de forma (24), putem scrie:

Eit

D

HieiHt

H

t

B kxti

)(0

Primele dou ecuaii din sistemul (19) devin:

( )

( )

2 2:

c c

DH ik i H i E

t

BE ik i E i H

t

cu kT

Dar kv :

(41)

HEi

EHi

)(

)(

Din relaia (41) rezult c E

este perpendicular pe planul format de

i

i H

, iar H

este perpendicular pe planul format de i

i E

, adic

E H

.

n plus: HE (27)

Astfel raportul mrimilor vectorilor E i H nu depinde de timp, deci cei doi vectori au aceiai faz.

E

H

E

P

v

direciade propagare

H

Reprezentarea grafic a unei unde electromagnetice

Viteza de propagare a undelor electromagnetice n vid, din teoria lui

Maxwell, rezult:

(42)

12

0

70 0 0

8.85 101c

4 10

F m

H m

se obine 8c 3 10 m s , adic tocmai viteza de propagare a luminii n

vid. Acest fapt a permis lui Maxwell s se afirme c lumina este o und electromagnetic, formulnd teoria electromagnetic a luminii. Cu ajutorul relaiei (27) obinem:

2222 )(2

1)(

2

1EHHEHBDEw

Deci densitatea de energie n cazul cmpului electromagnetic este:

22 EHw (28) Intensitatea undelor electromagnetice o vom defini ca energia transportat de und n unitatea de timp prin unitatea de suprafa, aezat normal la direcia de propagare.

HEHEHHcwI

221

(29)

Se poate defini un vector P

n modul urmtor:

HEP

(30)

P

se numete vectorul lui Poynting i are modulul egal cu intensitatea undei electomagnetice; este orientat n lungul direciei de propagare pentru mediul izotrop i are direcii diferite pentru mediile anizotrope. Calculnd fluxul acestui vector printr-o suprafa avem:

s s t

WSdHESdP

)((31)

Deci fluxul vectorului Poynting printr-o suprafa S este egal cu energia transportat de unda electromagnetic n unitatea de timp prin acea suprafa. Undele electromagnetice sunt clasificate pe baza lungimii lor de und, extins pe un larg domeniu, incepnd cu cele a caror lungime de und este

de ordinul a m510 i sfrind cu cele a cror lungime de und este de

ordinul m1310 . acest larg domeniu al lungimilor de und implic multiple

aplicaii ale undelor electromagnetice n tehnica curent i evident mijloacele de producere i detectare diferite.