ediţia a ix a, târgoviște, 15 martie 2008 clasa a...

Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște

Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa

Str. Pârvan Popescu 58, [email protected]

Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita

[email protected]

Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008

Clasa a V-a

Subiectul 1. Determinaţi cifrele 𝑎, 𝑏, 𝑐 astfel încât

𝑎𝑏𝑐2 + 3 ∙ 𝑎𝑏𝑐 = 4𝑎𝑏𝑐 + 1234.

Gazeta Matematică

Subiectul 2. Demonstraţi că dublul sumei numerelor naturale care împărţite la 2007 dau câtul și

restul egale se poate scrie ca produs de trei numere naturale consecutive.

RMT

Subiectul 3. Fie 𝑛 ∈ ℕ∗ și mulţimile

𝐴 = 1

2,2

3,3

4, … ,

2007

2008 , 𝐵 =

2

1,3

2,4

3, … ,

𝑛 + 1

𝑛 .

a) Arătaţi că 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

b) Pentru 𝑛 = 2007, calculaţi produsul elementelor din 𝐴 ∪ 𝐵.

c) Pentru 𝑛 = 2008, calculaţi suma elementelor din 𝐴 ∪ 𝐵.

d) Determinaţi 𝑛 ∈ ℕ∗ astfel încât produsul elementelor din 𝐴 ∪ 𝐵 să aparţină mulţimii 𝐴.

Călin Burdușel

Notă:

Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10.

Timp de lucru: 2 ore și jumătate

mailto:[email protected]






[email protected]



Clasa a VI-a

Subiectul 1. Demonstraţi că fracţia

20072007 ∙ 20082008 + 2007

20072008 ∙ 20082007 + 2006 este ireductibilă.

RMT

Subiectul 2. Mulţimea 𝑀 = {𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎14} este format din 14 numere distincte. Arătaţi că există o

submulţime a sa cu proprietatea că suma elementelor sale este multiplu de 13.

Călin Burdușel

Subiectul 3. Pe latura (𝐴𝐵) a triunghiului isoscel 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, 𝑚 𝐴 = 200) se ia un punct 𝐷

astfel ca 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶. În exteriorul triunghiului 𝐴𝐵𝐶 se construiește triunghiul echilateral 𝐴𝐷𝐸. Să se

arate că (𝐶𝐷 este bisectoarea unghiului 𝐴𝐶𝐸 .

RMT

Notă:









[email protected]



Clasa a VII-a

Subiectul 1. Fie mulţimile

𝐴 = 𝑛 ∈ ℕ 3𝑛 + 7 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑢 11} , 𝐵 = 𝑛 ∈ ℕ 7𝑛 + 3 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑢 11}.

a) Demonstraţi că 𝑛 ∈ 𝐴 dacă și numai dacă 𝑛 + 6 se divide cu 11.

b) Demonstraţi că 𝑛 ∈ 𝐵 dacă și numai dacă 𝑛 + 2 se divide cu 11.

c) Demonstraţi că 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

Călin Burdușel

Subiectul 2. Calculaţi suma

𝑆𝑛 = 𝑎

3 +

𝑎2

3 + ⋯ +

𝑎𝑛

3 ,

unde 𝑎 este un număr natural nedivizibil cu 3, iar 𝑛 ∈ ℕ∗.

(prin [𝑥] am notat partea întreagă a lui 𝑥)

Călin Burdușel

Subiectul 3. Fie triunghiul oarecare 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 < 𝐴𝐶), iar 𝐴𝐿, 𝐴𝑀 bisectoarea, espective mediana

din 𝐴 (𝐿, 𝑀 ∈ 𝐵𝐶 ). Paralelele din 𝑀 și 𝐿 la 𝐴𝐶, espective 𝐴𝐵, intersectează 𝐴𝐿 în 𝐷 și 𝐴𝑀 în 𝐸.

Demonstraţi că:

a) 𝐴𝐷 ⊥ 𝐷𝐸.

b) 𝐷𝐸 intersectează 𝐴𝐶 în 𝐹. Calculaţi 𝐴𝐹 în funcţie de laturile triunghiului.

c) Deduceţi că punctele 𝐵, 𝐷, 𝐸 sunt coliniare.

Călin Burdușel

Notă:









[email protected]



Clasa a VIII-a

Subiectul 1. a) Fie triunghiul 𝐴𝐵𝐶 de laturi 𝑎, 𝑏, 𝑐. Demonstraţi că

(𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐)2

𝑎2 + 2𝑏2 + 3𝑐2= 6

dacă și numai dacă triunghiul este echilateral.

b) Fie poligonul de laturi 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 . Demonstraţi că

(𝑎1 + 2𝑎2 + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛)2

𝑎12 + 2𝑎2

2 + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛2 =

𝑛(𝑛 + 1)

2

dacă și numai dacă poligonul are toate laturile egale.

Călin Burdușel

Subiectul 2. Dacă 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ sunt astfel încât

𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 3 + 2𝑑 ≥ 10(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2),

arătaţi că 𝑎2 + 𝑑2 = 𝑏2 + 𝑐2 .

Călin Burdușel

Subiectul 3. Se dă tetraedrul (𝐴𝐵𝐶𝐷) în care 𝑚 𝐴𝐵𝐷 = 𝑚 𝐷𝐵𝐶 = 300 , 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 2 3 cm și

triunghiul 𝐴𝐷𝐶 este echilateral cu 𝐷𝐶 = 6 cm.

a) Demonstraţi că 𝐴𝐵𝐷 ⊥ (𝐵𝐷𝐶).

b) În cazul în care 𝑚 𝐴𝐷𝐵 < 900 , calculaţi 𝑑(𝐵, 𝐴𝐷𝐶 ).

RMT

Notă:









[email protected]



Clasa a IX-a

Subiectul 1. Demonstraţi că pentru orice numere reale nenule 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑥, 𝑦 are loc inegalitatea

(𝑎 + 𝑏 sin 𝑥)2 + (𝑐 + 𝑑 sin𝑦)2 + (𝑎 + 𝑏 cos 𝑥)2 + (𝑐 + 𝑑 cos 𝑦)2

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2≤ 3.

Dinu Teodorescu

Subiectul 2. Fie 𝑓: ℝ → ℝ astfel încât 𝑓 𝑥 + 2𝑓 1

𝑥 = 𝑥2 +

2

𝑥2 + 3, oricare ar fi 𝑥 ∈ ℝ∗. Calculaţi

𝑆 = 1

𝑓 𝑘 − 2

2007

𝑘=2

.

Gazeta Matematică

Subiectul 3. Să se aşeze numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 în tabelul de mai jos, astfel încât

fiecare număr să apară o singură dată, iar sumele numerelor pe fiecare din cele trei linii şi cele patru

coloane să fie cele scrise pe prima linie, respectiv prima coloană. Justificare!

∑ 21 10 18 29

24

15

39

C.d.p. Adrian Atanasiu

Notă:









[email protected]



Clasa a X-a

Subiectul 1. Rezolvaţi în numere reale ecuaţia 25[𝑥] + 5𝑥 = 6 ∙ 5[𝑥].

Gazeta Matematică

Subiectul 2. a) Demonstraţi că funcţia 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ, definită prin formula

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 + 𝑏 − 𝑥

este strict crescătoare pe intervalul 𝑎,𝑎+𝑏

2 și strict descrescătoare pe intervalul

𝑎+𝑏

2, 𝑏

b) Rezolvaţi în numere reale ecuaţia 𝑥 + 24 + 10 − 𝑥 = 𝑥2 + 14𝑥 − 7.

Cristinel Mortici

Subiectul 3. Fie 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 ∈ ℂ de același modul 𝑟 > 0. Demonstraţi că numărul complex

𝑤 = 𝑧𝑗

𝑧𝑘

3

𝑘=1

3

𝑗=1

are partea reală nulă dacă și numai dacă 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral.

* * *

Notă:









[email protected]



Clasa a XI-a

Subiectul 1. Fie 𝑥𝑛 𝑛≥1 un șir de numere reale strict pozitive astfel încât șirul 𝑦𝑛 = 𝑛 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛

este mărginit. Demonstraţi că lim𝑛→∞ 𝑥𝑛( 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) = 0 și calculaţi lim𝑛→∞ 1 +𝑥𝑛

𝑛

2𝑛+1

𝑥𝑛 .

Dinu Teodorescu

Subiectul 2. Fie 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℤ) astfel încât 𝐴 + 𝐴𝑡 = 0𝑛 . Demonstraţi că determinantul matricei 𝐼𝑛 − 𝐴2

este pătrat perfect, iar determinantul matricei 𝐼𝑛 + 𝐴2 este suma a două pătrate perfecte.

Cristinel Mortici

Subiectul 3. Fie 𝑎 < 𝑏 și 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ o funcţie Rolle cu proprietăţile:

a) 𝑎𝑓 𝑏 = 𝑏𝑓(𝑎)

b) 𝑓(𝑥) ≠ 0, oricare ar fi 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

Demonstraţi că există 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) astfel încât 𝑓 𝑐 = 𝑐𝑓 ′(𝑐).

Gazeta Matematică

Notă:









[email protected]



Clasa a XII-a

Subiectul 1. a) Fie 𝐺 un grup finit și 𝐴 o submulţime a lui 𝐺 astfel încât 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐴 >1

2∙ 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐺.

Demonstraţi că pentru orice 𝑔 ∈ 𝐺, există 𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝐴 astfel încât 𝑔 = 𝑎1𝑎2.

b) Fie 𝐾 un corp finit. Demonstraţi că pentru orice 𝑥 ∈ 𝐾, există 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐾 astfel încât 𝑥 = 𝑢2 + 𝑣2.

* * *

Subiectul 2

Fie 𝑎 > 1. Calculaţi integrala

𝐼 𝑎 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥

𝑥𝑑𝑥.

𝑎

1/𝑎

Gazeta Matematică

Subiectul 3. Se onsider o funcţie derivabilă 𝑓: [0,1] → ℝ cu 𝑓 0 = 0 și având proprietatea că

0 ≤ 𝑓 ′(𝑡) ≤ 1, oricare ar fi 𝑡 ∈ 0,1 . Demonstraţi că

𝑓 𝑡 𝑑𝑡1

0

2

≥ 𝑓3 𝑡 𝑑𝑡1

0

.

* * *

Notă:









[email protected]



Clasa a V-a – Barem de corectare

1. Din oficiu...................................................................................................................................1 punct

Numerele sunt 𝑛 = 2007𝑟 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ 2006.........................................................................3 puncte

𝑛 = 2008𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ 2006...........................................................................................................1 punct

Suma lor este 𝑆 = 2008 ∙ 0 + 2008 ∙ 1 + ⋯ + 2008 ∙ 2006....................................................2 puncte

𝑆 = 2008 ∙2007 ∙2006

2...................................................................................................................2 puncte

2𝑆 = 2006 ∙ 2007 ∙ 2008............................................................................................................1 punct

2. Din oficiu...................................................................................................................................1 punct

𝑎𝑏𝑐2 = 1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 2..............................................................................................1 punct

𝑎𝑏𝑐 = 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 ...............................................................................................................1 punct

Membrul stâng este 1300𝑎 + 130𝑏 + 13𝑐 + 2........................................................................2 puncte

Membrul drept este 5234 + 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐............................................................................1 punct

Egalitatea devine 1200𝑎 + 120𝑏 + 12𝑐 = 5232......................................................................2 puncte

sau 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 = 436, adică 𝑎𝑏𝑐 = 436...........................................................................1 punct

Rezultă 𝑎 = 4, 𝑏 = 3, 𝑐 = 6.........................................................................................................1 punct

3. Oficiu........................................................................................................................................1 punct

a) Motivarea cerinţei....................................................................................................................1 punct

b) Produsul elementelor din 𝐴 este 1/2008................................................................................1 punct

Produsul elementelor din 𝐵 este 𝑛 + 1, iar pentru 𝑛 = 2007, este 2008..................................1 punct

Produsul căutat este 1.................................................................................................................1 punct

c) Pentru 𝑛 = 2008, 𝐵 = 2

1,

3

2, … ,

2009

2008 , iar suma este 2 ∙ 2007 + 2 = 4016.........................2 puncte

d) Produsul elementelor din 𝐴 ∪ 𝐵 este 𝑛+1

2008...............................................................................1 punct

Trebuie determinat 𝑛 ∈ ℕ∗ cu 𝑛+1

2008=

𝑘

𝑘+1, 1 ≤ 𝑘 ≤ 2007, 𝑛 = 2008 −

2008

𝑘+1,

2008 = 23 ∙251. Luăm 𝑘 + 1 ∈ {2, 4, 8, 251, 2 ∙ 251, 4 ∙ 251, 8 ∙ 251}......................................1 punct

și determinăm 𝑛 ∈ {1004, 15061, 1757, 2000, 2004, 2006, 2007}...........................................1 punct







[email protected]



Clasa a VI-a

1. Din oficiu..................................................................................................................................1 punct

Fie d un divizor comun numărătorului și numitorului,

𝑑|20072008 ∙ 20082008 + 20072 și 𝑑|20072008 ∙ 20082008 + 2006 ∙ 2008............................3 puncte

𝑑|20072 − 2006 ∙ 2008............................................................................................................3 puncte

d divide 1....................................................................................................................................3 puncte

2. Din oficiu..................................................................................................................................1 punct

𝑆𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 14..........................................................................................1 punct

Există 𝑞𝑘 , 𝑟𝑘 ∈ ℕ astfel încât 𝑆𝑘 = 13𝑞𝑘 + 𝑟𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 14, 0 ≤ 𝑟𝑘 ≤ 12.................................2 puncte

Avem 14 resturi în mulţimea {0,1,2, … ,12}, deci conform principiului cutiei,

două resturi vor fie gale, adică există 𝑟𝑖 = 𝑟𝑗 .............................................................................3 puncte

𝑆𝑗 − 𝑆𝑖 = 𝑎𝑖+1 + 𝑎𝑖+2 + ⋯ + 𝑎𝑗 ..................................................................................................1 punct

𝑆𝑗 − 𝑆𝑖 = 13 𝑞𝑗 − 𝑞𝑖 , adică 13|𝑆𝑗 − 𝑆𝑖......................................................................................1 punct

Alegem submulţimea 𝑁 = {𝑎𝑖+1 , 𝑎𝑖+2 , … , 𝑎𝑗 }.............................................................................1 punct

3. Din oficiu...................................................................................................................................1 punct

∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐶𝐴𝐸 (𝐿𝑈𝐿)................................................................................................................3 puncte

Rezultă că 𝐷𝐶𝐸 ≡ 𝐷𝐶𝐴 ..............................................................................................................3 puncte

Finalizare.....................................................................................................................................3 puncte







[email protected]

Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu” Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008

Clasa a VII-a 1. Din oficiu..................................................................................................................................1 punct

a) Necesitate............................................................................................................................1,5 puncte

Suficienţă.................................................................................................................................1,5 puncte

b) Necesitate............................................................................................................................1,5 puncte

Suficienţă.................................................................................................................................1,5 puncte

c) Dacă 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅, atunci există 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ∈ 𝐴 și 𝑛 ∈ 𝐵..............................................................1 punct

Există 𝑘, 𝑙 ∈ ℕ astfel încât 𝑛 + 6 = 11𝑘 și 𝑛 + 2 = 11𝑙..............................................................1 punct

11 𝑘 − 𝑙 = 4, fals, deci 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅............................................................................................1 punct

2. Din oficiu...................................................................................................................................1 punct

Fie 𝑠 = 𝑎

3 +

𝑎2

3 + ⋯ +

𝑎𝑛

3

Cazul I. 𝑎 = 3𝑝 + 1, 𝑝 ∈ ℕ, deci 𝑎𝑛 = 𝑀3 + 1

𝑠 =1

3+

1

3+ ⋯ +

1

3=

𝑛

3.................................................................................................................1 punct

𝑆𝑛 =𝑎

3+

𝑎2

3+ ⋯ +

𝑎𝑛

3− 𝑠 =

𝑎𝑛 +1−𝑎

3(𝑎−1)−

𝑛

3.....................................................................................1 punct

Cazul II. 𝑎 = 3𝑝 + 2, 𝑝 ∈ ℕ, deci 𝑎𝑛 = 𝑀3 + 1, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑀3 + 2, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

.......................................1 punct

Fie 𝑠𝑛 = 𝑎

3 +

𝑎2

3 + ⋯ +

𝑎𝑛

3

𝑠2𝑛 = 𝑎

3 +

𝑎2

3 + ⋯ +

𝑎2𝑛

3 =

2

3+

1

3+

2

3+

1

3+ ⋯ +

2

3+

1

3= 𝑛.............................................2 puncte

𝑆2𝑛 =𝑎

3+

𝑎2

3+ ⋯ +

𝑎2𝑛

3− 𝑠2𝑛 =

𝑎2𝑛+1−𝑎

3(𝑎−1)− 𝑛.............................................................................1 punct

𝑠2𝑛+1 = 𝑎

3 +

𝑎2

3 + ⋯ +

𝑎2𝑛+1

3 =

2

3+

1

3+

2

3+

1

3+ ⋯ +

2

3+

1

3+

2

3=

3𝑛+2

3..........................2 puncte

𝑆2𝑛+1 =𝑎

3+

𝑎2

3+ ⋯ +

𝑎2𝑛+1

3− 𝑠2𝑛+1 =

𝑎2𝑛+2−𝑎

3(𝑎−1)−

3𝑛+2

3.............................................................1 punct

3. Din oficiu..................................................................................................................................1 punct

a) Fie 𝑂 = 𝑀𝐷 ∩ 𝐸𝐿, 𝑀𝑂 linie mijlocie în ∆𝐶𝐵𝐴, deci median în ∆𝑀𝐸𝐿.................................1 punct

∆𝐷𝑂𝐿 este isoscel........................................................................................................................1 punct

Rezultă 𝐷𝑂 = 𝑂𝐿 = 𝑂𝐸, adică ∆𝐸𝐷𝐿 este dreptunghic.............................................................1 punct

b) ∆𝐸𝐷𝐿~∆𝐴𝐷𝐹, deci 𝐸𝐿

𝐴𝐹=

𝐷𝐿

𝐷𝐴....................................................................................................1 punct

Avem 𝐸𝐿

𝐴𝐵=

𝑀𝐿

𝑀𝐵 și

𝐷𝐿

𝐷𝐴=

𝑀𝐿

𝑀𝐶...........................................................................................................1 punct

Teorema bisectoarei: 𝐵𝐿

𝐿𝐶=

𝐴𝐵

𝐴𝐶, deci 𝐵𝐿 =

𝐵𝐶∙𝐴𝐵

𝐴𝐶+𝐴𝐵, 𝑀𝐿

𝑀𝐵=

𝐴𝐶−𝐴𝐵

𝐴𝐶+𝐴𝐵................................................1 punct

𝐸𝐿 =𝐴𝐵(𝐴𝐶−𝐴𝐵)

𝐴𝐶+𝐴𝐵, deci

𝑀𝐿

𝑀𝐶=

𝐴𝐶−𝐴𝐵

𝐴𝐶+𝐴𝐵, AF=AB..................................................................................1 punct

c) 𝐷𝐹 ∩ 𝐴𝐵 = {𝐵′ }, ∆𝐴𝐵′𝐹 isoscel, deci 𝐴𝐵′ = 𝐴𝐹..................................................................1 punct

Rezultă că 𝐵′ ≡ 𝐵, deci B, D, E coliniare....................................................................................1 punct







[email protected]



Clasa a VIII-a

1. Din oficiu...................................................................................................................................1 punct

a) 2(𝑎 − 𝑏)2 + 6(𝑏 − 𝑐)2 + 3(𝑎 − 𝑐)2 = 0..............................................................................3 puncte

Finalizare.......................................................................................................................................1 punct

b) 𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛

𝑛≤ 𝑥1

2+𝑥22+⋯+𝑥𝑛

2

𝑛..................................................................................................1 puncte

𝑎1+2𝑎2+⋯+𝑛𝑎𝑛𝑛 (𝑛+1)

2

=𝑎1+ 𝑎2+𝑎2 +⋯+(𝑎𝑛 +⋯+𝑎𝑛 )

𝑛 (𝑛+1)

2

≤ 𝑎1

2+2𝑎22+⋯+𝑛𝑎𝑛

2

𝑛 (𝑛+1)

2

................................................2 puncte

(𝑎1+2𝑎2+⋯+𝑛𝑎𝑛 )2

𝑎12+2𝑎2

2+⋯+𝑛𝑎𝑛2 ≤

𝑛(𝑛+1)

2................................................................................................................1 punct

Egalitatea are loc pentru 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 ..............................................................................1 punct

Subiectul 2. Din oficiu...................................................................................................................1 punct

10 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 ≤ (𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 3 + 2𝑑)2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 (1 + 2 + 3 + 4)......4 pct

𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 3 + 2𝑑 = 10 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 ....................................................................1 punct

Egalitate pentru 𝑎

1=

𝑏

2=

𝑐

3=

𝑑

2= 𝑘.......................................................................................2 puncte

𝑎2 = 𝑘2 , 𝑏2 = 2𝑘2, 𝑐2 = 3𝑘2 , 𝑑2 = 4𝑘2 și 𝑎2 + 𝑑2 = 𝑏2 + 𝑐2................................................2 puncte


a) Fie 𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐷 (𝐸 ∈ 𝐵𝐷 ), ∆𝐴𝐸𝐵 ≡ ∆𝐵𝐸𝐶 𝐿𝑈𝐿 , deci 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸 = 3 și 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐸...........2 puncte

𝐴𝐸 ⊥ 𝐶𝐸 și rezultă concluzia......................................................................................................2 puncte

b) 𝑉 𝐴𝐵𝐶𝐷 =𝑆𝐵𝐶𝐷 ∙𝑑(𝐴, 𝐵𝐶𝐷 )

3, 𝑑 𝐴, 𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐸....................................................................1 punct

𝐵𝐸 = 3, 𝐷𝐸 = 3, 𝐵𝐷 = 3 + 3................................................................................................1 punct

𝑆𝐵𝐶𝐷 =3(1+ 3)

2, 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 =

3+ 3

2.....................................................................................................1 punct

𝑑 𝐵, 𝐴𝐶𝐷 = 1 + 3..............................................................................................................2 puncte







[email protected]



Clasa a IX-a – Barem de corectare


(𝑎 + 𝑏 sin 𝑥)2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2 (1 + sin2 𝑥), etc.............................................................................4 puncte



Înlocuiește 𝑥 cu 1/𝑥...................................................................................................................2 puncte

Determină 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1..........................................................................................................4 puncte

Calculează corect 𝑆.....................................................................................................................3 puncte

Fie 𝑓: ℝ → ℝ astfel încât 𝑓 𝑥 + 2𝑓 1

𝑥 = 𝑥2 +

2

𝑥2 + 3, oricare ar fi 𝑥 ∈ ℝ∗. Calculaţi

𝑆 = 1

𝑓 𝑘 − 2

2007

𝑘=2

.

Subiectul 3. Din oficiu...............................................................................................................1 punct

Pentru grila completă.................................................................................................................7 puncte

Justificare.............................................................................................................................2 puncte

NOTA: În cazul nerezolvării grilei, pentru fiecare număr bine așezat se vor acorda 0,5 puncte.

(Dacă în lucrare sunt mai multe grille, se va lua în considerare cea mai bună).

21 10 18 29

24 7 3 5 9

15 4 1 2 8

39 10 6 11 12







[email protected]



Clasa a X-a


25[𝑥] < 6 ∙ 5[𝑥]...........................................................................................................................2 puncte

5[𝑥] < 6......................................................................................................................................2 puncte

[𝑥] ≤ 1.......................................................................................................................................2 puncte

𝑥 = 0, 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙.....................................................................................................................1 puncte

𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 1........................................................................................................................2 puncte


a) ................................................................................................................................................4 puncte

b) Monotonia funcţiei 𝑥2 + 14𝑥 − 7.........................................................................................2 puncte

Monotonia pe intervalele [−24, −7] și [−7,10]........................................................................1 puncte

Cel mult o soluţie pe [−24, −7] și [−7,10]..................................................................................1 punct

𝑥 = −15 și 𝑥 = 1 sunt soluţii.......................................................................................................1 punct


𝑤 = −𝑤......................................................................................................................................3 puncte

Obţine 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 0...........................................................................................................3 puncte








[email protected]



Clasa a XI-a

Subiectul 1. Din oficiu..................................................................................................................1 punct 𝑥𝑛

𝑛→ 0 (Cesaro-Stolz).................................................................................................................3 puncte

lim𝑛→∞𝑥𝑛

𝑛∙ 𝑛( 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) = 0..................................................................................................3 puncte

lim𝑛→∞ 1 +𝑥𝑛

𝑛

2𝑛+1

𝑥𝑛 = 𝑒2.........................................................................................................3 puncte


det 𝐼𝑛 − 𝐴 = det 𝐼𝑛 − 𝐴 𝑡 = det 𝐼𝑛 + 𝐴 ..............................................................................2 puncte

det 𝐼𝑛 − 𝐴2 = det 𝐼𝑛 − 𝐴 2....................................................................................................3 puncte

det 𝐼𝑛 + 𝐴2 = 𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑧 2.......................................................................................................4 puncte


Definește 𝑔: 𝑎, 𝑏 → ℝ, 𝑔 𝑥 =𝑥

𝑓(𝑥)........................................................................................3 puncte

𝑔 𝑎 = 𝑔(𝑏) și aplică Rolle........................................................................................................3 puncte

Finalizare:...................................................................................................................................3 puncte

NOTA: Rezolvarea care utilizează funcţia 𝑔: 𝑎, 𝑏 → ℝ, 𝑔 𝑥 =𝑓(𝑥)

𝑥, unde 𝑥 se poate anula, va fi

cotată cu cel mult 7 puncte.







[email protected]



Clasa a XII-a


a) Consideră mulţimea 𝐵 = 𝑔𝑎2−1 𝑎2 ∈ 𝐴}.............................................................................2 puncte

𝑐𝑎𝑟𝑑𝐵 = 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐴...........................................................................................................................2 punct

𝑐𝑎𝑟𝑑𝐵 + 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐴 > 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐺 ⇒ 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅....................................................................................1 punct

b) Consideră mulţimea 𝐴 = 𝑥2 𝑥 ∈ 𝐾}...................................................................................2 puncte

𝑐𝑎𝑟𝑑𝐴 >1

2𝑐𝑎𝑟𝑑𝐾........................................................................................................................1 punct

Finalizare, conform a)..................................................................................................................1 punct


Schimbarea 𝑥 = 1/𝑦..................................................................................................................3 puncte

Calculează 𝐼 𝑎 + 𝐼(𝑎)...............................................................................................................3 puncte



Consideră 𝑔 𝑥 = ∫ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥

0

2− ∫ 𝑓3 𝑡 𝑑𝑡

𝑥

0..........................................................................3 puncte

𝑔′ ≥ 0.........................................................................................................................................4 puncte

𝑔(1) ≥ 𝑔(0) și finalizare............................................................................................................2 puncte



ediţia a ix a, târgoviște, 15 martie 2008 clasa a...

Documents