dr stan-chirita - matematici superioare

8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare

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Dr. STAN CHIR|IA

-:I*"1

74:./-

Wffiffiffifuffiffiffi],.ffi M&WffiffiffiW-MffiffiffiWWffiffiffiffi&Wffi

, ', rt 1,,,, t ru,r .J*..t , ,,..il_l;fl

i Lk" ', , *' 'itt'*"' 7

lf'DlTl.JiirA DIDACIICA gt pt:DAGOGICA * BUCUREgTt, t9B9



ll'[8

l,tNrArrn

I

tltcbf lcu

SernlE p&tratice

VEgl'r)tilA r,A

ft lltlt4^l,,l'A IN SPATTUgtr NLlM,,ltrlr REAI,E

t NuMtililcll

'llMll'l{ fi I C()NTTNUTTATE ,.1 l.trntte pentru funclii PENTRU FUNCTII

?,1, Functll'continue--

l, fnotrrn DITERtrNTrALA A FUNCTTTLOR

spalr Lx

r2. ECUATTT D,TFEREN'rrALE $r cu DERTVATB PARTTALE12.I. Ecuatii diferentiale de ordinul intii12.2. Ecuatii diferenfiale a., oiai" l"p"rio.

"erolvabiieprin

1?.1 Eluutiidlferen ia le

.rintaie-"i J Tioi,i'.rp".io.12.4. Sisteme de ecualii d.iferenliiie: Si;le*" sirnetrice12.5. Sisteme de ecuatii ait"i",rilil" li;"i;.12,6. Ecualii cu derivate pu.1iut" A.

""Jir"f intii lirriare si

5'

5,

7a

10

10lot?

2&3540

c.t

60

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111

1111I9

' "T

- ii, irliiiii i:"?ixt.fitii: t:1t,xo,,e rea,e : : : :

L u.,r. f unclii definirc .implicit. Schirnl;dri ae varla,Uilj . : : :

0, GDOMETRiA ANALTTicA'$r

DrFERENTrAr,.A A CUntsELOFTPnAF ETELOR

#$:,"J1,:J':3"fiii#"ff3'3",?",:1"?:1,";,'ft9.3. Geometr.ia diferentiata i'rro?"T"i"f,i

6. 3u;11:1" #":.T"d1; j;,"*-iji"**

:'"'

[o./NEG RA REA FUNCTTTLoRq Y4J,JPrimitive

$q{. rnt.g"ira ceit,riia '." Si iij:iiti: Jfl{Tl;ti. u; ,,; oo;",,;u,,; . . : : :

10.5. Integrale curbiliniiJ . . lntegrattr dubtii. Formula lui Greenln 7 T-J,-^-^r^ r--0.7. Integrale

dt, surjrafain,. Formuli'iui' stul"r, ^. . ..10.B.Inte.gralatripld.r'o."i"la".da]ils-cj'ti[.ua,ti

127

127

su-

I431601

cf

174

I Bf,

18410?

197

241

2072Llula

230

"5+t

IU]

281"

t Q',

29230ir

309

33,1

330

cuadratu,ri .

cvasiliniareti{DrcATrr gr RASPUNSURT

C.* t*{uLTrMI. REr,aTnn. sTRUCT{rfiI

1.1. Mul{imi

Vrrrtt folosi notaliile : .L - mulfirne supori ; A - ni'rllime vidir; l, R, C,... - submulfinri

(1rltr[i) ale muifirnii suport "L-; x, y, 2,... - elemente ale unei mulfinri.

l\'lrrl.timea I este jnclusi, in muifimea B, A C B, dac5, orice z clin ,4 aparline 9i mullinrii .ts.

l)otri nrullirni A si R sint egale tlacd A C A li B C A.

ItcrrniuneaadorrXmullimiAgiBesterrulfirneaAUB- {xlxeAsatxeE}. Intersecfia

rrrrrllirrrilorlsiBestemullimea.4nB:{xlxeAgixeB}.Completnentaramullinliilesterrrrrlfitttca. Ac : {xlx e E si, + A}.

l)itcrcn{a nrulfimilor A si R, in aceastd ordine, este mullimea l\\B - {tlx e Aqit + B}.

lrrlr.r.rrta sirnetrici a mullimilor A ;i R esle rnulfimea A LB - (l\1J) U (B\.4).

I'rtrrlrrsul caitezian al mulfimilor A 91 B, in aceastd ordine, este mullimea A x B - {{r, y}l

rE,'l$i -y€Bl.

1.1.1. Probleme rezolvate

. Sc clau mulfimilc iZ,: {.. ,- lt,...,-2" -1,0, 1, 2,...' rx,....l, N.:1,2,...,,t1,..'.\. A: {-2., -1, 1. E" 5,7}, B:11,2,3,4, s,61'ei c:

\, 0, z, a. 6, 8j.ir) Sr-r sc arilte cl iluiljmile N, l, A, C sint submullimi stricte ale mulliirrii Z.

l,) Sii si caicuieze irtersecfiiie: Z n N, Nn ,4, An B, B

^C,S n A.

) Sii sc calcule2e rcuniunile : Zl)N. N U A, A UB, il;U C' C U A'

tir::tl|rtrc. a) Avem N C Z, A CZ, B CZ, C(2. Deoarece rnulfimea Z conltne 9i alte ele'

lrr rrr: irr :rfelril elenrentelor clin nulfinrile respective, inseamnS. li mullimile N, I' A, C sint suLr'

L

lrrrllnrri slricle ale lui Z,

l,) ()ir{incrn Z nN: N; N fl A : {1,

.,f1,.' 01.

r ) Iirrf r:;irrri dcfini ia, obfinem : Zl) N - Z;

{ ,,, - t, 1,2, :), 4, 5, 6, 7,}; 1JU C -l, 0, l, ?., 3, 4, 5, 6, v, 8i.

J. Sii sc arnto c:r A C IJ <'> B'('Ao.l;,.,rlt'urr', Sh, urii.l:j.rrr irrl.ii cl1 AC'B * It"CA". Fie * e .B", cleci x + B. Curn l (3, ro'

+trll;i r""r r $ A, atlir,I" r € /''. I)coarece I a f<;st ales arbitrar, rez-ult5 cf B"CA"'Irr,rr.lr, tlircli 1;,( ,4", s) . 1r:jllirrr clt,A(--. 1]."ltilex € l, oarercare, Deci r 4 A' ;1 ctrnt Bo(fXc;

rlr,lrrr r,f rr t:i'r. ;r r/ /l{, l'Iiu llrtltltt(', 1 r:, lJ 5i dt:i '4 (13.

3, 5, vj; lnB: {1, 3, 5}; Bfi c : {2,4, 6} si

\NUI * {-2, -1, 1,2,3,..., n,".}; A\i n--

{* 3, 0, 1,2, 3, 4, 5, 5,8} ei c l) A : {*3' -2'

.|. SL :,r' tl.rrt'tr,tlIr.z,r, 111rrr.rl,lrrr.lr, r,g;rliti{i :,r) rt .. /t ,/t f l/t,;tr) .l_\/J _ (.t U1i) \...(.,1n/J): (AnB'){'t(.{"nA).Ir't::tl'ttrt,rt. rr) [ii1: r,. .1 ..,. /i. l).t:i ." r.,- .,1 si v $ ]], 1:rin urmare x e A gi ,2 Eo, a.lic[r"' l ( )//o. Ar:o;rsrlr.:rr';Lr;i, c;"r.1 r.r/r(--.rn1l"_ l.'ie acur-n xe.4 fi8,, adicdre,{ sir=n"lH

lr:i],,]il.':;:,i;,.,1,,.r,'v +:t' tt, ,,rrir:i-r" r {.j r \ B. Deci A ) r}se A"q B. cere doud i'cluziu'r ,r"

lr) Sii. ar|ltii,r1 nriri in1 ii cgalitareau A LB:. (.,1

UB)

\(, n1l). Fie x e,:l AB, astfel cd'' ,.,.' ..1 '\ /l s;lrr .r t: 1l \..i. Sd consiclerim mai intii cil" * .i 1/f. Accasta inseanin5, ca x e ;sit+f l), (locir.6i,4 1)Ilsix$R [-.) .4.prinurmare, xe(.4UR)\(1nB).D;;=;{;,

;tttttiri.v */i;i;$.:lsiclecire=1]l_l .4,si,t+AOB,ztcticl,x*{;UB)\(lnl?),A""*;;;'lirrirl:i, r:r'r .4 A Ir C (.{ U A) \(.{ a B). fnvers, si. co.siclcrdrrt r t= (.4 U B) \.(,i nr). n",r

' '-,..1 (J l);i x +AnB, adici (*r=.4 sau r€ B) -si r +1 (^\13. DacE xeA rix$. fits,Ir;zrrll;icrixeA*x+B,aclic:ir€l\,'. I)acirel]9i:vqA)B,atuncixe:E;ix$A,ilstf.l i'eit r e B\1. Dcci - e -{ \ B sau r- a\1. prin o.,rror", (AlJ Et\i.{ n B)CC'4 a B 'Aceasta clernonstreazi' egalitatea multirailor. cealalti egalitate se tlemonstreazi similar

,{. S5. se demons.Lreze crL (..1 x C) U g x D)C (,,i U B) x (C U Dl, inciu_zitttr,';rputind fi siricti.

: '/ /\ \v t) u'tt "'"''-- ?t:oluare. Fie (x, y) e (A xc) U (B xD), (x, y) oarccarc. Aruur:i {r, y) e A X C sau (r, yi=e Il n 1)' Dacd (,,y)e rxc, atunci xeA Fi e c Fi deci;re.ruo giye= c D, ariicr(.r,3\t=(AUB)x(cur). l)aci (r,,y) eBlD, atuncirye ]3 si iuo girleciz= aga

-Si':r,€D[Jc9idinnou(,,y)n=(.1UB)X(CUD).DeciQxcjU{BxD)Cl'4Ua,}xt{ rt l-J ]))' Ce incluziunea poate fi strict,i se poate vetlea tiin contraexemplul urmd,tor. Se iaA - il' 2j, B

= {2, 3}, c: Io, b.t, D: {b, ci. trste ulor cle vva"ztt cd, elerncnt'l (3, aJ e<=: ("r {-J B) x (c (_t D), dar (3, ") * (.J x c) U (s x l). '

i.l.?. Probleme propuse sp;^er.ezolvare

",",,U"; li ::.:i.":ir-"r.".in ce reiatie de incluziune sc afli urmitoarele rnulfimi dostl ii 'r de numL'fe reale :

:r) f : {.(a") I @^) ;ir rniLrginit} ;t] o : llao) l(n"J .ll rltir'{urrt-l ; ti) c.: .ra,,) t (a,J gir con'ergenr] ;1,, w = llo,lIfu,,).ilr:orr,,rorii i i.) /: lin,iita,,t'sirfuldanrt,nrall.r)t w = i\a,) I lLt.,,) ;1r rr:orr, 'fe1y] (-) ,/ :

,,,(n,\ l{a,,\ pir f urr,lanrr:ntali i'' .o --- ',(o,) I (a,) :ir. iuirt.,,igent ia zr,roj; fi ;: ib,,,ii'tiil p* arrlrrr-arr..6' S:i se demonstrczc llrlnitoarelc ploprietir i il1.: opr:ra iilor cle reuliune

in1i,i :,ecfie : ' llir) A U {'} :.4 ) ls\,i tj ti == E

;c) A

l) {BnC)

==(A

U }})i,l {.A UCj ;d) ,4C B<c. A U13... B; e) A CC;i IjCC =+rt [_) ECCia') .4fl a:rJi b')./t r.l n: A: c') A)(r3 UC):fah Et 1., {,afi c);{1:) ACB.t>A nij:.4: e,) CCA,i CC B"=,CCln ,'J.

?' SiL se verifice urlnliic.,areie proprietiL i alc operatici cic tr-cr,,r,r l:r cumF,le.trtcit lrrri :

.1) /i'-- t71i0" ,:^ii ;b) (;1"),^:.A;c).,1_U:1.,,- i, A ) A"_=0:rNj {{ l.j B)" _, | [] /j", (.1 n fi)" - .,1, LJ B" (rcgulile Di h,iorgan). ' '

li. 'r;i r;r' r,r:r'il'it:c ,:;i rlifcr-t-.nta a. ,loui rlluifimi are unni"toaretre pi:oprieidfi,f

,,) I t] t (,4f'l/r) .(.,11)B)\IJ;b):t\{BUC)=={l\e;h{a\C) ;,) | (/;11r'; (.1 ./i) U(,.1',\(") ,, t:) (A\.,l])n C:{1xClC}.f {BnCi:,(rl-)fl'..8;

(). Sil se.verifice urmitoarele proprietif i ale diierenlei simetrice a doud rnul-

{ tnli :

rr) ;1 A {1 : A, A LE: A" i e) ,'{ A A: fi, A L'A": Eir\ A LB : fJAl ; cl) A L(BAC) : (A LB) eC ;

r) r n (Bac) : @n B) LiAn c).

10. Sir se d.emonstreze c'a:

a)Ax.B+b<>A+A;iR1fl;l,i , t ts:B x A<+A:Bic) (A xC)n (Bxlr).- (l n a)x(Cn D)"

ll. Dac;r AnC: Bn C ;i A UC: B\)C, sl se arate ci A: B'

12. Se dau mul{imile A = {a, b, c' d'r,J} 9i B - {tl, t,f, g, k, k}'Si se deter'

Ittittc mullimea X astfel incit ALX:B't 3. Si se deterrnine rnullimile A , B, E (A, B CE) gtiind cI

AU B : {c, d, e}, A": {a, b, t, .f, g, h}, B": {a, h'', f, g' h\'

14. Si{ se arate cI:

rr) (lfi B)n (,4 UB')" :a : b) (,4 UB)n A" : Ijn A"'15. Sir se demonstreze cit":

;,) ( U A,) x B : l) U, x. B). () A,) x B :"n,(li x 13) ;

r€r iJt i€r iel

l') (U A,xB,)C{U A,)x(UB,). f)-(A,xBt}:1n.A') x (.O.Bo}'i€i -

'idr " 'tEt iel iel icl

10. Si se scrie elernentele mullimii A x B x C, in cazurile:

;t) A : {r, z}, B : {*, b, c}, C : {x, y} ;b) A: {1, zI, B : { : {a,b1 c}"

1.2. Rela{ii

() rt,lalie p in mulfimea M este o submullime a plodusului cartezian trl X XI. Faptul cb

(r, 1,) r.. p, se ma.i noteazir frPy. A relafie ln ilf este:

rr) rcflexiv5,, dac5" pentru orice x e NI, arrem lPx i

l') sinretricd, dacd. tptt + yPx;

t) rrntisiuretricd, dacd rpy qi ypx * , * |

rl) tr:rrr2itiv5, dacA .rpy ,si y,oz + xpz.

() r.clatie p car.e este refiexivi, simetricS. gi tranzitivd se rlumegte relafie de echivalen 6' Fie p

rrlnlrt|iccleeclriva.lenfdpell{.Nlul}imeaLx]*{yb|eIw,ypx}senumesteclasddeechi.ralen}5lntrtplt l ctt P.

tl r<:ltrfie p in Jtf, care este re{lexi-2d,, antisimetricS gi tranzitivi, se nume;te relafie de r:rdine

It.i ill, iirr perechea (M, p) se nume;te mullime ordonatd.. Dacd (M, p) este o mulfime orclonatd

+l lrr.rrlfrr rrrice z, y e hI are loc rpl sau ypx, atunci (J}{, p) se liume;te total ordonati.


I l,'i,: Xll : R x It. Sl se arate cl relalia p in futr, de{init6 pri-r,(ar, bt)p(ar, br\ a + rrr (rj, csto o relafie <le echivalenl1'.'

ir;:rluutt. Iividt:rr1 rr:kilia p r:ste reflc-riv5, deoarece (ar, br)p(at, &1); este simetricd,, Ceoarece

fes, 1,,)1r(,rr, t4).+ (us, b")p(at,.br); in sfir';;it, eslc trauzitivh,, <Ie<.rarece (ar, br)p(nr, br), adic6 Q : dt

gl (,rr, lrr)p(rir, lru), tulir:li, aL'.: (tit, ilrplich. (ar, br)p(a", Dr), actictr d1 * &s" Deci p este o lela{j'e do

I lrrrrrrtlliln,r rrrrrrr, 1,lrrt rlrupl,..,,, I ,,.,1, 1r1,.,,1r.tr.1 ltt,lr)l)t 1t:tQ,1z<.+izll :lc" i i r ,r .lt:tl' i i ., , t, rr t,lilr, rl, ,, 11,, r1,,1(,r .,r

,,,r':;\,'lt;\.1.i/,t:zc ciasele'de,rltt 'l ,,t,l: . ':- :fi ,.:.,. , i i, lrlt.r r, , ,t, r. ll,,,r:,t, .,rril,,lrrrri. si trauzitirS,, Irrin urtnare,:, i. , rrli. i. i,i .rt ,,1f, I 1ir,l ,l rr | : r , , l,r "r. ,1,^ r,,.lrivir.lonf5. l;r] este mulfirlrea [:rl _.t .,rf tr,., ,, t1,r,r r li1,,,i l1J ,r,;r.trrrrr:i lzrl:{{x,y)lrs+y::re;.,ailica

r ii. r I li; t ,trl. ,,r,,,,1, ,,11, Jll,t irr ;rl.rrt llt (tcrr) r;tr c.rLtlttl in Ofigine,

I i, l l,r, /,, ,l ,,' r,,.1,,{r., p .,1(a, a), (b. b),-(c, c), (a" b), tl), c), (a, c)}.,1 , ttrl' r 'r ,, i.,,1,, ,, ri,l,t(rr,,ir,()1.(lilrtl tOtali pe AI .

i'"t''

l'i 'lr,ll,lrrl ttt,tt irtlii r:,i, rcl;r,tia, p este o relatic: ck: orr.liut:. ln baza clefiniliei reta-li"i r' ' :"'l. r,r .rr,,r.irit, .rrr: rrrfr.ri'u;i cle.arece (x, x) t= p pentru orice n e .M. lreratria p este,f lllr',rr,, rrr,i ,ll,ril.lr'( r., rl;r,<;L (.r, j1l) € p gi (y,

")e F, atulci .v :1r. gs verific5 usor cA p este gi

lrrrlr' rlr"r lrtitt rrrlll;r.r1r, p cslr: o relatie cle orcline. Apoi se obserrd, cir oricare do'I 4intre elemen_t'.lr ,, /t, ri :i. irllir irr rr,:lat_i:r p 9i cieci p este o or-cli'e totali.t pe.4,1.

1.3. $tructuri

Se nutneste grup o mulfimc ne'riclli G, inzestrati cr: o operafie hinarr irrterrtr, o : G xG + G,:.ai ;.-tlci;id arxiorrrele :

1] (xoy)oz.: xo(i)az), Yt, 1t, z € G (asocia,ti,ritate) ;2) 3e e= Glxoe - eox : :v, dx e 6 (e - elemerit nculrrr) ;3l V,v e G, 1x' = Glro{ : x,ax - e (2, _ elemerrt sirnetric pentru r)"l)a.c5, ll grupui G are loc gi axioma

1) toy: yctx, Vx, y e= (i (corriutativitate),atunci grupul G se numeste comutativ sau abelia.n.

O rnultime Q pe care sinf definite doud, oper:ifii Lrinare inleire, una arXitivil e : J.xel-*&,faf* de c:rre J cste grrrp al.iclian rina de inr''lfirc _r

1.2.2. Probleme propuse spr.e rezolxrare

',frjs",.or.,ric1eri. nrultim-ea ll,f - {r,2,?.,4} si rc.lafia p in tw,ciefiniti prin p .-. l(t' l)' (1, z)' (2, t), (2, z), (3,J)i. S:r se

'cririi-cci rcrafia p esr; i-*iri.e

;;i tranzitivl, dar nu estc rc{icrir,;-r. ". 5' ln-mulfimea nuruerclor intrcgi Z definim relatia tle congruenfL modll*w(tit e= N), ,, = rnod,yn,, , frln a -_= blmod, m\ *- a- _-i ,- *.-SA se-araie ;[ ;;;;;i;rcll" ie este o relaf ic de eihivarcnfn 9i si. se precizcze clisele a" -rrrirrii""F. ""-""'"p; l'-ie. P o reiatic ir.r nttiltinrc:r ,11, simetricii- si tranzitivS. SX se arate cf, <1aciptrtttr-n orice a e M existii tt.' €: JI astfcl incit ,r,pn,

"",riiii feste o relatie d; *;iri^valen 5-.

,__7,. L,i, pi o.relati{j in_nr*ltimca X,, I : ,l_, 2,,......t ?x, $i p o relafie in mul}imeaprodus cartez-ian X I, X XrX...X f-, ,_l,,liniti'frin(xr, xr,...,x,)p()r, t,,..., 1,,)** -\:igi).r., i- 1r 2,...,u.

5i.':r-'arate c5- p are una tlinproprietir ilc: i.-r:flc-rir,'r-r, siruetricl, antisimr:trici, tranzi-tirj, cinaci Si.numai da,';i r-r'lltir'1,, p,, I - I. Z, . . ., y,,,,, accc,o;i pruprl"i,, t",8r In muitimer M,: {.?. f, c, Ql se <lcfinc;te rclatia p: {6" d, ft,,h}, {c, c)"(,1,Yi),^ (a, b),' (b, c\, (c. t't\, 1rl, a1,r'. [ri"

".".,rtao relalie de ordi'e ?

i9' ln rnulfimca nurncrelor rta.turale N se considcrir relatia g definitiL prin ,x <(-1'+> ls e Nastfelcirrr: r -l-:.s[searatecl" g r:steoretaiiedeoldiietotali

pc N.

.t) (.rQy)Qe - I'ATA:), Yi, y, z ez J,t,) .r,Q(y@:) * nAy@xAx, (:,,(}.)O.r :1,()x@t,ex, y*, y, x e g-

rrrrrtrtslr. inel,

It;r.r;ii, inntultit-ea este colnutatiTl, inclul se numegte contuta.ti.z.lill corp /i este un irei in care elc,ntentele neuule fornreazi un glup pentm irrnrrrltirr:. Corpul ff

rrrrrrrtste comutativ dacir eI eslc incl cornutativ.

1.3.1. Probleme rezolvatel. Sc considell rnullinea G -

.{(xt, xz'} I xt - It... f 0l, .a-" e }il gi ope-o, clcfinitir astfcl: (.ur, xr')"(lr, l r): (^,r.y." rz])r-l ll:j. Sl'r .-" ,,..i,, ii iri..,t-G formeazii grLljr fat:r cle opcratia dcfiniti.

ti, rt111117's. 4.1 g9_.:*l-1yl-tp.--1-"-. Avern [(xr, xzjo(),r, yz|)o(:t, :) : S::r1'r, :rr1i 1 1,.)o(:,, :r] :{rlr'f .i1, xrytzl * 3'rzt * zr) qi (xr, x")ol(yr, yr)o(z* zr)) : (tr, xr)a(1'r:r, 3t,:, I, z2') : (:rfrf1, xrlr:1*I I l-:r). Courparind celc dor:5 r"ezultate, oblinem asocrativitatea.

| | ,,t:,g'"A. - 4-g-11-l1-1. Ciutim"

: (tt, er) e. cl(er, er)o(rr, x") : (xr, t,)oQr,

r, ,,,) e G. Oblinent (xrer, x,e, * e:) : (*r, ,r), cle uncle cleclucen c, : i, g" : fl

' t,. Accst elernetrt satr:s{ace egalitatea ceruta.i Icrnent sintetric. Pror:cdincl in mod ast:rni.nlitor ca in cazulclcnrentului

.. \ - /,. - \ri/-

\r1, ,2/>

si rlcci e: (1,

rrr:rrtru, se gir.,

l, ;rq.v1{v11 c:leme:irtul (xr, xr) eG ciernentulsilnet.i. lr-l, - " ] = "." ^,)',, ('llserv5. cd G nu este comutativ.

.f. Nluitimea J-: {x: x, +"/Zxrl

x,, :r, € Z,t formelziL irrlj falii r1e (}pera-,rlrisnuite cle adur:are yqi inurultire a.1e nulncrelor l.i.likr.

l"t:.,t/ttare,Se ver:ifici axir,,mr:ie: J) (r1-y)1-z-a. *3,r*;r-l-.,,'{,,+.r,2 lz2) :,r_ -(r'le) ;2)x-Fe:e*x:x+..rr-l-'_\+"/iirrj,ez') :*r+1flrr--.>er==0 j e,:0.+r:*

,t;3)VxeQ, lx'e/lxri. *r:-JZlxr*x"):0=r"i: -rr,.t: -xz,circi r":-::r--Jr t 1, *xt+lr+14*r* j'z) -..1 -l-r;5) (x.y).2: [.r,r',-i.),"u" ...'-: r-..1., 1x,-1,"\ -{:r:."./t^) ei,t', 1 I 2xrynz2 * 2rry2z2 -1 2"r1,rr"-,r/2t*tltzz l .11.\,22) + xiltrzl+-ti,,t22zJ':t .i,l, .z) ; o) x.(1, 1,;):1,, 1 Jz*r) 'l(l'r * r) +r/4y"* re)l : rtyr-l'n{l i Zxzlt,-)y,2x,:" t of 4.ru;rr p rr:2 -1

'y2.j'1-r"

',, ,) -' n" + x'8. Similar ty -f z).x : .x *:..r. Fr.in urllar€rr J eslr: irrr:}.

',,, olrscrr,'5, c5 i] este inel cornutativ, decarece ry : )j.x.

1.3.2" Frobleme proptrse spre tr'ezol\ra;:e

l. Str se cercetez,e c1aci. nrultimea numerelor reale It, ?irzcslrltj ru t,ircratia c,.

lrrrrr:i lrrin xo a x + y -f *i, formeazS. grup. tr)ar mulfimqa It\. {-i} ?.'''-l l,it: A : Jx 4- i yix, * ZI. S[ se aiate c:r. in r.aport cu operatiiic de a.,lu-

:,,r irtniul .ire a numerelor complexe, J este un inel ccnuttti\'.l', l-'i sc arate c:i multinea I(: {x * i y)x,l. * g}, inzestrali (u opefatiile

gi innlullire a lrumerelor coruplexe, este un corlr ccnrritairiv"

tr. irr rnulfimea numerllor reale R se definesc operafiile intenic: ,r @.y .-

r IJ,- 2SixO-1 =.=j:r.y-:,-J

Of3,operaliiie.l-9i .fiinrl opcraliile

422,r,ltttull('$i lnrnullirt'a Irlurcr'('l()r rcale. Sii sc aratc c[ R inzr:st.t:].ti c11 colc dou6cstc r'or.1r c<rntrrtirtir'.

2, EjLaRtrENTE rlg ArGEB[*a r,SNIARA

2.1. Deterrnirean{i

Fre A - {1, 2,,.., rz}. Vom nota prin /p,, nulltmea tuturor grupurilor caie se pot

cefe n elemente, doui, ginpuri o.r,re.tre diferind intte ele prin orrlinea elernenlelor, Un

P e (1r,, se numegte perrttutare si se noteazi. astfel:

/t 1...,,\l) : N I .

\i,i, ... i.,/

I)ouf, elenrenl.e intr-o pt:rtrtrttare fortncazS. o in'rersiune <lacf sint asszate ln

,'I l. '. 'r\accleia rlin perniutareir plirr'ilr:tl;l U -- { l. t iirrd data perrnutarea P r=

It :...,r/o(P) nilrrri"rul tuturor invr:r:sinnilor lui P. Se nulte;te signatura lui. P il':mirul

Se numeste detertrinant de r.rrclinul tz truntirul notat prin D - det(at'), i, j -lrrrit

lrin

nrdinea

iD.,iu" rn

e(P) : (

t)

D : : e(P) ar,, ar,,..t'e./) ,,

Priu transpusul rlotentrinantulrri D se inlelege

coloanclor intre clr:.

l:'rin nrinolul cortt;rlementar ai elemetrtrtlui ar1 se iriteiege

notat D,1, obtinut clin 1) prin srtpritnarea.liniei i;i a coloanei

nuur5rul dr; - (- 1)'1'l)r,. ,\"zern

112... n\o,.,^,P--1 . I

\rr1".-. ?,,/

cleterminantul oblinrit din -D prin schi

determinantul de ordinul n

;. Complementul algebrio al

n Ii f0;1i

I n*ror -. 1)8;., )a*,*,t: Dd',/, ;rr: l.' . ' '.'li.:1 lt=-l r,l, a.:y.

llcntrl i:j ob{incur

Iln

Eo,ro-rr- D' E{12{t';p: [), i * 1,2,""" n'li: I k:1

forntrrle 11e rlcz,roltare a, determinantulni dupi, eiementele liniei (respeotiv coloanci) z"

Fir: r { rr. Se rturneSte minoy de ordim r in D rtn determinant M fLrrrrrat cu r linii 9i r

ntittor conplementar minomhii,Il1 cle ordin r, minorul N obfinut din /)

prrinrtreacelor r linii 9i r

coloane ale lui l-l'1. Complementul algebric al rniuorulur ,4y' osto ttu

::" (* l)s(ri/',V, s(M) fiincl surna indicilor liniilor gi coioa,nelor care cleterrniuL ,44.

Teorema lui Laplace. Deternt,inanlul D - det(a1) este agal cu sum& prodttselor'rninotilol

lini.i fixate Pr'in conxflemenlii lor algebriai.

I-iniile tleterminantului p - tlet(a,;) sint linrar dePcndenie tiacf existd constarlele retrleli'

* 1,2," '' t', nu toate nule' as:1{el incit-) }'ia'1 * 0' j - l'2'" '' rt' f)elcrnrinanlul D este egal

/.l'tro clacl gi numai daci .liniile sale silrt liniar depentlente'

I)eternlinantril care are toate el.ementele de sub diagonata principalir sa.u dcasupta diagonalei

egale cn zeta se numcite cleterminant de {ormi triungiriulari'

2"tr.1. Problerne rezolvate

l1 Z"'it - I ir\l. Si se dt'tcrnrine signatura pt'l'nitltirtt /': I . I

\tt n - 1...2 l)

Rezoh.nve, Perrnutarea P prezintd, 6{P) : ('- \ 4- (tt - 2) + "' 1: (tt - 1)n'i2 inversiurri'

urmare, €(P) * (- 1)n(n-l)/2.

2. In clezvoltarea deterrninantului cle orclin pirtru, sir st: scric tcrnlctlii cic forina

11r(t(12.1G43 9i tlc form'd 6'1;&2ias1d 1v'

llezolaaye. a) Pentru a determina termenii de folma dpa2raslatt tre'buie, in baza fornrulei (i), dli'

in eo perm,ttd.ri de rorn.ru [1 i : 1] . Curn i 9i 7 nu pot luzr dt'cit valorile 2 9i 4, obfirrem

\iri3Jperrnutarile p1 -ll2

3 i\ ci rr -ft

i:1. f)eorir,:tv s(1,,) :(-1)':1si e(Fr) - {z t r ,l "" 2 -

[+ t z r,;

l)t : - 1, oblinem termenii * an azt asc ess li *dtr azr dsz ott'

b) pentpr terrreni de forrna dltazt aaka' ci'td.m perm.tirrile de {orrria I I 2 -1 4} l)i ,)ar..e d- ?

\i 1 n tllpotluaeumaivalorile2,3si4se oblin termenii -dlzoztaeton) -{trdzq us2a41i -il14a22a33&rr

arrar*aeaaill * arzdztar"{t41i + aua2taalatt,

3. Plectnd de la definifie, siL se demonstrczL- ci-I

lur,() ...r)I

1c.,, *"...0 l-l',' ::"' i :,ftr A.::,..,1o.,.

1,,,; .;,. ",. 1

Ilezolua,re. Deoarece fiecare termen din sunra (1) confine cite rin elcrtt':nt cle pe {iecart'iiriic',

eb pentru a, avea terrneni diferifi rle zero trelruie crit i, si {ie 1. Jrrirr urnlarer l, pc':r;e lua

2, 3," ', r* pi cum aat,* A pentru a, : 3' 4'" '' n' rez't]r.| cYd i2 ='- 2' Itaticnintl in tii;est

urai d.eparte, otrfinem c5 lingurul terlnen cliferit de zero este acela coresp'unz:itor pernlrrtirrir

4. Sir se cal.culeze complernenlii aigebrici eii elernetitelor tlctcirr.iinartului ll :I 2 3l'1iIttl-n -s 0.1 9i si se veri{ice formulele (2).

I z 7 4l

llezoluure. Folosind clelinifia, aven all * -- 20, d,, o * 19, cr1, " * 5, ctn == ?'4, u"zz'* 1S'

* 6, 6{s1 e * 32, ar* * * 8, crl,: * 8. Forrrtulele (2) se scriu

rag1n17 f a6u2, * Qtsuat - -D311, allcrtr * uz$n { as{i4: D8,t'

l)o excttrplrr, pcntru d * 1 gi 7 - 2 treb,uie sd i"eriJiciimcd

r1110t12 -1- cz12t2x -i' drtdsz * 0 9i arrar, * aatdzz -f aq1as, =- <)'

vr,rrr : 2( * l9) -+- s.10 ..1- (- t) .(-8) : 0 si 2 .21 .1- (-6). I0 l- 1.6 - i). :iinritrar se ,rerrficS I;c|tru



5' Folosind reducerea la forrna triunghiulari, si se calculeze determinantu

D:| 2 3 1l

-2 t -4 31.s _1 _t 2l4 3 _2 *li

Rezoluare.

D-

Folosind proprietdfile determinanfilor, obfinem succesir

: : : 1l ll2 3 4l

l,z 3 4

-3 -; :i ;l :13 _,; _,; _i,q-l; I _; i:4 r -z _'l lo _5 _t{ _t7l lo o _tz _6

lr 2 3 -illo 5 2 rrl

' :lo o -i i'l-t'5'(-6)'(-:o'-e6s'lo o o -iol

ln penultima egalitate s-a folosit raptoi c), valoarea unrri determinant de form6egalS cr: produsul elementelor de pe diagonaia principalii.

6. S5" se caLculeze determinantul Vandermonde.

: (az - atl@a * at) " . .(a, - ar)V,a(as, aa,. , ., aoll.

triunghiular2l es te

Rezoluave' lnmullim rinia n - I eu *a, gi ad'ndm aceasta la linia ny apoi, larnulfim li'ian - 2 cu -ar 9i o adunitrn la linia n - l; ;.a.rn.d. inrnutfim linia lntli cu -nl gi o a4undm lalinia a doua' obfinem apoi, prin dezvortare dupi elementere coroanoi intii,

I:l a" - d, on * dr

o *"(n, - ctr). . .af;*2(an - ar)

Frin urrnai.e,

V,,(a.r, a2,..., an): (as * at)@a _ et).,.(ao _ ar)Vn4(a2, as,..., a^).

Similar oblincnr

V,.-r{nz, es,. .., a,): (r, - *s)@i - dz}...(a, * ar)Vo-r(au, o*,.., an),

V"(a,_t, ao) : (a,, - an*t).

?nmulfind mesrbru cu rnernbm acoste re.Ia,fii, obf.inem

v,(ar, hr,. . ., d,):

(* -:,,f : Ir . . .ft: ;j ;

x (*r - &t-t) -n

mt' i-rt>j

(ai - a)"



7. Fie Dn: det (a,,);iD, : det {tr'-ra,i),}. e R\ {0}.Slsearateci D*- 6otvie-P\{0}.

Rezolaare, Scoatem factor forfat cle pe coloana i (t: l, 2,..., n) pe tr,-t, astfel c6obfinem

\ (n- I )+ (n-3)+ ... + I + ( 1- ni+(:-n)+.,. +(- 1)n̂ _. ut.

8" Si sc demonstrcze identitatca

Rezolaare. Deoarece determinantul este funcfie aditivS, de elementele unei coloane, prin descorn-

grunere in sume de determinanfi, obJinem

lu+oc

ldo-rbl

lab c

l++, /+t' e -sl:zle s v

ly +, z+z t*yl l, y z

lo+t c+d a*bl ln c+a a*bl lc cl-a a-lbllu*, r*P p+ql-lq vtP p+ql+1, r*1, p+ql=-...ly+, z+r **yl ly tl-, *lyl l, z+x ,-lyl

: l; : ;l.li i '). . l: ; '):.1; i il.ly'*l lry ri l2 x yl l. , ,l

9, Iiolosind teorema lui Laplace, si se calculeze determinantul

tl r o o o 2i1

ijo r o o al"Dr:i* 0 .r o 41.

lx x 0 I 5l

lq,*oPqlRezofuare. Vom dez.rolta determinantul Du dupSpfb9hdp.u4-[qg..Qe pot forma Cf, - trO mirori

ordinul doi, cu elernentele celor doul linii. Diferili de zero sint numai rninorii

M,,:l; ?l: ',*,,:ll:l:,.'.*:il ,,1= -

algebrici ai acestora sint t

11 o 4l lo r oltt'rr: 1-r1la t 5l: 6 - ux, rw;u:1-ryl* o 1l -

l,o 6l

l-, ol

- - n, *;,: 1-r,,1.. ; ll : x -xa.l. , ol

10. Fie detenninantrrl

lar, ar' . . ., eo) :

ar I 0 O...

-l az 1 0...0 -1 cr:t 1..,

0

0

0

1l 0 0... -*1

lor, *n, . ,, w,',).lu,, da,..., ao): lar, az, ee)'lqo, ar, ..., e,) * lat, ar].

Rezr.,Luare. Vom folosi teorema lui Laplace, <Iezvollind cleterrninantul clupd, primele trei

Singurii nrinori de oldinul trei difelili de zero {ormafi din priurele trei linii sint:

Mtzs :ar I 0l

- 1 az I l: Lat, ar, arl, tulrro:0 -l u"l

: ar, L'I,.tt :r 0 ola- I 0l:1.

-t dr llCr:mplr:rnenlii algebrici ai acestor minori sint:

dt 1 0l

-1 n2 0l:[ar,ar],o -r rl

Mrtt:ar 0 0

*1 I 0

0o"1

.11;r, - (- 1)1'

.ilq I 0...0

-1 ds 1...0

0 0 0...a"

: Laa, (t8,. . ., arl

r 0...0 |

a. I.. o I

-r "" 0l*'o

0'.,;"i

riJ

L- -)

iL

?.q 567531

: fau, cta,.. ., an\, fuIi"o: 0, Mt a * (1.

Frin urmare, dupi teorema, h:i l-aplace obfinern i<lentitatea cerutA.

11. Se se calculeze valoarea pltratului determinantului :

t?ezotoare.o".", r? : I; 3 3 3

I - r'.

l0 o 5ol

lo o o 5l

2.

12. Ctte inversiuni

, (t z 3

"'tr t ,

d\ (t 2 B 4 5 6'1'\9271854

1.2. Probleme propnse spre rezol\.are

prezinte Jiecare din permut:irile :

45\ ..trz 345'i ; c) fi t.i,

z3)' o'trr54:j\ujr

: :), ", (: ? ::Z\',]' ) l

.(t23456\t)

6\.4)'

() '1.

8\

,l;n



{3. Irolosind defini$ia, si se clezvolte urmS"torii determinanli :

a) D, :lno, oo,I r b) D, :li':: :;i lI

|, .l ,^ :lrii ,ii ::: li,lo^ orrl

ior, dtt o., Il:"n', ;"r:* dta 4rt

.4" lio osind

Dt:

ile{ini ia, si,

1 -.5 zl

r ) rl,t,4 -.j ti) b)

calculeze urrnltorji determinanfi :

z L -2 7l 13 5 4 7l

8 3 : ll. .,lt ll10 sl

6 3 z tl" /lo o o zl'ro z ) ol lo -5 o 7l

15. Si se scrie termenii cle forma t41i&x{\1 clin dezvoltarea deterrninantului

de orclinui 3, precizindu-se semnul fieclmia

16" Si se scrie termenii de fonns (t,1ia21&sfiss,avind semnul plus' din dezvol-

tarea rleterrninantuiui de orclinul 4.

17. Folosind clcfinifia, si sc aratc ci

l"r,atz att ar4

I dzt dzx dzt dzt

lo", dtz o o

lno, tutz o o

lou, daz 0 0

18. F-ie

4 5 3l8 I rol, D":tz 3 1l

z t -2 7l8 3 5 4l n6 3 2 t\'us:ro 2 2 o[

4

1

2

J

al

1

0l11._t'rl

4l31.2l

-11

deternrinant

arsloz,

I

o l:0.oloi

ls a z -11

tll | ', - jla"pa elementele coloaneiadoua.

l*d5-411l

1l:t*+ 15b I tzc

-

l9d', dezvatttndu-ldup5

rl

c

d

II

I

I' c)

I

I

ta'

0y0e n

2

-t3

-4

3243l4t2

e)

I_)

3

4

23l-4

*4 -1.1, _,.

fiecirriSi se calculeze cornplemenfii algebrici ai elementelorgi sd se verifice formulele (2).

19. Sd se dezvoite determinant

l1 -:120. Sl se arat,, ci

il

-;:l: -r 4

elementele

21. Se

a)

iiniei a

se calcu

lol-t ..I'["0

treia.

leze determinan

l -i 0l

i ; -;l'b)i -1 ol

13 6 4

lo s 4

d) lr 5 3

Itz 9 6

i: ..rt.

l1lrt'-lrla)

IzJ

1

2

*35

0,

0

0

u

- 1 -6 I

-5 -131,-2 - 1l'.i rl

b

0

z

h

triurrghiularl,

r tl0 2lr rl; c)

-2 -11-6 0l

a)

22, Folosind reducerea la fornra si se calcr.rleze deterr,ninantii

1 2 (r I I 3l

-r -l o 2 -i -'1o r-r , i -;l2 3 I -l , tl

-t -3 I -l , ;l3 I I -l , ul

egalitiitilc:

2 t -2 7l8 3 5 4l53

"1,b)0 z 2 6l

'))-1 -i _3

t2l3124

-)a

23. Un determinant in car.e ai1 : -a;i 11 ait - 0 se numc;te deterrninant strimlosimgtric sau antisimetric' Si se calculeze valoarea deterrninantului strimb sinretricde ordirrul 3.

Gene'ralizare.oricedeterminant strimb simetric cre ordin irnpar este egar, clr zclo.

I i :,1, . fiinc rltlicin;r t.ul,ici cornple.ri a urritijtii.r (d" <,l

24. Se se calculeze

25. lidri a se .-lezvotrta,

si se

la l, c

n) 1,, b1 c1

lo, b2 te

la-nc) ja*,

l,-"

a -b-dt b1

. dz-bz

P-qq-vv-p

1

b

br

b2

I

c1

a2

f)

rlernonstrezec I l"

-" j; r') jlt+ I IAd

I

lo d

.o; ar li :la b

0tI a ),,t a1 ),1

I ar|).,

I lno a.

l:l* b

I l"u c

b "l ltq r l--lurpbp ryl i.

b cl lo I

, bl lt {)

o "l:lt c2

o 0l lt bz

Ie+), 6+),D, * l' c1-l- ),1

bzl\n cr,l),2

o"l," Io'1.

llacq a br

9ru-p13 -v\*a

lot

ll a

I r a7

it az

e)

+ ...

rnonde

itorii

0 0l

0 0l6 0l

i:l

fez

nd.er

urn

6,0

5613010, f,

lr

m

0

6'5

1

0,

+

an

V'"(ar" ar" ...,6,)=

'*ndei,*V*(ar, az, . . ., d

27. SYa, se dezvolte

11

0a2riz 0

a,

b2 b3'\

(dtr, a2,. , ,,)"

an{i:

vr,

r ir

* a,)

cl et r:r:

26. S5. se arate ci

It I ...rI

lor az ,..an I

i .l: (o,

I' -' a -2 . . .an-z I

loi a[ ...aiI

,) este determinantul V

dupb regula lui Laplac

tr 2 2 r 15

il li j ? b)1,;

lo 2 o rl13,

illt

I7

4

9

0

0

6

0

o

0

0

0

0

LJ

944538

f t <o c,2.rlz I I t _z itl. cu,cu3 ll I r t

't-;ll"l 1"'i:l-' t i ;l

;i sd se carcureze""u,11",

'n",1.-1"1",r1,",t,*,1"r. t.'l

ll I Io o'ol12 3 4 r) {} {,1

., l; : it Y I lf,or15 1.5 24 I 5 oli,) 21 JS I 25 gll

efectueze urrnirtoareie produse de deterrninanfi ;i apoi si se verifiee..in calculdirt'r.t :

'l; ;'il i I ii -il',ft';ill::3;1,

? ; ?l l" , ,t I -1 -: -z :l j r o o ol

rili tl i'"1'''l-';

': li l_; ::il

isinasirra

-l i lsina sina 1I

c) lsinz -t sinej.fsina" r .inal.| -l sin:r sine.J I t sinoc s;nal

SE

pr

l1

lol1lo

c)

28. Sirrezultatul

29. Si se calculeze pitratul tjeterminantilor :

al.l

t.-b

I

al

arate c5;

lo ' bla) l" o ,l; b)

b o ol

I t I 1... r 1

f -r2 0...0 ,rl

.) I 3 -; -? : i il; ur

tto o

11 r I ),1

li i i li,^=*lr. I I rj

C

-dq

b

30. Dac.i. co este o ri.dlcini cubicii complexi a unitilii,si se

,rr,,ft;r,t':se cerii:teze <lependenla liniari a liniilor (coloanelor) qrmitorilor deter,

1 0 0i

2 t ol--r 2 ,l'

l-z _5 ol ll 2 lt

" ') l? : -,1; b) lo r il; c)" lr z _tl lr 3 2lj z I i _rl l: t , ;t

,r)/-,' I -j jl,"o j1 i _l ;l,oi I 5 o rl l; .i _.j :l

32. Si se cajculeze valorile determinanfilor :

art an-l dn-z

-1 x 00 -r

000

2.2. Matrice

o rnatrice de tipul (m, r") pe un corp 1{ este un tablou clreptL:nghiular cu ;I liuii si ti colo:rne'

{orrnat cu elerlente din K. Notd,rn prin M,n. n mullimea acestor tuatricc' I)aci' nt == 'i,sc sprtne cir

qnatriceil este Pilratd,.Un minor de ordin p ai matricei I este un cleterminant cle orclin p obfinut riin "1

prirr srrpri'

,mar9a a nl*p linii }i n-2 coloane. Se nurnegte rangul matricej''1 €M,n'n trurnd'rul rirrrg

A = r 4 nrin (m, z) astfel incit cel pufin un minor de ordin rzr,1

matricei Ieste difer:it de zero

pi tofi ninorii cle orclin P b r * I slnt egali cu zero'

Nurnirul maxirn de linii lir.io, independente ale unei tilatrice estc egal cu nutnirul irlaxiilr dc

coloanc liniar inclependente 9i egal cu rangul matricci^

Sr: riuntesc transform5ri elementare asupra lui ,tl e= fuI ,,, urtlitoarele operafii:

a) schirnbarea a dou'h linii (coloane) intre ele:

b) lnmullirea elementelor unei linii (ooloane) cu un scalar nentl:

c) ar:hrilare:r la elernentele unei linii (coloane) a eletnentclcr altei linii (coloanc) tnrnultite cu

ulr scitl.ll n( ilul.

Io:ite rnatrict:le otrfinute din I prin transforrnEri elenretrta're asupra sistemului clc 'reclori linii

(ccloane). au acc'la$i ran5. Prin transfornttrri elelnentAre oricernatrice A poate fi aclr'rsi' la' iorrlta

canr.,rric:i rliagoneLii, acjicir, o lratrice aJind toate elementc]e zero cu exceplia pritnelor r oletlente

de pe rliilgonaltr pr.incipali care sint egale cu 1; r este rarlgul nratricci"{'

]:iele,tl,,,,,,.Ategirrdp(<nt)linii5i4(<r)coloane,cuajrrtoruilorsepo:r'tefortna'orta-rriLle de tipul {p, 4), nunrit' o subrra,trice a llratricei,4. Daci liniile 9i colo:rnele alr:lse sirrt adia-

ce*te, se up,.r'"i"d, sub''etiicc:a este un bioc,ie eleqnente clir' .'l . irnp:ir{irea rrnei rrrrtrite iri cr'lule

tlreptuirghiulare icrrninci sutxratrice ale sale se nume;te partilronare. Egalitatea ;i opc|il liile de

,la rnatrice pot fi extinse la matlice partilionate in blocuri'

2.2.1. Froblemerezolvate

tr. Sr'r s{:) i:czolvc sistemui

2.\ -- .5y : ,4 i

-.\ -t- 3I' : B I

,:(; -i) ":t:

-i)'-{:i):l:i}

o\ 11 r ()\ .li l\ /1 3

il Ir i 'l--i,' I zl, A,-4.+,:lo r

tl\,,otJ\otrJ\oo

i\0)

Re:oluat'e. Ilin a doua ecualle avem

nrenr. Y:A+211. Deci X--3A+58.

5i

oj

X :. 3Y - B, astfel c5, inlocuind in p;imo' eoualie' obfi"

lnlocuind A si B, rezullf

13 *1r ll

15 :j'':lc

2. trie rnatricea :1 :

'trlezalaare. Atettr

Jl I

A,:.1'l:10 I- \o o

I i)tl se c4lc.l.eze An."' ln

r0[ 1-5

l1

i:

,. l.r --()l ,

^:

{o tJ -

irh

.,1r.t- 0

[0 I

J\

il

crca ce demorrstreazA formrrla.

3. Fie nratriccle ,;l It 2 lJ]aga fel incit -B : C.{ ? t' -- I 4l

fi;rrrul5" prin inducfie. Evident, pentru A : 2 aceasta este ade,

[,,r,]rulil tlc rn:Li sus. l'rebuie s,l, arili.m ce

1 )t r IA(h+ 1)

\,l 2lt '-'1,, , o*, I

\o n i )

irft+ l) \

'-i " l,ft-r- I I

1,1

Existi o matrice i$

I)enronstld,m aceasti ultirnlvi.rati.. Irrr-.supunenr rl I dlLt tle

A **t: A

A(A-1) \ {, u_

'l:l'ji B:{j

;-TJ

fr t

71141000

ti i o\/1 h

er:lo r lll\o o rllo I

\.0 0

Rezoluare. Deoarece A € [[z.s, iar B e M2.", cd.ntd.rn c in Mr,r.Irie c: i"yl. n"u]ia8:64'

\z tJ

cste echi.ralent5 cu sisternrrl x 21': l,2x - y:7, *3x*4y- - 13,. z+Zt: j, Zz-t:A,-32]-4t:5. Rezolvind acest sistem, oblinem r:J, : -1, e:1, t:2. Deci r&spunsnl esto.

irlirnrativ;i

^ iJ, -rl1r

"-t'' -) l

4. Sh se arhici matricele urmirtoare la forma canonicii diagonalS" gi apoi si secicdu'::i r"angul. S;r se puni. ln evidentl liniile sau coloanele liniar indepencdente :

' "4 l{) i' '' | -1 2 3 4r

r + I rs t\ | z l -r 2 oiar .4r= i,o ,, ,, izl;i,; Ar:l-, z. L t ,f

\ I 7 t7 .r/ I I 5 -B -) -l:i\j-7B9t3t

Iltttirrl.t'e. Vonr nota faptul cir, cloli rnatrice I pi A sint ol-rfinute una rlin alta prin tra.ns.l<rlurirli rlerrrentare astft).: A *IJ.

a) \'orn pnne in eviclenfi, ci:loancle liniar independente: din aceilst5, ca.uzh vorn face transfor.tttii,ri eJc:rentare astllra liniilor" .4,'renr :

c.

3\sl--l-

-r3 I

, 1)

:,ttc, t,t cQ ,ct

I 7 l- t, -.1.-t0 1tj + \ r\ rl l,'I l, I\ il rri li,\ o -i tri li \,,

ca c4

l0 1, -.1

lri, tlI

4()r 17 i I

t} 3J*l

a

3\rlnl:""'

01 02 a\ cq cl

I t / tt .)\ i'lo { to 1l i{l'Io.i ro 'l^"t'()

c" c^

711

-20 * 50

-52 - 130

410

(l cz

{.} ^l

-1 8

1{) l8

t7



l'nr:cnr rr,r":rrrn trarrs[orrnA,ri clenreniare asupra coloanclor. Averrr

_7, _t7, _3 114 1lr0

[t 7 i7 i\ (t 0 0 0

B,:10 4 r0 tl_lo I t0 I

' lo o o of -lo o 0 o

\o o o o) \o o o o

Prin urmare, rang l, : 2. Din matricea B,

de eremplu coloanele c, gi cr,

fi luate ca liniar independento

)(ise vede

_t _t

00110000

c5, pot

0 0 0.

I 0 0\0 o 0f0 0 0)r fi

-3r { ; I -: li - i?l-f-r -r ; r il--t6l r i-ro n-rof

r' \ .3 o z -4 tlJ,

-J,

Irt 1-1 2 3

ul 2 t-t z

'a":i"l-r 2 r r

1. I r 5-s-5/u\ 3 -7 d I

I -? - i -4

i3\i,',1:tl); :i t: : : 3 i

1 I 0 0 0 0t 1 I 0 0

I z i o o ol I z I o

-l-r -r -z 4 -rl-l-r -l i

I r 2 o o oj I r 2 .o\ i o z *4 t, \ 3 o _l-t

I

T7l)eci rang Az: 3. Din penultirna matrice se vede cI

lr, l, qi lr.

5. Utilizind' submatricele indicate punctat,pentru

' b) Vom pune in evidenli liniile tiniar independente. Vom face mai lntii transrornrS.ri elernentarecoioanelor. Avem

,-,4r / 1 0 0 U

ll0l I z 3 --5-4:l-l-r r r 4

- ttl I r 6-ro-8ll \ 3 -4 2 0

_14.

oot fi luate ca iiniar independente li-

s5 se calculeze produsul A.B,

l' 3 0: 2r 11 -l:4\A:l':1 :-llsiB:l: :':l\_i _;;/ \;;,/

Rezolaare' Fie A11 gi 811 submatricele corespunzdtoare partifiondrii ln cele doud matriee, Avem

e .n : {A, Ar"l . (8", B$\

-{AnBr * AnBn AnBrz * ArrBrrl

lA^ Arrl tB, Brr \ArrB' I AzzBzr ArrBn I ArrBr"J '

AilDn+o*u^:t_1, _:l ,: -'r).{_il.(5,0):(_'i _iJ,

. A,,8,,*A,zBzs=i_; -:l [;J.{_ii,:[_il),

\

AnB\ + AasBsl: (-l

AzrBn + A22822 : (- 1

-''ii -jj * ' ''o) : (r8

t4,

-3)'i;f+s'z:o'lt3 -3 16),":tii _j -t)c5,

-8),

fi. Utilizind submatriceie,ti)'u )'r) din sistemrrl

llez,Jtate. Itir -tr,: {32

- [r 0

"'== i:J' ":

[?,]'Putem scrie

sI. se calculeze perechile de necunoscut e (xr, xr) g

;.; ilt;l (;lr3

/rIl0\o

Ii,) n":o.:t'l 3J,",,*i; ?) "-il) "-ti,:]"

E"td et i:;) (ll - [;;]

*. iji; It',:y: i;]gi adunirrr la prima. Obfinem (.ln - ArrA;rrArrlx_

Gisim ,y : l1rlt: (_;J. Din a;"". ;;;" obfinern

Inraullirn ecuafia. a dor,ra co -AnAlzl- Bl A orA;1Is * de uncle scoatern X.

v t-l n l0)i

--.,, -EIi.' tll

2.2.2" Probleme propuse spre rezolvare

7. sii se de:termine matricere pitrate x ;i ts, cle ordinul 2, satisficind rerafiile

3\ l_-ty:( . t) , _zx+ 3y:f s -7\[-rz sJ' [_s _o)'8. O nratricc nilrii.ii /

.==(n1) eslc sirnetricf, daci (xil : 6,t,i, J : l, Z, . -.,n.\latr.ict,a ,4 este a"tisirnetri r,"'"d;L;";:r': _^o,,, i,-j : 1, z, . . ., tt,. Sdse arate c*rrrice inatrice pi.trata ,^:^l,"lt",a9i9o*p""e in,mod,urri..n

,o*" a doui. matriceltt;t,.:itn*trici yi rrna antisimetrici. 'ravuurrrv

Ld 5t1[ra a Goua matrlce,ru sc scrle descompunerea pentru rnatriceie

.{3 -l 4'l (-4 5 _rr

",t-; ; ?,j,'[ : j -il9. .Si se alate c.-r daci. matricea p este idernpotent a (p2 :p), atunci matricea .: zt) - E este involutivir, 1i;:-r,"n fiirrJ.;;;iJ"l'.,rJt"t").

n,,,rrl',i1l1"tttmatricea / este invoiutivi, atunci matricea r, : 1r + E) l? este idem-

c) Sf, se verifice cii urrn itoarele matrice sint idempotente :

{1 0 0\ ( _26 _Is _27\, pr:lo r ol,rr:f ti i; ;'t

\o o o) \ e s rr/'matricele idempotente d.e ord.inu doi.

r,,:{11 _:i)

cl) Si se determine toate

trO. Se dau matricele

,":{j

_i

:l,Blifi s<r verificc egalitirtea (A.A).C :t iiil'-(j ii;)- '4.(B.C).



,8.

ll\

-3 - rI

- 1 0l

B.A-Amatriceior

-sin.i,i .

cosx/

,1 1..

.ln r..e) I

\'\0 0..,(i 3r)'', (i iil'

I

11. Se dau matricele

r 0'-3\ [-t,a--l-r t olsi B:l 2.'-l It t

\ o z tJ \ I

ricele C : A'B - B'A ;i l):

calculezePuterea

de ordin

1a

n l\; r) fcosv

u' |.o i \srn:r

rrrmitoarc :

mat

SC

se cer

12. se

)

,3-2

o -lrlo z z r\lt -z -3 -zl\o I z l/i)",(iii)'.''[i

13. S[ se calculeze inversele matricelor :

a a2'\, u'l; c)

"){3 -})'',(l:

14. Se se rezolve ecuafiile :

t 1 0 -l\ { I (} 2\

a) AX: B ri YA:.8. unde':l-: i,:)u'u:[,-,1 I -j]

', (i ;) " (-: -i):ri -i)'15. S[ se aduc.i matricele urmltoare la fonna canonicl diagonali ;i si sc dct]ucir

,*"eii, &";"-;;;-i;

;;ia;;tt iiniite sau coloanele liniar indepentlente :

It 02\ (r -r o\ {-27 2 il)"i l-i : ;)'" li -i;l' "

i, 3 ; -l -r ;j'

12 13-,\ ij i:)'r, t:1 ', -1.-3 lll

o) [i -l i -il' ") l? : ', ,i ,ii ' ', [-i ',*',

-, -; -ll '\r -3 t 1,t \.; ; ; tz j7' \_i 3 -r -5 v z'

,2 2 2 1 I a1{:-" i-; -]:i\

-, [-l .i'-; I 1 il','r i-1-: ,-,u ,-il

\ i _: : _2 ;:jl 'l_i _i -i -':-: -il

16.Careeste,du;rivaloareaparametrului)'eR'rangulfieclreiadinrna-

tricele: , 1 1 r 1\ r: i -l ii { ', -: i -lti 3 --: il' u 1 -il: ') [-'i

17' liolosind partitionarea indicatr, sL se carculeze proclLrsul

{ 3 0: Zt tl -I i4r

l.t:r ,-lj lr s.eJ18. J.olosinci partifionar"" ,r,ut,i."Ior, s5" se calculeze inversele matric'elc

{ 1 I 0 C\ t-L l 0 0., I I I t,,) { :: i _:),b) {-: I i_i},.,{i ; l;l-rr-5 ,J \;1_;;) 1;;,;;;l

19. Se consicleri. polinomul P(X) : XZ - 7 Xz + 13X .- 5. Se se calculeze F{d}Pelrirtt

15 2 -jl,l:lr 3 _li.\2, -rj'

20. Iiie matricea 4: (ai1\ ,= 1t16,,o, unde a;1 : g,r f hpy t,1 : lt 2t...,N,"Si sr: arate cir det l : 1 J- $ /?. Se se <letermin e il-\.

i ,.I

2i. se consiclerir m:r.t'icea. c : (a,t), all: )igi1 J- y; d, j: r, z, ""."rva) S;i se arate c5" det C: x"-l.(x + ny).b) r. ipoteza o"':,,1

;--; ;;::;;: i'" ":-nente'1e

x{x ny}

' 2.3. Sistehre cle ecua{ii algebrice Xiniare

Un sistem rLe ecrialii algebrice liniare are forma

. ,.n,,r, - b,, ? .- r, 2,...,m, satt AX: B, (fi}j=l

u nde

{o,, diz...aro\_ /;;l { :\A : l u"t d:: " 'a':' I-t l'x:l,l ":lil'em &nz...emn,

\*rl \;. I

:t".llr::* 1; e -drentunghiutardac| m, r1o, pdtratic daci ? : n. Daci I 4 Sn

slsternrrl e.ste neclmogen ; este omogen dac[ B : 0. ${atricea .4 - @, Bt se numLstetnatricc cxtinsi..

o sotulie a sistemului (1) este un sistem ordonat de m numer.

l;), care, tnlo-

<'rrite i' sistemrrl (r), iI transforml intr-o itlentitate.

Sistemul (1) este c-gmpatib:4igl$Illgtiaci are o singuri sclulie li gsu1*Jrbiiare mai multe soTufii. laci nu arc nici o solufie, sisternul cstc

il.

Douii sisteme de ecuafii cu acelasi nutnir de necurroscute se numesc eclti','a-

dacd au'aceleagi soiufii. Se oblin sisteme echivaiente prin transforrniLri clc-

: 1) schimbarc-a-..p-Ld:*i .-e-c-u-4il:lsr; 2) innqlfir,c.a.unei e.cui]1ii--c"u.iil.-i ^ili:Ir

; 3) _1clu1-119q h o equalie a".alte-i egualii i-qmuilite cu ult sca-14{ nqtllll.Un sistem pltrat pentru care ranq A : tL se numegte sistcm Cramer. Olice

Cramer este compatibil deierminat cu solufia

fl

i : 1, 2, . . ., tt,, D : det l, Du == \ t-,3b1,j:1

a,1 fiind cornplementul algebiic al l:ui air'

Teorema Kronecker-Capelli. O condilie neccsarl ;i suficientir c:r un sistr.rtn'

de ecualii algebrice si fie c-ogip?Iibil este ca rglg l-ggg.:1-Un sistem omogen de eJualiiidmite;i sotulii nebanale daci";i qumai tilcriii

rang A < n.

2"3.1. Problerne rezolvate

1. S5" se rezolve prin metoda eliminirii (Gauss) urmitoarelc sisterne :

(zj,,

D

a) x, { 2x, * 3.t,

-

Zxo: 6,

2x, - x, - 2x, - 3xo: B, i

Qt L)w-

v -L)v-

4t'*7 T L.'z -.3 i

2x, - 3*, + Lrt 4- xt: -8 :

tr) x, * 2x2 * 3r', - .Yt - l,

3r, -l- 2r, + x2 -- ):n : l,7*, + 3:;, * :v3 -l- r;, -- l,2",)-2.r"-f ?r',- \i . I,

5.rr, -l- 5x, -f Zxs .., Z

c) rr-F xz*xs* ra: I,Z.Yt - .r'o-l- xr - x4:. Z,

x,-2.u, -Z.i:+:- l.

Reaolxaye. Metoda eliminiirii a lui Gauss consti in a acluce sistemrrl inifial la r,rn

valent de formd. triunghiulari,.

a) Pentru prescurtare vom folosi scrierea, sctematici a sistemului sub for-ma

sisteru ecbi-

n\ / L

-r\ 1o

:i;,l-

\:

6, ,l z 3

s\ lo -s -8tui4l i0 -4 -r0-s/ \0 -7 - {

tl. 2 3 -?-lz -r -2. -.1|., z --t )\z -.3 2 t

6r ,l 2 3 -2

-r\ do -5 -8 i,l-lo o I -z t 1'_4/ ,o 0 0 5i

I1

I5

6'

-o\l^.*54

I

--)). I

6 . x, Z.r" 3x" - 2xo :'1,

-+1 -5*r-8x"1 xn: -4,Jl- xr-Zxo: .i,

_ l0 / 5xn : -. llt.

|11

--5 *8 I

0 -ls 36

03618

)f1

-,-5 *8 I0 I --2tJz1



br Procerlind sirnilai, obfincr:r

fiir-ilil fi;.l j/ j){ri

,i.jl j} f;iri/ j)\5 j 2 olz: \ri _: _r: sl_:' \,, n i _;l "tl

Ave'rtr x, : gla , ,r: (t-Jo), .,., : ('-l "l , xE:d, * e R. prin urmare, sistemut666r.st, -i;rrplrr nedclnrminat,

) Avem

(i -: i ii ?l-(: :j :i -j I i)-(s j j j I :lr ecuafie aratd c6 0: - 2, ceea ce nu sc poare. prin urrnarc, sistemul esie incompatibil

. S."r se lezolvc, prin rcguld. lui Crarncr, sistemul

2xtlLxr- xt: 4, 3*,- xr- 3.vr:7, xt* xz{Zxr_ g.

2 *tli,: luare. I)coarr.ce ,:1, -l lrl- -20+0, avern un sistenr Cramer.

. ll I 2

('rlerrlr,le ar:rti ci Dr- -52, Dr:g, Dr: -S, aslfel ri ,r:{ , xz_ _1,

^_L,5-53. Sii se studieze compatibititatea sistemului ,4f : B, unde

(23

_1\

', ,:ii _j | ,:(j);b,{:fi; ; il .:(;) i

., ": [j .il "[;,]

Il,tlanye. Folosim teorema I(roneclrer_CapclJi. t

it) r'ang A : 2, .a,ng

./:

2. Sisteilul este compatibil simplu nedeterminat. Solulin sa este

-. 18 _ 4a\ (_3 + 54)xr :-T-,

*, :--'-r

rt - o, a € R.

lr) rtrng A :4, rang l': 4. Sisternul este compatibil determinat. RezolvlnduJ prin regulalrti ('r';Lrner oblinem 4r: 2, frz - 4, ls : l, xr : 5.

r') r:ing A:2, rang j:3. Sistemul este incompatibil.

.j 't' )i1s,:.deterrnine parametrrrl m eF.', astfel ca urm5"torul sistem si. admitf,gr solilllt clrtefltc de zero gi, in acest caz, sd, se rezolve:

rr --l- x, -l mso - xt : 0,2x, -F xt .- xs * xE: 0,

3rt* ro- xB* *t:00



Ilunlttaw, Eigturnul fiind pltrat, pentru a admite Fi solutii nebanale este necesar 9i suficient (4.

1 I nt. -17 1 -l 1

3 -1 -. 1 -1w*20-Z

solulia este

S. sa se rezolve, Prin

\* xz* xe: 7'

2x, - 8x2* xs: 11',

4x, * xn * }xs: 10 ;

2.3.2. Probleme propuse spre rezolvare

metocla eliminlrii, urmttoarele sisteme :

13It: *A, t(: - -A,

2;3.4Lr

:0 decim=1.

5

: -A, X.: A' Ae fi-4

b) r, | 2v, * 3rs * 4xo: 5,

Z.r, * x, | 7):3 * 3xE: I'

3xr'* 2t,I

x3 1- Zxn

-I'

4x1 I 3x2 -l 2*, * xo : -5',

b Zxr- xr* xs*3xul}x"-: 6,

6x,-Zx., l xi - xr-- -3'

-4r, + Zxr' | 3x3 - 4xn - Zxr- - 5,

, 7x, -f 4xs - 1xi - 3xr ': - 8'

xr* lxs* 5xu- xu: -3,

6,

-3,_5

-8,

Zxr- Zxrl xr- xq* x": 7'

' 4* Zxr:- xr* xi- 7xu- 1,

Lxr- l}xr{ 5x"-Sxol 7xu: I'E\* 14xr* 7xr-7xn{ llxu: * 1 ;

' e) Zxt*3xz- xB : Z0'

2**',;t

Ii * 4

" o:i.;= -'2",4x, 6x, * 7xe - 3xn== 58'

6. Si se rezolve prin regula lui Cramer sistemele:

a) ,cr - xz * x": - 4, b) xi + Jre -f 'r3 ==1'

Sxr- 4x2* 3){r: -12, Zx, * 3xr-l xs: 9'

Lxr* xz* 2(s: 11; t"L- xz-xs:-Z'

7. Si se rezolve ecuafia matriceali AX : B' ;tiind c5 :

u^:(1 + -i) ":t il ''':[: -,: :;) ":['ll'-z t

"'' 1\ 1 6\

.)e:13 nz -zf,r-l rl'''"\t -1 -l \-q)

8. Si se determine vaiorile lui ro 9i ru din sistemul

7xr- xz- xr+.3xa*Lxu:

6xr-Zxr*Bxsfrs:

-4x, * 7x, * 3x, - 3xo - 2x, :Zix, * 4xs -'lxo - 3x":

xr*8xs*Sxo* xs-



- '1.

te studieze compatibilitalea unde:

":[jJ'

c)A )',a,b,c,deF..

10. sl.i se detcrmine parametrii reari r'n gi,n,, astfel ca sistemul AX: B s[ fie, ornpatibii ;

a\ A:

c),*r 13Bl;l '.' ',-lj

5;t s() conditia ca sistemul

4x, 3r" f xt: 5,

.xr{5xr-3rr:4.

^.,,rp^z-LlB-"*9

.:[i],

istemului AX - B,

/2 -3 l\

u,.,:/ll:ll: ' -rl\.5 -2 -) /

Ita) l:l:

\s

{i,, ;) ":(_jl

j -il B:l'f,)

-t \

'71 l; l,) .t :

-nr-fI 1

,

t(lt

B-l'1,1" I'd/

I

IIt

1

2) nedeterminat.

9, m { rz aga fel ca sistemul

-y -L )v ,J,"t | -') tO Xf :'{,

Jf,, - .v" l 7x": 2,

axtt9*r-3x":zax,Vx, * Fxz * 4x": 7.g

fie sirnplu nedeteruinat gi in acest caz si se rezolve.

c) S,i se detcrmine a,(3

;;i iz, astfel ca sistemul2x, - 3r, + 4x" - 5xo: -1,x, { 9x, I dxe *. xa,- 8,

5x, - 6*, + 10xu { \xa: w

sl1 lie dublu nedeterminat 9i tn acest caz si se rezolve.

12. si se determine paramet'ul real 'w, astiel incit sistemul sinebiriaale 9i si se rc-zolve in accst caz :

2*, + 5*,

+x,

-Zxn=. Q,

3r, + :v, - 3x, 1- 4xn: g,

nl,xr -." 6x, * 4*u + Zxo: g"

fie : 1) incotnpatibil;b) S[ se detennine, a,

Lxr-rnxu-2x, :Q.

adnnitd solu{ii

13. Si. se arate cl clacf, 7t, j : 1'2' "" ' ra' este o solufie a sistemului ncomogcnnr

N *oo*,:bn,i:l,z,...,ln,iarxl, j':1,2,...,ra este solufieasistemuluicit'tro*"t

n

gen atagat 2) a,r.vt == 0, i: 1, 2, ...,'ttt, atunci xi -_ Tt * rl, I : 1, 2' . "' n"

j* I

rr:prezint[ de as.tttert.ir o solufie a sistemului neomogen'

2.4. Spa{ii vectoriale

o mullime T/, inzestrat5. cu cioud. opera{ii: una interni, adrinarea,, ;i una exteroi i'li ao

corpul K, lnmullirea cu sca.lari ciirr li, forrneaz:i un gpa,iirl*Jagglgggl peste 1{" daci :

l) (, + ) * z : x * lY * z), Yx, Y, ze=V ;

2) I0eVlr-l 0:0 j- x:x, YteV;3) VzeV, 4 * xeV lx+ (-tr) : (-') t : 0;

4)x*y:y+x,Vx,YeV;'5) ),(px) : ().J).Y, V x e V, V)', Pr e ./( ;

6) tf + P')t : tx { 1.1x, Y },, P€'Ii, VxeI/;V) I(z-f y)-Tn+)'Y,Vi€K, Vt,YeV;B) l,'x : x, V t eV, le I{.

Exemple' a) -/}/'^,,_ mul}imea natricelor de tiprrl (ltt" n) ctl r.1r'ttlet,ttelle rlin R ;

b) P(l) - mullimea polinoamelor in l, cu coeficienli rcali;

c) P,,(t),ncN - mullimea polinoemelor cle grad mai mic sem egal crr z;

d) R': {x, x:(x1, x2,..., x), td€R, i':,1' 2,"', tt}:

e) C - mullimea numerelor complexe este spaliu vectorial peste [t ;

I) F - {/: t0,1l

-R,

Jcontinud

Pe[0,1 ]]'

Se numegte .sgbgpg|U-*Y-e,*.g.4l al unrri spafiu vectorial trr orice parte 1/' a sa caie este ea

ins5,gi un spaliu vectorial pe acelagi corp. o subniullime v' c T/ este subspa{iu 'zcct'-'iii'l ;rl

lui Z, daci gi numai dacta )'x + tLy€V', Y x, yeV' 9i V l' p-ef'

Fie ur, 1r2,...t 116€v un sistem dat cle vectori. l\fulfimea v':Iu E=7,lrrr*)'rrrn*"'"1'

*\^u^, i,*f<, i: I,2,..., ilx| formeazi un subspa{iu vectorial al tui I/' \{nlfimea I" se nu-

noegte spaliu generat de sisternul de vectori tr, fr777 u-, izrr tr1, r42,, " , um :jt nunrL')te sislerl

de generatori Pcnlru .l/'.Un sisterndevectori u1,x{2t...,uneV esteljlia$lSp&g.gs}tdaciexistir scalarii lr, }'2," ',)',,e R'

n

5I fr ln 7 0, astlel incit

f:1 )'g1 l\euz+...+ )",,un:o'-.#.#

Dacs aceastS relalie are l,rc nurnai?"e L=&-:.,,*':Jo;-0 :i:t::'"l ":ttt."]{]'1t,itl*S*.I:dglUn sistcm ile veclori oln y, g6isfiirtie ii.g6;i a sltalirrlrri vcctorial v' tlacia:t:)"srstcrr'rri 'r' /(' -

tori este liniar inciependent;Sf;.orice att vector cli' tr/ este o combinafie liniarii rle vertorll s1:ite-

srului, Doui baze oarecare io-/ uo acelagi numdr de vectori. Numbrui vectorilo. urrei birzi: re're-

zint6 @9e$gs-lgggg]'I.iJaetorial"Fie s,: ler, er, ;; o bazL in

'..orice,/ectoiletr/ se descorpune in rnod lrirc sub,

{orma

* n frtat

4tre2 * .. .l xre,r"

Scalarli \, fr2,.. ', xn se numesc c.oortlonatele.vectorului x itt' t'a'za E'yie Vo un spafiu vectorial ,"ui. S"nume;te Ptqdlfsul*scalaulvectorilor 2,1'eVortunrirrttl rcal

(r, y) satisficind ProPrietSlile:

t/(', *))0, rt*eVn, zl 0 si (.a, r) : 0 penrru z: 0.

unui .u ector xe.Vn este numd.rul ltz t]: J AO.ln J?,,, daci x: {x,,x",..., ,,), y ^ Ut,,2,.. ., ,), se tlelinegte

(", y): xrlt * rzlz +...+ x,,y,,, llrlt: J4T;T+:.+A.,^^.'ôî^"::t*t,1" I:

sint qrlogonali dace prrl{yj.y-l- -9I-:.".iqr-,es1€-.'r- l*o bazi este ortonormata,,.udra csre rofnrara drn vec{ori ortogonali doi cite doi gi {iecare are nornla egarS cu i:--

2.4.1,. Probleme rezolvate

1. Sir se arate cL urrnirtoarele rnultirni sint subspaliivectoriale indicate :

ll :(,,),CP(t):.b)la(z, l, 3) + b(t,4,l) * c(t, _ j,c) ill/(Y): asin x + b cos y, a, b u lll C f.Relohtare. a) Fie z : ao * ai * . .. + a,tn qi,y - io -l btt * . . . * bnt,, e p,,(t).

Avern ir+vy: ()'d0+pb0) *(lar-i- vbt)t*..,.*Q,a,+vb,)ren,,1t1, oricarearfi scalarii ).gi p. Deci P,,(l) estesubspaliu vectorial.b)Fier:at(2, 1,3)+b11,{, 1)+ar(I,--3,2)silt,:ar(2, 1,3) +br(l,4, 1)+or(1,*3,21.Rezulti z\-' -' / |

^x,. ,J : (),ar * p.ar)(2, t, B) + ().rj * Fbz)(t, 4, t) * ().r, 4 gcr)(I, _3, 2).

cum l' pen' rezult6" c5' )'x -l- pry apartine mulfimii considerate gi deci aceasta este subspafiu,vectorial.

c)Fie/(r) :4sinrl-bcosx,g(*):asinz{dcosxFiX,peFl. I)eoar.ece},1(x)+Ve@)_: Q'a * 6r'c) sin x Q'b + p'd) cos r aparline mullinii, lezultd cd, aceasta este subspatiu vectorial.

2. trie sistemul omogerl c1e ecuafii .*,r,.,*, : 0,,i : 1, Z, ..." m.S1 se arate cI:l

frl}t-r""_:*titt:ill.j.,â:l:1"-, tyrîiri un subspa,t.iu vectoriat al spatiului R,.9?::1,

A.- tu;). este .nratri'." *rt"*"rui ;;;;;;;7:-';:';i;i.i'""X,l 'J'i; j;;.",,:r# f,lti',,JLo":r"endente.

toate ceteiali" ."rrdi,i";;fii"fii"; ':;;#;;Rezolaa,re. Lrie S nrultjntea soluliilor sislgnului omogen considerat, Evident, Sf It,. Fio_

r,,ec toriale ate spafiilorl

z)l a. b, c = Rl C ltsl

nx:(xr,12,...,x,),y:Ut, 2,.:., ,,)e . , aslfel 9a.X.o,r"r:0, i atilt:0,i:1,2,...,nt.nllr

tr)eoarece.). a,r(l.r, + p ,) : t, )), a,,x,,l_ rr )l eti?i: a,r- I .i7t iit

S est.e subspaliu vector.ial.orrcare ar fi l, g e R. prin urnlare,,

r

Fie r : rang. A si si presupunenr, pentru simpritate, ci, un minor "rf de or<lin r in A, diferitde zero' este format cu primele r linii si z coloane din,4. Atunci primele / ecuatii din sistem pot.di luate ca principale gi primele,'necunoscute pot fi luate ca principaie. Deci solufia sistemului poate.1i obfinuti prin regula lui Cramer din sistelnril

n

5- a.s,: - \-4

j =- I s .'r',1- I

.il

r.: \' h tL

s:r_l,l

i _.= t, 2,

I I

or,' ' 'ar;-ta1"a1t'r' ' 'at,lh.. . __l r

" | .1,

" lo,r...ort {trtsari.-. ..r,,1. . .. , ; s - r 7 1,. . ., n,

6gllr,l rd .rrl'rll.l gr rrr l'tl I | 'r 'lr lrlrtlrrr r)lll()l{('Il ('sl('

, ( l rr,',, ,i b,,x,,x,,,1,-'.,ft,|,s r1-I s:I+1

lt,l, , l" tBtttlltltlrl rltlrilt;rti' Olrserviln ci liniile matricei

lbr,,, bz,-.-" 'b ,'r L "U\

lur.r" b:,t.-...b,,-z o l'.01,t...1\u, b", ...b,, o o".tl

,rrlr{lrilrlrr rllnrl valori necunoscutelor secundare xy4t,,,t x,, reprezint|, solulii ale sistemului olnogen'

Ar r.sl"ir, sint in numjir de n - r, sint liniar in<1epen<1ente, deoarece rangui matricei solufiilor este

,a . r. I)acd, notirn liiniile matricei prin

x,, , : (btu, ... , br,, 0, 0, '.., i),

obserri. ci solii{ia generalS a sistemului omogen se scrie sub fortna

x - l,a,tfrL * xr+zxz : "1 x,,x"-''

SepozulespunecS,celen'-l,solri1iix7,x2,...,X,,'',Icrlrreazio]')a7.^asrrbslla}itrluiS.tin.aselrenca sistem cle n - r solufii se lurnegte sistem fun<1a'rncnt:rl de sohilii pentru sistenul orlrogen'

3.siiscsturliezedcpencien|aliniarirpentrusisterrreiedcr'cct.lri:

a) at: Q, 1, 3, l), vz: U, 2, 0,1), z'r: (--1' 1'

-3'1t;

,in1i4;

l:) rr:E-l+ 1t2, t'r:Z- t+312, ur: l-l- t ---lt /in l"(t)i

.) .,, :[X

-_'u), ,, : (l -i) , ^,: {oo-it ir. l,l ,.r',

rl) ur: (2, 0, l, 3, -l), ,r: (1, l, 0, -1, l), t'r "'(i)' -'2' l' 5' -3)'ut: (1, -3, 2,9, --J) in 11"'

'-x''. -^l r+;^ I '' r ) llfil /('r'lL Tilr)i ul' U2' aiRe::oluave, a) Consider[In rela]ia ],rur '1 ]'rus * I.u, : 6' I)rin ir)l(vlrt:

aceasii relalie este eclrivalenti cLr sistemul onlogeu 2)'1 * ).2 - 7': : 0, ]'r + 27'2 -i '\== 0' 3)'1 -

-- .jl. -: 0, 11 F trz : 0. :: ....r...,..,ra c.

liangul matricei acestui sistem este doi. Prin ulmare, sisterntrl aqhnite si solulii nebana'le 9i

deci sisternul de vectori este liniar clependent. uI1 sistem fundamentql rie solu{ii pentru sisternul

omogcr] este ),r:1, ).2: -1, )'s: l, astfel ci o relalie<ledepe4denlAesieat*u2-l,e:0'

b) Iielalia ),1u1 * lzoz -t- Lrr, i 0 este ecl-rivalenti cu sistenrul olrloqcr) Ui'l "i- l)'r * l: : 0'

- Ir.1-. ;., -f r, j o, Zl, * 3lz - ]'" : 0- Rangul. matricei sistemului este cloi si un sistetr funda-

mentarl clr: solulii este f clrmat cliritr-o singurd, solufie liniar independer-rti : l, : 1, )'= : - 'i' )"t : --2'

Avern rieci un sistern de vcctori liniar depenclent si o relalie'cle dependenld' '', -"3" - 2u" = Q'

c) Ilelalia ),111 l- )'2A2+l,rlr:0 este echivaientS. cu 2)'1 +)-2:0, -I)'a--1&*4)$:0'

+r, i'-rf +'<^,':

rl,' -a).r + 3i2 + 8^3:0' llang'l aceslui sister?r este doi' deci sistemul'cle ma-

trice este liniar- <lepenc1ent. Avetn o relafiede depcnclenli

-ZA1*4Az

-3;l't : 0'

c1) Iielatia 11u1 -1, L2u2 + tr"u3 + trou. : 0 este echiv:llent6' cu sisteruul omoS;ctr 2)'1 * 7'z +- ir : ti

),r-.2) -3),0*0, ),ri-I*1-Zfn-=0, 3lr -)'24-5i3 1-9)', :9' *Ir'f r''e*3)B-5)'n.= r)

Xlar.rgul acesitri sistcm Cste Cioi, deci siSten-rul.dr: vr:ctori cste ljrLia'r doPerrrlerrt- l)t:rxrrt'ce tttt :ri:1rrtt

tlttrtii tt'Lrlii rl"l' '

p'rr(l(''1i1, sistcrnrrl lurrrrnnrcnt*r (rc sor'rlii este tr1 : l, trs: -2, i.o- _ l, r.,*0,gi )rr,*&,\ ,'" * l, ),s * *2, \, * l, astlcl cl'avem relafiile o, _ 2rr_ r, I 0 $i _ur'_ ,""'r')i' -i,4. sit sc dcterminc care clin polinoamele tz sit - l aparli' ,spaliurui generat del{ t + 1, 3t, + zt, ts}.

llenluare' Pentru ca cele doutr polinoame sr aparfind, spaliului, trebuie ca acestea sd fie corn-blntlliu liliard de elementele sistemului de generatori. Deci

ta : 2'r11s - r + \ { x2(3t2 + 2t) + x"ti Si t - I : yr(ts_ I + l) * ),zetz + Zt) + Jste.

It'nnlc rclafii sint echivalente cu sistemele:

at1 *rs:0,3r, : l,

-xr{2t" :0,,1 :0

Sr, observ[ cd

lollco sistcm ete

lftu I I rr.

t.,l'.",11 ;" d"l ::.fo,ti:. ,,- (1. 1,2,.1): ?,: (1, _1, 0, l), u3: (0, 01

i;1.,.1]:_r^,-.;-..(,t,-.r,?:0). li se arate'cl .""iii"'iorrir;^;;'ou"re. s"';rJlJ,il,;I:

t6lc vq:torului z: (1, \, l,1) in aceastd. baztr.llazolaare' Deoarece dim Rr: 4 este"lr*{icieat sd ardtim ci cei patru vectori sint liniar indo-

I I 2 1'r--r o tl) o -l rl'| 2 2 0Jl{irng.l acestei matrice e.t" pat.,i, deci vectorii sfut liniar independenfi. Jl- ;"", ;

-',Fol U e;y1U1.+

t lrtn r:.".rrr* -rozrn. Pentnr determinarea coordonatel; ":,-;;';:;^;;;il;#;;;,";:; rr I'rn:1, rr- *z*2ro: lr Zxr- z"*2ra: l, xr+ *"+""-

t - l. Solufia acestui sistern

ca vectori linie intr-o -"t.i"", obfinem matricea (; -i ; il0 0 -l I

\l ) ) n

prinrul sistern este incompatibil giconrpatibil (yr: -1, yz - 0, le -

lt * ?": 0,

3h :0,-)\*Zfz : l,

lt - * .d.eci t2 nu aparline spafiului, irr timp ce al,l), ceea ce aratd. ce t - I aparline acestui

pFttrlrrrf i. Consi<lerlndu-i

rrltltln.r,".=

-,iz:-, xs:_, xa:_.r'422

6. Irr Ri'sii se determinezc o bazr a subspafiului generat de vectorii u1 : (1, z,*,,1, J, t), ur: (2, s, *3, 4,8\. u": (6,ii::i,il,-;;j. aa: (1,3, _3. t'0)It'ttoluave' Se verificd faptul ci a1, u2, as, u, sint liniar dependenli, dar trei dintre vecfori sint

lltrlnr irrrlcpendenfi (de exenplu ,r','",,"1. p-ro,rrrn"r", .n este o combinalie riniard de vri a, gi a,flprlttt'r't: orice combinafie riniari de vlctorii a1r a2, as gi r,. este o combinalie d.e v1,.u2 gi ur, re-

Itlltn ('ir' acestia fornreazS' obazL" a subspaliului.-Descompunerea vectorului Un IalL de aceasti bazd

lrr h .rrul *i-.xrt:" I r3r' conduce la coordonatele *, : I, x" : _:, _r: ] .

227,..Sr: clau vectorii. a, :.(1,.0,-0), a2: (2, 1, 0), le: F3, Z, 1) ;i &: \tt., * 4az *,-as' Si -vcctorii br,: ai* az*'a",'- br= at + Ao _ cta. bo _ttt at -l- a.. Sir se calculeze coordonatele vdctoruiui a"inb,aiza'ori or,-ii'.llr:trilvnrc. S5, obser.vd,rrr nrai intli cd vectorii &1, a2, es€ rRa sint liniar independenfi (rangut

lltttltr' r'i fottrrilte cu r:e'i trei vcctori ca linii estc egal cu 3) si deci formeazr o ba"tr ln ni. ioo.io-ltrlf l. v(]olo.rlrri in baz:l A : {ar, ar, ar} si't a : (-g, 4,

-r)^.se poate verifica faplur cd sis*

llrlltttl rfo vecloti B - {bj, bL, br} forrlcazir o bazi in Rr. Se cer coordonatele vectorului a lnilr Irlrf;1 l';rzll. l;ie a -.. -yrg, p t"it, _1.1..,6., atli,.i.

' -[u, -l- 4a -- cs =: r:r(13, -.1. rrr -+. u.,l -l- xr(ar-i- ,r:r - ar) .l xr(a, * a, J a").

\

l)rr1ri1. lt'r:r't:nrar (lcscourprinerii trrtice iltr-o bazi. rezllltir xr 't- 12 -l:r,'s : -E, /1 +- xz - :r" - 4,

rr ._ :y? -t {r : - 1. Rezol,zincl ncest sistem cle ecuafii, oi)tir':ur pentru coordonatele lui a in ba'za B

3 1 (j 7 \valorile xr: L , xz: --

-,x.t: -6, astfel ci u : l-, - -, -61 .

2 2 \z , J,'

8. Si se stabileascir forrnulele de transfororare alc co&donatelor cind se trcce

de ia baza B la baza 3', dacirB: lur: (1, Z, -1, 0), Ltz: (1, -t, l, 1), u3: (-1, z, t. 1),

xt,4: (- l, -1, 0, 1i.,1,

B'': {rr: (2, 1, 0, 1), ar: (0, l, z. z), z'.: (-2, l, 1, Z\,

%:(1,3, 1,2)] in Ft't.

Rezoluare. Si cletermiliun trai lltii relaliile cle trecere cle la o bazi la a'lta. Se velificii f:rptul cd

B' I<xmeaza- baze in Ra. I)eterrrrinim apoi <lescompurrerea fieciiruia t-1in vectorii ur, i =' 1, 2,

dupd baza 8' gi descornprirterea fiecitruia clin vectorii a,, i - l, 2, 3, 4, dupii, baza B' ()lrlinem

Ltl: * Ao

1t2:Ii:t+12

ir ;i3, 4,

ua:ut*ua

r .l

'Fie ze trl urrrector oarecare gi fie.descornpunerile sale Cupi cele dou5. baze:

t( : x{\ * xrtr, I x"tt" 1 xntto ;i x - {t+ )'2u2 + y"ax * laxt.

'sL detenniniLm logi.tura clintle coordonatele x1 gi y1, i - I, 2, 3,'1, in cele douir baze. irrlocuind ves'

torri u,, i - 1, 2, 3, 4, ou descornpuuerile 1or in baza i3', obfirreui

v:.f{)r+J'2u2 11",u.,-1-);t'a:.lr(-1'z+u4)+xz(ur*uu-t;r)i;rr(-t', 1t'r) *rr(u1-l-ua-t't)"

f)upA teorena descornpu ncrii. urtice a unui vector intr-o i'az'i, r' zrrll'i

lt : rz * js i- )(4, )'2 -: -:vy -l- x2, :t : x,t, )'q'- Yr -- .r' I r, - lr'

'Sirnilar, irrlocuind vectolii,u,, i:1,2,3, 4, prin descontpunerilrr lor itt bttz,r lJ, olrtittcl.u

rt: lt I- lu xz : lt I lz I a, xt: lz * " r * 1':, )t - ]'r.

[ilti;nole rela ii :;e pot obfine gi prin in'rersarea rela{iilor arrtet'ioarc.

9. S5. se arate c[ {unc ia" ( ,)

definitir pe Rt pril} (.r, 1') .: 3'';,-t'r '- xriz

-- xz),t -ffurgr, x: (x1, x), : ()'b i':) = R2, L'stg Ltn ])fodus scalar'

I?ezoluare. Trebuie s5, verilicim conclifiile at) - at) clin clcfini{ia prodLrsului s*rlar' Se observi cX'

{r, y): (y, ,).Dacd consider6'n:' z: (zr, zr) e R2, ;r--i 't: (-tr r xt' xz f :') :rstfel c:>a {x {

+ z, ?> : 3(.r1-f ztJlt * @, * zr)1a - \*" -l zz))'r * 2(x" -l- :z))'t - (", r') -l- (:' r')'Apoi-(.v, x):3x --*r*r)-);zxi+2x3:zxli ("r-r")'1- 'Y'i;:>0'

Y:u 10, si ('r' r):0 numai

.&ac|, x :0. Prin urrnare, conditiiie ar) -a:) sint verificate ,.i a,rerr-r un produs scal;rr.

10. sl se determine vectorul oormat u din Ra, ortogonal vcctolil'rr trt == (1, 1'

1, 1), ar: (1, -1, -1, l) ;i a,-: (2, 1, l, 3).

Rezoluaye. l'ie o - (xr, x2, x,r, r.). Pentru detr:rininarea.rectortilui

ua'lell1 contlitiiie :

iuii -l.

(a, ,t): 0, ( u, ur) - 0 ;i (u, ar) : 0. Aceste conclifii sirti: eclti'ra1t:rt|e crr sistetnul :

-f *-rZ+rBi xzn":1,..*, lrrlr"+xn:0, x;-xz-r,r-i tn:a' 2r1txz *f,a-F3'ro:0'

Din ultimele trei ecualii obfinem xt:0' 12: _ r::\' rq: 0' aslfei r:ir' inlocnind iri prinra' oblinem

SI

4

-aJ

2:4.2. Prableme prolrus;c sllre rezolvare(:

11. S;i se arate cai unuirtoarele inulfiini sirrt sirirspatii vr:cioriale ale spafiilolt:c tcri:rle inclic.at"c :

ai l(rr,, ar, ()), Lt1, a2 e ll] ( Il3; b) t,at:t i /Li, (t, ,i = R] C P(t)c) ii'-,, r',, \:'r yr - 3r,, u, r r': =.rr]' C R3; tl) l') - if .. f i/ csti 'lifercnfiatriii .;i f ' -= J\ C lr"

tgr Si se stuiliczc dr:pL,nrlenfa liniari pcntru sistemcle cic vectorj :

ii) ,', =. (2. l, 3, - 1), z',, - i- , l, -3, l), ur: (-1, 5,0, 0), r, -= (t, 5, (), l) in Ra-1"r)

rr, : (--5, 2, s, --\f,t, ?'-,.-.(--.5, 3, 11, _ 14), i,3 ": (1, 1, 11, 6) in Khc) ;', == (0, 1,2, -l),'., = (1. 2, -1,0),u3,: (0,'2, --1,1), ur=: (4,6, 1,3

$n trl'r ;

si fii: liniar dcpcudr:nic.

t_lj.; Si s,' cerc':tezc r,lr:pcnci.r:nf:r liniari a- vt:ctorilor :

rr);';, .:

Z -3i, il1 : l,l- i in C ; 1i) z,..: gr, p,

,: e2', i)3:.: sir in l" ; c) ot: 4t{/r .... ,':r -l- t, L't,: 3l:r -: I h P(l'i; r}) ir, :-:: sqs:l r, it"-,:= 11 , ar: sinz r iu ,F.

4/*1 15. li;i se rlr:t,;rrninc c:lrc tiil ,".':ctorii ulrni.icri apar in spafiuiui generat d

irlr('i(;:i 1t3 --- I +- 1, 3t2 t- Zt, i:]),:

irt Siir -l- 6l) 'i 4; b) 13 F l2 | I F 1; c) tt t- 3i2 -:- 3t * 1.t ^: ^

llty r) ln -Rr sc tlarr vcr:ttLr:ii ir, .,.. (1, l, 1), a",.,= (,1. 1,7\, % - (1, 2, 3). S;ir,';1'|. i' a.r ii'r\'-tiu f<;rinr.'azi. o blr.',ii. si ;rloi sr'i sc r'lctr:rl:rilie cot-ri:ilonaiele vectoriii;; -'. " (5, - l, 31 ;i I --, (t,, 3, I 1) in aceasti l.razir.

y;l,i Ilr sr' ,Jlu vectori i ;,.:,

'--

( 1, (), 0, 1), t;r=- (2, 1, 3, 1), r,: (1, 1,0,

0)

t', '- ii), j, -1, l). Sii se alli.) ci. ir.cc;tii:. formcirzii rt btz^i. Se cer coorrlonatelir;<r-li:r r:iui ,; ... ((1 , 0, 0" i) in lrr:Lt;r.stir ba.zir.

i7. lr R'l sr coo.siiicrir. urLniililu.ritie silteme dc ','eciot'i :

{",1} ,', , ll, Z, ?,, f i, 2,, .--. {5, (' 6, 5), u., .=. { - t, --3,4,0), u, ,: (C, 1, -3, -li;', ;, ...= (.:1, * l, 3. 1(l), i;r,,.(t, -- l, I, 3), u3 =,- (:1, -i, i, l) ;

t I :', -... (i,2, r, '-1), ur,,,. i3, 6, 5, -- 6), ti3.= (2,'1, 0. --2) i,ir i. ,,,. {"}. i}, 1, ):), i'-.-- (i, ?, -'2, --3), i,, ... (.i, 1, i, 4), ,itn-... (2,4, 9, 5j':1 5.' ;.l tttiiczc rir:rl.rcuclcntri. ii;r:aii. a vtctoriior ;i si. sc rletermine relafiile tr

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3t. :;:' :t, ' t]r,1,rr-r:r1 1. { i.Lr\1'(1c.n:,ti.],. ,'lr:ii;liir.i: :

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x,t '.,- t3, i).- . tB 4- t, z'.. , /r i. l, ir., - I i i rii;r i',(l) :

li) u, --. 3 *-i,'iL"' i, tt,.. i,.,r, I I Jr, .71,,,.. \ I .lr irr ir:L;.;L ?rr I )r.

zr,==i-3tiinC.M. Co*,,,:leta{i r.rl;:',.',{.)rtj.t l, iltuiiir: , rlt' r'clioii r-rr -cii li,r itaz<r iu s;paliii,' t. 11)sj...

dcrate :

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, ')"rt ' i, u. 't2 -',- 4 '',= 1',j(l) ; d) t', ..- i " ' , 'it, == lt 1- :i * P,,(i).

\2J.\:ii st' rlr ir-rntilc rtlttitit:,'tr, Il'r't;:'rii cli. 1:r ira;il B l';i ltaz.zt 7J' l'n trtn,;ilol:i'ilcazW:

a) I1 , i,(.).,3,), (0, l)}', i)' ..,f ii;, .r), ({, 8)} il It2;

b) i:r'.. ii5, i), lr,l)i, t|' .,,,'tii,0), i(r, ilI i,r i.::;

c) 1j : {(1, 1, l), (1,. i, (,), (1, ii, (})'}, }i' .. i{2, 0, ,), (- 1, 4, t), (.i, l, :,i.inRr;d) B ',tl, 1, t' 1,,,ri' i.l :7 ?,1 i t2, /.:. .i, ,l f, l j in 1,r(l) ;

c) /,{ -\,t, t.) -il, lr il}, ll'., lt2 i l, .}, .itt i-ti-},, i2 )t i rl ir.i

i'r(t).

24. Sl"i str s-Laltilca:ic:j I'1.;rttrtijt'ltt rll: lil,n:.ir.r1 u1i,.ft' liir: cuonloririti,k,t' r intl ..,' tlr'i-r-ric la i.xlza. ll 1';:. it ,,-rr .i;l' :

8.,. [(1,0,0,0), iii, r, {i, {)) ({i,0, l, {i). ii" 0,0, 1)1,

E' .,,. 1t1, 1,0, ti), (1, i), l, i;), ii,0, i), i). (1, 1, l, i)1. 1n Ii:.l

-25. 5i sc clLlcLlic;rt' 1;t.riiustii si::Ll:rr lll .,',.rcrcrilct' :

a) ut.'., (i, --1,2,.i, {i), r'" (1,2, , l, l) in l{5;T:t') vr=,. (i, --1, i, 1. l,2),r'. (2, 1., -J,3,2, ) inii6.

26. Sl sr' r:lcr1n(riic r"c'< ioriiar.- (3, 1,2, 1), u, t.2, t, - i,'1"'), t'.,., ( 7,3, ' r, l) i,r trt't.

27. 3e sc construia-sc,r o lrirzli ortonormaiii a :;p:riiuiui li.a, adnriiir.rtl t'iL lloi

vc'ctoriiiil,:rztisintr', ['.,1, - -l-]ti ,',, ' iI , +,-1 , *fj

\i J : : j \ r 6 : (, j

litiii <.ir loqt'rrlrl, iril r'8. A,lir,r1*i l;L r',r,,i .', f I ,1 ,:., I l),,t;,. ,t,,,':,lz I -r 0 zJ

29. SA sc dea 'o interpretal'e sistemuiui clc ccrratii algebricc, liniar gi omogen,7l

7,6rix: :0,'i : 1,2, .. .,ltl , si sistcmului si"u fur.rclamcnt;11 dc solulii, consid.erlnd

qril. coeficienlii fieci"rei ecualii sint coorc'lonatcie unui r.cclor rlin Ro.

30. Sa se dctcrmirte sistemul funclarircntal ortonornrat a1 soiutiilor sisternului3-r, -r- rz - xs * r* = 0, Zx, --l- rz - r';;- Jr., : Q.

31. Arlta{i c5. fiecare din urmitoarele rnultimi este ortonormatS" in F{3 ii pentruf,iccarc mrrltime gisifi o bazl ortonormatS. pentru Ra, r:a.re ,sit contini cr.i rloi viictori :

.'{(v;' '' -i?) (0,r,o)I; r)) {r--' t t\ t 1

J t\ t' , ' -:)'l.'' ?;.,

i(+ + +) (+, +

i?)l'-ri

,32. l-ie B =.,U, 1-l t, I + I + t2) o bazit aspafiului p.,(d). Definim produsul:;cal;rr (x, :-)n -,.. xtJ,t -l- tzl'z -f"xaJ,s,'tincle xe,

),i,i =-. 1, Z, S, sint coorhonatele

vectoriXor r;i.t, in ltaza R. Sir se calculezc produsele scalarc:.. *)^(l t{ l rt)r; b) (1, 1-yt.4-tzsut c) <zt--t2,4+t-3tr)o:(J) (.1 - /', Z I 4t -l- 61, )

".

. 2.5. Operatori liniari

l'it' I' ;i l/' dond Spafii vr:cf orialc pr:5t6 :r.i:lagi co.p 11. Aplica,lia J" : 1," -" i/, se nurnegte."gpglg irli,r ,lac:i /(i.r_,,-g:,1-=l/(:Li*I0tr*v,: , y e I, si V),,;; e 1{.

Froprietdfi. L) Dacdf : l--

v'9ig

: I'' * tr'-" sint o;rerartori liniarr, al.unciaplicalia

gof :1,,

-1r,,

, s1r' 1. r r:n ops:ator ljni.-lr.

2.\ I:ic,f :Il -V' uuopli:atoriiniar;ifieA,=- V;;i0,1 e lr'.rac,l.r:r'ti nrrii inceledou..ispafii.-{turu:i'r(1,) {} ,: f (-x) - -It.r), V.v e I'.' *1

i)iti,ii: v -, ir',Aste operator liniar 5i II CV este un subspaJ:iu vectorial a1 lui Z, atnnci.f(H) C l" este suhspafiu vcotolial a.1 iui lz'. &H#Sd

{) X}e"ci f :Y -V'este.)peratc)rliniir,r',;i lu,., tt,, ..,,t,tr,) ( trt este;rn sistem devectoriliniarde-pcrrrl.rrf, a.tunr:i sistenr:'.ll {f(ur), f (u.z), ..., i("n-)} ( Iz' este liniar depetrJent-.

I)ouii. spafii vectoriale V qi V', pcste acelagi corp K, se nunesc iz.orlor ;i se noteazi .y.=._^U^|,..

-iar:i r,rist:-r un operatorlinfirr/; \ - L" bijecti-r, in acest caz,.f se,ffit,, izomor-fisrn...Froprictd.li ale spafiilor vectoriale iro*ori". l. V

=V, 2. Ir

ZV,

$iV, :r V/t * V

=V,,.

.:]. l::: L/'+V': l,- (ciacr-t f :tr+I/, cstc izomorfism, atunr:i,f t: V,- I/ estetotizomorfism),'{. jl:rrri ir = l" (.,rfiind izornorfismul) ,i {ur, ,r.t,z, .,., wn} C Z r:stc urr sistem de vectori liniar inde_

lrorrrii'rri. a.tu.lii sisfemr.l' {fiur),;f p,tr), ..., l'iuS1 ( l/'esle tot lini;rr. irrdcpendent. Dou{ 5p3.fli j.sg16-li llc irrilt.rrfe an :lceoasi tlirnorrsiune .

". -'.,'.perator tiniat Z,

'I,l:r l-Sg ,urllr,,S 1a:g]lgi4r;[ I)aci IJ : .{er, e2, . . ., eo} este o

.rlij r:r l, a rla 1r'ns[r,r.rILrl /'itr;::r,rr_rrr'i;r spccific:r,'rlla{ rilc .rlr: lr.a.rislnlnare a h:uzei B, Ter._tI

: .: iii;.i, i : 1, 2, '.., rz. l{r'lritz.t, .4 .- (z,r)}sc lurni:ste nr;ri'ricea i:ran;formlrii liniare. Dacd, x :.i=. t

ir 'nl

.,:_",,/--- >. "c;liV:7'r:, a.tuilcil,;:.X il.;;x,1,i:1,2,...,tt,. Laoschirnbar:e a.ba,zeiitV,i r I I j:rIttit lricr';l tt;tci tra,rrsfrirrrl:ii. liriii::c ie sr:hirnbl r1lil};-1 lege2, ,B : , .^i S'-1, .S fiind matricea schisrb{riiI,rz,.i.

\.{:*,:'1j*'1,..- ,-,- s{ rrlr)li);1. , : *f*:Iffl1Pcrrtnr trairsfnu.uarca tiniarl T : I,' -1 If, tlacri, ari. r /. /\. ,ti;t . it. l-tt JlJL Sc;ll;rlrl ). ,',-.,, llitltr,slr ./irla:tti.

i....

() t'otldllk nollprtA ii nrlIlrrlil rrr rrrrrlri,r,ir ltJlri,[,,rrrr,irir Iirrjrtru'f:\t,,* I,',, sti 1rolii Il:i,]rrsdfl lrrlttrn tlhl,rltnln arlp r'n lrr En n'llrtlfl r, vr., t,,n 1'r,r1,rir lili;rr irLrlcp<'rrrlerr i. I)aci it1, .L{2,..., r,, sintlrt,ftttlf 1ilil|lll, llttlrrt lrr,lr;'r,11rlr 1111, r,,tr',,,'rll/,rt,)ri v;rlorilor Ir01:rr.ii ),r, ).",. ,., j,,, at*rlrci rnrL.trjcea

9lllrlr,lrrnrtt rrl,,

t\t 0...0\Io )-..u1lt1o 0...).,,1

Vnlrrrilr' proprii sr: determilS din ecualia caracteristice det (ar,- ).8,r) - o, A : (a,r) fiirrrJ ;ir.riricc&Irurrrf'rrrrtr,rii .linia.r'e. \-ectorii plol>rii se deter:niud ca solr:lii alt: sistenlului

,trro', - )'81,)r, - o, t * 1, 2,. .., ,.

O tr:Lnsformare liniali 7' : V -- V, y : ?* se ngrne;lc t1ansfornrare ortogt,rr:rlL riacJi, pislieuzitrlungimiic vectorilor, adicir jl;r il * lly ii. .

2.5.1. Problome rezolvate

1. Si se arate ci{ urrnitoa.r€lc aplicafii sint operatori iiniari:1) /, nt -> R2, -f(xr, xr, x"\ : (2x, { xr, 4xri ib)./: ttz-'R:, J@,, *r) : (\, 3r, * xr, zi);r:) /: Ra + R2, Jkr, *r): (0, 0) ;

di 1 : P(t) *> P(t),f(ao -F ai * . . . -l-- ctoto) : a, f- Zart + . . . * rmot"-\."lleroluare. a\ Fie L:(xt, rt, rr), -"/ : $tr, t'2, j,a)r-'=Ita fi ?,, pelt. Avem i.r 1- p.y: ().:r1 iF

d 1'r'yt, )'r2 + t4,2,^/"s.+

(Ly;, astlcl ci f l)., +- p)') : (2()'q "j, t1jl) i. )-r:, * v"),2, 4ix, -i- 4:11,1,) *- ()'(2x, * xz) * tt(2yt * yr), 4),:r,, + 4vys) =" IJtx) + ,rL.lO).

-S.ceasta arattr. cti / este oper;ri.or liuiar.b) Fie

4: @r,xr),

J': U'ti r)eRr.Atunoi),x -l

1t.1, --(7,rr

*, 1J,t,r,),t;2

*,y' 2) 9i .l q.ttto

+ Py) : (Lr1 * $3'r, 3()'.rt -i- 1-r.1,r) * ().x, + tL),1\,2().r.-1. Fl,r)) -- U?) -F UJb) ri <teci,i e.stc ()i,i.,aror"I i niar.

c) Eviclent, l()-" + Vl * ).f(,t) -i tr.f(:,) : 0.

d) Fiez:no*a{-1-...'l'o}tt, :bt,+brt'1-...}.tt,,f'c:},(t);i)., pcR. Dcoari:t:e ?,r-.}*+ py : (),as * p6c) 1 ().at 'i rbl)t't ... l-()..r, -1- 1,tb,,)t", rr:zrlL'a|(),t J- F),) : (),ar -1. pDr) -i.'2t,t,it"g#llbz)t +. .. +. n().rt,,, -f p.b,,)til-l : il@) i p/il) ;;i deci / esle operaror liniar.

2. Fie apiicaliile /: lt: *> ll2, _/'(r,, x,) : (2.u., *- x,, 3xr) si g : ll2 -)^ It:, S(d :: l*r- . x1,4:t,,). S5. sc alate ci ;rt;c:;tea sint opi:rator:i iiniari. Sar su dctcrnri"nc'/c,gVi gof gi sii sc vcrifice cir sint opera"tori liniari.

Rezolaare. Fie x - (rr, ,r\, l,: Ut, 1,r) e. It2 9i ),, pcIi. I;colrec.-rf(Ax + tty): (z()'ari- vt) * 0,^, -t-u.t.), 3Q.tr 4- v,yz)) :i.j(.^) I.v||g ;i s(ax i v.t') -. (ii..r, -fS vyz) - ()'r1 * p"J'r), 4()*1-F pl,r)l : ).t$'t ,r v.gT),rezultd cn / gi g sinl oper.atori iiiriari.Apoi (/oSr) (a:) : J@(r)) - Jk, * xr, 1t) : (Jt" -'6xr, t2;r,) 9i (gcl) (r) == s(./(.1)) : ;;1?.t.r-_ ,,, :jx,) -,- (4x, - 2xr,8x, -:lrr). Sii vet'ilic:lrrrr r:i; accslc :'lplicaJii silt operaic,ii liniari. Ayelr i_t;,s) {j..r ++ p.7) : (2Q'1r.- 1:vr) - 6(-t*':.- F..t'), I2().x7'i irlr)) - ).(lr:g) (x) + p(lod (;), (sq,) (i;r .-i. 1,r3; *,-l1Q8t*Vyz)*2(Mt* p1'r),8()*1 l-tr.1r) -.{(),xrgs}' ))*.i(sol) (.a.) +ri(gsl) (r,).

3.Jig oleratorul liniar/:R3 *> lt3,/(rr,rr,. ,) : (x, -* Zx, -i,- xr,T-"rr . t" -- ::,,,.n, * lx)t Si" sc arate ci. o;rt'ratonrl liniai/esfe iirvcrsabil ;i siisc clc'lii:rniirii, ,ir , ,.,r0

olu /-r : Il3 -> R3. Sir sc vcriiicr,' cl / -t i.itc tot rin opcra.tor lirri;ri-.Ilfiolaar't, Jiir: ;r -.= (.yF ,rr, .tr), j, - (.,',, J,r, y)€:llt, r ,; -1,. S;-L l,r(,riul)nnl)nt , ir /i r r * .,,, r,"

rdit:r'rl(rJ - l0 - l(:, -- l,) *.0, rlr:o(r,lr:r,,/ r:.tlt: r,1,t:r:Lllr ljrri;r. i,tirr rrlrrr,rr.<,, l,(,ntllr ir ,r,rt,r , r ur,

operator liniar este injectiv trebuie aritat c5. ecuafia/(z) - 0 are numai soluga bar:alA. Ecuafia.F(r) *, 0este echivalentl cu sistemul onrogcn zt*Ztz* zs+0,22r| 2e -.2a- 0, zz * 32"- 0. Se vt:rllir:iugor cI acest sislern are numai solulia banali. Prin urmare, / este o aplicafie biunivocl gi rieci ir,l.,..teaplicalia ilversir..

Fie y : ( ,, ),2, /s) e Ra, {ixat. Ecualia y -.f (n) este echivalenti cu sistemul x, - 2zr -i- xr -* ?t ?-rr * xz * xs: 2, x, * 3ru * 7.. Solufia acestui sistem este rt: l2-'(Z r.* 5),, _. yr,)z" * l)-t(*$ r * 3 z - 3yr), x" - 12-t(-lh * lz - 5y"). Priu urmare, aplicalia inversd este

l-r: Ra*fl3 defi'iti prin/-1(r) - LZ-l(Zrt*5tz-rs, -6rr*3rz*3tt", _2xr*rz_ i.r,o). Severifici usor ci, aceasti. aplicafie este tot un operator liniar.

- 4. liieoperatorulliniar-/:Rs->R3definit priiJ(xr,:\.2,xr)=-= (-x,{ x,_lZ;:u,8t, + 3r', + 4x", 2x, f .r'" f 2.vr).

- -.li_t" arate ci/'cste u'izomorfism. Se se determirre/-t(0,0,0),/-1(0, 1, 2) ;if-t(|, 5, 2).

Re:olua.re. Si arStim ci./ este o bijecfie. Pentm a arita ci, / este injectie, deoarece f esteoperator liniar, este de ajuns si aritinr cL ecnafiaJ(t) : 0 are numai solulia r: 0. Ecuafia/(r) _ 0este eclri,rajenti. cu sistemul omogerr -xr+ azi2xa- 0, 3x1 _f 3x"l_ 4xr:0,2*r* xz*2x"_ g.

Singura solu{it-. a iLcestui sislt'rrr est-e .:r:, e xz e ,a: g,Si

ard,tim ce/(R3)

:Ra. Fie y * (i,r, :,-",73)eR"; si arirtirrr ci exisli 1=. (xr, 12, l"s)ePr} astfel incit y:f(x). Aceast5 ecualic este cctri-

valentii cu sistenrrrl -xr 1- xz { 2x": yt, 3xt * 3xz * 4r": r, Zx, { x, * 2xr: lst e&te re?.ttl-vaicoirdrrcelaxr:(-yt+:'s)l3,xz:(-t;-*3tz-5y")l3,xr-(h_yz+2%)lZ.prinur;n:rr,:,/ estc izorror'fis'r. operatorul li'i:r. in.rers esterf-r (x1, x2, x,) - ((-x, -t- ra) 13, (-r, + 3x" - 5'"1 13,

t, - xz I zx")12). Eeci /-,(0, c, 0) - (0, 0, 0) i |-t(o, ,,'r) -(+, --^1-, +) | f-1(1,,r, 2) *(1 4 \

(s 3' 2)

-l:,:'ol.\j

j)

5.Iiic

transformarealiniarS. 7' : It3 + R3 <lefinitir iutr-o bazl. B prin matriceat I -r2 o\

A:itu *t') l() l. Si sc arate ci cristiL o lrazi .B' in ll3 fali de care mltricea\': -.)4 l-r/

trbnsfornrir:ii ?' are forna cliagonalir.Rczalaaie. Ar&tim ctr transformarea ? admite trei ver:tori proprii liniar independenli. I)eteimi-

ndnr mai intii vakrrile proprii. Ecualia carzrcteristicd,

1--),, -12 6

10 -1e-tr 10

12 -24 13_I:0,sau(i+1)(i-t;a*9

are rS,dhcirriie_,).r - :I, ).r : i rectorii pr"oprii sint solutii ale sisternului

(7 --;)xr-|- 10*, f l2r" : 1-y, -12t:r* (19 + ).)x, - 24x" - 0, 6xt -1_ l}xr+ (13 -_ )r,)r, : 6.

Fentru ir: -. I sister.ul <levire 8rr-J- lb.r, i 72x"*0, -l2xr- IBzr-24x":Q,6xrj,,l|xr_1.&' 11r" == 0. RaEgul sistemrilui este cloi, astfel ci un sistem fundamental dc solulii este.rr: l, xr^- -2, xs : l. L'reci vectorul propriu corespunzdtor lui ), - _ 1 este u, * (1, _2, l), pentru \ --\:lsistemulclevine6z, i_10xr112x"-0,-l|tr-20xr.*2,|x"*0,6xr+lflrs+ l2x,:g.

/4Rangrrlsisterculuiestcunu;urrsisternfundammtaldesolu{iiesteformat dinur- [--_1 , t, pl gi

\3 )u"

'(-'2,

0,1).

\rectorii prop;'ii xtp il2, 113 sint liniar ind.epenclenli si deci formeazd. o baz6 il lla.Fa1i. de aceasti 'baztr matricea tr;rr:sforrlbrii liniare este

' '-'l'' o o\o I ol.



6. Fie transformarea liniarS" I : R$ -> R3' definiti intr.o bazl. E prin rnatricea

":(-i ; -i). Sf, searatecinu existi nici o bazi in Rs fafi de care matricea\ ' -r ,J'-

transformS.rii 7- s5. aibi formi diagonali.

Ir-r 2 I l". Rczoluare. Fcualia caracteristici estel -t l-^ -t l-t. \ralorile p.roprii slnt

Ir _r 2_Il

).1: l, ls: Ia :2. Si determinS,m acum vectorii proprii, Fentru I, - I coordoqatele vectorului'propriu z, satisfac sistemul -xz+xs:A,Zxr*xz-xz:0, 11 -tz*xs:O.

prin urmare.vectorul propriu corespunzStor este u1: (0, l, l). Peatru \ - \ - Z obfinem sistemul

-frr - frz * xs: O, 2x1 - r": 0, xr - xz: 0. Rangul acestui sistern este doi, astfel cd sisternulfundamental de solulii este format numai dintr-un vector, anurire z, - (1, l, 2). Vectorii proprii a,gi zr sint liniar independenfi, dar nu formeazS, baz[, ln Rs. Din aceastl cauzi rezultl etr. nu existl o baetrfafd, de care matricea transformirii sd aibd forma diagonald.

7. se considerd. transformarea liniarii ? : R3 *> R3, definiti piin matricear (-s -z 6\

A :-l

6-3

z l. intr-olazir dati B. Si

severifice c[ transformarea I estei\ z 6 il 1 .-----

ortogonali.

'Rrzotoarr. Fiez- (xr, x2, r,) €R3$i/ -(/t, h, l):T:c,asttelcd,yr:1-321 * 6xu f Zz")17,,yo: (-2rr-3xs*6r")17, y": (611 * 2x"{3xr)17. Verificim ce lrl-llyll, Vr€Rs. Avero.

llyllg:y1 +ytz+yz|:49-t(9xeig36xla4x -36xrxr-lzxrrg*24*"rs*4+otg.1 36r +{ 12xr.r, -24xrr" - 36x"x" a $*l * lx'l+ 9x 124*rxrJ-36xrx"l llt"t"l - r + rl + t : llrllr.Prin urma,re, Ilyll : lhll gi deci 7- este o transformare ortogonali.

2.5.2. Probleme propuse spre rezolvare

8. S[ se determine carc din Llrmitoarele aplicalii sint operatori liniari :

a) /: R2 -> R2, .f (xr, ,") ': (3x, - xr, xl\;b)/: R3 -+ R2, f(xr, x", xr) - (3x, { 2x", xr) ;

c) f : PJt) -- PJt), -f(au I a,t { artz) : (as - a)tz * 4art - arld) /: Ra -+ Ra, f(xr, xr, x,) : (x, *'5xr, 7 , xr, 0) :

e) J:C -->R, f(x, * i.vz) : xt * xz.

9. Sl se arate c5. urm:ttoarele aplicafii slnt operatori liniari. Care clintre acesteasint izomorfisme ?

"; ")') f : AIr.r- Mz.z, J (o' ot o"\: ( al

b) /: c --> c, J@., + ;),i "0 i't \d+ - es

c) /: R2 -> R3. f (xy xr) : (2x, xr, 3xr, x,d) f : Pr(t\ -, PsU), .f{ao * art { art ) : ao *c) /: R3 -" R3, -f(*r, xr, xr) : (2x, 4xr, Z:v

I) f : P(t) -+. P(t), f(q+ eJ * .. .f aot") :

+' azJtz i \a):atI\tt+az\t*(ao, * 3xr, 4x" - 34) :

1

eot*-aiz*...+2

1

-

&ntn.+\.',t+ |

10. Sir sc detcrmine ./og ;i (sau) go/ gi siL se verifice c5" acestea sint operatori

liniari, dacir :

.*) / : R,t --> Rr, f(.vr, tcr, .t,,) : (r, - trr * si), sr * xs), &: Rl -> Rt, g(.yr, ],r) .-* (J'r, lr -- 2, s\ i

. i



I

tr) /:R2-> Ra, J\x1, x): (xt, 3rri- xr, Lt:r- xz, x), g.: trt3->R2, g(t't, yz,

12. Si se cerceteze daci operatorul liniar:

c\J P2ft) ->R,, Jfuo + e)t) : (Zao { ar, 3ao * at) :

d) .f : Pr(t\ --> P"(t). Jfu, * a't\ -: au 3aot * aJ2:e) /: R.3 -> I{3, J@t, rr, x") : (xt - 2x", 2*t * x2, xz +r J ' '- '- ' J \" ' "Z' --rt \ r

este inversabji ;i s5, se deternrine inversul slu. Sd se verifice cir

operafor lir:iar.

13 O transia{ie ir: pian este dati de /(.t,, .rr) = (t:, -l lt," ..t;, -f h), lt, /, '= R.

Esie transiajia un izcmorfism ?

_ v _ry^2' '"1

- (-1. 1)

3*"),

invei'sul este tot un

- xn, 3t:, -(t. -1, 0),

f(wo) in R2.

14. Sn se arate ci-apiicafia/ : R2+R3,/(xt, x) : (3*t -- Zxr,Zx,este nn operator iiniar. in R2 se dau vectorii w1- i, -Z), wt

indcpendenli. Cum sint imaginile lor, Jfur) ;i f(u,r) ?

15. liie operatorul liuiar /:R3->Pi', f(\, xz, xz,)': (-Zxt* 3xz

- 2r, + 5trt. Sir se cerceteze depcndenla liniarir a vectorilot M1 :uz- (1, 7, 3), tr3: (0, 1, 1) in R3 ;i a vectorilor intag\neJfutt), f(w),

17. Sir se determine care ciin urmiLtoarele transformirri iiniare

7-(x,, x,,il:(+++,+-+,\V" \/o

16. Se consideri transformarea liniarii 7- : R3 + Rs definitir intr-o bazd" prinmatricciiL ,4. Sii se vcrifice ci ?' estc o tlansformare ortogonaiir ;i cI A-t : trt(l' cslr' lrirnsptrsa matricci ,4) :

t{? ? I', rl2 --; ll)A:.lz -r -:l;1,) A:=1,'\l -2 z) 3l: ;

-;)'sint ortogonale i

-*),

18. Fie transfornrarea liriiarl 7- : R3 -+ R3, definitir intr-o bazd B prin matrict:a.

Si se arate c[ existir o baz[ B'in R3 fali de care matricea,transfonnirii liniar-c

b) 7: R3 + R3, 1': i'(xt, tz. -rs)

c) I : R3 -+ R3, Y :I-(xt, x", xs\

d) T : U'l *t, : T(rt, ir, xr\

e) ?' : RB -> R3, J' : "L-(xt, xz, xt)

f I -l 2\a) A: [-; _l -z): v\ e -

I x- r^ .16 x"\

- \J, - J;' -'' Jt ' J, )': (:l

-

*' -" + 4,-.rr\ '

\J, .J| J, ' Jr'."')'

(*, xr .. *r- "r_\.' i-r - -F, -v&, -\r/, ,,//, ' "' J, ' ,/, )'

( r, , rz tz az xa , trl:lr-T'J;-J7'G-T)'A.

are

forma cliagonal.l. Sir se scric'matricea trecerii de la baza inilialn B labaza B'. Ma-

iricea. transtormlrii estc datir de

(i2 -3\ t2 :

l=)i d A:(1 '); d) / (: 'jtr)

Forme liniare. Forme pitratice

(rr, x",.'., ,,) :.>l.)J crtJrert, ei1 - a1t, i, j : t, 2,.,., n.

i-t j:t

lotar: " 4r,\

Matricea e :l"n

dzz' ' 'dzu| ," ,.,,,,,r,r"t" nratri,..ca formci pi,tratice,

tt\ato azn ' ' 'a,, /tiind datb forma pdtraticir v1 se pune problema ca aceasta, printr-o transformare liniqrl. nedegc-

nent$ r * Ty, sd. fie adus5. la forma canonicd

f - ol? * b"y|+...I br?zp - b,+rj,,i+r b,yl, r < rt,unrlero rangA ti 6,>0,s- l; 2,..., r ip esteindicelepozitivdeinerfie, ft_, _75 este ildi-cele negativ de inerfie gi o - p - y'r se nrrmegte signatura {orrnei ptrtratic:e.

Forma / este : a) pozitiv definitd daci este nedegenerati. (rang ,4 : n) et ? * n ; 6) ueg:rtiv defi-nltddaci este neclegenerata si p:0; c) pozitiv sernidefinitd clacd, este degengratl .(r.ang,4 < ,') ,t1t-r1 d) negativ semidefiniti dacl este degeneratd si p:0; e) nedefinitd,, d,ac6 p > 0 9i.0n > 0"

1. Si se studiezefiile de dependen 5.,

(2 27{ A:lt -1 2

\r I 3

Forme liniare- Se nrrrneste formi. liniarS, pe spafiul vectorial Ro operatorul Iiniar/: Ro * R,,f(rr.*rr,.., xn) -.arx1 * arx2*...i arx,r, unde areR, i : 1,2,.. -, tz.

, Fie sistemul de forry16 liniare fr, f", . ., -fo,, unde /, : i) o,,",, i : l, 2,. . ., flt" l.Iatricea :{ _

'(att)GM.,, se numeste rnatricea sistemului de forme. p"i":,|""ri" matriceale sistemul de formar

('l.- /;J. sisrerrrrrr de rurme r,, r2,..., /, esto rinicr dependenr

-4X, ur"e /- l'lll

l\f_/ \,")

dac[ existS. constantele ]r, i2,..., 1., I \? + O,asrfcl irrciti= 1

).tft + )212.+. ...+^,,.t_

-_ o.

Dacd aceasti relalie are lor: nrrrnai cincl ),, -').,, :. . . - l_ : {}, sistemul de forme este liniar indo-pendent,

Dace rang A : /, atlnci r forme sint Jiniar intlepenclcute, celelalte fiind corobiniltii liniare doacestea,

Forme pdtratice' Se nutrregte fonnd pitraticd pe spctiul vectorial r?o o aplicafie : f : Ro X Rn *+ R de foima


nh.tura sistemului de forme .f - AX pi si se stabileascl rela-clnd este caz:ul, pentru:

-i) ' fi)ib)

'4:[j -:, -,i -,i) " -

1',),12 1

,, 4==1,, ?).":l^:"),\z 3t

c) Pentiru acest exempl

,^^r*;':T",:,,T::l?.",:?:,,:,:;TJffi:::::ffili:.:.,.J:il:'inem nu'riru, de fo'ne ega, ou

:i;iJ:lJ"[T ffr:: ff:l1T:T:i".j-.:":^:.::_]r"?.:*""ue,,r observdm crl, ei /, si'r:HTJ':TT,:1fi;:';"' '":;^ :,:^i ,.i+:.1':.;iiT:'l':Tf:i":;':,'.'il;;;'i;';fi,i::::liuarea coeficienfflor t ii * ;;,"#li;;";qarqr rorlne.re -/,, i = l, 2, 3 oblinem penrru dieter-

fi, * 3p - rr. a"eri"i*t"n".t"

cor'paribil .r"r".*,..'.^^lii,:t: 2),^- lr:5, -fI i lr, -l'ii,ll ;., n : i :::*i :*:; ":; "

;;i,''*;;, I'i'"*,"J,^"1,J;L';̂ : 2, $ : - t. piio urr4are, rela-ia de dependeafe este s: 2J, _ fr.

t2 t I /rtu vom proce<I. astfel. At';drn n,at.i"e" I 3 a I i\ ,'"tj

:1 ilpe

trausforrnir.i clcnrentare asupr.a liniilor. Obl,nln,'1o..".i,,,

*'?" - *"*,,)'* r{..g*:,,,,)*},e: ("r _ ),* * _ x)2 *

care o aducem

ln forma triunghiularA prin

t? |lh, tt lll. i ,r t,rI ; i ';l- {: ': I+ - ,t,\ -[i -i I'ri - ," \ ,

rj ,li)-(, -,li-,;) ( , ,li;;;_,;,)

u3rse verie

clin *i,r-o -rr.r"e, rangul nratricei I este egal cu doi. Dec:i niniar independente si avem dou; relalii de dependenlb ,t, _ i l;: ;:Ui?njr;j,.:T_t*r,2. Sri se aducd -la Jorma canonici, prin melo<J" ,,,,

"".1i; ;i::?zi'Pentru riecare'ro.*e i"'piil #:#:"1;",'lffii.li.'ffli,fi ,;li::

ai Jk\: ri * x?r+ * * 2xt _ 2xrxr.1_ Zxrx" _.2xr:in_i_ 2ro.rg __ _1;.:rA;ai

b) f(x) : xi'x, *-xz*s * x"f,, q ii : x? * x3 +,* _r, _.J , li , xrxz I xfis ## xtra _f xzr("

i1.:xt

Ix-,xa,

:":";;:,';{:;";:ij:mT:;:|1:;.#jT.';:,,;:::rijj1_n;,..," dircril c,c zero Ne rixdm asupra_ --), r. c ,r 6Fr,, (ur ren'enll care conlin pe : r, folmind lrn pii.trat .;;;;;i;.

-Zn{rg2zrxr-2xrxr)+.tl+ xi*zzi*2s.r.rr_4)n).): i J _ x::_ r:r *^.,"_ri_ *'i * ri+ 2rrr" * zzzxe { 2z"xr + r. + r.l _ zxi .1- 2r"t"_.{.r._rr _ {rr _-

^zj_ ts * ri)r ...

- Szf; * 4xrx" _ 6xrt, * 2x"xr.:or:rtinuare procedEm s.imilar pentru forrna ptrtratici/, : _lxf;*{.r".r, _ 6x".v1.* 2x^tr:

-f : (xr-'r o \ -')' -,{"e

} 2xrxr-irr,) | 4x"x"_ (,r * .y2 + :vr,* r,rrr' _



> .-

\\tiv este p1|* l, signatura este o - l.'D""to""" r :3 4 4, fo,ma esti degenbrat{' ti este fl'ddfinite'

Transformarea lilrlaii ca,re ne conduce la fo,rrna canonicd' este

111,T^tyt= fi ,* xr * *" - ra, le - xt -

U*r* tta' 5+'r *

7frs'ya: xq

. .b)-id acedt caz toli coeiiciegrlii p[tratdlor sint egali cu zero 9i nu mai po'"* npii"t e:oc-e1e{ {le

mai sus. Vom face lnsi o trans{ormareliniirl astfel lniit problema sl se red*c& ia cea de tipul do rnai

lnalnte. Facem deci transfonnerea liniar5

(Tt) :yt: (2, -l- dl\ yz: (sr - *rJl2, t, - x,'

astfel ci Iorma do-rino

l:yi-yf;+Zt,trln continuafe procedb,m ca ln e'xe1nplul a)" Avem

I

I t ,, f* (y?'+ Zyfli - vr,; - Ur * v;t)2 '- vl - v3"

Faccm transf ormarea liniarf

, \ fl'r)lz1*Yr a,za- a,zs- -

astfel cd, I - r1, - r3 - ,3. cornpurlnd transforrnlrile T, 9i j'", oSfi*em transformarea

tl(T):zr:- (\* x2) 1' tt, z,- -

(t, -'J' 2.8- x",

orin care f s'a redus la formr, canonicd, Se obserrd ca / : 3, deci forrna este nedegeneratI" Deoarece

ffi;;;;;;^"". ili i, tnJicele nesativ este 2, - 2' rormaeste ned;riniti

c) f:ro""Uln* ca Ia. exercifiul a), obfincrn

/ J:1xi+'x{z 'p xrtcs* n#,tl * xf+ 'l + r'i+ x2xs.* x{a,l+ x|xn-

| 1 r1 I \2 t: l*1 *. -=xz *

=*r*:"1-; t* + *i+'i + 2x"xs-F Zr"xai 2t"x'l $

. \- 2 2 z )

+ rl + rl + rf; + rr*" a1,rra

* &ax v

transfortrt area

/?'\'ri- : v. l]-*r+ 4rr* 4ro,rr:nz, lr*isi t=' ro,,rr/'.yr-*7 2" 2 " 2

-

od ,/

^ 31,, 2 2 \ i 1

f: r'i + - lvi + lr'"t" + r-r.lol+ -(vi +/i) + - t q: -'r\"" 3 - 3 I 4 z

- 3l( I I \2 r,2 1 1 1

- 1,. r -t\tz * - a+Lvnl - ' tvl+v{+zv"vll+-o3t v7) l-ygv'-)'' 4l'i' j-' 3'"1 e - I 4 2

,Iracem

sstfel

Facem transforrnarea

\tz)' : yt, tu.a 1

(. r

lzi *5;l

ttl'jazz

"l/e*-

,i:1.1,

1J

tj

zs'a ya, zn = lti

".", / = rl * 1,d*



Sacemn o u,ltirrra transf6.rr,nare-i

(7") : u1 : ,,r: *": zz, u, : za f zrl4, un: er,

gi astfel/ - ni+ 7*?* 1q* 2u? roortormarea liniiard iare ne-a4 6 -8

t:onooicd este

i

I

condus la aceasfd frnm6

(r): h:\+),I '1 I I

- ,2*"*;"r*;t" ilz:xe*:**

,t,Forrna pd,tratic5, este aodegeneratl gi pozitiv definitd deoarcce / : 4.

\11.t3 : IB I -- ro, tr4 - X4-

4'

si se aduc6 r" l;;;; ;ffiffi"fi11?i.:l?f "ffi'; J H,fftt ""tl varori lor proprit)I

a) -f(x) - xz - x I 4rrx, - 4xrx, : b\ /(x) : .? + xz + xg+ xtxz* xrrr{ xrxr.Rezoitnte' Metoda transformirii ortogonple constd in urmdtoarele. se scrie matricea formei pd,tra-

.tice$i se rezolvd ecuafia caracteristicd det(a11-rg,l)

=0,.utt"i"i";e.valorire proprii ).r, rs,...,

l, € R. Se rezolvd apoi sistemul. Z @r, - lg17)21 - 0, i _ ,1, 2, . , ., n, obfinindu_se vectorii lor6priinormali ut-(arr,c.12r,..tnrrl,

l7r,z,...,a.Formapltraticiesteredusaraformacanonicilf:- frl? + Xry|, +.,,+

^p|,printransformarea ortogonaH (f) : o, - f n,o,.

loz-2\i:1a) Matricea fornrei p{tratice este :4 - | 2 I O l, ".

ecuafia car.acteristici se scrie

| _r ,,-r_ri _;l'

'-' vvqqr@

I z t-r ol:o*l(-I2+e) :0.l_2 o _r_ll

Valorilepropriislntl,, - 0,Xs - -J,Xs - 3. pentru),1 :0, dinsistemul 2x" _ Zx. _ 0,

2xr* nz:-2*r-rs-0 determindm vectorul propriu normat, adic:" ur:(:, _i _3): o";,."\- -3, din sistemul 3*rl2rr-2*r-g, Z*r{ x":0, -rrrY 2rr-30, "Iirl"- ,r_-(-+ ,+, -+) tsflrsit,pentru\- 3, din sistemul -3x1*2*'-2x"-0,2xr-2x":0,

-2*, - bg=

oobfinem

" - (- +, - +, +lprin urmare,

"otr.o"ro*".}o j...r""jru '/

(T) : \- (h - 2y, - 2y")13, *r_ (_21,r+ yz _ 2yJ13, *" _ (_Zy, _ Zyz j-?s)13,torma f este redustr la urmdtoarea formtr can@ici, :

3' utiliztnd metoda transformdrilor ortogonale (sau metoda

f : -stZ+3y3.

('++)b) Matricea ro,m"i fat,atice este

^:l+ t

+ l. Ecuafira caracteristici

f t, -ll;;')

.t1*t* rtrdlcinile \t:2, tg:&:f.e"ot* )\:Z,dinsisteniul _21 *

1-), 1 lt-t 2l

I

t-r -1 l:ozlI ,_rl2l

1'*Vxs:4,,

1

,1

2

1

-*o

'lt



a

"rl Il-rr-xz]_-xr:O,oa

I 1\

-' -

I. Pentru

.rt: Js )

nor'rnat "':(+,11111

-xr -l -

xz * 1 r" : O,-

l't * - xz *))722

11- \ * -

x> - xs : 0, oblinem vectorul propriu

I).2:}s:,-,

i2

1111+ i*"-0, 1\+1xr+)*":0. Sistemul fr:rrdamental de solutii al acestui sistem do

)))2ecuafii este format din ar: (- 1, 1, 0) 9i u, : (-1, 0, 1), solulia generala a sistemului fiind o -

- c{ur * pur. Deoarece veetorii o1 :si u2 nu sint'.ortogonali, se procedeazl astfel': se it ,r, -',o',:

ll"lltll\

gi se.cauttr us:s nonnat;i oltogonal lui zr. Deoarece tt: (-'a -9, ", 9) Si "t - | - --7=, --, 01.

\V2J2'in conclifia de ortogonalitate a acestora ol:|inem g - -2d'' astfel c6 t - (a'' e' -z:')' Normlnd accrt

t I t 2 \vector, obfinem u": l-7-, ---I-, - t- l.\. V6 J6 ,/6 l

Cu aceasta vectorii il1, H2, tt3 fornreazd o bazd, ortonormati gi cu translorntarea ortogonalil

111'.111

(f) , xr:---;)t- ^-t't*-7-r", Yr:-L lti_--7;=lz*---i: s' vi-' \/2 Jt' \'J \4 J672

v.r v6forrna pitra.tici este redusSlla fortna canonicS,

t-

),,2 t

2.6.2. Probleme propuse spre rezolvar€

4. Sise{etermine}. e X{astr'elcaintrelormeleliniare it-: xt, + ZxZ-f 3x* f 14*

Jz:zxt +,3;r.z*-rs* z:';0, ir:.31\*'ry2+.2x3*)'xn, Jn- 4xr+21Fs * 5rr s6

"it:ttoi relalia f'-li, J, fu:0' I

-

5' Sl se cercctezc nltturl sistemului tlc forrne "f: AX 9i si se stabi]eascd rela-

fiile cle dependent:r cind este cazt-j':

6. Sir se aclucir la fcrma canonicl prin rnetoda. lui Gauss 9i si se pree'izeze indi'cele pozitir', signatura gi natura pentr$ fiecare clin formele p5'tratice:

a) J$\ :x?

+zxT

+sxi

|Lxrx,

f4xrx" t

b) l(x\ : xi + qsE * .4 - 4xrx, | 2xrx" I

e) j b) :' ri -"1- rtxz -V xsYL i \1 : ,

rl

- -r --,J)



't'rt 1 l I I I'

xt xz * -x": 0, )-xr I xz - xs:0, obtinem vectorul propriu nor'mat q: l-

o 2 2 2 . "uulrus v'ur---

\Jt'I l\ I I I I 1 I

-:,----i:l.Pentrulz:trs:.-,seoblinesistemul_-4*-jxz.*-Ttr:0, -ltt1,'-^xz*.rt.r J3) z z z ) 2 2

llll+J nt= 0,

-\*)-xr*'-r"-0. Sistemul fundamental de solufii al acestui sistem do

'1 1)a

ccuatii este format din u, : (- 1, l, 0) 9i o, : (- 1, 0, l), soiulia.generald

a sistemului fiind o =

: uar * pur. Deoarece veetorii a, ;i u, nu sint ortogonali, se procedeazt astfel,: se ia ur- ,dI ll"ll( I I r)'i se cautl ur* u lTotmat 9i ortogonal lui zr. Deoarece u : (-d -F, ". 9) ui "t -| T, G,

din condifia de ortogonalitate a acestora obfinem g - -2q" astfel cd o ' (a, a, -2r)' Normlnd accrj

vector, obfinem ,r": (-1, 4:, - :-\\v6 J6 ,/6)

Cu aceasta vectorii u1, 1t2, rr3 fornreazi, o baz5, ortonolrnatS. ;i cu transforrrrarea ortogonal6

111111(f)

'

.v1 : -3.1'1 - ---i:-J2* -1: s, an:---7:7ri --i:y2* ---i7 s,-t'r"t uro

", _,:

^t\/2

/ - Jl /.. Jt

JJ J6iorrna pdtlaticir este redusd\la fortna canoniciL

J:zyl+Ly?,+

' 2.6.2. Problerne propuse spre rezolvar€

4. Si se petermine ), e f,t astfel ca lntre f ormelc liniare 7,, - xr * Zxp * 3x, xrl

Jz-Lxr *'3;ua* tg * Zxn, Jr:3xt ,r'xz+ 2rr+\ko, fq- 4xr+2.fts* 5q s[arl,i loc relalia .f , i [., - Jt - /o: 0.

5. Si se cerceteze natura sistemului de forme,/ - AX li si se sta]:ileascd rela*

fiile de dependeiifii cind este ca ;'l:

3 .-4 -1\-2 1 3l

-3 -r8l'

8 -9 ^5'l

":iiil";l ,ul

6. Sir se aducir la fonna cenonicl prin rnetoda lui Gauss gi si se pteeizeze indi*

cele pozitir', signatura Ei natura peritru fiecare dis formeLe pltratice:

a) J(.r\ : x?. + zxg + sxi I Zxrx, + 4xzt% t

b)-t@): I+'4*?+ xl--i 4xrx,* Lxri"re) Jk): ri {- t(txz -l' ssrd;

/ \d

lo

- yi.a

": [l),

'2 I -3, / \ 12

a) .1 : {: I -?i, x:{lli, or , : { I

\i;-l) \";r \;13 I -l 2 3\

:).-l:l: -r 2 -1 3i,\;3-453)



., '"J .i, ,',

| 4r" xrx,

7. Aplicind mefoda transform[rii

mrmS,toarele forme pitratice:

* x;tfr.ortogonale, si se aduci I;a forura cannniC[

?I fH : ry? x 'l 5x -; 6rrx, { zx,x, - ?xzxs t r\-t -1- Ltu7tug

b) J" y) : 5x * 6xZ * 7x? - Lir, + 4xix"t t tug-

a:L7.v2 t 1*,Xg ;,), f,(*, ) - 1*? * sx,, ^l 1,1x - zilirx, a'tirx, + t6xzh jd)'Ji;):4x,r,- *?,^\ //",\ . -,2 t a -. --c) J{x\ : zx\ * 4x,xo - 8tc,xo - 4*-x-:f) J(x\

=5x? * 7x? + s*g +Zx,x, ii"'t), {tr} 7 Sxl l^7tt\ + s4 *Zr,x, *2trna + znzxsl

*i l;*t "* ,,ff. 'r.* f J, {l' .;::, i */ *\-: r 'l t ')

'A kr r -li .t*

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...* . . f,. *4 *."

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('1 -";-,)ff4

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5. er,cnsnA vEcToRIALA

L Veetori. Uo ,"g*"r,1 orientat 78, a # B, este caracterizat-prin nofiu'ile geometrice:

direcfie, sens, mirime (lungime). Doui segmente orientate 7t qi 6i sint echipolente fia p i4 an(ja

au aceeagi direcfie, acelagi sens 9i aceeagi lungime. Numim vector v caractetizat de un segment orientat

* ----> -:? :+.i?mullimea sggmentelor orientate erchipolente cu Ab : v -- {CD I Ab p CO}. Doi vectori sint c'gali

dacl au aceeagi direc{ie, acela-si sens 9i aceeagi lungime'

Un vector de lun.;i ne uiru se nuinegte versor sau vector unitar. Un vector di lungime egali cu

zero se mrmeqte vector nul. Opusill uLrui vector v este un vector, -v' care are aceeagi direclie;i lun-

gime cu v, dar sensul este o;;us aceluiit' al iui v'

NotIm prin -72 rnulpimi'a 'rectr>rilor'<lin spafiu'

2. Arlunarea vectorllo -. i:'ie v1 : 7F ; i ,, : Ei, Se numegte suma vector ilor v, 9 i vs vcctorul

notat prin vl + v2. cu reprezentantul v1 * vz : di + fr :TC. prin diferenla vectorilor vl g i vs

in aceasti ordine se infelege vectorul Vr - ve : v, l- (:va)'

3. lnmulfirea unui vector cu un scalar. SenumegteproCusulvectorului v e,cll(, vl0,tcu scalaru]'

I e R, ), I 0, vectorul notat lv care are aceeagi direcfie cu v, are acelapi sens cu v dacd ), ) 0 9i sens

opus daci tr < 0 gilungimea l fv l : l ). 1'u. Dacri I : 0 sau v : 0, 3'tunci trv: 0'

- ,r,r4i-"" clftf.ormeazd"spaf iu vectorial ln raport cu cele rlouA operafii definite mai inainte .

Versorul unui vector v # 0 este dat de v' :tn -

'

u

Doi vectori sint coliniari clacd au aceeagi direcfie: v1 : ftv'' Doi vectori sint liniar dependenJ

daei gi numai dacd sint coliniari.

Trei sau mai mulli vectori slnt coplanarl dacl reprezentanfii lor printr-un acelagi punct din spaliu

sint situafi in acelagi plan. O condilie necesari 9i suficientl ca tre i vectori v1, v2, v3 e cll( sE fie coplanar

estecaeislfieliniar4ependenfi.Condifiadecoplanaritateatreivectorivl, v2r vssescriev, : )'r'r * {-rvs

, 1. Produsul scalar a doi vectori. Se numegte prc'tlusul scalar a d.oi vectcri nenuli u1, v, e c)

scalarul real vr'v, dat de N

\'1 .v2: ur.uzcoso.0: *(v1,. vr).

Dacd vr:'0 sau vz:0, atunsi vr'vr: 0.

Proprietdfi. a v'v:u2>0, \1 ecV(, u#0lqi v'v:0+v:0; b) v1'v2:vr'vl

a) vr'(v2+ve):v1'v2+v1'vs; d) ().v1) 'vr:}(vr'vz) ; e) vl'vz:0ev"Iv2i f) -prurv,

= Id. , v1 ,f 0; g) prvlv, : vr.yl, Dacd vectoriiunei baze rlin ?/l sint demirime uni,tate 9i orto

vl

sonali doi c$o do acea bazl se valnumi "'1"*;;-n'

Fie $ : {i, j, ki o bazd ortonormati. Daci vt : xii + yri -f z1k, i, : l, 2, atunci expresia ana.;Iilici a produsului scalar este

v1 .v2 : trrxz + yry, + z4z.

in particular, m{rimea unui vector este u1 : ^14 +|TT;T.

5. Produsul vectorial a doi vectori. Numim produs vectorial al ve:torilor nenuli v1, vzeqlc,Tuali in ageasti ordire, vectorul notat vl x vs pentnr care : a) direclia este ortogonald planului deter-

,minatdevectoriivlgiv2;b)lunqimeaestelvrXv2 l:zr.ursin0,0<0: *(vr,vs)<r;c)sensullui v1 i v, este astfel ci triedrul {v., r'2, v1 X v2} este orientat drept (un observator situat perpendicularpe plannl determinat de-vr gi v2, in sensul vcctorului vr x vs, sd poat:i roti vectorul v, in sens inversacelor de ceasornic, de unghi mai rnic decit rc, astfel incit versorul siu si coincicli cu versorul..zecto-rului vr). Da,c.i vr:0 sau vz:0, atunci v, X v":0.

MS,rirnea produsului vectorial I v, x v, j reprezintd aria paralelograrnului construit pir cei doi"rectoii.ca laturi.

Proprietifi. a)v x v:0;b)vl X vz:Oevr: hvr; c)v1 X v2 X v1; d)(l.vr) x v, -: I(vr x vr); e) v, X (va * vg) : vr X vr'+ vl X vs,

Daci :{i,

j, k} este o bazi ortonormati inspafiu

gi ya:*j +

yrit+ zzk, i:1, 2, atunciexpresia analitici a produsului vectorial este

6. Produsul mixt atrei vectori. Prin produsrl mixt al vectorilor v1, vp, V3 e cll(luafi ln aceastf,ordipe, se infelege scalarul, notat (v1, v6, r'n), dat de

' (ur, v2, v3) : (v1 X vr).vr.

Frodusul mixt a trei vectori reprezinttr, ln valo;ire absoluti, volumul paraldlipipedului construit pecci trei vcctori ca muchii.

Proprietifi. a) (vr, v4, vr) : (v2r v3, vr) - (v3; vr, vr); b) (vr, vz, vs) : - (v;; v1, va) ;

c) (),vr, ,r'r, vr) : ).(v' va vu).

Fiind dafi'vectoriiva : xi * li * z6k,i: 1,2,3, fafl de o bazi ortonormate E: {i,iij, k},expresia analiticd a proCusului mixt este

lr, tt ,tl(rr, vs, v3) -

lr,,, ,rl.

/ . lxs " zsl

Volumul paralelipipedului constmit pe veitorii v1, v2, v3 este

urXu,,';t; A

lr, yr zl

r : *l*, n, ,"

l*" ," 23

o condilie necesar{ gi sulicientd ca treivectori vr, r'; gi v, si {ie coplanari es{e ca

ixt lt ztl(vr, vr, "")-lr, y, z2'-0.

l*", ,,, ,"\

?. Produsul duOlu Vectorial a trei vectoli. Fie vr, v2; vr € 'X. .Procltsul dtrblu vectorial a

vectorilor v1r v,r vs, iu;lfi in aceaste orclitre, este vectortrl vrx( 'gxv.) Are loc Iormula

v1 X (v2 X vj) : (v,'vr) v, - (vr'vr) vu.

8. Reperc carteziene ortonormate. Un reper cartezian ortonornrat in spafiu este figuta Iormat$

fntr-un punct O din spafin, origine, gi o bazir, ortonorrnati. Se noteazd (p "-'{O, i, j' k}.

pie rB - {O, i, j, k} un reper.cartezian. \rectorul de pozi}ie al unui punct 1}1 dil spa}iu, Ja tr de

reporul (8, aste vectorul tM : Or\:,4. coordonatele vectorului <le pozifie ru fafd' debaza

i'j' k se

nurrrosc coordonatele punctului '4f' DacS' ra,: ri + yj + zlt' aturrci scriem M(x' y' z)'

Fie (p: {O, i, j, k);i (2' : {A', i', j', k'} doue repere ortonormate gi fie O'(xo' ye' zo) {afi' de

repernl (fl. Dach" n, y, z ,i x' , y' , z' sint coorclonatele aceluiaqi punct fafi. de cele doud, repere si dac&

leg5tura dintre bazele {i, j, k} $i {i" i" 'lt'} este

i' : ani * atai'l arrk, j' : azi -f dz-i + alg3]K' k'- asri * a,'i * n"k'

s,tu{ci.

x-ro*an)r'*at ''"las'l', =:lo*arzx'*azz '*a'rrz',2*ze*ar#'*ahJr'-Fa3{'''

Dacd O = O,, atunci ro -: J,o: ,, - 0 gi relafiiie rle lnai srrs explinrA, schimbarea coortlohlteiorla o rotati a reperului' L)acii a1; : Eir, r' -i : l' 2' 3' atunci aceleagi relafii cxprirni schirrtbaren

tooedonatelor la o trailslarfie.

lnparticular,laotrir,nsiafieinpiitrtavenl,l;:x,o-lx', y*1,o*1",ia"rlaoIota1-iedeurrp,hioc

o axelor nnui rePer Platt avetn

x : x' cosu - y' sina, y : x' sirto a 1r'"oa 0l'.

0 sihimbare general.i..de rei:er in plan este caracterizatd pliu

x.: )(o4-.r'cosc(' - y' sina, * lo* r sina * /'cosc'

9. Apliorfti. a) Aria triurtgltiultt'i cle virfuri Mrku yu zt), i == 1, Z' 3, este datfi"clo'

"d:

+|Mfr,,, *fr"I : j lr', -- r,) x (r, -- r,)

1:

: r il;""

il' . i;; :" ll't lir, o, 1l 1,, *a 1l

l^,| ^r

+ l,u

l*

lr 1|'9l'1'

'r'"lll

b) Yoktmultetraedrttlui de virfu:ri Mr(*r, yt, t), i; l' 2, 3' {' oste dat cle

'l*' J'' :t llr -------->

--+ ---+ tl x^ 1'. 2., 1lv : J: ) 1Mr-11", rIrMn, M1\a, ^ *

ulri-i,

.; ,l.-r'-ll'n )'q 14 |

a\ Gonililitt naaesard ii suJlcientrX 60 pa'trtt puncte Ma@'' 3'u z')' i + l' 2' 3' {' rr5 Jic aaplanata

lsto ea.

xr lr zt 1l

nt le zz tl:0.ns ls,r ll

nr lt t. ll



'd)Coordonatele ului purtct I1 care

t, | ),t,

: l ti

' Mtilimparte segmentul IVITM, in raportul 1' ---: .- : ?r, sin\

hI ilrz

3't 'l \ zU:-'

1-lL

- r 1-11 T 'r12

1+ ir

'Probleme rezolvate

,*1. Sl se arate.cl pentru ca trei vectori a, b, c si inchidi un triunghi este"

necesar ;i suficient ca a + b a c -: 0.' __+ _-_+ ---+

Rezoluare.Fiind dat triunghiul 'JBC, avetn AB+BC+CA-0' adicH a+b- j:C1

Iavers, daci vectorii a, b, c satis{ac relatia a+b+c:0, atunci'1titd ":BC 9i b:Cl' din

relafia anterioara obfinem c: -a - b : cB + AC : AE. Prin urnlare, vectorii a, b, c inchid un

triunghi.

2. Fie a, b, c vectorii ce coillcid cu iaturile unui triunghi. se se exprime cl}

.;"lot"i1ot'vectoriice coincid cu medianele triunghiului Si s[- se arate ci acegtia

pot forma un triunghi."-

Rezoludve. IpotezaaratScf; a*b*c:0, Pentiu

determinarea vectorilor ce coincid cu medianele {olosim'

exerciiiul precedent. Astfel, din LACC' ifig. 1) :

eZ' :;) + fc' : b t ctz; din^aA'r:

+++AA' : AB + BAt : c'{ alZ; rlin L}|B'C:

BB':BC+CB':a{b12.+ --+ ---+ B A' r,l' L

Deoarece .1 .l'+ BIJ'+ CC : 1,51a + b + c) :0, re- Fig. Izulti ci vectorii mediani inchid un lriunqhi.

3.Fie vectorii y1:nL1Q.+nLb*f$ 9i vr: mza*nzb+1ac, unde..a,.b

9l "ri"f n

"coplanari.

'Sl" r* ,l"t"rmine rei;fiile ce irebuie si. existe intre coeficientii

descompunerii a-stfel incit : a) v, := vz j t) vr : trvs. \Rezoluare. a) Relafia vr : ya este echivalenth cu (m, - nt2)? * {nt- ns)b * (?t- ft)c': 0'

.

Deoar."ce vectorii a, b, c sint necoplanari (liniar independenfi), reialia antenoari implicl m1 - rfis,

nt : Itz, Pt : Fz.' u)-n"Ltia--ae coliniaritate vr:)'vr implicd (mr-)'mr)a*(nr-)'zr)b*{fr-}f")c-0"

Deoarece a, b, c sint necopianari aceastd rela{ie irnplic A 'nr : : : lL : l't lnz rxz ?z

pri. urmare, p&tru ca doi vectori si {ie coliniari este recesar gi suficient si aib5, coeficienfii descom'

punerii lor dqpi t."i o""iJ-oe"oplar'"ti proporfioria"li'

4. Se cunoaste descompunerea vectorii0r v1r, v? ;i v3 dup5 trei vectori necopla'

""ti-".-u,;t-int:7a-'b -cj vs.: --a +zh- c, vs:-a-bf 2c' Se se

cerceteze coplanatritatea vectorilor.

Rezolaare. Trebuiesb.bercetS,nlclependenfaliniartavectorilorvl,

v2, vs. Relafia.lrvr-*)'rvr*'

*trrvr:0 este ecbivalent5, cu (2),1 -),i-),.)a*(-Ir*2^1.-).s)t'*(-).r-,Ig*2X.)c:0"Deoarcce a, h gi c sint necoplanari, aceastb relalier implicS' 2)'1 - lt - ls:0' -tr. *2\s- 13:0'



-lr - I, + 2^3 : 0. Acest siste'm onosen are un sistem fundarneutallie solutii forrnat uilnr:ri dintr-o'singurd solulie (rangul sistemului este doi), anume l, - Ig: X, -= 1. I):ci vectorii sirrt copllr,lii,ri si,.relalia de coplanaritate este vr * v: * va : 0 sau v, : _ Vr _ v:.

5. Si se descompuni vectorul v : a t b +",clupi.

trei vectori nccopranarivt: a.+ b -zc, vr:a -b, vg:2b]_ 3c, giiind ci vectorii a, b, c.i.rf ii..o-pianari.

Rezoluare' Procedind ca la exercitiul precedent, se poate verifica faptul cd, v1, v2, v3 sirrt liniarinclependenli'

Trebuie s5 avem v : irvr* rrv, 1 luvrl inloruind expiesiile vectorilor in aceastd,,-rolaJie 9i linind scama ci. a, b, c sint linia.r independenli, eblinsn pe0tru determinar.c:r coeficienfilorlr, 1r, la urmitorul sistem: ), -{- l, : 1, ir - l, -F Z\r: I, -Zl. J- 313 : l..Solntia acestui sis-

233tem este lr - -]' trz: l, lB::, astfel cd v: (2v, { 3v" i 3vr)/5..5 5 5 ; ' - 6/t-'

6..Sa se tlete'ri'e 1= R in a;a fcl ca vcctorii v, - Zi + (). F 2)i + 3k,lr: i +

^j -kt ur.-- 4i+zk si fib coplanari. Pentru i astfel determiiliri si sc(icsconlpuni vcctorul v, dr"rpi direcfiile v-ectorilor v2 gi v.,.

l?ettluflye, P,:r1ru c;l relatia \v, * trrv, _p }"vr : 0 s5, aibd, loc cu rnicar unul clin )1, Ir, ij.rrenul, trcbuic ca sistemul Z/,7.1^2:

0, (f * 2)fr * ).tr, 4 ,lI, : 0, 3).1 _ l, * 2\r:0 ,A oif,i'srrlufii nebarrale' Pcntru aceilsta. este necesar si suficient ca deteininautll sistenrll*i omogen si, fieegal gu zero' I)in acelsti, .,cnclitie obtilem l '= -8. scliem a:trm v1 - avz 1- [-ivr, rclaiie c::hi,ra-

letrtlt cu sisterrrnl u .= 2, *8a + ^11 : -5, -r + Z? :3. Srluli:r, ar:stui sisLuin s.itc e.. Z, g : 5

)

.astfel ci vt:Zvz + I ur.

\J

7, Sir se calculeze scalarul vr.va * Zvr.v, J_ 3vs.vr, stiin,l cit vr..,,= 3n _b,v2 =-=s-f -lb;i vs:a-b, iar a2:9, lr'?:-3,i r(a, b) .=i-.

,^/:Rezcluare. A,zcma.b:a..bcos * (a, rr):JT.r.^l : Ll1 . Apoi vr.vr: (:la_b) .(af.22

+3b) :3a2-1-8a.b - 3b2:zt a nJT- 9- 18 + pJT. Simitar obfinern vs.yg: rrrli;,iv3'v1 : 30 - 6J3, astf:i c5 vr.vz * 2vr.v" f 3vr.vr: lQ .

'z :r "v " v

8. se se determine I e R'in a;a fer-inc-if .vectn":ii vr - i + zt,j-- 1l -\ r;tgi v" : (3 -- i,)i + j + 3k si ii" pi,pc".;iculari.

-Rezoluare. ionclilia tle orto::rnrlitlte vr.vz: 0 cere c:r 1.(3 - f) + 2X,l- (). - 1).3: 0,

de unde y: 3.

t'

9. Si se crlcubzc proieciiile vrcioriloi vr : 2i - 3j Si v: : _i* 4j pe vcctor.iireprezentind sutna 9i diferen a ioi. .

s-w ri..._;r;-iJ T Vr'Sezolttare. Obtinem s: vr * v,r : i* j .:itl : v1 - ve ,- 3i _ 7i.-pri, urm:rrer prs v' :s

1 .-.." 3 .,,, .ol 27 vg.d 3 I - -7-,prs\', :

-/=-,p:d\.r

\/z , \/z ,r /ts d Jir'

10. Cunoscind vectorii care formeaza laturile unui triutghi: '{B : zi -- 6i;,,

p6 : i + 7j, Ce : -3i - j, si se cletermine unghiurile acestui triunghi''--+ +

AB.AC

Rezola(tre. Folosim lormlla cgs { (vr, .'r) : 't '' ' Obfinem Cos + I : --=:--+- :t 'v2

at'uz IAB l. lAC I

orr2:----:--::0, astfel ci +-A - + ' Similar obfinern {B: a'rcc<'rs i "+C --

JioJrc2

,

.v')I

: orc coS -'-7=- .

v511. Se se d.etermine lungimea vectorului v : vr - vz * vr' ;tiind cd t)'- l'

't?riit-uz:z, ar:JI gi *(vr, vz) .:+,*(vr, ve) == ,, *(vz, vs) =- T'

T/-

Rezoluare.Deoarecev2 : vl + v?, -i 3 - 2vr'v2f 2vr'v, - 2vn'v"givr'v, -: at'utcos 7:V 3"

v1.Vs: 1, vr.v, : J;, dedu/emc[.

u: Ut;:;]f:Tl;'12. Se se calculeze unghiul dintre vectorii a 91

este perpendicular Pe vz :2a * 3b 9i vt : 31

: -a+3b.Rezoluare. Din condiliile v1'v2 : 0 9i

a'b I

cos * a, n :-: ,:, astfel c5 {(a,b):arccos --E'q'I J', \/r/,

13. Se secalculeze (v, * vr) X(vr

-v2)

;isi. se interpreteze geometriQ lezultatul'

Rezoluare. Obfinem (v1* vz) X (vr- v"):2y, X vt. Deoarece lv1* vsl Si lvr-vrl repre-

zintd lungimile diagonalelor paralelogramului construit pe v1 9i v, ca laturi' rezultd interpretarea:

aria paralelogramului construit cu vectorii diagonale ale umri paralelogram este de doui ori aria para-

lelogramului.

14. Fie vectorii vr:3i + j + 2k;i v2 _ i _ j_3k. Si se calculeze: a) pro.

dusul lor vectorial; b) sn se verifice cir vectorul v1 X v2 este PQrpendicular pe vt

gi v2 i c) aria pbralelogramuhri:","U.t1,

pe vL ;i vr'

ti j klfuzctuare. a) v' x "r: I .1 | 1l: -i r- llj - 4k'

I r - I -.) |

b) 'vr'(v1 xvr) :-3+ 1l-8:'0;vr'(vl>( v2) -= -1-11 "FlZ:0'

. c) st :l-v1 x vrl : Jl + l2l 1- 16 = V 138'

15. Se se calculeze af ia paralelogramlllui r onstruit pc vcctorii vr : a * 2b

*(a. b) : n.gi vr: a -3b, uncle 4 =- 5, b:" 3 ;i

6

Rezolaare.Avem v1 X vz : @'l 2b) x (a - 3h) : 5b x a' astfel ci lvt

7i. trin urrnare, aria pflralelogramului "rt" 3.:5b.o sin { (a, b) : T, Prin urmare, arrir l):trtzz

b, ;tiind c5. vectorul vr : I - b

{ b este perpendicular Pe v4:

vz.v4:0; oblinem ^'b:n'

$i b2: 4"'

Deci927

xv2i:5lbxa"l:

-



16. Pentru ce valori ale parametrului l, & R,-: a - 2b sint coliniari, a gi b fiind necoliniari ?

Rezoluare'Punemconrlifiicavrxr'e:0astfelcS(3+21)bxa:0.Deoareceasibsintnecoliniarl

;rrezultX, cd ax b I 0. prin urmare, 3 + D.: 0 Si deci I :.- 3

2

17. cunosci.d doui laturi fB\-3i:4i 9i 87: i + 5j ale u'ui triunghil

"sd. se calculeze lungimea inilfimii sale CD.I --+ --r I --+ -tA BC - - | ABxBc l.: J:

1 AB i.l Ci l, astfel cd22

vr: tra * 3b ;i yz-'

+ --+--? l.-t Ij x BC I

lvtrl;

--- -lABI

construitegal cu

' Ilezoluareg Aria

19,e --:-.

5

18' Dacii a, b, c coincid culaturile unui triunghi, sir sc aratc cL aXb - bxc - cX.a.

trlezoluare' Deoarece a, b, c coincid cu laturire unui triunghi, avem a+b+e:0. inmurfrnd

l-":t:.:" -"."--ji relafie cu a oblinem bxa f cXa * 0, adicd axb :.xo. ir^rilirA,r""toriat "n *-iezuitJ axbJhxc.

19. si se cleterming l. = R, astfer ca volumul paraleripipeduiui'vectorii vt:Zi -:j + f,- vz: i + j - 2k pi vr'- ii +'tj s[ fie

Iletaluare. volumul paraielipipecrului constr.'it pe cei trei vectori este

Po5.

lz -3 rtr:+lr r -zl:*

lr z ol

'Ee;uafia (10 + 5i) : f 5 are soluliile lr: _l9i ),r:

_3.

?0. S[ se calcrileze iniltimea paralelipipeduiui construit

{:rt"U".1

a11 qalatetogramul coTiruit pe vectorii",

sirr, ;iiipe vectorii v1, v2,"v3rdcii v1

=2ifj-k,

paraleiipipedului construit pe vectorii v1 :v:, - ?a f 7b -,4c, gtiincl cL a :3, b : JT;

vs : 3i +.2j + k, v. : -j + Zti.Rezoluare. Volumul paralelipipedului

V:*

22. S[ se determine volumul:a - 2b * c, vz:3a -l- 5b -- 2c,

*rria bazei este

,1(= lvrXn, 1 :.r/fiprin

urmare, inllimea este &:

n

_ 7,_:d Jit21. Sn se cercetez-e coplanaritatea vectorilgr vr : i t Zj __k, vz : Zi __ 2j+5k,vs : i -

qj + 6k. si se determinc' relafia cle coplanaritaie oac[ este cazul.

l?ezotuaret Deo'rcce (vl, v2,"r)

:i; :

-j|:0, vectorii sirrr coprana;i. necarece v,,l r -4 6l

v, nu slrrb coliniari, putenr scrie ..v, : crvr * pv" relafie ce es,te eciriv4}en?L cu sisteanul1,2c.-29:-4, -r,.+53:6. -loiuti.r.si:;tenuluieste s:_1,F:r Ja"*-"-*

este

lz

t;

t : l, * (b, c) : n, iar unghiul format de vectorul a gi planul determinat de

6'

vectorii b gi c are ntisura a..4

Rrz,i;nre. Trebuie s[ calculd'm produsul Inixt al celor trei vectori' Folosiud proprietitrfile produ rrul

mixt, ol'tinem l('r, tz, vr): (vrxvs)'vr: f(a-2b {c)x(3a +5b- 2c)l'(2a $7b- 4c) -

- {llaxb - bxc- 5axc)'(2u + 7b- {c) : -44(a, b, c) - 2(b, c, a) - 35(a, c, b) -: _ ll(a, b, c).

Dar (a, b, c) : (b, c, a) : (bxc)'a : lbxc l'4cosn : br"'"in .o,3 : i,

"'u"l "ar -

j1'4642-8

23. Sir se verifice formula de dezvoltare a dublului produs vectorial Pcntrttvectorii vr: i + Zj * k, vz: Zi - 3i, tr : 3i + k.

irrolr,orr. I)eoarece ur*'r:l', -', ii--r, -2i+sk, avem vrx(vr v.|-

i.r o1l

Rtzoroare. v1x(v3x,',y -",* ll -: :tl:l I i -ll :r, ro timp c6

Ir 2 3 I l-7 -7 7l

l; j kl I t j kl{v,xv,)xvr:ll I -rl *"r:.1-4 -l -51:7i+7i-7k'

lz -3 -11 | t 2 jl'

iik1 2 -1

-j -2 9

--(vr.r,)v, f (v..vr)v, :2(2i- 3j) + 4(3i + k): l6i.*6i f {k. Acoasto aratScil vrx{vrlvr}-.- (r'r"vr)v,'- (vr'vr)v3.

24. ln ce'caz vectorul vlx(v2Xv3) este'cdliiriar ctr vectorul vz - vs ?

Rt;zr.,Iuare- Trebuie ca proclusul vectorial al celor doi vectori s& fie zero. Dar [vtX(vrXv1[nx(vr-r'r):[(vr'v3)vr-(vr'vr)vr]x(vs-v.):(vr'vr:vr'vr)vrxvr:[v1'(ve-vJ](vtxvt[$

flceasra este egald. cu zero dac5, v, este perpendicular pe vr-vB sau dacS vectorii-v, g v, slnt odllniar-

25. Se dau vectorii vr:i+j -F, vz-zi-3i -k ;i Yg:i+2i'+3k.Este verificatl egalitatea v1)< (v, X v*) - (vt X vs) X v, ?

t\Tu este verificatil.

2(t. Fie vectorii vi, vi, vj reciprocii'vectorilor Y1s vsr vr definifi prin

vi: v?xvi"\,i:

'o1

*"':,vi=*--:i&-.(v1, vr, vr) - (v1, vr, vr) (v1, vr, vr)

Si se verifice idcntititilc :

a) v;.v :8,r, d, i: i, z, l; b) (vt * va * vu)'(vj + o-r + vil:3.S:r se calculele ieciprocii vectoriloi vrL -21+ j + 2k, vr:5i .- 3i + 9kd

vg := 9i + 4j + 2k ;i s'i se verifice identit[lile de mai sus pentru acs6t cez.

Rezoloare'a)s5'verificimpentrui:j-I9ipentruiaL'j-2^sinnilarsaprocodanlpentrocelelaite valori. Avem

v1.vi*'or.*J*3-: (vr' vr' vr) : 1, vr.vi- "j't- ," "1 -o.(yr, vr, s") (vr, vr, v") (v^, tr, vr) j

: t6i - 6j * 4h. Pe de altd parte, vr'vu -Z qi vr'vr s -'t, aratl c*

lt) lnbaza rezultatelor de Ia purrctui a) Avem

(vrf v, + v3).(v; + vi l- r,i) : vr.vi * vz.v; + va.vJ: j.

. in sfirgit, prin calcul obfinem (vr, v2, v.t) :249, astfel cd vi: {-a\i -F 7li + 47k)1249,v : (6i - 22j + t7lk)124s, v;: (15i + 28j + i11ZtO. . c

Se verifici ugor relafiile a) 9i b).

27. sa se rezolve ecualia vectoriali. v x a: b, ;tiind ci a: i+zi -k sib

-2i +j+ 4k, iar v es[e perpcndicular pe veci;rif ": i+ i +li

-' -- Y'

Rezoluare..Cdutdm t:xilyi+ zk. Din conlifiilev X a: b9iv.c:0obtinempentrudcter._minarea necunoscutelor x, i, z sistemul - -22:2, x j z: I,2r_ :4, xlyl.::tJ.

Solufia'listemului este - :+, I : - I, z :

Rezolaare, Legdtura intre coordonatele

y : -1* (x' -f nlJZ. inlocuind acestea

Rezotuaye. etaac: )€""m1: It -ut

3 1-v: -r - J - -k.1

cind se transporti axr,:lc

de 45'?

fafi de cele doui repere este x: l4 (n, _ y,)llt,in ecuafia dati, oblinem Zx'y' t l:0.

B(-3, o, s)

+3j-ekl:;.

I- -. Dcci

2

28. Se se rezolve ecuatia vectoriale v X (v X a) : b, unde a gi b sint necoliniari.

.Rezolaore. Ecuafia se scrie (1'1)v - (v.v)a : b, relafie ce aratd cd vectorii a, b.s v sint c;1pl;1-nari. Prin urmare, v : ),a 1- pb. inlocuin<i aceastd relalie in ecuafia de mai sus, oblinem pentru de'ter-minarea coeficienfilor ), pi p urmitorul sistem:

),1t' - bzl(a x b)', Lrs - *(a.b)/(a x b),.

29. Se considere punctele A, B, C, O' ale ciror coordonate fati de rcncrul(Q: {O, i, j, k}silf z( -2,3, s), r6.,8, -3), C(6, -j, j), O'(4, s, r)-Sa ,'" a.:_termrne coordonatele punctelor- A, B.; ,C- a1e de re?erul _.(k,: {O,, i,, j,, k,jgtiind ci matricea trecgrii de la baza {i,'j, k} Iabaza {ii j,, k, j" k') este

Rezoluare, Legitura ilintre coordonatele'unui prrnct fafi cle cele doud reperc este z : 4 ..1- (2x' -l+y'-22'713,y:3+(n'*2y't22,)13,2:tT'(z*,-2y,+2,)/3.intocuin.x,y,zprinooolil.r-

1P.' avcttatele puncfuluil, oblinem /: - +, yl : - +, ,,: -9 Deci fafd rlcJ3.l

" (- : - + *J. tt-u.. obfinem B(- 1, 6, 2) st c(0, -2,

30. Ce devine ecualia x, - y, - Zx - Zy - lin punctul O'(1, _l), ilr axa Orx' face cu dx un

:0unghi

31. Se se determine aria triunghiului ABC, gtiind cL A(1, _1,;i c(2, 1,2).

32. se se calculeze volumul tetraedrului de virfuri Ap, 6, 4), B (3,5, 3),c(-2, 1r, -5), D(1, -r, 4). --\

I -+ + + tl,3 -tRczoluare. V : +, (AB, AC, AD) : +-l-Z 5u ul , _7

63

)

J.]. l)ararnu,trii clirectori ai unei clirecfii liind (2, l, 2), si sc glscasci cosinu-

sitrilc dircctoal'': aic acestci tlirectii'')2I2

ll{zolL)dle.'cosoc: ----- =-:: *=, cosq: A-' cosY: t ..-l

+Ji+r+{ 3 ' 3

i Probleme ProPuse spre rezolvare

M./s"rlauvcctoriivr: i + 3j + 9k,v, - -3i + Zi +lk, Yr:,2i,- 3j +-9k,

",i=i : j':;i;:'s:; .; eleterrninc vectorii u: vr *Zvz -i- 3v' f 4vn 9i v -

==-4vr l- 3v, + Zvr -{- v4.

35. Ce legirtr.rri trebuie sir existe intre vcctorii -vJ. ;i vr, pentru ca vectorul

r .: ;; at', "tt ii. t;t;t pe bisectoarea unghiului format de ci ?

36. Se dtr' triunghial ABC Ei rln punct oarecare M i\Planul s5'u'-?lci

C

esle ct'rrtrul dc greutatc al triunghiului, atunci ffe + MB + MC -3MG'

37. l:re dB ii cD vcct,rrii cc coincid cu doul coarde perpe_$iculT.t"5-""cerrc de centru o sj {ie l punctul lor cle intersec}ie. s[ se arate .cL

I'4 + IB + IC +._,

+ ID -21o. t;a vecto'rii v1 9i v'' si fie coliniari :is/s'i se dcterri'rine

^'p € 1t astfel <

a) vr:i1- (I-p)j +k, vr: .i+i. + Iir;i;i ',:i l-ij+tr, vz:Pi+3i+tt'

t'

:g./Si se cercetezc coliiriaritatca punctelor

,r) 111(2, {, i), i12(-}, 7, s), '1-1r({' i0' 9);irr ,i/,(t. 2. 3), ttiii, :, si, -tlrl't, 8, i3) ' 'vr(s' lt' 13);

;i rri,(- t, z,'0),l,t"1r, l, l), :IBQ,3' 4)'

4glcunoscincl cl,esccrnpunerea vectorilor vr, 1?, v, tiupir trei vectori necotrrla-

nari a, b, c, si sc cerceteie coplanaritaieo t"tlotiio'i'' t'' v' Ei in caz afirmativ

H-;.-;.;i-;l-iLro1iu1iniarircar"eIeagIace9ti.vectcrri

:l) v,:c. vq:a-b -c, v;t:a-b*c;t,i v, : a -l-'h -'f- c, vs * b + ci vr : -a -1-c;

-

c) vi:--

,nt--'

n-i ic,vz

'-3a -* zr * c, vs : - a f' 3b * 2c'

t , ,, -- 1: r ; I u .,-

i41ys[ se tLetermirle /. e* lt in arla f el ca vectorii vr : tri +'i 1- t(,, v2 : i +

+ ).'i -+ k, vr : i i:"+ irt ii li- l'"pr"oiii Ei in acest caz sf se descompunl

vectlrrul v1 dupi direc;iile vcctrtrtlrtr V2 $l vu'

I4?yse se clesconrpunir vectoru-r v : ,ft * b {'c dupr vectorii necoplanari

u, i"n i"n, "r':'i-',p"iiZ,v3 =: fo,* c, "ttii'd

ci a, b, c slnt necoplanari.

43r s[ se verifir:e identitatea (v, * '/a)2 * (vt - v')2 :Z(v'l * vl ) 6i sa i se

de*-o'

inierpreta.re geometricir.

44.Fievectoriivl-a(b.c)_{l(a.c)9iv,=c'S[searatec[slntperpendiculari.45. .Sir se calculeze scalarul'a'b -1- tr.c * c'rr $tiind c[ vectorii a, b, c inchid

un tliunghi.

i 46. Se "dau vectorii vr:3a _ 2b si vz: a _f 2b: uncle a: 7, l) =.. Lfii *(a, b) : *

, Se eer:.l

a) lungimea'Jiagonaleror paraielos'ramultii construit pe vectorii v, ;i v, ;) uff'hiul dintre diagonalc.

- 'r lvrrJlruiL l'c

a7)4e dau vectorii- vr:./,i - 3i + 4k gi v, :4i -l--Zj -t- tr. Sc, t.cr:ll t:rl;11llt,

vcc.torului'zr, _ u, 'p" vectorut v, _ Zv, ;

"l .ffnturtle drntre vectorul v" ;i a-relc clc coorciolaie.48'7Doui for{e Fr 5i F, au acera;i punct dc aplicalic si au rrrir-i'rilt, 1:r.=, .,;iFa: 4' iev *(Fr, Fa) :

+ Sd. se ,JJterrnine mirii'rea fortci rr:zulta'tc It :*Fr*Fr.

49' cc unghi formeazi intre ei vectorii..nitari a;i b, daci sc gtic ci .1,..,,,,ii.?r : o f 2b 9i vs : 5a - 4b sint p"ip"rJi."i";i'i

*"' "' '

*,-ry' Qunoscind vectorii a, t), c care formeazi. laturile unui triunghi, siL

sc ccier-rne vectorii ce coincid cu in'timile t.i"nghi;I;:"A:i;;a{ie: a: 5i-l_?j, b:2i-jj,":-ii+zj.

s" :"tf-dau vectorii v.. : i + (I + 1)j - (L - i)k ei vr: (z- i,)i -+- tr ,_.i*

a) valoarea lui ). pcntru care v, gi v, sint ortogonaii;b) proiecfia vecto^r1ui";

p"'i'd.toi"r lr i-"1,

-r,'iii'ddeterni'at miri s'sy) expresia analitici o .re'rs6rului"f.rp"rrai.,rtur"'.i*,ritun pe v, ;i vr.

:,*i :*. ;ffi" :1,I1#

jii i I ?i ; E :j

I

T T r':': ;:

i,:1*

i l; :ura unghiului ABC; b) perirnetrul triunghi"i,riTrT t gJ/r"rt,""a inltimii .,',,r,;) aria triunghiului ABC. 'rur(rr aDw ' c') t\tl

53'6i se calcrrleze a.ia paralelogramurui tiin spafiu constr.uit

'e.r,cL,)rii".ll n, :^i +. zj *t<, - u,:'zifj-+ ji^.'n",'" 'blvr:?i . j*2k: ui:*iJ3j +I,) vr:2i-3j-1 4k, .,2:i+zj "ik;'

d) vr: a { 3b, z: Za _ b, unile a:3, a: 4 ;i *(a, b) : -.

'/ J

54.r/Snsecalculezeproicctiavectoruluivr_Zi_3j+4kpetlireciia ycct,-rrulu:ir* (i,*j r- 2k)x(i'- 2j + 5k). ----*-'r''/r -r alr

SSJSe dau tectc,rii vr, v, sl vl cl'mdrinriic a1 1 I 13, u, __ Z, ?s : I, iar(vr, v,):*t6. *(r'r. vj':iiz qi iJur, ur) -:-"I. Gi'J" .*tc,-,t"re ariite l,:rra--elograyrelor construit6 pj'cite aoi'""ciirr.solsedau'ectr,rii,v_r:2i --l- 3i + lk, vr:

-ai+6i.: k9i r,r:6i + 9j + zk_x

11 Xralecit vect<;rii vr x vz, u, i u, gi v, >iv, oint'.oi'ir,;"ri.'

57. sd se determine aria triunghiului ABC, cunoscind vectoriide pozilie aidA:2i + 3j - k, Db: t _ r;;;;; ;?:-r, *, * u.

s8. sn se calcurez^e. rungimile diagonaleror ;i aria paralcrogramului corrskuitevootcrrii vr: 5* * ri ul : n tE ::,

59. Sii se calculeze produsul m-ixt (v1 Xvr).vr, gtiind ci vr: _a + b * a,v,.=x--b+c;ivu:a+b-c.60' sir se calculeze volumul parareripipetl,.rlui co*str.rrit pe vectorii :. jn) u':r?i+jik,vg:i.+2j--k, u,:-i-;-1 zk;i'J v, : i-l:+.t, "':?i+j -3k, t;:i+ii+L ic) v,:i-t-if k; vz:i+j---k,

";:i_j+'ti.-'l' Sir se calculeze lnS"ifimea paralelipipedului construit pe vectorii v1, ver vsl.lrrirrtl t;r b;Lz.A paralelogramul conitnrit 1ie v.ect.rrii "; ;l ;;,,,rl u':i+j.-t, vr:I-j+k, u, l'-i'+j+k;

b) v,:i-j, v;:j_ii, "r:/_i+k.2. Sir se cerceteze copianaritatea vectorilor v1, v2, v, pi sf, se determine rela$ia<.lc coplanaritate cind este cazul:

- 'L' 'z' 'r Y-'.

i,i u' : it zj-f 3k,.v,=ii+3j

+ 4k, v: : 3i + 4j + sk;r,) v,:3i + (3 * ")j + (s + zoc)[, vz:z{le+g)j+ e+7g)k,u, : 5i + (s + y)j + (5 * 7v)k; t-'J

c) v, --: ;oi Lpj + (" + p)k, u,: _pi * (a* g)j _ ok,. vr:(q*9)i-aj-gk;

tl,i y,: i:2i *f: ur:3i+ j -Zk, v,r:7i+ l4j_ 13k;l-) u,:2i-li -3k; ig:i_-qj+k, nr:3i_2j"+ 2k;l) vr : 3a - 2b, vz:-a -- b, vi: 3a 1- b.(r.j. Sri se dctcrmine ). e R in asa fcl ca vectorii vr : 2i - 3j + 4k, yr -,.= i 1- ij - 2k ;i vr:3i - j f 5k sr1 fie coplanaii.

't

t-r4. Si'i se calculeze proclusele mixte : ,#rr) (yr, vrfv3, vr*vrtun); ni (ur, vr*vz, vr*vz-1-va); c) (v1gvr"

v:,:+v3,vr*vr); d)r-::rj-, u'l'" "1'' j,"j 1ur+"r+"r,t222)

.- v., I v, * vr, v, { vr,- vr). .

llr: cle'in :rcestc produse dacl "vectorii v1, vr, v, coincid cu i; j, } ?

65. sir, se clt:terrnine volumul parareripipedului construit pe vectorii:It) v, : a f-2b g c, yz :-a* 5b-* 3c; ys : a +'Zl - Sc-l--b) v1 =a--2bf c, ve:3a*5b-2c; vi:Za'+7b-3c,

i'tiiur.l ci"L a:6, b-r/i, c:2, *(b, c) :+, iar unghiulformat de vectorul s6"

si 1ij:rnul deterrninat de vectorii b si c are rnd.sura L4

ttf. si,s3 verifice formula de dezvoltare a dublului produs vectorial, Feou.E ijr; vr.: i- j, vr: j -k; vc: -i+k;r) vn : i + j - h, yz =- Zi - 3j-k, vg : i + Zj + 3k.()7. si se velifice identitS"tiie

:,1 y,,x(vr.Xv3) t urxfuriurl * veX(vixvJ:6;lr) (v, x vr) .[v, X (v, x v3)] :

-1v..vr)(vr, .vrl vr) ;

' it:) (v, y.-vz, yz X v3, vJ X vr) : (or, ur, vr;, ;'tl.) v1;<ivrx (vux va)l : (vr.va)(vrxtB) : (vr.vr)(v1xv,) ;cJ,(v1 - v4)X(v, - vs) f^Ju, - r'n)x(vs - vJ + (v, - r,) X (vi - vJ -

0 (v1 x v,) x (v, x'vn) :,i[fi,"'] .tri'iJi{.'+r i* t,:: v2(v1, v3, va) -,r(ur, vr, v;.

' ,



68. Fie v'r, vL, v reciprociia) vlxvi * vzxv; + vrxv3

b) (vixvi, vrxvr, vlxvi):

vectorilor v1, v2, vs. Si se verifice identithtiie:_ or

I .,(vr, vr, v.)'

c)(vi, vr, v,,) + (v,, vl, v") * {v., v,, vi)

(u., uz, "i) + {u,, ui,"i) + 1v", vj, vr)

v.'- Y-- -i r--: r+- (v1, v", vr)2\i+\'; FIi

Si se verifice identit5lile pentru vectorii

vi : i -j + k, vz : i + 2j + 2k, v, : i * j.69. Seclauvectorii vr:2i+ j -k, vz:3i+ 7i +k, vr: -i +2k. Secer:

a) volur,rul palalelipipedului construit pe vcctorii v1, vz, vs ;

bl expresia inalitici i vectorilor reciproci i

c) voiumui paralelipipedului construit pe vectorii reciproci ;

dj si sc arJte c[ u,i{orxv3) I (vrxvr)xvr.70. Si se determine v astfel ca v.a: i8, vXa: b, ;tiinti ci a: i -- j * k"

arb.:i+2j+k.71. Sn se determine aria triunilhiuiui ABC,

a) A(-1, -1, 0), B(0, 2,3), C(1, 1, l)c(-2, t, t).

stiind cir :

; lt) A(1, 2, 3), 1i(*5, 1" -3),

V2. Sh, se cletermitrb inlllirnile triunghiului ABC";tiind,cia\ A(3,1,0), B(0, t,z), C(4, r,5)-; b) A(1. .1, 1), /J(1, 3,3),C(4, 0 *3);

c) A(1, -1, 1), B(0, z, 4), C(-1, -1, -l).73. SA se calculeze volumul Straedrului de virfuria) A('1, 1, 0), B(2, - 1, 3), C(3, 3, t), D(4, z'Z):b) ,4(1, l, -3), B(2, -1, -l), C(3,3, I), D(-t'"4,2).

74. S[ se calculeze inlllimile tetraedrului de vilfuri A(1, -t' 4), B(0, -3, 1),C(-2, -a, s)' D(4, 4. -2)'75. Se dau punctele A(-2, 3, 1) ;i B(2, 4" l). sn s-e determinc pttnctclc care

impart segmentul AB in rapoflul : tr1 : 3 9i tr, -- -2.76. Se se giseasci cosinusurile clirectoare ale dircclici din spdliu ce face cu 0x

unghiul a : 60o gi cu axa Oy'unghiul I : 30'.

77. Si\ se calculeze parametrii directori ai unei direclii, care cste sirnultan per-

pendicularl pe direcfiile (2, - 1, 3) 9i (-3, 4, Z).

78. Se se afle cosinusurile directoare ale vectorului director v, ;tiind cl esteperpendicular pe vectorii u1(2, -3, -11) ;i ur(2, 1,'0).

7.9. Se clau doui direclii deparametri directori, respectiv, (2, 1,2);i- (l,.rrr, 0)'

Si se determine m = R istfel c5. direc{iile date : a) i5 formeze un unghi de 45";

b) si fie perpendicuiare lntre ele.

80. Translind axele paralel cu ele insele, si se determine translatia *.istt'mtrlui

de axe astfel ca ecuafia'xz_ t''+Lry'- xz-6y-, + 1:0 si se transforrne

tntr-o ecualie ce nu mai conline termeni iiniari.

8f. Sb consideri punctele LI din plan ale cdror coordonate relativ lir reperul(P:{O,i, j} vetifiin ecua}ia 3*'l qry 3y'-?* -zy -}- I :0' Ce r"elalie

s"ti.lic'.o"idonatele acelora$i punctd falir de reperul ortonormat, zrvind originea

D'(t, t) pi axele cJe coordonate rotitc direci cu rrnghiul45'fafir deitxelc rc'pcruluif[?



fat{- de axete vechiului repei ?

83.'franslind axele paralel cu ele insele in punctul O' (1, 1),\i se deterrr;ineunghiul cu care trebuie rotite noile axe pentru ca ecuafia xz a Zry ,+ y, - 4h -- 4 - 4 : O si se trarisforme'ln 51ta cale s[ nu,mai confini termin li x.y..' ,

84-. Se searate cd" expresia E :.,iry,-xzlreste

un invariant fafl'de o rOtafiea axelor in plan.

85. Ce devine ecuafia x2+y2"*4r'*Zxyf Arxz+'4yz - 62* I:0 satis,ficuti de coordonatele unor,puncte relativ la reperul ortonormat' (p --:- {O, i, yl},da"cisetrlcelareperulortorrormatcuorigineaO'(0,+,*) Ut caba.za {i1, i','k'},oblinutl din baza {i, j, k} prin rnatricea

I-ti:\/6

,.1L':

Js1

1/z

I

J61,

-7:Vr'1 i,$

1

v61i

v3

0

\_i;



4. PLANUL gI nnaaprA ltrl spaflu

l. Planul. Acesta poate fi dat sub urmlrtoarele forme I

r Ecuafia planului printr-un punct Mo@s, x, z6);i perpendicular pe un vector dat N(1, .8,

lvectoral normal4) este

rtI ztr,-xo)*B(y -fo) + C(z-z):0. i

b) Ecuafia generaltr a planului este

i:Ar+BylCz+D:0; ir

I

e) Eeualia planului determinat de trei puncte necoliniare Mt6n, yt,.zr), i - 1, Z, 3, este

c$

(tl

/)\

(3)

Ii ii i il-'*d| Ecuafia p{anului prin ttrieturi este

At\tz

-+- 1*-t:d,,,oba

a', b, a fliad segmentele'determinate de plan pe axele de coordonate.

e) Eouofia normald a, planului este\

zcosrt 4y"*p + zcos.y - p:0, (5)

i6\

${tst, cosF, coaY fiind cosinusurile directoare ale norrnaieila plan, iar I este distanla de la origino

tra plan {Eeuafia planului sub forma geuerald (2) se poate scrie sub forma normali

. Ar*Ey*Cz*D_.,

* r/e'+ 82+ca

sctltol fr aleglndu-se ast{el ca termenul liber sS fie negativ,

D{rten}a de la punctul Molro, lu eo) la un plan P este dattr. de

lAt"4,Bv^+Cz^+ DldlM), P) san il(Mo, P) - lxocosoc + yocosp $ zocosy - p l,

,/ar+82-lCtrlupl cuaplanul P cste dat prin ecuolira (2) bau (5).

Upghtul ,"ti* do doul plano oltr rlirghiul forirnt de tlirocfiile normalelor celor douii

"

(7',]

plonel,

Conclifia uecesari gi suficienti ca patru puncte ill,(xn, lu z,), i : l, 2,3, {, s4 fie coplanare estc-

l','lt zt lllr" \', zn II

' I'; ;; '" 'l: o' t8l'

I'o le 2t tI

. 2' Dreapta inspaiiu.a)EcualiiledrepteiprilpunctulMor'',1b, eo)$icuvectoruldirector v(1,m, n ,,tlnt

x - ro:1'- lo:1- ro t-^_.^r:.i. .

I 4 - ,,'(ecuatrile canonice)

x : :16 * ),1, 1, - ?o * ),n, z : zo *),h, tr e R (ecualiile parametrice) ;

:v : e-z * p, y - pz a 1 (ccuafiile reduse).

b) Ecua,tiile dreptei prin doud puncte Mr(\, yr, zr), Mr(xr, yr, zr) sint

=

- lt :, - r,(ecuafiile canonics);

, , frz_frt lz_lt zz_2

rr + ),.(x"- rr), : t* i{ff ),), z - ,r.t),(r"- zr\, I e R (ecualiile lgran;elrice}.

$ c) Ecualiite dreptei subTorma generald sint

. .t,i\ Bry * crz I Dr : 0, Az* * Bz * czz * Dul_ a,

tn ipoteza ci vectorii Nr(lr; Br, Cr) 9i Nr(lr, Br, Cr) sint necoliniari. Vectoruldreapta datd sub forma generald (14) esle dat de

. v - NrxN .

unghi.I a douS drepte in spa iu csle egi.rcu ungbiul vectoriror ror tiirectori.

(e)"

I10"

l11l

l 12l-.

( 131,

( 1.1)

dtr'ec Lor pe$tru

[ ls]a

plan este

3. Dreapta gi ptanul. Fie dreptele <Jate prin ecr:afiile

,,,x-xz -h 2--:,1(ds)

--:

- ' ': -lb Ccndilia necesard 9i suficienti ca/, ff ,,i2 lxz

xz*tr'/z-lt 22_2rl1 ,Ml fl1

lz mz nz

,rrr-rt -lr 2-xtr*1,/

--lr mi nr

cele doup drepte sd fie confinute tn."

-n (16),

vectorii directori ai celor doud, drepre nu sint coliniari, relafia (16) reprezintd condifia 4e concu-a dreptel<.rr.

Iicua{ia planului deterrrrinat ce un punct trf o@0, yo, zo) gi doui direclii necoriniare vr(Ir, mr, nrf,vr(lr, m^nr) esle

l*--*o -lo z--z"l

| ',,ml nt |

: o. (r?i"

planului tletc*rinat u"j,

i",,., .;o",r',1,o,ool,", u, ol*no

=

: - ,,'t-" - ", ;"tu

I

I :,-.:, 'r,l;, ',,--'I,l:o.o '*' 'tu

(rEhltntnl

Mullimea tuturor planelor care trece prin dreapta de iritersecfie a doui plane date, numite plane

de bazd, formeazS. un fascicul cie plane, avind ca axi acea clreapt{, Daci planeie bazl sint

(Pr) Arr { Bry 1C1z l- Dr:0 si (.Pr) Arx { Bry 1Ce;1- Dz:0,

atunci ecuafia lasciculului de plane este

Arx Bry Cp 1- DL +^(Arx

'l B# I Cpz 1- Dzl : 0, ), e R' (19)

'Se numeqte unghiul unei alrepte cu un plan urrghiul forrnat tle dreaptri 9i proiecfia sa in plan.

Problerne rezolvate

1. Si sc scric ecuafia unui plan, carc :

a) este paralei cu planul xoy ,si trece prin punctul Mo(Z, -5,31 ;

b) trece prin Oz Ei prin punctul ll[o(-'3, 1, -Z);c) este paralel cu axa Or gi tlece prin puncte\e Mr(4,0, -Z) ii Mr(5, l, 7).

Rezoloare. a) Este colvenabil sd folosim ecuafia (1). Deoarece planul este paralel cu planul xOy,

rezulti cd are acelagi vector normal ca xOy, adiei k (0, 0, l)" f)rin urrnare, ecuafia planului este

O'(x - 2) + 0'(y -f 5) { 1 (e - 3):0, sau z - 3:0.

b) Putem folosi ecuafia, (18). Ecualiile axei Oz sint , astfel cri ecualia ( 18) se scrie

:0saux-l 3y:0

c) Deoarece planul este paralel cu O-r, putem spune <;ir cste cleterminat de prrnctele II1 ;i Mz',,9i direclia lui Or, adicfl i(1, 0, 0). F'olosind ecuafia (18), oblinem ecua]ia planuiui

:0.sau -9y1': t-2:0.

2. Sl se scrie ecualia planului determinat de punctele X'It{3, l, (1), Mz(o,1,2)

Fi M3(4, l, 5),

.Retalaare. F-olosim ecuafia (3), astfel ci oblinern

J(yz

001

x+3 y-l z*23 -l 2

001

I *-4 z1-2Irrelloo

(y31074l

s-l y1-l

-13

04

' rlu1 l:0 sau 30.r I Lly - 6r - 1{)7 -- 0.

2 rl5 1l

3. Sir se verifice d"ac[ urrn5.toarele patru punctL' sc a{l[ 'in acelAti plan :

-x,[t(, -1, 1), Mz(u, z, 4), a,tsu, 3, 3), M4(,0, -3).Rerolaare. Scriem ecuafia pl.anului prirr punctelc If 1, II2, n'ftt

"

j

t

l=osutt =3x Y-l:'l-6:o'Ver.ific{nr qpcir l]ly'r aparfine ac.estui plan. A'uottt -3,1 -l- 0 -* 2'(-3) -i' 6 : Cl. Deci celc pltru

;punitc so pfLrl tI i.r,collgi plan i *3ff i- y - 2z-ll 6 -" 0. l'rtti:rn ul:ilizrr, tlircot corxlifio (8). I

4. S[ se scrie ecualia unui plan, care taie axele cle coordpnate in puncteleMtQ, o,0), Mr(o, -3, 0) qi M"(a,0,4).

l?ezoluare'Folosir:necuafiaplanuruiprintiieturi({), astfelcdobfinema

-y +t - 1 -0,sarr 6r-4yl-32-12-0.

231

5. sir se scrie ecuatia unui plan care trece prin punctul Moe, - 5, l) gi care

ttie pe axele de coordonate segmente pozitive gi egale intre ele.,

Rezoluare. Ecuatia,planuluiprin tiieturi .ste -+ -+ - - t:O. pulind con6itia ca,.-g -'-&

to' n

6' Sisescrreecuatiaunuiplancaretreceplin14 (1 ,3, -_Z);ieste peroenclicular--+

-48, ;tiind ci B (1, -4, 4).

.Ilezoluare. Nonl.ala planului este N: iB6, -2,6), astfel ci, folosind ecuafia (1), obfi'em"

-l)

-7(y

-3)

|6(z -, 2) :0

sau 6z -7y

+ 62 + 27 : 0.7. I-Jn-plan taie pe axele cle coordonate segnrentelc a:11, b;55 ;i c: i0.se calculeze cosinusurile directoare a1e vectorului normal la plan.

Rezoluare.Folosindecuafiaplanuluiprintiieturi, obfinem 2n + + - 1:0, astfel ci para-.

directori ai norrnalei sint10

lll+, +, 1l, t', ,N, : -1- + I + 1 : 15',

t 11 55 10, llz llr.Sz 22.52 22.52.tt2

3 ,-. ,.jV :-.

Cclsinusurile directoare sint-zz(a2 z ^ t zz z t 22 nosd:lr t:-' cosP:5j

?:",

cosY:r, ?:;

8. SI -*, reduci" la forma no'naii ccua{ia planului lO.y * Zy - lle f 60 :0:.I?ezoluare. Fotosina relatia (6). obtincm

10x|_Zy._llzr60

^2' 2 t1

:Usau _y+_:_{:Q._vt}rT22+1t2 3 15- 15-

9. Si sc calculeze distanla de la punctu Mola planul p, ;tiind cI :l

a) Mop, 1, -l), (P)'22x * 4y -Z0z - 45 -- 0;b) A[;,(<, .3, -z), (P) 3x -y +.52 f I :0.I?e:olunyr. Folosirrr lonnula (7).

it\ r (tr.. P\ _i66 + 4 i ?o *45 1 :45: 3

' /22+4,+ZF Jo z

rt?.-3-10-Flllt\d(ll^, P) :r'-." ^"t 't-O.u'l

V9 +t'tzs.\fo ir,par.tinc planului I).

40.,Se se scrie ecuatia unui plan, care :

. .a) trece prin punctul Mr(-2,7, 3) Ei este paralel cu planLrl

i ,x-s4 *.52-1 ==0;

,b) trece prin origine ;i este perpendicular pe pianele

(Pr)2x- y +52 {3:0 ;i (Pr) x +3y -< --7 :A

c) trece prin punctele ,44.(0, 0, 1) 9i Mz(3, 0,0) ;i formeazd, un unghi de 60"."cu planul xOy.

..iRezoluare. a) Planul ci.utat are aceeagi normll:i cu pla.nul , - 4y + 1z-- I : 0, adicd .rectorul

f{( 1, -4, 5). Prin urmare, ecuafia planului este l'(-v+.2)- 4(y* 7) + 5(?, -j): 0 sau x- 4y4>

*l- 5z* 15- 0.

b) Fie N(,4, 8, C) normala planului ceutat P. Deoarece P este pcrperrdicular pe ,P, si pe P1

.rezulti N.Nl :0 gi N.Nr: 0' uurle Nr(Z'-1, 5)' Ns(l, 3, - 1) sint vectorii norrnali lzr ccle douS

.plane. Deci 2,4- B + 5C:0, '4+ 38- C:0. Solutia acostui sistem este

: L : , C , austfcl t:ir N(- 14, l, i).l-l 5l -12 .51 lz-t1I i-tl lr-rl [t rl )

tPrin urnra,re ecualia planului cste - l4z 'f 7y * 7z: 0.

c) Ciutlm ecualia planului sub forma normalS, x[,ose{- ycosB] rqosif - y'- 0. Punlnd.condiiiir, ca planul se treacS, prin Llr;i M2, oblinem cosy: pr:os,a: p/.i. Deoarece cosra-|

1t -to

.l-cos29*cossy: l,.dcclucem cosp:*f r-iO', f){i('ar*l(i rrn.:hiul fonn;rt cu planrrl zoy

60", rezulti ci. unghiul <lintre vectorii normali N(cos a-, r:os B, r.:os v) si N,(t), 0, l) oste do 60''

.'Deci cos 600 : cos y, de unrl'e ,Jols 1 : { , Co* cos y : f , rezultir, ,p : - si r.lt:,: i ct:uagio planului esto' 2' t 2

.l^lTart6-x*.-V- Y*-T'-=:u'

ll. Sd se calculezc unghiul urmdtoarelor plane :

{Pr)4x -5y+il-t:0Ei (Prl " - 4.,----;-f 9:0.Rezolaare. Unghiul celor doul plane este unghiul norinak:lor la ccle rJr:u'tr plane

Nr(4, - 5, 3) si Nz(l, - 4, - 1).

\'Decl

N..N" 21 7 7

N,,N') :;.*:JroJiE:--

sorl {(}lr,N') -arccos il'

12. Se se scrie ecua{iile dreptei caretrece prin punctul A'i'(1, -5,3) ;i fcrmeazl,.€u axele de coordonate unghiuriie c:60", p :45";i 'f : i20'.

Rezoluare, Se cunoagte deci vectorul director a.l dreptei, (cos 60", cos 45', r:os 12J6). Folosim ecua-

.fltlc clreptei sub forrna (9), astfel .a '-l 1 : Zl-l : 1 - iln']l( 2. 2 2

13. S[ se studieze coliaiaritatea punctelor fu[1$, 0, t), Mr(0, Z, 4\ gilar'

[r, ;, t)

[Iczoluare. Scdem ecuafiile dreptei prin punctele LIr li i\:tr,gi apoi verificim dacf, M, se aflS perJroept[. Fo'losirn deci ecua]iite sub forma (12], astfel ci. ecuafiile dreptei sint

r--i y z-l ^ l-3 { 3_l-5-'Scvedec5:i,f,aparfineacesteidrepte,rleoarece

-3 Z 3

- -

_3 6 3

14. Sl se'scrie ecuef iile dreptei care trece prin puirctula) estc paraleii cu axa Oz:

lr) este paralelir cu clreapta (d,) :----l:v-2 -z*34_69c) r:ste paraleli cu dreapta (dr) 2r - y * 3: -f I : 0,

f?ezoluare. a) Direcfia dreptei este k(0, 0, l), astfel ci, ,trrpi (9),

lr) I)irecfia dreptei este aceea.q;i cu a dreptei dr, adicl, vr({, -6,q),

--2 y+5 z*3

b) Vectorul directcr al. dreptei este v :

.ltoQ, -5, 3) 9i care :

:

5v{4y-z-7:0.x:-2 yi5 a*3

001astfel ctr, dupl (9), deducem

{ -6 9

c) I)irecfia dreptei r/, este vect rul vt : Nr X Nr, unrle N,(1, - l, 3) si Nr(5, 4, - l). Deci

rlreptoi ciiutete este vr': (- I l, L7, l3l, astfel c5 ecuafiile rlreptei ,in, *. :J-y*5:' - 3.

. *11 17 13

1;. si se scrie ecuatiile drepteicare trece prin Dunctul ,lt'(2, l, l) si este para-cu planele (Pr\ x- v+?+ 2:0;i (lr2) x+).*Zz'- l:0.

Rtzoluttra. Fie v(/, rz, n) vcctorul director ai dreptei ciutate. f)coarece dreapta este paralelbplanul Pr, rezulti v.N, - 0, unde Nt(1,

-l, l) este vectorul n.rrnr,al la pr. Simi.lar, v.Ns : 0,

t, l,?l.Oi>tiuernastfell-m+n-0,t*:n*2;t-0.Soluiiaacestuisisterneste

lmn--:---'--::- , rleci v(-3, *1, 2lr.

l,'il-lljllt-llx-2 tr-l z-l

rrrrn,rre, ecuafiile dreptei sint

--3 -l 2

15. Si se clctermine cosinusurile directoare ale dreptelor :

,.r- I y-5 z+2

a)-- ;b)Zx-3y-32-9:0,x-Zy+ef 3:0.{ -j 12 t

fleaaluare. a) Vectorul <lirector al dreptei este v({, -J, ll), estfel cl vorsorut clirector are cosinu.rlirectoare

cos ot, :Vl0+9+1{{ 13 /. ti 13

i j kl2 '-i -31:-0i-5i-r,t

-z1l

rloci cos" - -*,. cos.B. -*, cos y : -*Jtn'--:

Jroi'-*' -

V'To?

17. rst" se cafculeze unghiul drep,telor (dr) x * 2y + z - l : 0, x * 2y -.1-

* z* l:0 ii (dr\ x-y+2:{ L:0, x -)'- z- I --0.Rezohtorc, Vectorii direptori ai celor doui drc:pte sint

20. S[ se scrie ecuafiile unci dre'pte care

intersecteaai" dreptele

(d')

i j klr -t 2l:3i+3j.I -r -rl

fic, 2

3xl2y+2-4:0.

trece prin punctul Xtrt\, 0, *-l) li

x y-2 2+l-.-'5 *l '?

ijk12lI *-2 I

- '{i .,- 4li, v" ==

urrgbiul ceior dlrri drepte este dat de

1'r .v. I rcos { (vr, vr) : --l-a : d (v,. v,) - -: '

ot'oz , I

18. Si1. se scrie ecuatiile proiecfiei dreptci (d\ x * 4y -l7r -'5 * 0,

Bx * - z + 2 - 0 pe planul (P) 2:v* 3y * z * 5 == 0.

Reznlttare. Cgnr se vetle ln fig. 2,'dreapta cirutatfr D este intersecfia a cloul plane: plarrul P

pi planul perpendicular pir f d conline {reapta z/. Planul al doilea fac,e parte din lascictrlul rle pl;ine

ce conline dreapta d. Ecualia {asciculului de plane

ce are d,rept axtr, pe d este ,r - 4y 4 2^r - 5 ** 1(3.t + y - z + 2l :.0,Punlnd condili;r. ca acest

rrltirn plan s[ lie perpendiculir pe P, cbtinern

(r + 3I) .2 + (*1 + 1) '3 + (2 - r) ' I : 0, aolicr

I '.r L Deci dreapta D are ecuatiile gencrale

2x * 3l * z - 5 : 0, 4x- 3y + r- 3 : 0.

19. Sil se verifice cir drbptele (,1'i 4x *+u - l:0, x-2 {"3:0li (dr) 3x-l+ y - z { 4.:0, y + 2z -* 8 : 0 sint c0il.cu-rente $i s[ se scuie ecuaf ia plarrrrlui deterrmi-

nat de acestea.

Rezolaurc. Pentru ca .*j6 4oull clrepte sit fie

c,ro"ururrie, trebuie ca si.stcrnul format cu ccualiile

celor dood drcpte sI, {ie compatii:il determinat. Apticind mctoda eliminirii n lui Catrss, <'l,litre4 cil

sistemul este comfiill.itril dbterminat cu solufia * : *315, )t * 615 i 2 : 17 l5.l)eci pr.rrtctul cle iiltersectic

este ,rt4(-3/5, 615, 17 l5). Direcfiile celor douit drepte sint caracterizate de vcr:torii dircrclori vr *'\* 2i + j * Ek 9i,vn:3t * 6j -;3k. Irolosind ecualia (17), obfinem pentru plauul de.tcrrrrirr&t (ie

ceie douf, drepte

z -- tl15l

-: l: o *"x-tsl5 y-615

l:r

| 3 -6

Rczoluare. Fie d dreapta cbutatd 9i v(/, ru, n) vectorul s6u director. f)in condiliilc de irtc.r'

secgie a dreptei d cu dreptele drpi d, obtilern, folosiud conditia (16),

l-3 -3 6l I

I z +:l:os;rl t m,,l

" -- I --]_lJ=:' -'5 pi (d2)213

; -; ll:o.* -33t+2tnt-6,:(r n "l

l4/*8n,-6n-o'



lh,

lI ol I 11 -61 I ilrrlls -61 I { -bi I 8L

-??2, -313), Prin uinarc, ec afiile drepici sn,t

2i? ,.. (-10 y+7.'..i {dJ -: ?-;

rI s. c.ric ecuitiih irlFis.drF esrc par:lel;

' r (l'caPl,r

''' rl2 I -l I

({.) - - ..-t7tRdatrd.. n@at... &apta c{utal4 d $tc ptualcll ft .t,, rcfulti t6 acsst. ar€ vo.to.ul di.ectd

?19, 7,. l) D.apta I p6te li coeiderat{ € irtc€.clia a dout ptan. ifig, 3) r nnll P dtt @ilatd. drqrt.L d ii r , cel{lalr P, d.tcrdi@t d dr.P-tcle d ,si d., Pcntr ddteoiE..a cclor dou 18n6aveh ctt. n pulct si doi rcctori necolini*i, loloti,d

-01 . I

E7

Fig. 3 Deci, dr*pla / arc &ualiile -2t + 3 * 3t - 7t -=.0, i+'+,tU:0

22. sir sc scrie ecuatiile perPendicslarei comuno la drcptcl€, l -y- 3: l-0,., {2( FJt -o"lr ) 2:--0 "llJrll0 6:-10-0

ll.1nutt. l:ic I drdpti ciutatli ri v(1, ,r, t) vccforln sn .lircetor' Dco'icct drceptd d'ste

rif,r).ltli.ulart sinultrn Pn Jr ti e 4, realrt ci v vr - O ii v v : t unde v' si vr "_inttectorii

lir.(tori ai cclor rlouir drepte. D&{ fikm scatd ci

r i rlrl--i-rr :r. ""-

L L 'I

i ] kl: : ol--lsr+14 25k,

rj Ln 6ln,l 4otrI coDdifii so scriu -l-5--2t-O, -lsJ+ 12,,--2jtr-0 Soltrtia nccrtui sisr€6

.Nldv(-U9,-11, 102). De la est pubct mri dePartc sc FoAle P.occda ca i n e*crcitnr l preced'nf

Pt detc.rnimt dc drsptele I

"-::" -:, .J 37 J3

21. I)i tre toate drcptelecare intersecteazi doui drcpie dat€ (dJ

,,1'l'

,l --oI

si {Ir 9i l,la,ul }, deteimi,at d d.€plcl€ d i /,. Pr.rbl p, fa* pa.re din fa{.i. lul de,lane arnraxd dr. Eclalia acestri 1l<ci.ul6t€ r +/ - 3, + t+>.lt -, +22.1:O. punn .ordifia ca

platr sd ii. paraiel cn r (adi.n trodrsul sqlar aI lui v cr norm.ta ta pl& s?r Jic z.ro), otjiier

r) 4 ,-1 :+l(dJ- =- - - {di2 -t -J

- 149 (l + r) - tl ll - ll + 1021-j + 2l) : 0, d6i',:2.1J.r3:t.

j)ci ccn. i. pta utui /,r .sr€2a6x 200/+36it+33- 0. Sinritar se oblnie p.lrru p3 eurlia 9.j9.,+5 jaly-F t9116?+

f 9 930:0. Dcci ltl) 2(6r - zOoJ 1 .16t: + 3 j : o, 9r9: + 556r'-t- t 9 6:, 9 9j0: 0.

23, S:r s-" cal lezc h {inrca pcrpc dicutarci comrue a dreptelor (djl x : ) 4.),: -l + 4, 2 - -Zt - t ,i (l) x:4t,5,y: -3t+ 5. .7 - 5/ -t, s.E r,Ir.ra. Celc dou, drepte tot Ii *ri$ sub lo a ononici, €tisririj Fl,E.r€irnl I j

t+5_r_:4 -3

de tr de sc ldte vedc M pnnct prin q.. lrcs ti v.cro. t dirccrdr at tidjrei rlrcitc. lsltNl tcrlJuI tren\ MLI-4, a, -l) 9i vr€, -t, -2),t^r p€trttu l. avur ,r,l-5, 5, 5) ,i v,(4,.. il, ...5)

Lurgihoa perFdicularbi cohrne (tjs. .1) *rcegal& ctr dirtont{ dc la luNlnl nr' le planrl .4r.rr€ce trin nr'r 9i c"lc paralel (u vetoni e, ri vt.ucurfia ltcestui lla egre

l,+a r-a .+11I z -l -: l=oI t -J -5 I

eau -,+2r,-?r- ll-0.

Djst 1. d. la pun(rul ,/, l. ..est fl:n csrelJ+10-10-rrr.i:-1t1' P):---:-: J. Prin ur-

\tl'11+'nqro, luDgittca pc4reDdicularci .ohunc esre 3.

fiB. 4

sc poal o olserva ce uD€imca prpnoicuLrci cornuue est6 .saE cr I rt;fr ri i,l *s1{ r.l j, ,in rtiltr.llidea paralctit,iredltuj co'srhir ,'c veroiii ;t, r i vr. Dc.i putem obtinc tunEin,er rc,rrfuji.cularei comue dDl]A tortolt

,(rr,ltt..

vr,vrl9

t",", I l

24. S[ se calculezc djstanla de la punctul rllr(3, -1, z) ]a drcrpt.r(d.)z,{-t+ z:0, 1+ -z+ t:o.

ndtrdft. Mai irtli vom l 'r iil.vid.nta ur pulct a.l dreptei I d eoo .arctrla dircclia a.lsieja.

Luind ,: 0, di. ecuafiiie dreptei d obtin(n

Direclia .iEpiei d esie

l2ltr\r:__.r--___. r"^,,t- I r oJ

" l; _l ii:,,i.*



Cun se vedc d t's..t, disraDf. ]t.tlN de la,rltr la. di..pt. I, enc ni:r.rinien paralclognnLulrl

corrlnrit pe veciorii 'lirvi;si . -\c@t lnlllin. .dc

1.1/,r/ ,vl Jrrs

N

'ic. 5 Fis. 6

simctric al originii Iati de plan,Ll5. S:{ s.- calcdczc coo.donatete punctutui6); -F 2\ 9: + t2l :0.

Rct.ltar.- \'ori \tric nrzi inlii.. rtia dreptei O,l.tr, .un6cin{j cr acdst irde pntr O ,i cst.pa.aleln.n rornda la plaunt P lris 6). Irterwla apoj aceasrd drdrla. c. prarnt ]r, obiirLiod

.suci coordoMrcte pux.r nrri iilr- slii i(r a poi tapr ce ii,- 6j p, o"o"".""""r.ionar€re

pDd.ru.

lLio'inca,ntdcLreccnaiin,Jr€lleionlesr€j:1=-1-.ttte6ecliDrltlMulcDo.ur,rezolvir,t.6 ? -o

{J.ci sisrennr .i t.nniii 6; + 2} - t: + tzt=.o, I- -: I, otr_rir ,r lrr{ 6, -2,9) l)r.ji6 2 -9o \'', r', ,), rt t r/J|aria.;i, = A p,.czutlt o,(- 12, -1, l8)

26. Sis€ determhc,'', ,, E ft astfel incit plaDete (t',) 2r y13',I-o.lI,") t 21' : Ii'-0. (r,3)

'+ t-,nz + l0:0:'a) si ai : in comun un prnct jl,r ,.1 lrc",i ocinrr-u ,.1,d)i dr,dl,ti:c) sr-. sc htelsecteye dupi tfti drepte pamlcle distincte.R.t4n,. a) t\n|tn.^.ete tr.i nlare sn ail{ ln co un Dn shgnr n cl csie n€e*. si suti.t:nr

sistenrul forinal cn celc trci ecualii ale ptanelor se iic comparibil deremrirai. I)rin frarc, .rr.,necesar 9i suJi.j.,r ca dercunanht sisietrrDhi sa iie diient de zero (sisrentll tiind {je rip tftrxl)

t.,,rllt 2 tlro-,.r D/ |t' - ,)

b) Tii i nd sdDa Cc ccn.liilc red re ale dreptei ( I l), pen tru @ cele lrei plare si rl@: prifl zcrcJsiesre nc{:e*1t si s.iicie,i ca sistcnDl dc c.ualii Pr - 0, t'z:0, ps=o s5 iie comlarib

flroLutm.r ci",,.rri.ir.n.ti,,,Aar(umnBxt mr,i-,

ri egnl . 'l ,i ol,lir.'q sorut '(,/ rob 2 ., ./ tat, ./ 106 t- J*

c) ln accst caz trcbuie cn rangul sirtcmu.lui Pr - O, P, - O, Pr = 0 sn iie doi, iar ran8ll lllarrtcetertins€ d sisLenului ri lie t.ei. Astlel li.care dou, ititrtre ptare se idt€r*crealr dupe o d.opt, care l

enc P4dlelA cu al t.eilea plau, Dir ac€stc.ordilii obtniem D - r + -) . / to6I sr r, * ---:-:l--,)

x+t+3:-=0, x--r-z:O

Itrtc rini{ trDi iftii unghtrl di|1r I i N, Nriind vactonn od'ol l^ lh l I (tig. ?), I)cN-ne N(1, -1, -l), olJtjrcrn .oB * (v, N)

v.N';;=0 l'i" rrrntrru, dP rl'i rirsrnr (4n-

.luzl4 c6 v csfo porphrdiculor pi N $t .leci cd,

,l4apta d oste porAl.ll cu pltrrul 1r ltinrl'E de

2?. Sd se calcrdezc unqhnd dintre drcrpta (d)

si planul (/,)'{ --I -- : + I

-0.

Ii?:rr d/, Vectonrl diic o. al d'rplci ./ cstc

j j klr | 1l-2t+ri lk.rrrl

tlq. 1

cl{iliat dac6 droopta {pd lil. $Ar io pltrnului,

lrr4 dc Bjutrs tr vodctr d{c[ rn trrct nl drcr'tci I spd4nra ]lntrulul J1 Uo trnot .l drcptci, s.virle nio , F1* oigirm r - 0, I ." 0, :0. Ac.lta nu vdilic eurtlo tldnultri d dcci drciPtdnr 0rlo conlhutd tu plnn.

Itrobleme propuse 6pre rcrolvdlc

28. Si sc scri0 ccIalin pliru lu i determi$tt dc plnctclc,,l1,, Iy'r

a) tlr(0, 0, 0), ,11 (3. ..-2, r), I1,r(r, {, 0) :

b) lI,fl --r, r), .lIr0 3, 3r, .Vr(4, 0. -3).29, Sl sr: ccrcetezc coplanaritato& \umiLtoArrilor punctc :

,u,(3, r. 0), tit,(),'7, z),.1/.(.-r, 0, -r), M/.-"1, t, *2).

.J0. Si se scric ccuaNia uoui plan caro taic (xcle dc coordorrate ir l)unctele

l1,l -1.0.0,, l/r(0,2,0J t; ,rlt.lo,0,3).

.|1. Si se soic ccurtiir unri plan care trece prin punclul /(1, *1, 0) ii es(€

prrltn<licular pc virctonrl ,.11-i, stiintl ci B(2, 0, 3).

1.1. s-. . r, . r.l lr formL no-m,rl.i . u.rti'le urmirosrlor J'ldnc:

a)Zt--9;/ -6:- 22:A: b) 6t-6]-7rf 33:0.

lJ. Si ,c ,,1.,l/c lisrrnl,r J. lr pun rul .lt0 lr nldnul P, )tiind/ r\

,) .l/012. u. .--1, rP) ,,.r- lf 2: l7-0i2./

ci :



?.) urp, 6. t\.

b) 11,i1. 1. 3).

34. Sl se calculeze unghiurile umStoarelor perechi de plane:

a) 3]l-y+Zz+ 15-0,ci 5:u+ 9y-31 - t:0:b\ 6'+2y-42+ 17:0 tj 9''+ 3 -62+4:O.35. Sn se studieze coliniaritatea punctclor:

i{,(1, 3, 01. M3(0, 10, -r) j

t:{ lo. z. 2\, rls(-3. s, 1);c) inr{r. -r, z). M,tq. ,t.3), M3(2, 1, -l).36. Si se determiue cosinusrrile directoare ale dreptelor

-\ x y-7 2+J-",;-

"--;

I, 5:' - 6J + 2z + 21- 0, r-:+ 3:0.37. Si se catculcze unshiul dr€ptelor

,,-1 ,+2 t i361

, llx 4 -Z:=Ou'12"+ y z-:o

y-l .+J296

38. S;r sc stabilcasc:i ecualiile caronice ale dreptei ce 'lrece pdn punctulMolz,3. 5\ ti este palaleli cu dreapta 3.r-r+22-7:O, t+A' -2t l--3 -0.

39. Si se siabilcasci e-cuatiilc pa$metrice ale drcptclor

,rJ2r)3' ; l-0r 6, Jr 2L'z 6.0"' frt-s-r,4 2z + t -o "' 12, -' +?- l -- 0.

40; Sn se scrie ccua-tia unui plan, carc :

a) irece p.in punctcle ly'r(z, 3,4), lI,(4,6, 5) si esie paralel cu vect{,rulv:i+2j-f3k;

b) trece prin If(-L, 3, 4) ii dste panlct cu vectorii vr: i - 2j + li iiY -3i l2i lak;

c) trece

?rinpunctele MJI, 1, 1)

ti,41r(2,2, 3)

$iest€ peryendicular pe plan|l

(P) x. v z-0:d) treq€ prir punctul M(1, -1, l) ii este perpendid{ar pe planele (P,):r -

- t + z - | -o $i (&) 2x + y + z + I = o.

41. Sn s€ scrie ecnatia unui plan, stiind c: punciul 1113, -6,2) esle FictJlrlp€ryendicularei coborlte din o sine pe acest plan.

42. Si se scrie €cuatnb fetelor tetraedrului cu virfurile ln punctele: nfr{o,0, z),l,,(3,0.5),,trr(r, r,0) fi -Vli4. l,2). .:,

43. Sn se detcrmtue coordonatele punctului dl] idtersectie al planelot x + )' +

+ z-6:0, Lc -r + z - 3 : 0, x + 2y - z -2:D.44. S:a se demonstreze cn phncle ,l-y + 22 - 4-O. tt +2 - z -2: o,

2x- y-, -O ir l.J l- ? - J - 0 slnl concurenle irllr-un punct.



45. r'i .. d 'c,-1in- ).€R. asttel .a plaa,.lc.y -y+z_0, 1, -) -: + 2 -: 4, - \' Z: l. 0 .i qe rnlcrsectezc d|lpi o drcapr;..16. Si se siodn:z€ pozitia rclativ:, I planelor

a) 5.r + 3t - z - 1 - o, x + 2J + 32 - t : 0. 2r - 31 -2: 9:0;tr) r. r1 2E+3.=0,3r+_v l : i:0, -3r+ l2l .l- 6:-7:11;

c) Zr -,r'+5i-i:0. -5u i 2_v 13:+2J:0,3-r-: F5:0.47. :.i ., I li z o,ziLr.L r.l3riL.i I pjrll.,lor

a) 5r :+3:0, i) Lz:F s: I -, j

b) 5. + 2_l 6==0, r +,1,

48 5i .r .rll. Fcuatrr tl., ,rlui

2r FJ J5? - i: n,rn;|iul z

49. Sll sr scric, ccuatiile drcptcir:rte IerPcndicular ii pc drerpt:r

50. Sl se scritr r:curtiillpnrxletil cu (lrflrpt; - + j

51. Si sc scfic c'cuiliile

- t.=o, b:- 1.^+5-0, lr+4Jr+

3; =. 0, 2x 3,1, + 3 + 8--0. 3Y + 2?- l:0.carc trccc prin arr^ Or ti tormcaz.rr cu planrl=- 60".

,ar,.\, ifli in pLrnul r0r lRr" trin.-itsin, ri

1-.: /: I r-5.i -:

drcptci carc trccc prin pun€tul -rilo(-1, 2, I) $i este-- 2J - l.=0. .r+2J - ?+ I -=0.

f r^i(c1re i dr.pt.i (,ill---- : '--: - :-- pe plalr I.21

lt\

sJ.

il iind

n--t.1'. -.]:0.52, Sir sc ruificc cir dripldc unlitoirrc stt|t concurente I

t 13-?. I

scric ecur ir l)lxnului dcterminr{ (le rcratea.

Sir nj scric ccu,Llijle pcrpcndic[larfi coborite din punctul JIo Fe dreapia (/),

a.) IIolz, 3. 1)

b) .r,Ioi,2, i. 1)

I -l

' ''t-' tl I

it l--: I

c) ruo10, 0, 0) ii ...r r r-: :+l{1r)-:-:-.

54. Sir sc scrie ocualiiic pcecndicularci comune la

,.. r J v-lI,rr)

=:;

dreptcle i

1-1.l



55. Si se calculeze lunginlAa perpcndicutarei comune a drelrelor./r ti.l,, ttii d ci:I -4 r : Ia,,/,r

-.-, ,; >i i4); _ ,,

I,i (r/r) .1 .r -r .i rd?) .r l.O.r.- 2 0

, :t t,ir _..lt'ir)- -1

;rit./.) _

l Id) (/,) lt -' :- r'0.

t,t-\1, + 2)" ,:''12,.\ z 2-o' "'lrlzrrz:r{_o

56. Si sc crl(irl,rzc distalrta diDtrc drcptcte

(,1,):'-. l-- =::j,i (4) ::: _r +r:-t.3,1 Z J{}

57. Si sr rlrrn.n.tr,ze,i dr..prclc-n -. _'''? ;' ,i ).- t/T7, -1 -= 2l + 2, z: -21 .l- I dei(rmini un ptan. Si sc scrie ccu,tia acestnia.

58. S:l sc vcriiicc c:l dreDi.lc 2r L 2, -.. r'l- r-l ,-o

5t

-.---: t - -a* si.1t p.Lr'lhl'. S:r s. (al,1rl(rt ,L:r.nli ,lir)rrc r,le c.1 .,.

scric ccu:liia planului detcr.nrinat de accstca.

.59.S.'tscscriL:ccralia nriplan{.rr.tr(,cl,rin,lnru)tjrdeinLLrjicrirrDlacl,)r4x--"r rJ?-. I-0,i .t- 51 -.;_F2-o,i i..,rP'

.i) tr(cc priu ori.iiDcibJ tr,.ce prin ptln,lul .t/(t. ,. I)cl cstc prrllcl 'r ara 4r :

d) este p€rpendicular pc plan[l 2:r -J -r 5. - 3:0..60. S;5e rcr;1 .(uxii:, urui plan..rr. trec. plirr rJr,.r1.r.r (ic inlcrsccrjc a r ._ncrnr.r LJv -, =oii.r-?l 4:0S; r.i,., i-rrrrcrz,t u unAbi ,k.{5.;u tt;r If,-4v-8:+12:0.61. Si s. sc'ic ecunliil unur ptan cxr. trccc rrin nu-.lrrl .1/.,(Z 2 ,l si r,r,

esr. fcrpFn4r.'rlir pe Llrcapta a -f 2r_ z I I _0 2ri, .:i c62. SJ s sLrie ecraria unui

nlancaru I,,.(.;rin yrrr:rrul ,4/.1r

t.2r.i ,-paraiel cLr dreJ'tclc:

. ,,. r I 1 I :: I , | | r_ | :: ,,| {,rrr-- -.

- :i /d.,))1t't..ti

. 6J. c1" s.rip eruatir un-i plan crro rrccc i-ri. un,r,rl .t/^{2 t. 1) si nun(') 2r' .\ _: _ I _ 0, .r FJ .j _ 0.

64. S:1 sn s(ri^ au3ria unui plan mrc (.rric,. , r,...n,a ., l-_ n, r l- z.- I - 0 ii este perpendicular pe plaout

" +l + t:0.

l2r r i:=.fJ

lr r. 1::0.

65. Si se studieze pazilia drePtei d fali de PlaDul P, stii1d c[ :

, tar.-:lZ -r-o -2-t

ri (p) 3' t- sf -z-2-01431-

ti (Pl 3t-3r+22-s:o;

a-13 -l t-4t\ ld\

-:'-: -t

5l(4 r+2r- a' + t:0.

66. Si se siseascl Proiectia Fnctului i]to({' -3' l}peptanul' + z}'- z - 3:0'

67. Si se sc e ecuatiile dreptei ce trece pdn puDctele de intcrseclie alc planului

2tty J: Fl -0 cu drePtele

r 3 -5 2-l .x-5 t-3 t+1

t-JZ'2-46

68. Sl se calcuteze {oordoaatele sim€tricuhi punctutui ;t{o(1' 3' 10) {atl dor-l r-j ?-j

r.rrDta

-4t

09, Se s-.cric e.uatia plqn'rlui determinai de Ferperdicularele coLlrlte din

r""lii,iiri-,. i..ig-pr;.r" r' rr 3z I 13-0tiy '2r -? Ir:0';o s4 qe <.rie ecuatia Ptanului carc tre'c prin puo'lul 'Vo rrnelr'clrl Punc-

,,,i"i -u"ir. :. -rt ia ;i di planui (P) x-4 l sz+48:0 \r cs'e pa 3rcr cu

iil-i,il''i.i,i'2,'- y'' z +'t -o, 3x F2r | 67 r'" 0 ri (r.) r - r:0'

x-'y-z:0.71. Sa s" scrie ccualia plaoutui paralel cu plandl 't I- y | 2z - 0 ri 'dre trece

,,,i" '"'".,,r,i"'-ii'iiJiil,'; pianeior 2ri 7i-z - z-o' ' -3vLzT t-o

ii ., -y+r-::0.72. S[ se detenioine ] € R asuel tncit dtePtelc

r-l r+2 . ,,.'+lld) -- :--=: - ;r r{r, -;

si fie couturente. Si se aflc coordonatele Punctului lor de intersectie'

?3, Si se detetnine $ietutile pe a-{elede

eooilonateaie p1a+riui 3'

-4' +

+ 6z-2'1:0.

'.

$IRURI DE NUJIIERE REITLE

S. rumctte 9ir llc nuntcre rc e o npridlia a'.'dlirii

N ni t|. \\orinr vddrite acesrci nplj.,(np'in /(n) =. u", , e N.

(nr tir (oi) cstc ltlBinil dact cxi$e n firmn. tt > o. astt r n. r ia, J < rj, V, e N.

n $ (a") csl. cre$5r.r dics ar <,::: ... <z < d",, < ...: rirrl (,,,) esle ddscre$irnd^.r: a1> d\> ... > d,> d,t\> ....

$irul k,) ct( coMrser drd ayisra ( € B, as{fcl ci

Y.>0, .€Nl la,-at<., u.>"..

Scricm ir k.it . z ce lib ar: a.

Sttrrcr: d hn 44 e + ... ds.I

Y' > 0, l'. € N 14'>., Vn )' 4.;

sPulriD lll linr ,,: - 4o, dacn

. VE>g l%eNla.<-., V,>"..

D&cl limieJ rirold (ai) nu c\isii sru.ste inlin i, atunci rirut (d.) cslo di'4r8qrt.p oi'.1.1{tl. r) Dicil. dL +d, aturci 14 l+ | a J,

b) Oric. ru coNergdt cFt. m{rgiD .

() Oricc air conv.rE trr are o *irgld Uoiii.' d) Orioe subtir d unDi gli .orverScnt estc con?dg.nt c4r.c sce€ii lihit ,

o) Dac dr 4 4 9i ,, + D ti <1..{ ar < ,r, v'reN.drD.id< .1) Dacr d, +a fi,i+ 4;i aact., < 6, <,,, Vn e N, atrDci br r n.

F, nrr\ ldr -at<dr ri d,-0. arlncj z"*a.,'r l)rcl., + o.ri l r, l < rll Vr e N, altrnci (.r, + 0.

€ritdldl g€n.lal al ltri C.nchy. Condifir ncce$rl ti sirticierti e uD ti. ("J *llie corvergcrt csto

1l)

(?)

(.)

,{ vE>o, l..eNt 1,,+,-z,t<., v'>,e, v}€N,l,ihit.lc ri.trrllor Dorotone. O.icc,9ir motuton are ti"riLl.orice tir rltglgr-oJ ri tdifgixit lste co v;rcc't. Dac, snut (ei) cste nonaten qescelo. $i nfds,rir

bnperior, .r c.rnve4e cAuc marginea sltei.idd.l. De4,{'/,) estc uonoron d*.reicih.''

nratrgis ini.-rio., .l .sle convc.gent ot."

"'".gi".i. s. i,te.i6r..Cri/qirl lui stdlz. I.ie rirul ir.) r,oDoton cie$nror, cr Innit'a + 6. ]\trlci

.'a'

n b, r tan-r.

ia ip,rrc"a cr rlrnira trin prt6 {trcaptd 6jsri' {tintL $x uj.:

?5

(5)

/ r\nrrrul?"-ll+-l

\ "/€sio monoton c.e c{to. ti mr.ginit supe.ior: lirnita sa este

'T(',. j)^:'

I\nct€ ljnite ale uDri sir' Prit punct limit,, a1 tnui 9ir se lnfelege nn 'uml' ( € R' cat€ are

prorrietat€ c5 oricc vecin6tale a s conlinc o iniinitate de rermeni ai ti' lui'

Fie {d,) un ti @recare ti,4 mulfimez lunct'elo' sale limifd Nnminr limitd suPcn'ar' lnn 'i. ri..fui (i")

""rmai ma.e un.l limitii din, Ntrnim limitl idfoioa'n /rfl d. a tirnlti {4") cel nai

". .ur - lrmi d din J.

Un rr a.) , 'e .in" 6 dJ J si nl'ra' dJci lfl 'r - lim ai

Probleme rezolvate

l. Folosind definitir limitei, si se vcrifice ci

tr)ri- 'l' . -'-'tfi,,'

'" ' -' ' .-0.Ll'.:r.t t \ n

n,,o?ral?. a) vom lolosi rlelnrilil ( l) va tr€lui sA a',,tt'in c6 Fettru orice onmir Pozi riY e' P -

lerr det€.mino ur rang'j3

6 N as{el incit si a"eDr, pcnttu orice t > tr'

lr,. l 2l \ I {l::---- - Lc :n I .-,r"lr,,-r rl r ':

lsrc verilicatA. Accash stalil.9tc poDt€rgenfa ii.ului c5t c: . DdE ld64'

:- ' atunci a€'- J

2tl. t-i lmpr'ia ,,,...d,lraJolimiq: ' ma P'lro d"- . D'cdrLim - too

arund'r-

* jJ ri deci te.n€nii 4., d., . dilcrd de linita Z6 nai p'9in ae 1'

2"-t- 2fb) riird dal e > 0, va trebli si (lete.;i in rn ra_rg tre e N r'ihl I i'ii _--:-:-r- < er

i,..1\: E

| -j l,*". :-i-:1 < ., pcntru I > n,. eria roare sinil con'*se la zero Atu lolo€in

lr'1 I

rr"i , r"1 ., f:.,, ir,rr'1ge a I i r'

r,il'2ri dJ'a i,nrdnc'n'. ? I

--i € re'ulr5d\- lu:odtrr:t .1 ,.L

3

p.,' rL ") .2.4l, j"

l. -, 5c rr.t ( .i cirul .u r.rm.nul general a, -'zi -l:I nu Fsreconv.rqenr.2,"

firj,lrtrl.. Si obs.rwim ct pentru , psr .vch r" = 2 ri t.n1ru , impor avem u, - O,adi.a,r,bshn.i co'ver{eni^ ," ridite diterite. Daci girnl (dr) ar Ii converaent ta a, at nci c.le.lfr6 snb_(.r teuncnitor de nng lar li derang impa.) a. tr€bui sn findi tot cjrr a. Datorita uicitrtii

riir.i rrni sir conrersent. a. rrebri .a d si lie egal cu ze.o g . doi. Ac€sra cste inpdibil.

.r.,..

... .^.:.i,uI \,,,,

nnpnur sp,,"rar d, - [',,,a) , .j,e nemirsi-,nu'ind..irr^ v t {lrr.f,tudl., l)acl tirul .. Ii n16r8niii, ar insemon cr ar ef,isra nn uo6r M, astlol cn la,l<,t,

-1l)ar, oi.dr€.r {1 ,41 > 0, penr.n o ce nuder naruEl de Io,nE', - lA + t >,tr3 n,"-

.1 s ul r,\ nu ir1t.,:r-F infin'.r.a..rL rrrind-(arr"-.art,lchra.rj"et.0 larcN.rnrcl ,.. rnLaro

^taripi,21n J.rndi>c, v,>xr. f:e,_2a

cc€.c do,edette cd dtui dar nu rinde cir.e inlinit.

Ii rrr":,rut cu r-mpnul scn.rrt o. '"{--d-11-:=1 . %. so to. h.l>0.r ". . rr"uhz^ rirn a,.

p0" - .rq' I ' a'

fr?.J,nrr. Pntem r.ria

l) .i I : A, airn.i aa :

o,+_1,.._'-;

^PlA'Dace l>i, atfna.i a,,-

,-("+f+ .))

,'ls"*8....*E:)

di - +@ dacs % po > 0, sara.e ?t < l, ahnrciur=,i-,,

m a" : -oo, d^ci do.Bo < 0.

5. SiL se calculeze limita

B"*4*...* .

;irului cu tcrmenul g€neral

l+d+a,+...+a" , al <1.

.:::: :-":::,: .,,,-,i":;i. ;

l-6. Sc .onsi,lcr;r rirul (d,) definit prin a, : o, c" : t, a, -": :::t . o" ,

Si se anrte cl2 2t-tt a,:- a_ - Y.2'2'

ri st se cdculezc lim ,". a,"; 'rr;: :"la care lnceplnd tcrmenli ri."l"i "r,',-":;:1ff;

i::;"":""jH:..",1 --"..*- "",,,tu. : 2 d.@recc "" -: .-+ -

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: l. fr.supnr.m ad.etara rebF. IEli ' ti sE dai6m caBz -

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h) D.oarece I d < l, r"tem *ne I d i : --j:, p > q d.ci 4 i " I' :'r(i + P)". cln (l+(l+F)

+.)'- r+clp+c:p1 +...+4p">c:e', rczurtril i pf--L

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as{el o. 'lnl'<

rJn. lid---L:0 si deci. lorcinil d rlin e.opietdfi {la. - a I < c,9i a,+ o', l,p, n ta - l)t'

nft,irct d" + aJ, r.znlti cA ,un + 0.

.,.,,'"g.-fl,- l.s.ohs A cr V; ' 1, v, ' I si dri d,>o vn>I va rrebui

'1 .,), .rd, '0. r"-' V;-".+ r ri dai"= {t rd.,'sru ':t -cld, ci |+.

li; - c;t;. P,in u,maE, 0 < c < { :i, a.o,*. li'n l: . o dtrDn (a tin.q - o'' C " ri,,j) sr corsiilcrrn hai hrli carll d > t. -{.tunci v;> L ric a" - v;- 1, fftlcl ore" > 0

sa adrrlLn, ci c"* o.,t'e'n i/i- r + a", <rei 4 - (l r'',)' : 1 + cld"+... + 4 l>cld"

,...,.1 in<r"41 ueorcce trma-o, 'c Itncrti-0 De,1 a - l, .tunci .' - 1 ti(l n il,s r., cn r+. rv denrd. D'a a < t.*urci <;s"a = ic' o > r. ean unnarc, i/i':1f,u'u.,,.*

pfi'ra lirle n dononshafieivt- t, as.(.r c6V;- |

8, l,bloslnd trecerea la limitd in incgalittrli. sir se calculeze liflita urmitoArelor

ll .l' 2l {'.,.+ r ; r,)

".:,(:)'+ "'.i.;:;

2tlt1 3 5.,. (2, - 1) -. ld - l)a-' - 6

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* o, rezdt ce in; a,: o.

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'., D,mrLce o<sinIca,voex, Fatrad0<'"<"1:l -', l-. rrrno r'

t2t zt \.r./

"uii, -cerd; iuFgrlitale ri liDird s@ calid r.l: I :O,lirunr'-:-.O,ublin"nlir .'-trr

" ltj n 21

2h-l 2h, c) Dac4 them s€n6 de inegsliat€ -- <

-,

Yt e N, ierdti -2h 2h+ I

1 3 5 ztt-t 2 4 6 2,

2 I 6 2b j 5 7 zt+l

1 3 5 zE-I I 2 4 2'-2.

2 I 6 2i 2 3 5 2,-l

2jlP + 23 1...+,) 4nln + tIlzn + t)

2\|lh+t)(4n+ll

nsUcl cn linr d, * l. .

10. Sii se cerceteze natura giruriior:

124t t1, - .. ,

",__ 0; b) ar- I . _= aa.:- t.

h/,atwt.. rt -\rt,tat=O at t.)=- Fota{nd ne'ara iudu t:"i, presupuniudcl.er> 0,

dc.lucem cA 9i a, > 0, .

Deoarece a;-1> 0, V,eN, se oLtire a,: (t+di-r) J < 1. pritr u&ar€, O < a,< l, V,eN.SA p.esupnnenr acrn ce tirul (a ) 6tc .onverg€nr 9i tie r - lim a,, Trdtld ta timjt ln,elafia

d, E( I +d",r)'l, obfinem peniru deterdida.s limneir trm\:1rorrea eclatie: I : j.n"in "..n.",I ?

t /<.1,,. '-'r-V'' ri d.olrp . a. e {^ L irz,.trd ,,r n.,mri vJ'oirea / - (- llV5) ar r,

Sd ar:;mr,I d"tr"-

ca/ =

deJinilia I dat fird e > 0, va tleiui si dcr.rminrm 4 €ng r: e N, asi*l q pdrru orice, > ,g:L areft a, - < e. inl.cuinil pe d, cu *presja sa, oblinem

'"':l*;-,1: 'l*t-la,-t , ri,-a"_1J ,_lr-.,_,1;

(r. + 4(l + 4,_J

a ' ,.. fo-. t'D'lL,J". r"r, o .ralt tz t t-lln. J r.^r ,.. ,, -- .p v(.r( ,. 6" <

-

2 d rLt t{.n, -t A .-:_,(l+r){].+a, J r-r/ (t+r)

a''.ti bt "i /i, L O|0.', r."4 a,. ,_t(t.t-t ., A\ t, )nr N. lh.,

o l.-k.t.t t,<L-o.--t,< < t(-,,ar. t

)a,-t < r*i)a1- 4.

1.^cj' r l" Iri... , ,".r i:,g,tiL-, F,ni.,,t .e,,.1, ,.r t.,. //' - i ,.rll11 t.1r n.

25nl .\v h., l--,o" I,id".o1 i.,.. _.i::r, ,J,.1,.., \rLo.n, c,l J"\0,.3

)V"=^_, ,\poi, dcoa.c.c

a,= l+-, s€vede c6

ai> l, V,eN De.arece a,,r> I, r.zuu,2dr* l+-< 1+2, V, € N. Pnu nrmaN, iirnl k,) esie nrirginit: 1<a"<3, Vn€N.

Pr..cilhd 6 la, exerciiul al, lcupunem ct tiftr {4") ar fi cor'telgent c 'tre / liecldd ta

,tnni; h rclalia de deliniFe a s-irutui s-i tinlnd s@ ct t€{1; 3}' obti €n l: 2' Pcnt' 'arzta

,., r = 2 *tc ttrtr-aitevr. litriita tndli tolcid P.oP.ietats el Avem

z I lc",-211+--:l:-'l4"r

z 25 1l

'D.o rL{e ai,r < J, re2ultici ,"

l+-1 /l+: :, v'tsN PtuJre'" _<- _J'

l3

i.. -, < 114.,, -,1 < [:]u--,r....(jf-'r,, - a

u -'-" rr-l-l n dupe P op'ieral'r a) rcrdltri lim d" _ I

" \ 5,/

11, Folosind teorema dc con}-ergenln a Su ilor inonotone 9i mirginite' si se

.cerc^tez" .onverg(n1r uml:Lox(Flor sirLri '

'): t') a":Ja+a*',4> a, eo:o',

e) a^- - a"(2 - a")' 0 < ao < 1-

nardrdle. a) Compadm doi tem6li con$cutivi leniru a sfa6ili nrc&tolia tulni '{ven

d., rnrr.,. (,rJ,_ r {trr)'_ I .(r* t\". j_r. v.,r:,dr r(sTr.rg " 'tl,' tL \ i.i trll

/ rtnn o,recc nRl (r'.''.,..r r"*',rlr*-l6re.re*iro' 5i rindetrift " D'(i '','1"-cd'q

I '.1crescilor li, cum a, > O, .ddtr, ce 6te ti m&g'iit idenor' priD nrnare este cowerg€lt Dac'

lot6nj I : lida,, atuEci, trecind la lisitA h relatit

t I l\n4:+1:4.-.ll+-1.

"+r[ 6)

. r.zDltr,-r'O'e, asllcl ca l:0- Dcci tin z":0-

I ru.m"c'i"ae -rt q='/i-.,*^i"t't' '"'-\/' J'- \a Prib n'-

glijare. xltnnllui 6 din cxrresin ld d', obtin@

| -'-j:=.=._'d,>lar'v,l . l a, I

nsuer cI rezulta d'l < ar, \, e N. ti d*i >irur {4") este tresctro'

r"r rcrJ:L' ,"

- J., ,-

| '',Ilr ';:d l-. , Je undc

D.@rcce ri.ul (zr), dr > 0,' cste .rcsc{tor,'rzullr. dr-, < aN ti 4<d" $i de.i la< |

". t" /; , ,-\:' - i llL.r I i.npl@

-r \/r I,. \"" a, J

Di rehlia de md sns dcdnacn a, <J""f I, V, j ece5sle oratA cl {d,) 6te D4 gi.it srperio

i deci esig con?ergcnt. rie r = lim ',j treolrli h lit,ili n rclaFa a, : .v/;;;n, obtined I *

_ll

rt+-/t+4dl-_/a+t dcunde lF-

, q.dc,^ao>O, |'n ndurlic s ttoa,e... 1.l a1>o u ..N. Din rcldtra dc defuriti. "(m dj-r - 2a^ d,-r + z o.

]\ccfftt iclafic nratl c5, r:4,-1 Gfe o rrdr,cid tc\lZ, n.c\^liai,f -2firr+ a-0. linlru,co acerslo 3I aibf. .A.ddcitri .colc txsluic ca A - /; - a > 0 $ deci ,i > 6: Apot rer 16

ri dcqj rul ('") catc de5crcrcntor, Dcodrdco aii > 0. v'6N, rclultA ca (.r) *tu orrStnh blgrroFFi .lc i osic.convcr8cur, Trcci d h l.r-.nd ll. ruhl,u dc rdurolln, obln(n lin a. - Va,

d) sn Dosorvdn, ca 0<a'-1< 1, 0 <," ' 3-1<a< L Pri mdtod3 irductnr so'2'2A2

eLabilcttc ugor cI 0 < a, < 1- < l, V, c N, Dcci rirul {d,) s{. mdlthlt. Apol, . .dr ai - a} -2

I , - ' ldtl 4)la.-a)^=-ai>Oti d,-i.: ' " " " <0. Iolorind nrcrod& iDdnrFol, lotu En' Dc.

22

.A rsr-r-ar.+r > 0 rid .-rrt.. < 0 $t va tr.bnisd rretAn cEa r+r-arr.d > 0 tt atr+t-.ara.<0. a a\ .."i,"' {z r+ r. or,){dDr. - r,r) - "n r'a.lo"Jr, a?.h22222

tdr,, t a,'+tyd i-ou ) ,^

Acesic ielp.lii aroid .n si.ul (4.r1 estc tlesinlor ri 14r+1) 41c doscro;i&or' Cun .c.e10 dou

9irlri siat ndrginiio, rezulte cd ele slnt cotrtcrgent., Ii6 fr = ) u4r* li li * lim a +r, Di lclalit

d" <lrrrniti. s.n{ rpn ru a :n ri n - 2{ + I Dr'li cm* *

. .?._, " "i,"*' ;-i't\4'*t:;-7ald\

T'.. ndr.rimirl rn lrcL- "qairtid Llinc,,' si",'(..1'-. ,--;ti.

l. ---

ri sr.r/itrd

'll'JcJJUr.,arnoolinrm./r - ?iJll | -\,r '-l./l=0 Cunlr>0 t r):0, r.?urr; 11 tr"Jr.l2l

Fi doci tnll (a,) csle cobvcrgctt, d@atece ccl€ dotrt sllsiru.j ercl co$lrun a ncteafi lntriL "

al

rF, rr rsF llnd,. rrpLlJ.r'".1r11 r'lalr'r r.-: - _l- ol Ln,e(url.r:-- /u 'z t

rL.loir-' + Jl+o>0.

c) Rolati, de {leli{itie a ti.ului se sdie 4:-24i+4,+r:0 Accasta alq{a c5, e.uati4

,: - 2: , a,+r - O drc ,Adr..,,r FJle ri dcri A=I-a"_r>U.PriDu"mrrc,. .r<LVneN,De as.m.ra irin rct^fid ar+l: a"l2 - a) rczatrL a.+\> dr(z ' 1) : d,.

Adasta dati c, rirul (4^) este crescrtor ti, de@rece 4i < l, V, e N, rez ltl ci tirul (4i)

.qte convergcnl. Fie /: lin o,j prin'rece'e

la liBitA ir lelalia Je dclh'lre rbl'ncn e JI'Jl*r,2-ll

.tr solufiile I : 0 si , - l. Deoar.ce (d,J este c.€sc6tor ti ,' > 0, rezulti c a, nu tindc cet.e 0

12. s1 r xlJ,-..i )i,ul c,1c,,n n,,l s.n ral"-t' ';j

csrp L,o,,o,on

descrescS.tor si mlrginit interior.

Rezatta/.. Fi.d > 0. Drp6. iornrula linot,utui hi NNnor .?cD il + a)"= t + cla + c'1"41+ ....cla'>t-4nrrd:i

(l+d)'> ti 4,, Y,<N.

I,.uind j _ _ tu ,n-8r,r.r"" (1), o.r.n 1,,

f,- l)

(6)

/. r v Ilr

-l

>:T-,va-N,[ ,.r, '-r

oi .r*i fl +i\"'>,+]t,.vn6N.Aceasr ant,cteirul(ar)estema.silitinrerjor.l /

IDr.i hrem acuD a :

-

In nregalitat.e (8), obfined consctrtiv I

t"" _ 1)

I,- ' I', r r -a > r - j, I '"' I'' ' .',\ #-U a:-L 4 \"r-r.l

(*l(t,1"''',1' t"-,1"'1"i1",, ('t.-,)''('.r1':"de un{te d" , > a". Deci eirul (a,) €stc .escre.c)to.. rrdrnd scanra * ,,- (' . ;l (, .

+),obnlnlnal=e,

13. Folosind criteriul gelcral al lui Cauchy, si se demonstreze convergenja

ur4frtoarelor tiruri :

1l-

ltc) a,:l* + +...23Ruahat., \on lolosi condilia nocclorlt ti strlicicnt{, strb rofta (1).

3) Fiind .tat E > 0, za rreblt s, dcrermineE u 16 g,. eN, ara ilctr lEdtn i,lice , > ,. 3{

^Fno"-, - d,l < .. Dt

lcc(, lD cos/, Lt: | | t1.,.., 4,t ,t r...? .' l<_lJc6r,+ r) l+..,I r'', 3i, I ",\

" "

, -l k*(, Fr'r\.-Lir,-l+. .f-): , (:)'-'

rp, / r"*.t t :'- I ., +_,

t t / t\ Ita., . d,L<

-._.li _ * l< _. vrcN-r,, : t r,) zr

I / r ln2:\Dacr impnnem adicl ,>rl_::::l,atunci ta +,_.,1<e, v,>nt,2.3t \ toj .,

/-In2.\

"riir,l,,,- f,l

:^ l.lribuha,., (obdrs (4) esre veanare

$i deci,ird kJ csr corveF'. 'ol ,/g.nt,

.IIlIIL) 4..-, ta,,r _d,l :_- . .t,lrldsemd--ln+ t)1 ltu+2)' ("+t)" , I iri_l)

ll, V,i > ,, obfitre@

rlA

I r r \ / r I I I t I \3'"-ar <tr-;J [;-;)- .1"-"-,-"-,)

:1- 1 I -

, ,+;";t'I / t\v, ' -. asfei ce a] Bi'd '.

. D l- l, condilia (4t esre indellilira. Sirut {aJ esre .ted .otr,er8qi.. \ e./

I rp.,1 1...* r-rr"*",,--L*:r"+p

lr '1 rr:l-__+...+{_LI'-r_1.

ln+t "+2t+il

P c.r- b1", ar ,

,._"_(;:":)

.(;-, #):_r__rr_ 'l_..._r ' __i_.l_ r. roj."

t f,'12 . pr,/ l"-p-2 "+p-r) ,1p-r1-r-rP est6 inpa., atuei

a, "-.,':I '-[ ' ' )- -/ t - ']" ' .1.

'tt r-nt 2 rr3l \n+2_t n+pt ^+L n

D..l_ lr,+, - .,J < l, yreit, rida..atesm">Ef1l $tY, > r, V, € N. coldilia (aJ 6t lndcr)tilitt ri dei FiEl (aJ qrre.onye's€,t.

14. Folosind critpriul generat al lui Cauchy. si se demonsrreze Jivcr;.1 .

rurilor i

a1 r": t 41114... +l;b).Rr,ol ,/.. Trebuie s arttem.S Elatiz (r) tu si. indepliritr,.ya fuebtri si arelrnr .a e\isii

.> 0 ti, €j', astlel ca la.+,-a.1.> e vr e N,

'a) Av.dJd,,,-a,*-,,:+----:1...1----:>.a ..- uldc s. v..J. ,.:, .....

"tr i+2 stp nlpl-f

rrrn r - ' ri": ], o*""* ;.. - ,.1 > . r,;. ",-*, rezuui c., inul cst. (tir., d, -

z z9n r (.,) Iiidd q.$tror, rezElra c3 liD a,: @.

. b) Pcsupund ci tirrl (s,) ete @D.dgent $i lie r: tim si r- RezuiG. d limisin(,, t l) -, i {, * l)l : o, ailici lnn 2 dE r c4' : 0 5i aci riJcc * : o. uu. rin, iin u, : r, .r.i

l i 2z) steu$btirdili (rr. Pe d€ ant larte lie sir 2r =lim 2sttrr c6, - 2llim cosn.- lr.

Pii uture, I F lim siD, - 0. D€(Irl@ sid' +':G'r : I $naemrcce zrn g:sit cb. in {si',' +

+ c6o r) : 0 BjrnsdE la o .ontEdi4i€. D.ci D @iste t@it4 ri.ulDi {at).

-T

15. Folosind critedul lui Stolz, se se catculezc limita girului

el ,:-,4>t'; b) u"--,a> li

112-1-1-J631...1 61o14

'ln2+ {' - 4b 3 +.:.+ r-rn (* + tEaohot.,t) At@ ""-4, "aa...:a. tib,:n. Ewidelt, r, este osollor ii.rs l

,"bita + 6, asrrer hc$ p em adica qit rtur r s.o,z- Dedrce ryffi =yfi.l -li -- {. - l)rimd', rdnrf 06 ria r.:0, da.e z < r, sr lnn:r" - @, dac, a > L

$tiir)d

b) tr ac. t' az ,: A d z.:"

ti ,,: dr- De@re a > l, ftizklrlt ci (6,,)b,

si tind. .ltr. + oo. Aplictrd dit€nd lui Stolz, re tt

I']entr calculd timei limite ,om apli@ lncji o datt cnfcilt lui Stolr, d.ci

I , l{'l +2r+ t) l- jl,r lll l- l- i,r - i,, - I

n a'(a - l)

Apliclnd ltrci o dsNn ac.lari critdiE,..b1nim

. crl6 6i1 t1- 6n 6i L'Ia - t)

ti il.ci, lnldlixl Ei sus, 6;:im riE q :4.

.) sLrilm " a, ooa. o. ..l-t.z 1--Lro'l,....1rofn+rt i 6"-btaztb. l 2 n+ lt - ll Ia J l- ... F l.lo (r i ). A?e'n

nrl,-=.itn2 t.:loJ r:ln/tr l) r ___:_ta(, f 2)_[;, r,

1 iJroi r--..;-L,,','- r;l-ro.z+-Lror, ..a-J-ro1, 121,

I 2 ,+t 'bai- b.: (, + r)hz +,.h:l +r..+ 2,h (' + l) +1.r (, +2) -t, E2 +

r- {n - l) lol +...+ l.ln (, + l)l-102+h3+...+lo(r+2).

Di ultina rclatic s wc<le cl (rJ este c.escttor la + €, Dcci

Iltln2 F: ld l -... f -:r {"-2) .:rtr(, F3)

tin."=tim z'"1

-:timtFz-0.h 2 + ld 3 t- . . . + h (" + 2) n ln{,+3)

(ltr ulrima cgditatc 4m aplicat i . d dati cliteriul lui Stolz,)16. S:r se arate ci dad. girul (r") este converge[t 9i lirns":a, atunci Sirul

mcdiilor aritmctic€ o, : (w1 { wo g ., . + lr,)lh esfe coniergent gi litr p. - a.

Iteciproca acestei afirmatii nu cste adevillatl.f,,rlr./,. Apliclnd crit.ntrl lui S1olz $ruhl (r,), obtildn

tntru"=lim"r+'4 + +tr"-s"a-lq,*rr- f uJ-um*.+,-a.a+ l-a

Pen ft a drltd cd rcciproc u csto sd vd,ii't ,, oolsider{E .:.ttrplut urmltoi: ,. - (-l}i; cr

l0 pollru"

p&r,- ,-{

I l/{ penru n iftper.

Gvidldt, exisq lid r, - 0, d . (,,") tru or. lirniid (ov€tr 4 = 1- 1 $t "'.r+1- - 1- - l).

17. Fie (a,) trn tir de numeto pozitivc. Sl sc demonstrcze ci lirr i/;. -: lim 4 in ipoteze ci ultima limitd. existi,.

R'atuar'. tie "" - fl,i ",u"r cl rn a" = jr. Aplicind cn$.ilrl hi stolz, oltiu66

li' ln ". lin' Lla'

r" "'-' - r"" _ 1i''l' r'

n t- 1-,

dc ubdc dedrLern eSalitala ccru';,

lE. Folosind rezultatul precedent, si se calculeze limitelc tirurilor:

a) u":1/,';b) %"-i/A, a> o: c1 u^:4f a1a,..a,',h> o +i 6.+ a,

RNatLdt.. z) tin r"=tim"l

r-

l. b) liE e"=liha. l.

c) rnn (, - rin {:::: 4::t :1in a,*, - ".a t w'...4" 4

19. Si se arate.h tirul cu termenul Bcneral

este convergent Si are limita e.

6":l+- +1+|2t

E z.tta/c. P6ttu stalilir@ 4onvergentei oo-"pri."

.*",iorpop, ;e obs;rvtun c{

ll

(' I t)t {' } 2) t' r r)l

- --L[1a-J- 1...a(6+ l)r I n+2

t l.t[I+ t +.{,+2)...{'+r) | 'l r+r .+ | l-,

(' + r)>' I

r--l-(,+1)" ,l r '+l 2

,l

Dacr ale8ctu ', * E l:1, atuDciI Ellne r tir conzugdt,

.":r+ r+1(r-11+*{'-;li'-:)r .*[,-*) {,-?]''' ...+ jft

- 11... f r -lli."rl"t t " l

De@r@e 1- lr ,_,,(, j)l- .li{,_i) [,-,,

)

tstle. a Diin uecerc Ir lmtrt, ol,f €m

lim." > t+ 1

+- +...+1, vl

=tl.

DzlrP n u.mare, ,>a, VneN, $ dei e>liraB. R@nlrr, cE lilr a,-e.

20,,Si sc determine }}]argind inJerioari si Darginea supcrjoari pentrt \ifl)r:r

toarele siruri :

4a,-t- t b) a"--l rt r)'+ sinrJ; c)a^-2 | | 2f.

Eezallate. z) 9nI] este crscitor $i anve.adt citE l. lllagin@ inferiorA a iiruhi cst. dr.i

pridrl t.rmen dl:0, lntr-adeenr, avd a.>0, Vr€N, Si p.lttr oiae e>O elist:ar=(l.sucl c, a1 < .. Apoi, sup ar:1, d@@edr< 1, Vr€N,tipet od,e.>O exi(i r.ENl-I l rrr*-> r-r, Y'>- dr.t,r:Et_r-

I

i+ | r+ I

pai.E dift r > r? a?m k +i

', i o.-rlA.;r a. - 1. d,,6 2h,a"-t+.1^,.tace,-{,A,I,}:4,=- L j, .lacr

oF .. i .t.'.i ,oi ,d .- , ,, ..0 ,,": 2. si JlrLrm c: i-, ,, - 1 r. o,"

lr,,Lrifja snului a?eD a, > - l, Vr € N; apoi, dar fiind e > o tre6uie sA deb ninam u, E;g, , N, asrjcl llcit d,. < - I + s_ Acasir trtrimi iaeg4titafe a.e loc daci

,; -L.- t...2.r.e6 (4h- r;" -L o .,.".Fi1 1.l Ir t. l

5,r,lrr sc a nti cl srp d,, - 2 t_ri-a,1cv5., a. <2, vre,, . Fiind dat €>0, cxisg ar- 2,' .2.) sc u',*.r,-r .t a, - t. 2n -. i -r p.nr.tr, pa$iz,:2 2,-_ @ pentrdtr imDar,

'|a.ll. il . l1,.:,c,rr'.ri s,,t{r" i- 6,), . L .,rr ,.. ,,.r ..( ,r lr :i,,:ril, (d,) sr {r,).turrtrut.. Dc. r.* a,<rtrp ?" si r"<s p 6", V,eN,reznrda,+,,<sDpa"_f iup6",

Y .:N. l)o.' sup lar -1 r,1 < sup d,i + stp ,,. Snnira. $ demoGtreozi cealalt i €gatitate,

22. S:- sc giseasci punctele li:nirt ale 5irului (c,). ,l14s ,, : ar- '*r 1 1,r 0. S.-r i sc dctermiue limitrte superioari si infeioall.tradr'. ruten ...t".", -1+ L-l

","..,-"..-L,". Dccj ourctele limitazAdzhl

' ',t., h.rf. i,.,....r^', ,",,- 1,,*^ 1"". - f l= 1... tn,.[-L] I dl l" . :n ' :l:"J

_L. -, oo_ul ,i, ,llil r -[rt" Il'''.', '1".4, ,: lima, -1, p.niru, \ I, t,- ,. - -l rr t,,. a, . z pon,,u

- I, rvcm li'n ,, = lt.r,, - I ri d{; ia acest a2 rirr (6") esre co "ersent.

Probleme propdse spre rezoh.are

21. I ,l ,'.nd J.f,nitra lim:rci un:ri rrr, si se \..r;ri.c.i:

r, .icr "- l: I,r tim - 1 . o, .1 11", --:1 I .

. l'

,, :": i |"

"r-221. i, -' ,r"rr ci )irul ,.u rFrin"nul g.rreral d" nu esre,onve-gcnr:

(rc.osi-ri: l) a,. -I -l:lla.

r r I I FB

)( ii ," ,,rt. cA .inrl cu rFrmcnul gmc|al a" - r,3 sin " :- esrc ncmirgj,rir ii. , L: . lc ,,itrc infrn'r

.16. SI se calculezc lim a,, ,stiind ci :

. l-2+J+ n ,.rr ri_ '- .-j b) d :

,),,,_F x_j:r.. rn,; d) a._tr]+;+. _;

2T.Utilizlndtrecerealatimitiininegalitl}i,sis6calculezelimitapentruurme-toqrele siruri :

a; a"--;l;.sin(r:)l ,fttl'la,--:: ') '"'-- :

no-' ,,',t.o2 o' d) a,' -:-:- J ao-' 1

'28. Sir .e tclcule/c l;m a" Pei(ru:

r r , r I ; rj a,-- +"iJ"Tr .J.'tr',)

d": Jffir -r i,:,,,--r

-,F + ,,

c) a,: J;a t-fli: a) "":i/;t1/T;-;tf -{/l;=l'l;J" -j1. n . --

n"+9', . d-,0, P> d;el 4,- ;i;5.i. ',,'.- a",, I p,n

o^-A,'o;u) a:li)+f+ +|i'sfr'

, 2 +t.1.+ 6^,) ," -:^+:'l"+:;'

lirurilor : l0 i lo+n.t) o,--l- j t.. -r;;+-.1'

29. Si se ce;ceteze natura t:rului dat prin d"

ao-osi,,.: l"'-'+;

30.Utilizindteorema'leconvergentiatirurilormonotone;imlrginite'sistcercetcze convelgFniu urmltoarelor Sirun :

" 5 ? o 112(' l).a\ a"_- , a> 0i l,) a"--; ;',...117f -tt

. -L'Lj f-]-c)4"-. I l- e, *'

,Ft I j

-, - -t t:- : h --o ' t t zb' i , o < ao < bo'eta"'---T ". 3

31. Utiliztnd c teriul general al lui Cauclrl'' si sc de oDstrcze con 'crge t"

lirurilor: i

, _",nj: g3, ...: rr:, ry,"-f ra\) d4:1r ,' ,.. ' 2.

-)-+llLl' dr a"'- l;1- t ,(,;t

32. Lolosind criteriul gereral al ltri Cauch)' se se demonstreee divctgonl'l

pcntrrr cazurile

'll) a.:r.+E+ +T;'



].1..\r rr :rratF ri 5irul a, -t+J,+...+ -in, este conv.rgeot.

J{. IrolosinJ cri'criul lui -tolz, .i se calculeze limita urmltoarelor,iruri :

t.Jr...rf r"1,...r-\) d" ": L,t r, -

z'\'Jr

r 5 .. i,i '.alrj rel.4 + ..-,iV;.,t,rr4(2,-ll '

, ,. . t'L-J "ir; ' I . . . + '6 t ' Itr' t tJrt d ,J;+d)

'lL,--lt...r rl:,, 1.,.-, i,, 1- t,,nr n) a'----'

^ri- ' P a t\ :

;1 o" --, -.11--J1-..:--:1 -

- L. p--. . t'-1r- -tt^ - lt'

, , ri" |

114.: *-___=l-

' l='\|

.. 'lnrl .rlu,r, " rlnrlrk) a. "ir::.:-_' ""'',,t>0.

35, trio (d,,) ,un $ir de unerc pozitivc. crescitor gi divergent. Sd se aratc cllhci

Iimb- ). ti lim " +a'*"'+4" : )',

.,'trnii I -.. "()' - l)

36. 'ie 1d") un fir de numerc pozitive, crescltor si divelgeni. Str se dcmonstrczo(.:r

.. .. i a" + ... zrllm

-= hlr)

x dr i a i^.r,+ nr-r

17. Si sc calcul:zc limih pculru urmitoarele Siruri:

^' 1;

"

," ,l

':j

L) .r., - - -a j .) .', - inn;,; at a. - Vtnlr 'I;

'''" ;V(, Lr ' -2)...{"l,) ;

-'/ l, + Ir(,+r..1'+"1 --: / -v-- r-. a> 1:

r/l;ii llli{.) , .V,u.r, : hr n,-VA,),.x".

38, SI se araie c:r iir l cu termenul general

cst, ,rrr\,lrgcnt ii il i s" calrulczc limila,

39. Sd se calculeze lilr] 4', Ftiidd cA

rlsin- lsin-i .lsin

"':-;-1i'*t'-.2n

se calculeze limita pertru urmitoarclc tirurl:

a 1 1. . .11- ty""1.5t

Fic a ;i & doul mrmcre rcal€, d < 6. Se consider: )-irudle (/1") 9i il,) delinitc

> if a".

Si sc giseasc-: pun.lele limi$ alc ;irurilor :

'"jl | '::-:I1". r-) a" -. ;rr rr ; sin nl" i "l

Si se determine limitele itferioari ti s Pcrioari tentrx urmitoarel'r iirlrri :

' 'j+41.

a b a,4 b, a,-' b.,

't'2

b, J^n. b"- J";b;, .... h,'J;"b' ' .

.

SA se arate ci cele doui $itori sirt corvetgerrte ti au aceeasi linriti"t'

42. S:t se determine barginea inferioar: 5i marginea suPcrioar:r Pertttutoarele $iruri :

r) c, - ' : I Lt a"- - -t c) a" - 11"o,," ,

tr | I n'_l I

o-:I -.1:-.1-- ' {-lt'-l-: .) d., L-l-lll ."--r'" : 2.I 2

Din siml (4,) se e:rimec subsirul (.t ,) C {ri"). S:'L se qratc c:r suJ) tirr. < -(uP '" '

d)

41.

inr ai44.

.a)

45,

a)

c)

6. snnrr NUnrERrcE

L Serii- I:ic (n,) un 5ir dc nlm.rc r(r(. lrnrodrcon riml (S,) al surlr,o lerf:alc rrin S - t or.

D&6 cxisti S: lid 5,, rilr ci tutoin dclini crtreia (nrn'il, serG)

>a,-.rIdj+...l,oi+..n=l

p..1 t a, s

:-rSc.- ) J.e{r.." 0,j, rj\, 1.. \5irul ll-.1"Jc(,nv"rgrnt:Jn..ilr

r_l/.'@

v' > tro I,r /Da..r *rii ) 6. "ne couve's" .ir, arurcr

-s a lnr:lui (,tJ s n rrt(u

sltra so iei. Serb X 4i 6le divergcnll il .n $irul (.Si) tru drc linrit, $o dad lnnila sa qte nilLri(i,

A dctcnnina nnt n otrei $ ii inse trrnI d stnlili dacd serit cste con/erBe t6 eu divcr(cuta,

Crltcrinl gcDcr- al lll Cdutlry, Sori. > 4, or14 convcrgcrtA daci ti Ds iai d&:1

1'v:: r,. lJ eN1',,r - o " , l- . , . ' a ,, ,1 a ., vn'. Dl v?eN. , rl

D c,l ll o scie 3c a.i. gr san sc scoxtc un uumtr linit dc lorneli, * obline o &uA *ri. dr

l)acA srid > a .rre .rn,.rg.Iti, irul su,n€lor sale larlitrlc rslc nar8init.

. l)&5 sia > o,.slc conTerBcnln, inui (d^) ese conrcrg.rt cntre zer.- Ac€.sr. csie .. diti

'' rr,.,l JP.. '?r,,<,1'lr a u' 5c. . Li n.' pct lr c','. t l r,L,"r

,1,(i. .i' l_rL,.,r'.. .lnci serii nn csre cDnrergent ci,tre zuro, seda cste djvegcnla,

,25iic_ut.rm.ni.r'67itivlOtrrnt,.cetLcurermcnipozniviJi5.,>0,trcN.'1-.'L

dsrlel de serii, jirul strnElor pa.fial. cst€ slict cres.ltdr, O sed€ cu terni€ni pozitivi esle conver8.Dtr,

dacn i numai data $irdl slnLclor pa4ia.l€ este merdxit superior. Pent.u st }irifta lrturii unci s.ii.u ter'neDi poziti"i sc folose* linlh@rele clitoii,

Ctil.riul I al .oBper.tiet, Fie > zr ri ) ,, doui sed.c

{rid ),. .stc li,c,8.nlr, srLnci s.ria > D, cst. d'/rs.',u.

0t

."",<g",ili. 6D D.,r.

rrl sun dltetnatc sc M.sx' s€ i6 alhxneta o s"io dc

'crit$lll hn L.ihni..r 'io (r lft4, o serie alloh4l'

dotre {riL.u lcrmoni poziti/i altlel r '- <ti

. 6*'" - " ir n.,.\ *ria i ,- .s,e Lo,,r" sc rr r'.,.; nri, t a cn' on/rreenu

b) Dac?t set. E d, .rtc divorg.nt , iiorci seri' .6" cslc di^:sen

11.... . ,,; ;',:t:-,:-.,;ii cril.ridl III al .omp r.ft€i. Fie ." si >. ',

dout serii ct tdncniir n-1

11. L- r<. 11 DacI 0 < I( < + .o, .t .o, .lunci ccle don{ s.rii atr dcceali niturl.

*'i" l,""t"

co6,er'8cdt{, ltnnci leija >. (,'s(c 'on'€rse'tl

c) Dao'

Brrid $to divcrgund,

"ra'ar.nr".ti, fl" 3 d, o scrla q tenncoi poziti'ii

'gnoc[ lJlt < tit""

li 0<A< l, V,>t0, ahlnct soti{ ostc r6rcrg$11.L)) nrcn -lr;: I V >qo Jtuncl \cr6 c6r'

.trv(rrctrLd.rlJ)rceliml:l-r,trunci:llt'crrrirl-lqc(is$t'con/crg'nrll2IcLLruI>'

-t

l: O" *r" a',".g""'r' .luncL s'B : d' esrc dl'erq'"tn

'*-icato.iit" ao

'niitnalnre n6 ddu

illtoun**u" n rrrhrli nartrh unei $I'i c(n'F'tnd o

'u

o

''rtn."Je r cu,ei n,nra o clnoaltem Di obiqd neniru comladre' s foliFe$i sitria gconotrict ri

*tur drdoEic 8tD.drr,^ta serie 8"",*',t41.\ c'r' cnn?o'scxrd lchL ' 4 < r ir div'rscnnl

-\r-t,r. s l{l> L s.rii atrnmLci soncnljzard X + B'" **a'8stii l'lrrr I : l 4rvPrsr in

"-t')..nLN n 6 l.

srno cu remoui poari'ifr rx<o (/i, < r riCJltrrtul rddlctnll (nl lol catclrp lrie,)rit

o .. I < t, v' > q runcl ..nr esr.

-**g-t(';r)u".rli > r' o' :

',

ntu ci tscria

"t'ilirrsL{t6, cr +-(drim{/;=1'iluocl: l) Pa hri<I3criaoFrocu/crscDrl:l) lcrrru )'> In

.c.i csto dnrcrgottl.- rt a' \

&lr iut lul R..bc $i l)uhtb.l l\. ir J" o eric '" r'm"d ldrtivi Jl)"t '(; -J "

' lo \> a ri r > 1, vr > n0, arunci scria estd coovcre' nrd

'),'"..l ' t;rJ<

'vr>40 rhn

la \f,',I clro ili/,s^n'i.. . trr lm rl-- ll:l

'' \/'irr I

gcnll ] 2) potrlrn I o, v'€N,n*l

thai (dr) cste dcscreeator li



,, i .** + 16#:T,,_Jr-...;d)I r) -.';:-

"):t,/"-.at-r. zJt;tn-r \/,,i, l),,?. o.

, 'l, Po,t'u crlo,lul llmitci sifulni sunDlor parii',I" -s, - L 'j- i | "

r,.... /(,, .' {:l'-.... rf "l'.:en. s. ar*,r.i,i s. -/.r). r,.,

" 1,.' t./,t,

rt-

blrcl ,jn s".../'/l) - -I - (' 1_ ll4 rrtzull5 cA linr 3i -,

l1,n ,. n,ltr.. i.,11 a5i. c,{,"cr8cnrr .,i ar,unD .r = ---L-.I l'

"1 ^*r's" = -L + *1* 1'. . . *

t5 5'___ . li lart scd ,J I __ -.({r - 1, |t,.: r) ta - J (in . l,

1

I. ...i. ""'. crn1.,sa,L,r si ".. ,',',. . = -.1..

1 tr.'tr .allrlrl ,-".-,lr' -S"" a,4 r...t a rur"u rntri rr^r,rr,t i, i,r.'- z. 2

22t

l"ll4 -LIt

+ +.. +(t. / l

I

'_- -r.-l

(t - 2)q

Prir unarc, scri. cste conve.Acrtl Fi a.. suu .1.

(. . \', .., tJ;-t,J; Jii-zJi-r"t J"- t, J, t {"-tr

' J, " z J,,,'Ft-l,J" +"r,/"," t=J;-J"",'' ur, ' , t -J" --J;-.1"F r--:i:.

Jd+at l-FJa+'

2. S[ sc ante cl urmvatoarele serii sint diversente :

., =' , t -- I ... +;: -F...i l,) 00? FJ0-07 1... I'r2jl Jl .\, i, lr:rj'

| (/0.07 r' ... ; .) i- tn "'llRa,l@,e. a) Crlculim l€unen gcncEl ar Fi.tr1ui str rclor pz{ialc

'-'-.' J--Lt' .l-1,-'r,h(J'-')

'Ut-J'l'1("ti-"6)+...+(.,/-:.,

r J;l:JTr- t- *.

Dcci s.ia osrc rlivc.scnti. sc obse.,ir ci tennerni sctr..,r "t*'toi", :

*=f1;,rn'd"

"ih"o'

(lc i scria cstt di"crgcntir.

t) se ol)R..L ci a": Vo,fi * l. rrnr trnar' li'n{"*0 ti, dtPi- conditi' n€c€s'ri de,co -

vcrgetrti, scria cstc (livcrgctrri

c) Sc olservl. cir d":lr1j]*0 ti d.ci duPi.ontliii. ncce$d de convergcnti" uu putem

nl io rlL,spru natuta s.riei. Dd.

s. = rr, 3.. rn -i... .. r,, - i- ,"1 l...lj1=idrarrl -."o"12,1:

li dcci sr.h cstc dirctecnlt,

3. Si sc sr;l,ilea:ci n.rturx scri(t ;"orr,"trr.e i q"-Iaqr' l_q'*' .:,, '

-l-.... q e ltl?r,lrnlr. Sc olNcrri cir liNa, * 0 l).nt.u iti > l. Prin {(ue, llt nccsl cat' scria esto <U'

lcrs tr|i. r).(n {.< LJ,uncis,= I+4r- .U'==-i r' d'ci scr6 cs(' con'

vcrgc lri ri uR "",.-;lt-q

4. trc'iosintl criteriul Screr.al al lui Cauchl"

u{ Ln.t,/ual,. I'colrus<05cob*tr,ctlnn''*Otideiscriaeslcdn/ergcdtnlcnttrt0<e<

von adh. clileriul gc@al ar lui Cauchv. -{?dn

rl 1...r --]-> ---_'-, VleN,"r+r - {r ' lJt (" F 2)- (n ?l' (n. rD,'

sslr.l ci. lllnd , : t, oltiteur

De@rcce I - a > 0, rczur(J ci con.litil {l) nu Pare li itrilcprinitJ' ni dcci seria cste divergentl'

5. Iiolosilil criteriul general a1 lui Cauchy, se se demonstreze convergenla6l

seriei )' -,0( , z.

)9.:J/rdr.. D.o.r.(o 4 > 2, r4t '|liitlll

.n,., r d"., r - ",,, - ("i-r); +(" 1;F

r.. i l;er <;;-1r +

61si sc studiczc [atura seriei >:"'

lllr'1+

-------+...+

-<-+-..-+...+

-:-t"+u',(,r+r) t,+4(,+l)

-t+ ;i,l-[..,r-;;]' 'Fi ,-*l:;-*,-] "'oD.ri.,iial r-, .i, o. p ,rn d.,.d,r. /.FN, trr.,.- r{j).". r ia ,i , i., 1...+

+ .,+'l < e, V, > t., Vl, € X. Cordilsa (t .sr. i*l.rlinn: $ ddi sria cste convergertr-

@r,nuru, o, *nn,osrft rt. hi C. .b.Fieat2 az2 ...> a"> ..., a" >0,Vfl -N. S: sc a ere,.i

"eriil. >d" ti t 2rrr au 3(."rri naturi. Aptir aIie.Si sr" cerccteze natura scriti armonicc generalizate.

,Realu/., Fie Si,-q+,e+,,,+.. i rL-.1+2..+..-+Zl,zr, srjn)clc Faiiate cores-

Prnzitoare cetor douA s.ni, DeeFe ;" > O, Vr € jv, t.znti: cr iturir. (-s,) si (Zr) sjlt .rescr-

P.'rru, < 2r, aj.'r -si < s,..,,r - ?i + 1. +,") +...+ {,,r +...+ a:F, r) <,r ++ 2a2 L.. 2'o,t - /. s. ,r.ci S" < 7r.

penlrn, > 2:, s,.> -se = dl +,2 + (dr +,.) +...+ {,,i-i.r +_..+ "*) > + + % + z\ +

+,,.+ 2r-ta2\ - :'f , d deci S" > -1?t.22

A.edsta aratt c, cele d.ni ninri .l€ $nre Frlial. sht i)r ac.lasi lr:rDp rrirajnile satr reDirginit. rRrart Dnrp rrargrNe satr reDararnr.Cum cele doui r.ii an tem.nii p.zitiri, &ea<a an16 ci t le dotrn $ni considcrAle sinr h ac€la9itimp convera.-Dtc sa

']i".rsdl€.@

-- Fre seria a.mon'c.r 3cr@lizars t -r. r€R- tenrru a<0, tnn a, + O g dcci s*ja €sr(t

div.rgerli. Pentru a > 0, a": n r > 0 .ste dq{r65r;r, aslrel ci , duff crit€rinl de coDdelsare

il lui c.ucny, s€rin arn,onici ge'enlizd ee aceeaFi'aru5

cu qia > zr.(2r)-' - > {2lr-a))rr. k=l l.- t

Dar aceasti lltnnii *ric .s1. o sric g.onrlict cu ralia 2r_c. Prnr umare, pcnlN 2r d > 1(4 < lisria armonicl senemlizali ste divds.trti, ia. iErlru, < I(.> I) *da arnronicA a€neralj2ataestc con"ergent6, tJeci seria arnorici g.r@liuali esl. dtv6gc'r: Fenrru d < I 9i coDyerAcnte

T.UrilizinJ,)ir"riil,.d.comparalic,s:isrstatil..a:{:irrsrurdLrmiruarFlorseriicu termenii pozitili:

"tnt s

-.

';:tt)'|+ttr5' c) E -.,'r: tl).2.16-..124) l'.,.n.) :,;

{1 r

R.:aho,t.^)

p"ntt t' $ricifur,r. Dsre. d, = -:-r(4 - r,,i,'p,',e ol", arr.l (A

vom conrFr. s€r'a dall c sdja aDroici Aocraliari care ene .onYe.g€rii. -..veE

c - ;;;;{<

J7.1*,r+t.t.e drpi critdiDr I a c.n,Faialiei seria este corverstrn

b) ?'. s"ed .",. ., . .2 . ."..- . - 2. r,+i a.o,-" ".,. ; + .",. """-

g. td 8.rja lrnoricA ger.nlidacs 2 l),

nr Ltu.la.--]-, r,- L *,lriris :-''.'-:- t t)ur' rn't'u'IL ar 'od-

"v;"'vn,,'rr'Fi. J 4r'e.c 't..". ,,F,+dre Jr"6'rtt r-luri I "-'n rlr; '"t' di/er8'nu

l ] 5 24 t rrr'lr_ _8Jl'/r^r) Mri t,,tii s, obsc.Y{m ci ,^ * -ZT;..er)

1.2 4...2ts-2<,,< .L. :" ;.zt' 4 1 JJ/

-I Il,id rrhn lr'.r,.^.'., i,r;1r,'.i i ,,.-, ,, .,. . ;.

t"'"^"'

I t -r I I

, ;";'- r"-,';Irio . < 0. ltiditlnrl i .galit.tLa ln ptrlcrca '/2 ii atn h t'd'r' cI ds - 'i

rez ]lti

l2

2"t'

'nrerl"J.ri^ dr'] rl,'x. a0r: r" r' a "r' d''e'c' 5 I' r *r ur' Drcr d - O' itcrot

I d, / a i' s^ri, c# Ji er;crri

Ie ,i.i"a n I'a ', '-ll

' 2' r'I ' 2'r n'1

ll

r.^ r.u 0 d<:,.-.0I -iq'.,1rs-.r'd n'cgrlrrlcr

2- n--:

< tr'

ds I a' ouP'

r.r""",r'.,,fi"1,

cr'"|,t ." 'stc

di?c't-€{tt P€trl'u ' > 2 *"" ;, * *"-*

vc.scntd, a..tfui.i i,esatit"t*.. <-l + nnPuci pri' cril'nul I'r

coBpantiei' ci $ri'

t d. (r' o, 13.nrr'

8. Utilizill(l criteriul iidncinii, si se stdlileasc: natura seriilor

@ r ,rr, j \rn.r ) ld.----t ,o ,r:r' I_11-1-l a'a/ol,; l n' l

c) t ne" tt> o'

nrrt.lR''t^*

"1 N; - ' ' l:l- - d r)c(i' rcntru ' < rrri' esre con'c'se4r' iilentru-r > I

r.ri4 estd rli'dSdti Petrtru t - 1 cri;eriul ridhtuii ru s poate'Plica'

dar se obei?' ci ln tce'l

""," -t'":: lt \-|,*111)'-.ei d.ci s.id estc.ti"rs'trti (con<rilia neccs't do

'f d , I 'lculvrrA{r' i

""

c l

'.l.al:n'ri).,' /---"f'_ ll"-".. Irntru dJrr' p. rru 4 < c r scria'stc

con"rs'ttli ri pcntru 4 > '_t",*.' *," ur*,su',:r t'*i,,, a - e-r $i or,sord cr a" - (' - i)"' i *-'-" (r + t[" >

"

-.t, ""It * -Ll"*' > c si d@i,- > fl r I)" ,r*o i'*-'i o rn .,> r-r' decilix'a"s0t ',

- t atfi sc'6 .$P div.r8..ll

q l;:.V;-". Deci pe'trtr; I *ria estu

div.ra.rrn. Pcntru a- I r@ultt liD." +.0 F ilcci $ria 6te ihvqgst:.

9. Folosind cdieriul ruportului., sn se studieze natdra nrmiloareloi serii :

")l j:. a> o..t, e n: t) \- lt, o ' 6'

'/J,,,' /J "l;i= ' n-l

d *+ i (z --Ji)(z '{e)...(2-{e)4", a> o

vdg€rt, qr lentru a> t sdia 6tc divdgdtA- Pmtru 4: r * obline sqia arnoricd Aeneta'li_

*." \\- , aqrel cr pFnrru l > I eria 6re ceE8dts" €, nhuu I < I .re Jr,"r8tr4.I,J ""

", i;:.

['-."1)' - a .. p.trtru a < e I s'" es'e coi'sapirr si p

-l

'('* *)'.'.r':n

urnre; Il::r;' l1J,i1 f

I *. a;.'*g*ti, nstlcl ci, .tu .i fndinl

a.a*,r. . :t :'( -Ll' - ". o,pa cntenui €pdrrui, petruu d d est6 di"ere@ti

I

.sL. dnerpetru. rezulrA € sdi. et di^rs.nli-

10. S:r se stabileasc5, cu ajutorul critarinlui Raabe'Dullamel, natura:urmntoa-

relot s.rii :

"r

8,"",4'@iJ,(:)',p.;,;". "'

o'

P-rl*rltd.r€,m' a ruilihn J lun(lni /h):

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, , F (0, dJ. iD pun ul r - 0. Pn apli

.area {or;tjbi lntf e lni l Hosdlar lcordltiile acestiio ,tinit evid€it hdeplinile), EyD

iim/1.):r,nl:-:(lT')t 'J -:(lTrrr ld rr y,)l-r-o:lr... J+0 t I

i I I lnrl+rr I -r* ll+rllrll+r)Frh(rr, r'ot--r-t:' '-01 ril --)r I J r-o r,tl + r)

2''eo 2,(1+ ) + r r-o 2ll + r) + {,y

< L Dect sdis cstc divcrgcntn.

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' .';T"'t=leci, r,cIt'n.4 F I elis cste divctgc'td tlrerina < selja cat€ colvcrgeaid, Pcrlru a: I er ll5

nn a, + 0 ti doci srir esrr divcrSeola.

i t\'l'-#l('.*)'-'

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t1Colsid.,rDd runctir /(,J : :--:-_3--- , , e t0, oo), rczLra tin l(4 - :--:---:

'-0 ?

-rra "o 'f-:r--rl- jlj, nin u'mo,e, petrrru a< -2 sena e,1c div€rsdnt ii lntftt ,,.., t 2

.> -2 8.ri cate corvdgcrtA, P€ntrD a* -2 av€h inega.litatca

:-I

7, dr). a:rrcr ca o. .+ t * Dupr c,ircriur r rr co'prrrtiei, ddrco.

sria -: erlc di?e.gcnti, rezutd dr *ria &rri es& di?ergRti petrtro a - - 2.

",(*-')- .-'('.*J_,

I -, '''('.;) ,.,"r,.11 ._ _,.".-''[' +:l ( ./Pentru4>e '(-ha< l) scria €st€ diycrgcnral;i 0entrod<c I sc.iq sre co "ergenra. p.ntm

D.ci p"trr'. : e r $iN coircidc c krii .rmorici ii dlci 6t.

11, Fic srria altcrnatai > (,|)"'ra., a"> 0, Si fic (.r,) sir d{scrcsciltor conver-n_l

cent cetrc zuro, S:"r se aratc

cidacir inlocuim surna :cri.,r crr sumR prrtirltr

S.,facern o er'oare nrai rrricl de(it primul tcrmc nc€lijar d._,. U|r[rc.r csir.lxin lipsidacl r este p.rr gi prin adaos d;ci r. cstc irrpir.

A.tolnu/., I rcnni,. atttat ct lS - .S,l < ,,.1, undc .S cs{c itrni. sril.i, S = tir 5,, f i{tnd s.rm

d. leplul c4 iitul sun.lor pa4ialo do o.din p4., (-s..), cstc no ol fl cr.ici{or c rc S $i {irul ru-nelor lnrlial. dc ordh impar, (S5, ), cste ftonolm &$r.scd or cil(ro S, nrcgalilrrea rtc rnai su5 .er.ectrtval.trti cu S-Stu<ar,.l Si .s i+r - S < d1.*, I'entrn a dcn drlra r G{c i ,{ntili,fi voBfol*i incgalitat.. Sh <S < S,,r1, Yre N. Dca&cc S <.5;,rr q,\' r i.zMrr, routlh S-SL (< d. +1, APoi d itr.gelitar..skt, < S, dc@rccc ,\' ... : S3ar -,' qr, rezrfi4 Sri,1 - ,9 < ah+r,Accdsta j,tsaf'cl alihatii din c unt.

12. Si s. cilculeze surna scriei aro)oni(c altcrnitc ) (-tJ" ,- .Ciii ,:rmeniI

trcbuie lnsunlati peutru a obrinc suma scrici cu cilrci zfcilllalc oxa(tc ? l

Rc..t@/.. Pcr\. aco.stt serie altcrnatl ri.d (..1 qr .. : alr csre uu sir. <lcicrerclror e.otindc cdlrc ucro, l)u l c.ircdul lli Iribdz ez{lti ca $,i. a.trldrici nltelulrr qsto co[rdg.ntl.Dcoa.tce )^ - IiN S:, - lin SF,r, ..z li ci petr1.u dctehid..s sr 'ci .s r sr.iei slc da ajuri

sn cac Un' IlrirJ 9itului lshJ, A,.n'

,5h- l--t

---jJ1

l-l*...r.--L- |= r 1 L I I

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...

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-L1 .. 1.

. zl t lr.. r_ll=_L r __L r...F__ _.24 t2 I 2^t ztt a/'2 'r'_ [ t r_Lr... r__L\'l',' ,1.i ,'al\ ' " "l

Sc ob*.'i ci scricren hri Sr sub ift( tonn-r ante ai S,. rcprcd[ti suma nrrcg€U. funotio

1p1- -L , r -(0, rl, cor.spuqzer@r€ rriviziunii o41a 3 q."4o:

. '.,*-u-l+r)

tdi fo, rl ri punotclor n,rc.trr iar. q. - -:-. -," - ?, -. - a-, : -11. p.io ..n,a.u,

n" s,, - [r -L .1, - r', ri r. - r.l.

Tiaidd Gha de r:.r.iti ) Prad"trl. dedc'e js, - Sl - t4r, F/r'li: ca :S, - S <

-r'--l < 0.00001. obtisrd . > tq99o- Deo, rreblie s lo$D;d 99 ooa r€"'iP'r dr

arnonica alt€rDat4 ?ertt a o4rne suta ei cu cinci z€'inale eMctc'

13. Sd se stabilcasc; natua seriilor altemate:

a) l( I)"'rq- '| b) l(-l)"r r0"'" + t0"'9-i +r0'^" , d> 0

n*'-,. 4 t,- ariia : >irul 'ul.mr'ul Euerar

":l- l:l si' descreslrror $ rildc

rcro, lDr,.adev4t,

o,., _ rn+2)s'. ,.r _( c+2r 14'<t,,. {'r lf'r (n.F l)trr i't+2'+ l,

t, + I,rt I-rz" a.a:::--__: _. _- _: ll + -:l r0,

" "t

r,t.,)" -"{ ",,r<"" ri lim a, = o. DdPtr critdid lui l-obdz rc.nllr cn seria csre co'vcr8o[

ror-r + ror-t + . . - + l0 + I 10'- I ob)sc ob*ivJ c5 4,8o.--" -r.lo;--;' .""' -

* 0, Dcci dotdil'd trccesa'l ac oroiop a trD.i *D Du $L tldeluritd $ seria 6siG

14. Care este Dahrn scrici X a., dacn seria | c, I satisface conditia den-t n-l

din crite ul m]oitului sau din criteriul lIddcinii ?

arroltdrr. Dnc{ lenlr scria > ld,l csto indcPlilitn coldili8 dc divcrg 'f1 di' crlierill nPor'n-1

aiunci. I > l, Vr > n. L&hd la o Panc P :nii to temcni ai $rlul, r'zdtl cr

'i' l ldrcsto norJiJri $crcrtor $i d.ci lio ldJ * 0. ic@ta imptictr ralul ci tt'n .' + 0 ti d€'i

> a, este div.rgo1lr,

o-l i/ioJ > l, at$ci l4,l > I $1 ileci liE loJ * 0' asdcl ct tin 4. + 0' Aceasta arat' ca ;eria

dive'g;td.

15. Si se siudirzr convergenta absoluli 9i semiconvcrgenla serii)or:

s\2'nnr.r€.1.a) ) (_r).-1 +. , e n; b) ) (-tf 'r -:l-'L" 'rr' 'H'

^rh{'+r)

t\.) ) / -t).,r ------:-. a e R: d) t

4{'- D (d-'l-1),deR\N.'' /J' "' ..

- ' /-J 'ln-,

\._\ 2'dnD,

naolu'.. a) seria vsro,,ror rbsror€ *. L-;;T- PcDtru stldi€u druriiat'ltGt

votu &ilosi .riteriDl rsporhtli r '

.

Penlrr 2 sin'x < l, coszr > 0, ki - I < r < &t + I acenste $rie esle codvetgert6 9i pentt

I

u=-r-,-*, 1"',r" 'r. dir'8enr;L P 'rru' u''l-*'u' "'*:');-'r

rrm {r' 1 dcbr " e r'r( 8"nLl-

_"**.4n."t..U"

- I:<n <hn+I estcabsolutcon'ergctrilt'lcntruli I-I<a<lr+

+ia este aic-genti (itr bnz' exeoitiului recc't{nt) : rcntnr '-.0"* t

*,i^S r-r,". -l "a,. er. ion dEdn d d l'1 '"r-i" lui t iLr'7 d' s"'ir ' r^

/ ' fl+L';:'i

ve;scnlt.

b) Seie valodor aLrsolute este d;dcertd demec # > 1 Do *rria datr cste o *ricrr,(,' + ll i

alter@t5 ti, iluPl,criternn 1ui I"cibniz' aceasta este con:rc'gcRtr' Prnr ntrae'.$ri' este *'nrd-

vdg"nle.

-t tonu""nt nccs$' {ric cu scri' trmc

.l si (onsil"l;T f,"" rrld' o'" e )/_J | ,,,;,1"

seria valo;lor art"o't'itle e,te coto"'g"nta p"trtn o > t ri (ri/crsdni lcrl'n ' 1"0rsla

3dc rl'solul 'otrtcrg'ntiPentrtr

a<Ose.iaestedivergenl',deoarccehnt'*orott''0<a<lallic''t)i'rilLlnnlui'\bel:

s.. ,," ' . i^ I . r"-:. \- -r'. -1_ ".,.. , .,r'ai'ti rd

) '-'t --- -7 / , ,t- c LL4-, n"i ia' I' -i-l

rIzi cr'Ltcrultri lui Le'Loiz'iirtirul f-:l "st"*"'t'" crcscitd ii rlirsirLit (cste con7c'8ent

\v" I

la 1)- Dupl, c.ilo.iul 1li ALel rezrlta c'' lentru 0 <a 1 seri' estc absolut con"crsetru' Pentr( o <a < I seiia cste seni

convergcntA, ia. pentru d < O serq este.diTcrgcrd

,1) Pealru st;diul tratlrii seriei valorilor nlsolLrte Jorosn; 'ritcriul ltrrl'e'Dnlnorel Azor

,.-,1-.'I1,L-- rl r"" ' I--:l-a-:-: ) ' r'"'j'"t t. ,t , ; I r'''r

'es{elctPontr a>Oseria.stecotrtergent''?enllu':Oseriaeslccon'e'gctrli'inipenlrua<0..ria este divergenti-_t-O,,.-

"t*ci, Pedtu ' > 0 sc'la initialt oste alsoldt con'ergentt PedtN a < 0 put6o

Vr e N, asllcl cL dve'n o soiie aitcrnalr' Deodtce - r*1.:1#' '^tta 'r pot'r

.<- loirul (0r) cs{c c.cscelor li doci lim 0i#0 A@Nto h&li c[ lcntN a<- I avoo

lim o, /O {i drci si. esae djvprg"nri ln tuesr ft/. Peartu -1a, ag *o116 -4JL a 1*onb.

,,+i < ,, Y, e l{, cm e urte ce (DJ este descrescrtor, Si arittm ce ta tr - 0. P@to acasta

rie sin' t,rl Nrrer 1o"11 6,: J{-5----15 . .Lrn ,.-, -r\l ,+ +"

' , dltr: .4

' ,_ |u,: rt, - tr - l)t.-t lnl@Dind aici pe 6, ri ,,-1, obfiae@

I alll '1...fu- a- lt ' . { arl-dr.,.rr-s-21,,=""|

Pe ile al€ pdtc, ib6.ee {rr) aste deseresitor ti mdrgjnit inierid, er ste @reigdt Aceasta jh-plicd trptul tI $iful (/,) cste hdgent ctlre acea9i rihit4 ca p,J- FG ,:lim,,: lim,,. Dram g{$t.a r,: -a 6,-r, c€ ce implici i: -a.1, de uade t:0. Deci rnn r.:0. PnD uF

mare, reltn - t <a<0 Fiftil (r") este descre$ato ti converg€nt .abe do, asdel ci dulacrite;ul lni Ifibriz sia este coFe.gen€.

Rezdti ci rHltru o> 0 s.ia consid€ntl este absolut coDve.aenti; Fnttu -l <.<0 snaeste semicon.rrscrta ri pdrtu a < - I serir cste dirorgentn,

\-' 'j',"6. si sc srabitcas.j natu,; .cri"i l,----,Retalnd.. Aaem o si€ .' temcni oare.arc. Putem srie a, : itr,, ulde r, : s r .ir r Si

"-:-. s. ob*r,n ci n,*0 s,,, e..d"rr-'r,or. Apoi . lcc(r -n'l-cc/fr),\)12,

ac,lp r s, - "r t'e F...+ u, -: l(os0-,osr'.os2. 6o+... I c6('.'1 -d('-"t-2

- - Ir - cG(, J ,?)l < r. Dor6 .,ne, l rli Di,n I rpr, s"ria Bre cotrvd8ou.2

17. Sn sc antc cn : a) suma dintrc o se e convergente 5i una di -ergenti esteo serie diyergenti ; b) existl serii dirergente a c:ircr surni este o sede convergenti.

R.'atM/.. a) Fe > a, o s.ie con?€rs€rri ri > b, o serie di'erse.€. Dad sia t ta" + i,)

ar fi conve.gefte, atunci illse.nta dintre a.eastt sene ri scria > aa conTcrg.trti ar trebri sd l;

'on/ei3a' i. Dar dLlrrnlr d" .e,'r t 6,.i, ". a e r- di," I Lri. Dei rn. > la, r D"i Fste

'.5b) Ii. sdini

>{-l)'ri

>{-li{, mLe .1nt, e,ident, di,erg€nie. sDm 1or €sre o *ne ccD-

v^r3"' r l, leel@ are loli lcm.nri ' aJ.' , r ,, ro.

18. si se erFctueze p,odusul s,ai,tor "r.r,' .""*-s-"r.f ];if r r,"-l

si s.- sc de.l,r:'r cle aici srma .,,,"i \\ , ' '

t|,.otrdt.. scnn

"

onrorcr,soll"lprrn',n,r,r. {, ,o{^,d. cr .* | 1.5'*r "'./-J "l

D.lor I'8rlialc pertru a.casl6 snF c . l+-: l- -: J..,1-:-. {c:criliul 19, p. 5l si11 2t ,l



d.ci.mbcl€ serii slot abrolua con@Acatq At.rci eria prodN >16: 6tc .bolut co t.rg. tll.

dupi tcorcna hi Catrchy ni C -1.r. Dd

t". orh" I aih"-' +---+."0. -. -----:L + -]----:l- F ' l-,,.+ +otit tt(,- ttt 2tl*- 2)t (r - l) ll

r '-: -r [r - 1+ il--.jJ--i. -.+(- r)' jil- -L(r-rF=0.r'0: rl I 1l 2t tul I

"lsstfcl ci suni s€.iei >r, oslc C-0. Cro ,-c. dir rclatia,B-0 rozulti cl eu

..i"i f q-1" i"*" n:0.

/-J ,l

19, Sc poetc ca produsul a doui serii diverge.rte si fie o serie absolut convel-genti ? Si s9 efectueze prcdusul seriilor

, D {;I,, *E (i)'-'i,"*,_ ).

Rrr,,rirrr, Rtsptrnrul este efirdlti'r. cun s. v veda di erenphl iadicat. Ambele . ii lhl

- {+)"" (," -' +l - (;)-' (,-. +.) - (il-'{'". -',,,-,

)-.

-(+)-rp . +) -l

- (+l : (+f' l-, * 2'.,"...1 z*1 + z; - (*+ + +...+ *) + +l - (+l .i

lFde c. \ 'n

i, =i (i)'*" --**""(*e..*"','* * *ri. -r).

Probleme propuse spre tezolvare

20, Sl se arate ctr urmatoarele s€rii sint convergente $i si se stabileasctr

.ltt

't r.l ' z.s

61 --1- aJ- p...+ |

' r.J.5 J.5.7 12" - l)(2' + l)(2' + Jl+...1

"-(+l-- "a,:(if"(2"+--f +oo D'r ',-ao'i+d,',- + +',0.-



o\-H

21.

")

{E

I

.-d=R\z-: "llr"{r-i}:

, n--r - . ", S. " . ,,, $ ,'*.' , .r \- - . k" I t -' /J 2'r' i 3r'r ',LJ Ito,

22. Utilizlnd critcriul de condensare al lui Cruchy, si sc studicze convergenla

.";"1 - -L a . x.lJ nl\ l'

23. Sf, sc aratc ci dacir logaritmul cstc luat lntr-o bazii mai alc cd doi, atunci

seria\1---------.-=l-------:--::-,undcl8{')1,--l8lg lg,, cstc ilh crtcntit pentru/ / flltu,llhor,tr...(h(,),1

orice f I N. Aici t e N estc ales astfcl lncit lg(')t > 0.

24. Utilizlnd criteriilc do comparalic, sit sc sLlbileasiir natura seriilor cu termelripozitivi:

'r.r'\'',tu \----:-.&.\\J tlJ ln1 + A r'\ /-J 2n - t r\LJ-t:l ri .,'-l

q-,A,t#

Si se amte ci urrtiitoarele scdi

-l-'-=-f: I ... +: :+... ; b) z+j+... +Jr-r nl \. ,l2"tt-' 2^-t 2

..t\il'+t-V2n-l' +t rrt'r- r-

sint iLvergente:

,a>0;*l-"...*-L.- --+----:ffD

=t- o,'SE+ "o',$i "r"[r+i];

I€ tXn z'si"|' o" " =.''S;';1 6 3 a 5 n

25. Si se determjDe patametrii d, , e R, ast{el incXt seria cu termen l gcneral

',: it;F-.-;A-v-;l 11 VF+ I la+3,siirieconr.crsonti..

26. Sl se stabilcasci natsra urmirtoarclor serii, folosind criieriul

: r,t \\-===J-l1i-;.r \\ l-;' lt 1[a, + s,' + r1*' ZJ ln ,n'

rid:cinii:

") E(i*++#i107



',f ffi ',D#.,,o' h)E,"ir +1J'., > o

27. Urilizirrd c-ircriul raportutui, si se studieze oalura ur{);toarelor

,, \- l, L,r \^ ("')"; c) \^ r'i. .( ' rr . lt i,,o'. o > o:' /_r " /J t'.4): /2 2 .5 . . .(3n - tt-l

-\ \-\ 2 7...12 + 5r, - r)1

"/ 2r IL P+5("- 1n

c)\\il1.,>0. 61 | ---------l' . 6;' s.'1:J.1.+t]...1.+n-t)

e) \\ (2jr+l)[ "k 1]...k-'+r) F.Z-J | (d + I)i4 + 2).. .(4 r ') I

S-\ alarll aa+z-lr I\

-,_-d>>tJ.

/J

a > 6:

hr I[" ' ('rr'-4lc. a>o.b>o./'0.d /_J I61"j ')...tb+*-/) l'

i) ) __-r

-.

r> o,-d"> o;i a"*a;LJ l 1 t I:\

-l )...{nrl 4")

i,ilr: ''-ril'.dcR.LJI t1 i ) |

29, S:r se cerceteze natffa urrritoarelor serii cr te.med pozitivi:

:bt\\ Lr

a =p..7 i1| I]]/-J nl

s € R\ {a} :

d)

34. Se poate ca pro(tusd a doui serii saniconvergente str lie o seric divqrgcn

Dat ca produsul e doul serii scriiconvlrgente s{ fic o serie coDvergcntl ? gq

calculeze fitratut seriilor,

",;r 1- 1y' 'r l= ; r'1 t

HciL sc5. Si sc dcmonstlczc c:L scria y a

. L) q1

r"a

i- cste ahsolut con|clgcntii Pcnltur

r € 1t. Dac, S(r) este surna acestci serii, ;iL se stabileascir relafia S(r { 1') :,1.S(r),vrv,fcR.

36, Sit sc dclro stleze cgalit|tea

, Si se dcmonstreze urfiritoalclc

a)

(D'"r'-#.(n+t)a',)el<t.

egalitlfi :

l\- al'==l a; r,rl1,J D)l Z-J fll

38. Sii se lidicc la pltrot seliil. unnlioare,

slnt convelgente $i s[ se calculcze suma lor I

apoi sir se aretc cir

39. Sd se demonstrcze ci urmitoarelc serii si t converg.nte 5i sir s€

. i rr-.#-r., o i ;#-,, u Dtt6+tr-o,hlri'i;

ri-r n-r

\- +)l\^ {-r)"-l_)-- qz-./t).

7. r,r*tr"gI coNTINUITATE FENTnU FUNcru

?.1. Linite Pcntru func{ii

IFl:rCR' .Rri'i:\unPUn l'aunuu''D_{uu rllrfr"a { \unlr"lrm 14init ex

inlidnr c"l" l;rra run 'r 'a fur"ul r.ll':o'nri'ri"vri"'rl'/alui/'xrsr:ove'itr't:leuii-,")'.a1.

'r,;,",

',, "'rIFI 'ni .'t'"a'r'r "rat t x)-" se.o'r€zd

)-, i*fi"r. p. n p"*.' *icc rn de funct. (x,1, 'i e .' , x, + r0, x' - \' a"im rim/(t") : r' atuncr

'(rii.ritrl C;'r.[y-Bolrl.o coldrl:a n"'sd'l ri sur'1' rd I I'L lL / d'(in rr P-'- I *:tli

r,, il, r.nrrr tn pun. rut i..n.",p.n"u.-i ". .. I&{,'-evha, ''+\,,'tr .

s,a{'n /(x'J -J6") '-e

tiir*l'i ui" r.'-Unr.-qLi. Fi' /: r C^

- ,,. ii lL' '. nn tunct de acumlrarc Felt'u alr

tr.*_ZoJl'iiill" Cc noi;us ale tinit.i slat ccli'rlcite cu lrnit€'cl':

Dac te ii J sint tinit., atunci t - lif, l(t) dac' 9i lurai dacs

I

D4cI ro este iinit ii I : +e, atnnci36E.al

r-," 48" t"' t <t ' (ll

lin l(j) - +ao dacl 9i numai .Iac.i

Ye>a, 18,>a l,-'d <3'+l(r) >E

Vs>r, lN,>g1a <,-'.<8.+1./(') lrdl< B'

l2l

Daci *'- € li r.stc iirit,.tur.i lidl(r) -1, daci 9i lnmi da"

vE>0 l;a>t '>8'+ l(')-tl<'' (3)

D_

'n'fii

similr'" pot I tdrnlLr' t't ru rcl_Jr^ r/ "r'D^ce tkt-L)<:(t)' Y,€ l, 9r di' ' ] F g(') -6' a$ici li'n /(t) -' Dtcd /(') >'(xJ

,, l-n t/r, . .o a-Ld.i|d'r)- rco. Dr'r/i r <A L'nlinl' )--@ rrrn r lid- f'11 '-6

dLcrll(,) <vtr,r3',) a dturL'a/r't(r)

_0

criteri"t caaclr-rrti'ii * *""}r, ea g11islff" "t11 ei siiiciert' 6 fuefi' I s'-ailt-li-s:lj

l eflr,1a-:"'i:,-qt -, . ,\v. - 0,..+".r i.r.: i. 1 1,.'1.:..- -"

,- 1.,..-

-l: .: 9:: r (,\ -'r'") <'/

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Nuhrrul /a ,/'" ra, . in/{v)e'.16i a14drstbzrun(li'i fr puu(Lulr0{toriirtlda(r

{5i

NnDernl',

: /(,. - 0l : rin /(,) a*c rifira ra sthga a ftlctiei / 1 u'.rur ,. daca

vE>0,3t > 0 | 0 < '. - ' < 3g - lt{4 - ,. t < e. (61

Lihita furclici / in rr disid dac;r ri rumi ilac-I dLtt limitilG lat'cral. (la stllgr ti la dreapi.)

In apliotii snrt iolosit. d.s arEater.lc limit.:

) Funclil dc nai rull. $rlabile li./:,iCR' - Rgi Ii. ro: (r., ,o) ur purct de acunularopentru nulfine..r. iaa"ertov.r: tn /(,, r) dacirirnoridaca

(?j )-(3- rJ:'

\vl_> 0, 6r > 0

| l, -r. | < E

--:iI

JL-J.L<E. + l/{r.

J) -i< c-../ 11)

Pcnlrd Jur.lja de doud vdriabile /ia J,) se por considcrd hnir.t. itcrare :

hn lim /(r, /), cne, Jrcl cxjstl, nu snrt tohlc.nD cgclc. D.cr existi

- lnn /(r,r) ri dacd cxisli linitele lim /(, /) ti lim /(r r), ah rci existA lihitel€ itehto $ slnt

€ga.to cu lilnih glolau i, Dac{ limitcle itehte rD slnt .gal., )inita, $ob4l , nu extun. Se poste ln-tl,n l& ca lihlt.lc ito.atc at tic.galc, ldr6 € limita 910 61{ sI .}isle. R.zultatcl. do Dai sus pot llcnDrlote Bimilar pcrau funcltr do t vlrirbilc.

a)

1,

relaii. (l) ste satisticlri.

. l,) va t'r€bDt sE ar6tiD .t

Iiolosiltl definilia

Iirn (r, - 3x + 3)

7. .I. Prcbl€me razolvete

Iimitei trl.Ici functii irtr-rn punct, sii sc demonstreze cii i

: I ; b) tim (' t- l)' : I . .1 1;n____L: .;06.r--6 r: i I r-l (r - Lrl

-2

v:>o, 16.>oJ'< s.>iJI4-tl< e. Dcmrec.,< 8E,

.taioluaft. n) Folosh delntilia sub tonn. @hiale.t{ (0. FiiDd .tat e i 0, vi rrebui sn deleFminthrDSr > 0astjellDcltlr - 2J< 6lsiioplicel" - 3, + 3 - I l<.. Pnrcns..ic,s - J, +a2=.4 t-2 : D{r-21t, a(llcr cir prin i.leulilnr;F diruom.4 - I:i /r: L nrin Lrmare,

, tr - 3' + 2):l (' - 2) + (, - 2F t.< i' - 2l+ l, - 2, < S. + N:.

D.qre.c .ixtlm uD 8E > 0, ut.m qt-l .iltinr stLl c^ 0 < 8. < l, dcci 8: < 8.. Cn ac.astn se

obtine ,'-3,+2 <t,-t6:<)1., astl.I (.. d;cn trpDnch c.28.<E, adicrr o<Nr<-1,

lr' I rr.

'l 'ziL-4'i --:-./,| ,,. r | ..+r r, ;,t 6.

alliul crr Llu.1 ' ,t1'ncnr .q -: < e, diLr a. / -- , d ,(iqilb cde vcrifiara.

c) Folotn ilclinit a liri.i ;ur, J()'@ (?). P.atni > o lgftce, trcbde si d.terminl@ u'3r > astlel 6 l,-11<Ar 3d'iEplie l(, > e' litrnde'4r, r.lati. l'-l <8. inPlict

:tll-

- L, uelcminim 0 < l. < -; r'rlel "a d.linilh erl.( 1t': 6: - ;"

2. 'olo.irrd d,finilii, si se arate ci limilele urmitoare nu existi:

a) t;rn1sin1; b) lim{l -cost)e'; c1 rn.'=.

R.tolldlc. Esl.e conre8bil sa lolosi; defiritia cu sifrii echivaldtt. Dcoarece linita unei

iunclii lntr-ln punct, dac6 cxiste, 6te ltici, pdt.tr a tu2or-,a @cifiul ene sdicieDt sA Pnnem ln

elidenti Ffiiri cu ,, - 'o €,t. erc,f(r,) .rc limitc il .ntc..2

a' crr'i.l('i',L t-:-:--o, oblin.m /l'1)-0 '0. D.cn alese,n r.': 0'- '' r'+l)rol lriHn /(.,. * (,'s + lt: - @. A.aia Mli ci limitt co$idcrai: ntr ciista

b) AtcsenLnrai

nltli,; :2a-

-co.

Reultdl(, -0

-0, AP&

P.ntru,;: (2,

+l)t

-.6

ol,tircm /(,;) * 2c('+ti - @ ri dei limita nu .'i<ir.

(l (\, rraslrca ;": "'i ' - l dcducem /{,:)-e'rt-oo, i'r N ,;i: j:----: + lrezrrta

/(,;) : c '' + 0, cch de suir.{ lidit nu € std.

3. IrolosiDcl critcriul Cauchy-Bolzano, si se cer€eteze existenla limitelo :

-. 1

r) lrm .{" srn-, r e .v : b) llm srgn r,

-4,roidrr. r) Trclui. s6y(dcm

dac4 rctaiia(r) qtc

verificat{.Fii')d dat

. >0, s, al.tqminlh

8 > 0 ltr n$ I0l iDclt lrrl < ,t ti l,.l < 8. sa implice l/(tJ -,f(,J I < €. A"etn

'r,',, - t., - l,l ""-L -';"'11 * ;-, rl,-1 I + r', rl"" -1-l u r,'t',r<2s1.11 | I *'l | ,1

**^*l*+]-

I Dac{ idpuncn @ 2. <e, obtiDcm o<a"<{/"7 g .rali. ( ) esto

vefilicaii, Plir u. E e, lirtih cxirti .

b) Alcsind'1

: f< 3 5i -'": -1, l&l< 8, rzult, l ('r)-16 )i:)si|'\-lisn,,l-2,

lapt ce rratr, crl rc]a1ia (t) u p@tc li veiricat' Prin .marc, lioita u .xhtl.4. S:r se cnlculeze limitele laterdle in r : 0 pentru furcliile

r) /rr,. " .l,t /lr)- |: cl lt') '-El-l'

I ,'.t

n*aha/.. a) t.: hn /(,): lin -siu : -1 ri rd: rimj:l-

L

I Lr-r It:t 1

r,1 r,: r''',[r a u',f : r, r,- li-[r1.'f -0.

c) Avcm/- t<E(rt<t, -d"r"r4-r""{:)<3- ri" -.i rtr i t < 0. lndrrfind

inFsirirrr.a arr.rimrr p,i, jcr. *'uri3-'- >Lxl|l> 1. rrrctaa ra rimm. r-zrrfll j J l ., [rJ 3

|lil'(i)-: E€i,,-3'Fic acud , >.. P @arrr.r sidra., obFr.d z-L<LEI \<2. penrru

'>0,.srl.l J 3 lr, .]

*r-- r,-ar13)-3.' '-.3 [,J 3

5, St se celculczc liEit.lc :fx1 1i",r114. , € Ni b) lirllj1. r c N'.tc) lim rlsin-L'(-- f l dl'-,'' ''"'o' .n.t.t&r., .) st t.ataE rai tutii ci pcrtru r > t a,cd ln t < t, S, P;c$Puncd cj

u<i<n+l,relf. .lu&i.'<.'. lntc>2 $ dcci c'> il+ l)' = 1+ c;+cl+.."r...| 1> l+Cl= l+r. Pltn ulmc, e'>..>l+6>1, .dica e'>r, Vr> l. D€oi

,>h*, Yr> L

Prosuprtail , > l,.v.d

astf.l cI dcorrcco lin ,

" -,-"lFl '.,-(- -T'-

--l-,'.v,> 1.

I z" t (2n)r'

Dc6rr.c. lt6 rr - +6, lir ilctrlitete dc nl"t"o"

*o111 1i. 9 - +o.

c) D..:dc. ltn ' - . s l"i" ll < r, ."ot,. 1,. 16o- : o.

r-o I ,l6. St se calculczc Iirritele i

-t11 611:J9fr; b) ri1a fl=:li. c) tim -r::-::, d>0.' rr. r si r '-.tc62r,

l-..Pr l-costR.z.lad/., a) lid:=-:::-: - Iim -:-----i::i- liD (l I cot, + ccr,) -' Fo rlidr r-o tsnt r-o

2.irt:

- r ri- -.j-- --,-1 - 1.t'ositrr a.r'ri'ltl

g:

T

0<

- t, rczulf4 ca tiEj::j: - 0.

" t:l (**)+ - ::.[[,, =#)--+*-]* "' -- -

- cF.

e..tirn-+..:zrttmr"'- ,r[r + z[ + (r +z]'- r

.,''('.+) _ ,

Sir se deternlin€ Inullilnile dc dclinitie Pcnttu urlnltoerele furctii :

l(t. )): Jt - x -1,.. 1\IA,r):77v:_ni

't) flt" g -JT--. + JT=F; d)/(r,t,r):arcsint+arcsiny+arcsin?JcJ J$', xt,.,.,t')

"r['+a] 0.'* *}'- '

'r;(r+f

dr

tl t\^)t ,t, , t ,,")n.tottott q ran. nccesar ce -rt-r: 0 ti il@i

"+t'' O i^Pli'.a. ,t + /t < '1. Acast Flr'zirtt DDllince Dutci'lor ittc

rionr. c.rcului o c.ltrnt ln origit. sr d. ratl 2.

c) Multilncd dc d.lirifi..sl. Pttratul L-1, llxt-1, ll.d) Ivlulfimea d. <l.liiiti..si. cnbtl l-1, Ilxt-1, llxt-1, ll.ei Moltin.a (1. ditinili. cstc lorh.ll dit Plnct.lc t - (, , rt, , ,

'r)e n' satisEclnd coditia

,7+"2+.,.+,i< l. i.ltru t:2,.cesti mlllinla r.Prc'i tjrtdic'll

d Pu'ct'l' 'rc{hici' ce'irtr rr oLidine, <lc '.2t dtatc P.nttu , - 3, ac.ana rcPr"i't4 ittcriotul ti P nct l' sl'rci

.n c.rtrul in origi . ti dc sza, ntitaic.

8. folosind definilia, s[ se dcmonstteze ci :

r) lim (r3+xr):{; L) lim lZ-:- :3: c) tt,". -{iJl-O'

tr.rr r,.t3' rr'rl'(jLol l+ I ir'irr_l") r r'll

.riloiraro, a) Trcbni. sI .rtltm cI Porn .ri@ €>' tltd dctclnid 8e >-6''stIcl,

cA

rr I <|- s, v-31<6- sr inptkc l-l(r,r)-,1<. sc*n'lP,J) -1="- )'-'t-

-rr.- rtity 'rr-t' l)'+(. t)|,- J),asrlclcdl/(r. t) - l <51'- rt+ r:' j

+''- t,i+t, I lj - jl<Jlr+8.+8: I a:. D..: * .irtt 6<8r< I, ll r'i ';<drrid.ri ,r', lt-{l<8N. Dr.t tmPDt.m e ta. < €' a'icl 0 < l. < : d'fiEnia

'sr' "riti6tr'b) Fiied dat . > sr6ar., ttcbni.3A, &r.niti ur

'.>'.$ttc1 hcil l'- 3 <5' 9i

r >3:r.r imprrc | "- t-.1.. ^"* lr+r I

1," r _,1-1,_ r_Il,llss.,_3, ,1, -rl+ . .s"..L+1.)y-r I I vl ll |till l, 1-rl t t

' <3E+5:+".<5's, cue <1.<l

Ddi dacn imoutrcm 03, < .. adici O < E. < :. dcnnilia 6ic "-i56ll'6

c) s. scric,l+ r.- (il+ Ly|):-_2lrllrl strcl ci, p.esupn(tnd l,l < | ,, I/ < 8, , s. obtirc

' rrr')1-.. r-t,t 2l'1,' stLl+l,t<?6i;t l,ll.Jrl ' '' lr Ji

rlm{ $ lnDll$o'cr 2,i. < e, rczulti cn exhtt Dd . u < Na < a, ,'tt"l"i lrl <A: si l/l<,1.

ll lnlllm l/(,, /)l < E, ..'a ce r€r.-. ci derin+ia *te acdl;r(i.

0. Sii sc arate, lolosind definilia, ci urmitoarele lunctii nu.au limiia in ori-

Clnc I

2,ra) f(x. y) - "-' .. (r. Jr - (u. n) i Lr lty. \) -' , r'j 2.r + 0.r,+ j.,

, rl.,,ri"r., a) vom Iolosi dcfnrtia c; siNi, Dutrttrt in c)Ucnti sirtr.i dc tutrcrc, co ydscniec ,t.6 (0, 0), sitMtc p. drcprc oir.r:a.c prnl d.isin€. li(:u1ria xnci $ll.l (tc d.cpr; cstc = ',r. DacAIL rciir a. .dinitc limita iu orisiac, ar l.c mi L.

rLn J\r. J r, , :' i{-,-rl_ ,

(:tu)r(0 0) Fo ,'i.t- J.,rr t+'r

.

Accst tuPt arn$ i'Lqr ca f,,trctir tr, r,ulunllJ. r,cdtr' cn dnl)il rr arcaliDralt. acclsl. nu n. t.cbtri sldopidlrJ \rul rortril {in .a?'rl l^ Ia I 4

'J L'^ r .r '' fi| 'c,l 'r, u"'r,l'cprEr rolo.ire.

b) Ptoccdnr:L ca lt ex...iiiul antcrior, gdsirq cll d&i liNiri ar (:xisra, aLuNi

.un J(r. )) - ri,n '"i'- ," * -'.r, ,)r(0,0) r-n httxt - 2n

Dc ati nu ftrr.D trrs. . otrclu/i'cl li ,irr ori,tJ. d6orLecc ddci, INen ca (:, ,) + (0, O) pe parabolo

co t.cc pfltr Jnj'nJ. r:= pi pe n \{2}, &2 nlr c,r

?-2

l rn -j:-----: --n hi_ 2r f_ 2

Ptin utnare, lcnhu si.rri dilcrite obfitroN linitc dilo.ito ii dcDiiunctid nu a.clnniti in orieinc.

10. SA se cerceteze lirnltele iterate ii lirnita globala in origine pentru urme.toarele functii:

^tJ(:{,lt: ' '' - ' ,x Jl0;b) /(x, 1) \srn-:, y/0;

t+ y I

c) f(\'. J) - {.r Iy)sin 5in ,.\r0,}f 0.rt

n*,fua". rj Lin'ir.l. ir.rat. s 1l

linI'ri-/(t,y). Ir '-l--: Ll'nr rm,.,))-lim ''' - t,I

ti, dcoa.e. &dtea silt direrite, trascm co(.luzia c, limirn globala n ciista. ldt.-ade7ir, a-rco

til /{,, /}: Lim ' - *z + " + m2'1 1- a 'r+tuZ l+)

co€ e rr t{ c lldit Alobrli bu erisrA.

b) ln acest caz lin tinl(r, r) aO, iar lnn lin/(,, r,) ru ltGtE; dcmrccc lin ,in j m. yeo f-0 ,40

aditt Totugi linita globrla erbt, ti cstd .gaU cn zoro. ve.ificAm ac.asra cu ajuto.d d.fi ili.i,o.q-et lsir -: I < l. rczul,; 't D-nrrr r'< De. 'vl<Ac a.e nI'l

''.r. ),, -o -., l.'1 .'. -'5..'vlLulld N3 < c. deiin rir -r. /. 't.. c.

c) Limitele ilerate nu €xisti, d€oarece lnn sinj tr I'n sin -L nu c:isti. lLmita gLot at: erisri,4o' llo I

s' csr4 Fsau cu zcro. cd sd ved-D , -.. -*,.,. - I,r, l..,rl*,,,a."'I r .)l

11.

a)

pentru funcliile :

I

: c) l\r):-

R4ahat. r) rim 'Y : tim(r, u)-(0, o) i,, _J _ 1 ,-o ,J,, + I _ 1 ,-o

tt) 1iF sirr r:v- I n sin ,t lim , : 2,

. ,. -,0,:r '.r, (r, a/ 10.:;

c) Pedr,u . > o ii], > 0. a?e n 0 <''' : --: . ---ll q 1 e -Z- $, a€dJla"F/:

tr-i' rz '}, Ic frin {r ;11--o *,r', r,, ' v

-0.',,ur-,".orl(

y/ -,,.a, --.-r , .i, .

?.1.2. Problenre propuse spre rezol\are

12, Folosind definilia limitei rnci functii intr,un pnnct, si se demonstrezc c.A:

a) lin (,3 - x + lj:- | : bj lim r--0: t) l:'ni-:l--co.'r-al r' r-tt,-lf13. Folosind definilia, si se arate ci nu existii timitcte :

a) limsin -: b' linsiny: c) lim(t -rsi.l y)lnr; d) tim'cosj.

14. Folo.ind crir-riul CruchvB,lzrno. si sp c:rcerez- cxiste'rfa limitelor:t -.a) llm cos -

j b) llm-,1 f,-t r+ r

15, Si. se calculeze limitele laterale ln r : 0

lu" 'l4la): -1 *) u) l(') :,.

I tl

l.l--*t+2



16. Si se calculeze limitele

a) timl-L-d; b) ti* Jrl-"": .i*z , 4 ri,n :i4- iEI';:s

"' ,. ,B'; "ii''r

d) rim (r F.y )",c',; c) rim (r I rs,.,/-"f n ri-["r'i; *.x4\ ' t

17, Sir se determirc a,9,

t,"i € R astfel ca

5m t/r.vr= zaliT o.FF3 - (.('r, + pr + d -+.18. Si se calculezc :

sin, + sin 2r -f ...+ sir ,t -. -. sinr r .L sn1t 2r -l -...1- *in. rr; b) t"'_T -------;- ;) lim

J linr -4j-i '"J

"'ll

---;-' u) ,lT , 'r _.: , _ a

X,'',; -+,a> 0: s) rim-:li; rr) rim an :-ri-:l;'l ln(ii)"t

' ; '-i '-r

-_L) li,n(ln.rr" 3'r' d; [) lim"- "-.4-0: l) linr -- i: a>o.

19. S; ." d.rermine nrrltimea,le dcfini ie F.niru Iun.1irl.:

[ '" (.'. v) ,, {0. o)a)

ht. tt lt"-r'r' '

:blJ(,.

r) -ln(r -ir'1-J?)'

I o (.,. y) (0. o)

c) f(:t, l:x larccosy; d\f(:t.J\:J7-4+J{t":e) 1p,, y.,): J;1Jy 1J;: t) I k.:,,):J1=7 7:V20. Iolosind dcfiniliu, s) se d.nronstrezc cl:

a) lim {.rJ,+2):s: h) lim 1-];,t linr -lI".-- 0;' rr,u){(1,:r, - (r.r)-rt.2)./ I tr,tr-.o.n,' " )i"

ur 5,n I-J: o'

"r

1i6 --Ild-: e.

' rr. rl-r.,.) rr--J''

r.r./)-ro,0) rr+/rflt, S:, .. arate ciL urmitoarele f nclii nu au limifi in origino:

a) /(r. 1):-:-:I. x-e +o'. b) /{s, r't:{-21, (x, r) F {0,0).r-t ' z2 l)r

22. Si sc c.rc.tezc limitclc itcrate ti limita tlobala ln oriSire Pentru :

a) t\r. )j - - : -, g, , j @. o): b\ Jlx, r) --,

(', )) + i0, 0i ;x",1, -

"t).

"i'jIr.) AY, s) -L, x a t 10.,+t

118

23. Si se calculezc :

:) Iinl (.Y, +-v:) sin-L; b) tim' "),"."1,*.-,(t

-t',a,no, D) 'r +/r

+;)''

1P + ).-

7.2. Fun4ii contirtrc

Ficlunctia/:,C.R,{ntific:oel.Daci56tcunttrnctteactrnul.Gallnil,rtulcilGt oortiati ln:0d&e5i nu@i {bcn/arc limitt itr ro ii lim /(x) -/({D). lracd l(o.stetrnp @

&olat.r lui.r,Iuncfis/cate continui rn s. Tinrnd *a* o" u"i#io r'-n.,.'"r tunctii tnrr, tr ptr'on,o pot dd dclinitii ecli"alenre pent.n continlitatd lunctici i[tr{'n Fnct.

funcfa / este continut pe .r, daii estc 6ntinri ln tidd.. Nncr din l,Dacr furcllile/Fi g slnr.onrn etuio€,1;arunc'iitdnctiirc/* , /d ui I,a.*g{,o, +0,

ilui 6.rtinuc n r0. D. asemcnea, conpune.d a dout fu clii contir . *tc tot olfunctic coltirut..) Furctii dc o v.riabllil r..li. Fie/.ICR+R o tuiclic d.firitt pe int.fvrlul r ri fi.

ta e I. Funcfia / .ste continui l. stinsa h ,. e 1 dacn Iim /{r) -tl,oli iunc}irl.ste.oulinu[ l.

d.apt ln,o€I .lacd lim/1,) : (rol. r:trncria / esr. @o,,"oi,i',n n.o"*r r" u"* ui nuneidsc{ qr.

& ti ul la rllnSa 9i la drcaltd In punctul rn.

Frnclul ro se nu'ncate punct dc dtcontnluitat. dc s?cf.lntli i.Rtru runcfi., dac, ln ,o .rl$illlnit l&t.relc fi nit./' dar lunclia u.stcco linul tnr., P rcrul,o 3c nuh.tr.lu c {.ais.ntinuftatod6 sr.fs a doua p.ntru /, dacr, c.l pufid ud din timitctc l.teelc nd existt eu cat. iqiinit{.

O lqlctio /rI*R arc lEoprietat€ lui Da.beux, iac.a, .r'ec ar Ii., r€ I,.* r, 9i od...ro.. ri l, cuprin lnt€l{a) ri/(6), .*i,tl utr Nni. rr cup.ins i{tr.. si , .s cl lnclt /(d^) - 1.

O.ico fulcfie cortinu /: I r n arc pop.ict t6 I{i Darbou:, lnst rccip'd. .catci nti.Raiu

O fulctio /: I a /l catc unitorm codritru, pe 1. d.c,

Yd>0,38a>01 vs,,r.e I, lrt-r.l< 8,+l/(iJ -/( s)l< e. (l)

O.ice fudctielnuorn cdtinu, pc r €te conti {l a. f, ftut ca .ti.defi. .ditr.c, si lic adevl-dt& O lurclie continui ps uD nrte..ral mt.ginit ti tichis t 6tc udfsrm cortinut tc .c.l iatcd.l.

b) Functii

il.mri

bu't.variabil.. Fip

/:.lCf,r -R o tuncti. d. dou, "r;iahir-, /(', r),Daos td ctia/(,, rro) cstc contnrd ln pudctrl r , (ro, rd e A, .t trcil.st. contiiul p.rti. h r. 'drou eiabil, ,, Dacd, fnact@ JQr, tt *te contilut lo purctal ?a, atuaci / €ste c.utirui pa.iicl ld

Coutiruitatm frdcli€i / ioplici continuirate rarlialt itr E|ort cu iicqrc vari.biln. R€iproqou et. .d.75mtl,

Furda r -rr- udrlorn coar'nnl .D. {, drct

ve > 0, 3t. > 0lY{* d, Iro, r"t e d,lr' -rtl< 8a |rr -rll < l, +

-tJ@;t,t-l\,,tz)t<4 , (2)

O.i.% flnctio milo@ coqtiau, pe,, 6t cctirui F. ,. O f 4i. cdritd p. . nlrfmc Eargi-nit{ 9i t.chis{, (codFct{) ,{ 6re uqitor coatirt p. ,.

d) lim

1. S,"r se

7.2.1. Proble$e rezolvale

strdieze continuitatea iunctiilor:

a) J6)

te'+x-1,r<I.c) /rx) :l ,' l-, r 't;'t:Lrolrdl.. a) Se obrrvn cd idnctia cst€ contirlt ir orice pu.t , + 0, ln purctll , = 0 a'em

/t0To)- iim/,r- I'hr. o. r(oFrc\jn Fie mi'8-nirtr aloi /ro - 0/ - lin'/h, -: lin (-,s +,) : 0 9i /(0) - 0.

"rjn

lrtuare, tunc1la cste contilne si la plnctll , : 0.

b) D€oarece annclia csle cortinnd jr orice pnncf r * 0, oiioo stndio nuftai ln origitrc. AveD

, _f/LO .0,:lim'e .rn-:=0, /lO-0J ime r".-'=O:i ,Or-0 ".a.e a,drr,a tul'rja

.ste continn5 iD lnrctDl * :0, Deci/(,) este confinn , in (-ti2, 6).c) De@r€c€ fnrElia este contirui ir rcst, Tom studia continlitatea ln,: t "Aved/(l- 0):

- rin (e, + * - 1) : e, l(l) : e Fi /(l + o) - rin,F : rin ll + (i - 11;=i :". l.".ta

sratd ce lunciia / €ste conlintri pe"l?.

d) Studien continuitata inptrncirrl

t:0, Aren /10 - u):r,tr/1r)

-/(o) : I $ l(o - o) : lin jI]

- 1. i' acesr caz runclin .ste corti,rui ln n\{0}. Fulctia esre

contiann It dreapta ll, : 0, PurctDl t : 0 osle un pln t de discontnlnilate dc slefa irlii

2. Si se determinc d, , e R astiel ca funclia

frl, .. . t. ). 0.

/hr-J'"' Iasin, IDcosr. 0 t-I

t

ri ,o unui p. | -. ll l 2l-8.J,tdl,, Pu rd condjlia cainnclia sntic continn, jn ptrn.t , : 0, oLtn,.D /(0 _ 0) :/(0) :

-l(0+0),adicn1:r,Pri tr.mdre,pcnhnaeR$,-t,futcli /estecontuNePeinte./alull-6. It rt

3. Si se stLrdiczc continuitatea Iunctiei/(x) - tElx),, e i0, a), unde E(rv) esteparrea inrreaBl , lui x.

Rdals,". t.alatm drai'al-f ie' L\'J, d.m

t".i.-L:1_,..I tg.v.s;1, -r< r<0,

r,r/(,):l 0 ":0,

l"'"** .r> o;I sn, r

ar n'r:l " 'ru'L r ..':0.

.,(,): ,E(r: f: l : il ll

Cum se vcdc din exlrcsia luncfici, troblemr confinuitifii se punc ld lu^ct.tc f - r, r E Nr p.nkaceastl obserrrn ci I

I/(r - 0) = riml(r) : hn (n - t)t : nln' t), ln) : n, J(, + 0) - lin/k) - lin,r I rr,

IrriR uurEc, fu'ctia €sre corfiun pe I0, @)\N j .stc conriqu6la drcai'ra in , : ,, ,el{. putrcr6br - ,, r € N sint luncf. de discontinuilate de speF nrtli.

4. S:r se studieze continuilatea {uncfiilor /, g, /og Si gol penirL /(x.): sign,ni s(.v)-l+ rs. r e ft.

I l. r>0.r(c,ol/arc. trec.',mlc /(r) : I ". ' - a, sc vcdc ci iurclia / este discontnNr la , := 0, tn

l-r, ' <oacst liird contiNri, lrunclia g ene condnrn pc n,

Doo rcco (sor{,)* s(/(,)): 1+ ("k""), = { 'z'* t 0'.^,rtr

cr 60l c,rc co riLnud pc R\{0}.[], {-0,

,4roi (/os)(,) -/(8(,0: si8n(l + l ) = l, vr e R, csle cortin{ , le .4.

^ :... . I l..teo t-t xeqr. 5r s( aratc c* luncllrlu /(,rl --{ " ir A(") -{ ' sintl- ,xeL " l 1,,(eJ.

discontiulc ln orice puuct .r € lt. Si sc ararc ci/ -- g 5i/.4 sinr lontinuc pc R.Raaha/ . ]ost. (lb trjMs sd sln dien nnnai ltnct id /(r), Fic a.o e R. Sd obscrvtn cd lim /(r,

qu exisu, lnL'.odc,nr, drc&,oe Q, nltrucl, Al.gind'

e I cr r -r.01<8,or,Fn.n lflr) -n;'i:.2,oco cc rai6 cn liltr/(r) tr{ crhu. Sc

'.olbnc Iatralog ljr c ^n clkl }.€.r. prin urnarc, fuNth

rf{/ ese dlscortrntrd ltr orlcc tr.trcr r €R,)coarcco (11" s)(r) -0ri{/,s)(r) F -1, Y/cR, rca,I(n ci lutrcliite.r+ I ii,r.s stor pontrruc

6. folosin<l proprieratca ILri lJrrl,oux Icntru func ii collrinue, si sc-arate cifunclir/tr) : x 2r - l,.r e R, sc lrnulcaii l$rr-ru puuct E e (0, l).

ndirlldk. Dc@rccc nuDfLa J@ = , 2, - I e$e c.nlnru6 po R, ruantd cr/rr. l,rold€toioiluii )arbotrx. DcdNcel(o) * -l til(l) - l, rczulr{ cd erisrb E e (0, l) d,ltcl . /(i) -0.

7. s,-r se ardtc ci Iu clia /(.r) .l 2v ' x < 0nLc DroDr.icrarer Irri Darl,our

(lir nr- { si. .drinrr in r - 0

R"dtrdtr. Deo$eca JP - 0) :/(0) -0fi/(0+0) - - I, rczntti ci fun.tii / u.st.continutn' r : 0. Funclid coustderdtb drd propriotu tealui Ddrbotrr, dedrdc tn o.icc tutcrval (d, p) cu/ld) * /(p)I u nct{e ilooe prh rdrte valorile ouprnsc idlre/(x) ri/(lr).

8. Si s" studiczo coniinJiratee unitormi^

{un.liilo

:r 4\J rr.Ll l;, , = ,' @r : L'/ /(r) - .r,co,I, r . {0. 6).

'nr.,l.o/.. a) 1'om folosi dcfiqilia sDL iotri. condifiei 1t). Sd aldtl'n cI penhu orice e > 0, spotc dclernrnr. 3. > 0 astlcl hcit pcnlru. orice ,1, r, e (1, @) cu l,r - r, < 8. st implicc

l/lr,r - 'r,?, i . r. li ':,J flmr d. idp,rilrt-r ,, rs* - r'.'gp = aa's -A--L, 6.6*.^

/(r'.) -/(r.) =lnrcrai r

I t -l r'r.ln '"- <lrr- <or;

ci d.ci nDpuncn 0 < ls < e, dclinitia cst. vcdlicart deci /(r) ost. trnifodu contiluL

b) Frn.lja csi. conriDi pe {r:, oo), d.. nr 6te trnilom c.trtiDe, ca 3r vedem aeeasta, r@desr :,= Jx $i :, - J' I r i (0, @). s. ob*i.5 pelrru , s,r,cio' J. nr.e pu,r,.rc :r ,r ,,po, ,i rnJ,e o,ici, a"

"o,.pio,..a.*,."" t'.- ,,t. J;i- J;: _-----L r o D.,

3+r+ t

, rr,,r -'r,,r r : I"1"*-j- .*--f ).',."--- l -l vrr| ii., J".r I

- l:,.r"-S"i,

J; F " Lr r,*- l- r.| 2({r'+ I f (r t- l)i,) 2 r/,'(,r I t) r". r I

rept .e arata c,I /(',) - /{'r} I nn .p@tc ri trcut tricit de nic. D.ci functia/(,) nr csre uniidm .r

tilrI pe (0, 6), Datorilt cortirniislii, Iuctia 6re lritom contjDle e orjc. tnrervat .@t[ct&priDr tn (0, oo),

9,-SA se studieze contimritatca unilormir a fuDcliilor

J(4: -:35;jz^2,, € 10, e), {(r)-J336q.,"2. x€t0. co).r- l tr L

si s(-r) :/{.r) -t- s(r).

Aaala./.. t...<tbn ca h cxcrcilirl E, b) voDr ot.go

tlct'i.l u esr. Dnild,r cortirua pe 10, a). Sin,'lar.. prd.d. i I[ rrn s ertriar .6to lDilonn coDtirtrn pc 10, co).

', - tz""t,n * ," -(z* + )'t'

1,,-..1-.1 . I-0.

' rz*l'+[:,,---r il ''

Dsi t/(,,) -/(',)t- I + > l, sstrcl .t rclnij. (1) r este verillcatl d d..l

(2,i+:l + '

Innctia s(') = il:, , e [0, @), vdiricE cdd4i. (l). lnrr-adevlr, dacA , ,i e I0, @]t-l

ri/,1 -,,1<s., dhioi tsl,t - s(*,)t : -- -:- ]- < Fi-,:l< 5.. D..{r ;0<E.<id.lirilid ( l) estc verjfi..tt ti deci S(r) esrc lrjfom corrinlr.

I sj,(ri + ).)

10. Si'r se amte cn fun(iia /(.r, ;) - | "" 1 f ' r"' )' - '" "" "rr" .oo-

tinun in ori8inu. I o (x'.)) - ro' o)'

ndah.,t. D,@*a un Jtx,tl- rim "'(i+f) . 'l f )': -ori/(o,o)-0.r, rFlo, €) (r.IF(rIo) ,'+ f ,' + Yunrtd cA tuclh l(r ,/) ate .oatiNe h digina P6th a 6Aia ci lim tr + ,t

- O sroro$gre iteriniti4. AvcD p.Dtrn l,l<Er, lrl<Er

t'' v''$\ t)'2 +r'

|,, +.)'

|_

I r_rtI,t_,,+trt

<tr,r+rrrr{r+_1IL).:r..1.l"+f I "ttadGooEc. 2,rl'll<rt+rr. DscI l[6m 0 < 4 < : , ,lcli'itis csr.

'crilicltd.

ll. si se aratc cr ruqia t('.,): {(x' J) + (0 0)

est6

t 0 , (r. J): (0. 0),€o{tinui. partial llr origine, d.ar nu esti continui.ln acest punci.

l:-, x+0.n.zot'di.. Fun<ti /(,, 0l :

i*r conriour tr r

-o d.or".c tinr

/t:,o)

-I o , '-0.-ri- i, -o-,,t.0j. sim,rJr runcti. /{o, ,,) .erc Lo ritr(i t,,,-o tur n, clia /((,,lN 6rt. loxrin l lir orignrc, deGFre lh /(r, rl ;u .dstet

(., rrL(..or

tur^r,

tl - ti|\ tr' l- si(r' + firrr'l -Ir, t/),(0, o) '" + l'rt

u, Pr

: r.,i - I [, _ sin{r'+ 1,'r '') . r' + ljil 'l =- ?

r-u t+pr[' r:+P'rr' ,r I r-rtt-,l12. Sii sc studieze uniforma continuit:rtc a funcliilor:

e) f(tt. : Z t (r, r) € (r, 2) x (t. 2) ; '

b) J@, y, z): re+ ,t/ + r sin r, (t, f, z) e [O, t] x [0, t] X lO, tl,R.talutu. a) Vtiliztta rc1nlid (2). niind dar € > 0 d.e rc, kcb{i. d dct.lmnd'n t. D 0, B{.1r,.nrru odc. (,1, ,J el (r , /.)e(t, 2) x (t, z) c l,r -:t | < 8. ei l.r - /,I < 8. s4 inptiqrt) - il'", r") t < .. ).,

tJ(\, .- il;,, rt) I -llt' - $ 1' \lr' - rtJl <l\ - 4lr. + lx' - '1" <,tL , t z

< 8' - -:.r < {s.,,r.

ca .nk', 0 < 6. a i 1si,,tur (2) c,rc vcnaicara t dlci t{ocfia/(,, r) 6r. unit@m cortirua-4b) Dcoarcc. llt trcfidl(', ,, 4 esrc cortnnd p. odtnnc rirgidir, ri llchhi [0, l] x t0

j 4 x t0, UcL/cstc uilo.m continui- p. acedi multimc. Sc Aorc verifica ac@st g cu ajutorul d.ttntft t

pr€strllnl'd

la,-i3l<8.. iyl-r t<8. ii l,r-',J<8.. c\(rt,

rt, ,rt,t',,")- t0, rl x to, 1lxt0, tl, zlc'n il(.ttu h ztl -^,s

t,, .,) | < |'1 - r, 14+',1+

r -c4.h r- /, -/s1stn.,'+r,lrd,,"'-i.*-r-J-- lq18. , .,1 _.4-, t+ 6. I,1221

2l.i" :l :-r < 23. L e8t I t. t 6r < 78. < c I'cntru o < E. < 1.lz{ - -f

Problcme pmpuse sprc

13. S:r sc studieze continuitatea (urctiilor

I -+.{'

,r - R\ {o},

x.a0:

o, ,u,-l# "^o' o, ru, -lu*.r* " '.. , . t-ntz. ,eIo.iEi t , .,-o'

.) /(")-{-(r ,'"'";lll', ono-{-',u*0.,",t'. ;::.14, Se dr'L Iunclia /(r) - I- rsinr, r 7 0. Cum trcbuic alcs /(0) n"n,ru ..

tunclia /(x) $ lio continui in p riclul r .0?

15. Se consiilefi rnr;c+ia 1r):4+, r e (0, 1) U (1, ".). Sn sc arate ci se

poatc alegc/{0) $i/{l) (onvcnal,il isttci ci funclia J(:r) (src continui, pe [0, o)

16. Sl se -detcnnine a . R astlel ca tun4ia/(r) si fie colltinui pe nulJimede definilie

a) /r*):lr+l,r€J0, ll.bi

l3ai+3,re(t,2li1,;=(o,rl;

{1. l-Y < I,

lo. lrl > ,.

20. Si se studi€ze continuitatea lunctiilor

a) (ro.\)i\), 'I ' R. unde x(r) - l0' ' c 0'''

U,r-I;r) gkt--I '''* I o/rt . sisn Is'(r)|. -r c R.l- r' x L

';

, x e l_1, 0),

[z tg ' "t.tg1,

re

[:l o),

c) rht:J a x-.o,I -,_I Yi-I1- t

[2 "' , re{0, @).

1t. Se defincfte {unclia / prin fz) :}t*"*# Este continui. tn ,: O?

18. Sl se studieze cortinuitare-a :{uncliei lk) - az - 51r"r, } e [0, co), urde

.E(.r) rste partca lntreasi a.lui19; S:r sc stutlieze co'rtinuitalea tunctiilorl s .loe$i sot pentrlr,l(x) :{1,

]11j

'l:



22. Iriild dat e > 0, s:i se detemine un 3.> 0 satisficlnd condilia de conti-nuitatc u ilormi pentru urm:toarele lunclii:

aJ 16): Jzt +T r e lo,2): b) /') : sin' + cos r. , eR;

crl'rr---l , n-tl. m).

23. Si .c strrdreze eontjuuitalea uniform'a a f,rrrliilor:a) /(*) :lnr, a e 1., el, .> o: b) I\a\:lnr, x- (0, el:

() /(.rJ "in\'?. r c R; d) l(rr . --l + x, x lo, @):l+:

c) JQ) - .: x. r - (-l @) i t) l(t), a'cos-l-, .r c (0, l).' I -r

24. Si sc studieze conlinuitrtea unifomre a lunctiilorr, ,,, + J, ti hJ, defi-rite pc R, qtiind ciL

lla) - ,t sit, x,, IJx\ : , cos2 t2, r e R.

25. Sii sc studieze continuitatca in originc a funcrici

- [ t.s-r'r',-'. 1+0,.ll(,)):lt'1

I o . :o.26. Si sc aratc cir liccare din fuDctiile' urnritoarc este coDiinuir pallial l)) o gine.

dar nu (sto continuii ln raport cu ambcle variabile in acest puDct:

(r, ,\ * (0, 0\,

(r, J) : (0, 0);f t'" . t.'. 1) ;. {0. o).a) i.Y, -,) : { I' '- r' - 1'\ .16. ))I o , f.., )l - (0, o);

| 't"

lo ) + 0. 0),

,): (0, 0).

, (x,

, lr,

+11t tnlr

0

.) /(" r):{

$. rronle DTFERENTTaLa A FUNcTTTLoR

o variabilS reali

a) D.rirala un.i rqELiL Lr lurclra trr: J + R defiliti pe intervabl f Fi Ii. ,0 { u cr dir _4"

Limita/(rJ-l,m'lJ)_rllo),dacr€isri,sellhetre<lerivatatu .ti€i/tntDrctll ,0. D&e

/'(,.) este linits, s spun. .6 / este drrivatiU to p.r"tii,.,Dace I este d€riwabil{ ln ro, atuci / este contnrui h ,o ins, rcciFroca ru este ad.i5nta.FD,ct'ia / este derivabilt pe I daci €sl€ d€rivabils nr liecare plrct din .a,

. ll'J 'r,Jn' i'ere 4{:01 * r'n, "n ri ,r10): rrn

-.

dJ,i e:jsd.

dv, d€nvata ta stinso ti derivata ia dreaptn a tunctiei / t puncrd ,0. Functia / are de,ivndh ,o dacii ri hmai daci ar€ <teri/ate laror.tc egalc iD,o,

Da.:r lrnctii,e r a: J + R stDt d.riv.l,ire e r, nt llr.\m. + g, Je;i -l , aaca g1rl + O

r a /. :irr dpri,rr'r* rr.r )i {, :L ., ..

+ 6, U r, - 7, -.tr' o1 II

l' * Jl::L.t ,Dacar tu,ctia : I + / €ste denralirA pe I tituncfi.lrJ - R este dcrivatili pe/, at ,ci tnDctia

.oDrpusa /ou : 1 + R €ste d.ti abilt p I v, Ua'), l7) : | (u(,)) s' 14.blj:.'"I9?.9--'i.-"..It?^flllst i 9: gsi:abA.: *ssa?.lui,B .[ ., Dacs tun.f]a J: to, Dl+ R este

.o'tinli pe [a, b], €st. deri,abi,s e (4, ,) si/(d) -l(r), arrnci cisl{ cct p ti n, pnncr , e (a, })r$I"l lo ir /irl - 0,

I*Oa :ti- **r, ,,.orcDa q.rt.r or finil.). Dac, ftDct'ia I cste co,tinla p€ [a, ]l si d€ -vabil pe (2, ,), atlnci eJsti cer pulin pulcr . e (a, b), aslt.t ttcit l(b) - Jl.) - l,l.)\b - a).

. )[email protected] C.ucrly, Ii€/ii s {ioA lnrclii dclhrtc e l., Dl. Dr.t tun.tiii./{8stht..niirn.p€ [,, D_, .:r,r JeI]dL'le p. d, Dt

"i sD) +0, Y] *

{4,,),

.runc.:i.re ,"t

r.tid upu,."t

. r ta, -bt, a.tI-t In, r /i&) - i'i - '{d .

Elb) eb) s n,

<) Forau)r lui Tglor, li./: i - R o tln.,ie oerivahLli d. i{ I ori lnrj.ur ern,r ,. c /rolinoniii iia$io-r aifliiil ,, a,a.ar run,ij"i /,b pu <Nl /e, esle

rrt,) ' lrer I I-:-5i1,.1 . " 1,"'" h.,*...,t'-'l' ra O). rDlt - 2t ,t '

f.fln'la lui T"ylo d. o,'linll , p"nt' u lunlli. , J, p ,n(rul ,..s;

tl,) - r,tt) + r.{n. trnde r,(ij - ll--id'r/',, tr. + 0t: -',),, 0 e 10, rl, lz)(, + tJ,

&prr.ittl r.etll (Jr.loros hi LoSrarge) d. ordj , iit lorbllci lui T.ytpr.

8.1. Functii de

D.cn ir lortllA hi Tavlo. se'a

ta: 0, * olttiE lormula lri Ltc Lau'itr

Jt") : t(o) ++.fto) +.-.*1r"'ror *6ftJ'+1)

{orJ 0€(o' r) (r)

Se vor folosi mai ales lrnAtcrere dcz"oltiri tlupt fordda hi ll'c Iandn:

""=t+,+l++j+o-rl='o: o=to rt; n'

"r,,,:,rl+...+(-rr'ffi,*ffi"-[o*+tz"+ztr]'o=to r)' u'

-"": r-l+....+(-rr "',+-f-.."[n"112,14r] o-to, rl, .,

rn(r+,):'-i+...+1-11'11111-4"'Ia(rr-01)-"' 0€ (o' r): n'

tt+ 4' : | + ctrr + -qr +...+ 4" + ci*'';*'tr + 0') '-1' 0 € (0' 1)' tt'

'"dc cl:l(r

-1) jf

-"+l)

#i#f 3't*:'t",.;Txn#:rlji'::hti"*lFliki:r$*ri1'1"'"i J"

''i"i'" 'i".r*"?

^inrmrcar som' u"mc$e Punct de dtren rocar'

i*i;;'; *l;f'ltrri*',rffi;iil$r+#ti["""":,T,;lilili;:1"*"cr,t.Fic/:/-R$i oe r'hnctil/$'l.rrLlsen'iia ll r.*:l'il*o

'i,rrrr"ri, Ai,'. n)-f(\'thl -/(r.) & Potc *ric strL fo'N -V(""\ '= |r''r t -- d(ro ltji

;il;(,r';;;'i-ri,;di,o' ii stisri'a @nditi' rim o(,'.'"):0'

Etpssia I(r0)'' scrnn'$t

H:H':Ljilli:,"il:J:If.il::it,?'ff:tl*:ii:li;t';ll{;;';ll':,,1il1;il.l:'"'

B l l Problcme rezolvate

| \ Si s^ crl(ulcr(, fotosin<i clcfini{ra. dcriva{e /'(r;)'pcntt

:'"t /t,) - ,in.l,, r, -'{ : r') /(-) arcsin (t - I) Yu - I

.n..t'r,' a\ Dcr'r- r hacii'i 6tc drtt dt

"i..r,-"in3 ,":{,;)*;[,'+l'[;) "y;r.--'-"+

-'t ,-- L:--:--":--F'"" t

__r,*\,+__*,ur rrrr - ri,nnllli1:-ll -rr,,, +-a:



(1j Se s" c,tc,,te,e alerivatele laterale ale functiei /(r) in Punctul ro, fentm :

2t. . rtsin I .Esin

- I i 2r i

,j/,f'-:n'U l+^r t

t*" _r .2t

jr5'

-

- arcsnL

'd(0, -lim -lrmr t* -2* t+" z

t+*

lo carcnl eror doui deri"ate an Jdosir identitat@ aruitr 4+acitr, - r(sin t4 J l-ut r b J l-a'l$i faph,l c[ lim eIll2 - 1. I'nm]ia .t 6te derivabile ltr Ponctll '. - o.

,tr,(rr - .rm rl,--1-9l15-l--l]-- [-.,t'e{, l) '- :.rl 2

4(l) =nmnrctsk- l)-r-a torclio '-et" aoi,"t ilt ll Punctil ro - I

- l r-ld) U'rnrnd o cnlo analoasi acclon de l. exeeiFul hl ol,tidco/ll) - lrm

-

1i*ti;

: t

ri.41l) : - L. Funclh n esto derirauilA lo Pn.ctul,o= l.(.)Sfr s" c"rcctez" dcrivabilitatca funcliilor:

a) l(.r) - max (cos' r, cos r), t e [0, n]; b) l(i) - li(x) silr tt, r € n'

ne.taa . d)^tc,^

hn =l'*." * r- ^r- Funcli4 6r. d-,i,rLilr ao lidsu 4in in 'r'

[c6s, r e tr./2, it.

yokrlc (0, i/2) ii (--l2, a. Rr.n)l e sd stu.li@ dc.i,abilitlte4 tn Puict"l '_ I ,\vdr;

r:[-1.- 'i- -2 =1;. _illl1- -t, 6'llri. lii-l tim:-]lll ' n,'lrJ ,:;" . t.o 1 -i:J'-; ' ,

,=, r lrei',ab,r:



b)

-n.ie3B,2e I-r, -'+ l],

-'ia| e , r e l-r. o),

0 . zeLo,\,.i^t-a , z e tl,2),

riir'd,:etr,r+0,

rczutt , c , furctia Bte dcliBbitti p. fi€l:@ irtd.l9ulstele, - *, t€2, A @

r@-

desclis, TEblie sl studieb derivabilitatq

-lr

+ 1l .in. E,/r(-r) - riD * -{r +.r-a t+n l) lin

. -. -- sitrB + .inrtrt _(r + r, ub (stD n, _ si ,r) E 0a1_n. '+n.

d dFle olrti,@ 4{-r) - g- -tfht* 70.lriDu ee, furcti. et€ dlrtvebila tn r bc,ur.\-n r+rt r -r, r € N. Alalog e araq c4 fta4is 6a. itedv.bil4 h pllcr.lc r = 0 rr, -,, tr € N,D6.t tulcflr / 6b16 dqivlb n p. &

la,6o.

"t

4. Sl se arate ce funcfia/(.r)-{ - o t -'' ' - "I o, '-Lste derivabili pe R\{t}, ertstn Lm/'(*), dar furc{ia nu este derivabiH ln puDctul

ndal@/.. De.ad8

lia -3, 11 4 o; - t-",agJ - - a ri/14 * o,L-t 2

r.t .lL cE fuDctia/lu et. cortilul h puctul , - 1. ptu trMrc, tulctid / nu .st. .rci ,.crvib.lll ptlctlr *- 1. P€ de altr lete * vede c5 t@cfa / csre derivEbit , ttr ori& pudcr,l I si

J @ - .:-., v,eR\{r}. Apoi tit/,(') - ri.--L - -1.I+,- r-rl+t/ 2.

Dlo 6at elTEph e obsdld c, dace limit deriwtei itrt -@ Flcr 6iistd, tru rcz rd .j tuncfiaqt ddiBbil?t h ..at IDet

5. Sr. se calculeze/"(r) aaca fk) : C@k\1, e fiind o tunctie definjt pe R.

ed$ite derivatd de ordinul al doilea, iar , este rna din functiilea\ h(t) : ee I b) t(z) - *.{,' + I

ro inrc.vrrrr (1, + oJ ; rentru p - - I? etr.tia a.e o.ndacinE dnbtr,, -', - .- -lsi"na

si,rDla27'Jr. int"r,lrrr,r., o) : rer'u - - f

"1t,.)

(nilE a,. rrei r)dr"i,i,,rr" s,.r,^', i'., J r..\z7tr"'"( -'-+) {-1 r) I tr' + -r ; n"nr'I : 4 c'"at'a a'€ o r;'r 'r''i' r"

{- o -_J

9i una dDbl6 .gale c l; p;ntru^e14, +@) eu.lia .dnn€ o singuri .ddrc;d reald tn

i,t".o"rrl --. - ll.t :tl9. Sli se studieze allicabilitatea teoremei lui Lagrange in ca?ul lunctiei

| , , x e [t, 2].

/r.r) "=1,, .. pe jntcrvalul f], l:.11_+t.,;e(2,r.1.l4

n,,_12,.. Iur.r'alenc conrinur Fe inte atut Jr, il.d"mrc./(2-0/ = \4=lA-o -t.Apoi a'c /;(:) : 1 ri 4(21 : 1, asrrel ca rucFa csre derivatfi o inicrynnll (1, 3). i.coremr Nre

d6i drljcabili, DuI,i tcorenla rui InSdnae rcztrIra ct existt cct putjn D trnct , € (1, 3) asrtct ca

" tt, r* tt.)1.- .l '/. -r,/r'l - ^:-c.m/{,)-{, , ,elnli., l" r.. i.,.^ ""r J

i I_,,- {r. 1l

I0. Pe' u'ba carcare arrrlia /(x) - -, r > 0. si sc.lrt.rn inu un pun.r /'{, b

lr.Jrp rrr8 r,I .i {i"paralels(u.oardaccun.stcfuncr.ic,4( . ' r, nt,lJ

Rezatto,.. pnnta d.e1,tti ce rrcc. pri' 1^ rcrerc.r I ,a ."t" &la . ) = -]. ".".*"ralsdta i. frnchrr .e rd sraricur n;.cF.i cst'e paarct*c' **ou u*.orr,1*',1,

"i -" 1"*o5,n.',"

ri del.'(, - r.P,,n u,m r, otlinm rcuatia -

., - .;,r dcli , J2. r.r'l 1

, lJI :- i...*-". u,,' o,,,r o, ir,eilFrrR Bmn,.ri,c. J,,v,rm-,, . r.-s,', 8,.ttt11. Lltilizind tcor-"nu cre.gtcrilor finite, sI se arate €:i : a) 9irrl (.9,), cu S" -

: l -L ,....-1 rsrc(literrcnt: l,l2 t . .9rnrl(4,).nr,r,:l -+...-l---lnn,cste coDvcrgcDt $i liDrikr sa C este cuprinsii lntrc 0 $i I (C se numcite constarltah,i Iir lrr\

x/iolv.t. ric l oclia/(r) : tnr,, eb,"+

tl, , eN. P.in aplio .e lcorcmci lui Lng.iutgc

dccsn;il,,dclijrcz tl ci.xlstaccl prtir u pnnct ae14,ra t) astlcl llcil ln(r+t) -ru,=-l

n." .."J j-1,,",,,r,r1<rtr(,: I r- ru,. I,v,"N.s.,-dm"asranr';)

tr | . " r+ I

lr.Bal'rir ' I ,i,rn' ,, i, . .,, r, rerutLl

l.r":-,"r< r, f -r.i.,nr. j,..., -L. r,,{,,.- r1 . ". -l-2 r I "rt

'.11.' 'L rce.te inpq,rirn i, oblirco i "gatilar4

s,+r * 1<h(,+ 1)<.sx, v, €N.19)

a) Trcclnd ra liBit . h inegatirat€ lD(, + 1) < sv v,€N, dearece,tim r (a + l) - + co,

'?Lr'd Lr .-, - - 6. A(cadr s,gri Lr eJia **i.r \\ -L ""," " ^,r",.o

LJ"1r se ot \erle"liL a, - si - tn,'l

dcL, .lup6 r,"g*1i1. 1r1 reatr, a, : sr - ln, > r,(, +t1 t,"-t"lr1-115n. Prih urlEre, a, >0, vreN Aloi tot <li i €galitatd {gt '/ezuhe a;i+r - s,+r - ln(" + 1) < 1+r (r+ l)_rn{,+ 1) *1, ri€ u <re a"}r < t, v, € N.

0 / a, < r. e, c N. se pcle A,rra ., t .t ?,) ?.\" dcs.rc*aior. ?ou.ad.vtu.

i/., airj-a,-s,+1 rn{,,+ l) -s,+rn,--'- ,"lr+ li"o. de@ece av.6,, n

'' ^l

'.1'+ Iri de.i'<(,+

ttnlt+:1..D@recerimt(;,)este nonoror descresc{td d 'l I nli.1'ei.ii'

J-l. , d,. J c-l,mz,9. C6 t0. r).

12. Ut il i zlrrd t eorerna .rerterilor fiDitc ptnrru fur.iitL /(,) : ttte Ln, nil)tsi se stabite$d natura s,:rie,i irtnonice gen€ralizate:l:r*, , + t.

prlttu d < 0 s.ia cstc div..sotr, deqr@,jrDa,Tlo. \.om considcra in.ortiNecnde(0,r)u(1,6).ApliLindte.rcmatuir,"s,",g"t,,,lfi"iy1"1:,'-apcinre.vatult,,+11

'.^rrrrici ciisri ccl prl1. ur punct ., 1<a<n t-.1, astrcl nrctf (,r + 11*; _

"'*:1i _r1r1,, .r,r ):.0 iplir.l "-.

I g,,-r,r "*nt '1_

, t-". ,:i'. . .a,.1,',."", "> , _1"_ It'-"_,,'"1 . ,,, t. ' v,. - N. c ri,n4,-M.u ildr,, - c p-t,tt- 1, t, .. .n I

rqE_-_pr,-tr_4)>2<. 2-n 5 --L 13..

,. .,,., -L11"1

r, s trilnd accste i.cgdilt;i mcrnbru o m.obrD, rezull

q -/1,, r l)i.d _ ,l F S,.r _ | r." -. N. ( r0)

c._ld._2cI..:'r

Fio o-:d< r. ln r,nza nx,aalitetii (10) ftz,l s,> 11,1 1p,"_tt, V,EN. ri DrLld

t'.c{re la linrnJ .r,ljnrm tj,a -(, - + @. 1}.in tnrare, scria csle diveigsrr5 i. o..st caz,

Irie n.nnr d:, 1. Dln inoRatilat.a (10) f,nrtl.c s,-, a LI J--11"1lli-d_ t). vr€N,,Ie

:'','lu:.S,.,.:l- : -. A.r^.r, a.s.e .tijr: i.\ rr,i p..i$rurs,.c. vd.l1

13. S[ se demonstreze urmitoarele inegeliilti i

a)--L<arctR.r.'>0: lt In0 F')>'Yq:. r>0.l+C t+rIa,rd'r. a) Coaside.dn fr@fia /(') - ---:- - Ntsr, ,>0.

f'l,J - -2"(t +

")

t < 0. v, > 0, faPt e @tt oa runoti. {,,

tri ;rn;rrc, /{,) <l{oj, vr > 0 t, cs io) -o, @il€.5t{r) < o,tt lalitatea.b) Do@rdc , > 0, r@ultt cn r + : > 0 tr d€.i ir€8E ibte. .st dhiv6l6cl 6u [email protected].

heraritato: (l + ,)h(l + :) - arctg, > 0. V, > 0. Penti . dmofte re.s.t din urnd ift8..litste int.odu66 runctia /(,) - (l + :)ttr(l + r) - .Nts,, , > o. D.cll& l1') - lb(l + r) +

41- --L-t,1t +4+ -i1>0, y'>o, r.lofi. -/{'} 6tc orcsdt66 pc I0, @) ri dc.tl+,t l+r.

,(r) > /(0), Vr > 0. Cun -{0) - 0, rcztrrt /(') > 0. Vt > o, . .€3 & d@onst 6t in€solitat4

f4, Utiliztnd teorcma lui Cauchy, s[ se demo&stlere in€alitrtea In(l +

-F,) >:t:gj. r>o.

l*aua,a, coasia*rm Itroqiilc /k) -{I +,)h(r+,} ti g(r)-.rcts,, reio,t1, >0,t{r6 saiidso conditiil tcormd ] i Caftltr Fo i.tery.lEl 10, /1. P.i lrEarc, axiltl_ ceil lutir uDunrt , € l0, r). estfel hclt

l't) - (ot -rH +lt+lJtnlt+rl _ l+ln{l+dj6{r) - 8(o) 8'{.) a'ot8 t - -----t '

1+.r

".tr, - --lllM 12L< (r + r)r {r + e), vr b 0, r.pr G dd o'ak@'{ ,n..

(l + djtl + rn(l +.)l

b) t4 a.ost *,/'(,) - -:

Cil6lllnd dorlst3 e, ortinoL

a*c d@r6ci,t@s pe (0, .b I

Vt > 0, 6q .e [email protected]

15, Sl se arate clt r

,') l(/) - (a + btt)e-" \erifici ecualia t"+,ht'+hzf :0|b1 .f@):a cos(ln r') +rsin {Lr r) verifice ecualia r,y" +rt'+ y:0.R.robctc. a)

^letul'1')-(-.tD:+r-Io)6-,.rt/"(')-(itr'-21,+.trd)o-r'a3tlclca

l"Fl + 2hl'l') + h'l(') - o.

lqinir 4 .r 3cd 0 ,) F I-U) - -:- 6 (tL

')- il-? cos (i,, .

t\ deci ,'J,,k) +if (r) + Jl*) : o.

16, Si se calculeze dcdvatelc de ordinul n ale ufitrtoarelor lunctii :

a) /{x) -I I L\ t(t\ - Lt c} /(r) -- e.'cus (rr + ')

r

2rr -tt.5 " ' l+,d) lk) : atctg z.

Raat@/a, tt sniem Ji,J sub ror,m;1t1 -I

-| r-' .obtn,eor-(2:-iX,+r) u-5 ,+l

,= {.o- - -1.

*1.r ,671.)-1ij.-il-'-r,+

ry.}. c*.ra-:'a7..r,rc.*rr r -.

'1 7 7l\ 2t Id,.,,r i.(4-l{-r i.- l}' r-'rr. rrr.}.r.1,1-Ji,-'.,-., [.-i) '-,

'



ob""rvAm .A F "4- h- t)r-2)... t_ntrr 5l-r-,il "-rl

-(- 1r(-2) { 4)(i+ t)-r't}r_ , ,,. .,

{l_:}-' ' _ r, + rr-}

lr Dq e dcm.bri. 0(qsh formuLl pri jjduqc, lbd adever * ,ed" cj ph .tr l * L(mul. e r6ve.irica15,. Fresrpbnea a.easf, ton , aitod6t peltru * ,i sa artflh c{ q esre Edeveot 9l

,{,,,-(/,rF),..-{_,,.i{,_-_u{,- i),,, -_,,u . *}_

-{-r)"ti-1Llll,-'-"'^ra * dero$rreaza ,"*.,-

"-tt'-tl

-t' ""'l

b) D"@,(rFl{,)= .l - 2(l ir),, reattA /(r) - 2,1.- ,t '. J-\^) - 2t_7t2j (t + r)a ,i rngenia,ld'\r) . 2(- lf rr(tf,,).'{.ulii@romltA .Do-lcd"noo,r'a r:aildulthcaEAis'r,

() ln a" r caz vo. lolo rguln lui L€ib,t de ddv"rc d proUusurui (@rc s €1e d@esrru

;.roda inauctril(hs)(e) - tt")e -t clrwtll'+ c2nt,-.)s', +...+ cnhstr). {ll}

scriel(') - ,(,)s(,), uide Ik) - e',,i 8{4 - cos (r, + 4. c fterodo indlcfiei r p6te 6r.r.tr r'\r) - rreq )ir "f.r -a'-.[a'+.+*ij. Forosnrd a.esrc rerrtare rnlmlls( ),

,.i, -.,,{",^ro,, o rci,-'a-"(' ,, .,) .".*[,,,,r ";j]

d) DacA /(,) - a.clg', re.ntt. z - tgJ. pri derivae,

rr,)--] --,r,,

-cos?/ru/.,.- -;""(iral.l,r rrrdj l. zlri d;riv.rea rttimei relatii obtideE

,-r,r- {--.'",{,, iJ, -","."(, I)1r,,,-,,.-,1,, :,1.

(e / {r) -1 t,.t[z * -. ll-1tag.,lt.r -l_ -.,r"":ll, JI.t 2 2lt t 2I \. ,J

r,.bn,erari.obruFm/r{,)b_z/.co,./*,,nrb_ ".}- .zl"*,f-.2(f+l)_o.r'a-,{r'-lJ-,,*,-",t-jJ. \ 2t \ 2l

P'.{edlnJ :i,ni,or ob i,.8 /Fy:)-(, r4t o",/snqiJ- n/2, romlra eft s p6r.prin m€toda iDlju.liei. Da. tnl@qib jn *.dst& rofrlld p" /1") _ a..rs"rt

";/-.rl It,i1?, obturD

f'ti-tnrr '(r +"i

'/"i' ' (" 8. II)

17. Sit s".d,monsrrezF ci polidoamele lui LeSenJre p,tn = r-l t(1'- I)',(ii,

- 0, 1, ...,n) vcriricrr ccualja (r - *,)p;lt) bcp;ln + q@a 1)?,(r) : 0 j

R.zotod,.. t) Fic ll') - lx' , t)', , = [-t, 4. *t'el oe /it,{'} - 2" lIl,G). Deo trc /1, -- 2',(" - t)e\, rcznrq, Oj - t)J Ql - 2n

'/(',.De.ivim

'€€srtultioI relafi€ p n, la o.dirul

A1 - rlJ1r)lont - 2tr:.t I(J){dr) + r,' - llP i4+

+ 2c:,,4h,t)3) .t 2c..,ft 1,1 - 2,t f.nt@ + dl.r/"){,)t,

.d 06.c.e rc\j/dr"n .,, r.r.uin /a - )P;{4+2rP;(,}-'('4IlP,{''-ob) FuDctia /k) - k' - 1)' {tisrae cooditiile [email protected] lui R'ue pe i;htu6t"l l- | lj. P.i

tr@r6 dist5 cer putin n su@t ,. € {-1, 0, 'sttl lDoft l'(r') - 0. t N J lz) - 2d 4.' - Va

rl d.a'i, J'el) - J'l'J - l l l) - 0. astfct cI lurclia /1,) $tist e coDdilji . t€o.ebei lui Rollc pcntru

fi{c din intc."dele l- 1, 0l ri 10. ll. Apliclnd ar]6i, t€..eri, .etultd cl, eistl q € (- l, 0)

rrore(0, 1) ,rtrer n\cit J'lel-o ri f'(c:)-o.' D@6. l'l-tl-l'lai-J'kd-t"11)*n,. pdtc apli@ teorema lui Rouc ricntm {u@tia /14 P. in€rc dn|nterualele l- 1, ,J, l.', 1rl,

[o,.rl,lr , l]. ContinolM ru-rbdd.rtul, dentrcemor/-D(,) s ard..?r ir pudciclo Er, qr, .. ., :,-r €e(-1, l). Deoor@e /F (-l)e/t{\iJ-...-/{-D(:.-r)-/6{)(l) -0, { Tro.tc .rriics

too..@ tii Rorlo luncfiei /'-',(r) p. tisrc din i'tcetel6 i- t. :,1, (Er, t 1,....t:,-t, 11. Prn

urmso, crist . @l putin circ trr 'unc. ,1€ {-1, a,), "' € ('; E.l. .. , ," e (:,-.r, l) asircl crI

/(i)(*,)'= 0, i- r,2..... n cu PJtt:;,lt'rl,t, rc. ,llca,,e(-1, t),i-1,2,...,n.

.ht rldlcini dlc polinod{l:i P,(r}. Dcoa.$€ a6d P,(a) - t, rc.t:liii .A tQosto redilcili sltrt singud€

18. St se sr:rie formula lui \tac l-aurinac ordinul 2t + I, pcntru lunctia /(.v) -: arctg r. , e R.

Re'atodt', D.o tccc f,trit -(" - r) (t+'tJ-hs,",r'"^'e'- l)("-. 16, dll, rc'ur,l 0ri

t 2,

lt{O) - ( ' - tl tonnl .i ,t""i. dtrpi (l), aveni

2

*"", - a- - i- ;. '.'. - 1 a....'1- 11' .'JIl - n"1,1.- t l J ? ),1

uuae ri^1'1 -Ill.11 ,,r.,.1 "'.i"[12.+:1f,.r10,"1]1, e=1n rr

24.12 | l .J

19, Si se dezvoltc fLlnljlix /.r) : c', t e R, duJri prrterilc hilronlului , + i.n4olr4l., l'l.niru a DLlinc lcz/oltarB ru.liei dnpr Ptrr^rllc t n r,l' ,r lolFi {.nn'li ' i

Taylo peltrD ,i - -1. De€No ftt{r) = e'. vle.Y, tilr'{-t - e_ , dtrPa lotruulcle (1) ti (l)

",-"-'lt rj1 , l* l ';l ,...t l'I l)'lf lrr il "4r, ',., 0-\4. r.I I 2t rt I l'lnl

20. Si se ('rlu-2" cro.rr re rornisi i'r aproximar ca

.. t r-t+'- t-'-t -'.2t ll 4t

-R.z6Jd'e, Suiind d.lia (rl Fntro t - { 9i r - l, obfnEd

.-r, i,.', Lr-', 'cs,o. . r

It 21 3l l 5l

prin urmare, d@rea @Nisr rrir tpror;inard f:qti 6ie . - ].u ,' a".--., 0 . p, l) ti e ': r,

obtinrm . <.t ... j - I . -t **, u .,,1l.ol

i..'lcti.,Conio.rlnluEtll/t,)-dl/r'lrolo'inromuldt,irartci'prtr.rrr.,J*2r1,{l/01 r ?i(r) + ,?,(rl,Ibnl-

"**

"** *,_lIld&lt lor t.eblie se nv@ Irr{250)l < lo .,

D..rroo. y'.)(,) _ (_'r*,

-L1_l_r ir i gL, - --l-

t.E.(250)r= :7'r::.I {l:--IL_1-l

t.r'o ror F.{'1" ll: i.'----al'+ rlr r" t5j tirr(, tt

rdi..:{

tn.1z:01;.f-l'r I l o rJ'- lr <tr'o (\tr IrIl)J r'tr-lj. 2,.(.'ri, Itji

o".r -e*"^ * f]- -. l:-L < ro ', ,ehrtl c., lentru a > 2 .",-".on."o "",u,"_ ,4r.lrtr.(, T ,.:

p;" u**,.y'2f" arrsor -:i I - j9-.,, . *** -.i ,nic. rril rr, 1_ 5J{ 5r.'25, Si se calcule"e cu ajutorul formulei Iui Taylor urnitoarct. limitc:

")[*F-t,],r timr'r.l tq-"io2, Fr.',

' ;:; r ;:;;c) liml:r- r,lnlr -'ll

"-oL \ rfJR.totoa/.. al lrol6i.<l tormlr. lui IIao Lauri , or,finen /r F

';- - '-:l- n.,t.t*f,

'oao&lj]-o crrd :-n r,,i,,,'-.."

']--' .,'.|-L*& ll = -'..x6t_i-t=--.

F{ ". '-o[2] ', J 2b) Dup foonll. lui Mac l-atrrir avcn tn(l + 2t) - 2n - 2,, t, L ., r ,rl"{4 ti sinz'-3r

-2, - a rs + ni(:,. Tnr.rJ "4ds ci tin {4il = r,." l -.i - o.3 " c-o :

, - ,. lnr lr2r) - sl 2, + 2'r'ct.llf,

l d--

1.

o) DeB,* rio l, - .,r" {r . 111- r* [t -I ,ar ",;l ,, ," ".*a Lr rr1. ra ru,

'--lt r./l r-ol.y . I

t6c lruriD, i (l i t-t j: -nrb,,.o\rinemciri'uiuedcr.

46. Se se determin" ,1.,.,",r" .l. .rrr-m pcnrru ,r',''.,,,,",,u"^,',

.',a)Jk)-zd -d+l.i,,.1 I +]' b)(r- z.os., i{1,.-r{.Rta "arc. al Dei.:4ta f'lt) = l2r -3r se a l@, petrl.D ,:0 5i r=r-t,. Sc a,:c.,r

e, /"(o)-o rii(3)(0):-6t0 ri .1eci,-0 u sre punct ae crt'em. oeoarccc ri",;'*

[-+.ji ..,.;...",:.";", ;-. aci uo pudc, de e\ts,c. u:isi*s ".," ..",

de iijtduEeb) Arcd/'{r} - -2{nt-2f }. dcL,,rr)-0 pelh

'-(). Apoi,/,{0)-o, / {or -0ri

la(o) - 2, cH cc implicd Jdptul ci r - 0 esto u pudcr dc mjdn pclrru luucfb datA,

/27 Cutrr trebuie dimensiollat: o cutie lilindrice dc conserve pentrir ca la o{itfcitate date $ se lntrebuinteze minimum de material pentru colstmcJia eil

Rc,,|od/e. Ele V -.obst toTuoul . tiei. D..e lotEnr j ,,r.za curl€j .ilirdrice $i,int s€nera-

,c'tu . arD,c, z - ftr,, d. ,dd. r - *Arid,o,al-r..iiLJ,..Licsrp,4.\re2i1 r-ri-

-2,,, -v.. A .h ; t ) - {.,rr - r/)/r ,i .@rd s. ,,L.,,,I.n,.,."*lII'''.

"-",*. \4r,? "(r0) - l2t > 0, retul Li .e ,. ost. u lunot de Dinin lentru / (x). prnr D rnare, dimensimile curiet,f \tl, v .rllr : r-2. ,,rr i r. - l - l 5i hathngr.-_.

, Val i,i(28.). Si sr (JI rl"re Dentru functia fir) -,rr I. I v-li"u. l./rv^ ,, --l$ h -tt',t sr diferenjrala ajt r"l li ;i.. :n,o)np,r ,cc,r. u.io"i. a", t

'i - l); a) /r .111,) l:0, Ir(J&-0,0t.Rkatudra. jaetu l/{'r r)- {1,8-?)i+ J,.t".l.hE ri tVl'r, r) e(.],3,2)r, n6ncr o.i

A/(l, r)*l+0n:+r, g dl{1, t) -r. Apot' ) A/(1j l)*Jsid"r(tr l) * t;b) Al(1r o,l) - 0,131 9i dj{l r 0,l) * 0,I j .) A/(1j 0,01) * 0,010301 qi dl{l i 0,01) - 0,01. coblo.td reh drele,.e olsre{ cd pcDtru v$jsiii 1101 dlo dguE. t 1nt se poate pro_\ind vdriatta runcJtei prin ditc d "

fid. sa.

2J. [)ri mis'trarea direcL; s-a gtrsir c5 diarn(Lr t u..rLi ccrc csrc r,- 5,2 r:m,eroarea maxina tiind mai mich dellt 0,U5 cm, Sd sc ai.scascr uro:.rea marimA.rproyima.ivi codrisi ln evaluarea trIiei / a accsrni -(jc. S,i s( nflc cro;uca rcla.,,r.1 lla 51 asa Drocentunu

gL.loo.

Rt.alw4 D.at..e ld, I < 0,0, rn e16 ri. in conrpnulio cr ,, rczuu{ .d pu1(l6 rrro}ilrryrnnth oiioi 4,.1 pr'lr dll.rontlrrr aJ, pootrlo Z - Il, fl,a,t1] d.t .= g dr ij dccj d.{l <0,i t rtrr,42

relalivA o*o-94 -

Ia, -

9,91pt,iar .loarN f1..inhull .sr i.r{.i..4r

,]0. Cu cc croare relativ, se poate mil$rua txza /l I urili sl€re, dacir se ccrc caei si, fic drrrlrrioat c,t qxactitare JL lo. l

.tr,ro,ral,. voltrmDl ricr6i ..to I/ - {i,Er/3, astnt o:L rtT, : {ntt (tr?. lt.oorea roloiiv4 eero.4/l _.. d.& I dV I I I

"','t csto rte i,

rehtivd, ln mn$nra

8.1.2. Problenre propuse spro rczolvar.e

31. Po rird cle la deiinitie, st sc calculeze derivata l'(-vo) pentru I

a) f(x)-fix+i,'0 - 0Ib)y'(r):tn(r, t-5.v),,ro: t;

c) /(. ) : siD (2rr + 1), 0 : 2 r d) /(r) : tg r, r, =. I.32. Sir se calculczc derivatele laterale ale iunclici /ia) ln purrctui ro pentru

a) J&)

-e' t, xa'= 1 t b)

tk) "-| *

l,ro -- o :

lsinr, r<0.d) lr: l

larrS\.i>0,a *,:{:;:7:

O,ro:0i

a) f(t)

sc ccrcetcze derivabilitatea {unctiilor:

? 3y), o-1<r [,*-, 'r <'

-i) izt,,z. *rtt b\I(n -llrrsi;n'+ -i'. :

l'in""''n'' '"i' 11. x> 0: d) /(Y)-,

[91''"''"'-''-'r) ";',),0<r<t:f)/(r) : max Il l - vl,3l t l,:r e..[ ;

Ir*. x < t,3+3.r. r). '€R; r')/k) =l 0. r_r,

ll,r (.rr- 2r+2). r > L

(x

ln

5

4

Lln

_II

x)

*J

x)

f(

f(

c)

€)

s)

34. S; se determire coeficicntii d. , e R, aslfcl incii functia

14-{r"':0 t <e' si rie derivabiti penrru oricc r> 0.

lat I b \'-

35. Folosind regulilc de derivare, s.i se catculeze derivatele u(mitoarelor funcfii :

l/.3l 3l

--

)/(x)

-V "-tI L\

l(|- Vl+V:';c)/(r) -e

';d\ l(x)-z&': e) lln tlrnl-'; fI /(.r) - rrccosa rt )f tt

s),t{x)-.Icrs, ,i=,; h) /(t) -arccls-rA. a> o;

t) I@) - x'| | J@):";

k)./(r): rt": t) .l(x) -2n;

m) ,/(x, : rrctg (tg'r)i n) /(i) : (l + *,\li : u) /i'f '-i ",s; -

- i.,r.i' py 71.".1 - r - ,f,arctg '

+-':j"',

36. Si se studieze apiicabilitetea teoredei lui Rolle pentru ulmatoarcle fun(lll :

lcosf,. ,: € Io- i:l

"rrr"):1 . ).'."o.1o;l;L)/("):1,-ri,,

lsn

1,' ,{ c

[-.-j

37. S[ se discute, dup:r (,alodte parametrului'',

ddi.cinile reale

a) rz- * n: O, x> Otbl znf + s2 _ 4Dt-O, N

pe I0, 21,

ale ccuatiiior :

e tt.

18. S{:gjLetermine atsrsa i a unui punct, tn care tangenta la curba de ecualie/").-Vr+ l. - -1, rj'. p,.aLeLi c, coarJr c. uu-rlF ljurlcretn tF ,l,sci.i.-05ir-J.

19. UtiUzind I orFma lu: L"Brd1ge. s'. sa.lLmonsrr^re urmaro"ret., in gaiir.rili:

.Lr cir /, -rinJ < ,-r ib)t4.,aa -rsnab-:J.0<a.:D< a.

co.tr'

- - -

l40. SI se demonstreze urmitoarele inegalitlli I

l. rsr2.r -,r-10. ^l:r,r",-> t+,.(Fo;3 \ 2l

c) arcsin,v> r+t, r-(0, rt; dl icosr> sinr.t '[i *]'e) sin:u> r *4, *> o.

41. Si se deterrnine valoarea rfurldtiilor i

a) /(,) : I r, ((')

care intervine ln teoreme

luiCeuchy

ln cazul

€ll, el ;

b) cQ):4. x e lo, 3).

42, SZ. se.dcmonstrcze urhltoarele cgalitifi:

a) arcsir Vi-;s + aiccos r: 7r, , c (-1, 0) j

c) arcsi.r .r r3 rrcco, .r Flrcs:n 2.. r---,:

"=l-Jg'al.

'''_l*-,'i/

4J.q'" rrr. (r lrLcnr/lvr -l' f l l, y>0, cslF cresciro r.". rJ, f,rn.tiat r/

-"'.'. fr . L)''.r-o.csr'.ie.cr-s.;rodrerianb-t^ru rc.,.:,?j l- nr .-. i.rJ,i ,.t, nun cirr. inlrnir

44. Apliclnd lorrnuta cregteritor Iiriie sub forma ilx ,l h) - t(") - f'(x + Oh)k,pcntru funcfia /(r) : o + bx + c eo,, sI se calculeze 0 5i si sr arate ci esic inde-p ndent de \alorrea lui r.

45. Si se celculeze /"(i).1{i.f (r) -.J,(k(ulJ, e fiind o fLrnclic Ll:Iinitr-L pc It,care admite derivatn dc ordinul al doilea, iar /, este una dir funcliile:

rl ,(x) =.r rin.y I oj ,(r, c.'; .t tlq - .

b)

4l6i Si se arate ci r

a) f(x\: (a + IF=-D verifics ecualia (r'? - 1))" + xr' - k'r:o j

b) n.r) : - verjfic; ecualia u' + ) = 3)s :ic.s zt

c) f(t) : e-" cos* verificl ecuatia ttt) + , : o :

d) /( ): Cre-'+ C?e t', Cr ti Ca Iiinal constante arbitrale, verifici ecuaiiat"+itt'+zr:0.

.l ScDorledeterminad $i b asilel ca lun.lia/x) -- (ar - 6)e?' * vedficc 'u-stia'l'{t - 2y 3, + 2 ' - r : 9x e" ?

47. Si. se ileEonstreze ct Polinoarnele lui CeL i5e v P" 1;) : jl cos (tr xrc c os ,). *l l

o e N, vtirificir e$alia (l - x'A)P;(tc) - tP;(x) + n'zP,,(x) :0'48. Sl se calculeze derivatele de oldinul ,, pentru urmb.toarele functii:

aJ fQJ "= e"e" 1 b) /(r):l$(ar+b): c) flx) '-(ri'-6r+2)-1 j

d) /(x):cos'*; e) ,rf.):f r t1 Jt:u1:'=J"':: 8) lU):xse'zt;

h) /(x) : si x1cosa,r.

49. S21se sc e formula lui Mac Laudn de ordjnul t, Pentru funcrla/(r) - v/V + N,

N> -a, d> 0.

50. 55. se dervolte polinomul /(r) : ,s - zt'| + 3, -- 5 duPll Putelilc |)tregibinomului r - 2,

51. O coardd g ea, suspendata, su} actiuned Srcutdtii salc i,r fornla li.nlito-flllui r: achi1. Si se atatc ce, pentr.r .r. mic, lorrrr i.ces'ci coardc cs:e dat:.

aproximativ p n ccualiA paratrolei y'- a1{'

52. Sl se cvalueze eroarea comisl tn urm[toalele aproximftri:A. .t

a) sin:r =.y-lx-, lrj<-1t b)Jl--r l+:--- r€ 0, ll16''' - 2 8

53, Sl se determine n e N, astfel ca

FolinomulTaylor f,(r), ln ,0: 0, asociat

funcJieil(.r): e', * e R, sd o aproximeze ln intervalul i-1, 1l cu trei zecimale

exacte.

54. Se presupune c, in formula lui Mac Laurin pentru fu[cria /(r) - cost,,r e R, n:5. Se sc determine un interval de forrna l-1, y'], pe care fr(t) si

aproximeze functia cu o precizie de 0,00005.

55. S:r sp calculeze cu aprcximdlic ti sl se evalueze apoi erorlea comisi. pLnt,u

.) V:o; u) y;;""") ./" ; d) ln (1, 2) ; d Jzn: t) arcsin 0,4s.

56. S:r se arate c5 tn dezvoltarea lui Mac Laurin a furciiei/(t): e', I € R,restul R"(-v) este inlerjor lo; -{lli, pentru ,>0, Se se dealrrci apoi valoarea lui e

('+ l)lcu trei zecimdle exacte.

57. Se se arate cd restul R.(x) in Iormula lui Mac Lauri Dediru fuoctia. /fr) :-- In (l + t) este, in modul, infcrior lut

,' + lxi+ 'r- ' Pentru -1 < t < o'

Si se calculeze ln(O. 9) cu cinci zecimale exacte.58. Si se calculeze, cu aiutorul formulei lui Taylor, urmitoarele li nite :

a)Iim"'o'-"io" b) Iim ''si '- '(l l-t) r c) lim t8'-d"'r

''

r I rqy=1.59. Sr. se deternine punctele de extrem pentru urmltoarele funcfii :

t0,3 tt+L'

h(r+e-3), r> 3J

c) /(r) - cos r d'"", .' € R.

60, Si se lnscrie lDtr-o sferd de razi R un con, avltrd aria laterale eaxiE)d.61, Se se circumscrie unei sfete un con, avlnd volumul mi in6?, Intr-o emisferi de GzA. R sd se tnscrie utr paralelipiped de volue lqaxie,

avind baza un petrat.63, Si se construiascd un vas cilindric deschis deasupn, cu perelii gi lundul

de grosime dati , 9i de capacitate d.at{" V : nat, astlel incit s: ie tntreluinlezcminimum de materiaLl

64, Cu clt cregte arid unsi cerc cu raza Il : 9E,5 rL dacl raze sa cterte cll O, I m ?

65, Un rezervor cilindric .u rc.za d.e 2,7 n, contine lichid phi la [email protected] do8,2 m, Ce volum de lichid trebr e scos ientru ca nivelul lichidului s[ coioare cu15 cm ?

66. S[ se afle volumul urr'ei sfeter al c[rei per€te are grcsiooa ale * *,"utoddiametrul exterior de l0 crn.

67, Intr-un sector circular avcm R: 100 cm Si ungbiul la ceBku c-60..Cu clt variazi aia aceshti sector, alhcd I

a) raza R se mirette cu I cm ?

b) unthiul d se Dicioreazi cu 30 ?

8.2. Fhnciii de mai multe variebile reate

Dclvate la4iaro Dif@Farc. Fie /: I CR' r R o fd 4ie Ml iio itar vdiabile rals ,iie (, , r0) n prmt iatqior dn1fioii.l. Fnena jl,,,) ft L puactd (,. /.) dqiyati pqfirlatd rapoft cu @iab a r (res 6tiv ,) dacd, qisrE .

trn f(,. vo) -/Go..]o) , ( ti^ l(,. tt -J1"., tt Itu'u" t-t. t

, -f, z"lt



Fi acesta este linitA; limita insdgi * nnbelte d€ri?5ta larllal, ir mlort cu r (respdtiv 7l ahD.lrl

/(:, r) tn p'nctul ('0, /0) si se not€aza 4('0, r0; *.r4'""r [*t*n,,,i',

t"r *" r',""r]

lir.ctia /{r, J,) .ste diJcrcnliabilE i. lunctnl (,v o)e A, dac, vdriatia s A,/(to, J'o; /l, }):

-Jlrd I h, o+ h) - l'r, yl paale ri scrls, srb lorna A\4 n) h' h) = LAl,t ri + al'aroln, h)ln + V,l'r, rr) + ai,r, o: h, h)1h, ntue '|d?o o) d - l, 2, siit dori mnrr€ rqle, iar

da'r0.J0.,,, 1. turi.r5".'..,,"

r'. .,rr0,:10:/ r'-0a-l2rr. r)-r0,0)

Direrenljala lu c1ie, / are €* ,ai. dJ - 4d, + tdt., Dertvate parftlle Si dit.renliale de ordi. strerior' Dacd cxista doivrrcle Pa.fr.le ale luncliilor

't ii ,, .le se i"n*c d..iv.te l)arljale de oldnrul al doila ti sc note^zd asrlel:

, i ,tt o2t ? t Jt YJ,.,_t';,.:,1.,1 __'", r. ,',_ ;lf l F... .. :.tlt ., :,,1, tl',,=1"'-lrl---.' zJt r^.). .rl .t

critcilrl lui scl,sdrr, Dncll i n.1id / &ro derivrta PUlirh ml\te do or ljntrl al doihi 6 5, 4i

tri.'o vecn,rlnte a l)rncirlrj I,t$ rn) e A ti dddi /rr 16 slrt (onrtnnc ln (r". x ). trin, cL 4;(r ..vJ-- J"ltn t:

Dil€renlioli de or(hrtrl , d (r,n,:tici ./ erte

ay- 11 a,...-4. j'' i = -'Jl ,6.' - 6;-ll-

r- rr -...'Ii' o: I ; ,r'- '

...;4.11r--j:ldrdr)r-'.,"14.,.r, ,i'' i tc"-1 a)

runcltlcomrtseD. tv4tcld4ldlcqidlrderll4lc.lll./rC1r'ii/JC11r'l)(rrr,lr,,r" ir),. t

,.., t^(x x,, ..., r, sinl ', iricttt rcole dc I lirnLbilo, ddi ils Pe nrullirnc{ r, ditfl,trid)ilo1,,

pulctur&k1,,3, . , xg) dsttor incr (1,?, e3, .. , *) €,D,rl-,,('1,"3,

...,"3),

i "" r, 2, ,,iit docd l trclir I | + n, 9(r d, .,

")catc o 11,noLic rcaln (lo ,, v iaL)ile, dircrenli l)ilit ln

puach,r (,1, (ll, ...,,11,), lltuici l$rclia tunp, $I1 J\\,,y , x',) - ?(,r(rr, 's , 'J,u"A,, n, . . ., ,,), . . ., ,,1,t, fl,,,,,,r) *to dilckntri,n,ild h (,1' ,3, .,,1) €.'1 r.i deliuetcle

solo lartlalc ln lapon cu voriabilala rr, i * l, 2, . ., t, e4.alcnl{aza du/r Lsea

L-tj .fut-lL. r+. ).iL. . t- t,2, .t. tz)at, .vt txt .\ .r.i ir". :^t

'ForBulo lui'lny o , lr€$pnnen qr' lunclid /:,1CR'-R arc dcdvRre larliolc- coritule

plorla ordirul ,-t^l inohsiv, h domcnill /l C B' Ddcd (,1,,1, .. , rl) ti kl--7'1, 'l+, , . ,,,,., a*+ h") sirt dold luncte din,'{, oc pot fi rnitc Prlntrrtn scgrret de d(APtd, conlllet irchs

ln ,{, a$nci arc loc lornuh lui faylor

l\9 h1.^.--h,,.,"r'rr=': i,I,,i.f l,:

+ - ayt,9,,3,,,"1 1 --L,1'y1,1 + aht, rg r 0n,, ...,,i.t ohp), 0 € (0, r), (.r)

, l - ' ,J" lr:

udetmtedilerenfjalcleslntcalculdteleniruoetterileh\,h2,..,, n/ ale v.rirbiLelor nrdcpcndcnLe

Functii onosene, Frnctia I r /l C R'

-R se nnneilc o o6'eta do SGclll ,, da.d Pcrtnr o.ic€

t € R trrc loc .elatia

({)

Teorna-lui

Etrld. Dac{ tnncfia I admile dc;iy.te parfiate conrinre jn,.r, atunci o c.nditicD€c.sar5 9i sllioient6 pinttu ../si fie omoBhr de Aradrn, 6te e

tJ' + 4l:, +...+ 2, 1",: nJ. (i)

Deriyat. duld o direcfie. Fie f ,ctia /: ,4 C R3 _ R, tie lrro(,fr /G ,0) xn pund iterior nr u4nun ;ii I (cos &, cos B, c6.r) o dircqe d*e,_ Fje Mlz, r.4 nnl,"""t L,-...

"ia*ita.gal

"eer, ee pnu rr,

9i are recto.nl directo. t. Daci, *iste si este finiti limfta

lr ,*^t -. ,r-1t - :

llvlvttlI ,ldo'tt iatDnci aceasta se nu'nerte deri,ata rulcti4i / itupi, dn@Fs t.

Dac, €aisrt dedvarcte t;, 4 ,i 4 F a@sr€ sint c@iinue, at""ci

: 1n - I:tMl "o. d t J',t ,otc6p 1 t:tvl.a f.

Likr'. jo. j- DenrrL rr4rii a"."i -,rr. rarirbir. r.at., FG /dD.rraJ.il CR,_Rr .'.Y.9 .: , uo.rdrd,-r.FrD,i:a/rrc hinim toor ir on,rlt \0dd,r "*.i.r",,.,og,v{i,itate I, atuix0.sffer inctrJ(r) >/(jo) pdrn orice x:{a1,,.,..,,,t=,-.

p,"",,rl,esic pu .i d. ma^-'im tocat pentru ftnctia/dml f(:) < /{\) penrru orice x € },_ '

Da.e lunctia / are {leriyate pa,tiale coDri,rc pi.i ta ordinrl doi j..tusj?, j;lr o veciriilar aprn.,r, . drio -r -" - r,0. .,1. . . ,ir."r,.-,

. .1 dac6 dy(,J Arf nozlr i. rr .; L, :D5l : r' q p.rl-- 81'"^" cior), puxcrut ro csh ,:u punct d. mirrm Frr , r.r. a adj r, ..rcCativ deli,ti (c. rorma patErici), ro.stc un pu r dc rtuitu penrtu /: .) a."a ayt.") t. ii ".r-tozittle si ral.d ncgartre, rd nn 6te lhrct dc extrt,:.

Dacn se noreazs"":fl,",l..l,i.i:t,2,...,i1 si Dt:

'" "':

h = l, 2, . , l, atunci c.ndifia aa :o st fi€ pnnct dc rtuim 6te echja.tdt; .u comtifiile ,r > 0,D,>0, .., D,>a; condifia € \ sr lic panct de @ in: esrc echi,aleira", -,atgiir" a,.0,

D,> A, D <0, D.>,A, ...itr caan xnci irncltil-/(*, r,) dc daui ?aiaLrre, preupu* a av@ derj.Tarele partrarcde o t,.trl

doi continue in,-i CR', a) dacr 4(J ,i,) : _4(,& ro) _oFj,"_41," y,):'o, "",^-,; _,,,t,.,,rv,-.\t-o.,t;,'o.yorounirurt,o.)b),Lr,*.a,,*;"r.p-i,..;;,"."r':,,.". ,

1,tt.": r.y): o i, /0<0 ,'ra-sB>0, rr ,drr {,, ,,0) M7i@zL \n _"_*. ;.,,,;" /,c) J4 e t( 0 ror: i;(1,. \oi:o" '"/c -.:<q pn,ctul (_ro. ,.) ou

"","pun"t a"

"*t..,fic iun.lia /:l CR, r R ir6Dpnsi dilerdfiabi 5 in .r. Aso.idn tu,.fiei scatare

/vecrorul

Et^,lJ: U:, J;; .f:j ""\\it cadicDtur falctiei/ tn pnnctDt (,, ,, 4.s.,( conriderim acro ruefio recrcriar.L r(?,,,,): (ur(,, r.4,.\1,, ?,.), %(1,,,2)), n..r.

iuncliire scalare \(t,t,,), t:1,2,3, sinf prcsntrse ilifdotjabile pe",,t}i-"u e, S" n.,,."t".

dvcr;e'I,, /-.ro tri v -alarul

1ai""- hstr; 3'\ ar 2r i:z

nnm ffp rctorul leltorL tui v TEiont

r:;' 'l:i' i"i: *;, , lu; - ':.')*"t, : L.t ,, ;. ,.

i,

l



8.2.1. Probleme rezolaele

Pornind de la definitie, si se

. 4 t(1. o1 * t;(7, 1). a*x n'b)/;{r.;) st /;(1, o). d^caJb, r) :e'ha'

c\ lhlt. r). d^ci JP. t): J7llz '

d) -f:,(1, rl Fi J;;$. 1,\, da.cL Jk, lJ : , tn t, ,. + o.

Raotraa 6) h h6.a detrDitiel .vctu

rt' ot - tla. ol ,r",-'ua4[:,ol-rr,,

" ' -t1 t= rio'-----j-Ji,tr I - E 2

1411

v;rc_,'- rt "t["-.- dn, - ,na

-€u"'----l-*.n,-a ,--

Procedtud c. 6.i 3N, obtinen

' "tp'/fral-rDsj-=-.n'n"'l z bt '-t

-1

?.

"ioI.r - s" 3

r{i. i)- *". -i

calculeze :

lJ:Vsln.r+$n"t:

'tg e-r ;n3r - rc' -t 2

. t-l2

-2""q+('- 1)

t{t t-L

l(1, o) : lLb ----:= o.

"*f r,+ tt

a)^'en

/^1. tt ' tfS:"1t, 4 * w 4A:J - - . e".

'^''n:Y,ry-P- :'d sidnar r(L rr: f . r- *';,*,'11

(' - \rlnlV+ ^tT+h 1r+7.l

-,- ('-'-9)(*'**),'r{,-;)({;;;ft$

d) D.dee/j(r. r-llTj:5g5-rurr:rr,'r -31*-,. r.zl,,a .6

siirrd, ,,';(1, I) - r, de@@e

ttlnt-rlnrJ;tr.t):tn-' - : --'ta'tj4tt,1-t l)+0.

2. sr sc xrare, i Juocl ia Jk, yl -lt'dacl

^/ o sif *0'

nu .,,. .o,,,i,,,,10, daci r:0 sau J : 0,

ln origine, dar admite deivate parliale in origine.

.?eUlM'.. (oq\,alam ued c ruelb Du ere c@four t' diatu. d.dFr rs /(r, ,)- l*/\0, 0 .

Ato

.".^. o : r.".t/j-jl:j 0:jl = o ,i /(0, 0j - rim 1l9ll-:ll 19 - 0.

teaenflu ne €lmitc sA baglm co,ctnria cn Dtr o i@ fqnctio care adDire d*ivdrc la4ialc dc

ldu irr r.port c loat6 vatiab ele nn -rn punct estc @nrinu6 h acel prDct,

-..3. t oruind tl.: ).r defjnitie, si sc nrate c:r functia l(x, l)-.rc - ay+t: €srcdifer€nljabjli ln Imnctul 1L0(t, l).

.'ldrluar, Colcrllnd valialjo flrcliei, oDtirEnr

Al(1, l J 7', ,i) =/(1i. r, l+i)-/(1, I) = {, + lr + litt + h,yt + lh + h)hvid(,.r, l'n (3n - h?) : Iinr (, .t- l) : Oi Acosra arars c[ iuDclju / .src d1er/.l) ,Lo. o) (n,tr-(o.0)

rD punctll (1, l) ri ditcrdlielo s 6rc dllt, \:1et+3d?,

4 Si se arate c,-. furrclia /(.y. i) : lxrbz+ r\-t€' ('r'J)+(0 0)'

I o , (*, )):(0. o),

$i admite dcrivate pa4iate in origine. dar nu este diferentiabilt

estc con.

ln acest

r,,,arr,,.. Deolece o g

-g<

-rlz:

i:,, ezuxirim

;',: te Jr. rj,r)-(0,0,corr rui :n .ri8rn-. Apo,

/(,, /)=0 iideci

runcfial

4(0. o):- rnI4I-4q- I : o ri 4(0, o) : o.

Presrlurert pri, reducere ta ah$rd cI / d fi ilif@ntiabil4 t, oi8i,e. A ,ci ar t.elui ca

AJlj, 0.: t..h) : u:lo, o) + dtn, kJlh + Llip, o) + a,@, h)lh,

dd(r. ii : 0. cum 4(0. 0J *4(0, 0) : o, eaalitat€ de mai su> sf pGip .. f.e

;;'iu u; - ,to' r)1nL,rr"* ru,,4 *"+'"

lrlttlllnlla pr'elonrnft p rr lr iotd h li,nitn sn n?ero lu --]l- - o, eae usP@te'r/,. *r-ru. o) l' + ,{r

rtu,,1, ,,. 1n, --11-- * ---tL 7 u ,,.ir,u ,n , u.

rr,,0 ,Lt. i I | ,r,

l] Sl se c,rlcr-rlcze il,,riv.rtelc parfiale de ofltinul unu Pentru urmitoarcle functii\./ -

,t) llx, )) : e"- " I h)J(x.)):(r"I )\arctgL,2 a0;v

cJ (x, ),. z): err+,r sin ? A1 ll:r, 1'. zi:11\fy'z', x>0, >o.z>0.l?eot are. n) Ps.sttt\4 t {kat, obfined 4 - e' ,i; prst.ind

'iixat, obiiqem L - *zve' *-

or P'o. "dind rni'-r, or lin-n

r. u,acrgi rsr/o "2r.r.'ea-t)

c) I; - 2' nn1' e+r: J; - zt nn2'e.4a ; l:- 2sia' co

'e. +n

d) Puten scrie

/(,, ,,,) :

,ha

+ '1"+

'ttz,asttet cL

Ji _ L + t" ,, l, -t", + a ri J::tt1y +:.z

lb. Sr se calculezc variatia totali ti diferenliala totab in punctul (1, 2)-a func-r;"i/('. l, - -y,/. S).-.omprre dcFrrcx pertru: at h -1. k '2, Ll I - 0.t.

02: e) I -0.01., - 0.01.

Re.ateare. \atialia totarr, a funcli€i este Al(1, 2 i ,, AJ:4h +h + 2hz +2hh +hth,iat<lil.-rcnriara s este dJ(r,2: h, h) = l, + i. Apoii a) l/- 11 ti drr" - 6r b) A/- 0,662 ii d,r:0,61

c) A,/- 0,050'4Ol

$ 4/:0,05.Se ob*it5 ci Pcoilu varintii nici ale a.8ldent€lor se @16

variatia lunctiei ri dife.enflala e torrli

7. Si se calcdeze vaioarea aProximatil': psntru 1,023'0r'

Rd,,r,a'?. cdnsid€dn r\n ra J(t, t) : t"i aLesem . : 1, : 3 $ I : 0,02, l - 0,41. De'

oa,c.d va.i^tiilc argldeit€lor sint mici, puten aproxi@ variatia luncliei I prin dilerenliala e r

Al(i, I iO,O2;0,0l) d,/(1,3:A,o2tO,OI):tz th +,'l^r'h:3 1 0,02 a- 1i 1 0,01 - 0,0d.

t\jn u.ma.e, f(l + O,O2; 3 + 0,01) : 1,02 ,01:r 1+ 0,06: 1,06.

8. S: sc arate dn derivatele parliale de ordinul doi mixte a.] 'iot.,c|ici f(x v)-lr-lnlt :-1. r *0..-) l , ) ' .1u.inr

"onrir - i.ori8in rr tuturi/,, r0. r' -= /,1.(0,0i.I

I o .-'-0.tl "" l/ ,'

naolid"e. D-o..ee .n d\ d p orru d > t. ezn6 cr 0<rt'kU t . - <2rzY

t -

r de.,ro.e rim :r,/.,17: o, -..lti "eti6 J@, ) -l('d, o) t deci iudt6 €st6

.onti,Nd in tot planul, Fnnclia adnite deriTat€lc la.tiale

l.'n v*0. _ i" "{,-;J -t ,\, r:\j+tt ii 1;1,, t)

I o ,-0. I t) , :o

I J3l

, I"; 'o'., ;',,-l .'u"" 'I o ., =0. I , .y-o.

/;l', t) = l:rlr,

).

sc ol,*rut ce ac{.stc derivate pa4iate lrixte nu,iar contidu€ in ongile, do-

1rr 4 oenru ,, 10.x-,r ('1 i- rr)1 (t + h3)'

9. S:r sc c:ilculcze difercntialcle de odinul intii ,i al doilea peDtru functiile:,r )1',.1, - p. c.,: i t), t,\, ), .t.- tyz.

lizyDloaz, e) Deooreco iunclja ldlnit€ ddivate parrilalo de oric€ or.ti , contirD. in r.r ptanut,cd nite diler€niiaG d6 orice ordin, Dar4 = e'cos/ $iL _ _.d stn ,, a,lfel cd d/ _ Lj(cm y,r, _-sitr),dr).lApoi 4l =ot.os/, t)--a,dn,,i/j: =_ercosr, a,aer ca ay=[-.9-at +

lri'-;.d)l '"J:.It,,t_2J;nrt, L./,: r),, _ e.tco,,{d*f _2sjD, <rdr, _co6 (d),.1

b^a.h

.'i = j., J; = ,, r,4*,J,6srt€t ct dJ 1r,itx a,d, + j9rd.. Dcdccc /, =/;; _* t;:, = o ti Ji, * z, rii, - ,, Jii - y, ruzdii dy- 14a,+- at+-j_a,)t41=z,a"isa.- 2. dtdz -- z, t),&, at at l

.. 10, SiL se calculeze dorivatelo parlialc ti diferentiala de ordinul , pentru frnctia/,. .") : s"'.

Rcratrvdl'.

Pntitlisc'aa

1,, ll = an"anv, o,11o1 "aj"z.

-oro""orr utErI

-akbtr.*.t) _- a\b- J, t e s. lnrofl,r'.l td In.nurn 1r,, n,.,n a"' btLa'j-r

dtl : l'ng4r .t- c1r4 -tb.1.14t.14r .1,,,-r cnb^ldrrl ^ eM. wkd" + b dr)r,

flsi sc ,Lr:rte ci lunctir /(.y. J ) vcrificd ecuatia lui Laptace A/ - 0, unde6/:':i _ ;riind c;L: r,f1r, r.r - tn(.rarrrl: bt Jk. r): a,ctsZ.

u".r**.,a r,,*7;: r'- , /,,- 1l -l9eldh nroii.,e.je siqerrie t:.::21) - t"1.

., ),ts ,",1,, _ r",")c rlls r\ll ,1

-\/=0I , .

-',,' .., 1.1 , 2"t- ,' .-

.J " ,_ t - t",, - u;,l"fI'rltr urln. .ll - 0

l). si .. cnt ,,1,z.. .'lI . ytLrnct ,: t : JOr. 1)) ,i 1t : u(,).0 : zl(. ), pentru func_

l:il :

rt ftu, a) : ." : b) i(u, r): Jnf+;,: c) l(%, 1)\: arcE .

,?r.or a/a. Folosid regnla dc .teri,are a rlncl o. conpuse (2), .arc pertru €zul de iatt sosc.le snb forn,a

dl aJd aJ da

;- t7)



s) D.nt&.1; - ouLt ei /o- ,r in,, rozdt6 ci.q : ,,' 1,'+ q'l{ o'. s. red*opera 4stler

lmula .i6 ilorivde . qprorn€i (n(r)) (') d; b t tr4ii de o vaettrl{ 161I.

b) I'acstazt-"(,r+ rzJ-1t' ti J;-tl,' 1' u')'t',6sHel c6 dnpa (t) obti..mj4-("r"

aol-,/r{,s,+@).

c) .a - rrt + ur)-r(vr, - ru).

13. 56 se calculeze /. qi lj pentru funcfiile:

^)l(11, t)) -lI.(la'z+ v), n\de :eo+",:tu:12+ l

b) J@, r) - arctg a ,t oo6" r : r sin ; ii u - xcos].

Rd/0dra l\ scest c&, regula {2) de dsiva.e a Iulcliilor c@ us * Mio

at at tu ,l tv Al .l ?u bJ a.8)

or A bx .1 Aa .t At a At a,24 I

r) D€oiroce /; - f;;,t,-; " ";=ab'].,'.-2'.dupd (8r fzultt

?t : -]L F, e, .. Iz, *

-i- 1,' -p 4.

Lpai qi-Zta,+'-2ru tir;- l, osllcl cil, dulil (8),

, - -:r-.2", + _l-: -J-,ru'y. t1.

Ar vr '.,n

b) Aleo /; -

-,

L* - --:--, ;-.iny, ;- cos1,u'u- *cosv 1t oo' - z sin 1'

L- --:- "a, - -l- "u, ': ..1- r.n"u,r,," -,in ,

"o"tt - o, L- 4'a, jt+ot '

'iral^Al

14, S1 se arare c: Iuncliilc urmilorrc vcujficl ecualiile indicatu:

aJ /tx, \,): *ffl ,rerUi.i cc,r tit\xt;--)J;:0,b) lk; l, z) : yfuy, * 4 1e - pl verilici ecuaJia rzf -- 1rl; + (rz - r\J; '. 0.

xdoJ'aQ. b) Pehtrt calc[ltrr denvareror larliale /; 5i -r; ilttuduc€h I"ftti& k 1i- 1 ti

lolo.im legea de ddirare a tun4nlor conluse. Astfcl /(r, ,) * g(r(t, /)) 9i

.r; - 9 . .i" .*'I--l . 4,=

42 . :. - q.-dnJ,\J',4

F.itr u,naR. r/j I rt;---q --9'-a

b) Dace iltloituc€n tuncliile e{,, /, 4 =4 e\rlt y, z\ - rr + r' - 1r, .tub'it(", 4 -- pt"@, r, 4, o(r, ,, 4l sr 4@\ f;: s; , + e?,: te" + 2.te,, J; - e.";+ e,"; - ,e:, r" ?ve;

/, - p""i + p"'i* - z"pl,.

*J;-14+@,-r,)Ji**l e;+2 ?;) - r,\'e: + 2te:.) - Q4't * ,\e: * 0.

\s,n:" | - l@, rj, unde r : ,r) si r - a. Sa sc calculezp J;, J;',ti 1';.'t.,



R*atw/.. De@tee a;-r..i:-L"";=,,,r:-i.0,*

reBrra dc rci,rar. a r.:no_

fiilor codpusc s,b rotM (8), s'arI

r; -r;-i+1;,i: yr;+;f. r;: r;-; + t ;: "4_;r;.

t;: -. u:t'. . 5t , 1 ''\.to).: ruat, | _urtI

PontQ carculul {tcn?aEror u:)i ri (ji):, vffi totci dia trd le8@ de ddivarc a ruocfuror .on-p * srb fonna (8), Jnl@nind tn a,:4te rontrr5 fnnctia /, pe rrnd, pri 4 9i 4 :

U:,)i: U;t'" -i+ U:,)'.4. 6'": (.):,,/"+ Uk',,'",

Ui', "tt::' t Ji" 1152- r1;7t ltlIt

l.bcl1ild ace€f. e*pr6'ti l 4i, se ded"co

r; = r V:, + ] t)+ ) pn:,+ +)- *r;.+ u:,;- jt:-" ri,-+/,i+,il++l;.Procedld simld, obtiieB

/;- 6,;:pfi++

r;)i,"-,u:s;+ u;;+ t- jt.Pc

'trcslo,hl dcrivatelor {{); ri (4); r4tosim ronnuta (8h, tD cs€ rllocuiE p€ rind e / t.l {,r /, trsil.l cd

V,t'" - Ui)i,"i+ UA:.,'t-,t;- #ti"

. (,)i : U;,i'6 + t/)1", -' /; - it;i.tol4in.l acosrc rrrltrale, ob9nrcm

n;=,('n:,- *il)+ (n;-4t:)+tt-;r;:"/"t-+il+ r;- /,

, -,.,' L. ,,\' ,,, z,.,

t .,. x ,,1 t t . ,.\. *.. 2t -,'' \' n - ; t- ) V lxt":, .

; t;:l +.-=r",' t ', - ; t;;.

' lt, I I a4: zu,r:;i i:, Efi16. Si se alaie ct rnrctia, -l(', ,) : epc _ ai + gV + dJr, unde fudctiite

9 9i

{adurit derivate d€ ordinut

doi, satisface ecualia coatdei iiitaate 1;, _ a,1;1,,e*dodz. Inkoddeu tn{4nk d(,, i-z-ar g olr, r)-r+.r, *ua o 1a " il-e@@,,)) + qlt?, t)). De@ree,;- 1. "'"- 1, *:,- -a et,;-",'*aa a"6"'1ii "



fi- tJi):. - @:')i + tel'.: lei)lui + N);'i - e;'+ +L

r;:- tl"th- "t-te;)?i + Ni):,i: ",\Ei+ +i;t.

6net .5 li,: a'f;

17. Sd se scrielormulakiTaylor pentru {unclia /(x, 1'): e""tnpunctui(1, .' ll

o^r**.^"-f--4-*..+/,h-1,2....,,, astier ,a .a'f ,1t, -tl- r r'fir

a'Laf z .trrY:-rdbtr€, dy(1" -l)-(r+t}' ei d'+y(l+ 0r, - I+0,{)-(,+,Frle0o"). Tinl"d s€aur ,r.

Iordula {3), obfi @ IntlE 0 e (0, l)

' ,,, -Lt,,-0,' '111i, 1*1'+{r i r, - l+})+ l?--:(}

2t^l

* -J- '''- /f r

'oi*r'

r, + l).

18. folosind lormula lui Taylor de ordinul doi, si sc calculeze valoarea aP(r\i

marivi pentru

./lPJ-

Vqos.J?[ol'ol.. Se cot3jd.rd ttt(tir /(,, 1, : ]r rrl/ . c (are o dorvolldm duP lotu ult lli l " 'ln pn.ctul ll,1), p.trt u , - 0,03 tt * = - 0,02 |

/Io.r.fo,ii:rrr + r,, t--t1*1r. r-J-17L 1) +Jitt, t)h)+

, gy,p, qt' a z1;,rt, t)l'h + t;,t:, r {rl .. n' - r - -L{Lo,or

- 1.".u:) -

.r. il - 1.o,ooog - 3.0,n0,. - 3.n.oontl + R ,ztl . 6 9 )

a3dc cd /i"o3- Vo,9E i l,ooEl.

19, Considerind Itl, l 1l I si rI sulicicnt dc mici si sc aproximczc frrn li'l(x, ), z) : (t + x)tt2(t + J)-r/'l{ l + t-r 'z.

.n@orra',. FolciD to@lla lui Taylor de ordil unu h luncld (0, O t:). D.Gree.4(0,0,0) _" j

Jp, o, o,J - - L Qi t:lo. o, or : - j , rcz't.. flr' r' z) * | , l, - / -'112.

20. Folosid delinilia 9i teorema lui Euler; si se arate ci funclia /(r, 1, r) *

'lL:: (* + ))eu + (J + z)e' + (? + 3)e' cste omosen:i.

n.tatxaTr. iotai^ mai. tntli detinitia snb lorDn {a) Deorcce /(,', 'r.t;)-ttlz,tr')'|u'tt^

ca lulctu / ar. mo8.DI de €Bdul L

Apli.itrd t.()lt@ Eds, .red

11- lr + -1,. - ".l", [r- ir.i 'v]*"' ' I v I t r' I

4 lr - 1r'- ttl" -[r --1'J'r]'"/.'

r:l r - Lr, .,1*' ,''-Lp-4ler'.t t . Ids d .e 4i+ tJi+ 'Ja-l ei d€ci itnclia / est€ omosent d€ s€dul l.



ll.. ser,.,t.ci, JJ(;4r. v.?) Jdmir- derivare parliale $i est- omogena:., i,;l 1i_,,t,".t

dF'ivl,-t- pJr iare ,r. o.ainor on,i ;f;;- ri";iii- .rn"8;""n.ntwr.. h bua d€ljnitiei /(r,, tr, t,J:{^t, /, t, DeritDd aceast4 rdelht.re i raporr,\,.t, ntlj\d tt;(', tr, tz) - tfl1z, , 4 sar 4111, tl, ,4 : t I t;t,, ,, , r,*

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.$.' r."q"r" c.i. dacl r(.r, v ?, ddmrre derivsrs p,y1;"1. de ordirul dor erstr_dmo8cnJ de rradui n. atun.i

t a a a.\t)lr_+ j _,.L,Tl t_nh nt.

n .,le/i. D.@rc@Jdt dnogenr de emdul ,, dulr teoreda r d Eul€r,4r'€D,4 + r :+4:_hl,Drri il4 a,us'J'"'dti. tn rrpo,, r,.por L I t,:, o, : cm

'r;, t tL + .l', - (" - r)L, ,ti,, f. i;i r n:i: a _ t)r;, ,tii + ,t;:, + ,ni _ tu _ 1)t:.lnn,rlliid occsfc relatii prnr j,, ,i .€sp..tir: ,i tintad seana d. retalia a t$i@rr, obrirom

*1i: + tl;:, + "'1,; + 2, l:i, + 2",1, * r",t",, - tX,/. + fi; + .t) _ th _ t),J.

. 21. Si. sc caiculeze derivara furcfrei_ /lr, )): x" _ J" +.vJ, (.v. r) € u ,i tr,,,. ul 1/ (2 2,, d,rt-. Jir 1i" I..ir- f ,.-,u drreclid i,ori,;u.i ,'.,*"i O. ,,,,rrrrsli de 30'.

np:,r,a/,. cGilustrrite dn.ccroare dre directiei I strr cos" = "*.0._ j ui

"o" n _ *" or: f.c. ,:.. ;12.2) - 6 ei l,{2,2) - _2, dnp: loflnula (6) (.daptdr, penrtu tuDclnd€ doud vari:. iro),.d/r-/irf"i7-6, ,.;:-1_J,

ffl.i .. .,t"ui.". dlrivrta funcfiei 10, . 4 -:.r + J, +:,. tn pqnctul.rtri-i 1..1',n14;|...1,i.rr.\luId- v (r. r, l5r

/i.i,ludlr. cosinusrril€ di.mroare ar. ao""1'", [i ,,n, .o, n _ ],.o. B _ 1

", """ " _t. t1 ll

dede

d/ 68

dt 1l

-r.j5,'r .e calc,rl.z"- dcrivrra

intr'u,r purci ,11(x. t. z). dupi

funciiei

/(r, t,,)::,/ +i, t:,i+rj+zk.direcfia gradieniului snu.

n.'ottb.. p'ueu s.tie lt,,,, 4:1,, + , +r,-+,""r", ", E^d f : U:, /;, r) - - -: ,

l- r.' L,,d , 1.,-,,t', -t-- j..*v , , trin.,,-.. I_

-j/ ;J :{.1 ;;-,ii,:"' ' n'

.,,.F$.f1,. f"l:r':..,r{,,o.,t:tt,ti.;--,i+;j+,i. si se carcureze

srad s,rrvr. rr - . ,r /1, ,l

./r,zd,,/ri.A"em n.- #.i-:"rr,, s;:rJ,h, si : : .J,(,J.. aslrcr ql srad s_

di,1a14- L rlt t P" -r"1-"t,t l,'t, ,' "'rpt tl'(4 -1-v,,t ',lqrtAt'z"

l' ,ol-'ur) r=li ; *l-l;,-:'rr'-l-t -ir'):t(z:-r-:' '1, "

1,,,, ulfl sd sc gise.rsci puncretc '1. ,xl,"ri) lo,3l pcnrru Iuncliile:

Y.ff*, ri =* l13-3.u. {.' )r-Rr'r,r ftx. ))- 3'c}'z -'3 I5r -36J r e.

(r. ,) e Rllc) Jk, i: -8t"* 18J'z- 8r' -

'3 - 3'r 3r, (&J) e R1;

d)/(.v, t) : sin ' sin ] sin (, + J), o <:t <2t,0 <5'.<7r.R,.,rr,,,. i, Delemindn nEr

'trlit.r" Jli1,,u 'J sduln ale sGlchJ'i L-

-Jz'-3r=o,J;-;r1-rr:o.Obrinpmv,n ' j: rll,l' tt

^roil',i'-6"J;--trt -

- 6/, Discutlh penlE {ie.ore Ploct 1n Parle:

l1r(0, 0)-roto - s3 = - 9 < 0, ru cstd lunct (lo cxtleh i

M,ll, tl-totr- s3:27 > 0' ro:6 > c,' cstc lunct de .ruim I

) Purctcre st4ionare s.lislec sisi(mnl J;.=3t"-t"- 15:0, 4-6'r'-Jc-o Fd'uio@, ownr.h punctel. sidiiosr€ Mtlz, 3) $\ Mxl-2 -1) Dcdr.cc /:i - - at /:; - 6r rt

4l - 6,, rctult disulia:

nt1(2, 3) +'oti - 53 = - 468 < 0, n,L eslc lutct dc dir.m,

M (-2,

-3)+ roro

-r3: -'{0E < 0, nu csie lunct de qt6.

Pri urnsrc, functa n adt te €$@1c

c) l,unrtcrc st ti@rc siDt drt€ <le sohliilc sistcnlului 4 - 3, - 6t - ' 0, fi- a/' --24jt-36y-a:0.

P'i; 6zolva@ acestui sincm obJin(n utdrlotrrole Putct. I

u,(r + Ji, zl, u,(r * Jt, z + rfi), tt"1t + JV,z - uh),u.n - Ji,zl'vil - Jr, z 1 J t), u,( - J;' z - JiJ.

Dean* ,:-6' -6, J;=o 1i I;: - t4t - l1r - 36 - 12lf - 1t+ r' a""nI

u, + Jl, zl *'d"-;e - - nJi < o, Du este pnrct de e't@ |

u"l 1 Ji, z + tfi) =,s. - .3 : rrr."/i > o, 6 * a J i > o''ste pu*t d€ ninilr I

v"(t 1 Ji, z - Ji]r *,5^ - "f;*utJt > o, ," - 6.,/ip o. etc puct dc niaim r

u,(r - Jl. zl *,;, - '?-tzJi > o, ,": - aJi < o, estc.pusct de aarim I

n,(t - Ji, a a J3| *'.'" - "l - - utJi <0, "" este luct d6 crtrd t

u.l- J;. z -."131 *'"r, -"3* - utJz <0,

""

6sto lurct de dtm.

d) ln a@st w, Ptrdtele statiorle sttrac sateEDl

J'r - cos' de r i'A +, +'tu, sin/ c@(' + /) - sst e {2t + t) * 0

sero vindacr silred, obtileD puncreL".Vr (a,. ..f. n\

./,; - 6i.a zk + r) r\ li - z si\,..s t, + 2 ), ..:; It J' D.*'/" - 2 si.' oc(2' r' t)'

Mln, nJ +\t. - $ - 0, /, : o, u s podte splne dmic,

M'{:';)-'.'. - "3 - 1o o,

'. = - r/i< o,""t.

poo"t a" -or..

, ld @ut lu@ttrlli Mj, de@r€e diiercnfinlele de ordi ulu $i doi slqb nd€, rrebuie se .oD-6i{te.arn itr fotuula lui Taylor tcrae i de o.dj supe,lo.. Cat.dind drereq}iala a"",a-

,"a,"U-iDeh dyillr) - 6r,(, + i) + 0_ se obsend ci ac€sra ia 9i yalon pozifivo;i v"roa

""g",t""ip"i.,ur&arc, puq.tli M1 Dtr ere pnoct de €*trejn.

:.2-8._Si

se determine punctelc de extrem ale funcliilor:a) /('t, r, r) :

"t + y, + z, + z, + 4 - 62, (r. r', 4 e Rs l)t t ' 1, z):sin,+sinj,r+sinz-sm(x+'yiz), G,y,z) e (0, n) xx (0, ') x (0,

').

..ynl:rc.:l Foact6l. statiorare sjnr sorutu rre sistenului

4_ 2, + 2 q o,l;-2,

+a _0,

Du,.r +:Fon M\_1, _2, 3). D''@ tia]. de odin dotd,,(li.-1,4t L4r r r,) str po,t.i, a",.n,,a,, dF.i futr,-d nZ"r",,p"*, a-^"J.-'

L) Sistemd qre delemirE punctet6 stalionere est€

J', - c6' - c6t, + t +') - o, { :"or

_ cot" + + 4 = a, /: =.os I _c@1, +, +,)_ t).

:.*.:.llT:*,::-'-cos,,-.o\:_cGt,+r+r).Aceasraimplicr,_/_,rqirtervarurtarcLtn iduondn. jati, oot.dcn rosr_(q} su _2sin,en2,_

-0.d"uLJc,-a,a-inu"-,o.i,c,.p,.,",.1i.*,,v{i, I,Il. u,r."ori._r.0"..o,",2 - \t.z z).

-Ith' + n' + r + hh + 1,r + wt

:,z

l( + ) r +r

r' +

j{} + j i'

"1.

.ste neSativ detilitr Fi d@i plnctnt n, este un lunct de Earjm.ij. 29. Jleloda celot mal mlct pdtratc. Se numegte asifel o metode loarte resptnditn

de lr,lu, rar" a unor misurSri. \'om expunc accrsrii merodd pc urmitorul model.fft silp.unel cr prin anumite experienfe se determine pentru melirlli\e a., b, c ;i do ,,r,rltirn" d. ddrc 1\d1, b,, .1. d,t. i _ t, Z, ..., j,, j :,,, f;iod fixar. Se cer; srgisinr trei mirimi r. Jr, , astfel tnctt

. ,t$ + bd + cp: d, i:1,2,...,rr.ln general sistemul de ecufii (9) cste incompatibil Si de{i problema astf6lou are solrfie. Se modifici probtema in fetul urmitor. C.,,rotaliu S, : ,r,r 1+ c& * d. cerem str se detcrmine (x, , ,) asttel tnctt funcJia eroare

fi,. :' ., ,i r; - j p.x I h., + "., - d.,z

sl. fic rninimA. De aici gi denumi.ea metoalei. Vom artta ulferior ci ultims problemiadnrite solulie. Aceasti solufie va satisfaec sistemut tle

ecualii(9)

numai ap;;;i_\)orn.-Ptcs{pune cl darcie *perimentaie slnt astlel tncit rangul sistcmului ate

ecualii (9) este cgal cL trci.

(e)

pustb0*

(10)



Sistemll de euatjj e detimilt punctele sratioD... ale lrncFei /(t :v ')eslc

ji=2 2 a,tal + b0 t- ctz d): I)

Ji=22b1o,z i bfl |t" 't) 0

ti - 2 >.tlzF + bat +'F - dli : o'

Forosind notatiile lli Gau$ > .r'. : k, al, t a,bt: ta. 6-r etc. sisicnul se scrie

ta, a), a- ln, b)t + Ld,.1, - Ia, d) : o ta, bi; - b hD + tb .l: tD rl : o {rri'

ta, clr + Ib, tb + t., .i. - ,. d1:o.

De@re.. I;',-21a, d), J;:21b. bl, /;:2a,.1. l;y:2I" bl f,, -2th ,) .,',.,:

r "),t.zttts d'J : 2Ild. al]f + lb: b1t? + ta, 6)te + 2ia, blth 1. 2"b, t1h -t 2ld .lrl] - 2 :lr(d/i F,,^ -F

+ ril)'. Aceasrs nltirn; .xp.esie ardtn cn dy > o pdbtr {Jl, h, 4 + {0, 0, 0) ii d'l - 0 ntlia'dacl {n, }, l) : (0, 0, O). ?nE n.',e, d7 csic o rdna Pilrtlicn PozjtiE drfiniti cru drsr'LL rr

nantrl I.ftrei pattatice dT.oitrciile cn detcr jnantul sisloDrlti illJ ti dy este po'ZitiT rlrrnrnri

rczn1tl ci *stehul (l1l este nn sisl€m Cnner' Deci sistcDrul (lt) adtuite o sotriie urice (tr' r'i :r)

De@recc dT(ro, ro,,J este Poziiv deltuit5" rezulra ci (t0, r-0,'01

este un fnr't de nrnrnn r(rf'luo.l.. ', /,:, dJ " Jc {10).

8.2.2. Pmtieme ptoptse spre rcTolvarc

&, ro,n'n,t Ll, l: d.liniliP. r'i s. .alculcz':;l /^1 t) 1i l^). l). daci /(.r. J) I',(l : , I Jj) :

b).f^ 2, 2). J;t 2.2) \iJ;ez.z).dactflr",i-14:ct /-1". ol.,la.i /t1. 1J .xsin(r lJ)-

I

ir. {-.'" rr.,L. (i run.iir/(t. n- tt?;,

(, ,i r0 0 } 0 |

admite ctcrivatcle parlialelj ;i/j in origine, dar cste discontirut ln lccl Pillct

\Os;."..'t "t"..a"ri\alcle parliale de orJirul inlii >i rl

'iuJ:p'' rru

'rrr"rt",X. r"n, t;; ,

a) /k, r; : -r,sir'r; t)\ Jt', t): ',': c) I@, i - -i?-;:dj J(x, | : arcrs.:lL: e) /{a ,) =arcts(' }}:

l) /(f. )) : ln F + )2\: t\ l|t ).;) ./(x, ), z): e"'sinz.

z): s; : h) Jt::. j, , - arclsa;

33,Pornind dc

ladeJiniiie,

sise aratc cI funciia

Jlc J)-zif51rr-v

T J0'), Sr' "ste drferenliabili pe R'.

34. Sir se calculeze d,f(1, 1) ii d'l(I, l) penttu umetoarelc funcfii :

* rr'

35. S, J,{inesrc o aptj.aiie /:Rr+ R prin /(0,0)_0./r\ })_.,j_rl.(I. lr ; (0 or. S.t s. araic ci / esre direrenl;abiti pc R,. S, se

",, . , r-, ::-ii.ii".,:.i"'::;i"r"1 '"'. pa11rale-rre or<r;nur ,roi. til.;i;;l;.r;);;i,"lr"f i""i

@ t, * ,,,.,,.." d/(]. {. 5), drci /(r. .,. ,) -

6f s,, ." ."Loi",. aV, a."i,.t>

+Fa) 16, r. x) : 4z: bl f(r. y, z) -.tx,tTF+z.

-._38. lnlocuin,t variafia unei iuoctij prin diferen-tia.la acestria, si se caiculczecu Jlro\ mrt .:a) /l "0f F-I. 7 L) r.c02 .2.0032 .3,00{3 ; c) sin 29".is 16".

. 30. ( u "ir .rid-.] voturnuJ Si A.ra totrtA a unei .uiii dc .o rrv^. d" Jofir,t ,cilindriri. d..trmensi(Lni: r^" ), v,,eiza y.u i,,in. ia, * se,nr,..","

""

ri:lr'nirrim.a r - b .m. daci ", ,',....

-lo. \l . uf;nJrrzrbazeir$rtn iimc,lra,rn, .rl,ndru.s.-oDtinuL r 2 i,h -e r,n .- 0.2 n.. r-rr .nrrorrorL,sorulisicu..eror,, Fl.ri\ii". I.,aliul.l . lrn"r i,e"rni .ilin.ift /

41. O cutie paraletipipedidr tnctrid are rlinensitnlte €nterioarc,_ l0 cnr.

L .,t ', ..'^

.. L, cm rr c,osimea ,erelclui csr. dc 2 ,nn,. si sp J "I,.i,^ .;,,-.,ma'r. .n1.. ul .... .,r;Jdlur nsr.ar ccnstru;rii a.est,.i (urii_

(?. l'i" ron.tio 11". ). ,\ -= e-i,+-, (". r. z) - n,. s: sc calculezc dcri\.alcjcparti,l Ll or'l nut

'

.?: Jihrcrrirh de ord,nut ,r.

@).. ."r."r",^,,r.,i'3r.,:t;rrirt,.d.ordi,,irl ,,pe,rrrujJrclj.t .j)/y. ,: ( r'z + )\ e''. (:u. s) -It" ; b) lb:. | -.r "-,-. 1", "; =n, O J k. n : -j',= 1, )t +o; d) J@, )) : in (1+ ,,1, x+-r>0. r{r-r'r)

44 n r'i I - 1 .-a*', "r",.,to,,,t r"i rl-r."^.r 't'l rrri LapiJ... "isJ c-] .l.z"A/.,,j,r

- iE-","' (' j)-ia b\i lllr,r'l'-" :trksi',r' -

I(0. 0)

;c)

l(r. J) - e.f(_ir -_),) cosj _ zrl sin: ,1.4i. .,. s. r, rili.c ., Iutrclia /(,., y, ,, I

face ecualia lui Laprace ot =t;: +t'llFT--.( r 'J -(0 0 0) srrr5'

(9 s: .. ,"I.ut"," s. daci /{,) -,(?i(r). ,(1tr. ?.n|u:a) ,;@. i) : 4, t'u.

'ttrj - cosr,,(n -"i,i";,r ., .,. F' i ?,/r) - 11. -,(,)_ x,_ 2l' \tj . , ". , r) _ sin r. ::{1) . ,,,s,.

t),(y:a s.rakLrrlz,-: si:. daci a)/(, _r):arcts: ,iJ:x,:b) (x,)r_rJ . ,?(1).

a) /(r. r ) -. ln

-1 cosl), (r:.

])



@ Sa se"atcut",e

9 . dacrL I\c\ - eb'@) '(')' ?'(')1. Pentru

a) ekt, 1,, a) : tulu;l t'(x) - t1 + r' tl'):ln'' to{x): tg:t 1

r,y q1", u. ao1:-$1, *(x): Rcosx, o{z): Rsl;x' tolx) - k

r{9)Si s: c,Lcrt:r, I ii 6 Plitru

^t

vl -l?b'G' 1) rr{r' v)J lrt'

Yt: rt,, 1)i. lal'i r)-x+)'1)("'t):xz+12|b) J : eltt, xl,\a(:(, y) : xz - t2. x(*' )) : a"'

\psr se carcuteze d,r ei d'1, d^ce: a\ f(ci. t\: r(;' ,)t b) l(r' t):q(x+rtr- r): c) /r(, J,z)-elx+J+2, *+)2 lz\'

$'si '" *t"'" t: ' .-. .. r .., r ,. t , .

a) Jlx, t) -- ) ?(x'1 -]') veri{ici ec\talia-J;+-Ju:7J:

b) 1@' v\: 'r + *e(i) ""rit'"l ccullle xI:+ )tJ;: ftt + J

r l,\c) JQ, | : c 9l y4 J verificl ecuagi:r (r1 - ) )l; + xiJ - xtl I

d) .l@, i - EA'tl "r J;y+(iJ verilictr ecuatia"J:i

- ty;i : o I

e) llx, s-) - ryqltr -1 ) verifict ecuilia.t 1: + i"J;- Uz + tt)J'

52. Ce devirrc ec,rlia

h'J';

- t'fi:a' &c\ J@' l: e(w'Z)t

5J. Sl se calculeze ex$esia E-J;:,+ j; * lJ:', tltcd J@' v\-hlu'*u')tflnde (.t, ]) : xs ti v(*, t) : x2 - )'.

@ Sl..u ."l"ul"r" 9. daci l:9(r, 1,, ir), undc 't:9 \*), o-q1?'q)'

(81 Sr se calculeze J:i' J;si J;' dr'cn /: 9(s t) unde g({' l) : 'rr + }r fiu(t:t) :

'r.6o) Sr s" ,.ri" fornula lui -l'aylor,

Pentm:

Y;f '. yf - -x' + Lxr + s '- 6* - zv - 4' in Punctut (-2 1) t

t) Jl", l, 4 - rA -l t' + N2 + 2-xt -J' -a'-3f - z+ a, ln Punctul {1' 1' l)'

57, Sn se dczvolte/It + 0.1 1 e, z { liiupr guterile lntregi ale lui [' ] qi tr'

i,^cn J(1, f, z) : x2 + y2 + z2 - 2'at - L:t - ziz'

.fg) euro"in,-r lormula lui Ta 4or de ordinul doi. si sc calculeze valoarea aProxi-

'ri\(i pcntrr a) (O,gs)aor: b) 1,02'201'3,03''

@. -Si se scrie fornula lui'ravlor d' ordimrl trei pcntru funcJial(r' t) : e" sinl'

lui) considertnd ca t 1:l' l'ttl si I 3 | sini suficieri de mici astiet tucit Puterile

l" ffii" ."p"'i"t r.i t"' 'l poJl ri""gi;'t",

sI se rpr.oximeze fuDcf\a f Qt ' t ' z) :* (l ilD{l +, + zt-\t'.

_._,61-._lgl9.hddefitrilia tj reor€t3la tui Eulc., se se arate cI urmetoarele funcriisIEt omogFle:

a) ny. r. :) -.1"^r llr"**; i b,tz,)arcrl +k2.,1)arcqt.\x. t. ,) * (0. 0. 0\:

b) Jt", t. 4

-Jff#++, k, r'.z)

?(0. o. a):

c) J1x.11 - z"s[L) r-.1't{rl. " io.,,cz.\r, t:t.,"-91,j:, .^_,f1,:th compusr./(r..J) : Eet, zt, a), tllt'te *, r, zg sint tunctii de

:*,.n"j,i:""1,:/,fi:l".ledesradtrt,l.asip,resptictiv. sescaraieli;[fi:i;__

_63, D.,c; furtia 9(r.J,t cstc omog.n:"r,de grad ul n, n:.ilr, r) este o furcljcoar:11:. si.c arare.c; functin/(r. rt..

"( ,rr+G.i;;ii":iilriiii'i.Z +ri":- p{r?, +J+,+ r'{).

- 64. l)act ph, J) ri +(r, y) stnt furclii omotcne dc Srailele rz gi n respccL^,s. se arat( ci funcrja/(.r,j; :""1r, 1y e+r,, i,r v,j;rr8lial9i"""lJ j/i I. i,".i)i"j)j+t65. S[ se calculeze derivata fulcliei /(a 1) - 5"" _ g, _;'_ l in punch]

M(2, t), dupl directia rfi, undc ,V(5, 5).

.-,1U,t0.." calculeze derivata funcJiei /(r, J,, z) : 2ro - 3rr -16r} ln puDctul

M(1, 1, o), dr:pi directiile rxclor .tc coordonatc, opoi iupl ji*ai",fl,-1,,rr'(1, -2, J).

67, Sl se calcuteze derivata funclici /(*, y.

",1:4+.1+ 1 tn uunctul

M(x, s', z), dup'a. directia vecrorului de pozilic r"f ".i.,ri jirn.t."

68. Si sr.giscasrit condilia ca (lcrirat: , .

(2, y, z\ + (0. 0, o), dupi dirc'cria r(c",1]llll i,il J,: ll ; i;;"";;: ". "t

. 69. $ii^sc calculeze derivnta functici /(r,,, ?):arcsin;#. Ju puncrLrl

M(t, 1, t). dr:pE directia fri, stiind cn N p. 3, _21.70, SI sc calculeze derivata funcri

Mlt, 1, r), drptr dirccJia,1,,,,,r. '"t

lk'1. z):xzL,tt4

",

in rrunciLrr

7I. Sl se calcu.lczc unghiul gradieolilor ftrncliei /(.,r, :,) : tn I in puncteie

ru{j. -l) ;i rrr. rr.

?2, nx.:. t - xi + tj + rl{, sA se calcuteze:

a) stal (i r) I b) div r 9i aiv fa'| c) rot r, ror (ixr) si rot Il{/)j i. d) erad r(,, t, ,/,-,"."-.rr yi gradJ.

I)aci /, A Si v sint fun.lii dF varirLitcle,, r, ?, sj sc dcmonsrrcze iJ,.nri

a) div(srad/):4,/j b) Lgd:e^;f + t\s+ z sra<tJ.sra.d g;c) drv (rot v) : 0 J d) rot (grad/) : 0. A liind

'.i+) Sa ." ,l"t".-in. p,rn' tele de cxt(em local pentru fuDctiile:

Ylt", yl :-Lx2 + zx)t - 5) T 6r ov (r' )) e R::

b) lt,. y) : (' + l)ij + 1)(, + i') (', 1) = Rs ;

c)

^',, :

"+ t' - Lt'z + 4:tJt z)' (4. J) € R3;

l) l{'. Jl : 11 + 3xi' 15, - lz). (t. l) e R' ;

.j'LQ.t:*"+ra,)'+qN-er-J)' (r. J) e R':;

t\ Jk, tl : *'t2(a - x - J) 't>01>D a> 0|E llx. t\ -- tr2€ v t 0'

hr /(.r. ) -'1'lr -V -if a-0 b- 0 -; r;<':i) J?. t\: c-+3, (rr + rz), * > o, ) > o I

50 t0jt l(,.t):,r +i - -j \>0 -0:iL) JV, )) : \'rI $:2 +.i)' (.' r) € R \ {(0, o)} ;

t) l(r, t) : sin +sinr'l-sin (,t

l- J'),' " [t ;,], " [t' ;].75] St sc ,lctermine punctcle dc ':ttlc)rr pcnrru luncliilc:

Ylt", r."t :," a j' - "" -,s - I -- 2r' 'r' r. :) e lt3;

i,) r(r. .,. ?):.r + + - t; - i' :\ > 0 r'> 0 :> 0;

c) Jlr,J.z)-x +(,- l)i+ (r 'l- l)'g+' lN 'l- (j - z)3-l-(,+2)'+'s+k-3)s++ {: + 3)'. (-Y. Y :) e R'i

J) /(r, 1. ?) : +: * i-n, > o 1> o.;>o;

c) Jlx, :', z) -- 4:t''- bt + *z + ', (t, J', ') < R3'

"' pe'rtro uu bazin paraletipipedic' sl sc de-76. I"iird dali citPrcitatcr / : '-

i icrnu|lc Jimsnsiunrlc 5lte.r,stlel incit;it $e hrtrcbuiolcze minim de matetinl (supra-

lr 1 rninirni) Pcntru c'rnstru(lr'r srr'

' 77,5:t se insctie intr_Lur con circular rl|ept rrl1 paralelipiped drcptunglric de

lollrm maxim.

78. Sir se detcrmine un prnct M (-t, ir' ?) Pinlru care sunri Pitratclor disian-

l.lorsrlcla',PunctcIixc lt@ b.' t ) I ztL'cilcrnrrrrm'

,di)SisedctcrmineexLr:ntct;r"l ia)/(Y J 'l -f,Jl:s(7 r 2\--li

,}Yo, u)71'. y. :) 13 i .J:. ': lzrl F r: (t J ")e It3;rl l(r' 1 ?) -

(r I ::) ct't't' ". (\, ). ., j Rr.

B 3 Fulrc ii dLli']ilc imPlirit'Schimbiri iic varicbilit

F n.flr dcritrilc idplicit. Tcor'n' ' l:i l" ' lia t: t' : Rt ' R u'Je O src Jrop-rrng[iu

," -';:'; ; '" , o, in - o . v . t " ' r' 1srJr'r r'r' v') -0 r'duPrn6r cr.r'1rr rrr' v

"i"n"L"",J p".fi.r" contnru' l De'"n rr;{io ?o) *0; 14 l.o'ro co 'Iilii

cxistr u nrlr'a

r0 I xDr.{,,ti_oruocfi.otric{/:(io-r.:0 h-,,r.rproprieritiJe:a)/{%)_y^silst.

ic.""lu' ('o - r, ro {- r} F

: ' ' r^" Jr,))'t' e @r- h' \ + 7)'

: ltlreoeEa Z. Fic (uetir F: DCR'', R, und- D .r. pdrcleupipedut .l _".,,,.,? ;,,. L 2

1..

1.t. 1" --o

1 1 < tn F b 1. tie.,, g. "9....,,9,'y", = ol-;;;;;;; ;.1.J# ;k,.j,]...-,,&,.1,. '*,,. denvare pdlLr- conrdu. r.r D ,i .a F;,,1. ,2...., *oot rol 10. ta **r::lT':"*": un pamreripiped a::l _r<:,<11 Lh i_-t,.2,-.., p, -ii'o i,*sio unicl

"' j.(1, 1,.r: '"t^\

* ....,i):0, \tttL, i,...,,,) =r; q r.*1i" j"a.it"

^a.a"otonrrterc dc o.dinul tolii cmrirue in r 9i

I',1\, tt,,,,, t,: t) 'i - \,2,-...I, 12)

ttti, ...0,f.,tr,);....u) i.

Icgrcna 3) beupurcn ca e&,dal sisr€hui do rbocfii Fr=

F (rr.,.,...,

tr,,y,,

t,,..., t-5,i^- 1,2,..., z.^ deri'irc tD pararelipipedur DcR,-o, *l_4<';<11.a",'t:i,'2,..,"-o,j-t.2,..., n, lstier c6 F,(rl, .9.. . ., ,gi ri, r",,. . ., rg^) -'0,h=t,2,..., . preupunqn de.*ln. ea c{ functiiro -Fr,-i, jr,:,...1 .ii"i** a"i*t"r.

da o.dinul lnrri conrilu. tn D tl cr, derorhinatrtrl fu clioual fiacobian t)

. , . rr.ti 1i.,,j.. . .irrr,l I

Dlt{ r '1"t ," , ', ; ,- ,. 1 '

DMct"r kl," o,..., 1t li, ,...,.y*1. tn accsto conditil .xisn ^ paraleripil'eir r:,f -r<-n.< "'i ? /', i - t,2,,..,, ,, ri un lbrcn de D fudcrii ,r" : -6 n, - ir, r - t. 2,..., ,,, uric,

slnt corrinue ln pa€t.lipip.dul E; b) runc$:te i.pri"ii" .i.t,rl.".*riii "' '

'

F\l'1,",..-&,:L6',,,..,',:),,..,1;,1+,',,...,:r)) =0.i= t,z....,,t,taat (3)

. .) futrlfiib nnplicite adlnt d.dvaro pa+ialo do ordinul hiti conta (e itr ;,i &cst€ so . _

prh dciear€ fr rpo*. 4,t = t,2,..., p, o idcutirllilo, (J). So obrinc srrcl ud sist.nn ccualLi rini.rc t orcuDosdtoro (J),,, j: i.2,...,.,"r

*-i a"*..in.nt"v" 7.

ri co li e tmprcu4 cir deliyetcte 1o. tn Ndtijn€ dr$hi.d , C Bi'. Da.{ rn D ei.'submulfimc a. a arc loc o lelalic de lona

tt:vltt, d,-., rt- , r,+\..... t-l (4)

i l. tor, spuom cI funcliilc r,, stlr trn:tioul d.pendcoLc in DrrlinE tn qc rc1"1i" 11,) "* i*,({) p@te ri eai s cElr, d6 rdh& Alrr, r,,..., r.):0. h caur cioa ir ricio stinulliue

lui D tru a?.m o *6er de &ratic, c.lc n rLincfn sc nun€sc funclioMl indcpctrit€,te.Petrt. stuilid ilcqctri.ltei futr4io@lc a sistenutui de tuuctii consiileer $ iotroituc matrtca

tl'".



iDa . r4qul naricei.lui Jacobi c$. /> I ni P',dct"i nto("l, 19,' . rf, a1lnci.tisri o'ech'-

tatc F a ln4ctuhi n10 astfcl iniir t furctii dtu c.l. ,n sinr nrdcp.rd€ntc Innclidliil ln V, ceie-

lalte iiidd d.ptn.le'rte de accslca.

\ DireDc cr tcaituri. Ds.a se cc.c st so dcl€rmirc execmle rudct'i.i:)'-l{rr' r , ' '})13

-1-tr,, r ,.rr) -/(r1, rj. ., ',1 r i,,r,l.' ' ...,i,) r". i ire"(,r, 11 , iJ,

ulde )r.}'j,..., ia sifr , l1,tli.atoLr lL,i In3ru s. J. u,,":-.0^o"i

sisterr'r'l dcI+t ecmli

o .oDJrrL $LtrrorLd .le .rlr.r esr. aL ?r_ljr, r ,..., ,,) si tdstr.iz. $nxr .rnstant. Dacii dti.

esre .oa',/ .1",',,. , r"'ni.. :Jr ,l :. Itl '' irg '

/ i'r'' rd

lur'lLIrr urtr, "r' ' 1"

8 3.1. Probl€me rczolvate

1. Sn se caiculczc /i(l) 9il"(l) pcntru {u;ctia inPli.itn i: /(r) dcfiliti prnr

€cuafia (-l.e -[ ],'?)3 :1r' + ]1 - t : 0, satisflclnd condilia /(1) : l.

n,zdhar,. C.ndiiilc Lc.renei t sint i cplinirc, Allicl1)d aceastl t.otefti', drFi' roitrula (l)

- as{el ceJ'(l) : - l. l'ertru dcretu,idxrd l"i/'(l) d;.i:;:. rclatia dc niai nranrte ci o d;1e in

f"-,.u".'

pe ,' oltnmt .Dldio;, sisim

asrlcl rr / rlr- 2.sirer ci / (rJ * -?.

2. i(ron.i.lcrl l,rn liJv / Yl,Jsllrrit;i irnpli.itprin rFlalia \a I .tr +'2u (r - o

4 > l Si se araic cnl"(r) - 0 9i s:,r se iustifice rczultatul;

n*a-*'. pp.ui.. cur luil)(r) * pdte aPlica r.*'r. trl Ai.i 'u"'upl;"o t'or' itla -'

toit6. D€oarece r:/(')'&elnie se ?erilice rulatio'2 + t +2ar :0, rcarllt ci

'e+l(r) +

+ z"fti : n. ;cd'itrd ncedst, ultine ideniitate, ohiildf, 2, + 2/(4f{') + 2ar(} + 24'J b) - 0,

r r d/ui

., _ I\,1

I.rol,d'.. Folotnd Flalule l5), oblirc-nr

,+t-sii'"- r, +,F;T;" ,'": {"-fi--s* -

,ttot "rI

,siu:*:-1,,:.- 'l:nn.-v(r'l-:-sinJl . ti / l:)sin:- 1,r : ..0'' "'

tyt-:l c:+s'

:-r{t+t)losr

_.'in?-r-

{t+t)losr L"in?-J

ln blzA rclstisi dc ,lrinnfie i r{ncFci ' -/(r' Jr. '6. SiL s. calculeze dz 5i rl': ln Punctul ilo {2, 0, l) pcatrtr irrrrrlir : ' /1r' ;1'

definiiir implicit prirr 2r'z* 2.)'* --'- 8r, - : -F 8 :0RNatNa/,. 'li,tnd *a.na <t a. :.ir' + .;at n 't'. :,hld')' + 25U, ttl '

'i.(drf're'ilr

cd lcst. dllicic'rt s& calcllrD d.rivai.lc Pa4i.i. dc oinrul_rrtr ti doi;1. Intliei lt l)a'a_Rln'

\, 8z-ll , -1y' ' 2r '-8r- I ' 2i-8r-l

D.4vln.l 4c.st. r.ratii-,'' raporr .u , ti t ti tin;,il *t'E c6: :fl, t), ddLr'm

,, J F1-(56j l8):; ll2(- +2xt-sri_ i)-a' t.2. u - 1;' {2: - 8r - li1

(-& +32, + 4)(2. - 8r - 1) - l: '

rJ"*.dc ,;(,it) = ,;(]t'J : o. rcaiti d:(v.) - o-^r "i, ";lltt"l

: + "i,W,) - o'

- -:. a\rlclra

Jntnf"l - --- firtr)t + tdrlrt.15 15 - ,Problen. per. Ii rdul/it5 sE thpl; aelcl. Consid'riud r r' /rr,

'J,P'in diFrrni'r+'

relati.i d. delrn4.. obtinrm

,tdt + lld + 2.taz - ttd, t 8td, - d':0, (6)

. d|2-1'id'-/a,a,2a-&r-l

tD putrctul ,l/d a?.h d'(,ttJ - o. Difcrcntlind rolalia {6) lnci o darr, obicfl'n c{ dr 9i dl

E'dt corslanrc ti d. .stc o In clic, oblin.m

ardr,t + tldvlr + 2(drlr +2id& - Edrdr - E dt, - Ed:d; - dt, - {].I ', t'Din accoetA rcl&tic d.duc.n

dr, - ----]- (t6 d'd' - .(dr)' - {(drjr - 2(d J'1,2r-&-l'

' )' +.(drrl.srl.l cl n, pu ctul M. ardn dt(vJ -=l(dt

.;\ 4,) -

7. Funciiile {r: 9{t, t),lt:9(t t) slnt definite iraPlicit prir relaliile a -; a -

- x + )', ru + 1) - l. Si se calculeze ;' 'tt;'o; qi'

4haiun. ocri"^a ccrc doo rcrali i" .ip; @ "' obtincn sistcnnr ":::"=,t' :\:r)vl- -x,cu iccunctutc)c /; ti u; R.tolYlnd sel sisf6 oblin'm\-,-"";



Dcrivind i,uD ilp ,li,ua ..l,rlii de d.fif,iti. in 6ao,t cn v, aL, inF,n .is,r.,l+ fl-. - t- crre J, trn,i,ln

ni+4: t, 1;..,

- Pdrlr lctdri;nro ac.slor dtrivrrc parF,t. Flqtr tutasi si rrnlat.a,la n,rdti. prnr nrrrrcnlnrtJ iplnlirl.r llc nejiniir nllirFnr siir.tr,ul dn t .r _.tr I cl,, nli _. )dr = _ ,d, - {lr,

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8. Funcliile r:-/(.r) ri :: g(,r) sint dcfinitc impiicit ornr rctati e ;riz: a,.r +) | ; - l'. i.l q, . alculeze d). dz, dl' :i di-. -

\ n.:,,"ar., Prnr dirercnlierca ..iatiilor de dctnrific, ..hnkt a .r .\te,7rri.Lt{ ,,r ,n.,",,"na".,", ,o, r 'ri, slnt iunclii de r, dbliren r:dr + rdr + rlL: o; nr td: ,-d.:0. It.rollind accst..jcpa|i

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.9, l;ie fun.r;.r..ompu.i.? ./( ,j,) d,,tinirri do: ,1 i ..r, Iunrliit /,h. rrii.?{1, )) fiind derin,r- jmpl;' il prin rclaliile

'r | '1 I ,.i 1. ui. y S.. .,..al.ulrze :,rt, ?r.

ltaal4rc. F.tosi.l rcartile dc d.rirare a ftacliitor c.,,Fe, ar.nr

r, ,"", : ",,i. ,i -. -,",L | ,,,i.

Da, .l: '.t si .l: rul r-nrrualc,nutderi,arero,.prr ',r.,,..*;.5,-..;,l.I.rn,i"m."r-r,itrd€ deinrifie. oftjncnr sistenlt n1' ,f zr.7t

- dz, 2tutr; z,,t :,r\.i*" i^i,"t conitDce ta shlio,lu --,l.-t,l. ,r1 sra,. - " &I | ,iu, -r.t.r ,,",ut -)t t(t _2al 2rtf 2ut '.t,t,l

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10. Sir s. calculcze d?, daci ? - rrq. .r cx rSi j c, ..

t4.2D1@,c, Arem d;: did) - d{ + /d,_ Direrenliid ftta1,itc . c denne$ iu Fite ,lr, J,}

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* 11. tic fLlnctix r = l(r, -rl d.fnriti impticit trin , c': .t e' t- 1 e' Sn sr tal-I

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funclii lntt indcPendcnle tuncfnn,.l, / si g . heia, n, IiiJxl dc|crdrrLril rLrnclior:l dc ac'\tcr' Se

"e.iJicr.

upr cE hll, t, :) :l:1,,1,"J - f i', v, ,

. 13. Iric fLrncliilc flt, .\. a - (r -F.1, +:)x, S(', 1, :) : 2:1 4 1' t'2, si

h(:c, \, z) :3i -l- 2 -1, - lzrr. 1s), definite pc R3. S:'1 sc arate ci: d) funq-

tiile 7, g, i,.nu sirt ind.pcndfntc in orilinc; b) existi o leci itatc a pun'tului

rt{o(-1, 0, l) pe carc l.d.Pinilo dc I i ,.2.ir, '' Il- ' l'.J'

ir' r:I . r .? I.\" rl

': l{ -r_ _ rlr/

n' ln olsiic L.rneul drtiL ' Dc6(cc freliilc, A ni 'i' adBit d'rivitc

l.-tiio out,n,. turull.1 (l trislil i, /Nil,atdlc a odSnrii, ln crrc llncliile / ti'

slfli dcteddcttc

iro g; uccr turcfiitc, B, , sinL dcrt$,I;nl. tu olisinc.I

17. S: cc Jrr^-Inix^ rr. n l frn li.i /(1. \. .) cu IceSruril^ illdicalF:ei /(.\ \,., \J \" -. v,,;'l il i. {rird lcgri" prirr,ondil,a i" r' | :s -

- 3, r > 0, I > 0, : > 0 ; b) flr, j, r) = r r:, variabilele tiind lcgate prin cc,ndi-

tiih -r'-: -t-0r,, y: .' 8 0.

n{ohdr..) riundtia ltri ldtsrnnac csl. /-(ri:r,,:) :n0 +i3 + ": i ik' I 13+: - 31 5i dicirl?, * (Jr? + 2L,ii1{ l (]r: l-2rll(ia,- (3j 2),)d::0, ac--ts+:j-a*0 lrrdici. il3la1- ?1t= 0, r(3:y+2r) '..0,.(3i +:rl -0 ii,c-f/ l-i1- 3-0/,> 0, l> 0i ,>0 lterdr

vrnl nqos, r.r..,,, A[..r,, ],. _- ., .\/ t, t, I t),.r.\.Lc,,:L:(r'i..21..t,f -.(6) -.

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l)in lltl {Le duua ecurlii ar\in ,1, - -,rt, d;* 0, rstld c4 d r(M{) :2(lt) > 0 Priq Mro,_ r, trcLul Mt cate utr ptrnc Ur urnn pe fur tutroli.r/ Similn., lunctale itlr ti Md slnt DuncLe dc nii irh.

18. Ce dcvin ccJaliilc urmilodr(. daci -c Ir" *hinrb.irrL, (lc variabill inJicate ?

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168



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Apli.lnd djn.ou Feutr.l, J",i?,,re^tunjlrrjorco,ntny, r/.,r

F,.: a;;", \.'".;:, -".,, 1d,;t.;ti- a:;;.t,.,:.t,,t) a,,, ,.",1,;,.i-,,,.- {'.}': :"" t- 4''

Prit rmdrF,'/

--,Lqrc ntduit nr @nalie co,rdlr ta u.nnt*.- r,,i.: o .*,ta., ; : O,

r 19. 5:i se rransfor:le ccurtja x2:t - -. I-; - :., luinu ca noi \ariab;l" indrt"n_d^nte ri..n. ,J _ _: .;, cn noui, tunclic zrr _ _r l. Itt

naolnare. Db .clatja .lc d€fiite a noii rrncrii a,en.,' 1 ' 1 .. t ,

"; '- ; '' ", .i,;. ffrr"r oi.;- -"1.: ." I r ,;= -:.,;. tlrs,i.J n

l:lll';-.j:'ij 1, t"n1,"%,-f ;-o, r" *. :)'..a-1.',

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,,#u.,0.,. i,,.*r(8 rJ de dflvre a-rln,tiitor , om@se a"em;- | l

ur:,;,; .4t:,,.i r _.;,;= a:,;.t r:, ; . _ tn:.

+ 20- Si i lr.,.lnorrn c rdr: 'r \'- 0' con'iJ"ri'rJ ] ca viLisbilt

i.. 1. 1"111"n1i ;r I '.' r Ln'l' o ''

/l.zdrdr. A^1n

't af rlr r/ ' l--I - ./ r, l.lr. ,l .'l

21. I'c|tnr\ Lunclil 1 ''1l(tla) l'(1) fi /1'(1), drcn /(l) -'

l)r /'(0) iii /"(0i, rlacir /(o) ''c) l'(l) ri l"(l), d.Ici' /(l) -22. Si s| crlcllczo l" li 1"

s.3.2. lroblemc propuse spre rczolvare

sl'L sl cnlculczc I

,.i r, -2r r \r , i*).-Z-0:r,, -. ..t'-2 ,+r-1.- l-0i

I $i rx -F..r$ - x -l- . -:2 '- 0,

]iDtrLr {urrcliil: ,\':/(t) dcfinita implicit prin

rru:Ltun11 IL ccu.rlii: .- .--t,--zd.t.v+ I:nr <tr tr''../F= :.L). : r'-ln.\ i lr) .\ : r-l-.'

...,.,i.4 r. =0: I l-r'r.r -lD(t:'r T {-rvr -0'^l

'2J. si, -. (l.L(rrnirl( (\'r-rn(L fiurc iri iruPlicitc l : l(il dciinitc Priu:

-),', -f ;.'r,

-l.t -- :,- 0 i l, -13 + r - jr - 3t - i + 4 "= 0 i

2.t. S:. sr l"tll.r( : ;i :, P rrt u:

.- I ., - f .:, - o,i,... : : /r t .\' cslcd'lirritiprLn(r+J') c' - 1.f -?, =9

I

i:i I ; i -; ;i;-it ,il r -- /ir,'r') sati'rnt" ecuafia ?s - ,"cu -)c'- 1(':o'

a'--'i('' y\' dcfinita implicit Prini'23. Sir s0 calculczr :l si :i Pcnirlr.flLncti ,, -"'

1", ; ',-'", ]i''. .:-0. d) x rz)'t rzx - rJ'- zv+J-0

26.Sr-Lsecalc.olezcderiyaielepar.fial6deordinulintiigidoialefunclieiimpli.,, /1", .n )dcfinito Drinirc - :/(r. JJ

)derinite Pr"r I

^ttl r4+4 , r-o;b) r'? l-r +, - I:o

17.-Si se calculczc cl: 9i d'z pcntru {uncfia implicit4 ':/(t' Jr)' dtliniti prin :

.r, Li I,lp* i -d3i1)) L - Ir -:o: c) lnt= {+}+ - 1'

2J.

,:):i ."

,t,r...n:n . {u,m"l run'lii.:- /(r. v) definili implrcit pLin:

2.( 4 Lr ll- 0: bJ r'-f'-lr raj F?r+/ -8 -0;rji-J:.r:: 2t LZ.r+Zz-z-o'



29. Si' sc arat. ri'a) da.:'r r,(_ T:) (t + )lA :.o. atunri ;t,r _ :t:., ,b + )z;: 0 :b) dacs r?+J;'-2,- 2V(:) : 0. at,,xr (,, , ,,;r,-t],;+-io(" ,t.;_0,.),h.i ,,, )2|.,- ?tar.. b\ | ,. .,,,,..,.i ,rr i,t,i,.t.- |..,.. bx , ay:d) ,lr,i F(u -,',,. 1' - trt 0, arun i .r., ., t.

.30. lt.nl r fun.tiil. impti.ir. , /,,) i : ,r ,l,tinir.d,.sisremul ,,, ._-22.- t.\2 |2y, jl,'.0.s-sc,Jl,ut :. .,,;.i';."-i;;"' j.._,-z : t. .'..-': " .i' -'

.

31. Si se calculeze d;ferentia.lete de o,iljnul i,,tji.i rt doiled penrru fun, t, re.J . /{\ I ;i z - f(r), (lctinir. d. sisrcm.-1 l

a) r,-;nra??-I, o. rrr r -: 0t . f,+ j t,,j. j

-tz O.

3?. F,u,nctiile

'r(', -r) ti.rfj, r)sint ,t, f,,rLtt ,r,rrlj

iip.i.r

sistcn)ut, i,:.r,:

i,ilL,rl':'fr":*1"f1:3 i'"'';': par-;"''r' "'rt ;";ii :; ^ia"ii"i'r'''"',. ,3.1 luncllih.r,(r .?) ri :/,. \) .inr ,t. ,in;r )r

npti i,. s: s,. .rh,rt.zF .rir,,.r,lial€lc JF ordinut intii si at doiL.a ddc.1 :

al x + r . r.',

.) " - 0 .

L j r d. \r r.r.3 i,jjI,cl- t + ] + x' +

" - t : 0, r,+ .2+u L* t:0,- I

.34. Si se calcuteze: a) :;ii:;daci-:-.- cr,);_.ucosr,1 : sin-r; tt)

";sj :,/

d,, j :"/?.

J5. (i s- .ah"t.zF :: si ,. , onsi t in I . . JU.r ,i. d,. r si ,,, sri;r,,t .i,:acos0,osr. r /,srn0ic. - i, :._ ,tn.. , ,.. (;ird;";i;;r;.36.

-cr'sl .ahutcze ,tifcrentiai.,t, ,t,: r.

?). deriniui impricit n,r n1, -'lj'","|'; I :j."t u";r"' ptntru hint i :I

J7. ji se aratc ci fuqciiilp y, - , F i I

-,$,.r.r) : ?(1 -1.r t- .{: ., .inr" p'1,j"n1. r,l",.fi.l,,,r i,. X;. ,'"*

. r FlatiJ ,1, dep.ndcnr., l

38. S.-, .r, a'ale .i tun, I,it, i. .$ ? , .r F ,/, y. _ {,r1 + r)t tz r",, rr.. rr; a{J".- :,) ,t1r d"f,end nr. run, liolal'piRy. C"r"

".iJrAr,,. A..f' IJ.nli lurcrionih i I

39. gr se cercetcz: dcpendenla functioual,i a funcliilor:

") ), - .j1=. . ', f= . .t tint," p R: 'r0. 0)J;\r j r"

, .1,1.'' ,_:.1, 1.. t, ( .): . 2, y.)r 13 _t y3 , .1 -j. ."pF R3.

") r,: I- q- tX' -:]

a2z' t" )' -; z'

.]":#_.,,:u*,.. ;._ + j +2.: /

1,.--

40. Si sc dclcrlllinc e\trcmelclmctiei fG' i: + :-'^{inbil"l" fiina

.lLrrIrrt prirr -, + +.

,11. Sar sc d.'tcrminc ertrcmcle functiei l(' 1) cu ltegituile indicate:

' I 0: b) /{r' I) Ir -lr'? L.}1' re

)e-I ;

al.,{.,1 .' t',; | ;() /{rl \r .r. i l--t l: d) /(u .t') ) i 2t. t'? | ): 5'

.t42. sj "c J rnirr" slrrm,le lc8alP pentru funciiilc:

a:) llx, 1,3)-\i 2y+22 pcntrd f,l + t? + z'z : 9 ; i

r: rrr,..:) .j : L: I : pqntru i I ; | ;. | : 4 \ b ' r : o ;

.. /rr I r l lr - Zi ncnlru r +12 1 :r - 16;

dl.l('. r.:)- jr+] +"pentru

x |+z-2 x2+v'|+z -4; ' ,

,.r /r'., :, .,.:p.ntru.r' rjl-:1r I,r i]+c- 0

4J. S: - o tfrm;F, lxloa'ca ma\imi'-i

nininf,r. suP/.'i inl/ penlru

' " D..a2 l1:<l:' lt . \ ' r . r.r.1, i \- rn

I.r/. r f,-\jinn:(, Ji\'+b Jzt'<'tl

a" .,o.i.Uih4l- 5i .. Lr.u'f"T" ccualiile urmitoarej :.;;. r,.:

Iolosind schimbirile

^|

, , ii,. -.\'rcocr {2)sinl Fdr 0, i8: rFlu; E)'

45. S:r s transformc ecuatiile urmitoare, schilabind rolurile variabilelor inde-

p.rrdcnte ;i dePendente intre ele:

\r' -(J'f -,1" .0:b)'" lzv v'12:o: c) t?q' -3(Jr") i0

, 46. Sl se t.ansforrn" ffrditohleld ecualii, folosind noile v6riabilc ta ii { :

.."; r?;'0.daci u-''t 'a" tt";I L'. r r:;, "r- 0 daci o-

'.'-L: t't) {a';,- Yu,i:o, iaci ":'1'':l:

4),L-4z;+3:;::0. daci *=3' +t' n:'t + t:

,. r '; ]1- -u:+zl,-:"-o daciL lt: x 1t--:

h\ a, dactu:L't:t'



, ':. Coasiderind pe r Fi) cAnoi variabile indep-.nlente 9i pe d ca o noni f[naiie .:' -c trdnslorme urmAtoarele ecualiL:

.i.r-; ...,;r-- (.v - x./:. dac; uJxz -) ,,-+ +siu. r\z-{j r):7,.tL) ty L - Jz; .-, daci r _ :. r - .r' ti u.- xz . .,

.l ,;+2a+';,:0,'ctacn

w':;4 j..,-r-y ii u:xj -::': , \

dJ (r'\ ?)--; F(l-,e):; .)-j:, da.:; 'r -), -,. ,.-.,, j;; , ,, .l"r :{r:,rF;;i)t".+,r. -0, da.i , -I, ' -r: I J',si , ?::

' t) zil-zz'i,+zi:0, daci ',: x{y, u: qi w:1-

48. Si se transforme ecuatia Iui Lapla c e A,r - /;: + L: - O. troeind la (oor dona-tele polarc t: rcos0, t: / si;0.'

i9. 5: se tr.nsform. .cualia lui l.aplacc -\l = 1,, I l,,i + t:; - 0. rr"cin,tla coordondtcle sfericc x - r.os0cos g, I - rsinpcos p, i'- rsinp.

50, S;L sc calculezejacobianul /: -]1r-lL, drci .r - 'cos0, v: r :i.r 0./ t)(' u,

51. S:i se catculeze jacobianul Jt) \' 1 :'

: rsin0cosg, z:tsin9:'"9'-'' oacir r- /cosvcoio J-_

SZ, Sl r" a,,*,"i.. *tlemele funcli.'i /r.r, -, . :, 4 : .1 +.v+:+icLLicur,tilirrttl - cr :0, r > 0, _]J> 0, a > O, i > 0, c'> O.'



)l:'. :

i.' lj

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'q turbefbr.iit spafiu ,

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se calculeze versorii bazoi lriedrulur luipr"'"r., ,,i.a' i": i'";';;."'*"

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-l-,1 ' ; -cudriire bipo@r€i"r,r

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Ecuatja pla,llui osnlator este ac@ a Frannroi itetdfri,at de pDdur ]l{o ,i at ciai vector nonlat

' + ', . ,, , I o - r) + * , - o *, . , .t / t J7. - o.\227tcnalo t',."'lur Doral ".,e ar1u a planutui k rrre prjn Mo, de vqjor do.mal

rt-t,(.- l)-- 0/- t) r'_.-oqu,.,; -/t.:^zEctralia ptardui r€chicdr este a::@ a ptafttri ce tH. p;i _iro si a. *.t- _*r ,,

' ::.r_l+.r'bt.tl ,oeax+r_2. o.2 2-3,S:isscaicutezeversodibazeitri€dnrluitu;Fr€ner:inpuncrulrt/o(_z,4,_rz)

ld curbl r, f ). 0,^" - y O.

Retdvl; \om considcra Doltm curbd e rqpEdraE , : ,,.y e ,(t), : _ :\ .), lvcin:b 11)Fi r'r) finrl I' f'nrrc inFr.('r trin ' -y--z= o,,t-r:O, DeriTjDd accsrc r.hi i .lc dn",^,.n mn,,i ,D / .\i\"n 2\ -2ri_i. o, zt._i.:-o $ .:r;;j;;,'_';'l;";:l::llrn t/nr',r lro sc.q sFt,n, dcviro _1 _si_t-0, _t_i-0,



? .-.r- 0. Rc'ol"lld a.ar siited. obliftm jrvo E I jtrro\ : .i, .rMo, _:l i ;(vor _.t (ud - 2. 'tMd: .t6. pi,1 nrmaF.ivemi(Mo.-i_rjjzst"i;1v,i _:; _ror.-ir..r.r;tilN. .26ai z\l .lir. D., i_i, lr0r - , i - 4j t zsl ,r/eo r 6,,,,",_,"r, :.i .,,,1..,"2u,ia, v(Mor : 9r %r \ r %r.

4. Sn sc giseasct vcciorii de pozitie,ti puncrelor de pe curba . ] t , .l _-

+ (2,,- Irk {n care trn8enrala.urLi es:" p".p-ndicularj pea,e,p,, r, __,

,l-z -0,.Y-:- 8-0.Raotto,.. Dtectiad" -,. ": l'.

j' -i fil=,*u*u. Di.cria 1rn8€,rei nrt.{,, i I 0 _rl

pxnct lxrenl este n - -, r *, +.4jk, cite dour, dlrectn fiind pe rperd-;ul .c, iezrrlr, u.i _ el'

- + - 3 +.4r = 0 dau {c * 3l I t: o, do utulc r = I plio",;*, exisrr ud sinsur *n.r,

al drdi lFcror d€ pozti €se drj : i F jtri.

5. Si se calculeze curbrua ti iorsiunea curbei r - t. : : p, z _2f1.

",,"i;;ii[:AveE i/').F r+:'J + 2,3r,, i(,)=21+{'L ei 1.4:11, an1.j .i,i^ii-2(:,]+ r,

-- 212t1 - l\R: -:.-

-2(2, ,ll{/rri T-1221' 't\1n-

l ett- r,".(2t'--ttz I 8

6. S:l se aIIe elemeDr l de irc ds al curbr,i itti .lc i

a) t": achrcosi, J,- dJhrsin,, z.Lat: b) Zfte+3fz'+ z -.4::0,12--2) --z:0,

r.toridd..4l Arm i(. + 4rstrr.orr - 1Disin,), j(,) E./.tr, qjr |._ (I I cos r.. i(,, _,,. n. .iti J' +Jis + ;s : o (Dlr,r+ ch I -t- 1) = 2a c$ir, Dccl dr * af(cl,t)dr.

-,.,,_1.:",.i'.:,,,-*,.u*'".r,6nrh, cnrrr

^prchdec,..t = t. : ).. ri r -..r.. runctijl,j ijxltnj..

tVL 4t) Iin dcfl'ito nrnr 2,q -- t 2 + 1 - 4, a O, it + 2rt _ , ;0, O",tutna"..0r" "ol.il

r,.rrr -, ; 0, Doielnd ccc$lc lcjrlii tn"

t 1 i - i - o, de Jrdc (IsiD j * i.apor cu r.e r, obt'inotr a, +^6ri .t 2 i - 4; _ a,

.2* -l |ti_;*o, a" uu,t".",,,n i * r,2t-2 r 4-2 , 2,/ * - _ ;----: ar. iccq" .cznlrJt. ic o r'.c1t-5

(4 - 5)r.l

7. S:isealleraz,,decllrburJacurt,"i \ /_-.int. I - J co.l g_ tsrrj.

, Raatu:re. A'eh i(r) :(l-&s4t +sinr j+2rcs1t, ir1r1= *t"ri I esr j _ sin ,f' I"

;,; -2(os,t 1-2;^ [t r-,,1'l i_ , I----- ,2 "2t- ,/, -2'ir' r{si ;'i =rf r ..,"-'

Prin nllncre, _' n: |: ---4".ttt

| .tn,l;



8. Si se ara{c ci pcntru elicea cilindricir I : acost. j.:asint.zr urLura ;i tor"iunea sint constant(.. - bt,a> A,

//.1'.. D.L"'ec; . ,sjn td.ctj Dk. i. . n,o.ti -i...tti-i,^,n.,; J." t-, ; \ ;i -,v4' r,'.i t;, i, ;) d=t,

as{ror.i "em K- 'id+b" -'"

,,,.--$iy;1ai:.''r'..jta, + bt 6' + e

- q. \i .^ a I ., r c c:i .xrba r astoer,-1,. dsin2t.: a,oir/...1ru, .rt plnn.-,.si i^ r:r'ry.i rualia plrnul"i ce conlinc accasti ,urLi.

/, J,,...n-Jirif,,ra-q,j )i \utni..nrain niurt; si tFsirn.,ra i,.,.,.1,,.^... I

,l-= 4./ sn] 2/i 8dclrtli+4's 2ik, re, r (;,;,;):o:i,l"cil:0 l'l,,, ,Lnf.r€. r,,lra

,',rnr,:.. nrrnur nsuri,.r. ireo,,.,c F.-,. ,,",1, o.r.,.. r1.... 0ri k /v l, .-,. rt .t -.ntrr'r rnanut i 6i',tnt

S.t.2. Frobleme Dropuse sprc rczotrarc

. 10. Sr-L--sc scrie {uatiilc tanscntci 9i Lro.atu n,,.nu,u, nonnal in puncrLrl -}10lJ ur", l' t. ntlL :

a) (f) i.- llcos ;. t: l'sirtcosr,: -=.'sir1, ,tt,{r,-;J ,

b) (I):-r.+J.,. );- j. Mo\. t. z):c) (D :vc + ,1,r + z,: 25. r + z - s. tto?. 2J1. 3) ld,.t,., :j 4 _ 0, r: + r _ { , 0. t/o(/, L rr:c) (l) r1 + r + "5:

6, -rr - '+ ^s : t, tIo(I,, t, r.

, ll. 5i ,.L^r,rinin, ^rsorii tr;e.i[rtui lui Fr.n, I in tu ,r I ,/o rt ,,[ -i t.,rlJ' '.

i) (f) .f : I - cosr, -i -. sinl, : -= t, )1.(h:-1. \

L ,1, v . tl. ? . 2y. llolz,4. 1).. \2t

c {fr l'z - ,. .Y'z- -, l/o(1, I. l) :

d) (f) r,+J?+,.1 t{:0.'-i, +z --6:0. trr{z, 1,3).

12.. :i.s^ ., ,i, ^.,,dliit- rrr.tor 1i atc planctor tri,{rutdi Iui I-n n..r iI I rn. rLI .t/or,'url,r l'. pelrru:

t. Il . rl /r) r'-:.r -.,.r.r/"1;.i ., I,I'r rfl .1r T \: ?1 - q. l.'.- r. .- i.'Jto{2, t. 2):o)

1Urv3 :

t.xa

:24.. {og" s. 9\1

J' {r'r:r=Lf =-r.' +. trflo .2).\



f8. Si se arate cI tansclrta. no; a prin;ipaE si trinormala in orice punct atclrbci r - er(sin ri + cos,j + k) Iomedzi fiecaie ctte un unghi corstari t c; a-ya O.r;

19. Si se determine Functele de pecurbar:- i+Utj + tk, unde nurmala

prin, iprh r.t" pardlel.i cu ptanul sv J 2J, - 5: . 4 - 0.

20. S.1 s- "al(ul.re crubura intr-utr ?uncl al curbei t:. ") -'.J-c .- IJZi bl r-e,sinr.,, -e,cosl,:-e.

21. Se di curba r : ri + (t - 4j + 4fk. a) Se s; ..t ,teze yersorri rriedruluiri Frenct tn punctul I :11 : b) si se sc;ie';u;tiite normabi ;inciaate si cdbri:

o.culator in i - t : c) si se cajcuteze iocsiunea jn p'un.tui, - r.

^22- Sl se celculeze laz:r cl: cqrburi a ctileiconice r :'l cos l. ), : t.int..: at

ir) oflglnc.

,23. Si se arate ci curlrele de=a lungul clrora curldra este nuli siht drcpte.

.24. S.1 se arate Li curba x:zf

+t,,y:tp-2t, z:t?+t.- 1 €s e,c.,n-.

tntr u plrn. Si se scrie rcuafh acestui plan.

25. s.. sc .alculezc rdza de curburi Si raza de torsiune p,nrru .licea cir.ul.,r.,J dcosl, i:asint. s-,t.1l

26. Si se calculeze curbura si torsiunea p€trtru cBrba r : ,i + -l1,1 I -L p [ .

2'L27. Si sc deternxine raza de curburirfi torsiunea curbeij : i,, 3: == 2 13. .

28. S: se gis"asci puncrcte cubci i- 1zt

-l1i I ls.j 1 1r r?,k, in ,J,c

oscuiato Ia eorbl este rerpendrcular pe ptand 7r - 12lj_-l- 5: - 0.

29. Si se detennire pgnitete curbei ,: -li + ri + (2t,- t)k t" ."," L,,,;rl

9.2. Studiul coniceloi pe ecualia generali.\

Se hloaite conic6 6 nultime de prDcte dh plan,iale crro. cdrdomtc iir raport cu un rcperc"czhn oirotro-nral v.' ili s- a@lia

tr,yt ara4 zzjlrr+a3jftjd6, Izdat1n,,-o. (lJ

.".it--'i|

.',1 * o. liad'lii @Dcei {l) sinr :

.t' t". - t lq" ..""1d:l"l:

":l:a_1",, ,. ael. r .at a ,. t,t

l"' "- ",tar dpatia caracteristici

arc rtddcinilc .calc ,S1 ii -S ,

9-1.s+3:0, (3)

Daci A + 0, coric. sc trtrnc$te n deg.rcBtd, io. docr A = 0 conii $ numcaic

Drc6 l + 0,, colrica cst. cu ccniN, [email protected] elrn'tui finrd datc dc sisLc,nnl

rlJc6 8 - 0, cotri-r r5to falra (cntlr.

Da.r A * 0, rtunc; : 6) pcnlr conic. cu entru, I r.o, cenn,u canonic.r cir.

Tl;3. y : "t, + 1't/ + dE = o.

;t ,.;, = ",", =a1y-J'r=or 14,

srxt r srrl l- : - o,15)I

ti d,oosiB r.lerint{ po trtr 8 > 0.lipse rcatc da.I JA < O Si clip* irdagimrc dac6lA > 0j t)utru3 <0, ave,hrnorbolej

b pcnttu co c. tIrI cc;lru,8:0, co ic rcflc,iDri rarur.otc i (a.1,.aJuaii. caronicl esc

,.:= *f -4),,,* (6,' I r,tDaca A - O, ,iL (i: ai tclrru conrcc cu enku, i > 0 4rdlA cA iv.nr drcflc *,rDre nhEqi-

narc, iar I < 0 srgtr, .t av6m di- .pt sdte r'ede ; b) penhu conicc f{ri ccntru, I * 0, coiricn sc

ezq - .. b," .- , l7)

s detormirl urgbiul pc ca.e il .e um diDtrc &t. de sim.trje.de conrci ctr scn arn Or a rcp.-.ului ioitiBl,

D&l | = O g.ulul term.trilor dc,6adnr at doile din @uatia (l) Iorhcazi p5tratul rtrui bnrohJbiar ld , ri r, iar .cuafi . I

dcduco 1. dor, drept. pardlcle 3au confnnd.tc,

Ddcd I*o. arunci d c.uafd

' tca:-i 1:-j r (8)

I'dotofriq{ diktia axri coniel Pcdtru a t€s snricut parabotci, $ {dcldutia conicei irL rornat",

+ o'"y.+"1, - ztJ;i1.i{l: ,I-a9, r.et+p)-0, a..".-i,uuan,'* a"tr"r .". I,n.i,,r"i

.du

rcprczilte gnfic collicele trnnitoare: \ ,yr \rJ 5Jz .{, f 6y': I 0:Ll.\,-4.U il.-3,. 3J+2--0;S.z l4'j lb,': - Z0r lOJ -- 5 - 0.

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. | ;.0,,,..".,,.1 "",,n,ri o r8, Jrr:c. rcpc.

' l-tIrulLilxpu,"u,OIL0 v , d-t'nrrr f'.n L-.o-t, J.-r0 , L.urr'., conno de,in^

,;"-:;.y' ; -ri,.- 1:1 -'3,y, -.1);.r- (-r"o+ l0r0-i.6)j+ iA - 3,; +. yi.-t""+ it"+ t:itt'.ul""

";O' ri il" c"oriu a"

"i,r"taea colicei r.cbuie .a ecuatd dc nai tuainte si IG ,cschnnMii

.,"d"ru ,' ,"91 ,.

"rr- r i. -il. Ar,aJ,." .la.r 2,0-r,ro. i. o s, - J,o

+ 1orr0 I 6:0, adiis o'(2, 0). Fatn de noul rcler e.uatra eoBrceL esre j -Jr-r-+5t, l-0.ta,i' r u'n drel- in iurl. I'oii or,gi'r d cu un Lnc'r @. Cr Lmut^t i-).6)9r]rn?.j:,L s'n q + I cosI ecuJt'a deadc

ri

-t,(c6,9-isioIcosq,f 5sin'qi T -\ y(-si,,2r - J cos2? + Jsin2e) +_+ y,(si s I + 3iiapcosp + J@sr9)* 3 - 0. -

Aleg^nr ungh'ul p.rcbri ,a Jx-l" OX >i O y .r rie a{c d..hrr',c, P'in u..raF ate6.rn unghut qa"rlcl 6 F u0ttu de Frai indin'- sl n^ oei.hiuLa r arln.i I I iotcL,^, ,l' y, pu {. -y, y, su.nr

't, -yr. A eaJa 0 rr imntd cind {}n2q ..":.-0..,,e:n-.1,

\ 218.9 3:+-1- = -, oc unae t6P = -, n

'a :--

3'i6' '-" =

9.2.1- Pmhlem€ re?nh',ta

Utilizind ralionamentri teoretic senoml, sl se"

s:i sc

a)

.j

sub Ionn:r canoni.ii

3

1'10

Iu ' r,; al.8ap J iur 9, -uati. .oni..i ,^,.1q ...4 1q . r. -1: yr - I = 0. C ni.a ,si. o .t,D)t dc

"..,,.*7a,, i/* ^_",.ecurllrex:u'' $i Y:0, dcci i.os9+iei q-0

5i*; "i" 9 1 7 io" 9 : o su k *'oj co,s 9 +L(r-10)

sin 9=o ri -(,-,0) sir 9 + 0- /q) 6s 9 - 0,dc unde 3r+i-6:09i' -, + 3 +2:0. Tinltr<l sean4 eide itr;secFlc cootli cu acrcOr tr Or, obtin-f, r.pr.r.brare did ligura 8.

r, In.ac"*,az t-l t -:1 -J, 0. p,o^drr.r ,a h pxc.c.tiur ad,enol obiilc' )-2'l

ol.-, l-l ri auslb cod,c{ hta de rerrrt iojesp fr- 4ji t;, .-L o. p.n,.u ubshiul\ 2 t' 2

d6 rotelio g&ih valoarsr e=| $ *uatia"aroni"a

ar. rorha zx, - 6yr - r:0."oon.

r.ro"



Fig,6 - }.is. g

c)D"r"..8=l ,. -:i - a..,...,.,. n,,i inriru.oJa,." i,.; shi e... ..i.o.. _,l-t2 ir,l

-i6 p, ,,:i sl' I + .i co6 9.l:af, d.,onr r(,rflectrdlia co)irLci esi..rr(9 cosr g I z.s,in p"n,

q ti+ 16 sn]' f) .t ri.(7 si 2? - 24 cos ?9) .L ji{l) sin, ? -- 21snr p ms ? __ lC .6j 9) + J(_Z; s,s 9 r

. - lU sil p) r- i/20 FirL 9 - l0 cos q) -. .' : (1, .\tcgeh lrghjll I .o61fet cn gtrrpul lNroilor dcgrEdr, dii ri .: tud (a n.,h,a, ltr .ir. di.j ,rn\r9 _ 21si,.9tur,. ,6\,,\ = o \i _-i,,2? _

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csFrrn I'. 'h 2r;1 - 2.2J\'. {j. J = 0, A. ,nr (rccru:thr rrrnlt rri"i

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stc o psobolt o' rhtul z. rrirlzjM n,ics.clir ,.rabol(i o, *o" o,lii or,"r,t,,

,o- -;. I lli. rcpr. .y/, I/. i.i..r. -,,n,n contr,.j e.-c l, - 32.2)

::-x. lrd lutrrrc, coDie

farca din ljgum 10,

Fig. l0

2. Sn sc scrie suL torma cinnnici ri st"crep(zinte grafic conicele :

a) 6J,2:4xy +gyz $;-32., - 6-o:b) 7\z -8x1 1-J, 6r toJ-, l-0:c\ 9r, + 2h:1. + 16J11 l0.r + 301 : o ;

nj *, lzvya,t"-.2r+r -i 3:01e) ir, + 3-Y:ir + J:|: - : - '1 .-0;'I) r 4,v] + {}s + 2x - 4r -- 3 - 0. \k.inn. 4 -\rn 3 .. I -2 u,rn. / - tj,

aulii-c4;ctcristici Se -i 155 + 50 : 0 ajre .eiticinilcs;-5, Se:10. tted.ecc 8>0, A+0, IA<qi

ni6 cste o elipsr rcati, a di.ei €craiic redusn esbric ll 5r'. r0l4- ro- o su x' l1 - r*0. c-,a,.,E4

firlric ccrrrurui sarisrac sisl€mut 3, -, _ t : 0, -)r + 9J/ - 16 :0, asrfcl "i ,u(t, :t. ungr,iut

il r' r'.c n r" t. J- - uar'J 16:? 1, d",udc rgp J - Rer,./cr,,r."., ",",',., ..,, 0",.'i. r,r',J r. I - f ' ;

r,) n, accst caz, I: -s,:\: -9, I:a,.iar .1uati4 ;ru(rcd*ici r -sj_e:0 arBddlcnrilc-.t :9, S:: -l_ [email protected] < 0,A * O, @d€ ccrc o hiperboE (fig, 12)la cirei e.uaiic

cstc 9X: - 1r - I=o, r}oritolar€lc entrurri .t"t a"r.,a..i=,";,,u1 1x-4t 3::O,

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-rr , rr 3=0,rdiceo,l1, tl. Dirccti elo. esre dclcnnimtr dc ccralia re 2e : -], a""na"

?': 2..c) ArenrS=0,1+0;coniddsr€opaaboti.purem*ricdualiasur,fonnr{iil. 1)l _\r v+

j1, -0. scriinrl accastr eimtie sub rolm (rr+t,+,)e -zpJ-i1+1 t, + lr +11) :o,,. 6r + tol : -.{0, Ae : 30} : 30, ap - tor'p : O. rc4t3 at: .r d:0, p:0 ii.: - l, Pri,' urd1tre, as paabotei ;.e ilepta j, + ,7 - 0, ia. t.ngelra in"irt,r

pai;or€i cst.-,, + 3, : 0. sc dbscrvr .r wi.rri paiEbolei eitc z(0. 0)- Dcuag4 enoni.r

",tc,yi - x. rnt"*mr- ,or.i rriL. r,. , u r:cr. de.oordotuL.

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n^\up'rldl.r.i rrr" nrto'1'or .r..A "'f.,r t.-rt t, ),Iz ro "dn.r a",./-i. de or.lilul.. i

'o.,. nLd. d).cJtutil u,,,1 4i,, d,.,1, .o",1iiILn.tro i

,Dlt, J,) r)(J,, /,t Dltx, Jt)

I,1.,, r, I.ta , t, Lc.r. df I ie /oo.

lh punct Ilo al unci supran:te, nry'care c( ,titiLtc Jc ;cgutarjrar. a)_d) sinL sar,srbc, rc, \o nu-

rncj,tc l)urct r.cnlat p.'tr snpatafa da1n. Da.:-r c.l F,tin lna di' co,.litiil€ dc rcsrtarttare.nu csra-ru.r; L. r' ,,. J ',,..V.. ',L.er"n., rs.iArt. r. ,ru s,DIJ4L rtd-a

\.,.nlJt ^ .fnrrt. r.1 ...i 1..4 prn.

I : r(r/, 1]), rDde r(,. t),: L\t, t)i -, t' (l, u)j + fs(l, a)k. (4)

sL'untrir cu,t.1cN;Ll.nilj.rci,fl(4ocdLtriI'rrasll:rpoNpraiafdt,i,CX,actirciocufievNl.ri.tle esto

r: (,,, ,o),(r; %) e,A i R3, ,,r,

rldc csio vqriabit fl. u0 .src corstant, srpfafald :j iiilrd ddrl ryjn ccuefia vocio.iatil, ({). sc rtrucrre

(rrDL cJnltl.triti d0 lirul ,) o'duLlrr' Iii r {sdt[ r].j srrratrfr ), fnc:j, a catei ecratie osto

F (/o t,), (k., ,) c acRr. (6)

(irld0 coo(lo)rrr sdr }di{nctr0o Al. in.i $rfJrlclc r.r u.nzd,. letca do clrtjc, veclo lranserti{r c lrrc li.inrcir (ri Ionririi fiinrl

"":'"t -- t;s - 4k qt t; *.,;t+ ri,: +,ik, Fslocriv, prin

{,icc |rrci.cqrlrl ir) $ dtul.ji 1rcce ctio.o 6ilguri, crrb{ di,l ijecer( iatrriji(,.

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O oldrl' l)o $rtrdftrf{ ) se (lcfnlqfic prir r,o rctAlio trLrc coordonatelo cn rilirii d ri, $rb ua dinl. trrl0i I'

,(r, ) :0, sau r * f(o), "Ni +(() sAI ,,E {r),

':'(4. 0)Ilcualiilc rorDrllcj h s,rnlAtlt , dn1n snt) rorD{L.{t), tIiFun punct\isd{t ,uo(ro, r0, ;o) lsaun/o(k=ro u-'ol3t,rr

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DNI trii,'1'r ftrr.t ngulat n/r ars',rlinilri I'r. d.,tl c$Lc Ir ii I, sn e I[ srri,t.la.un{hirllllr nr1 (lelrng.rrrl. nr,1/rlrr.rsrr doLLii ftdr cs1.:,1A1 d.

/i(i,tx I/.i,1 ^u I.lr0t) i Cd0lu

1ri(,r,,F .2/r1r {h d('bF)'r1i/jidll], f 2.FDesu Fo{lrlfa.nrlrlor drrdotroif |d .str {1{L {10

',"-0,- -l.t--.

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(161

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Cor(litnL (1o .Llog "rlinltc o orr tlor 11

tifr

I'r)-'rrlo

. rt (tr 8a -1. 7;((l& 3, .i (to ri) ,1. G du 3u : 0l

irr ii cdrul d$L,eld qrmorrto risto ;r ..' tt.

lilcr".nr ,l '. nrn n- {uDhlJ.n : r:c 'xnr^ir

d' '' \r'/7jf:ii dr (r'.

l)rrri n crro ^r'r'il, "c a nr.,, r n.nrt t,,.ur^t'1o :. u .. JI- - =:l: l. .q'.in' lNl t jo -'r''

n.dr s r{d,)r..t- 2r1, drr, .-

irt}u)lk,'. r.r':r- i,.rd tr (lJ,rA I nrlJI.. tlr1. ]\r.l. ,.nf f,rnrit r."Lr'L.

llsl

/-: n';r.,

r/.- n';". .v = I r,i.

9,3.1, Proilelrlo rezolvato

1. Sc (onsiJrTii :uprairJa (f) ::( : tt -f r, .J : tt * r, t: r.rt,, r) Sii sr lllccolrllolrtelc uxriczicnc nle purlctnl,rr 11|Qr, :2, u : l) $i l1?(r, .- l, u : 2). L) 5:r

,sr

r,:riiic| drc;\ pun.telc 1.1,(4,

2,3)

;illI,(1, a,

-2)apa4in suFrrletej. c) Si\ sc

atl rrtr-( z.rllrrc:' impli. il,i x s l,Iltl,l, i.

' R.ratldft. a) trlocnnrl tuofrlon.iicic onrl,ili, ,.= 2 ti ,: I ln cc',l,irc \trt ' r.iri,L L,r,'cD,

cooidordl(lccurtczicrcaleptrnclLrlni]'lr:t:il,):1,:=2.SLnril.rrc,,ltr'epttrf,r/,:r:3,,'- -1 :2.

b) Pnrchrl lt, apar|nf sulmiclci rhcn sistcDrrl ,+ -1,1t- :2,"ir= 3 cslc conrFlil)jl'llk-n.l;/dr, sisto l anterior .stc courprtibil delcrtinaf cu loluilu

"* r, u: 1, Prnr urnriie,

,'1, e ). hoc€dlnd snnihr lentni turchl n/r, s consratd ct,iui + :..) IriJnn,irld , 9i , l,)tre ecraliilc laraD,ctrice rle sllratefei, olttcn ccuath nnlljcilt a rcesteif,

0.

2. Fie suprtfata lr)x: '+?,):fi ,,r: Ir. Si sea;atcc:L :alcurl'ele,coordonatc l',, pe. supralili, sir:r\t dreptc j b) curbcle coordonatc l', 5it1t .drbeplancjc) (l') pe sirprafala >, estc curbtr pllD:t.

,l,f,trd?. al l.uatiilc adt)r6tri@ at€ nn.l, ,; r -,,i _, rli. rcn../i li

'urn"r, i4, r; u-ei r- -u-"i;:".o.clatiil. .anonice ale utr.i dreprc.

. .l -1r,) ilcnatiile pa(ncrrice atc un(lcnatiile pa(ncrrice alc unei curh oarocare .lc rip |" sht , - a + ,n,1 : , - ,,i, ? =,./.

eriminiul prramctn,r r iut.e acerb ;cuafii, bhli,"* *n*-,u-* i-ori"rd .""i.u;ir""],,"ra".ji"

r = - r ,i ALoiLlr d n ,r n.i re,ca)rrarc .r?ta cA curLa I, cste conliluteti

pirnrl r r 2,0-0,c) C rbaInrc.cultiilc paranetdce r: Je I i, r: xz - ,, <,l.iEtioinild padnrctrut /,,oLti'r.\ r ty-2r--0, ("-1i,-1:, llpr .c rutr cA curba f este conlirutr.i, ft.autirI-2ii-o.

j.: ,.r;d"rr -uprJtqla t: .r d. . -4,..5e,er(:J/ i.r-s'rul .onnrlci l,) in nrn,rl.l lltu-2. . o.:',,,ud irl" normahi +ioruatiaI l'.rul,r: Jns(nr l, .ul r"fir., iu t) .r, tul .11 .

/ ..".',' ..r1-dj..,j.{uk-,.: ,c'i-.c'j 1,1.,^/ur.. N - rr.r,:'- rxri+'f,i rrLl-i(rj _;,r. ln rrn.lur ]170 .7cD N_8i.8j _lt,astiet;i n_

:i - -' lq.l.l,) Ii,ln\im ecuatiilc {9)ii (10). Deoarcc. j1l U -t. l1Z.0) :2, :(2 0) : O, e.tr. Frre n.,rualei

n',p,.rnii t,, p.n"rut ,11. .',lt--' :1,-

'* i._

_t.tcurlia prandui 4 serr csLc 8(, _ 2) _

I ,. ...r i. .:- - 1i,.

4. S,-L sc scric ocuafjile nonnilei 9;"..1o9io

ptnn,Jut tangent la suprr\fala t,ij1 punctul i1d, pentru:

ir ':.r , J,., '..\ 'r 2.r-tt:

L, :, | . ts tt,2. 2. 2t :

''r r)r r': 2. /.I4r:- i.2\.-{J.b:8-0. 1/r{0 L,.2.ri

. d) (r) : - s" ,4-- s" trol. 0..2).

n vrlr".J) \'..L, , r.l 1.. ,","r.i. ".. N=r".r,-rz.,)i_{, i)J_2r., Eri pultr .VrLl, I 2r a/e,n N: 1i _ j - t , Ijrnr nrma.c, ecualiilc no,nal€i in lurchrl rrr0

,i,-

. "-, --.1 -i i,, c.,. ri- ,,r,,, _t _2 I'i

rrrg,,r".r.,. 1 -2. -l .i.

f) ii acost caz N:rix.;-6a,(,-")i+ 3\u,-c)j)-21 - )k. penrr punctul nr,

sisteN a+ :2, "e + tP * 2, /3 )- tn e 2 dli co.rdonatele ftlbitbii,:r: lt De@.€cc n{tur'c" ltor7".r'N. .;,i t./0 ..'c n.. rlLa. ,ingu.arp.nt,u-rr -r", I)ir,,,qr{a'pJ"' " rj^.' .' lornJh r: n, ,. . I rln,..

, , Iio.o. ,n " ,,orirr^ .,t, t r.1r s./12 .\ ,"h N - Grnd a =_ : ,i + F,i . r,r=,2..-\-I{ 1li (:\ 2r'.{j lr '.2:-r,Jrr, xsrl.l J i,r,n('-l .lt^ ol,l rm N-radF--10i,4i lL..Jr'.d

"r'..T' riil" .-n.'t-\i.Lilrata,,.t., rangclri-,utEI t4i1p,.a.,.,tLr.<ir.,, rr. ,".i.,,: I:

-2,,

1u., 4r'-2-- {-0l^4

a1 r:""niia".p'.r"1"i

e"t" aal-i sDb rorna *plicit{. I'(;n}d , : ,i, y : ,, r6zutt , + sut + 4i - 3

fi,ra,0/;r, u: o).

\ectofulno.iEl in,uo esre

N_;i*.1: _

loi-.{j+k.prin

rrnlare, coratiit.flor,n,i )i",u.tstrrnntui..1q.n.ir,lr.,n,.':--J -. " -2 l. -l0r-4J / I 0,

t)1cr c. ,r,i ,pidr're, * , * *u .,.-, ,",",', ;1, - ,r 'r:0.a,rn(i .. "u*," *

tangcnt ;i ccuatiilc normalci lntr-un punct cu-.il

[) I t/\ios I], .t - ,, sin ?, ?: .tt.j

/r/r//,d/.. n) r)eoa,ece r;=.os,i.rsh' j. r;: -,si'ri I sosu j-1,at, *o,r,l lr-edslndl-,.os l+nt, astlel .ri e.ralb Dhnnrri tarior

""t",.i",,1"-"..^

a_- tor /r -, nrl r trL--r I. o\,,,,r'\tr,-a}'cosot,r-arr..0.tlcral,il.n.n,iki

,: 'u{''1ty3..i-

. I I " " " .z l' l"'" ' z I-;.,: - 1', . .i t,, i

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i "-r .. * t:- r' ,,1,i ' ri -t' ,t - .'l2t l'i .1- ti.t tX .t at12) r,l'i -- ,t ". ti ^ p)4 ]\"or $frflt'fA rr j I = 0, Dcoor.co N - Ar d.7 =.r,o.0t..1 1f0j .l-,0/01 r" ,V01.,,, r,, ,"1

ft,,,ril on eo,atjll r,rarllui t;'iBcnr csic /oro(, - ,J 1-,",,,1y - y; -- )p,1,: i) : o ;,:,,'Jl;:i

-l'nx/--iry$ -3-tt. ricu{Niirc rd sot(,i sr,tj-j

=. -I-:- , = j--3. ,*, ""f" -,,f -.J;o .ron

-v.,),_) :..(r_ro'. ,6.,Sr

-considr;t s,rpmfJf,r (:r l'1, ;)) - (ht.- 3/,Jr - r3ji t3,). - lttrl)..

,")j i:1r' - 'z)k.5t <c J"t^rnrin..: a/ rrl.oirul rt\ f(,1,,,, Ftrlr,z rl.) c,,,irril')J i- J(x, - 'z)k.5:1 <c J"1^rnrin..: a) rrI1orrul rt\ ft,1,,r, F (rlrrz ; l.l c, iri:,pldnuhri r:rng, nr I:r suprafa i jn p ncrul .VJr, .. ,. d).

n"-tot".\ ^ r". r-1 ,r-",; 2htl 2 .>i t. . r.., .. r . , t ",r. ull_It..

a) r,rnt nnnrr., drpn lo.ftuta.(13), oLtinc'n .ir - o : 9(l -1. n' .,_ on1, 5i i' = o. n"rrut .lr,d(r 1 o.l n, _

',.tl.tr. - rd,rJ. il.,L.lF,t",tu,4n vrt,,..lJ hpo,rrt,,. ."n .

7. Sn se scrie pjima forhi fundamcntali pentru suprafata : I')r) .r i . ) -l. z .,r; tJ r FJn,.olJd," a r;-i,,k.r;- j 1k. D.,i,r: r : u t- rrri i ,,.

dr:- ('r(dnr

L.2,udrJu: r.-r.,^.lrf.b) Putcm scne @natio sulraretei sDb rorrs ,:/{r, r,), rn.t. rD,.1ia J nl(r, ,) s-te deri,il{

I

{ - :r'1

:)ji"l::"1,'^%(r. o, o) a,cn N:r;xr;,-L ei a.,i

"o,,,iinrraDnrri ranscnl n, pnncn,

...i

impri.n p j1 c.ralir' -r-]'*o.prin umrr, z-.;, j;, ; -

t"r.J./: .r p"-t t -L,r, t-. a.r, -l.rr".i,n,, ".41 (q.1

.r



i

8, Se. consideri stlrafala (t)r : l'li + zj { z(1 } z,)k. Sn se c:dintr€ curbel€,coordorale $i unghiul\pe calell facecq:ba_(f) r, + ,

, . 1ti ,jJ r(l + rlk. S: se.rl.ulezF unghiutJintr. curbel" coordonate ii unghiil pc care il farecuri,a {f) n - r., - 0 cu cuibele,oordonat"pasuprafa(:.Aplii alie: rf.ru - I, tfo)& - rl.

8, So considern suprafala (I)

\(l'l ,]lLl /l'lf

P'r.rnrr,nhJr."dFm 0 ,a s.),hr"r inr.. tr.'Bhi"l Sr lr'r..urr.Ftc f,ri f/ re:. D.dF

(f.l r't,

f /'.f iJr- 0)..11.{, rrh.rdr. Di. - 'qr{. drr-i f trr,,, i"r;"tr.F C).im 8, . 3,.

lj.l.s.'.n rn- . r,rl nre in I,rnrula lll . oblinemt

^ /:,l, Au r r.l.,5. F E

rr ,tlr/-- 2tjlur:6, [/]l/j_ A I d,r?

D,u J'n i t.,s^\' r,cnrtiirorc.lordoutrnrl).sj.i., -.,",,: -r - -r,, "rt,l3 F - l.f, | ,r" r.,uJ'n i t.,s^\: r, cnrrjiror c.lor dout rnrlf gljim ' -. r0,,: -r - -rr isrnt s F- l-,1 -r0 r,

1: -u.(i .,J .i .. - I -,h. D.;i

'iii-r;lli:r' F T

' 'l\2 a, 2\ + rr(3 + a'o ,F lrj)1,/

r.cnrrr opriutic ,r, urtd ca- 0, - - +, deci 0r = sRc@ l- +1.' 1J - t i3,

Simrlor 81Fin Ics trn8liul 0r Al .urbelor I, tl I relafia

-,0-2r.j- rco*u. I

-" Ll - 'l 13 - 4'. -- 4til11 '

F"nrrueDricnti. ,..r," ,""",1" *-*.-ili.. 9. Sil sc iletcnnine, unghi[riL' trirrnghiului curbiliniu detcrminat de cuibele

(f,) tu-0;(l' )r,:0, (l'.)',+?,: l,r pe supiafala (E)r-'cosa, :,fi

sinr, j:0. ,',.ll,,olu.,r. vn Inrih tri,nlghiuhi inlt pu nctele,4 (,, * o o - O),r(; * t,, - 01, cf i- O,,l* 1;.,

*Irflilr d c.*rrflfs. rcltru subrelafa : avein .E.: l,.F *0, (t;q 1 + rr. Deoieoc li€ 0, rizdll ii cnrbelp c;ordonoto lslnt ortogorAle Prln uda.c, lDghiilt din..l

+ , ,ho cc. fr'l

Ir si,,L LUrl L coorJolalc,

ln purcru n1a- 1, ,-0)av.nt= l,"F-0, G;2 t e I' d, = 0, lFr pc I',, 3q - -3r'cl'drpn folnlla (l1) l4ln9m'I

- .r-ds6u-r Fd,8u ]r-'--;'.,

EttzdqtE-2Ji+ cP/rB .t€llt-2]9+c]1vz .Jt' I

lonnula (1r) obln,em I

-adr8,- 6drEu G-F I' .u.f -2F-6,-rtd Eu LCIE-2I: rC)-tt 12

";'. ' EttzdqlE-ui+ cl/r8 \t€(tt- 2]9+c)lvz Jt' I

,,",., "{-+ll', *',. t. :l' 1.n

, - tt *"- E - t.I - Q.6, r si r..r,. ds- o,lpe I, 8r- -3,.



. 8,'-rljd,6z | ru(d/8r td,8,)l {-'i suiLr dr -r

d, 1 ,r,. ,,bb f,)u -,Fadn3' Osi.ondili;dco,r.gon,rr,1r c..,."6,.c: '.,.t?.r ,,-d. r f .rd tr.n. arb:lEr, Fzutt:

18J' I r:)d/ + u/.r': o sr dtn:(rl' ,'il

. n.

' 'r' ,'4r.3 r r') - conr rcp,pzint: ccuga rBiahiior 6nogon, - ie f..r -' .,.ri'd $r,.a . obt'nrfr .datia u:( : i l,rj coDrr.

Il. c"Ji"upraf-la Flicoidal.i'(l) ri .

',cos/,y .x"in,.: ,r r...SrLrc:

../ audrid rhn,rlui Iangent si c.uatiile nomrlei ,iD prncrut l1o1.r- i. ). .--,:t,) prirna Jormi Jrnda"ent"li a snFafetei; c1 rn ,hiut cuttritor coordonnrc;

, ) .i . d"ro min. .urb"ln de pe supratald, orrogorrrtc cuL\elor prr3m.r .1 ,

' .1r r,iul ,le.Lri" al supGfelei i t) a doua Iorm.i tundrm. ral't.'|k:rtuire. \,etu r;:;os.'i+ si ,j:f , {---;;si .,i+,&sfj. k si N:{ril-;

, .i , r r.) lt,L.., i, ,rrl v, -r.0, I in)n^mN i+j t-t, rr,"t d "-r. 11.

"r,...:,1,.,"..ni.,^

. '- ' +: - n: o, i.r..iajiiic n6;atai i;i::i-: =Z:=r'1 -n.

1 l)J.arcce n:2, F: \ c - t +,4., *rt" *, qu"l l.u"d, - (t + r:){{lrr:.F'nrhi"l

'.

,-lo on.dotulc ;.le

'latd. {;i0:

d) pcrhl, (r,,F/:,o ri dai &: o. 6ucr * ddff."$*-ji# c,te :Lrr .: d, = 0 jaur.l(24 + r') - 0, dc nrde 2" +, : coLst- p€nhr curh.b O,)s:,", asdct cr 6r - O. elr.titia d€'l-,rr i ifi',r" r .

'r. da (l | 1do:0, ----:: 'lz | r, O, J.,, ri/ n, .t r, ,(

r r Fx',.I 3r l-u o,1.'.

e) ionrsind lornlla (11, obtin€io d6 - (l + a.J1/:ds d,- a- . ,,l) .\"eD r;: = o, r;; s -n ;i + .a6,j,

'o = -" cui - ., si,, uj si ri =. {t r 2, ),/:. r,in/ .0. rl , .(t +zu't t , N. r'(t.1-2,,1-, . rJr. r I rlorr f r.'i rr.

,lJ hcnlr r .rrc n dn = (1 - 2r;:J rrr(-zds + 13 d,).

9.3.2. Pre$leme prcpuse sprE rezolrare

12. Srs. rcrilr,ec; c.uaiiiler -- (i{i i 4 t k) ;ir - r , os . i. rr.i ..i r,id+ )/+ rcDreziDti acceasi sunrafati-

13..5.. s. dn^rmin- reprezenLarca. impl;citi penLru supratala: d) r ,rsi f.+NLj l(Mr+ "r')k j t) r:r'+sin : :t4+cos '. i-t'- a.

' 1-,1. Fie supraiali r:i1"+ +1, r:1tz--t+ 1..4-. 1t1) + 2. Si se..riratcci-L curbelc coordonatc I, sint drcpte, iar curbcle coordoriatc t, sint cLl.):c piani.

,15. SiL sc amte ci cu.bele coosdonatc ale iuixafefii:

16. 5r', r^ dr.n, ,;r , \rr"rnirarea \.clorului r - {,/ t,rji t,,, . 1/? j ..-

;tu 2',k,l..,rirunplau.c scs-rie" riliar.errui ptan. \.i s" j,.ri,..c .,r.r

It,-utui r"r'g,n l.r suti.,rr ,1 inrrull pu Lr 'ur,nr al \i'u.1?. Sli sc scric ccurtiilo n,,rmalci ri ccuafia ptririulLri tans.rDi la *rn.{hta :iI 1 L"r,rl l/... p(-.rrr

.,r ,:l , .i - :. r.J .3. V",./ .. t. , )..r,) /)r r ' ... i tt ,r ,j : ri- .^.,,k, t1,{1, J. J,

, /1. r ',..'.i r/,- , I,j ,t. 2ft tt, .. . j. , .. -..1, :, , .,, ltutt..-2. :,.,.j ,:. -- r. ,?. .l1Jr., 2. 0,.

i t:.

s) (:) r: -l l r + ,-, :. 2{?. J/o(/t cos r, ft sin x. ft) : ,

r') {I)i:?'cosr. I -.. sinr,z:r. 2, r.1.1o11,0, l).

. .,l : tl :, ,'.'i. rLLr.rti.r ltrr/rului txn8ent gi ecua iilc normalei ta supratala.lrlr rrrr .rrr,'l .r.r,1,1 irl tiu

(r/ ':ri 1.j - 'jJ .J.k: 1,. ,., F.\i -, , 0.

lq. :. . u,.Dunsu',,.,iirurnipltrar"lorsr.gmcnr.lorriiarcDeryete,l"c,or-J' plJrr,l rlrs ur 1.. .rrrraf3ta ,:3 lr3 ?z t - n,i r,jc corr"r.rnr.r.

20. lrr rl nur .r .rl ,liu*,i.lrrln " "V ,, --t 0 normalx lornh.,/,cgrrlc crr .rr<elc dc coordonate ? a,

rr. si 1 Ll.nr,r)\tru r.'L pdrr.rul in carc normata ta suprafala x2 | \t2 + z _ l"l,nr.r-.r,.,ii I,l.,,,rt 1L/ r^.fI-, IJ.gat.] .tisJn : cJe ori; rc si ,t, punrr,,I

I ,t

'J r'.1r. ,1., ir,Lil,r ) , . rt,fJl,rrd.

22. Sri se calculeze hLngirnr:a eiemcrihrlui dc arc di pe suprafala j a) x : uN -l .r,

1 rl.: '.r:,r11 li--- t 0.

23. S,'i sc .rratc ci supralctele ry;:.i3 si.22 : r +Jr,+/(r' -rr) silli

.,i, ,nlan"l, r ei rrr,. :lnr ortugunalpj.24. l i j.t|t3l.t r 1i Jj .in 1rr r)k S; .. d.rcrmiI.. unllj..l ,hxrr..

.fj,1 0 .i {t;rr/ r. .0 p.supratali.2;. Si'r sc. calc u,Iczo .unghiut curbelor (t,1 .,/:;+ i yi (t.) a:: , p"

"nlr'4ii.ifr r = ?iaos ri,F ?, sin?j.+.?dk.26; I.iidd dat el;ncihl rtc:a; pe o irrprafati si sq calcuiele unghiul curLotor

fi l'r, pentru ;_

a) d5,

-.(d?,)s.i. (d?),. (r,) l,= Zu,

llt),

=zu; l

I'r '1. ,d?rjj . \1t,.- dzttd,)t2, (fr)r u 0. ttrrTr .?r-0.2/. 5i j, dil^ unghiuril. triunshiului cuLil iu, detFrninar dc , urt,"t(

. jt.



' 23. Sir sL: r.rrtule(l',)?, : 0. tl'.L, :'

ze LLnBhiuLjle p,r Id. (1'3) r:0, (rd

truhrcllllui . rrbilin;u, dFr.rmindr de curbele

24.: ,1. rorur I {,?f, 6ros ircosz,, ) -(a+ bcosr).in r.z._Lst\u,. " dr-1. .,. rrb. "., rJJ ate srnr oflogonal^. Sj s".alcul-z" clemenrul de arieal tdrirlui.

30. Sc dn sl1pmla_ia n : u cos u, v - r sin ,._z : . a, Sa se d.termine unghiut,curbclor coordonaie. b) Sii :,.: .icicrminc curbae aepesupirraii. or1oa";li" ."it"r-.on:t,

Jl. lrrrrrrl JaLj sf"ra r -a.ostt.in.., . asi r,, sa s.arate c: curbclc coordonate:ilrt ort,. olrale. Sa se calculeze Diima si a doun formafLrndamcntali.

, 32. S, .^ s ri. a doux form.t lun,l. r,r"nrdli a suprJfctLr :

,. l/"inr,)_r.__."jLr r_rj'.J tt:,, r - u l_ u.

J3..lri^ erp:ldLr \ .//.osJ,.) .r.inrr, ? -u ... a) S) . d,r.rmin"

,,Lrshiul eurbclor ltr) /r c,: 0 ri (t,) ,, - & + 1 -;-"- b. b) Si se calcu_1 r unoL.ul c-rb"lor coojJonar.. \; sn dete|r.in. . nI" , . u". , rrc rdjc torLe, u.t t( J - tro suh L{ un8hi d^ b0".

J4. l'i. .l|triJ-ia \. rco5:r. -, -.,,in?. : . dJ. 1) s.. sc .r[. uruh:urjLctriunghiului .rrrt,iliniu J-rrminJr ie ,urb,t. ,r\r I - t. {1., t au"l2"1i lf ,)'-n,2 o" 5up.afariL. b. S; :e derermiue ridi". nrijt . ortoeon"tc'al, Iami-I rrh, rfb.?, (t,.t-- ..ton:t. rLr"at.pesuprxfLli.cj -js s.ripJ dnux lormlrrr"(] I lr.n Jl,i I suptat-1.t.

.35.Fi uLl r|., suprrtufa r . ,r cos ri L ,r qin .jj ri.k.

".1y J.termir,c a , i,

aslfclca

unghiulcurbelor rr+,- 0 ti rr-,:0 s.i fjc al 90",; h) .]6. ; , ) 60".

' 9.4. Suprafe,te riglate ti de rota{ie-l

o suprairfn gelexatn prd dep14a € un.i drpte tF spatir y,lun,etrc sn/.arali ,iglari.O sxpraJafi cili'drica est. gcneuti dc o d.ealJt6, gen€r5l.irca, rnre se dellasc.ri ii sfllru

' ' ,i,'i" t t". clr c, o d:rec,ic fi\.;. rp':jilDdu-sr p.o cur-.1 Ls.. numi.r . ,,t-t di." r+1.".suprafala conic, este o $upraial gele.ati de o dreapti care rrece prlnh trr ptrrct tix, luruit

virf, st.ijnrindu,se pd o c rb6 tiil, rlmit curbi diiectoa.c.+rpDrrLr \oioidA,u ..lrn drr. (or .Lp\dtalJ E,1rd c J- o d-"p{;

"drcs. d.a'r.

sa/: i ' {ctiJ, rlnrl 'hd DJ'atera .u un ptao drr ]D, grrt pta Jirrr" , r^ ip,,j,n; p, o dre,n,,.d,. , -.i tco, Lo;Iif,J C.

S "' +rc s'p, ht.r do.orJ,:c suprdctc e^nttr d6 o.ufbr C c,r^ sc ror"r.., rard lLn.,,r,,'fu jurul unci are lixe d, ln iceastt rotafie, ur pu+ct at curbei C .lesole xn cclc cu cetrttul pc aia .te

r Qtatic d ii,plarul ccrcllui pepcidicllar p€ ur, briD nr@re, s .ai 9a dc .oiatic poale fi sencrata

'lcu1 r.' rardrl I- cu(enrrrt r.dxdderororied,pt"nur,e^utji perp.ndi ,lar Fe a\d r, sprirr.i .dr-sc pc curba datt C, Cercul generator s€ lumcate po.atel,

9.4.1. Prcbleme iezolvate

1. S.i sc scric "cua ir suplrfel.i ciliodri." al" c rei g,.ncratoarn sinr fErrtot., u dL.apta d ri care arc curba di|ncto.r-c l/-, pinftu:



l,) ( /) 2x'.+Je -22:0, r+z -1:0i,:l- rr (C)ll

c) (l) care rlc dircclia u12, 3. {) ;i (c) (rv - l)'+ i} + 3)g + {: - 2)r -25 - o, :t -l - z + Z =' o.

Rr:,r,,/2. x) G.tr.irl.atle, finrt Fralelecu d arrle'J$dre'tre r' I t 'lccLrr c uaftl'^{G)

''d"r'd3_i{d o'r"'C :i_ l l' '|"aroaL

"'i., .',,, , .

'r,r'.c'rnr doDe curbt c ii c t'cb ic se ic cotrrlrtibi1 dete''

l)cci, ^/.nsl cnN\N-i'+::t' Fll+1-Lrrs+ :l:: 2==n

":-l,:t""t':u;;', ;,; ;

',*,,, 't.ui1 .,currii si a prha, o rr'rr-(ri Prlr'':1r':-1P 1l/2 rnro'

,,,,.,",i," ",.*

",."iadr,alic a,isteN,,l,i .,1irr r rlJtL L .t d, r,Jr,LrLliiJc s/. .- r L Fir3-4-

* ii ii",*r . *t""r"f"' *.biinc clirnnrind pe i, I' ii'L'' 'rrui'L[ E ic Li'rL' q rtlr1ia dc r''mp*tr

;";;,,-.';, .-I, x+2v+r- r,5),x- a^ +P--I:0lndDulr r',)'-J+'+'ilj' .. ,"', a;, ' r-r r 2: 2\ {- 2 -"-"

r,) l)L(l,L$ric{ trfiilcdtPllilstrblorna2l -rt:u r r':oti "'" lrl:':'l' 'li]d:-1"",",,,''"',',,,,,i t',"1* il,rutiito snreotoarci,i'r (',:' r)-r'i-i:Lr':' rcnnldt{u4it

,'-- l, -i, "-3i.-1,,2C-/*?:'-0,r'+'-1:0 trq ie 5i tLcLor l)ntil'il JercrmiDah'

tr .,l.t ,' r-: ' rr" '. rrorfr':lJc"ll" r-:\12 _F-2\)r-

l':Linlirli](lauLtlDcnrll'Lrii)'iil,ilLt(c.LxliilcgclLclaL',.| L{nlnliddecanrPihbihtlte,oblilon.,r. l ' f r'ti..'l*r.,1: -,_ r '-l:-I 'r''t -l: -3.'11 -r-34_0

r, (;' r t{t.nr,tr { rlir(f'

tr( ii '11 r(lcl cn dtrnliilc lor sitrr

':-, -t.::- ",N-::J ri,, il - .y - 3a - 2p :.: r , 2" - ' - 2d - | =tL'

l3

Ilri (Lrl)( l0 srr l) orrtl'(/i 0r lt ltrn(1flo trD1orn8rc' Sistrrnrl (lc €lxraiii 3z -2y -'"

?"'l;"";,'i' - r;'' 11' -;;' '(: -2j1 -2r-0, I -,-z 2-\t r.trtrio 3a IL6 conrPdtihtr

,i".,",,,"i ,i' ,,l,Lirtr, 1', r din {'csr rrisrotr,"l']ii 'rn lolaliu 'l' cor'r)trtibihtrr' ()'-zlr-5I+

:i; :;;-.ri;.;il -";r- Lr))r-" j-r) tLL'rorn,t uuur r^ l'rrir l rt s hrtr' ocustll'[",""r ,.*'i si r(,]tiitr {to co ipdtibiliraLo, oblinedr ccMli{ sn]rurctci (-t-2v+2a_5)t+1 1.- r, .- r. .,r' -- ilf 'F (-41 - {r, + J, - rc)c _ 2J = 0

l. Si si scric cctlillift cl]irldr'L tLi cilcurnicris slului r _l- J't -F tr: L' itiilld c[

g0ll( ritlr)ilrrll srLlc tolrlrciLzr'L rrrrghiLrri irgrtltr cLl rIj(clc (lc coor(loui le'

it,:,,ha4 l).doko0 g,lLiift*otrfl'e i( ldsaz)l Irqiii' i rqrlr cr ''r'lo t" oDrlnMrP h ltn 'd,;,,,,1 ,tt

"*1,,(cos1, c;sp ('s1) - cosx (1, L, Lr' llcrLihLh Bri'unt'ricr Pdt ri scris' \ub rorma

'--,1 ,I-J'-::,:s str,'*1,=,r-"1,0=)., t -.*x,-'0=l' Inrcrscct'h scnertiotrelo

111

,r,1.( ri pu;,h coxrilin da irler$eDli{ s[ iiouu si

Ar

luroll)cdi siiterhrl de Ecuafii

' -iv-I'

",.,,"j+r,+."-r=otle|triosldiLriiosi[srr:rsduti;inlo ildlri'dinlrinre]eeuafiiln^,,,"'. ""1'"'l- 'rr -2(1 +Plrlr:+p'r-I=0 P'dLru

'aaoensri cqrafie sn

'ibeo sinaDrd

,r'(iicitr:,tLerun'ft2(r l_P:-rPl -l:o ltL" 'rirLi5i II'LtmJr'r+lr'lafrtd€mNFatihititate

si ""*Liil. *".,r1,.,"i, oL;i,,enr ccnrlia ciljdlrLitri (r )rI F(L-:j: ( r)(t :) - j/2t0'

3. Si sc scLir: rr:uafia sLrpr':rfelci conice cu virful in Prhctul I/(0' 0' 0) ti curba

dircclo,'rc (4,) ai I l' -1-:i - {:0, r: -.1'1 - I :0'

n.;al,ar,. Ec riiil0 sdr.Lrtonrci sint a - l - : Prniun conlifia 'aac'slta si se 3priiin'

pc curlt C, vri,etJ(ict sirtcdnl

'lcccu{liit:}--'':p: :+-}t+' - {:O:

"

-11.;.1,:n

sAti(:corl'rli,ild.nrniMtltli,iiind,,l,,LlnenssLe'd'obltucLncundlirdcLoPrtibilitat'-lir+50:+l-l) l)litri|ir'l pd,nin.t'Lr rrip l'rtr€ acctrsrr'

'clafiedc compatibilit'te ti ecualiilc

godcr:ildNri, oL4i ri D c0tr{1r strtGl.loi -:jrr -f 5r + ?: - 0-

4. S: se giseascl locul Beometric al taDgentelor duse din punctulld sfcm (r - 5), + (-i, + 1), + r, - t6: o.

/(0, 0, o)

' Rctalvt.. Ectzla tft; <l .Frc @r.cee pli l/ rsr": -" -" I,rlen c.ndilia calg

d r€pli sa itrtersecteze sJcra rlmai lltr uD punct_ Ddji cualja {7.r + F + 1lj. + ? (s _ 5), + I{). * O

ftebuie s, aibt o siDgure s6rxti.. Oblincnr artrl retatja de.6mpatibnn.re l5t _ 9F: _ loiir , l0:0.Ani$inird paranetrii I ti F hrre @.str

'crali€de .oD4Eribrnare,i ecualiite tangcnrei, otrlir€lr ecua i.

colrluil5rr -.

9l - lot, - 16rt -O.

5. S, se srriF ecualra s,,p,dlelci ronoide gene,are d, u J,"jj)r:i , Jr( r ,r ..jlnrpe axa C,?,.r;mlne paralell cu planul ro-t;i s. sprijini p- dre.prr ,.,, r _ ;

-o.t+2y-3-0.

R. aha/.. 6e0.ftt.tt6 G p@te Ii insgilata q njrc.setia a doui tjtaDe : unrt parar.t c ro1.r - I, si unrl Idclnd parrc <titr ra$i6l'n de ptane @ conlin ara O,, , + ttr, - 0. Deci (C) :*r,. + pr:0, PuniDd co .litia caG si * sprijinc pe d, obtincD sisrend z - ir, i + V :0, ,-r<tt..+2/-3:0. Elimnrtnd ?, n, din acest sistcD, obljnen cordilia d€ coslaribiltat€lr + s(J - 1) :0. Elioirhd I ti p irt.e accasd ecualie ri eloliile g.,..4toorci, lbfiled ecuqlia

llrpntrlei ?:-3(3-?):0.

,6, S[ se scrie ecualia supmfclei gcnerate de o dreapte care se sprijinl pe dreapta(0:

=+'.:, rimhte paralel.r ru planul (I,)r- 2] - z - O t,i se sprijinlL pe,1

cl'lrb lC) t - 2z + I - O, a - 2z - L : O.t t.)J - zz L i -u,,Y - zz _ I :o.k41tud,c- De@kce ccurtiile lui r' * Iot scrie : -:y = O, , - 2, - O, ecualh uL ri lE,

diD falcicurur dc ]oE cc ca"lte .a^pta t.ste z -z, r^1, - zi - A. prin trrhrle, ocuoliit0 scnelEtoarei srnt (o)

' -2t+1,1' -2 ) ao,, -2, -, -p.I,lnhd conditil c{ c sA & sprtjnro dcr.ba C, rozdt8 ce sjsteDu dc acuafii, - 2y +

'l. - 2r) = 0,, _ 2r -, - t,,, - 22 + \ - 0,,t -2t - l-0 hebuic r, iic.odpltibit dctemirar, Oblnrefr asltel elalia de conpatit)itit.to

3 + ar + 3l({r - l) F 0. Eljnnrhd x ri p l' t.e &edsia Etatie de comlariLilitatc ,i ecuotijtc Borera-r@rcl,oltiuon.cu.liAsularelci(2r-tr-U+3)lt-2r)+a,l2r_r)(,-2r-r-t)*0,7. Sd sc.dctermino ccullir suprafcf€i ce:se oblj.se obljDc prin rotirei curbei (C)

' t'; -t; - t : o in jurul txci or.

fr,,barr. Cdonl dr t.l I nre centrlt llc aaa O,, r^2. v..inbilA i ,ta ul sru esle p{pcrdicnterp6 Or, Ccrcrl I p,ale ii isrLinat. inn,stin rn.i ste.e da mza variabiin, cr c.r rut jitr-un blncrd6 p. at u: 9. ',n tlu, id,pe J'culJ, pc Or. LuinJ d,g kr c- nrn., .t .(.i O*,

^.zntrAll) ,, + rL +,'., N, r - ir. Dtu con{tipa ca I s. se sp.ijnrc pr orrba c oblnreft sisrcrtrrt

r=0,:-/ -t-o.r

+yr

l-?3

=-t?,r:t ,

Lrre r,rl,Dic \:1 fie carn+ iiLil dcf.rn'Irnr,Eltb,bird.,r 1 orrt:nnn, Fratn tb co-porir,irirore { -,"# - ,=n

.di d). -,?+)j+,rtil,:'ireca:l.ccralie,oDtilenec"atias"p.arc,teia-l:l:t-a, L)2

8. Si sc determiDc ecuafia. suprafrlri ce sc oLtnrc prur rotir(-, Llrrl,t,.i lC).+, .=2, :0 h jurul drcptei (d) r 2: o, y - 2:0.

Ru'hd/. Ua punct ar d.eprei d p@te fi lmt ,tto(2, 2, O), i& dntcfia s. esrc (0, 0, l). I, D

o.d.rc, ceaur pamrer este (I') {, -2)z+(t - 2)2 + ,2 : i.r, : : 14 liljn rird r, r, , di si:kxnrl

l' - 2)' + lr - 2), + " 1^', 2 - t" ' -.1-.-2, t=0, obtnE i'-a11 _r-0. lntuctrinrt tDroesr{.urri,n6r.ratior,-lz-2)'+l?_2).+,.$F_:di;:rcunl,ilurrrcutulrh,nt r, Ll,ncm5. .ti6 rupcieloi (, - 2). )- tt - 2l' - .t - a - o_



rl. Nurrriul LrlLnJr nroi"cian (de proi..lie) il unei ,urbe C pr un plan P su-

u,rl,,l,, cilirxl,i",lavinds"neriroarFlelarrleie.rrdir".{idnorral-ila.planrr drePt

irllrl, .lif,r'toare " rrba C. a \rba ob inuti Prin inlFrs'cii? trlrndrxrrnc I'roreclrei;;i;,';li;::i;.i;;,r;a d. r.'u" "ui'l*i prin inrF,s.cii? ril,ndrxr-ine I',oiectie

ll rrtrl(i r:.u plJirul l:enunrette Proreclr' a 'u bri 'p Plarurl /r'5a r' d^erer-rorecttc a cu bei C D nlanrrl /' 5; - oeter-

ijiririi,;rii",i."i rj-i..t'nt 5i cdrba-proiecfie ientru curba (r,') -1' + 1' : x r + zr -J |,, 0, pc planul aol,.

/littrarr, (;..eruloarele cilinilrului Ptuiectant siot Dar.lere c r\r o' dcci au ecuatiil6

lltlr.-1, I -r'. r" "in:ra"-lli.tti' d'n si"lcmul r-J u t2 : -l -'-

i'tt, ,r ,"l.' r"'"r'., .l- -.1rf1ririli "r4 F: | {r + zFjr - )' 1 'a " Ll'-e

f r'rl I * r ,ri' .curtrru geueratoa.ci, olrtinem @uatia cirirdrnh i f'oi'cratt t' il' + 2 )' - t-O

llur llllr m rl rroieclie sint t + (: + 2rr - r : 0,':0'

l(l lri,'cLrrba (C) F("-, r':t):o'G(' f, z) : 0' Sr"r sc arrte ci gisircrt ccuati€i

illlllrlrrlnr Proiccrant al curbei p. planul'0-t

revinc la a climina llriabila z din

rlrl,,rirnl f(rllrlt cn ccualiilc curbei.

/ldrrfr, l:,'ncralorrelu cilirdrului proicctant snrt {C)}: i t: l rr:lnnirJrer lui'' 1' '

ditr

rlrrrr,rrx.=)., t:iL, Flt, r,4:o cl, r' z):o * rcduce ln a eli in'

din ecuatril€

,,1i, r, :) ,.0 (;1t, F :):0 Dcci i0rntiadc conrPatibilitatc cst' ol4irNli' P r eljmnrara lti tnrire

tr{lrrlr r /rii., r, il - 0 C(). il t:o Fic acalrta ftialie HlJ,rL}-o irlocui danri1-''Ir*t

rl||t'Lrhl,Ll.ltr cul,1r'. r(,,t): O Pcntru @uafin cilindrtrlu' Dicdtnnl''[ioln't *dm de ndJrl

;1"',

, r'. 1 ',,. rrlli,s ,r ). ur =: n ,c,'fte (l .c ali^ ''l

\'n u'l pn ie'rrnt il (urbei c Po

l'rr'l t - ri.r'Prirc'n"t nl,'?i Fc'"iiirl('n'lPi

9.4.2 ProblcrDe proPuse spre lezol\'arc

ll, Sr' sr: s{:ric ccrtrtia suprif(t,)i ciiin(lrico alc cr''Lrci gLrncr^ionlc sint Paralels

.fl (lr'irt)1ri I si (:irrc aro curba dirc'ctoaro C, pcntru:rl ('/) r.l )- ".,0, r'- J --: =' 0 ti (C) 1 -l-ltr i' /3,: '- 0;

l,) (r/) ,{,1' dircclia u{6, l, l) ti lC, t3 -J3 - i - 0, z:01i.) (i/) .r1r di'cctia u(1, 2, -l) ti (C) a -l- y + ':

0' .t:r + ) + ?'- 4 l

,l) 1'/) i.,-l== z Sl lC) x'z+t'-a:0.2:0i

' {r ' '- "i rl.t '" r' -l-0: ui2l 9l'i

r) (,/) Or ii (C) 1 +J':-3r'lzJ-t-o,z:o

L2. S,i sc tl:tcrrnin,: cr:Lralia supra{ciei cilindrice a ciriri cLrrb:L rLirccloarc rste (C)r Lr :r r:, :r : 2z fi alc cirrei scnentoare sint perlcndicularc pc Planul curbci

,1r.,-'.l. . s-r cljiis.rsci cculliacilindruluicLrearcc'r dircciorr crrb'r (C) xN - 2:z'

I \ I : :0, Sc[crntorrele fiind PerPendicrllre Pc planul directoarei'

I L Si s0 scri(: ccuali.i cilindrului circ risr:ris sl'rrei (' -- l)'+ (l - 2)'+

I (, :l)' '= l. cu Scncraioarcle paralelc crr dircclia u(1, t l)

lii. Sli sr: sr:rir: cctra i1 cilinrhuluicircrrrnicris sfcrelor (r

-2)? + (Jr

-l)r +

., Z:; ii ri l- r -l- ; - 25.

16, Sfuxl v: i'.ir l- : -- 2r == 0 cst( lurrriurt:L (lc un tascic'Jl de raze paralele

zoy'

direc-7,,Si se scrie ecuatia supnfefei conice cu t':lr{ul in punclul ftoare C:

a) r/(0. 0. 0) si (C) z: a. ,";2: a*;b) I/(r. 1, 1) si (c)

":0.x2+y2 4-ol

c') Vt2. Z. 2) :i ta) }' 4.r + I o. ? 0 |

d\ vl-2.0.0) 9i (Cl 3rx+ 6J2-z-o. t:- +,. t-0;e) v(o. -a, 0) rj (CJ r, + Jx + :2 : 4, t * z : 2 :

Ii 1,0. 0. 0, ,) (t.\ r a<ost, ) a.;nt , bt.

18, Se ccLc ecuali:r conului cu virJul F(0, a, 0l circumsr:ris stcrci+ (r - b)': tz.

19. Sa' se scric ecurlia con[lui cu tilfnl in I1i3, 0. -]) si xic c:"rlui

sint tanaerr. "lipsoidulu; ]1 t. '" t ' i 0.

20. S:-L se scrje €cuatia conului cu virftl ?n p|ncrn1 t'(5, 0, 0)latoare slnt tangente la sfera x:, +:r: + ;, 9 : 0.

21, Si se scrie ecuatia supnte.tei conoide, gener.ate dc o drcattr"r cc se

pe drespta d, este parahli'r cu plarul P;i sc spriiiniL pc clrrLa C, ducii:

a) (d) r: z, j: o. (F"cty. tcl * -*,I : 0. ,, : 2;

b) kt) Lt+ z 4:o,3y 2z-z-o, (PJ _r+3t ?-Fll=.0,(a) r 2: -u 2.1'-t::.1 -O;

.) (d) oz. lP) xoj, (cJ , - t. v : t2. z : t3 .

dr{dr' : .,i'l .r it i-z-0,(lr- 0.- 0;ll

iDtcrs€c ic dintrc

pl,rDtll i0_r.

ti cDrba

prjn ror I,tia

.) (d) x I :0, r==0. (P) r+-r- j:0. {al O:.

22. S:L sc scric ec llia suprafetci dc rotalie.'t

rnmictn jurul dreptei l, pentru:

a) (C) ,r' - 0. k - aj + ., : b . (d\ oz:b) (C) }- t-0.2r-z-0. Id)O,icj (C) ,: 0, ) 2F:: a. @) ot':d) //): u. .,, + | o. {,i) o.r'r u ov;

e) (c) ot, (d) r: j : z;r) Q) ,: o. ():, -t \,t - a,(t, , \:):0, {.1) or ;

t) (c),:0. )t3 - r )2:a. @) ot-

2J. <: .. e;r.,x: i F.uiriilc proirti,.i .r,rt, i Jc

;f ;':r l- 0cu pl r',I r l4:-.1 -0.p24, Sl se demonstreze c:r proiectia c rbci lui Vj\.iirni x: + ,r.,,F

t + U, - ot - 0 pe ptanul rO: esre o parabolit.

25. S: sc g:rsc$cl ec ajiilc proiectiilor curl,ci

- l2z - 6 : 0 pe plaDele de coordonatc.



26. Sisescrieecualiaunricilindrudeiotafiecetreceprinpunctuiiuo(-1, l, l)

Si arc ca axe de rotatie dreapta (d.J x : t + t, y : 3t + t, z - t - 1.

27. Se se arate cl suprafafa t : (u +")i + (uz + 1) - t): + (-r, +, + l)k

r, prezintS o suprafa , LilioJri.e.

9.5. Cuadrice pe ecuatiile'lor canonice

4 se ,uEc6te elipsbid srpralata a ccrei €cuatie esle

-:r.:F- t-n.

LSe nt4ctte liperboloid cu o pirzi snpralata a crr€i ecuatid est€,

r1 4t:: +: _,:+_ 1*0,a2b^C

H,p.rboloroll (L o t,o/. o -,1: dou: L nlii )e 8. .r.'@r. r.cn nj I

/ vl 4 , I t--)ll-.1, ---= lt- _l,xct(,

\ b) a . )L bl/ ',1 .

; .; -'t,-;r. ;-;:.u [,.7J.',. n.

)se nn4 rte birdboloid cD d;"d ltnze su 'alata a ca.ei suat'e €sr.

: __: _: rl_n,a' bt

h * ,"r ' -r. paraboroid phphc sup,.IaF a dr"i a u-li" ".r"

-+:-1..5 t. rtb.tlc panboloid bipcrb.li. sapraldta a,ir-i rudlic c{.

L -L- ),

Paraboloidul nip.rbolic are dori laDitii de seneratmre re.ril'in:

(r)

t4

{3)

l,rt

.(rl

l6l

(?)

(8'

(e)

9.5.1. Probleme r€zolvate

l. Fiind date punctele fixe F'(0, O,

-r);i F(0, O, c), se cere locul teometrio

al punctelor M(r, y, z) din spatiu, a ciror sumi a distanlelor la cele doud punctofi.\o este coDslanl: ti egal: cu 2a, c> ..

&aat@/a Dw lMF l + IMF| * Za, rcznr? tIF l :2d _ lMFl $i pritr ridicac la pitrato li "o IMFP-,ta. ltuFtl. aaltl-.12 -rr,t,, |,t+1,-,1,- .z MFl,t rf..auf.r. Lv _(: .r -.11st

"|,F+1,_,1,- t"M

tMit." - t. Ridi. iud dr no, td p,.,Jr oL,n.n .: I yr I p - 4' - o" Ia .t -

un ellpsnid de rohtF i. jutul a:.i or,

2. Fie punctul F(0, 0. fl ti tilrndl rl/ z . . - O t" cere tocut Beomcrric at

puDctelor dir spatiu. astfel ca raportul distanlclor lor la punctul F ti planul p:i fi, onslant 9i cgat .u -. > d.

-rr:,/,a,'. Tebuie si dere.nnrnn puncrele M(j, r, :) d,, .o"1ro, p.".- *- 1@ :3 a1,r,"y,'d(M,

4 fii'd dista't.-.re rd puncrur ,1r tf, tranul rr o.., vF: 4 r"t.r,"t,

*r"r".,

t I y. t-tz -t)".. " l,- "),,'.] -{- _,':0.d't .l

Prii nnmre, I6d gsmerric csre n, rriperboloid cu doua pnrz€, <re.oratie to jurut s*i 04

3. S_: se gtseasci pmiecfia p€ ptanul r0, a curbei de intersectie a etipsoidulur

'. + "l+ a- l:0 crL phnul 1t+t + z - 1: o si sa i se derenDine centrul94de sniiet e-

Ra.lra'c. Prir etioim.m tDi z intre {uatiite cnrr)dj de inr€rsecfie 1q + 141i - 1: q

t t, +t- I * O obti&; ecDafia cilin.lruluj proie.tanr ts.,. + 18,, + t3.- - ,") - ,] - ,, : O

DTi €Bnne prpi@tici sltrr z : O, 45zt + tsay + t3 2 ,$z-t,r-27:0.,D@ce d .

- l-: .: l> 0rit\ + 0, rczull.l La proiectia cste o etipsi. Coordo6tete @nt.lltri stisf@ sisremut| " ,rt

{5, 9 e-o,qr I ry a .:d,i.+ , -,1,

a. se de hipcrbotoidul ,u o prnz; + -+ + - r-0,i pranur (p){.r-25to{"-5Jr 10r - 20 : O- a) Si se scri€ generatoarele rectilinii carc trec prin punctut

. Mae5, 4,2). b) Se se arateci

planul P intersecteazehiperboloidul da.t dupidoui g€neratoare rectilinii ale c[ror ecuafii se.cer a Ii determinate.

R..olwe. lI;te dotri famitii de Se ;ratoar. stnf, dup: (t) Si i{), date de

ps '1 . )lr ri.'.1- -lir-'1. ".^. 2 | 4l - /..( 4t

p,t .- t"- -, l,-rl, I .1, .'l'r /i. p-n. 5 2 ( {/ 5 / }i {,a) P.ntru detemin@ eeneratoa.eto. rectilinii cerute von punc @rilitia e ,- -5, ,-1,

t=

2.a vsifi@ stra$ilq de mi sus, Oblirem ). : 0 fi F : 0, asrtel ct €E @t€rcle erute stnt2t + 5z - O, :4 Si Z' + 5z: O, t: -4.

b) Pdt.u q pladut P sn ir €rsectee hiperboloidur ctr o ttrd dnpd dodi genmrodc ..ctililtlt . uic s dGte l. F= n edei incit Cr ti cp sd iic continute tn p. peutro 6 p 56 corfi 1 Cr

mt. n.ce*r ti suljcient e sistemt 4' - 51 - 10. - 20 : o, 4r - 5tit + Iot - 20I: 0' 4)" I

1. 5/ - lo z - 20 : 0 si rie .otlPatibil nmP,6 nedetermimt Aeasta imPli'E 1 * l 5i d'ci u@

ah ftmsatd- esle 1,- 5t + tO. -2o:O,42+51- l't -Zo:0 Pnttu € P sd con*ricp

n t noccsrr i suri.-ient € sisteDsl 4t 5t-lot-2o:O 4t + 5Vv + 10t - 2Qtt - 0 4V'-

-6 -IOW-20*OsIliecolrPatilrilsinPtunedeterminat_AceanadatAcaF:Itidecie_trltn genear@r€ est; ar+r/+ tuz-20-tj,4, 5t-102-20-0'

5, Sir se determine locul Seomctric generat de dreptele 2,

-

32 + 62

-

6d:o,Zcx, 1l - Ld? b-0.dcR.

' n..,r,{r.. Elidllnd ped d,n c.re o.,r -*ri gat. jl *l" - "- r-o e rel''/ntA

rD [iperboloid cu o pitza.

6, Sisescrieecualiilcgenentoarelorrectiliniicetrecprinpunctul'IIo(1,6 -1)lpartinhrd pamboloidului hiPerbolic 4" - z'?: J/.

lidr,r','.. Folosind lonNlc simila.c d (E) rr (9), re^lrt 'acele doal ladilii de g'trerd1odr6

tr|. pn6 'olorlulur dat slnl

\ai 2,+z:?t'2a-'*- ' rt n,

lG )t 2t 't-lY'2'+t'-' $e\''irt

I'Dol'rl c D.l4i6 c. ac61e Ectcfrtdru si lracA Prin PDDctul Jtto glsim tr--:Sis-l Pri lrdtro'

col6 doun EencEtoerc rectilinii slnt 6: + 3: -, = 0, 2, - t - 3 - O ti 2t - t - t' 0' 2t +' -,

9.5.2. Probleme propuse spro rezolvare

7. Fiind date punctelc frxe 'ic{O, 0, c)]'i F'{0, 0, -.), se eere locul t(omctric

al punctelor din siatiu, a cltor diferenll a.distanlelor Ia cele doua Puncte lixc esto

constanti ti egal6 cD 24, c> a.

E. Fic pDnctul F(0, 0, r) ri nlinul (P) z - 4: 0. Se cere locul Eeonretli( al

punctelor.din spatiu, astfel ca nportul distanlelot lor la punctul F ti planul P sd

fie constant gi egal cu :, c < a,

9. rie nuncrul flo. o,2l si Dlanul (P) ,l L- o. Se cere locul seorn'tric2l' ' ' : ' 2

al punctelor din spaJiu, aie ciror distante la putctr FSi planulP sint egale.

10, Si se gdseascva pnnciele de interseclie ale'elipsoidutui -i1 1 21 + | - r : o

cu aheapta x : 4*21, t = -6 -3t' z : -Z 2t.

lli Se'se determiae curlele de intersecti€ ale elipsoiduluill 4 f,+d- ':o

cu planele dc cot)rdo.)atc-

12. Si se sctie ecualia planului tangcnt Ia €lipsoidul j + i +- - I : 0

iE punctelc lLi dc intersecJic cu dreaPta ,: f ,.

u'\J;'-a,-:J' - nl,+Jc t "l+o.. t ot

,JJ."---'., 'J,' -', LN.'tra."-o

_

2. Calcultrl plimitiv.lo cu njdorul schinbi.ii rie iariabitr. Fie runcliite n: I r _/ ,t _/r _f + ,.Pre$p,,oeb c / are de.iva€ .i)rtinlla pe / $i €. / esre cotrriDui pe l. Dact I flt)dt - FU) + o,.

'.'.' J ,{L(:.)L ('rdr : F(r'')) + c.

3. tlctoda int.gri.ii prin pdrli, Fie/tiA d.Jr tunctii dcfnritc pe i ntetualul a D&a / 9t A rudc.ivrt. coltinue pe I, atrnci se poate aplie torNna.te inregrare p.in pirti

ltq,<t,:tF_l{.)}..4. Pllelliv.l. furctiiror mlionar. ln r. I:ie /?trr: ]]jl,

", s.,.j plr) < sdd otr) Dara

0{')-k-'rf,.. (*-r,rr, rr<re 't,i=1,2..... o lli'..,,".'nu. rqrG rrErincto 116 porino-nuhi 0{r) ti ar e N, j = I,2,.-., tr, cste ollinrl dc nrultiplicit&re at .rdrciaii r,, ahmoi dee.o'n.pun.r^1 ln frr td r.'nD e I ir ftr,l i{.

l,.r P(- :r r, ,.. r - .--,...-

', "tl, , ,, t, .,,j: (. ,,"- y,. + , tt

-r r..-, ''" .,, rr)(" -'.f (, ,,)".

Da.i pilinornnl O(r) ^rcridrcni comptei€ d ruirna z ir, de rdlq de b,nHrlrcit r. D,

atun.i in d€scompnne.ea (1) apa. Ga4tii sinp,a .1. adnE

, u.te,z + t', + q: l' - a -ib)l' - o +ib). (?)

Da..e sftrd p(,) > srad t(,j, aruci se i&e ir,p:irtirer,. asder ce ni,): c(,) t -fjl-, '. *akt

grad Pr{r) < g,atr C(}) ii c{r) rr polido i[ r. Reddcca asttel problena la @ul tratar b.i sus,J Int.grnrea an{mitor runclii ir.iioflalc. a) lalqral. de ti?,

( r [- it-{f'"'' l" + b1' t"l k, ,t,. J [ 1,,r., t,.,dj I

un'r,i Il cstc o lurctie ratiodtrla 9i ,, C,..., r'., a. snrt nunere t"b.gi ,

Dai:i , E c,nr,m.nr.c. (?r,. . , tJ, cu sclimbrrcr dc variabila

a. I b _2".,+d

u igLrla (3) s-" rMr.c la o inlcgdle ci fu..lii r.fional..l.) Iat,6'.t|. l. 1i?.,1

.

\ -=-=:=:d,,.r-(t)ttrnd potDoD dc s,ad 6.

J.ldt rb,tl

lr,

I P,'j\---

--dr:Q.4tt)\Jat,+bx+c,r\--

:, (d)) ,l"t' - h\ a. J ,l.x'- b' -.

unde 0,, r{,) este ua polinon .l€ grad ,s - I ctr cr{icFnF dbdetemiDsli, ir. I 6t. utr px]@rtr@1. se dcterdinA rolinonrl 0"j(,) ei ruerrut r p.id <bn@€ ideqtitrln (6).

c) t4ttertt. d. t;pbl Ir'j-k - ')'J;?= 6;=; '

(J)

(t,



r4

irlod,i d hai sus, deducem

, - j{-Ji_''+,i.*"'.+;.Prcc..rnh ca ra rnDcrlr pr.ccitdt. ri6

^z)- €. I,t ) _.o3,, lsdel c.l,(,) _ .. ,i s(,1 _

I - J e' cos rdr - e'n': - J et sin 'd.acun /(,) - c, e ?l - si,,, l'(,) - e,, s{r) _ _ cos, ,srior c6

Jc'sin:dr - - e'cos' + Jc@s"& - - c-cos, + 1.

/ __ Il Gio, J *,,) + c.2

c) nc r. - J {,' + 4 ) .d'. t'tes.aE prin pe4i, rntxr

/(r) *kf +a'F", s'{r) - r si dcci /'(i)

- -zL,l,r + dr)-t-\, s(,)

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I t - rlt' .r d\-, + 2k l,1, xa + dt)-*'d, - zt. . .,1-, + 2, tG, + a\ _ d\1,, +.\-1dr,I" - 4t' + aa- + 2h J (,. +,.t-.d, _ 2d' I (,r + d,)-i-rd,.

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h) Riild.irile DnDittrrului slnt ,r - O. ,, -,,- _ t. Desl>alosea h rraolii sin to aE

1r-3t+z A B c:t+2rf +: t t+t (,+r\t'

Ad .ird la acel.gi Nmitor$i eaa.tind ceticicdtn rermerito, de aet,9i eJad, obti.rnrSi a- -6. Deci

t't2-J,+2 afz I 6 1lff: "'- l:-+-,.j', l*=""''-nr+t '--1 -c

\*#n* : :\;#n*. +\*#,,,= +]o e'" + 3' + i)

d) NtrFitorlr .re ridrcini conrplexe $i deci * p@1e $ric .a sumi de pAllat . ,t + 4x + S

= (, f 2)r + L Mri i ii hcctrr sl at)&i ta ntrDirrtor <lerirsta prrenrczei d. ll n 6itor i

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'+/,,+2,+2:-: De.i- ,.\r= -

d)

- r"VF:;;-i - rl- I'1V.7:;; - t-z'l-c.



10.1.2. Probleme prdpuse spre rezolvare

{. Folosind s bstituliile indicate, s:r sc catcuteze:,, (+'. L--lnIiL) [r(5x, - ]),d(. i,,-i r;

Je'+l J

, l-**.':",,.) jfEdx. x:t"

"i.=-i-.,:+r-1,;', i** + --.,b. liolosind substituiii trigonometrkje cotrverrrbilc, s:r sc calculeze j

", l$0., " i# ,.r j7,-:-,oa', o, j-ra---

") Jl#d';r) \(r +xrrs''dr.

10. Utilizind sul)stitlllii hipcrbolice convcn^bite, sf, sc caiculeze:

"'(.,',.,a',a+0: b; \-;fn ll, a 0:d i-*:. J ir:_a: Jr.Jr f r:

d)i'

zt , t 3 , da.

ll. Folosi)rd .netoda substitutiei, sa sc caiculezc:

"r i1$; rr iSi; o i-u$.o' o) *-u,,"t lt'f a, : { f ;*; d" j *r i ;;."*A;-12. S: se calculeze p.in mctoda integrnrii prin pdrti:

") \r' 'a"' r)ir"""a;';.) i,"'a'; a) i---r--- e"""'" ",r" ;

., i.';r"',a,, rt r..o.6,4,. a-o.bz0;B) \r,e,s,nrd,:n)

J" "".;",,a" ;'t \'"e, 9'

13. Sl se determine o relatie de recurentt pertru calculul integralelor :

.r t,

- l* ".a,.

'rc Nr b) 1,

- \r,,' .,r,..,

-Nrcr r, -- 1ar-*"1-r1", a /-0, e f[; d) 1,: Jsin^r (lr

'l€ N] et t.*

:Jsin-",vCv,,' € Ni I) 4,,.-/tS'vrl.v, '.+ N| {) /,, ..ie.'.,,s'rdr,

15, Sii sc .alclleze:

rur \ ,ll*'1, .

' J .l\/' - V,

,r) [-'1-:--l J ' ,

" J u, pt

16. S.L se calculcze :

r,r IJ ',t"' c) [rf'- '|'r'|dr I-J."i*r J \t+'r

jt=j**,' {=J"'+

,r -S u i-j-a,; .r 11fta.; arJk+r)r1L,+2'

17- bi sc calcuieze:

"lpi' , ,"' "',.)tn, 5+-, ,, .r

,'12 a "; "'6''

,rr {- ll------,} [-''r' r ,'1't' a, \1

i.'rr-*r "a,':

J Jr.Vr+ Vl, J

,,, (---:9=-,r,' [.,{l[ -'+a': 'l IVG-F-*;'J",.iF \J' J J'

lE, S.-. sr , rl, ulcr( :

"'\-'.1.,* t' i;;+* ' '' l;;.,*-L..',:,_r,

( r. i *, ( '',' ' -:*' J : r) \ -;ri -; ct, :

-')"'.rr:-.". -''n" . \ ) 5'n: r 2cort .-J (L-ros'r

x, \-:;1'r',,.1.1j;,u *i: : ,t \:{: a'; ir \-

.i* ;

t i ---;"' 5J- -U "';cosidx;nJ si"3cos adr;

t,) \"iur snr 2r sin 3r rlr;

.r;)_t;inz sin : sin ] ck.

li,. :,1 ., (.rLculczc, i,lo;rrrtl sul,sLitutiilc lui Euler, in"Icgralele:

,$ ;.'===' u: i;;t'-{;''') i;57. r'''

.'.i J'- ,' i--'r' -'{) r, r-- ; | '? J(r -rliri

JttL -. ', .. t,r,t ^ ,

"1 1.,'a r;',,- a, ; b) ,v sn r cos 2.r d' ;

") t"" 'in' ' o' ;

rr ffi7; e) ("" + 1'r")-"dr; rr ltffi ;

" i;;; *10 2. Integrala definit:'r

Irls / o lDnolic d.tinil ii Drl8i ltFe[4 6] FicA:a:;0<t'< <" =D,o diYizine

,, L'i.*i',u,, f"j Dlti8t--'i-,r-t i€ l, r, ", ''Norm' <liviziu'ii A cste numsrur D(a):

S"da Iii. €sn at4latt lutr4ict t corespunzttdre di,iziulii A, 6rc {tetiliti pn.

(1)

iore8bbai peic, hl,l e Tlla, rl), daci €xiste nn lunrir re R ft prop.ietate, cao.ice tir de diyizinri (f,) ctr D(A/) r 0 av n 6An(, * ldic.re ar ri punctele jnt6rmedia 6

4e ?.,1,.t1- Numa.d r s maerte iqtssrara rui / e id, rr., *"**"n

r- fr1.10,.Functd I 6te intesnbili pe L4, bl, I e Jll., ,ll, .laci 9i nDnrai dace

. v: > 0, lD. > oi (l) < D,+ dr(/) - r < ., v:F\e tu.- ilr Jk),,v.: sup {'), po&n

'€ k,-r ,rl. suDere Darbou, su €ri@..

rn(, se defils prit

, sair: , .rr,3,, srd) _ : ,,0,.

t, ciite.iul ]{i Dirb.e Funefia / €ste irrcgraLilr pe ld, 6l daci si ,umai daca

ve>0, 18,> olu(rl) <8€+.sA(/) _sao<e.2, Clas. d ftrlcFi lntcAEbile a) Orice iun.tie contidur pe t4, Dl 6re irtegEbilA pe [d, ,].b) O.ice functi. mlrsirit GE a.e u nuEir finit de putr.te rte di*onriu.itate pe t@, 6l esre

egraoila pc la, 61.

"l Ofl." iulclie motrotort p. [a, ,] ..F in.^Erdh, t "- d, ,1,

3, P.ollietili lre bregElci d.fi ir. ti are runcliilor inregratilq a) Orice f,mtte irr.grabilb[a, ,] €sie ndrgiliti F ta 6I. Recilroe nu e6te, tn geneEl, ade,iarb) Dace J, s e v@, r) ei c, g e n, atulci d/+ ps € 7(4, .l) ,i

f *r* e,r- - " 'r** o ',*.

(2)

sa0) si

' \;a.- -1/a,, \ la.-0.rd J6 ,.ja

dl Da.t f, s e 7 lld, bll, dttt€L fe e t@, b|.

) o'.a 1, s - 711", blj Ftfi*) < s(,), y, e ta, b),

s{4 > o, arrdci I r,l' > o.

r) Dact J e vtia. btJ,4t a6, | t € 7tu, bt) st l["0,I = [',r,*. .*o.* m esre 4deveratigereEl.

))o I Jo

e) Dacz. J e"(i4.

al) F n <i'J < ,11, arnnci

tbml6-d)<\'dr-\'lb-a)l

p, cu z < p < ] t asdcl cn

\ /d. . F(6 - ,l {pn.n6 Iomula {r. E6rti)..,d.

hj Dacl ste co fid. pe [., ,], atuqci eiirr4 n prlcr . e f., at Bdol tlctr

'

'

atunci \ /d, < I cd:. td o*rioutar,

D6.t"leZlt4,b))

J"ru, :

L ra, + l. r u,.

l1'

h,),t. -hltt4 +

t",t +...+ Jt\, )l+ R$,

J"

lR,(l)) < hM'lb - d), M'? supl/'(,)].td,rl

(E)

,1, atun.t 6re ld iordula

(,

ld rl ii

{10)

bl-l

(llt

(t2J

l) I)dc, /€ 7 (ld, ,l), ri F(,) este o priniti"i. oluilpela,

\ t.. /, _r4 r.1J],

ti Da.L J e v l[a, rl), ah,'ri n-*i'.('): fl(r)dr este c6dtinl6 pe (4, 6].

rt Dr'r / F{. 01 'ruc,e k. Dt. 1'.1 rJn ri' / ,t',,r "n" dri'dbilr pF

t"tNl . fl't.'1. Mctoda ltrte8rnrii pri, pn4t, Dac, / ii g siqt funofii cu d€rivatl codtintl p. 14, b),

tt'(L

).' ".'''j'= '"1"-), ..'5. MDtoda schimbdrii v^tialit.i, a) P/iwa Jotneld dE lLhn bara a vdriabiki. Fie ltid,

/, / + t. Dadl

'

ore dcri..rtl coutiiul pc ia, 6l ri / este c@tinuA r. /, ahLoi

I' Ir ,' '' "u'= J,,,.,, '','"

I/('(4)u- ='),,(,,)

i{/), ()d,.

t') A doud Jothtld de sqhi n)d/ a uaridbitdi. Ft : tu, bl1J t/r/+R. DacIr l) { esto

rlrlct nonoton, pc td, ,1, 2) tuncl:in invcsi , : ,*r Are dcd'at . contidul pd /, 3) I eslc con-

6. Apu.afll al€ iahgrilci d€ainltc, FIel o tuiclic contnd, Po ld, Dl. Ad4 .d a sulrafefol Etrgl-.llo do grdlLcul iLrnctici ./, trxo O.i Fi drcptclo de octralii , * d ti * - ,, csts ilett de

"r:\ )Jl4d'. (13)' 1,,

volumul corpului obtiutrt lrnr lotirea s,aiicului hncticil ln jurul &xci O, este dai do

at/-r\/ r|rr.

J

D..n luctia / are derivat^ contiuud, lulgnnca I a arcuhi de curb, 6,

r t,). <, < 6, c>rr d' J J

':\ Jt '"o'

d'

l)dc, l(r) > 0 cstc contiruli, pe la, 61, .dordomteLc cctrtrului de gleutote al

no A'aficul flrn.fici I drcptclc r - a, r -, ri axa o, sint

tt'".;\. , -,;\" d,,und^ u, \ /{')d,

::, t J, J..

t. M.todc da calctrl alroxinatir dl irtegr.t.i ddfirit ..a) MLtoda dt.lttilsnikild lieJ I [4,6] -R,rLrivalriln pc ia, il cu dcrivatlt odrginita c,la, tl ti A o diriziulc r itrte.wtlului ld, D) r€U'

r([ ri rJLn.Leh e.hil,\'xnr: .,-d - i, ,, j--3, i-0. 1,..., '.qh,n.i

( 1?)

(l4l

(lJ)

( l3)

b) M.toda t o?a.lar- Dacl /: la, ,l ' n are ,terirala /" nlnrginitn pe [d, ,], atunci

\ l{,)d, : Uk) D .rr.,, ...- ,r,-Jll+ r,U),-h2

rR{t./ < - r/ '6 a '1 ::j]t 1)r.

c) Fdbbtd t*i $'tr,'. DacA l: td, ,l -'R rre de.ivata /ir) ma.elnits pe Ia, Dl 5i A

r€liz66 pns pwctale zt = a + fi, r, :ir' - o),

; : o, 1,..., 2,, atunci\ln)

\ l,)d,::{b - o,tll\ot .D , 4J(., -, rrr '...t tt'|, ttl -J"J

+ zutd + Jb) 'r ' + llxi" z)ll + R"lr' tte

tR,lJ) < --: \b - d .u tr. .v r' ,,p /r)(r)t.? qro

t.n b

10.2.1, Probleme rezolvate

Il. Cu aiutorul sumelor integ.ale, si se calculcze integralele de{inite :

.r5 - rto .ara) \'rs d,; tr) \' z/ dn j c) \ sin.r d{..Jr .tu. ))

r.146',. a) DcdRc.

^,)

pe ll,5l, raztrlr, (I €ste inlegBbila p. ll, JlP.ntru celculul iDtegralei est. d€ ajtrni 6 .alcult limita Fi.uhi oAf) pmtru o .legtre ..'Norbilil

r divizirlij ti a punctelor ilrerhediare. Considcram diviziun(a A::,= l+t, r-;t

:-:,i-0, ,,. ,r E,-,,, i- 1,2,,,,, {, Atunci

{I ao r { - r '2r - I _ 6r ,1x '. Ir:l_= l{+- i +- r

,t ' ,r 4 I

-rJr 16. - r ,511a-J-:l:I., r, - rr.I - 156I l,.-

lr) Funcfi4 cste cotrtidua c [0,10] ri este dcci nrtegrabilA pe acest ilicrval- C.nsidelem r, -,:u, r,,.,, "ol-19.Alqem 4, :., i ,.. 2,. , ", L, i

'^rl, \-z'r .'" \1r^ --l\'-", Jl"'.r ), 1,i)2r...-,2r',J-,,L-J ,Lr " L-J

l0 2tr- I

''- zror-t r,>

, , j.DDoti5 esfe iotegebiu pe tO, rl, Conside.rn ditiliua€ d p tutcle e'nidistatrte 'r - I

r .i) 1 .,-, ', ii aleseh it-',, i:1 2. .' ':

*',-I(''";Jt 'l ,''''"f ' +"'':rr"l-

2

- 2 ri d{i " sind' : 2.

2. Sl se cerccteze intqrabilitatea funcliei

I L. dacJ r c're ralionat,lla\

-I

I -1, da"; .' "sle i.r ional. definil; Pe [4, 6].

/i.r,i1.,,. penr.q di,iziudea A I a : \ <,1 <,,. <,. - b, uveE d^U) - > /qr(4 : rF,

rhri, rhsln :' € I', 1, ',1 trndr raFonal, atuti 'A(t -> kt*

',-J - t - ' ti d@l da(, +r, ..Dacealcgcm:, dumt. i69iodal, atunci l(:r) - - 19i d{i6a1i*'-0"-b L:'

f) 1^ srD.lor integnre dcPlazlnd de alegera pnNtelor :r, rezult' c' lu&tia 6 ste iotcgbiil}

l. ' poaIe ca suma a do.ri [unc ,r.are nu sint integrabi]e pe [4, 6ls5 fi€ iDte'

; r l 1,e -a, 6l ? Dar pLodu'tl i,. . , .'r. Racpuosur 6r" al'ma r/. Con"id.rlro luq iile

t 1, 0, l-l reoJJr:l- ' ,,,'):i - deruire pe Ia, r)

l.l,rer, tt rer'

si .ar. u srnt ;t€gEttrle. Totld luncfia sunt 4r) - J1l4 + J"kl - o' € ti Prodrsd ?(') :,r', ,r',) - - l. este iDrsrdb'u op ld 6l

q. olosind notiunea de inlc:rala dclinit;, s: se calcul^ze limitele girurilor:

"' 'r'i' r-d rr o- -L'1'a2"' + t"\' b>o'

,.?or".,e. a) purem $riea":-Llf +3+...+1:11 -t

i,-t:"or.rt,

""ao

1,,)-r,,e10, 11, A.,,: ,i:0, 1,..,n$et-'it, i-1.2 ' Dei

',1,. -.,i:",^o. t',d, -lt, 1,' t2,, ta\"1 I \_\ i '^'-":;[i;l t;l ' -l'")]'-;Yt'"' """'

nndal(4 =',,,elot rl ri A :,, : 1, i - 0, \, ., h iat a'- '' -'

ri- ., - (r',a, - -1-

' I 'h P-t

5. Si .. c,lcul"r. o prilriri ., Or,,* *""r,,a) /rx) - max rl, n? , d,finiril p .0. 2j |b) /r) : J I -t cos r, dclinitn pe 10, 2,r1.a.,ote/.. a) Fnn ttaJ{4 esi€ contjnue re [0, 2], deci o p.i'jtivr *" r"*;^ r1,1 -

f,flaarDa"n ' e Io, r:, "'.-: rt,t -

t'

r.,r, : l. Daci r € (r, 2t, arln.i

a,r - iirlro - ijr '4, +

\",'a,: :11f .

b) Flnclil /(,) csle continDr re t0,2al fi dcci prnn iva",t"

r1,; -I'yppr.

o-"*-l@ :

: Jtl-,;l rczD,r6 c, dici , e ro, ^-r,i,,nci

' n,,J:"

,. .-,tt = t1i.i,, L.D'tc , e (t, 2tl, .hrnci

.r"14- 'rr,ro= "7;,**,,,- "v/r--+d r*tJT-zJi";"L.6. Si rL' crrlcr.l,:zc:a)

ii' "/,.',si'r * Ar, uudc /1.r7 "= nrirx -sin d, siDr xl, .r G R i

) tl,rr"r

a'' undc /(;v) *. ,",'-

[(i)',.J ,

'- o.

.n.folr;ro. lroloriD r.lilivitdtc4 inlcgr.tci c( runolic de irreNar d) Dcdrece /(,)- si J,r < 0 ri /(,) * sir ,r, , > 0. oltnn|r

"'..rr'r.*,a': 1",,"i"',r,+ .i'"i,,,,,i,= 1,,,(f.;r:"1',.-+t"/,_. _rea,_ ,,,,[*__# *,,+*.*rla,+

" -;1(,-",);"==(+-+,.,*.{*Jl-",r.i-#'b) ln ace"r uzlk) :3-, ' <o ei /(r) -3',,>0, lsucl "r

_ -. 1,rr.,."= 1,.-*'\i,",-.-#]_,1,*li:;7. l'iriL a catclrla intcgralclc,-si se demonstrcze unnitoarele ineSaliriti:

1. fir \:a) -1 < \- --: di < 9 r,b).,] < \' e,'cl.r <..J r, '.2 ra

"\e2,r a,?. a) rrDcTia 114 =. --,-1a ".1" slrict -escato..c pc t4, 61, asttcl .t n-ll4\<,R,:- \i it - 116) : D,li rchirJ (JJ

'.7itr.. in€adt aler corur6,

,,,,,,t",00.t "calcula integralele sA se cerceteze care diotre ele are valoarea m

")r, - 1"

, *.te , a'. r, : \' rn 1r a t.r a,;r, i. -i'-;.1.',, r. - t-"'a,.-Jr - JrR*atw/e. ) \lotu

arfta cn ,arcr8 " o tiilr 1 ,1, , e 12, l0l. consid.rdn runclia ,(,) ::r rrotg' - tn(l +,r), ,€R. Deoarec€ r,(r) _ rrcra" _:_- :, ,,ur,i , (,) : 2r,> 0

eiJ.,r'r,r.qe.r-sr,oa.-oiR Deo,,c.d7,.., 0..,.,, I,l-,r., .0 r.-m o,l,"ilio,._utr '.'ct 4 ".e ,>0,C,,,t0,=n,-r',t",,1^,,.'',,.O "'",^'riiil.^J-0. \.,., .g,>J t F,,,, Lc .,. tr,.,:.t,, /r\ / .

l,) l)r.arocc er<e'' pentru,€ll, ll rezurlii cr 1,>1,,{t. S. s."rrlu,z" in-cj-ll,.t .:

, :;+- 6)5"-llla, n'atrd/e. a)F\cll,)-12.1-,-r l{^, ,e 10, ll. Do.arec€ 1,14_ - p_2412+, -

-rr)*'/i-0 ro,rrru, = j, *".,,. pur(r (1. d,,.,rh ,.nrru /(..,, ,-r,, .. . _r111_ ? ,

^1.,ir/ 6 '/4. - j- ,,

'.''ret,ri (5 nv.,,

\2 I a

2 ,lt .1, I

I'J';-i<li ) F"rcrh /k) - :j].ia ""," .r""",..".e 1",,," r," [r . jl , a*,** rra < o pe scclr i tervar.^

,-'.-,{:l- - ,' r,.,f ll::-r--.

',.,;,'.,";,i.,,:, 1ri .1h e,ardarea

L1J

*"1;1;+.."€10. F.'.. .i1. ut,..,. i,, ,.i,r.lx /., (.'.,,,. , ,''. - . l.L

n,e6. -Jr''.r."ii: .;.".,. ,,J-r._r) ,i"..,"";,,{(r) := -c.s r. Dcci

l,^ t'' ', ^,1- r. r[ ' .,,.' sr,o." rdr *lJr

:t,, - tti"/t.i,,.

e,(r - sin:r)tr, : (h - t)J h, _tik _ t) I,,

ltn,ru a > r. pr.n .nir.. / = :_----: J,-s, v., > 2. t)-oa,Ac 1_10;1- l,Jjdetatiad-nrai ln.idrr v'tinas

u' 2

-p.'ruq*2.: ir,- (lJ l4-\...r1,-,2,"-\_2),4 t

pcnrru 2'l:" 2t 4 2



15. Si se calculeze aria mi"rrginit:r

dreptele r:0 Fi ,:2r,(lL: srrficul frncliei /{;v) : e-'sin,, axa Or

ffi+'{./'+

ti

, -""

rrr,tr", :l" -'t.i""i* : (".".u,

"0" - l- " ".,"' a' : r' + r,.

r,-' r,:\"u-',..'"a.= : .^,1"-1.-.,..J, =. E-,--l;"-'-'.'. ='"- '-"'""'l; - :" ''" "' - ''n +

'|- r

\rh (i' Ir- (c-r + l)/2. simitar sc obFE 1.:(c-n-e- )/2, occi.,,r -a"+- + - o-n,

16. SA se calculeze lungimea curbei care arr ecuatia /ir): 2lu,Y, .t - [2,2"r/3].

t , .Jt\)=2r'

I,"r'r -":t. ",'n ''-",. r=l'/i17;;-,a'.\, (aslA iategralt se elcul.r, utilizind substirulir t : 2 tg, j

, - z i-,.,

- =.,{i ."':t L.u,r:i

i|/ - 2f/r-ia - r(" rj- 1d/ - J"a' 'r *"t J , sinr'G'I J",' .'"' J" r'*"

th/lt=--l-j-rlr"L'3-1,.osl)l",'l-rt,"'"; -1" 'E- t-2 J2 )-

17. Se se calculezc co'ordon:rtcle ccnt.ului de Sreutate al supratrelei rnlrginire

rl rurba de (uatre /r Ll O.Lsi dreDtele r:O.r- .

JI -.'/r.zaldl., co r.r loimulei (16), von calctria ftn lndi numitofuI Mr. Co substituti s: sin t,

('"-+'. u" (./'r',,,a, - -L["'n rr - .o.2rr,J, -

= + ;,(,-,.",,, e{)d,= F- ;

1 tr Lr ii substitutie calcrl ,m

lt,#* =$^'int+ - lda{ - cos{)'sio,a,-,

: (- *., -+-",+:"-'ill':* -a;i

r).

\:,u,rr,,o, 1,..(

', '-.'-'-*:)".-(-mllt,irrele c€rtrului dc grcutat slnt

,; -, '1t:-ilt, ," -[-

]" ,i * r. 17; * 4].-]e-.

18, Sn se detcrmjne r'clumul corpului obtinut prin rotirea curbei de €cua

, : sin r. .r c 10. rl in junrl a\ei or.Pezalab., D\pA ,ornxla l1{} alem

". .f .,,,',d, _"1"' -;"*.' -i.

19. S:r se calculeze }aloarea aproximativi a nun}:rrl i;, pornind de Ia

lrtdlPr \-"

,i, -. -.

Ea.ahar.. turn\ 4'J:I

,', Lo, rla{l I ,'}

f(,) - -ut't 1,1-'.1'k) - 16,' - z)lt + r,)4, J"'lrJ - 24lr -;)(t + rt) t,

Jt'tij) : 2a p,, _ torr + t)(l +,:),, l,)1,) : 2401_ 3,5 + loat - 3i)\1 ,\-..

^)M.toda ttaf..eta,. Deqde l"'{l) - 0 schinrbirdtr ri seurnol de la phs Ia hinns,

\.^ t"l') arc varoare mr\in't rn,:1$i dci u': *p11'1,11 : y'1t1

-

L .

Ir'.11 zpi urDarr, lniid in lormrla tmpezclor, de cf,mplu, t:10, erda.€a mfinA v. li

-[r-16- o1 : -IIl : --L : o.qrorroo.t2 tzrt f 40O

Etectrlnd calcll€le, olrlincm :

,o : 0; l(ro) : r;. ,r : 0,1j l(,J - 0,990099;| ,': 0,2: Je2) = o,96:l5aa:

\ -0,3t

l{\) -4,9 71a1,

r. - 0,r; J(rrJ : 0,862068 :

' : 0,5 ; /{'il : 0.800000 ;

Allic{m lornnla trap€zelor ri dedtreB

r, : 0,6; Jtr,.\:0,135294,

zt : o,7 : Jl,t) :0,6111a0 |

,, - o,a: Jk,\: a,609156 |

t, :o,9: Jlt,):0,5524E6 t

rb:l;/(f,b)-0,5-

(' -L 1, 6,951r,5.. t4, i996rr) - 0.7s{.8r:.-1, I t,"

Pr in urn-r", r: 3,1l9a-13.

b) Fdm'ta t sij'?e". D.mrcc€/c)(4 < o pe I0, ll, rczulti.i waloarea mariDre . l ,este Mn) */r\o) :2-1. r-ni.d 2r,: l0 ir lomnla lui Sinpsr, Slsim eroara

| /r u)i . --j1- - o,oooooos.

. 2ltrio 5r

Aplichd lonula {19), deducen

| " . -:::{r,5+4.J,9jrlJ6.t 2.J,lo8b5o} - 0,?8Jt'-8lir I -rr J

dsrrel .A t: J.lr lJr2.

tl l'er.dadtu?r,heh'un1br.

Dffe l./'(:)l:-i-' -; < l, tszu I rr c: M' < I

5ihtld t

-l0'

h toDDl. "deptu'glinrilor, av.h li.U)l < o, . iplictsi fomrlo dlqtungbit.ilo., oblinetu

(r o. r.r,oogtrz 0,8019812, dcct r J,zr992aE.

. 10.2.2. Probleme pmpus€ spre rezolvare

20. Cu :jutorul surnelor intcSrale si se calculeze urmitoarele integrale definite

", i'."n.:ut "rr ry) d.'; c)i3 |

r'' d.( r ur'" * ia, r

-

o

il*tl

... a < bt r)1""a". "> o.

21. t'olosind integrala deliriti'r, sr-L se calcuteze Iim a" pentru :

. :r a,---L,-r i ... j ,-,.-t) o".- ",+nlt at, ,) ",+,t

,r.22\ 2tnz,

h, ,,, ,"-

--+)'

Itl,,"' '. - lE i ;ffi 'r- - i_- : t) a^- -,1e 12t +. . .l r').

22. Sir sc cercetcze integritLilihtea functici

I x. Ye0,-L-_ ,(t:

t_,: _:. ,rcfirrrii pe 10. rl.

23. S-. sc crlcrrluz" o nri rri ir pL'Dtru:a) /(.rl - rr)iu-l', 3-,-. dcfinitj ne J-t. tl;l, /r.,r == .1

-I r. (l(finit:,

te t-1.21.

24, Fiuir a calculo iDtcgrablc, si se dcmonshcze urmdtoarele jnegalit5li:

^)../li < l-]/,'r;-l tl.v <l/-; b) 0 < 0,,,rIn (t - ",)a,

< 1tn{;c1

J't'r'lr 1"lar> l,;i'u", ,.1) f sin''dr <$/'?sin'*rzdr;

"t l'* *i",',r." a i'"sin,-rdr; t) 'Jr +.'ra,> '" a,

25. S:, sr rvJluLzL, iDtctrrlclL,:

", i' u,a -r r, : rr llrri* ; o (",' ../,g , a, r

'i) ""/' + i"'i''r'^.

s, .. *"r*. j"/: cos' r d.v. ,r e N.

27. Si sc ca)culcze intcgralelc:

e : *-'b)

i"'J"'r'r";

") f,ot i"";ii;'o> o; '.



s, (','",, *,r, ,n, (' .' ". a.: nr [' vi

r. -,o i,, lu',+ rtJT+ L

.0 l-,,r'\, ;fu,rr l_,an(osl rs "28. Si se rezolve

""'^tr. i|rffi:;29. Si se calcul€z€ :

:) r" -(. x.;n' t dr. n eN: L) 1"

.J0. Firi a cnlculr irrtegralele, si se :I

\,,x Los -Y dr I

;or ('(t-")1a"rJ0

: [" ", r."'" r F :in' \ I 1l\'

J"

raie cl'l

.31.

.32.

,a)

)

e)

c)

33.

'/- "T

s, - ?d"- 1,.z:;t-;=a'

Fi""irul

r^ - ('rr - -," n. s: - 3r" ' li . s^ (l

_J., '

['?.'rr.')d,. dnd-/(r)- i, r\[]. \:1, r'. R:Jo'

t":,", ,..'t.r. .t [' t', J':'lr\"'t.." r,lJ,, '' ) -z

f '"i' . . r'. . \ L 1:],tr; rt ['r.,,, . 1{ .:, l'lI ' J^l

i" " ,,-nJr ti-dl+ l

:'".c.a.ut.r" (" Ij "'-:r":-"1- Jr ut,t, n'l r t" la rrr' I 'ri lrrnPlrli.h l in2:

34. sa se calculeze (1'rix) dx pentm a('v) : €' - l , ;v e i0 ll'tili(r)-tgt'

J "r

..=[-:.0] , cu xiutorui sutstrlutiei u(r):l Se se vcrilicc apoi rczultatul prio

t.lr,lhul dir". t.

35. S:r se calculeze aia mirginit; de :

/'-l\1/c ^a, /rr, -l:---l-. Lr,. t l-.r .r::l\'+j./

l,r t,r, a,o. r -o 7r r -.'-;l. 'r '1

c) (r) --,'-:-Ll . o.r. .r o 5i r - ::It+ |

dr /(r):--i ^ ,()Y,x--I sir*2.(r+rr

36. Si se calculeze aria domeniului limitat de curbete:

^) ):2- xz $i y?: r,., bJ y:22- *z Si ,y: _,";c) J:

'2.j - si t:2"; d) t -ro, si r,: tn?lj.

37. SI se calculeze lungimile cu.betor:a) 1 :'3t2, 0 < r < 4; bJ r:arcsine-". 0 <, < I ;

c) x: tz- ^r.t <, < e; d) y: rn*. /- s r -< /8..38. S, se caiculeze cooidonaiele centmtui de greutate at figurii mirginitecurL" J -siny,0< ( <i;i axaOr.

39. SaL se calculezc vohmul corpului obtinut prin rotirea curbei:a) J,==xlnr, 1<r < e, in juml axei Or;b) I : sin r, 0 < , < n, injurul axei Oy.

de.

40. Apticind metoda dreptunghiurilor (r, : r2), si se catcuteze valoarea aproxr-mdriv; ' rnt^galer \'" *

"" r d, si s: se comprr. ,FzulratLl oblinur ." ,.i.",".axacii,

..41. Pu,ninldelainreB'ala4\'Vt-#dr- ;, s.l s^ uat,ut./^ v-tor,ru dpruxi_

Jomatrvi a num;rului :r 5i apoi sl se eYalueze erorile.

^--.n-i: l-.I:il9'l:,9.r trapezelor. sf, se calculeze raroarca aproximativi ei eroriie.penrru ur rtoarele rntegrrl.:

"r \'--:-. at - t2: t1\"7;4.. "-. r.

43. eu"jutorul lorn ulei lui Simpson s.I se catcut";, JIo...",1

urm:rurr,lo rnrc;ral":

.', [oJ',t,. lr - a j L, [- -]"" dr-J' J" '44. \i j.,..lcul./ ['.-'.r,,," o aprox;,qalie JF t0 r.

-10 '

10.3. Integrale improprii

op.o.ilor;': *.

l,.l nl€era r. p. i.trrva,e irfin n.. Ije / detinid p. [a, co] ri jnreg.abiE pe ta, ,1, V , > a. Lieitari.\'r,,,,r, r.1 ,...u .r,rij. ".r**[',r.ta,.Dacqlimi,a€..erjo,:,in,psrara6rec@veFJ' 1"'

sar l(,) esre ilrcaraljjta e In, 6l Dacr imita este iltinitd sau Du exisra, inteerala csta

Anal .g "c ,nrr.J,. in .6'-j. .:

,,1-_ i"rra*.

Drc[ l(r) aitnritc priniti{a F(') pc i3' d)' atonci

\-/':a' ' "r"t-r'otr{r)l, "oh

ri(6) r"n irrl

I D";o- \t <sr) r<Id d) J' sr: 'ta'*t-*t')"'s{""'nTcafi

L|ra d \*/{,)dJ e'rc di'erqFnrr' s'r \ P{rldt *'P dr'''s' ri

J,,.I'

,' :

arunci a) pcntru .ti <

alurci pc,,,u^r, \-,'u, 'stc conlcrsc r' |i Pcnrrr r< t'

i*1"' """ """* '"

Ir.cA (- ,/k, d, $E conv.rsd'ti, e"i l"I")d' 6* ir"'lnt r qFrs' (;' ri / r'( r'+ult (

inr.sdl,ildJ;" ld.cc) olice lurclic absol"t i''"gotuira N Id' 6),c'r" i ''Jil lcIr' r"

,l. (,ir.rt,'l lul Dlttchl.t. D"ci a) /€7{:u''ll'

v'>a rr l\,4lrtlr</i r6{r L' L ro'

lotoo crLr. z{ro crnd,-@, ahrnci

t'lt.trt.la."o" '''"'*"""''

J, clltcriul lul Ahcl. Dacl a) l(') este iotegrabiE Pc ta' o) l') alt) $rc'rnodoronjt fi nlrgi ri(l{

p. i4, @), atunci t,"s'a''lttskto"

csrc con'crscnrr'

II. Intessl. l trpropdl ititr funclii n'E&Eitrilc l:ie'

I I' llnct si trtrla' lcr r l r r fLr r( f ln / (lr{i i i iil

,, , ,,.r. ,tit n. -'"" 'ut.ddlt' D - 'l € > 0 P'in dclinilic s( frrc

(" 71,1,r' = "'"(-"1'r'r'

J, .-,, .),

D@nl(r) adLnjt. plnlitiva'(')

r'' [a t - '] 5i d&i exlnr li'nna rji') - nrl |1': ')du '

ir'r * -tor - nr'r -"r')li,

Dda exiss lnn (, - x)V(r) : r' atunci Pe tro ) 1 ti r > 0lr

/(,d' stc di*'cott'

. 10.31' Protleme rezol ate

l. liolosind delinilia' si se ccrcetezc convergdDls intcsralclor:

"r(-A; b1 ['e-"'sinxar.,. o'.)t-:;; 1"

'Jo t+}l Jr

1;'n4il:r.o<n<-, (r)

z-6 c|-'l

* - "(-,t,ti (on,Fls.uri rr rrtti \"rt't'r' """ '^1q-'rr' I t u

)' )'rl:..r:ed'r 'ntri ",1 ['lt't,r, *r" ai"'e"nrr'

\

. 1;o, ,171*1: ri,'o < r < o, 12

'"".'u. i'rto**'" -**'

15, S:i se arate ci urmltoarele integrale e(ist:l ;i sir se calculeze:_

'- d, .. a+-"' ) ,,'=, bt ;;i;'., f, .:, il\-ffia':,lhet \ =_:=--, a o: br ('e,,cosrrd,, d - o;-, -lo

f- d'" 1",-,"r 'n;o '1 ' Nrd)),;-Tdr.a-0

',-N'.1" tlor ', t

--

or.

)7. \;s' strbil.a\c- convcrSFn,a int-grat-to. :

.^,-.i','a",a-0./.-0rr' --* 'r"jl1'. ". o,

, (- l,;" r, F.'g) dr. a > o' ,r, [- ='J; .r', o - u.J, J.,, . l,

18. :, s. studieze conversenlr in'egrrhi Fre.nell, "*."r,

19. Sa 1c cal uleze:

a) L(?.q):B(q. ;b) B(p, nt:i"ffia.y]

ct Et.t -.p):f {t-dy.0< p.trdt B.f. -- tBlf. q t\-4,Brl t. t ,,, p> t.tt> t:

Fr f/y' + j) -_ prt . p> 1,

und, B(1, 4J $i f(y') sltrt integral.tc lui Euler, delinirp in Fxerciliite t2 Si Il.

. 21. 5; s- redu(: la inr"Srale Euler si de ai(isa se ileducl natura urmeroarclorhtegral":

.r (- "-' a,. r;. ,, = R: il)'io (l + r)'

-"t,6*' ol-::-a",

i;"'"".l'.i>0. leR:

1tL. t ,= R: st"

-",".-'ar. " - s.

10.4. Integtale cate depind de un parametru

sa cotuid;.im tonctia/(,, :v) delinii, pe .l.ePttDshiul [a, b)x]c dl. S. PerPstrem cd pentru

ri..rn. y = [r, d] ttnpz Jl', r) est. intesrabil, Pe la; 6l in sens Prop'in $u imP.op.in. Daci

d(r) ri p{/) si't dona tutulri r€al€ delinitc Pe Ir, dl 9i cn Yatori n intermltrl ld, Dl' .tanci ae *nrfun.+i,l F: [,, dl - R, delitita prin

fslnF('),) =\ '(r. r),rr.

-l.ll,,

Furcfa /(:, /) tide nniforn, in Pnhctd /o e fo, dl, cittre luncti. e(,) : (d, 5J r n dace

Ye >o, 18.>0i /-h <8.+iJl'' /J-?{,) <e, Y,efd,tl.

L Dac ef,istt liditels

lim a(:/\ = rr. l n, pr)r) - p0 linr /(r' :tr - 9('),u-u"

diin,a linita riind unito.la ln .ap.rt cu t, otL,nc.i iurctia q(r) cste in .gdNE P. ad, Dl ti

Ir. (o'u /'.,r'a*-'[o q'a' l{r

,-ulo J,"t. Dsca fulcfislgte oo'tinut Po ta, lxt.,

'tl,iarlurcliUca tiI sht @luu. P€ l'. ll'

'turoirulcd Fly) ere @ti u4 P6 intcrualul k, dl

-?. Dac4 tuctia L coltiaqi p.'3, b)xtc, d1, admjtc dcrivalr. P.rfi.li t 6Po.t cu ,. .ontnrlip. la, h)xlo, d'), nr fuDcFile q 9i 3 sinl do.i"abil6 Pe lr, d), atrei FUI 6t6 d"ivdbih Pe l', dl

I r'{y):\'"'i r ) lv-/{1.r1 p \" - ' "(t)' r'Ja A.I Jtlt\ t J

luitn fordDla lui' Itibniz.

{. D4c Ilncfi4l cste cdtinui pc ia, bl xl,, dl, atunci aG l@ r€lafa

$1\'r,.,,, ,'

1.' - f{t'n, ,",)"

10.4.1. Probleme rezolvat€

L Fi^ fun.tia /(.', r) .. ' ' -l d f:1i i p" :0

lim \ /(., ))dr - \'lin //Y. J)r-" Jt ..i I u ,u

(.1)

0)

1l x (0.

dr.

i.). Sl se arate ci

1..,/ a Demle

u, -(' ', ",'r'd, = - l. ;r. I r",,r ,r.r r,. tr:"r/"d,-.1_trj' r {Ju li

lroi r,r, /t1. )l - rim e tr,'. -' : 0...tl,r -.r [r r,n, r1,. 11 a, - [r o ar - o p, eg,ribea ou .sreJ.r'n Jo

{d.vAr ld. Si obswlm .5 :u sint i.deplinit€ condrtiilc de valab,lifate a .eraiiei (ll. Fv.tBJ(L tr)

fitrritrdr, jD prNtli, : o, diforn ctfu€ l r4i, p(,)

=0. lDn ndevJr, dea d prerpu. aqsi

lon, nr i'sc'nna ci Fntru oice . > O st eaiste r > 0 astiel lnclt /(,,t)J<.,ind4t cer <I.,lrr, une lrbif'ar r'n [0, ,1. Lrld in pa.ticnlar,::y < r, atm

IJk, i : dt : ) +a atunci ctnd t_0

I2. tji" tr)n{lia F{J,)-('lnJ,' y"d\.J> 0. :i ./r0r - l. S: se arrto

Jt

ri / (o) + \' i1l'J* + r,l d.r.Jlr + 0t .' la-n

nluluore. Fie 2 > a.llregrnrd r 54i, oblnr.dr

rl = \' r'.1,. + ya' - "r"V,' - r' li - t,*..

:,'V'. n - t + r arctg-L-b l,l

.r7(0) - rin'{r) : F(0)-- j,:l [j-' /i;;. ** j] - i.

p" ,r, uhr p"nc, a"cn 4l - o si.i(l

ir l\-oat ta\ l:t'J" -r'l d:-o'.,rj+€\., tu-t)

Sa ob*DdE ca u stDl stislecute condiliilc de valaldrtat. lle rela$ci tJ). Irt.-ad.vr., lLr .ria

-- iJ'a a ,r - ----L unilorr ps 10. llt( Io, Il. iDc h..a alalia (5)ltt ' ,r+y'r' rn_r' i.

t-'ln(t ..,,t. r * (0. e),t L (o €)l. Firrd daii fun(lia

/(r,.) :1. se se

t ]' a:o'J,€(o' o)'

I l.,,l.zi derivrta lun.liei l{\) - ti ,. .:t ar. J [0. 6].jI

nzrnva/.. Deote:. tltu 1tz, ,) - lin r.141-t2) -/. -i(q J,.), rcrirtr .{4r);(0. uJ (' u)+(0, rq) t,

4.,"1K" "*,.",*10, elxlo. @r.^roi;---L.

, 'f aFiJ::t,'-o,d.d. l,'., rl(t + 'r)

.d. conliDtre e [0. @)x10, -). De asemenca, Iuctiile a(t) - 0, Bb/) rr atr d€iiv&t. coltiluc po

( 0, € ) x [0, €), deri lulctj' F 41e derivabila ri dupd relaJja (5) aveo

' 10)-\ te\'' t)tr' + J\t J,e\ Idi- - tott+r')-3to(li r'l'b Jol I- r/ t t



.4. )ri,nd cii p--rLu ab . o arem

{''? dr- r-..i.,..,.,,"1","(^- d'

Jn d,o,"' +b",0,, ..a "'" """-'-"'), (a'.,,,r+b'"i;.,lolo.i .d oosibilildr"d d--;v..r prim"i i,,tFJr l" . a funclie dF param'Ln.

^eaha'.-t)c ao' > 0, ir''-" - lA.- e'a" - ., ar - .1 - oua,,urui d. on*,O. t O, r*1'-

lla, bJ q @r.os" + t sin")-r a.e derivata f; - -2d coe 4a, cosr , + rr sinr,)-' ca'iinue

'.€a. - e, q + el u{iloft lati de r. Sc poate aplica deci retatia {5), astfet .e

"'",--- ;-'-u'-., ;.', acd,-L'd.rc)sim,r4- ie obline,

"" *'^'#*-*' "':i #'6erbo-' ,.+er'Frcln.l a * a0 ri , - ,i si adunnrd .;ratiile .lc nni

',s, a'en

t,"a;#*"'r*=,*i*.,f)h *,u,sc "ra.oorin-n ,oc-",,at*-;)

5. Folosind posibilitatea dc derivare in raport cu panmetrul, sA se catcule,rnr' ,aro 'll'po"

'up"'"t"t'ul' t' " *"*'"

F(,u):$'' "..tcr 1tg:t)ax' v ) o.Ec.bt.a,.. Fie r,,.-,r-d d- e.) s,, e ,,u ,-0., ,r) - "r{;,rJ -"-"

/(,, r) este de.ivabiu ra @port,c, :y r,"*- *.. ".[0, ]] t'I -u *i*r- n*r" **o

,:r, " - L Lll. r) - o."...

. " e. p @o.iDnr id roport .u anocro'di6tu. 0"".,,", "

,..1";l apricrnd Frrr; , obrin-m (cu suD. i,L,id rsr -,J

,,,_ ",, _,+:* h-_*f;:,*. f-,f ;_

_"

Pnu a.rre,obrid.nFfvr-:-dl,-tJ-C.Frc'Ddpa), ' O, oLlio"d n,O, - " ",, ,, t

r-rd . in d.l:.itie F.or - u, rezu'k c - o. r'i,i "-"*, r,1yl - a r,1" .* 11.

6. Folosind posibilitatea permutnrii integraielor depinzind de un po.arI,et.,r

sd sc ialculeze {tek)dr, n"a.. +k):frtl -xa), '.*0, a. ,> 0 sr e(0) -- 0.

a,-,*,,. pr nu*r^",

,p14 : \',,

tiiri pc r0, 4xla, ,1. so p@re ap)ica doci

('.,.',,," : ('

,F(.},r -\ r,d:---:,, =-: Y+ l J+l

\r ,|t] \ 9(r){lr =\ . } : rr " - ' .

J" J,,r r a I

$riind

;tlln(

10.4,2, Plobleme propuse spre rezolvar,e I

ca 1"-a- Jtn,1- LJ). L>0,)>u,s:s-(j1t(Ltr, ('---:- 6,,tur r] - l,l .,.1, di 7 ttcd \

-

.: -: arcr;:, sl Se aruld ciLJ0 F-). ) J

10. Prin derivarea'hr raport cu parametfl.ll J,,s[ sc cAlculezc, intogr.]lclc:

,, fl l (l-ri'')Jn,t'lt-"

(r _ r r,) ar ln d _,r r

ffi; vJ< rt ') \ --:----1"j dr' \ ' < r:

.' \',]1*, yl at, undc /(.v ,r*-lll-{l', x a n:i / 0, )J:) i-r, r(r .

'' \'f,-.,la', un,l,7,x, 11 -#,, -0$i ,(0.rr---,,.

- ll..lulo.i'tl p^srLihrd,oo'in\, s r io.dn Ll. in,grare in inr,.rr.r..l(,ic ,, , j,-.':lnrr,ru, s,, .,- , alcu.,/":

E(0) -. ?(r) ,- 0, a, b > 0;

9, Sa so cr culezc delivata iDili,

a1 i1j,): [r'+u 11r, ]) (tx, L,ndc /)dau

b) .r(.r):$ul' +r,,

*r)cl,,

IJrr+.lDr 3 ,t[;t;,"-;o"t*-,f.tosir)d foruula lui l"eibniz, pcrltnr fujrr:liile I

(.t, ]) : r;:{, t+o,iJlo.)):\;

unde/cste

o lunclie difelcDtiabilii,iio Rr,

depin-

Y\"/ -_ Y\'/

tr) \' e(r) ,tr, unde e(Y) = :--Jn tn)

I[,,"':..'.' ::.;:-"::]il@'lj <'

10.5. integrale curbilinii

".,,j;,1,""j.:j,il.j.:li i" p,i*.Jlo-, r. ri,, 'i o dnatie cortin{r * *' ""-** " c *'

:\,esi,u1 nn sisren, de pu'*". ",,,.'

.o),r.",1"i."',. . ]; :': ,-."... "'.". ",,, .-"'" ",""'""'::

;.or"a"r'ne':''- *:."#.T;l;.=,=,..*,-nc:i,.,,,'f

Linitr a:.sto slr€ tcnttu , - t 9i na :\tr - 0 6le, Pid delidiie, idtegela clrtrlini' de PriE'

;'' i, ',,,. ',,,. . - { rq. 11.r" o,: n r - vil' ',. r-^.lu^a,;', rr..lr

.n'"a,-fri. ?kDv/i-,?'(4F d,. i',

. ljacj curLd C.'c a3r{ .ub iJrn3 Pae'cbi't

':

'\ltl,t : r'l'). t € ia" p1' t:t

' tn'A,-\u^44.'rt't)JegtFiFffw ,"

Da.-1 C eslr o cDrbd iqnlari, i sFrliu, dat, de

3 * a\(4, 1 - yt6, z:.lt), te {d, p), lrliat J =. Jtz, r, ,),

^tnaci

\"n",t, ,t^' -fioot, tt't. <'t u/("14F + (}'(4f ,f G14F dr (rr

. (e)'

Dakr,,, j r)>OrFt' 2in6d-' 4pL,.r,t .r,J,,r.. C.arur.rm"e Vr ^@rdo6-te.le cnf.ului de geulare G ar tirutui, sint dare do

* *\.tr'. ", "1

a,,," : -1,\., 1q,, y,,p".

n. + "',t', ,, ,0". "- j\",to,,.,tu'.

LDngiEea unui arc d€ *.te c ** Z:i"a".

r,tes.ala c .bilid de sleta

d€nrd de Flsul de pdcrrs pc drumul de inreg.aeII. Int.srale curbilinli d. sp.1i a doua. Dace InDctite ,{,, i ri Ql,, sinl continu€ {D D 9,arrba &grtat, C este datl prnr reprezenta.ea (t), senslt <lc parcrrs jijnd ..tr,t to"t , ou.ua au i" 'z la ,, atlrci nrtegdla clrbninie de spela a dona se dprtnr pnr

i- er', 1,a,.4.,,y,t,- {',t'.".n,-

Q,,, e,J,o.,ldr. {ror)c )r

Ibi gFodl, d-ci lc, ( rr d , r .. L io"nd {5, L, iind Je la d ,., 0, a " (,

a_L

\^Pr:,Jrdr.- . .,_\'p... .,...t I.r./,.)......r..,r/.

rruJt ,u

tn ca,nt e.tiat, ouba C iiin.t dati srb ro na (?), foduta (11) cariit, fortud

\-t{,, r, nd, i- gr . ) ,r,- /..r. r. .L. \-1, ., q. ,r, , (J ,

)c )"

+ QQO, t(t), 'lt))t'O + R{xtt}, ,O, iL4 'tt))dt. il2)

lsrcba l, tjc P,9, R tutrctii co ti e pe d domeniu spatial D. Colditia receqre si sDJi.d,^nrr p4m c iltF8raja curbit'ni- (t2 s- n" ,,d oendelra dc drr i, o .r",a sr er rc ol rcfi€ t'i,, t, 3) dldeltialili ln D, a cnrei due.elliald rorat: est€

<1V -Pdt +Qd, + Rdz, ' {13)

brocti^ Vl,, r, :) .sre da"a dc r.uolta

r'(r, r. rr - \ p(i, v0. ..)t, \' p,r, /. ?0 d, ^' Rt,, ,, t,o , tr.)J" Jq" -"

. ,Teorcoa 2. T.ie .rr, 0 ri ,R tunctii cortinue ii c d€.ivare lartiate eontin 6 in domdiui spa- \

tial D. Coidilia le€Mra. ri $ticictrt €nr u cd ilt€sEla"""l

i"i" ltzy ,t fie in.telendc,ri ile

aP tQ aQ tn aR aP

,Ar at d. ry A, Ar(u)

zi,o



In qzll pr.i, rulcfja {(', t) din teorema I $t. dar de

n,.,,, -J""r'r".a ' u"0,,,,ra.

iar io'di9ir (ri) s rcducc ta

bP_itQ.

e, ix

10.5.1. Probleme rezolvaie

1. S{ se calcureze ur :ltoarele intr:grale crrrbilinii de

{,Jl /- \ r}d'. u',d' rCJ J -- tl Y' IIli

t, /.-( r'ds,,ll,,t,,,,.r-

_a{,

)a d. zll

o /:\ J;(21 d:, un c (.J.r--l -sitl/.t-- i

,i, /-( '.'' ds.rrul:1C, .:.rco:r,, ) --- dsirl'/, i

-rc

2.

:-a)

b)

tldl

(rtr

srieF n,til,

4 i0, 2v11.

.[., ;],

ir. i .I rDpn'A.

,.' f" ac.n 62 ,rr - Ji - ldy, ,aIEl cI

r=(211rar1,'.,1, = - (- ,-.' "ar,'-J irl --r-,"'t - Jf i'r' ' 11

),,' ' ;.', i I lo 'r

cr r'{4 = I - (i'sr. } ri| j.in I ri dr- J(r - ot')r + cjar' dr - '?lsh- ld''.n: ..' . r1; co.1d,_ g qi,.1.l-,, _ __1 _.r:2\ lsin,llsin- dr-1\ $t

-\ I - )' / z 3 zl" irl

d) Are'a :/

- -3.

c63t sio r, J'l - 3d sinr I c;si, astlet c ' d - 3a I siarc@r I d'' Deci

r:[". ",",... r'--f a{'"1"i'z,r"a "u 128 jO

: } "[|;" r.''.,r'", - f,,i,*'o: " f '' t* zo'" - fr

-r-"r

*] -. = -l-(' ,r - ,,,,,,c -

h' .

or J-r 70

Se se calculezc :

I:\ zl,, I y't d(, Lal v - / cos t, r - 1 sin l, r-1.

r-( (tt+rr 1rt)ads, (C) x-4'l''-t't-asiol'

t e 10,

-tll:tllc{to,2' li



,rr - (" m rr ". *or".1,u.* o. l;; (" ra -. i ,r, - o ; 7o : -l- {l a,","i"}

ar- it- .

- l" ro,-,')r"' -,,1, r d, -^.

("{ r + (o"r )d, * -:d ;J-" J" z

fotosir s,lsrtrLf.r r : rcas . Apoi



4- Si se calct eze lungim€a pe'imettului C al triunshiul i '4rlr'43'

Ir1- r. -1), A,11, -1) 411- i)' .

'urr.,

:otura A\A2 ar.m t:t,t- l ,- i-1, l astlel ci

1..'[' i -t:riJU r=Ir'11-f rrl {/J-r'

.[t. io,-: i"'r" if,4i avd '-t)- i_'-l l]tr -

J-r '=\l

'Ju":zJT'on;'e:4+2J''I

5. Si se calcrileze urmiioarele irtesrals curlrilinii de sPeta a doua: il

".i--("rd'- d (')x-i"l r'lc0l)c-1') I :\j"J t - r' a, + , d j ''

(c\ y +lr: t -{ > 0 parcurs tn sens direct;

.r.(,d,. ' |.':-ic)'-''r "'" J'' r '0r:.rc

ar r:( -3- - l , C rr'"a porliurea din cercul ri -f- irx +2a): t)

o"n,,, *rJr'-r:t o"r lir.mitalce tn lun'rul 'lra - r '

F .i,t' a) DuDr r(laaal )

'vm' ,-\l^e'- ut"- '"JO

fl O r.P zentare paramctice a clrbei este t: cosl't:lsntt leI-rJ2'nl2) Dc'i

I . ["" (- Ji---,.",,.i', r 2.u.',, Lv i - 5:,,r"' "' "'' i_:. -'" " -

- o'f" t'-' ds2')di - -'

.l Avem

,-(.''-" "t" {)*'''*uir'-+-" :d) Pstcm scae ,'+ I + 2at - t' + U + 4)' - e' asrl:el d da' runen ':

a'osr ' '

+a'

,.ini ih,ci'-[0,rl

u*it 2l

'iinr 'corl I "' l-"tl

':$'[----"*..... ;;;51-:-t' '"- " ' ' '''cl"'

-$t'i' -;+r.'-;;i'" '.'" ';6. sr se celculer" /-[ (*] r')d'-(. - l)dv LrrdF ' ' n'r''1



.,{.:,lwl.. D.scompnnem cnrba C in t.ei cu.be siDpl.: I

p4 ) -,.. e P, |)t IAB ,-z-y, eit,2ii \Dotr:o,y-z-t, t- o1-

'- ".,*

1,"* i_ -\'"2,*+\'t-., z +41.a, +\'1-z q4a,: -2.

7. Constatind in prealabil c:l sint indetendente de drum, sI se calcut.ze urm:L-

lc'arcle integrale curbilinii. in care s-al1 spedficat numai capetele curbei de inte_

") i .\_ drr.Y | , 1t2. ti. D(t,:i:

', , {..--f='''. ,uar.: r. o ..,bi ." l.rsr punctel: ,ril, zl .iJrI' I lA(3, 3) ti nu jricrsecteazi hiperlola rj: -j ;

' / - \j,. "d{ :dr..xvdz..l(t. 1.ot, Bt),3.tt.

tk:otBt . a)i)c.at.ce

plz,

t):

r,glz,

t) : ' i ln -ue - t, Edfi ct (t7) esrevo.i-li€td. Dupa (16) rez.tta 'j

-rn

it lrrr.),_\ l,?/ \:,r/_ ji +:r, =1r'- 2,

-i ,-,r h tr

Deonr€c. /: r(a), rczrka I:v11,3) - 13 -2 - l.

b p.,.". - -L. J,y r) -: .' )1) . lQ 1, 0, ".

'\r' Lltr ij :.

lielatia (16) s @te alljca, deerece drnFnl codsideat nu interscteazl r, : - 1 F d.ci

,' ,.'l' l - * (" -1"-'',r ;zrrl' 4ro;r ,,r'-r" '-rr F,,J 31+t J2ttn ft: l./ 5

Deci 1 : t'll, 3) - 1n 6.

. D{ .-r prr, r. '\-rr.ntr,,.}t:a , R{t.,,n-_,, r p; .d,:..g,-J.;^,,

P) - l ? - v i' lFFala €stF iddpocbd&rA de d.sm. De.'

'r.. 1 ,r - ('o ar - ('o at +l'qa,. ^",1':,"",)tJoo' f(l ".r / - 1,2, J, lr -6.

3. S[ se calculeze lucru1 mecanic d totlei F(-hx(x, + yr) \/z(ia + tz + zr)-\t,,

-hy(*+t2)-1h(x'+)1+A th,0J, i>0. de-a lunsd cu;bei (c)': --jel-,r+d ,

.o./r sul @"r- sib/ [ ,l

Rezobaf.. DeBft.e"

+ tt : (cos, + si r-?si:' + y' + z. e t, at /lt) - -k .r + dn4-r,J'(,) - (cos, + stu4+, rezdr4

z'-( r.a.-r(^', 9:t-::l6r-6[da atrc"' oott-Lt6 . t,.

Jc Jo (cct*sin4rJa kGr+sin4r ,/t

-

239



undF -sre ar(ul -tir-l r I .,ri r:., , .r'"0Alt q, g:0) ri 0,, . 'r. 0 ( .

.e caiculcze inl"[rxl,r 'Url iri,r. J .l' l irrti

I - \ (11 i- \1)r 'l\'

(tr :' 0) cuprins ir\tre punctels

r'(rj : r'1r) cos 0 - 0'(r)/ sin 0 Fi

".: ji".14r -. (r'(,11, ur : ./i' t,r;' + io't+ ar.

ln "rLl olemeiI-0" '

. d' : /";i;t'-' "t";d.r0 = ac't'Jn' + 1d€

A o, , -'rr - r - t'. rs si

r=\ r''.0 \. r-d - \ l'" -'- v/': I

10.5.2. ProbLnre t',op.I'c sple rc)ol'a'e

10. Si se calculczc uj-n:itoarele irtegrale curirilirii dc spcla lnLii :

rrt 'Jd\, r/' \. ,"..>0:

fFt I r, ds, tC) y -.Ett sin'). r/ - ar, - co-/,. ' - 0. -4. :



12. sl ". cal.ulpze luqqrrn,:,..r,ul,r ), ercnni,elr y t- artcostr, t -dcrsiE'i.r .' r. .,upr'ins i',1r. pu,:,1(- Lr/0 Lr. U, ii ,4,a 0. a).

13. Sir se determilrc n:asx tinllLi €lipLi,- +; t:0. rtiind ci densrtatea

de nrasi a punclri,ri .liir.. ) .:rrc l14, Si se calcuirzc inasa lirulrri cu densitatea,f indicadr:

i, (C) y

---,u, 10. rli /(r. )) -- I +.r;

tt tct "-*r.;r: j^."

-. *", t e lo, tl: Jtx. r. z) -c) lC) t: cht, t: sh t, == l, I e i0, ln 2l j l(x, y, z) : x:

(2i'rn :

Ld) lQ * = a cets|, ;t :,i sio l, r : rl, t e la, zrl : fltt. t, r) : l\, + Jz +.')')15, Si se caiculer-e coord{,Dirtcle ccntrului de gcutate G a1 firului material C

cu densitatea /, dxc;i :

a) lcl t-a(t- si11r), ): d(l -.c9si), i € [0, r], J{t, i- t;

b) (C) r: a(I - sin l)..e : .?(1 -(os

,), r,e

[0, zftl, f@, 1) - ytt2 :c) lC) *-- acosl1. r': .ls:n3r, 1€ 10, -.l,lir, -\): l:

16 L 2ld) iC] x - aF, r: Jf5rn, : -- zi'. t e l-t, f . J\t. r 4:,

16. SiL -sc cilculczc orniitoar'elc infegrale curbilinii de spefa a doua I

n)J"(r.-i--").t-":-',tt. lc) h: (J' -F ljrr , I e io, il;o

1,. I tJ.,, (.) J,.= ln(r--.rl,\e ll,2l j4:\

ci i L-',J.v 1-,1;. (Cl ,i: l.u,r,l =='l;int, r =-0. zr) ;_h

.1, \_ .r \l- + J dv, (C) .1 - 2.r-.cosg l, t: a s: .21. t , i0. ,-l:

", i. r+ n )'O.t.1, (C) y:2 cos r. .y- Jsin/, r * [0, fj;t-

f; r_(2,i -ll,lr i-.u,iy, (;r ,r =d(/ -si r/).J-":t .-(osl), t i [u, 1..1.,c-

rz. si sec,,l.ulczc

[- J-r'=--.

I/- ],,ati p".. -.,rl.r:+J - r,2 rr. sensul

Jc .. tllrvcr: a( (l'r Je ceasomic.

1 . rj io cr,lculez, urmirna,i.l, in. 6",1c, ,1.'linir (lc spela a doua:

11 \r\-,)dx+(z-.r)dr"/\'-J,l:.r.ly-dc{,sl,u ,, s;rr r, r Lt

r. n ??l:

ii

,11 ,',1, rl

r.t( r.tt I ydr F'd?. (C, r- a(os1. u.lO'in'., .i.i-l').''l

.lr (rJ' \'ryT(r'z+rr ?2,,1. {.) .i. 1'..1 -sir/. \Jt-.l- cosl, z: I + t, t € 10. 1).

19, Vcrificirrtl lnai Inlli d stnt indepi.:nriente dcdrum,

4oarele iDtegrale curi.rilinii, lu care s-au s?ecfiLrat num,ri

tngrarc i

. .l \ - 'rt.'- \'Jv -J\l --\i,l). lr--l

l'r [- r'"'J F 2J ^'df. .lr0 t) t:\z

.t \- 1a. --l.ao (i. 2), /J(2. r), luain

'; ( - - '-"l. '" -"4), ,tlt. z. bt- J.

Jr (' r) \t-Jrirn.rrsectcaz.'r prifta l)isectoare ;

lsrnt+

si, se caLrrriirze rrrmi-capetele curbci de in-

pe un clruu ce lu2), luirtn pe o

.) (- '.d, . --, --'.I.

At- t 3,t), L)\r.) ) qt'

"inteise.teazi planul z : 0 ;

. a :dr + ilr l ?il; ,..: \- ' -+--- /1. . -1,2. /l(rr, l. 1),tUi lr, t- ,: +:?)1/'

6, 3t, Lu.lil l)c o cutbi'i c. nu

lueti pe t curiri ce nu tre(e

lr, v, - luaii pe o c rhi situati\ - ,r.,, [^ a- ' --:]1 /1. r, rr. rJ

Jli \Y:

ID primrrl octant.

20, Si se detcn(inc lLrcrul rnccalic al unei {orfe t{astice lnrlrcplatc cirtrc ori-

Sinu frproportionaliL cu distduia pulrclului de aplicatic la orkin€, 91iind

_c,i

punctuL

.de oplicatrii rr lorlei ilcscrie, 1 sens dira,t, slcdul dc clipsi j: F: - l:0,r> 0..r > 0.

21. Si sc tleiernljnu furlctia pL)tcnlinl l'(x, 5t, t) {tlV - P dx * Q tly 4- R dt)

al fa4ci $(P, 0, R) ii opoi lucrul mcr:rtnii ai lortei l'Pe dn1lrlui indicat:

r' r) F{0, r), -rrr1 }i putldl o":cr'. ,48. .u i{}r. Jr, ?t\, B(v,, Jr' ?,\l

L1

[ -: J-, ,

-purhtu,

Piel.LJrn ,4rr, b, ,r lJ inlbrr ;

.ffi ")E - *tr'r, punctul pleacb de pe s{era ri + y' + }c - a' 9i ajunge ge slero

rc'+ 1 +z : bN, b <a.

19. Sl se schimbe ordinea de integrare ln u.m:1toarele integrllc iterate:

lt tu' ^. - a:']rr2 rdr Ia) \ d) \'/{,, r)d\; L'l \ dd\ /(,. ))d} \ .r'\ //r, rtd'

Ju J, ) ntz J-t .at2 J.1,, tr

.) t ,i'[' /{.{. riJ,: dy ('.r1 (n"-"1r'.,,d'.J_{ t_z' _\) Ju'

2e. Se se ca]cuieze urrn:toarele integrale duLle:

i) i\,"",a' a1, 1r.,1 ti,ni,o, ae x:t2. x:o qi y: t:

u,5\,,,,

. J I d., dy, (.D' limirsr dF r . x, ri r? .r :

rr (( ,.,,r - ',,irJ,.r .. (n' .t'*J'<1,.y10. r>0:llD'

*r(( r"- r')''?,lr,lr, \t') .JoAB.l(1, -l), a(1, l):)JD

n\ \\ t\) - '?)r']d dl. tI^ ,LO1B,,41t0. t\. I'tt. 1'.

21, Sir sc cfectueze schirnbarea de variabile de ia coordonatele carteziene l:r'oordon-rel" polar, in inreSrdb duLl:(i i1.r'.;,drd7;i ,:poi ir rcsratr uL inrrr..

)JDsi se transforme in integralc iterate, pentru urntioareib ,:.

s) )r r -..t- 't02<\r-.):/Dr'

22. Folosind coordoratele po{arc, siL'se transiormc urmitoarele integrale dubleinr"8' al,. .'npl, :

a) \\ t(./r'?r- 'jrdrdr, rDl r:-1- ':<2.,v,a>0iJJ'''

1-":

b)

r)

23.

[( /{,r | ,1) J.J rDt .2 , a-.

(i ii'ls,r,. ,D, ,r . ',:r. .,. , , (r))n \tl '

Utilizind coordonai.ele pohre, sl se calculeze:

(( *", - ,,,1',tr. tbt r. - " .1 : ttttln' aX

4

b)

c)

d)

e)

tr \\ Jr,a.1:1,.1r. tt), .t' <,:.r), <2 1. )u.))D

24, Cu ajutorul unor schimliri de v. jaLJilo nd*r|xt , sh sc ctriculczc irltcgraleiedub)e I

ar"i (r] a"o. tD) t <* +* < e, --J3 <.1 <.1

2s. S. s. v."i'ice fnrr.ri . lui cr-.n p. rrJ lu,,.;iije P

r,0.d,li:rrte pe Jom"-

niDI (il) .r, + ty? < r, dxc.t .

.) r, t-l r(*' \'rL 'r '(o, o'' L 0, ..JJ -(0,0r;

,,(,, r) :IY(-L'+ rtr) ' /r r) + (o' o)

I 0. (t 1) : (0. 0);

pr,. ,'r=-l'i" r,'r r. (, .1) ;- ro. r)r'-

t 0. (r )):(u ul

Qt", yt:l c + r') L. (i r)- /d o)

I 0. (r. J) = (0, 0).

.t

lll,(,-F])d,rdr,

(r) l < r+rr < 13.

'

<1 < i|

,, j,,{'" jl -';}".'r. ro; -,,1-. - - ii ;-;. ,,

c) (( t' +,"1 a.,,r;, {r..,1 i ;{ . I ,

i,)

.

26. Foloshd formula lui Green, se se calculaze urmitoarele ilte8lale cur.liliuil I

a) ,ice"''(cos'"2ry tlx + sin 24r dt), (c) :t'-+r':a'l

L't ,i -"r d, + .rlr dJ, (C) xz | )' . a'' I

c) yjc2(r'+f') dr,+ (J'+t)"df, c {iind perimetrul triuDghiului lBc, cu.4(t. 1), B(2, z), c(\, 3):

d){,c@, + ,)\/, dx + Jtxr + rn 0 + G+-t )) d , (c) (*-t),+(y-t)'-t.

27. Si se calculeze direct ti cu ajutorul formulei.lui creen, ulm.etoarele integralo,:urbilinii :

'),i (.v - v) & + dy. C Iiind frontiera lui I n) x, + y, 4 2r, > O t

L) I ir-3.L'?rdr+ (3x'y -rs,4r, C liind stertul ile cerc { +)'- l,completat cu ra,zele OA pe Ox Ei 0B pe O1 ;

(),1,e txi - r\ dt + l\, + x) d, . ct + - t.

28. 5t se calculeze ariile domcniilor ufiDttoare:

n) (D) Iimnat dc ) -, r, ,i y - x ;

l,) iD) limitat de y' -. Zlx, *r + r: 8 1, I > O t

c) (r) limitat de r: , i:2t, k+ -A, r+Bt-a, a>Otd) (D) Iimitat dc J's - 10, + 25, 2 : *6,r + g '

c) (r) lirnitat de y - ar, y: b:r, lO<a<b),y,-y'x, 1': r1*,O< Kq,n> 0, y> 0.

29. Sir se calculeze volumele corpurilor mdrginite de suprafefele:

a) x+ +z-a, x-0, :0, z:0, b) ,t+t+t:4d, l't+.tt:o.,r:0.

30. Str se calculeze masa peotru liecare din pEcile plaltc, de densitate de mase/(r. JJ dath :

4 @ # +i : 1.' > o. t > o : 1k, y) - Ja=V, I

b), este limitat de k+ y-5, xy:z; f(x, y),::(y,31. Si se calculeze coordonatele centrelor de gr;utate ale plicilor plaae, de

dcnsitate /(r, J,),

^)

(D) fi+y, <a,, t >o: Jk, I:1:t,) lD)i +r; < l,

^.> o, >o:lb,r):t j

c) (D) este liltlital der- cos' )- o -+ < n <ail(r' J) -l;

.d) D estc limitat de J':4r+ 4, )': -z t + 4;J{x' y)-h;

'e) D estc limitat de t + Jr : 3' xt '- 2' l(x, J) : J'

32. S[ se calculeze momentele ileinerlie ln raport cu axele de coor'loratc

pucile plaoe omogene, mrrginite dc curbele:

o.) x + t : z, * :2, y - z : b) f - x'z, r - )',

10,?. Integrale dc suptafat5. Formula lui Stokes

L Inl€ialc de .trllafaF atc P.ie. str,it. lli{ t o snpralat& &gula15 dat' Pnt

t -,1n. t), , : rlr' o), ' - '(u' '), h', )€D CR1'

tidita t,ind d.sti Fnt 6ic. tl.8 re & Puctelo' i'rt'nnediffi valdr@ inL8"l'r dc suPrajtri[

do pim rlcF s1o i.d. .nd. ii do ales6ros.lcfoi slPtalctei d6 iDtegtuc'

Irtcsrsla d sutE al{ de Pnna s?cJA. 3c calculdz{ dulA fofrula

(1)

ric a - {t .', ..., 5,} o divizi ,. d errralcki )], Leari'et' pLiD rotea*-"'l*.t"" :""i9:"','', - 1 2, ,. .,

-,t_ d o4ibbilo clon'nldr6 de {rPolela lie d, diahttn'l crlei ma nici stere

corlire acnontrr & slPEialA ti. Nontr? ilivi?iunii A csle Nn'iLl r{A) -l srdi } e rudctur

,, (,)en, 116 aditr6r.

Fe Flr, t, t) o flncfi. co lin [ c t. Sc nllnotio illcg'E]o de su?dall de Pridt stctrd u'

(( .o, ,,,o' -

Iim d^(F), 6arF) * i r{:,, r,, (J,'

JJE r{A)ru lEl

lt1

(3)

[ "t', "a* - \l,ur,(,' )' tu, e)' 4"' 41JEE-:7" d"a"'

ude z - (,;f + b:)' + (af , | * ,;x; + ;t'; + ';';,a - k;f + U;I'.+ (':j'

&Fr.d6iicoolio@lii

Prim6ilod. iurdamelt4l€ s $IPrafelei

DdcI srpn&la F8llatt > 6tc datt tnb {orda clPlicfte

' - tl'. t). t', r4e D C Rr,

atlaci lodula (l) 6lt t5 {otle

it r,""'".

: i\,.,' r, r tt, e) uE + {+ r a' av t -,'"' c - "o.

Ir. rnt.sr.h d; srl.er.ll dc s el a .loua. Iie fun4iire P - Pl', r' tl' Q - Ql''''

t)t

&

-1?(,,

t, 4contin c in p'nctclc errdxeloi :. l''ie t+ lota NPraJeiei E8lrate :' dtidii de

Y"*,t "-"J*.p*t, -"p, cosll Iltesrala d€ snrBjale de spefa a doa se redlcc Ia o Etegbud. slpra6te de rFts ht i

tJ)



_ Iqmul4 lul stote. It t o sptalaF &grr3|. cu d@5 iot , de e slriji .n pc @nrtrqlrncris re8uret c. D*t luacF c ,p(', , ,), gl,. ,, ,), ar(,, ,,,) srot trlctii cortirl; si cu diiv.r.

'.rri,Lcootinr. rarr uo domcli , /c E . qrc conlilc snprajal; :, atulci 5E to^ rom;h hi sto&s

,i,,ra" +Ba, * or" -\tlif -#] .*" + (?-_llJ -,p +

,20 AP\,, I -' _ llc4yl dd sn ; F.dr _ \l ,or F d,, It

(ir :tl' I ', ).'rrdc F(P, 9, n), o este rersotul lornstci ta fata co4dd@l, a supdi.tci, i4r s.lsDl d. a c rs p6

o,rbo C estc cer asilt lelei cosspuzrt@rc (cu. a C €t6 pdureE .stfel i,ctt un oU*mtot co strirc{ e C se 1tu6 tot timpul ra srt ga Iata consideaii a su .at lci ),

ADlicafil, 1. :1dn po.fiudn de sllBtafr > .src

.2, - il *:i[.,a-"a,,",.2, N }J nd $i coordo6tel6 ccqt urui de Srout re 6 al po4iuun t dc srldtrtA, ?. care c,io distrt.

hitli deqsitnto do @s, p(r

,,,), sitrt dat dc

.,r.-l("er,.

r. +' '.- \\"+r,, t. aa..

. - j\l*o,", "to",, - j\\""v,','to,.

3. iloDcriul rlo itrc+i. nt po4iulii t dc sop.atatr,ld 6porr cu o.rsia.a, s6 carcut.arn ou forEul.

t =

J{

t.' +.,, *.rrt.. ,. ou'.

(8)

{r)

llot

10.2.1. probleme rozolvate

l. S[ se calcLliczc ffmr'rioarele integrale de suplafatl de prima speli:

"lr: tr+-r +r) dd, und.e teste suprafala *z+lz+zz:a2, z > o"l

i) i =\[ r- ry+,J-Ldo, urdc ) csrs porliunea din planul r+r+r- ll.

)E,le, rpat{ de llanelc de coolLlooa(e t

c) / - [i zdd, unde:esre pJriiunea dia perab)]oidut r: (.y3 + J,')/.1, decu-J-]t

patli de cilindrul ', + :},: 3.

ndol,zr,. a) Pdrte 3upralata: codsiitcriu rcp.czeqtas .:+ @sg c6e,, - 4 ri 0 cos9,: -dsiu9. 0 € fo. t:,9 c (0, E/zr. pd4qlturgisiddo:

Jlgc:;:-F d0 d9 *a'rc€9ld0d9.l)upr lorinula (3) oblitrctu

t - f"ool"i. *,0*"r + dsn,0cose +dsine)c. &,ed? = 0 + o + e' - o.

269

hr srnr.rata t ;rte hnlalid l-Ec, e l(2, o. o), B(o a o) * c(0, 0, ol ti e Proi4teaza

r' or.'Jl o o"rn t","8 i; o,a s Dd tutia suP6retd t P@re Ii *nsa snb lortu qpl Lnr

' - o -' - y. F, i€ La,as dir Plao'll:or' APlicrn lomula (5)'u, _ - l 9' * l do - V Jdr'l''

tf | ,- :ar-\\-*;r/ia'ar-*1"*]"

"" "f '

c) Supratata e Proiatea, tr daDl rol dnpa domoid PIan (D)"

+ t'< 8"D€i

:. '-thp,t,,rl eD. APrj.6E tom'ns 15); aven p:

''q ' r' do-{l "r )1rf d'd} ei

r - ( I t,, + ntr +"

* r',"' 6'a, : -L l""ao ['nuul' * "1''

o' -],JDz 2h Jo

- - [] r,",r* - j r'.,,r,{Iln':,i,, "

2. Sd se calculeze ufm5toarc1e itrtegrale'le

suprafate de spela a doua j

a) r- trO1*+y dxnzl zdt'd1. unde > este fala cxterioari a sfer':i

xt+)2+23:d.rlb) r:\L(, -z)d2dz4 k- t\dxd'+(x-tJdqdt' uhde : este fatn

exterioar['l"nihisi

".ooo.1oi 2:nE-"1y 0 < a < I1

O r: ti"(f ar a' + -L a' a' + 1 a' ar) unde > cste fata interioarl a clipsoi-

aurui{1/u-+{-1r==0.

ador"',, a) Yq,or.l N 'rci r att t,.i.i.rtqioare a sterci *"'(;':';)' *""

. , du [ fo@trla (6), obtin b

, - ii"[t +r+ i] * -tl { a" -.ii,"* - r*',

u".,".* "* t".' ."*t{" * - .-'.

b) Srp-lata ts. conpune di srPr4letclc:t - fala lalc6u

6o lui 9i t' - s@tiu @ @tutli cuptaNr

i:

'(ti8 29)' Deci

'-ll,.i .-.'.'".D.o.l@ lals dt€ridt a rdi >5 e vtForul dna D (0' 0'

duFr foddt (6) obli €D

a-t ,t' rra"-il,t- -rro"ar'

ddo {D) t +l < t , t : o, 6te Proi@tia lui t ln plomrl'(

Tdhd la c@rd@et6 Pol@, enlt4r, : (ldo(h,,{@so _ .i, o)d, - o.

-b -lons. zl

.,,. i::,.1$' " 't - 't Jil? - o -'.+ eprareki :, u vecto. r"*r ra suparara r

"*'{-ffi-. - 7*, rJ * rs..a or -./ztD.dre.e yerso.El ar totu€zn rD8ni obr€z d o:, Ezuif, cos y < O Si deci

"'.iIT"-ao_r1_., )' c..d or -,/;lF'l- 1

DDp tohurA (6) rezdrA

"- #J[, [',

-;+H -" - r, -,r]* - €g r, _ .,* _

- .\\ot" - auat - z\ouo$,"1.r"

o - -. oro, - o.

c) versotul Dormrt.i ille.io.ie cr.sp@:tra* telei tnfsicdc euFsoidrhi sre , _ _ @ O_I I t 2t 22\ SEdot l- ",'-;'' -1 ""4'

.r - ;g-a q - z{i a'a a if /'.ld bt 1l

Lr&i, dupe toeula (6), ae@

,-;j (-* i;F*--,(*.*.lJ= -r[+. * ";J Jt {l *ro *

11,tt'*

L,ln, narJtrrl'p$'d rrpretuide . - z ccicg, / _ 6si, 0,o, p,, - . siD ?, 0 e lq 2r 1,

'-

i :- ;Johrirco i6 -F-.,.'cGt0cos'e I a:L 6ins0(os. e r a r, .c, e silr p _

- "'t'"'-"e 1 +f,+f). u,oo * - "',*ei{"4 +4 + ij'/iorr. e,r ""-"..

acJ*" or"

-"eav -: tit,"

ro,,"

+ o"vt.3 Si se calcnlez': 1 :

f" J dt + dt + tt d,, n de c este celcul rg + J2 + z - ar,r l- J, -1- r:0. parcurs ;r sens invers selsului ale migcare a acelor de ceasomic.daci p.ivim din direelia pozitiv{ a axei Or.

",1.i,1.n/,, Sr v.rttj.d, r$or tnnn c1 stnr tnd

*itij,{.i:.,:"s:;? ; ;&H"fffrT': T;1"i"_1 "l:;1y,i.:." t*1t,Llt

I - ; jf 1"*, +.*E + "*rd" - - Jt td.,

,-

-ii.*.*..J :

. l0r

- I ' ' s.il6 di6{@E alc do'tuloi la lata i' D&:i Dde(e . cda - co, p - cosl - i: s$r @n:

s . iobiontl lroicLlie' ce'cului i 1'c pratur 'o1a u@i {p& erimi'ae lui

'tqtr cole dona

rDl:++ry+','<:,t-0.'2

' - Jt L* : -.t "*",-_ -'*'J' d@.* dd : Jt'r'dr

4. Se se translorme cu aiutorul tormulei lui Stokes ilrtegralele curbilinii in

irltegrale de suPrafat :

a\ I:,i.G'z- v,z) dx + tJz - xr\'J[+e2-")\dz C fiind o curbi inchisit t

b) -r:yictd, +zdi+tdz' (C) a:a'os2t' t -+stn2t z:asiltlt'

R.,bt@/e, d) Apricittl lolnula lui Sroke, obti@ t:0'

L D,'ui * elirtl Dardmel'rl / c" ol'lid e{sFiL turbej \b rdB {c) 1r d - 1- ar'

". ;'- ;;',". *"'";tati t po.ttu@ diu planJ' +' - @' dccupatd dc cdul c' d dcG,6' /r lr

verso'r

trormrer" =

*'.'t; 0 -d-l d"e' rorBUIs (71' obr:oed

'':- ".F*:-' t-*--#'

undo D en. proiofia intcrioruhi c'rcnt{i c pa Pt^nl tot:\Dl 2z'+ I -242 <O' ' :o'

5. Sl se calculeze aria potliunii din PaBboloidul x'+ lt - 22' met8initd' de

planul t : 2.' n rotrotr, P.d€ta poltindi de sParaF F plaNl tO' et (t): tr+'t<l' D'ci'

'-'_

6. Sl se calculeze aria porfittnii din sfera r? + lvl ++ .2: a2, deEloEalL de \ilindrul t' + \' - 6) : o'

siiuaL:r tn semispatiul z > 0.

R t rttr, Proi4ti. suP..felei nr llaad 'Ot* ftc6 Pe doDo'

nirr i D) 1 Fl - zr < 0, : = o Dat'd r:r" '|a:-"-'/t'i., ,l= o,- n'ut,z p- -*t""- ls ,rl l- \')

ti dd:a(ci-r'-t l r lrI/ P :d un rr''/'a

a:\\o<c -+

-v;'"a"ur -

" $ao '"'""r"'-cr*

o -

:""(" 1r - 1"o, o11ao - 1r - u r,".

lo

7. Si sc calculeze coordon"tFle cen_trului dc greutate at porliunii dc supraIaJtron og, ni (:) ?- (.\, r 1 ,,/r. aF.uprri ds suprJrtr * _ tt:'i".'

"- "

It.r./,ara. Trebnic si mtcrlrm ..ontonafele cenrruhi de Arelrar. al uei podiuli din $pldar. rli,oL o^,p1,J J.Ln itindtu, o&si,ak. ri..d.",r.",,,1 1. r ,rr .c.,r, : , ,"",,JS."i.t,in "e p,o'^ r(Jr t1 Dlatr't rol JD|. aod€ljut

lD) r. + r < o,, t : 0. A\e6 ? : ,1,, + r\ ,,9 : y6i + ,,)-11, si

^/- \\:'.

v/;\\ ,r,.ry../"q" d0 {"''", . : lt -.,.JJD )_r2 iI (l -(82' ;JJ"* # .,.''oi;--'" .0u' +

1*llor1o=o,:,:Ia.9

8. S; se.ahutcz- m. ncrrut ,1, in.fiie. in rar orr .,,1t )'J i'|. a,, r -0.J>0,,)0. d. d'cns:r^r"R.bl,d/.. l\Iame\n11 d€ incrfie hr .apo.r cu da O: osta

axa Or, al portiinii sfericc(le ma.sl' ?(x, 9, z\ - z.

,- (( r" t.:)p...).4,1 .((,,,- .',o"JJ .jh

"."1" "lr"t,'" ) - . n-., r.v m,, m.rcd,-re . r. a6 0,os . . .,..n 0..be. : _ asi s..'lo;l r I ,j ,.@'( . d. = ,, ( oroo.,e, r,u'.a

(ni2 tn 2,,,I"'*\"-",o,p d ne,s.a ooe._ j,1- - o*.,."=r:.

t0.Z.Z. pr.obleme propuse spre rczolvare

o. S.i . .al ut./, rrrniloJrFle int 6rat.,t".jrpraL :i d. prima speti:

a) \\, h+i.f:)do,Ifitncisuprafa{acubului0 <, < 1.0 <y < 1,0 <, <i1it

r,r i[-,.', +;,,a". \\ ^z a ), + ., -. d.;

.,, i ,, - r.) ,do. : rijn,t sup,arata ta,erat,r.a.o: rrt.u-l I ,i - j,.*p.,*i

lntr' I'[n"]e 05i :-t;al

JJ,frr -l- r" + ?r) do. > Iiind lorliunea srFratclcj con;cc : : (r, il- r,)l/,,

derupstj d- supr-f.rrr:rs j- J:-

2ax.

.11\, t .' + :) lc. : rr.Id por ,un(J sxljrl. t, i ("r.:., ?.' rlrrJ-)r.". dcrupaudcpl.,nul - - t;

IJ \::'dc tI) * rrcosz. 1a ',srn, r- t.1,. It - lO. a. 1) -[0,zt:lst i "ff +'j + $1"' d., 61L.,t ', - 1 ,

.. af 1 _n,JJ, , uo. (r) ? . (J, | )?)\,. 0 <"} - tr

l0..S,i s..rlc,rhz. urrrjroarole jnre8rate d" |lrlrai.li 4" sprta a doua:a)

$rn,dl dr-'.),1 & (lr+r3 dr clj,I iiind Ia,x in,r, ioir.t x slerei rz+J,+r :4,,

U; \\-yz a; O-l+ v:d?dr+ rldrd.1'; r fiind fata cxLerioari a tetraedrului

llmirar'1ie plrr-le r-0 v'p, 1-o tlv+z-41, r \i-zar av, x lii,,d rala c{r.rioar: a elipsoidulur { + } r- t -' -- o ;

dr (( tdv d. i- v.l: dr + : dv Jv, t riind fata cxtcri'sri ?trcLisl'r cilindrulur-l); -

"+)'z:a'.-r<?<,11. Utilizlnd {ormula lui Stokes, si se caiimtei'e ur:mitoarele htegrate turbilinrr

i""*"r iJ i-t""-'i-ii"a astlel iactt domeniul iaterior si {ie l-lsal in sttnga) :

^),it bt+,) e,+k+')dy + ('+y) dz, (q f + v"+z' : ""' ':+9+z

: 0 t

.rc

c' i.rdr-{r F})JJ F(r It I'1d2.

lcl '-asiaL't-atost

?: a (sin I + cosr' I e [0. 2El:d) J rtd.v .:,d-r + r,i tL, C fiid pen''Le:J[d ABDA el triur$hiLllui "tBD'

*,rr'l 3, or. B\o. a. o) nrc' o a) |

er,. r'v3dt IJJ +,&'f ) i lY':4''z-ol

fr ,J (y' - j)tr+k,-.13)df l(x'-t'ldr, c liind couturul oLlinur prinrc

intcrseclia cutului f0' dl.x t0, alxto' 4l cu Plzn].l'l *+t+z--d

12. Si sc JIle aria po(iuniide suPraJaF sectioDate de:

. a) cilindml x' + )2: a" {,. t > 0) dilr ParaboloidLrl hiperiolic I : Yl i

b cilndrul ,'+t2-zx:o din conul"+yr-' -0'c) citindruf tc' + tt - 4)2 din conul r - (y'z* zerrt'

-

13. Se se calculeze arira. Po4iunii de srprafati z' - sin 14 cos 1)' t : srn ,, srn t'

E-.ua 0. rl. / €10.2-.1.--fL Sa

""*f""fez" ari" porii"nii conului {('s + t1 - '1 - 0' cuPri4si inire

Dlanele,-0 ti z:2.*-i.tsi."

"ri.

-". supralelei'nateriale

(D tz-(r.'+f)12' o < z < l' da'1

dsNitatea de mase €ste P(jr, Y,z) : z'

16- Se se determine coordonatelc centntui de Srestate al por{iunii de supra'

UF-;:*"+t", decopate de ciliqdr l d+Jrr-'-0'17. Sn se afle masa supr:L{etei unei sfere qateriale' dacl densitatca

'lemast

ln fiecare punct a1 sferci esic egali crr:

rr ,listanta de la pudcl la diamctrul veIUcaI'i patratirl ,tis'.rnlit de ln Punct, a)'

18. Si se dete@ine PentrE suprafata conici o'do6cn:i i: 11 (v' + r') /''

al pozilia centrului de Sreulate G:timomentete de iaerlie ln raPort cu Plaaele

'[ecoor'lonate-

r",, : t, z\ da. I : v' z\ dc'' *, : t') "'

l{)- Si s, ,l'rflmiDr momentut dp inFrtj. 1r. rrporr u pt.,nul .yol al portjunii,re suD,afala z - trz+ ),)u2,0 < z < t, den.irJi"d ,r" ,i,".1-iiffi,1;';:l;,: I I,y.

I 0.8. lutegrala tr;pld. tr-ornoula Cauls_Ostrogradskil.,Iltcgrala lripu. Fi./(,, ,, ,) o rnncfic hIrginit, e domernn rE6rginit / C Rr. So [email protected]

;,:;::,;:""j"";ll:":.pare,ridseDsionar..dr..-r..r1., "a(.r-.," "Ir,";";.;;;,":,l, ,.. r_ r. 2...., , , ,,j , I ".{"r .1. .,rer il. ivora4 di,j2i-oijA no'aaL{A), q{. , d m: ,a*lirrtu dine , , i.. ,,,.h..r;,;f ;:-r,.::l:;1;;eiehann atai.t, tunctiei Jlx, /, ,), co4sprrzdr@re dr7iziurii I a tni IJ, est€

(t)

. ([( tr'. n. no)' . ':",'ill,,"^

t''r' Qt

rbira l n.r are-n Frtru orie aletcrr a I.utr.tplo, rrt" nr ... .i., ,t,. 1 ,LP oh 'i,ajarlt irt.Fmhi rriprc s r€{rlcp ta unn"., a,"-J

,-,",i.ql IJu l"diul v(sr.GarntrstrtJe.taDets,-.\i. - d r ." .rur€ .u Dtjnlt : _ rr, , <{<1, proimtezi h ptaht ,(, dapd domeaix D,. Atntrcr, nlqt /(r, ,i rl *,, _*,"""',. 1,,

"-,i_ td f,'J)Jyrr,./ 4d"_ . _J\,,-i ... , ,. ,{)

.L,r UoT%,ui t/ eer. tiDjtar 4- . $,_€J-l: i,j.,,dri: s.n"?.,rr".e p.,r,pte.u a,a o. ta:tl,i in r'"\rip " FtaauJ ,ay t.^n,de domrnint i-,, ," : .-.--:-"- .,;

14 r) e-/) ri ocsupdraFspen@ri,-nt,,r' ,.1.1':,.' '|D 'Lf" i'(ridd.-e1,.r'.DAc^ tt, . 4 are .o,iruA rD r. arr .

'^U) -.r,. $" 1,, g,)"ol

,,. ti,, ,r" (,1 - .,f-llntegEld tljlb a tunctiei/(,,7, r) crtias, ra doncnnn ,,cs1e

$1",,.",d,_ll,*")1: ';;. .,.A; Schinbarea dd va,labtle i toregrata lript . Fie fuansrornarea

- (r) , - eI,. p, @j, , _ 4,tu, ",q,l , : t", ",

.s, 'r' u ' 'rp lun inle 9, + ti 7 6Lrisrac lorditine:

. ) siai fulctt coati,le tm e i cu derivafete lor parfizte j

.f',) sabit./ o.o'cspo <tcr1A bi,,oi/dA,i Li.otrrin,r d.n",,,,1u. / djDorvr si pLnLrL e LoDmtrrui / Ji. sjiafj,j o,fl,1..rL-,^,ni.a,..,r r u,

ii, lar /... P',,, .,

.r,, F.... . m. , ,..,-.. jo r.Dtx, r,0lri orirnF r-,p:a t,.Dstomrrjr t, ilr.8rara UiDtJ . ,rn.i,,. , dr A lorh.ts

JV'lD cazul coordoiaLenr--Uti{itice ,, 0, ,, cu r:rcos0. I:,s:r0, r:?, rorDuta (6) esr6

lj ,'r'. ,, ,;", - l 1".;('c.s 0, r siJr 0, ?)/d,r,o.,,,

(J) ,i

'

(6)

(\

L ForEula causso3tros.ldski. 'i6 r u'lodod

lnclus, Edretlit d6 supraJala u'ils' E 6

.a,"*_p'lt"'",e""

1o fitrdrc o'rD1 - au Dactr lrnclirlo P-P't' r'L Q 'Q.t t zt'

R-ni,t.4.i,' -.".. r: L J'ri/arc pa"ridle roDrluuo itr I aLuriar^ l''ormlla

crus

e _ ,k.l r"l[ ."aua, +or,a'+ Rd'd:y-\\\ l-:- f iJJr. )J)v\ t' rY 'l

5,r"-,"+e-**"-'r*-ltl"[#++'++i' (ro]

dnde t..sto lafa e*tadoad"a spralefei >, iar n(oG d'--es p' oc1) cslc ve'sorur normaloi la t''

,r. arricilii. r.) \'orddlr orptrui " "'"'t"-ili"t"

h) stas rNi corp rli coo'donaielo cthlrllui do tdutat€ G rl cor|dlui r/' p'ttru drusitrrd

d. d3. p(r / :), dDt

l' - \il" 'r"' t'aa' ""- j\\\,'er'' t' a'n'

. *=jii",r",r a'r';-f,tii"+r' r' 'r'r' (rr)

c ) Mof,oltclc J. ircdc rd rrr^r' cn f "1le $ aYolo 4c co'4or'Ll' 1u capc{ilo

'.,,- i"

,',t', ,, oa,, r,., = ii\u*rt" r' 't'r',

1o'B l,'Plobleme rozolvate

l. se se calc,rlezo.I *

i \"rr-ar,

(7):0 <'qa' 0 {} < b' tl <:(o'

R.'.n *6. Do@niltr I/ Iind para.loLiPildlul [0, a] x 10,'l

x l0' al' voN ui iza eah 'alcullr*t t "*

ou' Io.dulelc (3) sau (4) Drc{ D= [0, D] x t0' 'l'

aiu'ci

'-$* ,.,*,*= , " l , "'"" j*' l ror "'r' ''r'

2. st sc rLanstrrme lnr"srrlt r.ipli r - iii"rf' r,,'r d' irr i ' d-rh i 1'te

Dsrlru urmiioarelc domenii :t"',i*lr'"ir","rir" r*t lim;rJ J^Y--0,1J -0 i--ofi ri J l-:-Ij

r.i ir csL. r^l:Ld rl Lnlitar ,l: .r' r y2 = a" z j ll t - ,,l'

;dor"d/, i) APLicim lornula (3) ctr d-.0' d- 1ei (D"I'+'< l-'' r>0 t> 0'

p)

r,,' - \",'or"' ,' a*' "" - " r"

,,, = ur-' -r- r'rer, ,, .).,, i", - ili"

(12)

b) Apuam tom .1. l4), u (Dl,' i y' <.r, 9,(:, ,) - 0. s,(- .r) = l,

' -Jl" *+ll r. - gl * ffL ^, \^r*.

3. Si se calculeze urmtrtoarele ietegrale tnple:

,r r:i J,,ar wt, j+{+ ,-t< o.;> o;

bl r:j$,.,a,, / Iiind Iimitat ae z':iL6'ar,1, z:o ei z:ht

.., t :

JJj, {, +, + :), dl,, r/ fiiDd partea comunf, sJerei ,, + }, + s, < 3a9r Frrbolordului xz + y2: Za2.

xa&r@re. s) Z q-t r, -hienlioia r"t .&re.Ur"e

rolosim torDlta {3). VotEaDr I/lpriff lahe lt'aDete J e o ri, F., ia, sriee + * g"_r, :"""" "" J ",r";**-,

'"' l,b. "(,iT)<t @".ide'ie'{' :l)",',[,-:;"'.A,i1 crip*i ,, -"* ,,0

{r - :f s a*

/=J; d"JL,,,t",1"*[ ,d"5\.d,at:\.

*"b(t_ ",]a"_, ^"t.

_...b)Vlllelll6retrEftardedarctc.-Os z_r, iar seliu€a cu ,lznul , _ 6oDst €6i.{D,) rr r

}' <:- r.

Dunt {3) a,*-(Ltt,

J;'J1,.,n,0,_J", *

"* =fi*;: ,,a2. -:o,"2

- , =: a: t",.'i s romula ({). voiuoEl p * pdjeda,d ,r,3. Jt. in ptdDut o, . domehrul /n) rr - I < zr, p.oiari *+j@n (Dr) t + y' < d , . _ 7,. AFoi,

.

'rlc Jr FiE. 32

. ,,r, ,t : ?" + t\t", 9,k, ,J - h ei dcci (4) inPlicd

'-ij,"" 5, ., ,, ,*- j i,["-: .'-"'l"o'-

.*[" * , P' 1t1'd': '"t"

o) Cal" lou. cupraJol' duPrt @rc (Cl r' ' ,t 5 2tt t - aYoldrul

olrrins lDtrc pranele, : o 9i, :'./:. S*1i"""" d planul' : const esle

(D,)"

+ lz < 2a', z e lo' dJ $,' + rt < 3a'' zi''' t" ^Jil

' - ll*

li,, _,,. *, o + r + o,u,dr +l;E

a,ll., n n n *, -,,,,

*, *,,'qur'

SolBi .I coorloMt6l6 polt.a p6nfL cdculLrl integtdolor dllle, oLriine$

r = " [2" /E r", + ,r,*l * + l"m [," vnG'p'a

"yo']a, -: z"

"r"',' + *'ro, + f .\',t

". rc* - o* - ".' ("/u - +)'S?i se precizcze domeniile c cere stnt considerdte integralele:

r - I'a,l'aril"ra',

':

i_..'

fl;ri;," -l;l:'/l;.,,.

4.

a)

b).

a*a z. e) se *rie r - (( a'av ['*' /d,, ulde D ste lriulshid o,14, cu'4(1,

0, 0)'

))D Jo .

9fl, r,0), D€.i volunul / cstc m{r€tlit ile Plalolo-t _ 1, -0' -t" -0 9l '_'+t' rrl p.eearoo sioun , oblrnen t*,*u { - f, + -; n t'

5, Folosinrl o schimlare converiabild de variabile, s[ se calculcze umltoarelointegGle:

Ig .rilr : tl sf,, + r, -t- z,) (rv, tv) ,z + r'' + 22 < a2 r

',,- iil"(*-*-r{1,:r,,1r,, *iji, .,r. "c) l.-(([ ll] 't )z-r (: zt,)ndv,(v\ tc, FJ:<i,-l <?.1.

'JJJI L=-.

tdotrafr. a) Dedioce iloitredibl de integrare 9i trrcFa d intcgat confiu coftrlilafid *r +'r +'r'

cte orvenabil E, iolosnn coordonalele de.ice. lrroosrld r: /cos 0 @s 9, , *tsi 0cos? 9i j:

-t <i q t ibocuatra c. d t:n^9re v, oLl'DL'n

tV t 0 <t <d. 0<0<ztr ---<e<-,,2

I)upa fo.Eula (8), oblinem

b) Estc coavd6bit sd folosim coor.lonatete stef, - ,/ sitr 9. Doncliul i7 esfe l-mns{ordat tnice ge 'Eliat6 t-dl c6 0 c6 9' /-,' si4 0 cos 9,

t/) 0</< r, o <0 <28. _a <r< I.z2I'r iJcooianul trao.Iorm[rii estc I = ab.t,.as @. Dupr lor@ala (6), obtiaeo

, - [o* ["" a,p['.r..".,oa,-1^,ao.Ju J4t2 J0 't

.) Esre lorvendbU sl totosnn .oddooar.lF (il.adricc,_,coso, /_/si 0,,_,, car6 du.

"i:l::lt t PamroripiP'dur lll') 0 </< L o <0 <24 -,., a r. ;;;,J;#: i;:

' * $" oo lf, * I' r" + p - zy1-,t,,a, - 2"16, * (, - 4.,r.1: , -. :"J',tr," .2, r rt,i-{2- })d- -(. Jl-t ,- \'-"t'"l;;"'u',-v'-EJ'

6. Se se calculeze cu aiutorul formde,r" *p*a{

'-.'-" "* '1*'- u'uuei Gauss-ostrosnds&i urmetoarele iBtegrate

.l t-- j"-,ara I yz ?,:Lr r zz ctrdyl tiiod feia exterioart a srerer

r' + yz + 22: at.b) r -.lt

"d/d' + tsdzd' + z'd.dy, > fiiftl Iala exterioara a supraretei

inchise r2 + 2 : 22, z : h,

"o|Ift^'"4) coDditile peDhu aplicar4 ford.i 19) tihd rldepridrtc, o (n ,r + /. + ,, < a,,

':\\le'+"t+ua"''Irp lnd ir coodonare Jc e, domeaiut p "ste L

-*=E=1. "ir-*;-;i;;;l;"',"fTi'n-"'*+"aa{7') o </ <a' o <0 <2tr'

Jo J--l, ' Jo "' "'. I (cos 0 oot I + si 0 eos e + sin ?)d/ - o.Do-"cut ti.io, d'E e$e {I/) r + l <'.., o <, < t. Dtrp6 fdoul. ceusos,,o6,adsh:,

r * ((i.. r,,,- ,,, 1_ ,,10,.)IvPqtru calculd acestej i,te8€le rotojm coor.

< r < ,, 8 e to,2 iil, ,

=to, t]i. D6t

loDatcle ciliadrice' Doh'liul tnlsforoot ede (It')

i -,l* ao

$o,

J.r,, +,1d, - 6"

: ( i, +l l;& _

+ [,.d,_ + ],.

?. SE "e calculeee volumul ;,araletipipedului strimL m;rgjnil de urm;toarel'

st. nlane: d,x + b,t + c"" -- J, hr 42x I brt l.rz ' Lnz' a x' %) rt3.

- 1'l', unde deiFrminaniul

t", D"'ln- l.- n^

"-le6te diferit de zero'

t.. ,: ;tr6,0t,a,,. vorudnr pa's1cr+4.dur"t dlt eltc

"orr/ :

ittvda rode {4 : - 'r

< ar +'rt

+

I on <nr. -r:+',r b;'a%t<4 F -\<Ltt+bn/+"t< 13 tda i?lculul intcgral'i

.,,"i..r.. i.".-*r,i-*

dc €,6r, e s-af I bD+q.. o:o,t

;'il'';;;;.';;-;,;r

puarcrrpip.{ilt strtmb u i PardcrjPiPed'ir drcpt {r/1 - ir < ' <',''

Aplicild lomlla (5), obtitr@

'"o :

i"'a'

[o'o'

la -o'

- -fsr"t"r''

' )-r., Lt' lL lDl tDl

8. s: :c afle lnae ni si se delermlne Poziiia centrulLri de greutate al lcrci

".i ';"* .-);;;aie deositatea tn puircteie stPlei e'te inveri I'roporl'"1"1:

I' bi{,^ir" di i" a.este lLrncle pine It origine'

F.rcha'.. Dcnnala,tn P 'ctal 'to(",4 e' Pl'' / :) : -

"=--

Dtrr dupe

forNrt (li), aven

rr^r[([

(,srJx+f]n/'d,, cE ([): 'rr ,'r ? ' '

-lJJv.

Domcdul r .stc cuPdrs latie Ens&'t - o ti2 :2t i^r sfrulea cu llannr ' : colst estc {D't

'r + I < 2d, -".

Prir utut , d d lotutla (i), oblinen

' - of" a,[i 1'01 vaal-'r"6'6r'-afl d'f d€iv,"'. ' ...' ""d'

-lo JJo,

. _"f1,-t,+,"),hlr-b--,/ld,:zi-l-(vG-

)*--,*''.Prd..Ilnd <im'lsr, c obl're

*-f l" ,.<"+ "+n'hd'd'='#\:lJu*'-*)a'

"o '-' '- -o

g- Sa sc calruleze oro 3elrtul d€ inertic, in raporl cx or'ginca pcntrLr por liunea

d" :i;: ii;-i;;';;.;"'-Z' "'., > o' i ) o,'

") 0 dei'rtaiei de masi riind

pl c, t, z\: z.

x.'dk6lc, Momeofin do inc4it ld EPori cd onBi@ €tc

'r.- $ r* + r" + *r.(''.

ad" :illv

("" + /" + r)'d"'

T@ird la .ooldona'c sJsi.. <Ioddid P cs'c trddoffit lb (t1 0<t<d 0<U<- u<?<-

r. - f'ur "n * ex'ea'- lL '

10.g.2, probl€[Ire ptopule rpre .srolvarc

10. Si se cxlculez" urma'oarele integrale:

"r l'a.J'a" i,+vr-- r r)-vidz: o) (,* ." dr "('-i4*,d,ll.lsi se transfoln1e inreslata

tdpli t:\\\,tC", t. r) d, tn iot€slale iteratopentru urmxtoarele domenii:

' a) I/ este .0""r { 1f1: { f;utat de .r: 0 ;i z: c j

'b) Z este limitat de supnfelele z:t' rz_yi, z: O.

I2. SJ se calculere urmitoarele inte8rale lripte:

.lllJ" t, r-rt"a,. (n I + y + z < 1. x > o. > o, z> ol

b)JJl,

(,' + r'f a,, v),, + )), < t2, z > o, x + y + z < za ;

"t lll" ",aa (t/) r, + )z + ,, < e,. 12 + ,2 + z. < 2d, :

d) fii" t'" + r. + "'ldt), (v) r, + 22 < #.,2 + y2 + z2 < (f , * > o

"l Jll,,, u,, (v) p .i t, < ?r. o < z < z;

0lJlv(1,+)2Jd,, \t/t ).,+ , <2z.0.-:< ?;

srlii"*a, v)*.;,i<t.13. S; se prerizeze domeDiile pe care sirt con$.r..ate rnrF ral,le trp.e:,r

1""a,l{-- ol'rr-* r,. t,,)a'; u ",r, ",r,Jr.,iu v z) ry.

tr4.-.Folosind coordonatele sferica $ se calculeze integratele urnitoare :

.tlJi" t', + r,' +

",t',,d1). (v) x2 +,2 + 22 < z r

b) J'd"i/- dl,Jv::j_--- ""a", ala"fr-_.., r-- @z +r\d,.

15. Folosind coordoratele cilindrice, si, se calcuteze integralele :

", lil",**,', 0,. (v]t *+)2-zx<0,

1>0.0 <?< r;o)

lJl, r,o + ,,tr' u,, (r/): *za yz <zz. x2* f *f 48.

16, Printr-o schinba"re de varmbile coovenabild se se calculeze

$t (' - * - *-:)''' d". wt | + { + S < r'

. 17. Cu ajutonrl Jolmllei Gauss-Ostrogradski s: se calculeze urmetoarele' inte-

gale de supmJali:

a) (( r'd)d"+/'d.zda+Id,dv tfiind fala exterioar; a cubulur0 < f

'a}0 ( t < a' 0 < , < ai

tl (('r a, ar-+--r, O, at + z $' dt', fiimd' talzexterioare a tetraedrului limitat,

JJ>:

de planele ':0, :0' z:o' *+t+z:a;

,f \i- fI,.*. FJ,'?cos0-l z'cost)do, t fii.od fal.a e'xlerioar; a supraf'l"i

cahk rn.hi-

"*:-;-

0 0<?:D:

dj i( ,'dld, F4'dzdr+ *+dtdf, U fiind fala exrelioara a suprdr'f i

tnchisil .iiindrului^"

+f - a',0<'<D;

e) [( rrz(r dy dz + v dz d' + ?d.t dv), > friril fala extedoad a suprafetei in-

JJt

chise 12 + 12 + 2t : a", t > o, y >- o. z >10.

18. Sa se translorme' cu aiuto l fonrrulei GauslOstrogradski' irtcgralclc de

supra{a11, >i;mitind domcniul 7:

",(( ,'l- \z L A\tzlcnsa I cosF ; cosy)do:,JJ:

ul (i'ar* Itdzd' lzd'dtt ') [[ r'ava' F?/drd' FY)d(d];

JJr JJ')

al{,

t', + r, + "lv'('cosa + tcos I + zcosr} dq'

19. Cu ajutorul Jormulei Gauss-Ostrcgradski' si se demonstreze idertititile:

o ,r,r a, : $" -a- do' 1,t't.e^t : f; + J;' + fi: 'at 9- - + a" +

+ilcosB*Acos'r est€ tlerivata dupn direclia normalei la t;ata

o)" t'+r-rn*r u, : l k # -r PJ*

20. Si se calculeze:

a) volumnl corpnlui merginit de paraboloitlul

***-t-

t 5i de planul

z:0',Ui votumut corPului $Arginit de paraboloidul j'+

' :44t ti de suprafata

cilindrului , + rr: 24, t /

(r'

11. ptu.rot 9I SEEII DE FUNCTN

11.1. $iruri rle funclii

nio rirtr1 i, /:,. . ., t,. . . d6 luDctii detilitc pe u eotaii jD €@l r cu varori @le. grd {4}de ltncfii oste geflf_lg4g$s 1o idtervsrd I crh. turcJia lr r r R, deo{

v. > 0

riYr € I, 1,3(,) 6Nl

|tk) - l(,)t<

.,u"

>kzl,).

$irrl (r) de l@ctn L r r+n corve.ae rDuom tn iotc alut rcatrero (lR// raR, drc,

vc > 0, :,.€ N I lrk) -"1(r)l < ., va'> ,. $i Vr e r. {2t- Crilerid lur aaucht. $irul (/,) d. Iubcli /,I I - R c. r.rEe unitorE tn / 6 e lurcti,h I - n d"aE ti lu4oi d&t

ve > 0, 1,.€ Nl Lf"(,) tJ^@1< ., ,i', * > 4. ,i y, e r. {3)

i rorcda r. Frc {/.) uo nir u4uorr cooversclt e r.cetre runclia /. Drcr tmrc tulcfiit. /i.idL -oor.nup iD puncrul z e r. atua.i ti lu (lia tinii, / sro co,rirua t llDctut e,

leorcea 2. Fi6 r u intdv.l oltrginit ri (r) q tir ds tunclii itedvabile, dctin e e J. Dac{(1,) conv€lge trnilolm cnft / 9i (/,) coDycrAe nnuolh pe , cdke & dturci tulcfia / .sle d.rivar,iltpeI$iJ'l'):c6),reL

Imr€da 3. Dad ( ) *tc aq 9k d6 funcltl .ontinuo, unirorq corv6raelt pc {., 6l cdtrof,'nctia, aturci

liD \ 4t4d'. \ lr.,rd'. lr).Jo

Tcorna ,r. Dad eFst{ uD rlr (d,), artr u 5i lim ,D - o, r,rteL toctr )J,lt) -ll,)l <.\,

vr € t atnnci rirul ili) .oaTcisc unirorm pe 1 "ar." l'"*9r" f.

11.1.1. Probleme re'olv,te

1.5i s- arrr- ci tirul dc lunctii lk..l":Ln. rJ ,R,/"ry)-,.tl -r'). rsreconvergcnt, lnsi iru uniform converJent pe I0, 11.

Rezat@r6. Fi. 0 < , < l. De@rccc I'o r -O rdnrta tim /"(:J=0. epoi7,1t1 -o9i a.a

liE tr(t) - 0. Dooi lin l,(r): q V,

"

1o] t1. 5,-t

""

*r",i.,ro* *o""""*r. p. ln a.€s .

.6 {t6oicn reb}ia (2} @ loc. lnh-adev5r. tut,d .<- ei r"-2jl'ero, rr.."."a(r,J- j,Ir e N, tl d@t llogelt ld dtE r.lsti4 (2) u ..$ rridacut. pur& , - ,..

2. Si se arate ci girul de Iunclii (/'),ur':(t, o) :R,

utt _ lt tn, - {)sin + + ,, _"J"r.r'

este unilorm cotrvergent.

R.toIMt. A@, Pdttu , > 1,'

(,1 + l)sia' 3 27t E

2l; 2 '1" ndl-_.-_.;' '-

li{'" + rj'i"': +,'+ J"'

a..",r.si'=I<asiI'r+lr-in':>0.o.oo,",.ti-I-o'.""ttldupitPor'f,'r'Iai(4"..1a

tiade ld z.ro, ntildm Pc (1, @).

3. Si sc arate ci tilul ale funclji (/'\ /' : R -+ R, /'k) :D -ggj: ' ist'

unilornr convergent ti linita sa cste o lunctie coDtinu[ Pc R'

Id,/rrtu. \jom aplie.riteriul lui Cdnchv. Avpm, Portr 'a n,

I .o( '' -- l :oel" - ztr cos 0, + r)t I -r'..,{,} -^t')t= l;-;; - (,-r,i",_3, - -(,60,+p+i) -l-1.

(r'i l)l'+ 2) u+2)(.r_: J) tn-' Ptb ?t1) n+ I r+ 2

^ _ I . =I _ I

=I -- I <-I<., daca tr>'.-

"n-2 r-J tlt nrrr I 4--l t-Prl r+l

-rlr-'l .

t' l

Dups c'ite.iul lui cnuchy, 9irul (1,) 61. uii{om coDvclg@t ' ciiilc , liind coltiluc' iar

$irtrt fiild urilorn contera€rt, limite ti.nlui cBt o tulctic coitilud'

-a4. Si se ,rate ci sirul (le tun"lii (1.) /" : (o o) + R /'(.1) : ,2" sin

- '

tr-1

nu estc uniform convergcnt.

.'?.ro,,,/r. S. aplict cntcdll rd Cauclv i

' 1 *...*r,-,"i"_Ll.r,,h) -J,'r) :12'r'in-,.r ra"r I

al.aem r - r.: _: € (0, o), asthi .{

.'" --L. .;. r"a - t r,',.. , "+- - siD Jr*'I - (-r)--r.3" r. 2 J1 rjtr 2

Luhd I:r, dedoc@ c, l6i(,) -r(,)l:12'+{-lf + .+2"l- )al:24tlr-2+4'l +

. . + l-:f '2*',1> -L '2

Acosta antl d tlrrf. (3) nu csto vdUicsut, doci tirl 6.t ulitorF co w8.tt.



5. SA se aratc cd $iarl de funcfii (h, J,: R --rR, f^(r): --1 n"ig

,n, .oou"rguuniform pe R, dar 0imr(')l:-, + rilr f;(t).

R,ntuo,.. D".Dt{e ,J.(r.. l- "",, ,, I

I n t. ; ; - 0, re^It{ .{ f,inl d. [email protected] oouvorso

po R crtre runclia l(r) = o. Ddil,{,):o e Sidr(r)1,_0. pe dealt . partc, {(t) * 1

FL. pnn Dirnarc. hr J;lt) *:. RezrltaLrr. diie.r, o*.1* u",u u"n-r.r-"o ""o"u"* "*o.j

' n ""," - ,

S.""

arnte ce $i ul de funcfii (i,), , : |0, 1l -> n, , : ,; e-., couverte,

lr('1"t.).t,, + \ltirn /"{r) d;r.n Jo-.

)u ".", ,-.'

R oto.tat Eridaat, hn ll(,) : 0 rr dsi/(,) = 0, , c 10, 1).

fL tt\'/"k)d,-\' D'-ih* -

I c-,"'l'* I-

I"-'h Jo z b 2 2-

dcci rim$/,(,).h

: rfr{; - +"J = j. io"$ri- r,r"1 a, _ o.

Rozultatul so.xpliaa llitr laltul c ,rrul Du osrc trnllom coE?qge6t, hrr-.&yd,r, d..t e de8.tJ, rezulrA /,('r) -c-r"-1eid6ci reldflo (z) r 0,ro veriflcat .

11.1,2. problotr|eDropllse spre rotolvars

7. Sit se arate cd girul de funclii (^),, : lO, ,a) -+ R,l,(x) - - e-',, converse

clrrc Irnclil /(r):0,.,v c [0, c.).

l-t',.:: "'","cd lirul de funclii U,) este udIort[ convergent pe intervatul in,pL'ntru i

^).f;(n : G+ "\ ,' e t1. o) i

,) L,a)-#,,eu.6):9, Si S'e arate ci girul de funciii

r,) /,(.u) : -L, x e p, al I

,rt J,{") - ,##r. ,t a Lo, /,1.

(l) converge simplu. dar rou esLe unilorm

E r"6:;;' x e to. @t; b).f;i-Tf6.". ts, r).

10. Se se arate ci tirul de fuactii (JJ, /" : [0, *) ,, R /,(r) .: D] e.", nu con-

r'-1

. l.lt ..: ,.

lp,h) <lr-t.lsrtrr.rr-tvr ' ro)'11 tLa\4 + 1i (q l)l

o""",*,.*f t(rt .ro)',1 6,c-o.*rp".,,j.rc,rr,rcr -r (M.1 -rn.r., -o-,.t-J ln ) Dt (a._1,

deci lnn Ei{,) - o, V, € l.

. 5. Sl se ararn,.- fuo.lille: aJJ{r)-.si') r. r eR: b) f(.\): cosr. r cRrc) h(x)- .t,I ' R. sinr d^/\olrab'l tn i..i. Jc fur.)ip" R ti s.: s" d,.rcnniruscriile Mr. Lnurin corcspunzi toare.

E@atoaft. Evn4nrc slnt ind.ilnt dorivaLir" l.r n er 7,,rp1 -", f, + "a) , u,"1,) -_ \ 2J

-e"1,+'-l ri ni (,) -c . pctrr.tr n:0, 1,2,.:.. Dcoarce l/(')(,)l < Leilso(tr) <r,VteR,eEQ,1,,2,,,,,ltncfiilc/tiBsnrt dorro|alirc lr sdo.lc pnte.i po R, pcrrN Junciia,rvcn o. < c', e orico jnieflal cotupact t-a, dl ti <lcoi /l csre .lozvojl^bit, tn scrie de t re jioncG altJcl do inictual. Dc aici Eiacc

ct,cilo dervotratir,

ncR.

De@ec /('r)10)*o ri /(rr+t(o) =(,1)1, r,',r3'1 =1-'r1. $i 6"+'r(o) :0 iL /,1ir(0) -r,olti oru &aolttrue

,---+.,,tt-lt-t"1 - :€nlt lt .1 (tJ T l)t

.*,- r -il+1- f .. , r11,-t-.,.. ye nl21 4t (att)l

c'-l+ a+:-.,. jL.-j- ,y€n.lt 2t ,t

6.SI sc aratc (i hrnclidc ur,ntiar- si.r",lazvoltilbil. ln scric dc nurdi sj s,isegaseascidczvolta.x.I,,:a.izln,l'r,s^inicr\iLlrl) c rL. ,31,) valabili I

a) /(r) .- (l F yJ1, r:. - r, d .. R\10, r z. ...J i

b) /(.') = arc'in r. r c l- I, rl.lkrorhld. o) D@ruc Ja)F) = dld * 1) . . .(a - t I l)(l 1L ,)*' el ltrtp) a ala _ t). . .

...(4 - r + l), dlria lt& Lirrtu c@stlr/-lrwc drtc

r pa, 1J3:- L"' 1 +ar? I (z-s I rr,,lt zt

Rcit,rl d uiti ul r at tarcTi.i l, s.t ,.flntr r,,i C,,.ry ..,.

n"{*)-'k_ | i k-j'lrr ,0.r*"-,rr -0,,r,,-,l

-','%4r+0'f-r{i-€-}".eo1n,'1

n".\t tt 2t o h+ttll + 0,, nr

Deoarci. e.ie f; o"*, ot" .oo*"g*rt pcnrru I'l < l, lc*. t,41, r )znlta tiro ai,i :0, p.r.n-1

to lr, < l. llnttrd sca@ ci

l4't(l * klJrl < k;(1+ 0,)'-' < t.,t(l + t,t)"-"

o<(l__q)'<1.

285

rozulta c5 liq ,R,(,) - o, Pcnt 14 < r. P.ir if@r., Pclt u l'l < 1, cstc 'alabili ddtoltar'@r., Pclku lrl < I cs'c 4labrlr t-'".-t

{,-,i:r+;, r't";tt ur...r dk rj j{-':rir' ..

F'd4ia /(,) - (1 + ,)' s nututte tuftti. biqnnj'Itr,f ii*.""" y'f,t': tr.-A:r/t, Pmtru kl< t' re,'nq d J'estc o f'lcFc linomiaL ldle'

cnind id dc?volt@ functlei biDontare pe

'

cu -t' rl d : - l/2' obtinen

fr:,*j"*fn, *ry+#P + il 'r'.PriD itrtesrarca terne o lmen a acateia Pe [0. :], 6

'tl<1, dcduccn cI

srcsi ,-rr )*;**1*,' ":fi{|h;;,"#*Cud 6cc&sti *n6 esto conrcr€ .td ti ttr Pulctelo ,: - 1 $i ':

1, dcorccc

llJ...l2E-t).--i-<:L:<-l-, v""r., 14 -lr"l 2. f I

-J(2" r--'it

-

"'rctult cg d.tvolta@ oliinutt 6t valabiA Pc l-1, rl.Pcniru , - 1, oblincnr ePre,e;tsrc. ht trp suu fo.hd dc seric

' tt.r.i. Probleme ProPUsc sprc rezolvare

7. Sli se deiermine multimea de convcrgcnll ti suma Pentru urmltoarelc serid,r puteri:

"r $t-rt' "'"'' 'ut $t,+ rlx'; c1 f 1-1y+1zu r1"-' ';?,* t"+tifl \1 o

al f t-U"t,,-r- r)rr'; et i(n+ t)k'-F2\(t'+sl'"; I f fi.u ,r l" o*"'-,". *-U,.* uJl"^*.*"*o pcntro ur*itoarel"?" u" n**t' 'o

irr-(-2ri'"; b)

i+.*",.o i*,n, i*,/ ;-1 h"l

",il' +-ll'"'*,0;.tli):,.. " -,0;;t 5-lr+-1 ,.... .i] *,.'/J\ i) /- rt L--t,\ t - nt

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' LJ t1 - l',2: z-J "' a-1 n-l

206

9. Si.c irate c.1 seria t - \-\ '-lft' .stc .on\pre.nle Dc R. iar' z-J (2 1,(5 6J . ..lLJ,- l) lal

surl]a sa, /, verificL ccnal.;a f"lr\ + ,JQ() - 0, V , e R.

10. Si .. aril. .: fun.tiile urm:iloare:lnr d,zvollabile in scrie de p,rtcrit s-5e det"rmirL'dezlolr:rrca ;i int,rrr.ul l. c"re accisia rsle vdlabild:

a) / r, -- -Lln I . | ,l < r : I) /f.r.) : i' ,l-R\{*2. -.1 : - 1' ,{ 15" Fo

c] l^t: tossx..r - R: cJy y'r) - sirr3 r, .r c R;"1

7111 -- ---I-l .

11. Srl se determine seria de pute , convergent:r pentru t e R 9i asttet lncitsuma / a ei si verifice ccuafial"(t) -/(t) - 0, v' e R.

12.sis ;seas'.\:cr:x dr lnrl"r; (.nr(rSnnl.i pc R, a (:uci sum.i / \"rilr.;,ecuatia l"(n) - nJ'@ - J6): 0, , e R.

11.4, Scrii Fouriet

L nriaE /{,j < ri.lac, .onn.lil. iL': I)i,nlrlcr li idrcrrlrl (d, D), du(d tn ar.sr in,cDrl

fulotir /: a) cBtc lnirorn mdrgn,il{, IJlr)l<N, a<r<bi ) eu Dunr.r fir,il dc dlcor.tindtr.ti de $afa htlir c) orc un nsnfd ii,,it de c*trcnre slrictc.

TeorcDr l Dlllcl,let. DacA I n.1i{ J(r) netodlc[, or €ri@d 2tr, $tiefaco condilii]d li'iDllichlet lD i.t€nnlul (-r, n), atDnci l, Iiec^ri l] rc ..lc contirlittrt t e (-n, n) fMofia ,/(t)p@to li dctvoltal{ ln erio t.iSotonret.Lc, Ironlier

r,1 - ? 1 )1 r",,-* + ,' 6ir "),.Z)(r)

. r-t

ulde cd6.i.Dlii loudc dr rt ,i $ c .lcllcatd drri. Iortuulel.

d, -: \ /f*/ co. aldr, n - A, t, 2. .,tJr

.12,i

--: \ /(r)

'in '1d,.

q

-t, 2,...

t J-n

Dacs , € (*', r) atc rn purcl.de (u*o $ujlnte |etrtN funcli4l(,), atuDci sum .5i,) 3

..rlci lorricr (l), ataFt ttrrcti.l /(,), es1. dau dc

s( ). l/rr-n) I /(, .l 0,1/2. (1)

Lu eutmilnJi iv@ s(*r) : s(n) : Lfi-r ..1. 0) + llt - 0)112.

2. a) Dnc{ Iunclia JIx) .st fitl', II-,J *.f(:), atlnci ,' - 0, , * l, 2,..., ti *rja Fourier

6tc

11'1- .-1.\a.""*-, ""0".,-3i'71"1-"-d,,'-0. i.... ({r2 LJ rjo



b) Dac, Iulafia /k) estc inpart, ll-4 - -J14, atlnci o, - 0, r - 0, l, ?,, ... iiFourid eto

(r) - l r, si n'.".0" 6.: i f 1,; s" "'d.',

s - t, 2, . ..a-r r .b

3. scd Fou i. pcdtru o frDcti. pcliodicd cu *io{L z. D..-5 luncti. /(,lslirhco coadil{1.

lui Diricbl€t l irteryalul (-t, t), .tEnci ln Pllctcle de cortinait tc, e l-r, l) ae l@ ddroltaa

lk1 - 5- + 5\ L, (69, + o",ioi1,) ,2 Z-r I t t l

(r)

o

"'- il,t'n-";'*' " -"'

a. : 1t', n'r". f 'a.,, - t, 2.... .

1 1.4.1. Pfobleme rc'6lval€

1. Sn se dezvotte in serie Fourier Innctia Jb): e*, c ra 0, ln(-,t,

't).eaal&/. Fna.lia l?\ - c* stislao caidedt @ditiile hi Dii.ilrlot, ..tt r crtae (l). collom cu lo.d 16 e (2), obtitrd

,"-j\"-

.rt -- -- 1"'" - .'G) : -: sr ai I

..-l(" "*-"*0,=I t "o,*+""io-ru"l" -i J-" n{d. + n') I-.

lt^- (- t'i -: --::- sh 4:,

'e 1, 2,,,,

E c +n'

Prnr unM.e, potrtF , e (.r, E) vou arca

.., -2

"h "-JI \1 {-r)'races

-rlarrrl .

" lu.lJ d

+'r'I

inter ld

lD punctol. , : - -_ 91r : f, s @ s@ itin .]dbr &.pt dto s(-.) - S{t) - lf"+.in)/2rl €Sdilota d6 lai strs qu drai.6t vdauU,



2. c1 sr drzlolr- ln ..rie Fou|er funLtid /(.\) - t-- i.1 in'crralul iO 2r). Si

,\1 l-l-r'': l' u-t

,'?r,,/rdlc, in a.est €2, c@lioienlii dez"oldni in s.in Fourie. (l) snrt:

la2"a-r I I | _\ l::- ^,^--\

-dr--l:r-

"li)'

.-t ilii

rr::r r I \i.rr,j t a:-,. \

-rn.,rlr

=-ra I

-l

, -\ li rlr:0.:_ r li 2-:o

.r I a:tr ID.- .\-sinr,dl --(r ,-

-\

co.,rdr. -.

' k: l,2,...

edn Fonrie. corespunzdt@r€ estc

"-,_1.._t,o-,. :-2ZJh

P.trlru ': 0 (su ,:2^-l ,nna siiei este s(0) : .s(2n) = 0' ri n€i are le egalitatea

.,,, "n ':ltne8alibl@ de nai ll'r':lr-, Sn ii

\1 I l"I lt 2\- t

. t-1

3. Si. sc.giseascd seria Fourier a functiei /(r) : I . i i intervalL l-n, rl.R.znttu/.. Deoarc.B l(r) esre o lunctie parr, vom ntosi romnlclc (4) pentru dctermirarct

Fou.ier, ATem

2art r l. llrao- .\ rd, .-

| --:d.rr ato" J,, :1" lo

- -t f ,'" ,,u.) =2"

-t -r.n$ I rn', __r,2,...

'o..l.lilpl.i D. hlcr frLdd e'i.tucL p, .luoe foiro.la ri,-n

, -r -1\1.\:"- ' '2 t /.J \:r - t,t

.,'r:r

c.r)

-r, ega'iE'en dr- ld p. in' ruJh in hi: {-:,:1.

4. Si se dezvolte funcfiile :

?") It6): sin at, dupe cosinusuri, l iiiervalul 10, n), a + 0:



Rdot@t. a) PtelDns\^d

Dac^c-Zin+ I,

4

lurctia /{r) tu paritate l bte arll

2an l-..qrr 2

" :- \ sin,rLrL

SI presrllDem .a d + N. Atunci

2IL - cocdrl 2a I, r e.

-

rl-co\ '1i,

osdel ci

r,1r : ._(, +cosri).f; ar _ (2,r F l):

Dt:A d - 2n, atunc: ? , = 0. ",. , =::'

, l-': 0, 1, 2,,.., 9i

8,r r- irr(2^-f l)/ -

1 /-J 4rl-(:h+tf

d-.

-

i-=-- . -:-------::----:- , d:--r-0, I-

E (zrn + 1). - i4.

sior:. - rr, - -11- r rz. - rr F ---l14 -l, , . i",":." t, zi:tid' + 1, - 4hr t

se p&lLtnscste lunctirl r(r) prtu imparitale t inter.r'alL (-;,0) ri $ lolas-"rto

nri1,,. d =, re/urrr 6e - 0. pr.' - a + .*' u,- ]1 :::l:; tl-l- t)" co,o").

Daca l4l+ N, otuncj

2l2h - 1\,?._r * --::l:,-::- (t .o.d:) Fi D.;: --:-::;--;: {l - cos,i), I e

^r.;l\24 - tr - a'j r(r4--4-,

-rl.l .ojar)\' "_

":'2i-1,-:rl 'ora:l\

/tl2a- 11,-l a l-

'c t0, il.

fr1 \2h - If -o,

,sin (2,r _ 1)r, , e p, -,1.

Drti a:2n _ 1, aiunci rji_r_0, 6r*:

.snr 2a', ' < to, :1.

Dadl a = 2,n, atunci 6 r_. -.rdffi".. : o

"*" *-;D#.Qn - tJ

4

rllh- I2 -46t

t q:sc

-dezvolrenr serie Fourier iuncf ir lk) : lo _ a in intenalul l.j, 15)..,1*,/d',. in acesr caz lotosid farmurr (6) in ca;e, : 5, n,ren

,q;1i".:,,*y,,"."r:,"",t:^=.:-,Ij^,::-fr" i"4"1 in intenarul (_,, _j si s5 ss

i..,"'",#"r'i";::;;#",:::.'i,1";i",ll:1.';"'liililij,1,"i;

i,,;'"i,,ffritirli, peniru:a) /(.,): r: b)l({):.r,; c) /r,):cR N. ^ /,", _ - ".. , ^, , ., .o.1', a. R\S: d' /(r) =sind.y,srr a.r, a e n ; d Jt,l :

"l oi. ; i'o'.s) .t\rt : cn 6x, a * o.7. Si se d€zvolte in serie Fourier funcfia /(r) : a, in intcrvalul (0, 2r).8. Si se determino clezvoltarca in serie Fourier a functiei -l(r: xr, tn jnter_

(0;2r,-1. Si se catculeze apoi suma seriei nunrc.r""f f_,1"_ ].

9. -Si segiseasci ser-ia Fouricr <le sinus_uri

a functiei/(r) : 1, h intervatut (0, ,)sc catculeze suma seriei ntmerice

)(_l)"{r:. I

I0. r.'r .c ,1. z\oftc in seri" Fourier:r) fLn.l,a /(,r.-,, , i";nr.,,:,t,i f_r. ri;l'l ll* ti" lt.t - e'. in inrervalur ( .r. /).Il.-S; sc dczvolrn jn scrie de cosinusu,i, pc intcrvalul (0, r), funcljile:nIG)- 1, , = (0. it si/{.rj

-o. , * (t, z):

b)/(r) - coi ', ,r " (0, |lsifrrr: _...,,-".(.._.J



l./3.)Ecuarii cae € i.duc ta ecuatii oDo8€ne. rie ecla1ia

,.- (t-at .l ,,,, b,. b...,.,"\ p.

t,, o)_,./.) D.ce 4 + ': - 0, .cuatia (e) e're o e.ratie onoseae.

bu".r.:.:..i o l':-^, "",..-r,.ro sor...,e 1

": b'l

+ .1- 0, a.t + b,j )- ., - 0, prir schnrhrea de 'a.iati, ri de tx.;flE

(e)

'.lfe e, LJlir (tr j , "

, .x,., r r i3t ..Fd t". _

, th.*'Jl -," r16\'n din dir-reDlliI'^,alr,

Fac'or irt?6rrnt. Ii,iLaric-/'

t

PlN, r)dt t Qlx, )d = 0.

a) Dace eslr re.lir.afi c.ndilla

at _. iQ

,t er

spun€n cA ecudlir (121 proviite dnrir o dilererliah tolatA. Sotrtia e

.,u,Jr,, t:"." l;

ecnatia (9) * r€d .e la o ea,atie

c) D&e.i+.ir0 F a=0.

1:tr+,y*lo+o,

s.himba, a d. h,n.f€

\a , bl::6) t

sist€n nni al, + ,r:r, +

(10)

(ll)

o2)

(li)

Qlr,,)d.t. ' (lr)

120)

(2 )

b) Daci corditia (11) nn este srtisldcntt, dr. existi un iact6r nrxegrant q(r,

')asdcl c6 e*pr|sE

,tl, dr "i n0drr est. \jri.rentiala rolau a unei lun.tii, arunci intesra.ea eolatiei (12)&rednccr.p.oblcma .czotvatd la pu.lrl a). Se detedina uror irtord i,regrant tn urnfioa.elc dol5 cazd,r.

. lr,( .Pt ,t,ddr _l: -'_1. r. 1',,.,2=4.. : _r(,,drr \r.,( \', \ lL,Od-.6 l: __l-r,,..a,,,i,=.q.) ri __:_: r,J LL./ l .r ) )

,t. Ectralii diftr€.1irlr lini.re de ordjbrl inrti. O €(ualic diido4iala de lorna

' t +Llr)''8k)' (lr)

dc g.adul ur,, i 1, ri t/' se lrEegtc ccurlie liaiarE. Sohtia geneoli a acesreii esre date de

(18)

(te)

sc lutue e ecraltu lni EorDouUi, Accastl ecnatie se redrcc la o ecuafi. iniare c ajltotul srbsllr 1ici

, : €-.t P(.)(lr.c+ Jc(,)"J "(.)d'd"1.

@r",,1i" Iui Berbo,.ur. o .ru, i, d- v'J,, ur i' ,. d. ro'n,r5'.

,'+ P('), : 0(r)r3; d € n\{0, 1},

z : ,t-d.

ff,)Ecuarta rur nlcc.il. O ecstie dite,Lnrirjr Jc lorna

r' + P(,)r' + Ql4t +.R14 - o

sc ldregte ecnati. hi Ri.ali Daci /lr) eile o elLlje p#icDtart a ectatiei (21), stxnci

I/:r\ -,::<tJrrnnsrorD; ecuatia (l isr. o dnali. lni:rri.

Teorena de .{rle'F si nricilaic. Fie ccualia {a) cn cordiFa initiali {l). Daca si4r satislicttd

a) t nn.la Jl*, r) .stc .otrr nNi in dr.i'tx rslriul (/) : | ' :. <a, lt-ro <b:ll) {uncljr /l'. r,r satist:se o.onditic Lir$nitz i/('. y\ J{', fll<t It - jti, o.i.a.€ a. fi

(', :)'), (i, r1 dir drcFirnghirl , atun{:i prcLlrrla lqi cNciry {4) ti {3) addnte o siDgu.i slDtie

. (r'.4r:,. ..r,.r., r-:.) , \\t" t. .n,it(a, fll, u "p,," y'i.I trl

Itetoda rpr.\inaiiiio. sr.rcl,,. .ral1 ci stulir r : ?{'} di t6rem I,rccedert6 este limita

iilnui dc iuxclii (arl, dat d.

nI\ /t.r. Jtl,,,-l,o n. \lhl.n t.r,

lI. Eclafii alirermli2l. il. o.iiiuul ilrii, q€rczoli'abitc id r,port c t-.loleerahil. trin n.lodr rlFtrrnrnre

8. Ecualii de oditrul htii, .czolv,bilc in €polt cu y snrt de llma

S Ii.: schimldrer de lun. ,ct : gIL ,').

a' : p(r) $i d6i t : si,, p].

9 Ecualii de or{nnil intii. raiuiile ltrraio.tctr',sirt d"torf,L z - LIJ, 1 ) Acest€ se .edtro

ia cazul precedert, da.i r i.yerszn nlul 'arnbilelo.. l)act se i. r e vmiabili depeDdeng, id yn. I,,,,*i, plr, ll -t 1,:.) * io,ma (2i).Jr,iLi:'e|e"l"i'i);d@aroc:'=,ty:,,

I .)@ e"'";" ,i raslalge. se nnnrtrc ecultia lui l-as@D6e 6@tia dif.renfiali

1 ::"{11 + lb'j, eIYt + v'. l?6)

I L Er' dtj- lui flJir:nr Jr ruirir/

| - r, +.jt,")- (ztl

3 t ra {u.li.,rF

r':rc I qlq.

.' \l,'. rr_ l.', ." J'.i,lc

": -+1p1, v: -p,t\p) + +tpt.

' t l. l.l. Probleme rezolyate

1. Sir se detcrmire supr:rfxta dc c:hnibra a unui lichid greu, trrnatcili ddc, carc sc rotestc cu viicza un3hiulari colbianti o ir jorul rxciL. ,iJ"r. .. .L ,..". ar .

ne:r/u./o, Dic C cut s.ttiunc r ruFalctci ciulite c pladnl ,Oa Asnprd oei particule de lichi(L

,1.dtxs[n',,arlrtofoc,ro.ictnntilo4elc:,4(crcnt.a$),nors(lo4(ccotdlusldoin$tio)9l

12q

(25)

l?al'.

intr-un vascilindrr. ui,



r,riLoc. c.'o, r,r.""'.illre

1\urr- panndei ,o\ide'Le (ns. .( r.

t'.=ki':"r',"tr*T'*r:.''':"i':1"-;":""""" "

J-{{t-J:;::r:: r[ :il::]:::'+l ;':Tff

"::

,l ( e.iliiblu a li.hiilnrui sj olline prin roii@ curbei c ti jlrrt,\-i or. s. vrrin- . , rii.1

o,".",

JI ,.: , J.1 i c-

2. Si se aflc crprcsie D.atLln-rti.,i a irgii de dezintegr,are a substantelor mdio-aLrr\e.

n*r*-. LeSe de d;2nnesree rrdiLactn/n alirnrd .i"ileza

de tra,sbrntm mdi@ri./:4 la undontnt dJl /, este proportinnald .u .intjGtca de sllslanj5 €iisre 1i ta acer m6me,f- pri ursarc,

,rNe h(;) cstc nue elcn'enlulu ...ci r.ri7 etisrent. ta nnnenrrt , ,i ,(4, d,(r) este ma$ ]a,,oL-o"ir r: d, .run ,

1"-.r' )--q, _)..,., r,'-_ -)4,,-r

t *-,.".,""- dcd.nnkF.t^,1,ri^.,.,. prnin.(nr.. r"L" d,.drioi.aft aFiri c\T. a

"rr 'nari,5

^ tnt -:t c $" /".-) "0-e,s. iiite8rezc (

' , xl ll' Ll'l l, ti ,l' : -

@,./r r- 1.a"1.1- '.a; o:1}),.r, .' d, = 1T- '...1; ; ../' r.,L'.

Rtutxare. al Esle o eoalie . ya.iabil€ s.laratrite. S"oudoa,,t" oi'tir"* --=4- .=

{l F I- -4- * pcD,o'-e r '"- . Jt . ,i- . il,' , c.

b) I',arias"*'re$btorar.,-V-l rJ':dr-{- -.i= '61 -O*"-9 .JI +r: '

".-r',J-r+*rlr"1"1.rrilli.1, 'rJn t- | t^t.t j4y1,".

Prin ndnare. obl:De elntia

4, Si .e Jelern ine iolulii:. I lr rr ul;r. i I ,, r rrri ( -

verificind ccndiliile initale rrc.i,,ale :

a) (1 + €")r3': e", rf0) - 1; b) (l +.],) -F rr.l':,durw,.. .)\Putrtld t'- dyldr :i s"r^ri' u.", t.:'-r. , U1i,"*

1ra2- -I1-6, oo J1 =,'(r + *) + c.

-i- *, (Jr+ ,' ,.r, - r.

",'/i-r1a,.

dilerenliale urmlioar e,

o J{l):0.



Fi|hd,:0 ri t: I in sol[fia geDealt,

or^rrrrre este i-:J - 511 ."1.

dtrti.cm I -rn 1 + c de rtrdd c-2

'n,"- 1,.{t T y?r -_ro r,+rnc, de.i)Pro(d rl i.il--. obli'rc'nI tf ,

' fi +J: c.

r"*'.a "ondifhinitial;, a?en l:c

tielDtic

la.tictlarn€ste:

.Jt

t ,': t.

s. Si se integrcze ecuatiile difcrentiale omogene:

a),r':ri+r, r'(l):0; b),r'd,t+ QJxt ;c :0.

Razat"o,e, a) t:ora:ind mbstih'th 7 : t/. ,/ : * +, ', oblincn succesi?:

r..,... l.na, j,r_,. J'' =r.r,r+c 4i-'" - ,".',/ 2 .:r'

l'utrin.l condith iuitialt, ollinotr C - o $i &ltrlia particul.ri certrt5 esteXr - ztt ln l, l.

rl Pr.c".rd,' d1 l,k i .lrct ), -: . ol4in* x r (:/; - ll{8, _ n) :0 4rJ;-r -- 1,,.,,=9 -112",', - I'J,, - - -LJr.rnl'il.Farl =-ln:r +C, l":r -l:1"':c 2dtt Lr,

6. Sl se integtcze ccutfiilc difcrcrlialc rcJrrctibile la ccuatii omogene :

a.) z,+ y:(4o- yJ:': $1 1.r-' -'iy ''' 3)y'+1t-i -1-o:c) (3r+ 3, - I) drl- (x +,r + l)d/: 0

lttralu/t. Et:\4li\tc nnt dc ntur (91

n) Erlc o ec dtic o rortcn6. ci sul^titufi i : n, ol4ilcm

Itrrj:----: - r Clr i, (r -:.,t. -","

-.,t,

,.r s..l] -]l ={^/0. s,\,c,n,,r .:*-1r- \-n,7,-tt-7-o are sr-i,'0=

r.

t/ -.r'" : :11 ,r -unriu,r.,in.t\ -1 ) -1r-3r-., ). \r''qr.,rr' . -. I -r, r .

",'nn,'.t

'..,,,

*iJ. se I'Ee schnnb'ren dc lurctie - tr.(,), c@ ce condtrce I. elulia 8cn{nl, (,- l)r(,+ l)rr'=c

sar (, --,),{, +,) = c stu (r -: + t)zItr +' - tl : C.

s ll ll-0. Ere.run, shi,nLrrea de r'uitip r-l-tr{r), dqttel lt, rl

r 1.. r,. t:..rrlic.,r1r.r ru,, (n, - l:dr t-{1 i r)ldn-d,) -n *"tt

I ----;id'-

n + 2r l 1l: -2'+ C su 3g+1+ln(*+, - 1) - C.

@t..

'',"t*z...u,triile cu di(.lcntiaii totall:

@[.' ,.' ]J''. (e+z'"r r')a,v -o . r -t '1 - ti('i$ 2,: y Ltt - 2 ys,tr +- .,j'z dy - 6lilr d/ - 0.,"(l ) :#,

o,,*-" a) A?en p - r, + 2r),: + 1"i

p : ,, + 2."' i j, ,"{i"r"}i

iq-g -,,r-*, -0. cddi;*,,r,""r.

,.,ur-j,"-;'oo'-''; ^- * -i-

"" ,,-J;{,-,:,i.,l)u,,\"[,., ,,, +J" t,"n ,,r,, ,",J,."

_ r._ *,"'- I r'P";1 ,ri- 1 ';';J

".,.ur..l,. i r,.,ia *,-.-r, ".,- ':i', I J1l 1"-r, . 1,.,,, -q.-'

b, in P - ^t - .rt i e : ,' - 6t , nu1.1"1

9-L:2,- 6r"-- .,, - u " - o. p.o u.,,.,e. armn 'r '.r

','J'=

\'.:""'-a3la,- \'1*-6't:]dt-uatl-,';,i...

', z,nt,"-

"Y- ' Y" - bfu. - 2'"rit'

solut'a ts4da]a esct'J 2r')r-c, Drnconditiainilarn*zcltrc-oiidcclsoturiaparli.ntua.-,i,fr *b ,,] _ r,,, : r.

a- ocr,,.."i'.1 D'i rr,rji un {acror;nresrani. sa:. jnr,s.(/.-) ,,cll,, - J.u\J ,l.r + (,,o".r.- ),sin_rtdJ,. 0lt) { - lr',llJ,d\-r,lBvd.l, 0;

' 'r'.'.t,'')

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-0: d) (1 F

J)d.r r (.r ,t;..

u.nua*-.

" + - * - -," - o.osl +.6, -?sr/) : --(rcosr, _r sjr:y),a\ncr.r

-+(+-+l- I'i

sr ,em'rr ezrr reralid ,,r,. .. ."*. r^-.rur inrearanr il.n.rie

trJrui dp ,, A*d,-ll-,1,, *rr^t.a trl,l::,r it.cj zl c,. t,.n,t,:m..Eti€ rn,t;. u

,r * r ri obtileh eDatia cn dUeFntja]' rolaje

6'(, qqr r., cosr)& j r(: . ( _ , s,u?) ,rr . o.

rt,. y, : \' ",p;.," I 1.""*y"1

ar p l, .,(, co / - , "in ir d/ -

- e,(, Flr - sjn]' + ? cosrrJ _ e".l,o siDft - sin,h +:rn c.s:rnl,

g"""."U ..t" ..1r"inl - si,1 + ycds, - c

o';-;- -crsr- 3#"o.)- -,rsr(r rr,,sinq, rnfcr " jl+ _:,,1

- *crAr, 5e eulr d*i tacrorot ilt-BraD. Ij,.tie nudJi ac y. n.,.1; F{n dFGnniud &e$€ste, dup6 rol,at'ja (16),

;--.ttldt, ou l Je | : -tn j si,r, t, <te uq.rr s*

irf,Jtild " ua:iJ obtinem @otfiz c ditPreDhd: total'sh?

f-L p :*l a. - . '91- av - o

ts: ' i {tr'/-

' "= ;("-",- 3,")d/ -

\'. fi;'-

i;* "

-t;;'3t:L rolutia eenerali, esre -i- +:5 : c

I'i".yc) se €ntt {actor int sdnt it folrf,n(''l):Pi'?) i4dultild duat4 cupl"l' obfr'em

nr"'1i"1 a' 1 r 1n111"'1 - "lit, - 0 P€'tr o acasta 5;. fie o ecuatie cu diierenliali t otals te

: t+(,r,)itsj - 1)l :-r .Ia-1'Y

pi'v11, , d..i lzry - r)v. + r* lr't - ,) -,' -1 d,. dr

: aJ,\L + ttr2tr , -"t|t'-ir:0'

Aradar, ln p I = 1n I , ;1, a : "- s'u P : t 'rt r' Deci aualn cd direreDti4u torat4 a'o rort'nu.*1,-- lay:o,t

t'

"r' rr - \"r'"a,+.i1.{, - 1} a' - "r - r. rr r

SohlE sderale este '/ - tn l, | - c

d) So arl- ut l-clor inlcqdl de Iord r,( , /r 'FiF J' 5" nottm L(r' )rl ir tr'

lnn. ,ind ecuFd <t,'t c .-(i, v) -P(/(r' t)) ob1itr d t'l {- /r'(' l- ,,rJ+u-rl 4t o'

Pent.u e aceastt ecualie se tie cu diiertntiaPt tobl,, trcbDie ca

)tl' 2 ' Lt\|t,,)l--:

Ecuaba cu djie.dliat6 tobir *"ffi

a' + frd/ : o- Prn dn e'

"''', - ,"#" \' #"' 'r"'/+17p-'g-: -fr""/"X'?I*"te-)

ri sotuta aeneralr *tu r"./FTl;+"-ts

a - c- EsideDt @"at; Iiitrd oqos'li Putd

tratata prid ;etoda cocpunzttdrc.

9. Se se inteJreze ecxatiile diterenliale liniare :

\2at tf'- f .. -{,r b) Y' l-;:- -zx lz' ilo\

.) ' + 2,r : t', ytoi;:11 '

x'rot,a'r. a) Ecuata s€\sc@ slb forro nonmit y' - J' - ' l DupA rormdt (18)'

, -"

t+.'" (" - 5 "-5i *,) - "'"''

(6 - 1.-r','r'| i,) -,1c - rn r, rr.

1



, - "-f*,""1" * 5,.*,,J-'LJ :=[" *

,r,+, ?i *).

r : -----T (c + {r - t,l.

Dil colditia inifiara, deducen c - 2, .strel cir: ri, - 2. + ajll + l)tx - 1):1.

() J=e-1crJrrerdr)-crrl.'i,?_t).Dir,c,nd.rdinitierir.,ut,lc:e/2.s.Iu,pa" c.rrrr c;r raLi "' " I - 1"t .' 1 ,, - i7e

llr. S', sL jnrcS clf, r'cualiilc drffl.o iJlc Bc,nou::i .

ar 3' , 1u - -_1. . r,, , - y.. "Jj:.1 i,' , .\ _ ,".".,\.) __ t.'1"

-R.oludrd. a) ln acesl q2 d- -2;i sulsritufq (2Ol 6re,:Jx_ Dcci/-.-,1^,ir,: )"-n:,,.

rllcuird ,q muprip, ot.:u-m d ltia l'Jrri .r' r j j"..,,,,".,.

,,r,.,".u,. '

. _ "'i'1"{..

5 o:_J+*:j : ri1.. ;,1,

.) r' +; - -,f, 6 - 2 +' - T1 * r ; r-t Fi r, : _z 2" Ectrafia tralsrornat esle

Iri a'p {lu,i- qib, rr, /(r)4C"+ r:. t_)4 i sntDrif, 6-n.rqh a etr:liej e.re .,

- t( - I r'r r. Dio c-Ddi id irir€ta d,,i.1fi C - d. asr, r c.i sotr:.n rddcuja,{ cllra ,1 esr^J _

11. :" s" irreBI,.e e"'rr i:le (iil,.rellliatc xle tui Ric.ari:

at ) -'?- rt r. J1{,{r- ^: i,) l,'l -.,- sio.r l{,..",'r -_1 ,

t(o) - -2.

.ste t' -. 2zr - L Sotufia .cesrei ccdxlii hri,re este;(,) : e,,(c + J e*' dr). beci slutia generxHs @atr - rcJre.," r'rc .Je idr),.

b) substtufta , - -L +.-' corduce r. @ at4 rn, are z. - 2ts,., - n\,- solutia €.16

rslr . i e.F, aualii dlernlidre uniarc 6lf:(t ,*; + DFci sh.rk lrodrle a €cuarFi

I 1..-3,, -

;

.f

:a _ *.;. Dj colditia iDiti,l.i F uru

"rc o

,, t..i rtulia EEri.u]a.,

b) Dupr lornli.a (t8), obtiftm

at4 este / * -j-.

12. S5 sn aflc cea dr'a rr-ia aprorinatie p"r^Lru s^lutia c'uati'i ditprentiale

) .- + r". in dr.ptun3l,iul , < 1 ,, s '' cu mndilir irriliali rrot - 0'

R.zalLdt.- Dea;Me flt' tJ :': +,' cstb a Polinom ln ' 9i / 6ndif e teoremei de €iistentl

ri ,,;.iiate sirt ndep n;te. ;;ci exist o singurd c'rb' integrala a ec"ntic' dil'renli'lc & trec prm

o';..Dcdrr*lfr,t)- Ilt i't-- re i2 ' t ' r' r:< rlr-tl P'nr'u'l<-r,

r i r-i, rez'tu 'i ln r_l,lir p aa''n /<- t DFo'iae ttlt r)l< "- rl'ttj a M--

'' r, , i : -i. {-l , 1l : I e'r" urnrnrc eristenla ii unicitatea etstici ecDtiei este asisunt'' ll 1, 2

r,nhru"rurl--L l n,'", '.,"a. p"oxim irror ' cc:s'r' ^'o n"'' ' et-l rl' | 2 2l

c6 .r@R{ <lo 0Prdsim:lia c'b )'' -),")l<rtt('i;;l'-

rczulrl cr pcn"1 e*crc4ti .o1sido$t oronro crte

r,(.r -,, 1, <: r. i={}.'. r.r<}

r).-.. a'crnEximrpcrnno'r'cmi,trocu*dpc){rrcu.v,' ** r1'r -""14ru$ }"oro

13. St se integrcze ccuatia (l 'f ) ) d, : (y'f+Tsin y - irf) dr'

/t".ruta se obsdTt ct e.uolit cate liniad ln t 9l d'' Schimuid rolul lui' 6u

'$ricF ecuall'

lLr nrnclia , € v.ri.bilt dePcndent

sin /'., + rr J r.,1"

-\i,'(". r .'", .[#',,.].\- iJl :t' 'J

Lt-1 ,--::G - c.')l ."pre:intr solu ir lenerrlA a ecueli'i'

14. SA se intcgreze ecuatiile :

I ,,,.. ., , --{t-4.t t-)r2+2y'3ib) t--'xs -r" ,. ,.

Rdotaa,.. t) taotind : P(t), din eoutie rczDlti ct | -"

+ 211' Dditltd e@sta euslo

ei ti.inri @mt de notara rsctli, obtilen , : (2, + 61'g1 94 *' 6n - p 1 epl ap pii"",drc'

ol,Fdm r -:y' ; lp't cri r -p: +2Pt sou'ia e're oolnrt5 rib lorm6 Pr@marict^-

br i.urlia este ilc forna (2rJ Faclld subsriLJlra t' 'PIt) oblnemv--tf +-?1

^:t_n - j-.o'" [, * ' .r]11 .iu (r,r {r;('dp -r,h) -0.L2 rr /(L

' ..tt -p r. -0, atunli+-?,r.c, si sruriz scnFarj csh

"_1.,,1.,

t |) | lp --o or,rin"m sruiia sidsrlari: -(_{r),h, y -lz4k. 2.irp,.2L,

'.

'-,le foha dari ra plocrur 9, Norrm dcci y,= p("), r+f.t .l r: yt.1p', _ 2tr.,' . t - .r;'". ,r.

'nEpof, a v $i linind s dr I

, ." -"r.,."\ir.* *;;'

-' obline@ +'r'da diraeoli'u

bJt I d'

fr") 0" :;' ' 4 ut'zt'' t|" cr * , ' J;, J,- - '.' -.r. inlcuhd p.u ntntia.e crprin,l .cur{iJ. obrjn-T

' : Un, - 2rJc[1r,l2.JE _ rf: su (, - c).: {,?15. S,-L sc intcsrcze ecualiite <tifercnliate:

,,'? I l,: b) rr _,lr" : " I

l: 7J; c) t'\r'+J',1'.,,..r ,, ,

J|.rz./?.;trd4. rcuaine a) ,i b) sint de tip rjsratrse, iar Jmlinc c) ,i d) de tip claraur.n) N.iiDd r- : r'(,), rcz,ra t : xit + lt_ Dcri.,iad i, Ep,rr e , obtin€u

' t2 z\pJ 4\ , p ptLL:zp,r ,p, :b | 2 , - ,,d' dp_ ,tp p_t' r_p

-C t i Y' -r1?-rJ. tp_lf

'.ti /,s) ,p-?t-p=?t Lt db '

d,,+2Pl-7,.F17D-0. sot, 'h s"neral: esrj

: ct -t C2, iar sorutia sitrgdad 6r€ * : _2,p, y: ,p __ y: _ L-

a1 y - 71'1= 1: "p 1J4

r7-F,p.o r[, r_4_l 14., j3 l, ._-L]- o.| ,Jt ip'td. J. \ ,l;- I 'I

',,,6.ner-tt

-ey

-,c+

r/r l|ti4r sortrtia

siosda,E 6te r = _ - ?: .

r Jr . e ,

sru rt + vr: 1

\ I /'

l0 Fi^ I rrr - f$t*"t', r. Si se formcze ecua[ia diirr, nlial] liniJr; de

si se deduci dezvoltarea in s.rie dc tJr-ri ., func-rJ.. ij,or x luncli.i ?(.r) _. (aresin rp,

^,. ",1,,j l,ji:.: 1 l:jemin:ao rerarie hrF ruDc,je g d.ridia * o*.,^"1.u/r _-,,_

'rqn1. p.'r, d..,?rr. obli]:d

r,Jil " '' -3-=-|' ''1 J1=3- -i r.-F-'(t -")Y;-')t-t



D@i ,r(,) este elljie Particurart petrttu e@fa (r - 's)/ - 'r: t cu conili1ia i4tialt'Jr(o) : 0'

Crutdm solufia acestci eralii de ro@ t(r) : > a/' t'r@dod i' ecudfie' s obtin'

a + > I('+ Uz.+r - 'r4*,1": 1-

P:i urnee, tezdti ,1: l, (' + i)zrr1 : ta'-1. t > l Deer*e

2 4 6. . .2k )jt thr:: 5L ddi2n + l)

",,-,_ -.o', :$ z 'i(h\' **t.,l |

-'/J l:a + 1]l

",+' : f .:.i_. p.e +l

Murlrnea de mnYdgcDl-; 3 ac€stci serii de pute'i 6tc ( 1 l) IDteg'ind o Pe irlte"alrl 10' ')'cu

, c (- l, ,r. ob'rl.n'

' -r ' ra{ sinr)" ''} J1 ll1'""

''' " = 1- "'J llh + 2)1

12.1.2. Probleme proFlse sple rezolvare

17. SA sc determinc legea de raiaiie a presiunii. atmosfeltce cu in:illimca

18. Sn se formez,e ecuatiile diferenJtule ile Jam;li;lor de curbc:,a * ,,t

arJ -43- ''sin r: l,) l-- Csin2' I srntr'; cl f ---c1

+r

19. Sn se cletelmine crrJba carc trece prin Frnctul lr(1 ] stiin" c; l^"ta

tangentei Ia cu1.}l in pllllctul culent cste de dori oti mai mare d€ctt panta lazer

vecioarc a punctllui dc em€entn' ,I20. Si se integreze urmitoarele ccualii diferenliale cu variabile sc a.xbilc i

o fr + fr: o; b) zyr'- eil. .ttt)- | |

c) (1 f :r') dr: Ji-- rr .'r; d) | - J-xv. g{oJ: r;-.j is,.in:;:a' : .os'?tc{s-1 dv 0;f)n-v'-v J':

B) 3e't6Jdr {l e') sec'el Jt 0;L),r"sint Jlnl J'l -J-e:

i\ (x),-l-,jX,(.+ ('2j y)d-r:0. y(0):1; i) Jr'sin2'+ srn2.1== 0 j

r1 "y'.*1,-p "i"y:0j 1) (:r': + 'J+)&+

(x2- vx2ldv- 0'

21; Sb. se integr€ze l1rmetoardi ecuatfi difereB.tiale omogene:

a) r'--{'ibl y'-l F ct4l: c)J'- A t 1 d) , r 'J )Jr dx - 'r'z dt - 0:r-t

e\ x '- y L,/jn----ii2; tl 2z)r' - a'+3.v"t giz'-?y'-^4x -)'"v(t)-l'tr lir,--t.r iy- zxydx, t4ot-tii)zxvdr l(r2 )P) dv -0 j vil) - r;

i) 2x3d),:(y3+a29,Lt;x1 xy'- Y: J,z +f:lt i I _ 2e,/,J dr + 2€,/,{t '-ldJ,: o, J{o) .- I.

t J,' 302

"."iilild#:-*^

ecuafiile dircrcnJialb urm;toare, reducindu-le mai lntli la

, '- -:-l t,r' 41 j., , ...-1 4v-1..

.r_tyT1l

': r t" ', ,.. :' "i::, ,'-(\+v-li: ' 2t-t+4r+2t+t2\+1r+t'

; J,'-- l----- - |l' ,2. .t..'.Z L.x-Il-0.::. sr'.i iii;,.)^ L"u, ,ir Lrr dir r,n .,ri loL"l::J .:/o 11.1. .0,.0,.ul

1') (t c,, - ,tr) d.y + ({ ctt -- z.r ) djr - 0 ;

,.. r2r-J-,)d." tZ -, rd,. 0,'J{t) -lid) (yz - 3r\ dx + ztt d * 0, J](0) : I ;

,) (2Jn-a,y:.-.r,J,t.-.."j _4.i,,Jj . u

t). INN + r, -F 2x) d.,t + zft) l+' : O :

8) (xs -- 3rj,s -F 2) dx - (:,.t}y"- J,,) d. * O j

t,1 31.1--1,\3--.lj,,.lv -{) :

i I.r -- c, .) ck -L c , it - rldJ : O, y 0, -= 2.I rl'24. DJtJunin:rd mai luril uu ftcror inrejr;lur, s;i se inrcgreze ecurliilc dife-

'renliRle i

:L/ 2.r'vcl.r-- cl]:0; Lr (l - rry Jl -l I ( -xtd :O:c) (t'g.-3i ) dr-Fz)t Ay:oi cl) - (cos , sin y -F tg? r) d.r + sin r cos -y dy: O;e) ($zy + ys+zx )d,i)- (xja +r)(t+2t)d - O: f) (x,-5t+6)dy+

+ (jxr - 8r + 13) dr: 0; C) (rr + y'+ z.tl d:t + z dr - O:h) J,(l + r]) dv*rd9:a; i) zyrdn+ (3y *xr + 3) dy-0;Jr 1dr+(/3*l.rx)dJ,:0r \) r,y + )i J.v - zxy dt: o.

as,.C{lr1ind un faotor integrant dc {orma ra{t, y} :[t(w(x,1)), si. se integrezec, r: iilc dii. renlial^ urm.rua,c:

a) (t + r,y,) dr + (x I x,y]) dy: O, 4\, tt: xy .

h) (xtti + ll t+ (x3)), - r)dy-0, (\,.y): r :.) (y, -- x, + 2q,) dr + (r, - r, - 2rt) dJ : 0, w(x, y) : xz :, yz ;(ll 2(3 - 3rrl - )'1 - yrJ J' 2j .- jyy, F y,

- rJ, dy _ 0,

'//Y. J) Y _',.

26. si . i'rr<"rezr urm ,'oaroi ":u,f:: Ll hreirlialc dc orJi11'it in :i ]iniare:

xtJ- xi b) v'nir-\3i trJ:Jr -zy-y+3)dJ,:01.1) ,'++,- rr: 1 +,' v(o):o;e)

f) y'- j: -r', J'n:2, s:) ()")v'+24':a'

)'(0)-3:h) xy' - t: -]Jtx, x> 0; y(l): I | 1) J'+ )):2e'; j) l'+ 3l'-

k) l"cosr4ysinr: t: r) r'-F-Y:a.

27. Si se integrezc urmitoatele ecuatii dilerenliate Bcnoulli :

o) y', t - -2r1,, J{r) - 1 ; \).f.xzy'

-4t:y : y"'

)(tl:t;

' ,"Ja" oi)|Yr-) -.'..r)rdL Ff" ;.-r.e) 3rd1 :1(r-f r sin r - 313 sin ')

A' ; D G\3 + ' )r' - 1)

ni u -av- "-:ht . l 2t 2xJ7': i).Y-lt -l: Far3,'sr u2r-

28. Sd se irtcgreze ecLrafiile diferenliale Riccati :

a) '- rt - ae -t t, t,(r') -,t 61 1'-J j"'--1:o;.,',1,1 :

c) y'-r'f ytgr--]-:0, J,t(t): t3:';

at t' : i t - | t - j, J") : + : c) v' )- 1c - Z 1 4- 3 - o','o"" i'

I.

f) ( r + r )y' * 4x )'e - ztl4tt -f 3)/ - {.f (l -i rl}i : 0, )'(*) :

29. Clutlnd solufii particularc de lorma indicutii, si se intcgrozc

ccudtji difercntiale:

a) r'+ , -i il-y43.-e. y,1r1-- 1;

b) (l -l- to)Jr' - y'l - t .t - 2:c - 0, Jtt( \ : ar",

c) 1' - xyt I2x1 - ts - 1 :0, ylr): at F

rt\ L + _i v1 - - r. . 0. 1,{r) =- dr3.

30. Sir se aflc cea de-ll treir aproxirnalie pentru solutia ccualiei difcrrnli'rle

y' ::t ,(0):

I, pcntru l-v i 31; l1- I i < I.

31. Si sc integreze ec 1aiiile Ctairaut :

a) :'ty'+^)'s r) y:'y'+*;c\ y:' ' alt+ '")|

d) y:tt'+ffi;.) -v:r'y'+cos jr'.; t) )'-xJ'+4)rlt- ')'

Jl. Si se integreze F.ualiile Latrange:.

a) 1,-(r +')r+yr;

b)Yy- ry'-y'";,1

ay y: --; : L) t - z:tJ' - ,'r' q-v

*ItY'l

b:

33, S[ sc integreze ecuatiiie di{erentiale ]

,, ,_ jr,,,t,.r: I 1.',): b).t- IIJ ,";,) r \J,12(v;JJ

d) r: siir y'* rn y' : e) y: {a'+ J'z)i4; I) r:tn(v'z+ y' ) tnzJ '

34. Aplicinit mctoda seriilor dc putcri, si se iltegreze €cuafiile diferenlioie:

a) ,':rl]+t, f(0): l; b) 1'::---,'', r'P): -2:t j'- tJ r.r - l. .(l) -' : d') y' I v c' Jr(u) I

35. S:1 se integreze ecualiile diferenliale:

", l' .,o.-Lla" +.,.os/-dJ - o; L) l'-I+ts':' t ,tc. "

t'- -ij1-r'l.ly {r; d).u'g(y i I)d + (,r- I){f l) Llt -o' It

"t y'-[L .L) I . rj I) 2(y+z)J.Lr -l.t+ y- l)"IJ,'- 0;" t rl'

g) .y'(.v { siny):1ih) }'- a (l +Int *lni); i) J'J"* }''* cosz;

j) y'(.r cos J, + asin2y) :1 k\ tt(q2+ l)df -dt:0;l) (3x, 4- 2r : y\ dx + (r2 - 2rr - 3r\ nt:0:nr) tg;v 1'- 1: a; d) tdy - y,l ,t: ytdx; o) y: J'-F }''t;o, r : .lr'-F 3-: cl) y - " sfu y'.

v-

36, Si se inte$cze priD metoda seriilor dc puteri i

a) r-r'+ (r - l)'?; b) tr2t'+(t- t)t+ l:0;c) (l-})J'-],r(0):I37. tirnctir v - tr.y cste soiutic it ccuatiei difcreDtialc l' : I + JI Si-' se

calcLrlcz.. IoiosiiJ rneioda scrici Trllor. primii rinci coeficierrli ncnuli ai cl(z\ol-

trrii functici tsx dupi i'utelilc lui Y in c in;Ltatcr orrgrnrr'

12.2. Dcuatii diteren{iale dc ordin supeiiorrezolvabilc Prin cuadraturi

t. i" no."rt" ccnttic dilerelii:lA itc ordinul ' o euatie dc lornn

Fll' t, t', " ' tl'\ : o

cu F dat 9i <lelinit intr_ut dooeni did Ra:.

Probtema hi Caochy pcnh-u €coaia dil@nlnL (l) de o.diul t, ins@Bnl

liei ei, 1= s('), €re vsjijc:' corditidc iiifial.

l,t) - t.. |(zo) : t, ..., r('-t\('J : ta' Eo e 14 bl

2. Dctralii diferentiale dc forD3 l"):/(i),'>

1. Se dcte'minl solr4io

sucocsive. r-. o actlol dc { a1i. se r.duc€ ti enati dc riPul

(r)

(2)

Ddci se cundste o reldeatare parad.r.ici a o.bei t"(,,, ,.) ::0, de td.m , - e(r), , - ,l(r),rc,1, Bl. und-9. U rio'srlt coDbdue,ri n.isnr,'lin Suqdrnccortiei (J) re ooFdp subJortupdrr-

r: q(,j; dyc-r):rG) dr: +(t)?'(tl dt +,t"1) It) +t t(r, cr), .._, y(t) - hr(|, c\,

3, Ecuatii rlif€renrialF d. rorbt

c"). (1)

Fb,&- ,

/r):0. (51

Dac6 se cun@ite .ep.€zcnbrea rbdhctrioi a ctr.rEia(r. r) : 0, arunci sotutia senc.at so detd-.bine snb lornra paranctrica

":

\. L dt + c t r,*1) : ?(1) j,rr.'.,' - q4 a, | 99 1 - a t - rtn-2) 14 =

: lt'l "*.,, .... r :

\r'd' + c,.

4. Ecualit tlitercnflale d. forea

DocI Fe cunorlte o rep.czentarc

.brr-r, ,G) - 0_ (7)

pard'netrici pent.u curDa rt(a r) - 0, atulct ,('{) a 9(r)

#- # rca,rtii t ('r)'= 29(r)e'0)d,+

ci.

Pt\u se ,cd(e rd 6zur 3.

,.)cuatli dlferenliBlc de ldoe

_E(r, r,Gr, .. . ,r,) :0.

/r,(,) : ,(,).

Pd schinbared de rurofr.

60 utJlino ecuatia F(y, t, {, ,.., ,1'{l : 0, de ord'nut ' - ,.

'\t) Ecuatiih dir$ctrtiale de ror@

. r(t', ", -.., l^\ * o

"e iotcA@rE ditr.t ),/ q l' ti lulnl , drept mriabilt iddep.ndenrt,

\1)Ecuatille direr€Dflalc de rom.

' FU' i" r-' '--' ,'") - 0:

$ Etogr.ati rotl4d ,,' - , ti rllqi f d.ept f{nctie ti , @ €dabili iDd€ped€o -

8. Erualtl dir.lcqlial. oDoA.tre tn r, r,, -.., ),ri'

. F(\ , t, ..., l4) :0,

odirului cu o laitate d&i. puncm

44: L -" 7 - "l<ta',

t. s; i6 inrcRre,?c p.ur i;le direrenliale:

J) r"-. ) -."in:r: s, 1 '. t.-Ijll.r'(o)-+ y'(0)- 0. )"(0).-+:' It L2): - 1 -

t.) x+Jr"-e/ 0.)\-T-ola ".

-J

r'r's-.- d dole o" sureir ti ol4inem

lc', J:'--srri Clr+ C:'6

I ) Pro(cd nd .imi ', d r r,ri"J s@ ct

u 18 - -- iL - - 151, a 21' - 24( l 2rr'{r + 2l' (1 + 2)5

,,,= 6lt + 2) " + 6A + 2t- - c1, 1. : -3F +2)-'-2lr +2)-'+ q"+ c''

1: il'+2r1 + l*+2)'+ jcf" ac"71s"

Din colditiile iniliaie obtiftn C\ : 0, Ct : I' Ci : 5, 6ficl cj.

)1.) 5{' r2) '41'1zi*;'+.r.c) Notjritr/": r, a"em reprdelfa@ padmefuicn t - e' -

"-: t Deoar*e,-: t' reznlti

, , _ u., -, c.. oo., 6, : l_ _L,, _ 1, _ r1u, .r'*td.-t"t l)d ' d(:,'--,-Ut. | /

+ c1l(er - 1) d/ ti de.i r : et - r,

I

",:,,[:' i)..{-;,rt+q}-.rc-.'t c,.

2. Si se irtcgreze

.rt'- N-t'ld F

a) "' : y"': b) ," - -.t-' vlz): t r'l2l: 1 ; c) v"" +)r"": 1'

Fr:,rua''. r) Pur'ld"

-, oblinPnr rcpFzdtrrd r" - 1 y'"- -lt Deor'" e dv = " d'

r dJ -Lr re).lG a,- -"'ar '' : I ' I c,. Apoi dv':t"d:: -/rrlr ionlia r'-

- -hr , + Cr.

p-'.*" ar - r' a', *,,rt, d, : -(-lni +:c.) + dr F d*i, - -l 0' h l - clr) dt + cr'

rstlel c,\\tt * t.'t 1 cr, lltl: --L'"--l r&r l"

b) Notlnd ,, : ,, ftzrlta cr. t' : -t-. asd€t'-t

dy' : -t{ & i dt : lv'd' D€ci <L *

- . c dr, - il, de undd t/ ibl': -f_3 dr.^poi

ly'f :'t

+ ct Din conditiile idFare readu'

1,. I Cr. C'-rr ir d"('y -/ '. P'io urme dr:r tdrsudr _r jr,d ulJcr:-r(t'

Din coldinir" i^irr'e pzrl," 2 : -l a c. $ ." 1. o*i -tF. *'.2

c) Curba de ecratie,:+23: I are rcPrezedtarea -.osf,,:sint Deci /"':cosrsilt:lint ii ilt :t"dr, d€ci cG r dr : cG r rlr si , : t + C* tPq dY' : t d,,.l ':sintdt,r/'E ...cor , + c?. Dea^t.c. I1t: t'at, rczDlti .lJ: {-cdrt + Cs)dt *

z : t + q,, - -sitr+ c.r + cs.

3. Si se integrcze ecuatiile diferortialc:

^)r" - 2r' cts.v : snr3 -' ; i.,) :1." {l +t'J - ly'y"' : o.

nsolual', a) Punniil l.' :.ir), ol{i'Etu o €cEtie direrenii,l, lini.r, t'- 2t clr t - si.3 r.culu|dlL -)-..r' rr.'71q 41 . ,i"..'-l i''4 1

b) Notim rlrJ :'irl ri obtinco ,-(l + t') - 3r(t'F:0- Dac6 .cun notrm p' : ,{r)

.lr iDr?.rir - ..,. ?_ 5' i.cr' --::Lnf, de unde l"l:i-. nl-lJ lln', d4

) ti, 2

,:(i+p ),/.cr, 4:qt161,r,c,, lt + j4-.t'di:crd', ia. sia (arcts ) =cl,+c:. Decij

,,-r:tg{amsrr(c/+ce)). 'otoiirdrclafad}:r'dr'obFneddr'-P.k:Zlt+f\t"J?,

deL,.r",-- .1 ,"1 'n1, ,"si,-|

sin(ircrgp)-9.' cr' (l.4. Si se intcgrezc ecuatiile :

") ; ',r''l,.rto) -0. s' 0il-Ji:t'\ y"-z))

a,n',ol at'. a) Noti.Dt'-tti :t ,r- Ditr rcla{ir d}':.v iL' rcalr' dr: --------: 5r

Lr" | '-j-I I r c,. .\poi. din,ehlir d/:r'dr, rzurr d, - -iiP", "rr't .a"' l?-rl r-P"

,.=--Liorr-rgr rc,ei

'-

r'"l'r lF., li-tl

Din condliire tuiFrre * obtsne ?: rvE orc impricE'(t: J']|:o',(1: J1): o""u't

., c, : -h (r + J4, c, : o. DEi $ruFa ciutarl 6te

. =- Lrrr-",r,,: tr"lt t tI r r"(r+J;)) lt.tl

b) Noriin r" : ?(r) asti€l c5 1r' : ?'t. Ecn li^ denaa

p : zrp,.a."oa.

at 2r d , 46i p - ' L '. sL p - o'dv

D. a:ci oJLitrm 9-"+ rc,,-l-"*re'+::+.r' pcnr'uc1>0s:=--] - '"1'-i-t'- -' Jr ' Jc' Vq 1 -LL l)-J-crL

-r-.,, i'en, r cr<0. DaLi cr:o obfjntu t(r)- '

o""" '-o rr n /- c -

722.2 I:tobler're proDusc sple rezolt'are

' 5. Si se integreze ecuatiile diferertialc:

rr,-l;bJl'--?f'.;.) 1,"'

-ln.r, r -i l.)rl)-)'l -i' \lr-0JLr r 11-

11 u ' - LJIJ: c) y" - -{t I- rs3 ), y(0) - 0. /'(0) - 0.' - rnlJ



..

e)

s)

8.

a)

d)

9.

a)

Si se integreze ecuatiile di{ercntiale :

":l- .ia-it',br y" -./rff; cr 1 -1;"'

[-lt- r ; r, y'tt - l) 11 - aY"'' r ') "t t )"y" t rl;j -'1zr

\" s integraz. c.Ur iiLc JifrnnllJle:

li,')' ltJ :brnl

';rt,' 'l':0 rtor-- 0 y\01 --l'

" -rr"'+ (f"')3:0i d) xrta - 3\r"' - 4)'N : 0 :

1 + (r,), " zj1',,l(1):_y'(D :1: f) t)" +r":t".'r(0) -J,'(0):1tx1,":1', ylo): y'\o) -oII\) xv":Jt +Oy' Jr(l):0' v(e'): l '

j., : irt.rrc,/^ .LJliIl" 'lil rcnlif,le:

I rL , 2\ t.J l" - tit" ;:' -0:./ J .,l -.tt)';'- v

h| : t- (t - 1), )(2) :2, '(2) : -t : e) )'1" + ": l l(0) : v'(0) : 1'

S:-i se jiltegreze ccualiile omogene 1n ' y" t" i

ry " + rlr')" - l,l,':0; b)"zor"-11t-x1')':c)11"-(1'\'1'

+'t'J F + 6T.\, { in,,.9,,2.:

y" - (t'J" * t'(t-1):0, J'(0) : v'(o\:2:b\ ' + b')' - zvv" : o'

J,(0) :j'(0) : t : c\ )" :(t')' - i, Ytt) : -i' Y'A) :i:d) 2J' + ]"f{}')'z- 6r) - 0' JQ) - o' r'Ql : z: e) ()'3) : 4J'(')

'l, ) rv" )" ()")'t g) y - '{}

)'g iJ"'13'

10.

a)

12.3. Ecualii ililerenfiale liniare de ordin superior

ll/Ectral'i dife,enlir. iitri:r" de otdinul ' ctr co'rlci'Dri v:riabiu l:ie'

Lr =a |l')tt ^' + arltJ/|"-t' + .. +aa@)t, drl') + 0,

$de dlr), r e ld, bl, t - 0, 1 ...,,. sint lunctii c6 tii ' cate Ecualre ib{4ntidu li tut

ordind ,, ouogclr,, are lodnd

Ii -O

t. Dacr, ,t, 2, ..., t,, €ste tt sistcm tunilanentel de soluf lgJrtru (2)' atutrci

to

-

C'rt + Crlt +., + Cih

Ct.i - 1,2, ,.,,^,liurd ooustolto artdlraro, ftPr6'irt6 soll1ja gc{'rAlj, a 6clatioi'nosolo

s09

a

(u

{2)

I3)

{2t. '

Eclafia onogent care adhite sistmul Inndamcnt.l (le sotufii t, J,'

i,Ur; ,, -.- -,):0,

repezihg vrorsLiand 3istemulDi de luncln yr, ,,r, ..., J,i.Daci so c n@9te o sobfic larticul&n g @latiei orhogcn€ (2), ric .ceasra r, (r), aruncl prin

de ouile o aqlaljo t neculosltn;, cu ordnrll Dicroial cu o un;ttrio

a, So\4ja gclorall o 4lafici dircrcitialc ncomoscrc

Lt:J@1, cn llr) .on6 6,

il'): xlIa)tr + E2la)h+....1 K.|x)e",

ulde tuncfiile ]r,(i),': -

1, 2, ..., 11, s itedlc ditr sistdnr

Jti\ + d,2, +... + J<;t. : ot: 't + rlri + ...+ dr'" : o

ilzl

( )

(6)

rDde ,a este solllia gcne 61, a ccuati€i ohoseEe (2], i.. .): cste 6 solutie pzrlicnla.: a €cnaliei n€F

Metada ualialiei ca,sta,t.tal (heldda ili LaCRnge): da.5 sc crr@5te n sist€rn tlldametrrAl dcs.htii 11,J/,, ..., r,, al ecualiei omogenc (2), attrnci o slxlic prticutard a { a ;ei lconogeft sd.l"rmid: d' pl lohu 4

Elrtn-D + tilna' + . . . + ti:r'a-D -f@

,

prin , r ^draturin4lr)

\1{[[r.,"" dir.rm]iarc riniars de crdhur , c .ocrici€nli .onsiznli. 3. r.nlrn (rer1ro,i,,rr.rfiDj{54ed rMdatucrtal de soiu ial 4uatiei dilcrenliale tiriorc onogene de o(linrt , (u c.eti.nrnlji arI E 0, 1, ..., r, corsianli

L : dnltn) + o\J,tr-lr+.,,+ail 4 O

* cEul{ solllji de forira ,r - er,, nju gid -* asttcl :a e. 5tia .ara.t$isiicl

( t0)

(r 1)r(') - aoli + ar,cr + ... +ai : o,

6) Daca.Ij(/) arc lndtcinue realesi distincte r , rr, ..., r , .tlnciun sisGm {nnilahrEid dc sori,fii.pcrtru .cu6fin (10) es1€

tr:.u, \- er,,, ..., h- e'r.,

&lDtia seleBl6 o eratiei omosene {lo) esro

,P - C*tc + C/.t& +...+c#,

810

b) Dacd, .iDt.e .iiLicitile ecualiei dactdistie 6is6 i r'iLiciai coqnexe:inpte' d6 €\€m h

":"+i9,.rtq"i liecrrei Perechi,le r4dletri compl* cmjuStte li coresPutrd dot{ solutii 1iliat

y - e'ce?', -+2: S'an$t

c) D&4 lrirt.o r6iltcide eclttiei €acte.istie elist, ti rid 'ciai rea'1e mnltiple (de *caplu rr

e+e ;dscininultiplr. de ordir , + 1), aqrnci fteiei asdel {b red&itri ii'or€slund

solutii liriat

indclendente (]l trumir egal cu ordiaur de m tipricirate al t5dtcinn)de lo'nd

(rtl

(15)\ - er.ra, , - tett , .. -,*t : t?er'$.

d I DA.. n nntre rldrcia e ecualiei @dteristi@ disti ti rI&tcitri c'dplcxe @ultide {d€ e{eDllu

,,.-;, ' .. ,.1-t -i1 ir - ,; - . . . ' ;a t - d - rji)' u ci ':ec1rc' ai Gl d" 'rdr(in'

Jl

"L-." .a" '" tr mir J soluiii linis indcpetrdcnte eStl cu dub"il'umrrl

ur (e i4drcn o droul d6

( l6), - {' cos?z. rr- de c6itr, ... tF1 -'&d'cdpi,'

,i - edd si"?', tl -'€6 sin 0' . -.' rii'r -'%" sirpr'

4. S.itrlir seleralE a cc &tici ilitercatqle liniarc ueonos'nc dc o'ilioul ' cu'ocficietrlii co4t0 1i

ta -l'), cu / lutrclie contion\ (l?)

.,-/+i, {161

untlc f ostc soLulia gc&rtLl a ecualici onogcrc (10), itr i estc o solulie Palticnl4rl 4 €cldlici ncorno'

s.n. (17).''1'

'i"tiosit,rLtii so arcge solutio pa.ticula.tt iluPl lo'ma lui./(') Scrolosegto Nloda c@liclcnlilo

ar) Iie j(,) - P'(j)' poli'om <le Srad '' t'

Dr' I - o nu slc iad'i'inl 'eolbfLel' €fdct"isiiic6'

60 calii , de fo.ma

j:8"@, (Le)

un.Ie 0"{r) esio tru Poljnom oar@rc, .le 8.nd '. Dacn / - 0 €te rid'ciii dlliilE de ordb }'

otulcl so o tr, solulid P4rticdar, ac iorma

t = ;9-l'r. (20)

bJ lie /{r) - d'Pnk\. Daai ' - a u 6te ridicind a @uafiei'4€cteristic6,

se caute sotufia

parliodrrr, de lormat - €'a^?r'

ia' l+cr /-4 eqle.;d:cid mrltiPr,i dc ordin i $ ir

i : ,'{'Q^l'l'

t - stpn(, c6 9: + B*(') siD 9'1,

iar deci r - d $ ill .st rdiLlcili sultrPl, de o.dio L * i4

q) Fie /k) - cdtP,,(,) cos p' + Pi.(,) sin p,l ti fie'-ffi(4 4) DacE

' -4* ip tr

si6 r&UiciDi a ecsJiei caracte.stice, stunci e @ut{ elofi4 Pdticula'A de lor@

(z\)

122)

t - '.e'tA^l'lc@P' +.QIQJ.\a9"..

l

lzt)

l21l ,

q) DzcA, JQ) : Jrlz) + J,l'1 +..., nade Jl,) d una di, rometc n.ntionate, arrnci * qllnsohriapam.darai(r)-iltti.,(')+...,dr.,(,)coFspudz:rurfofln.rt_,,...,.

IIL Ecuallile lui Eule. sirt €cualii de folm

aa,ar<nt + art rrtn-:.) +...+ oo: lG), (:.r)' lrdo .s . ,.,, a, stDt co$tdte re,]e, idl(,) ste o funclie conttuuj, Asrr.l de ccMtii sc r+d(c ja€c8fit c coeticieDli cor3tarlt, prin s.ldmba@ de yaiiabit5


1. Sl se cerceteze delendeota liniari a urmiloarelor sistcnrc clc lunlrfii I

a) y,-sinr,),: cosr, ,: I, x.,R; b) y,- si,,,,

ls: 1' t e R.

Rqolta,e, L) Relstia 1 r+ ).,/"+4?,:0 impri. )a nn : -t ts .os , + r. = 0. n.n?nr,tEc@std ultih& rcraFe de doud sri l 6port o,, rezulti tr 6s, - )9 si,, : 0 ri _r1 si. , _ \ c.j,._- 0. Din aceste trei ecualii otttinen X1 - r* - 2{ _- 0 ,i ddi sistemDr esfc li,i ind;Fndert.6l,1jndr,lccl8ri rerultat caltuIjnd rr6mtiEftn ataFt jsrmnlui dc tunctii t:(r,,, y,, ,,)_ _l + 0 si (l(,sirteDd cste linia. i d. dddr.

b) tr (.)r, vs. / ) - O ii sisr€mbt *re tidr dependcnr. Reral'; ,Jp f"-J.r t5 t ... , , ^ |

2. Si se fonneze ecualia difereniiali linjad olsogeni ii si sc scric solutia -ra

Bene.ali dace se cunoaFts sistemut Iundamental dt sohiii:a) y' : t, y" : x2 ; b) t,: e", y2: e" sin r. y3 € er cos:r-.

I.ioluar.. Se vdificr u9.r d ceie ilout sistehe dc nDcrii sinr tiDi.r nnlependu, re. Irer rrn r t iit .ecnalia coresplnzntoarb trehie q orice atei sottrlie ? sa dcpiDdr tinia. de lrLnctiilc sisrc;ultr a,tr,itrcbuie l.depliritn cordilia (.1).

t, ,, 1tta) r'(rr, /f, ,) = o, lt t' y. l-0, ,' . - Lty t 2r - o.

lo 2 t-lSolutiA g. o.all d ecn.ii.i .stc

/E

cr' + qrr.b).1/(J t ),e,))-0,J-'-3 i.+1r.-2r:0,sotutihgen.Eue3re)-Cr.r-c,r ..1

,,3, 'olosir)d solutia prrticulartr indicati, si se intc$rz( urn,j,toa11.lu ccurlridllerentrale:

a1 ' 4-11'-y:0.y,-lIl. h\:,J"-(x+ r)y1-zr.y - t)),= 0.

v, - c'i c) I ' r- (tg I - 2 ctg rb/' + 2J' ctsz , , o, 1.n.- .in x, v lll_ o.\ JJ

r,'l-l: t" I JJ

3t2

l'l=tr'

,r,-yir,,-i -y, *1'-- j: - 31, -y2,

(:(}

{li )



r- ,,..,'oth'm

.nrL,c'a ic .ldcrJ. (r). asner ,E r=,.7 i. o.,i ' -,''L'+r",:-,i.^ -.:,'r /corr siD:i / sii: 2co.r 2sinr:\. tr. l_ -_t t zt__ - _ I _t si P.int: ft t r ," \" l

inlo.unN. ix ecuatie oltineir snccesi?:

=,

;-" ff." ":*' .:-qce' + c'

lrcci sollli' si .nli .sL. -1, : -ci iIl + c,g1:.

Ir))

^?cd 'j: c", t;: '{', 1;' :,'"*, arc lnldnire d ecMfi€ corduc la identit4iea

t,'-.tt-t-2, 1.2= 0. r\ce&ta iqplid laptul ci'r-t-2:0, -r+2-0 ti, r-2. D41o soldl,. prrti.uhri cstc rr - eef. Iici,d sdnDbar€ de ttrrclie, - se,j, obtiD€E d 4tia

, 1 -0. d. rndc 5-{i - "j' . =. *'.tt

r=--C,rJr

I s r."sid4i y- --:C,tJr Il)e'r a,"p.9' '

''c) ruued

/:rsinr, astlel .d

;" sin r dr' sir, ' _ ,_ dJ, /: q@sr, _ cr sin, + c .

J)..i -y - Cr sidsr 'f Cr sin r sl r':crsin2r +C,c6r. Dir con litiib nitial€ *,"fti C,- -j=,, Jt

'. - ., n. i,.hlid ar..c"lcr.l .',rbLa,"rc /Ji"in :

- 2sjnr.

4. liolosind soluiiilc partic[larc indic|t€. s.l se iBtegreze uroltoar€le ecuatii,difer.rntiale liniare nmmogene :

z')

y" i lt - .t)y' * :- : I. _rr : i. , , : -r:;b) (.r3 ---xe + 7r+ 9)J]" a$ - t + a)J' + (6rc - 6) : 21, - 2x - t6, y,-

: at + b, )(0) : y'(0) : 0.

,i.i,l drd. a) i:tcind s$sritnlla J, : I : r(r), obtinem ecuzta omosclA ir lnactia nectrno*ut /," + ( r - x)u' + L : 0. Pentn acati $uati€ cnnmtrem $l4ia parlicnlarr el : tt - h a, * 1,

rr.c(xrnd q la c,.'ercitixl p.*ed€ni, puco : ,u,: :1, - 1) 5i obtinen succesv:

, r r" - rr r c:(, r) r c,ri ,,J1, - "*''u_-0,.

f) CJr t i trd solutii d.Io.ma indi€li, sAsim 1' : i. Cn schim6a.ea deluncfie l' = lr+ 1- t + t,lr,iir.nr cc alia omoccns {'3 - ,e + 7r + 9l'- - 4l'2 - r + 1)a, + 6(} - 1), : 0. Dsade. ,,li,i.rtii sntl polinoane ln,,.nnlnm soiutii aie &.;s 6Efn dd loma &:,4,r + Drz + Ct + D

ii i.iin,l in €cuatie ii identifichd, obtidd id firn elltiae .i : t + 3, {r ::r + 31 8, lmI 'trnei7a un sistem fu.damentJ de sonrtii. tur nrmm, soluta Sene€re a ecuallei omogen. este

r: cr,,, l crrj: cr(r: + 3) + c:{tr3 + JJ-8). sarntia se'dal, a ecuatiei inif8le cste deci

y = h + t :' + c'Itz -r 3) + c,('3 + 3' - 8).

ntl).' r'{. iilir[. i',ili'rlc r.z lrl C - --, Cq - * - ri solu{ir .l-brr esto r - -} (]r - 8)/9.t9 3

. 13



5. Utilizlnd metoda varia.t.ici conitantelor, si se integ€z€ urmitoarelc ecuatii

diferenliale liniare neomogene :

al x'J -.rJ -11";rJ), ly -sc..t.

n*alratc. a) Eclalia .mosera .ala+rd '.re , t- - rt, - n. o*i J : 31". ,' - .,,

t,

ceutam sohlia 1,lrlicllari i a ccualiei reono8em de acceai t-'rbE ct ,o r-,nrd i - .&r(, 11 r

l jir(:).l, . ti .n c 'erd('a w.rialici .onsh clor

ti'\ | tiL: o, Iiil - .'

D.ci.ri;- 3, ii|- - 1,,, *tra erouou r,,- ix,./r.: - -lJ $i i * .-. D,{i

r.it -stc J --j' - j - I c'1? i c:+

It Ecudli. .moRe , asociatl 6rt, y l- t - O. l"rnum r" - t 9i dei ,-' - -l asllel c5 .lr_' ;

* f., tJt ,i dtt e ,.tt int?lict

.L- - L,2 ay - y .t , y .tr- - - t nt, v" - x J;'i.

Deci dy F ?- o: a,arjt cr d' - ---J . o^'", e d, F r,, dr, kzL -ilt ttc' - tg

d) - ---dj +,, - + VCr -r + c, ti r: + arsn-:.-:- ? ca

r('-r'Elihlnhd loramctrrl , ti r(uotlnd.onstanfutc.orcsNDzitor, ol4hc'n sohrlia guxnolil a ({ {1j€

odogeDo slb fohro/o = er + 6: cos, + (1 sh J. crtrl5D soltlia Particsla$ i a.c nl ei ncon(8onc

.ul, lorhs i: rr(x) + Irt(ilcG

r + 4h)sin r. Metud4 voriatiei conshnlclor .onducc l. sislrnnil

/li+Ji;ce/.l.Ji;sin:-0, -Ji;si": + nicc,=0, - rii .os , - 4 sin , - s.c l, a.Llrl doDr,,,co dl= sc( r, 4;: - r, rii=- j. ir(i n, : r,,l,s ia + IlJ. l, = -",.ri" - rn .-.,r' l-t2 llls, ; -l,l'g l:: 1.I11 -,.o,' +.i". r lcos1l. s r ii ee'.'ird. c,r rn1 ".n.s(t ,ntc

I t2 4ll

/ - a, - a,(s, .r. -..i.. + r"l,g [l ] ill -,*", - s,n,.ro . s,' I tz I l

6. Sir se inteBreze ccuatiile diterenlialc lirriarc cu coclicicnli constanli:

^)t" * y:0, (0)

-2,t'(o) * 0; b) f'{'

-5r" + 4y

-

0;

c) y" +2r'+ )':0, t(0):.0,.''(0):1;

d) J,r?' + 3y(6) + 3yr5) + .],.r'rr : 0 r

e) r"' - y" + t'-r:o; t) 61]13'+ 48 t$t + tzvttj + v":o:8)

'r{'+ 2J & -3 '+Zt'I t-.O.

n,dlrdld. a) EcDalin .amcteristicn f- I -o are rlrleci rle renl. si distincretr- -t 'r - t..adlel cn t0 - Cre_' + C er. Dir condiliile iriiiale ot'tincm C1: Ct - I 9i deci solutia .rticulartceuiati este to - e-'+ ei.

b) EcuEf@ caEcteristi.S /-ta+4-O are rid:rcinile rcale distincte t\- -2, /2* -l'\- 1. ra-.2. Dupi (1J) rcztrl€

.) Areml+2/+ l: O, \- rt: -L Dtrp, (15) retr1t c5 sste{nl lundametrtat dd solulil

este t1= e ', a:,ea, astle7.d. f:CLc'+C2ze-t. Di coEdiliile idiial€ dedu.-& C - 0 d

d) {r + 3/6 I 3/5 +'4 - 0 +'L - /z : h : 14 = 0,'s :'s - r? = -1. Ddi

lo : cr 1- ca, + ca,2 t c4:3 + c.{r + c6tea + cr,2e-'.

4 ti-.t, + / - 1:0€r1- 1,,2: -i h:i. Dsi, dnp, {ul, aveo

ta: qe' + c cc' + ca sini. 'I' r4. 6'' li,'."-o€i,l4,gtti3.0+n '3-0,,,- '

,"-:t','-,:

-, -.- Li. r'=.r ( r c, o.' rr.sa' 1c,..*1 -, c', "in- t a.".d:+2-22)

.+ c-,""in

a

s),r -l ztx + 3/' + zt r :0 +{r +'+ 1f : c ) \ - /, -

- . -l , 6. ni ,, - 3,.- l-'"". 'l , * .".-i"o" /]-*4222_ -*.. ,r;

22

+ crre : cG-r+

7. Si s€ integreze ecDaliile difc.e tialc urmntoare prln @etoda varialiei constas-l"lc,.:

.rr )' .r)' z"-=l -: L)-v'+v-Lsr.I_l c'

Rda u/.. L) F:cntia caracieistici a cculq onogqe ata$te estc

"

+ l/ l- 2 - 0, cn .6d ci-

nile rt : -2, /2 - - l. Deci ro - qe_F + ee-1 Ciutd,o sorula partid ali a eclafid nmmogenedn i r' 4 i : Ktl.\" 2. + K,t^f '. Dupi (o) or'lin.m

4e,"+ K;e':0, -2Ela ' - riie-. - (r+ d,)-t

rid..irt: -e + 1'(l + e.), rr: in{1 + e'), 4*rd..i i:e Fl-e'+ln(l+611+e-1'(1+ e').

solufiagcne.alaeccnalieineorn'sEneertcT-Gr.-s'+c,e{-e- +(6{ +e-')ln(l+e').lJ) r" 1 J, : 0 = rz + 1 : 0 - 11 : -i, t3 - i ti / : q cos, + Ca sin r, C6lird solnJia Par

ticulr,i de lo.ma i:&r(4ccr+(1klsitrr. obtincm dl cos r + j(; sin r : 0, _(i $n; +

r /.;"".. = -j,. d" uddt' .irr sinr-,. l,*[l*111, rt rcrr. D< i- .,siD]-' I t2 4.'l

rr r\l- ,," ';1.- , -ll-"r.,*'- sdulF sa',nr:aeoaf'd Dcn. oBqF ^5re/-crcoc, i

I t2 4)l

{-c, '1 -(os,rn '"1" :llI t2 4)l

s. Si sc integreze ecuatiilc diJe.entiarc :

aj t" - sy' + 6y:6x, - loi+2; b) j"'- j":L, y(1): l, y'(l) :o.y"{1) - -1 ; c) J" -- 3 ' + 2t : e."(r'z + f,) ; dJ t(ar - J'(3) - l' + t : es;

x) y"-y-,xe"+r+Fe-': 1l y"-'tf'+6f :sir.xi

d la) +2y" + y:si^": h) t"t - 3y' -2 - 10(sinr + rcosr)i) y" - 4y: e,'{ 1 1 cos r - 7 sin r) ; j) t" +2y'+2t: ':ea + e

k) " - Z ' + z.y - 2e' cos { - .li c'sin r-



Rtral&re, d) Arem "-5t+6/-0, c /s-5l+6--0 9i h=2,/::3, asriel ce

tl - Crek + C,c*, D€drcce /: 0 nu cste redlcinA a ecuatio cara.teristic., ctut:Lm sotutia larti'cDrali dc ioma i: /4,2 + Br + c. Deriwtm $ lnl.cuitrr ecraiie 2,,1 - l0.J] - 5r -i 6.'4r: ++68,+6C=6,2 101+2. De aici .ezulti ,'J : l, /r-C-Q ri de.i t:r:. S.lufia gdiral,.rr.r.'.1Tr1r' ,9.

b)tcnatiacaracterisiica/t-t =0aresot,fiile'r=r:=09i/::l,nsticl.i''r'.-crrcll l-

+Coe". Dedre&

/:0cste radicini dlbli

lenituecnalin caracteiistici, corlorir c (20)r r.n,ti:lx1 o

soluf:" p ,. Jr, Ll.J j- r:,4.. P.DIJ.:.|. r' n '..-I

-, 8: .- l. ...i ,. r- BFr-€r,r4,1iF,,,or. B-l.,: -,- t'. ''2

Ir0L Urrl .'.r,.cd-ll" C,. ,C Lr,1'. l(\2

1:_11_."-'-_{rs ll.62,6

c) Solulia scneLaln tr .cralici onneeneesle

to =Cro -F C.c5.

D..xr...7

- ],s r:1. s,rlrfie

a €.lrlici car.clorisricc, contorm cu (21), ciuliin sohlia FiLj.ul.r:i,lc lornft i : .n'(1" + ]ix i C).

lold,.i.rl nd'ut'e, i"Jr'r,' I- - R=-l.- I F" o.'..-2

€sre , = Clif .. 4,e1, +"i, - 2r + 2)eul2.

d) Ecralia caracicristica /. - t; - t + l. A a.e.Idi.t,ile tr * /t- t txa

f-'s-Ct" "'."""f c, ' ,.J

Demrece ': l cste r5dicina dfbl6 penlru e.laiia ca'aci.nsdci, (lnln (22), sc J.ur:l 3r,1Lr FrrtcdlrI de ioroa j - r .Jc', Rczultt ,l - l/6 ti i - ',c'/6,

iar slllia gen.rn)it a ..r41 .i ..or ogele

este l, : r'+ j..e) Eclafi. c;racterisrice I - l : l) a.e rddicirile rj : - 1,;" - 1,.strrl .n , : Crc_' + C:e'.

srntcE nr cann.r1)cr/(r) - J16) + J,k) + J,lrlt nfi. JllJ) : rc', J,(; ) - r. 1(r) :'le ' sr.attagohlia de tolna jl'): iL6) + j,(r) + ts(,), .u tr(') - "(drr | ,r).', i 14) : .,' + l,,. ilh) :: t(alz 1- b^,2 +.xt + d')e '. l ocund po lrlt) ld .ioi.lia diflrenli.lii, tl,txn, in lrtll s.nu1la

t(") -l*{" - l)c, ' -,l '('--f 2a, + r,+:r).i-' ri:r *)j t.

43

t) Ecualia .aractciisrict t3 - ?r + 6 - () are'ddncinilc

rr - l,'s - 6 i, dtciro: C'e"+ c:."'.

Slnt 'in cazri cr) cn d-0, p= l9i P,,j(r) =0, l';,{,) = 1, asrlcl cii ,,.-0 j)eo,df

'--.*ip: *j nt este jadacini a ecuali€i ca.aclclisti.c, du$ (13) e in rr:r si.:+/J.osf,lEr@llnrl tn ecnatia neonogenr, oblinem i = 15 si. ' + ?.os*J/74 5i deci s.l,*ia srr.Dlil n .cralitircomoa€ne esle :,, = cre + c,e6' + (5 sin, + t cos')/t1.

g) Eclaiia c.racteristice ,' + 2rt + 1=O arc.drlacinile /t-'i--i, 'r-'r=i, 9i.ldi,/'-{cr+cr,)cos,+(cr+c.r)snr,.sirrenrilcazllrilcu4=0,p:l,P,,,lr) =0 t'1,{1) nli h:0. Deoa.eE r = +i dsle rndicinn drbtd pentru ecuatia caracitrisu.l, d.Pn (21), se l.i -, (r sin r + n.os,). se or4ire,a - - 1/8, t: 0, aslrel d' solulh 8c.eral,i. colltni r .nnse.Ll

I

.5t. / - LCr- C.r o5t I (C: . C,r1:inr - 1."rnr'h) Ec(.lia c{rocleristic{ tt - 3r - 2 - 0 are r{dlcilile

r'- {c, + c/)o*'+ cre". Do@ruco /(}) - /r{r) 1 l(,), c

./l

tt=12-t1,'r-2,

astt, rI

,k) * ro(si",.1. r.(,s'), /rk) .".

- -8,3, sc etrt.. solutia particnlari de r.rnr. t(') : J:(r) + t {'), dr'r(r)

= kr + Dj sti, ++ (rt + d).ast Fi j,rlr) :.f, + /.r? + 4r + ,, inrduinil in dnafic, s. oL$rc, <lnle id.qtifi.arc,

;, l-r ,1.,,", 1. .'.1.,,,- r,, 16, )J.- 1,.' i) ./ l'- i,'.,; -',r-

c",. rlr -,1,..,.g' ;,1.i,,,:r.

" l. t tr )il Ecfxtia.rracle.isti.l/'1:Orrerad:icinilerr--Z,r^=.?,asllelct a-a'c_"+Cre".lrt.rrecer=2-inucsternd:cinnarcuaticicamatcristirc,duP5(23),sciat'--c:'{.'lc.sr+tsii. t-ink,.uio,l iu ecuatic, se obline r: t si r: I, rsfe di enfia gcFrali a ecuali.j esre

v-r,f .tr",.,.t (:'knsr I jsiir.

j) l:.urtia ,:aEci.risiice 6tu /3 + 2' + l - 0 ri a.e . dio le/r--l-ii.so[lia 8(neralAa cc"atiei

"moscnecne jio: .lc_'cosr + cre-'sin '. D@r€@ .{r} : /r(x) +/:(r), { it') -

- xc-'rir(,] - e c.sl,seiat(rl - i (4 i,i:lal, q j(")-l.ax+ Ble'+'e '(c cos ' + r si 4.

Seobline,.J=l,B=0,C:o,r:l/2,Prinr.nErc,$luliaAc.lcalt:€M1i.incomd8.u.eie

v " t , t-.r,.in.lt2l-U Ecnalid cadcteristicr. ': - 2/ + 2:o, tu r'dd,Nidle rr:: I+i, impli.:i rr' = C1e'cosr +

+ c,e'sin r, De@'.cce / : l:Ei $le radtuinn silrDli prntru surFa cd&teflrr I Jtrt,J ll4), * a

t = ierf(..r, + ,)cosJ + (c,+ D)sh,l. se obti,e.,r - t, B:c - D -4. r Litr rfu,aJc, \Llurigcrcmli e ecualjei neonmsen€ cs1e, : e' (q cosr + c. sin, + t cosi].

9. Sar se intcgrcze urmitoa.ele ecua{ii de tip Eulcr :

a) 3rg-r" .+ rJ ' + lr - 0 ; b) r.2y" Z:tv' 2y-x;.) l3r +z),y" +'713' +2)y': 63'+ 18;

d) x3)"' -l 3x. )" + 'r' - : x.;(l):y,(r):,',,{r) - 0 je) r: L" + a,ul' + 2t == cos r.rl,:orrarr.a)SutstitDtiaI,|==er$ircratiile{27)co.dtrcIacralialt-2i+7r-o,ca.care

', r'."- -' :?-o.rr:tdJci,,irc',u -jt' 1.1. 1.'" *..,,,., \ot'r.. a.'.'dr,

L, ._, c,.' ,,::1, "..." -"91,-c.,,r"*-lJt,.','l ,.-.''.,"{'-r,, . I.' I j I t 1 l

Lt r.ekAnn s,,r,rlirutia {26J ri rcinli . @4,6r{et.i ol,linen i -3i +2), -- I. [curtia o,,. ,enrltaiare a.esloi {Lliii are sohlia gcncmri tp - Caat a- C&a', ia. solllfia parricnlrrl a eoralicj rc.nrrge.. estc i -. rc'. Dcci, $i4ia A€neraE a eu{iei n@dosenc eslc t : c i.' + Czett - .t -.

.,. C,.. ln

. F" e, ...,in,i.,,* J /u,iJ A tir I2i-c'. Deres.* -l-,"- +,,

"

Ij' +2tr' * 3i, lt. + 2)'r- : t\:j - .

Pritr urriare, e.raiia caprrr. larml 9t + tli - -2ter +60. soruia ecEafici ornoac.c.ste r, -

+'-Cr C,c " .Solul'rpa' clrrda<,n:lieimo'nus.mejei- -crr 5r. U"cr

)-cr-cro r -o'I t-F, tc,{rr+2t../J- {} +2) i 51 3r-2.

d) substituli4 (2r, condu@ la @ad.ril ; - ) : et. sorDia scnerar ' a ccualiei omogenc este

' li /Tr'1. s"r,.o tu.ri ulJtu 'c J'teirnili ' b rorn_ I -r'-crcr+e-r)tc ccir,r qsin ';-./

- rc'/l. Pnd urmr ", sohFr seneralt csJp

Ln ltr ' I

),,). c., -c",-r.*,[+r,i,i|i.",,.,r"['r'.r,,r, j ..r,,.

.iJ'Din condiliite inifi.le d.nucetn C1: - 3', C': : 5' (r : j: 'rllcl c; s'hltir c'niti e(16

r "/i ,.1 f.,*i.i.,.,,,1 , ",,Ii,., ,ll. -;.,rn _rl t_l),,.lv..{ 2.,,,,.,/ ... l'. . j.I

eJ Cr schiml,ar€ de varabili (26), c.uati. omogcnl ataFti ecmlid coilsiddnte re i'r''nr

i+ 3i+2/: o ii arc sohlia setcaln rP: cle-N'l+ cae r- cP21' cz'-1 lentru detcrdi'areh

;nci $1 $ Pariiculate a e.mtiei ncomogete inilirle $ aplici nrctodi lrirrlici cnnstnr'ielor',sc

c^tr1

solutid la.iior'1ard d. fom8 t: t(r(ri'' l r{3{i)'rr' s" 'l4ilc sr\te t rl riir_3 + Jl:fL - O

-2kt.'-r - r<:'-, -: :, dccr r,= -:sin'-cos,, ltt:.in, ti i: -t-'c.t,. D6.i

tgolutia sFre.au o ccnatici iniliale este / - crt'' + ca,_r - '-'c6''

123.2. Probteme Plopllse spre r€zolvatc

10, Sd se ccrceteze dependenla liniarl a urm:ttoarelor sistcmc dc f[rlclii :

a) yr- r, y".= xt, s- tti b) 1': c, Xrr- e2', lt:et'.) yt:.y, - x 1- t, )3: +2: d) J" : 13, )',: -Zr',

11, Sl sc forneze ecuaiia ditcrentiali litriari omogeni si si1 sc scric solutia sargcLrelali, daci se cunoa'td sistemul fundamcntal dc solufii:

a),, == sin ;v, lN : cos ti', b) y r : c', y" -= xe'', c) 1', - :r, ir :^:2,

' "= Ns ;

d) y, : 1, jr, : e-r'cos t, la : c-?'sin -1.

12. Sii sc intcgrczc ccuatiile difcrenlialc urrrrittoxrc, cunosclnd'cito o solufie

prrlrcrlsri:a) {r -r)), -zry'+?y-o. yt rIlr) j (xj - l)1" + lx -2)1,' - y: o. y"- r-t{r-- 1):;

c) (2x - tl)," - (4]y'+ 1)y' + (4x2 -2t - z)v: o' )') - ar;t) (z:y -:{ \r" + (x' - 2)y' + zll - d-1':0. t, :.x'.

13. Si se iniesreze ecuatiile diferentiale ncomogcnc, cunosci'rd soluliile parti-. ul.rrc ind:, -tc :

a) {2r, 3.r)J,'r ' (6+6v)J'I 6}'- 6 j' I J.. - \ 2|

b) (r- 1)J" - x.y' + y': 3' h: zx + 3' te: 3x + 3'

14. Folosind metoda vadatiei constantclor. sr-r sc intcg'eze ccualiilc difercDtiale

a) (.y- l)r" - y'-(:t- l)'; b) tl"'+ ": | + lti c) r?y" a *y'11.

3r8



15. Si] se integreze ec1laliilc ditcrentiale cu coeficienii constanli:

a) t" -5 ' +61 -0; r):"'-zt" - 5t'-lzy=0: c) t'-9 *0'),1, y --r'-o - J ', lJ j(0,-5.J\0 8i

'11 y" + tt' l- 2jl -= 0. J(0) - l, 1.'(0) : -1.16. Si sc intcgrezc ccualiile dilerenJlalc :

-' -.4., 4 --0: t, "-o -- 2.,'-8J-0ic) )"' - 3q" + 3at\ diJ : 0 i d) Jttb) - 4Jt"' :0:e) "' - t" -)' )- y :0; 1) ]|"'-5J."+8y' 4J:0. J.(0):j"{0):y"(0):0.

17. Si se intcgrezr: ccuatiile (lilcrorlialc:

a i .\ " - - J, - 0, y l l l r. I-l-0,Lrr{ -51," r 4r -oi\21 - \zJc\ ))" + ' 1- : 0 j d) t"' - 51" + l7-v' - 1 1: 0 ; e) J(i) -I- 2J/''+.)/: 0;

f) /(5)

-

lljr(r) +501"'- 9{j"' +,13r' * .169y - 0; gJ r{r) ,F4_y:0 j

h) l(a) .-l- sJi" + 16y ,- 0 . i) J(J'r 4" ClJr(i-l) + CXy,'-r' + ... "1. Cly * 0.

18. Apliclrtd n{lod"r variotici co stantelor, s5. sc iutegreze ecualiilc dil{.rcntidrr i

") f"-r-.;h ; b) -t" -l-.t,:.. ;c)l""Fr:ctgtt:t1)t"-y:111:(;

c) r" - 4" -l l' * 1en ; {) " + 2 ' -l ), : x-t e-' ; g),1" +)r': tg'sr:c.t;

h\ \ " - 6 \' .r 9r ".. --l-,y.g -- 6.r -. 2) ca.; i) ),-3J +2J:ca,1+c.,{.

19, Sir se intcgrczr: ccualiilc difoleDtialc:

^t3)'-2)'-) -r'z 1r)" --) -.ys- lt q).r-2yt-)r'=l'd) J(a)- J]:13-Fr, ),(0) : y'(0)=.J/"(0) : -y"'(0) : 0: e) \\ - yts)*1zxiIt J)" + y * ,te-' : 8) " * 4 : xrcr.; h) r" -5r' "16 : (rs l- l)e,+ .rc ,,;

i) y" a Zy' : azs-t' 1: 2,r -- 1 ; i) y'.' - 3 ' + Zy : xee'ik) t(5) +. J]($) :rleo j I) )t' 4- Z ', ^ 3 :zxe]s. "f (.v + l)c' :

m) l(r) -- 2J(r) + Jr" - e"; n) r"' + r" : *2 -l 1 + 3re';o) J "' l- :'"" 'f ,""' l- J, =" t'

20. S. sr lntr;rz ..u..lir1 ,l I i.nli.tk :

J-(osrtL. )'' - -2y- lsin2x j ()y"-4)-r'si 2x

dr J' ,r'- 2) {-J.r'z 2lr- l2r .os 3r + (llr? - 5r - 5J sin3. i

e) r-" - t - e''l({ * 4r) cos r - (6i + 2) sin 'l ; t\ " - ) - e' x sitL c :

d t" - \' -1 4 : e"(2 cos x - {* sin :v) ; h) )(a) + }(3) - cos 4'.

2l , SiL sc integreze ecua.tiile diferenliale :

a) " - 4)' + 4f : siD .f cos zt-j b) 1"'*'{y':66511'

c) lLat - Jy" -42:x,+ I + e3,+ 4cos*; d) " -1-2:2$cos*cos2rle) J" - 4'+) =. sirr', -- J' r; 0 J" - 2J ' + 5J - c"(,r cos 2t - xtsinzv)

22. Sir sr: integreze ecualiile dilerenliale:a),,t" +:q'- :o: b) lzttJ"t-zsr\" + z8:t ' - 6j - 0:c) r,j" - 4r)'+ 6r.:r; d) (a +.1)')t' - 3k + 1)r' + 4 : (.:t + t)B;

c) (' -F r)31" + 3(' + 1)'j,' i- (' + l)r : 6 rn (' + 1);f) r;'jr"' l- -5rJ," + 4l' : ln:r ; d r')t" --r '+)i:2.r, )tlt) : 0, J'(t) - t.

23. ,{plicind metoda sciilor dc puteri, sir se determine sol{lia pentru {iecxredin ccualiile dileren{ialc :

z) :t " + : 0. l(0) - 0, J,'(0)

,J t" * L:' +J,-0, J'(0) -1'(0) : t, 1"(0) .= 0.

-...-'??

- l ; b) 1"1. r,'(0) :0j

o *nriie d shtcnuhi ronntrl de ecldtii diletenliale dc ordirul li,tii

(1)

.tr , L,rclii coutnuc e Ix D, ,aR", oslo rotrezontltil dc , IuActii ordoDntc 1 = (r (,), ,',(rt..,,. , r,(r)), dtricdbilc pa L c,irc lrdnslonnlt ocudllilc (l) ltr idoniixtlli, l)en0'u oricc t c 1.

I'rolilcmr lui Cluclry fctrtru sisLchul (l) ldsodnr i dctcnnindrca dccloi solulii a sistetrrului, clltvdiliclt corditiilc i ilhlo

(2)

iDdlis/rr-rol<4,

l/,(t ,.,.,r)-Llr, ..,.tJi<t-> t)-rt, t=1,2, ..,, (Ji

rhci rr'noliiro i,l',rt,ya,...,:y/J iirl co lnNo h p.ralclitipcdll

,, - y? ) < b. i "- l, z, ..., ,, ii sriillc oondllir Lipschit'

4 11 : a, 1(0) : l, -\,'(0):0 J

d) y" + t'+ r:0,

1:.4. SisteFc de ecua(ii difcrentiale.$isiomo aimelrice

nil,r4 rle odi,n,r I i soltriici cslc

,".u-,J [',,1 .r,,-' ". ){:-tt.t."... ' t: ..,.t t.?.)\

Sfrn.u ci rD iDtcgrct sistcnr,l dc ccurlii dilcrctrtialc (1) $rh sul lotii. sirn.t-'i.I

ir, =jr1r- . : :,y,-x,1-,,",,...,,,,1,

r, .{, r"(5)

rlarar on dctorninat n - I irtegrale p.nre irdependcrtc;le sale. \

Idt.smrcr sistenrelor de ecnalii dilerentiale sc Iace ct rn.todd aproinntiilor succesiYo, toetoda

elin$l,rli, n'cto{ta combinrliilor integ.abitc rdc.

vd ouin. o combinalic itrtcgrdbih daci

'ogtsi n innclii p,(rr tr, , , ,

{s1icl cd X prY, : 0. ixr ) pjd'r csle dir.rentiah r.tdld a tunclici c(',,i-1

ID,(n, {r. r .. , .y,l ti (r. tu .., e I,

iciinili rcnllr, -xor <l - nirt.,, ,

j-,

oirnci cxirli o sol 4ic rnta a rLobl.itri (L) fi (2),

.., i:1. /:mAxsul,./.\^ ), .. .i. ..^Frox...1 l

o lnlcgrsli pri.1d Gtc C(rr, :,,

1. A,plicind metoda eiiminlrii, si se integreze urmltoarcle sisteme de ecultiid:i ,,nfirle :

' a) l; -,1',. -r' =. li j b) J;-.. J',+ i',, ;: )',i,r', ti: t't+ r,.

, _yr(0) -.--1. _rr(0) =- l. J3(0) -- 0.

n.zrh,a/.- a) Ddiriml pri'na c.rath ii finjn<1seama de-. dona ecuaiie, obtitem.cuatin lilia.Ide .nrinrr doi t; -.1r.=0. Solulin gcnerab ; ac.steia cste J1: cp'+ cze'- Dedece r, -ri,,. /Lt , ' (-,c'ic".-.

L) Dcri'ind nlfina cc$fic ii lininrl seama rl. rrnn.l. doui, obln,en r; : /; + r,; : 11-r r +t 2r,. D.ci t;' .. 21' : rr -l- rr :1; ri :,;'

';a.,.' - 0 s.lulia s6e€rt a estei ecu.fii csrc

tr,' : Clc '+ Cx.e. sclidft .toi rltiNclo don, (laiii ii ii'en sein. de reznltatll lr€ced.nt j

obtir.ro r; t y : 5C2.x'- sdlulia gdFalt a a.eslci c.ratii cstc J1 : Cae_: r C"cc'. Din nlti@ .cu-

otie d sist€'nnlli dcd{("n, tr... -cr.-'.i C"ot - Cxc '", iar condiliilc inilialc Cr:0, C. = O tiCi - l..Sohtin dnl.r5 cslr ((..i:)i.- -r ', I ", e 1,

10 = 0,

2. Aplicind nrcto(li c nlJinaliilor int0grtbilc, sir sc intcgreze urmitoarelesi{c,n, rlu c.,rilii ,lil' r,nli.tl, :

.., , ,. l - nr, _ 1,3 _ 'li ,ni *-

c) -t; -. .-v,

.:- . ' -F .r'3, -\; .'=II - -1, -F J' , .1; r'=.\r +),-)";d) li .,.\,r -= z.r_rj, _r. i .\r '.. --2. .J,r j d I'i ,,

"\l-F 3.rr_r:, :":ztu", li,-2lll".

,&:r/ r.. r) t,trirn tli r.l.d.11 irFoarr. oLlr oin IirJliaL vulillilc:cPaht. On=

*t,

c\r t,, r i, L r. l\ --:. (r l. . rl :, i tr*rn '.1 j'- fil,'i

,1 , :1._ .1 ., -.,lrr ,1,:

', I 1'

di rilriu.lcdon.'rrrt),)a'lcol,lil.nrnr =d(rr Fxlj k.i"n'lou:inlc8rrl)t'n:

cst. , - rr - ,r -: q. J).ai idlnria {$.nrir n sistc dui c(.

-.(r. r-rr-t- ar.

l)) sin.n 'l drr pirrc li srris sr1, ionN

d,, '1 . _ . d., 4,. I x ,1" t1.1,: l- r{l,l,"- :tr-, - t*\

-o 0

')r'rdr'^,lLi.i {li'l ir: -x.l :u u' tro,r ,,,1,,. r",1r,:0:i.teidouiiitegmlePrim€

sinr rr r: t.13 - cr ri "i + 'i + a3 = c' Acestca datr soluiia se e..15.

.J ,\dunrn .cnatiirc mc$bnt ctr (eobfo ri obtinen (tr +'

+ r.)' :rr + J, + r c@. c6

r(trr .rL . inl.4rali rrrimt cstc e{(h+} +rr) :C1, DacE s.lden Prnno ecutie din @t lalto

{rori. or,irreDr {r': ... 1 )' : -zlr, - 11) ,i lyr - tr)' - -2(:yo - 1), dc lDde rczdt 51te dou{ iqto_

snl, r,rin,c D (r," - \',) - cj, c"(r - ld * Cr cele trei ittegrulcpnn.

d4u $lufug. .reE

r

ri rj rr I ,r1

dj lnmullin prima ecDalie cu 11, a doud cu y's 9i.dnlbl rcz"ttlterel

t"',', j."; -'1 "r,,.;J)i rl -ri 'i... -u "; ":er'',

56 inorltnn plima eouafie N t , a doua cn -h qi odtnt lezrltaielc:

lt, - ,ri J 2,(r1 " il 'n. '-c9 :-49& = zr or

sistEDd srb foinx siDelrio{

dy, (1,,l d ,

Dh plinirlc dou?t ropooric oDtlnoh o ecuoltu onioscnl

astJd c, schitnbarea dc luncfic

lldnele dou, dpoarte obfiaea

Jr, l1r,\t.3lr,," = tl;l 'Z;

I =.11-cordncc lo j.Lcsmla

rri'n5. t)'iry;L(r?T

rlj-l*cr.

^poi,dn'

Jv" dv"

Celr doni intcgmle lrin€ dar solutia geneuld o sistenf nl,

3. Si se determine primele doun aproximatii pentru solulia sistemului

- r - .\, jl - 1, 1i ru .ondiliile inili3l ,_,u, ' ?/0\ 0.'-' ' d,

Rdotvah. pe6 rc.effu, lr ;t

: , +,' ri

J,lr,1, ,)

: N'1

- tl,dnll toullo {1) .tti-

.m succesiv.

1'1',q,1 -- r.*i"t, r.0)d1 r 1:,r, ,)tx):0..\'rrrr,v-:t-":

n1',1,;:r+ 'l' (' +)[-, +)]"'.'-* +,

'r' =.,-i:l'-t' rll"--"-;4. Apliclntl metorla oproximAfiiloi succesivc, si sc irrir:greae sistcnrul

b--zxyt, drlinit pc (lomcniul -l <^,

< 1, -.1 <]r] < l, '-1da -'

condiliile inilialc Jr(0) : l, l,(0) : 2,

ietolMle. naaarccelr@, r\, t) * 21r" t\.fet,t. 1, h) *zr)t snlisilc condiliil0 (3)ti .h\x'rr/t) *- lzrtt <2, L k, h, r,) : zrtri < 2, trz'lla cd (ri 14 o sohllc icl a sistclrulNi dolldtr

I)eDir l^ < -, Ag'oximatiile sulxliei si 't:

322

<i <l,cll



)

', r-i'.u,.: 1.6 1-2.,--L*..".' , ;, r ' 2.: at z--c-Lr:

1i',: I ,r.

i"z [,i,. .F :

")a,*t + u, + ],,,.i ]- *,

r." :-(':[, . 'ul .: ', f. -L-"," J. I 2 l 2: r:

ri4 .- r r,, I ., : ," .-1,' "' , ,, 1,, l.-_,, .1,", ..' 2t Jt 4l - 2. J: al

,,:r rJ-r..|,'.1 *r, ,(+r++",+f".+).

*=z{r.,.J-,' rti*+...)+ f ",+ j,'rlo,+.... r,t=-1.

12.4.2. Probleme propuse spre lezolvarc

5, S:r sc intc8rczr rirmr"Itoarclc sistemc simetrice:

a)

S:: sc irtcgrczc sistcmcle :

lJ, , I r_ t ,,ar :^" .1x ),r - t:1,. - ,Lt,

; -'i+r, i= -rJi?. S,'r se aflc prin:clc doui aproximatii prntt Lr solu f ia si' t.mDlir i $

: r, + 1,,

i . ,, ,,, Iuird drcpt aprorimatii dc ordinul zcro funcliile flo':d+ rr,Jr'

-ri"),-. I rdl, si condifiilc iniliale {r(0):4, tlo) - 6.-d, dl

8. (.- , rd rqrcz prirr rn too" "liminirli lse vor "liminJ ?iJ) sistnmul::z -

6.

1)

c)

, " 'dy, "4r I i'zd.rr, J'd.rt

.



12.5. Sisteme de ecuafii diferen(iale. liniare

1 Sisl€E. d. eualii diaerctrli.le litrlare cu

,l - s-\

:: ) 4,irrrr r/i(r) .- 1,,t' /J

Ar, S ) ,. ),,i r.L.., .-, t"...r(rlr'. \r)

(l)i-1

nca,.(r /,1,)sitrliun.riiror.'.'..n -r''-j)-.rr,-....,r.)/,/i,j.{,,.,/, t..... t"l1 i \, Atrl= (n.r{rj).,h.c/... eu I j .. -u It,) -0. ii.iernu,.1..t.. -

.. 4, i .- 1, 2, ..., ,.

0, Sist.6. de @tii ilif.renlbl. lillare cn coeficienli .onstatrli. snrt sirdne.l. ib ra (l)

coefici. fi vrrial,jli. (-,r lsrt(l de sislen

r. .... ,, \a )' : -.r(iir. r r:(r),

t-t

ti sc nirmegte sistcurll o,nog( ns,ciat sistcdului (l),

soblia sc&dli. sistoll i onbsc4 (2) *1o

,i: cL),1ri. ct" r...ic,yt,, i: l, ..., r, s{ }'=c,r' l c:r" t...-ic,1',, (rl)

undc Cr, t = 1, 2, ..., a, sint couitartc drbitrarc, idr y/ = (r'r1, ar , ..., ,,t,)t, i: l, 2, ..., rr: azin1, trsistem rundanentrl d. solulii dl sislcnrlui'edn:lrntr sisleo rl.,

"ectorimlulic pdrtru (2j,,

linidr ind(pcnd€ntl. Pcntiu c4, v€ctori solulie \'tc" ( n, tt1, ..., tt)t, i-= l, 2, ..., ,, si n,l'3.,inte, lolufii liuiar nrdcp.ndcli. catc r;cc*r Si sriictuLt u dot0rnrnr 'rlul lti $&nshi l/()i, y ,..,, ,, y) = dotUi sd lic dif.rit de zero cll pL4nr nLtFqr Jlurut (tir /, nrld,nhn d-" contiluiltrt4 al

Solutia selqald; sisleNului.nco rogeD (l) este

' 1,.i,.. 1, rrj

uldc It cst€ solulia gcmralt a si$cnrrhi on&gqn &$oj^l, d{rl {jc (:1), itu t.\rL o sntrtio f.rriqLldrda sislcnuhi Dc.nrogctr (l).

Dtc sc cun(ettc sistc'nul rrn(l4ucntal l( $.ln1ii Vr, )'r, , , ,, 1x, aturci eh,lii plliicrlxd 7e Poatc dctcmrnu au (jutor l rtrctodri /rrixl o \' ,o l |telor, So rluti snulir parriorlxra il. ior nn

y -- .iir(x)r't i../i (f)r' -....al{i(/) ,, (j)

uldc tuciiilc I',(r), t: l,2, ..,,,, $ ilclcnrnllt din sisLcrrul

>/rj(tr,,,...r(,),i:t,2,...,". (6tj-r

D&, s. cnn.Ltt. rr sisle ,IL'ndarrcltal de lnllii. I'r, 1.,,.-., 1,, rtr:..i sishrul d.c(':riii(In ia'. $i ohdgencl .irc ldnrttc a..st sisl.nr tlndannJ .l .1. sol{ii.sle

?Lrcuin4 iD r:l.nxl t2), sF'blin

> (,d ,3,).r,: o. p)

' i'1

DL condilia ca sisl.mtl de r. a-ti; nrg.r,r'.. (9) sa ailnitE $lutii e a.rlc r'zulii €nali' c'racteistcn

( l.)

.) Dac.-r @na1ia c.racteisti.t: .r. ..1 t rrisciti HIe ti distirc-tc, lor 1' cor'spubd vectorii

p.op.ii lr, i = 1,2, ...,ir, tcspadr r $rn|ii dc fona (9), G constrtuic u sistcm lundarotrtrl

de $htii, solxlia eeicmra (3) sc s-'e in.dat

b) l)ac sualia carncteristjca are, d€ Pil&, ddriin. t1 mlttipl4 dc ordind l atunci lErtea di

&lrtia BderaJi [email protected] ei aft, jD aqeral, Ionn.

P1l')ert', ]"\,)c'2t, ..., P"I,b\', d sndP'{i} < n, i : 1 2,''

cJ (or-J -d6.:nno' ornpl^lc 'r rdl4z: iBila'.

{ 11)

12 5.1- Probleme rezolvate

1, O slbstanfe ,4 se descomPune in altc doui substante J9

"iC Viteza de for-

|rare a fiecireia alin accstea este Foportionalt cu cantitatpa de substanli nedes-

compusii. Sl se detemme variaiia cantititilor ce se rormeazi, j,l 9i lr, tn funclie

de tjmpul x. La moDentut ini-tial ' - 0 cantitatea d€ substanta este a Cantitdlile

de subst rli B Si C {ormate drgi ireterea unei orc slnt 4/8 ;i 34lP.

R.talu/.. ta taomckit , caDtitar@ de sdbsldli , 6te 4 t1 - r,

' vit.zele dc io.marc ale stt'siantellr a ti C ror ti

df ili-b A i"- r' Jt): r:{d_\_rJ ,a.

D' c.r^ dd) pruatii nr i'n, tu -Lh"

,' d.ci t3 : i-i 1r I Cr Deoan ^ rrr'r " r'0 - n,

d1i ht h,

erl ta c. cr - o <r J i /tjr",, ta."inop.z,tnp,inr'' aliP'obr'n'm 3h _ 11,_ 4r1'-

-a,a. r',, ' od arprs'6 '.r ip dde'FFlori i'nia'r, slts,n Ji(,r

fy"

c.. ' '.

Din .ondrtia iDifial , /'(0) : 0 reznltn a' - _rf{& + fo}_1 ti deci

'1,1,1 ---lLJr-i r,rr,,r,. 1"1'1= --&L11 " '' 'r"-, a, 4] ir

r,npln'I si ronni'iil_ ,t\t)' ;,i4lltj1, a.u'""- *'- lo:rF3 __l'2 Atad'r'

\olllJ robl"mei.qe

y,1'1 11t z-1. 1,"14 -J111 :1'4

2, Si sb construiascii siilcmul dc ecuatii difetenliale ce admite ra sistem fLLrrda-

n,entil rlc solutii v. "" I I j""'. 1'., / lI --

tr'2., t



Rezaliare. [email protected] t'.(L1, y:) : -lc_F + O, rzDlte cA sisteDul .le solulii cste tinid. n e-

?eDdent pe I?. Dute €cualiilc (7) shtenul de ecDafii dili.rentiale enc

l,i -+* ---,1 1,, 2P' -l1","..-t".1 l. 0. l' 0

1" -"^ --' | 1," -'--, -"''tr"-t,i: -5 r) 2r 1; - 1- 6 ,.

J. qe LonsiJera sistemul rl" ..urrii dit, r^nlixl li-- -s", t2v. - '-.r,J; .. 5vr r oj) 3-a,, J; Jr -- 4Jz ,r:. 5i s" r;,r, ,,r .oiuliLlc-

,'2\ l2x-l'), ,-r\' -r" 1 ,. v.. I

'1"-"Y1:l_.r lc', )::l

\-:/ \:'-'/\-,1

{orn,eazi un sistern fundamental pe n. S;1 sc scric $olulia gcrrcral a sistemului.

Rttbl&la. Se y.trl\cr, ugor cli 1i, 1, 9i y, sltrt ytutii ale sisrcrrlui dc ecuatii, De@r&cWlv1, Yr, Y) : -4.'tu * A, V, e Jl, cele rlci solutii i.rrheo?d. sistcmul ntudonetrtal do solufii.Stsr(nul do oftdtii liind ohoEe , rczultl, cd Bolutie sd go ctr 16 estc datA dq iormula (3), dcoi

tL{ zcLetc )- 12, 1. l)c oj' - qc+l, ,,. .- -croi - 2,c e{i ,t- c.c{r,

, y' - 'zc\cv + l2t " l)C/- r - c'.-rr'

4. Sl se integrezc sistcmul clc ecrr.rgii .liiL'rLr_iel: -ri:-/r

-F t, .rj.\;

-: -2Y1 + Nz In t4

Arrorrald, Allicdm netodn oliNinarii. l){f,r,rn' r,1'u crurriu5i otfrncrn r; * -r,'. jnr,*ui,',t

I cea d+a doua oouaiie, oblinotn ocuatrla (]c tij) ri,Llcr rrr i' - 2_yr - -.r,ln '. Itoz.tvin,t nccaslr

ec a,ic, obtjnem fi=cr.r,-[., -]r.. -. 1'"-]... ,". fri,tr.. ccu&tio rczur,a )s.-r-),i:t69l- r ; c,'-' -:c,. - I ruri,. ir ?-ir-

J995, Sil se detemine solutia geneLali a sisternului :

a) yl :3y,- z- t,,ri " -y,*sr, - jy ; .\ - J , - /: '

J.v, ;

t) 't: y,+ h, li* ,+ h, i,- rt+ y )cl r:: -h + y, r;: -yz * 1t, li: ,- 4t":d) ]1- -2,yj * 2): 12,s, yi - - tot,1-6y, .8t,.v3 -3J, -J. -2.",ne.alodte, a) EcMFa caractcristicd a sistemnlui cste

r-, -l r I

I ',-" r . . o .

' ,r - 2. ,, = J, r" : 6.-l' .r ;,1Pedtr /r:2 sistemul al€elric (9) are lorna At-Aa+A3:0, -,rr + I .ts - .{" - 0,Ir -,4s + r,:0 9i nre sohtir,.11: l rE:0,.,,., - -1, Dcci o sohfie a sistcmuhi considdat

/ l\*t" v,*l ol";,



?ent t : 3 ssiemnr algcrrric (9) devito - I 2 + A t : 0, - A L -l 2,4 r - A 3: 0, A I - A s : lr

' l1\ri .ru,, ,{,- 4" ,r, ) dG:1'.-lll.r'.

\ i'/

. r,oltru r:6 sstenlDr alsebric 19) 6te -3Ar-/,+tr:0,1 -At-.4,-A.:4,

A,-/^.:As- o5i nrc.or 'ia n1. t.4z- -2.,r3-,. De(i t"l-i1."

Dcoore c.rc

tr i rada.ini sn,t disliicte, rezxlta ci ccle trci sblulii [email protected] sist@ l"ndao€ ;l qi.orlfa st{eralta sictcnrrnui estc 1': Crvr -- Crv, + Cay3 su ,'1:Cler'T Crei'+ C er',,z:Ctetq - zojda,

, * --c{b a- c,o.' + coetu,

t i, r",.' .-z -,.rrr 'J.,,qa'i.1 ;sF

l-, L r

I I -' I

lr t -r:0, de uDde /r:2, /. = /.: -1,

Poltru h.= 2 ei$1enrl .)gcbdc 0) .ne 2At - A2 - A' - a, *.4 I + 2t, * A r : 0, ^A L ^ 4 t +-l- 2.4, -. 0 irr ore sol4io ..{ 1* )a * }r - 1, Penlru rAddcile du 16 /' * - I Eistehul (i}) ,e reltnce

lr o sinstr,t .cuatric dislh,cin.rl .- ,r, l-,4, - 0 d stel.emul d€ solutii ol sisleDrirlui dc ocuafii fllge-

nrlce (:r) csrr forMl bi,r solutiile,tl * 1, /1e* -1, Ae:0 Fr lr: l, ,1 :0, ,1 * -1, ]irondcci solrtriile liriar nr (bpeDdcnto

/l\ / t\ r l\v,*|il.'., &: l-,1"-. i',*l ol.-l

\t \ o/ \-rlSol,,+iA g0n nr{ crio Jr : o: ?' . C2.-' .l- C$r, t6 c*t' - cza-at ,.: C,t'- CNa-'.

c/ l:.tr lio Liru:rerislnn csre

l-r-' r uI

I 0-1-/

4 :0 ctr r.-0./"-/"--1.

| 1 0 -a-'1PcDt'rtr /r=0 d)firun 6istanNl 'At+At=0 -At+M -0, /r-rlJ,:O qi o.A

,4\A\*7, A,^4, -4.- l, dstlcl o y,=lll, p6nt ldncine d bl6 /r:/.: -3 sistchn,l" \r/dlgcbrid {3) 6rctinn2.4ta-A2=0,ZAt+4Ao-0,.r1-lr*0dare naiosohljcil1dctc .dentr.. id dcesi ftr, cl.trtiln peitru sisi€hrt ddt solulti de lorhd (11), adice

' ,r - \A1-' B\,).-b, t, = lz, + B,a)e-s, ,3 q ('{' -F . ,,)e-&,

D.cI le inlocuim ln sisterirul r1dt, ollireD va.loril€ Bt: L B,4 -2, Bs: I At: t, Bt: -1,,4J - 0. i' -,esr IPI ..lLrirlP.hr

l\,1\r".l-rl"',)"=l-1,"'.

\ o'l \'lSolutia Ccnerali a sistehltni ile ecualii esle :y1 : 4Cr + Cj er' + Ca,te,yt a.t- c,?r' lar,d /x:cr. ca f3r,

,l) rcualir cnr.ct.risrnr ene

/1:0,t2:t+i'\=f-i'

2-/ 2

-10 6-/3 -l

zl

-2-,)



P.ntr 11- 0 .btia.m sdlulia

--'l-":,'.;:'"1,-'l'^,''"'Ir "",,"''I ,;i'.lsoluli- €.neriu a sGre,nului d. ccuat., eyc,, - q,- c:i n -,o,.. -sio4 rc,e.r.o 1- siDr),lt: -Ct - 2C,.'.osz - 2C2 e, sin,, ,, - 2q - C, e5 sin, f C, ei c6,_

6. Si se tnteg|oze prir mcroda arirf;ei ,onsrrnretor -r"rnmul d" ecuatii dife-r, ni'ale yr ,,, l; : l,r I eJ - e ,.

,l,rol@r,. Procedild ca.la exerciliul antcrior, oblincm sorufi Aeueral{ . sisremDtui omoA*as$iat 2;: tr, ti : , s\ torna ,1 - qe, + c,e-',

']3: crc' _ c.€-,. Ciutr-

"or"gi.po.d""r".:

a sistcnnlui ncoaose dc fo'Ea ir - Irr(,)e' + ri,.(trle ., , : /(r(r)t' - r(,(,).-., rtr 6re luictiitbE1t.t st K,'t) ,on6c. e uar,lc k;{ T t(;e- -0. Ar " ..A:- r. ., (-r. obtin.,n

n,-i. l.*'. n; .-r--',"'., srrel .r a/em x,t,):a-.t,-u,22'2221

rrrc,r cre.-+""{, l} +.{. +l

t, - c,e - c"-" + |""{,, - ) , };-? ,)).

7. Sa se integreze .islcmLrl d" ..ua ii dii.rpntial^

;- 7h"r-

34y, - 4zy, + zet", t : -9, - 1ot, + 6f. + 5er,;

":ar

+10rg

-18]r -F 8e'10'.

Xa,tula Sistemul omogeD asociar are sotulia gcne.al

ii - 5cf ." - 2cre ., + 4c..ak, li - c{e + zc,e+ - cre-n"

'13 - 2C1e-" + C.c-6 + Crc-D"

c6Dti4 o solutic particular, a sisteDntui ncodoge inifial d€ lortu ir - ,. en + Boh + Ce '.rr - Der. L 6er" r r+N i is F cet- + arr - {er.,, ltrtdurnd ro ,i,r.md d. su,lii, prin :.tentificrF

-Jl-irs- lig-l ac

70 21- llJ 2a0 A7

_ti_21 ..68,11

"=(j) *"" r,r- r+i ob'nem

/. I '\ , -r. ,y,,_cJ+*tE,,l_" *,, ",,[ ,;

i_



Prin unarc, solntia gererat , ste

, tc:c .:.e. - trc...,.,j.l.. t., ",.7o )17

/r+c,"r,..2( t a{:tz, 1_1 .- .8..,,2 C 211

r e 2cr€-F + c"c-& c,-L,, 21a. t g.t.280 247

Itll3

286

12.5_2. problemc pr€puse spre rezolvare

8.::.sp-construiaq.i ci\(.rn,.1. dc.(l,3lii,lI.rFn1ialc.e ddmir urmetoar.l(sNteme fu$damentale de soluiii:

", ":(H;l ",_ (-:: il),u

",:( li l),":(_.;il),.) Y,:fl.l"". r'" - /ol"-.tx,i - ll/

- 9. Aplictnd metoda climidirii, si se tntetrezc srstemul dc ecuatii di{ercntialet'J;: - )1 - z)s, t2)r=.3)t,.F ryr, dupi cc mai f"tf; ,- f"* ..flfrni*". i.l"^_iebili r:--'-.

10, Sl se intcgrcze urmitolrcle disteme de ccualii diferentiale omogene:

a) li :.y: "l- 4y,, y',: y, + J' ; b) li : -3 , - tz, y," : y1 * yz I

c) ri :2r - r,, r; - lt + 2j.; d) t;: -z ) + y,, );- -4y1+ 3 :el ri :2y -l ts, yl: y1 -t zr,: y1(o) - I ; j,(0) - 3 ;

ll y" : 3y - 81, i ay", t', =. - yt I 5t z 2 s. t:": -Sy, * t4yu* 6y"1

S) t', : - zjr, -p y" - 2y.,,ti, : :,, - zy" * 2y,, ri - 3 r, * 3 , + sy" iti) r:: )',.-r,+ y., li-i,+ J.,y., )t: _r, + zh:t) yi : yr

- ys Ji: lr t'g: yr - ye-tL Aplicind metoda eliminiril si se integreze urmetoarele sistemc de ecuatij,ilrierentiale:

") t'-- -3vt-r,.); yt J.I b)r;..4y,- rt,. ji:3y, .4Jzic) Ji : 6|1 - 12 "* s, tL:y,_3yz_yg, i: _ ayt + lzJ,s+3%:,t) .v, : y" * ts. r; : ta + h, JN : 9, * y., yJ}) : 1, r,,(o) : 1. ]lslo) : o J

c) J,i ,= 1-.Ir + r,_ s6x, ,L: _2y + r|_ze":

{) -\,i == -tyr - 2} + cos .' + siD; + e-, ,:: Zr1_ , * cos.r +. sin r ;

s) -ri : *yr l- e', L: y -l e-'. .

12. ,\pticind metoda variatiei constantelor' s; se iitegreze ormitoarele sisteme

<le rclralii dilerentiate:

a) j,i:11y1 + 16r, + | t. y', - -zy' i2-x+t:,h) tl: ys x. r:- h + e", yr(o) .: l. f0) : 0.

13. Ceutlnd o solulie Particul,arnprir mctod:r coeficientilor ncdetermin4r'

15:'L se integreze sistemele de ecuatii difercnfi'fe :

rj I'i:yr- )',1 3:c', Ji- -4r-t-2v.+8'+z:1., Ji.- 5.ri Zt"Ic', IL J'-6r: I c":

c) y;- z), J', : sin:r' vi 4)' I z-v"+cosr'

14. Cu ajutorul seriilo. de ?uteri sl se integrcze sistemelc de ecualii di{ercnfiale

a) 1,i: ,v1, + (l -,ti. " ) : h - .:,l'(0): 1' ]y,(0): 0 |

I,II'J J: ,,")i l - -a:. J;: - ; i"Y,+-t , z'

12.6. E€uatii cu derivate pa{iale ale ordinul intiiliniare 9i cvasiliniare

Sc nnrn.ttc (:u 1ic c ltri,ntc lsrlinlc <tc onhnrn i tl liniarA ti o rogstri o ccullr€ dc ldttr4

-y,1,, y-...,,"1J11-1-t"t.,.,,. .,,.1j -r" +-Y rr1 r, ,i")-g1L*0, (l)

't+d"{idc s rste tnrct4 nocuooscutl' i.r lu'c}Ule rele Xb i : Z' ''

sint oooti"lo tl ad dcrivote

ralliJlu (onti ]u4 r'. r 'luBc'trtr DCX'9i nu si t t6le id"nh( I'lc.i\reDul 6r.rroIs1,r Jtalr ccuJfici (l) catc

'1, ' rlto dr.' xr 'Y" {"

solutia se&rali a ccMti.i cu dcri.ste pa4iale {t) arc losa

(2)

r: O(Ft, F ..., .,j), (r)

u nde .I, cst€ o runctic rcale cu dori/ate Pdfialc contia& pe un dod6dir dh 'e"-f ia' Fr' ]. " 1'N:1

slnt r - 1 irLtcg.ale .ime, iDd€pcn<lente ltrnctionar''te

sirte'nnlui caracte'istic (?)'_ __

p.our."" r.lt Cn""lt" pcnl." .cnatit c'ldi" t6ls4iatc

(t) insaldnn debrmina'ca acelci sohfii

a .o{tiei (l) crrc ?edli.i coadilia

" l.:r -'e(" ". - ' "" ')'({)

lunclia o liitd contitli, 5i cu a)rlnte parliarc cotia"e'

b""rol,"

." a"ti""t. p"+i6le ile ordiNr ittii ct^silina'i este o'cutlie

de 'for 'a

x.,r, ,^ ... "", o il i x"{', *g r' ,4 + + r xL', ', 't "' i irr - ett

: x,111\' 's " ' "t') (5

")

l.

getcral, . ace+ei cctralii .ste datn inplicit prir

oF (*1, .. ., r_ ,4, .'(," . . ., ,r, '), . . ., rtx ..., r,,,")l

_ 0,

undeFl,a;,..,,a,sr^nt,nnos'al€p.nneindeFendclteJrnclionalalesisleotrtnisimcrtjc

1l',: d". : . . : lt -, n"17)


Sir sc intrgreze rnlntoarclc ccu:lii cu derivatc partiale :

',-j1 -rrri ot ,,, : z,"j .\" 0;

(6)

, '# r+ ..- oi ,rt;..r:1, v,.-j o,

tl,,or'?r. r) sistcnd tomctcListic 11h: i - e.e jntcsrnro r nll rl ,, 13: cr ri de.i

*nr r sorclnln sic" - aD(,? '-,,9).

'' sie*,n,,l cJ"r, r",il,i. "'' -r'' :ii'.u," ,r,rcral.lc 1i.,. , Jr.-r, ,,,"-r"

\ '2\lL,ncliorDl indcpcndcrlc. Dcoi solLrlh Sovnli, csio

":O(rlv,s, r.rr).

. n'. ih., SLren ,l cAr^ircrisre a : := : ,,, =_t1 ,rctur"gralelc trirnc - _ C,, . . .,lj :

: c"-r tunctiolAr i,,dtrotrdcntc Deci R)r 1ia sdlcrorl . Nnlici cstc , - -l?,?,,+),

,l) Sistcnll cdaclelj61ic :::r :,r nrl dr,

Jn-t/*-c. Prin nn.are. .otulio Fc,'mrtr^

c(unriu *' ,*,r,,J.\*J.',. \,,|cnt[ i - I ob1tun J'r r ] : cr J]j * 1 * c , d+ ur.rc ar ,." (l -- c1f, ,N * ( I r- crF,l'lo

'indr(c6,.r in,"1r-i",1,,_1 *,r --r. obFiq,, r= l..cr'- l-(rr. l,'1.,1'.,, c

r)o cr rl c1 cu Bpresiile lor nrjtinle, .leluon sohlia"l,t.rl "

: 1r 4 .u/[ - Jil, - ft +

2. Si se inlegrerc urmiiioar<lc c, ualii cu d.ri\rl. Prr ial. (1a'iljni,r, I

2iuit xttt - -F xzu-- xt; Dl It -_+rr-r...|\"- - 111.

L:o,lafe. a) Sisrcmulcaracterislic(7)arei acestcazlormcdtr--dir d'ri ,r inte8fut 16

'It tz

r.'i,n dirtilde - .r , k : 2. r I . . SolL a seDe,Jll J ",udlni"EcA1 ,.. z,,l =0.\)

1 ?o .ce*,az sis,'nd cara( (ri.,ic (l *r" I - -1" - .. - 1 -'r- ri ., i,. mr"te

pnne dinincrolr : c,, ..., ji-r= c,-,, 4 c- \oDr,a Bdndrr "

.,."".' *,rr i',. .,'; t r,

':' *):"

stl



3. si s- dcrcrmine .oLulir ..uatiFi , i:,- , :: i lI care lrece n.'' ."*"I

definitt de eeatiile'?

+ 'i: \, u : 2

,rsudr'rl,. sisrcdrr wact .,,rb a -d} : di*"

-tesralet. pdmc distinc..ir - t' : -"

ld"Li.orur,a qrucErda"..,t' '"- o{:: ''-).-o rr',,,i,a rr r:sildioa *r;'r 'ir'i-r'

n =2,\ - c,,1:- c'..r,;i"-" Clcl+cj:_|ci inl'{uid aici c1 }i ci cu e*presiil' l@ri orrl.* -r'r'l crnia,E

',' - .; - ,

12.6.2. Probleme proPuse sple rezolvare

4, Si se integreze urmr.rtoarele ccuafii ct derivate partiale liniare :

"r rt r ri) -111 i.','." o; t'\ -,"-, ..+ -'., | ',)1: -0;'ir, - ,t -nt,

'i'I +\-1i '-J j-l o ) \rrfj 'r)-5. Si se intesreze urmitoarcle ccualii cu dcrivate parlialc cqasitiniare:

,,' \ g I y, u:- J,,-. Lr r.,rji .r.,r'"- - -',r::'2', ' i,, _ J"

,, ,, t, ,, .r, I d) (r r J;-,,- tr I - t:b1t dt

1.,'l p1n.- ri) ' ',:{tx, |.it-- -l6. Se se .ez-olvc problema lLri Cauchy pentru urm;Ltoarcle ecuatii cu derivate

pJtir'h:h , ia

a,)-Y --. l:- - l.' ',''. lt..'';-n- b)z."ja:L:z\*; xi - xi. ul.,:, - r,; .

,1r,31 ,, iii, , ,t ., ,?: d .','. iii -'" *L.--'u"',1.,-, ',; .r

-ts.Y, ',,:, ,'. ":",-,.-"i-



INDICATII 9I RASPUNSURI .

l. Mullimi. Relalii. Structud

1.1. Multimi

s..nc.,.:l,.c r, rc.", rcs l.t..r =lu, A,.. {, /r. r}.I]...t =Ic,d}, B_u, rl,ti | 1,t, b,., d,., L E, rtj_ 16. r) _.rxr.rc _ l{r.,. rj. rr. , , 1r .. ,). ir. a y1, p, 0,, ,1,li.,

,.. t., (a, ., t), {2, b,'), 12, c, ,), \2, a, y). 12. h, yt, (2, c, 1,1y, ,"1 .u

"z , i': 1)1r, ), ,1,t, L il \ , d), (t d, h), lt, b, b). tt, .. b.). tt, a, 4. |, b, a..i,

",a: e, .,

"), 1r, t, .)', i2,",

a, r, b), (2, b h), 12, c, b),

lz,a, e),

12,t..1,12, r..)1.

r 2. Eetnlti

a, 4 4,4 a. 1. CI.-cl^ (te eJriv.l"nrl (int (t:rt. de rc,,u,i hxh:to ,. E, t,,. 6) e o silt. .4 p. itat,d. . + p. dcci nn ecrc 'n ,r,v.i.

2. Elcmcntc do algcbra linisre

r L Delermin.nli

12.a)6;_l) Ji_c)8:d) 2l'c) rr;r) 16: s) ?. lJ. a) ,p"_ llt.z), 12, t)1, q = dtl,a, --atat:b)(pr:Ilt,2,3), 12,3,tl, lj,t,4. 12, t. r). tt, i,:t, (.t,,2, l)1,";. *,,;;;:;+t- a,{qdnL "l aud %. - aed,ldrj - a\jahq* - o, ,i ,,,. q e, = I(t. 2, 3,. t), lr, j, "r,'"2t,

11 4 2, 3), l\, 3, 2, 1), (1, 2, a, q, lt, i, 3, 2t.12. r. r. r1, i.r, r, r, ,1, f., ., ,, 1i, iz. :, l .t,12, 1, 4, 3), (2, 4, 3, t), (3, 1, 2, 4), 13,2, 4, 1), (r. 4, r, 4, (r, :. t, 1). lj, t. ;.;);, \;, ,,,,, ,).(r, r. 2, 3), (r, z, i, t). 11, 3, 1, 2), 14, 2. t.l), (r, r, 3, 2), (r, 3, r:, t)i,

"::

";;"";",;;, +1 a1{*aaaan + aioad,.a.z * di.ua'- - d\.a2&sd.. _ .,;;.;,| -- (,,a2rada* + a'6ud*a + at2oz{.{6 + ano4a, 'i + ""y,.""". 1, ....._i. + ",;;.";;;_

dbaztd\,ad _ dha\ar 14 _ i,/Pl ,x.d4 _ d\8.{,{t -l d,a*ard' +

+hut21dr.4A

=l+ou+,'.. 14. al -61 b) 3s2t c)t 260. ts. ,= lt . il-it-F J r '1

i. 2.i. jni t.j-2.Do.i ide,*"r, _ d,.,eqr. 16.,[ i]{} c?{rinpr -

. t..-,'ef-,'. a,pjar"d.,. t7. .,""",",i,a,,.,.,," = o a"kc.c ..t nl{ltrrnnr din_cei circi ractori esre ze.o, jl ,. a) d,.- _ZA, a":,r, a,: ra, dA:112, du: _32,at - -_16, 4r:_0, ad :,1E, d$ : -32j A1 ".: -t2, "_:

_Sa,",,

: 14,",, = St,i., _ S:,

d|z-- 16,-d*- 17E,d{:-136, di: -22. d&: l?f, da,: te,".__

_rO,".,_:e, J.,:ta

%3.=-54,et: - 16 ; c) d -- r 0, dr : oo, oo_eo, o., : rzo. n.l : m, o,, : ro, n J'_r29,dsr' ,0, a,r=r0.d"r. -l2o,.ds- -10,%,: .60,

".,.IzO, n_ _oO, *._uO, i.. _r.

r{. ra --3r1.0 F5l.21.a) .:b) _12/,:c) 52;.t) _ll0j,1 ,",1,. zz..1li91 U o;., _r.r.r.rr. \r (@t

-I ti.r,r d.

FriMre

titri. i, sc uritizcnzj n,orrietato r.gitl a. .*.ffi-*.,':333



21. ttz: 6 - l, d3:1 -,: -lo. 25. a) Sc $ote -l {.ctd de ?e 1nria a doua ti coloaln a

(lona L) Se scot lactorii u, ,, t de pe celc fre coldne- c) Se &irne toate liniils h ima. d) Se scdt

foctoDj d, ,, , de pe cot@rclc 2, 3 ni 4 ti apoi * inmDrtette linia a 2 s, . 3 a ti t 4'a.r b. @,ri dh

resDdli /. e) Se desc;npue .tc(eminantnl dir nn:mbrul doi tu snsn dc dct.nninanli {) S inetl l.f llrinr colmn, cu ar, ii.poi s $ot f&tdi dc pc lilii d, 6, .. 26. Se sPlici acecati Dclod, dorezd-

va( ca i:r cr.6, pcntru (lctertuir.nt \'lt.leflnondc. Sc oblinc relafia de rdurcnllt r'itr ar'.

...,;,):(a -di(.3-d,)...k.-,Jtt;-,k.. na. .... o)+o "-tto,, ,, .4,)] ,1r'Lkn;

v rt t,...., d, =.d,-- rr...-1.4i).r'.{a'./:,...,",l.LDa)l)e F}{

I., 'ei l i:. D'

hr;le doln iirii r 9, lt 66J, c) l)npI prih.re trci linii: 12ll d) DnPir rltittlti doun 1iiii: 1000

2q, {) :1,

.l 0000,t000040oo04

4,.1. # -.4r t. d3 0

" ^.,., .1 o at1.u-t c+dz o o

"" " -l o o aa+b'-.:.. 1' o

O 0 I\ r: Lt-]-d)31. n), bl, c), d): ride ndepcndente; e) rinid ilcPendcntc;4'pent " 7.en\{-3, l}

tiliar idcpendente, iar tenttu ).: 3 sx'.

= I sint rini..e d.pendctrle,

32. a) Dez,bltlnd .lupt Primi colmni, obtr @ D":2' I + D, r, Deduc.D D, - 2"_1 -

+2*1+ +2:1:2' r. b) Sinilar obtincm P,:dpt*\+PF de urde P,,:,"t'r F

+arftx+ -+a1' at

2 . M.tricc

,.x-[ ] lI. v..f j -rl. s.Fi" A'ta4t, e $.,1 ""a':bt,"i c t.,t \

lrrrl \i o,.u =. -dr. Atur.i A : B -l C +ar: bu +., i deq ar- br+. : r, - .r, Djn ultimcle1 I b,, at,t s.d)r.f'll t:./+@, ,,'llrii obti'.-r ba;bn

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,J "(i;;il'(l i I i) "'."o slne dc deteminanti. lentru detcrmnraca lui ,{-t - (b,) sc €uti tr

+ t?i, Dao6.t6e .a .an : E +ia,tb'r :8,., dedrccm d/r : Dr" -jl

l detc sc adune nai irtii tolc liriile la Prinra $i sc scoale l&ctor t'l_,r'

nl

t6rt dn toat€ @lclaltc. bl sc nrnti cI > auDjr: t,r'. i-r

rang.J : 3, iar cnt'

+ mnA,, : 2; c) )-t

l 2 -1 0

'"rl_-,] i:\-r, e 5

20, S. scEe d.t, ca o

d. ror'ra D/r - ,8jr '

- --L-r,1, 2r.,1 1,

.l oi se scadc l)rinra col

rs.nareuNste:a)z;t)z;c)2;d)2:e){;4:tj8)l;n)r. 16. a) Pcntr i:2i s" t : - I '

2 3 sisieme do ecuallt algobrtce liniarc

5. r) I ncompatibil I b) '1: -2, 4:2, to = -3, rd:3i c) ii = (2+ Y)/J, rr:(l_l_3d-31+

+ t't)16,r''=c,,.:9, 16 -1: tl),1: t912, ',-26',r: '3' 't= 0,

"45'' o) Iicomlaribil

/{\ /l\6.'rr,:i I.-6, r : -li b) ,i: r, ' - 2, ,.: r' ? 6) .\'.=+ l.rl, u

"=l ,l,,\./ \./

/ 1\

"rx - I z I . a. z,:1, z,- l. 9. a) mns.{ :2. 'atr8r-3,

inconparibil. b) conPatibil dLn.:F

\r,/nljrat cu 6ohti. rr: 3, ,r:2, ,. = l. c) ?cntr L e R\{-3, l} sistunrl esie comFtibil d0ier'

nihdt, Dacd l= -3 tib+.+d+d*o, sistemll cit€ @mlstibil simPlu nedetermilat. l)rcI)'* t tio= D: r: d, sidtemut ste codldibil tiiPlu redetdninat lnrest sistenul estc inc'npd'

tibjr. r0, d) n:-Itid=I: ) :3;c)b-z,,t= l t' ' = - , r : _- ; d) 8n + 69'' = 70

'-t o g ,, sisremur ste comnatib l I'tlu,. 1) rj d*{trp .34tlt1 ,ip/tt2Jd-2

'.ir'r'.njrsl. 'd- -1,p=-l,n lr,t-iu' *tut'.rr-18 lt/5 1 'l{ lor/r,* - a, a e R : c) d : z, P : - 12, n : -2 $ sr4id *1 : 2, -- 2',,, : (t - b)13 4 - a'

r?tlJ9-\t b,a,b€R. 12.^:-5 ti tL: - d,t.:a'tt:

rr",,- -4o a cR: q : n

lt la. x. - -a \-1a, t., a a.eR.

. 24. SD.tii vectoriale

12. a) Liniar indepeldent; b) linid dcpenilert: 8q-7'''+tr:oj c) - d), - e) liiiarindcpcnilcnt; l) liniar depeldent: -Ar+2A.-3A,:0 1:1. ).- 11. p:3 ti _?lr+3'4r+

.f ,r3-0. 14. a) b) liniar irdepcddeatr; c) tinia. (6pendenti: %-3o'+1r=0, d) lidiar do'Dendcnfi : 1?( t + "J

: t 75. al Da : :'t l + zrz + 03 ; b) Nu ; q D. :, = -rr + tr-]rthl

335

22. Dc cxcnpru: A) r,:(-1, 2); b),.== (0, o, 1): t%-- I j,r),"= i.r3.4t3 -;)t

*i-l f, ij j il.(i ;j) "(j i;) ,,, ,, ."-

-. N' -,.112, r,: lzt - t' . ra - z.)12, t\:lar-r,-,, t r)12, /'= \-r\r r' +\+r.)12,25. ar t; b, .26 I1, t, 2. r:- P. r, -t.zt,l-r-2, J. -5 - r. 21.v', v.. , ' 15 Jro vi9..+{.-t, t,0 0 - =-t-2, -2, J, tt.2a.t ' " - _t. 20.rn .4- r,r

J- Ja [5-31 -6 l] e,DxLfric.d sistom{lui, Vcctoriilinie din,.l apartiuloi ni. A r.zolva sistcmnl li i4 9i o'nogcn lnsnn i

^d.t.rmiE toli vcctorii din A' ca.. .int orrogonali vdtorilor linic dtu rEtricee L Sistelnul fuxda-

nurtal d. slutii roDrczirtt o lRze a slbsFltiulli gendat <16 multim4 solutiilor sistendri,

toi. 10,t,t,011J5, 1-t, s. -s. z11Ji6. tt"1

1r,0, 11Ji, b) (-.1, -r, r)/.,/iE j") {-3,

\\t,)2..- \- 10 ,-6'.,, 6\-r,r\i b) u {2r, t-r -1,. i.'6. 17., 1.. Lrde

F,t. :i: I lt r .- J_, - '," + { . u;rr.t ,tjib)rroiardep.nd.n .:,"-1tz-2t,,,,,t2,.) liriar ind€pcndenti, ileci ldnna?'' LazI; d) rini.r indep€nLenli: romerzi t'n.i 13. D,,r.;' Dnea

cic trcii lazi n , 1.r ; .r + -2tt + 4a, - tr ri=. (12'. - 10rJ15, 19. ) Di. n) r)^.4 Nnid) ra.20. a)

":Jh8 3 + Jr ; tr)

': - 1'.12 1 cl t- :l'r+5.r; dJ r:2r,+2N2+v,. 2r.

Lt \,- ,, ,: 1, rx:4tL 4i, + 4 ., 4: -,r i'4-1.4=I;;, : 2 r - r' - . + yi, ,r -

- ].,a; )

6, -2)11.32. ^,l: l; o: l 9idJ -t4.

2.5. oFlalori liniari

E. 11 Nu. b) Di, c) Da. d) Nu. e) Da. 9. liu srnt izoDorlism.. 10. ar (d.o/1.(, 'r, r') =

=. ltL- '.+',, -,',4+,,): Uost lr\, ') - (z ', h+ r.l, b) llo l'r, '1, 's) al2s ,3,')'.1- 2r1, 1'1-,',')t

.) leal) l%+ 4 t): -\-64e'. 12.'l l-16, o1e l-u-2u, -B-t)

'l l'1(B + ut + utt) : l- - a, t, r+r+v); c) J-tlu, )-o-t-l (3c - 2,)r I d) Ntr csto

invqsbu; c)Ft,, o, u):l-3u+2"-2v,6a-3e+1u, -zt+o-u). 13, N . t. /{dJ *: 17,

.i,-3) ,i l(u) - (-J, -3, 2) slnt liliar ildepdd.lti. 15, rr r, rr sint liriar d. c dcnti:

r 1+ ,, - 3, E 0 i JlaL) - l-5, 5), ll ,) : (1, tt), tlq :12, 3) rllt ljniar dcpondonti:

-l$L) "r l@') - 3|ls') - 0. t7..) Da. b) N .c) Dr d) D4. c)N'. 18. dj A'= {"r - (l, l,0), / -. (-1, 1, -lr. ', - (-1, l, 2Jli 1r = 0, \ -,1, \: -2: m.k'ca schhbl.il bar€i cIL ..r'ticci cu vstorii rinie ,:. ,s, ,' i bJ G' : l\= l-11, r,t1,"":'-z-zJi, -tJt,z.,. ,-z-zJi -r -.u/.r, u1|:r.,=,r, i,= r-./i r,* r+/Jr c) 2-ta|-lt, -2

, : (r, r)lj r -0, ),,:l d) 6':{' :l-2, t,0),,,:i|0,0, l), '3: (-l' l' 1)}; r1-

2.6. Folme linide. folrDe DSlrttlco_

,1, -2. 5. a) Li'iar deped.fi t Jl + fE - J' - l.: O ; b) ridia. dcpendeat: -J'- sl'+ Jr:0,zh+Jt+h:o: c) linia dependent -zh+Jz+h:o.6..) rL:,,+,, 2-r,+2rtr

\ * h + ll, : ,i a- te i- t8: p - t, o - t: p@itiv ddiniit; \') h:4-2\+\, ta:- o,5l,z +'A), h * 0,5('s - \) + lO : i + & - r'i : r : 2, d : 1 ; ncd.seDcratd, ;d.tnritr j

.) h - 4 + a,5,,, t, -",

t. : 0,51'. - a), h : o,51" + trJ + JU) : ri - r,2.it? - ),'s +ri :

I4 2. a 4 o: ledescns.ad, n€delid6: d)

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piond trcco lriq orisiie, cturEm ccuafi' sub forns t, 't Bt + Cz : o Fie N('1, I,, c), ast(cL'i1

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ti u, Obfinen 3t 2 : 6'-0, 5t+34r-t1t-3A-0. b) Directia droPtei certate $te u(7, 1, 5) i

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_-.,f,l.olu'"onv.r8cor5.dtPeoirud/Iscrir..,,aL.n-ro.-e.,,"n"n,.,n",",:-,,i.ste sriconv€rgorti (crireriul lui Leibniz), penrru a < 0, I'm a, * O, s.ria este dj/ergcnrrj e) l4 l>> r,rjma, *0, di"e.sent{; l;l< t, absolut --".".,,'J, ,f a- +r, rnraa+0, divers€trtij

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nr nr, .) CouLinnil in R:. d) Contnri lt rnultnno.re.tcriniiic, c) Conhnnr nr Rr. I) Co.tnrul tnfi\{(0, 0)), s) ctriln rrnR .h)cotrrnrritr r.'.28.uniro.mcotrrl,ulIo(1,2)x(1,2).

L Teoria dil€renliald a luncliilor

LI. Fu .lii d€ o vari.bilS reau

rr,.l Irlt ,1,.) 8cosei dl ?.32. ){(,) --t, l\:ljir)/j(o) :-1, /(0}*1'at

4,4(o)= -1,fi(0i:o; d) ftlo) = ilq * 1 3i. r) r)crivdb e o (0, co) b) D€rivablrd po ll"i

:ii':r*uu r'" io,")U

G; ;). ,t) tcrivurriri rc R c) De'ivobird Po p' ') t) D€livdbild rro

o',1-1, -LI. s) Doflvalib Pe R \t-2, 0l lr) Doivdbilr po R 34 4-3c-1' D: -?'I 2 4t

35.a,2r(. -,) ,3\r,'c)" i,) 3,.v11 ,",-',")-+*.- """;;d)6(r'21['ts rr(t-'I

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8-3. Funclii definiie implicil. schimbEri d. ttuiabiit

1J21. Lt .r. r'(lr - -3j r,l f(0) -0, /"{0) -- -:c)/'(ll* - 2 ,/ rrl

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9.2. Siudiul ednicetor Fe ecualla generala

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axr or I' Fnctele Mr{o, 2) 9i M'{0, 5). b) Ecu4ia q'o .6 xt -I - l:0 i centtul c{_I, 2) I

e - estB 3; cotri@ nttcscte.zt axa o' in punclur M, i|, olri *'or r" e"""a" -nz, io -[)

,, u" lo. -l-l. L) conic' desF'e'i,e in rrer .," ,"" ", -:;'- ,1-or,t -r-t=o o"u*i^

- -"*i v,' - -**' *a nJrabolei J' - lot - l : 0 j e - a,ctg l coni'r intcrsccteazt 8aJJ' -Z

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,,r, [0, - I - ./t]. c) ricuati' cEuonjci v - I - I - o, centlur c(-?, 3) ; q : a*gl.1l

conica iutcrsecteaza ax' o: in Pucter€ M1\-41J1' qi M,l4t6' 0) i as ot rn Puoctll

,r/..o,2), I) Ecuatia @oDict 1r= - -.Jfox; e=".'sz; a'a lBrsbolct t'-zv- -01JV)

i.L ,g.dta r virlul prrabor.i 2, + 4, + -1 : 0 Pahbola ilteBdt.ati alel€ ot 9i O, h Pulctel'

nr,.2. o)

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* *: o, o"ron" t vi.rLr pa. orei r+r - il:0. s..; r. /--, _lrul*11,,,.l,ipcrLot:l j i : - Z, a-,u a-np .-,",,. :,,'n"-,.,,,, .,l _,. ., r:r',", l,; r, :p"nboll: 1.. L dFf,"tp p...i.Jc I ,v iJ-o )i: t)._ I rn. 6, s" ".-Lr; o..,i,.,^: -r ri sFobiin,treptetczr-v+5=o'J-jv-'..o'''j"-,'..".-'.,>:lvnitF|r-|a7','.1

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27; Errninird ' ri ;, oltin€,n ecn.fia snpiaretei sub fo'ms iDPricitt lz' -' -z)t-2lt'-t+i 4 : O o rIp', p,) : o, nnde P\ = z' - - z' P^ = t - t + z ti Fls") :'3 - 2' A@sta

arati cn supralaJa cate o supraf4t cilindrc'-

9,5. Cuadrice D€ e.ualiile lor canonicc

7, Leul geom€tric €ste hiPerboloidul .s d@a. Plne'-- -L -:' +I:0 E L@ul goe

nretdc esto elrpsoidul dc rot.liic i_-+ + - - 1:0- 9. l-6ul seonDtdc este Pnraboloidul elillio

ne rcrali. tt,+r1:21:, 10, ,trl2' -3 0) ti rrtz(o,0,2)'

1 = 0. l?. Plnctele de itrtelsec1i. 6ht

ll, Elrp*lc: ,:0, i-+U--

916

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si tP") 9r- 12 r-i'-30:0. lJ, Proie.l'i tn Planul rot : , : 0, 9tt - 2lrt ' 12,, - 66t -.-it-tr:ir.rc ((n-rul 12, -l,o): rroicclis tu Planul /Or: ::0, 2bt -24)r- 32tt -+66r'-88 f ?3=O arc ccnt l (0, -1. l); PFi.ctia in Plinul tO.:r:0,. 1ae+L6t'+

+ 28i - 44' - 88, + s5: o .rc contlul(z, o, t1.tt."1,:tazJi,1'-z'azJi,,=s+aJith),-1, J:2,,:9. 15. a, - l):t+ 16r:+& +8t- 16'- 16:0 /:0i lrj-lJta++ l6ra-El-F8?.. L6i--8:0 16 4,:3t'-l:-6=0 {t-taJ--32-24 '0,,i +a-

- 3. - O, y:2. 1?. Itipe.boloidul cn o Pnlzd t ' + 9rt - 36ze - 36 = 0 18 6'-4f-3t++12: o,6x + 4t + 3t + t2:osi6t-4 -3,-l2:0'6r+4t+3.'12:0 19, a) Mr(o,0' 0)

t\M212,3, \)i ) ,1r(0,O,O).20.a)Mr(o,0,o)+1:Ot M.lt2 12' t2)+4'+2 -3'-36=0tb) ry1(0,0,0)+ :oj tt,(36,36, 361-1r-2 -z-36:0. 21 t-2 -42=0, a++2 -.\:O ni r -2, -8:0, t+2t-22:0. 22.2t -3t-62:A,2r+3 -6-0 9i

2t - 3 - 6 : 0, 2t + 3 - 6t : O- ?3. --*#

10. Integrarea Iuncfiilor

10.1. Primitive

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10.2. Integrals d.linit5

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.38. *o- ,w-i s'a) J-Pe-zJ'b)2r''l

10.3, Integrale imPrcDrll

10. a) corvcrsonfnr2i b) diverselt{, c) divdsctrtd i d) couverscnt[ :i; '

O *'*'e*ta'

11;4 con'ersonurfj El convelsetrtd: z(r-'./i] rr'n) at"*s"nra; Ll cotrvcrgontai c) co '

"l.soate;ol aj"ergearf; o) convetsenlJ: I) convelseH i sr conversmt : h) divdsctrrd i ll coq'

wrs.ltei i, convdsedid v . s'^1I;

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,) 2) s) r" r- ,u.. v v' tt aia, q i|..#a .Ij

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- [ 2l l? .l tL

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5" ;'' L' Punctul lleccdcnt 4 : I -''1+ r)

d) S. qtesreizr Pri prrli. c) sciltegrdza prin prrli 2l nr sir'L:''h*I:7al'"i'

''l ,.1t- ) rL r *"

""."".s"nrp.ntru d > - r, tr > - | i b)' * rt ^ a I - L B (;, ; - t) *

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a>u .o:J, - -,+?--Lfrr- l) (oDveraerr penhu , >

,) coDve.gertS pentN

- t;";

,:-Le1-

converg.nt{ pentru 0<rr <r,,(i, il .-'1""*,, : t), - /. * r : : B( ;, T").€),' : I + r = - r (, ++].

-,'","""".10.4. Inlegrale care deDtod de rrn Darametru

. " I, ., /t r \' O'"t,-,r'-r,i. arr 'e a) FIr\ ;l-j- ---Ll 'in 116 ' 1r - [- r---lJ"i"rr,.1r;

b) r'ur = 2J"",;

r, I. r - lJ dr I th - t\hb - . b, _ r) - lo _ \ttar - r, a, _ r). cn J :-11,, a. ri.ny n,."",n I b) 4/1 r7-0,c)

"r,-L(r:Fv/r-f 1,rt'-,^,,* r,

<r' t r > 0 ir - I tu t I - r), dace)' < 0 | e) * r" b+J +I). u. ar dr*s------e-:-l- r

o, -l-,"g:-tll c,- I,"aE-& .:, r-ra-r'r'-r)2, (a- trrr I z d.+c -

^'"'8 +#' tr'ott:n1j; b) tarcsDtl

31 .r:- - -l1arcos 1r : dt +r,(r - v/T:7).

r0.5. Int€grrle curb lnit



17.a)1; b, i=, ' -t. -*' " ''to-Jt- ' '"' l '' il, 1'"', 'f i" ,-,i-;, ., \".""flfl7; ,.' :15"'.) \-.0l ,,,/*' ') )-- J 1 /--F" '

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,1n-,',i,,,*''*'rti"",1 " " "' 1 "" \"'j; "

10.6- Integrala dubl5. rormula lui creen

10.?. InteErtlo de suprataF rormula lui stokss

t. 1) er )gi1: n 2 -'1o' - o1'/'; 6' 's1"-Z" ' Oi

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,-\ t _ 1 ntlatlt + azylt, 1",.-1""-

10.8. rnlegrala t.tDu. Formula G'uss_oslrogradshi

ro. o;J" 1rt 1 LzJt-zt Ji1; tl 1 'Ji t' "l t: i-"*. ['(,-i)

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..reii.e). .r) s; p.occdeazi catapucrll pr€c€dentj Mrl3.2t. a) hEdbaat/; b) 27hd. 22. a.) ,o:ro_0,

'o=3ct4; b) 'c='c=o,.e=f ra./T+ rr., o ", : |" .: ir, ," = ". zt. **ttJt-5t.ze. r.o,:1.t.. t*-;""0,. t^,

]"at.-

11.2. Serii de funclil

6-a)a>1,', l ineadeco .r'eryenfl:njo<d<l.nut+im€a.leco;?e.Centa:n..{"=n,_

rl -, t-r'. -l:a<0. i r nq de cobr"senF:{,e r,F}_ .:l: b) o<a< r, DUtt}86

"I zl

.oqv.rs.nfr: R, a- I, nrllio€ de conv€rg€nfr: (1, co), 4> l, mulfimd <16 conv.rsull I

11. Siruri si serii de funclii

l t.l. sirurt de rirnctti

s.a)/('):0i b)/(,) :o; c) o

=f,t't<

j,fi.1=o,d)/(,) -0. e. a)

/(r)=o i se.rjee6

;'r'"r :(r--l)"['+(L-+ff-* ro s€ ap]icd crite'iur rtricauchv:lrr') -- r,f,rr'

--L*--L*- +'+-+. u, se roroserte cdterirr rui cdcly. rj. sor I r r r: 2n :a

a.at ^.r{r,i..^,'.,m"o1rrrd,:,.;-."un,rdr antqecnrD4-t ..-_snr(t .(o.r?+... + ,.s^j .r :_ s,nrcj:j_+. D, 11t.ftna 3c*"-

"-iuri.

f,,4t)a,:f,.r^ r;t,ta,*

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n,?: e) lo. 6): b) ruultinea vldt: i) F\{0\ t Da se adicl tridill lll al conp€ratid'

;,:",";';, ;i;il-;; rc ,ssdra 6te n: L"a "< t -'tlirn 'r' cd/F sPn.n oste vidd

e. :,1 rotoioa io.galitat"o 2ah < e' + F aart' l-f' | < -L ' *rie absolut t 'lt:- '":*'

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113. serli de Dut6rl. Serli TeYlor

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12. Ecualii difercnliale 9i .u derivate partiale

12.i. Ecualii dire.enliale de'ordinut ttrUi

17, Presirrea y' pe planni, : i 61e eaati ctr presn,n@ t + <tl din ptanut, :, + dI pl;s,p(siunea Psd, daro.irt

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' l2.tl. Sistome de ccualii dilerenli6le.

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12.5. Sisteme de e.uafii dile.eniiale liniare

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.,'-''),'{ i. '.'l'-J/, ')'i - lr'| vi ): rv c }''c'e'- rcl-'-

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