-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
1/189
Metoda elementului finit(MEF)
IstoricPrincipii de baza- Elemente finite- Noduri
- Grade de libertate
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
2/189
"Although the finite elementmethod can make a good engineer
better, it can make a poorengineer more dangerous..... Onecan now make mistakes with moreconfidence than ever before.
In timp ce metodaelementului finit poate face caun inginer bun sa devina maibun, ea poate face ca uninginer slab sa devina mai
periculos Se pot face greelicu mai mult ncredere dectpnacum.
R. Cook
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
3/189
Definitie Metoda elementelor finite (MEF) este o metod
general de rezolvareaproximativaproximativ a ecuaiilor
difereniale cu derivate pariale care descriu sau nufenomene fizice.
MEF a devinit unul dintre cele mai puternice
instrumente in rezolvarea problemelor ingineresti.
Principial MEF constn descompunerea domeniului de analizn poriuni de
form geometric simpl, analiza acestorai recompunerea domeniului respectnd anumite cerine
matematice.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
4/189
Domeniu de aplicare Din punct de vedere al domeniilor de aplicaie
metoda poate fi extins
n orice domeniu deactivitate care descrie un fenomen cuajutorul unor ecuaii difereniale.
Pann prezent metoda s-a dezvoltat n moddeosebit n domenii ca: analiza structural; analiza termic; analiza fluidelor; analiza electric; analiza magnetic,
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
5/189
Precursori FEA Hrennikoff, A. P.,
1940. Plane stressand bending ofplates by method
of articulatedframework. Tezade doctorat, MIT,
Boston. Analogia de grinda
cu zabrele
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
6/189
Analogia Hrennikoff imparte spatiul continuu in puncte legate prin
intermediul unor zabrele. Caracteristicile geometricesunt calculate impunand conditia ca deplasarile nodurilorgrinzii cu zabrele sa fie identice cele ale cu corpuluicontinuu (nodurile de colt).
Au fost studiate elemente spatiale de tip: cub si de
suprafata: triungni echilateral, dreptunghi si patrat.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
7/189
Precursori FEA Arhimede (circa 250
B.C.) determinanumarul prinmodelarea unui cerc
printr-un poligonregulat inscris.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
8/189
Precursori FEA Euler a impartit
intervalul dedefinitie a uneifunctii uni-
dimensionale inintervale finite pecare variatia este
presupusa liniara,definite prinvalorile la capete
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
9/189
Precursori FEA 1942 - Richard
Courant (NYU)studiaz rsucirea- problema Saint
Venant, prindiscretizare cutriunghiuri
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
10/189
1950-1962 Pionierii 1953 1959 se formuleaz i
definitiveaz metoda deplasrilor ctre
de M.J. Turner (seful diviziei StructuralDynamics Unit Boeing). Turner, M. J., Clough, R. W., Martin, H. C., Topp, L. J., 1956.
Stiffness and deflection analysis of complex structures. Journal ofthe Aeronautical Sciences, vol. 23, No. 9, pp. 805823, 854.
1955 John H. Argyris sistematizeazaconceptul de asamblare a componentelorelementelor a unei structuri intr-unsistem de ecuatii.
1960 Primul care foloseste termenul deelement finit este Raymond W. Clough(UC Berkeley)
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
11/189
1962-1970 Anii de aur Fraeijs de Veubeke (1965) -
Displacement and equilibriummodels in the finite elementmethod
O.C. ZIENKIEWICZ (with Y.K.CHEUNG), (1967) The FiniteElement Method in Continuumand Structural Mechanics,McGraw Hill, 272 pp
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
12/189
Strang G., Fix G.
(1973) AnAnalysis of theFinite Element
Method
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
13/189
Programe FEA 1965 1972 MacNeal-Schwendler
(MSC Software)+NASA NASTRAN (NASA StructuralAnalysis
System)
1965 SAMCEF (Liege University)
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
14/189
Consolidarea 1970-1980 Oden T., (1972)
Finite elementsnonliniar continua
Coduri comericialeFEM 1970 ANSYS 1973 SAP4
1975 ADINA 1978 ABAQUS 1985 COSMOS-M
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
15/189
Perioada actuala Elementele trebuie sa raspunda
cerintelor DSM, tinand cont camajoritatea programelor de calcul sebazeaza pe metoda deplasarilor
Pastrarea de elemente simple, dar
care sa ofere o suficienta acuratete,chiar si in cazul unui mesh rar -highperformance elements (1989)
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
16/189
Cunotine necesare - Programator MEF are un caracter pluridisciplinar.
Implementarea unor programe cu elemente finitepentru anumite tipuri de probleme sau chiar a unuiprogram general de calcul n domeniul ingineriei, cuprecdere pentru calcule ale structurilor de
rezisten, impune stpanirea diciplinelor
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
17/189
Cunotine necesare - Utilizator Un utilizator student este pus n
situaia rezolvrii unei anumiteproblemei nu n a implementa unprogram cu elemente finite pentrurezolvarea ei, de aceea utilizatorultrebuie s afle dac problema se
preteaz rezolvrii cu MEF i sfoloseasc un program adecvatproblemei respective.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
18/189
Trebuie s menionm de la nceput
c programul de calcul folosit pentruanaliza problemei nu rezolvstructura real, ci doar un MODEL alei pe care n general l faceutilizatorul.
STRUCTURA DE CALCUL -> MODEL -> ANALIZcu MEF
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
19/189
Modelarea Rezultatele pot fi confirmate sau nu, funcie de cum a
fost ales modelul de calcul.
Modelarea este o activitate de simplificare a structuriiprin ncadrarea diverselor poriuni ale structurii ncategoria barelor, plcilor, blocurilor, prinsimplificarea incrcrilori a rezemrilor etc.
Modelarea corect (ct mai aproape de realitate) ine
de cunoaterea bazelor teoretice ale metodeii deexperien, inspiraie. De regul un model se dezvoltfuncie de scopul analizei.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
20/189
Odat stabilit modelul de calcul, se
impune pregtirea datelor de intrarepentru rezolvarea problemei. Fiecareprogram cu elemente finite prezintparticularitti care trebuie invatedar exist o serie de reguli de baz
ale metodei care odat stpanitepermite abordarea oricrui programcu elemente finite.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
21/189
Indiferent de metoda abordat, analiza unei structurireale prezint cteva etape eseniale:
structura real se identific, prin folosirea unoripoteze simplificatoare, cu un model fizic primar,numit model conceptual;
modelul primar servete la formularea unui modelmatematic, adic la un set de ecuaii care urmeaz afi rezolvate;
rezultatele obinute sunt interpretatei dac existmotive ntemeiate acestea pot fi validate.
Astfel seria celor dou modele conceptual imatematic pot fi folositei pentru alte problemesimilare.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
22/189
Concepte de bazn MEF -
introducere Un domeniu solid oarecare, considerat plan numai din
considerente de prezentare este raportat la un sistem de
referin cartezian XOY, este ncrcat cu o for F incastrat pe conturul din stnga. Fiecare punct aldomeniului prezint o deplasare pe direcia OX, notatu(X,Y) i una pe direcia OY, v(X,Y).
Domeniul prezentat poate fi identificat cu un model de
calcul conceptual, totui n continuare acesta se va numistructur.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
23/189
Descrierea problemei Problema prezentat reprezint practic o bar de
seciune variabiln consolncrcatn captul liber
pentru care se caut soluia, adic de exemplusgeatai tensiunea echivalent maxim. Din punct de vedere matematic, n teoria elasticitii,
problema prezentat este descris de un set deecuaii difereniale cu derivate parialei de anumitecondiii la limit.
Pentru anumite cazuri particulare, adic formegeometrice simple i ncrcri bine alese, exist soluiianalitice pentru expresiile cmpului deplasrilori altensiunilor. n general problema nu se poate rezolvape cale analitic.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
24/189
MEF Se menioneaz c o rezolvare analitic prezint
soluii pentru o infinitate de puncte din domeniul deanaliz. Se spune c domeniul de analiz reprezint ostructur continu.
O alternativ de a rezolva astfel de probleme o
constituie metoda elementelor finite (MEF).
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
25/189
Elemente finite Pentru a rezolva problema cu MEF, domeniul de analiz
(sau volumul structurii) notat V, se mparte ntr-un
numr NE de subdomenii sau fragmente (poriuni deform geometric relativ simpl, fiecare de volum Ve)numiteelemente finite. Deoarece elementele finite nuse intersecteazntre ele se poate scrie c
Fiecare element finit se numeroteaz (este identificatprintr-un numr), de obicei de la 1 la numrul total de
elemente finite NE. Raportarea la un element oarecare se face de obicei
printr-un indice superior (e pentru un elementoarecare).
NEe
e 1
V V=
=
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
26/189
Noduri Elementele finite se pun n eviden (geometric) prin
intermediul unor puncte, de exemplu colurile
triunghiului, dac elementul finit are forma unui triunghi. Aceste puncte poart denumirea de noduri. Elementelefinite "se leag" (interacioneaz) ntre ele prinintermediul nodurilor comune, astfel cn domeniul deanaliz exist un numr finit de noduri.
Similar elementelor, nodurile se numeroteaz, de obicei,de la 1 la numrul total de noduri NN.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
27/189
Discretizare Operaia de mprire a unui domeniu n nodurii
elemente finite de un singur tip sau chiar mai multetipuri, precumi numerotarea acestora, adicatribuirea unor numere de identificare, poartdenumirea de discretizare.
Discretizarea nu este unic, n general ea serealizeaz astfel nct s rspund unor cerinepractice.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
28/189
Grade de libertate Pentru exemplul prezentat, fiecare nod din domeniul de
analiz are o deplasare posibil pe orizontal-axa OX i
una pe vertical-axa OY, se poate spune c exist doiparametri independeni care definesc unic deplasareaunui nod n plan.
Aceti parametri poart denumirea degrade delibertate ataate nodului. De obicei, gradele de libertate
ale tuturor nodurilor definite reprezint necunoscuteleprimare ale problemei n MEF, n exemplul de fa,gradele de libertate nodate UX i UY definesc deplasarea"posibil" a unui nod oarecare.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
29/189
Dimensiunea problemei Pentru unele noduri (1, 2, 3 i 4 din ncastrare),
deplasrile sunt nule, deci n aceste puncte gradele
de libertate se definesc "potenial", ele nureprezint necunoscute.
Numrul total de grade de libertate al problemei Nse obine prin nsumarea gradelor de libertateactive ale tuturor nodurilor.
Prin grade de libertate active se neleg acele gradede libertate care definesc o deplasare necunoscut.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
30/189
Necunoscutele problemei /
Formularea modelului matematic Din cele prezentate mai sus rezult c un
domeniu continuu cu un numr infinit degrade de libertate este transpus ntr-unmodel discret cu N grade de libertate, decinecunoscutele problemei se limiteaz
funcie de discretizare. Deoarece analiza cu elemente finite este
dependent de implementarea unor
programe de calcul, mrimile cu careaceasta lucreaz sunt de regul vectoriimatrice.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
31/189
Pentru toat structura se definete
vectorul deplasrilor nodale totale saual structurii
ivectorul forelor nodale exterioare{ } {
T
x ,1 y ,1 x ,2 y ,2 x ,N y ,NU U U U U .... U U =
{ } { Tx ,1 y ,1 x ,2 y ,2 x ,N y ,NF F F F F .... F F=
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
32/189
Se consider un
element oarecare edin discretizareaprecedent pentru
care cele treinoduri se noteazcu I, J i K.
d l l / f l
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
33/189
Vectori deplasarilor / fortelor
nodale ale elementului Se definetevectorul deplasrilor nodale al
elementului, de fapt al tipului de element finit
triunghiular
care, din condiii de continuitate, este un subset al
vectorului definit de relaia (1), ivectorulforelor nodale al elementului
ntre care se poate obine relaia matriceal
{ { T
e
x ,I y ,I x ,J y ,J x ,K y ,KU U U U U U U =
{ } { }T
e e e e e e e
x ,I y ,I x ,J y ,J x ,K y ,KF F F F F F F=
{ { }{ }e e eF K U , e 1,2,..., NE ,...= =
M t i d i idit t l t l i
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
34/189
Matricea de rigiditate a elementului
finit
similar relaiei de echilibru a unui sistem elastic(arc) cu un grad de libertate F=kx.
Matricea ptratic [Ke] poart denumirea dematricea de rigiditate a elementului finit.
Aceasta se poate determina pentru fiecare elementfinit folosind ecuaiile fundamentale din teoria
elasticitii, pentru moment se neglijeaz modul ncare ea se poate obine.
{ { {e e eF K U , e 1,2,..., NE ,...= =
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
35/189
Dac se izoleaz unnod oarecare n dinmodelul cu elementefinite pentru careexist Ncelemente
concurente, atuncifiecare element finitacioneaz cu o for
n acel nod i din
motive de echilibrusuma tuturor forelortrebuie s fie zero.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
36/189
Atunci cnd n nodul izolat acioneaz i
fore exterioare acestea trebuie incluseiechilibrul nodului n se scrie:
Nc Nci i
x ,n x ,n y ,n y ,n
i 1 i 1F F F F n 1,2,..., NN .
= =
= = =
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
37/189
Dac seine seama de cele 2 *NN ecuaiii
n expresiile sumelor se introduc foreleobinute din relaiile se obine o relaiematriceal de forma:
Nc
ix ,n x ,n
i 1
Nci
y ,n y ,n
i 1
F F
n 1,2,...,NN .
F F
=
=
=
=
=
{ } { }{e e eF K U , e 1,2,..., NE,...= ={F K U
=
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
38/189
Asamblarea
n care [K] este numit matricea de rigiditateglobala structurii.
Aceast operaie de obinere a matricei de
rigiditate globale din matricele de rigiditate aelementelor poart denumirea de asamblareamatricei de rigiditate globali se prezint sugestiv
n schema
{ { {F K U=
{ { { {ASAMBLAREe e e i 1,2 ,....,NEK U F F K U== =
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
39/189
Dimensiunea matricei de rigiditate [K] este
2NN x 2NN i de obicei aceasta rezultsingular, deci din ecuaia nu sepot obine direct deplasrile necunoscute.
{ { }{ }K U=
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
40/189
Dacns se ineseama de condiiile
la limit, adic pentru
unele noduri secunosc deplasrile
iar pentru alteleforele exterioareaplicatei
gradele de libertatese clasificn douseturi.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
41/189
-a: deplasri cunoscute (de cele mai multe
ori nule) i fore exterioare reaciuninecunoscutei -b: deplasri necunoscutei fore
exterioare aplicate cunoscute, ecuaiile sepot partiiona (rearanja) n raport cuacestea astfel:
[ ] [ ][ ] [ ]
{{ }
{{ }
a aaa ab
b bba bb
U FK K
U FK K =
{ { {F K U=
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
42/189
Din a doua ecuaie matriceal rezult
deplasrile necunoscute
iar apoi din prima ecuaie rezult forelenecunoscute (reaciuni)
{ } [ ] { } [ ] { }( )1
b b abb baU K F K U = +
{ } [ ] { } [ ] { }a a baa abF K U K U= +
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
43/189
Deplasarea nodului 27 pe direcia OY
reprezint practic sgeata maxim agrinzii. Din formularea complet a MEF,folosind deplasrile nodale, se pot obinei
tensiunile n elemente. Aceste aspecte nsse prezintn ale capitole.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
44/189
Cunoscnd cmpul deplasrilor n cele NN
noduri se poate reprezenta, scalat pentru ovizualizare convenabil, configuraiadeformatei structurii
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
45/189
Dacns matricile de rigiditate ale elementelor nuau fost "adecvat" calculate, avnd n vedere c
elementele sunt legate ntre ele numai n noduri, eposibil uneori ca deformata s arate eronat, adics apar goluri sau suprapuneri ntre laturileelementelor finite adiacente (nu este ndeplinitcondiia de continuitate ntre laturile comuneelementelor finite).
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
46/189
Rezult c modul n care sunt
proiectate elementele finite estefoarte important i practic soluiaunor probleme depinde esenial de
formularea elementelor finite caretrebuie s satisfac unele cerine
fundamentale pentru a putea fiincluse ncategoria elementelorfinite dintr-un program.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
47/189
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
48/189
Metoda elementului finit(MEF)
ElementeElementeintroductiveintroductive
DiscretizareaDiscretizarea
TipuriTipuridede elementeelementefinitefinite
MetodaMetodadeplasarilordeplasarilor
MatriceMatrice
dede
rigiditaterigiditate
elementelement
dubludublu
articulatarticulat
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
49/189
Cunoscnd cmpul deplasrilor n celeNN
noduri se poate reprezenta, scalat pentru ovizualizare convenabil, configuraiadeformatei structurii
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
50/189
Dacns matricile de rigiditate ale elementelor nuau fost "adecvat" calculate, avnd n vedere c
elementele sunt legate ntre ele numai n noduri, eposibil uneori ca deformata s arate eronat, adics apar goluri sau suprapuneri ntre laturileelementelor finite adiacente (nu este ndeplinitcondiia de continuitate ntre laturile comuneelementelor finite).
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
51/189
Rezult c modul n care sunt proiectate
elementele finite este foarte important ipractic soluia unor probleme depindeesenial de formularea elementelor finite
care trebuie s satisfac unele cerinefundamentale pentru a putea fi incluse ncategoria elementelor finite dintr-un
program.
Discretizarea
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
52/189
tipuri de elemente finiteSe pune problema discutrii aspectelor MEF
din punctul de vedere al utilizatorului. S-a menionat cursul anterior c MEF
consider modelul de calcul format dintr-o
sum de poriuni numite elemente finitelegate ntre ele punctual n noduri. Este clar c o structur (un domeniu) poate
fi impritn diverse moduri, cu mai multesau mai puine noduri i elemente finite.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
53/189
Elemente finite MEF a dezvoltat o serie de tipuri de
elemente finite care din punct de vedere alformei pot fi clasificate n:
elemente finite unidimensionale(reprezentnd bare, grinzi, tirani)
elemente finite bidimensionale(reprezentnd plci, nveliuri)
elemente finite tridimensionale(reprezentnd solidele, blocurile).
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
54/189
Tipuri de elemente finiteElemente Liniare Parabolice Cubice
Unidimensionale
Bidimensionale
Tridimensionale
Alte tipuri
Masa Arc Contact
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
55/189
Tipuri de elemente finite Din punct de vedere al modului de variaie
al cmpului necunoscutelor (de exempludeplasrile) n interiorul sau pe conturul lorpot fi clasificate n:
liniare; parabolice; cubice, etc.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
56/189
Grade de libertate Dac se consider numrul i felul gradelor
de libertate pentru un nod, elementele
finite structurale uzuale 3D pot aveamaxim: 3 grade de libertate translaii i 3 grade de libertate rotaii.
Uneori gradele de libertate pot ficompletate i cu temperaturi, presiuni,
viteze sau alte mrimi funcie deformulrile particulare fiecrui tip deelement finit.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
57/189
Elemente finite Elementele finite sunt definite de puncte
care nu sunt altceva dect viitoare noduriale structurii.
Exist elemente de grad superior celorcubice (care sunt mai performante), dar celmai des utilizate sunt elementele liniare i
parabolice.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
58/189
Elemente finite Necunoscutele unei probleme sunt alese
chiar n nodurile elementelor finite, noduri
mai multe pe element inseamnn generalprecizie mai bun.
Unele elemente finite au noduri interioare(pe fee sau n interiorul volumelor) pentrua imbunti precizia, dar utilizatorul deregul nu lucreaz cu aceste noduri pentru
c ele sunt generate i apoi condensate nfaza de calcul a matricelor de rigiditate aleelementelor.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
59/189
Elemente finite Un exemplu sugestiv al discretizrii poate fi
considerat o oglind spart i lipit cubuci mici de band adeziv la coluri. Altexemplu ilustrativ ar fi o hain din petececusute doar la colurile petecelor.
Reuniunea contururilor elementelorgenereazreeaua discretizrii.
Operaia de discretizare este de obicei
dirijat de utilizator chiar dac programelede firm permit utilizarea discretizariiautomate pe diverse domenii.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
60/189
Factori de influen a discretizrii Se poate face o distincie netntre:
discretizarea structurilor care au unsuport fizic respectiv discretizarea n
elementele sale componente (structuridin bare); discretizarea corpurilor solide sau fluide
care este un proces arbitrar, purmatematic.
Factori care condiioneaz
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
61/189
discretizarea Tipul elementelor finite
se aleg funcie de tipul problemei i domeniul de analiz, de precizia dorit, de variaia mrimii necunoscute etc.
Elementele parabolice sunt preferate elementelorliniare, ntruct la acelai numr de noduri soluia
discretizrii cu elemente parabolice este maiprecis dect cea cu elemente liniare. Dac existmai multe tipuri de elemente finite la granidintre ele trebuie s se asigure continuitatea;
Factori care condiioneaz
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
62/189
discretizarea
Se observ c la unnumr mai mare deelemente rezultatul se
apropie ctre soluiaexact dar cretereaexcesiv nu face dect s
conduc la un volumfoarte mare de calcule ideci s creasc timpul deanaliz.
Mrimea i numrul elementelor finiteinflueneaz convergena soluiei
Factori care condiioneaz
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
63/189
discretizareaPoziionarea nodurilor, care n general se
face uniform n structur.
Discontinuitaile n geometrie sau n
incrcare impun alegerea unor nodurisuplimentare. Trecerea de la o zon cudiscretizare fin la una cu discretizare
modest se face progresv, nu brusc;
Factori care condiioneaz
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
64/189
discretizareaGradul de uniformitate al reelei de
elemente finite. Se evit folosireaelementelor cu form exageratdistorsionat, adic elemente alungitei/sau elemente care au fee care nu se
ncadreazntr-un plan. Preferabil ar fi ca discretizarea cu
triunghiuri s conin numai triunghiuri
echilaterale, discretizarea cu patrulatere sconin doar ptrate, iar cea spaial cubrickuri s conin elemente cubice etc;
Factori care condiioneaz
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
65/189
discretizareaStabilirea zonelor de frontier, pentru
introducerea corect a condiiilor la limit;
Numrul maxim de noduri sau
elemente permis de program.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
66/189
Metoda deplasrilorMetoda deplasrilors-a dezvoltat nainte de
metoda elementelor finite i a fost aplicatstructurilor complexe formate din barearticulate i grinzi.
La nceput metoda elementelor finite s-a
inspirat din metoda deplasrilor, iar nmomentul de fat aceasta (metodadeplasrilor) poate fi privit ca un caz
particular al metodei elementelor finite,fiind o metod exact pentru calculul statical structurilor din bare drepte.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
67/189
Metoda deplasrilor Prezentarea metodei deplasrilor constituie pentru
utilizatorul care stpnete elementele de baz din
rezistena materialelor si analiza structurala o maiuoarnelegere a unor noiuni de baz cum ar fimatricea de rigiditate a unui element i asamblareamatricei de rigiditate a structurii.
(RIGIDITATE) Actiunea (forta/moment) ce cauzeza o deplasare
unitara (deplasare liniara/rotire) unui element
1 1
P Mk k
= =
= =
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
68/189
Metoda deplasrilor Se consider o structur simpl din bare
articulate n plan, pentru care se prezintmodul de obinere a matricei de rigiditate a elementului n
coordonate locale i globale,
modul de asamblare a matricei de rigiditate astucturii,
impunerea condiiilor la limit i rezolvarea problemei pentru o analiz static
liniar.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
69/189
Aplicaie Structura este format dintr-o serie de bare
articulate n planul xOy, pentru care sepresupun cunoscute elementele geometricei materialul din care acestea suntconfecionate.
Articulaiile sunt de tip cilindric i nbolurile care asigurmbinarea barelor seaplic o serie de fore exterioare conoscute
F i 2F precum i o serie de fore delegtur (reaciuni) n articulaia din stngai reazemul simplu din dreapta.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
70/189
Aplicaie Dac se presupune c nu intereseaz dect
comportarea celor 5 bare i bolurile seconsider rigide, avem urmatorul modelconceptual
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
71/189
Aplicaie Structura raportat la sistemul global de
referinXOY, este format din cinci barearticulate n plan.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
72/189
Aplicaie Cunoscnd:
lungimea l, ariile barelor de parametruA,
modulul de elasticitate longitudinal E, i valoarea parametruluiF care definete forele,
Se cere s se determine deplasrilenodurilor, reaciunile n reazeme i foreleaxiale (eforturile) n bare.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
73/189
Aplicaie Nodurile i elementele
structurii se numeroteaz,
adic structura sediscretizeaz. Dac se face abstracie de
ncrcri i rezemri, n
fiecare nod se pot definiforele care ar putea sacioneze asupra structurii,izolate din eventualele
legturi cu exteriorul. Similar, fiecare nod poateavea o deplasare n lungulaxeiX iY .
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
74/189
Aplicaie Se observ c toate mrimile (considerate
pozitive) s-au figurat n sensul pozitiv alaxelor, pentru a uura implementareametodei deplasrilor ntr-un algoritm uorde programat.
Forele i deplasrile din, definesc vectorul
ncrcrilor nodale{F}, respectiv vectoruldeplasrilor nodale{U}, pentru ntreagastructur.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
75/189
Aplicaie
{ }
x ,1
y ,1
x ,2
y ,2
x ,3
y ,3
x ,4
y ,4
F
FF
F
F F
F
F
F
=
{ }
1
1
2
2
3
3
4
4
U
V
U
V
U U
V
U
V
=
Legtura dintre ceidoi vectori urmeaza fi realizat prinmatricea derigiditate globala structurii[K], dedimensiune 8x8,care se obine dinmatricele derigiditate aleelementelor.
Matricea de rigiditate a elementului
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
76/189
bar articulat 2D Pentru a obine matricea de rigiditate a unui
element oarecare de bar articulatn plan,
se consider o bar oarecaree cu nodurile lacapeteIiJ care face un unghi ecu axasistemului global de referinOX (SRG).
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
77/189
Sistem de coordonate local Deoarece este mult mai comod a se lucra
iniial n coordonate locale, elementului i se
definetesistemul propriu de referin(SRL), adic sistemul de axe xoy, n careaxaoxeste axa barei.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
78/189
Element dublu-articulat Pentru acest element se consider c: seciunea lui este constant de valoareAe, bara este dintr-un singur material, cumodulul de elasticitate longitudinal Ee, lungimea elementului esteLe,
forele preluate de element sunt numaiforele axiale (notate Ne), adic elementulface parte dintr-o structurn carelegturile dintre bare sunt articulaii plane
perfecte (two forces member). Se consider c elementul este ncrcat numai cu fore n
nodurile sale
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
79/189
Element dublu-articulat Deformaiile elementului sunt mici (
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
80/189
Forele din nodurile elementului n sistemul dereferin global se noteaz cu litere mari, iar n
sistemul de referin local cu litere mici, similardeplasrile. Se observ cn sistemul de referin local,
conform ipotezelor enunate, elementul prezint
fore i deplasri numai n lungul axeiox.
e e
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
81/189
Vectori {F } si {U } -SRG
{ }
e
X ,I
e
J ,Iee
X ,J
e
Y ,J
F
FF
F
F
=
{ }
,I
Y ,Ie
,J
Y ,J
U
U
U U
U
=
n concordan cuaceste notaii, pentruelementul finit supusanalizei, se pot defini
forele {Fe
} i deplasrile {Ue} dinnoduri,
n sistemul de referinglobal
e e
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
82/189
Vectori {F } si {U } -SRL
{ }
e eX ,I I
e
J ,Iee e
X ,J J
e
Y ,J
f f
f 0f
f f
f 0
= =
{ }
I
e
J
J
u
v
u u
v
=
Similar se pot
defini: forele {fe} i deplasrile
{ue} dinnoduri,
n sistemul dereferin local
Matricea de rigiditate a elementului
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
83/189
SRL Este mult mai simplu s se obin
matricea de rigiditate a elementului ncoordonate locale SRL, fr a faceapel dect la cunotinele de baz din
rezistena materialelor, adic,alungirea unei bare solicitate axialeste
NkLN L EAL k
E A L
= = =
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
84/189
Avnd n vedere notaiile precedente,
rezult c fora axial din bar ialungirea ei, se poate exprima
( )
( )
e e ee e
I J ee e I I Je
e e e e
eI Jee
J I
N f f E Af u uN L L
L
E A E Af u uLL u u
= = =
=
= =
Matricea de rigiditate n coordonate
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
85/189
locale SRL
{ }
{ }
{ } [ ]{ }e e11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 3
e e
X ,I Ie
J ,Ie
e e eX ,J J II
e
f k uY ,
4
41 42 43 4
J I
e
JJI
Je I
J
4
J
f f
f 0f
f f uf
f 0 v0
k k k k
k k k k
k uk k k
k
fu
v0vu
v
k
u
k k
=
= =
=
=
Matricea de rigiditate n coordonate
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
86/189
locale SRL
( )( )
e
I 11 I 12 I 13 J 14 J
e11 12 13 14 II
21 I 22 I 23 J 2421 22 23 24 I
e31 32 33 34 JJ
41 42 43 44 J
e
I I I J J
EAf
f k u k v k u k v
k k k k uf
0 k u k v k u k vk k k k v0
k k k k uf
k k k k
1 u 0 v 1 u 0 vL
v0
= + + +
= + + +
= + + + =
( )( )
21
J
e
J 31 I 32 I 33 J 34 J
41 I 42 I
eI I I J
11 12 13 14
e e22 23 24 e
e
31 32 33 34
43 J 44
J
41 42 43 44
J
f k u k v k u k v
0 k u k v k
k k k k 1 0 1
EAf 1 u 0
u
0
k k k k 0 0 0 0E Ak
k k k k 1 0 1 0L
k k k k 0
v 1
k
v
0 0
uL
v
0
= + + +
= =
= + + +
= + + +
0
Matricea de rigiditate n coordonate
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
87/189
globale Pentru a obine matricea de rigiditate n
coordonate globale se folosesc relaiile de
legturntre deplasrile i forele locale iglobale.
X ,II
Y ,II
X ,JJ
Y ,JJ
Uu
Uv?
Uu
Uv
=
e
X ,I I
e
Y ,I
e
X ,J J
e
Y ,J
F f
F 0?
F f
F 0
=
eK ? =
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
88/189
Transformarea deplasrilor
e
I X ,I Y ,I I
I X ,I Y ,I I
J X ,J Y ,J J
J X ,J Y ,J J
Matricea de transformare T
u U cos U sin u
v U sin U cos v
u U cos U sin u
v U sin U cos v
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 cos sin
0 0 sin cos
= +
= + =
= +
= +
X ,I
Y ,I
X ,J
Y ,J
eee
U
U
U
U
u T U
=
Transformarea forelor
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
89/189
Te
e e
X ,I I X ,I I
e e
Y ,I I Y ,I
e e
X ,J J X ,J J
e e
Y ,J J Y ,J
Matricea de transformare T
cos sin 0 0sin cos
F f cos F fF f sin F 0
F f cos F f
F f s
0 0
0 0 cos sin
0 0 sin cosin F 0
=
=
=
= =
T
ee eTF f
=
Matricea de rigiditate n coordonateglobale SRG
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
90/189
{ {
{ } { }{ } { }
{ } { } { }e
e e e
T Te e e e e e e e e e
e e e K
u T U
T f F T k T U K U
f k u
=
== = =
=
T
e e e eK T k T =
Matricea de rigiditate n coordonateglobale SRG
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
91/189
T ee e TkT
ee e
e
1 0 1 0
0 0 0 0E A
1 0
cos sin 0 0 cos sin 0 0
sin cos 0 0 sin cos 0 0
0 0 cos sin 0 0 cos sin
0 0 sin co
1 0L
0 0 0 0s 0
K
0 sin cos
=
e e
e
e
E A EANOTATIE cos c sin s
L L
= = =
2 2
2 2
e2 2
e
2 2
c cs c cs
cs s cs sEAKL c cs c cs
cs s cs s
=
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
92/189
Relaia se poate aplica pentru toateelementele modelului considerat.
Se poate creea un tabelul cu datele propriifiecrui element, ceea ce simplific operaiade identificare a parametrilor respectivi
1
2 2 2e
2 2
e 3 e
2 2
e e42 2
5
K
c cs c cs K Ecs s cs sEA
K K functie de A , unde e 1,2,3,4 ,5
L c cs c cs Kcs s cs s
K
= =
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
93/189
Matricele de rigiditate
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
94/189
Matricele de rigiditate ale elementelor, ncoordonate globale rezult:
3
0 0 0 0
0 2 0 2E AK
0 0 0 0L
0 2 0 2
=
1 2
1 0 1 0
0 0 0 0E AK K
1 0 1 0L
0 0 0 0
= =
4
1 1 1 1
1 1 1 1E AK1 1 1 1L
1 1 1 1
=
4
1 1 1 1
1 1 1 1E AK1 1 1 1L
1 1 1 1
=
M e t o d a e l e m e n t u l u i f i n i t
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
95/189
M e t o d a e l e m e n t u l u i f i n i t ( M E F )
ElementeElementeintroductiveintroductive
Matricele de rigiditate
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
96/189
Matricele de rigiditate ale elementelor, ncoordonate globale rezult:
3
0 0 0 0
0 2 0 2E AK
0 0 0 0L
0 2 0 2
=
1 2
1 0 1 0
0 0 0 0E AK K
1 0 1 0L
0 0 0 0
= =
4
1 1 1 1
1 1 1 1E AK1 1 1 1L
1 1 1 1
=
5
1 1 1 1
1 1 1 1E AK1 1 1 1L
1 1 1 1
=
Asamblarea matricei de rigiditate astructurii
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
97/189
Dac se izoleaz nodurile i elementele modelului discretizattrebuie introduse forele interioare la nivelul fiecrui elementfinit i respectiv nod.
Se menioneaz c aceste fore apar perechi, au sensuri opusei sunt egale n modul dou cte dou.
Asamblarea matricei de rigiditate astructurii
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
98/189
Echilibrul elementelor este asigurat de relaia DE ECHILIBRUNODAL.
Din echilibrul nodurilor se poate obine o relaie matriceal
general care include forele nodale exterioare i deplasrilenodale fr a ine seama de condiiile la limit particulare.
Echilibru nodal
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
99/189
1 4
X ,1 X ,1 X ,1
1 4
Y ,1 Y ,1 Y ,11 2 3
X ,2 X ,2 X ,2 X ,2
1 2 3
Y ,2 Y ,2 Y ,2 Y ,2
3 5
X ,3 X ,3 X ,3
3 5
Y ,3 Y ,3 Y ,3
3 4 5
X ,4 X ,4 X ,4 X ,4
3 4 5
Y ,4 Y ,4 Y ,4 Y ,4
F F FNodul 1
F F F
F F F FNodul 2
F F F F
F F FNodul 3
F F F
F F F FNodul 4
F F F F
= +
= + = + +
= + +
= +
= +
= + +
= + +
Echilibrul nodal
1
X ,1
1
Y ,1
1
X ,2
1
Y ,2
2X ,2
F
F
F
F
F
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
100/189
X ,1
Y ,1
X ,2
Y ,2
X ,3
Y ,3
X ,4
Y ,4
F 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
F 0
=
2
Y ,2
2
X ,3
2
Y ,3
3
X ,2
3
Y ,2
3
X ,4
3
Y ,4
4
X ,1
4
Y ,1
4
X ,44
Y ,4
5
X ,3
5
Y ,3
5X ,4
5
Y ,4
F
F
F
F
F
F
F
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 F
F
F
F
F
F
F
F
{ } { } { } { } { } { }
{ } { }
T T T T T 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
NE 5T
e e
e 1
F T F T F T F T F T F
F T F=
=
= + + + +
=
Matricea de conectivitate
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
101/189
Matrice de compatibilitate sau matrice delocalizare = fac legatura intre gradele de
libertate ale elementului si gradele delibertate ale structurii, adica:
Din acest motiv aceste matrici contin doar
valori nule sau unitare
{ {e e
U T U =
Matricea de conectivitate
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
102/189
Element e (NE), nodurile I si J (NN)
X ,1
Y ,1
X ,I
X ,I
Y ,I
Y ,I
X ,J
X ,J
Y ,J
Y ,J
X ,NN
Y ,NN
U
U
...
UU 0 0 ... ... 1 0 ... ... 0 0 ... ... 0 0
UU 0 0 ... ... 0 1 ... ... 0 0 ... ... 0 0...
U 0 0 ... ... 0 0 ... ... 1 0 ... ... 0 0U
U 0 0 ... ... 0 0 ... ... 0 1 ... ... 0 0U
...
U
U
=
1 I J NE
I
J
Matricea de conectivitate 3 si 4
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
103/189
X ,1
Y ,1
X ,2 X ,2
Y ,2 Y ,2
X ,4 X ,3
Y ,4 Y ,3
X ,4
Y ,4
U
U
U U0 0 1 0 0 0 0 0U U0 0 0 1 0 0 0 0
U U0 0 0 0 0 0 1 0
U U0 0 0 0 0 0 0 1
U
U
=
X ,1
Y ,1
X ,1 X ,2
Y ,1 Y ,2
X ,4 X ,3
Y ,4 Y ,3
X ,4
Y ,4
U
U
U U1 0 0 0 0 0 0 0U U0 1 0 0 0 0 0 0
U U0 0 0 0 0 0 1 0
U U0 0 0 0 0 0 0 1
U
U
=
Matricea de rigiditate
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
104/189
{ } { } { }e
Te e e e e e e
K
F T k T U K U
= =
{ } { }e eU T U =
{ } { } { } { } [ ]{ }e
NE 5 NE 5 NE 5T T T
e e e e e e e e
e 1 e 1 e 1
K
Te e e e
F T F T K U T K T U K U
K T K T
= = =
= = =
= = = =
=
[ ]NE 5
e
e 1
K K=
=
=
Maticele de rigiditate expandate
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
105/189
Matricele de rigiditate ale elemetelor insistemul de referinta global se expandeaza
in vederea asamblarii, pentru aceasta sefoloseste relatia de transformare:
Matrice de localizare
T
e e e eK T K T =
Matricea de rigiditate a structurii
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
106/189
Se observa ca matricea de rigiditate astructurii se obtine prin simpla insumare a:
[ ]NE 5
e
e 1
K K=
=
=
Matricea de rigiditate expandata
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
107/189
Elementul 1
1
T1 e 1 e
1 0 1 0
0 0 0 0E AK1 0 1 0L
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0E AK T K T
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0L
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
=
= =
Matricea de rigiditate expandata1 2 3 4
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
108/189
1
1 2 3 4
1 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0 2EA
K 0 0 0 0 0 0 0 0l
0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 0
=
Matricea de rigiditate expandata1 2 3 4
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
109/189
2
1 2 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 2EA
K 0 0 0 0 0 0 0 0l
0 0 1 0 1 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 0
=
Matricea de rigiditate expandata1 2 3 4
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
110/189
3
1 2 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 2EA
K 0 0 0 2 0 0 0 2l
0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 2 0 0 0 2
=
Matricea de rigiditate expandata1 2 3 4
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
111/189
4
1 2 3 4
1 1 0 0 0 0 1 1 1
1 1 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 2EA
K 0 0 0 0 0 0 0 0
l 0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 1 1 4
1 1 0 0 0 0 1 1
=
Matricea de rigiditate expandata1 2 3 4
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
112/189
5
1 2 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2
EAK 0 0 0 0 0 0 0 0
l 0 0 0 0 1 1 1 1 3
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 40 0 0 0 1 1 1 1
=
Matricea de rigiditate expandata
Se observ c matricele de rigiditate expandate ale
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
113/189
Se observcmatricele de rigiditate expandate aleelementelor se pot obine direct din matricele derigiditate globale ale elementelor prin plasareaelementelor corespunztoare gradelor de libertate naceleai poziii (zonele marcate cu gri) n matriceaexpandatcare conine toate gradele de libertate alestructurii.
Dacun element de aflntre nodurile I i J, atuncipoziia pe orizontali verticaldin matricea derigiditate a elementului se regsete la poziiile I i J
n matricea de rigiditate expandat. Din acest motiv, practic asamblarea decurge prin
adunarea elementelor din matricele de rigiditate nmatricea de rigiditate global.
Matricea de rigiditate globala1 2 3 4
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
114/189
[ ]NE 5
e
e 1
1 2 3 4
2 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 0 0 0 1 1
1 0 2 0 1 0 0 0 2EA
K K 0 0 0 2 0 0 0 2l 0 0 1 0 2 1 1 1 3
0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 2 0 41 1 0 2 1 1 0 4
=
=
= =
Matricea de rigiditate globala Proprieti
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
115/189
Proprieti matricea [K] este simetric;
este singular, det([K])=0 i nplus rangul matricei este n-3,n care n este numrul total algradelor de libertate (n = 8pentru aplicaia de fa), iar 3
reprezintnumrul micrilorde corp rigid n 2D;
elementele de pe diagonalaprincipalsunt pozitive;
suma elementelor pelinii/coloane este zero.
2 1 1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0 1 1
1 0 2 0 1 0 0 0EA
0 0 0 2 0 0 0 2l
0 0 1 0 2 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 2 0
1 1 0 2 1 1 0 4
Impunerea condiiilor lalimiti rezolvarea
Ecuaiile de echilibru
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
116/189
Ecuaiile de echilibruglobal incluzndcondiiile la limitndeplasri (condiiile demargine):
i condiiile la limitpentru fore (echilibru -ncrcri):
,1 ,1 ,3X Y XU U U= =
,2 ,2 ,3
,4 ,4
0 2 0
0
X Y X
X Y
F F F F
F F F
= = =
= =
Recapitulare (curs 1)
a: deplasri cunoscute (de cele mai multe
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
117/189
a: deplasri cunoscute (de cele mai multeori nule) i fore exterioare reaciuni
necunoscute i b: deplasri necunoscute i fore exterioare
aplicate cunoscute, ecuaiile se potpartiiona (rearanja) n raport cu acesteaastfel:
[ ] [ ][ ] [ ] {{ } {{ }a aaa ab
b bba bb
U FK K
U FK K
=
{ { {F K U=
Recapitulare (curs 1)
Din a doua ecuaie matriceal rezult
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
118/189
Din a doua ecuaie matriceal rezultdeplasrile necunoscute
iar apoi din prima ecuaie rezult forelenecunoscute (reaciuni)
{ } [ ] { } [ ] { }( )1
b b abb baU K F K U = +
{ } [ ] { } [ ] { }a a baa ab
F K U K U= +
Impunerea condiiilor la limitirezolvarea{ } [ ]{ }F K U=
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
119/189
X ,1
Y ,1
X ,2
Y ,2
X ,3
Y ,3
X ,4
Y ,4
1 2 3 4
02 1 1 0 0 0 1 1 1 F 01 1 0 0 0 0 1 1 F
U1 0 2 0 1 0 0 0 2 0EA
U0 0 0 2 0 0 0 2 2F
l U0 0 1 0 2 1 1 1 3 0
00 0 0 0 1 1 1 1 F
U1 1 0 0 1 1 2 0 4 F
U1 1 0 2 1 1 0 4 0
= =
Se observ c n nodurile n care se cunosc
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
120/189
Se observcn nodurile n care se cunoscdeplasrile nu se cunosc reaciunile i acolo
unde se cunosc ncrcrile nu se cunoscdeplasrile.
Considernd ecuaiile corespunztoare
liniilor albe (liniile i coloanelecorespunztoare deplasrilor nule liniile
nnegrite se "taie" sau se elimin) rezult
un sistem redus de cinci ecuaii, cu cincinecunoscute
Sistemul redus
[ ]{ {K U F
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
121/189
[ ]{ {r r r
X ,2
Y ,2
X ,3
X ,4
Y ,4
K U F
U2 0 1 0 0 0
U0 2 0 0 2 2F
EA U1 0 2 1 1 0l
U0 0 1 2 0 F
U0 2 1 0 4 0
=
=
Se observ, cmatricea [Kr] este nesingular. nl t t i lt i l d
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
122/189
general, aceastmatrice rezultnesingular, dacmicrile de corp rigid sunt nlturate printr-o fixare
adecvata structurii
Pentru aceastaplicaie cele trei deplasri nule impuse(uneori denumite blocaje), asigurmpiedicarea micriide corp rigid.
Stuctura analizateste static determinat, impunereaunor blocaje suplimentare nu face dect sreduci mai
mult dimensiunea matricei [Kr] i deci sconduclareducerea efortului de calcul pentru rezolvareasistemului de ecuaii algebrice.
Rezolvarea aflarea deplasarilor
Rezolvarea sistemului de ecuaii de mai sus conduce la
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
123/189
soluiile
,2 ,2 ,3
,4 ,4
1.5 3.5 3
2 2.5
X Y X
X Y
Fl Fl FlU U U
A EA EA
Fl FlU UEA EA
= = =
= =
Rezolvarea aflarea reactiunilor
Pentru a obine reaciunile, se considerdoar ecuaiile
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
124/189
corespunztoare liniilor negrite din ecuaia global,deoarece o parte din termenii ecuaiilor se nmulesc cudeplasri nule (se considertermenii ncadrai i negriimai accentuat), adic
X ,2
Y ,2X ,1
X ,3Y ,1
X ,4Y ,3
Y ,4
U ( 1.5 Fl / EA )U ( 3.5 Fl / EA )1 0 0 1 1 F
EAU ( 3 Fl / EA )0 0 0 1 1 0.5F
l
U ( 2 Fl / EA )0 0 1 1 1 1.5F U ( 2.5 Fl / EA )
= =
Rezolvarea aflarea eforturilor Pentru calculul eforturilor n bare se reconsiderecuaiile
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
125/189
de echilibru ale elementului finit (ex. Elementul 4)
{ } { } { }e e e e e e
4
4
f k u k T U
2 20 0
0 22 2F
1 0 1 0N 22 2 00 00 0 0 0 00 EA 2 2 Fl2 21 0 1 0lN 2 2 2EA
0 0 F0 0 0 0 Fl
0 2 2 22.50EA2 2
0 02 2
= =
= =
Rezolvarea aflarea eforturilor Calculul decurge similar pentru toate barele
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
126/189
Dacse doresc tensiunile din bare se folosete relaia
1
2
3
4
5
1.5
1.5
2
2
2
3 2
2
N F
N F
N F
N F
N F
=
=
=
=
=
ee
e
N =
Semnificaia fizica elementelormatricei de rigiditate
e 2 2F Uc cs c cs
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
127/189
X ,I X ,I
e 2 2
Y ,I Y ,I e 2 2
eX ,J X ,J
e 2 2Y ,J Y ,J
e
11 12 13 14X ,I
e
21 22 23 24Y ,I
e31 32 33 34X ,J
e
Y ,J
F Uc cs c cs
F Ucs s cs sEAF L Uc cs c cs
F Ucs s cs s
K K K KF
K K K KF
K K K KF
KF
=
=
X ,I
Y ,I
X ,J
41 42 43 44 Y ,J
U
U
U
K K K U
Semnificaia fizica elementelormatricei de rigiditate
e
11 12 13 14 11X ,I
e
K K K K K1F
K K K K K0
X ,I1U
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
128/189
e
21 22 23 24 21Y ,I
e
31 32 33 34 31X ,Je
41 42 43 44 41Y ,J
K K K K K0F
K K K K K0F
K K K K K0F
= =
Y ,I
X ,J
Y ,J
0U
0U
0U
=
Metoda elementului finit(MEF)
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
129/189
(MEF)
ElementeElementeintroductiveintroductive
Recapitulare (C1-C3) Concepte de bazn MEF - introducere Tipuri de elemente finite
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
130/189
Tipuri de elemente finite Discretizarea (definitie, factori ) Metoda deplasarilor
vectorul ncrcrilor nodale {F}, vectorul deplasrilor nodale {U}. Matricea de rigiditate a elementului bararticulat
2D Sistem de referinta local / global Matricea de
transformare Asamblarea matricei de rigiditate a structurii
matricea de conectivitate Impunerea condiiilor la limiti rezolvarea
Matricea de rigiditate a elementuluigrind2D Pentru a obine matricea de rigiditate a unui element oarecare
de grind n plan (uneori numit BEAM2D) se consider un
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
131/189
de grindn plan (uneori numitBEAM2D), se considerunelement oarecare e cu nodurile la capete I i J care face un
unghi e cu axa sistemului global de referinOX. Pentru acest element se considerc
seciunea lui este constantde arie Aei moment de inerieIez
bara este dintr-un singur material, cu modulul deelasticitate longitudinal Ee,
lungimea elementului este Le,
elementul poate prelua fore n plan i moment dencovoiere fatde axa oz i nu este ncrcat dect lacapete.
Elementul grind2D Se menioneazcmomentele de ncovoiere nu depend
de sistemul de referin global sau local deoarece axele
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
132/189
de sistemul de referinglobal sau local deoarece axeleOZ i oz sunt paralele.
Elementul face parte dintr-o structurn care legturiledintre elemente sunt suduri perfecte, adicspredeosebire de elemental TRUSS, elemental BEAMtransfercupluri ntre elemente.
Elementul grind2D De asemenea se considercdeformaiile elementului
sunt mici, ceea ce se traduce prin faptul c
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
133/189
, p p ecuaiile de echilibru scrise pentru elementul
nedeformat sunt aceleai i pentru elementuldeformat. Forele i momentele din nodurile elementului:
n sistemul de referinglobal (SRG) se noteazculitere mari,
iar n sistemul de referinlocal (SRL) cu litere mici,similar deplasrile.
Elementul grind2D se pot defini vectorii forele {Fe} i deplasrilor {Ue} din
noduri n sistemul de referin global
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
134/189
noduri, n sistemul de referinglobal
{ }
e
X ,I
e
Y ,I
e
Z ,Ie
e
X ,J
e
Y ,J
e
Z ,J
F
F
MFF
FM
=
{ }
,I
Y ,I
Z ,Ie
,J
Y ,J
Z ,J
U
U
RUU
UR
=
Elementul grind2D Similar se pot defini forele {fe} i deplasrile {ue} n
sistemul de referin local
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
135/189
sistemul de referinlocal
{ }
e
X ,I
e
Y ,I
e
Z ,Ie
e
X ,J
e
Y ,J
e
Y ,J
f
f
mff
fm
=
{ }
I
I
e
J
J
J
u
v
uu
v
=
Elementul grind2D Deoarece este mult mai simplu sse obinmatricea de
rigiditate a elementului n coordonate locale, i n plus
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
136/189
rigiditate a elementului n coordonate locale, i n plusefectul ncovoierii este decuplat de cel al forei axiale
(care a fost abordat n cadrul elementului TRUSS2D), seconsiderpentru nceput elementul n coordonate locale,numai cu ncrcrile i gradele de libertatecorespunztoare ncovoierii
Elementul BEAM2D solicitat la ncovoiere. (a) Notaii generale; (b) ncrcrile nodale; (c) gradelede libertate
Elementul grind2D
ntre forele nodale i deplasrile nodaletrebuie s existe relaia
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
137/189
trebuie sexiste relaia
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
e
Y ,I
41 42
I
e
Z ,I
4
I
e
3 44
Y ,J J
eZ ,J
k k k k k k k k
f vm
f v
m
k k k k
k k k k
=
Elementul grind2D Folosind semnificaia fizica elementelor matricei de
rigiditate, anterior prezentat(C3), pentru elementul
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
138/189
g , p ( ), pfinit se impun pe rnd cte o deplasare (rotire) unitate i
restul deplasrilor nodale zero, iar reaciuniledeterminate reprezintelementele matricei de rigiditate.
Modul de obinere a
elementelor matriceide rigiditate aelementului grind2D folosind deplasrinodale impuse
controlat ireaciunilecorespunztoare
Elementul grind2D De exemplu, pentru primul caz de ncrcare din cele
patru, folosind metoda eforturilor (prezentatla static),
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
139/189
p , (p ),forele nodale se obin rezolvnd sistemul dublu static
nedeterminat, care conduce la sistemul de ecuaii
11 1 12 2
21 1 22 2
X X 1X X 0
+ =+ =
Elementul grind2D Coeficienii ijse calculeazfolosind metoda Mohr-
Maxwell, adic
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
140/189
iar reaciunile din dreapta se obin din condiiile de
echilibru. n mod similar se obin i restul coloanelor dinmatricea inclusn relaia.
( )
( )
e
e e
z1 3
e
ij i je e e eLz z
2 2e
1 2 E I X
L1m m dx
E I 6 E I
X L
=
=
=
Elementul grind2D Dacse renunla indicele e, matricea corespunztoare
ncovoierii se poate scrie n sistemul de referinlocal
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
141/189
astfel:
e
X ,I Ie
Y ,I I
e 2 2Z ,I z
3e
JX ,J
e
JY ,J2 2
eJY ,J
f u0 0 0 0 0 0
f 0 12 6 L 0 12 6 L v
m 0 6 L 4L 0 6 L 2LE I
0 0 0 0 0 0L uf
0 12 6 L 0 12 6 L vf0 6 L 2L 0 6 L 4Lm
=
Elementul grind2D iar matricea corespunztoare solicitrii axiale (curs 3)se scrie
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
142/189
eX ,I I
e
Y ,I I
e
Z ,I I
e
JX ,J
e
JY ,J
eJY ,J
f u1 0 0 1 0 0
f 0 0 0 0 0 0 v
m 0 0 0 0 0 0E A1 0 0 1 0 0L uf
0 0 0 0 0 0 vf
0 0 0 0 0 0m
=
Elementul grind2D Prin suprapunerea efectelor, din relaiile rezultmatricea
de rigiditate a elementului BEAM2D n coordonate locale
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
143/189
(SRL)2 2
z z
2 2e z
3 2 2
z z
2 2
AL AL0 0 0 0
I I
0 12 6 L 0 12 6 L
0 6 L 4L 0 6 L 2LE Ik
L AL AL0 0 0 0
I I
0 12 6 L 0 12 6 L
0 6 L 2L 0 6 L 4L
=
Elementul grind2D Deoarece relaia de legturdintre gradele de libertate
n coordonate locale i globale se poate scrie (curs 3)
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
144/189
X ,II
Y ,II
Z ,I eI
J X ,J
J Y ,J
J Z ,J
Uu c s 0 0 0 0 c s 0 0 0 0
Us c 0 0 0 0 s c 0 0 0 0v
R0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
T0 0 0 c s 0 0 0 0 c s 0u U
0 0 0 s c 0 0 0 0 s c 0v U
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1R
= =
c cos ; s sin
= =
Elementul grind2D Matricea de rigiditate a elementului BEAM2D n
coodonate globale rezult
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
145/189
Te e e e
6x6 6x6 6x6 6x6
K T k T =
Influena numerotrii nodurilor Influena numerotrii nodurilor asupra formei matricei de
rigiditate globale a structurii
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
146/189
Asamblarea matricei de rigiditate a structurii constnadunarea matricelor de rigiditate expandate aleelementelor.
Deoarece asamblarea implicintroducerea tuturorelementelor finite n procesul de asamblare, rezultatulfinal al asamblriinu este influenat de ordinea denumerotare a elementelor.
Totui modul de numerotare al nodurilor poate influnaforma matricei de rigiditate a structurii.
Matricea de rigiditate element Conform regulii de asamblare direct, elementele
matricei de rigiditate ale unui element finit tip barcunod ile de identifica e I i J
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
147/189
nodurile de identificare I i J
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]II IJ
JI JJ
K K
K K K
=
I J
I
J
Matricea de rigiditate globala asamblat n matricea de rigiditate globala structurii
(care are NN noduri) se regsete n poziiile
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
148/189
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]II IJ
JI JJ
K KK
K K
=
Trebuie menionat csubmatricele componenteale uneimatrice de rigiditate pot reprezenta un numr oarecare degrade de libertate ale nodului de exemplu dou pentru o
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
149/189
grade de libertate ale nodului, de exemplu doupentru o
bararticulat2D i ase pentru o grind3D.2 2
z z
2 2
e z
3 2 2
z z
2 2
AL AL0 0 0 0
I I
0 12 6 L 0 12 6 L0 6 L 4L 0 6 L 2LE I
kL AL AL
0 0 0 0I I
0 12 6 L 0 12 6 L
0 6 L 2L 0 6 L 4L
=
1 2
1 0 1 0
0 0 0 0E AK K
1 0 1 0L
0 0 0 0
= =
Dacelementul finit care se asambleazestetriunghiular, atunci regula de asamblare este similar,adic pentru elementul triunghiular cu trei noduri I J i
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
150/189
adicpentru elementul triunghiular cu trei noduri I, J i
K pentru care matricea de rigiditate se poate partiionaastfel
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
II IJ JJ
JI JJ JK
KI KJ KK
K K K
K K K K
K K K
=
I
I
J
J K
K
elementele matricei se regsesc n poziiile
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
151/189
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
II IJ JJ
JI JJ JK
KI KJ KK
K K K
K K K K
K K K
=
Matricele de rigiditate ale structurilor de mari dimensiunisunt matrice rare, adic cu puini termeni nenuli.
De aceea, memorarea acestor matrice slab populate i
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
152/189
De aceea, memorarea acestor matrice slab populate i
operaiile la care acestea sunt supuse, devin maieficiente dac se memoreaz i respectiv se opereaznumai cu elementele nenule (sparse technique).
Pentru structura plan de bare articulate s-au folosit treimoduri diferite de numerotare a nodurilor, a), b), c)pentru care se obin matricele de rigiditate globale cu
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
153/189
pentru care se obin matricele de rigiditate globale cu
elementele nenule marcate prin puncte.
Se observ c toate variantele de numerotare conduc laelemente nenule n vecintatea diagonalei principale.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
154/189
Varianta de numerotare c, prezint matricea de rigiditateglobal cu toi termenii nenuli grupai n vecintareadiagonalei principale.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
155/189
Se spune c aceast matrice este de tip band, limeade band a matricei reprezint numrul maxim deelemente nenule pe orizontal.
Deoarece, de regul, matricele de rigiditate sunt
simetrice, se poate lucra cu o matrice dreptunghiular
care are un numr de coloane egal cu semibandamatricei de rigiditate i este aproape total populat.
Aceast reprezentare n memorie conduce laeconomisirea resurselor calculatorului i a fost intensfolositn special la nceputul dezvoltrii MEF cnd
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
156/189
p p
resursele de calcul erau modeste.
Pentru a obine o matrice band, programele cuelemente finite prezint proceduri speciale derenumerotare a nodurilor astfel nct s se obin o
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
157/189
lime minim a benzii. Se observ c limea benzii este definit de diferena
maxim a nodurilor de identificare care definesc fiecareelement. Astfel n varianta de numerotare a) diferena maxim este 9-1=8; n varianta b) 5 iar n varianta c) 2.
Limea de semiband LB, se obine din relaia:
LB 1 GLN NDIF= +
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
158/189
n care GLN reprezint numrul de grade de libertate penod
iar NDIF este diferena maximn valoare absolut anumerelor nodurilor de identificare pentru toate
elementele definite, adic
e
NDIF max I J=
Dacse considerstructuri oarecare din bare, o serie dereguli de numerotare a nodurilor care conduc la o limeminimde band
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
159/189
M e t o d a e l em e n t u l u i f i n i t (MEF )
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
160/189
Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare ordinareRezolvarea sistemelor de ecuatii liniare ordinare
Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare cu legaturiRezolvarea sistemelor de ecuatii liniare cu legaturi
Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare ordinare
Att n analiza staticct i n alte tipuri de analizeapare problema rezolvrii unui sistem de ecuaiiliniare cu un numr foarte mare de ecuaii (zeci sau
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
161/189
sute de mii pentru probleme reale). Acesta rezultn urma operaiei de asamblare i aimpunerii condiiilor la limit.
Cert este faptul cprocedurile de rezolvare a
sistemelor de ecuaii liniare reprezinto etapesenialpentru rezolvarea unei clase foarte largi deprobleme i stpnirea principiilor de lucru aleacestora poate influena att rezultatele obinute, ct
i efortul de calcul (timpul de lucru i spaiul necesarpe hard discul calculatorului).
Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare ordinare
Din punct de vedere matematic i informatic metodelede rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare suntmultiple.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
162/189
Metoda elementelor finite, prezintanumite fazeintermediarepnla obinerea sistemului liniar deecuaii (cum ar fi asamblarea ecuaiilor de echilibru lanivel de element, n ecuaia globalde echilibru a
structurii i impunerea condiiilor de echilibru) iuneori aceste faze intermediare influeneazalgoritmiide rezolvare, cu scopul de a obine o eficienmaimare a metodei.
n continuare, se evideniazanumite aspectegenerale ale principalelor metode de rezolvare,fcndu-se referire la analiza structuralstatic.
Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare ordinare Analiza static, caracteristicsistemelor fizice n care se
neglijeazefectul amortizrii i al ineriei (este vorba devibraii), nu i al efectului greutii proprii, constn
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
163/189
rezolvarea sistemului de ecuaii liniare rezultat n urmaasamblrii
care strict din punct de vedere matematic este echivalent
cu minimizarea potenialului
n care [K] este matricea de rigiditate a structurii, de
regulsingular, {u} este vectorul deplasrilor nodaleale structurii, iar {F} este vectorul forelor nodaleaplicate structurii.
[ ]{ } {K U F=
{ } [ ]{ } { } { }T T1
U K U U F 2
=
Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare ordinare Vectorul {u} are n general doucomponente, a
deplasrilor impuse {u}r(de cele mai multe ori nule) i adeplasrilor necunoscute {u}a.
Deplasrile cunoscute introduc o componenta forelor
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
164/189
p p de reaciune {F r}, iar pentru deplasrile necunoscute secunosc forele aplicate structurii {F a}, deci, folosindaceastpartiionare, se poate scrie
Forele aplicate structurii provin din forele aplicate direct nnoduri, forele produse de o micare cu acceleraie constantastructurii i/sau a cmpului gravitaional, fore produse devariaiile de temperatur(efectul termoelastic) i foreechivalente, produse de presiunea care lucreazpe elemente.
{ } { } { }
a
a rr
FF F F
F
= + =
Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare ordinare
Partiionarea ecuaiei n concordancu gradele delibertate ai r conduce la relaia matriceal(curs1)
K K U F
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
165/189
Din a doua ecuaie matricealrezultdeplasrile
necunoscute
iar apoi din prima ecuaie rezultforele necunoscute(reaciuni)
[ ] [ ][ ] [ ] {{ } { }{ }a aaa ar
r rra rr
U
K K U F
=
{ } [ ] { } [ ] { }( )1
a a raa ar U K F K U
= +
{ } [ ] { } [ ] { }r a rra rr
F K U K U= +
Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare ordinare Se observcdeplasrile necunoscute pot fi obinute
dacsubmatricea de rigiditate [K]aaeste nesingular,adicstructura nu are micare de solid rigid saumecanism.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
166/189
Dactotui echilibrul este asigurat de forele aplicate, sepoate face un artificiu de nlturare a singularitiimatricei fie prin fixarea unor deplasri care suprimmicarea de corp rigid sau mecanism, fie prinintroducerea adiionalde elemente n matricearespectivcare nu modificconsiderabil matricea derigiditate, dar care o transformn matrice pozitivdefinit.
Trebuie menionat cdei n ecuaie apare inversa unei
submatrice din matricea de rigiditate globala structurii,aceasta nu se calculeazpractic niciodat. Metodele derezolvare a sistemelor de ecuaii sunt implementateastfel nct numrul de operaii pentru rezolvarea lor sfie minim.
Metodele de rezolvare a ecuaiilorliniare
Metodele de rezolvare a ecuaiilor liniare n formamatricealse pot clasifica n:
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
167/189
metode exacte, cum ar fi metoda de eliminare Gauss, metoda de factorizare Choleski sau
metoda de rezolvare frontali
metode aproximative, cum ar fi
metoda gradienilor conjugai sau metoda relaxrii.
Metode exacte Metodele exacte de rezolvare se referla faptul cexist
algoritmi bine definii, care dupun numr de paidinainte fixat - dependent de dimensiunea problemei,conduc la obinerea soluiei exacte, n ipoteza cerorile
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
168/189
de reprezentare a numerelor n calculator (de trunchiere)sunt nesemnificative.
Pentru reprezentarea n dublprecizie i probleme de
dimensiuni acceptabile, bine condiionate numeric(adiccu valori ale raportului dintre cea mai mare i cea maimicvaloare de pe diagonala principala matricei derigiditate, ct mai aproape de unitate), metodele derezolvare exacts-au dovedit destul de eficiente, ani de-
a rndul.
Metodele exacte Aceste metode in seama de simetria i caracterul band
al matricei de rigiditate, pentru a fi mai eficiente. Pentru a obine o matrice cu o lime ct mai mica
benzii, numerotarea iniiala nodurilor se schimb(se
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
169/189
face renumerotarea nodurilor folosind algoritmiconsacrai): dacse folosete algoritmul de eliminare Gauss, sau se renumeroteazelementele dacse folosete
algoritmul de rezolvare frontal. Acesta din urms-a impus n perioada n care memoria
RAM a calculatoarelor era relativ limitati se bazeazpe combinarea fazei de asamblare cu cea de eliminare aecuaiilor (n memoria ROM).
Algoritmul este foarte sofisticat, dar este stabil i sefolosete pe scarlargi n momentul de fa.
Metode exacte
Metodele de rezolvare exactprezintdoufaze: prima este denumiteliminare sau triunghiularizare, iar cea de-a doua retrosubstituie.
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
170/189
Deoarece aceste metode sunt descrise pe larg n diversecri i tratate, cei interesai sunt invitai sconsultelucrri consacrate acestora.
Metode aproximative Metoda gradienilor conjugai cunoate diverse variante
de implementare cum ar fi: 1 .Jacobi Conjugate Gradient (JCG), recomandat
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
171/189
pentru probleme bine condiionate numeric, algoritmimplementat pentru matrice reale i complexe,simetrice i nesimetrice;
2 .Preconditioned Conjugate Gradient (PCG)implementat pentru matrice reale, simetrice i pozitivdefinite;
3 .Incomplete Choleski Conjugate Gradient (ICCG)mai robust dect primele dou, implementat pentrumatrice reale i complexe, simetrice i nesimetrice.
PCG este de circa 4-10 ori mai rapid dect JCG, iar ICCGeste n general mai rapid dect JCG.
Metode aproximative n metodele aproximative soluia sistemului cu condiiile
la limitimpuse, se determinca suma seriei vectorilor{pj}
{ { { {1 1 2 2
u a p a p ... a p= + + +
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
172/189
n care m este mai mic dect dimensiunea matricei [K]iar {pj} sunt corecii succesive ale soluiei. Valoarea destart a acestor vectori poate influena foarte multnumrul de iteraii m.
Rata de convergeneste proporionalcu rdcinaptrata numrului de condiionare a matricei [K] , iarcriteriul de convergeneste de regul
1 1 2 2 m m
{ } { }{ } { }
T
j j 2
T
R R
F F
Metode aproximative
{ } { }
{ } { }
T
j j 2
T
R R
F F
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
173/189
n care
poate fi privit ca un reziduu pentru {uj} - vectoruldeplasare determinat la pasulj. De obicei = 10-5seconsideracceptabil pentru aplicaii, dar poate fi redusdaceste necesar.
{ { } [ ]{ }j jF K U=
Metode aproximative Pentru dimensiuni mari ale matricilor de rigiditate, care
n general conin multe zerouri (motiv pentru care senumesc i "matrice rare" = sparse), tehnicile deoperare cu acestea sau dovedit foarte eficiente pentru
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
174/189
creterea vitezei de calcul, prin nlturarea operaiiloraritmetice cu zero i spaiul necesar, deoarece pentruvalorile nule nu se alocspaiu n memorie.
Metodele de rezolvare aproximativ, prin iterareasoluiei, s-au dovedit a fi mult mai eficiente, n primulrnd, ca vitezde calcul i s-au impus odatcucreterea memoriei centrale (RAM) a calculatoarelor.
Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare cu legturi
Condiiile la limitn deplasri (i rotiri) pot fiinterpretate, din punct de vedere matematic, ca niterestricii asociate unui sistem de ecuaii. Aceste restricii
fi l ii i l d i d l i
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
175/189
pot fi relaii simple de impunere a unor deplasri, saurelaii cinematice ntre anumite grade de libertate.
Uneori acestea poartdenumirea de relaii de legturntre mrimile nodale.
Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare cu legturi
Cteva exemple de relaii cinematice ntre o serie degrade de libertate pentru stucturi simple de cadre plane
C d l i l li t f d i t l
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
176/189
Cadru plan cu un reazem simplu nclinat fade sistemulde referinglobal
Blocaje
Relatie cinematica
X ,1 Y ,1 Z ,1U 0; U 0; R 0;= = =
Y ,3 X ,3U 3 U=
Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare cu legturi
Cteva exemple de relaii cinematice ntre o serie degrade de libertate pentru stucturi simple de cadre plane
G i d ti l i i t di
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
177/189
Grindcu articulaie intermediar Blocaje
Relatie cinematica
X ,1 Y ,1 Z ,1
Y ,5
U 0; U 0; R 0;
U 0
= = =
=
X ,2 X ,3 Y ,2 Y ,3U U ; U U ;= =
Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare cu legturi
Cteva exemple de relaii cinematice ntre o serie degrade de libertate pentru stucturi simple de cadre plane
G i i l t i id
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
178/189
Grinzi cuplate rigid Blocaje
Relatie cinematica
X ,1 Y ,1 Z ,1U 0; U 0; R 0;= = =
X ,3 X ,2 Z ,2
Y ,2 Y ,3
Z ,2 Z ,3
U U a R ;
U U ;
R R
=
=
=
Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare cu legturi Procedeele matematice de rezolvare a unui sistem de
ecuaii cu restricii sunt multiple. Cele mai utilizate metode sunt eliminareaunui numr de
ecuaii egal cu numrul condiiilor de restricie, metodamultiplicatorilor Lagrange i metoda funciei de
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
179/189
multiplicatorilor Lagrangei metoda funciei depenalizare. Din punct de vedere fizic, o resticie poate sincludun
singur grad de libertate, cum ar fi, spre exemplu,impunerea unei deplasri nodale pe o anumitdirecie(blocaj sau deplasare cunoscut), sau mai multe gradede libertate, ca, de exemplu, condiia ca pe dougradede libertate o mrime nodalsaibaceeai valoarenenul, iniial necunoscut.
Restriciile impuse mai multor grade de libertate(restricii multipunct) sunt, n general, produse deprezena elementelor rigide sau a unor modelri depreluare a micrilor de mecanism.
Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare cu legturi Dacecuaia de echilibru static a unei structuri
asamblate, pentru care s-au impus sau nu anumitecondiii la limitn deplasri este
[ ]{ } {K U F=
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
180/189
iar restriciile - ecuaii liniar independente, sunt scrise nforma
se pune problema de a rezolva ecuaia care ssatisfaccondiiile. Matricea [C] este o matrice dreptunghiularcutermeni constani, care are un numr de linii egal cu
numrul de restricii. Vectorul {Q} este, de asemenea,un vector de constante. De cele mai multe ori, npractic, este un vector cu toate elementele nule.
[ ]{ } {K U F=
[ ]{ {C U Q=
Metoda eliminrii
Ecuaia
care conine n grade de libertate, se poate aranja astfel
nct vectorul deplasrilor nodale s fie de forma:
[ ]{ {K U F=
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
181/189
nct vectorul deplasrilor nodale sfie de forma:
In care
reprezintdeplasrile "reinute" (n numr de r)
deplasrile care urmeaza fi "eliminate" (n numr de e,deci n = r + e).
{ } { } { }{ T
T T
r eU U U=
{ rU
{ }eU
Metoda eliminrii
n aceste condiii ecuaia
poate fi rescrisn forma
[ ]{ } {C U Q=
{U
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
182/189
Deoarece numrul de ecuaii liniar independente r, estemai mic dect numrul ecuaiilor de echilibru n, rezultcmatricea [Ce] este ptratici nesingular.
[ ] [ ] {
{ } { }
r
r e
e
UC C 0
U
=
{ } [ ]{ } { }{ }
[ ][ ]
{ }r1 r
1e e r r r
e e r
IUU C C U U U C C
= =
Metoda eliminrii
care poate fi rescrissub forma
{ }
[ ]
{ }
[ ]
[ ]
[ ]
r
1r1 1
IU T U ; unde T
C C
= =
-
8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit
183/189
Dacecuaia se nlocuiete n care se
nmulete la stnga cu transpusa matricei detransformare [T ], rezultun sistem de r ecuaii, adic
n care
{ } [ ]{ } [ ] [ ]e rn x1 r x1n x r C C
[ ]{ } {K U F=
[ ]{ {r r rU F=
[ ] [ ] [ ][ ] { } [ ]{ }T
r rT K T ; F T F = =
Metoda eliminrii
Matricea [T ] se poate obine i n mod direct, prinformula