1 ELEMENTEDESTATISTICAMODELESTOCHASTICEDESIMULARE SIMULAREAMONTECARLO BibliografieTudor PaunescuMNI-2009 SIMULAREAMONTECARLON MATHCAD 2 Bibliografie [GOR01]F. Gorunescu, A. Prodan. Modelare stochastic i simulare. Ed. Albastr. Cluj-Napoca. 2001[BOS00]S. K. Bose Queuing Systems. Lectures Notes. Internet [AKC75]R.L. Ackoff, M.W. Sasieni Bazele cercetarii operationale. E.T. Bucuresti, 1973 [SC 78]I. Scuiu, D. Zorilescu. Numere aleatoare. Aplicaii n economie, industrie i studiul fenonenelor maturale. Ed. Academiei, Bucureti 1978. [TR 89]C. Trcolea. Tehnici actuale n teoria fiabilitii. Ed. tiinific. Bucureti 1989. [ERM 76]S.M. Ermakov. Metoda Monte Carlo i probleme nrudite. Ed. Teh. Bucureti. 1976. [ABR 96]I. Abrudan Sisteme flexibile de fabricaie. Ed. Dacia. Cluj 1996.[DIN 75] C. Dinescu. Metode de matematic modern pentru economie. Culegere de probleme. E.D.P. Bucureti 1975. [DIN 86] C. Dinescu. Metode de matematice pentru fundamentarea deciziilor n producie. ET. Bucureti 1986. [RD 81]E. Rdceanu Limbaje de simulare. Ed. Militar. Bucureti 1981. [STO 89] M. Stoica Introducere n modelarea procedural. Ed. Scrisul romnesc, Craiova 1989. [STO 83] M. StoicaExperiment i euristic n economie. Ed. t. i Enciclop. Bucureti 1983 [RAF 82] M. Rafiroiu Modele de simulare n construcii. Ed. Facla Timioara 1982 [VD 77] I. Vduva Modele de simulare cu calculatorul. Ed. Militar Bucureti 1977 [VD 77] I. Vduva a Simulare proceselor economice. Ed. TehnicBucureti 1983. [RA 97]C. Raiu Suciu. Modelarea i simulareaproceselor economice. EDP Bucureti 1997 3 1. ELEMENTEDE STATISTICAI PROBABILITI 1.1. Repartiii discrete X-variabilaleatoarecareiavalorile:x1,x2,...,xncu probabilitile:p1, p2, ... ,pn,

adic pi = P{X=xi}, pi>0.

Mulimea a crei elemente sunt perechile ordonate(xi, pi), i=1 ... N, cu Epi=1 definete repartiia discret a variabilei aleatoare 1.2. Repartiii continue nlocdepi=P{X=xi}sedefineteofunciefx(x)>0densitatede probabilitate,astfel nct fx(x)dx reprezint probabilitatea ca Xs ia valori n intervalul [x x+dx] al dreptei reale. 4 Funcia fx(x) se obine din histograma ridicat experimental dac X ia valori pe toat axa R}=Rxdx x f 1 ) (1.3. Funcia de repartiie Dac x este un numr real oarecare,probabilitatea ca X < x secalculeaz cu funcia de repartiie FX(x)=P(X FX(v) dac u >v Probabilitatea ca variabila X s ia cel puin o valoare dat(exemplu: probabilitatea ca o instalaie s funcioneze nentrerupt un nr. de ore): P{ X >u} = 1 FX(u)Probabilitatea ca variabila X s ia valori ntre dou limite (exemplu:probabilitatea ca rezistena la ncovoiere a unei bare s ia valori ntre dou limite): P{u s X sv} = FX(v)-FX(u) 6 Fig.1. Graficul funciei de repartiie pentru o variabil aleatoare continu Fig.2. Graficul funciei de repartiie pentru o variabil aleatoare discret 7 Fig.3. Semnificatia geometrica a densitatii de probabilitate 8 1.5. Generarea numerelor aleatoare cu repartiie dat Propoziie: Dac variabila aleatoare U urmeaz o repartiie uniform n intervalul [0,1] iar FX este o funcie de repartiie continu i strict cresctoare atunci variabila aleatoare X= FX-1(U) are funcia de repartiie FX Propoziia este aplicabil la metoda Monte Carlo pentru a genera numere aleatoare dup o repartiie oarecare. tiind c valorile oricrei funcii de repartiie FX sunt uniform distribuite n intervalul [0,1] acestea sunt asimilate drept valori ale unei variabile aleatoare uniforme U: U=FX(x) rezult X= FX-1(U)

Caz1: FX(x) i FX-1(x) cunoscute, repartiii teoretice continue Un numr aleator cu repartiiedat se obine prin calcul direct:

X0= FX-1(U0) aplicndtransformata inversFig. 4.9 Caz2: FX(x) sau FX-1(x) necunoscute, se utilizeaz densitatea de probabilitate. Fie X o variabil aleatoare de tip continuu definit pe [a, b] cudensitatea fX(x) }=xaX Xdx x f x F ) ( ) (FX(x) este distribuit uniform pe[0,1] Fig. 5. Dac FX(x) sau F-1X(u) nu se pot determina analitic se aplic metode numerice irul de valori ale variabilei X n intervalul [a, b]: a=x0, x1 xn, x n+1=b si 0, FX(x1), FX(x2) . FX(xn), 1 U0 se obine prin interpolare FX(xk) s u0 s FX(xk+1) n general se alege pas constant o=FX(xk+1) - FX(xk) Se determin k= U0/ o i de obicei se alege ca valoare reprezentativ mijlocul intervalului xk+1... xk sau mai corect o valoare aleatoare n interval. Metoda poate fi aplicat i pentru variabile aleatoare discrete, trecnd prin etapa aproximrii cu o curb continu. 10 2. SIMULAREAMONTECARLO MetodaMonteCarlo(MC)ansamblulprocedeelorcarepermitrezolvarea unei probleme prin experiment statistic. nprincipiumetodaMCrealizeaznlocuireavalorilorvariabileloraleatoarecuo mulime finit de valoricu aceleai proprieti statistice. Aplicarea metodei MC necesit rezolvarea a dou probleme de baz: 1. Stabilirea funciilor de repartiie pentru variabilele aleatoare luate n considerare la modelarea fenomenului. 2. Folosirea unei surse de numere aleatoare. Generareanumereloraleatoareobinutecuajutorulcalculatoruluiesteimposibil deoareceseutilizeazalgoritmidegenerarecarenupotasiguraocorelaienul, ns se pot obine numere pseudoaleatoare de calitate foarte bun. | |>es=1 . 11 , 0 .0 . 0x ptx pt xx ptFXCondiiile generrii numerelor pseudoaleatoare cu repartiie uniform: - funcia de repartiie nu trebuie s difere semnificativ de: 11 - repartiie statistic independent; - seria de numere pseudoaleatoare trebuie s fie reproductibil; - repartiie stabil; - perioad de repetiie mare i predeterminabil a numerelor pseudoaleatoare; - vitez mare de generare, s necesite resurse de memorie reduse. 2.1. Istoric i exemple de utilizare a MC - 1777 Buffon + 1860 Barbier, problema acului lui Buffon sau a steagului american. - 1944 E.Fermi, J. Neumann, S.M. Ulam, studiul difuziei neutronilor n materiale fisionabile. - calcul numeric: integrale definite simple i multiple, ariile suprafeelor cucontur neregulat, ecuaii integrale i difereniale, inversarea matricelor, rezolvareasistemelor liniare;- studiul proceselor aleatoare: procese Markov, procese de difuzie, mic. brownian;- cercetare operaional: stocuri, servire, jocuri operaionale; - aplicaii economico-industriale: sisteme de transport, procese de munc, planificarea cheltuielilor, studiul investiiilor, risc. - fizic nuclear; - fenomene naturale: predicii seisme, rezerve de petrol. 12 Problema acului lui Buffon [SC 78]Pe un plan pe care sunt trasate drepte paralele cu echidistana a, se arunc ntmpltor un ac de grosime neglijabil, care are lungimea L < a.Se cere probabilitatea ca acul s cad pesteoricare din linii. n 1860 E. Barbier a demonstrat c soluia problemei este p=2L/ta. - P este mijlocul acului;- o unghiul ascuit dintre ac i direcia perpendicular pe reeaua de drepte; - y distana de la P la cea mai apropiat linie. Dac y < 0.5 L coso acul intersecteaz o drept (o i y sunt variabile aleatoare). Deci dac se construiete graficul y= 0.5 L cosoprobabilitatea cutat este: aLad Lp= = }t to ot25 . 0 5 . 0) cos( 5 . 02 /0Dac a=2L p=1/ t, deci prin experiment statistic se poate calcula: t ~ nr. aruncri / nr. intersecii cu dreptele 13 Calculul integralelor definite Se d o funcie monovariabil y=f(x), continu i mrginit n intervalul [a,b]. Paii algoritmului: - f(x) se ncadreaz ntr-un dreptunghi cu baza segmentul a,b i nlimea h=max(f(x)) - se genereaz dou secvene aleatoare, independente de numere: c=(c1, c2 ... cn), ci e[a b] d=(d1, d2 ... dn), di e[0 max(f(x))] ci, di reprezint coordonatele unui punct Pi aflat n dreptunghiul amintit; - se contorizeaz numrul de punctem care sunt situate sub curb; ) ( max( ) ( x f a bnmAria =Obs.Metodanuestefoarteprecis,pentrucretereaprecizieiserecomand repetareaexperimentuluistatistic,secalculeazmediaiabatereaptratica rezultatelor,dacabatereaptraticestemaimaredectovaloarestabilitn prealabil se continu cu un numr mai mare de numere aleatoare. 14 2.3. Precizia i proprietile metodei MC - Precizia metodei MC se poate estima statistic cu un grad de certitudine finit(se consider suficiente 0.99 ... 0.997). - Precizia variaz cu numrul total de experimente N - Precizia metodei nu se poate estima corect dect pe parcursul efecturii calculelor. - Numrul de ncercri necesare variaz invers proporional cu probabilitatea,deci metoda nu este aplicabil unor procese cu p