-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
1/28
L11 / 1
Lucrarea 11
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrritreapt
Coninut
1. Scopul lucrrii .................................................................................................... 21.1. Notaii ....................................................................................................... 2
2. Regulatoare cu recie dup stare ...................................................................... 22.1. Problema reglrii ...................................................................................... 22.2. Principiul modelului intern ........................................................................ 42.3. Proiectarea regulatoarelor cu reacie dup stare .................................... 62.4. Exemple ................................................................................................. 13
3. Cerinele lucrrii de laborator .......................................................................... 28
Lista de figuri
Figura 11.1 Schema de principiu unui sistem de reglare automat.......................... 2Figura 11.2 Reprezentarea unui SRA prin funcii de transfer ................................... 4Figura 11.3 Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor msurate ............. 6Figura 11.4 Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor estimate ............... 7
Figura 11.5 Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor msurate iintegrator ........................................................................................................... 8Figura 11.6 Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor estimate i
integrator ......................................................................................................... 10Figura 11.7 Schema de reglare echivalent exprimat prin funcii de transfer ...... 11Figura 11.8 Schema de reglare simplificat, cu estimarea erorilor strilor ............ 12Figura 11.9 Schema de reglare a) cu reacie dup eroarea strii fr estimator ... 17Figura 11.10 Schema de reglare a). Rspunsul procesului cnd Nx= [1;0] ............ 18Figura 11.11 Schema de reglare a). Rspunsul procesului cnd Nx= [0;0] ............ 18Figura 11.12 Schema de reglare a) cnd Nx= [0;0] - reacie dup stare ................ 19Figura 11.13 Schema de reglare b) cu reacie dup eroarea strii estimate i
integrator ......................................................................................................... 23Figura 11.14 Schema de reglare b). Rspunsul procesului cnd Nx= [1;0] ............ 23
Figura 11.15 Schema de reglare b). Rspunsul procesului cnd Nx= [0;0] ............ 24Figura 11.16 Schema de reglare c) cu estimarea erorilor strilor i integrator ....... 27Figura 11.17 Schema de reglare c). Rspunsul procesului .................................... 28Figura 11.18 Schema de reglare 1 ......................................................................... 28Figura 11.19 Schema de reglare 2 ......................................................................... 28
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
2/28
Lucrarea 11
L11 / 2
1. Scopul lucrrii
Lucrarea urmrete:
Prezentarea problemei reglrii, a principiului modelului intern i a schemelor dereglare cu reacie dup mrimile de stare msurate sau estimate ale unui proces
nvarea modului cum se poate proiecta i verifica un sistem de reglare automatutiliznd Matlab / Simulink.
Analiza comparativ a mai multor scheme de reglare cu evidenierea avantajelor ia dezavantajelor
1.1. Notaii
SRA sistem de reglare automat
2. Regulatoare cu reacie dup stare
2.1. Problema reglrii
Figura 11.1 prezint schema de principiu a unui sistem de reglare automat (SRA).
( )( )
( )
=
R
RR
p
rH ( )
( )
( ) )(
)(
+
=
p
r
p
rH vP
Figura 11.1 Schema de principiu unui sistem de reglare automat
Schema include 2 blocuri funcionale:
un proces asupra cruia acioneaz comanda Ru i perturbaia Rv .Procesul are ieirea Ry i poate fi descris printr-o reprezentare n spaiulstrilor (11.1) sau prin funciile de transfer (11.2)
(11.1)
=
++=
x
xx '
Tcu
evbuA
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
3/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /3
( ) ( )( )
( );
1
==
p
pT
yu p
rbAIcH
(11.2)
( ) ( )( )
( )
==
p
vT
yvv p
reAIcH
1
un regulator care calculeaz comanda Ru ctre proces pe baza erorii
yy = * unde*
y este numiti mrime impus. Regulatorul poate fidescris printr-o reprezentare n spaiul strilor (11.3) sau prin funcia detransfer (11.4)
(11.3)
+=
+=
RRTR
RRRR
dcu
bA
x
xx '
(11.4) ( ) ( )( )
( )
=+=
R
RRR
TRR
p
rdbAIcH
1
Mrimile de referin*
y i de perturbaie v sunt semnale persistente n timp,
descrise de relaiile (11.5) n cazul SRA cu timp continuu, respectiv (11.6) n cazulSRA cu timp discret
(11.5) ( )[ ]( )
( )sA
sBt =ryL ; ( )[ ]
( )
( )sA
sBt
v
v=vL Rt ,
rdciniCsAsA v ))(),(( ;
(11.6) ( )[ ]( )
( )zA
zBt =ryZ ; ( )[ ]
( )
( )zA
zBt
v
v=vZ Zt ,
rdcini
)0())(),(( 1UzAzA v Regulatorul trebuie astfel proiectat nct s asigure respectarea urmtoarelorproprieti pentru sistemul de reglare rezultant:
stabilitate polii sistemului rezultant s fie n
C dac Rt sau )0(1U ,
dac Zt
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
4/28
Lucrarea 11
L11 / 4
reglare ndeplinirea condiiei (11.7) pentru tipul de mrimi*
y i v , luaten considerare la proiectarea regulatorului (treapt, ramp, sinusoid, etc.)
(11.7) 0)(lim)(lim* ==
yyt r
tt
=
=
Ztzz
z
Rtss
z
s
,0)(1
lim
,0)(lim
1
0
robustee respectarea primelor dou proprieti, independent de:
a) localizarea i intensitatea perturbaiilor n limitele considerate
b) variaiile parametrilor sistemului de reglare n toat plaja de funcionare
2.2. Principiul modelului intern
Figura 11.2 prezint funciile de transfer ale sistemului de reglare din Figura 11.1.Relaiile (11.8) i (11.9) prezint dependena erorii n funcie de mrimile externe:
referina*
y i perturbaia v .
( )H
( )vH
( )RH
Figura 11.2Reprezentarea unui SRA prin funcii de transfer
(11.8) vHH
HyHH
yypR
v
pR +
+==
111* *
(11.9) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
+
+
=
v
v
RRRP
Rv
RRRP
RP
A
B
pprr
pr
A
B
pprr
pp
n relaia (11.9), expresia ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+= RRRP pprr este polinomulcaracteristic al sistemului rezultant. Pentru a ndeplini condiia de stabilitate,
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
5/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /5
rdcinile )( trebuie s fie n C pentru un SRA cu timp continuu, respectiv n
)0(1U pentru un SRA cu timp discret.
Pentru a ndeplini condiia de reglare (11.7) este necesar i suficient s serespecte relaiile:
(11.10))()()(
)()()(
vRv
R
rpA
ppA
adic )(A numitorul transformatei Laplace sau Z a semnalului de referin *y
s fie un divizor al polinomului )()( Rpp i respectiv )(vA numitorultransformatei Laplace sau Z a semnalului de perturbaie v s fie un divizor al
polinomului )()( Rv pr unde:
)(p numitorul funciei de transfer Laplace sau Z a procesului de la comand laieire
)(Rp numitorul funciei de transfer Laplace sau Z a regulatorului
)(vr numrtorul funciei de transfer Laplace sau Z a procesului de laperturbaie la ieire
Relaiile (11.10) sunt cunoscute i sub numele de teorema reglrii. Ele includ nambele condiii numitorul funciei de transfer a regulatorului. Pentru a asigurandeplinirea condiiilor (11.11) indiferent de modificrile care pot interveni lanivelului procesului, adic n )(p i respectiv )(vr este suficient ca att )(A
ct i )(vA s fie un divizor al numitorului funciei de transfer a
regulatorului )(Rp . Altfel spus:
(11.11) ( ) ( ) RpM unde { })(),(.....)( = vAAcmmmcM
adic regulatorul s fie de forma:
(11.12) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
=
=
'1
R
R
R
RR
p
rMp
rH
( )M/1 se numete model intern al regulatorului iar condiia (11.12) estecunoscut i sub numele de principiul modelului intern sau teorema reglriistructural stabile.
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
6/28
Lucrarea 11
L11 / 6
Not: n majoritatea cazurilor, sistemele de reglare automat se proiecteazpentru referin i perturbaie de tip treapt unde: ssAsA v == )()( n cazul
sistemelor cu timp continuu i respectiv 1)()( == zzAzA v n cazul sistemelorcu timp discret. n aceste condiii principiul modelului intern impune prezena unuiintegrator la nivelului regulatorului care trebuie s fie de forma:
( )( )
( )sp
sr
ssH
R
RR '
1= pentru regulatoare cu timp continuu
(11.13)
( )( )
( )zp
zr
zzH
R
R
R '1
1
= pentru regulatoare cu timp discret
2.3. Proiectarea regulatoarelor cu reacie dup stare
Figura 11.3 prezint cea mai simpl schem de reglare cu reacie dup stare. Ea
se bazeaz pe principiul de-a determina mrimile de stare dorite*
x din mrimea
de referin *y i de-a le compara cu mrimile de stare x ale procesului. nvederea eliminrii erorilor se folosete o lege de comand dup eroarea strilor deforma:
(11.14) )(...)()()( *2*221*11* nnnT xxkxxkxxkxxku +++==
Figura 11.4 prezint varianta cnd mrimile de stare sunt estimate utiliznd unobservator de stare. n acest caz relaia (11.4) devine:
(11.15) )(...)()()( *2*221
*11
*nnn
Txxkxxkxxkxxku +++==
u y
x
+
*ry
xcy
buAxx
T
'
=
+=
TKxN
*x
Proces
Figura 11.3Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor msurate
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
7/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /7
Proces
u y
x
+
*ry T
KxN*x
Estimator
xcy
buAxx
T
'
=
+=
Figura 11.4Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor estimate
Determinarea mrimilor de stare dorite*
x din mrimea de referin *y se face prin
alegerea corespunztoare a xN . n cazul n care procesul are acelai numr m
de comenzi ui ieiri y, xN rezult din relaia:
(11.16) mx INc =
n cazul proceselor cu o intrare i o ieire relaia (11.16) devine: 1= xT Nc . De
exemplu, dac ]10[=Tc atunci
=
1
0xN iar dac ]11[=
Tc atunci
=
5.0
5.0xN
Not: Determinarea vectoruluiT
k se face la fel ca n cazul unui compensator
stabilizator acesta fiind un caz particular de reglare cnd referina*y este nul. n
aceast situaie, 0* =y , 0* =x , iar relaiile (11.14) i (11.15) devin:
xkuT= , respectiv xku T = .
Schemele de reglare din Figura 11.3 i Figura 11.4 au 2 dezavantaje:a) nu respect principiul modelului intern i prin urmare pot fi utilizate numai
pentru procese care conin ele nsele un integrator
b) determinarea mrimilor de stare dorite*
x din mrimea de referin*
y cu
ajutorul matricei sau vectorului xN nu se poate face ntotdeauna exact,
ceea ce poate conduce la erori staionare yy = * chiar dac xx =*
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
8/28
Lucrarea 11
L11 / 8
Pentru a elimina aceste probleme n practic se utilizeaz schema de reglare dinFigura 11.5 incluznd drept model intern un integrator pe eroarea .
u y
s
1k
x
+
*y
xcy
buAxx
T
'
=
+=
TK
xN
y
+*x
)(
1
1D
z
Figura 11.5Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor msurateiintegrator
Determinarea coeficienilor = kkkTT
e ai legii de comand se face aplicnd
algoritmul Ackermann pe un sistem extins ),,( Teee cbA care include i ecuaia
integratorului. Sistemul extins are n+1 mrimi de stare
=
xxe unde prin s-a
notat integrala erorii. El este descris de relaiile (11.17) pentru sistemele cu timpcontinuu i (11.18) pentru sistemele cu timp discret.
(11.17)
=
==
+=
Tcu
yxy
buA
*
xx
{
ubx
c
Ax
eebA
T
+
=
00
0
43421
[ ]
=x
cy
Tec
T
3210
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
9/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /9
(11.18)
=
+=
+=
+
+
iT
i
iii
iii
cy
buA
x
xx
1
1
{
i
b
i
A
T
i
ubx
c
Ax
ee
+
=
+
01
0
1 43421
[ ]i
c
Ti
xcy
Te
=
3210
innd cont c ** yNx x = i integrala erorii trebuie s fie nul, adic 0* =
legea de comand pentru sistemul de reglare din Figura 11.5este:
(11.19) =+== kxyNkkxxkxxku xTT
eeTe )()()()(
****
nlocuind (11.19) n (11.17) i (11.18) se obine sistemului echivalent cu timpcontinuu:
(11.20)*
00
yNbkx
c
bkbkAx
echech b
xT
A
T
T
43421444 3444 21
+
=
[ ]
=x
cy
Techc
T
3210
respectiv cu timp discret:
(11.21)*
1 01 i
b
xT
i
A
T
T
i
yNbkx
c
bkbkAx
echech
43421444 3444 21
+
=
+
[ ]
=x
cy
Techc
Ti 321
0
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
10/28
Lucrarea 11
L11 / 10
u y
s
1k
^
x
+
*ry
TK
xN
y
+*x
)(1
1D
z
Proces
xcy
buAxx
T
'
=
+=
Estimator
Figura 11.6Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor estimateiintegrator
Figura 11.6 prezint varianta cnd mrimile de stare sunt estimate utiliznd unobservator de stare cu predicie. n acest caz relaia (11.19) devine:
(11.22) = kxyNku xT )( *
n cazul sistemelor de reglare cu timp continuu i a utilizrii unui observator cupredicie, regulatorul este definit de relaiile:
(11.23)
( )
( ) ===
++=++=
kxNyku
yy
xcylbuxAxcylbuxAx
xT
*
TT
)(
*
*
Prin nlocuirea comenzii u din ultima relaie (11.23) n prima relaie (11.23) seobine reprezentarea n spaiul strilor a regulatorului:
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
11/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /11
(11.24){
[ ]
+
=
++
+
=
*
*
01
00
yNkx
kku
ylNbklxkbclkbAx
RTR
RRR
d
xT
c
T
e
xT
bA
TT
3214434421
443442144444 344444 21
n cazul sistemelor cu timp discret (11.24) devine:
(11.25){
[ ]
+
=
++
+
=
+
*
*
1
01
10
i
d
xT
ic
T
i
e
xT
i
b
i
A
TT
i
yNkx
kku
ylNbklxkbclkbAx
RTR
RRR
3214434421
443442144444 344444 21
( )H
( )vH
( )1RH
( )2RH
Figura 11.7Schema de reglare echivalent exprimat prin funcii de transfer
Relaiile (11.24) i (11.25) arat c regulatorul este format din 2 blocuri avndfunciile de transfer:
(11.26) RRTRuR
bAIcH 11 )()(
= - de la eroarea la
comanda u
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
12/28
Lucrarea 11
L11 / 12
(11.27) RRRTRuyR
deAIcH +=
12 )()( * - de la referina
*y la comandu
Figura 11.7 prezint o variant echivalent a schemei de reglare din Figura 11.6 ncare att procesul ct i regulatorul sunt reprezentate prin funcii de transfer.
n practic se folosete frecvent o variant simplificat a schemei de reglare dinFigura 11.6 prezentat n Figura 11.8. n acest caz, 0=xN i observatorulfolosete eroarea n locul ieirii y . La ieirea observatorului se obine o
estimare a erorilor strilor x care se folosete n legea de comand.
EST
u y
s
1k
1k
nk
n
x
1x
M
*ry
xcy
buAxx
T
'
=
+=
Figura 11.8 Schema de reglare simplificat, cu estimarea erorilor strilor
Ecuaiile acestui regulator simplificat sunt date de relaiile (11.28) pentru sistemelecu timp continuu i respectiv (11.29) pentru sistemele cu timp discret:
(11.28)
{
[ ]
=
+
=
xkku
lxkbclkbAx
R
RR
b
T
cA
TT
1
00
43421
44444 344444 21
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
13/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /13
(11.29)
{
[ ]i
ck
Ti
i
b
i
A
TT
i
xkku
lxkbclkbAx
TR
Te
RR
=
+
=
=
+
1
10
1
43421
44444 344444 21
Aceste relaii conduc la o funcie de transfer a regulatorului:
(11.30) RRTRR bAIcH
1)()( =
identic cu )(1 RH din (11.26), ceea ce nseamn c aceast soluie simplificatconduce la o schem de reglare identic cu cea din Figura 11.7 n care seneglijeaz funcia de transfer )(2 RH de la referin la comand.
2.4. Exemple
1. Un proces cu timp continuu are reprezentarea n spaiul strilor:
[ ]22,0
1,
01
10=
=
= TcbA
S se proiecteze un regulator cu o singur funcie de transfer de la eroare lacomand care plaseaz toate valorile proprii ale sistemului rezultant n -1.
Soluie:
a) se construiete sistemul extins
=
= 0,0
0 b
bc
A
A eTe =>
=
=00
1
,022001
010
ee bA
b) Se calculeaz = kkkTT
e aplicnd algoritmul Ackermann pentru
perechea ),( ee bA cu valorile proprii dorite { }1,1,1 =
polinomul caracteristic dorit este: ( ) 133 23 +++= ssssd
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
14/28
Lucrarea 11
L11 / 14
matricea de controlabilitate [ ]
==
220
010
1012
eeeee bAbAbR
soluia ecuaiei
=
1
0
0
qRT
=>
=
1
0
0
201
210
001
3
2
1
q
q
q
=>
2
1,1,0
321
=== qqq
12
110
=Tq
[ ] 3010 = eTAq
[ ] 30012 = Aq eT
[ ] 10103 = eTAq
kTe
=
2
113
c) Se calculeaz vectorul l pentru estimator aplicnd algoritmul Ackermann
perechii ),( cAT cu valorile proprii dorite { }1,1 =est Estimator:
polinomul caracteristic dorit este: ( ) 122 ++= sssd
=
=
2
2,
01
10cA
Ti matricea
=
22
22R
soluia ecuaiei:
=
1
0qR
T=>
=
1
0
22
22
2
1
q
q=>
=
=
4
14
1
2
1
q
qq
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
15/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /15
14
1
4
1
=Tq
24
1
4
1
=AqT
14
1
4
12
=AqT
klTT
== 2
1
2
1
d) regulatorul va avea urmtoarea reprezentare n spaiul strilor:
=
=
000
010
2/134
00
kbclkbAA
TT
R ;
=
=
1
2/1
2/1
1
lbR
[ ]2/113 == TeR kc
i funcia de transfer: RRTRR bAIcH
1)()( = =)45(
2/12/52
2
++
+
sss
s
ntregul sistem de reglare automat va avea funcia de transfer echivalent:
4
2
5
2
2345
23
)1(
15
)1(
)1)(15(1510105
155
)()(1
)()()(
+
+=
+
++=
=
+++++
+++=
+
=
s
s
s
ss
sssss
sss
sHsH
sHsHsH
PR
PRech
unde:1
)1(2)(
2 +
+=
s
ssHP este funcia de transfer a procesului
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
16/28
Lucrarea 11
L11 / 16
2. Un proces cu timp continuu are reprezentarea n spaiul strilor:
[ ]01,0
1,
10
10=
=
= TcbA
Utiliznd Matlab, s se proiecteze urmtoarele tipuri de sisteme de reglareautomat:
a) cu reacie dup eroarea strilor msurate i integrator (vezi Figura 11.5)
b) cu reacie dup eroarea strilor estimate i integrator (vezi Figura 11.6)
c) cu estimator al erorii strilor i integrator utiliznd schema simplificat dinFigura 11.8
Valorile proprii dorite pentru legea de comand sunt }3,2,1 = i pentru
estimatorul de stare cu predicie { }5,4 = . Pentru fiecare caz n parte se vaprezenta schema de simulare i rspunsului procesului pentru o referin treaptde valoare 1.
Soluie:
a) Regulator cu reacie dup eroarea strilor msurate i integrator
Programul Matlab:
A=[0 1;0 -1];
b=[0; 1];cT=[1 0];
%sistemul extins cu integratorAe=[A zeros(2,1); -cT 0];
be=[b;0];
ce=[cT 0];
P=[-1 -2 -3]; % valorile proprii doritekT=acker(Ae,be,P);
Nx=[1;0]; % cT*Nx=1 -> Nx, xr=yr*Nx=x1Aech=[A-b*kT(1:2) -b*kT(3); -cT 0]
bech=[b*kT(1:2)*Nx;1]
cech=ce
[num,den]=ss2tf(Aech,bech,cech,0)
roots(den) %verificare
Dupa executie se obtin rezultatele:
Aech =
0 1 0
-11 -6 6
-1 0 0
bech =
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
17/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /17
0
11
1
cech =
1 0 0
num =
0 -0.0000 11.0000 6.0000
den =
1.0000 6.0000 11.0000 6.0000
ans =
-3.0000
-2.0000
-1.0000
Schema Simulink este prezentat n Figura 11.9 i rspunsul procesului n Figura11.10.
Figura 11.9Schema de reglare a) cu reacie dup eroarea strii fr estimator
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
18/28
Lucrarea 11
L11 / 18
Figura 11.10Schema de reglare a). Rspunsul procesului cnd Nx= [1;0]
Figura 11.11 Schema de reglare a). Rspunsul procesului cnd Nx= [0;0]
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
19/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /19
u y
s
1k
1k
nk
nx
1x
M
*ry
xcy
buAxx
T
'
=
+=
L
Figura 11.12Schema de reglare a) cnd Nx= [0;0] - reacie dup stare
Figura 11.11 prezint rspunsul procesului n cazul particular cnd Nx=[0;0]. nacest caz, schema de reglare se simplific (vezi Figura 11.12) i legea decomand (11.19) devine:
= kxkuT
utiliznd reacia dup stare n locul erorii strii.
Dup execuia programului Matlab de mai sus n care s-a modificat doar linia:
Nx=[0;0]; % Nx fortat la [0;0]
se obtin rezultatele:Aech =
0 1 0
-11 -6 6
-1 0 0
bech =
0
0
1
cech =
1 0 0
num =
0 -0.0000 -0.0000 6.0000
den =
1.0000 6.0000 11.0000 6.0000
ans =
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
20/28
Lucrarea 11
L11 / 20
-3.0000
-2.0000
-1.0000
Comparnd cele 2 cazuri: cnd Nx=[1;0] i legea de comand se calculeaz dup eroarea strii,
rspunsul este mai rapid, ns are un suprareglaj. Funcia de transferechivalent a sistemului rezultant este:
6116
611)(
23 +++
+=
sss
ssH
cnd Nx=[0;0] i legea de comand se calculeaz dup stare, rspunsul estemai lent dar far suprareglaj. Funcia de transfer echivalent a sistemului
rezultant este:
6116
6)(
23 +++=
ssssH
Not important: Schema de reglare cu reacie dup stare din Figura 11.12conduce la comportamente diferite n funcie de condiiile iniiale ale procesului,deoarece legea de comand depinde de stare i nu de eroarea ei. De exemplu,dac un sistem de poziionare cu traductor absolut de poziie are poziia iniial: a)0 i b) 10, se va comporta diferit cnd i se va cere s fac aceeai deplasare ncele 2 cazuri. Din acest motiv, schemele de reglare bazate pe eroarea strii suntpreferabile celor bazate pe stare. Pentru a elimina suprareglajul care apare nprimul caz, o soluie este introducerea unui filtru pe referin astfel nct acesta sanuleze efectul zeroului din funcia de transfer echivalent. Pentru exemplul de maisus, funcia de transfer a filtrului trebuie s fie:
611
6)(
+=
ssH
Exist ns aplicaii n care starea iniial este ntotdeauna nul. n acest caz,schema de reglare cu reacie dup stare se poate utiliza cu succes.
b) Regulator cu reacie dup eroarea strilor estimate i integrator
Programul Matlab:
A=[0 1;0 -1];
b=[0; 1];
cT=[1 0];
[nump,denp]=ss2tf(A,b,cT,0) %functia de transfer Hp a procesului
%crearea sistemului extins cu includerea integratoruluiAe=[A zeros(2,1); -cT 0];
be=[b;0];
P=[-1 -2 -3]; %valorile proprii dorite pentru legea de comanda
kT=acker(Ae,be,P); %calcul lege de comanda extinsa
Pe=[-4 -5]; %valorile proprii dorite pentru estimator
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
21/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /21
lT=acker(A',cT',Pe); %calcul lT pentru estimator
L=lT'; % L - vector coloana
%estimatorul: xest'=A*xest+b*u+L(y-cT*xest)se poate pune%sub forma: xest'=(A-L*cT)xest+[b L]*[u;y]%cu 2 intrari: u si y, unde u = k*(Nx*yr-xest)-k3*IerrNx=[1;0]; % xr=yr*Nx=x1Aest=A-L*cT;
best=[b L];
cest=eye(2); % yest=[1 0;0 1]*xest - starile estimate
%inlocuind u in estimator => reprezentarea in SS%a regulatorului avand 2 intrari: eroarea si referinta
Ar=[A-b*kT(1:2)-L*cT -b*kT(3);zeros(1,3)];Br=[-L b*kT(1:2)*Nx+L;1 0];
cr=-kT;
Dr=[0 kT(1:2)*Nx];
%Regulatorul are 2 functii de transfer:[numr1,denr1]=ss2tf(Ar,Br,cr,Dr,1) %Hr1 de la eroare la comanda
[numr2,denr2]=ss2tf(Ar,Br,cr,Dr,2) %Hr2 de la referinta la comanda
%functia de transfer a sistemului rezultant este%Hech=(Hr1+Hr2)*Hp/(1+Hr1*Hp)
[num12]=numr1+numr2; % calcul numarator Hr1+Hr2, numitorul e identic[num1,den1]=series(nump,denp,num12,denr1);
%H1=Hp*(Hr1+Hr2)
[numbd,denbd]=series(numr1,denr1,nump,denp);%Hdb=Hr1*Hp
[num2,den2]=feedback(1,1,numbd,denbd);%H2=1/(1+Hdb)=1/(1+Hr1*Hp)[num_e,den_e]=series(num1,den1,num2,den2)
%H_e=H1*H2=Hp*(Hr1+Hr2)/(1+Hr1*Hp)zerouri=roots(num_e)
poli=roots(den_e)
Dup execuie se obin rezultatele:
nump =
0 0 1.0000
denp =
1 1 0numr1 =
0 154.0000 274.0000 120.0000
denr1 =
1 14 71 0
numr2 =
11.0000 -49.0000 0.0000 0
denr2 =
1 14 71 0
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
22/28
Lucrarea 11
L11 / 22
num_e =
1.0e+004 *
Columns 1 through 6
0 0 0.0011 0.0270 0.2784
1.3936
Columns 7 through 11
3.2545 2.9654 0.8520 0 0
den_e =
1.0e+004 *
Columns 1 through 6
0.0001 0.0030 0.0395 0.2846 1.1939
2.9390
Columns 7 through 11
4.1065 2.9654 0.8520 0 0
zerouri =
0
0
-7.0000 + 4.6904i
-7.0000 - 4.6904i
-5.0000
-4.0000
-1.0000
-0.5455
poli =
0
0
-7.0000 + 4.6904i
-7.0000 - 4.6904i
-5.0000
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000 + 0.0000i
-1.0000 - 0.0000i
n urma simplificrii, func
ia de transfer echivalent
pentru sistemul rezultant
devine:
)3)(2)(1(5455.0
)5455.0(6)(
+++
+=
sss
ssH
Schema Simulink este prezentat n Figura 11.13 i rspunsul procesului n Figura11.14.
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
23/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /23
Figura 11.13Schema de reglare b) cu reacie dup eroarea strii estimateiintegrator
Figura 11.14Schema de reglare b). Rspunsul procesului cnd Nx= [1;0]
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
24/28
Lucrarea 11
L11 / 24
Figura 11.15Schema de reglare b). Rspunsul procesului cnd Nx= [0;0]
Figura 11.15 prezint rspunsul procesului n cazul particular cnd Nx=[0;0]. nacest caz, legea de comand devine:
= kxkuT
utiliznd reacia dup stare n locul erorii strii.
Dup execuia programului Matlab de mai sus n care s-a modificat doar linia:
Nx=[0;0]; % Nx fortat la [0;0]
se obin rezultatele:nump =
0 0 1.0000
denp =
1 1 0
numr1 =
0 154.0000 274.0000 120.0000
denr1 =
1 14 71 0
numr2 =
0 -148.0000 -220.0000 0
denr2 =
1 14 71 0
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
25/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /25
num_e =
1.0e+004 *
Columns 1 through 6
0 0 0 0.0006 0.0144
0.1440
Columns 7 through 11
0.6816 1.4034 0.8520 0 0
den_e =
1.0e+004 *
Columns 1 through 6
0.0001 0.0030 0.0395 0.2846 1.1939
2.9390
Columns 7 through 11
4.1065 2.9654 0.8520 0 0
zerouri =
0
0
-7.0000 + 4.6904i
-7.0000 - 4.6904i
-5.0000
-4.0000
-1.0000
poli =
0
0
-7.0000 + 4.6904i
-7.0000 - 4.6904i
-5.0000
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000 + 0.0000i
-1.0000 - 0.0000i
n urma simplificrii funcia de transfer echivalent pentru sistemul rezultantdevine:
)3)(2)(1(6)(
+++=
ssssH
Ca i n cazul a) dac Nx=[0;0] se elimin zeroul din funcia de transferechivalent, ceea ce conduce la un rspuns mai lent dar fr suprareglaj.
Not important: Spre deosebire de cazul a), dac Nx=[0;0] schema de reglareobinut se poate aranja astfel nct s depind de eroarea (vezi reprezentareaprin funcii de transfer din Figura 11.13). Sub aceast form se elimin riscul de-aavea comportamente diferite funcie de starea iniial a procesului. Prin urmare
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
26/28
Lucrarea 11
L11 / 26
varianta cu Nx=[0;0] poate fi considerat pentru acele aplicaii unde absenasuprareglajului este mai important dect viteza de rspuns.
c) Regulator cu estimator al erorii strilor i integrator
Programul Matlab:
A=[0 1;0 -1];
b=[0; 1];
cT=[1 0];
[nump,denp]=ss2tf(A,b,cT,0) %functia de transfer Hp a procesului
%crearea sistemului extins cu includerea integratorului
Ae=[A zeros(2,1); -cT 0];be=[b;0];
P=[-1 -2 -3]; %valorile proprii dorite pentru legea de comanda
kT=acker(Ae,be,P); %calcul lege de comanda extinsa
Pe=[-4 -5]; %valorile proprii dorite pentru estimator
lT=acker(A',cT',Pe); %calcul lT pentru estimator
L=lT'; % L - vector coloana
%estimatorul: xest'=A*xest+b*u+L(-err-cT*xest) se poate pune%sub forma: xest'=(A-L*cT)xest+[b -L]*[u;err]%cu 2 intrari: u si err, unde u = k*xest-k3*IerrAest=A-L*cT;
best=[b -L];
cest=eye(2); % yest=[1 0;0 1]*xest - starile estimate
%inlocuind u in estimator -> reprezentarea in SS a regulatoruluiAr=[A-b*kT(1:2)-L*cT -b*kT(3);zeros(1,3)];
br=[-L;1];
cr=-kT;
%Regulatorul are functia de transfer:[numr,denr]=ss2tf(Ar,br,cr,0)
%functia de transfer a sistemului rezultant este[numbd,denbd]=series(numr,denr,nump,denp);%Hdb=Hr*Hp[numbi,denbi]=feedback(numbd,denbd,1,1)
%Hbi=Hbd/(1+Hbd)=Hr*Hp/(1+Hr*Hp)
zerouri=roots(numbi)poli=roots(denbi)
Dup execuie se obin rezultatele:
nump =
0 0 1.0000
denp =
1 1 0
numr =
0 154.0000 274.0000 120.0000
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
27/28
Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt
L11 /27
denr =
1 14 71 0
numbi =
0 0 0 154.0000 274.0000
120.0000
denbi =
1.0000 15.0000 85.0000 225.0000 274.0000
120.0000
zerouri =
-1.0000
-0.7792
poli =
-5.0000
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000
n urma simplificrii funcia de transfer echivalent pentru sistemul rezultantdevine:
)5)(4)(3)(2(7792.0
)7792.0(120)(
++++
+=
ssss
ssH
Schema Simulink este prezentat n Figura 11.13 i rspunsul procesului n Figura11.14
Figura 11.16Schema de reglare c) cu estimarea erorilor strilori integrator
-
7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta
28/28
Lucrarea 11
L11 / 28
Figura 11.17Schema de reglare c). Rspunsul procesului
Not: Schema de reglare c) are avantajul simplitii. Ea introduce ns un zerou nfuncia de transfer echivalent, care conduce la un suprareglaj mai mare dect ncazurile a) i b) cu Nx=[1;0], adic cnd se utilizeaz reacia dup eroarea strii.
3. Cerinele lucrrii de laborator
1. Se cere s se proiecteze varianta discretizat a celor 3 sisteme de reglareprezentate n exemplul 2. Se va considera pasul de eantionare 0,1s.
4. Exerciii
1. Pentru sistemul de reglare din figura 11.18, s se determine valoarea minim afactorului K, astfel nct eroarea staionar s fie mai mic de 1%.
Figura 11.18Schema de reglare 12. S se calculeze eroarea staionar a sistemului de reglare din figura 11.19,
pentru K=2, dac se aplic o perturbaie treapt ( )s
sHv2
= i referina este 0.
yK
*
ry
12
1
+s
1+s
s
+
+
v
+
Figura 11.19Schema de reglare 2
y* +- K 110
1
+s
y