Download - proprietatile_determinantilor.ppt
![Page 1: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/1.jpg)
PROPRIETATILEPROPRIETATILEDETERMINANTILORDETERMINANTILORCUPRINSProprietatea 1
Proprietatea 2 Concluzii
Proprietatea 3 Aplicatie practica
Proprietatea 4
Proprietatea 5 Test
Proprietatea 6 Rezolvare test
Proprietatea 7
Proprietatea 8
Proprietatea 9
![Page 2: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/2.jpg)
Competenţe specifice vizate:C3.1Aplicarea proprietăţilor în
probleme de calculC3.2Rezolvarea unor ecuaţii
utilizând algoritmii de calcul
![Page 3: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/3.jpg)
PROPRIETATEA 1
Determinantul matricei pătratice Determinantul matricei pătratice A A este egal cu este egal cu determinantul matricei transpuse ;determinantul matricei transpuse ;
ObsObs.. Acesta proprietate ne arata ca orice Acesta proprietate ne arata ca orice proprietate proprietate
valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.
Determinantul matricei pătratice Determinantul matricei pătratice A A este egal cu este egal cu determinantul matricei transpuse ;determinantul matricei transpuse ;
ObsObs.. Acesta proprietate ne arata ca orice Acesta proprietate ne arata ca orice proprietate proprietate
valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.
![Page 4: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/4.jpg)
EXEMPLU
110
221
1621
121
126
012
![Page 5: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/5.jpg)
PROPRIETATEA 2
![Page 6: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/6.jpg)
exemplu
0
132
221
132
0
100
211
122
L1 = L3 C1=C2
![Page 7: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/7.jpg)
PROPRIETATEA 3PROPRIETATEA 3
Dacă matricea B se obţine din matricea A permutand două linii (coloane), atunci det B=- det A;
Dacă matricea B se obţine din matricea A permutand două linii (coloane), atunci det B=- det A;
![Page 8: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/8.jpg)
EXEMPLU
150
525
153
A
150
153
525
B
In matricea B am schimbat liniile 1si 2 din matricea A.
detA = -19
Det B=19
![Page 9: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/9.jpg)
PROPRIETATEA 4
• Dacă toate elementele unei linii (coloane) ale unei matrice se înmulţesc cu un număr a, atunci se obţine o matrice al cărei determinant este egal cu produsul dintre a şi determinantul matricei;
![Page 10: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/10.jpg)
EXEMPLU
150
525
153
A
Inmultim elementele liniei 2 cu nr. 4 obtinem matricea :
150
20820
153
B
Det B = -76 = 4(-19) = 4 det A
![Page 11: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/11.jpg)
OBSERVATIE
•ESTE O PROPRIETATE IMPORTANTA PENTRU CA NE PERMITE SA SCOATEM FACTOR COMUN DE PE LINII SI/SAU
COLOANE ASTFEL INCAT DETERMINANTUL CARE RAMANE ESTE
MAI USOR DE CALCULAT.
![Page 12: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/12.jpg)
exemplu
132
221
401624
132
221
523
8
![Page 13: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/13.jpg)
PROPRIETATEA 5
•Dacă toate elementele unei linii (coloane) dintr-o matrice pătratică sînt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;
![Page 14: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/14.jpg)
EXEMPLU
0
132
000
132
0
130
220
130
![Page 15: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/15.jpg)
PROPRIETATEA 6
•Dacă o matrice conţine două linii (coloane) proporţionale, atunci determinantul ei este egal cu zero;
![Page 16: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/16.jpg)
exemplu
0
131
396
132
Observam ca liniile 1 si 2
sunt proportionale pentru ca elementele liniei 2 se obtin din elementele liniei1 prin inmultire cu 3
L2= 3L1
![Page 17: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/17.jpg)
PROPRIETATEA 7
•Dacă o linie (coloana) a unei matrice este o combinaţie liniară a altor două linii (coloane), atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;
![Page 18: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/18.jpg)
EXEMPLU
150
353
153
A
Observam ca elementele liniei 2 se obtin prin adunarea elementelor liniei 1 cu elementele liniei 3 inmultite cu 2. deci linia 2 este o combinatie liniare a liniilor 1si 3.
L2=L1+2L3
Det A =0
![Page 19: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/19.jpg)
Proprietatea 8
•Daca elementele unei linii (coloane)se pot scrie ca suma de doi termeni atunci determinantul matricei de poate scrie ca suma de doi determinanti in care elementele liniilor(coloanelor) sunt aceleasi cu exceptia liniei (coloanei) scrisa ca suma.
![Page 20: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/20.jpg)
exemplu
131
324
132
131
411122
132
131
112
132
131
412
132
![Page 21: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/21.jpg)
PROPRIETATEA 9
•Dacă la elementele unei linii (coloane) a matricei A adunăm elementele ale altei linii(coloane) înmulţite cu unul şi acelaşi număr a,atunci se obţine o matrice, al cărei determinant este egal cu determinantul matricei A;
![Page 22: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/22.jpg)
concluzii
•CAND UN DETERMINANT ESTE ZERO?
![Page 23: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/23.jpg)
Dacă matricea A are două liniiDacă matricea A are două linii(coloane)(coloane) egale, atunci egale, atunci determinantul ei este egal cu zero;determinantul ei este egal cu zero;
Dacă toate elementele unei liniiDacă toate elementele unei linii(coloane)(coloane) dintr-o matrice dintr-o matrice pătraticăpătratică
sunt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este sunt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;egal cu zero;
Dacă o linieDacă o linie(coloana)(coloana) a unei matrice este o combinaţie a unei matrice este o combinaţie liniară a altor două liniiliniară a altor două linii(coloane)(coloane), atunci determinantul , atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;acestei matrice este egal cu zero;
Dacă o matrice conţine douăDacă o matrice conţine două liniilinii(coloane)(coloane) proporţionale, proporţionale, atunci determinantul ei este egal cu zero;atunci determinantul ei este egal cu zero;
![Page 24: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/24.jpg)
Aplicatie practicaAplicatie practica
acbcabxxabxacxbc
xxcxbxaxxcxbcxx
xbxa
cxx
xxb
cxx
xbxa
cxxx
b
xxx
cxxx
xxx
xxx
cxxx
xbxx
a
cxxx
xbxx
xxx
cxxx
xbxx
xxax
2222
00
00
![Page 25: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/25.jpg)
TestTest1. Daca o linie a unui determinant este inmultita cu 2
determinantul se modifica ?2. Daca la coloana a doua adaug prima coloana obtin un
determinant mai mare decat primul ?3. La linia a doua a unui determinant scad prima linie inmultita
cu doi. Ce se intampla ?
4. Fie determinantul el va fi egal cu sau cu
explicaţi răspunsul ales.
5. Daca inversez liniile cu coloanele intr-un determinant atunci se obtine un determinant nul?
3
2
1
xxx
xxx
xxx
3 0 0
0 2 0
0 0 1
xxx
xxx
xxx
3
2
0 0 1
3
2
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
![Page 26: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/26.jpg)
TestTest
6. Daca toate elementele unui determinant sunt pozitive determinantul este pozitiv?
7. Un determinant este nul daca toate elementele sale sunt nule?
8. Daca o linie este egala cu o coloana determinantul este nul?
9. Daca o coloana a unei matrici patratice este o combinatie liniara de celelalte coloane atunci determinantul este egal cu ?
10. Exista proprietati valabile doar pentru linii sau pentru coloane?
11. Se poate calcula determinantul unei matrici de doua linii si trei coloane?
12. Daca inmultesc cu zero o linie si o adun la alta se obtine un determinant nul?
![Page 27: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/27.jpg)
TestTest
13. Care este mai mare:
- determinantul care are elementele de pe doua linii egale cu 10 sau altul care are elementele de pe ultimele doua coloane egale cu 100?
14. Este corect urmatorul calcul ?
15. Este corect urmatorul calcul ?
16. Motivati de ce determinantul este egal cu 0, fara a face calcule.
I7. Daca Det(A) > Det(B) atunci Det(A*B) > Det(A) * Det(B) ?
1005
613
241
123
312
321
1
123
312
321
123
312
321
2
246
624
642
![Page 28: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/28.jpg)
TestTest
18. Fie .
a) Ce proprietati au fost aplicate?
b) Sunt corect aplicate?
c) Unde este greseala?
19. Daca schimb doua linii intre ele determinantul obtinut este opusul determinantului initial.
20. Cand inmultim un determinant cu un numar vom inmulti toate elementele determinntului cu acel numar ?
cba
b
a
c
cba
bcba
acba
ccba
bac
acb
cba
11
11
11
)(
1
1
1
1
1
1
![Page 29: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/29.jpg)
Rezolvare testRezolvare test
1. Da
2. Nu
3. Se obtine acelasi determinant.
4. Corect este al doilea calcul.
5. Nu
6. Nu
7. Nu
8. Nu
9. Nu
10.Proprietatile sunt valabile atat pentru linii cat si pentru coloane.
![Page 30: proprietatile_determinantilor.ppt](https://reader036.vdocumente.com/reader036/viewer/2022062322/55cf929c550346f57b980268/html5/thumbnails/30.jpg)
Rezolvare testRezolvare test
11. Determinantul se calculeaza numai pentru matrici patratice.
12. Nu
13. Ambii determinanti sunt nuli.
14. Nu, Factorul comun se scoate de pe o linie sau de pe o coloana.
15. Nu, Factorul comun se scoate de pe o linie sau de pe o coloana.
16. Da deoarece una din linii este combinatie liniara a celorlalte doua.
17. Nu
18. a) Proprietatile 2, 9. b) Nu c) Ultimul determinant este nul datorita proprietatii 2 deci rezultatul este 0.
19. Da
20. Nu