NUMERE ÎNTREGI
1. Primii paşi pentru lărgirea noţiunii de număr 2. Terminologie
1. Primii paşi pentru lărgirea noţiunii de număr. În şcoala generală, noţiunea de
număr se lărgeşte treptat. Pornind de la mulțimea numerelor naturale (inclusiv zero), se
introduc întâi fracţiile, apoi numerele întregi. În linii mari se respectă ordinea în care
au apărut aceste numere în decursul dezvoltării matematicii - dar numai în linii mari.
Grecii antici, şi-au dat seama de existenţa mărimilor incomensurabile şi au studiat
unele iraţionalităţi, dar nu au cunoscut numerele negative - dacă facem abstracţie de
Diofante.
Dintre cei doi paşi care se fac pentru a lărgi noţiunea de număr, al doilea, este
cu mult mai greu, din următoarele motive:
Numerele naturale au o semnificaţie concretă directă. Orice număr natural
poate fi privit ca rezultat al numărării, oricărui număr natural elevul îi poate asocia
imaginea, mai mult sau mai puţin clară, a mulţimii corespunzătoare. Numerele naturale
au, într-o anumită măsură, totdeauna un caracter concret. Acelaşi lucru se poate spune
şi despre fracţii. De exemplu, fracţia 5/12 reprezintă 5 părţi dintr-un întreg împărţit
în 12 părţi egale. La numerele întregi, însă, lucrurile sunt mai complicate. Pe lângă
valoarea absolută, care exprimă mărimea propriu-zisă, apare şi semnul „+” sau „-”.
Aceste numere nu sunt numai rezultatul unei numărări sau măsurări, ele nu răspund
numai la întrebarea: „cât?” ci şi la întrebarea: „ce fel?” Datorită acestui fapt, legătura
cu realitatea se face mai greu.
Şi mai mare este deosebirea la operaţii. În aritmetică, fiecare din cele patru
operaţii are o semnificaţie concretă: a aduna înseamnă a strânge laolaltă, a mări; a face
o scădere înseamnă a scoate, a micşora ş.a.m.d. (apar unele greutăţi, şi anume:
înmulţirea unui număr cu o fracţie, care nu mai este o adunare repetată). Chiar după ce
elevii şi-au însuşit bine mecanismul de calcul cu numere naturale şi cu fracţii,
semnificaţia concretă a numerelor şi operaţiilor constituie pentru ei o rezervă ascunsă,
care poate fi oricând adusă la suprafaţă. Numerele şi operaţiile păstrează într-o
anumită măsură aderenţe concrete. Acest lucru este asigurat şi prin sensul pe care-l au
cuvintele a aduna, a înmulţi şi celelalte în limba obişnuită.
Lucrurile se schimbă când se trece la numerele întregi. Dacă la adunare şi, într-o
oarecare măsură, la scădere se mai poate face apel la vechea semnificaţie concretă,
acest lucru este cu totul imposibil la înmulţire şi la împărţire. Efectiv, se trece aici la
matematica formală. Se operează cu simboluri după legi bine determinate, fără ca
legătura cu lumea materială, concretă, să se poată face în fiecare moment. Problema de
„a înţelege” operaţiile nu se mai pune. Cum să „înţelegi” că (-)•(-) = +? Ce înseamnă a
înţelege?
În aritmetică se deosebesc la fiecare operaţie două laturi: 1) „ce înseamnă” acea
operaţie şi 2) cum se află rezultatul ei? De exemplu, în cazul împărţirii a:b, unde a şi b
sunt numere naturale, se explică întâi că a împărţi a prin b înseamnă a afla de câte ori
„se cuprinde” b în a şi apoi se învaţă cum se afla câtul. La operaţiile cu numere întregi,
2
prima latură nu există (cu excepţia adunării). În matematică, o operaţie cu numere este
definită prin faptul că se arată ce număr se obţine compunând două numere date.
Datorită acestor greutăţi, numerele întregi se introduc atât de târziu, abia la algebră.
Totuşi, în ultimul timp a apărut tendinţa de a se da unele noţiuni despre numerele
negative începând din clasa a 3-a, şi anume să se dea numai noţiunea de număr întreg
(negativ) şi să se trateze numai adunarea, eventual şi scăderea. Această tendinţă îşi
găseşte justificarea în faptul că numerele negative intervin în viaţa de toate zilele, în
special la determinarea temperaturii. Greutăţile semnalate mai sus nu apar dacă se
tratează numai primele două operaţii.
3
2. Terminologie. Este cazul să lămurim şi o chestiune de terminologie: ce nume trebuie
să dăm numerelor noi care se introduc la începutul cursului de algebră?
În cărţile mai vechi, dintre care unele circulă şi astăzi, aceste numere sunt
numite numere algebrice. Această denumire nu este în concordanţă cu terminologia
ştiinţifică. Un număr algebric este un număr care satisface o ecuaţie algebrică, adică o
ecuaţie de forma P(x) = 0, unde P(x) este un polinom cu coeficienţi întregi. Numerele
raţionale şi radicalii sunt numere algebrice, căci orice număr de forma x = b
a (a, b
întregi, b 0) satisface ecuaţia cu coeficienţii întregi bx – a = 0, iar orice radical a (a
întreg pozitiv) satisface ecuaţia cu coeficienţi întregi xn – a = 0. Noțiunea de număr
algebric se opune noţiunii de număr transcendent („care trece dincolo de orice ecuaţie
algebrică”). Cele mai importante numere transcendente sunt şi e.
Apariţia termenului de număr algebric are o explicaţie istorică. El este o formă
nouă a termenului număr cosic, folosit în special în sec. al XVI-lea în Europa Centrală,
unde algebra se numea Coss. Menţinerea lui astăzi nu ar aduce nici un folos.
Unii folosesc denumirea de numere raţionale. Socotim că acest termen nu este
fericit, căci dă impresia, greşită, că numerele pe care elevii le-au folosit în aritmetică
nu ar fi raţionale. De obicei, un termen nou se introduce pentru a marca o opoziţie. De
exemplu, termenul număr algebric a apărut când s-a descoperit că există numere care
nu sunt algebrice. În acest sens, termenul de număr raţional ar trebui introdus în
şcoală atunci când se introduc numerele iraţionale.
Foarte răspândită este denumirea de numere întregi. Împotriva acestui termen
se poate obiecta că el nu se foloseşte în ştiinţă. În matematică există numere naturale,
întregi, raţionale ş.a.m.d. dar nu există numere relative. Totuşi, considerăm că acest
termen este cel mai potrivit. El exprimă cel mai bine elementul nou pe care-l aduc
aceste numere. Cu ajutorul lor se caracterizează anumite mărimi nu prin proprietăţile
lor intrinsece („mărimi absolute”), ci în raport cu un punct de referinţă. De exemplu, un
segment de 3 cm are o lungime de 3 cm oriunde ar fi aşezat, dar punctul M de abscisă
+3 sau -3 are această abscisă în raport cu un punct anumit, luat ca origine.
Neconcordanţa cu terminologia ştiinţifică este justificată de faptul că în şcoală se
urmează în lărgirea noțiunii de număr o altă ordine decât în construcţia sistematică.
Un cuvânt despre termenii pozitiv şi negativ. Astăzi, aceşti termeni sunt unanimi
acceptaţi. Dacă avem în vedere sensul propriu al acestor cuvinte, ele nu sunt antonime.
În perioada de formare a terminologiei algebrice se foloseau cuvintele pozitiv şi
privativ, care exprimau că este vorba de o mărime care se pune, respectiv se ia, şi
cuvintele afirmativ şi negativ, care exprimau o afirmaţie, respectiv o negaţie. Este
curios că dintre aceste două perechi de antonime, pozitiv-privativ şi afirmativ-negativ,
s-a format perechea mixtă pozitiv-negativ, formată din câte un termen din fiecare
pereche.
Să observăm cu această ocazie că sensul matematic al cuvintelor pozitiv şi
negativ este pe punctul de a suferi o mică schimbare. Există, în special în analiză,
tendinţa de a considera numărul zero ca fiind atât pozitiv cât şi negativ.
4
CORPUL NUMERELOR RAŢIONALE
1. Apariţia numerelor negative 2. Elementele care au concurat la
formarea numerelor negative 3. Apariţia regulilor de calcul cu numere
negative 4. Încercările de a demonstra regulile de calcul cu numere
negative
1. Apariţia numerelor negative. Dintre cei doi paşi prin care se trece de la mulţimea
numerelor naturale la mulţimea numerelor raţionale, primul s-a făcut foarte devreme,
iar al doilea foarte târziu. În cele mai vechi documente matematice, începând cu
manuscrisul lui Ahmes (Egipt, sec. XX-XVII î.e.n.), se tratează calculul cu fracţii, pe
când numerele negative s-au încetăţenit definitiv în matematică abia în sec. al XIX-lea.
Explicaţia acestui fapt este foarte simplă. Nevoia de a măsura mărimi continue
(lungimi, suprafeţe etc), care a dus la noţiunea de fracţie, a apărut încă din vremurile
când mijloacele de producţie au fost foarte primitive, în timp ce numerele negative
corespund unor condiţii economice mai evoluate.
2. Elementele care au concurat la formarea numerelor negative. La formarea
noţiunii de număr negativ au concurat două elemente. Primul, care ar putea fi numit
elementul concret, constă în folosirea numerelor negative pentru a caracteriza
mărimile ce pot fi socotite în două sensuri (avere şi datorie, spre dreapta şi spre
stânga ş.a.m.d.), iar al doilea, care ar putea fi numit elementul operaţional, constă în
faptul că apăreau scăderi în care termenul al doilea este mai mare decât primul.
Elementul al doilea a jucat rolul motor. La început nu au existat probleme cu date
negative, numerele negative au apărut ca rezultate ale scăderii, ca soluţii ale unor
probleme, dar ele nu s-au impus definitiv decât din momentul în care li s-a putut da o
interpretare concretă.
Ideea de număr negativ apare, într-o anumită măsură, la Diofante (sec. III e.n.)
El vorbeşte de numere de scăzut (negative), spre deosebire de numerele de adunat
(pozitive); el dă chiar regula de înmulţire a două numere negative, dar la el numărul
negativ nu apare independent, ci ca scăzător. Regula lui spune că înmulțirea (a-b)(c-d)
dă produsele parţiale ac, -bc, -ad, +bd, dar numerele -b şi -d nu apar la el ca factori de
sine stătători. Totodată, el consideră numai diferenţe a-b, în care a>b, iar când, în
rezolvarea unei ecuaţii, ajunge la o soluţie pe care noi o numim negativă, el consideră
că ecuaţia este imposibilă.
Numerele negative apar sub o formă clară pentru prima oară la algebriştii din
India. Ei au o notaţie specială (un punct deasupra cifrei respective) şi termeni speciali
pentru numerele pozitive şi negative, care în limba obişnuită înseamnă, respectiv, avere
şi datorie. Ei folosesc aceste numere şi pentru a exprima lungimile unor segmente de
pe aceeaşi dreaptă, socotite într-un sens sau altul. Şi arabii considerau soluţiile
negative ca inacceptabile. Nici primii algebrişti europeni nu-l depăşesc pe Diofante. Cei
5
mai mulţi au o atitudine şovăielnică. În cursul dezvoltării algebrei se înregistrează
oscilaţii.
Astfel, Leonardo din Pisa (sec. XIII), într-o problemă de asociaţie care duce la o
soluţie negativă, consideră problema imposibilă, dar adaugă că problema ar avea un sens
dacă partea unuia dintre asociaţi ar fi o datorie. Unii algebrişti din sec. al XVI-lea, ca,
de exemplu, Cardano, admit şi soluţii negative şi le numesc numere fictive, spre
deosebire de numerele adevărate, dar marele algebrist Fr.Vieté (sec. XVII) nu admite
soluţii negative. Până şi Descartes (sec. XVII), care este considerat ca întemeietorul
geometriei analitice, foloseşte numai ordonate negative, nu şi abscise negative - deci
numerele negative numai ca rezultate, nu ca date, iar literele pot lua, în general, numai
valori pozitive.
Fuziunea dintre cele două elemente, cel operaţional şi cel concret, şi rolul
predominant al primului îşi găsesc expresia în faptul că semnele „+” şi „-”, care erau
semne de operaţii, apar nemijlocit şi ca semne pentru numerele pozitive, respectiv
negative.
3. Apariţia regulilor de calcul cu numerele negative. Invenţia numerelor negative
merge mână în mână cu găsirea regulilor după care se operează cu ele. Despre felul în
care s-a ajuns la aceste reguli se ştie prea puţin, în cărţile din timpul Renaşterii, ele
apar în diferite formulări, uneori în versuri, dar totdeauna sub forma dogmatică, ca
nişte constatări sau imperative, fără nici o motivare. Nicăieri nu se arată clar pe ce
cale s-a ajuns la ele. Încercări de a le deduce apar cu mult mai târziu, dar prin ele nu se
urmăreşte obţinerea unor rezultate noi, ci explicarea unor fapte deja cunoscute.
Situaţia era asemănătoare cu cea care apare deseori în ştiinţele naturii, unde se cunosc
o serie de fapte pe care nu le contestă nimeni şi se caută doar explicaţia lor. Regulile
înseşi erau considerate ca date, ele fiind moştenite de la arabi. Totuşi, se poate afirma
că la găsirea acestor reguli au contribuit trei factori: 1) analogia cu numerele pozitive,
2) folosirea simbolurilor algebrice şi 3) practica.
1) Analogia cu numerele pozitive s-a folosit în mod tacit, de exemplu când s-a
dedus regula semnelor din formula după care se înmulţesc două diferenţe, cu notaţia
de azi: (a-b)(c-d) = ac-bc-ad+bd. Din faptul că ultimul termen este pozitiv, + bd, s-a
tras concluzia că produsul a două numere negative „trebuie” să fie pozitiv. Această
formulă poate avea o valoare euristică, ea poate da o indicaţie de cum se înmulţesc
numerele întregi, dar din ea nu se pot deduce regulile căutate.
Întradevăr, a deduce din această formulă că (-b)(-d) = + bd înseamnă a considera
cazul particular când a = c = 0. Dar formula este valabilă numai când a > c şi b > d;
altfel, a - c sau b - d devin negative şi folosirea formulei în acest caz este un abuz
logic, căci ar însemna că, înainte de a şti cum se înmulţesc două numere negative, ştim
cum se înmulţesc două diferenţe care sunt tot numere negative. S-a admis în mod tacit
că formula este în general valabilă, chiar dacă a < c sau b < d, şi datorită acestei
extinderi, datorită faptului că s-au folosit reguli vechi în condiţii mai largi decât cele
iniţiale, algebra a progresat. Se poate spune că numerele negative s-au strecurat în
matematică şi s-au aşezat alături de numerele pozitive pe locurile pe care aveau
dreptul să stea numai acestea. Acest lucru a devenit posibil datorită faptului că
6
matematicienii au început să noteze numerele prin litere. Din moment ce o literă
reprezintă un număr oarecare, era firesc, deşi naiv, să se menţină ca adevărate
diferitele formule, chiar dacă mulţimea la care s-a referit iniţial acest „oarecare” s-a
lărgit.
2) Un rol foarte însemnat l-au jucat simbolurile: notarea numerelor prin litere,
semnul „-” şi parantezele (sau semnele echivalente cu ele). Ele nu erau simple semne
grafice prin care se reprezintă noţiuni clare, ci chiar obiecte cu care se operează.
Uneori, acelaşi simbol are mai multe semnificaţii. Astfel, semnul „-” are trei
semnificaţii: a) el este semnul scăderii; b)dacă se pune semnul „-” în faţa unui număr
scris cu cifre, se obţine numărul negativ corespunzător, de exemplu: ;4
3:5 c) dacă x
este un număr relativ, -x este numărul opus lui x. Tot aşa, parantezele au mai multe
semnificaţii. Cele mai importante sunt: a) ele arată ordinea operaţiilor, de exemplu în
expresia a – (b + c) parantezele arată că se efectuează întâi adunarea şi apoi scăderea;
b) ele se folosesc pentru a evita apariţia a două semne consecutive, de exemplu -(-3)
înseamnă a scădea (-3) sau a lua opusul lui -3.
Cu toate acestea, se operează cu simboluri după aceleaşi reguli, indiferent de
semnificaţia lor. Datorită unei alegeri fericite a simbolurilor - de fapt nu a fost o
alegere făcută în mod conştient cu deplină claritate, simbolurile s-au impus de la sine în
urma unei lupte între ele, în care notaţiile nepotrivite au fost eliminate - s-a pus în
evidenţă unitatea din punct de vedere formal a unor lucrări cu conţinut diferit.
Deosebit de interesant este rolul pe care l-au jucat semnele „+” şi „-”. Iniţial, ele
au indicat, respectiv, adunarea şi scăderea. Apoi ele au fost folosite şi pentru a nota
numerele întregi. Dar lucrurile nu s-au oprit aici. în expresii ca +3 sau -3, semnele „+” şi
„-” aveau funcţia gramaticală de atribut pe lângă numărul 3. Cu timpul, ele au eclipsat
numărul şi au cucerit o poziţie independentă. În felul acesta s-a ajuns la regula
semnelor în forma ei generală. De exemplu, regula după care produsul a două numere
negative este pozitiv s-a scris sub forma (—a)(—b) = +ab. Aici se subînțelege, dar nu se
spune, că a şi b sunt numere pozitive. Această formulă se foloseşte apoi, oricare ar fi
semnele numerelor a şi b. De exemplu, se spune că (-2x)(-3y) = + 6xy, deşi s-ar putea
ca x şi y să fie negativi, deci ambii factori să fie pozitivi. Totuşi, se spune: „minus” ori
„minus” dă „plus”. Semnul copleșeşte simbolul în faţa căruia se află.
Datorită semnificaţiei multiple a simbolurilor şi rolului lor preponderent, s-a
ajuns la un adevărat calcul simbolic, care se poate rezuma în patru reguli: + cu + dă + ; +
cu – dă -; - cu + dă -; - cu – dă +, valabil atât la desfacerea parantezelor (adunarea şi
scăderea unor sume şi diferenţe), cât şi la înmulţire şi împărţire, precum şi la
transformarea unor expresii ca +(-3), -(-3) etc. Aceste reguli cu aspectul unor legi de
compoziţie a semnelor „+” şi „-”, nu a numerelor; operaţia nu se numeşte, se foloseşte
cuvântul „cu” (minus cu minus dă plus). Semnul „-” apare ca un operator care asociază
fiecărui număr opusul său, distributiv faţă de adunare şi scădere.
3) Aceste reguli nu au fost acceptate cu uşurinţă. Au apărut unele contradicţii şi
reticenţe. Ceea ce a făcut ca acest ansamblu de reguli atât de complex să se impună a
fost practica. El a fost acceptat pentru că dă rezultate care corespund unor fenomene
7
şi relaţii din realitate. Verificarea în practică a constituit singura bază solidă,
liniştitoare pentru algebriştii mai scrupuloşi.
Atât greutăţile de a lămuri lucrurile din punct de vedere teoretic, cât şi rolul
practicii sunt exprimate sub o formă emoţionantă în următoarele rânduri ale lui Clavius
(1544): „Se pare că trebuie să renunţăm la motivarea acestei reguli privind înmulţirea
numerelor cosice şi a semnelor + şi -. Trebuie să atribuim neputinţei omeneşti faptul că
nu poate pricepe de ce este adevărată. Dar de justeţea regulii înmulţirii nu trebuie să
ne îndoim pentru că este confirmată de multe exemple”. Algebra se numea cosa.
Numere cosice - numere folosite în algebră, adică numere întregi. Ultimele cuvinte nu
pot avea alt sens decât că regula este confirmată de practică. După cum se vede,
drumul de la „numerele de scăzut” ale lui Diofante până la ansamblul de reguli după care
se operează cu numere întregi aşa cum apar ele în manualele de astăzi n-a fost nici
rectiliniu, nici luminos.
4. Încercările de a demonstra regulile de calcul cu numere întregi. Calcule cu
numere negative s-au făcut foarte multă vreme, timp de secole, fără să existe o teorie
închegată a acestor numere. După cum am spus, în primele cărţi de algebră expunerea
era dogmatică. Există însă o excepţie. În lucrarea sa Summa (1494), Luca Pacioli
încearcă să demonstreze că la înmulţire „minus ori minus fac totdeauna plus”. În sec. al
XVIII-lea, după ce calculul algebric devenise un bun comun al matematicienilor,
încercările de a demonstra regulile de calcul cu numere întregi, în special regula
semnelor, devin frecvente. Matematicieni de seamă, de exemplu Clairaut, Laplace sau
Euler, au dat demonstraţii, în mod fatal eronate - astăzi orice student care a urmat un
curs de bazele algebrei le recunoaşte ca greşite.
Reproducem aici două dintre aceste demonstraţii, care reprezintă două moduri
diferite de a aborda problema. Iată demonstraţia lui Luca Pacioli.
„10m~
2 egal cu 8 înseamnă că 10m~
2 înmulţit cu 10m~
2 este egal cu 64; dar,
aplicând înmulţirea cruciş, obţinem 10 înmulţit cu 10 egal cu 100, apoi de două ori 10
înmulţit cu m~
2, ceea ce dă m~
40 şi, prin urmare, dă împreună 60, de unde rezultă că
m~ 2 înmulţit cu m~
2 trebuie să fie 4”.
Aceste rânduri nu pot constitui o demonstraţie, dar ele ne arată cum s-a ajuns la
regula semnelor. Ele arată cum se extinde o regulă dincolo de domeniul ei de
aplicabilitate. Întradevăr, se calculează (10-2) (10-2) şi se trage concluzia că (-2)(-2) =
+ 4. Pe de altă parte, simbolul „m~
” se foloseşte ca semn al scăderii şi pentru a arăta că
numărul respectiv este negativ; în expresia dată, 10m~
2 ori 10m~
2, simbolul „m~
” joacă
primul rol, iar la sfârşit, când se spune că m~
2 ori m~
2 este egal cu 4, rolul al doilea.
8
Euler se bazează mai mult pe semnificaţia concretă a numerelor întregi. Se
stabileşte întâi că (+a) (+6) = ab. Apoi se arată că, înmulţind (-a) cu 3, deci o datorie a
cu 3, se obţine o datorie de 3 ori mai mare, deci -3a, deci (-a)(+6) = - ab, şi se spune în
continuare:
„De aici tragem concluzia că, dacă înmulţim o mărime pozitivă cu una negativă,
produsul este negativ, de unde regula: + cu + dă + sau plus; dar + cu - sau - cu + dă - sau
minus”. Aşadar se justifică regula semnelor pentru cazul când primul factor este
pozitiv, iar al doilea este negativ şi se trage concluzia că regula obţinută este valabilă
când unul din factori, indiferent care, este pozitiv şi celălalt este negativ. Se admite
deci în mod tacit că înmulţirea este comutativă, ca în cazul numerelor pozitive. Pentru
cazul când ambii factori sunt negativi, -a şi -b, se arată că produsul este ab şi urmează
să se stabilească semnul.
„Zic că semnul nu poate fi -, căci -a înmulţit cu +6 dă -ab şi -a înmulțit cu -b nu
poate să dea acelaşi rezultat cu (-a) cu (+b), ci trebuie să dea rezultatul contrar, care
este +ab”. Dacă se acceptă acest argument, că (-a)(-b) nu poate să dea acelaşi rezultat
ca (-a)(+b), atunci acest produs nu poate fi egal nici cu +ab, căci în acest caz rezultatul
ar fi acelaşi ca la (+a)(+b). Ar urma că înmulţirea (-a)(-b) este imposibilă.
Toate încercările de a demonstra regulile de calcul cu numerele întregi erau
sortite eşecului câtă vreme s-a crezut că ele pot fi deduse din regulile cunoscute din
aritmetică. În această chestiune s-a făcut lumină abia către sfârşitul secolului trecut,
prin construcţia sistematică a inelului numerelor întregi şi a corpului numerelor
raţionale.
OBSERVAŢII METODOLOGICE ŞI METODICE
1. Ordinea istorică şi ordinea urmată în construcţia sistematică
2. Concluzii pentru învăţământ
1. Ordinea istorică şi ordinea urmată în construcţia sistematică. La corpul
numerelor raţionale se poate ajunge pe două căi, care pot fi reprezentate schematic
prin:
1) numere naturale - fracţii - numere raţionale şi 2) numere naturale - numere
întregi - numere raţionale, mai scurt: 1) N - Q+ - Q şi 2) N - Z - Q.
Acelaşi lucru arată figura de mai jos (etapele succesive sunt indicate prin cifre
arabe). Prima schemă reprezintă calea istorică şi totodată cea adoptată în învăţământ,
iar a doua - cea din construcţia sistematică. Neconcordanţa dintre aceste căi are unele
inconveniente. În primul rând vine faptul că la introducerea numerelor negative se iau
ca bază numerele pe care elevii le cunosc de la aritmetică, şi anume: numerele naturale
şi fracţiile (ordinare şi zecimale). Operațiile cu numere întregi se reduc, prin
intermediul noţiunii de modul al unui număr relativ, la operaţii cu aceste numere. Se
face astfel mereu apel la o mulţime de numere, s-o numim mulţimea A, care nu există în
ştiinţă. Aceste numere se numesc uneori numere aritmetice sau numere fără semn,
9
ceea ce este în contradicţie cu terminologia ştiinţifică; în ştiinţă există numere
naturale, întregi, raţionale etc, dar nu există numere aritmetice. Totuşi, în şcoală nu ne
putem lipsi de această clasă A şi de acest termen, atât de mult criticat. Această
abatere de la clasificarea ştiinţifică a numerelor şi de la terminologia ştiinţifică este o
consecinţă inevitabilă a faptului că în şcoală etapele lărgirii noţiunii de număr sunt
altele decât în construcţia sistematică.
În al doilea rând vine neconcordanţa dintre felul cum se defineşte numărul
raţional în ştiinţă şi în şcoală. În construcţia sistematică, un număr raţional este
reprezentat printr-o expresie de forma ,b
a unde a şi b sunt numere întregi, de
exemplu .4
3
În şcoală şi în practică, asemenea expresii nu sunt admise. Numerele
raţionale se scriu sub formă de fracţie aritmetică precedată de semnul ,,+”sau „-”;
expresia ,4
3
de exemplu, trebuie pusă sub forma .
4
3 Cu privire la faptul că
b
a este
numai un reprezentant al numărului raţional, iar numărul raţional este o clasă.
În sfârşit menţionăm faptul că, dacă numerele 1,2,3, ... se numesc, atât în şcoală
cât şi în ştiinţă, numere naturale, nu există o denumire convenabilă pentru numerele de
forma b
a unde a şi b sunt numere naturale, ca
5
3,
2
1 etc, atât de mult folosite în
practică.
2. Concluzii pentru învăţământ. Cele ce precedă ne permit să înţelegem situaţia din
învăţământ şi să tragem unele concluzii. Algebra elementară se predă astăzi ca acum
200 de ani. Cele arătate mai sus, despre apariţia şi motivarea regulilor de calcul cu
numere întregi, reprezintă în acelaşi timp şi o descriere a modului în care se predă şi
astăzi în şcoală calculul cu numere întregi. Elevii cei mai buni au, la absolvirea şcolii,
despre aceste numere o idee care corespunde în linii mari situaţiei de pe timpul lui
Euler. Pentru ei, numerele negative sunt, categoric, deosebite de numerele
„aritmetice”. Despre numerele pozitive ei nu au o idee clară: aceste numere sunt
deosebite de cele „aritmetice”, căci se scriu cu semnul „+” în faţă, totuşi acest semn
poate fi omis, ceea ce înseamnă că un număr pozitiv este acelaşi lucru cu numărul
„aritmetic” corespunzător, de exemplu +3 este tot una cu 3.
10
Regulile de calcul se predau mai mult sau mai puţin dogmatic. Unele dintre ele se
motivează prin semnificaţia concretă a numerelor şi a operaţiilor - deci se foloseşte
criteriul practicii, ca la primii algebrişti - altele se dau fără motivare. Elevii îşi
însuşesc: ansamblul regulilor de calcul datorită unui număr mare de exerciţii, le aplică
pe urmă în cadrul algebrei şi în alte discipline matematice şi obţin rezultate
„adevărate”. Ei capătă astfel încredere în acest sistem de reguli şi simboluri datorită
eficienţei lui şi datorită autorităţii cărţilor - aşa cum s-au petrecut lucrurile în
decursul istoriei algebrei. Mai mult, şi unii elevi manifestă o anumită nelinişte în
legătură cu unele reguli; ei se întreabă de ce? - întrebare care rămâne fără răspuns.
În sfârşit, apar şi astăzi din partea unor profesori încercări de a da un simulacru
de demonstraţie - ca la unii matematicieni din trecut. Legea biogenetică funcţionează
din plin! Ce ar fi de făcut în prezent?
În primul rând, în şcoală trebuie urmată şi de acum înainte ordinea N - Q+ - Z.
Această ordine este deplin justificată prin considerente de ordin practic şi pedagogic:
fracţiile joacă în practică, un rol cu mult mai mare decât numerele negative, ele
intervin în acţiunile cele mai simple din viaţa de toate zilele, iar operaţiile cu fracţii se
învaţă cu mult mai uşor decât operaţiile cu numere întregi.
În al doilea rând, în învăţământ nu se poate începe cu expunerea sistematică.
Pentru a putea înţelege construcţia logic-deductivă, elevii trebuie să fie familiarizaţi
cu noţiunile cu care se operează, ei trebuie să aibă o anumită experienţă. Trebuie
respectată legea biogenetică. Construcţia sistematică s-a făcut după ce calculul cu
numere întregi era cunoscut. Dacă un profesor ar începe capitolul despre numere
întregi astfel: „Considerăm toate perechile ordonate de numere naturale (a,b)...” apoi
ar introduce relaţia de echivalenţă, ar defini operaţiile ş.a.m.d., elevii l-ar urmări
foarte greu. Nu se cunoaşte nici o experienţă de acest fel, dar este foarte probabil că
n-ar da rezultate. În lipsa unui material concret şi fără să ştie ce rost au aceste
lucruri, elevilor le-ar fi foarte greu nu numai să înţeleagă, ci chiar să înregistreze ceea
ce spune profesorul. În şcoală trebuie urmată calea genetică.
Aceasta nu înseamnă că modul în care se predă acum algebra în şcoală trebuie să
rămână acelaşi pentru vecie. Se întrevăd pentru viitorul apropiat unele modificări, atât
pentru şcoala generală cât şi pentru liceu, datorită cărora ideile matematicii moderne
să pătrundă în şcoală.
Pe de o parte, este necesar ca elevii să aibă idei mai clare despre noţiunea de
număr întreg şi fracţionar. Elevii trebuie să înţeleagă că aceste numere sunt clase, nu
obiecte individuale. Acest lucru este deosebit de necesar în cazul fracţiilor, unde se
abuzează întrucâtva de semnul „=”. Se scrie de exemplu ,8
6
4
3 deşi aceste fracţii nu
sunt egale, semnul „=”exprimă identitatea, iar aceste fracţii nu sunt identice, căci
84,63 . Trebuie explicat că ,...12
9,
8
6,
4
3 formează unul şi acelaşi număr şi, când se
scrie ,8
6
4
3 aceasta nu înseamnă că cele două fracţii au „aceeaşi valoare” (ce este
„valoarea” unui număr?!) ci că ele sunt doi reprezentanţi ai aceluiaşi număr; când avem
11
de adunat 4
3 cu
6
5, adunăm
12
9 cu ;
12
10 aceasta înseamnă că alegem din clasa lui
4
3 şi din
clasa lui 6
5 câte un alt reprezentant convenabil, cu numitori egali, şi îi adunăm. Aceste
lucruri se pot preda în şcoala generală fără să se facă teoria abstractă a perechilor.
Există experienţe în acest sens. Aceasta în ceea ce priveşte şcoala generală.
Pe de altă parte, în prezent, toată algebra se reia de la început în prima clasă a
liceului. Primele pagini din manual conţin, de obicei, o serie de banalităţi. Într-un
învăţământ concentric bine realizat s-ar putea găsi posibilitatea ca, în acest cadru, să
se arate, sub o formă convenabilă, în ce constă construcţia sistematică.
ELEMENTE DE TEORIA MULŢIMILOR
1. Locul acestei teme 2. Introducerea noţiunii de mulţime
3. Operaţii cu mulţimi 4. Exerciţii la această temă
1. Locul acestei teme. Noţiunea de mulţime joacă un rol fundamental în matematica
modernă. Există propunerea de a introduce această noţiune chiar începând din clasa I
şi de a o folosi tot timpul, în special în cadrul algebrei elementare ar trebui folosită
aproape tot timpul, îndeosebi la precizarea mulţimilor numerice pe care se consideră
diferitele expresii algebrice şi ecuaţiile. Prin faptul că aceste noţiuni au fost introduse
în programă s-a făcut un prim pas. În cadrul acestei lucrări vom merge, însă, pe linia
tradiţională. Considerăm că locul cel mai potrivit pentru această temă este înainte de
introducerea numerelor întregi. În favoarea acestei idei pledează două fapte. În primul
rând vine faptul că avem tendinţa să asociem o noţiune nouă cu ideile şi imaginile de
care a fost însoţită atunci când am întâlnit-o pentru prima oară. Dacă noţiunea de
mulţime se introduce în cadrul inecuaţiilor, se dă elevilor impresia greşită că noţiunea
de mulţime este legată în mod deosebit de acest capitol. În al doilea rând vine faptul
că, procedând astfel, avem ocazia să trecem în revistă diferitele mulţimi de numere pe
care le cunosc elevii: mulţimea numerelor naturale, întregi, raţionale etc. şi să arătăm
relaţiile de incluziune care există între ele.
2. Introducerea noţiunii de mulţime. Dat fiind că această noţiune este foarte
generală, în sensul că elementele unei mulţimi pot fi obiecte absolut oarecare, se
recomandă să se înceapă cu mulţimi formate din obiecte concrete, din viaţa de toate
zilele.
Noţiunea de mulţime este considerată ca o noţiune primară, care nu se
defineşte. Sensul ei se dezvăluie prin exemple. De aceea, în prima lecţie, se anunţă
subiectul şi se trece la exemple ca următoarele: elevii dintr-o clasă a şcolii, elevii
dintr-o şcoală, locuitorii unei comune, unui judeţ etc, cărţile dintr-o bibliotecă,
problemele din cartea de algebră, dreptunghiurile, pătratele, cercurile, numerele
naturale, numerele divizibile cu 2, cu 3 ş.a.m.d., fracţiile ordinare, fracţiile ordinare cu
numărătorul 1, fracţiile ordinare cu numitorul 5 ş.a.m.d.
12
Totodată se arată cum se notează mulţimile (finite): se scriu simbolurile prin
care se notează elementele mulţimii, despărţite prin virgule, şi totul se pune între
acolade. De exemplu, mulţimea formată din elevii Andrei, Barbu, Constantin, Dumitru şi
Emil, notaţi respectiv cu A, B, C, D, E se scrie {A, B, C, D, E}; mulţimea numerelor prime
mai mici decât 20 este {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Ordinea în care se scriu aceste
simboluri nu are nici o importanţă. De exemplu, {1, 2, 3}, {3, 1, 2}, {2, 1, 3} ş.a.m.d.
reprezintă aceeaşi mulţime.
Tot acum se introduce simbolul pentru apartenenţă. De exemplu, dacă A este
mulţimea formată din literele x, y, z, adică A = {x,y,z}, atunci xA, yA, zA, dar
mA, nA. Printre exemple, trebuie să figureze neapărat mulţimea de puncte de pe o
dreaptă şi, cu această ocazie, se dă noţiunea de interval, deschis, închis ş.a.m.d. După
ce s-a dat astfel o primă idee despre noţiunea de mulţime, trebuie precizate
următoarele: 1) elementele unei mulţimi trebuie să fie deosebite unul de altul; 2) o
mulţime nu trebuie neapărat să fie formată din multe elemente - există mulţimi
formate dintr-un singur element, precum şi mulţimi care nu conţin nici un element.
Aceste fapte se arată prin exemple ca următoarele: mulţimea literelor
cuvântului carte este {c,a,r,t,e}, dar mulţimea literelor cuvântului casa este {c,a,s} nu
{c,a,s,a}; mulţimea cifrelor numărului 37572 este {3,7,5,2}, nu {3,7,5,7,2}; mulţimea
cifrelor cu soţ ale numărului 1654 este {6,4}; de aici se trece uşor la mulţimea vidă. Se
cere elevilor să spună care este mulţimea cifrelor cu soţ ale numărului 3159. Răspuns:
această mulţime este vidă.
Un procedeu mai puţin arid este următorul: profesorul cere ca toţi elevii pe
care-i cheamă Ion să se scoale în picioare; se vor ridica 3-4 elevi. Profesorul explică:
„Elevii Ion Popescu, Ion Arhip, ... formează mulţimea elevilor din această clasă care au
prenumele Ion”. Apoi profesorul cere ca toate elevele care au prenumele Elena să se
scoale în picioare. Aceeaşi explicaţie. După aceea profesorul cere ca toţi elevii pe care-
i cheamă Calistrat (se poate lua un alt nume rar) să se scoale în picioare - se obţine o
mulţime vidă.
În sfârşit se arată ce se înţelege prin mulţimi egale. În strânsă legătură cu
noţiunea de apartenenţă se introduce noţiunea de incluziune. Mulţimea B este inclusă în
mulţimea A, dacă orice element al mulţimii B aparţine şi mulţimii A. Se scrie BA sau
A B („B este inclus în A” şi „A include B”). Simbolurile „ ” şi „ ” pot fi puse în
legătură cu semnele „<” şi „>” (semnul „ ” este semnul <, dar rotunjit). De exemplu,
dacă A = {1,2,3,4,5} şi B = {2,4}, atunci BA. Noţiunea de incluziune se poate ilustra
printr-o schiţă. Nu este cazul să se facă distincţie între incluziunea strictă şi
incluziune în sens larg.
3. Operaţii cu mulţimi. Programa prevede reuniunea şi intersecţia mulţimilor. Ar fi
bine să se prevadă şi produsul cartezian. Pentru a introduce noţiunea de reuniune, este
bine să se înceapă cu exemple, lăsându-i pe elevi să înţeleagă pe baza cuvântului
reuniune în ce constă această operaţie. Se consideră, de exemplu, mulțimea formată
din toţi elevii care au căpătat la ultima lucrare notele 5, 6 şi 7 - se cere ca ei să se
scoale în picioare şi după ce au fost identificaţi să se aşeze. Ei formează o mulţime A.
Apoi se cere ca toţi elevii care au o notă mai mare decât 7 să se scoale în picioare şi se
13
procedează la fel. Ei formează o mulţime B. Acum se cere ca elevii care au obţinut cel
puţin nota 5 să se scoale în picioare. Se obţine o mulţime nouă C, care este reuniunea
mulţimilor A şi B, ceea ce se scrie C = AB. Simbolul provine de la litera U.
Urmează câteva exemple abstracte ca:
.,,,;5,4,3,2,14,25,2,1 xbaxba
Elevii îşi formează astfel ideea incompletă că reuniunea este formată din toate
elementele celor două mulţimi. Pentru aceasta, se cere, de exemplu, să se afle {1, 2,
3} {2, 3, 4}. Răspunsul nu este {1, 2, 3, 2, 3, 4}, ci {1, 2, 3, 4} - fiecare element se ia o
singură dată; simbolul {1, 2, 3, 2, 3, 4} nu reprezintă o mulţime. Acest fapt poate fi
ilustrat prin exemplul următor: dacă contopim două colecţii de timbre pentru a forma o
singură colecţie, timbrele care se găsesc în ambele colecţii se iau numai o singură dată.
Este util să se adauge următoarea observaţie: dacă una dintre mulţimi conţine a
elemente, iar cealaltă b elemente, reuniunea lor conţine a + b elemente numai dacă cele
două mulţimi nu au nici un element comun (sunt disjuncte); în cazul contrar, reuniunea
conţine mai puţin decât a + b elemente. După aceste explicaţii se poate da, eventual,
definiţia: Reuniunea a două mulţimi A şi B este formată din elementele care fac parte
din A sau din B, sau atât din A cât şi din B. Apoi se poate trece fără nici o explicaţie la
reuniunea a trei sau chiar a patru mulţimi şi arăta că reuniunea mulţimilor este
comutativă şi asociativă.
În mod analog se tratează intersecţia mulţimilor. Se poate porni de la felul în
care se foloseşte acest termen în geometrie. Când două drepte d şi d’ se taie într-un
punct A, se spune că punctul A este intersecţia celor două drepte. Fiecare din cele
două drepte este o mulţime de puncte, iar punctul A face parte atât din d cât şi din d’.
Se scrie: .' Add În mod analog se interpretează intersecţia a două plane.
După aceasta se poate da definiţia: intersecţia a două mulţimi este formată din
elementele comune celor două mulţimi. Noţiunea de intersecţie se ilustrează foarte
sugestiv prin figurile de mai sus: A şi B sunt cele două mulţimi, iar partea haşurată este
intersecţia lor.
După aceea se trece la mulţimi finite. Se pot lua două trei exemple de mulţimi
formate din obiecte concrete, ca: dacă A este mulţimea formată din toţi elevii care
stau la internat, iar B este formată din toţi elevii clasei a 7a, atunci CBA este
formată din elevii interni din clasa a 7a. Apoi se trece la mulţimi abstracte, ca:
, , , , , .a b c b c d b c
14
Trebuie introdusă şi noţiunea de diferenţă a două mulţimi A şi B - numai pentru
cazul când .AB Diferenţa A - B este mulţimea formată din elementele mulţimii A
care nu aparţin mulţimii B. Această mulţime se obţine eliminând din A toate elementele
care aparţin mulţimii B. De exemplu, dacă 1,3,5,7 , 1,5 ,A B atunci A – B = {3,7}.
Noţiunea de diferenţă a două mulţimi se ilustrează printr-o schiţă ca cea din figura de
mai jos. Această noţiune se foloseşte la precizarea mulţimii pe care se consideră o
ecuaţie sau un sistem de ecuaţii.
4. Exerciţii la această temă. Trebuie făcute cu precădere exerciții orale, fiindcă
cele mai multe se referă la mulţimi în care elementele sunt obiecte din viaţa de toate
zilele şi scrierea este greoaie. Dăm câteva exemple de exerciţii care se pretează ca
temă pentru acasă:
a) Să se scrie mulţimea A a numerelor pare mai mici ca 12, apoi mulţimea B a
numerelor impare mai mici ca 12 şi să se arate care este reuniunea lor şi care este
intersecţia lor.
b) Se consideră mulţimea A formată din toate numerele pare mai mici ca 50 şi
mulţimea B formată din toate numerele mai mici ca 50 şi divizibile cu 3. Care este
intersecţia lor?
c) Pe o dreaptă se dau trei puncte M, N, P, punctul N fiind situat între M şi P.
Fie A intervalul închis MN, iar B intervalul închis NP. Să se afle BA şi ,BA [ BA
este intervalul închis MP, iar BA este punctul N.]
Aceleaşi întrebări dacă intervalele A şi B se consideră deschise. [ BA este
intervalul deschis MP fără punctul N, iar BA = Ө]
d) Fie A mulţimea divizorilor primi ai lui 10 şi B - ai lui 21. Să se afle BA . Fie
M c.m.m.d.c. al acestor numere şi C mulţimea divizorilor primi ai lui M. Ce legătură
există între BA şi C?
[C = BA ]
e) Fie C mulţimea punctelor din plan situate în interiorul unui cerc şi D mulţimea
punctelor unei drepte care taie cercul în două puncte A şi B. Să se afle .DC
[Punctele de pe dreaptă situate între A şi B]
15
f) Se dau două drepte concurente AB şi CD, punctul lor de intersecţie O fiind
situat pe dreapta AB între A şi B, iar pe CD - între C şi D. Fie M mulţimea punctelor din
plan situate faţă de AB de aceeaşi parte cu punctul D, iar N mulţimea punctelor din
plan situate faţă de CD de aceeaşi parte cu punctul B. Se cere .NM
Să se definească în mod analog ca intersecţii a două semiplane, celelalte unghiuri
formate de aceste drepte.
PRIMELE NOŢIUNI DESPRE NUMERELE ÎNTREGI
1. Introducerea numerelor întregi 2. Definiţia numerelor întregi
3. Legătura dintre numerele întregi şi numerele cunoscute de la
aritmetică 4. Axa numerelor 5. Valoarea absolută a unui număr relativ
6. Ordonarea numerelor întregi 7. Noţiunea de interval
8. Procedee didactice
Grupăm în acest paragraf toate cunoştinţele despre numerele întregi deosebite
de operaţii. Scopul principal al acestui capitol este ca elevii să-şi formeze noţiunea de
număr întreg şi să cunoască câteva exemple de mărimi din realitate care se
caracterizează prin numere întregi. Pentru a preîntâmpina unele confuzii, va fi necesar
să discutăm aici şi unele chestiuni de fond.
1. Introducerea numerelor întregi. În cărţile de nivel superior se spune de obicei că
numerele negative se introduc pentru ca scăderea să fie totdeauna posibilă sau, ceea
ce este acelaşi lucru, ca ecuaţia x + b = a să aibă o soluţie oricare ar fi numerele a şi b.
Această motivare ar putea da impresia, greşită, că aşa s-au petrecut lucrurile.
Ar însemna că numerele negative sunt rezultatul unor speculaţii abstracte asupra
operaţiilor sau ecuaţiilor care au la bază postulatul, admis în mod tacit, că orice
operaţie trebuie să fie oricând posibilă sau că orice ecuaţie trebuie să aibă o soluţie.
Aceasta ar putea fi folosit ca argument în favoarea tezei idealiste, că matematica este
o ştiinţă închisă în sine, care se dezvoltă pe baza unor cerinţe pe care ea şi le pune
singură, independent de lumea materială, de practică.
Ideea că numerele negative ar fi rezultatul unor speculaţii abstracte este
greşită atât din punct de vedere istoric cât şi în fond. Din punct de vedere istoric,
primii care au avut o idee clară despre numerele negative au fost matematicienii din
India. Este ştiut că gândirea lor este caracterizată prin imaginaţie, prin înclinarea spre
poezie - spre deosebire de spiritul raţional, speculativ al grecilor antici. Ei nu au avut
preocupări formale. Numerele negative au apărut la ei într-o etapă de dezvoltare a
matematicii când noţiunea abstractă de număr încă nu era complet formată. Faptul că
ei folosesc cuvintele avere şi datorie dovedeşte că numerele negative aveau o
semnificaţie concretă. Ei au introdus aceste numere pentru că şi-au dat seama că prin
16
ele se pot caracteriza anumite mărimi, nu pentru a completa nişte construcţii
abstracte.
Ideea este greşită în fond, pentru că postulatul, tacit, care ar impune
introducerea numerelor negative nu există. Nu orice operaţie trebuie să fie totdeauna
posibilă şi nu orice ecuaţie trebuie să aibă soluţii. Împărţirea cu zero nu este posibilă şi
totuşi noţiunea de număr nu a fost lărgită astfel ca această operaţie să devină posibilă.
De asemenea, ecuaţia 01 xx (ca orice ecuație de forma |f(x)| + |g(x)| +
....+ |h(x)| = 0, unde f(x), g(x), ..., h(x), nu se anulează pentru aceeaşi valoare a lui x), nu
are nici o soluţie, dar aceasta nu a dus la nici o lărgire a noţiunii de număr.
În cărţile de nivel superior, introducerea numerelor negative se poate motiva
prin faptul că datorită lor scăderea devine oricând posibilă sau că ecuaţia x + b = a are
o soluţie chiar dacă a < b - punându-se astfel pe primul plan elementul motor care a dus
la formarea acestor numere -, pentru că se înţelege de la sine că scăderea, respectiv
rezolvarea ecuaţiei, nu este un scop în sine, ci un mijloc de a rezolva probleme puse de
practică. Motivarea care se dă în aceste cărţi este, în fond, tot practică.
În şcoală, introducerea numerelor negative se motivează prin necesitatea de a
caracteriza mărimile care pot fi socotite în două sensuri: spre stânga şi spre dreapta,
în sus şi în jos ş.a.m.d. Nici acest procedeu nu corespunde cu totul dezvoltării istorice,
căci se neglijează aspectul operaţional, dar el corespunde mai bine vârstei elevilor,
deoarece se porneşte de la lucruri concrete. Dăm câteva exemple:
a) avere şi datorie (credit şi debit); b) temperatura; c) axa numerelor; d)
înălţimea socotită de la nivelul mării; e) longitudinea şi latitudinea geografică; f)
forţele care au acelaşi punct de aplicaţie şi aceeaşi direcţie, dar nu acelaşi sens; g)
timpul înainte şi după originea timpului (începutul erei noastre).
Primul din aceste exemple se bucură de cea mai largă răspândire, el este şi cel
mai vechi şi uşor de înţeles. S-ar putea obiecta că formularea nu este prea fericită;
„averea” are un caracter concret - banii pe care-i am îi pot vedea, pot să pun mâna pe ei
- pe când datoria nu. Se pun astfel faţă în faţă două lucruri de naturi diferite. De
aceea ar fi mai indicat să se folosească termenii din contabilitate: credit şi debit.
Scara termometrului este foarte indicată. Elevii o cunosc de la fizică şi din viaţa
de toate zilele şi, mai mult, la măsurarea temperaturii ei au întâlnit deja numere
negative. Axa numerelor nu poate lipsi datorită importanţei pe care o are în general în
matematică. Această reprezentare a numerelor dă roade chiar în cadrul acestui
capitol, la ordonarea numerelor întregi, la adunare, la scădere şi, poate, la înmulţire.
Înălţimea unui punct de pe Pământ socotită de la nivelul mării şi coordonatele
geografice sunt de mică importanţă, elevii nu sunt familiarizaţi cu ele. Acelaşi lucru se
poate spune şi despre ultimul exemplu. Exemplul f) merită toată atenția. Noţiunea de
forţă are un înalt grad de intuitivitate; pentru reprezentarea forţelor se pot folosi
vectori - noţiune pe care elevii o au de la fizică - şi pe acest model se pot învedera
frumos regulile de adunare şi de scădere a numerelor întregi.
Pentru aplicaţiile ulterioare, semnificaţiile cele mai importante ale numerelor
întregi sunt: debit şi credit, temperatura, axa numerelor şi forţele. O menţiune
specială merită următorul material didactic. E vorba de două serii de plăci
17
dreptunghiulare, cum sunt pietrele de domino, dar mai mari. Plăcile sunt de două culori,
albe şi negre, şi au pe feţele laterale câte un semn astfel încât, atunci când sunt
aşezate într-o coloană, să poată fi numărate uşor. Orice număr întreg se poate
reprezenta prin două coloane de culori diferite, aşezate una lângă alta. Diferenţa
dintre numărul pietrelor dintr-o coloană şi din cealaltă este valoarea absolută a acelui
întreg; dacă coloana albă este mai mare, numărul are semnul „+”, iar dacă cea neagră
este mai mare, semnul „-”. De exemplu, 8 pietre albe şi 5 pietre negre reprezintă
numărul +3; 4 pietre albe şi 9 pietre negre reprezintă numărul -5: două stive egale
reprezintă numărul zero.
Această reprezentare a numerelor întregi este, vădit, inspirată de construcţia
sistematică. Numerele întregi se reprezintă ca perechi de coloane, iar un număr întreg
nu este un obiect individual, ci o clasă, căci dacă adăugăm la ambele coloane acelaşi
număr de pietre sau dacă scoatem din ambele coloane acelaşi număr de pietre, cele
două coloane continuă să reprezinte acelaşi număr întreg. Se obţine cea mai simplă
reprezentare a unui întreg (forma canonică) atunci când una dintre coloane este „vidă”.
Şi operaţiile se reprezintă frumos. Pentru a calcula a + b (a, b întregi), se reprezintă
numărul a sub o formă oarecare şi se adaugă |b| pietre albe sau negre, după cum b este
pozitiv sau negativ. Pentru a calcula a - b, se scot, din coloana albă sau neagră lui a,|b|
pietre, după cum b este pozitiv sau negativ (la nevoie, se adaugă la ambele coloane ale
descăzutului acelaşi număr de pietre). Scoaterea unui număr oarecare de pietre dintr-
una din cele două coloane are acelaşi efect ca şi adăugarea aceluiaşi număr de pietre la
cealaltă coloană, de unde rezultă regula scăderii (pentru a scădea un număr, se adună
opusul său).
Împotriva folosirii acestei reprezentări la introducerea numerelor întregi, se
poate obiecta că ea se depărtează prea mult de semnificaţia concretă a acestor
numere. În aplicaţii, aceste numere nu apar ca diferenţe sau ca perechi ordonate de
numere. De exemplu, în faptul că punctele din stânga originii au abscise negative sau că
momentele anterioare originii timpului se reprezintă prin numere negative nu se
găseşte nici pe departe ideea de diferenţă a două lungimi sau a două intervale de timp.
Dacă regulile de calcul cu numere întregi se deduc din această reprezentare a lor,
elevii nu vor fi capabili să le aplice la probleme concrete. De exemplu, se rezolvă o
problemă în care este vorba de un număr de ani „peste câţi ani...?” şi se obţine soluţia x
= -5. Nu se vede cum numărul -5 ar putea fi interpretat ca diferenţă.
18
2. Definiţia numerelor întregi. În unele manuale se dă o definiţie a numerelor întregi
care sună cam astfel: Un număr prevăzut cu semnul „+” se numeşte număr pozitiv, un
număr prevăzut cu semnul „-” se numeşte număr negativ. Aceasta nu este o definiţie.
Prin această frază nu se arată ce este un număr pozitiv sau negativ, se arată doar cum
se notează aceste numere. Ea nu este cu nimic mai bună decât, de exemplu, următoarea
„definiţie”: o fracţie zecimală este un număr de două sau mai multe cifre care conţine o
virgulă. Prin faptul că ştim cu ce simbol se notează o anumită noţiune încă nu ştim nimic
despre esenţa ei. A-i obliga pa elevi să înveţe astfel de definiţii este nu numai o
pierdere de vreme, ci de-a dreptul dăunător. Prin astfel de fraze se compromite rostul
definiţiilor.
Numerele întregi nu se pot defini în cadrul expunerii genetice, care se face în
şcoală. Conţinutul noţiunii de număr relativ se dezvăluie treptat, pe măsură ce se
înaintează în predarea acestui capitol. O definiţie a numerelor întregi ar trebui să
conţină aproape toate regulile operaţiilor cu ele şi ar ocupa mai mult de o pagină, în
învăţământ nu se simte nevoia unei definiţii. După ce se introduc numerele întregi, ca
simboluri ataşate unor mărimi din realitate, se poate trece direct la ordonarea lor şi la
operaţiile cu ele - fără nici o definiţie.
3. Legătura dintre numerele întregi şi numerele cunoscute de la aritmetică. În
construcţia sistematică, numerele întregi pozitive şi numerele naturale sunt două
noţiuni diferite, care, în cele din urmă, se identifică. Se naşte întrebarea dacă şi în
şcoală lucrurile trebuie prezentate astfel sau trebuie să considerăm de la început
numerele raţionale pozitive ca identice cu numerele pe care elevii le cunosc din
aritmetică. De exemplu, + 2 şi 2, +4
3 şi
4
3 trebuie considerate ca numere diferite sau
ca acelaşi număr? În cazul al doilea, semnul „+” se pune numai pentru a deosebi mai bine
aceste numere de cele negative. Considerăm că ele trebuie prezentate de la început ca
identice, în favoarea acestei idei se pot aduce două argumente.
În primul rând, în şcoală introducerea numerelor întregi se motivează prin nevoia
de a caracteriza mărimile, care se pot socoti în două sensuri. Atunci mărimile care au
unul din sensuri se caracterizează prin numerele cunoscute din aritmetică, iar pentru
mărimile care au sensul celălalt se introduc numere noi, negative. De exemplu, pe
semiaxa numerelor, fiecare punct este caracterizat prin distanţa sa la origine, prin
numerele 1,2,4
3 etc. Dacă semiaxa se prelungeşte la stânga originii, se obţin puncte noi,
caracterizate prin numerele -1, -2,-4
3 etc. care se introduc acum. Apariţia punctelor
din stânga originii nu ne obligă de loc să schimbăm modul în care am caracterizat şi
până acum punctele situate la dreapta ei. În al doilea rând - şi acest lucru este mai
important - în practică nu se face nici o deosebire între numerele pozitive şi cele
cunoscute din aritmetică. Mai precis, acestea din urmă sunt considerate ca pozitive. Să
luăm, de exemplu, problema:
19
Ce număr trebuie să adunăm la ambii termeni ai fracţiei 5
3 - ca să obţinem o
fracţie egală cu ?3
5 Ecuaţia
3
5
5
3
x
x dă x = -8. Dacă facem distincţie între numerele
întregi şi numerele naturale, trebuie să spunem că 3 şi 5 sunt numere naturale, căci sub
această formă apare fracţia în şcoală. Pentru x, însă, am obţinut o valoare negativă. Am
ajuns astfel în situaţia absurdă că trebuie să adunăm numerele naturale 3 şi 5 cu
numărul relativ -8. O asemenea operaţie nu există. Lucrurile merg normal dacă termenii
fracţiei se consideră ca numere pozitive, +3 şi +5.
Aşadar, la introducerea numerelor întregi trebuie procedat astfel: se introduce
o mulţime nouă de numere, numerele negative, iar în opoziţie cu acestea, numerelor
cunoscute din aritmetică li se dă denumirea de numere pozitive. De altfel, aceasta
corespunde şi dezvoltării istorice a algebrei. Nu s-a pus niciodată problema de a
introduce numerele pozitive. Algebra s-a îmbogăţit prin apariţia numerelor negative;
numerele cunoscute anterior, ca numere pur şi simplu, fără nici un atribut, au devenit
numere pozitive numai în urma introducerii numerelor negative.
4. Axa numerelor. S-a spus mai sus că la introducerea numerelor negative trebuie
dată neapărat şi reprezentarea lor pe axă. Axa numerelor se introduce foarte natural,
luând ca exemplu din realitate o şosea rectilinie pe care sunt indicate prin pietre
distanțele de la începutul şoselei sau scara unui termometru aşezat orizontal. Aici
trebuie să fim atenţi ca elevii să nu-şi formeze ideea că corespondenţa dintre
numerele raţionale şi punctele dreptei este biunivocă. Nu este vorba de acest termen,
ci de faptul următor: văzând că oricărui număr îi corespunde un punct pe axă, elevii
capătă impresia că şi, invers, oricărui punct de pe axă îi corespunde un număr. Evident,
chestiunea nu poate fi lămurită în şcoala generală - aceasta ar însemna să se
demonstreze că există segmente incomensurabile - dar trebuie să se spună elevilor că,
dacă reprezentăm pe axă toate numerele raţionale, mai rămân puncte cărora nu le
corespunde nici un număr.
De acest fapt trebuie să se ţină seama mai târziu, când se reprezintă grafic
mulţimile de puncte care satisfac nişte inegalităţi. De exemplu, numerele raţionale x
care satisfac dubla inegalitate 0 < x < 1 nu dau toate punctele din intervalul (0,1), ci
numai punctele raţionale din acest interval.
5. Valoarea absolută a unui număr întreg. Noţiunea de modul sau valoarea absolută a
unui număr întreg trebuie introdusă la început, căci ea este necesară atât la ordonarea
numerelor întregi, cât şi la operaţiile cu ele. Definiţia acestei noţiuni cere o mică
discuţie. În unele manuale, valoarea absolută a unui număr relativ se defineşte ca
numărul care se obţine suprimând semnul acelui număr relativ.
De exemplu, |+3| = 3, |-3| = 3, în ambele cazuri fără semn. Această definiţie nu
poate fi acceptată, în special pentru că ea nu poate fi aplicată atunci când numărul
relativ este exprimat printr-o literă sau printr-o expresie algebrică mai complicată.
Cum se poate suprima semnul lui x - 2, de exemplu?
20
Nu există nici un motiv de a ocoli în şcoală definiţia corectă: valoarea absolută a
unui număr pozitiv este chiar acel număr; valoarea absolută a unui număr negativ este
opusul său; valoarea absolută a lui zero este zero. Această definiţie, perfect accesibilă,
este însă utilă numai dacă numerele pozitive sunt considerate ca identice cu numerele
corespunzătoare din aritmetică: +3 este identic cu 3, +5
2 cu
5
2, + 2 cu 2 ş.a.m.d.
Într-adevăr, în toate lărgirile noţiunii de număr, operaţiile cu numerele noi se
efectuează prin intermediul operaţiilor cu numere definite anterior. În cazul numerelor
întregi, se iau ca bază operațiile cu numerele pe care elevii le cunosc de la aritmetică,
iar legătura dintre aceste două feluri de numere se face cu ajutorul modulelor,
considerate ca numere „aritmetice”, căci numai cu astfel de numere ştiu elevii să
opereze în acest moment. De exemplu, pentru a face adunarea (-7) + (-3), se adună 7 cu
3 (şi se schimbă semnul), iar această operaţie s-a învăţat la aritmetică. Dacă se adoptă
celălalt punct de vedere, după care numerele pozitive ar fi altceva decât cele
cunoscute de la aritmetică, regula: Pentru a aduna două numere negative, se adună
valorile lor absolute... n-are nici un sens. În cazul adunării (-7) + (-3), de exemplu, avem:
|-7| = +7, |-3| = +3, deci regula ne spune că, pentru a aduna -7 cu -3, trebuie să adunăm
+7 cu +3. Dar această adunare cum se face?
Alta este situaţia în construcţia sistematică a corpului numerelor raţionale. Aici,
numărul întreg este cu totul altceva decât numărul natural, iar operaţiile cu numere
întregi se reduc la operaţii cu numere naturale. Dar în stabilirea regulilor nu intervine
noţiunea de modul. În matematică se poate da definiţia de mai sus a modulului
indiferent dacă numerele întregi au fost identificate cu numerele naturale sau nu, căci
ea nu se foloseşte la definirea operaţiilor. În şcoală, însă, modulul unui număr relativ
este un număr „aritmetic”.
Menţionăm că în prezent noţiunea de modul se foloseşte prea puţin în cadrul
algebrei elementare. Din cauza aceasta, elevii se izbesc de greutăţi la analiză, când
intervin inegalităţi de forma |x — a| < . Dăm aici câteva exemple de exerciţii:
1) Să se calculeze: a) |+5| + |-3| - |-2| ; b) |- 8| - |- 2| - | + 7|.
2) Să se calculeze: a) |+3| + |+7| şi |+ 3 + 7|; b) |-3| + |-7| şi |-3 + (-7)|; c) |+3| +
|-7| şi |+3 + (-7)|;
d) |-3| + |+7| şi |-3 + (+7)|. Să se compare modulul sumei a două numere cu suma
modulelor lor: |a + b| < |a| + |b|.
3) Exerciţii analoge cu privire la modulul unui produs şi modulul unui cât.
4) Să se calculeze valoarea expresiei |x + |x-1| +2| pentru x = 0, x = 1 şi x = 2.
5) Să se scrie fără a folosi noţiunea de modul: a) y=|x-1|, b) y = |x| + |x-1|.
6) Să se calculeze: +3 + |+3| ; -3 + |-3| ; +5 + |+5|; x + |x|.
7) Să se calculeze: .;3
3;
3
3
x
x
8) Să se calculeze .2
xx
9) Pentru care valori ale lui x are loc relaţia: a) |x| + x – 1 = 3? b) |x| + x – 1= -1?
21
6. Ordonarea numerelor întregi. Mulţimile de numere se ordonează uşor după ce s-a
definit adunarea. Dacă a şi b sunt două numere reale, se spune că a > b dacă există un
număr pozitiv c, astfel încât să aibă loc relaţia a = b + c, sau, ceea ce este acelaşi lucru,
dacă diferenţa a - b este pozitivă.
În şcoala generală însă, ordonarea se face independent de operaţii, în legătură
directă cu semnificaţia concretă a numerelor. Deşi este de mică valoare din punct de
vedere logic, acest procedeu are avantajul că este mai concret. Aşa se procedează şi în
cazul fracţiilor ordinare.
În cazul numerelor întregi, se foloseşte axa numerelor. Din aritmetică se ştie că,
din două numere, cel care este situat mai spre dreapta este mai mare. Acest criteriu,
valabil pentru numere pozitive, se extinde pentru cazul când nu ambele numere sunt
pozitive, deci se dă definiţia următoare: Din două numere întregi, numărul care
corespunde unui punct situat pe axa numerelor mai la dreapta este mai mare. Din
această definiţie se deduce imediat că: orice număr pozitiv este mai mare decât orice
număr negativ ş.a.m.d. Definiţia se justifică apoi prin exemple variate. Astfel, în cazul
termometrului: a) când termometrul arată un număr de grade „plus” sau 0°C, este mai
cald decât atunci când arată un număr de grade „minus”; b) când termometrul arată -
3°C, este mai cald decât atunci când arată -4°C.
7. Noţiunea de interval. Acum este momentul de a introduce noţiunea de interval
numeric, închis, deschis etc, datorită faptului că li se pot da interpretări intuitive,
precum şi noţiunile de + şi - . Aici apare o greutate de neînvins.
Un interval (a,b) este mulţimea formată din toate numerele reale x care satisfac
dubla inegalitate a < x < b. Deci noţiunea de interval nu poate fi dată precis decât după
ce s-a dat noţiunea de număr real. Dacă spunem în clasa a 7-a sau a 8-a că, de exemplu,
intervalul (0,1) este format din „toate” numerele x care satisfac condiţia 0 < x < 1,
facem o afirmaţie neprecisă; dacă spunem că acest interval este format din toate
numerele raţionale - căci elevii cunosc numai aceste numere -, afirmăm un lucru care nu
este adevărat. Aceasta pune sub semnul întrebării oportunitatea de a introduce în
şcoala generală noţiunea de interval. Dar această noţiune este necesară pentru a putea
exprima în limbajul teoriei mulţimilor soluţiile inecuaţiilor.
Considerăm că, într-o primă etapă, se poate tolera un limbaj mai puţin precis - ca
cel care va fi folosit mai jos - urmând ca lucrurile să fie precizate în clasele
superioare. Fiind date două numere oarecare, de exemplu +1 şi +2, există oricâte
numere raţionale vrem care să fie mai mari decât +1 şi totodată mai mici decât +2, de
exemplu: 1,1; 1,2; 1,3; 1,9; 1,15; 1,25; 1,35;... Mulţimea acestor numere formează
intervalul deschis (1,2). Dacă la aceste numere se adaugă numerele 1 şi 2, se obţine
intervalul închis [1,2]. Punctele corespunzătoare de pe axa numerelor formează
segmentul mărginit de punctele 1 şi 2. În general, dubla neegalitate a < x < b este
echivalentă cu x(a,b), iar a x b cu x[a,b]. Acestor numere a şi b le corespund pe
axa numerelor punctele segmentului AB, unde A şi B au, respectiv, abscisa x = a şi x =
b, inclusiv sau exclusiv punctele A şi B. În mod analog se definesc intervalele [a,b) şi
(a,b]. Nu există un număr raţional mai mare decât toate celelalte.
22
Oricare ar fi numărul raţional a, există oricâte numere raţionale vrem mai mari
decât a. Mulţimea acestor numere formează intervalul (a,+ ), iar dacă se adaugă şi
numărul a - intervalul [a,+ ). Punctele corespunzătoare de pe axa numerelor sunt
pe semidreapta Ax. Simbolul + , arată că numerele din această mulţime nu sunt
limitate ca mărime; pe semidreapta Ax se găsesc puncte oricât de depărtate vrem de
punctul A. În mod analog se explică ce sunt intervalele (- , a) şi (- , a]. Aceste noţiuni
trebuie fixate prin câteva exerciţii ca:
a) Să se spună dacă numărul -1,7 aparţine intervalului (-2,-1); dacă 2
aparţine
intervalului (0,1). Răspunsul trebuie dat cu ajutorul simbolurilor şi .
b) Să se indice trei numere din intervalul (-1,1), din intervalul [-1,1].
8. Procedee didactice. Dat fiind că la această temă se introduc şi multe noţiuni noi, la
care nu se poate ajunge pe cale euristică, trebuie folosită în mare măsură metoda
expozitivă. Aceasta nu înseamnă că profesorul face expuneri lungi. După ce se
introduce o noţiune nouă, sunt necesare mai multe exerciţii prin care ea se întipăreşte
în mintea elevilor. În fiecare lecţie se succed astfel, alternativ, părţi expozitive şi
exerciţii. Dăm cîteva exemple:
a) Chiar la prima lecţie, care se face expozitiv, după ce s-au dat două exemple
de mărimi care se socotesc în două sensuri, se poate cere elevilor să dea alte exemple.
La nevoie se pot da indicaţii ca: „Există două feluri de longitudine geografică, estică şi
vestică. Cum s-ar putea folosi aici numerele pozitive şi negative?” Dacă nici un elev nu
ridică mâna, profesorul continuă: „Cum se poate exprima printr-un număr relativ că un
punct are o longitudine estică de 40°? Dar că are o longitudine vestică de 40°?” Apoi se
trece la latitudine: „Nu se pot folosi numerele întregi pentru a indica latitudinea
geografică?”
b) După ce s-a introdus axa numerelor, este necesară efectuarea unui număr
oarecare de exerciţii în ambele sensuri: se spune un număr şi se cere să se găsească
punctul care-i corespunde, se indică un punct şi se cere să se spună ce număr îi
23
corespunde. În cazul al doilea nu este suficient să se marcheze punctul. După ce s-au
marcat punctele care corespund numerelor întregi, întrebarea se pune astfel: „împart
segmentul cuprins între punctele -3 şi -4 în 5 părţi egale şi iau al doilea punct de
diviziune socotit de la dreapta spre stânga. Ce număr îi corespunde?” Trebuie luate şi
numere situate la distanţă mare de origine, precum şi fracţii ordinare şi zecimale, ca
elevii să-şi dea seama că axa numerelor este nemărginită în ambele sensuri şi că
mulţimea numerelor raţionale este densă.
La aceste exerciţii se face economie de timp şi elevii îşi formează imagini mai
clare dacă se foloseşte o planşă care reprezintă axa numerelor. Este bine ca pe planşă
să fie scrise numai câteva numere, de exemplu: -2, -1, 0, 1 şi 2, celelalte puncte să fie
marcate numai prin liniuţe sau rotogoale - ca elevii să fie obligaţi să caute punctele
care corespund numerelor întregi - iar unele dintre segmente mărginite de puncte care
corespund unor numere întregi să fie împărţite în 2, 3, 10... părţi egale.
c) Ca noţiunea de valoare absolută să nu apară artificială, trebuie arătat care
este semnificaţia ei concretă: pe axa numerelor, ea arată distanţa dintre punctul
respectiv şi originea; în cazul forțelor, ea arată intensitatea unei forţe, nu şi sensul ei.
După un exemplu sau două de acest fel, se pot pune clasei întrebări ca următoarele:
„Care punct este mai departe de primul meridian, punctul de longitudine +380 sau
punctul de longitudine -50°?” Se înţelege că punctele sunt pe aceeaşi paralelă şi
distanţa se măsoară pe paralela respectivă. „Oraşul Bucureşti are latitudinea +44°, iar
oraşul Melbourne -37°; care dintre aceste oraşe este mai aproape de ecuator?”
d) Ordonarea numerelor întregi se poate preda cu o intensă participare a clasei.
Este suficient ca profesorul să arate că din două numere pozitive cel situat mai la
dreapta este mai mare şi să spună că aceeaşi regulă se aplică oricare ar fi două
numere; toate consecinţele pot fi deduse de elevi. Profesorul spune: „Voi scrie pe tablă
două numere şi voi veţi răspunde care din ele este mai mare”. Şi profesorul scrie, de
exemplu: 0, -1; 0, -5; 0, -1965;... După ce se obţin răspunsurile la 3-4 întrebări,
profesorul cere clasei să formuleze o regulă. „Cum sunt numerele negative în
comparaţie cu zero?” Urmează alt rând de exemple, ca: -5, +10; -5, +5 ; -5, +1; ş.a.m.d.
După ce au fost formulate toate propoziţiile corespunzătoare, se pot da exerciţii de
tipul următor: se dau 5-6 numere întregi, cum ar fi: +8; -3; -1,5; +1,5; 20 şi se cere să
se aşeze în ordine crescătoare. În toate exerciţiile acestea este bine ca elevii să aibă
sub ochi axa numerelor; dacă există o planşă, ea se afişează. Cu această ocazie se pot
face şi câteva exerciţii legate de noţiunea de interval, ca: „Unde sunt situate toate
numerele mai mari decât +3 ?” „Dar cele mai mici decât +5 ?” „Dar cele care sunt mai
mari decât +3 şi totodată mai mici decât +5?” ş.a.m.d.
Apoi se poate anticipa asupra adunării şi scăderii prin exerciţii ca: Să se
găsească numărul care este cu 3 mai mare decât +5, cu 3 mai mare decât -7, cu 2 mai
mic decât +8, cu 2 mai mic decât -8. La acest capitol, grosul muncii se face în clasă.
Deoarece na se fac calcule, se pot da puţine exerciţii pentru acasă - se dau exerciţii
din capitolul precedent.
24
OPERAŢIILE CU NUMERE ÎNTREGI
1. Obiective 2. Justificarea regulilor de calcul 3. Adunarea
4. Scăderea 5. Suma algebrică 6. Înmulţirea 7. Formularea regulii
semnelor 8. Împărţirea 9. Procedee didactice
1. Obiective. În predarea acestui capitol trebuie atinse obiectivele următoare:
1) Elevii să ştie să efectueze cele patru operaţii cu numere întregi.
2) Să cunoască unele aplicaţii ale acestor operaţii.
Din motivele care vor fi arătate îndată, nu se poate cere elevilor să motiveze
regulile de calcul, nici să aplice calculele la rezolvarea unei game cât mai variate de
probleme practice, aşa cum se cere la aritmetică. Obiectivul principal este ca elevii să
ştie cum se calculează cu numere întregi, nu de ce se calculează aşa.
2. Justificarea regulilor de calcul. În şcoala generală, regulile de calcul cu numere
întregi nu se demonstrează. Se dau doar unele explicaţii. A demonstra o propoziţie
matematică înseamnă a o deduce din alte propoziţii (definiţii, axiome sau teoreme
demonstrate mai înainte). Regulile de calcul cu numere întregi, însă, nu se deduc din
alte propoziţii, ci se motivează - unele din ele - prin semnificaţia concretă a numerelor
întregi şi a operaţiilor cu ele. De exemplu, spunem că 3 - 7 = - 4 „fiindcă” dacă am 3 lei
şi datorez 7 lei situaţia mea financiară este aceeaşi ca atunci când am o datorie de 4
lei. Rezultatul se obţine prin consideraţii asupra unor situaţii din realitate, nu pe cale
deductivă; de aceea această motivare nu poate fi considerată ca o demonstraţie.
În fond, regulile după care se fac operaţiile directe (adunarea şi înmulţirea, nu
scăderea şi împărţirea - care se pot demonstra) sunt nişte definiţii. Dar aceste
definiţii nu sunt arbitrare, ele se aleg astfel încât cu ajutorul operaţiilor să poată fi
descrise unele lucruri din realitate. Mai precis: cu unele obiecte concrete se fac
anumite operaţii concrete care duc la o anumită situaţie finală; obiectelor concrete li
se ataşează câte un număr, iar operaţiilor concrete - operaţii cu aceste numere;
operaţiile cu numere se definesc astfel încât rezultatul lor să corespundă situaţiei
finale. De exemplu, un câştig de 3 lei şi o datorie de 7 lei sunt două lucruri din
realitate; cu aceste obiecte se face operaţia care constă în a câştiga 3 lei şi a
contracta o datorie de 7 lei; se ajunge astfel la situaţia finală: o datorie de 4 lei.
Pentru descrierea matematică se ataşează câştigului de 3 lei numărul +3 şi datoriei de
7 lei numărul -7; operaţia concretă descrisă mai sus se traduce printr-o operație
matematică numită adunare; adunarea numerelor întregi se face, prin definiţie, astfel
ca să dea în acest caz -4, care corespunde situaţiei finale: o datorie de 4 lei.
Numerele întregi împreună cu ansamblul regulilor după care se calculează cu ele
constituie astfel un model matematic al anumitor mărimi şi operaţii concrete, şi anume
al mărimilor care pot fi socotite în două sensuri. Explicaţiile care se dau în legătură cu
regulile de calcul nu fac altceva decât să arate, prin exemple, că între obiectele
concrete şi modelul lor matematic există în adevăr corespondenţa descrisă mai sus. De
aceea nu se poate cere o justificare deplină a acestor reguli - aceasta ar însemna să se
25
verifice că ele corespund tuturor mărimilor care se pot socoti în două sensuri şi
numărul acestor mărimi este foarte mare. Se poate cere numai, aşa cum s-a menționat
în obiectivul al doilea, ca elevii să cunoască unele aplicaţii ale operaţiilor cu numere
întregi.
Limitarea la unele exemple este impusă şi de un alt fapt, care va fi pus în
evidenţă printr-o comparaţie cu felul în care se predau operaţiile cu numere naturale.
Şi aici, cel puţin în cazurile simple, rezultatele operaţiilor se află nu pe cale deductivă,
ci pe baza unor operaţii cu mulţimi din realitate. De exemplu, pentru a afla cât face
4+3, copilul ia 4 degete şi încă 3 degete şi constată că are în total 7 degete. Mulţimile
formate din degetele de la mâini (sau din bilele de la maşina de calculat) nu sunt un
exemplu oarecare, ele joacă un rol fundamental, la care se raportează celelalte mulţimi.
De exemplu, când are de rezolvat problema: în clasă au fost 3 copii şi au mai venit 4
copii; câţi copii sunt acum în clasă? - copilul ia întâi 3 degete şi spune: „Aceştia sunt
copiii care au fost în clasă” ş.a.m.d. El face să corespundă fiecărui copil un deget. Mai
mult, el identifică copiii cu degetele de la mâini.
În cazul numerelor întregi, acest lucru nu este posibil, pentru că nu există o
mărime care să joace rolul fundamental pe care-1 joacă în cazul numerelor naturale
mulţimile de degete (sau de bile). Rezultatul obţinut printr-una din interpretări ale
numerelor întregi nu se transpune cu aceeaşi uşurinţă la cazul unei alte interpretări. De
exemplu, dacă s-a arătat cum se calculează suma (+3) + (-7) folosind reprezentarea
numerelor pe axă şi se pune problema: am 3 lei şi datorez 7 lei; care este situaţia mea
financiară? - judecata trebuie luată de la început. Primul rezultat este de puţin folos,
deoarece corespondenţa dintre sumele de bani pe care-i am sau pe care-i datorez şi
punctele de pe axă se stabileşte foarte greu.
Din aceste motive, explicaţiile care se dau în legătură cu operațiile cu numere
întregi au o putere de convingere mai mică. Prin ele regulile de calcul nu se
fundamentează ca prin demonstraţii. Interpretările sunt numai cazuri particulare,
exemple după care elevii se vor ghida mai târziu în cazuri asemănătoare. De aceea ele
nici nu au prea multă importanţă. Dealtfel, este foarte greu, dacă nu chiar imposibil, să
se dea o justificare satisfăcătoare a regulii de înmulțire. În cadrul acestui capitol,
accentul trebuie să cadă pe calcul - puţine motivări şi multe exerciţii de calcul. Totuşi,
vom indica diferite posibilităţi de a motiva regulile de calcul, pentru a oferi
posibilitatea de a alege pe cele mai convenabile.
3. Adunarea. În toate interpretările care se dau numerelor întregi, adunarea a + b are
sensul următor: primul termen, a, caracterizează starea iniţială a mărimii respective, al
doilea termen, b, reprezintă un anumit fapt care survine şi modifică această stare, iar
suma este numărul care caracterizează starea finală a acelei mărimi. Deci, adunarea
corespunde unei variaţii - într-un sens sau altul. În unele cazuri, în special când se
predă regula adunării, este bine ca, atunci când e posibil, şi primul termen să fie
considerat ca expresia unei variaţii, şi anume a unei variaţii pornind de la zero; atunci
suma reprezintă rezultatul celor două variaţii succesive. În toate interpretările
trebuie considerate mai multe cazuri, după cum termenii sunt pozitivi, negativi sau nuli.
26
a) Debit şi credit. Soldul este de a lei; survine o operaţie (câştig sau pierdere) de
b lei şi se cere soldul nou. Şi primul sold poate fi considerat ca o operaţie: se
realizează un câştig sau o pierdere de a lei, apoi un câştig sau o pierdere de b lei şi se
cere soldul.
b) Temperatura. Un corp are o temperatură de a grade. Survine o schimbare a
temperaturii (încălzire sau răcire) cu b grade; se cere temperatura finală. Sau: un corp
are 0°, temperatura se modifică cu a grade, apoi cu b grade; să se afle temperatura
finală (fiecare dintre modificări poate fi o încălzire sau răcire).
c) Axa numerelor. Un punct mobil se găseşte pe axă în punctul A de abscisă a;
survine o deplasare a lui pe axă (spre dreapta sau spre stânga) cu un segment de
lungime b; se cere poziţia sa finală. Sau: un punct se mişcă pe axa numerelor pornind
din O; el se deplasează cu un segment de lungime a, apoi cu un segment de lungime b; se
cere poziţia finală (fiecare dintre deplasări se poate face spre dreapta sau spre
stânga). În figura de mai jos se văd toate cazurile posibile când a > 0. Cazul când a < 0
se studiază la fel. Măsurarea înălţimilor de la nivelul mării nu reprezintă nimic deosebit
- axa numerelor se ia vertical. În cazul longitudinii şi latitudinii geografice, axa
numerelor (mai precis: o parte din ea) se înlocuieşte, respectiv, cu un cerc sau cu un
semicerc.
d) Forţe de aceeaşi direcţie. Un punct se găseşte sub acţiunea unei forţe a, se
aplică încă o forţă b (de acelaşi sens sau de sens contrar) şi se cere rezultanta. De
data aceasta, interpretarea primului termen ca variaţia nu este utilă.
e) Timpul. Un anumit eveniment trebuie să se producă la ora a (de exemplu: un
spectacol trebuie să înceapă la ora a = 20); survine o schimbare (evenimentul se amină
sau se fixează mai devreme) cu b ore şi se cere momentul în care va avea loc acel
eveniment. Pentru a putea da lui a şi valori negative, exemplul trebuie înlocuit cu
următorul: se ştie că un anumit eveniment istoric a avut loc în anul a; în urma unor
cercetări mai noi s-a dovedit că data trebuie schimbată (într-un sens sau altul) cu b ani
şi se cere data rectificată.
27
4. Scăderea. Este aproape surprinzător câte greutăţi întâmpină profesorul în
predarea acestei teme dacă nu vrea să se limiteze la simpla enunţare a regulii scăderii
(se suprimă semnul „-” şi paranteza şi se schimbă semnul din interiorul parantezei),
care se transformă apoi, fără o motivare suficientă, în regula după care se scade o
sumă algebrică (distributivitatea operatorului „-”). Dăm mai multe căi de a motiva
regula scăderii.
a) Se dă regula şi se verifică justeţea făcând proba scăderii. Se consideră, de
exemplu, scăderea a - (+3) şi profesorul spune că această diferenţă este egală cu a + (-
3). Verificare: dacă la diferenţa a + (-3) adunăm scăzătorul (+3), obţinem a + (-3) + (+3)
= a - 3 + 3 = a + 0 = a, adică tocmai descăzutul. Apoi se consideră scăderea a - (-3) şi se
procedează în mod analog. Cazul scăzătorului zero este banal. Este bine să se ia
descăzutul literal, aşa cum am procedat, pentru a pune în evidenţă faptul că el nu joacă
nici un rol în această transformare. Acest procedeu are mai multe dezavantaje. În
primul rând, se foloseşte definiţia scăderii ca operaţie inversă a adunării. Este
adevărat că această definiţie se învaţă la aritmetică, dar elevii nu sunt obişnuiţi să o
folosească. În al doilea rând, rezultatul nu se caută, ci este dat de profesor. Oricât de
ingenios ar conduce profesorul o conversaţie euristică, niciodată el nu va scoate regula
de la elevi. În sfârşit, elevii sunt obişnuiţi ca diferenţa să fie un număr, nu o expresie -
ca în cazul de faţă. De aceea acest procedeu nu este destul de convingător.
b) Numerele se interpretează ca bani „de primit” sau „de dat”, credit şi debit,
iar scăderea ca o micşorare. Atunci expresia a - (+3) se interpretează astfel: La un
moment dat, soldul este de a lei, apoi se constată că la „credit” s-a trecut din greşeală
suma de 3 lei. Acest „post” trebuie scos, ceea ce are ca urmare micşorarea soldului cu
3 lei. Pentru a nu face ştersături în registru, se adaugă la coloana „debit” 3 lei -
rezultatul va fi acelaşi, deci: a - (+3) = a + (-3). În mod analog se interpretează
expresia a - (-3).
În general, suprimarea unui număr din una dintre coloanele „credit” şi „debit” are
acelaşi efect ca adăugarea numărului opus în cealaltă coloană, deci, în loc de a scădea
un număr, se poate aduna opusul lui. Acest procedeu are avantajul că foloseşte
semnificaţia concretă a scăderii, ca o scoatere, o micşorare, de aceea el este mai
convingător.
c) Se foloseşte reprezentarea adunării pe axă. Fie scăderea a - (+3) = x.
Problema se pune astfel: Trebuie să găsim un număr x care, adunat cu +3, să dea a.
Aceasta înseamnă că trebuie să găsim pe axă un punct x astfel încât, purtând de la el
spre dreapta un segment de lungime 3, să obţinem punctul a. Punctul x trebuie să fie
situat la stânga lui a, deci trebuie să purtăm de la a spre stânga 3 unităţi, adică trebuie
să adunăm la a numărul -3, deci x = a + (-3).
28
În cazul scăderii a - (-3) = x, problema se pune la fel şi se găseşte că punctul x
trebuie să fie situat la dreapta lui a, deci x = a + (+3). Acest procedeu este cel mai
frumos din punct de vedere matematic. Din punct de vedere pedagogic trebuie făcute
două obiecţii. Prima este aceeaşi ca la procedeul a), şi anume, se foloseşte definiţia
formală a scăderii - nu semnificaţia ei concretă, iar a doua este următoarea:
interpretarea adunării pe axa numerelor este cea mai abstractă, ea seamănă prea puţin
cu semnificaţia concretă a acestei operaţii aşa cum apare ea în probleme.
d) Numerele se interpretează ca măsuri ale unor forţe de aceeaşi direcţie. Fie
scăderea a - (+3). Asupra unui corp acţionează o forţă OM de 3 N îndreptată spre
dreapta. Această scădere dă răspunsul la întrebarea: ce forţă x trebuie că compunem
cu OM ca să obţinem o rezultantă egală cu OA = a N?
Figura următoare corespunde cazului când a > 3. Forţa x trebuie să fie
îndreptată spre dreapta şi să aibă intensitatea NA = a – 3. Pentru a obţine din OA = a
această forţă, trebuie să o compunem cu o forţă OB de 3 N îndreptată spre stânga.
Deci, x = a + (-3). Tot în figura de mai jos avem cazul când a < 3. Forţa x trebuie să fie
îndreptată spre stânga şi să aibă intensitatea NM = 3 – a. Pentru a obţine din OA = a
această forţă, trebuie să o compunem cu o forţă OB de 3 N îndreptată spre stânga.
Deci, x = a + (-3).
29
Fie acum scăderea a - (-3). Este clar că trebuie aplicat în O o forţă orientată
spre dreapta şi cu 3 N mai mare decât OA, deci x = a + (+3). S-a presupus a > 0. Cazul
când a < 0 se tratează la fel. Cazul în care a = 0 sau când scăzătorul este zero este
banal. Acest procedeu are avantajul că se operează cu mărimi care se reprezintă
intuitiv, ca vectori. El are însă dezavantajul că sunt necesare 6 figuri.
Ca minim, se pot da următoarele jusificări:
A micşora venitul, de exemplu, cu 10 lei este tot una cu a mări cheltuielile cu 10
lei, deci: a - (+10) = a + (-10); tot aşa, a micşora cheltuielile cu 10 lei este tot una cu a
mări venitul cu 10 lei, deci: a - (-10) = a + (+10). Sau: noi tragem un corp înainte cu o
anumită forţă, care se exprimă printr-un număr pozitiv, iar corpul opune o rezistenţă
mai mică decât forţa, care se exprimă printr-un număr negativ. Dacă micşorăm forţa,
de exemplu, cu 10 N, rezultatul suferă aceeaşi modificare ca atunci când mărim
rezistenţa cu 10 N, deci a - (+10) = a + (-10); tot aşa, micşorarea rezistenţei cu 10 N
are acelaşi efect ca mărirea forţei cu 10 N, deci a - (-10) = a + (+10).
Aceste justificări sunt incomplete pentru că ele au sens numai dacă descăzutul
este suficient de mare. Astfel, în primul exemplu de mai sus, venitul trebuie să fie de
cel puţin 10 lei ca să-l poţi micşora cu 10 lei. Acelaşi inconvenient îl are şi interpretarea
b) de mai sus.
30
5. Suma algebrică. Se constată deseori că elevii nu au idei destul de clare despre
această noţiune. Aici trebuie menţionate două fapte. În aplicaţii, în special în fizică,
cuvântul algebric arată că termenii sumei pot fi şi negativi. De exemplu, la compunerea
forţelor care au acelaşi punct de aplicaţie şi aceeaşi direcţie, rezultanta este egală cu
suma algebrică a componentelor. Precizarea că suma este algebrică exprimă că
intensităţile componentelor se exprimă prin numere întregi, pozitive sau negative, care
se numeau pe vremuri numere algebrice. În algebră, expresia sumă algebrică se referă
la notaţie.
În calcule numerice, semnele „+” şi „-” nu se folosesc ca semne ale operaţiilor, ci
ca semne ale numerelor. Expresia 3 + 8 – 2, de exemplu, este suma numerelor +3, +8 şi -
2; adunarea este indicată prin simpla înşirare a termenilor. Trecerea de la scrierea
completă la această scriere, prescurtată, se face pe baza regulii de desfacere a
parantezelor: dacă în faţa unei paranteze se găseşte semnul „+”, se lasă la o parte
semnul „+” şi pranteza şi se păstrează semnul din interiorul parantezei. Astfel,
expresia 3 + 8 – 2 de mai sus provine de la (+3) + (+8) + (-2). Este drept că în cazul
numerelor pozitive, ca la... + (+8), este indiferent care din cele două semne „+” se
păstrează, dar este mai bine să se spună că se păstrează semnul al doilea, căci în felul
acesta se obţine o regulă generală, valabilă şi când termenul respectiv este negativ, ca
în cazul lui... +(-2), şi când al doilea termen este o sumă, ca:
6 + (3 – 5 – 4) = 6 + 3 – 5 – 4.
6. Înmulţirea. Anticipând asupra celor ce urmează, spunem că este foarte greu să se
justifice în şcoală regula înmulţirii numerelor întregi.
a) În unele manuale se procedează astfel:
Se porneşte de la legea mişcării uniforme S = vt, se alege pe traiectorie un sens
pozitiv şi se introduce viteza negativă şi timpul negativ. Apoi se consideră v > 0 (mobilul
se mişcă de la stânga la dreapta) şi se arată că înainte de momentul zero mobilul se
găseşte la stânga originii, deci v > 0, t < 0 dau S < 0, iar după momentul zero el se
găseşte la dreapta originii, deci v > 0, t > 0 dau S > 0. Pe urmă se consideră v < 0
(mobilul se mişcă de la dreapta spre stânga) şi se constată că v < 0, t < 0, dau S > 0, iar
v < 0, t > 0 dau S < 0.
Observaţii asupra felului cum primesc elevii aceste aplicaţii arată că le urmăresc
foarte greu şi, la sfârşitul lecţiei, se simt uşuraţi când li se dă regula. Parcă ar
exclama: „De ce nu ne-aţi spus asta de la început?” Cauzele eşecului par să fie
următoarele:
Se folosesc noţiuni cu care elevii nu sunt familiarizaţi. Ei sunt obişnuiţi de la
aritmetică şi fizică să exprime viteza şi timpul prin numere pozitive. Acum aceste
mărimi se exprimă pentru prima oară prin numere negative, de aceea totul merge greu.
Acest inconvenient ar putea fi înlăturat dacă s-ar face în prealabil un număr suficient
de exerciţii adecvate.
De neînlăturat este cauza următoare: se procedează invers ca de obicei. De
obicei se învaţă întâi o operaţie, apoi acea operaţie se aplică la rezolvarea unor
probleme. De exemplu, ca să luăm chiar înmulţirea, elevii învaţă întâi cum se înmulţesc
două numere şi pe urmă aplică aceasta, pentru a afla producţia totală când se cunoaşte
31
producţia în unitatea de timp şi timpul, şi la alte probleme asemănătoare. În acest caz,
însă, ştim să rezolvăm problema în faţa căreia ne găsim, căci ştim să determinăm
poziţia mobilului în orice moment, înainte şi după momentul t = 0, şi vrem să deducem
de aici regula de înmulţire a numerelor întregi. Toată explicaţia lasă întrucâtva
impresia că lucrurile se aranjează aşa fel încât să iasă bine.
La aceasta se adaugă faptul următor, care face ca şi un elev care a urmărit
raţionamentele până la capăt să rămână prea puţin convins. Regula înmulţirii se justifică
printr-o singură interpretare a numerelor negative. Această interpretare nu este
destul de caracteristică ca să putem deduce din ea regula generală. Din aceste motive,
acest procedeu nu este recomandabil.
Faptul că aici se foloseşte o formulă nu înseamnă că regula semnelor se
demonstrează. Nici aici nu se scot concluzii din propoziţii anterioare. Formula S = vt
are numai rolul de ghid. Se pune la bază cerinţa ca această formulă să fievalabilă şi
când v < 0 sau t < 0, iar judecăţile care se fac au numai rostul de a arăta cum trebuie să
facem înmulţirea ca această cerinţă să fie satisfăcută.
b) Foarte ispititor este procedeul următor: înmulţirea cu un număr a se
interpretează ca o dilatare sau o comprimare a axei numerelor, urmată sau nu de o
simetrie în raport cu originea. Pe semiaxa pozitivă, înmulţirea cu numărul pozitiv a face
ca fiecărui punct M să-i corespundă un punct N, astfel ca 0N = aOM. Dacă a > 1, ON >
OM, iar dacă a < 1, ON < OM. În primul caz, axa se dilată, în cazul al doilea se
contractă. Când a = 1, avem o transformare identică, fiecare punct coincide cu
transformatul său.
Pe de altă parte, dacă numărului relativ x îi corespunde pe axă punctul M,
opusului său, -x, îi corespunde pe axă punctul N, simetric cu M faţă de origine.
Înmulţirea numerelor întregi se face astfel: fie a şi b două numere întregi. Se ia
pe axă punctul A de abscisă a, apoi de aceeaşi parte a originii punctul M, astfel ca OM
să fie egal cu |b|OA. Dacă b > 0, abscisa punctului M este produsul ab; dacă b < 0, se ia
punctul M’ simetric cu M faţă de O şi abscisa lui M’ este produsul ab. Poziţia faţă de O
a punctului final, M sau M’ (dacă punctul final cade la dreapta sau la stânga lui O)
depinde de semnele numerelor a şi b şi ne dă regula semnelor. În figura următoare se
văd toate cazurile posibile.
Să explicăm, pentru exemplificare, ultimul caz. Deoarece a < 0, punctul A cade la
stânga lui O; punctul M - de asemenea (M este totdeauna de aceeaşi parte cu A, căci
segmentul OA se înmulțeşte cu numărul pozitiv |b|) deoarece b < 0, trebuie să luăm
32
simetricul lui M faţă de O, adică M’, care cade la dreapta lui O. Deci produsul este
pozitiv. În figură s-a luat în toate cazurile |b| > 1; dacă |b| < 1, rezultatele nu se
schimbă, căci M cade între O şi A, dar tot de aceeaşi parte cu A.
Oricât de frumoasă ar fi această justificare, ea nu este decât o reprezentare,
un model. Ea arată că există o anumită transformare a punctelor de pe axa numerelor
care se pot descrie cu ajutorul regulii semnelor, dar ea nu constituie o demonstraţie a
acestei reguli. De asemenea, nu se vede legătura cu semnificaţia concretă a înmulţirii
din aritmetică. De exemplu, de aici nu rezultă nici pe departe că, de exemplu, formula S
= vt este valabilă şi când v sau t este negativ.
În fond, fiecare dintre aceste justificări, cea bazată pe formula S = vt şi cea
bazată pe transformările punctelor de pe o dreaptă, sunt nişte reprezentări ale
numerelor întregi. Prin ele se arată că numerele întregi sunt un model matematic al
unor lucruri concrete sau, invers, că aceste lucruri sunt modele ale numerelor întregi.
Principalul cusur al acestor modele este faptul că ele sunt prea eterogene şi, din cauza
aceasta, prea puţin convingătoare.
Dat fiind că nu se cunoaşte nici un mijloc de a da în şcoala generală o justificare
satisfăcătoare a regulii semnelor, nu rămâne altă cale decât de a da această regulă
fără nici o justificare. Dacă se dă, totuşi una sau alta dintre justificările de mai sus, ea
trebuie dată după ce elevii cunosc regula.
Foarte bine primite de elevi sunt exemplele următoare: reprezentăm expresiile
sunt şi nu sunt respectiv prin semnele „+” şi „-”; de asemenea cuvintele prezent şi
absent, notând prezenţa prin „+” şi absenţa prin „-”. Compunând una dintre expresiile
sunt şi nu sunt cu unul dintre cuvintele prezent şi absent, rezultă o prezenţă sau o
absenţă, aşa cum se vede în tabelul de mai jos:
Primul termen Termenul al doilea Rezultatul
sunt...............+ prezent................+ prezenţă.......+
sunt...............+ absent.................— absenţă........—
nu sunt...........— prezent.................+ absenţă.......—
nu sunt...........— absent..................— prezenţa.......+
Se vede bine că semnele „+” şi „-” se compun ca după regula semnelor. În loc de
prezent şi absent se poate lua orice pereche de cuvinte care reprezintă noţiuni opuse,
33
de exemplu: reuşit şi căzut (la examen), frumos şi urât, bun şi rău, pregătit şi
nepregătit ş.a.
Alt exemplu. Considerăm o bicicletă care merge pe o şosea orientată şi pe care
se poate pedala în ambele sensuri. Ataşăm orientării iniţiale a bicicletei, pedalării şi
mersului bicicletei unul din semnele „+" sau „-”, după cum urmează. Dacă bicicleta este
aşezată cu ghidonul spre partea pozitivă a şoselei, îi ataşăm semnul „+”, iar în cazul
contrar semnul „-”; pedalării îi ataşăm semnul „+” sau „-”, după cum se pedalează normal
sau invers; în sfârşit, dacă bicicleta merge în sensul pozitiv de pe şosea, ataşăm
mersului ei semnul ,,+”, în cazul contrar semnul „-”.
În aceste condiţii, semnul ataşat mersului bicicletei rezultă din celelalte semne.
Dacă bicicleta este aşezată cu ghidonul în sensul pozitiv al şoselei (+) şi se pedalează
normal (+), bicicleta merge în sens pozitiv (+), deci: plus cu plus dă plus; dacă bicicleta
este aşezată la fel (+) şi se pedalează invers (-), ea merge în sensul negativ (-), deci:
plus cu minus dă minus ş.a.m.d.
În toate exemplele acestea, este vorba de o mulţime de două elemente, şi
în care este definită următoarea lege de compoziţie „o”: o = o = , o = o = .
Această lege de compoziţie nu are nimic comun cu înmulţirea în sensul obișnuit al
cuvântului, ea nu justifică nici pe departe regula semnelor. Totuşi, elevii urmăresc cu
mult interes aceste exemple, se înregistrează adevărate exclamaţii de uimire şi de
bucurie. Se datoreşte, oare, aceasta faptului că elevii descoperă relaţii de acelaşi tip
între lucruri atât de diferite? Devine regula semnelor mai plauzibilă prin faptul că
elevii văd că relaţii asemănătoare există şi între lucruri din viaţa de toate zilele. Cert
este că cele câteva minute necesare pentru aceste exemple nu sunt timp pierdut, chiar
dacă totul se reduce la un simplu divertisment.
7. Formularea regulii semnelor. Felul în care trebuie formulată regula semnelor a dat
naştere la unele discuţii. Se folosesc în şcoală două formulări:
a) prima este cea care se găseşte la primii algebrişti europeni: + cu + dă +, + cu -
dă - ş.a.m.d.;
b) a doua este de forma: dacă ambii factori sunt pozitivi, produsul este pozitiv,
dacă unul din factori este pozitiv, iar celălalt este negativ... sau, mai concentrat:
produsul a doi factori este pozitiv sau negativ, după cum factorii sunt de acelaşi semn
sau de semne diferite.
34
Prima formulare corespunde felului în care se foloseşte efectiv în practică
această regulă. În cazul înmulţirii (-8)(+6), de exemplu se spune: „+ cu – dă –” şi se scrie
semnul „-”; apoi: „ 4868 ” şi se scrie lângă semnul „-” numărul 48. Nu stă nimeni să
compare semnele, să vadă dacă cele două numere au acelaşi semn sau nu. Împotriva
acestei formulări unii fac obiecţiuni cu caracter gramatical sau stilistic. Exprimări de
tipul: + cu + dă +, spun ei, nu sunt corecte din punct de vedere gramatical sau, cel puţin,
nu sunt frumoase. S-a înregistrat şi un argument cu aspect ştiinţific, şi anume: se
operează cu numere, nu cu semne.
Socotim că aceste obiecţiuni nu pot fi primite, ele sunt expresia unui pedantism.
În afară de argumentul invocat mai sus în favoarea primei formulări - că ea este cea
vie - pledează un fapt mai important, şi anume: când factorii sunt numere
nedeterminate, reprezentate prin litere, nu se ştie dacă ele reprezintă numere
pozitive sau negative, de aceea cel care cunoaşte regula semnelor numai în formularea a
doua nu poate efectua înmulţirea. De exemplu, (-x)(+y)=? Dacă x > 0 şi y > 0, factorii au
semne diferite, deci produsul este negativ; dacă x<0, y>0, factorii au acelaşi semn deci
produsul este pozitiv ş.a.m.d. Nu se ştie semnul produsului pentru că nu se cunosc
semnele factorilor. Mai mult, chiar dacă am şti, de exemplu, că produsul este pozitiv,
nu avem cum să scriem rezultatul, căci nu ştim ce semn are produsul xy. În schimb,
regula semnelor în prima formulare dă rezultatul corect: „ – cu + dă –”, deci rezultatul
este: -xy. Aşadar, se operează efectiv cu semne. De fapt, trebuie demonstrat că
formulele (+ x)(+ y) = + xy, (+ x)(- y) = - xy etc. Sunt valabile oricare ar fi numerele
întregi x şi y. Dar în şcoală acest lucru nu se face.
Ceea ce se face în unele manuale este de-a dreptul o mistificare. După ce s-a
arătat, de exemplu, că (4 – 3)(- 5) = - 15, (- 3)(- 5) = + 15 ş.a.m.d., se înlocuiesc cifrele
prin litere şi se scrie (+ a)(- b) = - ab, (- a)(- b) = + ab ş.a.m.d, trecându-se sub tăcere
că aici literele reprezintă numere pozitive (aritmetice), apoi aceste formule se
folosesc - fără nici un drept - şi atunci când a şi b sunt numere întregi. În felul acesta
se alunecă deasupra dificultăţilor. Aşa s-au petrecut lucrurile şi în istoria algebrei. O
greșeală asemănătoare apare la formulele: + (+ a) = + a, + (- a) = - a ş.a.m.d.
De vreme ce dăm fără motivare o regulă, atunci s-o formulăm aşa cum o aplicăm;
să nu fie discordanţă între ceea ce spunem şi ceea ce facem. În concluzie, regula
semnelor trebuie dată sub forma: + cu + dă +; + cu - dă -; - cu + dă -; - cu - dă + . Nu
degeaba se numeşte această regulă regula semnelor.
Am spus mai sus că, după ce s-a arătat cum se înmulţesc două numere întregi,
trebuie demonstrat că formulele (+ x)(+ y)= + xy, (+ x)(- y)= - xy ş.a.m.d. sunt valabile
oricare ar fi numerele întregi x şi y. Să demonstrăm, de exemplu, că (- x)(+ y) = - xy.
Trebuie să deosebim patru cazuri:
1) x > 0, y > 0. În acest caz, primul factor este negativ, al doilea este pozitiv,
deci produsul trebuie să fie negativ; în partea dreaptă, factorii x şi y sunt pozitivi,
deci xy este pozitiv, iar - xy este negativ. Egalitatea are loc.
2) x < 0, y > 0. În acest caz, (- x) este pozitiv, y de asemenea, deci produsul
trebuie să fie pozitiv; în partea dreaptă, x este negativ, y este pozitiv, deci xy este
negativ, iar -xy este pozitiv. Egalitatea are loc.
35
3) x > 0, y < 0. Acum ambii factori (- x) şi y sunt negativi, deci produsul trebuie
să fie pozitiv; în partea dreaptă, x este pozitiv, y este negativ. Deci xy este negativ,
iar (- xy) este pozitiv. Egalitatea are loc.
4) x < 0, y < 0. De data aceasta, - x este pozitiv, y este negativ, deci produsul
trebuie să fie negativ; în partea dreaptă, x şi y sunt negativi, deci xy este pozitiv, iar -
xy este negativ. Egalitatea are loc.
Aşadar, relaţia (- x)(+ y) = - xy este valabilă în toate cazurile. În mod analog se
demonstrează că (+ x)(+ y) = + xy, (+ x)(- y) = - xy şi (- x)(- y) = + xy. În total, trebuie
examinate 1644 cazuri.
Dacă regula semnelor se dă în formularea a doua, această demonstraţie trebuie
făcută atunci când se trece la calculul literal, mai precis: la înmulţirea monoamelor. În
mod obişnuit, acest lucru nu se face. Ar fi şi prea mult pentru şcoala generală. S-ar
putea proceda astfel: în clasă să se dea regula semnelor sub prima formă, să se aplice
întâi la cazuri numerice, iar când se trece la calculul literal să se menţioneze că se
aplică tot regula semnelor, deşi nu se ştie dacă literele reprezintă numere pozitive sau
negative, iar la cerc - dacă există - să se facă demonstraţia de mai sus.
8. Împărţirea. Spre deosebire de scădere, această operaţie nu prezintă nici un fel de
dificultăţi. Împărţirea se defineşte ca operaţia inversă a înmulţirii: a împărţi, de
exemplu, +8 prin -2 înseamnă a găsi un număr care, înmulţit cu -2, să dea +8. Pentru a
obţine rezultatul, se observă întâi că valoarea absolută a câtului este 4. Dacă luăm
(+4), condiţia nu este îndeplinită, căci (+ 4)(- 2) = - 8, nu + 8; dacă, însă, luăm (- 4) da,
căci (- 4)(- 2) = + 8, adică deîmpărţitul. Se consideră apoi cazurile: (+8):(+2), (-8):(+2) şi
(-8):(-2) şi, în cele din urmă, se constată că regula semnelor la împărţire este aceeaşi
ca la înmulţire.
Nu este cazul să se trateze şi împărţirea cu rest. Această operaţie nici nu este
bine definită pentru numere întregi. De exemplu: ?614 Avem: 14 = (-5)(-2) + 4 şi
14 = (-5)(-3) - 1. Deci, respectând condiţia ca restul să fie în valoare absolută mai mic
decât împărţitorul, obţinem două câturi şi două resturi: -2 şi +4, precum şi -3 şi -1.
Dacă |a| nu este divizibil prin |b|, câtul dintre a şi b este fracţia ,b
a unde
semnul se stabileşte după regula semnelor. De exemplu, 5
35:3 (+ cu – dă -,
.5
35:3 Acest mod de a prezenta lucrurile nu este în concordanţă cu construcţia
sistematică a corpului numerelor raţionale, dar el este o consecinţă a modului în care se
introduc numerele negative în şcoală. În acest cadru, o definiţie ca: număr raţional este
numărul de forma n
m sau care poate fi adus la această formă, m şi n fiind numere
întregi, transplantată din construcţia sistematică, nu are nici un sens. Ca şi în cazul
numerelor negative, se defineşte o noţiune prin simbolul prin care se notează; în locul
liniei de fracţie s-ar putea folosi o linie oblică sau două puncte (m/n sau m:n). Folosind
numai fracţii de forma ,b
a unde a şi b sunt numere naturale, se păstrează şi
36
semnificaţia concretă a fracţiilor. De exemplu, 5
3 unde poate reprezenta o forţă de
5
3 N îndreptată în sens negativ, o temperatură de grade sub zero ş.a.m.d. În cazul
scăderii ,9
7
9
2 de exemplu, se spune: 2-7 =-5 şi se scrie rezultatul ,
9
5 deci se
consideră că semnul „-” aparţine numărătorului, adică se face operaţia .9
7
9
2
9. Procedee didactice. Considerăm că în predarea operaţiilor cu numere întregi se
poate proceda astfel: regula adunării se justifică pe larg, prin mai multe interpretări;
scăderea se tratează mai pe scurt, regula înmulţirii se dă fără nici o justificare,
eventual cu o justificare ulterioară, iar regula împărţirii se demonstrează pe baza
regulii înmulţirii. Luăm cazul în care se urmează această cale.
a) Predarea adunării este complexă, căci trebuie deosebite numeroase cazuri,
după semnele termenilor, şi trebuie date mai multe interpretări ale numerelor întregi.
Ca predarea să fie clară, este bine să se dea la început o singură interpretare. În
privinţa termenilor sumei a+ b, trebuie considerate cazurile următoare: 1) a > 0, b > 0;
2) a < 0, b < 0; 3) a > 0, b < 0, a > |b|; 4) a > 0, b < 0, a < |b|; 5) a < 0, b > 0, |a| > b; 6) a <
0, b > 0, |a| < b; 7) a = 0, b 0; 8) a 0, b = 0.
Deşi, par a fi de prisos, cazurile 5) şi 6) sunt necesare, căci nu avem dreptul să
folosim comutativitatea adunării. Trebuie verificate pe diferitele interpretări
concrete ale numerelor întregi că adunarea este comutativă.
În partea introductivă a lecţiei, profesorul arată prin exemple cum se face
adunarea, folosind interpretări diferite ale numerelor întregi şi numere diferite. De
exemplu: (+7) + (-3) = ? Câştig 7 lei, apoi pierd 3 lei, deci rămân cu un câştig de 4 lei,
prin urmare răspunsul este (+4). Apoi: (-8) + (-4) = ? Un punct se mişcă pe axa
numerelor pornind din origine şi se deplasează întâi cu 8 unităţi spre stânga, apoi cu 4
unităţi spre stânga, deci el ajunge în punctul -12. Prin 3-4 exemple de acest fel, elevii
îşi formează o idee generală despre diferitele cazuri posibile şi văd cum se obţine
rezultatul. Abia după această pregătire se poate trece la o tratare sistematică. Se
scriu pe tablă opt probleme ca:
1. (+8) + (+4) = 2. (-8) + (-4) = 3. (+9) + (-3) = 4. (+5) + (-8) =
5. (-9) + (+5) = 6. (-3) + (+7) = 7. (+3) + 0 = 8. 0 + (+3) =
Fie că profesorul dă acest tablou - ceea ce este preferabil, altfel se pierde
prea mult timp - fie că el se alcătuieşte cerând elevilor să imagineze diferite cazuri, în
orice caz trebuie arătat elevilor că el cuprinde întradevăr toate cazurile posibile. Apoi
se dă răspunsul la fiecare din aceste întrebări folosind aceeaşi interpretare. Luăm
cazul când se începe cu interpretarea prin credit şi debit. Profesorul spune „Vom
interpreta aceste numere ca bani” şi rezolvă, ca model, una dintre probleme, de
exemplu problema 5: Pierd 9 lei, apoi câştig 5 lei, deci rămân cu o pierdere de 4 lei,
deci răspunsul este (-4). Apoi cere elevilor să rezolve astfel celelalte probleme. La
37
această lucrare pot fi antrenaţi mulţi elevi, fiecare să dea răspunsul la una dintre
probleme. De fiecare dată se scrie răspunsul în dreptul semnului egal.
După ce toate problemele au fost rezolvate, răspunsurile se şterg şi lucrarea se
ia de la început, rezolvându-se din nou toate cele opt probleme, folosind o altă
interpretare. Ca a doua interpretare se recomandă temperatura - căci ea este cea mai
apropiată de cea precedentă. Întradevăr, temperatura caracterizează un corp din
punct de vedere caloric, iar bilanţul caracterizează situaţia unei întreprinderi sau a
unei persoane din punct de vedere financiar; un corp primeşte sau cedează căldură - un
om câştigă sau pierde bani. Deci, profesorul cere să se rezolve din nou problemele,
după modelul (problema 4): Un corp are 0°, se încălzeşte cu 5°, apoi se răceşte cu 8°,
deci temperatura sa finală este de -3°, deci răspunsul este -3 Urmează interpretarea
pe axa numerelor după modelul dat mai sus (problema 2) şi interpretarea ca forţe, după
modelul (problema 4): Asupra unui corp lucrează o forţă de 5 N îndreptată spre
dreapta şi o forţă de 8 N îndreptată spre stânga; rezultanta este o forţă de 3 N
îndreptată spre stânga - rezultatul este -3.
Eventual, acest studiu se poate completa cu unele exerciţii „transversale”. Se ia
o problemă oarecare şi se dă răspunsul pe baza celor patru interpretări.
În timpul acestor exerciţii, în mintea elevilor se produc de la sine generalizările
- când un elev ridică mâna ca să dea un răspuns este o dovadă că el vede cu oarecare
claritate toate răspunsurile - şi nu rămâne decât să se formuleze regulile. Nu ne putem
aştepta să obţinem de la elevi formularea justă. Profesorul, după ce îndreaptă atenţia
elevilor asupra primelor două probleme, trebuie să intervină cu întrebări ca: „Ce
operaţie se face cu valorile absolute?” - „Ce semn are rezultatul?”. În mod analog se
obţine regula a doua, pentru cazul când termenii sunt de semne diferite, îndreptând
atenţia elevilor asupra problemelor 3-6. În cazurile 7 şi 8, când unul din termeni este
zero, se poate aplica oricare dintre cele două reguli.
După ce se enunţă regulile şi se fac câteva exerciţii, se poate adăuga
următoarea observaţie recapitulativă: dacă ambele variaţii au loc în acelaşi sens (adică
avem de-a face numai cu câştiguri sau numai cu pagube, numai cu încălziri sau numai cu
răciri ş.a.m.d.), se face o adunare, iar suma are acelaşi semn cu cei doi termeni, căci din
două câştiguri rezultă un câştig, din două pagube - o pagubă, din două deplasări într-un
anumit sens - o deplasare în acelaşi sens ş.a.m.d. Dacă, însă, una dintre variaţii are loc
într-un sens, iar cealaltă în alt sens (câştig şi pagubă, încălzire şi răcire ş.a.m.d.), se
face o scădere, iar în privinţa semnului „învinge cel care este mai tare”.
În formularea uzuală, numerele pozitive apar ca deosebite de cele folosite în
aritmetică. De exemplu, (+ 9) + (- 4) = + 5. Este de ajuns să se spună că se scade
valoarea absolută mai mică din valoarea absolută mai mare, totuşi se adaugă: şi în faţa
rezultatului se pune semnul „+”. Consecvent cu ideea că numerele pozitive sunt identice
38
cu cele cunoscute de la aritmetică, regulile adunării ar trebui formulate astfel: 1)
pentru a aduna două numere negative, se adună valorile lor absolute şi se ia opusul
sumei (se schimbă semnul sumei); 2) pentru a aduna două numere de semne contrare, se
scade valoarea absolută mai mică din valoarea absolută mai mare; dacă termenul pozitiv
are o valoare absolută mai mare decât cel negativ, rezultatul rămâne neschimbat, iar
dacă termenul negativ are o valoare absolută mai mare, se schimbă semnul sumei. Nu
este nevoie de nici o regulă care să arate cum se adună două numere pozitive. Totuşi,
regula se dă de dragul simetriei.
b) Am arătat mai sus că în predarea regulii scăderii apar greutăţi reale. Elevii îşi
însuşesc uşor regula - dar cei mai mulţi nu ştiu să o motiveze. S-au dat mai sus diferite
procedee. Dacă se adoptă procedeul a), nu trebuie folosită exclusiv metoda expozitivă.
Este suficient ca profesorul să arate cum se face scăderea, verificarea o pot face
elevii sub conducerea profesorului. Deci, profesorul aminteşte întâi definiţia scăderii şi
cum se face proba scăderii, apoi consideră, de exemplu, scăderea a-(+3) şi spune:
„Trebuie să găsim un număr care, adunat cu (+3), să dea 2”. Nu are nici un rost să ceară
de la elevi răspunsul, de aceea tot el continuă: „Numărul căutat este a + (-3), în loc să
scădem (+3), adunăm (-3)” şi scoate un elev la tablă să facă proba. Se ia apoi încă un
caz în care scăzătorul este pozitiv, cum ar fi a - (+7), şi de data aceasta se cere clasei
să dea răspunsul: a + (-7). Se face din nou proba şi apoi se formulează regula: Când în
faţa unei paranteze avem semnul „-”....
După aceea se trece la cazul când scăzătorul este negativ; se procedează la fel
şi se constată că şi de data aceasta se suprimă semnul „-” şi paranteza, schimbându-se
semnul din interiorul parantezei.
c) Regula scăderii se formulează şi astfel: pentru a scădea un număr, se adună
opusul său. Formularea uzuală, în care se arată cum se desfac parantezele, corespunde
mai bine modului în care se lucrează efectiv. Prin ea se descrie efectiv tehnica
operaţiei şi de aceea ea este preferabilă. În afară de aceasta, regulile de desfacere a
parantezelor se extind şi pentru cazul când paranteza conţine mai mulţi termeni. În
unele manuale, regulile de desfacere a parantezelor se dau şi sub formă de formule:
+ (+ a) = + a, + (- a) = - a, - (+ a) = - a, - (- c) = + a.
Aceste formulări nu sunt fericite. Din punct de vedere psihologic, ele nu sunt
eficiente, căci în practică elevul nu se ghidează după ele. În acest moment, la începutul
algebrei, el încă nu este atât de obişnuit cu folosirea literelor încât să vadă în numerele
cu care operează valori ale variabilei a - el se ghidează după exemplele numerice pe
care s-a dat explicaţia sau după regula formulată în cuvinte. Pe de altă parte, în aceste
formule a reprezintă partea din număr care se scrie cu cifre, de exemplu în cazul
numărului -5, a este 5. Îi obişnuim astfel pe elevi cu ideea că literele reprezintă
numere pozitive - idee de care ei se eliberează greu mai târziu.
d) Elevii au de la artimetică ideea că a aduna înseamnă a mări şi a scădea
înseamnă a micşora, adică suma a două numere este mai mare decât fiecare dintre
termeni, iar diferenţa este mai mică decât descăzutul. După ce se predă adunarea şi
39
scăderea numerelor întregi, trebuie arătat că acest lucru nu mai este totdeauna
adevărat în cazul numerelor întregi. După câteva exemple, se poate ajunge la concluzia
că: a + b este
,0,
0,
bdacaa
bdacaa a – b este
.0,
0,
bdacaa
bdacaa
O formulare mai familiară ar fi următoarea: dacă al doilea termen este negativ,
„adunarea micşorează, iar scăderea măreşte”, adică se obţine efectul contrar celui cu
care elevii sunt obişnuiţi. De asemenea, trebuie arătat că prin folosirea numerelor
negative unele cuvinte capătă sensul contrar celui obişnuit. Pentru aceasta este util să
cerem elevilor să arate ce sens au expresiile: un câştig de -100 de lei, o pagubă de -100
de lei; o încălzire cu -5°, o răcire cu -5°; o scumpire cu -30 de lei, o ieftinire cu -30 de
lei; o depăşire a normei cu -15%, o rămânere în urmă faţă de normă cu -10% ş.a. Faptul
că o pagubă de -100 lei este un câştig de 100 lei sau o coborâre cu -10 m reprezintă o
urcare cu 10 m se datoreşte regulii scăderii, căci paguba sau coborârea se exprimă
printr-o scădere, iar pentru a scădea un număr negativ se adună numărul pozitiv
corespunzător, deci se obţine un câştig, o urcare.
e) Proprietăţile fundamentale ale operaţiilor: comutativitatea şi asociativitatea
adunării şi înmulţirii, precum şi distributivitatea înmulţirii faţă de adunare trebuie
tratate la fel ca operaţiile respective. La adunare, unde se dau mai multe interpretări
concrete, este bine să se învedereze comutativitatea prin aceste interpretări. De
exemplu, (+8) + (-3) trebuie să dea acelaşi rezultat ca (-3) + (+8), pentru că este
indiferent dacă încasez întâi 8 lei şi cheltuiesc pe urmă 3 lei sau, invers, cheltuiesc întîi
3 lei şi încasez pe urmă 8 lei. De asemenea, [(+ 600) + (- 200)] + (+ 300) trebuie să dea
acelaşi rezultat ca (+ 600) +[(- 200) + (+ 300)], pentru că, dacă o fermă are trei secţii,
din care prima are un câştig de 600 de lei, a doua o pierdere de 200 de lei, iar a treia
un câștig de 300 de lei, este indiferent dacă facem întâi bilanţul pentru primele două
secţii şi apoi bilanţul total, ţinând seama şi de secţia a treia sau dacă facem întâi
bilanţul secţiilor a doua şi a treia.
Este important să se atragă atenţia elevilor asupra faptului că, datorită sumei
algebrice, comutativitatea şi asociativitatea adunării se pot folosi şi în cazul unui şir de
adunări şi scăderi. O expresie ca +3-7-2+4 fiind considerată ca sumă, putem aduna
separat termenii pozitivi şi separat cei negativi şi aduna rezultatele - procedeu util în
practică.
În ceea ce priveşte înmulţirea, situaţia este alta. Din justificările concrete,
chiar dacă se dau, se deduce greu că înmulţirea este comutativă şi asociativă. Dacă se
foloseşte formula S = vt nu este deloc sigur că, de exemplu, dacă v = + 40, mobilul se
află în momentul t = - 3 în acelaşi punct ca în momentul t = + 40, când v = - 3; iar despre
asociativitate nu poate fi vorba, căci în această interpretare a înmulţirii nu poate să
apară un produs de trei factori.
Comutativitatea înmulţirii numerelor întregi rezultă din proprietatea
corespunzătoare a numerelor pozitive şi din simetria regulii semnelor: + cu + dă +, şi -
cu - dă tot + ; + cu - dă -, şi - cu + dă tot -. Asociativitatea este un lucru complicat. Ar
trebui considerate opt cazuri, când semnele factorilor sunt +++, ++-, +-+ ş.a.m.d. Este
40
suficient dacă proprietatea se verifică pe 2-3 exemple. De asemenea, şi
distributivitatea faţă de adunare.
f) Ca exerciţii la acest capitol este neapărat necesar să se dea, la adunare, la
scădere şi la suma algebrică câteva probleme cu text, în care să intervină semnificaţia
concretă a sumelor întregi şi a operaţiilor cu ele. În ceea ce priveşte exerciţiile de
calcul - ca în alte împrejurări asemănătoare - trebuie să se pună accentul pe ceea ce
este nou. Cel puţin la început trebuie să se dea exerciţii cu numere simple, care să nu
dea naştere la calcule complicate. Ar fi o greșeală să se dea exerciţii în care intervin
numere mari, fracţii ordinare şi zecimale, căci în acest caz efortul elevilor este
îndreptat într-o direcţie diferită de cea care interesează aici.
La sfârşitul capitolului trebuie făcute exerciţii în care intervin toate operaţiile,
paranteze obişnuite, paranteze mari şi acolade. Pentru ca aceste exerciţii să fie mai
puţin artificiale şi enunţurile să fie mai simple, sunt de preferat exerciţiile în care se
cere să se afle valoarea numerică a unei expresii date, de exemplu: să se afle valoarea
expresiei yx
xyx
25
32
pentru .5;
3
2 yx
Şi aici trebuie păstrată măsura, să nu se dea expresii prea complicate. Exemplul
de mai sus este destul de complicat. Tehnica de calcul nu se formează odată pentru
totdeauna; capitolele următoare oferă prilej suficient pentru desăvârşirea ei treptată.
Dacă în cadrul acestor exerciţii apar greutăţi datorită unor lipsuri din clasele
anterioare, profesorul nu trebuie să se descurajeze.