GHEORGHE ADALBERT SCHNEIDER

MEMORATOR $I INDRUMARDE MATEMATICAGEOMETRIE

PENTRU GIMNAZIU

EDITUITA HYPERION

2.

t.GeometriePunctul, drea1.l Punctul

CUPRINSplanlpta, segmentul de dreaptS, sernidreapta

1.2 Dreapta1.3 Segmentul1.4 SemidreaplUnghiul2.1 Elemenlele gi nr6sura unui unghi2.2 Clasifi carea unghiurilor2.3 Congnrenla unghiurilor2.4 Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi . , .2.5 Unghiuri opuse la vArfl congruenta lor; unglriurifonrate in jurul unui punct; surna ntasurilor lor 12

3. Congruenla triunghiuriior 143.I Triunghi: definifie, clemente; clasiflcareatritrnghiurilor; perimetnrl triunghiului 143.2 Construcfia triunghiurilor 163.3 Conglucr-rla triunghiului oarecarc 11Perpendicularitate I 94.1 Drepte perpendicr-rlare; oblicet distanta de la urrpunct la o dleaptb l 94.2 indltirnea in triunghi; concurenta inillinrilor l94.3 Criterii de congruen{i ale triunghiunlordreptunghice: IC, IU, CC, CU 2l4.4 Mediatoarea uuui seBlnettl; conslrucliame diatoarei unui segment; concLlrenla rnedia-toarelor latr.rrilor unur tt'runghi; simetria fala de o

de dreapti.a ....

3

J

3

l5

8

I9

l0t0l0

4.

dreapta5. Paralelisrr

2223

235.1 Drepte paralelel construirea dreptelor paralele;

axioma paralelelor

85

5.2 Criterii dc paralelism (unghiuri tbrmare de douidrepte paralele cu o secante)

6. Proprietiliuletriunghiurilor "..... ....6.1 Sr.rnta misr.rrilor unghiurilor unuiunghi exterior unui triunghi; teorema

alc triunghiului isoscel . . .ale tritLnghiului echilateralale triunghiului dreptunghic

24

2'7

27

2829

31

3233

33

34

3640424546

zto

46

4748

48495l51

t.iurgfri;unghiului

cxtcnor6.2 Medianarunui triunghi6.3 Proprietdti6.4 Propriet5ti6.5 Proprieta(iPatrulatcre

in triunghi; concurenta medianelor

7.I Patrulaterul convex, suma mdsurilor unghiurilorunui patrulater convex .7.2 Paralelogram; proprietili7.3 Paralelograme pafiiculare; dreptunghi, ronrb gipAtrat;proprietati . ..7.4'I'rapez, clasificare; trapez isoscel, proprietlli . .7.5 Arii; calcrrlul ariilor rrnor supralcte7.6 AplicaliiAsemdrrarea tri unghi r.rrilor8.1 llaporntl a doud segmentc, segmentepropor(ionalc8.2 'l-eorema paralclelor cchidistante. 'l'eorerna lui'I'ha les

8.3 Linia nrijlocie ?n rrir,rnghi. Proprieril.i. Centrulde grcutate al unui triunghi " . . . "8.4 Linia mijlocie in trapcz; proprietdti8.5 TriLrnghiuri asemenea; teorerna fundamentall aascrniniri i8.6 Aplicaliiltelafii rnetrice in rriunghiul drepnrnghic9. I Proieclii ortogonale pe o clreaptd

86

9.2 Teorenrc importante, teorema inillirnii, teorenlacatetei, teorema lui Pitagora 5l9.3 Nofiuni dc trigonometrie in triunghiuldreptunghic; sinusul, cosinusul, tangenta licotangenta unui unghi9.4 Rezolvarea triungh iului dreptungh ic9.5 Aplicalii

l0 CerculI0.1 Cercul; definitie, elenrente10.2 Unghi la centru; mhsura arcelor; arceaongrllento10.3 Coarde gi arce in cerc . . ,10.4 Unghi inscris in ccrc; triunghi inscris iu cerc .1 0.5 Patrulater inscris in cerc; patrulater inscriptibil10.6 Poziliile rclative alc uncr drepte la16 ile r.rncerc; tangenta dintr-un punct exterior la un cerc;triunghi circumscris uuui cerc; patrulatercircumscris unui cerc10.7 Poligoane regulate; calcuh.rl elementelor intriungl-riul echilateral, pdtrat, hexagou regulat . . . .10.8 AplicaliiGeonretrie in spa{iu

l. Relalii intre puncte, drepte Ei planel.l Puncte, drepte, plane; deternrinarea drcptei,determinarea planului 6l1.2 Unghiul a doud drepte irr spaliu, dropteperpendrculare

52

535455

5656

5't575859

58

59

606t61

1.3 Poziliile relative ale unei drepte la![ de un plan;dreapti pelpendiculard pe un plan; distanla de la unpunct la un plan1.4 Poziliile relative a dor.ri planet plane paralele;distan[a dintre doui plane paralele1.5 Aplicalii

6l

oz

63

6l

87

66

66

68

) Proieclii ortogonale Pe un Plan2. I Proiectii de puncte, segmente qi de drepte pe unplan; unghiul unei drepte cu un plan; lungimeaproiecliei unui segment pe un plan2.2 Teorema celor trei perpendiculare2,3 Unghi diedru; unghiul dintre doud plane; plane

perpendiculare3, Corpuri geometrice

3.I Prisuta regr.rlati

69'10

7073"15

78788081

82

3.2 Piramida regulatl3.3 Trunchiul de piramidd regulati3.4 Corpuri rotunde

3.4.1 Cilindrul circular drePt3.4.2 Conul circular drePt3.4.3 Tnrnchiul de con circular drept . . . . . .3.4.4 Sfera

Tiparul executat laEDTTURA HYPERION

CRAIOVAStr. itnplratul Traian Nr. 30

88

GEOMETRIE PLANA1. Punctul, dreapta, segmentul de dreaptl'

scmidreaPtal.l Punctul

l. Punctul reprezintd o noliune fundamental6 a geometriei,se noteazi cu litere mari de lipar: A,B, C, "' qi se reprezint[: ' '4sau.Bsau.C,"'.

Fiind date punctele,4 qi B, avenr una din situaliile:

- A = B - punctele sunt identice;- A + B - punctele sunt diferite (distincte);

O mullime de puncte determin[ o figuri geometric6'

1.2 Dreapta

l. O dreapt6 se poate desena cu ajutorul unel rigle Ei estenemirginiti. Ea se poate nota cu litere mici a,b'c,"' sau princitirea a doud puncte de pe ea AB'8C"".

Exemple:uh

ABMlV- Fiind dat[ dreapta a qi puncrul l, atunci avem una din

srruatiile:

- punctul I apar'|ine dreptei c Ei scriem a € .4;Aa

- punctul I nu apa4ine dreptei a qi scrienr a E A.ol

Trei puncte care se glsesc pe aceea$i dreaptl se nulllgsc

3

puncte coliniare

- Fiind date doua drepte a qi D, nothm a n b mullimeapunctelor cofftune dreptelor a Ei b.

- Daci afib = 0, atunci dreptele a qi b nu au nici un punctcomun qi se numesc drepte paralele qi se noteazi allb'

- Dac[ a.rb = i.4], atunci dreptele a 9i b au un punct comun 9ise numesc drcPte concurente"

- Dacd a I' b are cet pulin doua puncte, atunci dreptele a Ei bcoincid $i scriem a = b.

2. Aplicafii

A

a) Desenali trei Btncte coliniare A, B' C gi un alt puM e {A,8, C}. Stabili ce drepte distincte trec prin aceste pttncte'

Itl cPrin accste pllltcte trec dreptele distincte: AB,AM,BM,CM'

b) Se consideri punctele A, B, C, D astfel incdt dreptele AB9i CD si fie paralele. Si se determine dreptele detetminate de

Solutie. A.

aceste puncte.Solu{ie. A

Bo C.

B

Dreptcle sunt: AB, CD,AC,BD'AD qi BC

Dc

1.3 Segmentul de dreapti

L Segmentul de dreapti reprezinlh portiunea dintr-odreaptl cuprinsi intre dou6 puncte A gi B ale dreptei, numite

I extrernilalile segrnentului.Segmentul se noteazd:

[AB) - caz in care contine toate punctele de pe dreaptd cuprinseintre I qi B, inclusiv I si B;(AB) - caz in care confine toate punctelc de pe drcapti cuprinseintre I gi B, fird si conf ina punctele /, $i B;[AB) - caz in care conline toate punctele de pe dreaptd cuprinseintre I qi B, inclusiv punctul I , gi nu confine punctul B;(ABl - caz in care confine toate punctele dc pe dreaptl cuprinseintre I qi B, inclusiv punctul B ;i nu conline punctul l.

Exemple.

AB

ABABSegmentul [zll] se numeEte segnrentul nul.2, Lungimea unui segment de dreapth [lB] reprezinta

distan[a dintre punctele ,4 qi B, exprimati intr-o unitate de rrisurh,se noteazi lB qi se mdsoari cu rigla.

3. Unitatea principall pcntru nlIsurarea Iungimii estemetrul, care se va nota m.

Multiplii metrului sunt: dam : l0m. hnr= 100m, km:1000m.Submultiplii nretrului sunt: dm, cm, mm qi avem ;

I m: 10 drn: 100 cm = 1000 mm.Segmentul de dreapt6 se poate construi cu ajutorul riglei.

4. Dou6 segnlente [, B] 9i [CD] sunt congruente, daciau lungimi egale qi notirn [.AB] = [CD).

Relafia de congruenla a segmentelor are unndtoareleproprietili qi este atunci relafic de cchivalcn{i:

B

a) este reflexivA: lABl = IABI;b) este simetricd: dacit[AB] = ICD], atunci [CD] = lABl;c) este tranzitivd: daca [,48] = [CD) $i [CD] = [EF],

anrnci [.48] = IEF].Mijlocul unui segment [AB] este purctul M, care imparle

segrnentul [lB] in doud segmente congruenre (lAMl: IMBI).5. Fiind datc scgmentele lABl li [CD], numim segmentul

sunri al celor doui segmente, segmentul [MN], care are lungimeaegald cu suma lurgimilor ceior doud segmente.

Excmplu. Fiind date segnrerrrele [,aB] qi ICD). AB = a siCD = b, atunci [/48] + ICDl: [MN], unde MN = a t b.

6. Fiincl date segmentele [, B] qi lCDl, AB ] CD, numimsegmcntul dileren(i al cclor doui segrnente, segmentul [MN],care are lungirnea egalh cu diferenla lungimilor celor douEsegnlente.

Bxemplu. Fiind date segmentele [,48] $i [CD], AB : aqiCD = b,a > b, arunci IAB)-ICDI= IMN),unde MN = a- b.

1. Fiind. date segmentele [AB] qi [CD], vom construiscgmentul sumtr al celor dou6 segmente astfel: pe dreapta suporta segmentului [lB] (de exemph.r), in preltmgirea lui [,AB]construim un segment [BE], astfel incdt BE = CD. Atuncisegnrentul sunr[ este segmentul [/E], deoarece AE : AB * BE ==AB+CD.

8. Fiind date segmenrele [lB] Si lCDl, AB > CD,construi segmontul diI'eren{i al celor doud segmente [AB)-[CD] astfet: pe dreapta suport a segmentului [z1B] sesegmentul [.4f], astlcl incilt AE = CD. Atunci segmentul difeleste segnrentul [EB], deoarece EB = AB - CD.

9. Aplica{iia) Desenali douh segmente de dreapt[ distincte Ei

aibh cel pLrlin doul pllncte conlune.

Solu{ie.ABC

Segmentele [lB] li [/C] au ca puncte comune toate punctelcsegmentului [,48] , deci cel pufin doul.

b) Desenafi doui drepte a qi b, care se intersecteazd ittpunctul A. Luali punctele distincte M,N e a qi P,Q e b, astlblinc6t .4 e{M,N} qi A4{P,Qi. Stabiliti toate segmentele dc

Segnrentele de dreapti determirlate de punctele M,N'P'Qsunt: [MN], tMP),IMQ), tNP], tNOl, [P0].

c) Fie A,B,C trei puncte coliniare. $tiind cA .48 = a $iBC = b, sI se calculeze lC. Discu{ie.

Solrr(ie. Daci B e[AC), atunci .4C = AB + BC = a* bDacd A e [BCl, atunci AC = BC - BA = b - aDacd C€ [lB], atunci AC = AB - CB = a - b'

d) Fie.4, B,C trei puncte colinrare itr aceasti ordine. Fie Mmijlocul lui [AB],N mijlocul lui [BC] qiP rrrijlocul lui [r1C]. Sb sedemonstreze rela!iile:

AC BC ABl)MN=7; 2)MP=7; 3)NP= r.

Solu{ie.AB BC AB+BC ACMN=BMIBN= Z+T=AC AB

MP=AP-AM= 2-T=AC BC AC_BC22

2AC_AB

2

DL

2

AB.,,

dreaptl determinate de punctele M , N , P , Q