Download - Mef Introducao
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INTRODUO AO MTODO
DE ELEMENTOS FINITOS
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O Mtodo de Elementos Finitos (MEF) uma teoria puramente matemtica para resoluo
aproximada de equaes diferenciais parciais.
Pode ser aplicado, portanto, a problemas de engenharia.
Mtodo de aproximao. O contnuo (infinitos graus de liberdade) aproximado por vrias funes
definidas em regies menores (elementos) conectadas por ns (finitos graus de liberdade).
Procedimento numrico. A discretizao produz um conjunto de equaes algbricas
COMPUTADOR
INTRODUO
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Quando usar o MEF?
Limitaes dos mtodos analticos (geometrias complexas)
Diminuio dos custos em prottipos
Facilidade na montagem de cenrios possveis
Simulao de modelos onde a utilizao de prottipos no adequada. Ex.: implantes cirrgicos
Facilidade de integrao com ferramentas de CAD e otimizao
Proporciona consequentemente uma economia de tempo e dinheiro no processo produtivo.
Porm, mtodos analticos, ou outros procedimentos j consagrados de clculo NO devem ser
abandonados!
INTRODUO
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O MEF pode ser utilizado para a soluo de diversas aplicaes de engenharia.
Historicamente, largamente empregado para anlises mecnicas estruturais,
tanto em comportamento esttico como dinmico.
Tambm bastante usado para anlises trmicas em regime permanente e
transiente de meios slidos.
INTRODUO
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So usadas para determinar o nvel de deslocamentos, tenses, deformaes,
foras de reao, etc.
Anlise Esttica
No considera efeitos de tempo, avaliando equilbrio de foras.
INTRODUO ANLISES ESTRUTURAIS
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Anlises Dinmicas
Modal: frequncias naturais e
modo de vibrao da estrutura
Harmnica: resposta devido a
uma excitao senoidal de
amplitude e intervalo de
frequncias conhecida.
Transiente: avaliao da
resposta da estrutura ao longo
do tempo, em funo de
carregamentos diversos
INTRODUO ANLISES ESTRUTURAIS
disc42a.avidisc42a.avi -
Anlises Dinmicas
Tambm podem ser analisadas com base em uma metodologia explcita (ANSYS LS-Dyna e
ANSYS Autodyn).
Direcionadas para anlises de impacto, conformao mecnica e outros casos com elevado
nvel de deformaes.
INTRODUO ANLISES ESTRUTURAIS
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So usadas para determinar a distribuio de temperaturas e fluxos trmicos,
tipicamente em meios slidos.
Podem avaliar a condio de equilbrio trmico (regime permanente) ou a
evoluo ao longo de um intervalo de tempo (regime transiente).
Pode-se representar transformao
de fase (lquido-slido) de forma idealizada.
INTRODUO ANLISES TRMICAS
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Avaliam escoamentos de fluido externos e internos estrutura.
Permitem avaliar distribuies de presso, velocidade e temperatura no fluido.
Podem contemplar fenmenos complexos, como escoamentos multifsicos,
reaes qumicas, etc.
INTRODUO ANLISE DE DINMICA DE FLUIDOS
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Permitem avaliar campos magnticos, correntes alternadas e contnuas,
integridade de sinais, interferncias, etc.
Aplicaes de alta (ex.: antenas) e baixa frequncia (ex.: motores eltricos).
INTRODUO ANLISE ELETROMAGNTICA
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Diversos equipamentos e estruturas esto submetidas aos efeitos de diversos
fenmenos fsicos simultaneamente.
Muitas vezes, esses fenmenos podem exercer influncia entre si, afetando o
comportamento fsico.
Considerando um modelo numrico, essa influncia pode ser representada
atravs do acoplamento multifsico.
Esse acoplamento pode ser de 1 ou 2 vias, de acordo com a influncia entre os
fenmenos.
INTRODUO ACOPLAMENTO MULTIFSICO
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INTRODUO ACOPLAMENTO MULTIFSICO
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Analiticamente
Muito rpido para resolver, mas limitado para casos muito
especficos, e muitas vezes para casos geometricamente
muito simples
Exemplos : determinao terica, normas...
Experimentalmente
Resultados excelentes, mas em geral so
muito caros e demorados
Exemplos : crash-test, experimentos em tneis de vento...
Numericamente
Modelagem de casos complexos, com resultados
bons com tempos razoveis
Exemplos : Mtodo de Elementos Finitos,
Mtodo de Diferenas Finitas
COMO RESOLVER UM PROBLEMA DE ENGENHARIA?
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Problema
Fsico
Modelo
Matemtico
MODELAGEM NUMRICA
IDEALIZAO
A idealizao corresponde a uma etapa intermediria, onde o problema
fsico simplificado, de forma a permitir a modelagem numrica.
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O problema fsico corresponde a uma pergunta de engenharia.
MODELAGEM NUMRICA
O projeto de uma ponte capaz de
suportar os carregamentos
ambientais?
Caso um parafuso quebre, como a
junta flangeada de um equipamento
X vai se comportar?
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Uma vez identificada essa pergunta, cabe ao analista definir:
Informaes que so conhecidas:
Geometria do equipamento / estrutura
Pontos de fixao e apoios
Carregamentos aplicados
Propriedades de material
...
Informaes desconhecidas que so necessrias:
Configurao deformada
Distribuio de tenses e deformaes
Evoluo de reaes ao longo do tempo
...
MODELAGEM NUMRICA
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Identificada a pergunta de engenharia,
os resultados que so necessrios para
respond-la e as informaes que so
conhecidas, inicia-se o processo de
modelagem numrica.
MODELAGEM NUMRICA
Decises Preliminares
Pr-Processamento
Soluo
Ps-Processamento
Interpretao de Resultados
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Erros podem ocorrer!
Nesse caso, deve-se retornar para as etapas anteriores, avaliando as possveis causas desse
erro.
MODELAGEM NUMRICA ERROS
Decises Preliminares
Pr-Processamento
SoluoPs-
ProcessamentoInterpretao de Resultados
Causa do erro provavelmente est na etapa de
pr-processamento ou mesmo nas decises
preliminares
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Existem erros que so associados prpria modelagem numrica, que jamais
ser 100% igual ao cenrio real. Esses erros podem estar associados a:
Propriedades de material: normalmente o material no totalmente homogneo,
especialmente aps processos de fabricao, assim como suas propriedades podem
apresentar pequenos desvios em relao aos valores obtidos em literatura ou datasheet;
Geometria: a geometria real pode apresentar imperfeies devido a processos de fabricao,
que podem afetar a distribuio de tenso;
Carregamentos: a verdadeira magnitude, orientao e posio de um carregamento pode ser
levemente diferente daquelas aplicadas no modelo numrico;
Erros numricos: como qualquer outro procedimento numrico, na modelagem por elementos
finitos ocorrem erros inerentes caracterstica soluo (por exemplo, erro de arredondamento).
MODELAGEM NUMRICA ERROS
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Existem erros, normalmente que ocorrem na etapa de soluo, que impossibilitam
o clculo. Tipicamente so identificados e solucionados facilmente.
Ausncia de condies de contorno suficientes, provocando movimento de corpo rgido;
Propriedades de material insuficientes;
...
MODELAGEM NUMRICA ERROS
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Por fim, existem os chamados erros conceituais, associados a consideraes e
hipteses invlidas para a representao do problema fsico.
Grandezas com unidades e/ou magnitudes inconsistentes;
Comportamento de material no-representativo;
Singularidade numrica resultante de simplificao geomtrica;
...
Esses erros no impedem o clculo! So identificados no ps-processamento aps
interpretao crtica do analista!
MODELAGEM NUMRICA ERROS
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Cabe ao analista tomar decises iniciais, de forma a construir o modelo numrico adequado.
Tpicas decises preliminares:
Qual a fsica da anlise?
Que tipo de simulao deve ser feita?
Existe dependncia de tempo no fenmeno observado?
Qual abordagem geomtrica necessria?
O que deve ser modelado: todo o conjunto ou parte dele?
Que tipo de elemento deve ser usado?
A no-linearidade deve ser considerada?
Esta etapa feita antes de abrir o software!
Ela inclusive pode definir qual software deve ser usado.
PLANEJANDO A ANLISE
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Qual a fsica da anlise?
PLANEJANDO A ANLISE
Estrutural
Trmica
Fluidodinmica
Eletromagnetismo
Acstica
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Que tipo de anlise deve ser feita?
PLANEJANDO A ANLISE
Estrutural
Esttica Dinmica
Implcita
Modal Harmnica Espectro Transiente
Explcita
Flambagem
Fadiga
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Existe dependncia do tempo?
PLANEJANDO A ANLISE
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Qual abordagem geomtrica necessria?
Elementos de viga (modelagem 1D)?
Elementos de casca (modelagem 2D)?
Elementos planos (modelagem slida 2D)?
Elementos tridimensionais (modelagem slida 3D)?
PLANEJANDO A ANLISE
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O que deve ser modelado?
PLANEJANDO A ANLISE
necessrio modelar todo o
conjunto, para capturar o
comportamento fsico desejado?
possvel modelar apenas a parte
de interesse, representando sua
interao com as demais de outra
forma?
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Que tipo de elemento deve ser usado?
Elemento de 1 ou 2 ordem?
Elemento com caractersticas especiais?
PLANEJANDO A ANLISE
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A no-linearidade deve ser considerada?
No-linearidade dependncia do comportamento do sistema com o
grau de liberdade calculado.
No caso estrutural:
Material
Grandes deformaes e deslocamento
Contato
PLANEJANDO A ANLISE
FxxK
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Tomadas as decises iniciais, tipicamente realizada uma
anlise preliminar, com modelos numricos mais simples.
Validao das hipteses, identificao de erros conceituais, ...
Se disponveis, resultados experimentais podem ser usados
para calibrar o modelo e ganhar sensibilidade fsica do
problema.
Caso no sejam obtidos resultados satisfatrios, revisar as
hipteses adotadas e selecionar uma abordagem
hierarquicamente superior.
PLANEJANDO A ANLISE
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Definida a abordagem e com as decises iniciais tomadas,
inicia-se o desenvolvimento da anlise, que tipicamente se
divide em trs etapas:
Pr-processamento
Etapa de construo do modelo numrico, com a criao da
geometria, definio de propriedades de material, discretizao da
malha de elementos finitos e aplicao das condies de contorno.
Soluo
Etapa em que o modelo numrico resolvido.
Ps-processamento
Etapa de gerao de resultados.
DESENVOLVENDO A ANLISE
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DESENVOLVENDO A ANLISE
O analista quem executa esta
etapa. a maior fonte de erros
conceituais!
Etapa de maior esforo
computacional, mas onde
o acompanhamento do
analista fundamental.
Resultados so gerados de
acordo com o problema fsico
em estudo.
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Terminada a anlise, cabe ao analista fazer a interpretao
dos resultados, com base nas hipteses simplificadoras,
levando em conta o objetivo da anlise.
INTERPRETANDO OS RESULTADOS
O programa no faz a interpretao dos resultados!
Essa tarefa cabe ao engenheiro responsvel pela anlise!
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Tpicos questionamentos:
Foram obtidos bons resultados?
A resposta fisicamente coerente?
A comparao com resultados experimentais satisfatria?
A comparao com resultados analticos satisfatria?
As hipteses simplificadoras so vlidas?
Foi obtida convergncia de malha?
Onde ocorrem as maiores tenses? uma regio de singularidade
numrica?
INTERPRETANDO OS RESULTADOS
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A boa prtica de simulao recomenda que os primeiros
modelos sejam numericamente mais simples.
Malhas mais grosseiras;
Uso de geometrias e elementos idealizados;
Simplificao de no-linearidades.
Com base na interpretao dos resultados, pode ser
necessrio desenvolver modelos mais complexos.
INTERPRETANDO OS RESULTADOS
A pergunta : quando parar?
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Observar a diferena entre o modelo confivel e eficiente.
INTERPRETANDO OS RESULTADOS
Modelo Confivel
Modelo que fornece a resposta para
a pergunta de engenharia com a
preciso necessria.
Modelo Eficiente
Modelo com a menor complexidade
numrica possvel que fornece a
resposta para a pergunta de
engenharia com preciso suficiente.
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A comparao com modelos analticos e/ou experimentais
tambm de grande valia.
Dificilmente os valores sero exatamente os mesmos!
Cabe ao engenheiro avaliar o porqu.
INTERPRETANDO OS RESULTADOS
Como que as hipteses simplificadoras
afetam a resposta? E o quanto isso
crtico?
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Deve-se ter um cuidado com a avaliao da tenso mxima!
O local de mxima tenso corresponde ao previsto?
uma regio de singularidade?
na regio de interesse?
uma regio onde a geometria foi simplificada?
O modelo leva em considerao a plasticidade?
INTERPRETANDO OS RESULTADOS
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MTODO DE ELEMENTOS
FINITOSRaphael Bacchi, M.Sc.
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O MEF tem suas origens na anlise estrutural, se aproveitando de conceitos e
teorias clssicas de mecnica dos slidos.
Para uma melhor compreenso do mtodo, feita a seguir uma breve reviso
desses conceitos.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECNICA DOS SLIDOS
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Deslocamentos esto associados ao movimento sofrido por um dado ponto da
estrutura.
Por exemplo, na figura abaixo, o deslocamento dos pontos imaginrios A, B e P pode ser
definido pelos vetores (A.A), (B.B) e (P.P).
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECNICA DOS SLIDOS
Fonte: Astley
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Deformaes correspondem a uma medida normalizada dos deslocamentos
relativos de pontos em um corpo.
Devem respeitar os seguintes critrios:
A deformao nula quando no h deslocamento relativo entre pontos desse corpo
movimento de corpo rgido.
A deformao ser no-nula quando ocorrer deslocamento relativo entre pontos do corpo.
A deformao deve se relacionar com a tenso por meio de uma equao constitutiva.
Como a matria contnua, diferentes componentes de deformao devem
obedecer equaes de compatibilidade, que as relaciona.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECNICA DOS SLIDOS
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Formalmente, as deformaes podem ser caracterizadas em componentes
normais e cisalhantes, associadas translaes e rotaes respectivamente.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECNICA DOS SLIDOS
x
ux
x
v
y
u
y
u
vy
utan
x
v
ux
vtan
xy
Relaes anlogas para as
demais direes e planos
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As tenses representam as foras internas atuantes em um corpo, em uma rea
infinitesimal A. Tambm apresenta componentes normais e cisalhantes.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECNICA DOS SLIDOS
FN
FS
F
A
A
Flim
A
Flim
S
0A
N
0A
Tenso Normal :
Tenso Cisalhante :
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Tipicamente, o estado geral de deformaes e tenses em um ponto qualquer,
com base em uma orientao cartesiana, podem ser descritos por tensores, como
mostrado abaixo:
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECNICA DOS SLIDOS
zzyzx
yzyyx
xzxyx
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
E
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
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O estado geral de tenses pode ser calculado segundo uma nova orientao, de
forma a caracterizar um estado com tenses normais somente. Essas trs
componentes 0 so estimadas pelo determinante abaixo.
O mesmo vlido para as deformaes.
Nessa condio, tem-se as tenses principais,
sendo que:
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECNICA DOS SLIDOS
0
0zzyzx
yz0yyx
xzxy0x
321
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Para a avaliao de estruturas, comum representar o estado geral de tenses
por um valor equivalente.
A tenso equivalente de von Mises corresponde a uma tenso de trao uniaxial,
que cria a mesma energia de deformao associada ao estado de tenses geral.
Essa componente equivalente tipicamente comparada com o limite de escoamento do
material, obtido em ensaio uniaxial de trao.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECNICA DOS SLIDOS
213232221eqv
2
xz
2
yz
2
xy
2
xz
2
zy
2
yxeqv
2
1
62
1
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Como mencionado acima, uma equao constitutiva faz a relao entre os
tensores de deformao e tenso.
Este tensor de quarta ordem e apresenta a princpio 81 coeficientes, que em funo da
simetria se reduzem para 36 coeficientes.
Para o caso de relao linear, corresponde Lei de Hooke.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECNICA DOS SLIDOS
ECT
yxzz
zxyy
zyxx
E
1
E
1
E
1
G
G
G
yz
yz
xzxz
xy
xy
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Cabe ressaltar que existem diversas formas de medir tenses e deformaes.
Para um caso simplificado de barra em trao:
Deformaes e tenses de engenharia (pequenas deformaes)
Deformao real e tenso real (Cauchy)
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECNICA DOS SLIDOS
inicial
eng
inicial
inicialfinaleng
A
F,
L
LL
finalinicial
final
A
F,
L
Lln
-
Pode-se estabelecer relaes entre essas medidas de
tenso e deformao.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECNICA DOS SLIDOS
http://www.thefullwiki.org/Tensile_strength
1 - Tenso ltima (Ultimate)
2 - Tenso de Escoamento (Yield)
3 - Tenso de Ruptura (Rupture)
At aproximadamente 2x a
deformao de escoamento
At o ponto de estrico (regio 4)
eng eng
engeng 1
eng 1ln
Curva de Engenharia
Curva Real
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Anlise MatricialRaphael Bacchi, M.Sc.
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Para uma melhor compreenso do Mtodo de Elementos Finitos, possvel avaliar
o mtodo de Anlise Matricial.
Esta metodologia antecessora ao MEF e apresenta diversos pontos em comum,
como:
Conceito de discretizao da estrutura
Modelo matemtico empregado
Formulao matricial das equaes diretas
Mtodos de soluo numrica
ANLISE MATRICIAL
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Idia principal do mtodo:
Discretizar o contnuo em pequenas regies, chamadas de elementos, e descrever o
comportamento de todo o sistema com a superposio dos comportamentos individuais de cada
elemento.
ANLISE MATRICIAL
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Por exemplo, essa estrutura formada por diversas barras, atuantes como vigas,
trelias ou colunas.
ANLISE MATRICIAL
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Os sistemas estruturais passam a ser representados por elementos lineares
(trelias, vigas) conectados atravs de pontos discretos chamados ns.
Sob carregamento, os ns sofrero deslocamentos sob a forma de translaes e
rotaes.
Os deslocamentos nos ns sero conhecidos quando constiturem as restries
impostas estrutura (condies de contorno).
Os deslocamentos restantes sero obtidos aps uma anlise completa da
estrutura. Esses deslocamentos nodais so os graus de liberdade e representam
a indeterminao cinemtica da estrutura.
ANLISE MATRICIAL
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Rigidez:
a relao entre um esforo aplicado e o deslocamento ocorrido devido a esse esforo.
ANLISE MATRICIAL CONCEITOS ESSENCIAIS
2121
22
11
xx k k :Se
xkF
xkF
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Grau de liberdade:
o nmero de coordenadas necessrias para descrever com exatido uma posio de um
sistema mecnico.
A estrutura acima possui 3 graus de liberdade, e portanto pode ser descrita de maneira unvoca
atravs de 3 coordenadas
ANLISE MATRICIAL CONCEITOS ESSENCIAIS
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Coeficiente de influncia de rigidez:
Kij = esforo que surge no i-simo grau de liberdade para deslocamento unitrio segundo o j-
simo grau de liberdade, mantidos nulos todos os demais deslocamentos
ANLISE MATRICIAL CONCEITOS ESSENCIAIS
Exemplos:
K11 esforo que surge em 1, quando ocorre deslocamento unitrio em
1
K12 esforo que surge em 1, quando ocorre deslocamento unitrio em
2
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Considerando a barra de trelia abaixo.
ANLISE MATRICIAL EXEMPLO DE BARRA DE TRELIA
Aplicando uma fora axial F na barra,
distribuda de maneira uniforme na
seo transversal de rea A, tem-se:
A
FTenso axial :
00
0
L
L
L
LL
Deformao axial :
Adotando a hiptese de material linear elstico (Lei de Hooke)
0L
LE
A
F
E
L
L
EAF
0
LkF axial
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Considerando a barra somente com translaes axiais, entende-se que ela possui
2 graus de liberdade.
Considerando a relao vista no slide anterior, pode-se escrever um sistema matricial para
caracterizar o elemento de barra.
Onde:
ANLISE MATRICIAL EXEMPLO DE BARRA DE TRELIA
2221
1211
2
1
2
1
kk
kkK
x
xx
f
ff
11
11
L
EAK
L
EAkaxial
A matriz K ao lado chamada de
matriz rigidez do elemento de
trelia
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O elemento de trelia visto acima pode ser usado para a anlise de estruturas
mais complexas, com vrios elementos conectados.
Para isso, deve-se construir uma matriz rigidez global, combinando as matrizes de
elementos.
O mesmo vlido para as foras e graus de liberdade.
feita ento uma equivalncia entre graus de liberdade do elemento e graus de
liberdade globais.
Essa equivalncia pode ser feita considerando ou no as condies de contorno aplicadas nos
graus de liberdade globais.
Exemplo:
ANLISE MATRICIAL EXEMPLO DE BARRA DE TRELIA
-
Elemento A:
Elemento B:
ANLISE MATRICIAL EXEMPLO DE BARRA DE TRELIA
Elemento A Elemento B
GL Local 1 = ...
GL Local 2 = GL Global 1
GL Local 1 = GL Global 1
GL Local 2 = GL Global 2
Considerando condies de contorno
-
Com base na equivalncia entre os graus de liberdade local e global, constri-se a
matriz rigidez global.
ANLISE MATRICIAL EXEMPLO DE BARRA DE TRELIA
122121
112111
1kk
kkK
222221
212211
2kk
kkK
222221
212211122121
112111
kk0
kkkk
0kk
K
GL 1 GL 2
GL 1
GL 2
11
12
L
EAK
Considerando trelias com
mesmo material e geometria
Matriz
Rigidez
Global
-
Com a matriz rigidez global definida, pode-se construir o sistema global (f = Kx).
Neste sistema, normalmente as foras so conhecidas, enquanto que os deslocamentos so as
incgnitas.
Para a soluo, uma forma consiste em inverter a matriz K e multiplicar pelo vetor f, para assim
encontrar os deslocamentos
ANLISE MATRICIAL EXEMPLO DE BARRA DE TRELIA
2
1
2
1
x
x
11
12
L
EA
f
f
-
O procedimento acima pode ser replicado para diversas situaes mais
complexas, com uma quantidade maior de graus de liberdade por n.
Exemplo: trelia no plano, trelia no espao tridimensional
Se necessrio, matrizes de rotao podem ser usadas para ajustar graus de
liberdade locais.
Usado quando estes no esto alinhados com as direes globais.
Pode-se aplicar a mesma metodologia para vigas.
Possuem rigidez flexo e toro, alm da rigidez axial.
ANLISE MATRICIAL
-
O mtodo de montagem de matriz mostrado anteriormente baseado em modelos
analticos para elementos de viga.
Para sistemas mais complexos, no possvel utilizar este recurso, de forma que
se utiliza outros mtodos para resoluo de sistemas matemticos contnuos.
Entretanto, como mencionado acima, muitos conceitos so aproveitados nestas
metodologias.
Alm disso, no MEF so tipicamente usados elementos com geometrias simples,
muitas vezes com representao semelhante vista acima para trelias e vigas.
SISTEMAS MATEMTICOS CONTNUOS
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Alguns mtodos contnuos comuns:
Mtodo Diferencial (forma forte de equilbrio)
Mtodo Variacional: Mtodo de Ritz (forma variacional de equilbrio)
Mtodo de Resduos Ponderados: Mtodo de Galerkin (forma fraca de equilbrio)
Mtodo Direto (utiliza-se do Princpio dos Trabalhos Virtuais)
SISTEMAS MATEMTICOS CONTNUOS
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1. Escrever, para cada elemento, o campo de deslocamentos atravs de funes de forma
2. Expressar o campo de deslocamentos do elemento em funo dos deslocamentos
nodais
3. Atravs de uma integral no volume no elemento, obter a matriz de rigidez do mesmo (j
definida uma relao constitutiva)
4. Montar um sistema global de equaes, atravs da superposio dos efeitos de cada
elemento baseando-se em uma numerao global de graus de liberdade
5. Com a relao deslocamento-deformao (baseada nas equaes de compatibilidade),
calcular a deformao dentro de cada elemento
6. partir das deformaes, obter a distribuio de tenses em cada elemento
MTODO DIRETO
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Considerando o elemento de trelia abaixo.
Elemento composto por dois ns, i e j.
Cada n possui 1 grau de liberdade de deslocamento (i e j).
Elemento possui rea de seo transversal A e comprimento L conhecidos.
O elemento de trelia pode ser representado por uma equao de reta.
As variveis a0 e a1 so os coeficientes da reta.
MTODO DIRETO ELEMENTO DE TRELIA
i j
i jx
y
xaau 10
L
A
-
A funo de forma pode ser reescrita de forma matricial:
Considerando que o elemento isoparamtrico (a funo de forma tambm
descreve os graus de liberdade), pode-se estimar os coeficientes com base nos
deslocamentos nodais.
MTODO DIRETO ELEMENTO DE TRELIA
1
0
a
ax1u
LaaLuLu
0aa0u0u
10j
10i
La
a
ij
1
i0
-
possvel organizar os coeficientes tambm de forma matricial.
Substituindo os coeficientes na funo de forma, pode-se definir o campo de
deslocamentos do elemento em funo dos deslocamentos nodais.
MTODO DIRETO ELEMENTO DE TRELIA
j
i
1
0
L
1
L
1
01
x1ua
ax1u
j
i
1
0
L
1
L
1
01
a
a
j
i
L
x
L
x1u
-
O primeiro termo da expresso acima corresponde funo de forma do elemento [N].
Assumindo pequenas deformaes:
O primeiro termo da equao acima a matriz de relao deslocamentos-deformaes [B].
MTODO DIRETO ELEMENTO DE TRELIA
N
L
x
L
x1u
j
i
dx
du
j
i
L
1
L
1
B
-
Calculadas as deformaes, pode-se aplicar a relao constitutiva para estimar as
tenses.
Considerando trelia com tenso axial somente em comportamento linear elstico, a lei
constitutiva se resume ao mdulo de elasticidade:
MTODO DIRETO ELEMENTO DE TRELIA
BC
C
E
-
As matrizes que definem o comportamento estrutural podem ser derivadas a partir
do Princpio de Trabalhos Virtuais.
Princpio de Trabalhos Virtuais:
Para a condio de equilbrio, o incremento de trabalho virtual das foras externas We deve ser
igual ao incremento do trabalho virtual das tenses Wi, para qualquer campo de
deslocamentos virtuais u que satisfaa as condies de contorno do sistema.
PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
ei WW
-
Considerando um domnio genrico abaixo:
PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
j
ii
N
S
SB
ei
uFdSuFdVuFdV
WW
i
FB = Foras inerciais
FS = Foras Superficiais
FN = Foras Nodais
Carregamentos ExternosEnergia Interna de Deformao
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O termo de energia interna est associado rigidez do domnio (que pode ser um elemento).
Conhecidas as relaes abaixo:
Pode-se definir a rigidez do domnio como:
Para o caso de trelia (Lei de Hooke):
PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
V
T
e dVBCBk
V
T
e dVBEBk
C;uB
-
Substituindo a matriz [B] para o exemplo da trelia:
Conhecida a rea A e o comprimento L do elemento, pode-se fazer a integrao ao
longo de seu volume.
Matriz j conhecida da modelagem matricial.
MTODO DIRETO ELEMENTO DE TRELIA
dv
L
E
L
EL
E
L
E
dVL
1
L
1E
L
1
L
1k
V22
22T
V
e
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
ke
-
Seguindo a mesma metodologia vista na Anlise Matricial, uma matriz rigidez
global construda, atravs da composio das matrizes de elemento.
Observando a equivalncia entre grau de liberdade de cada elemento e grau de liberdade
global.
MTODO DIRETO ELEMENTO DE TRELIA
N
1i
i
eKK
-
Uma questo fundamental na anlise pelo MEF a seleo do tipo de elemento
finito e sua correspondente funo de forma.
As funes de forma mais comuns so polinmios.
FUNES DE FORMA
j k l
lkj
jkli
j k
kj
jki
j
j
ji
zyxz,y,x
yxy,x
xx
-
Em anlises de elementos finitos, as funes de forma so tipicamente polinmios
de baixa ordem (lineares ou quadrticos).
Geometricamente, estes elementos possuem formas relativamente simples.
Linhas, tringulos, quadrados, tetraedros, hexaedros...
FUNES DE FORMA
-
Caracterstica dos
elementosRaphael Bacchi, M.Sc.
-
Para a discretizao do problema, o analista deve escolher determinados
elementos para representar numericamente seu sistema.
A escolha de um elemento j est associada definio da funo de forma [N], e
consequentemente da matriz de associao de deformaes e deslocamentos [B] e da matriz
rigidez [K].
Os elementos podem ser classificados de acordo com as seguintes informaes:
Geometria
Graus de liberdade
Nmero de ns
Formulao
Integrao
ELEMENTOS FINITOS
-
Os elementos tipicamente podem ser:
Unidimensionais (trelias, vigas ...)
Bidimensionais (membrana, casca, placa ...)
Tridimensionais (slidos)
Existem tambm elementos especiais / auxiliares
Elementos rgidos
Elementos infinitos
Molas e amortecedores
Massas concentradas
Elementos superficiais (carregamentos, contatos ...)
Acsticos
Gaxeta
User-defined elements
ELEMENTOS FINITOS GEOMETRIA
-
ELEMENTOS FINITOS GEOMETRIA
Especiais: molas,
amortecedores e
massas
Contnuos (elementos
slidos)
Elementos de Casca
Elementos de VigaElementos Rgidos Elementos de
Membrana
Elementos de
Trelia
-
Em termos de geometria, tipicamente eles assumem formatos simplificados.
Bidimensionais: quadrados e tringulos
Tridimensionais: hexaedros, tetraedros, prismas e pirmides
ELEMENTOS FINITOS GEOMETRIA
-
Tambm pode-se classificar as geometrias de acordo com os esforos presentes.
Esforos no plano: trelias e membranas
Esforos laterais devido a momentos fletores: vigas e placas
Ambos esforos: vigas e cascas
ELEMENTOS FINITOS GEOMETRIA
Elementos de Casca
Elementos de Viga
Elementos de Membrana
Elementos de Trelia
-
So as variveis fundamentais calculadas durante as anlises, localizados nos
ns.
Para as simulaes envolvendo tenso deformao, os graus de liberdade
dependem do tipo de geometria:
Elementos tridimensionais: translaes
Elementos unidimensionais e bidimensionais: translaes e rotaes
Para transferncia de calor os graus de liberdade so as temperaturas em cada
n.
ELEMENTOS FINITOS GRAUS DE LIBERDADE
-
A dimenso dos polinmios que caracterizam a geometria do elemento definem a
sua ordem, diretamente associada quantidade de ns.
Os elementos podem ser:
Elementos de 1 ordem: somente ns nos vrtices
Elementos de 2 ordem: incluem tambm ns intermedirios
ELEMENTOS FINITOS NMERO DE NS
Hexaedro de 1 ordem (8 ns) Hexaedro de 2 ordem (20 ns)
-
Formulao:
A formulao matemtica define o comportamento do elemento. Todos os elementos utilizados
em anlise estrutural so baseados na descrio Lagrangeana. Mais recentemente esto sendo
disponibilizados elementos ALE (Arbitrarian Lagrangian Eulerian Formulation).
Integrao:
Os programas normalmente utilizam a quadratura de Gauss para avaliar a resposta material em
cada ponto de integrao de cada elemento. possvel escolher o nmero de pontos de Gauss
para determinar a preciso da integrao numrica.
ELEMENTOS FINITOS FORMULAO E INTEGRAO
-
Configurao da integrao gaussiana nos elementos, podendo ser completa ou
reduzida.
A ordem do elemento contribui para a quantidade de pontos de integrao.
ELEMENTOS FINITOS FORMULAO E INTEGRAO
Primeira
Ordem
Integrao
Completa
Segunda
Ordem
Integrao
Reduzida
-
Em geral os elementos slidos so usados para representao de volumes,
podendo assumir formatos hexadricos, tetradricos, etc.
Tambm podem ser usados para modelos planos idealizados, com
comportamentos especficos:
Estado Plano de Tenses
Estado Plano de Deformaes
Axissimtrico
Possuem 3 graus de liberdade por n.
Translaes.
Elementos planos possuem 2 graus de liberdade.
ELEMENTOS SLIDOS
-
Estado Plano de Tenses
Tenso fora do plano nula. Aplicvel para estruturas com espessura muito pequena com
carregamento no plano.
Estado Plano de Deformaes
Deformao fora do plano nula. Aplicvel para estruturas com um comprimento muito grande,
com carregamento no plano.
ELEMENTOS SLIDOS
-
Axissimtrico
Modela-se somente a seo de revoluo
da geometria, aplicvel quando os
carregamentos e restries tambm so
axissimtricos.
Permite o levantamento de componentes de
tenso axial, radial e circunferencial.
ELEMENTOS SLIDOS
-
So usados para geometrias tridimensionais, onde uma das dimenses muito
menor que as demais.
Embora o elemento no tenha espessura, esta definida internamente como
propriedade do elemento, caracterizando assim sua rigidez.
Possuem 6 graus de liberdade por n
Translaes e rotaes
ELEMENTOS DE CASCA
-
Elementos de casca so usados para geometrias com chapas metlicas e paredes
finas, onde o uso de uma malha tridimensional resultaria em malhas muito grandes
ou muito distorcidas.
Tipicamente em condies com espessura at 1/10 das dimenses caractersticas do modelo.
ELEMENTOS DE CASCA
Elemento baseado na espessura
Malha muito grande
Elemento baseado na superfcie
Malha muito distorcida
-
Embora o elemento seja uma superfcie, tipicamente realizada uma integrao
ao longo da espessura.
ELEMENTOS DE CASCA
Resultado no lado Top Resultado no lado Bottom
-
So usados em geometrias onde duas dimenses so muito menores em relao
ao comprimento.
Podem apresentar rigidez somente axial (trelia) ou tambm flexo e toro
(viga).
Possuem at 6 graus de liberdade por n
Translaes e rotaes (somente vigas)
ELEMENTOS DE VIGA / TRELIA
-
Estes elementos so muito comuns para estruturas metlicas de grande porte,
construdas com vigas e barras.
As propriedades de seo (rea, momentos de inrcia, etc) podem ser definidas
manualmente ou calculadas com base na geometria da seo transversal.
ELEMENTOS DE VIGA / TRELIA
-
Elementos lineares tipicamente apresentam resultados uniformes na seo, que se
comporta de forma rgida.
Alguns recursos de extrapolao podem ser usados para visualizar resultados ao
longo da seo.
Certos elementos de viga avanados fazem uso de termos de Fourier, o que
permite distoro da seo transversal.
ELEMENTOS DE VIGA / TRELIA
-
A escolha do elemento deve ser feita com base nas caractersticas da geometria,
assim como no tipo de resposta esperado.
Na prtica qualquer geometria tridimensional; logo elementos slidos so
tipicamente os mais indicados, sendo os mais completos em termos de resultados.
Elementos idealizados (cascas e vigas) normalmente tm limitaes em termos de
resultados, porm apresentam melhor desempenho em termos de tempo de
anlise para determinadas geometrias.
ESCOLHA DO ELEMENTO
-
Exemplo: estrutura metlica composta por perfis retangulares, fixada nas
extremidades e submetida a um carregamento de 2000 kg distribudo na superfcie
superior.
Avaliar a resposta considerando elementos slidos, cascas e vigas.
EXEMPLO DE SELEO DE ELEMENTO
-
Modelo com elementos slidos (malha com 25 mm)
EXEMPLO DE SELEO DE ELEMENTO
-
Modelo com elementos de casca (malha com 33 mm)
EXEMPLO DE SELEO DE ELEMENTO
-
Modelo com elementos de viga (malha com 80 mm)
EXEMPLO DE SELEO DE ELEMENTO
-
Comparao de resultados
EXEMPLO DE SELEO DE ELEMENTO
Slido Casca Viga
Nmero de Ns 91045 3190 152
Nmero de Elementos 45435 3138 76
Graus de Liberdade 269679 18708 888
Tamanho arquivo (Mb) 41 4,2 0,576
Tempo de soluo (s) 26 5 3
Deflexo (mm) 0,098 0,098 0,09
Tenso de von Mises (MPa) 18,104 12,547 11,603*
* - Tenso combinada (componente axial + componente de flexo)
-
Modelo slido
Fornece bons resultados, porm devido s pequenas dimenses foi necessrio o uso de uma
malha muito refinada, consequentemente resultando em maior tempo de soluo.
Modelo de casca
Traz bons resultados, com uma malha no muito pesada. Permite a avaliao ao longo da
espessura, com a correta identificao das superfcies Top e Bottom.
Modelo de viga
Malha bem reduzida e tempo de soluo extremamente rpido. Permite uma avaliao global
da resposta, porm com ps-processamento limitado.
EXEMPLO DE SELEO DE ELEMENTO
-
Qualidade da MalhaRaphael Bacchi, M.Sc.
-
A definio da malha de elementos finitos uma etapa de grande importncia na
modelagem.
Determina a qualidade dos resultados obtidos.
Fisicamente, o modelo contnuo; a diviso proposta em um modelo de
Elementos Finitos uma abordagem para viabilizar a soluo numericamente.
De uma forma geral, quanto mais refinada for a malha (elementos menores),
melhores sero os resultados.
Em uma anlise de MEF, o refino est relacionado com o tamanho do elemento e at mesmo
com sua ordem.
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
-
Por outro lado, malhas muito refinadas resultam em uma quantidade maior de ns
e elementos.
Consequentemente, gerando mais equaes para o sistema e um maior tempo de anlise.
Isso ainda mais crtico em anlises no-lineares e/ou transientes, que so por definio mais
demoradas.
Dessa forma, necessrio buscar um equilbrio entre tempo de simulao e
preciso de resultados.
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
Tempo de simulao Preciso de resultados
-
Considerando as questes acima, possvel pensar:
O ideal usar uma malha bem refinada, pois a preciso de resultados indispensvel. No
adianta nada ter uma resposta mais rpida e errada com uma malha grosseira.
Entretanto, sob uma tica prtica o tempo de resposta tambm uma varivel
importante.
Associado a custos de fabricao, prazos de manuteno, etc.
Com uma malha demasiadamente refinada, os resultados da anlise podem no ser
economicamente viveis ou no ficar disponveis em tempo hbil de ser implementados.
H casos que mesmo uma malha grosseira pode ser adequada para resolver o
problema.
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
-
Analisando essas consideraes, pode-se definir que:
A pergunta : qual essa malha ideal?
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
A malha ideal aquela que fornece
resultados com preciso suficiente para o
objetivo do estudo dentro de um prazo
admissvel.
-
Muitas vezes ser necessria uma avaliao da qualidade da malha com base nos
resultados.
Estudo de convergncia de malha.
Boas prticas de modelagem e experincia permitem a criao de uma malha
mais prxima do ideal.
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
-
Na convergncia de malha, inicia-se com uma malha mais grosseira.
Em seguida, aplica-se um refino na malha.
Preferencialmente em regies mais crticas, onde foram observados maiores gradientes de
tenso e deformao.
Os resultados so avaliados e comparados com a malha anterior.
Observando-se que os resultados no variaram muito, entende-se que a
convergncia de malha foi alcanada; caso contrrio, uma nova iterao
realizada, refinando mais a malha.
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
-
Considerando o exemplo de chapa com furo abaixo.
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
Model Element Size (mm) Nodes Elements Max. Displacement (mm) Displacement Variation von Mises Stress (MPa) Stress Variation Time (s)
1 10 995 120 4.3406E-02 - 155.04 - 2
2 8 1415 175 4.3414E-02 0.02% 169.98 9.64% 2
3 6 2476 318 4.3418E-02 0.01% 173.19 1.89% 2
4 4 5188 689 4.3421E-02 0.01% 168.69 -2.60% 3
5 2 30923 5410 4.3421E-02 0.00% 171.76 1.82% 10
6 1 164732 32304 4.3421E-02 0.00% 172.04 0.16% 31
Valor da tenso
converge
-
Elementos mais refinados proporcionam respostas mais precisas, porm com um
tempo de soluo maior.
Deve-se evitar malhas que sejam demasiadamente refinadas para a aplicao necessria.
Elementos de 2 ordem, devido ao formato parablico, so mais adequados para
geometrias complexas e com muitas curvaturas.
So necessrios elementos de 1 ordem mais refinados para representar essas geometrias.
Elementos de segunda ordem tambm tendem a representar melhor as
deformaes, principalmente se for observada flexo.
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
-
Exemplo: estimativa de constante elstica de mola:
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
3,0 mm 1,0 mm 5,0 mm 2,5 mm
Elementos de 1 ordem Elementos de 2 ordem
-
Pode-se observar que os elementos de 1 ordem tornam a mola mais rgida, para
malhas grosseiras. Resultados convergem mais facilmente para malhas de
segunda ordem do mesmo tamanho.
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
0
10
20
30
40
50
60
5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.75 0.5
Element size [mm]
Sp
rin
g s
tiff
ne
ss [
N/m
m]
1. Order
2. Order
-
Entretanto, deve-se observar que os elementos de 1 ordem podem ser teis, e
mesmo mais indicados, para determinadas situaes, tais como:
Anlises trmicas
Anlises dinmicas no-lineares e/ou explcitas (impacto)
Conformao com grande distoro de malha
Alm disso, pela menor quantidade de ns, os elementos de 1 ordem so
recomendados para anlises preliminares para validao do modelo.
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
-
De uma forma geral, ao preparar um modelo numrico, as malhas criadas so
no-estruturadas.
No seguem nenhum padro geomtrico.
Caso a geometria seja relativamente regular, recomenda-se a construo de uma
malha estruturada.
Segue um padro regular de distribuio de elementos
Utiliza tipicamente elementos quadrados ou hexadricos
Fornece resultados de melhor qualidade
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
-
Exemplo: chapa com furo
AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA
Malha No-estruturada Malha Estruturada
-
Para avaliar a qualidade da malha, existem diversos critrios geomtricos,
aplicados para determinadas geometrias de elementos.
Qualidade de Elemento
Razo de Aspecto
Razo de Jacobiano
Fator de Distoro (warping)
Desvio Paralelo
Mximo ngulo dos Vrtices
Skewness
Qualidade Ortogonal
CRITRIOS DE QUALIDADE DE MALHA
-
Qualidade do elemento
Indicativo global de qualidade, com base na rea/volume do elemento
Razo de Aspecto
Relao entre base e altura do elemento
CRITRIOS DE QUALIDADE DE MALHA
10
MelhorPior
N1
-
Razo de Jacobiano
Associado posio dos ns intermedirios
Fator de Distoro (warping)
Associado toro do elemento
CRITRIOS DE QUALIDADE DE MALHA
N1
N0
-
Desvio Paralelo
Avalia o paralelismo de elementos retangulares e hexadricos
Mximo ngulo Entre Vrtices
Indica o maior ngulo entre arestas do elemento
CRITRIOS DE QUALIDADE DE MALHA
N0
N60
N90 Quadrilteros
Tringulos
-
Skewness
Indica o quanto o elemento equilateral ou equiangular
Qualidade Ortogonal
Associado aos vetores das faces ou arestas do elemento
CRITRIOS DE QUALIDADE DE MALHA
10
10
MelhorPior
-
Mesmo com elementos de qualidade relativamente razovel, deve-se avaliar a
ocorrncia de determinados erros numricos.
Esto associados tipicamente com o tipo de integrao e ordem do elemento.
Alguns erros comuns:
Shear Locking
Hourglassing
Volumetric Locking
ERROS NUMRICOS EM ELEMENTOS
-
Shear Locking
Ocorre com elementos contnuos lineares, sujeitos flexo.
O campo de deslocamentos no consegue representar a cinemtica da flexo.
As arestas dos elementos permanecem retas, com ngulo entre as mesmas diferente de 90
aps a deformao.
Surgem tenses cisalhantes artificiais, com comportamento rgido flexo.
ERROS NUMRICOS EM ELEMENTOS
Soluo:
Elementos de modos incompatveis
Elementos quadrticos
Elementos de integrao reduzida
-
Elementos de Modos Incompatveis
Nestes elementos so introduzidos graus de liberdade adicionais.
Modos so calculados diretamente a partir do gradiente de deformao, que passa a ser linear.
Esses graus de liberdade adicionais no influenciam no deslocamento dos ns, somente nos
clculos internos dos elementos.
So comparveis a elementos quadrticos, porm com custo computacional mais baixo.
Porm so suscetveis distores.
ERROS NUMRICOS EM ELEMENTOS
-
Hourglassing
Ocorre com elementos contnuos lineares de integrao reduzida.
Embora o elemento apresente trao e compresso, como s h um ponto de integrao, o
elemento apresenta um valor nico de tenso.
ERROS NUMRICOS EM ELEMENTOS
Soluo:
Elementos com integrao completa
Malhas uniformes
No aplicar carregamentos em
pontos singulares
-
Volumetric Locking
Ocorre com materiais incompressveis ( = 0,5) ou quase incompressveis ( > 0,475).
A resposta de um material incompressvel no pode ser modelada com elementos regulares
porque a tenso devido presso no elemento indeterminada.
Volumetric Locking est associado a uma rigidez excessiva nos campos cinemticos
admissveis.
Campo de tenses no pode ser computado a partir dos deslocamentos.
ERROS NUMRICOS EM ELEMENTOS
Soluo:
Elementos hbridos de formulao u-P, que incluem um grau
de liberdade de presso no elemento.
Deslocamentos so usados somente para calcular as tenses
e deformaes desviatrias.
-
Tipicamente, espera-se que a medida que a malha refinada, os resultados
convergem para uma resposta mais precisa.
Entretanto, podem haver situaes onde o resultado diverge, quando a malha
refinada.
Ocorre com grandezas derivadas dos graus de liberdade, como deformaes, tenses e fluxos
de calor.
Nessas situaes, tem-se uma singularidade numrica.
SINGULARIDADE NUMRICA
-
Considerando uma anlise estrutural, pode-se afirmar de forma simplificada que:
Se a rea tende a zero, a tenso tende a infinito!
SINGULARIDADE NUMRICA
rea
Fora
-
Exemplo: avaliar na geometria em L abaixo a convergncia de malha.
Dimenses de 40 x 40 x 5 mm, com largura de 20 mm, fixa na extremidade superior e com
carga de 500 N na outra.
SINGULARIDADE NUMRICA
-
A resposta no converge, com a tenso aumentando a cada refino de malha.
SINGULARIDADE NUMRICA
Model Element Size (mm) Nodes Elements Max. Displacement (mm) Displacement Variation von Mises Stress (MPa) Stress Variation Time (s)
1 5 518 60 0.86149 - 246.07 - 2
2 2.5 2949 480 0.87696 1.80% 250.46 1.78% 2
3 1.25 19313 3840 0.88128 0.49% 290.22 15.87% 4
4 1 36126 7500 0.88203 0.09% 326.94 12.65% 6
5 0.8 76400 16625 0.88291 0.10% 368.13 12.60% 14
6 0.625 138369 30720 0.88310 0.02% 414.52 12.60% 26
7 0.5 264101 60000 0.88345 0.04% 462.01 11.46% 57
8 0.25 2015601 480000 0.88411 0.07% 640.91 38.72% 673
-
Normalmente essas situaes ocorrem devido presena de simplificaes no
modelo numrico, provocando estas tenses artificiais.
Nessas situaes, o refino de malha leva a tenses infinitas.
SINGULARIDADE NUMRICA
-
Se a singularidade ocorre longe da regio de interesse e no afeta seu
comportamento, ela pode ser ignorada.
Caso contrrio, deve-se minimizar as simplificaes, aproximando mais o modelo
numrico da condio real.
Incluir detalhes geomtricos que possam distribuir melhor as tenses, como arredondamentos e
chanfros.
Aplicar carregamentos e restries em reas, evitando a concentrao em pontos ou arestas.
Se as tenses forem superiores ao limite de escoamento, considerar tambm a plasticidade do
material.
SINGULARIDADE NUMRICA
-
Exemplo: considerando o mesmo caso da geometria em L, porm adotando um
raio de adoamento de 1 mm na transio.
SINGULARIDADE NUMRICA
-
O resultado de tenso converge.
SINGULARIDADE NUMRICA
Model Element Size (mm) Nodes Elements Max. Displacement (mm) Displacement Variation von Mises Stress (MPa) Stress Variation Time (s)
1 5 646 84 0.86611 - 259.21 - 3
2 2.5 3010 488 0.87062 0.52% 318.86 23.01% 4
3 1.25 19698 3920 0.87173 0.13% 481.32 50.95% 11
4 1 36043 7480 0.87181 0.01% 437.66 -9.07% 12
5 0.8 75396 16400 0.87189 0.01% 467.42 6.80% 29
6 0.625 139810 31072 0.87198 0.01% 437.62 -6.38% 48
7 0.5 264101 60000 0.87202 0.00% 457.76 4.60% 108
8 0.25 2015682 480080 0.87209 0.01% 447.54 -2.23% 1227
-
Nesta Aula foram vistos diversos aspectos relativos a:
Mecnica dos slidos
Conceitos numricos fundamentais do MEF
Caractersticas da gerao da malha de elementos finitos
RESUMO