Download - mecanica fluidelor - polotca ovidiu
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
1/94
Capitolul 1
Introducere
Notam cu R3 multimea punctelor din spatiu si cu
R3 multimea vectorilor din
R3. Se numeste camp scalar sau vectorial pe un domeniu D R3 orice functiescalara sau vectoriala definita pe D cu valori n R sau
R3
Camp scalar: F : D R, F = F(x,y,z)
Camp vectorial:
V: D
R3,
V= U(x,y,z) +V(x,y,z)
+W(x,y,z)
k
1.1 Integrala tripla
1.1.1 Definitia integralei triple
Considera un domeniu tridimensional D R3 cu volumul V(D) marginit deo suprafata S pe care s-a definit o functie
F : D R.
y
z
O
x
i
i
ii
D
D
Figura 1.1: Definitia integraleitriple
Fie A = (P1, P2, , Pn) o acoperire adommeniului D cu paralelipipede dreptunghiceavand interioarele disjuncte, cu fetele paralele cuplanele de coordonate. Notand cu Di = Pi Dvom obtine o diviziune n = (D1, D2, , Dn)a domeniului D n subdomenii compacte, cu
proprietatile
D =n
i=1Di,
Di
Dj = , V(D) =n
i=1
V(Di).
Notam cu D(D) familia diviziunilor domeniuluiD, definite conform procedeului mentionat.
Vom considera n fiecare domeniu Di un punct intermediar ( i , i , i ) Di sivom nota nota cu cu n = {( i , i, i )}i=1,n sistemul de puncte intermediare
1
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
2/94
2 CAPITOLUL 1. INTRODUCERE
asociat diviziunii n.Se numeste suma Riemann asociata functiei f, diviziunii n D(D) si sitemului
de puncte intermediare n, suma
n(F, n) =n
i=1
F(i , i , i ) V(Di).
Se numeste Integrala tripla a functiei F, limitaD
F(x,y,z)dxdydz. = limn
ni=1
F(i , i , i ) V(Di).
Daca luam F = 1 si notam cu d = dxdydz, elementul de volum, atunci integrala
V(D) =
D
d.
reprezinta volumul domeniului D. Daca functia F = este densitatea definita nfiecare punct al domeniului D si notam cu dm = d masa elementului de volum,atunci masa volumulu V(D) se scrie
m(D) =
D
d =
D
dm.
1.1.2 Schimbarea de variabila n integrala tripla
Fie D si D1 R3 doua domenii marginite six = f(x1, y1, z1), y = g(x1, y1, z1), z = h(x1, y1, z1))
sistemul inversabil care transforma domeniul D n D1
(x,y,z) D (x1, y1, z1) D1.Atunci
D
F(x,y,z)d =
D1
F1(x1, y1, z1) J(x1, y1, z1)d1
unde d = Jd1,F1(x1, y1, z1) = F( f(x1, y1, z1), g(x1, y1, z1), h(x1, y1, z1)).
J se numeste jacobianul transformarii si are expresia
J(x1, y1, z1)not.==
D(x, y, z)
D(x1, y1, z1)=
x
x1
x
y1
x
z1
y
x1
y
y1
y
z1
z
x1
z
y1
z
z1
.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
3/94
1.2. CALCUL VECTORIAL 3
1.2 Calcul vectorial
Fiea (ax, ay, az),
b (bx, by, bz),c (cx, cy, cz),
v (vx, vy, vz)
Suma vectorilor:a b (ax bx, ay by, az bz)
Inmultirea cu scalari:
a (ax, ay, az)
Expresia vectorului definit de doua puncte:
A(ax, ay, az), B(bx, by, bz), AB = (bx ax)
+(by ay)
+(bz az)
k
Modulul unui vector
|| a || = a2x + a2y + a2zProdusul scalar:
a b = || a ||||
b || cos = axbx + ayby + azbz; = (a,
b )
Unghiul dintre doi vectori:
cos =
a b
|| a |||| b ||=
axbx + ayby + azbza2x + a
2y + a
2z
b2x + b2y + b
2z
Proiectia unui vector pe un versor
u ( , , ), pr
u
v =
v u= vx + vy + vz
Produsul vectorial:
a b = || a ||||
b || sin = kax ay az
bx by bz
; = (a ,
b )
Produsul mixt:
a (b c ) =
ax ay azbx by bzcx cy cz
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
4/94
4 CAPITOLUL 1. INTRODUCERE
Dublul produs vectorial:
a (b c ) = (a c )
b (a
b )c
1.3 Operatori. Formule vectoriale si integrale
1.3.1 Diferentiala unei functii
Fie F = F(x,y,z) un camp scalar.
dF =F
xdx +
F
ydy +
F
zdz
se numeste diferentiala functiei F.
1.3.2 Gradientul unei functii
Vectorul
grad F =F
x
+
F
y
+
F
z
k
se numeste fradientul functiei F.Fie S : F(x,y,z) = 0 ecuatia unei suprafete. Punctul
(x,y,z)
S
F(x,y,z) = 0
se numeste punctul curent al suprafetei iar vectorulr = x
+y
+z
, este
vectorul de pozitie al punctului curent. Vectorul
dr = dx
+dy
+dz
k
este vectorul director al planului tangent suprafetei S n punctul curent. Spunemca (dx,dy,dz) este o deplasare infinitezimala pe suprafata S.
Vectorul gradient este normal suprafetei n punctul curent, Figura 9.5,
grad F d r , grad Fd r = dF =
Fx
dx +
Fy
dy +
Fz
dz = 0
1.3.3 Divergenta unui vector
Este scalarul calculat n punctul (x,y,z) :
V= U +V
+W
k , div
V=U
x+
V
y+
W
z
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
5/94
1.3. OPERATORI. FORMULE VECTORIALE SI INTEGRALE 5
1.3.4 Laplacianul unei functii;
f = f(x,y,z), f =2f
x2+
2f
y2+
2f
z2
1.3.5 Rotorul unui vector
V= U +V
+W
k ; rot
V=
k
x
y
z
U V W
= x +y
+z
k
x = Wy
Vz
, y = Uz
Wx
, z = Vx
Uy
1.3.6 Operatorul nabla Se aplica argumentului din dreapta, scalar F sau vector
V= U +V
+W
k .
= x
+
y
+
z
k
V = U x
+ V y
+ W z
,
F = grad F, V= div
V,
V= rot
V
(
V )f = U fx
+ V fy
+ W fz
, (
V )
F= U F
x+ V
F
y+ W
F
z
1.3.7 Relatii vectoriale
grad(fg) = fgrad g + g grad f, (fg) = fg + g fdiv(fv ) = fdiv v + v grad f, (f v ) = f(v ) + (v )fdiv(rot
v ) = 0,
(
v ) = 0
div(grad f) = f, (f) = fdiv(
u v ) =v rot u u rot v , (u v ) =v ( u) u ( v )
rot(fv ) = frot v +grad f v , (f v ) = f( v ) + f v
rot (grad f) = 0, (f) = 0rot (rot
v ) = grad (div
v ) v , ( v ) = (v ) v
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
6/94
6 CAPITOLUL 1. INTRODUCERE
1.3.8 Formule integrale
Cv
n
rd90
S: F(x,y,z)=0
Figura 1.2: Formula lui Stokes
Formula lui Stokes
S
rotv n d =
C
v dr ,
S
( v )n d =
C
v dr
normala este orientata n sens direct, Figura 9.5
Formulele lui Gauss Ostrogradski (normala exterioara)D
grad f d =
S
fn d,
D
f d =S
fn d,
D
divv d =
S
v n d,
D
v d =S
v n d
D
rotv d =
S
n
v d,
D
(
v ) d =
S
n
v d
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
7/94
Capitolul 2
Elementele caracteristice alefluidelor
2.1 Obiectul mecanicii fluidelor
Materia se prezinta n stare naturala n trei ipostaze; solida lichida si gazoasa.Ultimelor doua stari, lichida si gazoasa, le atribuim denumirea generica de fluide.
Prin prisma experientei, percepem fluidele prin ceea ce le deosebeste de corpurilesolide, nsusirea de a curge, de a lua forma recipientului care le contine. Aceastansusire, numita deformabilitate se datoreaza proprietatii fluidului de a opune o in-fima rezistenta actiunii fortelor de forfetare, de alunecare si despartire a particulelorfluide, ca urmare a slabei coeziuni moleculare.
Starea unui fluid (repaus sau miscare), depinde de o infinitate de factori, ast-fel ca ncorsetarea fenomenului ntr-o forma matematica, luand n considerare totiparametri care intervin este, daca nu imposibila, mult prea complicata n raportcu cunostintele noastre n domeniu. Se impune, asadar, aproximarea fluidului cuun model cu proprietati mult simplificate fata de fluidul real, care sa retina doarcaracteristicile determinante, facand abstractie de factorii neesentiali.
Prima aproximare n acest sens consta n a considera modelul fluid ca avand ostructura macroscopica. Modelul macroscopic adoptat prezinta un mediu material,compus din particule fluide (elementare) dispuse n mod continuu(fara ntreruperi)n tot domeniul ocupat de fluid. Din aceasta perspectiva definim particula elemen-
tara, ca fiind un decupaj din masa fluida, de forma arbitrara, (sferica, paralelipi-pedica, tetraedrica, e.t.c), cu dimensiuni infinitezimale (oricat de mici) n raport cudomeniul ocupat de fluid, dar cuprinzand un numar considerabil de molecule astfelncat sa pastreaze proprietatile fluidului luat ca ntreg.
Din punct de vedere fizic definim mediul fluidca fiind un mediu material izotrop(cu proprietati identice n orice directie), cu urmatoarele proprietati:
Continuitatea. Particulele fluide se distribuie n mod continuu (fara cavitati),cu exceptia unor puncte, curbe sau suprafete de discontinuitate determinate.
Deformabilitatea; dupa cum am spus, este proprietatea fluidului de a curge
7
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
8/94
8 CAPITOLUL 2. ELEMENTELE CARACTERISTICE ALE FLUIDELOR
datorita unei foarte slabe atractii ntre molecule. Compresibilitatea; propietatea mediului de a se deforma la actiunea fortelor
de presiune. In raport cu aceasta proprietate mpartim fluidele n doua categorii;
lichidele, considerate teoretic incompresibile si gazele, fluide compresibile fara volumsi forma, avand nsusirea de a se raspandi foarte usor n spatiu.In conformitate cu cele relatate mai sus sa spunem ca:
Fluidul este un mediu material izotrop, continuu deformabil, compresibil sauincompresibil.
Mecanica fluidelor studiaza la scara macroscopica fluidele aflate n repaus saun miscare, n prezenta corpurilor solide.
Vom considera particula fluida (elementara) ca avand o masa dm cuprinsa nvolumul d marginit de suprafata d. Vom nota cu dx, dy, dz dimensiunile liniareale particulei, n raport cu un sistem de coordonate carteziene Oxyz si vom numi
toate aceste marimi (asociate particulei elementare), marimi elementare.Asimiland particula fluida cu un microfluid, aceasta va fi supusa tuturor legilor
care guverneaza ntregul domeniu fluid. Astfel ntre particulele fluide se manifesta:
Forte de atractie (masice), proportionale cu masa particulei dm Forte de tensiune (tensiuni) la nivelul suprafetelor de contact d. Tensiunile
actioneaza fie ca forte de presiune, normale suprafetei d, care supun parti-cula la deformari, fie ca tensiuni tangentiale, care se opun alunecarii particu-lelor una peste alta (frecarii), generatoare a fenomenului de vascozitate.
In limita unei prime ordonari, ntalnim urmatoarele clase de fluide:
fluide incompresibile; lichidele, fluide compresibile; gazele, fluide ideale (cu vascozitatee neglijabila); alcolul, mercurul, chiar apa, fluide reale sau vascoase; mierea, uleiurile, etc.
Sa mentionam ca miscarea fluidelor este un fenomen complex al carui studiuimpune, n cazul fiecarei aplicatii, o serie de aproximatii simplificatoare.
2.2 Viteza. Densitatea
Sa izolam n masa fluida, la momentul t, un domeniu simplu conex (fara gauri),(D) de volum V, marginit de suprafata S, raportat la un sistem de coordonatecarteziene Oxyz orientat n sens direct. O particula fluida situata n punctulM(x,y,z) (D), va avea coordonatele x, y, z functii de t,
M(x,y,z),r =
OM = x(t)
+y(t)
+z(t)
k
Notand cu dm, elementul de masa cuprins n volumul d, atasam particulei fluideurmatoarele marimi :
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
9/94
2.2. VITEZA. DENSITATEA 9
rO
x
y
zS
M(D)
Figura 2.1:
Viteza si acceleratia:
(2.1)
v =
r
def==
dr
dt[m/s].
a=
r
def==
dv
dt=
d2r
dt2[m/s2].
Densitatea si greutatea specifica :
(2.2) =
dm
d[kg/m3]
=dG
d=
g dm
d= g [N/m3].
unde:
g = 9, 81m/s2 este acceleratia gravitationala,dG = g dm este greutatea particulei situate n punctul M la momentul t,N =
kg ms2
este forta care imprima masei de 1kg acceleratia de 1m/s2.
Uneori, n locul densitatii se ntrebuinteaza volumul specific
V =1
[m3/kg].
Sa mentionam ca, n cazul cel mai general, ecuatiile mecanicii fluidelor, vor
contine marimilea si , definite mai sus ca necunoscute. Ele depind explicit, si
implicit prin coordonatele M, de timpul t, adica de ( t, x(t), y(t), z(t) ).In conformitate cu ecuatiei de stare, pe care o vom deduce ulterior, densitatea
fluidului depinde, n general, de timpul t, de pozitia punctului M, de presiune side temperatura.
La lichide variatia densitatii este foarte mica astfel ncat putem chiar definilichidele ca fiind fluidele cu densitatea constanta. De exemplu, pentru;
apa, 1kg/dm3alcool etilic, 0.8kg/dm3mercur,
13, 6kg/dm3
Volumul si masa fluidului continut n domeniul D la momentul t sunt, dupacum bine stim
V =
(D)
d, m =
(D)
(t,x,y,z) d.
Daca densitatea este constanta (cazul lichidelor), atunci
=m
V, =
G
V= g
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
10/94
10 CAPITOLUL 2. ELEMENTELE CARACTERISTICE ALE FLUIDELOR
2.3 Fortele care actioneaza asupra unui fluid.
Este util sa ne reamintim ca Forta
F= m
a
se masoara n newtoni si kilograme fort a. Un newton este forta care imprima maseide 1kg acceleratia 1m/s2,
(2.3) 1 N(newton) = kg ms2
, 1kgf = 9, 81 N
Asupra unui fluid aflat n miscare sau repaus actioneaza diferite forte. Este su-ficient sa mentionam; fortele de atractie newtonienne (legea atractiei universale)dintre masa fluidului si alte corpuri, fortele de greutate, sau fortele de tensiune,numite, simplu, tensiuni, care apar la contactul dintre particulele fluidului, la con-tactul dintre doua fluide sau dintre un fluid si o suprafata solida. Vom face urmatoare
clasificare a acestor forte.
A. Fortele Masice.
Sunt forte care actioneaza asupra particulelor fluide fie din exterior, fortegravitationale, forte electromagnetice etc. fie din interiorul fluidului ca urmare ainteractiunii particulelor aflate n contact. Fortele masice sunt proportionale cumasa particulei dm si au forma
(2.4) d
Fm=
Fdm.
unde vectorul
F reprezinta forta masica aplicata unitatii de masa, forta masicaunitara. De exemplu presupunand ca asupra particulei de masa dm actioneaza
doar forta gravitationala, forta unitara
F, va avea marimea F = g = 9, 81N.
B. Tensiuni de contact (eforturi).
Se mai numesc eforturi si provin din contactul particulei fluide la nivelulsuprafetei elementare d cu suprafete solide sau cu alte particule fluide. Admitemca marimea unei astfel de forte este proportonala cu aria suprafetei d. Desemnamaceste tensiuni prin
(2.5) d
T=
T d.
unde prin
T am notat efortul unitar sau tensiunea unitara, adica tensiunea careactioneaza asupra unitatii de suprafata.
Sa consideram doua particule fluide (1) si (2), (Figura 2.2), aflate n contactprin suprafata elementara d n punctul M(x,y,z). Tensiunile de contact vor
depinde de timpul t, de vectorul de pozitier al punctului M si de orientatea
suprafetei d, prin urmare de versoruln la suprafata n punctul M. De asemenea,
ele sunt supuse legii actiunii si reactiunii.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
11/94
2.3. FORTELE CARE ACTIONEAZA ASUPRA UNUI FLUID. 11
d
(1)
(2)
T2
T1
n21n
n21n
T2T1
=
=
M(x,y,z)
Figura 2.2: Tensiuni
Mai exact, daca la momentul t cele douaparticule sunt n contact de-alungul elemen-
tului de suprafata d din punctul M(r )
si daca
n este versorul normalei la ele-mentul de suprafata d, ndreptat spre in-teriorul particulei (spre partea supusa ten-siunii), atunci actiunea fluidului situat de
partea opusa versoruluin asupra celui situat
de aceeasi parte cun, va fi
T (t,r ,
n)d.
Reciproc, actiunea fluidului situat de aceeasi
parte cun asupra fluidului situat de opusa lui
n va fi
T (t,r , n)d. In
conformitate cu legea actiunii si reactiunii va trebui sa avem
(2.6)
T (t,
r ,
n) =
T (t,
r ,
n),prin urmare aceste forte alcatuiesc un sistem echivalent cu zero. Totusi ele nu potfi neglijate deoarece:
Intr-un mediu deformabil lucrul mecanic al fortelor de contact nu este nul.
Mai exact aceste tensiuni deformeaza doua particule fluide la nivelul suprafetei decontact, la fel ca doua mingi pline cu aer aflate n contact.
Spunem ca n fluid avem presiuni daca efortul unitar
T este dirijat n sensul
normalein si tractiuni n caz contrar. Avem n vedere urmatoarea ipoteza:
Intr-un mediu fluid exista numai presiuni, adica
T
n 0.Principiul lui dAlembert
Am vazut ca asupra unei particule fluide actioneaza fortele masice
F dm si
fortele de tensiune
T d care imprima particulei de masa dm acceleratiaa . In
conformitate cu legea actiunii si reactiunii, suma acestor forte trebuie sa echilibreze
forta de inertie a particulei,a dm, proportionala cu masa si acceleratia acesteia.
Mai explicit
(2.7)a dm =
Fdm+
Td
unde acceleratia s-a definit la (2.1).In cazul unui volum nchis n domeniul (D) R3 marginit de suprafata S
ecuatia de mai sus se scrie
(2.8)
(D)
a dm =
(D)
F dm +
S
Td
Ecuatiile (2.7) si (2.8) se numesc ecuatiile lui dAlembert si exprima principiul cuacelasi nume.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
12/94
12 CAPITOLUL 2. ELEMENTELE CARACTERISTICE ALE FLUIDELOR
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
13/94
Capitolul 3
Starea de tensiune a particuleifluide
3.1 Ecuatiile de echilibru ale particulei fluide
3.1.1 Tensorul tensiunilor
M
M
M
M
x
x
xdx
dx
dx n
ii
i
1
1
1
1
1 2
2
2
22
3
3
3
3
3
T
T
T
T
T
n
Figura 3.1: Tensorul tensiunilor
Vom deduce, relatia dintre tensiunea
T care actioneaza la nivelul elementului
de suprafata d si tensiunile
Ti careactioneaza asupra proiectiilor di ale luid. In acest scop raportam mediul fluidla un sistem de coordonate cartezieneOx1x2x3 si consideram o particula fluidade forma tetraedrica (MM1M2M3) cumuchiile dx1, dx2, dx3, paralele cu ax-
ele de coordonate. Fie deci M(r ),
r
(x1, x2, x3)
M1(x1 + dx1, x2, x3)
M2(x1, x2 + dx2, x3)
M3(x1, x2, x3 + dx3).
Notam cud = A(M1M2M3), d1 = A(MM2M3),d2 = A(MM1M3), d3 = A(MM1M2),
ariile fetelor tetraedrului, (Figura 3.1). Fie
T (t,r ,
n ) efortul unitar exercitat
asupra fluidului situat de aceeasi parte cu versoruln (n1, n2, n3) normal suprafetei
d, de catre fluidul situat de partea opusa luin si
T1 (t,r ,
1 ),
T2 (t,r ,
2 ),
T3 (t,r ,
3 ).
13
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
14/94
14 CAPITOLUL 3. STAREA DE TENSIUNE A PARTICULEI FLUIDE
eforturile unitare la nivelul elementelor de suprafata dj n directiile versorilorj,
j = 1, 3. Sunt cunoscute relatiile dintre suprafata d si proiectiile ei d1, d2, d3pe planele de coordonate:
(3.1) d1 = n1d, d2 = n2d, d3 = n3d
Sa observam ca tensiunile
T1,
T2,
T3 sunt aplicate n punctul M(r ) iar ten-
siunea
T se aplica ntr-un punct M(
r ) al suprafetei d situat la o distanta
infinitezimala | d r | de M, astfel ca putem considera, fara a afecta generalitatea,ca toate tensiunile au ca punct de aplicatie punctul M.
Conform Figurii 3.1, echilibrarea fortelor care actioneaza asupra particuleitetraedrice (MM1M2M3) se exprima, conform principiului lui dAlembert (2.7), prinrelatia
a dm =F dm+T1 (t, r,1 )d1+
T2 (t, r,2 )d2+
T3 (t, r,3 )d3 T (t, r, n)d.
undea este acceleratia particulei, iar cu
F am notat rezultanta fortelor ma-sice unitare, avand ca punct de aplicatie tot punctul M. Eliminand cantitatilea dm si
F dm care sunt neglijabile (infiniti mici de ordinul trei) n raport cucelelalte marimi (infiniti mici de ordinul doi) deducem
(3.2)
T (t, r, n)d =
T1 (t, r,1 )d1+
T2 (t, r,2 )d2+
T3 (t, r,3 )d3
Tinand cont de relatiile (3.1) gasim ecuatia de echilibru a particulei fluide
(3.3)
T=
T1 n1+
T2 n2+
T3 n3.
exprimata prin urmatoarea propozitie
Propozitia 3.1.1 Tensiunea
T exercitata pe suprafata care margineste o par-
ticula fluida este functie liniara si omogen a de trei tensiuni,
T1,
T2,
T3, aplicate peproiectiile suprafetei d pe planele de coordonate.
Fie Ti, si Tij coordonatele vectorilor
T si
Ti,
(3.4)T ( T1, T2, T3 ),
T1 ( T11, T12, T13 ),
T2 ( T21, T22, T23 ),
T3 ( T31, T32, T33 ).
In proiectie pe axele de coordonate, ecuatia (3.3) devine
(3.5)
T1 = T11n1 + T21n2 + T31n3
T2 = T12n1 + T22n2 + T32n3
T3 = T13n1 + T23n2 + T33n3
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
15/94
3.1. ECUATIILE DE ECHILIBRU ALE PARTICULEI FLUIDE 15
Elementele matricei
(3.6) T = T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
definesc componentele tensorului tensiunilor.Starea de tensiune din jurul punctului M n care este situata particula fluida
depinde de trei tensiuni vectoriale sau noua tensiuni scalare.
Sa mai mentionam ca, ntrucat nu se precizeaza a sensul tensiunilor
Ti, com-ponentele Tij pot sa fie pozitive sau negative.
3.1.2 Variatia tensiunilor n raport cu rotirea axelor de co-
ordonateVom considera acum un alt sistem de coordonate Mx1x
2x
3 obtinut printr-o
rotatie a sistemului Mx1x2x3, definita prin tabelul cosinusurilor directoare
(3.7)
1
2
3
1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
.
unde, datorita ortogonalitatii axelor de coordonate, avem
(3.8)3
k=1
ik jk = ij si3
k=1
ki kj = ij
ij fiind simbolul lui Kroneker, adica
ij =
1 daca i = j0 daca i = j
La fel ca mai sus, asociem noului sistem particula tetraedrica MM1M2M
3 cu fetele
d1 = A(MM2M3), d2 = A(MM1M3), d3 = A(MM1M2)Fiecarei fete dj cu versorul normal
i = i1 1 +i2
2 +i3
3, i = 1, 3,
asupra careia actioneaza tensiunea
Ti i corespunde tetraedrul generat deintersectiile ei cu axele Mxi, pentru care d
i reprezinta fata oblica. Prin ur-
mare tensiunea
Ti va avea, conform (3.3), expresia
(3.9)
Ti= i1
T1 +i2
T2 +i3
T3, i = 1, 3
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
16/94
16 CAPITOLUL 3. STAREA DE TENSIUNE A PARTICULEI FLUIDE
unde, n virtutea (3.4)
(3.10)
Ti = Ti1 1 +Ti2
2 +Ti3
3, i = 1, 3.
Notam cu ij si cu Tij , j = 1, 3, proiectiile tensiunii
Ti pe axele sistemuluiMx1x2x3 respectiv Mx
1x
2x
3 adica
(3.11)(a)
Ti= i1 1 +i2
2 +i3
3
(b)
Ti = Ti1
1 +T
i2
2 +T
i3
3,
i = 1, 3
Inlocuind n (3.9) expresia tensiunii
Ti din (3.11)(a) si expresiile tensiunilor
Ti din (3.10), gasim relatiile dintre ij si Tij sub forma
(3.12) ik =3
l=1
ilTlk.
Pe de alta parte, n baza tabelului (3.7) ntre proiectiile tensiunilor
Ti pe axelecelor doua repere exista relatiile
Tij =3
k=1jkik,
de unde, nlocuind expresiile lui ik din (3.12) n ultima expresie, gasim
(3.13) Tij =3
k=1
3l=1
il jk Tlk.
Observam ca ultimele relatii au fost deduse prin raportarea tuturor expresiilorla sistemul Mx1x2x3. Exprimand toate tensiunile n raport cu axele sistemuluiMx1x
2x
3, ca n (3.11)(b), sau mai simplu, rezolvand sitemul (3.13) cu necunos-
cutele Tlk, obtinem relatiile duale
(3.14) Tlk =3
i=1
3j=1
il jk T
ij.
Propozitia 3.1.2 Tensorul tensiunilor prezinta urmatoarele proprietati deinvariant a la rotirea axelor de coordonate:
1 Tij = Tji Tij = Tji2 T11 + T22 + T33 = T
11 + T
22 + T
33
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
17/94
3.2. DEFORMAREA PARTICULEI FLUIDE 17
Demonstratie. 1 Dezvoltand formula (3.13) pentru i = 1, j = 2, de exem-plu, obtinem
T
12 T
21
= (12 21
11 22)(T21
T12) + (13 21
11 23)(T31
T13)+
+(13 22 12 23)(T32 T23), |ij| 1.Mai gasim doua expresii asemanatoare pentru T13 T31 si T23 T32, de underezulta concluzia primului enunt.
2 Cu (3.13) calculam suma T11 + T22 + T
33 si obtinem
T11 + T
22 + T
33 = T11
3k=1
a2k1 + T22
3k=1
a2k2 + T33
3k=1
a2k3+
+(T12 + T21)3
k=1
k1 k2 + (T13 + T31)3
k=1
k1 k3 + (T23 + T32)3
k=1
k2 k3
de unde, n baza formulelor de orogonalitate (??) avem
3k=1
a2k1 =3
k=1
a2k2 =3
k=1
a2k3 = 1,3
k=1
k1 k2 =3
k=1
k1 k3 =3
k=1
k2 k3 = 0
adica ceea ce trebuia demonstrat.
3.2 Deformarea particulei fluideSub actiunea fortelor masice si a tensiunilor, miscarea unei particule fluide poate
fi comparata, pana la un punct, cu miscarea generala a rigidului. Prin urmare uneiparticule situata n punctul A i se poate imprima, la un moment dat, o miscarede translatie, si o miscare de rotat ie n jurul unei axe ce trece prin A. In plusfata de rigid, o particula fluida va avea o miscare de deformare. Dupa cum stimdeformabilitateaconsta n proprietatea fluidului de a-si modifica distanta dintre douapuncte vecine, precum si forma si volumul.
Pentru simplitatea scrierii vom nlocui notatia reperului fix Oxyz cu notatia
Ox1x2x3, cu pastrarea ordinii si denumirii axelor de coordonate. Versorii axelorde coordonate vor fi 1,
2,
3 iar un punct M(x1, x2, x3) va avea vectorul de
pozitier = x1
1 +x2
2 +x3
3 .
Pentru deformari infinit mici (infinitezimale) de forma dxi, xi proprii particulelorfluide, vom considera valabile dezvoltarile Taylor de ordinul ntai
(3.15) f(x1 + x1, x2 + x2, x3 + x3) = f(x1, x2, x3) +3
i=1
f
xixi
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
18/94
18 CAPITOLUL 3. STAREA DE TENSIUNE A PARTICULEI FLUIDE
obtinuta prin neglijarea infinitilor mici de ordin superior.Cum un element de volum se exprima prin produsul a trei elemente liniare, vom
deduce mai ntai deformarea liniara.
3.2.1 Deformarea liniara
Intelegem prin deformare liniara a unei particule fluide, proprietatea acesteiade a-si modifica distanta dintre doua puncte.
Consideram o particula fluida (P) raportata la reperul cartezian fix Ox1x2x3,din Figura 3.2, si luam n interiorul particulei doua puncte situate la o distantainfinitezimala,
A(x1, x2, x3), B(x1 + x1, x2 + x2, x3 + x3), r =
AB .
Presupunem ca dupa deformarea particulei, punctele A si B trec n punctele
A( x1, x
2, x
3 ), B( x1 + x
1, x
2 + x
2, x
3 + x
3 ),
r=
AB,
unde r (x1, x2, x3) si
r (x1, x2, x
3) sunt infinitii mici care despart
punctele din interiorul particulei (P), respectiv interiorul particulei (P)deformatepe care o notam cu (P). Fie
(3.16)u =
AA (u1, u2, u3), ui(t, x1, x2, x3), i = 1, 3,
deplasarile geometrice pe axele de coordonate care fac trecerea de la de la particula(P) la particula deformata (P). Coordonatele punctelor A, A si B, B suntlegate ntre ele prin relatiile
(3.17)xi = xi + ui(t, x1, x2, x3), i = 1, 3
xi + xi = xi + xi + ui(t, x1 + x1, x2 + x2, x3 + x3), i = 1, 3.
Dar, conform formulei (3.15) avem
ui(t, x1 + x1, x2 + x2, x3 + x3) = ui(t, x1, x2, x3) +
3k=1
uixk x
k, i = 1, 3
si nlocuind n a doua formula din (3.17) obtinem
(3.18) xi + x
i = xi + xi + ui(t, x1, x2, x3) +3
k=1
uixk
xk, i = 1, 3.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
19/94
3.2. DEFORMAREA PARTICULEI FLUIDE 19
A A
B
B
O
(P)
(P)
rr O
x
x
x
Deformarea liniara Deformarea de volum
x
x
x
x
x
x
1
1 1
2
2
2
3
3
3
r
r
A
A
B
B
B
= AB
Figura 3.2: Deformarea particulei fluidePrin definitie, deformarea liniara este diferenta
d(r ) =
r r = d(x1) 1 +d(x2) 2 +d(x3) 3,unde, n baza relat iilor (3.17) si (3.18), coordonatele vectorului d(
r ) se scriu
(3.19) d(xi) = x
i xi =3
k=1
uixk
xk, i = 1, 3.
3.2.2 Deformarea elementului de volumConsideram un element de volum d asimilat cu volumul unei particule fluide
de forma paralelipipedica avand laturile x1, x2, x3, situate de-alungul axelorde coordonate si volumul = x1x2x3. Introducand coeficientii de deformareliniara
(3.20) cij =1
2
uixj
+ujxi
,
n conformitate cu formula (3.19), lungimile laturilor particulei deformate sunt
x
i = xi + ciixi, i = 1, 3,
prin urmare, volumul particulei deformate se exprima prin produsul:
= (x1 + c11x1)(x2 + c22x2)(x3 + c33x3) =
= x1x2dx3(1 + c11)(1 + c22)(1 + c33) = d(1 + c11 + c22 + c33 + ).Neglijand infinitii mici de ordin superior, obtinem
= 1 + c11 + c22 + c33 sau
= c11 + c22 + c33 = divu,
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
20/94
20 CAPITOLUL 3. STAREA DE TENSIUNE A PARTICULEI FLUIDE
undeu (u1, u2, u3) conform notand cu d() =
, definim deformareaunitatii de volum:
d()
= divu
undeu = u1
1 +u2
2 +u3
3 conform (3.16), iar
divu =
u1x1
+u2x2
+u3x3
.
Presupunem acum ca deformarea se realizeaza n intervalul de timp dt si sanotam cu
(3.21)v =
u
dt
viteza de deformare a particulei fluide. Impartind cu dt relatia de mai sus obtinemformula de deformare a volumului particulei fluide:
(3.22)d()
dt= div
v
de unde deducem urmatorul enunt important
Propozitia 3.2.1 Un fluid este incompresibil daca si numai daca
(3.23) divv = 0.
Intr-adevar, volumul particulei fluide se deformeaza numai n cazul fluidelor incom-
presibile.
3.2.3 Tensorul vitezelor de deformare
Notand cuv = v1
1 +v2
2 +v3
3 viteza de deformare a particulei, conform
relatiei (3.21) obtinem
v1 =u1dt
, v2 =u2dt
, v3 =u3dt
,
iar cu notatiile aij =cijdt
, din (3.20) deducem
(3.24) aij =1
2
vixj
+vjxi
Coeficientii aij poarta numele de coeficientii vitezelor de deformare, iar matriceasimetrica
(3.25)
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
, aij = aji
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
21/94
3.2. DEFORMAREA PARTICULEI FLUIDE 21
avand ca elemente coeficientii aij se numeste tensorul viteza de deformare.
In baza acestor notatii divergenta vectorului viteza are expresia
(3.26) div
v =v1x1 +
v2x2 +
v3x3 = a
11 + a22 + a33,
cu relatia (3.23), pentru fluide incompresibile.
3.2.4 Variatia vitezelor de deformare n raport cu rotireaaxelor de coordonate
La fel ca la & 3.1.2, vom considera sistemul de coordonate M x1x2x
3 obtinut
prin rotatia a sistemului M x1x2x3, definita prin tabelul (3.7) si formulele de or-togonalitate (3.8). Daca (x1, x2, x3), (x
1, x
2, x
3) sunt coordonatele unui punct iar
(v1, v2, v3) si (v1, v2, v3) sunt coordonatele vitezei, n raport cu cel doua repere,atunci
xi =3
j=1
jix
j,xixj
= ji
v =
3k=1
vk k=
3k=1
vk
k, v
i =3
k=1
ikvk, v
j =3
k=1
jk vk
aij =1
2 vixj
+vjxi , a
ij =1
2 v ixj
+v jxi
Propozitia 3.2.2 Componenetele vitezelor de deformare n raport cu rotirea axelorde coordonate sunt legate prin urmatoarele relatii
(3.27) aij =3
k=1
3l=1
ik j lakl
Demonstratie.
v i
xj
=3
k=1
ikvk
xj
=3
k=1
3
l=1
ikvk
xl xl
xj
=3
k=1
3
l=1
ik j l
vk
xl
v ixj
=3
k=1
3l=1
ik j l vkxl
,v jxi
=3
k=1
3l=1
jk i l vkxl
aij =1
2
3k=1
3l=1
ik j l
vkxl
+vlxk
=
3k=1
3l=1
ik j lakl
adica ceea ce trebuia demonstrat.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
22/94
22 CAPITOLUL 3. STAREA DE TENSIUNE A PARTICULEI FLUIDE
Propozitia 3.2.3 Divergenta vectorului viteza este invarianta la rotirea axelor decoordonate adica, n conformitate cu (3.26)
a11
+ a22
+ a33
= a11
+ a22
+ a33
Demonstratie. Cu (3.27) calculam suma a11 + a22 + a
33 si obtinem
a11 + a
22 + a
33 = a11
3k=1
a2k1 + a22
3k=1
a2k2 + a33
3k=1
a2k3+
+(a12 + a21)3
k=1
k1 k2 + (a13 + a31)3
k=1
k1 k3 + (a23 + a32)3
k=1
k2 k3
de unde, n baza formulelor de orogonalitate (3.8) avem
3k=1
a2k1 =3
k=1
a2k2 =3
k=1
a2k3 = 1,3
k=1
k1 k2 =3
k=1
k1 k3 =3
k=1
k2 k3 = 0
adica ceea ce trebuia demonstrat.
Sa mai adaugam ca ntre coeficientii aij si componentele Tij ale tensoruluitensiunilor definit la se stabilesc relatii liniare care generalizeaza ipoteza lui New-ton exprimata prin (4.9). Toate aceste elemente vor intra n compozitia ecuatiilormiscarii fluidelor.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
23/94
Capitolul 4
Elementele caracteristice alefluidelor
4.1 Presiunea hidrostatica. Vascozitatea.
Am vazut la sectiunea precedenta, formula (2.3), ca la nivelul suprafetei deseparare dintre doua particule fluide actioneaza, fortele de tensiune
d
T=
Td,
unde
T reprezinta efortul unitar.
T
MTn
n
T
Figura 4.1:
Actiunea efortului unitar
T se manifesta n doua directii:de mpotrivire la alunecarea particulelor una pe alta n planul
suprafetei d, pe care-l notam cu
T si-l numim efortultangential unitar si de comprimare a particulei, n sensul nor-
malei interioaren . Notand ultimul efort cu
Tn, vom avea
T=
T +
Tn
adica
(4.1) d
T= (
T +
Tn)d.
Presiunea hidrostatica
Spunem ca fluidul se afla n stare de echilibru (repaus) daca viteza particulelor
este nula n orice punct, mai explicit dacav = 0.
Vom considera, asadar, fluidul n repaus iar n domeniul ocupat de fluid vomizola un volum V marginit de suprafata S. Fie d elementul de suprafata situat
n punctul M S. In ipoteza adoptata, tensiunea d T va fi perpendiculara pe
23
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
24/94
24 CAPITOLUL 4. ELEMENTELE CARACTERISTICE ALE FLUIDELOR
S n punctul M, deoarece existenta unei componenete tangentiale la suprafata Sar avea ca efect deplasarea particulei din puncul M, ceea ce ar contrazice ipoteza
de repaus al fluidului. Prin urmare vectorul d
T va fi coliniar si de acelasi sens cu
versorul normalei
n n punctul M la elementul de suprafata d.
M
nT
d
S
V
=pn
n
Figura 4.2:
Punand
T= 0 n formula (4.1) gasim
(4.2) d
T=
Tn d = pn d.
Scalarul p > 0 se numeste presiune hidrostatica sausimplu presiune si prin definitie este:
valoarea tensiunii normale n starea de echilibru
(4.3)
Tn= pn,
v = 0.
Cu notatia d T = ||d
T ||, din (4.2) deducem imediat ca
(4.4) dT = p d, p =dTd.
[pa]
Unitatea de masura pentru presiune este pascalul (pa) si se defineste astfel:
1pa = presiunea exercitata de o fort a de 1N (newton) asupra unei suprafete de 1m2.
Cum 1kgf = 9, 81N, rezulta
1pa = 1Nm2
= 19, 81
1kgfm2
Notand cu Fp marimea fortei de presiune care actioneaza asupra ntregii suprafeteS, deducem formula
Fp =
S
pd
valabila, repetam, doar ntr-un fluid aflat n n repaus.
Ajutandu-ne cele deduse n sectiunea precedenta vom demonstra acumurmatoarea propozitie:
Teorema 4.1.1 Presiunea p ntr-un punct al unei suprafete fluide aflate n repausnu depinde de directia normalei la suprafat a.
Demonstratie. Intr-adevar, sa consideram din nou particula fluida tetraedricaM1M2M3 de la figura 2.2. In conformitate cu cele spuse mai sus, asupra fetelortetraedrului vor actiona doar tensiuni normale, adica toate tensiunile vor avea forma
T= p n,
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
25/94
4.1. PRESIUNEA HIDROSTATIC A. VASCOZITATEA. 25
n fiind normala exterioara, conform figurii 3.1. Pe de alta parte, observand ca 1,
2,
3 sunt normalele interioare ale fetelor normale ale tetraedrului, vom avea
T1= T11
1,
T2= T22
2,
T3= T33
3
si nlocuind n (3.3) obtinem
p n= T11n1 1 +T22n2 2 +T33n3 3 .
de unde, cun= n1
1 +n2
2 +n3
3, rezulta
(4.5) T11 = T22 = T33 = p
adica ceea ce trebuia demonstrat.
Teorema de mai sus se poate formula astfel:
Asupra unui punct din interiorul unui fluid aflat n repaus actioneaza aceeasipresiune din orice directie.
Vascozitatea. Legea lui Newton
Am adoptat modelul de fluid compus din particule fluide. Definim stratul fluidprin totalitatea particulelor fluide care la un moment dat t au acceeasi viteza.
Vascozitatea se datoreaza actiunii tensiunilor tangentiale
T, (4.1), ca urmare
a frecarii dintre doua straturi fluide vecine aflate n miscare relativa, este efectuldiferentei de viteze dintre straturile fluide vecine.O consecinta importanta a fenomenului de vascozitate este aderarea particulelor
fluide la suprafete solide. Mai exact, particulele fluide se lipesc de o suprafatasolida n miscare, deplasandu-se o data cu ea.
O x
y
y
=0
u
v
v0
Figura 4.3:
Pentru evidentirea vascozitatii ne imaginammiscarea unui fluid aflat ntre doua placi solide pa-ralele, situate la distanta infinit apropiata y, ge-nerata de deplasarea placii superioare cu viteza
constantav , n directia axei Ox, placa inferioara
aflandu-se n repaus,
v 0= 0 (Figura 4.3). Cum flu-idul adera la cele doua placi, stratul de fluid careadera la placa n miscare se deplaseaza, n raport custratul de fluid aflat n repaus, cu viteza rectilinie
u, cu atat mai mica cu cat punctele se gasesc mai apropiate de placa inferioara.
Prin urmare viteza u dintre placi este direct proportionala cu distanta y si cu
vitezav de deplasare a placii superioare, adica
(4.6) u= yv
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
26/94
26 CAPITOLUL 4. ELEMENTELE CARACTERISTICE ALE FLUIDELOR
, fiind un factor de proportionalitate. Pe de alta parte, experienta ne arata caforta aplicata placii superioare, avand suprafata S, pentru mentinerea miscarii este
direct proportionala cu diferenta vitezelor dintre cele doua placi, v =
v v 0=v ,
aflate n miscare relativa, si cu aria A a suprafatei S, adica
F= A v ,unde am notat cu factorul de proportionalitate. Tinand cont de expresia lui
v
din (4.6), marimea fortei
F are valoarea
(4.7)
F= A u
y
unde = / este factorul de proportionalitate. Sa observam ca forta
F este
tangenta particulelor fluide care adera la suprafata S si are aceeasi natura ca siforta de tensiune
T d din formula (4.1). Astfel ca pentru o particula fluida ea
are expresia d
F=
T d. Integrand pe suprafata S, pentru
T= const. gasim
F=
S
T d =
T
S
d =
T A
si luand n considerare (4.7) obtinem efortul
(4.8)
T=
F
A=
u
ydistribuit uniform pe ntreaga suprafata S. Presupunand ca relatia ramane valabilapentru oricare doua straturi de fluide cand y 0, deducem expresia marimiiefortului tangential
(4.9) T = du
dy.
Formula de mai sus, cunoscuta ca legeasau ipoteza lui Newton, exprima faptul catensiunea tangentiala, generatoare de vascozitate, se manifesta prin variatia vitezeiparticulei n raport cu distanta, masurata perpendicular pe viteza de deplasare.
Observatia 4.1.2 Sa anticipam putin si s a mentionam ca expresia
a12 =1
2 du
dy
poarta numele de viteza de deformare a particulei fluide iar expresia (4.9) stabilesteo relatie ntre tensiunea tangentiala si viteza de deformare. Prin urmare, legea luiNewton se scrie
(4.10) T12 = 2 a12
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
27/94
4.1. PRESIUNEA HIDROSTATIC A. VASCOZITATEA. 27
Coeficientul se numeste coeficient de vascozitate dinamica, depinde de naturafluidului, de temperatura si se deduce experimental. Pentru deducerea unitatii demasura a vascozitatii dinamice avem n vedere formula (4.8)
(4.11)N
m2= [] m/s
madica [] =
Nsm2
Modelul de fluid care ia n considerare vascozitatea se numeste fluid vascos sau fluid real. Fluidele vascoase care tin seama de formula (4.9) se numesc fluidenewtoniene. Majoritatea fluidelor utilizate n tehnica sunt fluide newtoniene (aerul,apa, uleiurile, etc.)
Fluidul a carui vascozitate este neglijata se numeste fluid ideal. In fapt fluideleideale se definesc tocmai prin anularea coeficientului de vascozitate dinamica:
(4.12) Fluid ideal = 0.Vascozitatea dinamica depinde n mica parte de presiune, dar variaza foarte
mult cu temperatura. Este important de ment ionat ca:
Vascozitatea lichidelor scade o data cu cresterea temperaturii iar a gazelor creste.
Pentru deducerea vascozitatii dinamice vom utiliza urmatoarele formule:
Pentru lichide, formula lui Gutman: = 0 eB
C+T
B
T0
Pentru gaze, formula lui Sutherland : = 0 TT03/2
S+ T0
S+ T
unde T este temperatura absoluta, masurata n grade kelvin [K]
T K [grade kelvin] = 273 + t [grade Celsius]
iar celelalte constante au valorile
T0 = 273, B = 511, 6 K, C = 149, 4 K, S = 123, 6 K(pt.aer)
iar 0 este valoarea lui la temperatura de 0
Ne va fi utila, n cele ce vor urma, introducerea coeficientului
=
numit coeficient de vascozitate cinematica. Din formulele (2.3) si (4.11) obtinemunitatea de masura a coeficientului de vascozitate cinematica
(4.13) [] =Nsm2
m3
kg=
kg ms2
smkg
=m2
s
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
28/94
28 CAPITOLUL 4. ELEMENTELE CARACTERISTICE ALE FLUIDELOR
4.2 Tensiunea superficiala. Capilaritatea.
Consideram fluidul n stare de repaus,v = 0.
Suprafata libera: Desemnam prin suprafata libera a unui fluid, suprafata decontact cu un alt fluid cu care nu se amesteca, (fluide nemiscibile). Suprafata liberasi face vizibila prezenta n special la contactul dintre un lichid si un gaz.
Tensiunea superficiala si capilaritatea sunt doua efecte secundare ale tensiunilordintre particulele aflate pe suprafata libera.
Experientele evidentiaza faptul ca suprafata libera S, care separa doua fluideformeaza o suprafata de arie minima, comportandu-se asemeni unui membrane elas-tice. Fenomenul se explica prin existenta unui sistem de forte de tensiune tangentesuprafetei libere care o constrange sa adopte cea mai mica arie, n jurul volumuluideterminat. Numim aceaste forte, forte de tensiune superficiala. Daca volumul flu-
idului este suficient de mic, fortele de tensiune superficiala vor contracta suprafatalibera sub forma unei picaturi sferice, stiut fiind faptul ca suprafata sferica estesuprafata de arie minima care margineste un volum determinat. Astfel se explicaforma picaturii de mercur sau apa pe o suprafata lucie sau forma picaturii de ploaie.
a b
C C
Figura 4.4:
Pentru evidentierea acestor tensiuni efectuamurmatoarea experienta: Pe o rama metalica extrasadintr-un amestec de apa cu sapun se formeaza opelicula lichida. Un fir subtire de ata, nchis, nglobatn pelicula lichida va lua forma arbitrara a unei curbeC care contine n interior o cantitate de lichid. Daca
ntepam cu un varf de ac pelicula lichida n interiorulcurbei C se constata ca aceasta se transforma ncircumferinta unui cerc nchizand n interior suprafatamaxima marginita de un contur determinat.
Explicatie: supus actiunii si reactiunii fortelor de tensiune, firul de ata si pastrezaforma atata vreme cat nu intervine o actiune externa. Orificiul produs de varfulacului rupe echilibrul acestor forte, iar actiunea lor se va ndrepta spre exteriorulorificiului. Forma de cerc a curbei C se explica prin faptul ca tensiunile distribuitede-alungul ntregului fir sunt perpendiculare pe acesta si au aceeasi intensitate.
Fortele de tensiune superficiala actioneaza n fiecare punct al suprafetei libere si
sunt: tangente la suprafata libera a lichidului uniform distribuite de-alugul unui contur perpendiculare pe contur.
Se constata ca marimea fortei de tensiune
F care actioneaza asupra unui contur delungime s atasat unui punct M de pe suprafata libera este direct proportionalacu lungimea s a conturului
F = .s,
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
29/94
4.2. TENSIUNEA SUPERFICIAL A. CAPILARITATEA. 29
astfel ca n fiecare punct al suprafetei libere S se poate defini vectorul
= lim
s0
F
s=
d
F
ds
numit tensiune superficiala. La fel ca F = || F ||, marimea = || || nudepinde de punct si directie prin urmare determina complet tensiunea superficiala.Valoarea este o marime fizica proprie fiecarei substante n condit ii fizice date(constanta de material). Ea depinde de natura fluidelor n contact manifestandu-seca o functie descrescatoare n raport cu temperatura, pana la anulare, (T0) = 0, laatingerea unei temperaturi critice T0.
Prin inegrarea expresiei dF = ds de-alungul unui contur de lungime l obtinem
=F
l, [] =
N
m.
astfel ca tensiunea superficiala este de natura unei forte pe unitatea de lungime,tangenta suprafetei libere si perpendiculara pe contur.
La temperatura de 20C s-au calculat urmatoarele valori
Apa n contact cu aerul = 0, 072 N/m Ulei n contact cu aerul = 0, 025 N/m Apa n contact cu ulei = 0, 020 N/m Mercur n contact cu aerul = 0, 472 N/m
Existenta tensiunii superficiale este pusa n evidenta de mentinerea pe
suprafata libera, la contactul ditre un lichid (apa) si aer, a unui ac metalic cu
diametru foarte mic n raport cu lungimea l, de exemplu un ac de cusut.
ac
GM
N
SF1
1
2
2
F
F
R
F F
Figura 4.5:
Greutatea
G a acului, Figura 4.5, va deforma suprafata libera avand ca efectactiunea a doua tensiuni superficiale
1,
2 de aceeasi marime, = 1 = 2, dar
deplasate cu unghiul , simetrice n raport cu verticala.
Fortele de tensiune
F1= l1 si
F2= l2 vor da rezultanta
F=
F1 +
F2 demarime F = 2MN = 2l cos care va trebui sa echilibreze greutatea acului, adica
G = 2l cos . Deducem ca marimea tensiunii care mentine acul pe suprafata
libera este
=G
2l cos
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
30/94
30 CAPITOLUL 4. ELEMENTELE CARACTERISTICE ALE FLUIDELOR
Capilaritatea
Este o consecinta a proprietatilor de aderare a lichidului la pereti si de actiunea fortei de tensiune superficiala. Se constata ca lichidele cu densitate mica urca
n tuburile capilare ce au diametrul interior de ordinul zecimilor de milimetri, cuo cota h fata de suprafata libera a lichidului, conform figurii (a). Lichidele cudensitate mare coboara n tuburile capilare cu o cota h, conform figurii (b). Citireanaltimilor coloanei de lichid denivelate, h, se face plecand de la planul suprafeteilibere a lichidului pana la planul orizontal tangent la suprafata libera a lichiduluidin tub. Pentru determinarea cotei h se egaleaza rezultanta fortelor de tensiunesuperficiala calculata pe circumferinta suprafetei libere, cu greutatea volumului delichid ce a urcat n tubul din figura (a):
2r cos = mg = V g = r2hg
de unde deducem formula lui Jourin
h =2 cos
rg
G
h
G
h2r
(a) (b)
Figura 4.6:
4.3 Ecuatia de stare.Desemnam prin acest nume o relatie de forma
f(p, , T) = 0
ntre presiune, densitate si temperatura, care mbraca diferite forme n functie denatura fluidului si starea lui la un moment dat. Fara a intra n amanunte, n functiede cazurile pe care le vom avea n vedere, prezentam urmmatoarele forme alr ecuatieide stare:
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
31/94
4.3. ECUATIA DE STARE. 31
a) Fluid barotrop: Densitatea depinde numai de presiune.
(4.14) = (p)
b) Fluide incompresibile (lichide.) Ecuatia se reduce la forma simpla
(4.15) = const.
c) Ecuatia gazelor perfecte. Este data de legea lui Gay-Lussac.
(4.16)p
= RT
Constanta R se numesteconstanta specifica
a gazului, se deduce experimental sise masoara in:
[R] =
Nmkg K
=
m2
s2 K
Se numeste gaz perfect gazul a carui parametri p,,T satisfac ecuatia (4.16).De exemplu:
R = 287, 14 pentru apa, R = 259, 14 pentru oxigen,
R = 296, 78 pentru azot, R = 518, 81, 14 pentru metan,
R = 296, 84 oxid de carbon, R = 4124, 4 pentru hidrogen,
R = 188, 92 bioxid de carbon.
d) Fluide compresibile n miscare izoterm a T = const.
Legea lui Boyle-Mariotte:
(4.17)p
= const.
e) Fluide compresibile (gaze) n miscare adiabatic a (fara schimb de caldura
ntre gaz si exterior)
p
= const.
unde este raportul caldurilor specifice cp si cv la presiune sau volum constant.Pentru atmosfera
=cpcv
= 1, 405.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
32/94
32 CAPITOLUL 4. ELEMENTELE CARACTERISTICE ALE FLUIDELOR
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
33/94
Capitolul 5
Statica fluidelor
5.1 Ecuatiile staticiiStatica este partea mecanicii fluidelor care studiaza fluidele n stare de repaus,
v = 0, n prezenta corpurile solide.
5.1.1 Ecuatiile generale
Fie (D) domeniul oarecare, decupat dintr-un mediu fluid aflat n repaus,marginit de suprafata S, raportat la un reper inertial (fix) Oxyz. Asupra unui
element fluid vor actiona fortele masice d
Fm=
F d si, n conformitate cu (4.2),fortele de presiune
(5.1) d
Fp= pn d,
n fiind normala interioara (dinspre fluidul exterior spre d), Figura 4.2. Asupra
ntregului domeniu (D) vor actiona, asadar, fortele(D)
Fd,
S
pn d.
Conform ecuatiilor lui dAlembert (2.8) undea = 0, conditia de echilibru a masei
fluide aflata n domeniul (D) este(D)
F d = S
pn d.
Cu formula lui Gauss - Ostrogradski (vezi Cursul 1)
(5.2)
S
pn d =
(D)
gradpd
33
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
34/94
34 CAPITOLUL 5. STATICA FLUIDELOR
deducem
(5.3)
(D)
gradpd =
(D)
Fd.
In general, cand o astfel de relatie integrala are loc pe orice domeniu atunci relatiase pastreaza n toate punctele domeniului, adica
1
gradp = F .
Numim aceasta ecuatie ecuatia vectoriala a staticii.
In ipoteza n care fortele masice
F sunt date, n ecuatia de mai sus figureazaca necunoscute presiunea p si densitatea . Pentru ca sistemul sa fie complet (douaecuatii cu doua necunoscute), langa aceasta ecuatie trebuie sa mai apara o ecuatie
cu aceleasi necunoscute. Aceasta este ecuat ia de stare. Astfel sistemul complet deecuatii ale staticii se scrie
(5.4)
1
gradp = F .
f(p,,T) = 0
Sa observam ca, pe langa necunoscutele p si , n sistemul (5.4) apare ca parametrutemperatura absoluta T.
Observatia 5.1.1 Referitor la ecuatiile de mai sus mentionam ca n uneleaplicatii temperatura T este ea nsasi o necunoscuta, n consecint a sistemul de
mai sus va trebui completat cu nca o ecuatie. Fara a intra n amanunte, saspunem doar ca aceasta ecuatie, furnizata de principiile termodinamicii, se numesteecuatia caracteristica a fluidului.
In proiectie pe axele de coordonate ecuatia de mai sus, este echivalenta cu sis-temul
(5.5)
1
p
x= Fx
1
p
y= Fy
1 p
z= Fz
f(p, , T) = 0
unde
F= Fx +Fy
+Fz
k este forta masica unitara, p este presiunea iarcu am notat densitatea fluidului. Ecuatiile (7.6) se numesc ecuatiile lui Eulerpentru repausul absolut al fluidului sau ecuatiile echilibrului static.
Sa mai precizam ca toate marimile care apar n ecuat iile (7.6) sunt scrise la unmoment oarecare t n punctul ales arbitrar (x,y,z) (D).
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
35/94
5.2. INTEGRAREA ECUATIILOR STATICII 35
5.1.2 Forte masice conservative.
Vom introduce o noua ipoteza simplificatoare a modelului fluid, anume vomconsidera fortele masice conservative ceea ce nseamna ca exista functia, cunoscuta,
U(x,y,z), numita potentialul fortelor masice, astfel ncat
(5.6)
F= grad U adica Fx = Ux
, Fy = Uy
, Fz = Uz
Inmultind scalar prima ecuatie din (5.6) cu dr (dx,dy,dz) si tinand cont de formula
(5.7) grad d r = d(x,y,z) fiind o functie oarecare, obtinem
(5.8) dU =
Fd
r = Fxdx Fydy Fzdzde unde, putem afla functia potential U
(5.9) U U0 = M
M0
Fxdx + Fydy + Fzdz, U 0 = U(M0)
daca cunoastem expresia fortei
F .
In sfarsit, nmultind prima ecuatie din (5.4) cu dr si tinand cont de relatiile
(5.7) si (5.8), gasim forma diferentiala a ecuatiilor staticii
(5.10)
dp + dU = 0,
f(p,,T) = 0
5.2 Integrarea ecuatiilor staticii
5.2.1 Integrarea ecuatiilor staticiin raport cu ecuatia de stare
Rezolvam sistemul (5.10) pentru ecuatiile de stare (4.14), (4.15), (4.16) si (4.17)
1) Fluid barotrop: = (p)
Integrand (5.10) ntre doua puncte M0, M D, gasim ecuatiile
(5.11)
p
p0
dp
+ U = U0
= (p)
unde p = p(M), p0 = p(M0), U0 = U(M0).
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
36/94
36 CAPITOLUL 5. STATICA FLUIDELOR
2) Fluide incompresibile (lichide):
Punand mai sus = 0 = const. obtinem
p
p00 + U = U
0
adica ecuatia
(5.12) p + 0 U = p0 + 0 U0 = const.cu singura necunoscuta presiunea p.
3) Gaze perfecte:
dp
+ dU = 0,
p
= RT
Inlocuind n prima ecuatie = p/RT, obtinem
dp
p+
1
R
dU
T= 0
de unde, prin integrare, rezulta
(5.13) lnp
p0+
1
RM
M0
dU
T= 0
unde temperatura T figureaza ca necunoscuta, prin urmare vom avea nevoie de ncao ecuatie.
4) Transformari izoterme ale gazelor perfecte:
Punand T = const. n (5.13) obtinem
lnp
p0+
1
RT(U U0) = 0
cum RT = const., n ecuatia de stare putem lua,
(5.14) RT =p00
gasim ecuatia
(5.15)p00
ln pp0
+ U = U0
de unde putem deduce presiunea hidrostatica p, apoi din (5.14), densitatea.
Observatia 5.2.1 In toate ecuatiile deduse mai sus va trebui sa fixam valorileU0, p0, 0 numite conditii initiale.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
37/94
5.2. INTEGRAREA ECUATIILOR STATICII 37
5.2.2 Ecuatiile staticii n camp gravitational
Desemnam prin fluid greuun fluid cu proprietatea ca singura forta masica unitara
care actioneaza asupra lui este propria lui greutate
F=g m/s2
1kg =
g
k N unde
g = 9, 81 este marimea acceleratiei terestre. Prin urmare, componentele fortei
Fsunt
Fx = 0, Fy = 0, Fz = g,si ecuatiile (7.6) se scriu
(5.16)
p
x= 0
p
y= 0
pz = g.f(p,,T) = 0
si, cum n conformitate cu (5.8),
dU = g.dz
ecuatiile (5.16) sunt echivalente cu ecuatiile
(5.17)
dp
+ gdz = 0.
f(p,,T) = 0
numite ecuatiiile repausului fluidelor grele.
Cazul fluidelor incompresibile (Lichide):
Ecuatia de stare a fluidelor incompresibile fiind = 0, sistemul (5.17) devine
(5.18)
dp
+ gdz = 0.
= 0
Integrand ntre doua puncte M(x,y,z) si M0(x0, y), z0), M0 apartinand suprafeteilibere, obtinem ecuatia
p p00
= g(z0 z) sau p = p0 + 0g(z0 z)
unde p = p(M) iar p0 = p(M0) este presiunea cunoscuta pe suprafata libera.Cu notatia h = z0 z, obtinem expresia presiunii ca functie liniara n raport cuadancimea h masurata de la suprafata libera.
(5.19) p = p0 + 0 g h
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
38/94
38 CAPITOLUL 5. STATICA FLUIDELOR
Se observa ca variatia presiunii p p0 nu depinde de directie si este cu atatmai mare cu cat adancimea este mai mare. Precizam ca presiunea exprimata prinformula (5.19) poarta numele de presiunea hidrostatica.
Principiul lui Pascal. Intr-un lichid greu incompresibil aflat n repaus, variatiapresiunii ntr-un punct se transmite cu aceeasi intensitate n toate punctele fluidului.
Intr-adevar, Fie M si M doua puncte din masa fluidului. Integrand ecuatiile(5.18) ntre M si M deducem
p p = 0g (z z)unde p = p(M) si p = p(M). Sa presupunem acum ca presiunea din punctulM variaza de la p la p + p si ca variatia presiunii n M are ca efect variatiapresiunii n M de la p la p + p. Pentru aceasta variatie relatia de mai sus se
scrie (p + p) (p + p) = 0g(z z)Eliminand membrul drept ntre cele doua ecuatii obtinem
p = p
adica ceea ce trebuia demonstrat.
Gaze perfecte:
La ecuatia (5.17) adaugam ecuatia de stare a gazelor perfecte
dp
+ gdz = 0,
=p
RT.
Integrand, la fel ca mai sus, ntre punctele M si M0 obtinem
lnp
p0+
g
Rz
z0
dz
T= 0.
In cazul transformarilor izoterme T = const. gasim
lnp
p0
+g
RT
(z
z0) = 0
de unde cu RT = p0/0 rezulta
p00
ln pp0
+ gz = gz0
si gasim valoarea presiunii
p = p0 e0p0
g(z0 z)
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
39/94
Capitolul 6
Calculul presiunii hidrostatice
6.1 Presiunea hidrostatica pe suprafete plane.Vom deduce, n aceasta sectiune, expresiile rezultantei
Fp a fortelor de presiuneexercitate asupra unei suprafete plane (placa) scufundata ntr-un fluid aflat n repaus
si a vectorului de pozitierP=
OP al punctului ei de aplicatie, P(rP), numit centrul
presiunilor, n raport cu un sistem de coordonate cartezian Oxyz.Am vazut, formula (5.1), ca asupra elementului de suprafata d actioneaza
presiunea
d
Fp= pn d
versorul normalein fiind orientat dinspre fluid spre suprafata d, Figura 4.2.
Pentru o suprafata oarecare S, expresiile rezultantei fortelor de presiune exerci-
tate pe ntreaga suprafata si a rezultantei
MO al momentelor acestor forte n raportcu originea sistemului de coordonate Oxyz sunt
(6.1)
Fp =
S
pn d,
MO =S
r p n d.
under =
OM (x,y,z), M S fiind punctul curent al suprafetei. Sa mentionamca cuplul (
Fp ,
MO) poarta numele de torsorul presiunilor.
Pentru deducerea centrului presiunilor P(
rP
) vom face apel la urmatoarea teo-rema
Teorema lui Varignon: Momentul rezultantei este egal cu rezultanta mo-mentelor:
(6.2)rP
Fp =
MOadica
rP
S
pn d =
S
r p n d.
39
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
40/94
40 CAPITOLUL 6. CALCULUL PRESIUNII HIDROSTATICE
Considerand acum suprafata S plana,n= const. expresia de mai sus devine
n rP
S
pd =n S
pr d,
de unde obtinem
(6.3)rP =
S
pr d
S
pd
.
In proiectie pe axele de coordonate vom avea
(6.4) xP =S
x p d
S
pd, yP =
S
y p d
S
pd.,
unde (xP , yP) sunt coordonatele centrului presiunilor adica P(xP , yP), iar M(x, y)este punctul curent al suprafetei S.
Fluide incompresibile grele (Lichide)
Amintim ca, fiind vorba de presiune hidrostatica, se considera densitatea con-stanta iar forta masica unitara se identifica cu forta gravitationala, Capitolul 3.
G
p
x
y
O
S
Sh
n
Md
90
Fp
p=
P
0
Figura 6.1: Presiunea hidrostatica
= 0,
F= g k .Fie S0 suprafata libera alichidu-
lui si S = planul suprafeteiS. Alegem sistemul de coordonate nplanul , Ox = S0 unghiul = (S0, ) si normala
n
reprezentate n Figura 6.1.Vom mai presupune ca presiunea
admosferica p0 este anihilata de pre-
siunea fundului rezervorului, asfel cavaloarea presiunii din formula (5.19)se nlocuieste cu valoarea
(6.5) p = 0 g h
unde h este distanta de la punctul curent M(x, y) al placii la suprafata libera.Pe de alta parte, din figura 6.1, deducem imediat ca ntre ordonata y a punctuluicurent M S si adancimea lui n fluid h exista relatia(6.6) h = y sin astfel ca p = 0 g y sin
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
41/94
6.1. PRESIUNEA HIDROSTATIC A PE SUPRAFETE PLANE. 41
Introducand ultima valoare a presiunii n prima formula din (6.1), gasim expresiarezultantei presiunilor:
(6.7)
Fp = 0 g sin
n S
y d
Fie A aria placii. Ordonata centrului sau de masa, (vezi Cursul 1), este
(6.8) yG =
S
y d
A
astfel ca expresia rezultantei
Fp se scrie
(6.9)
Fp = 0 g hG An .
unde, n baza relatiei (6.6), hG = yG sin este adancimea centrului de masa.Pentru deducerea coordonatelor centrului presiunilor P(xP, yP), nlocuim ex-
presia presiunii din (6.6) n formulele (6.4). Dupa simplificare cu 0 gsin , obtinem
xP =
S
xy d
S
y d
, yP =
S
y2 d
S
y d
sau tinand cont de formula (6.8) si notand, ( Cursul 1), cu
Ixy =
S
xy d momentul de inertie centrifugal al placii
Ixx =
S
y2 d momentul de inertie axial
formulele de mai sus se scriu
(6.10) xP =Ixy
yG A , yP =Ixx
yG ACazul suprafetei orizontale:
Presupunem suprafata S orizontala. Atunci h = hG = const., iar n baza for-mulei (6.5), p = const. Expresia rezultantei presiunilor mbraca, conform (6.9),urmatoarea forma
(6.11)
Fp = 0 g h An .
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
42/94
42 CAPITOLUL 6. CALCULUL PRESIUNII HIDROSTATICE
Din (6.3), cu p = const., obtinem vectorul de pozitie al centrului presiunilor
rP =S
r d
S
d
= rG,
care, dupa cum observam, coincide cu centrul maselor. ( Cursul 1)
SS
F
1 2
F1 2
Figura 6.2: Presiunea hidrostatica
Sa mai mentionam ca expresia rezultan-tei presiunilor din (6.11) exprima, fenomenulcunoscut sub numele de
Paradoxul hidrodinamic: Presiunealichidului asupra unei suprafete plane nu de-pinde de masa lichidului limitat de suprafat aci numai de aria suprafetei.
De exemplu, daca suprafetele rigide S1 si S2nesolidare cu peretii vaselor au aceeasi arie,
atunci fortele
F1 si
F2 aplicate suprafete-lor, Figura 6.2, pentru a le t ine n repaus, vor fi egale indiferent de volumul fluidului:
A(S1) = A(S2)
F1=
F2 .
6.2 Presiunea hidrostatica pe suprafete nchise.
Consideram problema calculului rezultantei presiunilor
Fp exercitata de fluidasupra unui corp (C) omogen (cu densitate constanta), de volum V marginit desuprafata S. Sa precizam ca n acest caz avem de a face cu trei centre; P = centrulpresiunilor, C = centrul de greutate al fluidului dezlocuit de corp si G = centrulde greutate al corpului, Figura 6.4.
Vom demonstra urmatoarea propozitie
Propozitia 6.2.1 (Pricipiul lui Arhimede) a) Un fluid greu aflat n repaus exercita
supra unui corp o fort a ascendenta
Fp egala n modul si de sens contrar cu fortade greutate a fluidului dezlocuit.
b) Suportul Fortei
Fp trece prin centrul de greutate C al fluidului dezlocuit.
Demonstratie. a) Adoptand normala interioara (spre interiorul corpului), conformformulelor (5.2) si (5.3) avem
Fp =
S
pn d =
(C)
gradpd = (C)
F d.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
43/94
6.2. PRESIUNEA HIDROSTATIC A PE SUPRAFETE INCHISE. 43
F fiind forta de greutate unitara (forta masica unitara) a fluidului dezlocuit de
corp valoarea ei este
F= g
k , si formula de mai sus devine
Fp =(C)
g
k d = g
k(C)
d = mg
k ,
unde
G
n
x y
z
O
F
FS
p
g
P
( )
C
Figura 6.3: Presiunea hidrostatica
(6.12) m =
(C)
d
este masa fluidului dezlocuit de corp. Dar
Fg = mg
k este greutatea fluidului de-
zlocuit, prin urmare expresia fortei
Fp se
scrie:(6.13)
Fp = g m
k =
Fg
adica ceea ce s-a afirmat m prima parte aprincipiului lui Arhimede.
b) Pentru demonstrarea celui de-al doilea punct al principiului lui Arhimede vomcalcula rezultanta momentelor fortelor de presiune ( Cursul 1)
MO =S
r p n d =
(C)
rot(pr ) d =
(C)
(p rot r +gradp r ) d,
cum rotr = 0, deducem
MO =(C)
gradp r d =(C)
F r d =
= (C)
g
k r d = g
k (C)
r d = Fp
(C)
r d
m
adica(6.14)
MO =rC
Fp
unde, fiind densitatea fluidului, vectorul
(6.15)rC =
(C)
r d
(C)
d.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
44/94
44 CAPITOLUL 6. CALCULUL PRESIUNII HIDROSTATICE
este vectorul de pozitie al centrului de greutate C al fluidului dezlocuit de corp. Pe
de alta parte, dacar este un punct oarecare al rezultantei
Fp, este satisfacuta
x y
z
O
PFp
rr
P
Figura 6.4: Momentul
relatiar
Fp=r P
Fp
underP este vectorul de pozitie al centrului presiu-
nilor. In baza teoremei lui Varignon, (6.2) si a relatiei(6.14), vom avea
r Fp =
MO = rC
Fp
adica
(6.16)r =
rC +
Fp, R.
unde
r (x,y,z),
r C (xC, yC, zC),
Fp (px, py, pz) si ecuatia de mai sus echivalentacu ecuatiile scalare
x xCpx
=y yC
py=
z zCpz
reprezinta ecuatia vectoriala a suportului rezultantei
Fp care, evident, trece prin
centrul de greutate C(rC) al fluidului dezlocuit.
Rezultanta
Fp se numeste portant a hidrostatica sau aerostatica sau fort a
arhimedica si convenim sa o notam n continuare cu
FA .
Cazul fluidului incompresibil
Cu = const. n (6.12) deducem
m =
(C)
d = V
unde V este volumul dezlocuit de corpul (C) sau chiar volumul corpului. Prinurmare, din (6.13) obtinem forta arhimedica
FA= g V
k ,
iar din (6.15), vectorul de pozitie al centrului de greutate al fluidului
rC=
(C)
r d
(C)
d
=rG,
care, dupa cum bine observam, coincide cu vectorul centrului de greutate al corpului,
G(rG), astfel ca putem enunta urmatoarea propozitie:
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
45/94
6.3. ECHILIBRUL CORPURILOR SCUFUNDATE IN LICHIDE 45
Propozitia 6.2.2 Centrul de greutate al unui corp omogen scufundat ntr-un fluidgreu, incompresibil coincide cu centrul de greutate al fluidului dezlocuit C = G.
Sa mentionam ca daca solidul nu este omogen, n expresia vectorului
rG inter-vine densitatea a corpului ( Cursul 1) si centrul de greutate al fluidului dezlocuitC nu coincide cu centrul de greutate al solidului.
6.3 Echilibrul corpurilor scufundate n lichide
Am vazut, propozitia 6.2.1 (principiul lui Arhimede), ca asupra unui corp (C)aflat n repaus, imersat ntr-un lichid greu incompresibil se exercita forta arhimedica
ascendenta
FA pe acelasi suport egala ca intensitate si de sens contrar cu forta degreutate a fluidului dezlocuit. In plus, conform propozitiei 6.2.2, centrele de greutate
ale corpului omogen si fluidului dezlocuit coincid C = G.
x
y
z
F
Sa
A( )n
FG
P
G
zA
Figura 6.5: Echilibrul corpurilor
Asupra corpului (C) mai actioneaza pro-pria lui forta de greutate
FG, de acelasi sens cuforta de greutate a fluidului dezlocuit. Conditiade plutire a corpului este FA FG n caz con-trar, corpul s-ar scufunda.
Presupunand corpul n repaus, fortele
FA si
FG vor avea acelasi suport, intensitate dar sen-
suri opuse, adica
FG=
FA ceea ce nseamna
ca solidul C este complet scufundat n lichid.Prin urmare, instabilitatea are loc ntr-o pozitie
a corpului n care n care fortele
FG si
FA nuau suportul comun. Aceasta instabilitate se re-duce la o rotire n jurul unei axe ce trece princentrul de greutate al solidului, care va deplasa corpul n pozitia de repaus adica nstarea de echilibru stabil.
Propozitia 6.3.1 Conditia necesara si suficienta ca un corp scufundat ntr-unlichid greu incompresibil sa fie n echilibru stabil n raport cu rotatia n jurul unei
axe orizontale care trece prin centrul G de greutate al solidului, este ca centrul Gsa se afle sub centrul presiunilor P, pe aceeasi vertical a.
Demonstratie. Presupunem pozitia corpului deplasata cu unghiul fata depozitia lui de echilibru si consideram un sistem de coordonate Oxyz cu originea n
centrul de greutate O = G, directia axei Oz, coincizand cu cea a fortei
FG, iar
planul yOz cu planul vectorilor
FA si
FG .
Conditia este necesara deoarece n caz contrar sistemul de forte (
FA ,
FG) arforma un cuplu de forte avand ca efect rotirea corpului.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
46/94
46 CAPITOLUL 6. CALCULUL PRESIUNII HIDROSTATICE
Pentru demonstrarea suficientei, din Figura (6.5) deducem
FA= F
k ,
FG= F
k .
Functiile potential al fortelor
FA si
FG sunt
UA =
zAz1
F dz = FzA + const., UG = zG
z2
F dz = Fz2 + const.
Notand cu a = GP, n conformitate cu figura 6.5 vom avea
zA = a cos
si potentialul fortelor care actioneaza asupra corpului va avea expresia
U() = UA + UG = Fa cos + const.
In conformitate cu teorema lui Lagrange-Dirichlet n virtutea careia, pozitia cor-pului pentru care potentialul fortelor aplicate, admite un maxim izolat este pozitiade echilibru stabil, calculam unghiul 0 care maximizeaza functia U. Conditiilede maxim sunt, dupa cum bine stim
dU
d= Fa sin = 0 si d
2U
d2= Fa cos < 0
Prima relatie implica valorile = 0 si = adica centrele P si G se vor gasi pe
aceeasi verticala. Din a doua conditie rezulta valoarea unica 0 = 0, adica pentrurealizarea echilibrului stabil centrul presiunilor P trebuie sa se gaseasca de-asupracentrului de greutate G al corpului.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
47/94
Capitolul 7
Repausul relativ al fluidelor
7.1 Ecuatiile generaleAm studiat n cursurile precedente fortele care actioneaza asupra unui fluid aflat
n repaus n raport cu orice reper fix. Am numit acest repaus, absolut.
ij
O
x
x
y
y
z
z
1
11
1
1
k
O1
1
1
O
M
O
rr
r
Figura 7.1: Miscarea rigidului
Sa ne maginam, acum, ca un fluid estetransportat ntr-un rezervor aflat n miscarerectilinie si uniforma. Fluidul se se va afla,la randul sau, n miscare fata de un reper fixOx1y1z1 dar n repaus n raport cu reperulmobil Oxyz solidar cu rezervorul. La o anu-mita acceleratie a rezervorului (acceleratie detransport) fluidul transportat va suferi, da-torita fluiditatii, o miscare proprie n raportcu ambele repere. Numim o astfel de miscare,miscare de repaus relativ.
Consideram reperul fix Ox1y1z1 si reperulmobil Oxyz (solidar cu rezervorul) cu origi-nea O. Cum particula fluida are o miscare sin raport cu reperul fix, suntem condusi sa tratam problema ca pe o miscare relativa,a punctului material, caracterizata prin viteza absoluta
v a=
v 0 +
v r +
r .unde
v 0 (t) este viteza de translatie a originii O,
v r este viteza relativa a partic-
ulei, independenta de miscarea reperului fix, (t), reprezinta vectorul de rotatie
instantanee iarv t=
v 0 +
r este viteza de transport. Pe de alta parte, miscarea
particulei fiind efectul direct al deplasarii reperului Oxyz, viteza ei relativa este
zero,v r= 0, n consecinta viteza absoluta din ultima relatie se nlocuieste cu viteza
de transport
(7.1)v t=
v 0 +
r
47
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
48/94
48 CAPITOLUL 7. REPAUSUL RELATIV AL FLUIDELOR
pe care o derivam n raport cu timpul, tinem seama car = r si obtinem
expresia acceleratiei de transport
(7.2)a
t=
a0
+
r +
(
r ).
Modelul matematic al miscarii relative, raportat a la o particula fluida, este reprezen-tat de ecuatia
(7.3) d
F=a t dm
unde dm = d este masa particulei, iar d
F este rezultanta fortelor care actioneazaasupra particulei fluide (forte masice si tensiuni de suprafata). Asimiland miscareafluidului cu miscarea corpului rigid, vom considera ca particulele fluide se deplaseazantr-o masura foarte mica una n raport cu alta, astfel ca putem neglija tensiuniletangentiale de suprafata. Singurele tensiuni de suprafata pe care le vom lua n
considerare vor fi presiunile hidrostatice p.La fel ca la secventa 5.1.1 suntem n masura sa deducem ecuatiile repausuluirelativ. Fie (D) un domeniul oarecare, decupat din mediul fluid aflat n repaus
relativ, marginit de suprafata S. In baza celor spuse mai sus, rezultanta d
F se
compune din fortele masice d
Fm=
F d si fortele de presiune d
T= pn d,
astfel ca ecuatia (7.3) devine
F d + pn d =
a t d.
Cu formula lui GaussOstrogradski,
S
pn d =
(D) gradpd,unde
n este normala ndreptata spre fluidul din (D), (normala interioara), conditia
de echilibru a masei fluide aflata n domeniul (D) se scrie(D)
gradpd =
(D)
F d(D)
a t d.
Cum aceasta relatie are loc pe orice domeniu din masa fluida obtinem ecuatia vec-toriala a fluidului aflat n repaus relativ
(7.4)1
gradp =
F
a t .
In proiectie pe axele de coordonate ecuatia de mai sus, este echivalenta cu sistemul
(7.5)
1
p
x= Fx atx
1
p
y= Fy aty
1
p
z= Fz atz
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
49/94
7.2. REPAUSUL RELATIV AL LICHIDELOR GRELE 49
unde am notat
F (Fx, Fy, Fz) sia t (atx, aty, atx).
7.2 Repausul relativ al lichidelor greleEste vorba n acest caz de fluide incompresibile, adica
= const.
In plus singura forta masica unitara care actioneaza asupra fluidului va fi forta degreutate
F=g = g k , g = 9, 81.
7.2.1 Miscarea de translatie
Presupunem ca rezervorul este antrenat ntr-o miscare de translatie n sensulpozitiv al axei Oy cu aceleratia
a
a
z
z
z
z
y
y
x
x
y
g
0
0
1
1
1
1
O
O
A
ii S
S0
Figura 7.2: Translatia
a t= a
Ecuatiile (7.5) devin
(7.6)
p
x= 0
p
y
=
a
p
z= g
Inmultind ecuatiile respectiv dx, dy, dzsi adunandu-le gasim diferentiala pre-siunii
dp = (ady + gdz)
de unde, prin integrare pentru = const, obtinem expresia presiunii
(7.7) p = (ay + gz) + const.Suprafatele izobare: Se obtin punand p = const n ultima ecuatie
(7.8) z = ag
y + const.
Prin urmare suprafetele izobare sunt plane paralele cu axa Ox avand panta
tg ( ) = ag
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
50/94
50 CAPITOLUL 7. REPAUSUL RELATIV AL FLUIDELOR
Presupunand cunoscut punctul (0, z) = OzS, din (7.8) deducem const. = zsi ecuatia suprafetei S are forma
S
: z = a
g y + z
de unde deducem relatia ntre coordonatele punctelor (y0, z0) = S0 S si (0, z)
(7.9) z z0 = ag
y0
Repartitia presiunii: Notam cu pat, presiunea atmosferica pe suprafata S. Cum
(0, z) S, din (7.7) deducemconst. = pat + gz
,
si repartitia presiunii n rezervor are expresia
p + ay + gz = pat + gz.
Din expresia de mai sus observam ca presiunea este mai mare pe peretele din stangarezervorului si ma mica pe cel din dreapta. La fel, pe fundul rezervorului, z = 0,presiunea descreste o data cu cresterea lui y.
Aplicatie: Sa se calculeze viteza rezervorului pentru care
z
z0 = 0, 17m, l = 2m, y0 =
l
2
= 1m, t = 10s (durata acceleratiei)
Din (7.9) deducem acceleratia
a =g(z z0)
y0= 9, 81 0, 17 = 1, 6677,
apoi viteza:
v = a t = 1, 6677 10 = 16, 677 m/s = 16, 6773.6001000
60 km/h.
Prin urmare, pentru a nu trece peste peretii rezervorului, viteza de miscare trebuie
sa fie de cel mult 60 km/h.
7.2.2 Miscarea de rotatie
Acceleratia de transport are expresia
(7.10)a t =
r + ( r ).
Miscarea de rotatie a lichidelor este posibila numai daca = 0.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
51/94
7.2. REPAUSUL RELATIV AL LICHIDELOR GRELE 51
Optional. Demonstratie.
Aplicam operatorul rotor ecuatiei (7.4)
1
rot(gradp) = rot g rot a t,
Tinand cont ca fortele masice sunt conservative
F= grad U, si ( Cursul 1)
rot(grad U) = rot(gradp) = rotg= rot
a 0= 0,
rezultatul operatiei se reduce la ecuatia
rot[
r +
(
r ) ] = 0
sau, avand n vedere exprimarea dublului produs vectorial si faptul ca vectorul depinde
numai de timp, obtinem
rot( r ) + rot( r ) 2rot r = 0.
Prin calcul direct obtinem ca rotr = 0 astfel ca ecuatia de mai sus devine
(7.11) rot ( r ) + rot( r ) = 0.
Calculam primul termen:
rot(
r ) = rot[(z y y z)
+(xz z x)
+(y x xy)
k ] =
=
zy
yz
+
xz
zx
+
yx
xy
k
unde am notat
x = z y y z, y = xz z x, z = y x xy.Calculand derivatele partiale, obtinem
rot( r ) = 2(x +y
+z
k ) = 2.
Vom arata ca al doilea termen din (7.11) este nul
rot( r ) = rot(xx + y y + z z) = rot(A)
unde am notat A = xx + y y + z z.
rot( r ) =
k
x
y
z
Ax Ay Az
= Vx +Vy
+Vz
k
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
52/94
52 CAPITOLUL 7. REPAUSUL RELATIV AL FLUIDELOR
unde
Vx = zA
y y A
z= zy yz = 0
Vy = xA
z zA
x = xz zx = 0
Vz = yA
x x A
y= yx xy = 0
Prin urmare ecuatia (7.11) se reduce la
(7.12) = 0
adica ceea ce trebuia demonstrat.
Presupunem rezervorul sub forma cilindrica antrenat ntr-o miscare de rotatie n
jurul axei sale de simetrie Oz. Cum miscarea are loc n plane paralele cu xOy
vectorul de rotatie va avea componentele
(0, 0, ).
Ca si n cazul precedent, vom deduce ecuatia suprafetei libere si distributiapresiunilor. Tinand cont de (7.12) acceleratia de transport (7.3) are expresiaa t=
( r ), care se mai scrie ( Cursul 1)
a t= (
r )
2
r =
2
z
k 2
(x
+y
+z
k ) = 2
x
2
y
.Inlocuind n (7.5)
F= g
k ,a t= 2x 2y
obtinem ecuatiile miscarii de rotatie
p
x= 2 x
p
y= 2 y
p
z = gadica
dp = 2 xdx + 2 ydy gdzprin integrare obtinem
(7.13) p = 2
2(x2 + y2) gz + const.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
53/94
7.2. REPAUSUL RELATIV AL LICHIDELOR GRELE 53
X
Y
Z
H
h
h0
R
O
S
S0
Figura 7.3: Rotatia
Suprafetele izobare: Cu p = const. gasim ecua-tiile suprafetelor izobare
z =2
2g (x2
+ y2
) + const.
reprezentate prin paraboloizi de rotatie. Punandconditia ca ca punctul (0, 0, h) sa apartina suprafateilibere, obtinem valoarea constantei const. = h siecuatia suprafetei libere S
(7.14) (S) z =2
2g(x2 + y2) + h.
de unde deducem o relatie ntre cotele H si h a suprafetei libere,
(7.15) H =2
2gR2 + h.
Distributia presiunilor: Notand cu p0 presiunea pe suprafata libera S, n
particular n varful (0, 0, h), din (7.13), obtinem const. = p0 + gh, adica
(7.16) p =2
2(x2 + y2) + g(h z) + p0.
Relatie suplimentara: Obtinem o relatie ntre H, h, h0 punand conditia ca volumele
lichidului aflat n repaus si miscare sa fie egale. Pentru aceasta, eliminand pe 2/2gntre (7.14) si (7.15) gasim ecuatia paraboloidului sub forma
(P) : z =H h
R2(x2 + y2) + h
Sa observam ca paraboloidul de rotatie se obtine prin rotirea n jurul axei Oz aparabolei
x = 0
y2 =R2
H h(z
h).
Volumul corpului marginit de suprafata paraboloidului si planul z = H este
V(P) = H
h
R2
H h(z h) dz =R2
2(H h)
prin urmare, volumul lichidului n miscare are expresia
V = R2H R2
2(H h) = R
2
2(H+ h)
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
54/94
54 CAPITOLUL 7. REPAUSUL RELATIV AL FLUIDELOR
pe care-l egalam cu volumul fluidului aflat n repaus
R2h0 =R2
2
(H+ h)
si gasim relatiaH+ h = 2h0
care asociata cu relat ia (7.15) implica
h = h0 2R2
4g, H = h0 +
2R2
4g.
Inlocuind constanta h n (7.14) si (7.16) obtinem din nou:
Ec. suprafetei libere: z = 2
2g(x2 + y2) + h0
2
R2
4g
Ecuatia presiunii: p = 2
2(x2 + y2) g(z h0) + p0
2R2
4
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
55/94
Capitolul 8
Cinematica fluidelor
Cinematica este partea mecanicii fluidelor care studiaza miscarea, facand
abstractie de fortele care o genereaza.Raportam miscarea fluidului la un reper cartezian fix, numit reper inertial, orice
alt reper nesolidar cu reperul inertial fiind considerat mobil. Numim miscarea n ra-port cu reperul fix, miscare absolut a iar n raport cu reperul mobil, miscare relativ a.Notiunile fundamentale ale cinematicii sunt spatiul si timpul.
8.1 Metodele lui Lagrange si Euler
Metoda de studiu a mecanicii fluidelor consta n separarea unui domeniu D din
mediul fluid si raportarea tuturor marimilor la domeniul ales. In alegera domeniuluiD vom avea n vedere doua metode, dezvoltate de Lagrange si Euler, Figura 8.1
rr
O
x
y
z0
rr
O
x
y
z
0
(t)(t)
(t)
(t )(t )
(t )
00
DD
D
M M
(Euler)(Lagrange)
(P)
(P)(P)
(P)
Figura 8.1: Metoda lui Lagrange si Euler
8.1.1 Metoda lui Lagrange.
Domeniul D R3 marginit de suprafata S se deplaseaza mpreuna cu flu-idul, este deformabil, alcatuit din aceleasi particule fluide, dar puncte diferite alespatiului, iar suprafata S nu este strabatuta de fluid. Prin urmare domeniul estevariabil n raport cu timpul si l notam cu D(t). Numim acest domeniu domeniu
55
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
56/94
56 CAPITOLUL 8. CINEMATICA FLUIDELOR
tip Lagrange.Raportand spatiul la reperul fix Oxyz, miscarea domeniului D(t) poate fi
asimilata cu o transformare continua a domeniului D0 = D(t0) n domeniul D(t)
la fiecare moment t. Sa consideram o particula fluida care se afla la momentulinitial t0 n pozitiar 0= x0
+y0
+z0
k
iar la momentul curent t > t0 n pozitia
r = x
+y
+z
k .
Atunci vectorulr se va defini ca functie de
r 0 si t, adica
r =
r (t,
r 0) =
r (t, x0, y0, z0)
sau
(8.1) x = x(t, x0, y0, z0), y = y(t, x0, y0, z0), z = z(t, x0, y0, z0).
Daca fixam vectorulr 0 adica individualizam particula (P0), atunci ecuatiile
(8.1), cu t variabil, reprezinta ecuatia traiectoriei particulei (P0).Daca se fixeaza momentul t, cu (x0, y0, z0) variabil n domeniul D0, atunci
ecuatiile (8.1) reprezinta transformarea domeniului D0 ocupat de fluid la momen-tul initial t0 n domeniul D ocupat de fluid la momentul t.
Coordonatele x0, y0, z0 mpreuna cu t figureaza ca variabile independente, niciuna din ele nedepinzand de celelelte. Ele se numesc variabilele lui Lagrange.
Presupunand ca particulele raman distincte la orice moment al miscari, trans-formarea (8.1) admite o transformare inversa, adica
r 0=
r 0 (t,
r ) =
r 0 (t,x,y,z)
sau
(8.2) x0 = x(t,x,y,z), y0 = y(t,x,y,z), z0 = z(t,x,y,z).
Sa consideram o functie scalara sau vectoriala f legata de particula n miscare,care reprezinta unul din parametri fluidului (viteza, presiune, etc.)
f = f(t,r 0) reprezinta valoarea functiei f la momentul t pentru particula
(P0) D(t) care la momentul t = t0 ocupa pozitia r 0 in D0.f(t,
r ) reprezinta valoarea functiei f pentru particula (P) care la momentul
t se gaseste n punctulr al domeniului D(t) ocupat de fluid.
Functiile f(t,r 0) si f(t,
r ) sunt legate prin transformarile (8.1) si (8.2)
care realizeaza trecerea de la una la alta.
-
8/9/2019 mecanica fluidelor - polotca ovidiu
57/94
8.2. DERIVATA SUBSTANTIAL A A UNEI FUNCTII 57
8.1.2 Metoda lui Euler (volum de control).
Consta n a considera domeniul D fix, nedeformabil n fluidul n miscare, esteconstituit din puncte fixe, particule fluide diferite iar suprafata S este strabatuta
tot timpul de un flux material.Un domeniu fix, nedeformabil, a carui suprafata este stra