Matematici speciale

Ecuatii diferentiale

Martie 2018

ii

“Stiinta este o ecuatie diferentiala. Religia impune conditiile de frontiera.”

Alan Turing

6Ecuatii diferentiale

Un caz pentru Sherlock Holmes

Londra, ora 18.30 .Watson: Sherlock, spune-mi din nou ce informatii avem de la martorii

oculari.Holmes: D-ul Fox spune ca statea la fereastra dormitorului si privea in

directia casei vecinului sau, d-ul Green. Batranul supraveghea cotetul gainilor.De cateva saptamani cineva fura ouale gainilor sale. La ora 6 d-ul Fox s-a pusla panda. Nu a vazut nimic neobisnuit. L-a vazut pe pastor, d-ul Black, venindintr- vizita de o ora la ora 9.30. Acesta din urma a declarat ca totul era inordine cand l-a vizitat pe d-ul Green. La ora 15.00 a venit Helen, fiica d-ului

1

Green. La ora 15.45 usa casei s-a deschis si Helen a tasnit afara alergand.Vazandu-l pe d-ul Fox a spus ceva neinteligibil. Era agitata si confuza. D-ulFox i-a iesit in intampinare ”E mort!”, a urlat Helen. ”Cineva l-a ucis! Are orana la cap!”...

Watson: De ce a iesit afara abia dupa 45 minute ? Este evident, ea ecriminalul !

Holmes: Nu stim sigur. Ea a declarat ca dupa ce si-a vazut tatal mort alesinat pentru 45 minute. In cele din urma a iesit din casa. Intrebarea este: Eaminte sau pastorul, care spune ca d-ul Green era in viata la ora 10.30 ?

Watson: Si cum vom afla asta?Holmes: Am masurat temperatura corpului victimei si temperatura camerei.

O data acum 2 ore si din nou acum 5 minute. Vom afla criminalul in catevaminute ...

Ecuatii diferentiale de ordinul intai

Vom investiga ecuatiile diferentiale de forma:

𝑦′(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑓 ⊂ R2.

∙ o functie 𝑦 = 𝑦(𝑥) se numeste solutie (integrala, curba integrala) a uneiastfel de ecuatii daca satisface, impreuna cu derivata sa, ecuatia diferentiala.

∙ o solutie generala a ecuatiei diferentiale de ordinul intai este o familiede functii 𝜑(𝑥,𝐶), astfel ca 𝑦 = 𝜑(𝑥,𝐶) sa fie solutie; pentru fiecare valoareparticulara a lui 𝐶 se obtine o solutie particulara.

∙ prin integrala generala a ecuatiei intelegem o relatie:

𝜑(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0

care defineste solutia generala implicit.∙ o functie 𝑦 = 𝑦(𝑥) se numeste solutie singulara cand satisface ecuatia dar

nu poate fi obtinuta din formula solutiei generale alegand o valoare particulara𝐶.

Interpretarea geometrica:Printr-un line-element prin punctul 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) intelegem un mic segment tangentla curba solutie in punctul 𝑃, avand panta:

𝑚 = 𝑦′(𝑥0) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0).

Multimea tututor line-elementelor formeaza un camp de directii asociat ecuatieidiferentiale.

2

Sa consideram ecuatia diferentiala de ordinul intai:

𝑦′ = 𝑥2 + 𝑦2 := 𝑓(𝑥, 𝑦)

In punctul 𝑃 (2, 1) line-element-ul are panta:

𝑚 = 𝑓(2, 1) = 22 + 12 = 5.

care corespunde unui unghi 𝛼 (cu axa OX) astfel ca tg(𝛼) = 5, asadar𝛼 = 79∘.

�

Exemplu:

Ecuatia diferentiala asociaza un segment cu o anumita panta fiecarui punct𝑃 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑓 . Daca, de exemplu, un camp de directii de mici line-elemente estedesenat (vezi figura exemplului urmator) atunci solutiile ecuatiei diferentiale vorfi acele curbe care ”se potrivesc” cu acest camp de directii. Aceasta inseamnaca in fiecare punct sunt tangente la line-elementele desenate. Astfel campul dedirectii ofera nu doar o intelegere intuitiva a solutiilor ci si modul in care acestesolutii se comporta.

Curbele desenate arata psoibile solutii si avem o imagine de ansamblu a

Exemplu:

3

comportamentului lor pe un anumit interval. �

Ecuatii cu variabile separabile:

𝑦′ = 𝑔(𝑥) · 𝑓(𝑦)

Algoritm:∙ integrarea se face prin metoda separarii variabilelor :

𝑦′

𝑓(𝑦)= 𝑔(𝑥)

∙ fie 𝐹 o primitiva a functiei1

𝑓si 𝐺 o primitiva a functiei 𝑔, atunci prin

integrare dupa 𝑥 se obtine:∫𝑦′(𝑥)

𝑓(𝑦(𝑥))𝑑𝑥 =

∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

adica:

𝐹 (𝑦) = 𝐺(𝑥) + 𝐶.

Ecuatii diferentiale omogene:

𝑦′ = 𝑓(𝑦𝑥

)

Algoritm:

∙ Prin substitutia𝑦(𝑥)

𝑥= 𝑧(𝑥) se obtine:

𝑥𝑧′ + 𝑧 = 𝑓(𝑧)

iar metoda separarii variabilelor conduce la:

𝑧′

𝑓(𝑧) − 𝑧=

1

𝑥

∙ Integrarea dupa 𝑥 furnizeaza integrala generala:∫1

𝑓(𝑧) − 𝑧𝑑𝑧 = ln |𝑥| + 𝐶

∙ cazul 𝑓(𝑧) − 𝑧 = 0 duce la obtinerea solutiei singulare:

𝑦(𝑥) = 𝑥 · 𝑧0

unde 𝑧0 este o radacina a ecuatiei 𝑓(𝑧) − 𝑧 = 0.

4

Ecuatii diferentiale de forma:

𝑦′ = 𝑓 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐) , 𝑏 = 0

Algoritm:∙ prin substituia:

𝑧(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦(𝑥) + 𝑐

aflam 𝑧′ = 𝑎 + 𝑏𝑦′, si:

𝑦′ =𝑧′ − 𝑎

𝑏= 𝑓(𝑧),

asadar, o ecuatie echivalenta este:

𝑧′ = 𝑎 + 𝑏𝑓(𝑧).

∙ aceasta ecuatie se rezolva prin separarea variabilelor.

Fie ecuatia:𝑦′ = (2𝑥 + 3𝑦)2 := 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐)

cu 𝑎 = 2, 𝑏 = 3, 𝑐 = 0 si 𝑓(𝑡) = 𝑡2. Facand transformarea:

𝑧(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑦(𝑥)

urmeaza 𝑧′ = 2 + 3𝑦′ =⇒ 𝑦′ = 𝑧′−23 care duce la ecuatia echivalenta:

𝑧′ − 2

3= 𝑧2 =⇒ 𝑧′ = 2 + 3𝑧2.

O vom rezolva prin separarea variabilelor:∫𝑧′

2 + 3𝑧3𝑑𝑥 =

∫1𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

Folosim: ∫𝑧′(𝑥)

2 + 3𝑧3(𝑥)𝑑𝑥 =

1

2

∫𝑑𝑧

1 +(√

32𝑧)2

cu o substitutie 𝑡 =√

32𝑧 avem:

1

2

∫𝑑𝑧

1 +(√

32𝑧)2 = 𝐻

(√3

2𝑧

)+ 𝐶

unde:

𝐻(𝑡) =1

2

∫1

1 + 𝑡2

√2

3𝑑𝑡 =

1√6

arctg 𝑡

Exemplu:

5

In cele din urma:

arctg

(√3

2𝑧

)=

√6(𝑥 + 𝐶),

si:

𝑧(𝑥) =

√2

3tg(

√6(𝑥 + 𝐶)).

Solutia generala va fi:

𝑦(𝑥) =𝑧(𝑥) − 2𝑥

3=

√23 tg(

√6(𝑥 + 𝐶)) − 2𝑥

3

�

Ecuatii diferentiale exacte:

𝑃 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

Algoritm:∙ o ecuatie de forma:

𝑃 (𝑥, 𝑦) + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑦′ = 0

se scrie uneori (n.r.: din motive pseudo-matematice) in forma de mai susdeoarece 𝑦′ = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 (??)∙ ideea este ca atunci cand 𝑃 si 𝑄 au derivate partiale continue si satisfac

conditia:𝜕𝑃

𝜕𝑦=

𝜕𝑄

𝜕𝑥(conditia de exactitate)

avem o frumoasa formula pentru integrala generala a unei astfel de ecuatii:∫ 𝑥

𝑥0

𝑃 (𝑡, 𝑦0)𝑑𝑡 +

∫ 𝑦

𝑦0

𝑄(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 = 𝑐, 𝑥0, 𝑦0 ∈ R.

∙ de cele mai multe ori ecuatia nu va satisface conditia de exactitate, prinurmare vom forta lucrurile cautand un factor integrand 𝜇(𝑥, 𝑦) pentru care:

𝜕

𝜕𝑦[𝜇(𝑥, 𝑦)𝑃 (𝑥, 𝑦)] =

𝜕

𝜕𝑥[𝜇(𝑥, 𝑦)𝑄(𝑥, 𝑦)]

∙ este util sa stim ca atunci cand𝜕𝑃𝜕𝑦 − 𝜕𝑄

𝜕𝑥

𝑄 depinde doar de 𝑥 un factorintegrand este:

𝜇(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝

(∫ 𝑥

𝑥0

𝜕𝑃𝜕𝑦 − 𝜕𝑄

𝜕𝑥

𝑄𝑑𝑥

)

iar cand𝜕𝑃𝜕𝑦 − 𝜕𝑄

𝜕𝑥

𝑃 depinde doar de 𝑦 un factor integrand este:

𝜇(𝑦) = 𝑒𝑥𝑝

(−∫ 𝑦

𝑦0

𝜕𝑃𝜕𝑦 − 𝜕𝑄

𝜕𝑥

𝑃𝑑𝑦

).

6

Ecuatii liniare omogene:

𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑦

Algoritm:∙ metoda separarii variabilelor conduce la:

𝑦′

𝑦= 𝑓(𝑥).

∙ dupa o integrare relativ la 𝑥 gasim:

ln |𝑥| =

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶

∙ In cele din urma, pentru 𝐶 > 0:

𝑦(𝑥) = 𝐶1𝑒∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥,

unde 𝐶1 = ln𝐶 ∈ R.

Ecuatii diferentiale liniare neomogene:

𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑦 + 𝑔(𝑥)

Algoritm:∙ prin transformarea ( metoda variatiei constantelor):

𝑦(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑒∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

se obtine:

𝐶 ′(𝑥)𝑒∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶(𝑥)𝑒

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝐶(𝑥)𝑒

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥),

i.e.:𝐶 ′(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑒−

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥,

care implica:

𝑦(𝑥) =

(𝐶 +

∫𝑔(𝑥)𝑒−

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥

)𝑒∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

unde 𝐶 ∈ R este arbitrara.∙ Problema Cauchy (cu date initiale):{

𝑦′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑦(𝑥) + 𝑔(𝑥)

𝑦(𝑥0) = 𝑦0

are solutia:

𝑦(𝑥) =

(𝑦0 +

∫ 𝑥

𝑥0

𝑔(𝑠)𝑒−

∫ 𝑠𝑥0

𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑑𝑠

)· 𝑒

∫ 𝑥𝑥0

𝑓(𝑡)𝑑𝑡

7

Ecuatii diferentiale de tip Bernoulli:

𝑦′ + 𝑓(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑦𝛼

Algoritm:∙ pentru 𝛼 > 1 este 𝑦 ≡ 0 o solutie iar in cazurile 𝛼 = 0, 𝛼 = 1 ecuatia este

liniara.∙ In cazurile ramase se inmulteste ecuatia cu 𝑦−𝛼 si devine:

𝑦−𝛼𝑦′ + 𝑓(𝑥)𝑦1−𝛼 = 𝑔(𝑥)

Prin transformarea 𝑧(𝑥) = 𝑦(𝑥)1−𝛼 se obtine 𝑧′(𝑥) = (1 − 𝛼)𝑦−𝛼𝑦′ si mai de-parte:

𝑧′ + (1 − 𝛼)𝑓(𝑥)𝑧 = (1 − 𝛼)𝑔(𝑥)

Aceasta este o ecuatie diferentiala liniara neomogena si algoritmul de re-zolvare este cunoscut deja.

Ecuatii diferentiale de tip Riccati:

𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑦2 + 𝑔(𝑥)𝑦 + ℎ(𝑥)

Algoritm:∙ Ecuatiile de tip Riccati nu sunt intotdeauna integrabile, este nevoie sa

cunoastem una sau mai multe solutii particulare.∙ Fie 𝑦1(𝑥) o solutie particulara. Atunci alegem transformarea:

𝑦(𝑥) = 𝑦1(𝑥) +1

𝑧(𝑥)

care prin inlocuire furnizeaza:

𝑦′1 −𝑧′

𝑧2= 𝑓(𝑥)

(𝑦21 +

2𝑦1𝑧

+1

𝑧2

)+ 𝑔(𝑥)

(𝑦1 +

1

𝑧

)+ ℎ(𝑥)

si mai departe:

𝑦′1 − 𝑓(𝑥)𝑦21 − 𝑔(𝑥)𝑦1 − ℎ(𝑥)⏟ ⏞ 0

=𝑧′

𝑧2+

2𝑓(𝑥)𝑦1𝑧

+𝑓(𝑥)

𝑧2+

𝑔(𝑥)

𝑧

Dupa inmultirea cu 𝑧2 obtinem ecuatia liniara neomogena:

𝑧′ + (2𝑓(𝑥)𝑦1 + 𝑔(𝑥)) 𝑧 = −𝑓(𝑥).

∙ Cand avem norocul sa ghicim doua solutii 𝑦1 = 𝑦2 , se realizeaza trans-formarea:

𝑦(𝑥) = 𝑦1 +𝑦2 − 𝑦1𝑧(𝑥)

care conduce la:𝑧(𝑥) = 1 + 𝐶𝑒

∫𝑦1−𝑦2𝑑𝑥

8

Probleme rezolvate

Cum gandeste Sherlock Holmes:

Conform Legii lui Newton a racirii corpurilor:

Schimbarea temperaturii unui corp este proportio-nala cu diferenta dintre temperatura mediului in carese afla si cea a corpului.

𝑇 ′(𝑡) = −𝑘(𝑇 (𝑡) − 𝑇𝐶

)unde 𝑇 este temperatura coprului (depinde de variabila de timp 𝑡), 𝑇𝐶 estetemperatura camerei (temperatura mediului) si 𝑘 este o constanta pozitiva.Aceasta este o ecuatie difetentiala liniara de ordinul intai. In mod normal 𝑇𝐶

nu va varia prea mult astfel ca o putem aproxima printr-o constanta. Deciputem scrie:

(𝑇 (𝑡) − 𝑇𝐶)′ = −𝑘(𝑇 (𝑡) − 𝑇𝐶)

adica:(𝑇 (𝑡) − 𝑇𝐶)′

𝑇 (𝑡) − 𝑇𝐶= −𝑘

Integrand:

ln |𝑇 (𝑡) − 𝑇𝐶 | = −𝑘𝑡 + 𝑐, c constant.

furnizeaza:

|𝑇 (𝑡) − 𝑇𝐶 | = 𝑒−𝑘𝑡 · 𝑒𝑐,

si deoarece temperatura corpului nu va fi mai mica decat cea a camerei |𝑇 (𝑡) −𝑇𝐶 | = 𝑇 (𝑡) − 𝑇𝐶 iar constanta 𝑐 poate fi eliminata considerand temperatura lamomentul de timp 0 cunoscuta, 𝑇 (0) = 𝑇0. Intr-adevar substituind 𝑡 = 0:

𝑇 (0) − 𝑇𝐶 = 𝑒0 · 𝑒𝑐 =⇒ 𝑒𝑐 = 𝑇 (0) − 𝑇𝐶

astfel:

𝑇 (𝑡) = 𝑇𝐶 + (𝑇0 − 𝑇𝐶)𝑒−𝑘𝑡 (*)

Sherlock H. a masurat temperatura camerei 𝑇𝐶 . Acum are nevoie doar devaloarea lui 𝑘. Pentru asta poate utiliza identitatea:

𝑇 (𝑡1) − 𝑇𝐶

𝑇 (𝑡2) − 𝑇𝐶= 𝑒−𝑘(𝑡1−𝑡2)

9

doar daca cunoaste temperatura corpului in doua momente diferite de timp 𝑡1,𝑡2. Identitatea de mai sus se obtine prin substituirea 𝑡 = 𝑡1 si apoi a 𝑡 = 𝑡2 in(*) si impartirea celor doua relatii gasite. Aceasta relatie va implica:

𝑘 = − 1

𝑡1 − 𝑡2ln

𝑇 (𝑡1) − 𝑇𝐶

𝑇 (𝑡2) − 𝑇𝐶(**).

De exemplu:La ora 𝑡1 = 16.25 pm Sherlock H. a masura temperatura corpului victimei

si inca o data la 𝑡2 = 18.25. A gasit valorile 𝑇 (𝑡1) = 26.8∘𝐶, respectiv 𝑇 (𝑡2) =26∘𝐶 iar pentru temperatura camerei 𝑇𝐶 = 25∘𝐶. In consecinta:

𝑘 = − 1

−2ln

26.8 − 25

26 − 25= 0.293

Temperatura normala a corpului variaza intre 36.3∘𝐶 si 37.4∘𝐶. Sherlockconsidera temperatura medie:

𝑇 (𝑡𝑑) = 37∘𝐶

la momentul mortii 𝑡𝑑 d-ului Green.Cu 𝑘 cunoscut considera mai departe 𝑡2 = 18.25 ca moment 0 si 𝑡1 = 𝑡𝑑

in relatia (**). Prin urmare 𝑇 (0) = 26∘𝐶 si se poate calculca:

𝑡𝑑 − 0 = −1

𝑘ln

𝑇 (𝑡𝑑) − 𝑇𝐶

𝑇 (0) − 𝑇𝐶

𝑡𝑑 = −1

𝑘ln

37 − 25

26 − 25≈ −8.4 (ore)

Aceasta inseamna ca la ora 10.30 d-ul Green nu era in viata.Pastorul, d-ul Black, minte !!!

Problema 1. Gasiti toate solutiile ecuatiei:

(1 + 𝑥)𝑦 + (1 − 𝑦)𝑥𝑦′ = 0

Solutie: Presupunand 𝑥 = 0 and 𝑦 = 0 putem imparti si separa variabilele:

1 + 𝑥

𝑥=

𝑦 − 1

𝑦𝑦′

Integrarea dupa 𝑥 furnizeaza:∫1 + 𝑥

𝑥𝑑𝑥 =

∫𝑦 − 1

𝑦𝑦′𝑑𝑥 =

∫𝑦 − 1

𝑦𝑑𝑦

si mai departe:ln |𝑥| + 𝑥 = 𝑦 − ln |𝑦| + 𝐶

deci:

𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑦1

𝑦𝑒𝐶

si in final 𝑒𝐶 = 𝐷:𝑥𝑦 = 𝑒𝑦−𝑥.

10

Problema 2. Rezolvati ecuatia:

𝑥(𝑦2 − 1)𝑦′ + 𝑦(𝑥2 − 1) = 0

Solutie: Din nou metoda separarii variabilelor functioneaza (pentru 𝑥 = 0 si𝑦 = 0): ∫

1 − 𝑦2

𝑦𝑑𝑦 =

∫1 − 𝑥2

𝑥𝑑𝑥

deci𝑦2

2− ln 𝑦 = ln |𝑥| − 𝑥2

2+ 𝐶

pentru a obtine integrala generala:

𝑥2 + 𝑦2 = 2 ln |𝑥𝑦| + 𝐶.

Aici oricare dintre cazurile excluse 𝑥 = 0 si 𝑦 = 0 nu reprezinta o solutie.

Problema 3. Rezolvati ecuatia:

𝑦′ − 𝑦 = 𝑥𝑦5.

Care solutie trece prin punctul 𝑃 (0,√

2) ?

Solutie: Se observa ca avem o ecuatie Bernoulli cu 𝛼 = 5. Folosind trasnfor-marea 𝑧(𝑥) = 𝑦(𝑥)1−𝛼 = 𝑦(𝑥)−4 obtinem ecuatia liniara:

𝑧′ + 4𝑧 = −4𝑥 (*)

Solutia acestei ecuatii omogene este:

𝑧ℎ = 𝐶𝑒−∫4𝑑𝑥 = 𝐷𝑒−4𝑥

Pentru a identifica o solutie particulara a ecuatiei neomogene, incercam unpolinom. De exemplu:

𝑧𝑝 = 𝑎 + 𝑏𝑥.

furnizeaza:

𝑏 + 4𝑎 + 4𝑏𝑥 = −4𝑥,

care conduce la 𝑏 = −1 si 𝑎 = 14 . In concluzie solutia ecuatiei liniare (*) este:

𝑧(𝑥) = 𝑧ℎ(𝑥) + 𝑧𝑝(𝑥) = 𝐷𝑒−4𝑥 − 𝑥 +1

4

Transformand inapoi se obtine:

𝑦4(𝑥) =4

4𝐷𝑒−4𝑥 − 4𝑥 + 1, 𝐷 ∈ R.

Alta solutie este 𝑦 ≡ 0. Nu poate fi obtinuta din formula solutiei generale !Spunem ca este o solutie singulara.

11

Pentru 𝑦(0) =√

2 urmeaza 4 = 41+4𝐷 si 𝐷 = 0. Curba solutie dorita este:

𝑦(𝑥) = 4

√4

1 − 4𝑥.

Problema 4. Rezolvati ecuatia:

𝑥𝑦′ + 𝑦 = 6𝑥2, 𝑦(1) = 3,

apoi pentru datele initiale 𝑦(1) = −1.

Solutie: Incepem prin a observa scrierea echivalenta:

𝑦′ +𝑦

𝑥= 6𝑥,

care este o ecuatie diferentiala liniara neomogena cu 𝑓(𝑥) = − 1𝑥 si 𝑔(𝑥) = 6𝑥.

Solutia generala este:

𝑦(𝑥) = 2𝑥2 +𝐶

𝑥, 𝐶 ∈ R.

Solutii particulare: pentru 𝑦(1) = 3, se obtine 𝑦 = 2𝑥2 + 1𝑥 iar pentru

𝑦(1) = −1, urmeaza 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 .

Problema 5. Rezolvati ecuatia diferentiala:

𝑦′ = 𝑥2 +𝑦

𝑥+

𝑦2

𝑥4

Solutie: Se recunoaste ecuatia de tip Riccati, adica o ecuatie diferentiala deforma:

𝑦′ = ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑦 + 𝑓(𝑥)𝑦2,

care cu ajutorul unei solutii particulare 𝑦1(𝑥) prin trasnformarea

𝑦(𝑥) = 𝑦1(𝑥) +1

𝑧(𝑥)

se transforma in ecuatia:

𝑧′(𝑥) + (2𝑓(𝑥)𝑦1(𝑥) + 𝑔(𝑥)) 𝑧(𝑥) = −𝑓(𝑥)

Cautam asadar o solutie particulara. Incercam sa cautam o solutie ca fiindo putere a lui 𝑥. Prin incercari repetate gasim 𝑦1 = 𝑥3. Cu ajutorul acesteiaobtinem ecuatia liniara neomogena:

𝑧′(𝑥) +3

𝑥𝑧(𝑥) = − 1

𝑥4

Solutie ecuatiei omogene este:

𝑧ℎ =𝐶

𝑥3

12

Avem nevoie in continuare de o solutie particulara a ecuatiei neomogene. Printransformarea:

𝑧𝑝 =𝐶(𝑥)

𝑥3,

i.e. metoda variatiei constantelor, se obtine 𝐶 ′(𝑥) = − 1𝑥 si apoi 𝐶(𝑥) = ln |𝑥|.

Solutia particulara este:

𝑧𝑝(𝑥) = − ln |𝑥|𝑥3

,

de unde rezulta:

𝑧(𝑥) = 𝑧ℎ(𝑥) + 𝑧𝑝(𝑥) =𝐶

𝑥3− ln |𝑥|

𝑥3

In concluzie:

𝑦(𝑥) = 𝑥3 +𝑥3

𝐶 − ln |𝑥|.

Problema 6. Integrati ecuatia cu variabile separate:

2𝑦𝑦′ =𝑒𝑥

𝑒𝑥 + 1, 𝑦 (1) = 1.

Solutie: Deoarece 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥ın mod echivalent avem

2𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑒𝑥

𝑒𝑥 + 1⇔ 2𝑦𝑑𝑦 =

𝑒𝑥

𝑒𝑥 + 1𝑑𝑥.

In urma separarii varibilelor putem trece la integrarea celor doua functii siobtinem

2

∫𝑦𝑑𝑦 =

∫𝑒𝑥

𝑒𝑥 + 1𝑑𝑥 ⇔ 𝑦2 + 𝑐1 = ln (𝑒𝑥 + 1) + 𝑐2 ⇔ 𝑦2 = ln (𝑒𝑥 + 1) + 𝑐.

Solutia problemei Cauchy se obtine prin ınlocuirea lui 𝑥0 = 1 si a lui 𝑦0 = 1ın ecuatia de mai sus de unde rezulta

𝑐 = 1 − ln (𝑒 + 1) , 𝑦2 − 1 = ln𝑒𝑥 + 1

𝑒 + 1.

Problema 7. Integrati ecuatia omogena:

𝑦′ =𝑦

𝑥+ 𝑒

𝑦

𝑥 .

Solutie: Plecand de la noua functie 𝑧 =𝑦

𝑥rezulta

𝑦 = 𝑧 · 𝑥 ⇒ 𝑦′ = 𝑧′𝑥 + 𝑧.

Inlocuind ın ecuatia initiala avem

𝑧′𝑥 + 𝑧 = 𝑧 + 𝑒𝑧 ⇔ 𝑧′𝑥 = 𝑒𝑧.

13

Deoarece 𝑧′ =𝑑𝑧

𝑑𝑥obtinem ecuatia cu variabile separate

𝑑𝑧

𝑑𝑥𝑥 = 𝑒𝑧 ⇔ 𝑑𝑧

𝑒𝑧=

𝑑𝑥

𝑥

de unde ne rezulta ın urma integrarii∫𝑑𝑧

𝑒𝑧=

∫𝑑𝑥

𝑥⇔ ln |𝑥| + 𝑒−𝑧 = 𝑐.

Revenind la functia initiala avem urmatoarea integrala generala a ecuatiei:

ln |𝑥| + 𝑒−𝑦

𝑥 − 𝑐 = 0.

Problema 8. Rezolvati ecuatia liniara neomogena:

𝑥𝑦′ − 𝑦 + 𝑥 = 0.

Solutie: Pentru 𝑥 = 0 obtinem solutia particulara. Pentru 𝑥 = 0 avem

𝑥𝑦′ − 𝑦 + 𝑥 = 0 |: 𝑥 ⇔ 𝑦′ − 1

𝑥· 𝑦 = −1.

Pentru a obtine direct solutia generala a ecuatiei neomogene

𝑦′ + 𝑎 (𝑥) · 𝑦 = 𝑏 (𝑥)

folosim formula

𝑦 = 𝑒−∫𝑎(𝑥)𝑑𝑥

[𝑐 +

∫𝑏 (𝑥) 𝑒

∫𝑎(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥

].

In cazul nostru 𝑎 (𝑥) = − 1

𝑥si 𝑏 (𝑥) = −1. Inlocuind ın formula de mai sus,

obtinem

𝑦 = 𝑒−

∫−

1

𝑥𝑑𝑥

⎡⎣𝑐 +

∫(−1) 𝑒

∫−

1

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥

⎤⎦⇔ 𝑦 = 𝑒

∫ 1

𝑥𝑑𝑥

⎛⎝𝑐−∫

𝑒−

∫ 1

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥

⎞⎠⇔ 𝑦 = 𝑒ln|𝑥|

(𝑐−

∫𝑒− ln|𝑥|𝑑𝑥

)⇔ 𝑦 = 𝑒ln|𝑥|

(𝑐−

∫1

|𝑥|𝑑𝑥

)⇔ 𝑦 = |𝑥| (𝑐− ln |𝑥|) ⇔ 𝑦 = 𝑘𝑥− |𝑥| ln |𝑥| .

Problema 9. Integrati ecuatia:

𝑥𝑦′′′ − 𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0

stiind ca admite solutiile

𝑦1 (𝑥) = 𝑥, 𝑦2 (𝑥) = 𝑒−𝑥.

14

Solutie: Daca pentru ecuatia diferentiala

𝑎0 (𝑥) 𝑦(𝑛) + 𝑎1 (𝑥) 𝑦(𝑛−1) + ... + 𝑎𝑛 (𝑥) 𝑦 = 0

suma coeficientilor (este nula)

𝑎0 (𝑥) + 𝑎1 (𝑥) + ... + 𝑎𝑛 (𝑥) = 0

atunci rezulta (si) solutia ecuatiei 𝑦 = 𝑒𝑥.Pentru exemplul nostru putem folosi observatia de mai sus deaorece

𝑥− 1 − 𝑥 + 1 = 0,

deci a treia solutie este 𝑦3 (𝑥) = 𝑒𝑥.

In concluzie solutia generala a ecuatiei este

𝑦 = 𝑐1 · 𝑥 + 𝑐2 · 𝑒−𝑥 + 𝑐3 · 𝑒𝑥.

15

Probleme propuse

Problema 1. Rezolvati ecuatia:

𝑦′ = 1 +√𝑦 − 𝑥

facand o schimbare de variabila adecvata.

Problema 2. Rezolvati ecuatia

𝑦′ = (−2𝑥 + 𝑦)2 − 7, 𝑦(0) = 0

folosind o schimbare de variabila.

Problema 3. Aflati solutia generala a ecuatiei:

𝑦𝑦′ = 2𝑦 − 𝑥.

Problema 4. Rezolvati ecuatia:

𝑥𝑦′ cos(𝑦𝑥

)= 𝑦 cos

(𝑦𝑥

)− 𝑥.

Problema 5. Integrati urmatoarea ecuatie:

𝑦′ − 𝑥𝑦 = 𝑦

Problema 6. Aflati integrala generala a ecuatiei:

(1 + 𝑒𝑥)𝑦𝑦′ − 𝑒𝑥 = 0

precum si pe cea particulara corespunzatoare datelor initiale 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 1.

Problema 7. Integrati ecuatia:

𝑦2 + 𝑥2𝑦′ − 𝑥𝑦𝑦′ = 0

Problema 8. Rezolvati ecuatia:

(2𝑥𝑦 − sin𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥2 − cos 𝑦)𝑑𝑦 = 0

Problema 9. Rezolvati problema Cauchy:

1

𝑦2− 2

𝑥=

2𝑥𝑦′

𝑦3

with initial condition 𝑦(1) = 1.

16

Problema 10. Rezolvati ecuatia:

2𝑥𝑦𝑑𝑥− (𝑥2 − 𝑦2)𝑑𝑦 = 0

Problema 11. Integrati ecuatia:

(𝑥 sin 𝑦 + 𝑦 cos 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 cos 𝑦 − 𝑦 sin 𝑦)𝑑𝑦 = 0.

Problema 12. Integrati ecuatia:

𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑦2 ln𝑥

17

Bibliografie

[1] Dennis. G. Zill. A First Course in Differential Equations with ModelingApplications, Brooks/Cole, 2013.

[2] Octavian Lipovan. Matematici speciale: Ecuatii diferentiale si teoria cam-purilor, Editura Politehnica, 2007.

18