Download - matematica aplicata in economie
MATEMATICA APLICATA IN ECONOMIE
SUPORT DE CURS
CUPRINS
CUPRINS
CAPITOLUL I SPAŢII VECTORIALE 1
1.1. Definiţia spaţiului vectorial 1 1.2. Dependenţă şi independenţă liniară 3 1.3. Bază. Coordonate. Teorema lui Steinitz 4 1.4. Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de bază 7 1.5. Mulţimi convexe 9 1.6. Probleme propuse 10
CAPITOLUL al II-lea FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE 11
2.1. Forme liniare 11 2.2. Forme biliniare. Forme pătratice 15 2.3. Forma canonică a unei forme pătratice reale. Signatura unei forme pătratice reale 16 2.4. Probleme propuse 21
CAPITOLUL al III-lea SISTEME DE ECUAŢII LINIARE 23
3.1. Noţiuni generale 23 3.2. Metoda lui Gauss de rezolvare a sistemelor 25 3.3. Soluţii de bază ale unui sistem 27 3.4. Probleme propuse 29
CAPITOLUL al IV-lea NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ 31
4.1. Introducere 31 4.2. Diverse forme ale problemei de programare liniară 35 4.3. Soluţii ale unei probleme de programare liniară 37 4.4. Metoda Simplex 42 4.5. Probleme propuse 47
CAPITOLUL al V-lea SERII NUMERICE 49
5.1. Serii de numere reale 49 5.2. Serii cu termeni pozitivi 55 5.3. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente 62 5.4. Probleme propuse 63
CAPITOLUL al VI-lea FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 65
6.1. Derivate parţiale 65 6.2. Diferenţiale 74 6.3. Formula lui Taylor pentru funcţii de mai multe variabile 79 6.4. Puncte de extrem pentru funcţii de mai multe variabile 80 6.5. Derivata după o direcţie. Gradient. Divergenţă. Rotor 84 6.6. Probleme propuse 87
CUPRINS
CAPITOLUL al VII-lea FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT 89
7.1. Funcţii implicite definite de ecuaţia 0)y,x(F = 89
7.2. Funcţii implicite definite de ecuaţia 0)y,x,...,x,x(F n21 = 92 7.3. Sisteme de funcţii definite implicit 95 7.4. Extreme condiţionate 98 7.5. Probleme propuse 101
CAPITOLUL al VIII-lea ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 103
8.1. Integrale improprii 103 8.2. Integrala dublă 107 6.3. Probleme propuse 114
CAPITOLUL al IX-lea ECUAŢII DIFERENŢIALE 117
9.1. Noţiuni generale 117 9.2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 118 9.3. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n 129 9.4. Probleme propuse 138
CAPITOLUL al X-lea ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 139
10.1. Câmp de evenimente. Câmp de probabilitate 139 10. 2. Variabile aleatoare 150 10. 3. Distribuţii continue clasice 166 10.4. Exerciţii propuse 174 BIBLIOGRAFIE 177
SPAŢII VECTORIALE
1
CAPITOLUL I
SPAŢII VECTORIALE
1.1. Definiţia spaţiului vectorial
Definiţie. Fie K un corp. Se numeşte spaţiu vectorial1 (peste corpul K) un grup abelian ( )+,V
pe care este dată o lege de compoziţie externă cu operatori în K,
( ) uu,,VVK α→α→× ,
care îndeplineşte următoarele axiome:
1) ( ) Vu,K,,uuu ∈∀∈βα∀β+α=β+α ;
2) ( ) Vv,u,K,vuvu ∈∀∈α∀α+α=+α ;
3) ( ) ( ) Vu,K,,uu ∈∀∈βα∀αβ=βα ;
4) uu1 = (1 este elementul unitate în K).
Elementele lui V se numesc vectori, iar operaţia grupului ( )+,V se numeşte adunarea
vectorilor.
Elementele lui K se numesc scalari, iar legea de compoziţie externă VVK →× se numeşte
înmulţirea vectorilor cu scalari.
Elementul neutru al grupului ( )+,V se numeşte vectorul nul şi se notează cu 0 .
Dacă R=K sau C=K se spune că V este spaţiu vectorial real, respectiv complex.
Spaţiile vectoriale se mai numesc şi spaţii liniare.
Teoremă. Dacă V este un spaţiu vectorial peste corpul K, atunci K, ∈βα∀ şi Vw,v,u ∈∀
au loc următoarele proprietăţi:
1) 0v0 = ;
2) 00 =α ;
3) ( ) vv1 −=− ;
4) uwuvwv =⇒+=+ ;
5) β=α⇒≠β=α 0vşivv .
1 Spaţiile vectoriale au fost definite în forma actuală de G. Peano (1888), dar fondatorul teoriei spaţiilor vectoriale rămâne H.
Grassmann (1844)
Capitolul I 2
Exemple.
1) Spaţiul vectorial nul 0V = constând dintr-un singur vector (cel nul) este spaţiu vectorial
peste orice corp K.
2) Spaţiul vectorial nR . Fie 1n > un număr natural. Se notează cu nR mulţimea tuturor
n-uplelor ordonate ( ) n,1i,x,x,,x,xx in21 =∈= R K ,
( ) n,1i,x,x,,x,xx in21n =∈== R R K .
Dacă R∈α şi ny,x R∈ , ( ) ( )n21n21 y,,y,yy,x,,x,xx KK == , atunci:
n,1i,yxyx ii ==⇔= ,
( )nn2211 yx,,yx,yxyx +++=+ K ,
( )n21 x,,x,xx ααα=α K .
O verificare directă arată că legea de compoziţie internă
( ) yxy,x,nnn +→→× RRR
este asociativă şi comutativă.
Dacă ( )0,,0,00 K= , atunci ( )n21n x,,x,xx,x K=∈∀ R avem
( ) ( )( )( )
,x
x,,x,x
x0,,x0,x0
x,,x,x0,,0,0x0
n21
n21
n21
=
=
+++=
+=+
K
K
KK
iar dacă ( )n21 x,,x,xx −−−=− K , atunci ( )n21n x,,x,xx,x K=∈∀ R avem
( ) ( ) ( )( )( )
.0
0,,0,0
xx,,xx,xx
x,,x,xx,,x,xxx
nn2211
n21n21
=
=
−−−=
−−−+=−+
K
K
KK
Rezultă că ( )+,nR este grup abelian.
De asemenea, se verifică că legea de compoziţie externă
( ) αxα,x,nn →→× RRR
îndeplineşte axiomele 1) – 4) din definiţia spaţiului vectorial.
Elementele lui nR se numesc vectori (linie) n – dimensionali, iar nR se numeşte spaţiul real
n – dimensional.
Analog, se introduce spaţiul nC şi de asemenea spaţiul vectorial nK cu K corp oarecare.
SPAŢII VECTORIALE
3
3) Mulţimea n,mM ( )R a matricelor cu m linii şi n coloane, cu elemente numere reale
formează spaţiu vectorial peste corpul R în raport cu adunarea matricelor şi cu înmulţirea matricelor cu
scalari.
4) Mulţimea [ ]XR a polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienţi reali formează spaţiu
vectorial peste corpul K în raport cu adunarea polinoamelor şi cu înmulţirea polinoamelor cu scalari.
1.2. Dependenţă şi independenţă liniară
Fie V un K – spaţiu vectorial.
Definiţie. Se spune că un vector Vv∈ este o combinaţie liniară de vectorii
Vv,,v,v n21 ∈K dacă există scalarii K,,, n21 ∈ααα K astfel încât
∑α=α++α+α==
n
1iiinn2211 vvvvv K .
Definiţie. Se spune că vectorii Vv,,v,v n21 ∈K formează un sistem de generatori pentru V
dacă orice vector Vv∈ se poate reprezenta ca o combinaţie liniară de vectorii n21 v,,v,v K , adică
∑α=∈ααα∃∈∀=
n
1iiin21 vva.î.K,,,,Vv K .
Definiţie. Un spaţiu vectorial V se numeşte de tip finit dacă pentru V există un sistem finit de
generatori.
Definiţie. Se spune că vectorii Vv,,v,v n21 ∈K sunt liniar dependenţi dacă există scalarii
K,,, n21 ∈ααα K nu toţi nuli, astfel încât
0vvv nn2211 =α++α+α K .
În caz contrar, se spune că vectorii sunt liniar independenţi.
Aşadar, se spune că vectorii Vv,,v,v n21 ∈K sunt liniar independenţi2 dacă orice relaţie de
forma 0vvv nn2211 =α++α+α K cu K,,, n21 ∈ααα K implică numai 0n21 =α==α=α K .
2 Noţiunea de independenţă liniară a vectorilor a fost introdusă de H. Grassmann
Capitolul I 4
1.3. Bază. Coordonate. Teorema lui Steinitz
Definiţie. Se spune că vectorii Vv,,v,v n21 ∈K formează o bază pentru K – spaţiul vectorial
V dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii:
1) constituie un sistem de generatori pentru V şi
2) sunt liniar independenţi
adică
1') ∑α=∈ααα∃∈∀=
n
1iiin21 vv.î.aK,,,,Vv K şi
2') dacă 0vv nn11 =α++α K cu K,, n1 ∈αα K ,atunci 0n1 =α==α K .
Observaţie. Se poate demonstra că orice spaţiu vectorial diferit de spaţiul vectorial nul 0
admite cel puţin o bază şi că dacă o bază a unui spaţiu vectorial are un număr finit de vectori, atunci
toate bazele spaţiului respectiv au acelaşi număr de vectori.
Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial. Dimensiunea lui V se notează cu Vdim şi se defineşte
astfel
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∞
≠
=
=
itde tip finV nu este dacă,
vectorindinformatăbazăoadmiteinit si, de tip f0Vdacă,n
0Vdacă,0
Vdim
Observaţie. Dacă ∞<= nVdim , se notează acest lucru şi prin nV .
Exemple.
1) În spaţiul real n – dimensional nR o bază este n21 e,,e,eB K= , unde
( )0,,0,0,1e1 K= , ( )0,,0,1,0e2 K= , ..., ( )1,0,,0,0en K= . Ea se numeşte baza canonică a lui nR .
Evident ndim n =R .
2) În R – spaţiul n,mM ( )R baza canonică este n,1j,m,1i,EB ij === , unde ijE este
matricea care are elementul 1 la intersecţia liniei i cu coloana j şi în rest toate elementele nule. Evident
dim n,mM ( )R nm ⋅= .
3) În R – spaţiul [ ]XR o bază este KK ,X,,X,X,1B n2 = . Astfel, [ ]XR este un spaţiu
vectorial infinit dimensional.
SPAŢII VECTORIALE
5
Definiţie. Fie nV un K – spaţiu vectorial, n21 e,,e,eB K= o bază a lui nV şi nVv∈ .
Scalarii unic determinaţi K,, n1 ∈αα K astfel încât
nn11 eev α++α= K
se numesc coordonatele vectorului v în baza B.
Teoremă (teorema înlocuirii sau a lui Steinitz). Fie nV un K – spaţiu vectorial,
n21 u,,u,uB K= o bază a sa şi p21 v,,v,vS K= , np ≤ un sistem de p vectori liniar independenţi
din nV . Atunci, există p vectori din B (fără a restrânge generalitatea, putem să-i presupunem pe primii
p) care înlocuiţi cu vectorii sistemului S conduc la baza n1pp21 u,,u,v,,v,v'B KK += pentru nV .
Demonstraţie. Dacă 1p = , atunci 1vS = unde 0v1 ≠ . Cum B este o bază pentru nV
avem
(1) ∑α==
n
1iii1 uv , unde nu toţi iα sunt 0.
Presupunem că 01 ≠α (în caz contrar schimbăm numerotarea vectorilor). Din (1) obţinem
(2) n1
n2
1
21
11 uuv
1u
α
α−−
α
α−
α= K .
Să arătăm că 'B este un sistem de generatori pentru nV .
Fie nVv∈∀ . Din faptul că B este bază, avem
,uuv
uuuuv1
uuuv
n1
n1n2
1
2121
1
1
nn22n1
n2
1
21
11
nn2211
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
α
αλ−λ++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
α
αλ−λ+
α
λ=
λ++λ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
α
α−−
α
α−
αλ=
λ++λ+λ=
K
KK
K
deci 'B este sistem de generatori pentru nV .
Să arătăm că vectorii din 'B sunt liniar independenţi.
Fie 0uuv nn2211 =β++β+β K . Înlocuind 1v din (1) obţinem
( ) ( ) 0uuu nnn12221111 =β+αβ++β+αβ+αβ K .
Cum n21 u,,u,uB K= este bază pentru nV trebuie ca
0,,0,0 nn122111 =β+αβ=β+αβ=αβ K cu 01 ≠α .
Rezultă 0n21 =β==β=β K , deci vectorii lui 'B sunt liniar independenţi.
Presupunem că am înlocuit 1s − vectori 1s1 u,,u −K din B cu primii 1s − vectori 1s1 v,,v −K
din S şi că ns1s1 u,,u,v,,v"B KK −= constituie o bază pentru nV . Avem
Capitolul I 6
(3) nnss1s1s11s uuvvv α++α+α++α= −− KK ,
unde cel puţin un n,1i,0i =≠α . Presupunem că 0s ≠α . Din (3) avem
(4) ns
n1s
s
1s1s
s
1s1
s
1s
ss uuvvv
1u
α
α−−
α
α−
α
α−−
α
α−
α= +
+−
−KK .
Să arătăm că înlocuind su din "B cu sv din S obţinem o nouă bază
n1ss11 u,,u,v,,vB KK += .
Cum "B este bază, Vv∈∀ se scrie
(5) nnss1s1s11 uuvvv λ++λ+λ++λ= −− KK .
Înlocuind su , din (4) obţinem
,uu
vvv
uu
uuvvv1
vvv
ns
nsn1s
s
1ss1s
ss
s1s
s
1ss1s1
s
1s1
nn1s1s
ns
n1s
s
1s1s
s
1s1
s
1s
ss1s1s11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
α
αλ−λ++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
α
αλ−λ+
++α
λ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
α
αλ−λ++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
α
αλ−λ=
=λ++λ+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
α
α−−
α
α−
α
α−−
α
α−
αλ+λ++λ=
++
+
−−
−
++
++
−−
−−
K
KK
K
KKK
deci vectorii lui 1B formează un sistem de generatori pentru V.
Să arătăm că vectorii din 1B sunt liniar independenţi.
Fie relaţia
0uuvvv nn1s1sss1s1s11 =β++β+β+β++β ++−− KK .
Înlocuind pe sv din relaţia (3), obţinem
( )0uu
uuvvvv
nn1s1s
nnss1s1s11s1s1s11
=β++β+
+α++α+α++αβ+β++β
++
−−−−
K
KKK
sau
( ) ( )
( ) ( ) 0uu
uvv
nnsn1s1ss1s
sss1s1ss1s11s1
=αβ+β++αβ+β+
+αβ+αβ+β++αβ+β
+++
−−−
K
K
Cum "B este bază, rezultă
0,,0,0,0,,0 nsn1ss1sss1ss1s1s1 =αβ+β=αβ+β=αβ=αβ+β=αβ+β ++−− KK
Ţinând seama că 0s ≠α rezultă 0n1ss1ss1 =β==β=β=β=β=β +− KK , deci vectorii
lui 1B sunt liniar independenţi.
SPAŢII VECTORIALE
7
1.4. Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de bază
Fie V un K – spaţiu vectorial n dimensional şi n21 v,,v,vB K= o bază pentru V.
Un vector Vx∈ se exprimă cu ajutorul bazei B ca o combinaţie liniară
(1) ∑λ==
n
1iiivx .
Considerând matricele
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
2
1
v
v
v
vM
şi ( )n21 λλλ=λ K
relaţia (1) se scrie matriceal sub forma
(2) vx λ= .
Fie o bază n21 u,,u,u'B K= a spaţiului V. În baza 'B vectorul x se scrie sub forma
(3) ux α= , unde ( )n21 ααα=α K şi
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
2
1
u
u
u
uM
.
Vectorii bazei 'B fiind din V sunt combinaţii liniare de vectorii bazei B, adică
(4)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+++=
+++=
+++=
nnn22n11nn
nn22221212
nn12121111
vavavau
.....................................................
vavavau
vavavau
K
K
K
.
Dacă notăm cu
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
K
LLLL
K
K
,
atunci relaţiile (4) se scriu sub forma
(5) Avu = .
Capitolul I 8
Deoarece vectorii n21 u,,u,u K sunt liniar independenţi avem 0Adet ≠ , deci există 1A− . Din
(5) obţinem uAv 1−= şi înlocuind în (2) avem
(6) uAx 1−λ= .
Comparând (3) cu (6) obţinem
(7) 1A−λ=α
relaţie care dă schimbarea coordonatelor vectorului x la schimbarea de bază 'BB → .
Exemple.
1) Dacă 321 v,v,vB = şi 321 vv2v5x ++= , atunci expresia lui x în raport cu vectorii din
baza 321 u,u,u'B = , unde
21312321 v8vu,vu,v2v5u +==+=
este
321 u161
u1681
u21
x −+= .
Într-adevăr, uAx 1−λ= , unde ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛==λ
3
2
1
u
u
u
u,
081
001
250
A,125 .
Cum inversa matricei A este
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=−
558
220
0160
161
A 1 efectuând calculele, obţinem
321 u161
u1681
u21
x −+= .
2) Dacă n21 v,,v,vB K= şi n21 nvv2vx +++= K , atunci expresia lui x în raport cu
vectorii din baza n21 u,,u,u'B K= , unde
1n321n
n4213
n4312
n3211
vvvvu
...............................................
vvvvu
vvvvu
vvvvu
−++++=
++++=
++++=
++++=
K
K
K
K
este
( ) n321
2u1nu2uu
22nn
x −−−−−+−
= K .
SPAŢII VECTORIALE
9
Într-adevăr, uAx 1−λ= , unde
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
==λ
n
3
2
1
u
u
u
u
u,
0111
1011
1101
1111
A,n321
M
K
LLLLL
K
K
K
K .
Cum inversa matricei A este
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=−
1001
0101
0011
111n2
A 1
K
LLLLL
K
K
K
efectuând calculele, obţinem
( ) n321
2u1nu2uu
22nn
x −−−−−+−
= K .
1.5. Mulţimi convexe
Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial real şi VA ⊂ o submulţime nevidă a sa. Mulţimea A se
numeşte convexă dacă
Ax,x 21 ∈∀ şi [ ]1,0∈λ∀ avem ( ) Ax1x 21 ∈λ−+λ ,
adică dacă odată cu două puncte conţine întregul segment determinat de cele două puncte.
Notând 21 -λ1, λ=λ=λ avem [ ]1,0, 21 ∈λλ cu 121 =λ+λ .
Definiţia precedentă se poate reformula astfel:
Mulţimea A se numeşte convexă dacă
Ax,x 21 ∈∀ şi [ ]1,0, 21 ∈λλ∀ cu 121 =λ+λ avem Axx 2211 ∈λ+λ .
Această definiţie are avantajul că poate fi generalizată.
Mulţimea A se numeşte convexă dacă
Ax,,x,x n21 ∈∀ K şi [ ]1,0,,, n21 ∈λλλ∀ K cu 1n21 =λ++λ+λ K avem
Axxx nn2211 ∈λ++λ+λ K .
Observaţii.
1) Intersecţia a două mulţimi convexe este o mulţime convexă.
2) Reuniunea a două mulţimi convexe nu este în general o mulţime convexă.
Capitolul I 10
Definiţie. Fiind daţi vectorii Vv,,v,v n21 ∈K , se spune că vectorul v este o combinaţie
liniară convexă de vectorii n21 v,,v,v K dacă
nn2211 vxvvv ++λ+λ= K ,
unde [ ]1,0,,, n21 ∈λλλ K şi 1n21 =λ++λ+λ K .
Observaţie. Combinaţia liniară convexă este un caz particular de combinaţie liniară.
Definiţie. Fie A o mulţime convexă. Un punct Ax∈ se numeşte vârf (sau extrem) dacă nu se
poate exprima ca o combinaţie convexă de alte două puncte din A.
1.6. Probleme propuse
1. Să se studieze dependenţa liniară pentru sistemele de vectori:
a) ( ) ( ) ( )9,7,5v,6,5,4v,3,2,1v 321 === în 3R ;
b) ( ) ( ) ( )2,1,3v,3,1,2v,1,2,1v 321 === în 3R ;
c) ( ) ( ) ( ) ( )5,3,0,2v,3,0,2,1v,2,4,1,2v,0,0,3,3v 4321 −=−=−=−= în R4.
2. În 3R se dau vectorii ( ) ( ) ( )7,5,2v,9,4,1v,3,2,1v 321 === .
a) Să se arate că 321 v,v,v formează o bază.
b) Să se determine coordonatele vectorului ( )5,8,7v = în baza 321 v,v,v .
3. Fie în 3R baza 321 v,v,vB = cu ( ) ( ) ( )9,4,1v,3,2,1v,1,1,1v 321 === .
Să se determine coordonatele vectorului 321 vvv2x −+= în baza 321 u,u,u'B = , unde
( ) ( ) ( )1,2,1u,0,2,0u,0,0,1u 321 −=== .
4. În 4R se dau vectorii ( ) ( ) ( ),1,1,0,0v,1,0,1,1v,1,2,1,1v 321 −=−== ( )0,2,2,1v4 = .
a) Să se arate că 4321 v,v,v,v formează o bază.
b) Să se determine coordonatele vectorului ( )1,1,1,1v = în baza 4321 v,v,v,v .
FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE
11
CAPITOLUL al II-lea
FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE 2.1. Forme liniare
Fie V un K – spaţiu vectorial.
Definiţie. O aplicaţie KV:f → se numeşte formă liniară pe V dacă îndeplineşte următoarele
condiţii:
1) ( ) ( ) ( ) Vy,x,yfxfyxf ∈∀+=+ (f este aditivă);
2) ( ) ( ) Vx,K,xfxf ∈∀∈α∀α=α (f este omogenă).
Observaţie. Condiţiile 1) şi 2) sunt echivalente cu condiţia
3) ( ) ( ) ( ) Vy,x,K,,yfxfyxf ∈∀∈βα∀β+α=β+α .
Consecinţă. Dacă KV:f → este o formă liniară, n21 v,...,v,vB = este o bază în V şi
∑==
n
1iiivxx este un vector oarecare din V, atunci
( ) ( )∑=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑=
==
n
1iii
n
1iii vfxvxfxf .
Notând ( ) n,1i,vfa ii == obţinem ( ) ∑==
n
1iiixaxf .
Această relaţie se numeşte expresia analitică a formei liniare f faţă de baza considerată B, iar
scalarii ( ) n,1i,vfa ii == se numesc coeficienţii lui f relativ la baza B.
Notăm cu V mulţimea tuturor formelor liniare pe V
liniarăformăfKV:fV →= .
Teoremă. Fie V un K – spaţiu vectorial şi Vg,f ∈ . Atunci
1) Vgf ∈+ ;
2) K,Vf ∈γ∀∈γ .
Demonstraţie. Într-adevăr, Vy,x,K, ∈∀∈βα∀ avem
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )ygfxgf
ygxgyfxf
yxgyxfyxgf
+β++α=
β+α+β+α=
β+α+β+α=β+α+
Capitolul al II - lea 12
şi
( )( ) ( )
( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( ) .yfxf
yfxf
yxfyxf
γβ+γα=
β+αγ=
β+αγ=β+αγ
Prin verificarea axiomelor din definiţia spaţiului vectorial se argumentează următoarea
Teoremă. V este un K – spaţiu vectorial în raport cu adunarea formelor liniare şi cu
înmulţirea formelor liniare cu scalari.
V se numeşte spaţiul dual al spaţiului vectorial V.
Observaţie. Spaţiile vectoriale V şi V sunt izomorfe, deci dim V = dim V .
Sisteme de forme liniare
Definiţie. Fiind date m forme liniare
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+++=
+++=
+++=
nmn22m11mm
nn22221212
nn12121111
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
K
M
K
K
ansamblul lor formează un sistem de forme liniare.
Matriceal, acest sistem se scrie
AXY = ,
unde
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
m
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
m
2
1
x
x
x
X,
aaa
aaa
aaa
A,
y
y
y
YM
K
KKKK
K
K
M .
Matricea ( )n,1jm,1iijaA
=== se numeşte matricea sistemului de forme liniare, iar rangul matricei A
se numeşte rangul sistemului de forme liniare.
Definiţie. Dacă m = n, sistemul de forme liniare se numeşte transformare liniară.
Astfel, o transformare liniară T se poate scrie
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+++=
+++=
+++=
nnn22n11nn
nn22221212
nn12121111
xaxaxay
......................................................
xaxaxay
xaxaxay
T
K
K
K
sau matriceal
FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE
13
( ) AXYT = ,
unde
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n
2
1
x
x
x
X,
aaa
aaa
aaa
A,
y
y
y
YM
K
KKKK
K
K
M .
Observaţii.
1) Dacă 0Adet ≠ , atunci transformarea liniară se numeşte nedegenerată iar dacă 0Adet = ,
atunci transformarea liniară se numeşte degenerată.
2) Dacă nIA = , unde nI este matricea unitate, atunci transformarea liniară se numeşte
identică.
3) Dacă kA = , transformarea liniară se numeşte omotetie.
Operaţii cu transformări liniare
Fie AXY = şi BXZ = două transformări liniare. Definim suma acestor două transformări
liniare prin
( )XBAZY +=+ .
Fie acum transformările liniare AXY = şi BYZ = . Definim produsul sau compunerea lor prin
( )XBAYZ =o .
Dacă transformarea liniară AXY = este nedegenerată, atunci YAX 1−= se numeşte
transformarea inversă a transformării liniare AXY = .
Valori proprii şi vectori proprii pentru o matrice pătratică
Fie transformarea AXY = , unde
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
K
KKKK
K
K
. Prin această
transformare liniară, vectorului
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
2
1
x
x
x
XM
îi corespunde vectorul
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
2
1
y
y
y
YM
.
Capitolul al II - lea 14
Ne punem problema găsirii unei transformări liniare prin care vectorului X să-i corespundă un
vector Y paralel cu X, adică să avem XY λ= .
Cum AXY = şi XY λ= , obţinem ( ) 0XIA n =λ− .
Ecuaţia ( ) 0IAdet n =λ− se numeşte ecuaţia caracteristică a matricei A.
Ecuaţia caracteristică se mai poate scrie şi sub forma
0
aaa
aaa
aaa
nn2n1n
n22221
n11211
=
λ−
λ−
λ−
K
KKKK
K
K
sau
0sss n1n1n
1n =+λ++λ+λ −
−K ,
unde n1n1 s,s,,s −K sunt coeficienţii ce rezultă din dezvoltarea determinantului precedent.
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice se numesc valori proprii ale matricei A iar vectorii
corespunzători se numesc vectori proprii.
Exemplu. Să se determine valorile proprii ale matricei
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
=
1000
590
318
A .
Soluţie. Ecuaţia caracteristică a matricei A este
0
1000
590
318
=
λ−
λ−
−−λ−
sau echivalent
( )( )( ) 01098 =λ−λ−λ− .
Valorile proprii ale matricei A sunt 10,9,8 321 =λ=λ=λ .
Se poate demonstra următoarea teoremă
Teoremă (Cayley1 - Hamilton2). Orice matrice pătratică verifică propria ecuaţie caracteristică.
1 Arthur Cayley (1821 - 1895), matematician englez
2 William Rowan Hamilton (1805 - 1865), matematician şi mecanician irlandez
FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE
15
2.2. Forme biliniare. Forme pătratice
Fie V1 şi V2 două K – spaţii vectoriale.
Definiţie. O aplicaţie KVV:f 21 →× se numeşte formă biliniară dacă pentru 121 Vx,x,x ∈∀ ,
221 Vy,y,y ∈∀ şi K, ∈βα∀ îndeplineşte următoarele condiţii:
1) ( ) ( ) ( )y,xfy,xfy,xxf 2121 +=+ ;
2) ( ) ( ) ( )2121 y,xfy,xfyy,xf +=+ ;
3) ( ) ( )y,xfy,xf α=α ;
4) ( ) ( )y,xfy,xf β=β .
Observaţie. Condiţiile 1), 2), 3 )şi 4) sunt echivalente cu condiţiile:
5) ( ) ( ) ( ) 21212121 Vy,Vx,x,K,,y,xfy,xfy,xxf ∈∀∈∀∈βα∀β+α=β+α
6) ( ) ( ) ( ) 22112121 Vy,y,Vx,K,,y,xfy,xfyy,xf ∈∀∈∀∈βα∀β+α=β+α
Să considerăm cazul când spaţiile vectoriale V1 şi V2 au dimensiune finită.
Fie n211 u,...,u,uB = o bază în V1 şi m212 v,...,v,vB = o bază în V2.
Dacă ∑==
n
1iiiuxx şi ∑=
=
m
1jjjvyy , atunci
( ) ( )∑ ∑=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑∑=
= ===
n
1i
m
1jjiji
m
1jjj
n
1iii v,ufyxvy,uxfy,xf .
Notând ( ) m,1j,n,1i,v,ufa jiij === obţinem
( ) ∑ ∑== =
n
1i
m
1jjiij yxay,xf .
Această relaţie se numeşte expresia analitică a formei biliniare f faţă de bazele considerate B1
şi B2, iar scalarii ( ) m,1j,n,1i,v,ufa jiij === se numesc coeficienţii lui f relativ la bazele B1 şi B2.
Matricea ( ) ( )KaA n,mm,1jn,1iij M∈=
== se numeşte matricea formei biliniare f în raport cu bazele
B1 şi B2. Rangul matricei A se numeşte rangul formei biliniare f.
În continuare vom considera cazul particular V1 = V2 = V cu V un R – spaţiu vectorial.
Notăm cu ( )R,VB mulţimea tuturor formelor biliniare pe V
( ) R R →×= VV:f,VB f formă biliniară.
Capitolul al II - lea 16
Se poate demonstra că ( )R,VB este un R – spaţiu vectorial în raport cu adunarea formelor
biliniare şi cu înmulţirea acestora cu scalari.
Definiţii. 1) Forma biliniară f se numeşte simetrică dacă
( ) ( ) Vy,x,x,yfy,xf ∈∀= .
2) Forma biliniară f se numeşte antisimetrică dacă
( ) ( ) Vy,x,x,yfy,xf ∈∀−= .
Teoremă. O formă biliniară ( )R,VBf ∈ este simetrică (respectiv antisimetrică) dacă şi numai
dacă matricea formei într-o bază fixată a spaţiului V este simetrică (respectiv antisimetrică).
Definiţie. Fie ( )R,VBf ∈ o formă biliniară simetrică. Funcţia f determină unic funcţia
( ) ( ) Vx,x,xfxf,V:f ∈∀=→ R ,
care se numeşte forma pătratică (asociată formei biliniare f).
Observaţie. Cunoaşterea formei pătratice f permite recuperarea formei biliniare simetrice f.
Într-adevăr, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y,yfx,yfy,xfx,xfyx,yxfyxf +++=++=+ şi cum
( ) ( ) Vy,x,x,yfy,xf ∈∀= rezultă că ( ) ( ) ( ) ( ) Vy,x,y,yfy,xf2x,xfyxf ∈∀++=+ . Astfel,
( ) ( ) ( ) ( )[ ] Vy,x,yfxfyxf21
y,xf ∈∀−−+= .
Forma biliniară simetrică f asociată formei pătratice f se numeşte forma polară sau forma
dedublată a formei pătratice f .
2.3. Forma canonică a unei forme pătratice reale. Signatura unei forme pătratice
reale
Fie V un R – spaţiu vectorial, ( )R,VBf ∈ o formă biliniară simetrică şi f forma pătratică
asociată.
Dacă n21 v,...,v,vB = este o bază în V, atunci pentru orice vector Vvxxn
1iii ∈∑=
=, forma
pătratică f are expresia analitică
( ) ( ) ( )
( ),xxaxxaxxa2xaxa
xxa
x,xfxf*
n1nn1nn1n121122nnn
2111
n
1i
n
1jjiij
−−
= =
+++++++=
∑ ∑=
=
KKK
FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE
17
unde ( ) n,1j,i,v,vfa jiij == .
A aduce la forma canonică forma pătratică f înseamnă a găsi o bază (numită bază canonică)
astfel încât în această bază forma pătratică să se scrie ca o sumă algebrică de pătrate.
Sunt mai multe metode de realizare a acestui lucru (metoda Gauss3, metoda Jacobi4, metoda
valorilor proprii).
Prezentăm în continuare metoda lui Gauss, metodă ce constă în completarea pătratelor.
Cazul I. Să presupunem că în expresia analitică (*) există cel puţin un n,1i,0aii =≠ . Fără a
restrânge generalitatea, fie acesta 11a .
Expresia analitică a formei pătratice f se poate scrie sub forma
( ) ( ) 2nnnn2n23223
2222nn12121
2111 xaxxa2xxa2xaxaxax2xaxf ++++++++++= KLK Notăm cu
nn1212 xaxa ++=α K , scoatem în factor 11a1
din toţi termenii ce conţin pe x1, adunăm şi scădem
termenii necesari astfel încât cu termenii ce conţin pe x1 să construim un pătrat perfect şi obţinem
( ) ( ) 2nnnn2n23223
2222
2
11
2111
11xaxxa2xxa2xa
a1
xaa1
xf ++++++α−α+= KL
sau
( ) ( ) ( )n22
nn121211111
x,,xgxaxaxaa1
xf KK ++++= ,
unde g este o formă pătratică în (n – 1) coordonate ( )n2 x,,x K .
Făcând transformarea de coordonate
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
+++=
,xy
.............
xy
xaxaxay
nn
22
nn12121111
K
expresia analitică a lui f devine
( ) ( )n221
11y,,ygy
a1
xf K+= .
În continuare, algoritmul constă în repetarea raţionamentului pentru forma pătratică în (n – 1)
variabile, nou obţinută.
3 Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855), matematician, fizician şi astronom german
4 Karl Gustav Jacob Jacobi (1804 - 1851), matematician german
Capitolul al II - lea 18
Cazul II. Dacă în expresia analitică (*) n,1i,0aii == iar f nu este identic nulă, atunci există cel
puţin un 0aij ≠ cu ji ≠ . În acest caz prin transformarea de coordonate
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−==
−=
+=
j,in,1k,zx
zzx
zzx
kk
jij
jii
cu forma pătratică ce se va obţine suntem în cazul I.
Observaţii.
1) Metoda Gauss reprezintă un algoritm elementar de aducere la forma canonică, dar nu
furnizează direct noua bază, ci schimbarea de coordonate pe baza căreia se determină noua bază.
2) O formă pătratică poate fi adusă la diferite forme canonice.
Teoremă (metoda lui Jacobi). Fie forma pătratică R→V:f având corespunzător bazei
n21 v,,v,vB K= expresia analitică
( ) ∑ ∑== =
n
1i
n
1jjiij xxaxf
cu toţi determinanţii
nn2n1n
n22221
n11211
n2221
12112111
aaa
aaa
aaa
,,aa
aa,a
K
KKKK
K
K
K =∆=∆=∆
nenuli. Atunci, există în V o bază 'v,,'v,'v'B n21 K= corespunzător căreia f are forma canonică
( ) 2n
n
1n22
2
121
1yyy
1xf
∆∆
++∆∆
+∆
= −K
cu ∑==
n
1iii 'vyx .
Metoda Jacobi este utilă când se cere determinarea rapidă a formei canonice (de exemplu în
aprecierea naturii punctelor de extrem ale unei funcţii reale), fără a fi interesaţi şi de baza
corespunzătoare.
Metoda are dezavantajul că presupune neanularea tuturor determinanţilor n,1i,i =∆ .
Definiţii.
1) O formă pătratică R→V:f se numeşte pozitiv semidefinită (respectiv negativ
semidefinită) dacă ( ) 0xf ≥ (respectiv ( ) 0xf ≤ ), Vx∈∀ .
FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE
19
2) O formă pătratică R→V:f se numeşte pozitiv definită (respectiv negativ definită) dacă
( ) 0xf > (respectiv ( ) 0xf < ), 0Vx −∈∀ .
3) O formă pătratică R→V:f se numeşte nedefinită dacă Vv,v 21 ∈∃ astfel încât
( ) 0vf 1 > şi ( ) 0vf 2 < .
Fie ( ) ∑==
n
1i
2iixaxf o formă canonică a formei pătratice R→V:f . Se numeşte signatura
formei pătratice f tripletul de numere reale ( )d,q,p , în care:
p este numărul de coeficienţi din setul n21 a,,a,a K strict pozitivi;
q este numărul de coeficienţi din setul n21 a,,a,a K strict negativi;
( )qpnd +−= (numărul de coeficienţi nuli).
Teoremă (legea de inerţie a lui Sylvester5). Signatura unei forme pătratice f este aceeaşi în
orice formă canonică a lui f .
Exemple.
1) Să se aducă la forma canonică, prin metoda lui Gauss şi apoi prin metoda Jacobi
următoarea formă pătratică
( ) ( ) 3321323121
23
22
21 x,x,xx,xx16xx12xx8x3xx2xf R ∈=+−+++= .
Soluţie.
Metoda lui Gauss
( )( )( )
( ) 3223
22
2321
3223
2232
23
22
2321
3223
223121
21
3223
223121
21
xx40x15x7x6x4x221
xx16x3xxx24x18x8x6x4x221
xx16x3xxx24xx16x421
xx16x3xxx12xx8x2f
+−−−+=
++++−−−+=
+++−+=
+++−+=
Făcând transformarea de coordonate
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−+=
33
22
3211
xy
xy
x6x4x2y
,
obţinem 3223
22
21 yy40y15y7y
21
f +−−= .
5 James Joseph Sylvester (1814 - 1897), matematician englez
Capitolul al II - lea 20
Cu forma pătratică obţinută 3223
22 yy40y15y7g +−−= procedăm analog.
Astfel,
( )( )( )
( ) 23
232
21
23
23
232
21
2332
22
21
2332
22
21
y7
295y20y7
71
y21
y15y7
400y20y7
71
y21
y15yy280y4971
y21
y15yy40y7y21
f
+−−=
−+−−=
−−−=
−+−+=
Făcând transformarea de coordonate ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
=
33
322
11
yz
y20y7z
yz
,
obţinem pentru forma pătratică f forma canonică 23
22
21 z
7295
z71
z21
f +−= .
Metoda Jacobi.
Matricea formei pătratice f relativ la baza canonică a spaţiului R3 este ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
386
814
642
A .
Determinanţii 321 ,, ∆∆∆ sunt
590
386
814
642
,1414
42,2 321 −=
−
−
=∆−==∆=∆ .
Forma canonică a formei pătratice f este
23
22
21
23
22
21 y
2957
y71
y21
y59014
y142
y21
f +−=−−
+−
+= .
2) Să se aducă la forma canonică, forma pătratică 323121 xx3xx2xxf ++= .
Soluţie. Cum 0a12 ≠ , facem substituţia ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
+=
33
212
211
yx
yyx
yyx
şi obţinem
( )( ) ( ) ( )
.yyyy5yy
yyy3yyy2yyyyf
323122
21
3213212121
−+−=
−+++−+=
Se continuă ca în exemplul precedent.
FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE
21
2.4. Probleme propuse
1. Să se aducă la forma canonică şi să se găsească signatura următoarelor forme pătratice:
a) 312123
22
21 xx6xx4x3x2xf ++++= ;
b) 32312123
22
21 xx8xx6xx2xx4x2f +−+−+= ;
c) 243221
21 xxx2xx7x3f +++= ;
d) 32312123
22
21 xx2xx4xxx2x3xf +−+−+= ;
e) 31322123
22
21 xx2xx4xxxx2xf −+−++= ;
f) 32312123
22
21 xx4xx3xxx4xx2f +−+−+= ;
g) 32312123
22
21 xx6xx4xx2x3x2xf −+−++= ;
h) 312123
22
21 xx6xx4x70x20xf +−++= ;
i) 323121 xxxxxxf ++= .
Care dintre aceste forme sunt pozitiv definite şi care sunt negativ definite?
2. Folosind teorema Cayley – Hamilton să se calculeze inversa matricei A, unde:
a) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
=
331
211
321
A ; b)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0111
1100
0110
0011
A .
Capitolul al II - lea 22
SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
23
CAPITOLUL al III-lea
SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
3.1. Noţiuni generale
Fie sistemul de m ecuaţii liniare cu n necunoscute, n21 x,,x,x K
(1)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
bxaxaxa
.........................................................
bxaxaxa
bxaxaxa
K
K
K
Notând
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
m
2
1
0
n
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
b
b
P,
x
x
x
X,
aaa
aaa
aaa
AMM
K
KKKK
K
K
sistemul (1) se poate scrie sub forma
(2) 0PAX =
numită forma matriceală.
Matricea A se numeşte matricea sistemului, numerele m21 b,,b,b K se numesc termeni liberi,
iar matricea ( )0PA care se obţine din A prin adăugarea coloanei termenilor liberi se numeşte matricea
extinsă a sistemului.
Un sistem ordonat de numere n21 ,,, ααα K se numeşte soluţie a sistemului (1) dacă
înlocuind în (1) pe jx cu n,1j,j =α , toate cele m ecuaţii sunt verificate, adică
( '1 )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=α++α+α
=α++α+α
=α++α+α
.baaa
baaa
baaa
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
K
M
K
K
Un sistem de ecuaţii care nu are soluţie se numeşte incompatibil.
Capitolul al III - lea 24
Un sistem de ecuaţii care are cel puţin o soluţie se numeşte compatibil.
Un sistem compatibil se numeşte determinat dacă are o singură soluţie şi se numeşte
nedeterminat dacă are mai mult decât o soluţie.
Dacă n,mminrrangA ≤= , atunci există cel puţin un minor de ordin r al lui A cu proprietatea
de a fi nenul.
Minorul de ordin r având proprietatea menţionată, o dată ales, este menţinut fix în decursul
studierii sistemului dat. Acest minor se numeşte determinantul principal al sistemului şi se notează cu
p∆ .
Necunoscutele ai căror coeficienţi se găsesc în determinantul principal se numesc
necunoscute principale, iar celelalte necunoscute se numesc necunoscute secundare.
Ecuaţiile ai căror coeficienţi se găsesc în determinantul principal se numesc ecuaţii principale,
iar celelalte ecuaţii se numesc ecuaţii secundare.
Orice determinant obţinut prin bordarea determinantului principal cu o linie formată din
coeficienţii necunoscutelor principale dintr-o ecuaţie secundară şi cu coloana termenilor liberi din liniile
corespunzătoare se numeşte determinant caracteristic.
Numărul determinanţilor caracteristici ai sistemului (1) este egal cu numărul ecuaţiilor
secundare ale acestui sistem.
Pentru studiul compatibilităţii sistemelor de ecuaţii liniare, amintim următoarele teoreme:
Teorema lui Rouché. Sistemul (1) este compatibil dacă şi numai dacă toţi determinanţii
caracteristici sunt nuli sau nu există asemenea determinanţi.
Teorema lui Kronecker – Capelli. Sistemul (1) este compatibil dacă şi numai dacă
( )0PArangrangA = .
Pentru găsirea soluţiilor unui sistem compatibil, păstrăm din sistemul dat ecuaţiile care
corespund liniilor minorului principal. În aceste ecuaţii, trecem în membrul drept termenii care conţin
necunoscutele secundare, în membrul stâng păstrând numai termenii care conţin necunoscutele
principale.
Asupra rezolvării sistemului pătratic astfel obţinut avem mai multe metode: reducerii,
substituţiei, Cramer1, Gauss.
1 Gabriel Cramer (1704 - 1752), matematician elveţian
SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
25
3.2. Metoda lui Gauss de rezolvare a sistemelor
Fie sistemul (1) în care m = n = rangA
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=++++++
=++++++
=++++++
=++++++
++−−
++−−
++−−
++−−
.bxaxaxaxaxa
.........................................................................................
bxaxaxaxaxa
.........................................................................................
bxaxaxaxaxa
.........................................................................................
bxaxaxaxaxa
nnnn1i1niini1i1ni11n
knkn1i1kiiki1i1ki11k
inin1i1iiiii1i1ii11i
1nn11i1i1ii11i1i1111
KK
KK
KK
KK
Notând
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
2
1
0
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
b
b
b
P,
x
x
x
X,
aaa
aaa
aaa
AMM
K
KKKK
K
K
sistemul (1) se poate scrie sub
forma
(2) 0PAX = .
Cum 0Adet ≠ avem 01
n PAXI −= , nI fiind matricea unitate
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
100
010
001
In
K
KKKK
K
K
.
Deci a rezolva sistemul ( )0PA revine la a obţine sistemul de forma ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
01
n PAI .
Cu alte cuvinte a rezolva sistemul înseamnă a face ca din matricea A să obţinem matricea
unitate In lucrând numai cu liniile (adică ecuaţiile) sistemului.
Aceasta înseamnă că trebuie să eliminăm:
- necunoscutele x2, …, xn din prima ecuaţie;
- necunoscutele x1,x3, …, xn din a doua ecuaţie;
M
- necunoscutele x1,x2, …, xn-1 din a n –a ecuaţie;
şi mai mult
- necunoscuta x1 să rămână în prima ecuaţie cu coeficientul 1;
- necunoscuta x2 să rămână în a doua ecuaţie cu coeficientul 1;
M
- necunoscuta xn să rămână în a n –a ecuaţie cu coeficientul 1.
Capitolul al III - lea 26
Pentru a elimina din ecuaţia k necunoscuta xi procedăm astfel: înmulţim ecuaţia i cu ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ii
kiaa
(deci trebuie ca 0aii ≠ ) şi apoi o adunăm cu ecuaţia k.
Obţinem
ii
kiikn
ii
inkikn1i
ii
1iiki1ki
1iii
1iiki1ki1
ii
1iki1k
aa
bbxaa
aaxa
aaa
0xa
aaax
aa
aa
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
+
−−
−
K
K
Notând coeficienţii necunoscutelor x1, …, xi-1, xi, xi+1, …, xn din această ecuaţie cu
kn1kiki1ki1k 'a,...,'a,'a,'a,...,'a +− avem
(*) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
≠=−=
.n,1k,0'a
ij,n,1j,a
aaa'a
ki
ii
ijkikjkj
Formulele (*) permit eliminarea necunoscutelor aşa cum am cerut
( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛→ −
01
n0 PAIPA .
Exemplu. Să se rezolve prin metoda lui Gauss sistemul
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=−+
=++
3xxx2
5xx3x2
6xxx
321
321
321
.
Soluţie.
( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−−
−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
3
2
1
100
010
001
~
3
2
3
100
010
011
~
3
7
6
100
310
111
~
~
30
7
6
1000
310
111
~
9
7
6
130
310
111
~
3
5
6
112
132
111
PA 0
Soluţia sistemului este ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
3x
2x
1x
3
2
1
.
Observaţie. Pentru aflarea inversei matricei sistemului dat plecăm de la ( )nIA şi trebuie să
ajungem la ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −1
n AI .
SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
27
Cu alte cuvinte a afla inversa matricei sistemului dat înseamnă a face ca din matricea A să
obţinem matricea unitate In lucrând numai cu liniile sistemului.
Exemplu. Să se determine prin metoda lui Gauss inversa matricei asociate sistemului
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=−+
=++
3xxx2
5xx3x2
6xxx
321
321
321
.
Soluţie.
( )
.
101
103
54
103
101
52
52
51
51
100
010
001
~
101
103
54
103
101
52
101
103
51
100
010
011
~
101
103
54
012
001
100
310
111
~
~
138
012
001
1000
310
111
~
102
012
001
130
310
111
~
100
010
001
112
132
111
IA 3
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
−
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−−
−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
Inversa matricei asociate sistemului este
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
−
=−
101
103
54
103
101
52
52
51
51
A 1 .
3.3. Soluţii de bază ale unui sistem
Fie sistemul liniar (1).
Notând
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mn
n2
n1
n
2m
22
12
2
1m
21
11
1
a
a
a
P,,
a
a
a
P,
a
a
a
PM
KMM
sistemul (1) se poate scrie şi sub forma
0nn2211 PPxPxPx =+++ K
numită forma vectorială.
Capitolul al III - lea 28
Presupunem că rangA = m < n.
n21 P,,P,P K sunt vectori din Rm.
Pentru ca m vectori să formeze o bază în Rm trebuie ca determinantul format din componentele
lor să fie diferit de zero.
Cu vectorii Pj, n,1j = se pot forma maxim mnC baze în Rm.
Dacă avem o bază m21 P,,P,PB K= lăsând necunoscutele principale în membrul stâng şi
trecând necunoscutele secundare în membrul drept, obţinem
( )nn1m1m0mm2211 PxPxPPxPxPx ++−=+++ ++ KK .
Se numeşte soluţie de bază corespunzătoare bazei B, soluţia care se obţine prin anularea
necunoscutelor secundare ( )0xx n1m ===+ K .
Deci pentru soluţia de bază corespunzătoare bazei B avem
0mm2211 PPxPxPx =+++ K .
Dacă xi > 0, m,1i = soluţia de bază se numeşte soluţie de bază pozitivă. Dacă xi ≠ 0, m,1i =
soluţia de bază se numeşte nedegenerată şi degenerată în caz contrar.
Exemplu. Să se afle soluţiile de bază ale sistemului
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+++
=+++
8x6x4x3x2
5x4x3x2x
4321
4321.
Soluţie. În cazul nostru m = 2, n = 4,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
8
5P,
6
4P,
4
3P,
3
2P,
2
1P 04321
şi cu vectorii P1, P2, P3, P4 se pot forma maxim 6C24 = baze în R2.
Verificăm dacă S1 = P1, P2 este bază.
Cum 0132
211 ≠−==∆ rezultă că vectorii sistemului S1 formează o bază B1.
Pentru a găsi soluţia de bază corespunzătoare bazei B1 = P1, P2 anulăm necunoscutele
secundare (x3 = x4 = 0).
Obţinem sistemul
⎩⎨⎧
=+
=+
8x3x2
5x2x
21
21
care are soluţia x1 = 1, x2 = 2.
Soluţia de bază corespunzătoare bazei B1 este astfel ( )0,0,2,1x1B = .
SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
29
Verificăm dacă S2 = P1, P3 constituie o bază.
Cum 0242
312 ≠−==∆ rezultă că vectorii sistemului S2 constituie o bază B2.
Pentru a găsi soluţia de bază corespunzătoare bazei B2 = P1, P3 anulăm necunoscutele
secundare (x2 = x4 = 0).
Obţinem sistemul
⎩⎨⎧
=+
=+
8x4x2
5x3x
31
31
care are soluţia x1 = 2, x3 = 1.
Soluţia de bază corespunzătoare bazei B2 este astfel ( )0,1,0,2x2B = .
Analog pentru S3 = P1, P4, S4 = P2, P3, S5 = P2, P4, S6 = P3, P4.
S3, S4, S6 constituie baze (S5 nu constituie bază, deoarece 063
425 ==∆ ) iar soluţiile de
bază corespunzătoare bazelor B3 = P1, P4, B4 = P2, P3, B6 = P3, P4 sunt respectiv
( ) ( ) ( )2,1,0,0x,0,1,4,0x,1,0,0,1x643 BBB −=−== .
Observaţie. Soluţiile de bază 321 BBB x,x,x sunt soluţii de bază pozitive.
3.4. Probleme propuse
1. Să se rezolve sistemele:
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=++
=−+
1x2xx3
6xxx
9xx2x2
321
321
321
; b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=+−
−=−+
18x5xx
7x2xx3
8x4xx2
321
321
321
;
c) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=+−
=−+
6xx2x3
2x3x2x
2xxx2
321
321
321
; d)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++
=++
=−+−
=−−+
1xxx
0xxx
1xx2xx2
2xxxx
432
321
4321
4321
;
e)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=−++
=+−+
=−+−
−=+−+
2x3xx4x
2xxx2x3
10xx2xx2
7x2x3x2x
4321
4321
4321
4321
.
Capitolul al III - lea 30
2. Să se calculeze inversa matricei A, unde:
a) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
=
331
211
321
A ; b)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0111
1100
0110
0011
A .
3. Fie sistemul ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=−+
=−+
6xxx
1xxx2
2xx2x
321
321
321
.
a) Să se rezolve sistemul.
b) Să se calculeze inversa matricei asociate sistemului.
4. Să se afle soluţiile de bază ale sistemelor:
a) ⎩⎨⎧
=+−
=++
1x6xx2
8x3x2x
321
321 ; b) ⎩⎨⎧
=++
=++
7x6xx2
5x3x2x
321
321 ;
c) ⎩⎨⎧
=++
=++
7x4xx2
4x2xx
321
321 ; d) ⎩⎨⎧
=++−
=−++
0xxx4x2
2x4x3x2x
4321
4321 ;
e) ⎩⎨⎧
=−+++
=−+++
012x2x6xx2
010x4x3x2x
4321
4321 .
NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ
31
CAPITOLUL al IV-lea
NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ
4.1. Introducere
Multe probleme de mare importanţă practică, cum sunt cele de planificare, organizare,
amestec, transporturi, investiţii, etc au următoarea formă:
Să se afle valoarea maximă (minimă) a unei funcţii liniare de n variabile (numită funcţie scop
sau funcţie de eficienţă) ştiind că variabilele trebuie să satisfacă m condiţii exprimate sub forma unor
ecuaţii sau inecuaţii liniare.
Exemplu. O societate comercială realizează două produse P1 şi P2 folosind trei materii prime
M1, M2 şi M3.
Datele sunt cuprinse în tabelul de mai jos:
Se cere să se stabilească câte unităţi din produsul P1 şi câte din P2 trebuie să realizeze
societatea comercială astfel încât beneficiul să fie maxim şi să nu se depăşească disponibilităţile de
materii prime.
Soluţie. Notăm cu x, y numărul de unităţi din P1, respectiv P2 ce trebuie realizate de societatea
comercială pentru ca beneficiul să fie maxim.
Beneficiul este dat de
(1) f(x,y) = x + 3y.
Condiţiile cerute de problemă sunt:
(2) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
≤+
≤+
10x2
12yx2
20y4x
(3) ⎩⎨⎧
≥
≥
0y
0x
P1 P2 Disponibil în
tone
M1 1 4 20
M2 2 1 12
M3 2 0 10
Beneficiu
unitar 1 3
Capitolul al IV - lea 32
Matematic, problema se enunţă astfel:
Să se determine maximul funcţiei (1) ştiind că sunt îndeplinite condiţiile (2) şi (3).
Pentru rezolvarea acestei probleme folosim metoda geometrică.
Reprezentăm grafic dreptele
d1: x + 4y = 20, d2: 2x + y = 12, d3: 2x = 10.
Din condiţiile (2), (3), se obţine poligonul convex OABCD, unde O(0,0), A(0,5), B(4,4), C(5,2),
D(5,0)
Mulţimea soluţiilor posibile ale problemei este dată de poligonul convex OABCD.
Problema noastră este să alegem din această infinitate de soluţii pe acea (acele) soluţie
(soluţii) care fac funcţia (1) maximă.
Se numeşte curbă de nivel orice dreaptă de ecuaţie f(x,y) = λ , R∈λ , adică x + 3y = λ . O
asemenea curbă de nivel este perpendiculară pe vectorul OP unde O(0,0) şi P(1,3).
Soluţia optimă (unde f ia valoarea maximă) trebuie să se găsească atât pe dreapta x + 3y = λ
cât şi să aparţină poligonului OABCD.
Distanţa d de la O la curba de nivel x + 3y - λ = 0 este 10
dλ
= .
Se observă că d este cu atât mai mare cu cât λ este mai mare în valoare absolută.
Rezultă că soluţia optimă este dată de ultimul vârf al poligonului OABCD când curba de nivel
variază, adică ultimul vârf întâlnit. În cazul nostru acesta este punctul B(4,4) şi deci fmax = f(4,4) = 4 +
3·4 = 16.
Concluzie. Beneficiul maxim se obţine făcând 4 unităţi din produsul P1 şi 4 unităţi din produsul
P2.
Observaţii.
1) Mulţimea soluţiilor sistemului (2), (3) numită şi mulţimea soluţiilor posibile este o mulţime
convexă (notată cu L).
2) Valoarea optimă (maximă sau minimă) a funcţiei scop, dacă există, se realizează în unul
din vârfurile poligonului convex (mulţimii soluţiilor posibile).
NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ
33
3) Dacă vectorul OP era, de exemplu, perpendicular pe BC, atunci funcţia scop (1) îşi
atingea valoarea maximă în orice punct al segmentului închis BC. În acest caz, mulţimea soluţiilor
optime este infinită. Acest caz este cel mai convenabil economiei, economistul alegând-o pe aceea pe
care o va considera mai potrivită.
4) Metoda geometrică (folosită în rezolvarea exemplului de mai sus) poate fi utilizată şi pentru
cazul funcţiilor de trei variabile, dar nu şi pentru funcţii de mai mult de 3 variabile.
Problema transporturilor
O anumită marfă ce se găseşte în depozitele (Di), m,1i = respectiv în cantităţile (ai), m,1i =
este cerută de magazinele (Mj), n,1j = respectiv în cantităţile (bj), n,1j = . Presupunem că cererea este
egală cu oferta, adică în depozitele (Di), m,1i = se găseşte atâta marfă cât este cerută de magazinele
(Mj), n,1j = deci
∑=∑==
n
1jj
m
1ii ba .
Cunoscând preţul de transport (cij), m,1i = , n,1j = al unei unităţi de marfă de la depozitul Di la
magazinul Mj, se cere să se organizeze astfel transportul încât preţul total de transport să fie minim.
Notăm cu (xij), m,1i = , n,1j = cantitatea de marfă ce o vom transporta de la depozitul Di la
magazinul Mj.
Trebuie să avem îndeplinite condiţiile:
- la fiecare magazin Mj să se transporte cantitatea de marfă bj cerută, deci
jm
1iij bx =∑
=, n,1j = ,
- la fiecare depozit să epuizăm întreaga cantitate de marfă ai existentă, deci
in
1jij ax =∑
=, m,1i = ,
- cantităţile xij de marfă transportată trebuie să fie mărimi nenegative, deci
0xij ≥ , m,1i = , n,1j = .
Preţul total al transporturilor este
Capitolul al IV - lea 34
∑ ∑== =
m
1i
n
1jijijxcf .
Rezumând, se cere să se afle minimul funcţiei
(1) ∑ ∑== =
m
1i
n
1jijijxcf
ştiind că necunoscutele xij îndeplinesc condiţiile:
(2)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==∑
==∑
=
=
m,1i,ax
n,1j,bx
in
1jij
jm
1iij
(3) 0xij ≥ , m,1i = , n,1j = .
Observaţii.
1) Funcţia f se mai numeşte şi funcţie scop sau de eficienţă
2) Coeficienţii cij se mai numesc şi coeficienţi tehnici.
3) Condiţiile (2), (3) se mai numesc şi restricţiile problemei
Problema resurselor
Dispunem de resursele (Ri), m,1i = , în cantităţile (ai), m,1i = (de exemplu: sume de bani,
materii prime, forţă de muncă, mijloace fixe, energie, etc) şi cu aceste resurse putem fabrica mai multe
produse (Pj), n,1j = . Se ştie că pentru fiecare unitate de produs Pj se consumă din fiecare resursă Ri
cantitatea aij, m,1i = , n,1j = şi că beneficiul obţinut prin fabricarea unei unităţi din produsul Pj, n,1j =
este cj unităţi monetare.
Se cere să se antecalculeze câte unităţi din fiecare produs să se realizeze astfel încât să nu se
depăşească resursele iar beneficiul obţinut să fie maxim.
Notăm cu (xj), n,1j = numărul unităţilor din produsul Pj ce trebuie fabricat.
Beneficiul este dat de
∑==
n
1jjjxcf .
Ca să nu depăşim resursele trebuie să avem
NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ
35
in
1jjij axa ≤∑
=, m,1i = .
Cum nu putem avea cantităţi negative fabricate, trebuie şi
0x j ≥ , n,1j = .
Rezumând, problema se reduce la a afla maximul funcţiei
( '1 ) ∑==
n
1jjjxcf
ştiind că trebuie îndeplinite condiţiile:
( '2 ) in
1jjij axa ≤∑
=, m,1i =
şi
( '3 ) 0x j ≥ , n,1j = .
Din cele două probleme prezentate (problema transporturilor, problema resurselor) observăm
că funcţia f a cărei valoare optimă (minimă sau maximă) trebuie să o aflăm este o funcţie liniară iar
restricţiile sunt date de sisteme de ecuaţii sau inecuaţii liniare.
O asemenea problemă, când atât funcţia scop cât şi sistemul restricţiilor sunt liniare se
numeşte problemă de programare liniară.
4.2. Diverse forme ale problemei de programare liniară
Din exemplele precedente rezultă că modelul matematic al unei probleme de programare
liniară are următoarea formă:
Să se determine valoarea maximă sau minimă (valoarea optimă) a funcţiei
(1) ∑==
n
1jjjxcf
în condiţiile:
(2) in
1jjij bxa
≥
=
≤
∑=
, m,1i =
(3) 0x j ≥ , n,1j = .
Observaţie. Orice restricţie de forma (2) care nu este de tip egalitate, poate fi adusă la forma
unei egalităţi, fie prin adăugarea unei mărimi pozitive, fie prin scăderea unei mărimi pozitive.
Capitolul al IV - lea 36
Se numeşte formă standard a unei probleme de programare liniară, forma următoare:
Să se determine valoarea maximă sau minimă (valoarea optimă) a funcţiei
( '1 ) ∑==
n
1jjjxcf
în condiţiile:
( '2 ) in
1jjij bxa =∑
=, m,1i =
( '3 ) 0x j ≥ , n,1j = .
Observaţii.
1) Dacă considerăm matricele
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
K
KKKK
K
K
,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
m
2
1
b
b
b
BM
,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
2
1
x
x
x
XM
,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
2
1
c
c
c
CM
,
obţinem aşa numita formă matriceală adică:
Să se determine valoarea maximă sau minimă a funcţiei
( "1 ) XCf t=
în condiţiile
( "2 ) BAX =
( "3 ) 0X ≥ ( 0x j ≥ , n,1j = )
2) Dacă considerăm vectorii coloană
BP,
a
a
a
P,,
a
a
a
P,
a
a
a
P 0
mn
n2
n1
n
2m
22
12
2
1m
21
11
1 =
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= M
KMM
,
obţinem aşa numita formă vectorială, adică:
Să se determine valoarea maximă sau minimă a funcţiei
( "'1 ) XCf t=
în condiţiile
( "'2 ) 0nn2211 PPxPxPx =+++ K
( "'3 ) 0X ≥ .
Observaţie. În cele ce urmează vom considera rang A = m < n.
NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ
37
4.3. Soluţii ale unei probleme de programare liniară
Fie o problemă de programare liniară dată sub una din formele de mai sus.
Definiţii. 1) Se numeşte soluţie posibilă orice vector nX R∈ care îndeplineşte condiţiile ( '2 ),
( '3 ) sau ( "2 ), ( "3 ) sau ( "'2 ), ( "'3 ).
Mulţimea soluţiilor posibile se notează cu L.
2) Se numeşte soluţie optimă, soluţia posibilă X care face funcţia f dată optimă (maximă sau
minimă).
3) Se numeşte soluţie de bază orice soluţie de bază a sistemului ( '2 ), ( '3 ) sau ( "2 ), ( "3 ) sau
( "'2 ), ( "'3 ).
Teoremă. Mulţimea soluţiilor posibile L este o mulţime convexă.
Demonstraţie. Fie X1 şi X2∈L două soluţii posibile diferite ale unei probleme de programare
liniară, adică
0X,BAX
0X,BAX
22
11
≥=
≥=
Fie X o combinaţie liniară convexă oarecare a soluţiilor X1 şi X2, adică
( ) 21 X1XX λ−+λ= cu [ ]1,0∈λ .
Deoarece
( )[ ] ( ) ( ) BB1BAX1AXX1XAAX 2121 =λ−+λ=λ−+λ=λ−+λ=
şi 0X ≥ rezultă că X este o soluţie posibilă a problemei. Am demonstrat astfel că mulţimea L este
convexă.
Teoremă. Orice soluţie de bază X a unei probleme de programare liniară este un vârf al
mulţimii soluţiilor posibile L şi reciproc, orice vârf al mulţimii L este o soluţie de bază.
Demonstraţie.
Direct. Fie
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0
0
x
x
x
X m
2
1
M
M
soluţia de bază corespunzătoare bazei formate cu primii m vectori P1, P2, …, Pm.
Capitolul al IV - lea 38
Presupunem prin absurd că soluţia de bază X nu ar fi un vârf al mulţimii soluţiilor posibile L.
Aceasta înseamnă că există două soluţii posibile
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
2
1
'x
'x
'x
'XM
,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
2
1
"x
"x
"x
"XM
, "X'X ≠ astfel încât
( ) ( )1,0,"X1'XX ∈λλ−+λ= .
Relaţia ( ) "X1'XX λ−+λ= se poate scrie pentru fiecare componentă, astfel
( )( )
( )( )
( ) nn
1m1m
mmm
222
111
"x1'x0
"x1'x0
"x1'xx
"x1'xx
"x1'xx
λ−+λ=
λ−+λ=
λ−+λ=
λ−+λ=
λ−+λ=
++
M
M
Din ultimele n – m relaţii, rezultă că 0"x'x,,0"x'x nn1m1m ==== ++ K şi deci
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0
0
'x
'x
'x
'X m
2
1
M
M
,
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0
0
"x
"x
"x
"X m
2
1
M
M
.
Cum 'X şi "X sunt soluţii posibile, avem
0mm2211 PP'xP'xP'x =+++ K
şi
0mm2211 PP"xP"xP"x =+++ K
Se contrazice astfel ipoteza că vectorii m21 P,,P,P K sunt liniar independenţi, deci X este un
vârf al mulţimii soluţiilor posibile L.
Reciproc. Fie X un vârf al mulţimii L. Presupunem că primele m componente ale vectorului X
sunt nenule. Vom demonstra că vectorii m21 P,,P,P K corespunzători acestor componente sunt liniar
independenţi. Presupunem, prin absurd, că cei m vectori de mai sus, nu sunt liniar independenţi. Există
deci scalarii m21 ,,, λλλ K nu toţi nuli, astfel încât
0PPP mm2211 =λ++λ+λ K .
NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ
39
Pe de altă parte, cum X este soluţie posibilă avem
0mm2211 PPxPxPx =+++ K .
Au loc şi relaţiile
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .PPxPxPx
PPxPxPx
0mmm222111
0mmm222111
=αλ−++αλ−+αλ−
=αλ+++αλ++αλ+
K
K
Putem alege α astfel încât iix αλ+ şi iix αλ− să fie nenegative pentru m,1i = . În aceste
condiţii,
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
αλ−
αλ−
αλ−
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
αλ+
αλ+
αλ+
=
0
0
x
x
x
X,
0
0
x
x
x
X mm
22
11
2mm
22
11
1
M
M
M
M
sunt două soluţii posibile.
Adunând aceste două soluţii, obţinem
X2
0
0
x2
x2
x2
XX m
2
1
21 =
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=+
M
M
,
adică
21 X21
X21
X += ,
ceea ce contrazice ipoteza făcută asupra lui X.
În consecinţă, presupunerea că vectorii m21 P,,P,P K ar fi liniar dependenţi este contrazisă. Am
demonstrat astfel că X este o soluţie de bază.
Teoremă. Dacă funcţia scop a unei probleme de programare liniară are optim finit, atunci
valoarea optimă este atinsă cel puţin într-un vârf al mulţimii soluţiilor posibile L.
Demonstraţie. Pentru a fixa condiţiile, fie o problemă de programare liniară în care se cere
maximul funcţiei scop.
Capitolul al IV - lea 40
Fie X0 o soluţie optimă a problemei, adică
( ) ( ) MXfmaxXfLX
0 ==∈
.
Presupunem, prin absurd, că X0 nu este unul dintre vârfurile k21 X,,X,X K ale mulţimii L.
Înseamnă că ∑λ==
k
1iii0 XX , unde [ ]1,0,,, k21 ∈λλλ K şi 1
k
1ii =∑λ
=.
Cum ∑λ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑λ==
==
k
1iii
k
1iii0 )X(fXf)X(fM , notând ( ) ( )YfXfmax i
k,1i=
=, avem
)Y(f)Y(f)X(fMk
1ii
k
1iii =∑λ≤∑λ=
==.
Deci )Y(fM ≤ , inegalitate care nu poate fi adevărată deoarece ( )XfmaxMLX∈
= şi deci
( ) ( )YfXf 0 = , adică X0 este un vârf.
Observaţie. Dacă funcţia scop a unei probleme de programare liniară are optim finit şi X1, X2
sunt două soluţii optime ale problemei, atunci
( ) 21 X1XX λ−+λ= cu [ ]1,0∈λ
este tot o soluţie optimă.
Din teoremele de mai sus rezultă că pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară,
trebuie să determinăm toate soluţiile de bază (numărul lor fiind cel mult mnC ) şi dintre acestea vom
alege pe acelea care optimizează funcţia scop.
Exemplu. Să se determine maximul funcţiei
(1) f(x) = 2x1 + 3x2 + 4x3
în condiţiile:
(2) ⎩⎨⎧
=++
=++
8x5x3x2
3x2xx
321
321
(3) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
≥
≥
0x
0x
0x
3
2
1
Soluţie. În cazul nostru m = 2, n = 3, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
1P1 , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3
1P2 , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
5
2P3 , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
8
3P0 şi cu vectorii
P1, P2, P3 se pot forma maxim 3C23 = baze în R2.
Verificăm dacă S1 = P1, P2 este bază.
NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ
41
Cum 0132
111 ≠==∆ rezultă că vectorii sistemului S1 formează o bază B1.
Pentru a găsi soluţia de bază corespunzătoare bazei B1 = P1, P2 anulăm necunoscuta
secundară (x3 = 0).
Obţinem sistemul
⎩⎨⎧
=+
=+
8x3x2
3xx
21
21
care are soluţia x1 = 1, x2 = 2.
Soluţia de bază corespunzătoare bazei B1 este astfel ( )0,2,1x1B = .
Verificăm dacă S2 = P1, P3 constituie o bază.
Cum 0152
212 ≠==∆ rezultă că vectorii sistemului S2 constituie o bază B2.
Pentru a găsi soluţia de bază corespunzătoare bazei B2 = P1, P3 anulăm necunoscuta
secundară (x2 = 0).
Obţinem sistemul
⎩⎨⎧
=+
=+
8x5x2
3x2x
31
31
care are soluţia x1 = - 1, x3 = 2.
Soluţia de bază corespunzătoare bazei B2 este astfel ( )2,0,1x2B −= . Având o coordonată
negativă 2Bx nu este soluţie de bază (ea nu verifică a doua condiţie de nenegativitate din (3)).
Analog, pentru S3 = P2, P3 găsim ( )1,1,0x3B = .
Calculând valoarea funcţiei f pentru soluţiile de bază 1Bx ,
3Bx , avem
f(1,2,0) = 2·1 + 3·2 + 4·0 = 8
f(0,1,1) = 2·0 + 3·1 + 4·1 = 7,
deci fmax = 8, pentru x1 = 1, x2 = 2, x3 = 0.
Observaţie. Procedeul din exemplul dat este impracticabil pentru m, n mari.
Vom prezenta în continuare metoda simplex, elaborată de G. B. Dantzig, care a publicat
primele lucrări în acest sens în 1947. Ulterior a dat diverse variante ale metodei.
Capitolul al IV - lea 42
4.4. Metoda Simplex
Fie dată o problemă de programare liniară sub forma:
Să se determine maximul (minimul) funcţiei
∑==
n
1jjjxcf
în condiţiile:
0nn2211 PPxPxPx =+++ K ,
0x j ≥ , n,1j = .
Presupunem că primii m vectori m21 P,,P,P K formează o bază P,,P,PB m21 K= şi că
soluţia de bază corespunzătoare bazei B este
( )0,,0,0,B,,B,Bx m21B KK=
cu 0Bi > , m,1i = .
Determinând componentele vectorilor jP , n,1j = în raport cu baza B, întocmim primul tabel
simplex
Avem
(1) ∑==
m
1iii0 PBP ,
(2) ∑==
ββm
1iii PAP ,
(3) ∑==
m
1iiikk PAP , n,1mk += .
Algoritmul simplex constă în a înlocui un vector din baza B (de exemplu αP ) cu un vector din
afara bazei (de exemplu βP ) astfel încât sistemul nou obţinut P,,P,P,P,,P,P m1121 KK +αβ−α să
constituie o bază 'B , iar soluţia corespunzătoare să fie o soluţie de bază.
NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ
43
Să determinăm ce condiţii trebuie să îndeplinească vectorul βP .
Înmulţind (2) cu θ (număr real, deocamdată nedeterminat) şi scăzând rezultatul obţinut din (1),
avem
(4) ( ) β=
β θ+∑ θ−= PPABPm
1iiii0 .
Cum în relaţia (4) nu trebuie să existe vectorul αP , avem
0AB =θ− αβα
de unde obţinem pentru θ expresia αβ
α=θAB
.
Observaţie. Pentru a exista numărul θ trebuie ca 0AB ii >θ− β să fie diferit de zero.
αβA se numeşte pivot.
Urmărind acum ca soluţia corespunzătoare bazei 'B să fie o soluţie de bază, trebuie să avem
0AB ii >θ− β , m,1i = , α≠i .
Cum 0Bi > , pentru a avea îndeplinite condiţiile de mai sus este suficient ca pentru un θ
pozitiv şi elementul βiA să fie pozitiv şi să avem β
<θi
iAB
.
Rezultă deci că numărul pozitiv θ trebuie să fie valoarea minimă pozitivă a rapoartelor
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
βi
iAB
.
Componentele vectorului P0 în noua bază 'B (notate cu i'B , m,1i = ) sunt
(5) ⎪⎩
⎪⎨⎧
θ=
α≠=θ−=
β
β
.'B
i,m,1i,AB'B iii
Pentru întocmirea tabelului simplex SII, corespunzător bazei noi 'B , trebuie determinate
componentele tuturor vectorilor Pj, n,1j = în raport cu baza 'B .
Componentele vectorilor din baza 'B sunt toate 0 afară de componenta vectorului în raport cu
el însuşi care este 1.
Să determinăm componentele vectorilor Pk, n,1mk += din afara bazei 'B .
Înmulţind (2) cu kθ (număr real, deocamdată nedeterminat) şi scăzând-o din (3), avem
(6) ( ) β=
β θ+∑ θ−= PPAAP km
1iiikikk .
Capitolul al IV - lea 44
Cum în relaţia (6) nu trebuie să existe vectorul αP , avem
0AA kk =θ− αβα
de unde obţinem pentru kθ expresia αβ
α=θAA k
k .
Observaţie. kθ se obţine împărţind elementele de pe linia lui αP (vectorul scos din bază) la
elementul pivot ( αβA )
Componentele vectorilor Pk în baza 'B sunt
(7) ⎪⎩
⎪⎨⎧
θ=
α≠=θ−=
β
β
.'A
i,m,1i,AA'A
kk
ikikik
Algoritmul de trecere de la un tabel simplex S I la alt tabel simplex S II rezultă din formulele (5)
şi (7).
Algoritmul simplex ne permite să găsim soluţiile de bază. La fiecare tabel simplex avem câte o
soluţie de bază.
Pe de altă parte, am demonstrat că valoarea optimă a funcţiei scop se realizează într-o soluţie
de bază.
Construind prin algoritmul simplex soluţii de bază, se pun următoarele probleme:
- să ştim când am găsit soluţia de bază care realizează optimul funcţiei pentru a nu lucra mai
departe şi
- să căutăm să ajungem cât mai repede la această soluţie.
Pentru aceasta să vedem cum variază valoarea funcţiei scop atunci când trecem de la un tabel
simplex SI (deci de la o bază P,,P,P,P,,P,PB m1121 KK +αα−α= ) la un tabel simplex SII (la o bază
P,,P,P,P,,P,P'B m1121 KK +αβ−α= ).
Notăm cu z0 valoarea funcţiei scop în baza B şi cu 0'z valoarea funcţiei scop în baza 'B .
Avem
(8) ∑=∈Bj
jj0 Bcz , ∑=∈ 'Bj
jj0 'Bc'z .
Cum
⎪⎩
⎪⎨⎧
θ=
α≠∈θ−=
β
β
,'B
j,Bj,AB'B jjj
rezultă că
NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ
45
β∈
β∈
θ+∑ θ−=∑= c)AB(c'Bc'zBj
jjj'Bj
jj0
sau
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑−θ+∑=∈
ββ∈ Bj
jj'Bj
jj0 AccBc'z .
Deci
(9) ( )B00 zcz'z −θ+= β , unde ∑=∈
βBj
jjB Acz .
Notând
Bzc −=∆ ββ ,
se obţine
(10) β∆θ+= 00 z'z ,
relaţie ce ne dă variaţia funcţiei scop atunci când se trece de la o soluţie de bază la alta, adică de la un
tabel simplex la altul.
Dacă avem 0zc B >−=∆ ββ , cum 0>θ , rezultă că 00 z'z > , adică prin trecerea de la o
bază la alta, valoarea funcţiei scop devine mai mare.
Concluzie. În aplicarea algoritmului simplex, pentru determinarea soluţiei de bază care face
funcţia scop maximă, apar necesare condiţiile:
- să existe în afara bazei cel puţin un vector βP care să aibă cel puţin o componentă
pozitivă ( 0Ai >β )
- pentru vectorul ales βP trebuie ca diferenţa corespunzătoare 0zc B >−=∆ ββ .
Dacă există în afara bazei mai mulţi vectori care au componente pozitive cu diferenţe
corespunzătoare kkk zc −=∆ pozitive, în cazul căutării maximului funcţiei scop, vom alege pentru a fi
introdus în bază acel vector pentru care diferenţa k∆ este maximă.
Algoritmul simplex aplicat pentru determinarea maximului funcţiei scop se opreşte
- dacă toate diferenţele 0zc kkk ≤−=∆ (în acest caz, soluţia de bază dată de tabelul
simplex format corespunde vârfului care face funcţia scop maximă; valoarea corespunzătoare a lui z0
este valoarea maximă a funcţiei scop)
sau
- dacă există cel puţin o diferenţă kkk zc −=∆ pozitivă, dar vectorul Pk respectiv, din afara
bazei, nu are componente pozitive (în acest caz, problema de programare liniară nu are maxim finit).
Capitolul al IV - lea 46
Observaţii.
1) Atunci când se cere să se determine minimul funcţiei scop se iau în considerare diferenţele
kkk zc −=∆ negative. De obicei, se va lucra cu diferenţa minimă. 2) Pentru a lucra mai puţin şi a organiza calculele, tabelul simplex S I trebuie completat astfel:
Exemplu. Să se afle valoarea minimă a funcţiei f(x) = x1 + 2x2 – x3 când sunt îndeplinite
condiţiile
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=≥
=+−+
=+++
.5,1j,0x
4x2xx3x
3x3xx2x
j
5432
5431
Soluţie.
Cum nu mai avem diferenţe k∆ negative, algoritmul simplex se opreşte.
fmin = 5
7− şi se realizează pentru x1 = 0, x2 = 0, x3 =
5
7, x4 =
5
1, x5 = 0.
NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ
47
4.5. Probleme propuse
1. Să se determine maximul funcţiei y3x2)y,x(f += în condiţiile
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥≥
≤
≤
≤+
≤+
0y,0x
3y
4x
8y2x
6yx
.
2. Să se determine minimul funcţiei ( ) y3x2y,xf += în condiţiile
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥≥
≥+
≥+
≥+
0y,0x
8y4x
2y3x4
6yx6
.
3. Să se determine valoarea maximă a funcţiei f în condiţiile date în fiecare din cazurile:
a) 321 xx2xf ++= , ⎩⎨⎧
=++
=+−
3x3xx2
2xxx3
321
321 , 3,1i,0xi =≥ ;
b) 21 xx2f += ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=+−
=++−
5xxx
2xx2x
2xxx2
521
421
321
, 5,1i,0xi =≥ ;
c) 4321 xx2xxf −++= ,⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++
=−++−
=+−+
6x4xxx
3x2xxx2
2x4xxx
4321
4321
4321
4,1i,0xi =≥ ;
d) 321 x4x2x3f +−= , ⎩⎨⎧
=++
=++
4xx3x3
3x2x3x
321
321 , 3,1i,0xi =≥ ;
e) 4321 xx2x2xf +++= , ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+
=+−
1xxx
1x21
xx
432
431 , 4,1i,0xi =≥ ;
f) 321 x2xx3f −+= , ⎩⎨⎧
−=+−
=+−
1xxx
7xxx2
321
321 , 3,1i,0xi =≥ .
Capitolul al IV - lea 48
4. Să se determine minimul funcţiei f în condiţiile date în fiecare din cazurile:
a) f = x2 - 3x3 + 2x5 ,
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=≥
=+++−
=++−
=+−+
6,1i,0x
10xx8x3x4
12xx4x2
7x2xx3x
i
6532
432
5321
;
b) f = - x1 – 2x2 – 3x3 + x4,
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=≥
=+++
=++
=++
4,1i,0x
10xxx2x
20x5xx2
15x3x2x
i
4321
321
321
.
SERII NUMERICE
49
CAPITOLUL al V-lea
SERII NUMERICE
5.1. Serii de numere reale
Definiţii. Fie ( ) ∗∈Nnna un şir de numere reale. Acestui şir îi ataşăm un nou şir din R,
( ) ∗∈Nnns , unde
∗∈∀+++= Nn,aaas n21n K .
Şirul ( ) ∗∈Nnns se numeşte şirul sumelor parţiale ataşat şirului ( ) ∗∈Nnna .
Cuplul format din şirurile ( ) ∗∈Nnna , ( ) ∗∈Nnns se numeşte serie de termen general an şi se
notează ∑∑≥
∞
= 1nn
1nn a,a sau simplu ∑ na .
Observaţie. Şirurile ( ) ∗∈Nnna şi ( ) ∗∈Nnns se definesc reciproc, în sensul că dacă se dă şirul
( ) ∗∈Nnna , atunci din definiţia lui ( ) ∗∈Nnns rezultă că ( ) ∗∈Nnns este unic definit.
Reciproc, din
2n,ssa
,sa
1nnn
11
≥−=
=
−
rezultă că ( ) ∗∈Nnna este bine definit dacă se cunoaşte ( ) ∗∈Nnns .
Definiţii. Se spune că seria ∑∞
=1nna este convergentă, dacă şirul sumelor parţiale ( ) ∗∈Nnns
este convergent în R. În acest caz, sslim nn
=∞→
se numeşte suma seriei şi se notează sa1n
n =∑∞
=.
Se spune că seria ∑∞
=1nna este divergentă dacă şirul sumelor parţiale ( ) ∗∈Nnns nu are limită
sau are limită dar este infinită.
Convergenţa sau divergenţa determină natura seriei.
Capitolul al V - lea 50
Observaţii.
1) Prin simbolul ∑∞
=1nna se înţelege fie seria cu termenul general an, fie suma seriei cu
termenul general an în caz de convergenţă. Din context va reieşi dacă este vorba de serie, sau de
suma seriei.
2) Uneori, vom indexa termenii unei serii începând cu n = 0. Atunci vom scrie ∑∞
=0nna şi în
acest caz vom conveni să notăm prin sn suma a0 + a1 + … + an.
Exemple.
1) Seria geometrică ∑∞
=0n
nr este convergentă pentru 1r < şi divergentă în rest.
2) Seria armonică generalizată ∑∞
=1n an
1 este convergentă pentru a > 1 şi divergentă în rest.
Demonstraţie.
1) Pentru 1r ≠ , 1r
1rrr1s
1nn
n −−
=+++=+
K , iar pentru r = 1, 1nsn += .
În studiul convergenţei acestei serii distingem următoarele cazuri:
a) Dacă 1r < , avem r1
1slim n
n −=
∞→ şi deci seria este convergentă şi are suma
r11
s−
= .
b) Dacă 1r ≥ , atunci ( )ns diverge, deoarece pentru 1r ≥ , ∞=∞→
nn
slim iar pentru 1r −≤
limita şirului ( )ns nu există.
Observaţie. Pentru 1r −= se obţine seria divergentă 1 – 1 + 1 – 1 + … numită seria oscilantă.
2) Fie funcţia ( )( )
1a,a1
x
xa1
1xf
a1
1a≠
−=
−=
−
−. Derivata ei este ( )
ax
1x'f = .
Aplicăm teorema lui Lagrange pe intervalul [k,k + 1] şi avem
( ) ( ) ( ) a1a1aa k
1
k
1
1k
1a1
1
1k
1<
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
+−<
+ −−.
Făcând k = 1, 2, …, n şi sumând avem
( ) ( ) aa1aaa n
1
2
111
1n
1a1
1
)1n(
1
2
1+++<
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
+−<
+++
−KK
SERII NUMERICE
51
sau
( ) ( ) n1a1n s11n
1a1
11s <
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
+−<−
−+ .
Dacă a > 1, atunci
( ) 1a1
11n
11a
11a
11s
1a1n ++<
+⋅
−−
−+<
−+ .
Şirul ( )ns este crescător şi mărginit superior, deci convergent, ceea ce înseamnă că seria este
convergentă.
Dacă a < 1, din
( ) ( ) n1as1
1n
1a1
1<
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
+− −
şi
( )∞=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
+− −∞→1
1n
1a1
1lim
1an
rezultă că ∞=∞→
nn
slim , deci seria este divergentă.
Pentru a = 1, plecând de la k1
kln)1kln(1k
1<−+<
+, dând valori lui k de la 1 la n şi sumând,
avem
ns)1nln( <+
şi deci
∞=∞→
nn
slim .
Observaţie. Dacă la o serie se adaugă sau se elimină un număr finit de termeni, atunci natura
ei nu se modifică. Se schimbă însă suma, în cazul convergenţei.
Teoremă. Dacă seria ∑∞
=1nna este convergentă, atunci 0alim n
n=
∞→.
Demonstraţie. Într-adevăr, dacă seria este convergentă şirul ( )ns este convergent şi din
faptul că 1nnn ssa −−= , prin trecere la limită avem
0ssslimslimalim 1nn
nn
nn
=−=−= −∞→∞→∞→
.
Reciproca acestei teoreme nu este adevărată.
Capitolul al V - lea 52
Exemplu. 0n1
limn
=∞→
dar seria ∑∞
=1n n1
este divergentă.
Observaţie. Dacă pentru seria ∑∞
=1nna şirul ( )na nu converge la zero, atunci seria este
divergentă.
Teoremă. Dacă seriile ∑∞
=1nnu , ∑
∞
=1nnv sunt convergente şi au respectiv sumele s, t atunci:
a) seria ( )∑ +∞
=1nnn vu este convergentă şi are suma s + t;
b) seria ( )∑ −∞
=1nnn vu este convergentă şi are suma s – t;
c) seria ( )∑ λ∞
=1nnu este convergentă pentru R∈λ∀ şi are suma sλ .
Demonstraţie.
a) Notăm cu n21n uuus +++= K şi n21n vvvt +++= K sumele parţiale ale şirurilor
date şi cu ( ) ( ) ( )nn2211n vuvuvuc ++++++= K suma parţială a seriei sumă.
Prin ipoteză, avem
sslim nn
=∞→
şi ttlim nn
=∞→
.
Rezultă că avem şi
( ) tstslimclim nnn
nn
+=+=∞→∞→
.
b) Analog
c) Notăm cu n21n uuus +++= K şi n21n uuuc λ++λ+λ= K sumele parţiale pentru
∑∞
=1nnu şi respectiv ( )∑ λ
∞
=1nnu .
Prin ipoteză, avem sslim nn
=∞→
.
Cum ( ) nn21n21n suuuuuuc λ=+++λ=λ++λ+λ= KK , avem şi sclim nn
λ=∞→
.
Observaţie. Dacă seriile ∑∞
=1nnu şi ∑
∞
=1nnv sunt divergente, atunci este posibil ca seria
( )∑ +∞
=1nnn vu să fie convergentă
SERII NUMERICE
53
Exemplu. Seriile ( )∑ −∞
=1n
n1 şi ( )∑ −∞
=
−
1n
1n1 sunt divergente, iar seria
( ) ( )[ ]∑ −+−∞
=
−
1n
1nn 11
este convergentă.
Pentru serii cu termeni oarecare au loc următoarele criterii de convergenţă :
Criteriul lui Cauchy. Seria ∑∞
=1nnu este convergentă dacă şi numai dacă
( ) N∈ε∃>ε∀ N,0 astfel încât ( )ε≥∀ Nn şi N∈∀p avem ε<+++ +++ pn2n1n uuu K .
Demonstraţie.
Direct. Seria ∑∞
=1nnu fiind convergentă rezultă că şirul sumelor parţiale ( )ns este convergent.
Conform criteriului lui Cauchy pentru şiruri de numere reale, rezultă că ( )ns este şir fundamental. Cum
pn2n1nnpn uuuss ++++ +++=− K rezultă condiţia din enunţ.
Reciproc. Din condiţia dată rezultă că ( )ns este şir fundamental. Conform criteriului lui
Cauchy pentru şiruri de numere reale, rezultă că ( )ns este şir convergent. Aceasta înseamnă că seria
dată este convergentă.
Criteriul lui Abel1. Dacă seria ∑∞
=1nnu are şirul sumelor parţiale ( ) ∗∈Nnns mărginit şi dacă
( ) ∗∈α Nnn este un şir descrescător de numere reale pozitive convergent la zero, atunci seria ∑α∞
=1nnnu
este convergentă.
Demonstraţie. Pentru a demonstra criteriul lui Abel vom arăta că seria ∑α∞
=1nnnu verifică
criteriul lui Cauchy.
Deoarece şirul sumelor parţiale ( )ns este mărginit, rezultă că 0M >∃ astfel încât
N ∈∀< n,Msn .
1 Niels Henrik Abel (1802 – 1829), matematician norvegian
Capitolul al V - lea 54
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )[ ]
.M2
M
ssss
ssss
ssssss
uuu
1n
pnpn1pn2n1n1n
pnpn1pnpn1pn1n2n1nn1n
pnpn1pnpn1pn1n2n1nn1n
1pnpnpn1n2n2nn1n1n
pnpn2n2n1n1n
+
++−++++
++−++−+++++
++−++−+++++
−++++++++
++++++
α=
α+α−α++α−α+α≤
α+α−α++α−α+α≤
α+α−α++α−α+α−=
−α++−α+−α=
=α++α+α
K
K
K
K
K
Din faptul că 0alim nn
=∞→
, rezultă că 0>ε∀ , ( ) N∈ε∃N astfel încât ( )ε≥∀ Nn avem
M2an
ε< .
Astfel,
ε<α++α+α ++++++ pnpn2n2n1n1n uuu K ,
adică seria cu termenul general nnuα verifică criteriul lui Cauchy şi deci este convergentă.
Definiţie. Se numeşte serie alternată o serie ∑∞
=1nnu pentru care produsul
N ∈∀<⋅ + n,0uu 1nn .
O serie alternată este deci de forma ( )∑ −∞
=
+
1nn
1n u1 sau ( )∑ −∞
=1nn
nu1 , unde 0un > , ∗∈∀ Nn .
Deoarece a doua serie se reduce la prima prin înmulţire cu -1, vom considera în continuare
numai serii alternate de forma
( )∑ −∞
=
+
1nn
1n u1 , 0un > , ∗∈∀ Nn .
Criteriul lui Leibniz2. Fie ( )∑ −∞
=
+
1nn
1n u1 o serie alternată. Dacă şirul ( )nu este descrescător şi
converge către zero, atunci seria este convergentă.
Demonstraţie. Seria ( )∑ −∞
=
+
1n
1n1 are şirul sumelor parţiale mărginit iar ( )nu este un şir
descrescător de numere reale pozitive convergent la zero.
2 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), matematician şi filozof german
SERII NUMERICE
55
Conform criteriului lui Abel, seria ( )∑ −∞
=
+
1nn
1n u1 este convergentă.
Exemplu. Să se stabilească natura seriei ( ) ( )( )
∑+
+−
∞
=+
++
1n 2n
1n1n
1n
2n1 .
Soluţie. Şirul cu termenul general ( )( ) 2n
1n
n1n
2nu
+
+
+
+= este descrescător şi converge către zero.
Într-adevăr,
( )( )
( )( )
14n2n
3n4n
2n
1n
2n
3nu
u2n
2
2
1n
2n
3n
2n
n
1n <⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++=
+
+⋅
+
+=
+
+
+
+
++
şi
( )( )
01n
11
1n1
1n1
1n
2nu
1n
1n
1n
n →⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
++
=+
⋅+
+=
+
+
+.
Folosind criteriul lui Leibniz rezultă că seria dată este convergentă.
Teoremă. Fie seria alternată ( )∑ −∞
=
+
1nn
1n u1 în care ( )nu îndeplineşte condiţiile din criteriul lui
Leibniz şi fie s suma sa. Atunci ∗+ ∈∀≤− Nn,uss 1nn , unde ( ) ∗
=
+ ∈∀∑ −= Nn,u1sn
1kk
1kn , adică sn
aproximează suma s a seriei cu o eroare mai mică decât un + 1.
5.2. Serii cu termeni pozitivi
Definiţie. O serie ∑∞
=1nna se numeşte serie cu termeni pozitivi dacă an > 0, ∗∈∀ Nn .
Pentru stabilirea naturii unei serii cu termeni pozitivi se folosesc următoarele criterii:
Criteriul I al comparaţiei. Fie ∑∞
=1nnu şi ∑
∞
=1nnv două serii cu termeni pozitivi.
Să presupunem că N∈∃ 1n astfel încât nn vu ≤ , 1nn ≥∀ .
a) Dacă seria ∑∞
=1nnv este convergentă, atunci seria ∑
∞
=1nnu este convergentă.
b) Dacă seria ∑∞
=1nnu este divergentă, atunci seria ∑
∞
=1nnv este divergentă.
Capitolul al V - lea 56
Demonstraţie. Fie ( )ns şi ( )nt şirurile sumelor parţiale pentru ∑∞
=1nnu şi respectiv ∑
∞
=1nnv .
a) Avem nn ts ≤ , 1nn ≥∀ .
Cum seria ∑∞
=1nnv este convergentă, şirul ( )nt este mărginit iar din relaţia de mai sus rezultă că
şi ( )ns este mărginit.
Seria ∑∞
=1nnu fiind cu termeni pozitivi, şirul ( )ns este crescător. Cum şirul ( )ns este mărginit şi
crescător, el este convergent. Rezultă deci că seria ∑∞
=1nnu este convergentă.
b) Dacă seria ∑∞
=1nnu este divergentă, atunci şirul ( )ns este nemajorat, deci divergent. Prin
urmare, seria ∑∞
=1nnv este divergentă.
Exemplu. Să se studieze natura seriei ∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
∞
=1n n1n
lnn1
.
Soluţie. Se ştie că ( )+∞<<−≠<+ x1,0xx)x1ln( . Folosind această relaţie,
n1
n1
1lnn
1nln <⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+
şi în acelaşi timp 1n
11n
11ln
1nn
lnn
1nln
+>⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−−=+
−=+
.
De aceea, 2n
1)1n(n
11n
1n1
n1n
lnn1
0 <+
=+
−<+
−< .
Aşadar, 2n
n
1u0 << şi cum seria ∑
∞
=1n 2n
1 este convergentă, rezultă că şi seria dată este convergentă.
Criteriul II al comparaţiei. Fie ∑∞
=1nnu şi ∑
∞
=1nnv două serii cu termeni pozitivi.
Să presupunem că N∈∃ 1n astfel încât n
1n
n
1nv
vu
u ++ ≤ , 1nn ≥∀ .
a) Dacă seria ∑∞
=1nnv este convergentă, atunci seria ∑
∞
=1nnu este convergentă.
b) Dacă seria ∑∞
=1nnu este divergentă, atunci seria ∑
∞
=1nnv este divergentă.
SERII NUMERICE
57
Demonstraţie. Din inegalităţile de mai sus rezultă
1n
1n
n
nvu
vu
+
+≥ , 1nn ≥∀ ,
adică
KK ≥≥≥≥+
+
n
n
1n
1n
n
n
vu
v
u
v
u
1
1
1
1 , 1nn ≥∀ .
Notând 0v
uk
1
1
n
n≠= , avem nn kvu ≤ , 1nn ≥∀ .
Ţinând seama de criteriul I al comparaţiei, rezultă afirmaţiile teoremei.
Exemplu. Să se studieze natura seriei ∑⋅
∞
=1n n
n
!ne
n
.
Soluţie. n1nn
n
1nn1
1n1
1n
1ne1
uu
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
−−+
deoarece
1n
n1
1e+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +< .
Aşadar,
n1
1n1
uu
n
1n +≥+ şi cum seria ∑∞
=1n n1
este divergentă, rezultă că şi seria dată este
divergentă.
Criteriul III al comparaţiei. Fie ∑∞
=1nnu şi ∑
∞
=1nnv două serii cu termeni pozitivi.
Dacă există ∗+
∞→∈= Ra
vu
limn
n
n, atunci cele două serii au aceeaşi natură.
Demonstraţie. Cum avu
limn
n
n=
∞→, rezultă că 0>ε∀ , ( ) N∈ε∃N astfel încât ( )ε≥∀ Nn
avem ε<− avu
n
n .
Pentru 2a
=ε avem 2a
vu
2a
n
n ε<< , ( )ε≥∀ Nn sau nnn v
2a
uv2a ε
<< , ( )ε≥∀ Nn .
Ţinând seama de criteriul I al comparaţiei, rezultă afirmaţiile teoremei.
Capitolul al V - lea 58
Observaţii.
1) Dacă a = 0, atunci avem următoarele implicaţii:
∑∞
=1nnv convergentă ⇒ ∑
∞
=1nnu convergentă,
∑∞
=1nnu divergentă ⇒ ∑
∞
=1nnv divergentă.
2) Dacă +∞=a , atunci avem următoarele implicaţii:
∑∞
=1nnu convergentă ⇒ ∑
∞
=1nnv convergentă,
∑∞
=1nnv divergentă ⇒ ∑
∞
=1nnu divergentă.
Exemplu. Să se studieze natura seriei ( )π<<∑∞
=3x0
3
xsin2
1n nn .
Soluţie. Deoarece
∗+
∞→∈=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Rx
32
3
xsin2
limn
nn
n
rezultă că seria dată are aceeaşi natură cu seria ∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∞
=1n
n
32
, despre care ştim că este convergentă. În
concluzie, seria dată este convergentă.
Criteriul de condensare al lui Cauchy. Fie ∑∞
=1nnu o serie cu termeni pozitivi astfel ca şirul
termenilor ( )nu să fie descrescător. Atunci seria ∑∞
=1nnu are aceeaşi natură cu seria ∑
∞
=1n 2n
nu2 .
Exemplu. Să se studieze natura seriei
( )R
∈∑
∞
=p,
nlnn
1
2n p.
Soluţie. Cum ( )p
nnlnn
1u = îndeplineşte condiţiile din criteriul de condensare al lui Cauchy,
seria dată are aceeaşi natură cu seria ( ) ( )∑=∑∞
=
∞
= 2n pp2n pnnn
n
1
2ln
1
2ln2
12
care este convergentă
pentru p > 1 şi divergentă pentru 1p ≤ .
SERII NUMERICE
59
Criteriul rădăcinii (al lui Cauchy). Fie ∑∞
=1nnu o serie cu termeni pozitivi.
a) Dacă N∈∃ 1n şi un număr 0 < r < 1 astfel încât runn ≤ , 1nn ≥∀ , atunci seria ∑
∞
=1nnu
este convergentă.
b) Dacă N∈∃ 1n astfel încât 1unn ≥ , 1nn ≥∀ , atunci seria ∑
∞
=1nnu este divergentă.
Demonstraţie.
a) Din enunţ, rezultă că nn ru < , 1nn ≥∀ şi cum ( )1,0r∈ urmează că termenul general al
seriei ∑∞
=1nnu este mai mic decât termenul general al seriei geometrice cu raţia subunitară.
Din criteriul I al comparaţiei, rezultă că seria ∑∞
=1nnu este convergentă.
b) Din enunţ, rezultă că 1un ≥ , 1nn ≥∀ . Astfel, şirul ( )nu nu converge la zero şi deci seria
∑∞
=1nnu este divergentă.
Din criteriul I al comparaţiei, rezultă că seria ∑∞
=1nnu este convergentă.
Corolar. Fie ∑∞
=1nnu o serie cu termeni pozitivi pentru care există λ=
∞→n
nn
ulim .
a) Dacă 1<λ , atunci seria este convergentă.
b) Dacă 1>λ , atunci seria este divergentă.
c) Dacă 1=λ , atunci nu putem preciza natura seriei.
Exemplu. Să se stabilească natura seriei ∑ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+∞
=1n
n
2
2
19n2
n17n8.
Soluţie. Cum
1419n2
n17n8lim
19n2
n17n8limulim
2
2
nn
n
2
2
nn
nn
>=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+=
∞→∞→∞→,
rezultă că seria dată este divergentă.
Capitolul al V - lea 60
Criteriul raportului (al lui d’Alembert3). Fie ∑∞
=1nnu o serie cu termeni pozitivi.
a) Dacă N∈∃ 1n şi un număr 0 < r < 1 astfel încât ru
u
n
1n ≤+ , 1nn ≥∀ , atunci seria ∑∞
=1nnu
este convergentă.
b) Dacă N∈∃ 1n astfel încât 1u
u
n
1n ≥+ , 1nn ≥∀ , atunci seria ∑∞
=1nnu este divergentă.
Demonstraţie.
a) Din enunţ, rezultă că
11 n1n ruu ≤+
111 n
21n2n urruu ≤≤ ++
M
111 n
p1pnpn urruu ≤≤ −++ .
Aplicând criteriul I al comparaţiei seriilor ∑∞
= 1nnnu şi ∑
∞
=1n
nn ru
1, rezultă că seria ∑
∞
= 1nnnu este
convergentă deci şi seria ∑∞
=1nnu este convergentă.
b) Din enunţ, rezultă că 1nn uu0 +≤< , 1nn ≥∀ . Astfel, şirul ( )nu nu converge la zero şi
deci seria ∑∞
=1nnu este divergentă.
c)
Corolar. Fie ∑∞
=1nnu o serie cu termeni pozitivi pentru care există λ=+
∞→ n
1n
n uu
lim .
a) Dacă 1<λ , atunci seria este convergentă.
b) Dacă 1>λ , atunci seria este divergentă.
c) Dacă 1=λ , atunci nu putem preciza natura seriei.
Exemplu. Să se stabilească natura seriei ( )( )∑
−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅∞
=1n 1n3521n231
K
K.
3 Jean de Rond d’Alembert (1717 – 1783), matematician, fizician, filozof şi literat francez
SERII NUMERICE
61
Soluţie. Cum
( )( )( )( )
( )( )
132
2n31n2
lim1n2311n352
2n31n3521n21n231
limu
ulim
nnn
1n
n<=
++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅+−⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅
=∞→∞→
+
∞→ K
K
K
K,
rezultă că seria dată este convergentă.
Criteriul lui Raabe4 - Duhamel5. Fie ∑∞
=1nnu o serie cu termeni pozitivi.
a) Dacă N∈∃ 1n şi un număr r > 1 astfel încât r1uu
n1n
n ≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+ , 1nn ≥∀ , atunci seria ∑
∞
=1nnu
este convergentă.
b) Dacă N∈∃ 1n astfel încât 11uu
n1n
n ≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+, 1nn ≥∀ , atunci seria ∑
∞
=1nnu este divergentă.
Corolar. Fie ∑∞
=1nnu o serie cu termeni pozitivi pentru care există λ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+∞→1
uu
nlim1n
n
n .
a) Dacă 1>λ , atunci seria este convergentă
b) Dacă 1<λ , atunci seria este divergentă
c) Dacă 1=λ , atunci nu putem preciza natura seriei.
Exemplu. Să se stabilească natura seriei ( )( )∑
−⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅∞
=1n 1n3521n231
K
K.
Soluţie. Deoarece
( )( ) 1aaalimalim
a
alim
uu
lim 01lnn1n
ln
n
nln1nln
nnln
1nln
nn
1n
n======
+
∞→
−+
∞→
+
∞→
+
∞→,
corolarul criteriului raportului nu ne poate preciza natura seriei.
Cum
,alnn1
1ln
n1
1ln
1alim
n1
1alim1
uu
nlim
nn1
1ln
n
n1
1ln
n1n
n
n
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
−=
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
∞→
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
∞→+∞→
4 J. L. Raabe (1801 – 1859)
5 J. M. Duhamel (1797 – 1872), matematician francez
Capitolul al V - lea 62
rezultă că pentru 1aln >− , echivalent e1
a < seria dată este convergentă şi pentru e1
a > seria este
divergentă.
Pentru e1
a = , avem ∑=∑∞
=
∞
=
−
1n1n
nln
n1
e şi deci seria este divergentă.
5.3. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente
Definiţie. O serie ∑∞
=1nna se numeşte absolut convergentă6 dacă seria modulelor ∑
∞
=1nna este
convergentă.
Teoremă. Orice serie absolut convergentă este convergentă.
Demonstraţie. Seria fiind absolut convergentă, rezultă că seria modulelor verifică criteriul lui
Cauchy, deci
0>ε∀ , ( ) N∈ε∃N astfel încât ( )ε≥∀ Nn şi N∈∀p avem
ε<+++ +++ 2n2n1n uuu K .
Cum
2n2n1npn2n1n uuuuuu ++++++ +++≤+++ KK ,
rezultă teorema.
Observaţii.
1) Reciproca acestei teoreme nu este în general adevărată
Exemplu. Seria armonică alternată ( )∑ −∞
=
+
1n
1n
n1
1 este convergentă, dar seria modulelor ∑∞
=1n n1
este divergentă. 2) Pentru seriile cu termeni pozitivi, noţiunile de convergenţă şi absolută convergenţă coincid.
3) Cum seria modulelor ataşată unei serii date este o serie cu termeni pozitivi, pentru a
decide natura sa se utilizează criteriile prezentate în paragraful precedent.
Definiţie. Fie ∑∞
=1nnu şi ∑
∞
=1nnv două serii. Se numeşte produs Cauchy al celor două serii, seria
∑∞
=1nnw în care ∑=
=+−
n
1k1knkn vuw .
6 Seriile absolut convergente au fost considerate iniţial de A. Cauchy (1831)
SERII NUMERICE
63
Observaţie. Produsul Cauchy a două serii convergente nu este întotdeauna o serie
convergentă.
Teoremă (Mertens). Dacă două serii sunt convergente şi cel puţin una este absolut
convergentă, atunci seria produs Cauchy a celor două serii este convergentă şi suma sa este egală cu
produsul sumelor celor două serii.
Definiţie. O serie convergentă care nu este absolut convergentă se numeşte serie
semiconvergentă7.
Exemplu. Seria armonică alternată.
Observaţie. La o serie semiconvergentă schimbarea ordinii termenilor poate schimba suma ei
putându-se obţine o serie cu o sumă fixată anticipat – cum au dovedit B. Riemann şi P. L. Dirichlet, sau
o serie divergentă.
5.4. Probleme propuse
1. Să se calculeze suma seriilor:
a) ( )
∑−+
∞
=1n 22 23n
1; b) 0a,
anan
1
1n 2≠∑
+
∞
= ; c) ∑
+∞
=1n !n3n2
;
d) ∑+∞
=1n n2
1n; e)
( ) ( )∑++
∞
=1n 1999n1nn1
K;
f) ∑∞
= +++1n pn2n1n aaa1K
, unde a1, a2, … formează o progresie aritmetică. Caz particular
pentru p = 2;
g) ∑∞
=1n nn 2
xtg
2
1 . Caz particular
4x
π= .
2. Să se stabilească natura seriilor:
a) ∑+∞
=1n 3n
ban; b) ∑ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛++∞
=1n
n
4bn3an
;
c) ( )∑
−⋅⋅⋅⋅
∞
=1n 1n25311
K; d) ∑
π∞
=1n
n
3sinn .
7 Noţiunea şi denumirea au fost introduse de A. Legendre (1811)
Capitolul al V - lea 64
3. Să se studieze natura seriilor următoare şi în caz de convergenţă să se afle suma lor:
a) ( )( )∑
++
∞
=1n 2000n1999n1
; b) ( )( )( )∑
+++
∞
=1n 3n2n1nn1
;
c) ( )( )( )( )∑
++++−∞
=1n 4n3n2n1n1n2
; d) ∑+∞
=1n n4
3n2.
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 65
CAPITOLUL al VI-lea
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE.
DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE
6.1. Derivate parţiale
Definiţie. Fie )y,x(ff,A:f 2 =→⊂ R R o funcţie reală de două variabile reale şi
( ) 'AAb,a ∩∈o
un punct interior mulţimii A, care este în acelaşi timp, punct de acumulare pentru A .
1. a) Se spune că funcţia f(x,y) are derivată parţială în raport cu variabila x în punctul (a,b)
dacă există
ax)b,a(f)b,x(f
limax −
−
→.
Limita însăşi se numeşte derivata parţială în raport cu x a funcţiei f(x,y) în punctul (a,b) şi se
notează )b,a(f 'x sau
x)b,a(f
∂∂
.
b) Se spune că funcţia f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu variabila x în punctul (a,b)
dacă R∈∂
∂x
)b,a(f.
2. a) Se spune că funcţia f(x,y) are derivată parţială în raport cu variabila y în punctul (a,b)
dacă există
by)b,a(f)y,a(f
limby −
−
→.
Limita însăşi se numeşte derivata parţială în raport cu y a funcţiei f(x,y) în punctul (a,b) şi se
notează )b,a(f 'y sau
y)b,a(f
∂∂
.
b) Se spune că funcţia f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu variabila y în punctul (a,b)
dacă R∈∂
∂y
)b,a(f.
CAPITOLUL al VI-lea 66
Exemplu. Să se calculeze, folosind definiţia, )2,1(f 'x şi )2,1(f '
y pentru
2yx)y,x(f 22 ++= .
Soluţie.
7
1
76x
1xlim
76x)1x(
1xlim
1x76x
lim
1x22122x
lim1x
)2,1(f)2,x(flim)2,1(f
21x2
2
1x
2
1x
2222
1x1x
'x
=++
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
−=
−−+
=
−++−++
=−−
=
→→→
→→
şi
.7
2
73y
2ylim
73y)2y(
4ylim
2y
73ylim
2y
2212y1lim
2y)2,1(f)y,1(f
lim)2,1(f
21x2
2
1x
2
1x
2222
1x1x
'y
=++
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
−=
−
−+=
−
++−++=
−−
=
→→→
→→
Definiţie.
1. Se spune că f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu x pe A dacă f este derivabilă parţial în
raport cu x în orice punct din A.
2. Se spune că f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu y pe A dacă f este derivabilă parţial în
raport cu y în orice punct din A.
3. Se spune că f(x,y) este derivabilă parţial pe A dacă este derivabilă parţial în raport cu
variabilele x şi y în orice punct din A .
Dacă funcţia RR →⊂ 2A:f , )y.x(ff = este derivabilă parţial pe A, se definesc derivatele
parţiale de ordinul întâi ale funcţie )y,x(f ca fiind funcţiile
R→∂∂
A:xf
, x
)y,x(f)y,x(
∂∂
→
şi
R→∂∂
A:yf
, y
)y,x(f)y,x(
∂∂
→ .
Teoremă. Dacă funcţia f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu x în punctul (a,b), atunci
funcţia f este continuă parţial în raport cu x în punctul (a,b).
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 67
Observaţie. Dacă funcţia f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu x şi în raport cu y în
punctul (a,b), atunci f este continuă în raport cu cu fiecare variabilă în parte în punctul (a,b), dar nu în
mod necesar în raport cu ansamblul variabilelor.
Teoremă. Dacă funcţia )y,x(f admite derivate parţiale de ordinul întâi yf
,xf∂∂
∂∂
mărginite
într-o vecinătate V a punctului (a,b), atunci f este continuă în punctul (a,b) (în raport cu ansamblul
variabilelor).
Observaţie. În mod analog se definesc derivatele parţiale ale unei funcţii reale de n
variabile reale.
Definiţie. Fie )x,...,x,x(ff,X:f n21n =→⊂ R R o funcţie reală de n variabile reale şi
'XX)a,...,a,a( n21 ∩∈o
un punct interior mulţimii X, care este în acelaşi timp, punct de acumulare
pentru X .
1. Se spune că funcţia )x,...,x,x(f n21 are derivată parţială în raport cu variabila kx în
punctul )a,...,a,a( n21 dacă există
kk
n1kk1k21n1kk1k21
xx ax)a,...,a,a,a,...,a,a(f)a,...,a,x,a,...,a,a(f
limk −
− +−+−
→.
Limita însăşi se numeşte derivata parţială în raport cu kx a funcţiei )x,...,x,x(f n21 în punctul
)a,...,a,a( n21 şi se notează )a,...,a(f n1'xk
sau k
n1x
)a,...,a(f∂
∂.
2. Se spune că funcţia )x,...,x,x(f n21 este derivabilă parţial în raport cu variabila kx în
punctul )a,...,a,a( n21 dacă R∈∂
∂
k
n1x
)a,...,a(f.
Definiţie.
1. Se spune că funcţia )x,...,x,x(f n21 este derivabilă parţial în raport cu variabila kx pe
X, dacă f este derivabilă parţial în raport cu kx în orice punct din X .
2. Se spune că )x,...,x,x(f n21 este derivabilă parţial pe X dacă este derivabilă parţial în
raport cu fiecare variabilă n21 x,...,x,x în orice punct din X .
Dacă funcţia RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= este derivabilă parţial pe X, se definesc
derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei )x,...,x,x(f n21 ca fiind funcţiile
CAPITOLUL al VI-lea 68
.x
)x,...,x,x(f)x,...,x,x(,X:
xf
...............................................................................
x)x,...,x,x(f
)x,...,x,x(,X:xf
x)x,...,x,x(f
)x,...,x,x(,X:xf
n
n21n21
n
2
n21n21
2
1
n21n21
1
∂
∂→→
∂∂
∂
∂→→
∂∂
∂
∂→→
∂∂
R
R
R
Deoarece derivarea parţială în raport cu o variabilă este de fapt derivarea funcţiei în raport cu
acea variabilă, celelalte variabile fiind considerate constante, rezultă că regulile de derivare stabilite
pentru funcţiile de o variabilă se menţin.
Funcţii omogene
Definiţie. Se spune că funcţia RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= este omogenă de
grad k, dacă pentru orice 0t > şi orice X)x,...,x,x( n21 ∈ avem
)x,...,x,x(ft)tx,...,tx,tx(f n21k
n21 = .
Teorema lui Euler. Dacă funcţia RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= , omogenă de grad
k este derivabilă parţial pe X, atunci
kfxf
x...xf
xxf
xn
n2
21
1 =∂∂
++∂∂
+∂∂
.
Exemplu. Să se arate că funcţia 5 22 xz7y2xy3x)z,y,x(f +++= verifică relaţia
f52
zf
zyf
yxf
x =∂∂
+∂∂
+∂∂
.
Soluţie. Deoarece
( ) ),z,y,x(ftxz7y2xy3xtxz7y2xy3xt
xzt7yt2xyt3xt)tz)(tx(7)ty(2)ty)(tx(3)tx()tz,ty,tx(f
52
5 2252
5 222
5 2222225 22
=+++=+++=
+++=+++=
rezultă că funcţia f este omogenă de grad 52
.
Aplicând teorema lui Euler, avem
f52
zf
zyf
yxf
x =∂∂
+∂∂
+∂∂
.
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 69
Derivate parţiale de ordin superior
Definiţie. Fie )y,x(ff,A:f 2 =→⊂ R R o funcţie derivabilă parţial pe A şi
'AA(a,b) ∩∈o
. În acest caz sunt definite derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţie )y,x(f :
.y
)y,x(f)y,x(,A:
yf
,x
)y,x(f)y,x(,A:
xf
∂∂
→→∂∂
∂∂
→→∂∂
R R
1. Dacă există derivata parţială în (a,b) în raport cu x a funcţiei xf
∂∂
, atunci aceasta se va numi
derivata parţială de ordin doi a funcţiei f în punctul (a,b) şi se va nota prin 2
2
x
)b,a(f
∂
∂ sau )b,a(f "
x2 .
Dacă există derivata parţială în (a,b) în raport cu y a funcţiei xf
∂∂
, atunci aceasta se va numi
derivata parţială mixtă de ordin doi a funcţiei f în punctul (a,b) şi se va nota prin xy
)b,a(f2
∂∂∂
sau )b,a(f "xy .
Dacă există derivata parţială în (a,b) în raport cu x a funcţiei yf
∂∂
, atunci aceasta se va numi
derivata parţială mixtă de ordin doi a funcţiei f în punctul (a,b) şi se va nota prin yx
)b,a(f2
∂∂∂
sau )b,a(f "yx .
Dacă există derivata parţială în (a,b) în raport cu y a funcţiei yf
∂∂
, atunci aceasta se va numi
derivata parţială de ordin doi a funcţiei f în punctul (a,b) şi se va nota prin 2
2
y
)b,a(f
∂
∂ sau )b,a(f "
y2 .
2. Dacă funcţiile RR →⊂∂∂
∂∂ 2A:
yf
,xf
sunt derivabile parţial pe A, se definesc derivatele
parţiale de ordinul doi ale funcţiei )y,x(f ca fiind funcţiile
2
2
2
2
22
22
2
2
2
2
y
)y,x(f)y,x(,A:
y
f
xy)y,x(f
)y,x(,A:xyf
yx)y,x(f
)y,x(,A:yxf
x
)y,x(f)y,x(,A:
x
f
∂
∂→→
∂
∂
∂∂∂
→→∂∂
∂
∂∂∂
→→∂∂
∂
∂
∂→→
∂
∂
R
R
R
R
CAPITOLUL al VI-lea 70
Observaţie. În general, derivatele parţiale mixte nu sunt egale.
Următoarea teoremă stabileşte condiţii suficiente pentru egalitatea derivatelor parţiale mixte.
Teoremă (Criteriul lui Schwarz). Dacă funcţia f(x,y) are derivate parţiale mixte de
ordinul doi xyf
,yxf 22
∂∂∂
∂∂∂
într-o vecinătate V a punctului (a,b) şi dacă acestea sunt continue în (a,b),
atunci
xy)b,a(f
yx)b,a(f 22
∂∂∂
=∂∂
∂.
Observaţie. În mod analog se definesc derivatele parţiale de ordinul doi ale unei funcţii
reale de n variabile reale.
Teoremă. Fie RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= o funcţie derivabilă parţial pe X şi
)a,...,a,a( n21 un punct interior lui X , care este, în acelaşi timp, punct de acumulare pentru X .
În acest caz sunt definite derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei )x,...,x,x(f n21 :
R→∂∂
X:xf
k,
k
n21n21 x
)x,...,x,x(f)x,...,x,x(
∂
∂→ , n,1k = .
1. Dacă există derivata parţială în )a,...,a,a( n21 în raport cu kx a funcţiei kxf
∂∂
, atunci
aceasta se va numi derivată parţială de ordin doi a funcţiei f în punctul )a,...,a,a( n21 şi se va nota prin
( )2k
n12
x
a,...,af
∂
∂ sau ( )n1
"x
a,...,af 2k
.
Dacă există derivata parţială în )a,...,a,a( n21 în raport cu lx a funcţiei kxf
∂∂
)k( ≠l , atunci
aceasta se va numi derivată parţială mixtă de ordin doi a funcţiei f în punctul )a,...,a,a( n21 şi se va
nota prin ( )
k
n12
xxa,...,af
∂∂
∂
l
sau ( )n1"
xx a,...,afk l
( k≠l ).
2. Dacă funcţiile RR →⊂∂∂ n
kX:
xf
, n,1k = sunt derivabile parţial pe X, se definesc
derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei )x,...,x,x(f n21 ca fiind funcţiile
2k
n212
n212k
2
x
)x,...,x,x(f)x,...,x,x(,X:
x
f
∂
∂→→
∂
∂R , n,1k =
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 71
k
n212
n21k
2
xx)x,...,x,x(f
)x,...,x,x(,X:xxf
∂∂
∂→→
∂∂∂
ll
R , n,1k = .
Observaţie. Derivatele parţiale de ordin trei, patru, ş.a.m.d. se definesc în acelaşi mod ca
şi derivatele parţiale de ordin doi.
Derivate parţiale pentru funcţii compuse
Fie )y,x(vv),y,x(uu,A:v,u 2 ==→⊂ R R două funcţii reale de două variabile reale astfel
ca A)y,x(,B))y,x(v),y,x(u( ∈∀∈ şi R→B:f , )v,u(ff = o funcţie reală definită pe B.
Putem considera funcţia compusă
))y,x(v),y,x(u(f)y,x(F =
(funcţie reală definită pentru A)y,x( ∈ ).
Teoremă. Dacă funcţiile u(x,y) şi v(x,y) au derivate parţiale continue pe A şi funcţia f(u,v)
are derivate parţiale continue pe B, atunci funcţia compusă ))y,x(v),y,x(u(f)y,x(F = are derivate
parţiale continue pe A date de formulele:
.y
)y,x(vv
))y,x(v),y,x(u(fy
)y,x(uu
))y,x(v),y,x(u(fy
)y,x(F
x)y,x(v
v))y,x(v),y,x(u(f
x)y,x(u
u))y,x(v),y,x(u(f
x)y,x(F
∂∂
∂∂
+∂
∂∂
∂=
∂∂
∂∂
∂∂
+∂
∂∂
∂=
∂∂
Aceste formule se scriu într-o formă incompletă, dar mai uşor de reţinut astfel:
.yv
vf
yu
uf
yF
xv
vf
xu
uf
xF
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
Observaţie. Teorema precedentă rămâne adevărată pentru funcţii reale de n variabile
reale.
Fie ...,),x,...,x,x(uu),x,...,x,x(uu n2122n2111 == )x,...,x,x(uu n21nn = n funcţii reale de
n variabile reale astfel ca )x,...,x,x(u( n211 , Y))x,...,x,x(u...,),x,...,x,x(u n21nn212 ∈ ,
X)x,...,x,x( n21 ∈∀ şi R→Y:f , )u,...,u,u(ff n21= o funcţie reală definită pe Y.
Putem considera funcţia compusă
))x,...,x,x(u),...,x,...,x,x(u),x,...,x,x(u(f)x,...,x,x(F n21nn212n211n21 =
(funcţie reală definită pentru X)x,...,x,x( n21 ∈ cu valori reale).
CAPITOLUL al VI-lea 72
Teoremă. Dacă funcţiile )x...,,x,x(uu),x...,,x,x(uu n2122n2111 == , ...,
)x...,,x,x(uu n21nn = admit derivate parţiale continue pe X şi funcţia )u,...,u,u(f n21 admite derivate
parţiale continue pe Y, atunci funcţia compusă
))x,...,x,x(u),...,x,...,x,x(u),x,...,x,x(u(f)x,...,x,x(F n21nn212n211n21 =
are derivate parţiale continue pe X date de formulele :
∑∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∑∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∑∂
∂
∂
∂=
∂
∂
=
=
=
n
1i n
n21i
i
n21n21n21
n
n21
n
1i 2
n21i
i
n21n21n21
2
n21
n
1i 1
n21i
i
n21n21n21
1
n21
.x
)x,...,x,x(u
u
))x,...,x,x(u),...,x,...,x,x(u),x,...,x,x(u(f
x
)x,...,x,x(F
.....................................................................................................................................
x
)x,...,x,x(u
u
))x,...,x,x(u),...,x,...,x,x(u),x,...,x,x(u(f
x
)x,...,x,x(F
x
)x,...,x,x(u
u
))x,...,x,x(u),...,x,...,x,x(u),x,...,x,x(u(f
x
)x,...,x,x(F
Aceste formule se scriu într-o formă incompletă, dar mai uşor de reţinut astfel:
.xu
uf
xF
xu
uf
xF
xu
uf
xF
n
1i n
i
in
n
1i 2
i
i2
n
1i 1
i
i1
∑∂
∂
∂∂
=∂∂
∑∂
∂
∂∂
=∂∂
∑∂
∂
∂∂
=∂∂
=
=
=
LLLLLLL
Derivate parţiale de ordin doi ale funcţiilor compuse
Teoremă. Dacă funcţiile )y,x(uu = şi )y,x(vv = admit derivate parţiale de ordinul doi
continue pe A şi funcţia )v,u(f admite derivate parţiale de ordinul doi continue pe B, atunci funcţia
compusă ))y,x(v),y,x(u(f)y,x(F = admite derivate parţiale de ordinul doi continue pe A date de
formulele:
2
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
x
)y,x(vv
))y,x(v),y,x(u(f
x
)y,x(uu
))y,x(v),y,x(u(fx
)y,x(v
v
))y,x(v),y,x(u(f
x)y,x(v
x)y,x(u
vu))y,x(v),y,x(u(f
2x
)y,x(u
u
))y,x(v),y,x(u(f
x
)y,x(F
∂
∂∂
∂+
+∂
∂∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂
∂
∂+
+∂
∂∂
∂∂∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂
∂
∂=
∂
∂
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 73
2
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
y
)y,x(vv
))y,x(v),y,x(u(f
y
)y,x(uu
))y,x(v),y,x(u(fy
)y,x(v
v
))y,x(v),y,x(u(f
y)y,x(v
y)y,x(u
vu))y,x(v),y,x(u(f
2y
)y,x(u
u
))y,x(v),y,x(u(f
y
)y,x(F
∂
∂
∂
∂+
+∂
∂
∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+
+∂
∂
∂
∂
∂∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
.xy
)y,x(vv
))y,x(v),y,x(u(fxy
)y,x(uu
))y,x(v),y,x(u(fx
)y,x(vy
)y,x(v
v
))y,x(v),y,x(u(f
x)y,x(u
y)y,x(v
x)y,x(v
y)y,x(u
vu))y,x(v),y,x(u(f
x)y,x(u
y)y,x(u
u
))y,x(v),y,x(u(fxy
)b,a(F
yx)y,x(v
v))y,x(v),y,x(u(f
yx)y,x(u
u))y,x(v),y,x(u(f
y)y,x(v
x)y,x(v
v
))y,x(v),y,x(u(f
y)y,x(u
x)y,x(v
y)y,x(v
x)y,x(u
vu))y,x(v),y,x(u(f
y)y,x(u
x)y,x(u
u
))y,x(v),y,x(u(fyx
)y,x(F
22
2
2
2
2
22
22
2
2
2
2
22
∂∂
∂
∂
∂+
∂∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂
∂=
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂+
∂∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂
∂=
∂∂
∂
Aceste formule se scriu într-o formă incompletă, dar mai uşor de reţinut astfel:
.xyv
vf
xyu
uf
xv
yv
v
fxu
yv
xv
yu
vuf
xu
yu
u
fxyF
yxv
vf
yxu
uf
yv
xv
v
fyu
xv
yv
xu
vuf
yu
xu
u
fyxF
y
vvf
y
uuf
yv
v
fyv
yu
vuf
2yu
u
f
y
F
x
vvf
x
uuf
xv
v
fxv
xu
vuf
2xu
u
f
x
F
22
2
22
2
22
22
2
22
2
22
2
2
2
22
2
222
2
2
2
2
2
2
2
22
2
222
2
2
2
2
∂∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
∂
∂+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
∂
∂=
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
∂
∂+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
∂
∂=
∂∂∂
∂
∂∂∂
+∂
∂∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂
∂+
∂∂
∂∂
∂∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂∂∂
+∂
∂∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂
∂+
∂∂
∂∂
∂∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂
∂=
∂
∂
Într-adevăr,
.x
vvf
x
uuf
xv
v
fxv
xu
vuf
2xu
u
f
x
vvf
xu
xv
v
fxu
vuf
x
uuf
xu
xv
vuf
xu
u
f
x
vvf
xv
vf
xx
uuf
xu
uf
xxv
vf
xu
uf
xxF
xx
F
2
2
2
22
2
222
2
2
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
∂
∂∂∂
+∂
∂∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂
∂+
∂∂
∂∂
∂∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂
∂=
∂
∂∂∂
+∂∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
∂+
∂∂
∂∂∂
+∂
∂∂∂
+∂∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂
∂=
∂
∂∂∂
+∂∂
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂
∂∂∂
+∂∂
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
∂∂
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=∂
∂
Analog, se calculează şi celelalte trei.
CAPITOLUL al VI-lea 74
6.2. Diferenţiale
Diferenţiabilitatea funcţiilor de mai multe variabile
Fie RR →⊂ 2A:f , f = f(x,y) o funcţie reală de două variabile reale şi 'AA)b,a( ∩∈o
.
Definiţie. Se spune că funcţia f(x,y) este diferenţiabilă în punctul (a,b) dacă există două
numere reale 21, λλ şi două funcţii )y,x(),y,x(,A:, 221121 α=αα=α→αα R continue în
punctul (a,b) cu 0)b,a(α)b,a(α 21 == astfel încât să avem
)by)(y,x()ax)(y,x()by()ax()b,a(f)y,x(f 2121 −α+−α+−λ+−λ=− ,
.A)y,x( ∈∀
Se spune că )y,x(f este diferenţiabilă pe A dacă este diferenţiabilă în orice punct din A .
Teoremă. Dacă funcţia f(x,y) este diferenţiabilă în punctul (a,b), atunci ea are derivate
parţiale în (a,b) şi
21 y)b,a(f
,x
)b,a(fλ=
∂∂
λ=∂
∂ .
Observaţie. Reciproca teoremei nu este în general adevărată. Există funcţii care au
derivate parţiale, dar care nu sunt diferenţiabile.
Egalitatea de definiţie a diferenţiabilităţii se scrie atunci astfel
A)y,x(),by)(y,x()ax)(y,x()by(y
)b,a(f)ax(
x)b,a(f
)b,a(f)y,x(f 21 ∈∀−α+−α+−∂
∂+−
∂∂
=−
Diferenţa x – a se numeşte creşterea primei variabile de la a la x, iar diferenţa y – b se
numeşte creşterea celei de a doua variabile de la b la y.
Diferenţa )b,a(f)y,x(f − se numeşte creşterea funcţiei corespunzătoare creşterilor x-a şi y-b
ale argumentelor.
Deoarece funcţiile 21,αα sunt continue în punctul (a,b) cu 0)b,a()b,a( 21 =α=α , are loc
următoarea relaţie de aproximare
)by(y
)b,a(f)ax(
x)b,a(f
)b,a(f)y,x(f −∂
∂+−
∂∂
≈− .
Definiţie. Funcţia liniară RR →2:T definită prin ( ) 2121 hy
)b,a(fh
x)b,a(f
h,hT∂
∂+
∂∂
=
se numeşte diferenţiala funcţiei f în punctul (a,b) şi se notează df(a,b)
( ) 2121 hy
)b,a(fh
x)b,a(f
h,h))b,a(df(∂
∂+
∂∂
= .
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 75
Dacă funcţia f este diferenţiabilă pe A, diferenţiala sa într-un punct arbitrar (x,y) din A este
( ) 2121 hy
)y,x(fh
x)y,x(f
h,h))y,x(df(, :)y,x(df∂
∂+
∂∂
=→ RR .
În particular, dacă x)y,x(f = avem ( ) 121 hh,h)dx( = , iar dacă y)y,x(f = avem
( ) 221 hh,h)dy( = . Astfel, obţinem formula diferenţialei
dyy
)y,x(fdx
x)y,x(f
)y,x(df∂
∂+
∂∂
= sau dyyf
dxxf
df∂∂
+∂∂
= .
Exemplu. Să se calculeze )2,1(df pentru funcţia 22 yx)y,x(f += .
Soluţie. dyy
)2,1(fdx
x)2,1(f
)2,1(df∂
∂+
∂∂
= .
Cum
42
3
42
3
4242 yx
y2
yx2
y4yf
,yx
x
yx2
x2xf
+=
+=
∂∂
+=
+=
∂∂
,
17
16
21
22y
)2,1(f,
17
1
21
1x
)2,1(f42
3
42=
+
⋅=
∂∂
=+
=∂
∂ ,
rezultă
dy17
16dx
17
1)2,1(df += .
Observaţie. În mod analog se defineşte diferenţiabilitatea unei funcţii reale de n variabile
reale. Fie )x,...,x,x(ff,X:f n21n =→⊂ RR o funcţie reală de n variabile reale şi
'XX)a,...,a,a( n21 ∩∈o
.
Se spune că funcţia )x,...,x,x(f n21 este diferenţiabilă în punctul )a,...,a,a( n21 dacă există n
numere reale n21 ,...,, λλλ şi n funcţii
)x,...,x,x(,...,)x,...,x,x(),x,...,x,x(
,X:,...,,
n21nnn2122n2111
n21
α=αα=αα=α
→ααα
R
continue în punctul )a,...,a,a( n21 cu
0)a,...,a,a(...)a,...,a,a()a,...,a,a( n21nn212n211 =α==α=α astfel încât să avem
),ax)(x,...,x,x(...)ax)(x,...,x,x()ax)(x,...,x,x(
)ax(...)ax()ax()a,...,a,a(f)x,...,x,x(f
nnn21n22n21211n211
nnn222111n21n21
−α++−α+−α+
+−λ++−λ+−λ=−
X)x,...,x,x( n21 ∈∀ .
CAPITOLUL al VI-lea 76
Se spune că )x,...,x,x(f n21 este diferenţiabilă pe X dacă este diferenţiabilă în orice punct din
X .
Dacă funcţia )x,...,x,x(f n21 este diferenţiabilă pe nX R⊂ , diferenţiala sa într-un punct arbitrar
din X se scrie
nn
n212
2
n211
1
n21n21 dx
x
)x,...,x,x(f...dx
x
)x,...,x,x(fdx
x
)x,...,x,x(f)x,...,x,x(df
∂
∂++
∂
∂+
∂
∂=
sau
.dxxf
...dxxf
dxxf
df nn
22
11 ∂
∂++
∂∂
+∂∂
=
Diferenţiale de ordin superior
Fie RR →⊂ 2A:f , f = f(x,y) o funcţie reală de două variabile reale şi 'AA)b,a( ∩∈o
.
Definiţie. Se spune că funcţia f este diferenţiabilă de n ori în punctul (a,b) dacă toate
derivatele parţiale de ordinul n – 1 ale lui f există într-o vecinătate V a lui (a,b) şi sunt diferenţiabile în
(a,b) .
Se spune că f este diferenţiabilă de n ori pe A dacă este diferenţiabilă de n ori în fiecare punct
din A .
Diferenţiala de ordinul n în punctul (a,b) se notează )b,a(fdn şi se defineşte prin egalitatea
)b,a(fdyy
dxx
)b,a(fdn
n⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
+∂∂
= ,
unde exponentul n înseamnă că se dezvoltă formal suma din paranteză după regula binomului lui
Newton şi apoi se înmulţeşte formal cu f(a,b).
Observaţie. Pentru funcţii de n variabile reale, diferenţiabilitatea de ordinul n se defineşte
ca şi pentru funcţiile de două variabile reale.
Fie RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= o funcţie reală de n variabile reale şi
'XX)a,...,a,a( n21 ∩∈o
.
Se spune că funcţia f este diferenţiabilă de n ori în punctul )a,...,a,a( n21 dacă toate derivatele
parţiale de ordinul n – 1 ale lui f există într-o vecinătate V a lui )a,...,a,a( n21 şi sunt diferenţiabile în
)a,...,a,a( n21 .
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 77
Se spune că f este diferenţiabilă de n ori pe X dacă este diferenţiabilă de n ori în fiecare punct
din X .
Diferenţiala de ordinul n în punctul )a,...,a,a( n21 se notează )a,...,a,a(fd n21n şi se defineşte
prin egalitatea
)a,...,a,a(fdxx
...dxx
dxx
)a,...,a,a(fd n21
n
nn
22
11
n21n
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
++∂∂
+∂∂
= .
Exemplu. Să se calculeze )2,0,1(fd2 pentru funcţia
z5xxyzy2x)z,y,x(f 2423 −+−++= .
Soluţie. Conform teoriei
Avem
.0zyf
,0zxf
,y2yxf
,z12z
f,x24
y
f
,x6x
f,5z4
zf
,xy2y4yf
,1yx3xf
2222
2
2
2
2
2
2322
=∂∂
∂=
∂∂∂
−=∂∂
∂=
∂
∂−=
∂
∂
=∂
∂−=
∂∂
−=∂∂
+−=∂∂
Astfel
0zy
)2,0,1(f,0
zx)2,0,1(f
,002yx
)2,0,1(f
,48212z
)2,0,1(f,2124
y
)2,0,1(f,616
x
)2,0,1(f
222
22
2
2
2
2
2
=∂∂
∂=
∂∂∂
=⋅−=∂∂
∂
=⋅=∂
∂=⋅−=
∂
∂=⋅=
∂
∂
şi
2222 )dz(48)dy(2)dx(6)2,0,1(fd ++= .
.dydzzy
)2,0,1(f2dxdz
zx)2,0,1(f
2dxdyyx
)2,0,1(f2
)dz(z
)2,0,1(f)dy(
y
)2,0,1(f)dx(
x
)2,0,1(f
)2,0,1(fdzz
dyy
dxx
)2,0,1(fd
222
22
22
2
22
2
2
22
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂∂
+
+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
CAPITOLUL al VI-lea 78
Diferenţiala funcţiilor compuse
Fie RR →⊂ 2A:v,u , u = u(x,y), v = v(x,y) două funcţii reale de două variabile reale astfel ca
B))y,x(v),y,x(u( ∈ , A)y,x( ∈∀ şi R→B:f , f = f(u,v) o funcţie reală definită pe B.
Putem considera funcţia compusă F(x,y) = f(u(x,y),v(x,y)).
Teoremă. Dacă funcţiile u(x,y) şi v(x,y) sunt diferenţiabile pe A şi funcţia f(u,v) este
diferenţiabilă pe B, atunci funcţia compusă F(x,y) = f(u(x,y),v(x,y)) este diferenţiabilă pe A.
Avem dyyF
dxxF
dF∂∂
+∂∂
= . Dar
xv
vf
xu
uf
xF
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
şi yv
vf
yu
uf
yF
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
.
Înlocuind, obţinem
.dfdvvf
duuf
dyyv
dxxv
vf
dyyu
dxxu
uf
dyyv
vf
yu
uf
dxxv
vf
xu
uf
dF
=∂∂
+∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=
Rezultă că diferenţiala de ordinul întâi este invariantă faţă de compunerea funcţiilor.
Diferenţiala de ordin doi a funcţiilor compuse
Teoremă. Dacă funcţiile )y,x(uu = şi )y,x(vv = sunt diferenţiabile de două ori pe A şi
funcţia )v,u(f este diferenţiabilă de două ori pe B, atunci funcţia compusă ))y,x(v),y,x(u(f)y,x(F =
este diferenţiabilă de două ori pe A.
Avem
22
222
2
22 )dy(
y
Fdxdy
yxF
2)dx(x
FFd
∂
∂+
∂∂∂
+∂
∂= .
Înlocuind derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei compuse F şi efectuând calculele,
obţinem
vdvf
uduf
fdFd 2222
∂∂
+∂∂
+= .
Rezultă că diferenţiala de ordinul doi nu este invariantă faţă de compunerea funcţiilor.
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 79
6.3. Formula lui Taylor pentru funcţii de mai multe variabile
Fie RR →⊂ 2A:f , )y,x(ff = o funcţie diferenţiabilă de 1n + ori în punctul o
A)b,a( ∈ .
Presupunem că în toate derivatele parţiale mixte nu are importanţă ordinea variabilelor în raport cu care
se derivează.
Polinomul lui Taylor de gradul n, ataşat funcţiei f în punctul (a,b) este
)b,a(fd!n
1...)b,a(fd
!21
)b,a(df!1
1)b,a(f)b,a(T n2
n ++++= .
Formula lui Taylor de ordinul n pentru funcţia f în punctul (a,b) este
)y,x(R)b,a(T)y,x(f nn += , adică
)y,x(R)b,a(fd!n
1...)b,a(fd
!21
)b,a(df!1
1)b,a(f)y,x(f n
n2 +++++= ,
unde )y,x(Rn reprezintă restul de ordin n al formulei lui Taylor.
Observaţie. Formula lui Taylor rămâne adevărată pentru funcţii de n variabile reale.
Fie RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= o funcţie diferenţiabilă de 1n + ori în punctul
o
X)a,...,a,a( n21 ∈ . Presupunem că în toate derivatele parţiale mixte nu are importanţă ordinea
variabilelor în raport cu care se derivează.
Polinomul lui Taylor de gradul n, ataşat funcţiei f în punctul )a,...,a,a( n21 este
).a,...,a,a(fd!n
1...)a,...,a,a(fd
!21
)a,...,a,a(df!1
1)a,...,a,a(f)a,...,a,a(T
n21n
n212
n21n21n21n
+++
++=
Formula lui Taylor de ordinul n pentru funcţia f în punctul )a,...,a,a( n21 este
)x,...,x,x(R)a,...,a,a(T)x,...,x,x(f n21nn21nn21 += ,
adică
,)x,...,x,x(R)a,...,a,a(fd!n
1...
)a,...,a,a(fd!2
1)a,...,a,a(df
!11
)a,...,a,a(f)x,...,x,x(f
n21nn21n
n212
n21n21n21
+++
+++=
unde )x,...,x,x(R n21n reprezintă restul de ordin n al formulei lui Taylor.
CAPITOLUL al VI-lea 80
6.4. Puncte de extrem pentru funcţii de mai multe variabile
Definiţie. Fie RR →⊂ 2A:f , )y,x(ff = şi )b,a( un punct din A .
Se spune că )b,a( este punct de minim local (sau minim relativ) al funcţiei f dacă
( )b,aVV∈∃ astfel încât )b,a(f)y,x(f ≥ , AV)y,x( ∩∈∀ .
Se spune că )b,a( este punct de maxim local (sau maxim relativ) al funcţiei f dacă
( )b,aVV∈∃ astfel încât )b,a(f)y,x(f ≤ , AV)y,x( ∩∈∀ .
Punctele de minim local sau maxim local ale funcţiei f se numesc puncte de extrem local ale
lui f .
Teoremă. Fie RR →⊂ 2A:f , )y,x(ff = şi )b,a( un punct interior mulţimii A . Dacă
)b,a( este un punct de extrem local al funcţiei f şi f are derivate parţiale de ordinul întâi în )b,a( , atunci
0x
)b,a(f=
∂∂
şi 0y
)b,a(f=
∂∂
.
Soluţiile sistemului
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂∂
=∂∂
0yf
0xf
formează mulţimea punctelor staţionare ale funcţiei f .
Teoremă. Fie RR →⊂ 2A:f , )y,x(ff = şi )b,a( un punct staţionar al funcţiei f .
Fie
2221
12112111 aa
aa,a =∆=∆ ,
unde
2
2
22
2
122
2
11y
)b,a(fa,
yx)b,a(f
a,x
)b,a(fa
∂
∂=
∂∂∂
=∂
∂= .
1) Dacă 01 >∆ şi 02 >∆ , atunci )b,a( este un punct de minim pentru f.
2) Dacă 01 <∆ şi 02 >∆ , atunci )b,a( este un punct de maxim pentru f.
Exemplu. Să se determine punctele de extrem local pentru funcţia
22 )2x(xy)y,x(f −−= .
Soluţie. Punctele staţionare sunt soluţii ale sistemului
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 81
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=−−−−⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂∂
=∂∂
0y2
0)2x(x2)2x(
0yf
0xf
2
Obţinem două puncte staţionare )0,2(M1 şi ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 0,32
M2 .
Cum
2y
f,0
yxf
,x2)2x(2)2x(2x
f2
22
2
2=
∂
∂=
∂∂∂
−−−−−=∂
∂ ,
rezultă
- pentru )0,2(M1
2y
)0,2(fa,0
yx)0,2(f
a,4x
)0,2(fa
2
2
22
2
122
2
11 =∂
∂==
∂∂∂
=−=∂
∂=
şi
820
04,4 21 −=
−=∆−=∆ ⇒ (2,0) nu este punct de extrem
- pentru ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 0,32
M2
2y
0,32
fa,0
yx
0,32
fa,4
x
0,32
fa
2
2
22
2
122
2
11 =∂
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂==
∂∂
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂==
∂
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂=
şi
82004,4 21 ==∆=∆ ⇒ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ 0,32
este punct de minim.
Definiţie. Fie RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= şi )a,...,a,a( n21 un punct din X.
Se spune că )a,...,a,a( n21 este un punct de minim local (sau minim relativ) al funcţiei f dacă
)a,...,a,(aVV n21 ∈∃ astfel încât )a,...,a,a(f)x,...,x,x(f n21n21 ≥ ,
XV)x,...,x,x( n21 ∩∈∀ .
Se spune că )a,...,a,a( n21 este un punct de maxim local (sau maxim relativ) al funcţiei f dacă
)a,...,a,(aVV n21 ∈∃ astfel încât )a,...,a,a(f)x,...,x,x(f n21n21 ≤ ,
XV)x,...,x,x( n21 ∩∈∀
Punctele de minim local sau maxim local ale funcţiei f se numesc puncte de extrem local ale
lui f .
CAPITOLUL al VI-lea 82
Teoremă. Fie RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= şi )a,...,a,a( n21 un punct interior
mulţimii X . Dacă )a,...,a,a( n21 este un punct de extrem local al funcţiei f şi f are derivate parţiale de
ordinul întâi în )a,...,a,a( n21 , atunci
0x
)a,...,a,a(f
1
n21 =∂
∂, 0
x)a,...,a,a(f
2
n21 =∂
∂, …, 0
x)a,...,a,a(f
n
n21 =∂
∂.
Soluţiile sistemului
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂∂
=∂∂
=∂∂
0xf
..............
0xf
0xf
n
2
1
formează mulţimea punctelor staţionare ale funcţiei f .
Teoremă. Fie RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= şi )a,...,a,a( n21 un punct staţionar
al funcţiei f .
Fie
nn2n1n
n22221
n11211
n2221
12112111
a...aa
............
a...aa
a...aa
,...,aa
aa,a =∆=∆=∆ ,
unde
ji
n212
ij xx)a,...,a,a(f
a∂∂
∂= .
1) Dacă 01 >∆ , 02 >∆ , …, 0n >∆ , atunci )a,...,a,a( n21 este un punct de minim pentru
f.
2) Dacă 01 <∆ , 02 >∆ , 03 <∆ , 04 >∆ , …, atunci )a,...,a,a( n21 este un punct de
maxim pentru f.
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 83
Exemplu. Să se determine punctele de extrem local pentru funcţia
16z
zy
yx
x1
)z,y,x(f +++= , x > 0, y > 0, z > 0.
Soluţie. Punctele staţionare sunt soluţii ale sistemului
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+−
=+−
=+−
⇔
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂∂
=∂∂
=∂∂
0161
z
y
0z1
y
x
0y1
x
1
0xf
0xf
0xf
2
2
2
Obţinem un singur punct staţionar )8,4,2(M .
Cum
,z
1zyf
,0zxf
,y
1yxf
,z
y2
z
f,
y
x2
y
f,
x
2
x
f2
22
2
2
32
2
32
2
32
2−=
∂∂∂
=∂∂
∂−=
∂∂∂
=∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
rezultă
641
8
1zy
)8,4,2(fa,0
zx)8,4,2(f
a,161
4
1yx
)8,4,2(fa
,641
8
42
z
)8,4,2(fa,
161
4
22
y
)8,4,2(fa,
41
2
2
x
)8,4,2(fa
2
2
23
2
132
2
12
32
2
3332
2
2232
2
11
−=−=∂∂
∂==
∂∂∂
=−=−=∂∂
∂=
=⋅
=∂
∂==
⋅=
∂
∂===
∂
∂=
şi
.64642
1
641
641
0
641
161
161
0161
41
,16
3
161
161
161
41
,41
3
22
1
⋅⋅=
−
−−
−
=∆
=−
−=∆
=∆
Deoarece 01 >∆ , 02 >∆ , 03 >∆ rezultă că punctul staţionar )8,4,2(M este punct de
minim.
CAPITOLUL al VI-lea 84
6.5. Derivata după o direcţie. Gradient. Divergenţă. Rotor
Definiţie. Fie funcţia RR →⊂ 3A:f , f = f(x,y,z), presupusă derivabilă parţial pe A, fie
)z,y,x(M 0000 un punct interior mulţimii A şi )cos,cos,(cos γβαl o direcţie dată 1. Fie M(x,y,z) un
punct oarecare al dreptei care trece prin 0M şi are vectorul director l .
Se numeşte derivata funcţiei f după direcţia l în punctul 0M limita
|MM|
)M(f)M(flim
0
0
MM 0
−
→.
Se notează ld
)M(df 0 şi are expresia
γ∂
∂+β
∂
∂+α
∂
∂= cos
z
)z,y,x(fcos
y
)z,y,x(fcos
x
)z,y,x(f
d
)z,y,x(df 000000000000l
.
Exemplu. Să se calculeze derivata funcţiei zxyzxy)z,y,x(f ++= în punctul )3,1,2(M0 ,
după direcţia NM0 , unde )15,5,5(N .
Soluţie. Cum xyzf
,zxyf
,zyxf
+=∂∂
+=∂∂
+=∂∂
rezultă că
3z
)3,1,2(f,5
y)3,1,2(f
,4x
)3,1,2(f=
∂∂
=∂
∂=
∂∂
.
Cosinusurile directoare ale direcţiei NM0 sunt
.1312
1443
12cos
,134
1443
4cos
,133
1443
3cos
222
222
222
=++
=γ
=++
=β
=++
=α
Prin urmare, 1368
1312
3134
5133
4d
)3,1,2(df=⋅+⋅+⋅=
l.
1 În funcţie de parametrii directori a, b, c ai unei direcţii date l , cosinusurile directoare se determină prin formulele:
2c2b2a
ccos,
2c2b2a
bcos,
2c2b2a
acos
++±=γ
++±=β
++±=α .
Semnele ± corespund celor două sensuri de pe direcţia considerată.
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 85
Definiţie 2. Fie u(x,y,z) o funcţie reală definită pe 3A R⊂ , derivabilă parţial pe A. Se
numeşte gradientul funcţiei u sau gradientul câmpului scalar u şi se notează ugrad funcţia vectorială
kzu
jyu
ixu
ugrad∂∂
+∂∂
+∂∂
= .
Gradientul într-un punct este normal la suprafaţa u = const. (numită suprafaţă de nivel), direcţia
sa reprezentând direcţia celei mai rapide creşteri a funcţiei u.
În mod formal, gradientul funcţiei u se obţine prin aplicarea operatorului 3
kz
jy
ix ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∇
funcţiei u: uugrad ∇= .
Definiţie4. Fie ))z,y,x(v),z,y,x(v),z,y,x(v()z,y,x(v 321= o funcţie vectorială definită pe
3A R⊂ cu valori în 3R , derivabilă parţial pe A . Se numeşte divergenţa funcţiei v sau divergenţa
câmpului vectorial v şi se notează vdiv funcţia scalară
zv
yv
xv
vdiv 321∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= .
Simbolic, divergenţa câmpului vectorial v se poate defini ca produsul scalar dintre operatorul
∇ şi v: vvdiv ⋅∇= .
Dacă divergenţa se anulează într-un domeniu D, câmpul vectorial v se spune că este
solenoidal.
Definiţie5. Fie ))z,y,x(v),z,y,x(v),z,y,x(v()z,y,x(v 321= o funcţie vectorială definită pe
3A R⊂ cu valori în 3R , derivabilă parţial pe A . Se numeşte rotorul funcţiei v sau rotorul câmpului
vectorial v şi se notează rot v funcţia vectorială
kyv
xv
jx
vzv
iz
vy
vvrot 123123 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂−
∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂= .
2 Noţiunea de gradient are originea în lucrările lui W. Hamilton (1853), iar denumirea şi notaţia se datoresc lui G. B.
Riemann (1854) şi J. C. Maxwell (1855).
3 Operatorul kz
jy
ix ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇ se numeşte operatorul nabla sau operatorul lui Hamilton
4 Noţiunea de divergenţă are originea în lucrările lui W. Hamilton (1853), iar denumirea şi notaţia se datoresc lui M. Abraham
(1902) şi P. Langevin (1905)
5 Noţiunea de rotor are originea în lucrările lui W. Hamilton (1853), iar denumirea şi notaţia se datoresc lui H. Lorentz (1895)
şi M. Abraham (1902)
CAPITOLUL al VI-lea 86
Simbolic, rotorul câmpului vectorial v se poate scrie ca produsul vectorial dintre operatorul ∇
şi v
321 vvvzyx
kji
vvrot∂∂
∂∂
∂∂
=×∇= .
Dacă rotorul se anulează într-un anumit domeniu, câmpul vectorial v se spune că este
irotaţional (sau lamentar) în acel domeniu.
Exemplu. Să se arate că:
a 6) u)ugrad(div ∆= , 2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∆ ;
b) 0)vrot(div = ;
c) 0)ugrad(rot = .
Soluţie.
a) uz
u
y
u
x
uzu
zyu
yxu
x)ugrad(div
2
2
2
2
2
2∆=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
= ;
;0yz
vzy
vxz
vzx
vxy
vyx
v
yzv
xzv
xy
v
zyv
zxv
yx
v
yv
xv
zx
v
zv
yzv
y
v
x)vrot(div)b
12
12
22
22
32
32
12
22
32
12
22
32
123123
=∂∂
∂−
∂∂
∂+
∂∂
∂−
∂∂
∂+
∂∂
∂−
∂∂
∂=
∂∂
∂−
∂∂
∂+
∂∂
∂−
∂∂
∂+
∂∂
∂−
∂∂
∂=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂
∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂−
∂
∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂
∂∂
=
.0kxy
uyxu
jzx
uxz
ui
yzu
zyu
kxu
yyu
x
jzu
xxu
zi
yu
zzu
y)ugrad(rot)c
222222=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂∂
−∂∂
∂+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂∂
−∂∂
∂+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂∂
−∂∂
∂=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=
FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 87
6.6. Probleme propuse
1. Folosind definiţia să se calculeze:
a) )0,1(f 'x şi )0,1(f '
y pentru 2yxe)y,x(f −= ;
b) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ππ3
,4
f 'x şi ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ππ3
,4
f 'y pentru 1ysincos)y,x(f +−= .
2. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi al doilea pentru următoarele funcţii:
a) 3yyx3x)y,x(f 423 +++= ; b) xysinyx)y,x(f 2 ++= ;
c) 23 y)x2(x)y,x(f −−= ; d) 22 y4x)y,x(f += ;
e) ysinx)y,x(f 32= ; f) yxyx
)y,x(f2
+= ;
g) 234 zyxe)z,y,x(f ++= ; h) zsinxy 2
e)z,y,x(f = ;
i) 22 zy
xarcsin)z,y,x(f
+= ; j) 3z)1xln(e)z,y,x(f 52y ++++=
(funcţiile sunt înţelese pe domeniile lor maxime de existenţă).
3. Să se calculeze )3,2(df şi )3,2(fd2 pentru următoarele funcţii:
a) 522 xyxy3x)y,x(f ++= ;
b) )xyyx1ln()y,x(f +++= .
4. Să se calculeze )0,2,1(df şi )0,2,1(fd2 pentru următoarele funcţii:
a) yzxzxy eee)z,y,x(f ++= ;
b) xyz3z3y2x)z,y,x(f 223 −+−= .
5. Să se arate că funcţiile următoare verifică relaţiile indicate:
a) 5 566 xy2yx)y,x(f ++= , f56
yf
yxf
x =∂∂
+∂∂
;
b) 0x,xy
sin)yx()y,x(f 22 ≠+= , f2yf
yxf
x =∂∂
+∂∂
;
6 Operatorul 2z
2
2y
2
2x
2
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∆ se numeşte operatorul lui Laplace
CAPITOLUL al VI-lea 88
c) zyyx
arctg)zyxx()z,y,x(f 2005520002005
++
−+= , f2005zf
zyf
yxf
x =∂∂
+∂∂
+∂∂
;
d) 45
549549
zy
yxcos)zyxx()z,y,x(f
+
+++= , )z,y,x(f9
zf
zyf
yxf
x =∂∂
+∂∂
+∂∂
.
6. Să se determine punctele de extrem local pentru funcţiile:
a) y16x32xy16y4x)y,x(f 22 −+−+= , 2)y,x( R∈ ;
b) yx2xy6yx3yx)y,x(f 2233 −−+−+= , 2)y,x( R∈ ;
c) 3z12y8x6z2yx)z,y,x(f 222 +−+−+−= , 3)z,y,x( R∈ ;
d) yz4xz6xy4y2x)z,y,x(f 22 −+−+= , 3)z,y,x( R∈ ;
e) yz4xy2x2zyx)z,y,x(f 2223 +−−++= , 3)z,y,x( R∈ ;
f) yz18xz12xy3zyx)z,y,x(f 222 −−−++= , 3)z,y,x( R∈ .
7. Să se demonstreze următoarele formule din analiza vectorială:
a) vdivuuvgrad)uv(div += ;
b) vrotuv)ugrad()uv(rot +×= .
FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT 89
CAPITOLUL al VII -lea
FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT
7.1. Funcţii implicite definite de ecuaţia 0)y,x(F =
Definiţie. Fie ecuaţia
(1) F(x,y) = 0,
unde F = F(x,y) este o funcţie reală definită pe BA × , R⊂A , R⊂B .
O funcţie
(2) BA:)x(fy →=
se numeşte soluţie în raport cu y a ecuaţiei (1) pe mulţimea A, dacă
0))x(f,x(F = , Ax∈∀ .
Observaţie. Ecuaţia (1) poate avea în raport cu y o soluţie, mai multe soluţii sau nici una.
Ne interesează cazul când ecuaţia (1) admite o singură soluţie (2). Spunem în acest caz că
funcţia f(x) este definită implicit de ecuaţia (1).
Teorema de existenţă şi unicitate. Fie F(x,y) o funcţie reală definită pe BA × , R⊂A ,
R⊂B şi )y,x( 00 un punct interior lui BA × . Dacă
• F )y,x( 00 = 0,
• F admite derivate parţiale continue în BA × ,
• 0y
)y,x(F 00 ≠∂
∂,
atunci:
a) există o vecinătate U a lui x0, o vecinătate V a lui y0 şi o funcţie unică VU:)x(fy →=
astfel încât 00 y)x(f = şi 0))x(f,x(F = , Ux∈∀ ,
b) funcţia y =f(x) are derivata continuă pe U şi Ux,
y)y,x(F
x)y,x(F
)x('f ∈∀
∂∂∂
∂
−= .
Observaţie. Dacă funcţia F(x,y) admite derivate parţiale de ordinul k continue în BA × ,
atunci funcţia y = f(x) are derivata de ordinul k continuă pe U.
CAPITOLUL al VII-lea 90
Exemple.
1) Să se calculeze )x('f pentru funcţia y = f(x) definită implicit de ecuaţia
02005yyx3xyx 32 =+++−− .
Soluţie. Metoda I. Pentru calculul lui )x('f se poate utiliza formula
y)y,x(F
x)y,x(F
)x('f
∂∂∂
∂
−= .
Cum 2005yyx3xyx)y,x(F 32 +++−−= şi
3yx2x
)y,x(F−−=
∂∂
, 1y3xy
)y,x(F 2 ++−=∂
∂,
rezultă că 1xy3
3yx2)x('f
2 +−
−−−= .
Metoda a II-a. Deoarece y = f(x) verifică ecuaţia
02005yyx3xyx 32 =+++−− ,
rezultă că 02005)x(f)x(fx3)x(xfx 32 =+++−− .
Derivând această ultimă identitate, obţinem
0)x('f)x('f)x(f33)x('xf)x(fx2 2 =++−−− ,
de unde deducem
1x)x(f3
3)x(fx2)x('f
2 +−
−−−= sau
1xy3
3yx2)x('f
2 +−
−−−= .
2) Să se calculeze )0('f şi )0("f pentru funcţia y = f(x) definită implicit de ecuaţia
01yxy2xyx 22 =−−++− , ştiind că f(0) = 1.
Soluţie. Cum 1yxy2xyx)y,x(F 22 −−++−= avem
1yx2x
)y,x(F+−=
∂∂
, 1y4xy
)y,x(F−+−=
∂∂
,
iar 1y4x1yx2
y)y,x(F
x)y,x(F
)x('f+−+−
=
∂∂∂
∂
−= .
Deoarece f(0) = 1, rezultă că 011401102
)0('f =+⋅−+−⋅
= .
Pentru determinarea lui )x("f derivăm relaţia
FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT 91
1y4x1yx2
)x('f+−+−
=
în raport cu x, considerând y ca funcţie de x.
Obţinem 2)1y4x(
)'y41)(1yx2()1y4x)('y2()x("f
+−
−+−−+−−= .
Înlocuind pe 'y obţinut mai sus, găsim
2)1y4x(
1y4x1yx2
41)1yx2()1y4x(1y4x1yx2
2
)x("f+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−+−
−+−−+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−+−
−
=
astfel că
32
)1140(
11401102
41)1102()1140(11401102
2)0("f
2−=
+⋅−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⋅−+−⋅
−+−⋅−+⋅−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⋅−+−⋅
−= .
Interpretarea geometrică a derivatelor parţiale ale funcţiei F(x,y)
Se ştie că ecuaţia tangentei la curba y = f(x) în punctul (a,b) al curbei este
)ax)(a('fby −=− .
În ipoteza că y = f(x) este funcţie implicită definită de ecuaţia F(x,y)=0, avem
y)b,a(F
x)b,a(F
)a('f
∂∂∂
∂
−=
şi ecuaţia tangentei se scrie
)ax(
y)b,a(F
x)b,a(F
by −
∂∂∂
∂
−=−
sau echivalent 0y
)b,a(F)by(
x)b,a(F
)ax( =∂
∂−+
∂∂
− .
Rezultă că derivatele parţiale x
)b,a(F∂
∂ şi
y)b,a(F
∂∂
sunt parametrii directori ai tangentei la
curba definită de ecuaţia F(x,y) = 0 în punctul (a,b) al ei.
Exemplu. Să se scrie ecuaţia tangentei la cercul de ecuaţie 222 Ryx =+ în punctul
)y,x(M 000 ce aparţine cercului.
Soluţie. Ecuaţia tangentei în M0 este
0y
)y,x(F)yy(
x
)y,x(F)xx( 00
000
0 =∂
∂−+
∂
∂− ,
unde 222 Ryx)y,x(F −+= .
CAPITOLUL al VII-lea 92
Cum 000
000 y2
y)y,x(F
,x2x
)y,x(F=
∂
∂=
∂
∂ avem
0y2)yy(x2)xx( 0000 =−+− sau 0)yx(yyxx 20
2000 =+−+ .
Deoarece )y,x(M 000 aparţine cercului 222 Ryx =+ , rezultă că 220
20 Ryx =+ . Obţinem
astfel pentru tangenta căutată ecuaţia 200 Ryyxx =+ .
7.2. Funcţii implicite definite de ecuaţia 0)y,x,...,x,x(F n21 =
Definiţie. Fie ecuaţia
(3) 0)y,x,...,x,x(F n21 = ,
unde F = )y,x,...,x,x(F n21 este o funcţie reală definită pe BA × , nA R⊂ , R⊂B .
O funcţie
(4) BA:)x,...,x,x(fy n21 →=
se numeşte soluţie în raport cu y a ecuaţiei (3) pe mulţimea A, dacă
0))x,...,x,x(f,x,...,x,x(F n21n21 = , A)x,...,x,x( n21 ∈∀ .
Observaţie. Ecuaţia (3) poate avea în raport cu y o soluţie, mai multe soluţii sau nici una.
Ne interesează cazul când ecuaţia (3) admite o singură soluţie (4). Spunem în acest caz că
funcţia f(x n21 x,...,x, ) este definită implicit de ecuaţia (3).
Teorema de existenţă şi unicitate. Fie F(x n21 x,...,x, ,y) o funcţie reală definită pe
BA × , nA R⊂ , R⊂B şi )y,x,...,x,x( 00n
02
01 un punct interior lui BA × . Dacă
• F )y,x,...,x,x( 00n
02
01 = 0,
• F admite derivate parţiale continue în BA × ,
• 0y
)y,x,...,x,x(F 00n
02
01 ≠
∂
∂,
atunci:
a) există o vecinătate U a lui )x,...,x,x( 0n
02
01 , o vecinătate V a lui y0 şi o funcţie unică
VU:)x,...,x,x(fy n21 →= astfel încât
00n
02
01 y)x,...,x,x(f = şi 0))x,...,x,x(f,x,...,x,x(F n21n21 = , U)x,...,x,x( n21 ∈∀ ,
b) funcţia y = f( n21 x,...,x,x ) are derivate parţiale de ordinul întâi continue pe U şi
FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT 93
.U)x,...,x,x(,
y)y,x,...,x,x(F
x)y,x,...,x,x(F
x)x,...,x,x(f
...............................................................
y)y,x,...,x,x(F
x)y,x,...,x,x(F
x)x,...,x,x(f
,
y)y,x,...,x,x(F
x)y,x,...,x,x(F
x)x,...,x,x(f
n21n21
n
n21
n
n21
n21
2
n21
2
n21
n21
1
n21
1
n21
∈∀
∂
∂∂
∂
−=∂
∂
∂
∂∂
∂
−=∂
∂
∂
∂∂
∂
−=∂
∂
Observaţie. Dacă funcţia F( n21 x,...,x,x ,y) admite derivate parţiale de ordinul k continue în
BA × , atunci funcţia y = f( n21 x,...,x,x ) are derivate parţiale de ordinul k continue pe U.
Exemplu. Să se calculeze x
)2,2(f∂
∂ şi
y)2,2(f
∂∂
pentru funcţia )y,x(fz = definită implicit
de ecuaţia
0zxyyexe zz =−−+ ştiind că 0)2,2(f = .
Soluţie. Pentru calculul derivatelor parţiale x
)y,x(f∂
∂ şi
y)y,x(f
∂∂
se utilizează formulele:
z)z,y,x(F
x)z,y,x(F
x)y,x(f
∂
∂∂
∂
−=∂
∂ ,
z)z,y,x(F
y)z,y,x(F
y)y,x(f
∂∂
∂∂
−=∂
∂ .
Cum zxyyexe)z,y,x(F zz −−+= avem
1yexex
)z,y,x(F,xe
y)z,y,x(F
,yex
)z,y,x(F zzzz −+=∂
∂−=
∂∂
−=∂
∂
iar
1yexe
yex
)y,x(fzz
z
−+
−−=
∂∂
şi 1yexe
xey
)y,x(fzz
z
−+
−−=
∂∂
.
Deoarece 0)2,2(f = , rezultă că
31
1e2e2
2ex
)2,2(f00
0=
−+
−−=
∂∂
şi 31
1e2e2
2ey
)2,2(f00
0=
−+
−−=
∂∂
.
CAPITOLUL al VII-lea 94
Interpretarea geometrică a derivatelor parţiale ale funcţiei F(x,y,z)
Se ştie că ecuaţia planului tangent la suprafaţa z = f(x,y) în punctul (a,b,c) al suprafeţei este
)by(y
)b,a(z)ax(
x)b,a(z
cz −∂
∂+−
∂∂
=− .
În ipoteza că z = f(x,y) este funcţie implicită definită de ecuaţia F(x,y,z)=0, avem
z)c,b,a(F
x)c,b,a(F
x)b,a(z
∂∂
∂∂
−=∂
∂ ,
z)c,b,a(F
y)c,b,a(F
y)b,a(z
∂∂
∂∂
−=∂
∂
şi ecuaţia planului tangent se scrie
)by(
z)c,b,a(F
y)c,b,a(F
)ax(
z)c,b,a(F
x)c,b,a(F
cz −
∂∂
∂∂
−−
∂∂
∂∂
−=−
sau echivalent
0z
)c,b,a(F)cz(
y)c,b,a(F
)by(x
)c,b,a(F)ax( =
∂∂
−+∂
∂−+
∂∂
− .
Rezultă că derivatele parţiale x
)c,b,a(F∂
∂,
y)c,b,a(F
∂∂
şi z
)c,b,a(F∂
∂ sunt parametrii directori ai
normalei la suprafaţa definită de ecuaţia F(x,y,z) = 0 în punctul (a,b,c) al ei.
Exemplu. Să se scrie ecuaţia planului tangent la elipsoidul de ecuaţie
01c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2=−++ în punctul )z,y,x(M 0000 ce aparţine elipsoidului.
Soluţie. Ecuaţia planului tangent în M0 este
0z
)z,y,x(F)zz(
y)z,y,x(F
)yy(x
)z,y,x(F)xx( 000
0000
0000
0 =∂
∂−+
∂
∂−+
∂
∂− ,
unde 1c
z
b
y
a
x)z,y,x(F
2
2
2
2
2
2−++= .
Cum 20000
20000
20000
c
z2z
)z,y,x(F,
b
y2y
)z,y,x(F,
a
x2x
)z,y,x(F=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
avem
0c
z2)zz(
b
y2)yy(
a
x2)xx(
20
020
020
0 =−+−+−
sau 0c
z
b
y
a
x
c
zz
b
yy
a
xx2
20
2
20
2
20
20
20
20 =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−++ .
FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT 95
Deoarece )z,y,x(M 0000 aparţine elipsoidului 01c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2=−++ , rezultă că
1c
z
b
y
a
x2
20
2
20
2
20 =++ .
Obţinem astfel pentru planul tangent cerut ecuaţia 1c
zz
b
yy
a
xx20
20
20 =++ .
7.3. Sisteme de funcţii definite implicit
Definiţie. Fie sistemul de ecuaţii
(5)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
,0)y,...,y,y;x,...,x,x(F
.....................................................
0)y,...,y,y;x,...,x,x(F
0)y,...,y,y;x,...,x,x(F
m21n21m
m21n212
m21n211
unde )y,...,y,y;x,...,x,x(F m21n21i , m,1i = sunt funcţii reale definite pe BA × , nA R⊂ , mB R⊂ .
Un sistem de funcţii
(6)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
→=
→=
→=
R
R
R
A:)x,...,x,x(fy
.................................................
A:)x,...,x,x(fy
A:)x,...,x,x(fy
n21mm
n2122
n2111
se numeşte soluţie în raport cu )y,...,y,y( m21 a sistemului (5) pe mulţimea A, dacă
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
0))x,...,x,x(f),...,x,...,x,x(f),x,...,x,x(f;x,...,x,x(F
.................................................................................................................
0))x,...,x,x(f),...,x,...,x,x(f),x,...,x,x(f;x,...,x,x(F
0))x,...,x,x(f),...,x,...,x,x(f),x,...,x,x(f;x,...,x,x(F
n21mn212n211n21m
n21mn212n211n212
n21mn212n211n211
A)x,...,x,x( n21 ∈∀ .
Observaţie. Sistemul (5) poate avea în raport cu )y,...,y,y( m21 o soluţie, mai multe soluţii
sau nici una.
Ne interesează cazul când sistemul (5) admite o singură soluţie (6). Spunem în acest caz că
funcţiile f1(x n21 x,...,x, ) , f2(x n21 x,...,x, ), …, fm(x n21 x,...,x, ) sunt definite implicit de sistemul de
ecuaţii (5).
CAPITOLUL al VII-lea 96
Pentru simplificarea scrierii, notăm )x,...,x,x(x n21= şi )y,...,y,y(y m21= .
Dacă notăm )F,...,F,F(F m21= , atunci F este o funcţie vectorială definită pe BA × cu valori în
mR , iar sistemul (5) se scrie
( '5 ) 0)y,x(F = . De asemenea, dacă notăm )f,...,f,f(f m21= , atunci f este o funcţie vectorială definită pe A cu
valori în mR , iar sistemul (6) se scrie
( '6 ) )x(fy = . Teorema de existenţă şi unicitate. Fie funcţia vectorială
mm21 BA:)F,...,F,F(F R→×=
şi )y,...,y,y,x,...,x,x()y,x( n21n21oooooooo = un punct interior lui BA × . Dacă
• F )y,x( oo = 0,
• Fi , m,1i = admit derivate parţiale continue pe BA × ,
• 1) 0
yF
...yF
yF
............yF
...yF
yF
yF
...yF
yF
)y,...,y,y(D)F,...,F,F(D
m
m
2
m
1
m
m
2
2
2
1
2m
1
2
1
1
1
m21
m21 ≠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
= în )y,x( oo ,
atunci:
a) există o vecinătate U a lui ox , o vecinătate V a lui oy şi o funcţie vectorială unică
VU:))x(f),...,x(f),x(f()x(f m21 →= astfel încât oo y)x(f = şi 0))x(f,x(F = , m,1i = , Ux∈∀ ,
c) funcţiile f1=f1(x), f2=f2(x),…, fm=fm(x) au derivate parţiale de ordinul întâi continue pe U şi
)y,...,y,y(D)F,...,F,F(D)y,...,y,x(D)F,...,F,F(D
x)x(f
m21
m21
m2i
m21
i
1 −=∂
∂ calculat în x,
1 Determinantul )y,...,y,y(D
)F,...,F,F(D
m21
m21 se numeşte determinantul funcţional sau jacobianul funcţiilor m21 F,...,F,F în raport cu
variabilele m21 y,...,y,y . A fost introdus de K. Jacobi (1841), iar notaţia simbolică a fost propusă de către W. F. Donkin
(1854)
FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT 97
)y,...,y,y(D)F,...,F,F(D)y,...,x,y(D)F,...,F,F(D
x)x(f
m21
m21
mi1
m21
i
2 −=∂
∂ calculat în x,
…………………………………………………
)y,...,y,y(D)F,...,F,F(D)x,...,y,y(D)F,...,F,F(D
x)x(f
m21
m21
i21
m21
i
m −=∂
∂ calculat în x,
Ux∈∀ .
Observaţie. Dacă funcţiile iF , m,1i = admit derivate parţiale de ordinul k continue pe
BA × , atunci funcţiile f1(x), f2(x),…, fm(x) au derivate parţiale de ordinul k continue pe U.
Exemplu. Funcţiile u(x,y) şi v(x,y) sunt definite implicit de sistemul de ecuaţii
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=+
=+∗
.2005yvxu
xvu)(
2
Să se calculeze xv
,yu
,xu
∂∂
∂∂
∂∂
şi yv∂∂
.
Soluţie. Derivând în raport cu x cele două ecuaţii ale sistemului )(∗ şi ţinând seama că
u şi v sunt funcţii de x obţinem
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂∂
+∂∂
+
=∂∂
+∂∂
0xv
v2xu
xu
1xv
xu
sau
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
0xv
v2xu
x
1xv
xu
Pentru 0xv2v2x
11≠−= , utilizând regula lui Cramer, avem
xv2v2
v2x
11
v20
11
xu
−==
∂∂
, xv2
x
v2x
11
0x
11
xv
−−
==∂∂
.
Derivând în raport cu y cele două ecuaţii ale sistemului, obţinem
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
.1yv
v2yu
x
0yv
yu
CAPITOLUL al VII-lea 98
Pentru 0xv2v2x
11≠−= , utilizând regula lui Cramer, avem
xv21
v2x
11
v21
10
yu
−−
==∂∂
, xv2
1
v2x
11
1x
01
yv
−==
∂∂
.
7.4. Extreme condiţionate
În anumite probleme se cere găsirea extremelor unei funcţii )x,...,x,x(fy n21= , cu condiţia ca
cele n variabile să verifice anumite relaţii.
Această problemă se numeşte problema găsirii extremelor funcţiei cu legături.
Pentru rezolvarea acestei probleme, folosim metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Dacă se cere să se determine extremele funcţiei )x,...,x,x(fy n21= în care variabilele
n21 x,...,x,x sunt supuse la legăturile (condiţiile)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤=
=
=
nm,0)x,...,x,x(F
................................
0)x,...,x,x(F
0)x,...,x,x(F
n21m
n212
n211
se procedează astfel:
- se construieşte funcţia ajutătoare
)x,...,x,x(F...)x,...,x,x(F
)x,...,x,x(F)x,...,x,x(f),...,,;x,...,x,x(L
n21mmn2122
n2111n21m21n21
λ++λ+
+λ+=λλλ
cu coeficienţii m21 ,...,, λλλ nedeterminaţi; - se formează sistemul de n + m ecuaţii
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
==
=∂∂
=∂∂
=∂∂
⇔
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=λ∂∂
=λ∂∂
=λ∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
0F..............
0F0F
0xL
.............
0xL
0xL
0L
..............
0L
0L
0xL
.............
0xL
0xL
m
21
n
2
1
m
2
1
n
2
1
cu n + m necunoscute m21n21 ,...,,,x,...,x,x λλλ şi se rezolvă.
FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT 99
Fie ),...,,,a,...,a,a(P m21n21 µµµ una din soluţiile acestui sistem. Pentru a vedea dacă
punctul corespunzător )a,...,a,a(M n21 este extrem condiţionat al funcţiei date se procedează astfel:
- coeficienţii m21 ,...,, λλλ din funcţia ajutătoare L se înlocuiesc cu m21 ,...,, µµµ şi se
consideră funcţia
)x,...,x,x(F...)x,...,x,x(F)x,...,x,x(f)x,...,x,x(L n21mmn2111n21n21 µ++µ+=∗
- se calculează diferenţiala de ordinul doi a funcţiei ∗L de mai sus în punctul
)a,...,a,a(M n21
- se diferenţiază legăturile date, iar din sistemul astfel obţinut scoatem m dintre diferenţialele
n21 dx,...,dx,dx în funcţie de celelalte n - m
- se înlocuiesc cele m diferenţiale în diferenţiala de ordinul doi )a,...,a,a(Ld n212 ∗ şi se
obţine o formă pătratică în cele n - m diferenţiale rămase.
Dacă această formă pătratică este pozitiv definită, atunci punctul )a,...,a,a(M n21 este punct
de minim condiţionat pentru funcţia )x,...,x,x(f n21 , iar dacă această formă pătratică este negativ
definită, atunci punctul )a,...,a,a(M n21 este punct de maxim condiţionat pentru funcţia )x,...,x,x(f n21 .
Exemple.
1) Să se determine extremele funcţiei xy)y,x(f = , variabilele fiind legate prin condiţia
1yx =+ .
Soluţie. Funcţia ajutătoare are forma
)1yx(xy);y,x(L −+λ+=λ .
Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei L conduc, prin anulare, la sistemul
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+
=λ+
=λ+
.01yx
0x
0y
Unica soluţie a acestui sistem este 21
y,21
x == ; 21
−=λ .
Avem deci de considerat funcţia
)1yx(21
xy)y,x(L −+−=∗ .
Diferenţiala de ordinul doi a funcţiei ∗L în punctul ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛21
,21
M are forma următoare
CAPITOLUL al VII-lea 100
22
222
2
22 dy
y
)M(Ldxdy
yx)M(L
2dxx
)M(L)M(Ld
∂
∂+
∂∂∂
+∂
∂=
∗∗∗∗ .
Cum 0y
)M(L,1
yx)M(L
,0x
)M(L2
22
2
2=
∂
∂=
∂∂∂
=∂
∂ ∗∗∗ , avem dxdy2)M(Ld2 =∗ .
Diferenţiind legătura, obţinem 0dydx =+ , astfel că 22 )dx(2)M(Ld −=∗ şi deci punctul
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛21
,21
M este punct de maxim condiţionat pentru funcţia )y,x(f .
2) Să se determine extremele funcţiei zyx)z,y,x(f ++= , variabilele fiind legate prin
condiţiile
2zyx =+− , 4zyx 222 =++ .
Soluţie. Funcţia ajutătoare are forma
)4zyx()2zyx(zyx),;z,y,x(L 2222121 −++λ+−+−λ+++=λλ .
Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei L conduc, prin anulare, la sistemul
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−++
=−+−
=λ+λ+
=λ+λ−
=λ+λ+
.04zyx
02zyx
0z21
0y21
0x21
222
21
21
21
Rezolvând acest sistem, găsim soluţiile
31
1 =λ , 21
2 −=λ , 32
y,34
x == , 34
z = ;
11 −=λ , 21
2 =λ , 2y,0x −== , 0z = .
Pentru 31
1 =λ , 21
2 −=λ avem de considerat funcţia
)4zyx(21
)2zyx(31
zyx)z,y,x(L 222 −++−−+−+++=∗ .
Diferenţiala de ordinul doi a funcţiei ∗L în punctul ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛34
,32
,34
M1 are forma
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).dydz
zyML
2dxdzzxML
2dxdyyxML
2
dzz
MLdy
y
MLdx
x
MLMLd
12
12
12
22
12
22
12
22
12
12
∂∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
∂+
+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∗∗∗
∗∗∗∗
Cum
FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT 101
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
,0zyML
,0zxML
,0yxML
,1z
ML,1
y
ML,1
x
ML
12
12
12
21
2
21
2
21
2
=∂∂
∂=
∂∂
∂=
∂∂
∂
−=∂
∂−=
∂
∂−=
∂
∂
∗∗∗
∗∗∗
avem ( ) 2221
2 dzdydxMLd −−−=∗ şi deci punctul ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛34
,32
,34
M1 este punct de maxim condiţionat
pentru funcţia )z,y,x(f .
Pentru 11 −=λ , 21
2 =λ , avem de considerat funcţia
)4zyx(21
)2zyx(zyx)z,y,x(L 222 −+++−+−−++=∗ .
Procedând analog obţinem pentru diferenţiala de ordinul doi a funcţiei ∗L în punctul
( )0,2,0M2 − expresia ( ) 2222
2 dzdydxMLd ++=∗ şi deci punctul ( )0,2,0M2 − este punct de minim
condiţionat pentru funcţia )z,y,x(f .
7.5. Probleme propuse
1. Să se calculeze )x('f pentru funcţia )x(fy = definită implicit de ecuaţia
03x4yyx2 22 =−−+ .
2. Să se scrie ecuaţia tangentei la curba
03yx2xyx 22 =−++−
în punctul )0,1(M0 .
3. Să se scrie ecuaţia tangentei la conica de ecuaţie
0aaa,0aya2xa2yaxya2xa 222
212
211002010
22212
211 ≠++=+++++
în punctul )y,x(M 000 ce aparţine conicei.
4. Să se calculeze x
)y,x(f∂
∂ şi
y)y,x(f
∂∂
pentru funcţia )y,x(fz = definită implicit de ecuaţia
03)zyxln( yxz =− .
CAPITOLUL al VII-lea 102
5. Să se calculeze )1,1(df pentru funcţia )y,x(fz = definită implicit de ecuaţia
00zxz3yz4y3x 9525 ==+−+− , ştiind că 1)1,1(f = .
6. Să se scrie ecuaţia planului tangent la suprafaţa 02zxz2x 22 =−−+ în punctul
)1,1,1(M0 .
7. Să se scrie ecuaţia planului tangent la cuadrica de ecuaţie
,0aza2ya2xa2yza2xza2xya2zayaxa 003020102313122
332
222
11 =+++++++++
0aaaaaa 223
213
212
233
222
211 ≠+++++ , în punctul )z,y,x(M 0000 ce aparţine cuadricei.
8. Să se determine ),r(D)g,f(Dθ
dacă θ=θ cosr),r(f şi θ=θ sinr),r(g .
9. Să se determine ),,r(D)h,g,f(Dϕθ
dacă ϕθ=ϕθ cossinr),,r(f , ϕθ=ϕθ sinsinr),,r(g şi
θ=ϕθ cosr),,r(h .
10. Funcţiile u(x,y) şi v(x,y) sunt definite implicit de sistemul de ecuaţii
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−=+
−−=+
3333 yx7vu
yx2vu.
Să se calculeze xv
,yu
,xu
∂∂
∂∂
∂∂
şi yv∂∂
.
11. Să se determine extremele condiţionate pentru funcţiile:
a) xy)y,x(f = , variabilele fiind legate prin condiţia 4yx 22 =+ ;
b) 22 yxy3x5)y,x(f ++= , variabilele fiind legate prin condiţia 1yx 22 =+ ;
c) z2yx)z,y,x(f +−= , variabilele fiind legate prin condiţia 2z2yx 222 =++ ;
d) 32zxy)z,y,x(f = , variabilele fiind legate prin condiţia
4z3y2x =++ , 0x > , 0y > , 0z > .
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 103
CAPITOLUL al VIII-lea
ELEMENTE DE CALCUL INTERGAL
8.1. Integrale improprii
Integrale improprii cu limite de integrare infinite
Definiţie. Fie f o funcţie definită pe [ )+∞,a şi integrabilă pe [a,b], ab >∀ . Limita
∫∞→
b
abdx)x(flim (finită sau infinită) se notează ∫
∞
adx)x(f . În cazul în care această limită este finită se
spune că integrala ∫∞
adx)x(f este convergentă. Dacă limita este infinită sau nu există se spune despre
integrală că este divergentă.
Analog se definesc integralele:
∫=∫−∞→∞−
b
aa
bdx)x(flimdx)x(f
şi
∫=∫
+∞→−∞→
∞
∞−
b
aba
dx)x(flimdx)x(f .
Exemple.
1) Integrala ∫∞
1 xdx
este divergentă.
Într-adevăr,
∞===∫=∫∞→∞→∞→
∞blnlim|x|lnlim
xdx
limx
dx
b
b
1b
b
1b1 .
2) Integrala ∫∞
12005x
dx este convergentă.
Într-adevăr,
20041
2004b
20041
lim2004
xlim
x
dxlim
x
dx 2004
b
b
1
2004
b
b
12005b1
2005=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
−=∫=∫
−
∞→
−
∞→∞→
∞ .
Observaţie. Deoarece
...dx)x(f...dx)x(fdx)x(fdx)x(f1na
na
2a
1a
1a
aa+∫++∫+∫=∫
++
+
+
+
+∞,
CAPITOLUL al VIII-lea 104
rezultă că ...u...uudx)x(f n10a
++++=∫∞
, unde ∫=++
+
1na
nan dx)x(fu .
Astfel, convergenţa integralei ∫∞
adx)x(f se reduce la convergenţa seriei ∑
∞
=0nnu .
Folosind rezultatele de la serii numerice, obţinem
1. Dacă )x(g)x(f0 ≤< , [ )+∞∈ ,ax , atunci
- din convergenţa integralei ∫∞
adx)x(g , rezultă convergenţa integralei ∫
∞
adx)x(f
iar
- din divergenţa integralei ∫∞
adx)x(f , rezultă divergenţa integralei ∫
∞
adx)x(g .
2. Dacă 0)x(f > , 0)x(g > , [ )+∞∈ ,ax şi k)x(g)x(f
limx
=∞→
, ∞≤≤ k0 , atunci
- din convergenţa integralei ∫∞
adx)x(g pentru ∞<k , rezultă convergenţa integralei ∫
∞
adx)x(f
iar
- din divergenţa integralei ∫∞
adx)x(f pentru 0k > , rezultă divergenţa integralei ∫
∞
adx)x(g .
3. Dacă 0)x(f > , [ )+∞∈ ,ax şi k)x(fxlimx
=λ
∞→, ∞<< k0 , atunci
- pentru 1>λ , integrala ∫∞
adx)x(f este convergentă
iar
- pentru 1≤λ , integrala ∫∞
adx)x(f este divergentă.
4. Dacă f(x) este integrabilă pe orice interval [a,b] şi kdx)x(fb
a≤∫ iar g(x) tinde monoton
către zero când ∞→x , atunci ∫∞
adx)x(g)x(f este convergentă.
Exemple. Să se studieze convergenţa integralelor:
a) dxx1
x
02
23
∫+
∞;
b) dxx1
x
17
2
∫+
∞ ;
c) dxx
xcos
1∫∞
.
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 105
Soluţie.
a) Deoarece 1x1
xlim)x(fxlim
2
23
xx=
+=
+λ
→∞
λ
→∞ pentru 1
21<=λ , integrala este divergentă.
b) Deoarece 1x1
xlim)x(fxlim
7
2
xx=
+=
+λ
∞→
λ
∞→ pentru 15 >=λ , integrala este convergentă.
c) Considerăm funcţiile xcos)x(f = şi x1
)x(g = . Deoarece
22sinbsindxcosb
1≤−=∫
şi x1
)x(g = descreşte monoton la zero când ∞→x , rezultă că integrala dxx
xcos
1∫∞
este convergentă.
Integrale improprii din funcţii nemărginite
Definiţie. Fie a un punct singular pentru funcţia f definită pe ]b,a( şi integrabilă pe
]b,a[ ε+ , 0>ε∀ . Limita ∫ε+→ε
b
a0dx)x(flim (finită sau infinită) se notează ∫
b
adx)x(f . În cazul în care
această limită este finită se spune că integrala ∫b
adx)x(f este convergentă. Dacă limita este infinită sau
nu există se spune despre integrală că este divergentă.
Analog, dacă b este punct singular pentru funcţia f, integrala (improprie) ∫b
adx)x(f se defineşte
ca ∫ε−
→ε
b
a0dx)x(flim .
Exemple.
1) Integrala ∫−
10
5 5xdx
este divergentă.
Într-adevăr, funcţia 5x
1)x(f
−= este nemărginită în punctul x = 5 şi avem
∞=ε−=−=∫−
=∫− →εε+→εε+→ε
)ln5(lnlim|5x|lnlim5x
dxlim
5xdx
0
10
50
10
50
10
5 .
2) Integrala ∫−
10
5 5x
dx este convergentă.
CAPITOLUL al VIII-lea 106
Într-adevăr, funcţia 5x
1)x(f
−= este nemărginită în punctul x = 5 şi avem
52)252(lim5x2lim5x
dxlim
5x
dx
0
10
50
10
50
10
5=ε−=−=∫
−=∫
− →εε+→εε+→ε .
Observaţie. Integrala (improprie) ∫b
adx)x(f (b - a > 1) cu a punct singular se poate
transforma într-o serie numerică. Într-adevăr,
...dx)x(f...dx)x(fdx)x(fdx)x(fn1
a
1n1
a
1a
21
a
b
1a
b
a+∫++∫+∫=∫
+
++
+
++
şi astfel
...u...uudx)x(f n10
b
a++++=∫ , unde ∫=
+
++
n1
a
1n1
a
n dx)x(fu .
Convergenţa integralei (improprii) ∫b
adx)x(f poate fi aşadar redusă la convergenţa seriei ∑
∞
=0nnu .
Are loc următorul rezultat
Fie a un punct singular pentru funcţia f(x) > 0 definită pe (a,b] şi integrabilă pe [a+ ε ,b],
0>ε∀ . Dacă k)x(f)ax(lim
axax
=− λ
>→
, ∞<< k0 , atunci
- pentru 1<λ , integrala (improprie) ∫b
adx)x(f este convergentă
iar
- pentru 1≥λ , integrala (improprie) ∫b
adx)x(f este divergentă.
Exemplu. Să se studieze convergenţa integralei ∫−+
3
1 2 1x)1x(
dx.
Soluţie. Deoarece
22
1
1x)1x(
)1x(lim)x(f)1x(lim
21
1x1x
1x1x
=++
−=−
−λ
>→
λ
>→
,
pentru 121<=λ , integrala este convergentă.
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 107
8.2. Integrala dublă
Fie o funcţie )y,x(ff,D:f 2 =→⊂ RR .
Cu drepte paralele cu axele de coordonate împărţim domeniul plan D în subdomenii. Notăm cu
kD , n,1k = subdomeniile obţinute numerotate într-o ordine oarecare.
Definiţie. Familia de subdomenii )D...,,D,D( n21 =∆ se numeşte diviziune a domeniului
D.
Definiţie 1. Se numeşte norma diviziunii )D...,,D,D( n21 =∆ numărul kn,1k
maxρ=∆=
, unde
)N,M(dmaxk =ρ , kDN,M ∈ .
Definiţie. O familie de puncte )P,...,P,P(P n21= astfel încât kk DP ∈ , n,1k = se
numeşte sistem de puncte intermediare asociat diviziunii ∆ .
Definiţie. Se numeşte sumă integrală ataşată funcţiei f, diviziunii ∆ şi punctelor
intermediare P numărul
∑=σ=
∆n
1kkk )D(s)P(f)P,f( sau ∑ ηξ=σ
=∆
n
1kkkk )D(s),(f)P,f( ,
unde am notat cu )D(s k aria subdomeniului kD , iar cu ),( kk ηξ coordonatele punctului kP .
Definiţie. Se spune că funcţia f este integrabilă pe D dacă oricare ar fi şirul de diviziuni
)( n∆ cu 0lim nn
=∆∞→
şi oricare ar fi alegerea punctelor intermediare P, sumele integrale
corespunzătoare au o limită comună finită I.
Numărul I se numeşte integrala dublă a funcţiei f pe domeniul D şi se notează ∫∫D
dxdy)y,x(f .
Din analogia dintre definiţia integralei duble şi definiţia limitei unei funcţii rezultă următoarea
1 Am notat cu d(M,N) distanţa de la M la N
CAPITOLUL al VIII-lea 108
Teoremă. Funcţia f este integrabilă pe D dacă şi numai dacă există un număr real I cu
proprietatea că pentru orice 0>ε , există 0)( >εδ astfel încât oricare ar fi diviziunea ∆ cu )(εδ<∆
şi oricare ar fi alegerea punctelor intermediare P are loc inegalitatea ε<−σ∆ |I)P,f(| .
Consecinţă. Dacă funcţia f este integrabilă pe D, atunci f este mărginită pe D.
Observaţie. Reciproca nu este adevărată.
Observaţie. Aria domeniului plan D este ∫∫=D
dxdy)D(s .
Proprietăţi ale integralei duble
1. Proprietatea de liniaritate. Dacă f, g sunt funcţii integrabile pe D şi R∈βα, , atunci
gf β+α este integrabilă pe D şi ∫∫β+∫∫α=∫∫ β+αDDD
dxdy)y,x(gdxdy)y,x(fdxdy)]y,x(g)y,x(f[ .
2. Proprietatea de aditivitate. Dacă f este funcţie integrabilă pe D şi 21 DDD ∪= , iar
21 D,D au în comun cel mult frontiera, atunci f este integrabilă pe 1D şi 2D şi
∫∫+∫∫=∫∫21 DDD
dxdy)y,x(fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f .
3. Proprietatea de monotonie. Dacă f este funcţie integrabilă pe D şi 0)y,x(f ≥ ,
D)y,x( ∈∀ , atunci 0dxdy)y,x(fD
≥∫∫ .
Consecinţe.
a) Dacă f, g sunt funcţii integrabile pe D şi D)y,x(,)y,x(g)y,x(f ∈∀≤ , atunci
∫∫≤∫∫DD
dxdy)y,x(gdxdy)y,x(f .
b) Dacă f este funcţie integrabilă pe D şi M)y,x(fm ≤≤ , D)y,x( ∈∀ , atunci
)D(Msdxdy)y,x(f)D(msD
≤∫∫≤ .
4. Formule de medie. Dacă f, g sunt funcţii integrabile pe D şi 0)y,x(g ≥ ,
D)y,x( ∈∀ , atunci există ]M,m[∈µ (m, M sunt marginile funcţiei f) astfel încât
∫∫µ=∫∫DD
dxdy)y,x(gdxdy)y,x(g)y,x(f .
Consecinţe.
a) Dacă f este funcţie integrabilă pe D, atunci există ]M,m[∈µ (m, M sunt marginile funcţiei
f) astfel încât
)D(sdxdy)y,x(fD
µ=∫∫ .
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 109
b) Dacă f este funcţie continuă pe D, atunci există D),(P ∈ηξ astfel încât
)D(s),(fdxdy)y,x(fD
ηξ=∫∫ .
c) Dacă f este funcţie continuă pe D, iar g este funcţie integrabilă pe D şi 0)y,x(g ≥ ,
D)y,x( ∈∀ , atunci există D),(P ∈ηξ astfel încât
∫∫ηξ=∫∫DD
dxdy)y,x(g),(fdxdy)y,x(g)y,x(f .
Calculul integralei duble
Pentru calculul integralei duble se disting următoarele tipuri fundamentale de domenii de
integrare:
1. dyc,bxa:)y,x(D ≤≤≤≤= (D este un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de
coordonate)
Teoremă. Dacă funcţia )y,x(f este integrabilă în raport cu y pe ]d,c[ , adică există
∫=d
cdy)y,x(f)x(F şi dacă )x(F este integrabilă pe ]b,a[ , atunci ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∫=∫∫
b
a
d
cDdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f , adică,
calculul integralei duble se reduce la calculul a două integrale iterate.
Exemplu. Să se calculeze ∫∫D
dxdyysinx , unde ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
≤≤≤≤=2
y0,1x0:)y,x(D .
Soluţie.
∫ ∫=∫∫
π1
0
2
0Ddx]dyysinx[dxdyysinx .
Deoarece
CAPITOLUL al VIII-lea 110
x0cos2
cosx)ycos(xdyysinxdyysinx 20
2
0
2
0=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +π
=−=∫=∫
πππ
,
rezultă că
21
2x
dxxdxdyysinx
1
0
21
0D==∫=∫∫ .
2. )x(yy)x(y,bxa:)y,x(D 21 ≤≤≤≤=
Teoremă. Dacă funcţia )y,x(f este integrabilă în raport cu y pe )]x(y),x(y[ 21 , adică
∫=)x(y
)x(y
2
1
dy)y,x(f)x(F şi dacă )x(F este integrabilă pe ]b,a[ , atunci
∫⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∫=∫∫
b
a
)x(y
)x(yDdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
2
1
.
Exemplu. Să se calculeze ∫∫ +D
dxdy)yx( , unde D este limitat de dreapta xy = şi
parabola 2xy = . Soluţie.
Punctele de intersecţie dintre dreapta xy = şi parabola 2xy = sunt )0,0(O şi )1,1(A .
∫ ∫ +=∫∫ +1
0
x
xDdx]dy)yx([dxdy)yx(
2.
Deoarece
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 111
,2
xx
2x3
2x
2x
xx2
x2
x)xx(x
2y
yxdyydyxdyydyxdy)yx(
43
24232
422
x
x
2x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x 22
22222
−−=−+−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+−=
+=∫+∫=∫+∫=∫ +
rezultă că
203
10x
3x
6x3
dx2
xx
2x3
dxdy)yx(
1
0
5431
0
43
2
D=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−=∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−=∫∫ + .
3. Domeniul D este oarecare
În acest caz prin paralele la axa Oy duse prin vârfurile domeniului D, împărţim domeniul D în
subdomenii de tipurile precedente, iar pentru calculul integralei duble aplicăm proprietatea de aditivitate
a acesteia.
În unele situaţii s-ar putea să ajungem la calcule complicate şi de aceea este recomandat să
efectuăm acea schimbare de variabilă care să transforme domeniul D într-un domeniu 'D de tipul 1 sau
2.
Schimbarea de variabilă în integrala dublă
Fie transformarea ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
)v,u(yy
)v,u(xxT pentru care funcţiile x, y îndeplinesc condiţiile:
- sunt funcţii continue împreună cu derivatele lor parţiale;
- stabilesc o corespondenţă biunivocă şi bicontinuă între punctele domeniului D din planul
Oxy şi punctele domeniului 'D din planul 'O uv;
- determinantul funcţional (jacobianul)
0
vy
uy
vx
ux
)v,u(D)y,x(D
J ≠
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
== în D.
În aceste condiţii asupra transformării T, are loc formula
∫∫=∫∫'DD
dudvJ))v,u(y),v,u(x(fdxdy)y,x(f .
Observaţie. În cazul coordonatelor polare θρ , cu ⎪⎩
⎪⎨⎧
θρ=
θρ=
siny
cosx, ρ=J , iar formula
precedentă se scrie
∫∫ θρρθρθρ=∫∫'DD
dd)cos,cos(fdxdy)y,x(f .
CAPITOLUL al VIII-lea 112
Exemplu. Să se calculeze următoarele integrale duble:
1) ∫∫D
dxdyxy , unde 4yx1:D 22 ≤+≤ ;
2) ∫∫ +D
dxdy)y2x( , unde D este domeniul mărginit de dreptele
2yx,1yx,2yx,1yx =−=−=+=+ .
Soluţie.
1) Este indicat să facem transformarea ⎪⎩
⎪⎨⎧
θρ=
θρ=
siny
cosxT care duce domeniul D (coroana
circulară)
în dreptunghiul ⎪⎩
⎪⎨⎧
π≤θ≤
≤ρ≤
20
21'D
.ddsincosddsincosdd)sin)(cos(dxdyxy2
0
2
1
3
'D
3
'DD θ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∫ ρθθρ=∫∫ θρθθρ=∫∫ θρρθρθρ=∫∫
π
Deoarece
θθ=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ρθθ=∫ ρρθθ=∫ ρθθρ sincos
415
4sincosdsincosdsincos
2
1
42
1
32
1
3 ,
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 113
rezultă că
022cos
815
d2sin8
15dsincos
415
dxdyxy2
0
2
0
2
0D=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ θ−=θ∫ θ=θ∫ θθ=∫∫
πππ .
2)
Notăm ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=+
vyx
uyx şi obţinem
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
+=
2v
2u
y
2v
2u
xT
Transformarea T duce domeniul D în pătratul ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤
≤≤
2v1
2u1'D
Jacobianul transformării este
21
21
21
21
21
vy
uy
vx
ux
J −=−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
= .
Astfel,
.dudv4
vu3dudv
21
2v
2u3
dudv21
2v
2u
22v
2u
dxdy)y2x(2
1
2
1'D'DD ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∫
−=∫∫ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=∫∫ −⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++=∫∫ +
Deoarece
CAPITOLUL al VIII-lea 114
,83
4u3
23
41
4u3
2v
41
v4u3
dvv41
dv4u3
dv4
vu32
1
22
1
2
1
2
1
2
1 −=⋅−=−=∫−∫=∫
−
rezultă că
43
u83
2u
43
du83
duu43
du83
4u3
dxdy)y2x(2
1
2
1
22
1
2
1
2
1D=−=∫−∫=∫ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=∫∫ + .
Aplicaţii ale integralei duble
Fie o placă D cu densitatea de masă 0)y,x(f > . Masa m şi coordonatele centrului de greutate
G al plăcii sunt date de
∫∫=D
dxdy)y,x(fm ,
∫∫=D
G dxdy)y,x(xfm1
x ,
∫∫=D
G dxdy)y,x(yfm1
y .
Momentele de inerţie ale plăcii D în raport cu axele de coordonate Ox şi Oy sunt date de
∫∫=D
2x dxdy)y,x(fyI ,
∫∫=D
2y dxdy)y,x(fxI ,
iar momentul de inerţie al plăcii în raport cu originea este
yx0 III += .
8.3. Probleme propuse
1. Folosind definiţia, să se cerceteze convergenţa integralelor:
a) ∫∞
−
0
x3 dxex ; b) ∫∞
1dx
xxln
; c) ∫+
∞
322
dx)5x(
1;
d) dxx3cose1
x2 ∫∞
− ; e) ∫−
2
31
dx1x3
1; f) ∫
+
5
03
dxxx
1;
g) ∫−+
3
1 2dx
1x)1x(
1; h) ∫
+
1
03xx
1; i) ∫
+
+
−
4
13
4dx
1x
1x.
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 115
2. Pe baza criteriilor, să se studieze convergenţa integralelor:
a) ∫+
∞
0 3 2dx
1x
1; b) ∫
++
∞
2 2dx
5x)3x(
1;
c*) dxxcos0
2 ∫∞
; d**) dxxsin0
2 ∫∞
;
e) ∫−+
1
0 2x1)2x(
1; f) ∫
−
2
0 5 2dx
x4
1.
3. Să se arate că integrala lui Euler de speţa întâi ∫ −=β −−1
0
1b1a dx)x1(x)b,a( este
convergentă pentru a > 0, b > 0.
4. Să se demonstreze că:
a) )a(a)1a( Γ=+Γ , 1a > ;
b) !n)1n( =+Γ , N∈n ;
5. Să se arate că integrala lui Euler de speţa a doua ∫=Γ∞
−−
0
x1a dxex)a( este convergentă
pentru a > 0.
6. Să se demonstreze că:
a) )a,b()b,a( β=β ;
b) )1b,a(1ba
1b)b,1a(
1ba1a
)b,a( −β−+
−=−β
−+−
=β , 1b,1a >> ;
c) )!1nm(
)!1m()!1n()n,m(
−+−−
=β , N ∈n,m ;
d) ∫+
=β∞
+
−
0ba
1ady
)y1(
y)b,a( ;
e) )ba()b()a(
)b,a(+ΓΓΓ
=β .
Integralele * şi ** prezintă o importanţă deosebită în fizică. Ele sunt aşa numitele integrale ale lui A. J. Fresnel.
CAPITOLUL al VIII-lea 116
7. Să se calculeze următoarele integrale duble:
a) ∫∫ +D
2 dxdy)yxy( , unde 2y0,1x0:)y,x(D ≤≤≤≤= ;
b) ∫∫ +D
dxdy)ycosxxsiny( , unde ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π≤≤
ππ≤≤= y
2,
2x0:)y,x(D ;
c) ∫∫ ++D
223 dxdy)yxy2x( , unde 4y2,1x0:)y,x(D ≤≤≤≤= ;
d) ∫∫D
dxdyxy , unde xyx,1x0:)y,x(D 2 ≤≤≤≤= ;
e) ∫∫ +D
dxdy)yx( , unde D este sfertul din primul cadran al elipsei 019
y4
x 22=−+ ;
f) ∫∫ +D
22 dxdy)yx( , unde D este sfertul din primul cadran al cercului cu centrul în origine şi
rază egală cu 1;
g) ∫∫ +D
dxdy)ycos1( , unde D este domeniul cuprins între 0x = , 1x = , 0y = , xarcsiny = ;
h) ∫∫ +D
dxdy)y2x( , unde D este domeniul cuprins între curbele xy = şi 0x,xy 3 >= ;
i) ∫∫ +D
dxdy)yx( , unde D este domeniul mărginit de dreptele
4y2x,1y2x,3yx2,1yx2 =+−=+=−=− ;
j) ∫∫ +D
dxdy)y3x2( , unde D este domeniul mărginit de dreptele 0yx =+ , 1yx =+ ,
1y2x3 =− , 2y2x3 =− ;
k) ∫∫D
xy
dxdye , unde D este domeniul mărginit de dreptele xy = , 0y = , 1x = .
ECUAŢII DIFERENŢIALE 117
CAPITOLUL al IX-lea
ECUAŢII DIFERENŢIALE1
9.1. Noţiuni generale
Definiţie. Fie )x(yy = o funcţie de n ori derivabilă.
O ecuaţie de forma
(1) 0)y,...,'y,y,x(F )n( =
se numeşte ecuaţie diferenţială ordinară de ordinul n.
O funcţie )x(yy = care verifică ecuaţia (1) se numeşte soluţie sau integrală a ecuaţiei
diferenţiale (1).
O funcţie
(2) )c,...,c,c,x(yy n21= ( n21 c,...,c,c = constante arbitrare)
care verifică ecuaţia (1) se numeşte soluţie generală a ecuaţiei (1).
Orice soluţie a ecuaţiei (1) care se obţine din soluţia generală prin particularizarea constantelor
se numeşte soluţie particulară.
O soluţie a ecuaţiei (1) care nu se poate obţine din soluţia generală prin particularizarea
constantelor se numeşte soluţie singulară.
La o ecuaţie diferenţială se ridică următoarele probleme:
- să se găsească soluţia generală2 (sau să se integreze ecuaţia);
- să se găsească o soluţie particulară care îndeplineşte anumite condiţii.
Problema lui Cauchy. Să se găsească soluţia particulară a ecuaţiei (1) care verifică condiţiile
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
−− .y)c,...,c,c,x(y
.....................................
y)c,...,c,c,x('y
y)c,...,c,c,x(y
1nn210)1n(
1n210
0n210
1 Primele ecuaţii diferenţiale au fost considerate de I. Newton (1687) şi G. Leibniz (1693)
2 Aflarea soluţiei generale nu poate fi făcută în general ci numai în cazuri particulare
CAPITOLUL al IX-lea 118
Pentru aceasta se procedează astfel:
- se rezolvă sistemul de mai sus în raport cu constantele n21 c,...,c,c şi
- se înlocuiesc valorile obţinute pentru n21 c,...,c,c în (2).
Problema polilocală. Să se găsească soluţia particulară a ecuaţiei (1) care trece prin
punctele )y,x(M...,),y,x(M),y,x(M nn1222111 .
Pentru aceasta se procedează astfel:
- se rezolvă sistemul
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
)c,...,c,c,x(yy
.....................................
)c,...,c,c,x(yy
)c,...,c,c,x(yy
n21nn
n2122
n2111
în raport cu constantele n21 c,...,c,c şi
- se înlocuiesc valorile obţinute pentru n21 c,...,c,c în (2).
9.2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi
Definiţie. O ecuaţie de forma
(3) 0)'y,y,x(F =
se numeşte ecuaţie diferenţială ordinară de ordinul întâi.
Ecuaţii diferenţiale care provin din anularea unei diferenţiale totale
Definiţie. O ecuaţie diferenţială de forma
(4) 0dy)y,x(Qdx)y,x(P =+ ,
unde P, Q sunt funcţii continue cu derivate parţiale de ordinul întâi continue pe un domeniu 2D R⊂ şi
D)y,x(,xQ
yP
∈∀∂∂
=∂∂
se numeşte ecuaţie diferenţială ce provine din anularea unei diferenţiale totale.
Soluţia generală a ecuaţiei (4) este
cdt)t,x(Qdt)y,t(Py
y0
x
x 00
=∫+∫ , D)y,x( 00 ∈ .
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 0dy)yx(dx)yx( 22 =+++ .
ECUAŢII DIFERENŢIALE 119
Soluţie. Avem 22 yx)y,x(Q,yx)y,x(P +=+= , 2D R= , 1yP=
∂∂
şi 1xQ=
∂∂
. Alegem
D)0,0()y,x( 00 ∈= . Soluţia generală a ecuaţiei este
c3
yxy
3x
c3t
yt3t
cdttdt)yt(33y
0
3x0
x
0
3y
0
2x
0
2 =++⇔=++⇔=∫+∫ + ,
unde c este o constantă arbitrară.
Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile
Definiţie. O ecuaţie diferenţială de forma
(5) 0dy)y(Qdx)x(P =+ ,
unde R→I:P şi R→J:Q sunt funcţii continue se numeşte ecuaţie cu variabile separabile.
Soluţia generală a ecuaţiei (3) este cdy)y(Qdx)x(P =∫+∫ .
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 01'yyx2 =+ .
Soluţie. Punând dxdy
'y = şi separând variabilele avem 0ydydxx
12
=+ . Soluţia generală a
ecuaţiei este cx1
2y
cydydxx
1 2
2=−⇔=∫+∫ , unde c este o constantă arbitrară.
Ecuaţii diferenţiale omogene
Definiţie. O ecuaţie diferenţială de forma
(6) )y,x(Q)y,x(P
'y = ,
unde P şi Q sunt funcţii omogene de grad m, se numeşte ecuaţie omogenă.
Cum funcţiile P şi Q sunt omogene de grad m, rezultă că
)y,x(Pt)ty,tx(P m= şi )y,x(Qt)ty,tx(Q m= .
Înlocuind x1
t = , 0x ≠ obţinem
)y,x(Px
1xy
,1Pm
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ şi )y,x(Qx
1xy
,1Qm
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
adică ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=xy
,1Px)y,x(P m şi ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=xy
,1Qx)y,x(Q m .
CAPITOLUL al IX-lea 120
Ecuaţia )y,x(Q)y,x(P
'y = se scrie ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=xy
f
xy
,1Q
xy
,1P
xy
,1Qx
xy
,1Px'y
m
m
.
Prin urmare, ecuaţia diferenţială omogenă are şi forma
( '6 ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=xy
f'y ,
unde R→I:f este o funcţie continuă.
Cu substituţia xuy = o ecuaţie diferenţială omogenă se reduce la o ecuaţie diferenţială cu
variabile separabile.
Într-adevăr, din xuy = rezultă udxxdudy += şi ecuaţia ( '6 ) devine
)u(fdx
udxxdu=
+ sau )u(fu
dxdu
x =+
sau duu)u(f
1dx
x1
−= (dacă u)u(f ≠ ), şi aceasta este o ecuaţie cu variabile separabile.
Dacă u)u(f = , atunci ecuaţia ( '6 ) se scrie xy
'y = şi ea este o ecuaţie cu variabile separabile.
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 0dy)y3xy2(dx)yx( 222 =+++ .
Soluţie. Folosind substituţia xuy = rezultă udxxdudy += şi ecuaţia devine
0)udxxdu)(ux3ux2(dx)uxx( 222222 =++++ .
Împărţind prin 2x ( 0x ≠ ) avem
0)udxxdu)(u3u2(dx)u1( 22 =++++
sau
0du)u3u2(xdx)u3u31( 232 =++++ .
Separând variabilele, avem 0duu3u31
u3u2dx
x1
32
2=
++
++ .
Soluţia generală a ecuaţiei este
ECUAŢII DIFERENŢIALE 121
,c1x
y3
x
y3ln
31
|x|ln
c|1u3u3|ln31
|x|ln
cduu3u31
u3u2dx
x1
2
2
3
3
23
32
2
=+++
⇔=+++
⇔=∫++
++∫
unde c este o constantă arbitrară.
Ecuaţii diferenţiale reductibile la ecuaţii omogene
Definiţie. O ecuaţie diferenţială de forma
(7) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++++
=111 cybxa
cbyaxf'y ,
unde R→I:f este o funcţie continuă, iar a, b, c, a1, b1, c1 sunt constante reale se numeşte ecuaţie
reductibilă la ecuaţie omogenă.
Cazul I. Dacă c = c1 = 0 (adică 0cc 21
2 =+ ), atunci ecuaţia (7) se scrie
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
=xy
g
xy
ba
xy
baf
ybxabyax
f'y
1111
care este o ecuaţie omogenă.
Cazul al II-lea. Dacă 0cc 21
2 ≠+ şi 0ba
ba
11≠=∆ , atunci sistemul
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++
=++
0cybxa
0cbyax
111
este de tip Cramer, deci are soluţie unică
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
0
0
yy
xx.
Cu substituţia ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=
0
0
yyv
xxu, ecuaţia (7) se reduce la o ecuaţie omogenă.
Într-adevăr, din ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=
0
0
yyv
xxu rezultă
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
dydv
dxdu şi ecuaţia (7) devine
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++++
++++=
10101
00c)yv(b)xu(ac)yv(b)xu(a
fdudv
sau
CAPITOLUL al IX-lea 122
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++++
++++=
1010111
00cybxavbua
cbyaxbvauf
dudv
.
Cum ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
0
0
yy
xx este soluţie a sistemului
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++
=++
0cybxa
0cbyax
111, obţinem
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
=uv
g
uv
ba
uv
baf
vbuabvau
fdudv
1111
care este o ecuaţie omogenă.
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 8y3x5yx2
'y+−−+
= .
Soluţie. 06425cc 21
2 ≠+=+ şi 031
12≠
−=∆ .
Sistemul ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=−+
08y3x
05yx2 are soluţia
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
3y
1x.
Folosind substituţia ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=
3yv
1xu rezultă
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
dydv
dxdu şi ecuaţia devine
8)3v(3)1u(5)3v()1u(2
'v++−+−+++
= sau v3uvu2
'v−+
=
care este o ecuaţie omogenă.
Cu substituţia utv = , se obţine soluţia generală
ct23
arctg23
31
|2t3|ln21
|u|ln 2 =−++
sau
cuv
23
arctg23
31
2u
v3ln
21
|u|ln2
2=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++
sau
c1x3y
23
arctg23
31
2)1x(
)3y(3ln
21
|1x|ln2
2=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−+−
−+− ,
unde c este o constantă arbitrară.
Cazul al III-lea. Dacă 0cc 21
2 ≠+ şi 0ba
ba
11==∆ , atunci k
bb
aa
11== .
Înlocuind ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
1
1
kbb
kaa în ecuaţia (7), obţinem ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
++=
111
11cybxa
c)ybxa(kf'y .
Cu substituţia uybxa 11 =+ , ecuaţia (7) se reduce la o ecuaţie cu variabile separabile.
ECUAŢII DIFERENŢIALE 123
Într-adevăr, din uybxa 11 =+ rezultă dudybdxa 11 =+ , de unde 1
1b
dxadudy
−= şi ecuaţia
(7) devine )u(gcucku
fdxb
dxadu
11
1 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
=−
sau )u(gadxdu
b1
11
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − sau )u(gba
dudx
11 += şi aceasta
este o ecuaţie cu variabile separabile.
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 1yx21y3x6
'y++−+
= .
Soluţie. 011cc 21
2 ≠+=+ , 012
36==∆ .
Folosind substituţia uyx2 =+ , rezultă 2'u'y −= şi ecuaţia devine
1u1u3
2'u+−
=− sau 1u1u5
'u++
= sau 0du1u51u
dx =++
− ,
care este o ecuaţie cu variabile separabile.
Se obţine soluţia generală
c|1u5|ln254
u51
|x|ln =+−−
sau
c|1)yx2(5|ln254
)yx2(51
|x|ln =++−+− ,
unde c este o constantă arbitrară.
Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi
Definiţie. O ecuaţie diferenţială de forma
(8) )x(Qy)x(P'y =+ ,
unde P şi Q sunt funcţii continue pe un interval I se numeşte ecuaţie liniară de ordinul întâi.
Când 0)x(Q ≡ , ecuaţia (8) se numeşte ecuaţie liniară omogenă. În acest caz ea este o
ecuaţie cu variabile separabile.
Într-adevăr, din 0y)x(P'y =+ , rezultă y)x(Pdxdy
−= sau dx)x(Py
dy−= . Integrând, obţinem
clndx)x(P|y|ln +∫−= sau ∫−= dx)x(Pcey .
Aceasta este soluţia generală a ecuaţiei liniare omogene.
Pentru a obţine soluţia generală a ecuaţiei liniare neomogene (8), folosim metoda variaţiei
constantelor a lui Lagrange.
CAPITOLUL al IX-lea 124
Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene se caută de aceeaşi formă cu soluţia
generală a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene numai că în locul constantei c se consideră o funcţie
u(x)
(9) ∫−= dx)x(Pe)x(uy .
Funcţia u(x) se determină impunând condiţia ca (9) să verifice ecuaţia (8).
Cum ∫−∫− −= dx)x(Pdx)x(P e)x(P)x(ue)x('u'y , înlocuind în ecuaţia (8) obţinem
)x(Qe)x(P)x(ue)x(P)x(ue)x('u dx)x(Pdx)x(Pdx)x(P =+− ∫−∫−∫−
sau
∫= dx)x(Pe)x(Q)x('u
de unde
dxe)x(Qc)x(u dx)x(P∫+= ∫ .
Aşadar, soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare de ordinul întâi (8) este
( )dxe)x(Qcey dx)x(Pdx)x(P∫+= ∫∫− .
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială x3exy2'xy =− .
Soluţie. Ecuaţia se scrie sub forma x2exyx2
'y =− .
Soluţia generală a ecuaţiei este ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛∫+=
∫−∫−−dxeexcey
dxx2
x2dxx2
sau
( )∫+= − dxeexcey |x|ln2x2|x|ln2
sau
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫+= dxeexcey22
x
1ln
x2xln
sau
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫+= dx
x
1excxy
2x22
(am folosit Ae Aln = ) sau ( )x2 ecxy += , unde c este o constantă arbitrară.
ECUAŢII DIFERENŢIALE 125
Ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli 3
Definiţie. O ecuaţie diferenţială de forma
(10) α=+ y)x(Qy)x(P'y ,
unde 1,0−∈α R şi P, Q sunt funcţii continue pe un interval I se numeşte ecuaţie diferenţială
Bernoulli.
Cu substituţia α−= 11
zy , o ecuaţie diferenţială Bernoulli se reduce la o ecuaţie diferenţială
liniară în z.
Într-adevăr, din α−= 11
zy rezultă 'zz1
1'y 1 α−
α
α−= şi ecuaţia (10) devine
α−α
α−α−α
=+α−
111
1 z)x(Qz)x(P'zz1
1.
Împărţind prin α−α
α−1z
11
, obţinem ecuaţia )x(Q)1(z)x(P)1('z α−=α−+ , care este o ecuaţie
diferenţială liniară de ordinul întâi în z.
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială yxy4'xy 2=− .
Soluţie. Ecuaţia se scrie sub forma 21
xyyx4
'y =− .
Folosind substituţia 221
1
1
zyzy =⇔=−
rezultă 'zz2'y = şi ecuaţia devine
xzzx4
'zz2 2 =− .
Împărţind prin 2z, obţinem ecuaţia liniară
2x
zx2
'z =− .
Soluţia generală a ecuaţiei este
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += |x|ln21
cxz 2 sau ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += |x|ln21
cxy 2 ,
unde c este o constantă arbitrară.
3 Jean Bernoulli (1667-1748), matematician elveţian
CAPITOLUL al IX-lea 126
Ecuaţii diferenţiale de tip Riccati 4
Definiţie. O ecuaţie diferenţială de forma
(11) )x(Ry)x(Qy)x(P'y 2 ++= ,
unde P, Q şi R sunt funcţii continue pe un interval I se numeşte ecuaţie Riccati.
Pentru a afla soluţia generală a ecuaţiei (11) trebuie să cunoaştem o soluţie particulară py a
acestei ecuaţii.
Cu substituţia z1
yy p += , o ecuaţie diferenţială Riccati se reduce la o ecuaţie diferenţială
liniară în z.
Într-adevăr, din z1
yy p += rezultă 'zz
1'y'y
2p−= şi ecuaţia (11) devine
)x(Rz1
y)x(Qz1
y)x(P'zz
1'y p
2
p2p +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=−
sau
)x(Rz1
)x(Qy)x(Qz
1)x(P
z1
y)x(P2y)x(P'zz
1'y p2p
2p2p +++++=− .
Cum py este o soluţie particulară a ecuaţiei (11), obţinem
z1
)x(Qz
1)x(P
z1
y)x(P2'zz
12p2++=− .
Eliminând numitorii obţinem ecuaţia
)x(Pz)]x(Qy)x(P2['z p −=++
care este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi în z.
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială
1xy'y 22 +−= ,
ştiind că admite soluţia particulară xyp = .
Soluţie. Folosind substituţia z1
xy += , rezultă 'zz
11'y
2−= şi ecuaţia devine
1xz1
x'zz
11 2
2
2+−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=− sau 22 z
1z1
x2'zz
1+=− .
Înmulţind cu 2z− , obţinem ecuaţia liniară
1xz2'z −=+ .
4 Jacopo Riccati (1676-1754)
ECUAŢII DIFERENŢIALE 127
Soluţia generală a ecuaţiei este
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∫−= − dxecez
22 xx
sau
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∫−=−
− dxecexy
1 22 xx ,
unde c este o constantă arbitrară.
Ecuaţii diferenţiale de tip Lagrange 5
Definiţie. O ecuaţie diferenţială de forma
(12) )'y(g)'y(xfy += ,
unde f şi g sunt funcţii continue cu derivate de ordinul întâi continue pe un interval I şi 'y)'y(f ≠ se
numeşte ecuaţie Lagrange.
Notând p'y = , obţinem
)p(g)p(xfy += .
Derivând în raport cu x şi ţinând seama că p este funcţie de x, avem
dxdp
dpdg
dxdp
dpdf
x)p(fp ++=
sau
dpdg
dpdf
xdpdx
)]p(fp[ +=−
sau
dpdg
)p(fp1
xdpdf
)p(fp1
dpdx
−+
−=
care este o ecuaţie liniară în x.
Soluţia generală a acestei ecuaţii este )c,p(xx = , unde c este o constantă arbitrară. Înlocuind
în ecuaţia iniţială, obţinem
)p(g)p(f)c,p(xy += .
Rezultă că soluţia generală a ecuaţiei (12) este definită parametric prin
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
=
)p(g)p(f)c,p(xy
)c,p(xx.
5 Joseph Louis Lagrange (1736-1813), matematician şi mecanician francez
CAPITOLUL al IX-lea 128
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 2'y'xy4y +−= .
Soluţie. Notând p'y = , obţinem 2pxp4y +−= .
Derivând în raport cu x şi ţinând seama că p este funcţie de x, avem
dxdp
p2dxdp
x4p4p +−−=
sau
x4p2dpdx
p5 −= sau 52
xp54
dpdx
=+
cu soluţia generală
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫+=∫∫−
dpe52
cexdp
p54
dpp54
sau ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=
−59
54
p92
cpx
, ≠p 0.
Soluţia generală a ecuaţiei Lagrange dată este definită parametric prin
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≠+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=
−
−
0p,ppp92
cp4y
p92
cpx
259
54
59
54
sau
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≠+−=
−=−
.0p,p91
cp4y
p92
cpx
251
54
Ecuaţii diferenţiale de tip Clairaut 6
Definiţie. O ecuaţie diferenţială de forma
(13) )'y(g'xyy += ,
unde g este o funcţie continuă cu derivata de ordinul întâi continuă pe un interval I se numeşte ecuaţie
Clairaut.
Observaţie. Ecuaţia Clairaut este o ecuaţie Lagrange particulară ( 'y)'y(f = ).
Notând p'y = , obţinem )p(gxpy += .
Derivând în raport cu x şi ţinând seama că p este funcţie de x, avem
dxdp
dpdg
dxdp
xpp ++= sau 0dxdg
xdxdp
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + .
6 Alexis Claude Clairaut (1713-1765), matematician şi astronom francez
ECUAŢII DIFERENŢIALE 129
Cazul I. 0dxdp
= , deci p = c, adică c'y = . Înlocuind în ecuaţia iniţială, obţinem soluţia
generală a ecuaţiei Clairaut şi anume )c(gxcy += .
Cazul al II-lea. 0dpdg
x =+ , deci dpdg
x −= . Înlocuind în ecuaţia iniţială obţinem soluţia
singulară
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+−=
−=
)p(gpdpdg
y
dpdg
x
.
9.3. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n
Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili
Definiţie. O ecuaţie de forma
(14) )x(fy)x(a'y)x(a...y)x(ay)x(a n1n)1n(
1)n(
0 =++++ −−
,
unde )x(f),x(a),...,x(a),x(a n10 sunt funcţii continue pe un interval I, 0)x(a0 ≠ , Ix∈∀ se numeşte
ecuaţie diferenţială de ordinul n, liniară şi neomogenă.
O ecuaţie de forma
(15) 0y)x(a'y)x(a...y)x(ay)x(a n1n)1n(
1)n(
0 =++++ −−
unde )x(a),...,x(a),x(a n10 sunt funcţii continue pe un interval I, 0)x(a0 ≠ , Ix∈∀ se numeşte ecuaţie
diferenţială de ordinul n, liniară şi omogenă.
Cu ajutorul operatorului liniar
)x(adxd
)x(a...dx
d)x(a
dx
d)x(aL n1n1n
1n
1n
n
0n ++++= −−
−
ecuaţia liniară de ordinul n, neomogenă (14) se scrie
( '14 ) )x(f)y(Ln = ,
iar ecuaţia liniară de ordinul n, omogenă (15) se scrie
( '15 ) 0)y(Ln = .
Definiţie 7. Un sistem de soluţii n21 y,...,y,y al ecuaţiei (15), definit pe I cu
7 W(y1, y2, …, yn) se numeşte wronskianul funcţiilor y1, y2, …, yn şi a fost introdus de H. Wronski (1812)
CAPITOLUL al IX-lea 130
0
yyy
'y'y'y
yyy
)y,...,y,y(W
)1n(n
)1n(2
)1n(1
n21
n21
n21 ≠=
−−−L
LLLL
L
L
pe I se numeşte sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei (15).
Dacă n21 y,...,y,y este un sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei (14), atunci
nn22110 yc...ycycy +++= ,
unde n21 c,...,c,c sunt constante arbitrare este soluţia generală a ecuaţiei omogene (14).
Soluţia generală a ecuaţiei neomogene (14) este p0 yyy += , unde 0y este soluţia generală
a ecuaţiei omogene (15), iar py este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (14).
Metoda variaţiei constantelor pentru determinarea unei soluţii particulare a
ecuaţiei neomogene
Dacă se cunoaşte un sistem fundamental de soluţii n21 y,...,y,y al ecuaţiei omogene (15),
atunci o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (14) este
nn2211p y)x(c...y)x(cy)x(c)x(y +++= ,
unde funcţiile )x(c),...,x(c),x(c n21 se obţin din sistemul
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++
………………………………………
=+++
=+++
−−−
)x(a)x(f
y)x('c...y)x('cy)x('c
.
0'y)x('c...'y)x('c'y)x('c
0y)x('c...y)x('cy)x('c
0
)1n(nn
)1n(22
)1n(11
nn2211
nn2211
Exemplu. Ştiind că ecuaţia diferenţială omogenă
0y2'xy2"yx2 =+−
are soluţiile particulare 221 x2y,xy == să se integreze ecuaţia diferenţială neomogenă
32 xy2'xy2"yx =+− .
Soluţie. Cum 0x2x41
x2x)y,y(W 22
21 ≠== pe ∗R , rezultă că pe orice interval I
conţinut în ∗R soluţia generală a ecuaţiei omogene 0y2'xy2"yx2 =+− este
221o x2cxcy += .
Determinăm o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene
ECUAŢII DIFERENŢIALE 131
32 xy2'xy2"yx =+−
prin metoda variaţiei constantelor.
Avem
221p x2)x(cx)x(cy += ,
unde funcţiile )x(c),x(c 21 se obţin din sistemul
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
2
3
21
221
x
xx4)x('c)x('c
0x2)x('cx)x('c
sau ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
.x)x('xc4)x('c
0)x('cx2)x('xc
21
22
1
Soluţia sistemului este ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
,21
)x('c
x)x('c
2
1
de unde rezultă că
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−=
.2x
)x('c
2x
)x('c
2
2
1
Astfel
2x
yx22x
x2
xy
3
p2
2
p =⇔+−= .
Soluţia generală a ecuaţiei neomogene 32 xy2'xy2"yx =+− este
∗∈++=⇔+= Rx,2
xx2cxcyyyy
32
21p0 .
Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi constanţi
Definiţie. O ecuaţie de forma
(16) )x(fya'ya...yaya n1n)1n(
1)n(
0 =++++ −− ,
unde n10 a,...,a,a sunt constante reale, 0a0 ≠ , iar f(x) este funcţie continuă se numeşte ecuaţie
diferenţială de ordinul n, liniară şi neomogenă cu coeficienţi constanţi.
O ecuaţie de forma
(17) 0ya'ya...yaya n1n)1n(
1)n(
0 =++++ −−
,
unde n10 a,...,a,a sunt constante reale, 0a0 ≠ se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n, liniară şi
omogenă cu coeficienţi constanţi.
CAPITOLUL al IX-lea 132
Ecuaţii omogene
Pentru ecuaţia (17) putem determina totdeauna un sistem fundamental de soluţii. Anume, dacă
se caută soluţii de forma rxey = , obţinem succesiv rxre'y = , rx2er"y = , …, rxn)n( ery = .
Înlocuind în (16), avem ( ) 0ara...rarae n1n1n
1n
0rx =++++ −
− , deci numărul r trebuie să fie
rădăcină a ecuaţiei
(18) 0ara...rara n1n1n
1n
0 =++++ −−
care se numeşte ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale (17).
Cazul I. Ecuaţia caracteristică are rădăcini reale distincte
Teoremă. Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n cu coeficienţi constanţi
(∗ ) 0ya'ya...yaya n1n)1n(
1)n(
0 =++++ −− .
Dacă ecuaţia caracteristică 0ara...rara n1n1n
1n
0 =++++ −−
are rădăcinile reale simple
n10 r,...,r,r , atunci funcţiile xr
11ey = , xr
22ey = , …, xr
nney = formează un sistem fundamental de
soluţii pentru ecuaţia (∗ ).
Soluţia generală a ecuaţiei (∗ ) este xr
nxr
2xr
1n21 ec...ececy +++= , unde n21 c,...,c,c
sunt constante arbitrare.
Demonstraţie. Deoarece wronskianul funcţiilor n21 y,...,y,y
( )∏ −=
⋅⋅⋅=
=
≤<≤
+++
−−−
−−−
nji1ij
x)r...rr(
1nn
1n2
1n1
n21xrxrxr
xr1nn
xr1n2
xr1n1
xrn
xr2
xr1
xrxrxr
n21
rre
rrr
rrr
111
e...ee
ererer
ererer
eee
)y,...,y,y(W
n21
n21
111
n21
n21
L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
este diferit de zero, rezultă că funcţiile n21 y,...,y,y formează un sistem fundamental de soluţii.
Astfel, soluţia generală a ecuaţiei (∗ ) este
.ec...ececyc...ycycy xrn
xr2
xr1nn2211
n21 +++=+++=
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 0y12'y7"y =+− .
ECUAŢII DIFERENŢIALE 133
Soluţie. Ecuaţia caracteristică 012r7r 2 =+− are rădăcinile reale distincte 4r,3r 21 == .
Soluţia generală a ecuaţiei este x42
x31 ececy += , unde 21 c,c sunt constante arbitrare.
Cazul al II-lea. Ecuaţia caracteristică are rădăcini complexe distincte
Teoremă. Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n cu coeficienţi constanţi
(∗ ) 0ya'ya...yaya n1n)1n(
1)n(
0 =++++ −−
.
Dacă ecuaţia caracteristică
0ara...rara n1n1n
1n
0 =++++ −−
are rădăcinile complexe simple
,p2n,ir...,,ir,ir
,ir...,,ir,ir
ppp222111
ppp222111
=β−α=β−α=β−α=
β+α=β+α=β+α=
atunci funcţiile
xsineY,xcoseY
...............................................................
,xsineY,xcoseY
,xsineY,xcoseY
px
ppx
p
2x
22x
2
1x
11x
1
pp
22
11
β=β=
β=β=
β=β=
αα
αα
αα
formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia (∗ ).
Soluţia generală a ecuaţiei (∗ ) este
,e)xsincxcosc(...
e)xsincxcosc(e)xsincxcosc(y
xpppp
x2222
x1111
p
21
α
αα
β+β++
+β+β+β+β=
unde p21p21 c,...,c,c,c,...,c,c sunt 2p constante arbitrare.
Demonstraţie. Corespunzător lui 111 ir β+α= avem soluţia particulară
)xsinix(coseeeey 11xxixx)i(
111111 β+β=== αβαβ+α ,
iar corespunzător lui 111 ir β−α= avem soluţia particulară
)xsinix(coseeeey 11xxixx)i(
111111 β−β=== αβ−αβ−α .
Astfel, corespunzător rădăcinilor p21p21 r,...,r,r,r,...,r,r avem soluţiile
CAPITOLUL al IX-lea 134
).xsinix(cosey),xsinix(cosey
......................................................................................................
),xsinix(cosey),xsinix(cosey
),xsinix(cosey),xsinix(cosey
ppx
pppx
p
22x
222x
2
11x
111x
1
pp
22
11
β−β=β+β=
β−β=β+β=
β−β=β+β=
αα
αα
αα
Acestea au dezavantajul că sunt complexe. Cum în practică interesează soluţii reale, vom lua
ca sistem fundamental următoarele funcţii
.xsinei2
yyY,xcose
2
yyY
.....................................................................................................
,xsinei2yy
Y,xcose2
yyY
,xsinei2yy
Y,xcose2
yyY
pxpp
ppxpp
p
2x22
22x22
2
1x11
11x11
1
pp
22
11
β=−
=β=+
=
β=−
=β=+
=
β=−
=β=+
=
αα
αα
αα
Astfel, soluţia generală a ecuaţiei (∗ ) este cea precizată în teoremă.
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială
0y13'y4"y =+− .
Soluţie. Ecuaţia caracteristică 013r4r 2 =+− are rădăcinile complexe distincte
i32r1 += , i32r1 −= . Soluţia generală a ecuaţiei este
x211 e)x3sincx3cosc(y += ,
unde 1c şi 1c sunt constante arbitrare.
Cazul al III-lea. Ecuaţia caracteristică are rădăcini reale multiple
Teoremă. Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n cu coeficienţi constanţi
(∗ ) 0ya'ya...yaya n1n)1n(
1)n(
0 =++++ −−
.
Dacă ecuaţia caracteristică 0ara...rara n1n1n
1n
0 =++++ −−
are rădăcina reală α=r de
ordin de multiplicitate p + 1, atunci aceasta contribuie la soluţia generală cu
xp1p
x2
x1 exc...xececy α
+αα +++= , unde 1p21 c,...,c,c + sunt constante arbitrare.
ECUAŢII DIFERENŢIALE 135
Demonstraţie. Se verifică uşor că funcţiile xp1p
x2
x1 exy,...,xey,ey α
+αα === sunt
soluţii ale ecuaţiei (∗ ). Astfel, funcţia xp1p
x2
x1 exc...xececy α
+αα +++= este o soluţie e ecuaţiei
diferenţiale (∗ ).
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 0y8'y12"y6'''y =−+− .
Soluţie. Ecuaţia caracteristică 0)2r(08r12r6r 323 =−⇔=−+− are rădăcina reală
2r = de ordin de multiplicitate 3.
Soluţia generală a ecuaţiei este x323
x32
x31 excxececy ++= , unde 21 c,c şi 3c sunt
constante arbitrare.
Cazul al IV-lea. Ecuaţia caracteristică are rădăcini complexe multiple
Teoremă. Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n cu coeficienţi constanţi
(∗ ) 0ya'ya...yaya n1n)1n(
1)n(
0 =++++ −−
.
Dacă ecuaţia caracteristică 0ara...rara n1n1n
1n
0 =++++ −−
are rădăcina complexă
β+α= ir de ordin de multiplicitate p + 1, atunci aceasta contribuie la soluţia generală cu
[ ]xsin)x(Qxcos)x(Pey ppx β+β= α , unde )x(Pp şi )x(Qp sunt polinoame în x de grad p.
Demonstraţie. Cum ecuaţia (∗ ) este cu coeficienţi constanţi, rezultă că ecuaţia caracteristică
are şi rădăcina β−α= ir tot de ordin de multiplicitate p + 1. Cele 2p + 2 rădăcini vor da soluţiile
.exy,...,xey,ey
,exy,...,xey,ey
x)i(p1p
x)i(2
x)i(1
x)i(p1p
x)i(2
x)i(1
β−α+
β−αβ−α
β+α+
β+αβ+α
===
===
Ca şi în cazul al II-lea, ca sistem fundamental de soluţii se ia sistemul format din funcţiile
.xsinexi2
yyY,xcosex
2
yyY
.....
,xsinxei2
yyY,xcosxe
2
yyY
,xsinei2yy
Y,xcose2
yyY
xp1p1p1p
xp1p1p1p
x222
x222
x111
x111
β=−
=β=+
=
…………………………………………………………………
β=−
=β=+
=
β=−
=β=+
=
α+++
α+++
αα
αα
Astfel, rădăcina complexă β+α= ir de ordin de multiplicitate p + 1 îşi aduce contribuţia la
soluţia generală cu ( ) ( )[ ]xsinxB...xBBxcosxA...xAAey pP10
pP10
x β++++β+++= α .
CAPITOLUL al IX-lea 136
Notând cu )x(Pp polinomul pp10 xA...xAA +++ şi cu )x(Qp polinomul
pp10 xB...xBB +++ obţinem [ ]xsin)x(Qxcos)x(Pey pp
x β+β= α .
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 0y"y2y )4( =++ .
Soluţie. Ecuaţia caracteristică 0)1r(01r2r 2224 =+⇔=++ are rădăcina complexă
ir = de ordin de multiplicitate 2 şi rădăcina complexă ir −= de ordin de multiplicitate 2. Soluţia
generală a ecuaţiei este
xsin)xBB(xcos)xAA(y 1010 +++= ,
unde A0, A1, B0 şi B1 sunt constante arbitrare.
Algoritmul de rezolvare a unei ecuaţii diferenţiale liniare omogene cu coeficienţi constanţi este
următorul:
- ataşăm ecuaţia caracteristică;
- rezolvăm ecuaţia caracteristică;
- scriem contribuţia fiecărei rădăcini a ecuaţiei caracteristice la soluţia generală a ecuaţiei
date;
- soluţia generală este combinaţie liniară de soluţiile de la punctul 3).
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 0y18'y9"yy3y )3()4( =−+−− .
Soluţie. Ecuaţia caracteristică 018r9rr3r 234 =−+−− are rădăcinile
2i1r,2i1r,3r,2r 4321 +=−==−= .
Soluţia generală a ecuaţiei este
( ) x33
x32
x211 ex2sincx2coscececy +++= − ,
unde 3321 c,c,c,c sunt constante arbitrare.
Ecuaţii neomogene
Algoritmul de rezolvare a unei ecuaţii diferenţiale liniare neomogene cu coeficienţi constanţi
este următorul:
- se determină soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene asociate ( 0y );
- se determină o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene ( py );
- soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene este suma celor două soluţii
p0 yyy += .
ECUAŢII DIFERENŢIALE 137
Pentru determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene
)x(fya'ya...yaya n1n)1n(
1)n(
0 =++++ −−
se poate folosi metoda variaţiei constantelor.
În multe situaţii se alege soluţia particulară py după forma lui f(x). Enumerăm mai jos aceste
situaţii:
a) Fie f(x) = Pm(x) polinom de grad m în x.
Dacă r = 0 nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, se caută py de forma )x(Qy mp = , unde
)x(Qm este un polinom oarecare de grad m.
Dacă r = 0 este rădăcină multiplă de ordin k a ecuaţiei caracteristice, se caută py de forma
)x(Qxy mk
p = .
b) Fie f(x) = xeα Pm(x).
Dacă r = α nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, se caută py de forma )x(Qey mx
pα= ,
iar dacă r = α este rădăcină multiplă de ordin k, se caută py de forma )x(Qexy mxk
pα= .
c) Fie f(x) = [ ]xsin)x(Qxcos)x(Pe mmx β+βα .
Dacă r = β±α i nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci se caută py de forma
[ ]xsin)x(Qxcos)x(Pey mmx
p β+β= ∗∗α ,
iar dacă r = β±α i este rădăcină multiplă de ordin k, atunci se caută py de forma
[ ]xsin)x(Qxcos)x(Pexy mmxk
p β+β= ∗∗α .
Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială xe)1x2(y6'y5"y +=+− .
Soluţie. Soluţia generală a ecuaţiei omogene este x32
x210 ececy += .
Deoarece r = 1 nu este soluţie a ecuaţiei caracteristice, căutăm soluţia particulară a ecuaţiei
neomogene de forma )BAx(ey xp += .
Cum )BAAx(e'y xp ++= , )BA2Ax(e"y x
p ++= înlocuind în ecuaţie, obţinem
xxxx e)1x2()BAx(e6)BAAx(e5)BA2Ax(e +=++++−++
CAPITOLUL al IX-lea 138
sau 1x2)B2A3(Ax2 +=+−+ .
Rezolvând sistemul ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=
1B2A3
2A2 avem
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
2B
1A şi deci )2x(ey x
p += .
Soluţia generală a ecuaţiei neomogene este
)2x(eececy xx32
x21 +++= ,
unde 1c şi 2c sunt constante arbitrare.
9.4. Probleme propuse
Să se integreze următoarele ecuaţii diferenţiale:
a) 0xydydx)yx( 22 =++ ;
b) 0dy)yx(dx)yx( 2222 =+−− ;
c) 0dy)yx(dx)2yx( =−+−+ ;
d) 0dy)3yx2(dx)3y2x( =−++−+ ;
e) 0dy)3yx(dx)y2x( =−+++ ;
f) 0dy)y4xy2x(dx)x6yxy2( 3222 =+++−+ ;
g) 3xxy'y =+ ; h) 2xyxy'y =− ;
i) xsinxy'xy =− ; j) 33 xyx'y =+ ;
k) 2xexy2'y −=+ ; l) 0xcosyy'y 2 =+− ;
m) 2000xy'xy =− ; n) 1xy24'y26"y9'''y 3 +=−+− ;
o) 4)4( xy36'''y13y =+− ; p) xey6'y11''y6'''y =−+− .
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 139
CAPITOLUL al X-lea
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR1 ŞI
STATISTICĂ MATEMATICĂ
10.1. Câmp de evenimente. Câmp de probabilitate
Lucrurile, fiinţele sau fenomenele care datorită unei proprietăţi comune pot fi considerate
împreună formează o colectivitate, o populaţie, o mulţime.
Exemple.
1) Studenţii unui an de studiu dintr-o facultate.
2) Piesele produse de o secţie a unei firme.
Fiind dată o colectivitate C, putem să cercetăm dacă elementele sale au sau nu o anumită
proprietate P. Proprietatea P se numeşte criteriu de cercetare a colectivităţii.
Exemplu. Dacă se consideră colectivitatea formată din piesele produse de o firmă, atunci
putem considera drept criteriu de cercetare proprietatea ca o piesă să corespundă sau nu stasului.
Prin experienţă se înţelege realizarea practică a complexului de condiţii corespunzătoare unui
criteriu de cercetare.
Efectuarea unei experienţe asupra unui element al colectivităţii se numeşte probă.
Realizarea unui criteriu în urma unei probe se numeşte eveniment.
Un eveniment care în unele probe poate avea loc, iar în altele nu se numeşte eveniment
întâmplător, stochastic sau aleator.
Dacă considerăm drept criteriu de cercetare al colectivităţii apartenenţa unui element la
colectivitate şi dacă notăm evenimentul corespunzător cu E, atunci evenimentul E se va realiza în urma
oricărei probe şi în consecinţă îl vom numi eveniment sigur.
Exemplu. La aruncarea unui zar, evenimentul sigur este „apariţia uneia din feţele 1, 2, 3, 4, 5,
6 ”.
Evenimentul imposibil φ nu se poate realiza în nici o efectuare a experienţei.
Definiţie. Se spune că evenimentul A implică evenimentul B dacă realizarea evenimentului A
atrage după sine realizarea evenimentului B.
Dacă evenimentul A implică evenimentul B, se scrie BA ⊂ .
1 Apariţia teoriei probabilităţilor este legată de probleme referitoare la jocurile de noroc (L. Pacioli, 1494; G. Cardano, 1539).
Fondatorii acestei teorii sunt matematicienii B. Pascal (1623 – 1662) şi P. Fermat (1601 – 1665)
CAPITOLUL al X-lea
140
Observaţii.
1) Evenimentul imposibil implică orice eveniment ( A⊂φ ).
2) Orice eveniment implică evenimentul sigur ( EA ⊂ ).
Definiţie. Evenimentul contrar evenimentului A este evenimentul care se realizează atunci şi
numai atunci când nu se realizează evenimentul A.
Evenimentul contrar lui A se notează cu A sau CA.
Operaţii cu evenimente
Fie A şi B două evenimente legate de o experienţă.
Definiţie. Se numeşte reuniunea evenimentelor A şi B un nou eveniment care se realizează
atunci şi numai atunci când se realizează cel puţin unul din evenimentele A sau B.
Se notează BA ∪ .
Exemplu. Deoarece realizarea evenimentului A sau a contrarului său A este întotdeauna o
certitudine, avem relaţia EAA =∪ .
Observaţie. Reuniunea se poate extinde pentru un număr oarecare de evenimente.
Definiţie. Se numeşte intersecţia evenimentelor A şi B un nou eveniment care se realizează
atunci şi numai atunci când se realizează ambele evenimente A şi B.
Se notează BA ∩ .
Exemplu. Din definiţia evenimentului contrar lui A rezultă că avem φ=∩ AA .
Observaţie. Intersecţia se poate extinde pentru un număr oarecare de evenimente.
Definiţie. Evenimentele A şi B se numesc incompatibile dacă nu se pot realiza simultan,
adică dacă îndeplinesc relaţia φ=∩BA .
Dacă φ≠∩BA , evenimentele A şi B se numesc compatibile.
Definiţie. Se numeşte diferenţa dintre evenimentul A şi evenimentul B un nou eveniment care
se realizează atunci şi numai atunci când se realizează evenimentul A dar nu se realizează
evenimentul B.
Se notează BA − . Observaţie. BABA ∩=− . Definiţie. Fie Ω o mulţime nevidă. O familie K de părţi ale lui Ω se numeşte corp de părţi
dacă este închisă faţă de operaţiile de reuniune finită şi complementară, adică dacă îndeplineşte
următoarele condiţii:
1) KB,A ∈∀ rezultă KBA ∈∪ ;
2) KA∈∀ rezultă KA∈ .
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 141
Definiţie. Fie Ω o mulţime nevidă. O familie K de părţi ale lui Ω se numeşte σ - corp sau
corp borelian dacă este închisă faţă de operaţiile de reuniune infinită şi complementară, adică dacă
îndeplineşte următoarele condiţii:
1) ∗∈∈∀ N i,KAi rezultă KAi
i ∈∗∈
U
N;
2) KA∈∀ rezultă KA∈ .
Observaţie. Orice corp borelian este şi corp.
Practica arată că mulţimea evenimentelor asociate unei experienţe formează un corp de părţi
dacă ele sunt în număr finit şi un corp borelian dacă sunt în număr infinit. De aceea, vom numi câmp
(câmp borelian) de evenimente, evenimentul sigur E înzestrat cu un corp (corp borelian) K de
evenimente. Un câmp de evenimente îl vom nota prin (E,K).
Definiţie. Se spune că evenimentele )K,E(A,,A,A n21 ∈K reprezintă o desfacere sau o
partiţie a evenimentului A dacă îndeplinesc următoarele condiţii:
1) ji,n,1j,i,AA ji ≠=φ=∩ ;
2) Un
1kkAA
== .
Definiţie. O mulţime finită E,...,E,E n21 de evenimente din )K,E( formează mulţimea
evenimentelor elementare a câmpului de evenimente )K,E( dacă:
1) φ=∩ ji EE , n,1j,i = , ji ≠ ;
2) Un
1iiEE
== ;
3) )K,E(A∈∀ , φ≠A , n,...,2,1k∈∃ astfel încât k21 iii E...EEA ∪∪∪= .
Definiţie. Fie (E,K) un câmp de evenimente. Se numeşte probabilitate 2 pe K o aplicaţie
R→K:P care îndeplineşte următoarele condiţii:
1) KA,0)A(P ∈∀≥ ;
2) 1)E(P = ;
3) KB,A),B(P)A(P)BA(P ∈∀+=∪ cu φ=∩BA .
Tripletul (E, K, P) se numeşte câmp de probabilitate.
2 Definiţia axiomatică a probabilităţii a fost formulată iniţial de A. N. Kolmogorov (1933)
CAPITOLUL al X-lea
142
Definiţie. Fie (E,K) un câmp borelian de evenimente. Se numeşte probabilitate σ - aditivă
sau complet aditivă, o aplicaţie R→K:P care îndeplineşte următoarele condiţii:
1) KA,0)A(P ∈∀≥ ; 2) 1)E(P = ;
3) ( ) ( ) KA,APAP IiiIi
iIi
i ∈∀∑=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∈
∈∈
U cu ji,AA ji ≠φ=∩ , I este o mulţime cel mult
numărabilă de indici.
Tripletul (E, K, P) se numeşte în acest caz câmp borelian de probabilitate.
Consecinţe.
1. Fie un câmp de evenimente (E,K) şi fie desfacerea E1, E2, …, En a evenimentului sigur E în
evenimente elementare. Orice eveniment )K,E(A∈ se poate scrie ca reuniune de evenimente
elementare, adică
k21 iii EEEA ∪∪∪= K cu sjii ii,EEsj
≠φ=∩ .
Din axioma 3) rezultă ( ) ( ) ( ) ( )k21 iii EPEPEPAP +++= K .
Înseamnă că pentru a cunoaşte probabilitatea unui eveniment oarecare A este suficient să
cunoaştem probabilităţile evenimentelor elementare E1, E2, …, En.
Cum n21 EEEE ∪∪∪= K , avem ( ) ( ) ( ) ( ) 1EPEPEPEP n21 =+++= K .
Considerând că toate evenimentele elementare au aceeaşi probabilitate de a se realiza, adică
( ) ( ) ( )n1
EPEPEP n21 ==== K
rezultă nk
)A(P = .
Am găsit astfel definiţia clasică a probabilităţii 3.
Definiţie. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul evenimentelor
elementare favorabile realizării evenimentului considerat şi numărul total al evenimentelor elementare,
evenimentele elementare fiind considerate egal probabile.
Se observă că definiţia clasică a probabilităţii nu se poate aplica atunci când numărul
evenimentelor elementare este infinit.
Exemplu. Într-o magazie sunt 40 de piese dintre care 4 au defecte. Care este probabilitatea
ca o piesă luată la întâmplare să fie cu defecte?
Soluţie. Fie A evenimentul ca piesa aleasă să fie cu defecte. Deoarece alegerea unei piese
este un eveniment aleator, rezultă că putem lua orice piesă din cele 40 şi deci avem 40 de cazuri
3 Definiţia clasică a probabilităţii a fost formulată iniţial de J. Bernoulli (1705)
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 143
posibile. Numărul cazurilor favorabile realizării evenimentului A este egal cu numărul pieselor cu
defecte, adică este egal cu 4. Din definiţia clasică, rezultă 1,0404
)A(P == .
2. Pentru orice )P,K,E(A∈ avem )A(P1)A(P −= .
Într-adevăr, cum EAA =∪ şi φ=∩ AA rezultă că 1)A(P)A(P)E(P =+= , de unde
)A(P1)A(P −= .
3. ( ) 0P =φ . Într-adevăr, cum AA =∪φ şi φ=∩φ A rezultă că ( ) )A(P)A(PP =+φ , de unde ( ) 0P =φ .
4. Pentru orice )P,K,E(A∈ avem 1)A(P0 ≤≤ .
Prima parte a inegalităţii este asigurată prin definiţie, iar pentru partea a doua folosim
consecinţa 2 şi avem 1)A(P1)A(P ≤−= .
5. Dacă )P,K,E(B,A ∈ şi BA ⊂ , atunci )B(P)A(P ≤ .
Într-adevăr, cum )AB(AB ∩∪= şi φ=∩∩ )AB(A rezultă că
)A(P)AB(P)A(P)B(P ≥∩+= .
6. Dacă )P,K,E(B,A ∈ , atunci )BA(P)B(P)AB(P ∩−=− .
Într-adevăr, cum )BA()AB(B ∩∪−= şi φ=∩∩− )BA()AB( rezultă că
)BA(P)AB(P)B(P ∩+−= .
7. Dacă )P,K,E(B,A ∈ şi BA ⊂ , atunci )A(P)B(P)AB(P −=− .
Într-adevăr, cum A)AB(B ∪−= şi φ=∩− A)AB( rezultă că
)A(P)AB(P)B(P +−= .
8. Formula de adunare a probabilităţilor. Dacă )P,K,E(B,A ∈ , atunci
)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪ .
Într-adevăr, cum )]BA(B[ABA ∩−∪=∪ şi φ=∩−∩ )]BA(B[A rezultă că
)]BA(B[P)A(P)BA(P ∩−+=∪ .
Cum BBA ⊂∩ , din consecinţa 7 rezultă )BA(P)B(P))BA(B(P ∩−=∩− care înlocuită în
egalitatea precedentă ne dă )BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪ .
Observaţie. Prin inducţie matematică se demonstrează că oricare ar fi evenimentele A1, A2,
…, An )P,K,E(∈ avem
).AAA(P)1()AAA(P)AA(P)A(PAP n21n
kjikji
jiji
n
1ii
n
1ii ∩∩∩−+−∑ ∩∩+∑ ∩−∑=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
<<<==KKU
CAPITOLUL al X-lea
144
9. Oricare ar fi ∈B,A (E,K,P) avem )B(P)A(P)BA(P +≤∪ .
Aceasta rezultă imediat din consecinţa 8.
Observaţie. Proprietatea rămâne adevărată oricare ar fi evenimentele A1, A2, …, An
)P,K,E(∈ şi avem ∑≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
==
n
1ii
n
1ii )A(PAP U .
10. Inegalitatea lui Boole 4. Dacă A1, A2, …, An )P,K,E(∈ , atunci ∑−≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
==
n
1ii
n
1ii )A(P1AP I .
Într-adevăr, ∑−≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
====
n
1ii
n
1ii
n
1ii
n
1ii )A(P1AP1APAP UUI .
Observaţie. Inegalitatea lui Boole ne dă o limită inferioară pentru probabilitatea intersecţiei a
n evenimente.
Exemplu. La fabricarea unui dispozitiv pot să apară defecte datorită materialului folosit la
fabricarea pieselor, datorită pieselor componente şi datorită montajului. Dispozitivul se consideră bun
dacă nu are nici unul din aceste defecte. Din practică se cunoaşte că datorită materialului folosit 5% din
piese au defecte, datorită prelucrării 8% au defecte, iar datorită montajului 4% din dispozitive au
defecte.
Se cere probabilitatea minimă ca un dispozitiv să fie bun.
Soluţie. Fie A evenimentul ca piesele componente să nu aibă defecte din cauza materialului
folosit, B evenimentul ca piesele componente să nu aibă defecte de fabricaţie şi C evenimentul ca
dispozitivul să nu aibă defecte de montaj. Se cere )CBA(P ∩∩ . Avem
05,0)A(P = , 08,0)B(P = şi 04,0)C(P = .
Din inegalitatea lui Boole avem
83,0)04,008,005,0(1)]C(P)B(P)A(P[1)CBA(P =++−=++−≥∩∩ .
Probabilităţi condiţionate
Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate (câmp borelian de probabilitate), iar A şi B două
evenimente ale câmpului cu 0)B(P ≠ .
Definiţie. Se numeşte probabilitate condiţionată 5 a evenimentului A de către evenimentul B
raportul )B(P
)BA(P ∩.
4 George Boole (1815 – 1864), matematician şi logician englez, fondatorul logicii matematice moderne 5 Definiţia a fost formulată iniţial de Jacques Bernoulli (1700)
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 145
Se notează )B|A(P sau )A(PB .
Observaţie. Tripletul (E,K,PB) este un câmp (câmp borelian) de probabilitate.
Formula de înmulţire a probabilităţilor. Fie A1, A2, …, An )P,K,E(∈ cu
( ) 0AAAP 1n21 ≠∩∩∩ −K . Are loc formula
( ) ))AAA(|A(P))AA(|A(P)A|A(P)A(PAAAP 1n21n213121n21 −∩∩∩⋅⋅∩⋅⋅=∩∩∩ KKK Demonstraţie. Vom folosi metoda inducţiei matematice .
Pentru n = 2 avem ( ) )A|A(P)A(PAAP 12121 ⋅=∩ care este tocmai definiţia probabilităţii
condiţionate.
Presupunem formula adevărată pentru n – 1 şi o demonstrăm pentru n. Avem
( ) ( ) ( )
))AAA(|A(P))AA(|A(P)A|A(P)A(P
)AAA|A(PAAAPAAAAP
1n21n2n11n121
1n21n1n21n1n21
−−−
−−−
∩∩∩⋅∩∩⋅⋅⋅=
∩∩∩⋅∩∩∩=∩∩∩∩
KKK
KKK
Definiţie. Se spune că evenimentele A şi B )P,K,E(∈ sunt independente dacă
)B(P)A(P)BA(P ⋅=∩ .
Se spune că evenimentele familiei finite A1, A2, …, An )P,K,E(⊂ sunt independente (sau
independente în totalitatea lor) dacă evenimentele oricărei subfamilii nevide a familiei date sunt
independente, adică dacă ni...ii1 k21 ≤≤≤≤≤∀ avem
( ) ( ) ( ) ( )k21k21 iiiiii APAPAPAAAP ⋅⋅⋅=∩∩∩ KK .
Observaţie. Dacă evenimentele familiei A1, A2, …, An sunt independente în totalitatea lor,
atunci sunt independente şi s câte s.
Exemplul datorat lui S. N. Bernstein ne arată că reciproca nu este adevărată.
Fie un tetraedru având o faţă colorată cu alb, una cu roşu, una cu negru şi a patra cu toate cele
trei culori.
Notând cu 1A evenimentul apariţiei culorii albe, cu 2A evenimentul apariţiei culorii roşii şi cu
3A evenimentul apariţiei culorii negre, avem
,41
)AAA(P
,81
)A(P)A(P)A(P
,21
)A(P)A(P)A(P
321
321
321
=∩∩
=⋅⋅
===
CAPITOLUL al X-lea
146
deci 1A , 2A , 3A nu sunt independente în totalitatea lor, dar sunt independente două câte două
deoarece 41
)AA(P)AA(P)AA(P 323121 =∩=∩=∩ .
Exemplu. Un produs necesită două operaţii: de prelucrare şi de montare. La prelucrare,
probabilitatea ca produsul să fie cu defecte este 0,5, iar ca montajul să fie defect este 0,2. Care este
probabilitatea ca produsul să fie defect?
Soluţie. Fie A evenimentul ca produsul să fie cu defecte de prelucrare şi B evenimentul ca
produsul să fie cu defecte de montaj. Se cere ( )BAP ∪ .
Avem P(A) = 0,5 şi P(B) = 0,2.
Cum
( ) ( )BAP)B(P)A(PBAP ∩−+=∪ şi ( ) )B(P)A(PBAP ⋅=∩
(evenimentele A şi B sunt independente) rezultă că
( ) 69,02,05,02,05,0BAP =⋅−+=∪ .
Formula probabilităţii totale. Dacă A1, A2, …, An reprezintă o desfacere în evenimente
incompatibile a evenimentului sigur, atunci pentru orice eveniment X al câmpului de evenimente (E, K,
P) are loc formula ( ) ( ) ( ) ( )XPAPXAPXPkA
n
1kk
n
1kk ∑ ⋅=∑ ∩=
== .
Demonstraţie. Într-adevăr, din faptul că A1, A2, …, An reprezintă o desfacere a evenimentului
sigur în evenimente incompatibile, avem
EAn
1kk =
=U şi φ=∩ ji AA , ji ≠ , n,1j,i = .
Un eveniment oarecare X din câmpul de evenimente se poate scrie
( )UUn
1kk
n
1kk XAXAXEX
==∩=∩⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∩=
cu ( ) ( ) n,1j,i,ji,XAXA ji =≠φ=∩∩∩ şi deci
( ) ( ) ( )∑ ⋅=∑ ∩=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∩=
===
n
1kAk
n
1kk
n
1kk )X(PAPXAPXAP)X(P
kU .
Formula lui Bayes 6. În aceleaşi condiţii ca la formula probabilităţii totale are loc şi formula
( )( ) ( )
( ) ( )XPAP
XPAPAP
k
k
An
1kk
AkkX
∑ ⋅
⋅=
=
.
6 Thomas Bayes, matematician englez
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 147
Demonstraţie. Cum ( ) ( ) ( ) )X(PAP)A(PXPXAPkAkkXk ⋅=⋅=∩ rezultă că
( )( ) ( )
( )XP
XPAPAP kAk
kX⋅
= . Înlocuind P(X) din formula probabilităţii totale se obţine formula lui Bayes.
Exemplu. Doi muncitori au lucrat fiecare câte 10 piese şi le-au aşezat în acelaşi loc. Ştiind că
probabilitatea să dea o piesă rebut este de 0,2 şi respectiv 0,3 pentru cei doi muncitori, să se afle
probabilitatea ca luând o piesă la întâmplare ea să fie defectă şi să provină de la primul muncitor.
Soluţie. Fie A1 evenimentul ca piesa luată să provină de la primul muncitor, A2 evenimentul
ca piesa luată să provină de la al doilea muncitor şi X evenimentul ca piesa luată să fie cu defecte.
Piesa defectă poate proveni de la primul muncitor sau de la al doilea şi ( ) ( )21 AXAXX ∩∪∩= . Cum
o piesă luată nu poate proveni decât de la cei doi muncitori, avem EAA 21 =∪ şi φ=∩ 21 AA .
Problema ne cere ca piesa defectă să provină de la primul muncitor, deci se cere ( )1X AP . Aplicând
formula lui Bayes, avem ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )XPAPXPAP
XPAPAP
21
1
A2A1
A11X ⋅+⋅
⋅= .
Dar P(A1) = P(A2) = 0,5 deoarece avem aceeaşi şansă să luăm piesa de la cei doi muncitori şi
din datele problemei rezultă ( ) 2,0XP1A = , ( ) 3,0XP
2A = . Înlocuind în formula lui Bayes, obţinem
( ) 4,03,05,02,05,0
2,05,0AP 1X =
⋅+⋅⋅
= .
Scheme probabilistice clasice
Schema bilei nerevenite
Dintr-o urnă cu a bile albe şi b bile negre se extrag n bine ( ban +≤ ) una câte una fără
întoarcerea bilei extrase în urnă (ceea ce este echivalent cu a extrage n bile deodată).
Probabilitatea ca din cele n bile extrase k1 să fie albe şi k2 să fie negre ( nkk 21 =+ ) este
nba
kb
ka
C
CCP
21
+
⋅= .
Demonstraţie. Numărul cazurilor posibile este nbaC + . Un grup de k1 bile albe poate fi luat în
1kaC moduri, iar unul de k2 bile negre în 2k
bC moduri, deci numărul cazurilor favorabile este 21 kb
ka CC ⋅ .
Folosind definiţia clasică a probabilităţii rezultă formula din enunţ.
Observaţie. Această schemă admite următoarea generalizare
O urnă conţine a1 bile de culoarea 1, a2 bile de culoarea 2, …, as bile de culoarea s. Se extrag
n bile ( s21 a...aan +++≤ ).
CAPITOLUL al X-lea
148
Probabilitatea ca din cele n bile extrase k1 să fie de culoarea 1, k2 să fie de culoarea 2, …, ks
de culoarea s ( nk...kk s21 =+++ ) este n
a...aa
ka
ka
ka
s21
s
s22
11
C
C...CCP
+++
⋅⋅⋅= .
Exemplu. Într-o ladă sunt 12 piese dintre care 2 au defecte. Se extrag 5 piese. Care este
probabilitatea să extragem o piesă cu defecte?
Soluţie. Înlocuind în schema bilei nerevenite bila albă cu piesa bună şi bila neagră cu piesa
cu defecte, avem a = 10, b = 2, n = 5, k1 = 4, k2 = 1, iar probabilitatea cerută este dată de
6635
C
CCP
512
12
410 =⋅
= .
Schema bilei revenite (schema lui Bernoulli 7)
Dintr-o urnă cu a bile albe şi b bile negre se extrag n bile, introducându-se de fiecare dată bila
extrasă înapoi în urnă.
Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi n – k să fie negre este knkk
n qpCP −= ,
unde ba
ap
+= este probabilitatea de a extrage o bilă albă, iar
bab
p1q+
=−= este probabilitatea
de a extrage o bilă neagră.
Observaţii.
1) Folosind binomul lui Newton ∑=+=
−n
0k
kknkkn
n tqpC)qpt( , probabilitatea cerută de schema
lui Bernoulli este coeficientul lui kt din această dezvoltare. Din acest motiv schema se mai numeşte şi
schema binomială.
2) Această schemă admite următoarea generalizare
O urnă conţine a1 bile de culoarea 1, a2 bile de culoarea 2, …, as bile de culoarea s. Se extrag
n bile, punând de fiecare dată bila extrasă înapoi în urnă.
Probabilitatea ca din cele n bile extrase k1 să fie de culoarea 1, k2 să fie de culoarea 2, …, ks
de culoarea s ( nk...kk s21 =+++ ) este
s21 ks
k2
k1
s21p...pp
!k!...k!k!n
P = ,
unde
7 Jean Bernoulli (1667 – 1748), matematician elveţian
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 149
s21
11 a...aa
ap
+++= este probabilitatea de a extrage o bilă de culoarea 1,
s21
22 a...aa
ap
+++= este probabilitatea de a extrage o bilă de culoarea 2,
…………………………………………………………………………………………..
s21
ss a...aa
ap
+++= este probabilitatea de a extrage o bilă de culoarea s.
Această schemă se numeşte schema polinomială.
Schema lui Poisson 8
Fie n urne U1, U2, …, Un. Urna U1 conţine a1 bile albe şi b1 bile negre, urna U2 conţine a2 bile
albe şi b2 bile negre, …, urna Un conţine an bile albe şi bn bile negre.
Se extrage câte o bilă din fiecare urnă.
Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi n – k să fie negre este dată de
coeficientul lui kt din polinomul ( )( ) ( )nn2211 qtp...qtpqtp +++ , unde
p1 este probabilitatea ca din urna U1 să extragem o bilă albă,
p2 este probabilitatea ca din urna U2 să extragem o bilă albă,
……………………………………………………………………… pn este probabilitatea ca din urna Un să extragem o bilă albă,
iar q1 este probabilitatea ca din urna U1 să extragem o bilă neagră, q2 este probabilitatea ca din urna U2 să extragem o bilă neagră,
………………………………………………………………………… qn este probabilitatea ca din urna Un să extragem o bilă neagră.
Observaţie. Schema lui Poisson este o generalizare a schemei polinomiale.
Exemplu. Avem 3 cutii cu piese bune şi piese defecte. Cutia 1 are 3 piese bune şi una
defectă, cutia 2 are 3 piese bune şi 2 cu defecte, cutia 3 are 4 piese bune şi 2 cu defecte. Se scoate
câte o piesă din fiecare cutie. Care este probabilitatea ca o piesă să fie cu defecte?
Soluţie. Avem
43
p1 = , 41
q1 = , 53
p2 = , 52
q2 = , 32
p3 = , 31
q3 = .
Probabilitatea cerută este dată de coeficientul lui t2 din polinomul
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +31
t32
52
t53
41
t43
,
deci 103
6036
52
43
32
32
41
53
32
53
43
P ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= .
8 Siméon Denis Poisson (1781-1840), matematician şi mecanician francez
CAPITOLUL al X-lea
150
10. 2. Variabile aleatoare
Definiţie. Se numeşte variabilă aleatoare acea variabilă pentru care evenimentul de a lua o
valoare oarecare din mulţimea ei de definiţie este un eveniment aleator (întâmplător).
Dacă o variabilă aleatoare ia valori dintr-o mulţime cel mult numărabilă, atunci ea se numeşte
variabilă aleatoare discretă, iar dacă ia valori dintr-un interval al dreptei reale se numeşte variabilă
aleatoare continuă.
Fie X o variabilă aleatoare discretă şi fie xi, n,1i = mulţimea valorilor pe care le poate lua
variabila aleatoare X. Să notăm cu )xX(P i= probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea xi.
Această probabilitate este evident funcţie de xi şi deci putem scrie iii p)x(f)xX(P === .
Pentru a cunoaşte o variabilă aleatoare trebuie să cunoaştem atât valorile xi pe care le ia
variabila aleatoare în timpul procesului de variaţie cât şi probabilităţile cu care ia aceste valori.
Din această cauză vom nota variabilele aleatoare discrete prin ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
xf
xX sau ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
p
xX , n,1i = ,
unde xi se numeşte argumentul variabilei aleatoare X, iar f(xi) = pi se numeşte funcţie de probabilitate.
În mod evident avem 0)x(f i ≥ , n,1i = .
Cum evenimentele )xX(E ii == , constituie o desfacere în evenimente incompatibile a
evenimentului sigur E avem 1)x(fn
1ii =∑
=.
Rezultă că o variabilă aleatoare X se mai poate scrie ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
xf
xX , n,1i = , unde f(xi)
îndeplineşte condiţiile:
1) 0)x(f i ≥ , n,1i = ;
2) 1)x(fn
1ii =∑
=.
Mulţimea valorilor variabilei aleatoare împreună cu funcţia de probabilitate definesc distribuţia
variabilei aleatoare.
Exemple.
1) Distribuţia discretă uniformă
Variabila aleatoare X care este definită de această distribuţie ia valorile xi cu aceeaşi
probabilitate n1
. Deci distribuţia variabilei X este n,1i,n1x
Xi
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ .
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 151
Avem evident 0n1
)x(f i >= , n,1i = şi 1n1
)x(fn
1i
n
1ii =∑=∑
==.
2) Distribuţia binomială (Bernoulli) are variabila aleatoare
n,0k,qpC
kX knkk
n=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ,
unde k reprezintă numărul de bile albe extrase dintr-o urnă Bernoulli.
Avem evident
0qpC)x(f knkkni ≥= − , n,0k = şi 1)qp(qpC)k(f nn
0k
knkkn
n
0k=+=∑=∑
=
−
=.
Cu variabilele aleatoare discrete se pot efectua diferite operaţii.
Fie un sistem de două variabile aleatoare
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
xf
xX , n,1i = şi ( )⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
j
j
yg
yY , m,1j = .
Variabila aleatoare YX o va avea distribuţia
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)y,x(h
yxYX
ji
ji oo , n,1i = , m,1j = ,
unde )y,x(h ji este probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea xi şi variabila aleatoare Y să ia
valoarea yj.
Dacă cele două variabile aleatoare sunt independente, atunci h(xi,yj)=f(xi)·g(yj).
Cu variabilele aleatoare ale unui sistem se pot defini operaţii ca suma, produsul, înmulţirea cu
o constantă, etc.
Definiţie. Se numeşte suma variabilelor aleatoare X şi Y o nouă variabilă aleatoare notată
prin X + Y a cărei distribuţie este
( )⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++
ji
ji
y,xh
yxYX , n,1i = , m,1j = ,
unde
1) 0)y,x(h ji ≥ , n,1i = , m,1j = ;
2) 1)y,x(hn
1i
m
1jji =∑ ∑
= =.
CAPITOLUL al X-lea
152
Definiţie. Se numeşte produsul cu o constantă k a unei variabile aleatoare X o nouă variabilă
aleatoare notată prin kX a cărei distribuţie este
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
xf
kxkX , n,1i = ,
unde
1) 0)x(f i ≥ , n,1i = ;
2) 1)x(fn
1ii =∑
=.
Definiţie. Se numeşte produsul variabilelor aleatoare X şi Y o nouă variabilă aleatoare notată
prin XY a cărei distribuţie este
( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ji
ji
y,xh
yxXY , n,1i = , m,1j = ,
unde
1) 0)y,x(h ji ≥ , n,1i = , m,1j = ;
2) 1)y,x(hn
1i
m
1jji =∑ ∑
= =.
Definiţie. Se numeşte puterea p a variabilei aleatoare X o nouă variabilă aleatoare notată prin
pX a cărei distribuţie este
( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
i
pip
xf
xX , n,1i = ,
unde
1) 0)x(f i ≥ , n,1i = ;
2) 1)x(fn
1ii =∑
=.
Dacă X este o variabilă aleatoare continuă, atunci argumentul ei x ia valori dintr-un interval
[a,b] şi deci P(X = x) = 0.
Pentru a defini distribuţia variabilei aleatoare continue vom considera un interval infinitezimal
[x,x+dx]. Probabilitatea (infinitezimală) dP ca variabila aleatoare X să ia o valoare din acest interval
reprezintă o funcţie de x şi este de forma dP= f(x)dx, unde f(x) se numeşte densitate de probabilitate.
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 153
Pentru a cunoaşte o variabilă aleatoare continuă trebuie să cunoaştem densitatea de
probabilitate f(x). Distribuţia variabilei aleatoare continue X cu densitatea de probabilitate f(x) se va
scrie
]b,a[x,)x(f
xX ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ .
f(x) are proprietăţile:
1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ ;
2) 1dx)x(fb
a=∫ .
Exemple.
1) Distribuţia continuă uniformă pentru o variabilă aleatoare X definită în [a,b] are densitatea
de probabilitate ab
1)x(f
−= .
Avem 0ab
1)x(f >
−= şi 1dx
ab1
dx)x(fb
a
b
a=∫
−=∫ .
2) Distribuţia Cauchy are densitatea de probabilitate R∈+π
= x,)x1(
1)x(f
2.
Avem 0)x1(
1)x(f
2>
+π= şi
12
2narctg2lim
1dx
x1
1lim
1dx
)x1(
1dx)x(f
n
n
n2n2
=π⋅
π=
π=∫
+π=∫
+π=∫
→∞−→∞
+∞
∞−
+∞
∞−.
Reprezentări grafice ale funcţiei de probabilitate şi ale densităţii de probabilitate
Fie o variabilă aleatoare discretă X de distribuţie
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
xf
xX , n,1i = ,
1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn
1ii =∑
=.
Dacă raportăm planul la un sistem ortogonal de coordonate xOy, atunci mulţimea punctelor
Mi(xi,f(xi)), n,1i = reprezintă graficul variabilei aleatoare discrete X.
CAPITOLUL al X-lea
154
Exemplu. Fie variabila aleatoare discretă X de distribuţie
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
278
94
92
271
3210X .
Graficul ei este dat de mulţimea punctelor ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛271
,0M0 , ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛92
,1M1 , ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛94
,2M2 şi ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛278
,3M0 (Fig. 1).
Dacă pe axa absciselor sunt trecute punctele reprezentând valorile variabilei xi şi din aceste
puncte se ridică segmente verticale de lungime pi = f(xi) se obţine graficul prin bastonaşe.
Pentru variabila aleatoare discretă X din exemplul precedent, graficul prin bastonaşe este dat
de mulţimea segmentelor paralele cu axa Oy, situate deasupra axei Ox, care trec prin punctele de pe
axa Ox: O(0,0), A1(1,0), A2(2,0), A3(3,0) şi au respectiv lungimile 278
,94
,92
,271
. (Fig. 2)
Punctele Mi(xi,f(xi)), n,1i = pot fi unite de o infinitate de curbe. O curbă care uneşte punctele
Mi(xi,f(xi)), n,1i = se numeşte curbă de distribuţie a variabilei aleatoare discrete X. Deci se pot
considera o infinitate de curbe de distribuţie pentru o variabilă aleatoare discretă. Dintre acestea cea
mai simplă curbă de distribuţie se obţine unind punctele Mi(xi,f(xi)), n,1i = prin segmente de dreaptă.
Un alt mod de a reprezenta grafic o variabilă aleatoare discretă, des întâlnit în practică, este
dat de histograma variabilei aleatoare 9. Pentru a construi histograma, se face convenţia ca valorile xi
ale variabilei aleatoare X să se ia echidistante cu 1xx i1i =−+ . În acest caz, ordonata pi = f(xi) are ca
9 Histogramele sunt utilizate în statistica matematică, economie, demografie
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 155
mărime acelaşi număr ce exprimă şi aria dreptunghiului de bază 1xx 1ii =− − şi înălţime pi = f(xi). În
practică, se construiesc dreptunghiuri, astfel ca valoarea xi să fie la mijlocul bazei dreptunghiului cu
înălţimea f(xi).
O astfel de reprezentare grafică se numeşte se numeşte histograma variabilei aleatoare X.
Histograma pentru variabila aleatoare discretă X din exemplul precedent este dată în (Fig. 3).
Dacă variabila aleatoare X este continuă şi are distribuţia
]b,a[x,)x(f
xX ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ,
1) 0)x(f ≥ , 2) 1dx)x(fb
a=∫ ,
atunci reprezentarea grafică a funcţie densitate de probabilitate f(x) se face după modelul dat de
analiza matematică.
Curba obţinută se numeşte, de asemenea, curbă de distribuţie a variabilei aleatoare X.
Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare
a) Valoarea medie (sau speranţa matematică) 10
Fie o variabilă aleatoare discretă X de distribuţie
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
xf
xX , n,1i = ,
1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn
1ii =∑
=.
Definiţie. Se numeşte valoarea medie a variabilei aleatoare X numărul
)x(fx...)x(fx)x(fx)x(fx)X(M nn2211n
1iii +++=∑=
=.
10 Noţiunea a fost introdusă de Chr. Huygens (1656)
CAPITOLUL al X-lea
156
Exemplu. Să se calculeze valoarea medie a variabilei aleatoare
n,0k,qpC
kX knkk
n=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− , unde p + q = 1.
Soluţie. Valoarea medie a variabilei aleatoare X este
∑==
−n
0k
knkkn qpkC)X(M .
Pentru calculul lui M(X), folosim identitatea ∑=+=
−n
0k
kknkkn
n xqpC)qpx( .
Derivând, avem ∑=+=
−−− n
0k
1kknkkn
1n xqpkC)qpx(np .
Pentru x= 1, obţinem )X(MqpkC)qp(npn
0k
knkkn
1n =∑=+=
−− .
Cum p + q = 1, rezultă că M(X) = np.
Dacă variabila aleatoare X este continuă şi are distribuţia
]b,a[x,)x(f
xX ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ,
1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb
a=∫ ,
atunci valoarea medie se defineşte prin
∫=b
adx)x(xf)X(M .
Exemplu. Să se calculeze valoarea medie a variabilei aleatoare
R ∈⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+πx,
)x1(
1x
X2
.
Soluţie. Valoarea medie a variabilei aleatoare X este
.0n1
n1lnlim
21
x1
xdx2lim
21
x1
xdxlim
1
)x1(
xdx)X(M
2
2
n
n
n2n
n
n2n2
=+
+π
=∫+π
=∫+π
=∫+π
=∞→−∞→−∞→
∞+
∞−
Proprietăţi ale valorii medii
1) Dacă X = k, adică variabila aleatoare este constantă, atunci M(X) = k.
2) Valoarea medie este valoare internă, adică dacă argumentul variabilei aleatoare ia valori
din [a,b], atunci avem şi M(X)∈ [a,b].
3) M(kX) = kM(X), unde k este o constantă reală.
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 157
4) M(k+X) = k + M(X), unde k este o constantă reală.
5) Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare oarecare, atunci M(X + Y) = M(X)+M(Y).
6) Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare independente, atunci M(XY)=M(X)M(Y).
b) Abaterea unei variabile aleatoare
Definiţie. Se numeşte abatere a variabilei aleatoare X cu R∈)X(M , o nouă variabilă
aleatoare ξ de argument egal cu diferenţa dintre argumentul lui X şi M(X)=m (valoarea medie a
variabilei aleatoare X). Astfel, dacă variabila aleatoare X este discretă cu distribuţia
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
xf
xX , n,1i = ,
1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn
1ii =∑
=,
atunci ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −ξ
)x(f
mx
i
i ,
iar dacă variabila aleatoare X este continuă cu distribuţia
]b,a[x,)x(f
xX ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ,
1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb
a=∫ ,
atunci ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −ξ
)x(f
mx
i .
Ţinând seama de proprietatea d) a valorii medii, avem 0mm)m(M)X(M)(M =−=−=ξ , deci
valoarea medie a abaterii este nulă.
c) Momente de ordinul k
Definiţie. Se numeşte moment de ordin k al variabilei aleatoare X valoarea medie a variabilei
kX . Astfel, dacă variabila aleatoare X este discretă cu distribuţia
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
xf
xX , n,1i = ,
1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn
1ii =∑
=,
atunci ∑==
n
1ii
ki
k )x(fx)X(M ,
CAPITOLUL al X-lea
158
iar dacă variabila aleatoare X este continuă cu distribuţia
]b,a[x,)x(f
xX ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ,
1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb
a=∫ ,
atunci ∫=b
a
kk dx)x(fx)X(M .
d) Medii de ordinul k
Definiţie. Se numeşte medie de ordinul k a variabilei aleatoare X, radicalul de indice k din
momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X.
Notând cu )X(Mk media de ordinul k, avem
k kk )X(M)X(M = .
Exemplu. Să se calculeze )X(M 2 şi )X(M2 pentru variabila aleatoare cu distribuţia
binomială
n,0k,qpC
kX knkk
n=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− , p + q = 1.
Soluţie. Din definiţia momentului de ordinul doi avem
∑==
−n
0k
knkkn
22 qpCk)X(M .
Pentru a calcula această sumă, folosim identitatea
∑=+=
−n
0k
kknkkn
n xqpC)qpx( .
Derivând în raport cu x şi apoi înmulţind egalitatea obţinută cu x, avem
∑=+=
−− n
0k
kknkkn
1n xqpkC)qpx(npx .
Derivând din nou această egalitate în raport cu x, avem
∑=+−++=
−−−− n
0k
1kknkkn
22n21n xqpCk)qpx(xp)1n(n)qpx(np .
Pentru x= 1, se obţine
)X(MqpCkp)1n(nnp 2n
0k
knkkn
22 =∑=−+=
− ,
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 159
deci )qnp(np)1pnp(np)X(M 2 +=+−= .
Ţinând seama de definiţia mediei de ordinul doi, rezultă că )qnp(np)X(M2 += .
Proprietăţi ale momentelor şi ale mediilor
1) Dacă X = c, adică variabila aleatoare este constantă, atunci kk c)X(M = şi c)X(Mk = .
2) Dacă avem un sistem de n variabile independente X1, X2, …, Xn cu
( ) ( ) ( ) 0XM...XMXM n21 ==== , atunci
( )( ) ( ) ( ) ( )2n
22
21
2n21 XM...XMXMX...XXM +++=+++ .
3) Dacă k < p, atunci )X(M)X(M pk < şi )X(M)X(M pk < .
4) Media de ordinul k este o valoare internă în sensul că dacă argumentul variabilei aleatoare
ia valori din [a,b], atunci avem şi ]b,a[)X(Mk ∈ .
e) Momente centrate
Definiţie. Se numeşte moment centrat de ordinul k al variabilei aleatoare X momentul de
ordinul k al abaterii.
Notând cu mk momentul centrat de ordinul k, dacă variabila aleatoare X este discretă cu
distribuţia
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
xf
xX , n,1i = ,
1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn
1ii =∑
=,
atunci
( ) ∑ −=ξ==
n
1ii
ki
kk )x(f)mx(Mm ,
iar dacă variabila aleatoare X este continuă cu distribuţia
]b,a[x,)x(f
xX ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ,
1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb
a=∫ ,
CAPITOLUL al X-lea
160
atunci ( ) ∫ −=ξ=b
a
kkk dx)x(f)mx(Mm .
Dezvoltând după formula binomului lui Newton pe k)mx( − avem
kkk
k2k22k
1k1k
kk mC)1(...)X(MmC)X(mMC)X(Mm −+−+−= −− .
Pentru valori particulare ale lui k, avem:
2233
222
1
m2)X(mM3)X(Mm
m)X(Mm
0m
+−=
−=
=
şi aşa mai departe.
Momentul centrat de ordinul doi se numeşte dispersia (sau varianţa sau fluctuaţia) variabilei
aleatoare X şi se notează cu 2σ sau D(X). Astfel, dacă variabila aleatoare X este discretă cu distribuţia
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
xf
xX , n,1i = ,
1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn
1ii =∑
=,
atunci
22n
1ii
2i
2 m)X(M)x(f)mx( −=∑ −=σ=
,
iar dacă variabila aleatoare X este continuă cu distribuţia
]b,a[x,)x(f
xX ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ,
1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb
a=∫ ,
atunci
22b
a
k2 m)X(Mdx)x(f)mx( −=∫ −=σ .
Proprietăţi ale dispersiei
1) Dacă X = c, adică variabila aleatoare este constantă, atunci D(X) = 0.
2) D(cX) = c2·D(X), unde c este o constantă reală.
3) Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare independente, atunci )Y(D)X(D)YX(D +=+ .
4) )X(D)Xc(D =+ , unde c este o constantă reală.
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 161
Observaţie. )X(D se numeşte abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare X.
Exemplu. Să se calculeze dispersia variabilei aleatoare cu distribuţia binomială.
Soluţie. Cum M(X) = np şi M(X2) = np(np+q), rezultă că
npqpn)qnp(np)]X(M[)X(M)X(D 2222 =−+=−= .
f) Mediană. Funcţie de repartiţie
Definiţie. Se numeşte funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare X probabilitatea ca variabila
aleatoare X să ia valori mai mici decât un număr real x.
Notând cu F(x) funcţia de repartiţie, avem
F(x) = P(X < x).
Dacă variabila aleatoare X este discretă şi are distribuţia
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
xf
xX , n,1i = ,
1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn
1ii =∑
=,
atunci ∑=<
=
xx
1ii
i)x(f)x(F
, deoarece F(x) = P(X < x) = ∑=∑ =
<
=
<
=
xx
1ii
xx
1ii
ii)x(f)xX(P
.
Observaţie. Cu ajutorul funcţiei de repartiţie putem calcula probabilitatea ca variabila
aleatoare X să ia valori cuprinse între două numere p şi q şi avem
)p(F)q(F)qXp(P −=<< . Dacă variabila aleatoare X este continuă şi are distribuţia
]b,a[x,)x(f
xX ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ,
1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb
a=∫ ,
atunci funcţia de repartiţie este
∫=<=x
adt)t(f)xX(P)x(F .
Observaţii.
1) Ca şi în cazul variabilelor aleatoare discrete, avem
∫=−=<<q
pdt)t(f)p(F)q(F)qXp(P .
2) Cunoscând funcţia de repartiţie F(x) a unei variabile aleatoare X, putem afla densitatea de
probabilitate f(x) şi anume dx
)x(dF)x(f = .
CAPITOLUL al X-lea
162
Proprietăţi ale funcţiei de repartiţie
1) F(a) = 0, F(b) = 1;
2) F(x) ∈ [0,1], ]b,a[x∈∀ .
Definiţie. Se numeşte mediana variabilei aleatoare X acea valoare Me pentru care
)MX(P)MX(P ee >=< .
Ţinând seama că )MX(P1)MX(P ee >−=< , rezultă că 21
)M(F e = .
Astfel, mediana este soluţie a ecuaţiei 21
)x(F = .
Exemplu. La un strung s-au strunjit 5 piese de formă cilindrică. În urma măsurării diametrelor
pieselor s-au obţinut rezultatele: 12,01mm, 12,07mm, 12,11mm, 12,05mm, 12,12mm. Se cere
mediana.
Soluţie. Ordonând aceste mărimi şi ţinând seama că probabilitatea ca piesa să aibă unul din
aceste diametre este 2,051
p == rezultă că variabila aleatoare ataşată problemei are distribuţia
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2,02,02,02,02,0
12,1211,1207,1205,1201,12X .
Avem Me = 12,07 deoarece P(X < 12,07) = 0,4 şi P(X>12,07) = 0,4.
Observaţie. În acest caz, Me coincide cu o valoare a variabilei aleatoare. Sunt cazuri când ea
este cuprinsă într-un interval )x,x( 1kk + şi atunci spunem că avem un interval median. Se obişnuieşte
ca Me să se ia mijlocul intervalului median.
Dacă variabila aleatoare este continuă şi are distribuţia
]b,a[x,)x(f
xX ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ,
1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb
a=∫ ,
atunci Me se găseşte ca soluţie a ecuaţiei 21
)x(F = , adică 21
dx)x(feM
a=∫ .
Exemplu. Să se calculeze mediana variabilei aleatoare care are distribuţia Cauchy.
Soluţie. Avem
,21
)2
arctgx(1
)arctgnarctgx(lim1
t1
dtlim
1
)t1(
dt)x(F
n
x
n2n
x
2 =
π+
π=−
π=∫
+π=∫
+π=
−∞→−∞→∞−
de unde rezultă că 0arctgx = şi deci x = 0. Înseamnă că Me = 0.
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 163
g) Modul (sau valoarea dominantă sau valoarea cea mai probabilă)
Definiţie. Se numeşte modul variabilei aleatoare X acea valoare M0 a argumentului pentru
care funcţia de probabilitate, respectiv funcţia densitate de probabilitate, după cum variabila aleatoare X
este discretă, respectiv continuă, are valoare maximă.
Exemplu. Fie X variabila aleatoare ale cărei valori reprezintă suma numărului de puncte
obţinut prin aruncarea a două zaruri identice. X are distribuţia
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
361
362
363
364
365
366
365
364
363
362
361
12111098765432X .
Avem M0 = P(X = 7) = 61
.
Dacă variabila aleatoare X este continuă şi are distribuţia
]b,a[x,)x(f
xX ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ,
1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb
a=∫ ,
atunci pentru aflarea modului se află maximul funcţiei f(x) din [a,b].
Exemplu. Să se afle modul variabilei aleatoare cu distribuţia Cauchy
R ∈⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+πx,
)x1(
1x
X2
.
Soluţie. Avem )x1(
1)x(f
2+π= şi
22 )x1(
x2)x('f
+π−= . Din f(x) = 0 obţinem x = 0 şi cum
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛π1
,0 este punct de maxim pentru f(x), rezultă că M0 = 0.
h) Quantile
Definiţie. Se numesc quantile de ordinul n a unei variabile aleatoare X rădăcinile reale ale
ecuaţiilor
1n,1i,ni
)x(F −== ,
unde n este un număr natural dat, iar F(x) este funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X.
Se observă că mediana Me fiind rădăcină a ecuaţiei 21
)x(F = este quantilă de ordinul doi.
În practică se consideră de obicei n = 2, 4, 10, 100.
Pentru n = 4, cele trei rădăcini se numesc quartile.
CAPITOLUL al X-lea
164
Pentru n = 10, cele nouă rădăcini se numesc decile, iar pentru n = 100, cele 99 rădăcini se
numesc centile.
Exemplu. Să se determine quartilele variabilei aleatoare X cu distribuţia continuă de densitate
de probabilitate 2x643
)x(f = , ]4,0[x∈ .
Soluţie. Pentru a afla quartilele trebuie să căutăm soluţiile ecuaţiilor 3,2,1k,4k
)x(F == .
Avem 64x
dtt643
)x(F3x
0
2 =∫= .
Pentru k = 1, avem ecuaţia x3 = 16 cu rădăcina x1 = 3 22 .
Pentru k = 2, avem ecuaţia x3 = 32 cu rădăcina x2 = 3 42 .
Pentru k = 3, avem ecuaţia x3 = 48 cu rădăcina x3 = 3 62 .
Quartilele sunt deci x1, x2, x3.
i) Covarianţa
Fie două variabile aleatoare X şi Y.
Definiţie. Se numeşte covarianţa variabilelor aleatoare X şi Y valoarea medie a variabilei (X -
m1)(Y - m2), unde m1 şi m2 sunt respectiv valorile medii ale variabilelor X şi Y.
Notând covarianţa cu cov(X,Y), avem
cov(X,Y) = M((X - m1)(Y - m2)).
Cum m1 = M(X) şi m2 = M(Y), avem
cov(X,Y) = M(XY – m1Y – m2X + m1m2) = M(XY) – m1M(Y) – m2M(X) + m1m2
= M(XY) – M(X)M(Y).
Are loc deci formula cov(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y).
Observaţie. Dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente, atunci cov(X,Y) = 0.
j) Coeficient de corelaţie
Fie două variabile aleatoare X şi Y cu valorile medii m1, respectiv m2 şi abaterile medii pătratice
1σ şi respectiv 2σ . Lor le putem ataşa variabilele aleatoare 1
1mX'X
σ
−= şi respectiv
2
2mY'Y
σ
−=
numite variabile aleatoare normate.
Observaţie. Dacă X este o variabilă aleatoare de valoare medie m, atunci variabila aleatoare
normată 'X are valoarea medie egală cu m, iar dispersia este 1.
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 165
Definiţie. Se numeşte coeficient de corelaţie al variabilelor X şi Y covarianţa variabilelor
aleatoare normate 'X şi 'Y .
Notând coeficientul de corelaţie cu XYρ , avem
212
2
1
1
21
21XY
)Y,Xcov(mYM
mXM
)mY)(mX(M)'Y,'Xcov(
σσ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
σ
−⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
σ
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
σσ
−−==ρ .
Proprietăţi ale coeficientului de corelaţie
1) 11 XY ≤ρ≤− .
2) Dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente, atunci 0XY =ρ .
3) Dacă 'Y'X = , atunci 1XY =ρ .
4) Dacă 'Y'X −= , atunci 1XY −=ρ .
k) Funcţia caracteristică
Fie X o variabilă aleatoare discretă sau continuă. Variabilei aleatoare X îi putem ataşa o nouă
variabilă aleatoare itXe de distribuţie
∗∈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛N k,
)x(f
ee
k
itxitX k
, dacă variabila aleatoare X este discretă
şi
R ∈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛x,
)x(f
eeitx
itX , dacă variabila aleatoare X este continuă,
unde i este unitatea imaginară, iar t este un parametru real.
Definiţie. Se numeşte funcţie caracteristică a variabilei aleatoare X valoarea medie a
variabilei aleatoare itXe .
Notând funcţia caracteristică cu c(t), avem
∑==∞
=1k
itxk
itX ke)x(f)e(M)t(c , dacă variabila aleatoare X este discretă
şi
∫==∞
∞−dxe)x(f)e(M)t(c itxitX , dacă variabila aleatoare X este continuă.
CAPITOLUL al X-lea
166
10. 3. Distribuţii continue clasice
O parte din variabilele aleatoare continue au o mare importanţă teoretică şi practică. Dintre
acestea un loc central îl ocupă variabila aleatoare a cărei distribuţie se numeşte distribuţia normală.
Definiţie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuţia normală dacă are densitatea de
probabilitate
R
∈πσ
=σ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σ−
−x,e
2
1),m;x(n
2mx21
,
unde m şi σ sunt doi parametri reali, iar 0>σ .
Să arătăm că ),m;x(n σ este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte următoarele
condiţii:
1) 0),m;x(n ≥σ ;
2) 1dx),m;x(n =∫ σ∞
∞−.
Prima condiţie este evident îndeplinită.
Pentru a doua condiţie vom folosi integrala lui Gauss 11 din analiză şi anume 2
dte0
t 2 π=∫
∞ − .
Avem ∫πσ
=∫ σ=∞
∞−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σ
−−∞
∞−dxe
2
1dx),m;x(nI
2mx
în care efectuând schimbarea de variabilă
t2mx σ=− , avem dt2dx σ= şi limitele de integrare se păstrează, deci putem scrie
∫π
=∫πσ
σ=
∞
∞−
−∞
∞−
− dte1
dte2
2I
22 tt .
Cum funcţia de sub integrală este pară, rezultă ∫π
=∞ −
0
t dte2
I2
.
Ţinând seama de integrala lui Gauss, avem 12
2I =
π
π= .
Observaţie. Funcţia R
∈πσ
=σ σ−
x,e2
1),0;x(n
2
2
2
x
se numeşte densitatea de
probabilitate a variabilei normale centrate.
11 Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855), matematician şi astronom german
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 167
Să calculăm valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare cu densitatea de probabilitate
),m;x(n σ .
a) ∫πσ
=∫ σ=∞
∞−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σ
−−∞
∞−dxxe
2
1),m;x(xn)X(M
2mx21
.
Cu aceeaşi schimbare de variabilă ( t2mx σ=− ), avem
,dtem
dtem
dtte2
dte)mt2(1
dt2e)mt2(2
1)X(M
222
22
ttt
tt
∫π
=∫π
+∫π
σ=
∫ +σπ
=∫ σ+σπσ
=
∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
−
∞
∞−
−∞
∞−
−
(prima integrală este nulă, deoarece funcţia de sub integrală este impară).
Pentru integrala rămasă folosind paritatea funcţiei şi integrala lui Gauss avem
m2
m2dte
m2)X(M
0
t 2=
π
π=∫
π=
∞− .
Din M(X) = m, rezultă că parametrul m este tocmai valoarea medie a variabilei aleatoare X.
b) ∫ −πσ
=∫ σ−=∞
∞−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σ−
−∞
∞−dxe)mx(
2
1),m;x(n)mx()X(D
2mx21
22 .
Cu aceeaşi schimbare de variabilă ( t2mx σ=− ), avem
∫π
σ=∫
π
σ=∫ σσ
πσ=
−
−
∞→
∞
∞−
−∞
∞−
−n
n
t2
n
2t2
2t22 dtetlim
2dtet
2dt2et2
2
1)X(D
222.
Integrând prin părţi, unde f = t, 2tte'g −= , 1'f = ,
2te21
g −−= , obţinem
,dtelim212
dte21
lim2
e2t
lim2
)X(D 2n
n
t
n
2n
n
t
n
2n
n
t
n
2 222σ=∫
π
σ=∫ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−π
σ−
π
σ−=
−
−
∞→−
−
∞→−
−
∞→
deoarece 0e2t
limn
n
t
n
2=
−
−
∞→ şi π=∫
−
−
∞→
n
n
t
ndtelim
2.
Deci 2σ este dispersia variabilei aleatoare cu distribuţia normală.
Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X cu distribuţia normală este
∫πσ
=∫ σ=∞
∞−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σ−
−∞
∞−dxex
2
1dx),m;x(nx)X(M
2mx21
kkk .
Graficul funcţiei ),m;x(n σ are forma unui clopot numit clopotul lui Gauss.
CAPITOLUL al X-lea
168
Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X cu distribuţia normală este
∫πσ
=<=∞−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σ−
−xmt
21
dte
2
1)xX(P)x(F
2
.
Ea depinde de x, m şi σ şi se notează cu ),m;x(N σ .
Funcţia ∫π
=∞−
−x2t
dte2
1)1,0;x(N
2
se numeşte funcţia de repartiţie normată.
Se demonstrează că variabilele aleatoare cu distribuţia normală au următoarele proprietăţi:
1) Dacă o variabilă aleatoare X are distribuţia normală ),m;x(n σ , iar c este o constantă reală,
atunci variabila aleatoare cX are tot distribuţia normală dată de densitatea de probabilitate )c,cm;x(n σ .
2) Dacă variabilele aleatoare X1, X2, …, Xn sunt independente şi au distribuţii normale, atunci
variabila aleatoare ∑==
n
1kkXX are tot o distribuţie normală şi dacă ),m;x(n kkk σ este densitatea de
probabilitate a variabilei kX , n,1k = , atunci variabila aleatoare X are densitatea de probabilitate dată
de ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛∑σ∑==
n
1k
2k
n
1kk ,m;xn .
Distribuţia Gamma
Definiţie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuţia Gamma dacă are densitatea de
probabilitate
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
≥Γ=
−−
,0x,0
0x,exb
1)a(
1)b,a;x(f
bx
1aa
unde a şi b sunt doi parametri reali strict pozitivi, iar ∫=Γ∞
−−
0
x1a dxex)a( .
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 169
Să arătăm că )b,a;x(f este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte următoarele
condiţii:
1) 0)b,a;x(f ≥ ;
2) 1dx)b,a;x(f =∫∞
∞−.
Prima condiţie este evident îndeplinită.
Ţinând seama de expresia lui )b,a;x(f avem ∫Γ
=∫=∞ −
−∞
∞− 0
bx
1aa
dxexb
1)a(
1dx)b,a;x(fI .
Efectuând schimbarea de variabilă x = bt, avem dx = bdt şi limitele de integrare se păstrează.
Astfel putem scrie
.1)a()a(
1dtet
)a(1
bdtetbb
1)a(
1dx)b,a;x(fI
0
t1a
0
t1a1aa
=ΓΓ
=∫Γ
=∫Γ
=∫=∞
−−∞
−−−∞
∞−
Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X cu distribuţia Gamma este
∫Γ
=∫Γ
=∫=∞ −
−+∞ −
−∞
∞− 0
bx
1kaa
0
bx
1aka
kk dxexb
1)a(
1dxexx
b
1)a(
1dx)b,a;x(fx)X(M
.
Cu aceeaşi schimbare de variabilă (x = bt) avem
.)ka(b)a(
1dtetb
b
1)a(
1bdtetb
b
1)a(
1)X(M k
0
t1kakaa
0
t1ka1kaa
k +ΓΓ
=∫Γ
=∫Γ
=∞
−−++∞
−−+−+
Ţinând seama de formula de recurenţă )a(a)1a)...(2ka)(1ka()ka( Γ+−+−+=+Γ , obţinem
kk b)1ka)...(1a(a)X(M −++= .
Astfel pentru k=1 avem ab)X(M = , iar pentru k=2 avem 22 b)1a(a)X(M += .
Să calculăm valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare cu densitatea de probabilitate
)b,a;x(f .
a) ab)X(M = , conform celor de mai sus.
b) 22222 ab)ab(b)1a(a)]X(M[)X(M)X(D =−+=−= .
Graficul funcţiei )b,a;x(f depinde de valorile parametrilor a şi b.
Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X cu distribuţia Gamma este
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
≥∫Γ=<=
−−
.0x,0
0x,dtetb
1)a(
1)xX(P)x(F
x
0
bt
1aa
CAPITOLUL al X-lea
170
Distribuţia Beta
Definiţie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuţia Beta dacă are densitatea de
probabilitate ⎪⎩
⎪⎨
⎧
><
≤≤−β=
−−
,1x,0x,0
1x0,)x1(x)b,a(
1
)b,a;x(f1b1a
unde a şi b sunt doi parametri reali strict
pozitivi, iar ∫ −=β −−1
0
1b1a dx)x1(x)b,a( .
Să arătăm că )b,a;x(f este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte următoarele
condiţii:
1) 0)b,a;x(f ≥ ;
2) 1dx)b,a;x(f =∫∞
∞−.
Prima condiţie este evident îndeplinită.
Ţinând seama de expresia lui )b,a;x(f avem
1)b,a()b,a(
1dx)x1(x
)b,a(1
dx)b,a;x(fI1
0
1b1a =ββ
=∫ −β
=∫= −−∞
∞−.
Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare cu distribuţia Beta este
.)b,ka()b,a(
1dx)x1(x
)b,a(1
dx)x1(xx)b,a(
1dx)b,a;x(fx)X(M
1
0
1b1ka1
0
1b1akkk +ββ
=∫ −β
=∫ −β
=∫= −−+−−∞
∞−
Ţinând seama că între funcţia Beta şi funcţia Gamma are loc relaţia )ba()b()a(
)b,a(+ΓΓΓ
=β ,
obţinem
.)1kba(...)1ba)(ba(
)1ka(...)1a(a)ba()ba)(1ba(...)1kba)(a(
)a(a)1a(...)1ka)(ba(
)kba()a()ka()ba(
)kba()b()ka(
)ba()b()a(
1)X(M k
−++⋅⋅+++
−+⋅⋅+=
+Γ+++⋅⋅−++ΓΓ+⋅⋅−++Γ
=
++ΓΓ+Γ+Γ
=++ΓΓ+Γ
+ΓΓΓ
=
Astfel pentru k=1 avem ba
a)X(M
+= , iar pentru k=2 avem
)1ba)(ba()1a(a
)X(M 2
++++
= .
Să calculăm valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare cu densitatea de probabilitate
)b,a;x(f .
a) ba
a)X(M
+= , conform celor de mai sus.
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 171
.)1ba()ba(
abba
a)1ba)(ba(
)1a(a)]X(M[)X(M)X(D)b
2
222
+++=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−+++
+=−=
Graficul funcţiei )b,a;x(f depinde de valorile parametrilor a şi b.
Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X cu distribuţia Beta este
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>
≤≤∫ −β
<
=<= −−
.1x,1
1x0,dt)t1(t)b,a(
1
0x,0
)xX(P)x(F1
0
1b1a
Distribuţia HI – PĂTRAT (Pearson)
Definiţie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuţia Hi – Pătrat dacă are densitatea
de probabilitate
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<
≥
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γσ=σ
σ−−
,0x,0
0x,ex
2n
2
1
),n;x(f
22
x1
2n
n2n
unde n este un parametru ce
reprezintă numărul gradelor de libertate, iar 0>σ .
Să arătăm că ),n;x(f σ este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte următoarele
condiţii:
1) 0),n;x(f ≥σ ;
2) 1dx),n;x(f =∫ σ∞
∞−.
Prima condiţie este evident îndeplinită.
Ţinând seama de expresia lui ),n;x(f σ avem
∫
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γσ
=∫ σ=∞
σ−−∞
∞− 0
2
x 1
2n
n2n
dxex
2n
2
1dx),n;x(fI
2.
Efectuând schimbarea de variabilă t2x 2σ= , avem dt2dx 2σ= şi limitele de integrare se
păstrează.
Astfel, putem scrie
12n
2n
1dtet
2n
1dt2et2
2n
2
1I
0
t12n
0
2t12n
2n12n
n2n
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ=∫
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ=∫ σσ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γσ
=∞
−−∞−−−−
.
CAPITOLUL al X-lea
172
Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X cu distribuţia Hi – Pătrat este
.dxex
2n
2
1dxexx
2n
2
1dx),n;x(fx)X(M
0
2
x1k
2n
n2n
0
2
x1
2n
k
n2n
kk 22
∫
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γσ
=∫
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γσ
=∫ σ=∞
σ−−+∞
σ−−∞
∞−
Cu aceeaşi
schimbare de variabilă ( t2x 2σ= ) avem
.)2k2n(...)2n(n2
)2k2n(...)2n(n2
2n
22n
...2
2k2n2
2n
2n
12n
...1k2n
2
2n
1k
2n
2
2n
1dtet2
2n
1
dtet2
2n
2
1dt2et2
2n
2
1)X(M
k2k
k2kk2k
k2kk2k
0
t1k2n
k2k
0
t1k2n
k2nk2n
n2n
0
2t1k2n
2k2n1k2n
n2n
k
σ−+⋅⋅+=−+⋅⋅+
σ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+σ=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+σ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γσ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
=∫σ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
=
∫σ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γσ
=∫ σσ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γσ
=
∞−
−+
∞−
−++
+∞−
−+−+
−+
Astfel pentru k=1 avem 2n)X(M σ= , iar pentru k=2 avem 42 )2n(n)X(M σ+= .
Să calculăm valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare cu densitatea de probabilitate
),n;x(f σ .
a) 2n)X(M σ= , conform celor de mai sus.
( ) 422222 n2n)2n(n)]X(M[)X(M)X(D)b σ=σ−σ+=−= .
Distribuţia „t” (Student) 12
Definiţie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuţia „t” dacă are densitatea de
probabilitate R ∈
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
π=
+t,
nt
1
1
2n2
1n
n
1)n;t(f
21n
2
, unde n este un parametru ce reprezintă
numărul gradelor de libertate.
Să arătăm că )n;t(f este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte următoarele condiţii:
1) 0)n;t(f ≥ ;
2) 1dt)n;t(f =∫∞
∞−.
Prima condiţie este evident îndeplinită.
12 Student este pseudonimul matematicianului englez V. S. Gosset
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 173
Ţinând seama de expresia lui )n;x(f avem
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
π=∫=
∞
∞−
+−
∞
∞−dt
nt
1
2n2
1n
n
1dt)n;t(fI
21n
2.
Cum funcţia de sub integrală este pară, rezultă ∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
π=
∞+
−
0
21n
2dt
nt
1
2n2
1n
n
2I .
Efectuând schimbarea de variabilă nxt 2 = şi ţinând seama că limitele de integrare se
păstrează, avem
( ) ( )
( )
.11
211
2n
21
2n
21
2n2
1n1
2n
,21
2n2
1n1
dxx1x
2n2
1n1
dxx1x2n
2n2
1n
n
2dx
nx
12n
x1
2n2
1n
n
2I
02
1n21
02
1n21
02
1n
=ππ
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γπ
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
π=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛β
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
π=∫ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
π=
∫ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
π=∫ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
π=
∞ +−−
∞ +−−∞ +
−
Momentele de ordin impar ale variabilei aleatoare X cu distribuţia „t” sunt nule, deoarece
0dt
nt
1
t
2n2
1n
n
1)X(M
21n
2
1k21k2 =∫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
π=
∞
∞−+
++ ,
funcţia de sub integrală fiind impară.
Momentele de ordin par sunt date de
.dtnt
1t
2n2
1n
n
2dt
nt
1t
2n2
1n
n
1)X(M
0
21n
2k22
1n2
k2k2
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
π=∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
π=
∞+
−∞
∞−
+−
Cu aceeaşi schimbare de variabilă ( nxt 2 = ), efectuând calculele, rezultă
)k2n(...)4n)(2n(n)1k2(...31
)X(Mk
k2
−⋅⋅−−−⋅⋅⋅
= .
CAPITOLUL al X-lea
174
Astfel pentru k=1 avem 2n
n)X(M 2
−= .
Să calculăm valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare cu densitatea de probabilitate
)n;t(f .
a) 0)X(M = , conform celor de mai sus.
b) 2n
n0
2nn
)]X(M[)X(M)X(D 22
−=−
−=−= .
10.4. Exerciţii propuse
1. Să se arate că Rx,e2
1)x(f 2
x
2
∈π
=−
este o densitate de probabilitate.
2. Să se determine constanta k astfel ca funcţia 0x,ke)x(f ax ≥= − să fie o densitate de
probabilitate. Să se calculeze valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare cu această densitate de
probabilitate.
3. Fie variabila aleatoare discretă
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1,02,02,03,02,0
54321X .
Să se calculeze valoarea medie, modul, mediana şi dispersia acestei variabile aleatoare.
4. Să se calculeze dispersia variabilei aleatoare cu distribuţia
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
61
61
61
61
61
61
654321X .
5. Să se calculeze valoarea medie şi momentul centrat de ordinul 2 pentru variabila aleatoare
cu funcţia de probabilitate N∈λ=λλ−
k,!k
e)k,(f k .
6. Să se calculeze momentul centrat de ordinul trei pentru variabila aleatoare cu densitatea
de probabilitate ]1,0[x,)x1(x121
)x(f 2 ∈−= .
7. Să se calculeze abaterea medie pătratică pentru variabila aleatoare cu densitatea de
probabilitate R∈
π
=−
x,
e2
1)x(f
2)1x(.
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 175
8. Să se calculeze )X(M 2 pentru variabila aleatoare cu densitatea de probabilitate
),0[x,xe)x(f x +∞∈= − .
9. Să se calculeze M(X) şi D(X) pentru variabila aleatoare ce dă numărul de bile albe în 10
extrageri dintr-o urnă cu 7 bile albe şi 3 bile negre, ştiind că după fiecare extragere bila extrasă se
reîntoarce în urnă.
10. În trei cutii cu câte 100 de mere fiecare sunt respectiv 10, 20, 30 mere rele şi restul bune.
Se ia câte un măr din fiecare cutie. Se cere probabilitatea ca două mere din cele trei extrase să fie rele.
11. Trei vânători trag simultan asupra unei vulpi. Se ştie că probabilitatea ca vânătorii să
ochească vulpea este respectiv 0,7; 0,8; 0,9. Care este probabilitatea ca vulpea să nu fie ochită?
CAPITOLUL al X-lea
176
BIBLIOGRAFIE
177
BIBLIOGRAFIE
1. Chiriţă, S. – Probleme de matematici superioare, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică,
1989
2. Mihăilă, N. – Introducere în teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Bucureşti,
Editura Didactică şi Pedagogică, 1965
3. Mihăilă, N.; Popescu, O. – Matematici speciale aplicate în economie, Bucureşti,
Editura Didactică şi Pedagogică, 1978
4. Nicolescu, M,; Dinculeanu, N.; Marcus, S. – Manual de analiză matematică, vol. I, Bucureşti,
Editura Didactică şi Pedagogică, 1962
5. Postelnicu, T.; Dinescu, C.; Săvulescu, B. – Matematici speciale aplicate în economie,
Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1977
6. Precupanu, A. – Analiză matematică, vol. I şi II, Universitatea „Al. I. Cuza” Iaşi, 1987
7. Udrişte, C. – Algebră liniară, geometrie analitică, Bucureşti, Geometry Balkan Press, 1996