UNIVERSITATEA „DANUBIUS“ DIN GALAŢI
DEPARTAMENTUL DE ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ SI FRECVENTA REDUSA
FACULTATEA DE ŞTIINŢE ECONOMICE
CĂTĂLIN ANGELO IOAN
Anul I, Semestrul I
MATEMATICĂ APLICATĂ ÎN ECONOMIE
Matematică aplicată în Economie 2
CUPRINS
1. Algebră liniară
Matrice şi determinanţi
Sisteme de ecuaţii liniare
Spaţii vectoriale reale
Aplicaţii liniare
Aplicaţii multiliniare. Forme pătratice. Vectori şi valori proprii
2. Analiză matematică
Spaţii topologice
Diferenţiabilitatea funcţiilor
Serii numerice. Serii de funcţii. Serii de puteri. Dezvoltarea în serie Taylor
Extremele funcţiilor
3. Ecuații diferențiale
Ecuații diferențiale – introducere
Tipuri principale de ecuații diferențiale de ordinul 1
Ecuații diferențiale de ordin superior
Ecuații diferențiale liniare de ordinul n
4. Programare liniară
Probleme economice ce conduc la modelul matematic al programării liniare
Algoritmul simplex primal
Dualitate în programarea liniară
Reoptimizare şi parametrizare în programarea liniară
Problema de transport
5. Matematici financiare
Dobânzi
Matematică aplicată în Economie 3
Operaţiuni de scont
Plăţi eşalonate (rente)
Bibliografie (de elaborare a cursului)
Matematică aplicată în Economie 4
INTRODUCERE Modulul intitulat Matematica aplicată în economie se studiază în anul I, semestrul I și vizează dobândirea de competențe în domeniul matematicii.
După ce se va învăța modulul, vor fi dobândite următoarele competențe generale:
• Cunoaşterea şi utilizarea adecvată a noţiunilor specifice disciplinei, explicarea şi interpretarea unor idei specifice acesteia, precum şi proiecte teoretice şi/sau practice de aplicare a noţiunilor specifice.
• Proiectarea şi evaluarea activităţilor practice specifice disciplinei; utilizarea unor metode, tehnici şi instrumente de investigare şi aplicare.
• Manifestarea unor atitudini pozitive şi responsabile faţă de domeniul ştiinţific în care se regăseşte disciplina, cultivarea unui mediu ştiinţific centrat pe valori şi relaţii democratice, valorificare optimă şi creativă a propriului potenţial în activităţile ştiinţifice, participarea la propria dezvoltare profesională.
Obiectivele cadru pe care le propun sunt următoarele:
• selectarea informaţiilor esenţiale din curs şi din bibliografie;
• formarea deprinderilor de calcul matematic în abordarea unor probleme economice complexe;
• dezvoltarea capacității de a modela o serie de obiecte economice.
Conținutul este structurat în următoarele unităţi de învăţare:
- Algebră liniară - Analiză matematică - Teoria probabilităţilor şi statistică matematică - Ecuații diferențiale - Programare liniară - Matematici financiare
În prima unitate de învăţare intitulată Algebră liniară se va regăsi operaționalizarea următoarelor obiective specifice:
- să folosești în mod practic instrumentarul matriceal;
- să modelezi realitatea economică prin mijlocirea aplicațiilor liniare și transformarea biunivocă între spațiile concrete și cele abstracte;
- să recapitulezi, reformulând metodele de calcul al determinanţilor, inversei şi rangului unei matrice şi rezolvând sistemele de ecuaţii liniare;
- să explici noţiunea de spaţiu vectorial ca generalizare a unor mulţimi studiate în anii anteriori;
Matematică aplicată în Economie 5
- să operezi cu transportul de structuri de la aplicaţiile practice la cele teoretice şi invers;
- să utilizezi noţiunile de vector şi valoare proprie
după ce se va studia conținutul cursului şi se va parcurge bibliografia recomandată. Pentru aprofundare şi autoevaluare se propun exerciții şi teste adecvate.
După ce se va parcurge informația esențială, în a doua unitate de învăţare intitulată Analiză matematică se vor operaționaliza, odată cu cunoștințele oferite, noi obiective specifice:
- să explici noţiunea de spaţiu topologic;
- să definești diferenţiabilitatea funcţiilor;
- să descrii seriile numerice şi seriile de puteri;
- să determini extremele funcţiilor;
- să categorisești integralele improprii, duble şi triple
care vor permite să se aplice în probleme concrete de natură economică cunoștințele învățate. Ca să se poată evalua gradul de însușire a cunoștințelor, va fi rezolvată o lucrare de evaluare care după corectare va fi primită cu observațiile adecvate şi cu strategia corectă de învăţare pentru modulele următoare.
În a treia unitate de învăţare intitulată Teoria probabilităţilor şi statistică
matematică se va regăsi operaționalizarea următoarelor obiective specifice:
- să definești noțiunea de probablitate;
- să aplici schemele de probabilitate;
- să explici indicatorii numerici ai variabilelor aleatoare;
- să determini regresia liniară
după ce se va studia conținutul cursului şi se va parcurge bibliografia recomandată. Pentru aprofundare şi autoevaluare se propun exerciții şi teste adecvate.
După ce se parcurge informația esențială, în a patra unitate de învăţare intitulată Ecuații diferențiale se vor achiziționa, odată cu cunoștințele oferite, noi obiective specifice:
- să aplici corect noile concepte;
- să rezolvi principalele tipuri de ecuații diferențiale și sistemele de ecuații diferențiale de ordinul 1;
- să reduci ecuațiile diferențiale de ordin superior la ordine inferioare
care vor permite să se aplice în probleme concrete de natură economică cunoștințele învățate. Ca să se poată evalua gradul de însușire a cunoștințelor, va fi rezolvată o lucrare de evaluare care după corectare va fi primită cu observațiile adecvate şi cu strategia corectă de învăţare pentru modulele următoare.
În a cincea unitate de învăţare intitulată Programare liniară se va regăsi operaționalizarea următoarelor obiective specifice:
Matematică aplicată în Economie 6
- să aplici corect algoritmul simplex;
- să interpretezi corect semnificația variabilelor duale;
- să modelezi rezolvând coprespunzător problemele de transport
după ce se va studia conținutul cursului şi se va parcurge bibliografia recomandată. Pentru aprofundare şi autoevaluare se propun exerciții şi teste adecvate.
După ce se va parcurge informația esențială, în a șasea unitate de învăţare intitulată Matematici financiare se vor achiziționa, odată cu cunoștințele oferite, noi obiective specifice:
- să aplici noţiunile de dobândă simplă şi compusă;
- să calculezi scadenţe și operaţiuni de scont;
- să detaliezi ratele de anuităţi și împrumuturi
care vor permite să se aplice în probleme concrete de natură economică cunoștințele învățate. Ca să se poată evalua gradul de însușire a cunoștințelor, va fi rezolvată o lucrare de evaluare care după corectare va fi primită cu observațiile adecvate şi cu strategia corectă de învăţare pentru modulele următoare.
Pentru o învăţare eficientă este nevoie de următorii pași obligatorii:
• Să se citească modulul cu maximă atenție; • Să se evidențieze informațiile esențiale cu culoare, să fie notate pe
hârtie, sau adnotate în spațiul alb rezervat; • Să se răspundă la întrebări şi să se rezolve exercițiile propuse; • Să se simuleze evaluarea finală, autopropunându-vă o temă şi
rezolvând-o fără să apelați la suportul scris; • Să se compare rezultatul cu suportul de curs şi să vă explicaţi de ce ați
eliminat (eventual) anumite secvențe; • În caz de rezultat nesatisfăcător să se reia întreg demersul de învăţare.
Se vor primi, după fiecare capitol parcurs, lucrări de verificare, cu cerinţe clare, care vor trebui rezolvate, imediat ce s-a primit prin intermediul platformei de învățământ sarcinile de rezolvat, în termen de maximum o săptămână; în acest fel vor fi îndeplinite obiectivele pe care le-am formulat. Se va răspunde în scris la aceste cerințe, folosindu-vă de suportul de curs şi de următoarele resurse suplimentare (autori, titluri, pagini). Veți fi evaluat după gradul în care ați reușit să operaționalizați competenţele. Se va ţine cont de acuratețea rezolvării, de modul de prezentare şi de promptitudinea răspunsului. Pentru neclarităţi şi informații suplimentare veți apela la tutorele indicat. 60% din notă va proveni din evaluarea continuă (cele două lucrări de verificare) şi 40% din evaluarea finală.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 7
1. ALGEBRĂ LINIARĂ
Matrice şi determinanţi
Sisteme de ecuaţii liniare
Spaţii vectoriale reale
Aplicaţii liniare
Aplicaţii multiliniare. Forme pătratice. Vectori şi valori proprii
Obiectivele unităţii de învăţare
Rezumat
Teste de autoevaluare
Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare
Bibliografie minimală
Obiective specifice:
La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:
- să folosești în mod practic instrumentarul matriceal; - să modelezi realitatea economică prin mijlocirea aplicațiilor liniare și
transformarea biunivocă între spațiile concrete și cele abstracte; - să recapitulezi, reformulând metodele de calcul al determinanţilor,
inversei şi rangului unei matrice şi rezolvând sistemele de ecuaţii liniare;
- să explici noţiunea de spaţiu vectorial ca generalizare a unor mulţimi studiate în anii anteriori;
- să operezi cu transportul de structuri de la aplicaţiile practice la cele teoretice şi invers;
- să utilizezi noţiunile de vector şi valoare proprie.
Timp mediu estimat pentru studiu individual: 6 ore
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 8
1.1. Matrice și determinanți
1.1.1. Noțiuni introductive
Pentru început să notăm Nm={1,...,m}, m∈N*.
Definiţie
Se numeşte matrice de tipul m×n cu coeficienţi reali o funcţie A:Nm×Nn→R,
(i,j)→A(i,j)∈R.
Pentru ca operaţiile şi aplicaţiile matricelor să aibă o exprimare cât mai simplă vom conveni să aranjăm elementele unei matrice sub forma unui tablou:
A=
mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
sau prescurtat A= ( )n,...,1jm,...,1iija
== , A=(aij), i=1,...,m, j=1,...,n (notaţie preferată aici din
motive de redactare) sau simplu A=(aij) dacă domeniile de variaţie ale lui i şi j sunt subînţelese din context. Elementul (ai1 ai2 ... ain) reprezintă linia “i” a
matricei A, i=1,...,m, iar
mj
j2
j1
a
a
a
M coloana “j” a matricei A, j=1,...,n. O matrice
cu o linie şi n coloane se numeşte matrice linie, iar o matrice cu m linii şi o coloană se numeşte matrice coloană. O matrice cu acelaşi număr de linii şi coloane, m=n, se numeşte matrice pătratică. Numărul n se numeşte ordinul matricei.
Vom nota cu Mmn(R) mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane şi cu Mn(R) mulţimea matricelor pătratice de ordinul n.
Considerând o matrice A∈Mn(R), mulţimea ordonată (a11,a22,...,ann) se numeşte diagonala principală a matricei, iar mulţimea ordonată (a1n,a2 n-1,...an1) se numeşte diagonala secundară a matricei.
Definiţie
Se numeşte aplicaţie de transpunere aplicaţia f:Mmn(R)→Mnm(R), f(A)=At
unde At=(a'ij), i=1,...,n, j=1,...,m iar a'ij=aji ∀i=1,...,n, j=1,...,m, A=(aji), j=1,...,m, i=1,...,n fiind matricea dată. Matricea At se numeşte transpusa lui A.
Transpusa unei matrice se obţine prin schimbarea liniilor în coloane sau a coloanelor în linii. Operaţia de transpunere nu păstrează tipul matricelor decât în cazul celor pătratice.
Definiţie
Fie A,B∈Mmn(R), A=(aij), B=(bij). Se numeşte suma matricelor A şi B
matricea A+B=(cij)∈Mmn(R), cij=aij+bij ∀i=1,...,m, j=1,...,n.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 9
Definiţie
Fie α∈R şi A∈Mmn(R), A=(aij). Se numeşte înmulţirea cu scalari a matricei
A cu α matricea αA=(cij)∈Mmn(R), cij=αaij ∀i=1,...,m, j=1,...,n.
Definiţie
Fie A∈Mmn(R), B∈Mnp(R), A=(aij), B=(bij). Se numeşte produsul matricelor
A şi B matricea AB=(cij)∈Mmp(R), cij=∑=
n
1kkjik ba ∀i=1,...,m, j=1,...,p.
Definiţie
Fie A∈Mn(R). Matricea A se numeşte inversabilă dacă ∃B∈Mn(R) astfel încât AB=BA=In.
Definiţie
Se numeşte permutare de m elemente (m≥1) o funcţie bijectivă σ:Nm→Nm.
Definiţie
Fie A∈Mn(R), A=(aij). Se numeşte determinantul lui A numărul:
det A= ∑∈σ
σσσεnS
)n(n)1(1 a...a)(
Definiţii
Fie o matrice A∈Mn(R), A=(aij). Fixăm liniile i1,...,ik şi coloanele j1,...,jk în matricea dată. Determinantul format cu elementele aflate la intersecţia liniilor şi coloanelor fixate se numeşte minor al matricei A şi se notează:
k1
k1
i...i
j...j∆ =
kk1k
k111
jiji
jiji
aa
aa
L
LLL
L
Determinantul obţinut prin eliminarea liniilor şi coloanelor fixate mai sus se
numeşte minor complementar lui k1
k1
i...ij...j∆ şi se notează k1
k1
i...ij...jδ . Numărul:
k1
k1
k1k1k1
k1
i...ij...j
j...ji...ii...ij...j )1( δ−=Γ +++++ se numeşte cofactorul sau complementul lui
k1
k1
i...ij...j∆ .
1.1.2. Rezultate esențiale în calculul determinanților
Teoremă (Binet-Cauchy)
Fie m,n∈N*, m≤n şi A∈Mmn(R), B∈Mnm(R). Atunci:
∑≤<<≤ nj...j1
j...jj...j
m1
m1
m1B detA det=AB det
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 10
Corolar
Fie A,B∈Mn(R). Atunci det AB=det A⋅det B.
Definiţie
Fie A∈Mmn(R), A=(aij). Fie p∈N* astfel încât 1≤p<m şi r∈N* astfel încât
1≤r<n. Definim patru matrice B∈Mpr(R), C∈Mp,n-r(R), D∈Mm-p,r(R), E∈Mm-
p,n-r(R) astfel:
=
=
=
=
++++
+
+
mn1m
n 1p1+r 1p
mr1m
r 1p1 1p
pn1r p
n11r 1
pr1p
r111
aa
aa
E ,
aa
aa
D
,
aa
aa
C ,
aa
aa
B
L
LLL
L
L
LLL
L
L
LLL
L
L
LLL
L
Se spune în acest caz că am partiţionat matricea A în blocurile B, C, D, E.
Vom scrie A=
ED
CB.
Propoziţie
Fie A∈Mn(R) şi B∈Mk(R), C∈Mn-k(R) unde k<n astfel încât A=
C0
0B. Are
loc atunci următoarea egalitate:
det A=det B⋅det C
Teoremă (Laplace)
Fie A∈Mn(R) şi i1,...,ik linii fixate în matrice. Atunci:
det A= ∑≤<<≤
Γ∆nj...j1
i...ij...j
i...ij...j
k1
k1
k1
k1
k1
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 11
1.1.3. Rangul unei matrice
Definiţie
Se numeşte rang al unei matrice, maximul ordinelor minorilor nenuli ai matricei date.
Definiţie
Se numesc transformări elementare ale unei matrice următoarele:
i) permutarea liniilor sau coloanelor;
ii) înmulţirea unei linii (coloane) cu un factor nenul;
iii) adunarea a două linii (coloane).
Propoziţie
Rangul unei matrice este invariant la transformări elementare.
Propoziţie
Fie A=
C0
0B. Atunci: rang A=rang B+rang C
Corolar
Fie A= .A rang=A rang Atunci .
A00
0A0
00Ak
1=ii
k
2
1
∑
L
LLLL
L
L
Sarcina de lucru 1
Aplicând teorema Laplace să se calculeze determinantul:
83402
34217
18453
10705
30102
−
−
−
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 12
Corolar
Fie A=
kk
k222
k11211
A00
AA0
AAA
L
LLLL
L
L
unde Aii, i=1,...,k-1 sunt matrice pătratice de
rang egal cu ordinul lor. Atunci: rang A=∑=
n
1kiiA rang .
Definiţii
O matrice de forma A=
kk
k222
k11211
A00
AA0
AAA
L
LLLL
L
L
unde Aii, i=1,...,k sunt matrice
pătratice se numeşte matrice superior cvasitriunghiulară. Transpusa unei matrice superior cvasitriunghiulare se numeşte matrice inferior cvasitriunghiulară. O matrice inferior (superior) cvasitriunghiulară cu
blocurile Aij=0 ∀i≠j=1,...,k se numeşte matrice cvasidiagonală. O matrice A în care blocurile Aij, i,j=1,...,k sunt matrice de ordin 1 se numeşte matrice superior triunghiulară, matrice inferior triunghiulară respectiv matrice diagonală. Dacă matricea Akk este nulă şi nu neapărat pătratică vom spune că A este matrice trapezoidală. Vom numi bloc diagonal principal (sau uneori bloc diagonal) un bloc al matricei care are diagonala principală inclusă în diagonala principală a matricei date.
Propoziţie
Determinantul unei matrice cvasidiagonale sau cvasitriunghiulare este egal cu produsul determinanţilor blocurilor diagonale principale.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 13
1.1.4. Regula dreptunghiului
Fie deci A=(aij)∈Mmn(R). Fixăm două linii i şi j şi două coloane k şi p în matricea A astfel încât aik≠0. Avem deci:
Vom numi elementul aik≠0 pivot. Înmulţind linia i cu ik
jk
a
a− şi adunând-o la
linia j obţinem a'jk=0 unde notăm cu ' elementele transformate. Avem atunci
pentru un element oarecare ajp: a'jp=ik
jkipjpik
a
aaaa −. Regula de obţinere a lui a'jp
din ajp se numeşte regula dreptunghiului. Într-adevăr, împrumutând denumiri matriceale, construind dreptunghiul cu diagonala principală (în sensul de mai jos) determinată de pivot şi de elementul supus transformării, obţinem că noul element va fi dat de scăderea produsului elementelor de pe diagonala secundară din produsul celor de pe diagonala principală, rezultatul împărţindu-se la pivot. Cum pivotul este nenul, putem să mai facem o transformare elementară înmulţind linia i cu pivotul. În acest caz, avem: a'jp=aikajp-aipajk. Vom conveni să distingem regulile după cele două moduri de transformare numindu-le regula dreptunghiului cu împărţire la pivot, respectiv fără împărţire la pivot. Vom prefera însă regula dreptunghiului fără împărţire la
Sarcina de lucru 2
Să se determine rangul matricei: A=
−
300000
850000
624100
916500
698342
687321
.
=
LLLLL
LLL
LLLLL
LLL
LLLLL
jpjk
ipik
aa
aa
A
pivot
+ -
ele
mentu
l de
transfo
rmat
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 14
pivot din două motive: pe de o parte reduce numărul de calcule, iar pe de alta, reduce erorile de rotunjire ce apar în urma prelucrării cu mijloace de calcul. Din acest motiv, vom spune simplu regula dreptunghiului (specificând explicit faptul că este cu împărţire la pivot atunci când va fi cazul).
Pentru determinarea rangului lui A vom proceda astfel: dacă A=0 atunci rang A=0. Dacă A≠0 atunci ∃aij≠0. Dacă i,j≠1 atunci prin permutări de linii şi coloane se poate aduce acest element în colţul din stânga-sus al matricei. Putem deci presupune că a11≠0. Considerându-l pe a11 drept pivot şi aplicând regula dreptunghiului pentru liniile 2,...,m obţinem matricea A1∼A:
A1=
mn3m2m
n33332
n22322
n1131211
'a'a'a0
'a'a'a0
'a'a'a0
'a'a'a'a
L
LLLLL
L
L
L
Procesul se continuă apoi pentru sub-matricea obţinută din A1 prin eliminarea primei linii şi primei coloane obţinându-se în final o matrice Ak∼A (relaţia este tranzitivă):
Ak=
000
000
'a'a0
'a'a'a
knkk
n1k111
LL
LLLLL
LL
LL
LLLLL
LL
unde am notat tot cu ' elementele transformate fără a le confunda însă cu cele din A1. Ultimele linii pot evident lipsi în cazul în care k=m (să mai notăm aici
şi faptul că rang A≤min{m,n}). Conform corolarului 45, avem rang A=rang Ak=rang(a11)+...+ rang(akk)=k deci rangul este egal cu numărul pivoţilor.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 15
1.1.5. Inversabilitatea matricelor
Teoremă Fie A∈Mn(R). A este inversabilă⇔det A≠0. Teoremă Dacă printr-o succesiune de transformări elementare asupra liniilor (coloanelor) unei matrice A se obţine matricea unitate I atunci considerând aceleaşi transformări aplicate matricii unitate I se obţine matricea inversă A-1. Teoremă
Fie matricea A=
43
21
AA
AA unde A∈Mn(R), A1∈Mk(R), A2∈Mk,n-k(R),
A3∈Mn-k,k(R), A4∈Mn-k,n-k(R), 1≤k≤n-1. Dacă matricele A1, A4, A1-A2A4-
1A3 şi A4-A3A1-1A2 sunt inversabile atunci A-1=
43
21
BB
BB unde: B1=(A1-
A2A4-1A3)
-1, B4=(A4-A3A1-1A2)
-1, B2= -A1-1A2B4 şi B3= -A4
-1A3B1.
Sarcina de lucru 3
Să se determine rangul matricei: A=
−−
−
−
353431
858350
624124
917643
698342
687321
folosind regula dreptunghiului.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 16
1.2. Sisteme de ecuații liniare 1.2.1. Noțiuni introductive
Definiţii
Se numeşte sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute problema determinării numerelor reale xi∈R astfel încât:
=+++
=+++
mnmn22m11m
1nn1212111
bxa...xaxa
bxa...xaxa
L
unde aij∈R, bi∈R, i=1,...,m, j=1,...,n. Numerele reale aij se numesc coeficienţii sistemului, bi se numesc termenii liberi ai sistemului iar xi - necunoscutele
sau variabilele sistemului. Matricea A=(aij)∈Mmn(R) se numeşte matricea
sistemului, B=(bi)∈Mm1(R)-matricea termenilor liberi, iar X=(xi)∈Mn1(R)- matricea necunoscutelor. Definim, de asemenea, matricea Ae=(A,B) obţinută prin adăugarea lui B la dreapta matricei A. Matricea Ae se numeşte matricea extinsă a sistemului. Cu aceste notaţii, sistemul de mai sus se scrie şi sub forma AX=B. Dacă B=0 acesta se numeşte sistem omogen. O altă notaţie a unui sistem se obţine considerând vectorii coloană aj=(a1j a2j ... amj)
t, j=1,...,n ai
matricei A. Sistemul se va scrie atunci: Bxan
1jj
j =∑=
.
Sarcina de lucru 4
Să se inverseze matricea: A=
1274
2321
3435
4312
.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 17
Definiţie
Considerând un sistem de ecuaţii AX=B se numeşte soluţie a sistemului un
vector X=(x1,...,xn)t∈Mn1(R) ce satisface egalitatea matriceală AX=B.
Definiţii
Un sistem care admite soluţie se numeşte sistem compatibil. Dacă soluţia este unică, atunci el se numeşte sistem compatibil determinat, în caz contrar, numindu-se sistem compatibil nedeterminat. Un sistem care nu are soluţie se numeşte sistem incompatibil.
Teoremă (Kronecker-Capelli)
Un sistem este compatibil dacă şi numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei sale extinse.
Definiţie
Fiind dat sistemul AX=B numim sistem omogen asociat, sistemul AX=0.
Propoziţie
Fie sistemul AX=B şi X0 o soluţie a sa. Atunci, orice soluţie este de forma X=X0+Y unde Y este soluţie a sistemului omogen asociat. Reciproc, pentru orice soluţie Y a sistemului omogen asociat rezultă că X=X0+Y este soluţie a sistemului dat.
Teoremă
Fie un sistem omogen AX=0, rang A=r≤n unde A∈Mn(R). Mulţimea soluţiilor sistemului are următoarele proprietăţi:
1) Dacă X1,X2 sunt soluţii atunci X1+X2 este soluţie;
2) Dacă X1 este soluţie şi α∈R atunci αX1 este soluţie;
3) Există n-r soluţii independente X1,...,Xn-r (în sensul că nu se poate obţine una ca o combinaţie liniară de celelalte - se va studia ulterior conceptul de combinaţie liniară) astfel încât orice soluţie X se poate scrie sub forma: X=α1X1+...+αn-rXn-r cu α1,...,αn-r∈R.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 18
1.2.2. Metoda lui Gauss
Fie sistemul AX=B cu n ecuaţii şi n necunoscute, iar rang A=n. Fie matricea extinsă Ae. Ideea folosită aici este cea de la determinarea rangului unei matrice. Dacă Ae este supusă transformărilor elementare cu pivoţi numai din A atunci rangurile celor două matrice rămân invariante, compatibilitatea sistemului conservându-se. Ne propunem să analizăm efectul transformărilor elementare asupra soluţiilor sistemului. Astfel, la permutarea a două linii ale lui Ae efectul va fi de permutare a ecuaţiilor sistemului ceea ce evident nu alterează soluţiile. Amplificarea unei linii cu un factor nenul se transpune în amplificarea ecuaţiei respective, iar adunarea a două linii reprezintă adunarea ecuaţiilor corespunzătoare, niciuna din variante nemodificând soluţiile. Transformările elementare aplicate coloanelor modifică în general soluţiile, singurul efect minor apărând la permutarea coloanelor ceea ce duce la renumerotarea variabilelor. Aplicând deci regula dreptunghiului pe linii, sistemul capătă forma:
Sarcina de lucru 5
Să se studieze dacă sistemul:
=+
=+
=+
=+−+
75t2y
-23z4x
0t-3z5y-3x
2t7z3y5x2
este compatibil
determinat.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 19
=
=++
=+++
nnnn
2nn2222
1nn1212111
bxa
bxa...xa
bxa...xaxa
L
cu aii≠0, i=1,...,n (deoarece rang A=n). Înlocuind succesiv soluţiile în ecuaţiile de deasupra obţinem:
−=−−−
=
=
+ 1,...,1nk ,a
xa...xabx
a
bx
kk
1k1+k knknkk
nn
nn
Exemplu: Să se studieze compatibilitatea, iar în caz afirmativ să se rezolve
prin metoda Gauss sistemul:
=++++
=+−+
=+++
3z)3a(ayx)1a(3
a2zy)1a(ax
az2yx)3a(
, a∈R.
Soluţie Vom nota la permutarea a două coloane a matricei extinse noua
ordine a necunoscutelor deasupra acesteia pentru ca în cazul compatibilităţii
să le putem recupera corect din sistem.
Avem: Ae=
++
−
+
3
a2
a
3aa3a3
11aa
213a
zy x
∼
++
−
+
3
a2
a
3a33aa
a11a
3a21
x zy
∼
−
+−
−−
+−−−
+
2
2
2
2
a3
a3a
a
a3a30
3aaa230
3a21
x zy
. Dacă a=3
2 atunci rezultă că:
rang Ae=rang A=3 iar sistemul devine:
14=17x
23=23x+21z
2=11x+6z+3y
de unde:
119
326y ,
119
23z ,
17
14=x −== . Dacă a≠
3
2 atunci:
Ae∼
+−+
+−
−
+−−−
+
9a15a3a
a3a
a
)1a(a00
3aaa230
3a21
x zy
23
2
2
2 de unde se obţine că a=0 sau
a=1⇒rang(Ae)=3≠2=rang(A) deci sistemul este incompatibil iar în caz
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 20
contrar este compatibil iar soluţia este: x=)1a(a
9a15a3a2
23
−
+−+,
z=)1a(a
18a45a15a18a82
234
−
−+−−, y=
)1a(a
9a54a36a29a162
234
−
+−++−.
1.2.3. Metoda descompunerii în blocuri
Fie sistemul AX=B cu n ecuaţii şi necunoscute iar rang A=n. Partiţionăm
matricea A în forma A=
43
21
AA
AA unde A∈Mn(R), A1∈Mk(R), A2∈Mk,n-k(R),
A3∈Mn-k,k(R), A4∈Mn-k,n-k(R), 1≤k≤n-1 iar matricele A1 şi A4-A3A1-1A2 sunt
inversabile. Notăm Y1=(x1,..., xk)t, Y2=(xk+1,...,xn)
t, B1=(b1,...,bk)t,
B2=(bk+1,...,bn)t. Sistemul se scrie sub forma:
=+
=+
22413
12211
BYAYA
BYAYA
Sarcina de lucru 6
Să se studieze compatibilitatea, iar în caz afirmativ să se rezolve prin metoda Gauss sistemul:
=+++
=−++
=++−
4z)3a2(ayx
a5z3y)1a2(x
a3zy2x)2a(
, a∈R.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 21
Din prima ecuaţie rezultă Y1=A1-1B1-A1
-1A2Y2 şi înlocuind în a doua ecuaţie, obţinem: Y2=(A4-A3A1
-1A2)-1(B2-A3A1
-1B1). Revenind apoi la Y1 se obţine şi expresia acestuia: Y1=A1
-1B1-A1-1A2(A4-A3A1
-1A2)-1(B2-A3A1
-1B1).
Exemplu: Să se rezolve sistemul următor prin metoda descompunerii în
blocuri:
−=+−+
−=+−
=−−
=−+−
6t5z2y2x2
3tzx3
2t3yx2
1tzyx2
.
Soluţie Rescriem sistemul permutând liniile 2 şi 3 astfel încât matricea A1 să
fie inversabilă. Avem astfel: A1=
−
03
12, A2=
−
−
11
11, A3=
−
22
12, A4=
−
−
52
30, B1=
− 3
1, B2=
− 6
2. Avem acum A1
-1=
− 23
10
3
1,
(A4-A3A1-1
A2)-1
=
− 12
21
3
1, B2-A3A1
-1B1=
2
1 de unde Y2=
−3
43
5
, Y1=
2
0.
Prin urmare, x=0, y=2, z=3
5, t=-
3
4.
Sarcina de lucru 7
Să se studieze rezolve, prin metoda descompunerii în blocuri, sistemul:
=+
=+
=+
=+−+
75t2y
-23z4x
0t-3z5y-3x
2t7z3y5x2
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 22
1.3. Spații vectoriale reale 1.3.1. Definiție, reguli de calcul, subspații vectoriale
Definiţie
Fie câmpul numerelor reale R şi V o mulţime nevidă. V se numeşte spaţiu vectorial real dacă există o lege de compoziţie internă +:V×V→V şi o lege de compoziţie externă ⋅:R×V→V astfel încât:
1) (x+y)+z=x+(y+z) ∀x,y,z∈V;
2) ∃e∈V astfel încât ∀x∈V⇒e+x=x;
3) ∀x∈V⇒∃x'∈V astfel încât x'+x=e;
4) α(x+y)=αx+αy ∀α∈R ∀x,y∈V;
5) (α+β)x=αx+βx ∀α,β∈R ∀x∈V;
6) (αβ)x=α(βx) ∀α,β∈R ∀x∈V;
7) 1x≠0 ∀x∈V, x≠0.
Vom nota în cele ce urmează V/R faptul că V este spaţiu vectorial peste câmpul R sau, uneori, simplu V.
Propoziţie (reguli de calcul)
Fie V/R. Atunci:
a) (V,+) este grup cu elementul neutru 0 şi -x elementul opus lui x∈V;
b) α(x-y)=αx-αy ∀α∈R ∀x,y∈V;
c) (α-β)x=αx-βx ∀α,β∈R ∀x∈V;
d) ∑∑∑∑= ===
α=αn
1i
m
1jji
m
1jj
n
1ii yy ∀m,n∈N* ∀αi∈R, i=1,...,n ∀yj∈V, j=1,...,m;
e) α0=0 ∀α∈R;
f) 0x=0 ∀x∈V;
g) 1x=x ∀x∈V;
h) αx=0⇒α=0 sau x=0;
i) α(-x)=(-α)x=-αx ∀α∈R ∀x∈V;
j) (-α)(-x)=αx ∀α∈R ∀x∈V;
k) x+y=y+x ∀x,y∈V;
l) Fie σ∈Sn (grupul permutărilor de n elemente). Atunci: ∑∑=
σ=
=n
1i)i(
n
1ii xx
∀n∈N* ∀xi∈V, i=1,...,n.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 23
Definiţie
Fie V/R şi U⊂V. U se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă operaţiile induse de pe V pe U conferă lui U o structură de spaţiu vectorial real. Vom nota U<V.
Definiţie
Fie V/R şi v1,...,vn∈V, α1,...,αn∈R, n∈N*. Vectorul v=α1v1+...+αnvn se numeşte combinaţie liniară a vectorilor vi, i=1,...,n.
Noţiunea de combinaţie liniară furnizează cea mai largă operaţie complexă care se poate efectua într-un spaţiu vectorial.
Teoremă
Fie V/R şi U⊂V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) U este subspaţiu vectorial al lui V;
2) ∀x,y∈U ∀α∈R⇒x+y∈U,αx∈U;
3) ∀α,β∈R ∀x,y∈U⇒αx+βy∈U;
4) ∀n∈N* ∀αi∈R ∀vi∈U, i=1,...,n⇒α1v1+...+αnvn∈U.
Propoziţie
Fie V/R şi v1,...,vn∈V, n∈N*. Atunci:
<v1,...,vn>= {α1v1+...+αnvnαi∈R, i=1,...,n}
este un subspaţiu vectorial al lui V şi este cel mai mic (în sensul incluziunii) subspaţiu care conţine pe v1,...,vn.
Definiţie
Numim <v1,...,vn> subspaţiul generat de sistemul de vectori {v1,...,vn}.
Propoziţie
Fie V/R şi U1,U2<V. Atunci U1∩U2<V.
Propoziţie
Fie V/R şi U1,U2<V. Atunci U1+U2={v+wv∈U1, w∈U2}<V.
Exemplu:
Fie în R3 mulţimile U1={(a+b,2a-b,a)a,b∈R} şi U2={(c+2d,2c+d,-3c-d)
c,d∈R}.
1) Să se arate că U1<R3 şi U2<R
3;
2) Să se determine U1∩U2;
3) Să se arate, folosind definiţia, că U1∩U2<R3.
Soluţie 1)Fie x=(a+b,2a-b,a)∈U1 şi y=(a'+b',2a'-b',a')∈U1 şi α,β∈R. Avem
αx+βy=α(a+b,2a-b,a)+β(a'+b',2a'-b',a')=(αa+αb,2αa-αb,αa)+
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 24
(βa'+βb',2βa'-βb',βa')=((αa+βa')+(αb+βb'),2(αa+βa')-(αb+βb'),
(αa+βa'))∈U1 deci U1<R3. Putem proceda însă mult mai simplu. Fie x∈U2.
Avem x=(c+2d,2c+d,-3c-d)=(c,2c,-3c)+(2d,d,-d)=c(1,2,-3)+d(2,1,-1). U2 este
deci un spaţiu vectorial generat de vectorii (1,2,-3) şi (2,1,-1). 2)Fie
x∈U1∩U2. Atunci ∃a,b,c,d∈R astfel încât x=(a+b,2a-b,a)=(c+2d,2c+d,-3c-d).
Din sistemul:
−−=
+=−
+=+
dc3a
dc2ba2
d2cba
obţinem în final x=(-3c,0,-c), c∈R. Reciproc,
dacă x=(-3c,0,-c), c∈R, considerând a=-c, b=-2c⇒ x∈U1 iar dacă d=-
2c⇒x∈U2 deci x∈U1∩U2. Prin urmare U1∩U2={(-3c,0,-c) c∈R}. 3)Fie x=(-
3a,0,-a) şi y=(-3b,0,-b) vectori din U1∩U2. Pentru α,β∈R, arbitrari,
avem:αx+βy=(-3(αa+βb),0,-(αa+βb))∈U1∩U2 deci U1∩U2<R3.
Sarcina de lucru 8
Fie d∈R–fixat şi U={aX3+bX2+cX+da,b,c∈R}. Să se cerceteze dacă
U<R[X].
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 25
1.3.2. Sisteme de generatori, dependenţă liniară, baze
Definiţie
Fie V/R şi S={v1,...,vn}⊂V unde n∈N*. S se numeşte sistem (finit) de
generatori pentru V dacă ∀v∈V⇒∃α1,...,αn∈R astfel încât v=α1v1+...+αnvn. V se numeşte spaţiu vectorial finit generat şi vom scrie V=<v1,...,vn>.
Teoremă
Fie V/R şi S={v1,...,vn} un sistem de generatori al lui V. Fie T={w1,...,wn}⊂V
şi p≠q∈{1,...,n} astfel încât
+
+
≠≤≤
=
q=i daca dvcv
p;=i daca bvav
q;p,in,i1 daca v
w
qp
qp
i
i , i= n,1
unde a,b,c,d∈R, ad-bc≠0. În aceste condiţii, T este un sistem de generatori pentru V.
Definiţie
Două sisteme de vectori ai unui spaţiu vectorial se numesc sisteme echivalente de vectori dacă generează acelaşi subspaţiu.
Propoziţie
Două sisteme de vectori sunt echivalente dacă şi numai dacă vectorii din fiecare sistem sunt combinaţii liniare de vectorii celuilalt sistem.
Definiţie
Fie V/R şi S={v1,...,vn}⊂V, unde n∈N*. Sistemul de vectori S se numeşte
sistem liniar independent (finit) de vectori din V dacă ∀α1,...,αn∈R astfel
încât α1v1+...+αnvn=0⇒α1=0,...,αn=0. Vom scrie, pe scurt, ind S.
Definiţie
Fie V/R şi S={v1,...,vn}⊂V, unde n∈N*. Sistemul de vectori S se numeşte sistem liniar dependent (finit) de vectori din V dacă nu este liniar
independent, adică ∃α1,...,αn∈R, nu toţi nuli, astfel încât α1v1+...+αnvn=0. Vom scrie, pe scurt, dep S.
Propoziţie
Fie V/R şi S={v1,...,vn}⊂V. Atunci dep S⇔∃1≤k≤n, astfel încât vk=∑≠=
αn
ki1i
iiv .
Definiţie
Fie V/R. Un sistem de vectori din V se numeşte bază dacă este sistem de generatori şi sistem liniar independent.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 26
Fie V/R şi B={v1,...,vn}⊂V o bază. Fie v∈V, arbitrar. Atunci ∃α1,...,αn∈R
astfel încât v=∑=
αn
1iiiv . Sistemul de scalari (α1,...,αn) fiind unic determinat de
vectorul v şi baza dată, poartă numele de coordonate ale vectorului v în baza
dată. Vom mai scrie şi vB=(α1,...,αn)t=
α
α
n
1
... unde αi, i=1,...,n sunt
coordonatele lui v în baza B. Dacă adoptăm o astfel de scriere condensată a unui vector, va trebui să considerăm baza ca fiind ordonată, în caz contrar, la o permutare a vectorilor bazei permutându-se şi coordonatele respective.
Fie acum V/R şi o bază B=={v1,...,vn}⊂V. Fie, de asemenea, vectorii v,w∈V,
v=∑=
αn
1iiiv , w=∑
=
βn
1iiiv , αi,βi∈R, i= n,1 . Avem: v+w= ∑∑
==
β+αn
1iii
n
1iii vv =
∑=
β+αn
1iiii v)( şi cum toate descompunerile sunt unice, rezultă că putem scrie
formal: (α1,...,αn)t+(β1,...,βn)
t=(α1+β1,...,αn+βn)t. Prin urmare, adunarea a doi
vectori se poate face adunându-i pe coordonate. Analog, pentru α∈R, arbitrar,
avem αv= ∑=
ααn
1iiiv = ∑
=
ααn
1iiiv , deci, formal: α(α1,...,αn)
t=(αα1,...,ααn)t, de
unde rezultă că înmulţirea unui vector cu un scalar se face pe coordonate.
Din aceste consideraţii, vedem că noţiunea de bază este fundamentală în studiul spaţiilor vectoriale, deoarece reduce operaţiile definitorii la operaţii algebrice între coordonate.
Teoremă
Orice spaţiu vectorial nenul admite o bază.
Teoremă
Dacă B este o bază a lui V/R, atunci orice altă bază B' a lui V/R are card B'=card B.
Definiţie
Fie V/R. Se numeşte dimensiunea lui V numărul vectorilor unei baze. Vom nota aceasta cu dim V.
Exemplu:
Să se arate că în spaţiul vectorial R3 sistemul de vectori v1=(1,2,3)
t,
v2=(3,4,2)t, v3=(1,1,-1)
t este sistem de generatori.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 27
Soluţie Pentru ca vectorii daţi să constituie un sistem de generatori trebuie ca
rangul matricei A=
−123
142
131
să fie maxim adică det A≠0. Avem însă det
A=1 deci sistemul dat este de generatori.
1.4. Aplicații liniare 1.4.1. Noțiuni introductive. Comportarea aplicațiilor liniare la operațiile cu subspații
Definiţie
Fie V/R şi W/R. O aplicaţie f:V→W se numeşte morfism de spaţii vectoriale sau aplicaţie R-liniară sau, simplu, aplicaţie liniară dacă satisface următoarele axiome:
1) f(x+y)=f(x)+f(y) ∀x,y∈V-aditivitatea;
2) f(αx)=αf(x) ∀x∈V ∀α∈R-omogenitatea.
Propoziţie
Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci:
1) f(0)=0;
Sarcina de lucru 9
Fie în R4 vectorii v1=(1,0,1,2)t, v2=(2,1,0,3)t, v3=(1,4,α,2)t, v4=(5,1,3,2)t,
α∈R. Să se determine α∈R astfel încât sistemul de vectori {v1,v2,v3,v4} să fie un sistem de generatori pentru R4.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 28
2) f(-v)=-f(v) ∀v∈V.
Propoziţie
Fie V/R, W/R şi f:V→W. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) f este aplicaţie liniară;
2) f(αx+βy)=αf(x)+βf(y) ∀α,β∈R ∀x,y∈V;
3) ∑∑==
α=
α
n
1iii
n
1iii )v(fvf ∀αi∈R ∀vi∈V, i=1,...,n, n≥1.
Din propoziţia de mai sus, se observă, ca şi în cazul subspaţiilor vectoriale, cum verificarea faptului că a aplicaţie este sau nu liniară se reduce la o singură formulă. În aplicaţiile practice, vom folosi punctul 2) de mai sus, urmând ca, în cazul existenţei liniarităţii să aplicăm 3) pentru orice sistem de vectori. Practic, punctul 3) al propoziţiei afirmă faptul că o aplicaţie liniară duce orice combinaţie liniară de vectori în combinaţia liniară a imaginilor acestora.
Propoziţie
Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Dacă V'<V, W'<W atunci f(V')<W şi f-1(W')<V.
Corolar
Fie V/R, W/R, f∈L(V,W). În acest caz, imaginea aplicaţiei liniare Im f<W, iar
nucleul acesteia (kernel (engl.)=nucleu) Ker f={x∈V f(x)=0}<V.
Propoziţie
Fie V/R, W/R, f∈L(V,W). Atunci:
1) f este injectivă ⇔Ker f={0};
2) f este surjectivă ⇔Im f=W.
Definiţie
Fie V/R, W/R. f∈L(V,W) se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale dacă
∃g∈L(W,V) astfel încât f°g=1W, g°f=1V.
Propoziţie
Fie V/R şi V1,V2<V astfel încât V=V1⊕V2. Fie f∈L(V,W), injectivă. Atunci:
f(V1⊕V2)=f(V1)⊕f(V2).
Teoremă (fundamentală de izomorfism)
Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci V/Ker f≅Im f.
Corolar
Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci: dim V=dim Ker f+ dim Im f.
Corolar
Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci:
1) f este injectivă⇒dim V≤dim W;
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 29
2) f este surjectivă⇒dim V≥dim W;
3) f este bijectivă⇒dim V=dim W.
Propoziţie
Fie V/R, W/R, Z/R. Dacă f,g∈L(V,W) şi h∈L(W,Z) atunci f+g∈L(V,W),
αf∈L(V,W) ∀α∈R, h°g∈L(V,Z).
Teoremă
Fie V/R, W/R. Atunci: V≅W⇔dim V=dim W.
Corolar
Fie V/R, dim V=n. Avem V≅Rn.
Fie acum V/R cu o bază B={e1,...,en} şi W/R cu o bază B'={f1,...,fm}. Fie
T∈L(V,W). Avem ∀i=1,...,n⇒T(ei)∈W şi cum B' este bază în W rezultă că
T(ei) se descompune după ea. Avem deci T(ei)=∑=
m
1jjjifa , aji∈R, i=1,...,n,
j=1,...,m. Vom numi matricea ( )n,...,1im,...,1jjia
== matricea asociată aplicaţiei liniare T
în bazele B şi B'. Vom mai scrie şi [T]BB' de câte ori va fi necesar. Avem astfel:
[T]BB'=
↓↓↓
→
→
→
mn2m1m
n22221
n11211
f dupa componenta
...
f dupa componenta
f dupa componenta
a...aa
............
a...aa
a...aa
)e(T
)e(T
)e(T
m
2
1
n21
Fie v∈V. Atunci v=∑=
αn
1iiie cu αi∈R, i=1,...,n. Avem:
T(v)=T(∑=
αn
1iiie )=∑
=
αn
1iii )e(T = ∑ ∑∑∑
= ===
α=α
m
1jj
n
1iiji
m
1jjji
n
1ii fafa
Ţinând seama de convenţia de scriere a unui vector pe coloană avem
(T(v))B'=[T]BB'vB.
Exemplu:
Fie aplicaţia f:R3→R
3, f(x1,x2,x3)=(3x1-x2+x3,2x1+x2,-x1+x3).
1) Să se arate că f este operator liniar;
2) Să se determine Ker f şi Im f;
3) Să se stabilească dacă f este injectivă, surjectivă, bijectivă.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 30
Soluţie 1) Se procedează ca la problema 1 obţinându-se [f]=
−
−
101
012
113
. 2)
Fie x=(x1,x2,x3)∈R3 astfel încât f(x)=0. Avem sistemul:
=+−
=+
=+−
0xx
0xx2
0xxx3
31
21
321
de
unde x1=x2=x3=0 deci x=0 şi Ker f={0}. Fie acum y=(y1,y2,y3)∈R3 şi ecuaţia
f(x)=y. Avem deci sistemul:
=+−
=+
=+−
331
221
1321
yxx
yxx2
yxxx3
care este compatibil
determinat de unde rezultă că ∃x∈R3 astfel încât f(x)=y. Prin urmare Im f=R
3.
3) Deoarece Ker f={0} rezultă f-injectivă iar faptul că Im f=R3 implică faptul
că f este surjectivă, deci, în final, f-bijectivă.
1.5. Aplicații multiliniare. Forme pătratice. Vectori și valori proprii 1.5.1. Aplicații multiliniare
Definiţie
Fie V1,...,Vn,W spaţii vectoriale peste R. O aplicaţie f:∏=
n
1iiV →W se numeşte
aplicaţie n-liniară (aplicaţie multiliniară) dacă este liniară în fiecare argument adică:
f(x1,...,xi-1,axi+byi,xi+1,...,xn)=af(x1,...,xi-1,xi,xi+1,...,xn)+bf(x1,...,xi-1,yi,xi+1,...,xn)
∀xk,yk∈Vk, k=1,...,n ∀a,b∈R ∀i=1,...,n.
Sarcina de lucru 10
Fie aplicaţia f:R3→R3, f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-4x3,2x1+x2,3x1+3x2-4x3). Să se determine Ker f şi Im f;
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 31
Propoziţie
Ln(V1,...,Vn;W) este un R-spaţiu vectorial împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire cu scalari ale aplicaţiilor n-liniare.
Teoremă
Fie V/R, W/R, Z/R. Atunci: L2(V,W;Z)≅L(V,L (W,Z)).
Corolar
Fie V1/R,...,Vn/R,W/R. Atunci:
Ln(V1,...,Vn;W)≅L(V1,L(V2,...,L(Vn-1,L(Vn,W))...))
Teoremă
Fie V/R, W/R şi dim V=n, dim W=m. Atunci: dim L(V;W)=mn.
Corolar
Fie V1/R,...,Vn/R,W/R, dim Vi=di, i=1,...,n şi dim W=m. Atunci:
dim Ln(V1,...,Vn;W)=d1...dnm
Observaţie
Dacă W=R aplicaţiile n-liniare se numesc forme n-liniare. Pentru n=1 se numesc simplu forme liniare sau funcţionale liniare, iar pentru n=2-forme biliniare.
Corolar
Fie V/R. Atunci dim Ln(V;R)=dn unde dim V=d.
Fie acum V/R şi B={e1,...,em} o bază a lui V. Fie f∈Ln(V;R) o formă n-liniară.
Atunci ∀x∈V avem x=∑=
m
1ii
iex deci:
f(x1,...,xn)= ( ).e,...,efx...x...ex,...,exfm
1i
m
1iii
in
i1
m
1ii
in
m
1ii
i1
1 n
n1
n1
n
n
n
1
1
1 ∑ ∑∑∑= ===
=
Prin urmare, valoarea formei n-liniare este unic determinată de acţiunea ei
asupra bazei spaţiului vectorial. Notând ( )n1n1 i...iii ae,...,ef = ∈R, obţinem
forma generală a lui f:
f(x1,...,xn)=∑ ∑= =
m
1i
m
1i
in
i1i...i
1 n
n1
n1x...xa...
Reciproc, orice aplicaţie de forma de mai sus este n-liniară deoarece ∀a,b∈R
∀x,y∈V avem pentru componenta k (1≤k≤n):
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 32
=+=+ ∑ ∑∑= ==
m
1i
m
1i
in
ppi1i...i
m
1pn1
1 n
n1
n1x)...byax...(xa......)x,...byax,...,x(f
).x,...y,...,x(bf)x,...x,...,x(af
x...y...xa......bx...x...xa......a
n1n1
m
1i
m
1i
in
pi1i...i
m
1p
m
1i
m
1i
in
pi1i...i
m
1p 1 n
n1
n1
1 n
n1
n1
+
=+ ∑ ∑∑∑ ∑∑= === ==
Definiţie
Fie V/R, W/R şi f:Vn→W, n≥1. Considerând Sn-grupul permutărilor de n
elemente definim aplicaţia: σf:Vn→W: (σf)(x1,...,xn)=f(xσ(1),...,xσ(n)), σ∈Sn
Definiţie
O aplicaţie n-liniară f se numeşte aplicaţie simetrică dacă ∀σ∈Sn⇒σf=f.
Definiţie
O aplicaţie n-liniară f se numeşte aplicaţie alternată (aplicaţie antisimetrică)
dacă ∀σ∈Sn⇒σf=ε(σ)f (ε(σ) este signatura permutării σ).
Teoremă
O aplicaţie n-liniară f:Vn→W este alternată dacă şi numai dacă:
f(x1,...,xi,...,xj,...,xn)=0 ∀xi∈V, i=1,...,n iar xi=xj, i≠j arbitrari.
Definiţie
Fie o aplicaţie n-liniară f:Vn→W. Definim aplicaţia de alternare:
Alt:Ln(V;W)→Ln(V;W), Alt(f)= ∑∈σ
σσεnS
f)(!n
1
Alt se numeşte operatorul de alternare.
Propoziţie
O aplicaţie n-liniară f:Vn→W este alternată dacă şi numai dacă Alt(f)=f.
Corolar
Operatorul de alternare este involutiv adică Alt°Alt= Alt.
Definiţie
Fie o aplicaţie n-liniară f:Vn→W. Definim aplicaţia de simetrizare:
Sim:Ln(V;W)→Ln(V;W), Sim(f)= ∑∈σ
σnS
f!n
1
Sim se numeşte operatorul de simetrizare.
Propoziţie
O aplicaţie n-liniară f:Vn→W este simetrică dacă şi numai dacă Sim(f)=f.
Corolar
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 33
Operatorul de simetrizare este involutiv adică Sim°Sim=Sim.
În continuare, vom studia câteva aspecte privind formele liniare.
Fie deci V/R, dim V=n. O formă liniară este deci o aplicaţie f∈L(V,R) astfel
încât dacă B={e1,...,en} este o bază a lui V/R atunci f(x)=∑=
n
1i
ii xa unde x=
∑=
n
1ii
iex , f(ei)=ai, i=1,...,n.
Deoarece L(V,R) este un spaţiu vectorial peste R, îl vom nota V* şi-l vom numi dualul spaţiului vectorial V/R. Elementele lui V* se numesc covectori. Din corolarul 10, rezultă că dim V*=dim V=n.
Să considerăm acum un sistem de forme liniare pe V: (ei)i=1,...,n unde ei:V→R,
ei(ej)=δij, i,j=1,...,n. Se verifică uşor că ei sunt forme liniare pe V. În plus, dacă:
=
== ∑∑
==
n
1jj
jiin
1jj
j exe)x(e avem exx =∑=
n
1jj
ij )e(ex .n,...,1i,xx in
1jij
j ==δ∑=
Propoziţie
Fie V/R şi B={e1,...,en} o bază a sa. Atunci B*={e1, ...,en} unde ei(ej)=δij, i,j=1,...,n este o bază a lui V*.
Observaţie
Baza B* se numeşte baza duală lui B.
Se pune acum în mod natural următoarea problemă: cum se schimbă bazele
duale în raport cu schimbările de baze din V. Fie deci B1={e1,...,en} şi
B2={f1,...,fn} două baze în V. Fie B1*={e1,...,en} şi B2
*={f1,...,fn} bazele duale.
Fie T∈V*. Atunci: ∑=
=n
1i
ii e)e(TT = ∑
=
n
1j
jj f)f(T . Avem: [ ] [ ]
2112 BBBB MTT = .
Dar:
[ ] [ ] [ ] tn1B
tn11BBB
tn1B )f,...,f(T)e,...,e(MT)e,...,e(T=T
22121== − de unde:
tn1tn11BB )f,...,f()e,...,e(M
21=− sau altfel: tn1
BBtn1 )f,...,f(M)e,...,e(
21= . Fie
acum: T(ei)=ξi, T(fj)=ωj. Avem deci: tn1n1 )e,...,e)(,...,(=T ξξ =
=ξξ tn1BBn1 )f,...,f(M),...,(
21
tn1n1 )f,...,f)(,...,( ωω de unde rezultă:
(ξ1,...,ξn)21BBM =(ω1, ...,ωn).
Prin urmare, la o transformare de bază în V, vectorii bazei lui V* se transformă după legea de schimbare a coordonatelor din V, iar componentele unui covector se transformă după legea de schimbare a bazei din V.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 34
Exemplu:
Să arate că următoarea aplicaţie este formă liniară: f:R3→R, f(x,y,z)=4x-
5y+3z.
Soluţie f(a(x1,y1,z1)+b(x2,y2,z2))=4(ax1+bx2)-5(ay1+by2)+3(az1+bz2)=
a(4x1-5y1+3z1)+b(4x2-5y2+3z2)=af(x1,y1,z1)+bf(x2,y2,z2) deci f este liniară.
1.5.2. Forme biliniare. Forme pătratice
Vom studia acum câteva aspecte caracteristice privind formele biliniare.
Am văzut că expresia generală a unei forme biliniare într-o bază B={e1,...,en} a
lui V/R este: f(x,y)=∑=
n
1j,i
jiij yxa unde ∑
n
1=ii
iex=x , ∑n
1=jj
jey=y . Dacă vom
considera o altă bază B'={f1,...,fn} a lui V/R, se pune în mod natural problema determinării matricei formei în această nouă bază în funcţie de matricea din
vechea bază. Notând deci [f]B=(aij), este evident că o formă biliniară se poate
scrie f(x,y)=xBt[f]ByB sau ţinând seama de faptul că f(x,y)∈R, deci
transpunerea îl lasă invariant, f(x,y)=yBt[f]B
txB. Considerând matricea de
trecere MBB' de la baza B la B' avem în baza B': f(x,y)=xB't[f]B'yB'=(MBB'
-
1)txBt[f]B'MBB'
-1yB de unde, după identificare, avem: [f]B=
(MBB'-1)t[f]B'MBB'
-1 sau altfel [f]B'=MBB't[f]BMBB'.
Propoziţie
Orice formă biliniară f se poate scrie ca suma unei forme biliniare simetrice cu una alternată: f=Sim(f)+Alt(f).
Definiţie
Fie o formă biliniară f:V2→R. Se numeşte forma pătratică asociată lui f,
aplicaţia: H:V→R, H(x)=f(x,x) ∀x∈V.
Sarcina de lucru 11
Să arate că următoarea aplicaţie este formă liniară:
f:R3→R, f(x,y,z)=x-y+z.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 35
Dându-se o formă omogenă de grad 2, adică o aplicaţie H:V→R,
H(αx)=α2H(x) ∀x∈V ∀α∈R definim: g(x,y)=2
1(H(x+y)-H(x)-H(y)) ∀x,y∈V.
Avem g(x,x)=H(x) ∀x∈V, deci g este formă biliniară simetrică, a cărei formă pătratică asociată este H. Vom numi g-forma polară a lui H.
Se observă că matricele formei pătratice şi a formei polare sunt identice.
Fie acum în V/R baza B={e1,...,en} şi x=∑=
n
1ii
iex ∈V. Fiind dată matricea
A=(aij), i,j=1,...,n a unei forme pătratice H, avem: H(x)=xtAx=∑=
n
1j,i
jiij xxa de
unde detaliat:
H(x)= 2nnn
2222
n1n1
2112
2111 )x(a...)x(axxa2...xxa2)x(a ++++++
La o schimbare de bază în V, avem aceeaşi formulă de transformare a matricei unei forme pătratice ca şi în cazul formelor biliniare. Simetria matricei se păstrează indiferent de baza lui V.
Forma polară a lui H este:
g(x,y)=2
1(H(x+y)-H(x)-H(y))=
−−++ ∑∑∑
===
n
1j,i
jiij
n
1j,i
jiij
n
1j,i
jjiiij yyaxxa)yx)(yx(a
2
1=
−−+++ ∑∑∑∑∑∑
======
n
1j,i
jiij
n
1j,i
jiij
n
1j,i
jiij
n
1j,i
jiij
n
1j,i
jiij
n
1j,i
jiij yyaxxayyaxyayxaxxa
2
1=
+ ∑∑
==
n
1j,i
jiij
n
1j,i
jiij xyayxa
2
1=
+∑
=
n
1j,i
jijiij yx)aa(
2
1=∑
=
n
1j,i
jiij yxa =
∑∑≠
==
+n
ji1j,i
jiij
n
1i
iiii yxayxa .
Prin urmare, forma polară lui H se poate obţine prin procedeul de dedublare care constă în următoarele transformări:
- Expresiile de forma aii(xi)2 se transformă în aiix
iyi;
- Expresiile de forma 2aijxixj se transformă în aij(x
iyj+xjyi) (∀i≠j).
Exemplu:
Fie aplicaţia f:R2×R
2→R, f(x,y)=x1y
1+x
1y
2-x
2y
2 unde x=(x
1,x
2), y=(y
1,y
2)∈R
2.
1) Să se arate că f este o formă biliniară;
2) Să se determine σf ∀σ∈S2;
3) Este forma f simetrică?
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 36
4) Este forma f alternată?
5) Să se determine Alt f;
6) Să se determine Sim f.
Soluţie 1)Faptul că f este formă biliniară se arată folosind definiția.
2)Permutările din S2 sunt: σ1=
21
21 şi σ2=
12
21. Avem σ1f=f deoarece σ1
este permutarea identică. De asemenea, σ2f se obţine prin permutarea
variabilelor x şi y deci: (σ2f)(x,y)=f(y,x)=y1x
1+ y
1x
2-y
2x
2.
3)f nu este simetrică deoarece σ2f≠f.
4)f nu este alternată deoarece σ2f≠-f.
5)Deoarece σ2 este o transpoziţie (deci ε(σ2)=-1) avem (Alt f)(x,y)=
2
1(σ1f-σ2f)(x,y)=
2
)x,y(f)y,x(f −=
2
1(x
1y
2-x
2y
1) ∀x,y∈R
2.
6)Analog cu 5) avem: (Sim f)(x,y)=2
1(σ1f+σ2f)(x,y)=
2
)x,y(f)y,x(f += x
1y
1-
x2y
2+
2
1(x
1y
2+x
2y
1).
Sarcina de lucru 12
Fie aplicaţia B:R2×R2→R, B(x,y)=x1y1-2x1y2+3x2y1-x2y2 unde x=(x1,x2),
y=(y1,y2)∈R2. 1) Să se arate că B este o formă biliniară; 2) Să se determine forma pătratică asociată H; 3) Să se determine forma polară f a lui H;
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 37
1.5.3. Vectori și valori proprii
Definiţie
Fie V/R. Un subspaţiu W<V se numeşte subspaţiu invariant al lui V faţă de
un endomorfism f:V→V dacă f(W)⊂W adică f(x)∈W ∀x∈W.
Fie f:V→V şi W<V, invariant prin f. Să considerăm o bază B'={e1,...,ek} a lui
W şi să o completăm până la o bază B={e1,...,ek, ek+1,...,en} a lui V. Avem deci
f(B')⊂W de unde f(ei)∈W, i=1,...,k. Fie deci: k,...,1i ,ea)e(fk
1jjjii ==∑
=
iar
∑=
=n
1jjjss ea)e(f , s=k+1,...,n. Matricea lui f în baza B este:
[f]B=
++
+
nn1+k n
n 1k1+k 1k
kn1+k kkk1k
n11k 1k111
aa00
aa00
aaaa
aaaa
LL
LLLLLL
LL
LL
LLLLLL
LL
Considerând spaţiul Z generat de vectorii {ek+1,...,en} avem V=W⊕Z. Dacă şi Z este invariant atunci matricea lui f este cvasidiagonală, adică:
[f]B=
++
nn1+k n
n 1k1+k 1k
kk1k
k111
aa00
aa00
00aa
00aa
LL
LLLLLL
LL
LL
LLLLLL
LL
Generalizarea este imediată în sensul că dacă V=V1⊕...⊕Vp iar V1,..., Vp sunt
invariate de f atunci matricea lui f în baza B1∪...∪Bp (Bi-bază a lui Vi, i=1,...,p) este cvasidiagonală.
Reamintim că operaţiile cu matrice cvasidiagonale se fac ca şi când blocurile diagonale sunt simple elemente. În particular, inversarea unui operator implică inversarea blocurilor. Evident, cu cât ele vor fi mai mici (în sensul dimensiunii
acestora) cu atât operaţiile vor fi mai simple. Vom încerca, deci, să determinăm cele mai mici subspaţii invariante ale unui operator. Subspaţiile de
dimensiune nulă sunt întotdeauna invariante deoarece f({0})={0}⊂{0} ştiind că unicul subspaţiu de dimensiune 0 este subspaţiul nul. Cum acesta oricum nu are o bază, el nu prezintă importanţă pentru studiul nostru. Ne vom continua deci discuţia relativ la subspaţiile invariante de dimensiune 1.
Fie deci W<V, dim W=1. Atunci, ∀w∈W, w≠0⇒B'={w} este bază a lui W. În
acest caz, f(B')⊂W implică faptul că ∃λW∈R astfel încât f(w)=λWw.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 38
Definiţie
Fie V/R şi f∈L(V). Un vector v∈V-{0} se numeşte vector propriu pentru f
dacă ∃λ∈R astfel încât f(v)=λv. λ se numeşte valoare proprie a endomorfismului f.
Propoziţie
Orice vector propriu corespunde unei singure valori proprii.
Propoziţie
Fie f∈L(V) şi λ1,...,λk∈R, k≥2, valori proprii distincte. Vectorii proprii v1,...,vk, corespunzători acestor valori proprii, sunt liniar independenţi.
Ne punem acum problema determinării concrete a vectorilor proprii. Cu toate că noţiunea de valoare proprie a apărut în procesul definirii vectorilor proprii, algoritmul de determinare a acestora va acţiona exact invers. Vom determina astfel, mai întâi valorile proprii şi apoi vectorii proprii respectivi.
Fie deci v≠0 un vector propriu al lui f∈L(V). Există atunci λ∈R astfel încât
f(v)=λv=λ1V(v) unde 1V este endomorfismul unitate al lui V. Avem deci: (f-
λ1V)(v)=0 de unde v∈Ker(f-λ1V) adică Ker(f-λ1V)≠{0}. Fie A=[f]B şi I=[1V]B
într-o bază oarecare B a lui V. Din cele de mai sus rezultă că rang(A-λI)<n
deci det(A-λI)=0.
Definiţie
Polinomul P(λ)=det(A-λI) se numeşte polinomul caracteristic al
endomorfismului f iar ecuaţia P(λ)=0 se numeşte ecuaţia caracteristică a endomorfismului f.
Propoziţie
Polinomul caracteristic este invariant la schimbări de bază.
Teoremă
Fie f∈L(V) şi λ1,...,λk valori proprii distincte. Atunci există o bază B a lui V astfel încât:
[f]B=
λ
λ
λ
++
nn1+k n
n 1k1+k 1k
kn1+k kk
2n1+k 22
n11+k 11
cc000
cc000
bb00
bb00
bb00
LL
LLLLLLL
LL
LL
LLLLLLL
LL
LL
unde bij∈R, i=1,...,k, j=k+1,...,n şi cpr∈R, p=k+1,...,n, r=k+1,...,n.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 39
Corolar
Dacă f are toate valorile proprii distincte, atunci există o bază a lui V în care matricea lui f are forma diagonală.
Teoremă
Fie f∈L(V) şi λ o valoare proprie a lui f. Fie mulţimea S(λ)={v∈Vf(v)=λv}. Atunci:
1) S(λ) este un subspaţiu vectorial al lui V invariant faţă de f;
2) Dacă d(λ)=dim S(λ) atunci d(λ)=n-rang(A-λI) unde A=[f]B, B-bază arbitrară;
3) Dacă m(λ) este ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ atunci
d(λ)≤m(λ).
Observaţie
S(λ) se numeşte subspaţiul propriu asociat lui λ.
Definiţie
Un endomorfism f∈L(V) se numeşte endomorfism diagonalizabil dacă există
o bază B a lui V în care [f]B este matrice diagonală.
Teoremă
Fie f∈L(V) şi λ1,...,λk valori proprii distincte ale lui f. Endomorfismul f este
diagonalizabil dacă şi numai dacă d(λi)=m(λi), i=1,...,k. În baza B formată cu
vectorii proprii corespunzători valorilor proprii λ1,...,λk avem:
[f]B=
linii )(d
linii )(d
000
000
000
000
k
1
k
k
1
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
M
LLL
LLLLLLL
LLL
LLLLLLL
LLL
LLLLLLL
LLL
Definiţie
Un endomorfism se numeşte endomorfism triangularizabil dacă există o bază în care matricea acestuia să fie (inferior sau superior) triunghiulară.
Teoremă
Un endomorfism f∈L(V) este triangularizabil dacă şi numai dacă polinomul său caracteristic se descompune în factori de gradul I (nu neapărat distincţi).
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 40
Definiţie
Fie un polinom P=anXn+...+a1X+a0∈R[X] şi o matrice A∈Mm(R). Vom numi
polinom de matrice expresia: P(A)=anAn+...+a1A+a0Im∈Mm(R).
Definiţie
O matrice A se spune că este de tip celulă Jordan dacă este de forma:
λ
λ
λ
λ
=λ
0000
000
010
001
)(A
LLLLL
L
L
L
Definiţie
O matrice A se spune că are forma canonică Jordan dacă este de forma:
λ
λ
=
)(A0
0)(A
A
k
1
L
LLL
L
unde λ1,...,λk∈R nu neapărat distincte iar A(λi), i=1,...,k sunt celule Jordan.
Teoremă (Hamilton-Cayley)
Fie f∈L(V), B o bază a lui V, A=[f]B şi P polinomul caracteristic al lui f. Atunci P(A)=0.
Definiţie
Fie f∈L(V). f se numeşte endomorfism nilpotent dacă ∃p∈N* astfel încât
fp(x)=0 ∀x∈V. p se numeşte indicele de nilpotenţă dacă este cel mai mic cu această proprietate.
Teoremă
Fie V/R, dim V=n. Dacă f∈L(V) este nilpotent, atunci există o bază a lui V astfel încât:
[f]B=
ε
ε
ε
−
00000
0000
0000
0000
1n
2
1
L
L
LLLLLL
L
L
unde εi∈{0,1}, i=1,...,n-1.
Propoziţie
Fie V/R, dim V=n, f∈L(V) şi fie P polinomul său caracteristic. Dacă R este
algebric închis iar P(λ)=(-1)n ( ) ( ) j1 mj
m1 ... λ−λλ−λ cu λ1≠...≠λj, m1+...+mj=n
notăm Vk=Ker(f-λk1V), k=1,...,j. În aceste condiţii:
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 41
1) Vk≠{0}, k=1,...,j;
2) Vk<V, k=1,...,j;
3) Vk este invariant faţă de f;
4) V=V1⊕...⊕Vj.
Teoremă
Fie f∈L(V) cu V/R, dim V=n şi R algebric închis. Atunci există o bază în V în care matricea lui f are forma canonică Jordan.
Teoremă
Fie f∈L(V) cu V/R, dim V=n şi R algebric închis. Dacă [f]B=
[ ]
[ ]
j
1
B
B
f0
0f
L
LLL
L
cu B şi Bk, k= j,1 astfel încât Bk o bază pentru care
[ ]kBVk1f λ− are forma din teorema 35, iar B=B1∪...∪Bj, atunci
∀P=anXn+...+a1X+a0∈R[X] avem: P([f]B)=
[ ]
[ ]
)f(P0
0)f(P
j
1
B
B
L
LLL
L
unde:
[ ]
λ
−
λλλ
−
λλλλ
=−
−
)(P000
)!2d(
)(P
!1
)('P)(P0
)!1d(
)(P
!2
)("P
!1
)('P)(P
)f(P
i
i
i)2d(
ii
i
i)1d(
iii
B
i
i
i
L
LLLLL
L
L
λi fiind valoarea proprie corespunzătoare blocului [ ]iBf iar di fiind ordinul lui
[ ]iBf , i=1,...,j.
Exemplu:
Să se determine vectorii şi valorile proprii ale operatorului liniar ce are
matricea: A=
−
−
−−
111
212
214
.
Soluţie Pentru ecuaţia caracteristică avem:
λ−−
−λ−
−−λ−
111
212
214
=0 de unde
λ3-6λ2
+11λ-6=0 cu λ1=1, λ2=2, λ3=3-valorile proprii. Pentru λ=1 obţinem
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 42
sistemul: (A-1⋅I)(x,y,z)t=0 adică:
=
−
−
−−
0
0
0
z
y
x
011
202
213
de unde z=y=x=α
deci vectorii proprii sunt de forma v=(α,α,α)t,α∈R-{0}. Pentru λ=2 obţinem
analog v=(α,0,α)t, α∈R-{0} iar pentru λ=3⇒v=(α,α,0)
t, α∈R-{0}.
1.5.4. Reducerea formelor pătratice la forma canonică
Fie V/R, dim V=n şi o formă pătratică H:V→R, H(x)=xtAx, A∈Mn(R)-simetrică. Ne propunem în această secţiune să determinăm o bază a lui V, în care matricea formei pătratice să aibă forma diagonală. În acest caz se spune că forma pătratică este adusă la forma normală. Dacă matricea formei pătratice în această nouă bază are pe diagonala principală numai 1 sau –1 spunem că forma este cea canonică.
Fie o bază B a lui V şi baza căutată B'. Dacă C este matricea de trecere MBB'
atunci A'=CtAC=
n
1
c0
0c
L
LLL
L
cu ci∈R, i=1,...,n. În această bază avem
H(x)=xtA'x=c1(x'1)2+... +cn(x'n)2 şi este evident că H are cel mai mic număr de termeni.
Metoda Gauss
Fie H(x)=∑=
n
1j,i
jiij xxa ≠0 unde x=(x1,...,xn)t. Avem două situaţii:
I. ∃i=1,...,n astfel încât aii≠0. După o eventuală renumerotare putem considera
a11≠0. În acest caz formăm un pătrat perfect care să includă termenii ce-l conţin pe x1. Astfel:
Sarcina de lucru 13
Să se determine vectorii şi valorile proprii ale operatorului liniar ce are
matricea: A=
−132
014
301
.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 43
H(x)= [ ]2nn1
212
nn1
212
111
21211
11
)xa...xa()xa...xa(xa2)x(aa
1++++++ +E(x2,...,xn)=
11a
1(a11x
1+...+a1nxn)2+E(x2,...,xn).
Fie transformarea:
>
=++=
1i,x
;1i,xa...xay
i
nn1
111i
Avem atunci H(y)=11a
1(y1)2+E(y2,...,yn) unde E este o formă pătratică în
y2,...,yn.
II. ∀i=1,...,n avem aii=0. Cum H≠0⇒∃aij≠0. După o eventuală renumerotare
putem presupune că a12≠0. Fie transformarea:
>
=−
=+
=
2i,x
;2i,xx
;1i,xx
yi
21
21
i
Înlocuind în expresia lui H obţinem a'11≠0 deci ne reducem la cazul I.
Cum E este o formă pătratică în y2,...,yn reluăm consideraţiile anterioare. În final H va avea forma normală: H(x)=b1(z
1)2+...+bk(zk)2 unde x=(z1,...,zn)t în
noua bază. Cu transformarea de variabile:
>=
=
=
ki ,zv
;zbv
...
;zbv
ii
kk
k
11
1
forma H are forma canonică şi devine H(x)=ε1(v1)2+...+εk(v
k)2 unde
x=(v1,...,vn)t în această ultimă bază iar εp=sgn(bp)∈{-1,1}, p=1,...,k. Transformarea generală de coordonate se obţine din compunerea celor succesive de mai sus.
Metoda Jacobi
Teoremă
Fie H:V→R o formă pătratică reală şi B={e1,...,en} o bază a lui V/R. Fie A=(aij) matricea lui H în baza B. Fie, de asemenea:
Ai=
ii1i
i111
aa
aa
L
LLL
L
, i=1,...,n
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 44
Dacă ∆i=det Ai sunt nenuli atunci există o bază B'={f1,...,fn} obţinută din B cu o matrice de trecere triunghiulară în care forma normală a lui H este:
2n
n
1n22
2
121
1
)(...)()(1
)x(H ξ∆
∆++ξ
∆
∆+ξ
∆= −
iar x=(ξ1,...,ξn)t este expresia lui x în noua bază.
Definiţii
Fie V un spaţiu vectorial real.
• o formă pătratică H:V→R se numeşte formă pozitiv definită dacă H(x)>0 ∀x≠0.
• H se numeşte formă negativ definită dacă H(x)<0 ∀x≠0.
• H se numeşte formă semidefinită sau formă nedefinită dacă ∃x1,x2∈V astfel încât H(x1)H(x2)<0.
• H se numeşte formă pozitiv semidefinită dacă H(x)≥0 ∀x∈V şi ∃x0∈V-{0} astfel încât H(x0)=0.
• H se numeşte formă negativ semidefinită dacă H(x)≤0 ∀x∈V şi ∃x0∈V-{0} astfel încât H(x0)=0.
Teoremă (de inerţie, Sylvester)
Numărul coeficienţilor strict pozitivi, numărul coeficienţilor strict negativi şi rangul unei forme pătratice în expresia canonică (normală) nu depind de baza aleasă.
Definiţie
Diferenţa între numărul termenilor pozitivi şi cel al termenilor negativi din expresia canonică (normală) a unei forme pătratice se numeşte signatura formei pătratice respective.
Teoremă
Fie V un spaţiu vectorial real şi H:V→R o formă pătratică. Condiţia necesară
şi suficientă ca H să fie pozitiv definită este ca ∆i>0, i=1,...,n.
Corolar
Fie V un spaţiu vectorial real şi H:V→R o formă pătratică. Condiţia necesară
şi suficientă ca H să fie negativ definită este ca ∆i<0, i=impar, i=1,...,n şi ∆i>0, i=par, i=1,...,n.
Exemplu:
Să se aducă la forma normală, folosind metoda lui Gauss, forma pătratică:
H(x)=(x1)2-2x
1x
2+2x
1x
3-2x
1x
4+(x
2)2+2x
2x
3-4x
2x
4+(x
3)2-2(x
4)2, x= (x
1,x
2,x
3,x
4)∈
R4.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 45
Soluţie Avem: H(x)=(x1)2-2(x
2-x
3+x
4)x
1+(x
2-x
3+x
4)2-3(x
4)2+4x
2x
3-6x
2x
4+
2x3x
4=(x
1-x
2+x
3-x
4)2-3((x
4)2+2(x
2-
3
1x
3)x
4+(x
2-
3
1x
3)2)+3(x
2)2+2x
2x
3+
3
1
(x3)2=(x
1-x
2+x
3-x
4)2-3(x
2+x
4-
3
1x
3)2+3(x
2+
3
1x
3)2. Prin urmare, cu ξ1
=x1-x
2+x
3-
x4, ξ2
=x2+ x
4-
3
1x
3, ξ3
=x2+
3
1x
3, ξ4
=x4 obţinem H(x)=(ξ1
)2-3(ξ2
)2+3(ξ3
)2.
Test de autoevaluare
I. Fie în R3 mulţimile U1={(a+b,2a-b,a)a,b∈R} şi U2={(c+2d,2c+d,-3c-d)
c,d∈R}. Să se determine U1∩U2.
II. . Fie aplicaţia f:R3→R3, f(x1,x2,x3)=(3x1-x2+x3,2x1+x2,-x1+x3).
1) Să se determine Ker f şi Im f;
2) Să se stabilească dacă f este injectivă, surjectivă, bijectivă.
Rezumat
Noţiunea de spaţiu vectorial generalizează dintr-un anumit punct de vedere categoriile matricelor, cea a polinoamelor, funcţiilor, mulţimilor numerice şi multe altele. Avantajul acestei noţiuni este acela că permite tratarea unitară a unor concepte, la prima vedere diferite, obţinând rezultate generalizatoare, dar, în acelaşi timp, permiţând noii structuri adaptarea la noi şi noi provocări ale practicii.
Noţiunea de “bază” este fundamentală şi ea permite simularea unui anumit proces economic (după transformarea matematică, eminamente necesară) printr-un altul mult mai simplu, reprezentat, de regulă, de spaţiul aritmetic n-dimensional.
Formele pătratice prezentate în ultima parte a modului au un rol bine conturat în geometria analitică, dar, în cazul de faţă, se vor dovedi esenţiale în studiul extremelor funcţiilor din modulul următor ceea ce va permite, în final, determinarea optimului unui proces economic arbitrar.
Sarcina de lucru 14
Să se arate că forma pătratică H(x)=3(x1)2+6(x2)2+3(x3)2-4x1x2-8x1x3-
4x2x3, x=(x1,x2,x3)∈R3 este semidefinită.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 46
III. Fie operatorul T:R4→R4 a cărui matrice în baza canonică este:
A=
−−−
3021
0200
3021
3021
Să se determine valorile şi vectorii proprii ale lui T.
Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testul de autoevaluare I. U1∩U2={(-3c,0,-c) c∈R}. Pentru această problemă primiți 3 puncte. II. Ker f={0} - 1 punct; Im f=R3 – 1 punct; f-injectivă – 1 punct; f – surjectivă – 1 punct; f – bijectivă – 1 punct. III. Pentru λ=0 avem: v=(-2a-3b,a,0,b)t, a,b∈R-{0} - 1 punct. Pentru λ=2 rezultă: v=(a,-a,b,a)t, a,b∈R-{0} - 1 punct.
Bibliografie minimală
Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994). Algebră liniară, geometrie
analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale. Bucureşti: Editura All.
Ioan C. A. (2004). Matematici aplicate în economie. Bucureşti: E.D.P.
Ioan C. A. (2006). Matematică – I. Galaţi: Ed. Sinteze.
Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981). Probleme de algebră. Bucureşti: E.D.P.
2. ANALIZĂ MATEMATICĂ
Spaţii topologice
Diferenţiabilitatea funcţiilor
Serii numerice. Serii de funcţii. Serii de puteri. Dezvoltarea
în serie Taylor
Extremele funcţiilor
Obiectivele unităţii de învăţare
Rezumat
Teste de autoevaluare
Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de
autoevaluare
Bibliografie minimală
Obiective specifice:
La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:
• să explici noţiunea de spaţiu topologic;
• să definești diferenţiabilitatea funcţiilor;
• să descrii seriile numerice şi seriile de puteri;
• să determini extremele funcţiilor;
• să categorisești integralele improprii, duble şi triple.
Timp mediu estimat pentru studiu individual: 6 ore
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 48
2.1. Spații topologice
2.1.1. Elemente de topologie
Definiţie
Fie Rn, n≥1 şi mulţimea T={D⊂Rn∀a=(a1,...,an)∈D⇒∃r>0 astfel încât
(a1-r,a1+r)×...×(an-r,an+r)⊂D}. Perechea (Rn,T) se numeşte spaţiu topologic, T
purtând numele de topologie reală pe Rn. O mulţime D∈T se numeşte mulţime deschisă.
Teoremă
Pe Rn au loc următoarele afirmaţii:
1) ∀(Di)i∈I⊂T ⇒UIi
iD∈
∈T, I-o mulţime oarecare de indecşi;
2) ∀(Di)i=1,...,m⊂T⇒Im
1iiD
=
∈T ∀m∈N*;
3) ∅,Rn∈T.
Definiţie
Fie Rn şi X⊂Rn. T'={D∩XD∈T} este o topologie pe X şi se numeşte topologia indusă de T pe X.
Definiţie
Fie Rn şi A⊂Rn. O mulţime V⊂R
n se numeşte vecinătate a lui A dacă ∃D∈T
astfel încât A⊂D⊂V. Dacă A={x}, x∈Rn, atunci V se numeşte vecinătate a
punctului x.
Propoziţie
Pe Rn o submulţime A⊂Rn este deschisă dacă şi numai dacă este vecinătate pentru orice punct al său.
Propoziţie
Mulţimea vecinătăţilor V(x) ale unui punct arbitrar x∈Rn are următoarele
proprietăţi:
1) V∈V(x)⇒x∈V;
2) V∈V(x), V⊂U⇒U∈V(x);
3) Vi∈V(x), i= n,1 ⇒In
1iiV
=
∈V(x);
4) V∈V(x)⇒∃U⊂V, U∈V(x) astfel încât U∈V(y) ∀y∈U.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 49
Definiţie
Un punct a∈Rn se numeşte punct interior al unei submulţimi A⊂Rn dacă
A∈V(a)
Definiţie
Fie A⊂Rn. Mulţimea o
A =int A={a∈Rna este punct interior al lui A} se numeşte interiorul lui A.
Propoziţie
∀A⊂Rn avem: Uo
AD⊂∈
=TD
DA .
Definiţie
Un punct a∈Rn se numeşte punct aderent unei submulţimi A⊂R
n dacă
∀V∈V(a)⇒V∩A≠∅.
Definiţie
Fie A⊂Rn. Mulţimea A ={a∈Rna este punct aderent pentru A} se numeşte închiderea (aderenţa) lui A.
Definiţie
O submulţime F⊂Rn se numeşte mulţime închisă dacă Rn-F∈T.
Definiţie
Un punct a∈Rn se numeşte punct de acumulare al unei submulţimi A⊂R
n
dacă ∀V∈V(a)⇒(V-{a})∩A≠∅.
Definiţie
Fie A⊂Rn. Mulţimea A’={a∈Xa este punct de acumulare al lui A} se numeşte mulţimea derivată (derivata) a lui A.
Definiţie
Un punct a∈Rn se numeşte punct izolat al unei submulţimi A⊂Rn dacă nu este
punct de acumulare, adică dacă ∃V∈V(a)⇒(V-{a})∩A=∅.
Definiţie
Fie A⊂Rn. Mulţimea ∂A=Fr A= A ∩ CA se numeşte frontiera lui A.
Teoremă
Spaţiul topologic Rn este un spaţiu Hausdorff (spaţiu topologic separat) adică
∀x,y∈Rn, x≠y⇒∃U∈V(x), ∃V∈V(y) astfel încât U∩V=∅.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 50
Definiţie
O mulţime C⊂Rn se numeşte compactă dacă ∀(Ui)i∈I⊂T astfel încât C⊂U
IiiU
∈
⇒∃J⊂I-finită astfel încât C⊂UJi
iU∈
, adică dacă din orice acoperire cu mulţimi
deschise a lui C se poate extrage o subacoperire finită a acesteia.
Definiţie
O mulţime C⊂Rn se numeşte mulţime relativ compactă dacă C este compactă.
Definiţie
O mulţime C⊂Rn se numeşte conexă dacă nu există D1,D2∈T astfel încât
C⊂D1∪D2, D1∩D2∩C=∅, D1∩C≠∅, D2∩C≠∅.
Exemplu:
Fie mulţimea A=(3,8]∪[9,12]∪{0,1,15}. Să se determine:
1) interiorul lui A;
2) aderenţa lui A;
3) derivata lui A;
4) frontiera lui A.
Soluţie 1)Avem o
A =(3,8)∪(9,12); 2) A =[3,8]∪[9,12]∪{0,1,15};
3)A’=[3,8]∪[9,12]; 4)∂A= A ∩ CA . Avem CA=(-∞,0)∪(0,1)∪(1,3]∪(8,9)∪
(12,15)∪(15,∞) de unde: CA =(-∞,0]∪[0,1]∪[1,3]∪[8,9]∪[12,15]∪[15,∞)=
(-∞,3]∪[8,9]∪[12,∞). Obţinem deci ∂A=([3,8]∪[9,12]∪{0,1,15})∩((-∞,3]∪
[8,9]∪[12,∞))={0,1,3,8,9,12, 15}.
Sarcina de lucru 1
Fie mulţimea A=(1,2]∪[4,8)∪{0,3}. Să se determine: 1) interiorul lui A; 2) aderenţa lui A; 3) derivata lui A; 4) frontiera lui A.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 51
2.1.2. Șiruri în Rn
Definiţie
Numim şir pe spaţiul topologic Rn o funcţie f:N→Rn.
Definiţie
Fie un şir (an)⊂Rn. Spunem că (an) este şir convergent dacă ∃a∈Rn
astfel încât ∀V∈V(a)⇒∃nV∈N astfel încât an∈V ∀n≥nV. Elementul a∈Rn se numeşte limită a şirului (an) şi vom scrie:
a=∞→n
lim an
Teoremă
Limita unui şir convergent din Rn este unică.
Propoziţie
Fie A⊂Rn şi (an)⊂Rn un şir convergent. Dacă ∃n0∈N astfel încât an∈A ∀n≥n0
atunci lim an∈ A .
Propoziţie
Dacă A⊂Rn atunci ∀a∈ A ⇒ ∃(an)⊂A astfel încât lim an=a.
Propoziţie
Fie R cu topologia reală şi C⊂R. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) C este compactă;
2) ∀(an)⊂C⇒∃(kna )k∈N un subşir al lui (an) (restricţie a lui (an) la o
submulţime a lui N) şi a∈R astfel încât limkna =a;
3) C este închisă şi mărginită.
Teoremă
Şirul (am)=(am1,...,am
n)⊂Rn este convergent dacă şi numai dacă şirurile
(am1)⊂R,...,(am
n)⊂R sunt convergente şi în acest caz avem:
lim am=(lim am1,...,lim am
n)
Exemplu:
Să se calculeze limita următorului şir din R2:
1) an=
+−+
+−+
2nn5
5n,
2n3
5nn222
2
∀n≥1;
Soluţie lim an=lim
+−+
+−+
2nn5
5n,
2n3
5nn222
2
=
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 52
+−+
+−+
2nn5
5nlim,
2n3
5nn2lim
22
2
=
0,
3
2.
2.1.3. Spații metrice. Spații normate
Definiţie
Numim metrică (distanţă) pe Rn o funcţie d:Rn×Rn→R, (x,y)→d(x,y)
∀x,y∈Rn, astfel încât sunt satisfăcute următoarele axiome:
1) d(x,y)=0⇔x=y;
2) d(x,y)=d(y,x) ∀x,y∈Rn;
3) d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) ∀x,y,z∈Rn.
Definiţie
Considerând o metrică d pe Rn, vom numi perechea (Rn,d) spaţiu metric.
Definiţie
Fie (Rn,d) un spaţiu metric. Mulţimea B(a,r)={x∈Rnd(a,x)≤r}, r≥0 se
numeşte bila închisă de centru a şi rază r. Mulţimea B(a,r)={x∈Rnd(a,x)<r}, r>0 se numeşte bila deschisă de centru a şi rază r.
Propoziţie
Un spaţiu metric (Rn,d) este spaţiu topologic.
Propoziţie
Fie (Rn,d) un spaţiu metric. Atunci ∀a∈Rn ∀r>0⇒B(a,r) este o mulţime
deschisă, B(a,r) este o mulţime închisă iar )r,a(B)r,a(B = .
Propoziţie
Fie un spaţiu metric (Rn,d) şi (an)⊂Rn un şir convergent. Atunci lim an este unică.
Propoziţie
Fie un spaţiu metric (Rn,d) şi (an)⊂X. Atunci (an) este un şir convergent şi lim
an=a∈X dacă şi numai dacă ∀ε>0⇒ ∃nε∈N astfel încât d(an,a)<ε ∀n≥nε.
Sarcina de lucru 2
Să se calculeze limita şirului din R2: an=
++−
++−+
1n2n15
15n2,
7n2n3
5n2n3224
3
∀n≥1.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 53
Definiţie
Fie (Rn,d) un spaţiu metric. Un şir (an)⊂Rn se numeşte şir Cauchy (şir
fundamental) dacă ∀ε>0⇒∃nε∈N astfel încât d(an,am)<ε ∀n,m≥nε.
Propoziţie
Fie (Rn,d) un spaţiu metric şi (an)⊂Rn un şir convergent. Atunci (an) este şir Cauchy.
Reciproc, nu este în general adevărat, deci se impune următoarea:
Definiţie
Un spaţiu metric (Rn,d) se numeşte spaţiu metric complet dacă orice şir Cauchy din Rn este convergent.
Definiţie
Fie un spaţiu metric (Rn,d). O mulţime A⊂Rn se numeşte mulţime mărginită
dacă ∃a∈Rn ∃r>0 astfel încât A⊂B(a,r).
Definiţie
Fie un spaţiu metric (Rn,d). Un şir (an)⊂Rn se numeşte şir mărginit dacă
mulţimea valorilor acestuia este mărginită.
Lemă (Cesàro)
Orice şir mărginit din Rn conţine un subşir convergent.
Definiţie
Numim normă pe Rn o funcţie ⋅:Rn→R, x→x ∀x∈Rn astfel încât sunt satisfăcute următoarele axiome:
1) x=0⇒x=0;
2) αx=α⋅x ∀x∈Rn ∀α∈R;
3) x+y≤x+y ∀x,y∈Rn.
Definiţie
Fiind dată o normă ⋅ pe Rn, perechea (Rn,⋅) se numeşte spaţiu vectorial
real n-dimensional normat (sau simplu spaţiu normat).
Definiţie
Un spaţiu normat complet se numeşte spaţiu Banach.
Exemplu:
Fie pe o mulţime X≠∅, metricile d şi d’ şi a,b∈R+, a2+b
2>0. Să se arate că
aplicaţia d”:X×X→R, d”(x,y)=ad(x,y)+bd’(x,y) ∀x,y∈R este o metrică pe X.
Soluţie Avem x=y⇒d”(x,x)=ad(x,x)+bd’(x,x)=0 şi reciproc, dacă d”(x,y)=
ad(x,y)+bd’(x,y)=0⇒cum a,b≥0 şi cel puţin unul este nenul rezultă că x=y. De
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 54
asemenea, d”(x,y)=ad(x,y)+bd’(x,y)=ad(y,x)+ bd’(y,x)=d”(y,x) ∀x,y∈X. Fie
acum x,y,z∈X, arbitrari. Avem d”(x,z)=ad(x,z)+bd’(x,z)≤a[d(x,y)+d(y,z)]+
b[d’(x,y)+ d’(y,z)]=[ad(x,y)+bd’(x,y)]+[ad(y,z)+bd’(y,z)]=d”(x,y)+d”(y,z).
2.1.4. Limite de funcții în Rn
Definiţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm, n,m≥1 se numeşte funcţie vectorială reală de n variabile reale. Dacă m=1 vom spune pe scurt că f este funcţie de n variabile.
Definiţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→R
m se spune că are limita y∈Rm într-un punct de
acumulare a∈A' dacă ∀V∈V(y)⇒ ∃U∈V(a) astfel încât:
f((U-{a})∩A)⊂V
Propoziţie
Fie o aplicaţie f:A⊂Rn→Rm şi a∈A'. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) f are limita y∈Rm în a;
2) ∀(an)⊂A-{a} astfel încât lim an=a⇒lim f(an)=y;
3) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A-{a} şi d(x,a)<δε⇒ d(f(x),y)<ε.
4) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A-{a} şi ax − <δε⇒ y)x(f − <ε.
Corolar
Fie o aplicaţie f:A⊂Rn→Rm şi a∈A'. Funcţia f nu are limită în punctul “a” dacă
∃(an),(bn)⊂A-{a} cu lim an=lim bn=a şi fie unul din şirurile (f(an)),(f(bn)) nu este convergent, fie sunt amândouă convergente, dar au limite diferite.
În cazul funcţiilor de mai multe variabile, se poate defini limita unei funcţii
după o direcţie astfel: fie f:A⊂Rn→R şi a=(a1,...,an)∈A'. Ecuaţia unei drepte ce trece prin “a” este:
Sarcina de lucru 3
Fie pe un spaţiu vectorial real X două norme ⋅’ şi ⋅”. Să se arate că a⋅’+b⋅”, a,b∈R+ este de asemenea o normă pe X.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 55
λ+=
λ+=
nnn
111
vax
vax
L , λ∈R
unde v1,...,vn reprezintă parametrii directori ai dreptei (care dau “înclinarea”
dreptei faţă de axele de coordonate). Notând v=(v1,...,vn) putem scrie ecuaţia
dreptei succint sub forma: x=a+λv, λ∈R. Definim atunci limita unei funcţii
după direcţia dată de dreapta x=a+λv ca fiind:
0lim
→λf(a+λv)
Este evident că dacă o funcţie are limită într-un punct, atunci ea are limită după orice direcţie în acel punct. Reciproc, nu este adevărat.
Fie acum f:A⊂Rn→R şi a=(a1,...,an)∈A'. Să considerăm mulţimile
Ai={xi∈R(x1,...,xi,...,xn)∈A} şi să presupunem că ai∈Ai', i=1,...,n. Atunci
ii axlim
→f(x) depinde de variabilele x1,...,xi-1,xi+1,..., xn. Considerând apoi acelaşi
proces obţinem în final o valoare reală notatăax
lim→
σf(x)=nini1i1i axax
lim...lim→→
f(x)
unde σ=
n21 iii
n21
L
L∈Sn (grupul permutărilor de n elemente). Vom numi
aceasta limita iterată după permutarea σ a funcţiei f în punctul a. Are loc următoarea:
Propoziţie
Fie f:A⊂Rn→R şi a=(a1,...,an)∈A'. Dacă f are limită în “a” şi, în plus, ∃σ∈Sn
astfel încât ax
lim→
σf(x) există atunci ax
lim→
σf(x)= ax
lim→
f(x).
Exemplu:
Să se calculeze 22
33
)0,0()y,x( yx
yxlim
++
→.
Soluţie Conform teoriei generale, dacă funcţia are limită atunci orice limită
iterată dacă există este egală cu limita căutată. Prin urmare, vom încerca
calcularea unei limite iterate şi în cazul determinării acesteia vom arăta cu
definiţia limitei (globale) că aceasta este tocmai limita căutată. Avem deci:
22
33
0y0x yx
yxlimlim
++
→→=
2
3
0x x
xlim
→=0. Fie deci ε>0, arbitar şi δε=
2
ε>0. Avem:
22
33
yx
yx
++
=22
2
yx
xx
++
22
2
yx
yy
+ de unde 0
yx
yx22
33
−++
=22
33
yx
yx
++
=
=+
++
≤+
++ 22
2
22
2
22
2
22
2
yx
yy
yx
xx
yx
yy
yx
xx ≤
++
+ 22
2
22
2
yx
yy
yx
xx
≤+≤+=++
+++ 22
22
22
22
22
yx2yxyx
yxy
yx
yxx ε=
ε2
2 .
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 56
2.1.5. Continuitatea funcțiilor
Definiţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se numeşte funcţie continuă în a∈A dacă
∀V∈V(f(a))⇒∃U∈V(a) astfel încât f(U∩A)⊂V.
Propoziţie
Fie o aplicaţie f:A⊂Rn→Rm şi a∈A. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) f este continuă în a;
2) ∀(an)⊂A astfel încât lim an=a⇒lim f(an)=f(a);
3) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A şi d(x,a)<δε⇒ d(f(x),f(a))<ε.
4) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A şi ax − <δε⇒ )a(f)x(f − <ε.
Definiţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se numeşte funcţie continuă pe A dacă este continuă
în orice punct a∈A.
Propoziţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm este continuă în a∈A’∩A dacă şi numai dacă are
limită în a şi ax
lim→
f(x)=f(a).
Teoremă
Fie o aplicaţie f:Rn→Rm. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) f este continuă pe Rn;
2) ∀D-deschisă în Rm⇒f-1(D)-deschisă în Rm;
3) ∀E-închisă în Rm⇒f-1(E)-închisă în Rn.
Sarcina de lucru 4
Folosind definiţia limitei, să se arate că:2
1
y
xlim
2
)0,0()y,x(=
→
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 57
Definiţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se numeşte funcţie uniform continuă pe A dacă
∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x,y∈A şi d(x,y)<δε⇒ d(f(x),f(y))<ε.
Propoziţie
O funcţie f:A⊂Rn→Rm uniform continuă pe A este continuă pe A.
Propoziţie
O funcţie f:A⊂Rn→Rm continuă pe mulţimea compactă A este uniform continuă pe A.
Definiţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se numeşte funcţie lipschitziană pe A dacă ∃C>0
astfel încât d(f(x),f(y))≤C⋅d(x,y) ∀x,y∈A.
Propoziţie
O funcţie f:A⊂Rn→Rm lipschitziană pe A este uniform continuă pe A.
Propoziţie
Fie o aplicaţie liniară f:Rn→Rm. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) f este continuă pe Rn;
2) f este continuă în 0∈Rn;
3) ∃M>0 astfel încât )x(f ≤M x ∀x∈Rn.
Definiţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→f(A)⊂R
m se numeşte homeomorfism dacă:
1) f este bijectivă;
2) f este continuă pe A şi f-1 este continuă pe f(A).
Exemplu:
Să se studieze continuitatea funcţiei f:R2→R,
≠
+−
=(0,0)=y)(x, daca 0
(0,0);y)(x, daca yx
yxxy
)y,x(f 22
22
Soluţie Pe R2-{(0,0)} funcţia este continuă deoarece ∀a,b∈R şi ∀(an), (bn)∈R
astfel încât lim an=a, lim bn=b rezultă lim f(an,bn)=f(a,b). Rămâne deci de
studiat continuitatea în (0,0). Fie ε>0. Alegem δε= ε2 . Avem deci f(x,y)-
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 58
f(0,0)=f(x,y=22
22
yx
yxxy
+−
=xy22
22
yx
yx
+
−≤xy
22
22
yx
yx
+
+=xy≤
2
1(x
2+y
2)≤
2
2ε=ε. Prin urmare, funcţia f este continuă în (0,0) deci este continuă pe R
2.
2.2. Diferențiabilitatea funcțiilor
2.2.1. Derivabilitatea după o direcție și cea parțială a funcțiilor
Vom considera în cele ce urmează funcţii de forma f:D⊂Rn→R, n≥1, D-
deschisă, (x1,...,xn)→f(x1,...,xn). Vom nota generic x=(x1,...,xn)∈ Rn.
Fie a∈D şi o dreaptă de parametri directori v=(v1,...,vn)∈Rn: x=a+λv, λ∈R.
Avem: v
vvax λ+= şi notând: vλ =α,
v
v=w, rezultă: α∈R şi w =1.
Putem scrie deci ecuaţia unei drepte sub forma d: x=a+αw, α∈R, w =1.
Deoarece a∈D⇒∃V∈V(a)∈Rn astfel încât a∈V⊂D. Vom alege V ca fiind o
bilă deschisă centrată în a. Fie deci r>0 astfel încât B(a,r)⊂D. Fie x∈D. Avem:
ax − = awa −α+ = wα = α ⋅ w = α . Dacă α∈(-r,r) atunci ax − <r
deci x∈B(a,r)⊂D. Definim acum funcţia: g:(-r,r)→R, g(α)=f(a+αw) ∀α∈(-r,r). Din cele de mai sus, rezultă că definiţia este corectă.
Definiţie
Funcţia f se numeşte aplicaţie derivabilă după direcţia w în a∈Rn dacă
funcţia: g:(-r,r)→R, g(α)=f(a+αw) este derivabilă în originea 0∈R. Vom numi
în acest caz numărul real dw
df(a)=g'(0)-derivata după direcţia w în punctul a
al lui f.
Pentru n=1 se obţine definiţia clasică a derivatei într-un punct.
Sarcina de lucru 5
Să se studieze continuitatea uniformă a funcţiei:
f:R2→R, f(x,y)=2(x+y)-sin x+cos y.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 59
În Rn avem câteva direcţii “privilegiate” şi anume cele date de vectorii bazei canonice e1=(1,0,...,0),... ,en=(0,0,...,1).
Definiţie
Funcţia f se numeşte aplicaţie derivabilă parţial în punctul a, în raport cu
variabila xk, 1≤k≤n, dacă există derivata după direcţia ek adică dacă există:
t
)a,...,a,...,a(f)a,...,ta,...,a(flim)a('f)a(
x
f nk1nk1
0tx
kk
−+==
∂∂
→
Numărul real )a(x
f
k∂∂
sau notat uneori )a)(fx
(k∂
∂ sau )a('f
kx se numeşte
derivata parţială a lui f în punctul a în raport cu xk.
Definiţie
Vom spune că f este derivabilă parţial în raport cu xk pe D dacă este
derivabilă parţial în raport cu xk în orice punct a∈D.
Definiţie
Vom spune că f este derivabilă parţial pe D dacă este derivabilă parţial în
raport cu orice xk k= n,1 în orice punct a∈D.
Definiţie
Dacă f este derivabilă parţial în fiecare punct x∈V unde V∈V(a), a∈D-fixat şi
dacă la rândul lor derivatele parţiale kx
f
∂∂
, k= n,1 , sunt derivabile parţial în a,
vom spune că f este derivabilă parţial de ordinul 2 în a. Vom scrie:
)a(xx
f)a))(
x
f(
x(
kj
2
kj ∂∂∂
=∂∂
∂∂
∀j,k= n,1
şi vom spune că kj
2
xx
f
∂∂∂
(a) este derivata parţială de ordinul 2 a lui f în punctul
a în raport cu variabilele xj şi xk. Pentru j=k adoptăm notaţia:
)a(x
f)a))(
x
f(
x(
2k
2
kk ∂
∂=
∂∂
∂∂
∀k= n,1
Definiţie
Dacă f este derivabilă parţial de ordinul k, k≥1 în fiecare punct x∈V unde
V∈V(a), a∈D-fixat şi dacă la rândul lor derivatele parţiale de ordinul k:
k1 ii
k
x...x
f
∂∂∂
∀i1,...,ik∈{1,...,n} sunt derivabile parţial în a, vom spune că f este
derivabilă parţial de ordinul (k+1) în a. Vom scrie:
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 60
)a)(x...xx
f()a))(
x...x
f(
x(
k1k1 iii
1k
ii
k
i ∂∂∂∂
=∂∂
∂∂∂ +
În cazul mai multor variabile identice vom adopta notaţia:
)a)(x...x
f()a)(
x...x...x...x
f(
k
k
1
1
k1
k
kk
1
11
k1
ni
ni
n...n
orin
ii
orin
ii
n...n
∂∂
∂=
∂∂∂∂∂ ++
−−
++
4342143421
Teoremă (Schwarz)
Dacă f:D→R, D⊂Rn-deschisă admite derivate parţiale de ordinul 2 într-o
vecinătate V a lui a∈D şi dacă pentru 1≤i≠j≤n-fixaţi ji
2
xx
f
∂∂∂
este continuă în a,
atunci:
ij
2
xx
f
∂∂∂
(a)=ji
2
xx
f
∂∂∂
(a)
Exemplu:
Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul I şi II pentru funcţia f:R3→R,
f(x,y,z)=x2+e
xy+xyz
4 în punctul (x,y,z)∈R
3, verificându-se criteriul lui Schwarz
pe acest exemplu concret.
Soluţie Avem:
• x
f
∂∂
=2x+yexy
+yz4,
y
f
∂∂
=xexy
+xz4,
z
f
∂∂
=4xyz3;
• 2
2
x
f
∂∂
=x∂∂
(x
f
∂∂
)=x∂∂
(2x+yexy
+yz4)=2+y
2e
xy;
• yx
f2
∂∂∂
=x∂∂
(y
f
∂∂
)=x∂∂
(xexy
+xz4)=(xy+1)e
xy+z
4;
• xy
f2
∂∂∂
=y∂
∂(
x
f
∂∂
)=y∂
∂(2x+ye
xy+yz
4)=(xy+1)e
xy+z
4;
• zx
f2
∂∂∂
=x∂∂
(z
f
∂∂
)=x∂∂
(4xyz3)=4yz
3;
• xz
f2
∂∂∂
=z∂
∂(
x
f
∂∂
)=z∂
∂(2x+ye
xy+yz
4)=4yz
3;
• 2
2
y
f
∂∂
=y∂
∂(
y
f
∂∂
)=y∂
∂(xe
xy+xz
4)=x
2e
xy;
• zy
f2
∂∂∂
=y∂
∂(
z
f
∂∂
)=y∂
∂(4xyz
3)=4xz
3;
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 61
• yz
f2
∂∂∂
=z∂
∂(
y
f
∂∂
)=z∂
∂(xe
xy+xz
4)=4xz
3;
• 2
2
z
f
∂∂
=z∂
∂(
z
f
∂∂
)=z∂
∂(4xyz
3)=12xyz
2.
2.2.2. Diferențiabilitatea funcțiilor
Definiţie
Fie f:D⊂Rn→R
m, D-deschisă şi a∈D. f se numeşte aplicaţie diferenţiabilă în
a dacă ∃T∈L(Rn,Rm) astfel încât
f(x)=f(a)+T(x-a)+ω(x) ax − ∀x∈D
unde ω:D-{a}→Rm satisface ax
lim→
ω(x)=0. Dacă f este diferenţiabilă în orice
punct din D vom spune că f este diferenţiabilă pe D.
Teoremă
Fie o aplicaţie f=(f1,...,fm):D⊂Rn→Rm, D-deschisă şi a∈D. Aplicaţia f este diferenţiabilă în a dacă şi numai dacă aplicaţiile f1,...,fm sunt diferenţiabile în a. În acest caz:
df(a)=(df1(a),...,dfm(a))
Teoremă
Fie f:D⊂Rn→R, D-deschisă.
1) Dacă f este diferenţiabilă în a∈D atunci f este continuă în a;
2) Dacă f este diferenţiabilă în a∈D atunci ∀w∈Rn, w =1 există derivata
după direcţia w în a şi avem dw
df(a)=df(a)(w). În particular, există
Sarcina de lucru 6
Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul I ale funcţiei de mai jos în
punctul indicat: f:R3→R, f(x,y,z)=arctgyz
x 2
în punctul (1,1,1).
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 62
derivatele parţiale de ordinul I şi avem kx
f
∂∂
(a)=df(a)(ek), k= n,1 , unde ek
sunt vectorii bazei canonice din Rn;
3) Dacă f∈C1(D) atunci f este diferenţiabilă pe D.
Considerând acum diferenţialele dxi ale variabilelor xi, i=1,...,n după exemplul 3.c, avem:
Teoremă
Fie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct a∈D. Atunci:
∑= ∂
∂=
n
1ii
i
)a(dx)a(x
f)a(df
Definiţie
Fie o aplicaţie f=(f1,...,fm):D⊂Rn→R
m, D-deschisă şi a∈D. Matricea Jf(a) definită prin:
Jf(a)=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
)a(x
f)a(
x
f
)a(x
f)a(
x
f
n
m
1
m
n
1
1
1
L
LLL
L
se numeşte matricea jacobiană a lui f în punctul a. Dacă m=n vom numi det(Jf(a)) jacobianul sau determinantul funcţional al lui f în a. Vom mai nota:
det(Jf(a))=)x,...,x(D
)f,...,f(D
n1
n1 (a)
Propoziţie
Fie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă în a∈D. Atunci ∀w=(w1,...,wn)∈R
n
cu w =1 funcţia f are derivată după direcţia w şi
)a(x
fw...)a(
x
fw)a(
dw
df
n
n
1
1 ∂∂
++∂∂
=
Definiţie
Vom defini diferenţiala de ordin m a funcţiei f prin egalitatea:
fdxx
fd
mn
1ii
i
m
∂∂
= ∑=
unde suma din paranteză se dezvoltă formal cu ajutorul formulei generalizate a m-nomului şi apoi se aplică derivatele parţiale lui f.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 63
Definiţie
Matricea formei pătratice d2f într-un punct a∈D se numeşte hessiana lui f în a şi avem:
Hf(a)=
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
)a(x
f)a(
xx
f
)a(xx
f)a(
x
f
2n
2
1n
2
n1
2
21
2
L
LLL
L
Definiţie
Fie o aplicaţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, f∈C1(D) şi a∈D. Numim gradientul
lui f în a∈D:
(grad f)(a)=(∇f)(a)=
∂∂
∂∂
)a(x
f),...,a(
x
f
n1
∈Rn
Exemplu:
Să se determine diferenţiala de ordinul I a funcţiei f:R3→R, f(x,y,z)=4xy+e
xz-
5zex în punctul (1,1,1).
Soluţie Avem: df(1,1,1)=x
f
∂∂
(1,1,1)dx+y
f
∂∂
(1,1,1)dy+z
f
∂∂
(1,1,1)dz=
(4-4e)dx+4dy-4edz.
Sarcina de lucru 7
Fie funcţiile f:R3→R2, f(x,y,z)=(x2,yz) şi g:R2→R, g(u,v)=u3+euv. Să se
calculeze derivatele parţiale ale funcţiei g°f în punctul (x,y,z)∈R3.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 64
2.3. Serii numerice. Serii de funcții. Serii de puteri. Dezvoltarea în serie
Taylor
2.3.1. Serii numerice
În această secţiune vom considera, până la menţiuni contrare, că toate şirurile sunt indexate după N.
Definiţie
Fie un şir (an)⊂R şi şirul (Sn)⊂R definit prin Sn= ∑=
n
0ina , n≥0. Numim serie
numerică de termen general an perechea de şiruri ((an),(Sn)). Vom numi şirul (Sn) şirul sumelor parţiale ale seriei.
Definiţie
O serie ∑∞
=0nna se numeşte serie convergentă dacă şirul sumelor parţiale (Sn)
este convergent. O serie se numeşte serie divergentă dacă nu este convergentă.
Definiţie
Dacă seria ∑∞
=0nna este convergentă numim lim Sn-suma seriei şi o vom nota
∑∞
=0nna .
Propoziţie
Fie o serie ∑∞
= 0nna şi m∈N, fixat. Considerând şirul bn=am+n ∀n≥0 seriile ∑
∞
=0nna
şi ∑∞
=0nnb au aceeaşi natură.
Teoremă (Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy)
O serie ∑∞
= 0nna este convergentă dacă şi numai dacă ∀ε>0⇒∃nε∈N astfel încât:
an+1+...+an+m<ε ∀n≥nε ∀m≥1
Corolar
Dacă o serie ∑∞
=0nna este convergentă atunci lim an=0.
Propoziţie
Fie seriile ∑∞
=0nna , ∑
∞
=0nnb şi α,β∈R*. Atunci:
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 65
1) Seria ∑∞
=
α0n
na are aceeaşi natură cu seria ∑∞
=0nna , iar dacă ∑
∞
=0nna este
convergentă are loc egalitatea ∑∞
=
α0n
na =α∑∞
=0nna ;
2) Dacă seriile ∑∞
=0nna şi ∑
∞
=0nnb sunt convergente atunci şi ∑
∞
=
β+α0n
nn )ba(
este convergentă şi are loc egalitatea: ∑∞
=
β+α0n
nn )ba( =α∑∞
=0nna +β∑
∞
=0nnb .
Definiţie
O serie ∑∞
=0nna se numeşte serie absolut convergentă dacă seria ∑
∞
=0nna este
convergentă. O serie convergentă care nu este absolut convergentă se numeşte serie semiconvergentă.
Propoziţie
O serie ∑∞
=0nna absolut convergentă este convergentă.
Definiţie
O serie ∑∞
=0nna se numeşte serie necondiţionat convergentă (serie comutativ
convergentă) dacă ∀σ:N→N o aplicaţie bijectivă (permutare a mulţimii
numerelor naturale) seria ∑∞
=σ
0n)n(a este convergentă.
Teoremă (Criteriul I de comparaţie)
Fie ∑∞
=0nna şi ∑
∞
=0nnb două serii cu termeni pozitivi. Dacă an≤bn ∀n≥0 atunci:
1) ∑∞
=0nnb este convergentă⇒∑
∞
=0nna este convergentă şi ∑
∞
=0nna ≤∑
∞
=0nnb ;
2) ∑∞
=0nna este divergentă⇒∑
∞
=0nnb este divergentă.
Teoremă (Criteriul II de comparaţie)
Fie ∑∞
=0nna şi ∑
∞
=0nnb două serii cu termeni strict pozitivi. Dacă lim
n
n
b
a există şi
este nenulă şi finită atunci seriile au aceeaşi natură.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 66
Teoremă (Criteriul III de comparaţie)
Fie ∑∞
=0nna şi ∑
∞
=0nnb două serii cu termeni strict pozitivi. Dacă
n
1n
n
1n
b
b
a
a ++ ≤
∀n≥0 atunci:
1) ∑∞
=0nnb este convergentă⇒∑
∞
=0nna este convergentă;
2) ∑∞
=0nna este divergentă⇒∑
∞
=0nnb este divergentă.
Corolar
Fie ∑∞
=0nna o serie cu termeni strict pozitivi.
1) Dacă ∃r∈(0,1) astfel încât ra
a
n
1n ≤+ ∀n≥0 atunci seria este convergentă;
2) Dacă ∃r∈[1,∞) astfel încât ra
a
n
1n ≥+ ∀n≥0 atunci seria este divergentă.
Teoremă (Criteriul raportului al lui D'Alembert)
Fie ∑∞
=0nna o serie cu termeni nenuli. Dacă L=lim∑
∞
=0nna există atunci:
1) L<1⇒∑∞
=0nna este absolut convergentă;
2) L>1⇒ ∑∞
=0nna este divergentă.
Teoremă (Criteriul radical al lui Cauchy)
Fie ∑∞
=0nna o serie numerică cu elemente nenule. Dacă L=lim n
na există
atunci:
1) L<1⇒∑∞
=0nna este absolut convergentă;
2) L>1⇒ ∑∞
=0nna este divergentă.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 67
Teoremă (Criteriul Raabe-Duhamel)
Fie ∑∞
=0nna o serie numerică cu elemente nenule. Dacă L=lim n
−
+
1a
a
1n
n există
atunci:
1) L>1⇒∑∞
=0nna este absolut convergentă;
2) L<1 iar seria este numerică cu termeni strict pozitivi⇒∑∞
=0nna este
divergentă.
Teoremă (Criteriul Abel-Dirichlet)
Fie (an) şi (bn) două şiruri de numere reale având proprietăţile:
1) lim an=0;
2) ∑∞
=+ −
0nn1n aa este convergentă;
3) Dacă Sn=∑=
n
0iib atunci M= n
0nSsup
≥<∞.
În aceste condiţii seria ∑∞
=0nnnba este convergentă.
Teoremă (Leibniz)
Fie (an) un şir de numere reale convergent monoton la 0. Atunci seria alternată
∑∞
=
−0n
nn a)1( este convergentă.
Exemplu:
Să se studieze convergenţa seriei: ∑∞
1=nnn
!n.
Soluţie Aplicăm criteriul D’Alembert şi obţinem lim
n
1n
n
!n)1n(
)!1n(++
+
=limn
n
)1n(
n
+=
limn
n
1n
1
+
=e
1<1 deci seria este convergentă.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 68
2.3.2. Șiruri și serii de funcții
Definiţie
Fie D⊂R. Se numeşte şir de funcţii pe D o aplicaţie n∈N→(fn)∈RD.
Definiţie
Fie (fn) un şir de funcţii fn:D⊂R→R, n≥0. Vom spune că (fn) este şir de funcţii
punctual convergent pe D dacă ∀a∈D⇒∃ba∈R astfel încât ∀ε>0⇒ ∃nε,a∈N
cu proprietatea că fn(a)-ba<ε ∀n≥nε,a.
Definiţie
Fie (fn) un şir de funcţii fn:D⊂R→R, n≥0. Vom spune că (fn) este şir de funcţii
uniform convergent pe D către o funcţie f:D→R dacă ∀ε>0⇒∃nε∈N cu
proprietatea că fn(a)-f(a)<ε ∀n≥nε ∀a∈D.
Propoziţie
Fie (fn) un şir uniform convergent de funcţii continue fn:[a,b]→R. Atunci f=lim
fn este continuă pe [a,b].
Teoremă
Fie (fn) un şir uniform convergent de funcţii continue fn:[a,b]→R. Atunci:
1) lim ∫b
a
n dx)x(f = ∫b
a
n dx)x(flim ;
2) Dacă fn∈C1([a,b]) şi ∃g:[a,b]→R astfel încât fn'
UC
→ g atunci f=lim fn este
derivabilă pe [a,b] şi (lim fn)'=lim f'n.
Definiţie
Fie un şir de funcţii mărginite fn:[a,b]→R, n≥0. Considerând şirul de funcţii
(Sn) unde Sn(x)=∑=
n
0kk )x(f ∀x∈[a,b], n≥0 perechea de şiruri de funcţii
Sarcina de lucru 8
Să se studieze convergenţa seriei: ∑∞
1=nn)n (lnn
1.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 69
((fn),(Sn)) se numeşte serie de funcţii pe [a,b]. Vom numi (Sn) şir al sumelor
parţiale ale seriei de funcţii. Vom nota o serie de funcţii simbolic: ∑∞
=0nnf .
Definiţie
Fie o serie de funcţii ∑∞
=0nnf . Numim mulţime de convergenţă a seriei
mulţimea C={x∈[a,b]∑∞
=0nn )x(f este convergentă}.
Definiţie
Considerând mulţimea de convergenţă C putem defini funcţia f:C→R, f(x)=
∑∞
=0nn )x(f . Funcţia f se numeşte suma seriei de funcţii iar ∑
∞
= 0nnf se numeşte
serie punctual convergentă pe C. Dacă în plus şirul sumelor parţiale (Sn)
converge uniform la f pe C spunem că ∑∞
= 0nnf este serie uniform convergentă
pe C.
Teoremă
Fie ∑∞
= 0nnf o serie uniform convergentă pe [a,b] de funcţii continue şi f suma
seriei. Atunci:
1) f este continuă pe [a,b];
2) ∫ ∑
∞
=
b
a 0nn dx)x(f =∑∫
∞
=0n
b
a
n dx)x(f ;
3) Dacă fn∈C1([a,b]), n≥0 iar ∑
∞
=0nn 'f este uniform convergentă pe [a,b]
atunci f este derivabilă pe [a,b] şi ∑∑∞
=
∞
=
=
0nn
0nn 'f'f .
Teoremă (Weierstrass)
Fie o serie de funcţii ∑∞
=0nnf şi o serie numerică convergentă ∑
∞
=0nna astfel încât
fn(x)≤an ∀x∈[a,b] ∀n≥1. Atunci seria ∑∞
=0nnf este uniform convergentă pe
[a,b].
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 70
2.3.3. Serii de puteri
Definiţie
Fie (an)⊂R. Se numeşte serie de puteri centrată în x0∈R seria de funcţii
∑∞
=
−0n
n0n )xx(a . Numerele reale an se numesc coeficienţii seriei de puteri.
Dacă x0=0 vom spune că seria ∑∞
=0n
nn xa este centrată în origine.
Lemă (Abel)
Fie seria de puteri ∑∞
=0n
nn xa şi r∈R* astfel încât şirul (anr
n) este mărginit.
Atunci:
1) ∀x∈(-r,r) seria ∑∞
=0n
nn xa este absolut convergentă;
2) ∀0<r'<r seria ∑∞
=0n
nn xa este uniform convergentă pe intervalul compact
[-r',r'].
Definiţie
Fie ∑∞
=0n
nn xa o serie de puteri. Numărul real
R=sup{r∈R+(anrn) este mărginit}
se numeşte raza de convergenţă a seriei.
Teoremă
Fie ∑∞
=0n
nn xa o serie de puteri şi R raza sa de convergenţă. Atunci:
1) Dacă R∈(0,∞) atunci seria ∑∞
=0n
nn xa este absolut convergentă ∀x∈(-R,R)
şi divergentă pentru x∈(-∞,R)∪(R,∞). Seria este uniform convergentă pe
orice interval [-r,r],0<r<R;
2) Dacă R=0 atunci seria ∑∞
=0n
nn xa este convergentă (absolut) numai pentru
x=0;
3) Dacă R=∞ atunci seria ∑∞
=0n
nn xa este absolut convergentă pe R. Seria este
uniform convergentă pe orice interval [-r,r],r>0.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 71
Teoremă (Cauchy-Hadamard)
Fie seria de puteri ∑∞
=0n
nn xa . Atunci:
R=n
nalim
1
unde vom considera 01
=∞
şi ∞=0
1.
Teoremă
Fie ∑∞
=0n
nn xa o serie de puteri cu raza de convergenţă R şi fie
f:(-R,R)→R, f(x)=∑∞
=0n
nn xa ∀x∈(-R,R). Atunci:
1) Seria ∑∞
=
−
1n
1nn xna are raza de convergenţă R;
2) f este indefinit derivabilă pe (-R,R);
3) f'(x)=∑∞
=
−
1n
1nn xna ∀x∈(-R,R);
4) ∀a,b∈(-R,R)⇒ ∫b
a
dx)x(f =∑∞
= +0n
nn x1n
a.
Exemplu:
Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:
∑∞
−1=n
nn x)1(
Soluţie Fie D mulţimea de convergenţă a seriilor. 1)Avem R=1
1
(-1)lim
1
n n=
=1 de unde D⊃(-1,1). Pentru x=1 avem seria ∑∞
1=n
n(-1) pentru care şirul
sumelor parţiale este Sn= −
par=n daca 0
impar=n daca 1. Cum (Sn) nu este convergent,
rezultă că seria ∑∞
1=n
n(-1) este divergentă. Pentru x=-1 avem seria ∑∞
1=n
1 pentru
care şirul sumelor parţiale este Sn=n iar lim Sn=∞ deci din nou seria este
divergentă. Prin urmare, D=(-1,1).
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 72
2.3.4. Dezvoltarea în serie Taylor
Definiţie
Fie f:(a,b)→R, derivabilă de ordinul n+1, n≥1 pe (a,b). Numim polinomul
Taylor de grad n asociat funcţiei f în punctul x0:
Tn= n0
0)n(
00
0 )xX(!n
)x(f...)xX(
!1
)x('f)x(f −++−+
Observaţie
Definind restul de ordin n ca fiind Rn(x)=f(x)-Tn(x) ∀x∈(a,b) avem
f(x)=Tn(x)+Rn(x) ∀x∈(a,b) sau detaliat:
f(x)= n0
0)n(
00
0 )xx(!n
)x(f...)xx(
!1
)x('f)x(f −++−+ +Rn(x) ∀x∈(a,b)
numită formula lui Taylor de ordinul n.
Fie I=[x,x0] dacă x<x0 şi I=[x0,x] dacă x0<x. Fie funcţia h:I→R definită prin:
−−
−−
+−= ∑∑=
+
+
=
k0
n
0k
)k(
1n0
1nk
n
0k
)k(
)xx(!k
)t(f)x(f
)xx(
)tx()tx(
!k
)t(f)t(h
Avem acum h(x0)=h(x)=f(x). Din faptul că f este derivabilă de ordinul n+1 pe
(a,b)⊃I rezultă că h este derivabilă pe o
I şi continuă pe I. Aplicând teorema lui
Rolle rezultă că ∃ξ∈o
I (deci x<ξ<x0 sau x0<ξ<x) astfel încât h’(ξ)=0. Calculând h' rezultă:
Rn(x)= 1n0
)1n(
)xx()!1n(
)(f ++
−+
ξ-restul lui Lagrange
iar formula lui Taylor cu restul lui Lagrange este:
Sarcina de lucru 9
Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri: ( )∑∞
−1=n
nnx1n
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 73
f(x)= n0
0)n(
00
0 )xx(!n
)x(f...)xx(
!1
)x('f)x(f −++−+ + 1n
0
)1n(
)xx()!1n(
)(f ++
−+
ξ
∀x∈(a,b), ξ∈(x0,x) (sau (x,x0)).
Se pot determina şi alte variante ale restului Rn având astfel:
Rn(x)= 1pnp0
)1n(
)x()xx(p!n
)(f +−+
ξ−−ξ
,p≥1-restul lui Schlömlich
de indice p iar formula lui Taylor cu restul lui Schlömlich este:
f(x)= n0
0)n(
00
0 )xx(!n
)x(f...)xx(
!1
)x('f)x(f −++−+ +
1pnp0
)1n(
)x()xx(p!n
)(f +−+
ξ−−ξ
∀p≥1 ∀x∈(a,b), ξ∈(x0,x) (sau (x,x0)).
Se observă că pentru p=n+1 se obţine restul lui Lagrange. De asemenea, pentru p=1 în formula restului lui Schlömlich avem:
Rn(x)= n0
)1n(
)x)(xx(!n
)(fξ−−
ξ+
-restul lui Cauchy
iar formula lui Taylor cu restul lui Cauchy este:
f(x)= n0
0)n(
00
0 )xx(!n
)x(f...)xx(
!1
)x('f)x(f −++−+ + n
0
)1n(
)x)(xx(!n
)(fξ−−
ξ+
∀x∈(a,b), ξ∈(x0,x) (sau (x,x0)).
Dacă 0∈(a,b) atunci din formula lui Taylor cu restul lui Lagrange aplicată în x0=0 avem formula lui Mac Laurin:
1n)1n(
n)n(
2 x)!1n(
)(fx
!n
)0(f...x
!2
)0("fx
!1
)0('f)0(f)x(f +
+
+ξ
+++++=
∀x∈(a,b), ξ∈(0,x) (sau (x,0)).
Teoremă (Formula lui Taylor)
Fie x0∈Rn şi r>0. Fie de asemenea o funcţie f:B(x0,r)→R, derivabilă de n+1-ori
pe B(x0,r). Atunci ∀x∈ B(x0,r)⇒∃α∈(0,1) astfel încât:
∑
∑
∑∑
=
+
=
==
+
++
+−−α+α−
∂∂∂
+
+−−∂∂
∂+
+−−∂∂
∂+−
∂∂
+=
m
1i,...,i
i0
ii0
i0ii
1n
m
1i,...,i
i0
ii0
i0ii
n
m
1j,i
j0
ji0
i0ji
2m
1i
i0
i0i0
1n1
1n1n11
1n1
n1
nn11
n1
)xx)...(xx)(xx)1((x...x
f
)!1n(
1
)xx)...(xx)(x(x...x
f
!n
1
...)xx)(xx)(x(xx
f
2
1)xx)(x(
x
f)x(f)x(f
∀x=(x1,...,xm)∈B(x0,r)⊂Rm iar x0=(x01,...,x0
m)∈Rm, α∈(0,1).
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 74
Teoremă (de dezvoltare în serie Taylor)
Fie f:(a,b)→R, f∈C∞((a,b)) astfel încât ∃M>0 cu f(n)(x)≤M ∀n∈N ∀x∈(a,b).
Seria Taylor:
n0
0n
0)n(
)xx(!n
)x(f−∑
∞
=
asociată lui f într-un punct x0∈(a,b) este uniform convergentă pe orice interval compact din (a,b) şi
f(x)= n0
0n
0)n(
)xx(!n
)x(f−∑
∞
=
∀x∈(a,b)
Exemplu:
Să se dezvolte în serie Mac Laurin funcţia: f(x)=sin x, x∈R.
Soluţie sin x= ...!7
x
!5
x
!3
xxx
)!1n2(
)1( 7531n2
0=n
n
+−+−=+
− +∞
∑
2.4. Extremele funcțiilor
2.4.1. Extreme locale. Funcții implicite
Definiţie
Fie D⊂Rn, deschisă şi f:D⊂Rn→R. Se numeşte punct de maxim local (punct
de minim local) un punct a∈D astfel încât ∃V∈V(a) cu proprietatea că
f(x)≤f(a) (f(x)≥f(a)) ∀x∈V∩D. f(a)∈R se numeşte maxim local (minim local) al funcţiei f.
Definiţie
Fie D⊂Rn, deschisă şi o funcţie f:D⊂R
n→R. Numim punct de maxim (punct
de minim) un punct a∈D astfel încât f(x)≤f(a) (f(x)≥f(a)) ∀x∈D. f(a)∈R se numeşte maxim (minim) al funcţiei f.
Sarcina de lucru 10
Să se dezvolte în serie Mac Laurin funcţia: f(x)=ex, x∈R.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 75
Observaţie
Vom spune, atunci când nu ne interesează explicit natura unui punct din definiţie, că “a” este punct de extrem (global) iar f(a)-extrem (global).
Observaţie
Un punct de maxim local (global) al funcţiei f este punct de minim local (global) pentru funcţia -f. Un punct de minim local (global) al funcţiei f este punct de maxim local (global) pentru funcţia –f.
Definiţie
Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct a∈D. Spunem că “a” este un punct critic (punct staţionar) al lui f dacă df(a)=0.
Teoremă (Fermat)
Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct de extrem
local a∈D al lui f. Atunci df(a)=0 (a este punct critic al lui f).
Corolar
Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct de extrem
local a∈D al lui f. Atunci ix
f
∂∂
(a)=0,i=1,...,n.
Teoremă
Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă de ordinul 2 într-un punct
critic a∈D al lui f. Punctul “a” este un maxim local dacă forma pătratică d2f(a) este negativ definită. Punctul “a” este un minim local dacă forma pătratică d2f(a) este pozitiv definită.
Teoremă (a funcţiilor implicite, Goursat)
Fie o funcţie f=(f1,...,fn):D⊂Rm+n→Rn, D-deschisă, n≥1, m≥0,
(x1,...,xm,y1,...,yn)→(f1(x1,...,xm,y1,...,yn),...,fn(x1,...,xm,y1,...,yn)) şi
c=(a1,...,am,b1,...,bn)∈D Dacă: f(c)=0; fi∈C1(D), i= n,1 ;
)y,...,y(D
)f,...,f(D
n1
n1 (c)≠0 atunci:
∃W=U×V∈V(c) astfel încât U⊂Rm,V⊂Rn şi ϕ=(ϕ1,...,ϕn):U→V astfel încât
bi=ϕi(a1,...,am), i= n,1 iar fk(x1,...,xm,ϕ1(x1,...,xm),...,ϕn(x1,..., xm))=0, k= n,1 ,
∀(x1,...,xm)∈U; ϕk∈C1(U),k= n,1 , iar:
)y,...,y(D
)f,...,f(D)y,...,y,x,y,...,y(D
)f,...,f(D
x
n1
n1
n1ki1k1
n1
i
k +−−=∂∂ϕ
, k= n,1 ,i= m,1 ;
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 76
Dacă funcţiile fi∈Cs(D), i= n,1 , s≥1 atunci şi funcţiile ϕi∈C
s(U), i= n,1 .
Corolar
Fie o funcţie f=(f1,...,fn):D⊂Rn→Rn, D-deschisă, n≥1 şi a=(a1,...,an)∈D. Dacă:
fi∈C1(D), i= n,1 şi
)x,...,x(D
)f,...,f(D
n1
n1 (a)≠0 (f este transformare regulată) atunci:
1) ∃U∈V(a) astfel încât fU:U→f(U) este bijectivă;
2) Considerând aplicaţia inversă f-1:f(U)→U avem f-1k∈C
1(f(U)), k= n,1 , iar:
)a()x,...,x(D
)f,...,f(D1
))a(f()y,...,y(D
)f,...,f(D
n1
n1n1
1n
11 =
−−
Definiţie
Fie funcţiile fi:D⊂Rn→R, D-deschisă, i=1,...,m, m,n≥1. Spunem că funcţiile fi, i=1,...,m sunt în dependenţă funcţională (sau că sunt dependente funcţional)
dacă ∃Φ:E⊂Rm→R astfel încât Φ(f1(x1,...,xn),...,fm(x1,...,xn))=0 ∀(x1,...,xn)∈D. Funcţiile fi, i=1,...,m sunt în independenţă funcţională (sau independente
funcţional) dacă nu sunt dependente funcţional.
Teoremă
Fie funcţiile fi:D⊂Rn→R, D-deschisă, fi∈C
1(D), i=1,...,m, 1≤m≤n. Funcţiile fi, i=1,...,m sunt dependente funcţional dacă şi numai dacă diferenţialele dfi, i=1,...,m sunt liniar dependente în spaţiul vectorial L(Rn,R).
Corolar
Fie funcţiile fi:D⊂Rn→R, D-deschisă, fi∈C1(D), i=1,..., m, 1≤m≤n. Funcţiile fi,
i=1,...,m sunt independente funcţional dacă şi numai dacă diferenţialele dfi, i=1,...,m sunt liniar independente în spaţiul vectorial L(Rn,R).
Corolar
Fie funcţiile fi:D⊂Rn→R, D-deschisă, fi∈C1(D), i=1,..., m, 1≤m≤ n. Funcţiile
fi, i=1,...,m sunt independente funcţional dacă şi numai dacă rangul matricei jacobiene a funcţiilor fi, i=1,...,m este m.
Teoremă (Lagrange)
Fie o funcţie f:D⊂Rn+m→R, D-deschisă, m,n≥1 şi legăturile gk:D→R, gk(x1,...,xn,y1,..., ym)=0, k=1,...,m, diferenţiabile pe D. Dacă un punct
(a1,...,an,b1,...,bm)∈D este un punct de extrem local astfel încât
gk(a1,...,an,b1,...,bm)=0, k=1,...,m şi dacă )y,...,y(D
)g,...,g(D
m1
m1 (a1,...,an,b1,...,bm)≠0
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 77
atunci există λ1,...,λm∈R şi funcţia Φ:D→R, Φ=f+λ1g1+...+λmgm astfel încât
ix∂Φ∂
(a1,...,an,b1,...,bm)=0, i=1,...,n, jy∂
Φ∂(a1,...,an,b1,...,bm)=0, j=1,...,m.
Observaţie
Metoda expusă mai sus se numeşte metoda multiplicatorilor lui Lagrange iar
numerele λi, i=1,...,m se numesc multiplicatorii lui Lagrange.
Exemplu:
Să se determine punctele de extrem ale funcţiei:
(a) f:R2→R, f(x,y)=x3+y
3-3xy+2
Soluţie Punctele critice se determină rezolvând sistemul:
=−=∂∂
=−=∂∂
0x3y3y
f
;0y3x3x
f
2
2
de unde
==
xy
;yx2
2
. Avem deci x,y≥0 iar din x4-
x=0⇒x1=y1=0, x2=y2=1. Punctele critice sunt deci A(0,0) şi B(1,1). Avem
însă y6y
f ,3
yx
f ,x6
x
f2
22
2
2
=∂∂
−=∂∂
∂=
∂∂
de unde d2f(a,b)(u,v)=6au
2-6uv+
6bv2. Matricea formei pătratice este:
6b3-
3-6a de unde ∆1=6a, ∆2= 36ab-
9. Dacă a=b=0 avem d2f(a,b)(u,v)=-6uv şi cu ajutorul metodei lui Gauss,
obţinem în urma transformării u’=u+v, v’=u-v: d2f(0,0)(u’,v’)=-
)'v'u(2
3 22 − -formă pătratică semidefinită. Prin urmare, punctul A(0,0) nu
este de extrem fiind punct şa. Pentru a=b=1 avem acum ∆1=6, ∆2=27 şi
cum ambii sunt pozitivi rezultă că forma pătratică este pozitiv definită deci
punctul B(1,1) este punct de minim local. Minimul local al funcţiei este
f(1,1)=1.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 78
T
Rezumat
Noţiunile de mulţime deschisă şi mulţime închisă sunt fundamentale în construcţia obiectelor specifice analizei matematice. De asemenea, punctul de acumulare este fundamental în definirea limitei unei funcţii, iar ulterior în definiţia diferenţiabilităţii acesteia. Noţiunile de derivată după o direcţie şi cea particulară a derivatei parţiale aduc conceptul de “viteză” a unui proces, de multe ori mai importantă decât procesul în sine.
Seriile numerice reprezintă o extensie a sumelor finite, aplicabile în calcule iterative de dimensiuni mari. De asemenea, seriile de funcţii şi cele de puteri în special, permit “simularea” unei funcţii printr-un “polinom de grad infinit” ceea ce înlesneşte ulterior calculul unor mărimi, de multe ori dificile, cum ar fi diferenţialele sau integralele.
Extremele funcţiilor îşi găsesc o aplicare firească la optimizarea proceselor economice general,e ce nu permit, de exemplu, aplicarea unor algoritmi
specifici (vezi mai târziu algoritmul Simplex).
Sarcina de lucru 11
Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f(x,y)=xy cu legătura dată de g(x,y)=x+y-1=0.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 79
Test de autoevaluare
I. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul II ale funcţiei de mai jos în
punctul indicat: f:R3→R, f(x,y,z)=exysin yz în punctul (1,π,1).
II. Să se studieze convergenţa seriei: ∑∞
+1=n3n1
1.
III. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:
∑∞
++
1=n
n
2x
nn
nn.
Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testul de
autoevaluare
I. 2
2
x
f
∂∂
(1,π,1)=0 – 1 punct; yx
f2
∂∂∂
(1,π,1)=-π πe – 1 punct;
zx
f2
∂∂∂
(1,π,1)=-π2 πe – 1 punct;
2
2
y
f
∂∂
(1,π,1)=-2 πe – 1 punct;
zy
f2
∂∂∂
(1,π,1)=-(π+1) πe – 1 punct;
2
2
z
f
∂∂
(1,π,1)=0 – 1 punct.
II. Seria este convergentă – 2 puncte.
III. Domeniul de convergenţă este: D=[-1,1) - 2 puncte.
Bibliografie minimală
Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994), Algebră liniară, geometrie
analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale, Bucureşti, Editura All
Ioan C. A. (2004), Matematici aplicate în economie, Bucureşti, E.D.P.
Ioan C. A. (2006), Matematică – I, Galaţi, Ed. Sinteze
Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981), Probleme de algebră, Bucureşti, E.D.P.
3. ECUAȚII DIFERENȚIALE
Ecuații diferențiale – introducere
Tipuri principale de ecuații diferențiale de ordinul 1
Ecuații diferențiale de ordin superior
Ecuații diferențiale liniare de ordinul n
Obiectivele unităţii de
Rezumat
Teste de autoevaluare
Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de
autoevaluare
Bibliografie minimală
Obiective specifice:
La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:
• să aplici corect noile concepte;
• să rezolvi principalele tipuri de ecuații diferențiale și sistemele de ecuații diferențiale de ordinul 1;
• să reduci ecuațiile diferențiale de ordin superior la ordine inferioare.
Timp mediu estimat pentru studiu individual: 4 ore
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 81
3.1. Ecuații diferențiale – introducere
Definiţii
Fie o funcţie continuă F:D⊂Rn+2→R, n≥1. Se numeşte ecuaţie diferenţială
problema determinării unei funcţii y:I⊂R→R, I-interval, y∈Cn(I) astfel încât
(x,y(x),y'(x),...,y(n)(x))∈D ∀x∈I şi F(x,y(x),y'(x),...,y(n)(x))=0 ∀x∈I. Numărul “n” se numeşte ordinul ecuaţiei diferenţiale. Funcţia y se numeşte soluţie a
ecuaţiei diferenţiale iar graficul acesteia se numeşte curbă integrală a ecuaţiei diferenţiale. Procesul de determinare a curbelor integrale se numeşte integrarea ecuaţiei diferenţiale.
Observaţie
Vom nota în general o ecuaţie diferenţială sub forma: F(x,y,y',...,y(n))=0 presupunând implicit că funcţia necunoscută y este de clasă C n pe domeniul ei de definiţie.
Observaţie
Din teoria generală a curbelor rezultă că o curbă integrală se poate reprezenta
fie în formă explicită y=y(x), x∈I, fie în formă implicită G(x,y)=0, fie
parametric x=x(t), y=y(t), t∈J⊂R.
Definiţie
O ecuaţie diferenţială F(x,y,y',...,y(n))=0 se spune că are forma normală dacă ea se poate rezolva în raport cu y(n) deci dacă există o funcţie continuă f astfel încât y(n)=f(x,y,y',...,y(n-1)).
Definiţie
O soluţie a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n ce depinde de n constante arbitrare se numeşte soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale. Orice soluţie ce se obţine din particularizarea constantelor se numeşte soluţie particulară a
ecuaţiei diferenţiale. O soluţie a unei ecuaţii care nu se obţine din soluţia generală se numeşte soluţie singulară a ecuaţiei diferenţiale.
Observaţie
Considerând o familie de funcţii de clasă Cn ce depinde de n constante arbitrare y=f(x,C1,...,Cn) prin derivare succesivă obţinem y(k)=f(k)(x,C1,..., Cn), k=1,...,n. Prin eliminarea constantelor, se obţine o ecuaţie diferenţială de ordinul n: F(x,y,y',...,y(n))=0 a cărei soluţie generală este familia dată. De asemenea, trebuie menţionat că orice combinaţie de constante arbitrare, se poate înlocui cu o altă constantă dacă acestea nu mai apar şi în alte combinaţii din cadrul soluţiei. Vom proceda la astfel de redenumiri fără a mai avertiza cititorul de fiecare dată.
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 82
Problema Cauchy a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n
Problema Cauchy a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n este următoarea:
Să se determine soluţia ecuaţiei diferenţiale y(n)=f(x,y,y',...,y(n-1)) astfel încât:
y(x0)=y0, y'(x0)=y01,...,y(n-1)(x0)=y0
n-1 unde: x0,y0,y01,...,y0
n-1∈R, date.
Condiţiile de mai sus se numesc condiţii iniţiale ale ecuaţiei diferenţiale.
Vom studia în cele ce urmează ecuaţii diferenţiale de ordinul I: y'=f(x,y).
Teoremă (Peano)
Fie ecuaţia diferenţială de ordinul I: y'=f(x,y). Dacă:
1) f este continuă pe J=[x0-a,x0+a]×[y0-b,y0+b], a,b>0;
2) f este lipschitziană pe J în raport cu y adică ∃L>0 astfel încât f(x,y1)-f(x,y2)≤ Ly1-y2 ∀(x,y1),(x,y2)∈J
atunci problema Cauchy y(x0)=y0 are soluţie unică ϕ:[x0-h,x0+h]→R unde
h=min
M
b,a iar M∈R astfel încât f(x,y)≤M ∀(x,y)∈J.
Observaţie
Condiţia ca f să fie lipschiziană este destul de dificil de verificat. Dacă însă f
este derivabilă parţial în raport cu y şi y
f
∂
∂ este continuă pe J rezultă că f este
lipschitziană în raport cu y.
Observaţie
Metoda aproximaţiilor succesive din demonstraţia teoremei lui Peano permite determinarea aproximativă a soluţiei atunci când nu avem la dispoziţie metode “exacte” de determinare a ei. Nu vom face demonstraţia în detaliu, aceasta necesitând cunoştinţe suplimentare de analiză matematică, urmărind doar ideea acesteia. Se construieşte astfel un şir de aproximaţii succesive ale soluţiei
yk(x)=y0+ ∫ −
x
x
1k
0
dx))x(y,x(f ,k≥1, iar y0(x)=y0, x∈[x0-h,x0+h] care se
demonstrează că este uniform convergent la soluţia ecuaţiei diferenţiale ce satisface problema Cauchy. Funcţia yk se numeşte aproximaţia de ordin k a soluţiei problemei Cauchy.
Observaţie
Dacă rezolvarea unei ecuaţii se face prin integrări succesive se spune că aceasta este o ecuaţie rezolvabilă prin cuadraturi.
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 83
3.2. Tipuri principale de ecuații diferențiale de ordinul 1
I. Ecuaţii cu variabile separabile
O ecuaţie se numeşte ecuaţie cu variabile separabile dacă este de forma:
y'=f(x)g(y)
unde f:(a,b)⊂R→R şi g:(c,d)⊂R→R sunt continue, neidentic nule. Vom
presupune că g(y)≠0 ∀y∈(c,d). Pentru rezolvarea ecuaţiei o vom scrie sub
forma: dx
dy=f(x)g(y). Avem deci
)y(g
dy=f(x)dx. Funcţiile f şi
g
1 fiind continue
admit primitive. Fie deci F şi G primitive ale funcţiilor f respectiv g
1.
Integrând în ambii membri ai ecuaţiei obţinem: G(y)+C1=F(x)+C2 cu C1,C2∈R constante arbitrare. Notând C2-C1=C obţinem G(y)=F(x)+C-curba integrală sub
formă implicită a ecuaţiei. Dacă ∃y0∈(c,d) astfel încât g(y0)=0 atunci ecuaţia devine y'=0 de unde y=y0 este o soluţie a ecuaţiei. Dacă aceasta ar fi o soluţie
particulară atunci ar rezulta că ∃C∈R astfel încât G(y0)-C=F(x) ceea ce este o contradicţie cu faptul că x fiind variabil implică F=constantă. Dar în acest caz f=F'=0 ceea ce contrazice ipoteza iniţială. Prin urmare, soluţia y=y0 este soluţie singulară a ecuaţiei.
II. Ecuaţii omogene şi reductibile la ecuaţii omogene
Pentru început să ne reamintim definiţia funcţiei omogene: O funcţie
f:D⊂R2→R se numeşte omogenă de grad r∈R dacă f(tx.ty)=trf(x,y) ∀(x,y)∈D
∀t∈R astfel încât (tx,ty)∈D. O funcţie de forma (x,y)→f(x
y), x≠0, este evident
omogenă de grad 0.
Se numeşte ecuaţie omogenă o ecuaţie de forma:
y'=f(x
y)
unde x≠0 iar f este continuă. Rezolvarea acestui tip de ecuaţie se face cu
substituţia u=x
y. Avem deci y=ux de unde cum u=u(x) avem y’=u’x+u.
Înlocuind în ecuaţie, obţinem: u'=(f(u)-u)x
1 care este o ecuaţie cu variabile
separabile. Dacă acum f(u)≠u avem u)u(f
du
−=
x
dx. Fie F(u) o primitivă
oarecare. Avem deci F(u)=lnx+C. Revenind la substituţia făcută avem F(x
y
)=lnx+C-soluţia generală a ecuaţiei omogene. Dacă există u0 astfel încât
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 84
f(u0)=u0 ecuaţia devine u'=0 deci u=u0 de unde: y=xu0. Înlocuind în soluţia
generală, obţinem: F(u0)=lnx+C de unde rezultă x=constant ceea ce este evident o contradicţie. Prin urmare, soluţia y=xu0 este singulară.
Să considerăm acum ecuaţii de forma:
y'=f
++++
geydx
cbyax
unde a,b,c,d,e,g∈R, f-continuă. Fie sistemul:
=++=++
0geydx
0cbyax
Dacă ed
ba≠0 atunci sistemul are soluţie unică. Fie aceasta (x0,y0). Vom face
pentru început substituţia x=u+x0, y=v+y0 unde v=y-y0= y(x)-y0=y(u+x0)-y0 este funcţie de u. Avem dx=du şi dy=dv deci ecuaţia devine:
du
dv=
dx
dy=
++++
geydx
cbyaxf =
−+−−+−
)yy(e)xx(d
)yy(b)xx(af
00
00 =
+
+=
++
u
ved
u
vba
fevdu
bvauf
Ecuaţia a devenit omogenă în u şi v. Cu noua schimbare de variabilă z=u
v
avem v=zu de unde după înlocuire: z'u+z=g(z) unde g(z)=
++
ezd
bzaf .
Procedând ca în cazul anterior avem z'=(g(z)-z)u
1. Dacă g(z)≠z ecuaţia devine
z)z(g
dz
−=
u
du, u≠0. Fie F(z)= ∫ − z)z(g
dz. Obţinem deci F(z)=lnu+C.
Revenind la substituţiile făcute avem soluţia generală sub forma:
−−
0
0
xx
yyF
=lnx-x0+C. Dacă ∃z0 astfel încât g(z0)=z0 ecuaţia are soluţia z=z0 şi revenind la substituţii rezultă: y-y0=(x-x0)u0-soluţie singulară a ecuaţiei date.
Dacă ed
ba=0 atunci ∃λ∈R astfel încât a=dλ, b=eλ. Ecuaţia iniţială devine:
y'=
++++λg)eydx(
c)eydx(f . Facem schimbarea de variabilă z=dx+ey de unde
z'=d+ey'. Dacă e≠0 ecuaţia devine:
++λ
=−
gz
czf
e
d'z care este o ecuaţie cu
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 85
variabile separabile. Dacă e=0 ecuaţia devine y'=
++λgdx
cdxf care este din nou
o ecuaţie cu variabile separabile.
III. Ecuaţii liniare
O ecuaţie se numeşte ecuaţie liniară dacă este de forma:
y'=f(x)y+g(x)
unde f,g:(a,b)⊂R→R sunt continue. Dacă g=0 ecuaţia liniară se numeşte ecuaţie liniară omogenă (din punct de vedere al ecuaţiei şi nu al funcţiilor).
Dacă g≠0 vom mai spune că ecuaţia este neomogenă.
O ecuaţie liniară omogenă y'=f(x)y este cu variabile separabile şi deci avem:
y
dy=f(x)dx. Considerând o primitivă F(x)= ∫ dx)x(f a lui f obţinem prin
integrare în ambele părţi: lny=F(x)+C1 de unde y=CeF(x) unde C= 1Ce >0. Renunţând la condiţia de pozitivitate a lui C obţinem soluţia generală a ecuaţiei liniare omogene: y=CeF(x). În cazul problemei Cauchy y(x0)=y0 avem y=y0
∫x
0x
dt)t(f
e .
Rezolvarea ecuaţiei neomogene constă în două etape. Se formează mai întâi ecuaţia liniară omogenă asociată ecuaţiei date: y'=f(x)y de unde y=CeF(x). În continuare se aplică metoda variaţiei constantelor care constă în considerarea lui C ca funcţie necunoscută de x şi impunerea ca funcţia y=C(x)eF(x) să fie soluţie a ecuaţiei liniare. Avem deci C'(x)eF(x)+C(x)F'(x)eF(x)=f(x)C(x)eF(x)+g(x). Dar F'(x)=f(x) deci după simplificare obţinem: C'(x)eF(x)=g(x) sau altfel C'(x)=g(x)e-F(x). Integrând,
obţinem: C(x)= ∫ dxe)x(g )x(F_ +C deci soluţia generală este: y=eF(x) ∫ g(x)e-
F(x)dx+CeF(x).
IV. Ecuaţii Bernoulli
O ecuaţie se numeşte ecuaţie Bernoulli dacă este de forma:
y'=f(x)y+g(x)yp
unde f,g:(a,b)⊂R→R sunt continue şi neidentic nule iar p∈R. Dacă p=0 ecuaţia este liniară neomogenă iar dacă p=1 ecuaţia devine y'=(f(x)+g(x))y care este liniară omogenă. Aceste tipuri de ecuaţii fiind deja studiate, vom considera
p∈R-{0,1}.
Rezolvarea ecuaţiei constă mai întâi în împărţirea acesteia la yp, y≠0. Avem
deci: )x(gy)x(fy
'y p1p
+= − . Cu schimbarea de variabilă u=y1-p avem u=u(x)⇒
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 86
u’=(1-p)y-py’⇒p1
'u
y
'yp −
= . Ecuaţia devine: u'=(1-p)f(x)u+(1-p)g(x) care fiind
o ecuaţie liniară se tratează ca la C. Dacă y=0 atunci se observă că pentru p>0 se mai obţine o soluţie a problemei.
V. Ecuaţii Riccati
O ecuaţie se numeşte ecuaţie Riccati dacă este de forma:
y'=f(x)y2+g(x)y+h(x)
unde f,g,h:(a,b)⊂R→R sunt continue. Vom presupune că f nu este identic nulă pe (a,b) în caz contrar ecuaţia y'=g(x)y+h(x) fiind liniară şi tratându-se ca la punctul C şi de asemenea h nu este identic nulă pe (a,b), ecuaţia devenind în acest caz de tip Bernoulli, tratându-se ca la punctul D.
Spre deosebire de tipurile anterioare, ecuaţiile Riccati nu sunt integrabile prin cuadraturi. Ecuaţiile Riccati se pot rezolva însă în condiţii suplimentare. Dacă prin alte metode se obţine o soluţie particulară y1 a ecuaţiei, aceasta devine integrabilă. Fie deci y1'=f(x)y1
2+g(x)y1+h(x) şi substituţia u=y-y1 deci y=u+y1. Avem deci:
(u+y1)'=f(x)(u+y1)2+g(x)(u+y1)+h(x) de unde u'+y1'=f(x)u2+2f(x)y1u+f(x)y1
2+ g(x)u+g(x)y1+h(x). Ţinând seama de faptul că y1 este soluţie a ecuaţiei rezultă u'=f(x)u2+(2f(x)y1+g(x))u care este de tip Bernoulli. Aceasta prin substituţia z=u-1 se reduce la o ecuaţie liniară. Prin urmare, efectuând într-o ecuaţie
Riccati substituţia y=y1+z
1 se obţine o ecuaţie liniară în z care în urma
rezolvării şi revenirea la substituţii ne furnizează soluţia generală a ecuaţiei date.
Dacă într-o ecuaţie Riccati sunt cunoscute două soluţii diferite y1 şi y2 atunci
prin substituţia: 1u
yuyy
yy
yyu 12
2
1
−−
=⇔−−
= se obţine:
(y1-y2)u'=[y1'+y2'-2f(x)y1y2-g(x)(y1+y2)-2h(x)]u
care este o ecuaţie cu variabile separabile.
Dacă într-o ecuaţie Riccati sunt cunoscute trei soluţii diferite y1, y2 şi y3 atunci ecuaţia este complet rezolvată în virtutea faptului că pentru patru soluţii
y1,y2,y3,y biraportul 2
1
23
13
yy
yy:
yy
yy
−−
−−
este constant.
VI. Ecuaţii Lagrange
O ecuaţie se numeşte ecuaţie Lagrange dacă este de forma:
y=xf(y')+g(y')
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 87
unde f,g:(a,b)⊂R→R sunt de clasă C1 pe (a,b).
Rezolvarea acestei ecuaţii începe prin substituţia y'=p (p fiind evident funcţie de x). Ecuaţia devine deci y=xf(p)+g(p). Derivând în raport cu x obţinem:
p=f(p)+ xf'(p)dx
dp+g'(p)
dx
dp de unde:
dx
dp[xf'(p)+g'(p)]=p-f(p). Dacă f(p)≠p
atunci considerând x=x(p) şi p ca variabilă independentă rezultă:
)p(fp
)p('gx
)p(fp
)p('f
dp
dx
−+
−=
care este o ecuaţie liniară în x. Să notăm soluţia acestei ecuaţii x=x(p,c), c∈R. Înlocuind în expresia lui y rezultă y=x(p,c)f(p)+g(p) şi deci am obţinut
ecuaţiile parametrice ale soluţiei. Dacă ∃p0 astfel încât f(p0)=p0 avem dx
dp=0 de
unde p=p0 şi înlocuind în expresia lui y obţinem y=p0x+g(p0)-soluţia singulară a ecuaţiei.
VII. Ecuaţii Clairaut
O ecuaţie se numeşte ecuaţie Clairaut dacă este de forma:
y=xy'+g(y')
unde g:(a,b)⊂R→R este de clasă C1 pe (a,b). Ecuaţia Clairaut se obţine din ecuaţia Lagrange pentru f=1(a,b).
Urmând aceleaşi etape ca la ecuaţia Lagrange obţinem: dx
dp[x+g'(p)]=0. Avem
deci p=C-constantă de unde y=Cx+g(C) este soluţia generală a ecuaţiei şi x=-g'(p) de unde y=-pg'(p)+g(p) care constituie soluţia singulară a acesteia.
Exemplu:
Să se rezolve ecuaţia liniară: xy'+2y=x4.
Soluţie Ecuaţia se mai poate scrie sub forma: y’=-x
2y+x3. Ecuaţia omogenă
ataşată este y’=-x
2y de unde
2x
Cy
x
dx2
y
dy=⇒−= . Aplicăm metoda variaţiei
constantelor şi considerăm y= 2x
C(x). Introducând în ecuaţie, avem:
32
'
2x
x
C(x)
x
2
x
C(x)+−=
de unde C’(x)= x5 deci C(x)=
6
xdxx
65 =∫ +C iar
soluţia generală este: y=2
4
x
C
6
x+ .
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 88
3.3. Ecuații diferențiale de ordin superior
Vom studia în această secţiune câteva aspecte privind ecuaţiile diferenţiale de ordin mai mare decât 1. Fie deci ecuaţia diferenţială:
y(n)=f(x,y,y',...,y(n-1)), n≥1
unde f este o funcţie continuă. Am văzut în paragraful precedent problema Cauchy asociată unei astfel de ecuaţii. Avem de asemenea:
Teoremă (Peano)
Fie ecuaţia diferenţială de ordinul n: y(n)=f(x,y,y',...,y(n-1)). Dacă:
1) f este continuă pe J=[x0-a,x0+a]×[y0-b0,y0+b0]×...×[y0n-1-bn-1,y0
n-1+bn-1], a,bi>0, i=0,...,n-1;
2) f este lipschitziană pe J în raport cu y,y',...,y(n-1)
atunci problema Cauchy are soluţie unică ϕ:[x0-h,x0+h]→R, h>0 astfel încât
ϕ(x0)=y0, ϕ'(x0)=y01,..., ϕ(n-1)(x0)=y0
n-1.
Observaţie
Condiţia ca f să fie lipschiziană este destul de dificil de verificat. Dacă însă f
este derivabilă parţial în raport cu y(k) şi )k(y
f
∂∂
, k=0,...,n-1 este continuă pe J
rezultă că f este lipschitziană în raport cu y(k).
Vom studia acum câteva tipuri de ecuaţii diferenţiale de ordin superior care prin substituţii convenabile fie se pot rezolva prin cuadraturi, fie li se reduce ordinul, facilitând uneori rezolvarea acestora.
Sarcina de lucru 1
Să se rezolve ecuaţia Bernoulli: xy'= -y-x5y3ex.
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 89
I. Ecuaţii de forma y(n)
=f(x)
Dacă f este continuă pe (a,b)⊂R integrăm succesiv şi obţinem:
y(n-1)= ∫x
x 0
dx)x(f +Cn-1, y(n-2)= ∫ ∫
x
x
x
x0 0
dx)x(fdx +Cn-1(x-x0)+Cn-2 şi în final:
y= ∫ ∫ ∫x
x
x
x
x
x0 0 0
dx)x(f...dxdx +∑−
=
−1n
0k
k0
k !k
)xx(C
Soluţia y astfel obţinută satisface problema Cauchy: y(x0)=C0,..., y(n-1)(x0)= Cn-1.
II. Ecuaţii de forma F(x,y(k)
,...,y(n)
)=0, k>1
Cu schimbarea de variabilă u=y(k) obţinem ecuaţia F(x,u,u',...,u(n-k))=0. Dacă obţinem o soluţie u=u(x,C1,...,Cn-k) a acesteia revenind la substituţie avem y(k)=u(x,C1,...,Cn-k) care se integrează ca la A.
III. Ecuaţii de forma F(x,y(n)
)=0
Cu schimbarea de variabilă u=y(n) obţinem ecuaţia F(x,u)=0.
Dacă ecuaţia se poate rezolva, fie u=f(x). Revenind la substituţie avem y(n)=f(x) deci ecuaţia este de tip A.
Dacă se poate determina o parametrizare pentru F(u,v)=0, u=u(t), v=v(t) atunci x=u(t), y(n)=v(t). Dar dy(n-1)=y(n)dx=v(t)u'(t)dt. Integrând, rezultă y(n-1)=
∫ dt)t('u)t(v +C1. Continuând în acelaşi mod rezultă în final y=y(t,C1,...,Cn) şi
împreună cu x=x(t) rezultă soluţia parametrică a ecuaţiei.
IV. Ecuaţii de forma F(y(k)
,y(n)
)=0, k=n-2, n-1
Să presupunem că F(u,v)=0 admite o reprezentare parametrică u=u(t), v=v(t). Atunci y(k)=u(t), y(n)=v(t). Avem două cazuri:
• k=n-1 Avem dy(n-1)=y(n)dx=v(t)dx. Dar y(n-1)=u(t) de unde u'(t)dt=v(t)dx şi
din ecuaţia cu variabile separabile obţinută rezultă x= ∫ )t(v
dt)t('u şi y(n-
1)=u(t). Integrând succesiv în a doua relaţie se obţine soluţia sub formă parametrică.
• k=n-2 Avem dy(n-1)=y(n)dx şi dy(n-2)=y(n-1)dx. Înmulţind cele două egalităţi rezultă: y(n-1)dy(n-1)=y(n)dy(n-2)=v(t)u'(t)dt. Prin urmare (y(n-1))2=2
∫ dt)t('u)t(v +C. Cu y(n-1) astfel obţinut şi cu y(n-2)=u(t) obţinem cazul
anterior.
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 90
V. Ecuaţii de forma F(y,y',...,y(n)
)=0
Facem substituţia y'=p unde p=p(y). Avem deci dx
dy=p de unde:
'ppdy
dpp
dx
dy
dy
dp
dx
dp"y ==== ,
dx
)'pp(d
dx
"dy'''y == =
dx
dy
dy
)'pp(d=p[(p’)2+pp”]
etc. Obţinem deci în final F(y,p,p',...,p(n-1))=0-ecuaţie diferenţială de ordinul n-
1. Considerând o soluţie a acesteia p=p(y,C1,...,Cn-1) avem dx
dy=p(y,C1,...,Cn-1)-
ecuaţie diferenţială de ordinul I.
VI. Ecuaţii de forma F(x,y,y',...,y(n)
)=0 omogene în y,y',...,y(n)
Dacă gradul de omogenitate este q facem substituţia y'=yz. Avem deci y”=y'z+yz'=yz2+yz'=y(z2+z') şi continuând analog obţinem y(k)= fk(z,z',...,z(k-1))y, k=1,...,n. Înlocuind în ecuaţie obţinem yqG(x,z,z',...,z(n-1))=0 de unde avem soluţia singulară y=0 şi G(x,z,z',...,z(n-1))=0-ecuaţie diferenţială de ordinul n-1.
Exemplu:
Să se rezolve ecuaţia: yy”=(y')2.
Soluţie Fie y'=p(y). Avem y”=pp' de unde p(p'y-p)=0⇒p=0 deci y'=0⇒y=C1 şi p'y=p de unde p=Cy. Revenind la substituţie, obţinem y'=Cy de unde y=DeCx. Soluţia y=C1 se obţine din aceasta pentru C=0, D=C1. Soluţia
generală este deci: y=DeCx, C,D∈R.
3.4. Ecuații diferențiale liniare de ordinul n
Definiţie
Se numeşte ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n o ecuaţie de forma:
bn(x)y(n)+bn-1(x)y(n-1)+...+b1(x)y'+b0(x)y=g(x)
unde bi,g:(a,b)→R, i=0,...,n sunt funcţii continue iar bn nu se anulează pe (a,b).
Sarcina de lucru 2
Să se rezolve ecuaţia: (1+x2)y”+(y')2+1=0.
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 91
O ecuaţie în care g=0 se numeşte ecuaţie diferenţială liniară şi omogenă de
ordinul n.
Observaţie
Deoarece bn≠0 considerând funcţiile ai,f:(a,b)→R, )x(b
)x(b)x(a
n
ii = ,
)x(b
)x(g)x(f
n
= ,i=0,..., n-1 rezultă că o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n se
poate scrie sub forma:
y(n)+an-1(x)y(n-1)+...+a1(x)y'+a0(x)y=f(x)
Observaţie
Introducând operatorul diferenţial:
)x(adx
d)x(a...
dx
d)x(a
dx
dL 011n
1n
1nn
n
++++= −
−
−
rezultă că o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n se poate scrie şi sub forma L(y)=f(x) iar cea omogenă sub forma L(y)=0.
Propoziţie
Operatorul diferenţial L este liniar pe spaţiul vectorial al funcţiilor de clasă C n.
Propoziţie
Mulţimea soluţiilor unei ecuaţii diferenţiale liniare şi omogene de ordinul n este un spaţiu vectorial real.
Observaţie
Din propoziţie, rezultă în particular că dacă y1,...,yk sunt soluţii ale unei ecuaţii
omogene rezultă că y=C1y1+...+Ckyk este de asemenea soluţie ∀C1,...,Ck∈R.
Observaţie
Putem extinde definiţia operatorului diferenţial L la funcţii complexe, astfel:
L(g+ih)=L(g)+iL(h) ∀g,h funcţii reale de clasă Cn iar i2=-1 este unitatea imaginară. Rezultă de aici că dacă ecuaţia omogenă L(y)=0 are soluţia complexă g+ih atunci g şi h sunt de asemenea soluţii ale acesteia.
Propoziţie
Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n: L(y)=f(x). Dacă y1 este soluţie a ecuaţiei L(y1)=f(x) atunci soluţia generală a ei este de forma y=z+y1 unde z este soluţia generală a ecuaţiei omogene ataşate L(y)=0.
Observaţie
Din propoziţie, rezultă că pentru determinarea soluţiei generale a unei ecuaţii liniare trebuie studiate două aspecte: determinarea soluţiei generale a ecuaţiei omogene ataşate şi determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei date.
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 92
Definiţie
Fiind date funcţiile yi:(a,b)→R, i=1,...,n,yi∈Cn-1((a,b)) se numeşte matrice
wronskiană matricea:
W(x)=
−−− )x(y)x(y)x(y
)x('y)x('y)x('y
)x(y)x(y)x(y
)1n(n
)1n(2
)1n(1
n21
n21
L
LLLL
L
L
şi wronskian w(x)=det W(x).
Teoremă (Abel-Liouville)
Fie y1,...,yn soluţii ale ecuaţiei diferenţiale liniare şi omogene de ordinul n:
y(n)+an-1(x)y(n-1)+...+a1(x)y'+a0(x)y=0, x∈(a,b)
Atunci ∀x0,x∈(a,b) are loc formula:
w(x)=w(x0)∫ −−x
0x
1n dx)x(a
e
Corolar
w(x)=0 ∀x∈(a,b)⇔∃x0∈(a,b) astfel încât w(x0)=0.
Observaţie
Din corolar, rezultă, de asemenea, că dacă ∃x0∈(a,b) astfel încât
w(x0)≠0⇒w(x)≠0 ∀x∈(a,b). Într-adevăr, dacă ∃x1∈(a,b) astfel încât
w(x1)=0⇒ w(x)=0 ∀x∈(a,b) de unde se intră în contradicţie cu existenţa lui
x0∈(a,b).
Teoremă
Fie y1,...,yn soluţii ale ecuaţiei diferenţiale liniare şi omogene de ordinul n:
y(n)+an-1(x)y(n-1)+...+a1(x)y'+a0(x)y=0, x∈(a,b)
Atunci y1,...,yn sunt liniar independente dacă şi numai dacă w(x)≠0 ∀x∈(a,b).
Definiţie
Numim sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei diferenţiale omogene:
y(n)+an-1(x)y(n-1)+...+a1(x)y'+a0(x)y=0,x∈(a,b)
n soluţii liniar independente: y1,...,yn.
Problema determinării unui sistem fundamental de soluţii este în general o problemă dificilă. Dacă ecuaţia are coeficienţi neconstanţi atunci se încearcă mai întâi determinarea unor soluţii particulare. Dacă u este o soluţie a ecuaţiei
L(y)=0 prin substituţia y=u ∫ dx)x(z ordinul acesteia se reduce cu o unitate. Pe
de altă parte, o soluţie particulară a ecuaţiei se mai poate determina astfel: dacă
f(x)=f1(x)+...+fp(x), x∈(a,b), p≥2 atunci considerând o soluţie particulară ui a
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 93
ecuaţiei L(y)=fi(x), i=1,...,p rezultă că u=u1+...up este soluţie a ecuaţiei L(y)=f(x) deoarece L(u1+...+up)=L(u1)+...+L(up)= f1(x)+...+fp(x)=f(x).
Oricum, pentru rezolvarea completă a unei ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n este nevoie de determinarea unui sistem fundamental de soluţii ale
ecuaţiei omogene ataşate {y1,...,yn}. Dacă am reuşit determinarea unui astfel de sistem, atunci pentru determinarea soluţiei generale a ecuaţiei putem aplica metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange. Aceasta constă în scrierea soluţiei sub forma y=C1(x)y1(x)+...+Cn(x)yn(x) unde funcţiilor Ci li se impun condiţiile:
0)x(y)x('Cn
1i
)p(ii =∑
=
, p=0,...,n-2.
Derivând de n-1 ori pe y obţinem din condiţiile de mai sus:
y(p)=∑=
n
1i
)p(ii )x(y)x(C , p=1,...,n-1
y(n)= ∑∑=
−
=
+n
1i
)1n(ii
n
1i
)n(ii )x(y)x('C)x(y)x(C
Înlocuind în ecuaţia L(y)=f(x) obţinem:
)x(f)x(y)x('C)y(L)x(Cn
1i
)1n(ii
n
1iii =+∑∑
=
−
=
Dar L(yi)=0, i=1,...,n şi deci condiţiile impuse funcţiilor Ci se scriu:
W(x)
=
)x(f
0
0
)x('C
)x('C
)x('C
n
2
1
LL
Sistemul astfel obţinut are determinantul nenul şi deci are soluţie unică. Fie
deci Ci'(x)=zi(x). Obţinem, după integrare: Ci(x)= ∫ dx)x(zi + ki, ki∈R, i=1,...,n.
Prin urmare, soluţia generală este:
y= [ ]∑ ∫=
+n
1iiii )x(ykdx)x(z
Vom discuta în cele ce urmează ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu
coeficienţi constanţi. Vom nota deci ai∈R, i=0,...,n-1 coeficienţii ecuaţiei şi avem:
y(n)+an-1y(n-1)+...+a1y'+a0y=f(x), x∈(a,b)
Este evident că toată discuţia generală de până acum este aplicabilă şi acestor ecuaţii.
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 94
Vom determina în cele ce urmează un sistem fundamental de soluţii. Pentru
aceasta, vom căuta soluţii de forma: y=erx, r∈C. Înlocuind în ecuaţie, obţinem:
L(erx)=erx(rn+an-1rn-1+...+a1r+a0)=0
Cum erx>0 rezultă P(r)=0 unde P(r)=rn+an-1rn-1+...+a1r+a0 este polinomul
caracteristic al ecuaţiei diferenţiale. Ecuaţia
rn+an-1rn-1+...+a1r+a0=0
se numeşte ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale. Prin urmare, dacă r este o rădăcină a ecuaţiei caracteristice atunci y=erx este o soluţie a ecuaţiei
diferenţiale omogene. Dacă r∉R atunci r=Re(r)+i⋅Im(r) (Re(r)-partea reală a lui r iar Im(r)-partea imaginară a lui r) şi conform formulei lui Euler:
ea+ib=ea(cos b+i sin b) ∀a,b∈R avem din observaţia 4 că y=eRe(r)xcos Im(r)x şi y=eRe(r)xsin Im(r)x sunt soluţii ale ecuaţiei diferenţiale omogene.
Lemă
1) Fie r1,...,rk∈C - k numere complexe diferite şi P1,...,Pk∈R[X]. Atunci funcţiile:
xrk
xr1
k1 eP,...,eP
sunt liniar independente.
2) Fie r∈R şi P1,...,Pk∈R[X] de grade diferite. Atunci funcţiile:
rxk
rx1 eP,...,eP
sunt liniar independente.
3) Fie α,β∈R şi P1,...,Pk∈R[X] de grade diferite, Q1,...,Qs∈R[X] de grade diferite. Atunci funcţiile:
x sineQx,..., sineQx, cosePx,..., coseP xs
x1
xk
x1 ββββ αααα
sunt liniar independente.
Propoziţie
Fie ecuaţia diferenţială liniară şi omogenă de ordinul n: L(y)=0 şi P polinomul caracteristic al ecuaţiei. Atunci pentru orice funcţie f de clasă Cn avem:
L(erxf(x))=erx[P(r)f(x)+ )x(f!n
)r(P...)x('f
!1
)r('P )n()n(
++ ]
Dacă r este o rădăcină multiplă de ordin k≥0 a ecuaţiei caracteristice avem P(r)=P'(r)=...=P(k-1)(r)=0 de unde conform propoziţiei 18, avem:
L(erxf(x))=erx[ )x(f!n
)r(P...)x(f
!k
)r(P )n()n(
)k()k(
++ ]
Considerând acum f(x)=1, x, x2,...,xk-1 se obţine că L(xterx)=0, t=0,...,k-1. Prin urmare, avem soluţiile:
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 95
erx,xerx,...,xk-1erx
Din lemă, rezultă că funcţiile sunt liniar independente.
Dacă r=α+iβ∉R este o rădăcină multiplă de ordin k≥0 atunci din faptul
că erxf(x)=f(x)eαxcosβx+i⋅f(x)eαxsinβx rezultă conform observaţiei 7 soluţiile:
eαxcos βx, xeαxcos βx,...,xk-1eαxcos βx,
eαxsin βx, xeαxsin βx,...,xk-1eαxsin βx
Din lemă, rezultă că funcţiile sunt liniar independente.
Putem concluziona toate acestea în următoarea:
Teoremă
Fie ecuaţia diferenţială liniară şi omogenă de ordinul n:
y(n)+an-1y(n-1)+...+a1y'+a0y=0
Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcinile reale ri multiplă de ordin ki, i=1,...,p
şi rădăcinile complexe rj=αj±iβj multiplă de ordin tj, j=1,...,q atunci soluţia generală a ecuaţiei este:
∑∑∑=
α
=
α
=
β+β+=q
1jj
xj
q
1jj
xj
p
1i
xri x sine)x(Rx cose)x(Qe)x(Py jji
unde Pi,Qj,Rj∈R[X], grad Pi=ki-1, grad Qj=tj-1, grad Rj=tj-1, i=1,...,p, j=1,...,q.
Considerând acum o ecuaţie liniară neomogenă cu coeficienţi constanţi L(y)=f(x) am văzut că pentru determinarea soluţiei generale mai este necesară o soluţie particulară a acesteia. În general, se poate aplica metoda variaţiei constantelor dar în fapt aceasta este destul de laborioasă. În unele cazuri particulare se poate proceda mai simplu şi anume:
♦ dacă f(x)=P(x) cu P∈R[X], grad(P)=p atunci:
a) dacă a0≠0 ecuaţia are o soluţie particulară un polinom de grad p care se determină prin identificarea coeficienţilor la înlocuirea în ecuaţie;
b) dacă a0=a1=...=ak-1=0 ecuaţia are o soluţie particulară de forma xkQ(x) unde Q este un polinom de grad p care se determină prin identificarea coeficienţilor la înlocuirea în ecuaţie;
♦ dacă f(x)=etxQ(x) cu Q∈R[X], grad(Q)=p atunci:
a) dacă t nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice avem o soluţie particulară de forma etxR(x) cu R∈R[X], grad(R)=p;
b) dacă t este o rădăcină de ordin k a ecuaţiei caracteristice avem o soluţie particulară de forma xketxR(x) cu R∈R[X], grad(R)=p;
♦ dacă f(x)=etxQ(x)cos sx sau f(x)=etxQ(x)sin sx cu Q∈R[X], grad(Q)=p şi s≠0 atunci:
a) dacă t+is nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice avem o soluţie de forma etx[R(x)cos sx+S(x)sin sx] cu grad R=grad S=p;
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 96
b) dacă t+is este rădăcină de ordin k a ecuaţiei caracteristice avem o soluţie de forma xketx[R(x)cos sx+ S(x)sin sx] cu grad R=grad S=p.
c) Exemplu:
Să se rezolve ecuaţia diferenţială de ordinul n liniară: y”-4y'+4y=x2.
Soluţie Ecuaţia caracteristică este r2-4r+4=0 cu rădăcinile r1=r2=2. Prin urmare, soluţia ecuaţiei omogene ataşate este: y=(Ax+B)e2x. Vom căuta o soluţie particulară de forma y1=ax2+bx+c. Înlocuind în ecuaţie avem
4ax2+(4b-8a)x+(4c-4b+2a)=x2 de unde:8
3x
2
1x
4
1y 2
1 ++= . Soluţia generală
este y=(Ax+B)e2x+ x2
1x
4
1 2 + +8
3.
Test de autoevaluare
I. Să se rezolve ecuaţia omogenă: xy'-y+x x
y
e =0.
II. Să se rezolve ecuaţia Lagrange: y=(1+y')x+(y')2.
Rezumat
În cadrul proceselor economice, de o importanță aparte sunt acele fenomene ce au caracter dinamic. Acestea pot fi rezolvate, uneori, satisfăcător, cu ajutorul ecuațiilor diferențiale.
Am văzut mai sus, diverse tehnici și metode de rezolvare a principalelor tipuri de ecuații de ordinul 1, a celor de ordinul n și a celor liniare.
Sarcina de lucru 3
Să se rezolve ecuaţia diferenţială de ordinul n liniară: y”-2y'+y=2x2+3.
Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale
Matematică aplicată în Economie 97
Răspuns şi comentarii la întrebările din testul de autoevaluare
I. lnx- x
y
e−
=C, C∈R – 5 puncte
II. x=Ce-p-2p+2 şi y=(1+p)(Ce-p-2p+2)+p2. Pentru răspuns corect, primiți
5 puncte.
Bibliografie minimală
Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994), Algebră liniară, geometrie analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale, Bucureşti, Editura All
Ioan C. A. (2004), Matematici aplicate în economie, Bucureşti, E.D.P.
Ioan C. A. (2006), Matematică – I, Galaţi, Ed. Sinteze
Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981), Probleme de algebră, Bucureşti, E.D.P.
4. PROGRAMARE LINIARĂ
Probleme economice ce conduc la modelul matematic al
programării liniare
Algoritmul simplex primal
Dualitate în programarea liniară
Reoptimizare şi parametrizare în programarea liniară
Problema de transport
Obiectivele unităţii de învăţare
Rezumat
Teste de autoevaluare
Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de
autoevaluare
Bibliografie minimală
Obiective specifice:
La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:
• să aplici corect algoritmul simplex;
• să interpretezi corect semnificația variabilelor duale;
• să modelezi rezolvând corespunzător problemele de transport.
Timp mediu estimat pentru studiu individual: 6 ore
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 99
4.1. Probleme economice ce conduc la modelul matematic al programării
liniare
Utilizarea optimă a capacităţii maşinilor
Să considerăm o uzină care produce cu ajutorul a m maşini identice n produse distincte. Maşinile au capacităţi de producţie limitate. Ne punem în mod natural problema utilizării optime a acestora. Pentru aceasta să notăm cu aij procentul din capacitatea maşinii i pentru producerea unei unităţi din produsul j în perioada necesară pentru producerea unei unităţi de produs. De asemenea, să notăm cu xj numărul unităţilor de produs j fabricate în cursul acestei perioade. Considerând de asemenea şi cj beneficiile pe unitatea de produs, obţinem că restricţiile problemei se pun sub forma:
=≥
=≤∑
∑
=
n,1j ,0x
m,1i ,1xa
xc max
j
n
1j
jij
n
1=j
jj
Problema regimului alimentar
Fie un număr de n alimente disponibile A1,...,An şi C1,...,Cm componentele caracteristice ale acestora (vitamine, substanţe minerale, proteine, calorii etc.). Să notăm cu aij cantitatea de Ci aflată într-o unitate de măsură a lui Aj. Matricea A=(aij) se numeşte matrice de nutriţie. Dacă vom considera x1,...,xn cantităţile de alimente corespunzătoare lui A1,...,An, pentru o perioadă de timp şi pentru un anumit număr de persoane, problema se pune în sensul minimizării cheltuielilor necesare pentru o alimentaţie optimă. Fie deci b1,...,bm cantităţile minime de caracteristică Ci pentru o alimentaţie sănătoasă şi c1,...,cn costul pe unitatea de produs Ai. Problema devine:
=≥
=≥∑
∑
=
n,1j ,0x
m,1i ,bxa
xc min
j
i
n
1j
jij
n
1=j
jj
Problema de transport
Să considerăm m depozite şi n centre de desfacere. Ne propunem determinarea unei strategii de transport pentru distribuirea unui produs care se află în cantitatea ai în depozitul i şi este cerut în cantitatea bj la centrul de desfacere j. Fie xij cantitatea ce va fi transportată de la depozitul i la centrul j şi cij preţul transportului unei unităţi de produs de la depozitul i la centrul j (presupus independent de cantitatea transportată pe ruta respectivă). Vom presupune de
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 100
asemenea că toată cantitatea de marfă din depozite va fi expediată şi că toate cerinţele centrelor vor fi satisfăcute. Pentru aceasta va fi necesar ca
∑∑==
=n
1jj
m
1ii ba . Cerinţele problemei se scriu sub forma:
==≥
==
==
∑
∑
∑∑
=
=
= =
n,1j ,m,1i ,0x
n,1j ,bx
m,1i ,ax
xc min
ij
j
m
1i
ij
i
n
1j
ij
m
1i
n
1j
ijij
4.2. Algorimul simplex primal
Din exemplele prezentate mai sus, se poate formula problema generală a
programării liniare. Aceasta este:
≤≥
≤++++++++
≤++++++++
=++++++++
=++++++++
≥++++++++
≥++++++++
++++++++
++
+
+
+
+
++
+
+++
+
++++
+
+
+
+
++
+
+++
+
++++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
arbitrari x,..., x,0 x ,..., x,0 x ,...,x
bxa...xaxa...xaxa...xa
...
bxa...xaxa...xaxa...xa
bxa...xaxa...xaxa...xa
...
bxa...xaxa...xaxa...xa
bxa...xaxa...xaxa...xa
...
bxa...xaxa...xaxa...xa
xc...xcxc...xcxc...xc min(max)
n1pp1kk1m
nmn
1p1p,m
pmp
1k1k,m
kmk
11m
1rn
n,1r1p
1p,1rp
p,1r1k
1k,1rk
k,1r1
1,1r
rn
rn1p
1p,rp
rp1k
1k,rk
rk1
1r
1qn
n,1q1p
1p,1qp
p,1q1k
1k,1qk
k,1q1
1,1q
qn
qn1p
1p,qp
qp1k
1k,qk
qk1
1q
1n
n11p
1p,1p
p11k
1k,1k
k11
11
nn
1p1p
pp
1k1k
kk
11
Notând acum:
c1=
k
1
c
...
c∈M1k(R), c2=
+
p
1k
c
...
c∈M1,p-k(R), c3=
+
n
1p
c
...
c∈M1,n-p(R),
x1=
k
1
x
...
x∈Mk1(R), x2=
+
p
1k
x
...
x∈Mp-k,1(R), x3=
+
n
1p
x
...
x∈Mn-p,1(R),
b1=
q
1
b
...
b∈Mq1(R), b2=
+
r
1q
b
...
b∈Mr-q,1(R), b3=
+
m
1r
b
...
b∈Mm-r,1(R),
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 101
A11=
qk1q
k111
a...a
.........
a...a∈Mqk(R), A12=
+
+
qp1k,q
p11k,1
a...a
.........
a...a∈Mq,p-k(R),
A13=
+
+
qn1p,q
n11p,1
a...a
.........
a...a∈Mq,n-p(R), A21=
++
rk1r
k,1q1,1q
a...a
.........
a...a∈Mr-q,k(R),
A22=
+
+++
rp1k,r
p,1q1k,1q
a...a
.........
a...a∈Mr-q,p-k(R),A23=
+
+++
rn1p,r
n,1q1p,1q
a...a
.........
a...a∈Mr-q,n-p(R),
A31=
++
mk1m
k,1r1,1r
a...a
.........
a...a∈Mm-r,k(R), A32=
+
+++
mp1k,m
p,1r1k,1r
a...a
.........
a...a∈Mm-r,p-k(R),
A33=
+
+++
mn1p,m
n,1r1p,1r
a...a
.........
a...a∈Mm-r,n-p(R)
obţinem forma generală a problemei de programare liniară (scrisă matriceal):
≤≥
≤++
=++
≥++
++
arbitrar x,0 x,0x
bxAxAxA
bxAxAxA
bxAxAxA
xcxcxc min(max)
3213
333
232
131
23
232
221
21
13
132
121
11
3t3
2t2
1t1
inegalităţile matriceale fiind înţelese pe componente, iar cit reprezintă
transpunerea vectorului coloană ci, i=1,2,3. Funcţia c1tx1+c2
tx2+c3tx3 se
numeşte funcţie obiectiv, relaţiile de forma:
ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+aipx
p+ai,p+1xp+1+...+ainx
n R bi
unde R este una din relaţiile ≥, =, ≤ se numesc restricţii ale problemei, iar ultimele, condiţii asupra variabilelor.
O soluţie a problemei de programare liniară se numeşte program optim al acesteia.
Definiţie
O problemă de programare liniară în care toate restricţiile sunt ecuaţii, iar toate variabilele sunt nenegative se spune că are forma standard.
Din definiţie, obţinem că expresia unui astfel de program este:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 102
≥
=
0x
bAx
xc (max) min t
unde: c=
n
1
c
...
c∈M1n(R),x=
n
1
x
...
x∈Mn1(R),b=
m
1
b
...
b∈Mm1(R),A=
mn1m
n111
a...a
.........
a...a
∈Mmn(R)
Definiţie
O problemă de programare liniară se spune că are forma canonică dacă are una din următoarele forme:
≥
≥
0x
bAx
xc min t
sau
≥
≤
0x
bAx
xcmax t
Din definiţiile de mai sus se creează impresia că programele sub forma standard sau cea canonică sunt mai restrictive decât cele în forma generală. Nu este însă adevărat acest lucru, orice program scris sub una din forme putând fi adus cu transformările de mai jos în oricare altă formă. Aceste transformări sunt:
• folosind faptul că min f(x)=-max(-f(x)) şi max f(x)=-min(-f(x)) orice problemă de minimizare (maximizare) se transformă într-una de maximizare (minimizare).
• sensul unei inegalităţi, prin înmulţirea cu –1, se schimbă în cel contrar;
• fiind dată o inecuaţie de forma: ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+aipx
p+
ai,p+1xp+1+...+ainx
n≤bi, adunând o variabilă ecart, yi≥0 ea se transformă într-o ecuaţie: ai1x
1+...+aikxk+ai,k+1x
k+1+...+aipxp+ai,p+1 x
p+1+...+ainxn+yi=bi;
• fiind dată o inecuaţie de forma: ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+
aipxp+ai,p+1x
p+1+...+ainxn≥bi, scăzând o variabilă ecart, yi≥0 ea se
transformă într-o ecuaţie: ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+aipx
p+ai,p+1
xp+1+...+ainxn-yi=bi;
• orice ecuaţie ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+aipx
p+ai,p+1xp+1+...+ainx
n=bi se transformă în două inecuaţii:
ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+aipx
p+ai,p+1xp+1+...+ainx
n≥bi,
ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+aipx
p+ai,p+1xp+1+...+ainx
n≤bi
• variabilă nepozitivă x≤0 se transformă prin substituţia x=-x' într-o variabilă nenegativă şi reciproc;
• variabilă arbitrară x, prin substituţia x=x'-x”, x',x”≥0, se înlocuieşte cu diferenţa a două variabile nenegative;
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 103
Problemele de programare liniară au o interpretare geometrică interesantă. Vom exemplifica aceasta pentru cazul a două variabile (cazul general impunând definiţii şi noţiuni suplimentare care ar încărca inutil expunerea).
Fie o problemă de programare liniară în forma standard:
≥
=
0x
bAx
xc min t
în care matricea A∈Mmn(R), m<n, rang(A)=m. Vom nota cu ai=(ai1,...,ain), i=1,...,m, vectorul corespunzător liniei i şi cu aj=(a1j,...,amj)
t vectorul corespunzător coloanei j.
Observaţie
Un sistem Ax=b, A∈Mmn(R), se poate prezenta într-una din următoarele situaţii:
a) m>n (numărul de ecuaţii este mai mare decât cel al necunoscutelor). În acest caz, rangul matricei A este cel mult egal cu n (obs.1). Dacă rang(A)=n atunci din ecuaţiile ce furnizează rangul se determină valorile unice ale variabilelor x1,...,xn. În acest caz, există, de asemenea, două situaţii:
(1) dacă valorile acestora satisfac şi celelalte ecuaţii ale sistemului rezultă că acesta este compatibil determinat. În acest caz, problema de programare liniară devine banală, funcţia obiectiv fiind determinată prin simpla introducere a valorilor x1,...,xn în expresia c1x
1+...+cnxn;
(2) dacă valorile acestora nu satisfac cel puţin una din celelalte ecuaţii ale sistemului rezultă că acesta este incompatibil şi problema este încheiată (domeniul restricţiilor fiind vid).
b) m=n (numărul de ecuaţii este egal cu cel al necunoscutelor). În acest caz, rangul matricei A este cel mult egal cu m=n (obs.1). Dacă rang(A)=n atunci sistemul este compatibil determinat şi se procedează ca mai sus.
c) m<n (numărul de ecuaţii este mai mic decât cel al necunoscutelor). În acest caz, rangul matricei A este cel mult egal cu m (obs.1). Dacă rang(A)=m atunci din coloanele ce furnizează rangul (corespunzătoare variabilelor principale), se obţine expresia acestora în funcţie de variabilele secundare. Sistemul fiind nedeterminat rezultă o infinitate
(∞n-m) de soluţii, care induc o serie de dificultăţi suplimentare. Pe de o parte, valorile arbitrare ale variabilelor secundare trebuie alese astfel încât să fie satisfăcută condiţia de pozitivitate a tuturor variabilelor (problemă practic imposibilă în cazul general), iar pe de altă parte, după înlocuirea în funcţia obiectiv a valorilor variabilelor aceasta trebuie
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 104
optimizată. Chiar dacă aici dispunem de instrumentarul specific furnizat de analiza matematică, problema nu poate fi rezolvată acceptabil deoarece condiţiile de pozitivitate conduc la o situaţie asemănătoare cu cea de la început, schimbându-se practic doar variabilele.
Din observaţia 6, rezultă că este necesar ca să considerăm m<n, iar, pe de altă parte, condiţia rang(A)=m reprezintă faptul că vectorii ai sunt liniar independenţi (în caz contrar, eliminându-se condiţiile suplimentare; această situaţie apare în practică atunci când informaţiile provin din mai multe compartimente ale unei firme în care atribuţiile se intersectează).
Definiţie
Un vector x=(x1,...,xn)t se numeşte soluţie de bază a problemei de programare liniară dacă:
(1) x satisface sistemul Ax=b;
(2) coloanele matricei A care corespund elementelor nenule ale lui x sunt liniar independente.
Definiţie
O soluţie a sistemului Ax=b se numeşte admisibilă (program) dacă toate componentele ei sunt nenegative.
Definiţie
O soluţie de bază, admisibilă se numeşte nedegenerată dacă are toate componentele nenule şi degenerată în caz contrar.
Definiţie
O matrice pătrată nesingulară formată cu m coloane ale matricei A se numeşte bază iar componentele vectorului x corespunzătoare coloanelor ce formează baza se numesc variabile de bază (bazice). Componentele lui x ce nu sunt bazice se numesc variabile nebazice.
Vom nota cu B o matrice de bază a lui A, cu xB vectorul coloană format cu variabilele bazice, cu S matricea formată cu acele coloane ce nu sunt în B şi cu xS vectorul coloană format cu variabilele nebazice. Sistemul Ax=b se poate scrie deci sub forma:
BxB+SxS=b
Cum B este inversabilă, obţinem:
xB=B-1b-B-1SxS
O soluţie de bază se poate obţine pentru xS=0 deci xB=B-1b.
Teoremă
Dacă o problemă de programare liniară are un program atunci ea are cel puţin un program de bază.
Teoremă
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 105
Dacă o problemă de programare liniară are un program optim atunci ea are un program optim de bază.
După aceste consideraţii, o metodă de rezolvare a problemelor de programare liniară ar putea consta în următoarele etape:
1) se determină toate matricele inversabile B din A;
2) pentru fiecare din aceste matrice se calculează B-1b şi se cercetează dacă toate componentele vectorului obţinut sunt nenegative;
3) pentru fiecare din vectorii punctul anterior se calculează cx şi reţin acelea pentru care se obţine minimul (maximul) acesteia.
Această metodă, elaborată de G.M. Dantzig în anul 1955, are la bază o metodă principial simplă, dar foarte eficientă. Se pleacă cu o bază iniţială şi apoi se înlocuieşte una din coloanele acesteia cu o alta (deci implicit o variabilă de bază schimbă rolul cu una secundară) astfel încât noua matrice să rămână de bază dar soluţia să se apropie de soluţia optimă. Prin această metodă se pot determina toate situaţiile posibile (probleme fără soluţii, optim infinit etc.).
Fie problema de programare liniară:
(1)
≥
=
0x
bAx
cx min
Să presupunem acum că soluţia de bază xB=B-1b este admisibilă adică xB≥0. O
bază B ce verifică o astfel de condiţie se numeşte bază primal admisibilă. Vom nota cu B mulţimea indicilor j care au proprietatea că {aj}⊂B şi cu S
mulţimea complementară de indici j pentru care {aj}⊂S. Notând de asemenea B
x =B-1b, Bjy =B-1aj obţinem, din relaţia: xB=B-1b-B-1SxS.
(2) xB=B
x -∑∈Sj
jBj xy
Din definiţia lui B-1 se observă că dacă aj este coloana i în matricea B atunci,
cu notaţia ei=(δik)k=1,...,m avem yjB=ei. Pe componente, relaţia (2) se scrie
(3) ∑∈
−=Sj
jB iB i xxx Bijy ∀i∈B
Considerând acum cB=(ci)i∈B şi cS=(cj)j∈S funcţia obiectiv se poate scrie sub forma:
(4) z=ctx=cBtxB+cS
txS
sau altfel:
(5) z=cBt Bx -(cB
tB-1S-cSt)xS
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 106
Notând acum B
z =cBt Bx şi ∑
∈
==Bi
Bij
Bj
tB
Bj yycz ic ∀j=1,...,n, relaţia (5) se
poate scrie şi sub forma:
(6) z=B
z -∑∈
−Sj
jj x)cB
j(z
Teoremă
Dacă B este o bază primal admisibilă şi pentru orice j∈S avem zjB-cj≤0 atunci
programul de bază corespunzător bazei B (xB=B-1b, xS=0) este un program optim pentru problema (1).
Teoremă
Dacă pentru o bază primal admisibilă B au loc următoarele condiţii:
1) ∃k∈S astfel încât Bkz -ck>0;
2) programul de bază xB=B-1b, xS=0 este nedegenerat
atunci programul de bază corespunzător lui B nu este optim.
Teoremă
Dacă pentru o bază primal admisibilă B au loc următoarele condiţii:
1) ∃k∈S astfel încât Bkz -ck>0;
2) programul de bază xB=B-1b, xS=0 este nedegenerat;
3) yik≤0 ∀i∈B
atunci problema (1) are optimul infinit.
Teoremă
Dacă pentru o bază primal admisibilă B au loc următoarele condiţii:
1) ∃k∈S astfel încât Bkz -ck>0;
2) programul de bază xB=B-1b, xS=0 este nedegenerat;
3) ∃i∈B astfel încât yik>0
atunci valoarea maximă pe care o putem atribui lui k0x astfel încât x' să rămână
program este dată de:
(8) Bsk
B s
Bik
B i
i0y y
x
y
xmin
ik
=
∈>B
Observaţie
Dacă în teoremă atribuim lui k0x valoarea dată de (8) atunci noul program
rămâne soluţie de bază. Aceasta corespunde unei baze B' care se obţine din B
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 107
prin înlocuirea coloanei as cu coloana ak. Pentru aceasta, să observăm că din (2) rezultă xs=0. Prin urmare, obţinem o nouă soluţie de bază formată din xi,
i∈B-{s} şi xk. Baza B' corespunzătoare acesteia se obţine din B prin înlocuirea
coloanei as cu ak. Din faptul că ysk≠0 rezultă că vectorii coloană ai lui B' sunt liniar independenţi.
Observaţie
Din faptul că z=B
z -( Bkz -ck)
k0x rezultă că în baza B’, valoarea funcţiei obiectiv
devine:
(9) sk
s
kBk
B'B
y
x)cz(zz −−=
Dacă există mai mulţi indici k cu proprietatea zk-ck>0 atunci, pentru a obţine cea mai mică valoare a funcţiei obiectiv, ar trebui ales acel indice k pentru care cantitatea ce se scade în (9) să fie maximă. Pentru simplificarea lucrurilor, se alege în practică acel indice ce maximizează expresia zj
B-cj.
Lemă (a substituţiei)
Fie B∈Mm(R) o matrice inversabilă şi C∈Mm(R) matricea obţinută din B prin
înlocuirea coloanei k cu un vector nenul a∈Mm1(R). Considerând vectorul d=B-1a=(di)i=1,...,m atunci:
• C este inversabilă dacă şi numai dacă dk≠0;
• Dacă dk≠0 atunci C-1=Ik(d)B-1 unde: Ik(d)=
−
−
−
−
+
−
100d
d0...0
.....................
0...1d
d0...0
0...0d
10...0
0...0d
d1...0
.....................
0...0d
d0...1
k coloana
k
m
k
1k
k
k
1k
k
1
.
Observaţie
Din lema substituţiei se observă că matricea Ik(d) se obţine prin înlocuirea coloanei k a matricei unitate cu vectorul coloană respectiv. Determinarea matricei C-1 se poate face, ţinând seama de formulele de mai sus, mai simplu
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 108
astfel: se scrie matricea B-1=(eij) şi se adaugă în dreapta ei vectorul coloană d.
Vom numi elementul dk≠0 – pivot.
Elementul corespondent al lui C-1 se determină astfel: elementele de pe linia pivotului se împart la pivot, iar celelalte elemente (de exemplu e1j) se transformă astfel: se construieşte dreptunghiul a cărui diagonală se sprijină pe pivot şi elementul de transformat. Se înmulţesc elementele situate pe această diagonală (“principală”) şi se scade produsului elementelor de pe cealaltă diagonală (“secundară”). Rezultatul se împarte la pivot. Prin urmare, dacă C-
1=(fij) avem:
(10) fij=k
ikjkij
d
dede −, i∈{1,...,m}-{k}, j∈{1,...,m}
(11) fkj=k
kj
d
e, j∈{1,...,m}
Observaţie
La înlocuirea variabilei xs cu xk, deci a coloanei s din bază cu coloana k, noile cantităţi rezultate devin, conform lemei substituţiei (s-au notat cu două bare elementele după transformare):
• Bsk
Bik
sBBsk
B iB i
y
yxyxx
−= ∀i∈B-{s}, iar pentru i=k:
Bsk
B skB
y
xx = ;
• Bsk
Bsj
Bik
Bsk
Bij
B
ij y
yyyyy
−= ∀i∈B-{s},
Bsk
Bsj
B
sj y
yy = ;
• Bsk
kBk
sBBsk
BB
y
)cz(xyzz
−−= ;
• Bsk
Bsjk
Bk
Bskj
Bj
j
B
jy
y)cz(y)cz(cz
−−−=− ∀j∈S-{k}, k
B
k cz − =0.
Din cele expuse mai sus, obţinem algoritmul simplex care constă în:
1) Se determină o bază primal admisibilă B (metodă ce va fi expusă ulterior);
2) Se construieşte tabelul simplex astfel:
V.B. V.V.B. x1
... xj
... xn
... ... ... ... ... ... ... ...
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 109
ci xi B i
x yi1
B ... yijB ... yin
B
... ... ... ... ... ... ... ...
cp xp B p
x yp1
B ... ypjB ... ypn
B
... ... ... ... ... ... ... ...
z Bz
z1B-c1 ... zj
B-cj ... znB-cn
c1 ... cj ... cn
3) Completarea tabelului simplex se face în următoarele etape:
3.1) Pe prima linie se trec numele tuturor variabilelor problemei (inclusiv a celor ecart);
3.2) În coloana V.B. (variabile de bază) se introduc numele variabilelor de bază determinate la punctul 1);
3.3) În coloana V.V.B. (valorile variabilelor de bază) se introduc valorile
determinate pe baza relaţiei B
x =B-1b;
3.4) Coloanele x1,...,xj,...,xn se completează cu valorile date de B-1aj, j=1,...,n;
3.5) În stânga tabelului se trec coeficienţii funcţiei obiectiv corespunzători variabilelor de bază;
3.6) În subsolul tabelului se trec coeficienţii funcţiei obiectiv corespunzători tuturor variabilelor;
3.7) Penultima linie se completează astfel:
3.7.1) B
z =∑∈Bi
Bijyic adică se înmulţesc valorile primei coloane cu valorile
coloanei V.V.B. şi se adună rezultatele (produsul scalar al vectorilor din aceste coloane);
3.7.2) jBj cz − =∑
∈Bi
Bijyic -cj ∀j=1,...,n adică se înmulţesc valorile primei
coloane cu valorile coloanei xj şi se adună rezultatele scăzându-se la final valoarea din ultima linie;
3.8) O completare rapidă a coloanelor variabilelor de bază se face astfel: în dreptul liniei şi coloanei unei variabile de bază se înscrie valoarea 1 în restul coloanei completând cu 0 (inclusiv la zj
B-cj).
4) Dacă ∀j=1,...,n avem zjB-cj≤0 atunci programul de bază xB=
Bx , xS=0 este
optim. STOP.
5) Dacă există indici j astfel încât să avem zjB-cj>0 atunci:
5.1) dacă pentru un indice j pentru care zjB-cj>0 avem yij
B≤0 ∀i=1,...,m atunci conform teoremei 13 problema are optim infinit. STOP.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 110
5.2) dacă ∀j=1,...,n astfel încât zjB-cj>0⇒∃i=1,...,m astfel încât yij
B>0 atunci se determină acel indice j pentru care se obţine maximul expresiei zj
B-cj. Dacă există mai mulţi indici cu această proprietate, se alege unul dintre aceştia (de regulă primul). În acest caz, vectorul coloană ak intră în bază, variabila xk devenind variabilă de bază;
6) Pentru j determinat la 5.2.) se determină variabila ce părăseşte baza cu
ajutorul relaţiei: Bpj
B p
Bij
B i
i0y y
x
y
xmin
ij
=
∈
>
B
. Dacă minimul este atins pentru mai
mulţi indici, se alege unul dintre aceştia. Variabila xp părăseşte baza devenind variabilă secundară;
7) Se înlocuieşte în baza B vectorul ap cu aj determinându-se noua bază B' şi se recalculează cantităţile de la punctul 3) în noua bază, astfel:
7.1) Se construieşte scheletul tabelului simplex, în care nu se mai trec coeficienţii funcţiei obiectiv;
7.2) În coloana V.B. se înlocuieşte numele variabilei xp cu xj;
7.3) Se marchează (eventual prin încercuire) în vechiul tabel elementul ypjB
care se numeşte pivot;
7.4) Coloanele actualelor variabile de bază se completează ca la punctul 3.8);
7.5) Linia pivotului se împarte la pivot;
7.6) Restul elementelor din noul tabel, se obţin cu ajutorul regulii
dreptunghiului care constă în următoarea formulă de transformare:
Bpj
Bps
Bij
Bpj
BisB
is y
yyyyy
−= ∀i=1,...,m+1 ∀s=0,...,n, unde am notat pentru extensia
formulei: sBs
Bs,1m czy −=+ ∀s=1,...,n,
BB0,1m zy =+ şi
B iB0i xy = ∀i=1,...,m.
8) Se reia algoritmul de la punctul 4) până la determinarea soluţiei.
Problema care se pune acum este determinarea unui program de bază iniţial. Un mod de a face acest lucru este dat de metoda celor două faze care constă în:
yisB y
ijB
+
element de transformat
pivot
-y
psB y
pjB
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 111
1) Se transformă toate restricţiile în ecuaţii Ax=b cu b≥0 (eventual prin înmulţire cu (-1));
2) Se identifică acele variabile care apar numai într-una dintre restricţii şi are coeficient pozitiv. În caz favorabil, se împarte ecuaţia respectivă la acest coeficient;
3) Se adaugă la fiecare ecuaţie care nu apare la punctul 2) câte o variabilă artificială obţinând vectorul xa=(x1,a,...,xk,a)t obţinând egalitatea: Ax+I(k)xa=b unde I(k) reprezintă matricea obţinută din cea nulă prin plasarea, pe diagonala principală, de elemente egale cu 1 în liniile corespunzătoare variabilelor artificiale iar b este noul vector al termenilor liberi (după eventualele înmulţiri cu (–1) sau împărţiri la coeficienţi ai restricţiilor). Se recomandă ca indicii variabilelor artificiale să fie daţi în acord cu numerele de linie ale ecuaţiilor corespondente;
4) Se rezolvă apoi problema de programare liniară:
≥≥
=+
++
0 x,0x
bx)k(IAx
)x...xmin(
a
a
a ka 1
.
Din cauza variabilelor izolate şi a celor auxiliare, baza iniţială va fi matricea unitate Im.
5) Completarea primului tabel simplex se va face astfel:
5.1) Pe prima linie se trec numele tuturor variabilelor problemei (inclusiv a celor auxiliare);
5.2) În coloana V.B. se introduc numele variabilelor de bază adică a celor izolate şi a celor auxiliare;
5.3) În coloana V.V.B. se introduc valorile determinate pe baza relaţiei B
x=I-1b=b deci se copie vectorul termenilor liberi;
5.4) Coloanele x1,...,xj,...,xn se completează cu valorile date de I-1aj=aj, j=1,...,n deci cu coloanele coeficienţilor variabilelor respective;
5.5) În prima coloană se trec coeficienţii noii funcţii obiectiv corespunzători variabilelor de bază (1 în dreptul variabilelor auxiliare şi 0 în rest);
5.6) În ultima linie se trec noii coeficienţi ai funcţiei obiectiv corespunzători tuturor variabilelor;
5.7) Penultima linie se completează astfel:
5.7.1) B
z =∑∈Bi
Bijyic adică se înmulţesc valorile primei coloane cu valorile
coloanei V.V.B. şi se adună rezultatele;
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 112
5.7.2) jBj cz − =∑
∈Bi
Bijyic -cj ∀j=1,...,n adică se înmulţesc valorile primei
coloane cu valorile coloanei xj şi se adună rezultatele scăzându-se la final valoarea din ultima linie;
5.8) O completare rapidă a coloanelor variabilelor de bază se face astfel: în dreptul liniei şi coloanei unei variabile de bază se înscrie valoarea 1 în restul coloanei completând cu 0 (inclusiv la zj
B-cj).
6) Se aplică algoritmul simplex până la final. Trebuie remarcat că nu se poate obţine la această fază optim infinit deoarece funcţia obiectiv fiind min(x1
a+...+xk a)≥ 0 nu se poate ajunge la -∞ printr-o creştere corespunzătoare a unei variabile;
7) În final, avem următoarele situaţii:
7.1) Dacă min(x1 a+...+xk a)>0 rezultă că problema iniţială nu are programe. Într-adevăr, această valoare optimă implică faptul că există j=1,...,k astfel încât xj a>0. În acest caz, restricţia j din problema iniţială şi din cea auxiliară sunt incompatibile (implicând după scădere xj a=0-contradicţie);
7.2) Dacă min(x1 a+...+xk a)=0 atunci, cum xi a=0 ∀i=1,..., k rezultă că problema iniţială are programe. Avem însă două situaţii:
7.2.1) toate variabilele auxiliare au ieşit din bază. În acest caz, baza obţinută la problema auxiliară este bază pentru problema iniţială;
7.2.2) au rămas variabile auxiliare în bază, fiind evident nule. În acest caz, avem din nou două situaţii:
7.2.2.1) dacă pe linia corespunzătoare unei variabile auxiliare, există un element nenul în dreptul unei variabile neauxiliare, se face transformarea cu pivotul respectiv;
7.2.2.2) dacă pe linia corespunzătoare unei variabile auxiliare, toate elementele din dreptul coloanelor variabilelor neauxiliare sunt nule, atunci ecuaţia căreia i s-a ataşat variabila auxiliară este o consecinţă a celorlalte ecuaţii (cazul când rangul matricei A nu era m). În acest caz, linia respectivă a tabelului simplex se elimină, împreună cu variabila auxiliară respectivă.
8) Se trece la a doua fază prin recalcularea tabelului simplex pentru problema iniţială. Astfel:
8.1) Se copie ultimul tabel, mai puţin ultima linie a acestuia;
8.2) Se recalculează ultima linie în raport cu coeficienţii funcţiei obiectiv iniţiale c1,...,cn.
9) Se rezolvă problema cu ajutorul algoritmului simplex.
Observaţie
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 113
La finalul primei faze, dacă toate variabilele auxiliare au ieşit din bază atunci
toate cantităţile jBj cz − din dreptul variabilelor iniţiale sunt nule.
Observaţie
Dacă în final nu este nevoie de determinarea lui B-1 atunci, la prima fază, pe măsura ieşirii variabilelor auxiliare din bază acestea se pot elimina din tabel prin tăierea coloanei respective. Dacă variabilele auxiliare nu au fost eliminate din tabelele simplex, la a doua fază, ele nu se mai iau în considerare, la determinarea variabilelor ce intră sau ies din bază. Coloanele respective vor fi calculate cu aceeaşi regulă a dreptunghiului, mai puţin ultimul element care se va înlocui printr-un simbol (o linioară, un asterisc etc.).
Observaţie
Dacă variabilele auxiliare nu au fost eliminate din tabelele simplex, la sfârşitul algoritmului, în coloanele corespunzătoare primelor variabile de bază (inclusiv cele izolate) de la prima fază, se va afla B-1.
Observaţie
Dacă problema de programare liniară este degenerată, obţinându-se în final soluţii optime care au componente de bază nule, atunci prin investigarea liniei corespunzătoare unei astfel de variabile, ea se poate scoate din bază şi înlocui cu o alta (evident prin satisfacerea condiţiilor specifice). În acest caz, din
formula: sk
s
kBk
B'B
y
x)cz(zz −−= cum
sx =0 rezultă că soluţia obţinută rămâne
optimă. Procedând în acest mod până la efectuarea tuturor schimbărilor posibile se obţine soluţia optimă sub forma unei combinaţii convexe de variabilele respective (combinaţie liniară cu parametri pozitivi şi a căror sumă
este 1). Analog se procedează dacă există cantităţi )cz( jBj − nule cu j∈S.
Observaţie
Dacă funcţia obiectiv este de minim şi toţi coeficienţii acesteia sunt pozitivi
atunci nu putem avea optim infinit (deoarece min≥0). Analog, dacă funcţia obiectiv este de maxim şi toţi coeficienţii acesteia sunt negativi atunci nu
putem avea optim infinit (deoarece max≤0).
a) Exemplu:
Să se rezolve problema de programare liniară:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 114
≥
=−+−
=−+−
−≥+−
=+−+
−−+
0x,x,x,x
11xx9x4x
3xx5x2x
1xxx3
5xxx3x2
x6xx2 xmax
4321
4321
4321
321
4321
4321
Soluţie Aducem problema la forma standard:
≥
=−+−
=−+−
−=−+−
=+−+
++−−
0y,x,x,x,x
11xx9x4x
3xx5x2x
1yxxx3
5xxx3x2
x6xx2x- min
14321
4321
4321
1321
4321
4321
Cum a doua restricţie are termenul liber negativ, aceasta va fi amplificată cu –1:
≥
=−+−
=−+−
=+−+−
=+−+
++−−
0y,x,x,x,x
11xx9x4x
3xx5x2x
1yxxx3
5xxx3x2
x6xx2x- min
14321
4321
4321
1321
4321
4321
Singura variabilă izolată fiind y1, vom introduce variabile auxiliare corespunzătoare primei, celei de-a treia respectiv a patra restricţii. Avem deci:
≥
=+−+−
=+−+−
=+−+−
=++−+
++
0x,x,x,y,x,x,x,x
11xxx9x4x
3xxx5x2x
1yxxx3
5xxxx3x2
xx xmin
a 4a 3a 114321
a 44321
a 34321
1321
a 14321
a 4a 3a 1
Succesiunea tabelelor simplex este următoarea:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 x1 a x3 a x4 a
1 x1 a 5 2 3 -1 1 0 1 0 0
0 y1 1 -3 1 -1 0 1 0 0 0
1 x3 a 3 1 -2 5 -1 0 0 1 0
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 115
1 x4 a 11 4 -1 9 -1 0 0 0 1
z 19 7 0 13 -1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 1
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 x1 a x4 a
x1 a 28/5 11/5 13/5 0 4/5 0 1 0
y1 8/5 -14/5 3/5 0 -1/5 1 0 0
x3 3/5 1/5 -2/5 1 -1/5 0 0 0
x4 a 28/5 11/5 13/5 0 4/5 0 0 1
z 56/5 22/5 26/5 0 8/5 0 0 0
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 116
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 x4 a
x2 28/13 11/13 1 0 4/13 0 0
y1 4/13 -45/13 0 0 -5/13 1 0
x3 19/13 7/13 0 1 -1/13 0 0
x4 a 0 0 0 0 0 0 1
z 0 0 0 0 0 0 0
Cum cantităţile zjB-cj sunt acum toate nepozitive, rezultă că prima fază este
încheiată. Funcţia obiectiv este nulă dar variabila x4 a nu a ieşit din bază. Cum toţi coeficienţii variabilelor neauxiliare sunt nuli, rezultă că aceasta nu poate fi înlocuită cu o altă variabilă. În acest caz, este cunoscut faptul că ecuaţia respectivă (la noi a patra) este consecinţă a celorlalte ecuaţii şi deci va putea fi eliminată. Într-adevăr, ecuaţia a patra se obţine din ecuaţia întâi adunată la ecuaţia a treia înmulţită cu 2.
Tabelul simplex pentru problema iniţială devine:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1
-2 x2 28/13 11/13 1 0 4/13 0
0 y1 4/13 -45/13 0 0 -5/13 1
1 x3 19/13 7/13 0 1 -1/13 0
z -37/13 -2/13 0 0 -87/13 0
-1 -2 1 6 0
Soluţia optimă este deci: x1=0, x2=13
28, x3=
13
19, x4=0 iar maximul funcţiei
obiectiv este: -(-13
37)=
13
37.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 117
4.3. Dualitate în programarea liniară
Definiţie
Fie problema generală de minim a programării liniare:
(P1)
≤≥
≤++
=++
≥++
++
arbitrar x,0 x,0x
bxAxAxA
bxAxAxA
bxAxAxA
xcxcxc min
3213
333
232
131
23
232
221
21
13
132
121
11
33
22
11
Se numeşte problemă duală a acesteia problema:
(D1)
≤≥
=++
≥++
≤++
++
0u ,arbitrar u ,0u
cuAuAuA
cuAuAuA
cuAuAuA
ububub max
321
t3
3t33
2t23
1t13
t2
3t32
2t22
1t12
t1
3t31
2t21
1t11
3t3
2t2
1t1
Definiţie
Fie problema generală de maxim a programării liniare:
Sarcina de lucru 1
Să se rezolve problema de programare liniară:
≤≥
≥−
≤+−
≥+−
−
arbitrar x ,0x ,0x
20xx2
2xx
4xxx
x2x max
321
21
31
321
21
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 118
(P2)
≤≥
≤++
=++
≥++
++
arbitrar x,0 x,0x
bxAxAxA
bxAxAxA
bxAxAxA
xcxcxc max
3213
333
232
131
23
232
221
21
13
132
121
11
33
22
11
Se numeşte problemă duală a acesteia problema:
(D2)
≥≤
=++
≤++
≥++
++
0u ,arbitrar u ,0u
cuAuAuA
cuAuAuA
cuAuAuA
ububub min
321
t3
3t33
2t23
1t13
t2
3t32
2t22
1t12
t1
3t31
2t21
1t11
3t3
2t2
1t1
Observaţie
Problemele (P1) şi (P2) se mai numesc şi probleme primale. Este evident că duala problemei duale este cea primală.
Observaţie
Problema duală se obţine din cea primală astfel:
1) problemele de minimizare (maximizare) se transformă în probleme de maximizare (minimizare);
2) termenii liberi ai lui (P) devin coeficienţii funcţiei obiectiv în (D);
3) coeficienţii funcţiei obiectiv din (P) devin termeni liberi în (D);
4) matricea coeficienţilor din (D) este transpusa matricei coeficienţilor din (P);
5) variabilele duale corespunzătoare restricţiilor concordante în (P)
(adică restricţii de forma ≥ în probleme de minimizare şi de forma ≤ în probleme de maximizare) sunt nenegative;
6) variabilele duale corespunzătoare restricţiilor neconcordante în (P)
(adică restricţii de forma ≤ în probleme de minimizare şi de forma ≥ în probleme de maximizare) sunt nepozitive;
7) variabilele duale corespunzătoare restricţiilor de tip ecuaţii în (P) sunt arbitrare;
8) variabilelor din (P) nenegative le corespund restricţii în (D) concordante;
9) variabilelor din (P) nepozitive le corespund restricţii în (D) neconcordante;
10) variabilelor din (P) arbitrare le corespund restricţii în (D) de tip ecuaţii.
Să considerăm acum problema de programare liniară în forma standard:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 119
(1)
≥
=
0x
bAx
xc min t
şi duala acesteia:
(2)
≤
arbitraru
cuA
ub maxt
t
Definiţie
O bază B a lui A astfel încât: cBB-1A-c≤0 ( jBj cz − ≤0 ∀j=1,...,n) se numeşte
bază dual admisibilă. O soluţie x a problemei primale ce corespunde unei baze dual admisibile se numeşte soluţie dual admisibilă.
Fie acum cuplul de probleme duale:
(3)
≥
≥
0x
bAx
xc min t
(4)
≥
≤
0u
cuA
ub maxt
t
Observaţie
Se arată că dacă avem o bază primal şi dual admisibilă B atunci avem programul optim pentru problema (1): xB=B-1b, xS=0 şi programul optim al problemei (2): uB
t=cBtB-1. Pentru aceste două programe funcţiile obiectiv au
valori egale. Într-adevăr, uBtaj=cB
tB-1aj=zjB≤cj de unde rezultă că uB
t este soluţie a problemei duale. Pe de altă parte, dacă x este o soluţie a problemei primale
(3), iar u a problemei duale (4), avem: Ax≥b şi cum u≥0⇒utAx≥utb. Pe de altă
parte: Atu≤c şi cum x≥0⇒xtAtu≤xtc şi cum cantităţile sunt scalari, rezultă după
transpunere: utAx≤ctx. Obţinem deci că ctx≥utb=btu. Să considerăm acum o
soluţie x a problemei primale şi o soluţie u a celei duale astfel încât ct x =bt u .
Dacă x nu ar fi program optim al problemei primale, atunci ar exista x* astfel
încât ctx*<ct x . Dar atunci ctx*<bt u , iar din cele de mai sus avem: ctx*≥bt u deci
contradicţie. Prin urmare, x este program optim al problemei primale. Analog,
dacă u nu ar fi program optim al problemei duale, atunci ar exista u* astfel
încât btu*>bt u . Dar atunci btu*>ct x , iar din cele de mai sus avem: btu*≤ct x
deci contradicţie. Prin urmare, u este program optim al problemei duale. În
final, cum valoarea optimă a funcţiei obiectiv este B
z =btuB=uBtb=cB
tB-1b=cBtxB
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 120
rezultă că funcţiile obiectiv ale problemelor primală respectiv duală au valori egale.
În aplicarea algoritmului simplex primal se porneşte de la o bază primal admisibilă şi în urma înlocuirii succesive a vectorilor din bază se obţine, în final, o bază dual admisibilă.
Algoritmul simplex dual constă în procesul invers. Se porneşte cu o bază dual admisibilă şi după un sistem de calcul oarecum asemănător, se obţine în final o bază primal admisibilă.
În cele ce urmează, vom considera perechea de probleme duale:
(P)
≥
=
0x
bAx
xc min t
, (D)
≤
arbitraru
cuA
ub maxt
t
Teoremă (fundamentală a dualităţii)
Fie problemele duale (P) şi (D).
1) Dacă ambele probleme au programe atunci ele au programe optime şi valorile funcţiilor obiectiv coincid;
2) Dacă una din probleme are programe, iar cealaltă nu, atunci cea care are programe are optim infinit.
Teoremă
Fie B o bază dual admisibilă astfel încât:
1) ∃k∈B astfel încât kB
x <0;
2) ykjB≥0 ∀j∈S
În acest caz, problema primală nu are programe.
Teoremă
Fie B o bază dual admisibilă astfel încât:
1) ∀k∈B astfel încât kB
x <0 ⇒ ∃j∈{1,...,n} astfel încât ykjB<0;
2) Fie pentru k∈B, s∈S astfel încât Bks
sBs
Bkd
dBd
0y y
cz
y
czmin
Bkd
−=
−
<
.
În acest caz, înlocuind în baza B coloana k cu coloana s, valoarea funcţiei obiectiv a problemei duale este mai mare sau egală cu cea anterioară.
Din cele de mai sus se pot enunţa acum:
Etapele de aplicare a algoritmului simplex dual
Fie x o soluţie dual admisibilă.
1) Fie J={jx j<0};
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 121
2) Dacă J=∅ atunci x este soluţie optimă. STOP.
3) Dacă J≠∅ atunci:
3.1) Dacă ∃j∈J astfel încât componentele de rang j ale vectorilor coloană din A ce nu fac parte din bază sunt pozitive atunci problema primală nu are soluţie. STOP.
3.2) Dacă ∀j∈J componentele de rang j ale vectorilor coloană din A ce nu
fac parte din bază au şi valori negative atunci fie Jj
min∈
x j= xk şi
kp
pp
kj
jj
0yJj y
cz
y
czmin
kj
−=
−
<∈
. Vectorul care va părăsi baza va fi ak iar cel care va
intra în bază va fi ap;
4) După transformarea cu pivotul ykp se revine la pasul 1.
Cu ajutorul observaţiei, rezultă că la finalul algoritmului simplex dual suntem în măsură să cunoaştem soluţia problemei primale.
Ca şi la algoritmul simplex primal se pune problema determinării unei baze dual admisibile. Pentru a face acest lucru vom proceda astfel:
1) Dacă problema este sub formă canonică:
≥
≥
0x
bAx
xc min t
ea se transformă în
≥
−≤
0x
bAx-
xc min t
. Introducând variabilele ecart, acestea formează o bază a
problemei. Dacă în plus, toţi coeficienţii funcţiei obiectiv sunt pozitivi, atunci acestea formează o bază dual admisibilă.
2) Dacă punctul 1) nu are loc (orice problemă poate fi adusă la una din formele de mai sus, însă numărul restricţiilor creşte foarte mult ceea ce este inadmisibil – de exemplu la transformarea egalităţilor în inegalităţi, numărul restricţiilor se dublează), atunci se adaugă o restricţie
suplimentară: xn+1+∑∈Si
ix =M unde în prealabil s-a determinat o bază B, iar
S reprezintă indicii restului coloanelor lui A. Numărul M este ales suficient de mare. Problema care se obţine are următoarea formă:
(5)
≥≥
=
=+
+
∈
+ ∑
0 x,0x
bAx
Mxx
xc min
1n
Ii
i1n
t
3) Se determină apoi k∈S astfel încât să avem ( ) kBki
Bi
iczczmax −=−
∈S.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 122
4) Considerând baza B’ obţinută din B prin înlocuirea coloanei lui xn+1 cu coloana lui xk se obţine o bază dual admisibilă.
5) În final, există mai multe situaţii:
5.1) Dacă problema (5) nu are programe, atunci nici problema (P) nu are programe;
5.2) Dacă problema (5) are programe atunci există trei variante:
5.2.1) xn+1 rămâne în baza optimă şi atunci restul variabilelor constituie soluţia optimă;
5.2.2) xn+1 nu rămâne în baza optimă, dar valoarea optimă a funcţiei
obiectiv depinde de M. În acest caz, pentru M→∞ rezultă că problema iniţială are optim infinit;
5.2.3) xn+1 nu rămâne în baza optimă, iar valoarea optimă a funcţiei obiectiv nu depinde de M. În acest caz, se poate obţine soluţia optimă, descrescându-l pe M până în momentul în care una din variabilele de bază ce este funcţie de M devine nulă.
Observaţie
Din cauza dificultăţilor de aplicare în determinarea unei baze iniţiale dual admisibile, nu vom aplica acest algoritm decât în cadrul problemelor de reoptimizare pe care le vom studia mai jos.
Observaţie
Problema duală are o interpretare imediată. Dacă în problema primală x are o anumită semnificaţie, din faptul că funcţiile obiectiv ale celor două probleme coincid la optim, rezultă că:
i
i
mm
11
i
nn
11 u
b
)ub...ub(
b
)xc...xc(=
∂
++∂=
∂
++∂, i=1,...,m
Aceasta înseamnă că la modificarea cu o unitate a termenului liber bi (ce poate avea semnificaţie de resursă arbitrară) valoarea funcţiei obiectiv creşte cu cea a variabilei duale ataşate restricţiei “i”. Prin urmare, mărimea valorilor variabilelor duale, dau un indiciu asupra “sensibilităţii” unor restricţii ale problemei primale.
b) Exemplu:
c) Fie problema de programare liniară:
≥≤
≤++
−≥−+−
−=++
−+
0x arbitrar, x ,0x
5x5x2x3
5x8x5x
1xxx3
xx32x max
321
321
321
321
321
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 123
Să se scrie problema duală.
Soluţie Avem:
≥≤
≥+−
=++
≤+−
+−
0u ,0u ,arbitrar u
0u5u8u
0u2u5u
0u3uu3
u5u5u- min
321
321
321
321
321
4.4. Reoptimizare și parametrizare în programarea liniară
Modificarea termenilor liberi
Să presupunem că termenii liberi ai problemei iniţiale:
≥
=
0x
bAx
cx min
se modifică în sensul că b se înlocuieşte cu vectorul b’. Din modul de completare a tabelului simplex, am văzut că acesta influenţează numai coloana V.V.B. în care apare vectorul B-1b. Prin urmare, vom modifica ultimul tabel simplex, astfel:
1) toate coloanele tabelului în afara celei a V.V.B. rămân neschimbate;
Sarcina de lucru 2
Să se scrie problema duală problemei de programare liniară:
≤≥
≥−
≤+−
≥+−
−
arbitrar x ,0x ,0x
20xx2
2xx
4xxx
x2x max
321
21
31
321
21
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 124
2) coloana V.V.B. devine B-1b’;
3) funcţia obiectiv se recalculează în funcţie de valorile obţinute la 2).
Cum ultima linie a tabelului rămâne neschimbată rezultă că baza B este dual admisibilă, deci se aplică în continuare algoritmul simplex dual.
Modificarea coeficienţilor funcţiei obiectiv
Să presupunem că vectorul coeficienţilor funcţiei obiectiv devine c’. Acesta modifică numai ultima linie a tabelului simplex, care va fi calculată corespunzător. Evident baza rămâne primal admisibilă deci se continuă cu algoritmul simplex primal.
Introducerea unei variabile suplimentare
Să presupunem acum că introducem o variabilă suplimentară xn+1. În acest caz se ataşează tabelului o coloană suplimentară corespunzătoare variabilei nou introduse.
Cum am obţinut deja o bază primal admisibilă, rezultă că avem două situaţii:
1) dacă zn+1B-cn+1≤0 atunci soluţia optimă rămâne neschimbată;
2) dacă zn+1B-cn+1>0 atunci se aplică agoritmul simplex primal.
Modificarea coeficienţilor unei variabile
Să presupunem că vectorul coeficienţilor unei variabile xi se modifică astfel încât ai se schimbă în a’i. Din modul de completare a tabelului simplex, s-a văzut că vectorul ai nu influenţează decât coloana corespunzătoare lui xi. Problema care apare însă este dacă variabila xi era variabilă de bază sau nu.
4.1) Dacă variabila xi nu face parte din bază atunci se recalculează coloana xi cu formula B-1a’i şi cantitatea zi
B-ci aferentă. Se aplică apoi, dacă este cazul, algoritmul simplex primal.
4.2) Dacă variabila xi face parte din bază atunci, pentru simplificare, recomandăm reîntoarcerea la ultimul tabel simplex care nu conţinea variabila xi în bază şi aplicarea punctului 4.1).
O altă metodă, aplicabilă îndeosebi situaţiei în care nu sunt cunoscute bazele succesive, constă şi în introducerea unei variabile auxiliare xn+1 având drept coeficienţi componentele vectorului a’ iar xi să fie considerată drept variabilă artificială. Problema se reduce la cea a introducerii unei noi variabile (vezi 3)). Aplicând metoda celor două faze cu funcţia obiectiv min (xi) şi eliminând această variabilă se obţine soluţia optimă.
Parametrizare în programarea liniară
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 125
Problema parametrizării constă în determinarea comportării soluţiei optime atunci când unele din componentele problemei (termeni liberi, coeficienţi ai funcţiei obiectiv, coeficienţi ai variabilelor) depind de parametri.
Problema parametrizării se soluţionează, principial, destul de simplu. Astfel se dă o valoare arbitrară parametrului (de exemplu 0) şi se rezolvă problema. La final, se modifică componenta respectivă după metodele reoptimizării. Evident că în funcţie de valorile parametrului se va obţine o soluţie optimă sau alta.
d) Exemplu:
Fie problema de programare liniară:
≥
≤+−−
≥+
=++
+
0x,x,x,x
1xxx
4xx
6xxx
x xmin
4321
321
42
321
41
1) Să se rezolve problema de programare liniară cu ajutorul algoritmului simplex primal;
2) Să se determine B-1 inversa matricei de bază;
3) Să se determine soluţia optimă a problemei duale.
4) Să se determine soluţia optimă a problemei dacă termenii liberi se
înlocuiesc cu b’=
0
0
1
şi să se interpreteze noua valoare a funcţiei obiectiv
în funcţie de variabilele duale determinate la punctul 3).
5) Să se determine soluţia optimă a problemei dacă funcţia obiectiv devine min x2+x3-2x4;
6) Să se determine soluţia optimă a problemei:
≥
≤+−−
≥+
=+++
+
0x,x,x,x,x
1xxx
4xx
6xxxx
x xmin
54321
321
42
5321
41
;
7) Să se determine soluţia optimă a problemei:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 126
≥
≤+−−
≥+
=++
+
0x,x,x,x
1xxx2
4xx
6xxx2
x xmin
4321
321
42
321
41
Soluţie 1) Forma standard este:
≥
=++−−
=−+
=++
+
0y,y,x,x,x,x
1yxxx
4yxx
6xxx
x xmin
214321
2321
142
321
41
Variabilele x4 şi y2 fiind izolate, introducem o variabilă auxiliară x1 a. Avem deci:
≥
=++−−
=−+
=+++
0x,y,y,x,x,x,x
1yxxx
4yxx
6xxxx
xmin
a 1214321
2321
142
a 1321
a 1
Tabelele simplex devin:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a
1 x1 a 6 1 1 1 0 0 0 1
0 x4 4 0 1 0 1 -1 0 0
0 y2 1 -1 -1 1 0 0 1 0
z 6 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a
x1 6 1 1 1 0 0 0 1
x4 4 0 1 0 1 -1 0 0
y2 7 0 0 2 0 0 1 1
z 0 0 0 0 0 0 0 -1
Am obţinut deci baza {x1,x4,y2}. Trecem la faza a doua şi obţinem:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a
1 x1 6 1 1 1 0 0 0 1
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 127
1 x4 4 0 1 0 1 -1 0 0
0 y2 7 0 0 2 0 0 1 1
z 10 0 2 1 0 -1 0 -
1 0 0 1 0 0
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 128
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a
x1 2 1 0 1 -1 1 0 1
x2 4 0 1 0 1 -1 0 0
y2 7 0 0 2 0 0 1 1
z 2 0 0 1 -2 1 0 -
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a
x3 2 1 0 1 -1 1 0 1
x2 4 0 1 0 1 -1 0 0
y2 3 -2 0 0 2 -2 1 -1
z 0 -1 0 0 -1 0 0 -
Soluţia optimă este deci: x1=0, x2=4, x3=2, x4=0, iar valoarea optimă a funcţiei obiectiv este 0.
2) Avem B-1=
−
−
121
010
011
obţinută din coloanele lui x1 a, x4 şi y2 din
ultimul tabel.
3) Avem ( )321 uuu = ( )000
−
−
121
010
011
= ( )000
4) Avem B-1b’=
−
−
121
010
011
0
0
1
=
−1
0
1
. Din ultimul tabel simplex,
rezultă:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2
x3 1 1 0 1 -1 1 0
x2 0 0 1 0 1 -1 0
y2 -1 -2 0 0 2 -2 1
z 0 -1 0 0 -1 0 0
Soluţia nu mai este primal admisibilă, dar a rămas dual admisibilă. Vom aplica deci algoritmul simplex dual. Avem deci:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 129
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2
x3 1/2 0 0 1 0 0 1/2
x2 1/2 1 1 0 0 0 -1/2
y1 1/2 1 0 0 -1 1 -1/2
z 0 -1 0 0 -1 0 0
Soluţia optimă a devenit deci: x1=0, x2=2
1, x3=
2
1, x4=0 valoarea optimă a
funcţiei obiectiv fiind egală cu 0. De la punctul 3) se observă că variabilele duale fiind toate nule, rezultă că termenii liberi ai restricţiilor problemei iniţiale nu pot influenţa valoarea optimă a funcţiei obiectiv.
5) Ultimul tabel simplex devine:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2
1 x3 2 1 0 1 -1 1 0
1 x2 4 0 1 0 1 -1 0
0 y2 3 -2 0 0 2 -2 1
z 6 1 0 0 2 0 0
0 1 1 -2 0 0
Obţinem mai departe:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2
x3 7/2 0 0 1 0 0 1/2
x2 5/2 1 1 0 0 0 -1/2
x4 3/2 -1 0 0 1 -1 1/2
z 3 3 0 0 0 -2 1
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2
x3 7/2 0 0 1 0 0 1/2
x1 5/2 1 1 0 0 0 -1/2
x4 4 0 1 0 1 -1 0
z -9/2 0 -3 0 0 -2 5/2
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 130
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2
y2 7 0 0 2 0 0 1
x1 6 1 1 1 0 0 0
x4 4 0 1 0 1 -1 0
z -22 0 -3 -5 0 -2 0
Soluţia optimă a devenit deci: x1=6, x2=0, x3=0, x4=4 valoarea optimă a funcţiei obiectiv fiind egală cu -22.
6) Problema formulată se obţine din cea iniţială prin adăugarea unei variabile suplimentare x5 la prima restricţie. Avem deci:
B-1
0
0
1
=
−
−
121
010
011
0
0
1
=
−1
0
1
de unde:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x5
x3 2 1 0 1 -1 1 0 1
x2 4 0 1 0 1 -1 0 0
y2 3 -2 0 0 2 -2 1 -1
z 0 -1 0 0 -1 0 0 0
Se observă că soluţia optimă rămâne aceeaşi: x1=0, x2=4, x3=2, x4=0, valoarea optimă a funcţiei obiectiv fiind 0.
7) Problema formulată se obţine din cea iniţială prin modificarea coeficienţilor variabilei x1 care nu face parte din bază. Avem deci:
B-1a1=
−
−
121
010
011
− 2
0
2
=
− 4
0
2
.
Din ultimul tabel simplex, rezultă:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a
x3 2 2 0 1 -1 1 0 1
x2 4 0 1 0 1 -1 0 0
y2 3 -4 0 0 2 -2 1 -1
z 0 -1 0 0 -1 0 0 -
Se observă că soluţia optimă rămâne aceeaşi: x1=0, x2=4, x3=2, x4=0, valoarea optimă a funcţiei obiectiv fiind 0.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 131
4.5. Problema de transport
Am văzut la prezentarea problemelor de programare liniară că problema de transport în forma standard are următoarea expresie:
==≥
==
==
∑
∑
∑∑
=
=
= =
n,1j ,m,1i ,0x
n,1j ,bx
m,1i ,ax
xc min
ij
j
m
1i
ij
i
n
1j
ij
m
1i
n
1j
ijij
unde ∑∑==
=n
1jj
m
1ii ba , ai,bj≥0.
În legătură cu această problemă avem câteva situaţii concrete care se reduc însă la problema de mai sus.
Sarcina de lucru 3
Să se rezolve problema de programare liniară:
≥
−=−
≤−
α+≥+
+
0x,x
2x3x
2xx2
1xx
x32x min
21
21
21
21
21
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 132
Problema de transport cu cerere excedentară
==≥
=≤
==
∑
∑
∑∑
=
=
= =
n,1j ,m,1i ,0x
n,1j ,bx
m,1i ,ax
xc min
ij
j
m
1i
ij
i
n
1j
ij
m
1i
n
1j
ijij
unde ∑∑==
≤n
1jj
m
1ii ba , ai,bj≥0.
Prin introducerea variabilelor ecart se poate aduce problema la forma standard. Valorile variabilelor ecart vor fi interpretate ca diferenţă între cantitatea cerută de beneficiar şi cea trimisă efectiv. Considerând un depozit fictiv cu disponibil
de resurse: am+1= ∑∑==
−m
1ii
n
1jj ab obţinem condiţia suplimentară:
1m
n
1j
j,1m ax +
=
+ =∑ . Costurile asociate transporturilor fictive vor fi interpretate
după caz fie ca penalităţi stabilite prin contracte cu beneficiarii pentru neonorarea cererilor fie vor fi luate nule în situaţia în care nu există astfel de contracte.
Problema de transport cu ofertă excedentară
==≥
==
=≤
∑
∑
∑∑
=
=
= =
n,1j ,m,1i ,0x
n,1j ,bx
m,1i ,ax
xc min
ij
j
m
1i
ij
i
n
1j
ij
m
1i
n
1j
ijij
unde ∑∑==
≥n
1jj
m
1ii ba , ai,bj≥0.
Prin introducerea variabilelor ecart se poate aduce problema la forma standard. Valorile variabilelor ecart vor fi interpretate ca diferenţă între cantitatea oferită de furnizor şi cea trimisă efectiv. Considerând un beneficiar
fictiv cu cerere de resurse: bn+1= ∑∑==
−n
1jj
m
1ii ba obţinem condiţia suplimentară:
1n
m
1i
1n,i bx +
=
+ =∑ . Costurile asociate transporturilor fictive vor fi interpretate
după caz fie ca fiind costuri de stocare fie vor fi luate nule.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 133
Algoritmul de transport
1) Se construieşte tabelul:
c11 c12 ... c1n a1
c21 c22 ... c2n a2
... ... ... ... ...
cm1 cm2 ... cmn am
b1 b2 ... bn
Într-un tabel vom numi celulă o pereche de numere (i,j) aflată la intersecţia liniei i cu coloana j din tabel şi ciclu o secvenţă ordonată de celule de forma: (i1,j1), (i1,j2), (i2,j2), (i2,j3),...,(ik,jk), (ik,j1).
2) Se obţine o soluţie iniţială de bază astfel:
2.1) se dă unei variabile de bază oarecare xij valoarea x’ij=min{ai,bj};
2.2) se înlocuiesc ai şi bj prin ai-x’ij,respectiv bj-x’ij şi se suprimă linia i dacă x’ij=ai sau coloana j dacă x’ij=bj (în situaţia în care ai=bj alegându-se una dintre variante);
2.3) în tabelul simplificat astfel se repetă operaţiile anterioare până când se determină soluţia de bază.
2.4) alegerea lui xij se poate face în mai multe moduri:
2.4.1) metoda colţului de Nord-Vest (G.M.Dantzig): alegerea se face în celula din prima linie şi coloană a tabelului redus;
2.4.2) metoda costului minim (H.S.Houthakker): alegerea se face din celula în care este cea mai mică valoare cij.
3) Dacă notăm cu I mulţimea celulelor (i,j) corespunzătoare variabilelor de
bază, se rezolvă sistemul: ui+vj=cij, (i,j)∈I prin alegerea arbitrară a unei valori iniţiale pentru una din variabilele ui sau vj. Soluţiile ui' şi vj' se scriu
pe marginea tabelului şi se calculează expresiile dij=ui'+vj'-cij pentru (i,j)∉I. Avem două situaţii:
3.1) dacă dij≤0 pentru orice (i,j)∉I rezultă că soluţia (xij) este optimă;
3.2) dacă ∃(i,j)∈I astfel încât dij>0 se calculează dab= { }ijI)j,i(
dmax∉
şi se
determină ciclul format de celula (a,b) cu alte celule ce corespund variabilelor bazice.
4) Se stabileşte o orientare de parcurs în ciclu şi se marchează celulele ce ocupă un rang par (celula (a,b) având numărul 1). Fie xcd variabila şi x’cd valoarea cea mai mică dintre celulele marcate.
5) Se scade această valoare din valorile variabilelor aflate în celule marcate şi se adună la celulele din ciclu ce au rămas nemarcate.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 134
6) Noua soluţie de bază este formată din variabila xab=x’cd şi vechile variabile bazice din care se va exclude xcd.
7) Se repetă operaţiunile anterioare până când toate cantităţile dij devin nepozitive în care caz se obţine soluţia optimă.
e) Exemplu:
Să se rezolve problema de transport căreia îi corespunde tabelul de mai jos:
8 3 5 2 10
4 1 6 7 15
1 9 4 3 25
5 10 20 15
Soluţie Vom căuta pentru început o soluţie de bază prin metoda colţului de
NV. Fie deci x11=min{10,5}=5. După eliminarea primei coloane şi înlocuirea lui a1 cu 10-5 obţinem tabelul redus:
8 3 5 2 5
4 1 6 7 15
1 9 4 3 25
0 10 20 15
Avem aici x12=min{5,10}=5 deci:
8 3 5 2 0
4 1 6 7 15
1 9 4 3 25
0 5 20 15
Mai departe x22=min{5,15}=5 şi
8 3 5 2 0
4 1 6 7 10
1 9 4 3 25
0 0 20 15
Avem acum x23=min{10,20}=10
8 3 5 2 0
4 1 6 7 0
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 135
1 9 4 3 25
0 0 10 15
x33=min{10,25}=10
8 3 5 2 0
4 1 6 7 0
1 9 4 3 15
0 0 0 15
x34=min{15,15}=15
8 3 5 2 0
4 1 6 7 0
1 9 4 3 0
0 0 0 0
deci am obţinut o soluţie de bază. Vom scrie soluţia în tabel şi acesta va arăta astfel:
v1 v2 v3 v4
u1 8
5
3
5
5 2 10
u2 4 1
5
6
10
7 15
u3 1 9 4
10
3
15
25
5 10 20 15
Rezolvăm sistemul:
=+
=+
=+
=+
=+
=+
3vu
4vu
6vu
1vu
3vu
8vu
43
33
32
22
21
11
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 136
de unde cu soluţia iniţială u1=0 obţinem v1=8, v2=3, u2=-2, v3=8, u3=-4, v4=7. Scriem acum în colţul din stânga sus al celulelor nebazice cantităţile dij=ui+vj-cij şi obţinem tabelul:
8 3 8 7
0 8
5
3
5
5
3
2
5
10
-2 4
2
1
5
6
10
7
-2
15
-4 1
3
9
-10
4
10
3
15
25
5 10 20 15
Cantitatea d14=5 este cea mai mare dintre valorile pozitive ale lui dij. Ciclul format plecând de la celula (1,4) este marcat în tabel cu săgeţi.
Se observă din graful prezentat în figură modul de determinare a ciclului: (1,4)-(3,4)-(3,3)-(2,3)-(2,2)-(1,2)-(1,4). Celulele scrise îngroşat sunt cele de ordin par (în practică celulele se marchează cu un asterisc). Variabila de valoare minimă este x12=5. Obţinem acum tabelul:
v1 v2 v3 v4
u1 8
5
3 5 2
5
10
u2 4 1
10
6
5
7 15
u3 1 9 4
15
3
10
25
5 10 20 15
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 137
Rezolvăm sistemul:
=+
=+
=+
=+
=+
=+
3vu
4vu
6vu
1vu
2vu
8vu
43
33
32
22
41
11
de unde cu soluţia iniţială u1=0 obţinem v1=8, v4=2, u3=1, v3=3, u2=3, v2=-2. Avem acum:
8 -2 3 2
0 8
5
3
-5
5
-2
2
5
10
3 4
7
1
10
6
5
7
-2
15
1 1
8
9
-10
4
15
3
10
25
5 10 20 15
Valoarea 8 este maximul cantităţilor dij iar ciclul este marcat pe tabel. Valoarea minimă a lui xij din celulele îngroşate este 5. Obţinem deci tabelul:
v1 v2 v3 v4
u1 8 3 5 2
10
10
u2 4 1
10
6
5
7 15
u3 1
5
9 4
15
3
5
25
5 10 20 15
Rezolvăm sistemul:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 138
=+
=+
=+
=+
=+
=+
3vu
4vu
1vu
6vu
1vu
2vu
43
33
13
32
22
41
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 139
de unde cu soluţia iniţială u1=0 obţinem v4=2, u3=1, v3=3, u2=3, v2=-2, v1=0. Avem în final:
0 2 3 2
0 8
-8
3
-5
5
-2
2
10
10
3 4
-1
1
10
6
5
7
-2
15
1 1
5
9
-10
4
15
3
5
25
5 10 20 15
Cum toate cantităţile dij sunt negative rezultă că am obţinut soluţia optimă a problemei şi anume x14=10, x22=10, x23=5, x31=5, x33=15, x34=5 celelalte fiind nule iar valoarea minimă a cheltuielilor de transport este
10⋅2+10⋅1+5⋅6+5⋅1+15⋅4+ 5⋅3=140.
Test de autoevaluare
Rezumat
Problemele de programare liniară apar în procesele de modelare matematică. Agoritmul Simplex oferă o cale relativ rapidă de rezolvare a acestora, spre deosebire de situaţia determinării extremelor funcţiilor ce poate conduce la rezolvarea unui sistem de ecuaţii neliniare.
Algoritmul simplex dual apare, de regulă, în situaţia reoptimizării şi/sau parametrizării unei probleme de programare liniară, conducând la obţinerea, de la o soluţie preexistentă, a soluţiei problemei transformate.
Problema de transport este deosebit de utilă în situaţia alocării unor rute de transport în situaţia în care cheltuielile de transport sunt suportate de către o singură firmă.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 140
I. Să se rezolve problema de programare liniară:
≥
=++
=+−+−
=++−
+
0x,x,x,x
6x2x4x
2xxx5x
3xxxx2
x xmin
4321
421
4321
4321
31
Răspuns şi comentarii la întrebările din testul de autoevaluare
Problema iniţială nu are soluţie – 10 puncte.
Bibliografie minimală
Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994), Algebră liniară, geometrie analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale, Bucureşti, Editura All
Ioan C. A. (2004), Matematici aplicate în economie, Bucureşti, E.D.P.
Ioan C. A. (2006), Matematică – I, Galaţi, Ed. Sinteze
Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981), Probleme de algebră, Bucureşti, E.D.P.
5. MATEMATICI FINANCIARE
Dobânzi
Operaţiuni de scont
Plăţi eşalonate (rente)
Obiectivele unităţii de învăţare
Rezumat
Teste de autoevaluare
Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare
Bibliografie minimală
Obiective specifice:
La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:
• să aplici noţiunile de dobândă simplă şi compusă;
• să calculezi scadenţe și operaţiuni de scont;
• să detaliezi ratele de anuităţi și împrumuturi.
Timp mediu estimat pentru studiu individual: 6 ore
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 142
5.1. Dobânzi
Definiţii
Dobânda este noţiunea de bază cu care se operează în calculele financiare. Ea reprezintă un surplus monetar care se adaugă unei sume plasate sau împrumutate.
Dobânda unitară reprezintă dobânda furnizată de 1 u.m. pe timp de un an şi va fi notată convenţional cu i.
Dobânda procentuală reprezintă dobânda unitară pentru 100 u.m. şi vom conveni să o notăm cu d.
Avem deci:
d=100⋅i
Definiţie
Dobânda simplă reprezintă dobânda calculată asupra aceleiaşi sume de bani pe toată durata împrumutului.
Fie S suma depusă sau împrumutată şi t numărul de ani de împrumut. Dacă D este dobânda simplă, avem:
D=S100
dt=
100
Sdt=Sit
Uneori se practică împrumuturi sau depuneri pe perioade mai mici de un an.
Fie deci n numărul de părţi egale în care se împarte un an şi k numărul de părţi pentru care se calculează dobânda. Avem:
D=n100
Sdk=
n
Sik
Suma totală la sfârşitul perioadei de t ani este:
St=S+D=S+100
Sdt=S
+
100
dt1 =S(1+it)
Reciproc, pentru a obţine suma St după t ani va trebui plasată la începutul perioadei de depunere suma:
S=
100
dt1
St
+
=it1
St
+
Fie acum S1,...,Sn sume plasate pe termenele t1,...,tn cu aceeaşi dobândă d. Problema care se pune este de a înlocui aceste sume şi durate printr-o sumă unică S şi o durată unică t astfel încât suma dobânzilor să fie aceeaşi cu cea furnizată de suma S pe durata t. Avem: S1it1+...+Snitn=Sit de unde:
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 143
t=S
tSn
1iii∑
=
numită scadenţă comună (dacă se cunoaşte suma depusă) şi:
t=
∑
∑
=
=
n
1ii
n
1iii
S
tS
numită scadenţă medie dacă S=∑=
n
1iiS .
Să considerăm acum sumele S1,...,Sn depuse pe duratele t1,...,tn cu dobânzile d1,...,dn. Ne propunem să determinăm dobânda medie d pentru care aceste sume plasate pe aceleaşi durate să furnizeze aceeaşi dobândă totală. Avem:
∑∑==
=n
1i
iin
1i
iii
100
dtS
100
tdS
de unde:
d=
∑
∑
=
=
n
1iii
n
1iiii
tS
tdS
numită dobânda medie.
Definiţie
Dobânda compusă este dobânda obţinută în urma adăugării dobânzii simple la suma plasată iniţial în scopul producerii unei noi dobânzi.
Dacă i este dobânda unitară, vom numi:
u=1+i - factorul de fructificare
Avem astfel: S1=S+Si=S(1+i), S2=S1+S1i=S1(1+i)= S(1+i)2. Să presupunem că după n ani avem: Sn=S(1+i)n. Avem: Sn+1=Sn+Sni=Sn(1+i)= S(1+i)n+1 deci prin inducţie matematică rezultă:
Sn=S(1+i)n=Sun ∀n≥0
Dobânda compusă este:
D=Sn-S=S[(1+i)n-1]=S(un-1)
Să studiem acum cazul în care n∉N. În această situaţie se poate proceda în două moduri:
1) Se foloseşte formula generală a dobânzii compuse pentru numărul întreg de perioade de timp şi se aplică formula dobânzii simple pentru partea fracţionară, soluţie numită soluţia raţională.
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 144
2) Se foloseşte formula generală a dobânzii compuse atât pentru partea întreagă cât şi pentru partea fracţionară, soluţie numită soluţia comercială.
Să studiem acum fiecare din cele două cazuri:
1) Fie t=n+m
k durata de depunere în care n reprezintă numărul de ani, m-
numărul de perioade de timp egale ale unui an şi k numărul de perioade pe
care s-a plasat împrumutul. Avem după n ani: Sn=S(1+i)n iar în restul de m
k
ani avem dobânda simplă la Sn: D=Sni m
k. Obţinem deci:
St=Sn+D=S(1+i)n+S(1+i)nim
k=S(1+i)n(1+i
m
k)
2) În acest caz funcţia S:[0,∞)→R, S(t)=S(1+i)t ∀t∈[0,∞) fiind continuă pe tot domeniul de definiţie, avem:
St=S m
kn
)i1(+
+ =S m
kn
u+
=Sun m
k
u
În problema dobânzilor compuse, de o importanţă foarte mare este perioada la care se calculează procentul de dobândă. Fie deci dn procentul de dobândă pentru o perioadă de n unităţi de timp şi dm procentul de dobândă pentru o perioadă de m unităţi de timp. Dobânzile se numesc proporţionale dacă ele produc acelaşi efect în cazul dobânzilor simple. Avem deci pentru o perioadă de mn unităţi de timp dnm dobânda produsă în primul caz şi dmn în cel de-al doilea. Prin urmare: dnm=dmn de unde:
m
n
d
d
m
n =
Observaţie
Dobânda corespunzătoare unei perioade de o lună se numeşte dobândă mensuală, pentru o perioadă de trei luni: dobândă trimestrială, pentru şase luni: dobândă semestrială iar pentru o perioadă de un an: dobândă anuală.
Astfel, o dobândă anuală de 100% este proporţională cu una semestrială de 50% şi cu una trimestrială de 25%.
În cazul dobânzilor compuse, dobânzile proporţionale nu produc acelaşi efect. Astfel, dacă d1 este dobânda mensuală iar d12 este dobânda anuală avem după
un an: 12
1d
100
d1SS
1
+= ,
+=
100
d1SS 12
d12. Cum
12
1
d
d
12
1 = rezultă d12=12d1
de unde:
12
11d
100
d1S
100
d121SS
12
+≤
+=
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 145
unde am folosit inegalitatea lui Bernoulli: (1+a)x≥1+xa ∀x≥1 ∀a>-1.
În general, fie dn procentul de dobândă pentru o perioadă de n unităţi de timp şi
dm procentul de dobândă pentru o perioadă de m unităţi de timp. Dacă [m,n]
este cel mai mic multiplu comun al numerelor m şi n, avem după [ ]
n
n,m
perioade Sn=
[ ]
n
n,m
n
100
d1S
+ iar după
[ ]m
n,m perioade de timp:Sm=
[ ]
m
n,m
m
100
d1S
+ . Deoarece
m
n
d
d
m
n = rezultă dm=n
md n . Obţinem deci Sm=
[ ]
m
n,m
n
n
m
100
d1S
+ . Fie
n
m=α. Atunci:
Sm=
[ ]
m
n
n
n,m
n
100
d1S
α+ =
[ ]
α
α+
1
n
n,m
n
100
d1S . Dacă acum m≥n rezultă α≥1 deci,
cu inegalitatea Bernoulli: Snα=
[ ]α
+
n
n,m
n
100
d1S ≥
[ ]
n
n,m
n
100
d1S
α+ =Sm
α. De aici:
Sn≥Sm. Am obţinut deci următorul rezultat:
Propoziţie
Două dobânzi proporţionale produc efecte inverse în raport cu numărul de luni la care se calculează.
Definiţie
Două dobânzi se numesc echivalente dacă ele conduc la aceeaşi sumă finală în cazul dobânzii compuse.
Astfel în cazul general de mai sus, avem:
[ ]
n
n,m
n
100
d1S
+ =
[ ]
m
n,m
m
100
d1S
+ de
unde:
m
n
100
d1
+ =
n
m
100
d1
+
sau altfel:
1100
d1
100
dn
m
nm −
+=
În cazul particular n=1 şi m=12 (cu convenţia xx1= ∀x∈R) rezultă:
1100
d1
100
d12
112 −
+=
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 146
Fie acum o sumă S plasată cu dobânda d pe an în două perioade egale. După
primul semestru, vom avea suma S1=S
+
200
d1 , iar după a doua: S2=S
2
200
d1
+ . Dobânda rezultată va fi deci: D=
S
SS2 −=
2
200
d1
+ -1=
2
2
200
d
200
d2 + de unde:
d’=100D=d+400
d2
Astfel, pentru d=50% obţinem: d’=56,25%.
Definiţie
Dobânda d se numeşte dobândă nominală iar d’ se numeşte dobândă reală sau efectivă.
Fie deci acum n perioade de timp în care împărţim un an şi d: dobânda
nominală iar d’: dobânda efectivă. Avem: S1=Sn
n100
d1
+ =S
+
100
'd1 de
unde:
d’=100
−
+ 1
n100
d1
n
care reprezintă dobânda efectivă în funcţie de dobânda nominală.
De asemenea, din aceeaşi formulă, avem:
d=100n
−+ 1
100
'd1n
care reprezintă dobânda nominală în funcţie de cea efectivă.
Exemplu:
Fie o dobândă trimestrială de 15%. Să se calculeze dobânda echivalentă mensuală, cea semestrială şi cea anuală.
Soluţie Pentru dobânda mensuală avem n=3 şi m=1. Din formula:
1100
d1
100
dn
m
nm −
+= ⇒ 1
100
d1
100
d3 31 −
+= =4,77% Pentru dobânda
semestrială avem n=3 şi m=6. Rezultă deci 1100
d1
100
d3
6
36 −
+= =32,25%.
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 147
Pentru dobânda anuală avem n=3 şi m=12. Rezultă deci
1100
d1
100
d3
12
312 −
+= =74,90%.
5.2. Operațiuni de scont
Definiţie
Scontul reprezintă operaţiunea de cumpărare de către o bancă comercială a unei poliţe înainte de termenul limită de scadenţă a acesteia în schimbul unui comision. De asemenea, scontul mai reprezintă şi diminuarea unor datorii atunci când acestea se achită în avans (de exemplu atunci când în cazul unui credit, debitorul achită o rată mai mare decât cea prevăzută).
Scontul simplu
Fie suma S0 împrumutată cu dobânda d pe o perioadă de n ani (luni) de la creditorul C1. La momentul n1<n, creditorul C1 doreşte încasarea sumei Sf pe care trebuia să o primească la sfârşitul celor n ani adică Sf=S0(1+nd). În acest caz, el se adresează băncii C2 care îi va rambursa suma din care va scădea o taxă T. Aceasta, va prelua poliţa şi îi va da creditorului C1 suma Sf-T. La momentul de timp n1 poliţa iniţială are o valoare S1 – numită valoare finală la scontare, iar suma de plecare după reţinerea comisionului - Ssc se va numi valoare scontată. Diferenţa S=Sf-Ssc se numeşte taxă de scont (sau simplu, scont).
Să presupunem că banca C2 aplică o dobândă simplă valorii scontate. Fie aceasta „s”. În perioada de scontare, C2 va obţine suma:
Sf=Ssc(1+s(n-n1))
de unde rezultă că scontul este: Ss=Sf-Ssc=Sf-)nn(s1
S
1
f
−+=
)nn(s1
)nn(sS
1
1f
−+
−=
Sarcina de lucru 1
Fie o dobândă trimestrială de 15%. Să se calculeze dobânda reală corespunzătoare dobânzii nominale date.
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 148
)nn(s1
)nn(s)nd1(S
1
10
−+
−+ - numit scont simplu (sau scont simplu raţional).
Relaţia se mai poate scrie şi sub forma:
Ss=( )
21
211f
)nn(s1
)nn(s1)nn(sS
−−
−−−=
21
2
21
2f1f
)nn(s1
)nn(sS)nn(sS
−−
−−− şi cum s2 este foarte
mic se poate considera că s2(n-n1)2≈0 de unde: Sc= )nn(sS 1f − =
)nn(s)nd1(S 10 −+ - numit scont simplu comercial. Dacă vom calcula
diferenţa Sc-Ss= )nn(sS 1f − -)nn(s1
)nn(sS
1
1f
−+
−=
)nn(s1
)nn(sS)nn(sS)nn(sS
1
1f2
12
f1f
−+
−−−+−=
)nn(s1
)nn(sS
1
21
2f
−+
−>0 observăm că
scontul comercial este mai mare decât cel simplu, avantajând, în mod evident, creditorul C2.
Din relaţiile de mai sus, rezultă imediat că valoarea scontată este:
• Ssc=Sf-Ss=Sf-)nn(s1
)nn(sS
1
1f
−+
−=
)nn(s1
S
1
f
−+=
)nn(s1
)nd1(S
1
0
−+
+ în cazul scontului
simplu şi
• Ssc=Sf-Ss=Sf- )nn(sS 1f − = ( ))nn(s1S 1f −− = ( ))nn(s1)nd1(S 10 −−+ în
cazul scontului comercial.
Se observă că în cazul scontului comercial, durata de scontare n-n1 trebuie să
satisfacă condiţia 1-s(n-n1)>0 adică: n-n1<s
1 altfel obţinând o valoare
nepozitivă pentru valoarea scontată (imposibil din punct de vedere practic).
Revenind acum, după n1 ani avem S1=S0(1+n1d) şi Sf=S0(1+nd).
Din formulele de mai sus deducem:
• Ssc=)nn(s1
S
1
f
−+=
)nn(s1
)nd1(S
1
0
−+
+=
( ))nn(s1)dn1(
)nd1(S
11
1
−++
+ în cazul scontului
simplu şi
• Ssc= ( ))nn(s1S 1f −− = ( ))nn(s1)nd1(S 10 −−+ =( )
dn1
)nn(s1)nd1(S
1
11
+
−−+ în
cazul scontului comercial
Prin urmare avem:
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 149
• Ssc-S1=( ))nn(s1)dn1(
)nd1(S
11
1
−++
+-S1=
( )
( ))nn(s1)dn1(
)nn(s1)dn1()nd1(S
11
111
−++
−++−+=
( ))nn(s1)dn1(
)dsnsd)(nn(S
11
111
−++
−−−
în cazul scontului simplu şi
• Ssc-S1=( )
dn1
)nn(s1)nd1(S
1
11
+
−−+-S1=
( )
dn1
dn1)nn(s1)nd1(S
1
111
+
−−−−+=
dn1
)ndssd)(nn(S
1
11
+
−−− în cazul scontului comercial.
Pentru a avea deci Ssc<S1 va trebui ca:
• s>dn1
d
1+ în cazul scontului simplu şi
• s>nd1
d
+ în cazul scontului comercial.
Scontul compus
Fie suma S0 împrumutată cu dobânda d pe o perioadă de n ani (luni) de la creditorul C1. La momentul n1<n, creditorul C1 doreşte încasarea sumei Sf pe care trebuia să o primească la sfârşitul celor n ani adică Sf=S0(1+d)n. În acest caz, el se adresează băncii C2 care îi va rambursa suma din care va scădea o taxă T. Aceasta, va prelua poliţa şi îi va da creditorului C1 suma Sf-T. La momentul de timp n1 poliţa iniţială are o valoare S1 –valoarea finală la scontare, iar suma de plecare după reţinerea comisionului - Ssc este valoarea scontată. Notăm, de asemenea, S=Sf-Ssc - taxa de scont.
Să presupunem acum că banca C2 aplică o dobândă compusă valorii scontate. Fie aceasta „s”. În perioada de scontare, C2 va obţine suma
Sf=Ssc ( ) 1nns1 −+
de unde rezultă că scontul este: Ss=Sf-Ssc=Sf-( ) 1nn
f
s1
S−
+=
( )( )( ) 1
1
nn
nnf
s1
1s1S−
−
+
−+=
( )( )( ) 1
1
nn
nnn0
s1
1s1)d1(S−
−
+
−++. Dacă notăm u=
s1
1
+ - numit factor de scont,
obţinem: Sr= ( )1nnf u1S −
− = ( )1nnn0 u1)d1(S −
−+ - numit scont compus (sau
scont compus raţional).
Considerând dezvoltarea binomială:
( ) ...s2
)1m(mms1s1 2m
+−
++=+ rezultă că relaţia de mai sus devine (după
neglijarea puterilor≥2):
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 150
Sc=( )( )( ) 1
1
nn
nnf
s1
1s1S−
−
+
−+=
( )
+−
− 1nnfs1
11S =
+−−−
+−+
−
...s2
)1nn)(nn(s)nn(1
11S
2111
f =
−+−
s)nn(1
11S
1f =
s)nn(1
s)nn(S
1
1f
−+
−=
s)nn(1
s)nn()d1(S
1
1n
0−+
−+ - numit scont compus comercial.
Se observă că scontul compus comercial are acceaşi valoare ca şi scontul simplu raţional.
Din relaţiile de mai sus, rezultă imediat că valoarea scontată este:
• Ssc=Sf-Sr=Sf- ( )1nnf u1S −
− = 1nnf uS − = 1nnn
0 u)d1(S −+ în cazul scontului
compus raţional şi
• Ssc=Sf-Sc=Sf-)nn(s1
)nn(sS
1
1f
−+
−=
)nn(s1
S
1
f
−+=
)nn(s1
)d1(S
1
n0
−+
+ în cazul scontului
compus comercial.
Revenind acum, după n1 ani avem S1=S0 ( ) 1nd1+ şi Sf=S0(1+d)n.
Din formulele de mai sus deducem:
• Ssc= 1nnn0 u)d1(S −
+ = 11 nnnn1 u)d1(S −−
+ în cazul scontului raţional şi
• Ssc=)nn(s1
)d1(S
1
n0
−+
+=
)nn(s1
)d1(S
1
nn1
1
−+
+−
în cazul scontului comercial
Exemplu:
O poliţă cu valoarea iniţială de 1000 euro şi dobândă anuală simplă de 12% este scadentă peste 18 luni. După un an de la emitere, posesorul poliţei o prezintă pe aceasta la scontare simplă cu dobânda de 15%. Să se determine
i) valoarea finală la scontare;
ii) valoarea scontată în cazurile scontului simplu şi al celui comercial;
iii) valoarea taxei de scont în cazurile scontului simplu şi al celui comercial.
Soluţie i) Avem S1=1000⋅
⋅+
12
12,0121 =1120 euro.
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 151
ii) În cazul scontului simplu, avem: Ssc=
12
15,061
12
12,0181
1000⋅+
⋅+
⋅ =1000⋅1,098=
1098 euro, iar în cazul celui comercial: Ssc=
⋅−⋅+⋅
12
15,061)
12
12,0181(1000
=1000⋅1,092=1092 euro.
iii) În cazul scontului simplu, avem: Ss=6
12
15,01
612
15,0
12
12,0181
1000⋅+
⋅⋅
⋅+
⋅ =
1000⋅0,082=82 euro,iar în cazul celui comercial:
Sc= 612
15,0
12
12,01811000 ⋅⋅
⋅+⋅ =1000⋅0,088=88 euro.
5.3. Plăți eșalonate (rente)
Definiţii
Prin plată eşalonată sau rentă se înţelege o sumă de bani plătită la intervale de timp egale. Dacă plata este anuală se numeşte anuitate, dacă este semestrială: semestrialitate, trimestrială: trimestrialitate iar lunară: mensualitate.
Rentele se pot face fie în vederea constituirii unor sume numite plăţi de plasament sau plăţi de fructificare, fie pentru rambursarea unor datorii către
Sarcina de lucru 2
O poliţă cu valoarea iniţială de 1000 euro şi dobândă compusă de 1% pe lună este scadentă peste 18 luni. După un an de la emitere, posesorul poliţei o prezintă pe aceasta la scontare compusă cu dobânda de 15%. Să se determine
i) valoarea finală la scontare; ii) valoarea scontată în cazurile scontului raţional şi al celui comercial.
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 152
diverşi creditori în care caz se numesc plăţi de rambursare sau de amortizare.
Plăţile efectuate la începutul perioadei se numesc anticipate iar cele de la sfârşitul perioadei posticipate.
Plăţile mai pot fi temporare atunci când numărul lor este finit, perpetue dacă numărul acestora este infinit şi viagere dacă numărul acestora este finit dar limitat de viaţa persoanei.
De asemenea, plăţile mai pot fi constante sau variabile.
Mensualități. Anuități
Toate rezultatele prezentate în continuare sunt valabile atât pentru mensualităţi, cât şi pentru anuităţi (cu simpla înlocuire a termenului de lună cu cel de an şi a dobânzilor corespunzătoare).
I. Valoarea finală a unui şir de mensualităţi temporare
Fie o perioadă de n luni, dobânzile unitare i1,i2,...,in corespunzătoare lunilor 1,2,...,n şi A1,A2,...,An mensualităţile acestor perioade. Fie, de asemenea, S
valoarea finală a acestui şir de mensualităţi şi ε∈[0,1] fracţiunea din an la care se plăteşte mensualitatea. Vom nota cu uk=1+ik – factorul de fructificare
corespunzător dobânzii ik, k= n,1 .
Avem:
(1) S=A1u11-εu2u3...un+A2u2
1-εu3...un+...+Apup1-εup+1...un+...+Anun
1-ε
În condiţiile mensualităţilor constante, avem: A1=A2=...=An=A de unde:
(2) S=A(u11-εu2u3...un+u2
1-εu3...un+...+up1-εup+1...un+...+un
1-ε)
Dacă dobânzile şi mensualităţile sunt constante, avem şi u1=u2=...=un=u de unde:
(3) S=A(un-ε+un-ε-1+...+un-ε-p+...+u1-ε)=Au1-ε
i
1u n−
Pentru mensualităţi anticipate, avem ε=0 de unde:
(4) S=Aui
1u n−
iar pentru posticipate, ε=1:
(5) S=Ai
1u n−
A 1
i 1 i 2
ε0 1 2
ε
A 2. . . . . .
i p i p + 1
p - 1 p + 1pε ε
A p A p + 1
i n
nn - 1ε
A n
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 153
Dacă dobânzile au o tendinţă de variaţie de r% lunar (r>0 – creştere, r<0 –
descreştere), atunci avem up+1=up⋅(1+100
r), p= 1n,0 − de unde:
(6) up=u1⋅(1+100
r)p-1, p= n,1
Să notăm pentru simplificare 1+100
r=s.
Din (1) şi (6) rezultă:
S= ε−−−
=
−ε−−+∑ 11n
1n
1n
1p
1n1
p1
11p1p )su(Asu...su)su(A =
)1)(1n(11n
1n
1p
)1n(...p)1)(1p(1pn1p suAsuA ε−−ε−
−
=
−+++ε−−ε−+−+∑ =
∑=
ε+−−−
−−ε−
− n
1p
2
)22p)(1p(
)1p(1p
n1
2
n)1n(
suAus = ∑=
ε+−
ε−+−ε+
− n
1p2
)23p(p
p1
p1n1
12
n)1n(
su
Aus =
∑=
ε+−
ε−+ε+
+− n
1p2
)23p(p
p1
p1n1
2
)1n)(2n(
su
Aus .
Avem deci:
(7) S= ∑=
ε+−
ε−+ε+
+− n
1p2
)23p(p
p1
p1n1
2
)1n)(2n(
su
Aus
Dacă mensualităţile sunt constante, avem: A1=A2=...=An=A de unde:
(8) S= ∑=
ε+−
ε−+ε+
+− n
1p2
)23p(p
p1
1n1
2
)1n)(2n(
su
1uAs
Pentru mensualităţi anticipate, avem ε=0 de unde:
(9) S= ∑=
−
+
+− n
1p2
)3p(p
p1
1n1
2
)1n)(2n(
su
1uAs
iar pentru posticipate, ε=1:
(10) S= ∑=
−
− n
1p2
)1p(pp1
n1
2
n)1n(
su
1uAs
În cazul constituirii depozitului la k luni de la data formulării problemei, în toate formulele mai sus-menţionate se consideră în loc de n valoarea n-k.
Dacă vom considera r=0 avem s=1 şi formulele (9) şi (10) devin (4), respectiv (5).
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 154
II. Valoarea actuală a unui şir de mensualităţi temporare
Ne interesează acum problema inversă. Pentru constituirea unui şir de mensualităţi ce urmează a fi încasate după o perioadă de k luni de la constituire timp de n luni, care este suma ce trebuie depusă la momentul iniţial ?
Fie vk=ku
1 - factorul de actualizare corespunzător lui uk, k= n,1 .
Avem: 1-vk=1-ku
1=
k
k
u
1u −=
k
k
u
i=ivk. Pentru constituirea sumei S avem
S=Sk+1+Sk+2+...+ Sn unde Sp reprezintă depozitul iniţial constituit pentru
retragerea mensualităţii Ap. Suma iniţială Sp produce până la momentul p+ε o
sumă totală Ap=Spu1u2...up-1upε de unde: Sp= ε
− p1p21
p
uu...uu
A=Apv1v2...vp-1vp
ε.
Obţinem deci:
(11) S= ∑+=
ε
−
n
1kpp1p21p vv...vvA
În condiţiile mensualităţilor constante, avem: Ak+1=...=An=A de unde:
(12) S=A ∑+=
ε
−
n
1kpp1p21 vv...vv
Dacă dobânzile şi mensualităţile sunt constante, avem şi u1=u2=...=un=u de unde:
(13) S=i
v1Av
1v
1vAvvA
kn1k
knk
n
1kp
1p−
−ε+
−
ε+
+=
ε+− −=
−
−=∑
Pentru mensualităţi anticipate, avem ε=0 de unde:
(14) S=i
v1Av
kn1k
−
− −
iar pentru posticipate, ε=1:
(15) S=i
v1Av
knk
−−
În cazul plăţilor imediate, avem k=0 şi este normal ca să presupunem că plata
este posticipată (deci ε=1) şi suma ce trebuie constituită este:
(16) S=i
v1A
n−
Dacă plata mensualităţilor va fi perpetuă, obţinem din formulele (15) şi (16)
trecând la limită pentru n→∞:
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 155
(15’) S=i
Avk
respectiv:
(16’) S=i
A
Dacă dobânzile au o tendinţă de variaţie de r% lunar (r>0 – creştere, r<0 –
descreştere), atunci avem up=u1⋅sp-1, p= n,1 de unde: vp=v1s
1-p. Din formula
(11) rezultă:
(17) S= ∑∑+=
ε+−−
ε+−
+=
ε−−−=
n
1kp2
)22p)(1p(
1p1
p
n
1kp
p11
p21
111p
s
vA)sv(sv...svvA
Dacă mensualităţile sunt constante, avem: Ak+1=...=An=A de unde:
(18) S= ∑+=
ε+−−
ε+−n
1kp2
)22p)(1p(
1p1
s
vA
Pentru mensualităţi anticipate, avem ε=0 de unde:
(19) S= ∑+=
−−
−n
1kp2
)2p)(1p(
1p1
s
vA
iar pentru posticipate, ε=1:
(20) S= ∑+=
−
n
1kp2
p)1p(
p1
s
vA
Împrumuturi
Definiţie
Împrumutul reprezintă o sumă de bani primită în schimbul rambursării ei prin anuităţi (mensualităţi) constante formate din rata curentă (constantă sau nu) numită amortisment şi dobânda asupra restului de plată.
Fie deci S suma împrumutată, S1,...,Sn anuităţile succesive, A1,...,An amortismentele succesive, R0,...,Rn resturile de plată după fiecare rată, i1,...,in dobânzile unitare ale împrumutului (în condiţiile unei economii inflaţioniste, dobânzile pot varia chiar lunar) şi n numărul de ani (perioade de timp) pentru rambursare.
Pentru organizarea calculelor, vom întocmi un tabel de forma:
Momentul de timp
Anuitatea Suma rămasă de plată
0 - R0=S
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 156
1 S1=A1+R0i1 R1=R0-A1
2 S2=A2+R1i2 R2=R1-A2
... ... ...
k Sk=Ak+Rk-1ik Rk=Rk-1-Ak
k+1 Sk+1=Ak+1+Rkik+
1 Rk+1=Rk-Ak+1
... ... ...
n Sn=An+Rn-1in Rn=Rn-1-An=0
Avem în mod evident S=A1+...+An. De asemenea:
Sk+1-Sk=Ak+1-Ak+Rkik+1-Rk-1ik=Ak+1-Ak+Rk-1ik+1-Akik+1-Rk-1ik=
Ak+1-Ak(1+ik+1)+Rk-1(ik+1-ik)
Rk=Rk-1-Ak=Rk-2-(Ak-1+Ak)=...=S-(A1+...+Ak), k=1,...,n
Dacă amortismentele sunt constante: A1=...=An=n
S atunci: Rk=S-k
n
S= S
n
kn −
de unde:
Sk+1-Sk=n
S-
n
S(1+ik+1)+S
n
1kn +−(ik+1-ik)= S
n
i)1kn(i)kn( k1k +−−−+
Dacă dobânda este constantă i, avem: Sk+1-Sk=-Sn
i deci anuităţile formează o
progresie aritmetică descrescătoare cu raţia -Sn
i.
Dacă anuităţile sunt constante, avem S1=...=Sn de unde:
Ak+1=Ak(1+ik+1)-Rk-1(ik+1-ik)
Dacă dobânda este constantă i avem: Ak+1=Ak(1+i) de unde:
Ak=A1(1+i)k-1
deci amortismentele formează o progresie geometrică cu raţia 1+i.
În cazul anuităţilor constante avem:
[ ]
∑ ∑∑∑
∑ ∑
∑∑
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−−−
=
−+−−++
=
−
−−++
=−−++==
n
2k
2k
1pp1kk
n
2k1kk
n
2kk1k1
n
2k1kk
2k
1ppk1k1
n
2k1kk2kk1k1
n
1kk
A)ii()ii(S)i1(AA
)ii(AS)i1(AA
)ii(R)i1(AAAS
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 157
Dacă dobânda este constantă “i” avem: S= ∑=
− ++n
2kk1k1 )i1(AA şi cum
An=A1(1+i)n-1 rezultă: S=A1i
1)i1( n−+
sau altfel: A1=S1)i1(
in
−+.
Suma totală de plată după p anuităţi este:
Stot=∑=
p
1kkS =∑
=
−+
p
1kk1kk )iRA( =∑
=
P
1kkA +∑
=
−
p
1kk1k iR =∑
=
P
1kkA +Si1+
∑ ∑=
−
=
−
p
2kk
1k
1rr iAS =S∑
=
p
1kki +
A1+∑ ∑=
−
=
−
p
2k
1k
1rkrk iAA .
Dacă amortismentele sunt egale, avem:
Stot=S∑=
p
1kki +
n
S+∑ ∑
=
−
=
−
p
2k
1k
1rki
n
S
n
S=S
+−+∑
=
p
1kki
n
1kn
n
p
Dacă dobânzile sunt constante şi egale cu i, avem:
Stot=S
+−+∑
=
p
1k
in
1kn
n
p=S
−+ ∑∑
−
==
pn
1k
n
1k
kkn
i
n
p=
S
+−−−
++
2
)1pn)(pn(
2
)1n(n
n
i
n
p=
n2
S[2p+i(2np-p2+p)].
La sfârşitul perioadei de plată avem (pentru p=n):
Sfinală=S
++
2
1ni1
Suma rămasă de plată după plata a p anuităţi se constituie ca diferenţă între suma totală de plată la sfârşitul perioadei şi cea totală după anuitatea p.
Exemplu:
O persoană împrumută de la o bancă suma de 9.000 lei pe o perioadă de 3 ani cu dobândă anuală de 50%. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, să se întocmească graficul de plată.
Soluţie Avem S=9.000, n=3, i=100
50=0,5. Graficul de plată este următorul:
Momentul de timp Anuitatea Suma rămasă de plată
0 - 9.000
1 7.500 6.000
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 158
2 6.000 3.000
3 4.500 0
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 159
Test de autoevaluare
I. O persoană depune la bancă suma de 1.000 lei cu dobândă compusă de 50% pe an. Ce sumă va avea persoana după 3 ani şi 7 luni în cazul în care se aplică pentru fracţiunea de an soluţia raţională ? Care este dobânda corespunzătoare întregii perioade?
Rezumat
Problemele de matematici financiare se regăsesc, de regulă, în actvitatea bancară sau în cea a caselor de asigurări, pensii etc.
Metodele de calcul al dobânzilor (simplă sau compusă) se întrepătrund în practica economică fiind adaptate sau adaptabile necesităţilor şi exigenţelor firmei.
Calculul anuităţilor (mensualităţilor) apare pregnant astăzi, fiind util oricărui cetăţean, nu numai economiştilor, pentru determinarea valorii finale a unui depozit depus regulat sau a determinării unei rate de rambursare periodică sau nu.
Modul de calcul al împrumuturilor este deosebit de util în orice societate ce practică un astfel de sistem de cumpărare.
Sarcina de lucru 3
O persoană împrumută de la o bancă suma de 18.000 lei pe o perioadă de 10 ani cu dobândă anuală de 60%. Datorită unei inflaţii galopante, în primele 4 luni dobânda creşte cu 110% lunar. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, lunare, să se întocmească graficul de plată pentru primele 4 luni.
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 160
II. O persoană doreşte să constituie un depozit de bani astfel încât după o perioadă de 20 ani să poată retrage timp nelimitat suma de 2000 lei anual. Dacă dobânda anuală este de 50% iar depunerea se face la începutul fiecărui an, care este suma pe care trebuie să o depună la acest moment?
Răspuns şi comentarii la întrebările din testul de autoevaluare
I. Dobânda D=St-S= 3.359 lei.– 5 puncte. II. S= 1.04 lei – 5 puncte.
Bibliografie minimală
Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994). Algebră liniară, geometrie analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale. Bucureşti: Editura All.
Ioan C. A. (2004). Matematici aplicate în economie. Bucureşti: E.D.P.
Ioan C. A. (2006). Matematică – I. Galaţi: Ed. Sinteze.
Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981). Probleme de algebră. Bucureşti: E.D.P.