Transcript
Page 1: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

1

Răspunsul unui sistem la variaţiile parametrilor de acord ai

regulatorului

1 Scopul lucrării Cunoaşterea influenţei variaţiilor parametrilor de acord asupra răspunsului sistemelor de ordinul I şi II în

buclă închis.

2 Consideraţii teoretice Un aspect important când ne referim la algoritmi de reglaj este existenţa dinamicii sistemului. Fără dinamică

nu ar exista variaţii ale erorii deci nu ar mai fi nevoie de intervenţia unei bucle de reglaj.

2.1 Interpretarea acţiunii componentelor algoritmului de reglare PID Se consideră algoritmul PID ca o suprapunere a trei efecte: proporţional, integral şi derivativ. Se vor separa,

pe rând, fiecare din cele trei efecte considerând că celelalte două sunt nule. Componenta proporţională se

obţine punând condiţiile 0K i şi 0Kd :

tKtu p (1)

În orice moment de timp, comanda tu va fi propoţională cu eroarea, adică va fi o funcţie de “valoarea

prezentă” a erorii.

Privită altfel, acţiunea componentei proporţionale poate fi explicată în felul următor: cu cât suntem mai

departe de obiectiv, cu atât efortul este mai mare şi, pe măsura apropierii de ţintă, efortul scade. În imediata

apropiere a ţintei efortul dispare, astfel că atingerea acesteia se face cu o anumită eroare.

În figura 1 este prezentată schema de implementarea analogică a unui regulator proporţional prevăzut cu filtru

de tip "T" pe intrare. Schema este prevăzută cu o singură intrare (intrarea de eroare).

Funcţia de transfer a regulatorului este: f

pRTs

ksH

1

1, unde

21

3

RR

Rk p

iar ff C

RR

RRT

21

21 .

În cazul în care pe axa x a reprezentării modulului şi argumentului funcţiei de transfer avem frecvenţă, figura

2, frecvenţa de tăiere ft se va calcula cu: f

tT

f

2

1.

În figurile 3 respectiv 4 sunt prezentate semnalul aplicat pe intrarea de eroare şi cel de la ieşire

corespunzătoare schemei 1 pentru un semnal de tip treaptă unitate, respectiv rampă. Pentru simulare s-a Kp=1

şi ft=1 kHz.

Figura 1 Schema regulatorului proporţional prevăzut cu

filtru şi cu o intrare.

Figura 2 Caracteristicile de frecvenţă ale regulatorului din

figura 1 pentru Kp=1, ft=1 kHz.

Page 2: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

2

Figura 3 Răspunsul în timp al regulatorului P la aplicarea

pe intrarea de eroare a unui semnal treapta unitate.

Figura 4 Răspunsul în timp al regulatorului P la aplicarea

pe intrarea de eroare a unui semnal de tip rampă.

Pentru anularea (resetarea) erorii staţionare se introduce componenta integrală impunând 0K p şi

0Kd :

dKtu

t

0

iI (2)

Prin adăugarea componentei integrale se deschide o cale de acţiune directă prin care, dacă sistemul în buclă

deschisă este stabil, se forţează ieşirea controllerului pentru ca eroarea staţionară, la o variaţie de tip treaptă

unitate, să poată fi anulată. Atât timp cât eroarea este nenulă, componenta integrală devine din ce în ce mai

mare. Ea poate fi considerată ca o acumulare a “valorilor trecute” ale erorii. Este efectul de “întârziere”

(“lag”) al componentei integrale. Constanta iT se va numi “constantă de timp de integrare” (“integral

time”).

În figura 5 este prezentată schema de implementare analogică a unui regulator integral simplu. Funcţia de

transfer a acestuia poate fi scrisă ca i

RsCRs

sH

11

, unde CRi . În figura 6 sunt prezentate

caracteristicile de frecvenţă ale regulatorului I, iar în figura 7 este prezentat răspunsul regulatorului la

aplicarea pe intrarea de eroare a unui semnal treaptă unitate.

De regulă, componenta integrală nu se utilizează singură ci în combinaţie cu componenta proporţională, în

figura 8 fiind prezentat un regulator PI cu filtru T la intrare.

Figura 5 Schema regulatorului I.

Figura 6 Analiza în frecvenţă a regulatorului I.

Figura 7 Răspunsul regulatorului I la aplicarea unui

semnal treaptă la intrare.

u(t)Ɛ(t)

Figura 8 Schema unui regulator PI cu filtru T la intrare.

Page 3: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

3

Figura 9 Răspunsul în frecvenţă a regulatorului PI cu

filtru T la intrare.

Figura 10 Răspunsul în timp al regulatorului PI cu filtru T

la aplicarea unui semnal treaptă la intrare.

Pentru acest regulator funcţia de transfer devine 2121

1

3

1

RRCsRR

CsR

sHf

R

. Notând 21

3

RR

RK p

,

13 CRTi şi ff CRR

RRT

21

21 se poate rescrie Hr(s) sub forma fi

PRTsTs

KsH

1

111 . În

figura 9 sunt prezentate caracteristicile de frecvenţă ale acestui regulator iar în figura 10 răspunsul în timp la

aplicarea pe intarea de eroare a unui semnal treaptă unitate.

Această componentă integrală, introdusă pentru anularea erorii staţionare la poziţie, încetineşte reacţia

sistemului.

Pentru a accelera reacţia sistemului se introduce componenta derivativă ( 0K p şi 0K i ):

dt

tdKtu d

(3)

Comanda se bazează pe viteza cu care se schimbă eroarea. Cu cât eroarea variază mai rapid cu atât răspunsul

va fi mai rapid. Modificarea curentă a erorii, prin componenta derivativă, indică sensul în care urmează să

evolueze eroarea. Astfel, componenta derivativă poată fi considerată o funcţie de “valorile viitoare” (“future

values”) ale erorii. Astfel se explică efectul de “anticipaţie” sau “predicţie” (“lead”) al componentei

derivative, iar constanta de timp de derivare dT se va numi şi “rate time”. În realitate, un adevărat element de

derivare nu este disponibil, întrucât derivarea este un proces de bandă largă, amplificarea crescând pe măsura

creşterii frecvenţei. Pe de o parte, vor fi amplificate în mod nedorit zgomotele de înaltă frecvenţă, iar pe de

altă parte, unui salt abrupt al referinţei îi va corespunde un efort supradimensionat (şoc) al sistemului. Din

acest motiv, componenta derivativă va fi prevăzută cu filtre trece-jos pentru limitarea benzii de frecvenţă după

cum se observă în figura 11 şî în figura 12.

Figura 11 Schema regulatorului D cu filtru T la intrare.

Figura 12 Caracteristicile în frecvenţă ale regulatorului D

cu filtru.

Page 4: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

4

Funcţia de transfer a regulatorului PD prevăzut cu filtru T din figura 11 este

f

RCRRsRR

CRRsRRsH

2121

14343 . Notând 21

43

RR

RRK p

, 1

43

43 CRR

RRTd

şi ff C

RR

RRT

21

21

funcţia de transfer poate fi rescrisă sub forma f

dpR

Ts

TsKsH

1

1.

În figura 13 este prezentat răspunsul în timp al regulatorului derivativ prevăzut cu filtru T la

intrare la aplicarea unui semnal de tip treaptă pe calea semnalului de eroare. De regulă, componenta

derivativă va satura controllerul, după cum se poate observa în figura 14. Tf este ales de regulă în

intervalul 5:20 Td.

Figura 13 Răspunsul în timp al regulatorului D cu filtru

la aplicarea unui semnal treaptă la intrare.

Figura 14 Răspunsul în timp al regulatorului derivativ

cu limitare a ieşirii la aplicarea unui semnal treaptă la

intrare.

Prin suprarpunerea celor trei componente proporţionale cu: eroarea, integrala erorii şi derivata erorii se

obţine algoritmul proporţional-integral-derivativ care are ca ieşire semnalul de comandă u(t).

t

d

i

pdt

tdTd

TtKtu

0

)()(

1)()(

(4)

Notând cei trei parametri de acord ai regulatorului PID cu Kp-factorul de proporţionalitate, Ti- constanta

de timp de integrare, Td-constanta de timp de derivare, funcţia de transfer a regulatorului PID în domeniul

Laplace se poate exprima prin:

)1

1()( d

i

pR sTTs

KsH

(5)

Datorită existenţei componentei derivative, asemenea cazului unui controler PD, pentru limitarea acţiunii

derivative este nevoie de introducerea unui filtru trece jos.

N

Ts

sTTs

KsHd

d

i

pR

1

1)

11()( , unde N=5-20 (6)

O modalitate de implementarea a unui regulator PID analogic cu filtru T la intrarea utilizând un

amplificator operaţional este prezentată în figura 15. Funcţia de transfer a acestui regulator poate fi

exprimată ca:

Page 5: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

5

)1(

)1()1()( 2

fi

iR

Tss

sssH

(7)

, unde 231 RC , 322 RC , 122 RCi şi 12

1RCT ff .

i

pK

21 , 21 iT , 21

21

dT . (8)

În figura 16 sunt prezentatea caracteristicile de frecvenţă ale regulatorului PID iar în figurile 17 şi 18 este

prezentat răspunsul în timp al regulatorului cu şi fără saturarea ieşirii la aplicarea unui semnal treaptă pe

intrarea de eroare.

Figura 15 Regulator PID cu filtru T la intrare.

Figura 16 Caracteristicile de frecvenţă ale regulatorului

PID.

Figura 17 Răspunsul regulatorului PID la aplicarea

unui semnal treaptă unitate la intrare.

e.

Figura 18 Răspunsul regulatorului PID cu saturarea

ieşirii.Interpretarea celor trei termeni ai unui algoritm

PID poate fi înţeleasă cu ajutorul figurii 19, unde este

redată evoluţia unei erori oarecare.

În elaborarea mărimii de comandă tu , un algoritm PID iau în considerare valorile trecute,

prezente şi viitoare ale erorii. În figura 19 se poate observa suprapunerea celor trei efecte P, I, D în timp.

Page 6: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

6

eroare

timp

t t+Td

prezent

viitor trecut

tangenta la curba

erorii indică evoluţia

u l t e r i o a r ă

Figura 19 Algoritmul PID se exprimă ca o superpoziţie a acţiunilor

trecute, prezente şi viitoare ale erorii

2.2 Erori ale sistemelor de ordinul doi Prezintă interes eroarea staţionară în raport cu intrarea de prescriere, prescriere variabilă în timp după o

lege impusă. În modelul buclei de reglare automată prezentat în figura 20, se pun în evidenţă doar intrarea

de prescriere r(t) şi ieşirea y(t):

Hd(s) + r(t) (t)

y(t)

Figura 20 Modelul unui sistem cu urmărire

Eroarea de reglare (s) se calculează în funcţie de intrarea R(s) cu ajutorul funcţiei de transfer a erorii,

H(s):

sR

sP

sP

s

K1

1sR

sH1

1sRsHs

d2

d1dd

d

(9)

Prin aplicarea teoremei valorii finale, se obţine expresia erorii staţionare sub forma:

sR

s

K1

1slimsR

sP

sP

s

K1

1slimsslim

dd

d0s

d2

d1d0s0s

ST

(10)

Din relaţia mai sus prezentată se constată că eroarea staţionară depinde de tipul semnalului aplicat la

intrarea sistemului. Se va analiza problema erorii staţionare pentru trei tipuri de semnale de prescriere:

a. dacă la intrare se aplică semnalul treaptă unitate ttr , eroarea staţionară se va numi

“eroare staţionară la poziţie” (p) şi se calculează cu relaţia:

dd s

K1

1lim

s

1

s

K1

1slim

d0s

d0s

pST

(11)

În situaţia în care, în sistem nu există nici un element integrator, adică 0d , se obţine o eroare la

poziţie nenulă:

Page 7: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

7

0K1

1

d

p

(12)

Reglarea nu este performantă din punct de vedere al unei prescrieri de tip treaptă. În condiţiile în care

există cel puţin un element integrator (un pol în origine), eroarea staţionară la poziţie devine nulă:

0Ks

slim

s

K1

1lim

d0s

d0s

p

(13)

Condiţia de performanţă 0p se obţine dacă d 1.

b. dacă la intrare se aplică semnalul rampă unitate, eroarea staţionară se va numi “eroare staţionară

la viteză” (v) şi se calculează cu relaţia:

dd s

K1s

1lim

s

1

s

K1

1slim

d0s2

d0s

vST (14)

Dacă în sistem nu există nici un element integrator ( 0d ), rezultă o eroare staţionară la viteză ce tinde

la infinit:

d0s

vK1s

1lim (15)

adică ieşirea rămâne din ce în ce mai mult în urma rampei de referinţă, pe măsura scurgerii timpului.

Existenţa unui element integrator în sistem ( 1d ) conduce la o eroare staţionară la viteză, v, constantă

dar diferită de zero:

dd

0s2d

0sv

K

1

s

K1s

1lim

s

1

s

K1

1slim

d

(16)

Eroarea staţionară la viteză devine nulă numai dacă în calea directă Hd(s) există cel puţin 2 elemente

integratoare. Condiţia de performanţă v = 0 va fi îndeplinită dacă d 2.

În figura 21 sunt redate răspunsurile sistemului, pentru cazurile 0d , 1d şi 2d la o rampă

unitate aplicată pe intrarea de prescriere.

Rampa de prescriere

r(t) = t

v (d = 0)

d

vK

1 (d = 1)

v = 0 (d 2)

t

y(t)

Figura 21 Eroarea staţionară la viteză

Page 8: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

8

3 Desfăşurarea lucrării

3.1 Studiul sistemelor de ordinul I

A. Se va implementa o buclă de reacţie cu sistem de ordinul întâi, având configuraţia din figura 22 unde

1

1)(

ssH .

Figura 22 Buclă de reacţie cu sistem de ordinul I.

Se va studia eroarea la poziţie, aplicând la intrare un semnal treaptă unitate şi se vor reprezenta semnalul

aplicat la intrarea şi cel de la ieşire pe acelaşi grafic.

Pentru acelaşi sistem se va reprezenta eroarea la viteză prin aplicarea unui semnal rampă la intrare.

Page 9: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

9

Se vor repeta paşii anteriori utilizând un bloc PI ca regulator şi un semnal treaptă respectiv rampă pe

intrarea de prescriere.

B. Pentru acelaşi sistem de ordinul I se va implementa un algortim PID şi se va optimiza sistemul pentru a

reduce erorile.

3.2 Studiul sistemelor de ordinul II

A. Se va implementa o buclă de reglare automată a unui sistem de ordinul doi cu funcţia de transfer:

2s3s

1)s(H

2

Se va studia eroarea la poziţie şi eroarea la viteză, aplicând la intrare un semnal treaptă unitate, respectiv

un semnal rampă. Se vor studia efectele erorilor asupra răspunsului sistemului, pentru cazul regulatoarelor

P.

Page 10: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

10

PI

şi PID

B. Să se optimizeze sistemul pentru a reduce erorile.

3.3 Semnificaţia parametrilor P, I, D

Pentru cazul unui sistem de ordinul doi, să se studieze efectele modificării parametrilor P, I şi D şi să se

noteze concluziile.

Page 11: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

11

Se va utiliza schema din figura 23 pentru a observa răspunsul unui sistem de ordinul doi(în acest caz un

convertor coborâtor de tensiune) pentru diferite valori alea factorului proporţional Kp.

Figura 23 Scheama utilizată pentru a varia parametrul proporţional.

Se va reprezenta tensiunea de ieşire a convertorului pentru minim trei valori distincte ale parametrului Kp.

Cum este afectat răspunsul sistemului de valoarea lui Kp?

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

Pentru care valoarea a lui Kp supracreşterea este minimă?

______________________________________________

Pentru care valoare a lui Kp timpul de răspuns este cel mai scurt?

______________________________________________

Page 12: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

12

Figura 24 Schema utilizată pentru a varia parametrul ti.

Se va reprezenta tensiunea de ieşire a convertorului pentru minim trei valori distincte ale parametrului t i.

Cum este afectat răspunsul sistemului de valoarea lui ti?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

Pentru care valoarea a lui ti supracreşterea este minimă?

______________________________________________

Pentru care valoare a lui ti timpul de răspuns este cel mai scurt?

______________________________________________

Studiu suplimentar:

Page 13: Lucrare 2 Laborator Electronică de Comandă Şi Reglaj v2

Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj

13

Să se prezinte o metodă de a varia parametrul D şi să se răspundă la aceleaşi întrebări ca şi în

cazurile prezentate anterior.


Top Related