Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
1
Răspunsul unui sistem la variaţiile parametrilor de acord ai
regulatorului
1 Scopul lucrării Cunoaşterea influenţei variaţiilor parametrilor de acord asupra răspunsului sistemelor de ordinul I şi II în
buclă închis.
2 Consideraţii teoretice Un aspect important când ne referim la algoritmi de reglaj este existenţa dinamicii sistemului. Fără dinamică
nu ar exista variaţii ale erorii deci nu ar mai fi nevoie de intervenţia unei bucle de reglaj.
2.1 Interpretarea acţiunii componentelor algoritmului de reglare PID Se consideră algoritmul PID ca o suprapunere a trei efecte: proporţional, integral şi derivativ. Se vor separa,
pe rând, fiecare din cele trei efecte considerând că celelalte două sunt nule. Componenta proporţională se
obţine punând condiţiile 0K i şi 0Kd :
tKtu p (1)
În orice moment de timp, comanda tu va fi propoţională cu eroarea, adică va fi o funcţie de “valoarea
prezentă” a erorii.
Privită altfel, acţiunea componentei proporţionale poate fi explicată în felul următor: cu cât suntem mai
departe de obiectiv, cu atât efortul este mai mare şi, pe măsura apropierii de ţintă, efortul scade. În imediata
apropiere a ţintei efortul dispare, astfel că atingerea acesteia se face cu o anumită eroare.
În figura 1 este prezentată schema de implementarea analogică a unui regulator proporţional prevăzut cu filtru
de tip "T" pe intrare. Schema este prevăzută cu o singură intrare (intrarea de eroare).
Funcţia de transfer a regulatorului este: f
pRTs
ksH
1
1, unde
21
3
RR
Rk p
iar ff C
RR
RRT
21
21 .
În cazul în care pe axa x a reprezentării modulului şi argumentului funcţiei de transfer avem frecvenţă, figura
2, frecvenţa de tăiere ft se va calcula cu: f
tT
f
2
1.
În figurile 3 respectiv 4 sunt prezentate semnalul aplicat pe intrarea de eroare şi cel de la ieşire
corespunzătoare schemei 1 pentru un semnal de tip treaptă unitate, respectiv rampă. Pentru simulare s-a Kp=1
şi ft=1 kHz.
Figura 1 Schema regulatorului proporţional prevăzut cu
filtru şi cu o intrare.
Figura 2 Caracteristicile de frecvenţă ale regulatorului din
figura 1 pentru Kp=1, ft=1 kHz.
Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
2
Figura 3 Răspunsul în timp al regulatorului P la aplicarea
pe intrarea de eroare a unui semnal treapta unitate.
Figura 4 Răspunsul în timp al regulatorului P la aplicarea
pe intrarea de eroare a unui semnal de tip rampă.
Pentru anularea (resetarea) erorii staţionare se introduce componenta integrală impunând 0K p şi
0Kd :
dKtu
t
0
iI (2)
Prin adăugarea componentei integrale se deschide o cale de acţiune directă prin care, dacă sistemul în buclă
deschisă este stabil, se forţează ieşirea controllerului pentru ca eroarea staţionară, la o variaţie de tip treaptă
unitate, să poată fi anulată. Atât timp cât eroarea este nenulă, componenta integrală devine din ce în ce mai
mare. Ea poate fi considerată ca o acumulare a “valorilor trecute” ale erorii. Este efectul de “întârziere”
(“lag”) al componentei integrale. Constanta iT se va numi “constantă de timp de integrare” (“integral
time”).
În figura 5 este prezentată schema de implementare analogică a unui regulator integral simplu. Funcţia de
transfer a acestuia poate fi scrisă ca i
RsCRs
sH
11
, unde CRi . În figura 6 sunt prezentate
caracteristicile de frecvenţă ale regulatorului I, iar în figura 7 este prezentat răspunsul regulatorului la
aplicarea pe intrarea de eroare a unui semnal treaptă unitate.
De regulă, componenta integrală nu se utilizează singură ci în combinaţie cu componenta proporţională, în
figura 8 fiind prezentat un regulator PI cu filtru T la intrare.
Figura 5 Schema regulatorului I.
Figura 6 Analiza în frecvenţă a regulatorului I.
Figura 7 Răspunsul regulatorului I la aplicarea unui
semnal treaptă la intrare.
u(t)Ɛ(t)
Figura 8 Schema unui regulator PI cu filtru T la intrare.
Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
3
Figura 9 Răspunsul în frecvenţă a regulatorului PI cu
filtru T la intrare.
Figura 10 Răspunsul în timp al regulatorului PI cu filtru T
la aplicarea unui semnal treaptă la intrare.
Pentru acest regulator funcţia de transfer devine 2121
1
3
1
RRCsRR
CsR
sHf
R
. Notând 21
3
RR
RK p
,
13 CRTi şi ff CRR
RRT
21
21 se poate rescrie Hr(s) sub forma fi
PRTsTs
KsH
1
111 . În
figura 9 sunt prezentate caracteristicile de frecvenţă ale acestui regulator iar în figura 10 răspunsul în timp la
aplicarea pe intarea de eroare a unui semnal treaptă unitate.
Această componentă integrală, introdusă pentru anularea erorii staţionare la poziţie, încetineşte reacţia
sistemului.
Pentru a accelera reacţia sistemului se introduce componenta derivativă ( 0K p şi 0K i ):
dt
tdKtu d
(3)
Comanda se bazează pe viteza cu care se schimbă eroarea. Cu cât eroarea variază mai rapid cu atât răspunsul
va fi mai rapid. Modificarea curentă a erorii, prin componenta derivativă, indică sensul în care urmează să
evolueze eroarea. Astfel, componenta derivativă poată fi considerată o funcţie de “valorile viitoare” (“future
values”) ale erorii. Astfel se explică efectul de “anticipaţie” sau “predicţie” (“lead”) al componentei
derivative, iar constanta de timp de derivare dT se va numi şi “rate time”. În realitate, un adevărat element de
derivare nu este disponibil, întrucât derivarea este un proces de bandă largă, amplificarea crescând pe măsura
creşterii frecvenţei. Pe de o parte, vor fi amplificate în mod nedorit zgomotele de înaltă frecvenţă, iar pe de
altă parte, unui salt abrupt al referinţei îi va corespunde un efort supradimensionat (şoc) al sistemului. Din
acest motiv, componenta derivativă va fi prevăzută cu filtre trece-jos pentru limitarea benzii de frecvenţă după
cum se observă în figura 11 şî în figura 12.
Figura 11 Schema regulatorului D cu filtru T la intrare.
Figura 12 Caracteristicile în frecvenţă ale regulatorului D
cu filtru.
Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
4
Funcţia de transfer a regulatorului PD prevăzut cu filtru T din figura 11 este
f
RCRRsRR
CRRsRRsH
2121
14343 . Notând 21
43
RR
RRK p
, 1
43
43 CRR
RRTd
şi ff C
RR
RRT
21
21
funcţia de transfer poate fi rescrisă sub forma f
dpR
Ts
TsKsH
1
1.
În figura 13 este prezentat răspunsul în timp al regulatorului derivativ prevăzut cu filtru T la
intrare la aplicarea unui semnal de tip treaptă pe calea semnalului de eroare. De regulă, componenta
derivativă va satura controllerul, după cum se poate observa în figura 14. Tf este ales de regulă în
intervalul 5:20 Td.
Figura 13 Răspunsul în timp al regulatorului D cu filtru
la aplicarea unui semnal treaptă la intrare.
Figura 14 Răspunsul în timp al regulatorului derivativ
cu limitare a ieşirii la aplicarea unui semnal treaptă la
intrare.
Prin suprarpunerea celor trei componente proporţionale cu: eroarea, integrala erorii şi derivata erorii se
obţine algoritmul proporţional-integral-derivativ care are ca ieşire semnalul de comandă u(t).
t
d
i
pdt
tdTd
TtKtu
0
)()(
1)()(
(4)
Notând cei trei parametri de acord ai regulatorului PID cu Kp-factorul de proporţionalitate, Ti- constanta
de timp de integrare, Td-constanta de timp de derivare, funcţia de transfer a regulatorului PID în domeniul
Laplace se poate exprima prin:
)1
1()( d
i
pR sTTs
KsH
(5)
Datorită existenţei componentei derivative, asemenea cazului unui controler PD, pentru limitarea acţiunii
derivative este nevoie de introducerea unui filtru trece jos.
N
Ts
sTTs
KsHd
d
i
pR
1
1)
11()( , unde N=5-20 (6)
O modalitate de implementarea a unui regulator PID analogic cu filtru T la intrarea utilizând un
amplificator operaţional este prezentată în figura 15. Funcţia de transfer a acestui regulator poate fi
exprimată ca:
Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
5
)1(
)1()1()( 2
fi
iR
Tss
sssH
(7)
, unde 231 RC , 322 RC , 122 RCi şi 12
1RCT ff .
i
pK
21 , 21 iT , 21
21
dT . (8)
În figura 16 sunt prezentatea caracteristicile de frecvenţă ale regulatorului PID iar în figurile 17 şi 18 este
prezentat răspunsul în timp al regulatorului cu şi fără saturarea ieşirii la aplicarea unui semnal treaptă pe
intrarea de eroare.
Figura 15 Regulator PID cu filtru T la intrare.
Figura 16 Caracteristicile de frecvenţă ale regulatorului
PID.
Figura 17 Răspunsul regulatorului PID la aplicarea
unui semnal treaptă unitate la intrare.
e.
Figura 18 Răspunsul regulatorului PID cu saturarea
ieşirii.Interpretarea celor trei termeni ai unui algoritm
PID poate fi înţeleasă cu ajutorul figurii 19, unde este
redată evoluţia unei erori oarecare.
În elaborarea mărimii de comandă tu , un algoritm PID iau în considerare valorile trecute,
prezente şi viitoare ale erorii. În figura 19 se poate observa suprapunerea celor trei efecte P, I, D în timp.
Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
6
eroare
timp
t t+Td
prezent
viitor trecut
tangenta la curba
erorii indică evoluţia
u l t e r i o a r ă
Figura 19 Algoritmul PID se exprimă ca o superpoziţie a acţiunilor
trecute, prezente şi viitoare ale erorii
2.2 Erori ale sistemelor de ordinul doi Prezintă interes eroarea staţionară în raport cu intrarea de prescriere, prescriere variabilă în timp după o
lege impusă. În modelul buclei de reglare automată prezentat în figura 20, se pun în evidenţă doar intrarea
de prescriere r(t) şi ieşirea y(t):
Hd(s) + r(t) (t)
y(t)
Figura 20 Modelul unui sistem cu urmărire
Eroarea de reglare (s) se calculează în funcţie de intrarea R(s) cu ajutorul funcţiei de transfer a erorii,
H(s):
sR
sP
sP
s
K1
1sR
sH1
1sRsHs
d2
d1dd
d
(9)
Prin aplicarea teoremei valorii finale, se obţine expresia erorii staţionare sub forma:
sR
s
K1
1slimsR
sP
sP
s
K1
1slimsslim
dd
d0s
d2
d1d0s0s
ST
(10)
Din relaţia mai sus prezentată se constată că eroarea staţionară depinde de tipul semnalului aplicat la
intrarea sistemului. Se va analiza problema erorii staţionare pentru trei tipuri de semnale de prescriere:
a. dacă la intrare se aplică semnalul treaptă unitate ttr , eroarea staţionară se va numi
“eroare staţionară la poziţie” (p) şi se calculează cu relaţia:
dd s
K1
1lim
s
1
s
K1
1slim
d0s
d0s
pST
(11)
În situaţia în care, în sistem nu există nici un element integrator, adică 0d , se obţine o eroare la
poziţie nenulă:
Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
7
0K1
1
d
p
(12)
Reglarea nu este performantă din punct de vedere al unei prescrieri de tip treaptă. În condiţiile în care
există cel puţin un element integrator (un pol în origine), eroarea staţionară la poziţie devine nulă:
0Ks
slim
s
K1
1lim
d0s
d0s
p
(13)
Condiţia de performanţă 0p se obţine dacă d 1.
b. dacă la intrare se aplică semnalul rampă unitate, eroarea staţionară se va numi “eroare staţionară
la viteză” (v) şi se calculează cu relaţia:
dd s
K1s
1lim
s
1
s
K1
1slim
d0s2
d0s
vST (14)
Dacă în sistem nu există nici un element integrator ( 0d ), rezultă o eroare staţionară la viteză ce tinde
la infinit:
d0s
vK1s
1lim (15)
adică ieşirea rămâne din ce în ce mai mult în urma rampei de referinţă, pe măsura scurgerii timpului.
Existenţa unui element integrator în sistem ( 1d ) conduce la o eroare staţionară la viteză, v, constantă
dar diferită de zero:
dd
0s2d
0sv
K
1
s
K1s
1lim
s
1
s
K1
1slim
d
(16)
Eroarea staţionară la viteză devine nulă numai dacă în calea directă Hd(s) există cel puţin 2 elemente
integratoare. Condiţia de performanţă v = 0 va fi îndeplinită dacă d 2.
În figura 21 sunt redate răspunsurile sistemului, pentru cazurile 0d , 1d şi 2d la o rampă
unitate aplicată pe intrarea de prescriere.
Rampa de prescriere
r(t) = t
v (d = 0)
d
vK
1 (d = 1)
v = 0 (d 2)
t
y(t)
Figura 21 Eroarea staţionară la viteză
Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
8
3 Desfăşurarea lucrării
3.1 Studiul sistemelor de ordinul I
A. Se va implementa o buclă de reacţie cu sistem de ordinul întâi, având configuraţia din figura 22 unde
1
1)(
ssH .
Figura 22 Buclă de reacţie cu sistem de ordinul I.
Se va studia eroarea la poziţie, aplicând la intrare un semnal treaptă unitate şi se vor reprezenta semnalul
aplicat la intrarea şi cel de la ieşire pe acelaşi grafic.
Pentru acelaşi sistem se va reprezenta eroarea la viteză prin aplicarea unui semnal rampă la intrare.
Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
9
Se vor repeta paşii anteriori utilizând un bloc PI ca regulator şi un semnal treaptă respectiv rampă pe
intrarea de prescriere.
B. Pentru acelaşi sistem de ordinul I se va implementa un algortim PID şi se va optimiza sistemul pentru a
reduce erorile.
3.2 Studiul sistemelor de ordinul II
A. Se va implementa o buclă de reglare automată a unui sistem de ordinul doi cu funcţia de transfer:
2s3s
1)s(H
2
Se va studia eroarea la poziţie şi eroarea la viteză, aplicând la intrare un semnal treaptă unitate, respectiv
un semnal rampă. Se vor studia efectele erorilor asupra răspunsului sistemului, pentru cazul regulatoarelor
P.
Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
10
PI
şi PID
B. Să se optimizeze sistemul pentru a reduce erorile.
3.3 Semnificaţia parametrilor P, I, D
Pentru cazul unui sistem de ordinul doi, să se studieze efectele modificării parametrilor P, I şi D şi să se
noteze concluziile.
Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
11
Se va utiliza schema din figura 23 pentru a observa răspunsul unui sistem de ordinul doi(în acest caz un
convertor coborâtor de tensiune) pentru diferite valori alea factorului proporţional Kp.
Figura 23 Scheama utilizată pentru a varia parametrul proporţional.
Se va reprezenta tensiunea de ieşire a convertorului pentru minim trei valori distincte ale parametrului Kp.
Cum este afectat răspunsul sistemului de valoarea lui Kp?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
Pentru care valoarea a lui Kp supracreşterea este minimă?
______________________________________________
Pentru care valoare a lui Kp timpul de răspuns este cel mai scurt?
______________________________________________
Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
12
Figura 24 Schema utilizată pentru a varia parametrul ti.
Se va reprezenta tensiunea de ieşire a convertorului pentru minim trei valori distincte ale parametrului t i.
Cum este afectat răspunsul sistemului de valoarea lui ti?
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
Pentru care valoarea a lui ti supracreşterea este minimă?
______________________________________________
Pentru care valoare a lui ti timpul de răspuns este cel mai scurt?
______________________________________________
Studiu suplimentar:
Laborator Electronică de Comandă şi Reglaj
13
Să se prezinte o metodă de a varia parametrul D şi să se răspundă la aceleaşi întrebări ca şi în
cazurile prezentate anterior.