Download - Limite de Functii Si Continuitate
( )( ) ( )2 22 2 2 2
1 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ,
31( )
xR x a bx a x b
L x M L x M x xR xx a x b b a x a x b
⎧ = ≠⎪ + +⎪⎨
+ + ⎡ ⎤⎪ = + = −⎢ ⎥⎪ + + − + +⎣ ⎦⎩
o
( )( )2
1 222 2
2
1 2( )12 1 1 1 2 1 2
41 3 2 1 1 3 2 1 1 1( )
8 8 41 2 1 2
A A
1
x Lx MR xxx x x x x
xR xxx x
⎧ + += = +⎪ +− + + + − − + −⎪
⎨+ −⎪
= − ⋅ + ⋅ + ⋅⎪ +− − + −⎩
o
+
−
2. Limita unei funcţii într-un punct Vom prezenta conceptul de "limită a unei funcţii într-un punct"
care este o generalizare naturală a limitei unui şir numeric şi apoi,
conceptul de "funcţie continuă într-un punct" care este un caz particular
de funcţii cu limită.
Ideea centrală a faptului că o funcţie are limita un
element l∈
:f A⊆ →R R
R în punctul x0∈R este exprimată prin aceea că, la orice punct
x ∈A apropiat de x0, imaginea sa prin f, notată f(x), să fie suficient de
apropiată de l. Funcţia f este continuă în x0∈A, dacă la orice două puncte
apropiate între ele şi vecine cu x0 corespund imagini prin f apropiate între
ele.
Definiţia III.15. Fie o mulţime oarecare nevidă şi RA ⊆ 0 Rx ∈
punct de acumulare pentru A (deci '0x A∈ mulţimea tuturor punctelor de
acumulare pentru A din R ) şi f: A → R, elementul Rl∈ .
1] Funcţia f are limită în punctul x0 egală cu l, notată, ( )0
limx x
f x→
l= , dacă şi
numai dacă, avem:
( ) ( ) ( ) { }( ) ( )0 0III.15 , a.î.V l U x x U A x f x∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ∩ − ⇒ ∈V V V
180
2] Fie '0şiB A x B⊆ ∈ ∩R . Dacă există ( )( )
01lim |Bx x
f x l→
= atunci spunem
că "l1 este limita lui f în x0 relativ la mulţimea B", notată:
( ) ( )0
1 1limx xx B
f x l l→∈
= ∈R .
Observaţii:
1. Condiţia '0 şi respectiv '
0x A x B∈ ∈ ne asigură că există puncte x ∈ A cu
{ }( )0 0a.î.x x x U A x≠ ∀ ∈ ∩ − au imagini ( )f x prin f: A → R.
2. Punctul x0 ∈ A'∩R poate fi x0 ∈ A sau x0 ∉ A (respectiv x0 ∈ B sau
x0 ∉ B).
3. Funcţia " f nu are limită în x0" sau ∃ ( )0
limx x
f x→
, dacă şi numai dacă:
( )III.16 ,Rl∀ ∈ ∃V∈V(l), ∀U∈V(x0), { }( ) ( )0 a.î. x U A x f x V∃ ∈ ∩ − ∉
Teorema III.15. (Teoremă de caracterizare pentru funcţii cu
limită). Fie '0 , şi :A x A l f A⊆ ∈ ∩ ∈ →R, R R R . Următoarele afirmaţii
sunt echivalente:
(i) ( )0
limx x
f x→
= l (definiţia cu vecinătăţi – definiţia III.15)
(ii) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )0 0
'0
0, , a.î. cu 0 ,
, ;
x x A d x x x x
d f x l f x l l x A
⎧∀ε > ∃δ ε ∀ ∈ < = − < δ⇒⎪⎨
= − < ε ∈ ∈ ∩⎪⎩ R R0
(iii) ( ) ( )0 00, şin n n nn
x A x x x x f x l≥
⎛ ⎞⎛ ⎞∀ ⊂ ≠ → ⇒ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
R R.
Demonstraţie (i) ⇒ (ii) Dacă (i) adevărată pentru ∀ε > 0 dat luăm
( ) ( ) ( )0, şiV VV l l l U x= −ε + ε ∈ ∃ ∈ care poate fi de forma:
corespunzător lui ε şi x( )0 0, cuU x x= −δ + δ δ > 0 0 astfel încât:
{ }( ) ( ) ( )0 ,x A x U d f x l f x l∀ ∈ − ∩ ⇒ = − < ε⎡ ⎤⎣ ⎦ tocmai (ii).
181
(ii) ⇒ (iii) Presupunem (ii) adevărată şi fie ( ) 0n nx A
≥∀ ⊂ cu
0 şin n 0x x x x≠ →R
. Pentru ∀ε > 0 dat alegem ( )0, 0 a.xδ ε > î.
( )( )
( ) ( )0 00 , ,ii
n n n nn n d x x x x d f x l f x lδ∀ ≥ ⇒ < = − < δ⇒ = − < ε⎡ ⎤⎣ ⎦
adică ( )nf x →R
l şi (iii) adevărată.
(iii) ⇒ (i) Fie (iii) adevărată şi demonstrăm implicaţia prin metoda
reducerii la absurd. Presupunem (i) falsă ( ) a.î.VV l⇔∃ ∈
( ) { }( ) ( )0 0,U x x A x U f x∀ ∈ ∃ ∈ − ∩ ⇒ ∉V V . Pentru n ≥ 1 luăm:
( )0 0 01 1 1, | 0 ,U x x x A d x xn n n
⎛ ⎞ ⎧= − + = ∈ < < ⎫⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎩ ⎭
n
şi alegem
0 0( { }) ( )n nx U A x f x V x x⎡∈ ∩ − ∉ ⇔ ⎯⎯→⎣Ra. î. cu
( )0, şin n nx A x x f x∈ ≠ ⎯⎯→R l⎤⎦ este absurd, deoarece avem (iii)
adevărată, ( ) ( )0 00, şin n n nn
x A x x x x f x l≥
⎛⎛ ⎞∀ ⊂ ≠ → ⇒ →⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
R R ⎞⎟ . În concluzie
(i) este adevărată şi avem echivalenţa afirmaţiilor din enunţ.
Observaţii:
1. După teorema precedentă, (ii) este teorema de caracterizare a limitei cu
(ε - δ) şi (iii) este teorema de caracterizare a limitei cu şiruri, fiecare dintre
ele poate fi considerată definiţie pentru limita unei funcţii în punct.
2. În multe demonstraţii ale proprietăţilor unei funcţii cu limită se foloseşte
caracterizarea cu şiruri (iii) care reduce aceste proprietăţi la proprietăţile
unor şiruri numerice convergente deja demonstrate.
3. Echivalenţa (ii) ⇔ (iii) se numeşte criteriul Heine.
182
Teorema III.16 (Criteriul Cauchy-Bolzano).
Fie 0 : şiR, , R RA x A f A l′⊆ ∈ → ∈ . Atunci: ( )0
limx x
l f→
= x , dacă
şi numai dacă:
( )( ) { }
( ) ( )
' ''0 0
' '' ' ''0 0
0, , 0 a.î. şiIII.17
cu ,
x x x A x
x x x x f x f x
⎧∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ −⎪⎨
− < δ − < δ⇒ − < ε⎪⎩.
Demonstraţie: (Necesitatea) Fie ( )0
limx x
l f→
= x şi ∀ε > 0, deci
există ( ) { }0 0 0, 0 a.î. ( , )x x A x d x x x x∃δ ε > ∀ ∈ − ⇒ = − < δ⇒0
⇒ ( )2
f x l ε− < ; pentru: { }' '' ' ''
0 0 0, cu şi x x A x x x x x∈ − − < δ − < δ⇒
( ) ( ) ( ) ( )' '' ' ''
2 2f x f x f x l l f x ε ε
⇒ − ≤ − + − < + = ε⇒
0n
(III.17) adevărată.
(Suficienţa) Presupunem (III.17) adevărată şi considerăm
( ) 01{ } cu limn n n
x A x x x≥ →∞⊂ − = adică există n0 ∈ N a. î. 0 nx x− < δ
(δ > 0 şi ε > 0 din (III.17)). 0pentru n n≥
Pentru ∀ p≥1, avem 0 pentru n p nx x+ n n− < δ ≥ deoarece (xn) convergent
în R ⇒(xn) şir Cauchy şi obţinem din (III.17) 0( ) ( ) , n p nf x f x n+ n− < ε ∀ ≥
şi ∀ p ≥1 ⇒ (f(xn)) este şir Cauchy din R ⇒ (f(xn)) şir convergent în R ⇒
∃ l ∈R a. î. ( )lim nnf x
→∞l= şi să arătăm că
0
lim ( )x x
f x l→
= . Din ( )lim nnf x l
→∞=
rezultă că există Nε ∈N a. î. ∀n≥Nε avem ( ) , 02nf x l ε
− < ∀ε > .
Fie { }0 0 cu x A x x x∈ − − < δ , alegem nε = max {n0, Nε} şi pentru
n ≥ nε ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )n nf x l f x f x f x lε ε
− ≤ − + − < ε⇒ 0
lim ( )x x
f x l→
= după
caracterizarea cu (ε - δ).
183
Observaţii:
1. Considerăm { }1 1 0cu | şiB A B x A x x⊂ = ∈ < presupunem că '0 1x B∈
atunci ( ) ( ) ( )0 0
1 0
lim lim 0not not
sx x x xx B x x
f x f x f x→ →∈ <
l= = − = se numeşte limita la stânga a
lui f în x0.
2. Considerând 2B A⊂ cu { }2 |B x A x x= ∈ > 0 şi presupunem că '0 2x B∈
atunci 0 0
2 0
0lim ( ) lim ( ) ( 0)not not
dx x x xx B x x
f x f x f x→ →∈ >
l= = + = se numeşte limita la dreapta a
lui f în x0.
3. Dacă 0x este punct de acumulare al mulţimilor { }1 0|B x A x x= ∈ < şi
{ }2 |B x A x x= ∈ > 0 , atunci există ( )0
limx x
f x→
l= dacă şi numai dacă,
există şi ( )0 0f x − ( )0 0f x + şi sunt egale.
( ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0 0
0 0lim 0 lim 0x x x xx x x x
f x f x f x f x l→ →< >
= − = = + = )
4. Limita unei funcţii în punct este o noţiune locală deoarece existenţa şi
valoarea ei depind de comportarea funcţiei pe o vecinătate a punctului
respectiv.
5. Orice funcţie lipschitziană are limită finită în fiecare :f A → R '0x A∈
(după teorema Cauchy - Bolzano).
Teorema III.17. Fie care admit
limită finită în x
'0 şi , :A x A f g A⊂ ∈ ∩ →R, R R
0, atunci avem:
184
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) { }( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
0 0 0
0 0
0 0 0
0
0
0
0
1
2
3
4 0 0
5
lim lim lim
lim lim ,
lim lim lim
Dacă lim 0, a.î. 0
limlim dacă
lim
U V U
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x
x xx x
p f x g x f x g x
p f x f x
p f x g x f x g x
p f x x x A x f
f xf xp
g x g x
→ → →
→ →
→ → →
→
→
→→
± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦
λ = λ ∀λ∈⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦x≠ ∃ ∈ ∀ ∈ − ∩ ⇒ ≠
=
R
( ) ( )
( )
0
0
0 şi, lim 0,
cu V
x xg x g x x V A
V x
→≠ ≠ ∀ ∈
∈
∩
Demonstraţia este directă folosind caracterizarea limitei cu şiruri
şi operaţiile algebrice cu şiruri convergente în R
Observaţii:
1. Teorema III.17. este valabilă dacă f şi g au limită în R cu respectarea
convenţiilor privind operaţiile algebrice cu elemente din R , precizate în
definiţia mulţimii R .
2. Exemple: 1o ( ) signf x = x cu x∈R nu are limită în x0 = 0 deoarece
( ) ( )0 0 1 0 0 1f f+ = ≠ − = − .
2o Funcţia Dirichlet: nu are limita în nici un punct
x
( )1;0 ;
xf x
x∈⎧
= ⎨ ∈⎩
QR-Q
0∈R.( ( )0( şi 1)∧ 0( ,R-Qn ny y∈ →Qn n nx x x f x∈ → ⇒ → x
( ) 0)nf y⇒ → ).
Definiţia III.16
I] Fie '0 şi :A x A f A⊂ ∈ ∩ →R, R R , l∈R atunci avem:
185
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
0
0
01
0
02
0
0, , 0 a.î. culim 6
0III.18
0, , 0 a.î. culim 6
0
def
x x
def
x x
c c x x Af x
x x f x c
c c x x Af x
x x f x c
→
→
⎧ ∀ > ∃δ > ∀ ∈⎧⎪= +∞⇔⎪ ⎨< − < δ⇒ >⎪ ⎪⎩
⎨∀ < ∃δ > ∀ ∈⎧⎪ ⎪= −∞⇔ ⎨⎪ < − < δ⇒ <⎪⎩⎩
II] Dacă { }'0 ,x A∈ ∪ +∞ ∞ şi l ∈R, avem:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2
0, 0 a.î. culim 7
>III.19
0, 0 a.î. culim 7
< -
def
x
def
x
x Af x l
x f x l
x Af x l
x f x l
ε
→∞ε
ε
→−∞ε
⎧ ∀ε > ∃δ > ∀⎧⎪= ⇔⎪ ⎨ δ ⇒ − < ε⎪ ⎪⎩⎨
∀ε > ∃δ > ∀ ∈⎧⎪ ⎪= ⇔ ⎨⎪ δ ⇒ − < ε⎪⎩⎩
∈
Observaţii:
1. Din (III.18) şi (III.19) se pot caracteriza şi următoarele situaţii:
( ) ( )lim ; limx x
f x f x→∞ →−∞
= ±∞ = ±∞
2. ( )( )
0
01
00
1 00
;
lim lim sign ;
0 ;
nn
n n m
x x mmm
a n mbaaaP x ax xx n mbbQ x bb
x x n m
−
→∞ →∞
⎧ =⎪⎪
+ + ⎪⎛ ⎞⎪= = ∞⎨⎜ ⎟⎝ ⎠⎪+ +⎪
>
<⎪⎪⎩
L
L
Teorema III.18. Fie '0, , : şi :A B x A f A g B⊂ ∈ ∩ → →R, R R R
cu { }( ) { }0 1f A x B l− ⊂ − . Dacă există ( )0
'1 1lim ,
x xf x l l B
→= ∈ ∩R şi există
, atunci există ( )0
2limx x
g x l→
= ( )( )0
2limx x
g f x l→
=o .
Demonstraţie:
Fie ( ) 0 00, şin n nn
,x A x x x x≥⊂ ≠ →
R notăm ( ) ( ) ,n n 1f x y f A n= ∈ ≥ . După
ipoteza:
186
{ }( ) { } { } ( )0
0 1 1 1şi cum lim avem limn nx x n 1f A x B l y B l f x l y l→ →
− ⊂ − ⇒ ∈ − = =∞
2
Cum există ( ) ( ) ( )( )0
2 2lim n nx xg x l g y l g f x l
→= ⇒ → ⇔ →
R Ro ⇔
( )( )0
2limx x
g f x l→
⇔ ∃ =o .
Observaţii:
1. Dacă { }( ) { }0 1f A x B l− ⊂ − este înlocuită cu f(A) ⊆ B, atunci concluzia
nu este totdeauna adevărată.
2.Exemplu: şi atunci: ( )1;0 ;
xf x
x∈⎧
= ⎨ ∈⎩
QR-Q
( )1; 02 ; *R
xg x
x=⎧
= ⎨∈⎩
Avem ( )( )1;2 ;
QR-Q
xg f x
x∈⎧
= ⎨ ∈⎩o . 10
lim ( ) 0x
f x l→
= = şi 20lim ( ) 2x
g x l→
= = , dar
nu există ( )0
lim ( )x
g f x→
o .
Teorema III.10. Fie . Au loc
afirmaţiile:
'0 şi , , :A x A f g h A⊂ ∈ ∩ →R, R R
i) Dacă ( ) ( ) ,f x g x x A≤ ∀ ∈ şi există ( )0
lim 0x x
g x→
= , atunci ( )0
lim 0x x
f x→
=
ii) Dacă ( )0U x∃ ∈V a.î. f este mărginită pe { }( )0A U x∩ − şi
( )0
lim 0x x
g x→
= atunci ( ) ( )0
lim 0x x
f x g x→
⋅ = .
iii) Dacă ( ) ( ) ( ) ,g x f x h x x A≤ ≤ ∀ ∈ şi există ( )0
limx x
g x→
= ,
atunci există
( )0
limx x
h x l→
=
( )0
limx x
f x l→
= .
Demonstraţie: (iii) Fie ( ) 00, cu şi n n nn 0x A x x x x
≥⊂ ≠ → atunci avem
( ) ( ) ( ) ,n n ng x f x h x n≤ ≤ ∀ 1≥ şi există ( )lim nng x
→∞= ( )lim nn
h x l→∞
= , deci
există ( )lim nnf x
→∞l= ⇒ ∃ ( )
0
limx x
f x l→
= .
187
(i) Dacă ( ) ( ) ,f x g x x A≤ ∀ ∈ ⇔ 0
0
( )0 ( ) ( )lim ( ) 0lim ( ) 0
iii
x xx x
f x g xf xg x →
→
⎧ ≤ ≤⎪ ⇒ =⎨ =⎪⎩⇒
0
lim ( ) 0x x
f x→
⇒ = .
(ii) f mărginită ⇔ ∃M > 0 a. î. ( )f x ≤ M, ∀x∈ { }( )0A U x∩ − şi atunci:
( )0
0
( )
A A A
A
( ) M ( ) lim ( ) 0
lim ( ) 0
i
U U Ux x
Ux x
f g x g x f g x
g x
∩ ∩ ∩→
∩→
⎧ ⋅ ≤ ⇒ ⋅⎪⎨
=⎪⎩
=⇒
⇒ ∃ ( ) ( )0
lim 0x x
f x g x→
⋅ = .
Definiţia III.17.
Fie '0o mulţime, şiR RA x A U⊆ ∈ ∩ ∈ ( )0 , xV iar :f A → R o funcţie.
1] Elementul ( )
{ }( ){ }0
0sup infV xU x
f A U x∈
⎡ ⎤∩ −⎣ ⎦ se numeşte limita inferioară
a funcţiei f în x0, notată:
( ) ( )( )
{ }( ){ }0 0
0III.20 lim sup inf Rdef
xx x U xf x f A U x l∗
→ ∈
⎡ ⎤= ∩ − = ∈⎣ ⎦V
2] Elementul ( )
{ }({0
0inf supU x x
f A U x∈
)}⎡ ⎤∩ −⎢ ⎥⎣ ⎦ν se numeşte limita superioară
a funcţiei f în x0, notată:
( ) ( )( )
{ }( ){ }0 0
010 lim inf sup Rdef
x x U x xf x f A U x l∗
→ ∈
⎡ ⎤= ∩ − = ∈⎢ ⎥⎣ ⎦V
Observaţii:
1. Elementele ( ) ( )00
lim şi limx xx x
f x f→→
x există totdeauna, finite sau infinite.
2. Exemple 1o ( )( )
( )0
0
lim 1sign ,
lim 1R x
x
f x lf x x x
f x l
∗→
∗
→
⎧ = −⎪= ∈ ⇒ ⎨
= =⎪⎩
=
188
2o ( )( )
0
0
lim1 ,lim ( )
R x
x
f xf x x
x f x→∗
→
⎧ = −∞⎪= ∈ ⇒ ⎨
= +∞⎪⎩
.
3o funcţia Dirichlet ( )1;0 ;
QR-Q
xf x
x∈⎧
= ⎨ ∈⎩
( )
( )0
0
lim 0
lim 1x
x
f x
f x→
→
⎧ =⎪⇒ ⎨
=⎪⎩
.
Teorema III.20. Fie A⊆ R, '0 şiRx A∈ ∩ : Rf A→ . Atunci au
loc afirmaţiile:
(i) ( ) ( )00
lim limx xx x
f x f→→
≤ x ;
(ii) Există ( ) ( )0 00
lim ( ) lim limx x x xx x
f x l f x f x l→ →→
= ⇔ = = ( )Rl∈ .
Demonstraţie: (i) este consecinţă directă din definiţia limitelor
extreme ale lui f în x0.
(ii) Se deduce folosind definiţia limitei în punct cu vecinătăţi şi definiţiile
limitelor extreme în punct.
3. Funcţii continue
Funcţiile continue sunt un caz particular de funcţii care au limită.
Conceptul de continuitate este o ipoteză fundamentală în studiul unor
fenomene din realitate, dar de multe ori apar şi fenomene care prezintă
discontinuităţi; proprietăţile unui fenomen discontinu se vor studia prin
aproximarea acestuia cu alt fenomen continu.
Definiţia III.18. Fie 0 şi :A x A f A⊆ ∈ →R, R
1] Funcţia f este continuă în x0 ∈ A, dacă şi numai dacă,
( ) ( )( ) ( ) ( ){ 0 0III.22 , a.î.V VV f x U x x A U f x∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈V
189
2] Funcţia f este continuă pe mulţimea A sau f este funcţie continuă
dacă f este continuă în 0x A∀ ∈ .
3] Dacă f nu este continuă în x0 ∈ A, spunem că f este funcţie discontinuă
în x0 şi x0 se numeşte punct de discontinuitate al funcţiei f din A.
Teorema III.21. (Teoremă de caracterizare pentru funcţii
continue într-un punct). Fie . Următoarele
afirmaţii sunt echivalente:
0 şi :A x A f A⊆ ∈ →R, R
(i) f continuă în x0 ∈ A (definiţia cu vecinătăţi – definiţia III.18).
(ii)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
0 0
0 0
0, , 0 a.î. cu ,
,
caracterizarea continuităţii în punct cu
x x A d x x x x
d f x f x f x f x
⎧∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ = − < δ⇒⎪⎪⇒ = − < ε⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦⎪
δ − ε⎪⎩
0
(iii)( ) ( ) ( )0 00
cu
(caracterizarea continuităţii în punct cu şiruri)
n n nnx A x x f x f x
≥
⎧ ⎛ ⎞ ⎛∀ ⊂ → ⇒ →⎪ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝⎨
⎪⎩
R R ⎞⎟⎠
Demonstraţia teoremei se obţine direct din teorema III.21 de
caracterizare a funcţiilor cu limită în punct luând: x0 ∈ A, l = f (x0) ∈ R. şi
avem: (i)⇒(ii); (ii)⇒(iii); (iii)⇒(i).
Consecinţa II.5. Dacă f : A → R este continuă în x0 ∈ A, atunci
avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01III.23 lim lim = pentru ,n n n nnn n
f x f x f x x A x≥→∞ →∞
= ∀ ⊂ →R x⎯⎯ .
Demonstraţia este directă din (iii) şi conduce la (III.23). Egalitatea
(III.23) exprimă faptul că, operaţia de trecere la limită permută cu f, dacă f
este o funcţie continuă în punct.
Teorema III.22. Fie , atunci avem: 0 şi :A x A f A⊆ ∈ →R, R
(I) Dacă '0x A A∈ ∩ , f continuă în ( ) ( )
00 0există lim
x xx f x f x
→⇔ =
190
(II) Dacă 0x A∈ punct izolat, f este continuă în x0.
Demonstraţie: (I) Fie '0x A A∈ ∩ şi f continuă în x0
⇔ ( )iii
⇔ ( ) ( ) ( )0 01,n n nn
x A x x f x f x≥
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛∀ ⊂ → ⇒ →⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦
R R ⎞⎟⎠
⎞⎟⎠
⇔ ⇔ ( ) ( ) ( )0 0 01{ },n n nn
x A x x x f x f x≥
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛∀ ⊂ − → ⇒ →⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦
R R
⇔ ( ) ( )0
0 limx x
f x f x→
∃ = .
(II) Fie 0x A∈ punct izolat a. î. A ∩ U = {x0( )def
U x⇔∃ ∈V 0} şi fie
( ) 01,cun nn
x A x x≥⊂ →
R, atunci există n0 ≥ 1 a. î. ∀ n ≥ n0 ⇒ xn∈U, deci
xn = x0, ∀ n ≥ n0 şi avem ( ) ( )0nf x f x= deci ( ) ( )0nf x f x→R
iar f
continuă în x0.
Definiţia III.19. Fie I ⊂ R interval, x0 punct interior din I şi
f : I → R.
1] Punctul x0 ∈ I este punct de discontinuitate de prima speţă dacă f
este discontinuă în x0 şi există limitele laterale în punct finite:
( ) ( )0 00 , 0f x f x− + R∈ .
2] Punctul x0 ∈ I este punct de discontinuitate de speţa a doua dacă x0
este punct de dicontinuitate a lui f şi nu este punct de discontinuitate de
prima speţă (⇔ ∃ ( )0 0f x − sau ∃ ( )0 0f x + sau ( )0 0f x − ∉ R sau
∉R sau ( 0 0f x + ) ∃ ( )0 0f x − şi ( )0 0f x + sau ( )0 0f x − şi
( )0 0f x + ∉R ).
191
Observaţii:
1. Fie funcţia f : A → R, A ⊆ R. Definiţia limitei lui f în x0 are sens numai
pentru 0x A′∈ . Continuitatea lui f în x0 are sens numai dacă x0 ∈ A. Dacă
'0 ,x A A∈ − funcţia f poate fi continuă în x0, dar nu are sens limita lui f în
'0x A A∈ − .
2. Punctul x0 ∈ A, pentru f : A → R se numeşte punct de discontinuitate
aparentă sau discontinuitate neesenţială sau discontinuitate eliminabilă
pentru f dacă există ( ) ( ) ( )0 0
0lim şi limx x x x
f x f x f→ →
≠ x . În acest caz se asociază
lui f o funcţie continuă pe A care diferă de f numai în punctul x0 ∈ A.
3. Dacă există ( ) 0 00cu ,n nn
x A x x x≥⊂ →
RA∈ şi şirul ( )( ) 0n n
f x≥⊂ R nu
are limită în R sau limita sa este diferită de f (x0), atunci f este discontinuă
în x0 ∈ A.
4. Fie f : A ⊂ R şi x0 ∈ B ⊂ A ⊆ R, dacă f este continuă în x0, atunci Bf
este continuă în x0. Au loc situaţiile speciale:
I { }1 |B x A x x= ∈ < ⊂0 A şi f este continuă la stânga în x0 ∈ A
există
def
⇔
( )0
0
0lim ( )x xx x
f x f x→<
= 1Bf⇔ continuă în x0 ∈ A.
II { }2 |B x A x x= ∈ > ⊂0 Aşi f este continuă la dreapta în x0 ∈A
există
def
⇔
( )0
0
0lim ( )x xx x
f x f x→>
= 2Bf⇔ continuă în x0 ∈ A.
5. Din teorema precedentă şi observaţia de mai sus, au loc echivalenţele:
192
193
A
A f continuă în x0 ∈ A ⇔
0
0
continuă la stânga în şi
continuă la dreapta în
f x
f x
∈⎧⎪ ⇔⎨⎪ ∈⎩
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
00
0
00
0 0
0
0 0
lim 0
şi limlim 0
x xx x
x x
x xx x
f x f x f x
f x f xf x f x f x
→<
→
→>
∃ = − =⎧⎪⎪
⇔ ⇔ ∃⎨⎪∃ = + =⎪⎩
=
6. Exemple 1o f : A → R cu f (x) = 3, ∀x ∈ A = [-1,1] ⇒ f continuă pe A.
2o ( )[ ]( )
0,1
1;0 ;
x Af x x
x A∈⎧
= ϕ = ⎨ ∉⎩ funcţia caracteristică a mulţimii A = [0,1]
este continuă pe (0,1) şi în: x0 = 0 şi x0 = 1 are puncte de discontinuitate de
prima speţă.
Fie x0 ∈ R - {0,1} fixat, ( ) 00cun nn
x x x≥⊂ →
RR .
I Dacă x0 ∈ (0,1) atunci există n0 ≥ 1 a.î. xn ∈ (0,1) şi pentru n ≥ n0,
f (xn) = 1, deci f (xn) 1= f (x⎯⎯→R0) şi f continuă în ∀x0 ∈ (0,1).
II Fie xn < 0 cu şi (x0nx →R
n) fixat, atunci f (xn) = 0 ⇒
şi cum ( ) ( )0
0
lim 0 0 0xx
f x f→<
= − = ( ) ( )0
0
lim 0 0 1xx
f x f→>
= + = ⇒ de unde rezultă
că x0 = 0 este punct de discontinuitate de prima speţă. La fel se arată că
x0 = 1 este punct de discontinuitate de prima speţă.
3o Funcţia Dirichlet este discontinuă în
∀x
( )1;
: ,0 ; -
xf f x
x∈⎧
→ = ⎨ ∈⎩
QR R
R Q
0 ∈ R şi x0 este punct de discontinuitate de speţa a doua. Fie ∀x0 ∈ R
fixat şi presupunem, f este continuă în x0. Pentru ∀xn ∈ Q (n ≥ 0) cu
0nx x→R
, avem: ( ) ( ) ( )0 01 , deci 1nf x f x f x= → =R
.
194
0Pentru deci
şi este absurd ⇒ f este discontinuă în x
( ) ( ) ( )0 0şi avem 0 = deci 0n n ny y x f y f x f x∀ ∈ − → → =R R
R Q
( )0 0f x = 0∈ R ⇒ f discontinuă pe
R. Dacă luăm nx ∈Q cu 0nx x→R
şi xn< x0 atunci ( )0
0
0lim ( ) 0 1x xx x
f x f x→<
= − =
şi pentru avem0 0cu ,n n ny x y y x→ ∈ −R Q < ( ) ( )0
0
0lim 0 0x xx x
f x f x→<
= − = ⇒
)
nu există ( 0 0f x − şi la fel nu există ( )0 0f x + ⇒ x0 este punct de
dicontinuitate de speţa a doua.
4o Funcţia unde f funcţia
Dirichlet. Funcţia F este continuă în x
( ) ( );
: cu0 ; - n
x xF F x x
x∈⎧
→ = =⎨ ∈⎩
QR R
R Qf x
0 = 0. Pentru ∀xn ∈ R cu 0nx x→R
avem: F(xn)= xn, dacă xn ∈ Q şi | F (xn) | ≤ |xn |, ∀n∈N atunci după criteriul
majorării deci F este continuă în x( ) ( )00nF x F x→ =R
0 = 0 şi discontinuă
în rest la fel ca f.
4. Proprietăţi ale funcţiilor continue pe mulţimi din R
Definiţia III.20. Fie A, B ⊂ R şi f: A → B. Funcţia f se numeşte
funcţie omeomorfă (sau f este un homeomorfism) dacă:
(I) f bijectivă; (II) f şi 1f − sunt funcţii continue.
Teorema III.23. Fie I ⊆ R interval şi o funcţie local
constantă, atunci f este constantă.
:f I → R
Demonstraţie: Fie x ∈ I fixat şi f local constantă pe Idef
⇔ ∃U∈V(x)
a. î. UI
f∩
este o funcţie constantă, deci f este continuă şi în particular f
este continuă pe U ∩ I, deci f continuă pe I. Fie a, b ∈ I cu a < b elemente
fixate şi mulţimea A= [ ] [ ]{ },, | ( )
a bx a b f f a∈ = cu A ≠ ∅. Notăm c=supA,
există xn∈A cu nx c⎯⎯→R , deci ( ) ( )nf x f a= , ∀n≥1. Cum f este continuă,
avem ( ) ( ) ( )lim nnf c f x f
→∞= = a şi c∈A . Dacă c< b, există δ >0 a. î.
Ic = [c - δ, c + δ] ⊆ [a, b] şi Ic
f este constantă, deci [ ,a cf
+δ] =f(a) şi
c + δ ∈A, dar c = sup A ≥ c + δ, absurd. În acest caz avem c = b, deci
f(b) = f(c) = f(a) şi f este constantă.
Teorema III.24. (Teorema lui Bolzano) Fie I ⊆ R interval şi
o funcţie continuă, atunci f(I) ⊆ R este interval. :f I → R
Demonstraţie:
Fie 1 2 1 2 1 2, ( ) cu şi cuy y J f I y y y y∈ = ⊂ < ∀λ∈ < λ <R R , iar
fixaţi. 1 2,y y
Din ∈J rezultă că există a,b∈I cu 1 2,y y ( ) ( )1 2,f a y f b y= = şi
presupunem a b< . Fie A = [ ]{ }, | ( )x a b f x∈ ≤ λ şi c = supA, atunci există
( ) 1n nx
≥ ⊂ A cu xn→ c şi deci f(xn) ≤ λ, ∀n ≥ 1. Funcţia f este continuă pe
I, deci f este continuă în c şi avem: ( )( ) lim nnf c f x
→∞= ≤ λ . Dar λ < f(b) şi
atunci c < b. Avem f(x) ≥ λ în ∀x∈(c, b]. Dacă ( ) 1n nz
≥⊂ (c, b) cu zn→ c
fixat, atunci f(zn) ≥ λ, ∀n ≥ 1 şi ( )( ) lim nnf c f z
→∞= ≥ λ . Din f(c) ≥ λ şi
195
196
2yf(c) ≤ λ rezultă λ = f(c) ∈ J. Din ∈J şi 1 2,y y 1y < λ < cu λ∈J, rezultă
[ ]1 2,y y J⊆ , şi J este interval R (conform definiţiei noţiunii de interval).
Consecinţa III.6. Fie I ⊂ R interval şi f : I → R funcţie continuă,
atunci f are proprietatea Darboux pe I.
Demonstraţie: Dacă I1 ⊆ I este interval, după teorema precedentă, f (I1)
este interval şi deci f are proprietatea Darboux pe I.
Consecinţa III.7. Fie I ⊂ R interval şi f : I → R funcţie continuă,
atunci au loc afirmaţiile:
(1) Dacă 1 2,x x I∈ şi ( ) ( )1 2 0f x f x < , atunci există cel puţin un
punct c între x1 şi x2 astfel încât f (c) = 0 (Teorema intersecţiei a lui
Cauchy).
(2) Dacă ( ) 0,f x x I≠ ∀ ∈ atunci avem f > 0 pe I, sau f < 0 pe I.
(3) Ecuaţia ( )0 0;nx a a n 1− = ≥ ≥ admite cel puţin o soluţie
(rădăcină) reală.
Demonstraţie: Afirmaţia (1) rezultă din consecinţa precedentă în
cazul λ = 0. Afirmaţia (2) este consecinţă directă din (1). Pentru (3) fie
o funcţie continuă şi avem: f(0)= - a < 0 şi ( ) , Rnf x x a x= − ∈ ( )1f a + =
( )1 1na a na a= + − > + − > 0 , atunci există ( ) ( )0 00, 1 cu 0x a f x∈ + = deci
0 0 ;nx a− = 0x este o soluţie reală a ecuaţiei ( )0 0;nx a a n 1− = ≥ ≥ .
Teorema III.25. Fie A ⊂ R o mulţime compactă şi f : A → R o
funcţie continuă, atunci f (A) ⊂ R este mulţime compactă.
Demonstraţie: f(A) este compactă ( ) 0( )n n
y f≥
⇔ ∀ ⊂ A
A
conţine un
subşir . Dacă0 ( )Rkny y f⎯⎯→ ∈ ( )ny f A∀ ∈ pentru 1n∀ ≥ atunci există
pentru 1nx A n∈ ≥ a.î. ( )ny f x= n . Mulţimea A fiind compactă există
a.î. ( ) ( ) 11kn n nkx x
≥≥⊂ R
knx c A⎯⎯→ ∈ şi cum, f este continuă pe A, avem:
( ) ( ) ( )lim limk kn nk k
y f x f c f→∞ →∞
= = ∈ A deci f (A) este mulţime compactă în
R.
Teorema III.26. (Teorema lui Weierstrass). Fie A ⊂ R o mulţime
compactă şi f : A → R o funcţie continuă, atunci f este mărginită şi îşi
atinge marginile pe A.
Demonstraţie: ( ) ( ) compactă
compactă continuă pe
RR
Af A f
f A⊂⎧
⇒ ⊂ ⇔⎨⎩
A
mulţime închisă şi mărginită ⇔ f mărginită pe A şi sup f(A), inf f (A)∈f(A)
⇔ f mărginită şi există x1, x2 ∈ A a.î. f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2), ∀x ∈ A, adică
inf f (A) = f (x1) şi sup f (A) = f (x2).
Consecinţa III.8. Fie I ⊂ R interval compact şi f : I → R funcţie
continuă, atunci f (I) este interval compact din R.
Demonstraţie: f (I) interval compact dacă există x1, x2∈I a. î. f (I) =
=[ f (x1), f (x2)] şi după teorema Weierstrass avem: f (x1)≤ f(x) ≤ f (x2), ∀x∈I
cu f (x1) = inf f(A) şi f (x2) = sup f(A).
Teorema III.27. Fie I ⊂ R interval şi f : I → R funcţie monotonă şi
x0 punct interior al lui I, atunci au loc afirmaţiile:
(i) ∃ ( ) ( )0 00 , 0f x f x− + şi avem:
(III.24) ( ) ( ) ( )0 0 00f x f x f x 0− ≤ ≤ + , ∀ x0 interior lui I
(ii) f are numai puncte de discontinuitate de prima speţă.
Demonstraţie: Presupunem f crescătoare pe I.
197
(i) Fie ( ) 1n nx
≥⊂ I, (xn) şir crescător şi xn ≤ x0, n ≥ 1, avem f(xn) ≤ f(xn+1),
adică (f(xn)) este şir crescător; din xn < x0, n ≥ 1 rezultă f(xn) ≤ f(x0), ∀ n ≥1,
adică (f(xn)) este majorat. După teorema de convergenţă a şirurilor
monotone rezultă (f(xn)) convergent în R şi ( )0lim ( )nnf x f x
→∞≤ adică
( )0lim ( ) 0nnf x f x
→∞= − , deoarece xn ≤ x0, ∀n ∈N. La fel se arată că există
( )0lim ( ) 0nnf x f x
→∞′ = + cu nx′ ≥ x0, n ≥ 1 şi nx′ şir descrescător şi
0R
nx x′ ⎯⎯→ . În aceste condiţii are loc inegalitatea (III.24).
(ii) Din (i) rezultă că în orice x0∈I punct interior există
( ) (0 00 , 0f x f x− )+ ∈R şi dacă ( ) ( )0 00f x f x 0− ≠ + , f nu este continuă
în x0, iar x0 este punct de discontinuitate de prima speţă.
Teorema III.28. Fie I ⊂ R interval şi f : I → R funcţie monotonă,
astfel încât ( )f I este interval (⇔ f are proprietatea Darboux pe I), atunci f
este continuă pe I.
Demonstraţie: Presupunem f monoton crescătoare pe I şi notăm
a = inf I, b = sup I. Pentru ∀ x0 ∈I – {a} fixat după teorema precedentă
există ( ) ( )0 00 , 0f x f x− + ∈R şi are loc inegalitatea (III.24). Considerăm
( ) ( )0 0 0f x f− < x şi fie y fixat cu ( ) ( )0 00f x y f− < < x ; deoarece
( )f I = J este interval rezultă că y∈J şi atunci există un punct x1∈I-{x0}a. î.
y = f(x1). Dacă x1< x0, avem că ( ) ( )0
1 0
I
0 sup (x xx
)f x f x f x<∈
≤ − = deci
ceea ce este absurd. Dacă x( )0 0y f x y≤ − < 1 > x0, avem x0 ≠ b, atunci
( ) ( ) ( )1 0 0 0f x f x f x≥ + ≥ din (III.24), adică ( ) ( )1 0y f x f x y= ≥ > ,
198
absurd. În aceste condiţii avem ( ) ( )0 0 0f x f− = x adică f este continuă la
stânga în x0 şi în mod analog ( ) ( )0 0 0f x f+ = x adică f este continuă la
dreapta în x0. Cum x0 ∈ I punct interior şi arbitrar, rezultă f funcţie continuă
pe I.
Observaţii:
1. Teorema lui Bozano şi consecinta sa (consecinţa III.6), poartă denumirea
de "Teorema valorilor intermediare" care este o teoremă de surjectivitate
pentru f: I → J cu ( )f I = J⊂ R interval.
2. Reciproca teoremei Bolzano, în general nu este valabilă, adică există
funcţii discontinue pe un interval care luând două valori oarecare, vor lua
toate valorile intermediare în raport cu acestea.
3. Din teorema Bolzano şi consecinţa sa rezultă că funcţiile continue pe un
interval au proprietatea Darboux, dar nu este în general valabilă şi
implicaţia reciprocă.
4. Dacă I, J ⊂ R sunt intervale şi f: I → J este o funcţie monotonă
surjectivă atunci f este continuă.
Teorema III.29. Fie I, J ⊂ R intervale şi o funcţie f: I → J.
Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1. f omeomorfă; 2. f strict monotonă şi surjectivă;
3. f continuă şi bijectivă.
Demonstraţie: Implicaţia 1 ⇒3 este directă din definiţia funcţiilor
omeomorfe.
3 ⇒ 2 Funcţia f: I → J continuă pe I ⊂ R interval are proprietatea
Darboux pe I şi cum f bijectivă, deci f este injectivă, rezultă că f este strict
monotonă pe I şi surjectivă.
199
2⇒1 Funcţiile f: I → J şi 1f − : J → I sunt strict monotone şi
surjective, după observaţia 4 ele sunt funcţii continue, deci f este
omeomorfă.
Observaţii:
1. Dacă I şi J sunt intervale omeomorfe între ele şi I este închis, deschis,
semideschis, nemărginit etc. atunci J este de aceeaşi formă.
2. Dacă I nu este interval, atunci nu au loc în general echivalenţele 1 – 3
din teorema precedentă (teorema III.29).
Exemplu: A = [-2, -1] ∪ {0}∪ [1, 2] şi J = [-1, 1] iar f: A → J dată prin
[ ]
[ ]
1; 2, 1( ) 0 ; 0
1; 1,2
x xf x x
x x
⎧ + ∈ − −⎪
= =⎨⎪ − ∈⎩
. Funcţia f este continuă, strict monotonă,
surjectivă, iar 1f − este discontinuă în y0 = 0; [ )
( ]
1
1; 1,0( ) 0 ; 0
1; 0,1
y yf y y
y y
−
⎧ − ∈ −⎪
= =⎨⎪ + ∈⎩
.
Definiţia III.21. Fie A, B cu două mulţimi şi
o funcţie continuă.
A B⊂ ⊆ R
:f A → R
1] Funcţia f poate fi prelungită prin continuitate pe B, dacă există
continuă astfel încât :g B → R Af g= .
2] Dacă { }0B A x= ∪ , funcţia f poate fi prelungită prin continuitate în
x0, dacă există continuă astfel încât :g B → R Af g= .
Teorema III.10. Fie o funcţie continuă. Există
o funcţie unică
, :A f A⊂ →R R
: Rg A→ continuă astfel încât Ag f= , dacă şi numai
dacă, ∀x0 punct de acumulare pentru A şi x0 ∉ A, există ( )0
limx x
f x→
finită
200
( A = mulţimea punctelor aderente lui A care conţine: A, punctele aderente
lui A (punctele de acumulare şi punctele izolate)).
Demonstraţie Fie B A= , funcţie continuă cu :g B → R Ag f= ,
atunci 0x∀ (punct de acumulare pentru A) cu x0 ∉ A şi x0 punct de
acumulare pentru B, atunci ( ) ( )0
0limx x
g x g x→
= pentru că g continuă pe B şi
avem ( ) ( ) ( )0 0
0lim lim Ax x x xf x g x g x
→ →= = ∈R şi f este continuă în x0 prin
prelungire.
Fie : Rg A→ dată prin ( ) ( ), şi g( ) lim ( ),t x
g x f x x A x f t x→
= ∀ ∈ = ∀ punct de
acumulare pentru A şi x∉A. Avem: ( )0
0lim ( )x x
f x g x→
= în orice 0x punct de
acumulare pentru A. Dacă x0 este punct de acumulare pentru A şi x0∉A,
avem: 0
0g( ) lim ( )t x
x f t→
= .Dacă 0x ∈A şi este punct de acumulare, avem
( ) ( ) ( )0
0 0limx x
f x f x g x→
= = .
Consecinta III.9. Fie A ⊆ R, f: A → R şi x0∈ R - A .
1] Dacă x0 nu este punct de acumulare pentru A, f poate fi prelungită prin
continuitate în x0 prin g: B → R cu B = A ∪{ x0} şi g(x) = f(x), ∀x∈A,
luând g(x0) arbitrar din R.
2] Dacă x0 este punct de acumulare pentru A, f poate fi prelungită prin
continuitate în x0, dacă şi numai dacă, există 0
lim ( )x x
f x→
şi este finită. În
acest caz g(x0) = 0
lim ( )x x
f x→
cu f: B → R şi B = A ∪{ x0}.
3] Dacă A = (a, b) şi f: (a, b) → R este continuă şi monotonă atunci f poate
fi prelungită (în mod unic) prin continuitate pe [a, b], dacă şi numai dacă, f
este funcţie mărginită.
201
Demonstraţie: Afirmaţiile 1] şi 2] rezultă din definiţia III.21 şi
teorema precedentă (teorema III.30).
3] Cum f este montonă există f( a+ 0) şi f (b- 0) şi f mărginită, atunci
f( a+ 0), f (b- 0) ∈ R şi definim f(a) = f( a+ 0) şi f(b) = f (b- 0).
Exemple 1o ( ) sin ,xf x xx
∗= ∈R se poate prelungi prin
continuitate în x0 = 0 deoarece există 0
sinlim 1x
xx→
= .
2o ( ) sign ,f x x x ∗= ∈R nu poate fi prelungită prin continuitate în x0 = 0
( ) ( )0 0 1 0 0 1 sau f f+ = ≠ − = − ∃ ( )( )0limx
f x→
.
3° Funcţia tangentă nu poate fi prelungită prin continuitate în punctele
,2
Zkx k kπ= + π ∈ (nu există ). lim
kx xtgx
→
4o ( ) 2
1 cuf x xx
∗= ∈R nu poate fi prelungită prin continuitate în x0 = 0
(nu există ( )0
limx
f x→
, deşi x0 = 0 este punct de acumulare pentru R*).
Teorema III.31. Fie funcţii continue
în x
0, şi , :A x A f g A⊆ ∈ →R R
0, atunci funcţiile:
(III.25) ( ) ( )( )
{ } { }
, , , 0,
, max , , min , , (dacă are sens)g
f ,f g f f g g x x Ag
f f g f g f
⎧ ± λ ∀λ∈ ⋅ ≠ ∀ ∈⎪⎨⎪⎩
R
sunt continue în x0 ∈ A.
Demonstraţie: Fie ( ) 1n nx
≥⊂ A cu 0
Rnx x⎯⎯→ , atunci avem:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0lim lim limn n nn n nf g x f x g x f x g x
→∞ →∞ →∞± = ± = ± .
( )( ) ( ) ( )0lim limn nn nf x f x f
→∞ →∞λ = λ = λ x .
202
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0lim lim limn n nn n nfg x f x g x f x g x
→∞ →∞ →∞= ⋅ = ⋅ .
( )( )( )
( )( )
0
0
limlim
limnn
nnnn
f x f xf xg g x g
→∞
→∞→∞
⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠ x.
( ) ( ) ( )0lim limn nn nf x f x f
→∞ →∞= = x
Avem: max{ , } ,min{ , }2 2
f g f g f g f gf g f g
+ + − + − −= = care sunt
funcţii continue în x0 deoarece f + g şi | f - g| sunt funcţii continue în x0.
Observaţii:
1. Definim max{ ,0}f f+ = şi max{ ,0}f f− = − şi atunci f f f+ −= − cu
f: A ⊂ R → R.
2. Funcţia f este continuă în x0, dacă şi numai dacă, f + şi f − sunt
continue în x0.
3. Dacă |f | este continuă în x0, nu rezultă numaidecât că f este continuă în
x0.
Exemplu: f: R→ R cu este discontinuă pe R
şi
1;( )
1;Q
R - Qx
f xx∈⎧
= ⎨− ∈⎩
( ) 1, Rf x x= ∀ ∈ este continuă pe R.
Teorema III.32. Fie funcţii
continue. Dacă f este continuă în x
, , şi : , :A B f A B g B⊂ →R R→
B
0 ∈ A şi g este continuă în
, atunci este continuă în x( )0 0y f x= ∈ :g f A → Ro 0 ∈ A.
Demonstraţie Fie ( ) 01cun nn
x A x x A≥
∀ ⊂ →R
∈ şi f fiind continuă în
x0∈A, avem ( ) ( )0lim nn 0f x f x y→∞
= = . Funcţia g este continuă în şi
avem:
0y B∈
203
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0lim lim limn n nn n ng f x g f x g f x g y g f x
→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦o o
deci este continuă în xg fo 0 ∈ A.
Definiţia III.32. Fie I ⊂ R interval de capete , Ra b∈ şi f:I→R o
funcţie. Funcţia f este o funcţie riglată dacă ∀x∈I punct interior există
f(x - 0), f(x + 0) ∈ R şi dacă a∈I există f(a - 0)∈R, dacă b∈I există
f(b + 0)∈I (a, b capetele intervalului I).
Teorema III.33. Fie I ⊆ R interval, f: I → R o funcţie riglată,
atunci f este local mărginită pe I.
Demonstraţie:
Fie x0∈I şi cum f este riglată există f(x0 - 0), f(x0+0) ∈ R. Caracterizând
limitele laterale în punct cu (ε - δ), pentru ε = 1, există V ∈V(x0) şi V ⊂ I
(x0 este punct interior) a. î. să avem:| f(x0 + 0) - f(x)| ≤ 1, ∀x ∈ V cu x > x0
şi | f(x0 - 0) - f(x)| ≤ 1, ∀x ∈ V cu x < x0. În aceste condiţii ∀x∈V, avem:
( ){ }0 0( ) max 1 ( 0) ;1 ( 0) ; 0f x f x f x f≤ + − + + x ⇒ f este mărginită pe V
şi cum x0 ∈ I era punct arbitrar rezultă f local mărginită pe I. La fel se face
raţionamentul în cazul a∈I şi respectiv b∈I, capetele intervalului.
Teorema III.34. Fie I ⊂ R interval şi f: I → R. Atunci au oc
următoarele afirmaţii:
(I) f este local mărginită pe I, dacă şi numai dacă, f este mărginită pe orice
mulţime compactă A ⊆ I.
(II) Dacă f este funcţie riglată, atunci f este mărginită pe fiecare mulţime
compactă A ⊆ I.
(III) Dacă I = [a, b] ⊂ R şi există f(a + 0), f(b - 0), f(x + 0) şi f(x - 0), ∀x∈I
(x punct interior) finite, atunci f este mărginită pe I.
(IV) Dacă I = [a, b] ⊂ R interval compact, atunci au loc afirmaţiile:
204
(i) f mărginită ⇔ f local mărginită;
(ii) f riglată ⇒ f mărginită.
Demonstraţia în bibliografie ([41], [42]).
Exemple: 1°. Polinoamele sunt funcţii continue. Funcţiile raţionale
sunt funcţii continue.
2°. Funcţiile trigonometrice directe şi funcţiile trigonometrice inverse sunt
funcţii continue.
3°. Funcţia exponenţială ( )( ) 0; 1xf x a a a= > ≠ care aplică omeomorf R
pe este continuă. Funcţia logaritmică *+R ( )( ) log 0; 1af x x a a= > ≠ care
aplică omeomorf pe R este continuă. Funcţia putere generalizată
care aplică omeomorf pe este
continuă.
*+R
( ln ln( ) R, aa a xf x x a x e e= ∈ = = )a x *
+R *+R
Teorema III.35. În R au loc următoarele limite fundamentale:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0 0
0 0
00
1 1
00
sin 1lim 1 lim 1 lim 1
ln 1 1lim 1 lim ln 0; 1
ln lnlim 0 lim
lim 1 lim 0
x
xx x x
x
x x
x xx
x xx x
x
xa b e cx x
x ad e a a ax x
x xf gx x
h x i x
→ →±∞ →
→ →
→∞ →>
→∞ →>
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
+ −= = > ≠
= = −∞
= =
x e=
Demonstraţie: Vom folosi în unele cazuri teorema de caracterizare a
limitei unei funcţii în punct cu şiruri.
(a) ( )sin: ( ) şi 0 cu V = - ,2 2
*R R, xf f x x Vx
π π⎛→ = ∀ ∈ ∈ ⎜⎝ ⎠
V ⎞⎟ avem |sinx| ≤
≤ | x | ≤ |tg x | (x măsurat în radiani). Pentru x ≠ 0 obţinem:
205
cos1 1 1 1 1 sincos 1tg sin sin sin
x xxx x x x x x x< < ⇔ < < ⇔ < < şi cum
0lim cos 1x
x→
= rezultă 0
sinlim 1x
xx→
= . Pentru ∀x∈V- {0}, sin x şi x au acelaşi
semn, deci sin xx
>0 ⇒ 0
sinlim 1x
xx→
= care are următoarele consecinte
directe: (a1) 0
lim 1;sinx
xx→= (a2)
0
tglim 1;x
xx→
= (a3) 0
lim 1tgx
xx→= .
b) Fie atunci ( ) 1cun nn
x x≥
∀ ⊂ →R ±∞ 1lim 1nx
nn
ex→∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠. Presupunem
xn ≥ 1 şi după axioma lui Arhimede există pn∈N a. î. pn ≤ xn ≤ pn+1 şi cum
xn → ∞ rezultă pn → ∞, deci 1lim 1np
nn
ep→∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ şi
11lim 1
1
np
nn
ep
+
→∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟+⎝ ⎠
.
Din: pn ≤ xn ≤ pn + 1 obţinem: 1
1 1 1 11 1 1 lim 11
n n np x p x
nn n n n
ep x p x
+
→∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + ≤ + ⇒ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n
.
Cum (xn) era un şir abitrar din R, avem: 1lim 1x
xe
x→±∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
.
(c) Fie f: A → R cu ( )1
0( ) lim 1 x
xf x x
→e= + = . Fie xn > 0, n∈N şi ,
atunci
0nx ⎯⎯→R
1n
n
yx
= → +∞ şi găsim: ( )1 1( ) 1 1
n
xn
y
n nn
f x xy
⎛ ⎞= + = + ⎯⎯→⎜ ⎟
⎝ ⎠R e deci
există ( )1
0 00 0
lim ( ) lim 1 xx xx x
f x x→ →> >
e= + = . Pentru xn< 0 n∈N şi , atunci 0nx ⎯⎯→R
1n
n
yx
= → −∞ şi ( )1 1( ) 1 1
n
xn
y
n nn
f x xy
⎛ ⎞e= + = + ⎯⎯→⎜ ⎟
⎝ ⎠R deci există
206
( )1
0 00 0
lim ( ) lim 1 xx xx x
f x x→ →< <
= + = e . În aceste condiţii funcţia ( )1
( ) 1 xf x x= + are
limită în x0= 0: ( )1
0 0lim ( ) lim 1 xx x
f x x→ →
e= + = .
(d) ( ) ( ) ( )1 1
0 0 0
ln 1lim limln 1 ln lim 1 ln 1x x
x x x
xx x e
x→ → →
+ ⎡ ⎤= + = + = =⎣ ⎦ .
(e) Fie cu x∈R şi a>0, a ≠ 1, atunci funcţia y este strict
crescătoare şi continuă pe R cu
1xy a= −
0lim 0x
y→
= . Dar 1xy a= − ⇔
( )ln 11
lnx y
a y xa+
= + ⇔ = şi avem: ( )0 0
ln 1 ln1lim lim 0ln lny y
yx
a a→ →
+= = = din
care rezultă: ( )0 0
1lim lim ln ln .ln 1
x
x y
a y a ax y→ →
−= ⋅
+=
+∞
(f) Fie , avem: [x( ) 1cun nn
x x≥
∀ ⊂ →R n]≤ xn ≤ [xn] + 1, ∀n ≥1, ln[xn]≤
≤ ln xn ≤ ln([xn] + 1) şi [ ] [ ]
1 1 11n n nx x x< ≤
+ deci:
[ ][ ]( )
[ ]( )[ ]
ln 1ln ln1
nn n
n nn
xx xx xx
+≤ ≤
+ şi cum avem:
[ ][ ]
[ ]( )[ ]
ln 1lnlim 0
1nn
nn n
xxx x→∞
+= =
+ ⇒ ln lnlim 0 lim 0n
n xn
x xx x→∞ →∞
= ⇒ = .
Cum0 0 0
0 0 0
1 lnlim ln şi lim limx x xx x x
xxx x→ → →
> > >
= −∞ = +∞⇒ = −∞ .
(g)1
ln1 ln 0lim lim lim 1xx
x xx
x x xx e e e
→∞ →∞ →∞= = = =
1ln1 ln
0 0 00 0 0
lim lim lim 0xx
x xx
x x xx x x
x e e e−∞
→ → →> > >
= = = = .
207
Definiţia III.23. Fie A ⊆ R şi f : A → R . Funcţia f este uniform
continuă pe A, dacă:
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0, 0 (independent de ) a.î. ,.26.
cu , ,
x A x x A
x x d x x d f x f x f x f x
∀ε > ∃δ ε > ∈ ∀ ∈⎧⎪⎨
− = < δ⇒ = −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩ΙΙΙ
< ε
Observaţii:
1. Noţiunea de funcţie continuă în 0x A∈ , depinde de x0 şi comportarea
funcţiei f pe o vecinătate a lui 0x , deci are caracter local.
2. Noţiunea de funcţie uniform continuă pe A are caracter global.
3. Funcţia f nu este uniform continuă pe A, dacă:
( )( ) ( )
0
0
10, , a.î..27
şi
n n n n
n n
n x y A x yn
f x f y
⎧∃ε > ∀ ∈ ∃ ∈ − <⎪⎨⎪ − ≥ ε⎩
N,ΙΙΙ .
4. În relaţiile (III.26) de definiţie a continuităţii uniforme pe A, δ depinde
numai de ε > 0 şi nu depinde de x∈A (δ este independent de x∈A). În cazul
f continuă în x0 ∈A în caracterizarea cu (ε - δ), δ depinde de ε şi de punctul
x0 ∈A.
5. Exemple: 1°. ( ) , , şi 0f x ax b x a b a= + ∈ ∈ ≠R, R , avem:
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 pentru , cu f x f x a x x x x A x xaε
− = − < ε ∀ ∈ − < = δ ε
⇒ f este uniform continuă pe R.
2°. f(x) = sin x, x ∈ R, sin x este 1 – lipschitziană pe R.
Deci: 1 2 1 2sin sinx x x x− ≤ − < δ = ε sin pentru 1 2, ( )x x f x x∀ ∈ ⇒ =R
este uniform continuă pe R.
208
3°. 1( ) ,f x xx
= ∈(0,1) nu este uniform continuă pe A = (0, 1)⊂ R. Prin
reducere la absurd, se presupune că f este uniform continuă pe A = (0,1) şi
atunci pentru ε = 1, ∃δ1 >0 cu 0 < δ1 < 1 a. î. 1 21 2
1 1 1, , (0,1)x xx x− < ∀ ∈ cu
1 2x x− < δ1 < 1 deci 1
1 11 , xx≤ + ∀
δ∈ (0,δ). Fie 1
2x δ= şi obţinem
1
1 1<δ
este absurd deoarece δ1∈(0,1) ⇒ f nu este uniform continuă pe
A=(0,1)⊂R.
Teorema III.36. Dacă f : A → R este funcţie lipschitziană, atunci f
este uniform continuă pe A.
Demonstraţie: f lipschitziană pe A
( ) ( )1 2 1 2 1 20,a.î. , avem def
x x A f x f x x x⇔∃λ > ∀ ∈ − ≤ λ − ≤ ε pentru orice
∀ε >0 şi 0εδ = >
λ⇒ f este uniform continuă pe A, conform definiţei
(III.26).
Teorema III.37. Fie A ⊆ R şi f : A → R. Dacă f este funcţie
uniform continuă pe A, atunci f este continuă pe A.
Demonstraţie: Fie x0 ∈ A fixat şi ∀x ∈ A, cum f este uniform
continuă avem: ( ) 00, 0 a.î. , cux x A∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈
( ) ( )0x x f x f x− < δ⇒ − < ε⇒0 f continuă pe A.
Observaţii:
1. Din ultimele două teoreme rezultă următoarele implicaţii:
f contracţie pe A ⇒ f este funcţie lipschitziană pe A ⇒ f uniform continuă
pe A ⇒ f continuă pe A.
209
2. Dacă f este uniform continuă pe B ⊂ A cu B A≠ , nu rezultă obligatoriu f
continuă pe B.
Exemplu: Fie f : R → R funcţia caracteristică a lui B = [0,1] ⊂ R =
A, atunci f este uniform continuă pe B şi totuşi f nu este continuă în x0 = 0
şi x1 = 1, deci f nu este continuă pe B.
3. Dacă f este continuă pe A, nu implică f uniform continuă pe A.
Exemplu: ( ) 1f xx
= este continuă pe A = (0,1), dar f nu este
uniform continuă pe A = (0, 1).
Teorema III.38. Fie A ⊂ R şi f : A → R. Atunci au loc următoarele
afirmaţii:
1] f este uniform continuă pe A ⇔ ∀ xn, yn ∈A, n∈N cu (xn - yn) 0
⇒ [f(x
⎯⎯→R
n) – f(yn)] 0. ⎯⎯→R
2] Dacă f este uniform continuă pe A, ∀( ) 1n nx
≥⊂ A şir Cauchy de elemente
din A, atunci ( ) 1( )n n
f x≥⊂ R este şir Cauchy.
3] Dacă f este uniform continuă pe A, atunci f are limită finită în fiecare
punct de acumulare al lui A.
4] Dacă f este uniform continuă pe A, atunci ∀B⊆ A cu B mulţime
mărginită rezultă că f(B) este mulţime mărginită.
5] Dacă f este uniform continuă pe A, atunci f poate fi prelungită prin
continuitate în mod unic la o funcţie uniform continuă g: A → R ( A este
închiderea lui A, adică mulţimea punctelor aderente lui A).
Demonstraţie: 1] Fie f uniform continuă pe A şi atunci ∀ε >0 şi
xn, yn ∈A, ( n∈N) cu xn - yn 0 deci ∃ n⎯⎯→R0∈N a. î. ∀ n ≥ n0 ⇒ |xn - yn| <
< η ⇒ |f(xn) – f(yn)| < ε şi avem [f(xn) – f(yn)] 0. ⎯⎯→R
210
Dacă are loc proprietatea 1], presupunem că f nu este uniform
continuă pe A ⇔ ∃ε0>0 cu proprietatea: ∀ n ≥ 1, ∃xn, yn ∈A cu | xn - yn | <
< 1n
şi |f(xn) – f(yn)| ≥ ε0 adică ( ) 0n nx y− ⎯⎯→R şi [f(xn) – f(yn)] ⎯⎯→R 0
ceea ce contrazice ipoteza (este absurd)⇒ f este uniform continuă pe A.
2] Fie f uniform continuă pe A şi ( ) 1n nx
≥⊂ A şir Cauchy
0, a.î. şidef
n n nδ δ⇔∀δ > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥N 1p , avem n p nx x+ − < δ dar atunci din
definiţia continuităţii uniforme a lui f pe A, rezultă:
( ) ( ) , şi n p nf x f x n n p+ δ− < ε ∀ ≥ ∀ ∈ ⇒*N ( ) 1( )n n
f x≥
este şir Cauchy din
R.
3] Fie x0∈R punct de acumulare al lui A, atunci există ( ) 1n nx
≥⊂ A a. î.
xn x⎯⎯→R0 ⇒ (xn) este şir Cauchy din A şi după 2] ( ) 1
( )n nf x
≥ este şir
Cauchy din R şi deci ( ) 1( )n n
f x≥
este şir convergent din R ⇔
. 0
lim ( )x x
f x l→
∃ = R∈
4] Fie ⊂ f(B) un şir fixat şi ( ) 1n ny
≥ ( ) 1n nx
≥⊂ B a. î. ( )ny f xn= , ∀n ≥1.
Mulţimea B este mărginită şi atunci ( ) 1n nx
≥⊂ B conţine un subşir
convergent ⊂ ( )1kn k
x≥
( ) 1n nx
≥⊂ B. Subşirul ( )
1kn kx
≥ fiind convergent este
şir Cauchy din B şi după 2] şirul ( )( )1kn k
f x≥
este şir Cauchy din R şi
atunci este şir mărginit. În aceste condiţii f(B) este mulţime
compactă din R, deci f(B) este mărginită. Dacă A este mărginită şi f:A→B
este uniform continuă pe A, atunci f(A) este mulţime mărginită.
( )( )1kn k
f x≥
211
5] Fie x0 punct de acumulare pentru A fixat şi x0∉A. Din 4] rezultă că
există 0
lim ( )x x
f x l→
= ∈R şi notăm l = g(x0). Dacă x0∈A, atunci punem
g(x0) = f(x0) şi determinăm g: A ∪{ x0}→R care este o prelungire a lui f. Să
dovedim că g este funcţie uniform continuă. Fie ε > 0 (fixat), există δ > 0
a. î. 1 2( ) ( )f x f x− < ε pentru 1 2 1 2, cu x x A x x∀ ∈ − < δ . Fie ,x x A A′∈ −
( ,x x′ sunt puncte aderente lui A care nu sunt în A) cu x x′− <δ, atunci
există , ( ) 1n nx
≥ ( ) 1n ny
≥⊂A şi ,n nx x y x′⎯⎯→ ⎯⎯→R R .
Avem lim n nnx y x x
→∞′− = − < δ , deci există nδ ≥ 1 a. î. n nx y− <δ pentru
∀n ≥ nδ şi atunci ( ) ( )n nf x f y− < ε ,∀n ≥ nδ; prin trecerea la limită, avem
( ) ( ) ( ) ( )lim n nnf x f y g x g x
→∞′− = − ≤ ε⇒ g este uniform continuă pe A.
Teorema III.39. (Teorema lui Cantor) Fie A ⊂ R mulţime
compactă şi f: A →R funcţie continuă pe A atunci, f este uniform continuă
pe A.
Demonstraţia se face prin reducere la absurd şi presupunem că f nu
este uniform continuă pe A ⇔ (III.27) 0 0, , a.î.n nn x y A∃ε > ∀ ∈ ∃ ∈N,
( ) ( ) 01 şi n n n nx y f x f yn
− < − ≥ ε . Mulţimea A ⊂ R este compactă şi
atunci ∀( ) ⊂ A conţine un subşir convergent 1n n
x≥ ( )
1kn kx
≥⊂ A la x∈A.
Avem: ( ) 0k k k k kn n n n nkx y x x x y y→∞− ≤ − + − ⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯→R xR . Trecând la
limită în ( ) ( ) 0k kn nf x f y− ≥ ε găsim 0( ) ( )f x f x− ≥ ε (f este continuă pe
A), 0 ≥ ε0 este absurd ⇒ f este uniform continuă pe A.
212
Consecinţa III.10. Fie I ⊂ R un interval şi f: I →R funcţie
continuă, atunci f este uniform continuă, dacă şi numai dacă există a, b∈I
a. î. f este uniform continuă pe I ∩ (-∞, a] şi pe I ∩ [b, + ∞).
Demonstraţie: Fie a, b∈I cu a < b atunci f este uniform continuă
pe [a, b] (mulţime compactă din R) şi după 4], 5] rezultă afirmaţia din
consecinţă.
Consecinţa III.11. Fie a, b∈R cu a < b şi f: (a, b) →R funcţie
continuă atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) f uniform continuă; 2) ∃ f( a + 0), f( b - 0)∈R;
3) există g: [a, b] → R uniform continuă astfel încât ( ),a bg f= .
Demonstraţie: 1) 2); 2) 3); 3) 1) şi faptul că f continuă pe
(a, b) se poate prelungi prin continuitate la [a, b]. După 5] rezultă g cu
3]⇒
2]⇒
3]⇒
( ),a bg = f este uniform continuă şi deci f este uniform continuă.
Exemple: 1. 5( ) 3 1,f x x x x= − − ∈R este funcţie continuă pe R şi
există ξ între 1 şi 2 a. î. f(ξ) = 0 deoarece f are proprietatea Darboux. Avem
f(1) = - 3 < 0 şi f(2) = 25 > 0, după consecinta (III.7 - 1°) există ξ∈(1, 2)
a. î. f(ξ) =0.
2. Să se rezolve ecuaţia: 3 316 3 4 0,x x a a− − − −− ⋅ − = ∈R . Notăm 34 x y− − =
cu y∈(0, 1] şi avem: 2 3y y a 0− − = . Dacă a > 94
− (∆ = 9 + 4 a >0 pentru
a > 94
− ) atunci 1 2 1 23, cu şi 2 2
y y y y 3∈ <R > . Pentru 2( ) 3f y y y a= − −
funcţie continuă pe R este strict descrescătoare pe (-∞, 32
) şi strict
crescătoare pe ( 32
, + ∞), deci f(1) < f(0). Funcţia f continuă şi
213
descrescătoare pe [0, 1] se va anula în acest interval, dacă şi numai dacă,
f(0) > 0 şi f(1) < 0 ⇔ (-a)(- 2 - a)<0 ⇔ a∈[-2, 0) (f(1) = 0 pentru a = -2).
Ecuaţia f(y) = 0 admite pentru a∈(-2, 0) soluţia y0∈(0, 1] unde:
30 3
3 9 4 1 242 3 9 44
xx
aya
− −− −
− −= = ⇔ =
− − ⇔
4 423 log 3 log
3 9 4 3 9 4x x
a a− = ⇔ = ±
− − − −2 soluţii ale ecuaţiei date
pentru a∈[- 2, 0).
3. f: R → R, f(x) = 2sin x să se studieze continuitatea uniformă pe R.
I. f este continuă şi mărginită pe R, dar f nu este uniform continuă.Avem:
2
2 2
2
1; (4 1)2
sin 1; (4 3) ,2
0;
x k
x x k k
x k
π⎧ = +⎪⎪
π⎪= − = + ∈⎨⎪⎪ = π⎪⎩
N . Fie:
(4 3) ; (4 1) ,2 2
(4 3) (4 1)2 2
x k x k x x kk k
π π π′ ′′ ′ ′′= + = + ⇒ − = ∈π π
+ + +N
⇒ ( ) ( ) sin(4 1) sin(4 3) 2,2 2
f x f x k k kπ π′ ′′− = + − + = ∀ ∈N şi ∃ε0= 2 a. î.
( )0 iar ( ) ( ) 2x x f x f x′ ′′ ′ ′′− < δ ε − = = ε0⇒ f nu este uniform continuă
pe R. După teorema lui Cantor (teorema III.39) f este uniform continuă pe
orice interval închis şi mărginit (compact) I⊂ R.
4. Fie f: I → R cu ( )1
xf x xx
= ++
, să se precizeze dacă f este uniform
continuă pe: 1 ) I1= [0, + ∞ ) ⊂ R respectiv pe 2) I2 = (-1, + ∞)⊂ R.
214
1 ) Pentru cazul I1= [0, + ∞ ) ⊂ R, f este continuă şi mărginită pe I1. Pentru
∀ x1, x2∈ I1= [0, + ∞ ) avem:
( )( )1 2
1 2 1 2 1 21 2 1 2
1( ) ( ) 11 1 1
x xf x f x x x x xx x x x
− = + − − = − ++ + + +1
≤
1 22 2 2 ,2
x x ε 0ε≤ − ≤ δ = = ε ∀ε > ⇒ f este funcţie continuă pe I1= [0, + ∞ )
(după teorema III.26).
2) Pe I2 = (-1, + ∞ ) considerăm:
( )1 2 1 2 01 1, cu 2 1 2 1
n n n nx x x xn n n n+ − +
= − = − = − + < δ ε+ + + +
cu ( )0δ ε oricât
de mic dorim, când n este suficient de mare. Avem: 1 2( ) ( )f x f x− =
=( )( ) 0
111 2n n
+ >+ +
1= ε ⇒ f nu este uniform continuă pe I2 (după III.27).
215