Download - intersectia suprafet curbe
-
7/22/2019 intersectia suprafet curbe
1/6
Fig. 2.1
Fig. 2.2
INTERSECIA SUPRAFEELOR CURBE
2.1. Generaliti
Se tie c dou suprafee ),( mt i ),( pn se intersecteaz, dac ele au puncte
comune (fig.2.1). Totalitatea punctelor(11 ,2, ...,i) ce aparin ambelor suprafee formeaz linia l
de intersecie a suprafeelor:).,(),(),...,2,1( pnmtil =
Aceast linie poate fi plan sau spaial. Ea poate fi
de asemenea curb sau poligonal (n cazul cnd se
intersecteaz poliedrele). Ordinul liniei de intersecie este
egal cu produsul ordinelor suprafeelor. Construcia liniei de
intersecie pe desene se bazeaz pe proprietatea, c punctelecomune ale suprafeelor pot fi la intersecia liniilor, care
aparin acestor suprafee, n scopul evidenierii acestor linii la
construirea liniei de intersecie se folosesc suprafee secante
auxiliare.
Drept suprafee auxiliare pot fi utilizate suprafeele plane ori sferice. Din aceste considerente la
construirea liniei de intersecie a suprafeelor se difereniaz metoda planelor auxiliare i metoda
sferelor auxiliare.
2.2. Metoda planelor secante paralele
Esena acestei metode const n aceea c suprafeele date i sunt intersectate de
suprafee plane auxiliare care se aleg n aa fel
nct ele s intersecteze suprafeele iniiale i
n linii drepte sau cercuri )'(m i )'(t la
intersecia crora se obin punctele 1 i 2 careaparin liniei de intersecie la suprafeelor (fig.2.2).
Aadar, algoritmul de baz al gsirii
punctelor comune ale suprafeelor intersectate
poate fi scris n felul urmtor:;'t= ;'m=
).2,1('' =mt
Procedura interseciei suprafeelor se repet de attea ori de cte este necesar pentru a
obine o linie ct mai exact.
Dac linia de intersecie a suprafeelor date se construiete cu ajutorul suprafeelor plane,
-
7/22/2019 intersectia suprafet curbe
2/6
Fig. 2.3
care sunt paralele cu unul dintre planele de proiecie, aceast metod se numete metoda
planelor auxiliare secante paralele. Ea se utilizeaz n cazurile cnd planele auxiliare
intersecteaz suprafeele date n linii drepte
sau circumferine.
S exemplificm utilizarea acestei
metode n dubl proiecie ortogonal la
intersecia unei suprafee conice ),( mS
cu o suprafa sferic ),( RO (fig.2.3).
Punctele comune ale suprafeelor se
determin utiliznd drept plane auxiliare ',
'', ''', Iv care secioneaz suprafaa conic
dup circumferinele m', m", m1", m Iv i
suprafaa sferic dup circumferinele t',
t", t1", tIv .
Intersecia acestor circumferine
determin punctele comune 3, 4, 5, 6 i
3',4',5',6'. Punctele de baz 1 i 2 se gsesc la
intersecia liniilor de contur t20 i S2A2 ale
suprafeelor. Punctele 3 i 3', n care
ecuatorul sferei intersecteaz conul, se obin
cu ajutorul planului '||1 care se traseaz
prin centrul O2 al sferei. Aceste dou punctesituate pe ecuatorul t" n proiecia orizontal mpart linia de intersecie a suprafeelor n dou
pri: vizibil (31-41-11-4'1-3'1) i invizibila (31-61,-21-6'1-3'1). Din cauza simetriei fa de planul de
front 1' pe suprafaa frontal dou ramuri ale liniei de intersecie coincid.
2.3. Metoda sferelor concentrice
Utilizarea suprafeelor concentrice drept suprafee auxiliare pentru determinarea curbelorde intersecie a dou suprafee de rotaie are la baz urmtoarea proprietate: o suprafa sferic
cu centrul n O situat pe axa i a unei suprafee de rotaie se intersecteaz cu aceasta n
circumferine (m, m'), care n una din proiecii apar complet deformate (fig. 2.4).
Suprafeele auxiliare sferice concentrice sunt utilizate n cazul interseciei suprafeelor de
rotaie cu axe concurente i paralele cu unul dintre planele de proiecie. Se observ totodat c
punctul de intersecie al axelor suprafeelor date este centrul sferelor auxiliare. Raza minim a
sferelor auxiliare este egal cu lungimea maxim a segmentelor de normale trasate din punctul
de intersecie al axelorOpe suprafeele date. Raza maxim este egal cu distana dintre punctul
O i cel mai ndeprtat punct al liniei de intersecie.
-
7/22/2019 intersectia suprafet curbe
3/6
Fig. 2.4
Fig. 2.5
S exemplificm cele expuse mai sus printr-o problem
concret. Fie date dou suprafee cilindrice ),( li i )','(' li
de rotaie cu axele concurente i paralele cu planul frontal de
proiecie 2 (fig. 2.5). Se cere s se construiasc linia de
intersecie a acestor suprafee, utiliznd metoda sferelor
concentrice.
Construcia grafic a proieciei liniei de intersecie se face
n felul urmtor: se determinCentrul sferelor concentrice: 222 'iiO = . Se gsete raza celei
mai mici sfere .' 2222min NONOR >= n suprafeele date se
nscrie prima sfera ),( minRO cu raza .'22min NOR = Se
construiesc cercurile de intersecie ale suprafeelor date cu sfera
auxiliara:);,(' min2222 ROm =
).,(')'( min22222 ROtt =
Se gsesc punctele de intersecie ale
cercurilor, care aparin celor dou suprafee
cilindrice i suprafeei sferice:;3
222 tm =
.''3 222 tm =
Se repet procedura nscrierii altei suprafee
sferice cu R>Rmin i se construiesc cercurile deintersecie ale suprafeelor:
;',),('2222
mmRO =
.',),( 2222 ttRO =
Se gsesc nc dou puncte de intersecie ale
cercurilor4 i 4':;4 222 mt = .'''4 222 mt =
n mod analog se construiesc i punctele 52 , 5'2. .
Punctele de baz 12,22, l'2, 2'2 se afl la intersecia liniilor de contur ale suprafeelor date.Proiecia frontal a liniei de intersecie a suprafeelor se obine prin unirea punctelor:
22222 23451 i .'2'3'4'5'1 22222
2.4. Metoda sferelor excentrice
Utilizarea acestei metode se bazeaz pe urmtoarea proprietate: o sfer ),( RO poate
s intersecteze un tor ),( 0im dup circumferine (generatoarele m', m"), dac centrul sferei O
se gsete n planul de simetrie al suprafeei (fig. 2.6).
-
7/22/2019 intersectia suprafet curbe
4/6
Fig. 2.6
Fig. 2.7
Segmentele (12,22), (1'2,2'2) cu centrele n N2, N'2 reprezint diametrele acestor cercuri.
Centrul sferei O2se gsete la intersecia perpendicularelorN2O2 i N'2O2 ridicate din centreleN2iN'2. Planele cercurilorm'i m"se gsesc n planele proiectante '2i ''2 trasate prin axa
de rotaie i0(i10,i20) a torului.
S examinm utilizarea acestei proprieti a
sferei la construirea proieciilor liniei de intersecie a
suprafeelor.
Fie date torul ),( im i suprafata cilindric)','( im axele rora se gsesc ntr-un plan de front
(fig. 2.7). Se cere s se construiasc linia de intersecie
a suprafeelor:( ) ).','(),(3,2,1 imiml =
Punctele comune ale suprafeelor pot fi gsite n felul
urmtor: tiind, c axele i' i i ale suprafeelor se aflntr-un plan de front, se gsesc punctele de baz 12 i 22ca rezultat al interseciei liniilor de contur ale
suprafeelor. Prin axa i20se traseaz un plan auxiliar '2la intersecia cruia cu suprafaa toric obinem cercul
m2'cu diametrulA2'B'2.
Din centrulN'2alcercului se coboar o perpendicular
pe planul cercului pn la intersecia ei cu axa de
rotaie i'2 a cilindrului (se obine centrul O'2).Din centrul O'2, se construiete suprafaa sferic )','(' RO cu raza
).''()''(' 2222 BOAOR == Intersecia sferei ' cu torul formeaz cercul m'2= . La
intersecia sferei ' cu cilindrul obinem cercul .'2m
Intersecia cercurilor 2'm i 2'm formeaz punctul 32
care aparine att proieciei torului ct ia cilindrului, deci
aparine liniei de intersecie. Procedura construirii sferelor
auxiliare secante se repeta de attea ori, de cte este necesar
pentru a obine o linie ct mai exact.De exemplu, pentru construirea punctlui 42 se
traseaz prin i20planul ''2care intersecteaz torul n cercul
m". Proiecia centrului celei de-a doua sfere auxiliare se va
afla la intersecia perpendiculareiN"2Q"2 cu axa cilindruluii2
0: .')''''('' 2222 iONO =
Din centrul O"se construiete sfera auxiliara '' cu raza :).''''()''''('' 2222 BOAOR ==
Aceast sfera va intersecta suprafeele date n cercurile 2'm i 2'm .
La intersecia acestor cercuri se afl punctul 4 care aparine ambelor suprafee:222 ''''4 mm = .
-
7/22/2019 intersectia suprafet curbe
5/6
Fig. 2.8
Fig. 2.9
n mod analog se construiete i punctul 52, folosindu-se planul secant auxiliar '''2.
Linia de intersecie a suprafeelor date va trece prin punctele obinute:.25431 222222 =l
2.5 Cazuri particulare de intersecie a suprafeelor de ordinul doi
ntruct suprafeele de ordinul doi sunt algebrice, linia de intersecie este o curba
algebric (n caz general - o linie spaial). Aceast curb este de ordinul patru, fiindc ordinul
liniei de intersecie este egal cu produsul ordinelor suprafeelor, n practica construirii desenelor
industriale se mlnesc cazuri cnd linia de intersecie a suprafeelor de ordinul doi se
descompune n cteva linii de ordine inferioare.
O importan deosebit are descompunerea liniei
de intersecie de ordinul patru n dou curbe plane deordinul doi. n continuare sunt prezentate unele cazuri
mai des ntlnite n practic.l. Dac dou suprafee de ordinul doi se
intersecteaz dup o curb plan de ordinul doi, atunci
ele se intersecteaz nc dup o curb tot de ordinul doi.
Justeea legii reiese din condiia c suma ordinelor
liniilor, n care se descompune linia de intersecie, este
egal cu ordinul acestei linii, n cazul dat linia de
intersecie este de ordinul patru. Dac o parte din aceast linie este o curb de ordinul doi,
nseamn c a doua parte trebuie s fie de asemenea de ordinul doi. De exemplu, dac o
suprafa cilindric de ordinul doi ),( li intersecteaz
o suprafa sferic ),( RO dup un cerc matunci ea se
intersecteaz cu sfera nc dup un cerc m'(vezi fig. 2.4-
2.7).
2. Dac dou suprafee i ' de ordinul doi
au contact n dou puncte (1,2), atunci linia lor deintersecie se descompune n dou curbe plane de ordinul
doi, planele crora trec prin dreapta care unete punctele
de contact (fig. 2.8).
Fie dai ', - doi cilindri cu diametre egale,
unde 1,2 sunt puncte de contact ale cilindrilor, n acestcaz se obin dou linii de intersecie: '2 =m i
'.'2 =m Liniile m,m'reprezint dou curbe de ordinul doi (elipse).
3. Dac dou suprafee i (fig. 2.9) de ordinul doi sunt circumscrise unei suprafeede ordinul doi ),,( RO atunci ele se intersecteaz dup curbe plane (t,n) de ordinul doi.
Planele acestor curbe trec prin dreapta (1,2), care unete punctele de intersecie ale liniilor de
-
7/22/2019 intersectia suprafet curbe
6/6
contact.
ntrebri de control
1. Ce se numete linie de intersecie a suprafeelor?
2. Prin ce metode se efectueaz construcia liniei de intersecie a suprafeelor?
3. n ce const esena metodei planelor secante paralele?
4. n ce consta esena metodei sferelor concentrice?5. Ce proprietate a sferei este pus la baza utilizrii sferei ca suprafa auxiliar pentru
construcia liniilor de intersecie?
6. n ce cazuri se utilizeaz metoda planelor auxiliare?
7. n ce cazuri se utilizeaz metoda sferelor concentrice?
8. Cum se determin ordinul liniei de intersecie a suprafeelor?
9. Care sunt cazurile particulare de intersecie a suprafeelor de ordinul doi?