Download - Inele noetheriene
-
8/13/2019 Inele noetheriene
1/55
2
INELE NOETHERIENE
CUPRINS
-
8/13/2019 Inele noetheriene
2/55
2
Introducere.. 3
Cap. I Noiunea de inel noetherian. 4
!. Condiii de lan.. 4". #odule $i inele noetheriene%artiniene.. &
3.Siruri de co'po(iie. )
Cap. II. Cla$e $peciale de inele noetheriene..!3
!. Con$trucii de 'odule *i inele noetheriene. !3
". Inele de +racii.. !,
3. Inele de polinoa'e.......................................................... "! 3.!. Inelul polinoa'elor -ntro nedeter'inat/.................. "!
3.". Inelul polinoa'elor -n 'ai 'ulte nedeter'inate....... "0
Cap. III. 1e$co'punerea pri'ar/ -n inelele noetheriene ")
!. Nilradicalul unui inel. Ideale pri'are. ")
". 1e$co'punerea pri'ar/ a unui ideal 34
3. 1e$co'punerea pri'ar/ -n inele noetheriene. 42
ilio5ra+ie.43
-
8/13/2019 Inele noetheriene
3/55
2
Introducere
Aceast lucrare are ca scop principal studierea inelelor noetheriene, unele
clase speciale de astfel de inele i deacompunerea primar in inele noetheriene.
n primul capitol se trateaz noiunea de inel noetherian. Pentru aceasta se
studiaz condiia de lan ascendent i condiia de lan descendent, precum i
caracterizri echivalente ale inelelor noetheriene. n ultima parte a capitolului
notiunea de noetherian se generalizeaz pentru module, aici noiunea de modul
noetherian fiind completat prin studiul irurilor de compoziie.
n cel de-al doilea capitol se trateaz tema Clase speciale de inele
noetheriene, unde studiem inelele de fracii, inelele de polinoame i conditii
pentru ca aceste inele s fie noetheriene. !ot "n acest capitol amintim i una dintre
cele mai importante teoreme ale alge#rei i anume Teorema Hilbert a bazei.
n cel de-al treilea capitol, $escompunerea primar "n inele noetheriene,tratm noiunea de nilradical al unui inel, idealele primare, descompunerea primar
a unui ideal "ntr-un inel oarecare i n inelele noetheriene. %n rezultat principal al
acestui Capitol este c "ntr-un inel noetherian idealele sunt decompoza#ile.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
4/55
2
Cap. I Noiunea de inel noetherian
!. Condiii de lan
Fie o multime parial ordonat de relaia , unde este
reflexiv, antisimetric i tranzitiv.
Propoziia 1.1.1. Urmtoarele condiii pe sunt
echivalente:
i) fiecare ir n este staionar, adic exist un
astfel nct ;
ii) fiecare submulime nevid a lui are un element
maximal.
Demonstraie. . Dac este fals, atunci exist o
submulime nevid a lui fr elemente maximale. Putem
construi inductiv un ir strict cresctor n , astfel fie nu
e maximal astfel nc!t . "nalo#, x2 nu este
maximal x$ %,astfel nc!t x2 x$etc. &n acest fel am construit
un ir x' x2 x$ ... strict cresctor,deci nestaionar.(ontradicie
cu ipoteza i).
. Fie irul cresctor i fie .
*ubmulimea are un element maximal, fie acesta . "tunci
.
Fie " un inel comutativ unitar.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
5/55
2
Dac este mul+imea submodulelor unui modul ,
ordonate de relaia , atunci condi+ia este numit condiia
lanurilor ascendente si condi+ia este numit condiia
maximal. -n modul care satisface una din aceste condi+ii
ecivalente se numete modul noetherian.Dac este ordonat
de rela+ia , atunci condi+ia este numit condiia lanurilor
descendente i condi+ia este numit condiia minimal. -n
modul care indeplinete una din aceste condi+ii ecivalente
este numit artinian.&n continuare, toate inelele care vor fi considerate sunt
comutative.
". #odule $i inele noetheriene%artiniene
Definiia 1.2.1. Un inel se numete noetherian dac
este un modul noetherian. !n acest ca", submodulele lui sunt
idealele inelului #.
Exemple.
'. -n #rup abelian finit poate fi vzut ca un modul i satisface
ambele condiii condiia de lanascendent i condiia de landescendent.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
6/55
2
2. /nelul satisface conditia de lant ascendent, dar nu i
condiia de lan descendent. Dac avem
0incluziune strict).
$. se definete astfel fie
dac . 1bservm c dac 'si 2au aceeai
parte fracionar . Dac , atunci i .
1rice clas poate fi reprezentat printro fracie , unde
. "tunci . "cum s fixm p prim
i punem 3 45are
elemente, respectiv,
*criind pe 42si 4$,
-
8/13/2019 Inele noetheriene
7/55
2
observm c 42 4$ ,deoarece si 42.
"adar,
este ir nestaionar, deci
ca modul nu este noeterian.
6. /nelul 0 este corp, este nedeterminata) satisface
condiia de lanascendent 0aa cum vom arta mai 7os), dar
nu i cea de landescendent de ideale.
8. /nelul polinomial ntro infinitate de nedeterminate
nu satisface nicio condiie de lan pe ideale secvena
este lan strict ascendent, i secvena
este lan strict descendent.
Propoziia 1.2.2. este un modul noetherian dac i
numai dac fiecare submodul al lui este finit $enerat.
Demonstraie. Fie un submodul al lui , i fie
mulimea tuturor submodulelor ale lui . "tunci nu estevid 0deoarece ) i are deci element maximal, fie acesta .
Dac , considerm submodulul , unde 3
-
8/13/2019 Inele noetheriene
8/55
2
acesta este finit #enerat i contine strict pe , deci avem
contradicie. Prin urmare si este finit #enerat .
Fie un lanascendent de submodule ale lui. "tunci este un submodul al lui . (u ipoteza c
este finit #enerat i fie , avem .
Fie etc.,
, deci . De aici
. &n concluzie,.
Propoziia '.'.$. arat c!t de importante sunt modulelenoeteriene condiia de modul noeterian este exact condi ia definitudine pe care se fundamenteazo serie intrea#de teoreme.9ulte dintre proprietile formale elementare le au, n e#almsur, at!t modulele noeteriene c!t i modulele artiniene.
Corolar 1.2.3.%nelul este noetherian dac i numai dac
fiecare ideal al su este finit $enerat.
Propoziia 1.2.4. &ie un ir exact de
module. #tunci
i)
este noetherian si sunt noetheriene;
ii) este artinian si sunt artiniene.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
9/55
2
Demonstraie. -n lanascendent de submodule ale
lui 0sau ) produce un lann , prin urmare lanul din 0sau
) este staionar.
/deea demonstrrii implicaiei este urmtoarea daca
un lanascendent de submodule ale lui , atunci
este un lanin si este lanin . Pentru un destul de
mare, ambele lanuri sunt staionare, de unde rezultci lanul
este staionar. "sadar, fie :..
Demonstrarea punctului este similarcu cea a punctului
.
;. 4rupul al numerelor raionale de forma i
p prim, nu satisface nicio conditie de lan . &ntradevr, avem
irul exact, unde
9ulimea nu satisface conditia de landescendent pentru
cnici nu o satisface, i nu satisface condiia de lanascendent
deoarece nici nu o satisface.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
10/55
2
Corolarul 1.2.5. 'ac sunt #module
noetheriene, respectiv module artiniene, atunci este #
modul noetherian(respectiv, artinian).
Propoziia 1.2.6. &ie un inel noetherian, respectiv inel
artinian, un modul finit $enerat. #tunci este noetherian,
respectiv artinian. #ltfel spus, orice modul finit $enerat peste uninel noetherian (respectiv artinian), este noetherioan (respectivartinian).
Exemple.
'. 1rice corp comutativ este artinian i noeterian, deci
este inelul , . /nelul este noeterian, dar nu
este artinian.
2. 1rice inel principal care este domeniu este noeterian
0fiecare ideal este finit #enerat).
$. /nelul nu este noeterian. Dar acesta este un
domeniu de inte#ritate, prin urmare are un camp de
fracii care este noeterian.
6. Fie un spaiu compact infinit
-
8/13/2019 Inele noetheriene
11/55
2
de mulimi ncise n i fie
. "tunci formeaz o secven
strict cresctoare de ideale in deci nu este un
inel noeterian
Propoziia 1.2.7.&ie noetherian (respectiv artinian), un
ideal al lui . #tunci #*% este inel noetherian (respectiv inel
artinian).
Demonstraie. Din propoziia '.'.$., ">/ este noeterian,
respectiv artinian, ca un modul, dar i ca un ">/ modul.
3. 6iruri de co'po(iie
-n lande submodule ale modulului este un ir de
submodule ale lui astfel nc!t
=un#imea lanului este n. -n ir de compo"iiea lui este un
lanmaximal, n sensul c este un lann care nu pot fi inseratesubmodule suplimentare asta este ecivalent cu a spune c
-
8/13/2019 Inele noetheriene
12/55
2
fiecare c!t este simplu 0un modul este simplu
dac sin#urele sale submodule sunt i el insui).
Propoziia 1.3.1. +resupunem c are un ir de
compo"iie de lun$ime . #tunci fiecare ir de compo"iie a lui
are lun$imea i fiecare lan n poate fi extins la un ir de
compo"iie.
Demonstraie. i) . Fie o serie de
compoziie a lui de lun#ime minim, i considerm submodulele
a lui . (um i acesta din urmeste
un simplu modul, avem fie sau 3 rezult,
prin mutri repetate ale termenilor, cavem o serie de compoziie
a lui , astfel incat . Dac , atunci
pentru fiecare prin urmare
, , : i in final .
ii)1rice lanin are lun#imea . Fie s
fie un lan de lun#ime . "tunci din i) avem c
, prin urmare .
iii)(onsiderm orice sir de compoziie a lui . Dac aceasta
are lun#imea , atunci din ii), prin urmare dindefiniia lui . Prin urmare toate seriile de compoziie au aceeai
lun#ime. /n final, considerm orice lant. Dac lun#imea acestuia
este , atunci acesta poate fi o serie de compoziie din ii)3 dac
-
8/13/2019 Inele noetheriene
13/55
2
lun#imea acestuia este , atunci aceasta nu este o serie de
compoziie, rezultand c nu este maximal, i mai departe pot fi
inseraii noi termini panlun#imea este .
Propoziia 1.3.2. are un sir de compo"iie
satisface ambele condiii de lan.
Propoziia 1.3.3. un$imea este o funcie aditiv n
clasa tuturor modulelor de lun$ime finit.
Demonstraie.%rebuie sartm cdaceste o secvenexact, atunci . =um ima#inea
lui pentru orice serie de compoziie a lui si inversa ima#inii lui
pentru orice serie de compoziie a lui , acestea impreun
adunate dau o serie de compoziie a lui , prin urmare rezultatul
cerut.
Propoziia 1.3.4. +entru spaiul vectorial , urmtoarele
condiii sunt echivalente:
i) este finit dimensional, adic ;
ii) - este de lun$ime finit;
iii) - satisface condiia de lan ascendent;
iv) - satisface condiia de lan descendent;
ai mult, dac aceste condiii sunt satisfcute, atuncilun$imea l()/dimensiunea dim0-.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
14/55
2
Demonstraie. este elementar.
rezult din propoziia 1.1.10. . ?mane de demonstrate c
. Presupunem c este fals, atunci aici existun
ir infinit de elemente liniare independente din . Fie ,
respectiv , spaiul vectorilor determinat de respectiv
. "tunci lanul , respectiv lanul , este
infinit si strict ascendent, respectiv strict descendent.
Corolar 1.3.5. &ie un inel in care idealul "ero este un
produs de forma de ideale maximale. #tunci este
inel noetherian dac i numai dac este inel artinian.
Propoziia 1.3.6. um s fie un inel.
+resupunem c este noetherian, atunci este finit $enerat ca o
1 al$ebr i c nu este finit $enerat ca un modul sauinte$rat peste . #tunci este finit $enerat ca o 1 al$ebr.
Demonstraie.=um care #enereaz pe ca o @
al#ebr i lum care #enereaz pe ca un modul.
"tunci exist expresia de forma
-
8/13/2019 Inele noetheriene
15/55
2
Fie o al#ebr #enerat peste de i de . (um este
noeterian, atunci i este noeterian, i .
1ricare element al lui este un polinom n cu coeficieni n
. *ubstituind i repetand n artm c fiecare element al
lui este o combinaie liniar de forma cu coeficieni n , i
prin urmare este finit #enerat ca un modul. Deoarece
este noeterian i este un submodul al lui , rezult c este
finit #enerat ca un modul. Deoarece este finit #enerat ca o@ al#ebr, rezult c este finit #enerat ca o @ al#ebr.
-n ideal este ireductibil dac
Propoziie 1.3.7.!ntrun inel noetherian orice ideal este o
intersecie finit de ideale ireductibile.Demonstraie.Presupunem un, atunci mulimea idealelor
din pentru care lema este fals un este vid, prin urmare exist
un element maximal . Deoarece este reductibil, avem c
unde i . Prin urmare, fiecare dintre i este
o intersecie finit de ideale ireductibile, deci n consecin este o
contradicie.
Propoziie 1.3.8. !ntrun inel noetherian fiecare idealireductibil este primar.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
16/55
2
Demonstraie. %rec!nd la coeficientul inelului, estendea7uns s artm c idealul zero este ireductibil, deci esteprimar.
Fie cu i considerm lanul idealelor
. "cest lan este staionar i avem c
pentru unii . ?ezult c ,
dac pentru , atunci , i dac pentru atunci
, prin urmare , prin urmare
, prin urmare , acesta este . Deoarece este
ireductibil i trebuie s obinem c , ceea ce ne i
arat c este primar.
Corolarul 1.3.. 'ac este noetherian i este un ideal
prim al lui , atunci este noetherian.
Corolarul 1.3.1!. 'ac este un inel comutativnoetherian, atunci orice al$ebr comutativ finit $enerat
este inel noetherian.
Demonstraie. Fie un sistem de #eneratori
pentru al#ebra , deci . Axist un morfism de
al#ebre astfel nc!t
"vem
-
8/13/2019 Inele noetheriene
17/55
2
.
De exemplu, deoarece este inel noeterian, rezult c
inelele sunt noeteriene.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
18/55
2
Cap. . Cla$e $peciale de inele noetheriene!. Inele de +racii
Fie un inel comutativ cu element unitate, iar o
submulime a lui care conine elementul unitate al lui i
produsul a dou elemente din este n , adic este unsemi#rup unitar cu operaia de nmulire din . 1 astfel de
submulime a lui se numete de obicei un sistem multiplicativ
0ncis) din . &n cele ce urmeaz, vom considera sisteme
multiplicative care nu conin divizori ai lui zero, dei construciile
care urmeaz se pot face, cu unele modificri, i n cazul n care
conine divizori ai lui zero.
"eorema 2.1.1.&ie un inel comutativ cu element unitate
i un sistem multiplicativ din format din nondivi"ori ai lui "ero.
#tunci exist o al$ebr de morfism structural
in2ectiv astfel ncat este un element inversabil n pentru
orice . #ceast al$ebr are n plus urmtoarea proprietate
(numit de universalitate) care o determin pan la un
i"omorfism de al$ebre: oricare ar fi al$ebra de morfism
structural astfel ncat, pentru orice este
-
8/13/2019 Inele noetheriene
19/55
2
inversabil n , exist un morfism unic de al$ebre ,
adic astfel ca dia$ram
s fie comutativ.
# a se construiete dup cum urmea".
(onsiderm produsul cartezian , pe care introducem
urmtoarea relaie binar
pentru . ?elaia binar de mai sus este o relaie de
ecivalen. &ntradevr, reflexivitatea i simetria acestei relaii se
verific imediat. * verificm tranzitivitatea acestei relaii. Fieelemente din , astfel ncat i
. "tunci rezult
&nmulind prima dintre aceste relaii cu i a doua cu , se
obine relaia
Din aceast relaie se obine , deoarece nu este
un divisor al lui zero n . Botm cu mulimea factor a lui
-
8/13/2019 Inele noetheriene
20/55
2
prin aceast relaie de ecivalen. Botm cu 0sau cu ) clasa
elementului i introducem pe urmtoarele dou
operaii al#ebrice. Fie 3
atunci
Deoarece aceste operaii al#ebrice sunt date cu a7utorulunor reprezentani din clasele de ecivalen respective, trebuies ne asi#urm c nu depind de ale#erea acestora. Fie deci
Ca trebui s artm c
i
Com demonstra numai prima dintre aceste relaii, cea dea
doua demonstr!nduse analo# i ciar mai simplu. Din ipotezrezult c
i va trebui s demonstrm c n exist relaia
-
8/13/2019 Inele noetheriene
21/55
2
"vem, inand seama de relaia ,
(u operaiile introduse, este inel comutativ cu element
unitate. Ca trebui s artm c, fa de prima operaie notat
aditiv, formeaz #rup abelian. "sociativitatea i
comutativitatea adunrii se verific imediat. Alemental nul este
clasa elementului , oricare ar fi , iar opusul elementului
este .
"sociativitatea i comutativitatea celei dea doua operaii
definit pe , notat multiplicative, rezult imediat din
asociativitatea i comutativitatea nmuliri n , iar elemental din
este evident elemental unitate la nmulire. *e verific, deasemenea, imediat c nmulirea definit n este distributiv
fa de adunare. Dac , se spune c este
numrtorul i numitorul elementului .
9orfismul se definete astfel i se
verific imediat c este un morfism unitar de inele, ncat cu acest
morfism structural, devine al#ebr. 9orfismul este
in7ective, cci dac , atunci , de unde rezult .
-
8/13/2019 Inele noetheriene
22/55
2
dac , atunci i se observ c are invers n pe .
Fie acum o al#ebr cu propriettile din teorem. "tunci
se definete astfel . "rtm mai
ntai c nu depinde de ale#erea reprezentantului din .
&ntradevr, dac , rezult i deci
, din care rezult
. * verificm acum c este un morfismde al#ebre. "vem
ceea ce arat c pstreaz sumele. "vem de asemenea
adic pstreaz produsele.
Pentru a demonstra c este morfism de al#ebre, trebuie
s mai verificm c . Fie . "tunci, din definiia lui ,
rezult
-
8/13/2019 Inele noetheriene
23/55
2
* mai observm c este unicul morfism de al#ebre de
la la . &ntradevr, fie un alt morfism de al#ebre.
"tunci
9ai rmane s artm c este determinat de proprietatea
de mai sus n mod unic pan la un izomorfism de al#ebre. Fie
o alt al#ebr cu morfismul structural care are aceeai
proprietate ca i . "adar, , pentru , este elementinversabil n i pentru orice al#ebr cu aceeai
proprietate, exist un unic morfism de al#ebre de la la . *
considerm atunci al#ebra . Din ipotez rezult c exist
morfismele de al#ebre i . Deoarece
este un morfism de al#ebre de la la ea nsi i cum
morfismul identic al lui are aceeai proprietate, rezult c
. &n mod analo#, rezult c , adic i sunt
izomorfisme.
Definiia 2.1.2. &ie un inel comutativ nenul cu element
unitate i un sistem multiplicativ de nondivi"ori ai lui "ero n .
#tunci inelul definit n teorema precedent se numete inelul de
fracii al lui n raport cu i se mai notea" cu .
-
8/13/2019 Inele noetheriene
24/55
2
Propoziia 2.1.3.'ac este un inel noetherian i este o
submulime multiplicativ nchis a lui , atunci este inel
noetherian.
Demonstraie. /dealele lui sunt in corespondenta
bi7ectiva, pstrand incluziunea, cu idealele lui , deci satisfac
condiia maximal. 0 1 demonstraie alternativ ar fi dac este
un ideal al lui , atunci are un sistem finit de #eneratori, fie
acesta . /dealul este #enerat de )
Axemple 0de inele de fracii noeteriene).
'. Dac , atunci este inelul nul.
2. Fie i lum . &n acest caz, inelul se
noteaz de re#ul cu , iar elementele lui sunt fraciile
cu numitori puteri ale lui .
$. Fie un ideal oarecare n i lum mulimea
tuturor elementelor de forma , unde . *i#ur
este submulime multiplicativ ncis.
6. Fie un ideal prim al lui . "tunci este
multiplicativ ncis 0de fapt, este multiplicativ ncis
dac i numai dac este prim).
-
8/13/2019 Inele noetheriene
25/55
2
&n acest caz, scriem pentru . Com arta c inelul
noeterian este un inel cu un sin#ur ideal maximal.
Fie . "tunci este ideal n . Dac ,
atunci , prin urmare i mai departe este inversabil n
cu inversul . ?ezult c este ideal maximal n . Dac
este un ideal maximal , atunci ca mai sus rezult c
elementele din sunt inversabile i deci , contrar cu
maximalitatea lui . "adar, este unicul ideal maximal n .
Procesul de trecere de la la este numit locali"aren .
Propoziia 2.1.4. 3peraia este exact, altfel spus,
dac este ir exact in , atunci
este ir exact n .
Demonstraie. "vem c , prin urmare
, prin urmare . Pentru
demonstraia invers, lum , atunci n
, prin urmare exist astfel ncat n . Dar
cu toate c este un omomorfism modul, prin
urmare i mai departe pentru
. Prin urmare n avem
-
8/13/2019 Inele noetheriene
26/55
2
. Prin urmare
.
Corolarul 2.1.5.&ormarea de fracii comut cu formarea desume finite, de intersecii finite i cturi. ai precis, dac ,
sunt submodule ale modulului , atunci:
i) ;
ii) ;
iii) modulele i sunt
i"omorfe.
Propoziia 2.1.6.&ie un modul. #tunci modulele
i sunt i"omorfe, mai precis, exist un i"omorfism
unic
dat prin
Demonstraie.?elaia definit de
este @ biliniar i induce un omomorfism
-
8/13/2019 Inele noetheriene
27/55
2
care satisface . Prin urmare, este sur7ectiv
i este unic definit de .
=um s fie oricare element al lui . Dac
, avem
Deci atunci oricare element al lui este de forma .
Presupunem c . "tunci , prin urmare
pentru unii , i
Deoarece este i in7ectiv, atunci este un izomorfism.
". Inele de polinoa'e
".!. Inelul polinoa'elor -ntro nedeter'inat/.
Fie " un inel comutativ i unitar. Com face o construcie ainelului de polinoame ntro nedeterminat peste ", care la
-
8/13/2019 Inele noetheriene
28/55
2
nceput nu folosete scrierea obinuit a polinoamelor cu a7utorulunei nedeterminate .
Peste inelul " se considera irurile ,
a.. toi termenii si, n afar de un numr finit dintre ei, sunt nuli.
Fie mulimea tuturor irurilor de acest tip. Eirurile
i sunt e#ale dac i numai dac
, pentru orice i. Pentru se definesc dou operaii
al#ebrice , adunarea i nmulirea, n raport cu care devine un
inel comutativ si unitar.
Fie . "tunci
adunarea se definete astfel
.
Aste evident ca f # are numai un numr finit de termeni
nenuli, deci . * verificm ca este #rup
abelian .
&ntradevr, dac ,
, atunci
i
-
8/13/2019 Inele noetheriene
29/55
2
(um adunarea n inelul " este asociativ , avem
, de unde 0f #) G f
0# ) . "nalo# se arat c f # G # f.
Dac H G 0H, H, H, :) , atunci
, deci H este element neutru pentru adunare. Dac
, atunci este opusul
lui f i f 0 f) G 0 f) f G H .
&nmulirea pe " se definete astfel
unde
Aste clar ca . &nmulirea pe "I, astfel definit , este
asociativ, comutativ i are element unitate. * artm maint!i asociativitatea .
Fie , unde
i s artm
c .
Fie . "tunci
-
8/13/2019 Inele noetheriene
30/55
2
De asemenea, fie , unde
Dac , atunci
i fie unde
Deci pentru orice m. Deci 0f#) G f0#) .
(omutativitatea nmulirii rezult din faptul c nmulirea n inelul" este comutativ, iar n expresia produsului polinoamelor f i #termenii factorilor intervin n mod simetric.
Alementul unitate din "I este irul 0', H, H, :). &nmulirea pe"I este distributiv fa de adunare. &ntradevr, cu notaiile de
mai sus, rezult
(um operaia de nmulire pe " este distributiv fa deadunare rezult f0# ) G f# f. Avident are loc i relaia 0f #) G f # i afirmaia sa demonstrat.
Propoziia 2.2.1.1. 'ac # este un inel unitar comutativ,atunci mulimea #4 ( a irurilor de elemente din #, care au numai
-
8/13/2019 Inele noetheriene
31/55
2
un numr finit de termeni nenuli) mpreun cu operaiile deadunare i nmulire definite mai sus este un inel comutativ siunitar.
Alementele acestui inel se numesc polinoame peste Asaupolinoame cucoeficieni din A.
Dac este un polinom nenul 0adic nu toi
termenii ai sunt nuli ) i dac neste cel mai mare numr naturalcu proprietatea c , atunci n se numete gradul
polinomului f . Pentru polinomul nul nu se definete #radul.(onvenim s considerm #radul su ca fiind n . Dac #radul 0f)
G n , atunci se numesc coeficienii polinomului f.
Fie aplicaia u ""I definit prin . "plicaia
u este in7ectiv , deoarece, dac , atunci
. De asemenea,
, deoarece, dup
definiie, este evident c i
.
Deci este omomorfism in7ectiv. "cest fapt permite sa se
identifice elementul cu ima#inea sa prin , adic polinomul
0a, H, :) din "I. "stfel, " se poate considera ca un subinel al lui"I. Botm prin polinomul 0H, ', H, :), care se numetenedeterminata. 1binem
-
8/13/2019 Inele noetheriene
32/55
2
Pentru orice a ", avem . Fie acum un
polinom de #radul n ,
Daca , spunem c polinomul este unitar. /nelul "I
obinut se numete inelul polinoamelor in nedeterminata Xcu coeficieni in inelul A0sau peste inelul A) i se noteaz cu
. 1bservm c f are #radul H sau dac i numai dac f
aparine inelului ". Din definiia sumei i produsului a doupolinoame , rezult c #rad 3
.
Dac " este un domeniu de inte#ritate , se poate nlocui adoua ine#alitate printro e#alitate.
Propoziia 2.2.1.2. 'ac # este un domeniu de
inte$ritate,atunci inelul de polinoame #5x6 este domeniu deinte$ritate.
Demonstraie#Fie f, #"JxK 3
"tunci
-
8/13/2019 Inele noetheriene
33/55
2
" fiind domeniu de inte#ritate, rezult din c
, adic . &n particular , pentru un corp comutativ L,
inelul polinoamelor de o nedeterminat cu coeficieni in L este
un inel inte#ru.
Propoziia 2.2.1.3. &ie # un domeniu de inte$ritate i #576inelul polinoamelor n nedeterminata 7 cu coeficieni n #. #tuncielementele inversabile ale inelului #576 coincid cu elementeleinversabile ale inelului #. 'eci, cu notaiile cunoscute, avem:u(#576)/u(#).
Demonstraie#Fie a " , inversabil n " , adic exist b"a.i. a b G '. Avident, aceast relaie are loc i n "JK , deoarece
a i b sunt polinoame de #radul zero, deci a este inversabil n "JK.
/nvers, fie f un polinom din "JK inversabil. "tunci exist unpolinom # "JK a.i. f# G ' i , deci, #rad0f) #rad0#) G #rad0')G H, adic f, # ". Deci f " i f este inversabil in ". &n
particular, pentru un corp comutativ L, polinoamele inversabiledin LJK sunt polinoame de #radul H i numai acesta. Dac " nueste domeniu de inte#ritate, putem avea u0"JK)u0"). &ntradevr, polinomul neconstant '2 MJK este inversabil,
deoarece 0'2x)0'2x) G '.
"eorema 2.2.1.4. (8eorema 9ilbert a ba"ei) 'ac este un
inel noetherian comutativ, atunci este noetherian.
Demonstraie. Fie un ideal al inelului . Botm cu
mulimea coeficienilor termenilor dominani ai polinoamelor din .
-
8/13/2019 Inele noetheriene
34/55
2
*e verific uor apoi c este un ideal al inelului . (um este
noeterian, este finit #enerat i fie un sistem de
#eneratori al idealului . Pentru fiecare , ale#em un
polinom astfel ncat
i fie idealul #enerat de in inelul . Fie
i submodulul lui #enerat de
. "vem
&ntradevr cum i , rezult . Pentru
a dovedi incluziunea cantrar, fie . (um ,
avem
Dac , atunci . Dac , atunci
i #radul lui este strict mai mic ca . Dac #radul lui este ,
aplicm lui acelai tratament ca lui . Dup un numr finit de
pai #sim
-
8/13/2019 Inele noetheriene
35/55
2
deci avem i incluziunea .
(um este submodul al lui i este modul
noeterian, rezult c este finit #enerat peste , s zicem depolinoamele . "vand n vedere relaia , rezult acum
c polinoamele #enereaz n inelul idealul
.
2.2. Inelul polinoamelor de mai multe
nedeterminate.
Fie " un inel. "tunci inelul polinoamelor n nedeterminatele
cu coeficieni n inelul " se definete inductiv astfel
dac este inelul polinoamelor n nedeterminata , cu
coeficieni n inelul , este inelul polinoamelor n
nedeterminata cu coeficieni n inelul i, n #eneral
este inelul polinoamelor n nedeterminata cu
coeficieni n inelul . Pe lam construit de7a i
n mod recurent
........
-
8/13/2019 Inele noetheriene
36/55
2
Dac f este un polinom n inelul , atunci el
este polinom n nedeterminata cu coeficieni n ineluli, deci,
unde pentru orice i G H, ', :, n. Din aproape
n aproape , f se scrie ca o suma finit de forma
n care se numesc coeficienii polinomului f,
unde sunt numere nenaturale . -n polinom din "J',
2, : nK de forma a'2$: n, a H , se numete monom .
Definiia 2.2.2.1. e numete $radul monomului
, a n raport cu ansamblul nedeterminatelor
7,?, 7n, suma i
-
8/13/2019 Inele noetheriene
37/55
2
Propoziia 2.2.2.3. &ie # un inel i f, $ .
#tunci:() dac, n plus, # este domeniu de inte$ritate , atunci la punctul(=) vom avea e$alitate; mai mult, U( ) / U(#).
Propoziia 2.2.2.4. 'ac este inel noetherian, atunciinelul de polinoame ntrun numr finit de nedeterminate
este noetherian.
Cap.3. 1e$co'punerea pri'ar/ -n inelele noetheriene
!. Nilradicalul unui inel. Ideale pri'are
&n acest para#rap se noteaz cu un inel unitar i
comutativ cu . -n element se numete nilpotent dac
exist astfel nc!t . Avident, elementul zero al lui
este nilpotent, elementul unitate al lui nu este nilpotent. &n
elementul zero este sin#urul element nilpotent. Alementele
nilpotente ale lui sunt . &n inelul matricea
-
8/13/2019 Inele noetheriene
38/55
2
este nilpotent pentru c .
Dac este un ideal n inelul , atunci definim
este un ideal al lui , numit radicalul idealului . Dac ,
atunci observm c radicalul
coincide cu mulimea elementelor nilpotente ale inelului . "cest
din urm inel se numete nilradicalul lui .
&n multe manuale, nilradicalul se mai noteaz
pentru a exprima n mod direct le#tura cu inelul. "vem
.
&n cele ce urmeaz vom descrie nilradicalul unui inel cua7utorul idealelor prime.
$ema 1.1. &ie o parte multiplicativ a inelului astfel
nct . Axist un ideal prim al lui astfel nct .
Demonstraie.
Fie mulimea tuturor idealelor ale lui astfel nc!t
. Avident, idealul zero este n , aadar . *e verific
uor c , ordonat cu incluziunea, este mulimea inductiv.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
39/55
2
Folosind lema lui Morn, fie un element maximal n . Aste
suficient s artm c este ideal prim al lui . Fie i
. %rebuie artat c . Dac , atunci
(um idealele i includ stric pe , exist
astfel nc!t i, folosind 0'), rezult
, contradicie. ?m!ne adevrat c este ideal prim.
Propoziia 1.2. Bilradicalul unui inel coincide cuintersecia idealelor prime ale lui .
Demonstraie.
Fie intersecia tuturor idealelor prime ale inelului . Dac
, fie astfel nc!t . "adar , deci
oricare ar fi idealul prim al lui , de unde .
Fie acum i . (um un este
nilpotent, rezult c . (um este parte multiplicativ a lui ,
exist un ideal prim astfel astfel nc!t . "adar, ,
deci .
?ezultatul de mai sus poate fi mbuntit dup cumumeaz
-
8/13/2019 Inele noetheriene
40/55
2
$ema 1.3. 3rice ideal prim al lui conine un ideal prim
minimal (element minimal n mulimea tuturor idealelor prime ale
lui , ordonat cu inclu"iunea).
Demonstraie.
Fie un ideal al lui . Botm cu mulimea tuturor idealelor
prime ale lui incluse n . Dac este o familie total
ordonat 0prin incluziune) de ideale , se verific uor c
este un ideal prim al lui din . ?ezult c este mulimea
inductiv fa de relaia , deci n exist elemente minimale
0=ema lui Morn) care, evident , sunt ideale prime minimale ale lui
coninute n .
Corolar 1.4.Bilradicalul unui inel coincide cu intersecia
tuturor idealelor prime minimale ale lui .
-n ideal al inelului se numete nilpotent dac exist
astfel nc!t . (um oricare ar fi , rezult c
elementele unui ideal nilpotent sunt nilpotente. Pot exista idealecu toate elementele nilpotente 0nilideale) fr ca s fie idealenilpotente. "cest fenomen un are loc n inele noeteriene.
Propoziia 1.5.'ac este inel noetherian, iar este un
ideal inclus n , atunci este nilpotent. !n particular,
nilradicalul unui inel noetherian este nilpotent.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
41/55
2
Demonstraie.
Fie un sistem de #eneratori pentru . Fie
astfel nc!t i . Dac , atunci, cu . ?ezult c pentru avem
unde cel puin un Nndice , aadar, , deci .
Dac este un ideal al inelului i este morfism
canonic, este clar c
(um corespondena dintre idealele prime ale
lui i idealele prime ale lui care includ pe este bi7ectiv i
pstreaz interseciile i natura incluziunilor, rezult cnilradicalul lui este intersecia tuturor idealelor prime ale lui
care cuprind pe . De asemenea, coincide cu intersecia
tuturor idealelor minimale n mulimea tuturor idealelor prime ale
lui care cuprind pe .
Propoziia 1.6.'ac Ci sunt ideale ale inelului , atunci
Propoziia 1.7.&ie un inel noetherian, Ci dou ideale
ale lui astfel nct . #tunci exist astfel nct
-
8/13/2019 Inele noetheriene
42/55
2
( este nilpotent modulo ). !n particular, este nilpotent
modulo .
-n inel se numete redus dac un are elemente nilpotente. "stfel, inelul este redus. Avident, este redus dac i
numai dac .
Propoziia 1.8. %nelul factor este redus, altfel spus
.
Demonstraie.
Fie un element nilpotent al inelului . "adar
exist astfel nc!t , de unde . Deci exist
astfel nc!t , de unde , aadar .
Propoziia 1..'ac este o parte multiplicativ a lui ,
atunci
!n particular, dac este redus, atunci este redus.
Demonstraie.
Dac , atunci exist astfel nc!t. "adar, exist astfel nc!t . Deci , de unde
i atunci
-
8/13/2019 Inele noetheriene
43/55
2
?eciproc, dac este n , atunci , deci
pentru un ntre# , de unde
-n modul se numete coprimar dac
&n ali termini, modul este coprimar dac pentru
orice omotetia este sau in7ectiv sau aproape
nilpotent. /nelul se numete coprimar dac conceput canonic
ca modul este coprimar. "ceasta revine la faptul c orice divisor
al lui zero din este nilpotent. /nelul nu este coprimar pentru
c este divisor al lui zero n 0avem ), dar nu este
nilpotent cci oricare ar fi .
-
8/13/2019 Inele noetheriene
44/55
2
". 1e$co'punerea pri'ar/ a unui ideal
0 inel inte#ru) este prim dac din sau
sau . se numete prim dac
sau .
Definiia 2.1. se numeCte primar dac
sau astfel nct .
%&ser'aia 2.2. () Ci primar n fD< este primar n .
Propoziia 2.3.'ac este primar este prim Ci este
cel mai mic ideal prim ce conine pe .
Demonstraie.
astfei nc!t
sau astfel nc!t sau . Dac
este prim i prim, .
Dac e primar i , atunci spunem c este
primar.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
45/55
2
Propoziie 2.4. este ideal maximal este primar. !n
particular, maximal toate idealele sunt primare.
Demonstraie.
Fie . "tunci nseamn c
este prim, . Dac este maximal , adic
e unicul ideal prim ce conine pe .
9orfismul canonic asi#ur o coresponden bi7ectiv
ntre idealele ale lui care conin pe i idealele prime ale lui
e unicul ideal prim n . &n consecin, n
.
$em( 2.5.&ie , sunt primare este
primar.
Demonstraie. . "poi,
nseamn . &n caz
contrar, astfel nc!t . Dar primar astfel nc!t
. Deci
, deci
astfel nc!t .
1 descompunere primar a idealului nseamn o scriere
a lui ca o intersecie
-
8/13/2019 Inele noetheriene
46/55
2
&n acest caz, spunem c este decompozabil.
"cum, dat o descompunere primar , cu
i) &n intersecia #rupm toate idealele al cror radical
e , toate idealele al cror radical e , etc. 1binem
descompunerea primar
ii) "cum dac , atunci i poate fi
eliminat din descompunerea idealului . Deci
e o descompunere primar a lui . Dup un numr finit de astfel
de pai, obinem
unde sunt distinci i .
*e obine o descompunere primar minimal a lui .
$em( 2.6.&ie un ideal primar Ci . #tunci:
0i);
0ii) este primar;
0iii) .
Demonstraie.0i) este demonstrat cu a7utorul definiiei.
0ii) . "cum
-
8/13/2019 Inele noetheriene
47/55
2
0iii) . Dac cumva , atunci
, deci . &n consecin, .
"eorema 2.7. (de unicitate) &ie un ideal decompo"abil Ci
fie o descompunere primar minimal cu .
#tunci, sunt exact idealele prime care se afl n mulimea de
ideale prime , cnd parcur$e mulimea . #ltfel spus,
!n consecin, mulimea idealelor prime este aceeaCi
pentru oricare descompunere primar minimal a lui .
%dealele se numesc ideale prime asociate lui . Alementele
minimale din mulimea se numesc ideale prime
minimale asociate lui .
ulimea Ci se numeCte aosciatorul lui .Demonstraie.
Fie minimal , deci
i . Dar i .
-rmeaz c
Fie . "tunci
-
8/13/2019 Inele noetheriene
48/55
2
Dac e prim, atunci din astfel nc!t
.
Propoziia 2.8.&ie ideal decompo"abil. #tunci, orice ideal
prim conine un ideal (prim) minimal asociat lui . !n
consecin, idealele minimale asociate lui sunt exact elementele
minimale n mulimea idealelor prime ce conin pe .
Demonstraie.Din
"tunci astfel nc!t .
%&ser'aie 2.. 'ac ideal care nu
sunt elemente minimale se numesc ideale isolate asociate lui .
$ema 2.1!. 'ac mulimea divi"orilor lui ai lui ,
atunci
Demonstraie.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
49/55
2
astfel nc!t astfel nc!t
astfel nc!t
astfel nc!t
astfel nc!t .
Dac este o submulime a lui , definim
Aste clar c . "re loc relaia
$ema 2.11.'ac este mulimea divi"orilor ai lui , atunci
Demonstraie.
i) i astfel nc!t . Fie
. "tunci astfel nc!t , deci
astfel nc!t . Pentru c . Deci
.
Propoziia 2.12. i) 'ac este ideal decompo"abil n ,
atunci
-
8/13/2019 Inele noetheriene
50/55
2
ii) ai $eneral, dac este decompo"abil, atunci
Demonstraie.
Fie o descompunere primar minimal a lui cu
.
"tunci
"tunci
ii) Dac cu , atunci n avem
(onform lui i), avem
-
8/13/2019 Inele noetheriene
51/55
2
mulimea divizorilor lui n .
&n avem
(orolar 2.'$. Dac H este ideal decompozabil, atunci
i
3. 1e$co'punerea pri'ar/ -n inele noetheriene
&om arta c "ntr-un inel noetherian idealele sunt decompoza#ile.
Definiia 3.1. este ideal reductibil dac astfel nct
!n consecin, este reductibil .
Lema 3.2. !ntrun inel noetherian , orice ideal este o
intersecie finit de ideale ireductibile.Demonstraie.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
52/55
2
$ac e'ist ideale care nu sunt intersecii finite de ideale ireducti#ile, fie
familia acestor ideale. este inel noetherian are element ma'imal pe . este
reducti#il, deci cu i . este ideal ma'imal sunt
intersecii finite de ideale ireducti#ile. (ai mult, este o intersecie finit de
ideale ireducti#ile, contradicie cci .
Lema 3.3. !ntrun inel noetherian, orice ideal ireductibil esteideal primar.
Demonstraie.
)ie un ideal astfel "nc*t . n inelulnoetherian , enunul lemei "nseamn ideal ireducti#il ideal primar.
)ie i . Considerm irul cresctor
astfel "nc*t . Afirmm c . ntr-
adevr
Acum ideal ireducti#il i , deci .
Teorema 3.4. !ntrun inel noetherian orice ideal are odescompunere primar.
Propoziia 3.5.!ntrun inel noetherian , orice ideal conine o
putere a radicalului su, adic astfel nct .
Demonstraie.
-
8/13/2019 Inele noetheriene
53/55
2
. Presupunem
Presupunem c . $ac , atunci
$ac , atunci , de unde i
.
$eci, dac , atunci .
Corolar 3.6.!ntrun inel noetherian, nilradicalul e nilpotent.
Demonstraie.
astfel "nc*t astfel "nc*t
Corolar 3.7.&ie un inel noetherian, ideal maximal Ci un
ideal oarecare. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:i) este ideal primar;
ii) ;
iii) astfel nct
Demonstraie.
i+ ii+. este clar.
ii+ i+. )olosim propoziia de la descompunerea primar, idealma'imal este ideal primar. n particular, idealele sunt -primare.
ii+ iii+. este ideal astfel "nc*t , deci .
-
8/13/2019 Inele noetheriene
54/55
2
iii+ ii+. ,
respectiv .
Lema 3.8. i) 'ac e un morfism de inele, atunci
este ideal primar n ideal primar n .
ii)'ac sunt dou ideale n , atunci este ideal primar
n ideal primar n .
iii)'ac sunt trei ideale n , atunci
#Cadar, dac sunt ideale n , atunci
este descompunerea primar a lui n .
Propoziia 3.8. &ie un ideal ntrun inel noetherian .
#tunci idealele prime asociate cu sunt idealele prime din familia
de ideale .
Demonstraie.
!rec*nd de la la este suficient s artm c idealele prime asociate cu
sunt idealele prime din familia de ideale .
-
8/13/2019 Inele noetheriene
55/55
ilio5ra+ie
'. %. "lbu, *. ?aianu, ecii de al$ebr comutativ, -niv.Oucureti, Oucureti, 'Q6.
2. "l. Orezuleanu, B. ?adu, ecii de al$ebr %%%, #l$ebra local,-niv. Oucureti, Oucureti, 'Q2.$. B. ?adu, %nele locale, vol. %, Ad. "cademiei, Oucureti, ';Q.. !ofan, , &olf, A.C. Algebra, Inele, Module, Teorie Galois, d. (atri' /om,
0ucureti, 1223
4. 5stsescu, C., .a.,Bazele algebrei, &ol.., d.Acad., 0ucureti, 3678
8. on, $.., /adu, 5.,Algebra, $P, 0ucureti, 3673963