Download - În loc de ... INTRODUCERE !
În loc de ...INTRODUCERE !Bună !!!Salut !
-Vrei să împărțim
între noi ,doi, merele ?
Da, dar în mod egal !
Atunci, să ne
apucămde treabă!
De acord!
-Deci:Unul ție...
...unul mie,...
Realizator:
Profesor IOAN AIACOBOAIEŞcoala “ Emil Racoviţă”
Oneşti
Divizibilitatea
Să ne reamintim: Pentru orice pereche de numere naturale , a și b ≠ 0 ,
există o altă pereche de numere naturale , c și r , astfel încât:
Exemplu 13 : 5 = 2Calcule
2 x 5 =1010=3
(cât)
(rest)Verificare 13 = 5 • 2 + 3
a : b =c
r
a = b • c +r ;r < b; b ≠ 0;
Observație ●Dacă restul împărțirii lui a la b este egal cu 0 ,(r = 0), spunem că împărțirea este exactă. În această
situație spunem că numărul a este divizibil cu b.
a=b•c+r ; r < b(împărțirea cu rest).
Definiție
Fie a și b ≠ 0 două numere naturale;
Spunem că a este divizibil cu b dacă există un alt număr natural,
c, astfel încât : a = b• cCu alte cuvinte, numărul a se împarte exact la b ,sau restul
împărțirii lui a la b este 0 .!
! Se notează:
a … b (a este divizibil cu b)sau
b / a (b divide pe a)Convenții de denumirişi notaţii:
b - divizor al lui aa - multiplu al lui bDa
-mulțimea divizorilor unui număr aMa-mulțimea multiplilor unui număr
a
(împărţitorul unei împărţiri cu rest 0)
(deîmpărţitul unei împărţiri cu rest 0)
Exemple:
15 … 3 pentru că 15 = 3 • 5 3 / 1528 … 7 pentru că 28 = 7 •4 7 / 28
D24=
=
Calcule
24 = 1 x24
1 I 24
1; 24=2x12
2I24
2;24=3x8
3I24
3;Analog…….
44;6;
6
88; 1212;24
24;
D30 = 1; 2; 3; 5; 6;10;15; 30;►Proprietăți ale relației de divizibilitate
1 1 / a, oricare ar fi aϵN2 a / a ,oricare ar fi aϵN*
3 a / 0 ,oricare ar fi aϵN*
4 a / b și b/c
a / c
5 Dacă a / b și a / c atunci
a / b ± c6 Dacă a I b sau a I c atunci
a / b•c
►Mulţimea divizorilor unui număr :
7 Dacă a/b şi b/a , atunci
a=b
●Exemplu
! Oricare număr natural , nenul ,admite cel puțin doi divizori: 1 și
“EL ÎNSUȘI”.Aceștia se numesc
●Divizorii diferiți de divizorii improprii se numesc
Divizori improprii, divizori proprii
D15= 1; 3; 5; 15;
►Divizorii improprii ai lui 15 sunt: 1; 15;►Divizorii proprii ai lui 15 sunt: 3;5;! Mulțimea divizorilor unui număr natural conține un număr finit de
elemente (are cardinal finit).►Numere prime
●Definiție Un număr care are numai divizorii improprii , ( adică pe 1 şi pe “EL ÎNSUŞI “),se numește
divizori improprii.
divizori proprii.
număr prim .
●Exemple:
Mulţimea numerelor naturale prime mai mici decât 30 :
P={ 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 ; }
Criterii de divizibilitate
►În mod obişnuit,pentru a vedea dacă un număr natural, a, este divizibil cu un alt număr natural, b≠0,trebuie să efectuăm împărţirea lui a la b şi în funcţie de restul obţinut putem să stabilim dacă cele două numere sunt în relaţia de divizibilitate,sau nu.
●Totuşi, fără a efectua împărţirea , putem stabili dacă un număr este divizibil cu un alt număr. Acest lucru va fi posibil dacă ne însuşim câteva reguli sau criterii de divizibilitate
Multiplii unui număr natural a , sunt numere naturale de forma {a▪n}, unde n este număr natural.
Ma ={ a▪n / nЄN}Exemplu:Mulţimea multiplilor lui 7 conţine numere de forma {7▪n/ nЄN}.n
7▪n
0
0
1
7
2
14
3
21
4
28
▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪
M7={ 0; 7; 14; 21; 28; 35; …}
O întâmplare ...cu tâlc!Mai mulţi prieteni hotărăsc să plece într-o drumeţie, sâmbăta la ora 8. Condiţia de participare este ca fiecare să aibă un partener .
Ca de obicei , Gigel soseşte primul, la 7 45.
După alte două minute , încep să sosească ,pe rând şi ceilalţi copii.
La ora plecării, copiii îşi aleg perechea şi se constată că au venit doar 7 copii , existând riscul ca unul dintre ei, Oana , să nu participe ,neavând pereche.
Cu scuzele de rigoare , soseşte în sfârşit şi Vasilică ...
...perechea Oanei !
...şi astfel , toţi copiii au plecat voioşi în drumeţie !
O mică discuţie în jurul acestei “întâmplări” !
►Conform convenţiei , fiecare copil trebuia să aibă un (o) partener(ă )!●Dacă partenerul Oanei nu ar fi venit , numărul copiilor ar fi fost impar, (7) şi atunci Oana nu ar fi mers alături de ceilalţi copii în drumeţie. Nicicând 7 copii nu pot fi grupaţi în perechi , fără ca unul dintre ei să rămână pe dinafară.
●Datorită faptului că ,în final, numărul copiilor a devenit par , se pot forma perechi , în orice mod , oricare copil, făcând, în mod sigur, parte dintr-o pereche (deoarece orice număr par se împarte exact la 2 )►Prin asemănare cu întâmplarea de mai sus, am putea să găsim numărul optim de copii care ar putea fi grupaţi câte 3 ,sau câte 4 ,sau câte 5 ,etc.
Criterii de divizibilitate
►Criteriul de divizibilitate cu 2●Să observăm mai întâi că numerele divizibile cu 2 sunt multiplii lui 2, adică mulţimea numerelor pare :
M2 = { 0; 2; 4; 6; …; 2n;…}; n, număr natural .Dacă ultima cifră a unui număr natural este cifră pară sau 0 ,atunci acel număr este divizibil cu 2.Dacă ultima cifră a unui număr natural nu este cifră pară sau 0 ,atunci acel număr nu este divizibil cu 2.
!
M2={ 2▪n/nЄN }
►Criteriul de divizibilitate cu 5
●Multiplii lui 5 au forma :
M 5= { 5▪n / nЄN}
M5={ 0; 5; 10;15; 20;25;30;….}
►Dacă ultima cifră a unui număr natural este 0 sau 5, atunci acel număr este divizibil cu 5.►Dacă ultima cifră a unui număr natural nu este 0 sau 5 ,atunci acel număr nu este divizibil cu 5.
Criterii de divizibilitate
●Contraexemplu
5729 … 5 5729 :5 = 1145 ,rest4
Criterii de divizibilitate
►Criteriul de divizibilitate cu 10 (10= 2▪5)
M10= {0; 10; 20; 30; …2100 …};
M10= {10▪n / nЄN }
●Dacă ultima cifră a unui număr natural este 0 ,atunci acel număr este divizibil cu 10.●Dacă ultima cifră a unui număr natural NU este 0 ,atunci acel număr NU este divizibil cu 10.
2 I aDacă
5 I a=>10 I a
►Dacă un număr natural este divizibil cu 2 şi cu 5 ,atunci acel număr este divizibil cu 10!►Dacă un număr este divizibil cu 10 , atunci acel număr este divizibil atât cu 2 cât şi cu 5 !
Criterii de divizibilitate
►Criteriul de divizibilitate cu 3
M3= {0; 3; 6; 9; 12; 15; …2010...}
M3={3▪n / nЄN }
●Dacă suma cifrelor unui număr natural (considerate ca unităţi ) este divizibilă cu 3 atunci numărul este divizibil cu 3.
abcd...3 I 3 I (a+b+c+d+…)Exemplu 7019
4
… 3 ;
( 7+0+1+9+4) =21 ; şi 3/21
70194 : 3 = 23398 ,rest 0 !
►Criteriul de divizibilitate cu 9
M9={ 0; 9; 18; 27; 36;….785601…}
M9= {9▪n / nЄ N }
Dacă suma cifrelor unui număr natural (considerate ca unităţi ) este divizibilă cu 9 atunci numărul este divizibil cu 9.
9 I abcd... 9 I (a+b+c+d+…)
Dacă un număr este divizibil cu 9, atunci acel număr este divizibil şi cu 3!
Exemplu 4378248 … 9 ;
(4+3+7+8+2+4+8=36 şi 9/36
Criterii de divizibilitate
! De o mare importanţă este şi cunoaşterea următoarelor reguli:
=>
►Dacă un număr natural “a” este divizibil cu un alt număr natural,”b” atunci a este divizibil şi cu divizorii lui b.
●Exemplu
…
a
…
b
b=d1·d2
=> a…
d1 a
…
d2
şi72
12
12= 3 ▪ 4
72 3 72 4
… …
şi
►Pentru a arăta că un număr natural este divizibil cu 6 este necesar să arătăm că acel număr este divizibil cu divizorii lui 6 ,adică cu 2 şi cu 3.
►Analog, pentru a arăta că un număr natural este divizibil cu 15 ,vom arăta că acel număr este divizibil cu 3 şi 5 .
●Proprietatea enunţată anterior ne ajută ,de exemplu ,la :
Este bine să ştim că :
►Produsul a ”n” numere naturale consecutive este divizibil cu n.
nn )...321(
2)1( nnProdusul a două numere consecutive este divizibil cu 2
Produsul a trei numere naturale consecutive este divizibil cu 3
3)2)(1( nnn
Dacă n=2k, kЄN, atunci avem:
n(n+1)= 2k(2k+1)= 2[k(2k+1)]
p
= 2∙pЄ M2
Analog, se arată că dacă n este impar, atunci n+1 este par; produsul n(n+1) conţine, de asemenea, ca factor pe 2, deci este multiplu de 2!
În particular:
Exerciţii
Completaţi coloanele din tabelul de mai jos cu numerele corespunzătoare din mulţimea :
M= { 24; 108 ; 39 ;444; 101010; 45744; 56 99312030; 105; 144; 11100 ;845; 252.}
nЄM
n … n … n … n … n … n … n …2 3 5 9 10 6 15