-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Bibliografie
G. Chiorescu, Analiza matematica. Teorie si probleme.Calcul diferential, Editura PIM, Iasi, 2006.R. Luca-Tudorache, Analiza matematica, EdituraTehnopress, Iasi, 2005.M. Nicolescu, N. Rosculet, S. Marcus, Analiza matematica,vol. I (Editia a IV-a), Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1984.S. Chirita, Probleme de matematici superioare, EdituraDidactica si Pedagogica, Bucuresti, 1989.B. P. Demidovici, Culegere de probleme si exercitii deanaliza matematica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1956.http://math.etc.tuiasi.ro/alazu/
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Curs 1Siruri de numere reale
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
DefinitieSe numeste sir de numere reale o functie f : N R.
Pentru fiecare n N, valoarea functiei f n punctul n este xn,adica
xn = f (n) , n N.
x0, x1, x2, ... se numesc termenii sirului fxn se numeste termenul general al sirului f
Un sir cu termenul general xn se va nota prin (xn)n0 .
ObservatieDaca primii k termeni, x0, x1, ..., xk1, nu sunt definiti, atunci vomnota sirul prin (xn)nk .
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Cum se poate defini un sir:
preciznd formula termenului general:
(1) xn = n, n 0;
(2) xn = 2n, n 0;
(3) xn =
{1, n par0, n impar.
(4) xn =n
n + 1, n 1.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Cum se poate defini un sir:
definit prin intermediul unei recurente:
(1) Fie a, r R. Sirul (xn)n0 definit prin relatia derecurenta
xn+1 = xn + r , n 0,
x0 = a,
se numeste progresie aritmetica.Prin inductie matematica se obtine formula termenuluigeneral al sirului:
xn = a + nr , n 0.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Cum se poate defini un sir:
(2) Fie b,q R. Sirul (xn)n0 definit prin relatia de recurenta
xn+1 = xnq, n 0,
x0 = b,
se numeste progresie geometrica.
Prin inductie matematica se obtine formula termenului generalal sirului:
xn = bqn, n 0.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Siruri marginite
DefinitieSpunem ca un sir de numere reale (xn)n0 este:(i) marginit inferior daca exista R astfel nct
xn,n N;
(ii) marginit superior daca exista R astfel nct
xn ,n N;
(iii) marginit daca exista , R astfel nct
xn ,n N.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
ObservatieUn sir (xn)n0 este marginit daca si numai daca exista M > 0 astfelnct
|xn| M, n N.
Definitie
Spunem ca un sir de numere reale este nemarginit daca nu estemarginit.
Exemplu
(1) xn = (1)n , n N, este marginit;(2) xn = sin n, n N, este marginit;(3) xn = n, n N, este nemarginit;(4) xn = n, n N, este nemarginit;(5) xn = (1)n n, n N, este nemarginit.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Siruri monotone
DefinitieSpunem ca un sir (xn)n0 este:(i) crescator daca
xn xn+1, n N;
(i) strict crescator daca
xn < xn+1, n N;
(ii) descrescator daca
xn xn+1, n N;
(ii) strict descrescator daca
xn > xn+1, n N.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Siruri monotone
DefinitieUn sir (xn)n0 (strict) crescator sau (strict) descrescator se numestesir (strict) monoton.
ObservatieOrice sir strict monoton este monoton, nu si reciproc.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Cum studiem monotonia unui sir?
fie studiem semnul diferentei xn+1 xn:
(a) daca xn+1 xn 0 (xn+1 xn > 0), n N, atunci sirul(xn)n0 este crescator (respectiv strict crescator);
(b) daca xn+1 xn 0 (xn+1 xn < 0), n N, atunci sirul(xn)n0 este descrescator (respectiv strict descrescator).
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Cum studiem monotonia unui sir?
fie comparam raportulxn+1xn
cu 1, daca (xn)n0 este un sir
cu termeni strict pozitivi:
(a) dacaxn+1xn 1 (xn+1
xn> 1), n N, atunci sirul (xn)n0
este crescator (respectiv strict crescator);
(b) dacaxn+1xn 1 (xn+1
xn< 1), n N, atunci sirul (xn)n0
este descrescator (respectiv strict descrescator).
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Exemplu(1) Sirul xn = 2n + 1, n 0, este strict crescator.(2) Sirul xn =
1n, n 1, este strict descrescator.
(3) Sirul xn =(1)n
n, n 1, nu este monoton.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Legatura ntre monotonia si marginirea unui sir
Exista siruri marginite, care nu sunt monotone.De exemplu, sirul xn = (1)n , n 0.
Exista siruri care sunt monotone, dar nu sunt marginite.De exemplu, sirul xn = 2n + 1, n 0.Totusi,(a) daca sirul (xn)n0 este crescator, adica
x0 x1 x2 ... xn ...,atunci x0 xn, n N, deci (xn)n0 este marginit inferiorx0;
(b) daca sirul (xn)n0 este descrescator, adica
x0 x1 x2 ... xn ...,atunci x0 xn, n N, deci (xn)n0 este marginit superiorde x0.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Limita unui sir numeric
DefinitieFie x R fixat. Se numeste vecinatate a punctului x orice multimeV R care contine un interval deschis centrat n x , adica exista > 0 astfel nct (x , x + ) V .
Notam V (x) = {V R, V vecinatate pentru x} .
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Consideram multimea
R = R {,+}
cu relatia de ordine (care prelungeste relatia de ordine din R):
< +, < x , x < +, pentru orice x R.
DefinitieV este vecinatate pentru + daca exista R astfel nct(,+] V .
V este vecinatate pentru daca exista R astfel nct[,b) V .
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Definitie
Fie (xn)n0 un sir de numere reale si x R.Spunem ca (xn)n0 are limita x daca orice vecinatate a lui x continetoti termenii sirului, exceptnd, eventual, un numar finit de termeni.Cu alte cuvinte, x este limita sirului (xn)n0 daca:
V V (x) nV N a.i. xn V , n nV
.
Notam:lim
nxn = x sau xn x .
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Definitie(i) Spunem ca sirul (xn)n0 este convergent daca are limita finita.
Daca x R si limn
xn = x , atunci spunem ca sirul (xn)n0 esteconvergent la x .
(ii) Sirurile care nu au limita si cele care au limita + sau senumesc divergente.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Exemple(1) Orice sir constant este convergent.
(2) Sirul xn =1n, n 1, este convergent la 0.
(3) Sirul xn = n2, n 0, este divergent (are limita +).
Observatiexn x R xn x 0.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Proprietati ale sirurilor convergente
Teorema (unicitatea limitei)Daca un sir de numere reale are limita, atunci aceasta esteunica.
TeoremaPrin adaugarea sau prin eliminarea unui numar finit de termeni:
(i) un sir convergent ramne convergent la aceeasi limita;(ii) un sir divergent ramne divergent.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Subsiruri ale unui sir
DefinitieFie (xn)n0 un sir de numere reale si (nk )k0 un sir strict crescator denumere naturale
n0 < n1 < n2 < ... < nk < ...
Sirul (xnk )k0 (cu termenii xn0 , xn1 , xn2 , ..., xnk , ...) se numestesubsir al sirului (xn)n0 .
ExempluLund nk = 2k , k 0, se obtine subsirul (x2k )k0 al termenilor derang par si pentru nk = 2k + 1, k 0, se obtine subsirul (x2k+1)k0al termenilor de rang impar.Fie sirul
xn = (1)n n, n 0
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
ExempluFie sirul
xn = sinn2, n 0.
Determinati subsirurile (x4k )k0 , (x4k+1)k0 , (x4k+2)k0 ,(x4k+3)k0.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
Proprietati ale subsirurilor
Proprietatile de monotonie si marginire se transmit de la un sircatre subsirurile sale. La fel proprietatea unui sir de a avealimita.
TeoremaFie (xn)n0 un sir de numere reale. Daca (xn)n0 are limitax R, atunci orice subsir (xnk )k0 al sau are, de asemenea,limita x .
Prin urmare, orice subsir al unui sir convergent este si elconvergent.
-
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.
CorolarDaca un sir are doua subsiruri convergente la limite diferite,atunci sirul nu are limita.
Exemplu
Sirul xn = (1)n , n 0, nu are limita.
Exemplu
Sirul xn = sinn2, n 0, nu are limita.
Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir.Siruri cu limita. Siruri convergente.