Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro

Functii hiperbolice - Cateva observatii

lect.dr. Mihai ChisFacultatea de Matematica si Informatica

Universitatea de Vest din Timisoara

Viitori Olimpici editia a 5-a, etapa II, clasa a XII-a

Definitie 1. Functiile sinus hiperbolic, cosinus hiperbolic, si tangenta hiperbolica sunt functiile sh : R R,ch : R R, respectiv th : R R, definite prin

sh(x) =ex ex

2, ch(x) =

ex + ex

2, th(x) =

sh(x)

ch(x)=e2x 1e2x + 1

, ()x R.

Observatie 2. Imediat din definitie rezulta ca sh(0) = 0, ch(0) = 1, respectiv th(0) = 0, si

sh(x) = sh(x) , ch(x) = ch(x) , th(x) = th(x) , ()x R,

astfel ca functiile sh si th sunt impare, iar ch este para.

Observatie 3. De asemenea, pentru orice x, y R avem ca

sh(x)ch(y) + ch(x)sh(y) =(ex ex) (ey + ey) + (ex + ex) (ey ey)

4=ex+y exy

2,

respectiv

ch(x)ch(y) + sh(x)sh(y) =(ex + ex) (ey + ey) + (ex ex) (ey ey)

4=ex+y + exy

2.

Deducem ca

sh(x + y) = sh(x)ch(y) + ch(x)sh(y) , ch(x + y) = ch(x)ch(y) + sh(x)sh(y) , ()x, y R,

de unde avem si

th(x + y) =sh(x)ch(y) + ch(x)sh(y)

ch(x)ch(y) + sh(x)sh(y)=

th(x) + th(y)

1 + th(x)th(y), ()x, y R.

Folosind paritatile celor trei functii, nlocuind n identitatile de mai sus y cu y, obtinem:

sh(x y) = sh(x)ch(y) ch(x)sh(y) , ch(x y) = ch(x)ch(y) sh(x)sh(y) , ()x, y R,

respectiv

th(x y) = th(x) th(y)1 th(x)th(y) , ()x, y R.

Observatie 4. In particular, pentru orice t R avem ca ch2(t) sh2(t) = ch(t t) = ch(0) = 1, astfel capunctul Pt de coordonate (ch(t), sh(t)) se afla pentru orice t R pe hiperbola de ecuatie x2 y2 = 1, si cumch(t) = e

t+et2 1 > 0, punctul Pt se afla pe ramura hiperbolei care se gaseste n semiplanul de ecuatie x > 0.

Observatie 5. Ca functii elementare, functiile hiperbolice sunt continue si indefinit derivabile, cu

sh(x) = ch(x) , ch(x) = sh(x) , th(x) =1

ch2(x)= 1 th2(x) , ()x R.

1

Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro

Deoarece ch(x) > 0, ()x R, rezulta ca sh este o functie strict crescatoare. Cum limx sh(x) = si

limx sh(x) =, obtinem atunci ca sh este o functie bijectiva.Din monotonia functiei sh avem ca sh(x) < 0, ()x < 0, respectiv sh(x) > 0, ()x > 0, si rezulta ca ch estestrict descrescatoare pe (, 0], respectiv strict crescatoare pe [0,). Cum lim

x ch(x) = = limx ch(x), si1 = ch(0) = minxRch(x), deducem ca Im(ch) = [1,), iar restrictiile

ch : (, 0] [1,) , ch(x) = ch(x), ()x 0,

sich+ : [0,) [1,) , ch+(x) = ch(x), ()x 0

sunt bijective.Evident, |sh(x)| < ch(x), ()x R, astfel ca |th(x)| < 1, ()x R. Cum th(x) > 0, ()x R, functia theste strict crescatoare pe R, si lim

x th(x) = 1, limx th(x) = 1, astfel ca corestrictia th : R (1, 1) estebijectiva.

Observatie 6. Pentru orice y R, ecuatia sh(x) = y se scrie echivalent

ex ex = 2y (ex)2 2yex 1 = 0 ex = y +y2 + 1 x = ln(y +

y2 + 1).

Rezulta ca inversa functiei sh este functia arcsh : R R, definita prin arcsh(y) = ln(y +y2 + 1).

Observatie 7. Pentru orice y 1, ecuatiile ch(x) = y, respectiv ch+(x) = y, se scriu echivalent

ex + ex = 2y, x 0 (ex)2 2yex + 1 = 0, x 0 ex = y y2 1 x = ln(y

y2 1),

respectiv

ex + ex = 2y, x 0 (ex)2 2yex + 1 = 0, x 0 ex = y +y2 1 x = ln(y +

y2 1).

Functiile bijective ch : (, 0] [1,) si ch+ : [0,) [1,) au atunci inversele arcch : [1,) (, 0], respectiv arcch+ : [1,) [0,), definite prin arcch(y) = ln(y

y2 1), ()y 1, respectiv

arcch+(y) = ln(y +y2 1), ()y 1.

Observatie 8. Pentru orice y (1, 1), ecuatia th(x) = y se scrie echivalente2x 1e2x + 1

= y e2x = 1 + y1 y x =

1

2ln

1 + y

1 y .

Functia bijectiva th : R (1, 1) are atunci inversa arcth : (1, 1) R definita prin arcth(y) = 12 ln 1+y1y .Observatie 9. Pentru derivatele functiilor inverse ale functiilor hiperbolice avem:

arcsh(y) =1

sh(arcsh(y))=

1

ch(arcsh(y))=

11 + sh2(arcsh(y))

=1

1 + y2, ()y R.

arcch(y) =1

ch(arcch(y))=

1

sh(arcch(y))= 1

ch2(arcch(y)) 1= 1

y2 1 , ()y > 1.

arcch+(y) =1

ch(arcch+(y))=

1

sh(arcch+(y))=

1ch2(arcch+(y)) 1

=1y2 1 , ()y > 1.

arcth(y) =1

th(arcth(y))=

1

1 th2(arcth(y)) =1

1 y2 , ()y (1, 1).

2

Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro

Observatie 10. Din cele de mai sus rezulta atunci urmatoarele:1)

11 + y2

dy = arcsh(y) + C = ln(y +y2 + 1) + C .

2) Pentru y (1,),1y2 1 dy = arcch+(y) + C = ln(y +

y2 1) + C = ln|y +

y2 1|+ C .

3) Pentru y (,1),1y2 1 dy =

1

(y)2 1 d()y = arcch(y) + C = ln(y y2 1) + C = ln|y +

y2 1|+ C .

Rezumand 2) si 3), 1y2 1 dy = ln|y +

y2 1|+ C

pentru y (,1) sau y (1,).4) Pentru y (1, 1),

1

1 y2 dy = arcth(y) + C =1

2ln

1 + y

1 y + C .

5) Pentru y (,1) sau y (1,),1

y2 1 dy = 1

y2

1 1y2dy =

1

1(

1y

)2 d(1y)

= arcth(

1

y

)+ C = 1

2ln

1 + 1y

1 1y+ C = 1

2lny 1y + 1

+ C .

Rezumand 4) si 5), 1

y2 1 dy =1

2ln

y 1y + 1+ C

pentru y (,1), y (1, 1) sau y (1,).Observatie 11. Tinand cont de identitatea

th(x + y) =th(x) + th(y)

1 + th(x)th(y), ()x, y R,

rezulta ca multimea G = (1, 1) nzestrata cu operatia binara u v = u+v1+uv , ()u, v (1, 1), are o structurade grup abelian, izomorf cu (R,+), via izomorfismul

th : (R,+) (G, ) .

3