Download - Exercitii rezolvate AM2
Calcul integral. Integrala definit Observaia 1.5.1 a) Pentru /? = < = 2 se obine inegalitatea lui Buniakovscki. ?
17
b) Pentru g(jc) = 1 se obine:
1.5.4. Inegalitatea lui Minkowski. F ,e AtunciDe monstra*ie:+
integrabile i p> 1.< d x j
+ ( j > ( * ) f 1 1 f i
Integrnd inegalitatea |y ( x ) + ^ + ^ (^)f W (f ) l + k +^ (^)l
i aplicnd 1.5.3 membrului drept se obine inegalitatea lui Minkowski.
6. Exerciii rezolvate9
1. Folosind sumele integrale s se calculeze:a) b)Ja
\hxkdx fbx"dx pe
. R, a>0, b>0.
C c) Ja hsinxdfx.d) J*ln(l-2tfCOS;t + a2)dx.
Ja
Rezolvare: a) innd cont de egalitatea J V a = J V a - J V < f c se calculeaz corespunztoarea*
\[*kdx.
Se mparte intervalul [0,a]n n pri egale i se consider suma Riemann acestei diviziuni i funciei . Cumf:[09
a]->R, /(*)=* ,
I t i \ ~ 5=5 M ' 11 =
funcia
/ : [0, a] - *
este
continu, atunci este integrabil i rtoow = J0a x k dx. limk+l
Analog se arat c Jo xkdx Conform cu (1), se obine | b) Se mparte intervalul
- ^
= J nqk 0 ,
Deci / :[tf,/r]-> R, / ( x ) = ln(l~2rcosx + r 2 ) este continu deci integrabil. Se mparte intervalul [ o 9 k ] n pri egale i se construiete suma Riemann asociat diviziunii date i funciei / ( j c ) .a n 7= k-1
, ^-1 =
kn nE&n
l - 2 r C O S + r
=
m In n
(1 + r ) - n 1 ~2rCOS+ rk=\
n-\
l
knn
Se tie c
z2"
(z2
- 1 ) J~[| 1 - 2zcos+z 2
innd cont de aceast identitate se obine:K
*=i
n
VnWmn
\
r+1r-1
B
Dac H > 1, lim a = 0 In Dac r < 1, o* = In
;r
1 + r= 0. 1-r+ 2rtln
r + 1 r2w - l
r1
Deci pentru | r | > l => lima; =2/rln r Aadar JJln(l-2rcosx + r2)
-(x
2
3. S se calculeze: x2+l dx, jce R a)J Jx< +1 -1 r 24 Jx +1 Rezolvare:
i
x4+l
, jce J R I 1 l+ f H2
a)
2 1 X2+l
W S xB B ^ +X
l +
/
dx
i Se face substitutia jc = tx cx2+\
X r~ X /
+2 1 ^X
v
dx~ dt 1 , x
A +1
, f dt dx = J\|
2
1\2
arctg=r+ C = - = a r c t g - ? = + C V2 Jl y/2 v/2 x -otc- 2
1
.
B
x
1 x+
Se face substitutia x + = / => [ 1 - 4= dxx
= dt
rx2-l , J x4 - l jdx
f dt _ 1 t 2 - 2 ~ 2>/2
ln n
-V2
1 1 , x2-W2 + l + C = s=ln a+C 2V2 x +x V2 + 1
1 r x2 - l 1 r x2 +1 dx 4 o. 1 4+l j 9 Jxv4 + 1 ~ 2 JJx 4 + l 9 x 2 innd cont de aceast egalitate se folosesc punctele a) i b). Se poate folosi i descompunea n fracii simple, dar calculele pentru determinarea coeficienilor sunt foarte lungi.
36CalcuMnteraLTeori 4. S se calculeze:a) I - \ y j \ + x2dx, xe R xe(2,oo) xe(\,2)
b) | = j V * 2 -3x + 2dx,c) l = jyl-x2+3x-2dx,
Rezolvare: a) Dac se folosesc substituiile lui Euler se obin calcule lungi.I = \sf+7dx=J J
I
m
-
n
+
T
-
i
i
-
i ^ L V\ + x2
=>/
= X\l\+X2
- [yl\ + x2dx+
T
W 1 + *2
f
=
=> 2/ = * - V l + * 2 + ln(* + V l + * 2 ) + C=> =>/ = - - W l + * 2 + - l n ( ; t + Vl + * 2 ) + C 2 2 V / b) Dac se folosesc direct substituiile lui Euler, se ajunge la o integral raional care necesit calcule lungi, de aceia mai nti se aplic integrarea prin pri.
/ =J n / j c 2 - 3 x
+ 2dx = j ( x ) W?-3x
+ 2dx =
2 / = x\jx
yjx2 -3x
+2 dx =
t
I 1 1-3x
+ 2
1 r 2x2 -6jc + 3A: + 4 - 4 ,I . / = Wjc2 3J? + 2 / - f . 4JVx2-3X +2
2x-3
tfr=> * 3V
=> 2/ = .r>/x2 -3X + 2 - f . 2 J C ~ 3 A - l f , 4 J V* J -3;c + 2 4- |2 / = * V * 2 - 3 x + 2-~yJx1 + +
^W
2
4
2
-3x + 2
J
,_2x-3 4
ylx2-3x
+ 2
- I l n f ^ l + V* 2 - 3 * + 2 1
c) i n acest caz, dac se folosesc substituiile lui Euler, se ajunge la o integral raional care necesit foarte multe calcule, de aceia se folosete integrarea prin pri.
8
2
J
I i H i =
|yj-x2
+ 3x-2dx
1 xyjx2 + 3x-2
HJ 2J
1r
-2.x2 + 3x\I-x2+3X-2
dx =
1 | -2x2 +6x-4-3x +4 x\l-x2+3x-2J dx x2 + 3x-2 JI = x*J-x2 +3x-2
2/ = x\j-x2^
9 J yj-x2+ 3x-2x + 3 +3jc-2 f A n i J x2 +3jc 22A ^
- / - f
-3x
+4
dx
cc 6 -x2 + 3x - 2\I-x2+3X-2
-
21 = xyj-x2 21 = xyj-x2
+ 3x 2+3x-2
?
V-*2+3x-2+-f4
AJ
V-*2+3x-2 + -f2 4J
1 1
X\
ii 2)
5. S se calculeze jc-(jc + l)(jc4-2)(x + 3)(x + 4)..i(jc + .100) (x2 + l)c&(x + 1)3 (x2+3x x2 +1C)f
1100
1 1 wHk = /r = 2 A: 3 -1x j + 3: x - 2r + -arcsint-^ + C v 4 8 1
b)j
+ 2)
Rezolvare:
x4 + x2 + 1
dx
a)
1
A
mm 'kmo4 =
aO + k = 1 * 100! J (1!)!99! 2!98!
1 4> = (jc + 1)(JC + 2)...(* + 100) x = 0 1x
1 x(jt + l)(x+2)...(x + 100) x =-2 A =H
1 x(JC + 1)(*+2)(X + 4)...(X + 100) x = -3=1
A -3!97!
1
Se poate observa c A
(-1) ->t!-(100-^)!
146 Calcul integral. Teorie. Exemple. Aplicaii
Deci
100 100
n
k-0
(x+k)dx
= 1 *=0
(-1)* A:!(100-:)!x+k100
Atunci j - S noc+it) ^ ( " 0 *=0 100 1 =y b) x2+l (jc-hI)3 +3jc + 2) x2+l (x + l) 4 (x + 2)A =
-*!-(100-*)!jX+* ln|x +fc|+ C
1
A:!-(100 A:)! x2+\ (x + 1)4 (x + 2) B(x +
Ax+2
B,i) 4(x +
i) 3
(
x +
i) 2
x + \
x2+l x = -2 x2+l x+2'
4+1 =5 (_ir
B. =
2
2
'x2+P x + 4x - 1 = _4 = 2; 53 = x = -\ x + 2 x = 1 (x + 2)2 x = 1 > , A 10 x +4x-l 1 =5 (x+2) 2 (x+2) 3 x = - lx=-l
B
1 3! (x + 2)3,t=-i
5
mmk\
-3
_ 5X 1
2
S-a folosit formula B. , = 4"*
(x + 1)4 (x2 +2)
k=0,l,2,3.dx dx
x2 +1 I
dx
2J
X +1 x+22 1
3 3 (x + 1)x2
l(x + iy
+2
k
1 -5 ln|x + l| + C = 2 (x + 1) x +1 2 1 *+1
= 5ln
+2
1
(* + !)
+cCx+D
c)
x2-l + x2 +1
-l
Ax + B
( x 2 + x + l)(x 2 x +1)
x2+x + l
x2 x + 1
Primitive
39
=> x2 - lrA
= (Ax+B)(x2
- x + l ) + (Cx + >)(x2y
+x+i)
+ C =O ~ " V
j-A + B + C + D = l A-B+C+D=0 \B + D - \
<
Rezolvnd sistemul se obin soluiile: A = -1, B = - , C = 1 ,> = - 7 7 2 2| x P |
2 |
Jx4+x2+l
=
X +X+ 1 X X+1 1 r 2x + l I 1r 2x-l dx dx + -\ jX2+X + 1 jX2-X +1 2 2
-i
dx=
m
I m
H X 2
+
dx =
= - - l n ( x 2 + x + l) + ln(x2 - x + l ) + C = = -ln +C 2 jr+x +1 6. S se calculeze:1. x2-x + l H
H
H mB 3
4
9
0)J
Rezolvare: a) Folosind substitutiile lui Euler se obine: J~(xl)(x + 1 ) = / ( x + l)=^> x = - ; t = J^ ; dx = 1 + t2 Vl + x
x3
(1-K 2 )
jdt
' -1 r-1^(3 + f 4 )
H dt +t2+at + S
SUB
A,/2
+ +
1t
+C' t2+at
'
+ S '
ST +
o = VT2 unde: Deci f fej 3 | 1 = 0 ; 5 = ^ - ; C = 0; D = ~ 1 3a 3a jc5 - x 3 = / .
Se taie aceast
curb cu j; = /x pentru a gsi o reprezentare parametric. x = Vl+7 +f Cu aceste date, f . ^ax2
H
= d t . I \ + r
K =
3 r t dt = ~ f 4 Se calculeaz descompunnd n fracii
simple. Integrala de la punctul c) se mai numete i integral abelian. 7. S se calculeze: a) I rJ sinx-sina. . J b) c v r dx
2>/2+cosx+sinxdx dx
yfdx
x a) Se face schimbarea de variabil t g -
cos6x + sin6x Rezolvare:
Oj
=
t=$dx
,
2 dt
1 +f
! sinx =
.
21
I U
Primitive2 dtJ
41
sin*-sina
J
2t
1 + /2
I si na' 2sina In cos2 a
O
1+Sdt2
r - s i nas ' n f sinxdx = lim f s\nxdx = -limcos* = -limcos/ + l Jo /oo Jo /OO 0n
Deoarece lim nu exist f siru/2
deoarece
c) integrnd F(x)=
i&iiiprin i
pri
i descompunnd
n fracii
simple
se
obine:
f y + I n x - l n ( l + x 2 )+ B ^ j J ( l + x2)3 4 (l + x 2 ) 2 4 8 ' 8 l + x2xlnx,
Se observ c pentru / (x) = critice
att x = 0 ct i x = sunt puncte ~ _ Cum
atunci
f I
H
j r1^ ^'nx H r , rdx p + Jl (1 + X 2 ) (l + x1)3
146 Calcul integral. Teorie. Exemple. Aplicaii
1 limF(*) = - , J o
limF(x) = 0W
atunci
IJo
I-
, dx
este
convergent
i
" H
(l + * 2 )
r _ j t o } x d x = F , i)_| i m F (x)+limF(x)-F(l) = --j-3 V ' v | w x> V ' -0 8 (l +, x 2\)
3. S se studieze convergena integralelor: arctgjc dx. a )Jo
b) f
Jx(x-a)(x-b)
. . *
^
(x 0 >a>b).
f
I 1 -e~*s dx.\
i|
1 d) j ' Jo I p I M |m 2 ~xd x . I _ _
e) ^ x ^ - e ^ d x (fi 9 a> 0).x dx n
Rezolvare:l
mii xylx -12
-
Inx
Fie / :[a,b)->R+,
a,b
finite i / local integrat i L = l i m ( 6 - x Y ' / ( * ) .xQb
a) Dac L< oo pentru /?e(0,1) atunci J f ( x ) d x convergent. b) Dac 0 < L < o pentru p > 1 atunci J f { x ) d x divergent. o II. Fie / . -> R+, a finit, funcie local integrabil i L = ^ xJo f(x)dxp
f(x).
a) Dac L< pentru /?>1 atunci *
convergent. f(x)dxdivergent.
b) Dac 0 < Z, < o pentru pe (0,1] atunci J o
181 ^ ^ M ^ M B7
innd cont de I. i II. se obine: Jo xJo
J C
Jl
r ^ d xx >0
&atunci conform cu Ia)>
Deoarece1
lim xp a r c t g * = 0 (V) convergent.
=
Jo
V
Integrale improprii
55
Deoarece lim*'' w , b) lim ..... , arctgxdx
_ |j m jt''arctgjt = 0 ( V ) p e (0,1) atunci conform cu I. a) este convergent.32
dx convergent. Atunci =1 daca p = > 1.
^ ^ ( x - a ^ x - b ) dx r j ^ x ( x - a ) ( x - b )
Atunci
conform
cu
II.a)
'
este convergent.Mi
1SIx->0
(V
e-a
x
m 2
i
('
f2
# 1 - e~
-e
**
i/
l
e * l Jo
*
2
#9 1
x
21 - *lv2( > -e x dx =/
/, + I 2 . Deoarece cu I. a), 7
linrup - e -r2 = lim* 7 ' K f i j.r-0 1.2 N
'
=i 10,
x
(V)p > 0,-
atunci
conform
/, = J~ e *2 -e *2 ix este convergent. Pentru I2 = pot aplica I. i II. Se dezvolt n serie funcia * -ebL-a1
/ -2 I \ a e * e * ic nu se i se obine:
f ( x ) = ex2-e
*2
Bxp~2 b2 - a1 X>oo
2-a:
= lim
= 0 dac p e (0,2). Atunci conform cu ll.a) innd cont de inegalitatea (1)
im
\b2-a'
convergent. ' a2l2 ^ JT _ 0 X ix
Atunci
este convergent. Deci / = 7, + / 2 este convergent.
d)
BfflSHSHcHB^SSIJo 2 J x - ex
1
^
T
T
2J x
|
(e*
*
x
Dezvoltnd n serie se obine: 1 C x 1 1 01 ^ 1
12
240x
= 0.
atunci conform cu I. a) i
inegalitatea (2) /, = Jq \
Coof
dx este convergent.
Deoarece lim x conform cu 1 a)
J
X
11SI2
e'x
-M.-L-lim*"-2 f ' +re
- e'x
x
1^2J
= 0,
(V)p w . consider = . g(x) este descresctoare
Deoarece
Integrale improprii
57
(V)x> 1 i limg(x) = 0Fie f ( x ) = e*^ sm2x.
(5)
sin2x dx 1 2
cos2x dx= 2
siat
= 2 esinA - esin11 < 2e.
Deci (6)
f
esiav sin2x dx , g(x)
=Jox/'|lnx
sinx
cbc
x
este descresctoare(7)
lnx|" I (V)x> e i l i m L - = 0 .t-oo x Fie / ( x ) = sinx-J sinxo
(9) se obine (10)
/ ( x ) = sin(x + x 2 ) . = J>4sin(x " +
Fcnd = j I '
substituia Vl +4z
z = x + x2
J f(x)dx I"
x2)rfx:
a+a2 sinz
dx
care este mrginit (V)A > a. Din (9) i (10) conform cu criteriul Abel-Dirichlet convergent.J
o
f
sin(x+x 2 ) x
dx este
I f c f t - p S f l i P P m. ^ Se nmulete relaia (2) cu r infinit1
!
mm
(2)
i se integreaz n raport cu / de la zero la
r(
*+
+=
I N I H!P= \~ya+"-x eydy | | | H ^
^^wm^S/^p | H H
=>T(a + b) B{a,b)
6) B(a,b) = r(a) J"/'1 l I r(a) r()DeCI
T(a + b) B(a,b)
I
I
= T(a) r(Z>) I
' M ^ f f ^ ^ ,evn,o s ^ o o * * * ^ ^ ^ ^ 3. Dac n proprietatea 2 se consider 6 = 1 - a > 0 i innd cont c: sin^ -7T sina -n Observaia 4.3.1. Funciile B(a,b) i r ( a ) sunt utile n practic la calculul unor integrale definite ce apar n diverse fenomene fizice i procese tehnice, integrale care n alt mod nu ar putea fi calculate.
4. Exerciii rezolvate.9
1. Pornind de la funcia integral calculeze Ii = Rezolvare: Se, . r*Jo
(*A ^L/COSX
; X > / i > 0 s se .
dx (A + /icosx)
i L =
-
r
CKJo
C0Sx
dx
(A + /xcosx)
/ ( a , x ) = . 1 . 7 A + /icos* . A + U Oc jC S j condiiile teoremei de derivabilitate a funciei integrale. dF __ r* dx . dF _ r^ cosjc (A + /jcosx)2 ? l (A + ^cosx)2 Adicf(Xv9
observ
x)=7
sau
ndeplinete
dF_ _3F = WBBM W K m 9A' 2 " du
(1)
Se gsete valoarea sub form neintegral a funciei F(A 5j u).v
'=
Jo
r
A + jucosx2
dx
=
r
_ r"Jo
-
(A,-/i)t 2 + + ju
-
dx
(
r = tg2
xN
(2)
Derivnd egalitatea (2) n funcie de A i ix se obine: dF nX l i p ' flju (A2-/!2) ^ ^ Din (1) i (3) se obine I { 2. S se calculeze: Rezolvare: innd cont de criteriile de convergen de la integralele improprii, integrala ce definete pe F ( a ) este convergent. Funcia f(a,x)~CQSaxrkx
1
^ '
^nX
(A 2 -/x 2 ) ^ ^1^ u ^ ir
(3) nu
1 H |
1-C0SX
'k\
a>09k>0.
ndeplinete condiiile teoremei de derivabilitate a funciei integrale. F' {a) = j sinx e~kx dx. Integrnd prin pri se obine:
9 B H H B 1Se integreaz egalitatea (1) n F(a)=*ln(a2+*2"]+C
(1)
raport
cu
a
i
se
obine(2)
Din forma integral a lui F { a ) i din egalitatea (2) pentru a = 0 se obine:
>(ofcp.F(0) = ln: + C Aadar F(A) = ln
C = -InA:. v 2 +k :
3. S se calculeze I = | e'*1 dx. Rezolvare: Pornim de la r(a) =Jo
x"~l -e~x dx, a> 0.
Se folosete substituia x2 = t i se obine: 4 ? oJo
t
2
e'
dt.
Deci / = r l Se cunoate c r ( o ) r ( l - a ) = - ^ , ae (0,1). sin/r Deci rm
(1)
I
tt
=> rf \=s[n
(2)
Din (1) i (2) se obine / =
4. S se demonstreze egalitatea: F v * 1 T Jo7fi7 JoVTvRezolvare:x2 dx K
4B(a,b) =
jV_1(l-x)h~ldx,
Pentru a demonstra egalitatea se utilizeaz funciaa> 0, b> 0.
Pentru aceasta se face substituia jc4 = t i se obine: x2-dx 1 3 P r'^*f' r = B I B5 16 4' 2 4' 2 innd cont de faptul c = 1(0 + 0} 2 din (1) se obine.
(1)
/1 \
fii
afc ax
pi (
x2dx
r16
4
rfi \
rH H H
VTr
P ir
r
4 V
J
v4/
r16
H E dx
v2/n
H
I
7 T 7
i jc Deci J ' - ^ f J V T T " J( VT O /i ~4 Jo
5. S se calculeze: I = f Rezolvare:
Jo
(l +
x)2
rfx:.
innd cont de faptul c B(a,b) = T /rdx = B
JO
r n
.a-1
Jo (l+x) 2
95 3 N 4 4 a-la + b-l
(1)5(a-l,Z>) 1 4 n (2)
Se tie c B(a,b) =
innd cont de (2) din (1) se obine:1 =
iJo
Mx(\ + x)
2
,dx
=
4
--B Y1
3^ 4 4
. n sin 4
4 a/2 2
2>/2
146 Calcul integral. Teorie. Exemple. Aplicaii
2. Calculul integralei dubleP r o p o z i i a 6.2.1.
Fie f : D c R
2
-> *
, D = [a, b\x[c,d].
Atunci:
J jf(x,y)dxdy
=[ d x [ / ( x , y ) d y
f jf(x,y)dxdyD
=[dxj''f(x,y)dy
Demon stranie: Fie A o diviziune a dreptunghiului D definit astfel: