MARIA ANTONOAIE

ELECTR OTEHNIC

EDITURA UNIVERSITII TRANSILVANIA DIN BRAOV 2008

CUPRINSCuprins 1. TEORIA CMPULUI ELECTROMAGNETIC 1.1. Stri i mrimi electrice. Legi 1.1.1. Starea de electrizare. Sarcina electric. Densitatea de sarcin electric 1.1.2. Intensitatea cmpului electric n vid. Intensitatea cmpului electric n sens larg 1.1.3. Polarizarea dielectricilor 1.1.4. Curentul electric. Intensitatea curentului electric. Densitatea de curent electric 1.1.5. Legea conservrii sarcinii electrice libere 1.1.6. Legea conduciei electrice 1.2. Stri i mrimi magnetice. Legi 1.2.1. Cmpul magnetic. Inducia magnetic 1.2.2. Starea de magnetizare. Legea magnetizaiei temporare 1.2.3. Fluxul magnetic. Legea fluxului magnetic 1.2.4. Legea induciei electromagnetice 1.2.5. Legea circuitului magnetic 1.2.6. Legea transformrii energiei n conductoare parcurse de cureni 2. STUDIUL FENOMENELOR ELECTROMAGNETICE N REGIMURI PARTICULARE 2.1. Regimul electrostatic 2.1.1. Relaiile fundamentale ale electrostaticii 2.1.2. Condensator electric. Capacitate electric 2.1.3. Condensatoare uzuale 2.1.4. Capaciti echivalente 2.1.5. Calculul reelelor de condensatoare 2.1.6. Energia cmpului electrostatic 2.2. Regimul electrocinetic 2.2.1. Surse de tensiuni electromotoare 2.2.2. Legea conduciei electrice (legea lui Ohm) 2.2.3. Legea transformrii energiei n conductoare parcurse de curent electric 2.2.4. Circuite liniare n regim electrocinetic staionar (de curent continuu) 2.3. Regimul electrodinamic 2.3.1. Calculul tensiunilor electromotoare induse 2.3.2. Proprietile magnetice ale corpurilor 2.3.3. Circuite magnetice 2.3.4. Inductane 2.3.5. Energia cmpului magnetic. Fore 3. CIRCUITE ELECTRICE N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 3.1. Circuite de curent alternativ monofazat 3.1.1. Elemente, definiii 3.1.2. Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale 3.1.3. Caracterizarea circuitelor de curent alternativ 3.1.4. Puteri n circuite de curent alternativ 3.1.5. Rezolvarea unor circuite simple de c.a. 3.1.6. Teoreme utilizate la rezolvarea circuitelor de c.a. 3.2. Circuite de curent alternativ trifazat 3.2.1. Sisteme trifazate simetrice 3.2.2. Producerea sistemului trifazat simetric de tensiuni electromotoare 3.2.3. Conexiunile sistemelor trifazate 3.2.4. mbuntirea factorului de putere BIBLIOGRAFIE 1 1 1 2 3 4 5 6 6 6 7 7 8 8 9 10 10 10 10 11 12 14 14 15 15 15 17 18 24 24 26 27 30 33 35 35 35 37 39 40 42 45 46 46 47 47 50 52

1. TEORIA CMPULUI ELECTROMAGNETIC

Cmpul electromagnetic este o form de existen a materiei, deosebit de substana corpurilor i existent n regiunile din spaiu n care se pot exercita aciuni ponderomotoare (fore sau cupluri) de natur electromagnetic asupra corpurilor (fore sau cupluri care nu sunt de natur termic sau mecanic). Cmpul electromagnetic este capabil s asigure transmiterea din aproape n aproape (prin contiguitate) n spaiu i timp a aciunilor ponderomotoare. Un corp electrizat este asociat unui anumit cmp electric produs de el i acest cmp exercit o for electric asupra unui alt corp electrizat situat la o oarecare distan fa de primul. Un corp magnetizat (sau un conductor parcurs de curent) este asociat unui anumit cmp magnetic produs de el i acest cmp exercit o for magnetic asupra unui alt corp magnetizat (sau asupra unui alt conductor parcurs de curent) situat la o distan oarecare fa de primul. Cmpul electromagnetic este deci un sistem fizic care exist n regiunile din spaiu n care se exercit aciuni ponderomotoare de natur electric asupra corpurilor electrizate i de natur magnetic asupra corpurilor magnetizate sau parcurse de curent electric. Cele dou cmpuri, electric i magnetic, sunt dou aspecte particulare ale aceluiai sistem fizic unic care este cmpul electromagnetic. n cazul fenomenelor electrice i magnetice variabile n timp, variaia n timp a cmpului electric determin un cmp magnetic iar variaia n timp a cmpului magnetic determin un cmp electric. Studiul macroscopic al cmpului electromagnetic nu se poate face dect indirect, prin intermediul proprietilor geometrice, mecanice i termice ale corpurilor, proprietile electrice i magnetice nefiind direct accesibile simurilor omului (cu excepia undelor luminoase, care sunt unde electromagnetice cu lungimi de und ntre 0,4 m i 0,76 m).

1.1. STARI SI MARIMI ELECTRICE. LEGI

1.1.1. Starea de electrizare. Sarcina electric. Densitatea de sarcin electricStarea de electrizare este starea corpurilor n care asupra lor se exercit aciuni ponderomotoare (fore i cupluri) de natur electric. Ea poate fi de dou feluri: stare de ncrcare electric i stare de polarizare electric.

1

Starea de ncrcare electric poate fi caracterizat cu ajutorul unei noi mrimi primitive, numit sarcin electric adevrat sau sarcin electric liber. Starea de ncrcare electric poate fi explicat din punct de vedere microscopic prin excesul sau lipsa de electroni. Ea poate fi obinut prin frecare, prin contact cu corpurile electrizate, prin influen, prin efecte chimice etc. Dup durata n care se transmite starea de electrizare prin contact, materialele pot fi mprite n trei categorii: conductori (timp foarte scurt, de ordinul 10-12 s), izolani (ore sau zile) i semiconductori (fraciuni de secund). Sarcina electric adevrat (numit concis sarcin electric) este o proprietate a corpurilor caracterizat printr-o mrime scalar proporional cu numrul electronilor care nu sunt neutralizai de sarcinile pozitive ale nucleelor atomilor corpului respectiv. Sarcina electric este negativ dac electronii sunt n exces i pozitiv, dac sunt n lips. Particulele ncrcate cu sarcin electric (electronii i ionii) care se pot deplasa, asigurnd astfel transportarea sarcinii electrice, se numesc purttori de sarcin. Din punct de vedere macroscopic se consider c sarcina electric este distribuit continuu, ca i substana, n domeniul ocupat de un corp. Repartizarea sarcinii n interiorul corpului poate fi caracterizat local (n fiecare punct) prin densitatea sarcinii electrice care poate fi de volum, v, (caracteristic pentru corpurile izolante i semiconductoare), de suprafa, S, (n cazul corpurilor conductoare) sau de linie, l, (n cazul firelor conductoare). Dac se cunoate dependena de spaiu a densitii de sarcin electric se poate calcula sarcina total dintr-un volum V, de pe o suprafa S sau de pe o curb C cu una din relaiile: q = v dv ;V

q = S dS ;S

q = l dl .C

(1.1 a,b,c)

Pentru caracterizarea cmpului electric se introduce o mrime vectorial de stare a cmpului electric care se numete intensitatea cmpului electric.

1.1.2. Intensitatea cmpului electric n vid. Intensitatea cmpului electric n sens largLa scar macroscopic se poate defini intensitatea cmpului electric n vid, ntr-un punct, ca limita raportului dintre fora care se exercit asupra unui corp de prob ncrcat cu sarcin electric, introdus n acel punct, i valoarea sarcinii, cnd aceasta tinde ctre zero:Ev = lim F , q0 q

(1.2)

Din relaia (1.2) se poate deduce expresia forei F :F = qEv .

(1.3)

Relaia (1.3) reprezint legea aciunii ponderomotoare asupra sarcinilor electrice libere, imobile, situate n vid. Dac ntr-un punct al unui mediu oarecare exist o sarcin punctiform q de valoare foarte mic, astfel nct are un efect neglijabil asupra cmpului electric n care se afl, intensitatea cmpului electric n sens larg n acel punct este:El = F . q

(1.4)

unde F este fora rezultant care acioneaz asupra particulei cu sarcina q. 2

Dup natura componentelor forei F , intensitatea cmpului electric poate avea trei componente: 1) Intensitatea cmpului electric coulombian, Ec , care este produs numai de sarcini electrice. 2) Intensitatea cmpului electric indus, Er , (numit i cmp electric solenoidal sau rotaional) produs de fenomenul de inducie electromagnetic i prezent, de exemplu, n generatoarele sincrone din centralele electrice. 3) Intensitatea cmpului electric imprimat, Ei , (numit i cmp electric strin) determinat de fore de natur neelectric (datorate unor fenomene de natur termic, chimic sau mecanic).

Linia de cmp electric este curba tangent n fiecare punct la vectorul intensitii cmpului electric din acel punct. Tensiunea electric se definete ca integrala de linie a vectorului intensitate a cmpului electric n lungul unei curbe (fig. 1.1):uCAB =

E dl .C AB

(1.5)

E

CBx

Ax

dl

Fig. 1.1.

n cazul n care integrala se efectueaz n lungul unui contur nchis , se obine tensiunea electromotoare n lungul conturului respectiv:u e = E dl .

(1.6)

1.1.3. Polarizarea dielectricilorStarea de ncrcare electric nu este singura stare de electrizare. Se numete stare de polarizare electric acea stare a corpurilor care determin exercitarea asupra lor a unor fore electrice i cupluri electrice suplimentare fa de cele determinate de eventuala lor stare de ncrcare electric. Substanele care pot fi polarizate electric se numesc dielectrici. Starea de polarizare a unui corp se caracterizeaz cu ajutorul unei mrimi vectoriale de stare, numit moment electric p . Fenomenul de polarizare poate fi determinat att de un cmp electric exterior n care se introduce dielectricul, ct i de alte cauze de natur neelectric.

3

Polarizarea dielectricilor este temporar, dac depinde de intensitatea cmpului electric n care se introduc i se anuleaz n lipsa acestuia. Polarizarea este permanent, dac nu depinde de cmpul electric. Polarizarea electric permanent poate fi determinat de: deformarea mecanic a unor cristale (polarizarea piezoelectric), nclzirea unor anumite cristale (polarizare piroelectric), polarizarea temporar a unor materiale nclzite sau topite ntr-un cmp exterior foarte intens, urmat de rcirea nceat n prezena acestui cmp (polarizarea electreilor) .a. n cazul unui mediu izotrop oarecare, fr polarizaie permanent, vectorul polarizaie electric temporar (care caracterizeaz starea local de polarizare electric a unui corp)este paralel i de acelai sens cu vectorul intensitate a cmpului electric:

Pt = 0 e E .Relaia (1.7) reprezint legea polarizaiei electrice temporare.

(1.7)

n aceast relaie 0 este o constant universal, numit permitivitatea electric absolut a vidului:

1 F 0 = 9 4 9 10 m , iar e o constant de material, numit susceptivitate electric. Legea polarizaiei electrice temporare este o lege de material. ntr-un mediu oarecare, n cazul n care exist sarcini electrice libere i sarcini electrice de polarizaie, pentru caracterizarea cmpului electric se introduce mrimea vectorial de stare numit inducie electric, definit de relaia: D = 0E + P . (1.8)

Relaia (1.8) reprezint legea legturii dintre inducia electric, intensitatea cmpului electric i polarizaie.Pentru medii izotrope, fr polarizaie electric permanent, expresia acestei legi devine:

D = 0 E + Pt = 0 E + 0 e E = 0 (1 + e ) E = 0 r E = E ,

(1.9)

unde: r = 1 + e se numete permitivitate electric relativ a mediului, iar = 0 r ,permitivitate electric a mediului. Fluxul electric este fluxul vectorului inducie electric (integrala de suprafa a vectorului inducie electric). ntr-un mediu oarecare, fluxul electric printr-o suprafa nchis V este egal cu suma sarcinilor electrice libere din interiorul acelei suprafee. Aceasta este legea fluxului electric.

1.1.4. Curentul electric. Intensitatea curentului electric. Densitatea de curent electricDeplasarea ordonat a particulelor ncrcate cu sarcin electric (purttori de sarcin electric), n vid sau n interiorul unor corpuri, reprezint un curent electric. Curentul electric poate fi reprezentat i de micarea n raport cu un anumit sistem de referin a unor corpuri ncrcate cu sarcin electric sau polarizate. Variaia n timp a fluxului electric determin, de asemenea, un curent electric. Se deosebesc urmtoarele tipuri de cureni: 4

a) Curentul electric de conducie reprezentat de micarea ntr-un corp a unor purttori liberi de sarcin electric n raport cu un sistem de referin solidar cu corpul. Dup natura purttorilor de sarcin electric (ioni, electroni, goluri), curentul electric de conducie se numete curent ionic, curent electronic, curent de goluri, iar conducia corpului respectiv este denumit conducie ionic, electronic, respectiv de goluri. b) Curentul electric de convecie reprezentat de micarea macroscopic a corpurilor ncrcate cu sarcin electric n raport cu un sistem de referin fix. c) Curentul electric de deplasare este determinat de variaia n timp a fluxului electric. Pentru caracterizarea curentului electric se introduce o mrime scalar numit intensitatea curentului electric, definit ca limita raportului dintre suma algebric a sarcinilor electrice libere care trec printr-o suprafa i intervalul de timp n care trec, atunci cnd acest interval tinde la zero. Sensul pozitiv al curentului este sensul de deplasare a sarcinilor electrice pozitive (fig. 1.2).i + _

i

S i -

n+

a) +

n-

i

S

a)

b)

Fig. 1.2. a conducie electronic n cazul unui conductor metalic; b conducie ionic n cazul unui electrolit

Proprietatea corpurilor de a permite trecerea unui curent electric de conducie se numete conductibilitate electric, iar fenomenul corespunztor se numete conducie electric. Din punct de vedere al conductibilitii electrice, substanele se mpart n: conductori, izolani i semiconductori. Conductorii electrici sunt substane bune conductoare de electricitate (permit trecerea rapid a particulelor ncrcate cu sarcin electric). Conductorii se mpart n dou specii: a) conductori de specia nti (sau de primul ordin), n care, trecerea curentului electric, reprezentat de deplasarea ordonat a electronilor liberi din structura lor nu este nsoit de reacii chimice (din aceast categorie fac parte metalele, aliajele lor, crbunele i semiconductorii; b) conductori de specia a doua (sau al doilea ordin), n care, trecerea curentului electric, reprezentat de deplasarea ordonat a ionilor, este nsoit de reacii chimice (din aceast categorie fac parte srurile topite, soluiile de acizi, baze sau sruri; aceste substane sunt numite electrolii). Izolanii sunt substane rele conductoare de electricitate (las s treac greu particulele ncrcate cu sarcin electric). Semiconductorii sunt substane la care conductibilitatea se situeaz ntre cea a conductorilor i cea a izolanilor.

1.1.5. Legea conservrii sarcinii electrice libereSe consider o suprafa nchis oarecare care trece numai prin izolani astfel nct suprafaa s nu fie strbtut de curent electric. 5

Sarcina electric liber din interiorul suprafeei rmne constant: q = const., Aceast relaie reprezint legea conservrii sarcinii electrice. Dac prin suprafaa trece un curent electric cu intensitatea i legea conservrii sarcinii electrice se va enuna astfel: Intensitatea curentului electric i care iese din suprafaa nchis (curentul reprezentat de sarcinile care ies din suprafaa , deci curent de conducie i de convecie) este egal n fiecare moment cu viteza de scdere a sarcinii electrice q din interiorul suprafeei. (1.10)

i =

dq . dt

(1.11)

1.1.6. Legea conduciei electriceDensitatea curentului electric de conducie, J , ntr-un punct dintr-un mediu oarecare depinde de intensitatea cmpului electric n sens larg n acel punct i de natura mediului. Relaia dintre aceste mrimi exprim legea conduciei electrice, numit i legea lui Ohm:

J = El .

(1.12)

n aceast relaie este o mrime de material numit conductivitate electric. Mrimea 1 = se numete rezistivitate electric.

1.2. STRI I MRIMI MAGNETICE. LEGI 1.2.1. Cmpul magnetic. Inducia magneticCmpul magnetic este sistemul fizic care exist n regiunile din spaiu n care se pot exercita aciuni ponderomotoare de natur magnetic asupra unor corpuri magnetizate sau parcurse de cureni electrici. Cmpul magnetic poate fi produs de: sarcini electrice n micare, cureni electrici, variaia n timp a cmpului electric, corpuri magnetizate (ex.: magnei permaneni). Caracterizarea cmpului magnetic n vid se face cu ajutorul mrimii primitive vectoriale: inducia magnetic n vid, Bv . Aceast mrime se introduce utiliznd expresia forei ce se exercit asupra unei sarcini electrice punctiforme (foarte mici) care se deplaseaz cu viteza v fa de un sistem de referin inerial n cmpul electromagnetic n vid:F = qEv + qv Bv = q ( Ev + v Bv ) ,

(1.13)

n aceast expresie qv Bv este fora de natur magnetic ce se exercit asupra sarcinii q aflate n micare. ntr-un punct al unui mediu oarecare, inducia magnetic Bv se introduce utiliznd expresia:

F = q( E + v B ) ,

(1.14)

Curbele la care vectorul B este tangent n fiecare punct se numesc linii de cmp magnetic.

6

1.2.2. Starea de magnetizare. Legea magnetizaiei temporareStarea de magnetizare este caracterizat local cu ajutorul unei mrimi vectoriale numit magnetizaie M , care poate fi permanent sau temporar. Starea de magnetizare este temporar dac ea apare n urma introducerii corpului ntr-un cmp magnetic exterior i permanent dac ea exist independent de existena unui cmp magnetic exterior corpului. La scar macroscopic momentul magnetic este o mrime primitiv care caracterizeaz starea de magnetizare a unui mic corp magnetizat. Pentru caracterizarea cmpului magnetic se introduce nc o mrime vectorial de stare, numit intensitatea cmpului magnetic, definit prin relaia:H= 1 B M . 0

(1.15)

relaie n care 0 este o constant universal numit permeabilitatea magnetic a vidului, care are valoarea: 0 = 4 10 7 H . m

n cazul unui mediu izotrop oarecare fr magnetizaie permanent, vectorul magnetizaie temporar este paralel i de acelai sens cu vectorul intensitate a cmpului magnetic:Mt = mH .

(1.16)

Relaia (1.16) reprezint expresia legii magnetizaiei temporare. Constanta m este o mrime de material numit susceptivitate magnetic. Relaia de definiie a intensitii cmpului magnetic (1.15) poate fi scris i sub forma:

B = 0 (H + M ) .

(1.17 a)

Relaia (1.17 a) este expresia legii legturii dintre inducia magnetic, intensitatea cmpului magnetic i magnetizaie.n cazul unui mediu izotrop, fr magnetizaie permanent, innd seama de legea magnetizaiei temporare, relaia (1.17 a) devine:B = 0 (H + M t ) = 0 (H + m H ) = 0 (1 + m )H = 0 r H = H ,

(1.17 b)

unde: r = 1 + m este permeabilitatea magnetic relativ a mediului iar = 0 r , permeabilitatea magnetic a mediului.

1.2.3. Fluxul magnetic. Legea fluxului magneticFluxul magnetic este fluxul vectorului inducie magnetic (integrala de suprafa a vectorului inducie magnetic). Fluxul magnetic printr-o suprafa deschis S care se sprijin pe curba nchis este:

S =

BdS .S

(1.18)

n cazul n care conturul este luat n lungul conductorului unei bobine cu w spire, suprafaa S este o suprafa elicoidal. Fluxul magnetic care strbate suprafaa elicoidal sprijinit pe o 7

singur spir a bobinei se numete flux magnetic fascicular, , iar fluxul magnetic care strbate suprafaa elicoidal ce se sprijin pe toate spirele bobinei se numete flux magnetic total sau flux magnetic nlnuit, . ntre cele dou fluxuri exist relaia: = w .

(1.19)

ntr-un mediu oarecare, fluxul vectorului inducie magnetic printr-o suprafa nchis V este nul. Aceasta este legea fluxului magnetic.

1.2.4. Legea induciei electromagneticeFenomenul de inducie electromagnetic a fost descoperit de Faraday n anul 1831. Acest fenomen const n producerea unei tensiuni electromotoare de-a lungul unei curbe nchise, datorit variaiei n timp a fluxului magnetic printr-o suprafa deschis sprijinit pe curba respectiv. n cazul n care conturul nchis este reprezentat de un conductor, n timpul variaiei prin suprafaa conturului a fluxului magnetic, n conductor se stabilete un curent electric de conducie. Apariia curentului este determinat de apariia unei fore care imprim o micare ordonat electronilor, deci de apariia unui cmp electric. Acest fenomen arat c variaia n timp a cmpului magnetic determin un cmp electric. Legea induciei electromagnetice se enun astfel: Tensiunea electromotoare indus n lungul unui contur nchis este egal cu viteza de scdere a fluxului magnetic prin suprafaa deschis S ce se sprijin pe curba : u e = d S dt . (1.20)

Dac suprafaa S i conturul sunt n micare cu viteza v fa de sistemul de referin ales, tensiunea electromotoare indus are dou componente, una datorat variaiei n timp a induciei magnetice, numit tensiune electromotoare indus prin transformare, iar cealalt determinat de micarea conturului , numit tensiune electromotoare indus prin micare.

1.2.5. Legea circuitului magneticLegea circuitului magnetic arat c un cmp magnetic este produs att de cureni electrici ct i de variaia n timp a cmpului electric. Relaia:

umm = S +

el S t

.

(1.21)

reprezint forma integral concentrat a legii circuitului magnetic. Termenii acestei relaii reprezint:umm = H dl tensiunea magnetomotoare n lungul curbei

S =

J dS solenaia prin suprafaa SS

Solenaia este fluxul vectorului densitate de curent de conducie prin suprafaa S i este deci determinat de curenii de conducie care strbat suprafaa S.

8

n cazul n care curenii de conducie trec prin conductoare filiforme (seciunea conductorului foarte mic i J = ct. n toate punctele acestei seciuni), solenaia va fi egal cu suma algebric a intensitilor curenilor care trec prin suprafaa S.

S

D dS = t t

S

D dS =

el S curentul electric de deplasare t

Curentul de deplasare reprezint derivata n raport cu timpul a fluxului electric prin suprafaa S. Dac exist i cureni electrici de convecie, n membrul drept al relaiei (1.21) intervine i suma algebric a intensitilor curenilor de convecie prin suprafaa S.

1.2.6. Legea transformrii energiei n conductoare parcurse de cureniSarcinile electrice n micare produc att un cmp electric ct i un cmp magnetic. Curentul electric de conducie fiind reprezentat de deplasarea ordonat a particulelor ncrcate cu sarcin electric, determin, deci, un cmp electromagnetic. Energia corespunztoare curenilor electrici se numete energie electromagnetic. Energia electromagnetic se poate transforma n alte forme de energie. La trecerea curentului electric prin conductor se produce o transformare a energiei cinetice a electronilor n energie termic. Deci energia curenilor electrici (energie electromagnetic) se transform n energie termic, ceea ce conduce la nclzirea conductorului. Se produce astfel un efect termic (electrocaloric) numit i efect Joule-Lenz. Se consider un conductor de specia nti parcurs de curent. Electronii n micarea lor se ciocnesc cu reeaua cristalin, transmindu-i energie. Densitatea de volum a puterii cedate conductorului de cmpul electromagnetic n procesul conduciei este egal cu produsul scalar al vectorilor intensitate a cmpului electric i densitate a curentului electric de conducie.

p j = E J = J 2 Ei J .

(1.22)

Relaia (1.22) reprezint expresia formei locale a legii transformrii energiei electromagnetice n conductoarele parcurse de curent electric. n aceast relaie J2 reprezint densitatea de volum a puterii transformate ireversibil n cldur, iar Ei J reprezint densitatea de volum a puterii cedate de cmpul imprimat. Dac produsul scalar Ei J > 0, sursa n care se produce cmpul electric imprimat cedeaz energie cmpului electromagnetic, iar dac Ei J < 0, sursa primete energie. Este cazul, de exemplu, al unui acumulator care se descarc i respectiv se ncarc.

9

2. STUDIUL FENOMENELOR ELECTROMAGNETICE N REGIMURI PARTICULARE2.1. REGIMUL ELECTROSTATICElectrostatica este ramura teoriei cmpului electromagnetic care se ocup de studiul strilor electrice invariabile n timp i nensoite de cureni electrici de conducie, deci nici de transformri energetice. n regim electrostatic apare doar aspectul electric al cmpului electromagnetic i anume cmpul electrostatic. 2.1.1. Relaiile fundamentale ale electrostaticii Relaiile fundamentale ale electrostaticii se pot obine particulariznd legile generale ale teoriei cmpului electromagnetic, prezentate n capitolul 1, pentru regimul electrostatic n care nu exist cmp magnetic. Aceste relaii sunt: 1. Condiia de echilibru electrostatic:

E + Ei = 0 . 2. Legea conservrii sarcinii electrice adevrate: q = const.; D = 0E + P ; 4. Legea polarizaiei temporare; Pt = 0 e E ; 5. Legea fluxului electric:

(2.1) (2.2) (2.3)

3. Legea legturii dintre inducia electric, intensitatea cmpului electric i polarizaie:

(2.4)

D dS = q ;

(2.5)

6. Teorema potenialului electrostatic:

E dl = 0 ;

(2.6)

7. Formula lui Coulomb:F12 = 1 q1 q 2 r ; 4 0 r 2 r

(2.7)

2.1.2. Condensator electric. Capacitate electricSe consider un sistem format din dou conductoare omogene ntre care se afl un dielectric10

fr sarcini electrice i fr polarizaie permanent. Cele dou conductoare sunt ncrcate cu sarcini electrice egale dar de semne contrare: q1 = q, q2 = q, iar toate liniile cmpului electric care pornesc de pe conductorul ncrcat cu sarcini pozitive ajung pe conductorul ncrcat cu sarcini negative. Acest sistem se numete condensator, iar conductoarele se numesc armturi. Mrimea pozitiv definit de raportul dintre sarcina uneia dintre armturi i diferena de potenial dintre acea armtur i cealalt se numete capacitatea electric a condensatorului:C= q1 q = . V1 V2 U

(2.8)

Observaii: a) Potenialul electrostatic, V, este o funcie scalar introdus pentru a simplifica studiul cmpului electrostatic. Vectorul E poate fi exprimat ca gradient al unei funcii scalare, V, definite cu aproximaia unei constante.

b) Expresia tensiunii electrice ntre dou puncte din cmpul electrostatic, n funcie de potenial este:u CAB = VA VB .

(2.9)

Valoarea capacitii unui condensator cu dielectric liniar nu depinde de sarcinile armturilor, nici de diferena de potenial dintre armturi, ci numai de dimensiunile i poziia relativ a armturilor i permitivitatea dielectricului. Unitatea de msur a capacitii este faradul, simbol F. Capacitatea de 1F este capacitatea unui condensator care se ncarc cu sarcina de 1C dac ntre armturi se aplic o diferen de potenial (o tensiune) de 1V (1F =1C/1V). n practic se utilizeaz submultiplii faradului: microfaradul (1 F = 10-6 F), nanofaradul (1 nF = 10-9 F), picofaradul (l pF = 10-12 F). Simbolizarea grafic a condensatorului i notaiile tensiunii la borne i sarcinilor de pe armturi sunt reprezentate n fig. 2.1.A +q -q B UAB

Fig.2.1.

2.1.3. Condensatoare uzualeCondensatoarele folosite n practic pot fi clasificate dup diferite criterii: dup domeniul de utilizare: condensatoare folosite n instalaii energetice, n electrotehnic, n automatizri, n telefonie i telegrafie, electronic; dup natura dielectricului: condensatoare cu mic, cu hrtie, cu band de plastic, condensatoare electrolitice, condensatoare ceramice, cu sticl, cu dielectric gazos; dup posibilitatea modificrii capacitii: condensatoare fixe, variabile i ajustabile (trimere); dup forma armturii: plane, cilindrice, sferice etc.11

Indiferent de forma armturilor sau de natura dielectricului, condensatoarele au cteva carcteristici principale: capacitatea, valoarea tensiunii care se poate aplica pe armturile condensatorului, pierderile de putere n dielectric la aplicarea unei tensiuni sinusoidale pe armturile condensatorului. Pentru a se realiza capaciti ct mai mari este necesar ca dielectricul s aib o permitivitate ct mai mare. De exemplu, n cazul condensatoarelor electrolitice, dielectricul este un strat izolant de oxid de aluminiu creat pe cale electrolitic la suprafaa anodului de aluminiu. Stratul izolant are o grosime de ordinul a 10-4 cm i o permitivitate relativ mare (1012), astfel nct capacitatea este de ordinul microfarazilor pe centimetru ptrat de suprafa a anodului. Aceste condensatoare au un volum redus dar au pierderi relativ mari. i condensatoarele ceramice au n construcia lor dielectrici cu permitiviti relative foarte mari, de ordinul sutelor, pot suporta tensiuni de pn la 17.000 V i au un volum redus.

2.1.4. Capaciti echivalenten practic, pentru obinerea unei anumite capaciti, condensatoarele se leag ntre ele formnd sisteme de condensatoare. Modurile de legare sunt: n paralel, n serie, mixt.

n cazul unui sistem de condensatoare cu dou borne de acces A i B, se numete capacitate echivalent capacitatea unui condensator, care, fiind supus la aceeai tensiune UAB ca i sistemul de condensatoare, se ncarc cu aceeai sarcin ca i sistemul dat (fig. 2.2). Dac pe la borna A este absorbit sarcina q atunci cnd se aplic tensiunea UAB sistemului de condensatoare iniial descrcat, capacitatea echivalent va fi:Ce = q . U ABA +q Sistem de condensatoare Ce B q UAB

(2.10)

A +q UAB B q

Fig. 2.2

a) Capacitatea echivalent a condensatoarelor legate n paralel Se consider n condensatoare legate n paralel (fig.2.3).A UAB C1

.+q1 C2 q1

.q2

.Cn +qn qnCe =

+q2 Ck +qk qk

Ck =1

n

A +qk

-q B

UAB

B

.

.

.Fig. 2.3

U 1 = U 2 = K = U k = K = U n = U AB .12

Sistemul fiind iniial nencrcat:q=

qk =1 k

n

k

,

sau, innd seama de relaia (2.8):q=

C U = C Uk k k =1 k =1

n

n

AB

= U AB

Ck =1

n

k

.

Deci:U AB

q = Ce = U AB

Ck =1

n

k

U AB

=

Ck =1

n

k

(2.11)

b) Capacitatea echivalent a condensatoarelor legate n serie Se consider n condensatoare legate n serie (fig.2.4).C1 C2 q1 +q2 q2 U1 q

Ck +qk Uk qk

A +q +q1 UAB B

Cn +qn qn Un

U2

1 = Ce

Ck =1

n

1k

A +q -q B UAB

Fig.2.4

Sistemul este iniial nencrcat. Se consider o suprafa nchis care trece prin aer i prin dielectricul a dou condensatoare alturate (fie C1 i C2), legate n serie. Conform legii conservrii sarcinii electrice suma sarcinilor din interiorul suprafeei trebuie s fie nul i dup aplicarea tensiunii UAB, deci: q1 + q2 = 0, sau: q1 = q2. Dar q1 = q i aplicnd legea conservrii sarcinii electrice pentru condensatoarele C2 i C3 apoi pentru C3 i C4, .a.m.d., rezult: q1 = q 2 = K = q k = K = q n = q .U AB =

Uk =1 n

n

k

,

sau, innd seama de relaia (2.8):U AB =

k =1

n

qk q = =q C k k =1 C k

Ck =1

n

1k

.

Deci:

13

q 1 U AB = = Ce q

Ck =1

n

1k

q

=

Ck =1

n

1k

.

(2.12)

2.1.5. Calculul reelelor de condensatoareO reea de condensatoare este alctuit din condensatoare i surse de tensiuni electromotoare conectate ntre ele ntr-un mod oarecare. Rezolvarea unei astfel de reele n regim electrostatic nseamn determinarea sarcinilor cu care se ncarc armturile condensatoarelor, respectiv tensiunile la bornele condensatoarelor cnd sunt cunoscute capacitile condensatoarelor i tensiunile electromotoare ale surselor. Pentru calculul reelelor de condensatoare se utilizeaz legea conservrii sarcinii electrice i teorema potenialului electrostatic. Din aplicarea legii conservrii sarcinii electrice rezult prima teorem a lui Kirchhoff pentru reele de condensatoare iar din aplicarea teoremei potenialului electrostatic rezult a doua teorem a lui Kirchhoff pentru reele de condensatoare.

2.1.6. Energia cmpului electrostaticPentru un sistem de n corpuri conductoare ncrcate cu sarcinile electrice qk i avnd potenialele Vk, energia cmpului electrostatic va fi:We = 1 2

q Vk k =1

n

k

(2.13)

Pentru cazul particular al unui condensator, energia cmpului electric din interiorul su va fi:

We =

2 1 (q1V1 + q 2V2 ) = 1 (qV1 qV2 ) = 1 qU = 1 CU 2 = 1 q 2 2 2 2 2 C

(2.14)

Se consider un condensator plan, cu distana dintre armturi, d, aria armturilor, S, S permitivitatea dielectricului i capacitatea : d

A 1.

+q

nq UAB

dl2 B

d

E

Fig. 2.5

Energia cmpului electric va fi:We = EESd 1 CU 2 SU 2 S (Ed ) = = = = DEVd 2 2d 2d 2 22

(2.15)

unde Vd = Sd reprezint volumul dielectricului. Se poate scrie, deci, c densitatea de volum a energiei cmpului electric este:we = 1 DE 2 (2.16)

i c energia cmpului ntr-un domeniu de volum V va fi:14

We =

1 D E dv 2

V

(2.17)

n expresia (2.17) a energiei cmpului electric intervin mrimile de stare a cmpului electric, indicnd astfel localizarea corect a energiei.

2.2. REGIMUL ELECTROCINETICElectrocinetica este ramura teoriei cmpului electromagnetic care se ocup de studiul strilor couductoarelor parcurse de cureni electrici de conducie, numite stri electrocinetice. Aceste stri sunt caracterizate de transformri energetice. n procesul conduciei au loc transformri de energie. Pentru meninerea cmpului electric n regim electrocinetic este necesar un consum continuu de energie care s compenseze energia degajat prin efect Joule-Lenz. Energia necesar meninerii cmpului electric poat fi obinut din alte forme de energie: chimic (pile, acumulatoare electrice), mecanic (generatoare electrice), termic (termoelemente) etc. Pentru meninerea curentului ntr-un circuit nchis este necesar ca circuitul respectiv s conin surse electromotoare care s compenseze energia transformat n cldur. Aceste surse produc un cmp electric imprimat Ei , iar integrala de linie a acestuia ntre dou puncte ale unui circuit reprezint tensiunea electromotoare ntre acele puncte, dac nu exist cmp electric solenoidal ( E s = 0 ).

2.2.1. Surse de tensiuni electromotoareSursele de tensiuni electromotoare imprimate se pot clasifica n funcie de energia primar pe care o transform n energie electromagnetic n: surse electrochimice i surse termoelectrice. Sursele electrochimice se mpart la rndul lor, n funcie de reversibilitatea reaciilor chimice care se produc n funcionarea lor, n: surse primare sau pile electrice, la care reaciile chimice nu sunt reversibile, i surse secundare sau acumulatoare, la care reaciile chimice sunt reversibile. Sursele electrochimice sunt constituite din doi electrozi diferii situai ntr-un electrolit, la suprafaa dintre electrozi i electrolit aprnd cmpuri electrice imprimate galvanice.

2.2.2. Legea conduciei electrice (legea lui Ohm)Pentru o poriune dintr-un conductor filiform parcurs de curent i n care se afl intercalat i o surs de cmp electric imprimat, (fig. 2.6), legea conduciei electrice se poate scrie:u f 12 + u ei12 = iR12 .Surs de cmp electric imprimat

(2.20)

Conductor filiform

J

n

1

dl

S

2

Fig. 2.6

n relaia (2.20) uf12 reprezint tensiunea electric n lungul firului ntre punctele 1 i 2, uei1215

reprezint tensiunea electromotoare a sursei de cmp electric imprimat iar R12 este rezistena electric a conductorului filiform ntre punctele 1 i 2. Dac seciunea este constant i conductorul omogen, rezistena va avea expresia:

R=

l . S

(2.21)

Capetele 1 i 2 ale poriunii de conductor filiform considerat se numesc borne. Tensiunea:

U 12 = V1 V2 = ub .se numete tensiune la borne. Deci:

(2.22)

u b + u e = Ri .Dac tensiunea electromotoare este nul (ue = 0) relaia (2.23) devine:

(2.23) (2.24)

u = ub = Ri.

unde u reprezint diferena de potenial dintre capetele conductorului sau cderea de tensiune pe rezistena R. Relaia (2.24) se numete legea lui Ohm pentru o poriune pasiv de circuit electric. n schemele electrice rezistena electric este reprezentat sub forma unui dreptunghi, iar sursa de tensiune electromotoare printr-un cerc cu o sgeat n sensul tensiunii electromotoare. Deci poriunea de conductor filiform din fig. 2.6 poate fi reprezentat ca n fig. 2.7. (Obs. Liniile de legtur ntre borna 1 i rezisten, ntre rezisten i surs, ntre surs i borna 2 se consider ca avnd rezistena nul).ue R i 1 ub Fig. 2.7

2

Unitatea de msur a rezistenei n SI este ohmul, simbol . Un conductor are rezistena de 1 dac la capetele sale apare o diferen de potenial de 1 V cnd este parcurs de un curent cu intensitatea de 1 A.1 = 1V . 1A

Unitatea de msur a rezistivitii este m. Se definete conductana electric. Aceasta este mrimea invers rezistenei electrice:

G=

1 . R 1 . 1

(2.25)

Unitatea de msur a conductanei este siemensul, simbol S. 1S =

Rezistivitatea electric este o constant de material a crei valoare depinde de temperatur.16

= 0 [1 + 0 ( 0 )] .

(2.26)

n relaia (2.26) reprezint rezistivitatea materialului la temperatura , iar 0 rezistivitatea la temperatura 0. este coeficientul de temperatur al rezistivitii la temperatura 0 i are valori pozitive la majoritatea metalelor i aliajelor, i negative la unele metale i aliaje (ex.: constantan), la crbune i electrolii. Rezistivitatea semiconductoarelor scade cu temperatura. La unele materiale, la temperaturi sczute (cteva grade Kelvin) rezistivitatea scade brusc la zero. Acest fenomen se numete supraconductibilitate.

2.2.3. Legea transformrii energiei n conductoare parcurse de curent electricPentru o poriune dintr-un conductor filiform parcurs de curent n care se afl intercalat o surs de cmp electric imprimat (fig. 2.6) puterea cedat conductorului de cmpul electromagnetic va fi: Pj = ui = Ri2 uei i.2

(2.27)

Termenul Ri = PJ reprezint puterea transformat ireversibil n cldur prin efect JouleLenz, i este ntotdeauna pozitiv. Termenul uei i poate fi pozitiv i atunci sursa de cmp electric imprimat cedeaz energie cmpului electromagnetic (ex.: un acumulator care se descarc), sau negativ cnd sursa de cmp electric imprimat primete energie de la cmpul electromagnetic (ex.: un acumulator care se ncarc). n schemele electrice cele dou situaii sunt reprezentate astfel (fig. 2.8):uei i

ueii > 0Fig. 2.8.

uei

i

ueii < 0

Efectul electrocaloric al curentului electric este utilizat: la iluminatul electric, n industria metalurgic la nclzirea electric n cuptoare cu rezisten, cu arc sau inducie, la sudura electric, la tratamente termice, la protecia contra curenilor de scurtcircuit prin sigurane fuzibile .a. nclzirea conductoarelor parcurse de cureni determin mbtrnirea i chiar distrugerea izolaiei acestora, creterea pierderilor n transportul energiei electromagnetice prin liniile aeriene etc.

Dar efectul electrocaloric prezint dezavantaje, printre care:

n cazul unui circuit electric cu dou borne de acces puterea primit pe la borne de acel circuit este: Pb = ui = (V1 V2) i, unde u = V1 V2 reprezint tensiunea la bornele circuitului. (2.28)

17

2.2.4. Circuite liniare n regim electrocinetic staionar (de curent continuu) a) Elemente de circuit, sensuri de referin Un circuit electric este un ansamblu de elemente prin care poate trece curent electric. Circuitul este deschis, dac are i o poriune izolant, i nchis, dac poriunea izolant a fost nlocuit cu una conductoare (care s permit trecerea curentului electric). Elementele circuitului electric de curent continuu (c.c.) sunt sursele de tensiune electromotoare (numite i elemente active) i rezistoarele (elementele de circuit care sunt complet caracterizate prin rezistena electric numite i elemente pasive). Circuitele electrice sunt liniare, dac parametrii elementelor lor sunt independeni de valorile curenilor i tensiunilor, i neliniare, dac depind de aceste valori. O reea electric este un ansamblu de circuite electrice conectate ntr-un mod oarecare. Din punct de vedere topologic elementele unei reele sunt laturile, nodurile i ochiurile. O latur este o poriune neramificat de reea cuprins ntre dou noduri. Numrul de laturi ale unei reele se noteaz cu l. Un nod este un punct de ntlnire a cel puin trei laturi cu excepia laturii nchise pe ea nsi care are ambele capete n acelai nod a crui poziie se alege arbitrar (latura nchis pe ea nsi formeaz un circuit). Numrul de noduri ale unei reele se noteaz cu n. Un ochi (o bucl) este o succesiune de laturi care formeaz o curb nchis. Un ochi este independent fa de un sistem de ochiuri dat al reelei, dac acel ochi conine cel puin o latur de reea care nu a fost coninut de celelalte ochiuri. Numrul de ochiuri independente (numite i fundamentale) ale unei reele se noteaz cu o. Euler a stabilit relaia dintre numerele de laturi, noduri i ochiuri independente ale unei reele: o = l n + 1. (2.29) Dac un circuit (o reea) are legturi cu exteriorul (cu un alt circuit) punctele de acces (de legtur) se numesc borne. n cazul cnd circuitul are dou borne de acces se numete circuit dipolar sau dipol, iar cnd are patru borne de acces se numete cuadripol.+

i

i

+

i

+ ri Pb ub ue _

ri ub ue _ a)

R

Pb ub

R

_ b) Fig. 2.9. c)

Un circuit electric simplu (fig. 2.9 a) poate fi realizat dintr-o surs de tensiune electromotoare (tensiunea electromotoare se noteaz uzual t.e.m.) caracterizat prin t.e.m., ue, i rezistena intern, ri, i dintr-un rezistor de rezisten R. Sursa cu rezistena sa intern pot fi considerate un dipol. La fel rezistorul. Prin legarea celor doi dipoli se realizeaz circuitul nchis. Curentul debitat de surs (numit i generator) iese prin borna pozitiv i intr prin borna18

negativ. Tensiunea la bornele sursei are sensul de la borna pozitiv nspre borna negativ. Aceast convenie de asociere a sensurilor se numete convenia de la generatoare (fig. 2.9 b). Curentul, care trece i prin rezistor, intr n acesta prin borna pozitiv i iese prin borna negativ. Tensiunea la bornele rezistorului are sensul de la borna pozitiv nspre borna negativ. Aceast convenie de asociere a sensurilor se numete convenia de la receptoare (fig. 2.9 c). b) Teoremele lui Kirchhoff Prima teorem a lui Kirchhoff Se consider un nod M al unei reele electrice (fig. 2.10).I1

.I4 I3

Ik

M

Fig. 2.10.

Relaia:

IkM

k

=0,

(2.30)

reprezint prima teorem a lui Kirchhoff i se enun astfel: Suma algebric a intensitilor curenilor din laturile care se ntlnesc ntr-un nod M este nul. Se consider cu un semn curenii care ies din nod i cu semn contrar cei care intr n nod. Se poate da i un enun echivalent primei teoreme a lui Kirchhoff. Suma curenilor care intr ntr-un nod al unei reele electrice este egal cu suma curenilor care ies din acel nod. A doua teorem a lui Kirchhoff Se consider un ochi (p) al unei reele electrice (fig. 2.11).Ue2 R2 I2 Ik (p) R1 I1 A Rk Uek

.

I3

R3

Ue3

.

B

.

.

Ubk

Fig. 2.11.

Relaia:k ( p )

U = R Iek k ( p )

k k

,

(2.31)

19

reprezint teorema a doua a lui Kirchhoff i se enun astfel: Suma algebric a tensiunilor electromotoare ale surselor din laturile unui ochi (p) este egal cu suma algebric a cderilor de tensiune pe rezistenele laturilor ochiului. Se consider cu semnul plus tensiunile electromotoare care au acelai sens cu sensul de parcurgere a ochiului i cu minus cele de sens contrar (n fig. 2.31 sensul de parcurgere a ochiului, ales arbitrar, este figurat printr-o sgeat curbat). Se consider cu semnul plus cderile de tensiune pe rezistenele prin care sensul curentului coincide cu sensul de parcurgere a ochiului i cu minus cele prin care curentul are sens contrar. c) Gruparea rezistoarelor. Rezistene echivalente Rezistoarele pot fi legate n serie, n paralel sau mixt. n multe probleme practice este util nlocuirea unei grupri de rezistoare cu un rezistor echivalent, nlocuire care s nu modifice repartiia curenilor i tensiunilor n restul reelei. Rezistena rezistorului echivalent este numit rezisten echivalent. Rezistena echivalent Re a unei poriuni de reea cu dou borne de acces este egal cu raportul dintre tensiunea aplicat la borne Ub i intensitatea I a curentului care intr printr-o born i iese prin cealalt (fig. 2.12).Re = Ub I

(2.32)

.Ub

ICircuit dipolar

.Ub

I Re

.

.Fig. 2.12

Rezistena echivalent a rezistoarelor legate n serie Se consider n rezistoare legate n serie (fig. 2.l3). Intensitatea curentului este aceeai prin toate rezistoarele.A I R1 U1

.

R2 U2

.

.

Rk

.

.

Rn

.

A

I

Ub B

Uk

Un

Ub B

Re =

Rk =1

n

k

Fig. 2.13

Tensiunea la bornele unui rezistor k este: U k = Rk I k = Rk I Aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff ochiului format din cele n rezistoare i linia tensiunii la borne se obine:Ub =

U = R I =I Rk k k k =1 k =1 k =1

n

n

n

k

20

Rezistena echivalent va fi:I U Re = b = I

Rk =1

n

k

I

=

Rk =1

n

k

(2.33)

Rezistena echivalent a n rezistoare legate n paralel. Se consider n rezistoare legate n paralel (fig. 2.14). I I1 I2 Ub R1 R2 Rk Ik Rn UbGe =

A

.

In

A

I

Gk =1

n

k

.B

B

Fig. 2.14

Tensiunile la bornele rezistoarelor sunt egale: U1 = U2 . . . = Uk = . . . = Un = Ub Intensitatea curentului printr-un rezistor k este:Ik = Uk Ub = Rk Rkn n

Aplicnd prima teorem a lui Kirchhoff n nodul A se obine:I=

Ik =k =1 k =1 n

n

Ub =U b Rk

Rk =1

1k

innd seama de relaia (2.32) se poate scrie:Ub

I 1 = = Re U b

Rk =1

1k

Ub

=

Rk =1

n

1k

(2.34)

tiind c mrimea G =

1 se numete conductan, relaia (2.34) devine: R

Ge =

Gk =1

n

k

(2.35)

d) Teorema conservrii energiei. Bilanul puterilor Puterea primit pe la borne de o latur k a unei reele este: Pbk = Ubk Ik (vezi relaia 2.28). n cazul unei reele izolate, suma puterilor primite pe la borne de toate cele l laturi ale reelei este nul.21

Pb totala =Uek Rk Ik 1 Ubk

Pk =1

l

bk

=0.

(2.36)

2

Fig.2.15.

Se consider c latura k are structura din fig. 2.15. Scriind legea conduciei pentru aceast latur se obine: U bk + U ek = Rk I k . Deci: U bk = Rk I k U ek . Puterea total primit pe la borne va fi:l l l

(2.37)

k =1

Pbk =

k =1

U bk I k =

(R Ik k =1 l k

2 k

U ek I k ) = 0 .

(2.38)

Din relaia (2.38) se obine:

k =1

l

U ek I k =

R Ik =1

2 k

.

(2.39)

Expresia (2.39) reprezint teorema conservrii puterilor pentru o reea de c.c. i se enun astfel: l Suma algebric a puterilor debitate de sursele unei reele U ek I k este egal cu suma k =1 l Rk I k2 . puterilor disipate prin efect Joule-Lenz n rezistenele reelei k =1

Termenii de forma UekIk vor fi pozitivi sau negativi dup cum sensul tensiunii electromotoare a sursei Uek i sensul curentului Ik coincid sau nu (vezi 2.2.3 i fig. 2.8). La rezolvarea circuitelor de c.c. rezultatele se verific efectund bilanul puterilor: se introduc valorile obinute n relaia (2.39) i dac egalitatea este ndeplinit rezultatele sunt corecte. e) Metode de rezolvare a reelelor liniare de c.c. Rezolvarea unei reele de c.c. reprezint n general determinarea intensitilor curenilor din laturi atunci cnd se cunosc valorile tensiunilor electromotoare ale surselor i valorile rezistenelor interne ale acestora precum i rezistenele rezistoarelor din circuit. Pentru rezolvarea reelelor de c.c. se pot folosi diverse metode: 1. 2. 3. 4. metoda aplicrii teoremelor lui Kirchhoff, metoda curenilor ciclici, metoda potenialelor de noduri, metoda generatorului de tensiune echivalent,22

5. 6.

metoda generatorului de curent echivalent, metoda superpoziiei.

n continuare se va prezenta metoda aplicrii teoremelor lui Kirchhoff. Etapele rezolvrii unei reele cu aceast metod sunt: determinarea numrului de laturi l, numrului de noduri n i numrului de ochiuri independente (fundamentale) o; alegerea de sensuri arbitrare pentru cureni i sensuri de parcurgere a ochiurilor fundamentale. (Dac n urma rezolvrii reelei rezult cureni negativi nseamn c sensul lor real este opus celui ales); aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff n n 1 noduri (o reea are n 1 noduri independente); aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff pentru fundamentale; cele o = l n + 1 ochiuri

rezolvarea sistemului de l ecuaii cu l necunoscute astfel obinut; verificarea rezultatelor obinute folosind una din urmtoarele metode: aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff n nodul nefolosit la scrierea ecuaiilor; aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff pe unul din ochiurile nefolosite la scrierea ecuaiilor; efectuarea bilanului puterilor.

Relaiile care se obin folosind oricare din aceste metode trebuie verificate de valorile mrimilor determinate prin calcul. Exemplu: Se consider reeaua din fig. 2.16. Se cer valorile intensitilor curenilor prin laturi. S se determine tensiunea UAB. Se cunosc: R1 = 12,5 ; R2 = 4 ; R3 = 2,5 ; Ue1 = 65V; ri1 = 2,5 ; Ue2 = 60V; ri2 = 1 ; Ue3 = 20V; ri3 = 0,5 . Ue1 ri1 I UAB I1 R1 A

.

R3 I2 Ue2 ri2 R2 I3 II Ue3 ri3

.B

Fig. 2.16

sensurile curenilor i sensurile de parcurgere a ochiurilor fundamentale sunt reprezentate n figur; se aplic prima teorem a lui Kirchhoff n nodul A: I1 + I2 = I3; se aplic teorema a doua a lui Kirchhoff n ochiurile I i II; Ue1 Ue2 = I1(R1 + ri1) I2(R2 + ri2); Ue2 Ue3 = I2(R2 + ri2) I3(R3 + ri3).

pentru rezolvarea sistemului se nlocuiesc valorile numerice cunoscute. Se obine:23

I1 + I2 = I3; 15 = 15I1 5I2; 30 = 5I2 + 3I3. se rezolv sistemul de ecuaii i se obin intensitile curenilor: I1 = 2A; I2 = 3A; I3 = 5A. se verific rezultatele obinute prin efectuarea bilanului puterilor:

Uk =1

l

ek k

I =

R Ik =1

l

2 k k

;

2 U e1I1 + U e 2 I 2 U e3 I 3 = ( R1 + ri1 ) I12 + ( R2 + ri 2 ) I 2 + ( R3 + ri 3 ) I 32 ;

652 + 503 205 = 154 + 59 + 325; 180 W = 180 W. Pentru determinarea tensiunii UAB se consider ochiul fictiv format din latura 1 i linia tensiunii la borne UAB. Se aplic teorema a doua a lui Kirchhoff pe acest ochi, considernd c sensul de parcurgere a ochiului este acelai cu cel adoptat pentru ochiul I: U e1 = I1 ( R1 + ri1 ) + U AB , deci: U AB = U e1 I1 ( R1 + ri1 ) = 65 2 15 = 35 V. Se poate verifica rezultatul obinut scriind teorema a doua a lui Kirchhoff pe ochiul fictiv format din latura 3 i linia tensiunii la borne UAB considernd sensul de parcurgere acelai cu cel adoptat pentru ochiul II: U e 3 = I 3 ( R3 + ri 3 ) U AB , deci: U AB = U e3 + I 3 ( R3 + ri 3 ) = 20 + 5 3 = 35 V.

2.3. REGIMUL ELECTRODINAMICElectrodinamica este ramura teoriei cmpului electromagnetic care se ocup de studiul fenomenelor electromagnetice n cele mai generale transformri, adic de studiul strilor electrice i magnetice variabile n timp. Relaiile fundamentale ale electrodinamicii sunt legile din teoria general a cmpului electromagnetic.2.3.1. Calculul tensiunilor electromotoare induse

Legea induciei electromagnetice prezentat n cap. 1 d expresia tensiunii electromotoare induse n lungul unui contur nchis (1.20): u e = d S dt , (2. 40)

Sensul de parcurgere a conturului se asociaz dup regula burghiului drept cu sensul normalei la suprafaa S.24

a) Calculul t.e.m. induse ntr-o spir dreptunghiular care se rotete ntr-un cmp magnetic omogen

ax

Bn

n

Fig. 2.17

b

Se consider o spir dreptunghiular (fig. 2.17) care se rotete cu viteza unghiular constant n jurul unei axe perpendiculare pe liniile cmpului magnetic omogen de inducie B .

Se calculeaz fluxul magnetic prin suprafaa S:S = B dS = B n dS = B cos dS = B cos dS = B cos ab .S S S S

Se consider c la momentul iniial = 0, deci = t + 0. De asemenea, n cazul general se poate presupune B = B(t). Introducnd expresia fluxului magnetic n relaia (2.40) se obine:u e =

d [ab B(t ) cos(t + 0 )] = ab B(t ) cos(t + 0 ) + ab B(t ) sin (t + 0 ) . dt tu e = ab B sin (t + 0 ) .

(2.41)

Dac B(t) = ct., tensiunea electromotoare indus va fi: (2.42)

i reprezint tensiunea electromotoare indus ntr-o spir a unui generator de curent alternativ. n relaia (2.42), abB = max reprezint fluxul fascicular maxim. Dac se va considera o bobin a unui generator de c.a. avnd w spire i scriind expresia vitezei unghiulare n funcie de turaia n msurat n rot/s ( = 2 n ) , tensiunea electromotoare indus ntr-o bobin va fi:

u e = w max 2 n sin (t + 0 ) = U e max sin (t + 0 ) . n practic se folosete valoarea eficace a mrimii sinusoidale care are expresia:

(2.43)

Ue =

U e max 2

=

w max 2 n 2

= 4,44 wn max .

(2.44)

b) Tensiunile electromotoare induse n nfurrile unui transformator monofazat Transformatorul electric este un aparat de curent alternativ care transform parametrii energiei electromagnetice. Energia electromagnetic este transferat din circuitul primar n circuitul secundar prin inducie electromagnetic. Tensiunile i intensitile curenilor din cele dou circuite sunt diferite. Tensiunile electromotoare induse n cele dou nfurri (primar i secundar) ale transformatorului se obin astfel: Circuitul primar este alimentat de la o surs de tensiune alternativ Prin bobina primar cu w1 spire trece un curent alternativ, i1. Acest curent determin un flux magnetic fascicular alternativ (numit flux inductor).25

Deoarece att bobina primar ct i cea secundar (cu w2 spire) sunt situate pe un miez din material feromagnetic (vezi fig. 2.18), i spirele nfurrii secundare sunt traversate de acelai flux fascicular.21 u = 12 + 21

i1 12 12 21

i2

w1

w2

Fig. 2.18.

Fluxul fascicular variabil n timp induce n nfurarea secundar o tensiune electromotoare. Dac circuitul secundar este nchis (bobina secundar este legat la un receptor) i bobina secundar va fi parcurs de un curent alternativ, i2. Acest curent produce un flux fascicular alternativ (numit flux de reacie). i acest flux traverseaz att spirele bobinei (nfurrii) secundare ct i spirele bobinei (nfurrii) primare. Deci prin miezul transformatorului va exista un flux magnetic fascicular rezultant alternativ(u din fig. 2.18). Expresia acestui flux poate fi scris sub forma: = max cos( t + 0 ) .

(2.45)

Fluxul rezultant induce n nfurarea primar tensiunea electromotoare primar:u e1 = d 1 d( w1 ) = w1 max sin(t + 0 ) = U e1 max sin(t + 0 ) = 2U e1 sin(t + 0 ) , = dt dt

(2.46) iar n nfurarea secundar tensiunea electromotoare secundar:ue 2 = d 2 d( w2 ) = w2 max sin(t + 0 ) = U e 2 max sin(t + 0 ) = 2U e 2 sin(t + 0 ) (2.47) = dt dt

Raportul dintre t.e.m. primar i secundar se numete raport de transformare (k) i este egal cu raportul numerelor de spire ale celor dou nfurri.k= u e1 w1 max sin(t + 0 ) w1 . = = u e 2 w2 max sin(t + 0 ) w2

(2.48)

2.3.2. Proprietile magnetice ale corpurilor n expresia legii magnetizaiei temporare a fost introdus o constant de material numit susceptivitate magnetic, m. n funcie de valorile lui m, materialele se clasific n materiale diamagnetice ( m< 0) i materiale paramagnetice ( m > 0). Dintre materialele paramagnetice cele mai importante sunt materialele feromagnetice care au r = 1 + m >> 1. La materialele feromagnetice susceptivitatea magnetic depinde de intensitatea cmpului magnetic, iar dependena dintre inducia magnetic i intensitatea cmpului magnetic are forma unei bucle numit bucl de histerezis sau ciclu histerezis (fig. 2.19). Aceste proprieti ale materialelor feromagnetice se pierd dac temperatura depete o anumit valoare, numit temperatur Curie sau punct Curie. La fier, temperatura Curie este de 77026

C, la nichel de 360 C iar la cobalt de 1120 C.B B A Br . -Hc. E D H H

.G O HcF. -Br

C

Fig. 2.19.

Fig. 2.20.

Dac intensitatea cmpului magnetic variaz periodic cu o anumit frecven, ciclul de histerezis obinut se numete ciclu de histerezis dinamic, forma i dimensiunile sale modificndu-se odat cu frecvena (se produce o cretere a limii buclei histerezis cu creterea frecvenei). Pentru demagnetizarea unui material feromagnetic acesta este introdus ntr-un cmp magnetic alternativ a crui amplitudine se micoreaz continuu de la valoarea corespunztoare saturaiei pn la zero, descriindu-se cicluri de histerezis deschise (fig. 2.20). Materialele feromagnetice se pot mpri n materiale feromagnetice moi i materiale feromagnetice dure. Materialele feromagnetice moi au valori mari ale permeabilitii magnetice relative i ciclu de histerezis ngust (Hc mic). Din aceast categorie fac parte fierul i aliaje ca: permalloy (78,5% Ni; 21,5% Fe), supermalloy (79% Ni; 15,5% Fe; 5% Mo; 0,5% Mn), tabl electrotehnic cu 4% Si, ferit mangan-zinc etc. Materialele feromagnetice moi se folosesc la realizarea circuitelor magnetice ale mainilor i aparatelor electrice. Materialele feromagnetice dure au valori mici ale permeabilitii magnetice relative i un ciclu de histerezis de arie mare (Br i Hc mari). Din aceast categorie fac parte oelul cu l% C, alnico (12% Al; 20% Ni; 5% Co; 63% Fe), ferit bariu, ferit stroniu etc. Materialele feromagnetice dure se folosesc la realizarea magneilor permaneni. 2.3.3. Circuite magnetice O succesiune de corpuri feromagnetice separate eventual prin spaii de aer numite ntrefieruri, care permite nchiderea liniilor cmpului magnetic, formeaz un circuit magnetic. Corpurile feromagnetice pot fi prevzute cu bobine. Feele care mrginesc ntrefierul se numesc poli: polul nord (N) prin care liniile cmpului magnetic ies din materialul feromagnetic (miez) i polul sud (S) prin care liniile cmpului magnetic intr n materialul feromagnetic. Pentru calculul circuitelor i reelelor magnetice se folosesc legea fluxului magnetic i legea circuitului magnetic. a) Legea lui Ohm pentru circuite magnetice Se consider o poriune neramificat dintr-un circuit magnetic pe care nu este dispus nici o bobin (fig. 2.21).

27

dl H1. S1 Fig. 2.21.

2 .

S S2

Tensiunea magnetic (este definit ca integrala de linie a vectorului H n lungul unei curbe ntre dou puncte) dintre punctele 1 i 2 calculat n lungul unei linii de cmp va fi:

u m12 = H dl = H dl1 1

2

2

(2.49)

Dar H =

B i, considernd cmpul magnetic uniform repartizat n seciunea miezului,

B=

, astfel c relaia (2.49) devine: S u m12 =

1

2

B dl = dl S

1

2

(2.50)

Aplicnd legea fluxului magnetic suprafeei nchise format din suprafaa lateral a poriunii de circuit considerate i suprafeele S1 i S2 rezult c fluxul magnetic este acelai n orice seciune a poriunii de circuit neramificate. Relaia (2.50) va deveni:

u m12 = Mrimea:

S1

2

dl

(2.51)

Rm12 =

1

2

dl S

(2.52)

se numete reluctan magnetic. Dac poriunea de circuit are seciunea constant i este realizat din acelai material, ( = ct.), expresia reluctanei magnetice va fi: l , (2.53) Rm = S unde l este lungimea poriunii de circuit considerate. innd seama de relaiile (2.51) i (2.52) se obine:

Um = Rm.relaie care reprezint legea lui Ohm pentru circuite magnetice.

(2.54)

b) Teoremele lui Kirchhoff pentru reele magnetice O reea magnetic este un ansamblu de circuite magnetice conectate ntre ele ntr-un mod oarecare.28

Elementele unei reele magnetice sunt laturile, nodurile i ochiurile. Laturile sunt poriuni neramificate ale unei reele magnetice cuprinse ntre dou noduri. Nodurile sunt puncte de ntlnire a cel puin trei laturi. Ochiurile sunt contururi nchise formate din laturi ale reelei. Pentru rezolvarea reelelor magnetice se utilizeaz teoremele lui Kirchhoff care pot fi stabilite i pe baza analogiei dintre reelele magnetice i reelele de curent continuu. Corespondena ntre mrimile caracteristice reelelor de c.c. i mrimile caracteristice reelelor magnetice se poate stabili chiar de la legea lui Ohm pentru circuite magnetice (2.54), care este o relaie analog legii lui Ohm scris pentru o poriune pasiv de circuit de curent continuu:

u = iR.Circuit de curent continuu Circuit magnetic

tensiune electric intensitate a curentului rezisten electric tensiune electromotoare

u [V] i [A]R= l [ ] S

tensiune magnetic flux magnetic fascicular reluctan magnetic tensiune magnetomotoare

um [A] [Wb]Rm = l [A/Wb] S

ue [V]

umm = [A]

Se poate desena i o schem echivalent unei reele magnetice cu simboluri utilizate n schemele de curent continuu. Teoremele lui Kirchhoff pentru reele magnetice sunt: a) Prima teorem:k( M )

k

= 0.

(2.55)

Suma algebric a fluxurilor magnetice fasciculare din laturile care se ntlnesc ntr-un nod M al unei reele magnetice este nul. Se consider cu semnul plus fluxurile care ies din nod i cu semnul minus cele care intr n nod (se poate face i convenia de semne invers). Prima teorem a lui Kirchhoff se poate deduce aplicnd legea fluxului magnetic pe o suprafa nchis care nconjoar nodul M al reelei magnetice. b) A doua teorem:

= Rk k( p ) k( p )

mk

k .

(2.56)

Suma algebric a solenaiilor laturilor care aparin ochiului (p) este egal cu suma algebric a cderilor de tensiune magnetic Rmkk pe laturile ochiului (p) al reelei magnetice. Se consider cu semnul plus solenaiile care au acelai sens cu sensul de parcurgere a ochiului i cu semnul minus cele de sens contrar. Se consider cu semnul plus cderile de tensiune magnetic Rmkk dac sensul fluxului fascicular k coincide cu sensul de parcurgere a ochiului i cu minus n caz contrar. A doua teorem a lui Kirchhoff poate fi demonstrat aplicnd legea circuitului magnetic pe conturul nchis pe care-l reprezint ochiul (p) al reelei magnetice.29

Ca i n cazul reelelor de curent continuu, cu prima teorem a lui Kirchhoff se pot scrie n l relaii independente, iar cu cea de-a doua, o = l n + 1 relaii independente. Cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff pot fi determinate i reluctanele magnetice echivalente unei legri n serie sau n paralel a unor reluctane magnetice, dar ele pot fi scrise i direct, pe baza analogiei cu rezistenele echivalente unor grupri de rezistene similare. n cazul circuitelor (reelelor) magnetice se pot pune dou tipuri de probleme: fie determinarea fluxurilor magnetice fasciculare din laturile reelei cnd se cunosc solenaiile, fie determinarea solenaiilor necesare pentru producerea anumitor fluxuri magnetice n laturile reelei. Rezolvarea acestor probleme n cazul circuitelor magnetice liniare (la care permeabilitatea magnetic nu depinde de intensitatea cmpului magnetic) se face utiliznd teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice. n cazul circuitelor magnetice neliniare (la care dependena dintre B i H nu este liniar) rezolvarea se poate face pe cale grafic sau utiliznd calculatoarele electronice.2.3.4. Inductane Se consider dou bobine avnd w1 respectiv w2 spire (fig. 2.22). Prima bobin este parcurs de un curent i1. O parte din liniile cmpului magnetic produse de circuitul (bobina) 1 parcurs de curentul i1 trec i prin suprafaa circuitului (bobinei) 2. Se noteaz 21, fluxul fascicular produs de circuitul 1 printr-o spir a circuitului 2, numit i flux util i 21 fluxul produs de curentul din circuitul 1 care nu trece prin suprafaa circuitului 2, numit flux de scpri sau de disperisie. Fluxul 11 va fi ntotdeauna pozitiv iar fluxul 21 va avea semnul determinat de normala la suprafaa circuitului (bobinei) 2. Astfel, va fi pozitiv dac B1 n2 > 0 i negativ dac B1 n2 < 0 , B1 fiind inducia cmpului magnetic produs de curentul i1, iar n2 normala la suprafaa circuitului (bobinei) 2. n figura 2.22 s-a reprezentat cu o sgeat punctat sensul de parcurgere a circuitului 2 care determin sensul normalei n2 . Pentru acest sens fluxul 21 rezult pozitiv.

21 11

B1i1 w1

n2w2

21 Fig. 2.22.

ntre fluxurile 11, 21 i 21 exist relaia:30

11 = |21| + 21.

(2.57)

Se definete inductana proprie a circuitului 1 ca raport ntre fluxul total nlnuit de acest circuit i intensitatea curentului care a produs fluxul:L11 = 11 w111 >0. = i1 i1

(2.58)

Se definete inductana mutual dintre circuitele 2 i 1 ca raport ntre fluxul total nlnuit de circuitul 2 i intensitatea curentului care a produs fluxul:L21 = 21 w2 21 i poate fi > 0, < 0 sau = 0. = i1 i1 21 w1 21 = . i1 i1

(2.59)

Inductana de scpri a circuitului 1 fa de circuitul 2 va fi:L 21 =

(2.60)

Se pot defini analog i inductanele L22, L12 i L12 fcnd ipoteza i1 = 0; i2 0. n cazul general a n circuite parcurse de cureni, situate ntr-un mediu liniar, fluxul total nlnuit de un circuit va fi suma fluxurilor totale determinate de fiecare curent din cele n circuite. Astfel: 1 = 11 + 12 + + 1n = L11i1 + L12i2 + + L1nin 2 = 21 + 22 + + 2n = L21i1 + L22i2 + + L2nin . . . n = n1 + n2 + + nn = Ln1i1 + Ln2i2 + + Lnnin. Relaiile (2.61) sunt relaiile lui Maxwell pentru inductane. Inductana proprie a circuitului j se noteaz Ljj i are expresia: (2.61)

L jj =

jj ij

>0.

(2.62)

Inductana mutual dintre circuitul j i circuitul k se noteaz Ljk i are expresia: L jk = jk iki poate fi > 0, < 0 sau = 0.

(2.63)

n expresia inductanei mutuale, primul indice se refer la circuitul care nlnuie fluxul, iar al doilea indice la circuitul prin care trece curentul care produce fluxul. n cazul mediilor liniare este valabil teorema reciprocitii: Ljk = Lkj. (2.64) Pentru cele dou bobine dispuse pe miezul feromagnetic din figura 2.18, utiliznd relaiile lui Maxwell pentru inductane, se poate scrie:1 = 11 + 12 = L11i1 + L12i2, 2 = 21 + 22 = L21i1 + L22i2.

Unitatea de msur pentru inductane este henry-ul, simbol H.31

Pentru introducerea acestei uniti se folosete relaia de definiie a inductanei:

L=

. i

(2.65)

Un henry este inductana unui circuit parcurs de un curent cu intensitatea de 1 A care produce un flux magnetic de 1 Wb printr-o suprafa deschis ce se sprijin pe conturul circuitului:

1H =

1Wb . 1A

(2.66)

n continuare se va calcula inductana bobinei unui electromagnet, utiliznd relaia de definiie a inductanei.i1

= wi

w S

Rm1

linie de cmp magnetic

l1

Rm l2 S a)2 Fig. 2.23

Rm

Rm2b)

Se consider electromagnetul din figura 2.23 a. Att armtura fix (1) ct i armtura mobil (2) sunt realizate dintr-un material feromagnetic liniar de permeabilitate magnetic . Dimensiunile geometrice sunt precizate n figur. Schema echivalent a circuitului magnetic din figura 2.23 a este reprezentat n figura 2.23 b. Aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff ochiului pe care-l reprezint circuitul, se poate scrie: = wi = (Rm1 + 2Rm + Rm2) = Rme,

de unde rezult fluxul fascicular := wi . Rme

(2.67)

Dar, conform definiiei, inductana bobinei va fi: L= w w 2 = = . i i Rmel + 2 r l1 l . +2 + 2 = Fe 0 S S S S

(2.68)

Reluctana magnetic echivalent are expresia:Rme = Rm1 + 2 Rm + Rm 2 =

(2.69)

unde lFe = l1 + l2 este lungimea liniei de cmp care trece prin materialul feromagnetic. Expresia inductanei va fi:32

L = w2

S . l Fe + 2 r

(2.70)

2.3.5. Energia cmpului magnetic. Fore a) Energia cmpului magnetic produs de un sistem de n circuite parcurse de cureni electrici Unul dintre aceste circuite, cu rezisten i inductan, denumit i circuit R,L, alimentat pe la borne cu o tensiune ub (fig. 2.24)este parcurs de curentul electric cu intensitatea i. Suprafaa deschis care se sprijin pe curba nchis considerat n lungul conductorului circuitului i al liniei tensiunii la borne este traversat de un flux magnetic rezultant. Acest flux este, n cazul general, determinat att de curentul din circuitul considerat ct i de curenii care circul prin celelalte circuite.A i

R

ub

L

B

Fig. 2.24.

Energia cmpului magnetic produs de sistemul celor n circuite va fi:

Wm =

1 2

k =1

n

ik k =

1 2

i i Lk j k =1 j =1

n

n

kj

.

(2.71)

Energia cmpului magnetic produs de un singur circuit (o singur bobin) va fi:Wm = 1 2 Li . 2

(2.72)

n cazul a dou circuite parcurse de cureni energia cmpului magnetic va fi:Wm = 1 1 2 L11i12 + L22i2 + L12i1i2 . 2 2

(2.73)

La scrierea acestei relaii s-a inut seama de teorema reciprocitii (4.44) b) Energia cmpului magnetic exprimat n funcie de mrimile de stare a cmpului magnetic Dac se aplic expresia (2.72) la calculul energiei cmpului magnetic produs de un solenoid parcurs de curent se poate scrie succesiv:Wm = 1 2 1 w 2 S 2 1 w 2 i 2 1 1 Li = i = Sl = HBV = H B V , 2 2 2 l 2 l 2 2 (2.74)

unde V este volumul domeniului n care exist cmp magnetic (s-a considerat c Hext = 0). Se poate defini o densitate de volum a energiei cmpului magnetic (valabil i pentru medii neliniare):wm = 1 BH . 2

(2.75)

Energia cmpului magnetic n funcie de mrimile de stare a cmpului magnetic va avea expresia:Wm = 1 B Hdv . 2

V

(2.76)

33

unde V este volumul domeniului n care se afl cmp magnetic. Relaia (2.76) este valabil att n regim staionar ct i n regim nestaionar. c) Teoremele forelor generalizate n cmpul magnetic n cmpul magnetic forele exercitate asupra unor corpuri sau asupra unor conductoare parcurse de cureni au valori mari n comparaie cu forele electrostatice. Calculul acestor fore se poate face utiliznd teoremele forelor generalizate. Fora generalizat X, corespunztoare coordonatei generalizate x, care acioneaz pe direcia i n sensul creterii coordonatei generalizate, este egal cu derivata parial a energiei cmpului magnetic (exprimat n funcie de fluxuri i coordonate generalizate) n raport cu coordonata generalizat, luat cu semn schimbat, la fluxuri magnetice constante: Wm X = . x k =ct

(2.77)

Relaia (2.77) reprezint prima teorem a forelor generalizate n cmpul magnetic. Fora generalizat X, corespunztoare coordonatei generalizate x, care acioneaz pe direcia i n sensul creterii coordonatei generalizate, este egal cu derivata parial a energiei cmpului magnetic (exprimat n funcie de cureni i coordonate generalizate) n raport cu coordonata generalizat, la cureni constani: Wm X = x . ik =ct

(2.78)

Relaia (2.78) reprezint a doua teorem a forelor generalizate n cmpul magnetic. Mrimile k, i ik pot avea o variaie oarecare, condiiile ca k = ct. i ik = ct. care apar n cele dou teoreme indic faptul c sunt constante la calculul derivatelor pariale. Dac n urma efecturii calculelor fora generalizat rezult negativ, nseamn c ea acioneaz n sensul micorrii coordonatei generalizate. Un exemplu de aplicare a teoremelor forelor generalizate l constituie calculul forei portante a unui electromagnet.Se consider electromagnetul din figura 2.25 cu armtura fix 1 i armtura mobil 2. Spaiul dintre cele dou armturi este ntrefierul care are limea . Bobina cu w spire este dispus pe armtura fix i este parcurs de curentul cu intensitatea i. Cmpul magnetic produs de acest curent exercit asupra armturii mobile o for numit fora portant a electromagnetului.i

w S

Pentru calculul forei portante este necesar s se exprime energia cmpului magnetic n funcie de intensitatea curentului i i de coordonata generalizat, care este chiar limea ntrefierului (x = ). Wm =l1

X =F

1 2 1 w 2 Si 2 Li = . 2 2 l1 + l 2 + 2 r

(2.79)

La scrierea relaiei (2.79) s-a folosit expresia (2.70) a inductanei bobinei electromagnetului. Fora generalizat va fi:

S

l2

Fig. 2.25.

Wm w 2 Si 2 1 = (2 r ) . X = 2 i =ct 2 (l1 + l 2 + 2 r ) 34

(2.80)

Fora tinde s micoreze coordonata generalizat, deci apropie armtura mobil de cea fix.

3. CIRCUITE ELECTRICE N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL3.1. CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV MONOFAZAT3.1.1. Elemente, definiii Circuitele electrice sunt alctuite din surse i receptoare de energie electric, conectate ntre ele prin conductoare. Dup variaia n timp a mrimilor electrice, circuitele electrice pot fi: de curent continuu (notat uzual c.c. i simbolizat ) i de curent alternativ (notat uzual c.a.), dintre care cele mai utilizate sunt cele n regim sinusoidal (simbolizat ~), monofazate (simbolizate 1~) i trifazate (simbolizate 3~). Elementele unui circuit sunt rezistoarele, bobinele i condensatoarele, caracterizate de parametrii: rezisten, inductan i capacitate. Circuitele electrice sunt liniare, dac parametrii care caracterizeaz elementele de circuit nu depind de mrimile electrice (cureni, tensiuni) i neliniare, dac depind de aceste mrimi. Parametrii circuitelor pot fi concentrai sau distribuii. n cele mai multe situaii parametrii pot fi considerai concentrai. Se numete mrime sinusoidal (fig. 3.1) mrimea periodic a crei variaie n timp este descris de o funcie sinusoidal de timp: a(t) Amax

t

TFig. 3.1.

a = Amax sin(t + ) , unde: a este valoarea instantanee a mrimii sinusoidale, Amax valoarea maxim sau amplitudinea mrimii sinusoidale, pulsaia mrimii sinusoidale i faza iniial a mrimii sinusoidale msurat n radiani. Faza iniial ia valori cuprinse n intervalul [/2, /2],35

(3.1)

t + faza mrimii sinusoidale msurat n radiani,

Valoarea medie pe o perioad a unei mrimi sinusoidale este nul. Valoarea eficace a unei mrimi sinusoidale, A, este:T

1 A= T

0

2 Amax sin 2 (t + ) dt =

Amax 2

.

(3.2)

innd seama de relaia (3.2), expresia (3.1) a mrimii sinusoidale devine:a = A 2 sin(t + ) ,

(3.3)

numit i forma normal n sinus. Se numete defazaj diferena ntre fazele a dou mrimi sinusoidale. n cazul mrimilor sinusoidale de aceeai pulsaie defazajul este egal cu diferena fazelor iniiale ale mrimilor respective luate n ordinea dat. Fie mrimile sinusoidale a1 i a2:a1 = A1 2 sin( t + 1 ) ; a 2 = A2 2 sin( t + 2 ) .

Defazajul 12 ntre mrimea a1 i mrimea a2 va fi: 12 = 1 2. n funcie de valorile lui 12, cele dou mrimi pot fi: n faz: 12 = 0 (fig. 3.2 a); mrimea a1 defazat naintea mrimii a2: 12 > 0 (fig. 3.2 b); mrimea a1 defazat n urma mrimii a2: 12 < 0 (fig. 3.2 c); n opoziie de faz: 12 = (fig. 3.2 d); n cuadratur: 12 = a1 a2 t 1 2 12 = 0 a) a1 a2 t 1 2 12 = c)36

(fig. 3.2 e). 2

a1 a2 t 12 > 0 2 1 b) a1 a2

t

2 1 12 < 0

d)

a1 a2 t 212 = 2

1 e)Fig. 3.2.

3.1.2. Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale Se observ c n cazul mrimilor sinusoidale de aceeai pulsaie (frecven) o mrime este complet caracterizat prin dou valori scalare: valoarea eficace i faza iniial. Un numr complex este caracterizat de asemenea prin dou valori scalare: modulul i argumentul su. Se poate deci asocia unei mrimi sinusoidale un numr complex care se numete imaginea n complex a mrimii sinusoidale respective:a = A 2 sin(t + )

A = Ae j .

(3.4)

Din relaia (3.4) se observ c modulul A al numrului complex A este egal cu valoarea eficace a mrimii sinusoidale a iar argumentul al numrului complex este egal cu faza iniial a mrimii sinusoidale. n planul complex numrului complex A i se poate asocia un vector numit fazor care are modulul egal cu modulul numrului complex, originea n originea axelor, iar unghiul pe care-1 face cu axa real egal cu argumentul numrului complex (fig. 3.3).

+jA

+jA2

A1 + A2

A sin

A 2

A11Fig. 3.4.

+1

A cosFig. 3.3.

+1

Corespondena n complex a operaiilor cu mrimi sinusoidale: a) Adunarea a dou mrimi sinusoidale are drept corespondent n complex adunarea imaginilor n complex ale celor dou mrimi: a1 + a2 (3.5) A1 + A 2 . n planul complex adunarea are drept corespondent nsumarea vectorial a celor doi fazori (fig. 3.4). b) nmulirea cu un scalar a mrimii sinusoidale are drept corespondent n complex nmulirea cu scalarul respectiv a imaginii n complex a mrimii sinusoidale:37

a (3.6) A . n planul complex, nmulirea cu un scalar are drept corespondent creterea modulului fazorului corespunztor de ori, iar n cazul < 0, i rotirea fazorului cu unghiul (fig. 3.5 a i 3.5 b): +j +j

AA

>0 +1

A

0, < 0 sau = 0.39

Impedana, rezistena i reactana au ca unitate de msur n SI ohmul, simbol . Se definete admitana Y a circuitului ca fiind egal cu raportul valorilor eficace ale intensitii curentului absorbit i tensiunii aplicate la bornele circuitului, deci egal cu inversul impedanei:Y= I 1 = . U Z

(3.15)

Se definete conductana G a circuitului ca fiind egal cu:G= I cos = Y cos 0 , UI sin = Y sin , U

(3.16)

Se definete susceptana B a circuitului:B=

(3.17)

care poate fi > 0, < 0 sau = 0. Admitana, conductana i susceptana au ca unitate de msur n SI siemensul, simbol S. Din relaiile (3.11) (3.17) se observ c perechile de mrimi care caracterizeaz circuitul nu sunt independente. Se definete impedana complex a circuitului ca fiind egal cu raportul imaginilor n complex ale tensiunii aplicate i intensitii curentului absorbit:Z= U . I

(3.18)

tiind c: U = Ue j i I = Ie j , impedana Z va fi:Z= U Ue j U j(-) = j = e = Ze j = Z cos + jZ sin = R + jX . I Ie I

(3.19)

3.1.4. Puteri n circuite de curent alternativSe consider circuitul din Fig. 3.8. Puterea absorbit pe la borne de circuitul respectiv este:p = ui.

(3.20)

Expresia (3.20) este expresia puterii instantanee absorbite de circuitul respectiv pe la borne. Se consider:u = U 2 sin t ,

(3.21) (3.22)

i = I 2 sin(t ) .

Introducnd expresiile (3.21) i (3.22) n relaia (3.20) se obine:p = U 2 sin t I 2 sin(t ) = UI cos UI cos( 2t ) .

(3.23)

Se observ c puterea instantanee are o component constant n timp i o component cu o variaie armonic de pulsaie dubl fa de pulsaia tensiunii, respectiv intensitii curentului. n40

Fig. 3.9 este reprezentat variaia n timp a tensiunii, curentului i puterii instantanee pentru circuitul dipolar considerat. Valoarea medie pe o perioad sau pe un numr ntreg de perioade a puterii instantanee se numete putere activ, P, i are expresia:P = UI cos 0,

(3.24)

care se mai poate scrie:P = UI cos = RI2.

(3.25)

Unitatea de msur n SI a puterii instantanee i a puterii active este wattul, simbol W.p u i

t

Fig. 3.9.

Puterea aparent, S, a unui circuit dipolar este egal cu produsul valorilor eficace ale tensiunii aplicate i intensitii curentului absorbit: S = UI,

(3.26)

care se mai poate scrie:S = UI = ZI2.

(3.27)

Puterea aparent este indicat pe plcua de fabricaie a mainilor i aparatelor electrice. Puterea aparent caracterizeaz dimensiunile unei maini sau ale unui aparat pentru c U determin grosimea izolaiei iar I determin dimensiunile seciunii conductoarelor. Unitatea de msur n SI a puterii aparente este voltamperul, simbol VA.Puterea reactiv, Q, a unui circuit dipolar este egal cu produsul dintre valorile eficace ale tensiunii aplicate, intensitii curentului absorbit i sinusul unghiului de defazaj dintre tensiune i intensitatea curentului: Q = UI sin,

(3.28)

care se mai poate scrie:Q = UI sin =XI2,

(3.29)

i poate fi > 0, < 0, = 0. Considernd convenia de asociere a sensurilor de la receptoare, atunci cnd Q > 0 puterea reactiv este primit de circuitul dipolar iar cnd Q < 0, puterea reactiv este cedat de circuitul dipolar. Unitatea de msur n SI a puterii reactive este voltamper reactiv, simbol VAr.41

Se numete factor de putere, kp, raportul dintre puterea activ i puterea aparent:kp = P . S

(3.30)

n regim permanent sinusoidal, factorul de putere rezult:kp = cos.

(3.31)

Se definete puterea aparent complex a unui circuit dipolar ca fiind egal cu produsul dintre imaginea n complex a tensiunii aplicate i imaginea n complex a intensitii curentului, conjugat:S =U I ,*

(3.32)

unde I este conjugatul numrului complex I . tiind c: U = Ue j i I = Ie j , I = Ie -j , puterea aparent complex va fi:*

*

S = Ue j Ie -j = UIe j(-) = Se j = S cos + jS sin = P + jQ ,

(3.33)

care se mai poate scrie:S = U I = Z I I = Z I 2 = ( R + jX ) I 2 = RI 2 + jXI 2 = P + jQ .* *

(3.34)

3.1.5. Rezolvarea unor circuite simple de c.a. Se vor considera circuite dipolare simple care conin elemente de circuit ideale (rezistoarele au numai rezisten, bobinele au numai inductan, condensatoarele au numai capacitate), liniare, cu parametrii concentrai. La bornele fiecrui circuit se aplic o tensiune sinusoidal u care are expresia:

u = U 2 sin(t + ) . Intensitatea curentului absorbit va avea expresia:

(3.35)

(3.36) i = I 2 sin(t + ) . Se pune problema determinrii valorii eficace I i fazei iniiale ale intensitii curentului absorbit atunci cnd se cunosc tensiunea aplicat i parametrii elementelor circuitului. Pentru determinarea intensitii curentului trebuie stabilit relaia de legtur ntre intensitate i tensiune. n acest scop se aplic legea induciei electromagnetice pe curba nchis format din conturul circuitului dipolar considerat i linia tensiunii la borne (fig. 3.10, 3.12, 3.14). Prin rezolvarea ecuaiilor astfel stabilite se obine intensitatea curentului. Observaie Rezolvarea ecuaiilor se poate face att n instantaneu (utiliznd valorile instantanee ale mrimilor sinusoidale) ct i n complex (utiliznd imaginile n complex ale mrimilor sinusoidale).a) Circuitul cu rezistor ideal (fig. 3.10) R 0 ; L = 0; C = 0 i Dup aplicarea legii induciei electromagnetice rezult A ecuaia: u R u = Ri . (3.37) Se obine: B u U 2 sin(t + ) i= = Fig. 3.10. R R42

Valoarea eficace I i faza iniial ale intensitii curentului absorbit sunt: U I = ; = ; Z = R; = 0. R Tensiunea la bornele rezistorului, uR = u, este n faz cu intensitatea i a curentului prin rezistor (fig. 3.11):

u i

t =0 Puteri:U2 ; Q = UI sin = 0 ; S = P. R Rezistorul ideal absoarbe numai energie activ. P = UI cos =Fig. 3.11.

b) Circuitul cu bobin ideal (fig. 3.12) R = 0; L 0 ; C = 0

Au

i L

Dup aplicarea legii induciei electromagnetice rezult ecuaia: di (3.38) u=L . dt Se obine: U 2 sin(t + - ) 2 . L

B Fig. 3.12.

1 i= u dt = L

Valoarea eficace I i faza iniial ale intensitii curentului absorbit sunt: U ; = - ; Z = L = XL (reactan inductiv); = . I= L 2 2 Tensiunea la bornele bobinei ideale, uL = u, este defazat nainte cu fa de intensitatea 2 i a curentului prin bobin (fig. 3.13):

u i

t = 2

Fig. 3.13.

43

Puteri:P = UI cos = 0 ; Q = UI sin = U2 ; S = Q. L

Bobina ideal absoarbe numai energie reactiv.c) Circuitul cu condensator ideal (fig. 3.14) R = 0; L = 0; C 0

Au

i

C

Dup aplicarea legii induciei electromagnetice i a legii conservrii sarcinii electrice rezult ecuaia: 1 u = id t (3.39) C

B Fig. 3.14.

Se obine:i=C

du = CU 2 sin t + + . 2 dt

Valoarea eficace I i faza iniial ale intensitii curentului absorbit sunt: 1 I = CU ; = + ; Z = = XC (reactan capacitiv); = . 2 C 2 Tensiunea la bornele condensatorului ideal, uC = u, este defazat n urm cu fa de 2

intensitatea i a curentului prin condensator (fig. 3.15): ui

t = 2

Fig. 3.15.

Puteri:P = UI cos = 0 ; Q = UI sin = CU 2 ; S = |Q|. Condensatorul ideal debiteaz energie reactiv.

d) Circuitul serie R, L, C Se consider circuitul dipolar (fig. 3.16), obinut prin nserierea unul rezistor ideal, a unei bobine ideale i a unui condensator ideal (numit uzual circuitul serie R, L, C), la bornele cruia se aplic tensiunea sinusoidal u cu expresia dat de relaia (3.35) i care absoarbe un curent de intensitate i cu expresia dat de relaia (3.36). Tensiunea la borne se poate scrie ca sum a tensiunilor la bornele elementelor nseriate: u = u R + u L + uC , (3.40)

respectiv:u = Ri + L

di 1 + idt . dt C 44

(3.41)

R uR

i

L uL

C

u

uC

Fig. 3.16

Pentru determinarea intensitii curentului trebuie rezolvat ecuaia integro-diferenial (3.41) a circuitului (sunt cunoscute tensiunea i parametrii R, L i C). Se introduc expresiile tensiunii i curentului n relaia (3.41), care este valabil la orice moment t. Dup alegerea a dou valori pentru t i n urma efecturii unor calcule simple se obin valoarea eficace I i faza iniial ale curentului: U I= , (3.42) 2 1 R 2 + L C 1 L C . = arctg (3.43) R Defazajul dintre tensiune i curent are expresia: 1 L C = arctg (3.44) R i depinde de valoarea diferenei dintre reactana inductiv i reactana capacitiv. 1 Pentru L > 0 circuitul are un caracter inductiv, tensiunea fiind defazat C naintea curentului cu unghiul , 1 < 0 circuitul are un caracter capacitiv, tensiunea fiind pentru L C defazat n urma curentului cu unghiul , 1 pentru L = 0 circuitul este la rezonan. C Impedana circuitului serie R, L, C este:1 Z = R + L . C 2 2

(3.45)

3.1.6. Teoreme utilizate la rezolvarea circuitelor de c.a. a) Pentru o latur receptoare pasiv, necuplat cu alte laturi (fig. 3.17), forma complex a legii lui Ohm este:

U = ZI .I Z

(3.46)

Fig. 3.17.

U45

b) Teoremele lui Kirchhoff Pentru circuitele de c.a. teoremele lui Kirchhoff pot fi scrise att n instantaneu ct i n complex. Prima teorem a lui Kirchhoff se refer la intensitile curenilor i se enun astfel: Suma algebric a intensitilor curenilor din laturile care se ntlnesc ntr-un nod M al unei reele este egal cu zero.

ikM

k

=0.

(3.47)

n complex, suma se refer la imaginile n complex ale intensitilor curenilor:

IkM

k

= 0.

(3.48)

Se consider cu semnul "+" curenii care ies din nod i cu semnul "" cei care intr n nod. Se poate adopta i convenia invers. A doua teorem a lui Kirchhoff se refer la tensiuni i se enun astfel: Suma algebric a tensiunilor electromotoare ale surselor din laturile unul ochi p al unei reele este egal cu suma algebric a cderilor de tensiune pe impedanele proprii ale laturilor ochiului la care se adun suma algebric a tensiunilor determinate de cuplajele dintre bobinele aflate n laturile ochiului cu bobinele din restul reelei. Semnele termenilor din expresia teoremei a II-a rezult n raport cu un sens de parcurgere a ochiului (se consider cu semnul "+" t.e.m. care au acelai sens cu sensul de parcurgere a ochiului i cu semnul "" cele de sens contrar; se consider pozitive cderile de tensiune pe impedanele prin care sensul curentului coincide cu sensul de parcurgere a ochiului i negative dac cele dou sensuri sunt opuse). n complex, a doua teorem a lui Kirchhoff are expresia:

k( p )

U ek

= Zk Ik + k( p )

j =1 jk

l

Z kj I j .

(3.49)

1 este impedana proprie a laturii k iar Z kj = jLkj este impedana de unde: Z k = Rk + j Lk C k cuplaj dintre o bobin din latura k i o bobin din latura j.

3.2. CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV TRIFAZATCircuitele de curent alternativ trifazat sunt utilizate att n cazul producerii ct i al transportului i utilizrii energiei electrice. Centralele electrice folosesc generatoare sincrone care sunt maini electrice trifazate. Transportul energiei electrice prin linii electrice trifazate este mai economic dect transportul prin linii monofazate. Utilizarea sistemelor trifazate de cureni permite producerea cmpurilor magnetice nvrtitoare care stau la baza funcionrii motoarelor asincrone i sincrone.

3.2.1. Sisteme trifazate simetriceUn sistem de trei mrimi sinusoidale care au aceeai amplitudine, aceeai pulsaie i sunt defazate ntre ele cu acelai unghi formeaz un sistem trifazat simetric. Dac mrimile sunt defazate astfel nct a doua mrime este defazat n urma primei mrimi cu 2 /3 iar cea de-a treia n urma celei de-a doua cu 2 /3 , sistemul este direct (sau de succesiune direct). Dac mrimile sunt defazate astfel nct a doua mrime este defazat cu 2 /3 naintea primei mrimi iar cea de-a treia mrime cu 2 /3 naintea celei de-a doua, sistemul este invers (sau de succesiune invers). Dac unghiurile de defazaj sunt egale cu 0, sistemul este homopolar.46

Sistemul mrimilor a1, a2, a3 care au expresiile:a1 = A 2 sin(t + ) ;

2 ); 3 4 2 a3 = A 2 sin(t + - ) = A 2 sin(t + + ) , 3 3 este un sistem trifazat simetric direct. Imaginile n complex ale mrimilor a1, a2, a3 vor fi: A1 = Ae j = A ; a 2 = A 2 sin(t + -

(3.50 a,b,c)

A2 = Ae

j( -

2 ) 3

= Ae ej

-j

2 3

= Ae

-j

2 3

;j 2

(3.51 a,b,c)

A3 = Ae 3 = Ae j e 3 = Ae 3 = Ae 3 . Suma celor trei mrimi ale sistemului trifazat simetric ca i suma imaginilor lor n complex este nul: a1 + a2 + a3 = 0, (3.52 a) (3.52 b) A1 + A 2 + A3 = 0 . Variaia n timp a mrimilor sistemului trifazat simetric direct este reprezentat n figura 3.18 iar diagrama de fazori ai celor trei mrimi n figura 3.19.

j( -

4

)

-j

4

-j

4

a1, a2, a3 a1 a2 a3 +jA1

tA34 3

2 3

+1A2

Fig. 3.18.

Fig. 3.19.

3.2.2. Producerea sistemului trifazat simetric de tensiuni electromotoareLa rotirea unei spire dreptunghiulare n jurul unei axe de simetrie ntr-un cmp magnetic omogen ale crui linii de cmp sunt perpendiculare pe axa de rotaie, n lungul conturului spirei se induce o tensiune electromotoare sinusoidal. Dac se fixeaz trei astfel de spire pe acelai ax, decalate n spaiu cu unghiuri de 2 /3 ntre ele, la rotirea lor ntr-un cmp magnetic, se induc tensiuni electromotoare defazate n timp cu 2 /3 , care formeaz un sistem trifazat simetric.

3.2.3. Conexiunile sistemelor trifazateSe consider un generator trifazat. Fazele acestuia pot fi legate independent cu cte un receptor monofazat prin intermediul a ase conductoare. Acest mod de