Download - Dinamica Fluidelor Reale
79
DINAMICA FLUIDELOR REALE
În dinamica fluidelor reale intervine proprietatea de vâscozitate, care se manifestă prin apariţia unor eforturi
tangenţiale de frecare între straturile alăturate de fluid, precum şi între fluid şi suprafeţele solide cu care
acesta vine în contact.
Astfel, existenţa eforturilor tangenţiale din interiorul fluidelor reale are ca efect modificarea mobilităţii
particulelor şi implicit a profilului de viteze.
Fig. 1 – Profilul de viteze la curgerea unui fluid peste o suprafaţă solidă
Fig. 2 – Profilul de viteze într-un fluid ideal
1. CURGERI LAMINARE ŞI TURBULENTE. EXPERIMENTELE LUI REYNOLDS Curgerea fluidelor reale se poate produce în două regimuri distincte de mişcare din punctul de
vedere al structurii fizice a acestora. Existenţa acestor două regimuri a fost pusă în evidenţă de
fizicianul O. Reynolds, cu ajutorul instalaţiei experimentale prezentată în figura 3.
Fig. 3 – Aparatul Reynolds Aparatul lui Reynolds constă dintr-un rezervor de nivel constant căruia i se ataşează o conductă
orizontală de golire, din sticlă, prevăzută cu un robinet.
În conducta de golire este introdus tub subţire prin care curge un lichid colorat, dintr-un recipient
aflat în partea superioară.
Experimentele au relevat faptul că;
- la viteze mici de golire, curgerea firului de lichid colorat nu este perturbată de curgerea
lichidului din rezervor (figura 4) – curgere laminară
- la viteze mari cele două lichide se amestecă turbulent (figura 5) – curgere turbulentă
Fig. 4 – Curgere laminară Fig. 5 – Curgere turbulentă Trecerea de la un regim de curgere la altul se face pentru aceeaşi valoare a raportului:
Red vd v ==νµ
ρ , (1)
denumit numărul Reynolds, unde:
ρ este densitatea lichidului;
η este vâscozitatea dinamică a lichidului;
ν este vâscozitatea cinematică a lichidului;
v este viteza de curgere;
d este diametrul conductei de golire.
Pentru 2320Re < regimul este unul laminar.
Pentru 2320Re > regimul este turbulent.
Pentru numere Reynolds în intervalul 2320 şi 5000 regimul de curgere este unul de tranziţie.
Pentru valori mai mari de 5000, curgerea este turbulentă complet dezvoltată
2. PROFILUL VITEZELOR ÎN MIŞCARE LAMINARĂ ŞI TURBULENTĂ
Pentru mişcările laminare profilul vitezelor (legea de repartiţie a vitezelor) este unul parabolic, ca în
figura 6. Viteza într-un punct din interiorul unei conducte de rază R este, la distanţa r de axa
conductei, dată de relaţia:
−=
2
max Rr1vv , (2)
Unde maxv este viteza maximă, în axa conductei. Ca valoare, viteza medie v reprezintă jumătate
din valoarea vitezei maxime.
2vv max= ,
81
Fig. 6 – Profilul de viteze în mişcare laminară În mişcarea turbulentă profilul de viteze se aplatisează odată cu creşterea numărului Reynolds,
după cum este prezentat în figura 7.
Fig. 7 - Profilul de viteze în mişcare turbulentă Profilul de viteze este, aproximativ, unul logaritmic. Pe baza unor determinări experimentale,
Ludwig Prandl şi Johann Nikuradze au stabilit că profilul de viteze într-o conductă poate fi
determinat cu relaţia:
n1
max Ryvv
= , (3)
unde y este distanţa pe direcţie radială, măsurată de la perete (vezi figura 8).
Pentru exponentul n s-au determinat diverite valori, care depind de numărul Reynolds. Pentru
domeniul 4105Re ⋅< Nikuradze a indicat 7n = , motiv pentru care relaţia (5) mai este cunoscută
şi ca „legea unu pe şapte”. Pentru 54 102Re105 ⋅<<⋅ a fost determinată valoarea 8n = , iar
pentru 5102Re ⋅> 10n = . În primă aproximaţie, se poate considera că viteza medie într-un regim
de curgere turbulentă reprezintă 0.84 din valoarea vitezei maxime.
Viteza medie în timp, într-un punct, este dată de media vitezelor instantanee. Mărimea acestor
fluctuaţii după cele trei direcţii ale sistemului de referinţă ,v ,v ,v 'z
'y
'x ale vitezei medii, este
caracterizată de gradul de turbulenţă al fluidului T , definit de relaţia:
v'v100
3'v'v'v
v100T
22z
2y
2x =
++= [%]. (4)
Fig. 8 – Variaţiile locale în timp ale vitezei
Fig. 9 – Variaţia în timp a vitezei instantanee
3. PIERDERI ENERGETICE LA CURGEREA
FORŢATĂ A FLUIDELOR
3.1. NOŢIUNI TEORETICE Ca orice fenomen fizic real şi transportul fluidelor prin conducte se realizează cu pierderi de
energie, în acest caz fiind vorba de energie hidraulică. Calculul acestor pierderi se face pornind de
la ecuaţia conservării energiei în cazul mişcării permanente a fluidelor incompresibile, în câmp
gravitaţional, scrisă pentru două secţiuni de calcul:
=>+++⋅
=++⋅
∑21 r2
222
11
21 hzp
g2νzp
g2ν
γγ (5)
2121
22
212
1 r zzppg2ννh −+
−+
⋅−
=∑ γ [m col. fluid], (6)
unde: 21,νν vitezele medii ale fluidului prin secţiunile de calcul;
21,pp presiunile statice ale fluidului pentru aceleaşi secţiuni;
21 z,z cotele de nivel ale celor două secţiuni de calcul faţă de un plan de referinţă.
Termenul ∑2
1 rh din ecuaţia anterioară reprezintă tocmai pierderile energetice (denumite si pierderi
hidraulice sau pierderi de sarcină), care apar la curgerea fluidului între secţiunile 1 şi 2 .
83
Deşi din punct de vedere fizic, pierderile hidraulice în orice element al unei reţele sunt indivizibile,
pentru uşurinţa calculelor, acestea sunt adesea împărţite, convenţional, pentru aceeaşi secţiune de
calcul, în:
pierderi liniare, numite şi distribuite, linh ;
pierderi locale, loch .
Ambele tipuri de pierderi se însumează după principiul suprapunerii pierderilor, pentru care se ia
suma aritmetică a pierderilor distribuite şi a pierderilor locale:
loclinr hhh += [m col. fliud]. (7)
Practic, valoarea linh trebuie luată în considerare numai pentru componentele de lungime relativ
mare sau atunci când este apropiată ca valoare de loch .
În calculele moderne ale reţelelor hidraulice se operează cu coeficienţi adimensionali ai
rezistenţelor hidraulice. Este mult mai convenabil, deoarece în curenţii dinamic asemenea,
pentru care se respectă asemănarea geometrică a sectoarelor şi egalitatea numerelor
Reynolds (şi a altor criterii de similitudine, dacă ele sunt importante), valoarea acestor
coeficienţi este independentă de natura fluidului, de viteza curentului, precum şi de
dimensiunile sectoarelor calculate. În general pierderile de energie hidraulică se exprimă în
raport cu termenul cinetic, utilizând viteza medie pe secţiune, sub forma generală:
g2νh
2
r ⋅= ζ [m col. fluid], (8)
unde: ζ [-] coeficientul pierderilor energetice (denumit şi coeficientul pierderilor
hidraulice, coeficientul pierderilor de sarcină sau coeficient de rezistenţă
hidraulică).
În funcţie de coeficienţii adimensionali caracteristici, relaţia (7) se poate scrie astfel:
g2v
g2v)(h
2
tot
2
loclinr ζζζ =+= [m col. fluid], (9)
unde: linζ [-] coeficientul de rezistenţă liniară;
locζ [-] coeficientul de rezistenţă locală.
Observaţie Principiul însumării pierderilor se aplică nu numai la calculul unui element separat al
unei reţele hidraulice, dar şi la calculul hidraulic al întregului ansamblu, adică suma aritmetică a
pierderilor în diferitele elemente de pe traseu dă rezistenţa totală a reţelei. În acest caz se iau în
considerare influenţele reciproce ale elementelor ce compun reţeaua hidraulică, situate la distanţe
mici unele faţă de altele.
7.3.2 Pierderile liniare (distribuite) de sarcină Pierderile distribuite sunt provocate de vâscozitatea (atât moleculară, cât şi turbulentă) fluidului de
lucru şi constituie rezultatul schimbului de cantitate de mişcare între molecule (în cazul mişcării
laminare), precum şi între particulele aflate în straturi învecinate ale fluidului, care se mişcă cu
viteze diferite (în cazul mişcării turbulente). Valoarea acestora este proporţională cu lungimea
traseului parcurs. Conform H. P. G. Darcy, relaţia de calcul a acestor pierderi este:
g2ν
dlh
2
Hlin ⋅⋅= λ [m col. fluid], (10)
unde: λ [ - ] coeficientul Darcy-Weissbach de frecare vâscoasă;
l [m] lungimea traseului parcurs între secţiunile 1 şi 2 ;
Hd [m] diametrul hidraulic;
udat Perimetrulcurentului a vii sectiunii Aria4
PA4R4d
u
scHH === [m]. (11)
În figura 10 sunt prezentate două situaţii de calcul ale diametrului hidraulic, frecvent întâlnite în
practică. După cum se observă, în cazul conductelor circulare diametrul hidraulic coincide cu
diametrul geometric.
Fig. 10 – Situaţii de calcul ale diametrului hidraulic
Coeficientul rezistenţei distribuite pentru un element considerat se exprimă în funcţie de
coeficientul lui Darcy, după cum urmează:
Hlin d
lλζ = [-]. (12)
Când raportul Hdl este constant şi fluidul este incompresibil, coeficienţii de rezistenţă λ ,
respectiv linζ depind de numărul Re şi de rugozitatea relativă k a pereţilor elementului calculat:
Hdkk = [-], (13)
85
unde: k rugozitatea pereţilor elementului hidraulic calculat, definită conform figurii 11.
Fig. 11 – Definirea rugozitaţii Inversul rugozităţii se numeşte netezime.
7.3.3 Pierderile locale de sarcină Pierderile locale de presiune apar pe porţiuni scurte ale curgerii (numite singularităţi) unde are loc
o perturbare a curgerii normale (o variaţie a vectorului viteză medie, ca modul şi/sau direcţie).
Apar în locurile cu schimbări ale configuraţiei traseului (difuzoare, confuzoare, coturi, filtre, armaturi
etc.), la întâlnirea şi ocolirea obstacolelor sau la desprinderea curentului de pereţii reţelei.
Formarea vârtejurilor şi amestecarea turbulentă intensivă a curentului intensifică schimbul de
cantitate de mişcare (eforturile tangenţiale de frânare), mărind disiparea de energie.
Relaţia de calcul a acestora este de forma (8):
g2νh
2
loc ⋅⋅= ζ [m col. fluid], (14)
unde: ζ [ - ] coeficientul pierderilor locale; se determină în majoritatea cazurilor pe cale
experimentală.
Coeficientul rezistenţei locale locζ depinde în special de caracteristicile geometrice ale elementului
considerat, precum şi de câţiva parametri ai mişcării, precum:
• Caracterul distribuţiei vitezei la intrarea fluidului în elementul examinat; la rândul ei,
distribuţia de viteze depinde de regimul de curgere, de forma intrării în element, de
lungimea porţiunii drepte ce precede intrarea, de distanţa până la diferitele părţi
prelucrate ale tronsonului sau obstacole etc.;
• Numărul Reynolds:
• Numărul Mach M (pentru curgeri cu variaţii ale densităţii).
7.3.4 Calculul coeficientului lui Darcy 1. Pentru curgeri laminare, Re < 2300, λ se calculează cu relaţia lui Stokes (determinată
analitic), şi este funcţie doar de numărul Reynolds:
Re64
=λ [-] (15)
2. Pentru curgeri turbulente netede, Re > 5000 neinfluenţate de rugozitatea relativă a conductei
00008.0k < , λ se calculează cu relaţia lui Blasius:
25.0Re3164.0
=λ [-] (16)
3. Pentru curgeri turbulente complet dezvoltate 5000Re > , în conducte rugoase
0125.0 k00008.0 << , λ se poate calcula cu una din relaţiile: 25.0
H Re68
dk11.0
+=λ [-] (stabilită de Idelcik) (17)
2Hk
d lg 274.1
1
+
=λ [-] (stabilită de Nikuradze) (18)
Valoarea numărului Reynolds, kRe , de la care rugozitatea începe să influenţeze curgerea, deci şi
valoarea λ , se poate poate aproxima cu relaţia lui Pecornik:
=
kd1.0lg
kdRe HH
k . (19)
4. Pentru regimurile de tranziţie se poate utiliza relaţia lui Moody’:
kd
Re260 H=λ [-]. (20)
Fig. 12 – Diagrama Colebrooke – White În figura 12 sunt prezentate grafic situaţiile de calcul ale λ , reprezentare cunoscută şi sub
denumirea de diagrama Colebrooke – White.
87
EXAMPLU 1 O pompă alimentează cu apă un rezervor (vezi figura) printr-o conductă de diametru mm 30D = ,
lungime m30L = şi rugozitate medie mm 2.0k = . Suma coeficienţilor ce caracterizează
pierderilor locale este 6.0=∑ζ (în cot şi în secţiunea de intrare în rezervor). Să se determine
presiunea 1p în secţiunea de ieşire din pompă pentru un debit de /s dm4.1Q 3= . Vâscozitatea
cinematică a apei este s/m 10 26−=ν .
SOLUŢIE: Se trec datele problemei în sistemul internaţional (dacă este cazul):
m1030 mm30D 3−⋅== ;
m1015.0 mm15.0k 3−⋅== ;
/s m104.1/s dm4.1Q 333 −⋅== ;
m30L = ;
De asemenea, 3m/kg 1000=ρ , (densitatea apei).
Se aplică ecuaţia lui Bernoulli între punctele (1), la nivelul secţiunii de ieşire din pompă şi (2), la
nivelul suprafeţei libere a apei din bazin:
[ ]m hzgρ
pg 2
vzgρ
pg 2
v 2
1r2
222
11
21 ∑+++=++ .
Pentru acest caz:
Viteza la suprafaţa liberă a apei din bazin este foarte mică şi se poate neglija: s/ m0v2 ≅ ;
Presiunea (relativă) la suprafaţa liberă a apei din bazin este nulă: 22 m/ N0p = ;
Pentru: m25 z 0z 21 =⇒= .
Pentru aceste condiţii, ecuaţia lui Bernoulli se rescrie:
[ ]m hzgρ
pg 2
v 2
1r2
121 ∑++=+ .
Pierderile de energie hidraulică între cele două puncte sunt (liniare şi locale):
[ ]m ζDL
g 2v
g 2vζ
g 2v
DLh
21
21
21
2
1r
+=+=+ ∑∑∑ λλ .
Astfel:
[ ]m 1ζDL
2vz gρ p
ζDL
g 2vz
gρ p
g 2v
21
21
21
21
21
−++=
⇒
++=+
∑
∑
λρ
λ
Viteza medie în punctual (1) se determină din ecuaţia continuităţii (debitului):
( )s/m 98.1
1030
104.14D Q 4v
4D vct.Q 23
3
21
2
1 =⋅
⋅⋅==⇒==
−
−
πππ .
Pentru a calcula valoarea coeficientului λ , corespunzător pierderilor liniare, trebuie determinat
regimul de curgere al apei prin conducta de alimentare (se calculează numărul Reynolds):
46
31094.5
10103098.1D vRe ⋅=⋅⋅
== −
−
ν.
Deoarece 5000Re > , curgerea este turbulentă, complet dezvoltată. În aceste condiţii se
determină dacă rugozitatea influenţează curgerea (se calculează rugozitatea relativă a conductei):
005.010301015.0
Dkk 3
3=
⋅⋅
== −
−.
Întrucât 0125.0- 00008.0)Dk( = , curgerea este de asemenea rugoasă, deci:
031.01094.5
68005.011.0Re68
Dk11.0
25.0
4
25.0=
⋅+=
+=λ .
În final:
25
3
2
21
21
mN 10052.316.0
103030031.0
298.110002581.91000
1ζDL
2vz gρ p
⋅=
−+
⋅+⋅⋅=
=
−++=
−
∑λρ.
EXEMPLU 2 Rezervorul din figură este golit printr-o conductă orizontală având diametrul mm 50D = ,
lungimea m 10L = şi rugozitatea medie mm 2.0k = .
89
Să se calculeze presiunea în punctual (2) când robinetul este parţial astfel încât debitul se reduce
la jumătate. Coeficientul pierderii locale la schimbarea de secţiune este 5.0S =ζ . Vâscozitatea
cinematică a apei este s/m 10 26−=ν .
SOLUŢIE: Observaţii: Deoarece nu sunt cunoscute nici debitul, nici viteza medie de golire, coeficientul ce
caracterizează pierderile liniare nu poate fi determinat în mod direct. Calculul
acestuia se face iterativ, precum este prezentat în continuare.
Debitul maxim prin conductă, când robinetul este complet deschis, se determină
aplicând ecuaţia lui Bernoulli între punctele (1), la nivelul suprafeţei libere a apei în
rezervor şi (3), în secţiunea de ieşire din conductă:
[ ]m hzgρ
pg 2
vzgρ
pg 2
v 3
1r3
323
11
21 ∑+++=++ .
Pentru acest caz:
- viteza în punctul (1) este foarte mică: s/ m0v1 = ;
- presiunea (relativă) în punctele (1) şi (3) este nulă: 231 m/ N0pp == ;
- pentru: m15 z 0z 13 =⇒= .
- pierderile energetice (liniare şi locale) sunt:
[ ]m ζDL
g 2v
g 2vζ
g 2v
DLh S
23
23
S
23
2
1r
+=+=∑ λλ .
Astfel, pentru acest caz, ecuaţia lui Bernoulli devine:
S
1max3S
23
23
1ζ
DL1
z g 2vvζDL
g 2v
g 2vz
++==⇒
++=
λλ .
Se adoptă o valoare pentru λ în intervalul 1.001.0 ÷=λ . Pentru 03.01 =λ :
m/s 264.65.0
05.01003.01
1581.92
ζDL1
z g 2vS1
1max1
=++
⋅⋅=
++=
λ.
Cu această valoare a vitezei, se verifică valoare adoptată pentru λ .
56
max1 10131.3
1005.0264.6D v
Re 1 ⋅=⋅
== −ν.
Deoarece 5000Re > , curgerea este turbulentă, complet dezvoltată. Se calculează rugozitatea
relativă:
004.050
2.0Dkk === .
Întrucât 0125.0- 00008.0)Dk( = , curgerea este de asemenea rugoasă, deci:
028.010131.3
68004.011.0Re68
Dk11.0
25.0
5
25.0
verificat 1 =
⋅+=
+=λ .
Eroarea relativă este:
% 67.61001
checked 111 =⋅
−=
λλλε .
Pentru a descreşte eroarea de calcul, se reia procedura de determinare pentru coeficientul
corespunzător pierderilor liniare. Se adoptă 028.02 =λ , astfel:
m/s 438.65.0
05.010028.01
1581.92
ζDL1
z g 2vS2
1max2
=++
⋅⋅=
++=
λ.
56
max2 10219.3
1005.0438.6D v
Re 2 ⋅=⋅
== −λ.
028.010219.3
68004.011.0Re68
Dk11.0f
25.0
5
25.0
2verificat 2 =
⋅+=
+= .
% 0.0100f2
checked 222 =⋅
−=
λλε .
În final, viteza (medie) prin conducta de golire, corespunzătoare debitului maxim este
m/s438.6vmax = , iar debitul maxim:
;
/sm10641.12405.0438.6
4DvQ 33
22maxmax −⋅===
ππ .
Pentru un debit /sm10321.62
Q 33max −⋅= , viteza prin conducta de golire este: m/s219.3v2 = .
Astfel, înălţimea piezometrică în punctul (2), g ρ2
2ph = , poate fi determinată aplicând ecuaţia lui
Bernoulli înre punctele (1) şi (2):
++−=
⇒+++=
S
22
12
22
S
222
22
1
ζDL1
g 2vz
gρ p
g 2vζ
g 2v
DL
gρ p
g 2vz
λ
λ
Pentru acest regim de curgere se recalculează λ :
91
56
2 10610.110
05.0219.3D vRe ⋅=⋅
== −ν
)37(028.010610.1
68004.011.0Re68
Dk11.0
25.0
5
25.0
=
⋅+=
+=λ
În final:
m 25.115.005.0
10028.0181.92
219.315ζDL1
g 2vz
gρ p 2
S
22
12 =
++
⋅−=
++−= λ .