Ministerul Educaiei, Cercetrii i InovriiCentrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar

Subiectul III (30p)1. Se consider numrul real i funcia , .a) (5p) S se determine asimptota oblic la graficul funciei f ctre .Ecuaia asimptotei oblice ctre este , unde , iar .

Prin urmare, ecuaia asimptotei oblice la graficul funciei f ctre este .

b) (5p) S se determine punctele de extrem local ale funciei f.Punctele de extrem local ale unei funcii derivabile se gsesc printre zerourile derivatei. Funcia f este derivabil pe , fiind suma a dou funcii elementare. Calculm :

Determinm zerourile derivatei rezolvnd ecuaia :

Dac , atunci , iar dac , atunci , adic funcia f este descresctoare pe intervalul i cresctoare pe . Prin urmare, este punct de minim global al funciei.

c) (5p) S se determine tiind c , . 1 este minim global al funciei fDin b) rezult c este punct de minim global al funciei f, iar , adic este minimul global al funciei f. Prin urmare, . Vom rezolva ecuaia pe mulimea .

Considerm funcia , . Aceast funcie este derivabil pe i . dac

dac Prin urmare, funcia g este cresctoare pe i descresctoare pe .

.Aplicnd regula lui lHospital, obinem: .xPrin urmare, tabloul de variaie al funciei g este:x01

0

Se observ c funcia g se anuleaz doar n 1, deci ecuaia are o singur soluie, pe . Deci numrul real care verific egalitatea , aadar i inegalitatea , , este a=1.

2. Se consider funcia , .a) (5p) S se arate c funcia , este o primitiv a funciei f.F este primitiva lui f pe dac i numai dac , . F este derivabil pe i:, .Prin urmare, funcia este o primitiv a lui f.

b) (5p) S se arate c orice primitiv a funciei f este cresctoare pe .O primitiv a lui f va fi de forma , , iar c este o constant real.G este derivabil pe . Vom calcula derivata funciei i vom arta c este pozitiv pe intervalul .

Cum pentru orice , i , , . Deci este cresctoare pe intervalul

c) (5p) S se calculeze aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei f, axa i dreptele de ecuaii i .Aria cerut este:

Aplicm metoda de integrare prin pri, obinnd: