Hanganu Silvia

Curs la Modelarea deciziilor financiar-monetare

Cap1. Modelare economico-matematică, alternativă la „experimentul” din ştiinţele exacte

1.1. Premisele apariţiei modelării economico-matematice

1.2. Metode de culegere şi prelucrare a datelor folosite în modelarea economico-matematică

1.3. Procesul de trecere de la sistemul real la modelul de simulare

1.4. Definiţia şi clasificarea metodelor economico-matematice

1.5. Modelarea procedurală1.6. Sisteme informatice de management1.7. Sisteme inteligente bazate pe procedee euristice

Termeni cheie

- Algoritm- Algoritm euristic- Algoritmul general al rezolvatorului de probleme- Algoritmul general al compozitorului de probleme- Experiment- Metode exacte- Metode aproximative- Metode euristice- Sistem real- Model real- Model abstract- Modelare economico-matematică- Modelare procedurală- Modele deterministe- Modele stochastice

- Modele fuzzy- Soluţie admisibilă- Soluţie subnominală- Tatonări

Obiective- Definirea obiectului de studiu;- Prezentarea metodelor de culegere şi prelucrare a datelor

folosite în modelarea economico-matematică;- Procesul de trecere de la sistemul real (organizaţie) la

modelul de simulare;- Definirea şi clasificarea modelelor economico-matematice.

1.1. Premisele apariţiei modelării economico-matematice

La sfârşitul secolului al XIX-lea, reprezentanţii “şcolii clasice” de management: F.W. Taylor (1856-1915), H. Ford (1863-1947), H. Fayol (1841-1925) au formulat în lucrările lor o serie de principii şi metode de organizare şi conducere a organizaţiilor cu importante consecinţe economice şi au abordat, pentru prima dată, problema mecanismului de funcţionare a unei întreprinderi. Conceptele utilizate de ei, însă, nu aveau la bază informaţia şi decizia. Aceste concepte apar după 1950, prin reprezentanţii şcolii “neoclasice” de management: Peter Drucker, Alfred Sloan şi Ernest Dale, care, în condiţiile creşterii dimensiunii şi a complexităţii întreprinderilor, includ în organizarea şi conducerea întreprinderiilor şi activităţile de producere, recepţionare, transport, prelucrare şi stocare a informaţiilor în scopul fundamentării deciziilor.

Procesele decizionale, alături de cele informaţionale ocupă o pondere importantă atât la nivel macro, cât şi la nivel microeconomic.

Reprezentanţii şcolii clasice şi a managementului stiinţific au recunoscut, de asemenea, şi importanţa resurselor umane, limitându-se însă la aspectele legate de recompensarea corectă, acordarea unor stimulente economice şi la stabilirea de relaţii formale. Astfel, în cercetările legate de organizarea şi conducerea organizaţiilor sunt urmărite aspectele legate de activitatea informaţional-decizională, precum şi aspectele legate de relaţiile umane.

Cei care acordă atenţie deosebită comportamentului oamenilor în timpul procesului productiv sunt reprezentanţii “şcolii relaţiilor umane” (a comportamentului): Elton Mayo, Abraham Zalesnick şi D. C. Peltz.

Un rol important în promovarea informaţiei şi deciziei, ca elemente de bază ale managementului, a constituit-o apariţia primei generaţii de calculatoare electronice (deceniul V), a primelor lucrări de cibernetică şi a primelor echipe de cercetare operaţională.

În condiţiile creşterii complexităţii structurale şi funcţionale a întreprinderilor, a ridicării nivelului tehnic şi a gradului de specializare a profesiunilor apare necesitatea creşterii rigurozităţii în luarea deciziilor pentru optimizarea acestora. În această perioadă, alături de procedeele tradiţionale de luare a deciziilor, bazate pe intuiţie şi experienţă, apar procedee noi, ştiinţifice caracterizate prin fundamentarea teoretică şi practică pe baza unor metode matematice. Apare astfel modelarea economico-matematică folosită de manageri ca o alternativă la “experimentul” utilizat de ştiinţele exacte.

“Experimentul” constă în modificarea fizică a valorilor variabilelor, fenomen care este neraţional atunci când se aplică problemelor economice în ansamblu.

Au apărut în această perioadă o serie de discipline privind conducerea, cum ar fi: cercetarea operaţională, cibernetica, informatica, psihologia organizării şi teoria generală a sistemelor.

Cercetarea operaţională constă în “pregătirea ştiinţifică a deciziilor” caracterizată prin procesul de elaborare a unor metode economico-matematice care conduc la decizii optime sau aproape optime.1

Cibernetica este ştiinţa care se ocupă de conducerea şi reglarea sistemelor complexe.

Informatica se ocupă cu prelucrarea datelor cu ajutorul echipamentelor electronice.

Psihologia organizării reprezintă o nouă orientare în disciplinele conducerii, care ţine cont de existenţa omului care ia decizii în legătură cu funcţionarea eficientă a unei întreprinderi.

Teoria generală a sistemelor oferă o sinteză a ideilor privind diversele orientări în ştiinţele organizării şi conducerii.

Toate aceste discipline oferă economiştilor o serie de modele şi tehnici necesare managementului la mivel microeconomic, stând la baza “modelării economice”.

“Modelarea economică” este o disciplină economică care se ocupă de fundamentarea deciziei manageriale în condiţii de eficienţă pentru organizaţie, cu ajutorul unor modele economico-matematice flexibile şi cu posibilitatea utilizării tehnicii de calcul.2

Prin urmare, modelarea economică oferă managerilor posibilitatea unei rigurozităţi în luarea deciziilor în concordanţă cu resursele materiale, umane şi financiare şi cu obiectivele

1 Camelia Raţiu-Suciu, Florica Luban, Daniela Hâncu, Nadia Ciocoiu, Modelarea economic, Editura ASE, Bucureşti, 2007, pag. 13.2 Ibidem, pag 13.

organizaţionale. Aceste mărimi reprezintă elemente ale “vectorului de intrare” în modelele economico-matematice.

1.2. Metode de culegere şi prelucrare a datelor folosite în modelarea economico-matematică

Pentru studiul fenomenelor economice care intervin în procesul fundamentării deciziilor este necesar ca măsurarea mărimilor (indicatorilor) în baza unor observări, anchete, raportări etc., să se facă prin adaptări la modelări matematice, obţinând diferite grade de precizie.

Din punct de vedere al preciziei, mărimile (indicatorii) care caracterizează procesele economice se clasifică în trei mari categorii: mărimi deterministe (riguros stabilite, cu o valoare unică), mărimi stochastice/aleatoare (mărimi ce au o mulţime de valori cărora li se asociază o probabilitate) şi mărimi vagi/fuzzy (nu au o valoare unică, ci o mulţime de valori cărora li se asociază un grad de apartenenţă la o anumită proprietate).3

Această grupare a mărimilor determină o grupare corespunzătoare a metodelor de prelucrare în vederea adoptării unor decizii, respectiv:

- Metode deterministe;

- Metode stochastice;

- Metode fuzzy.

Un alt criteriu de clasificare al metodelor de prelucrare este criteriul exactităţii.

După criteriul exactităţii distingem:

- Metode exacte;

3 Op. Cit., pag 15.

- Metode aproximative;

- Metode euristice.

Clasificarea metodelor după cele două criterii pun în evidenţă diferite etape ale fundamentării deciziilor, respectiv:

- Culegerea datelor;

- Prelucrarea datelor.

Metode exacte conduc la obţinerea unei soluţii care răspunde fără eroare (abatere) la criteriile de eficienţă.

Dacă notăm cu S vectorul soluţiei adoptate şi cu S* vectorul soluţiei adevărate, atunci:

S−S*=0

Metodele aproximative conduc la obţinerea unei soluţii S, diferită de soluţia adevărată S*, printr-un vector ε, dominat de un vector εa dinainte stabilit, adică:

|S−S*|=|ε|≤|εa|

Metodele euristice sunt utilizate în cazul problemelor complexe, când este util a se obţine, într-un timp relativ scurt, o soluţie S, acceptabil din punct de vedere practic, fără a avea garanţii că este soluţia optimă. Metodele euristice au un anumit grad de probabilitate. Ele pot consta într-o succesiune de încercări (tatonări), a căror alegere depinde de natura problemei de rezolvat şi de personalitatea analistului de sisteme (modelatorului).

O reprezentare grafică a metodelor modelării economice în vederea fundamentării deciziilor poate fi prezentată ca în figura 1.1.4

4 Op. cit., pag 16.

1.3. Procesul de trecere de la sistemul real la modelul de simulare

Simulare reprezintă o tehnică de realizare a experimentelor cu ajutorul calculatorului numeric, care presupune construirea unor modele matematice şi logice care descriu comportarea unui sistem real într-o perioadă lungă de timp.

v

v

MetodeDe culegere date De prelucrare date

Deterministe Stochastice Vagi Exacte Aproximative Euristice

Figura 1.1

Simularea generează intrările în sistem şi determină ieşirile din sistem prin algoritmi adecvaţi, în funcţie de stările interne ale sistemului, descriind în acelaşi timp şi evoluţia în timp a stărilor interne ale sistemului.

Observări

Anchete

Măsurători

Mări

Modele determinist

Modele stochastice

Modele euristice

Soluţia optimăSoluţia optimă

Soluţia optimă cu o probabilitate

Soluţia optimă cu o probabilitate

Soluţia suboptimalăSoluţia suboptimală

Volum de

Precizia mărimilorBogatRedus

Modelefuzzy

Modelestochastice

Modeledeterminist

e

τ mare τ mică

Determinist Stochastic Va

Simularea este o tehnică de cercetare eficientă, deşi nu oferă soluţii exacte ci suboptimale, dar probleme complexe ale firmei nu pot fi studiate analitic cu metode economico-matematice de optimizare.

Simularea conduce la obţinerea mai multor variante de decizie, managerul alegând-o pe cea mai bună, în funcţie de condiţiile date la un moment dat.

În cazul unei întreprinderi, simularea pune în evidenţă efectul modificării unor parametrii care descriu sistemul respectiv.

În activitatea de simulare sunt implicate trei elemente importante, şi anume:

- Sistemul real;

- Modelul;

- Calculatorul;

Precum şi două tipuri de relaţii, respectiv:

- Relaţii de modelare;

- Relaţii de simulare.

Procesul de trecere de la sistemul real la modelul de simulare (modelul real) poate fi reprezentat grafic ca în figura 1.2.5

Figura 1.2

5 Sursa: op. cit., pag. 18.

Sistem Real

Date din sistem obţinute prin:

- Observări- Măsurători;- Experiment

Date analitice

Modelul abstract

Modelul Real

Validare

Date simulateValidare

Sistemul real reprezintă sistemul perceput în mod natural cu ajutorul simţurilor.

Modelul real reprezintă sistemul real înlocuit, obţinut prin prelucrarea datelor prin observări, măsurători, expeimente, şi care corespunde, în principiu, cerinţelor sistemului real iniţial.

Modelul abstract realizează trecerea de la sistemul real la modelul real, prin descompunerea sistemului în părţi componente elementare şi stabilirea legăturilor dintre acestea.

Validarea rezultatelor constă în verificarea concordanţei datelor din sistemul real cu cele oferite de modelul real.

1.4. Definiţia şi clasificarea modelelor economico-matematice

Conceptul de model a fost preluat de la matematicieni de către analiştii de sistem, pentru a fi utilizat în procesele economice.

Modelul reprezintă forma abstractă şi simplificată a unui proces economic.

Metoda modelării reprezintă instrumentul de cunoaştere ştiinţifică, având ca obiect construirea unor modele care permit o mai bună înţelegere şi aprofundarea ştiinţifică a diferitelor domenii.

Esenţa metodei modelării constă în înlocuirea unui sistem (proces) real care se doreşte a fi studiat printr-un model real, care este mai accesibil studiului.

Pentru ca rezultatele obţinute prin modelare să fie utile este absolut necesar ca modelul să reprezinte fidel proprietăţile, structura şi particularităţile sistemului studiat.

Luând în considerare cele prezentate, modelul poate fi definit ca fiind o reprezentare izomorfă a realităţii, care oferă o imagine intuitivă, dar riguroasă a structurii logice a fenomenului studiat, şi permite descoperirea unor legături şi legităţi greu de stabilit pe alte căi.6

Modelele economico-matematice reprezintă fidel fenomenele economice în măsura în care au la bază conceptele şi legile obiective ale realităţii economice.

Complexitatea fenomenelor şi a realităţii economice în continuă schimbare determină o mare diversitate a posibilităţilor de modelare. Literatura de specialitate prezintă sute de modele, oferind totodată şi alte posibilităţi de dezvoltare şi concepere a altor modele.

Având în vedere multitudinea modelelor economico-matematice, orientativ ele pot fi grupate după mai multe criterii.

Principalele criterii de clasificare a modelelor economico-matematice sunt:

1. După sfera de cuprindere a problematicii economice:- Modele macroeconomice;- Modele mezoeconomice;- Modele microeconomice;- Modele de ansamblu ale economiei;- La nivel regional, teritorial;- La nivel de organizaţie.

2. După domeniul de provenienţă şi concepţie:- Modele cibernetico-economice (relaţii între intrări-ieşiri şi

evidenţierea fenomenelor de reglare);- Modele econometrice (elementele numerice sunt determinate

statistic);

6 Op. cit., pag. 18.

- Modele ale cercetării operaţionale (permit obţinerea unei soluţii optime sau apropiate de optim pentru fenomenul studiat);

- Modele din teoria deciziei (cu luarea în considerare a mai multor criterii, factori de risc, încertitudine);

- Modele de simulare (încearcă să stabilească modul de funcţionare al unui organism macro sau microeconomic prin realizarea unor combinaţii da valori întâmplătoare ale variabilelor independente care descriu procesele);

- Modele specifice de marketing.

3. După caracterul variabilelor:- Modele deterministe (mărimi cunoscute);- Modele stochastice/probabilistice (intervin mărimi a căror

valoare este însoţită de o probabilitate/unele variabile aleatoriu).

4. După factorul timp:- Modele statice;- Modele dinamice.

5. După orizontul de timp considerat:- Modele secvenţiale;- Modele continue.

6. După structura proceselor reflectate:- Modele cu profil tehnologic;- Modele informaţional-decizionale;- Modele ale relaţiilor;- Modele informatice.

În cadrul fiecărei grupe, modelele sunt:

- Descriptive – realizează o cunoaştere directă a întreprinderii şi reprezintă, de regulă, o simplificare a realităţii;

- Normative – permit obţinerea unui comportament viitor, dorit de către factorii de decizie (conduc la creşterea performanţelor activităţilor).

Modelele folosite pentru soluţionarea unor probleme economice formulate matematic constau într-o succesiune de algoritmi.

Algoritmul reprezintă o succesiune concretă de operaţii logice şi aritmetice.

Soluţia modelului, obţinută cu ajutorul unui algoritm, se analizează şi stă la baza deciziei economice, dacă este convenabilă din punct de vedere tehnico-economic.

La fel ca metodele de modelare şi prelucrare, algoritmii pot fi: exacţi, aproximativi şi euristici.

O importanţă deosebită în modelarea economică o prezintă găsirea metodelor şi a căilor accesibile, cât mai apropiate de realitatea economică.

O metodă eficientă pentru analiza, organizarea şi conducerea unor activităţi complexe, precum şi utilizare aresurselor disponibile, o reprezintă metoda analizei drumului critic (ADC). Metoda ADC a fost utilizată şi de NASA, cunoscut fiind graful ADC pentru misiunea Apollo, care a cuprins peste 300.000 de activităţi.

Alte tipuri de aplicaţii sunt: optimizarea transporturilor prin programare liniară; minimizarea costurilor pentru aşteptările în porturi, gări, aeroporturi; creşterea volumului vânzărilor de bunuri prin diferite metode specifice marketingului etc.

Alte preocupări ale specialiştilor în domeniu constau în perfecţionarea mijloacelor conceptuale cu privire la găsirea unor modele elastice, flexibile, suple, pentru a putea rezolva în toată

complexitatea lor procesele de organizare şi conducere ale întreprinderilor.

Pentru a eficientiza conducerea tuturor compartimentelor dintr-o întreprindere, specialiştii se preocupă de realizarea unor sisteme de conducere ierarhizate, multinivel, care să facă posibilă luarea unor decizii în timp real, concomitent cu desfăşurarea proceselor de producţie, urmărind realizarea obiectivelor la toate nivelurile de conducere.

1.5. Modelarea procedurală

Datorită rigurozităţii metodelor normative de optimizare, care adesea conduc la îndepărtarea de realitatea economică şi la obţinerea unor soluţii care nu răspund cerinţelor, specialiştii au înlăturat unele inconveniente cu ajutorul modelării procedurale.

Pentru cunoaşterea legilor care definesc un fenomen economic şi utilizarea acestora pentru atingerea obiectivelor propuse se parcurg următoarele etape7:

1. Observarea fenomenelor sub aspectul descriptiv-calitativ (cauzalitatea între fenomene);

2. Formularea unor legi de tip descriptiv-calitativ;3. Observarea fenomenelor sub aspect cantitativ;4. Formularea unor legi cantitative. Se analizează datele

obţinute şi se emit primele ipoteze asupra legilor care ar guverna sistemul analizat. Aceste legi sunt confruntate cu alte măsurători şi corectate;

5. Adoptarea unor decizii;6. Urmărirea efectelor deciziilor adoptate şi prefecţionarea lor în

viitor.

7 Op. cit., pag. 22.

Toate aceste aspecte pot fi sintetizate într-un model economico-matematic.

Pentru rezolvarea modelului se folosesc diverşi algoritmi.

Modelarea procedurală acordă un rol principal algoritmului şi un rol secundar modelului.

Există două strategii de realizare a modelării procedurale:

Modelarea generală, care urmăreşte surprinderea tuturor cazurilor posibile;

Modelarea pe tipuri de probleme (clase), care urmăresc problemele frecvente din practică şi pentru care se elaboreză un algoritm specific de rezolvare.

Soluţiile sunt folosite pentru fundamentarea deciziei.

Modelarea procedurală asistată de calculator ţine cont de importanţa omului în procesul de conducere, deoarece el este cel care formulează ipotezele referitoare la comportamentul sistemului şi cel care raţionează asupra variantelor de soluţii rezultate pentru fundamentarea deciziilor. Majoritatea modelelor procedurale se bazează pe principiul simulării. Calculatorul simulează evoluţia obiectului condus în funcţie de deciziile adoptate, furnizând decidentului consecinţele asupra obiectului. Decidentul analizează rezultatele obţinute şi hotărăşte dacă le acceptă sau formulează noi ipoteze care conduc la noi decizii. Această interacţiune între om şi calculator conduce la perfecţionarea sistemului.

1.6. Sisteme informatice de management

Utilizarea sistemelor informatice în management a parcurs trei etape:

- Prima etapă a avut loc în anii `60 ai secolului trecut denumită Electronic Data Processing (EDP), în care s-a realizat automatizarea lucrărilor de rutină şi a celor administrative. În această etapă calculatorul a fost utilizat pentru procesarea datelor şi nu a informaţiilor.

- A doua etapă a avut loc în anii `70, când au fost elaborate sistemele informatice de management (SIM), care transformă datele în informaţii pentru utilizatori.

- A treia etapă a avut loc la sfârşitul anilor `70, când apar sistemele suport de decizie (SSD), ca sisteme de asistare cu calculatorul, având la bază interacţiunea om-calculator, definită în limba engleză cu termenul Decision Support System (DSS), şi care atribuie cuvântul support acestei asistări interactive.

Sistemele suport de decizie prezintă performanţe în prelucrarea informaţiilor (date şi cunoştinţe) cu privire la calitatea, corectitudinea şi promptitudinea obţinerii lor.

În procesul de luare a deciziilor, utilizând resursele din organizaţie, un loc important pentru manager îl ocupă resurse de informaţii. Satisfacerea nevoilor de informaţii a managerilor depinde de utilizarea completă a tehnicii de calcul, de dotarea organizaţiilor cu calculatoare, de existenţa unor bănci de informaţii necesare procesului decizional şi evaluării efectelor implementării deciziilor.

Elementele esenţiale ale SSD sunt8:

- Domeniul de activitate este luarea unor decizii;- Omul este principalul şi singurul element în procesul de

decizie;

8 Op. cit., pag. 25 din A.D. Donciulescu, G. Filip, Studiu privind realizarea de sisteme hibride de asistare a deciziei cu integrarea de elemente de inteligenţă artificială.

- Sistemul de calcul este proiectat pentru facilitarea deciziei omului, prin intermediul unui complex de instrumente software.

Caracteristica principală a SSD o reprezintă complementaritatea dintre om şi calculator. În cadrul SSD decidentul nu este înlocuit de calculator ci sprijinit de acesta, iar problemele de rezolvat sunt slab structurate sau nestructurate. Astfel, SSD poate fi împărţit în trei categorii, în funcţie de problemele de rezolvat, şi anume:

- Sisteme de informare, care sprijină decizia cu date şi asigură efectuarea unor prelucrări reduse (rapoarte);

- Sisteme de evaluare aunor decizii propuse de om, pe baza unor probleme de simulare şi a unor criterii de performanţă;

- Sisteme care propun decizii prin apelarea la calcule (sisteme de optimizare sau sisteme export).

O altă caracteristică a SSD o constituie flexibilitatea, oferind utilizatorilor posibilitatea de a solicita informaţii, de a testa diverse alternative, de a reitera cererea de informaţii, de a construi noi modele pe măsura evoluţiei deciziei.

Pornind de la SSD-uri s-au dezvoltat Sisteme Expert (Expert Support Systems - ESS) cu ajutorul cărora se prelucrează cunoştinţele umane. Din această cauză sistemul experteste întâlnit atât la SSD, cât şi la KBS (Knowledge Based Systems), utilizate mai ales în Germania şi Marea Britanie.

În literatura de specialitate există mai multe moduri de abordare a noţiunii de sistem expert.

Edward Feigerbaum9 arată că sistemele expert sunt programe capabile să raţioneze la nivelul unui expert uman.

9 Op. cit., pag. 27 din E. Feigenbaum, The Fifth Generation, Addison – Wesley Pub. Co. 1983

Buchanan B.G.10 şi David R.11 Arată că sistemele expert sunt programe informatice care încorporează cunoaşterea specilizată şi experienţa unui expert uman. Programele sunt capabile de performanţe la nivelul experţilor deoarece ele acumulează mari cantităţi de cunoştinţe referitoare la un anumit domeniu. Rezultă deci că sistemele expert dispun de cunoştinţe, sunt organizate pentru achiziţia şi expoatarea cunoştinţelor într-un anumit domeniu şi asistă procesul de luare a deciziilor.

Periodic sistemele expert sunt actualizate, operând modificările şi realizările dintr-un anumit domeniu, fiind considerate astfel sisteme deschise.

Bonnet A.12 Şi Farrency13 consideră că sistemele expert pot fi şi maşini cu software destinate uneori să înlocuiască specialistul într-o anumită acţiune. Prin urmare, se consideră că un sistem bazat pe inteligenţă artificială nu este un simplu rezolvator de probleme, ci are capacitatea să acumuleze experienţă, devenind un colaborator şi nu consultant al specialistului uman.

Sistemele expert (SE) sunt sisteme de programe bazate pe tehnicile de inteligenţă artificială, care înmagazinează cunoştinţele experţilor umani dintr-un domeniu bine definit şi apoi le folosesc pentru rezolvarea problemelor dificile din acest domeniu.

S.E. încearcă să imite raţionamentele umane prin raţionamente artificiale. Diferenţa dintre ele constă în faptul că, în timp ce omul este influenţat de anumite stări emoţionale şi poate lua decizii diferite în situaţii identice, sistemul expert nu poate fi susceptibil de astfel de erori.

10 Op. cit., pag. 27. din B.G. Buchanan, E.H. Shortliffe, Rule – Based Expert Systems, Addison – Wesley, 198411 Op. cit., pag 27 din R. Davis, Knowledge Based Systems in Artificial Intelligency, Mc. Braw – Hill, New York, 198212 Op. cit., pag. 27 din A. Bonnet, J.P. Haton, Systèmes Experts: vers la métrise technique, Inter Edition, Paris, 198813 Op. cit., pag. 27 din H. Farrency, Les Systèmes experts: principes et exemples, Capedues, 1983

La nivelul întreprinderilor, principalele activităţi pentru care se pot dezvolta sisteme expert sunt: analiza şi planificarea financiară, gestiunea trezoreriei, alegerea variantelor de finanţare a investiţiilor, activitatea bancară.

Părţile componente ale unui sistem expert sunt, în general, următoarele:

- O bază a cunoştinţelor care conţine fapte şi reguli cu privire la obiectul sistemului;

- Un motor de inferenţă dotat cu combinarea faptelor şi a regulilor pentru obţinerea unui rezultat;

- O interfaţă de dialog cu utilizatotul şi cu modul de achiziţionare a cunoştinţelor pentru uşurarea introducerii datelor, faptelor şi regulilor de exploatare.

Funcţionarea sistemului expert are la bază următoarea logică:

- Baza cunoştinţelor conţine reguli şi fapte;- Regulile acţionează asupra faptelor;- Motorul de inferenţă constituie programul sistemului

expert.

Fiecare regulă selecţionată este executată, atrăgând după sine modificarea bazei faptelor.

Operaţiunea se repetă până la epuizarea regulilor stabilite sau până la găsirea unei condiţii de oprire.

Principiul integrării sistemelor informatice asigură, atât integrarea orizontală (conexiuni interne dintre componente), cât şi integrarea verticală (conexiuni cu alte componente situate pe niveluri diferite de management).

Prin urmare, sistemul informatic al unei organizaţii poate asigura un flux de informaţii, atât în interior cât şi în exterior, funcţie de regulile stabilite de management.

Utilizarea sistemelor expert de către organizaţii se poate face în condiţiile existenţei unor procese complexe de decizie, a existenţei unor cunoştinţe de expert, pentru a mări eficienţa (raport cost/rezultate) şi pentru reducerea timpului necesar luării deciziei.

În economia modernă, organizaţiile au nevoie şă înţeleagă mecanismul de funcţionare a pieţei şi modul în care activităţiile lor se integrează într-un lanţ de valori interconectate.

Pentru aceasta au nevoie de un sistem inteligent de management, care să le permită anticiparea modificărilor şi scimbărilor care au loc pentru a se putea adapta rapid la ele.

Un sistem inteligent de management urmăreşte reducerea riscului, stimularea creativităţii şi antrenarea în procesul de luare a deciziilor.

Reducerea riscului se poate face prin anticiparea schimbărilor şi prin utilizarea masei mari de informaţii, experienţe şi idei validate înmagazinate cu ajutorul sitemelor expert.

Stimularea creativităţii se realizează prin identificarea acţiunilor performante şi prin mijloace de analiză rapidă şi sistematică a rezultatelor şi opţiunilor furnizate factorilor de decizie de către sistemele expert.

Antrenarea se realizează prin acumularea, îmbogăţire şi transfer a deciziilor, a mijloacelor de acţiune şi a direcţiilor alese.

Toate aceste caracteristici ale sistemului inteligent de management fac posibilă o conducere dinamică a organizaţiei.

Pentru a răspunde schimbărilor care au loc în organizaţie, aceste sisteme trebuie revizuite periodic pentru a putea răspunde rapid la problemele formulate, adică să fie valide şi fiabile.

Validitatea şi fiabiliatatea sistemului determină robusteţea lui.

1.8. Sisteme inteligente bazate pe procedee euristice

Sistemele inteligente bazate pe procedee euristice permit exploatarea şi valorificarea cunoştinţelor şi corespund unor know-how-uri parţiale.

Procedeul analizei euristice constituie un cadru conceptual şi analitic de măsurare a aspectelor necuantificabile. De aceea, această metodă se utilizează în fundamentarea deciziilor privind producţia, gândirea strategică, aspecte de marketing, finanţe, probleme de personal.

Euristica se defineşte ca fiind14:

O clasă de metode şi regului care dirijează subiectul spre cea mai simplă şi mai economică soluţie a problemelor;

Un drum care permită descoperirea soluţiilor problemelor complexe fără a le supune unei simplificări sau reducţii.

Metodele euristice constau în tatonări legate de natura problemei de rezolvat şi de personalitatea modelatorului.

În centrul preocupărilor euristicii stă ipoteza.

Apariţia unor noi situaţii, care pornesc de la ipoteze, realizează de fiecare dată premisele unei noi etape de punere de acord a modelului cu realitatea.

Metodele euristice reprezintă reguli, care nu garantează soluţia optimă a problemei, dar uşurează drumul spre ea, având legătură cu raţionamentele analogice şi cu psihologia simulării.

Modelarea euristică presupune construirea unui sistem analog cu cel real (supus investigaţiei) şi găsirea regulilor de bază folosite în

14 Op. cit., pag. 31

euristica specialistului, perfecţionarea şi sistematizarea lor printr-un algoritm.

În 1978, Herbert Simon, fondatorul euristicii aplicate, aprimit Premiul Nobel pentru economie, deoarece a elaborat un algoritm general al rezolvatorului de probleme (General Problem Solvitor - GPS), care reprezintă schema generală de concepere a algoritmilor euristici (fig. 1.3).

Principalii paşi sunt ai algoritmului general al rezolvatorului de probleme sunt15:

Pasul 1 : Se construieşte o soluţie iniţială.Pasul 2 : Se testează condiţiile de admisibilitate a soluţiei

(sistemul de restricţii). Dacă aceste condiţii sunt îndeplinite se trece la pasul 4. Dacă nu, se calculează abaterile ε şi se trece la pasul 3.

Pasul 3 : Se caută o strategie de reducere a abaterilor ε. În acest scop analistul, pe baza experienţei dobândite în practică, stabileşte una sau mai multe strategii pentru reducerea abaterilor ε. Testând aceste strategii, se alege strategia care permite, într-un număr cât mai mic de iteraţii, anihilarea abaterilor ε. Dacă după un număr mare de iteraţii (număr raţional de iteraţii) nu se reuşeşte anularea abaterilor, problema se consideră fără soluţie (din punct de vedere al algoritmului euristic folosit). Dacă s-a reuşit obţinerea unei soluţii admisibile se trece la pasul 4.

Pasul 4 : Se calculează funcţia de performanţă f(x0) a soluţiei iniţiale admisibile (de regulă un indicator economic) sau funcţia globală de optimizat (în cazul folosirii mai multor criterii de natură economică sau socială, psihologică etc.).

15 Op. cit., pag. 33

Se construieşte o soluţie iniţială (x0)

SS

Figura 1.3

Test de admisibilitate a soluţiei

(sistem de restricţii)Satisfăcut

NesatisfăcutSe calculează funcţia de performanţă f(x0). Funcţia globală de optmizat

Alegerea unei reguli de transformare a soluţiei x0 în x1, de asemenea posibilă

S-a depăşit numărul

raţional de încercări?

Fără soluţieDa

NuSe calculează abaterile ε Se aplică regula de

reducere a lui ε

Se caută o strategie de reducere a baterilor ε

Stabilirea unei soluţii admisibile

Calculul funcţiei de perfomanţă f(x1)

Se compară

performanţa

f(x1)>f(x0)

Da∆f=|f(x1)-f(x0)| ∆f≥

η

Dax0=x1

Nu

Se tipăreşte:x1 = soluţie suboptimală

Se măreşte probabilitatea de aplicare a regulii care a avut mai mult succes

S-a ajuns la numărul

raţional de iteraţii?

Da

Nu

Nu

Pasul 5 : Cu ajutorul unor reguli de transformare, soluţia iniţială admisibilă x0 se transformă într-o altă soluţie x1, de asemenea admisibilă. Cele mai bune reguli de transformare se aleg după efectuarea paşilor 6 şi 7.

Pasul 6 : Se calculează funcţia de performanţă f(x1) a noii soluţii.

Pasul 7 : Se compară performanţele celor două soluţii f(x0) şi f(x1). Dacă performanţa f(x1) este superioară performanţei f(x0), atunci se evaluează diferenţa |f(x1)-f(x0)|. Dacă această diferenţă este semnificativă, soluţia x1 devine soluţia iniţială şi algoritmul se continuă de la pasul 5. În cazul în care această diferenţă este nesemnificativă sau dacă performanţa f(x1) este inferioară performanţei f(x0) se testează dacă s-a ajuns la un număr raţional de iteraţii. Când acest număr a fost atins, algoritmul se opreşte, permiţând obţinerea unei soluţii suboptimale. Dacă nu s-a realizat numărul raţional de iteraţii, atunci se aleg acele reguli care permit un câştig cât mai mare pentru funcţia de performanţă, iar algoritmul se reia de la pasul 5.

Paşii algoritmului pot fi parcurşi cu sau fără ajutorul calculatorului.

În mod analog a fost construit un algoritm general al compozitorului de probleme. Compozitorul de probleme explorează cazurile în care regulile cu mare succes în mod obişnuit conduc la insucces şi/sau regulile cu insucces conduc la succes.

Întrebări de control

1. Care este obiectul de studiu?2. Care sunt principalele metode de culegere a datelor?

3. Care sunt principalele metode de preluare a datelor?4. În ce constă procesul de trecere de la sistemul real (organizaţie)

la modelul de simulare?5. Care sunt principalele modele în funcţie de structura proceselor

reflectate?6. Ce reprezintă modelarea procedurală pentru activitatea

economică practică?7. Ce sunt sistemele suport de decizie?8. Care sunt elementele asenţiale ale SSD?9. Care sunt categoriile de SSD, după natura problemelor?10. Ce sunt sistemele expert?11. Care sunt părţile componente ale unui sistem expert?12. Din ce categorie de algoritmi face parte algoritmul general

al rezolvatorului de probleme? Prezentaţi paşii algoritmului.

Cap. 2 Analiza sistematică şi construirea modelelor economico-matematice1.8. Analiza de sistem1.9. Structura de mulţimi a unui sistem în abordare

statică şi abordare dinamică1.10. Rolul şi locul modelării economico-matematice în

management1.11. Etapele construirii modelelor economico-

matematice1.12. Tipuri de modele economico-matematice

1.12.1. Modele ce surprind aspecte tehnologice şi de producţie

1.12.2. Modele informaţional-decizionale1.12.3. Modele ale relaţiilor umane1.12.4. Modele informatice

Termeni cheie

- Analiză de sistem- Calitatea informaţiei- Capacitate de producţie- Domeniul optimizării flexibile- Fenomene de aşteptare- Grafic GANTT- Metoda exploziilor sumarizate- Model arborescent- Modele ale relaţiilor umane- Modele de croire- Modele de transport repartiţie- Modele descriptive- Modele informatice

- Modele normative- Modele de tip ADC- Modul de legătură- Ordonanţare şi lotizare- Probleme de afectare- Probleme de amestec- Procesul modelării- Sistem infomaţional decizional- Structura de mulţimi a unui sistem- Structura produselor- Structura de producţie- Vectorul intrărilor- Vectorul ieşirilor- Vectorul stărilor

Obiective

- Abordarea întreprinderii ca sistem cibernetic;- Definirea analizei de sistem;- Prezentarea structurii de mulţimi a unui sistem în abordare

statică şi în abordare dinamică;- Prezentarea rolului şi locului modelării economico-

matematice în management;- Sintetizarea principalelor etape ale construirii modelelor

economico-matematice;- Prezentarea principalelor tipuri de modele economico-

matematice.

2.1. Analiza de sistem

Teoria sistemelor, cu aplicabilitate mai întâi în ştiinţă şi inginerie, a început să fie utilizată şi în management, prin contribuţia şcolii cantitative, la sfârşitul anilor 1950.

Conceptul de sitem se aplică organizaţiilor de orice fel, care au ca părţi componente oamenii, maşinile (tehnologia) şi alte resurse materiale, financiare şi informaţionale.

Odată cu apariţia şi dezvoltarea/perfecţionarea tehnicii de calcul şi a ciberneticii a fost fundamentat conceptul de sistem cibernetico-economic, care pune în centrul său omul în funcţiile de comandă, decizie, control, reglare şi autoreglare.

Cunoaşterea întreprinderii ca sistem este determinată de modul în care elementele sistemului şi relaţiile dintre elemente variază în timp.

Abordarea întreprinderii ca sistem cibernetic, compus din mai multe subsisteme, cuplate între ele prin conexiuni directe şi inverse, permite explicarea ştiinţifică a unor fenomene complexe, care au loc în interiorul sistemului.

Spre exemplu, sistemul cibernetic al unei întreprinderi industriale industriale cuprinde, în principal, următoarele subsisteme, care pot fi considerate ele însele sisteme:

- Sistemul producţie, care constă în ansamblul mijloacelor de producţie (maşini, utilaje, instalaţii tehnologice şi de fabricaţie) şi forţa de muncă;

- Sistemul informaţional-decizional, care constă în procesele de culegere, transmitere, prelucrare şi stocare a informaţiei, procesele de luare a deciziilor la toate nivelurile;

- Sistemul structurii umane, care constă în procesele de motivare individuală a activităţii lucrătorilor, relaţiile complexe dintre aceştia, studiul condiţiilor fizice şi fiziologice ale proceselor de muncă.

Între subsistemele întreprinderii au loc o multitudine de legături infomaţionale, decizionale, de succesiune, alături de fluxurile de materii prime, semifabricate şi produse.

Subsistemul de conducere, coordonare şi control al întreprinderii, privit ca sistem, cuprinde şi el trei subsisteme, şi anume:

- Subsistemul organizatoric;- Subsistemul informaţional-decizional;- Subsistemul informatic;- Subsistemul metode şi tehnici de conducere.

Printre metodele care au luat naştere în cadrul concepţiei sistemice, un loc important îl ocupă analiza de sistem, care se caracterizează prin pragmatism şi posibilităţi de generalizare.

Analiza de sistem reprezintă un complex de procedee de perfecţionare a activităţii generale a organizaţiilor, prin studierea proceselor informaţionale şi decizionale care au loc în organizaţiile respective.

În mod practic, analiza de sistem se utilizează în elaborarea proiectelor pentru conducerea eficientă a organizaţiilor cu ajutorul metodelor economico-matematice şi al tehnicii de calcul.

Analiza sistemică se bazează pe metodologia decizională, care constă într-un ansamblu de reguli pentru luarea deciziei.

Principalele reguli metodologice utilizate în conducerea sistemelor sunt:

a) Adaptarea unei concepţii integratoare privind metodele decizionale;

b) Cunoaşterea profundă şi detaliată a sistemului prin elaborarea modelelor decizionale descriptive şi normative;

c) Comportamentul cibernetic ca lege generală a funcţionării sistemelor şi modelarea acestui comportament ca metodă decizională fundamentală în conducerea sistemelor;

d) Importanţa factorului uman în luarea deciziilor privind conducerea sistemelor;

e) Modelarea descriptivă şi normativă a proceselor decizionale este esenţială pentru conducerea eficientă a sistemlor;

f) Acordarea importanţei modelelor informatice şi sistemelor expert în luarea deciziilor privind conducerea sistemelor;

g) Experimentarea modelelor şi implementarea lor, precum şi funcţionarea în regim normal a sistemului de modele sunt condiţii care să asigure succesul metodologiei de conducere;

h) Existenţa unei analogii semnificative între modelele descriptive sau normative şi problema studiată;

i) Orientarea modelării descriptive şi normative cu precădere către problemele decizionale cele mai importante în conducerea sistemelor;

j) Readaptarea şi supleţea modelelor de conducere a sistemelor în condiţii de risc şi incertitudine;

k) Elaborarea modelelor decizionale dinamice şi previzionale, în condiţiile schimbărilor rapide care au loc în economie, şi, implicit, în interiorul sistemelor.

2.2. Structura de mulţimi a unui sistem în abordare statică şi abordare dinamică

Conform teoriei sistemelor, componente unui sistem organizaţional sunt: intrările de resurse materiale, financiare, informaţionale şi umane necesare pentru a produce bunuri şi servicii; procesele de transformare, care constau în capacităţile manageriale şi tehnologice utilizate pentru transformarea intrărilor în ieşiri; ieşirile care constau în rezultatele obţinute prin procesul de transformare, respectiv, bunurile şi serviciile obţinute de organizaţie; feedback-ul, care constă în informaţie primită de organizaţie (din exterior) despre rezulatatele ei.

Prin urmare, se poate considera că:

Ansamblul fluxurilor primite din exterior (de la alte sisteme) reprezintă vectorul intrărilor în sistem.

Ansamblul fluxurilor dirijate către alte sisteme formează vectorul ieşirilor din sistem.

Mulţimea caracteristicilor unui sistem, la un moment dat, determină starea sa, respectiv, vectorul variabilelor de stare.

Intrările într-un sistem constituie ieşiri pentru alt sistem, ceea ce poate determina posibilitatea cuplării a două sisteme, formând un sistem mai mare, cu proprietăţi diferite, cele două sisteme constituind subsisteme ale noului sistem format.

Sistemul devine cibernetic, atunci când apare reglarea (conexiunea inversă).

Fiecare sistem cibernetico-economic are un comportament intern şi altul extern, corelate între ele, şi care formează comportamentul de ansamblu al sistemului.

Funcţionalitatea este o rezultantă vectorială a intensităţii fluxurilor de intrare în sistem şi a comportamentului acesteia, adică a modului de transformare a fluxurilor de intrare în fluxuri de ieşire.

Un sistem cibernetic este definit de interacţiunea dintre structura, comportamentul şi funcţionalitatea sa în cadrul mecanismului considerat (de exemplu economic).

Se poate spune că, organizaţia de orice fel, este un sistem caracterizat prin:

- Mulţimea intrărilor {I};- Mulţimea stărilor sistemului {S};- Mulţimea ieşirilor din sistem {E}.

Conexiunea inversă (reglarea) asigură transmiterea informaţiei de la organele de execuţie spre organele de decizie, în scopul adaptării la situaţia efectivă.

Pentru a studia un anumit fenomen dintr-o întreprindere este necesar să fie construit un model abstract al fenomenului, pe care se analizează diferite variante posibile de realizat, în anumite condiţii date, privind resursele materiale, financiare şi umane disponibile, tehnologiile existente, astfel încât să fie satisfăcuţi clienţii (beneficiarii bunurilor şi serviciilor produse) şi să se obţină profit pentru întreprindere.

Modelul constă în reprezentarea sistemului ca o mulţime de părţi în interacţiune una cu alta.

Dacă notăm cu:

M - modelul;T - timpul pentru ordonarea evenimentelor;

Unde T R (sistemul are timp continuu)

T Z (sistemul are timp discret).

I - mulţimea intrărilor;F - mulţimea segmentelor de intrare în sistem (segmentul

reprezintă forma intrărilor în sistem);S - mulţimea stărilor sistemului. (Starea este un concept de

modelare a structurii interne a sistemului care conţine istoria acestuia şi care îi afectează prezentul şi viitorul, şi care împreună cu forma intrărilor determină în mod unic ieşirile din sistem);

E - mulţimea ieşirilor din sistem;Ф - funcţia de răspuns a sistemului, adică:

Ф : I*S E (o anumită intrare şi o anumită stare

conduce la un anumit răspuns);

γ - funcţia de tranzacţie a stărilor (trecerea de la o stare la altă stare se face în funcţie de dimensiunea intrărilor în sistem la un moment dat).

Cunoaşterea intrărilor şi a răspunsurilor corespunzătoare acestora reprezintă comportamentul sistemului.

Atunci, structura de mulţimi a unui sistem, în dinamică, este de forma:

M = {T,I,F,S,E,Ф,γ}

Plecând de la abordarea organizaţiei ca sistem caracterizat prin intrare {I}, stare {S}, ieşire {E}, adică {I,S,E} se conturează trei tipuri de probleme cu trei întrebări. (Fig. 2.1)

1. Modelare

2. Simulare

3. Optimizare

Fig. 2.1 Tipuri de probleme în cazul abordării organizaţiei ca sistem

1. Modelarea – realizează sinteza sistemului.

Trebuie construită/configurată/identificată acea situaţie în care plecând de la {I} cunoscute să ne permit obţinerea {E} dorite.

S EI

?

S

S

EI

?I

E?

Tipulproblemei

Elementecunoscute

Elementenecunoscute

Întrebare

{I},{E}

{I},{S}

{S},{E}

{S}

{E}

{I}

Cum?

Ce?

Cu ce?

2. Simularea – realizează analiza sistemului, generează comportamentul sistemului.

Se pune problema, ce se întâmplă cu {E} când mărimea {I} se modifică în condiţiile unei structure constante a sistemului.

3. Optimizarea – conducerea sistemului.

Se pune problema luării deciziei în legătură cu mărimea vectorului {I} care permite atingerea unor obiective {E} în condiţiile unei structure constant a sistemului.

2.3. Rolul şi locul modelării economico-matematice în management

Pentru atingerea obiectivelor, întreprinderile au nevoie să găsească cele mai adecvate mijloace şi metode de conducere, atât pentru activităţile tehnologice, cât şi pentru cele economice.

Activitatea de modelare economico-matematică este eficientă doar în măsura în care ea se desfăşoară în cadrul analizei de sistem, în momentul proiectării sistemului informaţional-decizional.

Din punct de vedere al metodelor utilizate, pentru activităţile economice, analistul de sistem poate utiliza tehnicile de simulare de tip Monte Carlo, dinamica industrială (Forrester) sau jocurile de întreprindere, în timp ce, pentru activităţile tehnologice se utilizează, în principal, metodele bazate pe teoria reglării automate, pe teoria informaţiei şi pe teoria generală a sistemelor.

În ceea ce priveşte mijloacele folosite, în sistemul de conducere a activităţilor economice, se utilizează calculatoarele pentru o mai bună fundamentare a deciziilor luate, iar în activităţile de conducere a proceselor tehnologice, se utilizează calculatoarele pentru elaborarea

automată a deciziilor sub formă de comenzi, care se transmit spre procesul condus.

Astfel, în cadrul sistemelor de conducere utilizarea calculatoarelor electronice în prelucrarea informaţiilor asigură legătura dintre cele două domenii.

În prezent, produsele informatice sunt dotate cu inteligenţă artificială, reprezentând cea mai modernă tehnologie informatică.

Tendinţa actuală este ca sistemul informatic din organizaţii să încorporeze sisteme expert pentru diferite categorii de activităţi.

2.4. Etapele construirii modelelor economico-matematice

Pentru a fi utile, modelele economico-matematice trebuie să ofere o imagine intuitivă, dar riguroasă, în sensul structurii logice a fenomenului studiat, facilitând descoperirea unor legături şi legităţi foarte greu de stabilit pe alte căi. De asemenea, ele trebuie să fie simple, suple, accesibile şi adaptabile.

Procesul modelării cuprinde următoarele etape:

1. Cunoaşterea detailată a realităţii sistemului (procesului) care urmează a fi modelat;

2. Construirea propriu-zisă a modelului conomico-matematic;3. Experimentarea modelului economico-matematic şi evaluarea

soluţiei;4. Implementarea modelului economico-matematic şi actualizarea

soluţiei.

Construirea propriu-zisă a modelului se poate face prin alegerea unui model clasic de modelare, cunoscut din literatura de specialitate,

în concordanţă cu natura problemei care urmează a fi studiată, sau prin elaborarea unui model nou.

Experimentarea modelului se poate face in vivo sau in vitro.

Experimentarea in vivo presupune aplicarea modelului descriptiv sau normativ în practica întreprinderii, constatându-se astfel eficienţa descriptivă sau normativă.

Acest mod de experimentare se recomandă a se face pe eşantioane mici, deoarece implică riscuri mici.

Experimentarea in vitro constă în generarea unor situaţii posibile ale sistemului, denumite variante, ia prin simulare, cu ajutorul modelelor se va face analiza indicatorilor de eficienţă a diferitelor variante.

2.5. Tipuri de modele economico-matematice

Modelele economico-matematice utilizate de întreprinderi în procesele economice se împart în două categorii:

Modele descriptive, care urmăresc reproducerea unor proprietăţi ale sistemului modelat;

Modele normative, utilizate pentru aplicarea unor reguli eficiente de decizie în întreprindere cu scopul creşterii performanţelor.

În practică, între modelele descriptive şi cele normative există o întrepătrundere, deoarece majoritatea modelelor economico-matematice construite în întreprinderi au atât trăsături descriptive, cât şi trăsături normative. Ceea ce le diferenţiază este că unele sunt dominant descriptive, iar altele sunt dominant normative.

Distingerea între cele două aspecte (descriptiv şi normativ) prezintă importanţă pentru a evita confuzia dintre ceea ce există şi ceea ce dorim să fie.

În raport de corespondenţa dintre problemele economice şi modelele economico-matematice, modelele descriptive pot fi grupate în:

Modele ce surprind aspecte tehnologice şi de producţie;

Modele informaţional-decizionale;

Modele informatice.

2.5.1. Modele ce surprind aspecte tehnologice şi de producţie

În literatura de specialitate sunt prezentate o multitudine de modele privind aspectele tehnologice şi de producţie. Câteva dintre acestea sunt prezentate în continuare.

a) Modelul arborescent pentru descrierea structurii produselor şi calculul necesarului de resurse materiale.

Cu ajutorul unui graf, modelul prezintă arborescenţa unui produs P.

Arborescenţa unui produs constă în părţile componente ale produsului finit, cu precizarea normelor de consum reţetei de fabricaţie. Părţile componente ale produsului se descriu pe mai multe niveluri, asfel încât, pe ultimul nivel să poată fi citite componentele de bază, care descriu resursele materiale.

Exemplu

Considerăm:

PFi (i=1,…,p) – produsul finit

ai (i=1,…,p) – cantităţile ce urmează a fi fabricate din produsul finit PFi

Cik – norma de consum din materialul MPk pentru produsul PFi

Nn – cantitatea necesară din materia primă n

Pentru calculul necesarului de materii prime pe un singur nivel al arborescenţei, vom avea:

Pentru situaţiile în care arborescenţa este mai complicată pe mai multe niveluri, vom nota cu V – numărul de niveluri care intervin şi cu h – rangul nivelului.

În acest caz, formula de calcul al necesarului de resurse materiale va fi:

pentru k= .

Suma arată că se vor aduna cantităţile pentru subproduse identice, fiind denumit calculul cu ajutorul exploziilor sumarizate.

Pe baza structurilor arborescente ale produselor finite se poate construi un model matriceal pentru determinarea necesarului de subansamble şi componente, denumit modelul matricei exploziilor sumarizate.

Metoda de calcul constă în determinarea matricei:

MES = E+M1+M2+…+Mk

Unde: k = număr niveluri de descompunere

M1= matricea iniţială

E = matricea unitate

Informaţiile oferite de acest model arborescent sunt completate cu Fişa tehnologică a produsului, oferind astfel imaginea completă asupra structurii tehnologice a unui produs.

b) Modele tip grafice GANTT

Aceste modele sunt folosite în domeniile în care apare problema succesiunii în timp a unor activităţi.

Pot fi folosite atât ca mocele descriptive, cât şi ca modele normative, atunci când este vorba despre secvenţe tehnologice.

c) Modele de tip ADC (Analiza Drumului Critic)

Graficele ADC reprezintă condiţionările logice şi tehnologice dintre activităţile unui proiect şi oferă posibilitatea luării în considerare a necesarului de resurse materilae, umane şi financiare.

Modelele de tip ADC oferă informaţii utile cu privire la termenele de începere şi terminare a activităţiilor, rezerve, activităţi critice, diagrame privind nivelarea, alocarea resurselor etc.

d) Modele de ordonanţare şi lotizare

Ordonanţarea presupune stabilirea unei ordini de efectuare a activităţilor unui proces de producţie, astfel ca interdependenţele dintre ele să fie respectate în limita resurselor deisponibile şi cu o durată totală minimă de execuţie.

Aceste modele se bazează pe tehnici combinatorice şi pe procedee cunoscute sub denumirea branch-and-bound (ramifică şi mărgineşte).

Printre modelele clasice ale teoriei ordonanţării sunt: ordonanţarea a n repere pe m maşini (job shop), ordonanţarea în flux (flow shop), algoritmi pentru ordonanţarea cu restricţii de resurse limitate, modele de ordonanţare bazate pe programarea liniară în numere întregi, modele ADC de tip euristic.

Alături de problemele de ordonanţare se recomandă să fie integrate şi modelele de lot optim.

Modelele de ordonanţare şi lotizare constituie perspectiva modernă asupra programării producţiei.

e) Modele pentru determinarea capacităţilor de producţie

Capacitatea de producţie a unei întreprinderi se stabileşte pe baza fondului de timp disponibil al utilajelor.

Modelele utilizate pentru determinarea capacităţilor de producţie sunt modele complexe, deoarece se utilizează mai mulţi indicatori fizici şi valorici, cum ar fi: fondul tehnic de timp pe grupe de maşini, valoarea cifrei de afaceri, volumul producţiei exprimat în unităţi fizice, fondul de timp necesar pentru principalele piese de schimb etc.

Cu ajutorul acestor indicatori se exprimă situaţia tehnico-economică a întreprinderii la un moment dat (caracter descriptiv). Se poate formula un model de programare liniară cu mai multe funcţii obiectiv, incluzând astfel şi aspecte normative.

Capacitatea de producţie se poate optimiza din mai multe puncte de vedere: reducerii consumului de materii prime sau de energie, al reducerii numărului de personal utilizat etc., în condiţiile satisfacerii sentimentelor contractate şi a unor costuri minime.

f) Modele pentru determinarea structurii de producţie pe o perioadă dată

Aceste modele urmăresc determinarea unei structuri de producţie, pe o perioadă dată, în funcţie de cerinţele pieţei (contracte încheiate) şi de resursele disponibile pentru maximizarea sau minimizarea, după caz, a unor funcţii obiectiv, ca de exemplu: maximizarea profitului, minimizarea costului de producţie, maximizarea cifrei de afaceri etc.

Considerăm:

Pj(j=1,n) – produsele care pot fi realizate într-o întreprindere în cantităţile xj;

bi(i=1,m) – resursele disponibile (capacităţi de producţie, materii prime, materiale, muncitori, specialişti);

aij(i=1,…,m; j=1,…,n) – coeficienţi tehnologici ai capacităţilor de producţie, norme de materiale şi de muncă;

P’j, P’’j – limita inferioară, respectiv, limita superioară ce urmează a se fabrica din fiecare produs j, impuse de cerinţele pieţei;

Crj – coeficientul variaţiei xj fin funcţia obiectiv cu h=1,…,r pentru cele r funcţii obiectiv luate în considerare.

Modelul va fi:

Opt

Acesta este un model de programare liniară cu mai multe funcţii obiectiv, în care restricţiile reprezintă partea descriptivă a modelului, iar funcţia obiectiv, partea normativă.

g) Modele pentru probleme de amestec

Conţinutul unei probleme de amestec sau dietă poate fi formulat astfel:

Un produs final P are în componenţă produsele Pj (j=1,…,n), care trebuie amestecate.

Produsul P are caracteristici calitative impuse şi exprimate prin m indicatori I1, I2,…, In de mărime bi (i=1,…, m);

aij – mărimea indicatorilor pentru fiecare produs (i=1,…,n);

Eh – (h=1,…,r) – indicatori de eficienţă ai fiecărui produs cu mărimile Chj (h=1,…,r); (j=1,…,n), care, după caz, vor fi maximizaţi sau minimizaţi.

Modelul matematic este de forma:

Opt

Şi în cazul modelului de amestec, partea descriptivă a modelului o constituie restricţiile, iar partea normativă, funcţia obiectiv.

h) Modele de croire

În întreprinderi apar probleme de debitare (croire) a unor materiale uni sau bidimensionale (bare de oţel, ţevi, tablă, scânduri, stafe etc).

Modelul se bazează pe programarea matematică.

Considerăm:

aij – numărul de piese/bucăţi de tip i care se debitează/croiesc conform soluţiei (tiparului) j;

Cj – costul deşeurilor rămâne conform soluţiei j;

Ni – numărul de piese/bucăţi necesare de tip i;

Xj – numărul de suprafeţe debitate/croite conform soluţiei j;

Modelul general al problemei de croire va fi:

În practică, problemele de croire sunt rezolvate cu produse program specializate.

i) Modele de transport – repartiţie

Aceste modele reprezintă cazuri particulare ale programării liniare, care permit utilizarea unui algoritm de rezolvare.

Problema de transport, în general, constă în găsirea unui plan optim de transport al unui produs omogen, astfel încât, ţinând seama de disponibilităţile furnizorilor şi de cerinţele clienţilor, să se minimizeze cheltuielile de transport sau numărul de t/km parcurşi.

Dacă notăm cu:

xij – cantitatea de marfă ce se transportă de la centrul de expediţie (furnizori) i la centrul de destinaţie j;

bj – necesarul la clientul j;

Cij – distanţa sau costul asociat transportului unei unităţi de produs de la furnizorul i la clientul j;

ai – cantitetea disponibilă la furnizorul i.

Modelul va fi:

În acest caz, partea descriptivă a modelului o reprezintă restricţiile, iar partea normativă o reprezintă funcţia obiectiv.

j) Modele pentru probleme de afectare

Aceste modele se utilizează în următoarele situaţii practice: repartizarea muncitorilor pe maşinile existente, a utilajelor pe lucrări, a specialiştilor pe diverse sarcini complexe de cercetare/proiectare etc.

Pentru construirea modelului luăm în considerare că există o mulţime de resurse M={M1, M2, …, Mm} care în procesul de producţie trebuie afectate (repartizate) fiecare în parte, câte una din cele n resurse ale mulţimii N={N1, N2, …, Nn}.

Asfel iau naştere nişte cupluri MiNj cu i=1, …, m şi j=1, …, n, adică:

Muncitori pe maşini;

Utilaje pe lucrări;

Specialişti pe sarcini de rezolvat etc.

Modelele cele mai utilizate în funcţie de specificul problemei sunt: algoritmul ungar şi metode de tip branch-and-bound (ramifică şi mărgineşte).

k) Modele de flux în reţele de transport

Cu ajutorul acestor modele pot fi rezolvate următoarele tipuri de probleme din practică: se poate descrie procesul transportului intern într-ouzină, distribuţia unei materii prime fluide sau gazoase (apă, CH4, abur, ţiţei etc.) în procesul de producţie etc.

Reţeaua de transport este reprezentată de un graf, cu sau fără circuite, în care fiecărui arc XiXj i se asociază o capacitate Cij, care reprezintă fluxul maxim care poate străbate o porţiune din reţea, reprezentată de arcul XiXj.

Problema constă în maximizarea fluxului total efectiv care străbate reţeaua, cu respectarea restricţiilor de capacitate.

În general, pentru rezolvare se foloseşte algoritmul Ford-Fulkerson.

l) Modele pentru amplasarea utilajelor

Amplasarea utilajelor în secţiile de producţie trebuie făcută în aşa fel, încât drumul parcurs de piesele care se prelucrează să fie cât mai redus, introducând pentru aceasta un indicator de eficienţă.

Problema are două părţi, şi anume:

O parte descriptivă, care constă în caracterizarea tuturor utilajelor din punct de vedere al posibilităţii de prelucrare a reperelor;

O parte normativă, care constă în întocmirea algoritmilor pentru formarea liniilor tehnologice şi amplasarea propriu-zisă a utilajelor în cadrul acestora.

Caracterizarea utilajelor se face cu o matrice booleană de dimensiuni m x n (m= numărul reperelor, n= numărul utilajelor), cu ajutorul căreia se pune în evidenţă posibilitatea de a prelucra reperul Ri (i=1, …, m) pe maşna Mj (j=1, …, n).

m) Modele pentru descrierea muncii fizice

Metodele mai importante de modelare descriptivă a muncii fizice au ca obiectiv să ofere o imagine cât mai fidelă a modului cum se efectueză munca fizică pentru ca pe baza acesteia să se elaboreze modele normative.

Din categoria modelelor pentru descrierea muncii fizice fac parte şi studiile ergonomice privind interacţiunea dintre om şi mediul de muncă.

n) Modele pentru fenomene de aşteptare

În activitatea practică din domeniul economic apar adesea situaţii de aşteptare, generate de imposibilitatea de a corela temporal diverse activităţi care se intercondiţionează.

Conceperea unui model de aşteptare presupune cunoaşterea unor caracteristici ale fenomenului studiat privind numărul mediu de: unităţi în sistem, a unităţilor în curs de servire, de unităţi în şirul de aşteptare, de staţii neocupate, de unităţi ce sosesc într-o unitate de timp dată, precum şi timpul mediu: de servire, de aşteptare în sistem şi de aşteptare în şir.

Aceste modele au un caracter complex descriptiv-normativ.

o) Modele de stocare

Având în vedere că stocarea presupune cheltuieli directe şi indirecte generate de achiziţionarea, transportul şi depozitarea materiilor prime, materialelor etc, şi uneori de deprecierea acestora, este oportun să se utilizeze un program optim de producţie, care să asigure un nivel minim a cheltuielilor ocazionate de depozitare.

Sistemele moderne de gestiune a stocurilor răspund următoarelor cerinţe:

- Determinarea cantităţii optime de comandat;

- Determinarea perioadei de aprovizionat (moment optim de lansare a comenzii de aprovizionare);

- Determinarea stocului de siguranţă optim în condiţiile minimizării cheltuielilor.

Modelul economico-matematic de stocare cuprinde principalele elemente ale oricărui proces de stocare, şi anume: cererea, aprovizionarea, parametrii temporali şi costurile specifice (cost de lansare a unei comenzi, cost de stocare şi cost de penalizare sau rupere).

Dacă notăm cu:

– consumul de material m, la momentul t pentru a obţine o

cantitate din produsul i;

Xi – cantitatea de produs i exprimată în unităţi fizice;

– stocul din materialul m existent la momentul t.

Dacă

Atunci

Aşa încât

Componenta ∆S trebuie determinată cu modelele economico-matematice.

Există o multitudine de modele de stocare: deterministe, probabiliste, statice, dinamice, cu cerere continuă, cu cerere discontinuă etc.

Modelele de stocare cuprind atât elemente descriptive, cât şi o parte normativă: procesul de determinare a politicii optime de reaprovizionare.

p) Modele ale controlului static al calităţii produselor

Aceste modele au atât caracter descriptiv cât şi normativ şi se bazează pe cunoştinţe de statistică matematică.

2.5.2. Modele infomaţional-decizionale

Modelele informaţional-decizionale se împart în două categorii:

Modele pentru descrierea reţetei informaţional-decizionale;

Modele care descriu structura procesului decizional.

Din prima categorie fac parte:

- Modele de tip organigramă a structurii organizatorice;

- Diagrama de flux a documentelor;

- Diagrama informaţional-decizională;

- Modelele de tip aval-amonte.

Din cea de-a doua categorie fac parte:

a) Modele logicii formale, şi anume:

- Modelele logicii clasice;

- Modelele logicii matematice;

- Modelele axiomatizate;

- Modelele metateoretice;

- Modelele semiotice;

b) Metode ale teoriei deciziei, şi anume:

- Modelul general al procesului decizional care explicitează elementele acestui proces: variante, consecinţe, criterii, stări ale naturii;

- Modelul deciziilor de grup a lui Arrow;

- Teoria utilităţii;

- Modele în condiţii de risc şi incertitudine;

- Modele multicriteriu.

2.5.3. Modele ale relaţiilor umane

Modelarea descriptivă a relaţiilor umane din întreprinderi se referă la condiţiile observării, obiectul observării (indivizi, grupuri şi reşaţiile lor reciproce) şi măsurarea rezultatelor observaţiilor.

Printre modelele de descriere a relaţiilor interpersonale şi de grup se află: interviul, chestionarul, autochestionarul.

Principalele modele de descriere a relaţiilor interpersonale şi de grup în întreprinderi sunt:

Testele sociometrice;

Modele pentru descrierea comunicării între indivizi şi grupuri;

Modele de simulare a relaţiilor umane.

Un loc important îl ocupă modelele descriptive în vederea selecţiei şi promovării personalului (teste de inteligenţă, de aptitudini speciale, de performanţă) şi modele care descriu comportamentul în întreprindere.

O primă categorie de modele încearcă să surprindă relaţia dintre motivaţii (trebuinţe, tendinţe, afecte, interese, intervenţii, idealuri) şi comportament, cum ar fi importanţa rolului profesional în procesul muncii pentru orice om.

Alte modele se referă la stilul de conducere al liderilor formali sau informali.

Pentru relaţiile umane din întreprinderi există o serie de modele pur normative, şi anume:

Modelul conducerii descentralizate a întreprinderii;

Regula stimulării lucrătorilor şi specialiştilor;

Prioritatea relaţiilor de respect şi încredere faţă de cele de autoritate;

Regula responsabilităţii profesionale.

2.5.4. Modele informatice

Modelele informatice pot fi grupate în:

Modele complexe hardware;

Modele de tip software de aplicaţii;

Modele de organizare a datelor (fişiere, bănci, baze de date).

Având în vedere că majoritatea modelelor economico-matematice au atât trăsături descriptive, cât şi normative, diferă fiind doar intensitatea unora sau altora în situaţia modelată, la un moment dat, se poate pune în evidenţă zona de interferenţă a lor printr-un modul de legătură (Fig. 2.2.).

Fig. 2.2. Cele patru categorii de modele şi modul de legătură

ModeleTehnologice

ModeleInformaţional-

Decizionale

ModeleRelaţiilorUmane

ModeleInformatice

ModululDe

Legătură

Întrebări de control

1. De ce organizaţia poate şi trebuie să fie privită ca un sistem? Prezentaţi categoriile specifice teoriei sistemelor.

2. Ce reprezintă analiza de sistem?

3. Enumeraţi principalele subsisteme componente ale unei întreprinderi industriale.

4. Prezentaţi sinaptic legăturile între cele trei subsisteme ale sistemului de conducere, coordonare şi control al întreprinderilor.

5. Care sunt caracteristicile unui model descriptiv, dar ale unui model normativ?

6. Explicaţi în ce constă vectorul intrărilor, vectorul ieşirilor şi vectorul stărilor.

7. Prezentaţi şi comentaţi tipurile de probleme în cazul abordării organizaţiei ca sistem.

8. În ce condiţii modelarea economico-matematică este eficientă pentru o organizaţie?

9. Care sunt metodele utilizate de analistul de sistem pentru activităţile economice; dar pentru activităţile tehnologice?

10. La ce serveşte tehnica de calcul în cadrul sistemelor de conducere a activităţilor economice, dar în cazul sistemelor tehnice de producţie?

11. Care sunt etapele construirii modelelor economico-matematice?

12. Care sunt principalele tipuri de modele economico-matematice?

13. Prezentaţi principalele modele privind aspectele tehnologice şi de producţie.

14. Prezentaţi succint modelele informaţional-decizionale.

15. Prezentaţi succint modelele relaţiilor umane.

16. Prezentaţi modelele informatice.

17. În ce constă modulul de legătură?

Cap. 3 Modele economico-matematice utilizate în alocarea resurselor unei organizaţii

1.1. Teorema de optimalitate a lui Bellman1.2. Modelarea alocării unor fonduri băneşti în

funcţie de efectele economice obţinute. Studiul de caz nr. 1

1.3. Modelul de analiză a drumului critic pentru proiectele complexe

1.4. Modelul de analiză a drumului critic/cost1.5. Algoritm euristic de alocare a resurselor

Studiul de caz nr. 2Studiul de caz nr. 3

Termeni cheie

- ADC/COST- ADC/resurse- Analiza drumului critic- Bellman- Efect economic- Fond bănesc- Politică optimă- Programare dinamică- Resurse- Rezerva de timp- Subpolitică

Obiective:

- Cunoaşterea şi aplicarea principiului de optim formulat de Bellman;

- Prezentarea şi esemplificarea unor modele economico-matematice utilizate în alocarea resurselor băneşti în funcţie de efectele economice obţinute;

- Prezentarea şi esemplificarea modelului de analiză a drumului critic/cost şi a algoritmului euristic de alocare a resurselor.

3.1. Teorema de optimalitate a lui Bellman

În stabilirea unei politici optime de armonizare a obiectivelor cu resursele orgnizaţiei se utilizează metode ale programării dinamice.

Programarea dinamică conţine o serie de metode adaptive, deoarece, la fiecare moment, decizia optimă ce trebuie luată depinde de mulţimea evenimentelor care s-au produs anterior.

Succesiunea unor decizii formează o strategie (politică), iar orice şir de decizii succesive care fac parte dintr-o politică se numeşte subpolitică.

În mulţimea politicilor posibile există cel puţin una, denumită optimală, care permite optimizarea criteriului de eficienţă ales.

Teorema de optimitate formulată de Bellman arată că orice politică extrasă dintr-o politică optimală este ea însăşi optimală.

Aplicarea acestui principiu de optimalitate în rezolvarea problemelor practice de armonizare a obiectivelor cu resursele se face diferenţiat, în funcţie de caracterul parametrilor care pot fi de tip determinist sau probabilist.

Pentru aplicarea strategiilor de optimizare, modelul se structurează sub forma unor ecuaţii sau inecuaţii, care descriu fenomenul studiat, a unor restricţii asupra variabilelor şi a unui criteriu de optim.

Rezolvarea acestor probleme se face prin descompunerea problemei în faze (subproblemă cu o singură variabilă) şi aplicarea principiului lui Bellman.

A lua o decizie optimă în dinamică înseamnă a găsi o politică optimă pe toată perioada de referinţă, astfel încât toate subpoliticile componente să fie optime.

Variabilele care descriu starea procesului luat în considerare se numesc variabile de stare.

Problema constă în determinarea unui şir de decizii, iar efectul fiecărei decizii îl reprezintă modificarea stării sistemului.

Metodele progremării dinamice utilizate în stabilirea unei politici optime sunt posibile datorită caracterului secvenţial al unor procese economice.

Etapele sau paşii procesului sunt momemntele în care trebuie luate deciziile. În problemele secvenţiale, ele formează un şir crescător.

3.2. Modelarea alocării unor fonduri băneşti în funcţie de efectele economice obţinute

Să presupunem următoarea problemă economică: repartizarea unui fond pe n obiective disponibile, astfel încât efectele En(F) să fie maxime, unde:

F – fondul disponibil ce urmează a fi alocat pentru modernizarea/reprofilarea/dezvoltarea a n obiective (secţii, unităţi etc.);

Xk – fondul ce se alocă pentru fiecare obiectiv k, deci

Ek(F) – efectul economic integral ce se obşine prin alocarea optimă a fondului F pe k obiective (reprezintă suma efectelor ce se obţin pentru diferite obiective)

Facem următorul raţionament, plecând de la principiul de optimalitate a lui Bellman:

Dacă pentru obiectivul k s-a repartizat un fond xk şi s-a obţinut efectul ek(xk), atunci pentru (k-1) obiective se va aloca (F-xk) şi se va obţine efectul ek-1(F-xk), deci efectul total va fi:

Ek(F)=max{ek(xk)+Ek-1(F-xk)}, xk [0,F]

În mod analog pentru k = n

En(F)=max{en(xn) + En-1(F - xn)}

Determinând valoarea lui xn care maximizează eficienţa

economică integral, obţinem nivelul optim al fondului alocat xn→ .

După ce s-a determinat se continuă procesul de citire a

soluţiei:

, , …, , ,

Mulţimea acestor valori ordonate crescător reprezintă tocmai strategia de alocare optimă a fondului de etape (obiective).

Studiu de caz 1

O firmă industrială are la dispoziţie un fond de 5 milioane lei pentru modernizarea capacităţii de producţie în cele trei filiale ale sale.

Specialiştii firmei au înlocuit un studiu cu scopul de a analiza repartizarea fondului pentru creşterea producţiei din cele trei filiale, respectiv, care va fi efectul economic anual exprimat prin producţia industrială preconizată a fi obţinută.

Rezultatele studiului sunt prezentate în tabelul nr. 1.

Tabelul nr.1

Fondul alocabil (mil. lei)

Producţia preconizată a fi obţinută la filialele (mil. lei)

F1 F2 F3

0 0 0 01 2 2,5 1,52 3,5 3 33 4 3,5 44 4,5 4,5 55 6 7 6,5

Se cere să se elaboreze strategia optimă de repartizare a celor 5 milioane lei, astfel încât efectele economice la nivelul firmei să fie maxime.

Rezolvare

Se contruieşte strategia optimă pentru două obiective luate împreună. Se calculează funcţia:

E2(x1,x2)=e2(x2)+E1(x1)=e2(x2)+E1(F-x2)

Tabelul nr. 2

F x2 F-x2 e2(x2) E1(x1) E(x1x2) E2(x1x2)1 1

001

2,50

02

2,52

2,5 1

2 210

012

3-2,5

0

02

3,5

34,53,5

4,5 1

3 3210

0123

3,53

2,50

02

3,54

3,5564

6 1

4 43210

01234

4,53,53

2,50

02

3,54

4,5

4,55,56,56,54,5

6,56,5

21

5 543210

012345

74

3,53

2,50

02

3,54

4,56

76,57776

7

777

5

321

Se continuă prin conceperea strategiei optime de utilizare a

fondului pentru cele trei filiale luate împreună şi determinarea lui ..

Se calculează E3(x1x2x3).

Tabelul nr. 3

F x3 F-x3 e3(x3) E2(F-x3) E(x1x2x3) E3(x1x2x3)1 1 0 1,5 0 1,5

0 1 0 2,5 2,5 2,5 02 2

10

012

31,50

02,54,5

34

4,5 4,5 03 3

210

0123

43

1,50

02,54,56

45,566

66

10

4 43210

01234

543

1,50

02,54,56

6,5

56,57,57,56,5

7,57,5

21

5 543210

012345

6,5-543

1,50

02,54,56

6,57

6,57,58,5987

9 2

Soluţia este { = 2; = 1; = 2;}, adică cele 5 milioane au

fost repartizate în funcţie de efectele totale.

Efectul total maxim este de 9 milioane lei.

3.3. Modelul de analiză a drumului critic pentru proiecte complexe

Analiza drumului critic este un instrument managerial utilizat frecvent în programarea şi urmărirea lucrărilor de anvergură (investiţii, reparaţii capitale, revizii la instalaţii, cercetare-dezvoltare etc.), care permite pe termen mediu şi scurt, programarea operativă a

execuţiei, precum şi actualizarea periodică a acestor proiecte, ţinând seama de factorii: timp, cost, resurse materiale şi umane.

Metoda constă în descompunerea acţiunilor complexe în părţi componente, la un nivel care să permită corelarea logică şi tehnnologică a acestora, adică să facă posibilă stabilirea intercondiţionărilor între părţile componente, care se numesc activităţi.

Prima operaţie cerută de metodologia ADC este definirea listei activităţilor de către specialişti, care pe baza experienţei dobândite stabilesc sctivităţile imediat precedente (condiţionările) şi durata fiecărei activităţi care poate avea caracter determinist (se cunoaşte cu exactitate), probabilist (se calculează durata medie probabilă) sau se determină prin simulare.

Activităţile sunt de trei feluri:

- Propriu-zise (consumă timp şi resurse);

- Tip aşteptare (consumă numai timp);

- Fictive (nu consumă nici timp, nici resurse, dar sunt introduse din considerente de reprezentare grafică).

Evenimentele sunt momentele caracteristice ale unei acţiuni complexe şi reprezintă studii de realizare a activităţilor. Ele se prezintă sub forma unor noduri.

Pentru exemplificare să considerăm o activitate (Aij), care se desfăşoară între termenul minim al evenimentului precedent (i) şi termenul maxim al evenimentului următor (j). Deci, o anumită activitate este definită de evenimentul de început, respectiv, de terminare.

Grafic, aceste aspecte pot fi prezentate ca în figura 3.1.

Aiji j

dij

Fig 3.1

Dacă (dij) reprezintă durata de desfăşurare a activităţii (Aij), acesta poate avea sau nu o rezervă de timp în funcţie de termenele în care se desfăşoară.

Rezerva totală (Rt) se calculează cu formula:

Într-un graf se pot lua în considerare succesiuni de activităţi adiacente plecând de la începerea primei activităţi până la terminarea ultimei activităţi.

Însumând duratele activităţilor pentru fiecare succesiune se obţin valori diferite.

Pentru înţelegerea esenţei metodei ADC este important de reţinut că cea mai lungă succesiune determină durata minimă posibilă de execuţie a întregii acţiuni. Acesta este de execuţie a întregii acţiuni. Acesta este drumul critic al grafului.

Altfel spus, drumul critic al unui graf este succesiunea activităţilor dintre nodul iniţial şi nodul final care au rezervă totală nulă.

Cu ajutorul tehnicii calculului drumului critic se poate determina durata minimă posibilă de realizare a acţiunii complexe.

Modul de calcul al termenelor minime şi maxime pentru un eveniment (p) din graf poate fi prezentat ca în fig. 3.2.

tmin tmax tmin tmax

Momentul cel mai devreme posibil de terminare a tuturor activităţilor care converg în p este:

Momentul cel mai târziu posibil de începere a activităţilor care pleacă din p este:

Fig. 3.2

Avantajele acestei metode sunt numeroase. Principalul avantaj se referă la determinarea cu anticipaţie a duratei de execuţie a acţiunilor (proiectelor) complexe, cu o aproximaţie acceptabilă şi cu respectarea legăturilor logice şi tehnologice dintre activităţi.

tmin tmax

tmin tmax

tmin tmax

K1

K2

Kn

AK1p

dK1p

AK2p

dK2p

dKnp

AKnp

...

p

tmin tmax

? ?

tmin tmax

tmin tmax

tmin tmax

q1

q2

qn

..

.

Apq1

Apq2

Apqn

3.4. Modelul de analiză a drumului critic/cost

Durata de execuţie a unei acţiuni variază în general, între două momente de timp, şi anume, unul maxim şi altul minim, impuse de consideraţii tehnice şi/sau economice. Evident, durata lucrării are numeroase implicaţii asupra costului. De aceea este important de determinat acea durată a acţiunii complexe căreia îi corespunde un cost minim.

Se consideră că fiecare activitate are dacă durate de execuţie, şi anume, o durată normală (asimilată duratei maxime de execuţie a activităţii) şi o durată de execuţie minimă (crash), la care se poate ajunge prin măsuri de urgentare.

Funcţia cost-durată este descrescătoare, deoarece orice efort de urgentare este însoţit de creşterea cheltuielilor. Costul unitar al urgentării se calculează ca un raport între diferenţa costurilor şi duratelor de execuţie a activităţilor.

3.5. Algoritm euristic de alocare a resurselor

Metodele de rezolvare a problemelor ADC/RESURSE sunt în principal metode analitice şi metode euristice.

Metodele analitice propun rezolvarea problemelor prin programare matematică.

Metodele euristice utilizează un ansamblu de reguli ce permit alcătuirea unui program bun, fără a avea certitudinea că acesta este optim, dar cu pretenţia că explorează direct particularităriţile problemelor. Aceste metode sunt utile pentru o conducere eficientă.

Pentru exemplificare, luăm în considerare un algoritm de alocare care conduce la o soluţie într-un timp acceptabil de calcul faţă

de algoritmii exacţi, care, deşi conduc la o soluţie optimă, necesită timp foarte mare de calcul, chiar pentru proiecte mici.

Notaţii:

Pentru fiecare activitate (i,j) cu durata dij vom considera că tmi

este termenul minim de începere, tMt este termenul maxim de terminare, iar Rij rezerva totală de timp,

atunci:

La un moment dat t al execuţiei proiectului se definesc următoarele mulţimi:

Et = mulţimea activităţilor proiectului care se execută la momentul t;

Tt = mulţimea activităţilor care au fost terminate până la momentul t;

Nt = mulţimea activităţilor neprogramate;

Ct = mulţimea activităţilor candidate, care sunt potenţial posibil să fie programate la momentul de începere t.

Fie:

unde:

Pt = mulţimea activităţilor candidate, care sunt programate la momentul t;

At = mulţimea activităţilor amânate.

Algoritmul programează la momentul t activităţile din Ct notate Pt, pentru care:

dar nu există nici o activitate din At = Ct – Pt, astfel ca:

Activităţile dint Pt vor fi programate la momentele de începere tij= t, iar activităţile din At se vor amâna la momentul t + π, unde:

În continuare, activităţile amânate At vor avea termenul de începere tij = t + π, ţinând cont de aceste termene ca termene impuse, se calculează din nou termenul minim pentru activităţile neprogramate Nt.

Dacă se consideră că noul moment t + π este momentul t de lucru, mulţimea activităţilor candidate va conţine pe acelea care au termenul de începere minim egal cu t.

Avem:

unde Ft sunt activităţile din care se termină la momentul

t + π.

Importanţă în acest algoritm este selectarea submulţimii Pt din Ct

pe baza unor criterii, cum ar fi:

Programarea activităţilor din mulţimea candidaţilor Ct în ordinea crecătoare a rezervei de timp Rij;

Programarea activităţilor din mulţimea candidaţilor Ct care asigură o încărcare la maximum a capacităţilor diponibile, deci nu există nici o activitate din At = Ct \ Pt, astfel ca:

Programarea activităţilor din mulţimea candidaţilor Ct, în ordinea crescătoare a termenului maxim de începere.

Aceste criterii pot fi utilizate şi simultan, unul dintre ele fiind considerat secundar.

Studiu de caz 2

Se presupune utilizarea criteriului de alocare: programarea activităţilor în ordinea crescătoare a rezervei de timp, pentru determinarea duratei minime de execuţie a unui proiect (P) definit de 11 activităţi ce utilizează resursele R1 şi R2, fără a depăşi disponibilul DR1=6 şi DR2=8.

Duratele activităţilor, cu precedenţele (intercondiţionările dintre ele) şi intensitatea resurselor se prezintă în tabelul următor (Tabelul nr. 4).

Tabelul nr. 4

Nr. A Condi-ţionări

R1 R2 D tm tM Rt

1 A - 4 6 2 0 2 02 B A 2 4 1 2 11 83 C A 4 2 5 2 7 0

4 D A 4 6 3 2,3,7,15 13 8,7,3,-55 E B 2 2 1 3,7,15,18 20 16,12,4,16 F B 2 2 4 3,7,15 15 8,4,-47 G C 3 4 8 7 15 08 H D 2 4 2 5,18 15 8,-59 I E 2 4 3 4,19 23 16,110 J F,G,H 2 2 8 15,20 23 0,-511 K I,J 2 6 2 23,28 25 0,-5

Alocarea resurselor se face parcurgând etapele algoritmului prezentat, iar în tabelul 4 sunt puse în evidenţă activităţile candidate ce urmează să fie programate la momentul t. Termenele de începere a activităţilor programate sunt actualizate în limita rezervei disponibile (se pot urmări deplasările spre dreapta în cazul activităţilor neprogramate) şi rezervele de timp calculate.

Se pun în evidenţă de fiecare dată activităţile candidate Ct, deci posibil să fie programate reţinând seama de diponibilul resurselor, activităţilor în execuţie Et la momentul t, activităţile programate Pt, de asemenea, termenul de începere şi rezerva de timp.

Alocarea resurselor va începe la momentul

t = 0

Activităţilor candidate sunt C0 = {A} şi în execuţie:

E0 = 0

Activitatea A se programează la momentul t deci P0 = {A}.

Următorul moment de alocare este t = minA(0+2) = 2, F0 = A.

t = 2

C2 = {B, C, D}; E2 = 0;

Înseamnă că unele activităţi vor fi amânate. Se calculează rezerva de timp:

Se amână activitatea D:

Activităţile B şi C se programează la momentul t = 2, P2 = {B,C}.

Se amâmă A2 = {D}.

Activitatea S se amână la momentul

Şi se calculează termenele de începere a activităţilor.

t = 3

Se calculează rezervele de timp:

Se amână activitatea E cu rezerva cea mai mare.

Se amână următoarea activitate cu rezerva cea mai mare, adică F.

Pentru că se amână şi activitatea D.

Deci P3 = 0 şi A3 = {D,E,F}.

Următorul moment este t = minC (2 + 5) = 7 şi F3 = {C}.

t = 7

Se observă că se amână pe rând activităţile E, F şi D pentru ca să se respecte disponibilul şi criteriul de alocare, rezerva minimă:

t = 15

Se amână activitatea E

t = 18

Se programează E şi H la momentul t = 18

t = 19

Deci

t = 22

Pentru că nu există nici o activitate care să se programeze, se calculează următorul moment de alocare a resurselor.

t = 28

şi K se programează la momentul t = 28

Întreaga lucrare durează T = 28 + 2 = 30 unităţi de timp.

Histograma încărcării resurselor în urma alocării resurselor este dată de figura 3.3.

Fig. 3.3

Graficul Gantt corespunzător programării activităţilor în urma alocării resurselor este prezentat în figura 3.4.

Activitatea este programată în intervalele de timp reprezentate cu linie continuă, iar porţiunea punctată reprezintă amânarea spre dreapta de la termenul de începere în procesul de alocare.

2 C

B

A

4

2 7 15

G

6

DIE

F H J K

H

19 20 3028

2C

BA

4

2 7 15

G

6

8

3028

K

D

F

19 20

EH

H

J

I

10

11K

J

I

Fig. 3.4

Remarcă: La momentul t = 3 se observă că au fost amânate, conform criteriului de alocare, toate activităţile candidate, cu toate că una din activităţi E sau F putea fi programată, fiind suficiente resurse.

Studiul de caz 3

Se propune extinderea studiului de caz 1, în sensul că, plecând de la aceleaşi date ale proiectului (P), se procedează la alocarea resurselor R1 şi R2, considerând criteriul principal încărcarea la maximum a capacităţilor disponibile iar rezerva de timp criteriul secundar (tabelul 5).

Tabelul 5

Nr. A Condi-ţionări

D R1 R2 tm tM Rt

0 2 3 4 5 7

1

2

15 18 19 20 22 23 28 30

5

6

3

4

7

8

9

A

B

C

H

G

F

D

E

1 A - 2 4 6 0 2 02 B A 1 2 4 2 11 83 C A 5 4 2 2 7 04 D A 3 4 6 2,3,7 13 8,7,35 E B 1 2 2 3,7 20 16,126 F B 4 2 2 3 15 87 G C 8 3 4 7,8,10 15 0,-1,-38 H D 2 2 4 5,10 15 8,39 I E 3 2 4 4,8,10,12 23 16,12,10,810 J F,G,H 8 2 2 15,18 23 0,-311 K I,J 2 2 6 23,26 25 0,-3

t = 0

t = 2

Se observă că se amână activitatea D, deci

t = 3

Se amână activitatea D şi una din activităţile E şi F. Pentru că RE

= 16 şi RF = 8, se amână E.

t = 7

Se amână G şi {G}

t = 8

Se amână şi G şi I; A8 = {G,I},

t = 10

Se amână fie H, fie I, dar pentru că:

se amână activitatea I

t = 12

t = 15

Se calculează următorul moment de alocare

t = 18

t = 26

Deci K se programează la momentul t = 26

Durata lucrării este egală cu T = 26 + 2 = 28

Graficul Gantt corespunzător este prezentat în figura 3.5.

Histogramele resurselor R1 şi R2 corespunzătoare programării activităţilor şi alocării şi alocării resurselor sunt prezentate în figura 3.6.

Aplicând criteriul încărcării la maxim a capacităţilor disponibile s-a obţinut în acest caz o durată a lucrării mai scurtă cu două unităţi de timp decât în cazul alocării după criteriul rezervei de timp minime.

Fig. 3.5

0

1

4

5

2

3

6

7

8

9

10

2 3 4 5 7 18 23

11

A

B

C

F

8 9 10 12 16

D

E

H

G

I

26 28

J

K

0

2

4

6

8

A

B

C

D

F E

C

H I

G J K

Fig. 3.6.

Întrebări de control

1. În ce constă teorema de optimalitate formulată de Bellman?2. Care este formula de calcul privind efectul total obţinut pentru n

obiective, ştiind că pentru obiectivul k s-a repartizat un fond xk şi s-a obţinut efectul ek(xk); k = n?

3. În ce constă analiza drumului critic?4. În ce constă metoda analizei drumului critic?5. Ce reprezintă drumul critic al unui graf?6. Care este formula de calcul a rezervei totale de timp?

2 3 7 10 18 26 28

2 3 7 100

2

4

6

8

18 26 28

AB

C

DF

C

H I

G

E

J

K

Cap. 4 Simularea proceselor economice1.13. Conceptul de simulare1.14. Aplicaţii economice ale simulării1.15. Etapele simulării1.16. Simularea Monte Carlo1.17. Alte tipuri de simulare

1.17.1. Simularea evenimentelor discrete1.17.2. Simularea sistemelor continue cu tehnici

Forrester1.17.3. Simularea tip joc

Termeni cheie

- Deviaţia standard- Distribuţia t- Distribuţia uniformă distribuţii de probabilitate- Experiment de simulare- Generatori de numere pseudoaleatoare- Interval de încredere- Mecanism de avansare a timpului simulat- Media de selecţie- Metoda Monte Carlo- Metode congruenţiale- Numere aleatoare- Perioada de repetiţie

- Precizia metodei Monte Carlo- Probabilitate cumulată- Regula evenimentului următor- Simularea evenimentelor discrete- Simularea tip Forrester - Simularea tip joc

Obiective- Prezentarea tehnicii de simulare pentru realizarea

experimentelor cu ajutorul calculatorului cu scopul descrierii comportamentului şi structurii unei organizaţii de-a lungul unei perioade lungi de timp;

- Prezentarea aplicaţiilor practice ale simulării şi a modului de rezolvare a problemelor decizionale cu ajutorul simulării;

- Prezentarea principalelor tipuri de simulare (Monte Carlo, Forrester, tip joc).

4.1 Conceptul de simulare

În contextul abordării cantitative a problemelor decizionale, prin simulare se construieşte un model al unui sistem real şi se realizează experimente cu acest model în scopul înţelegerii comportamentului sistemului şi/sau cu scopul evacuării diferitelor strategii pentru sistemul analizat.

Simularea este o tehnică de realizare a experimentelor cu ajutorul calculatorului electronic şi presupune utilizarea unor tipuri de relaţii matematice şi logice necesare pentru descrierea comportamentului şi structurii unui sitem real complex de-a lungul unei perioade lungi de timp.

Sistemul analizat poate fi real sau teoretic. Datele despre funcţionarea sistemului analizat se obţin prin generarea unei istorii

artificiale cu ajutorul unui model. Scopul simulării este de a găsi caracteristica de funcţionare a sistemului real.

Simularea se recomandă a fi folosită în cazul problemelor decizionale care nu pot fi analizate prin metode analitice de optimizare.

Deşi, atât simularea, cât şi optimizarea sunt metode cantitative bazate pe metodele matematice, ele se deosebesc fundamental prin rolul variabilelor de decizie.

În cazul optimizării, valorile variabilelor de decizie sunt date de ieşire ale modelului. Aceste valori se obţin cu ajutorul unui algoritm de optimizare, astfel încât ele să maximizeze sau minimizeze valoarea unei funcţii obiectiv, care exprimă criteriul de performanţă al modelului. (De exemplu: maximizarea veniturilor sau minimizarea cheltuielilor).

În cazul simulării, valorile variabilelor de decizie sunt date de intrare ale modelului. Prin simulare, pe baza parametrilor specificaţi de decident şi prin generarea artificială a valorilor mărimilor probabilistice, se evaluează criteriul de performanţă pentru anumite valori ale variabilelor decizionale. În final, se va alege varianta care conduce la cea mai bună valoare a criteriului de performanţă.

Există mai multe tipuri de modele de simulare. Cele mai importante sunt simularea Monte Carlo, simularea evenimentelor discrete, simularea tip Forrester şi simularea tip joc.

Simularea Monte Carlo se aplică în problemele decizionale în care intervin mărimi cu mai multe valori posibile descrise prin distribuţii de probabilitate, iar variabila timp mai apare explicit în modelul problemei.

Simularea evenimentelor discrete se utilizează pentru simularea situaţiilor în care sunt identificate diferite evenimente care

modifică starea sistemului studiat. Astfel, sosirea unui client într-un sistem de servire poate modifica starea staţiei de servire din liber în ocupat sau poate mări lungimea cozii de aşteptare. Momentele de timp la care au loc evenimentele sunt aleatoare. Evenimentele se consideră discrete deoarece se consideră că, între două evenimente, starea sistemului nu se modifică.

Metoda Monte Carlo este o componentă importantă a simulării evenimantelor discrete pentru generarea la întâmplare a intervalelor dintre două evenimente succesive.

Simularea tip Forrester, aşa cum îi spune numele, a fost propusă de Forrester în anii 1960 şi oferă posibilitatea abordării globale şi sistemice a problemelor social-economice comlexe, şi care constau în succesiuni de cauze şi efecte, şi a sistemelor cu feedback.

Simularea tip joc ia forma unui joc de afaceri la care iau parte decidenţii. Această simulare plasează fiecare jucător în competiţie cu alte companii care vând produse similare pe aceeaşi piaţă. Sarcina jucătorului este de a conduce activităţile întreprinderii, fiind responsabil pentru deciziile asupra afacerii sub toate aspectele. Deciziile se pot referi la producţia şi marketingul produselor, finanţarea costurilor activităţilor de marketing şi de producţie, achiziţionarea de informaţii competitive etc.

4.2 Aplicaţii economice ale simulării

Cele mai frecvente probleme de decizie abordate prin simulare sunt următoarele:

- Lansarea unui produs pentru care cererea şi/sau preţul sunt variabile aleatoare;

- Determinarea politicilor de control al stocurilor (mărimea comenzii de aprovizionat, nivelul stocului curent la care se

lansează o nouă comandă de aprovizionare, nivelul stocului de siguranţă etc) în cazul în care ritmul de aprovizionare şi/sau cererea de consum sunt variabile aleatoare;

- Dimensionarea unor facilităţi de servire (numărul staţiilor de servire, ritmul de servire) în procesele de aşteptare caracterizate prin intervale aleatoare între sosiri (solicitări de servicii) şi durate aleatoare de servire. Astfel de procese de aşteptare apar: în cazul producţiei în flux, în controlul calităţii producţiei, la punctele de control din aeroporturi sau din vamă, la încărcarea şi descărcarea mijloacelor de transport, în magazine, la punctele de achitare a mărfurilor, serviciile publice (secretariate, bănci, oficii de achitare a taxelor) etc;

- Analiza proceselor de reparaţii ale utilajelor în vederea programării producţiei şi/sau investiţiilor;

- Estimarea duratei de finalizare a unui proiect complex în care duratele activităţilor proiectului sunt mărimi aleatoare;

- Probleme de programare operativă a producţiei în care intrevin mărimi aleatoare referitoare la durata preluării pe diferite maşini, ritmul aprovizionării cu materiale, produse intermediare etc.

În prezent, datorită creşterii numărului de instrumente software pentru simulare, aceasta este utilizată din ce în ce mai mult în diverse domenii. Există tot mai mulţi susţinători ai simulării, atât din partea companiilor producătoare de software, cât şi a companiilor care utilizează aceste programe. Acest lucru presupune însă necesitatea unei bune instruiri care să asigure utilizarea eficientă a simulării.

4.3 Etapele simulării

Rezolvarea prin simulare a problemelor decizionale presupune parcurgerea mai multor etape.

Etapele simulării sunt asemănătoare cu cele ale modelării, cu menţiunea că modelele de simulare sunt mai comlexe, deoarece ele presupun utilizarea calculatorului şi analize statistice.

Etapele simulării pot fi grupate în patru domenii majore:

- Problema de rezolvat;- Modelul de simulare;- Experimentele de simulare;- Analiza rezultatelor.

Problema de rezolvat

Etapele din acest domeniu sunt cele mai importante pentru proiectul de simulare şi se referă la formularea şi analiza problemei, instruirea persoanelor implicate asupra principiilor de bază ale simulării, construirea modelului conceptual, colectarea datelor fundamentale, testarea validităţii modelului conceptual.

Modelul de simulare

Etapele din acest domeniu sunt: transpunerea modelului conceptual într-un model computerizat (programul de simulare), verificarea modelului de simulare, validarea modelului de simularea.

Verificarea urmăreşte corectitudinea transpunerii informatice a modelului conceptual în cel computerizat.

Validarea urmăreşte compararea comportamentului modelului computerizat cu cel al sistemului real pentru a vedea dacă modelul este cel corect sau adecvat.

La aceste activităţi se adaugă analiza senzitivităţii soluţiilor şi calibrarea modelului care constă în precizarea parametrilor modelului computerizat prin ajustarea acestora fără a modifica structura modelului conceptual.

Experimentelor de simulare

Acest domeniu se referă la proiectarea experimentelor şi la realizarea experimentelor de simulare.

Prin proiectarea experimentelor se stabileşte: numărul de variante de simulare, numărul de experimente ale fiecărei variante de simulare, condiţiile iniţiale pentru fiecare experiment, lungimea perioadei necesare aducerii sistemului artificial într-o stare stabilită, modalitatea de reducare a variaţiei rezultatelor din cauza factorilor întâmplători etc.

Analiza rezultatelor constă în analiza statistică a rezultatelor, identificarea celor mai bune soluţii şi realizarea documentaţiei care va cuprinde obiectivele şi ipotezele, parametrii de intrare ai modelului de simulare, verificarea şi validarea modelului, proiectarea experimentelor, prezentarea rezultatelor, concluzii şi recomandări.

4.4 Simularea Monte Carlo

Simularea de tip Monte Carlo se aplică, în prezent, din ce în ce mai mult, în domeniul afacerilor, pentru analiza problemelor stochastice sau în condiţiide risc, atunci când o direcţie de acţiune poate avea mai multe consecinţe, ale căror probabilităţi se pot estima.

Variabilele stochastice sunt variabilele ale căror valori nu sunt cunoscute cu certitudine, dar le pot fi asociate anumite probabilităţi. În simularea, este necesară generarea valorilor posibile pe baza distribuţiei de probabilitate.

Probabilităţile au rol important în modelarea situaţiilor în care intervin mărimi stochastice. De aceea, cunoştinţele despre probabilităţi sunt necesare atât în faza de construire a modelului de simulare, cât şi în faza de analiză a rezultatelor simulării.

Probabilităţile pot fi obţinute în mai multe moduri. Cea mai simplă este metoda subiectivă prin care experţii estimează pe o scară

de la zero la unu probabilitatea ca un anumit eveniment să se realizeze. O altă metodă este metoda obiectivă sau metoda bazată pe frecvenţele relative care utilizează datele istorice sau obţinute prin măsurarea directă a valorilor unei mărimi stochastice.

Pentru construirea distribuţiei de probabilităţi a unei variabile stochastice sau probabilistice, pe baza datelor istorice sau obţinute prin măsurare directă, se poate aplica o procedură formată din trei etape:

1. Colectarea datelor referitoare la valorile variabilei probabiliste.

2. Gruparea datelor pe intervale şi constrirea histogramei frecvenţelor relative.

3. Analiza grafului histogramei frecvenţelor relative pentru a stabili dacă seamănă cu forma unei distribuţii teoretice cunoscute, după care se calculează parametrii distribuţiei.

Procesul de generare aleatoare a valorilor unei variabile probabiliste este cunoscut în literatura de specialitate ca metoda Monte Carlo şi constă în generarea mai întâi a unui număr aleator şi apoi utilizarea numărului obţinut pentru extragerea unei valori din distribuţia de probabilitate care descrie comportamentul variabilei probabiliste.

Un număr aleator este orice număr care poate fi obţinut într-un asemenea mod încât valoarea lui nu poate fi prevăzută dinainte. Există mai multe procedee, cum ar fi: bilete cu numere, zarurile, ruleta sau procese fizice (procese radioactive, procese electronice etc), care pot fi folosite pentru a construi tabele cu numere aleatoare, dar utilizarea acestora nu este convenabilă pentru simularea pe calculator. De aceea, numerele aleatoare necesare simulării sunt obţinute prin proceduri aritmetice numite generatori.

Pentru numere aleatoare se utilizează terminologia folosită de practicienii din domeniul simulării, şi anume că numerele aleatoare sunt numere uniform distribuite între 0 şi 1.

Cei mai mulţi generatori de numere aleatoare implementaţi pe calculatoare sunt de fat generatori de numere pseudoaleatoare, care se comportă ca şi numerele aleatoare, deoarece numerele pseudoaleatoare satisfac testul statistic al caracterului aleator, dar sunt predictibile şi reproductibile.

Calitatea rezultatelor simulării depinde de calitatea generatorului de numere aleatoare utilizat.

Pentru ca un generator de numere aleatoare să fie bun, el trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

1) Numerele generate au o perioadă lungă de repetiţie.2) Numerele generate pot fi reproduse.3) Şirul de numere nu este degenerat, adică nu conţine unul sau

mai multe numere care se repetă. Numerele generate sunt uniform distribuite în intervalul [0,1].

4) Procedura este rapidă şi nu necesită multă memorie internă de calcul.

5) Produce numere care verifică testul caracterului aleator, adică numerele sunt stochastice independente.

O importanţă deosebită pentru realizarea experimentelor de simulare o reprezintă reproductibilitatea, deoarece permite controlul condiţiilor experimentale. Astfel, prin utilizarea aceluiaşi şir de numere aleatoare pentru analiza a două sau mai multe variante decizionale, se va elimina variabilitatea produsă de numerele aleatoare şi se vor putea observa mai uşor diferenţele dintre rezultatele aplicării diferitelor variante.

Pentru generarea de numere pseudoaleatoare există un număr mare de metode aritmetice, cele mai studiate din punct de vedere

teoretic şi cu bune rezultate practice sunt metodele congruente liniare care se bazează pe clase de resturi. Prin aceste metode se generează numere întregi cuprinse între 0 şi (m-1), care apoi, prin normalizare, se transformă în numere uniform distribuite în intervalul [0,1].

Utilizarea metodei Monte Carlo pentru generarea valorilor variabilelor probabiliste.

În cazul variabilelor probabiliste descrise prin distribuţii empirice discrete de probabilitate, datele pot fi organizate conform tabelului 4.1.

Tabelul 4.1.

Valorile xi variabilei probabiliste X Frecvenţele de apariţie fi

X1

X2

…Xn

f1

f2

…fm

În general, în cazul distribuţiilor discrete de probabiliste, pentru obţinerea de selecţii simulate cu metoda Monte Carlo se poate aplica următoarea procedură:

Pasul 1 : Se calculează:

Probabiltăţile relative i = 1, …, n

Probabilităţile cumulate i = 1, …, n

Pasul 2 : Se asociază intervale de numere aleatoare fiecărei valori a variabilei probabiliste. Acest lucru se poate realiza tabelar sau grafic.

Tabelar. Într-un tabel de forma tabelului 4.2, fiecărei valori Xi, i se asociază intervalul construit cu probabilităţile cumulate [Pi-1;Pi). Valoarea lui P0 este 0.

Tabelul 4.2.

Valoareavariabilei

probabiliste Xi

Probabilitaterelativă

Probabilitatecumulată

Intervale

X1

X2

…Xn

p1

p2

…pm

P1 = p0 + p1

P2 = P1 + p2

…Pn = Pn-1 + pm = 1

[0, P1)[P1, P2)

…[Pm-1, 1]

Grafic. Pe un sistem de două axe coordonate, pe orizontală se reprezintă valorile variabilei probilistice, iar pe verticală probabilităţile cumulate (Fig 4.1.).

Volumul vânzărilor (mii bucăţi)Fig. 4.1

Pasul 3 : Se generează un număr aleator ur uniform repartizat în intervalul [0,1] utilizând un generator de numere aletoare (de exemplu, unul din programele GENER 1, GENER 2, GENER 3, GENER 4, GENER 5 care pot fi apelate prin MANAGER 2 sau cu funcţia RANDO din Excel).

Pasul 4 : Obţinerea valorilor simulate se poate realiza tabelar sau grafic.

Prob

abili

tăţi

3 4 50

0,2

0,6

1

0,2

1

0,4

0,6

0,8

Tabelar. Se caută în Tabelul 4.1 intervalul [Pi-1, Pi) căruia îi aparţine numărul aleator ur generat, valoarea xi căreia îi corespunde intervalul [Pi-1, Pi) identificat în Tabelul 4.2.

Grafic. Numărul generat ur se reprezintă printr-un punct pe axa verticală. Din acel punct se duce o paralelă la axa orizontală până când întâlneşte prima bară verticală, se citeşte valoarea de la baza acelei bare şi se scrie această valoare într-un tabel.

De exemplu, dacă numărul aleator este 0,6971, acesta aparţine intervalului [0,6; 1] şi se generează volumul vânzărilor de 5 mii bucăţi.

Pasul 5 : Dacă numărul de experimente este mai mic decât numărul n stabilit de utilizator se reia procedura de la Pasul 3 pentru efectuarea de noi experimente, altfel se trece la Pasul 6.

Pasul 6 : Analiza statistică a rezultatelor: se determină media mărimii simulate, deviaţia standard, coeficientul de variaţie, intervalul de încredere pentru medie etc.Rezolvarea Pasului 5 şi a Pasului 6 presupune

cunoaşterea unor aspecte legete de precizia metodei de simulare Monte Carlo.

Precizia metodei de simulare Monte Carlo

Metoda Monte Carlo este sinonimă cu metoda experimentelor statistice. În acest sens, la repetarea unui număr de alte n experimente de simulare, este foarte posibil ca valorile mediilor să nu fie identice.

Media de selecţie

Deviaţia standard

Ca şi în cazul datelor reale, media de selecţie este o mărime cu mai multe valori posibile. Aceasta înseamnă că se poate obţine o distribuţie de probabilitate a mediei care se numeşte distribuţia mediei de selecţie.

Media obţinută pe baza mai multor medii de selecţie are o proprietate foarte importantă: media mediilor de selecţie estimată media reală.

Totuşi, se cunoaşte că există o eroare asociată acestei estimaţii care depinde de mărimea volumului n al selecţiei. Dacă volumul selecţiei creşte, eroarea descreşte. Pentru a cuantifica această eroare se construieşte un interval în care se aşteaptă să se găsească media reală

vu nivelul de încredere (1-α) specificat, unde α [0,1] este nivelul de

semnificaţie al erorii.

Convenţia este de a utiliza fie probabilitatea de 0,95 = (1-α), ca intervalul să conţină media reală. Acest interval pentru medie se numeşte interval de încredere 95%.

Pentru determinarea intrevalului de încredere pentru medie se utilizează distribuţia t. Această distribuţie este o distribuţie simetrică la fel ca şi distribuţia normală, dar este mai plată.

Dacă volumul selecţiei este mai mare de 50, aproape nu mai există diferenţă între distribuţia t şi distribuţia normală.

Valoarea lui t depinde de gradele de libertate ale selecţiei. Gradele de libertate sunt determinate de volumul selecţiei n diminuat cu numărul de parametri necunoscuţi care trebuie estimaţi. În acest

caz a fost estimat un singur parametru, şi anume deviaţia standard, astfel că numărul gradelor de libertate este n-1.

Intervalul de încredere (1-α) pentru media reală este definit de realţia:

;

Valoarea este numită jumătatea intervalului de

încredere şi poate fi considerată eroarea asociată mediei.

Pentru intervalul de încredere (1-α) = 0,95, rezultă α = 0,05,

astfel că .

Pentru n = 100,

Pentru n = 500,

Dacă se doreşte să se determine un interval de încredere (1-α) cu o anumită precizie ε, atunci din relaţia:

rezultă numărul N de execuţii de simulare necesare pentru obţinerea preciziei dorite, care este:

unde statistica şi deviaţia standard S sunt determinate

pentru un număr n cunoscut.

Rezultă că, o creştere a preciziei metodei Monte Carlo de θ ori, se poate obţine prin creşterea numărului experimentelor de simulare de θ2 ori.

4.5. Alte tipuri de simulare

4.5.1. Simularea evenimentelor discrete

În acest tip de simulare pot fi studiate situaţiile în care sunt definite diferite evenimente care sunt activate la anumite momente de timp şi care afectează starea sistemului studiat.

În multe cazuri, modelele de simulare a evenimentelor discrete sunt utilizate pentru a crea sisteme operaţionale detaliate care să reprezinte situaţiile în care, în anumite perioade de timp, pot apare neconcordanţe între cererea de servicii sau activităţi şi resursele disponibile pentru realizarea lor. Aceste neconcordanţe conduc la fenomene de aşteptare: clienţi care aşteaptă la o casă de bilete sau la un ghişeu de bancă, materiale care aşteaptă să fie preluate de un anumit utilaj etc.

Modelele de simulare a evenimentelor discrete se utilizează atât în industria serviciilor cât şi în industriile orientate de produse.

Ca şi în cazul altor modele, modelul de simulare al unui sistem poate fi manipulat mult mai uşor şi fără risc în comparaţie cu sistemul real respectiv.

Din cauza naturii dinamice a metodelor de simulare a evenimentelor discrete, în timpul simulării este necesară cunoaşterea valorii curente a timpului simulat şi, de asemenea, este necesar un mecanism de avansare al timpului simulat de la o valoare la alta.

În principal, există două abordări:

- Avansul timpului bazat pe regula evenimentului următor;

- Avansul timpului cu o valoare fixă.

În cazul avansului timpului bazat pe regula evenimentului următor, ceasul simulării este iniţializat la valoarea zero şi apoi se determină momentele de timp când se vor realiza evenimentele următoare (Fig. 4.2).

Fig 4.2

Ceasul simulării va fi avansat la timpul când se va realiza primul dintre aceste evenimente următoare. La acel moment de timp, starea sistemului se va schimba ca urmare a evenimentului care a avut loc.

În cazul avansului timpului cu o valoare fixă, ceasul simulării

este avansat cu exact unităţi de timp, mărimea fiind aleasă în

funcţie de problema de rezolvat (Fig. 4.3).

Fig. 4.3

După fiecare modificare a ceasului se verifică dacă au avut loc

evenimente în ultimul interval de unităţi de timp.

timpul

0 T1 T2 T3 T4

E1 E2 E3 E4

timpul

0 T1 T2 T3 T4

E1 E2 E3 E4

Pentru realizarea simulării, modelul de simulare va fi transpus într-un program de simulare prin utilizarea unor limbaje convenţionale, a unor limbaje speciale de simulare, a unor generatoare interactive de programe de simulare etc.

4.5.2. Simularea sistemelor continue cu tehnici Forrester

Acest tip de simulare a fost iniţiat de Jay Forrester, profesor la Massachusettes Institute of Technology, în 1961, prin lucrarea Industrial Dynamics (Dinamica industrială), tradusă în România în 1981 (ediţia a VIII-a a lucrării apărute în SUA).

Forrester a propus această tehnică de simulare pentru problemele complexe, globale, care sunt compuse din succesiuni de cauze şi efecte. Astfel, o decizie sau o politică într-un domeniu de activitate poate cauza un anumit rezultat sau efect în alt sector, care la rândul lui generează o altă decizie în alt sector.

Modelele de dinamică industrială au fost aplicate pentru studiul efectelor creşterii populaţiei asupra utilizării resurselor. În 1970, aceste modele au fost folosite pentru întocmirea celor două rapoarte ale Clubului de la Roma privind perspectivele omenirii la începutul secolului XXI. Aceste rapoarte au stat la baza a două lucrări publicate: Limitele creşterii, autor Meadows (1972) şi Omenirea la răspântie, autori M. Mesarovic şi E. Pestel (1974), contribuind la conştientizarea organismelor guvernamentale şi interguvernamentale asupra necesităţii controlului atât în privinţa utilizării resurselor, cât şi în privinţa creşterii economice.

Alte aplicaţii:

- În macroeconomice: protecţia mediului, organizarea cercetării ştiinţifice etc.

- În microeconomie: alocarea capacităţilor de producţie, programarea producţiei, organizarea desfacerii produselor, controlul stocurilor de materiale etc.

- Analiza comportamentului sistemelor economice prin luarea în considerare a întârzierilor care apar la transmiterea şi recepţionarea informaţiilor, materialelor, produselor, comenzilor, fondurilor băneşti etc.

Forrester consideră că un manager modern elaborează un şir de intrucţiuni sau decizii care direcţionează eforturile elementelor umane şi tehnice pentru realizarea obiectivelor propuse. Ciclul Informaţie-Decizie-Acţiune constituie elementul de bază a modelelor de dinamică industrială.

În sistemele reale, decizia, la un moment dat, se bazează pe informaţia despre o stare anterioară a sistemului, respectiv, informaţia despre starea sistemului alimentează înapoi decizia. Acest sistem este un sistem cu buclă inversă sau cu feedback.

Forrester arată că sistemele cu feedback răspund lent la variaţia intrărilor în sistem, atât din cauza structurii lor, cât şi din cauza întârzierilor care apar la transmiterea şi recepţionarea informaţiilor, materialelor, produselor, comenzilor, fondurilor băneşti etc.

Pentru modelele de dinamică industrială, Forrester utilizează trei tipuri de variabile: niveluri, ritmuri şi întârzieri.

Nivelurile reprezintă acumulările din sistem, măsurabile la un moment dat şi supuse controlului conducerii organizaţiilor. Prin examinarea nivelurilor poate fi înţeleasă starea sistemului şi pot fi adoptate măsuri corective corespunzătoare.

Ritmurile definesc fluxurile între nivelurile din sistem şi reprezintă politica managerială pentru schimbarea stării sistemului, fiind măsurabile ca valori medii (de exemplu: cantitatea de produse realizată pe unitatea de timp).

Alte elemente ale modelelor de dinamică industrială sunt:

- Variabile auxiliare: folosite pentru simplificarea ecuaţiilor de ritm ale modelului.

- Constantele sau parametri.- Diagramele de flux pentru reprezentarea grafică a modelului

în care interacţionează diferitele elemente ale sistemelor de dinamică industrială. Fiecare element este reprezentat printr-un simbol specific.

Pentru realizarea simulării a fost crea un limbaj special de simulare numit DYNAMO. Alte limbaje de simulare folosite sunt STELLA, POWERSIM etc.

4.5.3. Simularea tip joc

În acestă categorie de simulare sunt incluse jocurile de întreprindere, care reprezintă un exerciţiu de simulare dinamică a unor decizii secvenţiale.

Jocurile de întreprindere prezintă particularitatea că implică prezenţa decidentului uman şi luarea deciziilor pe parcursul desfăşurării acestora, în timp ce simularea poate fi realizată cu calculatorul, fără intervenţia decidentului.

Noţiunea de joc de întreprindere se regăseşte şi sub denumirea de joc de conducere (management game) sau joc de afaceri (business game), în funcţie de sfera de aplicabilitate.

Un joc de afaceri este definit ca un exerciţiu de luare a deciziilor secvenţiale, structurat în jurul unei afaceri, în care participanţii îşi asumă riscul de conducere a operaţiei simulate.

Primul joc de întreprindere a fost elaborat de Asociaţia Americană de Management în anul 1950 în luarea Top Management

Decision Simulation. Ulterior, un număr mare de universităţi au introdus jocurile în programele şi cursurile lor de management al întreprinderilor.

În general, jocurile sunt destinate simulării viitorului unei organizaţii şi a conjuncturii în care va găsi aceasta. Ele urmăresc însuşirea unei abilităţi, a unei îndemânări în managementul organizaţiei, bazându-se pe ideea că abilitatea de conducere se dobândeşte prin practicare.

Întrebări de control

1. Ce este simularea?

2. Care sunt principalele tipuri de modele de simulare?

3. În ce tip de probleme se aplică simularea Monte Carlo?

4. În ce situaţii se utilizează simularea evenimentelor discrete?

5. Care este caracteristica simulării de tip joc şi în ce situaţii se utilizează ea?

6. Care sunt domeniile majore privind etapele simulării?

7. Ce este un număr aleator?

8. Ce sunt numerele pseudoaleatoare?

9. Care sunt condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească un generator de numere aleatoare pentru a fi bun?

10. În ce constau metodele congruenţiale liniare?

11. Ce este distribuţia mediei de selecţie?

12. Ce este media reală?

13. Care sunt tipurile de variabile utilizate de Forrester pentru modelele de dinamică industrială.

14. Ce se urmăreşte cu ajutorul jocurilor de întreprindere?

Bibliografie

1. Luban, F., Sisteme bazate pe cunoştinţe în management, Editura ASE, Bucureşti, 2006.

2. Nicolescu, O., Nicolescu, L., Economia, firma şi managementul bazate pe cunoştinţe, Editura Economică, Bucureşti, 2005.

3. Nicolescu, O., Cochină, I., Anghel, F., Simularea managerial-întreprenorială PRELEM XXI – 2003, Editura Olimp, Bucureşti, 2005.

4. Raţiu – Suciu, C., Luban, F., Hâncu, D., Ciocoiu, N., Modelarea economică, Editura ASE, Bucureşti, 2007.

5. Raţiu – Suciu, C., Luban, F., Hâncu, D., Ciocoiu, N., Modelarea economică – Studii de caz, teste, Editura ASE, Bucureşti, 2007.