Download - Curs Matematici Financiare Si Actuariale
Conf. univ. dr. RODICA IOAN Lector univ. dr. MANUELA GHICA
Lector univ. dr. ILEANA RODICA NICOLA Lector univ. dr. VLAD COPIL
MATEMATICI FINANCIARE ŞI ACTUARIALE Curs în tehnologie ID-IFR
© Editura Fundaţiei România de Mâine, 2012 http://www.edituraromaniademaine.ro/
Editură recunoscută de Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului prin Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice
din Învăţământul Superior (COD 171)
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Matematici financiare şi actuariale/ Rodica Ioan, Manuela Ghica, Ileana Rodica Nicola, Vlad Copil
− Bucureşti, Editura Fundaţiei România de Mâine, 2011 ISBN 978-973-163-658-0 I. Ioan, Rodica II. Ghica, Manuela III. Nicola, Ileana Rodica IV. Copil, Vlad 51(075.8)
Reproducerea integrală sau fragmentară, prin orice formă şi prin orice mijloace tehnice,
este strict interzisă şi se pedepseşte conform legii.
Răspunderea pentru conţinutul şi originalitatea textului revine exclusiv autorului/autorilor.
UNIVERSITATEA SPIRU HARET FACULTATEA DE MANAGEMENT FINANCIAR CONTABIL BUCUREŞTI
PROGRAMUL DE STUDII UNIVERSITARE DE LICENŢĂ CONTABILITATE ŞI INFORMATICĂ DE GESTIUNE
MATEMATICI FINANCIARE ŞI ACTUARIALE
Curs în tehnologie ID-IFR
Realizatori curs în tehnologie ID-IFR
Conf. univ. dr. RODICA IOAN Lector univ. dr. MANUELA GHICA Lector univ. dr. ILEANA RODICA NICOLA Lector univ. dr. VLAD COPIL
EDITURA FUNDAŢIEI ROMÂNIA DE MÂINE Bucureşti, 2012
5
CUPRINS
INTRODUCERE …………………………………………………………………………………….. 9
Unitatea de învăţare 1
NOŢIUNI INTRODUCTIVE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR 1.1. Introducere ..................................................................................................................................... 13 1.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 13 1.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 14
1.3.1. Câmp de evenimente. Probabilitate ...................................................................................... 14 1.3.2. Probabilitate pe un câmp finit de evenimente ...................................................................... 15
1.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 17
Unitatea de învăţare 2
VARIABILE ALEATOARE
2.1. Introducere ..................................................................................................................................... 21 2.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 21 2.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 22
2.3.1. Variabile aleatoare unidimensionale. Caracteristici numerice. Funcţie de repartiţie ........... 22 2.3.1.1. Variabile aleatoare discrete ............................................................................................... 22 2.3.1.2. Variabile aleatoare continue................................................................................................ 26 2.3.2. Variabile aleatoare bidimensionale ...................................................................................... 29
2.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 33
Unitatea de învăţare 3
SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE 3.1. Introducere ..................................................................................................................................... 39 3.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 39 3.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 40
3.3.1. Repartiţii probabilistice clasice ............................................................................................ 40 3.3.1.1 Repartiţii de tip discret ....................................................................................................... 40 3.3.1.2. Repartiţii de tip continuu ................................................................................................... 42
3.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ....................................................................................... 44
Unitatea de învăţare 4
ELEMENTE DE STATISTICĂ MATEMATICĂ 4.1. Introducere ............................................................................. ........................................................ 49 4.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare.............................................................................. 49 4.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 50
4.3.1. Teoria selecţiei ..................................................................................................................... 50 4.3.2. Teoria estimaţiei .................................................................................................................. 51
4.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 53
6
Unitatea de învăţare 5
GRAFURI I 5.1. Introducere ..................................................................................................................................... 61 5.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 61 5.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 62
5.3.1. Introducere. Definiţii ............................................................................................................ 62 5.3.2. Matrice asociate unui graf. Proprietăţi ale grafurilor ........................................................... 66 5.3.3. Determinarea drumurilor hamiltoniene în grafuri fără circuite ............................................ 68 5.3.4. Determinarea drumurilor hamiltoniene în grafuri cu circuite .............................................. 69
5.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ....................................................................................... 70
Unitatea de învăţare 6
GRAFURI II 6.1. Introducere ............................................................................. ....................................................... 74 6.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 74 6.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 75
6.3.1. Drumuri de valoare într-un graf. Algoritmul Bellman-Kalaba ............................................ 75 6.3.2. Flux maxim într-o reţea de transport ..................................... .............................................. 77 6.3.2.1. Algoritmul Ford-Fulkerson ..................................... ............................................... 78
6.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 79
Unitatea de învăţare 7
DOBÂNZI 7.1 Introducere ...................................................................................................................................... 89 7.2 Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare .............................................................................. 89 7.3 Conţinutul unităţii de învăţare ......................................................................................................... 90
7.3.1. Dobânda simplă .................................................................................................................... 90 7.3.2. Dobânda compusă ................................................................................................................ 91
7.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 93
Unitatea de învăţare 8
OPERAŢIUNI DE SCONT 8.1. Introducere ..................................................................................................................................... 96 8.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 96 8.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 97
8.3.1. Operaţiuni de scont ............................................................................................................... 97 8.4. Îndrumător pentru verificare/autoverificare .................................................................................... 100
Unitatea de învăţare 9
PLĂŢI EŞALONATE 9.1. Introducere ..................................................................................................................................... 104 9.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 104 9.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 105
9.3.1. Anuităţi posticipate, temporare, imediate ........................................................................... 105 9.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 106
7
Unitatea de învăţare 10
PLĂŢI EŞALONATE GENERALIZATE. ÎMPRUMUTURI 10.1 Introducere .................................................................................................................................... 109 10.2 Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................ 109 10.3 Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 110
10.3.1. Împrumuturi ...................................................................................................................... 110 10.3.1.1. Amortizarea unui împrumut prin anuităţi constante posticipate ......................... 110 10.3.1.2. Împrumuturi cu anuităţi constante, plătibile la sfârşitul anului 111 10.3.1.3. Împrumuturi cu anuităţi constante cu dobândă plătită la începutul anului (anticipat) .............................................................................................................
111
10.3.1.4. Împrumuturi cu amortismente egale ................................................................... 111 10.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare .................................................................................... 112
Unitatea de învăţare 11
BAZELE MATEMATICII ACTUARIALE 11.1. Introducere .................................................................................................................................... 117 11.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ........................................................................... 117 11.3. Conţinutul unităţii de învăţare ....................................................................................................... 118
11.3.1. Funcţii biometrice ............................................................................................................. 118 11.3.2. Asigurarea unei sume în caz de supravieţuire la împlinirea termenului de asigurare ....... 120
11.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare...................................................................................... 121
Unitatea de învăţare 12
CONTRACTE DE ASIGURARE VIAGERĂ 12.1. Introducere..................................................................................................................................... 123 12.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare............................................................................ 123 12.3. Conţinutul unităţii de învăţare ....................................................................................................... 124
12.3.1. Anuităţi viagere ................................................................................................................. 124 12.3.1.1. Anuităţi viagere posticipate imediate ................................................................. 124 12.1.1.2. Anuităţi viagere anticipate imediate ................................................................... 124 12.1.1.3. Anuităţi viagere limitate la n ani şi anuităţi viagere amânate ............................. 124
12.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare...................................................................................... 125
Unitatea de învăţare 13
REZERVA MATEMATICĂ 13.1. Introducere..................................................................................................................................... 128 13.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ........................................................................... 128 13.3. Conţinutul unităţii de învăţare........................................................................................................ 129
13.3.1. Rezerva matematică ...........................................................................…………………... 129 13.3.1.1. Ecuaţia diferenţială a rezervelor matematice .................................................….. 130
13.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare...................................................................................... 131
Unitatea de învăţare 14
PLĂŢI VIAGERE FRACŢIONATE 14.1. Introducere..................................................................................................................................... 133 14.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare............................................................................ 133 14.3. Conţinutul unităţii de învăţare ....................................................................................................... 134
14.3.1. Asigurarea de pensie ...........................................................................…………………. 134 14.3.2. Asigurarea de deces ...........................................................................…………………… 134
8
14.3.3. Asigurări mixte ...........................................................................…................................... 136 14.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare...................................................................................... 136 Răspunsuri la testele de evaluare/autoevaluare …………………………………………………… 139 Bibliografie ...........................................................................…………………………………………. 155
� ��
��
�����������������
�������� � �� � ��� �� ��� �� ����� ������� ����� ����� ���� ��� � ��������� ������� ������ �
��������� �� ������� � ��� ������ �Matematici aplicate în economie, ����� ��� ���� �� ����� ����������������������������� �� �������������� ����������� �������������������������� ����������� î����������� ��������� ����� ������� �������� ������ �� ��� ������ �� �����������������������������tehnicilor de lucru ale matematicii actuariale în organizarea ��� ��� ��� � ����� ����� ����� ������� �����
���� ��� ������������ ���
��������������������������� ������������������������ ������������������ �de în������i fundamentare a aparatului matematic utilizat în cadrul unor discipline de specialitate.�
������� ��� ���� ������ ��� ������� �� ��� ������ �� ���� ����������� ��������� ��� �� �������� ������������� ������� � � ������ ��� ������� ������ �� ��� �������� � � ��������� ������adecvate, optime, în domeniile lor de activitate. Aceste capitole sunt direct orie������������� ����������� ��������� ������ ���� ����������� ������� ���������� ������������ �������� ����
���������� �������� ���
�
�� ���� ������� ����� ������������������� �������� !���
������ � ������� �� � ������� �� � �������� �i financiare în conducerea proceselor ����� "�
�������������� �������� ����� "���calculeze dobânzile �i indicatorii întâlni i în probleme de creditare;������������ ������� ���� �� ����� ��� �� ��� ������� � #���������� ��� ��������� �� ���
� tuarial) în scopul lu ����� ������ ����������� ������� ����� ����"����������� �� ������������ ������ �������� �������"���� ����� ��������� ��������� ������������������������������
������������������ ��
�������������������������� ������������������� ��������$%����� ������ ���#������������� ��� ����� &��������� ����� ���� � '�3 ore), fiecare dintre acestea cuprinzând câte un test de ������(�������������
�������������� � ������%����# ������)���� ��� �� ����������� ���'�%����� ������ ���
#*+)���� � �������� !�• �������������������������� ���� ���������� ��������� �������� ������������–�%�*+�• �������������������������–�'�*+�• �������������������–�%�*+�• ��������������������–�%�*+��
�$,�
�������
� $$�
��������
����� ����������������� ����������������� ������� ����������� ������������
-�������� ���� � �������� ���� ��� ���� � ��� ���� ��� �������� � ��
���������� ����������� ������������������������������������ ��� ����� ��.�������� �������� �������������� ���� ��� ������� ��� /�� ��� � ������ ���
.���������� ����������������������������������������� ���/�� ��� ��� ������ ��
.���������������������������������� ���0 &�� ���� ��������������!�1������������������ ������ ��� ������ �� ������ �� 2χ �� 0������ -����� � �������� � ������� !�2������� ����2���������� ����3�������������� ���������
#+�� ����4��2���������5��1� ����4��+�����0��1��� ������������������������� ���
-������/��� ���România de Mâine��',,6�������$$7�'$%)������������� �� Câmp de evenimente, ����������� ������ ����������� ����������
���������� ��������� ���������� ������������ ���������� �������������� ��������������������� ���������� �������� ���������� ������������� ������������� ����� ����� ������������������������������������������� ��� ����������� �����������������������������������������������������������������������
��
�
�$'�
������������������������������������������������������
� $8�
��
� ��������� �� ����!�
�� ������������"����������#�$��%#%�&�� �&������
���� ���
�$�$��+����� ���$�'��9�� �������� ����� ������ ������� �����$�8����� ����������� ������� ���
1.3.1. Câmp de evenimente. Probabili���� 1.3.2. Probabilitate pe un câmp finit de evenimente�
1.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare��
��$�$������� ������ �
:�������������� ���$��������� ���� �������� ����!��• Evenimente, câmp de evenimente; �• ���� ��� ���� � ��� ���� ��� �������� � ������������ ����
������� �"��• Câmp de probabilitate; �• ������������� ��� ����� ���
��
�$�'������������������� ������ ��� ���� �����
�� � ��� ������ � ���� ���� �� � ��� ���� �������� ��� ��� ������� � ������ ��� ��������������� ����� ���������sigur, eveniment imposibil, evenimente contrare, probabilitate (în ���� ���� ������� ������������������� )��������������� ��� ����� ��� � ��� � �������� ���� 1�;�� ��� �������� ���������� ��� ������� � � ������� � ������� ��� � � �� ���� �������������� ����� ������������ ����������������������� ��� ������������ ����
�
��� �������������� � '�'������
�
�$%�
$�8����� ����������� ��� ���� ����
$�8�$��Câmp de evenimente. Probabilitate��
Câmp de evenimente��
2����� ���������� ����� ������ � ����� �� � ��� ������ �����������������
.������������������������!�$��0� ����� ������ � ��� �� ���%��������������������
$����%���0������������ ������� ���� �������� ���������� �������� ���������������� ������� "�� ���� �������������������������������������� ���� ������� ��������������� ������� ��� ����� ������� � �� ���� � �� ����� ������� ����� #� ����������� �������������������� )��
'�� 0� �� � �� ���� ��� �� ����� "� ��� ����� ����� �������������������� �����
8��*��������� ���� ������� ����� ������������������������ �� � ������ 2������ � ����� ��� ��� ��������� �� ������ ��� ������� ��� � ��� ��� ����� ��� ������� ������ � ����� �� ����� ������� �����# ��� ������������ �� �)��
��� � �� !(� ���� ����� �� ������ ���������� ���� ���� ������������������������������������� ��������
��� � ��)(����������� �������������������� ������������������������������������� ������������������� ����������������� �������� ��������������
��� � �� *(��������� ����� #����� ٠) ���� �� ������������������������ �������������������������������������� ����
��� � ��+(������������������#∅ )�������������������������������������� ������������������� ����
���������������!�<�� �� �� ��������������� ��������
���� ��'�=�������� ����������������!������ ������������ ��$��8��%��>��0������ � ����� �� ������������ ���������� ���� ����� �� ������������ ��'�����=�������� ����������!���� ��� ���� ���� ��� � �� $�� 8�� %� ���� >� ��� ������� ��� ��� �� ���� ����������!� �� ���� � �� 0����� � �������� � ���!� ����� ��������
���� � �� ,(� Întotdeauna unui eveniment îi corespunde un
����� �������� � � ��� ��������� ������� � ���� ����� �������������������������
-��������� ����������� �������� � �� A �� A �� CA ��
0������ ������� ���!� A A= �� ∅=Ω �� Ω=∅ ��������������������������������������������������� � ���-(������������� �!��������������������
������������������������� ��� ����� ���������������������� ��"��� ��"� ���!��
�
� $=�
��� � ��.(������������� �#���������������������� �� �� ��� ������� ��������� ���� ��� �� ����� ��������� ������������� ��"��� ��"� ���#��
��������������� �������������� � ��/(�$�������� ����������� ������ �����������
! ��� � ����������� ! ���� �������� �� ����������� � ��� ! ��produce ori de câte ori de produce A. Vom scrie A B⊂ �
9�� ������������� ���������������!� , ( )A A⊂ Ω ∀ ������� ��������������� � �� 0(� %���� ���� ��� ���������� � !� �����
���������� ����� ��� BA ∪ �������������� ����������������� ��� ���������� � ��� �� �� ����� ��� ���� ��� ������������� ���!��
��� � �� !1� ������ �� ������������� � !� ����� ��BA ∩ ������ ��������������������� �������������� �!������������������������������:�� �� � ����� � ���� ����� �� Σ � ��� ���� ����������
��� ��������������������� � �� !!(�&� ��������� Σ∈A ���� ����� ��� �����
��� ���������� ACABCB ≠≠Σ∈ ,,, astfel încât CBA ∪= �În caz contrar, evenimentul A ������ ��������
'�� ������������� ���������� �� nwww ,...,, 21 , iar în acest
��� { }nwww ,...,, 21=Ω � )(Ω⊂Σ P #��� ����� � �������Ω )����� � ��!)����� ���������������������������������������
�� ���� �� câmp de eve���� �� �������������� ���������� (�
������ �� ( )ΣΩ, ���$�8�'��Probabilitate pe un câmp finit de evenimente�
� �
��� � �� !*�� (� ���� �� ������������� �������������Σ∈AA, � �������� ������ ��� ��� ��������� ��������� ������ ���
������������� A #�) � ��� ��� ��������� ��������� #�)� )���
( )m
P An
= ��
������� ��$��5 ������������ ��� ���� ������������� ��������������������
numai în experimente cu evenimente elementare egal posibil��'�� 1)( =ΩP �8�� ( ) 0, ( )P A A≥ ∀ �
%�� � � 1 2A A A= ∪ ���� 1 2A A∩ = ∅ ������ �!�
1 2( ) ( ) ( )P A P A P A= + ��=�� -�������� ������� ����� ���� ��������� #��� ��������
�������$*�)��5������ ���������� ��� ����� ���i câmp finit de evenimente
( , )Ω Σ ������������������� ��� ��������������� ������!���� � �� !+(� (� ���� �� ������������� �� Σ � ������ ��
:P Σ → 444��������������������!�
�$>�
#$)� ( ) 0, ( )P A A≥ ∀ ∈Σ �#')� ( ) 1P Ω = �
#8)� 1 2( ) ( ) ( )P A P A P A= + �� ����� 1 2A A A= ∪ �� 1 2( ) ,A A∀ ∈Σ �� �� 1 2A A∩ = ∅ ��
����������� #8)� �� ����� ������ ���� �� ������ � ��������� ������������ � ����� ��
���� � i jA A∩ = ∅ �� ( )i j∀ ≠ �� , 1,i j n= �
( )11
n n
i iii
P A P A==
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑�
����� � ��!,(�'����câmp de probabilitate finit, un câmp finit
������������ ( ),Ω Σ înzestrat cu o probabilitate P, notat ( ), , PΩ Σ ��������� �!�
�$)� ( ) ( ), 1 ( )CA P A P A∀ ∈Σ = − �
�')� ( ) 0P ∅ = �
�8)� ( )A∀ ∈Σ ����� 0 ( ) 1P A≤ ≤ �
�%)� ( ) 1 2 1 2, ,A A A A∀ ∈Σ ⊂ ������ �� )()( 21 APAP ≤ �
�=)� 1 2( ) ,A A∀ ∈Σ �����
����� 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A A P A P A P A A∪ = + − ∩ ��>)� 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ), ( ) ,P A A P A P A A A∪ ≤ + ∀ ∈Σ ��
��������� �� ���� ��������������� � ����� ���
��� � ��!-(�Evenimentele A, B ale câmpului de probabilitate
( ), , PΩ Σ ������ �� ����� +( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ⋅ ��
0� ����� �� ��� � � � �������� ,A B ∈Σ � ����� �����
�������� ���� &����������� A ���� CB ����� ���� CA ���� B ��
��� ���� CA ����� CB ������������������������ � ��!.(�%�� ( ), , PΩ Σ un câmp de probabilitate, ,A B ∈Σ �
( ) 0P B ≠ �'���������������������������������� � ����� � ��������� !� #�������������� � �� ��������� ����������� ���������� �����������!��������)����������
notat( )( | )
( )
P A BP A B
P B
∩ =��
��������������������� ��� ( | ) ( )BP A B P A= ��������� (��
$)�5����������������� ( ) ( )( )| , P(A) 0
P A BP A B
P A
∩= ≠ �
')�:�� �������� �����������5����1�����������������!�( ) ( )BP A P A= ������������ ( ) ( )AP B P B= ��
��� � �� !/��'���� ����� ������ � ����� � ������
��� ���� ��� ����� �� ����������� ( )i i IA ∈ ⊂ Σ � ��� i jA A = ∅� �
������������ i j≠ �� ,i j I∈ �� ii I
A∈
= � ��
� $6�
2������� ������ � � � �������� /�� ( )i i IA ∈ ⊂ Σ � ��� ������
�������������� �� ( ) 0iP A ≠ �� i I∈ �������� A∈Σ ������
( ) ( ) ( )i ii I
P A P A P A A∈
= ∑ �� #$)�
2������� �� � %�3��� #���� ������ ��������)�� /�� ��� ������ ������ � ������� ( )i i I
A ∈ ⊂ Σ �� ���������� ��� � ����� ����mente (ipoteze) sunt date înainte de efectuarea unui experiment. -����������� ������������ ��������������� A ��0 ��� � �� ������������ ����������� A � � &��� � ���������� ��� ����������
2����� � � ����� �� �� ���������� ��� ( )iP A A � ������ �� ���
����� � iA �� i I∈ �� 5��� ( ) ( )( )i
i
P A AP A A
P A=
��� ���
( ) ( ) ( )i i iP A A P A P A A=� ���� �����������#$)������ �
( ) ( ) ( )( ) ( )i i
ii i
i I
P A P A AP A A
P A P A A∈
=∑ ��
#')�
���4�� �������� �%����(�/�� ( ), , PΩ Σ un câmp de probabilitate
��� ( )i i IA ∈ ⊂ Σ ������ ��� ���������� ����� ���������� � �
ii I
A∈
∈Σ� ������ �!�
( )C1i ii Ii I
P A P A∈∈
⎛ ⎞≥ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∑� �� #8)�
În particular�
( ) ( )11
1n n
i iii
P A P A n==
⎛ ⎞≥ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑� �� #%)�
���
$�%��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��
!(�9���� � �� ���',�������������������$����',��0������������ �������� ������� ������������������������������ ����� ��������� ?�
,��������-������������������ ����� ����������������٠@A$��'��8��%��=�������$���',B��)(� �9���� � �� ���%����������$���'���8���%����'����������$���'��0������������������ ������
����������������������� ��������� ?�,�������������� ����� �� ����!� #�$�� �')�� #�$�� �8)�� #�$�� �%)�� #�'�� �8)�� #�'�� �%)�� #�8�� �%)�� #�$�� �$)�� #�$�� �')������������������
#�'���$)��#�'���')��#�8���$)��#�8���')��#�%���$)��#�%���')��#�$���')���
�$7�
*(� *�� ��� � ��� ��� ��� ������ ��� ��� ���� ��������� 0� ���������� � � ������ ������� �������������� � ������������������,�8�� ��������� ������� �����������������,�>������ ���������� ������� ���� ������������� � ,�%��0� ���� � � ����� ��� ���� ���� �������� �� �� ���� � ���� ����������������������������������0� ���������������� �!�
�)� � � ��� � �������� ������ ���� � ��� ��������� ��� ������ �������� ���� ����� ����� � � ����������� "�
�)�� ���� �������������� ������������ ����,���������.�������� �� iA evenimentul „activitatea companiei ������ ������� C�� �@$�'�8��������������
���� 1( ) 0,3P A = �� 2( ) 0,6P A = ���� 3( ) 0,4P A = ��
�)� <�� �� �� B ��������� �� � � ��� � �������� ������ ���� � ��� ��� ������ ��� �� ����
�������� ���� ����� ������ � ����������� ��5��� �� 1 2 3CB A A A= ∩ ∩ �� ��� �� ����� ��� ����
���� �������������������������� !�
1 2 3 1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )(1 ( )) 0,3 0,6 0,6 0,108
C CP B P A A A P A P A P A
P A P A P A
= ∩ ∩ = == − = ⋅ ⋅ = �
�)� <�� �� �� #� ��������� �� � � ��� � �������� ����� �� ���� ������ ���� 5��� ��
1 2 3C A A A= ∩ ∩ ���� ��
1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,3 0,6 0,4 0,072.
P C P A A A P A P A P A= ∩ ∩ = == ⋅ ⋅ = �
��
�������������������
�������������������5��������������
!(�/�� ( , , )PΩ Σ ���� ��������������������� ,A B ∈Σ ��0����� � ( | ) 0,4P A B = �� ( ) 0,2P A B∩ = �
��� ( ) 0,25CP A B∩ = ��0 ��� �� �����# )�����#!)���)��# )@,�%=���#!)@,�=��)��# )@,�8���#!)@,�%� )��# )@,�>���#!)@,�6=�)��# )@,�$���#!)@,��=�
� $��
�
)��/�� ( ), , PΩ Σ un câmp de probabilitate atunci ( )A∀ ∈Σ �� ( ) ...CP A = ��)�1 ( )P A+ ��)�1 ( )P A− � )� 2 ( )P A �)� ( )P A− ��
*(�0������ ������������� ������� ����������� !�/�� ( ), , PΩ Σ un câmp de probabilitate
���� �� ( )A∀ ∈Σ ����� 0 ( ) 1P A≤ ≤ ���+��/�� ( ), , PΩ Σ �un câmp de probabilitate, atunci ( ) 1 2,A A∀ ∈Σ ���� 1 2( ) ...P A A∪ = �
�)� 1 2 1 2( ) ( ) ( )P A P A P A A+ + ∩ �
�)� 1 2 1 2( ) ( ) ( )P A P A P A A+ + ∩ �
)� 1 2( ) ( )P A P A+ �
)� 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A+ + ��,(� ������ ������������������������������ ���� �������� ��� �������������� �������������
����� ����!� ,�7����������������� ���� ��� ,�>������� ��� ���������� ����������������� �� ����� � � �������� �� ���� ��������� ���?�
�)� 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0,2P A A P A P A∪ = − = �
�)� 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0,92P A A P A P A P A A∪ = + − ∩ = �
)� 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0,5P A A P A P A P A A∪ = + − ∩ = �
)� 1 2( ) 0,48P A A∩ = ���-(�0���� ( ) 0,5P A = ���� ( ) 0,6P A B∪ = ��D �� �� ( )P B �� � ����!�������� ������������)� ( ) ( ) ( ) 0 0,6 0,5 0,1P B P A B P A= ∪ − + = − = ��)� ( ) ( ) ( ) 0 0,6 0,5 1,1P B P A B P A= ∪ + + = + = �
)( ) ( ) 0,6 0,5 0,1
( ) 0,21 ( ) 1 0,5 0,5
P A B P AP B
P A
∪ − −= = = =− −
��
)�( ) 0,6
( )( ) 0,5
P A BP B
P A
∪= = �
��������������
��
�',�
��
�% �� �4��� ����� 4���� ����
1. Duda I., Trandafir R., Baciu A., Ioan R., Bârz � 0������������� ������ ������� ���� -������/��� ���România de Mâine��1� �������',,>��
'�� ��� +��� 2�������� 4��� 1� ��� 5��� +���� 4��� �������� �� ���������� ����������� -������/��� ���România de Mâine��1� �������',,=��
8��1� ���5���Matematici aplicate în�������� � ���� ���-������/��� ���România de Mâine��1� �������',,%��
%�� ��� +��� �������� �� ������ ������ ������� ���� -������ /��� ��� România de Mâine��1� �������$�����
=��9��� ��D&�������������������������� ����-������/��� ���România de Mâ�����1� �������$��>��
�
� ���
��
������������� ���� �
������������������������
���������
����������� ������������� ���������� ������ �������� ��������� ������������ ����������� ��������� ���
����������������������������������������������� ������ ������� ������ ����������� ������������������������������������ ���������������������������������� �������������������������������������������������
2.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����
������������������������������������� ��������������� ��� ������� ���� ��
• ��������� �������� ��������������!� ��"��� ��!� ����� ������������ ��� ���!� ��������� �������� ��� ��� ��� ����� ����#����������������� ����
• ������������������������������������������������$����!���������!� ������� ������ � ���� !� ��������!� �% ��!� ���!������� ��&���� ������ ��� �� ������ ���
• ������������������������������������ ��!� ����� ���
�
�������� � ���� ������ ���� � ������ �����
#�� ��� �'����� ���������� �������� ��!��������������"�� �������� ���"����� �� ����������������� ������������������� ������� ������!�"�� ��� ��� ����� ��!� ���������� ��� ����� ��!� �����!� ��������!� ������������� � ���� !� ��� ��!� ����� !� � � ��������� ����� ���� �������������� �������!� � � ��������� "�� ��� ��� ����� ��� ��!� ���� ���!������������ ��� ����� ��� ������ � ������� � ����� !� � � ��������� ���� �� ��� �� ������ ���� ����� �� ���� ����� ��������� �������!� � � ������������� �� ��������� �������� ��� ��� � � ���� �� � ������� ����� ���������������� ���� ��������������� ����
�
����
�������������������� �����!(������
�������� �������� � ������ ����
������������ �������������!������������������������!��"��� ������������ ����
�
)��� ������ � ������� "������������ ���� ������ �������� ��� ������ �������������� ����������
*����������������� +�������������������������!���� �����!�� ��������� ���������������� ������������� ������������������,�� -����������� ������ � �� �.����� ���� ���� ��+�������� ����� ��� ��!� ��� '�����!� ��������������� ��� � �� ���� &�� ������� ����� ��� � ������� ���������� �� �� �� ����� �������� ��� ��� � ��� ��"������ ���������� �������!� �� �� ��� �������� ��������������� ��%������������� �!����������������������� /��������������
#� � �� ���'������� ������� � �������� � "�� ��� ��� � ��"���� � ������ ����� ������������ ���������� �� ����� �%������������ �������!����������������������%���������� ��������������������� ��� �������� �������������������������������� ����������
���������������������������� ���
�
���� ( ), , PΩ Σ ���� σ − +��������������������� ( )i i IA ∈ ⊂ Σ �����������
������ 0"����� ���� ��� ����1� ��� ������������ 2�������� ����� ��( )i ip P A= !� i I∈ !������������� ��� �� �� −σ câmpului de probabilitate��
#�$��� ��� %�� ������ ��� �� � � �������� � ��� � �� ���� �� ξ ������ ������ ������������������� ω∈Ω ������������������������ ����
��� ξ ������������ ix �� i I∈ ��
��� ( ){ }ixω ξ ω = ∈Σ �� i I∈ ��
��������� ������������ �� ������� ��� I ������ "���� � �������������� �� � ���������� ��� ��
2 ,����� !������������������ ξ ��������� �����
: i
i i I
x
p ∈
⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ !�1i
i I
p∈
=∑��
0�1�
3����������������������������� ��� �� �� ��������� �������������������� ξ ��
4�� ��� ������� ��"� ��� ����/��� ��� �%������!� ��� ��� �����"� ����� ��� ���� ���/� ������ � ����� � ��� "�� ����� �� ��������������!����� �������������������� A �������������������������� �����
� ���
������� � 1ii I
p∈
=∑ � ��� ��'���� � ������ � � ���� � ��� � ���
��������� ����/un anumit mod între aceste valori ix !��� ��������� ��������������������� ��������� �������������� ��������������� ��� ����� �����"����������� �������������������"��������'���������� ����
Una din formele cele mai simple în care putem reprezenta o astfel �����'�������"���� ,����� �0�1�����"���������������
�
ix � 1x � 2x �� � ix �
� � nx �ip � 1p � 2p �
� � ip �� � np �
�#�$��� ��� ����� ξ ����η ���� ����������������������������
( ) nxξ ω = ������ nAω∈ ��0 ,...2,1=n 1�
( ) myη ω = ������ mBω∈ �0 ,...2,1=m 1�0�1�
{ }nA ����{ }mB ���������� � � �����������������������
� ������������������ ξ ���� η � ��� ������������ ����������� m ����n �����
( ) ( ) ( )n m n mP A B P A P B=� �� 0�1�
#������ ������� ζ = ξ + η ������������������������ ξ ���� η ��2����%�����!�"�����������������������������
1
1
: n
n
x x
p p
⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
�
� !�
1
1
: m
m
y y
q q
⎛ ⎞η ⎜ ⎟
⎝ ⎠
�
� ������������������ ξ + η ��������������������� ���
1 1 1 2
11 12
: i j n m
ij nm
x y x y x y x y
p p p p
+ + + +⎛ ⎞ξ + η ⎜ ⎟
⎝ ⎠
� �
� ��
�����
( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }( )ij i j i jp P x y P x y= ξ ω + η ω = + = ω ξ ω = ω η ω =��
��
1 1
1n m
iji j
p= =
=∑∑��
#� � ξ ���� η ������������������!����� �� ij i jp p q= ���
����������������� ξη ��������������������� ���
1 1 1 2
11 12
: i j n m
ij nm
x y x y x y x y
p p p p
⎛ ⎞ξη ⎜ ⎟
⎝ ⎠
� �
� ��
��
( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }( )ij i j i jp P x y P x y= ξ ω η ω = = ω ξ ω = ω η ω =� ������ ����� ��� ��� � ��� ����� ��� �%����� ��� � �� ��� � "����� ���
������������������5����� ��� � ��������������������������������������������������� ���
1
1
:k k
k n
k
x x
p p
⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�
��
���� �� ( )( ) ( )( )k ki i iP x P x pξ ω = = ξ ω = = ��
��6�
� ������������ ��������� �������� ������� ������� ��� ����������������� ���
11
1
1 1
: n
n
x x
p p
−⎛ ⎞⎜ ⎟ξ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�
���
��� ������������������ η �������� ����� !����� ����"����� +����
1−ξ = ξηη ������������������������ ���
1
1
11
:i n
j m
ij nm
x xx
y y y
p p p
⎛ ⎞⎜ ⎟ξ⎜ ⎟η ⎜ ⎟⎝ ⎠
� �
� ���
� � ������ � a � ����� "�� ��������� � �� � ������� � ����������"���� � ��� � �� ��� ���� ��� ����������� ���������!� ��� ������� ��� ���
������� ��!���������� � ��������� ������������"�� :1
aa
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��� �����������
"� ���������������� ��� ���������������������� ����������
&������������������� ����������������������
$��������������������������������� �������������������� �� ��������"� ���������������������� � ����
#�$��� ���'����� ξ ����������� ���������� �� ���������������� ix �
������������ ��� ip �� i I∈ ����� � ���� i ii I
x p∈∑ � ��� ����������� ��
��� ���
( ) i ii I
M x p∈
ξ = ∑�
061�
��������������� ������ �� � ���������� ���� ξ ��#� � ξ �������������� �������������� � ������������� 1,..., nx x � ��
�������� ���� 1,..., np p !����� ������������������"��
( )1
n
i ii
M x p=
ξ = ∑��
0(1�
��������� �������� +���������� �������������������0&�1�� #� � ξ ���� η �������� ��������������������� ������"���������
�� � ( )M ξ ���� ( )M η ��%��� !����� ���%��� �������������� ( )M ξ + η ����
( ) ( ) ( )M M Mξ + η = ξ + η �� 071�
&���� ��� !����� ��� �0&�1�� ���� kξ � 0 1,...,k n= 1!� n � ��������� �������� ��� ����� #� �
( )kM ξ ��%��� !����� ��1
n
kk
M=
⎛ ⎞ξ⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ��%��� ����
( )1 1
n n
k kk k
M M= =
⎛ ⎞ξ = ξ⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑
��081�
��
� �(�
�0&�1�� ���� ξ � �������� � ����������� �� � ��� c � � ������ ��#� �
( )M ξ ��%��� !����� �� ( )M cξ ��%��� ����
( ) ( )M c cMξ = ξ �� �091�
&�������������� ���������������"��� ������������
( ) ( ) ( )i i i ii i
M c p cx c p x cMξ = = = ξ∑ ∑��
&���� ����0&�1����0&�1� ��� ��� �0&61�� ���� kξ � 0 1,...,k n= 1� n ��������������������� ���� � ��� kc !� n �
���������#� � ( )kM ξ !�0 1,...,k n= 1��%��� !����� ��1
n
k kk
M c=
⎛ ⎞ξ⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ��%��� ����
( )1 1
n n
k k k kk k
M c c M= =
⎛ ⎞ξ = ξ⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑
��0:1�
0&(1�� ������� ������ �� ���������� �������� ( )Mξ − ξ = η � �������� �� η ���������������������� �� � ��������� ξ ��
#��� �� ( )M ξ ������� ������ !��������������������� �������������� ���� ������ !��� ��
( )( ) ( ) ( ) 0M M M Mξ − ξ = ξ − ξ =��
0&71�� ���(��������� ���� )�*+��,�� ���� ξ � ��� η � �� � ���������
����������� ���������� ����%��� � ( )2M ξ ���� ( )2M η ��;��� ��
( ) ( ) ( )2 2M M Mξη ≤ ξ η��
0�<1�
0&81�� #� � ξ � ��� η � ����� �� � ��������� �������� ��� ����
������������������ � ( )M ξ ���� ( )M η ��%��� !����� �� ( )M ξη ��%��� ����
( ) ( ) ( )M M Mξη = ξ η �� 0��1�
#�$��� ���-����� ξ ����������� ����������� �� ���� r ������� ��
�������� ��� � �� � �������� ���� �� ���������� ������� rξ �� ��������� � ������� ���� � ����� ������ �� ��� �� r � ��� ����������������� ξ ���� ���� �
( ) ( )r rr k k
k
M x pα ξ = ξ = ∑��
0��1�
������� ������ �� ���������� ��������rξ � ��� �������� ������
������������� �� r ���������������������� ξ ������������ �
( ) ( ) rrr k k
k
M x pβ ξ = ξ = ∑��
0��1�
#�$��� ��� .�� ��� �� �������� � ������� �� �� � ξ �� !������ ���������� r � ��� ���������� ������� ����� �� ���� ξ � � �����������
����������� ���� r ������� ξ ���� ���� �
( ) ( )( )r r Mμ ξ = α ξ − ξ��
���
��7�
$������� ����������������������������������������� ���� ξ ����
��������� ���� �������� �� ������������ ����� ( )2D ξ ����� 2σ !��� ��
( ) ( )2 22D ξ = σ = μ ξ ��
4�� ��� ( ) ( )2D ξ = σ = μ ξ �������������������� �� ���� ���
���� ξ ��Vom da în continuare c+���������� �������������������������������
������� ���� ���0&�1�� ;��� ��'���������
( ) ( ) ( ) 22 2D M M⎡ ⎤ξ = ξ − ξ⎣ ⎦ ��Într/���� !� ��+��������������"��� ���
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
2 2 22 2
2
2
D M M M M M
M M M M M
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ξ = ξ − ξ = ξ − ξ ξ + ξ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ξ − ξ + ξ = ξ − ξ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ �0&�1�� #� � a bμ = ξ + � �� a � ��� b � �������!� ���� ��
( ) ( )D a Dη = ξ ��;����
( ) ( )M aM bη = ξ + !�
( ) ( ) ( )2 2 2 22M a M abM bη = ξ + ξ +�
�������� ( ) ( )2 2 2D a Dη = ξ ��
În particular, pentru 0b = ������ ( ) ( )2 2 2D a a Dξ = ξ ��
0&�1�� ���� ( )1k k n≤ ≤ξ !� n ��������������������� ���!��� � +����� �
���������������� 1,..., nc c !� n � ���������;��� ��
( )2 2 2
1 1
n n
k k k kk k
D c c D= =
⎛ ⎞ξ = ξ⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑
���
0&61�� ���(��������������� /0��!����� ξ ��������� ����������;��� ��
( ) ( ){ }( ) ( )2
2
DP M
ξω ξ ω − ξ ≥ ε <
ε ��������� �� 0ε > ��
; ���� ����'�������������"����� ������"� �"��������"���� ����
���� � �����������!���+��� ( )aDε = ξ !���� ������������������ ���
( ) ( )( ) 2
1P M aD
aξ − ξ ≥ ξ <
���
���������������������������������������
����{ }, , PΩ Σ ���� −σ câmp de probabilitate.�#�$��� ��� 1�� �� ����� ��� �� � � �������� �� ���� �� :ξ Ω → 555�
0����� � �� ��� ���� ��������� ������ ��� ������� ���1�� � ���
"��#� ������ ������� ������ ( ){ }xA x= ω ξ ω < � ���� ��� ���� Σ �� �����
����� x∈ 555����������� �������� +���������� �������������������������
� �8�
0&�1�� ���� ξ � � ������� � �������� ��� c � � ������ !� ���� �� cξ + !�
ξc !� ξ !�2ξ !�
1
ξ � �� 0ξ ≠ �������������������������
0&�1�� #� � ξ � ��� η � ����� �� � ��������� �������!� ���� �� ξ − η !�
ξ + η !� ξη !�ξη
� �� 0η ≠ !� ( )sup ,ξ η � ��� ( )inf ,ξ η � ����� ��� ���������
������������������#�$��� ��� 2�� ���� ���� � � ���������� ������� 1,..., nξ ξ � ���
����������� ��������� � ������� 1,..., nx x �����
( ) ( ) ( )1 1 1 1,..., ...n n n nP x x P x P xξ < ξ < = ξ < ⋅ ⋅ ξ < ���
��� �������� �
#�$��� ���3������������ �������� ��������������������ξ ������ ���
( ) ( ){ }( )xPxF <ωξω=� 0�61�
����� ����������� x∈���555��#��� � ���� � ��"��� ��� ����� � � � �� ������� � �������� ����� "��
��� ����������������"�� ����������������� ����
#� � ξ � ����� � ������� � �������� ��� �� � �� ( )n np P x= ξ = !�n I∈ !����� ������0�61������ �
( ) nx xn
F x p<
= ∑�
0�(1�
����������������� �������� ���� ��� �����5����� � ����� ���� ���F � ����� � "�� ��� ��� � � !� ��� � ��� ����� �������� ��� �����������
����������������� ������ ix �0 i I∈ 1���
�������� %�� ���� ��� �� ����� �� �� ���� ��������� ������� ������ ����������� ���
$�� ��� � 1 2x x< �������� ( ) ( )1 2F x F x≤ �� 1 2,x x ∈���555��
%�� ( ) ( )0F x F x− = ����������� x∈���555��
&�� ( )lim 0n
F x→−∞
= ��
'�� ( )lim 1n
F x→+∞
= ����������� �� (���� ���� �� F � ������ �� �� �� � �����
������ ���� #���������� ( ) 0F −∞ = �� ( ) 1F +∞ = � ����� ���������� ���� ���� ��������� ������� ����� � �� ��� �#��� �� ����������������������� ��
�������� '�� ��� ξ � �� �������� � ������� �� � ��� ���� �� ������� �� � F �� ��� a � ��� b � ��� � ����� ���� ��� a b< �� )�� �������� ���
��� ( ) ( ) ( )P a b F b F a≤ ξ < = − -�
��� ( ) ( ) ( ) ( )P a b F b F a P a< ξ < = − − ξ = -�
��
��9�
��� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P a b F b F a P a P b< ξ ≤ = − − ξ = + ξ = -�
6�� ( ) ( ) ( ) ( )P a b F b F a P b≤ ξ ≤ = − + ξ = ���
#�$��� ��� 4�� ��� ξ � �� �������� � ������� �� � ��� ���� �� ������� �� � F ����� ��� ������� ����� � f ������ ������������ ���555�����"��#�
( ) ( )x
F x f u du−∞
= ∫!�
0�71�
������ F � � ����� ��� � �� ����� � �������� ��� �� �� ���� ξ � ������ ��� �� � � �������� �������� ��� �� �� ���� ��� f � � �����
��� ���� �� ������ � ���� *����� +�� ���� ��� ��� ( )f x dx � � ���������������� � ���������� ��
�#� � F ������������������������������ f !����� ��
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
lim limx x
F x x F x P x x xf x F x
x xΔ → Δ →
+ Δ − ≤ ξ < + Δ′= = =
Δ Δ ��5����� ������ �� �
( ) ( )P x x dx f x dx≤ ξ < + = �#������������������������������ ����������� ������ ( ) 0f x ≥ �������� �� x∈ 555-�
��� ( ) 1f u du+∞
−∞
=∫ -�
��� &������ �� a b< ���������� ���� ��� ( ) ( )b
a
P a b f x dx≤ ξ < = ∫ ��
�&������������������� �������������������
���� { }, , PΩ Σ � ��� σ − +��� ��� ������������ ��� ξ � � ������� �
�������� �� ��� "�� ��� ��� ����� ��� ����� F �� ���� f � ����������� ���
����� ����������������������� ξ ��#�$��� ��� %5���� ����� ��������� � �� ��� �� � � �������� ξ �
��� ���
( ) ( ) ( )M xdF x xf x dx+∞ +∞
−∞ −∞
ξ = =∫ ∫��
0�81�
#�$��� ���%%�������������������� ���� r �� r ∈ 444����������������������������� ξ ����� ���
( ) ( ) ( ) ( )r rr rM x dF x x f x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
ξ = α ξ = =∫ ∫!�
0�91�
������� ���
( ) ( ) ( ) ( )r rr rM x dF x x f x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
ξ = β ξ = =∫ ∫�
0�:1�
������������������������� �� r ��������������������� ξ ���
� �:�
���� ������������ ����/�����"������������� ��������������� r !���������!���������������� ���� ���� �������������������������� ���!���� ��"���� � ��� ������ ��������� �������� ��� ���� �������� &���� ����������������������������������������������������������������������� ��������� ��������������������������������� ��������
������� � ��!�������+���� ������ ������ �� ������ � �#�$��� ���% ������� ���� ��� �� sA �������� E !�������
( )( )
3
32
sAμ ξ
=μ ξ !�
( )( )
422
3E = −μ ξμ ξ !�
0�<1�
��� �������� ������� ��#�$��� ��� %'�� �� ����� moment centrat în� a � �� ��� ���� r � ���
���������� ������� ξ �� ������� �� �������� r � ��� ���������� �������
aξ − �������������������������������r
aξ − � ���� ��������absolute centrate în� a ������ ���� r ��
#�$��� ��� %-!��� ���� ���� ��������� ������� ξ � � ��� ����
eM �0 ��� ( )μ ξ 1����������
( ) ( )1
2e eP M P Mξ ≥ ≥ ≤ ξ ≤�
0��1�
���
( ) 1
2eF M ≤ ���� ( ) 10
2eF M + ≥ �� 0��1��
���(��������� ���� &��6��!� ���� ξ � � ������� � �������� ������ � �� ��������������������"���� ��&������ �� 1λ > ������
( )( ) 1P Mξ ≥ λ ξ ≤
λ ��0��1�
#�$��� ���%.�������� Mo ������������������������ ����������������������������������������� ��
#�$��� ���%1!���� ( ), , PΩ Σ �����#������������������� :ξ Ω → 555����������� � �������� �� ����� ��� � ����� �� � �� ����������
������� ξ ������ ��� � � 555� �������! ( ) ( ).itt M e ξϕ = �&�������!��� � ξ ������������� ������������ �� ������
( ) kitxk
k I
t e p∈
ϕ = ∑!�
����� � ξ ������������� ��������� ����� !������
( ) ( )itxt e f x dx∞
−∞
ϕ = ∫ ��
�
������������ �������������� ��������������
În ce��� �� ����� � ��� �������� � ����� ��� ���� ��� �"������ �������������������������������������
#�$��� ��� %2!� ��� 1 2, ,..., nξ ξ ξ � �� ��������� ������� ������ ��
σ − câmpul de probabilitate { }, , PΩ Σ ���� ���� 1 2( , ,..., )nξ ξ ξ � ��������� �� � ���������� � ��� ���� � ����������������������� ������
��<�
�În continuare, vom studia cazul ��,��� �"�����/ne în prealabil la
���������������������������� ��������� ( , )ξ η ��������� �����������"���� ���� +��������������������
{ }, , PΩ Σ ��&��� ������� ��� ���������� ������� ( , )ξ η ��� �� ���'�� ���������
������ �������� ���� ���������!� �� �� �� ��� ,��� ��� ������
1
1
( , )i j i n
j m
x y ≤ ≤≤ ≤
������������� ��� ������ ����
{ } { }( )1
1
| ( ) , | ( ) i nij i j
j m
p P x y ≤ ≤≤ ≤
= ω ξ ω = ω η ω = �� 0�61�
*������������ { },i jx yξ = η = � "���� � ��� ������� ������ �������������!��� �������������������� ���������'�� � ��� �
1 1
1n m
iji j
p= =
=∑∑��
0�(1�
���� +��� ����� ��� ���������� �������� ( , )ξ η !� ������ �������������� ���"�� ��� �������!���������!��������������
{ } { } { }1 1 1 2 1, , , ,..., , mx y x y x yξ = η = ξ = η = ξ = η = �������� ���������������������
1. 11 12 1... .mp p p p= + + + �� 0�71�;���'!���������
.1
m
i ijj
p p==
∑�
0�81�
��!����� ���!��
.1
n
j iji
p p==∑
�0�91�
�����"��������������� � ���� �����(�������������� ξ !����� ���� η ��#���� ��!������ ���������������� ���� ( , )ξ η ���� �������"��������
������ ������ ����������"�� ��
η �=� ξ � 1x � 2x � ���� ix � ���� nx �
1y � 11p � 21p � ���� 1ip � ���� 1np �2y � 12p � 22p � ���� 2ip � ���� 2np �
���� ���� ���� ���� ���� ���� ����
� jy� 1 jp
� 2 jp�
���� ijp�
���� njp�
���� ���� ���� ���� ���� ���� ����
my � 1mp � 2mp � ���� imp � ���� nmp ��
���������0>1�
�#� �!� 1. 1( )p P x= ξ = � ��� ������� � ����� �������� ��� ��� ���
��������� 1x ��������������
� ���
5����� ��������������� ξ ���� η �������
1 2.
1. 2. . . 1
... ...: , 1
... ...
ni n
ii n i
x x x xp
p p p p =
⎛ ⎞ξ =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
�
1 2.
..1 .2 . 1
... ...: , 1
... ...
mj m
jj m j
yy y yp
pp p p =
⎛ ⎞η =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
�
�������0�:1�
�������� ������� ���������������������������������������� � ( , )ξ η ������� ��������������0>1��4� ��
( / ) ( / ).i j i jp x y P x y= ξ = η =� 0�<1�
&��� ����� ��� ���� ξ � ��� ���� � ��� "������ � jyη = !� �� ���'�������� ���
1 2
1 2
... ...:
( / ) ( / ) ( / ) ( / )... ...j
i n
j j i j n j y
x x x x
p x y p x y p x y p x yη=
⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟
⎝ ⎠�
0��1�
������
.
( , )( / ) ,
( )i j ij
i jj j
P x y pp x y
P y p
ξ = η == =
η =�
0��1�
��
1
( / ) 1n
i ji
p x y=
=∑��
0��1�
;���'!� ��� ����� ��"���� ����� ��� ���� η � ��� ���� � ��� "������ �
ixξ = !����������
1 2
1 2
... ...:
( / )( / ) ( / ) ( / )... ...i
j m
j ii i m i x
yy y y
p y xp y x p y x p y xξ=
⎛ ⎞η ⎜ ⎟
⎝ ⎠ !�0�61�
�����
. 1
( / ) , ( / ) 1m
ijj i j i
i j
pp y x p y x
p =
= =∑��
0�(1�
#�$��� ���%3!����� ����� � 555���� �?<!�@!��
{ }( , ) ( | ( ) , ( ) )F x y P x y= ω ξ ω < η ω < � � ����� ��� �� �� ����� � �� ���������� ������� ������ ������( , )ξ η ��
��� ��� +����� ����� �� ����'�� ��� ����� ������ "�� ����� �������� ����������������� �
��� F ����������� �� ����������� ��"�� ����'�����-���� F ������ ����� ������+�'��������� ��"�� ����'�����-�
��� ( ) ( ) ( ), , , 0F x F x F−∞ = −∞ = −∞ −∞ = -�
6�� ( ) ( ),F x F xξ+∞ = -� ( ) ( ),F y F yη+∞ = -�
(�� ( ), 1F +∞ +∞ = ��
În continuare, vom nota simbolic ( ), Dξ η ⊂ evenimentul „punctul
������ ( ),ξ η � ��� ' ������ ��� �������� D ”. Probabilitatea acestui ��������������%��� ���������� � D ���������������',������ �������������� �������� �� �%���� ��� ������� ���� ������',���� D de vârfuri
����
( ),A a c -� ( ),B b c -� ( ),C b d -� ( ),D a d . În acest caz, evenimentu��
( ), Dξ η ⊂ ������� ,�������� ��{ } { }a b c d≤ ξ < ≤ η <� !��� ��
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,P D F b d F a d F b c F a cξ η ⊂ = − − +� 0�71�
�#� ��%��� ��"�� ������ � f ���"���� ��������'���� ���� 555�������� +��
( ) ( ), ,yx
F x y f u v dudv−∞ −∞
= ∫ ∫ !� ���� �� f � ��� �������� ��� ����� ��
������ � ����0����� 1��������������������� ��������������� ζ ��
���� ,ξ η ��� ������������������������� ���������� ( ),ξ η �����������
ca un punct aleator în plan. Fie RΔ �������',������������� xΔ ���� yΔ !������
( )( ), ( , ) ( , )
( , ) ( , ).
P R F x x y y F x x y
F x y y F x y
Δξ η ⊂ = + Δ + Δ − + Δ −
− + Δ + �;����
( )( ) 2
0
0
, ( , )lim .x
y
P R F x y
x y x yΔ
Δ →Δ →
ξ η ⊂ ∂=Δ Δ ∂ ∂
�4� ��� ���� ������� ����� ( ),f x y �
( ) ( )2 ,,
F x yf x y
x y
∂=
∂ ∂ �0�81�
���"������ �������������������������������������������������� ζ ��;����
( )( ) ( ), ,D
P D f x y dxdyξ η ⊂ = ∫∫��
0�91�
#������������������ ��������� ζ ����������'���� !����
( ), 1f x y dxdy+∞ +∞
−∞ −∞
=∫ ∫��
���������������������������������� ����������������� �������������
��������������������� ���� ������������ ( ),ζ = ξ η ��
#�$��� ���%4����������� ( ),k s
k s Mα = ξ η ������� � �������� ��
,k s ������ ������ � ( ),ξ η ���������������������������� ���� ,k s ����
� ������ ( ),ξ η ���� ���� ( ) ( )( ),
k s
k s M M M⎡ ⎤ ⎡ ⎤μ = ξ − ξ η − η⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ��
;����
( ), ,k sk s x y f x y dxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
α = ∫ ∫!�
0�:1�
( )( ) ( )( ) ( ), ,k s
k s x M y M f x y dxdy+∞ +∞
−∞ −∞
μ = − ξ − η∫ ∫�
06<1�
���
� ���
formule care în cazul variabilelor aleatoare discrete devin�
,k s
k s i j iji j
x y pα = ∑∑!�
06�1�
( )( ) ( )( ),
sk
k s i j iji j
x M y M pμ = − ξ − η∑∑��
06�1�
;����
( ) ( )1 01,0 M Mα = ξ η = ξ
�
( ) ( )0 10,1 M Mα = ξ η = η ��
Un rol important în teoria sistemelor de variabile aleatoare îl are ����� ���
#�$��� ��� 5!������������ �� ���������������������� ξ ����η ���������
cov( , ) ( ) ( ) ( )M M Mξ η = ξη − ξ η �������� �� ����� � �� ������ � �� ����������� ������������ ��������
������ ��!� ��� �+�' ���������!� ��' ���������� �����2����� � ������� � !��� � ξ ���� η ������������������!� ����� ������������ ��
#�$��� ��� %!� �� ����� �� ��� �� ���� � ��� ������������������� ξ ����η ����������
,
cov( , ).
( ) ( )r
D Dξ ηξ η=
ξ η �06�1�
#� � ξ ���� η ������������������!����� �� , 0rξ η = ��
#�$��� ��� !���� � , 0rξ η = � � ����� ������������������ ξ ����η � �����������
�7������� ���������$������������������� ���&������� ( ) ( ) 0D Dξ η ≠ !����� �� , 0rξ η = ��� ������������ ������������
ξ ���� η ������� �������
&���&������ ���� ����������������������� 2, 1r ξ η ≤ ��
&���#� � 2, 1r ξ η = , atunci între ξ ���� η ��%��� ���������� ������ ��
��
��
��6��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��
%�������������������������� ��0 1 2 3 4
:0,15 0,45 0,20 0,15 0,05
⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟
⎝ ⎠��2 �������������"�� ���
����������� ����
��6�
- ����� �2������� � ( ) ( )F x P x= ξ < ��;��� ��"�� ����������� ��������
( )
0 pentru 0
0,15 pentru 0 1
0.15 0,45 pentru 1 2
0.15 0,45 0,20 pentru 2 3
0.15 0,45 0,20 0,15 pentru 3 4
1,00 pentru 4
x
x
xF x
x
x
x
<⎧⎪ ≤ <⎪⎪ + ≤ <⎪= ⎨ + + ≤ <⎪⎪ + + + ≤ <⎪
≥⎪⎩ �
!�2�� ����� ��������������������
1 1: 1 1
2 2
−⎛ ⎞⎜ ⎟ξ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
����
1 2: 2 1
3 3
−⎛ ⎞⎜ ⎟η ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
��2�� ���� ���� �� ������
��� ( )1, 2P ξ = − η = -� ( )1, 1P ξ = η = − -� ( )1, 2P ξ = η = !��� �� ( )1, 1P ξ = − η = − = λ ����� ��"� ���������� ��� ������"�� ������ λ �� �� ����������� λ ������� ��� ξ ���� η ��������������������
- ��������� ;�����
( ) ( ) ( )1, 2 1, 1 1P P Pξ = − η = + ξ = − η = − = ξ = − !�
( ) ( ) ( )1, 1 1, 1 1P P Pξ = η = − + ξ = − η = − = η = − !�
( ) ( ) ( )1, 2 1, 1 1P P Pξ = η = + ξ = η = − = ξ = �
�������� ( ) 11, 2
2P ξ = − η = = − λ !� ( ) 2
1, 13
P ξ = η = − = − λ ���� ( ) 11, 2
6ξ = η = = λ − !��� ��
�ξ �
η �1− � 1 � ( )iP yη =
�
1− � λ �2
3− λ
�
2
3 �
2 �1
2− λ
�
1
6λ −
�
1
3 �
( )iP xξ = �1
2 �
1
2 �1 �
�
( ) ( ),,
2 1 12 2 6 2
3 2 6
ji j i yi j
x y P xM η== ξ = =ξη
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= λ − − λ − − λ + λ − = λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑
��
λ � ����������"���������� +��������������� ����� �"��� ������������ 0 ����1��� ��
0 1≤ λ ≤ !�2
0 13
≤ − λ ≤ !�1
0 12
≤ − λ ≤ !�1
0 16
≤ λ − ≤ !�
��������1 1
6 2≤ λ ≤ � ���� ������� �
( ) 1M ξη ≤ ��
���( ) ( ) ( )
( ) ( ),
M M Mr
D Dξ ηξη − ξ η
=ξ η
��
��
� �(�
;����
( ) 0M ξ = !� ( ) 0M η = !� ( )2 1D ξ = !� ( )2 2D η = !��� ��
,
6 2
2rξ η
λ −=��
��#��� ��1 1
6 2≤ λ ≤ ������ �
,
1
12rξ η ≤
��
&�����1
3λ = !� ξ ���� η ��������������������
���
�������������������
������������������8��������������
%!��2 ������������� ��������������� ����� ������� ������� �������������������������������
1
1
: n
n
x x
p p
⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
�
� !�1
1
: m
m
y y
q q
⎛ ⎞η ⎜ ⎟
⎝ ⎠
�
� �
����������������� ξ + η ��������������������� ���
1 1 1 2
11 12
: i j n m
ij nm
x y x y x y x y
p p p p
+ + + +⎛ ⎞ξ + η ⎜ ⎟
⎝ ⎠
� �
� � �
�����
( ){ } ( ){ }( )ij i jp P x y= ω ξ ω = ω η ω =� �
��
��7�
��#� � ξ ���� η �������� ��������������������� ��������� � ( )M ξ ���� ( )M η ��%��� !����� ��
�%��� �������������� ( )M ξ + η ����
�1 ( ) ( ) ( )M M Mξ + η = ξ + η �
�1 ( ) ( ) ( )M M Mξ + η = ξ ⋅ η �
1 ( ) ( ) ( )M M Mξ + η = ξ − η ��'!� 2 ������������� ��������������� ����� ���������� ���� ����������� �������������������������������� ������������� �
�� � 1 2x x< !����� �� ( ) ( )1 2F x F x≥ !� ( ) 1 2,x x∀ ∈ 555���-!���� ����������� �������������������������������� ���������������
�1 ( )lim 1n
F x→−∞
= ��
�1� ( )lim 1n
F x→−∞
= − ��
1� ( )lim 0n
F x→−∞
= ��
.!����� ξ ��������� ����������� ���"�� ����������� �������� F ������ a ���� b ��� ������������ �� a b< ��;��� ������ ��'�������� �
�1 ( ) ( ) ( )P a b F b F a≤ ξ < = − �
�1 ( ) ( ) ( )P a b F b F a≤ < = +ξ �
1 ( ) ( ) ( )2P a b F b F a≤ < = −ξ �
�1 ( ) ( ) ( )2P a b F b F a≤ < = −ξ �
�1��2�� ����� �"�� ��� F ���"���� �������� �����
( ) 2
0 pentru 0
pentru 0 1
1 pentru 1
x
F x ax x
x
⎧ <⎪= ≤ ≤⎨⎪ >⎩ !�
a � ��������2 ������������� �������� a ������� +�� F �� �"���"�� ����������� ������1���A�(��1���A�/�� 1���A����1���A�<��2!�2�� ����� �"�� ����������� ��� F ���"���� �������� �����
( ) 2
0 pentru 0
pentru 0 1
1 pentru 1
x
F x ax x
x
⎧ <⎪= ≤ ≤⎨⎪ >⎩ !�
����� a � ��������2 ���� �� ������ ( )0,35 0,5P ≤ ξ < ���1� (0,35 0,5) (0,5) (0,35) 0,1275P F F≤ ξ < = − = �
�1� (0,35 0,5) (0,5) (0,35) 0,3775P F F≤ ξ < = + = �
1� (0,35 0,5) (0,5) (0,35) 0P F F≤ ξ < = − = �
�1� (0,35 0,5) (0,35) (0,5) 0,1275P F F≤ ξ < = − = − ��
��
� �8�
3!�2�� ����� �"�� ���
( )0 pentru 0
sin pentru 0
0 pentru
x
f x a x x
x
<⎧⎪= ≤ ≤ π⎨⎪ > π⎩ �
�2 ������������� ����������� � a !����"��� �� f �� �"���������������������������������������������
���������
�1 ( )0
sin 2 1f x dx a xdx a+∞
−∞
= = =∫ ∫π
�!���� ���A��B��
�1 ( )0
sin 1f x dx a xdx a+∞
−∞
= = =∫ ∫π
!���� ���A���
1� ( )0
sin 2 2f x dx a xdx a+∞
−∞
= = =∫ ∫π
!���� ���A���
�1�1 ( )0
sin 2 1f x dx a xdx a+∞
−∞
= = = −∫ ∫π
!���� ���A�/�B��
�4��2�� ����� �"�� ���
( )
0pentru 0
1sin pentru 0
2pentru0
x
f x x x
x
⎧ <⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪ >⎪⎩
ππ
��
2 ���� �� ������ 04
Pπ⎛ ⎞≤ ξ <⎜ ⎟⎝ ⎠ ��
�14
0
2 20 sin
4 2P udu
π
π −⎛ ⎞≤ ε < = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ��
�1�4
0
1 2 20 sin
4 2 4P udu
π
π −⎛ ⎞≤ ε < = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ �
1�4
0
10 sin 1
4 2P udu
π
π⎛ ⎞≤ ε < = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ��
�%5������ ξ ��������� ����������� ���"�� ����������� ���0����� ��� ���� 1������
( )0 pentru 0
pentru 0 1
1 pentru 1
x
F x x x
x
<⎧⎪= ≤ <⎨⎪ ≥⎩ �
2 ���� �� ������"�� ����������� �����������������������1
lnη =ξ
��
�1� 1 1( ) ( ) ln
1 ( ) 1
x
x x
F x P x P x P e
P e e− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= η < = < = < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ξ ≤ = −
��
��9�
�1� 1 1( ) ( ) ln
1 ( ) 1
x
x x
F x P x P x P e
P e e
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= η < = < = < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ξ ≤ = −
��
1�1 1
( ) ( ) ln ln
1 11 1
ln ln
F x P x P x P x
Px x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= η < = < = < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= − ξ ≤ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
��
�
%%������ ξ ��������� ���������������� ������� ���������������������������� ( ) 1
2xf x e−= !� x∈ 555��
2 ���� �� ����������������������
�1�0
| |
0
1 1 1( ) 1
2 2 2x x xM xe dx xe dx xe dx
∞ +∞− −
−∞ −∞
ξ = = + =∫ ∫ ∫ �
�1�0
| |
0
1 1 1( ) 0
2 2 2x x xM xe dx xe dx xe dx
∞ +∞− −
−∞ −∞
ξ = = + =∫ ∫ ∫ �
1�1 0 1
| |
1 1 0
1 1 1( ) 0
2 2 2x x xM xe dx xe dx xe dx− −
−
ξ = = + =∫ ∫ ∫ �
��������������
���� ���(��$���� ��(���������
��� #���� ��!� 3����"�� 5�!� C� ��� ;�!� ���� 5�!� C+� � 2�!�!������� ����� ��������!� *����������� ����România de Mâine!�C� �����!��<<7��
��� #���� ��!� 3����"�� 5�!� C� ��� ;�!� ���� 5�!� .���� �� �������� �������!� *����������� ����România de Mâine!�C� �����!��<<(��
���C� ���;�!�Matematici aplicate în econom����� ����� !�*����������� ����România de Mâine!�C� �����!��<<6��
6�� #���� ��!� .���� �� ����� � ����� ��������!� *������ ����� ���� România de Mâine!�C� �����!��:::��
(������ ��D,�!�!��������������������!�*����������� ����România de Mâine!�C� �����!��::7��
�
� ���
��
������������� ���� �
������������������������������������
���������
���������� ������������������������������� ���� �� ��������� ������������� �� �� �� ��������� ������������������� ������������������������������������������� ��������������������������������� �������������� �
3.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����
���������������������� ������������ ��������� ���� ������������� �������������������������!�
���������������"�• schema bilei întoarse (Bernoull�#$��• �� �������������������%��������!� ���&������ #$�• '������$�• '��������������� �λ $�• ���� �������� $��• ���� �� 2χ $��
• ( �������
�������� � ���� ������ ���� � ������ �����
) � � ��� &���� ������� �� �� ��� ��� ��!� � ��� �� ��� *�� �������� � �identifice într+�� �� � ��� ��� � ���� �� ��� ����� �� ������ �������� ��� ������������ ������� ��������� ��
�
������� �� !"������� ��#��!,������
�
�-.�
�������� �������� � ������ ����
�������������� �����!$�$� ����"��" ���"��
��������������� �������������
���� ��� ������ ��� ������� ���� ������ �������� ���� ��/����� ��� �� ��� ���� ���0��������� ������ ����0��������������&�������� ���� ��� � ������!� *������din ele ducând la r��������� �� � ��� ����������� � �� �� ��� ���������� ����� ����������� � ���� � � �� ��� ����� �� ���� �������� � �� ��+�� ����� ��� �0���������10�������������*���*�� �������������������� ����� ��������� �����*�����
��!����� �����"� �� � �� �%��������� !�� ���������� �� ���� �� �����������independente, în fiecare din ele un eveniment A se poate realiza cu probabilitatea p �� ��� ��� �������� � ��� ������������� ������� � ��� �������� ������������� ��� ����������������������������������� ������������������������������� �
,m m n m
m n nP C p q −= � %�#�
'������� ���� ,m nP � � � *���� �������� ���� ���������� ����� � �� ( )np q+ ��
)��� ����� � �� � � �/�� �� ��� ���������� ���� ����� � �� �� � ����������� � � ��& ��� %�#� ��� � ����� câmp binominal� %���� ���� � � ������������ ��������� ����câmpului asociat experimentului pot fi considerate ca elemente ale produsului �������� ...nΩ = Ω× × Ω #��
2���� ��� �� ������������ ���*�������� �������������������3��4��� ���!������������������ ����������!�������"���������
��!����� &����� � �� �%��������� !�� ��������'� #���������� � � ��� ���� ��experimente independente, în fiecare din ele un eveniment A se poate realiza cu ������������ ip $� 1,2,...,i n= � �� ��� ��� �������� � ���������������� 1i iq p= − �� � �������������������������������������������������������������� ��������� ���������������%������ ���� ����������!����������� ������� �
, 1 1 1 1 1 2 1 1... ... ... ... ... ...m n m m n m m m m n n m n m nP p p q q p p q p q q q q p p+ − + + − − += + + �
���� �
( ) ,1
nm
i i m ni
p z q P z=
+ = ∑∏ � %�#�
���� ,0
1n
m nm
P=
=∑ ��
În unele experimente practice se cere probabilitatea de realizare a �������� � �� A ��������� ��� m ori în cele n experimente. Notând cu mC � �����
��������� ����� 1 ...m m m nC B B B+= ∪ ∪ ∪ !� ���� mB � ������ � �������� �� 5 A � ����������� ��0������m ori în cele n experimente”����� � �� �
( ) , 1, ,...
‘m m n m n n nP C P P P+= + + + �
�� �
( ) ,
n
m k nk m
P C P=
= ∑ �� %�#�
(� ��������������� ������� ����� ������������ ��� ������
� -��
����� ���� ������������������( � ��� � ���� � � ��� ���� ��� ��������� � %�#� � �� np = λ � %������#�� ( �
������ ������������������������������ ������� � n → ∞ ��2���"�
!
k
kp ek
−λλ= � %-#�
���
0 0
1!
k
kk k
p e e ek
∞ ∞−λ −λ λ
= =
λ= = ⋅ =∑ ∑ !�
������������� ������*���������%-#�� ��������� �������� �������(��� ��� )�� ������ �� �������� � ���� �������� ��� &'(� ��� ��������
����� ��� ����������������λ$����������������������
2
0 1 2
"e e e e
1! 2! !
k
k
k− − − −
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� �
� ��
�������������� �� � ����������� ����������� ���'�������������� �� ���)��������������������!����� ������ ��������
��������0���������� ����������� ��/���� � ���0����������������*������������������������������ ������������� � ���������������*������� ��
�
�������� ��� �� �
*���� ���� ����������������� 1,... sc c ���������� ����������+��������������
������������� ip ������� ��������������� �$���������������������� ic $� 1,...,i s= ��
�� ���� �� ������ � �� �,��� �� �� $� ��� ��� �� ��� ��� ������� ������ �� ����� � � �� �������������� ���-�� Aα ������������������������ �������������� ����� � iα �����
�� ��������� ic $� % 1,...,i s= #$� ��� ( )1,..., sα = α α �� #������������ ������� ���������
���� �
( ) 1 21 2
1 2
!...
! !... !s
ss
nP A p p pα α α
α =α α α
�� %,#�
2���� ������������������������ �� ( )1; ,..., sP n α α ��
������� � ����� ��
�������� ������ ������� ��������������� � 1a ���������������� 1c +� 2a ������� ��������� 2 ;...; sc a � ���� �� ��������� sc �� �� ���� �� ������ � � � � �� ������� ���������� ������������� �%������� ���������!������ ���������)����������������� #��-�� Aα ��������������������.���� ���������� kα $�% 1,...,k s= #���������������� kc în
)������������������������������ ( )1,..., sα = α α $� 0 k ka≤ α ≤ $1
s
kk
n=
α =∑ ������ �
( ) ( )1 2
1 21
...1
...; ,...,
sa a as
s na as
C C CP A P n
C
α α α
α+ +
= α α = � %6#�
10������ �� ������� ���� � � � � �/�� �� ��� ���������� ������!� ������������ � ��& ����� !����� �������!�� �!���)������� �������!�������������������
���
�-��
��������������� ��������������
����������� ���� ���������*���������� ����� �������������������������� ��7���{ }!� !� � �� σ –câmp de probabilitate, L �� � ������������������������
��*��������Ω ����F �� � �����* �� ������������ ����8������ � ���� ���� ������F ∈F ��0�� ������������������ ξ∈L ���� ���* �� ���������� ������� F ��
������ ������� ������ ���� �
��(��� ��� *�� �� �������� ��� � �� ����� � �� ���� � �� [ ]ba, $� ���� �� �������� ����� ����������������������������� �
[ ][ ]
1daca ,
( )0 daca ,
x a bf x b a
x a b
⎧ ∈⎪= −⎨⎪ ∉⎩
� %9#�
��(��� ��� ��/����������������� ξ � ������������� ���� ���� � [ ],a b ��� �����
������ �������� ����[ ],a b ��
���������� �
��&��� �� ������� ��� �!��� � ����� !� �&�� ���� � ��+ ��� � (��"����� ���� �"� ������"��"�'�
(�� ����� � �� � � � ��� � �� � � � � *������ ������� ��� ��������� �������������������� �/�������&��������!���� �� *���������� �������� ��!������� ������&������� ��
��(��� ���,�� ������������� �������� ������� $������ ������ ( )2; ,mΦ • σ �
���� ���������� ������ ��������������������������� �
( )( )2
22 21, ,
2
x m
f x m e
−−
σσ =σ π
� %:#�
���� 2σ �������������$�������������� ������ ��
;�*�� ������� ��� ( )2, ,f x m σ �������������*�&������
�7�&������
7 �� ���������� ������"�
( ) ( )( )2
22 2 21; , , ,
2
u mxx
x m f x m dx e du
−−
σ−∞
−∞
Φ σ = σ =σ π∫ ∫ �� %�#�
8������� ( )2
21
2
x t
x e dt−∗
−∞
Φ =π ∫ !�* �� ���� ��<������$����������������* �� ������
� �����������& �������������������������8�������� �������� ξ � ��� � ����� ����� � ( )2,N m σ � ��� � ��� * �� ��� ���
���� ��� ( )2; ,mΦ • σ �� '�� � ξ � ���� ���� ��� ������������� � ������ ���� ����"�
�������������!���������������������������"�
� -��
( ) ( )( )2
22 21; ,
2
x m
M xf x m dx xe dx−+∞ +∞ −σ
−∞ −∞
ξ = σ =σ π∫ ∫ �
��� � "� ( )M mξ = ����� 2 2( )D ξ = σ ����� �� ��� ��������� �� ���� ��� �� ��� ������� ��� ���� ����� )�� � �� ����
�� ��� � �������!� � ��� ��� �������� ��� ��������� � ��+�� � �& �� �0��� �0� * � �+����� ����� *�����)������ ���������� ����� ��� ���� ���� ��� �0���0��'���� �� σ ����������� � *���� � ���� ��� ��������� ������� ��0�� � �� � ���� ���� ���������� ����� �� �σ ��
����� �� 2χ �
-�� 1 2, ,..., vξ ξ ξ $� ν � �������� ���������� �������$� �������$� ����������% ( )0,1i Nξ ∈ #�� ����� ������������������������������������������������ �����������
����� � 2 2 2 21 2 νχ = ξ + ξ + + ξ� �������� ������� �������������������������������� ��
2
2 2
2
1( )
22
xv
vf x x e
v
−−=⎛ ⎞Γ⎜ ⎟⎝ ⎠
$� [ )0,x∈ ∞ �%�.#�
%��������� � � ( ) 1
0
n xn x e dx∞ − −Γ = ∫ � ���� * �� ��� ;���� �� � �� 1 ��!� � � �� ��
����� �������#��� ��� ����� ��� ��� ���� ��� � � ���� ������ � %*�& �� ���#!� ��� ��� ����� � �
����� ������� ���� �� � ��&����������������ν ������%������.#��
�7�&�������
����� ����������
-�� 1 2, ,..., nξ ξ ξ ��������������������������� ( )0,N σ $������������/�������
1
1 n
ii
t
n =
ξ=
ξ∑�
%��#�
���� ξ � ����� �� ������ � ���������� ( )0,N σ $� �������� � �� ����� ( )1i i n≤ ≤ξ $� ����� ��
������ ����������������� ��������������������� ���1
2 2
11 2
( ) 1
2
ssx
f xs ss
+−+⎛ ⎞Γ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= +⎜ ⎟⎛ ⎞π ⎝ ⎠Γ⎜ ⎟⎝ ⎠
$� ( ),x∈ −∞ +∞ � %��#�
���� � ��� ����� ����� � ������� %� � � ��� ����� �� ���������� � ���=��;����#$���� 1s n= − �)������������������
�--�
� �������� ��������������� ��������������*�& �������
�7�&�������
1���������� � ����� �� �������� ���������!������*�� ����
��-��Îndrumar pentru verificare/autoverificare����� )����������� �*� ��&�� ���0��� �12 � ���!������������������������������ ��/��&���� �� �
����1
2�� ( � ��� ���� ����� �������������!� ��������� ��� ������������� � ��� � �� ���������� �������� ����
������ �� � ����� �����/��&������ � ��������������
�����������8���������������� ξ �������� ����������� � ( )12
12
1
2kP k C
⎛ ⎞ξ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠!� 1,...,12k = ��2����
( ) 6M ξ = !� ( )2 3D ξ = !� ( ) 3D ξ = ��
���� La controlul de calitate este controlat un lot de piese. Probabilitatea ca luând la întâmplare o
���� ����� ���� �*�����*�� ����� 005,0 ��( ����������100 ����������� ��!������ �� � ������/�������� ��� *������ ������� ��� ��� � � � ��� �� *��� ������ �� (�� ���� �robabilitatea ca între cele 100 � ��������������� ����������� ���� ���������*�����
���������"�
( ) ( )4 4
100100, 100
0 0
0,005 0,995k kk
kk k
P P C−
= =
= =∑ ∑ �
���� >��& ����� 40 �������� ���� � ��� ����� 3 ��������<��������!��� � ���0���������������
���� ���*��� ����/���������������������*��� ������ ��?���� � 5 elevi cunosc în întregime ���������� !�10 �������� ����� 90% ��������������� ����*���������� !�11 elevi cunosc câte 80% ����������!� 7 ������� 60% !� 5 elevi câte 50% ��������������� �� ������������������������� ��<���0����!� ������� �� ��������������������� ����� �����*����������������������������������������� �*��� � ������������������� ����"�����&�������!� 90% !� 80% !� 60% !� 50% !� 0% din întreaga �������
�����������7��������������� 1A − cinci elevi cunosc întreaga materie; 2 10A − �������� ����� 90% �����
�����$� 3 11A − �������� ����� 80 ����������$� 4 7A − �������� ����� 60% $� 5 5A − elevi cunosc câte 50% �
���� ������ ��� 6 2A − � ������ � � � ����� ������ ���� ������ ���� �� 2���� ( )1
1
5P A = !� ( )2
1
4P A = !�
( )3
11
40P A = !� ( )4
7
40P A = !� ( )5
1
8P A = !� ( )6
1
20P A = ��
�
� -,�
��7����������� �� X − � ������� �� �������������� ����� �����*��������������2�����
( )1 0P X A = !� ( )2
22 3
9 1
10 10P X A C
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠!� ( )
22
3 3
8 2
10 10P X A C
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠!� ( )
22
4 3
6 4
10 10P X A C
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠!��
( )2
25 3
5 5
10 10P X A C
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠!� ( )6 0P X A = ��
�-��������� �*���� � ��� � ����������������������� ������ ����*�����(��*��������� ������
100N = � ��� ���������� �� 40n = � �����!� *������ ������ ��� ��/��������� ����� � ��������� ��� ������������*���"�
�@����������*���� ix � @���������� in �
0 � 28 �1 � 40 �2 � 21 �3 � 7 �4 � 3 �5 � 1 �
�����6 � 0 ����� 100 �
�7 �/����������� ����� �������������*���� �/��������� !�� � �� X al pieselor defecte în
*��������������������������� ����������������� ��������� � 40n = ���� p ����������� ���� ��
A������������� �������120
1,2100
i ii
n x
xN
= = =∑
����� ���������1,2
0,0340
xp
n= = = ��
���������0���� �� ������0������&����������� �� ���&���'������!����� �������������*����*������ *������������ !�����*���� ��*��� �������������� 40n = ��
������ �������*����� ����������������������� �����B ����������&����������� ����'��������� � ��������� �� � �"�
�
@ � ���������*����
7����� ����������� ���
'������������&��
�������� �
'������������&��'�������
0 � 0,28 � 0,2957 � 0,3012 �1 � 0,40 � 0,3658 � 0,3614 �2 � 0,21 � 0,2206 � 0,2169 �3 � 0,07 � 0,0864 � 0,0867 �4 � 0,03 � 0,0247 � 0,0260 �5 � 0,01 � 0,0055 � 0,0062 �6 � 0 � 0,0010 � 0,0012 �7 � 0 � 0,0001 � 0,0002 ������8 � 0 � 0,0002 � 0,0002 �C���� 1� 1,0000 � 1,0000 �
����
�-6�
�
,��>��� �������� ���� ��������� ���� 0,9 !� 0,07 ���� 0,03 ��������������� �� � !������� �� � ����*���������������� ���� ��A ���� ������� ������������������������������������������������������ �*�������� ��������� �� � ��������� ��� ���� D��
�����������'�� ����� �������������������� ������� ���� �������������� ������ ���( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 0
0 2
3;1,1,1 3;2,0,1 3;1,0,2
3! 3!0,9 0,07 0,03 0,9 0,07 0,03
1!1!1! 2!0!1!3!
0,9 0,07 0,03 0,086671!0!2!
P P PP = + + =
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅ ⋅ =
�
�6��'�� ������ ��������������� � �������� N ������!�����0�&������ � n �������% n N< #��?�����
� ������������ a ��������� ����b �������� ���% a b N+ = #!�� ������������� ���������� ��������������������������������� �� � ������������� ����������� n ��0�����( �������� ������������������������������������������������
�����������8����������������ξ ������� ����������0,1,...,n �� ��������� ���� ( )k n ka b
nN
C CP k
C
−
ξ = = !�
0,1,...,k n= ������
: k n ka b
nN
k
C C
C
−
⎛ ⎞⎜ ⎟ξ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
!� 0,1,...,k n= ��
2����
( ) 11
1 1
1 n nk n k k n ka b a bn n
k kN N
aM kC C C C
C C− − −
−= =
ξ = =∑ ∑ !�
���1
1 1 1 11 1 1 1
1 0
n nk n k k n k n na b a b a b N
k k
C C C C C C−
− − − − − −− − + − −
= =
= = =∑ ∑ �
���
( )11
nN
nN
C nM a a
NC
−−ξ = = �� %��#�
@� ��a
pN
= !�b
qN
= ������ ( )M npξ = ��
)����������!� ( ) ( )( ) ( )2 1M M Mξ = ξ ξ − + ξ !����
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
22
2 2
2 22 2
1 1 1
1 1
n nn k n k k n kN a b a n
k k
n na b N
C M k k C C a a C C
a a C a a C
− − −−
= =− −+ − −
ξ ξ − = − = − =
= − = −
∑ ∑�
��� ����
( ) ( ) ( ) ( )2 11 1
1 1
a n a naM n a n a n N n
N N N N N
− ⎡ ⎤ξ = − + = − + −⎣ ⎦− −��
)�����������*��
( )22 1 1
nab N n N nD npq
N NN
− −ξ = ⋅ =− −
�� %�-#�
�
� -9�
��
�������������������
������������� ����-���!��� ������
����� � ���� ���� 30 ��������������10 ��������&���(��*��� 200 �����0�� ������� � �� �/���� � �*�������0�� ������������������ � ��(����������&������*���� ���� ����������������� � ��������� ������������������������ 200 �����0�� ���� �*���� ���������100 ����120 ��
�����<�� ������ ������������ !� 3 �������� ����������/�� �������������� ���� n �% 3n > #�������
� ��������������&�� ����&�������������������� ����� ������������/��1,2,3 �� �����������&�� ��7����� �0����� �!� ���� ��� ������� �� �0�&� *������ �/�� �� ����� ���� ������ 10�&���� * �/�� +��� �����/�����!�� �����*��������������� � ���������������"�
��� C���������� ��� �*����0����� �����&����������� @���� ����������� �� �*����0���������&����������� ����� ��� ����������� �*����0�����������&�� ������>�������������� �������5 ��������$�*����������%���������������* �� ������* ���*�� � �����+
���������������#��������������"� 1 0,9p = $ 2 0,95p = $ 3 0,8p = $ 4 0,85p = $ 5 0,91p = ��)�� ������ � ��
������������� ����������� !����������������* �� ������������ � ��* ���*�� � ��������&�� �� �1$���� � � ����������������������������������� !������ ���������������� 0,7 !������� ��� ���������� �������� !����� ��� ������* �� ������( ������������������������������� ��� ���� ��*�� ��� ������� �����������������
�-����� � ���� ���� 30 ���������������10 ����������!� 8 ���&�!� 7 ��������� 5 �������(���0�&� 5 ����������
� �* ����� ���������0�� ���������(������������������������������5 �������0����� �����"���� C������������!������ ��������� �������������������� ���� !��� ���&������� ��������������
�-:�
�
��������
����$ �!&��(���!$ �&��!������
��� ) ��� ��!� C����*�� ��!� 4��� �2�!� �������!� 4/� � (�!�0�������� ������� ��������!� 1�� ��7 ��� ����România de Mâine!�4 � ���!��..6��
��� ) ��� ��!� C����*�� ��!� 4��� � 2�!� ����� ��!� 1�������� �� ��������� ��������!� 1�� ��7 ��� ����România de Mâine!�4 � ���!��..,��
���4��� �2�!�0����������������������������� ���� �!�1�� ��7 ��� ����România de Mâine!�4 � ���!��..-�
-�� ) ��� ��!� 1�������� �� ��)��� � ������� ��������!� 1�� �� 7 ��� ���� România de Mâine!�4 � ���!�������
,������� �; �!�0�����������������������!�1�� ��7 ��� ����România de Mâine!�4 � ���!����6��
����
� ���
��
������������� ���� �
��������������������� ���������� ����
���������
���������� ������������������������������� ���� �� ��������� ������������� �� �� �� ��������� ���
���������������������� �������������������������� ����
4.4. Îndrumar pentr ��������� � ���������������
�������������������!�� ������ ��� ��� ��� �� ��� � ���" � � ������ �������� ���
������ �������� #��• ����������� ������• ����������� ������• $�������������� �����%�������
�������� � ���� ������ ���� � ������ �����
& � ���� '����������� �� �������� ��(�� ��� ����������������� � �� � �� �� � ��� ���� ����� ����� ���� ��� ����� ����� ���� ��� � � �"������%��� ��� ��� �������� ��� ���� � � ������� ����������� ������� ��� ����������"������
�������������������� �����()�������
����
�
�)*�
��
�������� �������� � ������ ����
������������������� �����
+��� �� �%������� ������ � ��� ��� ��� �� ��������� ��������,����������-� ξ �� &�� � ��� �� �%������ �� ��� � ori în mod ������������� ����� ����������������������� �������������������������ξ ������ 1,..., nx x ��
�� ��� ��� !�� ��� ��� ��� ��� �� �� ����� �� ��� �������������� ��� ξ ����������� ����������� �������������� ���������������� � ������� ��� �� � � �������� ξ � ,��� ������ ������� ��� ��� ������������ ξ -�������� ����������� �����
.���� ��� ����� ��� � � �������� �� � � � �������/� ��� ��� �� ��"(������� �� �%��� ���� ��� �� ��� ���� ����� �� ��� ���� ������� ��� ���'���������� � �� � �(� ��� ��� ��� ������� ��"(� ���������� ������ � � ��� ��������� �������� �� ���'����� ��
&�� � ��� � �� ��� �� ���� '������� ���� � ������� ��� ���(� ������ � �� ����� ���� � �������������(���������������� ������� � �� ���������� ��������������� (������������� ����������������� ���� ��������������������� ��������� ���� ����������
0��� �� ��� � � �� ����� ��� ���� ���������� � ��� � ���� �������� �������� ��� 1,..., nx x �� ���������������������������������������� ������
"��� ������������ ���������� ���
+������������ ��������� ξ �� �� �� ���������� ������. ���� � ����
� ������������� ��� 1,..., nx x (������� �������� � ��� ���� �� ξ ��
�� ��� ���#����� � xn �������� ��� ���� ����� ��� ������������� ���� ���� �������������������� ξ ������ ��������� �������� �������� ����� ������ ��������� ��������� ���
*( ) xn
nF x
n= �� ,�-�
1�' �������� �� ���������� �������� ����� �� ���������� ����������� ��������� ���� � ��������� ���� ��0�����2�����3�(��������� ��"��" ����4 �������������� ��� ���" ��������������� �����
��������!$���� �� �������� ��� n → ∞ � ����*sup ( ) ( )n n
xd F x F x
−∞< <+∞= − � ,�-�
� ���������� ����������� ����� ��� � ���� � ����(� ��� � n → ∞ � ������ �� ����� � �� �������� � ��
( ){ }xω ξ ω < � ,���� *( )nF x -� �����'�� ��������������� ��������������
���� �����������,���� � ( )F x -���&���(���� ���� ��������������� �� ���������� ����������� ������� �
�����'����� ��������������� �������� �� ���������� �������� ����
� )��
%�������������������� ���
������ �� �� �� ���� ������ �� �� � �� ��� ���� ���������������� �� �
1
1 nr
r ii
xn =
α = ∑ � ,�-�
În particular, ���������� ����� ��� �
11
1 n
ii
x xn =
= α = ∑ � ,�-�
������������������ ������ �������� �
( )1
1 nr
r ii
x xn =
μ = −∑ � ,)-�
!���� ��������� ���� ������ �
( )22
1
1 n
ii
s x xn =
= −∑ � ,5-�
��������#$���� ������� ���� ���� �������������������� 2σ ��
���������������� �������� ��������������������2
n
σ ��
��������&$�� ������������������������2 /
x m
n
−σ
������� ���
���������� ���� ��������� n → ∞ ����������� $�"�� ������������������� ������������ ����
�������� rα ����������������� rα ����2
2r r
n
α − α ��
��������������������� ����
� �������� ��� ������������� �������'�������� ����� ���� ���� ��� ������������ ��� �������� ������� ��� ���������� ��������� (� ������� ���� � ����� �� ���������� ��� ������� �����������$� �)��� � ���� �������� �� ��� ��� �� ����� ��� *����������+� ����� ���� �� �������� ��������� ������������������������������ �(�������,���������������������������������,�� �����)��������������������$�
&�� �%���� (� � � ��� � ���� � � � ������ �� �������� �4 �'��� �������� "���� ����� ���� ����������� � ( )2,N m σ (�����#��
2
2
( )
21( )
2
x m
f x e−−σ=
σ π�
6�� � ������ ��� ������� �� ��� � � ������ �� �������� � ������������������������������ σ ��
!����� ��� ������ � ������# � ���� �� ��� � ��� ���� ���� � ���� �������������� ��� ���������� ���� ������������ ����������� ��
&�� �� ���������������� ������������������(����������'��������� ���� ������������� ��
&���(� �� ��'�� ��� ���� ��� ����������� � ����� ���� ���� ��'�� ������� ������ ���� ���
&��������� �������� ��������� ���� ���� ��� ����������� ��������� ��4 � �� ��������� ��������� ������������ �������������� 1,..., nx x ���'���������������� ��� ��
�
�)��
!�� ����� ��� ���" � ��� ���� �� ��� ��� ���� ��� ����������� ����������� ��� �� ���' � ����� �� &���(� � �� ��� ��� ���� ��� ����� ���� ���� �� ���' � ����� � ��� ���� � θ �� �� ����� ��� ��� ��� �� �� ����
�������������7���������� ��� *1θ ��� ������ ��������� �������� ������ ���
*2θ �����8���9��������� �(��� ���������� ����� * *
1 ,..., rθ θ ��
&���(�������� ��� *θ ���� �� θ ������������� ������������� ���������
� ������������������ * *1 ,..., rθ θ ��
������ ��� �����������(� �������� -�� �,������ �������(� ����������(����������
+��� θ � �� ����� � ��� �������� ��� '������� ,�����(� ��������(�
������ ����-���� ( )*1,..., nx xθ ���� �� ����������� ����
�� ��� ��� &�� ��� � ( )*1,..., nx xθ � � ����� ��� �� ���������� � ���
��������� θ �������� � *θ ���� ��� �� ���� ���� ������� θ ���� ��� ��� ����� �
( )( )*1,..., nM x xθ = θ �
( )( ) 0,...,lim 1*2 =
→∞ nn
xxD θ �,:-�
������ � ( )*1,..., nx xθ ���� ��� �� ������������ ��������������θ ��
��������.$�� ��������� ����������� ������ ����� ������� ��� ��� ������
�������� /$� ��������� �� ��� �� ��� � ���� �� � ������� ����������������� ���� ��
"��� ����������� ���� �������$������������������ �����)����
&�� � ��� ��(� �� ����� ��� ��������� � � � ��� � � ���� ���� � � ����%������������ � ������������0������������������������� ���� � �� θ �
��� ���� �� ��� ����� ��� 4 ��������������� ,��� � ( )2 *D θ � �������-(� ���
����� ������� �� ����������� ����� �������������� � ��������������������� �� *θ (�������e face o eroare alegând *θ ��������� ������ � θ ��
&�� � *θ ������������ �������� ����� ���� ������ �� 0θ > ����
( )*M θ < ∞ (�� �������'�������� �����9���#�
( ) ( )2
2*
DP
θθ −θ ≥ ε <
ε�
� � �� ���� � ��� � ���'���� ����� ����(� ��� �� ��#� ���'��� ���������� ������������������������ ��
+��� ( , )f x θ ������������������� �������������������� �������� �������������� ����� �(� � � θ � ����� �� ����� 0��� ������ ����� ������ �� ����� ( , )f x θ � ��� �%���� �� ��������� ������ � �� ��� ��� ���� � � θ ��9� ������������������������ ������
�������� 0$� *1��'������+$� ��� � ( )*1,..., nx xθ � ��� � ���� ��
��� ����� ��� �������������� θ �������� �
( )( )2 *1 2
1,...,
ln ( , )nD x x
f xnM
θ ≥⎛ ⎞∂ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ⎝ ⎠⎝ ⎠
�,;-�
� )��
$��������� ��� � �� ��� � ��� ����� ��� � ���� � � � ������ � %�� ��������������� θ ���������������� �������� �
( ) ( )*1
1
ln ,,...,
ni
ni
f xk x x
=
∂ θ ⎡ ⎤= θ − θ⎣ ⎦∂θ∑ ��
�� ��� ��� .�� &� ���� �� ��� ���� � ��� � ( )*1,..., nx xθ � �� ����#
������� θ ���������� �� �� �� ���� ���������������� ��
��� � *θ ���� ����� �������� ����� ����� ��� ����� ���� �
( ) ( )
2
*
2 *
1
ln ( , )
n
f xnM
eD
⎛ ⎞∂ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ⎝ ⎠⎝ ⎠θ =θ
�,�-�
�������� � ���� � θ ��
.�� ����� � � #� ( )*0 1ne≤ θ ≤ �� &�� � ( )* 1ne θ = (� ����� ��� ����
������� ����������2$�� � ����� ������������������������ θ ����������
��� ����������+��� ���� ��� ��� ��� ����� � ( ),f x θ � ���� θ � ����� � �� �����
����������7 ���������'��0��������������� ��� 1,..., nx x ��� �� ����� ������� �%�� ��� ������������ ���� ��� �� ��� � �� ��������� �������� �������7����� � � �������� �������� ��� ����������� ( ),f x θ �� +������ ����� ���
( )1,..., nx x ���������� ����� ��� ��� ������ � ���������� ����7������������
888�(����������������������� ������� � �� ( )1,..., nx x ����#�
( ) ( ) ( )1 1 1 1,..., ; ,..., , ... , ...n n n nP x x dx dx f x f x dx dxθ = θ θ � ,�*-��� ��� ���/������ ���( 888
��× I 888����������� ������� � � ������� ��� ���0��$���� ��� ( )1
^ ,..., nx xθ � ��������� �� ������� �
� � ������� � θ̂ ����������������������������� ������� ����������
8�" � �� � θ̂ ���������� ������� � ���#�( ) ( )1
1
ln ,..., ; ln ,0
nn i
i
P x x f x
=
∂ θ ∂ θ= =
∂θ ∂θ∑ � ,��-�
<� � ���,��-����� ������� ������� � � ������������� 3$� &���� ���� �� ������ � �� ����������� θ � ��� �
���� ������ ������������ ����
�����Îndrumar pentru verificare/autoverificare��!��+�������=�� �������>��� ����� ��� �� ���!�� n ������� ����������������������� �� A ������� �
������������ p ����α ���(�0 n≤ α ≤ ��. ���������"�� p ���� 2p �� ��4 � ��� ��α ��
�)��
!� ������0����� ����� �n
����������� ������ �� p ��?���� M p
n
α⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠(� 2 pq
Dn n
α⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠(������
n
����������� �������� ����� ���� �� p ��
&����������(������1 1
pM p
n n
α⎛ ⎞ = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠(�
( )2
21 1
npqD
n n
α⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠ +(������
1p p
n
α ⎯⎯→+
(����1n
α+
�
� ������������ �������� ����� ���� �� p (������ ����������� ������� ��
&�������n
����������� �������� ����� ���� � p (������� ���� ������ ��� ����� �����
2p � ����2
2n
�?����
22
2
pqM p
nn
⎛ ⎞α = +⎜ ⎟⎝ ⎠
� ���2 3
22 2
4 1p qD O
nn n
⎛ ⎞α ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠(� �����
2
2n
α� ���� �� ����� ���
���� ���� � 2p ��6�� ������������������ �������� ����� (������ ��� #�2
2 22
1pq n pM p p
n n nn
⎛ ⎞α −= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
(�
2
pM
nn
α⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠(������
22
2 2
1nM p
nn n
⎛ ⎞α α −− =⎜ ⎟⎝ ⎠
��� �
22
2 21
nM p
n n n
⎛ ⎞α α− =⎜ ⎟− ⎝ ⎠(��
��� ���� ( )2
2
1M p
n n
⎛ ⎞α − α =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠(� ( )
2 24 1
1
p qD O
n n n n
⎛ ⎞α − α ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠(������ ( )
2
1n n
α − α−
� ����������� �������� �
���� ���� �� 2p ��
������� �������� ����� ���� � 2σ ����� 2
1
ns
n −� ���� 2s ���������������������� ����
�
#�� ����������� ξ � �� ���������� ���� ��� �� ��� ��� �� ���� ��� ����� � ( )2,N m σ � � � m �
� ���� ���� σ ���� ���� ��������� ���������� ��������� ������� � ( )*
1
1
2
n
kk
x mn =
πθ = −∑ (� ����
����������� �������� ix (� 1 i n≤ ≤ (� � �� ������������ ��� � � �������� ���� ��� ��� ξ �� . � ��� ��������
������� ��� �� *θ ��!� ������?����
( )( )2
221 2
2
x m
M m x m e dx
−+∞ −σ
−∞
ξ − = − = σπσ π ∫ (�
( ) ( )*
1
1 2
2 2
n
kk
M M x mn =
π πθ = − = ⋅ σ ⋅ = σπ∑ (�
( )2 * 22
2D
n
π −θ = σ (�
����� *θ ������������ �������� ����� ��� � �� σ ��<������ ���������
2
2
10,876
2 22
ne
n
σ
= = ≅π − π −σ(������
*θ �� �����������������������������
� ))�
�
&�� ����� �� �� � �� ������� �� ?�� � " � � �n
α� ���� �� ����� ��� ����� � ���� � ��� �
������������ p ��. �� ��� ������������������ ���������� ��
! �������&���������:��������� ���� ����������� �������� ����� � *θ ���������'�������
( )( )
2 *2
1
1
lnni
ii
Dp
n p pp=
θ ≥⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠
∑(�
���� ( )1p p p= (� ( )2 1p p p= − ��
( )( )2 2
1
ln 1 1 11
1
ni
ii
pp p p
p pqp p=
⎛ ⎞∂= + − =⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠
∑ (�
����� ( )2 * pqD
nθ ≥ ��$���� �������������� �
n
�
1�����������" �������4 �'�������9������������������ �����%������
&���( )ln
0np q n
p q
α −α∂ α − α= − =∂α
������ ���� pn
α= ��
��� ����� �������� �� ������������������������ ( )( )2
221,
2
x m
f x m e
−−
σ=σ π
��
��� <��������������! �������?����
( )2 2
2 2 2
1ln , ln
2 2 2
m m xf x m x= − − +
σ σ σ σ π��
&��� ������ :� �" � � � � ( )*1
1
1,...,
n
n ii
x x xn =
θ = ∑ � ���� �� � �� ��� ��� ����� ��� ������� � �� � �� m �
��������
( ) ( )2 2
2 2 2
1ln , ln
2 2 2
m m xf x m x m= − + − +
σ σ σ σ π�
���1
1 n
ii
M x mn =
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ (�
22
1
1 n
ii
D xn n=
⎛ ⎞ σ=⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ��8�" � �� � *θ ������������ �������� ����� ��
+ �� ����������������������
( )( )
( )21
221
2
1,..., ;
2
nx mi
i
n nn
P x x m e
−=−
σ=σ π
∑�
��������� � ������������ �����%���� ln 0P = ��" � � ( )1
0n
ii
x m=
− =∑ ��� �1
1 n
ii
m xn =
= ∑ ��
��� <������������ � �� σ �! �����$�+ �� ����������������������
( )( )
( )21
221
2
1,..., ;
2
nx mi
i
n nn
P x x e
−=−
σσ =σ π
∑�
�
�)5�
���
( )2
21
1ln ln ln 2
2
n
ii
P n n x m=
= − σ − π − −σ ∑ ��
<� � ������������ �����%���(�ln
0P∂ =
∂σ(����� ��������� ��� ( )2
1
1 n
ii
x mn =
σ = −∑ ��
)�� ����� ���� ����/�������������� � �� λ ����� ( );!
k
f k ek
−λλλ = (� 0,1,...k = ������"�� ����
����� ��������������� �� n ���! �������?����
( )1
1
1
,..., ;
!
nxi
in
n n
ii
P x x e
x
=− λ
=
λλ =∑
∏��
&����� � ������������ �����%������ �����1
1 n
ii
xn =
λ = ∑ ��
. �� ��� � ( )*1
1
1,...,
n
n ii
x x xn =
θ = ∑ ������������ ���������� ���� � λ . Într7���� � ( )*M θ = λ (�
( )2 *Dn
λθ = ��
$���� ��������������� �� �� ����������� �������� �����������
( ) ( )2
0
1
ln ,,
n
k
f kn f k
=
⎛ ⎞∂ λλ⎜ ⎟∂λ⎝ ⎠
∑(�
���
( ) ( )2 2
0 0
ln ,, 1
!
n n k
k k
f k k e nn f k n
k
−λ
= =
⎛ ⎞∂ λ λ⎛ ⎞λ = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂λ λ λ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ �
����(������ ����������������n
�
�����������������
� ):�
������������������4��������������
��� . ��������� ���� � ξ �������������� �������������� � ( )2,N m σ (�� �������� ����������
�������� ��� x ����(������������(������ ������ +��� ξ ���������� ���������� ������� ���( ��� ���������� � λ ��. ���������������� ���
��������������� �����
��������
��5�,���6�� ����,��6���������
��� & ��� ��(� �������� 8�(� >��� � ?�(� ����� 8�(� >9" � .�(���������� ������ � � ����(� <�� ��+ ��� ����România de Mâine(�> � ���(��**5��
��� & ��� ��(� �������� 8�(� >��� � ?�(� ����� 8�(� $���� �� �������� � � ��(� <�� ��+ ��� ����România de Mâine(�> � ���(��**)��
���>��� �?�(���������������������� � ����� ����� (�<�� ��+ ��� ����România de Mâine(�> � ���(��**���
��� & ��� ��(� $���� �� ����� � ������ � � ����(� <�� �� + ��� ���� România de Mâine(�> � ���(�������
)������� �2=�(����������������� � ����(�<�� ��+ ��� ����România de Mâine(�> � ���(����5��
������������������
�);�
�����
� ���
����
��������
����� �������������������
����
������� � �������� ���� �� �������� ����� �� � ������ �� ����� ����� ������drumuri hamiltoniene. Drumuri hamiltoniene într��� ������ ��� ����� ������ ��� �������������������������������� ��������������� �����!�������������"���#��������$�
%� �����������&� ������������� ���� ��� ��'���� �����( �����(�)��& ���*���� �în fundamentarea deciziilor �
��+,�������%��-���������*��!����%��, ����#��!.�$ ���������������� �����������
/�����(��� ��România de Mâine��0112�������001�0345��������������������� ������������ ����� � �������� �����+�� ���� �����5�
���� � ����� ����������� ��� ��� +� �� 5� ����������� ����� +������� ��5� �� �� �� ����� ��� ������������� ���������������� ��������������� ����������������������� � �������������������� �������������������
�61�
������������������������������������������������������
� 64�
� ������������ ������
���� ���������
���������
���4��,��� ���������0��7"���8������� ������ ������ ���� �8 ��������9��� � ������ ���� �8 ����
������9�4��,��� ����������� �������9�0����������& �������������:� ���� ����������� ��������9�9������������������� ������� ����� ��������� � �������������9�3�����������������rilor hamiltoniene în grafuri cu circuite�
5.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare��
����4������� �������
;������������ �8 ������&��&���$ ��� � ������� ���• Graf, vârf, arc, muchie, drum (simplu, elementar), drum
����� �������� �+&��������������5���������������+��� 5�������conex, graf tare conex, grad (exterior, interior) al unui vârf, subgraf, �������&���������� ���������� �������
• ��������� ����� ����������������������� ����������" ���� ����������$������
• ����������������� ������� ��������� ��������������������������� � ����������� ����� ��� ��������+�������5��
��
���0������������������� ������ ��� ���� �����
�� � ����������� ���&��� �� � ��� �8 ����� &������� 8�� ������"�� & � ������&� � � ���� ��� ������ ����� ���� &����� ������������������������ ����������������������� �������� ���������� ������ �����&"�������������� ���������+����� ��� ���� �5������8.���� & � ��������� �������� � ����� �� ������� �� ������������� �����������������& �&��"���&� �������������������&�������������� ������� ����$�������8�&���������������
�
������������������ ����9� ���
�60�
��9����� ����������� ��� ���� ����
��9�4�������������� �!��� ���
:����������������� ��������� ����� &��� �� � ��4296����� ����/���� � �� �������� ��� �� Problema podurilor din Königsberg. În 4<32�� ���� ��� �� �" ����� �� ��� �� ���� �� ��������� ���� ��� ��������� ���
;��4��6��( �����(�)��& ������������� ��������� �� ���� ��������� ����&� ���� *&������ �� � ����&� � ��� �� �� �� ��� ������ �� �� � &����$�� � ������ ��$ �8����� � �� �� "����� �� ��������� �� � ���������� �� �������� �� ���� �� ���������� ��� �����$����� ��� ��$�� &�� ���� ���� ���������� ����������� �� ������� ��
�!��� ��� "�� ������ G � ���� � ������ �� ������ ( ),G X= à �
����� X ����������� � �������� � ��� �� �������������+�� ��� ������5'� ����� ������� x X∈ � �� � ����� vârf�� Γ � ���� �
� �� � ��� � � �� X X× �� � � ���� ��������� ��������� ( ),i jx x ��
,i jx x X∈ �� 1,i n= �� 1,j n= �� i j≠ �� ���������
:����� �� ���� ( ),i jx x ∈Γ vârful ix � &�� ������� ��������
��� ��� �+ �� ), iar vârful jx �������������� �+ ���� �5��
������ G � ������ � �����$������� �� ����� � �� ������ " �� ��&������
� vârfur���&�����&��$ � ������� ��� $ ��&������ ���������� ������� ���� ( ),i jx x ∈Γ � &�� �����$�� � ������ � ���� ��� ������
�����0�������� �����������&����� �&��&�������� ix ���� jx ��
#$������� (�� ������ ( ),G X= à � ���� ��� { }1 2 3 4 5, , , ,X x x x x x= �
���
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 3 2 4 3 2 3 4 4 1 4 5, , , , , , , , , , , , ,x x x x x x x x x x x x x xà = ��
*��&������������$���������� ����� ��
�(�����4��
�#�� "&��8 � � � à � � ���� �� ����� � ��� � ����� �� ���8 � �
( ): X P XΓ → � ��� �� ( )xΓ � �&��� �� ���� ��� �� � ��� �� ������
��������� ����������� ��� ������ x ��
� 69�
*&�����������������������������&&�� ������&��&����� { }1 2 3 4 5, , , ,X x x x x x= �� ( ) { }1 2 3,x x xà = �� ( ) { }2 4x xà = ��
� ( ) { }3 2 4,x x xΓ = �� ( ) { }4 1 5,x x xΓ = �� ( )5xΓ = ∅ �
��� � ( )i ix x∈Γ ������� ( ),i ix x ∈Γ �&������������� ��
��� ������� G �� � �������� ( ),i jx x �8 ��&����� �8.������ ix �
�� jx � &��� � ����� în G � �� ��.�� � &��� ���� ��� �� �����
( ),i jx x ��
�!��� ��� %�� O succesiune de arce în care vârful terminal al � ����������������� �� ��� ���� ����� ����
�!��� ��� &�� �� �� � ���� ���� ��� ��������� � ��� ����� � ��� ��
�!��� ���'������ ������������� � ��������� �������������������
�!��� ������Un drum elementar care cuprinde toate vârfurile ���� � ���� �����!�����������
�!��� ��� (�� � � � � � ������� ���� ��� � � �� � ��� ��������������� ��� ���
:����� �������� ������ ��� ����� ��4�� �� ���� ����������� ������ { }1 1 2 4 5: , , ,d x x x x �������������� 1d ��&���9��
Într��� ����� G �� &�� ������� ��!� o pereche de vârfuri
,i jx x⎢ ⎥⎣ ⎦ � ����� ���� �� ��������� � � ( ),i jx x ∈Γ � &�� � ( ),j ix x ∈Γ '�
������ �� ����� �����$������ �� ������ &�� ���$�� � ��� �����&���������� ���������
�!��� ��� )�� �� � ����� ��� � ��� �� �����
( ) ( ) ( ){ }1 2 3 4 1, , , ,..., ,p pl x x x x x x += � � ���������� � ������� ��
���� ������� ( )1,i ix x + �� ( )2 3,i ix x+ + � � � ����������� ��� � ����
������ 1,2,... 2i p= − �� �!��� ��� *�� �� ��� ���� � ��� ���� ���� ���� �� � �����
��� ���������� ���� ����� ������� � ��������� ����� ���� � ������
=� ���������������� ����$ ������ �&������������������� ������
#$�����;������������������0���� � ������������������&������ ���
( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2 4 4 3: , , , ,l x x x x x x �� ( ) ( ){ }2 1 2 2 4: , , ,l x x x x ��
( ) ( ) ( ){ }3 1 3 3 2 2 4: , , , , ,l x x x x x x �� ( ) ( ) ( ){ }4 1 4 4 3 3 2: , , , , ,l x x x x x x �
�!��� ���+����� ��� ���������������� ������������� ���� �������������� ��� �� � ��� ����� �� �����!���"����������� ������������
��������� ���������������� ������������� ���� �������������� ��� �� ��� ���
�63�
�(�����0��
�#$�����
������
�(�����9���
��&���� ��������������
�(�����9"�
����&���� �����
�!��� ��� ",�� "�� �� unui vârf x � �� �����" ( )g x � ��
����"��� � � � ����������������� � x ��"�� ������������ � �
vârf x � �� �����" � � ( )g x− � �� ���� � � � � ������� �� ������
( ),y x ∈Γ �� � y X∈ ��"�� ��������� al unui vârf x ��������" �
( )g x+ �������� � � �������������� ( ),x y ∈Γ �� � y X∈ ��
#$�����. În graful din figura 5.1. ( )2 2g x− = � ��&�.��� � �
����� ( )1 2,x x �� ( )3 2,x x � �� ��&��� �� 2x � �� ( )2 1g x+ = � ������ � �
( ) { }2 4x xà = ������ ( )2 3g x = ��
�
� 6��
�!��� ��� ""�� �� � ����� ������� ( ),G X′ ′ ′= Γ � �� ���� � �
( ),G X= Γ � ������� �� ����� G �prin suprimarea anumitor vârfuri
��������#�� � G′ ����� ������� G ����� ��������� ��������� ����
� � � ��� ������� ��������� � ������� ��� � �� � � ����� � G′ ������� � �� �������� � ���������� ��� X ′ ��
� ����� �� G′ ���� �������������� ������ � G ���� ���� ������ ���� � G � ����� �������� ���� ��� ��� � ��� � � ���� ��������������� ���
�
#$������
(��������
�(�����3���
�
În Fig. 5.4b. este prezentat subgraful G′ � �������� ��� � �����{ }5321 ,,, xxxx ��
�(�����3"��
�
��� ��(������3����&������$��������������� ��� G ′′ �� � �������� ( )32 , xx ���
( )53 , xx ��
�(�����3���
�66�
� �!��� ���"%���������������������������� ���������
vârfuri sunt adiacente.��
��9�0��-�������������������.��!��/������ ������.��!��������
În� �� "������� ��� � �� �� ��$ �8���� �� �>� ��� ������ �� ����������� ������� ��� � � �� �� ��� � �&���� ����� ��� ����� �� &����� ����������������������������
�������������������� ����
(�� �� ����� ( )Γ= ,XG � �� { }nxxxX ,...,, 21= �� *& ����
���&�� ����� � ������� � ����� � C �� ���� � �� ��������� &���( )
njiijcC,1, =
= ��
( )( )i
pentru ,1
0 pentru ,
i j
ij
j
x xc
x x
⎧ ∈Γ⎪= ⎨∉Γ⎪⎩
�
�������� C � � ��� � ������ ��� ������� �������� ������������������� �����&��������� �� ���� �������������G �
01����� ���4�� =� ��� ��� ����� 1� ��� ��� ���� ix � �����$�� � �� ��� ���
� ������������������ ix ������� �����������1�������� � ���� jx �
�����$�� � �� ��� � ����� �� ������� �� jx �� ��� �������� ��� �
� ����� ������ ��� ��� &&� �����$�� � 5 � " ���� ��� �������� ��&��$ � ���������$�� ����� ������� ��" ���������"�������������������� ��� 1� ��� ��� ���� ix � ��� ����� �����$����� � &"�� ��� ��� �����
"����� i ���������&���������������������1�������� � ���� jx ���������
�����$������ &"�� ��������������"����� j �ar putea face împrumuturi.�0�� ��� �� �������������������������� ����� ���������
+����������� ������8.���5������������� �������� �����9�� Gradul exterior al vârfului ix �&�� " ������.��������������
��� ��� ���� i � �� ������� C �� ��� ������ ���� �� ��� ������� 8.��� &�� " ������.��������������������� � ���� i ����������C ��
( ) ∑=
+ =n
jiji cxg
1
�� ( ) ∑=
− =n
kkii cxg
1
��
�������� ���������
��� �������� � ����� �� �������� ���� ������ ���� � &��� ����� �&��� �������� ( )
njiijdD.1, =
= ���� �������� ���������
&���������������������������în care���� ���&� ����������� ix ���� jx �
⎩⎨⎧
=0
1ijd �
��� �����&� ����������� ix ���� jx �
���
� 62�
�!��� ���"&���#����� �������� ( )ixp �a vârfului� Xxi ∈ �în
���� �� ( )Γ= ,XG ��������� � � � � ������� ��������������
�$ ������� ix ������ ���� � � � � ������������� „1” ���������
„ i ” ������������ D ���01����� ���4�� �������� D �������� �������� G �� ����������"&�� ��
&�����$�� �������� �� �������� G ��&�������
�� ��� � 0=iid �� ( ) 1,i n∀ = �������������G ������������'�
�� ��� ���&� ��� ����� i �� ni ,1= � ����������� 1=iid �� �����
��&� � ��������G un circuit care are ca vârf pe ix ��
0�� ��� � ( ) 0=ixp , atunci din vârful ix ���&���>������ ���
��&�������������� ���� ���9�� ��� � �������� D � ���� � ���� ����������� ������ �� 1�� �����
�������&��� ������������� ������ �������������&���������� 0 în D �����������&��������� �����
:����� ���" ������ �� ��� ���� ��� ����������� �� ����������� ������ ����� � ���� ������8�� ������ ����� ���� ��������������� 0 ���1����� � ���� ������ ����������� ������������ � �����
+ � 0 � 1�0 � 0 � 1�1� 0 � 1�
�*&������ ��� ����� ��� ����������� ��� ������ ����� �� ��
������� �������������������� ����� �����������&����4�� Pentru construirea liniei „ i ” din �������� D � + 1,i n= 5�
�� ����������������������?1” de pe linia „ i ” din matricea C ���
��� �
1
1
1
=
==
γ
β
α
i
i
i
c
c
c
��� �����
1
1
1
=
==
γ
β
α
i
i
i
d
d
d
��
0�� ( � &��� �������� " ���� �� &�� ��� � ����� α �� β �� γ � ���
�������� C la linia „ i ”; noile valori „1@��� ����&������� ������? i ” a ������� D '� ��� k �� l �� ����� m � � $ ��� ������ ��� ���&��� � � 8�� �� �������������
9�� *�� ��+" ����5� ����� k �� l �� ����� m ���� C la linia „ i ” trecând noile valori de „1@� �� ���� �� ���� ? i ” a matricei D ��� ���.����� ��&���.� �������� ���������&�� ����
�5�� ��������������� ijd �+ 1,j n= ) devin egale cu „1”;�
"5�nu mai apare niciun element egal cu „1”, caz în care locurile � ��&�� �"���� &�� � �������$ � �� $�� �� �� &�� ������ ��� ���� ? 1+i ”, �����������&������� ��� �������
���
�6<�
��9�9�� ��������������������������������������.��!����! � ���������
�
��� � ������ G � �� ���� ������� 8 �� &���� �������� D � ��drumurilor grafului, ordonând în prealabil vârfurile grafului în ��������&���&� � ����������� ������������'��&������� ����8�� �������„1@�����������8 ���� �������&������� ���������������
�� �������� ��� � �� ������ G � ��&� � �� ���� ��� ��� ix � ��� jx �� �����
( ) ( )ij xpxp < , deoarece orice vârf atins din jx �� ���������&������
ix �������������� " ��� �������� ���� ������ �������'�
�� ��� � ��� ��� �� � &"�� ��� 1=ijd � �� ji > �� �����
( ) ( )ji xpxp > � ����� ��� � �� ��� ������> �� ��� �� �� � � ���� �� ��
����&���� &"���*��&���� �����&��������� �����������$��'��������� D �&��8��
������ ������������$�� � ��������/&��� �8����� � � ��� � ������ { }nxxx ,...,, 21 a vârfurilor
������� �������� ����������������$�� ������� ( ) ( ) ( )1 2 ... np x p x p x≥ ≥ ≥ ��
*���&� � � �� ������� ���������� � ����������������������?1” ������������������������������� ��� ��&������������ ������������&���������
Într����8 ������&������ ���������8.���� ix �� �&��� ��� ��
0 1, 11
ik
ij
d k jd j i
=⎧ = −⎪⎨ = >⎪⎩
�
# ����&������ ���&� ������������� ix ���� jx �� �����������
�������������������������� ( ) ( ){ }jkki xxxx ,,, ��*�����8����
( ) ( )jkkj
ikxpxp
d
d>⇒
==
1
1��
����� kx este înaintea lui jx ���������8�� ����� 1ikd = ����������� �� �
�� ijd , pe linia vârfului ix ����������������&�&�� ���&�� ��.��� ��
*��&��� � �&���� � ������ ���" ������ ��� ��������������������������� ������� ����� ����������� � ���������&������
���������"� �23���4#56�������� � � ���� ����������� „ n ”
���� ������ ��� ��� ���������������� ��� ������ ����%�
( ) ( )2
1
1
−=∑=
nnxp
n
ii ��
01����� ��. Într��������� � ����������&� �������������������� �����
��� ������&���� ����������� ����� ( )1Hd � �� ( )2
Hd �������
�������� �����������&�������� ��� �8.���� ix �� jx ����$���� ��
������8��& ������������������& ����� �������� ����� ix ��� jx ��
�
� 6��
��.�������������������������������������������
������%�#��&������������ ( )
njiijdD,1, =
= �������� ������ ���&� ���
indice „ i ” pentru care 1iid = ���������������������������� �����A��������&��� �����������
��������
;����$�� ���������� � �����������&� �( )1
2
n n − elemente de „1”
������ ������ ���� ����� ���� �� &�� ������ ��� /����� 9�� ��� ��� �
�� ���������������„1” este mai mic decât ( )
2
1−nn�������������
��������� �����������&�7������8.���� �� ������������������ �����&������ ����
��������&���&� � ����������� ���������������
��9�3�� �������������������������onian în graf cu circuite��
*�� ��������������������������������� ���������������������� &������� �� &��&�� � � ���$�� �� ��� 8�� �� ��� ?1” în matricea ����� �� �� � � �� ��� � �&���� 8.���� �� ��� ����� &�� � ����������� � ��&��$ � ���'� "�� � ���&�� ��� �&���� �� ��� ���drumuri între vârfurile care corespund acelor valori de „1”. �
��� �� ������� ��� ��� ���� ����"�� & � � &��� � ���&� ����$�������� ���$��� �� ��� ����� ����������� ��� ���� ��*���������+4�695���������? ��� �������@��
,��� ������������������������� �������� ( )1M , care, în locul valorilor de „1@� ��$���� �� �������� "��� � �� ����� ��� ��$��$ � �&�� ����� ��&����8�� �����$������ ��in vârfurile care îl compun.
*&������ ( ) ( )( )njiijmM
,1,
11
== �������
��� ���&� ����������� ix ���� jx �( )
⎩⎨⎧
=0
1 ji
ij
xxm �
în caz contrar�
Prin suprimarea primei litere în matricea ( )1M � &�� " ��� �
������� ( )1~M � ��� � �� ���� ������ �� ������ #�� � ���� ���������
( )1M ��� ( )1~M ����� ���� ��������� �������� �� ( ) ( )1 1M L M� ��
;��� �������� ���������� ��&�������� ����������� ��� ������� ���������� � � �&�������� � � ��� ��������8 �� �.���� ���� ��
�� �� �&���������� �� �� ���������������������������&��������� ������ �������������&����� '�
�� �� �&���������� �� �� ������������������&��������� �au vârf co��'�
�� ��$������ � ������ � �&� � �� &������� �� � ������� ��vârfurilor componente ale simbolurilor participante.�
:��� ���� �� �� �&�� ����� �8��� ( ) ( ) ( )2 1 1M M L M= � ���( ) ( ) ( )3 2 1M M L M= � �� B� *�� ����� � ��� � �.� � ��� " ������
������� ( )1nM − , deoarece într��� ����� �� n vârfuri un drum ����� �������� 1−n �������
�21�
În matricea ( )1−nM � ����� � �� ���� ��� ��� &������ ������&&��� ���������������� ����������������
��� � � ���� ����������� �� ( )1−nM � &��� $�� �� + ( ) 0=−1nM 5������������������������� �����
01����� ���� :� ������ �&��� �����"�� ������ ���� ��� ��� ����� ������� +�� &�� � � � ����5�� ���� ������ �������� � � � ������ &����� ���� ���� ������������� ����.���������������������&���������� ����� ��� ���������&������ �+����&��5��
;����$�� ���������&� ������������������� ���������$�� ������&� �� � ���� ��� ?���� ��� "�@� ���� ����� ���� ����� ���� nduce la ideea de drumuri optime într���������
��
��3��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��4��(���������� D �������� ���������
( )1 2 3 4
1
2
3
4
0 1 0 1 2
0 0 0 1 1
1 1 0 1 3
0 0 0 0 0
ix x x x p x
x
xD
x
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�
# �&����������$�$��#��&�"������%�:���������������$���������� D ������ � &��������� ���
( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 4p x p x p x p x> > > ��
vom scrie vârfurile în ordinea { }4213 ,,, xxxx în loc de ordinea { }4321 ,,, xxxx ��*8����
3 1 2 4
3
11
2
4
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
x x x xx
xD
x
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�
������&�������������������$�� �������� ����
0��(��������������� ��
( )1 2 3 4
1
2
3
4
0 1 0 1 2
0 0 0 1 1
1 1 0 1 3
0 0 0 0 0
ix x x x p x
x
xD
x
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�
��������� ����������� ���C���5� { }3 1 4 2: , , ,Hd x x x x ��"5� { }1 3 2 4: , , ,Hd x x x x ���5� { }4213 ,,,: xxxxd H ���5������ &��&�
% &��&�� ������5�
� 24�
���7������������������� � ����� �8�� ����1������� ��� �����������������������������&����& ��� ���
� � �����������
*8��� ( )1 2p x = '� ( )2 1p x = '� ( ) 33 =xp '� ( ) 04 =xp ����&����� ( ) 64
1
=∑=i
ixp �� ��������� 4=n �
��$�� �( )
62
1 =−nn��
Deci, se poate aplica teorema lui Chen, în G � ��&� � �� ���� ����� ����� ��� ���&��� �&���{ }4213 ,,,: xxxxd H ��
��
�������������������
������������������8�������������
"����������� ����� ������������������������������� � �����
(�����������
�20�
8�����
�5�
0 1 0 0 1
0 0 1 1 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 0 1 0 0
C
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���
"5
0 1 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 0 0 0 0
C
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���
�5
0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
0 0 1 0 0
C
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���
�5������ &��&���%��������������� ��� ��&��$ � �����������������4�8�����
�5
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
D
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���
"5
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1
D
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���
�5
0 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 0 0
D
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���
�5�������&��&���
&����������������������������D��
'��/&������8 ����� �����������������������8.���� ������������&��� ( ) 5=ixp �� 5,1=i D�
��
� 29�
����# �&������������� ���������������� �������������������������������5����"5�3���5�9���5�4��(��E��������������������� �������������� ������������������������� iid = �����)��E����������������������� �������������� ����������������� iid = ���� ( )i∀ ��
��������
��9�1���.��!����1��.��������
4�� ���� ,��� -�������� %��� !��� *��� , ��� %��� !.�$ � #��� ���������� ���� ������������ /�����(��� ��România de Mâine��!�������0116��
0�� ���� ,��� -�������� %��� !��� *��� , ��� %��� '������� �� ���������� ����������� /�����(��� ��România de Mâine��!�������011���
9��!���*�������������������� ����������� ����� ���/�����(��� ��România de Mâine��!�������0113��
3�� ���� ,��� '������� �� ������ ���� ������������ /����� (��� �� România de Mâine��!�������4�����
���7���&��������������������� ������������/�����(��� ��România de Mâine��!�������4��6��
�
����
��
������������� ���� �
���������������
���������
��������� �������������������������������� ������ ��� ���� ������������� ������� ��� ���� ����
6.3.1. Drumuri de valoare într������ ��!���������"������#������ 6.3.2. Flux maxim într����� ��� ����$�����������������!���������%�� �%��&��$��
6.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����
�������������������'������� ���� ������$��$� ��( ���� ���������������)�• *������������������+������������ )�����������"������
��#������• ,� ���� ����$���)� ��+���+���������� ��-�����������%�� �
��%��&��$���!����� ����� � �������� ���(��������
��
�������� � ���� ������ ���� � ������ �����*�� � ������������ ���$��� �� �� �� �� ���.� $� ���� ��� ��
�������� $ �� $��$� � ������ �������������� �$�����+�� � �����graf utilizând algoritmul Bellman –� #������� *�� �$�����.� ��� ���������� $ � ��(����������������� ������ �����������������������%�� �%��&��$���
�
�������������������� ������������
��
�
� �/�
���
�������� �������� � ������ ����
�������Drumuri de valoare într�������� �������������!�������"���#��
�
%��� ( )Γ= ,XG ������ .�������� ������ �� ��� :ν Γ → ��� ,,,����
�$����( � ��� �������� ��Γ ��������������� ��0� �� ( )jiij xxvv ,= � ��� ( )vXGv ,,Γ= graful valuat. În
��(�����������.��������������������(��)� �$� �� ���� �� ������1������ �2-������$�����$����������� ��� ����$��������
3���� �� ���� { }kiii xxxd ,...,,
21= în graful G � ���� ����
��������������.�$�����������������������������.�� �� )�
( ) ∑−
=+
=1
11
k
hhihi
vdv �
4����$ � ����� �� ������5 d ” de la un vârf oarecare ix ����
vârful nx .������������������������ ( )dv �$ � ������� ��
Pentru aceasta, introducem „���� �� �� �� � �� ����� ���������”, ( )
njiijvV,1, =
= .� � � �)�
( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
Γ∉≠
Γ∈=
∞
=
ji
jiijij
xxji
xx
ji
vv
,,pentru
,pentru
pentru0
�
���� ����� ( )kim �������������� ��� �������� d � �� ��� ix � ��� nx în
��� ��� �.���$� ��������� ����� ���������� ���������� k �����.����
im �������������� ��� �������� ����� ix ���� nx .���$� ��� ������ ��
���������� ����������1� � ���� ���� ���� ��������������2��!��������� �� ��$������ �� ���������� ( ) miim ,1= � $�� ��(��( � ���
��� ������������(� ��)�$����%� ���& � ����������� k ∈���000
'�������( ) ( ){ }k
jijnj
ki mvm +=
=
+
,1
1 min �
$����%� ��� ( ���� � ����� � k ∈ 000'� ������ ����� ( ) ( )1+= k
ik
i mm ��
������������ ni ,1= ���������
��� ( ) ( )si
ki mm = �� ( ) 1,i n∀ = �� ( ) 1s k∀ ≥ + �
�2� iki mm = �� ( ) 1,i n∀ = ��
��
����
������� ����������� ������������� �� � ���$�)���������6�� ��$� �� � ��� ��� ������ ( )vXGv ,,Γ= .� { }1 2, ,..., nX x x x= �
$����$����������������+�$ ��������������������� ( )njiijvV
,1, == ��
��������6��� ��� ��������� V .� �������$���������� ( )( )1
im .� ( )( )2im , …,
�$ ��)��2� ����� ( )( )1
im ������ �������$��$���������� n �����������V .�
( )t
njjnv,1=
-�
�2� ���$���7 � ������� � ����� ( )( )1,
ki
i nm
=� $�� ��������( �
����� ( )( ) nik
im ,11
=+ ��� ���������(� �����-�
�2� $������ ����������� �(���1�2��7 ������ �������� �� ������( )( )kim ���� ( )( )1+k
im �� ������
��������6�� ����� ������$��� ������������ ����� ix ���� nx ��$ ��)�
�� $�� � � � ����� 5 i ” din V � ��� ����� ( )( )1+kim � ��� �� ��$��
��(������ ����� ��� $�� ����� �� ���� 6 � ���$������ � �( ) ( )1k ki ij jm v m+ = + .����������������� �� ����������� ����� ix ���� nx �
�$�������� ( )ji xx , -�
�� $�� � ��� � ����� 5 j ” din V � ��� ( )( )1kim + � �� �7 � ��������
���� .�� �� � ���+����������������5 h ”, atunci al doilea arc va fi
( ),j hx x ������� ��8������$����$��� ���������� �� nx ��
������ ����������� ������������� ���� ���$����������6����$���������������V ����������������������$ ��)�
( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
Γ∉≠
Γ∈=
∞−
=
ji
jiijij
xxji
xx
ji
vv
,,pentru
,pentru
pentru0
�
��������6����������������� ������������������.� ��������$�����2������
( )( )1
1,
ki
i nm +
=�$����������( ����� ( ) ( ){ }1
1,maxk k
i ij jj n
m v m+
== + �
��������*���������� ����������+���$�� ����� ���� ����������������
������� .� �+��� ��� �7 � ����� � � �� ����$ � � � $�� ��� ���������������+��������$�� ����� ������ ����������������$��������
���
� ���
��������Flux maxim într����� ���������������
�
)����� ���& ������������������������ ( )pXG ,,Γ= �� � ���������������������� ���������������� ��������������� ������������� ����
��� ��� � { }nxxxX ,...,, 21= .� ������ ( ) 1,i n∀ = � �����
( ) Γ∈ii xx , ��
��� ����� � �� � ��� ���� Xx ∈1 � ��� ����� �� ���� � ������ ������������������ ������
��� ����� �������� ��� nx ����������� ���������������������
��� �� ���� ��������� G �������������������� ����������� 1x ���� nx ��
/�� !������������ ��� ��� :c Γ → ,,,�astfel încât� ( ) 0≥uc �������
���������� Γ∈u -��� ��� ( )uc �������������� ������� �������
)����� ��� (�� "���� �� � �� �#�� ���� XY ⊂ .� ��� �������� ��� ���������Y ��� ������������
( ) ( ){ } Γ⊂∈∉Γ∈=ω− YxYxxxY jiji ,, �
( ) ( ){ }, ,i j i jY x x x Y x Y+ω = ∈Γ ∈ ∉ ⊂ Γ ��
$���������� ( )( )( ) ( )
∑−ω∈
− =ωYjxixijpYc
,
� ����� ��� ����� � ��� �
( )Y−ω ��
)����� ���*��%���� ��� :ϕ Γ → ��� ,,,+� ���������� ������� � ����
������������ ( )pXG ,,Γ= ��� ��������������� ������������ ��)���� ���� ����� �� � ����������� )�
( )( ),i jx x∀ ∈Γ .������ ( )0 ,iji jx x p≤ ϕ ≤ ��
� � ���� �����������!�
( ) ix X∀ ∈ .������ ( )( )
( )( )
1 1
, ,
, ,n n
k j j hk h
x x x xjk j h
x x x x= =
∈Γ ∈Γ
ϕ = ϕ∑ ∑ �
,#����� ��� &�� �� � ��� �2� � ��� � � � ����� ������ �7� � x � ���
1xx ≠ � ��� nxx ≠ .� $���� ��+������� ����������������� �� � �� x � �$��
���� ����$���� ��+������������������������$� �� x ��,#����� ���(��%�� ��� ϕ ����$����� ��
)����� ���-��������� ( ) Γ∈ji xx , �$����������������������� �
în raport cu� ϕ ������������� ��� ( ),i j ijx x pϕ = ��
6�� ���� ��������� ����� ���� �� ���� ϕ astfel încât suma
��+������� ��� ������� ��� �� � �� nx � $ � ��� ��+�� .� ���������
������ ���������� ���� ���! �� .� ���� ���� ��+������ :ϕ Γ → ,,,+� ��$������ �� �� �����
( )pXG ,,Γ= �$����� �����$ �$�� ������� ��+��� �ϕ ����������)�
��9�
� ( )( )
( )( )
1 1
, ,
, ,n n
h n h nh h
x x x xn nh h
x x x x= =
∈Γ ∈Γ
ϕ ≥ ϕ∑ ∑ ��
$����%� ��� * � %��� ( )pXG ,,Γ= � �� �� ��� �� ���������� �� ��
����� 1x .������� ��� nx ���� :ϕ Γ → ,,,+��������������������� ���� G .�
�����)�
( )( )
( )( )
11 1
, ,1
, ,n n
i j ni j
x x x xi j n
x x x x= =
∈Γ ∈Γ
ϕ = ϕ∑ ∑ �1�2�
4��������
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
,, 1
, ,j n i
x x xx x xn n ij i
x x x x+− ∈ω∈ω
Φ = ϕ = ϕ∑ ∑ �
$��������������������� ��� ��+����� :ϕ Γ → ,,,+���
$����%� ��� - � "��� ( )pXG ,,Γ= � �� �� ��� �� ���������� ��� ����
XY ⊂ ����#�� �������������� ������� ����������� 1x ������G ������ 1x Y∉ -�
�� ������������ ��� nx ������G ������ Yxn ∈ ��
&���������������������� :ϕ Γ → ,,,+������
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ), ,
, ,i j i j
x x Y x x Yi j i j
x x x x c Y−
− +∈ω ∈ω
Φ = ϕ − ϕ ≤ ω∑ ∑ �1�2�
����������&���������"���"�'������
'���������������$� ����� � ���������� ���� $���������� ������ $��.� ����7��� ���� ���� ��������$�� ��.� �:������������������
3�� ��(�� ��$� ��� ������ ����� ��� $�� � ���� ��� ������������� %�� �Fulkerson pentru determinarea fluxului maxim într����� ��� ����$�����
$��������� 6�� ��$������� �� ��+� �� ���� 0ϕ .� ����� ���� �� ��� � ����� ����$��������� ��������7� ���� ��� ���������� ����������.�de exemplu chiar fluxul având componente nule pe fiecare arc al
�� ����.� ( ) ( )( )0 , 0, ,i j i jx x x xϕ = ∀ ∈Γ ��
$����� ���� %���$� � ����� ����� �� �������� ��� ���� �� ���(��������;�$.�$���������( � �� � ��+����� ���� 0ϕ ��$����+��-������ ������ ������������$�������� ������)�
�2� $������:��( �$��$���� ����� 1x cu semnul „ + ”;�
�2� vârfurile ( )1xx j+ω∈ vor fi marcate cu „ 1x+ <� �� �������
( )jxx ,1 ��$���$����-�
�2� �� � �7� ��� jx � �$�� �;�� ������ ��� �� � ����� �� �7� �
( )jk xx +ω∈ � ������ ( )kj xx , � �$�� �$����.� ��������� m vârful kx �
prin „ jx+ ”;�
2� �� � �7� ��� jx � �$�� �;�� ������ ��� �� � ����� �� �7� �
� �=�
( )jk xx −ω∈ ������� ( )jk xx ����� ��+������.����� ���7� ��� kx �����
„ jx− ”.;�
'� ����� ���� ���� ����� ���� �� �������.� ����� �7������ �������$��� ��)�
��� *�� � �$�� ��� nx ����� �������$��������.������ ��+����$��
��+����������������$������ ����� *�� � �$�� ��� nx � $��� ���������.� ����� ��+��� �� �$��
��+����������� ��� $�����$ ��)��2�$���������� ���� ����� 1x ���� nx -��2�pe arcele drumului marcat cu „ + <� ��+���$����;����( ������
������θ � �� ��+�1 ���+������ 1=θ 2-��2�pe arcele drumului marcat cu „�>� ��+��� $�� ��������( � ���
�������������� θ -� 2� ��+���������������������$��$�:��� -��2�$�����������3�$�������!��������� ���� �� �� �� ��� �� ����.� ���� ��+��� ��+��� $��
������7 ������������ ������� � �$�� ��� nx ����� ������
,#����� ����? ������ ��+�����$������� ��������������� ��7���unitate, evitându�$�� �$ ��� ���������� ����� ��� ���������.� �$ ��)� $����$� �� ��� ����V format din drumuri marcate cu „+” sau „�” ce ����� 1x ���� nx .������ ��� $����� �� ��7� ������������� ��$�$���
����� nx �� ��� 1x ��0� �� +V ���� ������������� ( )yx, �� �� y ��$��
���������5@<���� −V ���� ������������� ( )yx, �� �� y ��$������������„�<�������� ��
( ) ( ){ }uucVu
ϕ−=θ +∈min1 �
( )uVu
ϕ=θ −∈min2 �
��� { }21 ,min θθ=θ ����$��� ��� � 0>θ �����$���� ��������
? ������� θ ���� ����������� u V +∈ ���������� ����� θ ���� �������
����u V −∈ .��� �7 ������������� ��+�� ������θ ��6�� ���� � ����� �� ���� ��� ��+��� �� ���� 4�������� ��+�����
��+��� $�� � $���� �����(7 � �� ���� � ���� $��������� ��� �� ����� ���7� ������� ������� �� ����� �������� ��� ���������� ���$��� �����������(� � ��+��� ��+��.� $��� � �7 � ��+������ �������� ��� �������������� nx ��
�
�����Îndrumar pentru VERIFICARE/autoverificare��
& � Vârfurile 1 2 7, ,...,x x x � �����(� � ������ ���.� ���� ��� ����� �$�� ����� � ����� �+��� ����
controlului în punctul jx � �� �� �������������������� ix ��������� ����������$��( ������6 �$��
������������������ �������.� ���� 1x ���� 7x ���
�9A�
�%��������
��2� { }1 2 3 7: , , ,d x x x x .��
�2 { }1 4 2 7: , , ,d x x x x �
�2 { }1 2 4 7: , , ,d x x x x �
, $��$��������2�(�)������)������������$�������������V ��������������������)��
� 1x � 2x � 3x � 4x � 5x � 6x � 7x �
1x � 0 � 2 � 6 � 11� ∞ � ∞ � ∞ �
2x � ∞ � 0 � 4 � 4 � 9 � ∞ � ∞ �
3x � ∞ � ∞ � 0 � 1� ∞ � 11� ∞ �
4x � ∞ � ∞ � ∞ � 0 � ∞ � ∞ � 9 �
5x � ∞ � ∞ � ∞ � 6 � 0 � 14 � 19 �
6x � ∞ � ∞ � ∞ � 4 � ∞ � 0 � 13 �
7x � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � 0 �
� � � � � � � �( )( )1im � ∞ � ∞ � ∞ � 9 � 19 � 13 � 0 �( )( )2im � 20 � 13 � 10 � 9 � 15 � 13 � 0 �( )( )3im � 15 � 13 � 10 � 9 � 15 � 13 � 0 �( )( )4im � 15 � 13 � 10 � 9 � 15 � 13 � 0 �
����������2� � �� �� ( )1
im ������������V .�������$����$��$���������� ( )7 1,7j jv
=-�
�2� ������ ����������V ����������� ( )2im .� ( )3
im .� ( )4im ���� �� ��
( ) ( ){ }kjij
j
ki mvm +=
=
+
7,1
1 min �
!�� ��.� ����� ����� ( )2im .� ������� ������ ( )2
1m � $�� ����� � � �7 � ��������� ������ 1� ��
��������V ������������������� ( )1im .������������ ����������� �� � �� ���������� ����
� 9��
( ) ( ){ }{ } 200,13,19,911,6,2,0min
min 17,1
21
=∞+∞+∞+++∞+∞∞+
=+==
kjj
jmvm
�
( ) ( ){ }{ } 130,13,199,49,4,0,min
min 27,1
22
=+∞∞++++∞+∞∞+∞
=+==
kjj
jmvm
�
( ) ( ){ }{ } 100,1113,19,19,0,,min
min 37,1
23
=∞++∞+++∞∞+∞∞+∞
=+==
kjj
jmvm
�
( ) ( ){ }{ } 90,1311,19,09,,,min
min 47,1
24
=+∞+∞++∞+∞∞+∞∞+∞
=+==
kjj
jmvm
�
( ) ( ){ }{ } 15019,1314,019,69,,,min
min 57,1
25
=++++∞+∞∞+∞∞+∞
=+==
kjj
jmvm
�
( ) ( ){ }{ } 13013,013,19,49,,,min
min 67,1
26
=++∞++∞+∞∞+∞∞+∞
=+==
kjj
jmvm
�
( ) ( ){ }{ } 000,13,19,9,,,min
min 77,1
27
=++∞+∞∞+∞+∞∞+∞∞+∞
=+==
kjj
jmvm
�
3��������� ( )3im ���������� ( ) ( ){ }2
7,1
3 min jijj
i mvm +==
)�
( ) { } 150,13,15,119,610,213,020min31 =∞+∞+∞+++++=m �( ) { } 130,13,159,49,410,012,20min32 =+∞∞+++++∞+=m �( ) { } 100,1113,15,19,010,12,20min33 =∞++∞+++∞+∞+=m �( ) { } 990,13,15,09,10,12,20min34 =++∞∞++∞+∞+∞+=m �
( ) { } 15190,1413,015,69,10,12,20min35 =++++∞+∞+∞+=m �( ) { } 13130,013,15,49,10,12,20min36 =++∞++∞+∞+∞+=m �( ) { } 000,13,15,9,10,12,20min37 =+∞+∞+∞+∞+∞+∞+=m �
3��������� ( )4im ���������� ( ) ( ){ }3
7,1
4 min jijj
i mvm +==
)�
( ) { } 150,13,15,119,610,213,015min41 =∞+∞+∞+++++=m �( ) { } 130,13,915,49,410,213,15min42 =+∞∞+++++∞+=m �( ) { } 100,1113,15,19,010,13,15min43 =+∞+∞+++∞+∞+=m �( ) { } 990,13,15,09,10,13,15min44 =+∞+∞++∞+∞+∞+=m �
( ) { } 15190,1413,015,69,10,13,15min45 =++++∞+∞+∞+=m �( ) { } 13130,013,15,49,10,13,15min46 =++∞++∞+∞+∞+=m �( ) { } 000,13,15,9,10,13,15min47 =+∞+∞+∞+∞+∞+∞+=m �
��$��� ��� �������� ( )3im ���� ( )4
im ������ .����� �����$������$���
B������������ ( )4im ������(� �������������� ��� ��� ���� ����������;������ 7x ��
���
�9��
��������6��� � ������1� ��V ���� ( )4
im ���� �� ��$����(����������.�������$��15 .��������������� ��
( )21 , xx ��
6��� � ������ 2 � ��V ���� ( )4im .���(������ �� �13 .���� ������������� �� ( )42 , xx ��
6��� � ������ 4 � ��V ���� ( )4im .���(����������� �� �9 .�����������$��( ������ �� ( )74 , xx ��
*���.� ����������� ����� 1x ���� 7x ���� �� { }1 2 4 7: , , ,d x x x x ���� ( ) 17=dv ��
�(��6����$� �� ���� ��� �� �����������6 �$�� ������������������+�� ��� �������� ����� 1x ���� 6x ��
�2� { }1 2 3 4 5 6: , , , , ,d x x x x x x .��
�2� { }1 2 3 5 4 6: , , , , ,d x x x x x x �
�2� { }1 2 4 3 5 6: , , , , ,d x x x x x x �
, $��$������)��2��
�%��������
�(�)��������!���� ������������"������#��������������������� ��$�$����(��������������� �����
V � 1x � 2x � 3x � 4x � 5x � 6x �
1x � 0 � 5 � 8 � 18 � ∞− � ∞− �
2x � ∞− � 0 � 6 � 10 � 12 � 21 �
3x � ∞− � ∞− � 0 � 9 � 11� 23 �
4x � ∞− � ∞− � ∞− � 0 � 8 � 16 �
5x � ∞− � ∞− � ∞− � ∞− � 0 � 9 �
6x � ∞− � ∞− � ∞− � ∞− � ∞− � 0 �
� � � � � � �( )1im � ∞− � 21 � 23 � 16 � 9 � 0 �( )2im � 34 � 29 � 25 � 17 � 9 � 0 �( )3im � 35 � 31� 26 � 17 � 9 � 0 �( )4im � 36 � 32 � 26 � 17 � 9 � 0 �( )5im � 37 � 32 � 26 � 17 � 9 � 0 �( )6im � 37 � 32 � 26 � 17 � 9 � 0 �
� 9��
�( ) { } 340,9,1618,238,215,0max21 =+−∞+−∞++++∞−=m �( ) ( ){ } 29021,912,1610,236,210,max22 =+++++∞−+∞−=m �( ) ( ) ( ){ } 25023,911,169,230,21,max23 =++++∞−+∞−+∞−=m �( ) ( ){ } 17016,98,160,230,21,max24 =+++++−∞∞−+∞−=m �( ) ( ){ } 990,90,16,23,21,max25 =+++−∞+−∞+−∞∞−+∞−=m �( ) ( ){ } 000,9,16,23,21,max26 =++−∞+−∞+−∞+−∞∞−+∞−=m �( ) { } 350,9,1718,258,529,034max31 =+−∞+−∞++++=m �( ) { } 31021,912,1710,256,290,34max32 =++++++∞−=m �( ) { } 26023,911,179,250,29,34max33 =+++++−∞+∞−=m �( ) { } 17016,98,170,25,29,34max34 =++++−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 909,90,17,25,29,34max35 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 000,9,17,25,29,34max36 =++−∞+−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 360,9,1718,268,531,035max41 =+−∞+−∞++++=m �( ) { } 32021,912,1710,266,310,35max42 =++++++∞−=m �( ) { } 26023,911,179,260,31,35max43 =+++++−∞+∞−=m �( ) { } 17016,98,170,26,31,35max44 =++++−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 909,90,17,26,31,35max45 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 000,90,17,26,31,35max45 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 370,9,1718,268,532,036max51 =+−∞+−∞++++=m �( ) { } 32021,912,1710,266,320,36max52 =++++++∞−=m �( ) { } 26023,911,179,260,32,36max53 =+++++−∞+∞−=m �( ) { } 17016,98,170,26,32,36max54 =++++−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 909,90,17,26,32,36max55 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 000,9,17,26,32,36max56 =++−∞+−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 370,9,1718,268,532,037max61 =+−∞+−∞++++=m �( ) { } 32021,912,1710,266,320,37max62 =++++++∞−=m �( ) { } 26023,911,179,260,32,37max63 =+++++−∞+∞−=m �( ) { } 17016,98,170,26,32,37max64 =++++−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 909,90,17,26,32,37max65 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 000,9,17,26,32,37max66 =++−∞+−∞+−∞+−∞+∞−=m �
����� �����$������$������.�� �������� ���������� ( ) ( )65
ii mm = ��4����������+�� ��� �������� �����
1x ���� 6x ��$��37 ��
�����
�9��
���������*����� ��$����$��������������� ��������+����$ ����� �����2� ! � ������� ( )6
im ���������1� ��V .������������+�� ��� �� ��$��37 �� ������������$�� ��
������ ( )21 , xx ��
�2� ! � �� ����� ( )6im � ��� ����� 2 � �� V .� ��������� ��+�� � �� �� � �$�� 32 .� ������ ��� ��
( )32 , xx ��
�2� ! � �� ����� ( )6im � ��� ���� 3 � �� V .� ��������� ��+�� � �� �� � ��� �� 26 .� ������ ��� ��
( )43 , xx ��
�2� ! � ������� ( )6im ��������� 4 � ��V .������������+�� �17 .�����������$��( ��� ( )54 , xx ��
/2�! � ������� ( )6im ���������5 � ��V .������������+�� ���� ��9 .����������� ( )65 , xx ��
*����������$��( ������ �.� ���� { }654321 ,,,,,: xxxxxxd ���� ( ) 37=dv ��
��������������������
������������������.��������������
& � 6�� ��$� �� � ��� ��� �� ������ ����� 6 � $�� ������� ��������� ���� � �� �������� �� ����������������������
1x ���� 6x ��
�2� { }1 3 6: , ,d x x x �
�2� { }1 2 6: , ,d x x x �
�2� { }1 4 6: , ,d x x x �
�2. Pentru a transporta în 6 � ������ �� ��� �$���� $���.� �� ��� ������ ���� ����� ��������� ��
�� ����� �� ���� ;�$.� ��� � � � �������� �� � ���� �����(����� �����(� � ������ ���� �������.� ������������ ��������.�������������� ��+��� ���������$�����( ���������-�$�� ������� $����� ��+�������+��� ����$�����
� 9/�
�%���������
���������
��!�#�����������#������������
1. Duda I., Trandafir R., Baciu A., Ioan R., Bâr( � 6�.�*���������� ������ ����������.� B �����%� � ����România de Mâine.�"�������.��AA���
��� *� �� ��.� C�� � ��� ,�.� "����� !�.� ���� ,�.� ��������� �� ����������� ���������.� B �����%� � ����România de Mâine.�"�������.��AA/��
���"�����!�.�Matematici aplicate î�������������� ����� �.�B �����%� � ����România de Mâine.�"�������.��AA���
��� *� �� ��.� ��������� �� ����#� � ������ ����������.� B ����� %� � ���� România de Mâine.�"�������.��===��
/������$���D:�.�*��������������������������.�B �����%� � ����România de Mâine.�"�������.��==���
���������
�9��
�������
� ���
����
���������
�������������������
������� ��� ����� ��� ����������������������� � ���� ���������� ��� ������� �� ��� ������ ������� ����� �������������������������� � ���� ������������� ������� ������� ��
�������� �� ��������������������� ������ ����� ������ ���������������� � ���������� �� � ����� � � ���� � ������ !�������� ������ � � � ��������� � �� ��
����� � ���� ���������� �������������� �������� ���������������� ������"��������� �
#$�������%��&���� ���'��(�� ���%��$���� ��(��� ���������������� �����������
) �����*�� � �România de Mâine��+,,��������+-+.+��/����� ���������� dobânda, ������� ���� � ������ ��� � � ������ ������
procent mediu înlocuitor, ������ ��� � ����������� ��������������������� ������������� � ���� � ����� � ��� �� �������� ������� � ��� ��� �� �������� ������� � ������ ���� �� ���� �� ������������� �� ������������������������ � ��������� �� ���������������������� �� � ��������� �� ������������
����
������������������������������������������������������
� �0�
��
������������� ������
DOBÂNZI�����
��� ����
���1��$������������+���� ��� ������ �������� ����� � ���2� ��������3��4� ������ � ���2� ����������3�1��������� ��� �������3�+�������������� �
7.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare��
����1�� ��������������"�� ��������2� ������������ �� ���� ����������������5��• ������ � ��� ����� ��� �������� �� ������������� � �
��� ������������� ������� �� ��� �
• ���� ������� ����� �������������������������� � ���� ������������� ������� ������� �
���
���+����������������������� ������� ������� ������
��� ������������������� �� � ���2� ����������������� ������ ��� ����� ���������� � �� �� ������������������������dobânzilor simple sau compuse.�
��
����� ������������ ����+�������
�0,�
��3����� ���������� ������� �����
��3�1���� ������ � ��
6� ���� �� ��� � �� ������� � ���� � �� ���� ����� dobânda.�Dobânda �������������� ����������� ��������� ������ ������� ������ ���������2��������� �����
������� ����� � ����� ������� ������ ����������� ���� � ����� �� ��� ����� ���� � ��� ������ �� � �� 1,,� �� � � ��������� ���� ������������������������������������� �71,,���
������ �� � � � �������� #����/� ��� � ��� �� �� �� ��� �� ��dobânda: �
100
SpD Si= = � #1/�
����������������� ������.� ���������� � ��� ������ � ��������
100
S p tD S i t
⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = � #+/�
�!������ ��5�"�� � ������������� �������38,���� ���� �� ������
�� �����3,���� ������� � 0S � –� ����� ����� ���� � ��� ��� ��� ���� �� ��� ��� �
� ��� �������� ������"��� �������������"��� �����5��( )0 0 0 0 1tS S D S S it S it= + = + = + � #3/�
#���� ���� ���������� �������
* �� ������� nSS ,...,1 � �������� ��� ������ � ������� � ��� ��������
ntt ,...,1 . Suma dobânzilor aduse de cele �����������������������������
2���� ������������ �������� ����������� �� ��9����� �������������� 5��
1 1 2 2 ... n nS t S t S tt
S
+ + += � #:/�
� ��������� ������ ���� $���� � 1 2 ... nS S S S= + + + ������ ������������� 5��
1 1
1
...
...n n
n
S t S tt
S S
+ +=+ +
� #-/�
� ��������� ������ ���������* �� ������� nSS ,...,1 � ������������������� ntt ,...,1 �� �������������
1 2, ,... np p p ��%���tul mediu înlocuitor �� ������ ����� ������� ���������������������� �������� ���������� ���� ������ ����� 5�
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
......
n n n
n n
S i t S i t S i tp
S t S t S t+ +
=+ + + � #8/�
���
� 01�
���3�+���� � ��� �� �
����� ����� ������������ ������ � ��� �� ����������� ���� �� ��� ����� ���� �� �� � ��� ����� ����� � ��� � �� ������ � ��� ��������� � ���� � ��� ��� � ������ �� ������� ��� ����� � � ��� � 2���� ������� �����5��
* �� 0S �–���� � �� ���–���������� ��–��������������������
���� � 0S �#�� ��2����/�� tS �–������� �� ��� ������ ����� �100
pi = �
������ ��� ����� 5�
' � ���������� ����începutul anului�
����������� �2�� ��������� �
������ �� ��������� �������� �
1� 0S � iS0 � ( )iSS += 101 �
+� ( )iSS += 101 � ( )iiSiS += 101 � ( )202 1 iSS += �
� � � � � � � �t � ( ) 1
01 1 −− += t
t tSS � ( ) iiSiS tt
101 1 −
− += � ( )tt iSS += 10 �
��� � ui =+1 � ��� � � �� ����� �� ����������� � � �� 2� �������� �� ���� ������ ,...3,2,1=t � ������ ��� ��� �������� ���� � ������ �� ����� 5�
( ) ttt uSiSS 00 1 =+= � #�/�
������������ ����� ��������. întreg:�
( )[ ] ( )111 00 −=−+= tt uSiSD � #�/�
���� �� ����� ����� 5��
( )01
1
tt tt
S S S vi
= =+
� #0/�
��� vi
=+1
1�"���������������&�����
& ���������������� �� �#0/��� � ������������
�'�� ��5���� � ������ �� ��������� �� ���� � 0S nu este, în genera��� ��
�� �� 2������ � � ����� �� ������k
hnt += �� '���� �� � ���� � ������
����������������� 5�#�� ����� ��� ��������������������#�/��������������2����� �
����� ������������ �� ��� �� �������������������� � �� � 0S ����
� 5� ( )nn iSS += 10 ��'����� ���� �� nS ��2�� ��������� � �
k
h ������� �����
��� �� ��� ����������������������� ��� ��k
hiSn ��'������������ �5�
( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++==
+ k
hiiSSS n
k
hn
t 110 � #1,/�
reprezentând ��� ��� �� ��� � ��� ������� �� ������ "���� când se
������� � �� ��� � 0S � ��� �� ���� �k
hnt += � 2� ��� �� �� ��� �
������ ��
�0+�
#�� ��� �������� � ������ ����� 0S � ������ � ��� �� ��� �� �
k
hnt += ������ ( ) ( ) k
hnt
t iSiSS ++=+= 11 00 ��
������� 5�1�� 4������ ����� ������� �� ����+�� ��� �� ������ �� � ����� �� � ��� �� � ��� �� �������� ���������
����� � �����1 i u+ = este în tabele financiare atât pentru puteri întregi, ����� ����� ������
3�� !���� ���� ���������� ������ 0S ������ �2���� ������� �
� ��� �����2���� ������� ������� �� ��� �2���� �������� �����%������ � � ��������"�� ���($�� ���� �� ������� 1p �� 2p ����� �� �����
������������������ 1t �� 2t � �������� ��������� 1 1
2 2
t pt p
= ��
�'�� ���* �� ai ������� ��� ����� �� � si ������� ��� �������� �� ��
'��� ��� ai � � si ������� ������� �1 2s ai i= ��
�
!������ ���1������������ �2���� ������� ������� ������������� ��
ai �� ���� ����� ( )1 ai+ �����
1� ����� ������ � 2� ��� �� �� ��� � � ��� � ��� ������������ �� � si �� ���� ����� ( ) ( )1 2 u.m. 1 u.m.s ai i+ = + �
1� ����� ������ � 2� ��� �� �� ��� � ������ � ��� ������������ �� � si �� ���� �����
( )2 2
21 1 1 1
2 4a a
s a ai i
i i i⎛ ⎞+ = + = + + > +⎜ ⎟⎝ ⎠
��
�%�������������������"�� ��� )$�� ��� � 1p �� 2p ����� �� ����� ����������
�������� 1t �� 2t � �� �������� ����������� �� ����� �� ������ ��� � ��� ���� ���������������������� �
( ) ( )1 2
1 21 1t t
i i+ = + *� 1 21 2;
100 100p p
i i= = �
�
#11/�
��� �2�� � ������2� �� � �������� �������� ���������� �����
an se ia dobân��jk�� ���� � ����� � ��� �
jk� ����� ��� ����� � ���
��������� �� ��� ������ 5�
1 1k
ji
k⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
� #1+/�
��� � !� ���������� ��������� ( reprezentând suma dobânzilor percepute în cele ����� � ����/�����
� 03�
!��� � � � ������� ���� �� ���� ��������� ����� �� � � ����������� ����
1 1k
ji
k⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
� #13/�
��� � 2� ���� �� ���� ��� � ����� k → ∞ �� ��� 1 ji e+ = ����
( )ln 1j i= + ��
!������ ���1������ �2����� ��1 ji e+ = ��� este dat în fiecare interval de timp
( ),t t dt+ ������� ��� ��������������� � ( )ln 1 iδ = + ���������;����
2�� ������� ���������������� � ��# δ ���������� ������������������/��
+��� ( )ln 1 1i i eδδ = + ⇔ = − �
������� �� eδ �2���� ��<��=��� �� ��� ��5�2
... ...2
ni
nδ δ= δ + + + + > δ i⇒ > δ �
���
��:��Îndrumar pentru verificare/autoverificar���
($� ������+,�,,,���������������� �� �����:-�� ������������������������>��4�������� ������� �� ��������� ������������ ������ � �?�#2���� ���������� ���� ��1��738,���� ��/��
�/+,,�����9��/�++,,,�����9�/�+,+,,�����9�/�+++,,�����% �����������5��/��+�&�������
0D=S it �#���� ������� �� ��� �/�
� ,7+,�,,,������ 8% 0,08p i= ⇒ = 9��":-�� ���7 45360
�� �
8 45D 20.000 D 200100 360
= ⋅ ⋅ ⇒ = �����
f 0S =S +D �� �
������ f 0 0S =S +S it ��
������ ( )f 0S =S 1+it ��
������ fS =20.200 �����% �����������5��/��)$�Ce devine suma de 20.000 u.m. în regim de ��� � ������ � ��� �� ��� �� � �� :� � � ����
������������������8>���>���>��0>�?���/�+,��,,����9��/�+��,,,�����9�/�+8��,:����9�/+���,3�����% �����������5��/����
�0:�
�#��������
( )( )( )( )f 0 1 2 3 4S =S 1 1 1 1i i i i+ + + + �
1 1=6% =0,06p i⇒ $
2 2=7% =0,07p i⇒ $
3 38% 0,08p i= ⇒ = $
4 49% 0,09p i= ⇒ = $�
fS =20.000 1,06 1,07 1,08 1,09⋅ ⋅ ⋅ ⋅ �
fS =20.000 1,06 1,07 1,08 1,09
20.000 1,3352
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅
�
fS =26.704 �����% �����������5��/�
�������������������
�������������������,�������������
�
($� ���������� �1� ������ � � � ���������� � ���� ���������� �+� �� ��� ��� �����5� � +,,,� �����������������������-,,,�������1,�,,,����������������������������0>��1,>��1+>��������� ��#�����/���38�� ����3��� ��������� ��������������'��� ����� ���� ��2���� ������#�2��� ������ ���� �2���� ���������� ���� �� ���� /5�
�/�:�� 9��/�����������9�/�++,�� ��9�/�1:+�3�� ����)$� 4�� ��� � ����� �� ���� � ��� � �� 2� ��� �� �� ������ ��� � �� ������ ��� ������ :� � � ���
����������������1,>�� �������� �� ���-��-8:�����?� �
0S = �����$� ����������������������� � �� ��� ���� ���1,�,,,�� � ����������������� � �������� �� ����������������
-��� ����������������->�#��� � �� ����� ���� ��� /���/ 5
812
15082,35S+
= ����9��/� 58
12
23082,35S+
= �����9��/ 58
12
65083,75S+
= �����9��
/ 58
12
13508,85S+
= �����
� 0-�
-$� ����������������������� � �� ��� ���� ���1,�,,,�� � ����������������� � �������� �� �������������-��� ����������������->�#��� � �� ����� �������� �� /��
�/� 58
12
12077,77S+
= �����9��/� 58
12
15077,97S+
= ����9��/� 58
12
18077,97S+
= �����9�/� 58
12
25077,37S+
= �����
���������
��.����/��"������/��������
1�� ���� $��� &���� �� %��� (�� ��'��� $���%��� (��� � ������������� ���� ������������ ) �����*�� � �România de Mâine��(������� ��+,,8��
+�� ���� $��� &���� �� %��� (�� �� '��� $��� %��� %������� �� ���������� ����������� ) �����*�� � �România de Mâine��(������� ��+,,-��
3��(�� ��'�������������������������������� ����� ���) �����*�� � �România de Mâine��(������� ��+,,:��
:�� ���� $��� %������� �� ������ ���� ������������ ) ����� *�� � � România de Mâine��(������� ��1000��
-�� ��������@�������������� ���� ������������ ) ����� *�� � �România de Mâine��(������� ��1008��
���
����
��
������������� ���� �
����� �����������������
���������
��������� �������������������������������� ������ ��� ���� ������������� ������� ��� ���� ����
���������������� ���� ������8.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare�
���
��������������������������� ���� ����������� �� ���� �������� ���!��
• "������������� ������������• #������� ������• $������������������������
���
�������� � ���� ������ ���� � ������ �����
#�� � ������%����� ������� �� �� �� �� ���&� �� ���� ��� '���������� � � �'����� ������ ������ �� ���� ��� � � �� ���������� ����'����������%��� ����������
��
�������������������� �� ��������������
�
� �(�
�������� �������� � ������ ����
������������ ��������������
���� ���!��������������� ����� �� ���� ���� ����������� &� �� %������ � ������
����������&� ����� ���� � � ����� �� ��� � � ������ ���� �� ���������� ������ ����� ��) ��
������� �������� � � ���������� �������� �������������*��+������ ���� ������ � ��� �������� �� �������� �,�**�� ��� ������� � � �� ������������ ����� θ ��-��������'��� ������� � ������� ��&������'�!�
( )0 1 , un anK S i= + θ θ ≤ �
����
( )0 1 , un anK S iθ= + θ ≥ �
.�/�
� �!�− ��0����������������� ������� ��&�− $*�0���� � ������ ����&�− ���0 dobâ ������ ����� ���#�� � ��� �� ����� �� 1θ < θ &� � �� � ��� 1t = θ − θ � �) � ���
��� � &����� �������'���) � ������ �������������&���������� ��������������������"���� ����������
( )1 0 11 , un anK S i= + θ θ ≤ �
����
( ) 1
1 0 11 , un anK S iθ= + θ ≥ �
.�/�
� �!����0��������������$*����������� 1θ ��-�������� ���� � �� ���� ��� .��������� ����� � ��� �������
�) �����������/����������� 1 tθ = θ − ������ ��������-��� ���� ������ �'��� �� ���� ��������� ����� � �� ���
������������� ���&�������aS K K= − � .�/�
����� ��������� � ���� �� ����� ��������������� �������� � ��� ���� �������� ����� ����� � ������� ������ ��� ������ �� �� ���� � � ������ ��� � ������ � �� �������� ��� � ��������� ������������������
#��.�/��� ����aK K S= + � .1/�
���aK K S= − � .2/�
+�'��������'������� �������������� ��!����$��������� ������������� ������� ��) ������#���������� ����������� ��) ������ � ��) ������ ��% �
���������&����������������� �� ������������
����
����������������� �����&����������'�� ��) �� � � �������������� ��&���� ��) ������ ���
aSSR K jt= � .�/�+�'��&��� ������������ ���� ����������� ��!�
1a KK
jt= + ���� ( )1aK K jt= + � .(/�
����
100
1100
qK t
SSRq
t=
+�����
1Kjt
SSRjt
= + &�
�
.�/�
� �!�− 100q j= ������� ������.�������� �����������'���%���
���� �'���� ���������� ����������������� ����,�**�/�− ��0� ��) ������ � ������− �0� �������� ����.� ���� �����/���������� &�������������������%��3�� &���'����
�4��≅ ���
�������� ���.�/� �����SS Kjt= � .�/�
������������������5���� ������� �� ����� ������������������������
���������� ������� ���������#� ��� ��� � ��� '�� ��) �� � � ��
�������������� ������������ ��&���� ��) ������ ����SSC Kjt= � .�*/�
���( )1aK K jt= − &� .��/�
����
1
aKKjt
= − �� .��/�
��$����� ������SSR SSC< &� � �� � ���� ����� �������� ������� �� �����
������ � � ����������� ��&��������� ������������������������������������� ����
���$�������������������������������� ���������� ��������#��.�*/����.�/��� ���!�
( )1SSC SSR jt= + � .��/�����
1SSCSSR
jt= + � .�1/�
��������������� este cel în care calculelele se fac în regim de
��) � ������ �� #�� � � ��) �� ��� ����� � ������� �������� ��� ��� ��) ������ � �&���������� �� � .�� ��%��� �� ��) ������� /&������ �������������������� �����&������
�����������������5���� ���������������� ������������������������������������&������
�
� ���
#�� ��,����������,���&������ ��.�/�����!�
1j
SSRj
= + &� .�2/�
��"��� ���%&�������������� ���������� �����������
1j
dj
= + &� .��/�
����1d v= − &� (16’)�
����& 11
vj
= + ����������������������������������������
����%��� �� ��) ������� &�����������
( )1taK K j= + � .�(/�
��&� �����) � �'�� ��� �������� ������� �� ����&� �� ���� ����������������� ����� �
( )1 1taSCR K j⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦ � .��/�
����
( ) ( )1 1 1t tSCR K j K v
−⎡ ⎤= − + = −⎢ ⎥⎣ ⎦ �� .��/�
#��.�(/�% ����
( )1a
tKK
j=
+��� �
6�� �� �
( ) ( )2 11 1 ...
2t t t
j jt j−
+ = + + + �
��������%��3��������� ��%�� ���������������%������ ���.������ ��� � ��) ������ ������&����%�����&���� ������� ��'������ /�����avea în (19):�
111 1
KjtSCR K
jt jt⎡ ⎤= − =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
� �
��� ���� ������ ���� ��� ����5���� � ������ ������� �� ����� ��������� ������ ������� ���������&� $��&� ����� �� .��/� % ���� � ������������������������������
aSCC K jt= � .�*/�� ��
1a KK
jt= + ��� .��/�
���( )1aK K jt= + &� .��/�
��$����� ������ SCC SSR SSC= < 7�
���#�� �8���&�����! ( )1 1t
j jt SCR SCC+ < + ⇒ < �
���#�� �,���&�����! ( )1 1t
j jt SCR SCC+ = + ⇒ = �
1��#�� �9���&�����! ( )1 1t
j jt SCR SCC+ > + ⇒ > �
��
��**
��1��Îndrumar pentru verificare/autoverificare�
���:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ���*� �������� )� ��&� ��� �������� ����� �� �*;��#�� ������������&� ���������� ���� ��� �� ��� � � ������������������������� ����� � ��$��������������������� ������� ��������� � � K = ����
����������!�$*,��*�***������
10% 0,1p i= ⇒ = �
1010 luni=12
θ = �
177 luni=
12θ = �
3 112 4
t = = �
��/ ( )0 1K S i= + θ ⇒ �
( )10120.000 1 0,1 130.00012
K = + = ������
�
���:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ���*� �������� )� ��&� ��� �������� ����� �� �*;��#�� ������������&� ���������� ���� ��� �� ��� � � ������������������������� ����� � ��$����������������'��� ������� ���������������� ����� 1K = ���&�
<� ������!�( )1 0 11K S i= + θ ⇒ ��
( )17120.000 1 0,1 127.000
12K = + = ������
�
���:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ��10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive posesorul po�� ��� �� ��� � � ���������� ������ ���� ����� ����� � ��$�������������������� ������� ��&������) � ���������������� ����������������=�,�;��
� ...aK = �
��������!����� �������������������� ����!�
1a KK
jt= ⇒+ 1 18% 0,08q j= ⇒ = �
����������������������� 130.000 127.45011 0,084
aK = =+
�����
1��:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ��10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive, posesorul po�� ��� �� ��� � � ���������� � ����� ���� ����� �� ��� � ��$�� �������������� ���� � ������ ��&� �����) � ������ ��������� ����&������������=�,�*;&��
� ...aK = �
� �*�
������������� �������������������� �����
1a KK
jt= + �
2 210% 0,1q j= ⇒ = �
130.000 126.83011 0,14
aK = =+
�����
�2��:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ��
�*� ���� ���� )� ��&� ��� �������� ����� �� �*;�� #�� ������� ������ ���������� ���� ��� �� ��� � � ������������������������� ����� � ��$�������������������� ������� ��&�����������������������&������������=�,�;&��
� ...aK = �����������În cazul scontului simplu comercial�
( )1aK K jt= − ��
1 18% 0,08q j= ⇒ = �
( )1130.000 1 0,08 127.4004
aK = − = �����
��
�������������������
������������������'�������������
�
���:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ��10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive, poseso���� ���� ��� �� ��� � � ������������������������� ����� � ��$�������������������� ������� ��&�����������������������&������������=�,�*;&��
� ...aK = ��
��*�
(&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ���;��#�� ������������'���������������=�=8% în regim de scont compus, se cere:�
-������������� � K = �����)&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ��
�;�� #�� � �������� ��� '���� ��� �������� =�=8%, în regim de scont compus, se cere:cât va primi ���'����������� ����������� ����� � >�.?��� � ����������������� ����/��
�� ...aK = ��*&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ��
�;��#�� ������������'���������������=�,�*;&�����%��� ������������&���������� �������� ���)�������������'����������� ����������� ����� � >�.���� ���������������� ����/�
� ...aK = ��+&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ��
�;��#�� ������������'���������������=�,�;&�����%��� ������������&���������� �������� ���)�������������'����������� ����������� ����� � >�.���izând scontul compus comercial)�
...aK = ��,&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ��
�;��#�� ������������'���������������=�,��;&�����%��� ������������&���������� �������� ���)�������������'����������� ����������� ����� � >�.���� �����������������������/�
� ...aK = ��-&�:�� ��� ���*�*���**1����� ���������������������� � ��������������� ��,�2�***�����&�
��� ������� � �����������*���**1��$��������� ������� ��������� � �������� ��������������!��• ������ ��������;�• �������� ����������������������*&�;�• ������������'�����&2�����• �5 ������������'�5���&�;�• ���� ��% � �� � ���� ��� ������ �$�������������������� &������) ��������������������������
...aK = �� ��:�� ��� ���*�*���**1����� ���������������������� � ��������������� ��,�2�***�����&�
��� ������� � �����������*���**1��$��������� ������� ��������� � �������� ��������������!��• ������ ��������;�• �������� ����������������������*&�;�• ������������'�����&2�����• �5 ������������'�5���&�;�• ���� ��% � �� � ���� ��� ������ �$�������=��������������� �����&�=�,�**��&�����=�����������'�����.���� ���������/� �����&�
=�,�**����/�=�,��&��;&�=�,��&�(;7��/�=�,��&1�;&�=�,��&�(;7���/�=�,��;&�=�,��&��;�
�.&�@���� �� �� ����� ��� nQQQV +++= ...210 �
�%/&�<��� ���������� ���������������.� ���� ��������������%������� ����/����!�
( )1 1 1p p p pT T Q i Q+ +− = − − �
� �*�
�%%&����� �� �� TTi = &������� ni ,...,1= 7��������������� ����
�/� 0 1(1 ) 1
1
niV Q
i
+ −=+
7��/� 0 1(1 ) 1ni
V Qi
− −= 7��/�i
iQV
n 1)1(10
−+= 7� /����� ������
�����������
��0�$���1��"����$��1���������
��� #� �� ��&� A�� �'��� <�&� B�����+�&� ����<�&� B)� � $�&���������� ������ ���������&� @ �����C� � ����România de Mâine&�B�������&��**���
��� #� �� ��&� A�� �'��� <�&� B����� +�&� ���� <�&� �������� ��� ��������� ���������&� @ �����C� � ����România de Mâine&�B�������&��**2��
���B�����+�&�Matematici aplicate în economie���� ����� �&�@ �����C� � ����România de Mâine&�B�������&��**1��
1�� #� �� ��&� �������� ��� �� �!� � ������ ���������&� @ ����� C� � ���� România de Mâine&�B�������&�������
2�� ��������DE�&���������� ������ ���������&� @ ����� C� � ����România de Mâine&�B�������&�������
���
����
��
������������� ���� �
�� ���������������
���������
��������� �������������������������������� ������ ��� ���� ������������� ������� ��� ���� ����
�������������� ����������� �������� ���� ����9.4. Îndrumar pentru verificare/autoverifi�����
���
�������������������
!������� ���� ����������� ��" ���� �������� ���#��• $� ��������� ������������������������
• %������������� �������������&��� ������� ������'��������
• $� ����������&��� �����
���
�������� � ���� ������ ���� � ������ �����
(�� �������)�������������� �� ���� ��� ��� �������&����������� ���"�������������� &�������� ��� ������ ��� �� ������� � ����������� ��� ��*��������� ��������� ���� ���+��
��
�������������������� �������������������
�
� ��,
�������� �������� � ������ ����
������������ ������������� ��������� ����������
$� ���� �������� ��� �� ���� ����� ��� &��� ��� ������ ������ �� ��- � ���������������������&� �� ���������������������� ���������������� ��timp între dou ��� �������"� ��������� ��(�� �������� ���������� �������� ���� �������������� � � �� ������� ������ ��������� � ������� ���� ��������� ������������ � � �� � ������ �� ���� ��������� � ����� �� ���� ��������� ������������� � � ���� �� � ������ �� ���� ���� � ����� �� ���� ������������������ ���
������������ ����� $� �������&�#�− �����!���� �� ���������� ���������������.�− ���������� �� ���������� �������������$� �������&����� ��- ����� ������������� ������$� �������&�#��–������������� �� ��� ���� ���� ������&���*��������������+.�− ���"���������� .�− ��������� �� ��� ������ ���������������������$� �������&�#��− ������������ �� ���������&��������&-������&��� ���������� �.��− ����������� �� ���������&���������������&��� ���������� ����
�/�0� ���
Pn
S ���������#���� ����������� ������ ������������
Pn
A ���������������� ����������� ������ ������������
1 2, ,... nT T T ��� ����
1 2, ,... ni i i � ��-"�������������&������������� ����� ��������������� �� ����������� ����&���������������������
amânate� �� ���������&���� �� ����� �� ���������+������ �������!����$���!%�&�������!�����
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1 2 3 2 3 4
1
1 1 ... 1 1 1 ... 1 ...
1
Pn nn
n n n
S T i i i T i i i
T i T−
= + + + + + + + + +
+ + + �
*�+�
1�������� ��
( ) ( )n -nn 0 0 nS =S 1+ S S 1+i i⇒ = �
���������) ���
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 11 1 1 1 1 ... 1P
n n nnA T i T i i T i i i
− − − − − −−= + + + + + + + + �� *�+�
�+������ �������!����$���!%�&������������
( ) ( ) ( )1 21 2 11 1 ...... 1
n nPn nn
S T i T i T i T− −
−= + + + + + + + � *�+�
�
���2
����
( ) ( ) ( )1 21 21 1 ... 1
nPnn
A T i T i T i− − −= + + + + + + �� *�+�
�+������ ������������$���!%�&�������!�����
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 3 3 41 1 ... 1 1 1 ... 1 ...
1
Pn nn
n
S T i i i T i i i
T i T
= + + + + + + + + +
+ + + �
*,+�
����
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 11 1 1 1 1 ... 1P
n n nnA T i T i i T i i i
− − − − − −−= + + + + + + + + �� *2+�
+������ ������������$���!%�&�������������
( ) ( ) ( )1 21 1 ... 1
n nPn
S T i T i T i T− −= + + + + + + + � *3+�
������- ������� ���
( )1 1n
Pn
iS T
i
+ −= ��
*4+�
����
( ) ( ) ( )1 21 1 ... 1
nPn
A T i T i T i− − −= + + + + + + �� *�+�
������- ������� ���
( )1 1n
Pn
iA T
i
−− += �
*��+�
��!����� ������(�� ��5������) ����
( )1 1n
ni
si
+ −= ��
*��+�
���������&��� ����������� ����� ����������������������(�� ��� ���� ���� ������������� n → ∞ ��������������� ����&��
1limn
P
n
v TA Ti i∞ →∞
−= = ��*��+�
���
�����Îndrumar pentru verificare/autoverificare��
���(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" �������� ����������� �,�������� �3��������� ������������������� ��36 �46 ���6��������������������&��� ���&� ������������7�
�+�,���,�����.��+��3���������.�+���432����.� +����32������1 ����������#��+����������
( )( ) ( )3
2000 1 0,08 1 0,1 5000 1 0,1 7000 14.876PS = + + + + + = ������
����(�� �������������� � ���&��������&-���� �������������" �������� ����������� �,�������� �
3��������� ������������������� ��36 �46 ���6������������������������� ���&� ������������7��+��,���, �3�������.��+���3�� 2�������.��+����432����.� +�����32 ,2�������1 ����������#��+�
� ��3
���������%������������� #�
32000 5000 7000 11702,6941,07 1,07 1,08 1,07 1,08 1,1
PA = + + =⋅ ⋅ ⋅ �
���� 8�� ������" � ���� �� ��� �� � ��� �&-������ &��� ���� � � ����� �� �������� ����� �� ��)��� �� ��
��- ������� ����������������� ����6��������������������&��� ��������� ��������������� ��������������� ���7�
10PS = ��� �
10PA = ����
10
10
1,1 1200.000 3.187.484,60,1
PS−= = ������
10
10
1 1,1200.000 1228913,40,1
PA−−= = ������
��
�������������������
������������������'��������������
�
()�(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" �������� ����������� �,�������� �3��������� ����������������� ����6��������������������&��� ���&� ������������7�
�+�,���,�����.��+��3���������.�+����������.� +�,��32�������*)�(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" �������� ����������� �,�������� �
3��������� ����������������� ����6������������������������� ���&� ������������7��+�,���, 2�2������.��+��3���� �,������.�+����������.� +����� 2�2�������+)�(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" ������ ��3��������� �������������
������ ��36 �46 ���6��������������������&��� ���&� ������������7��+�����2�����.��+��,���������.�+�����2���.� +�,�����������
���4
,)�(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" ������ ��3��������� ������������������� ��36 �46 ���6������������������������� ���&� ������������7�
�+�����2�����.��+��,���� ��������.��+��4��2 ������.� +��,���� ����������,��8����� �� �� ����������&��� ����������� ����� ����������� ������������� ��� ������� ��
������������� ��-"����������� ����#�
�+1
1 1
nnpn k j n
k j k
S T i T−
= = += +∑ ∏ .��+�
1 1
nnpn k j n
k j k
S T i T= = +
= +∑ ∏ .��+�11
1 1
nnpn k j n
k j k
S T i T−−
= = += +∑ ∏ �
�-)� 8����� �� �� � ��������� ����� � �� ���� ���� �� ��� �� ��������� � ��������� ��� ��� � ���
��� ��������������� ��-"����������� ����#�
�+ ( ) 1
1 1
1kn
pn k j
k j
A T i−
= =
⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∏ .��+� ( )1 1
1 1
1kn
pn k j
k j
A T i− −
= =
⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∏ .��+� ( )1 1
1 1
1kn
pn k j
k j
A T i− −
= =
⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∏ �
�.)�8����� �� �� ����������&��� ����������� ����� ����������� ������������� ��� ������� ��
������������� ��-"������� ����#�
�+ ( )1
1n
n kpn k
k
S T i−
== +∑ .��+� ( )
1
1
1n
n kpn k
k
S T i−
−
== +∑ .��+� ( )1
1
1n
n kpn k
k
S T i−
−=
= +∑ �
���������
��/�!���"��#����!��"���������
��� (� �� �� � 0�� �&��� 1� � 9����� �� � ���� 1� � 9-�" � 8� �� �� ���� ��� ��� �������� � � : �����;� � ����România de Mâine �9������� ����2��
��� (� �� �� � 0�� �&��� 1� � 9����� �� � ���� 1� � ������ �� ��� � �� ���� ��������� � : �����;� � ����România de Mâin� �9������� ����,��
���9������� �� �� �������� ����������������� ���� � �: �����;� � ����România de Mâine �9������� �������
��� (� �� �� � ������ �� ��� ����� � ��� ��� �������� � � : ����� ;� � ���� România de Mâine �9������� �������
,����������<'� �� �� ������� ����������� � �: �����;� � ����România de Mâine �9������� ����2��
���
� ���
��
������������� ���� ��
�� ������������������������������������������
��� ���!�
����������� �������������������������������� ���� �� ��������� �������������� �� �� �� ��������� ���
10.3.1 Împrumuturi�10.3.1.1 Amortizarea unui împrumut pr����� � �������������������������������� � ��� ��� � ������������� ���������� !�� ���� � ���������������� � ��� ��� � ����������� ����!�� ��� � ��������� ���� � ��
"�������#�10.3.1.4. Împrumuturi cu amortismente egale�
10.4. �� ������ ���� ����$� ���� ��������
����������������������� ������������ ���������� ���% � � �������� � ��&��• '� �����������(������%�����• Împrumuturi�
���
��������� � ���� ������ ���� � ������ �����) � ���� (����������� �� �������� ����� ��� ����� ����������
� � � ����� � �� � ��� ��(��� ��� ��� � �� ��� � � ���� ��%�� ����������������� � �������������������(��������� � ���
����" �#��#$%������� ��&��������
�
����
��������� �������� � ������ ����
��������Împrumuturi�
*��� �������� � ������� ��� ������� ��������� �������� 1P �"������� ��� �� � ( ���� � ��� �����#� ������% � �� � � � ��� ������ ��� �������� ������� ��������� ���� � ����������� 2P �"������� ����� �( ����� ��������#��
����� � ������������ 2P ���� ���� �� 1P �� ���������������� ��������� �������� ������ �����%�������� � � ���+����� � ������ ���������������% ����� �������� � ������ �������* �������� ������ ������� � � �� �� ��� �� ����%�� ���� � ��� ��� � � � ��� � ����������������
�
�������������������� ��������������� � ��� ����� �� ��������������
,��&� 0V � –� � ��� ��� � � � ��� ����� �� ��� ����� nTT ,...,1 � –�
�� � ����"��#�� ���������"������� ���� ������� � ����� !�� ����� � ����#�� n �–�� ��������������� � ���� 1,..., nQ Q �-�������������� ��������
��� �� �� ��� ������ �� �� ��� ��� �� n -�� ����� i � –� ���!���� ��� � ��împrumutului.�
� ������������������������������ �� � �&��
.������ /���% �� )��!�� � /� � ��* ��� ��� ��
������ ��� ---� ---� ---� 0V �
�� 1Q � iVd 01 = �111 dQT += � 101 QVV −= �
� � � � � � � � � �p �
pQ � iVd pp 1−= � ppp dQT += � ppp QVV −= −1 �
� � � � � � � � � �n � nQ � iVd nn 1−= � nnn dQT += � 01 =−= − nnn QVV �
��'!���� ��&���� 0���� ����������������� ��������(������ � ������� ������ �
�-�� �� ������ �����������% �������)�������� ������� � � n ������ ������� ��%��� ������ � � ���
������� �� ������ � � ������(�� �� �� ��������������&�
nQQQV +++= ...210 � "�#�)��������������� ��������� � ���������������"������ ���� �
�������(������ � ���#����&�( ) pppp QiQTT +−=− ++ 111 � "�#�
/� � ������ ���� � ������������
� ���
�
������������������������� ��� ���������� �� ������ �������������������� �����������������
������� �� TTi = ������� ni ,...,1= ��/ ��������"�#������
( ) pp QiQ +=+ 11 �
����� ����&�
�i
iQV
n 1)1(10
−+= �� � "�#�
������������������������� ��� ���������� �� ���������� � ��� ��� ���� �������� ������ ��������
1�� �������� ����� � �� ��� �� ���� ���!���� ��� � ��� �� ��� ����������� ������ ��� � �� ����� 0V ���� iVV 00 − ��
'�� � ��������������� � �������!����������� ���% ��� ���� ���� ���������� ���������� �������� �� ��������� ���
0���� ����� ���� � ��� ��� � ���� ����������� ���� � �����&��
/���� /���������� Dobânzi� /� � ��* ��� ��� ����
��� ����� !�� ���� � ��
�� ---� iVd 00 = � ---� iVV 00 − �
�� 1Q � iVd 11 = � iVQT 111 += � 101 QVV −= �
�� 2Q � iVd 22 = � iVQT 222 += � 212 QVV −= �
� � � � � �p �
pQ � iVd pp = � iVQT ppP += � ppp QVV −= −1 �
� � � � � �
n � nQ � iVd nn = � iVQT nnn += � 01 =−= − nnn QVV ��
)�� � 0=nV �� ���� nn QT = ���
)� ��� ������ ��� � ��� ������������ pppp QiQTT −−=− ++ )1(11 ���
)�� ��� � ����� ��������������� � TTi = �� ni ,...,1= �� ����
0)1(1 =−−+ pp QiQ ������ ���pp
i
)1(1
1 −=+
, rezultând
])1(1)[1(
)1(01 n
n
ii
iiVQ
−−−−= ��
��������2��Împrumuturi cu amortismente egale�
�
�)�� � QQi = �� ni ,...,1= �����"�#��% � �n
VQ 0= ��,�������������
� � ����"�#��� ����&� ip0
p1p QTin
V-TT −==+ ��
Tabloul de amortizare a unui împrumut cu amortismente egale este ������� ��� �� ��� � ����%���� � �� ��� � � ���� �� � �� �������������������
����
�
���2��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��
��+�� ��� � ����������� ���� ���% ��� �� ��� ��� ���2��������� ��� "�� � �#� ������������������� ������� ���� ������34������������� ����������5�
1 ...Q = ��
��������50005,01000001 =⋅== iVd �
'�� �����������( )
12,232011
01 =−+
=ni
iVQ ��
������������������������������� 12,232011 =−= dTQ �
(��+�� ��� � ����������� ���� ���% ��� �� ��� ��� ���2��������� ��� "�� � �#� ������������������� ������� ���� ������34������������ ���������� �% ���5�
...T = �
��������50005,01000001 =⋅== iVd �
'�� �����������( )
12,232011
01 =−+
=ni
iVQ ��
���������������������������������� 1 1 2820,12T Q d= + = ��)���������� ������ � ��� �������3����� ����������� ���% �� ������ ��%�����2������ �
����� �� ��� 34� ���� �� � �� ���������� � � ���������� �(����� ���� ���� �� ����� ���� ���� ���������������������������������5�
2 ...T = �
��������
)��� 250000 =V �����62��% � � 62504
000.250 ===n
VQ ��
,���������� ��� ip0
p1p QTin
V-TT −==+ ���� ����� 2 7125T = ��
��������������
� ���
���!��������#����*���$���#������
��+�� ��� � ����������� ���� ���% ��� �� ��� ��� ���2��������� ��� "�� � �#� ������������������� ������� ���� ������34����������������������������5�
3 ...Q = �
�(� Un împrumut de 40.000 u.m. este rambursabil în cinci a��������� � ����������� ����!�� �
�� ���� ��������� ���� � ��� ����������34������������� �����������5�1 ...Q = �
�)���������� ������ � ��� �������3����� ����������� ���% �� ������ ��%�����2������ �
����� �� ��� 34� ���� �� � �� ���������� � � ���������� �(����� ���� ���� �������� ������� �% �5�
...Q = ��+���������� ������ � ��� �������3����� ����������� ���% �� ������ ��%�����2������ �
����� �����34������� � ������������� ������������(�������������� ��� ��� ������� �� � ����������������������5�
2 ...V = ��
��������
��,�'#�$-��.���$'#�-��$����
�
��� ) ��� ���� 0���� �� 7��� 8��� �/��� �����7��� 8!% � *������������ �� ���� ��� �������� 9�� ��, ��� ����România de Mâine��8 � ��������:��
��� ) ��� ���� 0���� �� 7��� 8��� � /��� ����� 7��� ����� ��� ��� ��������� ��� ������� 9�� ��, ��� ����România de Mâine��8 � ��������3��
���8��� �/�������������������� ���� �������� �� ���9�� ��, ��� ����România de Mâine��8 � ��������2��
2�� ) ��� ���� ����� ��� ��� � ��� � �� ���� ��� �������� 9�� �� , ��� ���� România de Mâine��8 � �����������
3������� �;<�������������� ������� ��������9�� ��, ��� ����România de Mâine��8 � ��������:��
�������
���2
����������
� ���
����
��������
����� ��� �����������
������������ ���� ������������ ���������� ������ �������������� ������������ �������� ���������� ���������������� �������������� ����������������� �����������
������ ��� ��� ���������� ������ �� ������� ��� ����� ��� �� ����� �� ��������� !��� ������������ ������ �� �������� ������� "�������� ��������� �� ��� �� ������� ���� ���������#�� ����� ����������������������� � $���������������������������%���������
&����� �������� ������ #�� ���������� ��� ������� ������� ��� ����� ���� !��� ������������������ �� �������� ��������
� ������������� ������������������ ����� ���������������������������'���������� ���� ������������ �������� ���
�()��!�����&������������������ ����&��)�����*���$�� ���������������� ������������
+�������"���� ����România de Mâine��,--.�������,/-',0�1��
������������ ��� �� �� ������������������ ���������� �� �� �� �������� ����������������������� �� ��������������������� �� ����������������������� ����� �� ���� ��������������� ���� � �� ��� ��� ��������� ���� ������ �� � ��� ��� �� ������ ������ ��������limitate sau amânate; ���� ������������������ �������������������� ��� �������� ����������� ���� � ��� ������������ ������ ����� � ��� ������������ ���� ������ ��� ��������������� � ���� ����������������� �������������������� ���� ��������
�
���2
������������������������������������������������������
� ��.
��
������������� �������
����������������������������������
���������
�������)������ ��������,��3��� ������ �� ������ ������� ������#�� ���������4����� ���������� ������#�� ����
��������4����"�� ���������� ����������������4�,����������������������#�� ��������������� �������#������������������������������
11.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����
�������������� �����În� ��������� ��� #�� ���� ��� ��� ������� � �� ������� ����� ���
������ ���� ����������• "�� ��� ������� ��� ��� ��� ��� �������� ������ ������ �� ���
��� ���������� �����������• ������ �������������� ����������������� ���������
���
����,����� ������� ���� ����� �������� �����!�� � ��� �������� � ������ ���� �� ��� #�� ����� ��������� ��� ���
������� ��������� ��� ������������ ����������� ���� ���������� � � ������������������������� � ����������� ��� ��������������� ����� ������� ��������� ��
�
���� ��!��!������� �� �,�������
�
���/
���4����� ��������� �������� ����
5� ������ ��� �������� ��������� � ����������� ����� ���������� ����� ������������������� ���������� � � ������������� ���������$������������������� ���� ������������ ��������� ���
!�� � ������� ���� ������ ���� (����������� ���� �� �������1� ���� ��������� ������������������������� ��������������
������� ��� ��� ���������� ���� ����� ��� ����� ���� ��� #� 6��������������� ��� � ��� � � � ������"������!� (������� ���� ���� ����� ���� ����� ��� ���������� ���� ����� ������� ��� ������� �1 �� ���"����!�(������� � ���� ������� ���� ���� � �� ��� �� �� � ��� ����� ������� �������� ���������������� ����������������1��
����������������������� ���� ��������������������������������#�� ���� ��������� �� ������ �� ������ 7����� � (������ � ���������� �� ���������� ���1�� � ���� � � (������ � � � ����������� ���� ���� #��������� ���������������� ����� ���� ��� ��� #�� �������1� �� ��6�� � (������ �� 6��������������� ������������������1���
+ 6������������ ��� ������ ��� ���������� ����� ��� � ��� ������� ��������� ����� ������
������ ���� ���������������!����
���������� � �� ���������� �� ����� ����� � ���� �� ������ ������ ��������� �����������!� ��������������� ��� ������������� ������
�����!������� ����!���! �������!������� ��1
n
kk
P P=
= ∑ ��
��
�#�$�� ���%��&�� ��
���4����'��� ���(�� ������
"�� ����������� �� ���� ���������������������������������)�8����������� ����������� ����� ������ �� � ������� �� �� ������ �$��������%������������ ������ ���� ���*'au întocmit tabele de mortalitate ����$��� � ����%����������'������������� ������--�---������ � � ���� ����������������� �������� �������������������� ���
�*��(�(�!����������� �+����� �����
�
��� ����• ( ), 1xp p x x= + �������������� ����������� � #���$��� ������
����� �����#����� ����9������• ( ), 1xq q x x= + ��������������� ����������� �#���$��� ������
����� �����������#����� ����9������• ( ),p x y ��������������� ����������� �#���$��� ����������� �����
#����� ���"�����
� ��0
• ( ),q x y ��������������� ����������� �#���$��� ����������� ����
�������#����� ���"���������
1x xp q+ = �� (�1�
( ) ( ), , 1p x y q x y+ = �� (,1�"��������$��� ����������� �#������� ��"����� ��
( ) ( ) ( ), , ,p x y p x z p z y= �� (41���
'��� �������������� ������
"���������� �������� ���������������#���$��� �����������5���,��� ��� ��� �������� ����� �� ��� ����� ��� ��������� ���� � ��� �� ��������� �� �7���� � � #������ � �� ����� ��$��� #�� ������� ����������� �� ��� � #�� � ��� �� ���� ���� ��� � ��� �� ����� � �#������ �� ��� �������������������������� ���������������� �
�
:x x n xn
xX
C p q −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� { }0,1,...,x n∈ �:� 1p q+ = ��� ( ),p p a x= � (;1�
�-(����� ���
�1� ( ),p p a x= ��������������� ����������� �#���$��� ����������� �
����#����� ���������,1� an l= ��� ������������������� �� ���������41��� �������������������� ���7����� ��� ��� �������������
( ) xM X l= �(������������������� �������������#��$��������������
#1���$��� ���� �#�������� ���������������� ������
( ) ( ),xM X l np a x= = ������� a x y< < �
( ),yl np a y= �(�1�
<���� �����
( ), y
x
lp x y
l= ��
( ), x y
x
l lq x y
l
−= ��
(21�
���������
( ) 1, 1 xx
x
lp p x x
l+= + = ��
( ) 1, 1 x x xx
x x
l l dq q x x
l l+−= + = = ��
(.1�
������
1x x xd l l += − � ��������� � �� ��� ����� ��� ��������� ���� �� ��������������� ��� � ���������#������� ���9������
5�� ��( ),n xp p x x n= + � �������������� �� �� ������� � #�� �$��� � ��� ��
����� ������ ��� �������
��,-
( ),n xq q x x n= + ��������������� ����������� �#���$��� ����������
� ��������� ��� �������( )/ ,m n xq q x m x n= + + � �������������� �� �� ������� � #�� �$��� �
���������� ��� ������#������9�� ���9������� ��� ����
x nn x
x
lp
l+= ��
x x nn x
x
l lq
l+−= ��
/x m x n
m n xx
l lq
l+ +−= ��
(/1�
�&�� �� �����
�<����������������� ��������������� ��������� '������� ��� �
�� ������� � #�� �$��� � ��� �� ���� ��� ��� ��� ��� �� ����� (��1���������� ��������������������� �������
1/ 2 / 1
1/ 2 1 1/ 2 ... 1/ 2:
...x x n n x
nX
q q q+
+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���:� ( )xe M X= �� (01�
�����
��� 112
x
x nn
xx
l
el
ω−
+== +
∑�
(�-1�
�����4�,�����"�������������� �������.������������� ������
la împlinirea term���!���������"�������
3� ������� � � #�� �$��� � ��� �� ���� ����� ���� � �� ���������� #��������� ��� ����� ���� �� ��� ��� � ���� �� � ����� #�� ��� �� ������ �� ������������� � n xE ����������������������������������������� �������
0:
n
n x n x
vX
p q
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��� (��1�
����������� �������� ����������
( ) x nn nnn x x
x
lE M X v p v
l+= = = �
���� n xE ��� �������� �����������������
5�� xx xD v l= � �� �� ��� ���� ���� �� ��� � �� ��� #�� ������
actuariale pentru toate vârstele ����� ����������������� ���
x nn x
x
DE
D+= � (�,1�
!� ������������� ������$���������� ��������
x nn x
x
DP S E S
D+= = � (�41�
���
� �,�
���;��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��
�)������������������� ���� ������������� �#���$��� ����;-�������������� ���� ���� �#����������� ���� ����� ��������������������������� #� ����#�� �������������� ����� �� #���������$������������������������-�---�---����=�( 40 5512055, 5802,3D D= = 1�
*/)))��
%��������&�
%��� x n
x
DP S
D+= 0��( ��� �
55
40
5.802,310.000.000 10.000.000 481318912.055
DP
D= = = �
�
1)�>������ � ( ) 1x
l xω
= − �� 0 x ω< < ������ ����
�1� t xx t
px
ωω− −=
−:��1 t x
x tp
x
ωω− −=
+:� 1� t x
x tp
x
ωω− +=
−:��1������ �������
& ������ ��� ����1��
%�������� �
( )( )t x
l x tp
l x
+= � �� ( ) 1
xl x
ω= − ������ ���
1
1t x
x tx t
px x
ωωω
ω
+− − −= =−−
�
�����������������������
��,,
�����������!����2������!������
��������������������������� ����������� �#���$��� ����;-������ �����#����� ��������������=�( 40 5584855, 77603l l= = 1�
15 40p = �����
,��>������ � ( ) 1x
l xω
= − �� 0 x ω< < ������ ���
�1� t xqx
ωω
=−
:��1 t xx
qxω
=+
:� 1� t xt
qxω
=−
:��1������ �������
�
4��������� ��� ( ) 1, 1 x x xx
x x
l l dq q x x
l l++= + = = �
�;���*����� �� ���������������������$����� n xE ��
�1 x nn x
x
lE
l+= :��1� x n n
n xx
lE v
l+= :� 1� x n x
n xx
lE v
l+= �
����5� ������ ���� ���(����� �#��������������������1�������
�1� xx xD u l= :��1� x
x xD v l= :� 1� ( )1x
x xD v l= + :��1����� �������
���������
����(!��"��,����(!�"��������
��� !���� )��� ���������� &��� �� ������� )����&��� �$�� � *������������� ���� � ����������� +�������"���� ����România de Mâine���� ��� ����,--2��
,�� !���� )��� ���������� &��� �� ��� ���� )���� &��� '�������� ��� ���������� ��������� +�������"���� ����România de Mâine���� ��� ����,--���
4���� �������������������������������������� (���� ���+�������"���� ����%��ânia de Mâine���� ��� ����,--;��
;�� !���� )��� '�������� ��� ����)� � ���� � ����������� +������� "���� ���� România de Mâine���� ��� �����000��
���3���� ��?6����������������� ������������+�������"���� ����România de Mâine���� ��� �����002��
�
� ���
��
������������� ���� ��
����������������������������� �����
���������
����������� �������������������������������� ���� �� ��������� �������������� �� �� �� ��������� ���
���������� � ��������������������� � ��������������������������������������� � �������������������������������������� � ������������������������������ � ����������������
12.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����
����������������������� ������������ ���������� ��� � � �������� � ��!��• ������� ��� ���� ��� ����� !� �� �� ��� ������� ���
�� � �����������
• "�� ����� ��������� ��������� ����� � ����� #���$���������������
• Calculul factorilor de actualizare în contractele de asigurare ����� ������� �������%���������������&��������
���
��������� � ���� ������ ���� � ������ �����" � � ��� ����� ������� �� �� ��� ��� ��'� � ��� �� ��� %��
��������� �� �������������%��������%�� ������������� � ���������(��������'����������'��������������������������)��
��
����������� !������� ��"��������
�
���*
��������� �������� � ������ ����
������������� �����#�����
��������������� �������� ������ ������������
+��� � � ������ �� ����� ��� � ��� �� ��� �� � � ��� �������� � ��� ��� � ��� �� ���� ��%��� ����� � � � ������� � ��� �%��� ��%��� ����������� ���(�� ����)��� ���� ���,� ������� �� � �&� �
1xx
x
Na
D+= � (�)�
�����x
x xD v l= �� � ������� � ���(����%� ��������������������)�
1 ...x x xN D D D+ ω= + + + � � � ���� ��� � ��� (ω ����� ���� �
��������������� ��)'� ( )100 aniω = �
���������������� ������������� ���
�
,� ���&������ ��� ������ ����� � ������������ ������� ������������������� ������ �������� � ����%��������� ��������� ��câte 1 u.m (�� ���)����� ����� ��'��������� ��%��� ������ �
a xx
x
ND
= �
����� ��� �a 1x xa= + � (�)�
"�� �� ������� � ������� ���'�������� � ��� ����%�!�P= a xS � (�)�
���������������� ������������������������
������� ���������������
,�� ��!�• / n xa –� ����� �� � ��� � ��� ���� �� ��� � � �� �� ���� �
���� � ���������� ������ �������� � �'���� ��������� ���'�����%��� ��%��� ����'��������������(�����)-�
• / an x –�������� � ��� ���������� ���� ����� ���� ����� $� �� ��� ����� �� ���� ��� ����� � �'� ��� � �� ����� � ���'� �������� ��%��� ����'��������������(�����)-�
• /n xa –� ����� �� � ��� � ��� ���� �� ��� � � �� �� ���� �asiguratul î������� ������ �������� � �'���� ��������� ���'�����%��� ��%��� ����'�� � ������������ ����� ���(����� )-�
• / an x –� ����� �� � ��� � ��� ���� �� ��� � � �� �� ���� ����� � �� �������� �� ���� ��� ����� � �'� ��� � �� ����� � ���'�� � ������'��������� ��%��� ����'����� ����� ���(����� )��
� ��.
������ �
/ /x n x n xa a a= + � (*)����
/ /a a ax n x n x= + �� (.)���� ������
1 1/
x x nn x
x
N Na
D+ + +−= '� (/)�
���
1/
x nn x
x
Na
D+ += �� (0)�
1������
/ a x x nn x
x
N ND
+−= � (2)�
���
/ ax n
n xx
ND
+= �� (3)�
�"�� �� ������� � ���������� ���'�� ��������������� �����
���%��� / n xa ��� / an x ��� /n xa '���������� / an x ���
�����
���*��Îndrumar pentru verificare/autoverificare�����4���� ��� ���� �� ����� � ������������ � ������ ������ ���� ��%��� ����� � � �������� � ���
�%��� ��%��� ����������� ����� ���� ��'����%���
�)� 1xx
x
Na
D+= -��)� x
xx
Na
D= -��)� 1x
xx
Da
N+= -��)���� �� ����
5 �� �������!��)�+� ����� ���(�)��������������������� � ��� ���������� ���� ���������� ��������� ������� ����/6��������
���� ������� �� ������� ����� � �� �� � ��� /666� ���� �������� � � ������ ��� �'.78� 1�� � ������ � �
60 808530,71N = ���� 60 69382,81D = ��
�)� P= a xS 9 69918,6x
x
NS
D= -��)� P= a xS 9 514x
x
DS
N= -��)���� �� ����
��
���/
�5 �� �������!��)�+� ����� ���(�)��
��������������������
������������������$��� ����������
������������������ ���������������� ������� ����*6������� ���� ����� ���� ��������� ������ �������� � ��������� ������ �������'�������666�666� �������%��� ���%��� �����8�
�49�������1 ����������������� ��� ���������� ���� ����� ���� ��������� ������� ����/6�������'����
����� ������� ������� ��'���� ��������������%��� ��%��� ����'���� �������������������������0.�������'�� ������.666���� ���'������ ��%��������.78�
49�������1 ����������������� ��� ���������� ���� ����� ���� ��������� ������� ����/6�������'����
����� ������� ������� ��'���� ������������������ ��%��� ����'���� �����������������������0.�������'�� ������.666���� ���'������ ��%��������.78�
49����*��1 ����������������� ��� ���������� ���� ����� ���� ��������� ������� ����.6�������'����
����� �� ����� ��� ���� ��'� � � � ���������� ������ ��� /6� ��� ���'� �� �� �� ��� ��'� ��� �%��� ��%��� ����'�� ������.666���� ���'������ ��%��������.78�
������������
�
� ��0
�%�&�� #��'��� &��#�� ������
��� " ��� ��'� :����%�� 5�'� ;��� ���'� �����5�'� ;� � 1�'���������� ������ ����������'� <�� ��# ��� ����România de Mâine'�; � ���'��66/��
��� " ��� ��'� :����%�� 5�'� ;��� � ��'� ����� 5�'� ��������� ��� ��������� ���������'� <�� ��# ��� ����România de Mâine'�; � ���'��66.��
���;��� ���'���������� ��������������������� ���� �'�<�� ��# ��� ����România de Mâine'�; � ���'��66*��
*�� " ��� ��'� ��������� ��� ���� � ������ ����������'� <�� �� # ��� ���� România de Mâine'�; � ���'��333��
.������� �=>�'���������� ����������������'�<�� ��# ��� ����România de Mâine'�; � ���'��33/��
���
����
��
������������� ���� ��
����������������� �����
���������
���������� ��������������������������������� ������ ��� ���� �������������� ������� ��� ���� ����
����������������������� ��������������� ��� ����� ��� �����������������������
13.4. Îndrumar pentru����������� ������������������
��������������������!������� ���� �������"��"� ��� ���� �������� ���#��• ��������������� �
• ���� ��� ����� ��� ������������������������
���
��������� � ���� ������ ���� � ������ �����$�� �������%��������"����� �� ���� ���&�"� ������������������" �
�������� ��������� ��� �'���� ��� �� ��������� ���������� ��� ������ � ��������������� ��
��
�������������������� ������������
�
� ��(
��������� �������� � ������ ����
���������� �������������� ��
)������� �� �"�%������ �� ��� �� �� �"�%���� ��*�� �� "�� ���� ����� ��+� ����%� ����� ���"���� �� ���� ��"�����&� "�����"��� ��� � ����� ����� ���������� �� ��� �"�� � ����������� �%�,�������� �������� ���� �"�%���������Totalul acestor surplusuri anuale, î� ����� ���� ��� ��� �������� �����������&�������� ��������� ��������������� �"��������� ��
-���������� �������� ����#�´D �������"�� ���� ���"�%�����.� �´́D �������"�%�������.� �´0D � �������"�� ���� ���"�%��������������������.� �´́0D �������"�%����������������������.�´tD �������"�� ���� ���"�%����������������.�´́tD �������"�%��������������������
)������ �����"����� &���������������� ����������� ������������#�
´ ´́t t tR D D= − �� /�0�
)������ �� ����"����� &� ��������������� � ���������� �� ���� ��������
1 2/ 0 / 0
0
t tt
t
D DR
E−= �� /�0�
� ��������´
/ 0t D �–�"������������������������" ������ ��"� ��"�� ��� ���"�%�������+ �������������
´́/ 0t D � –� "������ ��� ����� ��� ��� ���� " � ��� �� ��"� � �"�%������ �+ � ���
���������3����� ��������� �� � ( ) ( )1 2⇔ ��
�'���"��� /�0� ����� ����� ����"�� �'���� ��� �� ��� ��� �� "��� ��� �"� ��� ���� �"�%�� ���� ����� �������� ��� �� �"�%������ �� ������ )�����'�����������&��������"������ ������"�� ����+�" � ��������������� ����"�%������ ����� ������ ��������� � ��#�
• ��4� �����&�������&��������%�������� ������.�
• �� � � ani, deci începând cu anul (x+n+1), asiguratul va primi ����&���"�����&�����"������ ���"���&������� �"�� #�
( )1 , daca
, daca t n
x x t x n
x x n xxx
x t x t
x
N N Nt n
N N DDR t S
D ND
+ + +
+
+ +
−⎧ ⋅ <⎪ −⎪= ⋅ ⋅ ⎨⎪ ≥⎪⎩
�� /�0�
���
���5
������������� ��� � � � ��� � �� ������ ��� ��
6�������� ����������"������#����$�� ��"�%���������������������� ���������"�� ��� ���"�%������
��� �� �� ( )tα ����&� ���� �� � ���"�� �"�� �� ��� � �� ��������� �� ����
( ),t t dt+ �"�� ��� ���"�%�������������� �� ( )t dtβ �������
2. În intervalul de timp ( ),t t dt+ �"�%����������� �������� ( )P t dt ������
� � 7"���&� ��+ � ���� ���� ����� �� ����"������&� �"�%������ ����� �� ������"���� �� ( ) ( )P t t dt⎡ ⎤− β⎣ ⎦ ��
8� �� �� ( )xR t �������� ������� � ����"��� ����� ��������� ��
�����, pentru asiguratul care a încheiat asigurarea la vârsta �������"�� ��� ���"�%������ ���"��� � �� ��������� �� ���� ( ),t t dt+ � "����
�� ( ) ( )xR t P t dt+ �����������������" �"��"��� ���� ������#�
• ����%� ��� ����� � ( ) ( )x t t dtμ + α ����������� ����"�%�������&�
• ����%� ��� ( )xR t dt+ &�� �� ���������������������������������� �
�����������&� �� ��"�%�������"������� ����������� ����� t dt+ &�
( )( )1
xR t dt
t
++ δ
��/� �� ( )tδ �������"����� �� ��+ 0�
Având în vedere cele de mai sus, putem scrie:�
( ) [ ]( )( )
1 ( )( ) ( ) ( )
1x x
xx t dt R dR
R t P t dt x t t dtt dt
+ μ + ++ = μ + α +
+ δ&� �
� � am dezvoltat în membrul drept ( )xR t dt+ în serie Taylor.�
�����+ � ���������� % "��� ���� ��� ����� ��� � ����� � �� ����� �� ���������� � ����������������� &���� ����� ���94����#�
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xx
dRt x t R P t x t t
dx⎡ ⎤= δ + μ + + − μ + α⎣ ⎦ &� /:0�
�������"��� ���
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0
0
t ttu x u du u x u du
xR e e P u x u u du⎡ ⎤ ⎡ ⎤δ +μ + δ +μ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − μ + α⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
∫ ∫∫ �� /;0�
$�� � ( )0 0 0xt R S= ⇒ = = �������"������+� ����� ��"���
( ) ( )0
__t
u x u du
xt E e⎡ ⎤− δ +μ +⎣ ⎦
=∫
�����#�
( ) ( ) ( ) ( )___
___0
1t
x u x
t x
R t E P u x u u du
E
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − μ + α⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ &� /<0�
������������ � ���� �������"����� ����������������������$�� � ( )0 0 0xt R= ⇒ = % "���
( ) ( ) ( ) ( )___
___0
1x u x
t x
R t E P u x u u du
E
∞⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − μ + α⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ �� /=0�
������������ � ���� ������"����� ����������������������
� ���
�
���:��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��
���)������ ������"����� &���������������� ����������� ��������������
�0�1 2
/ 0 / 0
0
t tt
t
D DR
E+= .�
�01 2
/ 0 / 0
0
t tt
t
D DR
E−= .�
�0�1 2
/ 0 / 0
0
t tt
t
D DR
E− −= .�
0����� "��"�� "��"������#��0����� �-����/�0������ 6��� �� ���"�� � �� �;� �� ��� ����� �������� � �� �"�%������ �� ��� � ��� ��4� � ������� ����
anuale timp de 35 de ani astfel î�+&�����+ ��������<�� ����� &�" �������"� �����&���"�����&�����"��� ��� ��&� "���� �� � �55555� ����&� �������� ����� ��� � �� �� >� ;?@� ��� �������� ���� ��������������� � �� ��5� ����@�
�0� ( )25 20 291856,02R = �
�0��� ������ �� "��"������#��0����� �-����/�0������)������ �����"����� &���������������� ����������� ������������#��0� ´ ´́
t t tR D D= − .�
�0� ´ ´́t t tR D D= + .�
�0� ´ ´́t t tR D D= − − .�
0����� "��"��� "��"������#��0����� �-����/�0�
������������
����
������������������!��������������
�� 6��� �� ���"�� � �� �;� �� ��� ����� �������� � �� �"�%������ �� ��� � ��� ��4� � ������� �������������� ���;� ������"������+&�����+ ��������<�� ����� &�" �������"� �����&���"�����&�����"��� ��� ��&� "���� �� � �55555� ����&� �������� ����� ��� � �� �� >� ;?@� ��� �������� ���� ��������������� � �� �:5� ����@�
�0� ( )25 40 931695,61R = �
�0��� ������ �"�� 6��� �� ���"�� � �� �;� �� ��� ����� �������� � �� �"�%������ �� ��� � ��� ��4� � ������� ����
���������� ���;� ������"������+&�����+ ��������<�� ����� �" �������"� �����&���"�����&�����"��� ��� ��� "���� �� � �55555� ����&� �������� ����� ��� � �� �� >� ;?@� ��� �������� ���� ��������������� � �� ��;� ����@�
�0� ( )25 35 1555488,38R = �
�0��� ������ ��
��������
�#�$���%��&����$��%���������
��� $� �� ��&� 9�� ����� ��&� A����� 7�&� ���� ��&� A+�� � 3�&��� ���� � ����� �������&� � �����6� � ����România de Mâine&�A�������&��55<��
��� $� �� ��&� 9�� ����� ��&� A����� 7�&� ���� ��&� �� � �� � � � �� ���� ������ &� � �����6� � ����România de Mâine&�A�������&��55;��
���A�����7�&��� �������� ���� ����� ��� ��� &�� �����6� � ����România de Mâine&�A�������&��55:��
:�� $� �� ��&� �� � �� � � � �� �� � � ����� �������&� � ����� 6� � ���� România de Mâine&�A�������&��(((��
;������"���B4�&��� ����� ����� �������&�� �����6� � ����România de Mâine&�A�������&��((<��
���
� ���
��
������������� ���� ��
�� �������������� �����������
���������
����������� �������������������������������� ���� �� ��������� �������������� �� �� �� ��������� ���
�������� ���� ������������������������� ������������������������� �������
������� Îndrumar pentru verificare/autoverificare����
�������������������� �� ������������ ���������� ���! � � �������� � ��"��• #� ���������$�� �������%�� ��������������
• ���� ����������������&��� �� ����� �����������
• ���� ������������
�
��������� � ���� ������ ���� � ������ �����
' � � ��� ����� ������� �� �� ��� ��� ��(� � ��� �� ��� $���������� � � �!����� �������� ��� ��������� �� ������ ��� ������ ����� �����������(����� ������������������ ��������
��
�
������� �� !"������� ��#��������
�
����
��������� �������� � ������ ����
�����������$������������������
)������� �� ���� ���� �� � ���� ������� � ����� �*� � �� �������� ������������� �������� �������� ����� ���������������
+������ ���������������� ���� ����������������� ��� ���������� ���� ����� ���� � ������ ������ ���� ����� ������ ���������������� ������� ������� ����������������� ��� �� ����S � �� ����������#����������� ��� �� ��������� ����� �� xP ����
����������� � xP ������"�
x
xxx D
NSaSP =⋅= (�
x
xxx D
NSaSP 1+=⋅= ��
'�� � ���� � �� ������ �� ������� � �� � ��� 12S � ���(� ����� ��� ����$��
( ) ( )12 1212 12
1112 12
24x
x xx
NP S a S
D
⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠(�
( ) ( )12 12 112 12
1112 12
24x
x xx
NP S a S
D+⎛ ⎞
= ⋅ ⋅ = ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠
��
Notând cu ( )12n xP ���������� ���������� �� ������� n ����� ���
�$*�� �� $��� ��� � ��� ��� � � 12S � ��������� � ���� ������� ��� ����
���! �� ����������� �� � � n ����(��� �������� ��"�
( ) ( )( )
( )
1212 12
12 1212 12 n x
n x n x
n x
aP a S
a⋅ ⋅ = ⋅ (�
��� ����
( )
( ) ( )12 1
121 1
24 11
24 11x n x n
n xx x n x x n
N DP S
N N D D+ + +
+ + + +
+=− + −
�� ,�-�
������������$����������"���
�
+�� ���� ���� ��� ������ �� ��� � � ��� �������� � ��� ��� ���� ���! � � � �� �� ���� � �� �������� ��� �*� � ��� x � ���(� ��� � ��� ��������� ��� ����� ������������������ ��� � ��� ���� � ����������� �� ���� ������ �$��� ���������� ��������� ����
#���� ��� ���� ����� ����������������������� ���������� ���! � � � �� �� ���� � ���� � �� ����������� ��� ���� ��(� �������� �� ����� ��� ���� ��(� �� �� � ��� � ���� ���� . ��� ������� �� ��� �� �� ����������� ������� ��� ����� �� ����� � �� ���� ������ � ����� � ��
� ��/
0��� xM � �������� ������ �� �� � �� � �� �� � �� �� ��� ����
����� � �� ���� �������� ��� �*� � ��� x � ���(� ���� � �������� �������� �� ������� ���������������������������������������������"�
1 1 11
2 2 2
1 1 2 1:
n
x x x x x n x n
x x x
v v vX
l l l l l l
l l l
+ +
+ + + + + +
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� �
� ��
� �
( )
( )
1 1100 1001 12 2
0 0
1
21001
0
xx xn nx n x n x n x n
x xn nx x
x nx
x n x n
xn x
l l l l vA M X v v
l l v
l l v
l v
− −+ ++ + + + + +
= =
+ +−
+ + +
=
− −= = = ⋅ =
−=
∑ ∑
∑�
.�� ��� ���� ��� � ���� ��� ��� � ��� ( )12
1
x
x x xC l l v+
+= − ��
� ���� 1 100...x x xM C C C+= + + + ����
xx
x
MA
D= �� ,�-�
'�� ����������������� ��� ���! �� ��� ���� ��������� ������� � ��� ������ S � �� ��������(�� ��������� ��� ����$��
xx
x
MP S A S
D= ⋅ = �� ,�-�
��� ��� � ������� � ����� ��������
'�� ����� ����������������$������� �������������������� n �începând de la data încheierii contractului de asigurare, atunci ���������� �� ��� ���� ������������� �������� � � ������*� ����x � ���(� ��� ���1������ ���� ��(� �*��� ����� �� �� � ����� ��� ��� � �����������(����"�
1 1...x x x n x x nn x
x x
C C C M MA
D D+ + − ++ + + −
= = �� ,�-�
�'�� ����� ����� ���������������� �$ �� ����!�(����� � ������(�
���� � �� ���� ��� ��� ������ ��*�� (� � ��� ��� �� ���� � ���� ��� ����� � ���������! �� � ������������������������1���������� ����
)��������� �� ��� ���� ������������� ������� ����� � ������*� ���� x � ���� ������������ ��� ���� ��������� � ���������termenului de amânare de ���������"�
100|
...x r x rr x
x x
C C MA
D D+ ++ += = �� ,/-�
� ��� ���� ���� ��� ������ ��� �� � ��� �� xA � ��� ���� ���� ���
������������������*�������� ���� ��"�
|x n x n xA A A= + ��
��
���2
�����������$�� �����%����
������ ���� �(� ���!��� �������� ������(� ��� � �� ��� ������������ ���� ���� ���� � ��� ��� ����� $��� ��� �� ���� ��� ��� ������ ������ ������ �����������
'�� �� ������� ���������� n ani, întreprinderea de asigurare �� ���� ���� � � �(� ��� � ���� ��� ��� � ��� �������� ���� �� ����(�� ������� � (������� ���������������������� ������(��� ���(������������� � �(� �������$��� �����������(�� ������� � ��
#�� � ������(� �������� �� �� � ��� ��������� ���� ��� �������������� �*������������ �������������� ����� �������������������� ����� �����������(�� ���"�
x n x x nn x n x
x x
D M MP E A
D D+ +−
= + = + ��
'�� �� ������� � ����� S � ��(�� ��������� ��� ����"�
x x n x n
x
M M DP S
D+ +− +
= ⋅ �� ,2-��
��
������Îndrumar pentru verificare/autoverificare��
������������������ ���������������� �����*� ����/3������� ���� ����� ���� ��������� ������ ��� ����� � �� ��� ���� ��(� ��� � ��� ��� ����� �� ����� � �� ������ � �� � � ������� ��3�333�333� ���4�, 50 2.416M = 50 7070,2D = -�#5����
6 �� ��������#5����7��23������ �0����������� ���,�-������ �����
50
5010.000.000 3.417.160
MP
D= = ����
������������������ ���������������� �����*� ����/3������� ���� ����� ���� ��������� ������ ��� ����� � �� ��� ���� ��(� ��� � ��� ��� ����� �� ����� � �� ������ � �� � � ������� ��3�333�333� ���(� ��� � ����� �� ��� ���� �*� � ��� ���������� �*���� ��� 23� ���4� , 50 2.416M = (�
60 1.863M = (� 50 7070,2D = -�#5����6 �� ��������#578���23������ �0����������� ���,�-������ �����
50 60
5010.000.000 782.160
M MP
D−= = ����
������������������ � ��� ���������������� � ����*� ����/3����� �� ��� � ����� ���� � �������� ������ �������� � ��������� ��(���� ���������������� ����3�333�333� ���(����� ���e în ��� ���������������*�������23���������� � ������� ����� ������ ���������� � ������������*�������23����4�, 50 2.416M = 9 60 1.863M = 9 50 7070,2D = 9 60 3.885,7D = �-�
� ��7
#5����6 �� ��������#52��78�3�3����� �0����������� ���,2-������ �����
50 60 60
5010.000.000 6.278.040
M M DP
D− += = � ����
�����������������
������������� ����&���!��� ������
���. ���������������������� �� ��� �������� ��������� ��������� ���� �� ������������������ ��� ����������������*� ����������,��� � ����� ����������� �� ��$�������� ������� � ���� � �-"�
�- ( )1/ 2 1x xA v ia= − 9� ���� xa ������� ����� � �� � � ��������(� a x � ������� ����� � �� � �
���������- ( )1/ 2 1x xA u ia= − + 9�
�- ( )1/ 2 1 ax xA v i= − ��
����.����� ����� �������� ������������ � ��� ,x xC D , ���� ( ) 1/ 2
1x
x x xC l l v ++= − ( x
x xD l v= -�
�-� ( ) ( )1/ 211x x xC i vD D+= + − 9�
�-� ( ) ( )1/ 211x x xC i vD D += + − 9��
�-� ( ) ( )1/ 211x x xC i D D+= + − ��
����.����� ����� �������� ������������ � ��� ,x xM N �
�-� ( ) ( )1/ 211x x xM i vN N += + − 9�
�-� ( ) ( )1/ 211x x xM i N N += + − 9��
�-� ( ) ( )1/ 211x x xM i vN N
−+= + + ��
�
���8
��� / n xA � ����� �� � ��� � ��� ���� �� �� ���� �� ������ � ��� �*� � ��� �� ���(� ��� ������������� � �(���� ���� ������� �������� ��� ����������! �������������� ��� ���� ������ � ������� �
/�� /n xA � ����� �� � ��� � ��� ���� �� �� ���� �� ������ � ��� �*� � ��� �� ���(� ��� ������������� � �(���� ���� ������� �������� �� ����������! �������������� ��� ���� ������*� �����������
�2��0��������� ������ (����� ���� ��������� �����*� �������������������� �����������(�� ����
�������� ����,�������������-(������� ��������! ��*� ���������(� �������������� ����#������ ������������ �������� � �����"��
�-� /x n x x n
n x n xx x
D M MP E A
D D+ +−= − = − 9�
�-� /x x x n
n x n xx n x n
D M MP E A
D D+
+ +
−= + = + 9�
�-� /x n x x n
n x n xx x
D M MP E A
D D+ +−= + = + 9�
�-���� �� �����7��: � �������� � �� xyD introdus în cazul ���� �������������� ���� �������(���� �
��� ������������"��-� x y
xy x yD l l v += �
�-� ( )1 2x yxy x yD l l v + += �
�-� ( ) 2x yxy x yD l l v += �
�-���� �� ����
�
��������
�'�( �!$��)���!( �$��!������
��� ' ��� ��(� %����$�� 6�(� ;��� ���(� �����6�(� ;*! � .�(�� �� ��� ������ �������(� <�� ��0 ��� ����România de Mâine(�; � ���(��332��
��� ' ��� ��(� %����$�� 6�(� ;��� � ��(� ����� 6�(� ������ �� � �� ��� ������(� <�� ��0 ��� ����România de Mâine(�; � ���(��33/��
���;��� ���(�� �� ��� ��� ������������� �� � (�<�� ��0 ��� ����România de Mâine(�; � ���(��33���
��� ' ��� ��(� ������ �� ���� � ������ �������(� <�� �� 0 ��� ���� România de Mâine(�; � ���(��===��
/������� �>1�(�� �� ����������������(�<�� ��0 ��� ����România de Mâine(�; � ���(��==2��
� ���
��
� ����������������� ������������������������
��������������� �������������������������� ����� ( ) ( ) ( | )P A B P B P A B∩ = ⋅ ������������ �
( ) 0,2 1( ) 0,5
( | ) 0,4 2
P A BP B
P A B
∩= = = = ��
� � �� ��
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0,2 0,25 0 0,45.
C C
C
P A P A P A B B P A B A B
P A B P A B P A B A B
∅
= ∩ Ω = ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ =
= ∩ + ∩ − ∩ ∩ ∩ = + − =���������
�
������������������ ������������������������������������������� ��������������������������������������������������������� ������!���������������"�������������������������������� �������
���� �� ���� �# � $�%�&#� ξ ���&�&����� ���������%���&#� �#�$ �������%�& &&�����&��&������ ξ �
�����%��& &��&# $&� �����$�%� ��&�&������'#��( ��)��� &��� � � &#�$� ��&� ��� �3
4p = �����&�
1
4q = ��
( ) 150M ξ = ��� ( )2 37,5D ξ = ��*��%�&� �&#�+�&������&�,��-.����.&���� � &#���
( ) ( ) 37,5100 120 100 10 1 0,625
100P P< ξ < = ξ − < ≥ − = ��
���"
������ �� ��*��%�&� ���/�$���&�0 &�� #�����$��
( )
( ) ( ) ( )( )( )
3
3 2 23
1 1 2 2 3 3
16 11 18 6 22 18 1 2 3
n n nz z z zn n n n n n
z n z n n z n n nn
− − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎡ ⎤= + − + − + + − − − ⎦⎣
ϕ�
�� ���$�#����&�����&#�% �&# $��� ( )3 zϕ ���1&�( )( )( )
0,3 3
1 2 3n n nP
n
− − −= ��
��� , �1&�&�#������&� 3z ��&#� ( )3 zϕ ������ 3,3 3
6P
n= ��
��� 0,31P P= − ��
����� �� �����$���$ � �����&% ������ 1A − #&�&��#����$�#��#�������'#�%# 2� 2A − �#����$�#�������
'#�%# ��0� ��&�&� &���� ��� ��1&� ( )1 0,5P A P= 2�� ( )2 1,5P A P= ��,�$�
( ) ( )( )( )( )( )5 0,1 0,9 0,05 0,95 0,2 0,8 0,15 0,85 0,09 0,91
0,530 0,264 ...
z z z z x z
z
ϕ = + + + + + == + +
�
����#��� ( )1 0,530P A = �� ( )2 0,364P A = ���
Notând cu A � ���#&$�#���� 3%����� �1������ � $�#�� %�#���� ���� ����� ����&#�4�� 1 �$���
%� ��&�&� &&�� ����#��� � ( ) 0,530 1 0,364 0,7 0,784P A = ⋅ + ⋅ = ��
����� �� ��*��%�&� ���/�$��&��&�#�����#&�������$�
�� ( )3 0 1 110 8 7 5
530
5;3,0,1,1C C C C
PC
= 2���� ( )1 2 2 010 8 7 5
530
5;1,2,2,0C C C C
PC
= ��
����������������� ����������� �� ���&��n �#�$ ����%� ��� ��.&� x �$��&��������� &������$��
( ) ( ) 1
1
nt tni xk i xn kitx k nx
k
t M e M e M e=
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ϕ = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑∏ ��
5 � $�t
un
= �����&� ( ) ( )1
niuxk
xk
u M e=
ϕ = ∏ ���������+��# �$� �.�&$�� � ( )2 2
2
umuiiuxkM e e
σ−= �����&�
( )2 2
2
n unmui
x u eσ−
ϕ = � ��� ( )2 2
2
tmti
nx t e
σ−ϕ = �� ������ ����� 1�#� &� ������&��&� � � �#�&� ��%��& &&� # �$���
2
,N mn
⎛ ⎞σ⎜ ⎟⎝ ⎠
�����&�1�#� &������%��& &��� ���%�#� � ��������# �$� ��
�����
� ���
���� �� ��6 $���&�&��� ��$�� ��1�#� &�&�������&��&�������$��
( ) ( )1
tn i xkitx nx
k
t M e M e=
⎛ ⎞ϕ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ �
������# � &�t
un
= �� ( ) ( )1
nn uiux
xk
u M e e=
ϕ = =∑ ������#�������#&#������&�&�� t �� ( )t
ntn
x t e eϕ = = ���$�
� &#���1�#� &�������&��&� ����%��& &�&������������&� x ������ ���&�&� ���� �����%��&�� ������������������������� ����������� �%�#��� �����������������0�#����+�1����&#�1&+������������&�$�$��&���� #�)&�#&� ���&�������
0 1 0 0 1
0 0 1 1 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 0 1 0 0
C
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�
����� �%�#��� ����������������� 0�#���� +�1��� �&#� 1&+��� ����� ��� $��&��� � #�)&�#&� �� �&������ C � � �&� ��
�����$&# $�$��&������$��&� �� D �����, #����&$��&#&�1��$��&��&� D �% �#&#��������&#&�1��$��&��&� C ��7����� $�� � 112 =c �.&�
115 =c ������������$�#��� ��1&&#���+��������� ��
���#�&����# $�� ��#��&#&�1��&#�C �����&#&&��� 2 �.&�5 ����$��&�&&�C ��
( ) 11110:
00100
01100
10010
:
:
:
21
__________________________
5
2
1
l
l
l
l
�
7����� $�� � �&#&� (2)1l � �&1�� � ��� 1l � %�&#� ���$�#����� +�#����� %�� % �& &&��� ( )2
13 1c = � .&� ( ) 1214 =c ��
�����$���%�������&#��+ �&�$�.&���# $�� ��#��&#&� ( )21l �����&#&&���3 �.&� 4 ��&#�C ��
( )
( ) 11111:
10001
01000
10010
:
:
:
31
__________________________
4
3
21
l
l
l
l
�
7����� $�� ��(� � &#��� ��&#&������ ������$�#������+������1�����&���&#&�1��$��&�&&� D ���1&��( )1 :1 1 1 1 1
Dl �
���0�#�����&#&� 2 ��$��&��&� D � ����� $�� � 123 =c �� 124 =c ������������$�#��� ��1&&#���+������
��� �����# $�� ��#��&#&� 2 ��&#�C �����&#&&���3 �.&� 4 ��
����
( ) 11101:
10001
01000
01100
:
:
:
22
__________________________
4
3
2
l
l
l
l
�
7����� $� � � �&#&� ( )22l � �&1�� � ��� �&#&� 2 � %�&#� ���$�#����� +�#����� ��� % �& &&���
(2)21 1c = � .&��
(2)25 1c = �����# $�� ��#� (2)
2l �����&#&&���1�.&�5 ��( )
( )
22
1
5
__________________________
32
: 1 0 1 1 1
: 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0:
: 1 1 1 1 1
l
l
l
l
�
�$� � &#���� ������$�#������+������1�����&� ( )2 :1 1 1 1 1
Dl �
*&$&���%�#�����&#&&�����������.&� � &#�$�$��&��� D �
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
11111
11111
11111
11111
11111
D �
����� �%�#��� �����������������8�1���G �����&���&����� �&��)&�� � i astfel încât 1=iid �9����)�$%��� 122 =d ���
����� �%�#��� ������������� �%�#��� ������������������
,�$�.�&$�� �+�1�������&���&����� $�1 � �&�$�� ��'#$�� &�&&���&#���:��&����� ( )1M �.&� ( )1M� �� ��1&��
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0000
000
0000
000
000
35
5414
43
4232
5121
1
xx
xxxx
xx
xxxx
xxxx
M �
�������
� ���
�����
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0000
000
0000
000
000
~
3
51
4
43
52
1
x
xx
x
xx
xx
M �
�
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
0000
00
000
00
000
435
514354214
543143
542432142
421351
321
2
xxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
xxx
M �
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
0000
0000
000
00
000
1435
3514
3214
51432143
5432
514235421432
54214351
4321
3
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxx
M �
�
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0000
00000
00000
0300
000
21435
514325142
5432135421
4
xxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
M �
�;#�+�1�������)&�� ������$��&�/$&�� #&�#��� ��� �%�#��� ���������!��� �%�#��� ������"�������
����
���������������� ���� ������ �%�#��� �����������������<�%������.&�����#���&���$�&����'#�����������$&�= ����
V � 1x � 2x � 3x � 4x � 5x � 6x �
1x � 0 � 5 � 8 � 18 � ∞ � ∞ �
2x � ∞ � 0 � 6 � 10 � 12 � 21 �
3x � ∞ � ∞ � 0 � 9 � 11� 23 �
4x � ∞ � ∞ � ∞ � 0 � 8 � 16 �
5x � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � 0 � 9 �
6x � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � 0 �
� � � � � � �( )1im � ∞ � 21 � 23 � 16 � 9 � 0 �( )2im � 26 � 21 � 20 � 16 � 9 � 0 �( )3im � 26 � 21 � 20 � 16 � 9 � 0 �
>��� &&������ %������� �&�$� � &#��� ( ) ( )23ii mm = ��
�������������$&# $�������&�#�����$���&�$&#&$������ 1x ��� 6x ��
�� ���# $��&#&� ( )3im �����&#&�1���� ���$&#&$ ������ 26 ���������1&� ( )21 , xx �.&���� � &# �%��
� � #���&� 2x ��
�� ���# $��&#&� 3im �����&#&� 2 ���� ���$&#&$ ������ 21 �������� ���%�#� � ����1&� ( )62 , xx �.&�
��� � &#��%��� � #���&� 6x ��
���&�����$���$&#&$���1&� { }1 2 6: , ,d x x x ���
��������������6��&1&� $��� �1��)���&#& &��� #��&��&���#�1��)����&��&���&� � :ϕ Γ → ����'#��%�&#�.���� #�& &����
$ �+&#&��� � 1��)���&�� ���&� %�#���� �&��� ( ) Γ∈ji xx , � ��$� ( )0 ,i j ijx x p≤ ϕ ≤ �� { }6,...,2,1, ∈ji ��
7� &#�$��( )1 2 120 , 2 3x x p< ϕ = < = �� ( )1 3 130 , 5 8x x p< ϕ = < = �
( )1 4 140 , 2 7x x p< ϕ = < = �� ( )2 6 260 , 1 4x x p< ϕ = < = �
( )3 2 320 , 1 5x x p< ϕ = < = �� ( )3 4 340 , 2 5x x p< ϕ = < = �
( )3 5 350 , 2 6x x p< ϕ = < = �� ( )4 6 460 , 5 10x x p< ϕ = < = �
( )5 4 540 , 1 3x x p< ϕ = < = �� ( )5 6 560 , 3 5x x p< ϕ = < = ��
0�#����� #�& &����� #������� ( ) ix X∀ ∈ �
( )( )
( )( )
6 6
2 1
, ,
, ,k j j hk h
x x x xj jk h
x x x x= =
∈Γ ∈Γ
ϕ = ϕ∑ ∑ �
���$��
� ���
Vârfuri� ���)�����&#�� �'#��-�1��� ix � Flux care iese în vârful ix �
2x � 3 � 3 �
3x � 5 � 5 �
4x � 5 � 5 �
6x � 4 � 4 ��
*�� ����� �� �.&�0� % �& &�����������&1&�� ���&� ��
( ) ( )4 5
1 62 2
, , 9i ji j
x x x x= =
ϕ = ϕ =∑ ∑ �
���&��1��)���&#& &������� 0 9ϕ = �������$���0����>>��&#��+ �&�$���� ��(���?��� #�
������&# &� 6x � � %����� 1&� $��� �� ���+�$� ���$��� { }65311 ,,,: xxxxd � %�#���� ����
{ } 235,26,58min =−−−=θ �.&� 1 9 2 11φ = + = �������� ( )5 6,x x ��(��������
�
�&+��������� ����&# &� 6x � � %����� 1&� $��� �� ���+�$� ���$��� { }6412 ,,: xxxd 2�
{ } 5510,27min =−−=θ 2� 2 11 5 16ϕ = + = ��������� ( )41 , xx �� ( )4 6,x x ��(��������
��&+������
����
��� ����&# &� 6x ��%�����1&�$��� �����+�$����$��� { }6213 ,,: xxxd 2� { }min 3 2,4 1 1θ = − − = 2�
3 16 1 17ϕ = + = �������� ( )1 2,x x ��(��������
�
��&+������
��� ����&# &� 6x � � %����� 1&� $��� �� ���+�$� ���$��� { }62314 ,,,: xxxxd 2�
{ }min 8 7,5 1,4 2 1θ = − − − = 2� 4 17 1 18ϕ = + = �������� ( )31 , xx ��(��������
��
��&+���� �
�7����� $�� �����&# &�#���(�$&�%�����$�������&�1��)��������$)&$� 18ϕ = ��
���������
� ��
���������������� ����!������� �%�#��� ���������
���������
0D=S it ��9���+&$����� �-#� ��&$%� ��
1 01 1 1D =S i t 2 01S 2.000= ��$�2 1 19% 0,09p i= ⇒ = 2���@����&���@36
360�#&�
2 02 2 2D =S i t 2 02S 5.000= ��$�2 2 210% 0,1p i= ⇒ = 2���@����#&�@3
12�#&�
3 03 3 3D =S i t 2 03S 10.000= ��$�2 3 312% 0,12p i= ⇒ = 2����@�����$������@ 12�#&� �
1D =18 ��$�2� 2D =125 ���$�2� 3D =600 ���$��3
0k k kk=1
3
0k kk=1
S
t
S
i t
i
=∑
∑2�9����
1 2 33
0k kk=1
D +D +Dt
S i
=
∑2�9��
�
1 2 3D +D +D 743= 2�9��3
0k kk=1
S 2.000 0,09 5.000 0,1 10.000 0,12 1.880i = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑ 2�9��
;#� ��&$�9���9��'#�9���� $�+ �&�����# �$��&��'#� ��&� ������� �����&�����# ��743t 0,3953
1.880= = #&�
�� t 0,3953 360 142,30= ⋅ = �&����
������������
������������� ( ) ( )n -nn 0 0 nS =S 1+ S S 1+i i⇒ = �
��������������#@��#&2� 10% 0,1p i= ⇒ = 2� 4S =58.564 ��$��
( )-40S 58.564 1+0,1= ⋅ �
0S 40.000= ��$�������� �%�#��� ��������
�������������&��%@�A��&@"�"���* �� &�� & #� ��
( ) 88
12
58
05,11000012
505,0105,0110000S ⋅=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++=
+35,15082020833,1 =⋅ �
�
���!
������ �%�#��� ���������
�������������&��%@�A��&@"�"����
* �� &�� $���&� � 97,1507705,110000 12
58
12
58
=⋅=+
+S ���$��
���������������� ����"���������������În cazul scontului simplu comercia��
( )1aK K jt= − �
������������������������ 2 210% 0,1q j= ⇒ = ��
� ( )1130.000 1 0,1 126.7504
aK = − = ���$��
�������������"@�""�"""���$��
8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�
���@"�"!����
( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��
��������������"@�""�"""���$��
8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�
���@"�"!�����@"���
( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��
( ) 1
1 0 1K S iθ= + ⇒��@�""�"""9�B"�"!
��
���������������������������@���� ������$��*� #��� $%���� & #��
�( )1
at
KKj
= ⇒+
�( )2146.932,8
125.971,2u.m1 0,08
aK = =+
�
��������������"@�""�"""���$��
8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�
���@"�"!�����@"�����
� ���
( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��
( ) 1
1 0 1K S iθ= + ⇒��@�""�"""9�B"�"!
��
���������������������������@���� ������$��
*� #��� $%���� & #��( )1
at
KKj
= ⇒+ ( )2
146.932,8121.432,1u.m
1 0,1aK = =
+�
��������������"@�""�"""���$��
8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�
���@"�"!�����@"���
( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��
( ) 1
1 0 1K S iθ= + ⇒��@�""�"""9�B"�"!
��
���������������������������@���� ������$��*� #��� $%���� $���&��
�1
a KKjt
= ⇒+146.932,8 126.666,2u.m.1 0,08 2
aK = =+ ⋅ �
� ������������"@�""�"""���$��
8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�
���@"�"!�����@"���
( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��
( ) 1
1 0 1K S iθ= + ⇒��@�""�"""9�B"�"!
��
���������������������������@���� ������$��*� #��� $%���� $���&��
1a KK
jt= +
146.932,8126.666.2u.m.
1 0,08 2
146.932,8 122.444u.m.1 0,1 2
a
a
K
K
⎧ = =⎪ + ⋅⎪⇒ ⎨⎪ = =+ ⋅⎪⎩
�
�!������������
22 29 31 82t = + + = �&���
modificat 82 2 84t = + = �&����@�""����@"����
8415.000 0,12360
SSC Kjt= = ⋅ ⋅ �
419,9SSC = ��$��
, $&�& #�������%���� 0,6 8415.000 20,9u.m.100 360
= ⋅ ⋅ = �
, $&�& #�%���1����@������$��
�) �%��� $&�& #�1&)@16,8 12,5 2,1u.m.100
⋅ = �
���"
�#��$� �% � �� �&���� ��� @**,� B� , $&�& #� ��� ���%���� B� , $&�& #� ������%����B��) �%��� $&�& #�1&)�@��������$��
��'(���)*����+('���+�,-*)�(',��(��*�,'��.�(�����������%�&#�q 84AGIO=15.000
100 360⋅ ⋅ ⇒ C@���"�A�
6� ����� #�� � AGIOaK K= − ⇒ ������������������������������ 15.000 455,4 14.544,6aK = − = ��$���"��� �%�#��������������
22 29 31 82t = + + = �&���
modificat 82 2 84t = + = �&����@�""����@"����
8415.000 0,12360
SSC Kjt= =
= ⋅ ⋅�
419,9SSC = ��$��
, $&�& #�������%���� 0,6 8415.000 20,9u.m.100 360
= ⋅ ⋅ = �
, $&�& #�%���1����@������$��
�) �%��� $&�& #�1&)@16,8 12,5 2,1u.m.100
⋅ = �
�#��$� �% � �� �&���� ��� � @� **,� B� , $&�& #� ��� ���%���� B� , $&�& #� ������%���B��) �%��� $&�& #�1&)�@��������$��
��'(���)*����+('���+�,-*)�(',��(��*�,'��.�(�����������%�&#�q 84AGIO=15.000
100 360⋅ ⋅ ⇒ C@���"�A�
6� ����� #�� � AGIOaK K= − ⇒ ������������������������������ 15.000 455,4 14.544,6aK = − = ��$���&��C��-�'(�������*����+('����C�@�""����&��C��-�'(�����.�(����$+�)������������/���+('����
C�@�""������$���� &&�����8>7�(��) �%��� $&�& #�1&)@�����2��8>7�(��) �%��� $&�& #�1&)@������2�����#�&��• %� ��#������������� #���8>7�(��) �%��� $&�& #�1&)@�������$�2������@�����⇒C�@����!A�• %� ��#���1���&��9����������#&������� #���8>7�(��) �%��� $&�& #�1&)@�������$�2�������@�����⇒ �C�@���� A��0��� �%�#��� ����������1��� �%�#��� �������������� �%�#��� ��������
���
� ���
��������������� ����0������ �%�#��� ���������
���������
( ) ( )2
32000 1 0,1 5000 1 0,1 7000 14.920PS = + + + + = ���$��
6� ������� �
2 332000 5000 7000 11209,6161,1 1,1 1,1
PA = + + = ���$��
����� �%�#��� ��������
����������
6� ������� �
2 332000 5000 7000 11209,6161,1 1,1 1,1
PA = + + = ���$��
����� �%�#��� �������
����������
( )( ) ( )3
7000 1 0,08 1 0,1 7000 1 0,1 7000 23016PS = + + + + + = ���$��
6� ������� �
37000 7000 7000 18106,2941,07 1,07 1,08 1,07 1,08 1,1
PA = + + =⋅ ⋅ ⋅ ���$��
����� �%�#��� ��������
����������
6� ������� �
37000 7000 7000 18106,2941,07 1,07 1,08 1,07 1,08 1,1
PA = + + =⋅ ⋅ ⋅ ���$��
����� �%�#��� �������6��&���� &9�������� �%�#��� �������6��&���� &�9���� ��� �%�#��� �������6��&����� &�9���
��
��������������� �����1��������������
50005,01000001 =⋅== iVd �
0�&$���$ ��&�$�#��( )
12,232011
01 =−+
=ni
iVQ ��
������������������������������� 12,232011 =−= dTQ ��$ ��&�$�#���9 1)1( −+= pp QiQ �� 13,24362 =Q 2� 92,25573 =Q 2��
����
�������������*��������� ��
4 5
1 0 5
(1 ) 0,05 0,9540.000
(1 )[1 (1 ) ] 0,95[1 0,95 ]n
i iQ V
i i
− ⋅= = =− − − −
�
�0,05 0,77378
40.000 72010,95 0,2262192
⋅= =⋅
��
�������������
�&#� 250000 =V �.&�#@�������� � 62504
000.250 ===n
VQ ��
������������
�&#� 250000 =V �.&�#@�������� � 62504
000.250 ===n
VQ ���
� � �&$���� &� ppp QVV −= −1 ����#�&� 2 1 12500V V Q= − = ��
����������������� ������������ �%�#��� ������"��������������
D�&&#��� � x nn x
x
lp
l+= �.&�1 � �&#�����������$ ���&������$�
5515 40
40
77.603 0,9184.855
lp
l= = ≅ �
����� �%�#��� �������������������
1t x t xq p= − �.&���$��� t xx t
px
ωω− −=
−���#�&� t x
tq
xω=
−�
����� �%�#��� ������������� �%�#��� ������������� �%�#��� ��������
��
��������������� ������������ �%�#��� �������0@���"!�� "����$������������
1xx
x
NP Sa S
D+= = �
41
40
181.8161.000.000 15.084.70912.053
NP S
D= = = ���$��
���
� ���
���� �%�#��� ������0�@��!���������$������������� � �&$����� &�9���.&� � &#�$�
61 76
605.000 489253,5
N NP
D−
= = ��$��
���� �%�#��� ������0@�" ��$������������� � �&$����� &�9���.&� � &#�$�
60 75
605.000 40777
N NP
D−
= = ��$��
���� �%�#��� ������0@� ��"���$������������� � �&$����� &�9�"�.&� � &#�$�
61
605.000 27250
NP
D= = ��$��
��
��������������� ��������� �%�#��� ����������� ����� ��������"���� ����#�&��
( ) 6025
25
42455,535 100000 100000 1555488,38
2729,4
NR
D= ⋅ = ⋅ = ��$�� � ���%�#� � ��� �/&� �&&� ��� ��
����������#�������� �����&+����.&��#&�&��#�&��������� �����&+��� ���6��&�9���
��
��������������� ������������ �%�#��� ����������� �%�#��� ������������ �%�#��� ����������� �%�#��� ������������ �%�#��� ������������ �%�#��� �������� ��� �%�#��� ��������
���������������
����
���������
� ���
��
�������������������
�� ����������� �����������
��� ���� ��� � ���� � ���� ��������� ������� �� � � �������������� ���� ������������ ����� ����� ����România de Mâine������ ��������� ��
��� ���� ��� � ���� � ���� ����� ���� ��� ���� �������� �� ���������� ����������� ����� ����� ����România de Mâine������ ������������
!���������������������������������������� ����� �������� ����� ����România de Mâine������ ���������"��
"�� ���� ��� �������� �� ������ ���� ������������ ����� � ���� ���� România de Mâi�������� �������###��
���$% �&���'(����������������� ����������������� ����� ����România de Mâine������ �������## ��
��� �������������������� �
���)� � ����������������������������*�+������������ ������,�� ������ �������##!��
��� )�%�&��� $�� ��� ��+-��� Matematici aplicate în economie�� *�+�� � ��� �� ����� � ������� � ���)��.�.�� ������ �������##!��
!�������.��'��� ���� ��� ��+-�������������� ������ � ���������������� /� ��0��*�+�� �� � ��� ������� ���1��� ������ �������##���
"�� 2��� �1��� 3+, &���� $% �&��� '1��� ��� ��+-��� ������������� – � �������� ���������� ������� �$,�������� �������##���
����������������
Redactor: Constantin FLOREA Tehnoredactor: Marcela OLARU
Coperta: Magdalena ILIE
Coli tipar: 9,75 Format: 16/61×86
Editura Fundaţiei România de Mâine
Bulevardul Timişoara nr.58, Bucureşti, Sector 6 Tel./Fax: 021/444.20.91; www.spiruharet.ro
e-mail: [email protected]
155